איזוקליניות

בתורת החבורות, איזוקליניוּת היא יחס שקילות בין חבורות, המתייחס עבור חבורה <math>G</math> למבנה המשותף של המנה <math>G/\!\operatorname{Z}(G)</math> ותת-חבורת הקומוטטורים <math>G'=[G,G]</math>. היחס מאפשר מיון של מחלקות במקום שמיון שלם של חבורות, עד כדי איזומורפיזם, אינו אפשרי או אינו רצוי. כל החבורות האבליות איזוקליניות זו לזו. את היחס הגדיר פיליפ הול ב-1939.

== הגדרה ==

ההגדרה מבוססת על-כך שפעולת הקומוטטור <math>G/\!\operatorname{Z}(G) \times G/\!\operatorname{Z}(G) \rightarrow [G,G]</math> מוגדרת היטב.

חבורות <math>G,H</math> הן איזוקליניוֹת אם יש איזומורפיזמים <math>\alpha : G/\!\operatorname{Z}(G) \rightarrow H/\!\operatorname{Z}(H)</math> ו-<math>\beta : [G,G] \rightarrow [H,H]</math>, המקיימים <math>\beta([\bar{x},\bar{y}]) = [\alpha(\bar{x}),\alpha(\bar{y})]</math> (כאשר <math>\bar{x}, \bar{y}</math> הם הנציגים של <math>x,y</math> בחבורות המנה).

חבורה <math>G</math> היא איזוקלינית לחבורה סופית אם ורק אם <math>G/\!\operatorname{Z}(G)</math> סופית.

== אינווריאנטים ==

נסמן ב-<math>\gamma_i(G), \zeta_i(G)</math> את החבורות בסדרה המרכזית היורדת והסדרה המרכזית העולה של חבורה <math>G</math>, בהתאמה. המנות <math>\gamma_i(G)\!\operatorname{Z}(G)/\!\operatorname{Z}(G)</math> והחיתוכים <math>G' \cap \zeta_i(G)</math> אינם תלויים ב-<math>G</math>, אלא עד כדי איזוקליניות.

== איזוקליניות לתת-חבורות ולחבורות מנה ==

חבורה <math>G</math> היא איזוקלינית לתת-החבורה <math>H</math> אם <math>G = H \cdot \!\operatorname{Z}(G)</math> (אם <math>G/\!\operatorname{Z}(G)</math> סופית, גם ההפך נכון). כאשר <math>G</math> סופית, <math>G</math> איזוקלינית לתת-החבורה <math>H</math> אם ורק אם <math>G/\!\operatorname{Z}(G) \cong H/\!\operatorname{Z}(H)</math>.

חבורה <math>G</math> היא איזוקלינית לחבורת המנה <math>G/N</math> אם <math>N \cap G' = 1</math> (אם <math>G'</math> סופית, גם ההפך נכון). כאשר <math>G</math> סופית, היא איזוקלינית לחבורת המנה <math>G/N</math> אם ורק אם <math>\!\operatorname{Z}(G) \cong \!\operatorname{Z}(G/N)</math>.

לכל שתי חבורות איזוקליניות <math>G,H</math> יש כיסוי משותף ומעטפת משותפת, במובן הבא. יש חבורה <math>M</math>, איזוקלינית ל-<math>G,H</math>, כך ש-<math>G,H</math> מנות של <math>M</math>; ויש חבורה <math>N</math>, איזוקלינית ל-<math>G,H</math>, כך ש-<math>G,H</math> תת-חבורות של <math>N</math>. אם <math>G,H</math> סופיות, יש כיסוי משותף סופי ומעטפת משותפת סופית.

== נציגים מינימליים ==

בכל מחלקת איזוקליניות יש חבורה <math>T</math> המקיימת <math>T' \subseteq \!\operatorname{Z}(T)</math> (חבורה כזו נקראת חבורת גזע). יתרה מזו, אם <math>G</math> נוצרת סופית ו-<math>G'</math> סופית, אז <math>G</math> איזוקלינית לחבורת גזע סופית, ובמקרה זה חבורה איזוקלינית ל-<math>G</math> היא בעלת סדר מינימלי (במחלקת האיזוקליניות) אם ורק אם היא חבורת גזע.

נאמר שחבורה <math>G</math> היא "מינימלית לתת-חבורות" אם אין לה תת-חבורה <math>H</math> כך ש-<math>G = H \cdot \!\operatorname{Z}(G)</math> (אחרת, כפי שצוין לעיל, <math>G</math> איזוקלינית לתת-החבורה הזו). כל חבורה מינימלית לתת-חבורות מקיימת <math>\operatorname{Z}(G) \subseteq \Phi(G)</math>, כאשר <math>\Phi(G)</math> היא תת-חבורת פרטיני; ההפך נכון אם <math>\ \operatorname{Z}(G) / (\operatorname{Z}(G) \cap G')</math> נוצרת סופית.

נאמר שחבורה <math>G</math> היא "מינימלית למנות" אם אין לה תת-חבורה נורמלית <math>N</math> כך ש-<math>N \cap G' = 1</math> (אחרת, כפי שצוין לעיל, <math>G</math> איזוקלינית לחבורת המנה <math>G/N</math>). חבורה <math>G</math> היא מינימלית למנות, אם ורק אם כל תת-חבורה נורמלית מינימלית שלה מוכלת ב-<math>G'</math>, ו-<math>\operatorname{Z}(G) / (\operatorname{Z}(G) \cap G')</math> חבורה מפותלת.

== לקריאה נוספת ==
<div class="mw-content-ltr">
* On the Structure of n-Isoclinism classes of Groups, H.S. Hekster, J Pure and Applied Algebra 40 (1986), 63--85.
</div>

קטגוריה:תורת החבורות
קטגוריה:יחסי שקילות