מכרז סגור מחיר ראשון

מכרז סגור מחיר ראשון (אנגלית]: First price sealed-bid auction) הוא מושג בתורת המשחקים, המתאר שיטת מכרז. במכרז מסוג זה המשתתפים מכניסים את הצעות המחיר שלהם, עבור הפריט המוצע למכירה, לתיבה. לאחר מכן מוציא מנהל המכירה את המעטפות והמשתתף שהציע את ההצעה הגבוהה ביותר, זוכה - הוא מקבל את המוצר ועליו לשלם את המחיר אותו הציע. במקרה של שוויון הצעות בין מספר מתמודדים, יתבצע שובר שוויון. שובר השוויון יכול להיות הסתברותי (הטלת מטבע, הגרלה...) או קבוע (המתמודד שהציע ראשון, המתמודד עם המספר הסידורי הגבוה ביותר...)

==הגדרה פורמלית==
מכרז סגור מחיר ראשון (עם ערכים פרטיים בלתי תלויים) מיוצג כווקטור בעל חמש קואורדינטות

<math>(N,(a_i,b_i,F_i)_{i\in N},b^',p,C)</math>

כאשר:

*<math>N=\{1,2,\cdots,n\}</math> היא קבוצת הקונים.
*<math>\forall i b_i\ge a_i</math>, <math>V_i=[a_i,b_i]</math> קבוצת הערכים הפרטיים האפשריים לקונה ה-i, כאשר ערך פרטי לקונה, הוא ערכו של המוצר הנימכר עבורו, ערך המוצר הנמכר יכול להיות קבוע, וזהה לכל הקונים או נבדל בין קונה לקונה, והתפלגותו נתונה על ידי פונקציית התפלגות מצטברת. נסמן ב-<math>V=V_1\times V_2\times ...\times V_n</math>
*<math>\forall i \in N</math> נתונה פונקציית התפלגות מצטברת <math>F_i: V_i \rightarrow [0,1]</math>, אשר מתארת את הערך הפרטי של הקונה ה-<math>i</math>.
* <math>b'</math> המחיר המקסימלי עבור החפץ עבורו מתקיים <math>b'\ge max_{i \in N} {b_i}</math>, כלומר עבור כל קונה, ערכו הפרטי של המוצר בעיניו אינו עולה על <math>b'</math>.
*<math>p:[0,b']^n \rightarrow X(n)</math> פונקציה הקובעת לכל וקטור הצעות את ההתפלגות שלפיה נבחר הזוכה בחפץ. (<math>X(n)</math> הוא מרחב כל ההתפלגויות על <math>\{1,2,...,n\}</math>)
*<math>C: [0,b']^n\rightarrow R^n </math> פונקציה הקובעת את התשלום של כל משתתף. 

כעת נתאר את תהליך המכרז באופן פורמלי בהינתן וקטור המכרז:

* הקונה ה-<math>i</math> בוחר את הערך הפרטי של המוצר בעיניו, לפי פונקציית ההתפלגות המצטברת שלו <math>F_i</math>ת הוא יודע מה הערך שלו, <math>v_i</math> אך לא מה ערכי הפריט עבור הקונים האחרים (אנו מניחים אי תלות בין פונקציות ההתפלגות המצטברת של הקונים).
*מגדירים: אסטרטגיה של שחקן <math>i</math> להיות, <math>y_i:[a_i,b_i]\rightarrow [0,b']</math> פונקציה שבהינתן ערך <math>v_i</math> מחזירה את הצעת המחיר המתאימה. ואת ווקטור האסטרטגיות <math>y=(y_1,...,y_n)</math> להיות וקטור שהקורדינטה ה-<math>i</math> היא האסטרטגיה של השחקן ה-<math>i</math>
*כל קונה מציע את הצעת המחיר שלו <math>c_i\in [0,b']</math>, בהתאם לאסטרטגיה שלו.
*הקונה נבחר על ידי ההתפלגות <math>p(y_1,...,y_n)</math>, כלומר הסתברות הזכייה של הקונה ה-<math>i</math> היא <math>p_i(y_1,...,y_n)</math>, כאשר במכרז סגור מחיר ראשון מתקיים שהתפלגות הזכייה בהינתן וקטור הצעות <math>(y_1,...,y_n)</math> היא פונקציית האינדיקטור על ההצעה המקסימלית.
*הקונה ה-<math>i</math> משלם את התשלום המתאים לפי פונקציית התשלומים המתאימה: <math>C_i(y_1,...,y_n)</math>, במכרז סגור מחיר ראשון מתקיים שפונקציית התשלומים בהינתן וקטור הצעות <math>(y_1,...,y_n)</math> היא פונקציית <math>y_i</math> עבור הקונה שהציע את הערך המקסימלי, ואפס אחרת.

