פונקציה אוניוולנטית

באנליזה מרוכבת, פונקציה אוניוולנטית (Univalent function, simple, schlicht) היא פונקציה הולומורפית חד חד ערכית. פונקציה מולטי-ולנטית היא פונקציה המקבלת כל ערך מספר סופי וחסום של פעמים.

התאוריה של פונקציות אוניוולנטיות היא רחבה ומסובכת. משפט דה ברנז', אחד המשפטים החשובים בדבר פונקציות אוניוולנטיות, קובע כי המקדמים <math>b_n</math> בפיתוח טיילור של פונקציה אוניוולנטית על עיגול היחידה מקיימים <math>|b_n| \le n</math>. המשפט נוסח תחילה כהשערה בשנת 1916 והיה בגדר בעיה פתוחה עד להוכחתו בשנת 1985, והוכחתו נחשבת להישג חשוב באנליזה מרוכבת. השערת גודמן על פונקציות מולטי-ולנטיות מכלילה את משפט דה ברנז'.

==הגדרה והצורה הנורמלית==
===הגדרה===
פונקציה מרוכבת <math>f: \Omega \to \mathbb{C}</math> תקרא
* אוניוולנטית (Univalent function) אם היא הולומורפית וחד חד ערכית.
* מולטי-ולנטית (Multivalent function) אם היא הולומורפית והיא מקבלת כל ערך מספר סופי של פעמים. עבור <math>p</math> המקסימלי נקרא לה p-ולנטית.

===הצורה הנורמלית===
בהינתן פונקציה אוניוולנטית <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} {b_n z^n}</math>, ניתן להגיע לצורה נורמלית שלה: קודם נשים לב שהקובע לא משנה, ולכן נשמיט אותו. ניתן גם לחלק במקדם <math>b_1</math> של <math>z</math>, ולכן להניח מלכתחילה <math>b_0=0, b_1=1</math>, כלומר הפונקציה מהצורה <math>f(z)=z+\sum_{n=2}^{\infty} {b_n z^n}</math>.

רוב התאוריה עוסקת בפונקציות כנ"ל מעיגול היחידה, כלומר <math>\Omega=D=\{ z : |z|<1 \}</math>. את אוסף הפונקציות האוניוולנטית מעיגול היחידה ובעלות צורה נורמלית כנ"ל נסמן ב-<math>S</math>.

בהינתן פונקציה <math>f(z)=z+\sum_{n=2}^{\infty} {b_n z^n} \in S</math>, ניתן להביט בפונקציה <math>\hat{f} : D^c \to \mathbb{C}</math> הנתונה על ידי <math>z+\sum_{n=2}^{\infty} {b_n \frac{1}{z^n}}</math>. מתקיים ש- <math>\frac{1}{\hat{f}}</math> אוניוולנטית ב-<math>D^c</math> ולא מקבלת את אפס. היא נקראת פונקציה דואלית ל-<math>f</math>. אוסף פונקציות המקיימות את שתי הדרישות האחרונות יסומן ב-<math>\Sigma_0</math>. מובן שיש התאמה 1:1 בין <math>\Sigma_0</math> לבין <math>S</math>, הנתונה כנ"ל.

==דוגמאות==
* הפונקציה <math>(1+z)^2</math> היא אוניוולנטית בעיגול היחידה, בעוד ש-<math>(1+z)^3</math> איננה אוניוולנטית שם.
* פונקציית קוב הנתונה על ידי <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} {n z^n}=\frac{z}{(1-z)^2}</math> היו אוניוולנטית בעיגול היחידה. זוהי פונקציה חשוב מאוד בתאוריה, והיא למעשה ה"מקסימלית" מבין הפונקציות האוניוולנטית, לפי משפט דה ברנז'.
: אם עוברים לפונקציה ב-<math>\Sigma_0</math>, נקבל את הפונקציה הדואלית לפונקציית קוב - <math>\hat{f}(\eta)=\frac{1}{\eta}+\eta-2</math>.
* נניח <math>f(z) \in S</math>, ולכל <math>|a|<1</math> נגדיר <math>\phi(z) = \frac{z+a}{1+\overline{a}z}</math>, אז גם <math>\frac{f(\phi(z))-f(a))}{f'(a) (1-|a|^2)} \in S</math>.

