חוק האפס-אחד של קולמוגורוב

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות שהוכיח המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב. המשפט מתאר מאורעות המכונים "מאורעות זנב", שהסתברותם יכולה להיות 0 או 1 בלבד.

באופן לא לגמרי פורמלי, "מאורע זנב" הוא מאורע שניתן לתיאור על ידי אוסף בן-מנייה של משתנים מקריים בלתי-תלויים, מבלי שהוא תלוי באף קבוצה סופית של משתנים מקריים מתוך האוסף. כל מאורע כזה, קובע חוק האפס-אחד, הוא בהכרח קורה או בהכרח לא קורה בהסתברות 1.

מאורעות זנב מתוארים בדרך-כלל כמאורעות גבוליים. כך למשל, באופן לחלוטין לא פורמלי, מאורע מהסוג של "הסכום האינסופי של סדרת משתנים מקריים מסוימת - מתכנס למספר סופי" הוא מאורע שאינו תלוי כמובן באף קבוצה סופית מתוך סדרת המשתנים המקריים, ולכן הוא מאורע זנב. דוגמה פורמלית למאורע זנב כזה מובאת בהמשך.

==ניסוח המשפט==

נוסח ראשון: יהי <math>(X,\mathcal{F}, \mathbb{P})</math> מרחב הסתברות, ותהי <math>\left\{X_i\right\}_{i=1}^{\infty}</math> קבוצה בת-מנייה של משתנים מקריים בלתי-תלויים.,...,A_{i_{k}}</math>, מתקיים כי <math>\mathbb{P}\left(X_{i_{1}} \in A_{i_{1}},...,X_{i_{k}} \in A_{i_{k}}\right) = \mathbb{P}\left(X_{i_{1}} \in A_{i_{1}}\right)\cdot...\cdot\mathbb{P}\left(X_{i_{k}} \in A_{i_{k}}\right)</math>.}}

נגדיר "מאורע זנב" <math>A \in \mathcal{F}</math> להיות מאורע שהסתברותו אינה תלויה באף קבוצה סופית מתוך <math>\left\{X_i\right\}_{i=1}^{\infty}</math>.,...,X_{i_{k}}</math>, מתקיים כי <math>\mathbb{P}\left(A \mid X_{i_{1}},...,X_{i_{k}} \right) = \mathbb{P}\left(A\right)</math>.}}

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע זנב <math>A</math>, מתקיים <math>\mathbb{P}\left(A\right) = 0</math> או <math>\mathbb{P}\left(A\right) = 1</math>.

נוסח שני: יהי <math>(X,\mathcal{F}, \mathbb{P})</math> מרחב הסתברות, ותהי <math>\left\{F_i\right\}_{i=1}^{\infty}</math> קבוצה בת-מנייה של סיגמא אלגבראות שהן כולן מוכלות ב-<math>\mathcal{F}</math> ובלתי-תלויות. \in F_{i_{1}},...,A_{i_{k}} \in F_{i_{k}}</math>, מתקיים כי <math>\mathbb{P}\left(A_{i_{1}}\cap...\cap A_{i_{k}}\right) = \mathbb{P}\left(A_{i_{1}}\right)\cdot...\cdot\mathbb{P}\left(A_{i_{k}}\right)</math>.}}

עבור <math>n=0,1,2,...</math>, נגדיר <math>\mathcal{T}_n = \sigma\left(\bigcup_{i=n}^{\infty}F_i\right)</math>, ונתבונן בסיגמא-אלגברת הזנב, <math>\mathcal{T} = \bigcap_{n=1}^{\infty}\mathcal{T}_n</math>. מאורעות <math>\mathcal{T}</math> מכונים "מאורעות זנב".

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע <math>A \in \mathcal{T}</math> מתקיים <math>\mathbb{P}\left(A\right) = 0</math> או <math>\mathbb{P}\left(A\right) = 1</math>.

הנוסח הראשון אינטואיטיבי יותר, והוא מתקבל כמקרה פרטי של הנוסח השני, על ידי לקיחת <math>F_{i} = \sigma \left(X_{i}\right)</math>, כלומר <math>F_i</math> היא הסיגמא-אלגברה המינימלית שביחס אליה <math>X_i</math> מדיד.

===הוכחה===

המשפט נובע באופן מיידי מחוק האפס-אחד של לוי. עם זאת נציג כאן הוכחה ישירה שלו.

למה: תהי <math>\mathcal{A}</math> אלגברה של קבוצות על <math>X</math>. תהי <math>\mathcal{F} = \sigma\left(\mathcal{A}\right)</math>.

אזי לכל <math>A \in \mathcal{F}</math>, לכל <math>\epsilon > 0</math> קיימת <math>B \in \mathcal{A}</math>, כך שמתקיים <math>\mathbb{P}\left(A\triangle B\right) < \epsilon</math>.

הוכחה בקצרה: ניתן להראות שמשפחת כל הקבוצות המקיימות את התכונה שבלמה מהווה סיגמא-אלגברה, ומשפחה זו בבירור מכילה את <math>\mathcal{A}</math>, ולכן היא מכילה את <math>\mathcal{F}</math>.