==דוגמאות==

===דוגמה===
בהינתן מכרז סגור מחיר ראשון עם שני משתתפים, <math>F_1,F_2</math> פונקציות התפלגות אחידה, בלתי תלויות, על הקטע <math>[0,1]</math>, מחיר מקסימלי <math>M</math> ופונקציית ההתפלגות והמחיר הקבועות למכרז סגור מחיר ראשון, נרצה למצוא את וקטור האסטרטגיות אשר יוביל לשיווי משקל סמטרי. נראה שהווקטור הנ"ל הוא <math>y=(y_1,y_2)~s.t~y_i(v_i)=v_i/2</math>.

הוכחה: נניח שהקונה הראשון בחר באסטרטגיה זו, ונוכיח שעל הקונה השני להשתמש באותה אסטרטגיה, ולכן אסטרטגיה זו תהווה שווי משקל.
עבור הקונה השני מתקיים: ערך המוצר הוא <math>v_2</math> וההצעה שלו <math>c_2</math> נוכיח כי בשיווי משקל מתקיים <math>c_2=\frac {v_2} {2}</math>. תוחלת התשלום של הקונה השני היא: 

<math>E= 0\cdot P(c_2\le \frac {v_1} {2})+(c_2-v_2)\cdot P(c_2\ge \frac {v_1} {2})=</math>

<math>=(c_2-v_2)\cdot min\{2c_2,1\}=</math>

כעת, ניתן לבדוק כי לכל ערך של <math>v_2</math> המקסימום של פונקציית התוחלת כפונקציה של <math>c_2</math> מתקבל ב <math>c_2=\frac {v_2} {2}</math>. כפי שרצינו להוכיח.

לכן שיווי משקל מתקבל כאשר שני הקונים מציעים מחצית מערך המוצר בעיניהם.

===דוגמאות מחיי היום יום===
המושג הנפוץ למכרז סגור מחיר ראשון הוא מכירה פומבית שקטה (silent auction).

בחיים שיטת מכרז סגור מחיר ראשון נפוצה בעיקר באירועי צדקה. יתרון של המכרז הזה, הוא שהוא מתבצע באנונימיות, וניתן לבצע מכירה של פריטים רבים בו זמנית.

בנוסף, מכרזים של המדינה (למשל, מכרז לאספקת ציוד רפואי) ומכרזים למכירת רכוש של פושטי רגל מתנהלים בשיטה זו, כדי לשמור על אנונימיות ועל פרטיות המשתתפים.

==משפטים נוספים==
משפט: מכרז פתוח יורד, שקול (במובן החזק) למכרז סגור מחיר ראשון.
כלומר, שניהם מתארים את אותו משחק בצורה אסטרטגית.

משפט: תחת ההנחות שפונקציות הצפיפות <math>f_i</math> של פונקציות ההתפלגות המצטברת <math>F_i</math> היא רציפה, ושהקונים אדישים לסיכון (כלומר מטרתם היא למקסם את רווחיהם) מתקיים שהאסטרטגיה הבאה מגדירה שיווי משקל סמטרי במכרז סגור מחיר ראשון:
<math>y=(y_1,...,y_n) ~ s.t ~ y_i(v_i)=E[Y|Y\le v_i]</math>, ותוחלת התשלום של הקונה ה-<math>i</math> היא <math>F_{iY}(v_i)\times E[Y|Y\le v_i]</math> 
ותוחלת הרווח שווה ל-<math>n\int_0^b F_YE[Y|Y\le v]f(v)dv</math>

==ראו גם==
* מונחים בתורת המשחקים
* מכרז
* מכרז מחיר שני
* מכרז הכל משלמים

== לקריאה נוספת ==
*
*

קטגוריה:תכנון מכניזמים
קטגוריה:מכירה פומבית