תורת השדות הקלאסית

שדות החשמליים שנגרמים על ידי חלקיק בעל מטען חיובי (אדום) ועל ידי חלקיק בעל מטען שלילי (כחול)]]
תיאורית שדה קלאסית היא תיאוריה פיזיקלית המנבאת כיצד שדה פיזיקלי אחד או יותר מבצעים אינטראקציה עם חומר באמצעות משוואות שדה, בלי לקחת בחשבון השפעות של קוונטיזציה; תיאוריות המשלבות מכניקת קוונטים נקראות תיאוריות שדה קוונטיות. ברוב ההקשרים, המושג 'תורת שדות קלאסית' נועד במיוחד כדי לתאר אלקטרומגנטיות וכבידה, שניים מכוחות היסוד של הטבע.

ניתן לחשוב על שדה פיזיקלי כעל שיוך של גודל פיזיקלי לכל נקודה בזמן ובמרחב. לדוגמה, בתחזית מזג אוויר, מהירות הרוח במהלך יום מסוים יכולה להיות מתוארת על ידי הקצאת וקטור לכל נקודה במרחב. כל וקטור מייצג את כיוון תנועת האוויר באותה נקודה, כך שהקבוצה של כל וקטורי הרוח באזור מסוים ובנקודת זמן נתונה מהווה שדה וקטורי. ככל שהיום מתקדם, הכיוונים שבהם מצביעים הווקטורים משתנים בהתאם לשינויים בכיווני הרוח.

תיאוריות השדה הראשונות, הכבידה הניוטונית ומשוואות השדות האלקטרומגנטיים של מקסוול פותחו בפיזיקה הקלאסית לפני הופעת תורת היחסות ב-1905, והיה צורך לשנותן כדי להתאים לתיאוריה זו. כתוצאה מכך, תיאוריות שדה קלאסיות מסווגות בדרך כלל כתוצאה מכך, תיאוריות שדה קלאסיות מסווגות בדרך כלל כ"רלטיביסטיות" וְכ"לא-רלטיביסטיות". תיאוריות שדה מודרניות מתבטאות בדרך כלל תוך שימוש במתמטיקה של חשבון טנזור. פורמליזם מתמטי חלופי עדכני יותר מתאר שדות קלאסיים כחלקים של עצמים מתמטיים הנקראים חבילות סיבים (fiber bundles).

== תיאוריות שדה לא-יחסותיות ==
חלק מהשדות הפיזיקליים הפשוטים ביותר הם שדות כוח וקטוריים. מבחינה היסטורית, הפעם הראשונה ששדות כאלו נלקחו ברצינות הייתה עם קווי הכוח של פאראדיי בעת תיאור השדה החשמלי. שדה הכבידה תואר אז באופן דומה.

=== כבידה ניוטונית ===
תורת השדות הראשונה של כוח הכבידה הייתה תורת הכבידה של ניוטון שבה האינטראקציה ההדדית בין שתי מסות מצייתת לחוק ריבוע הפוך. תורה זו הייתה מאוד שימושית לניבוי תנועת כוכבי לכת מסביב לשמש.

לכל גוף מסיבי M יש שדה כבידה g המתאר את השפעתו על גופים מסיביים אחרים. שדה הכבידה שיוצר הגוף M בנקודה r בחלל נמצא על ידי קביעת הכוח F ש-M מפעיל על מסת בדיקה קטנה m הממוקמת ב-r, ולאחר מכן חלוקה ב-m :<ref name="kleppner85"></ref>

: <math> \mathbf{g}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{m}.</math>

קביעה שהמסה של m קטנה בהרבה מהמסה של M מבטיחה שלנוכחות של m תהיה השפעה זניחה על התנהגותו של M.

על פי חוק הכבידה האוניברסלית של ניוטון, F ( r ) ניתן על ידי<ref name="kleppner85"></ref>

: <math>\mathbf{F}(\mathbf{r}) = -\frac{G M m}{r^2}\hat{\mathbf{r}},</math>

כאשר <math>\hat{\mathbf{r}}</math> הוא וקטור יחידה המצביע לאורך הישר שמחבר מ- M עד m, ו- G הוא קבוע הכבידה של ניוטון. לכן, שדה הכבידה שיוצר M הוא:<ref name="kleppner85"></ref>

: <math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{m} = -\frac{G M}{r^2}\hat{\mathbf{r}}.</math>

הגילוי הניסיוני, שלפיו מסה אינרציאלית ומסה כבידתית הן שקולות, מובילה למסקנה שעוצמת שדה הכבידה למעשה זהה לתאוצה שחווה חלקיק. זוהי נקודת המוצא של עקרון השקילות, המוביל לתורת היחסות הכללית.

