כוח ואן דר ואלס

שממית נצמדת לזכוכית אנכית. תופעה זו שויכה בעבר לכוחות ואן דר ואלס, ונבדקת היום מדעית בשנית.]]
כוח ואן דר ואלס הוא כוח הפועל בין כל שני אטומים או שתי מולקולות שונות בטבע בעוצמות שונות. מקור הכוח הוא הכוח האלקטרומגנטי בין החלקיקים המרכיבים אטום אחד לבין החלקיקים המרכיבים אטום אחר. באופן ספציפי, מדובר על אינטראקציות דיפול בין שני האטומים או המולקולות. משום שהאינטראקציה האלקטרומגנטית היא בין שני אטומים ומולקולות, הסקה מלאה של משוואת הכוחות כולל המקדמים המדויקים מספרית מקורה בפיזיקה קוונטית. הקשרים קרויים על שם המדען ההולנדי יוהאנס דידריק ואן דר ואלס.

מבחינה סמנטית, כוחות ואן דר ואלס מתחלקים לעיתים לשלושה סוגים, שלכל אחד מהם נדרשת התייחסות פיזיקלית שונה כדי להבינו כמותית:
# כוחות קיסום (Kessome): כוחות בין-מולקולריים הפועלים בין שתי מולקולות שלהן דיפול קבוע.
# כוחות דבאיי (Debye): כוחות בין-מולקולריים הפועלים בין שתי מולקולות שלאחת דיפול קבוע ולשנייה דיפול מושרה.
# כוחות לונדון (London): כוחות בין-מולקולריים הפועלים בין שתי מולקולות שלאחת דיפול זמני ולאחרת דיפול מושרה.

ההתייחסות השגרתית לכוחות ואן דר ואלס מכילה תמיד את כוחות לונדון, אך לעיתים הכוונה היא לשלושת סוגי הכוחות שתוארו לעיל. על הקורא להבחין במקור שאותו הוא קורא, למה כוונת הכותב בהתייחסותו לכוחות ואן דר ואלס. ברוב המערכות הפיזיקליות, רכיב לונדון הוא הדומיננטי בין שתי מולקולות מבין שלושת הכוחות.

יש המכלילים גם את כוחות הדחייה הנוצרים במרחקים קצרים בין מולקולות, ככוח ואן דר ואלס. מודל נפוץ המקרב את הפוטנציאל של כוחות אלו ומכליל את כוחות הדחייה האלו הוא פוטנציאל לנארד-ג'ונס (Lenard Jones Potential).

==מאפיינים פיזיקליים של הכוחות==
עבור שלושת סוגי כוחות ואן דר ואלס מדובר במקור פיזיקלי דומה - משיכה בין דיפול מולקולרי לדיפול מולקולרי אחר. מעבר לרמת המקור הפיזיקלי, פיתוח הדינמיקה של שתי המולקולות כתוצאה מפעילות כוחות אלו משתנה בהתאם לסוג הכוח. אף על פי כן, כוחות קיסום ודבאיי הם אלקטרוסטטיים וכוחות לונדון מקורם באלקטרודינמיקה קוונטית.

בעוד שכוחות קיסום ודבאיי רלוונטיים לסוג מולקולות מסוים או למערכות פיזיקליות ספציפיות, כוחות לונדון הם כוחות שנוכחים תמידית באינטראקציה בין שתי מולקולות.

הסיבה לכך באופן איכותי (על ידי שימוש במודל Bohr) מקורה בכך שבמולקולה ספציפית אף על פי שבממוצע על פני הזמן האלקטרונים מתפלגים בצורה אחידה סביב הגרעין, ישנם רגעים בהם האלקטרונים לא מפולגים בצורה אחידה סביב הגרעין כתוצאה מתנועה תמידית שלהם סביב הגרעין. דבר זה מייצר דיפול רגעי (Instantaneous dipole) היוצר דיפול מושרה רגעי על מולקולה סמוכה - מה שמייצר כוח משיכה רגעי בין שתי המולקולות.

לכוחות ואן דר ואלס משלושת הסוגים המאפיינים הפיזיקליים המשמעותיים הבאים:
* טווח: טווח כוחות ואן דר ואלס ברמת האטומים או המולקולות הבודדות הוא ארוך ביחס למרחק האופייני של הקשרים האחרים הקיימים בין המולקולות או האטומים (כגון קשר קוולנטי או מתכתי). אם מסתכלים על כוחות אלו בסקלה שבין זוג מולקולות לצברים של מולקולות ברמה מקרוסקופית, הטווחים שבהם הכוחות אפקטיביים יכולים לנוע מ-0.2 ננומטר עד ליותר מ-10 ננומטר.
* משיכה/דחייה: בהתאם למערכת הפיזיקלית, צורת המולקולות בה והמרחק בין המולקולות בה, הכוחות יכולים להיות כוחות משיכה או כוחות דחייה. באופן כללי לכל המקרים הם לא מקיימים Power law פשוט. במערכת בה יש שתי מולקולות מאותו הסוג בלבד ובמרחק גדול בין מולקולות מאותו הסוג (יחסית לרדיוס בוהר) אבל לא גדול מדי ביחס לאפקטי איחור (ראה התייחסות בהמשך), הכוחות הם כוחות משיכה ותלויים במרחק בין מרכזן על פי חוק החזקה <math>1\over R^6</math>.
* עוצמה: ביחס לקשרים אחרים הפועלים בין שתי מולקולות (כגון הכוחות הנובעים מקשר יוני, שלא תמיד נמצאים במערכת הפיזיקלית), הכוחות בעלי עוצמה יחסית נמוכה. כמובן שיש להתייחס לנאמר כאן באופן יוריסטי בלבד ולתת את הדעת על כל מערכת פיזיקלית או כימית בפני עצמה - קיימות מערכות פיזיקליות רבות שבהן הכוחות משמעותיים מאוד ואף קובעים את המצב המאקרוסקופי של המערכת (מצב צבירה).
* חוסר אדיטיביות: כוחות ואן דר ואלס אינם אדיטבים. כלומר לא ניתן להוסיף למערכת של שני אטומים/מולקולות עוד מולקולה ולהגיד שהסכום על מולקולה אחת במערכת הוא סכימה של שני הכוחות הפועלים בין כל זוג מהם בנפרד. אך עם זאת משתמשים לעיתים קרובות מטעמים יישומים מודלים אדטיביים של הכוח.
* נטייה לסידור המערכת: מעבר לאינטראקציות משיכה/דחייה, לכוחות נטייה מקרוסקופית לסנכרון של המולקולות וכוונון הדיפולים שלהם (בין אם רגעיים או לא) לאותו הכיוון. מאפיין זה בולט במיוחד עבור כוחות קיסום.

בהסתכלות פר מולקולה, עוצמת כוחות ואן דר ואלס תלויה בעיקר בשלושת הגורמים הבאים (בסדר יורד של השפעה):
* מספר האלקטרונים במולקולה: ככל שלחומר ענן אלקטרונים גדול יותר כך כוחות הואן דר ואלס בין מולקולותיו יהיו חזקים יותר. זאת כיוון שהשדה החשמלי שמייצר דיפול במרחב תלוי באופן ליניארי במטען החשמלי של מרכיביו.
*קוטביות המולקולה: כאשר למולקולות שבעניין קיימת קוטביות קבועה, כוחות הואן דר ואלס ביניהן יכילו הן את כוחות קיסום והן את כוחות לונדון ועל כן סך כל כוחות ואן דר ואלס יהיו גדולים יותר באינטראקציה.
*שטח פנים המולקולות: ככל ששטח פני המולקולות גדול יותר כך קשרי הואן דר ואלס ביניהן חזקים יותר. לדוגמה, אף על פי שמסתן המולרית שווה, בין מולקולות פנטאן קשרי ואן דר ואלס חזקים יותר מאשר בין מולקולות דו-מתיל פרופאן, בשל שטח הפנים הגדול יותר של מולקולות הפנטאן.

== מודלים פיזיקליים כמותיים בסיסיים ==
=== כוחות לונדון מתוך אינטראקציית דיפול מימן-מימן קוונטית ===
הפיתוח מתייחס לאטומי מימן, שאינם בעלי מומנט דיפול חשמלי קבוע, ועל כן מתייחס לכוחות לונדון (הסוג השלישי). מבחינת התלות במרחק של הכוחות בין המולקולות התוצאה נשארת איכותית עם מגמה זהה.

הפיתוח הפשוט ביותר שניתן לעשות הממחיש את המקור לכוחות ואן דר ואלס באופן פיזיקלי הוא מתוך המערכת של שני אטומי מימן (מה ששקול למערכת פיזיקלית של שני אטומי מימן בודדים או מערכת בעלת מספר אטומי מימן בטמפרטורה אפס קלווין). מערכת זו מתוארת באיור 1.
איור 1: המערכת המתארת שני אטומי מימן באינטראקציית ואן דר ואלס (דיפול ביניהן). הפרמטרים כרשום בציור ובערך עצמו.
למערכת כזו ההמילטוניאן של המערכת מקיים (תחת הקירוב שבו הפרוטונים כבדים ביחס לאלקטרונים):

<math>{H}=-{\hbar|\overrightarrow{p_{e,1}}|^2 \over 2m_e} -{\hbar|\overrightarrow{p_{e,2}}|^2 \over 2m_e}
-{e^2\over r_1} -{e^2\over r_2} +{H_{interaction}}</math>

<math>\hbar,m_e,e, H_{int}, r_i,R</math> הם המרחק בין פרוטונים בגרעין, מרחק האלקטרון מהגרעין ה-i, המילטוניאן האינטראקציה, מטען האלקטרון, מסת האלקטרון וקבוע פלאנק בהתאמה.

כאשר החלק הראשון הוא ההמילטוניאן החופשי עבור אינטראקציית פרוטון-אלקטרון באטום המימן בהזנחת האנרגיה הקינטית של הפרוטונים. מתקיים עבור המילטוניאן האינטראקציה:

<math>{H_{interaction}={e^2 \over|\vec{ R}|}-{e^2 \over|\vec{R}+\vec{r_2}|}-{e^2 \over|\vec{R}-\vec{r_1}|}+{e^2\over|\vec{R}-\vec{r_2}+\vec{r_1}|}}</math>

הרכיבים בחלק זה של ההמילטוניאן (תחת ההנחה שמדובר במערכת שבאיור המצורף) הם כוחות קולומב בין הפרוטון לפרוטון, בין הפרוטון של אטום אחד לאלקטרון של האטום השני, בין הפרוטון של אטום שני לאלקטרון של האטום הראשון, ובין שני האלקטרונים של שני האטומים.

