זרם העתקה

בתורת האלקטרומגנטיות, צפיפות זרם ההעתקה (באנגלית: Displacement current) היא צפיפות "זרם" מושרה הנובע משדה חשמלי משתנה בזמן. לצפיפות זרם ההעתקה יש אותן יחידות מידה כמו לצפיפות זרם חשמלי (אמפר למטר מרובע), והוא מהווה מקור של שדה מגנטי בדיוק כשם שזרם אמיתי של מטענים חשמליים יוצר שדה מגנטי. אף על פי כן, הוא אינו זרם אמיתי של מטענים נעים, אלא זרם "דמיוני" המקושר לשדה חשמלי משתנה בזמן. מבחינה מספרית, צפיפות זרם ההעתקה היא הגודל <math>\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} </math> שמופיע בחוק אמפר המתוקן – המשוואה הרביעית מבין ארבע משוואות מקסוול.

הרעיון שזרם העתקה יוצר שדות מגנטיים בדומה לזרם חשמלי אמיתי נהגה לראשונה על ידי ג'יימס קלארק מקסוול במאמר מ-1861, שהבחין בחוסר שלמות בתיאור הפיזיקלי והמתמטי של שדות חשמליים ומגנטיים. מקסוול הוסיף את זרם ההעתקה לחוק אמפר, במה שמכונה מאז תיקון מקסוול לחוק אמפר. במאמרו "תאוריה דינמית של השדה האלקטרומגנטי" מ-1865, עשה מקסוול שימוש בגרסה מתוקנת זאת של חוק אמפר כדי לגזור את משוואת הגל האלקטרומגנטי. גזירה זאת מוכרת כיום כנקודת ציון היסטורית בפיזיקה משום שהיא ליכדה את תורות החשמל, המגנטיות והאופטיקה לכדי מקשה מושגית אחת, תאוריה מאוחדת הנקראת בשם "אלקטרומגנטיות". איבר זרם ההעתקה הוא תוספת חיונית שהשלימה את משוואות מקסוול והכרחית להסברת תופעות רבות, במיוחד את קיומם של גלים אלקטרומגנטיים.

מקסוול בחר את המונח "זרם העתקה" על בסיס האנלוגיה המתקיימת בין האיבר שהוסיף לבין שדה הקיטוב המופק מפעולתו של שדה חשמלי על חומר דיאלקטרי. השדה החיצוני גורם להפרדת מטענים בקנה המידה האטומי, שיוצרת דיפולים חשמליים ומחוללת מעין העתקה של חשמל לרוחב התווך הדיאלקטרי. כלומר, בדיוק כשם ששדה חשמלי משתנה בזמן גורם לזרם קיטוב (Polarization current) בתווך דיאלקטרי (תודות לשדה הקיטוב המשתנה בזמן), כך שדה חשמלי משתנה בזמן גורם לזרם העתקה בריק; האנלוגיה היא להעתקה של המטען החשמלי המתרחשת בתווך דיאלקטרי.

== הכרחיות ==
הדרישה לקיום זרם העתקה תואמת תצפיות ניסיוניות, והיא גם תולדה של הדרישה לעקביות לוגית־מתמטית של תורת האלקטרומגנטיות.

===הכללת חוק אמפר לקבלים ===
קבל נטען חשמלית עם משטח גלילי דמיוני המקיף את הלוח השמאלי שלו. העקביות של חוק אמפר דורשת קיום של זרם העתקה בין לוחות הקבל השווה בערכו לזרם הטוען אותו.
דוגמה שממחישה את הצורך בזרם העתקה עולה בהקשר של קבלים ללא תווך חומרי בין לוחותיהם. נתייחס לקבל הנטען שבאיור. הקבל הוא חלק ממעגל חשמלי שמוליך מטענים שווים והפוכים בסימנם מן הלוח השמאלי ללוח הימני, מה שטוען את הקבל ומגדיל את השדה החשמלי בין לוחותיו. שום מטען אמיתי לא עובר דרך הריק שבין הלוחות, ולכן הזרם החשמלי ביניהם שווה לאפס. אף על פי כן, שורר שדה מגנטי בין הלוחות ממש כאילו נמצא גם שם זרם. עובדה זו עומדת בסתירה לחוק המקורי של אמפר, הטוען שהשדה המגנטי על לולאה סגורה תלוי בסך הזרמים בתוכה.

