דואליות פונטריאגין

במתמטיקה, ובאופן ספציפי יותר בתחומים של אנליזה הרמונית וחבורות טופולוגיות, החבורה הדואלית (The dual group/Pontryagin Dual) היא אובייקט, המוגדר ביחס לחבורה טופולוגית נתונה, אך
מופיעה בעיקר בהקשר של חבורות אבליות קומפקטיות-מקומית (הגדרה בהמשך). המילה "דואלית" מציינת את ההתאמה בין האובייקט הנתון לאובייקט החדש המוגדר.

החבורה הדואלית של חבורה טופולוגית נתונה <math>G</math> היא חבורת כל הפונקציות מ-<math>G</math> למעגל היחידה, אשר שומרות על המבנה של <math>G</math> כחבורה וכמרחב טופולוגי. כלומר, כל פונקציה כזאת היא הומומורפיזם של חבורות ורציפה. פונקציות אלה מכונות קרקטרים.

אנלוגיה טובה למושג הדואליות היא בהקשר של מרחבים וקטוריים: עבור מרחב וקטורי <math>V</math>, המרחב הדואלי <math>V^*</math> הוא מרחב הפונקציונלים הליניאריים על <math>V</math>. גם כאן האובייקט הדואלי הוא תת-קבוצה של מרחב פונקציות על האובייקט הנתון, במקרה הזה הטווח של הפונקציות הוא השדה שמעליו מוגדר <math>V</math>. יתר על כן, הפונקציות הן משמרות-מבנה בהקשר של מרחבים וקטוריים, כלומר העתקות ליניאריות. בנוסף, המרחב הדואלי הוא אובייקט "מאותו הסוג" כלומר מרחב וקטורי.

החבורה הדואלית נקראת בנוסף "דואל פונטריאגין" (Pontryagin Dual) על-שם המתמטיקאי לב פונטריאגין (Lev Pontryagin) שייסד את התאוריה על חבורות אבליות קומפקטיות-מקומית ועל הדואליות ביניהן, בעבודתו בשנת 1934.

באמצעות החבורה הדואלית ניתן להכליל את ההגדרה של התמרת פורייה עבור פונקציות/מידות על חבורה אבלית קומפקטית-מקומית כללית.

== הגדרות ==
תהי <math>G</math> חבורה טופולוגית.

הגדרה: קרקטר (character) על <math>G</math> הוא פונקציה <math>\chi : G \rightarrow S^1</math> כאשר <math>\chi</math> הומומורפיזם של חבורות טופולוגיות, כלומר מתקיימים שני תנאים

1) <math>\chi</math> רציפה.

2) לכל <math>a ,b \in G</math> מתקיים כי-
<math>\chi (a \cdot b ) = \chi(a) \cdot \chi (b)</math>
<blockquote>הערה: כאן <math>S^1</math> מסמן את החבורה הכפלית של מעגל היחידה כתת-קבוצה של שדה המספרים המרוכבים עם טופולוגיית תת-המרחב. בנוסף, אנו מסמנים כפל בכל אחת מהחבורות ב-<math>\cdot</math>, או בכתיבת הסימנים זה לצד זה - <math>xy = x \cdot y</math>.</blockquote>
הגדרה: החבורה הדואלית (נקראת גם דואל פונטריאגין/חבורת הקרקטרים ובאנגלית The Dual group/Pontryagin Dual) של <math>G</math> היא קבוצת כל הקרקטרים על <math>G</math> ומסומנת בדרך כלל ב-<math>\hat{G}</math> (נהגה "<math>G</math> כובע") כלומר - <math>\hat{G} = \{ \chi : G \rightarrow S^1 |\chi \quad is \quad a \quad character \}</math>.

נגדיר פעולה דו-מקומית על <math>\hat{G}</math> על ידי כפל נקודתי - <math>\forall \chi,\eta \in \hat{G} \quad \forall a \in G \quad \chi \cdot \eta(a) := \chi(a)\eta(a) </math>.