==פעולות בסיסיות==
בהינתן פונקציה <math>f(z)=z+\sum_{n=2}^{\infty} {b_n z^n} \in S</math>, גם הפונקציות הבאות הן ב-<math>S</math>:
* סיבוב (Rotation) - <math>\forall \alpha \in \mathbb{R}: e^{-i \alpha}f(e^{i \alpha}z)=z+\sum_{n=2} ^{\infty}{b_ne^{i(n-1) \alpha}z^n}</math>
* הצמדה <math>\overline{f(\overline{z})}=z+\sum_{n=2}^{\infty} {\overline{b_n} z^n}</math>
* <math>\sqrt [ k ]{ f({ z }^{ k }) } </math> (כאשר בוחרים ענף).

==נוסחאות שטח==
השטח של תחום המתקבל כתמונה של פונקציה אוניוולנטית מ-<math>S</math> טומן בחובו נוסחאות ומשפטים רבים.

משפט אם <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} {b_n z^n}</math> אוניוולנטית על <math>D_r=\{|z|<r\}</math>, השטח של <math>\overline{f(D_r)}</math> נתון על ידי <math>\sum_{n=1}^{\infty} {\pi n|b_n|^2 r^{2n} }</math>. בפרט, כאשר <math>r=1</math> אז <math>f \in S</math> והשטח הוא <math>\sum_{n=1}^{\infty} {\pi n|b_n|^2}</math>.

מסקנה - אם <math>f</math> אוניוולנטית על טבעת מהצורה <math>A=\{r < |z| < R\}</math>, השטח של <math>\overline{f(A)}</math> הוא <math>\sum_{n=1}^{\infty} {\pi n|b_n|^2(R^{2n}-r^{2n}) }</math>.

מסקנה - אם <math>f</math> אוניוולנטית על <math>D_r^c=\{z:|z|>r\}</math>. אז השטח של <math>(\overline{f(D_r^c)}</math> הוא <math> \pi (|b_1| r^2-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n|b_n|^2}{r^{2n}}})</math>. בפרט, נקבל <math>|b_1| r^2-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n|b_n|^2}{r^{2n}}} \ge 0</math>.

כעת, אם משאיפים <math>r \to 1</math> במסקנה, ניתן לקבל את משפט השטח:

משפט השטח (The Area Theorem, Gronwall, 1914): אם <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} {b_n z^n} \in \Sigma_0</math> אז <math>\sum_{n=1} ^{\infty} {|b_n|^2} \le 1</math>. שוויון מתקיים אם ורק אם התמונה <math>f(D^c)</math> מכסה את כל המישור המרוכב, פרט לקבוצה ממידה אפס.

==טענות על המקדמים==
אחד העניינים המרכזיים בתאוריה של פונקציות אוניוולנטיות הוא עניין המקדמים. לאורך כל המאה ה-20 נוסחו הרבה טענות על המקדמים, חלקן תחת הנחות נוספות על הפונקציות. הטענה המרכזית היא משפט דה ברנז', שהיה ידוע עד שנת 1985 בתור השערת ביברבך או השערת המקדמים, הטוען כי <math>|b_n| \le n</math>. הוכחת המשפט בשנת 1985 על ידי לואי דה ברנז' היוותה נקודת ציון חשובה. השערת גודמן על פונקציות מולטי-ולנטיות מכלילה את משפט דה ברנז'.

לטענות חלקיות, שקולות והכללות ראו בספרו של גודמן בקריאה נוספת.

==ראו גם==
* משפט דה ברנז'
* השערת גודמן
* משפט הרבע של קוב

==לקריאה נוספת==
<div class="mw-content-ltr">
*
*
* [http://www.emis.de/journals/HOA/IJMMS/2/163.pdf AN INVITATION TO THE STUDY OF UNIVALENT AND MULTIVALENT FUNCTIONS], A.W. GOODMAN
</div>

==קישורים חיצוניים==
* 

קטגוריה:אנליזה מרוכבת
אוניוולנטית