משפט שטולץ

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט שטולץ, שנקרא גם משפט שטולץ-צ'זארו, הוא משפט המקשר בין גבולות של סדרות לסכומים של טורים. לפי המשפט, הגבולות <math>\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}</math> ו-<math>\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}</math> שווים זה לזה תחת תנאים מסוימים.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאים אוטו שטולץ (1842–1905) וארנסטו צזארו (1859–1906).

==ניסוח המשפט==
תהא <math>\left\{x_n\right\}_{n=1}^{\infty}</math> סדרה כלשהי, ותהא <math>\left\{y_n\right\}_{n=1}^{\infty}</math> סדרה מונוטונית עולה ממש השואפת לאינסוף.

אם הסדרה <math>\textstyle \left\{\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}\right\}_{n=1}^{\infty}</math> מתכנסת במובן הרחב, כלומר קיים הגבול <math>L = \lim_{n \to \infty}\textstyle \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}</math>, אז גם הסדרה <math>\textstyle \left\{ \frac{x_n}{y_n}\right\}_{n=1}^{\infty}</math> מתכנסת לאותו הגבול.

==הוכחה==
נוכיח את המקרה בו <math>\,L</math> סופי.

יהי <math>\varepsilon > 0</math> כלשהו.
לפי הגדרת הגבול, קיים <math>N\,</math> טבעי, כך שלכל <math>n > N\,</math> מתקיים
<div style="text-align: center;"><math>L - \textstyle {\varepsilon \over 2} < \frac
 < L + \textstyle {\varepsilon \over 2}</math>
</div>.

כיוון שהסדרה <math>\left\{y_n\right\}_{n=1}^{\infty}</math> מונוטונית עולה ממש, <math>y_{n + 1} > y_n\,</math>, כלומר <math>y_{n + 1} - y_n > 0\,</math> וניתן להכפיל בו את האי שוויון. נקבל:

<math display="block">\left( {L - \textstyle {\varepsilon \over 2} } \right)\left( {y_{n + 1} - y_n } \right) < x_{n + 1} - x_n < \left( {L + \textstyle {\varepsilon \over 2} } \right)\left( {y_{n + 1} - y_n } \right)</math>

יהא <math>k>N\,</math> טבעי כלשהו כך ש- <math>y_k > 0\,</math> (בהכרח קיים <math>k\,</math> כזה מכיוון שהסדרה שואפת לאינסוף). מסכימת האי שוויון לעיל לכל <math>N+1 \le n \le k</math> נקבל את האי שוויון הבא:

<math display="block">\left( {L - \textstyle {\varepsilon \over 2} } \right)\sum\limits_{i = N+1}^k {\left( {y_{i + 1} - y_i } \right)} < \sum\limits_{i = N+1}^k {\left( {x_{i + 1} - x_i } \right)} < \left( {L + \textstyle {\varepsilon \over 2} } \right)\sum\limits_{i = N+1}^k {\left( {y_{i + 1} - y_i } \right)}</math>
<math display="block"> \Updownarrow</math>
<math display="block">\left( {L - \textstyle {\varepsilon \over 2} } \right)\left( {y_{k + 1} - y_{N+1} } \right) < x_{k + 1} - x_{N+1} < \left( {L + \textstyle {\varepsilon \over 2} } \right)\left( {y_{k + 1} - y_{N+1} } \right)</math>

נחלק את אי השוויון ב- <math>y_{k + 1} > 0\,</math> ונקבל
<div style="text-align: center;">
<math>\left( {L - \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right)\left( {1 - \textstyle \frac}
}} \right) <\textstyle \frac}
} -\textstyle \frac}
} < \left( {L + \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right)\left( {1 - \frac}
}} \right)</math>
</div>
<math display="block"> \Updownarrow</math>
<div style="text-align: center;">
<math>\left( {L - \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right)\left( {1 - \textstyle \frac}
} \right) + \textstyle \frac}
 < \frac}
 < \left( {L + \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right)\left( {1 - \frac}
} \right) + \frac}
</math>
</div>

