הצדקה ומוטיבציה למשוואת שרדינגר

משוואת שרדינגר היא משוואה קוונטית המתארת את הדינמיקה בין חלקיקים לא יחסותיים. טיעונים תאורטיים וגילויים ניסויים סיפקו מוטיבציה לגילוי וחקירת המשוואה וסיפקו טיעונים להצדקתה. המוטיבציה הבסיסית מתחילה מפוטונים, שהם חלקיקים יחסותיים , עם דינמיקה המתוארת על ידי משוואות מקסוול.

== מוטיבציה – גלים אלקטרומגנטיים קלאסיים ==
=== טבע האור ===

החלקיק הקוונטי של האור נקרא פוטון. כפי שהתבהר על ידי פיזיקאים לאורך הדורות, לאור יש אופי גלי, אך גם טבע חלקיקי. במילים אחרות, האור יכול להיראות כעשוי מפוטונים (חלקיקים) בניסויים מסוימים ולהתנהג כמו גלים (גל אלקטרומגנטי) בניסויים אחרים. הדינמיקה של גלים אלקטרומגנטיים קלאסיים מתוארת במלואה על ידי משוואות מקסוול, המהוות את התיאור הקלאסי של האלקטרודינמיקה. בהיעדר מקורות שדה, ניתן לכתוב את משוואות מקסוול כמשוואות גלים בשדה החשמלי והמגנטי. אם כן, משוואות מקסוול מתארות, בין היתר, את התכונות דמויות הגל של האור. כאשר אור "קלאסי" (קוהרנטי או תרמי) נופל על סרט צילום או חיישן CCD, מספר ה"פגיעות" או ה"נקודות על סרט הצילום" הממוצע, ליחידת שטח ויחידת זמן, פרופורציונלי בערך לריבוע גודל השדה האלקטרומגנטי של האור. באופן אנלוגי ושקול, לשם מציאת צפיפות הפגיעות ניתן להגדיר "פונקציית גל" לחלקיק כך שצפיפות ההסתברות למדידה (לפגיעה) מתקבלת מריבוע הערך המוחלט של פונקציית הגל. בניגוד לשדות אלקטרומגנטיים, פונקציות גל קוונטיות הן מרוכבות (לעיתים קרובות נעשה שימוש במספרים מרוכבים על מנת לייצג שדות אלקטרומגנטים מטעמי נוחות, אך למעשה השדות הם ממשיים. לעומת זאת, פונקציות הגל הן מרוכבות באמת).

משוואות מקסוול היו ידועות כבר בסוף המאה התשע־עשרה, כך שמשוואות הדינמיקה (הגלית) של האור היו ידועות הרבה לפני גילוי הפוטון. דבר זה אינו נכון לגבי חלקיקים אחרים, דוגמת האלקטרון. אינטראקציית האור עם אטומים היא זו שהעלתה את ההשערה שגם לאלקטרונים יש אופי הן חלקיקי והן גלי. המכניקה הניוטונית, המתארת עצמים מיקרוסקופיים כגופים קשיחים, לא הצליחה לתאר עצמים קטנים מאוד כמו אלקטרונים. כדי להבין את חוקי הדינמיקה של עצמים בעלי מסה, כגון אלקטרונים, נעזרו בחשיבה אבדוקטיבית, כלומר בהסקה להסבר הטוב ביותר שבנמצא. כך משוואת הגל האלקטרומגנטי, המשוואה שתיארה את הדינמיקה של האור, שימשה אב טיפוס לגילוי משוואת שרדינגר, המשוואה המתארת את הדינמיקה הדואלית של חלקיקים לא־יחסותיים בעלי מסה.

=== גלים סינוסואידיים מישוריים ===
==== משוואת גלים אלקטרומגנטיים ====
משוואת הגלים האלקטרומגנטיים מתארת את התפשטותם של גלים אלקטרומגנטיים בתווך או בריק. הצורה ההומוגנית של המשוואה, כשהיא כתובה במונחים של השדה החשמלי <math>\vec E</math> או השדה המגנטי <math>\vec B</math>, מקבלת את הצורה:

: <math> \nabla^2 \vec{E} \ - \ { 1 \over c^2 } {\partial^2 \vec{E} \over \partial t^2} \ \ = \ \ 0</math>

או

: <math> \nabla^2 \vec{B} \ - \ { 1 \over c^2 } {\partial^2 \vec{B} \over \partial t^2} \ \ = \ \ 0</math>

כאשר c היא מהירות האור. מהירות האור בריק מוחלט היא <math>299,792,458</math> מטר לשנייה.

הקשר בין השדה המגנטי לשדה החשמלי מתואר באמצעות חוק פאראדיי (ביחידות cgs):

: <math> \vec\nabla \times \vec{E} = - {1 \over c}\frac{ \partial \vec{B}} {\partial t} </math> .

==== פתרון גל־מישורי למשוואת הגלים האלקטרומגנטיים ====
הפתרון הסינוסואידי המישורי לגלים אלקטרומגנטיים הנעים בכיוון החיובי של ציר z (ביחידות cgs וביחידות SI) הוא, עבור השדה החשמלי:<math display="block"> \vec{E} ( \vec{r}, t ) = \left| \vec{E} \right| \operatorname{Re} \left \{ |\zeta \rangle e^{i \left ( kz - \omega t \right )} \right \} \equiv \left| \vec{E} \right| \operatorname{Re} \left \{ |\phi \rangle \right \} </math>
ניתן לדמיין קרינה אלקטרומגנטית כגל רוחבי מתנודד המתפשט בשדות החשמלי והמגנטי. איור זה מציג גל מקוטב ליניארי מישור המתפשט משמאל לימין.
ועבור השדה המגנטי:<math display="block"> \vec{B} ( \vec{r}, t ) = \hat { {z} } \times \vec{E} ( \mathbf{r}, t ) </math>כאשר k הוא מספר הגל, <math> \omega = ck</math> היא התדירות הזוויתית של הגל ו־<math> c </math> היא מהירות האור. הכובעים מעל הווקטורים מציינים שהם וקטורי יחידה בכיוונים x, y ו־z בהתאמה. <math>| \vec{E} | </math> הוא משרעת הגל.

בהקשר של גלים אלקטרומגנטיים קלאסיים, <math>|\zeta \rangle</math> המוגדר כך:
:<math> |\zeta \rangle \equiv \begin{pmatrix} \zeta_x \\ \zeta_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) e^{i \alpha_x} \\ \sin(\theta) e^{i \alpha_y} \end{pmatrix} </math>,
הוא וקטור ג'ונס במישור ה־xy, כשהוא מוצג בסימון ברה־קט של פול דיראק, אשר משמש בדרך כלל בהקשר קוונטי. הבחירה להשתמש כאן בסימון קוונטי מגיעה מציפייה לפרשנות אנלוגית של וקטור ג'ונס כווקטור מצב קוונטי בהמשך. הזוויות <math> \alpha_x\; ,\theta\; </math> ו־<math> \alpha_y </math> הן הזווית שיוצר השדה החשמלי עם ציר ה־x, ושתי זוויות המופע (לעיתים נקראות בקיצור "מופעים" או "פאזות") ההתחלתיות של הגל, בהתאמה.

