חוג חבורה

באלגברה, חוג חבורה הוא מודול חופשי מעל חוג <math>R</math> יחד עם פעולת כפל המתאימה לחבורה <math>G</math>. 
לחוג החבורה חשיבות רבה בתחום תורת ההצגות.

== הגדרה ==
יהא <math>R</math> חוג ו-<math>G</math> חבורה, אז חוג החבורה <math>R[G]</math> מוגדר להיות המודול החופשי מעל <math>R</math> ש-<math>G</math> הוא בסיס שלו, עם הכפל המושרה מ-<math>G</math>. 

===הגדרה מפורטת ===
אברי חוג החבורה הם הפונקציות <math>f</math> מ-<math>G</math> ל-<math>R</math> עם תומך סופי, כלומר <math>f(g)=0</math> פרט למספר סופי של <math>g \in G</math>. החיבור והכפל בסקלר מוגדרים ע"י
* <math>(f_1+f_2)(g)=f_1(g) + f_2 (g)</math>
* <math>(\alpha \cdot f)(g)=\alpha(f(g))</math>
כאשר <math>f_1,f_2,f \in R[G]</math> הם איברים בחוג, <math>g\in G</math> ו-<math>\alpha \in R</math> הוא סקלר.
הכפל של שני איברים <math>f_1,f_2 \in R[G]</math> מוגדר על ידי קונבולוציה
* <math>(f_1*f_2)(g)=\sum_{h\in G} f_1(h)\cdot f_2(h^{-1}g)</math>
מאחר ש-<math>f_1, f_2</math> מתאפסות פרט למספר סופי של <math>g\in G</math> אז הסכום הנ"ל סופי ולכן מוגדר היטב.

נסמן ב-<math>\chi_g \in R[G]</math> את הפונקציה שמקבלת 1 ב-<math>g</math> ואפס אחרת, אז כל איבר <math>f \in R[G]</math> ניתן לייצוג על ידי 
<math display="block">f = \sum_{g\in G} f(g) \chi_g</math>
כאשר הסכום הנ"ל סופי לפי הגדרת חוג החבורה. מכאן מקבלים שחוג החבורה נפרש כמודול על ידי הקבוצה <math>\{ \chi_g \mid g\in G\}</math> וניתן להראות שקבוצה זו מהווה בסיס למודול. הכפל של איברי החוג בייצוג זה מתקבל ע"י
* <math>\left(\sum_{g\in G} \alpha_g \chi_g \right) \cdot \left(\sum_{h\in G} \beta_g \chi_h \right) = \sum_{g,h\in G} \alpha_g \beta_h \chi_{gh}</math>
לעיתים נוהגים לסמן את <math>\chi_g</math> על ידי איבר החבורה <math>g</math> ואז איברי חוג החבורה הם האיברים מהצורה <math>\sum \alpha_g \cdot g</math> כאשר <math>\alpha_g \in R</math> הם כולם אפס פרט למספר סופי.

== תכונות ==

# תת-החוג <math>\{\alpha \cdot e \mid \alpha \in R \}</math> של חוג החבורה <math>R[G]</math> (כאשר <math>e</math> הוא האיבר הנייטרלי של החבורה) איזומורפי לחוג <math>R</math>.
# חבורת האיברים ההפיכים של חוג החבורה <math>R[G]</math>, מכילה תת-חבורה איזומורפית לחבורה <math>G</math> - זו התת-חבורה <math> \{ 1\cdot g \mid g\in G \}</math> (כאשר 1 הוא היחידה של החוג <math>R</math>).
# אם החוג <math>R</math> והחבורה <math>G</math> הם קומוטטיביים, אז גם חוג החבורה <math>R[G]</math> הוא קומוטטיבי.
# אם <math>H</math> היא תת-חבורה של <math>G</math> אז <math>R[H]</math> הוא תת-חוג של <math>R[G]</math>. בצורה דומה, אם <math>S</math> הוא תת-חוג של <math>R</math> אז <math>S[G]</math> הוא תת-חוג של <math>R[G]</math>.
# אם <math>R=F</math> שדה סגור אלגברית (או כל שדה המפצל את החבורה, כלומר שדה שמעליו <math>F[G]</math> מתפרקת לסכום ישר של חוגי מטריצות מעל <math>F</math>) אז מספר חוגי המטריצות המשתתפים בסכום (השווה למשל למספר האידיאלים המקסימליים של החוג) שווה למספר מחלקות הצמידות בחבורה.