עבור אוסף של מסות נקודתיות, M <sub>i</sub>, הממוקמות בנקודות, r <sub>i</sub>, שדה הכבידה בנקודה כלשהי r עקב המסות הוא

: <math>\mathbf{g}(\mathbf{r})=-G\sum_i \frac{M_i(\mathbf{r}-\mathbf{r_i})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3} \,, </math>

ואם יש לנו התפלגות של מסה רציפה ρ במקום זאת, הסכום מוחלף באינטגרל, כך:

: <math>\mathbf{g}(\mathbf{r})=-G \iiint_V \frac{\rho(\mathbf{x})d^3\mathbf{x}(\mathbf{r}-\mathbf{x})}{|\mathbf{r}-\mathbf{x}|^3} \,, </math>

נשים לב שכיוון השדה הוא מהמיקום r למיקום המסות r <sub>i</sub> ; זה מובטח על ידי סימן המינוס. בקצרה, המשמעות היא שכל המסות מושכות.

בדומה לצורה הניוטונית, חוק הכבידה של גאוס הוא, בצורה האינטגרלית שלו,

: <math>\iint\mathbf{g}\cdot d \mathbf{S} = -4\pi G M</math>

בעוד שבצורה דיפרנציאלית הוא

: <math>\nabla \cdot\mathbf{g} = -4\pi G\rho_m </math>

לכן, ניתן לכתוב את שדה הכבידה g במונחים של גרדיאנט של הפוטנציאל הכבידתי φ( r ):

: <math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -\nabla \phi(\mathbf{r}).</math>

זוהי תוצאה של העובדה שכוח הכבידה F הוא שדה וקטורי משמר.

=== אלקטרומגנטיות ===
בדומה לשדה הכבידה הקלאסית שתואר לעיל, קיימות תורות שמתארות שדות חשמליים ומגנטים שנוצרים מנוכחות של זרמים, מטענים, ומגנטים. ניתן לתאר את השדות שנוצרים הן במנוחה (סטטיקה) והן בתנועה (דינמיקה).

==== אלקטרוסטטיקה ====
חלקיק בדיקה טעון עם מטען q חווה כוח F המבוסס רק על המטען שלו. לכן, אנו יכולים לתאר את השדה החשמלי E כך ש- . באמצעות עובדה זאת ובאמצעות חוק קולון, השדה החשמלי הנובע מחלקיק טעון יחיד הוא

: <math>\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat{\mathbf{r}} \,. </math>

השדה החשמלי הוא שמרני, ולכן ניתן על ידי הגרדיאנט של פוטנציאל סקלרי, V ( r ):

: <math> \mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\nabla V(\mathbf{r}) \, . </math>

חוק גאוס לחשמל הוא, בצורה אינטגרלית

: <math>\iint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \frac{q_e}{\varepsilon_0}</math>

בעוד שבצורה דיפרנציאלית הוא

: <math>\nabla \cdot\mathbf{E} = \frac{\rho_e}{\varepsilon_0} \,. </math>

==== מגנטוסטטיקה ====
 
זרם יציב המסומן באות I וזורם לאורך נתיב ℓ יפעיל כוח על חלקיקים טעונים בקרבת מקום השונה באופן כמותי מכוח השדה החשמלי שתואר לעיל. הכוח שמפעיל I על מטען q סמוך עם מהירות v הוא

: <math>\mathbf{F}(\mathbf{r}) = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{r}),</math>

כאשר B ( r ) הוא השדה המגנטי, אשר נקבע מ- I על ידי חוק חוק ביו-סבר:

: <math>\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{d\boldsymbol{\ell} \times d\hat{\mathbf{r}}}{r^2}.</math>

השדה המגנטי אינו שמרני באופן כללי, ומכאן שבדרך כלל לא ניתן לכתוב אותו במונחים של פוטנציאל סקלרי. עם זאת, ניתן לכתוב זאת במונחים של פוטנציאל וקטורי, A ( r ):

: <math> \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r}) </math>

חוק גאוס למגנטיות בצורה אינטגרלית הוא

: <math>\iint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = 0, </math>

בעוד שבצורה דיפרנציאלית הוא

: <math>\nabla \cdot\mathbf{B} = 0. </math>

הפרשנות הפיזיקלית לכך היא שאין מונופולים מגנטיים.

==== אלקטרודינמיקה ====
 
באופן כללי, בנוכחות גם צפיפות מטען ρ ( r, t ) וגם צפיפות זרם J ( r, t ), יהיה גם שדה חשמלי וגם שדה מגנטי, ושניהם ישתנו בזמן. שני השדות נקבעים על ידי משוואות מקסוול, קבוצה של משוואות דיפרנציאליות המייחסות את E ואת B ישירות לצפיפות המטען החשמלי (מטען ליחידת נפח) ρ ולצפיפות הזרם (זרם חשמלי ליחידת שטח) J .<ref name="griffiths326"></ref>

לחלופין, אפשר לתאר את המערכת במונחים של הפוטנציאלים הסקלרים והווקטוריים שלה V ו- A. קבוצה של משוואות אינטגרליות הידועות בשם פוטנציאלים מעוכבים מאפשרת לחשב את V ואת A מ- ρ ו-J, ומשם נקבעים השדות החשמליים והמגנטיים באמצעות היחסים<ref name="wangsness469"></ref>

: <math> \mathbf{E} = -\nabla V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}</math>
: <math> \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}.</math>