הגודל <math> |\phi \rangle = e^{i \left ( kz - \omega t \right )} |\zeta \rangle </math> הוא וקטור המצב של הגל. הוא מתאר את קיטוב הגל ואת הגורם המרחבי והגורם הזמני של הגל. וקטור המצב של אלומת אור קוהרנטית ו"עמומה" (כלומר כזו שמספר הפוטונים הממוצע שלה ליחידת נפח קטן בהרבה מ־1) שקול בקירוב למצב הקוונטי של פוטון בודד.

=== אנרגיה, תנע ותנע זוויתי של גלים אלקטרומגנטיים ===
==== צפיפות אנרגיה של גלים אלקטרומגנטיים קלאסיים ====
===== אנרגיה בגל מישורי =====
האנרגיה ליחידת נפח בשדות אלקטרומגנטיים קלאסיים היא (ביחידות cgs):

: <math> \mathcal{E}_c = \frac{1}{8\pi} \left [ \vec{E}^2( \vec{r}, t ) + \vec{B}^2( \vec{r}, t ) \right ] </math> .

עבור גל מישורי, לאחר המרה לסימון מרוכב (ומכאן חלוקה בפקטור 2), נקבל:

: <math> \mathcal{E}_c = \frac{\mid \vec{E} \mid^2}{8\pi} </math>

כאשר האנרגיה נמדדת על פני אורך גל שלם.

===== החלק היחסי של האנרגיה עבור כל רכיב =====
האנרגיה של רכיב ה־x של הגל המישורי (בהנחת קיטוב ליניארי) שווה

: <math> f_x = \frac{ \mid \vec{E} \mid^2 \cos^2\theta }{ \mid \vec{E} \mid^2 } = \phi_x^*\phi_x </math>

אפשר בקלות לקבל ביטוי דומה (עם סינוס במקום קוסינוס) עבור רכיב ה־y.

וסכום החלקים של שני הרכיבים מקיים:

: <math> \phi_x^*\phi_x + \phi_y^*\phi_y = \langle \phi | \phi\rangle = 1 </math>.

==== צפיפות התנע של גלים אלקטרומגנטיים קלאסיים ====
צפיפות התנע ניתנת על ידי וקטור פוינטינג:

: <math> \vec{ \mathcal{P}} = {1 \over 4\pi c } \vec{E}( \vec{r}, t ) \times \vec{B}( \vec{r}, t ) </math>.

עבור גל מישורי סינוסואידי שנע בכיוון z, כיוון התנע גם הוא בכיוון החיובי של ציור ה־z וגודלו יחסי לצפיפות האנרגיה:

: <math> \mathcal{P} c = \mathcal{E}_c </math>.

כשצפיפות התנע נמדדת בממוצע על פני אורך גל שלם.

==== צפיפות התנע הזוויתי של גלים אלקטרומגנטים קלאסיים ====
צפיפות התנע הזוויתי היא

: <math> \vec { \mathcal{L} } = \vec{r} \times \vec { \mathcal{P} } = {1 \over 4\pi c } \vec{r} \times \left [ \vec{E}( \vec{r}, t ) \times \vec{B}( \vec{r}, t ) \right ] </math>.

עבור גל מישורי סינוסואידי התנע הזוויתי הוא בכיוון z וניתן על ידי (כשעברנו לסימון מרוכב)

: <math> \mathcal{L} = { {\mid \vec{E} \mid^2} \over {8\pi\omega} } \left ( \mid \langle R | \phi\rangle \mid^2 - \mid \langle L | \phi\rangle \mid^2 \right ) = { 1 \over \omega } \mathcal{E}_c \left ( \mid \phi_R \mid^2 - \mid \phi_L \mid^2 \right ) </math>

כאשר שוב, גם כאן, הצפיפות הממוצעת נמדדת על פני אורך גל שלם. וכן מוגדרים וקטורי יחידה של קוטבים מעגליים, ימיני ושמאלי:

: <math> |R\rangle \equiv {1 \over \sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} </math>

: <math> |L\rangle \equiv {1 \over \sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} </math>.

=== אופרטורים אוּניטריים ושימור אנרגיה ===

גל יכול לעבור התמרה, למשל, על ידי מעבר דרך גביש שבירה כפולה או דרך חריצים בסריג עקיפה. אנו יכולים להגדיר את התמרת המצב מהמצב בזמן t למצב בזמן <math> (t + \tau)</math> כ־

: <math> | \phi (t + \tau) \rangle = \hat{U}(\tau) | \phi (t) \rangle </math>.

כדי לשמור על שימור האנרגיה של הגל שאנו דורשים:

: <math> \langle \phi (t + \tau)| \phi (t + \tau) \rangle = \langle \phi(t) | \hat{U}^{\dagger}(\tau) \hat{U}(\tau) | \phi(t) \rangle = \langle \phi(t) | \phi(t) \rangle = 1 </math>

כאשר <math> \hat{U}^{\dagger} </math>, הצמוד של <math> \hat{U} </math>, הוא שחלוף המצמוד המורכב של המטריצה המייצגת.

משום כך (מהשוויון האמצעי) אופרטור שיוצר התמרה משמרת אנרגיה חייב לקיים:

: <math> \hat{U}^{\dagger} \hat{U} = I </math>

כאשר <math> I </math> הוא אופרטור הזהות והאופרטור <math> \hat{U} </math> נקרא אופרטור אוניטרי. כלומר האוניטריות הכרחית בכדי להבטיח שימור אנרגיה בהתמרות מצב.

=== אופרטורים הרמיטיים ושימור אנרגיה ===

אם <math> \tau </math> גודל אינפיטיסימלי ממשי <math> dt </math>, אז ההמרה האוניטרית קרובה מאוד למטריצת הזהות (המצב הסופי קרוב מאוד למצב ההתחלתי) וניתן לכתוב אותה כך:
: <math> \hat{U} \approx I - i\hat{H}\tau </math>

ואת ההתמרה הצמודה על ידי:
: <math> \hat{U}^{\dagger} \approx I + i\hat{H}^{\dagger}\tau </math>.

הגורם <math> i </math> מוסף מטעמי נוחות (שכן יכולנו לבלוע אותו לתוך H). תחת מוסכמה זו, אפשר להראות כי שימור אנרגיה מחייב את H להיות אופרטור הרמיטי וכי H קשור לאנרגיה של חלקיק.

שימור האנרגיה מחייב:
: <math> I = \hat{U}^{\dagger} \hat{U} \approx \left ( I + i\hat{H}^{\dagger}\tau \right ) \left ( I - i\hat{H}\tau \right ) \approx I + i\hat{H}^{\dagger}\tau - i\hat{H}\tau + \hat{H}^\dagger \hat{H} \tau^2 .</math>

מאחר ש־<math>\tau</math> אינפיניטסימלי, ניתן להזניח את <math> \tau^2</math> בייחס <math>\tau</math>, כלומר להשמיט את האיבר האחרון. ויתר על כן, אם H שווה לצמוד שלו:

: <math> \hat{H} = \hat{H}^{\dagger}</math>,

נקבל "זהות" (<math> I \approx I</math>), ומכאן נובע:
: <math> \hat{U}^{\dagger} \hat{U} = I </math>.
כך שהאנרגיה אכן נשמרת (עבור העתקה אינפיניטסימלית בזמן <math> \tau= dt\, </math>).

אופרטורים השווים לצמוד שלהם נקראים הרמיטיים.

ההעתקה האינפיניטסימלית של מצב קיטוב היא:
: <math> |\phi (t+dt) \rangle - |\phi (t) \rangle = -i\hat{H} dt |\phi (t)\rangle </math> .