ההסבר שמציע מקסוול לכך, הוא שזרם העתקה <math>I_D</math> "זורם" בין הלוחות, וזרם זה מפיק את השדה המגנטי שבאזור בין הלוחות בדיוק כמו חוק אמפר:

:<math>\oint_C \vec{B}\ \cdot\ \mathrm{d}\vec{\ell} = \mu_0 I_D \ </math>

כאשר
:*<math>\oint_C </math> הוא האינטגרל הקווי מסביב לעקום סגור מסוים <math>C</math>.
:*<math>\vec{B} </math> הוא השדה המגנטי.
:*<math>\cdot\ </math> היא מכפלה סקלרית בין שני וקטורים.
:*<math>\mathrm{d}\vec{\ell} </math> הוא אלמנט אורך אינפיניטסימלי לאורך העקום <math>C</math>, שכיוונו ניתן על ידי כיוון המשיק לעקום <math>C</math>.
:*<math>\mu_0 \!\ </math> הוא הקבוע המגנטי המכונה פרמאביליות הריק.
:*<math>I_D \!\ </math> הוא זרם ההעתקה שעובר דרך משטח קטן התחום על ידי העקום <math>C</math>.

השדה המגנטי בין הלוחות צריך להיות זהה לזה שמחוץ ללוחות, כך שזרם ההעתקה חייב להיות זהה לזרם ההולכה בתיל, כלומר,
<math>I_D = I </math>.
בעצם זרם ההעתקה מרחיב את מושג הזרם מעבר להסעה נטו של מטענים.

====טעינה====
בעזרת זרם ההעתקה נוכל לנתח מבחינה מגנטית את תהליך טעינת הקבל. לשם כך, נתבונן במשטח הגלילי הדמיוני שמקיף את הלוח השמאלי (ראו איור). הזרם העובר במשטח זה, <math>I</math>, יוצא מהבסיס השמאלי <math>L</math> של הגליל, אבל שום זרם הולכה (הסעה של מטענים אמיתיים) לא חוצה את הבסיס הימני <math>R</math>. שימו לב שהשדה החשמלי בין הלוחות <math>E</math> גדל ככל שהקבל נטען. כלומר, באופן המתואר על ידי חוק גאוס, ובהנחת היעדר תווך דיאלקטרי בין הלוחות, מתקיים:

:

כאשר <math>S</math> הוא שטח הפנים של הגליל הדמיוני. בהנחה שמדובר בקבל לוחות מקבילים עם זרם חשמלי אחיד, ובהזנחת אפקטי שפה בסביבת קצות הלוחות, גזירה נותנת:

:}}

כאשר <math>S</math> הוא שטח הבסיס <math>R</math>. הסימן השמאלי הוא שלילי משום שמטען עוזב את הלוח הזה (המטען עליו פוחת), והסימן הימני שלילי מכיוון שהשדה נכנס פנימה בניגוד לאוריינטציה של משפט גאוס. השדה החשמלי בניצב לבסיס <math>L</math> הוא אפס בקירוב מפני שהשדה שנוצר מהלוח השמאלי מתבטל במלואו על ידי השדה שנוצר מהלוח הימני, ולכן קיבלנו בביטוי הסופי רק <math>S</math> אחד, של בסיס הגליל הימני. תחת ההנחה של שדה חשמלי אחיד בתוך הקבל, צפיפות זרם ההעתקה <math>J_D</math> ניתנת לקביעה על ידי חלוקת הביטוי שהתקבל בשטח של <math>R</math>:

:<math> J_D = \frac{I_D}{ S}= \frac{I}{ S}= \varepsilon_0 \frac {\partial E}{\partial t} \, </math>

כאשר <math>I</math> הוא הזרם האמיתי שזורם מהמשטח הגלילי.

משילוב התוצאות הללו נקבל את משוואת אמפר-מקסוול, כתיקון לחוק אמפר. השדה המגנטי מחושב דרך הצורה האינטגרלית של חוק אמפר באמצעות בחירה שרירותית של לולאה ובהינתן שאיבר צפיפות זרם ההעתקה נוסף לצפיפות זרם ההולכה:

:<math>\oint_{\partial S} \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 \int_S \left(\vec{J} + \varepsilon_0 \frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\right) \cdot d\vec{S} \, </math>

פירוש המשוואה הוא שהאינטגרל של השדה המגנטי <math>\vec{B}</math> מסביב ללולאה <math>\partial S</math> שווה לסך הזרם <math>\vec{J}</math> דרך כל משטח שהלולאה היא חלק משפתו, ועוד איבר זרם ההעתקה <math>\varepsilon_0 \partial \vec{E} / \partial t </math> דרך המשטח.

