משפט ארצלה-אסקולי

באנליזה פונקציונלית, משפט אַרְצֶלָה-אַסְקוֹלִי (Arzelà–Ascoli, נקרא גם משפט אסקולי) מעניק אפיון מלא לקומפקטיות של משפחת פונקציות רציפות בקבוצה קומפקטית, באמצעות תכונת הרציפות במידה אחידה. המשפט מהווה הכללה מרחיקת-לכת של משפט בולצאנו-ויירשטראס.

==תיאור פורמלי==

אם <math>K</math> הוא מרחב מטרי קומפקטי כלשהו, מסמנים ב-<math>C(K)</math> את מרחב הפונקציות הרציפות <math>f \colon K \to \mathbb{C} </math>, שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת נורמת <math>L_\infty</math>: <math> \| f \|_\infty = \sup_{x \in K}|f(x)| </math>.

כמו בכל מרחב מטרי, תת-קבוצה <math>A</math> של <math>C(K)</math> היא "חסומה" אם קיים חסם ממשי על כל ערכי הפונקציות שלה.

:משפט ארצלה אסקולי: תהי <math>A \subseteq C(K)</math> קבוצה חסומה. אזי לכל סדרה ב-<math>A</math> קיימת תת-סדרה מתכנסת, אם ורק אם <math>A</math> רציפה במידה אחידה.

:מסקנה: אם <math>A \subseteq C(K)</math> סגורה (בטופולוגיה הנורמית) וחסומה, אז <math>A</math> קומפקטית אם ורק אם היא רציפה במידה אחידה.
:הוכחה: ממשפט ארצלה-אסקולי נובע כי אם <math>A</math> חסומה ורציפה במידה אחידה, אז לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת. תוספת הנתון ש-<math>A</math> סגורה קובע כי תת-סדרה זו מתכנסת לתוך <math>A</math>. מכאן ש-<math>A</math> מהווה מרחב מטרי שבו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, תכונה השקולה לקומפקטיות. הכיוון השני של השקילות נובע באופן טריוויאלי מהמשפט.
:מסקנה: אופרטור האינטגרל <math>T \colon C(K) \to C(K) </math> המוגדר <math>\ T(f) = \int_a^b k(s,t)f(t)\,\mathrm{d}t </math>, כאשר <math>k </math> גרעין רציף על <math>K \times K</math>, הוא אופרטור קומפקטי.

==הוכחת המשפט==
===כיוון ראשון===

תהי <math>A\subseteq C\left(K\right)</math> קבוצה חסומה ונניח שאיברי <math>A</math> רציפים במידה אחידה. נראה שלכל סדרה ב-<math>A</math> יש תת-סדרה מתכנסת. תהי <math>\left\{f_n\right\}_{n=1}^\infty</math> סדרת פונקציות ב-<math>A</math>. תהי <math>\left\{x_k\right\}_{k=1}^\infty</math> סדרה צפופה ב-<math>K</math> (קיימת כזאת כי <math>K</math> מרחב מטרי קומפקטי לכן ספרבילי).

נתבונן בסדרה <math>\left\{f_n\left(x_1\right)\right\}_{n=1}^\infty</math>. זוהי סדרה חסומה ב-<math>\mathbb{C}</math> בפרט יש לה תת-סדרה מתכנסת. נסמן אותה ב-<math>\left\{f_n^1\left(x_1\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> ואת גבולה ב-<math>\xi_1</math>. כעת נתבונן בסדרה <math>\left\{f_n^1\left(x_2\right)\right\}_{n=1}^\infty</math>. גם זו סדרה חסומה ב-<math>\mathbb{C}</math> לפיכך יש לה תת-סדרה מתכנסת שאותה נסמן ב-<math>\left\{f_n^2\left(x_2\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> ואת גבולה ב-<math>\xi_2</math>. וכך בתהליך איטרטיבי לכל <math>m\in\mathbb{N}</math> נגדיר את הסדרה <math>\left\{f_n^m\left(x_m\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> להיות תת-סדרה מתכנסת של <math>\left\{f_n^{m-1}\left(x_m\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> ואת גבולה נסמן ב-<math>\xi_m</math>.

אם כן, קיבלנו סדרה של סדרות פונקציות. נתבונן בסדרת האלכסון <math>\left\{g_n\right\}_{n=1}^\infty</math> המוגדרת לכל <math>n</math> כך <math>g_n:=f_n^n</math> (כלומר זו סדרת פונקציות שהאיבר ה-<math>n</math>-י שלה הוא האיבר ה-<math>n</math>-י בסדרה ה-<math>n</math>-ית).
# זוהי תת-סדרה של <math>\left\{f_n\right\}_{n=1}^\infty</math>.
# לכל <math>k\in\mathbb{N}</math> הסדרה <math>\left\{g_n\left(x_k\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ל-<math>\xi_k</math> שכן הזנב שלה, <math>\left\{g_n\left(x_k\right)\right\}_{n=k}^\infty</math>, הוא תת-סדרה של <math>\left\{f_n^k\left(x_k\right)\right\}_{n=1}^\infty</math>.

יהי <math>\varepsilon>0</math>. אברי <math>A</math> רציפים במידה אחידה לכן קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x,y\in K</math> ולכל <math>n\in\mathbb{N}</math>, אם <math>d\left(x,y\right)<\delta</math> אזי <math>|g_n\left(x\right)-g_n\left(y\right)|<\frac{\varepsilon}{3}</math> (כאשר <math>d</math> היא פונקציית המטריקה ב-<math>K</math>). אבל <math>K</math> קומפקטי, לפיכך נכסה אותו במספר סופי של כדורים פתוחים בקוטר <math>\delta</math> שנסמנם ב-<math>O_1,\dots,O_l</math>.

לכל <math>1\le i\le l</math> קיים <math>k_i\in\mathbb{N}</math> כך ש-<math>x_{k_i}\in O_i</math> (כי <math>\left\{x_k\right\}_{k=1}^\infty</math> צפופה ב-<math>K</math>). כמו כן הסדרה <math>\left\{g_n\left(x_{k_i}\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ל-<math>\xi_{k_i}</math> לכן לפי תנאי קושי קיים <math>N_i</math> כך שלכל <math>n,m>N_i</math> מתקיים <math>|g_n\left(x_{k_i}\right)-g_m\left(x_{k_i}\right)|<\frac{\varepsilon}{3}</math>. נסמן <math>N:=\max(N_i)</math>. כעת, לכל <math>n,m>N</math> ולכל <math>x\in K</math> קיים <math>1\le i\le l</math> כך ש-<math>x\in O_i</math> ומתקיים מאי שוויון המשולש<math>|g_n\left(x\right)-g_m\left(x\right)| \le |g_n\left(x\right)-g_n\left(x_{k_i}\right)| + |g_n\left(x_{k_i}\right)-g_m\left(x_{k_i}\right)| + |g_m\left(x_{k_i}\right),g_m\left(x\right)| < \varepsilon</math>. לכן, לפי תנאי קושי, הסדרה <math>\left\{g_n\right\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת במידה שווה.

== קישורים חיצוניים ==
* . הספר מתוך "פא"ר – פתיחת אוצרות רוח", אתר הספרים הדיגיטליים של האוניברסיטה הפתוחה.

ארצלה-אסקולי
ארצלה-אסקולי
ארצלה-אסקולי