סדרה מדויקת

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית, סדרה מדויקת היא סדרה מהצורה <math>\cdots A_i \stackrel{f_{i}}{\rightarrow} A_{i+1} \stackrel{f_{i+1}}{\rightarrow} A_{i+2} \cdots</math>, שבה כל הרכבה <math>f_{i+1}\circ f_i</math> שווה לאפס באופן "מדויק", כלומר, התמונה של כל הומומורפיזם שווה לגרעין של ההומומורפיזם שבא אחריו. 

המבנים <math>A_i</math> יכולים להיות מודולים, חבורות, או כל אובייקט אחר בקטגוריה אבלית.

סדרות מדויקות מאפשרות ללמוד על מבנים בסדרה, מתוך תכונות של מבנים אחרים באותה סדרה.

==הגדרה==

נניח שנתונה סדרה (סופית או אינסופית) של מבנים אלגבריים <math>G_i</math> ביחד עם אוסף של הומומורפיזמים של חבורות <math>f_i : G_i \rightarrow G_{i+1}</math>.
נאמר שסדרה כזו היא מדויקת ב-<math>G_i</math> אם מתקיים השוויון <math>\mbox{Im} f_{i-1} = \ker f_i</math>.
הסדרה כולה תיקרא מדויקת אם היא מדויקת ב-<math>G_i</math> לכל <math>i</math>.

למשל:
* הסדרה <math>0 \rightarrow A \stackrel{f}{\rightarrow} B </math> מדויקת אם ורק אם <math>f</math> הוא מונומורפיזם.
* הסדרה <math> A \stackrel{f}{\rightarrow} B \rightarrow 0</math> מדויקת אם ורק אם <math>f</math> הוא אפימורפיזם.
* ביחד, הסדרה <math>0 \rightarrow A \stackrel{f}{\rightarrow} B \rightarrow 0</math> היא מדויקת, אם ורק אם <math>f</math> הוא איזומורפיזם.

==סדרה מדויקת קצרה==
כאמור לעיל, הסדרות הקצרות ביותר מספקות מידע טריוויאלי. הסדרה הראשונה שמספקת מידע מהותי היא מהצורה
: <math>0 \longrightarrow H \stackrel{i}{\longrightarrow} G \stackrel{p}{\longrightarrow} N \longrightarrow 0</math>. 
סדרה כזו, הקרויה סדרה מדויקת קצרה, כוללת שני חצים לא טריוויאליים: שיכון של <math>H</math> ב-<math>G</math>, והטלה מ-<math>G</math> על <math>N</math>, שהגרעין שלה הוא <math>H</math>. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון, אם הסדרה מדויקת ב-<math>G</math>, בהכרח <math>G/H \cong N</math> - כלומר, הסדרה הזו מתארת מקרה של מנת חבורות. נציין גם ש-<math>N</math> איזומורפי לקו-גרעין של <math>i : H \hookrightarrow G</math>, שהוא <math>\mathrm{coker}(i) = G/\mathrm{Im}(i)</math>.

===סדרה מדויקת מתפצלת===
הסדרה המדויקת הקצרה
: <math>0 \longrightarrow H \stackrel{i}{\longrightarrow} G \stackrel{p}{\longrightarrow} N \longrightarrow 0</math>. 
נקראת מתפצלת, אם מתקיים אחד התנאים השקולים הבאים:
* קיים <math>r:G \to H</math> כך ש-<math>r \circ i = id_H</math>.
* קיים <math>q:N \to G</math> כך ש-<math>p \circ q = id_N</math>
* קיימת תת-חבורה <math>J \subseteq G</math> כך ש-<math>G = im(i) \oplus J</math>.

המקרה הזה ודאי חזק יותר מסדרה מדויקת רגילה. בעוד שהמקרה הקודם תיאר מנה, המקרה הזה מתאר סכום ישר. כלומר, מסדרה כזו ניתן להסיק <math>G=H \oplus N</math>.

כאשר האובייקט <math>N</math> הוא חופשי (כמו חבורה חופשית או מודול חופשי), הסדרה המדויקת גם מתפצלת. אותה טענה על כל אחת משתי החבורות האחרות (וגם על שתיהן) לא נכונה.

===דוגמה===
נתבונן בסדרה הבאה של חבורות אבליות:

<math>\mathbb{Z}\stackrel{z \mapsto 2z}{\longrightarrow}\mathbb{Z}\stackrel{z \mapsto z \pmod{2}}{\longrightarrow}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>

כאשר ההעתקה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{Z}</math> היא הכפלה ב-2 וההעתקה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> היא העתקת המנה.
התמונה של ההעתקה הראשונה היא תת-החבורה של המספרים הזוגיים, וזהו בדיוק הגרעין של ההעתקה השנייה. לפיכך הסדרה הנ"ל היא סדרה מדויקת של חבורות אבליות. סדרה זו איננה מתפצלת, שכן התמונה <math>2 \mathbb{Z}</math> איננה מחובר ישר של אף תת-חבורה. דוגמה זו שימושית במיוחד בהוכחה שהשפה של טבעת מביוס איננה נסג שלה.

==פונקטור מדויק==
פונקטור (קו-וריאנטי) אדיטיבי <math>F:A\rightarrow B</math> בין שתי קטגוריות אבליות הוא מדויק אם הוא מעביר סדרות מדויקות לסדרות מדויקות. במילים אחרות, <math>F</math> הוא מדויק אם בהינתן סדרה מדויקת <math> \dots \rightarrow A_i \rightarrow A_{i+1} \rightarrow A_{i+2} \rightarrow \dots</math> הסדרה <math> \dots \rightarrow FA_i \rightarrow FA_{i+1}\rightarrow FA_{i+2} \rightarrow \dots</math> המתקבלת לאחר הפעלת <math>F</math> גם היא מדויקת. כאשר פונקטור אינו מדויק אפשר למדוד עד כמה הוא רחוק מלהיות מדויק באמצעות פונקטורים נגזרים.

==קישורים חיצוניים==

* 

קטגוריה:אלגברה
קטגוריה:אלגברה הומולוגית