נשתמש בקירוב טיילור תחת ההנחה שהמרחק בין האלקטרון לפרוטון קטן מהמרחק בין שני הפרוטונים משמעותית, כלומר <math>{ |{\vec {R}}|>>|{\vec {r_2}}|,|{\vec {r_1}}|}</math> ונקבל לאחר פיתוח אלגברי כי:

<math>{H_{interaction}={e^2r_{1,i}r_{2,j} \over|\vec{ R}|^3}}(\delta_{i,j}-3{R_{1,i}R_{2,j}\over|\vec{ R}|^2})</math>

<math>R_{1,i},r_{1,i},\delta_{i,j}</math> הם היטל המרחק בין הפרוטונים על הקורדינאטה ה-i, היטל מרחק האלקטרון מהגרעין בקורדינאטה ה-i והדלתא של כרוניקר בהתאמה.

נרצה להבין כמה האינטראקציה הזו השפיעה על אנרגיית היסוד והאם היא משיכה או דחייה. לשם כך נשתמש בתיקון מתורת ההפרעות לאנרגיית מצב היסוד.

נניח ששני האטומים מופרדים במרחק R ביניהם על ציר z. נקבל כי במקרה הנ"ל מהצבה בנוסחה הקודמת:

<math>H_{interaction}={e^2 \over|\vec{ R}|^3}(x_1x_2+y_1y_2-2z_1z_2)</math>

<math>x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2</math> הם קואורדינטות מרחק האלקטרון הראשון מהגרעין הראשון והאלקטרון השני מהגרעין השני.

פונקציות הגל של האלקטרון באטום המימן שמתקבלות כתוצאה ממשוואת שרדינגר הרלוונטית מקיימות את המשוואה:

<math>\psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi) = \sqrt | \psi_{1 0 0, tot}(r,\theta,\phi) \rangle {}=0</math>

ניתן להראות זאת מסימטריה של הבעיה בקואורדינטה הרדיאלית לאחר פיתוחים אלגבריים.

התיקון השני לאנרגיה בתורת ההפרעות: <math>\begin{align}
E_0^{(2)} &= \sum_{n_1, l_1, n_2, l_2, m_1,m_2} \frac{|\langle \psi_{n l m, tot}(r,\theta,\phi) |{H_{interaction}}|\psi_{1 0 0, tot}(r,\theta,\phi) \rangle|^2} {E_1^{(0)} - E_n^{(0)}} \\
&=\sum_{n_1, l_1, n_2, l_2, m_1,m_2}\frac{1}{\frac{-e^2}{a_0}+\frac{e^2}{2a_0}(\frac{1}{n1^2}+\frac{1}{n2^2})}\left[{\iint dr_1^3dr_2^3\psi_{n_1 l_1 m_1}(r_1,\theta_1,\phi_1)\psi_{n_2 l_2 m_2}(r_2,\theta_2,\phi_2){e^2 \over|\vec{ R}|^3}(x_1x_2+y_1y_2-2z_1z_2)\psi_{1 0 0}(r_1,\theta_1,\phi_1)\psi_{1 0 0}(r_2,\theta_2,\phi_2)}\right]^2
\end{align}</math> כאשר מתקיים:

<math display="inline">dr_1^3=r_1^2\sin(\theta_1)dr_1{d\theta_1}{d\phi_1}</math>

<math>dr_2^3=r_2^2\sin(\theta_2)dr_2{d\theta_2}{d\phi_2}</math>

לאחר פתרון האינטגרל בצורה מלאה מתקבל הקשר האיכותי הבא:

<math>E_0^{(2)} =-C\frac{e^2 a_0^5}{R^6}</math>

כאשר ישנו קבוע פרופורציה מספרי חיובי C, <math>a_0</math> הוא רדיוס בוהר, e מטען האלקטרון ו-R הוא המרחק בין הגרעינים של האטומים.

באופן מדויק נקבל שתיקון זה שווה בדיוק ל:

<math>E_0^{(2)} =-\frac{\alpha_0^2 I}{\varepsilon_0^2 R^6}</math>

כאשר <math>\varepsilon_0, I,\alpha_0</math> הם המקדם הדיאלקטרי של הריק, אנרגיית היוניזצייה הראשונה והפולריזיביליות של אטום המימן.

משמעות פוטנציאל היוניזציה הוא שכדי להפוך את אטום המימן ליון יש להעניק לאלקטרון את מנת אנרגיה זו כדי להופכו לאלקטרון חופשי (לצאת מבור הפוטנציאל של הגרעין). פוטנציאל זה מקיים <math>I=h\nu</math> כאשר <math>h,\nu</math> הם קבוע פלאנק המצומצם ותדירות החיגה של האלקטרון סביב הגרעין בהתאמה. עבור אטומים ומולקולות מורכבים ישנם מספר פוטנציאלי יוניזציה - כיוון שלכל אלקטרון באטום או במולקולה יש מנת אנרגיה שונה על מנת לחלצו מבור הפוטנציאל של הגרעין. על כן, לכל אלקטרון יש תדירות חיגה שונה סביב הגרעין - התייחסות נוספת לכך במודלים פיזיקליים מתקדמים בהמשך.

מהפיתוח שאנרגיית כוח ואן דר ואלס פרופורציונית עד כדי קבוע לאחד חלקי מרחק בין הגרעינים של האטומים בחזקת 6, כלומר אינטראקציה חלשה יחסית.

כמו כן יש המינוס בסימן פירושו שכוחות ואן דר ואלס יוצרים אנרגיית משיכה בין האטומים. תוצאה זו רלוונטית תחת הקירובים שצוינו ועל כן אין פיתוח זה מבטיח שהאנרגיה תהיה מושכת גם למרחק קצר בין האטומים מהפיתוח הנ"ל.

=== כוחות דבאיי מתוך שיקולי אלקטרוסטטיקה ושילוב עקיף של מכניקה סטטיסטית ===
במערכת בה יש שני סוגי מולקולות שונות שבבוחן, מולקולה שאיננה עם פולריזציה קבועה (סוג א') ומולקולה שיש לה פולריזציה קבועה (סוג ב') מתקבל פיתוח אחר.
איור 2: אינטראקציית דבאיי היא אינטראקציה אלקטרוסטטית של מטען ודיפול. השדה החשמלי המושרה על ידי הדיפול על האלקטרון הוא המקור לכוחות דבאיי, שהם חלק מכוחות ואן דר-ואלס הכוללים הפועלים במערכות פיזיקליות.
הנחות הפיתוח בחלק זה:
# העניין בפיתוח הוא למצוא רק את אנרגיית ההשפעה של הפולרזיציה הקבועה של מולקולה מסוג ב' על מולקולה מסוג א'.
# אין עניין במציאת ההשפעה של מולקולה מסוג א' על מולקולה מסוג ב' במובן של תוספת של עוד רכיב לאנרגיית האינטראקציה ביניהן (ההנחה הסמויה כאן היא שהשפעה זו כבר מתבטאת בגודל הדיפול הנתון).
# הפרוטונים של מולקולה א' כבדים ביחס לאלקטרונים ועל כן השפעתם על אנרגיית האינטראקציה בין המולקולות זניחה.
# המרחק בין מולקולת הבוחן מסוג ב' למולקולת הבוחן מסוג א' גדול מאוד ביחס למרחק הדיפול של מולקולת הבוחן מסוג ב'.
#המערכת בשיווי משקל תרמי. בטמפרטורה גדולה מ־0 קלווין.
# ניתן לתאר את האינטראקציה בהגיון אשר מזכיר Mean Field, כלומר הפיתוח יתאר דיפול בחומר עם גודל פרמטיביות מאקרוסקופי ממוצע מכל שאר הדיפולים במערכת בתווך המסומן באות <math>\varepsilon</math>. הנחה זו אינה טריוויאלית כלל כיוון שכוחות ואן דר ואלס אינם אדיטיביים (ראו מאפיינים פיזיקליים של הכוחות).

כמתואר באיור 2 (איור המערכת) הפרמטרים הגאומטריה המתארים את הדינמיקה של שתי מולקולות כאלו הם בהתאמה: <math>R,{\theta_1},{\phi_1},\vec{u_1}, AB, AC</math> - וקטורי הדיפול, זוויות הקורדינאטות הכדוריות סביב מרכז הדיפול, R הוא המרחק על ציר z המחבר בין מרכזי שתי המולקולות, המרחק AB הוא גודל המרחק בין המטען הנקודתי למטען בראש הדיפול והמרחק AC הוא גודל המרחק בין המטען הנקודתי למטען בתחתית הדיפול.

נחשב את האינטראקציה האלקטרוסטטית בין דיפול למטען על ידי חישוב השדות החשמליים המושרים על המטען Q:

<math>{\Phi_{ tot}}=\Phi_{ind,+q}+\Phi_{ind,-q}={-q\over \varepsilon}[{ 1 \over AB}-{1 \over AC}]</math>

כאשר q הוא גודל המטען שבאחת הקצוות של הדיפול והפרמביליות של התווך <math>\varepsilon</math>. נזכור כי הדיפול מוגדר להיות:

<math>\vec{u}=q\vec{l}
,u=ql</math>

כאשר u בלי סימון וקטורי הוא גודל הדיפול בערך מוחלט ו־l הוא אורכו בערך מוחלט.

נחשב את אורכי הקטעים AB ו-AC תחת הקירוב של <math>{ |{\vec {R}}|>>l}</math>:

<math>AB=[(R-{1\over 2}l\cos(\theta))^2+({1\over 2}l\sin(\theta))^2]^{1\over 2}\backsimeq R-{1\over 2}l\cos(\theta)</math>

<math>AC=[(R+{1\over 2}l\cos(\theta))^2+({1\over 2}l\sin(\theta))^2]^{1\over 2}\backsimeq R+{1\over 2}l\cos(\theta)</math>

מהצבת אורכים אלו בפוטנציאל וחישובים אלגבריים נלווים, נקבל את הפוטנציאל הכולל הפועל על המטען Q בנקודה A:

<math>\Phi={-ql\cos\theta\over \varepsilon r^2}</math>

נמצא את השדה החשמלי הכולל מגזירת הפוטנציאל (לפי <math>{\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi }</math>) בקואורדינטות כדוריות ונקבל:

<math>E=|\vec{E}|=(E_\theta^2+E_r^2)^{1/ 2}={u(1+3\cos(\theta)^2)^{1/ 2}\over \varepsilon r^3}</math>

צפיפות האנרגיה החשמלית של דיפול בכלל המרחב על פי הגדרה היא:

<math>U(r,\theta,\phi)=-\vec{p}\cdot \vec{E}</math>

כיוון ש"כל המרחב" שבעניין במקרה הנ"ל הוא נפח המולקולה במרחק <math>r=R</math> ובזוויות יחסיות <math>\theta=\theta',\phi=\phi'</math>שעליה מופעל הדיפול המושרה (מסוג א'), מה שנדרש לעשות כדי למצוא את האנרגיה כולה שפועלת על המולקולה זה:

<math>U(total;R,\theta',\phi')=\int\limits_{molecule} U(r,\theta,\phi)dV'=-\alpha|E(R,\theta',\phi')|^2</math>

זה נובע מהגדרת פרמטר הפולרזביליות <math>\alpha</math>.

