אלסטיות

אלסטיות או גמישות היא תכונתו של חומר המתארת את התנגדותו למַעֲוָת (דפורמציה) חיצוני, ואת יכולתו של החומר לחזור לצורתו ולממדיו המקוריים לאחר הסרת הכוח המעוות. זוהי תורה מקרוסקופית, כלומר היא אינה מתחשבת במרכיביו המיקרוסקופיים של החומר. חקר האלסטיות מנסה ליצור מודל מתמטי המכמת את תגובת החומר למעוות המופעל עליו, במקרים בהם מתאפשרת הזנחת התהליכים המיקרוסקופיים המרכיבים את החומר.

== מבוא איכותני ==
על מנת לתאר את האלסטיות של החומר מבחינה פיזיקלית הוגדרו שני פרמטרים הראשון נקרא 'סבילות לעיוות' או מודולוס, אשר מוגדר על ידי כמות הכוח שצריך להפעיל ליחידת שטח על מנת לגרום לעיוות, כלומר כמה קשה לעוות את החומר. הפרמטר השני הוא גבול המתיחה, אשר מוגדר כמתיחה המקסימלית שחומר יכול להכיל לפני שנגרם לו עיוות קבוע, כלומר כמה החומר מסוגל להימתח בלי להשתנות. יחידותיהם של שני הפרמטרים הן פסקל (pa).

שני הפרמטרים הם בלתי תלויים זה בזה, ויכולים להיות חומרים אשר הם בעלי מודולוס גבוה וגבול מתיחה נמוך כמו מתכות, או בעלי גבול מתיחה גבוה ומודולוס נמוך כמו גומיות. לרוב בשימוש היומיומי המונח אלסטיות משמש רק לגבול המתיחה.

=== היווצרות גבול המתיחה ===
כאשר מפעילים כוח על גוף נוצרת הזזה של חלקיו. ניתן לחלק את ההשפעה על הגוף לשני חלקים:

# הזזה של גוף קשיח – הזזה שבה המרחקים בין החלקיקים המרכיבים את הגוף עליו מופעל הכוח לא משתנים, כלומר הזזה של הגוף במלואו כמכלול.
#מַעֲוַת או דפורמציה – הזזה שבה המרחק היחסי בין חלקיקים כן משתנה ובהתאם לכך משתנה צורתו וגודלו.

כאשר נוצרת אנרגיה פוטנציאלית כתוצאה מהפעלת כוח על גוף, כל עוד אינם מחסומים אנרגטיים ייטה הגוף להגיע למצב בו האנרגיה הפוטנציאלית הכי נמוכה. במקרים מסוימים נטייה זו יכולה לגרום לגוף לחזור למצבו המקורי. דוגמה לדבר היא העלאת כדור במעלה הר. על הכדור מושקע כוח נגד כיוון משיכת כדור הארץ המעניק לכדור אנרגיה פוטנציאלית כובדית. בהסרת הכוח המעלה את הכדור יידרדר הכדור במורד המדרון ובכך יחזור למקומו. תופעה זו מתרחשת הן בהעתקה ליניארית והן במקרה של דפורמציה ובשני המקרים מקור האנרגיה הפוטנציאלית משתנה בין סביבות שונות עליהן פועל הכוח. במתכות האנרגיה הפוטנציאלית נוצרת כיוון שסידור האטומים בסריג המתכתי הוא בעל אנרגיה פוטנציאלית נמוכה יחסית למצב לא מסודר. כאשר מופעל כוח על השריג המתכתי ונשברת צורת השריג נוצרת אנרגיה פוטנציאלית כיוון שמולקולות המתכת ייטו להסתדר מחדש בצורת השריג המקורי. אי לכך כאשר יוסר הכוח האטומים המרכיבים את השריג כל עוד הכוח המופעל ליחידת שטח לא עבר רף מסוים המשנה את שריג שיווי המשקל המולקולות ייטו לחזור למצב היציב ולכן יסתדרו מחדש בצורת שריג שקרוב יותר למצב ההתחלתי בו היה שרוי החומר מאשר המצב אחר הפעלת הכוח, הרף המשנה את השריג בו יימצא שיווי המשקל באופן לא זניח מוגדר כגבול המתיחה.

