פונקציה רציפה בהחלט

בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, פונקציה רציפה בהחלט היא פונקציה ממשית, המקיימת תכונת "חֲלָקוּת" בקטע, שהיא חזקה יותר מרציפות במידה שווה, וממילא גם מרציפות נקודתית. המושג של רציפות בהחלט מאפשר להכליל את הקשר בין שתי הפעולות המרכזיות של החדו״א – גזירה ואינטגרציה. מערכת יחסים זו מתוארת בדרך כלל (במשפט היסודי של החדו״א) במסגרת אינטגרל רימן, אך בעזרת רציפות בהחלט אפשר לנסח אותה במונחים של אינטגרל לבג. בהקשר של פונקציות ממשיות שמוגדרות על הישר הממשי, קיימים שני מושגים הקשורים זה בזה: רציפות בהחלט של פונקציות ורציפות בהחלט של מידות. ניתן להכליל את שני המושגים האלה בכיוונים שונים. לדוגמה, הנגזרת הרגילה של פונקציה קשורה לנגזרת רדון־ניקודים של מידה.

בתת־קבוצה קומפקטית של הישר הממשי מתקיימת שרשרת ההכלות הבאה למחלקות של פונקציות:
: רציפה בהחלט ⊆ רציפה במידה שווה ⊆ רציפה
ואילו בקטע סגור,
: גזירה ברציפות ⊆ ליפּשיצית ⊆ רציפה בהחלט ⊆ בעלת השתנות חסומה ⊆ גזירה כמעט בכל מקום

== רציפות בהחלט של פונקציות ==
פונקציה רציפה <math display="inline">f</math> אינה רציפה בהחלט אם היא אינה רציפה במידה שווה, מה שעשוי לקרות אם התחום שבו מוגדרת הפונקציה אינו קומפקטי – דוגמאות לפונקציות שכאלה:
* <math display="inline">f(x) = \tan(x)</math> בקטע <math display="inline">[0, 2\pi)</math>;
* <math display="inline">f(x) = x^2</math> בכל הישר;
* <math display="inline">f(x) = \sin{\left(\tfrac{1}{x}\right)}</math> בקטע <math display="inline">(0, 1]</math>.
עם זאת, פונקציה רציפה <math display="inline">f</math> עשויה לא להיות רציפה בהחלט אפילו בקטע סגור. ייתכן שהיא אינה גזירה כמעט בכל מקום (כמו פונקציית ויירשטראס שאינה גזירה באף נקודה). ייתכן שהיא דווקא גזירה כמעט בכל מקום ואף ש־<math display="inline">f'</math> היא אינטגרבילית לבג, אך ההפרש בין האינטגרל הלא־מסוים של <math display="inline">f'</math> ל־<math display="inline">f</math> עצמה אינו קבוע. זה קורה למשל בפונקציית קנטור.

=== הגדרה ===
יהי <math display="inline">I \subseteq \mathbb{R}</math> קטע מוכלל. נאמר ש־<math>f\colon I \to \R</math> היא רציפה בהחלט ב־<math>I</math> אם לכל מספר חיובי <math>\varepsilon</math>, קיים מספר חיובי <math>\delta</math> כך שכל סדרה סופית של תת־קטעים זרים בזוגות <math>(x_k, y_k)</math> שֶׁל <math>I</math> שמקיימת
<math display="block">\sum_k |y_k - x_k| < \delta</math>
מקיימת גם
<math display="block"> \sum_k | f(y_k) - f(x_k) | < \varepsilon</math>
אוסף כל הפונקציות הרציפות בהחלט ב־<math>I</math> מסומן <math>\operatorname{AC}(I)</math>.

=== הגדרות שקולות ===
התנאים הבאים בפונקציה ממשית <math display="inline">f</math> בקטע סגור <math>[a, b]</math> שקולים:
# <math display="inline">f</math> רציפה בהחלט;
# <math display="inline">f</math> גזירה כמעט בכל מקום, <math display="inline">f'</math> אינטגרבילית לבג, וּמתקיים<math display="block"> f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t) \, dt </math>לכל <math>x \in [a, b]</math>;
# קיימת פונקציה <math display="inline">g</math> אינטגרבילית לבג ב־<math>[a, b]</math> כך שמתקיים<math display="block"> f(x) = f(a) + \int_a^x g(t) \, dt </math>לכל <math>x \in [a, b]</math>.
אם תנאים שקולים אלה מתקיימים, אזי בְּהֶכְרֵחַ <math display="inline">g = f'</math> כמעט בכל מקום.

