תת-חבורת הקומוטטורים

במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים <math>G'</math> של חבורה <math>G</math> היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של איברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה <math>G/G'</math> היא המנה האבלית הגדולה ביותר של <math>G</math>.

איבר כללי בתת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה כלשהי של קומוטטורים. קיים אפיון נוסף, לפיו איבר כללי של תת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה שעל ידי סידור מחודש היא היחידה. כלומר מכפלה <math>g_1 \cdot g_2 \cdot \dots \cdot g_n</math> שכך שיש תמורה <math>\pi</math> המקיימת <math>g_{\pi(1)} \cdot g_{\pi(2)} \cdot \dots \cdot g_{\pi(n)} = e</math> כאשר <math>e</math> הוא איבר היחידה בחבורה.

==הגדרה==
הקומוטטור של שני איברים <math>g,h</math> בחבורה <math>G</math> הוא האיבר <math>[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}</math>. תת-חבורת הקומוטטורים של <math>G</math> היא החבורה הנוצרת <math>\langle [h,g] | h,g \in G \rangle</math>. את החבורה המתקבלת מסמנים <math>G'</math> או <math>[G,G]</math>. הסימון האחרון רומז שלחבורה יש תפקיד כפול בהגדרת הקומוטטור, מה שמאפשר הכללה: אם <math>A,B</math> תת-חבורות נורמליות של <math>G</math>, אז <math>[A,B]</math> היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים <math>[a,b]</math> עבור <math>a\in A, b\in B</math>; זו תת-חבורה נורמלית גם של <math>A</math> וגם של <math>B</math>.

==תכונות==
תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה נורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה <math>G/G'</math> היא אבלית. כלומר, לכל תת-חבורה נורמלית <math>N</math> של <math>G</math>, המנה <math>G/N</math> אבלית אם ורק אם <math>G' \subseteq N</math>. זהו למעשה אפיון שקול לתת-חבורת הקומוטטורים. חבורת המנה <math>G/G'</math> נקראת האבליזציה של <math>G</math>.

מכיוון שהומומורפיזם <math>f : G \to H</math> מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה <math>f(G')\subset H'</math>. בפרט עבור חבורות מנה ביחס להומומורפיזם המנה, ניתן לחשב ש-<math>[A/N,B/N]=[A,B]N/N</math> ובפרט <math>(G/N)'=G'N/N</math>. 

==הכללות==

פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של <math>G</math>, באינדוקציה: <math>G^{(0)} := G</math>, ולכל <math>n</math>, <math>G^{(n+1)} := [G^{(n)},G^{(n)}]</math>. בפרט מקצרים וכותבים <math>G' = [G,G]</math>, <math>G = [G',G']</math> וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז <math>G</math> היא חבורה פתירה. חבורה המקיימת את השוויון 
<math>G'=G</math> נקראת חבורה מושלמת. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות <math>S_n</math> היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, <math>A_n</math>, בעוד ש-<math>A_n</math> מושלמת לכל <math>5\leq n</math> (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).

בדומה לזה, מגדירים <math>G_{n+1} = [G,G_n]</math>, כאשר <math>G_1 := G</math>. אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה נילפוטנטית. 

נוסחת קומוטטורים מוכללת היא הנוסחה <math>\psi = x_1</math>, או נוסחה מהצורה <math>\psi = [\psi',\psi]</math> כאשר <math>\psi',\psi</math> הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. פיליפ הול הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות <math>[G_n,G_n] \subseteq \psi(G)</math> (לכל חבורה <math>G</math>), ואלו המקיימות <math>\psi(G) \subseteq [G,G]</math>; והוכיח שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות <math>\psi(G)=1</math>, וכולן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות <math>\psi(G)=1</math>, ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.

תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את למת שלוש התת-חבורות: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות <math>A,B,C</math> של <math>G</math>, מתקיים <math>[A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]</math>.

=== האורך בחבורת הקומוטטורים ===

בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה. האורך של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher שהאורך של איבר אינו עולה על <math>\lceil\log_4|G'|\rceil</math>, וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר < 1000 אינו עולה על 2). 

המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-1951) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור חבורת התמורות הזוגיות <math>A_n</math>. מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל חבורת לי מטיפוס <math>L_r(q)</math>, עבור <math>q>8</math>. בשנת 2008 ההשערה הוכחה לכל חבורה פשוטה סופית, באמצעות שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים.

==ראו גם==
* חבורה נילפוטנטית

==קישורים חיצוניים==
* 
* 

==הערות שוליים==

קטגוריה:אלגברה
קטגוריה:תורת החבורות