נגדיר את הטופולוגיה על <math>\hat{G}</math> להיות הטופולוגיה המושרה מהטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה על מרחב הפונקציות <math>(S^1)^G = \{ f|f:G \rightarrow S^1 \}</math>.

הגדרה: <math>G</math> תקרא חבורה אבלית קומפקטית-מקומית (LCA group - Locally Compact Abelian group) אם היא אבלית כחבורה (פעולת הכפל על <math>G</math> קומוטטיבית), קומפקטית מקומית כמרחב טופולוגי ובנוסף מקיימת את תכונת האוסדורף (<math>T_2</math>).<blockquote>הערות:</blockquote><blockquote>1) במקום התכונה <math>T_2</math> ניתן להניח את התכונה <math>T_0</math>. תחת הנחה זו ניתן לקבל כי <math>G</math> מרחב טופולוגי רגולרי-לחלוטין ובפרט האוסדורף.</blockquote><blockquote>2) לעיתים מגדירים בלי תכונת האוסדורף, אך נדרשים להניח תכונה זו בניסוח טענות רבות.</blockquote><blockquote>3) נדגיש כי במסמך זה, בכל מקום שמופיע הביטוי "חבורה אבלית קומפקטית מקומית" הכוונה שגם תנאי האוסדורף מתקיים. אם הביטוי שונה ולא כתוב במפורש שמניחים את תנאי האוסדורף, אז איננו מניחים אותו.</blockquote>

== תכונות בסיסיות ==
נמנה כעת מספר תכונות בסיסיות של החבורה הדואלית ונוכיח חלק מהן לאחר מכן. המושג "איזומורפים" מתייחס כאן לאיזומורפיות כחבורות טופולוגיות.
* לכל חבורה טופולוגית <math>G</math>, החבורה הדואלית <math>\hat{G}</math> עם פעולת הכפל והטופולוגיה שהוגדרו לעיל היא חבורה טופולוגית אבלית.
* לכל חבורה טופולוגית <math>G</math>, החבורה הדואלית היא תת-מרחב סגור של מרחב הפונקציות הרציפות <math>C(G,S^1)</math> בטופולוגיה המושרה מהטופולוגיה לעיל.
* אם <math>G</math> חבורה קומפקטית (חבורה טופולוגית קומפקטית) אז <math>\hat{G}</math> חבורה דיסקרטית.
* אם <math>G</math> חבורה דיסקרטית אז <math>\hat{G}</math> חבורה קומפקטית.
* אם <math>G</math> חבורה קומפקטית-מקומית אז גם <math>\hat{G}</math> חבורה קומפקטית מקומית.
* מכיוון ש-<math>S^1</math> מקיימת את תכונת האוסדורף אז לכל חבורה טופולוגית <math>G</math>, החבורה הדואלית <math>\hat{G}</math> מקיימת תמיד את תכונת האוסדורף כתת-מרחב של <math>(S^1)^G</math> (מרחב פונקציות כמכפלה של מרחבים).
* מהתכונות הנ"ל נובע כי בפרט, אם <math>G</math> חבורה אבלית קומפקטית-מקומית אז <math>\hat{G}</math> חבורה אבלית קומפקטית-מקומית.
* משפט הדואליות של פונטריאגין- לכל חבורה אבלית קומפקטית-מקומית <math>G</math>, מתקיים כי-<math>G \cong \hat{\hat{G}}</math>, כלומר הבי-דואל של <math>G</math> (הדואל של הדואל של <math>G</math>) איזומורפי ל-<math>G</math>. הכוונה היא ששתי החבורות איזומורפיות כחבורות טופולוגיות, כלומר שקיימת פונקציה <math>\phi : G \rightarrow \hat{\hat{G}}</math> חח"ע ועל, רציפה ומכבדת את מבנה החבורות (כפלית). המשפט גורס כי הפונקציה - <math>\phi : G \rightarrow \hat{\hat{G}}, \quad \forall a \in G \forall \chi \in \hat{G} \quad \phi (a)(\chi) = \chi(a)</math> עונה על הדרישות.
*אם <math>A,B</math> חבורות אבליות קומפקטיות-מקומית אז <math>\widehat{A \times B} \cong \hat{A} \times \hat{B}</math> עם ההגדרות הסטנדרטיות של מכפלת חבורות ומכפלת מרחבים טופולוגיים. בנוסף קיימת הכללה למכפלות כלשהן.
*אם <math>G</math> חבורה אבלית קומפקטית-מקומית ו-<math>H \leq G</math> תת-חבורה (במקרה הזה נורמלית) אז <math>H^\perp \cong \widehat{G/H}</math> כאשר <math>H^\perp := \{ \chi \in \hat{G} |\forall h \in H, \quad \chi(h)=1 \}</math> והטופולוגיה על מרחב המנה <math>G/H</math> היא טופולוגיית המנה.

