קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך

בטופולוגיה, קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך היא טכניקה לבניית העתקה אוניברסלית ממרחב טופולוגי <math>X</math> למרחב האוסדורף קומפקטי <math>\beta X</math>, שיש לה חשיבות אפילו כאשר <math>X</math> מרחב דיסקרטי. קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך <math>\beta X</math> של <math>X</math> היא מרחב האוסדורף קומפקטי הגדול ביותר הנוצר על ידי <math>X</math>, במובן שכל העתקה מ-<math>X</math> למרחב האוסדורף קומפקטי מתפצלת באופן יחיד דרך <math>\beta X</math>. אם <math>X</math> הוא מרחב רגולרי לחלוטין, אז תמונת <math>X</math> ב-<math>\beta X</math> הומיאומורפית ל-<math>X</math>, וכך אפשר לחשוב על <math>X</math> כתת-מרחב צפוף של <math>\beta X</math>. במקרה הכללי, ההעתקה <math>X \rightarrow \beta X</math> אינה מוכרחה להיות חד-חד-ערכית.

אם מניחים את אקסיומת הבחירה, לכל מרחב טופולוגי יש קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך. בלעדיה, אפילו הטענה ש-<math>\beta \mathbb{N} \neq \mathbb{N}</math> אינה מוכרחה להיות נכונה, ובפרט קשה לתאר נקודות של <math>\beta \mathbb{N}</math> באופן ישיר. 

== אוניברסליות ופונקטוריאליות ==

המרחב <math>\beta X</math> והפונקציה מ-<math>X</math> אליו מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל פונקציה רציפה <math>f \colon X \to K</math>, כאשר <math>K</math> מרחב האוסדורף קומפקטי, יש הרחבה יחידה לפונקציה רציפה <math>\beta f \colon \beta X \to K</math>. כרגיל במקרים של אוניברסליות, תכונה זו מאפיינת את <math>\beta X</math> עד כדי הומיאומורפיזם. 

ההעתקה <math>X \rightarrow \beta X</math> היא הומיאומורפיזם אל התמונה אם ורק אם X הוא מרחב טיכונוף. ההעתקה <math>X \rightarrow \beta X</math> היא הומיאומורפיזם עם תמונה פתוחה אם ורק אם <math>X</math> מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית. תכונת ההרחבה שתוארה לעיל מאשרת כי <math>\beta</math> הוא פונקטור מן הקטגוריה Top של מרחבים טופולוגיים, אל הקטגוריה CHaus של מרחבי האוסדורף קומפקטיים. נסמן ב-<math>u \colon \operatorname{CHaus} \to \operatorname{Top}</math> את הפונקטור השכחן. אז כל מורפיזם <math>\beta X \to K</math> (עבור <math>K \in \operatorname{Obj}(\operatorname{CHaus})</math>) מתאים באופן יחיד למורפיזם <math>X \to uK</math> (באמצעות צמצום ל-<math>X</math> ותכונת האוניברסליות), כלומר <math>\operatorname{Hom}(\beta X, K) = \operatorname{Hom}(X,uK)</math>. היינו, הפונקטור <math>\beta</math> הוא פונקטור צמוד משמאל ל-<math>u</math>.

== בניה ==

אם <math>X</math> מרחב דיסקרטי, אפשר לבנות את <math>\beta X</math> כמרחב כל העל-מסננים על <math>X</math>, עם טופולוגיית סטון. אברי <math>X</math> מתאימים למסננים הראשיים. ידועות גם בניות אחרות, המתאימות למרחב טופולוגי כללי.

== קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של חבורה למחצה ==

אם <math>S</math> חבורה למחצה דיסקרטית, יש הרחבה יחידה של הפעולה מ-<math>S</math> ל-<math>\beta S</math> כך שהכפל מימין בכל איבר הוא רציף, והכפל משמאל בכל איבר של <math>S</math> הוא רציף. הרחבה זו היא אסוציאטיבית. מתברר ש-<math>\beta S</math> אוניברסלי כחבורה למחצה קומפקטית והאוסדורף (כלומר ביחס להומומורפיזמים רציפים). אם <math>S \subseteq T</math> חבורות למחצה דיסקרטיות, אז <math>\beta S \subseteq \beta T</math> גם היא תת-חבורה למחצה.

המרכז הטופולוגי של <math>\beta S</math> (הכולל, בהגדרה, את האיברים שהכפל משמאל בהם רציף) שווה למרכז האלגברי. אם <math>S</math> חבורה למחצה אינסופית ובעלת צמצום מימין או משמאל, אז <math>S^* = \beta S - S</math> הוא אידיאל ימני או שמאלי, בהתאמה. 

קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של המספרים הטבעיים (עם הטופולוגיה הדיסקרטית) היא אובייקט נחקר ובעל חשיבות בתורת הקבוצות. גם המבנה האלגברי של המספרים הטבעיים משך תשומת לב לא מבוטלת בהקשר זה. אלא שהמבנה האלגברי של הקומפקטיפיקציות <math>\beta \mathbb{N}</math> ו-<math>\beta \mathbb{Z}</math> סבוך להפליא. למשל, במרכזים של <math>(\beta \mathbb{N},+)</math>, <math>(\beta \mathbb{N},\cdot)</math> ו-<math>(\beta \mathbb{Z},+)</math> אין אף איבר שאינו שייך לקבוצה המקורית (הטבעיים בשני המקרים הראשונים, השלמים באחרון). ב-<math>\beta \mathbb{Z}</math> כמעט ואין שלשות המקיימות את החוק הדיסטריבוטיבי.

== מקורות == 

* Hindman and Strauss, Algebra in the Stone-Cech compacification, 2nd ed, 2012. (mostly chapters 4 and 6).

קטגוריה:קומפקטיות