פרדוקס האחים

פרדוקס האחים מתייחס לקבוצה של שאלות (או חידות) בתורת ההסתברות. בעיות אלה ידועות גם בשמות "פרדוקס בן או בת", "בעיית שני הילדים", ושמות נוספים. לא ידוע מי המנסח המקורי של החידה, אם כי היא בדרך כלל מיוחסת למרטין גרדנר, שפרסם את החידה בשנת 1954 בכתב העת Scientific American תחת הכותרת "בעיית שני הילדים". שתי השאלות ששאל גרדנר היו: 
* למר ג'ונס יש שני ילדים. הילד הבכור הוא בן. מה ההסתברות כי למר ג'ונס יש שני בנים? 
* למר ג'ונס יש שני ילדים. אחד מהם הוא בן. מה ההסתברות כי למר ג'ונס יש שני בנים? 
החידה השנייה מכונה "פרדוקס" כיוון שהתשובה לשאלה נוגדת את האינטואיציה של רוב האנשים. בנוסף לכך, התשובה לשאלה השנייה אינה חד משמעית. גרדנר ציין במאמרו המקורי כי התשובה לשאלה הראשונה היא 1/2 והתשובה לשאלה השנייה היא 1/3, אך מאוחר יותר הודה כי ניסוח השאלה השנייה אינו חד משמעי, וכי התשובה לשאלה השנייה יכולה להיות גם היא 1/2 בתנאים מסוימים. 

מאוחר יותר הופיעו גרסאות נוספות של החידה, ובהן ניסוחים אחרים ו/או הוספת אינפורמציה, שגרמו לשינוי בתשובה לשאלה.

== הנחות ==
הפתרונות שיוצגו בהמשך מתבססים על ההנחות הבאות:
# כל ילד הוא בהכרח בן או בת.
# הסיכוי ללידת בן שווה לסיכוי ללידת בת
# אין תלות בין המגדרים של הילדים
ניתן לטעון כי אחת או יותר מן ההנחות אינן תקפות. החלפת אחת ההנחות (או יותר) בהנחה אחרת תוביל בהכרח לשינוי בתשובה הסופית. ההנחות שהונחו מגדירות מודל, כלומר תיאור של המציאות, שייתכן שאינו מדויק לגמרי, אבל הוא מספיק טוב כדי לתת תשובה אמינה לשאלה שנשאלה.

מהנחות המודל נובע כי יש ארבעה סוגים אפשריים של משפחות בנות שני ילדים, ולכל האפשרויות יש הסתברות שווה - 1/4. ארבעת סוגי המשפחות הן:
# הבכור בן, הצעיר בן
# הבכור בן, הצעירה בת
# הבכורה בת, הצעיר בן
# הבכורה בת, הצעירה בת

== פתרון השאלה הראשונה ==
בשאלה הראשונה נאמר לנו כי הילד הבכור הוא בן, ולכן ברור כי מבנה המשפחה הוא אחד משני הסוגים הראשונים של המשפחות: <nowiki></nowiki>בן-בן<nowiki></nowiki> או <nowiki></nowiki>בן-בת<nowiki></nowiki>. מאחר שלכל אחד ממבני המשפחות האלה הסתברות שווה, רק אחת האפשרויות נכונה, ולכן התשובה היא 1/2.

== פתרון השאלה השנייה ==
בשאלה השנייה שהציג גרדנר נאמר כי אחד מהילדים הוא בן, אך לא נאמר אם זהו הבכור מבין שני הילדים או הצעיר מביניהם. ברור כי מבנה המשפחה המתוארת אינו בת-בת. מבנה המשפחה הוא בהכרח אחד משלוש האפשרויות: '<nowiki/>בן-בן<nowiki></nowiki>, <nowiki></nowiki>בן-בת<nowiki></nowiki>, או <nowiki></nowiki>בת-בן<nowiki></nowiki>. לשלוש האפשרויות אותה הסתברות, אך רק באחת מהן יש שני בנים במשפחה, לכן התשובה היא 1/3.

