מטריצה נילפוטנטית

במתמטיקה, מטריצה נילפוטנטית היא מטריצה ריבועית <math>M</math> כך ש- <math>M^q = 0\,</math> עבור <math>q</math> שלם חיובי כלשהו.
באופן דומה, העתקה נילפוטנטית היא העתקה ליניארית <math>L</math> כך ש- <math>L^q = 0\,</math>
עבור <math>q</math> שלם חיובי כלשהו.

אלו מקרים פרטיים של מושג הנילפוטנטיות, המוגדר בכל חוג: מטריצה נילפוטנטית אינה אלא איבר נילפוטנטי באלגברת המטריצות.

==דוגמאות==
המטריצה מהצורה הבאה:
:<math> 
\begin{bmatrix} 
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 
\end{bmatrix}
</math>
היא דוגמה למטריצה נילפוטנטית מסדר 4&times;4. במטריצה זו לאלכסון האחדים יש את התכונה הבאה:
:<math>
N^2 = \begin{bmatrix} 
 0 & 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 0 & 1\\
 0 & 0 & 0 & 0\\
 0 & 0 & 0 & 0 
 \end{bmatrix} 

;\ 
N^3 = \begin{bmatrix} 
 0 & 0 & 0 & 1\\
 0 & 0 & 0 & 0\\
 0 & 0 & 0 & 0\\
 0 & 0 & 0 & 0 
 \end{bmatrix}

;\ 
N^4 = \begin{bmatrix} 
 0 & 0 & 0 & 0\\
 0 & 0 & 0 & 0\\
 0 & 0 & 0 & 0\\
 0 & 0 & 0 & 0 
 \end{bmatrix}.
</math>
האלכסון 'נע' באלכסון למעלה, עד שנותרת מטריצת אפסים.

ההעתקה המתאימה למטריצה הנ"ל, <math>L \colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4</math> מוגדרת על ידי:
:<math> L(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_2,x_3,x_4,0). </math>

==תכונות==

מטריצה היא נילפוטנטית אם ורק אם הפולינום האופייני שלה הוא <math>\lambda^n</math>. משום כך, מטריצה היא נילפוטנטית אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים (תכונה המתקיימת ממילא מעל שדה סגור אלגברית), וכל הערכים העצמיים הם אפס.

תהי <math>M</math> מטריצה נילפוטנטית ריבועית מסדר <math>n</math>, אזי מתקיימות התכונות הבאות:
* השלם הקטן ביותר <math>q</math> המקיים <math>M^q = 0\,</math> (אינדקס הנילפוטנטיות) קטן או שווה ל-<math>n</math>.
* הדטרמיננטה והעקבה של <math>M</math> הן אפס.
* מטריצה הדומה למטריצה נילפוטנטית היא מטריצה נילפוטנטית.
* המטריצה <math>I-M</math>היא הפיכה, שכן <math>(I-M)(I+M+M^2+\ldots+M^{q-1})=I-M^q=I</math>.

==צורת ז'ורדן==
משפט: כל מטריצה נילפוטנטית דומה למטריצת הבלוקים האלכסונית הבאה:
:<math> \begin{bmatrix} 
 N_1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 
 0 & N_2 & 0 & \ldots & 0 \\
 0 & 0 & N_3 & \ldots & 0 \\
 \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 0 & 0 & 0 & \ldots & N_k 
\end{bmatrix} </math>

כך שכל בלוק <math>N_i</math> הוא מהצורה הבאה:
:<math> N_i = \begin{bmatrix} 
 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\
 \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\
 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0
\end{bmatrix}. </math>
כלומר, מכיל אחדים מעל האלכסון הראשי, ואפסים בכל שאר המקומות.
משפט זה נובע מצורת ז'ורדן, בצירוף עם המשפט הקובע כי כל מטריצה הדומה למטריצה נילפוטנטית היא מטריצה נילפוטנטית.

==תתי מרחבים==
העתקה נילפוטנטית <math>L</math> על המרחב <math>\mathbb{R}^n</math> מגדירה את תתי המרחבים הבאים:
:<math> \{0\} \subset \ker L \subset \ker L^2 \subset \ldots \subset \ker L^{q-1} \subset \ker L^q = U </math>
ואת הסיגנטורות הבאות:
:<math> 0 = n_0 < n_1 < n_2 < \ldots < n_{q-1} < n_q = n,\qquad n_i = \dim \ker N^i. </math>

הסיגנטורה מאפיינת את <math>L</math> לכדי העתקה ליניארית, וכן מקיימת את האי-שוויונות הבאים:
:<math>\forall j = 1,\ldots,q-1:n_{j+1} - n_j \leq n_j - n_{j-1}</math>.

==קישורים חיצוניים==
* 

* [http://planetmath.org/encyclopedia/NilpotentMatrix.html מטריצה נילפוטנטית] ו[http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=1961 העתקה נילפוטנטית] באתר PlanetMath 

קטגוריה:מטריצות