==חוג החבורה בתורת ההצגות==

הצגה של חבורה <math>G</math> היא מרחב וקטורי <math>V</math> (מעל שדה <math>k</math> כלשהו) יחד עם הומומורפיזם <math>\pi:G\to Aut (V)</math>. על כל הצגה של <math>G</math> יש מבנה טבעי של מודול מעל <math>k[G]</math>. בנייה זו, מגדירה שקילות קטגורית בין קטגוריית ההצגות של <math>G</math> וקטגוריית המודולים מעל <math>k[G]</math>.

חוג החבורה מהווה בפני עצמו הצגה של <math>G</math> בשתי צורות שונות: פעולה על ידי כפל משמאל, פעולה על ידי כפל מימין (כדי שזאת תהיה הצגה יש להפוך תחילה את האיבר הפועל). הצגות אלה נקראות "ההצגה הרגולרית השמאלית" ו-"ההצגה הרגולרת הימנית" בהתאמה. יחד הן מגדירות את ההצגה הרגולרית הדו-צדדית, שהיא הצגה של <math>G \times G</math>.

אם <math>G</math> סופית ו-<math>k</math> סגור אלגברית ממציין 0, אז קיים איזומורפיזם: 
<center>
<math>k[G] \cong \bigoplus_{\pi \in irr(G)} End(\pi) \cong \bigoplus_{\pi \in irr(G)} \pi \otimes \pi^* </math>,
</center> 
כאשר <math>irr(G)</math> היא קבוצת ההצגות האי-פריקות של <math>G</math>. האיזומורפיזם הוא גם של אלגבראות וגם של הצגות של <math>G \times G</math>.

== המבנה של חוג החבורה ==

בעוד שבחקר חוגי החבורה (ובפרט אלגברות החבורה) של חבורות סופיות ישנם כלים כמו משפט משקה, המאפשרים לפענח את מבנה החוג (ודרכו, יש לקוות, את מבנה החבורות), במקרה בו החבורה <math>G</math> אינסופית, חוג החבורה יכול להיות בעל מבנה מסובך ביותר. 

אם שדה הבסיס הוא שדה ממאפיין אפס, חוג החבורה ראשוני למחצה לכל חבורה. חוג החבורה הוא ראשוני אם ורק אם חוג הבסיס, <math>R</math> ראשוני וגם לחבורה <math>G</math> אין תת-חבורות נורמליות סופיות (לא טריוויאליות). הדבר מתיישב עם הידוע מן המקרה הסופי, שם אלגברת החבורה לעולם איננה ראשונית (מכיוון שהחבורה כולה נורמלית סופית, ואמנם בכל חבורה יש לפחות שתי מחלקות צמידות ומכאן שהאלגברה מתפרקת למכפלה של חוגים). אלגברת החבורה (מעל שדה) היא תחום אם החבורה היא הרחבה חסרת פיתול של חבורה פתירה בחבורה סופית. אלגברת החבורה מעל שדה הוא פרימרי אם ורק אם אין בחבורה איברים מסדר סופי שמחלקת הצמידות שלהם סופית. פורמנק הוכיח שעבור חבורה שהיא מכפלה חופשית של חבורות גדולות דיין, אלגברת החבורה פרימיטיבית; אלגברת החבורה היא פרימיטיבית למחצה מעל כל שדה שאינו אלגברי מעל תת-השדה הראשוני שלו. 

חוג חבורה מקיים זהויות פולינומיות אם ורק אם החבורה כמעט-אבלית (virtually abelian, כלומר מכילה תת-חבורה אבלית מאינדקס סופי).

