משפטי התכנסות מרטינגלים

בתורת ההסתברות, משפטי התכנסות מרטינגלים של ג'וזף דוּבּ הם אוסף תוצאות אודות התנהגות אסימפטוטית של סופר-מרטינגלים, ובפרט מרטינגלים.

==נוסח פורמלי==

יהי <math>\left( \Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P} \right)</math> מרחב הסתברות, ותהי <math>\left\{ F_t \right\}_{t \geq 0}</math> פילטרציה של המרחב, כלומר סדרה עולה של תת-סיגמא-אלגבראות של <math>\mathcal{F}</math>.

יהי <math>\left\{ N_t \right\}_{t \geq 0}</math>, כאשר
<math>N_t: \Omega \to \mathbb{R}</math>, סופר-מרטינגל ימני רציף ביחס לפילטרציה הנתונה. כלומר, לכל <math>0 \leq s \leq t < \infty</math> מתקיים <math>N_s \geq \mathbf{E} \left[ N_t \mid F_s \right]</math>.

===משפט התכנסות סופר-מרטינגלים הראשון===

לכל <math>0 \leq t < \infty</math>, נגדיר <math>N_t^- := \max \left( -N_t,0 \right)</math>.

אם מתקיים כי <math>\sup_{t \geq 0} \mathbf{E} \left[ N_t^- \right] < \infty</math>, אז בהסתברות 1 קיים הגבול <math>\lim_{t \to \infty} N_t</math> במובן של התכנסות נקודתית.

===משפט התכנסות סופר-מרטינגלים השני===

הדברים הבאים שקולים:
* <math>\left\{ N_t \right\}_{t >0}</math> אינטגרבילית במידה שווה.
* קיים משתנה מקרי <math>N</math> בעל אינטגרל סופי, כך שמתקיים <math>N_t \underset{\longrightarrow} N</math> גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע.

===מסקנה: משפט התכנסות מרטינגלים רציפים===

יהי <math>\left\{ M_t \right\}_{t \geq 0}</math>, כאשר <math>M_t: \Omega \to \mathbb{R}</math>, מרטינגל רציף ביחס לפילטרציה הנתונה. כלומר, לכל <math>0 \leq s \leq t < \infty</math> מתקיים <math>M_s = \mathbf{E} \left[ M_t \mid F_s \right]</math>.

אם קיים <math>1 < p < \infty</math> שעבורו <math>\sup_{t>0} \mathbf{E} \left[ \left| M_t \right|^p \right] < \infty</math>, אזי קיים משתנה מקרי <math>M</math> עם <math>\int_{\Omega} \left| M \right|^p d \mu < \infty</math>, כך שמתקיים <math>M_t \underset{\longrightarrow} M</math> גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע.

הערה: אותה התוצאה נכונה גם עבור מרטינגל בזמן בדיד.

===משפט התכנסות התוחלת המותנית: חוק האפס-אחד של לוי===

יהי <math>\left( \Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P} \right)</math> מרחב הסתברות, ויהי <math>X</math> משתנה מקרי בעל תוחלת סופית.

תהי <math>\left\{ F_n \right\}_{n=1}^{\infty}</math> פילטרציה של המרחב, כלומר סדרה עולה של תת-סיגמא-אלגבראות של <math>\mathcal{F}</math>. נגדיר <math>F_\infty = \sigma \left(F_1,F_2,...\right)</math>.

אזי מתקיים <math>\mathbf{E} \left[ X \mid F_n \right] \underset{\longrightarrow} \mathbf{E} \left[ X \mid F_{\infty} \right]</math> גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע.

הסיבה לכך שתוצאה זו קרויה "חוק אפס-אחד", היא כי אם <math>E \in F_{\infty}</math> מאורע כלשהו, אז מהמשפט נובע כי בהסתברות 1, <math> \mathbb{P} \left(E \mid F_n\right) = \mathbf{E} \left[ 1_E \mid F_n \right] \underset{\longrightarrow} \mathbf{E} \left[ 1_E \mid F_{\infty} \right] = 1_E</math>.

תוצאה זו קובעת במילים פשוטות את העובדה הבאה: אם אנחנו אוגרים מידע אודות מאורע כלשהו שלב אחר שלב, ועוברים על כל השלבים שכולם יחד קובעים את המאורע באופן דטרמיניסטי, אזי בהסתברות 1 ניתן לדעת האם המאורע התרחש או לא.

למרות שתוצאה זו נדמית אינטואיטיבית למדי, יש לה תוצאות חשובות ולא טריוויאליות. כך למשל מתוצאה זו ניתן להסיק את חוק האפס-אחד של קולמוגורוב, שכן נובע ממנה שעבור מאורע זנב מתקיים <math>\mathbb{P} \left( E \right) = 1_E</math> בהסתברות 1, ובמילים אחרות <math>\mathbb{P} \left( E \right) \in \left\{ 0,1 \right\}</math>.

קטגוריה:משפטים בתורת ההסתברות
קטגוריה:תהליכים סטוכסטיים
קטגוריה:חוקי אפס-אחד