משפט האן-בנך

משפט האן-בנך הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית העוסק בהרחבה של פונקציונל <math>\ f_0</math> מתת-מרחב של מרחב בנך, אל המרחב כולו. המשפט נוסח והוכח על ידי סטפן בנך והאנס האן, כל אחד לחוד ובאופן בלתי תלוי, בשנות ה-20 של המאה ה-20.

== המשפט ==
יהי <math>\,L</math> מרחב בנך מעל השדה <math>\,F</math> (שדה הממשיים או המרוכבים), עם תת-מרחב <math>\ L_0 \sub L</math>, ופונקציה תת-ליניארית <math>\ \rho : L \rightarrow {\mathbb R}</math> (פונקציה זו מכונה לעיתים מז'ורנטה).<br />
אזי כל פונקציונל ליניארי <math>\ f_0 : L_0 \rightarrow F</math> החסום על ידי <math>\ \rho</math> (כלומר: <math>\ |f_0(x)|\leq \rho(x) </math> לכל <math>\ x\in L_0</math>) אפשר להרחיב לפונקציונל <math>\ f : L \rightarrow F</math> שגם הוא חסום באותו אופן.

כלומר:
# <math>\ \forall x \in L_0 \ : \ f(x) = f_0(x)</math> (כלומר: <math>\ f </math> הוא אכן הרחבה של <math>\ f_0 </math>).
# <math>\ \forall x \in L \ : \ |f(x)| \le \rho(x)</math> (כלומר: <math>\ f </math> חסום גם כן על ידי <math>\,\rho</math>).

== מסקנות ושימושים ==
* קיום הרחבה שומרת נורמה:
: אם <math>\ L</math> הוא מרחב בנך ו-<math>\ M</math> הוא תת-מרחב שלו, ואם <math>f_0 : M\to \mathbb{R}</math> הוא פונקציונל רציף (כלומר, חסום) על <math>\ M</math>, אזי קיימת לו הרחבה <math>f : L \to \mathbb{R}</math> רציפה, ובעלת אותה נורמה, כלומר: <math>\| f_0 \|_{L_0^{*}} = \| f \|_{L^{*}}</math>. זו היא מסקנה ישירה מכך שפונקציונל הוא רציף אם ורק אם הוא חסום, כלומר: <math>\ f_0(x) \le \| f_0 \|_{*} \cdot \| x \|</math>, ומכך שהנורמה היא פונקציה תת-ליניארית ולכן יכולה לשמש כמז'ורנטה במשפט האן-בנך. בניסוח קטגורי, ניתן לנסח מסקנה זו כך: בקטגוריה של מרחבי בנך, <math>\,\mathbb{R}</math> הוא אובייקט אינג'קטיבי.
* משפט ההפרדה בין נקודות:
: <math>\ \forall x_0 \ne 0 \ : \ \exist f_0 \ne 0 \ \mbox{bounded functional} \, \ \mbox{such that} \ : \ \ f_0(x_0) = \| f_0 \| \cdot \| x_0 \| \ne 0</math>.
: בפרט, אם נגדיר <math>\ x_0 = x_1 - x_2</math> עבור <math>\ x_1 \ne x_2</math> אזי נקבל שקיים פונקציונל <math>\ f_0 \ne 0</math> כך ש <math>\ f_0(x_1) \ne f_0(x_2)</math>. כלומר: קיים פונקציונל המפריד בין שתי נקודות שונות.
* משפט ההפרדה בין תת-מרחב לנקודה:
: יהי <math>\ L</math> מרחב בנך ויהי <math>\ M</math> הוא תת-מרחב שלו (לא בהכרח סגור). תהי <math>\ z \notin \overline{M}</math> נקודה שאיננה בסגור של <math>\ M</math>, אזי קיים פונקציונל רציף (חסום) <math>\ f : M \to \mathbb{R}</math> כך ש:
:# <math>\ \forall x \in M \ : \ f(x)=0 </math> ,
:# <math>\ f(z)=1</math>
:# ומתקיים ש <math>\ \| f \| = (\| z \| )^{-1}</math>

== הוכחת המשפט ==
הוכחת המשפט נעזרת בלמה של צורן. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של <math>\,f_0</math> החסומות על ידי <math>\,\rho</math> לתת-מרחב כלשהו <math>\ L_0 \subset L_\alpha \subset L</math> עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב-<math>\,E</math>). זהו מרחב סדור וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי הלמה של צורן, קיים איבר מקסימלי ב-<math>\,E</math> שמהווה הרחבה של <math>\,f_0</math> המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל <math>\,L</math>.

עושים זאת באמצעות הוכחה על דרך השלילה. מניחים שההרחבה המקסימלית ב-<math>\,E</math> מוגדרת על תת-מרחב <math>\ L' \subset L</math>, כאשר <math>\ L' \ne L</math>. אזי קיים <math>\ y \in L - L'</math> ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על ידי <math>\ \rho</math>, המוגדרת על ידי:
: <math>\ \forall z \in \mbox{span}\left(L' \cup \{y \} \right)\ : \ f(z) = f(x + \lambda y) = f'(x) + \lambda y'</math>
כאשר <math>\ z = x + \lambda y</math> פירוק יחיד של <math>\,z</math> כאשר <math>\ x \in L'</math> ו-<math>\,f'</math> הוא ההרחבה המקסימלית על <math>\,L'</math> (והם איברי המשפחה <math>\,E</math>). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך <math>\ f'(y) = y'</math> כך שלכל <math>\,z</math> בתחום ההגדרה יתקיים <math>\ f'(x) + \lambda y' = f(z) \le \rho(z) </math>. באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א (חסם עליון) ושימוש בתכונותיה של פונקציה תת-ליניארית אפשר להראות שקיים <math>\,y'</math> כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל-<math>\,f'</math> מ-<math>\,L'</math> לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב-<math>\,E</math>.

מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של <math>\,E</math>, וניתן לראות בקלות שגם היא ב-<math>\,E</math>, נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו סתירה.

לכן, האיבר המקסימלי של <math>\,E</math> מוגדר היטב על כל <math>\,L</math> ומהווה הרחבה של <math>\,f_0</math> המקיימת את הנדרש. <math>\blacksquare</math>

== ראו גם ==
* אנליזה פונקציונלית
* פונקציונל, פונקציה תת-ליניארית

==קישורים חיצוניים==
* 
* 

האן-בנך