עקרון המקסימום

גרף של <math>|\cos(z)|</math> בעיגול היחידה. ניתן לראות שאין מקסימום מקומי בפנים המעגל ושהמקסימום מתקבל על השפה.]]
באנליזה מרוכבת, עקרון המקסימום קובע שאם <math>f</math> פונקציה הולומורפית בתחום <math>D</math> וקיים <math>z\in D</math> שהוא מקסימום מקומי של <math>|f|</math> אז <math>f</math> קבועה.

בנוסח שקול, אם <math>f</math> רציפה בקבוצה קומפקטית <math>\bar{D}</math>, והולומורפית בפנים שלה, אזי המקסימום של <math>|f|</math> ב-<math>\bar{D}</math> מתקבל על השפה <math>\part\bar{D}</math>.

==הוכחה==
יהי <math>z_0\in D</math> מקסימום מקומי של <math>|f|</math>. לכן קיים <math>R>0</math> קטן מספיק כך שבעיגול <math>|z-z_0|<R</math> מתקיים כי <math>f</math> הולומורפית ו-<math>z_0</math> מקסימום מוחלט של <math>|f|</math>.

יהי <math>0\le r<R</math>. לפי משפט הערך הממוצע של גאוס:
:<math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(z_0+re^{\theta i})d\theta</math>
לפי אי-שוויון המשולש האינטגרלי:
:<math>\bigl|f(z_0)\bigr|\le\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\bigl|f(z_0+re^{\theta i})\bigr|d\theta\le\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}|f(z_0)|d\theta=\bigl|f(z_0)\bigr|</math>
זוהי שרשרת אי-שוויונות חלשים המתחילה ומסתיימת באותו מספר, ועל כן כולם שוויונות. לכן:
:<math>(*)\qquad\int\limits_0^{2\pi}\bigl|f(z_0+re^{\theta i})\bigr|d\theta=\int\limits_0^{2\pi}\bigl|f(z_0)\bigr|d\theta</math>
נגדיר <math>g(x)=\int\limits_0^x\bigl(\bigl|f(z_0)\bigr|-\bigl|f(z_0+re^{\theta i})\bigr|\bigr)d\theta</math> בקטע <math>[0,2\pi]</math>. <math>g</math> עולה חלש, שכן מהמקסימליות של <math>\bigl|f(z_0)\bigr|</math>:
:<math>g'(\theta)=\bigl|f(z_0)\bigr|-\bigl|f(z_0+re^{\theta i})\bigr|\ge0</math>
אולם מ-<math>(*)</math> נובע כי <math>g(0)=g(2\pi)=0</math>, ולכן <math>g(x)=0</math> לכל <math>x\in[0,2\pi]</math>. מכאן <math>g'(\theta)=0</math> לכל <math>x\in[0,2\pi]</math>, כלומר:
:<math>\bigl|f(z_0+re^{\theta i})\bigr|=\bigl|f(z_0)\bigr|</math>
קיבלנו כי <math>|f|</math> קבועה בעיגול המוכל בתחום. לכן (כפי שניתן להסיק ממשוואות קושי-רימן) גם <math>f</math> קבועה בעיגול. ממשפט היחידות נובע כי <math>f</math> קבועה בכל התחום.

==עקרון המקסימום לפונקציה הרמונית==
ניתן לנסח גרסה דומה לעקרון המקסימום גם לפונקציות הרמוניות. בניגוד למקרה המרוכב, משפט היחידות איננו תקף לפונקציות הרמוניות (למשל, הפונקציה <math>u(x,y)=x</math> עם <math>\bigl\{(x,y):x^2+y^2<1\bigr\}</math> שווה זהותית לאפס על <math>\{0\}\times(0,1)</math> אך איננה קבועה).

ראשית ננסח גרסה נקודתית:

משפט – אם <math>u</math> פונקציה הרמונית בתחום <math>\Omega</math>, ומקבלת מקסימום מקומי בנקודה <math>z_0\in\Omega</math>, אזי היא קבועה בסביבת <math>z_0</math>.

הגרסה הכללית היא:

משפט – אם <math>u</math> הרמונית בתחום חסום <math>\Omega</math>, ורציפה בשפה <math>\part\Omega</math>, אזי: אם קיימת <math>z_0\in\Omega</math> כאשר <math>\max_{z\,\in\,\overline\Omega}{u(z)}=u(z_0)</math> אזי היא קבועה ב-<math>\Omega</math>.

במיוחד, המשפט תקף עבור החלק המדומה והממשי של כל פונקציה אנליטית, ובעזרתו ניתן להוכיח טענות רבות.

למשל, אם <math>f</math> פונקציה שלמה ומתקיים <math>\forall|z|=1:f(z)\in\R</math>, אז <math>f</math> קבועה, משום שמתקיים <math>\forall |z|=1:{\rm Im}(f(z))=0</math> ולפי עקרון המקסימום <math>\forall|z|\le1:{\rm Im}(f(z))=0</math>, ואז הפונקציה <math>e^{if(z)}:D\to\{|z|=1\}</math> איננה העתקה פתוחה, ולכן היא קבועה, ולכן גם <math>f</math> קבועה.

==קישורים חיצוניים==
*

קטגוריה:משפטים באנליזה מרוכבת