=== הוכחת המבנה כחבורה אבלית ===
עבור חבורה טופולוגית כללית <math>G</math>, נראה כי <math>\hat{G}</math> עם פעולת הכפל שהגדרנו היא חבורה אבלית.<blockquote>0) סגירות תחת הפעולה - ראשית נוודא שהפונקציה המוגדרת על ידי כפל נקודתי היא אכן קרקטר. תהיינה <math>\chi, \eta \in \hat{G}</math>.</blockquote><blockquote> נראה כי <math>\chi\eta</math> הומומורפיזם של חבורות - עבור <math>a,b \in G</math>, מכיוון ש-<math>\chi, \eta</math> הומומורפיזמים של חבורות אז <math>\chi\eta(ab) = \chi(ab)\eta(ab) = \chi(a)\chi(b)\eta(a)\eta(b) </math> מקומוטטיביות הכפל בשדה המרוכבים נובע כי <math>\chi(a)\chi(b)\eta(a)\eta(b) = \chi(a)\eta(a)\chi(b)\eta(b) = \chi\eta(a)\chi\eta(b) </math> כפי שרצינו. </blockquote><blockquote>נראה כי <math>\chi\eta</math> רציפה - מכיוון שזהו הומומורפיזם של חבורות, עבור <math>e \in G </math> איבר היחידה מתקיים <math>\chi\eta(e) = 1 </math> ומספיק להוכיח רציפות ב-<math>e </math>.</blockquote><blockquote>עבור <math>\epsilon > 0 </math> ניקח מרציפות <math>\chi, \eta</math> סביבה <math>U </math> של <math>e </math> כך ש- <math>\forall a\in U \quad |\chi(a)-1|< \epsilon /2, |\eta(a)-1|< \epsilon /2 </math> ולכן לכל <math>a \in U </math> מתקיים כי </blockquote><blockquote><math>|\chi(a)\eta(a)-1|= |\chi(a)\eta(a)-\chi(a) +\chi(a)-1|\leq |\chi(a)||\eta(a)-1|+|\chi(a)-1|< \epsilon /2 + \epsilon /2 =\epsilon </math></blockquote><blockquote>1) פעולת כפל אסוציאטיבית - לכל <math>\chi, \eta, \phi \in \hat{G}</math>, מתקיים מאסוציאטיביות ב-<math>\Complex</math> כי-
<math>\forall a \in G, ( (\chi\eta)\phi)(a)=(\chi(a)\eta(a))\phi(a)=\chi(a)(\eta(a)\phi(a))=(\chi(\eta\phi) )(a)</math> </blockquote><blockquote>ולכן <math>(\chi\eta)\phi = \chi(\eta\phi)</math>.</blockquote><blockquote>2) אבליות - לכל <math>\chi,\eta \in \hat{G} </math> מתקיים מחילופיות (קומוטטיביות) ב-<math>\Complex</math> כי-
<math>\forall a \in G, \chi\eta(a)=\chi(a)\eta(a)=\eta(a)\chi(a)=\eta\chi(a)</math> ולכן <math>\chi\eta=\eta\chi</math>.</blockquote><blockquote>3) קיום איבר יחידה - הפונקציה הקבועה <math>\chi </math> הנתונה על ידי <math>\forall a \in G, \chi(a)=1</math> היא קרקטר ומקיימת לכל <math>\eta \in \hat{G}</math> כי - <math>\forall a \in G, \chi\eta(a) = 1\cdot\eta(a)=\eta(a)</math> ולכן <math>\chi\eta = \eta</math>.</blockquote><blockquote>מאבליות, נכונה גם אדישות לכפל מימין.</blockquote><blockquote>4) קיום איבר הופכי - לכל <math>\chi \in \hat{G}</math> נטען כי הפונקציה <math>\chi ^ {-1}</math> המוגדרת על ידי <math>\forall a \in G, \chi ^{-1}(a):= \chi(a) ^{-1}=\overline{\chi(a)}</math>, היא איבר הופכי ל-<math>\chi</math>.</blockquote><blockquote>ואכן, פונקציה זו רציפה כהרכבת רציפות (הצמדה רציפה ב-<math>\Complex</math>) והיא הומומורפיזם של חבורות כהרכבת הומומורפיזמים של חבורות (הצמדה שומרת על כפל ב-<math>\Complex</math>).</blockquote><blockquote>בנוסף, מתקיים לכל <math>a \in G</math> כי <math>\overline{\chi(a)}\chi(a)=|\chi(a)|^2=1 </math> ולכן <math>\chi</math> הפיך.</blockquote>

