סכום המנה

בתורת המספרים, סְכוּם המַנָה של מספר שלם חיובי הוא סכום כל המחלקים הראויים של , כלומר כל המחלקים של מלבד עצמו. זה,<math display="block">s(n)=\sum_ d \,</math>
ניתן להשתמש בו כדי לאפיין את המספרים הראשוניים, המספרים המושלמים, המספרים החברותיים, המספרים החסרים, מספרים שופעים ומספרים לא נגיעים, וכדי להגדיר את סדרת המחלקים של מספר.

== דוגמאות ==
לדוגמה, המחלקים הראויים של 12 (כלומר, המחלקים החיוביים של 12 שאינם שווים ל-12) הם ו-6, כך שסכום המנה של 12 הוא 16, כלומר ( ).

הערכים של עבור <math>n = 1, 2, 3, ...</math> הם: (מימין לשמאל)

: 0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43, ...
: () 

== אפיון מחלקות של מספרים ==

ניתן להשתמש בפונקציית סכום המנה כדי לאפיין מספר מחלקות בולטות של מספרים:

* 1 הוא המספר היחיד שסכום המנה שלו הוא 0.
* מספר הוא ראשוני אם ורק אם סכום המנה שלו הוא 1.<ref name=":0">Pollack, Paul; Pomerance, Carl (2016), "Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function", Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 3: 1–26, doi:[https://www.ams.org/journals/btran/2016-03-01/S2330-0000-2016-00010-2/ 10.1090/btran/10], MR [https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=3481968 3481968]</ref>
* סכומי המנה של מספרים מושלמים, חסרים ושופעים שווים למספר עצמו, קטנים ממנו וגדולים ממנו בהתאמה.<ref name=":0" /> המספרים הכמו-מושלמים (אם קיימים מספרים כאלה) הם המספרים שסכומי המנה שלהם שווים ל- . המספרים הכמעט מושלמים (הכוללים את החזקות של 2, בהיותם המספרים היחידים הידועים עד כה) הם המספרים שסכומי המנה שלהם שווים .
* המספרים הלא נגיעים הם המספרים שאינם סכום המנה של מספר אחר. המחקר שלהם חוזר לפחות לאבו מנסור אל-בגדאדי (בסביבות 1000 לספירה), שראה כי גם 2 וגם 5 הם לא נגיעים.<ref name=":0" /><ref>Sesiano, J. (1991), "Two problems of number theory in Islamic times", Archive for History of Exact Sciences, 41 (3): 235–238, doi:[https://link.springer.com/article/10.1007/BF00348408 10.1007/BF00348408], JSTOR [https://www.jstor.org/stable/41133889 41133889], MR [https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=1107382 1107382], S2CID [https://www.semanticscholar.org/paper/Two-problems-of-number-theory-in-Islamic-times-Sesiano/75647916d252c2ba47c7222095ec413f16649e46 115235810]</ref> פול ארדש הוכיח שמספרם אינסופי.<ref>Erdős, P. (1973), [https://users.renyi.hu/~p_erdos/1973-27.pdf "Über die Zahlen der Form] <math>\sigma(n) - n</math>[https://users.renyi.hu/~p_erdos/1973-27.pdf  und] <math>n - \phi(n)</math> [https://users.renyi.hu/~p_erdos/1973-27.pdf "] (PDF), Elemente der Mathematik, 28: 83–86, MR [https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=0337733 0337733]</ref> ההשערה ש-5 הוא המספר האי-זוגי היחיד שלא נגיע נותרה בלתי מוכחת, אך תבוא מצורה של השערה של גולדבך יחד עם התצפית שעבור מספר ראשוני למחצה <math>pq</math>, סכום המנה הוא <math>p + q + 1</math> .<ref name=":0" />

== איטרציה ==
איטרציה של הפונקציית סכום המנה מייצרת את סדרת המחלקים של מספר שלם חיובי ברצף זה, אנו מגדירים .

מספרים חברותיים הם מספרים שרצף המנות שלהם הוא רצף תקופתי. מספרים ידידים הם מספרים חברותיים שלרצף המנות שלהם יש תקופה 2.

עדיין לא ידוע אם רצפים אלה מסתיימים תמיד במספר ראשוני, מספר מושלם או רצף תקופתי של מספרים חברותיים.<ref>Weisstein, Eric W. [https://mathworld.wolfram.com/CatalansAliquotSequenceConjecture.html "Catalan's Aliquot Sequence Conjecture".] MathWorld.</ref> 

== ראו גם ==
* פונקציית סכום מחלקים חיוביים, סכום המחלקים החיוביים של מספר, בחזקת x.
* ויליאם מאובריב, נומרולוג מימי הביניים המתעניין בסכומי מנות.

== קישורים חיצוניים ==
*

==הערות שוליים==

קטגוריה:פונקציית המחלקים
קטגוריה:פונקציות אריתמטיות