השערות קפלנסקי עוסקות באיברים של אלגברת החבורה (מעל שדה) של חבורה חסרת פיתול.
 
=== "חוג החבורה" של מונואיד ===

את החוג <math>R[M]</math> אפשר להגדיר גם כאשר <math>M</math> מונואיד, ולאו דווקא חבורה. אחד ההישגים היפים של תורת ההצגות של מונואידים הוא המשפט הבא (Kovacs, Okninski-Putcha, 1990): אם <math>q</math> חזקה של ראשוני ו-<math>K</math> שדה ממאפיין זר ל-<math>p</math>, אז <math> K(M_{n}(F_{q})) \cong \bigoplus_{r=0}^{n} M_{k_r}(Gl_{r}(F_{q}))</math> כאשר <math>k_{r} = _q</math> הוא מספר תת-המרחבים מממד <math>r</math> של <math>F_{q^n}</math>. בפרט, האלגברה פשוטה למחצה.

== חוג החבורה והחבורה ==

אחת השאלות היסודיות לגבי חוג החבורה היא בעיית האיזומורפיזם: האם חוג החבורה <math>\mathbb{Z}[G]</math> קובע את החבורה G. בעיית האיזומורפיזם קשורה להשערות זסנהאוז, העוסקות באיברים ההפיכים של <math>\mathbb{Z}[G]</math>. נסמן ב-<math>\mathbb{Z}[G]^1</math> את האיברים שסכום המקדמים שלהם 1 (זוהי חבורה כפלית).
* (השערת זסנהאוז הראשונה) כל איבר מסדר סופי ב-<math>\mathbb{Z}[G]</math> צמוד (ב-<math>\mathbb{Q}[G]</math>) לאיבר של <math>G</math> עד כדי סימן.
* (השערת זסנהאוז השלישית) כל תת-חבורה סופית של <math>\mathbb{Z}[G]^1</math> צמודה (כנ"ל) לתת-חבורה של <math>G</math>.
* (השערת זסנהאוז השנייה) אם <math>H</math> תת-חבורה של <math>\mathbb{Z}[G]^1</math> שסדרה שווה לזה של <math>G</math> ו-<math>\mathbb{Z}[G]=\mathbb{Z}[H]</math>, אז <math>H</math> צמודה (כנ"ל) ל-<math>G</math>.

השערה 3 גוררת את השערות 1 ו-2. השערה 2 גוררת פתרון לבעיית האיזומורפיזם (מעל השלמים). ידוע שהשערות אלה נכונות עבור חבורה נילפוטנטית. השערה 1 (וממילא גם 3) אינה נכונה באופן כללי. בעיית האיזומורפיזם המודולרית, השואלת האם חוג החבורה <math>\mathbb{F}_p[G]</math> של חבורת-p G קובע את החבורה, הופרכה. גם השערת קפלנסקי (האיברים ההפיכים באלגברת החבורה של חבורה חסרת פיתול מעל שדה הם כפולות בסקלר של אברי החבורה) הופרכה.

== חבורות טופולוגיות ==
אחת השיטות העיקריות לחקר חבורות אינסופיות הוא באמצעות ציודן בטופולוגיה מתאימה. חבורה שהיא גם מרחב טופולוגי (כך שפעולת הכפל היא העתקה רציפה) נקראת חבורה טופולוגית. לרוב המושגים של תורת החבורות (למשל: הומומורפיזם או הצגה) יש גרסה טופולוגית, בה אנו דורשים מההעתקות להיות רציפות. אם המושג מערב שדה אז יש להגדיר טופולוגיה עליו. 

ניתן אמנם להשתמש בהגדרה הכללית של אלגברת החבורה גם עבור חבורה טופולוגית, אבל היא איננה מתייחסת לטופולוגיה, ולכן אינה מתאימה לחקר החבורה כחבורה טופולוגית. קשה לתת הגדרה כללית של אלגברת החבורה של חבורה טופולוגית שתיקח בחשבון את הטופולוגיה. הסיבה לכך היא שמושג הקונבולוציה הוא בעייתי עבור חבורה טופולוגית כללית. 

