משולש ישר-זווית

משולש ישר-זווית
משולש יְשַׁר-זווית הוא משולש בעל זווית ישרה.

במשולש זה, שתי הצלעות שכולאות את הזווית הישרה נקראות ניצבים, והצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר.

משולש ישר-זווית הוא הבסיס לפונקציות הטריגונומטריות.

==תכונות==
* משולש ישר-זווית מקיים את משפט פיתגורס: סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.
* התיכון ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שוקיים.
* משולש ישר-זווית מקיים את משפט תאלס: אם משולש ישר-זווית חסום במעגל, אז היתר מתלכד עם קוטר המעגל, והתיכון ליתר הוא רדיוס במעגל החוסם.
* הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים למשולש המקורי (ולכן גם דומים זה לזה). מכאן נובע משפט אוקלידס - אורך הניצב הוא הממוצע הגאומטרי של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
* ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר (תיכון היתר שווה למחציתו).
* כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני.
* הניצב מול זווית של 30 מעלות שווה למחצית היתר. משפט הפוך: אם ניצב שווה למחצית היתר - הזווית מולו שווה ל-30 מעלות.
* חוצה הזווית הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה.

== נוסחאות ==
אם הניצבים של המשולש הם <math>\ a</math> ו-<math>\ b</math>, היתר הוא <math>\ c</math> והגובה ליתר הוא <math>\ h</math>, אז מתקיים:
:<math>\ a^2+b^2=c^2</math> (משפט פיתגורס)
וכן:
:<math>\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{ h^2}</math>
שטח המשולש הוא:
:<math>\text{Area}=\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}</math>
אם רדיוס המעגל החסום במשולש הוא <math>\ r</math>, אז מתקיים:
:<math> r = \frac{1}{2}(a+b-c) = \frac{ab}{a+b+c}</math>
אם התיכונים לניצבים הם <math>\ m_a</math> ו-<math>\ m_b</math> והתיכון ליתר הוא <math>\ m_c</math>, אז מתקיים:
:<math>m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2 = \frac{5}{4}c^2 </math>

==הגדרת פונקציות טריגונומטריות==

את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 ל-90 מעלות (<math>\frac{\pi}{2}</math> רדיאנים), מגדירים כיחס בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.

עבור זווית <math>\alpha</math> הכלואה בין הניצב <math>\ b</math> והיתר <math>\ c</math> ומול הצלע <math>\ a</math> מוגדר:
:<math>\sin\alpha =\frac {a}{c},\,\cos\alpha =\frac {b}{c},\,\tan\alpha =\frac {a}{b},\,\sec\alpha =\frac {c}{b},\,\cot\alpha =\frac {b}{a},\,\csc\alpha =\frac {c}{a}</math>
עבור זווית כללית מגדירים באמצעות מעגל היחידה.

==משולשים ישרי-זווית מיוחדים==
משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30 מכונה לפעמים "משולש הזהב", ובו אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זה הוא חצי ממשולש שווה-צלעות. לעיתים השם "משולש הזהב" שמור למשולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, שכן היחס בין השוקיים לבסיס בו הוא יחס הזהב.

בעברית מקובל גם המושג "משולש כסף", למשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. הזוויות שלו הן: 45, 45, 90. היחס בין אורך היתר לאורך הניצב הוא שורש 2, שהוא ככל הנראה המספר האי-רציונלי הראשון שהתגלה.

==שלשה פיתגורית==
250px
שלשה פיתגורית (או שלשה פיתגוראית) היא שלשה של מספרים טבעיים המקיימת את השוויון <math>a^2 + b^2 = c^2</math>, המופיע במשפט פיתגורס. בהתאם למשפט ההפוך למשפט פיתגורס, משולש שצלעותיו מהוות שלשה פיתגורית הוא משולש ישר-זווית.
== ראו גם ==
* המשולש הישר של פרמה

==קישורים חיצוניים==

* [http://www.freewebs.com/trigo/ אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית], freewebs 
* [http://www.mathportal.org/calculators/plane-geometry-calculators/right-triangle-calculator.php אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית], mathportal 
* 

*
קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:משולש
קטגוריה:אנך