תבנית ריבועית

במתמטיקה, תבנית ריבועית היא תבנית מהצורה <math>Q(x) = b(x,x)</math>, כאשר <math>b</math> היא תבנית ביליניארית; במילים אחרות, תבנית ריבועית היא פולינום בכמה משתנים שכל האיברים בו הם מדרגה 2. לדוגמה, <math>x^2+8xy-4xz+5z^2</math> היא תבנית ריבועית אבל הפונקציה <math> x^2+yx+3x</math> לא, משום שהאיבר האחרון, <math>3x</math> הוא מדרגה 1. תבניות ריבועיות מופיעות בהקשרים אלגבריים (בחקר מהן התבניות, עד כדי איזומורפיזם), גאומטריים (איזו צורה מתארת המשוואה <math>x^2+8xy-4xz+5z^2 = 1</math>) ואריתמטיים (האם יש פתרונות שלמים למשוואה <math>x^2+8xy-4xz+5z^2 = 3</math>), והן מהוות נושא למחקר פורה.

==הגדרה==
יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל שדה <math>F</math>. תבנית ביליניארית היא פונקציה <math>b \colon V \times V \to F</math> המהווה העתקה ליניארית בכל אחד מהרכיבים שלה. <math>(V,b)</math> נקרא מרחב ביליניארי. התבנית היא סימטרית אם <math> b(x,y)=b(y,x)</math> לכל <math>x,y \in V</math>.

תבנית ריבועית היא פונקציה המתקבלת מההצבה <math>Q(x) = b(x,x)</math> בתבנית ביליניארית <math>b</math>. תבנית כזו היא פולינום הומוגני מדרגה 2. מספר המשתנים בתבנית הוא הממד של <math>V</math>, הקרוי גם הממד של התבנית. צורתה הכללית היא <math>q(x_1,...,x_n)=\sum_{i,j}{a_{i,j}x_ix_j}</math>, עם <math>a_{i,j} \in F</math>. הזוג <math>(V,q)</math> נקרא מרחב ריבועי.

אומרים ששני מרחבים ריבועיים הם איזומטריים אם קיים איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים, המשמר את התבנית.

==תבניות ריבועיות וביליניאריות==

במאפיין שונה מ-2, כל תבנית ריבועית מושרית מתבנית ביליניארית סימטרית. גם ההפך נכון, כלומר כל תבנית ביליניארית סימטרית מוגדרת על ידי תבנית ריבועית, לפי הזהות הפולרית <math>b(x,y)=\frac{1}{2} (q(x+y)-q(x)-q(y))</math>. מזהות זו נובע כי התבנית הבילינארת הסימטרית המשרה את התבנית הריבועית היא יחידה. במאפיין 2 הקשר מעט יותר מסובך, והקורא שאינו מעוניין במקרה זה יכול לדלג על שאר הסעיף.

נקבע מרחב וקטורי מעל שדה ממאפיין כלשהו. נסמן ב-<math>\mathrm{Bil}</math> את מרחב התבניות הביליניאריות. כל תבנית ביליניארית <math>b</math>, לאו דווקא סימטרית, משרה כאמור תבנית ריבועית, לפי <math>q_b(x) = b(x,x)</math>, וכל תבנית ריבועית מתקבלת באופן כזה. תבנית ביליניארית המקיימת <math>b(x,x) = 0</math> נקראת תבנית מתחלפת (alternating); את מרחב התבניות המתחלפות מסמנים ב-<math>\mathrm{Alt}</math>. יש התאמה חד-חד-ערכית על בין מרחב התבניות הריבועיות <math>\mathrm{Quad}</math>, לבין מרחב המנה <math>\mathrm{Bil}/\mathrm{Alt}</math>. מאידך, כל תבנית ריבועית מגדירה תבנית ביליניארית סימטרית <math>b_q(x,y) = q(x+y)-q(x)-q(y)</math>; זוהי העתקה מ-<math>\mathrm{Quad}</math> אל <math>\mathrm{Sym}</math> (מרחב התבניות הסימטריות), וההרכבה היא <math>b_{q_b}(x,y) = b(x,y)+b(y,x)</math>.

במאפיין שונה מ-2, תבנית היא מתחלפת אם ורק אם היא אנטי-סימטרית; אפשר לפרק <math>\operatorname{Bil} = \operatorname{Sym} \oplus \operatorname{Alt}</math>, וכך מתקבלת התאמה בין תבניות ריבועיות לתבניות ביליניאריות סימטריות; .

