משפט הפירוק של לבג

במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, משפט הפירוק של לבג הוא משפט הקובע כי ניתן לפרק כל מידה סיגמא-סופית לחלק רציף בהחלט ולחלק סינגולרי ביחס למידה סיגמא-סופית אחרת. משפט זה הוא למעשה הרחבה של משפט רדון־ניקודים.

המשפט קרוי על שמו של אנרי לבג.

== ניסוח פורמלי ==
בהינתן מרחב מדיד <math>(\Omega,\Sigma)</math> ושתי מידות סיגמא-סופיות על המרחב <math>\mu,\nu</math>, אזי קיימות זוג מידות על המרחב <math>\nu_\text{cont},\nu_\text{sing}</math> כך ש:<ref></ref>

# <math>\nu=\nu_\text{cont}+\nu_\text{sing}</math>.
# <math>\nu_\text{cont}\ll \mu</math>. כלומר, <math>\nu_\text{cont}</math> רציפה בהחלט ביחס ל <math> \mu</math>.
# <math>\nu_\text{sing}\perp \mu</math> . כלומר, <math>\nu_\text{sing}</math> סינגולרית ביחס ל <math> \mu</math>.

יתר על כן, פירוק זה הוא פירוק יחיד.

== תקציר ההוכחה ==
=== עבור מידה סופית ===
במקרה שבו <math>\nu</math> היא מידה סופית, מגדירים:<ref></ref>

<math>\mathcal{L}:=\left\{f:\Omega\to[0,\infty)\mid \forall A\in\Sigma,\int_A{fd\mu}\le\nu(A)\right\}</math>

ניתן להוכיח באמצעות הלמה של צורן כי ל-<math>\mathcal{L}</math> קיים איבר מקסימלי ולסמנו ב-<math>z</math>. בגלל סופיות המידה <math>\mu</math>, בהכרח מתקיים כי <math>z</math> מקבלת את הערך <math>\infty</math> עבור קבוצה ממידה אפס (ביחס ל-<math>\mu</math>). כמו כן, לכל <math>f\in\mathcal{L}</math> מתקיים כי <math>f\le z </math>

כמעט בכל מקום (גם כן, ביחס ל-<math>\mu</math>). לכל <math>A\in\Sigma</math> מגדירים:
* <math>\nu_\text{cont}(A):=\int_A{zd\mu}</math>
*<math>\nu_\text{sing}(A):=\nu(A)-\nu_\text{cont}(A)</math>.
מובן כי:
* <math>\nu=\nu_\text{cont}+\nu_\text{sing}</math>
* <math>\nu_\text{cont}\ll \mu</math>, (מתכונות אינטגרל לבג).
נותר רק להוכיח כי <math>\nu_\text{sing}\perp \mu</math>. לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> מגדירים <math>\lambda_n:=\nu_\text{sing}-\frac{1}{n}\mu</math>. זוהי מידה מסומנת, לכן לפי משפט הפירוק של האן קיימת קבוצה חיובית <math>P_n\in\Sigma</math> כך ש-<math>\Omega \backslash P_n</math> היא קבוצה שלילית. מגדירים <math>P:=\bigcup_n{P_n}</math>. לכל <math>n_0\in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>\Omega \backslash P=\Omega \backslash \bigcup_n{P_n}=\bigcap_n{\Omega\backslash P_n}\subseteq \Omega\backslash P_{n_0}</math> . לכן:

<math>\nu_\text{sing}(\Omega \backslash P)-\frac{1}{n_0}\mu(\Omega \backslash P)=\lambda_{n_0}(\Omega \backslash P)\le 0 \implies \nu_\text{sing}(\Omega \backslash P)\le \frac{1}{n_0}\mu(\Omega \backslash P)</math>

הדבר נכון לכל <math>n_0\in \mathbb{N}</math>, לכן בהכרח <math>\nu_\text{sing}(\Omega \backslash P)=0</math>. עבור כל <math>n\in \mathbb{N}</math> מגדירים:

<math>z_n(x):=\begin{cases}
z(x)+\frac{1}{n}, & \text{if }x\in P_n \\
z(x), & \text{else}
\end{cases} </math>

בגלל החיובית של <math>P_n </math> ניתן להוכיח כי <math>z_n\in \mathcal{L} </math>. מצד שני, בגלל המקסימליות של <math>z</math>, מחויב כי <math>\mu(P_n)=0 </math>. הדבר נכון לכל <math>n\in \mathbb{N}</math>, לכן בהכרח <math>\mu(P)=\mu\left(\bigcup_n{P_n}\right)=0 </math>. התקבל אפוא כי <math>\nu_\text{sing}(\Omega \backslash P)=0</math> ו-<math>\mu(P)=0 </math>, לכן <math>\nu_\text{sing}\perp \mu</math>. מ.ש.ל.

