ממוצע מוכלל

במתמטיקה, ממוצע מוכלל (נקרא גם ממוצע חזקות, או ממוצע הולדר על שם המתמטיקאי אוטו הולדר<ref></ref>), הוא משפחה של ממוצעים אשר מכלילה את הממוצעים הפיתגוריים (ממוצע חשבוני, ממוצע הנדסי וממוצע הרמוני) וכן ממוצעים נוספים כגון שורש ממוצע הריבועים.

== הגדרה מתמטית ==
בהינתן מספר טבעי <math>n \in \mathbb{N}</math>, אוסף מספרים חיוביים <math>\bar{x}=(x_1,\dots,x_n)</math> ומספר ממשי <math>p\ne 0</math>, הממוצע המוכלל של <math>\bar{x}</math> מדרגה <math>p</math> מוגדר להיות:<ref name=":0"></ref>

<math>M_p(\bar{x}) := \left(\frac{\sum_{i=1}^n{x_i^p}}{n}\right)^{\frac{1}{p}}</math>

באופן דומה, בהינתן משקולות <math>\bar{w}=(w_1\dots,w_n)</math>, הממוצע המשוקלל של <math>\bar{x}</math> מדרגה <math>p</math> עם המשקולות <math>\bar{w}</math> מוגדר להיות:

<math>M_{p,\bar{w}}(\bar{x}) := \left(\frac{\sum_{i=1}^n{w_ix_i^p}}{\sum_{i=1}^n{w_i}}\right)^{\frac{1}{p}}</math>

שתי ההגדרות מתלכדות עבור המשקולות האחידות <math>\bar{w}=(1/n,\dots,1/n)</math>

== תכונות ==
הממוצע המוכלל מקיים את התכונות הבאות:<ref name=":0" />
* חסימות - עבור כל <math>\bar{x}=(x_1,\dots,x_n)</math> מתקיים <math>\min(\bar{x})\le M_p(\bar{x}) \le \max(\bar{x})</math>. כלומר, הממוצע המוכלל חסום בין האיבר המינימלי למקסימלי ב-<math>\bar{x}</math>.
* סימטריות - עבור כל <math>\bar{x}=(x_1,\dots,x_n)</math> ו-<math>\sigma:\{1,\dots,n\}\to \{1,\dots,n\}</math> תמורה כלשהי, מתקיים כי <math>M_p(x_1,\dots,x_n)=M_p(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})</math>. כלומר, הפונקציה <math>M_p</math> סימטרית לסדר איברים.
* הומוגניות - עבור כל <math>\bar{x}=(x_1,\dots,x_n)</math> ו-<math>\alpha>0</math> כלשהו, ניתן להוכיח כי <math>M_p(\alpha x_1,\dots, \alpha x_n)=\alpha M_p(x_1,\dots, x_n)</math>. כלומר, <math>M_p</math> היא פונקציה הומוגנית.
* ערך בשוויון איברים - עבור <math>x>0</math> מתקיים כי <math>M_p(x,x,\dots,x) = x</math>. כלומר, הממוצע של איברים זהים הוא האיבר עצמו.
* מונוטוניות באיברים - עבור <math>\bar{x}=(x_1,\dots,x_n)</math> ו-<math>\bar{y}=(y_1,\dots,y_n)</math> כך ש-<math>x_i \le y_i</math> לכל <math>1\le i\le n</math>, מתקיים כי <math>M_p(\bar{x})\le M_p(\bar{y})</math>. כלומר, הממוצע עולה כאשר הערכים עולים.
* מונוטוניות לפי <math>p</math> - עבור <math>\bar{x}=(x_1,\dots,x_n)</math> כלשהו ו-<math>p_1 \le p_2</math> מתקיים כי <math>M_{p_1}(\bar{x})\le M_{p_2}(\bar{x})</math>. כלומר, הממוצע עולה ככל שהדרגה שלו עולה. זוהי גרסה כללית של אי שוויון הממוצעים.
* קיבוציות - עבור <math>n,m\in \mathbb{N}</math>, <math>\bar{x}=(x_{11},x_{12},\dots,x_{ij},\dots,x_{nm})</math> ו-<math>y_i=M_p(x_{i1},\dots,x_{im})</math> לכל <math>1\le i\le n</math>, מתקיים <math>M_p(y_1,\dots,y_n)=M_p(\bar{x})</math>. כלומר, ניתן לחשב את הממוצע המוכלל בשלבים על-ידי שימוש בקיבוץ איברים לקבוצות שוות גודל.
* רציפות לפי ערכים - עבור <math>\bar{x}=(x_1,\dots,x_n)</math> כלשהו מתקיים כי <math>\lim_{\bar{y}\to\bar{x}}{M_p(\bar{y})}=M_p(\bar{x})</math>. כלומר, הפונקציה <math>M_p</math> רציפה ב-<math>n</math> ממדים.
* רציפות לפי <math>p</math> - עבור <math>\bar{x}=(x_1,\dots,x_n)</math> ו-<math>p\ne 0</math> כלשהם מתקיים כי <math>\lim_{p'\to p}{M_{p'}(\bar{x})}=M_p(\bar{x})</math>. כלומר, הממוצע המוכלל רציף לפי הפרמטר <math>p</math>.
כלל התכונות (למעט סימטריות) נכונות גם עבור המקרה המשוקלל.

