חבורת וייטהד המצומצמת

חבורת וייטהד המצומצמת של חוג A היא חבורה אבלית, שמסמנים <math>\operatorname{SK}_1(A)</math>, המודדת באיזו מידה מטריצות בעלות דטרמיננטה 1 מעל A הן מכפלה של קומוטטורים. אפשר להגדיר את החבורה כשיש דטרמיננטה מחבורות המטריצות מעל החוג; למשל כאשר A קומוטטיבי, או כאשר A אלגברה פשוטה מרכזית. זוהי תת-חבורה של חבורת וייטהד <math>\operatorname{K}_1(A)</math> המוגדרת עבור כל חוג A. החבורה קרויה על שמו של המתמטיקאי הבריטי ג'ון וייטהד.

== חוגים קומוטטיביים ==

יהי A חוג קומוטטיבי. נסמן ב-<math>\operatorname{GL}(A)</math> את חבורת המטריצות ההפיכות מכל סדר מעל A (גבול ישר של חבורות המטריצות מממדים סופיים). הדטרמיננטה מגדירה סדרה קצרה מדויקת <math>1 \to \operatorname{SL}(A) \to \operatorname{GL}(A) \to A^* \to 1</math>. חלוקה בחבורת הקומוטטורים <math>[\operatorname{GL}(A),\operatorname{GL}(A)]</math> מגדירה את הסדרה <math>1 \to \operatorname{SK}_1(A) \to \operatorname{K}_1(A) \to A^* \to 1</math>, כאשר <math>\operatorname{K}_1(A) = \operatorname{GL}(A)/[\operatorname{GL}(A),\operatorname{GL}(A)]</math>, ו-<math>\operatorname{SK}_1(A)</math> הוא הגרעין של הדטרמיננטה מהחבורה הזו לחבורת ההפיכים של A. הסדרה הזו מפוצלת: <math>\operatorname{K}_1(A) = A^* \oplus \operatorname{SK}_1(A)</math>.

== אלגברות פשוטות מרכזיות ==
תהי A אלגברה פשוטה מרכזית מממד סופי מעל שדה F כלשהו. אפשר לשכן אותה באלגברת מטריצות מעל שדה הפיצול של F, וכך להפעיל את ההגדרות של המקרה הקומוטטיבי. באופן יותר מפורש, יש פונקציה כפלית <math>N: A^{\times} \rightarrow F^{\times}</math> (הנורמה המצומצמת), המתלכדת עם הנורמה על כל תת-שדה. את חבורת האיברים בעלי נורמה 1 מסמנים ב-<math>\operatorname{SL}_1(A)</math>. תת-חבורת הקומוטטורים <math>A'</math> של <math>A^{\times} </math> מוכלת ב-<math>\operatorname{SL}_1(A)</math>, וחבורת המנה <math>\operatorname{SL}_1(A)/A'</math> היא חבורת וייטהד המצומצמת של A; מסמנים אותה ב-<math>\operatorname{SK}_1(A) </math>.

השערת Tannaka-Artin (שהיא השערת Kneser-Tits לחבורות אלגבריות מטיפוס <math>A_n </math>) סברה ש-<math>\operatorname{SK}_1(A)=1 </math> פרט לשני מקרים יוצאי דופן (מטריצות מממד 2 מעל שדה מסדר 2 או 3). השערה זו הופרכה על ידי פלטונוב (1975).

== תוצאות כלליות ==
החבורה <math>\operatorname{SK}_1</math> טריוויאלית עבור מטריצות מעל השדה (פרט ליוצאי הדופן שהוזכרו לעיל). החבורה תלויה רק במחלקה של A בחבורת בראוור (בזכות דטרמיננטת דודונה). האקספוננט שלה מחלק את האינדקס של האלגברה. והיא כפלית ביחס לפירוק למכפלה טנזורית של אלגברות מדרגות זרות. מסיבות אלה מספיק להבין את <math>\operatorname{SK}_1(A)</math> כאשר A אלגברת חילוק מדרגה שהיא חזקת ראשוני. החבורה טריוויאלית עבור אלגברות מדרגה ראשונית (Wang, 1950).

== תלות בתכונות של שדה הבסיס ==

<math>\operatorname{SK}_1 </math> טריוויאלית מעל שדות מקומיים ומעל שדות מספרים. יינצב'סקי הראה ש-<math>\operatorname{SK}_1(A)=1 </math> אם שדה הבסיס הוא בעל התכונה <math>C_2^0 </math> (העתקת הנורמה היא על לכל אלגברה פשוטה מרכזית מעל הרחבה סופית; כל שדה בעל התכונה <math>C_2 </math> הוא גם <math>C_2^0 </math>, אבל לא להפך). מהתכונה <math>C_2^0 </math> נובע ש-<math>\operatorname{cd}(F) \leq 2 </math> כאשר <math>\operatorname{cd}(F) </math> הוא הממד הקוהומולוגי של F; ואם F שדה מושלם, גם להפך (מרקורייב-סוסלין, 1985).

תהי A אלגברה שהאינדקס שלה הוא חזקת-p. אם F שדה ממאפיין שונה מ-p וממד-p הקוהומולוגי של F הוא לכל היותר 2, אז <math>\operatorname{SK}_1(A)=1 </math>.

אם <math>\operatorname{cd}(F) \leq 3 </math> אז <math>\operatorname{SK}_1(Q \otimes Q')=1 </math> לכל שתי אלגברות קווטרניונים Q ו-'Q. השערת סוסלין היא שזה נכון לכל אלגברה.

== מקורות ==
<div class="mw-content-ltr">
* Nicolas Grenier-Boley, On the triviality of certain Whitehead groups, Mat Proc Roy Irish Acad 107(2):183--193, (2007).
</div>

קטגוריה:תורת החבורות