חוק קירי

חוק קירי (באנגלית: Curie's law) הוא חוק פיזיקלי המקשר בין מגנטיזציה של חומר פאראמגנטי לבין השדה המגנטי המופעל עליו והטמפרטורה. הנוסחה המתארת את החוק היא:

<math display="block">\mathbf{M} = C \frac{\mathbf{H}}{T}</math>

כאשר:
* M היא המגנטיזציה שנוצרת כתוצאה מהפעלת השדה המגנטי
* H הוא השדה המגנטי 
* T היא הטמפרטורה (המוחלטת)
* C הוא קבוע קירי שייחודי לכל חומר

מילולית ניתן לתאר את החוק כך:

"סוספטיביליות מגנטית של חומר פאראמגנטי נמצאת ביחס הפוך לטמפרטורה". 

כלומר, <math> \chi \propto \frac{1}{T} </math>, כאשר <math> \chi = \frac{\partial M}{\partial H}</math> היא הסוספטיביליות המגנטית.

החוק התגלה באופן ניסויי (על ידי התאמת התוצאות למודל שנחזה בהצלחה) על ידי פייר קירי.

חוק קירי אינו תקף לכל החומרים הפאראמגנטיים אלא רק לחלקם (בעיקר מבודדים), ורק בתנאים מסוימים (טמפרטורה גבוהה או שדה מגנטי חלש).

==פיתוח של חוק קירי==
המגנטיזציה של פאראמגנט כפונקציה של הערך ההופכי של הטמפרטורה
ניתן לקבל את חוק קירי מתוך המודל הבא של פאראמגנט. במודל זה מתייחסים לחומר כמורכב מחלקיקים בעלי מומנט מגנטי <math>\vec{\mu}</math>. החלקיקים קבועים במקום ואין ביניהם אינטראקציה. בהנחות אלו האנרגיה של המומנט המגנטי בתוך השדה נתונה על ידי

<math display="block">E=-\vec{\mu}\cdot\vec{H}</math>
===עבור ספין חצי ===
במקרה פשוט של מומנט מגנטי בעל שני מצבים אפשריים (ספין 1/2) המומנט המגנטי יכול בכיוון השדה המגנטי או בכיוון המנוגד לשדה בלבד. אנרגיות מצבים אלו הן
E<sub>0</sub>=-μH
ו
E<sub>1</sub>=μH

פונקציית החלוקה של החלקיק במקרה זה תהיה:

<math display="block">Z = \sum_{n=0,1} e^{- \beta E_n} = e^{ \beta\mu H} + e^{-\beta\mu H} = 2 \cosh\left( \beta\mu H\right)</math>

כאשר <math> \beta = \frac {1}{k_B T}</math> ו-<math> k_B </math> הוא קבוע בולצמן. את המומנט המגנטי הממוצע (=המגנטיזציה הממוצעת לחלקיק) ניתן למצוא באופן ישיר על ידי:
<div style="text-align: center;">
<math>\left\langle\mu\right\rangle = \mu P\left(+\mu\right) - \mu P\left(-\mu\right) 
 = {1 \over Z} \left( \mu e^{ \beta\mu H} - \mu e^{ - \beta\mu H} \right), </math>
</div>
או על ידי גזירה של פונקציית החלוקה:
<math display="block">\left\langle\mu\right\rangle = {1 \over H } \frac{\partial}{\partial \beta} \log Z. </math>
 
התוצאה המתקבלת בכל אחת מדרכים אלו היא <math>\left\langle\mu\right\rangle = \mu \tanh\left(\beta\mu H\right)</math> 

זו המגנטיזציה של ספין יחיד. כדי לקבל את המגנטיזציה של כל החומר יש להכפיל במספר החלקיקים <math> N </math>. באופן זה מקבלים:

<math display="block">M = N\left\langle\mu\right\rangle = N \mu \tanh\left({\mu H\over k_B T}\right)</math>

חוק קירי מתקבל מכאן בגבול של שדה מגנטי חלש וטמפרטורה גבוהה, כלומר במקרה בו מתקיים <math> \frac{\mu H}{k_B T} \ll 1 </math>. בגבול זה ניתן לקרב את ה-tanh לסדר ראשון ולקבל:

<math display="block">\mathbf{M}={N\mu^2\over k_B}{\mathbf{H}\over T}</math>
 
וזה בדיוק חוק קירי, עם הקבוע <math> C = \frac{N\mu^2}{k_B} </math>.

