קוהומולוגיית הוכשילד

במתמטיקה, הומולוגיית הוכשילד היא תורת הומולוגיה עבור אלגברות אסוציאטיביות. המבנה הוגדר על ידי גרהרד הוכשילד ב-1945 עבור אלגברות מעל שדה, והוכלל לאלגברות מעל חוגים כלליים יותר על ידי אנרי קרטן וסמואל איילנברג (1956). ב-1962 הראה מארי גרסטנהבר כיצד לפרש את הקוהומולוגיה במונחים של דפורמציות.

== הגדרה ==
תהי A אלגברה אסוציאטיבית מעל שדה k. קוהומולוגיית הוכשילד של בי-מודול M מעל A (מימין ומשמאל) היא סדרה <math>\ \operatorname{\operatorname{HH}}^n(A,M)</math> של מרחבים וקטוריים מעל k, המקודדים תכונות יסודיות של A ושל M.

אפשר להגדיר את מרחבי ההומולוגיה והקוהומולוגיה באמצעות הפונקטורים הנגזרים Tor ו-Ext, כדלקמן: <math> \operatorname{HH}_n(A,M) = \operatorname{Tor}_n^{A^e}(A, M)</math> ו- <math> \operatorname{HH}^n(A,M) = \operatorname{Ext}^n_{A^e}(A, M)</math>, כאשר <math>A^e=A\otimes A^{op}</math>. עבור M=A מקצרים וכותבים <math> \operatorname{HH}_n(A) = \operatorname{HH}_n(A,A)</math> ו- <math> \operatorname{HH}^n(A) = \operatorname{HH}^n(A,A)</math>, כאשר <math>A^e=A\otimes A^{op}</math>. זהו מודול מעל המרכז של A. להלן נציג הגדרה מפורשת.

ההומולוגיה אדיטיבית וכפלית: <math> \operatorname{HH}_n(A\oplus B) = \operatorname{HH}_n(A) \oplus \operatorname{HH}_n(B)</math> ו-<math> \operatorname{HH}_*(A \otimes_k B) = \operatorname{HH}_*(A) \otimes_k \operatorname{HH}_*(B)</math>. היא תלויה רק בקטגוריית הבימודולים של A (שקילות מוריטה). 

עבור שדה F, 
<math>\operatorname{HH}_0(F)=F</math>, ושאר ההומולוגיה מתאפסת. עבור אלגברה (עם יחידה) A, 
<math>\operatorname{HH}_0(A)=A/[A,A]</math> היא המנה הקומוטטיבית המקסימלית; מבנה זה מאפשר למיין את המודולים האי-פריקים מעל A. חבורות ההומולוגיה הגבוהות קשורות בהרחבות של מודולים, ובדרך כלל קשה לחשב אותן, בעיקר משום שהסדרה המדויקת המוגדרת על ידי אידיאל של A אינה מספקת סדרה מדויקת ארוכה של חבורות ההומולוגיה. 

=== הרזולוציה החופשית ===
האלגברה A היא בי-מודול מעל עצמה. כל חזקה טנזורית <math>\ A^{\otimes n} = A \otimes_k \cdots \otimes_k A</math> היא בי-מודול מעל A, לפי הפעולה על הגורמים בקצוות. קומפלקס הוכשילד הוא הקומפלקס <math>\ \cdots \stackrel{d_1}{\longrightarrow} A^{\otimes 3} \stackrel{d_0}{\longrightarrow} A^{\otimes 2} \stackrel{\mu}{\longrightarrow} A \longrightarrow 0</math>, שהדיפרנציאלים שלו מוגדרים לפי <math>\ d(a_0 \otimes \cdots \otimes a_{n+2}) = \sum_{i=0}^{n+1}(-1)^i a_0 \otimes \cdots \otimes a_i a_{i+1} \otimes \cdots \otimes a_{n+2}</math>; כאן <math>\ \mu</math> היא פעולת הכפל. זוהי רזולוציה חופשית של A. משפט כללי באלגברה הומולוגית מראה שההגדרה של מרחבי הקומוהולוגיה אינה תלויה ברזולוציה (היינו אפשר היה לבחור רזולוציה פרויקטיבית כלשהי).

=== קומפלקס הקו-שרשרת===
כעת יהי M בי-מודול מעל A-A. הקוהומולוגיה ביחס ל-M מתקבלת על ידי הפעלת הפונקטור <math>\ \operatorname{Hom}_{A-A}(-,M)</math> על הרזולוציה שניתנה לעיל. לשם כך נוח לזהות <math>\operatorname{Hom}_{A-A}(A^{\otimes n+2},M) = \operatorname{Hom}_k(A^{\otimes n},M)</math>. קומפלקס הקו-שרשרת המתאים ל-M הוא
<math>\operatorname{Hom}_k(k,M) \stackrel{\delta_0}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}_k(A,M) \stackrel{\delta_1}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}_k(A \otimes A, M) {\longrightarrow} \cdots</math>, כאשר
<math>\ (\delta_{n-1}f)(a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) = a_1 f(a_2 \otimes \cdots \otimes a_n) + \sum_{i=1}^{n} (-1)^i f(a_1 \otimes \cdots \otimes a_i a_{i+1} \otimes \cdots \otimes a_n) + (-1)^{n+1}f(a_1 \otimes \cdots \otimes a_{n-1})a_n</math>.

