אינטגרל רימן-ליוביל

במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, אינטגרל רימן-ליוביל הוא אופרטור אשר מייצג פעולת אינטגרל חוזר עבור מספר פעמים שאיננו שלם (רציונלי) או מרוכב.

אינטרל רימן-ליוביל מבוסס על נוסחת האינטגרל החוזר של קושי והוא מהווה דוגמה לאינטגרל שברי בחשבון אינפיניטסימלי שברי.

האינטגרל נקרא על שמם של המתמטיקאים ברנהרד רימן וז'וזף ליוביל.

== מבוא ומוטיבציה ==
בהינתן זוג מספרים ממשיים <math>c<d</math> מסמנים ב-<math>L^1([c,d])</math> את מרחב הפונקציות האינטגרביליות לפי לבג על הקטע <math>[c,d]</math>. עבור <math>a\in [c,d]</math> מגדירים אופרטור <math>J_a:L^1([c,d])\to L^1([c,d])</math> להיות אופרטור האינטגרציה שראשתו ב-<math>a</math>. כלומר, עבור פונקציה <math>f\in L^1([c,d]) </math> ו-<math>x\in [c, d]</math>:

<math>J_af(x):=\int_a^x{f(t)dt} </math>

עבור <math>f </math> כזו ומספר טבעי <math>n\in \mathbb{N}</math>, בשנת 1823 הוכיח אוגוסטן קושי שלכל <math>x\in [c, d]</math> מתקיים השוויון הבא:<ref></ref>

<math>J_a^n f(x)=\frac{1}{(n-1)!}\int_a^x{(x-t)^{n-1}f(t)dt} </math>

כאשר <math>J_a^n f:=\underbrace{J_a(J_a(\dots J_a}_{n\text{ times}}(f))) </math>.

אינטגרל רימן-ליוביל מרחיב את נוסחה זו ומחליף את המספר הטבעי <math>n </math> במספר מרוכב <math>\alpha</math> עם חלק ממשי חיובי. מאחר שלא מדובר כעת במספר טבעי, פעולת העצרת מוחלפת בפונקציית גמא שמרחיבה אותה. הרחבה זו מאפשרת להגדיר פעולות כדוגמת "חצי אינטגרל" (<math>\alpha=1/2 </math>) או "שליש אינטגרל" (<math>\alpha=1/3 </math>).

הגדרת האופרטור תקפה גם אם מחליפים את תחום הפונקציה <math>f </math> מהקטע <math>[c,d] </math> לקטע חצי סופי או ל-<math>\mathbb{R} </math> כולו. עם זאת, בכל המקרים הללו עדיין נדרש להגדיר <math>a </math> כלשהו להיות ראשית האינטגרל, אך ניתן להגדירו גם להיות <math>\alpha=\infty</math> או <math>\alpha=-\infty</math> במקרה והתחום אינו חסום מלמעלה או מלמטה בהתאמה.

== הגדרה מתמטית ==
בהינתן תחום ממשי קמור <math>U\subseteq \mathbb{R}</math> (קטע סופי, חצי סופי או <math>\mathbb{R} </math> כולו), מספר ממשי <math>a\in U</math> (או <math>\pm \infty</math> במקרה והתחום אינסופי כלפי מעלה או מטה) ומספר מרוכב <math>\alpha</math> בעל חלק ממשי חיובי (<math>\operatorname{Re}(\alpha)>0</math>), אופטור רימן-ליוביל מסדר <math>\alpha</math> הוא האופרטור <math>J^\alpha_a:L^1(U)\to L^1(U)</math> כך שלכל פונקציה <math>f\in L^1(U)</math> ולכל <math>x\in U</math>:<ref></ref>

<math>J^\alpha_a f(x):=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^x{(x-t)^{\alpha - 1}f(t)dt} </math>

== תכונות ==
=== ליניאריות ===
באופן דומה לפעולות האינטגרל והנגזרת, אופרטור רימן-ליוביל הוא אופרטור ליניארי. כלומר, לכל <math>f, g\in L^1(U) </math> ולכל <math>c,d\in \mathbb{R} </math>:

<math>J_a^\alpha(cf + dg)=cJ_a^\alpha f + dJ_a^\alpha g </math>

=== הפעלת נגזרת ===
המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קובע כי הפעלת נגזרת על אינטגרל מחזירה את הפונקציה המקורית. כלומר:

<math>\frac{d}{dx}J_af(x)=f(x) </math>

הדבר נכון באופן שקול גם לאופרטור רימן-ליוביל:<ref></ref>

<math>\frac{d}{dx}J_a^{\alpha +1}f(x)=J_a^\alpha f(x) </math>

=== הרכבה ===
ניתן להוכיח כי אוסף האופרטורים מסוג רימן ליוביל סגורים להרכבה. כלומר, עבור זוג מספרים מרוכבים <math>\alpha,\beta </math> עם חלק ממשי חיובי מתקיים:

<math>J_a^\alpha(J_a^\beta f)=J_a^{\alpha+\beta}f </math>

בכך מהווים אופרטורי רימן-ליוביל חבורה למחצה.

=== חסימות, רציפות, והרחבה לסדר אפס ===
מסמנים ב-<math>L^p(U)</math> מסמל את מרחב Lp בתחום זה עבור <math>p>1</math> ותחום ממשי <math>U</math> כלשהו. עבור כל <math>\alpha\in \mathbb{C}</math> מספר מרוכב עם חלק ממשי חיובי, ניתן להוכיח כי האופרטור <math>J_a^\alpha</math> הפועל על <math>L^p(U)</math> הוא אופרטור חסום ועל כן רציף.

