התמרת Z

במתמטיקה ובעיבוד אותות, התמרת Z היא התמרה הממירה אות בדיד בתחום הזמן, שהוא סדרה של מספרים ממשיים או מרוכבים, לייצוג מרוכב במרחב התדר. זוהי למעשה ההתמרה המקבילה להתמרת לפלס הפועלת על אותות רציפים. היא מהווה הכללה של פיתוח לטורי פורייה המרוכבים לכל המישור המרוכב ולא רק למעגל היחידה. ישנם שימושים רבים להתמרה זו במערכות בקרה ומערכות משוב.

== הגדרה ==
התמרת Z, בדומה להתמרות אינטגרליות אחרות, מחולקת לשתי התמרות - חד-צדדית ודו-צדדית.

=== התמרת Z דו-צדדית ===
התמרת Z דו-צדדית של אות בזמן בדיד <math>\ x[n]</math> היא הפונקציה <math>\ X(z)</math> המוגדרת כך:
:<math>X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \ </math>

כאשר <math>\ n</math> הוא מספר שלם, ו-<math>\ z</math> הוא מספר מרוכב.

=== התמרת Z חד-צדדית ===
באופן אלטרנטיבי, במקרים בהם <math>\ x[n]</math> מוגדר רק עבור ערכי n אי-שליליים, ניתן להשתמש בהתמרת Z החד-צדדית:
:<math>X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} \ </math>

בעיבוד אותות, הגדרת ההתמרה החד-צדדית משמשת במקרים בהם האות הוא סיבתי.

דוגמה חשובה להתמרת Z החד-צדדית היא פונקציה יוצרת הסתברות, כאשר <math>\ x[n]</math> היא ההסתברות שמשתנה מקרי בדיד יקבל את הערך n, ו-<math>\ X(z)</math> נכתבת בדרך-כלל במונחי <math>\ s=z^{-1}</math>. מאפייניה של התמרת Z שימושיים בהקשר זה של תורת ההסתברות.

== ההתמרה ההפוכה ==
התמרת Z ההפוכה היא:
:<math> x[n] = \mathcal{Z}^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz \ </math>

כאשר <math>\ C</math> הוא קונטור סגור המקיף את ראשית הצירים שכל השטח הכלוא בו נמצא בתחום ההתכנסות של ההתמרה. האיטגרל מבוצע בכיוון הפוך לכיוון השעון. על הקונטור C להכיל את כל הקטבים של ההתמרה <math>\ X(z)</math>.

מקרה מיוחד מתקבל כאשר הקונטור הוא מעגל היחידה (בו ניתן להשתמש רק כאשר תחום ההתכנסות כולל את מעגל היחידה). במקרה זה, התמרת Z ההפוכה מצטמצמת לכדי התמרת פורייה ההפוכה לאותות בדידים:
:<math> x[n] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi} X(e^{j \omega}) e^{j \omega n} d \omega \ </math> .

== תחום ההתכנסות ==
תחום ההתכנסות (Region of Convergence; ROC) של ההתמרה הוא קבוצת הנקודות במישור המרוכב בהן ההתמרה מתכנסת:
:<math>ROC = \left\{ z : \left|\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\right| < \infty \right\} </math>

=== דוגמה 1 ===
=0.5</math> משורטט בקו שחור מקווקו. תחום ההתכנסות של האות שבדוגמה 2 הוא התחום הלבן.
נתבונן למשל באות <math>x[n] = 0.5^n\ </math>. ההתמרה הדו-צדדית שלו אינה מתכנסת באף נקודה, מאחר שהאות מתבדר כאשר n שואף ל-<math>\ -\infty</math>. לעומת זאת, ההתמרה החד-צדדית שלו כן מתכנסת באזור מסוים. נבחן זאת:

:<math>\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}0.5^nz^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{0.5}{z}\right)^n = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}\ </math>

השוויון האחרון נגזר מסכומו של טור גאומטרי, כאשר זה האחרון מתכנס רק כאשר <math>\ |0.5z^{-1}|<1</math>, או בניסוח חלופי, כאשר <math>\ |z|>0.5</math>. לכן, תחום ההתכנסות של ההתמרה הוא כל המישור המרוכב, פרט לעיגול שמרכזו בראשית ורדיוסו 0.5.

=== דוגמה 2 ===
כעת נבחן את האות <math>\ x[n] = -(0.5)^n u[-n-1]\ </math> (כאשר <math>\ u</math> היא פונקציית מדרגה). חישוב ההתמרה:

:<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1}0.5^nz^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1}\left(\frac{z}{0.5}\right)^{-n}\ </math>
:<math>= -\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{z}{0.5}\right)^{m} = -\frac{0.5^{-1}z}{1 - 0.5^{-1}z} = \frac{z}{z - 0.5} = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}\ </math>

שוב, הטור הגאומטרי מתכנס (והשוויון שלעיל מתקיים) רק כאשר <math>\ |2z|<1</math> או כאשר <math>\ |z|<0.5</math>. כלומר, תחום ההתכנסות במקרה זה הוא עיגול שמרכזו בראשית ורדיוסו 0.5 (זהו למעשה התחום המשלים של ההתמרה הקודמת).