נפנה כעת להוכחת חוק האפס-אחד.

עבור <math>n = 1,2,3,...</math> נגדיר <math>\mathcal{G}_n = \sigma\left(F_1,...,F_{n-1}\right)</math>, ונגדיר <math>\mathcal{G} = \bigcup_{n=1}^{\infty}\mathcal{G}_n</math>. נשים לב כי <math>\mathcal{G}</math> היא איחוד של סדרה עולה של אלגבראות, ולכן היא אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי מתקיים <math>\mathcal{T}_1 = \sigma\left(\mathcal{G}\right)</math>.

בהינתן מאורע <math>A \in \mathcal{T}</math>, מהלמה נובע כי לכל <math>\epsilon > 0</math> יש מאורע <math>B \in \mathcal{G}</math> שעבורו מתקיים <math>\mathbb{P}\left(A \triangle B\right) < \epsilon</math>, כלומר <math>\mathbb{P}\left(A\right) - \epsilon < \mathbb{P}\left(B\right) < \mathbb{P}\left(A\right) + \epsilon</math>.

יהי <math>N</math> שעבורו <math>B \in \mathcal{G}_N</math>. נשים לב כי <math>A \in \mathcal{T} \subset \mathcal{T}_{N+1}</math>, ולכן <math>A,B</math> בלתי-תלויות, ונקבל בסיכום כי <math>\mathbb{P}\left(A\right) - \epsilon < \mathbb{P}\left(A\cap B\right) = \mathbb{P}\left(A\right)\cdot\mathbb{P}\left(B\right) < \mathbb{P}\left(A\right)\cdot\left(\mathbb{P}\left(A\right) + \epsilon\right)</math>.

אבל <math>\epsilon</math> שרירותי, ולכן נובע כי <math>\mathbb{P}\left(A\right) = \mathbb{P}\left(A\right)^2</math>, כלומר <math>\mathbb{P}\left(A\right) = 0</math> או <math>\mathbb{P}\left(A\right) = 1</math>.

==דוגמאות==

נתבונן במרחב <math> X = \left\{0,1\right\}^{\mathbb{N}}</math>, עם הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי הצילינדרים, כלומר על ידי קבוצות מהצורה <math> C\left(a,n\right) = \left\{ \mathbf{x} \in X \mid x_n = a\right\}</math> (כאשר <math>x_n</math> הוא הקואורדינטה ה-<math>n</math> של <math>\mathbf{x}</math>), עבור <math>a \in \left\{0,1\right\}</math> כלשהו.

נגדיר מידה על מרחב זה באמצעות <math>\mathbb{P}\left(C\left(a,n\right)\right) = \frac{1}{2}</math> לכל <math>a</math> ולכל <math>n</math>. ממשפט ההרחבה של קרתאודורי נובע כי הגדרת המידה על הקבוצות היוצרות מתרחבת להגדרתה על כל הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידיהן.

עבור <math>i=1,2,3,...</math> נגדיר <math>F_i = \sigma\left(C\left(0,i\right)\right)</math>, ובהתאם נגדיר משתנים-מקריים <math>X_{i}\left(\mathbf{x}\right) = \frac{x_i}{i}</math>.

אזי ניתן להראות כי המאורעות הבאים הם מאורעות זנב:
* <math>\left\{\mathbf{x} \in X \mid \sum_{i=1}^{\infty}X_{i}\left(\mathbf{x}\right) < \infty \right\}</math>
* <math>\left\{\mathbf{x} \in X \mid \lim_{i \to \infty}X_{i}\left(\mathbf{x}\right) \mbox{exists} \right\}</math>
* <math>\left\{\mathbf{x} \in X \mid \limsup_{i \to \infty}X_{i}\left(\mathbf{x}\right) < c \right\}</math> לאיזשהו <math>c \in \mathbb{R}</math>

===היארעות-תדירה והקשר ללמה השנייה של בורל-קנטלי===

באופן כללי יותר, אם <math>\left\{A_i\right\}_{i=1}^{\infty}</math> אוסף של מאורעות כלשהם, אז המאורע <math>\left\{\text{infinitely many of the } A_i \text{ occur} \right\} = \limsup_{i}\left(A_i\right) = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{i=n}^{\infty}A_i</math> הוא מאורע זנב שלהם. לכן אם המאורעות בלתי-תלויים, אז ההסתברות למאורע זה היא 0 או 1.

הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי במקרה שבו המאורעות בלתי-תלויים וגם הטור <math>\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_i\right)</math> מתבדר לאינסוף, אז ההסתברות מתבררת להיות <math>\mathbb{P}\left(\limsup_{i\to\infty}A_i\right) = 1</math>.

==לקריאה נוספת==

* אנדריי קולמוגורוב, [https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/kolmogorov_foundations.pdf Foundations of the Theory of Probability], 1933, הנספח (היחיד), "Zero-or-one law in the theory of probability"

==הערות שוליים==

קטגוריה:חוקי אפס-אחד