השקילות בין (1) ל־(3) ידועה גם בתור הכללת לבג למשפט היסודי של החדו״א או המשפט היסודי של החדו״א לאינטגרל לבג.

להגדרה שקולה בהקשר של מידות, עיינו בפסקה הקשר בין שני המושגים של רציפות בהחלט.

=== תכונות ===
* הסכום וההפרש של שתי פונקציות רציפות בהחלט גם הם רציפים בהחלט. אם שתי הפונקציות מוגדרות בקטע סגור, אז גם המכפלה שלהן רציפה בהחלט.
* אם <math display="inline">f</math> רציפה בהחלט ואינה מתאפסת בקטע סגור, אז גם <math display="inline">\tfrac{1}{f}</math> רציפה בהחלט.
* כל פונקציה רציפה בהחלט היא רציפה במידה שווה ולכן רציפה; כל פונקציה שמקיימת את תנאי ליפשיץ היא רציפה בהחלט.
* אם <math>f\colon [a, b] \to \R</math> רציפה בהחלט, אז היא בעלת השתנות חסומה ב־<math>[a, b]</math>.
* אם <math>f\colon [a, b] \to \R</math> רציפה בהחלט, אז ניתן לכתוב אותה כהפרש של שתי פונקציות עולות במובן החלש וּרציפות בהחלט ב־<math>[a, b]</math>.
* אם <math>f\colon [a, b] \to \R</math> רציפה בהחלט, אז היא מקיימת את תכונת לוזין (כלומר, לכל <math display="inline">N\subseteq [a,b]</math> כך ש־<math display="inline">\lambda(N)=0</math> מתקיים <math display="inline">\lambda(f(N))=0</math>, כאשר <math display="inline">\lambda</math> היא מידת לבג ב־<math display="inline">\R</math>).
* <math>f\colon I \to \R</math> רציפה בהחלט אם ורק אם היא רציפה, בעלת השתנות חסומה וּמקיימת את תכונת לוזין.

=== דוגמאות ===
הפונקציות הבאות רציפות במידה שווה אך אינן רציפות בהחלט:
* פונקציית קנטור ב־<math display="inline">[0, 1]</math> (היא בעלת השתנות חסומה, אך אינה רציפה בהחלט);
* הפונקציה<math display="block">f(x) = \begin{cases} 0, & \text{if }x =0 \\ x \sin(1/x), & \text{if } x \neq 0 \end{cases} </math>בקטע סופי שכולל את <math display="inline">0</math>.
הפונקציה הבאה רציפה בהחלט אך אינה מקיימת את תנאי הלדר ביחס ל־<math display="inline">\alpha</math>:
* הפונקציה <math display="inline">f(x) = x^\beta</math> ב־<math display="inline">[0, c]</math>, לכל <math display="inline">0 < \beta < \alpha < 1</math>.
הפונקציה הבאה רציפה בהחלט וגם מקיימת את תנאי הלדר ביחס ל־<math display="inline">\alpha</math>, אך אינה ליפּשיצית:
* הפונקציה <math display="inline">f(x) = \sqrt{x}</math> ב־<math display="inline">[0, c]</math>, לכל <math display="inline">\alpha \leq \tfrac{1}{2}</math>.

=== הכללות ===
יהי <math>\left(X,d\right)</math> מרחב מטרי, ויהי <math display="inline">I \subseteq \mathbb{R}</math> קטע מוכלל. נאמר ש־<math display="inline">f\colon I \to X</math> היא רציפה בהחלט ב־<math display="inline">I</math> אם לכל מספר חיובי <math>\varepsilon</math>, קיים מספר חיובי <math>\delta</math> כך שכל סדרה סופית של תת־קטעים זרים בזוגות <math display="inline">[x_k, y_k]</math> שֶׁל <math>I</math> שמקיימת<math display="block">\sum_{k} \left| y_k - x_k \right| < \delta</math>מקיימת גם<math display="block">\sum_{k} d \left( f(y_k), f(x_k) \right) < \varepsilon</math>
אוסף כל הפונקציות הרציפות בהחלט מ־<math display="inline">I</math> ל־<math display="inline">X</math> מסומן <math display="inline">\operatorname{AC}(I;X)</math>.

