טטרציה

גרף הפונקציה <math>^xe</math>
במתמטיקה, טֶטְרָצְיָה (באנגלית: Tetration או Hyper-4) היא פעולה, המתבצעת בין שני מספרים: ה"בסיס" וה"גובה". טטרציה מסמנים בסימון <math>a\uparrow\uparrow b</math> או <math>^ab</math> כאשר <math>a</math> הוא הבסיס ו-<math>b</math> הוא הגובה. בצורתה הבסיסית ביותר, שבה הבסיס הוא מספר ממשי והגובה הוא מספר טבעי, טטרציה מהווה קיצור של מגדל חזקות מחזורי; כלומר - הטטרציה ה-<math>b</math>־ית של <math>a</math> היא החזקה החוזרת של b גורמים השווים כולם ל-a: <math>a\uparrow\uparrow b = {}^ba = \underbrace{a^{a^{a^{a^{ \cdots ^a}}}}}_b</math>

ניתן גם להגדיר טטרציה רקורסיבית באופן הבא:

: <math>^ba = \begin{cases} 1, & \text{if }b=0 \\ a^{^{b-1}a}, & \text{if }b>0 \end{cases}</math>
== מבוא ==
ארבעת ההיפר-פעולות הראשונות מוצגות מטה, כשטטרציה נחשבת להיפר-פעולה הרביעית. הפעולה האונארית עקיבה , המוגדרת כ-<math>a'=a+1</math> נחשבת להיפר-פעולה האפס.

# חיבור:<math>a+b=a+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{b\text{ times}}</math>
# כפל:<math>a\times b=\underbrace{a+a+\cdots+a}_{b\text{ times}}</math>
# חזקה:<math>a^b=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{b\text{ times}}</math>
# טטרציה:<math>^ba = \underbrace{a^{a^{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot ^a}}}}}}}_{b \text{ times}}</math>

יש לשים לב כי החזקה אינה פעולה אסוציאטיבית וכי היא מחושבת מלמעלה למטה. כלומר, <math>{3^5}^7</math> משמעותו <math>3^{(5^7)}</math> ולא <math>{(3^5)}^7</math>.

== תכונות ==

* כיוון שחזקה אינה פעולה קומוטטיבית, כך גם טטרציה אינה קומוטטיבית: הטענות <math>^a(^bx) = {}^{ab}x</math> ו <math>^axy = {}^ax^a{}y</math> אינן נכונות ברוב המקרים.<ref></ref>
* בנוסף, טטרציה גם אינה פעולה אסוציאטיבית. כלומר, הטענה <math>^{({^a}b)}c = {}^{^a}(^bc)</math> אינה נכונה ברוב המקרים. כיווניות החישוב הנכונה היא מלמעלה למטה.
* בדומה לחזקה, מתקיים כי <math>^0x = 1</math> ו <math>^1x = x</math>
* מההגדרה הרקורסיבית של טטרציה מתקבלת התכונה הבאה: <math>^ax = x^{(^{a-1} x)}</math>
* ממהגדרה למעלה נובע כי: <math>(^ba)^{(^ca)} = (^{c+1}a)^{(^{b-1}a)}</math> מה שמאפשר את החלפת המשתנים b ו-c במשוואות. ההוכחה לתכונה זו היא:

 \left(\cos{\frac{\pi a}{2}} + i \sin{\frac{\pi a}{2}}\right)</math>

ולכן ניתן להגדיר בצורה רקורסיבית את <math>^{n+1}i = a'+b'i</math> באמצעות <math>^ni = a+bi</math>:

: <math>\begin{align}
 a' &= e^{-\frac{1}{2}{\pi b}} \cos{\frac{\pi a}{2}} \\[2pt]
 b' &= e^{-\frac{1}{2}{\pi b}} \sin{\frac{\pi a}{2}}
\end{align}</math>

=== הכללת הגובה ===

==== גובה אינסופי ====
ערכי הגבול <math>\lim_{n\rightarrow\infin} {}^nx</math>, שמתכנס רק עבור <math>e^{-e} \leq x \leq e^{\frac{1}{e}}</math>
ניתן להכליל את הטטרציה לגבהים אינסופיים. כלומר, עבור בסיס x כלשהו, קיים הגבול <math>\lim_{n\rightarrow\infin} {}^nx</math>. זאת כיוון שבטווח מסוים של בסיסים, הטטרציה מתכנסת למספר סופי כש-n שואף לאינסוף.

