מספרים חברותיים

במתמטיקה, מספרים חברותיים הם שרשראות של מספרים שכל אחד מהם הוא סכום מחלקיו של המספר שלפניו (כאשר 1 נחשב למחלק, אך כל מספר אינו נחשב למחלק של עצמו), והראשון של האחרון.

דוגמה לשרשרת באורך 5:
<center>
{| class="wikitable" border="1"
|- style="background-color: #68FFFF;" align="center"
| מספר האיבר
| מספר חברותי
| המחלקים של המספר החברותי
| סכום המחלקים
(שווה למספר החברותי הבא)
|-
|1
| 12496
| 6248 ,3124 ,1562 ,1136 ,781 ,568 ,284 ,176 ,142 ,88 ,71 ,44 ,22 ,16 ,11 ,8 ,4 ,2 ,1
| 14288
|- style="background-color: #EFEFEF;"
|2
| 14288
|
7144 ,3572 ,1786 ,893 ,752 ,376 ,304 ,188 ,152 ,94 ,76 ,47 ,38 ,19 ,16 ,8 ,4 ,2 ,1
|
15472
|-
|3
| 15472
|
7736 ,3868 ,1934 ,967 ,16 ,8 ,4 ,2 ,1
| 14536
|- style="background-color: #EFEFEF;"
|4
| 14536
| 7268 ,3634 ,1817 ,632 ,316 ,184 ,158 ,92 ,79 ,46 ,23 ,8 ,4 ,2 ,1
| 14264
|-
|5
| 14264
|
7132 ,3566 ,1783 ,8 ,4 ,2 ,1
| 12496
|}
</center> 

שרשרת זו, כמו-גם השרשרת באורך 28, נתגלו בשנת 1918 בידי פ. פולה ללא כלים אנליטיים אלא באמצעות חישוב ידני, והן השרשרות הראשונות שנתגלו שאורכן גדול מ-2. עד היום לא ידועה נוסחה אנליטית לחיזוי מספרים חברותיים, ואלו שנמצאו לאחר שתי הדוגמאות הראשונות של פולה נתגלו באמצעות מחשב.

שרשרות באורך 1 נקראות מספרים משוכללים, שרשרות באורך 2 נקראות מספרים ידידים. ניתן לראות במספרים אלו תת-קבוצה של המספרים החברותיים. מספרים ידידים ומספרים משוכללים היו ידועים למתמטיקאים כבר ביוון העתיקה.

כיום, החיפוש אחר שרשרות מתבצע בעזרת מחשבים. להלן רשימה של מספר השרשרות הידועות מכל גודל (מעודכנת לינואר 2016):

{| align="center" border="1" cellpadding="4"
|- bgcolor="#A0E0A0" align="center"
!אורך
השרשרת
!מספר השרשרות הידועות
|- align="center"
| 1
(משוכללים)
| 49
|- align="center"
| 2
(ידידים)
|1,007,911,832
|- align="center"
|4
|366
|-align="center"
|5
|1
|- align="center"
|6
|5
|- align="center"
|8
|4
|- align="center"
|9
|1
|- align="center"
|28
|1
|}

השרשרת שאורכה 28 מכילה את המספרים:
14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, ו-17716.

שרשרת באורך 4 נתגלתה לראשונה בשנת 1969. מאז התגלו שרשרות רבות נוספות באותו אורך, אך לא ידועה אף שרשרת באורך 3. עובדה זאת מעלה תהיות שעדיין לא נפתרו: האם ישנן שרשרות כאלו בכל אורך שהוא, או שעבור אורכים מסוימים אין אף שרשרת? וגם להפך, האם לכל אורך או לפחות עבור אורכים מסוימים, ישנן אינסוף שרשרות כאלו?

השאלה אם ישנם אינסוף מספרי מרסן הגוררים את קיומם של אינסוף מספרים משוכללים היא מקרה פרטי של הבעיה הקודמת.

שאלה פתוחה נוספת מתייחסת לזוגיות: בכל השרשרות הידועות, הזוגיות זהה לכל המספרים בשרשרת, כלומר, או שכולם זוגיים או שכולם לא זוגיים. האם קיימת שרשרת המכילה גם מספרים זוגיים וגם מספרים לא-זוגיים?

==ראו גם==
* סדרות מחלקים

==לקריאה נוספת==
* P. Poulet, #4865, L'intermediare des math. 25 (1918), pp. 100-101.
==קישורים חיצוניים==
* [https://web.archive.org/web/20140502102524/http://amicable.homepage.dk/tables.htm טבלת החברותיים/ידידים/משוכללים] (באנגלית, מעודכנת רק עד: 1/10/2007) בשורה הראשונה משמאל לימין: 1) ידידים. 2) חברותיים מסדר 4. 3) חברותיים מעל סדר 4. 4) משוכללים.
* [http://djm.cc/sociable.txt רשימת המספרים החברותיים בלבד מעודכנת יותר]
* 

==הערות שוליים==

חברותיים
קטגוריה:שעשועי מתמטיקה
קטגוריה:בעיות פתוחות בתורת המספרים