=== עבור מידה סיגמא-סופית ===
במקרה שבו <math>\nu</math> היא מידה סיגמא-סופית ניתן לפרק את המרחב <math>\Omega </math> לכמות בת מניה של קבוצות זרות עבורן המידה <math>\nu</math> היא סופיות <math>\left\{C_n\right\}_{n=1}^\infty </math>. לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> ולכל <math>A\in\Sigma</math> מגדירים
* <math>\mu_n(A):=\mu(A\cap C_n) </math> ו-
* <math>\nu_n(A):=\nu(A\cap C_n) </math>.
ברור כי <math>\nu_n </math> מידה סופית, לכן לפי תוצאת המשפט למקרה הסופי עבור <math>\mu_n,\nu_n </math>, לפרק אותה ל-<math>\nu_\text{cont}^n,\nu_\text{sing}^n</math> כתוצאת המשפט. מגדירים:

<math>\nu_\text{cont}:=\sum_{n=1}^\infty{\nu_\text{cont}^n}</math>

<math>\nu_\text{sing}:=\sum_{n=1}^\infty{\nu_\text{sing}^n}</math>

ניתן להוכיח כי <math>\nu_\text{cont},\nu_\text{sing}</math> הוא הפירוק הרצוי. מ.ש.ל.

== פירוק מידות לפי מידת לבג ==
ממשפט הפירוק של לבג ניתן להסיק כי כל מידה <math>\mu</math> המוגדרת על המרחב <math>\mathbb{R}^n</math> לפי סיגמא-אלגברת בורל ניתנת לפירוק

<math>\mu=\mu_\text{ac}+\mu_{cs}+\mu_{a}</math> כך ש:
* <math>\mu_\text{ac},\mu_{cs},\mu_{a}</math> סינגולריות אחת ביחס לשנייה
* <math>\mu_\text{ac}</math> רציפה בהחלט (ביחס למידת לבג)
* <math>\mu_{cs}</math> סינגולרית רציפה (ביחס למידת לבג)
* <math>\mu_{a}</math> מידה בדידה (כלומר, סכום בן-מניה של מידות דיראק ממושקלות)

== הכללות והרחבות ==
=== הכללה למידות מסומנות ומרוכבות ===
משפט הפירוק של לבג ניתן להכללה עבור מידות סיגמא-סופיות מסומנות או מרוכבות. נוסח המשפט נותר זהה מלבד הסרת ההנחה לחיוביות.

על-מנת להוכיח את הרחבה זו יש להשתמש במשפט הפירוק של ז'ורדן כדי לפרק את המידות לחלק חיובי ושלילי ולהוכיח את המשפט לכל חלק בנפרד.

=== משפט רדון-ניקודים ===

בעוד משפט הפירוק של לבג מתייחס לשתי מידות סיגמא-סופיות כלליות, במקרה שבו אחת המידות רציפה בהחלט ביחס לשנייה ניתן להסיק את משפט רדון-ניקודים מההוכחה של ממשפט הפירוק שהוצגה למעלה:

במקרה שבו <math>\nu\ll\mu</math>, לפי משפט הפירוק של לבג <math>\nu_\text{sing}=\nu-\nu_\text{cont}</math>, אבל במקרה זה <math>\nu_\text{sing}</math> היא הפרש של שתי מידות רציפות בהחלט ביחס ל-<math>\mu</math>, לכן אף היא רציפה ביחס ל-<math>\mu</math>. מקבלים אם כן כי <math>\nu_\text{sing}</math> היא גם סינגולרית וגם רציפה, לכן היא בהכרח מידת האפס. כלומר <math>\nu =\nu_\text{cont}</math>. כזכור, <math>\nu_\text{cont}</math> נוצרת על-ידי אינטגרציה של פונקציה <math>z:\Omega\to[0,\infty]</math> כלשהי, וזהו בדיוק משפט רדון-ניקודים.

באופן זהה ניתן להסיק בכיוון ההפוך את משפט הפירוק של לבג ממשפט רדון-ניקודים.

==קישורים חיצוניים==
* 

== הערות שוליים ==

קטגוריה:משפטים בתורת המידה