טריגונומטריה ספירית

250px
טריגנומטריה ספֵירִית היא ענף של הגאומטריה הספירית הדן במצולעים (בעיקר משולשים) המצויים על מעטפת כדורית.
הטריגונומטריה הספירית עוסקת ביחסים שבין הזוויות השונות המגדירות מצולע:
* הזוויות שבין צלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות A,B,C או <math>\alpha , \beta , \gamma \,</math>).
* הזוויות שבין מרכז הכדור לצלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות <math>a' , b' , c' \,</math>).
:(הערה: מהנוסחה לחישוב היקף מעגל מתקבל כי : <math>a'=\tfrac a R ,b'=\tfrac b R , c'=\tfrac c R \,</math> ).

ניתן לפתח את התורה על בסיס הטריגנומטריה האוקלידית ובהנחה כי נתון רדיוס הכדור (למשל, רדיוס כדור הארץ הוא כ-6400 ק"מ).

==משפטים==
250px
המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה הספירית:

===משפט פיתגורס===
משפט פיתגורס בגאומטריה האוקלידית קובע שאם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם <math>\ a</math> ו-<math>\ b</math>, ואורך היתר הוא <math>\ c</math>, אז <math>\ a^2+b^2=c^2</math>.
בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא:
<math> \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\,\cos \left(\frac{b}{R}\right) </math>.

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה <math>\cos {\alpha} \,</math> לטור מקלורן: <math>\cos \alpha =1 - \frac {\alpha^2} 2 + ...</math> <br />
כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הכדורית" מקבלים:
<math>\left ( 1 - \frac {c^2} {2R^2} + ...\right )= \left ( 1 - \frac {a^2} {2R^2} + ...\right )\cdot \left ( 1 - \frac {b^2} {2R^2} + ...\right ) </math>.
<br />לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם <math>2R^2 \,</math>, מקבלים כאשר רדיוס הכדור <math>\,R \to \infin</math> את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית: <math>a^2+b^2=c^2 \,</math>.

הוכחת המשפט:

את הנקודות O,A,B,C נמקם במערכת קואורדינטות קרטזיות באופן הבא:
הנקודה O תהא ראשית הצירים; גזרת העיגול BOC תהא על המישור XY; הישר BO יהא על ציר ה-X.
במערכת זו שעורי הנקודות A,B,C הן:
<math>B(R,0,0) \,</math> ,
<math>C(R \cos (a'),R \sin (a'),0) \,</math>, 
<math>A(R cos (a') \cos (b') ,R \sin (a') \cos (b'),R \sin (b')) \,</math>.

את הזווית בין הווקטורים OA,OB ניתן להביע באמצעות מכפלה פנימית באופן הבא:
<math>\cos (c')= \frac {OA \cdot OB} {\| OA \| \| OB \|}=\cos (a') \cos (b')</math>.

הצבת השוויונות: <math>a'=\tfrac a R ,b'=\tfrac b R , c'=\tfrac c R \,</math> במשוואה האחרונה מניבה את המשפט: 
<math> \cos \left(\tfrac{c}{R}\right)=\cos \left(\tfrac{a}{R}\right)\,\cos \left(\tfrac{b}{R}\right) </math>.

הערה: ניתן לקבל את המשפט כמקרה פרטי של משפט הקוסינוסים (ראו בהמשך) על ידי הצבה <math>\gamma = 90^0</math>.

===משפט הסינוסים===
משפט הסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן <math>\ a, b, c</math> והזוויות שמולן הן <math>\ \alpha, \beta, \gamma</math> בהתאמה, מתקיים: <math>{a \over \sin \alpha}={b \over \sin \beta}={c \over \sin \gamma}</math>.

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הסינוסים באופן הבא: <math>\frac{\sin \tfrac a R}{\sin \alpha}=\frac{\sin \tfrac b R}{\sin \beta}=\frac{\sin \tfrac c R}{\sin \gamma} </math>.

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הסינוסים, מפתחים את הפונקציה <math> \sin{\alpha} \,</math> 
לטור מקלורן: <math>\sin \alpha =\alpha+ ...\,</math>.

כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט הסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים כאשר רדיוס הכדור <math>\,R \to \infin</math> : <math>\frac{\tfrac a R +...}{\sin \alpha}=\frac{\tfrac b R +...}{\sin \beta}=\frac{\tfrac c R +...}{\sin \gamma}</math>.

לאחר הכפלה ב-R מתקבל משפט הסינוסים בגרסתו האוקלידית:<math>{a \over \sin \alpha}={b \over \sin \beta}={c \over \sin \gamma}</math>.

הוכחת המשפט:

האנך מהנקודה A לגזרת העיגול BOC חותך אותה בנקודה D.
האנכים מהנקודה D לקטעים OB,OC חותכים את הקטעים בנקודות E,F בהתאמה.

אזי <math>AF \perp OC</math>, <math>AE \perp OB</math> וגם <math>\angle {AED}=\beta</math>, <math>\angle {AFC}=\gamma </math>.

במשולש AED מתקיים: <math>\sin {\beta}=\tfrac {AD} {AE}</math> 
ובמשולש AFD מתקיים: <math>\sin {\gamma}=\tfrac {AD} {AF}</math>
ולכן <math>\frac {\sin \beta} {\sin \gamma} = \frac {AF} {AE}</math>.

במשולש AOE מתקיים: <math>\sin {c'}=\tfrac {AE} R</math> 
ובמשולש AOF מתקיים: <math>\sin {b'}=\tfrac {AF} R</math> .