למעשה קיבלנו את השדה בנקודה שבה ממוקמות המולקולה בריבוע כפול <math>\alpha</math>.(שלמעשה "מתקן" את היחידות מצפיפות אנרגיה לאנרגיה כוללת עבור מולקולות מסוג מסוים), זאת מתוך הבנה שנפח המולקולה הוא מאוד קטן ביחס להשתנות השדה במרחב של הדיפול המשרה.

ניתן להוכיח שחצי מהאנרגיה הזו עבור מולקולות מסוג א' הולכת להשריית הדיפול האפקטיבי בהן וחצי מהאנרגיה הוא אנרגיית המשיכה בין המולקולות בין סוג א' לסוג ב' לאחר ההשריה. על כן בפועל מתקיים:

<math>U(total;R,\theta',\phi')=-{1\over 2}\alpha|E(R,\theta',\phi')|^2</math>

האנרגיה החשמלית של הדיפול המושרה בעקבות השיש בו דיפולים היא:

<math>U(total;R,\theta',\phi')=-{1\over 2}\alpha|\vec{E_{ tot}}|^2=-{1\over 2}\alpha{u^2(1+3\cos(\theta')^2)\over \varepsilon^2 R^6}</math>

כאשר <math>\alpha</math>היא פרמטר הפולזרביליות של התווך.

באופן ניסויי ברוב המערכות ניתן לראות כי אין האינטראקציה הזו מספיק חזקה כדי לסדר את הדיפולים לאותו הכיוון ולכן בגלל פלקטואציות תרמיות, הדיפולים זזים סביב מרכזם.

לכן כדי לקבל את האינטראקציה הממוצעת בין הדיפול למולקולה מסוג א' למולקולה מסוג ב' נעשה אינטגרל זוויתי סביב מרכז הדיפול מסוג ב' (אנלוגי לתזוזת השני):

<math>U={1 \over 4\pi}\textstyle \int\limits_{0}^{2\pi} \displaystyle d\phi\textstyle \int\limits_{0}^{\pi} \displaystyle U(\theta,\phi)\sin(\theta)d\theta ==-{u^2\alpha\over \varepsilon^2R^6}</math>

נבחין שבפתרון בשיטה הזו אין התייחסות מפורשת לטמפרטורה או לאינטראקציה הקוונטית בין המולקולות, אך אין זה אומר שפרמטרים אלו לא משחקים תפקיד בפיזיקה של הבעיה - הם מובלעים פשוט בפרמטר הפולרזביליות.

גם בפיתוח זה בדומה לפיתוח של כוחות לונדון התקבלה תלות דומה במרחק בין הדיפולים ובסימן, דהיינו כוח משיכה. פיתוח זה תקף רק בהנחות המצוינות ועל כן תוצאות פיתוח זה לא משקפות מצבים ריאלסטיים מורכבים כגון מקרה בו לגאומטריית המולקולה מבנה מרחבי לא נקודתי וגודל הדיפול אינו קטן ביחס למרחק לאלקטרון של מולקולות סוג א'.

=== כוחות קיסום מתוך שיקולי מכניקה סטטיסטית ===
איור 3: אינטראקציית קיסום שמאפיינת שתי מולקולות עם דיפול קבוע בגודלו ואוריאנטציה משתנה בזמן ביחס לציר המחבר בין מרכזן
הפיתוח מתייחס לתווך עם פרמביליות מקרוסקופית <math>\varepsilon</math> ובטמפרטורה גדולה מאפס. בתווך שכזה למולקולות דיפול בגודל קבוע שנובע משיקולים פיזיקליים קוונטים בחישוב מדויק.

הדיפול משנה את האוריינטציה המרחבית שלו כתוצאה מפלקטואציות תרמיות (התנגשות עם חלקיקים אחרים בתווך) ונוצר כוח ממוצע אפקטיבי בין שתי מולקולות הדיפול שיפותח להלן.

הנחות הפיתוח בחלק זה:
# הפיתוח יעשה בקירוב בו הדיפול נקודתי, כלומר המרחק בין שני הדיפולים גדול יחסית לאורך קיסום (ראו התייחסות בהמשך).
# המערכת בשיווי משקל תרמי. בטמפרטורה גדולה מ-0 קלווין.
# ניתן לתאר את האינטראקציה בהגיון אשר מזכיר Mean Field - כלומר הפיתוח יתאר שני דיפולים בחומר עם גודל פרמטיביות מאקרוסקופי ממוצע מכל שאר הדיפולים במערכת בתווך המסומן באות <math>\varepsilon</math>. הנחה זו אינה טריוויאלית כלל כיוון שכוחות ואן דר ואלס אינם אדיטיביים (ראו מאפיינים פיזיקליים של הכוחות).

כמתואר באיור 3 (איור המערכת) הפרמטרים הגאומטריה המתארים את הדינמיקה של שתי מולקולות כאלו הם בהתאמה: <math>R,{\theta_1},{\theta_2},{\phi_1},{\phi_2},\vec{u_1},\vec{u_2}</math>- וקטורי הדיפול 1 ו-2, זוויות הקורדינאטות הכדוריות סביב מרכז דיפולי 1 ו-2, R הוא המרחק על ציר z המחבר בין מרכזי שתי המולקולות בהתאמה הפוכה.

וקטורי הדיפול באופן אפקטיבי בלבד לפי הגדרה מקיימים: <math>\vec{u_1}=q\vec{r_{1}}, \vec{u_2}=q\vec{r_{2}}</math> כאשר q הוא גודל המטען שבקצוות הדיפול.

עבור מערכת כזו הפוטנציאל מקיים באופן דומה לפיתוח עבור כוחות לונדון:

<math>{V(\vec{R})={u_{1,i}u_{2,j} \over\varepsilon|\vec{ R}|^3}}(\delta_{i,j}-3{R_{1,i}R_{2,j}\over|\vec{ R}|^2})</math>

רק שכעת תרומת התווך הפרמבילי ניכרת כפרמטר שמשפיע באופן מקרוסקופי על האינטראקציה האלקטרוסטטית של שאר הדיפולים במרחב על זוג הדיפולים שבבוחן.

הערך המוחלט של וקטור הדיפול יסומן כך: <math>u_1=|\vec{u_1}|,u_2=|\vec{u_2}|</math>

נפתח את הביטוי בקואורדינטות כדוריות ביחס לציר z עבור שתי המולקולות.

לשם כך נרשום את וקטורי הדיפול בקואורדינטות כדוריות תחילה:

<math>\vec{u_1}=u_1(\sin(\theta_1)\cos(\phi_1),\sin(\theta_1)\sin(\phi_1),\cos(\theta_1))</math>

<math>\vec{u_2}=u_2(\sin(\theta_2)\cos(\phi_2),\sin(\theta_2)\sin(\phi_2),\cos(\theta_2))</math>

מהצבה בנוסחת הפוטנציאל נקבל כי:

<math>{V(\vec{R})={u_{1}u_{2} \over\varepsilon|\vec{ R}|^3}}(\sin(\theta_1))\sin(\theta_2)cos(\phi_1-\phi_2)-2\cos(\theta_2)\cos(\theta_1))</math>

ברור מהתבוננות בכוח הנ"ל כי למשיכה הנ"ל יש נטייה לסדר את הדיפולים בכיוונים מסוימים ביחס לציר המחבר בין מרכזם- תכונה האופיינית לכוחות ואן דר-ואלס.

נמצא את המרחק הגבולי בין הדיפולים בו האנרגיה הפוטנציאלית בין הדיפולים נהיית משמעותית ביחס לאנרגיה הקינטית הממוצעת של כל דיפול.

מרחק זה מתקבל מהשוואת "עוצמת הפוטנציאל" (ללא התחשבות בזוויות המרחביות) לאנרגיה הקינטית הממוצעת:

<math>{u_{1}u_{2} \over\varepsilon l^3}=k_bT</math>

<math>k_b</math> הוא קבוע בולצמן ו-T היא הטמפרטורה בקלווין, יתבצע שימוש גם ב-<math>\beta={1\over k_bT}</math>.

מהשוואה זו מתקבל אורך קיסום:

<math>l=({u_{1}u_{2}\over{ \varepsilon k_bT}})^{1\over 3}</math>

נבחן מה קורה כאשר אינטראקציות קיסום חלשות יחסית. כלומר כאשר <math>{ |{\vec {R}}|>>l}</math>.

כדי להסתכל על המערכת משיקולי מכניקה סטטיסטית תחת תנאי זה, נחשב את פונקציית החלוקה (המערכת היא בשיווי משקל תרמי):

<math>Z=<exp(-\beta V(R))>\backsimeq1-<\beta V(R)>+{1\over2}<(\beta V(R))^2> \overset{(1)}=+{1\over2}<(\beta V(R))^2></math>

כאשר המיצוע הוא על כלל מרחב המצבים הזוויתי של שני הדיפולים. ניתן להראות משיקולי סימטריה זוויתית את השוויון (1) או מפתרון אינטגרל המיצוע הזוויתי שהרכיב שלינארי בפוטנציאל מתאפס.

