PLS (סיבוכיות)

בתורת הסיבוכיות, מחלקת הסיבוכיות (PLS (Polynomial Local Search היא תת-מחלקה סינטקטית של מחלקת הסיבוכיות TFNP. המחלקה הוגדרה על ידי כריסטוס פפדימטריו ב-1988 והבעיות הכלולות בה הן בעיות מקסימיזציה או מינימיזציה אשר מובטח כי יש להן פתרון. 

כשמה, מתארת המחלקה PLS בעיות חיפוש אשר בהינתן קלט, מוגדרת לו קבוצה של פתרונות אפשריים – לכל פתרון יש מחיר, והמטרה היא מציאת פתרון במחיר אופטימלי מקומי. על פי הגדרת הבעיה, לכל פתרון מוגדרת "סביבה" ("Neighborhood"). פתרון יחשב אופטימאלי באופן מקומי אם אין אף פתרון בסביבה שלו עם עלות טובה יותר.

== מוטיבציה ==

על אף שבאנליזת המקרה הגרוע בעיות PLS מתנהגות בצורה גרועה (זמן ריצה אקספוננציאלי), בפועל האלגוריתמים הם יעילים למדי.

== בעיית PLS כללית ==

תהי בעיה L (לדוגמה, בעיית הסוכן הנוסע – בעיית מינימיזציה). L נתונה על ידי קבוצת איברים D (ערים בהן יש לעבור), לכל איבר 
<math>x \in D</math> קיים סט סופי <math>F(x) \ </math> של פתרונות (מסלולים אפשריים העוברים בכל הערים) כל אחד מהם חסום פולינומית. לכל פתרון<math>s \in F(X)</math>, קיימת עלות אי שלילית <math>c(s) \ </math> (עלות הנסיעה במסלול) ורשימת שכנים <math>N(s)\subseteq F(x)</math> אשר תקרא הסביבה של פתרון s (תלוי בהגדרת יחס השכנות, לדוגמה עבור מסלול s נגדיר כי מסלול s' הוא שכן מסדר k אם בהצגת s ו – s' כמחרוזות, מרחק העריכה מ – s ל– s' הוא 2k). על האלגוריתם למצוא פתרון אופטימלי מקומי, כלומר בהינתן L על האלגוריתם למצוא פתרון s אשר לא קיים לו שכן s' מסדר 1 אשר עלותו נמוכה יותר (כלומר שלכל
<math> s'\in N(s)</math> מתקיים (<math>\ C(s)\leq C(s') </math>).

== פתרון כללי לבעיית PLS ==
ראשית נשים לב שכיוון שלכל x הדרישה היא כי הקבוצות D וכן <math> F(x) | (x \in D)</math> הן סופיות אזי קבוצת הפתרונות חסומה ולכן בהכרח קיים לה מקסימום, כלומר לבעיית PLS קיים תמיד פתרון. 
על מנת לפתור את הבעיה נניח קיום של 3 אלגוריתמים שזמן ריצתם פולינומי באורך הקלט.

A – בהינתן <math>x \in D</math> (רשימת ערים), A מחזיר פתרון כלשהו ל – x (מסלול כלשהו אשר עובר בכל הערים).

B – בהינתן x (רשימת ערים בהן יש לעבור) ומחרוזת s (סדר כלשהו של מעבר בין ערים) B יבדוק האם s הוא פתרון ל – x (האם s מתאר מעבר חוקי על כל הערים ב – x) ואם כן יחזיר את עלותו <math>\ c(x)</math>.

C – בהינתן פתרון s, יחזיר פתרון מקבוצת השכנים של s שעלותו נמוכה יותר מזו של s או כי לא קיים כזה – כלומר s הוא אופטימום מקומי. 
פתרון כללי לבעיה יהיה :

<div style="direction: ltr;">
 PLSSolver(A,C,D) // A,C algorithms as described and the group D
 s = A(x) // Let s be some arbitraty initial solution
 While C(s) != local optimum // If s is still not a local optimum
 s = C(x) // Generate a better solution from s's neighbors or state it is a local optimum

</div>

== רדוקציות ב – PLS ו שלמות ב – PLS ==
בעיה – L ב - PLS היא PLS שלמה (PLS-Complete) אם לכל בעיה ב – PLS קיימת רדוקציה ל – L.

בעיה L ב – PLS ניתנת לרדוקציית PLS לבעיה K נוספת (PLS-reducible) אם קיימות פונקציות f,g בעלות זמן ריצה פולינומי המקיימות:

#f ממפה איברים מ – L לאיברים של K.
#בהינתן <math> x \in L </math> ופתרון ל – <math>\ f(x)</math>, הפונקציה g ממפה את הזוג((x, solution of f(x) לפתרון של x.
#לכל איבר <math> x \in L </math>, אם s הוא אופטימום מקומי עבור <math>\ f(x)</math>, אזי <math>\ g(s,x)</math> הוא אופטימום מקומי עבור x.

== ראו גם ==
* PPAD (מחלקת סיבוכיות)
* TFNP 

== קישורים חיצוניים ==
* [http://faculty.cs.tamu.edu/chen/courses/637/2004/pres/pre2.pdf מצגת הסבר קצרה] - ?How Easy Is Local Search 
* [http://theory.stanford.edu/~megiddo/pdf/papadimX.pdf מאמר עמ' 318-319] - On total function, theorems and computational complexity 
* [https://web.archive.org/web/20081204124245/http://qwiki.stanford.edu/wiki/Complexity_Zoo:P#pls הערך PLS ב - Complexity zoo]

קטגוריה:מחלקות סיבוכיות