=== סגירות טופולוגית במרחב הפונקציות הרציפות ===
בטופולוגיה שהגדרנו מתקיים כי כל נקודת הצטברות <math>f: G \rightarrow S^1</math> רציפה של <math>\hat{G}</math> היא הומומורפיזם של חבורות.

הוכחה: (כולל שימוש ברעיון של רשתות) יהיו <math>a,b \in G</math> ונראה כי <math>f(ab) = f(a)f(b)</math>.
מההנחה על <math>f</math> ניקח רשת <math>(g_\alpha)_{\alpha \in D} \subset \hat{G}</math> המתכנסת ל-<math>f</math>.
יהיו <math>a,b \in G</math> ונראה כי <math>f(ab) = f(a)f(b)</math>. מתקיים כי הטופולוגיה של התכנסות נקודתית (טופולוגיית המכפלה) על <math>C(G,S^1)</math> גסה יותר מהטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה (מוכלת בה כקבוצה), כי יחידונים הם קבוצות קומפקטיות. לכן, אנו מקבלים כי הרשתות <math>\{ g_\alpha (a) \} _{\alpha \in D}, \{ g_\alpha (b) \} _{\alpha \in D}, \{ g_\alpha (ab) \} _{\alpha \in D} </math> מתכנסות ל-<math>f(a), f(b), f(ab)</math> בהתאמה.

לכן מיחידות הגבול ב-<math>S^1</math> כמרחב האוסדורף ומכפליות <math>g_\alpha</math> לכל <math>\alpha</math> נקבל-
<math>f(ab) =lim_{\alpha \in D} \{ g_\alpha(ab) \}_\alpha = lim_{\alpha \in D} \{ g_\alpha(a) g_\alpha(b) \}_\alpha=f(a)f(b)</math>, כנדרש.

=== טופולוגיה במקרה של קומפקטיות מקומית ===
עבור חבורה טופולוגית כללית <math>G</math>, הגדרנו את הטופולוגיה על החבורה הדואלית <math>\hat{G}</math> להיות הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה. כלומר במונחים של <math>\hat{G}</math> זו הטופולוגיה שנוצרת על-ידי תת-הבסיס:

<math>\{ S(K,U) \subseteq \hat{G} | K \subseteq G \quad is \quad compact, U \subseteq S^1 \quad is \quad open \}, \quad S(K,U):= \{ \chi \in \hat{G} | \chi(K)\subseteq U \}</math>.