הכללה נוספת היא המרחב <math display="inline">\operatorname(I;X)</math> של העקומות <math display="inline">\gamma\colon I \to X</math> כך שלכל <math display="inline">[s, t] \subseteq I</math>
<math display="block">d \left( \gamma(s), \gamma(t) \right) \leq \int_s^t m(\tau) \,d\tau</math>עבור <math display="inline">m \in L^\mathit{p}(I)</math> כלשהי (מרחב Lp).

=== תכונות של ההכללות האלה ===
* כל פונקציה רציפה בהחלט היא רציפה במידה שווה ולכן רציפה; כל פונקציה שמקיימת את תנאי ליפשיץ היא רציפה בהחלט.
* אם <math display="inline">f\colon [a, b] \to X</math> רציפה בהחלט, אז היא בעלת השתנות חסומה ב־<math display="inline">[a, b]</math>.
* עבור <math display="inline">f \in \operatorname(I;X)</math> הנגזרת המטרית של <math display="inline">f</math> קיימת כמעט בכל מקום ב־<math display="inline">I</math>, והיא ה־<math display="inline">m \in L^\mathit{p}(I;\R)</math> הקטנה ביותר כך שלכל <math display="inline">[s, t] \subseteq I</math> מתקיים
<math display="block">d \left( f(s), f(t) \right) \leq \int_s^t m(\tau) \,d\tau</math>

== רציפות בהחלט של מידות ==
=== הגדרה ===
נאמר שמידה <math display="inline">\mu</math> על קבוצות בורל של הישר הממשי היא רציפה בהחלט ביחס למידת לבג <math display="inline">\lambda</math> (או נשלטת על ידי <math display="inline">\lambda</math>) אם לכל קבוצה מדידה <math display="inline">A</math>, <math display="inline">\lambda(A) = 0</math> גורר <math display="inline">\mu(A)=0</math>, וּנסמן: <math display="inline">\mu \ll \lambda</math>.

ברוב היישומים, אם נאמר שמידה על הישר הממשי רציפה בהחלט – מבלי לציין ביחס לאיזו מידה היא רציפה בהחלט – נתכוון שהיא רציפה בהחלט ביחס למידת לבג.

אותו עיקרון תקף לגבי מידות על קבוצות בורל של <math display="inline">\R^n</math> כאשר <math display="inline">n \ge 2</math>.

=== הגדרות שקולות ===
התנאים הבאים עבור מידה סופית <math display="inline">\mu</math> בקבוצות בורל של הישר הממשי שקולים:
# <math display="inline">\mu</math> רציפה בהחלט;
# לכל מספר חיובי <math display="inline">\varepsilon</math> קיים מספר חיובי <math display="inline">\delta</math> כך ש־<math display="inline">\mu(A) < \varepsilon</math> לכל קבוצה <math display="inline">A</math> שמידת לבג שלה קטנה מ־<math display="inline">\delta</math>;
#קיימת פונקציה <math display="inline">g</math> אינטגרבילית לבג בישר הממשי כך שלכל קבוצת בורל <math display="inline">A</math> מתקיים<math display="block"> \mu(A) = \int_A g \,d\lambda</math>
להגדרה שקולה בהקשר של פונקציות, עיינו בפסקה הקשר בין שני המושגים של רציפות בהחלט.

כל פונקציה אחרת שמקיימת את (3) שווה ל־<math display="inline">g</math> כמעט בכל מקום. פונקציה כזו נקראת נגזרת רדון־ניקודים, או צפיפות, של המידה הרציפה בהחלט <math display="inline">\mu</math>.

השקילות בין (1), (2) ו־(3) מתקיימת גם ב־<math display="inline">\R^n</math> לכל <math display="inline">n \in \N^+</math>.

לפיכך, המידות הרציפות בהחלט ב־<math display="inline">\R^n</math> הן בדיוק אלה שיש להן צפיפות; כמקרה פרטי, מידות ההסתברות הרציפות בהחלט הן בדיוק אלה שיש להן פונקציית צפיפות.

