טווח (סטטיסטיקה)

בסטטיסטיקה, הטווח של המדגם הוא ההפרש בין הערך הגדול במדגם לערך הקטן. הוא מבוטא באותן יחידות כמו הנתונים.

בסטטיסטיקה תיאורית, טווח המדגם הוא גודל המרווח הקטן ביותר המכיל את כל הנתונים ומספק אינדיקציה לפיזור סטטיסטי.

== התפלגות טווח של מדגם מקרי ==
עבור <math>n</math> משתנים מקריים <math>X_1,X_2,...,X_n</math> נסמן ב-<math>T</math> את הטווח שלהם, שמוגדר ע"י,

<math display="block">T=Max(X_1,X_2,...,X_n)- Min(X_1,X_2,...,X_n)</math>.

מאחר שהמקסימום הוא סטטיסטי הסדר ה-<math>n</math> והמינימום הוא סטטיסטי הסדר ה-1 ניתן לכתוב באופן שקול בקצרה, <math display="inline">T=X_{(n)}- X_{(1) }</math>.

=== התפלגות ===
עבור <math>n</math> משתנים מקריים רציפים בלתי תלויים ושווי התפלגות <math>X_1,X_2,...,X_n</math> עם פונקציית התפלגות רציפה בהחלט <math>F(x)</math> ופונקציית צפיפות <math>f(x)</math>

לטווח <math>T</math>, יש את פונקציית ההתפלגות, 

<math display="inline">F_T(t)= n \int_{-\infty}^\infty f(x )[F(x+t)-F(x) ]^{n-1}\text{d}x</math>.

=== פונקציית הצפיפות ===
:אם נגזור את פונקציית ההתפלגות נקבל את פונקציית הצפיפות,
:: <math>f_{T}(t)= n(n-1)\int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+t)[F(x+t)-F(x)]^{n-2} \, \text{d}x</math>

=== תוחלת ===
תוחלת הטווח ניתנת על ידי על ידי

:: <math>E [ T ]= n \int_{-\infty}^\infty x [F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}] \,f( x ) \text{d}x</math>.

====== הוכחה ======
נובע מכך שהטווח הוא ההפרש בין המקסימום (סטטיסטי הסדר ה-<math>n</math>) לבין המינימום (סטטיסטי הסדר ה-1) ולכן גם התוחלת של הטווח היא ההפרש בין התוחלות של המקסימום והמינימום.

<math display="block">E[T]=E[X_{(n)}-X_{(1)} ]=E[X_{(n)}]-E[X_{(1)} ]</math>

<math display="block">=n\int_{-\infty}^{\infty}f(x)F(x )^{n-1} dx-n\int_{-\infty}^{\infty}f(x)(1-F(x ) )^{n-1} dx</math>

מכאן התוצאה מתקבלת ממיזוג האנטגרלים.

====== מ.ש.ל ======
כאשר פונקציית הצפיפות <math>f</math> דועכת מספיק מהר בזנבות ההתפלגות, כלומר מקיימת <math>\lim_{x\rightarrow\infty} x^2f(x)=0</math> וגם <math>\lim_{x\rightarrow\infty} x^2f(-x)=0</math>, אז מתקיים,

<math display="block">E[T]=\int_{-\infty}^{\infty}\left[1-F(x )^{n} - (1-F(x ) )^{n}\right] \text{d}x</math>

====== הוכחה ======
הראינו כי

<math display="block">E [ T ]= n \int_{-\infty}^\infty x [F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}] \,f( x ) \text{d}x</math>

מההגדרה של אינטגרל לא אמיתי,

<math display="block">= \lim_{u\rightarrow \infty }n \int_{-u }^u x [F(x )^{n-1}-(1-F(x))^{n-1} ] \,f( x ) \text{d}x</math>

אינטגרציה בחלקים,

<math display="block">= \lim_{u\rightarrow \infty } \left[ x [F(x )^{n}+(1-F(x))^{n} -1 ] \right]_{-u}^u-
 \lim_{u\rightarrow \infty }\int_{-u }^u[F(x )^{n}+(1-F(x))^{n} -1 ]\text{d}x </math>

