טרנספורמציה גאומטרית

במתמטיקה, טרנספורמציה גאומטרית היא כל פונקציה חד-חד ערכית ועל של קבוצה לעצמה (או לקבוצה אחרת כזו) עם בסיס גאומטרי בולט כלשהו.<ref></ref> ליתר דיוק, מדובר בפונקציה שהתחום והטווח שלה הם קבוצה של נקודות - לרוב שתיהן <math>\mathbb{R}^2</math> או שתיהן <math>\mathbb{R}^3</math> כך שהפונקציה היא חד חד ערכי, כך קיימת לה פונקציה הפיכה.<ref>Zalman Usiskin, Anthony L. Peressini, Elena Marchisotto – Mathematics for High School Teachers: An Advanced Perspective, page 84.</ref> ניתן לגשת לחקר הגאומטריה באמצעות חקר הטרנספורמציות הללו.<ref></ref>

== סיווגים ==
ניתן לסווג טרנספורמציות גאומטריות לפי הממד של מערכי האופראנד שלהן (ובכך להבחין בין, למשל, טרנספורמציות מישוריות לבין טרנספורמציות מרחביות). ניתן לסווג אותם גם לפי המאפיינים שהם משמרים:
* העתקים משמרים מרחקים וזוויות (למשל, תרגומים )<ref></ref>
* איזומטריות שומרות על זוויות ומרחקים (למשל, טרנספורמציות אוקלידיות)<ref></ref>
* דמיון שומירה על זוויות ויחסים בין מרחקים (למשל שינוי גודל)<ref></ref>
* טרנספורמציות אפיניות משמרות מקביליות (למשל, קנה מידה, גזירה)<ref></ref>
* טרנספורמציות השלכתיות (Projective) משמרות את הקוליניאריות (Collinearity)<ref name="Wilkinson">Leland Wilkinson, D. Wills, D. Rope, A. Norton, R. Dubbs – [https://books.google.com/books?id=NRyGnjeNKJIC&pg=PA182 Geometric transformation], p. 182, at Google Books</ref>

כל אחת מהסיווגים לעיל מכיל את קודמו.
* טרנספורמציות של מוביוס באמצעות קואורדינטות מורכבות במטוס (כמו גם היפוך מעגלים) משמרות את מכלול כל הקווים והעיגולים, אך עשויות להחליף בין קווים ומעגלים.
<gallery>
France identique.gif | התמונה המקורית (מבוססת על מפת צרפת)
France par rotation 180deg.gif | איזומטריה
France par similitude.gif | דמיון
France affine (1).gif | העתקת האפיין
France homographie.gif | טרנספורמציה השלכתית
France circ.gif | היפוך
</gallery>
* דיפאומורפיזם (טרנספורמציות bidifferentiable) הם טרנספורמציות אפיניות מסדר ראשון. הן מכילות את הקודמים כמקרים מיוחדים וניתנים לתיאור מורחב נוסף.<ref></ref>
* טרנספורמציות קונפורמיות שומרות על זוויות, והן, בסדר הראשון, דמיון.
* טרנספורמציות שוויוניות, שימור שטחים בתיבה המישורית או נפחים במקרה התלת־ממדי. והן, בסדר הראשון, טרנספורמציות אפיניות של דטרמיננטה 1.
* הומיאומורפיזם (טרנספורמציות דו -רציפות) שומרת על שכנות הנקודות.
<gallery>
קובץ:Fconf.gif| טרנספורמציה קונפורמית
קובץ:France aire.gif|טרנספורמציה שוויונית
קובץ:France diff.gif|דיפאומורפיזם
קובץ:France homothetie.gif|הומיאומורפיזם
</gallery>

== פעולות קבוצתיות מנוגדות ==
טרנספורמציות גאומטריות רבות מבוטאות באמצעות אלגברה ליניארית. הטרנספורמציות הליניאריות הביג'קטיביות הן אלמנטים מהחבורה הליניארית הכללית. הטרנספורמציה הליניארית A איננה יחידה. עבור וקטור שורה v, הכפל המטריציוני vA נותן וקטור שורה נוסף w = vA .

שחלוף של וקטור שורה v היא וקטור עמודה v <sup>T</sup>, ושינוי השוויון הנ"ל הוא <math>w^T = (vA)^T = A^T v^T .</math> כאן A <sup>T</sup> מספק פעולה שמאלית על וקטורי עמודה.

בגאומטריה של טרנספורמציה יש קומפוזיציות AB . החל מהווקטור שורה v, הפעולה הנכונה של הטרנספורמציה המורכבת היא w = vAB. לאחר הטמפוזיציה,

: <math>w^T = (vAB)^T = (AB)^Tv^T = B^T A^T v^T .</math>

כך עבור AB פעולת החבורה השמאלית הקשורה היא <math>B^T A^T .</math> במחקר של קבוצות מנוגדות, ההבחנה נעשית בין פעולות קבוצתיות מנוגדות לקבוצות היחידות שההפכים האלה שווים להן הן קבוצות קומוטיביות.

== ראו גם ==
* שיקוף
* טופולוגיה
* מטריציית מעבר

== לקריאה נוספת ==
<div class="mw-content-ltr">
* 
* Dienes, Z. P.; Golding, E. W. (1967) . Geometry Through Transformations (3 vols.): Geometry of Distortion, Geometry of Congruence, and Groups and Coordinates. New York: Herder and Herder.
* David Gans – Transformations and geometries.
* 
* John McCleary – Geometry from a Differentiable Viewpoint.
* Modenov, P. S.; Parkhomenko, A. S. (1965) . Geometric Transformations (2 vols.): Euclidean and Affine Transformations, and Projective Transformations. New York: Academic Press.
* A. N. Pressley – Elementary Differential Geometry.
* Yaglom, I. M. (1962, 1968, 1973, 2009) . Geometric Transformations (4 vols.). Random House (I, II & III), MAA (I, II, III & IV).
</div>

==קישורים חיצוניים==

== הערות שוליים ==

קטגוריה:סימטריה
קטגוריה:פונקציות מתמטיות
קטגוריה:גאומטריה