באמצעות הקשר בין אנרגיה חופשית של המערכת לפונקציית החלוקה <math>F=-k_bTlog(Z)</math> ושימוש בהנחה שהאנרגיה הפוטנציאלית קטנה ביחס לאנרגיה הקינטית הממוצעת, מתקבל:

<math>Z\backsimeq1+\beta F</math>

לכן מתקבל כי מתקיים בקירוב: <math>F=-{1\over2}\beta< V(R)^2></math>

נרשום מפורשות את הממוצע על הרכיב הריבועי בפוטנציאל: <math>< V(R)^2>={u_{1}^2u_{2}^2 \over\varepsilon^2|\vec{ R}|^6}}({1\over4\pi})^2\textstyle \int\limits_{0}^{2\pi}\textstyle \int\limits_{0}^{2\pi}d\phi_1 \displaystyle d\phi_2\textstyle \int\limits_{0}^{\pi} \displaystyle d\theta_1\sin(\theta_1)\textstyle \int\limits_{0}^{\pi} \displaystyle d\theta_2\sin(\theta_2)[\sin(\theta_2)cos(\phi_1-\phi_2)-2\cos(\theta_2)\cos(\theta_1{))]^2</math>

לאחר פתרון מפורש של האינטגרל הנ"ל מתקבל כי: <math>< V(R)^2>={2u_{1}^2 u_{2}^2 \over3\varepsilon^2|\vec{ R}|^6}</math>.

ולכן האנרגיה החופשית היא: <math>F=-{u_{1}^2 u_{2}^2 \over3\varepsilon^2|\vec{ R}|^6 k_bT}</math>

נבחין כי אם הטמפרטורה נמוכה מספיק, האינטראקציה מתחזקת ויכולה להוביל לסידור המערכת בצורה של דיפולים שמכוונים לאותו הכיוון.

נבחין כי אם נציב את פרמטרי הבעיה תחת פרמטר הפולרזביליות <math>{u_1^2 \over 3k_bT}=\alpha</math>, תוצאת האנרגיה החופשית תתכנס בדיוק לכוחות דבאיי.

תוצאה זו איננה מקרית כיוון שגם למולקולה בלי דיפול קבוע (כשם שאחת המולקולות בכוחות דבאי היא) יש דיפול זמני. מכוחות לונדון לאטום המימן ניתן לראות כי לאנרגיית האינטראקציה של דיפול זמני עם דיפול זמני ישנה תלות דומה במרחק בין המולקולות (<math>1\over R^6</math>) ועל כן סביר שחוק חזקה ישמר גם עבור כוחות דבאיי.

בפיתוח זה בדומה לפיתוח של כוחות לונדון התקבלה תלות דומה במרחק בין הדיפולים ובסימן, דהיינו כוח משיכה.

כמובן שפיתוח זה תקף רק בהנחות המצוינות ועל כן תוצאות פיתוח זה לא משקפות מצבים ריאלסטיים מורכבים כגון:

# מקרה בו לגאומטריית המולקולה מבנה מרחבי לא נקודתי.
# מרחק הדיפולים קטן ביחס לאורך קיסום.

=== המשותף למודלים הבסיסיים לכוחות ואן דר ואלס ===
בפיתוחים לעיל הוצעו שלושה מודלים הניגשים למציאת שלושת סוגי כוחות ואן דר ואלס בגישות שונות לכל אחד מסוגי הכוחות:

# פתרון קוונטי מלא של אטומים פשוטים: כוחות לונדון.
#פתרון אלקטרוסטטי עם יישום פשוט של מכניקה סטטיסטית: כוחות דבאיי.
#פתרון באמצעות מכניקה סטטיסטית: כוחות קיסום.

על אף שכל סוג כוח מתאר מצב פיזיקלי אחר של שתי המולקולות הנבחנות, בשלוש הגישות התקבלה תלות דומה של הכוחות במרחק בין המולקולות (<math>1\over R^6</math>) ובאופי הכוח ככוח משיכה. על כן כשמדובר על כלל כוחות ואן דר ואלס (the net Van der Walls force) במערכת פיזיקלית, הכוונה היא לסכימה על שלושת הכוחות השונים יחדיו כתרומה כוללת למערכת, כלומר:

<math>U_{total}=-{C_{kessome}+C_{debye}+C_{london}\over R^6}</math>

ניתן לקבל את הכוחות עצמם מגזירת פוטנציאל זה:

<math>\vec{F_{tot}}=-\vec{\nabla} U_{tot}</math>

בהשוואה לקשרים כימיים הדועכים בסדרי גודל של אורכי המולקולות, התקבל מהמודלים כי הכוחות הם ארוכי טווח. אך הם קצרי טווח אל מול כוחות אלקטרוסטטיים אחרים כגון משיכה בין שני יונים בתמיסה (<math>1\over R^2</math>), משום כך הם גם זניחים לרוב ביחס לכוחות אלו בעוצמתם.

כמו כן, התקבל כי לכוחות קיסום יש נטייה לסדר את דיפולי המערכת בכיוונים מסוימים.

על אף התוצאות שהתקבלו מפיתוחים אלו, לא מובנים עדיין שלושה עקרונות פעולה של הכוחות (ראו עקרונות פעולה של הכוחות):
#איך כוחות ואן דר ואלס יכולים להיות גם כוחות דחייה?
#איך מתגברים באופן אנליטי על חוסר האדיטיביות של הכוחות?
#מתי יש חריגה מהתלות במרחק (<math>1\over R^6</math>) של הכוחות?
#;כמו כן ישנן עוד שאלות שדורשות מענה
#כיצד מנבאים בצורה אנליטית את שלושת הכוחות של האינטראקציה בין כל זוג מולקולות או אטומים?
#איך הכוחות מתנהגים בתווך בו יש מספר סוגים שונים של מולקולות?
#איך משתנים הכוחות בתווך מוליך?

כדי לענות על שאלות עלו, פותחו מודלים כמותיים מתקדמים יותר על ידי מקלכלן (1963) וליפשיץ (1956).

== מודלים פיזיקליים מתקדמים ==
כדי להבין חלק זה, מומלץ לקרוא תחילה את המודלים הפיזיקליים הבסיסיים.

=== קבוע האמקר (Hamaker) וגופים מאקרוסקופיים ===
יש עניין מדעי בהבנת כוחות ואן דר ואלס בין גופים מאקרוסקופיים בגאומטריות שונות.

כשם שקיבלנו במודלים הבסיסיים, הכוחות בין שתי מולקולות לכל שלושת סוגי הכוחות מקיימים את הקשר: <math>U=-C{1\over R^6}</math>, כאשר C הוא קבוע (עד כה הונח כחיובי).

אם נניח אדיטיביות וחוסר איחור של הכוחות (ראו התייחסות בהמשך), ניתן לסכום על כל צבר המולקולות בגופים המאקרוסקופיים ועל ידי כך למצוא את אינטראקציית ואן דר ואלס ביניהם.

ניסיון כזה נעשה על ידי Hamaker הקבוע על שמו שמסייע במציאת אינטראקציית ואן דר ואלס בין גופים מאקרוסקופיים מוגדר להיות:

<math>A=\pi^2 C \rho_1 \rho_2</math>

כאשר <math>C, \rho_1, \rho_2,A</math>הם קבוע האמקר, צפיפות גוף א', צפיפות גוף ב' ו-C הוא קבוע ואן דר ואלס הבין מולקולרי בהתאמה הפוכה.

סדרי הגודל של C ו-A לחומרים השונים הם <math>A \approx 10^-19 [J], C\approx 10^-77[j][m]^{-6}</math>

קבוע זה מופיע משיקולים חישוביים בכל אינטראקציה בין שני גופים מאקרוסקופיים במקום הקבוע C כקונבנציה.

לדוגמה עבור שני כדורים מחומרים זהים במרחק R בין מרכזם עם רדיוס a, בהנחה שכל מולקולה בגוף המקרוסקופי מסוג א' עושה אינטראקציה עם כל מולקולה בגוף המאקרוסקופי מסוג ב', נקבל:

<math>U_{total}={-CM_1M_2 \over R^6}={-C({4\pi\rho a^3 \over 3})^2 \over R^6 } ={-16C\rho^2\pi^2{a}^6 \over 9R^6 }={-16A{a}^6 \over 9R^6 }</math>

עבור משיכה בין שני לוחות אינסופיים (המורכבים ממולקולות שנמשכות בכוחות ואן דר ואלס וגורמים ללוחות להמשך ביניהם) עם מרחק D ביניהם, ניתן להוכיח משיקולים גאומטריים כי האנרגיה ליחידת שטח מקיימת:

<math>U_{total}={-A \over 12 \pi D^2}</math>

נבחין שבמקרה הנ"ל כתוצאה משיקולים גאומטריים, החזקה של אנרגיית המשיכה בין הכוחות השתנתה משמעותית (אף על פי שזו צפיפות אנרגיה- ניתן להכפיל בשטח הלוחות בהינתן שהוא מאוד גדול ביחס למרחק D בריבוע ולקבל יחידות של אנרגיה).

ניתן גם לחשב את אנרגיית הקשר בין גופים מאקרוסקופים עם גאומטריות שונות.

=== אפקט האיחור (Retarded Effect) ===
רלוונטי עבור כוחות לונדון בלבד. הכוח האלקטרומגנטי בין שני גופים מתפשט כגל במהירות האור בתווך. כאמור, הסיבה לכוחות לונדון הוא דיפול רגעי, כלומר מיקום רגעי של שיא ענן האלקטרונים בחיגה סביב הגרעין. יהיה שתי מולקולות - א' וב'. נניח שהכוח האלקטרומגנטי של הדיפול יצא ממולקולה א' והתפשט אל עבר מולקולה ב' בזמן מסוים (נקרא לו זמן אפס). בעוד כוח אלקטרומגנטי זה מתפשט בתווך, שיא ענן האלקטרונים במולקולה ב' יחוג סביב הגרעין ויהיה במיקום שונה מאשר מיקומו שהיה כאשר הכוח האלקטרומגנטי יצא ממולקולה א'. שינוי זה יהיה משמעותי יותר ככל שלכוח האלקטרומגנטי ייקח יותר זמן לעבור בתווך כי באותו הזמן האלקטרון במולקולה ב' יזוז יותר ביחס למיקומו בזמן אפס. כלומר ככל שהמרחק בין שתי המולקולות יגדל - אפקט זה יהיה יותר משמעותי.

מהירות התקדמות הכוח האלקטרומגנטי בתווך משתנה כתלות במקדם השבירה, שתלוי במקדם הדיאלקטרי של התווך שבתורו תלוי בפולאזרביליות של התווך. זה כמובן מסבך את ההתחשבות באפקטים אלו עוד יותר בצורה אנליטית. 

עבור כוחות ואן דר ואלס נמצא שתופעה זו מתרחשת בצורה משמעותית כאשר המרחק בין שתי המולקולות מגיע לסדר גודל של עשרות ננומטרים (כמובן שהגבול המדויק משתנה בין כל סוגי המולקולות או האטומים). אפקט זה משנה את התנהגות כוחות לונדון כתלות במרחק - במקום תלות של <math>1\over R^6</math> מתקבלת תלות חזקה שנעה בין <math>1\over R^6</math> ל<math>1\over R^7</math>.

