תהליך פוליטרופי

תהליך פוליטרופי הוא כל תהליך תרמודינמי, שבו מתקיים: <math>pV^n=C</math>. כאשר <math>p</math> הוא הלחץ, <math>V</math> הוא הנפח, <math>n</math> הוא האינדקס הפוליטרופי (הוא תלוי בחומר ויכול לקבל כל ערך מ-<math>-\infty</math> עד <math>\infty</math>) ו-<math>C</math> הוא קבוע. גדלים נוספים שנשארים קבועים בתהליך פוליטרופי הם <math>pT^{\frac{n}{1-n}}</math> ו-<math>VT^{\frac{1}{1-n}}</math>.

המונח "פוליטרופי" נטבע במקור לתיאור כל תהליך במערכת פתוחה או סגורה של גז או אדים הכוללת העברה של חום ועבודה, כך שהמכפלה הכתובה מעלה נשארת קבועה. ניתן להגדיר תהליך זה כתהליך בו החום הנספג על ידי הגז עקב עלייה של מעלה אחת בטמפרטורה הוא קבוע.

מכיוון שתהליך זה יכול להיות קירוב המתאר בצורה טובה מאוד תהליכים רבים בהם יש התפשטות או דחיסת גז הכוללים מעברי חום, התהליך נקרא polytropic process (poly מלשון ריבוי).

בתהליך פוליטרופי ניתן להשוות בין שני מצבים: <math>p_1V_1^n=p_2V_2^n</math>, ומתקיים השוויון: <math>\frac{p_1}{p_2}=\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^n=\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{n}{n-1}}</math>.

כל התהליכים הסטנדרטיים (איזוכורי, אדיאבטי, איזותרמי ואיזוברי) נכנסים תחת הקטגוריה של תהליך פוליטרופי.

== מקרים פרטיים ==
* כאשר <math>n=0</math>, זהו תהליך איזוברי.
* כאשר <math>n=+\infty</math>, זהו תהליך איזוכורי.

בנוסף, כאשר משוואת הגז האידיאלי מתקיימת:
* כאשר <math>n=1</math>, זהו תהליך איזותרמי.
* כאשר <math>n=\gamma</math>, זהו תהליך איזנטרופי.

כאשר <math>\gamma</math> היא האינדקס האדיאבטי (הנקרא גם "יחס קיבול החום"), הוא היחס בין קיבול החום בלחץ קבוע (<math>C_p</math>) לקיבול החום בנפח קבוע (<math>C_v</math>).

<math display="block">\gamma=\frac{C_p}{C_v}</math>

== הקשר בין האינדקס הפוליטרופי לבין היחס של מעברי האנרגיה ==
עבור גז אידיאלי במערכת סגורה בתהליך איטי עם שינויים מזעריים באנרגיה הקינטית ובאנרגיה הפוטנציאלית, התהליך הוא תהליך פוליטרופי כך שמתקיים:

<math display="block">pv^{(1-\gamma)K+\gamma}=C</math>

כאשר <math>K=\frac{\delta q}{\delta w}</math> ולכן, <math>n=(1-\gamma)K+\gamma</math>.

