משפט נפוליאון

[[משולש ABC הוא המשולש המקורי שעל צלעותיו נבנים משולשים שווי-צלעות. המשולש שווה-הצלעות MNL, המסומן בירוק, הוא משולש נפוליאון החיצוני]]
משפט נפוליאון הוא משפט גאומטרי הקובע כי לכל משולש שעל צלעותיו יבנו משולשים שווי-צלעות (כולם פנימה או כולם החוצה), יצרו מרכזי הכובד (מפגשי התיכונים) של המשולשים האלה משולש שווה-צלעות. 
משולשים אלו, שקודקודיהם הם מרכזי הכובד של המשולשים שנבנו על הצלעות, מכונים משולשי נפוליאון (הפנימי והחיצוני, בהתאמה). 

הקונפיגורציה המתקבלת מן המשפט מקיימת תכונות מעניינות נוספות. למשל, שלושת המעגלים החוסמים את המשולשים שנבנו על צלעות המשולש המקורי נפגשים בנקודה אחת. קודקודיו של משולש נפוליאון הפנימי נמצאים על המעגלים החוסמים את המשולשים שווי הצלעות החיצוניים (ולהפך). ההפרש בין שטח משולש נפוליאון החיצוני לבין שטח משולש נפוליאון הפנימי שווה לשטח המשולש המקורי.

אף על פי שמשפט זה מיוחס לנפוליאון בונפרטה, ואף נושא את שמו, אין כל ערובה לכך שהוא גילה או הוכיח אותו.

== הוכחה ==

נסמן את צלעות המשולש: BC=a, AC=b, AB=c

עקרון ההוכחה: נביע צלע שרירותית, NM, באמצעות שלוש הצלעות a,b,c.

נראה כי הנוסחה היא "חילופית", כלומר לכל תמורה של {a, b, c}, ערך הנוסחה זהה. היחס החשוב בין הצלע שבחרנו לבין צלעות המשולש ABC הוא: האם הצלע שבחרנו נמצאת מול צלע נתונה ב-ABC?

הצלע ב-ABC שנמצאת מול הצלע שבחרנו היא הצלע הראשונה בתמורה. משום שלכל 6 התמורות התוצאה זהה, ינבע מכך כי 3 הצלעות של משולש LMN שוות.

התמורה עבור NM היא: (a, b, c), התמורה עבור LN היא: (b, a, c) והתמורה עבור LM היא: (c, a, b).

סדר האיברים השני והשלישי אינו משנה, האיבר הראשון בתמורה מייצג את הצלע במשולש ABC שנמצאת "מול" הצלע המתאימה לה ב-LMN.

גוף ההוכחה:

נוכיח 2 משפטי עזר פשוטים אשר יפשטו את ההסברים בהמשך:

1. במשולש שצלעותיו הן a,b,c, מתקיים: <math>\cos \angle A = \frac{2}k</math>.

במשולש AYC, נקודה M נמצאת על התיכון מ-A ל-YC. היא גם נמצאת על נקודת מפגש התיכונים, כך שהיא מחלקת את התיכון ביחס של 1:2 כך שהחלק הקרוב לקודקוד גדול יותר.

זאת אומרת, הקטע AM שווה ל-<math>\frac{2}{3}</math> מהתיכון. היות שאנו יודעים שאורך התיכון הוא <math>\frac{\sqrt{3}}{2}b</math> (צלע המשולש היא b), נסיק כי <math>AM = \frac{b}{\sqrt{3}}</math>.

באופן אנלוגי ניתן להוכיח ש-<math>AN = \frac{c}{\sqrt{3}}</math>.

כעת, נשתמש במשפט נוסף: במשולש שווה-צלעות, התיכון מתלכד עם חוצה הזווית, כלומר מקצה על הזווית 2 זוויות של 30 מעלות.

נשתמש בעובדה זו כדי לחשב את זווית המשולש MAN. נחבר 30 מעלות ממשולש AYC, את זווית BAC מהמשולש המקורי, ו-30 מעלות ממשולש AZB.

חיברנו 30 מעלות מ-2 המשולשים האלו משום שכל תיכון מקצה על זווית המשולש זוג זוויות של 30 מעלות, ורק אחת מהן היא חלק מזווית MAN.

זאת אומרת, <math>\angle MAN = \angle BAC + 60</math>.

כעת, נוכל להביע את MN בעזרת משפט הקוסינוסים במשולש MAN: <math>MN = \sqrt</math>.

נציב את זווית MAN בביטוי: <math>MN = \sqrt)</math>.

נשתמש בנוסחה לחישוב קוסינוס של סכום: <math>\cos {x + y} = \cos x \cos y - \sin x \sin y</math>.

נעזר בעובדה שקוסינוס של 60 מעלות שווה לחצי, וסינוס של 60 מעלות שווה לחצי שורש שלוש: <math>MN = \sqrt{2} \sin {\angle BAC} \right) }</math>.

כעת, נפתח את הסוגריים: <math>MN = \sqrt}\right)^2 + \left({\frac{c}{\sqrt{3}}}\right)^2 - \frac{b}{\sqrt{3}} \frac{c}{\sqrt{3}} \cos {\angle BAC} + \sqrt{3} \frac{b}{\sqrt{3}} \frac{c}{\sqrt{3}} \sin {\angle BAC} }</math>.

בחלק הראשון, נחשב את השברים, ובחלק השני נצמצם גורמים משותפים: <math>MN = \sqrt{ \frac{b^2}{3} + \frac{c^2}{3} - \frac{bc}{3} \cos {\angle BAC} + \frac{bc}{\sqrt{3}} \sin {\angle BAC} }</math>.

נפתח את הקוסינוס לפי משפט העזר הראשון, ונצמצם בגורם 2bc: <math>MN = \sqrt{ \frac{b^2}{3} + \frac{c^2}{3} - \frac{\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 - \frac{1}{2}a^2}{3} + \frac{bc}{\sqrt{3}} \sin {\angle BAC} }</math>.

בחלק הראשון של הנוסחה, נחבר ונחסר את 3 השברים, ובחלק השני - נפתח את הסינוס לפי משפט העזר השני: <math>MN = \sqrt{ \frac{\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2}{3} \qquad + \frac{bc}{\sqrt{3}} \cdot \frac{a}{2R} }</math>.

שים לב ש-2R הוא קוטר המעגל החוסם את משולש ABC.

לבסוף, נותר לאחר את 2 המכפלות ולקבל את הנוסחה הסופית: <math>MN = \sqrt{ \frac{\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2}{3} + \frac{abc}{2\sqrt{3}R} }</math>.

קל לראות שגם החלק הראשון, וגם החלק השני, הם חילופיים ב-a,b,c, ולכן גם ההפרש שלהם חילופי ב-a,b,c.

משום שהוכחנו שצלע שרירותית של משולש LMN ניתנת להבעה על ידי 3 הצלעות של המשולש המקורי, כך שגם אם מחליפים את סדר הצלעות (ובעיקר - איזו צלע של ABC נמצאת מול הצלע שבחרנו), התוצאה זהה, היא תהיה זהה לכל שאר הצלעות במשולש LMN. מכאן, שמשולש LMN הוא שווה-צלעות.

==קישורים חיצוניים==

* 
* 
* 
*[http://www.mathpages.com/home/kmath270/kmath270.htm MathPages.com]
*[http://www.cut-the-knot.org/proofs/napoleon_intro.shtml Napoleon's Theorem and Generalizations]

נפוליאון
קטגוריה:משולש
קטגוריה:הוכחות