מונה על-קומפקטי

בתורת הקבוצות, מונה על-קומפקטי הוא סוג מסוים של מונה גדול. 

== הגדרה ותכונות מרכזיות ==
מונה <math>\kappa</math> נקרא <math>\lambda</math>-על-קומפקטי, אם קיים שיכון אלמנטרי <math>j\colon V\to M</math>, כש-<math>M</math> מחלקה טרנזיטיבית של <math>V</math>, כך ש- <math>\mbox{crit}(j) = \kappa</math>, <math>j(\kappa)> \lambda</math> ו-<math>{^\lambda} M \subseteq M</math>. מונה על-קומפקטי הוא מונה <math>\kappa</math> שהוא <math>\lambda</math>-על-קומפקטי לכל <math>\lambda</math>.

קיימת הגדרה שקולה, שניתנת להבעה בלוגיקה מסדר ראשון. עבור <math>\lambda \geq \kappa</math>, <math>\kappa</math> הוא <math>\lambda</math>-על-קומפקטי אם ורק אם קיימת מידה עדינה ונורמלית על הקבוצה <math>\mathcal{P}_{\kappa}(\lambda)=\{ A\subseteq \lambda \ \colon \ |A|<\kappa \}</math>. מידה כזו היא על-מסנן <math>U</math> על <math>\mathcal{P}_{\kappa}(\lambda)</math> המקיים:

# <math>U</math> הוא <math>\kappa</math>-שלם: כלומר, <math>U</math> סגור לחיתוך של פחות מ-<math>\kappa</math> קבוצות.
# <math>U</math> עדין: כלומר, לכל <math>\alpha< \lambda</math>, הקבוצה <math>\check{\alpha} = \{ A\in \mathcal{P}_{\kappa}(\lambda) \colon \alpha \in A \}</math> שייכת ל-<math>U</math>.
# <math>U</math> נורמלי: כלומר <math>U</math> עדין, ומקיים בנוסף את התכונה הבאה: לכל פונקציה <math>f\colon \mathcal{P}_{\kappa}(\lambda) \to \lambda</math>, אם <math>\{x\in \mathcal{P}_{\kappa}(\lambda)\colon f(x)\in x \} \in U</math> אז קיימת קבוצה <math>A\in U</math> עליה <math>f</math> קבועה.

שתי ההגדרות שקולות. אם יש שיכון אלמנטרי <math>j\colon V\to M</math> המעיד על כך ש-<math>\kappa</math> הוא <math>\lambda</math>-על-קומפקטי, אז ניתן להגדיר מידה עדינה ונורמלית על <math>\mathcal{P}_{\kappa}(\lambda)</math> באופן הבא: <math>U = \{ A\in \mathcal{P}_{\kappa}(\lambda) \colon j\lambda \in j(A) \} </math>. מנגד, אם <math>U</math> מידה עדינה ונורמלית על <math>\mathcal{P}_{\kappa}(\lambda)</math>, אז שיכון העל חזקה המתאים מעיד על כך ש-<math>\kappa</math> הוא <math>\lambda</math>-על-קומפקטי.

אם <math>\kappa</math> מונה על-קומפקטי, אז קיימים עליו <math>2^{2^{\kappa}}</math> על-מסננים נורמליים (זו הכמות המרבית).

למונים על-קומפקטיים יש תכונות השתקפות חזקות. למשל, אם השערת הרצף המוכללת (GCH) נכונה עד למונה על-קומפקטי <math>\kappa</math>, אז היא נכונה בכל מקום. כמו כן, כל מונה על-קומפקטי <math>\kappa</math> הוא גבול של מונים מדידים (יתרה מכך, קבוצת המונים המדידים מתחתיו היא קבוצה שבת).

== הקשר למונים קומפקטיים-חזקים ==
כל מונה על-קומפקטי הוא קומפקטי-חזק. רוברט סולוביי שיער שההפך גם נכון, כלומר כל מונה קומפקטי-חזק הוא על-קומפקטי. אף על פי שטענה זו עקבית מתוך קיום מונה על-קומפקטי, מתברר שאינה בהכרח נכונה: Menas הוכיח שגבול מדיד של מונים קומפקטיים חזקים הוא קומפקטי חזק. מכאן נובע שהמונה הראשון שהוא גבול מדיד של קומפקטיים חזקים, (אם קיים), הוא מונה קומפקטי חזק שאינו על-קומפקטי. 

השיטה של Menas לא מאפשרת לשלול את היותו של המונה הקומפקטי-חזק הראשון על-קומפקטי. מנחם מגידור הוכיח כי עקבי שהמונה הקומפקטי-חזק הראשון הוא המונה המדיד הראשון (ולכן אינו על-קומפקטי). כמו כן, מגידור הוכיח כי עקבי שהמונה הקומפקטי-חזק הראשון הוא העל-קומפקטי הראשון. 

אקסיומת העל-חזקה גוררת שהמונה הקומפקטי-חזק הראשון הוא על-קומפקטי; יחד עם זאת, לא ידוע עדיין האם אקסיומת העל-חזקה עקבית עם קיומם של מונים קומפקטים-חזקים. 

כיום עדיין לא ידוע אם חוזק ההתיישבות של מונים קומפקטיים-חזקים ומונים על-קומפקטיים זהה.
<br />
קטגוריה:תורת הקבוצות
קטגוריה:מונים גדולים