צפיפות (תורת המספרים)

תורת המספרים עוסקת בין השאר בקבוצות אינסופיות של מספרים טבעיים, ובהשוואה ביניהן. למשל, "מובן מאליו" שיש "יותר" מספרים זוגיים, מאשר מספרים ריבועיים; בקבוצת המספרים הטבעיים שעד מיליון יש חצי-מיליון מספרים זוגיים, ורק אלף מספרים ריבועיים (המילה "יותר" נתונה במירכאות משום שלשתי הקבוצות עוצמה זהה, <math>\aleph_0</math>). טיפול מתמטי מסודר בשאלות כאלה נעשה בעזרת מושג הצפיפות, שאפשר להגדיר בכמה דרכים.

ההגדרה הפשוטה ביותר היא של צפיפות טבעית:
תהי <math>A</math> קבוצת מספרים טבעיים. את הרישות שלה מסמנים <math>A(n)=A\cap\{1,\ldots,n\}</math>. העוצמה של הרישא מקיימת <math>0\le|A(n)|\le n</math>, וההשוואה בין הקבוצה <math>A</math> לקבוצת כל המספרים נעשית דרך הסדרה <math>\frac{|A(n)|}{n}</math>. הגבול של סדרה זו (אם הוא קיים) נקרא בשם "הצפיפות הטבעית של הסדרה". צפיפות זו (אם קיימת) היא בהכרח מספר בין 0 ל-1. אם הגבול אינו קיים, אין לקבוצה צפיפות טבעית. במקרה זה אפשר להשתמש בגבול העליון ובגבול התחתון של הסדרה שקיימים תמיד, לתיאור הצפיפות; אולם מערכי גבולות אלה קשה יותר להסיק על תכונות הקבוצה.

בתורת המספרים האנליטית שכיחה יותר צפיפות דיריכלה, המכלילה את הצפיפות הטבעית: אם לקבוצה יש צפיפות טבעית, אז יש לה גם צפיפות דיריכלה, והן שוות. בתורת המספרים האדיטיבית נעזרים במושג אחר של צפיפות, הנקרא צפיפות שנירלמן.

===צפיפות עליונה וצפיפות תחתונה===
תהי <math>A</math> תת-קבוצה של קבוצת המספרים הטבעיים <math>\N=\{1,2,\ldots\}</math>.
לכל <math>n\in\N</math> נגדיר <math>A(n)=A\cap\{1,\ldots,n\}</math>, ו-<math>0\le|A(n)|\le n</math> הוא מספר האיברים של <math>A</math>.

נגדיר צפיפות עליונה של <math>A</math>:
:<math display=block>\overline{d}(A)=\limsup_{n\to\infty}\frac{|A(n)|}{n}</math>
כאשר lim sup הוא גבול עליון.

נגדיר צפיפות תחתונה של <math>A</math>: 
:<math display=block>\underline{d}(A)=\liminf_{n\to\infty}\frac{|A(n)|}{n}</math>
כאשר lim inf הוא גבול תחתון. לקבוצה <math>A</math> יש צפיפות <math>d(A)</math> כאשר <math>\underline{d}(A)=\overline{d}(A)</math>, ובמקרה זה <math>d(A)</math> שווה לערך משותף זה.

ניתן לנסח הגדרה זו באופן הבא:
:<math display=block>d(A)=\lim_{n\to\infty}\frac{|A(n)|}{n}</math>
כאשר גבול זה קיים.

==תכונות==
נסמן את הצפיפות של קבוצה <math>A</math> ב-<math>d(A)</math>. מתקיימות התכונות הבאות:
*לכל קבוצה סופית <math>F</math> של מספרים טבעיים מתקיים <math>d(F)=0</math>.
*אם <math>d(A)</math> קיים לקבוצה מסוימת <math>A</math> ו-<math>A^c</math> מסמן את המשלים שלה ב-<math>\N</math>, מתקיים <math>d(A^c)=1-d(A)</math>.
**מסקנה: אם <math>F\sub\N</math> היא קבוצה סופית (כולל המקרה <math>F=\empty</math>), מתקיים <math>d(\N\setminus F)=1</math>.
*אם קיימים <math>d(A),d(B),d(A\cup B)</math>, אז מתקיים
:<math display=block>\max\bigl\{d(A),d(B)\bigr\}\le d(A\cup B)\le\min\bigl\{d(A)+d(B),1\bigr\}</math>

==דוגמאות==
*אם <math>A=\{n^2:n\in\N\}</math> היא קבוצת כל המספרים הריבועיים, אז <math>d(A)=0</math>.
*אם <math>A=\{2n:n\in\N\}</math> היא קבוצת כל המספרים הזוגיים, אז <math>d(A)=0.5</math>. באופן דומה, לכל סדרה חשבונית <math>A=\{an+b:n\in\N\}</math> נקבל <math>d(A)=\tfrac{1}{a}</math>.
*לסדרה <math>P</math> של כל המספרים הראשוניים נקבל לפי משפט המספרים הראשוניים כי <math>d(P)=0</math>.
*לקבוצת המספרים השופעים יש צפיפות גדולה מ-0. מרק דלגליז (Marc Deléglise) הראה ב-1998 שהצפיפות של קבוצה זו היא בין 0.2474 ל-0.2480.
*הקבוצה 
:<math>A=\bigcup_{n=0}^\infty\left\{2^{2n},\ldots,2^{2n+1}-1\right\}</math> 
:של המספרים שהייצוג הבינארי שלהם כולל מספר אי-זוגי של ספרות היא דוגמה לקבוצה שאין לה צפיפות טבעית, משום שהצפיפות העליונה שלה היא
:<math>\overline{d}(A)=\lim_{m\to\infty}\frac{1+2^2+\cdots+2^{2m}}{2^{2m+1}-1}=\lim_{m\to\infty}\frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}=\frac23</math>
:ואילו הצפיפות התחתונה שלה היא:
::<math>\underline{d}(A)=\lim_{m\to\infty}\frac{1+2^2+\cdots+2^{2m}}{2^{2m+2}-1}=\lim_{m\to\infty}\frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}=\frac13</math>
*לקבוצת המספרים שהייצוג העשרוני שלהם מתחיל בספרה 1 אין צפיפות טבעית: הצפיפות התחתונה היא 1/9 והצפיפות העליונה היא 5/9. (ראו: חוק בנפורד.)

==הערות שוליים==

קטגוריה:תורת המספרים