קוהומולוגיה מקומית

באלגברה קומוטטיבית, קוהומולוגיה מקומית (Local Cohomology) היא הפונקטור הנגזר של פונקטור הפיתול ביחס לאידיאל. בהינתן חוג קומוטטיבי <math>A</math> ואידיאל <math>I \subsetneq A</math>, פונקטור ה-<math>I</math>-פיתול הוא תת-הפונקטור של פונקטור הזהות של <math>\operatorname{Mod}(A)</math> המוגדר על ידי הנוסחה:

<math>\Gamma_I(M) := \varinjlim_n \operatorname{Hom}_A(A/I^n,M) = \{ m \in M \mid \exists n, I^n \cdot m = 0\}</math>.

ניתן להראות כי פונקטור זה הוא אדיטיבי ומדויק משמאל, ולכן יש עניין בבניית הפונקטור הנגזר הימני שלו. הפונקטור הנגזר הטוטאלי הנ"ל הוא פונקטור
<math>\mathrm{R}\Gamma_I:D(\operatorname{Mod} A) \to D(\operatorname{Mod} A)</math>
מהקטגוריה הנגזרת של מודולים מעל <math>A</math> לעצמה. הוא מחושב על ידי החלפת מודול (או קומפלקס) ברזולוציה אינג'קטיבית שלו, והפעלת פונקטור הפיתול על הרזולוציה. 
הקוהומולוגיות של פונקטור זה, נותנות את הפונקטור הנגזר הימני הקלאסי שלו, המסומן על ידי
<math>\mathrm{H}^n_I(M) := \mathrm{H}^n\left(\mathrm{R}\Gamma_I(M)\right)</math>. ונקרא הקוהומולוגיה המקומית ה-<math>n</math> של <math>M</math> ביחס לאידיאל <math>I</math>.
לעיתים פונקטור זה מכונה גם פונקטור הקוהמולוגיה עם תמיכה ב-<math>I</math>, או קוהומולוגיה עם תמיכה ב-<math>V(I)</math>.

== תכונות בסיסיות ==

הקוהומולוגיה המקומית מעניינת במיוחד במקרה בו החוג מעליו היא מוגדרת הוא נתרי, ובמיוחד במקרה בו מדובר בחוג מקומי וקוהומולוגיה מקומית ביחס לאידיאל המקסימלי.
בהינתן חוג נתרי מקומי <math>(A,\mathfrak{m})</math>, ובהינתן מודול <chem>M</chem> מעל <math>A</math>, אלכסנדר גרותנדיק הראה את התכונות הבאות של קוהומולוגיה מקומית:

* לכל <math>i > \dim(M)</math> מתקיים ש <math>\mathrm{H}^i_{\mathfrak{m}}(M) = 0</math>, כאשר <math>\dim(M)</math> מסמל את ממד קרול של <math>M</math>.
* מתקיים <math>\inf \{ n \in \mathbb{N} \mid \mathrm{H}^n_{\mathfrak{m}}(M) \ne 0\} = \operatorname{depth}(M)</math>
כאשר <math>\operatorname{depth}(M)</math>, העומק של <math>M</math>, מסמל את אורכה הארוך ביותר של סדרה <math>M</math>-רגולרית המורכבת מאיברים המוכלים באידיאל המקסימלי <math>\mathfrak{m}</math>.
* תחת ההנחה שהמודול <math>M</math> הוא נוצר סופית, גרותנדיק הראה בנוסף כי <math>\sup \{ n \in \mathbb{N} \mid \mathrm{H}^n_{\mathfrak{m}}(M) \ne 0\} = \dim(M)</math>
* שוב, בהנחה כי <math>M</math> נוצר סופית, מתקיים כי מודולי הקוהומולוגיה המקומית <math>\mathrm{H}^n_{\mathfrak{m}}(M)</math> הם כולם ארטיניים.
* מסקנה מיידית מתכונות אלו היא שמודול נוצר סופית <math>M</math> הוא כהן-מקולי אם ורק אם הקומפלקס 
<math>\mathrm{R}\Gamma_{\mathfrak{m}}(M)</math> הוא הזזה של מודול. באופן כללי יותר, אם <math>M</math> הוא קומפלקס חסום עם קוהומולוגיה נוצרת סופית, אז <math>M</math> נקרא כהן-מקולי אם הקומפלקס 
<math>\mathrm{R}\Gamma_{\mathfrak{m}}(M)</math> הוא הזזה של מודול.
== חישוב ==