לדוגמה, <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}</math> מתכנס ל-2, ולכן ניתן לומר כי הוא שווה ל-2.

את מגמת ההתקרבות לגבול 2 ניתן לראות גם על ידי חישוב גובה קטן:

: <math>\begin{align}
 \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.414}}}}}
 &\approx \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.63}}}} \\
 &\approx \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.76}}} \\
 &\approx \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.84}} \\
 &\approx \sqrt{2}^{1.89} \\
 &\approx 1.93
\end{align}</math>

לאונרד אוילר הראה כי באופן כללי, מגדל החזקות האינסופי <math>x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}\!\!</math> מתכנס עבור <math>e^{-e} \leq x \leq e^{\frac{1}{e}}</math>.

==== גובה שלילי שלם ====
באמצעות ההגדרה הרקורסיבית של טטרציה:

: <math>{^{k+1}a} = a^{\left({^{k}a}\right)},</math>

ניתן למצוא את <math>{}^{-1}a</math>:

: <math>^{k}a = \log_a \left(^{k+1}a\right);</math>

אם במקום k נציב נקבל:

: <math>{}^{-1}a = \log_{a} \left({}^0 a\right) = \log_a 1 = 0</math>

ערכים שליליים הקטנים מ לא ניתן להגדיר באופן זה, אם נציב במקום k באותה משוואה אז נקבל:

: <math>{}^{-2}a = \log_{a} \left( {}^{-1}a \right) = \log_a 0</math>

וזהו מספר שאינו מוגדר.

== פעולות הופכיות ==
לחזקה קיימות שתי פעולות הופכיות: השורש והלוגריתם. באופן אנלוגי, גם לטטרציה שתי פעולות הופכיות: הסופר-שורש והסופר-לוגריתם. (למעשה, לכל ההיפר-פעולות הגדולות מ-2 יש שתי פעולות הופכיות אנלוגיות). שתי פעולות אלו כמו הטטרציה אינן פעולות אלמנטריות.

=== סופר-שורש ===
הסופר-שורש היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הבסיס: אם <math>^ny = x</math> אז <math>y</math> הוא הסופר-שורש ה-<math>n</math>־י של <math>x</math>, והוא יסומן בצורה <math>y = \sqrt[n]{x}_s</math>

לדוגמה, אם <math>^42 = 2^{2^{2^{2}}} = 65,536</math> אז 2 הוא הסופר-שורש הרביעי של 65,536 (<math>2 = \sqrt[4]{65,536}_s</math>).

==== סופר-שורש ריבועי ====
גרף הפונקציה <math>y=\sqrt{x}_s</math>
הסופר-שורש השני נקרא סופר-שורש ריבועי, והוא מסומן בצורה <math>\sqrt[2]{x}_s</math>, או בפשטות <math>\sqrt{x}_s</math>.

הסופר-שורש הריבועי הוא למעשה הפונקציה ההופכית לפונקציה <math>x^x</math>, וניתן להציגו באמצעות פונקציית אומגה :<ref></ref>

: <math>\sqrt{x}_s = e^{W(\ln{x})} = \frac{\ln{x}}{W(\ln{x})}</math>

=== סופר-לוגריתם ===
הסופר-לוגריתם היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הגובה: אם <math>^yn = x</math> אז <math>y</math> הוא הסופר-לוגריתם מבסיס <math>n</math> של <math>x</math>, והוא יסומן בצורה <math>y = \text{slog}_n{x}</math>. פונקציה זו מוגדרת עבור כל <math>n > 1</math>.

==== תכונות ====

* <math>\text{slog}_b(b^x) = \text{slog}_b(x) + 1</math>
* <math>\text{slog}_b1 = 0</math>
* <math>\text{slog}_b(x) = \text{slog}_b(\log_b{(x)}) + 1</math>
* לכל <math>x</math> ממשי מתקיים <math>\text{slog}_b(x) > -2</math>

== ראו גם ==
* היפר-פעולות
* מספרים גדולים
* לוגריתם חוזר

==קישורים חיצוניים==

* 

== הערות שוליים ==

קטגוריה:אלגברה