לפיכך, שימור אנרגיה מחייב התמרה אינפיניטסימלית של מצב קיטוב המתרחשות באמצעות הפעלת אופרטור הרמיטי. בעוד שגזרנו זאת בצורה קלאסית, הרעיון של אופרטור הרמיטי שיוצר התמרה אינפיניטסימלית משמרת אנרגיה מהווה בסיס חשוב למכניקת הקוונטים. הגזירה של משוואת שרדינגר נובעת ישירות ממושג זה.

== אנלוגיה קוונטית לאלקטרודינמיקה הקלאסית ==
הדיון והפיתוח עד כה היה קלאסי לחלוטין. עם זאת, הפיתוח המכני־קוונטי עבור חלקיקים אנלוגי ועוקב אחר הפיתוח ממשוואות מקסוול עבור האלקטרודינמיקה. זוהי עדות חזקה לכלליות של משוואות מקסוול, שניתן להפוך את פיתוח מהן לקוונטי כמעט רק בעזרת שינויי פרשנות לגדלים הקלאסי.
תחילה, האנלוגיה ל"ווקטורי המצב" הקלאסיים <math> \vert\phi\rangle</math>, בתיאור הקלאסי, הם וקטורי מצב קוונטיים בתיאור הפוטונים. בסעיפים הבאים נראה את ההנלוגיות עבור גדלים אחרים.

=== אנרגיה, תנע ותנע זוויתי של פוטונים ===
==== אנרגיה ====
הפרשנות המחודשת הזו, מימיה המוקדמים של התורה הקוונטית, התבססה על הניסויים של מקס פלאנק ועל הפרשנות של אלברט איינשטיין לאותם הניסויים, על־פיה קרינה אלקטרומגנטית מורכבת ממנות אנרגיה ("קוונטות") בגודל ידוע (שלא מתפצלות, נוצרות או נעלמות חוץ מכשהן נפלטות או נבלעות בחומר), המכונות פוטונים. האנרגיה של כל מנה מתכוּנתית לתדירות הזוויתית של הגל לפי הייחס<math display="block"> \epsilon = \hbar\omega </math>כאשר <math> \hbar </math> הוא גודל שנקבע בניסוי ומכונה קבוע פלאנק המצומצם.

כלומר, האנרגיה העצורה בשדה האלקטרומגנטי של <math> N </math> פוטונים בקופסה בעלת נפח <math> V </math> (בהזנחת אנרגיית האפס) היא<math display="block"> N\hbar\omega </math>וצפיפות האנרגיה שווה<math display="block"> {N \hbar \omega \over V}. </math>ניתן לקשר את האנרגיה של פוטון לשדות קלאסיים באמצעות עקרון ההתאמה הקובע, כי עבור מספר רב של פוטונים, החישוב הקוונטי והקלאסי חייבים להתכנס לערך זהה. לפיכך, עבור <math> N </math> גדול מאוד, צפיפות האנרגיה הקוונטית חייבת להיות זהה לצפיפות האנרגיה הקלאסית<math display="block"> {N \hbar \omega \over V} = \mathcal{E}_c = \frac{\left|\vec{E} \right|^2}{8\pi}. </math>אז במצב קוהרנטי המספר הממוצע של פוטונים בתיבה הוא<math display="block"> N = \frac{V}{8\pi \hbar \omega} \left| \vec{E} \right|^2.</math>

==== תנע ====
עקרון ההתאמה קובע גם את התנע והתנע הזוויתי של הפוטון. צפיפות התנע היא<math display="block"> \mathcal{P}_c = {N \hbar \omega \over cV} = {N \hbar k \over V} </math> מה שמרמז שהתנע של פוטון יחיד הוא<math display="block"> \hbar k </math>(או באופן שקול: <math display="inline"> h \over \lambda </math> ).

==== תנע זוויתי וספין ====
באופן דומה, עבור התנע הזוויתי<math display="block"> \mathcal{L} = { 1 \over \omega } \mathcal{E}_c \left ( \left| \psi_R \right|^2 - \left| \psi_L \right|^2 \right ) = { \hbar \over V } \left ( \left|\psi_R \right|^2 - \left| \psi_L \right|^2 \right )</math>מה שמרמז שהתנע הזוויתי של פוטון יחיד שווה<math display="block"> l_z = \hbar \left ( \left| \psi_R \right|^2 - \left| \psi_L \right|^2 \right ).</math>הפרשנות הקוונטית של ביטוי זה היא שלפוטון יש הסתברות של <math> \left|\psi_R \right|^2 </math> להיות בעל תנע זוויתי השווה <math> \hbar </math> והסתברות של <math> \left| \psi_L \right|^2 </math> להיות בעל תנע זוויתי <math> -\hbar </math>. כך שאנו יכולים לחשוב על התנע הזוויתי של הפוטון, כמו גם על האנרגיה, כמקוונטט. ועובדה זו אכן אומתה בניסוי – אכן נצפו רק פוטונים בעלי תנע זוויתית של <math> \pm \hbar </math> .

===== אופרטור ספין =====
הספין של הפוטון מוגדר כמקדם של <math> \hbar </math> בחישוב התנע הזוויתי. לפוטון יש ספין שערכו 1 אם הוא נמצא במצב <math> | R \rangle </math> וספין שערכו <math>-1</math> אם הוא נמצא במצב <math> | L \rangle </math>. אופרטור הספין מוגדר כמכפלה החיצונית<math display="block"> \hat{S} \equiv |R\rangle \langle R | - |L\rangle \langle L | = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} .</math>הווקטורים העצמיים של אופרטור הספין הם <math> |R\rangle </math> ו־<math> |L\rangle </math> עם ערכים עצמיים <math>1</math> ו־<math>-1</math>, בהתאמה.

כמו כן, התוחלת של מדידת ספין של פוטון שווה<math display="block"> \langle \psi |\hat{S} |\psi\rangle = \left|\psi_R \right|^2 - \left| \psi_L \right|^2. </math>האופרטור S קשור לתנע הזוויתי, שהוא גודל הניתן למדידה. הערכים העצמיים של האופרטור הם הערכים שייתכן כי יתקבלו בדידה על ידי ניסוי. קביעה זו נכונה עבור מומנטום זוויתי, אבל גם באופן כללי, עבור כל גודל נצפה (כלומר גודל פיזיקלי שניתן למדוד).

=== הסתברות עבור פוטון בודד ===
ישנן שתי דרכים בהן ניתן להביע בפרשנות הסתברותית את התנהגות הפוטונים; ניתן להשתמש בהסתברות ככלי לחשב את המספר המסתבר של פוטונים במצב מסוים, או לחלופין ניתן להשתמש בהסתברות ככלי לחישוב הסבירות של פוטון בודד להיות במצב מסוים. ההסבר הראשון נראה כמפר את שימור האנרגיה. דיראק מסביר זאת בהקשר של ניסוי שני הסדקים:

הסבר זה מיושן במובן מסוים, או אפילו ארכאי<ref group="הערה">כפי שמקובל לחשוב היום, פונקציית גל של פוטון בודד היא הרעיון שנוי במחלוקת <small>()</small>, שההסתברות במצבים קוהרנטיים אכן מביעה את מספר הפוטונים המסתבר, הנתון על ידי התפלגות פואסונית של המצב הקוהרנטי. וכן, פוטונים שונים אכן יכולים להתאבך <small>()</small>.</ref>. יהיה נכון יותר לומר כי הפירוש ההסתברותי הראשון (מספר הפוטונים המסתבר שיאכלסו מצב) חל על אור תרמי או על אור קוהרנטי (ראה אופטיקה קוונטית), והפירוש השני אפשרי למצב פוק של פוטון בודד. אך לעצם עניינו, ההקבלה למשוואת שדינגר (שכאמור נוגעת לחלקיקים מסיביים לא ייחסותיים), הפרשנות השנייה היא אנלוגיה מתבקשת.