לעומת זאת במאפיין 2, מתקיים פירוק אחר לגמרי: <math>\operatorname{Sym} = \operatorname{Alt} \oplus \operatorname{Diag}</math> (כאשר <math>\mathrm{Diag}</math> הוא מרחב התבניות האלכסוניות), המאפשר להציג תבנית ריבועית באופן יחיד דרך תבנית ביליניארית משולשית. מכיוון שבמאפיין 2 מתקיים <math>b_{q_b}(x,x) = 2b(x,x)=0</math>, התבנית <math>b_q</math> היא תמיד מתחלפת. הגרעין של ההתאמה <math>\operatorname{Quad} \to \operatorname{Alt}</math> המוגדרת לפי <math>q \mapsto b_q</math> הוא אוסף המטריצות האלכסוניות.

== מטריצות והצורה האלכסונית==
לאחר שקובעים למרחב הווקטורי <math>V</math> בסיס <math>B</math>, כל תבנית *ביליניארית* אפשר לייצג באופן יחיד על ידי מטריצה ריבועית, לפי הנוסחה <math>b(x,y)=[x]_B^tM[y]_B</math>. בחירת בסיס שונה תוביל למטריצה מייצגת חופפת. לכן, מיון תבניות ביליניאריות עד כדי איזומורפיזם, שקול למיון של מטריצות עד כדי חפיפה. התבנית סימטרית אם ורק אם המטריצה סימטרית.

במאפיין שונה מ-2 כל מטריצה סימטרית חופפת למטריצה אלכסונית, ולכן כל תבנית ריבועית אפשר להציג בצורה אלכסונית : <math>q(x_1,...,x_n)=a_1x_1^2+...+a_nx_n^2</math>, אותה מסמנים <math>q=\langle a_1,...,a_n \rangle</math>.

מעל הממשיים, המעבר לצורה אלכסונית קובע את סימן סילבסטר של התבנית, השווה למספר המקדמים החיוביים פחות מספר המקדמים השליליים. הסימן קובע את הגאומטריה של המשטח q=0, ואת ההתנהגות של התבנית בסביבת האפס. אם כל הסימנים באלכסון שווים, התבנית חיובית לחלוטין או שלילית לחלוטין. עובדה זו מאפשרת למיין נקודות קיצון של פונקציות בכמה משתנים: סוג הנקודה נקבע על ידי התבנית הריבועית שמשרות הנגזרות השניות (מטריצת הסיאן). אם הנגזרת השנייה בנקודה קריטית היא חיובית לחלוטין, זוהי נקודת מינימום; ואם הנגזרת השנייה שלילית לחלוטין, זוהי נקודת מקסימום.

==הרדיקל==
תהי <math>b</math> תבנית ביליניארית סימטרית, <math>U \subseteq V</math> תת-מרחב. נסמן <math>U^{\perp}=\{x \in V:b(x,u)=0, \forall u \in U\}</math>, זהו המרחב הניצב ל-<math>U</math> ביחס ל- <math>b</math>. הרדיקל של התבנית הוא <math>\operatorname{rad}(V)=V^{\perp}=\{x \in V| b(x,v)=0, \forall x \in V\}</math>. אומרים ש-<math>b</math> רגולרית אם יש לה רדיקל טריוויאלי - <math>\operatorname{rad}(V)={0}</math>, ואז המרחב <math>(V,b)</math> נקרא מרחב רגולרי. תבנית ביליניארית היא רגולרית אם ורק אם המטריצה המייצגת היא הפיכה.

הרדיקל של תבנית ריבועית <math>q</math> מוגדר לפי <math>\operatorname{rad}(q) = \{x \in \operatorname{rad}(b_q) : q(x) = 0\}</math>. במאפיין שונה מ-2, הרדיקל של תבנית ריבועית הוא הרדיקל של התבנית הביליניארית הסימטרית המייצגת אותה. במאפיין 2 בהחלט ייתכן ש-<math>\operatorname{rad}(q) \subset \operatorname{rad}(b_q)</math>. תבנית ריבועית <math>q</math> היא רגולרית אם ורק אם הרדיקל שלה הוא אפס. במאפיין שונה מ-2, תכונה זו שקולה לכך שהמטריצה המייצגת הפיכה.