אולם ניתן לטעון כי לא ידוע לנו כיצד נבחר הילד עליו נאמר לנו כי הוא בן. ניתן לחשוב על התהליך הבא:
# בוחרים באופן מקרי משפחה בת שני ילדים
# בוחרים באופן מקרי את אחד משני הילדים
# מדווחים את מינו של הילד שנבחר
אם אכן זה היה תהליך בחירת המשפחה, מרחב המדגם, שהוא רשימת כל המשפחות האפשריות, משתנה, כיוון שעליו לכלול גם את המידע שאומר איזה ילד נבחר מבין שני הילדים, לתהליך הזה יש 8 תוצאות אפשריות, וכולן שוות הסתברות:
# הבכור בן, הצעיר בן, הבכור נבחר
# הבכור בן, הצעיר בן, הצעיר נבחר
# הבכור בן, הצעירה בת, הבכור נבחר
# הבכור בן, הצעירה בת, הצעירה נבחרה
# הבכורה בת, הצעיר בן, הבכורה נבחרה
# הבכורה בת, הצעיר בן, הצעיר נבחר
# הבכורה בת, הצעירה בת, הבכורה נבחרה
# הבכורה בת, הצעירה בת, הצעירה נבחרה
יש בסך הכל 4 אפשרויות שבהן יש לפחות בן אחד ומינו דווח (אפשרויות מספר 1, 2, 3 ו-6). מתוכן רק בשתי אפשרויות יש שני בנים (אפשרויות 1 ו-2). לכן ההסתברות היא 2/4, כלומר 1/2.

== וריאציות ==
קיימות וריאציות רבות של החידה. וריאציה נפוצה היא כאשר מדווחת אינפורמציה נוספת אודות הילד (או הילדה). אינפורמציה כזו יכולה להיות, למשל, אזכור כי הבן נולד ביום שלישי, או ציון שמו של הבן, כאשר בדרך כלל מדובר בשם נדיר יחסית, כמו עזריאל. מסתבר כי כאשר נוספת אינפורמציה, מרחב המדגם משתנה, כמו גם ההסתברויות של המאורעות במרחב המדגם.

נדון לדוגמה בשאלה בה ידוע לנו כי אחד הילדים הוא בן, וכי הוא נולד ביום שלישי. במקרה זה יש במרחב המדגם 9 מאורעות אפשריים. להלן המאורעות והסתברויותיהם, כאשר ההסתברות כי ילד נולד ביום שלישי מסומנת באות היוונית ε: 
#בן בכור נולד ביום שלישי, בן צעיר נולד ביום שלישי. הסתברות: <math>0.25\epsilon^2</math>
#בן בכור נולד ביום שלישי, בן צעיר לא נולד ביום שלישי. הסתברות: <math>0.25\epsilon(1-\epsilon)</math>
#בן בכור נולד ביום שלישי, הצעירה בת. הסתברות: <math>0.25\epsilon</math>
#בן בכור לא נולד ביום שלישי, בן צעיר נולד ביום שלישי. הסתברות: <math>0.25\epsilon(1-\epsilon)</math>
#בן בכור לא נולד ביום שלישי, בן צעיר לא נולד ביום שלישי. הסתברות: <math>0.25(1-\epsilon)^2</math>
# בן בכור לא נולד ביום שלישי, הצעירה בת. הסתברות: <math>0.25(1-\epsilon)</math>
# בת בכורה, בן צעיר נולד ביום שלישי. הסתברות: <math>0.25\epsilon</math>
# בת בכורה, בן צעיר לא נולד ביום שלישי. הסתברות: <math>0.25(1-\epsilon)</math>.
# שתי בנות. הסתברות:<math>0.25</math>

המאורעות שבהם שני בנים שלפחות אחד מהם נולד ביום שלישי הם 1, 2, ו-4. המאורעות שבהם יש לפחות בן אחד שנולד ביום שלישי הם מספר 1, 2, 3, 4, ו-7 ברשימה. מכאן שההסתברות כי במשפחה יש שני בנים היא:

<math>