פתרון מישל

פתרון מישל הוא פתרון כללי למשוואות האלסטיות בקואורדינטות קוטביות ( <math> r, \theta \,</math> ) פותח על ידי ג'ון הנרי מישל . הפתרון נכתב כסדרת פורייה ב <math> \theta \, </math> .

מישל <ref></ref> הראה שניתן לבטא את הפתרון הכללי במונחים של פונקציית מאמץ אייירי מהצורה

: <math>
 \begin{align}
 \varphi(r,\theta) &= A_0~r^2 + B_0~r^2~\ln(r) + C_0~\ln(r) \\
 & + \left(I_0~r^2 + I_1~r^2~\ln(r) + I_2~\ln(r) + I_3~\right) \theta \\
 & + \left(A_1~r + B_1~r^{-1} + B_1'~r~\theta + C_1~r^3 + 
 D_1~r~\ln(r)\right) \cos\theta \\
 & + \left(E_1~r + F_1~r^{-1} + F_1'~r~\theta + G_1~r^3 + 
 H_1~r~\ln(r)\right) \sin\theta \\
 & + \sum_{n=2}^{\infty} \left(A_n~r^n + B_n~r^{-n} + C_n~r^{n+2} + D_n~r^{-n+2}\right)\cos(n\theta) \\
 & + \sum_{n=2}^{\infty} \left(E_n~r^n + F_n~r^{-n} + G_n~r^{n+2} + H_n~r^{-n+2}\right)\sin(n\theta) 
 \end{align}
 </math>

האיברים <math>A_1~r~\cos\theta\,</math> ו- <math>E_1~r~\sin\theta\,</math> מגדירים מצב טריוויאלי של מאמץ, כלומר זה פוטנציאל שמשרה 0 מאמץ. 