== שדות יחסיים ==
=== כבידה ===
לאחר שנמצא כי הכבידה הניוטונית אינה עולה בקנה אחד עם תורת היחסות הפרטית, אלברט איינשטיין ניסח תורת כבידה חדשה בשם תורת היחסות הכללית. תיאוריה זו מתייחסת לגרביטציה כאל תופעה גאומטרית ("מרחב-זמן") הנגרמת על ידי מסות ומייצגת את שדה הכבידה באופן מתמטי על ידי שדה טנזור הנקרא טנזור מטרי. משוואות השדה של איינשטיין מתארות כיצד נוצרת עקמומיות זו. הכבידה הניוטונית הוחלפה כעת על ידי התיאוריה של איינשטיין, שבה הכבידה נחשבת לעיקום המרחב-זמן על ידי המסות.

משוואות השדה של איינשטיין,

: <math>G_{ab} = \kappa T_{ab} </math>

מתארות כיצד עקמומיות זו נוצרת על ידי חומר וקרינה.

במשוואה זו, <sub>Gab</sub> הוא טנזור איינשטיין,

: <math>G_{ab} \, =R_{ab}-\frac{1}{2} R g_{ab}</math>

שנכתב במונחים של טנסור ריצ'י R <sub>ab</sub> וסקלר ריצ'י R = R <sub>ab</sub> g <sup>ab</sup>.

T <sub>ab</sub> הוא טנזור המתיחות-אנרגיה (stress-enegery tensor) ו- κ = 8πG/c <sup>4</sup> הוא קבוע.

== ניסיונות איחוד ==
הניסיונות ליצור תאוריית שדה מאוחדת המבוססת על פיזיקה קלאסית הן למעשה תיאוריות שדה מאוחדות קלאסיות. במהלך השנים שבין שתי מלחמות העולם, הרעיון של איחוד כבידה עם אלקטרומגנטיות נמשך על ידי כמה מתמטיקאים ופיזיקאים כמו אלברט איינשטיין, תיאודור קלוצה,<ref name="kal"></ref> הרמן וייל,<ref></ref> ארתור אדינגטון,<ref></ref> גוסטב מי<ref></ref> וארנסט רייכנבאכר.<ref></ref>

ניסיונות מוקדמים ליצור תיאוריה כזו התבססו על שילוב של שדות אלקטרומגנטיים אל תוך הגאומטריה של תורת היחסות הכללית. בשנת 1918, ניסיון ה"גאומטריזציה" הראשון של השדה האלקטרומגנטי הוצע על ידי הרמן וייל.<ref name="Tilman"></ref> בשנת 1919, הרעיון של גישה חמישה-ממדית הוצע על ידי תיאודור קאלוזה.<ref name="Tilman" /> מתוך כך פותחה תיאוריה בשם תאוריית קלוצקה-קליין. התיאוריה מנסה לאחד את הכבידה והאלקטרומגנטיות, במרחב-זמן בעל חמישה ממדים.

ישנן מספר דרכים להרחיב את צורת הייצוג לתאוריית שדה מאוחדת אשר נשקלו על ידי איינשטיין וחוקרים אחרים. הרחבות אלו באופן כללי מבוססות על שתי אפשרויות.<ref name="Tilman" /> האפשרות הראשונה מבוססת על "הקלה" של התנאים המוטלים על הניסוח המקורי, והשנייה מבוססת על הכנסת אובייקטים מתמטיים אחרים לתיאוריה.<ref name="Tilman" /> דוגמה לאפשרות הראשונה היא הקלה של ההגבלות למרחב-זמן הארבע-ממדי על ידי התחשבות בייצוגים בעלי ממדים גבוהים יותר.<ref name="Tilman" /> דוגמה זו משמשת בתאורית קלוצקה-קליין. עבור האפשרות השנייה, הדוגמה הבולטת ביותר נובעת מהמושג של הקשר האפיני (affine connection) שהוכנס לתורת היחסות הכללית בעיקר באמצעות עבודתם של טוליו לוי-צ'יוויטה והרמן וייל.<ref name="Tilman" />

התפתחות נוספת של תורת השדות הקוונטיים שינתה את המיקוד של החיפוש אחר תורת השדות המאוחדת מתיאוריה קלאסית לתיאוריה קוונטית. לכן, פיזיקאים תאורטיים רבים ויתרו על חיפוש אחר תורת שדות מאוחדת קלאסית.<ref name="Tilman"></ref> תורת השדות הקוונטית תכלול איחוד של שני כוחות יסוד אחרים של הטבע, הכוח הגרעיני החזק והחלש הפועלים ברמה התת-אטומית.<ref></ref><ref></ref>

== ראו גם ==
* תורת השדות הקוונטית
* מכניקת הקוונטים
* לגרנז'יאן
* התיאוריה של הכל

== קישורים חיצוניים ==
<div class="mw-content-ltr">
* 
* 
* 
* 
</div>

== הערות שוליים ==

קטגוריה:משוואות
קטגוריה:פיזיקה תאורטית