=== הקוהומולוגיה ===
מכיוון ש-<math>\ d^2 =0</math> מתקיים גם <math>\delta^2 =0</math>, ולכן <math>\operatorname{im}\delta_{n-1} \subseteq \operatorname{ker}\delta_n</math>. בהתאם לכך, מגדירים את מרחבי הקוהומולוגיה (עבור <math>\ n \geq 0</math>) כמנות <math>\operatorname{HH}^n(A,M) = \operatorname{ker}\delta_n / \operatorname{im}\delta_{n-1}</math>, כאשר <math>\delta_{-1} = 0</math>.

== הממד ==
אם M בימודול אינג'קטיבי, אז <math>\ \operatorname{HH}^n(A,M) = 0</math> לכל <math>\ n \geq 1</math>. אם A אלגברה ספרבילית (כלומר, A פרויקטיבי כבי-מודול מעל A-A), אז <math>\ \operatorname{HH}^n(A,M) = 0</math> לכל <math>\ n \geq 1</math> ולכל בי-מודול M. הממד של A מוגדר כ-n הגדול ביותר שעבורו <math>\ \operatorname{HH}^n(A,M) \neq 0</math> למודול כלשהו (או אינסוף אם אין כזה n). אם כך, הממד של אלגברה ספרבילית הוא אפס. גם הכיוון ההפוך נכון: לאלגברה יש ממד 0 אם ורק אם היא ספרבילית. אלגברה מממד אחד נקראת חופשית למחצה, או חלקה פורמלית בקטגוריה של אלגברות לא-קומוטטיביות.

לאלגברות בעלות ממד קרול אפס יכול להיות ממד אינסופי: אם <math>A=F[x]/\langle x^2 \rangle</math> אז <math>\operatorname{HH}_n(A)=A,F,xA,F,xA,F,\dots</math> עבור n=0,1,2,... .

== מרחבי הקוהומולוגיה הראשונים ==
לפי ההגדרה, <math>\ \operatorname{HH}^0(A,M) = \{m \in M \,:\, am = ma \ (\forall a \in A)\}</math> (ה"מרכז" של M).

=== נגזרות ===
הגרעין של <math>\ \delta_1</math> הוא אוסף הנגזרות הפורמליות <math>\ A \rightarrow M</math>, בעוד שתמונת <math>\ \delta_0</math> כוללת את הנגזרות הפנימיות, <math>a \mapsto [a,m]</math>. אם כך, <math>\ \operatorname{HH}^1(A,M) = 0</math> אם ורק אם כל נגזרת היא פנימית. כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב
<math>\ \operatorname{HH}^1(A,M)</math> ממיין את המשלימים של M במכפלה הישרה למחצה <math>\ A \ltimes M = \left\{\left(\begin{array}{cc}a & m \\ 0&a\end{array}\right)\right\}</math> שהם איזומורפיים ל-A, עד כדי הצמדה באיברים מהצורה <math>\left(\begin{array}{cc}1&m\\0&1\end{array}\right)</math>.


=== הרחבות ===
הרחבה של A על ידי M היא אלגברה B המכילה את M כאידיאל כך ש-<math>\ M^2=0</math> ו-<math>\ B/M \cong A</math>, כאשר פעולת A על M (מימין ומשמאל) מתלכדת עם המבנה של M כבי-מודול. שתי הרחבות הן שקולות אם יש איזומורפיזם ביניהן המשרה את הזהות על M ועל A. שוב כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב <math>\ \operatorname{HH}^2(A,M)</math> ממיין את ההרחבות של A על ידי M עד כדי שקילות; לכן <math>\ \operatorname{HH}^2(A,M)=0</math> אם ורק אם כל הרחבה מתפצלת (כלומר שקולה למכפלה הישרה למחצה).


=== דפורמציות ===
תהי A אלגברה אסוציאטיבית. דפורמציה של A היא פעולת כפל אסוציאטיבית * של המרחב <math>\ At = \sum_{n=0}^{\infty} At^n</math>, המסכימה עם פעולת הכפל של A כאשר מציבים t=0, כלומר <math>\ a*b = ab+F_1(a,b)t+F_2(a,b)t^2+\cdots</math>. שתי דפורמציות הן שקולות אם יש איזומורפיזם ביניהן המשרה את הזהות כאשר מציבים t=0. מתברר שאם <math>\ \operatorname{HH}^2(A,A)=0</math> אז כל הדפורמציות טריוויאליות (כלומר, שקולות לפעולת הכפל הרגילה על <math>At</math>). חישוב מראה שהרכיב <math>\ F_1</math> לעיל הוא 2-קוציקלוס (כלומר, שייך לגרעין של <math>\delta_2</math>), ולכן קובע מחלקה ב-<math>\operatorname{HH}^2(A,A)</math>. איבר כזה נקרא אינטגרבילי אם אפשר להמשיך אותו לדפורמציה של A. מתברר שאם <math>\ \operatorname{HH}^3(A,A)=0</math> אז כל 2-קוציקלוס הוא אינטגרבילי (גרסטנהבר).

==קישורים חיצוניים==
<div class="mw-content-ltr">
* 
* Sarah Witherspoon, [https://www.ams.org/journals/notices/202006/rnoti-p780.pdf Hochschild Cohomology], Notices of the AMS, June/July 2020
* Richard Melrose, [https://math.mit.edu/~rbm/iml/Chapter11.pdf Hochschild homology], MIT
* [https://www.math.arizona.edu/~swc/aws/2019/2019MorrowNotes.pdf Topological Hochschild homology in arithmetic geometry]
</div>

קטגוריה:אלגברה הומולוגית