במקרה ש-<math>G</math> היא קומפקטית-מקומית כמרחב טופולוגי, יש תיאור נוסף לטופולוגיה על החבורה הדואלית. מכיוון ש-<math>\hat{G} \subseteq C(G,S^1)</math> כלומר כל פונקציה בחבורה הדואלית היא רציפה, נובע מטיעונים טופולוגיים בלבד, (בין היתר ממטריות <math>S^1 </math>) כי הטופולוגיה שהגדרנו על <math>\hat{G}</math> מזדהה עם הטופולוגיה של התכנסות במידה-שווה על קבוצות קומפקטיות, שנוצרת על-ידי הבסיס:

<math>\{ B(f,K,\epsilon) \subseteq (S^1)^G|f:G \rightarrow S^1,K \subseteq G \quad is \quad compact, \epsilon >0 \} ,\quad B(f,K,\epsilon):= \{ g:G \rightarrow S^1| sup \{| f(a)-g(a)| : a \in K\} < \epsilon \}</math>

=== דואליות בין חבורות קומפקטיות וחבורות דיסקרטיות ===
נראה כעת כי אם <math>G</math> חבורה טופולוגית קומפקטית אז החבורה הדואלית היא מרחב דיסקרטי. ולהפך, אם <math>G</math> חבורה דיסקרטית אז <math>\hat{G}</math> קומפקטית. נשים לב כי בשני המקרים <math>G</math> קומפקטית-מקומית ולכן הטופולוגיה על <math>\hat{G}</math> היא הטופולוגיה של התכנסות במידה-שווה על קבוצות קומפקטיות.

עבור המקרה השני נצטרך את משפט ארצלה-אסקולי, נזכר בו כעת.

משפט ארצלה-אסקולי: (בגרסה הרלוונטית) אם <math>X</math> מרחב טופולוגי ו-<math>(Y,d)</math> מרחב מטרי, תת-קבוצה סגורה <math>F \subseteq C(X,Y)</math> היא קומפקטית בטופולוגיה של התכנסות קומפקטית אם מתקיימים שני התנאים הבאים:

א) <math>F</math> רציפה במידה אחידה, כלומר לכל <math>x \in X</math> לכל <math>\epsilon > 0</math> יש סביבה <math>x \in U</math> כך ש-
<math>\forall f \in F, f(U) \subset B(f(x), \epsilon)</math> כאשר <math>B(f(x),\epsilon)</math> כדור פתוח בטופולוגיה המטרית על <math>Y</math>.

ב) מתקיים כי לכל <math>x \in X</math>, הסגור הטופולוגי של הקבוצה <math>F_x = \{ f(x) | f \in F \}</math> קומפקטי כתת-מרחב של <math>Y</math>.

==== אם <math>G</math> קומפקטית אז <math>\hat{G}</math> דיסקרטית ====
<blockquote>סכימת הוכחה:</blockquote><blockquote>על מנת להוכיח טענה זו עלינו להוכיח שתי טענות-</blockquote><blockquote>טענה1: אם <math>1 \ne \xi \in S^1 </math> כך ש<math>Re(\xi)> 0</math> אז יש <math>k \in \N</math> כך ש<math>Re(\xi ^k)<0</math>.</blockquote><blockquote>באמצעות טענה1 ניתן להוכיח את הטענה הבאה-</blockquote><blockquote>טענה2: אם <math>G</math> חבורה טופולוגית, אז הטופולוגיה של התכנסות במידה-שווה על <math>\hat{G}</math> היא הטופולוגיה הדיסקרטית.</blockquote><blockquote>מסקנה: מכיוון ש-<math>G</math> קומפקטית ו-<math>S^1 </math> מרחב מטרי, אז הטופולוגיה של התכנסות קומפקטית על <math>C(G, S^1)</math> מזדהה עם הטופולוגיה של התכנסות במידה-שווה. בפרט הטופולוגיות מזדהות על <math>\hat{G}</math> ולכן היא דיסקרטית לפי טענה2.</blockquote>

