מקדם פואסון

מוט נלחץ מתקצר אבל הרוחב שלו גדל

מקדם פואסון או יחס פואסון של חומר הוא גודל פיזיקלי חסר ממד המודד את עמידות החומר לעיוות, שערכו נע בדרך כלל בין 0.25 לבין 0.5. מסומן באות היוונית נוּ.

לפלדות הערך של מקדם פואסון הוא בסביבות 0.3. מקדם פואסון כמו גם מודול האלסטיות של החומר משתנים עם שינוי הטמפרטורה של החומר.

מקדם פואסון מציג את המעוות הרוחבי כתוצאה מהמעוות האורכי. זאת לעומת מודול האלסטיות שהוא ביטוי לקפיציות של החומר. כאשר מבצעים מבחן מתיחה או מבחן לחיצה של דגם החומר, הדגם מתארך או מתקצר בהתאם למתיחה או הלחיצה. בחתך הרוחב של הדגם מתרחש מעוות בכיוון הפוך ובשיעור שבין 25% עד 50% מהמעוות האורכי. היחס בין המעוות האורכי לבין המעוות הרוחבי הוא יחס פואסון או מקדם פואסון.

== מקדם פואסון ==
:<math>\ \nu = -\frac{\varepsilon_y}{\varepsilon_x}</math>

:כאשר:
*<math>\ \nu</math> - הוא יחס פואסון או מקדם פואסון
*<math>\varepsilon_x</math> - הוא העיבור הצירי
*<math>\varepsilon_y</math> - הוא העיבור הרוחבי

במוט המועמס למתיחה או ללחיצה, המעוות הוא ההתארכות היחסית:
:<math>{\varepsilon}= \frac{\Delta L}{L}</math>

*L - אורך המוט
*<math>{\Delta L}</math> - השינוי באורך

== מצב מאמצים מרחבי ומצב מעוותים מרחבי ==
מאמץ מתיחה בכיוון x גורם למתיחת המוט בכיוון x, ולהתכווצות המוט בכיוונים הניצבים y,z בשעור המתקבל מהמכפלה של המאמץ בכיוון x במקדם פואסון. כך גם בכוונים y,z. חוק הוק המוכלל למצב מאמצים תלת-ממדי, מתקבל משלוש מתיחות חד-ציריות לכל אחד מהכיוונים ושימוש בעקרון הסופרפוזיציה:

: <math> \epsilon_{x} = \frac{\sigma_{x}}{E} - \nu \frac{\sigma_{y}}{E} - \nu \frac{\sigma_{z}}{E} = \frac{1}{E} [\sigma_{x} - \nu (\sigma_{y} + \sigma_{z})] </math>

: <math> \epsilon_{y} = \frac{\sigma_{y}}{E} - \nu \frac{\sigma_{x}}{E} - \nu \frac{\sigma_{z}}{E} = \frac{1}{E} [\sigma_{y} - \nu (\sigma_{x} + \sigma_{z})] </math>

: <math> \epsilon_{z} = \frac{\sigma_{z}}{E} - \nu \frac{\sigma_{x}}{E} - \nu \frac{\sigma_{y}}{E} = \frac{1}{E} [\sigma_{z} - \nu (\sigma_{x} + \sigma_{y})] </math>

כאשר:
*<math> \varepsilon\ _x , \varepsilon\ _y , \varepsilon\ _z </math> הם מעוותים בכוונים המסומנים x,y,z
* <math>\ E</math> הוא מודול האלסטיות של החומר
*<math> \sigma\ _x , \sigma\ _y , \sigma\ _z </math> הם מאמצים בכוונים המסומנים x,y,z
* <math>\ \nu </math> הוא מקדם פואסון או יחס פואסון של החומר

== מודול הגזירה ==
הקשר בין מודול האלסטיות לבין מודול הגזירה נתון על ידי הביטוי הכולל בתוכו את מקדם פואסון

:<math>\ G=\frac{E}{2(1+\nu)}</math>
*<math>\ E</math> - מודול האלסטיות
*<math>\ G</math> - מודול הגזירה 
*<math>\ \nu</math> - מקדם פואסון 

