Sinc

פונקציית ה-sinc המנורמלת (ב[[כחול) ופונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת (באדום) מוצגות על אותה סקלה עבור <math>\ -6\pi \le x \le 6\pi</math>.]]
במתמטיקה, sinc, שמסומנת <math>\mathrm{sinc}(x)\,</math>, היא פונקציה המוגדרת בדרך כלל כך:

בעיבוד אותות דיגיטלי ותורת האינפורמציה, נעשה לרוב שימוש בפונקציית ה-sinc המנורמלת, המוגדרת כך:

בשני המקרים, ערך הפונקציה בנקודת אי-הרציפות הסליקה <math>\ x=0</math> נקבע לעיתים קרובות כערך הגבול שאליו שואפת הפונקציה, כלומר, ל-1. ראו עוד בנושא: הגבול של sin(x)/x.

המונח sinc הוא קיצור של שמה המלא של הפונקציה "sine cardinal".

== תכונות ==
לפונקציית ה-sinc המנורמלת יש תכונות שהופכות אותה לאידיאליות ביחס לאינטרפולציות ופונקציות בעלות רוחב פס מוגבל (Bandlimited functions):
* <math>\mathrm{sinc}(0) = 1\,</math> ו <math>\mathrm{sinc}(k) = 0\,</math> עבור <math>k\ne 0\,</math> and ו <math>k\in\mathbb{Z}\,</math> (כלומר: k מספר שלם שונה מאפס); כלומר, זו פונקציית אינטרפולציה.
* הפונקציות <math>x_k(t)=\mathrm{sinc}(t-k) \ </math> יוצרות בסיס אורתונורמלי עבור פונקציות בעלות רוחב פס מוגבל במרחב הפונקציות <math>L^2(\R)</math> עם תדירות זוויתית מקסימלית <math>\omega_\mathrm{H}=\pi\,</math> (כלומר התדירות המקסימלית היא <math>f_\mathrm{H}=1/2\,</math>).

תכונות נוספות של פונקציית ה-sinc:
* נקודות הקיצון של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת <math>\frac{\sin(x)}{x}\,</math> מתאימות לנקודות החיתוך של הפונקציה עם פונקציית הקוסינוס. כלומר <math>\frac{\sin(x)}{x} = \cos(x) \,</math> לכל נקודה בה הנגזרת של <math>\frac{\sin(x)}{x} \,</math> היא 0.
* פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת היא פונקציית בסל כדורית מסדר 0 והסוג הראשון, <math>j_0(x) = \frac{\sin(x)}{x} \,</math>. פונקציית ה-sinc המנורמלת מקיימת <math>j_0(\pi x)\,</math>.
* האפסים של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת הם כפולות (שונות מאפס) של פאי (<math>\pi\,</math>). האפסים של פונקציית ה-sinc המנורמלת <math>\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \,</math> הם מספרים שלמים השונים מאפס.
* התמרת פורייה הרציפה של פונקציית ה-sinc המנורמלת <math>\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \,</math> הוא <math>\mathrm{rect}(f)\,</math>.
::<math>\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t)\,e^{-2\pi i f t} \,\mathrm{d}t = \mathrm{rect}(f)</math>,
: כאשר פונקציית המלבן היא 1 עבור ארגומנט בין 1/2 ל 1/2- ואפס אחרת.
* אינטגרל פורייה לעיל, כולל את המקרה הפרטי
::<math>\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \,\mathrm{d}x = \mathrm{rect}(0) = 1</math>
: הוא אינטגרל לא-אמיתי. זהו אינו אינטגרל לבג כיוון ש-:
::<math>\int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right|\,\mathrm{d}x = \infty</math>
* <math> \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)</math>
* <math> \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}</math>
: כאשר <math>\Gamma(x)</math> היא פונקציית גמא.
*<math> \int_{0}^{x} \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,\mathrm{d}\theta = \mathrm{Si}(x) </math>
: כאשר (Si(x הוא אינטגרל סינוס (sine integral).
* לפי נוסחת אוילר:
: <math> \mathrm{sinc}(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix} }{2ix}\, </math>

== הקשר לפונקציית דלתא של דיראק ==
אף על פי שהיא אינה התפלגות, פונקציית ה-sinc המנורמלת יכולה לשמש לייצוג פונקציית דלתא של דיראק <math>\ \delta (x)</math> כך:

:<math>\lim_{a\rightarrow 0}\frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)=\delta(x)</math>

זה אינו גבול רגיל, משום שאגף שמאל לא מתכנס. עם זאת, מתקיים:

:<math>\lim_{a\rightarrow 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)\varphi(x)\,\mathrm{d}x
 = \varphi(0),
</math>

לכל פונקציה חלקה <math>\varphi(x)</math> עם תומך קומפקטי.

בביטוי לעיל, כש-a שואף לאפס, מספר התנודות עבור אורך יחידה של פונקציית ה-sinc שואף לאינסוף. אף על פי כן, הביטוי תמיד מתנודד בתוך מעטפת של <math>\ \pm 1 / (\pi x )</math>, ללא תלות בערך של a, והוא שואף לאפס עבור כל ערך של x השונה מאפס. דבר זה מסבך את התמונה הלא-פורמלית של <math>\ \delta (x)</math> כשווה לאפס עבור כל x למעט הנקודה x=0, וממחיש את הבעיה שבהתייחסות לפונקציית הדלתא כפונקציה ולא כהתפלגות. פתרון דומה נמצא בתופעת גיבס.

== ראו גם ==
* הגבול של sin(x)/x
* אנטי אליאסינג 
* מסנן sinc 
* נוסחת האינטרפולציה של ויטאקר-שאנון 

== קישורים חיצוניים ==

* [http://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html sinc] באתר MathWorld
* 

קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות
קטגוריה:עיבוד אותות