==== משרעת ההסתברות ====
ההסתברות של פוטון להיות במצב קיטוב מסוים תלויה בשדות כפי שחושבו על ידי משוואות מקסוול הקלאסיות: פונקציית המצב של הפוטון מתכונתית לשדה, צפיפות ההסתברות היא ריבועית ערך השדות (וכתוצאה מכך היא גם ריבוע הערך המוחלט של המצב הקוונטי של הפוטון)<ref group="הערה">שוב, לייתר דיוק, בפוטונים ריבוע השדות ייתן את תוחלת של מספר הפוטונים במצב קוהרנטי באזור מוגבל של המרחב. וכן, ההסתברות של פוטון להיות במצב קיטוב מסוים תלויה בהתפלגות צפיפות ההסתברות במרחב, והיא זו שנובעת ממתפלגות השדות כפי שחושבה על ידי משוואות מקסוול הקלאסיות (בייצוג P של גלאובר־סודארשן <sup>הערך באנגלית</sup> של מצב פוק של פוטון יחיד).</ref>. על כן, אפשר לומר באנלוגיה, שבמכניקת הקוונטים פונקציית המצב או משרעת ההסתברות של חלקיק בודד מכילות את מידע ההסתברות הבסיסי. באופן כללי, הכללים להרכבת משרעות הסתברות נראים מאוד כמו הכללים הקלאסיים להרכבת הסתברויות: (מתוך "Baym" לקריאה נוספת)

== גלי דה־ברויי ==
לואי דה־ברויי. דה־ברויי קיבל את [[פרס נובל לפיזיקה בשנת 1929 על זיהויו של גלים עם חלקיקים.]]
בשנת 1923 התייחס לואי דה־ברויי לשאלה האם כל החלקיקים הם בעלי אופי שָׁנוּי – גם בעלי תכונות גליות וגם בעלי תכונות חלקיקיות – בדומה לפוטון. פוטונים שונים מחלקיקים רבים אחרים בכך שהם חסרי מסה ונעים במהירות האור. בפרט, שאל דה־ברויי, האם חלקיק שיש לו אופי גלי־חלקיקי שכזה עולה בקנה אחד עם שתי התרומות הגדולות של איינשטיין משנת 1905, תורת היחסות הפרטית והקוונטיזציה של אנרגיה ותנע ובאופן עקבי. התשובה לכך התבררה כחיובית. האופי הגל־חלקיק של אלקטרונים נצפה בניסוי כבר בשנת 1927, שנתיים לאחר גילוי משוואת שרדינגר ובניסויים רבים מאוד מאז.

=== השערת דה־ברויי ===
דה־ברויי הניח שלכל חלקיק יש ביטוי גם כחלקיק וגם כגל, כך שהתדירות הזוויתית, <math> \omega </math>, ומספר גל, <math> k </math>, "של הגל" קשורים לאנרגיה E ולתנע p "של החלקיק", על ידי:<math display="block"> E = \hbar \omega </math><math display="block"> p = \hbar k.</math>בכך השאלת העקביות הכללית הצטמצמה לשאלה: האם כל צופה שהוא, בכל מערכת ייחוס אינרציאלית, יסכים על פאזת הגל. אם כן, אז תיאור הקוונטי דמוי גל של חלקיקים עשוי להתאים לתורת היחסות הפרטית.

==== מערכת המנוחה ====
תחילה נסתכל על מערכת המנוחה של החלקיק. במערכת זו, הקשר בין התדירות הזוויתית והאנרגיה תיתן על ידי<math display="block"> E_0 = mc^2 = \hbar \omega_0 </math>והקשר בין מספר הגל לתנע על ידי<math display="block"> p_0 = 0 = \hbar k_0 </math>כאשר m היא מסת (המנוחה) החלקיק.

זה מתאר גל בעל אורך גל ומהירות מופע אינסופיים<math display="block"> v_{\phi} = {\omega_0 \over k_0 }. </math>הגל עשוי להיכתב כמתכונתי לפונקציה הזמנית<ref group="הערה">הפונקציה הזמנית (או הרכיב הזמני) – פרושה הקשורה בזמן, כניגוד לפנקציה המרחבית (או הרכיב המרחבי).</ref><math display="block"> \cos(\omega_0 t).</math>מצד שני, זהו גם פתרון מתנד הרמוני פשוט, עליו ניתן לחשוב כמעין "שעון" במסגרת המנוחה של החלקיק. אפשר בקלות לדמיין שעון ה"מתקתק" באותו תדר שבו הגל מתנודד, למשל בכל פעם שהרכיב הזמני לעיל שווה ל־1. התדירות המשותפת מאפשרת לנו גם לסנכרן את מופעי הגל והשעון. כלומר לתזמן אותם כך שזמן ה־0, זמן ההתחלה, של השעון והגל, שווים.

==== מערכת הצופה ====
הוצג כי מופע הגל במערכת הצופה זהה למופע הגל במערכת החלקיק, על כן גם השעונים בשתי המערכות זהים. ישנה, אם כך, עקביות של שתי נקודות המבט – הגלית והחלקיקית – בתורת היחסות הפרטית.

===== מופע השעון של הצופה =====
במערכת הצופה הנע במהירות יחסית v בייחס לחלקיק, "שעון החלקיק" צפוי לתקתק בתדירות<math display="block"> \omega_c = {\omega_0 \over \gamma} </math>כאשר<math display="block"> \gamma = {1 \over \sqrt{1-{v^2 \over c^2} } } </math>הוא גורם לורנץ המתאר את התארכות הזמן של שעון החלקיק כפי שהיא נצפת על ידי הצופה.

המופע של שעון הצופה הוא<math display="block"> \omega_c t = {\omega_0 \over \gamma} ( \gamma t_0 ) = \omega_0 t_0 </math>כש־<math> t_0 </math> הוא זמן שנמדד במערכת החלקיק. כלומר שני השעונים, שעון הצופה ושעון החלקיק, "מסכימים" על המופע.

===== מופע גל של הצופה =====
במערכת הצופה התדירות ומספר הגל של הגל נתונים על ידי<math display="block"> E = \gamma m_o c^2 = \hbar \omega = \gamma \hbar \omega_o </math>וכן<math display="block"> \vec{p} = \gamma m_o \vec{v} = \hbar \vec{k} = \frac{\gamma \hbar \omega_o \vec{v}}{c^2} </math>עם מהירות מופע<math display="block"> v_{\phi} = {\omega \over k} = {E \over p} = {c^2 \over v} .</math>המופע של הגל במערכת הצופה הוא<math display="block"> \omega t - k x = \omega t - {\omega \over v_{\phi}} vt = \omega t \left ( 1- {v^2 \over c^2} \right ) = {\omega t \over \gamma^2} = {1 \over \gamma^2}{\gamma m_oc^2 \over \hbar} (\gamma t_o ) = \omega_o t_o = \omega_c t .</math>המופע של הגל במערכת הצופה זהה למופע במערכת החלקיק, באותו אופן שמופעי השעונים בערכת החלקיק ובמערכת הצופה זהים. נקודת המבט הגלים של חלקיקים תואמת אפוא את תורת היחסות הפרטית.