====משטח העובר בין הלוחות====
דוגמה המראה את המשטחים S<sub>1</sub> ו-S<sub>2</sub>, החולקים את אותו קונטור שפה S∂. עם זאת, S<sub>1</sub> "מנוקב" על ידי זרם הולכה, בעוד ש-S<sub>2</sub> מנוקב על ידי זרם העתקה.

דוגמה לכך שהחוק מאפשר חישוב זהה עבור כל משטח החולק את אותה שפה ניתן למצוא באיור משמאל. באיור זה, הזרם דרך <math>S_1</math> הוא זרם הולכה לחלוטין. יישום משוואת אמפר-מקסוול למשטח <math>S_1</math> נותן:

:<math>B = \frac {\mu_0 I}{2 \pi r}\,</math>

עם זאת, הזרם שחולף דרך <math>S_2</math> הוא לגמרי זרם העתקה. יישום החוק הזה למשטח <math>S_2</math>, אשר תחום על ידי בדיוק אותו עקום <math>\partial S </math> אולם נמצא בין הלוחות, מניב:

:<math>B = \frac {\mu_0 I_D}{2 \pi r}\,</math>

עבור כל משטח <math>S_1</math> שחותך את התיל ישנו זרם <math>I</math> שעובר דרכו כך שחוק אמפר ללא התיקון נותן את השדה המגנטי הנכון. עם זאת, ניתן לשרטט גם משטח שני <math>S_2</math> התחום על ידי אותה הלולאה <math>\partial S</math> ועובר בין הלוחות, כך שלא עובר דרכו שום זרם. ללא איבר זרם ההעתקה חוק אמפר ייתן שדה מגנטי אפס עבור המשטח הזה. במילים אחרות, ללא מושג זרם ההעתקה חוק אמפר מספק תוצאות לא עקביות, והשדה המגנטי יהיה תלוי במשטח האינטגרציה שנבחר. לכן איבר זרם ההעתקה <math>\varepsilon_0 \partial \vec{E} / \partial t </math> הוא הכרחי כמקור שני של השדה המגנטי, אשר נותן את השדה המגנטי הנכון כאשר משטח האינטגרציה עובר בין לוחות הקבל.

====מחוץ לקבל====
לצורך השלמת הדיון בדוגמת הקבל הנטען, נשים לב לאי-התאמה לכאורה בין השדה המגנטי הנוצר בין לוחות הקבל לבין השדה המגנטי הנוצר מחוץ ללוחות הקבל (כתוצאה מהזרם האמיתי העובר בתיל הטוען את הקבל). השדה החשמלי בין לוחות הקבל משתנה בזמן אך הוא אחיד במרחב ביניהם (בהנחת קבל אידיאלי); לפי הגדרת זרם ההעתקה, פירוש הדבר הוא שבמרחב בין לוחות הקבל שורר זרם העתקה בצפיפות אחידה. לפי משוואת אמפר-מקסוול בצורתה האינטגרלית, ותוך שימוש בסימטריה הגלילית של הבעיה, נקבל שמופיעים בין לוחות הקבל קווי שדה מגנטי מעגליים ומקבילים ללוחות, כשעוצמת השדה המגנטי בנקודה מסוימת פרופורציונלית למרחק <math>r</math> של הנקודה מציר הסימטריה הגלילית (הציר שעובר דרך מרכזי הלוחות). לעומת זאת, השדה החשמלי של קבל אידיאלי מחוץ למרחב שבין לוחות הקבל הוא אפס, ולכן זרם ההעתקה השורר שם הוא גם אפס. לפיכך, מחוץ ללוחות הקבל שורר שדה מגנטי בעל סימטריה גלילית הנובע אך ורק מהזרם האמיתי העובר דרך התיל, אשר עוצמתו דועכת לפי <math>1/r</math> (שדה מגנטי של חצי תיל-אינסופי). כלומר בהכרח מתקבלת אי-רציפות בגודל השדות המגנטיים במעבר דרך לוחות הקבל.