=== הכללות ===
אם <math display="inline">\mu</math> ו־<math display="inline">\nu</math> הן שתי מידות באותו מרחב מדיד <math display="inline">(X,\mathcal{A})</math>, נאמר ש־<math display="inline">\mu</math> היא רציפה בהחלט ביחס ל־<math display="inline">\nu</math> אם <math display="inline">\mu(A) = 0</math> לכל קבוצה <math display="inline">A</math> שעבורה <math display="inline">\nu(A) = 0</math>,
וּנסמן: <math display="inline">\mu \ll \nu</math>. כלומר:<math display="block">\mu \ll \nu \iff \forall A \in \mathcal{A}.\, \nu(A) = 0\ \longrightarrow\ \mu (A) = 0</math>
רציפות בהחלט של מידות היא רפלקסיבית וטרנזיטיבית, אבל אינה אנטי־סימטרית, ולכן היא קדם־סדר אך לא סדר חלקי. במקום זאת, אם <math display="inline">\mu \ll \nu</math> וגם <math display="inline">\nu\ll\mu</math>, נאמר שהמידות <math display="inline">\mu</math> ו־<math display="inline">\nu</math> שקולות. לפיכך רציפות בהחלט משרה סדר חלקי של מחלקות שקילות כאלה.

אם <math display="inline">\mu</math> היא מידה מסומנת או מרוכבת, נאמר ש־<math display="inline">\mu</math> היא רציפה בהחלט ביחס ל־<math display="inline">\nu</math> אם ההשתנות הכללית שלה <math display="inline">|\mu|</math> מקיימת <math display="inline">|\mu| \ll \nu</math> או, באופן שקול, אם כל קבוצה <math display="inline">A</math> שעבורה <math display="inline">\nu(A) = 0</math> היא <math display="inline">\mu</math>־אפסית.
משפט רדון־ניקודים קובע כי אם <math display="inline">\mu</math> היא רציפה בהחלט ביחס ל־<math display="inline">\nu</math>, וּשתי המידות הן <math display="inline">\sigma</math>־סופיות, אז ל־<math display="inline">\mu</math> יש צפיפות, או נגזרת רדון־ניקודים, ביחס ל־<math display="inline">\nu</math>, כלומר קיימת פונקציה <math display="inline">\nu</math>־מדידה <math display="inline">f</math> שמקבלת ערכים ב־<math display="inline">\mathbb{R}_{\geq 0}</math> וּמסומנת <math display="inline">f = \tfrac{d\mu}{d\nu}</math>, כך שלכל קבוצה <math display="inline">\nu</math>־מדידה <math display="inline">A</math> מתקיים<math display="block">\mu(A) = \int_A f \,d\nu</math>

=== מידות סינגולריות ===
בעזרת משפט הפירוק של לבג, ניתן לפרק כל מידה לסכום של מידה רציפה בהחלט ומידה סינגולרית.

== הקשר בין שני המושגים של רציפות בהחלט ==
מידה סופית <math display="inline">\mu</math> בקבוצת בורל של הישר הממשי היא רציפה בהחלט ביחס למידת לבג אם ורק אם פונקציית הנקודה <math display="inline">F(x)=\mu((-\infty,x])</math> היא פונקציה ממשית רציפה בהחלט. באופן כללי יותר, פונקציה היא רציפה בהחלט מקומית (כלומר בכל קטע סופי) אם ורק אם הנגזרת של פונקציית ההצטברות שלה היא מידה רציפה בהחלט ביחס למידת לבג.

אם מתקיימת רציפות בהחלט, אז נגזרת רדון־ניקודים של <math display="inline">\mu</math> שווה כמעט בכל מקום לנגזרת של <math display="inline">F</math>.

באופן כללי יותר, מניחים ש־<math display="inline">\mu</math> היא סופית מקומית (ולא סופית) וש־<math display="inline">F(x)</math> מוגדרת כ־<math display="inline">\mu\left((0,x]\right)</math> עבור <math display="inline">x>0</math>, כ־<math display="inline">0</math> עבור <math display="inline">x=0</math> וכ־<math display="inline">-\mu\left([x,0)\right)</math> עבור <math display="inline">x<0</math>. במקרה זה <math display="inline">\mu</math> היא מידת לבג־סטילטיס שנוצר על ידי <math display="inline">F</math>, וגם פה קיים הקשר בין שני המושגים של רציפות בהחלט.

==ראו גם==
* פונקציה
* רציפות
* רציפות במידה שווה
* רציפות ליפּשיץ

==לקריאה נוספת==

==קישורים חיצוניים==

* 
* 

==הערות שוליים==

קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי
קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות: מאפיינים
קטגוריה:רציפות
קטגוריה:תורת המידה
קטגוריה:אנליזה מתמטית