לליפשיץ ולמקחלן יש התחשבות באפקט זה, אך לא בצורה פשוטה הבאה לידי ביטוי בתאוריות שלהם.

כמובן שאין אפקטי איחור במולקולות עם דיפול קבוע (כוחות קיסום), כיוון שהם לא תלויים בשום צורה בשיא ענן האלקטרונים במולקולות.

=== משוואת לונדון לשני סוגים שונים של מולקולות ===
ניתן להכליל את המודל שפותח עבור כוחות לונדון לכל זוג מולקולות/אטומים מסוגים שונים כאשר לכל אחד מהם פוטנציאל יוניזציה שונה. ההבדלים בין האטומים מגולמים בפרמטרי הפולרזביליות ותדירות החיגה סביב הגרעין של האלקטרונים שלהם כבנוסחה הבאה:

<math>U(R)={-3 \alpha_1 \alpha_2\over 2\varepsilon_0^2 R^6}{h \nu_1 \nu_2 \over \nu_2+\nu_1}</math>

כאשר <math>\nu_i,\alpha_i</math>הם תדירות החיגה של האלקטרון של המולקולה הi סביב הגרעין והפולזרביליות של סוג המולקולה ה-i בהתאמה.

משוואה זו נקראת משוואת לונדון לכוחות לונדון.

=== נוסחת מקלכלן למולקולות משני סוגים שונים בתווך מסוים עם מספר פוטנציאלי יוניזציה ===
בעוד שבמודלים הבסיסיים שהוצעו לכוחות ואן דר ואלס נעשתה הפרדה ברורה בין כוחות לונדון שמחושבים בצורה קוונטית עם תורת ההפרעות לבין כוחות קיסום ודבאיי שמחושבים באמצעות מכניקה סטטיסטית, אין כך המצב למערכת גדולה המכילה מספר רב של מולקולות משני סוגים.

במערכת פיזיקלית גדולה, חישוב מתקדם או מלא של אנרגיית ואן דר ואלס צריכה להתחשב הן במכניקה סטטיסטית על אנסמבל המערכת והן בתנועה הקוונטית של האלקטרונים סביב הגרעין ובצימוד ביניהם. מקלכלן צימד בין מכניקה סטטיסטית לקוונטים על ידי הזזת האנרגיה החופשית של המערכת כתוצאה משילוב תורת ההפרעות הקוונטית מסדר שני יחד עם התפלגות בולצמן.

ברמה האינטואיטיבית תחת דימוי של מולקולות/אטומים במודל בוהר, תורה זו חזתה שכתוצאה מכך שהמולקולות (שהן הדיפול האפקטיבי) מתנגשות במולקולות אחרות במדד אקראי שקשור לטמפרטורת המערכת, הן מעבירות אחת לשנייה אנרגיה קינטית שיכולה להזיז את האלקטרונים מחיגתם הטבעית סביב הגרעין ועל ידי כך ליצור דיפול מושרה (הדיפול עושה פלקטואציות). האלקטרונים שיחולצו מבור הפוטנציאל של הגרעין או יושפעו מההתנגשויות אלו הם אלו שקוונטות האנרגיה שלהם (בין רמות אנרגיה שונות) הן במתאם לאנרגיה הקינטית המועברת בין המולקולות השונות בהתנגשויות. לכן צריך להתחשב בכל פוטנציאלי היוניזציה שמתאימים לקוונטות אלו אם רוצים לדעת את השפעת הדיפול המושרית הכוללת במערכת שכזו. כפי שצוין מקודם, לכל פוטנציאל יוניזציה יש תדירות אופיינית לו של חיגה סביב הגרעין. על סמך המוסבר בפסקה זו ניתן להבין אינטואיטיבית את הנוסחה לתדירויות פוטנציאלי היוניזציה שבעניין להשראת הדיפול:

<math>\nu_n={2\pi k_b Tn\over h}</math>

כאשר n הולך מאפס לאינסוף. למעשה אלו הן "תדירויות מדומות" (ראו הנוסחה הבאה) כיוון שמתרחשות דיספיציות ופלקטוציות בין אנרגיית הדיפולים החשמלית לאנרגיית חום של המערכת (תנועה אקראית). עבור n=0, מדובר על מולקולות שיש להן דיפול קבוע ללא קשר לדיפול הרגעי - על כן תדירויות אלו משויכות לכוחות ואן דר ואלס האלקטרוסטטיים - קיסום ודבאיי.

נוסחת מקלכלן היא כדלקמן:

<math>U_{total}=|^2 \over 2m_e} -{\hbar|\overrightarrow{p_{e,2}}|^2 \over 2m_e}
-{e^2\over r_1} -{e^2\over r_2} +{H_{interaction}}</math>

<math>\hbar,m_e,e, H_{int}, r_i,R</math> הם המרחק בין פרוטונים בגרעין, מרחק האלקטרון מהגרעין ה-i, המילטוניאן האינטראקציה, מטען האלקטרון, מסת האלקטרון וקבוע פלאנק בהתאמה.

כאשר החלק הראשון הוא ההמילטוניאן החופשי עבור אינטראקציית פרוטון-אלקטרון באטום המימן בהזנחת האנרגיה הקינטית של הפרוטונים. מתקיים עבור המילטוניאן האינטראקציה:

<math>{H_{interaction}={e^2 \over|\vec{ R}|}-{e^2 \over|\vec{R}+\vec{r_2}|}-{e^2 \over|\vec{R}-\vec{r_1}|}+{e^2\over|\vec{R}-\vec{r_2}+\vec{r_1}|}}</math>

הרכיבים בחלק זה של ההמילטוניאן (תחת ההנחה שמדובר במערכת שבאיור המצורף) הם כוחות קולומב בין הפרוטון לפרוטון, בין הפרוטון של אטום אחד לאלקטרון של האטום השני, בין הפרוטון של אטום שני לאלקטרון של האטום הראשון, ובין שני האלקטרונים של שני האטומים.

נשתמש בקירוב טיילור תחת ההנחה שהמרחק בין האלקטרון לפרוטון קטן מהמרחק בין שני הפרוטונים משמעותית, כלומר <math>{ |{\vec {R}}|>>|{\vec {r_2}}|,|{\vec {r_1}}|}</math> ונקבל לאחר פיתוח אלגברי כי:

<math>{H_{interaction}={e^2r_{1,i}r_{2,j} \over|\vec{ R}|^3}}(\delta_{i,j}-3{R_{1,i}R_{2,j}\over|\vec{ R}|^2})</math>

<math>R_{1,i},r_{1,i},\delta_{i,j}</math> הם היטל המרחק בין הפרוטונים על הקורדינאטה ה-i, היטל מרחק האלקטרון מהגרעין בקורדינאטה ה-i והדלתא של כרוניקר בהתאמה.

נרצה להבין כמה האינטראקציה הזו השפיעה על אנרגיית היסוד והאם היא משיכה או דחייה. לשם כך נשתמש בתיקון מתורת ההפרעות לאנרגיית מצב היסוד.

נניח ששני האטומים מופרדים במרחק R ביניהם על ציר z. נקבל כי במקרה הנ"ל מהצבה בנוסחה הקודמת:

<math>H_{interaction}={e^2 \over|\vec{ R}|^3}(x_1x_2+y_1y_2-2z_1z_2)</math>

<math>x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2</math> הם קואורדינטות מרחק האלקטרון הראשון מהגרעין הראשון והאלקטרון השני מהגרעין השני.

פונקציות הגל של האלקטרון באטום המימן שמתקבלות כתוצאה ממשוואת שרדינגר הרלוונטית מקיימות את המשוואה:

<math>\psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi) = \sqrt | \psi_{1 0 0, tot}(r,\theta,\phi) \rangle {}=0</math>

ניתן להראות זאת מסימטריה של הבעיה בקואורדינטה הרדיאלית לאחר פיתוחים אלגבריים.

התיקון השני לאנרגיה בתורת ההפרעות: <math>\begin{align}
E_0^{(2)} &= \sum_{n_1, l_1, n_2, l_2, m_1,m_2} \frac{|\langle \psi_{n l m, tot}(r,\theta,\phi) |{H_{interaction}}|\psi_{1 0 0, tot}(r,\theta,\phi) \rangle|^2} {E_1^{(0)} - E_n^{(0)}} \\
&=\sum_{n_1, l_1, n_2, l_2, m_1,m_2}\frac{1}{\frac{-e^2}{a_0}+\frac{e^2}{2a_0}(\frac{1}{n1^2}+\frac{1}{n2^2})}\left[{\iint dr_1^3dr_2^3\psi_{n_1 l_1 m_1}(r_1,\theta_1,\phi_1)\psi_{n_2 l_2 m_2}(r_2,\theta_2,\phi_2){e^2 \over|\vec{ R}|^3}(x_1x_2+y_1y_2-2z_1z_2)\psi_{1 0 0}(r_1,\theta_1,\phi_1)\psi_{1 0 0}(r_2,\theta_2,\phi_2)}\right]^2
\end{align}</math> כאשר מתקיים:

<math display="inline">dr_1^3=r_1^2\sin(\theta_1)dr_1{d\theta_1}{d\phi_1}</math>

<math>dr_2^3=r_2^2\sin(\theta_2)dr_2{d\theta_2}{d\phi_2}</math>

לאחר פתרון האינטגרל בצורה מלאה מתקבל הקשר האיכותי הבא:

<math>E_0^{(2)} =-C\frac{e^2 a_0^5}{R^6}</math>

כאשר ישנו קבוע פרופורציה מספרי חיובי C, <math>a_0</math> הוא רדיוס בוהר, e מטען האלקטרון ו-R הוא המרחק בין הגרעינים של האטומים.

באופן מדויק נקבל שתיקון זה שווה בדיוק ל:

<math>E_0^{(2)} =-\frac{\alpha_0^2 I}{\varepsilon_0^2 R^6}</math>

כאשר <math>\varepsilon_0, I,\alpha_0</math> הם המקדם הדיאלקטרי של הריק, אנרגיית היוניזצייה הראשונה והפולריזיביליות של אטום המימן.