הפתרון לסתירה נעוץ בעובדה שעל גבי לוח הקבל המוליך זורם זרם חשמלי רדיאלי, זאת שכן על מנת שיתקבל שדה חשמלי אחיד בין הלוחות צריכים הלוחות להיטען בצפיפות משטחית אחידה. זרם רדיאלי זה (שהוא בעל סימטריה גלילית) מסביר את הקפיצה בערך השדה המגנטי משתי צידי לוח הקבל. חישוב מדוקדק העושה שימוש בהנחה שבכל רגע לוח הקבל טעון בצפיפות מטען משטחית אחידה, מגלה שוויון מושלם בין ערך הקפיצה בשדה המגנטי המחושב בשתי הדרכים, באופן שממחיש את שלמות מערכת משוואות מקסוול.

=== משוואת רציפות ===

באופן מתמטי יותר, אותן התוצאות יכולות להיות מושגות ממניפולציות על המשוואות הדיפרנציאליות השלטות. לשם פשטות, ניתן להתייחס לתווך לא-מגנטי בו הפרמאביליות המגנטית היא אחד, כלומר הסיבוכים הקשורים בזרם מגנטיזציה (זרם קשור) אינם קיימים, מכיוון שהמגנטיזציה מתאפסת. לכן סך צפיפות הזרם בחומר היא צפיפות הזרם החופשי.

בחומר כזה מתקיים שימור מטען חשמלי, כלומר הזרם היוצא מנפח נתון חייב להיות שווה לקצב התרוקנות המטען החשמלי התחום באותו נפח. בצורה דיפרנציאלית, משוואת רציפות זאת מקבלת את הצורה:

:<math> \vec{\nabla} \cdot \vec{J}_f = -\frac {\partial \rho_f}{\partial t} \, </math>

כאשר אגף שמאל הוא דיברגנץ צפיפות הזרם החופשי ואגף ימין הוא קצב השינוי של צפיפות המטען החופשי. חוק אמפר בצורתו המקורית קובע כי:

:<math>\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec J_f \, </math>

מהזהות הווקטורית הכללית <math> \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B}) = 0 </math> (שקובעת כי עבור כל שדה וקטורי, הדיברגנץ של הרוטור מתאפס) נקבל שהדיברגנץ של איבר הזרם מתאפס, בסתירה למשוואת הרציפות:
:<math> 0 = \vec{\nabla} \cdot \vec{J}_f = -\frac {\partial \rho_f}{\partial t} \, </math>

הסתירה הזאת מיושבת על ידי הוספת זרם ההעתקה כדלהלן:

:<math>\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \left(\vec J +\varepsilon_0 \frac {\partial \vec E}{\partial t}\right) = \mu_0 \left( \vec J_f +\frac {\partial \vec D}{\partial t}\right) \, </math>

ו-

:<math>\vec{ \nabla} \cdot \left(\vec{\nabla} \times \vec{B}\right ) = 0 = \mu_0 \left(\vec{\nabla} \cdot \vec J_f +\frac {\partial }{\partial t} \vec {\nabla} \cdot \vec{D} \right ) \, </math>

מה שמתיישב עם משוואת הרציפות, בגלל חוק גאוס:

:<math> \vec {\nabla} \cdot \vec{D} = \rho_f</math>.

=== התקדמות גלים אלקטרומגנטיים ===
גלים אלקטרומגנטיים ניתנים לתיאור כגלי תנודה רוחביים בשדה החשמלי והמגנטי. אנימציה תלת-ממדית זו מראה גל מישורי בעל קיטוב ליניארי המתקדם משמאל לימין. שימו לב שהשדה החשמלי והמגנטי בגל כזה הם בעלי אותו [[מופע, ומגיעים לנקודות המינימום והמקסימום שלהם ביחד.]]
כיוון שתוספת זרם ההעתקה מצביעה למעשה על יחס סימטרי בין שדה חשמלי ושדה מגנטי - שדה חשמלי משתנה בזמן מחולל שדה מגנטי משתנה במרחב ואילו שדה מגנטי משתנה בזמן מחולל שדה חשמלי משתנה במרחב - היא מרמזת על אפשרות הקיום של אוסצילציות בשדות הללו המתקדמות במרחב ריק (נקי ממטענים וזרמים), במעין מחזור פרפטואלי של השראת שדה חשמלי ושדה מגנטי. זוהי התחזית המובהקת ביותר של רעיון זרם ההעתקה - קיומם של גלים אלקטרומגנטיים.

