לוקליזציה (תורת החוגים)

בתורת החוגים, לוקליזציה (לעיתים רחוקות מכונה בעברית מיקום) היא שיטה להוספת איברים הפיכים לחוג. בהינתן חוג <math>R</math> ותת קבוצה של איברי החוג, <math>S</math>, רוצים לבנות חוג חדש <math>R^*</math> והעתקת חוגים מ-<math>R</math> ל-<math>R^*</math> כך שכל אחד מאיברי <math>S</math> יעבור תחת תמונת העתקה זו לאיבר הפיך ב-<math>R^*</math>. יתר על כן, דורשים כי <math>R^*</math> יהיה החוג ה"כללי ביותר" המקיים תכונה זאת. בשפה של תורת הקטגוריות אומרים ש-*R הוא פתרון לבעיה אוניברסלית מתאימה. לוקליזציה כזו נהוג לסמן על ידי <math>\,S^{-1}R</math>, או אם <math>\,S= R-\mathfrak{p}</math>, כאשר <math>\mathfrak{p}</math> הוא אידיאל ראשוני, על ידי <math>\,R_\mathfrak{p}</math>.

==בנייה עבור חוגים קומוטטיביים==

יהי <math>R</math> חוג קומוטטיבי, ותהי תת-קבוצה <math>S</math> ללא האפס וסגורה כפלית, כלומר, אם <math>a,b \in S</math> אז <math>a \cdot b \in S</math>, וכמו כן נניח כי <math>\,1 \in S</math>. על הקבוצה <math>\,R \times S</math> נחשוב כעל קבוצת שברים <math>\,\frac{r}{s}</math>. נגדיר יחס שקילות על קבוצה זו, על ידי <math>(r_1,s_1) \sim (r_2,s_2)</math> אם קיים <math>\,t \in S</math> כך ש <math>\,t(r_1s_2-r_2s_1)=0 \in R</math>. אם R תחום שלמות דרישה זו שקולה ל- <math>\,r_1s_2-r_2s_1=0</math>, בדיוק כמו בשוויון של שברים רגילים. איבר האפס בחוג יהיה <math>\frac { 0 }{ 1 } </math> ואיבר היחידה יהיה <math>\frac { 1 }{ 1 } </math>. (חוגים בלי יחידה, ניתן להגדיר את היחידה והאפס למשל כך - <math>\frac { 0 }{ s } ,\frac { s }{ s } </math>, עם <math>s \in S</math>).

על קבוצת המנה <math>\,R \times S / \sim </math> נגדיר פעולות חיבור וכפל על ידי:
:<math> \,\frac{r_1}{s_1}+\frac{r_2}{s_2} = \frac{r_1s_2+r_2s_1}{s_1s_2} \qquad \qquad \frac{r_1}{s_1}\cdot\frac{r_2}{s_2} = \frac{r_1r_2}{s_1s_2}</math>.

על ידי חישוב ניתן לוודא שבדרך זו, קבוצת המנה, המסומנת ב <math>\,S^{-1}R</math> מקבלת מבנה של חוג, הנקרא הלוקליזציה של <math>S</math>.

ההעתקה <math>\phi \colon R \to S^{-1}R</math> הנתונה על ידי <math>\phi(r) = \frac{r}{1}</math> היא הומומורפיזם של חוגים, השולח כל איבר ב-S לאיבר הפיך.

==כלליות ומינימליות==
אחת התכונות המעניינות של החוג שהוגדר היא שהוא החוג ה'מינימלי' בעל תכונת ההפיכות. כלומר, אם קיים חוג <math>R'</math> אחר עם מונומורפיזם <math>\varphi :R\rightarrow R' </math> וכך שתמונות איברי <math>S</math> הפיכים ב <math>R'</math>, אז בהכרח קיים מונומורפיזם <math>\psi :{ S }^{ -1 }R\rightarrow R'</math>. כך ש- <math>\varphi =\psi \circ \phi </math>, כאשר <math>\phi</math> הוגדרה לעיל. 

הוכחה: נגדיר ישירות את <math>\psi :{ S }^{ -1 }R\rightarrow R'</math> על פי הכלל: <math>\psi\left(\frac{r}{s}\right) = \varphi(r) \varphi(s)^{-1}</math>. קל לבדוק כי הוא מוגדר היטב, מהווה מונומורפיזם חוגים, והדיאגרמה אכן קומוטטיבית -
<math>\psi \circ \phi(r) = \psi(\phi(r)) = \psi\left(\frac{r}{1}\right) = \varphi(r){\varphi(1)}^{-1} = \varphi(r)</math>.

