מודל אלקטרונים כמעט חופשיים

בפיזיקה של מצב מוצק, מודל אלקטרונים כמעט חופשיים הוא מודל קוונטי המתאר את תכונותיו של אלקטרונים היכולים לזוז באופן כמעט חופשי במבנה גבישי של מוצק. המודל מאפשר חישוב של מבנה הפסים של מוצקים – במיוחד במתכות – בעזרת ההנחה שהאלקטרונים נעים בתוך המוצק כמעט ללא הפרעה.

המודל של אלקטרונים כמעט חופשיים הוא הרחבה מיידית של מודל אלקטרונים חופשיים, שבו החומר נתפס כגז אלקטרונים חסר אינטראקציה והאטומים הנייטרלים זניחים לגמרי. בין שני המודלים, קיים גם מודל ביניים, מופשט יותר, שנקרא קירוב הסריג הריק .

== הסבר מתמטי ==
על פי המודל, פונקציית הגל של האלקטרונים מתנהגת בקירוב כמו גל מישורי של חלקיק חופשי.

על פי משפט בלוך, בהינתן הפרעה בעלת פוטנציאל מחזורי (כמו זו של סריג), פתרון משוואת שרדינגר יינתן על ידי פונקציית הגל:
<math display="block>\psi_{\textbf{k}}(\vec{r}) = u_{\textbf{k}}(\vec{r}) e^{i\textbf{k}\cdot\textbf{r}}</math>

כאשר ל-<math>u_{\textbf{k}}</math> יש את אותה מחזוריות כמו לגביש:

<math display="block">u_\textbf{k} = u_\textbf{k}(\textbf{r}+\textbf{T})</math>

לכל וקטור סריג T, כלומר: לכל וקטור T המחבר בין נקודות בגביש.

כלומר ניתן לראות שמה שמשתנה מבחינת האלקטרון בפאזה המקרו-סקופית, כלומר בלי להתייחס לערך המדויק של <math>u_\textbf{k}</math> (משום שהוא נקבע על פי המיקום בתוך התא בגביש), ניתן לראות שמה שמשתנה בפוקציית הגל היא בעיקר הפאזה, כלומר, ברמה המקרו-סקופית האלקטרונים בגביש המחזורי מתנהגים כמו אלקטרונים חופשיים.

מכיוון שהמודל קרוב למודל אלקטרונים חופשיים ניתן להניח:

<math display="block>\psi_{\textbf{k}}(\textbf{r}) \approx \frac{1}{\sqrt{\Omega_r}} e^{i\textbf{k}\cdot\textbf{r}}</math>

כאשר Ω<sub>r</sub> מייצג את הנפח של מצב של רדיוס r מתוקן (כפי שמיוצג בפרדוקס גיבס).

פונקציית הגל הנ"ל מוצבת במשוואת שרדינגר ומתקבלת המשוואה המרכזית.

=== פיתוח המשוואה המרכזית ===
ידועה לנו משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:

<math display="block>\hat{H}\psi = E\psi </math>

באופן כללי, ההמילטוניאן של אלקטרון שנמצא בפוטנציאל חשמלי:

<math display="block>\hat{H} = \frac{\hat{p}_x^2+\hat{p}_y^2+\hat{p}_z^2}{2m}+U(\textbf{r})</math>

על כן, בהצגת המקום:

<math display="block>- \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\psi+U \psi= E \psi</math>

ניתן לתאר כל פונקציה מחזורית – ובפרט, את פונקציית הגל – כטור פורייה (סכום אינסופי של גלים מישוריים), בנוסף, ניתן להראות שכל פונקציה בעלת המחזוריות של הגביש ניתן לכתוב כסכום פורייה בווקטורי הסריג ההופכי G (כפי שמובא להלן), ובפרט את האנרגיה פוטנציאלית של היונים בגביש. תחת השינויים הללו:

<math display="block>\psi(\textbf{r}) = \sum_{ \textbf{k}} C_{ \textbf{k}} e^{ i \textbf{k}\cdot \textbf{r}}\quad U(\textbf{r}) = \sum_{ \textbf{G} } U_{ \textbf{G}} e^{ i \textbf{G}\cdot \textbf{r}}</math>

ומהצבה במשוואת שרדינגר מתקבל:

<math display="block>\sum_{\textbf{k}} \frac{\hbar^2 k^2}{2m} C_{\textbf{k}} e^{ i \textbf{k}\cdot \textbf{r}} + \sum_{\textbf{G}, \textbf{k}} U_{\textbf{G}} C_{\textbf{k}} e^{ i (\textbf{G}+\textbf{k})\cdot \textbf{r}} = \sum_{\textbf{k}} E C_{\textbf{k}}e^{ i \textbf{k}\cdot \textbf{r}}</math>

עבור הסכימה השנייה ניתן להגדיר:

<math display="block>\textbf{k}' \equiv \textbf{G} + \textbf{k}</math>

ומכאן:

<math display="block>\sum_{\textbf{k}} \frac{\hbar^2 k^2}{2m} C_{\textbf{k}} e^{ i \textbf{k}\cdot \textbf{r}} + \sum_{\textbf{G}, \textbf{k}'} U_{\textbf{G}} C_{\textbf{k}'-\textbf{G}} e^{ i \textbf{k}'\cdot \textbf{r}} = \sum_{\textbf{k}} E C_{\textbf{k}}e^{ i \textbf{k}\cdot \textbf{r}}</math>

k' הוא אינדקס סכימה, ולכן ניתן להחליף אותו ב-k. מכאן, לאחר העברת אגפים, מתקבלת המשוואה:

<math display="block>\sum_{\textbf{k}}\left[ \left(\frac{\hbar^2 k^2}{2m} - E \right) C_{\textbf{k}} + \sum_{\textbf{G}} U_{\textbf{G}} C_{\textbf{k}-\textbf{G}}\right]e^{ i \textbf{k}\cdot \textbf{r}} = 0</math>

וממנה נובעת המשוואה המרכזית:

<math display="block>\forall \textbf{k}: (\lambda_\textbf{k}-\epsilon)C_\textbf{k}+\sum_\textbf{G}U_\textbf{G}C_{\textbf{k}-\textbf{G}}=0</math>

כאשר הגדרנו את האנרגיה הקינטית <math>\lambda_{\textbf{k}}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}</math> ואת E החלפנו ב-<math>\epsilon</math>, כדי לשמור על אחידות עם הסימון המקובל.

כאשר פותרים את סט המשוואות הנ"ל (המיוצג במשוואה המרכזית) מקבלים את רמות האנרגיה, כלומר, אנרגיה כפונקציה של וקטור הגל k.

בדרך כלל פותרים את המשוואה המרכזית באמצעות קירובים, כדוגמת קירוב הסריג הריק.

==קישורים חיצוניים==

== הערות שוליים ==

קטגוריה:פיזיקה של מצב מוצק
קטגוריה:מבנה פסים