משמעות פוטנציאל היוניזציה הוא שכדי להפוך את אטום המימן ליון יש להעניק לאלקטרון את מנת אנרגיה זו כדי להופכו לאלקטרון חופשי (לצאת מבור הפוטנציאל של הגרעין). פוטנציאל זה מקיים <math>I=h\nu</math> כאשר <math>h,\nu</math> הם קבוע פלאנק המצומצם ותדירות החיגה של האלקטרון סביב הגרעין בהתאמה. עבור אטומים ומולקולות מורכבים ישנם מספר פוטנציאלי יוניזציה - כיוון שלכל אלקטרון באטום או במולקולה יש מנת אנרגיה שונה על מנת לחלצו מבור הפוטנציאל של הגרעין. על כן, לכל אלקטרון יש תדירות חיגה שונה סביב הגרעין - התייחסות נוספת לכך במודלים פיזיקליים מתקדמים בהמשך.

מהפיתוח שאנרגיית כוח ואן דר ואלס פרופורציונית עד כדי קבוע לאחד חלקי מרחק בין הגרעינים של האטומים בחזקת 6, כלומר אינטראקציה חלשה יחסית.

כמו כן יש המינוס בסימן פירושו שכוחות ואן דר ואלס יוצרים אנרגיית משיכה בין האטומים. תוצאה זו רלוונטית תחת הקירובים שצוינו ועל כן אין פיתוח זה מבטיח שהאנרגיה תהיה מושכת גם למרחק קצר בין האטומים מהפיתוח הנ"ל.

=== כוחות דבאיי מתוך שיקולי אלקטרוסטטיקה ושילוב עקיף של מכניקה סטטיסטית ===
במערכת בה יש שני סוגי מולקולות שונות שבבוחן, מולקולה שאיננה עם פולריזציה קבועה (סוג א') ומולקולה שיש לה פולריזציה קבועה (סוג ב') מתקבל פיתוח אחר.
איור 2: אינטראקציית דבאיי היא אינטראקציה אלקטרוסטטית של מטען ודיפול. השדה החשמלי המושרה על ידי הדיפול על האלקטרון הוא המקור לכוחות דבאיי, שהם חלק מכוחות ואן דר-ואלס הכוללים הפועלים במערכות פיזיקליות.
הנחות הפיתוח בחלק זה:
# העניין בפיתוח הוא למצוא רק את אנרגיית ההשפעה של הפולרזיציה הקבועה של מולקולה מסוג ב' על מולקולה מסוג א'.
# אין עניין במציאת ההשפעה של מולקולה מסוג א' על מולקולה מסוג ב' במובן של תוספת של עוד רכיב לאנרגיית האינטראקציה ביניהן (ההנחה הסמויה כאן היא שהשפעה זו כבר מתבטאת בגודל הדיפול הנתון).
# הפרוטונים של מולקולה א' כבדים ביחס לאלקטרונים ועל כן השפעתם על אנרגיית האינטראקציה בין המולקולות זניחה.
# המרחק בין מולקולת הבוחן מסוג ב' למולקולת הבוחן מסוג א' גדול מאוד ביחס למרחק הדיפול של מולקולת הבוחן מסוג ב'.
#המערכת בשיווי משקל תרמי. בטמפרטורה גדולה מ־0 קלווין.
# ניתן לתאר את האינטראקציה בהגיון אשר מזכיר Mean Field, כלומר הפיתוח יתאר דיפול בחומר עם גודל פרמטיביות מאקרוסקופי ממוצע מכל שאר הדיפולים במערכת בתווך המסומן באות <math>\varepsilon</math>. הנחה זו אינה טריוויאלית כלל כיוון שכוחות ואן דר ואלס אינם אדיטיביים (ראו מאפיינים פיזיקליים של הכוחות).

כמתואר באיור 2 (איור המערכת) הפרמטרים הגאומטריה המתארים את הדינמיקה של שתי מולקולות כאלו הם בהתאמה: <math>R,{\theta_1},{\phi_1},\vec{u_1}, AB, AC</math> - וקטורי הדיפול, זוויות הקורדינאטות הכדוריות סביב מרכז הדיפול, R הוא המרחק על ציר z המחבר בין מרכזי שתי המולקולות, המרחק AB הוא גודל המרחק בין המטען הנקודתי למטען בראש הדיפול והמרחק AC הוא גודל המרחק בין המטען הנקודתי למטען בתחתית הדיפול.

נחשב את האינטראקציה האלקטרוסטטית בין דיפול למטען על ידי חישוב השדות החשמליים המושרים על המטען Q:

<math>{\Phi_{ tot}}=\Phi_{ind,+q}+\Phi_{ind,-q}={-q\over \varepsilon}[{ 1 \over AB}-{1 \over AC}]</math>

כאשר q הוא גודל המטען שבאחת הקצוות של הדיפול והפרמביליות של התווך <math>\varepsilon</math>. נזכור כי הדיפול מוגדר להיות:

<math>\vec{u}=q\vec{l}
,u=ql</math>

כאשר u בלי סימון וקטורי הוא גודל הדיפול בערך מוחלט ו־l הוא אורכו בערך מוחלט.

נחשב את אורכי הקטעים AB ו-AC תחת הקירוב של <math>{ |{\vec {R}}|>>l}</math>:

<math>AB=[(R-{1\over 2}l\cos(\theta))^2+({1\over 2}l\sin(\theta))^2]^{1\over 2}\backsimeq R-{1\over 2}l\cos(\theta)</math>

<math>AC=[(R+{1\over 2}l\cos(\theta))^2+({1\over 2}l\sin(\theta))^2]^{1\over 2}\backsimeq R+{1\over 2}l\cos(\theta)</math>

מהצבת אורכים אלו בפוטנציאל וחישובים אלגבריים נלווים, נקבל את הפוטנציאל הכולל הפועל על המטען Q בנקודה A:

<math>\Phi={-ql\cos\theta\over \varepsilon r^2}</math>

נמצא את השדה החשמלי הכולל מגזירת הפוטנציאל (לפי <math>{\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi }</math>) בקואורדינטות כדוריות ונקבל:

<math>E=|\vec{E}|=(E_\theta^2+E_r^2)^{1/ 2}={u(1+3\cos(\theta)^2)^{1/ 2}\over \varepsilon r^3}</math>

צפיפות האנרגיה החשמלית של דיפול בכלל המרחב על פי הגדרה היא:

<math>U(r,\theta,\phi)=-\vec{p}\cdot \vec{E}</math>

כיוון ש"כל המרחב" שבעניין במקרה הנ"ל הוא נפח המולקולה במרחק <math>r=R</math> ובזוויות יחסיות <math>\theta=\theta',\phi=\phi'</math>שעליה מופעל הדיפול המושרה (מסוג א'), מה שנדרש לעשות כדי למצוא את האנרגיה כולה שפועלת על המולקולה זה:

<math>U(total;R,\theta',\phi')=\int\limits_{molecule} U(r,\theta,\phi)dV'=-\alpha|E(R,\theta',\phi')|^2</math>

זה נובע מהגדרת פרמטר הפולרזביליות <math>\alpha</math>.

למעשה קיבלנו את השדה בנקודה שבה ממוקמות המולקולה בריבוע כפול <math>\alpha</math>.(שלמעשה "מתקן" את היחידות מצפיפות אנרגיה לאנרגיה כוללת עבור מולקולות מסוג מסוים), זאת מתוך הבנה שנפח המולקולה הוא מאוד קטן ביחס להשתנות השדה במרחב של הדיפול המשרה.

ניתן להוכיח שחצי מהאנרגיה הזו עבור מולקולות מסוג א' הולכת להשריית הדיפול האפקטיבי בהן וחצי מהאנרגיה הוא אנרגיית המשיכה בין המולקולות בין סוג א' לסוג ב' לאחר ההשריה. על כן בפועל מתקיים:

<math>U(total;R,\theta',\phi')=-{1\over 2}\alpha|E(R,\theta',\phi')|^2</math>

האנרגיה החשמלית של הדיפול המושרה בעקבות השיש בו דיפולים היא:

<math>U(total;R,\theta',\phi')=-{1\over 2}\alpha|\vec{E_{ tot}}|^2=-{1\over 2}\alpha{u^2(1+3\cos(\theta')^2)\over \varepsilon^2 R^6}</math>

כאשר <math>\alpha</math>היא פרמטר הפולזרביליות של התווך.

באופן ניסויי ברוב המערכות ניתן לראות כי אין האינטראקציה הזו מספיק חזקה כדי לסדר את הדיפולים לאותו הכיוון ולכן בגלל פלקטואציות תרמיות, הדיפולים זזים סביב מרכזם.

לכן כדי לקבל את האינטראקציה הממוצעת בין הדיפול למולקולה מסוג א' למולקולה מסוג ב' נעשה אינטגרל זוויתי סביב מרכז הדיפול מסוג ב' (אנלוגי לתזוזת השני):

<math>U={1 \over 4\pi}\textstyle \int\limits_{0}^{2\pi} \displaystyle d\phi\textstyle \int\limits_{0}^{\pi} \displaystyle U(\theta,\phi)\sin(\theta)d\theta ==-{u^2\alpha\over \varepsilon^2R^6}</math>

נבחין שבפתרון בשיטה הזו אין התייחסות מפורשת לטמפרטורה או לאינטראקציה הקוונטית בין המולקולות, אך אין זה אומר שפרמטרים אלו לא משחקים תפקיד בפיזיקה של הבעיה - הם מובלעים פשוט בפרמטר הפולרזביליות.

גם בפיתוח זה בדומה לפיתוח של כוחות לונדון התקבלה תלות דומה במרחק בין הדיפולים ובסימן, דהיינו כוח משיכה. פיתוח זה תקף רק בהנחות המצוינות ועל כן תוצאות פיתוח זה לא משקפות מצבים ריאלסטיים מורכבים כגון מקרה בו לגאומטריית המולקולה מבנה מרחבי לא נקודתי וגודל הדיפול אינו קטן ביחס למרחק לאלקטרון של מולקולות סוג א'.

=== כוחות קיסום מתוך שיקולי מכניקה סטטיסטית ===
איור 3: אינטראקציית קיסום שמאפיינת שתי מולקולות עם דיפול קבוע בגודלו ואוריאנטציה משתנה בזמן ביחס לציר המחבר בין מרכזן
הפיתוח מתייחס לתווך עם פרמביליות מקרוסקופית <math>\varepsilon</math> ובטמפרטורה גדולה מאפס. בתווך שכזה למולקולות דיפול בגודל קבוע שנובע משיקולים פיזיקליים קוונטים בחישוב מדויק.

הדיפול משנה את האוריינטציה המרחבית שלו כתוצאה מפלקטואציות תרמיות (התנגשות עם חלקיקים אחרים בתווך) ונוצר כוח ממוצע אפקטיבי בין שתי מולקולות הדיפול שיפותח להלן.

