ספקטרום פרויקטיבי

בגאומטריה אלגברית ספקטרום פרויקטיבי הוא אנלוג פרויקטיבי של המושג ספקטרום של חוג.
ספקטרום פרויקטיבי מתאים לחוג קומוטטיבי מדורג <math>A</math> יריעה קוואזי-פרויקטיבית (או סכמה קוואזי-פרויקטיבית) <math>Proj(A)</math>, אם <math>A</math> אלגברה נוצרת סופית מעל <math>A_0</math>. למשל, אם <math>A=k[x_0,\ldots,x_n]</math> הוא חוג הפולינומים, מדורג כך שכל המשתנים בעלי דרגה 1, אז <math>Proj(A)</math> הוא המרחב הפרויקטיבי <math>\mathbb{P}^n_k</math>.
בגאומטריה אלגברית קלאסית יריעה פרויקטיבית <math>X\subset\mathbb{P}^n_k</math> המוגדרת על-ידי משוואות הומוגניות <math>f_i(x_0,\ldots,x_n)=0, i=1,\ldots,m</math> מתוארת על-ידי חוג מדורג <math>A=k[x_0,\ldots,x_n]/(f_1,\ldots,f_m)</math> עם הדירוג המושרה מהדירוג הסטנדרטי בחוג הפולינומים.
בניית הספקטרום הפרויקטיבי משחזרת (בשפה של סכמות) את היריעה הפרויקטיבית <math>X</math> מהחוג המדורג <math>A</math>.
==<math>Proj(A)</math> כקבוצה==
יהי <math>A=\oplus_{i\geq 0} A_i</math> חוג קומוטטיבי מדורג. אידיאל <math>I\subset A</math> נקרא הומוגני אם <math>I=\oplus I_i, I_i=I\cap A_i</math>. אוסף אברי <math>A</math> בעלי דרגה חיובית <math>A_+=\oplus_{i>0}A_i</math> הוא אידיאל הומוגני הקרוי לעיתים אידיאל לא רלוונטי . איברי <math>Proj(A)</math> הם האידיאלים הראשוניים המדורגים של <math>A</math> שלא מכילים את <math>A_+</math>.

==טופולוגיית זריצקי על <math>Proj(A)</math>==
בדומה לטופולוגיה על הספקטרום של חוג קומוטטיבי, ניתן להגדיר על <math>Proj(A)</math> טופולוגיה על-ידי קביעת קבוצות 
<math>V(I)=\{\mathfrak{p}\in Proj(A)|\mathfrak{p}\supset I\}</math>, כאשר <math>I</math> אידיאל הומוגני, כקבוצות סגורות.
זה מגדיר טופולוגיה על <math>Proj(A)</math> הנקראת . בסיס של הטופולוגיה ניתן על-ידי הקבוצות הפתוחות <math>D(f)=\{\mathfrak{p}\in Proj(A)|\mathfrak{p}\not\ni f\}</math> כאשר <math>f</math> איבר הומוגני ב-<math>A</math>. נציין כי <math>D(f)</math> הומאומורפי לספקטרום של החוג <math>A_{(f)}</math>, לוקליזציה הומוגנית של <math>A</math> המוגדרת כאוסף שברים <math>\frac{a}{f^k}</math> ב-<math>A_f</math> בעלי דרגה <math>0</math>.

== מבנה של סכמה על <math>Proj(A)</math>==
כדי להגדיר מבנה של מרחב מחויג על <math>Proj(A)</math>, יש להגדיר עליו את אלומת המבנה <math>\mathcal{O}</math>, אלומת הפונקציות הרגולריות. כיוון שהקבוצות הפתוחות <math>D(f)</math> מהוות בסיס של טופולוגיה, מספיק להגדיר את חתכי אלומת המבנה רק על קבוצות אלה, וכן להגדיר את העתקות הצמצום <math>\mathcal{O}(D(f))\to\mathcal{O}(D(fg))</math> לכל זוג איברים הומוגניים <math>f,g</math> בחוג <math>A</math>.
הומאומורםיזם בין <math>D(f)</math> לבין הספקטרום של <math>A_{(f)}</math> מאפשר להגדיר <math>\mathcal{O}(D(f))=A_{(f)}</math> ולקבל
את העתקות הצמצום באופן אוטומטי.
כיוון שמרחב מחויג <math>D(f)</math> איזומורפי, לפי הבנייה, לסכמה אפינית <math>Spec(A_{(f)}) </math>, <math>Proj(A)</math> הוא סכמה.

מורפיזם סכמות <math>\pi:\ Proj(A)\to Spec(A_0)</math> מתקבל על-ידי הדבקה של המורפיסמים <math>Spec(A_{(f)})\to Spec(A_0)</math>
המוגדרים על-ידי מבנה של <math>A_0</math>-אלגברה על <math> A_{(f)} </math>. מורפיזם זה פרויקטיבי עם <math>A</math>
אלגברה נוצרת סופית מעל <math>A_0</math>.

==דוגמאות==
=== המרחב הפרויקטיבי ===
הדוגמה הראשונה של ספקטרום פרויקטיבי היא <math>Proj(A)</math> כאשר <math>A=k[x_0,\ldots,x_n]</math>. הקבוצות הפתוחות <math>D(x_i)</math>
מזוהות עם ספקטרה של חוגי הפולינומים <math>A_{(x_i)}=k[\frac{x_0}{x_i},\ldots,\frac{x_n}{x_i}]</math>, כך שבמקרה <math>k</math> הוא שדה 
סגור אלגברית, הנקודות הסגורות של <math>Proj(A)</math> מזוהות עם המרחב הפרויקטיבי הקלאסי <math>\mathbb{P}^n_k</math>.
באופן כללי, הספקטרום הפרויקטיבי של <math>A[x_0,\ldots,x_n]</math> כאשר <math>A</math> חוג קומוטטיבי כלשהו והמשתנים <math>x_i</math> בעלי דרגה <math>1</math>, נקרא המרחב הפרויקטיבי מעל <math>A</math> המסומן <math>\mathbb{P}^n_A</math>.

=== יריעות פרויקטיביות קלאסיות ===
יהי <math>k</math> שדה סגור אלגברית, <math>A</math> אלגברה מדורגת הנוצרת על-ידי איברים הומוגניים בעלי דרגה <math>1</math>.
זה גורר כי <math>A</math> ניתן להציג כמנה של החוג המדורג <math>S=k[x_0,\ldots,x_n]</math> מודולו אידיאל הומוגני <math>J</math>.
זה מאפשר להציג <math>Proj(A)</math> כתת-סכמה סגורה של <math>\mathbb{P}^n_k</math>. הנקודות הסגורות של <math>Proj(A)</math> הן
נקודות <math>(x_0:\ldots:x_n)</math> של <math>\mathbb{P}^n_k</math> המקיימות משוואות של <math>J</math>.

===ניפוח של סכמה אפינית===
תהי <math>X=Spec(A)</math> סכמה אפינית ותהי <math>Y=V(I)</math> תת-סכמה סגורה הניתנת על-ידי אידיאל <math>I</math>. 
ניפוח של <math>X</math> ב- <math>Y</math> אפשר לתאר כספקטרום פרויקטיבי של החוג המדורג
<math display="block">S=A\oplus I\oplus I^2\oplus\ldots</math>

==לקריאה נוספת==
* Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Springer-Verlag. .

קטגוריה:גאומטריה אלגברית