משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות

סקיצת ההעתקה ליניארית בין מרחבים וקטוריים, עם תיאור הגרעין והתמונהמשפט הממדים עבור העתקות ליניאריות הוא משפט באלגברה ליניארית העוסק בשוויון עבור העתקה ליניארית בין מימד התחום לבין מימד תמונת וגרעין ההעתקה הליניארית.

בכתיב מתמטי: יהיו <math>U</math> ו-<math>V</math> תתי מרחבים וקטורים מעל שדה <math>F</math>. נגדיר את <math>f</math> להיות העתקה ליניארית, <math>f:U\rightarrow V</math>, אזי <math display="block">\dim_F Im(f) + \dim_F \ker(f) = \dim_F U</math>.

== הוכחת המשפט ==
===אסטרטגיה===
נבחר בסיסים שמכילים מספר וקטורים מסומן כללי עבור התמונה וכך גם עבור הגרעין, ונראה שמקורות הווקטורים בבסיס התמונה מצורפים יחד עם וקטורי הבסיס של הגרעין מהווים בסיס עבור התחום. מכך, ינבע שסכום מספר הווקטורים בבסיס של הגרעין ומספר הווקטורים בבסיס התמונה (שזה אותו מספר הווקטורים שהם המקורות) שווה למספר הווקטורים בתחום. מכאן ינבע כי סכום מימד התמונה ומימד הגרעין שווה למימד התחום של העתקה ליניארית, כנדרש.
===הוכחה===
====בחירת סדרות וקטורים מתאימות====
נקח את <math>u_1,...,u_k</math> להיות הבסיס של גרעין ההעתקה, ואת <math>v_1,...,v_m</math> להיות הבסיס של תמונת ההעתקה. מכאן, מימד הגרעין הוא <math>k</math> ומימד התמונה הוא <math>m</math>. נשים לב לכך שלכל וקטור בתמונה יש מקור מהתחום, כלומר ניתן לרשום את <math>v_1,...,v_m</math> כך: <math>f(w_1),...,f(w_m)</math>, (כאשר <math>w_1,\dots,w_m</math> וקטורים ב-<math>U</math>). צריך להוכיח שמימד התחום הוא <math>m+k</math>. נעשה זאת על ידי הוכחה כי סדרת וקטורים <math>w_1,...,w_m,u_1,...,u_k</math> מהווה בסיס של התחום <math>U</math>.

==== הוכחה כי סדרת הווקטורים פורשת את המרחב <math>U</math> ====
נראה כי <math>Span(w_1,...,w_m,u_1,...,u_k)=U</math>. תחילה, נראה כי <math>Span(w_1,...,w_m,u_1,...,u_k)\subseteq U</math>: כל וקטור בסדרת הווקטורים <math>w_1,...,w_m,u_1,...,u_k</math> מוכל ב-<math>U</math> בפני עצמו (שכן הגרעין הוא קבוצת וקטורים מהתחום, וגם המקורות של התמונה הם קבוצת וקטורים מהתחום), ולכן <math>Span(w_1,...,w_m,u_1,...,u_k)\subseteq U</math>. 
כעת, נראה כי <math>Span(w_1,...,w_m,u_1,...,u_k)\supseteq U</math>: נקח וקטור כללי מ-<math>U</math> ונסמנו <math>u</math>. נתבונן בהצגה היחידה של <math>f(u)</math> על ידי בסיס התמונה: <math>f(u) = a_1\cdot v_1+...+a_m\cdot v_m</math>. כעת, נתבונן בוקטור <math display="block">u-(a_1\cdot w_1+...+a_m\cdot w_m) \in U</math> (ששייך ל-<math>U</math>, מכיוון ש-<math>U</math> הוא תת-מרחב וקטורי, ולכן סגור לחיבור ולכפל בסקלר). נפעיל את ההעתקה <math>f</math> על הווקטור בו אנו מתבוננים ונראה שהואיל ו-<math>f</math> היא העתקה ליניארית, כלומר משמרת חיבור וכפל בסקלר, מתקיים: 
<math display="block">
f(u-(a_1\cdot w_1+...+a_m\cdot w_m)) = f(u) -(a_1\cdot f(w_1)+...+a_m\cdot f(w_m)) = a_1\cdot v_1+...+a_m\cdot v_m - (a_1\cdot v_1+...+a_m\cdot v_m) = 0
</math>
לכן נובע ש-<math>u-(a_1\cdot w_1+...+a_m\cdot w_m) \in \ker(f)</math>, ולכן יש לו ייצוג על ידי צירוף וקטורי בסיס הגרעין: <math display="block">u-(a_1\cdot w_1+...+a_m\cdot w_m) = b_1\cdot u_1+...+b_k\cdot u_k</math>ולאחר העברת אגפים נקבל את הייצוג של <math>u</math> על ידי צירוף הווקטורים <math>w_1,...,w_m,u_1,...,u_k</math>:

