השערת קתה

השערת קֶתֶה היא השערה מפורסמת בתורת החוגים העוסקת באידיאלים ניליים. את ההשערה העלה המתמטיקאי האוסטרי גוטפריד קתה (Gottfried Köthe; 1989-1905) ב-1930; אף על פי שהיא פתורה בכמה מקרים חשובים, ההשערה עדיין פתוחה באופן כללי.

== השערת קתה ==
תכונות של חוג R ושל חוג הפולינומים מעליו (ראו הסבר בגוף הטקסט).
השערת קתה שואלת האם בכל חוג (אסוציאטיבי):
* האידיאל הדו-צדדי הנוצר על ידי אידיאל שמאלי נילי, הוא בעצמו נילי.

השערה זו שקולה לכל אחת מההשערות הבאות:
* הסכום של שני אידיאלים שמאליים ניליים הוא נילי.
* אם בחוג אין אידיאל נילי (דו-צדדי), אז אין בו אידיאל נילי חד-צדדי.
* לכל חוג <math>R</math> מתקיים <math>N(R) = \overline{N}(R)</math>, כאשר <math>N(R)</math> הוא סכום האידיאלים הניליים (=הרדיקל הנילי העליון) ו-<math>\overline{N}(R)</math> הוא סכום האידיאלים השמאליים הניליים (=רדיקל קתה).
* לכל חוג נילי, גם חוג המטריצות <math>\operatorname{M}_2(R)</math> נילי.
* לכל חוג נילי <math>R</math>, חוג הפולינומים <math>R[x]</math> קוואזי-הפיך (כלומר שווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו; ידוע שחוג הפולינומים של חוג נילי שווה לרדיקל בראון-מק'קוי של עצמו).
* אם <math>\operatorname{J}(R[x])=0</math> אז <math>\overline{N}(R)=0</math>.
*אם <math>R</math> חוג נילי אז <math>R[x]</math> איננו פרימיטיבי.

השקילות לניסוח האחרון נובעת ממשפט של Smoktunowicz, לפיו אידיאלים פרימיטיביים בחוגי פולינומים מעל חוגים ניליים הם הומוגניים. עם זאת, יצוין כי קיים חוג <math>R</math> השווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו, אך חוג הפולינומים מעליו פרימיטיבי.
בדיאגרמה משמאל, השערת קתה (בגרסה "אם <math>R</math> נילי אז חוג הפולינומים מעליו נילי"), עם תוצאות קרובות. הרדיקלים המופיעים בדיאגרמה הם הרדיקל של ג'ייקובסון, רדיקל Behrnes השווה לחיתוך הגרעינים של הומומורפיזמים לחוגים עם אידמפוטנט, ורדיקל בראון-מקוי. החץ בירוק: השערת קתה. החצים המרוסקים מתארים גרירות טריוויאליות. החצים בכחול, משפטים (מלמעלה למטה: תוצאות של עמיצור, של Beidar-Fong-Puczylowsi 2001 ושל סמוקטונוביץ' 1999). החצים באדום: גרירות שאינן נכונות (הבניה של חוג נילי שחוג הפולינומים מעליו אינו נילי היא של סמוקטונוביץ' 2000).

הגרסה הלא-אסוציאטיבית של השערת קתה אינה נכונה: באלגברה הלא-אסוציאטיבית הנוצרת על ידי שני איברים <math>x,y</math> תחת היחסים: <math>xy=y,yx=x,x^2=y^2=0</math>, האיברים <math>x</math> ו-<math>y</math> יוצרים אידיאלים שמאליים ניליים, אך סכומם אינו נילי.

== מקרים שבהם ההשערה מתקיימת ==

השערת קתה מתקיימת בחוג <math>R</math> אם לכל אידיאל נילי שמאלי <math>L</math>, האידיאל הדו-צדדי <math>L+LR</math> הוא נילי. השערת קתה מתקיימת בחוגים מהמהחלקות הבאות:
* בחוגים נתריים (לפי משפט הופקינס-לויצקי: בחוג נתרי, כל אידיאל חד-צדדי נילי הוא נילפוטנטי).
* בכל חוג עם זהויות <math>\overline{N}(R) = \operatorname{Nil}_*(R)</math> (בחוג עם זהויות הנוצר סופית מעל חוג קומוטטיבי נתרי, אפילו <math>\operatorname{Jac}(R) = \operatorname{Nil}_*(R)</math>, משפט Razmyslov-Kemer-Braun).
* בחוגים שבהם רדיקל ג'ייקובסון נילי (משום שכל אידיאל שמאלי נילי מוכל ברדיקל ג'ייקובסון). תכונה זו מתקיימת במקרים הבאים (שאת כולם הוכיח עמיצור):
** באלגברה אלגברית מעל שדה;
** באלגברה <math>R</math> שממדה מעל <math>F</math> קטן ממש מהעוצמה של <math>F</math>;
** בחוג <math>R[x]</math> אם <math>R</math> היא אלגברה מעל שדה שאינו בן-מניה (בהקשר זה מעל כל שדה בן-בניה, יש אלגברה נילית <math>R</math> כך ש-<math>\operatorname{J}(R[x])=R[x]</math> אינו נילי; סמוקטונוביץ', 2000).
* באלגברה מונומיאלית נוצרת סופית (משום שרדיקל ג'ייקובסון הוא נילפוטנטי מקומית, Beidar and Fong, 1998).

לפי משפט של עמיצור, רדיקל ג'ייקובסון של כל חוג <math> R[x]</math> הוא מהצורה <math> I[x]</math> כאשר <math>I</math> אידיאל נילי. מכאן שאם <math>R</math> הוא חוג שאין בו אידיאלים ניליים, אז <math> \operatorname{J}(R[x])=0</math>.

== מקורות ==

* On some results related to Koethe's conjecture, A. Smoktunowicz, Serdica Math J 27 (2000), 159--170.
* The Concise Handbook of Algebra, C.18.
*A. Smoktunoicz, Primitive Ideals in Polynomial Rings over Nil Rings. Algebras and Representation Theory, March 2005, Volume 8, Issue 1, pp 69-73

==הערות שוליים==

קטגוריה:תורת החוגים
קטגוריה:בעיות פתוחות באלגברה