לאחר הצבת משוואות אלו במשוואה הקודמת מקבלים:
<math>\frac {\sin \beta} {\sin \gamma} = \frac {\sin {b'}} {\sin {c'}}</math>,
כלומר:<math>\frac {\sin \beta} {\sin \gamma} = \frac {\sin {\frac b R}} {\sin {\frac c R}}</math>.

===משפט הקוסינוסים===

משפט הקוסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן <math>\ a, b, c</math> והזוויות שמולן הן <math>\ \alpha, \beta, \gamma</math> בהתאמה, מתקיים: <math>\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma</math>

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הקוסינוסים באופן הבא:
<math>\, \cos \frac c R = \cos \frac a R \cdot \cos \frac b R + \sin \frac a R \cdot \sin \frac b R \cdot \cos \gamma</math>.

(עבור זוויות המשולש מתקיים משפט אנלוגי: <math>\, \cos \gamma = - \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos \frac c R</math>).

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הקוסינוסים, מפתחים את הפונקציות <math>\cos{\alpha} , \sin{\alpha} \,</math> לטור מקלורן: <math>\cos \alpha =1 - \frac {\alpha^2} 2 + ...</math>, <math>\sin \alpha =\alpha+ ...\,</math>.

כאשר מציבים את הפיתוחים הנ"ל ב"משפט הקוסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים:
<math>\left ( 1 - \frac {c^2} {2R^2} + ...\right )= \left ( 1 - \frac {a^2} {2R^2} + ...\right )\cdot \left ( 1 - \frac {b^2} {2R^2} + ...\right )+\left (\frac {a \cdot b} {R^2} \cdot \cos {\gamma} + ...\right ) </math>.

לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם <math>2R^2 \,</math>, מקבלים כאשר רדיוס הכדור <math>\,R \to \infin</math> את משפט הקוסינוסים בגרסתו האוקלידית: <math>\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma</math>.

==זהויות==

{| class="wikitable" border="1"
|-
| מכפלת סינוס וקוסינוס || <math>\, \sin a' \cdot \cos \beta = \cos b' \cdot \sin c' - \sin b' \cdot \cos c' \cdot \cos \alpha</math>
|- style="background-color: #EFEFEF;"
| מכפלת סינוס וקוטנגנס|| <math>\, \sin \alpha \cdot \cot \beta = \cot b' \cdot \sin c' - \cos c' \cdot \cos \alpha</math>
|-
| משפט הטנגסים|| <math> \frac{\tan{\frac{ a' + b' }{2}}}{\tan{\frac{ a' - b' }{2}}} =
 \frac{\tan{\frac{\alpha+\beta }{2}}}{\tan{\frac{\alpha-\beta }{2}}}</math>
|- style="background-color: #EFEFEF;"
| נוסחאות נפייר || <math>\tan{\frac{a'+b'}{2}} \cdot \cos{\frac{\alpha+\beta }{2}} = \tan{\frac{c'}{2}} \cdot \cos{\frac{\alpha-\beta }{2}}</math>

<math>\tan{\frac{\alpha+\beta }{2}} \cdot \cos{\frac{a'+b'}{2}} = \cot{\frac{\gamma}{2}} \cdot \cos{\frac{a'-b'}{2}}</math>

<math>\tan{\frac{a'-b'}{2}} \cdot \sin{\frac{\alpha+\beta }{2}} = \tan{\frac{c'}{2}} \cdot \sin{\frac{\alpha-\beta }{2}}</math>

<math>\tan{\frac{\alpha-\beta }{2}} \cdot \sin{\frac{a'+b'}{2}} = \cot{\frac{\gamma}{2}} \cdot \sin{\frac{a'-b'}{2}}</math>
|-
| נוסחאות דלאמבר|| <math>\sin{\frac{a'+b'}{2}} \cdot \sin{\frac{\gamma}{2}} = \cos{\frac{\alpha-\beta }{2}} \cdot \sin{\frac{c'}{2}}</math>

<math>\sin{\frac{a'-b'}{2}} \cdot \cos{\frac{\gamma}{2}} = \sin{\frac{\alpha-\beta }{2}} \cdot \sin{\frac{c'}{2}}</math>
|- style="background-color: #EFEFEF;"
| חצי זווית (סימון: <math>s = \frac{a'+b'+c'}{2}</math>).|| <math>\sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\sin(s-b') \cdot \sin(s-c')}{\sin b' \cdot \sin c'}}</math>

<math>\cos{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\sin(s) \cdot \sin(s-a')}{\sin b' \cdot \sin c'}} </math>

<math>\tan{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\sin(s-b') \cdot \sin(s-c')}{\sin s \cdot \sin (s-a')}} </math>

|-
| חצי צלע (סימון: <math>\sigma = \frac{\alpha + \beta + \gamma}{2}</math> ).|| <math>\sin{\frac{a'}{2}} = \sqrt{\frac{-\cos\sigma \cdot \cos(\sigma-\alpha)}{\sin\beta \cdot \sin\gamma}}</math>

<math>\cos{\frac{a'}{2}} = \sqrt{\frac{\cos(\sigma-\beta) \cdot \cos(\sigma-\gamma)} {\sin\beta \cdot \sin\gamma}} </math>

<math>\tan{\frac{a'}{2}} = \sqrt{\frac{-\cos\sigma \cdot \cos(\sigma-\alpha)} {\cos(\sigma-\beta) \cdot \cos(\sigma-\gamma)} }</math>
|}

==קישורים חיצוניים==

* 
* 

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:טריגונומטריה
קטגוריה:גאומטריה לא אוקלידית
קטגוריה:משולש