== מרכיבי מאמץ ==
ניתן להשיג את מרכיבי המאמץ על ידי החלפת פתרון מישל במשוואות המתח במונחים של פונקציית המאמץ של איירי (בקואורדינטות גליליות). טבלה של מרכיבי מתח מוצגת להלן. <ref> J. R. Barber, 2002, Elasticity: 2nd Edition, Kluwer Academic Publishers. </ref>
{| style="margin: 1em 1em 1em 0; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" cellspacing="0" cellpadding="4" border="2"
!<math>\varphi</math>
!<math>\sigma_{rr}\, </math>
!<math>\sigma_{r\theta}\, </math>
!<math>\sigma_{\theta\theta}\, </math>
|-
|<math>r^2\,</math>
|<math>2</math>
|<math>0</math>
|<math>2</math>
|-
|<math>r^2~\ln r</math>
|<math>2~\ln r + 1</math>
|<math>0</math>
|<math>2~\ln r + 3</math>
|-
|<math>\ln r\,</math>
|<math>r^{-2}\,</math>
|<math>0</math>
|<math>-r^{-2}\,</math>
|-
|<math>\theta\,</math>
|<math>0</math>
|<math>r^{-2}\,</math>
|<math>0</math>
|-
|-
|<math> r^3~\cos\theta \,</math>
|<math> 2~r~\cos\theta \,</math>
|<math> 2~r~\sin\theta \,</math>
|<math> 6~r~\cos\theta \,</math>
|-
|<math> r\theta~\cos\theta \,</math>
|<math> -2~r^{-1}~\sin\theta \,</math>
|<math> 0 </math>
|<math> 0 </math>
|-
|<math> r~\ln r~\cos\theta \,</math>
|<math> r^{-1}~\cos\theta \,</math>
|<math> r^{-1}~\sin\theta \,</math>
|<math> r^{-1}~\cos\theta \,</math>
|-
|<math> r^{-1}~\cos\theta \,</math>
|<math> -2~r^{-3}~\cos\theta \,</math>
|<math> -2~r^{-3}~\sin\theta \,</math>
|<math> 2~r^{-3}~\cos\theta \,</math>
|-
|-
|<math> r^3~\sin\theta \,</math>
|<math> 2~r~\sin\theta \,</math>
|<math> -2~r~\cos\theta \,</math>
|<math> 6~r~\sin\theta \,</math>
|-
|<math> r\theta~\sin\theta \,</math>
|<math> 2~r^{-1}~\cos\theta \,</math>
|<math> 0 </math>
|<math> 0 </math>
|-
|<math> r~\ln r~\sin\theta \,</math>
|<math> r^{-1}~\sin\theta \,</math>
|<math> -r^{-1}~\cos\theta \,</math>
|<math> r^{-1}~\sin\theta \,</math>
|-
|<math> r^{-1}~\sin\theta \,</math>
|<math> -2~r^{-3}~\sin\theta \,</math>
|<math> 2~r^{-3}~\cos\theta \,</math>
|<math> 2~r^{-3}~\sin\theta \,</math>
|-
|-
|<math> r^{n+2}~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> -(n+1)(n-2)~r^n~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> n(n+1)~r^n~\sin(n\theta) \,</math>
|<math> (n+1)(n+2)~r^n~\cos(n\theta) \,</math>
|-
|<math> r^{-n+2}~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> -(n+2)(n-1)~r^{-n}~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> -n(n-1)~r^{-n}~\sin(n\theta)\, </math>
|<math> (n-1)(n-2)~r^{-n}~\cos(n\theta) </math>
|-
|<math> r^n~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> -n(n-1)~r^{n-2}~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> n(n-1)~r^{n-2}~\sin(n\theta) \,</math>
|<math> n(n-1)~r^{n-2}~\cos(n\theta) \,</math>
|-
|<math> r^{-n}~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> -n(n+1)~r^{-n-2}~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> -n(n+1)~r^{-n-2}~\sin(n\theta) \,</math>
|<math> n(n+1)~r^{-n-2}~\cos(n\theta) \,</math>
|-
|-
|<math> r^{n+2}~\sin(n\theta) \,</math>
|<math> -(n+1)(n-2)~r^n~\sin(n\theta) \,</math>
|<math> -n(n+1)~r^n~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> (n+1)(n+2)~r^n~\sin(n\theta) \,</math>
|-
|<math> r^{-n+2}~\sin(n\theta) \,</math>
|<math> -(n+2)(n-1)~r^{-n}~\sin(n\theta) \,</math>
|<math> n(n-1)~r^{-n}~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> (n-1)(n-2)~r^{-n}~\sin(n\theta) \,</math>
|-
|<math> r^n~\sin(n\theta) \,</math>
|<math> -n(n-1)~r^{n-2}~\sin(n\theta) \,</math>
|<math> -n(n-1)~r^{n-2}~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> n(n-1)~r^{n-2}~\sin(n\theta) \,</math>
|-
|<math> r^{-n}~\sin(n\theta) \,</math>
|<math> -n(n+1)~r^{-n-2}~\sin(n\theta) \,</math>
|<math> n(n+1)~r^{-n-2}~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> n(n+1)~r^{-n-2}~\sin(n\theta) \,</math>
|}

== רכיבי העתק ==
שדה העתק <math>(u_r, u_\theta)</math> ניתן להשיג מהפתרון של מישל על ידי שימוש ביחסי מאמץ-מעוות ומעוות-העתק. להלן טבלה של רכיבי תזוזה התואמים את המונחים בפונקציית המאמץ של איירי עבור פתרון מישל. בטבלה זו

: <math>
 \kappa = \begin{cases}
 3 - 4~\nu & \rm{for~plane~strain} \\
 \cfrac{3 - \nu}{1 + \nu} & \rm{for~plane~stress} \\
 \end{cases}
 </math>

