מספר מצולע

במתמטיקה, מספר מצולע, הוא מספר שלם <math>\ n</math> המקיים את התכונה שאפשר לארגן <math>\ n</math> נקודות כקודקודים של שרשרת מצולעים משוכללים בעלי קודקוד משותף.

הדוגמאות הפשוטות ביותר הן מספרים משולשיים, שהם מספרים מהצורה <math>\ \frac{n(n+1)}{2}</math>, ומספרים ריבועיים, מהצורה <math>\ n^2</math>. באופן כללי, מספרים שאפשר לסדר כקודקודים של שרשרת מצולעים בעלי k צלעות הם מהצורה: <math>\ n+(k-2)T_{n-1}=n+(k-2)\frac{n(n-1)}{2}</math>, כאשר <math>T_{n-1}</math> הוא המספר המשולשי ה-n-1. נוסחה זו מוצדקת על ידי חלוקת המצולע למשולשים.

מתמטיקאים במאות ה-17 וה-18 עסקו במספרים מצולעים. פרמה ניסח את משפט המספרים המצולעים אך לא פרסם הוכחה שלו. ב- 1730 מצא אוילר את הנוסחה הכללית למספרים שהם גם משולשים וגם ריבועיים, באמצעות פתרון של משוואת פל מתאימה.

== דוגמאות וציורים ==
לדוגמה, המספר 10 הוא מספר משולשי, משום שאפשר לארגן אותו בצורת משולש משוכלל שבו יש סדרה של משולשים משוכללים בעלי 1, 2, 3, ו-4 נקודות על כל צלע:
200px

את המספר 10 לא ניתן לתאר בצורת ריבוע; אבל את 9 אפשר. בריבוע זה יש סדרה של ריבועים בעלי 1, 2, ו-3 נקודות על כל צלע, ולכן 9 הוא מספר ריבועי.
250px

ישנם מספרים שאפשר לארגן גם בצורת משולש וגם בצורת ריבוע, למשל 36 (ראו מספר משולשי ריבועי):
250px

השיטה להגדלת מצולע לגודל הבא הוא להוסיף לשתי צלעות סמוכות נקודה אחת ואז להוסיף את כל הנקודות הדרושות לצדדים בין שתי הנקודות האלה. בדיאגרמה להלן, כל שכבה נוספת מוצגת בצבע אדום.

;מספרים משולשים

250px

בין היתר ניתן למצוא את המספרים המשולשים בתור העמודה השנייה של משולש פסקל. 

;מספרים ריבועיים

250px

מצולעים עם מספר גדול יותר של צלעות, כמו מחומשים ומשושים, יכולים להיות מיוצגים גם כן בנקודות (עם המוסכמה ש-1 הוא מספר מצולע לכל מספר של צלעות).

;מספרים מחומשים

250px

מספרים משושים
250px

{| class="wikitable" style="align: center; margin: auto;"
! שם !! נוסחה !! n=1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 !! 10 !! 11 !! 12 !! 13
|- 
| משולש || style="direction: ltr; text-align: center;" | ½n(1n + 1) || 1 || 3 || 6 || 10 || 15 || 21 || 28 || 36 || 45 || 55 || 66 || 78 || 91
|- 
| ריבוע || style="direction: ltr; text-align: center;" | ½n(2n - 0) || 1 || 4 || 9 || 16 || 25 || 36 || 49 || 64 || 81 || 100 || 121 || 144 || 169
|- 
| מחומש || style="direction: ltr; text-align: center;" | ½n(3n - 1) || 1 || 5 || 12 || 22 || 35 || 51 || 70 || 92 || 117 || 145 || 176 || 210 || 247
|- 
| משושה || style="direction: ltr; text-align: center;" | ½n(4n - 2) || 1 || 6 || 15 || 28 || 45 || 66 || 91 || 120 || 153 || 190 || 231 || 276 || 325
|- 
| משובע || style="direction: ltr; text-align: center;" | ½n(5n - 3) || 1 || 7 || 18 || 34 || 55 || 81 || 112 || 148 || 189 || 235 || 286 || 342 || 403
|- 
| מתומן || style="direction: ltr; text-align: center;" | ½n(6n - 4) || 1 || 8 || 21 || 40 || 65 || 96 || 133 || 176 || 225 || 280 || 341 || 408 || 481
|-
|x-צלעות 
|((n((x-2)n-(x-4½
|1
|x
|3x-3
|6x-8
|10x-15
|
|
|
|
|
|
|
|
|}

==לקריאה נוספת==
<div dir=ltr>
* The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books), 1997
* Figurate Numbers, 2011 [https://web.archive.org/web/20120524092834/http://www.worldscibooks.com/mathematics/8188.html]
</div>

==קישורים חיצוניים==
*

==הערות שוליים==

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:שעשועי מתמטיקה
קטגוריה:סדרות של שלמים
קטגוריה:מצולעים
*

ru:Последовательность двенадцатиугольника