==== חומר אלסטי מושלם ====
כאשר גבול המתיחה שואף לאינסוף ניתן להגיד על חומר כי הוא חומר אלסטי מושלם, לחומר שכזה כל הפעלת כוח, ללא תלות בעוצמת הכוח או בסוגו, לא תשנה את צורתו או את נפחו, חומר כזה הוא אידאה פיזיקלית אך כיום במדע החומרים ובפיזיקה של מצב מוצק מתקיימים מחקרים רבים השואפים לפתח חומרים המתקרבים כמה שיותר לחומר אלסטי מושלם כיוון שככל שחומר יותר אלסטי פחות תתבזבז אנרגיה עקב לחצים חיצוניים על המערכת.

=== תנועות אלסטודינמיות ===
הדגמה גרפית של תנועות אלסטודינמיות כתוצאה מכוח מתון המופעל על גוף מלבני של חומר אלסטי. בשמאל מוצג הגרף המתמטי המנתח את מיקום נקודת על הגוף הרוטט. לעיתים הפעלת כוח על גוף תגרום להחלפה מתמדת בין אנרגיות פוטנציאליות, מה שיגרום לתנודות מחזוריות כיוון שאין נקודת שיווי משקל בה האנרגיה הפוטנציאלי מינימלית. תופעה זו נפוצה בטבע וניתן לראות אותה בין היתר בקפיצים, במיתרים רוטטים וברעידות אדמה. כתוצאה מהתנודות ניתן לכמת את תדר התנועה ואורך הגל שלה, והיא הבסיס לגלים מכניים. בפועל כתוצאה ישירה מהחוק השני של התרמודינמיקה המערכת בסופו של דבר תפסיק לנוע באופן הניתן למדידה בטכניקות מאקרוסקופיות, כיוון שאנרגיית המערכת תתפזר לחום. ניתוח של חומרים אלסטיים אידיאליים נלמד כבר במסגרות תיכוניות והוא זכה לכינוי תנועות הרמוניות.

== ניתוח מתמטי ==
המודל הפשטני ביותר המציע ניתוח של אלסטיות החומר הוא מודל אשר הוצע על ידי החוקר רוברט הוק על סמך תצפיות אמפיריות על חומרים. הוק מצא כי חומרים ספציפיים תחת לחצים בקנה מידה קטן מתארכים בעקבות מתיחה באופן הפרופורציונלי לכוח המותח. בעקבות כך הוא פיתח מערכת מכנית פשוטה למדידת קבוע הפרופורציה לחומרים שונים, קבוע זה מייצג בקירוב גס את מידת המודולוס של החומר הנמתח המאפיין חלק מהאלסטיות החומר. לאחר התפתחות המדע והכלים המתמטים וההנדסיים בהם המדע משתמש נוצרו שיטות מתמטיות מורכבות המשתמשות בתורת הטנזורים ואנליזה וקטורית מתקדמת על מנת לכמת את כמות המעוות גם לחומרים היוצאים מגדר ההגבלות של הוק ואף של נוזלים לא ניוטונים המציגים תכונות אלסטיות תחת לחצים גבוהים ומהירים. באופן מעשי משתמשים בהנדסה בשיטות קירובים נומריות ואת החישובים עושים אלגוריתמים ממחשבים.

=== חוק הוק ===
בגרף באדום מתואר את המודל המתמטי של הוק למידת העיוות כתוצאה מהפעלת כוח, בגרף באפור רואים את התוצאות שנמדדו באופן אמפירי.

=== אנליזה מודרנית ===
ניתוח מדויק לכלל החומרים ולכלל הכוחות המופעלים על גוף התפתח במאות האחרונות, והיכולת להשתמש במחשבים על מנת לבצע סימולציות תרמה רבות לעדכון השיטות. להלן יוצגו המשוואות המתמטיות העומדות בבסיס האנליזה.

