אנרגיה פוטנציאלית חשמלית

אנרגיה פוטנציאלית חשמלית היא אנרגיה פוטנציאלית האצורה בשדה חשמלי, הנובעת מכוח לורנץ הפועל על מטען חשמלי בשדה אלקטרומגנטי. ביחידות SI, אנרגיה פוטנציאלית חשמלית נמדדת בג'אול.

==אנרגיה פוטנציאלית של חלקיק טעון==
פוטנציאל ואנרגיה פוטנציאלית חשמלית של חלקיק טעון, כתלות במרחק ובסוג המטען.

האנרגיה החשמלית נובעת מהימצאותו של מטען חשמלי בתוך שדה חשמלי. האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית של חלקיק q המצוי בפוטנציאל חשמלי <math>\ V(r)</math> שווה למכפלה <math>\ qV(r)</math>. העבודה הנדרשת להעברת מטען זה דרך הפרש פוטנציאלים נתונה על ידי המשוואה הבאה: <math>W_{ab} = qV_{ab} = q(V_{a}-V_{b}) \,</math>

==אנרגיה פוטנציאלית האצורה בקבוצת מטענים==
האנרגיה הפוטנציאלית בין שני מטענים שווה לאנרגיה הפוטנציאלית של אחד המטענים בהשפעת השדה החשמלי שיוצר חשמל של המטען השני. כלומר, אם מטען <math>q_1</math> יוצר בנקודה <math>r_2</math> בה מונח מטען
<math>q_2</math> פוטנציאל חשמלי <math>V_{r_2}</math>, אז האנרגיה הפוטנציאלית האצורה תהיה: <math>U = q_2V_{r_2}</math>. ניתן היה לחשב את האנרגיה גם על פי הפוטנציאל בנקודה <math>r_1</math>, ולכן ברור שמתקיים: <math>U = q_1V_{r_1} = q_2V_{r_2} = \frac{1}{2}(q_1V_{r_1}+q_2V_{r_2})</math>

ביטוי זה ניתן להכללה עבור קבוצה של <math>N</math> מטענים <math>q_i</math> הממוקמים בנקודות <math>r_i</math>, כאשר בכל אחת מנקודות אלו יש פוטנציאל של <math>V_{r_i}</math> שנוצר בהשפעת כל המטענים פרט למטען הנמצא בנקודה <math>r_i</math>. הביטוי עבור המקרה הכללי הוא: <math>U = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N q_iV_{r_i}</math>

הערה: ההכפלה בחצי נועדה לפצות על ספירה כפולה של ההשפעה ההדדית בין כל שני מטענים.

==אנרגיה פוטנציאלית האצורה בפילוג מטען מרחבי==
ניתן להכליל שוב את הביטוי מהסעיף הקודם כדי לקבל ביטוי עבור האנרגיה הפוטנציאלית של פילוג מטען שאינו מורכב בהכרח מאוסף מטענים נקודתיים אלא מפוזר על פני מרחב:
:<math>U = \iiint_{V} u \ dV = \frac{1}{2}\iiint_{V} \rho \varphi \ dV</math>

כאשר:
: <math>u</math> היא צפיפות האנרגיה הנפחית.
: <math>\rho</math> היא צפיפות המטען הנפחית.
: <math>\varphi</math> הוא הפוטנציאל החשמלי.
: <math>dV</math> היא יחידת נפח אינפיניטסימלית.

הצפיפות במקום ללא מטען היא 0, כך שלרוב צריך לבצע אינטגרציה על התחום בו הגוף הטעון נמצא בלבד משום שהאינטגרל מתאפס בשאר המרחב.

==אנרגיה פוטנציאלית האצורה בשדה חשמלי==
ניתן להשתמש במשוואה של האנרגיה הפוטנציאלית האצורה בפילוג מטען מרחבי ולהביאה למונחים של השדה החשמלי.

על פי חוק גאוס (בצורתו הדיפרנציאלית): <math>\mathbf{\nabla}\cdot\vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_r\varepsilon_0}</math>

כאשר:

: <math>\varepsilon_r</math> הוא המקדם הדיאלקטרי היחסי של התווך.
: <math>\varepsilon_0</math> הוא המקדם הדיאלקטרי של הריק.
: <math>\vec E</math> הוא וקטור השדה החשמלי.

לכן מתקיים:
: <math>U = \iiint_{V} u \ dV = \frac{1}{2}\iiint_{V} \rho\varphi \ dV = \frac{1}{2}\iiint_V \varepsilon_r\varepsilon_0(\mathbf{\nabla}\cdot{\vec {E}})\varphi \ dV</math>

על פי חוקי אנליזה וקטורית:
: <math>\mathbf{\nabla}\cdot(\vec E\varphi) = (\mathbf{\nabla}\varphi)\vec E + \varphi(\mathbf{\nabla}\cdot\vec E)</math>

ולכן:
: <math> U = \frac{\varepsilon_r\varepsilon_0}{2}\iiint_V \mathbf{\nabla}\cdot(\vec E\varphi) dV - \frac{\varepsilon_r\varepsilon_0}{2}\iiint_V (\mathbf{\nabla}\varphi)\vec E dV</math>

תוך שימוש במשפט גאוס (משפט הדיברגנץ), קביעה שהפוטנציאל החשמלי באינסוף מתאפס ואינטגרל על כל המרחב (<math>V=\text{all space}</math>):

<span style="padding-right:1em;"><math>\ - \frac{\varepsilon_r\varepsilon_0}{2}\iiint_V (-\vec E)\cdot\vec E dV = \iiint_V \frac{1}{2}\varepsilon_r\varepsilon_0\left|{\vec E}\right|^2 dV</math>}}</span>

לכן, צפיפות האנרגיה הנפחית (האנרגיה ליחידת נפח) של השדה החשמלי היא:

==ראו גם==
*אנרגיה
*אנרגיה פוטנציאלית

==קישורים חיצוניים==

קטגוריה:גדלים חשמליים
פוטנציאלית חשמלית