תגובה להלם (עיבוד אותות)

בעיבוד אותות, התגובה להלם של מערכת ליניארית היא מוצא המערכת עבור כניסה של פונקציית הלם. התגובה להלם של מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן מאפיינת אותה באופן מלא, כלומר ניתן בעזרתה לחשב את מוצא המערכת עבור כל כניסה.

==הגדרה==
מערכת ליניארית כללית מתוארת על ידי:
:<math>y(t)=O(x(t))</math> (לעיתים מסומן <math>y(t)=\mathcal{H}\{x(t)\}</math>).

כאשר <math>x(t)</math> היא הפונקציה הנכנסת למערכת, <math>y(t)</math> היא הפונקציה שבמוצא המערכת ו-<math>O</math> האופרטור הליניארי המגדיר את המערכת ומקשר ביניהן. ברוב המקרים הפונקציות הן של הזמן. כתוצאה מהלינאריות של האופרטור, לכל שתי כניסות <math>x_1(t)</math> ו-<math>x_2(t)</math> ולכל שני סקלרים c<sub>1</sub> ו-c<sub>2</sub> מתקיים:
:<math>O(c_1x_1(t)+c_2x_2(t))=c_1O(x_1(t))+c_2O(x_2(t))=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)</math>

פונקציית התגובה להלם של מערכת ליניארית היא יציאת המערכת עבור כניסת פונקציית הלם (פונקציית דלתא של דיראק):
:<math>h(t_1,t_2) \equiv y(t) |_{t=t_2}= O(\delta(t-t_1))_{t=t_2}</math>

אחת התכונות של פונקציית דלתא של דיראק היא שניתן לכתוב בעזרתה פונקציה כללית בצורה הבאה:
:<math>x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t_1) \delta(t-t_1) dt_1 \,</math>

עקב תכונת הליניאריות של האופרטור, מוצא המערכת עבור הכניסה הכללית הוא:
:<math>y(t) = O(x(t)) = O\left(\int_{-\infty}^{\infty} x(t_1) \delta(t-t_1) dt_1\right) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t_1) O(\delta(t-t_1)) dt_1 = \int_{-\infty}^{\infty} x(t_1) h(t,t_1) dt_1</math>
התגובה להלם היא למעשה פונקציית גרין של המשוואה המגדירה אותה, והשוויון לעיל הוא משפט גרין. התוצאה היא שהתגובה להלם של מערכת ליניארית מאפיינת אותה באופן מלא, וניתן בעזרתה לחשב את מוצא המערכת עבור כל כניסה שהיא. בעיבוד אותות, מערכת מוגדרת על ידי התגובה להלם שלה ולא על ידי אופרטור.

==מערכות LTI==

מערכת ליניארית בלתי משתנה בזמן (באנגלית: Linear Time-Invariant, ובקיצור: מערכת LTI) היא מערכת ליניארית שבה גם מתקיים:
:<math>y(t+\tau)=O(x(t+\tau))</math>
לכל <math>\tau</math>. במערכת כזו התגובה להלם תלויה רק בהפרש הזמנים מרגע כניסת ההלם ולא ברגע ההלם עצמו. כתוצאה מכך, התגובה להלם היא פונקציה רק של ההפרש בין שני המשתנים שלה, כלומר של משתנה אחד. מוצא המערכת הוא קונבולוציה בין התגובה להלם לכניסה:
:<math>y(t) = x(t) * h(t) = \ \int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau)\cdot h(\tau) \, \operatorname{d}\tau</math>

תכונה זו הופכת מערכות LTI לנוחות במיוחד לניתוח במרחב התדר . לפי משפט הקונבולוציה, מתקיים:
:<math>Y(s) = H(s)X(s)</math>
כאשר הפונקציות המסומנות באותיות הגדולות הן התמרת לפלס של הפונקציות המסומנות באותיות הקטנות. המכפלה שלהן פשוטה לחישוב הרבה יותר מאשר פעולת הקונבולוציה. הפונקציה <math>H(s)</math> נקראת פונקציית התמסורת של המערכת והיא ניתנת לחישוב בקלות על ידי לקיחת התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה הדיפרנציאלית, שהופכת כך למשוואה אלגברית.

דוגמה למערכת כזו היא מערכת המתוארת על ידי משוואה דיפרנציאלית ליניארית מהצורה:
:<math>\frac{d^n y}{dt^n} + A_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} + \cdots +
A_1\frac{dy}{dt} + A_0y(t) = B_m\frac{d^m x}{dt^m} + B_{m-1}\frac{d^{m-1}x}{dt^{m-1}} + \cdots +
B_1\frac{dx}{dt} + B_0x(t)</math>
כאשר המקדמים <math>A_1...A_n, B_0...B_m</math> הם קבועים שאינם תלוים בזמן. לאחר לקיחת התמרת לפלס לשני אגפי המשוואה מתקבלת פונקציית תמסורת שהיא פונקציה רציונלית - מנה של שני פולינומים:
:<math>H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{B_ms^m+B_{m-1}s^{m-1}+...+B_1s+B_0}{s^n+A_{n-1}s^{n-1}+...+A_1s+A_0}</math>

התגובה להלם, שהיא התמרת לפלס הפוכה של פונקציה זו, היא סכום של פונקציות מעריכיות (שיכולות להיות גם אקספוננטים מרוכבים) שכל אחת מהן היא התמרת לפלס של שבר חלקי בפירוק לשברים חלקיים של פונקציית התמסורת. אם קיימת לתגובה להלם התמרת פורייה מתכנסת, ההתמרה של התגובה להלם, הנקראת תגובת התדר של המערכת, מסומנת <math>H(\omega)</math>. לחלופין, היא ניתנת לחישוב על ידי הצבת <math>s=i\omega</math> בפונקציית התמסורת והתגובה להלם תתקבל על ידי התמרת פורייה הפוכה.

==קישורים חיצוניים==

קטגוריה:עיבוד אותות
קטגוריה:תורת הבקרה