קורלטור אופטי

קורלטור אופטי היא מערכת אופטית, המנצלת את תכונות אופטיקת פורייה על מנת ליצור תמונה המכילה את פעולת הקרוס-קורלציה בין שני אותות כניסה. הקורלציה היא מדד לדמיון בין פונקציות, לפיכך הקורלטור האופטי משמש להשוואת אותות וזיהוי תבניות בתחומים נרחבים כגון זיהוי מטרות, אבטחת כרטיסי אשראי, זיהוי טביעות אצבע, בדיקות רפואיות וכו'.

על פי קירוב פרנל להתפשטות גל במרחב החופשי<ins>,</ins> ניתן להציג את התמרת פורייה המרחבית של אות כניסה אופטי במישור הפורייה של המערכת האופטית, מישור זה מתקבל במוקד עדשה מרכזת או בהתפשטות שדה רחוק (על פי קירוב פראנהופר).

במישור פורייה מתקבל הספקטרום המרחבי של תמונת הכניסה המכיל מידע לגבי התדרים המרחביים המרכיבים את התמונה, תכונה זו מאפשרת לבצע מניפולציה ישירות על גבי ספקטרום התמונה ומשמשת ככלי מרכזי לעיבוד אופטי של נתונים.

קורלטור אופטי מנצל תכונה זו על ידי מעבר למישור פורייה, כך שניתן לתרגם את פעולת הקורלציה לפעולה פשוטה יותר של מכפלת ספקטרום התמונה במסנן אופטי.

== הגדרת הקורלציה ==
הצגה ויזואלית של קונבולוציה, קרוס-קורלציה ואוטו-קורלציה עבור פונקציות <math>f</math> ו-<math>g</math>
בעיבוד אותות קורלציה היא מידת הדמיון בין שני אותות כפונקציה של ההזזה של אחת ביחס לשנייה. הקורלציה שימושית לזיהוי תבניות וחיפוש תכונה ידועה בתוך אות נרחב.

עוצמת הקורלציה בכל נקודה פרופורציונלית למידת הדמיון בין האותות עבור הזזת אחת הפונקציות לנקודה זו. באופן פורמלי הקורלציה בין פונקציות <math>h(x,y)</math> ו- <math>g(x,y)</math> נתונה על ידי:

<math>h(x,y) \star g(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} g(\xi,\gamma) h^* (\xi -x,\gamma -y) d\xi d\gamma</math>

לעיתים קורלטור אופטי מכיל גם קונבולוציה בין האותות הרצויים, זאת מתוך הדמיון בין שתי הפעולות:

<math>h(x,y)\star g(x,y)=h^* (-x,-y)*g(x,y)</math>

הקרוס-קורלציה מתקבלת מהפעלת האופרטור על שתי פונקציות נפרדות, בעוד שאוטו קורלציה מתייחסת להפעלת הקורלציה של פונקציה עם עצמה.

== קורלציה באופטיקת פורייה ==
הקורלטור האופטי הוצג לראשונה בשנת 1964 על ידי Vander Lugt והתאפשר מתוך התפתחויות בתקופה זו בתחום אופטיקת פורייה. על פי שיטה זו ניתן להציג את התמרת פורייה המרחבית של אות כניסה אופטי בהתפשטות שדה רחוק או במישור המוקד של עדשה מרכזת.

התמרה זו מאפשרת לבצע פעולות על הספקטרום המרחבי של האות, ויישומה בקורלטור אופטי נובעת מהקשר בין פעולת הקורלציה במישור המרחב לפעולת המכפלה במישור פורייה:

<math>h(x,y)\star g(x,y)=F\{H^* (v_x, v_y) G(v_x,v_y)\}</math>

כאשר <math>F\{\circ \}</math> היא התמרת פורייה, ומתקיים <math>H(v_x,v_y)=F\{h(x,y)\}</math> ו- <math>G(v_x,v_y)=F\{g(x,y)\}</math>. האופרטור <math>H^*</math> הוא הצמוד המרוכב של <math>H</math>.

נניח כי קיים אות כניסה <math>g(x,y)</math> עבורו נרצה לקבל את תמונת הקורלציה עם מסנן ייחוס <math>h(x,y)</math> המכיל תבנית מסוימת.

ניתן לקבל את הספקטרום המרחבי <math>G(v_x,v_y)</math> במישור פורייה של המערכת והכפלתו בצמוד המרוכב של ספקטרום תבנית הייחוס <math>H^*(v_x,v_y)</math>, כעת התמרת פורייה ההפוכה של מישור זה תביא לקורלציה הרצויה.

בפועל, לא ניתן לבצע התמרת פורייה הפוכה במערכת אופטית ולכן מתבצעת התמרת פורייה נוספת, השקולה לפעולה הרצויה עד כדי היפוך צירים.

== קורלטורים ==
=== קורלטור 4f ===
קורלטור 4f כאשר מישור הכניסה מתואר על ידי <math>f(x,y)</math>,

העדשה הראשונה יוצרת התמרת פורייה במישור המרכזי ושם מוצב מסנן ספקטרום אות הייחוס <math>G(k_x,k_y)</math>. במישור הסופי מתקבלת הקורלציה לאחר התמרת פורייה נוספת על ידי העדשה השנייה.
קורלטור זה מבוסס על מערכת המורכבת מ-4 מרחקי f השקולים לאורך המוקד של 2 העדשות במערכת. תצורה זו מנצלת את תכונות האור הקוהרנטי והיא הפשוטה ביותר לניתוח.