הנחות הפיתוח בחלק זה:
# הפיתוח יעשה בקירוב בו הדיפול נקודתי, כלומר המרחק בין שני הדיפולים גדול יחסית לאורך קיסום (ראו התייחסות בהמשך).
# המערכת בשיווי משקל תרמי. בטמפרטורה גדולה מ-0 קלווין.
# ניתן לתאר את האינטראקציה בהגיון אשר מזכיר Mean Field - כלומר הפיתוח יתאר שני דיפולים בחומר עם גודל פרמטיביות מאקרוסקופי ממוצע מכל שאר הדיפולים במערכת בתווך המסומן באות <math>\varepsilon</math>. הנחה זו אינה טריוויאלית כלל כיוון שכוחות ואן דר ואלס אינם אדיטיביים (ראו מאפיינים פיזיקליים של הכוחות).

כמתואר באיור 3 (איור המערכת) הפרמטרים הגאומטריה המתארים את הדינמיקה של שתי מולקולות כאלו הם בהתאמה: <math>R,{\theta_1},{\theta_2},{\phi_1},{\phi_2},\vec{u_1},\vec{u_2}</math>- וקטורי הדיפול 1 ו-2, זוויות הקורדינאטות הכדוריות סביב מרכז דיפולי 1 ו-2, R הוא המרחק על ציר z המחבר בין מרכזי שתי המולקולות בהתאמה הפוכה.

וקטורי הדיפול באופן אפקטיבי בלבד לפי הגדרה מקיימים: <math>\vec{u_1}=q\vec{r_{1}}, \vec{u_2}=q\vec{r_{2}}</math> כאשר q הוא גודל המטען שבקצוות הדיפול.

עבור מערכת כזו הפוטנציאל מקיים באופן דומה לפיתוח עבור כוחות לונדון:

<math>{V(\vec{R})={u_{1,i}u_{2,j} \over\varepsilon|\vec{ R}|^3}}(\delta_{i,j}-3{R_{1,i}R_{2,j}\over|\vec{ R}|^2})</math>

רק שכעת תרומת התווך הפרמבילי ניכרת כפרמטר שמשפיע באופן מקרוסקופי על האינטראקציה האלקטרוסטטית של שאר הדיפולים במרחב על זוג הדיפולים שבבוחן.

הערך המוחלט של וקטור הדיפול יסומן כך: <math>u_1=|\vec{u_1}|,u_2=|\vec{u_2}|</math>

נפתח את הביטוי בקואורדינטות כדוריות ביחס לציר z עבור שתי המולקולות.

לשם כך נרשום את וקטורי הדיפול בקואורדינטות כדוריות תחילה:

<math>\vec{u_1}=u_1(\sin(\theta_1)\cos(\phi_1),\sin(\theta_1)\sin(\phi_1),\cos(\theta_1))</math>

<math>\vec{u_2}=u_2(\sin(\theta_2)\cos(\phi_2),\sin(\theta_2)\sin(\phi_2),\cos(\theta_2))</math>

מהצבה בנוסחת הפוטנציאל נקבל כי:

<math>{V(\vec{R})={u_{1}u_{2} \over\varepsilon|\vec{ R}|^3}}(\sin(\theta_1))\sin(\theta_2)cos(\phi_1-\phi_2)-2\cos(\theta_2)\cos(\theta_1))</math>

ברור מהתבוננות בכוח הנ"ל כי למשיכה הנ"ל יש נטייה לסדר את הדיפולים בכיוונים מסוימים ביחס לציר המחבר בין מרכזם- תכונה האופיינית לכוחות ואן דר-ואלס.

נמצא את המרחק הגבולי בין הדיפולים בו האנרגיה הפוטנציאלית בין הדיפולים נהיית משמעותית ביחס לאנרגיה הקינטית הממוצעת של כל דיפול.

מרחק זה מתקבל מהשוואת "עוצמת הפוטנציאל" (ללא התחשבות בזוויות המרחביות) לאנרגיה הקינטית הממוצעת:

<math>{u_{1}u_{2} \over\varepsilon l^3}=k_bT</math>

<math>k_b</math> הוא קבוע בולצמן ו-T היא הטמפרטורה בקלווין, יתבצע שימוש גם ב-<math>\beta={1\over k_bT}</math>.

מהשוואה זו מתקבל אורך קיסום:

<math>l=({u_{1}u_{2}\over{ \varepsilon k_bT}})^{1\over 3}</math>

נבחן מה קורה כאשר אינטראקציות קיסום חלשות יחסית. כלומר כאשר <math>{ |{\vec {R}}|>>l}</math>.

כדי להסתכל על המערכת משיקולי מכניקה סטטיסטית תחת תנאי זה, נחשב את פונקציית החלוקה (המערכת היא בשיווי משקל תרמי):

<math>Z=<exp(-\beta V(R))>\backsimeq1-<\beta V(R)>+{1\over2}<(\beta V(R))^2> \overset{(1)}=+{1\over2}<(\beta V(R))^2></math>

כאשר המיצוע הוא על כלל מרחב המצבים הזוויתי של שני הדיפולים. ניתן להראות משיקולי סימטריה זוויתית את השוויון (1) או מפתרון אינטגרל המיצוע הזוויתי שהרכיב שלינארי בפוטנציאל מתאפס.

באמצעות הקשר בין אנרגיה חופשית של המערכת לפונקציית החלוקה <math>F=-k_bTlog(Z)</math> ושימוש בהנחה שהאנרגיה הפוטנציאלית קטנה ביחס לאנרגיה הקינטית הממוצעת, מתקבל:

<math>Z\backsimeq1+\beta F</math>

לכן מתקבל כי מתקיים בקירוב: <math>F=-{1\over2}\beta< V(R)^2></math>

נרשום מפורשות את הממוצע על הרכיב הריבועי בפוטנציאל: <math>< V(R)^2>={u_{1}^2u_{2}^2 \over\varepsilon^2|\vec{ R}|^6}}({1\over4\pi})^2\textstyle \int\limits_{0}^{2\pi}\textstyle \int\limits_{0}^{2\pi}d\phi_1 \displaystyle d\phi_2\textstyle \int\limits_{0}^{\pi} \displaystyle d\theta_1\sin(\theta_1)\textstyle \int\limits_{0}^{\pi} \displaystyle d\theta_2\sin(\theta_2)[\sin(\theta_2)cos(\phi_1-\phi_2)-2\cos(\theta_2)\cos(\theta_1{))]^2</math>

לאחר פתרון מפורש של האינטגרל הנ"ל מתקבל כי: <math>< V(R)^2>={2u_{1}^2 u_{2}^2 \over3\varepsilon^2|\vec{ R}|^6}</math>.

ולכן האנרגיה החופשית היא: <math>F=-{u_{1}^2 u_{2}^2 \over3\varepsilon^2|\vec{ R}|^6 k_bT}</math>

נבחין כי אם הטמפרטורה נמוכה מספיק, האינטראקציה מתחזקת ויכולה להוביל לסידור המערכת בצורה של דיפולים שמכוונים לאותו הכיוון.

נבחין כי אם נציב את פרמטרי הבעיה תחת פרמטר הפולרזביליות <math>{u_1^2 \over 3k_bT}=\alpha</math>, תוצאת האנרגיה החופשית תתכנס בדיוק לכוחות דבאיי.

תוצאה זו איננה מקרית כיוון שגם למולקולה בלי דיפול קבוע (כשם שאחת המולקולות בכוחות דבאי היא) יש דיפול זמני. מכוחות לונדון לאטום המימן ניתן לראות כי לאנרגיית האינטראקציה של דיפול זמני עם דיפול זמני ישנה תלות דומה במרחק בין המולקולות (<math>1\over R^6</math>) ועל כן סביר שחוק חזקה ישמר גם עבור כוחות דבאיי.

בפיתוח זה בדומה לפיתוח של כוחות לונדון התקבלה תלות דומה במרחק בין הדיפולים ובסימן, דהיינו כוח משיכה.

כמובן שפיתוח זה תקף רק בהנחות המצוינות ועל כן תוצאות פיתוח זה לא משקפות מצבים ריאלסטיים מורכבים כגון:

# מקרה בו לגאומטריית המולקולה מבנה מרחבי לא נקודתי.
# מרחק הדיפולים קטן ביחס לאורך קיסום.

=== המשותף למודלים הבסיסיים לכוחות ואן דר ואלס ===
בפיתוחים לעיל הוצעו שלושה מודלים הניגשים למציאת שלושת סוגי כוחות ואן דר ואלס בגישות שונות לכל אחד מסוגי הכוחות:

# פתרון קוונטי מלא של אטומים פשוטים: כוחות לונדון.
#פתרון אלקטרוסטטי עם יישום פשוט של מכניקה סטטיסטית: כוחות דבאיי.
#פתרון באמצעות מכניקה סטטיסטית: כוחות קיסום.

על אף שכל סוג כוח מתאר מצב פיזיקלי אחר של שתי המולקולות הנבחנות, בשלוש הגישות התקבלה תלות דומה של הכוחות במרחק בין המולקולות (<math>1\over R^6</math>) ובאופי הכוח ככוח משיכה. על כן כשמדובר על כלל כוחות ואן דר ואלס (the net Van der Walls force) במערכת פיזיקלית, הכוונה היא לסכימה על שלושת הכוחות השונים יחדיו כתרומה כוללת למערכת, כלומר:

<math>U_{total}=-{C_{kessome}+C_{debye}+C_{london}\over R^6}</math>

ניתן לקבל את הכוחות עצמם מגזירת פוטנציאל זה:

<math>\vec{F_{tot}}=-\vec{\nabla} U_{tot}</math>

בהשוואה לקשרים כימיים הדועכים בסדרי גודל של אורכי המולקולות, התקבל מהמודלים כי הכוחות הם ארוכי טווח. אך הם קצרי טווח אל מול כוחות אלקטרוסטטיים אחרים כגון משיכה בין שני יונים בתמיסה (<math>1\over R^2</math>), משום כך הם גם זניחים לרוב ביחס לכוחות אלו בעוצמתם.

כמו כן, התקבל כי לכוחות קיסום יש נטייה לסדר את דיפולי המערכת בכיוונים מסוימים.

