אנטרופיית צאליס

האנטרופיה של טסאליס בתרמודינמיקה סטטיסטית היא הכללה של האנטרופיה הסטנדרטית של בולצמן-גיבס, אשר הוצעה על ידי קונסטנטינו טסאליס <ref name=tsallis1988></ref> בשנת 1988 עבור המקרה של מערכות לא אקסטנסיביות. אנטרופיית טסאליס ודומותיה נלמדות לרוב בהקשר של פיזיקה סטטיסטית, אך מושג האנטרופיה חשוב לא רק בפיזיקה תרמודינמית וסטטיסטית, אלא גם בתורת האינפורמציה, באנליזה מתמטית ובתורת ההסתברות.

== רקע ==
הביטוי המתמטי לאנטרופיית טסאליס<ref name=Discrete></ref> הוא, במקרה בדיד, עבור מערכת עם <math>N</math> מצבים אפשריים ופונקציית הסתברות <math>P</math>:

<math>{\displaystyle S_q(P_i) = {k \over q - 1} \left( 1 - \sum_{i=1}^N p_i^q \right)}</math>

ועבור המקרה הרציף, עם המשתנה המקרי <math>X</math> ופונקציית צפיפות ההסתברות <math>p(x)</math>:

<math>{\displaystyle S_q(P) = {k \over q - 1} \left( 1 - \int\limits_{X}^{} {p^q(x)} dx \right)}</math>

כאשר- <math>{\displaystyle q\in R}</math> פרמטר חסר יחידות הנקרא אינדקס האנטרופיה, ומאפיין את דרגת האי אקסטנסיביות של המערכת. אין שיטה כללית לדעת מהו ערכו של אינדקס האנטרופיה, והוא בדרך כלל מוערך על ידי ניסויים. <math>k</math> קבוע חיובי אשר מגדיר את היחידות הפיזיקליות של הערך הנמדד.

===תכונות<ref name=Q></ref>===
# בגבול שבו <math>{\displaystyle q\to 1}</math> אנטרופיית טסאליס מתכנסת לאנטרופית גיבס-בולצמן.
# <math>{\displaystyle S_q =0 }</math> רק כאשר קיים <math>{\displaystyle p_i =1}</math> .
# ל- <math>{\displaystyle S_q }</math> קיים מקסימום כאשר כל המצבים המיקרוסקופיים שווי הסתברות- <math>{\displaystyle \forall i ;p_i =\frac{1}{\Omega}}</math>. מקסימום זה נתון על ידי: <math>{\displaystyle S_{q_{max}}(P_i) = k{1-\Omega^{1-q} \over q - 1} }</math>.כאשר <math>{\displaystyle q>0}</math> ביטוי זה יהווה מקסימום, ועבור <math>{\displaystyle q<0}</math> יהווה מינימום.

== מערכת לא אקסטנסיבית<ref name=NonAdd></ref>==
נתבונן בשתי מערכות בלתי תלויות, <math>A,B</math>, כך שבמקרה הבדיד הצפיפות המשותפת של המצבים <math>{\displaystyle a\in A, b\in B}</math> היא-

<math>{\displaystyle \operatorname {Prob} (a,b)=\operatorname {Prob} (a)\operatorname {Prob} (b)}
</math>

ובמקרה הרציף, עם משתנים מקריים <math>X,Y</math>, פונקציית הצפיפות המשותפת של המצבים <math>{\displaystyle x\in X, y\in Y}</math> -

<math>{\displaystyle p_{AB}(x,y)=p_{A}(x)p_{B}(y)}</math>

אנטרופיית טסאליס של מערכות בלתי תלויות כאלו מקיימת-

<math>{\displaystyle S_{q}(AB)=S_{q}(A)+S_{q}(B)+{1-q \over k}S_{q}(A)S_{q}(B)}</math>

וכן ניתן לראות כי אנטרופיית המערכת הכוללת לא מקיימת אקסטנסיביות, אלא במקרה בו <math>q=1</math>.
== אנטרופיית טסאליס היחסית<ref name=Properties></ref> ==
נניח כי <math>{\displaystyle \{a_{i}\}, \{b_{i}\}}</math> הן שתי פונקציות הסתברות המקיימות <math>{\displaystyle \{a_{i}\},\{b_{i}\}\geq 0}</math>, ו- <math>{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}a_{i}=\sum _{i=1}^{N}b_{i}=1 }</math> .
כעת, נגדיר את אנטרופיית טסאליס היחסית בין <math>{\displaystyle A=\{a_{i}\}, B=\{b_{i}\}}</math>, <math>{\displaystyle i=1,2,...,N}</math>:
<math>{\displaystyle D_{q}(A|B)=-\sum _{i=1}^{N}a_{i} \ln_q \frac{b_{i}}{a_{i}}}</math> ; <math>\forall q \geq 0</math>

כאשר:
<math>\ln_q x={x^{q-1}-1 \over q - 1}</math> ; <math>\forall x \in R ,x \geq 0</math>

נשים לב כי <math>\lim_{q\rightarrow 1} D_{q}(A|B)=D_{1}(A|B)=\sum _{i=1}^{N}a_{i} \log \frac{b_{i}}{a_{i}} </math>
גודל זה ידוע בתור האנטרופיה היחסית, ומתכנס לדיברגנץ קולבק-לייבלר .

== הערות שוליים ==

קטגוריה:תרמודינמיקה