סטטיסטי הסדר

פונקציות הצפיפות של סטטיסטי הסדר עבור מדגם בגודל n = 5 מהתפלגות מעריכית עם פרמטר <math>\lambda=1</math>]]
בסטטיסטיקה, סטטיסטי הסדר ה - <math>k</math> של מדגם מקרי שווה לערך ה-<math>k</math> בגודלו של המדגם. סטטיסטים הממבוססים על דרגות ועל סטטיסטי הסדר הם בין הכלים הבסיסיים ביותר בסטטיסטיקה א-פרמטרית.

דוגמאות חשובות לסטטיסטי סדר ולסטטיסטים המבוססים עליהם הם המינימום והמקסימום של המדגם, החציון ורבעונים אחרים.

== סימונים ודוגמאות ==
לדוגמה, נניח שנתון לנו מדגם אקראי עם ארבעה ערכים

<math>8,3,9,6</math>

סטטיסטי הסדר הם

<math>x_{(1)}=3,\ \ x_{(2)}=6,\ \ x_{(3)}=8,\ \ x_{(4)}=9\,</math>

כאשר <math display="inline">X_{(i)}</math> מסמן את סטטיסטי הסדר ה-i של המדגם.

סטטיסטי הסדר הראשון (או סטטיסטי הסדר הקטן) הוא המינימום של המדגם,

<math>X_{(1)}=\min\{\,X_1,\ldots,X_n\,\}</math>

כאשר, בהתאם למוסכמות, אנחנו מסמנים משתנים מקריים באותיות גדולות ותוצאות נתונות של המדגם באותיות קטנות.

באופן דומה, עבור מדגם בגודל <math>n</math>, סטטיסטי הסדר ה-<math>n</math>-י (או סטטיסטי הסדר הגדול ביותר) הוא המקסימום של המדגם,

<math>X_{(n)}=\max\{\,X_1,\ldots,X_n\,\}.</math>

הטווח של המדגם הוא ההפרש בין המקסימום למינימום. הטווח הוא פונקציה של סטטיסטי הסדר:

<math>{\rm Range}\{\,X_1,\ldots,X_n\,\} = X_{(n)}-X_{(1)}.</math>

חציון המדגם הוא סטטיסטי סדר כאשר גודל המדגם אי זוגי מאחר שיש ערך אמצעי יחיד בין ערכי המדגם. כלומר, אם <math>n=2m+1</math> עבור מספר שלם לא שלילי <math>m</math>, אז חציון המדגם הוא <math>X_{(m)}</math> ואז הוא גם סטטיסטי סדר. לעומת זאת אם <math>n</math> הוא זוגי, <math>n=2m</math> (<math>m</math> מספר טבעי) וישנם שני ערכי אמצע, <math>X_{(m)}</math> ו-<math display="inline">X_{(m+1)}</math>, ואז חציון המדגם הוא פונקציה של שני הערכים (בדרך כלל הממוצע) והחציון עצמו אינו סטטיסטי סדר. הערות דומות נכונות לשאר שברוני המדגם.

דוגמה חשובה בסטטיסטיקה תיאורית הוא הטווח הבין רבעוני שגם הוא פונקציה של סטטיסטי סדר.

== פונקציות ההתפלגות והצפיפות של סטטיסטי סדר ==
בהינתן מדגם מקרי, <math>X_1,...,X_n</math>, של משתנים מקריים בלתי תלויים רציפים ושווי התפלגות, עם פונקציית התפלגות <math>F_X(x)</math>, פונקציית ההתפלגות של סטטיסטי הסדר ה-<math>k</math>-י היא:
:<math>F_{X_{(k)}}(x) = \sum_{j=k}^{n} \binom nj [ F_{X}(x) ]^{j} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-j}</math>
אם בנוסף, <math>F_X(x)</math> רציפה בהחלט ולכן גזירה, קיימת פונקציית צפיפות:
 <math>f_{X}(x) = F'_{X}(x) </math>
במקרה כזה פונקציית הצפיפות של סטטיסטי הסדר ה-<math>k</math>-י היא:
:<math>f_{X_{(k)}}(x) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} f_{X}(x) [ F_{X}(x) ]^{k-1} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-k}</math>
הוכחה:
לכל משתנה מקרי <math>X_i</math> נגדיר משתנה מקרי <math>I_i</math> שמקיים <math>I_i=1</math> כאשר <math>X_i\leq x</math> ואחרת <math>I_i=0</math>. נגדיר משתנה מקרי נוסף, <math>Y= \sum_{i=0}^{n}I_i</math>. המשתנה המקרי <math>Y</math> סופר כמה ממשתני המדגם קטנים או שווים ל-<math>x</math> ולכן <math>Y\geq k</math> אם ורק אם <math>X_{(k)}\leq x</math>. המשתנה המקרי <math>Y</math> הוא משתנה בינומי, <math>Y \sim \mathrm{Bin}(n,F_X(x))</math> כאשר <math>F_X(x)=\Pr(X_i\leq x)</math>. לכן, פונקציית ההתפלגות של סטטיסטי הסדר ה-<math>k</math> היא:
:<math>F_{X_{(k)}}(x)=\Pr(X_{(k)}\leq x)=\Pr(Y\geq k)=\sum_{j=k}^{n} \binom nj [ F_{X}(x) ]^{j} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-j}</math>
אם <math>F_X(x)</math> רציפה בהחלט נוכל לקבל את פונקציית הצפיפות של סטטיסטי הסדר ה-<math>k</math>, אם נגזור את פונקציית ההתפלגות:
:<math>F'_{X_{(k)}}(x)=f_X(x)\left[\sum_{j=k}^{n} \binom nj j[ F_{X}(x) ]^{j-1} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-j}-\sum_{j=k}^{n-1} \binom nj (n-j)[ F_{X}(x) ]^{j} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-j-1}\right]</math>
נציב את נוסחת הבינום בשני הסכומים,
:<math>=f_X(x)\left[\sum_{j=k}^{n} \frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} [ F_{X}(x) ]^{j-1} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-j}-\sum_{j=k}^{n-1} \frac{n!}{j!(n-j-1)!} [ F_{X}(x) ]^{j} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-j-1}\right]</math>
נרשום בסכום מימין <math>j-1</math> במקום <math>j</math> ונשנה את גבולות הסכום בהתאם,
:<math>=f_X(x)\left[\sum_{j=k}^{n} \frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} [ F_{X}(x) ]^{j-1} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-j}-\sum_{j=k+1}^{n} \frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} [ F_{X}(x) ]^{j-1} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-j}\right]</math>
הכל מצטמצם פרט לאיבר הראשון בסכום השמאלי,
:<math>= \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} f_X(x)[ F_{X}(x) ]^{k-1} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-k} </math>
מ.ש.ל

== לקריאה נוספת ==
*

==קישורים חיצוניים==
* 

קטגוריה:סטטיסטיקה
קטגוריה:תורת ההסתברות