על אף התוצאות שהתקבלו מפיתוחים אלו, לא מובנים עדיין שלושה עקרונות פעולה של הכוחות (ראו עקרונות פעולה של הכוחות):
#איך כוחות ואן דר ואלס יכולים להיות גם כוחות דחייה?
#איך מתגברים באופן אנליטי על חוסר האדיטיביות של הכוחות?
#מתי יש חריגה מהתלות במרחק (<math>1\over R^6</math>) של הכוחות?
#;כמו כן ישנן עוד שאלות שדורשות מענה
#כיצד מנבאים בצורה אנליטית את שלושת הכוחות של האינטראקציה בין כל זוג מולקולות או אטומים?
#איך הכוחות מתנהגים בתווך בו יש מספר סוגים שונים של מולקולות?
#איך משתנים הכוחות בתווך מוליך?

כדי לענות על שאלות עלו, פותחו מודלים כמותיים מתקדמים יותר על ידי מקלכלן (1963) וליפשיץ (1956).

== מודלים פיזיקליים מתקדמים ==
כדי להבין חלק זה, מומלץ לקרוא תחילה את המודלים הפיזיקליים הבסיסיים.

=== קבוע האמקר (Hamaker) וגופים מאקרוסקופיים ===
יש עניין מדעי בהבנת כוחות ואן דר ואלס בין גופים מאקרוסקופיים בגאומטריות שונות.

כשם שקיבלנו במודלים הבסיסיים, הכוחות בין שתי מולקולות לכל שלושת סוגי הכוחות מקיימים את הקשר: <math>U=-C{1\over R^6}</math>, כאשר C הוא קבוע (עד כה הונח כחיובי).

אם נניח אדיטיביות וחוסר איחור של הכוחות (ראו התייחסות בהמשך), ניתן לסכום על כל צבר המולקולות בגופים המאקרוסקופיים ועל ידי כך למצוא את אינטראקציית ואן דר ואלס ביניהם.

ניסיון כזה נעשה על ידי Hamaker הקבוע על שמו שמסייע במציאת אינטראקציית ואן דר ואלס בין גופים מאקרוסקופיים מוגדר להיות:

<math>A=\pi^2 C \rho_1 \rho_2</math>

כאשר <math>C, \rho_1, \rho_2,A</math>הם קבוע האמקר, צפיפות גוף א', צפיפות גוף ב' ו-C הוא קבוע ואן דר ואלס הבין מולקולרי בהתאמה הפוכה.

סדרי הגודל של C ו-A לחומרים השונים הם <math>A \approx 10^-19 [J], C\approx 10^-77[j][m]^{-6}</math>

קבוע זה מופיע משיקולים חישוביים בכל אינטראקציה בין שני גופים מאקרוסקופיים במקום הקבוע C כקונבנציה.

לדוגמה עבור שני כדורים מחומרים זהים במרחק R בין מרכזם עם רדיוס a, בהנחה שכל מולקולה בגוף המקרוסקופי מסוג א' עושה אינטראקציה עם כל מולקולה בגוף המאקרוסקופי מסוג ב', נקבל:

<math>U_{total}={-CM_1M_2 \over R^6}={-C({4\pi\rho a^3 \over 3})^2 \over R^6 } ={-16C\rho^2\pi^2{a}^6 \over 9R^6 }={-16A{a}^6 \over 9R^6 }</math>

עבור משיכה בין שני לוחות אינסופיים (המורכבים ממולקולות שנמשכות בכוחות ואן דר ואלס וגורמים ללוחות להמשך ביניהם) עם מרחק D ביניהם, ניתן להוכיח משיקולים גאומטריים כי האנרגיה ליחידת שטח מקיימת:

<math>U_{total}={-A \over 12 \pi D^2}</math>

נבחין שבמקרה הנ"ל כתוצאה משיקולים גאומטריים, החזקה של אנרגיית המשיכה בין הכוחות השתנתה משמעותית (אף על פי שזו צפיפות אנרגיה- ניתן להכפיל בשטח הלוחות בהינתן שהוא מאוד גדול ביחס למרחק D בריבוע ולקבל יחידות של אנרגיה).

ניתן גם לחשב את אנרגיית הקשר בין גופים מאקרוסקופים עם גאומטריות שונות.

=== אפקט האיחור (Retarded Effect) ===
רלוונטי עבור כוחות לונדון בלבד. הכוח האלקטרומגנטי בין שני גופים מתפשט כגל במהירות האור בתווך. כאמור, הסיבה לכוחות לונדון הוא דיפול רגעי, כלומר מיקום רגעי של שיא ענן האלקטרונים בחיגה סביב הגרעין. יהיה שתי מולקולות - א' וב'. נניח שהכוח האלקטרומגנטי של הדיפול יצא ממולקולה א' והתפשט אל עבר מולקולה ב' בזמן מסוים (נקרא לו זמן אפס). בעוד כוח אלקטרומגנטי זה מתפשט בתווך, שיא ענן האלקטרונים במולקולה ב' יחוג סביב הגרעין ויהיה במיקום שונה מאשר מיקומו שהיה כאשר הכוח האלקטרומגנטי יצא ממולקולה א'. שינוי זה יהיה משמעותי יותר ככל שלכוח האלקטרומגנטי ייקח יותר זמן לעבור בתווך כי באותו הזמן האלקטרון במולקולה ב' יזוז יותר ביחס למיקומו בזמן אפס. כלומר ככל שהמרחק בין שתי המולקולות יגדל - אפקט זה יהיה יותר משמעותי.

מהירות התקדמות הכוח האלקטרומגנטי בתווך משתנה כתלות במקדם השבירה, שתלוי במקדם הדיאלקטרי של התווך שבתורו תלוי בפולאזרביליות של התווך. זה כמובן מסבך את ההתחשבות באפקטים אלו עוד יותר בצורה אנליטית. 

עבור כוחות ואן דר ואלס נמצא שתופעה זו מתרחשת בצורה משמעותית כאשר המרחק בין שתי המולקולות מגיע לסדר גודל של עשרות ננומטרים (כמובן שהגבול המדויק משתנה בין כל סוגי המולקולות או האטומים). אפקט זה משנה את התנהגות כוחות לונדון כתלות במרחק - במקום תלות של <math>1\over R^6</math> מתקבלת תלות חזקה שנעה בין <math>1\over R^6</math> ל<math>1\over R^7</math>.

לליפשיץ ולמקחלן יש התחשבות באפקט זה, אך לא בצורה פשוטה הבאה לידי ביטוי בתאוריות שלהם.

כמובן שאין אפקטי איחור במולקולות עם דיפול קבוע (כוחות קיסום), כיוון שהם לא תלויים בשום צורה בשיא ענן האלקטרונים במולקולות.

=== משוואת לונדון לשני סוגים שונים של מולקולות ===
ניתן להכליל את המודל שפותח עבור כוחות לונדון לכל זוג מולקולות/אטומים מסוגים שונים כאשר לכל אחד מהם פוטנציאל יוניזציה שונה. ההבדלים בין האטומים מגולמים בפרמטרי הפולרזביליות ותדירות החיגה סביב הגרעין של האלקטרונים שלהם כבנוסחה הבאה:

<math>U(R)={-3 \alpha_1 \alpha_2\over 2\varepsilon_0^2 R^6}{h \nu_1 \nu_2 \over \nu_2+\nu_1}</math>

כאשר <math>\nu_i,\alpha_i</math>הם תדירות החיגה של האלקטרון של המולקולה הi סביב הגרעין והפולזרביליות של סוג המולקולה ה-i בהתאמה.

משוואה זו נקראת משוואת לונדון לכוחות לונדון.

=== נוסחת מקלכלן למולקולות משני סוגים שונים בתווך מסוים עם מספר פוטנציאלי יוניזציה ===
בעוד שבמודלים הבסיסיים שהוצעו לכוחות ואן דר ואלס נעשתה הפרדה ברורה בין כוחות לונדון שמחושבים בצורה קוונטית עם תורת ההפרעות לבין כוחות קיסום ודבאיי שמחושבים באמצעות מכניקה סטטיסטית, אין כך המצב למערכת גדולה המכילה מספר רב של מולקולות משני סוגים.

במערכת פיזיקלית גדולה, חישוב מתקדם או מלא של אנרגיית ואן דר ואלס צריכה להתחשב הן במכניקה סטטיסטית על אנסמבל המערכת והן בתנועה הקוונטית של האלקטרונים סביב הגרעין ובצימוד ביניהם. מקלכלן צימד בין מכניקה סטטיסטית לקוונטים על ידי הזזת האנרגיה החופשית של המערכת כתוצאה משילוב תורת ההפרעות הקוונטית מסדר שני יחד עם התפלגות בולצמן.

ברמה האינטואיטיבית תחת דימוי של מולקולות/אטומים במודל בוהר, תורה זו חזתה שכתוצאה מכך שהמולקולות (שהן הדיפול האפקטיבי) מתנגשות במולקולות אחרות במדד אקראי שקשור לטמפרטורת המערכת, הן מעבירות אחת לשנייה אנרגיה קינטית שיכולה להזיז את האלקטרונים מחיגתם הטבעית סביב הגרעין ועל ידי כך ליצור דיפול מושרה (הדיפול עושה פלקטואציות). האלקטרונים שיחולצו מבור הפוטנציאל של הגרעין או יושפעו מההתנגשויות אלו הם אלו שקוונטות האנרגיה שלהם (בין רמות אנרגיה שונות) הן במתאם לאנרגיה הקינטית המועברת בין המולקולות השונות בהתנגשויות. לכן צריך להתחשב בכל פוטנציאלי היוניזציה שמתאימים לקוונטות אלו אם רוצים לדעת את השפעת הדיפול המושרית הכוללת במערכת שכזו. כפי שצוין מקודם, לכל פוטנציאל יוניזציה יש תדירות אופיינית לו של חיגה סביב הגרעין. על סמך המוסבר בפסקה זו ניתן להבין אינטואיטיבית את הנוסחה לתדירויות פוטנציאלי היוניזציה שבעניין להשראת הדיפול:

<math>\nu_n={2\pi k_b Tn\over h}</math>

כאשר n הולך מאפס לאינסוף. למעשה אלו הן "תדירויות מדומות" (ראו הנוסחה הבאה) כיוון שמתרחשות דיספיציות ופלקטוציות בין אנרגיית הדיפולים החשמלית לאנרגיית חום של המערכת (תנועה אקראית). עבור n=0, מדובר על מולקולות שיש להן דיפול קבוע ללא קשר לדיפול הרגעי - על כן תדירויות אלו משויכות לכוחות ואן דר ואלס האלקטרוסטטיים - קיסום ודבאיי.

נוסחת מקלכלן היא כדלקמן:

<math>U_{total}=