התפלגות מולטינומית

בתורת ההסתברות התפלגות מולטינומית היא הכללה של ההתפלגות הבינומית וניתן לקבלה באופן הבא: נתון ניסוי מסוים, עם <math>k</math> תוצאות אפשריות שונות <math>A_1,A_2,...,A_k</math> (מאורעות זרים או קטגוריות) כאשר ההסתברות לקבל תוצאה <math>A_i</math> היא <math>p_i</math>. חוזרים על הניסוי <math>n</math> פעמים בלתי תלויות ומסכמים את התוצאות באמצעות משתנים מקריים בינומיים <math>X_i\sim Bin(n,p_i)</math>, כאשר <math>X_i</math> מציין את מספר הפעמים שהתקבלה התוצאה <math>A_i</math> מתוך <math>n</math> החזרות. לווקטור המקרי <math>X=(X_1,X_2,...,X_k)</math> יש התפלגות מולטינומית. עבור <math>k=1</math> מקבלים את ההתפלגות קטגוריאלית.

== פונקציית הסתברות ==
פונקציית ההסתברות של הווקטור המקרי <math>X</math> היא:
: <math> \begin{align}
P(X=(x_1,x_2,...,x_n)) & {} = P(X_1 = x_1,\dots,X_k = x_k ) \\ \\
& {} = \begin{cases} { \displaystyle {n! \over x_1!\cdots x_k!}p_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k}} \quad &
 ,\sum_{i=1}^k x_i=n &\mbox{םא }\\ \\
0 & &\mbox{תרחא } \end{cases}
\end{align}
</math>

====== הסבר לנוסחה ======
מאחר שהחזרות בלתי תלויות, ההסתברות ל-<math>n</math>-יה ספציפית של תוצאות שבה <math>A_1</math> התקבל <math>x_1</math> פעמים, <math>A_2</math> התקבל <math>x_2</math> פעמים,... ו- <math>A_k</math> התקבל <math>x_k</math> פעמים, היא <math> p_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k }
</math>. את המספר הזה נכפול במספר ה-<math> n
</math>-יות מסוג זה ואותו ניתן לחשב בדרך באה: תחילה נחשב את מספר הדרכים למקם <math>x_1</math> פעמים את התוצאה <math>A_1</math> ב-<math>n</math>-יה -<math> \tbinom{n}{x_1}=\tfrac{n!}{x_1!(n-x_1!)}
</math>. את המספר הזה נכפול במספר הדרכים למקם <math>x_2</math> פעמים את התוצאה <math>A_2</math> ב-<math>n-x_1</math> המקומות הריקים שנותרו- <math> \tbinom{n-x_1}{x_2}=\tfrac{(n-x_1)!}{x_2!(n-x_1-x_2!)}
</math>. כך נמשיך עד שבסוף נכפול את התוצאה במספר הדרכים למקם את התוצאה <math>A_{k-1}</math> ב- <math>n-x_1-...-x_{k-2}</math> המקומות שנותרו-<math> \tbinom{n-x_1-...-x_{k-2}}{x_{k-1}}=\tfrac{(n-x_1-...-x_{k-2})!}{x_{k-1}!(n-x_1-...-x_{k-1 })!}=
\tfrac{(n-x_1-...-x_{k-2})!}{x_{k-1}!x_{k }!}
</math> . עבור <math>x_k</math> הפעמים של התוצאה <math>A_{k}</math> יוותרו בדיוק <math>x_k</math> מקומות ולכן רק דרך אחת למקם אותם. בסופו של דבר תוצאת הכפל תהיה:

<math display="block"> \tbinom{n}{x_1}\tbinom{n-x_1}{x_2}\cdots\tbinom{n-x_1-...-x_{k-2}}{x_{k-1}}=
\tfrac{n!}{x_1!(n-x_1!)} \tfrac{(n-x_1)! }{x_2!(n-x_1-x_2!) }\cdots
\tfrac{(n-x_1-...-x_{k-2})!}{x_{k-1}!(n-x_1-...-x_{k-1 })!}= \tfrac{n!}{x_1!\cdots x_k! }
</math>

התוצאה הסופית של הכפל, המתקבלת כתוצאה של צמצומים, שווה למספר ה-<math> n
</math>-יות המבוקש. זהו המקדם המולטינומי שמופיע כחלק מהנוסחה.

==דוגמה==

נתון כד ובו 10 כדורים. חמישה מהכדורים בכד כחולים, שלושה אדומים ושניים ירוקים. בכל פעם מוציאים כדור מהכד ומחזירים אותו. חוזרים על הפעולה 8 פעמים. מהי ההסתברות שמתוך 8 הפעמים ב-3 פעמים הוצא כדור כחול, ב-4 הוצא כדור ירוק ופעם אחת הוצא כדור אדום?

====== תשובה ======
במקרה כזה, הניסוי שחוזר על עצמו הוא הוצאה והחזרה של הכדור. יש לניסוי הזה שלוש תוצאות אפשריות <math> (k=3)
</math>: <math> A_1
</math>- התקבל כדור כחול, <math> A_2
</math>- התקבל כדור אדום ו-<math> A_3
</math>- התקבל כדור ירוק. ההסתברות לקבל כדור כחול בניסוי בודד היא <math> p_1=\frac{5}{10}=0.5
</math>, לקבל כדור אדום <math> p_2=\frac{3}{10}=0.3
</math> ולקבל כדור ירוק <math> p_3=\frac{2}{10}=0.2
</math>. חוזרים על הניסוי 8 פעמים <math> (n=8)
</math>. ההסתברות שמתוך 8 הפעמים ב-3 הוצא כדור כחול <math> (x_1=3)
</math>, ב-4 הוצא כדור ירוק <math> (x_2=3 )
</math> ופעם אחת הוצא כדור אדום <math> (x_3=1 )
</math> היא:

<math display="block"> 
\Pr(X=(3,4,1) ) = \Pr(X_1 = 3,X_2=4,X_3 = 1 )=
\displaystyle {8! \over 3! 4! 1!}0.5^{3}0.3^{4}0.2^{1}

</math>

==קישורים חיצוניים==
* 
* 

קטגוריה:התפלגויות בדידות