פונקציית דיגמא

המחשה של פונקציית דיגמא <math>\psi(z)</math>.
גרפים של החלק הממשי של פונקציית דיגמא ושל שלוש פונקציות הפוליגמא הבאות לאורך הקו הממשי
במתמטיקה, פונקציית הדיגמא מוגדרת כנגזרת הלוג של פונקציית הגמא:<ref name="AbramowitzStegun">
</ref><ref name="DLMF5"></ref>

: <math>.\psi(z) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln\Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}</math>

זאת הראשונה מבין פונקציות הפוליגמא. פונקציה זו מונוטונית עולה ממש וקעורה ממש על <math>(0,\infty)</math>,<ref></ref> והיא שקולה אסימפטוטית ל-<ref></ref>

: <math>,\psi(z) \sim \ln{z} - \frac{1}{2z}</math>

עבור (<math>|z|\rightarrow\infty</math>) בגזרה <math>|\arg z|<\pi-\varepsilon</math> לכל <math>\varepsilon>0</math>.

פונקציית הדיגמא מסומנת לעיתים קרובות כ-<math>\psi_0(x), \psi^{(0)}(x) </math> או .<ref></ref>

== קשר למספרים ההרמוניים ==
פונקציית הגמא מקיימת את המשוואה

: <math>.\Gamma(z+1)=z\Gamma(z) </math>

ניקח לוג של שני האגפים:

: <math>,\ln(\Gamma(z+1))=\ln(z)+\ln(\Gamma(z)) </math>

גזירה ביחס ל- <math>z</math>:

: <math>\psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z}</math>

מכיוון שהמספרים ההרמוניים מוגדרים עבור מספרים שלמים חיוביים 

: <math>,H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1 k </math>

מתקיים,

: <math>,\psi(n)=H_{n-1}-\gamma</math>

כאשר <math>H_0=0</math> ו-<math>\gamma</math> הוא קבוע אוילר-מסקרוני. עבור ארגומנטים של חצי מספר שלם פונקציית דיגמא מקבלת את הערכים

: <math> .\psi \left(n+\tfrac12\right)=-\gamma-2\ln 2 +\sum_{k=1}^n \frac 2 {2k-1}</math>

== ייצוגים אינטגרליים ==
אם החלק הממשי של <math>z</math> הוא חיובי אז לפונקציית הדיגמא יש את הייצוג האינטגרלי של גאוס:<ref name="Whittaker and Watson, 12.3">Whittaker and Watson, 12.3.</ref>

: <math>.\psi(z) = \int_0^\infty \left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)\,dt</math>

שילוב של ביטוי זה עם זהות אינטגרלית עבור קבוע אוילר-מסקרוני <math>\gamma</math> נותן:

: <math>.\psi(z + 1) = -\gamma + \int_0^1 \left(\frac{1-t^z}{1-t}\right)\,dt</math>

האינטגרל הזה הוא המספר ההרמוני של אוילר <math>H_z</math>, כך שניתן לכתוב:

: <math>.\psi(z + 1) = \psi(1) + H_z</math>

כתוצאה מקבלים הכללה של נוסחת נסיגה:

: <math>.\psi(w + 1) - \psi(z + 1) = H_w - H_z</math>

הייצוג אינטגרלי של דיריכלה:

: <math>.\psi(z) = \int_0^\infty \left(e^{-t} - \frac{1}{(1 + t)^z}\right)\,\frac{dt}{t}</math>

מהייצוג האינטגרלי של גאוס ניתן לקבל את הנוסחה הבאה של <math>\psi</math>.<ref>Whittaker and Watson, 12.31.</ref>

: <math>.\psi(z) = \log z - \frac{1}{2z} - \int_0^\infty \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{t} + \frac{1}{e^t - 1}\right)e^{-tz}\,dt</math>

נוסחה זו היא גם תוצאה של האינטגרל הראשון של בינה עבור פונקציית הגמא. ניתן לזהות את האינטגרל כהתמרת לפלס.

האינטגרל השני של Binet לפונקציית גמא נותן נוסחה שונה עבור <math>\psi</math>:<ref>Whittaker and Watson, 12.32, example.</ref>

: <math>.\psi(z) = \log z - \frac{1}{2z} - 2\int_0^\infty \frac{t\,dt}{(t^2 + z^2)(e^{2\pi t} - 1)}</math>

מתוך ההגדרה של <math>\psi</math> והייצוג האינטגרלי של פונקציית הגמא, מקבלים

: <math>,\psi(z) = \frac{1}{\Gamma(z)} \int_0^\infty t^{z-1} \ln (t) e^{-t}\,dt</math>

כאשר <math>\Re z > 0</math> .<ref></ref>

== ייצוג באמצעות מכפלה אינסופית ==
הפונקציה <math>\psi(z)/\Gamma(z)</math> היא פונקציה שלמה,<ref name="MezoHoffman"></ref> והיא יכולה להיות מיוצגת על ידי מכפלה אינסופית:

: <math>
.\frac{\psi(z)}{\Gamma(z)}=-e^{2\gamma z}\prod_{k=0}^\infty\left(1-\frac{z}{x_k}
\right)e^{\frac{z}{x_k}}
</math>

כאשר <math>x_k</math> הוא האפס ה-<math>k</math> של <math>\psi</math> (ראה להלן) ו- <math>\gamma</math> הוא קבוע אוילר-מסקרוני.