== שינוי נפח ==
שינוי הנפח היחסי כתוצאה ממתיחת החלק הוא ביטוי התלוי בשינוי האורך היחסי ובמקדם פואסון. כאשר המעוותים קטנים, מתקיים:

:<math>\frac {\Delta V} {V} = (1-2\nu)\frac {\Delta L} {L}</math>

כאשר:
*<math>\ V </math> - הוא נפח החומר
*<math>\ \Delta V </math> - הוא השינוי בנפח החלק
*<math>\ L </math> - הוא האורך הראשוני של החלק לפני המעוות
*<math>\ \Delta L </math> - הוא השינוי באורך החלק כתוצאה מהמעוות
*<math>\ \Delta L = L_{old} - L_{new}</math>

== שינוי רוחב ==
שינוי רוחב או קוטר המוט במתיחה
כאשר מוט בעובי או בקוטר d ובאורך L נתון למתיחה כך שהאורך שלו משתנה בשעור &Delta;L אזי הרוחב או הקוטר של המוט ישתנה בערך השלילי הנתון על ידי הביטוי המקורב להלן, ביטוי הנותן תוצאות טובות כאשר המעוותים ושינויי האורך והרוחב קטנים. המשמעות של הסימן השלילי היא שכאשר המוט מתארך, הרוחב או הקוטר שלו קטנים.

:<math>\Delta d = - d \cdot \nu {E_x} \qquad
\frac{\nu_{zx}}{E_z} = \frac{\nu_{xz}}{E_x} \qquad
\frac{\nu_{yz}}{E_y} = \frac{\nu_{zy}}{E_z} \qquad
</math>

כאשר:
*<math>\ E_i</math> - הוא מודול האלסטיות בכיוון i
* <math>\ \nu_{jk}</math> - הוא מקדם פואסון במישור jk

== ערכים אפשריים למקדם פואסון ==
נתבונן בקבוע הראשון של לאמה. עבור הערכים <math>\ \nu=-1, \nu=0.5</math> נקבל:
:<math>\lambda =\frac{E \nu}{(1+\nu) (1-2\nu)} \longrightarrow \infty</math>
* הערכים שמקדם פואסון <math>\ \nu</math> יכול לקבל הם <math>\ -1<\nu<0.5</math>.

:באופן מעשי <math>\ 0<\nu<0.5</math>. אבל ישנם פולימרים בעלי מקדם פואסון שלילי (מצב בו החומר מתרחב במתיחה). חומרים כאלו נקראים Auxetic materials, ומבנים בעלי התכונה הזאת נקראים Chiral Structures. מקדם פואסון גדול מ-0.5 אינו אפשרי עבור חומרים איזוטרופים.

== ערכים של מקדם פואסון לחומרים שונים ==
{| class="wikitable"
! חומר !! מקדם פואסון
|- 
| אלומיניום
| 0,33 
|- 
| בטון
| 0,20
|- 
| יצקת ברזל 
| 0,21-0,26
|- 
| זכוכית
| 0,24 
|- 
| חרסית
| 0,30-0,45
|- 
| נחושת
| 0,33
|- 
| שעם 
| 0,00
|-
| מגנזיום 
| 0,35
|- 
| פלב"ם 
| 0,30-0,31
|-
| גומי 
| 0,50 
|-
| פלדה 
| 0,27-0,30
|- 
| טיטניום
| 0,34 
|-
| חול
| 0,20-0,45 
|-
|}

<div style="text-align: left; direction: ltr; margin-left: 1em;">
* Sybil P. Parker Editor in Chieh. McGraw-Hill Encyclopedia of Engineering, McGraw Hill Book Company 1983, 
* Shames I.H., Cozzarelli F.A., Elastic and inelastic stress analysis, Prentice-Hall, 1991, 
</div>

== קישורים חיצוניים ==

* [http://silver.neep.wisc.edu/~lakes/PoissonIntro.html המשמעות של יחס פואסון] 
* [http://silver.neep.wisc.edu/~lakes/Poisson.html חומרים בעלי מקדם פואסון שלילי]

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:מכניקה
קטגוריה:גדלים פיזיקליים
קטגוריה:הנדסת מכונות
קטגוריה:גדלים פיזיקליים חסרי ממדים