===עבור ספין כללי===
עבור מקרה של ספין J כללי קיימים יותר משני מצבים. חישוב דומה נותן:
<math display="block">\ M = N g \mu_B J B_J(x)</math>

כאשר g הוא מקדם לנדה, <math> \mu_B </math> הוא מגנטון בוהר, <math>\ x = \frac{g \mu_B JH}{k_B T}</math>
ו-<math>\ B_J(x) </math> היא פונקציית ברילואן המוגדרת על ידי:
<div style="text-align: center;">
<math>B_J(x) = \frac{2J + 1}{2J} \coth \left ( \frac{2J + 1}{2J} x \right )
 - \frac{1}{2J} \coth \left ( \frac{1}{2J} x \right )</math>
</div>

גם כאן בגבול של טמפרטורות גבוהה ושדה חלש ניתן לקרב ולקבל:
<math display="block">\ M = \frac{NJ(J+1)g^2\mu_B^2 H}{3k_B T}</math>
ושוב קיבלנו את חוק קירי (עם קבוע שונה במקצת).

===עבור מומנט מגנטי קלאסי===
מומנט מגנטי קלאסי יכול להסתובב באופן חופשי. במקרה זה האנרגיה של כל חלקיק תהיה:

<math display="block">E = - \mu H\cos\phi, </math>

כאשר φ היא הזווית בין המומנט המגנטי והשדה המגנטי. פונקציית החלוקה המתאימה היא

<math display="block">Z = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi}d\phi \sin\phi \exp( \mu H\beta \cos\phi).</math>
 
ניתן לראות כי אין כל תלוי בזווית θ, וניתן להמיר את המשתנים לצורה y = cosφ על מנת להשיג

<div style="text-align: center;">
<math>Z = 2\pi \int_{-1}^ 1 d y \exp( \mu H\beta y) =
2\pi{\exp( \mu H\beta )-\exp(-\mu H\beta ) \over \mu H\beta }=
{4\pi\sinh( \mu H\beta ) \over \mu H\beta .}
</math>
</div>
 
בעקבות זאת, ערך התצפית של רכיב z של המגנטיזציה (כאשר מתייחסים לרכיבים האחרים כשווים לאפס) יהיה לפי הנוסחה

<math display="block">\left\langle\mu_z \right\rangle = {1 \over Z} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi}d\phi \sin\phi \mu\cos\phi \exp( \mu H\beta \cos\phi).</math>
 
שוב, תוצאה זו ניתן לקבל גם על ידי גזירת פונקציית החלוקה:

<math display="block">\left\langle\mu_z\right\rangle = {1 \over Z H} \partial_\beta Z.</math>
 
אם ממשיכים בתהליך הגזירה, מוצאים כי

<math display="block">\left\langle\mu_z\right\rangle = \mu L(\mu H\beta), </math>
 
כאשר L היא פונקציית לנז'בן:

<math display="block"> L(x)= \coth x -{1 \over x}.</math>
 
הפונקציה הזו אינה סינגולרית עבור x קטן. מבחינה מעשית, ההתנהגות שלה עבור ארגומנטים קטנים דומה לזו של הפונקציה tanh, כך שנוסחת הגבול שלמעלה מיושמת גם במקרה זה.

==יישומים==
חוק קירי הוא הבסיס להפעלה של תרמומטרים מגנטיים, המשמשים למדידת טמפרטורות מאוד נמוכות.

==קישורים חיצוניים==
*[http://hdl.handle.net/1908/466 Propriétés magnétiques des corps à diverses températures] התזה של פייר קירי בה מופיע חוק קירי (בצרפתית)
קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:מגנטיות
קירי