הערה: זה גם שווה ל- <math>-\frac{d}{dz}\frac{1}{\Gamma(z)}</math> בשל ההגדרה של פונקציית הדיגמא: <math>.\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}=\psi(z)</math>

== ייצוג כטור ==
מנוסחת המכפלה של אוילר לפונקציית הגמא, בשילוב עם המשוואה הפונקציונלית וזהות עבור הקבוע של אוילר-מסקרוני, מתקבל הביטוי הבא לפונקציית הדיגמא, התקף במישור המורכב פרט למספרים השלמים השליליים (אברמוביץ וסטגון 6.3.16):<ref name="AbramowitzStegun" />

: <math>
\psi(z + 1)
= -\gamma + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + z}\right) 
= -\gamma + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{z}{n(n + z)}\right), \qquad z \neq -1, -2, -3, \ldots
</math>

=== חישוב סכומים של פונקציות רציונליות ===
ניתן להשתמש בזהות לעיל כדי להעריך סכומים מהצורה

: <math>,\sum_{n=0}^\infty u_n=\sum_{n=0}^\infty \frac{p(n)}{q(n)}</math>

כאשר <math>p(n)</math> ו-<math>q(n)</math> הם פולינומים של <math>n</math>.

פירוק לשברים חלקיים של <math>u_n</math> בשדה המורכב, במקרה שבו כל השורשים של <math>q(n)</math> הם שורשים פשוטים,

: <math>.u_n=\frac{p(n)}{q(n)}=\sum_{k=1}^m \frac{a_k}{n+b_k}</math>

כדי שהטור יתכנס,

: <math>\lim_{n\to\infty} nu_n=0</math>,

אחרת הטור יהיה גדול מהטור ההרמוני ויתבדר. לכן,

: <math>,\sum_{k=1}^m a_k=0</math>

ונקבל,

<math>\sum_{n=0}^\infty u_n = \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=1}^m\frac{a_k}{n+b_k}
=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=1}^m a_k\left(\frac{1}{n+b_k}-\frac{1}{n+1}\right)
=\sum_{k=1}^m\left(a_k\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{n+b_k}-\frac{1}{n+1}\right)\right)

</math><math>=-\sum_{k=1}^m a_k\big(\psi(b_k)+\gamma\big)
=-\sum_{k=1}^m a_k\psi(b_k)
</math>

ניתן לקבל גם נוסחה כללית באמצעות טורים עם פונקציות פוליגמא בדרגה גבוהה יותר:

: <math>,\sum_{n=0}^\infty u_n=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=1}^m \frac{a_k}{(n+b_k)^{r_k}}=\sum_{k=1}^m \frac{(-1)^{r_k}}{(r_k-1)!}a_k\psi^{(r_k-1)}(b_k)</math>

בתנאי שהטור משמאל מתכנס.

=== טור טיילור ===
לדיגמא יש טור זיטה רציונלית, הניתן על ידי פיתוח טור טיילור סביב הנקודה <math>z=1</math>:

: <math>,\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\,\zeta (k+1) \, z^k</math>

שמתכנס עבור <math>|z|<1</math>. כאשר, <math>\zeta(n)</math> היא פונקציית הזטה של רימן. טור זה מתקבל מהטור טיילור של פונקציית הזטה של Hurwitz.

=== טור ניוטון ===
טור ניוטון לפונקציית דיגמא, המכונה לפעמים גם טור שטרן:<ref></ref><ref name="blag2018"></ref>

: <math>,\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} \binom{s}{k}</math>

כאשר <math>\binom{s}{k}</math> הוא המקדם הבינומי. ניתן להכליל זאת ל-

: <math>
,\psi(s+1) = -\gamma - \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m-1}\frac{m-k}{s+k}-
\frac{1}{m}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k}\left\{\binom{s+m}{k+1}-\binom{s}{k+1}\right\},\qquad \Re(s)>-1
</math>

כאשר <math>m=2,3,4,...</math>.<ref name="blag2018" />

== נוסחת השיקוף ==
פונקציית הדיגמא מקיימת נוסחת שיקוף דומה לזו של פונקציית הגמא:

: <math>\psi(1-x)-\psi(x)=\pi \cot \pi x</math>.

== ראו גם ==
* פונקציית פוליגמא
* פיתוחי צ'בישב
== קישורים חיצוניים ==

* 
* 
* 
* 

== הערות שוליים ==

דיגמא