==== אלסטיות לא ליניארית ====
אלסטיות לא ליניארית מתארת תהליך הפיך בו מבצעים דפורמציה לחומר ללא הנחה שהדפורמציה קטנה. מצב ההתחלה, לפני הדפורמציה, נקרא מצב הייחוס. נוח לתאר את המצב לפני ואחרי הדפורמציה באמצעות הווקטורים:
{| class="wikitable"
|לפני הדפורמציה
|אחרי הדפורמציה
|-
|<math>\vec{r}</math>
|<math>\vec{s} = \vec{r} +\vec{u}</math>
|}
התורה האלסטית מניחה שהאנרגיה הדרושה לביצוע דפורמציה תלויה רק בשינוי המרחק בין חלקיקי החומר. כלומר ניתן לרשום:

<math>\left|s\left(\vec{r}-\vec{dr}\right)-s\left(\vec{r}\right)\right|^{2}\approx\left|\frac{\partial s}{\partial r_{x}}dr_{x}+\frac{\partial s}{\partial r_{y}}dr_{y}+\frac{\partial s}{\partial r_{z}}dr_{z}\right|^{2}=\sum_{\alpha\beta}g_{\alpha\beta}dr_{\alpha}dr_{\beta}</math>

כאשר <math>g_{\alpha\beta}=\frac{\partial s}{\partial r_{\alpha}}\frac{\partial s}{\partial r_{\beta}}</math> מוגדרת להיות המטריקה.

==== אלסטיות ליניארית====
כאשר <math>\vec{u}</math> קטן יחסית ל-<math>\vec{r}</math> ניתן לקרב ליניארית את הנגזרות של s ולהזניח סדרים גבוהים מסדר ראשון. סך הכל מתקבל:

<math>g_{\alpha\beta}\cong\delta_{\alpha\beta}+\frac{\partial u_{\beta}}{\partial r_{\alpha}}+\frac{\partial u_{\alpha}}{\partial r_{\beta}}</math>

טנזור המעוות מוגדר על ידי:
מאמץ - מעוות ב[[מערכת צירים קרטזית]]
<math>\epsilon_{\alpha\beta}\equiv\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{\beta}}{\partial r_{\alpha}}+\frac{\partial u_{\alpha}}{\partial r_{\beta}}\right)</math>

וכדי לקבל את התאוריה לאלסטיות, ניתן להניח שהאנרגיה החופשית לביצוע דפורמציה הולכת כמו ריבוע טנזור המעוות, וזה כדי שכאשר <math>\epsilon_{\alpha\beta}=0</math> האנרגיה תהיה במינימום (מה שלא מתקבל באיבר ליניארי) – לא מבצעים דפורמציה. אם כך, נכתוב את האנרגיה החופשית (תוך הנחת לוקאליות של הבעיה):

<math>F=\int dr\epsilon_{\alpha\beta}C_{\alpha\beta\gamma\delta}\epsilon_{\gamma\delta}</math>

כאשר אינדקסים חוזרים נסכמים.

בלי הגבלת הכלליות ניתן לבחור את C כך שהוא יהיה סימטרי בהחלפה של <math>\alpha\leftrightarrow\beta,\gamma\leftrightarrow\delta, \alpha \beta\leftrightarrow\gamma \delta</math> כך שסה״כ נשאר עם 21 מקדמים בלתי תלויים. תחת סימטריות ניתן להוריד את מספר הקבועים הללו, לדוגמה בסימטריה קובית נישאר עם 3 מקדמים בת״ל בלבד.

נהוג לסמן את טנזור הלחץ:

<math>\sigma_{\alpha\beta}=\sum_{\gamma\delta}C_{\alpha\beta\gamma\delta}\epsilon_{\gamma\delta}</math>

ואז לקבל:

<math>F=\int dr\epsilon_{\alpha\beta}\sigma_{\alpha\beta}</math>

==== אלסטיות בסימטריה קובית ====
סימטריה קובית מוגדרת ככזאת שקיימות בה סימטריות תחת שיקופים בכל אחד מהצירים. ניתן להראות שבמקרה זה נשארים עם שלושה קבועים בלבד מתוך כל ה-21: <math>C_{xxxx},C_{xxyy}</math> ו-<math>C_{xyxy}</math>.