נתייחס כעת לגל אלקטרומגנטי מישורי המתקדם בכיוון ציר x, אשר לו וקטור שדה חשמלי שמצביע בכיוון ציר y ווקטור שדה מגנטי שמצביע בכיוון ציר z. ננסה לקבל ביטוי למהירות ההתקדמות של הפרעות רוחביות כאלו בשדה האלקטרומגנטי. ראשית נרשום את המשוואות הקושרות בין הנגזרות הזמניות לנגזרות המרחביות של השדות.

לפי חוק פראדיי מתקיים:

:<math> \frac{\partial B_z}{\partial t} = \frac{\partial E_y}{\partial x} </math>,

כאשר לשני האגפים סימן חיובי בהתאם לכלל יד ימין. בדומה לכך, לפי התיקון של מקסוול לחוק אמפר (איבר זרם ההעתקה) מתקיים:

: <math> \frac{\partial B_z}{\partial x} = \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial E_y}{\partial t} </math>

לפי מודל של גל המתקדם בכיוון ציר x (משוואת הגלים), הנגזרת הזמנית של כל שדה בנפרד קשורה לנגזרת המרחבית שלו על ידי פקטור של מהירות הגל c:

: <math> \frac{\partial B_z}{\partial t} = -c\frac{\partial B_z}{\partial x}, \frac{\partial E_y}{\partial t} = -c\frac{\partial E_y}{\partial x} </math>

מהצבת שתי המשוואות האחרונות בשתיים הראשונות נקבל:

: <math> -\frac{1}{c}\frac{\partial B_z}{\partial x} = -c\varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial B_z}{\partial x}\implies c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}</math>

זוהי מהירות התקדמותם של גלים אלקטרומגנטיים בריק - או מהירות האור בריק.

== היסטוריה ופרשנות ==

איבר זרם ההעתקה של מקסוול נקבע כהנחת יסוד בחלק השלישי של מאמרו מ-1861 "על קווים פיזיקליים של כוח". מעט נושאים בפיזיקה מודרנית גרמו לבלבול וחוסר הבנה כה רב כמו רעיון זרם ההעתקה. בלבול זה נבע מכך שמקסוול נעזר ב"ים של מערבולות מולקולריות" בגזירה שלו, מעין מודל מכני מתוחכם ומסורבל ביותר לתווך המגנטו-חשמלי המסתורי הממלא את המרחב - האתר. דבר זה עומד בניגוד להצגת הנושא כפי שמופיעה בטקסטים מודרניים, שנסמכת על העובדה שזרם העתקה יכול להתקיים במרחב ריק.

מודל "האתר התאי" של מקסוול דימה את המרחב למרחב המרוצף על ידי תאים בצורת פאונים (או תריסרונים, בגרסאות מסוימות של המודל) המלאים בחומר אלסטי, בעוד שקירות התאים הורכבו משכבה של חלקיקים כדוריים קטנים, אשר פעלו כמעין מסבים כדוריים המתגלגלים ללא החלקה. בתפיסה של מקסוול, עוצמת השדה המגנטי באזור קטן נמדדת על ידי קצב הסיבוב של התא המתאים. כאשר במרחב שורר שדה מגנטי לא אחיד, תאים סמוכים יסבבו בתדירויות שונות, וכתוצאה מכך המסבים הכדוריים ינועו בכיוון התא המהיר יותר, בנימה דומה לעקרון של גלגלי שיניים דיפרנציאליים. מקסוול פירש את התנועה של החלקיקים הללו כמייצגת תנועה של מטענים חשמליים (זרם חשמלי) ואת הקשר בין קצב סיבוב לא אחיד של התאים לתנועת החלקיקים כתקביל המכני של חוק אמפר המקורי <math> \vec{ \nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec J \, </math>. כדי לדמות את זרם ההעתקה במעגלים פתוחים (כמו בדוגמת הקבל הנטען) הוא קבע תכונה של מעוות אלסטי המתקדם של התאים בתרחישים כאלה.

== ראו גם ==
* משוואת הגל האלקטרומגנטי
* משוואת רציפות

==קישורים חיצוניים==

* 

== הערות שוליים ==

קטגוריה:אלקטרומגנטיות
קטגוריה:זרם חשמלי