משפט אוילר (גאומטריה)

משפט אוילר בגאומטריה, הקרוי של שמו של המתמטיקאי לאונרד אוילר, קובע כי המרחק <math>\ d</math> בין מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום של משולש מקיים: <math>\frac{1}{R+d}+\frac{1}{R-d} = \frac{1}{r}</math>, כאשר <math>\ R</math> הוא רדיוס המעגל החוסם ו-<math>\ r</math> הוא רדיוס המעגל החסום.

==הוכחה==
תרשים של ההוכחה (כולל ההוכחה עצמה) נוצר על ידי תוכנת [[GeoGebra]]
נסמן ב-O את מרכז המעגל החוסם את המשולש ABC, וב-I את מרכז המעגל החסום. נאריך את AI עד שיפגש עם המעגל החוסם ונסמן נקודה זאת ב-L, ואז נקודה L היא אמצע הקשת BC. נעביר את הקוטר מ-L דרך O כך שיפגש עם המעגל החוסם בנקודה M. מנקודה I נעביר אנך ל-AB, ונסמן את נקודת המפגש ב-D. ואז ID=r. על פי משפט תאלס השני זווית LBM ישרה. זווית LMB שווה לזווית IAD (זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת), ולכן משולשים MBL ו-ADI דומים, ומכאן ID × ML = AI × BL. לכן
2Rr = AI × BL. מתקיים 
:<math>\angle BIL = \angle {A \over 2} + {\angle ABC \over 2}</math> וכן 
:<math>\angle IBL = \angle {ABC \over 2} + \angle CBL = \angle {ABC \over 2} + \angle {A \over 2}</math> (זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות האחרות במשולש), 
ולכן זווית BIL שווה לזווית IBL, ומכאן BL=IL ו- AI × IL = 2Rr. נאריך את OI משני צדדיו ונסמן את נקודות המפגש ליד O ו-I ב-P ו-Q בהתאמה. מתקיים PI × QI = AI × IL = 2Rr, ומכאן R + d)(R − d) = 2Rr), ולכן (d<sup>2</sup> = R(R − 2r. מש"ל.

== הכללות ==

נסמן כמקודם ב-R,r,d את הרדיוסים של שני מעגלים ואת המרחק בין המרכזים שלהם, ונסמן <math>\ \alpha = \frac{r}{R+d}</math> ו-<math>\ \beta = \frac{r}{R-d}</math>. נאמר ששני המעגלים הם שותפי-n אם אחד מהם חוסם והשני חסום במצולע בעל n צלעות. לפי משפט אוילר, שני המעגלים הם שותפי-3 אם <math>\alpha+\beta = 1</math>. קיים תנאי דומה לכך ששני מעגלים יהיו שותפי-4 (כלומר, המעגל החוסם והמעגל החסום של איזשהו מרובע, המוכרח להיות במקרה כזה, בעת ובעונה אחת, מרובע משיקים ומרובע ציקלי): <math>\ \alpha^2+\beta^2 = 1</math> (זהו משפט פס, ). יש הכללה לנוסחה זו במונחי הפונקציה אליפטית של יעקובי ואינטגרל אליפטי שלם מסוג ראשון, [http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html]. בסוף המאה ה-18 ותחילת המאה ה-19 התגלו קשרים פולינומיים מפורשים עבור ערכים שונים של מספר הצלעות n. לדוגמה, התנאי לכך ששני המעגלים הם שותפי-5 הוא <math>\ (\alpha+\beta+1)^3 = 4(\alpha^3+\beta^3+1)</math>; והתנאי לכך שיהיו שותפי-6 הוא <math>3+(\beta^2-\alpha^2)^2= 2(\alpha^2+\beta^2)</math>. 

כעת נתבונן בשני מעגלים C,D, כך ש-C מוכל בפנים של D. מכל נקודה P על D אפשר להעביר משיק ל-C (נאמר בכיוון מחוגי השעון), הפוגע שוב ב-D בנקודה שנסמן ב-<math>P'</math>. באופן כזה מוגדרות הנקודות <math>\ P = (P')'</math>, <math>\ P = (P)'</math>, וכן הלאה, ומסמנים באינדוקציה <math>\ P^{(n)} = {P^{(n-1)}}'</math>. אם <math>P=P</math>, פירושו של דבר הוא ש-<math>P,P',P</math> הם הקודקודים של משולש החוסם את C וחסום ב-D. אם <math>P=P</math>, אז <math>P,P',P,P</math> הם הקודקודים של מרובע החוסם את C וחסום ב-D, וכן הלאה. משפט פונסלה (על שמו של ז'אן-ויקטור פונסלה, ) קובע שאם <math>\ P^{(n)} = P</math> לנקודה P כלשהי כל D, אז תכונה זו נכונה לכל נקודה P על D; כלומר, העובדה שהעברת משיק n פעמים חוזרת לנקודת ההתחלה היא תכונה של המעגלים C,D, ולא של הנקודה P. המשפט מתקיים אפילו אם C,D הם אליפסות, ולאו דווקא מעגלים.

== מקורות ==
* Geometry Revisited, H.S.M. Coxeter and S.L Greitzer, Anneli Lax New Mathematical Library, Vol 19; משפט 2.12. 
* A Mathematical Gift II, K Ueno, K Shiga and Sh Morita; Mathematical World Vol 20, AMS, 2004.
==קישורים חיצוניים==

* 

אוילר
קטגוריה:משולש
קטגוריה:הוכחות
קטגוריה:לאונרד אוילר