התמרת זק

התמרת זק (נקראת גם טרנספורם זק או מיפוי גלפנד) היא פעולה מתמטית המהווה הכללה של התמרת פורייה הבדידה,<ref name="EM"></ref><ref name=":0"></ref> המקבלת כקלט פונקציה חד־ממדית ומניבה כפלט פונקציה דו־ממדית. מבחינה יישומית, ניתן להשתמש בהתמרת זק בעיבוד אותות על מנת להפוך אות התלוי בזמן ולייצר ממנו הצגה חדשה ומעורבת התלויה בזמן ובתדירות גם יחד. האות יכול להיות ממשי או מרוכב, רציף או בדיד.

ההתמרה התגלתה באופן בלתי תלוי על ידי הפיזיקאי הישראלי יהושע זק<ref></ref> וכן על ידי המתמטיקאי היהודי-סובייטי ישראל גלפנד. בעוד זק קרא לה בשם "הצגת kq", גלפנד השתמש בה כחלק מעבודתו על הרחבות של פונקציות עצמיות. כיום ישנה הסכמה רחבה על השם "התמרת זק" שכן זק היה הראשון שחקר את הפעולה בצורה כללית יותר וזיהה את יישומיה האפשריים.

== התמרת זק במשתנה רציף ==
נתבונן באות ממשי ורציף <math>f(t)</math>, כאשר <math>t</math> מתאר זמן ממשי. התמרת זק של האות <math>f(t)</math> תהא פונקציה של שני משתנים, שאחד מהם הוא <math>t</math>, ואת המשתנה השני (שמבחינה פיזיקלית יכול לתאר תדירות זוויתית) נסמן ב-<math>\omega</math>. לשם ההתמרה נידרש להגדיר פרמטר חיובי נוסף שיסומן כ-<math>a</math>.

להלן ההגדרה להתמרה הרציפה:<ref name="EM" />

<math>Z_{a}[f](t,\omega)=\sqrt a \sum _{k=-\infty} ^{\infty}f(at+ak)e^{-2\pi k \omega i}</math>

בפרט, עבור <math>a=1</math>, ניתן לרשום:

<math>Z[f](t,\omega)=\sum _{k=-\infty} ^{\infty}f(t+k)e^{-2\pi k \omega i}</math>

אם נבחר <math>\nu=2\pi \omega</math> (מעבר מתדירות זוויתית לתדירות):

<math>Z[f](t,\nu)=\sum _{k=-\infty} ^{\infty}f(t+k)e^{-k \nu i}</math>

בחזרה להגדרה הראשונית נוכל לבחור כיול "פיזיקלי" יותר, עם פרמטר <math>T</math> (שניתן לתת לו פרשנות של זמן מחזור):<ref name=":0" />

<math>Z_{T}[f](t,\omega)=\sqrt T \sum _{k=-\infty} ^{\infty}f(t+kT)e^{-2\pi k \omega T i}</math>

ובכתיב זה נניח כי <math>0\leq t\leq T</math> וכי <math>0\leq \omega \leq 1/T</math>.

== תכונות ההתמרה במשתנה רציף ==
=== ליניאריות ===
<math>Z[af(t)) + bg(t)](t,\omega)=aZ[f](t,\omega)+bZ[g](t,\omega)</math>

=== מחזוריות ===
<math>Z[f](t,\omega+1)=Z[f](t,\omega)</math>

=== קוואזי-מחזוריות ===
<math>Z[f](t+1,\omega)=e^{2\pi \omega i} Z[f](t,\omega)</math>

=== הצמדה ===
<math>Z[\bar f](t,\omega)=\overline {Z[f]} (t,-\omega)</math>

=== סימטריה ===
אם <math>f(t)</math> פונקציה זוגית אזי:

<math>Z[f](t,\omega)=Z[f](-t,-\omega)</math>

אם <math>f(t)</math> פונקציה אי זוגית אזי:

<math>Z[f](t,\omega)=-Z[f](-t,-\omega)</math>

=== קונבולוציה ===
<math>Z[f* g](t,\omega)=Z[f](t,\omega)*Z[f](t,\omega)</math>

=== נוסחת ההיפוך עבור ההתמרה במשתנה רציף ===
בהינתן התמרת זק של פונקציה מסוימת, ניתן לשחזר את הפונקציה המקורית באמצעות הנוסחה הבאה:

<math>f(t)=\int\limits_{0}^{1} Z[f](t,\omega)d\omega</math>

== התמרת זק במשתנה בדיד ==
אות הקלט של התמרת זק עשוי להיות גם פונקציה של משתנה בדיד. נגדיר את <math>f(n)</math> כפונקציה של משתנה בדיד ושלם <math>n</math>. התמרת זק של האות <math>f(n)</math> תהא פונקציה של שני משתנים, שאחד מהם הוא <math>n</math>, ואת המשתנה השני נסמן ב-<math>\omega</math>.

להלן אחת מההגדרות עבור ההתמרה במשתנה בדיד:

<math>Z_{a}[f](n,\omega)=\sum _{k=-\infty} ^{\infty}f(n+k)e^{-2\pi k \omega i}</math>

=== נוסחת ההיפוך עבור ההתמרה במשתנה בדיד ===
בהינתן התמרת זק של פונקציה מסוימת, ניתן לשחזר את הפונקציה המקורית באמצעות הנוסחה הבאה:

<math>f(n)=\int\limits_{0}^{1} Z[f](n,\omega)d\omega</math>

== יישומי ההתמרה ==
להתמרת זק יישומים מוכחים בתורת השדות הקוונטית,<ref name="TAH"></ref> בהנדסת חשמל (באנליזת זמן-תדירות) ובהעברת מידע דיגיטלי. כמו כן, להתמרה שימושים במתמטיקה שכן יש לה יתרונות משלימים להתמרת גאבור.

==קישורים חיצוניים==
* 

== הערות שוליים ==

קטגוריה:אנליזה הרמונית
קטגוריה:אנליזה פונקציונלית
קטגוריה:עיבוד אותות
קטגוריה:התמרת פורייה