במערכת זו התמרת הפורייה של אות הכניסה נוצרת במוקד העדשה הראשונה. במישור זה מציבים שקופית מסנן כך שהספקטרום המרחבי של תמונת הכניסה מוכפל בפונקציית המסנן. כעת מישור זה עובר התמרת פורייה נוספת על ידי העדשה השנייה כך שבמוקד שלה, שהוא מישור המוצא, מתקבלת הקונבולוציה בין אות הכניסה למסנן.

עבור אות ייחוס <math>h(x,y)</math> מסוים, מוצב במסנן הצמוד המרוכב של התמרת הפורייה שלו <math>H^*(v_x,v_y)</math>, כך שבמישור המוצא מתקבלת הקורלציה בין אות הייחוס לתמונת הכניסה.

<math>F^{-1} \{G(v_x,v_y)*H^* (v_x,v_y)\}=g(x,y)*h^* (-x,-y)=g(x,y)\star h(x,y)</math>

כאשר בפועל מתבצעת התמרת פורייה נוספת במקום התמרת פורייה הפוכה, והקורלציה הסופית תתקבל עם היפוך צירים.

על אף שתצורה זו נראית פשוטה מבחינת ניתוח המערכת, קיימת דרישה לשלב מקדים של ייצור מסנן המתאים לאות הייחוס הרצוי. מסנן זה בדרך כלל יכיל סינון של אמפליטודה ופאזה במקביל, והכנתו יכולה להיות מסובכת. משיקולי ייצור, לרוב מסננים מוגבלים לסינון רק של אמפליטודה או פאזה בנפרד.

=== Joint Transform Correlator ===
תצורת ה-Joint Transform Correlator
קורלטור זה מכיל את התמונה ואות הייחוס בשקופית הכניסה, כך שבניגוד לתצורת 4f אין צורך במסנן מותאם לאות הייחוס.

הקורלטור פועל בשני שלבים: בשלב הראשון, במישור הכניסה מוצב אות הכניסה <math>g(x,y)</math> ואות הייחוס הרצוי <math>h(x,y)</math> המוזזים במרחק מסוים באופן סימטרי מהציר האופטי. מאירים את המערכת בגל מישורי העובר דרך שקופית הכניסה, ובמישור מוקד העדשה השנייה מתקבלת התפלגות שדה המתכונתית להתמרת פורייה של שקופית הכניסה. העוצמה המתקבלת במוצא מוקלטת ע"ג לוח צילום.

כך שבמישור הכניסה מתקיים:

<math>U(x_1,y_1 )=h(x_1,y_1+\frac{Y}{2})+g(x_1,y_1-\frac{Y}{2})</math>

השדה המתקבל במישור פורייה במוקד העדשה הוא:

<math>U(x_2,y_2)=\frac{1}{\lambda f} H(\frac{x_2}{\lambda f},\frac{y_2}{\lambda f}) e^{+\frac{j\pi y_2 Y}{\lambda f}}+\frac{1}{\lambda f} H(\frac{x_2}{\lambda f},\frac{y_2}{\lambda f}) e^{-\frac{j\pi y_2 Y}{\lambda f}}</math>

והעוצמה המוקלטת על גבי מישור המוצא:<math>I(x_2,y_2)=\frac{1}{(\lambda f)^2}\Biggl(
(|H|^2 + |G|^2) +
H^*(\frac{x_2}{\lambda f},\frac{y_2}{\lambda f})G(\frac{x_2}{\lambda f},\frac{y_2}{\lambda f})
e^{-\frac{2\pi y_2 Y}{\lambda f}}+
H(\frac{x_2}{\lambda f},\frac{y_2}{\lambda f})G^*(\frac{x_2}{\lambda f},\frac{y_2}{\lambda f})
e^{+\frac{2\pi y_2 Y}{\lambda f}}
\biggr)</math>

בשלב השני, לוח הצילום מהשלב הקודם מוצב במישור הכניסה של המערכת, והוא משמש כשקופית שעבירות השדה שלה מתכונתית לעוצמה אליה הוא נחשף בשלב הראשון. השקופית מוארת באופן דומה על ידי גל מישורי, העדשה מבצעת התמרת פורייה כך שבמישור המוצא הסופי מתקבלת התמרת הפורייה של השקופית שהוקלטה:<small><math>U(x_3,y_3)=\biggl(h(x_3,y_3)*h^*(-x_3, -y_3)+g(x_3,y_3)*g^*(-x_3, -y_3)+
h(x_3,y_3)*g^*(-x_3, -y_3)*\delta(x_3, y_3+Y)+h^*(-x_3,-y_3)*g(x_3, y_3)*\delta(x_3, y_3-Y) \biggr)</math></small>

מתוך ביטוי זה המתקבל במישור המוצא, האיבר השלישי והרביעי הם הקורלציה בין האותות המקוריים <math>g(x,y)</math> ו-<math>h(x,y)</math> ממורכזים בנקודות <math>y_3=+Y</math> ו-<math>y_3=-Y</math>.

== לקריאה נוספת ==
<div class="mw-content-ltr">
* Goodman, Joseph W. "Introduction to Fourier optics." 1968
</div>