מטריצות גאמה של דיראק

מטריצות גאמה של דיראק הן אוסף של 4 מטריצות <math>\ \gamma^0 , \gamma^1 , \gamma^2 , \gamma^3 </math> (בתוספת מטריצה חמישית המייצגת את הכיראליות) בגודל 4 על 4 המשמשות להצגת משוואת דיראק
: <math>\ \left( i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - m c \right) \psi = 0</math> 
כאשר <math>\mu = 0,1,2,3</math> ויש סכימה על אינדקסים כפולים (הסכם הסכימה של איינשטיין).

== הגדרות ==
=== הצגת דיראק ===

בהצגה הסטנדרטית של דיראק מוגדרות המטריצות באופן הבא:

:<math> \gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},
\gamma^1 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & \sigma^x \\ - \sigma^x & 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

:<math>\gamma^2 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & \sigma^y \\ - \sigma^y & 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
-i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
\gamma^3 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & \sigma^z \\ - \sigma^z & 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

כאשר <math>\sigma^k</math> הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות
: <math>\ \gamma^5 = i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 = \frac{-i}{4!} \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \gamma^\sigma = \begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix} </math>

=== הצגת וייל ===

בהצגה הכיראלית של וייל מוגדרות המטריצות באופן הבא:
{|
| <math>\ \gamma^1 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^x \\ - \sigma^x & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>
| <math>\ \gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad , </math>
|-
| <math>\ \gamma^3 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^z \\ - \sigma^z & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>
| <math>\ \gamma^2 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^y \\ - \sigma^y & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad , </math> 
|}

כאשר <math>\sigma^k</math> הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות
: <math>\ \gamma^5 = i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 = \frac{-i}{4!} \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \gamma^\sigma = \begin{pmatrix} -I & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix} </math>

בהצגה זו קל לבטא את ההטלה הכיראלית של ספינורי וייל השמאלי והימני:
: :<math>\psi_L=\begin{pmatrix} I & 0 \\0 & 0 \end{pmatrix}\psi = \frac{I-\gamma^5}{2}\psi ,\quad \psi_R=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & I \end{pmatrix}\psi = \frac{I+\gamma^5}{2}\psi </math>

=== הצגת מיורנה ===

פחות נפוצה היא ההצגה של מיורנה בה המטריצות הן דמיוניות. הצגה זו נתונה על ידי
:<math>\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{pmatrix}, \quad \gamma^1 = \begin{pmatrix} i\sigma^3 & 0 \\ 0 & i\sigma^3 \end{pmatrix}</math>

:<math>\gamma^2 = \begin{pmatrix} 0 & -\sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{pmatrix}, \quad \gamma^3 = \begin{pmatrix} -i\sigma^1 & 0 \\ 0 & -i\sigma^1 \end{pmatrix}, \quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} \sigma^2 & 0 \\ 0 & -\sigma^2 \end{pmatrix}</math>

== תכונות ==
=== זהויות בסיסיות ===

* מטריצות גאמה מקיימות את אלגברת קליפורד:
*: <math>\ \{ \gamma^\mu , \gamma^\nu \} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu \nu} I_{4 \times 4} </math>
: כאשר סוגריים מסולסלים מסמנים אנטי-קומוטטור ו-<math>\eta</math> היא מטריקת מינקובסקי <math>\ \eta ^{\mu \nu} = diag ( 1, -1, -1, -1)</math>. 
: בפרט, מטריצות שונות הן אנטי-מתחלפות, כלומר: לכל <math>\mu \ne \nu</math> מתקיים <math>\ \gamma^\mu \gamma^\nu = - \gamma^\nu \gamma^\mu</math>
* מכאן נובע ש:
** <math>\ ( \gamma^0 )^2 = I_{4 \times 4}</math> 
** <math>\ ( \gamma^k )^2 = -I_{4 \times 4}</math> כאשר k=1,2,3.
* ביחס ללקיחת צמוד הרמיטי:
** <math> \left( \gamma^0 \right)^\dagger = \gamma^0</math>
** <math>\left( \gamma^k \right)^\dagger = -\gamma^k </math> כאשר k=1,2,3.

* מטריצת הכיראליות <math>\gamma^5</math> מקיימת:
** <math>\ ( \gamma^5)^\dagger = \gamma^5</math>
** <math>\ ( \gamma^5 )^2 = I_{4 \times 4}</math>
** <math>\ \{ \gamma^\mu , \gamma^5\} = 0 </math>, כלומר: <math>\ \gamma^\mu \gamma^5 = - \gamma^5 \gamma^\mu</math> 
* מטריצת הכיראליות הזו היא פסאודו-סקלר.

=== זהויות סכימה ===

:{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align=""
! style="background:#ffdead;" | Num !! style="background:#ffdead;" | Identity
|-
| 1 || <math>\displaystyle\gamma^\mu\gamma_\mu=4 I</math>
|-
| 2 || <math>\displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma_\mu=-2\gamma^\nu</math>
|-
| 3 || <math>\displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma_\mu=4\eta^{\nu\rho} I</math>
|-
| 4 || <math>\displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma_\mu=-2\gamma^\sigma\gamma^\rho\gamma^\nu</math>
|}

=== זהויות עקבה ===

:{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align=""
! style="background:#ffdead;" | Num !! style="background:#ffdead;" | Identity
|-
| 1 || העקבה של כל מכפלה אי-זוגית של מטריצות <math>\ \gamma^\mu</math> היא אפס.
|-
| 2 || <math>\operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu) = 4\eta^{\mu\nu}</math>
|-
| 3 || <math>\operatorname{tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma)=4(\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\sigma}-\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}+\eta^{\mu\sigma}\eta^{\nu\rho})</math>
|-
| 4 || <math>\operatorname{tr}(\gamma^5)=\operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^5) = 0</math>
|-
| 5 || <math>\operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma^5) = -4i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}</math>
|}

כאשר יש להיעזר בתכונות העקבה:
* ליניאריות: <math>\ \operatorname{tr} (\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{tr} (A) + \beta \operatorname{tr} (B)</math>
* ציקליות: <math>\ \operatorname{tr} (ABC) = \operatorname{tr} (CAB) = \operatorname{tr} (BCA) </math>

=== יוצרים של חבורת לורנץ ===

אפשר לבטא את היוצרים של חבורת לורנץ (חבורת טרנספורמציות לורנץ) בהצגה הכיראלית על ידי
: <math>\ S^{\mu \nu} = \frac{i}{4} [ \gamma^\mu , \gamma^\nu ] </math>
ואז ההאצות (boost) נתונות על ידי
: <math>\ S^{i j} = \frac{i}{4} [ \gamma^0 , \gamma^k ] = -\frac{i}{2} \begin{pmatrix} \sigma^k & 0 \\ 0 & -\sigma^k \end{pmatrix}\ </math>
והסיבובים נתונים על ידי
: <math>\ S^{i j} = \frac{i}{4} [ \gamma^i , \gamma^j ] = \frac{1}{2} \epsilon^{i j k} \begin{pmatrix} \sigma^k & 0 \\ 0 & \sigma^k \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \epsilon^{ijk} \Sigma^k\ </math>

== לקריאה נוספת ==

* Peskin & Schroeder, Introduction to Quantum Field Theory, עמודים 40-41 ועמוד 50

==קישורים חיצוניים==
* 

קטגוריה:מכניקת הקוונטים
גאמה