עבור סוגים מסוימים של חבורות טופולוגיות ניתן להגדיר את חוג החבורה בכמה אופנים. לצורך הפשטות נניח מעתה כי חוג המקדמים <math>R</math> הוא שדה המרוכבים <math>\Complex</math>.

===חבורות קומפקטיות===

מקרה בו נוח להגדיר את אלגברת החבורה הוא כאשר החבורה קומפקטית. במקרה כזה קיימת מידת הסתברות <math>\mu</math> יחידה על החבורה שהיא אינווריאנטית לגבי כפל משמאל או מימין באיברי החבורה. מידה זאת נקראת מידת האר. אלגברת החבורה של חבורה קומפקטית מוגדרת בדרך כלל כאלגברת הפונקציות הרציפות
<math>\Complex[G]:=C(G,\Complex)</math> על <math>G</math>. כאשר הכפל מוגדר ע"י
<math display="block">(f_1*f_2)(g)=\int_{h\in G} f_1(h)\cdot f_2(h^{-1}g)d\mu</math>

בשונה מהמקרה הדיסקרטי, לאלגברת חבורה של חבורה קומפקטית כללית אין יחידה.
עם זאת, רוב התכונות של חבורות סופיות תקפות גם לחבורות קומפקטיות, עם שינויים קלים.

===חבורות קומפקטיות מקומית===
מקרה נוסף שבו ניתן להגדיר גרסה טופולוגית של אלגברת החבורה, הוא כשהחבורה קומפקטית מקומית. גם במקרה זה ניתן להגדיר את מידת האר, אינווריאנטית משמאל (או מימין), שהיא יחידה עד כדי כפל בסקלר. מכיוון שהחבורה אינה קומפקטית, מידת האר אינה סופית. 

לאלגברת החבורה של החבורה קומפקטית מקומית קיימות שתי גרסאות נפוצות: 
* אלגברת הפונקציות הרציפות עם תומך קומפקטי <math>C_c(G,\Complex)</math>.
* אלגברת הפונקציות <math>L^2</math> ביחס למידת האר <math>L^2(G,d\mu)</math>.

ניתן גם להגדיר את אלגברת החבורה בצורה אינווריאנטית יותר (ללא צורך לבחור מידת האר ספציפית, וללא העדפת המידה השמאלית על פני הימנית) בתור אלגברת המידות על <math>G</math>, שאותם ניתן לכתוב כמכפלה של מדת האר (כלשהי) ופונקציה רציפה עם תומך קומפקטי (או פונקציה <math>L^2</math> בגרסה השנייה).

===== חבורות לי=====

מחלקה חשובה של חבורות קומפקטיות מקומית היא חבורות לי. חבורת לי היא חבורה שנתון עליה מבנה של יריעה חלקה, כך שהעתקת הכפל היא העתקה חלקה.

אם <math>G</math> היא חבורות לי אז בנוסף לגרסאות הקודמות של אלגברת החבורה ניתן להגדיר גרסה נוספת:
* האלגברה <math>C^\infty_c(G,\Complex)</math> של הפונקציות החלקות על <math>G</math> בעלות תומך קומפקטי.
במקרים מסוימים ניתן גם להגדיר אלגבראות גדולות מעט יותר <math>S(G)</math> המכילות את פונקציות שוורץ על <math>G</math> דהיינו פונקציות חלקות על <math>G</math> אשר דועכות באינסוף בקצב מהיר. למושג פונקציית שוורץ יש מספר גרסאות, חלקן מוגדרות על חבורת לי כללית, וחלקן דורשות מבנה נוסף (למשל מבנה של חבורה אלגברית ממשית).