דוגמה זו באה להדגיש כי אותות שונים עשויים להיות בעלי התמרות זהות, אך בעלי תחומי התכנסות שונים. ההתמרה לבדה אינה מספיקה אם כן, ויש צורך בידיעת תחום ההתכנסות גם כן.

=== מסקנה ===
שתי הדוגמאות ממחישות כי ההתמרה <math>\ X(z)</math> של האות <math>\ x[n]</math> היא ייחודית רק כאשר היא מלווה בתחום ההתכנסות המתאים. ציור מפת הקטבים והאפסים של שתי הדוגמאות עשוי להראות כי תחומי ההתכנסות בשני המקרים אינם כוללים את הקוטב של ההתמרה שנמצא ב-<math>\ z=0.5</math>. התכונה נכונה באופן כללי להתמרות בעלות מספר קטבים: תחום ההתכנסות לעולם לא יכיל בתוכו את קטבי ההתמרה.

יציבותה של מערכת יכולה להיקבע עם ידיעת תחום ההתכנסות לבדו. אם תחום ההתכנסות כולל את מעגל היחידה, אז המערכת יציבה. בדוגמאות שלעיל, הדוגמה הראשונה (בהתמרה החד-צדדית) עשויה לייצג מערכת יציבה, מאחר שתחום ההתכנסות (<math>\ |z|>0.5</math>) כולל את מעגל היחידה.

== מאפייני ההתמרה ==
{| class="wikitable"
 |+ מאפייני התמרת Z
 !
 ! מרחב הזמן
	! מרחב z
 ! תחום ההתכנסות
 |-
 ! סימון
	| <math>x[n]=\mathcal{Z}^{-1}\{X(z)\}</math>
	| <math>X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}</math>
	| ROC: <math>r_2<|z|<r_1 \ </math>
 |-
 ! ליניאריות
	| <math>a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n]\ </math>
	| <math>a_1 X_1(z) + a_2 X_2(z) \ </math>
	| לפחות החיתוך של <sub>1</sub> ו-ROC<sub>2</sub>
 |-
 ! שיהוי בזמן
	| <math>x[n-k]\ </math>
	| <math>z^{-k}X(z) \ </math>
	| ROC, מלבד <math>z=0\ </math> אם <math>k>0\,</math> ו-<math>z=\infty</math> אם <math>k<0\ </math>
|-
 ! הזזה בזמן
	| <math>x[n+k]\ </math>
	| <math>z^{k}(X(z)-x(0)-z^{-1}x(1)...-z^{1-k}x(k-1)) \ </math>
	| ROC, מלבד <math>z=0\ </math> אם <math>k>0\,</math> ו-<math>z=\infty</math> אם <math>k<0\ </math>
 |-
 ! כיווץ/הרחבה במרחב z
	| <math>a^n x[n]\ </math>
	| <math>X(a^{-1}z) \ </math>
	| <math>|a|r_2<|z|<|a|r_1 \ </math>
 |-
 ! היפוך בזמן
	| <math>x[-n]\ </math>
	| <math>X(z^{-1}) \ </math>
	| <math>\frac{1}{r_1}<|z|<\frac{1}{r_2} \ </math>
 |-
 ! צמוד מרוכב
	| <math>x^*[n]\ </math>
	| <math>X^*(z^*) \ </math>
	| ROC
 |-
 ! החלק הממשי
	| <math>\operatorname{Re}\{x[n]\}\ </math>
	| <math>\frac{1}{2}\left[X(z)+X^*(z^*) \right]</math>
	| ROC
 |-
 ! החלק המדומה
	| <math>\operatorname{Im}\{x[n]\}\ </math>
	| <math>\frac{1}{2j}\left[X(z)-X^*(z^*) \right]</math>
	| ROC
 |-
 ! גזירה
	| <math>nx[n]\ </math>
	| <math> -z \frac{dX(z)}{dz}</math>
	| ROC
 |-
 ! קונבולוציה
	| <math>x_1[n] * x_2[n]\ </math>
	| <math>X_1(z)X_2(z) \ </math>
	| לפחות החיתוך של ROC<sub>1</sub> ו-ROC<sub>2</sub>
 |-
 ! סכימה
	| <math>\sum_{k=-\infty}^{n} x[k]\ </math>
	| <math> \frac{1}{1-z^{-1} }X(z)</math>
	| לפחות החיתוך של X<sub>1</sub>(z) ו-<math>|z|>1</math>
 |-
 ! הכפלה בזמן
	| <math>x_1[n]x_2[n]\ </math>
	| <math>\frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X_2(\frac{z}{v})v^{-1}\mathrm{d}v \ </math>
	| לפחות <math>r_{1l}r_{2l}<|z|<r_{1u}r_{2u} \ </math>
 |-
 ! זהות פרסבל
	| <math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]x^*_2[n]\ </math>
	| <math>\frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X^*_2(\frac{1}{v^*})v^{-1}\mathrm{d}v \ </math>
	|
|}
* משפט הערך ההתחלתי
::<math>x[0]=\lim_{z\rightarrow \infty}X(z) \ </math>, אם <math>x[n]\,</math> סיבתי
* משפט הערך הסופי
:: <math>x[\infty]=\lim_{z\rightarrow 1}(1-z^{-1})X(z) \ </math>, רק אם הקטבים של <math>(1-z^{-1})X(z) \ </math> נמצאים בתוך מעגל היחידה.