נקבל את הביטוי לאנרגיה חופשית:

<math>F=\int dr\left(C_{xxxx}\left(\epsilon_{xx}^{2}+\epsilon_{yy}^{2}+\epsilon_{zz}^{2}\right)+2C_{xxyy}\left(\epsilon_{xx}\epsilon_{yy}+\epsilon_{yy}\epsilon_{zz}+\epsilon_{zz}\epsilon_{xx}\right)+4C_{xyxy}\left(\epsilon_{xy}^{2}+\epsilon_{yz}^{2}+\epsilon_{zx}^{2}\right)\right)</math>

נהוג במקרה זה לסמן:

<math>\epsilon_{xx}\,\,\epsilon_{yy}\,\,\epsilon_{zz}\,\,\epsilon_{xy}\,\,\epsilon_{yz}\,\,\epsilon_{zx}</math>;

<math>\downarrow \ \ \downarrow\ \ \downarrow\ \ \downarrow\ \ \ \downarrow\ \ \ \downarrow</math>

<math>e_{1} \ \ \ e_{2} \ \ \ e_{3} \ \ \ e_{4} \ \ e_{5} \ \ e_{6}</math>

ובאותו אופן מגדירים את הגדלים <math>C_{\alpha\beta\gamma\delta}</math>. נקבל:

<math>F=\int dr\sum_{\alpha\beta=1}^{6}\epsilon_{\alpha}C_{\alpha\beta}\epsilon_{\beta}</math>

עתה ניתן מתוך האנרגיה החופשית לחשב את מודול הנפח על ידי:

<math>B=V\frac{\partial P}{\partial V}=-V\frac{\partial^{2}F}{\partial V^{2}}</math>

ובמקרה של שריג קובי בו מופעל לחץ אחיד על כל הדפנות מתקבל:

<math>e_{1}=e_{2}=e_{3}=\frac{\delta V}{3V},e_{4}=e_{5}=e_{6}=0</math>

<math>\Rightarrow F=\int dr\left[\frac{1}{6}\left(C_{11}+2C_{12}\right)\left(\frac{\delta V}{V}\right)^{2}\right]\Rightarrow B=\frac{1}{3}\left(C_{11}+2C_{12}\right)</math>

==== אלסטיות בסימטריה איזוטרופית ====
בגוף בו קיימת סימטריה איזוטרופית, נוספת סימטריה נוספת לבעיית הסימטריה הקובית – סימטריית סיבוב. כלומר אם לכתוב:

<math>e_{\alpha\beta}=\sum_{\gamma\delta}R_{\alpha\gamma}^{*}e'_{\gamma\delta}R_{\delta\beta}</math>

כאשר R היא מטריצת סיבוב כלשהי. נרצה שתחת סיבוב כזה האנרגיה החופשית לא תשתנה.

ניתן על ידי בחירת מטריצת סיבוב המתאימה ל-45 מעלות ודרישה לשוויון באנרגיה החופשית בין המצב ההתחלתי למצב המסובב להראות שמשלושה קבועים בלתי תלויים, יורדים לשני קבועים בלבד. כאשר הקבוע השלישי ניתן על ידי:

<math>C_{11}=C_{12}+2C_{44}</math>

במקרה זה נוכל לכתוב:

<math>F=\frac{1}{2}\int dr\lambda\left(\sum_{\alpha}e_{\alpha\alpha}\right)^{2}+2\mu\sum_{\alpha\beta}e_{\alpha\beta}^{2}</math>

כאשר:

<math>\lambda=C_{12},\mu=C_{44}</math> נקראים קבועי לאמה.

ניתן לקבל אינטואיציה למשמעותם של הגדלים המופיעים בביטוי באנרגיה החופשית על ידי כתיבת משוואות התנועה של הגוף. נוסיף איבר קינטי סטנדרטי מהצורה:
טנזור המאמצים בתיאור אינדקסים כללי
<math>T=\int dr\frac{1}{2}\rho\left|\dot{u}\left(r\right)\right|^{2}</math> כאשר <math>\rho</math> צפיפות המסה.

באמצעות משוואות אוילר-לגראנז' מתקבלת משוואת התנועה:

<math>\rho\ddot{u}_{\alpha}\left(r\right)=\sum_{\beta}\frac{\partial}{\partial r_{\beta}}\sigma_{\alpha\beta}\left(r\right)</math>

על ידי אינטגרציה בשני הצדדים ניתן לראות את הדבר הבא:

צד שמאל מהווה על פי הגדרה את הכוח המופעל על הגוף. בצד ימין ניתן להפעיל את משפט גאוס ולקבל שהכוח הפועל על גוף ניתן על ידי החלק המתאים בטנור הלחץ. ומכאן שמו, שכן הוא באמת מתאר את הלחץ המופעל על גוף בכל אחת מפאותיו. נשים לב שכצפוי הכוח מגיע משפות הגוף בלבד. ניתן לראות באיור את חלקיו של הטנזור.