<math display="block">u = a_1\cdot w_1+...+a_m\cdot w_m + b_1\cdot u_1+...+b_k\cdot u_k</math>

ולכן, <math>Span(w_1,...,w_m,u_1,...,u_k)\supseteq U</math>. קיבלנו הכלה דו כיוונית ומכאן <math>Span(w_1,...,w_m,u_1,...,u_k)=U</math>.

====הוכחה כי סדרת הווקטורים בלתי תלויים ליניארית====
כדי להוכיח אי-תלות ליניארית נניח שעבור הסקלרים <math>c_1,...,c_m,s_1,...,s_k</math> הצירוף הליניארי של הווקטורים <math>w_1,...,w_m,u_1,...,u_k</math> מביא לאפס המרחב הווקטורי. צריך להוכיח כי <math>c_1=...=c_m=s_1=...=s_k=0_F</math> (תנאי שקול לאי תלות ליניארית). לפי הנחה זו: <math display="block">c_1w_1+...+c_mw_m+s_1u_1+...+s_ku_k = 0_U</math> 
נפעיל על השוויון את ההעתקה הליניארית <math>f</math>: 
<math display="block">f(c_1w_1+...+c_mw_m+s_1u_1+...+s_ku_k) = c_1f(w_1)+...+c_mf(w_m) + 0 + ...+ 0 = c_1v_1+...+c_mv_m = 0</math>
(הווקטורים של בסיס הגרעין שייכים לגרעין ולכן הפעלת ההעתקה עליהם מביאה לאפס.וכל העתקה ליניארית על וקטור האפס שווה ל-0). ואם כן מכיוון ש-<math>v_1,...,v_m</math> בסיס של התמונה, אזי המקדמים <math>c_1,...,c_m</math> הם אפסים (מכיוון שהווקטורים <math>v_1,...,v_m</math> בלתי תלויים ליניארית). ואז, נחזור לביטוי המקורי ונקבל <math>0\cdot w_1+...+0\cdot w_m+s_1u_1+...+s_ku_k = 0_U</math> ומאותם שיקולים של היות <math>u_1,...,u_k</math> בסיס, נובע ש-<math>s_1,...,s_k</math> אפסים. ולכן כל הסקלרים המקדמים הם בהכרח 0, ולכן קיבלנו ש-<math>w_1,...,w_m,u_1,...,u_k</math> בלתי תלוים ליניארית, כנדרש.

====סיכום====
הראנו ש-<math>w_1,...,w_m,u_1,...,u_k</math> סדרת וקטורים בלתי תלויה ליניארית שפורשת את <math>U</math> ולכן הם מהווים בסיס עבור <math>U</math>. אם כן, נשים לב שמימדו של <math>U</math> הוא <math>m+k</math>. נזכור כי בתחילת ההוכחה הגדרנו את מימד התמונה להיות <math>m</math> ומימד הגרעין להיות <math>k</math>, אזי לפיכך נקבל: 
<math display="block">\dim_F Im(f) + \dim_F \ker(f) = \dim_FU</math>
שזה מה שצריך להוכיח.

==קישורים חיצוניים==
* Chris Fama, [http://www.numbertheory.org/courses/MP274/lintrans.pdf MP274 Lecture Notes 1991], numbertheory
* 

קטגוריה:משפטים באלגברה ליניארית