==טבלת התמרות נפוצות==
כאן:
* <math>u[n] = 1</math> עבור <math>n\ge0</math>, <math>u[n]=0</math> עבור <math>n<0</math>.
* <math>\delta [n] = 1</math> עבור <math>n=0</math>, אחרת <math>\delta [n] = 0</math>.

{| class="wikitable" cellpadding=5
|-
! !! אות, <math>x[n]</math> !! התמרה, <math>X(z)</math> !! תחום התכנסות
|-
| 1 || <math>\delta[n] \, </math> || <math>1\, </math> || <math> \mbox{all }z\, </math>
|-
| 2 || <math>\delta[n-n_0] \,</math> || <math> z^{-n_0} \, </math> || <math> z \neq 0\,</math>
|-
| 3 || <math>u[n] \,</math> || <math> \frac{1}{1-z^{-1} }</math> || <math>|z| > 1\,</math>
|-
| 4 || <math>- u[-n-1] \,</math> || <math> \frac{1}{1 - z^{-1}}</math> ||<math>|z| < 1\,</math>
|-
| 5 || <math>n u[n] \,</math> || <math> \frac{z^{-1}}{( 1-z^{-1} )^2}</math> || <math>|z| > 1\,</math>
|-
| 6 || <math> - n u[-n-1] \,</math> || <math> \frac{z^{-1} }{ (1 - z^{-1})^2 }</math> ||<math> |z| < 1 \,</math>
|-
| 7 || <math>n^2 u[n] \,</math> || <math> \frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3} </math> || <math>|z| > 1\,</math>
|-
| 8 || <math> - n^2 u[-n - 1] \,</math> || <math> \frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3} </math> || <math>|z| < 1\,</math>
|-
| 9 || <math>n^3 u[n] \,</math> || <math> \frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4} </math> || <math>|z| > 1\,</math>
|-
| 10 || <math>- n^3 u[-n -1] \,</math> || <math> \frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4} </math> || <math>|z| < 1\,</math>
|-
| 11 || <math>a^n u[n] \,</math> || <math> \frac{1}{1-a z^{-1}}</math> ||<math> |z| > |a|\,</math>
|-
| 12 || <math>-a^n u[-n-1] \,</math> || <math> \frac{1}{1-a z^{-1}}</math> ||<math>|z| < |a|\,</math>
|-
| 13 || <math>n a^n u[n] \,</math> || <math> \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }</math> || <math>|z| > |a|\,</math>
|-
| 14 || <math>-n a^n u[-n-1] \,</math> || <math> \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }</math> ||<math> |z| < |a|\,</math>
|-
| 15 || <math>n^2 a^n u[n] \,</math> || <math> \frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3} </math> || <math>|z| > |a|\,</math>
|-
| 16 || <math>- n^2 a^n u[-n -1] \,</math> || <math> \frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3} </math> || <math>|z| < |a|\,</math>
|-
| 17 || <math>\cos(\omega_0 n) u[n] \,</math> || <math> \frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }</math> ||<math> |z| >1\,</math>
|-
| 18 || <math>\sin(\omega_0 n) u[n] \,</math> || <math> \frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }</math> ||<math> |z| >1\,</math>
|-
| 19 || <math>a^n \cos(\omega_0 n) u[n] \,</math> || <math> \frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }</math> ||<math> |z| > |a|\,</math>
|-
| 20 || <math>a^n \sin(\omega_0 n) u[n] \,</math> || <math> \frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }</math> ||<math> |z| > |a|\,</math>
|}

== התמרת Z והתמרות לפלס ופורייה ==
התמרת Z הדו-צדדית היא למעשה התמרת לפלס הדו-צדדית של דגימה אידיאלית של פונקציה:
:<math> x_{s}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \delta(t-nT) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \delta(t-nT) \ </math>
כאשר <math>\ x_s(t)</math> היא פונקציה בזמן רציף הדוגמת את האות <math>\ x(t)</math>, האות <math>\ x[n]=x(nT)</math> הוא הדגימה ה-n-ית, ו-T הוא מחזור הדגימה. ההתמרות זהות ביחס להחלפה <math>\ z=e^{sT}</math>.