=== הקשר לתהליכים אידיאליים ===
עבור ערכים מסוימים של האינדקס הפוליטורפי, נקבל תהליכים אידיאליים מוכרים אחרים. להלן כמה דוגמאות לערכים כאלו:
{| class="wikitable"
|+
!האינדקס הפוליטרופי
!הקשר שמתקיים
!השפעות
|-
|<math display="block">n<0</math>
|<math display="block">pV^{-|n|}=C</math>
|חזקה שלילית מתארת תהליך בו חום ועבודה זורמים בו זמנית לתוך המערכת או מחוצה לה. כאשר אין כוחות שפועלים במערכת חוץ מהלחץ, לא יכולים להתקיים תהליכים ספונטאניים כאלו (מהחוק השני של התרמודינמיקה). משתמשים במקרים אלו כשדנים באינטראקציות תרמיות באסטרופיזיקה ובאנרגיה כימית.
|-
|<math display="block">n=0</math>
|<math display="block">p=C</math>
|שקול לתהליך איזוברי, בו הלחץ קבוע.
|-
|<math display="block">n=1</math>
|<math display="block">pV=C</math>
|שקול לתהליך איזותרמי, בו הטמפרטורה קבועה (תחת ההנחה של גז אידיאלי, כיוון שמתקיים <math>pV=nRT</math>).
|-
|<math display="block">1<n<\gamma</math>
|<math display="block">pV^n=C</math>
|תחת ההנחה של גז אידיאלי, חום ועבודה זורמים לכיוונים הפוכים (<math>K>0</math>).
|-
|<math display="block">n=\gamma</math>
|<math display="block">pV^\gamma =C</math>
|שקול לתהליך איזנטרופי, בו האנטרופיה נשארת קבועה (תחת ההנחה של גז אידיאלי).
|-
|<math display="block">\gamma < n< + \infty</math>
|<math display="block">pV^n=C</math>
|תחת ההנחה של גז אידיאלי, חום ועבודה זורמים לאותו הכיוון (<math>K<0</math>).
|-
|<math display="block">n=+ \infty</math>
|<math display="block">V=C</math>
|שקול לתהליך איזוכורי, בו הנפח נשאר קבוע.
|}

== פיתוח של משוואת התהליך הפוליטרופי ==
החוק הראשון של התרמודינמיקה:

<math display="block"> dQ=dU+dW</math>

משוואת הגז האידיאלי:

<math display="block">pV=nRT</math>

כאשר <math display="inline">R=C_p-C_V</math>.

כיוון שבתהליך פוליטרופי קיבול החום קבוע, ניתן לרשום:

<math display="block">dW=pdV, \ \ \ dU=nC_{V}dT, \ \ \ {\displaystyle dQ=nCdT}</math>.

כאשר <math>C</math> הוא קבוע.

נציב בחוק הראשון, ונקבל:

<math display="block">(1) \ n(C-C_V)dT=pdV \Longleftarrow {\displaystyle nCdT=nC_{V}dT+pdV}</math>

אם נגזור את משוואת הגז האידיאלי, נקבל:

<math display="block">pdV+Vdp=nRdT</math>

נחלץ את <math>dT</math> ונציב במשואה (1):

<math display="block">n(C-C_V)\left(\frac{pdV+Vdp}{nR}\right)=pdV</math>

נשתמש בהגדרה של <math>R</math> ונקבל,

<math display="block">\left(\frac{C-C_p}{C-C_V}\right)\frac{dV}{V}+\frac{dp}{p}=0</math>

נבצע אינטגרציה על שני האגפים ונקבל,

<math display="block">\left(\frac{C-C_p}{C-C_V}\right)ln(V)+ln(p)=Const \Longrightarrow pV^{\left(\frac{C-C_p}{C-C_V}\right)}=Const</math>

כאשר <math display="inline">n=\frac{C-C_p}{C-C_V}</math>.

== עבודה של גז אידיאלי ומעבר חום בתהליך פוליטרופי ==

<math display="block">W_{1\rightarrow2}=\int\limits_{1}^{2} pdV=\int\limits_{1}^{2} \frac{C}{V^n}dV=\left[\frac{CV^{1-n}}{1-n}\right]^2_1=\left[\frac{pV}{1-n}\right]^2_1=\frac{p_1V_1-p_2V_2}{n-1}=\frac{mR(T_1-T_2)}{n-1}</math>

השינוי באנרגיה הפנימית הוא:

<math display="block">\Delta U_{1\rightarrow2}=mC_V(T_2-T_1)</math>

ומכאן נוכל לחלץ את כמות החום שעבר בתהליך:

<math display="block">\Delta Q_{1\rightarrow2}=mC_V\frac{n-\gamma}{n-1}(T_2-T_1)=\frac{\gamma-n}{\gamma -1}W_{1\rightarrow2}</math>נשים לב, כאשר <math>n=\gamma</math>, מקבלים <math>\Delta Q=0</math>. בהתאם למה שמצופה בתהליך אדיאבטי.

קטגוריה:תרמודינמיקה