כלל השרשרת

כלל השרשרת הוא כלל בחשבון אינפיניטסימלי המאפשר למצוא את הנגזרת של פונקציה שמורכבת ממספר פונקציות אחרות.

==ניסוח פורמלי==
===המקרה הפרטי של פונקציות סקלריות===
הגרסה הנפוצה ביותר של כלל השרשרת היא זו שעוסקת בהרכבה של פונקציה סקלרית ממשית במשתנה יחיד על פונקציה סקלרית ממשית נוספת במשתנה יחיד.

תהיינה <math>\ f(x),g(x):\mathbb{R}\rarr\mathbb{R}</math> פונקציות, כך שהטווח של <math>\ g </math> מוכל בתחום ההגדרה של <math>\ f </math>, וכן ששתיהן גזירות בתחום ההגדרה שלהן. אז גם הפונקציה המורכבת <math>\ h(x)=f(g(x)) </math> גזירה בתחום ההגדרה שלה, ומתקיים <math>\ h'(x)=f'(g(x)) \cdot g'(x) </math>.

כלומר, הנגזרת של <math>\ h </math> בנקודה כלשהי היא מכפלת הנגזרות של <math>\ f,g </math>, כאשר
<math>\ g' </math> מחושבת בנקודה, ואילו <math>\ f' </math> מחושבת בתמונת הנקודה על פי <math>\ g </math>.

סגנון כתיבה מקובל אחר (שמיוחס ללייבניץ) לכלל השרשרת הוא באמצעות הסימון <math>\ \frac{dh}{dx} </math>: ניתן לכתוב <math>\ \frac{dh}{dx}=\frac{dh}{dg}\cdot\frac{dg}{dx} </math>. כלומר, לכאורה "מצמצמים" דיפרנציאלים (אולם בפועל מדובר בסימון בלבד, שמקל על זכירת הנוסחה).

===מקרה כללי של פונקציות מרובות משתנים===
בצורתו הכללית, שתקפה גם לפונקציות וקטוריות של מספר משתנים, כלל השרשרת אומר שהדיפרנציאל של פונקציה מורכבת הוא הרכבת הדיפרנציאלים של הפונקציות שמרכיבות אותה, זאת תחת דרישת הדיפרנציאביליות.

אם הפונקציה <math>\ f</math> דיפרנציאבילית בנקודה <math>\ x</math> והפונקציה <math>\ g</math> דיפרנציאבילית בנקודה <math>\ f(x)</math>, אז:

<math>\mbox{D}_x\left(g \circ f\right) = \mbox{D}_{f\left(x\right)}\left(g\right) \cdot \mbox{D}_x\left(f\right)</math>

כאשר <math>\ \mbox{D}_x</math> פירושו הדיפרנציאל בנקודה <math>\ x</math>.

==הוכחה==
לפי הגדרת הנגזרת, עלינו לחשב את <math>\lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0}</math>

נניח קודם כל, כי יש סביבה של <math>x_0</math> בה מתקיים לכל x, <math>g(x) \neq g(x_0)</math>. נכפיל מונה ומכנה בביטוי <math>g(x) - g(x_0)</math> ונקבל:

<math>\lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}</math>

על פי הגדרת הנגזרת, המוכפל השמאלי שווה לנגזרת של f לפי g והמוכפל הימני לנגזרת של g.

ההוכחה הזו לא עובדת למשל בפונקציה <math>g(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x})</math> בנקודה <math>x_0 = 0</math>. במקרה הזה, אף על פי שהפונקציה g גזירה בנקודה 0, בכל סביבה של 0 יש נקודה t בה <math>g(0) = g(t) = 0</math>.

כדי לטפל במקרה הכללי נגדיר פונקציית עזר Q. הערך של Q יהיה שונה מהמוכפל השמאלי רק במקרים בהם <math>g(x) = g(x_0)</math>:

:<math>Q(y) = \begin{cases}
\frac{f(y) - f(g(x_0))}{y - g(x_0)}, & y \neq g(x_0), \\
f'(g(x_0)), & y = g(x_0).
\end{cases}</math>

כעת נחשב את הגבול:
:<math>\lim_{x \to x_0} Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}</math>

חישוב זה ייתן לנו את התוצאה הרצויה כיוון שמתקיים תמיד:

:<math>Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = \frac{ f( g(x)) - f (g(x_0))}{x - x_0}</math>
ניתן לראות זאת על ידי פירוק לשני מקרים – במקרה בו <math>g(x) = g(x_0)</math> שני צדדי המשוואה מתאפסים, ואחרת המכנה בהגדרת Q מצטמצם עם המונה בשבר הימני.

כיוון ש-f גזירה בנקודה <math>g(x_0)</math>, Q רציפה באותה נקודה, ולכן מתוך אריתמטיקה של גבולות, נקבל את התוצאה הרצויה.

==דוגמאות לשימוש בכלל==
נרצה לגזור את הפונקציה <math> h(x) = (1 + x^2)^3</math>

נשים לב כי <math>\ h(x) = f(g(x)) </math> אם <math>\ g(x) = 1+x^2</math> ו־<math>\ f(x) = x^3</math> ולכן מכלל השרשרת:

<math>\ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)</math>

<math>\ f'(g(x)) = 3(1+x^2)^2</math>

<math>\ g'(x) = 2x</math>

ועל ידי הצבה נקבל:

<math>
\ h'(x)=3(1+x^2)^2 \cdot 2x
</math>

===נגזרת של פונקציה הפיכה===
הנגזרת של הפונקציה <math>\ f^{-1}(x)</math> ניתנת לחישוב על פי הנוסחה:
: <math>\ (f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}</math>
כלל זה נובע מכלל השרשרת מאחר ש-<math>[f(f^{-1}(x)]=x</math> ולכן הנגזרת שלה היא 1. מכפלת שני מספרים הופכיים היא 1, ולכן נגזרת הפונקציה החיצונית היא ההופכי של נגזרת הפונקציה הפנימית.

==קישורים חיצוניים==
* 
* 
* 

שרשרת