למעשה, אנו יודעים כעת שניתן לכתוב את היחסים הללו בצורה תמציתית באמצעות הסימון ה־4־וקטורי, כמקובל ביחסות פרטית.

ארבעת ה־4־ווקטורים הרלוונטיים הם:
* ארבע־המאורע/המקום <math> \mathbf{X} = (ct,\vec{x})</math>
* ארבע־מהירויות <math> \mathbf{U} = \gamma (c,\vec{u})</math>
* ארבע־תנע <math> \mathbf{P} = \left(\frac{E}{c},\vec{p}\right)</math>
* ארבע־וקטור־גל <math> \mathbf{K} = \left(\frac{\omega}{c},\vec{k}\right) = \left(\frac{\omega}{c}, \frac{\omega}{v_\phi} \hat{n}\right)</math>

היחסים בין ה־4־וקטורים הם כדלקמן:
* <math> \mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d\tau}</math>
* <math> \mathbf{P} = \hbar \mathbf{K} = m_o \mathbf{U}</math>
* <math>\mathbf{K} = \left(\frac{m_o}{\hbar}\right) \mathbf{U} = \left(\frac{\omega_o}{c^2}\right)\mathbf{U}</math>

המופע של הגל הוא השמורה (אינווריאנט) הייחסותי:<math display="block">\mathbf{K}\cdot\mathbf{X} = \omega t - \vec{k} \cdot \vec{x} = \omega_o t_o = \omega_o \tau </math>

== אטום בוהר ==
[[נילס בוהר. בשנת 1922 הוענק פרס נובל לפיזיקה לנילס בוהר על תרומתו להבנת מכניקת הקוונטים.]]

=== חוסר ההתאמה של התצפית עם פיזיקה קלאסית ===
השערת דה־ברויי עזרה לפתור בעיות בולטות בפיזיקה האטומית. הפיזיקה הקלאסית לא הצליחה להסביר את ההתנהגות הנצפית של אלקטרונים באטומים. ובפרט, אלקטרונים מואצים פולטים קרינה אלקטרומגנטית לפי נוסחת לרמור (באנגלית). לכן אלקטרונים המקיפים את הגרעין צריכים לאבד אנרגיה לקרינה ולקרוס לתוך הגרעין. תופעה זו לא נצפית, שכן האטומים יציבים בטווחי זמן ארוכים בסדרי גודל ממה שחוזה נוסחת לרמור הקלאסית.

בנוסף לכך, נודע כי אטומים מעוררים פולטים קרינה בתדרים בדידים. איינשטיין השתמש בעובדה זו כדי לפרש את מנות אור עם אנרגיה בדידה, למעשה, כחלקיקים "אמיתיים". אולם אם החלקיקים ה"אמיתיים" הללו נפלטים מאטומים במנות אנרגיה בדידות, חייבים החלקיקים הפולטים אותם, קרי האלקטרונים, לשנות את האנרגיה שלהם במנות אנרגיה בדידות גם הם? אין שום תופעה מוכרת במכניקה הניוטונית שמסביר התנהגות שכזו.

השערת דה־ברויי עזרה להסביר את התופעות הללו בכך שהגבילה את המצבים ה"מותרים" עבור כל אלקטרון הסובב באטום, רק לאותם המצבים המאפשרים גלים עומדים הקשורים לאותו האלקטרון.

=== סדרת בלמר ===
סדרת בלמר מציגה את התדרים של אור היכולים להיפלט מאטום מימן מעורר:

: <math> \hbar \omega_n = R \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2}\right) \quad n=3,4,5,\dots</math>

כאשר R ידוע בתור קבוע רידברג ושווה ל־13.6 אלקטרון־וולט.

=== הנחות היסוד של מודל בוהר ===
מודל בוהר, שהוצג ב־1913, היה ניסיון לספק בסיס תאורטי לסדרת בלמר. הנחות המודל הן:

# האלקטרונים הסובבים את הגרעין באטום קיימים במסלולים מעגליים בעלי אנרגיות מקוונטטות בדידות. כלומר, לא כל מסלול אפשרי אלא רק מסלולים מסוימים (הנקראים גם אורביטלים).
# חוקי המכניקה הקלאסית אינם חלים כאשר אלקטרונים עושים קפיצה ממסלול מותר אחד לאחר.
# כאשר אלקטרון מבצע קפיצה ממסלול אחד למשנהו, הפרש האנרגיה נפלט (או מסופק) על ידי קוונטה אחת של אור (הנקראת פוטון) עם אנרגיה השווה להפרש האנרגיה בין שני האורביטלים.
# המסלולים המותרים הם אלו עם ערכים (בדידים) של תנע זוויתי מסלולי, L, לפי המשוואה: <math>L = n \hbar</math>כאשר <math>n = 1,2,3,...</math> נקרא המספר הקוונטי העיקרי.

=== השלכות המודל של בוהר ===
התנאי לתנועה במסלול מעגלי הוא שהכוח הצנטריפוגלי מאזן את כוח המשיכה של האלקטרון לגרעין:

: <math> {mv^2 \over r } = </math>

כש־e הוא המטען האלקטרון (או הפרוטון) בערך מוחלט.

והאנרגיה של האלקטרון הסובב היא

: <math> E = {1 \over 2} m v^2 - \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} </math>

: <math> |L\rangle \equiv {1 \over \sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} </math>.

=== אופרטורים אוּניטריים ושימור אנרגיה ===

גל יכול לעבור התמרה, למשל, על ידי מעבר דרך גביש שבירה כפולה או דרך חריצים בסריג עקיפה. אנו יכולים להגדיר את התמרת המצב מהמצב בזמן t למצב בזמן <math> (t + \tau)</math> כ־

: <math> | \phi (t + \tau) \rangle = \hat{U}(\tau) | \phi (t) \rangle </math>.

כדי לשמור על שימור האנרגיה של הגל שאנו דורשים:

: <math> \langle \phi (t + \tau)| \phi (t + \tau) \rangle = \langle \phi(t) | \hat{U}^{\dagger}(\tau) \hat{U}(\tau) | \phi(t) \rangle = \langle \phi(t) | \phi(t) \rangle = 1 </math>

כאשר <math> \hat{U}^{\dagger} </math>, הצמוד של <math> \hat{U} </math>, הוא שחלוף המצמוד המורכב של המטריצה המייצגת.

משום כך (מהשוויון האמצעי) אופרטור שיוצר התמרה משמרת אנרגיה חייב לקיים:

: <math> \hat{U}^{\dagger} \hat{U} = I </math>

כאשר <math> I </math> הוא אופרטור הזהות והאופרטור <math> \hat{U} </math> נקרא אופרטור אוניטרי. כלומר האוניטריות הכרחית בכדי להבטיח שימור אנרגיה בהתמרות מצב.

