משפט מוסנר

משפט מוסנר או "הקסם של מוסנר" הוא כינוי לתהליך המחשב עבור כל <math>n</math> קבוע, את סדרת החזקות <math>a^n</math> על ידי פעולות של דילוג וחישוב סכומים חלקיים בסדרת המספרים הטבעיים. את התהליך גילה המתמטיקאי הגרמני אלפרד מוסנר (Alfred Moessner). תהליכים דומים מייצרים גם את מספרי העצרת וטורים נוספים<ref></ref>.

== היסטוריה ==
היוונים הקדמונים ידעו שטור הסכומים החלקיים של המספרים האי-זוגיים יוצר טור של ריבועים:
{|
|סדרת השלמים
|style="text-align:left;" |<math>1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12... </math>
|-
|בדילוג על כל מספר שני
|style="text-align:left;" |<math>1, 3, 5, 7, 9, 11... </math>
|-
|סכומים חלקיים
|style="text-align:left;" |<math>1, 4, 9, 16, 25, 36... </math>
|-
|שהם טור הריבועים
|style="text-align:left;" |<math>1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2... </math>
|}
פיתגורס או אחד מחברי האסכולה הפיתגוראית הוכיח שזה נכון תמיד, ובמשך מעל אלפיים שנה היה נראה שאין מה לחקור עוד בנושא הזה, עד שב-1951 גילה מוסנר שטור הריבועים הוא רק אחד מתוך אינסוף טורים שאפשר ליצור באופן דומה מטור השלמים.

400px

== בניית הסדרה לחזקה n ==
מתחילים מטור השלמים ומסמנים לדילוג כל מספר <math>n</math>-י. מחשבים את טור הסכומים החלקיים ללא המספרים המדולגים. חוזרים על הפעולה, הפעם מסמנים לדילוג כל מספר <math>(n-1)</math>, ויוצרים סדרת סכומים חדשה. עבור השלב ה-<math>k</math>-י יש לסמן לדילוג את האיברים <math>(n-k+1)</math>. התהליך מסתיים בשלב ה-<math>n</math>-י, והסדרה שתישאר היא <math>1^n, 2^n, 3^n, 4^n, 5^n, 6^n, 7^n, 8^n... </math>.

לדוגמה, כדי לבנות את טור השלמים בחזקה רביעית מתחילים בסדרת המספרים השלמים (השורה ה-1). משמיטים כל מספר רביעי (השורה ה-2). מחשבים את הסכומים החלקיים (3). משמיטים כל מספר שלישי (4). מחשבים את הסכומים החלקיים (5). משמיטים כל מספר שני (6); ומחשבים את הסכומים החלקיים (השורה השביעית והאחרונה). הסדרה המתקבלת היא סדרת החזקות הרביעיות של השלמים.

<math>\begin{array}{ccccccccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17\\
1 & 2 & 3 & & 5 & 6 & 7 & & 9 & 10 & 11 & & 13 & 14 & 15 & & 17\\
1 & 3 & 6 & & 11 & 17 & 24 & & 33 & 43 & 54 & & 67 & 81 & 96 & & 113 \\
1 & 3 & & & 11 & 17 & & & 33 & 43 & & & 67 & 81 & & & 113 \\
1 & 4 & & & 15 & 32 & & & 65 & 108 & & & 175 & 256 & & & 369 \\
1 & & & & 15 & & & & 65 & & & & 175 & & & & 369 \\
1 & & & & 16 & & & & 81 & & & & 256 & & & & 625
\end{array} </math>

מוסנר פרסם את האלגוריתם ב-1951 ושיער שהוא נכון תמיד אך לא הוכיח זאת. הראשון שהוכיח את משפט מוסנר היה אוסקר פרון בהמשך אותה שנה.

==משפט פאשה==
הבנייה של מוסנר נעשית בדילוג בצעד קבוע, למשל עבור <math>n=4</math> מדלגים על שלושה מספרים ומשמיטים כל מספר רביעי. ב-1952, שנה אחרי התגלית של מוסנר, הציע איוון פאשה (Ivan Paasche) לדלג במרווחים שגדלים באחד כל פעם: למחוק את המספר הראשון, להשאיר את השני, למחוק את השלישי, להשאיר את 2 הבאים בתור, למחוק את השישי, וכן הלאה, לפי הסדר 1, 3, 6, 10 וכולי, או <math>{k+1 \choose 2}</math>. מחשבים את הסכומים ללא המספרים המחוקים, ובאיטרציה הבאה מוחקים מספרים לפי אותו סדר ומחשבים את הסכומים החלקיים, עד השורה האחרונה. הטור המתקבל הוא טור <math>\ n!</math>.

400px

בסימון בכתום אפשר לראות שהאלגוריתם של פאשה הפך חיבור לכפל. זה אינו מקרי, האלגוריתם של מוסנר הופך כפל לחזקה. למשל באלגוריתם מוסנר עבור <math>n=4 </math>:
400px

==לקריאה נוספת==
* [https://www.youtube.com/watch?v=rGlpyFHfMgI The Moessner Miracle. Why wasn't this discovered for over 2000 years?], בערוץ היוטיוב המתימטי Mathologer
*[https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.4169/amer.math.monthly.120.02.131 On Moessner's Theorem, Dexter Kozen and Alexandra Silva]

==קישורים חיצוניים==
* 

==ביאורים==

==הערות שוליים==

קטגוריה:סדרות של שלמים