=====חבורות p-אדיות=====

בתורת המספרים (ובפרט בתוכנית לנגלנדס) עולה הצורך לדון בסוג נוסף של חבורות קומפקטיות מקומית – חבורות <math>p</math>-אדיות.
ברוב המקרים מדובר על תת-חבורות סגורות של חבורת המטריצות ההפיכות <math>GL_n \left(\Q_p\right)</math> מעל שדה המספרים ה-p-אדיים.
באופן כללי מעט יותר, נגדיר חבורת <math>I</math> בתור חבורה טופולוגית (האוסדורפית) קומפקטית מקומית שבה לאיבר הנייטרלי בסיס מקומי המורכב מתת-חבורות קומפקטיות פתוחות. נאמר שחבורה היא בת מנייה באינסוף אם יש לה כיסוי בן מנייה של קבוצות קומפקטיות. לחבורות אלה יש מידת האר מכיוון שהן קומפקטיות מקומית.

במקרה זה גרסה מוצלחת של חוג החבורה היא חוג הפונקציות של שוורץ על <math>G</math> ונסמנו <math>S(G)</math>. זהו חוג הפונקציות מן החבורה לשדה המספרים המרוכבים שהן:
# קבועות מקומית (כלומר, לכל נקודה יש סביבה שתמונת הפונקציה עליה קבועה) 
# בעלות תומך קומפקטי (בת"ק) כלומר, קבוצת האיברים בחבורה שהפונקציה איננה מאפסת הם קבוצה קומפקטית). 

שוב על מנת להגדיר את פעולת הכפל (קונבולוציה) יש לבחור מידת האר. גם כאן ניתן להימנע מזה על ידי הגדרה של מחלקה מתאימה של מידות – מדות שוורץ.
לשם כך יש להתבונן במרחב הדואלי, מרחב התפלגויות. כלומר, במרחב <math>S^*(G)</math> שהוא מרחב הפונקציונלים הליניאריים על 
<math>S(G)</math>. מרחב זה מכיל את החוג של התפלגויות בעלות תומך קומפקטי, 
התומך של התפלגות הוא קבוצת האיברים בחבורה שהצמצום של ההתפלגות לכל סביבה שלהן איננו התפלגות האפס. את חוג ההתפלגויות בעלות התומך הקומפקטי נסמן <math>S^*_c(G)</math>. לחוג זה תת-חוג <math>H(G)</math> של ההתפלגויות בעלות תומך קומפקטי וקבועות מקומית (נקבעות על ידי תת-חבורה פתוחה). באמצעות כפל במידת האר ניתן להגדיר איזומורפיזם
<math display="block">S(G) \cong H(G)</math>
בדומה למקרה הסופי, לחוג החבורה של חבורת <math>I</math> יש קשר הדוק להצגות של החבורה. נגדיר הצגה חלקה (מרוכבת; של חבורת <math>I</math> בת מנייה באינסוף) כהומומורפיזם מן החבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי (לאו דווקא מממד סופי) מעל שדה המספרים המרוכבים כך שהמייצב של כל וקטור במרחב הוא תת-חבורה פתוחה (ניתן לפרש כרגיל את המרחב הווקטורי כמודול מעל החבורה). במקרה זה תקפה הגרסה הבאה של הלמה של שור: נניח כי <math>\pi</math> הצגה חלקה של חבורת l בת מנייה באינסוף, ונניח שהיא אי פריקה (כלומר אין תת-מרחב אינווריאנטי אמיתי), אזי <math>Hom_G \left(\pi,\pi\right)</math> מכילה אופרטורים סקלריים בלבד.

כעת ניתן לנסח אנלוגיה למקרה של חבורות סופיות: קטגוריית ההצגות החלקות של <math>G</math> שקולה באופן טבעי לקטגוריית המודולים מעל <math>H(G)</math>.

== קישורים חיצוניים ==
* 

* Bernshtein, Zelevinskii, Representations of the group <math>GL_n \left(F\right)</math> where <math>F</math> is a non-archimedian local field
==הערות שוליים==

קטגוריה:תורת ההצגות
קטגוריה:תורת החוגים