תבנית פיסטר

במתמטיקה, תבנית פיסטר (Pfister form) היא תבנית ריבועית הנתונה על ידי מכפלת מספר סופי של תבניות בעלות צורה אלכסונית <math>\langle 1,-a\rangle </math>. כך מתקבלת תבנית מממד חזקת 2, שיש לה תפקיד מרכזי בחקר המרחבים הריבועיים והמבנה שלהם.

תבניות פיסטר יוצרות בחוג ויט את האידיאלים <math>I^n(F)</math>, ולכן יוצרות את המנות <math>I^n(F)/I^{n+1}(F)</math>, ומתקשרות דרכן ל-תורת K של חוגים.

תבניות פיסטר יוצרות את אידיאל הפיתול בחוג ויט. התבניות מממד נמוך מופיעות גם כנורמות באלגברות הרכבה.

==הגדרה==
יהי <math>F</math> שדה ממאפיין שאינו 2.

עבור <math>a \in F^{\times}</math>, התבנית הריבועית בעלת הצורה האלכסונית <math>\langle 1,-a\rangle </math> נקראת תבנית פיסטר מסדר ראשון, ומסומנת <math>\langle \langle a \rangle \rangle </math>. תבנית פיסטר מסדר <math>n</math> היא מכפלה טנזורית של <math>n</math> תבניות מסדר ראשון, כלומר מהצורה <math>\langle \langle a_1,...,a_n\rangle \rangle =\langle \langle a_1\rangle \rangle \otimes ... \otimes \langle \langle a_n \rangle \rangle</math>, עבור <math>a_i \in F</math>.

התבנית מהצורה <math>\langle \langle 1,..,1 \rangle \rangle </math> היא מרחב היפרבולי.

==תכונות ומבנה==
לתבניות פיסטר תכונות שימושיות רבות, המראות עד כמה חשוב המבנה שלהן.

===תכונות===
ראשית, מתקיימת "כמעט אדטיביות", כלומר <math>\langle \langle a \rangle \rangle \perp \langle \langle b \rangle \rangle \cong \langle \langle ab \rangle \rangle \perp \langle \langle a,b \rangle \rangle</math>. תכונה זו מראה כי הדיסקרימיננטה היא הומומורפיזם של חבורות <math>disc: I / I^2 \rightarrow F ^ \times / F ^ {\times^2}</math>. בפרט, מתקיים <math>disc(\langle \langle a \rangle \rangle)=a</math> ו-<math>disc(\langle \langle a_1,a_2,...,a_n \rangle \rangle))=1</math> לכל <math>n \ge 2</math>.

באופן כללי, תבניות פיסטר מסדר <math>n</math> יוצרות (כחבורה אדיטיבית) את האידיאלים <math>I^n (F)</math>, משום שכל תבנית מסדר 2 ניתן לכתוב כתבנית פיסטר <math>\langle a,b \rangle = \langle 1,\frac{b}{a} \rangle= \langle \langle \frac{-b}{a} \rangle \rangle</math>.

התבנית <math>\langle \langle -1,...,-1 \rangle \rangle</math> היא סכום של ריבועים; משפט הורוויץ קובע כי תבנית כאלו הן כפליות אם ורק אם ממדן הוא <math>1,2,4,8</math>. בממד 2, כל התבניות הכפליות הן תבניות פיסטר ורק הן.

===מבנה===
נציג מספר משפטי מפתח חשובים על תבניות פיסטר המובילים למסקנות מעניינות.

משפט - תהי <math>\phi</math> תבנית פיסטר, אז ניתן לכתוב <math>\phi = \langle 1 \rangle \perp \phi '</math>. אז מתקיים <math>\langle \langle a \rangle \rangle | \phi</math> אם ורק אם <math>-a</math> מתקבל כערך של <math>\phi '</math>.

כמסקנה מקבלים:

משפט: אם תבנית פיסטר איזוטרופית, אז היא היפרבולית.

המשפט הבא מראה כי אוסף הערכים שמקבלת תבנית פיסטר סגור למכפלה.

משפט - נסמן ב-<math>D(q)</math> את אוסף הערכים שהתבנית מקבלת, וב-<math>G(q)</math> את החבורה <math>G(q)= \{t \in F^\times : \langle t \rangle \otimes q \cong q \}</math>. אם <math>q= \phi</math> תבנית פיסטר מתקיים <math>G(q)=D(q)</math>.

כמסקנה, נובע כי אם <math>\phi</math> תבנית פיסטר אז <math>D(\phi)</math> סגורה לכפל . תכונה זו נקראת תכונת הכפליות של תבניות פיסטר.

משפט: התכונות הבאות שקולות:
* <math>q</math> היא תבנית פיסטר.
* לכל הרחבת שדות <math>\mathbb{K} / F</math>, אוסף הערכים של התבנית מעל ההרחבה, המסומן <math>D_\mathbb{K}(q)</math>, הוא חבורה.
* <math>q(\lambda_1,...,\lambda_n) \in G_{F(\lambda_1,...,\lambda_n)}(q)</math>.

המשפט הבא נותן מידע על הממד של תבניות.

משפט: הממד של תבנית לא היפרבולית ב-<math>I^n(F)</math> הוא לפחות <math>2^n</math>. אם הוא שווה ל-<math>2^n</math>, התבנית היא בהכרח תבנית פיסטר.

מסקנה: <math>\cap_{n \in \mathbb{N}} I^n(F)=\{0\}</math>

==הקשר לתורת K==
לתבנית פיסטר קשר הדוק לתורת K.

הן מספקות העתקה <math>f_n : K_n(F) \rightarrow I^n(F) / I^{n+1}(F)</math>, הנתונה על ידי <math>f_n(a_1,...,a_n)=\langle \langle a_1,...,a_n \rangle \rangle </math>.

לפי השערת מילנור, ההעתקה המהווה אפימורפיזם, ובעלת גרעין <math>2K_{n}({F})</math>, ולכן מתקבל איזומורפיזם <math>k_n(F) \cong I^n(F) / I^{n+1}(F)</math>, כאשר <math>k_n(F)=K_n(F) / 2K_n(F)</math>.

==ראו גם==
* תבנית ריבועית
* חוג ויט
* משפט הורוויץ
* רמה של שדה

==לקריאה נוספת==
* עוזי וישנה, [http://u.math.biu.ac.il/~vishne/courses/88912/QuadraticFormsH.pdf מבוא לתבניות ריבועיות], 2014.

פיסטר