פעולה טרנזיטיבית

בתורת החבורות, פעולה טרנזיטיבית היא סוג מיוחד של פעולה של חבורה על קבוצה. נניח שהחבורה <math>G</math> פועלת על הקבוצה <math>X</math>. אם לכל שתי נקודות <math>x,y\in X</math> קיים איבר <math>g\in G</math> המעביר את <math>x</math> ל-<math>y</math>, אז הפעולה היא פעולה טרנזיטיבית. 

במקרים רבים לקבוצה <math>X</math> יש מבנה נוסף (כגון אם <math>X</math> הוא גרף או מרחב מטרי). מן העובדה שקיימת חבורה <math>G</math> הפועלת על <math>X</math> באופן טרנזיטיבי (ושומרת על המבנה), כשלעצמה, נובע שכל הנקודות של <math>X</math> דומות זו לזו; במקרה כזה אומרים ש-<math>X</math> מרחב הומוגני (אם <math>X</math> הוא גרף, הוא נקרא גרף טרנזיטיבי). 

פעולה טרנזיטיבית מתוארת באופן מלא על ידי המייצב של נקודה, שהוא תת-החבורה <math>G_x = \{g \in G: g(x) = x\}</math>. כל המייצבים צמודים זה לזה, והקבוצה <math>X</math> איזומורפית (כקבוצה עם פעולה של <math>G</math>) למרחב הקוסטים <math>G/G_x</math>. המייצב הוא תת-חבורה מקסימלית אם ורק אם הפעולה פרימיטיבית.

== טרנזיטיביות מסדר גבוה ==

כאשר החבורה <math>G</math> פועלת על קבוצה <math>X</math>, היא פועלת מניה וביה גם על המכפלה הקרטזית של <math>X</math> עם עצמה, ובאופן כללי יותר על כל חזקה של <math>X</math>. הפעולה מוגדרת לפי <math>g(x_1,\dots,x_k)=(g(x_1),\dots,g(x_k))</math>, כלומר פעולה על כל רכיב בנפרד. גם אם מוציאים מהחזקה <math>X^k</math> את האלכסון המוכלל ומשאירים רק את הקבוצה <math>X^{[k]}</math> של הווקטורים באורך <math>k</math> שכל רכיביהם שונים זה מזה, קבוצה זו עדיין מצוידת בפעולה של <math>G</math>, המכלילה את פעולתה על הרכיבים. 

אם <math>G</math> פועלת באופן טרנזיטיבי על <math>X^{[k]}</math>, אז הפעולה שלה על <math>X</math> היא פעולה <math>k</math>-טרנזיטיבית. ניסוח אחר: <math>G</math> פועלת <math>k</math>-טרנזיטיבית על <math>X</math>, אם לכל <math>x_1,\dots,x_k</math> שונים זה מזה, ולכל <math>y_1,\dots,y_k</math> שונים זה מזה, קיים איבר של החבורה המעביר <math>g(x_i)=y_i</math>. אם יש בחבורה איבר יחיד <math>g</math> כנ"ל, אז הפעולה היא <math>k</math>-טרנזיטיבית חדה. כמובן שפעולה 3-טרנזיטיבית היא תכונה חזקה יותר מפעולה 2-טרנזיטיבית, וכן הלאה. (פעולה 2-טרנזיטיבית היא תמיד פרימיטיבית).

לדוגמה, הפעולה של החבורה הסימטרית <math>S_n</math> על הקבוצה <math>\{1,\dots,n\}</math> היא פעולה n-טרנזיטיבית (חדה), בעוד שהפעולה של חבורת התמורות הזוגיות <math>A_n</math> על אותה קבוצה היא (<math>n-2</math>)-טרנזיטיבית (חדה). כאשר <math>m<n-1</math>, הפעולה של <math>S_n</math> היא <math>m</math>-טרנזיטיבית אבל אינה חדה.

=== פעולה על קבוצה אינסופית ===

פעולה על קבוצה אינסופית נקראת טרנזיטיבית במידה רבה (highly transitive) אם היא <math>k</math>-טרנזיטיבית לכל <math>k</math>, ואוליגומורפית אם לכל <math>k</math> יש מספר סופי של מסלולים של קבוצות בגודל <math>k</math>.

== מיון של פעולות טרנזיטיביות ==

=== טרנזיטיביות מדרגה ראשונית ===

יש ארבעה סוגים של פעולות טרנזיטיביות על קבוצה מסדר ראשוני. (1) החבורה הסימטרית וחבורת התמורות הזוגיות. (2) תת-חבורות של חבורת ההעתקות האפיניות <math>\ AGL_1(p)</math> המכילות את החבורה החיבורית של השדה. (3) תת-חבורות של החבורה הליניארית המוכללת <math>\ P\Gamma{}L_n(p)</math> המכילות את 
<math>\ PSL_n(p)</math> במקרים שבהם הסדר <math>\ (p^n-1)/(p-1)</math> של המרחב הפרויקטיבי עליו פועלת החבורה הוא מספר ראשוני. (4) שלושה מקרים ספורדיים: <math>\ PSL_2(11)</math> בהצגה (לא סטנדרטית) מדרגה 11, וחבורות מתיו <math>\ M_{11}</math> ו-<math>\ M_{23}</math>.

=== טרנזיטיביות מסדר גבוה ===

מתברר שפעולה נאמנה בעלת סדר טרנזיטיביות גבוה היא תופעה נדירה למדי בין החבורות הסופיות. ב-1873 הוכיח Jordan שהחבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי חד הן <math>S_4, S_5, A_6</math> וחבורת מתיו <math>M_{11}</math>; שהחבורות היחידות הפועלות באופן 5-טרנזיטיבי חד הן <math>S_5, S_6, A_7</math> וחבורת מתיו <math>M_{12}</math>, ושהחבורות היחידות הפועלות באופן <math>k</math>-טרנזיטיבי חד, עבור <math>k\geq 6</math>, הן <math>S_k,S_{k+1},A_k</math>. 

ב-1936 הראה Zassenhaus שהחבורות היחידות הפועלות באופן 3-טרנזיטיבי חד הן <math>\operatorname{PGL}_2(q)</math> (לכל חזקת-ראשוני <math>q</math>), ו-<math>M(q)</math> (לכל חזקת-ראשוני שהיא ריבוע אי-זוגי); <math>M(q)</math> היא תת-חבורה של <math>\operatorname{PGL}_2(q)\cdot\langle\sigma\rangle</math> המכילה את <math>\operatorname{PSL}_2(q)</math>.

כתוצאה ממיון החבורות הפשוטות הסופיות, ידוע היום שפרט לחבורות <math>S_n</math> ו-<math>A_n</math>, החבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי הן ארבע מבין חמש חבורות מתיו (היינו: <math>M_{11}</math> ו-<math>M_{23}</math> הן 4-טרנזיטיביות, ו-<math>M_{12}</math> ו-<math>M_{24}</math> הן 5-טרנזיטיביות)
.

== ראו גם ==

* חבורת תמורות
* פעולה פרימיטיבית

== הערות שוליים ==

קטגוריה:תורת החבורות

en:Transitive action