מבחן F

מבחן F הוא כל מבחן סטטיסטי אשר בו סטטיסטי המבחן הוא בעל התפלגות F תחת השערת האפס.
השם של המבחן נקבע על ידי הסטטיסטיקאי ג'ורג' ואדל סנדקור , כמחווה לרונלד פישר.

== דוגמאות למבחן F ==
להלן מספר דוגמאות נפוצות שבהן משתמשים במבחני F.
* בחינת ההיפותזה שהתוחלות של אוכלוסיות המתפלגות נורמלית, בעלות אותה סטיית תקן הן שוות. זהו מבחן ה-F הנפוץ ביותר, והוא מהווה חלק חשוב במבחני אנובה.
* בחינת ההיפותזה שמודל רגרסיה מוצע מתאים באופן טוב לנתונים.

== דוגמה להשוואה בין שונויות ==
יהיו <math>X_1,...,X_n \sim N(\mu_1, \sigma^2_1)</math> ו-<math>Y_1,...,Y_m \sim N(\mu_2, \sigma^2_2)</math> שני מדגמים, כך שהשונויות והתוחלות שלהם אינן ידועות.
נניח שאנו רוצים לבדוק האם השונויות זהות או שונות. נגדיר את ההשערות שלנו:
<math display="block">H_0: \sigma^2_1 = \sigma^2_2</math>
<math display="block">H_1: \sigma^2_1 \neq \sigma^2_2</math>

כדי לבחון את ההשערות ולקבוע מתי לדחות את השערת האפס נבנה מבחן יחס נראות מוכלל. נגדיר את אומדי הנראות המקסימלית:
<math display="block">\hat \mu_1 = \bar X, \quad \hat \sigma^2_1 = \frac{1}{n} \sum (X_i-\bar X)^2 </math>
<math display="block"> \hat \mu_2 = \bar Y, \quad \hat \sigma^2_2 = \frac{1}{m} \sum (Y_i-\bar Y)^2</math>

פונקציית הנראות עבור האומדים הללו מקיימת: <math display="block">L(\hat \mu_1, \hat \mu_2, \hat \sigma_1, \hat \sigma_2) = \left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\hat \sigma_1}\right)^n e^{-\frac{n}{2}} \left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\hat \sigma_2}\right)^m e^{-\frac{m}{2}}</math>

תחת השערת האפס, מתקיים שהשונויות שוות, נסמנן <math>\hat \sigma^2_0 = \frac{\sum (X_i-\bar X)^2+\sum (Y_i-\bar Y)^2}{n+m}</math>. כעת, פונקציית הנראות תחת השערת האפס היא:
<math display="block">L(\hat \mu_1, \hat \mu_2, \hat \sigma_0) = \left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\hat \sigma_0}\right)^{n+m} e^{-\frac{n+m}{2}}</math>

משני חישובים אלה נקבל שפונקציית יחס הנראות היא:
<math display="block">\lambda (X,Y) = \frac{L(\hat \mu_1, \hat \mu_2, \hat \sigma_1, \hat \sigma_2)}{L(\hat \mu_1, \hat \mu_2, \hat \sigma_0)} = \left(\frac{\hat \sigma^2_1}{\hat \sigma^2_0}\right)^{\frac{n}{2}}\left(\frac{\hat \sigma^2_2}{\hat \sigma^2_0}\right)^{\frac{m}{2}}</math>
ואם נציב בביטוי את הנתונים ונפשט נקבל:

<math display="block">\lambda(X,Y) = \left(\left(1+\frac{\sum (Y_i-\bar Y)^2}{\sum (X_i-\bar X)^2}\right)\frac{n+m}{n}\right)^{-\frac{n}{2}} \left(\left(1+\frac{\sum (X_i-\bar X)^2}{\sum (Y_i-\bar Y)^2}\right)\frac{n+m}{m}\right)^{-\frac{m}{2}}</math>

כעת, נביט בסטטיסטי <math>T(X,Y) = \frac{\sum (Y_i-\bar Y)^2}{\sum (X_i-\bar X)^2}</math>. נשים לב שגם כאשר ביטוי זה שואף ל-0 וגם כאשר הוא שואף לאינסוף, <math>\lambda(X,Y)</math> שואפת לאינסוף. לכן, מבחן יחס נראות מוכלל יהיה מהצורה:

נדחה את השערת האפס אם <math>T(X,Y) > C_1</math> או <math>T(X,Y) < C_2</math>, כאשר רמת הביטחון מקיימת
<math display="block">\alpha = P\left(\{T(X,Y)<C_2\} \cup \{T(X,Y)>C_1\}\right)</math>.

כעת, נשים לב לתכונות הבאות: <math>\frac{\sum (Y_i-\bar Y)^2 / (m-1)}{\sum (X_i-\bar X)^2 / (n-1)} = \frac{S^2_Y}{S^2_X} \sim \frac{\chi^2_{m-1} / (m-1)}{\chi^2_{n-1} / (n-1)} = F_{m-1,n-1}</math>

לכן, נעדיף להשתמש בסטטיסטי <math>T'(X,Y) = \frac{\sum (Y_i-\bar Y)^2 / (m-1)}{\sum (X_i-\bar X)^2 / (n-1)}</math>.
כדי לקבל אותו, נחלק ב-<math>n-1, m-1</math> את המקומות הרלוונטיים בפונקציית יחס הנראות. עדיין יתקיים שכשהסטטיסטי החדש שואף לאינסוף או ל-0, כך גם פונקציית יחס הנראות. לכן נקבל את אותו מבחן יחס נראות מוכלל רק עם ערכי C שונים:

נדחה את השערת האפס אם <math>T'(X,Y) > C^*_1</math> או <math>T'(X,Y) < C^*_2</math> כאשר רמת הביטחון מקיימת <math>\alpha = P(T'(X,Y)<C^*_2 or T'(X,Y)>C^*_1)</math>.

ולמעשה נוכל למצוא את ערכי ה-C לפי התפלגות F : <math>C^*_1 = F_{m-1,n-1 ; 1-\frac{\alpha}{2}}, C^*_2 = F_{m-1,n-1 ; \frac{\alpha}{2}}</math>

== ראו גם ==
* מבחן t

==קישורים חיצוניים==

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:מבחנים סטטיסטיים