=== אופרטורים הרמיטיים ושימור אנרגיה ===

אם <math> \tau </math> גודל אינפיטיסימלי ממשי <math> dt </math>, אז ההמרה האוניטרית קרובה מאוד למטריצת הזהות (המצב הסופי קרוב מאוד למצב ההתחלתי) וניתן לכתוב אותה כך:
: <math> \hat{U} \approx I - i\hat{H}\tau </math>

ואת ההתמרה הצמודה על ידי:
: <math> \hat{U}^{\dagger} \approx I + i\hat{H}^{\dagger}\tau </math>.

הגורם <math> i </math> מוסף מטעמי נוחות (שכן יכולנו לבלוע אותו לתוך H). תחת מוסכמה זו, אפשר להראות כי שימור אנרגיה מחייב את H להיות אופרטור הרמיטי וכי H קשור לאנרגיה של חלקיק.

שימור האנרגיה מחייב:
: <math> I = \hat{U}^{\dagger} \hat{U} \approx \left ( I + i\hat{H}^{\dagger}\tau \right ) \left ( I - i\hat{H}\tau \right ) \approx I + i\hat{H}^{\dagger}\tau - i\hat{H}\tau + \hat{H}^\dagger \hat{H} \tau^2 .</math>

מאחר ש־<math>\tau</math> אינפיניטסימלי, ניתן להזניח את <math> \tau^2</math> בייחס <math>\tau</math>, כלומר להשמיט את האיבר האחרון. ויתר על כן, אם H שווה לצמוד שלו:

: <math> \hat{H} = \hat{H}^{\dagger}</math>,

נקבל "זהות" (<math> I \approx I</math>), ומכאן נובע:
: <math> \hat{U}^{\dagger} \hat{U} = I </math>.
כך שהאנרגיה אכן נשמרת (עבור העתקה אינפיניטסימלית בזמן <math> \tau= dt\, </math>).

אופרטורים השווים לצמוד שלהם נקראים הרמיטיים.

ההעתקה האינפיניטסימלית של מצב קיטוב היא:
: <math> |\phi (t+dt) \rangle - |\phi (t) \rangle = -i\hat{H} dt |\phi (t)\rangle </math> .

לפיכך, שימור אנרגיה מחייב התמרה אינפיניטסימלית של מצב קיטוב המתרחשות באמצעות הפעלת אופרטור הרמיטי. בעוד שגזרנו זאת בצורה קלאסית, הרעיון של אופרטור הרמיטי שיוצר התמרה אינפיניטסימלית משמרת אנרגיה מהווה בסיס חשוב למכניקת הקוונטים. הגזירה של משוואת שרדינגר נובעת ישירות ממושג זה.

== אנלוגיה קוונטית לאלקטרודינמיקה הקלאסית ==
הדיון והפיתוח עד כה היה קלאסי לחלוטין. עם זאת, הפיתוח המכני־קוונטי עבור חלקיקים אנלוגי ועוקב אחר הפיתוח ממשוואות מקסוול עבור האלקטרודינמיקה. זוהי עדות חזקה לכלליות של משוואות מקסוול, שניתן להפוך את פיתוח מהן לקוונטי כמעט רק בעזרת שינויי פרשנות לגדלים הקלאסי.
תחילה, האנלוגיה ל"ווקטורי המצב" הקלאסיים <math> \vert\phi\rangle</math>, בתיאור הקלאסי, הם וקטורי מצב קוונטיים בתיאור הפוטונים. בסעיפים הבאים נראה את ההנלוגיות עבור גדלים אחרים.

=== אנרגיה, תנע ותנע זוויתי של פוטונים ===
==== אנרגיה ====
הפרשנות המחודשת הזו, מימיה המוקדמים של התורה הקוונטית, התבססה על הניסויים של מקס פלאנק ועל הפרשנות של אלברט איינשטיין לאותם הניסויים, על־פיה קרינה אלקטרומגנטית מורכבת ממנות אנרגיה ("קוונטות") בגודל ידוע (שלא מתפצלות, נוצרות או נעלמות חוץ מכשהן נפלטות או נבלעות בחומר), המכונות פוטונים. האנרגיה של כל מנה מתכוּנתית לתדירות הזוויתית של הגל לפי הייחס<math display="block"> \epsilon = \hbar\omega </math>כאשר <math> \hbar </math> הוא גודל שנקבע בניסוי ומכונה קבוע פלאנק המצומצם.

כלומר, האנרגיה העצורה בשדה האלקטרומגנטי של <math> N </math> פוטונים בקופסה בעלת נפח <math> V </math> (בהזנחת אנרגיית האפס) היא<math display="block"> N\hbar\omega </math>וצפיפות האנרגיה שווה<math display="block"> {N \hbar \omega \over V}. </math>ניתן לקשר את האנרגיה של פוטון לשדות קלאסיים באמצעות עקרון ההתאמה הקובע, כי עבור מספר רב של פוטונים, החישוב הקוונטי והקלאסי חייבים להתכנס לערך זהה. לפיכך, עבור <math> N </math> גדול מאוד, צפיפות האנרגיה הקוונטית חייבת להיות זהה לצפיפות האנרגיה הקלאסית<math display="block"> {N \hbar \omega \over V} = \mathcal{E}_c = \frac{\left|\vec{E} \right|^2}{8\pi}. </math>אז במצב קוהרנטי המספר הממוצע של פוטונים בתיבה הוא<math display="block"> N = \frac{V}{8\pi \hbar \omega} \left| \vec{E} \right|^2.</math>

==== תנע ====
עקרון ההתאמה קובע גם את התנע והתנע הזוויתי של הפוטון. צפיפות התנע היא<math display="block"> \mathcal{P}_c = {N \hbar \omega \over cV} = {N \hbar k \over V} </math> מה שמרמז שהתנע של פוטון יחיד הוא<math display="block"> \hbar k </math>(או באופן שקול: <math display="inline"> h \over \lambda </math> ).

==== תנע זוויתי וספין ====
באופן דומה, עבור התנע הזוויתי<math display="block"> \mathcal{L} = { 1 \over \omega } \mathcal{E}_c \left ( \left| \psi_R \right|^2 - \left| \psi_L \right|^2 \right ) = { \hbar \over V } \left ( \left|\psi_R \right|^2 - \left| \psi_L \right|^2 \right )</math>מה שמרמז שהתנע הזוויתי של פוטון יחיד שווה<math display="block"> l_z = \hbar \left ( \left| \psi_R \right|^2 - \left| \psi_L \right|^2 \right ).</math>הפרשנות הקוונטית של ביטוי זה היא שלפוטון יש הסתברות של <math> \left|\psi_R \right|^2 </math> להיות בעל תנע זוויתי השווה <math> \hbar </math> והסתברות של <math> \left| \psi_L \right|^2 </math> להיות בעל תנע זוויתי <math> -\hbar </math>. כך שאנו יכולים לחשוב על התנע הזוויתי של הפוטון, כמו גם על האנרגיה, כמקוונטט. ועובדה זו אכן אומתה בניסוי – אכן נצפו רק פוטונים בעלי תנע זוויתית של <math> \pm \hbar </math> .

===== אופרטור ספין =====
הספין של הפוטון מוגדר כמקדם של <math> \hbar </math> בחישוב התנע הזוויתי. לפוטון יש ספין שערכו 1 אם הוא נמצא במצב <math> | R \rangle </math> וספין שערכו <math>-1</math> אם הוא נמצא במצב <math> | L \rangle </math>. אופרטור הספין מוגדר כמכפלה החיצונית<math display="block"> \hat{S} \equiv |R\rangle \langle R | - |L\rangle \langle L | = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} .</math>הווקטורים העצמיים של אופרטור הספין הם <math> |R\rangle </math> ו־<math> |L\rangle </math> עם ערכים עצמיים <math>1</math> ו־<math>-1</math>, בהתאמה.