== מקרים פרטיים ==
=== p שואף לאינסוף ===
ניתן להוכיח כי <math>\lim_{p\to \infty}{M_p(\bar{x})}=\max(\bar{x})</math>. כלומר, הממוצע המוכלל שואף לערך המקסימלי ככל ש-<math>p</math> שואף לאינסוף. על כן נהוג להגדיר <math>M_\infty(\bar{x}):=\max(\bar{x})</math>.

==== הוכחה ====
מניחים בלי הגבלת הכלליות כי <math>x_1 > x_2\ge \dots \ge x_n</math>. מסמנים:

<math>M =\lim_{p\to\infty}{M_p(\bar{x})}
= \lim_{p\to\infty}{\left(\frac{\sum_{i=1}^n{x_i^p}}{n}\right)^{\frac{1}{p}}}</math>

מבצעים את פונקציית הלוגריתם על שני הסעיפים ומשתמשים בכלל לופיטל כדי לקבל:

<math>\begin{align}
\ln(M)
= \lim_{p\to\infty}{\frac{\ln\left(\sum_{i=1}^n{x_i^p}\right)-\ln(n)}{p}} \\
= \lim_{p\to\infty}{\frac{\sum_{i=1}^n{\ln(x_i)x_i^p}}{\sum_{i=1}^n{x_i^p}}} \\
= \lim_{p\to\infty}{\frac{\ln(x_1)x_1^p+\sum_{i=2}^n{\ln(x_i)x_i^p}}{x_1^p+\sum_{i=2}^n{x_i^p}}} \\
= \lim_{p\to\infty}{\frac{\ln(x_1)+\sum_{i=2}^n{\ln(x_i)\overbrace{\left(x_i/x_1\right)^p}^{\to 0}}}{1+\sum_{i=2}^n{\underbrace{\left(x_i/x_1\right)^p}_{\to 0}}}} \\
=\ln(x_1)
\end{align}</math>

על ידי הפעלת פונקציית האקספוננט על שני הסעיפים מקבלים:

<math>\lim_{p\to\infty}{M_p(\bar{x})}= M =x_1</math>

מש"ל.

=== p=2 ===
במקרה שבו <math>p=2</math> מתקבל כי:

<math>M_2(\bar{x}) = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n{x_i^2}}{n}}</math>

זהו שורש ממוצע הריבועים.

=== p=1 ===
במקרה שבו <math>p=1</math> מתקבל כי:

<math>M_1(\bar{x}) = \frac{\sum_{i=1}^n{x_i}}{n}</math>

זהו הממוצע החשבוני.

=== p=0 ===
על אף שהממוצע המוכלל אינו מוגדר עבור <math>p=0</math>, ניתן להוכיח כי <math>\lim_{p\to 0}{M_p(x_1,\dots,x_n)}=\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}</math>, וזה הממוצע ההנדסי. על כן, טבעי להגדיר את הממוצע המוכלל ב-<math>p=0</math> להיות הממוצע ההנדסי.

==== הוכחה ====
מסמנים:

<math>M =\lim_{p\to 0}{M_p(\bar{x})}
= \lim_{p\to 0}{\left(\frac{\sum_{i=1}^n{x_i^p}}{n}\right)^{\frac{1}{p}}}</math>

מבצעים את פונקציית הלוגריתם על שני הסעיפים ומשתמשים בכלל לופיטל כדי לקבל:

<math>\begin{align}
\ln(M)
= \lim_{p\to 0}{\frac{\ln\left(\sum_{i=1}^n{x_i^p}\right)-\ln(n)}{p}} \\
= \lim_{p\to 0}{\frac{\sum_{i=1}^n{\ln(x_i)x_i^p}}{\sum_{i=1}^n{x_i^p}}} \\
= \frac{\sum_{i=1}^n{\ln(x_i)}}{\sum_{i=1}^n{1}} \\
= \ln\left(\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\right) \\
\end{align}</math>

על ידי הפעלת פונקציית האקפוננט על שני הסעיפים מקבלים:

<math>\lim_{p\to 0}{M_p(x_1,\dots,x_n)}=M=\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}</math>

=== p=-1 ===
במקרה שבו <math>p=-1</math> מתקבל כי:

<math>M_{-1}(\bar{x}) = \frac{n}{\sum_{i=1}^n{\frac{1}{x_i}}}</math>

זהו הממוצע ההרמוני.

=== p שואף למינוס אינסוף ===
ניתן להוכיח כי <math>\lim_{p\to -\infty}{M_p(\bar{x})}=\min(\bar{x})</math>. כלומר, הממוצע המוכלל שואף לערך המינימלי ככל ש-<math>p</math> שואף למינוס אינסוף. על כן נהוג להגדיר <math>M_{ -\infty }(\bar{x}) := \min(\bar{x})</math>.

==== הוכחה ====
ניתן להראות כי:

<math>\begin{align}
\lim_{p\to-\infty}{M_p(x_1,\dots,x_n)}
= \frac{1}{\lim_{p\to \infty}{M_p(1/x_1,\dots,1/x_n)}} \\
= \frac{1}{\max(1/x_1,\dots,1/x_n)} \\
=\min(x_1,\dots,x_n)
\end{align}</math>

מש"ל.

==קישורים חיצוניים==
* 

== הערות שוליים ==

קטגוריה:ממוצעים