יתרה מכך, ניתן להוכיח כי לכל <math>f\in L^p(U)</math>, מתקיים:

<math>\lim_{\alpha\to 0^+}{\lVert J_a^\alpha f-f \rVert_p}=0</math>

כלומר, סדרת הפונקציות <math>J_a^\alpha f</math> שואפת ל-<math>f</math> כאשר <math>\alpha\to 0</math> כמעט בכל מקום. מסיבה זו טבעי להגדיר <math>J_a^0=I </math> כאשר <math>I</math> הוא אופרטור הזהות.

== דוגמאות ==
=== חזקה ===
עבור הפונקציה <math>f(x)=x^\beta </math> המוגדרת לכל המספרים הממשיים ניתן לחשב את איטנגרל רימן-ליוביל מסדר <math>\alpha>0 </math> כלשהו:

<math>J_0^\alpha f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x{(x-t)^{\alpha - 1} t^\beta dt} </math>

על ידי החלפת משתנים <math>u=xt </math> מתקבל:

<math>\begin{align}
J_0^\alpha f(x)=\frac{x^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^1{(1-u)^{\alpha - 1} u^\beta du} \\
=\frac{x^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha)}B(\alpha,\beta + 1) \\
=\frac{x^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha)}\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta + 1)}{\Gamma(\alpha+\beta + 1)} \\
=\frac{\Gamma(\beta + 1)}{\Gamma(\alpha+\beta + 1)}x^{\alpha+\beta} \\
\end{align} </math>

כאשר הפונקציה <math>B </math> היא פונקציית בטא. תוצאה זו מתלכדת עם תוצאת האינטגרל השלם, כצפוי.

=== אקספוננט ===
עבור הפונקציה <math>f(x)=\exp(x) </math> המוגדרת לכל המספרים הממשיים ניתן לחשב את איטנגרל רימן-ליוביל מסדר <math>\alpha>0 </math> כלשהו:

<math>J_{-\infty}^\alpha f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{-\infty}^x{(x-t)^{\alpha - 1} \exp(t)dt} </math>

על ידי החלפת משתנים <math>u=x-t </math> מתקבל:

<math>\begin{align}
J_{-\infty}^\alpha f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty{u^{\alpha - 1}\exp(x - u)du} \\
= \frac{\exp(x)}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty{u^{\alpha - 1}\exp(-u)du} \\
= \frac{\exp(x)}{\Gamma(\alpha)}\Gamma(\alpha) \\
= \exp(x)
\end{align} </math>

זאת באופן דומה לכך ש-<math>\frac{d}{dx}\exp(x)=\exp(x) </math>.

== נגזרת רימן-ליוביל ==
על אף שהפעולה ההפוכה לאינטגרל היא הנגזרת, ועל אף ש-<math>J_a^1</math> (<math>\alpha=1</math>) הוא אופרטור האינטגרציה, לא ניתן להציב <math>\alpha=-1</math> באינטגרל רימן-ליוביל ולקבל את פעולת הנגזרת (למעשה, הצבה מסוג זו תוביל להתבדרות האינטגרל). באופן כללי, לא ניתן להציב באינטגרל רימן-ליוביל ערכים עם ערך ממשי שלילי (ובפרט מספרים שליליים).

עם זאת, ניתן להרחיב את הגדרת אינטגרל רימן-ליוביל כדי שתכלול גם נגזרות. עבור מספר ממשי <math>\alpha>0</math> ניתן להגדיר את <math>D_a^\alpha </math> להיות נגזרת רימן-ליוביל מסדר <math>\alpha</math> כך שלכל פונקציה <math>f</math> אינטגרבילית לפי לבג ולכל <math>x</math> בתחום שלה:<ref></ref>

<math>D_a^\alpha f(x):=\frac{d^{\lceil\alpha\rceil}}{dx^{\lceil\alpha\rceil}}J_a^{\lceil\alpha\rceil-\alpha}f(x)</math>

זאת כאשר <math>\lceil \cdot \rceil</math> היא פונקציית התקרה. כלומר, מבצעים את אינטגרל רימן-ליוביל מסדר כלשהו בין 0 ל-1 המשלים את <math>\alpha</math> למספר שלם, ולאחר מכן גוזרים מספר פעמים. עבור <math>\alpha</math> טבעי, הגדרה זו מתלכדת עם הגדרת הנגזרת הסטנדרטית.

באופן כללי, ניתן להרחיב את נגזרת רימן-ליוביל עבור כל <math>\alpha</math> ממשי:

<math>D_a^\alpha f(x):=
\begin{cases}
\frac{d^{\lceil\alpha\rceil}}{dx^{\lceil\alpha\rceil}}J_a^{\lceil\alpha\rceil-\alpha}f(x) & \text{if }\alpha > 0\\
f(x) & \text{if }\alpha = 0 \\
J_a^{-\alpha}f(x) & \text{if }\alpha < 0 \\
\end{cases}</math>

באופן דומה לאינטגרל רימן-ליוביל, גם נגזרת רימן-ליוביל מקיימת ליניאריות, הרכבה, רציפות ואת המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

נגזרת רימן-ליוביל היא נגזרת שברית, כלומר פעולת נגזרת-אינטגרל אשר מקבלת את כל הערכים הממשיים.

==קישורים חיצוניים==
* 

== הערות שוליים ==

קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי
קטגוריה:אינטגרלים