כמו כן, התוחלת של מדידת ספין של פוטון שווה<math display="block"> \langle \psi |\hat{S} |\psi\rangle = \left|\psi_R \right|^2 - \left| \psi_L \right|^2. </math>האופרטור S קשור לתנע הזוויתי, שהוא גודל הניתן למדידה. הערכים העצמיים של האופרטור הם הערכים שייתכן כי יתקבלו בדידה על ידי ניסוי. קביעה זו נכונה עבור מומנטום זוויתי, אבל גם באופן כללי, עבור כל גודל נצפה (כלומר גודל פיזיקלי שניתן למדוד).

=== הסתברות עבור פוטון בודד ===
ישנן שתי דרכים בהן ניתן להביע בפרשנות הסתברותית את התנהגות הפוטונים; ניתן להשתמש בהסתברות ככלי לחשב את המספר המסתבר של פוטונים במצב מסוים, או לחלופין ניתן להשתמש בהסתברות ככלי לחישוב הסבירות של פוטון בודד להיות במצב מסוים. ההסבר הראשון נראה כמפר את שימור האנרגיה. דיראק מסביר זאת בהקשר של ניסוי שני הסדקים:

הסבר זה מיושן במובן מסוים, או אפילו ארכאי<ref group="הערה">כפי שמקובל לחשוב היום, פונקציית גל של פוטון בודד היא הרעיון שנוי במחלוקת <small>()</small>, שההסתברות במצבים קוהרנטיים אכן מביעה את מספר הפוטונים המסתבר, הנתון על ידי התפלגות פואסונית של המצב הקוהרנטי. וכן, פוטונים שונים אכן יכולים להתאבך <small>()</small>.</ref>. יהיה נכון יותר לומר כי הפירוש ההסתברותי הראשון (מספר הפוטונים המסתבר שיאכלסו מצב) חל על אור תרמי או על אור קוהרנטי (ראה אופטיקה קוונטית), והפירוש השני אפשרי למצב פוק של פוטון בודד. אך לעצם עניינו, ההקבלה למשוואת שדינגר (שכאמור נוגעת לחלקיקים מסיביים לא ייחסותיים), הפרשנות השנייה היא אנלוגיה מתבקשת.

==== משרעת ההסתברות ====
ההסתברות של פוטון להיות במצב קיטוב מסוים תלויה בשדות כפי שחושבו על ידי משוואות מקסוול הקלאסיות: פונקציית המצב של הפוטון מתכונתית לשדה, צפיפות ההסתברות היא ריבועית ערך השדות (וכתוצאה מכך היא גם ריבוע הערך המוחלט של המצב הקוונטי של הפוטון)<ref group="הערה">שוב, לייתר דיוק, בפוטונים ריבוע השדות ייתן את תוחלת של מספר הפוטונים במצב קוהרנטי באזור מוגבל של המרחב. וכן, ההסתברות של פוטון להיות במצב קיטוב מסוים תלויה בהתפלגות צפיפות ההסתברות במרחב, והיא זו שנובעת ממתפלגות השדות כפי שחושבה על ידי משוואות מקסוול הקלאסיות (בייצוג P של גלאובר־סודארשן <sup>הערך באנגלית</sup> של מצב פוק של פוטון יחיד).</ref>. על כן, אפשר לומר באנלוגיה, שבמכניקת הקוונטים פונקציית המצב או משרעת ההסתברות של חלקיק בודד מכילות את מידע ההסתברות הבסיסי. באופן כללי, הכללים להרכבת משרעות הסתברות נראים מאוד כמו הכללים הקלאסיים להרכבת הסתברויות: (מתוך "Baym" לקריאה נוספת)

== גלי דה־ברויי ==
לואי דה־ברויי. דה־ברויי קיבל את [[פרס נובל לפיזיקה בשנת 1929 על זיהויו של גלים עם חלקיקים.]]
בשנת 1923 התייחס לואי דה־ברויי לשאלה האם כל החלקיקים הם בעלי אופי שָׁנוּי – גם בעלי תכונות גליות וגם בעלי תכונות חלקיקיות – בדומה לפוטון. פוטונים שונים מחלקיקים רבים אחרים בכך שהם חסרי מסה ונעים במהירות האור. בפרט, שאל דה־ברויי, האם חלקיק שיש לו אופי גלי־חלקיקי שכזה עולה בקנה אחד עם שתי התרומות הגדולות של איינשטיין משנת 1905, תורת היחסות הפרטית והקוונטיזציה של אנרגיה ותנע ובאופן עקבי. התשובה לכך התבררה כחיובית. האופי הגל־חלקיק של אלקטרונים נצפה בניסוי כבר בשנת 1927, שנתיים לאחר גילוי משוואת שרדינגר ובניסויים רבים מאוד מאז.

=== השערת דה־ברויי ===
דה־ברויי הניח שלכל חלקיק יש ביטוי גם כחלקיק וגם כגל, כך שהתדירות הזוויתית, <math> \omega </math>, ומספר גל, <math> k </math>, "של הגל" קשורים לאנרגיה E ולתנע p "של החלקיק", על ידי:<math display="block"> E = \hbar \omega </math><math display="block"> p = \hbar k.</math>בכך השאלת העקביות הכללית הצטמצמה לשאלה: האם כל צופה שהוא, בכל מערכת ייחוס אינרציאלית, יסכים על פאזת הגל. אם כן, אז תיאור הקוונטי דמוי גל של חלקיקים עשוי להתאים לתורת היחסות הפרטית.

==== מערכת המנוחה ====
תחילה נסתכל על מערכת המנוחה של החלקיק. במערכת זו, הקשר בין התדירות הזוויתית והאנרגיה תיתן על ידי<math display="block"> E_0 = mc^2 = \hbar \omega_0 </math>והקשר בין מספר הגל לתנע על ידי<math display="block"> p_0 = 0 = \hbar k_0 </math>כאשר m היא מסת (המנוחה) החלקיק.

זה מתאר גל בעל אורך גל ומהירות מופע אינסופיים<math display="block"> v_{\phi} = {\omega_0 \over k_0 }. </math>הגל עשוי להיכתב כמתכונתי לפונקציה הזמנית<ref group="הערה">הפונקציה הזמנית (או הרכיב הזמני) – פרושה הקשורה בזמן, כניגוד לפנקציה המרחבית (או הרכיב המרחבי).</ref><math display="block"> \cos(\omega_0 t).</math>מצד שני, זהו גם פתרון מתנד הרמוני פשוט, עליו ניתן לחשוב כמעין "שעון" במסגרת המנוחה של החלקיק. אפשר בקלות לדמיין שעון ה"מתקתק" באותו תדר שבו הגל מתנודד, למשל בכל פעם שהרכיב הזמני לעיל שווה ל־1. התדירות המשותפת מאפשרת לנו גם לסנכרן את מופעי הגל והשעון. כלומר לתזמן אותם כך שזמן ה־0, זמן ההתחלה, של השעון והגל, שווים.

==== מערכת הצופה ====
הוצג כי מופע הגל במערכת הצופה זהה למופע הגל במערכת החלקיק, על כן גם השעונים בשתי המערכות זהים. ישנה, אם כך, עקביות של שתי נקודות המבט – הגלית והחלקיקית – בתורת היחסות הפרטית.