נראה שהחלק השמאלי של הביטוי מתאפס ואז החלק הימני נותן את התוצאה המבוקשת,

<math display="block"> \lim_{u\rightarrow \infty } \left[ x [F(x )^{n}+(1-F(x ) )^{n} -1 ] \right]_{-u}^u </math>

<math display="block"> = \lim_{u\rightarrow\infty} u [F(u )^{n}+(1-F(u ) )^{n} -1 ]+u [F(-u )^{n }+(1- F(-u ) )^{n } -1 ] </math>

<math display="block"> =\lim_{u\rightarrow\infty}u\left(F(u )^{n}+(1-F(u ) )^{n} + F(-u )^{n }+(1-F(-u ) )^{n }\right) 
 </math>

<math display="block"> =\lim_{u\rightarrow\infty} \frac{F(u )^{n}+(1-F(u ) )^{n} + F(-u )^{n }+(1-F(-u ) )^{n }}{1/u} 
 </math>

נפעיל את כלל לופיטל,

<math display="block"> =\lim_{u\rightarrow\infty} n\frac{f(u)\left[F(u )^{n-1}-(1-F(u ) )^{n-1} \right]+f(-u)\left[ F(-u )^{n-1 }-(1-F(-u ) )^{n-1 } \right]}{-1/u^2} 
 </math>

על סמך תכונות פונקציית ההתפלגות, <math>\lim_{u\rightarrow\infty }F(u)=1</math>ו- <math>\lim_{u\rightarrow\infty }F(-u)=0</math>, ועל סמך הנתון כי <math>\lim_{u\rightarrow\infty} u^2f(u)=0</math> ו- <math>\lim_{u\rightarrow\infty} u^2f(-u)=0</math> נקבל את התוצאה המבוקשת,

<math display="block"> =\lim_{u\rightarrow\infty} n u^2 f(u )\left[(1-F(u ) )^{n-1 }-F(u )^{n-1 } \right]+
\lim_{u\rightarrow\infty} n u^2 f(-u)\left[ (1-F(-u ) )^{n-1 }-F(-u )^{n-1 } \right]=0 
 </math>

====== מ.ש.ל ======

== התפלגות טווח של מדגם מקרי הלקוח מהתפלגויות שונות ==
עבור <math>n</math> משתנים אקראיים <math>X_1,X_2,...,X_n</math> עם פונקציות התפלגות רציפות בהחלט, <math>F_1(x),F_2(X),...,F_n(X)</math>

ופונקציות צפיפות <math>f_1(x),f_2(x),...,f_n(x)</math>, לטווח <math>T</math> יש פונקציית ההתפלגות:

:: <math>F_T(t) = \sum_{i=1}^n \int_{-\infty}^\infty f_i (x) \prod_{j=1, j \neq i}^n [F_j(x+t)-F_j(x)] \, \text{d}x</math>

== פונקציית הסתברות של טווח מדגם מקרי הלקוח מתוך התפלגות אחידה בדידה ==
אם המדגם לקוח מההתפלגות האחידה הבדידה, <math>X_1,X_2,...,X_n\sim U (1,N)</math> אז

:: <math>P(T=t) = \begin{cases}
\frac{1}{N^{n-1}} & t=0 \\[4pt]
(N-t)\left(\left[\frac{t+1}{N}\right]^n -2\left[\frac{t}{N}\right]^n +\left[\frac{t-1}{N}\right]^n
\right) & t=1,2,3\ldots ,N-1
\end{cases}</math>

== הטווח כאומד-<math>L</math> ==
הטווח הוא צירוף ליניארי של סטטיסטי הסדר, ולכן הוא אומד-<math>L</math>.

== ראו גם==

* טווח בין רבעוני
==קישורים חיצוניים==
* 

קטגוריה:סטטיסטיקה