אלגברה ציקלית

באלגברה מופשטת, אלגברה ציקלית היא אלגברה פשוטה מרכזית המכילה תת-שדה (מקסימלי) המהווה הרחבת גלואה ציקלית מעל שדה הבסיס.

==הגדרה==

לאלגברה ציקלית מספר הגדרות שקולות.

===הגדרה ישירה===
תהי <math>\mathbb{K} / \mathbb{F}</math> הרחבת גלואה ציקלית עם חבורת גלואה <math>G=Gal(\mathbb{K} / \mathbb{F})=\langle\sigma\rangle</math> מסדר <math>n</math>, ויהי <math>\beta \in \mathbb{F}^{\times}</math>. נגדיר <math>A=\mathbb{K} \oplus \mathbb{K}z \oplus ... \oplus \mathbb{K}{z}^{n-1}</math> (כמרחב וקטורי עם בסיס <math>\{ 1,z,...,{z}^{n-1} \}</math>), עם פעולת הכפל:

<math display="block">(a{ z }^{ i })(b{ z }^{ j })=\begin{cases} a{ \sigma }^{ i }(b){ z }^{ i+j }\quad \quad \quad i+j<n \\ \beta a{ \sigma }^{ i }(b){ z }^{ i+j-n }\quad i+j\ge n \end{cases}</math>

בדיקה ישירה מראה שהפעולה מגדירה אלגברה פשוטה מרכזית הנקראת אלגברה ציקלית ומסומנת <math>(\mathbb{K},\sigma,\beta)</math>. (להוכחת טענות אלו ראו [Row]).

===הגדרה באמצעות תת-שדה מקסימלי===
תהי <math>A</math> אלגברה פשוטה מרכזית מעל <math>\mathbb{F}</math>. נאמר ש-<math>A</math> אלגברה ציקלית אם קיים תת-שדה (מקסימלי) <math>\mathbb{F} \subseteq \mathbb{K} \subseteq A</math> המהווה הרחבת גלואה ציקלית.

===הגדרה באמצעות יוצרים ויחסים===
אלגברה ציקלית היא אלגברה בעלת הצגה על ידי יוצרים ויחסים: <math>A=\langle\mathbb{K},y| {y}^{m}=\beta,ay=y\sigma (a) \quad \forall a \in \mathbb{K}\rangle</math>.

===שקילות ההגדרות===
ההגדרה הראשונה שקולה לשנייה לפי המשפט:

משפט [Row, 24.45]: אלגברה פשוטה מרכזית <math>A</math> היא אלגברה ציקלית (במובן ההגדרה הראשונה) אם ורק אם קיים עבורה תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית.

סקירת ההוכחה: בכיוון <math>\Rightarrow</math>, תהי <math>G=\langle\sigma\rangle</math> חבורת הגלואה. לפי משפט סקולם-נתר, יש <math>z</math> כך ש-<math>za{z}^{-1}=\sigma (a)</math>, ולכן גם <math>\forall i:{z}^{i}a=\sigma ^{i} (a){z}^{i}</math>. לכן <math>\forall a \in \mathbb{K}: z^n a=\sigma ^{n} (a) z^n=az^n</math>, כלומר <math>z^n</math> שייך למרכז שהוא <math>\mathbb{K}</math>, כלומר <math>{z}^n=\beta</math>, ומתקיים <math>A \cong (\mathbb{K},\sigma,\beta)</math>.

שקילות ההגדרות השנייה והשלישית נובעת מהמשפט:

משפט [GS, 2.5.3]: אם אלגברה פשוטה מרכזית <math>A</math> היא בעלת תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית, אז A איזומורפית לאלגברה מהצורה <math>A=\langle\mathbb{K},y| {y}^{m}=\beta,ay=\sigma (a)y \quad \forall a \in \mathbb{K}\rangle</math> (סיגמא היוצר של חבורת הגלואה).

סקירת הוכחת המשפט: על פי משפט סקולם-נתר, האוטומורפיזם <math>\sigma</math> של K הוא הצמדה באיבר כלשהו <math>y</math>: <math>\forall x \in \mathbb{K}: {y}^{-1}xy=\sigma (x)</math>. נגדיר <math>\beta = y^m</math>, ונוכיח כי <math>y^m \in \mathbb{F}</math>: משום ש-<math>x= \sigma ^{m} (x)=y^{-m}xy^{m}</math>, כלומר <math>y^m \in K</math>; הפעלת ההצמדה על <math>y^m</math> מראה כי <math>\sigma(y^m)=y^m</math>, ולכן <math>y^m \in \mathbb{F}</math>. כעת, קל לבדוק כי <math>1,...,y^{m-1}</math> בלתי תלויים ליניארית, ולכן מקבלים הדרוש.

==דוגמאות==
* יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה, ויהי <math>m</math> הפיך בשדה. עוד נניח כי <math>\mathbb{F}</math> מכיל שורש יחידה פרימיטיבי מסדר <math>m</math>, נסמנו <math>\omega</math>. נגדיר <math>(a,b)_{\omega}=\langle x,y|x^m=a,y^m=b,xy=\omega yx\rangle</math>. מקרה פרטי של הגדרה זו הוא אלגברת קווטרניונים, המתקבלת כאשר <math>m=2, \omega=-1</math>. 

:לפי משפט [GS,4.3.9], כל הרחבה ציקלית כנ"ל אפשר לרשום בצורה <math>\mathbb{F} (\sqrt [ m ]{ a } )</math>. כל האלגברות הציקליות עבור <math>b \in \mathbb{F}^{\times}</math> הן בדיוק <math>(a,b)_{\omega}</math>, עבור כל שורש יחידה <math>m</math>-פרימיטיבי <math>\omega</math>.

* יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה ממאפיין ראשוני <math>p</math>, ויהי <math>m=p</math>. עבור <math>a,b \in \mathbb{F}^{\times}</math>, נביט ב-<math>[a,b)=\langle x,y|x^p-x=a,y^p=b, xy=y(x+1)\rangle</math>. קל לראות שכל שורש של הפולינום <math>x^p-x-a</math> מגדיר הרחבת גלואה ציקלית. לפי משפט [GS,4.3.13], כל הרחבת גלואה ציקלית כנ"ל היא מהצורה <math>\mathbb{F} [\alpha]</math> עבור אלפא עם שורש מינימלי <math>x^p -x-a=0</math>. 

:מעבר לכך, בתנאים הנ"ל, כל האלגברות הציקליות עבור <math>b</math> הן מהצורה <math>[a,b)</math>.

==ראו גם==
*אלגברה פשוטה מרכזית
*משפט סקולם-נתר

==לקריאה נוספת==

<div class="mw-content-ltr">
*[Row]; Graduate Algebra: Noncommutative View, Louis Halle Rowen, 448-449;462-464
</div>

<div class="mw-content-ltr">
*[GS]; Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Gille and Szamuely, 33-37]
</div>

קטגוריה:מבנים אלגבריים