===== מופע השעון של הצופה =====
במערכת הצופה הנע במהירות יחסית v בייחס לחלקיק, "שעון החלקיק" צפוי לתקתק בתדירות<math display="block"> \omega_c = {\omega_0 \over \gamma} </math>כאשר<math display="block"> \gamma = {1 \over \sqrt{1-{v^2 \over c^2} } } </math>הוא גורם לורנץ המתאר את התארכות הזמן של שעון החלקיק כפי שהיא נצפת על ידי הצופה.

המופע של שעון הצופה הוא<math display="block"> \omega_c t = {\omega_0 \over \gamma} ( \gamma t_0 ) = \omega_0 t_0 </math>כש־<math> t_0 </math> הוא זמן שנמדד במערכת החלקיק. כלומר שני השעונים, שעון הצופה ושעון החלקיק, "מסכימים" על המופע.

===== מופע גל של הצופה =====
במערכת הצופה התדירות ומספר הגל של הגל נתונים על ידי<math display="block"> E = \gamma m_o c^2 = \hbar \omega = \gamma \hbar \omega_o </math>וכן<math display="block"> \vec{p} = \gamma m_o \vec{v} = \hbar \vec{k} = \frac{\gamma \hbar \omega_o \vec{v}}{c^2} </math>עם מהירות מופע<math display="block"> v_{\phi} = {\omega \over k} = {E \over p} = {c^2 \over v} .</math>המופע של הגל במערכת הצופה הוא<math display="block"> \omega t - k x = \omega t - {\omega \over v_{\phi}} vt = \omega t \left ( 1- {v^2 \over c^2} \right ) = {\omega t \over \gamma^2} = {1 \over \gamma^2}{\gamma m_oc^2 \over \hbar} (\gamma t_o ) = \omega_o t_o = \omega_c t .</math>המופע של הגל במערכת הצופה זהה למופע במערכת החלקיק, באותו אופן שמופעי השעונים בערכת החלקיק ובמערכת הצופה זהים. נקודת המבט הגלים של חלקיקים תואמת אפוא את תורת היחסות הפרטית.

למעשה, אנו יודעים כעת שניתן לכתוב את היחסים הללו בצורה תמציתית באמצעות הסימון ה־4־וקטורי, כמקובל ביחסות פרטית.

ארבעת ה־4־ווקטורים הרלוונטיים הם:
* ארבע־המאורע/המקום <math> \mathbf{X} = (ct,\vec{x})</math>
* ארבע־מהירויות <math> \mathbf{U} = \gamma (c,\vec{u})</math>
* ארבע־תנע <math> \mathbf{P} = \left(\frac{E}{c},\vec{p}\right)</math>
* ארבע־וקטור־גל <math> \mathbf{K} = \left(\frac{\omega}{c},\vec{k}\right) = \left(\frac{\omega}{c}, \frac{\omega}{v_\phi} \hat{n}\right)</math>

היחסים בין ה־4־וקטורים הם כדלקמן:
* <math> \mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d\tau}</math>
* <math> \mathbf{P} = \hbar \mathbf{K} = m_o \mathbf{U}</math>
* <math>\mathbf{K} = \left(\frac{m_o}{\hbar}\right) \mathbf{U} = \left(\frac{\omega_o}{c^2}\right)\mathbf{U}</math>

המופע של הגל הוא השמורה (אינווריאנט) הייחסותי:<math display="block">\mathbf{K}\cdot\mathbf{X} = \omega t - \vec{k} \cdot \vec{x} = \omega_o t_o = \omega_o \tau </math>

== אטום בוהר ==
[[נילס בוהר. בשנת 1922 הוענק פרס נובל לפיזיקה לנילס בוהר על תרומתו להבנת מכניקת הקוונטים.]]

=== חוסר ההתאמה של התצפית עם פיזיקה קלאסית ===
השערת דה־ברויי עזרה לפתור בעיות בולטות בפיזיקה האטומית. הפיזיקה הקלאסית לא הצליחה להסביר את ההתנהגות הנצפית של אלקטרונים באטומים. ובפרט, אלקטרונים מואצים פולטים קרינה אלקטרומגנטית לפי נוסחת לרמור (באנגלית). לכן אלקטרונים המקיפים את הגרעין צריכים לאבד אנרגיה לקרינה ולקרוס לתוך הגרעין. תופעה זו לא נצפית, שכן האטומים יציבים בטווחי זמן ארוכים בסדרי גודל ממה שחוזה נוסחת לרמור הקלאסית.

בנוסף לכך, נודע כי אטומים מעוררים פולטים קרינה בתדרים בדידים. איינשטיין השתמש בעובדה זו כדי לפרש את מנות אור עם אנרגיה בדידה, למעשה, כחלקיקים "אמיתיים". אולם אם החלקיקים ה"אמיתיים" הללו נפלטים מאטומים במנות אנרגיה בדידות, חייבים החלקיקים הפולטים אותם, קרי האלקטרונים, לשנות את האנרגיה שלהם במנות אנרגיה בדידות גם הם? אין שום תופעה מוכרת במכניקה הניוטונית שמסביר התנהגות שכזו.

השערת דה־ברויי עזרה להסביר את התופעות הללו בכך שהגבילה את המצבים ה"מותרים" עבור כל אלקטרון הסובב באטום, רק לאותם המצבים המאפשרים גלים עומדים הקשורים לאותו האלקטרון.

=== סדרת בלמר ===
סדרת בלמר מציגה את התדרים של אור היכולים להיפלט מאטום מימן מעורר:

: <math> \hbar \omega_n = R \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2}\right) \quad n=3,4,5,\dots</math>

כאשר R ידוע בתור קבוע רידברג ושווה ל־13.6 אלקטרון־וולט.

=== הנחות היסוד של מודל בוהר ===
מודל בוהר, שהוצג ב־1913, היה ניסיון לספק בסיס תאורטי לסדרת בלמר. הנחות המודל הן:

# האלקטרונים הסובבים את הגרעין באטום קיימים במסלולים מעגליים בעלי אנרגיות מקוונטטות בדידות. כלומר, לא כל מסלול אפשרי אלא רק מסלולים מסוימים (הנקראים גם אורביטלים).
# חוקי המכניקה הקלאסית אינם חלים כאשר אלקטרונים עושים קפיצה ממסלול מותר אחד לאחר.
# כאשר אלקטרון מבצע קפיצה ממסלול אחד למשנהו, הפרש האנרגיה נפלט (או מסופק) על ידי קוונטה אחת של אור (הנקראת פוטון) עם אנרגיה השווה להפרש האנרגיה בין שני האורביטלים.
# המסלולים המותרים הם אלו עם ערכים (בדידים) של תנע זוויתי מסלולי, L, לפי המשוואה: <math>L = n \hbar</math>כאשר <math>n = 1,2,3,...</math> נקרא המספר הקוונטי העיקרי.

=== השלכות המודל של בוהר ===
התנאי לתנועה במסלול מעגלי הוא שהכוח הצנטריפוגלי מאזן את כוח המשיכה של האלקטרון לגרעין:

: <math> {mv^2 \over r } = </math>

כש־e הוא המטען האלקטרון (או הפרוטון) בערך מוחלט.

והאנרגיה של האלקטרון הסובב היא

: <math> E = {1 \over 2} m v^2 -