מצבים קוהרנטיים

בפיזיקה, מצבים קוהרנטיים הם מצבים קוונטיים של מתנדים הרמוניים אשר התנהגותם בזמן דומה להתנהגות הקלאסית של המערכת (כאשר זו מוגדרת). דמיון זה מתבטא בכך שערכי התצפית (התוחלת) של המיקום והתנע משתנים בזמן בדיוק כמו התנע והמקום של מתנד הרמוני קלאסי, כלומר הם מתנהגים באופן מחזורי בזמן בדומה למטוטלת פשוטה. 
למצבים קוהרנטיים ישנה חשיבות רבה בתיאור של מערכות קוונטיות, ותכונות האור של לייזרים. בנוסף לכך, הם מהווים מרכיב בסיסי בבנייה של תורת השדות הקוונטית המתארת מערכות מרובות חלקיקים.

מצבים קוהרנטיים, באופן כללי, הם הכללות של המצבים הקוהרנטיים של מתנד הרמוני פשוט. לכן מרבית הדיון במאמר זה יתמקד במקרה זה, ורק בסופו ייסקרו ההכללות ומשמעויותיהן.

סופרפוזיציה של מצבים קוהרנטיים מכונה מצב חתול, על-שם החתול של שרדינגר, שנמצא בסופרפוזיציה קוונטית של שני מצבים קלאסיים מקרוסקופיים.

==הגדרה פורמלית ובניית המצבים==
===הגדרה===
מצבים קוהרנטיים הם המצבים העצמיים של אופרטור ההשמדה (נקרא גם אופרטור ההורדה, החיסול, ההריסה; ראה אופרטורי סולם בערך מתנד הרמוני קוונטי). כדי להסביר את מהות הגדרה זו נתמקד במקרה הפשוט של מתנד הרמוני קוונטי בממד אחד המתואר על ידי ההמילטוניאן:
<math display="block">\ H= \frac{p^2}{2 m} + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2</math>
כאשר <math>\ \omega</math> היא התדירות העצמית של המתנד, <math>\ x</math> הוא אופרטור המיקום של החלקיק ו- <math>\ p</math> אופרטור התנע. אופרטורי ההשמדה והיצירה (אופרטורי הסולם) של בעיה מוגדרים להיות:
<div style="text-align: center;">
<math>\begin{matrix}
a &=& \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {i \over m \omega} p \right) \\
a^{\dagger} &=& \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x - {i \over m \omega} p \right)
\end{matrix}</math></div>
כאשר <math>\ a</math> הוא אופרטור ההשמדה (או אופרטור הורדה) ו- <math>\ a^{\dagger} </math> הוא אופרטור היצירה (או אופרטור העלאה). 

מצב קוהרנטי <math>\ |z \rangle</math> (בכתיב דיראק) הוא מצב המקיים:
<math display="block">a |z \rangle = z|z \rangle</math>
כאשר <math>\ z</math> הוא מספר מרוכב שרירותי.

===הצגה בבסיס המספר===
אפשר למצוא מההגדרה הזאת את ההצגה של המצב הקוהרנטי <math> |z\rangle </math> בבסיס המספר <math> \{ |n\rangle \}_{n=0}^\infty </math>:
נכתוב
<math display="block"> |z \rangle = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n|n \rangle</math>
נפעיל את אופרטור ההורדה: 
<math display="block"> a|z \rangle = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n a|n \rangle = \sum_{n=1}^\infty \alpha_n \sqrt{n} |n-1\rangle</math>
על ידי החלפת אינדקסים נקבל
<math display="block"> a|z \rangle = \sum_{n=0}^\infty \alpha_{n+1} \sqrt{n+1} |n\rangle</math>
ולפי הגדרה זה צריך להיות שווה ל- <math> z|z\rangle </math> ולכן צריך להתקיים בהכרח <math> z\cdot \alpha_n = \sqrt{n+1} \alpha_{n+1} </math>. נקבל את יחס הרקורסיה 
<math display="block"> \alpha_{n+1}=\frac{z}{\sqrt{n+1}} \alpha_n</math>
לכן בהינתן <math>\alpha_0</math> אפשר לראות שהאיבר הכללי נתון ע"י
<math display="block"> \alpha_{n}=\frac{z^n}{\sqrt{n!}} \alpha_0</math>
כעת, בשביל נרמול נדרוש ש- <math> \sum_{n=0}^\infty |\alpha_n|^2 = 1</math>. כלומר
<math display="block"> |\alpha_0|^2 \cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{|z^2|^n}{n!} =1 \Rightarrow |\alpha_0|^2\cdot e^{|z^2|} =1 \Rightarrow |\alpha_0|=e^{-\frac{|z|^2}{2}}</math>
לסיום, משום שהפאזה הגלובלית לא משנה להגדרת המצב, נבחר את <math>\alpha_0</math> להיות ממשי ונקבל
<math display="block"> |z\rangle = e^{-\frac{|z|^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{\sqrt{n!}} |n\rangle </math>
===בניה של מצבים קוהרנטיים===
מההגדרה שלמעלה נובע כי מצב קוהרנטי מתואר על ידי:
<math display="block">\ |z\rangle = e^{-\frac{|z|^2}{2}}e^{ z a^\dagger} |0 \rangle</math>
כאשר <math>\ |0\rangle</math> הוא מצב היסוד (כלומר המצב בעל האנרגיה הנמוכה ביותר) של המתנד ההרמוני. ניתן להוכיח פתרון זה על ידי השימוש בתכונות אופרטורי היצירה וההשמדה:
<math display="block">\ a |n \rangle = \sqrt{n} |n-1\rangle</math>
<math display="block">\ a^\dagger |n \rangle = \sqrt{n+1} |n+1\rangle</math>
כאשר <math>\ |n\rangle</math> הוא המצב המתאר את הרמה ה-n-ית של המתנד.