כאשר <math>\nu</math> הוא יחס פואסון, ו- <math>\mu</math> הוא מודול הגזירה.
{| style="margin: 1em 1em 1em 0; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" cellspacing="0" cellpadding="4" border="2"
!<math>\varphi</math>
!<math>2~\mu~u_r\, </math>
!<math>2~\mu~u_\theta\, </math>
|-
|<math>r^2\,</math>
|<math>(\kappa-1)~r</math>
|<math>0</math>
|-
|<math>r^2~\ln r</math>
|<math>(\kappa-1)~r~\ln r - r</math>
|<math>(\kappa + 1)~r~\theta</math>
|-
|<math>\ln r\,</math>
|<math>-r^{-1}\,</math>
|<math>0</math>
|-
|<math>\theta\,</math>
|<math>0</math>
|<math>-r^{-1}\,</math>
|-
|-
|<math> r^3~\cos\theta \,</math>
|<math> (\kappa-2)~r^2~\cos\theta \,</math>
|<math> (\kappa+2)~r^2~\sin\theta \,</math>
|-
|<math> r\theta~\cos\theta \,</math>
|<math> \frac{1}{2}[(\kappa-1) \theta~\cos\theta + \{1 - (\kappa+1) \ln r\} ~\sin\theta]\,</math>
|<math> -\frac{1}{2}[(\kappa-1) \theta~\sin\theta + \{1 + (\kappa+1) \ln r\} ~\cos\theta]\, </math>
|-
|<math> r~\ln r~\cos\theta \,</math>
|<math> \frac{1}{2}[(\kappa+1) \theta~\sin\theta - \{1 - (\kappa-1) \ln r\} ~\cos\theta] \,</math>
|<math> \frac{1}{2}[(\kappa+1) \theta~\cos\theta - \{1 + (\kappa-1) \ln r\} ~\sin\theta] \,</math>
|-
|<math> r^{-1}~\cos\theta \,</math>
|<math> r^{-2}~\cos\theta \,</math>
|<math> r^{-2}~\sin\theta \,</math>
|-
|-
|<math> r^3~\sin\theta \,</math>
|<math> (\kappa-2)~r^2~\sin\theta \,</math>
|<math> -(\kappa+2)~r^2~\cos\theta \,</math>
|-
|<math> r\theta~\sin\theta \,</math>
|<math> \frac{1}{2}[(\kappa-1) \theta~\sin\theta - \{1 - (\kappa+1) \ln r\} ~\cos\theta]\, </math>
|<math> \frac{1}{2}[(\kappa-1) \theta~\cos\theta - \{1 + (\kappa+1) \ln r\} ~\sin\theta]\,</math>
|-
|<math> r~\ln r~\sin\theta \,</math>
|<math> -\frac{1}{2}[(\kappa+1) \theta~\cos\theta + \{1 - (\kappa-1) \ln r\} ~\sin\theta] \,</math>
|<math> \frac{1}{2}[(\kappa+1) \theta~\sin\theta + \{1 + (\kappa-1) \ln r\} ~\cos\theta] \,</math>
|-
|<math> r^{-1}~\sin\theta \,</math>
|<math> r^{-2}~\sin\theta \,</math>
|<math> -r^{-2}~\cos\theta \,</math>
|-
|-
|<math> r^{n+2}~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> (\kappa-n-1)~r^{n+1}~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> (\kappa+n+1)~r^{n+1}~\sin(n\theta) \,</math>
|-
|<math> r^{-n+2}~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> (\kappa+n-1)~r^{-n+1}~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> -(\kappa-n+1)~r^{-n+1}~\sin(n\theta)\, </math>
|-
|<math> r^n~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> -n~r^{n-1}~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> n~r^{n-1}~\sin(n\theta) \,</math>
|-
|<math> r^{-n}~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> n~r^{-n-1}~\cos(n\theta) \,</math>
|<math> n(~r^{-n-1}~\sin(n\theta) \,</math>
|-
|-
|<math> r^{n+2}~\sin(n\theta) \,</math>
|<math> (\kappa-n-1)~r^{n+1}~\sin(n\theta) \,</math>
|<math> -(\kappa+n+1)~r^{n+1}~\cos(n\theta) \,</math>
|-
|<math> r^{-n+2}~\sin(n\theta) \,</math>
|<math> (\kappa+n-1)~r^{-n+1}~\sin(n\theta) \,</math>
|<math> (\kappa-n+1)~r^{-n+1}~\cos(n\theta)\, </math>
|-
|<math> r^n~\sin(n\theta) \,</math>
|<math> -n~r^{n-1}~\sin(n\theta) \,</math>
|<math> -n~r^{n-1}~\cos(n\theta) \,</math>
|-
|<math> r^{-n}~\sin(n\theta) \,</math>
|<math> n~r^{-n-1}~\sin(n\theta) \,</math>
|<math> -n~r^{-n-1}~\cos(n\theta) \,</math>
|}
יש לציין ששניתן להוסיף העתק גוף צפיד על פתרון מישל של הצורה

: <math>
 \begin{align}
 u_r &= A~\cos\theta + B~\sin\theta \\
 u_\theta &= -A~\sin\theta + B~\cos\theta + C~r\\
 \end{align}
 </math>

כדי לקבל שדה העתק קביל.

==הערות שוליים==

קטגוריה:מכניקה