ברור כי
<math>\lim_{k \to \infty}\left({\left({L + \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right) \left({1-\textstyle \frac}}} \right) + \textstyle \frac}}\right) = L+\textstyle{\varepsilon \over 2}</math>.
לכן קיים <math>M\,</math> טבעי כך שלכל <math>k>M\,</math>
מתקיים <math>\left( {L + \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right)\left( {1 - \textstyle \frac}} \right) + \textstyle \frac} < L + \varepsilon</math>.
כן ברור כי <math>\lim_{k \to \infty}\left({\left({L - \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right) \left({1-\textstyle \frac}}} \right) + \textstyle \frac}}\right) = L-\textstyle{\varepsilon \over 2}</math> לכן קיים <math>A\,</math> טבעי כך שלכל <math>k>A\,</math> מתקיים <math>\left( {L - \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right)\left( {1 - \textstyle \frac}} \right) + \textstyle \frac} > L - \varepsilon</math>. לפיכך, אם נבחר <math>Q = \max\{A,M,N\}\,</math>, נקבל שלכל <math>k>Q\,</math> יתקיים:

<div style="text-align: center;">
<math>
L - \varepsilon < \frac
 < L + \textstyle \varepsilon</math>, כלומר - <math>\left| {\frac
 - L} \right| < \textstyle \varepsilon</math>
</div>
ולפיכך, <math>\lim _{n \to \infty } \frac
 = L</math>.

==דוגמאות==
* נחשב את הגבול <math>\lim_{n \to \infty} a_n</math> כאשר <math>a_n=\frac{2 + {( {3 \over 2})}^2 + {({4 \over 3})}^3 + ... + {({n+1 \over n})}^n}{n}</math>.

:נסמן <math>x_n = \sum^n_{k=1} \textstyle {\left({k+1 \over k} \right)}^k</math>, ו־<math>y_n = n\,</math>. נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: <math>y_n\,</math> עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:

:<math>\lim_{n \to \infty} {\textstyle \frac{\sum^{n+1}_{k=1} {\left({k+1 \over k} \right)}^k - \sum^n_{k=1} {\left({k+1 \over k} \right)}^k}{n+1-n} } = \lim_{n \to \infty} {\textstyle \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} {\textstyle \left(1+ {1 \over n+1}\right)^{n+1}} = e</math>

:ולכן, לפי המשפט, <math>\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} {x_n \over y_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = e</math>.
* נחשב את הגבול <math>\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + e\cdot a_2 + e^2\cdot a_3 + ... + e^{n-1} \cdot a_n}{e^n}</math> כאשר <math>a_n \rarr e</math>.

:נסמן <math>x_n = \sum^n_{k=1} e^{k-1}a_k</math>, ו־<math>y_n = e^n\,</math>. נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: <math>y_n\,</math> עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:

:<math>\lim_{n \to \infty} {\textstyle \frac{\sum^{n+1}_{k=1} e^{k-1}a_k - \sum^n_{k=1} e^{k-1}a_k}{e^{n+1}-e^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^n(a_{n+1})}{e^n(e-1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{e-1} =\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{e-1} = \frac{e}{e-1}</math>

:השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות.

:ולכן, לפי המשפט, <math>\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + e\cdot a_2 + e^2\cdot a_3 + ... + e^{n-1} \cdot a_n}{e^n} = \lim_{n \to \infty} {x_n \over y_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = \frac{e}{e-1}</math>.

== שימושים ==
* הוכחת כלל לופיטל.
*בהינתן <math>\left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}</math> סדרה מתכנסת:
**הממוצעים המשוקללים של <math>a_n</math> מתכנסים לאותו גבול כמו <math>\left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}</math> (זאת בתנאי שסדרת המשקולות <math>\left\{\alpha_n\right\}_{n=1}^{\infty}</math> מקיימת <math>\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n \to \infty </math>).
** הממוצע החשבוני של <math>a_n</math> מתכנס לאותו גבול כמו <math>\left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}</math> (ניתן גם לראות ממוצע זה כמקרה פרטי של ממוצע משוקלל).
** הממוצע ההרמוני של <math>a_n</math> מתכנס לאותו גבול כמו <math>\left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}</math>.
***משתי הטענות האחרונות, מאי שוויון הממוצעים ומכלל הסנדוויץ' נובע כי גם הממוצע הגאומטרי של <math>a_n</math> מתכנס לאותו גבול כמו <math>\left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}</math>.

שטולץ, משפט
קטגוריה:סדרות מתמטיות