באופן דומה, התמרת Z החד-צדדית היא למעשה התמרת לפלס (החד-צדדית) של דגימה אידיאלית של פונקציה.

יתר על כן, התמרת Z היא הכללה של התמרת פורייה בזמן בדיד (DTFT). ניתן לעבור בין התמרת Z להתמרת פורייה על ידי ההחלפה <math>\ z=e^{jw}</math>, או במילים אחרות, לחשב את התמרת Z על מעגל היחידה. על מנת למצוא את תגובת התדר של המערכת, יש לחשב את התמרת Z על מעגל היחידה, כלומר תחום ההתכנסות של ההתמרה חייב להכיל את מעגל היחידה. אם הוא איננו מכיל את מעגל היחידה, אזי התמרת פורייה DTFT של המערכת אינה קיימת.

== משוואת הפרשים ליניארית במקדמים קבועים ==
נתבונן במשוואת הפרשים ליניארית בעלת מקדמים קבועים:
:<math>\sum_{p=0}^{N}y[n-p]\alpha_{p} = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q}\ </math>

או בצורה שקולה:
:<math>y[n] = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q} - \sum_{p=1}^{N}y[n-p]\alpha_{p}\ </math>

=== פונקציית תמסורת ===

נפעיל את התמרת Z על שני האגפים של המשוואה לעיל, ותוך שימוש בתכונות הליניאריות וההזזה בזמן נקבל:
:<math>Y(z) \sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p} = X(z) \sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}\ </math>

נסדר את המשוואה ונקבל את פונקציית התמסורת המתאימה (היחס בין המוצא <math>\ Y(z)</math> לכניסה <math>\ X(z)</math>):
:<math>H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}}{\sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p}} = \frac{\beta_0 + z^{-1} \beta_1 + z^{-2} \beta_2 + \cdots + z^{-M} \beta_M}{\alpha_0 + z^{-1} \alpha_1 + z^{-2} \alpha_2 + \cdots + z^{-N} \alpha_N}.\ </math>

=== קטבים ואפסים ===
מתוך המשפט היסודי של האלגברה, למונה של פונקציית התמסורת יש M שורשים (שהם האפסים של התמסורת H), ולמכנה יש N שורשים (שהם קטבי התמסורת). נבטא את פונקציית התמסורת במונחי הקטבים והאפסים:
:<math>H(z) = \frac{(1 - q_1 z^{-1})(1 - q_2 z^{-1})\cdots(1 - q_M z^{-1}) } { (1 - p_1 z^{-1})(1 - p_2 z^{-1})\cdots(1 - p_N z^{-1})}\ </math>

כאשר <math>q_k\ </math> הוא האפס ה-k-י ו-<math>p_k\ </math> הוא הקוטב ה-k-י. הקטבים והאפסים של פונקציית התמסורת הם לרוב מרוכבים, ותמונת המישור המרוכב שעליו הם משורטטים נקראת "מפת הקטבים והאפסים". מציאת השורשים של המכנה, כלומר קטבי התמסורת, עשויה לשמש שלב ביניים בפירוק התמסורת לשברים חלקיים והמרת הפונקציה בחזרה למישור הזמן (באמצעות התמרת Z ההפוכה). ההתמרה ההפוכה של פונקציית התמסורת נקראת תגובת ההלם של המערכת.

=== מוצא המערכת ===
אם מערכת בעלת פונקציית תמסורת <math>\ H(z)</math> מעוררת על ידי אות <math>\ X(z)</math>, אזי תגובת המערכת תהא <math>Y(z) = H(z)X(z)\ </math>. את תגובת המערכת בזמן <math>\ y[n]</math> ניתן למצוא מתוך פירוק ההתמרה לשברים חלקיים ומציאת ההתמרה ההפוכה. בפועל, נוח לפרק לשברים חלקיים דווקא את <math>\frac{Y(z)}{z}\ </math> לפני הכפלה ב-<math>\ z</math> על מנת למצוא ביטוי של <math>\ Y(z)</math> שנוח לחשב עבורו את ההתמרה ההפוכה.

==ראו גם==
* התמרת לפלס
* התמרת פורייה

== קישורים חיצוניים ==
* [http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Ref/LPSA/LaplaceZTable/LaplaceZFuncTable.html טבלה של התמרות Z ולפלס]
* [http://mathworld.wolfram.com/Z-Transform.html התמרת Z] באתר MathWorld
* 

קטגוריה:אנליזה פונקציונלית
קטגוריה:התמרת פורייה