במקרה האיזוטרופי נוכל לכתוב:

<math>\sigma_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}\sum_{\gamma}e_{\gamma\gamma}+2\mu e_{\alpha\beta}</math>

ועל ידי הפיכת המטריצה מתקבל:

<math>e_{\alpha\beta}=\frac{-\lambda\delta_{\alpha\beta}}{2\mu\left(3\lambda+2\mu\right)}\sum_{\gamma}\sigma_{\gamma\gamma}+\frac{1}{2\mu}\sigma_{\alpha\beta}</math>

אם נפעיל על הגוף לחץ אחיד S בכיוון z נוכל לחשב את מודול יאנג:

<math>S=\sigma_{zz}=Ye_{zz}\Rightarrow Y=\frac{\mu\left(3\lambda+2\mu\right)}{\mu+\lambda}</math>

==== גביש נוזלי ====
גביש נוזלי היא פאזה בחומר בין מוצק לנוזל בה קיים כיוון מועדף למולקולות. כיוון זה נקרא ה-director ונסמן אותו ב-<math>\hat{n}</math>. תורה אלסטית לגביש נוזלי חשובה לדוגמה להבנת כמות האנרגיה הדרושה לשינוי כיוון המולקולות. דבר הכרחי לדוגמה בבניית מסכי LCD. תורה כזו מניחה שהאנרגיה הדרושה לשינוי כיוון ה-director תלויה רק בנגזרות שונות של n תחת ההנחות:
# חייבת להיות סימטריה תחת שיקוף – קרי מעבר בין <math>\hat{n}</math> ל-<math>-\hat{n}</math>.
# אין תלות בבחירת מערכת הצירים – חייבת להיות סימטריה לסיבוב והזזה של הראשית.
ניתן להראות שתחת הנחות אלו נגזרות ראשונות מתבטלות. נשאר לחפש איברים מסדר שני.

לאחר הרבה אלגברה ושימוש בהנחות אלו מקבלים לבסוף שהאנרגיה החופשית ניתנת על ידי

<math>F=\frac{K_{1}}{2}\left(\vec{\nabla}\cdot\hat{n}\right)^{2}+\frac{K_{2}}{2}\left(\hat{n}\cdot\left(\vec{\nabla}\times\hat{n}\right)\right)^{2}+\frac{K_{3}}{2}\left(\hat{n}\times\left(\vec{\nabla}\times\hat{n}\right)\right)^{2}</math>

== ראו גם ==
* מודול האלסטיות

== לקריאה נוספת ==
<div style="text-align: left; direction: ltr; margin-left: 1em;">
* M.P Marder, Condensed Matter Physics, Wiley & Sons
* L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Course of Theoretical Physics: Theory of Elasticity Butterworth-Heinemann.
* J.E. Marsden, T.J. Hughes, Mathematical Foundations of Elasticity, Dover.
* P.C. Chou, N. J. Pagano, Elasticity: Tensor, Dyadic, and Engineering Approaches, Dover.
* R.W. Ogden, Non-linear Elastic Deformation, Dover.
* Sybil P. Parker Editor in Chieh. McGraw-Hill Encyclopedia of Engineering, McGraw Hill Book Company.
* S.P. Timoshenkoo & J.N. Goodier Theory of Elasticity, 3rd edition, International Student Edition, McGraw -Hill 1970.
</div>

== קישורים חיצוניים ==

* [http://www.du.edu/~jcalvert/tech/elastic.htm אלסטיות, איך דברים מתעוותים] 
* [http://www.m-w.com/cgi-bin/dictionary?book=Dictionary&va=elasticity אלסטיות במילון מרים וובסטר] 
* [http://www.answers.com/topic/elasticity אלסטיות באתר answers.com] 
* 
* 

==הערות שוליים==

קטגוריה:מכניקה
קטגוריה:הנדסת מכונות
קטגוריה:פיזיקה של מצב מוצק