מרחב מטרי

בטופולוגיה, מרחב מטרי היא קבוצה שמוגדרת עליה פונקציה סימטרית וחיובית, המקיימת את אי-שוויון המשולש. פונקציה כזו (הנקראת מטריקה) מקיימת את התכונות היסודיות של המרחק הגאוגרפי, ולכן רואים בה הכללה של מושג המרחק. המטריקה מאפשרת להגדיר במרחב כדורים, שבזכותם יש למרחבים מטריים תכונות טופולוגיות אופטימליות.

==הגדרה==

מטריקה על קבוצה לא ריקה <math>S</math> היא פונקציה <math>d \colon S\times S \rarr \mathbb{R}</math> המקיימת את התכונות הבאות לכל <math>x,y,z\isin S</math>:
* אי-שליליות: <math>d(x,y)\ge 0</math> ו-<math>d(x,y)=0</math> אם ורק אם <math>x=y</math>.
* סימטריות: <math>\,d(x,y) = d(y,x)</math>
* אי-שוויון המשולש: <math>\,d(x,z) \le d(x,y)+d(y,z)</math>.

קבוצה שמוגדרת עליה מטריקה נקראת מרחב מטרי.

==דוגמאות==

מרחבים נורמיים הם דוגמה חשובה למרחב מטרי, שהרי הנורמה מאפשרת להגדיר מטריקה על ידי <math>g(x,y)= \| x-y \|</math>. בפרט הישר והמישור הם מרחבים מטריים מהסוג הזה, כאשר המטריקה היא המרחק הגאומטרי המוכר.

על כל קבוצה אפשר להגדיר את המטריקה <math>d(x,y)=\begin{cases}0 & \text{ if } x=y \\ 1 & \text{ if } x\neq y \end{cases}</math>. מטריקה זו ידועה בתור "המטריקה הדיסקרטית" והטופולוגיה שמשרה היא הטופולוגיה הדיסקרטית (כלומר, במרחב זה כל קבוצה היא קבוצה פתוחה).

== מרחב מטרי כמרחב טופולוגי ==

במרחב מטרי, קבוצת הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת קטן מקבוע חיובי מסוים, נקראת "כדור פתוח". קבוצה המוכלת בכדור כזה נקראת קבוצה חסומה (ואם המרחב כולו הוא קבוצה חסומה, אומרים שהמרחב חסום).

אוסף הכדורים הפתוחים מהווה בסיס לטופולוגיה, וכך אפשר לראות כל מרחב מטרי כמרחב טופולוגי. בניגוד לסתם מרחב טופולוגי, כל מרחב מטרי מקיים את תכונת ההפרדה T4 (יתרה מזאת, כל מרחב מטרי הוא מרחב נורמלי באופן מושלם או T6). מרחב מטרי הוא מרחב קומפקטי אם ורק אם הוא חסום כליל ושלם. אם המרחב חסום כליל, ההשלמה שלו היא דוגמה לקומפקטיפיקציה.

מרחב טופולוגי שניתן להגדיר עליו מטריקה שתגדיר את הטופולוגיה שלו נקרא מרחב מטריזבילי.

== מרחק האוסדורף ומרחק גרומוב-האוסדורף ==

האוסדורף הגדיר מטריקה בין תת-הקבוצות הסגורות של מרחב מטרי קומפקטי, לפי <math>\ d(A,B) = \inf_{r} \{A\subseteq \operatorname{B}_r(B), B\subseteq \operatorname{B}_r(A)\}</math>, כאשר <math>\ \operatorname{B}_r(A) = \cup_{a \in A} \operatorname{B}_r(a)</math>. בהגדרה זו השתמש גרומוב כדי להגדיר את המרחק <math>d_{GH}(A,B)</math> בין שני מרחבים מטריים A,B, כמרחק (האוסדורף) המינימלי בין כל שתי תמונות איזומטריות של המרחבים במרחב מטרי שלישי. מרחק האוסדורף-גרומוב של שני מרחבים הוא אפס אם ורק אם הם איזומטריים. הגדרה זו מובילה ל"טופולוגיית האוסדורף-גרומוב", שלפיה סדרת מרחבים מטריים מנוקדים מתכנסת למרחב מטרי מנוקד, אם לכל <math>r</math>, המרחקים בין הכדורים ברדיוס <math>r</math> במרחבים הנתונים, לבין הכדור ברדיוס <math>r</math> במרחב המטרה, שואפים לאפס. בדרך כלל קשה לחשב את המרחק המדויק בין שני מרחבים.

יהיו A,B מרחבים מטריים. העיוות <math>d(R)</math> של יחס <math>R \subset A \times B</math> הוא הסופרמום של ההפרשים <math>|d(a,a')-d(b,b')|</math> על פני כל הזוגות <math>(a,b),(a',b') \in R</math>. נאמר שיחס R הוא התאמה (correspondence) אם ההטלות שלו על שני הרכיבים הן על. מרחק גרומוב-האוסדורף בין המרחבים A,B שווה למחצית האינפימום של כל העיוותים של התאמות בין A ל-B.

== מרחבים אולטרה-מטריים ==

פונקציה המקיימת את האקסיומה <math>d(x,z) \le \textrm{max}\{d(x,y),d(y,z)\}</math> (שהיא חזקה יותר מאי-שוויון המשולש) נקראת אולטרה-מטריקה. מרחב שמוגדרת עליו אולטרה-מטריקה נקרא מרחב מטרי לא ארכימדי, או מרחב אולטרה-מטרי.

==ראו גם==
* מטריקה
* נורמה
* מרחב אורכים ומרחב גאודזי

==לקריאה נוספת==
* דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, כרך א', הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997.

==קישורים חיצוניים==

* 
* 
* 

*