אפשרות אחרת היא לבנות את המצבים הקוהרנטיים על ידי פתרון של המשוואה הדיפרנציאלית המגדירה אותם. אופרטור התנע בהצגת המקום הוא <math>\ p=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}</math> ולכן מהגדרת המצבים הקוהרנטיים נובע שהם מקיימים את המשוואה:
<math display="block">\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {\hbar \over m \omega}\frac{\partial}{\partial x}\right)\psi_z(x)=z \psi_z(x)</math>
פתרון משוואה זו הוא:
<math display="block">\ \psi_z(x)= \left( \frac{\hbar \pi}{m \omega} \right)^{\frac{1}{4}}e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar}(x-\bar{x})^2+\frac{i}{\hbar} x \bar{p}}</math>
כאשר 
<math display="block">z = \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\bar{x} + {i \over m \omega} \bar{p} \right)</math>

==הדינמיקה של מצבים קוהרנטיים==
המצבים הקוהרנטיים אינם מצבים עצמיים של המערכת, ולכן הם משתנים בזמן. מצבים אלו
מאופיינים על ידי שני מספרים: החלק הממשי והחלק הדמיוני של המספר המרוכב <math>\ z</math>, שהוא הערך העצמי של אופרטור ההשמדה. מספרים אלו מגדירים את ערכי התוחלת של המקום והתנע של המצב הקוהרנטי:
<math display="block">\bar{x}= \langle z|x|z \rangle=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \langle z|a+a^\dagger|z\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} (z+z^*) = \sqrt{\frac{2\hbar}{m\omega}} \operatorname{Re}(z) </math>
<math display="block">\bar{p}= \langle z|p|z \rangle=\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}}\frac{1}{i}\langle z | a-a^\dagger |z\rangle = \sqrt{2\hbar m \omega} \operatorname{Im}(z)</math>
כמו כן, אם לדוגמה נניח שפונקציית הגל ברגע <math>t=0</math> היא מצב קוהרנטי <math> |z\rangle </math> כאשר <math> z=|z|e^{i\theta} </math>, יעניין אותנו לראות מה קורה בזמן:
<math display="block">|\psi\rangle (t) = e^{-\frac{|z|^2}{2}} \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{\sqrt{n!}} e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}|n\rangle</math>
האנרגיה של המצב <math>|n\rangle </math> היא <math> \hbar \omega (n+\frac{1}{2}) </math> ולכן 
<math display="block">|\psi\rangle (t) = e^{-\frac{|z|^2}{2}} \cdot e^{-i\frac{\omega}{2}t} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z\cdot e^{-i\omega t})^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle</math>
אך נשים לב שזה בדיוק המצב הקוהרנטי <math>|z\cdot e^{-i\omega t} \rangle</math> (עד כדי פאזה גלובלית שלא משנה את המצב, <math>e^{-i\frac{\omega}{2} t} </math> ). משום שהחלק הממשי של <math>z</math> הוא המיקום הממוצע והחלק המדומה שלו הוא התנע הממוצע, יוצא שב"מרחב הפאזה" של המיקום והתנע הממוצעים המערכת מתנהגת ממש כמו שהייתה מתנהגת במרחב הפאזה באוסילטור הרמוני קלאסי. בגלל התכונה הזאת ותכונות נוספות ניתן לאמר שהמצבים הקוהרנטיים הם המצבים הכי דומים בהתנהגותם לאוסילטורים קלאסיים.

==יחס אי-ודאות של מצבים קוהרנטיים==
מצבים קוהרנטיים הם חבילות גלים בעלי יחס אי-הוודאות המינימלי האפשרי:
<math display="block">\ \Delta p \Delta x=\frac{\hbar}{2}</math>
כאשר <math>\ \Delta x</math> ו- <math>\ \Delta p</math> הם אי הודאויות במיקום ובתנע של החלקיק, בהתאמה.

==הכללות ==
מצבים קוהרנטיים ניתנים להכללה במספר אופנים:

* הכללה למערכת המכילה מספר גדול של מתנדים הרמוניים המצומדים זה לזה (למשל תנודות גלי קול בגביש)
* הכללה לתורת השדות הקוונטית בוזונית שם אופרטורי היצירה וההשמדה הם אופרטורים שיוצרים ומשמידים חלקיקים בנקודות כלשהן במרחב (או במרחב התנע).
* הכללה לתורת שדות פרמיונית שם יש להשתמש באלגברה גרסמנית לצורך התיאור של מצבים קוהרנטיים
* הכללה של מצבים קוהרנטיים עבור הדינמיקה של ספין.

==ראו גם==
* מתנד הרמוני קוונטי
* תורת השדות הקוונטית

==קישורים חיצוניים==

* עופר מגד, [http://ofer-megged-phys-notes.blogspot.co.il/2013/02/blog-post.html אמנות הרכבת המצבים הקוהרנטיים], בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית"

קטגוריה:מכניקת הקוונטים