==== אם <math>G</math> דיסקרטית אז <math>\hat{G}</math> קומפקטית ====
<blockquote>הוכחה: נראה שהחבורה הדואלית מקיימת את תנאי משפט ארצלה-אסקולי כתת-קבוצה של <math>C(G, S^1)</math>.</blockquote><blockquote>נסמן <math>F = \hat{G}</math>. ראינו שהחבורה הדואלית סגורה במרחב הפונקציות הרציפות, כלומר <math>F= \overline{F}</math>.</blockquote><blockquote>נראה קיום תנאי משפט ארצלה-אסקולי-</blockquote><blockquote>א) <math>F</math> רציפה במידה אחידה- יהי <math>a \in G</math>, אז <math>\{ a \}</math> סביבה פתוחה של <math>a</math>. בנוסף מתקיים כי <math>\forall f \in F, f( \{ a \})= \{ f(a) \}</math>. לכן לכל <math>\epsilon >0</math> מתקיים
<math>\forall f \in F, f( \{ a \} ) \subset B(f(a),\epsilon)</math> ומכאן ש-<math>F</math> רציפה במידה אחידה.</blockquote><blockquote>ב) מכיוון ש-<math>S^1</math> מרחב קומפקטי, כל תת-מרחב סגור שלו הוא מרחב קומפקטי, בפרט נכון עבור כל המרחבים <math>\overline{F_a} \quad, a \in G</math>.</blockquote><blockquote>מכיוון שהתנאים מתקיימים, <math>F = \hat{G}</math> קומפקטי.</blockquote>

== דוגמאות ==
החבורות בדוגמאות הבאות הן חבורות אבליות קומפקטיות-מקומית. המושג "איזומורפים" מתייחס כאן לאיזומורפיות כחבורות טופולוגיות.
* עבור החבורה האדיטיבית <math>\R</math> עם הטופולוגיה הסטנדרטית, החבורה הדואלית איזומורפית ל-<math>\R</math> עצמה באופן לא-קנוני. כל התאמה מהסוג <math>y \mapsto e^{r \cdot ixy}</math> כאשר <math>r \in \R</math> ותמונת <math>y</math> היא פונקציה ב-<math>x</math>, עובדת.
* באופן יותר כללי, לכל <math>n \in \N </math>, החבורה הדואלית לחבורה האדיטיבית <math>\R ^ n</math> עם הטופולוגיה הסטנדרטית איזומורפית ל-<math>\R ^ n</math>, למשל עם ההתאמה המוכללת הבאה-<math>\vec{y} \mapsto e^{i<\vec{x},\vec{y}>}</math>, כאשר המכפלה הפנימית המצוינת היא המכפלה הפנימי הסטנדרטית על <math>\R ^ n</math>.
* החבורה הדואלית לתת-חבורה הכפלית <math>S^1 \subset \Complex - 0</math> עם הטופולוגיה המושרה מהטופולוגיה הסטנדרטית, איזומורפית לחבורה האדיטיבית <math>\Z</math>, עם הטופולוגיה הדיסקרטית. התאמה נתונה על ידי -

<math>n \mapsto z^n</math> כאשר תמונת מספר שלם היא פונקציה ב-<math>z</math>.
* להפך, החבורה הדואלית של <math>\Z</math> איזומורפית ל- <math>S^1</math>. שתי הדוגמאות האחרונות הן מהמקרים הידועים ביותר שעונים על התכונות שראינו לגבי מרחבים קומפקטיים ומרחבים דיסקרטיים.
* לכל <math>n \in \N</math>, החבורה הדואלית של <math>\Z |_n </math> איזומורפית ל- <math>\Z |_n </math> עצמה. כאן <math>\Z |_n </math> היא החבורה האדיטיבית "השלמים מודולו <math>n</math>" עם הטופולוגיה הדיסקרטית.
* לכל מספר ראשוני <math>p</math>, החבורה הדואלית לחבורה האדיטיבית של שדה המספריים ה<math>p</math>-אדיים <math>\Q _p</math> עם הטופולוגיה ה<math>p</math>-אדית איזומורפית ל-<math>\Q _p</math> עצמה.

