קבוצה מקטגוריה ראשונה

במתמטיקה, ובפרט בטופולוגיה, קבוצה מקטגוריה ראשונה (נקראת גם קבוצה דלה, באנגלית: meagre set) היא קבוצה אשר נוצרת מאיחוד בן-מניה של קבוצות דלילות.<ref></ref> קבוצה אשר איננה קבוצה מקטגוריה ראשונה נקראת קבוצה מקטגוריה שניה.

לקבוצות מקטגוריה ראשונה חשיבות רבה בניסוח משפט הקטגוריה של בייר, משפט מרכזי בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית.

== הגדרות מתמטיות ==
בהינתן מרחב טופלוגי <math>X</math> עם טופולוגיה <math>\mathcal{T}</math> וקבוצה <math>N\subseteq X</math>, הקבוצה <math>N</math> תקרא קבוצה דלילה אם ורק אם היא מקיימת את אחד מהתנאים השקולים הבאים:

# הפנים של הסגור שלה ריק, כלומר <math>\operatorname{Int}(\operatorname{Cl}(N))=\emptyset </math>
# לכל קבוצה פתוחה <math>\emptyset \ne U\in \mathcal{T}</math> קיימת קבוצה פתוחה <math>\emptyset \ne V \in\mathcal{T} </math> כך ש-<math>V\subseteq U</math> ו-<math>V\cap N=\emptyset</math>

קבוצה <math>A\subseteq X</math> תקרא קבוצה מקטגוריה ראשונה אם ורק אם היא ניתנת לכתיבה כ-<math>A = \bigcup_{i=1}^\infty{N_i}</math> כאשר <math>N_i</math> כולן קבוצות דלילות. מאידך, <math>A</math> תקרא קבוצה מקטגוריה שניה אם ורק אם היא אינה מקטגוריה ראשונה.

הערות בנוגע לניסוח:
# באנגלית נקראת קבוצה מקטגוריה ראשונה גם כ-Meager Set שפרושו המילולי הוא קבוצה דלה או קבוצה דלילה, אולם בעברית המונח קבוצה דלילה נוגע לקבוצות שהן Nowhere Dense.
# אין קשר בין קבוצות מקטגוריה ראשונה (או שנייה) לתורת הקטגוריות.

== מרחבי בייר ומשפט הקטגוריה של בייר ==
מרחב בייר הוא מרחב טופולוגי שעבורו המשלים לכל קבוצה מקטגוריה ראשונה הוא קבוצה צפופה.<ref></ref> משפט הקטגוריה של בייר מוכיח כי כל מרחב מטרי שלם וכל מרחב רגולרי קומפקטי מקומית הם מרחבי בייר.<ref></ref> ממשפט זה נובע כי <math>\mathbb{R}</math> הוא מרחב בייר.

== הגדרה אלטרנטיבית באמצעות משחק בנך-מזור ==
ניתן להגדיר את המונח קבוצה מקטגוריה ראשונה באמצעות המשחק הטופולוגי משחק בנך-מזור. עבור מרחב טופולוגי <math>X</math> וקבוצה <math>A\subseteq X</math>, משחק בנך-מזור משוחק על-ידי שני שחקנים אליס ובוב. בתחילת המשחק אליס בוחרת קבוצה פתוחה <math>U_1\subseteq X</math> ובוב בוחר בעקבותיה קבוצה פתוחה <math>U_2\subseteq U_1</math>. לאחר מכן אליס בוחרת קבוצה פתוחה נוספת <math>U_3\subseteq U_2</math> ובוב ממשיך בבחירת קבוצה פתוחה <math>U_4\subseteq U_3</math>. המשחק נמשך עד לאינסוף. אליס מנצחת את המשחק אם <math>A\cap\bigcap_{n=1}^\infty{U_n}\ne \emptyset</math>. אחרת, בוב מנצח.<ref></ref>

ניתן להוכיח כי בוב יכול לשחק לפי אסטרטגיה מנצחת (כלומר, תוכנית פעולה שתבטיח את ניצחונו לכל בחירת פעולות של אליס) אם ורק אם <math>A</math> היא קבוצה מקטגוריה ראשונה. בכך, ניתן להגדיר באופן אלטרנטיבי קבוצה מקטגוריה ראשונה להיות קבוצה שעבורה יש לבוב אסטרטגיה מנצחת במשחק בנך-מזור.

== דוגמאות ==
* כל קבוצה דלילה היא קבוצה מקטגוריה ראשונה.
* קבוצת המספרים הרציונליים <math>\mathbb{Q}</math> היא קבוצה מקטגוריה ראשונה תחת <math>\mathbb{R}</math> עם הטופולוגיה הסטנדרטית, אך היא אינה קבוצה דלילה (למעשה, היא קבוצה צפופה)
* הקבוצה הריקה <math>\emptyset</math> היא מהקטגוריה הראשונה בכל מרחב טופולוגי.
* אם <math>A\subseteq X</math> היא קבוצה מקטגוריה ראשונה, אז כל <math>B\subseteq A</math> גם היא מקטגוריה ראשונה.
* אם <math>\{A_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X</math> הן קבוצת נקודות מקטגוריה ראשונה אז <math>\bigcup_{n=1}^\infty{A_n}</math> מקטגוריה ראשונה.

==קישורים חיצוניים==
* 

== הערות שוליים ==

קטגוריה:טופולוגיה