על פי ההגדרה, על מנת לחשב קוהומולוגיה מקומית של מודול <math>M</math>, יש להחליפו ברזולוציה אינג'קטיבית, ולהפעיל עליה את הפונקטור <math>\Gamma_I(-)</math>. 
במקרה שבו החוג <math>A</math> הוא חוג נתרי, דרך אלנטרנטיבית לחשב את הקוהומולוגיה המקומית היא בעזרת קומפלקס צ'ך.
בהינתן חוג נתרי <math>A</math>, ואידיאל <math>I</math>, בוחרים סדרה כלשהי של יוצרים <math>I = (a_1,\dots,a_n)</math>. 
לכל אחד מאיברי הסדרה הזו, מייחסים את קומפלקס צ'ך:

<math>K(A;a_i) = 0 \to A \to A[a_i^{-1}] \to 0</math>

המרוכז בדרגות קוהומולוגיות 0,1.
לסדרה כולה, יש קומפלקס צ'ך המוגדר על ידי:

<math>K(A;a_1,\dots,a_n) := K(A;a_1) \otimes_A K(A;a_2) \otimes_A \dots \otimes_A K(A;a_n)</math>.

בעזרת קומפלקס זה, ותחת ההנחה שהחוג <math>A</math> הוא נתרי, מתקיים כי

<math>\mathrm{R}\Gamma_I(M) \cong K(A;a_1,\dots,a_n)\otimes_A M</math>

אם החוג <math>A</math> אינו נתרי, ייתכן כי נוסחה זו תהיה שגויה. במקרים כאלו, ההתנהגות של הקוהומולוגיה המקומית היא גרועה במיוחד, ויש פונקטורים טובים יותר המחליפים אותה, בעלי תכונות טוב יותר.

== הגדרה פונקטוריאלית ==

אם החוג <math>A</math> הוא נתרי, קיימת דרך נוספת לבנות את פונקטור הקוהומולוגיה המקומית. בהינתן אידיאל <math>I \subsetneq A</math>, קומפלקס שרשרת <math>M</math> נקרא קומפלקס עם קוהמולוגיה <math>I</math>-פיתולית אם לכל <math>n \in \mathbb{Z}</math>, המודול <math>\mathrm{H}^n(M)</math> מקיים את השוויון <math>\Gamma_I \left( \mathrm{H}^n(M) \right) = \mathrm{H}^n(M)</math>, כלומר אם כל איברי הקוהומולוגיות של <math>M</math> הם מודולים <math>I</math>-פיתוליים.

אוסף כל קומפלקסי השרשרת בעלי קוהומולוגיה <math>I</math>-פיתולית מהווה תת-קטגוריה משולשית (Triangulated) של הקטגוריה הנגזרת <math>D(A)</math>. נסמן קטגוריה זו ב <math>D(A)_{I-tor}</math>. ניתן להראות כי לפונקטור ההכלה

<math>Q: D(A)_{I-tor} \to D(A)</math>

קיים פונקטור צמוד מימין

<math>G : D(A) \to D(A)_{I-tor}</math>

ההרכבה

<math>Q\circ G : D(A) \to D(A)</math>

היא פונקטור, שבמקרה שבו <math>A</math> הוא חוג נתרי, ניתן להראות שהוא איזומורפי בצורה טבעית לפונקטור הקוהומולוגיה המקומית <math>\mathrm{R}\Gamma_I</math>.
במקרים בהם <math>A</math> אינו נתרי, ייתכן שפונקטורים אלו יתנו תוצאות שונות. מתברר כי במקרים אלו, לפונקטור <math>Q \circ G</math> יש לעיתים תכונות טובות יותר מלפונקטור הקוהומולוגיה המקומית, ולכן הוא מהווה במובן מסוים פונקטור קוהומולוגיה מקומית טוב יותר.

== לקריאה נוספת ==
<div class="mw-content-ltr">* [http://www.ams.org/bull/1999-36-03/S0273-0979-99-00785-5/S0273-0979-99-00785-5.pdf Book review by Hartshorne]
</div>

קטגוריה:אלגברה קומוטטיבית
קטגוריה:אלגברה הומולוגית
קטגוריה:גאומטריה אלגברית
קטגוריה:פונקטורים נגזרים