== הקשר להתמרת פורייה ==
באנליזה הרמונית לומדים תחילה על שני מקרים של התמרת פורייה, שננסח כעת. לאחר מכן, ניתן בעזרת החבורה הדואלית משמעות כללית יותר למושג "התמרת פורייה".

ננסח את המקרים ה"ידועים" באופן שיתאים להכללות שנציג:<blockquote>1)המקרה הראשון הוא ב-<math>\R</math>. בהינתן פונקציה <math>f: \R \rightarrow \Complex</math> שהיא רציפה, חסומה ושהאינטרגל של <math>|f|</math> על כל הישר הממשי מתכנס, ניתן להגדיר את התמרת פורייה. התמרת פורייה של <math>f</math> היא פונקציה <math>\hat{f} : \R \rightarrow \Complex</math>, המוגדרת באופן הבא: <math>\hat{f}(\omega) = \int_{\R} f(x)e^{-i \omega x}dx :=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i \omega x}dx </math>. ניתן להראות כי פונקציה זו גם היא רציפה וחסומה אך ניתן להבטיח "רק" כי האינטגרל של <math>|\hat{f}|^2</math> על כל הישר מתכנס.</blockquote><blockquote>2) המקרה השני הוא ב- <math>S^1</math>, אשר איזומורפי כחבורה טופולוגית למרחב המנה (שהוא גם חבורת מנה) <math>\R / \Z</math>, נדבר אם כך במונחים של חבורה זו. </blockquote><blockquote>כאן, כל פונקציה <math>f: \R/\Z \rightarrow \Complex</math> שהיא רציפה נתפסת כפונקציה רציפה <math>f: [0,1] \rightarrow \Complex</math> כאשר <math>f(0)=f(1)</math> (שקול גם לפונקציה רציפה, מחזורית עם מחזור 1 על כל הישר הממשי). <math>f</math> כזו היא גם חסומה מקומפקטיות <math>\R / \Z</math> ומתקיים כי האינטגרל של <math>|f|</math> ב- <math>[0,1]</math> קיים. </blockquote><blockquote>במקרה זה, ניתן להגדיר את התמרת פורייה של <math>f</math> להיות פונקציה <math>\hat{f} : \Z \rightarrow \Complex</math> כאשר <math>\Z</math> היא החבורה האדיטיבית עם הטופולוגיה הדיסקרטית, באופן הבא: <math>\hat{f}(n) = \int_{\R / \Z} f(x)e^{-2\pi inx}dx := \int_{0}^{1} f(x)e^{-2\pi inx}dx</math>. פונקציה זו היא רציפה מדיסקרטיות <math>\Z</math>. בנוסף, ניתן להראות גם את התכונות חסימות (נובע מלמת רימן-לבג) והתכנסות הטור <math>\sum_{n \in \Z}|\hat{f}(n)| </math> שמהווה מושג של אינטגרציה על <math>\Z</math>. </blockquote>על-מנת להכליל את המושג "התמרת פורייה" לחבורות אבליות קומפקטיות-מקומית, נכליל תחילה את מושג האינטגרל על חבורה קומפקטית-מקומית (לא בהכרח אבלית).

=== אינטגרל האר ===
אנו לא נבנה כאן את אינטגרל האר, אלא נסביר את המוטיבציה. לפירוט, ראו בביבליוגרפיה ואת הערך הויקיפדי על מידת האר.