בכל מרחב ריבועי יש תת-מרחב רגולרי מקסימלי, שהוא גם איזומורפי למרחב המנה המתקבל מחילוק ברדיקל. אפיון זה מוביל לחקירה של מרחבים ריבועיים רגולריים.

== איזוטרופיות ומרחב היפרבולי ==

יהי <math>(V,q)</math> מרחב ריבועי רגולרי. וקטור <math>v \in V</math> נקרא איזוטרופי אם <math>q(v)=0</math>. תת-מרחב <math>U \subseteq V</math> נקרא מרחב איזוטרופי (לחלוטין) אם כל <math>u \in U</math> איזוטרופי. מרחב בו אין וקטור איזוטרופי נקרא אנאיזוטרופי. לדוגמה, מעל הממשיים (או כל שדה סדור אחר), התבנית <math>q(x_1,...,x_n)=x_1^2+...+x_n^2</math> היא אנאיזוטרופית.

המרחב הדו-ממדי עם התבנית הריבועית <math>\ q(x_1,x_2) = x_1x_2</math> נקרא המישור ההיפרבולי (במאפיין שונה מ-2, אפשר להציג אותו גם בצורה <math>q(x_1,x_2) = x_1^2-x_2^2</math>). סכום ישר של עותקים של המישור ההיפרבולי נקרא מרחב היפרבולי.

הממד של תת-מרחב איזוטרופי של V הוא לכל היותר חצי הממד של <math>V</math>; במאפיין שונה מ-2, אם יש ל-<math>V</math> תת-מרחב איזוטרופי שממדו חצי הממד של <math>V</math>, אז <math>V</math> מרחב היפרבולי. במאפיין שונה מ-2, המישור ההיפרבולי הוא המישור האיזוטרופי הרגולרי היחיד, וכל מרחב איזוטרופי מכיל עותק (איזומורפי) של מרחב היפרבולי.

==המבנה של מרחב ריבועי==

כל תבנית ריבועית (מממד סופי, בכל מאפיין) אפשר לפרק באופן יחיד לסכום ישר של שלושה חלקים: המרכיב הרדיקלי שהוא תבנית האפס, מרחב היפרבולי, ומרחב אנאיזוטרופי. התבנית היא רגולרית אם ורק אם המרכיב הרדיקלי שלה טריוויאלי. פירוק זה הוא הבסיס לבנייה של חוג ויט; אינדקס ויט של התבנית הוא מחצית הממד של המרכיב ההיפרבולי.

כל תבנית ריבועית אנאיזוטרופית אפשר לפרק לסכום ישר <math>[a_1,b_1] \perp \cdots \perp [a_t,b_t] \perp \langle c_1,\dots,c_s\rangle</math>, כאשר <math>[a,b]</math> מייצג את התבנית הריבועית הדו-ממדית <math>q(x_1,x_2) = ax_1^2+x_1x_2+bx_2^2</math> ו-<math>\langle c_1,\dots,c_s\rangle</math> הוא החלק האלכסוני. במאפיין שונה מ-2 אפשר להניח ש-<math>t = 0</math>. תבנית רגולרית, הנשארת רגולרית לאחר כל הרחבת סקלרים, נקראת לא-מנוונת. במאפיין שונה מ-2 כל תבנית רגולרית אינה מנוונת; במאפיין 2, התבנית אינה מנוונת אם ורק אם אפשר להציג אותה כסכום של מרחב היפרבולי ומרחב אנאיזוטרופי שבו <math>s = 0</math> או <math>s = 1</math>.

==ראו גם==
* תבנית ביליניארית
* חוג ויט
* תבנית פיסטר
* תבנית קילינג, שהיא תבנית ריבועית הקשורה לאלגברת לי, ומאפשרת לקבוע האם האלגברה פשוטה למחצה.

==לקריאה נוספת==
* The Algebraic and Geometric Theory of Quadratic Forms, E. Elman, N. Karpenko and A. Merkurjev, AMS Coll Pub 56, 2008.
* עוזי וישנה, [http://u.math.biu.ac.il/~vishne/courses/88912/QuadraticFormsH.pdf מבוא לתבניות ריבועיות], 2014.

==קישורים חיצוניים==

* 
* 

קטגוריה:פולינומים
קטגוריה:אלגברה ליניארית
קטגוריה:תבניות ריבועיות