שדה המספרים ה-p-אדיים

במתמטיקה, שדה המספרים ה-p-אדיים הוא שדה, שאבריו הם המספרים ה-p-אדיים. יש שדה <math>p</math>-אדי אחד לכל מספר ראשוני <math>p</math>, ומקובל לסמן אותו באות <math>\mathbb{Q}_p</math>. כל הרחבה סופית של שדה המספרים ה-<math>p</math>-אדיים נקראת "שדה <math>p</math>-אדי".

על שדה המספרים ה-<math>p</math>-אדיים מוגדרת הערכה בדידה, ההופכת אותו לשדה מקומי, שהוא בעל עוצמת הרצף, ואינו ניתן לסידור. לפי משפט אוסטרובסקי, כל שדה מקומי ממאפיין אפס (עם ערך מוחלט לא ארכימדי) הוא <math>p</math>-אדי לאיזשהו <math>p</math>.

את המספרים ה-<math>p</math>-אדיים פיתח קורט הנזל בתחילת המאה העשרים, והם הפכו במהירות לאחד הכלים ומושאי המחקר הבסיסיים באריתמטיקה המודרנית ובתורת השדות. 

== תכונות ==

כל מספר <math>p</math>-אדי אפשר לכתוב באופן יחיד בצורה <math>\sum_{i=-N}^{\infty}a_i p^i</math> כאשר <math>N</math> שלם, ו-<math>a_i \in \{0,1,\dots,p-1\}</math>. החיבור והכפל מוגדרים כאילו היה מדובר בטורי חזקות במשתנה אחד.

=== אלגברה ===
המספרים מהצורה <math>\sum_{i=0}^{\infty}a_i p^i</math> נקראים "שלמים <math>p</math>-אדיים"; כקבוצה, הם מרכיבים את חוג השלמים ה-p-אדיים <math>\mathbb{Z}_p</math>, שהוא תת-חוג מקומי וראשי (חוג ההערכה הדיסקרטית המתקבל מההערכה הדיסקרטית שתוצג בתת-הפסקה הבאה) של <math>\mathbb{Q}_p</math>; כדי לקבל את השדה די להפוך את האיבר <math>p</math>: <math>\mathbb{Q}_p = \mathbb{Z}_p[p^{-1}]</math>. חוג השלמים ה-<math>p</math>-אדיים הוא גבול הפוך של חוגי המנה <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>.

=== טופולוגיה ===

על שדה המספרים ה-<math>p</math>-אדיים מוגדרת הערכה דיסקרטית <math>\nu(\sum_{i=-N}^{\infty}a_ip^i) = -N</math> (בהנחה ש-<math>a_{-N} \neq 0</math>), וזו מגדירה ערך מוחלט לפי <math>|f| = p^{-\nu(f)}</math> ומטריקה (<math>d(x,y) = |x-y|</math>), המגדירה טופולוגיה. תחת הטופולוגיה הזו, חוג השלמים ה-<math>p</math>-אדיים, שהוא כדור היחידה הסגור בשדה, הוא קבוצה קומפקטית, הומיאומורפית לקבוצת קנטור. השדה אינו קומפקטי, אבל הוא קומפקטי מקומית.

=== אריתמטיקה ===

שורשי היחידה ב-<math>\mathbb{Q}_p</math> הם אלו שסדרם מחלק את <math>p-1</math>. כאשר <math>p</math> אי-זוגי, לשלם רציונלי <math>a</math> שאינו מתחלק ב-<math>p</math> יש שורש <math>p</math>-אדי אם ורק אם יש לו שורש מודולו <math>p</math> (כך למשל <math>\sqrt{-1}, \sqrt{11}, \sqrt{19} \in \mathbb{Q}_5</math>); עבור <math>p=2</math> התנאי הוא שיהיה ל-<math>a</math> שורש מודולו 8, ולדוגמה <math>\sqrt{3} \not \in \mathbb{Q}_2</math>. הלמה של הנזל מאפשרת לפתור משוואות פולינומיות בשדה המספרים ה-<math>p</math>-אדיים, ובאופן כללי יותר, לפרק פולינומים לגורמים, על ידי הרמה, כביכול, של הבעיה מן המנות הסופיות <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>.

בניגוד לשדה המספרים הממשיים, שיש לו הרחבה אלגברית אחת ויחידה - המרוכבים - לשדה המספרים ה-<math>p</math>-אדיים יש הרחבות אלגבריות מכל מימד, ומספרן (בכל מימד) סופי. אם <math>p</math> אי זוגי יש בדיוק שלוש הרחבות ריבועיות, ולשדה המספרים ה-2-אדיים יש שבע הרחבות ריבועיות. מבין ההרחבות האלה, יש הרחבה לא מסועפת יחידה מכל מימד.

הסגור האלגברי <math>\overline{\mathbb{Q}_p}</math> אינו שלם ביחס לטופולוגיה המושרה; את הסגור השלם מסמנים ב- <math>\mathbb{C}_p</math>, ושדה זה הוא סגור גם אלגברית וגם מטרית. מבחינה אלגברית (וללא המבנה המטרי), <math>\mathbb{C}_p</math> איזומורפי לשדה המספרים המרוכבים, <math>\mathbb{C}</math>.

חבורת גלואה של כל הרחבה סופית של <math>\mathbb{Q}_p</math> היא פתירה, ולכן חבורת גלואה האבסולוטית <math>\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_{p}/\mathbb{Q}_{p})</math> היא פרו-פתירה.

== ראו גם ==

* חוג האדלים
* משפט גרונוולד-ואנג

קטגוריה:תורת השדות
קטגוריה:תורת המספרים האלגברית
קטגוריה:סדרות של מבנים אלגבריים