פירוש הטענה הוא שאם כבר הגענו ל"הרחבה" של החוג בה איברי S הפיכים, אז בהכרח עברנו בדרך בחוג השברים <math>{ S }^{ -1 }R</math>. יחס זה מאפשר ליצור דיאגרמה קומוטטיבית בין החוגים <math>R,{ S }^{ -1 }R,R'</math>, ולמעשה אומר שבנינו הוא אובייקט אוניברסלי, ולכן גם יחיד עד כדי איזומורפיזם.

==מבנה כחוג==
הלוקליזציה מקבלת בירושה תכונות של חוג הבסיס.

ראשית, אם <math>I \le R</math> אידיאל, גם <math>S^{-1}I \le S^{-1}R</math> אידיאל. בכיוון ההפוך, אם <math>J \le S^{-1}R</math> אידיאל, אז <math>J=S^{-1}A</math> עבור <math>A = \left\{ a \in R : \frac{a}{1} \in J \right\}</math>. כלומר, יש התאמה בין אידיאלים של החוג לאידיאלים של הלוקליזציה. למעשה, ההתאמה חזקה יותר - נשים לב שאם <math>I \le R</math> אידיאל ו-<math>S \cap I \neq \phi</math>, אז <math>S^{-1}I=S^{-1}R</math> (כי יש בו איבר הפיך).

אם <math>R</math> חוג נותרי או ארטיני, כך גם <math>S^{-1}R</math>. 

ישנה גם התאמה מלאה בין הספקטרום של חוג לזה של הלוקליזציה שלו - מתקיים <math>J \in \operatorname{Spec}(S^{-1}R) </math> אם ורק אם <math>A = \left\{ a \in R : \frac{a}{1} \in J \right\} \in \operatorname{Spec}(R)</math>. אם נשכח מכל האידיאלים שחותכים את <math>S</math>, נקבל שיש התאמה חד-חד-ערכית <math>\{ A \in \operatorname{Spec}(R) : A \cap S= \phi \} \leftrightarrow \operatorname{Spec}(S^{-1}R)</math>.

התוצאה החשובה ביותר היא שהחוג <math>S^{-1}R</math> הוא חוג מקומי - חוג בו יש אידיאל מקסימלי יחיד. במקרה הזה, קבוצת כל האיברים הלא הפיכים מהווה אידיאל מקסימלי יחיד. לכן גם סכום של אי-הפיכים הוא לא הפיך.

במקרה שבו <math>S=R-\mathfrak{p}</math> עם אידיאל ראשוני <math>\mathfrak{p}</math>, מתקבל החוג <math>R_{\mathfrak{p}}=(R-{\mathfrak{p}})^{-1}R</math>. האידיאל המקסימלי הוא <math>\mathfrak{p}R_\mathfrak{p}=S^{-1}\mathfrak{p}</math>.

==דוגמאות==
* יהי <math>R</math> תחום שלמות, ותהי <math>\,S = R-\{0\}</math>. במקרה זה <math>\,S^{-1}R</math> הוא שדה השברים של R.
* אם <math>R</math> תחום שלמות עם יחידה, אז שדה השברים של <math>R[x]</math> (חוג הפולינומים) מכיל עותק של <math>{ (R-\{ 0\} ) }^{ -1 }R</math>, ושווה לשדה השברים של <math>({ (R-\{ 0\} ) }^{ -1 }R)[x]</math>.
* אם <math>R=\mathbb{Z}</math> ו-<math>S=\mathbb{Z}-p\mathbb{Z}</math> כאשר <math>p</math> ראשוני, נקבל כי <math>S^{-1}R= \left\{ \frac{a}{b}:p \nmid b \right\}</math>, והאידיאל המקסימלי שלו הוא <math>\mathfrak{p} R_{\mathfrak{p}} = \left\{\frac{a}{b}:p \nmid b , p \mid a\right\}</math>.
* אם <math>R</math> חוג שלם מעל <math>C</math> (כלומר, כל איבר של <math>R</math> הוא שורש של פולינום מתוקן עם מקדמים מ-<math>C</math>) אז <math>S^{-1}R</math> שלם מעל <math>S^{-1}C</math> לכל <math>S \subseteq C</math> כנ"ל.

==ראו גם==
* חוג השברים הקלאסי
* תנאי אור
* חוג מקומי

==קישורים חיצוניים==
* 

קטגוריה:תורת החוגים
קטגוריה:אלגברה קומוטטיבית