חלוקה מקרית של קבוצה

בתורת ההסתברות חלוקה מקרית של קבוצה היא משתנה מקרי המקבל את ערכיו בקבוצת החלוקות של קבוצה. חלוקות מקריות משמשות ביישומים בגנטיקה.<ref name="Pitman1995"></ref>

=== דוגמה ===
לדוגמה, נגדיר חלוקה מקרית <math>\Pi_3</math> של <math>N_3=\{1,2,3\}</math> באמצעות מתן ההסתברות של כל אחת מחמש ההחלוקות של <math>N_3</math> להתקבל:
<math>\Pr\left(\Pi_3=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\right)=\frac{1}{2}</math>,
<math>\Pr\left(\Pi_3=\{\{1,2\},\{3\}\}\right)=\frac{1}{6}</math>,
<math>\Pr\left(\Pi_3=\{\{1,2,3\}\}\right)=\frac{1}{3}</math>,
<math>\Pr\left(\Pi_3=\{\{1,3\},\{2\}\}\right)=\Pr\left(\Pi_3=\{\{1\},\{2,3\}\}\right)=0</math>.
==חלוקה מקרית של המספרים הטבעיים ==
סדרה אינסופית של חלוקות מקריות <math>\Pi_1,\Pi_2,...</math> כך ש-<math>\Pi_i</math> חלוקה מקרית של <math>N_i</math> לכל <math>i=1,2,...</math>, תקרא חלוקה מקרית של <math>\mathbb{N}</math> (קבוצת כל המספרים הטבעיים) אם לכל שני מספרים טבעיים <math>m<n</math> מתקיים שהצמצום של <math>\Pi_n</math> ל-<math>N_m</math> נותן את <math>\Pi_m</math>.<ref name="Pitman1995" />

=== דוגמה לצמצום ===
נניח ש-<math>\Pi_2</math> מתקבלת מהצמצום של <math>\Pi_3</math> מהדוגמה למעלה ל-<math>N_2=\{1,2\}</math>.
נחשב את <math>\Pi_2</math>:
ממחיקת המספר 3 מכל אחת מהחלוקות <math>\{\{1\},\{2\},\{3\}\},\{\{1,3\},\{2\}\},\{\{1\},\{2,3\}\} </math> מקבלים את החלוקה <math>\{\{1\},\{2\}\} </math> ולכן
 <math>\Pr(\Pi_2=\{\{1\},\{2\}\})=\Pr(\Pi_3=\{\{1\},\{2\},\{3\}\})+\Pr(\Pi_3=\{\{1,3\},\{2\}\})+\Pr(\Pi_3=\{\{1\},\{2,3\}\})=\frac{1}{2}</math>
באופן דומה מקבלים ש-

 <math>\Pr(\Pi_2=\{\{1,2\}\})=\Pr(\Pi_3=\{\{1,2\},\{3\}\})+\Pr(\Pi_3=\{\{1,2,3\}\})=\frac{1}{2}</math>

== חלוקה מקרית חילופית של <math>\{1,...,n\}</math>==
חלוקה מקרית חילופית <math>\Pi_n</math> של <math>N_n=\{1,...,n\}</math> היא חלוקה מקרית של <math>N_n</math> כך שלכל חלוקה <math>A</math> של <math>N_n</math> ולכל תמורה <math>\theta</math> על <math>N_n</math> מתקיים <math>\Pr\left(\Pi_n=A\right)=\Pr\left(\Pi_n=\theta(A)\right) </math>.
כלומר, ההסתברות לקבלת חלוקה נשמרת תחת תמורות.
=== דוגמה ===
החלוקה המקרית בדוגמה למעלה איננה חילופית. כדי לראות זאת נבחר את התמורה <math>\theta(1)=3,\theta(2)=2,\theta(3)=1</math> ואת החלוקה <math>A=\{\{1,2\},\{3\}\}</math>. מצד אחד
<math>\Pr\left(\Pi_n=A\right)=\frac{1}{6}</math> ומהצד השני <math>\theta(A)=\{\{\theta(1),\theta(2)\},\{\theta(3)\}\}=\{\{3,2\},\{1\}\}=\{\{1\},\{2,3\}\}</math> ו- <math>\Pr\left(\Pi_n=\theta(A)\right)=0 </math>. ראינו ש- <math>\Pr\left(\Pi_n=A\right)\neq\Pr\left(\Pi_n=\theta(A)\right) </math> ולכן החלוקה המקרית אינה חילופית.
אם לעומת זאת נגדיר את <math>\Pi_3</math> באופן הבא:
<math>\Pr\left(\Pi_3=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\right)=\frac{1}{2}</math>,
<math>\Pr\left(\Pi_3=\{\{1,2\},\{3\}\}\right)=\Pr\left(\Pi_3=\{\{1,3\},\{2\}\}\right)=\Pr\left(\Pi_3=\{\{1\},\{2,3\}\}\right)=\frac{1}{18}</math>,
<math>\Pr\left(\Pi_3=\{\{1,2,3\}\}\right)=\frac{1}{3}</math>,
נקבל חלוקה מקרית חילופית.
== חלוקה מקרית חילופית של המספרים הטבעיים==
אם סדרה אינסופית של חלוקות מקריות <math>\Pi_1,\Pi_2,...</math> כך ש-<math>\Pi_i</math> חלוקה מקרית חילופית של <math>N_i</math> לכל <math>i=1,2,...</math>, היא גם חלוקה מקרית של <math>\mathbb{N}</math> אז היא חלוקה מקרית חילופית של <math>\mathbb{N}</math>.
<ref name="Pitman1995" />

==בניית חלוקה מקרית חילופית של המספרים הטבעיים באמצעות תהליך "המסעדה הסינית"==
בתהליך המסעדה הסינית הלקוחות הממוספרים <math>i=1,2,...</math> נכנסים למסעדה בזה אחר זה. הלקוח ה-<math>n</math> שנכנס בוחר אם להתיישב ליד שולחן שכבר יושבים לידו בהסתברות שהיא בגודל יחסי למספר האנשים היושבים ליד השולחן או יושב ליד שולחן ריק מאנשים בהסתברות <math>\frac{1}{n}</math>. בתהליך זה ניתן להראות שהחלוקה של <math>n</math> הלקוחות הראשונים לשולחנות היא חלוקה מקרית חילופית של <math>N_n</math>, והסדרה האינסופית של החלוקות המקריות החילופיות עבור <math>n=1,2,...</math> היא חלוקה מקרית חילופית של <math>\mathbb{N}</math>.<ref name="Pitman1995" />

== הערות שוליים ==

2024 03
קטגוריה:תהליכים סטוכסטיים