פונקציה מדידה

במתמטיקה, בתחום תורת המידה, פונקציה מדידה היא פונקציה שהתחום והטווח שלה הם מרחבים מדידים, והמקור תחת הפונקציה של קבוצה מדידה, הוא קבוצה מדידה.
בניסוח פורמלי, אם <math>\ (X,\mathcal{M}_X), (Y,\mathcal{M}_Y)</math> הם מרחבים מדידים, אז <math>\ f:(X,\mathcal{M}_X)\rightarrow(Y,\mathcal{M}_Y)</math> היא פונקציה מדידה אם
<math>\ \forall V \in \mathcal{M}_y \ : \ f^{-1}(V) \in \mathcal{M}_x</math>.

אם נתון מרחב טופולוגי <math>\ X</math>, ניתן להתייחס אליו בתור מרחב מידה עם אלגברת בורל, כלומר, קבוצת הפונקציות המדידות היא ה <math>\ \sigma</math>-אלגברה הנוצרת על ידי הקבוצות הפתוחות.

לפונקציות אלה חשיבות רבה בתורת המידה ובאנליזה מתמטית, מכיוון שהן המועמדות היחידות להיות אינטגרביליות, ומסיבות דומות - גם בתורת ההסתברות (משתנים מקריים הם פונקציות מדידות ביחס למרחב הסתברות ולישר הממשי, בהתאמה). ההרכבה של פונקציה מדידה על פונקציה רציפה, היא פונקציה מדידה.

==מקרים מיוחדים==

* פונקציה מדידה <math>\ f:(X,\mathcal{B}_X)\rightarrow(Y,\mathcal{B}_Y)</math> נקראת מדידת בורל כאשר <math>\ \mathcal{B}_X, \mathcal{B}_Y</math> הן אלגבראות בורל. כל פונקציה רציפה היא מדידת בורל, אך לא כל פונקציה מדידת בורל היא פונקציה רציפה.
* פונקציה מדידה <math>\ f:(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n)\rightarrow(\mathbb{R},\mathcal{B})</math> נקראת מדידת לבג אם <math>\mathcal{B}</math> אלגברת בורל ו <math>\mathcal{L}_n</math> היא סיגמה אלגברה של לבג.
* תהא f פונקציה <math>\ f:(X,\mathcal{M}_X)\rightarrow(\mathbb{R},\mathcal{B})</math>, אז הפונקציה מדידה אם מתקיים אחד התנאים הבאים
# לכל <math>t\in\mathbb{R}</math> הקבוצה <math>\{x\in X \mid f(x)>t \}</math> מדידה
# לכל <math>t\in\mathbb{R}</math> הקבוצה <math>\{x\in X \mid f(x)\geq t \}</math> מדידה
# לכל <math>t\in\mathbb{R}</math> הקבוצה <math>\{x\in X \mid f(x)<t \}</math> מדידה
# לכל <math>t\in\mathbb{R}</math> הקבוצה <math>\{x\in X \mid f(x)\leq t \}</math> מדידה
# לכל <math>U\in\mathcal{B}</math> הקבוצה <math>\ f^{-1}(U)</math> מדידה

==תכונות==
* אם הפונקציות <math>\ g:(Y,\mathcal{M}_Y)\rightarrow(Z,\mathcal{M}_Y)</math>, <math>\ f:(X,\mathcal{M}_X)\rightarrow(Y,\mathcal{M}_Y)</math> מדידות, אז ההרכבה שלהן <math>g\circ f</math> היא פונקציה מדידה.
* אם <math>\ f,g:(X,\mathcal{M}_X)\rightarrow(\mathbb{R},\mathcal{B})</math> מדידות, אז הסכום והכפל שלהן מדיד. אם <math>\forall x\in X , g(x)\neq 0</math> אז גם הפונקציה <math>\frac{f}{g}</math> מדידה.
* אם <math>\ f_n:(X,\mathcal{M}_X)\rightarrow(\mathbb{R},\mathcal{B})</math> מדידות אז גם <math>\sup_n f_n,\; \inf_n f_n,\; \limsup_n f_n, \; \liminf_n f_n</math> מדידות. אם קיים הגבול, אז גם <math>\lim_n f_n</math> מדידה.
* אם <math>\ f:(X,\mathcal{M}_X)\rightarrow(Y,\mathcal{M}_Y)</math> ו-<math>C</math> קבוצת תת-קבוצות של <math>Y</math> עבורה <math>\sigma (C) = \mathcal{M}_Y</math>, אז <math>f</math> מדידה אם ורק אם <math>\forall A \in C : {f}^{-1}(A) \in \mathcal{M}_X</math>. במילים, מספיק לבדוק מדידות ל"קבוצה פורשת" של הסיגמא-אלגברה.

==קירוב של פונקציה מדידה==
פונקציה פשוטה היא פונקציה המקבלת מספר סופי של ערכים.
יהא <math>\ X</math> מרחב ו <math>\{A_k \}_1 ^n</math> קבוצות זרות במרחב, אז פונקציה ממשית פשוטה היא פונקציה מהצורה
<math display="block">\ s(x)=\sum _1 ^n \alpha_k \chi_{A_k}(x)</math>
כאשר <math>\chi_{A_k}</math> היא הפונקציה מציינת.
אם <math>\ (X, \mathcal{M}_X)</math> מרחב מדיד ו <math>\ A_k</math> קבוצות מדידות, אז <math>\ s(x)</math> נקראת פונקציה מדידה פשוטה.

משפט: לכל פונקציה מדידה <math>\ f:(X,\mathcal{M}_X)\rightarrow(\mathbb{R},\mathcal{B})</math>, קיימת סדרה <math>\ s_n\ :(X,\mathcal{M}_X)\rightarrow(\mathbb{R},\mathcal{B})</math> של פונקציות פשוטות מדידות, כך ש <math>\ \lim_{n\rightarrow\infty} s_n = f</math> נקודתית. אם <math>\ f\geq 0</math> ניתן לבחור את הסדרה כך ש <math>0 \leq s_n \leq s_{n+1}</math> ובאופן כללי ניתן לבחור את הסדרה כך ש <math>0 \leq |s_n| \leq |s_{n+1}|</math>

==ראו גם==
* תורת המידה
* סיגמא-אלגברה
* מידה (מתמטיקה)
* השווה גם הגדרה של פונקציה רציפה במרחב טופולוגי.
==קישורים חיצוניים==

* 

קטגוריה:תורת המידה
מדידה