עבור חבורה קומפקטית-מקומית והאוסדורף <math>G</math>, ברצוננו למצוא קבוצת פונקציות <math>X \subseteq \Complex ^ G</math> המקיימת תכונות מסוימות - נרצה שקבוצה זו תהווה מרחב וקטורי מעל <math>\Complex</math> ותכיל בין היתר את כל הפונקציות הרציפות עם תומך קומפקטי, כלומר <math>C_c(G) \subseteq X</math>.

על מרחב זה יהיה מוגדר פונקציונל ליניארי <math>I: X \rightarrow \Complex</math> שאיננו פונקציונל האפס, שיקיים את התכונות הבאות:<blockquote>1) אם <math>f \in X</math> וגם לכל <math>a \in G</math>, <math>f(a) \geq 0</math> (סימון: <math>f \geq 0</math>) אז <math>I(f) \geq 0</math>. תכונה זו נקראת אי-שליליות.</blockquote><blockquote>2) לכל <math>f \in X</math> ולכל <math>b \in G</math>, עבור הפונקציה במשתנה <math>a</math> שמוגדרת על ידי <math>f_b(a):=f(ba)</math> מתקיים כי <math>I(f)=I(f_b)</math>. תכונה זו נקראת אינוואריאנטיות-משמאל.</blockquote>פונקציונל כזה נקרא אינטגרל האר או אינטגרל האר שמאלי על <math>G</math>.

משפט: קיים (ויחיד עד כדי כפל בסקלר חיובי) אינטגרל האר שמאלי על <math>G</math>, שמוגדר על המרחב הווקטורי <math>C_c(G)</math> וניתן להרחבה למרחב וקטורי הנקרא <math>L^1(G)</math>. מרחב זה מקיים - <math>f \in L^1(G) \iff |f| \in L^1(G)</math>, כלומר זהו מרחב הפונקציות עם "אינטגרל מתכנס בהחלט".

נסמן לכל <math>f \in L^1(G)</math>, את האינטגרל של <math>f</math> על <math>G</math> להיות - <math>\int_G f(x)dx := I(f)</math>.

נסמן ב- <math>L_{bc}^1(G) \subseteq L^1(G)</math> את תת-המרחב הווקטורי המוגדר על ידי - <math>L_{bc}^1(G) = \{ f \in L^1(G) : f\text{ is bounded and continuous} \}</math>.

=== הכללה 1 ===
כעת נעשה שימוש ראשון בחבורת הקרקטרים.

עבור חבורה אבלית קומפקטית-מקומית <math>G</math>, עם ההגדרה של אינטגרל האר הנ"ל, לכל <math>f \in L_{bc}^1(G)</math> ולכל <math>\chi \in \hat{G}</math> מתקיים <math>|f \cdot \chi^{-1}|=|f \cdot \overline{\chi}|= |f| \in L_{bc}^1(G)</math> לפי המשפט שהצגנו ולכן <math>f \cdot \chi^{-1} = f \cdot \overline{\chi} \in L_{bc}^1(G)</math>.

אם כך, נגדיר עבור <math>f \in L_{bc}^1(G)</math> את התמרת פורייה של <math>f</math> להיות הפונקציה <math>\hat{f} : \hat{G} \rightarrow \Complex</math> המוגדרת על ידי - <math>\hat{f}(\chi) = <f,\chi> := \int_G f(x)\overline{\chi(x)}dx </math>.

הערות:
* זוהי אכן הכללה עבור המקרים שהצגנו עם החבורות האבליות והקומפקטיות מקומית <math>\R ,S^1</math>. במקרים אלו ראינו צורה מפורשת של החבורה הדואלית ובנוסף השימוש בצורות המתאימות של אינטגרל רימן נותן אינטגרל האר על <math>\R ,S^1</math>. מיחידות עד-כדי סקלר, התמרת פורייה ש"הכרנו" היא כעת אחת מאינסוף אפשרויות להגדיר התמרת פורייה על כל אחת מהחבורות.
==לקריא נוספת==
* יואיט ורוס [https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-8638-2 Abstract Harmonic Analysis]