מטריצת תמורה

בתורת המטריצות, מטריצת תמורה היא מטריצה ריבועית בינארית שמכילה בדיוק אחדה אחת בכל שורה ובכל עמודה ואפסים בכל המקומות האחרים. כל מטריצה <math>P</math> כזאת מייצגת תמורה של <math>m</math> איברים, וכאשר מכפילים אותה במטריצה אחרת <math>A</math>, גורמת לערבוב השורות (בכפל מלפני, כלומר <math>PA</math>) או העמודות (בכפל מאחרי, כלומר <math>AP</math>) של המטריצה <math>A</math>.

כיוון שבמטריצת תמורה יש בדיוק אחדה אחת בכל שורה או עמודה, ניתן להיעזר בדימוי מתחום השחמט כדי להבין איך היא נראית; אוסף מטריצות התמורות נמצא בהתאמה חד-חד ערכית עם אוסף ההעמדות של <math>m</math> צריחים על לוח בגודל <math>m \times m</math> כך שאף אחד לא יאיים על השני, כאשר מיקומי הצריחים מתאימים למיקומי האחדות במטריצות התמורה. מקומבינטוריקה עולה שיש <math>m!</math> מטריצות תמורה, כגודל החבורה הסימטרית <math>S_m</math>.

== הגדרה ==
בהינתן תמורה <math>\pi</math> של <math>m</math> איברים,
:<math>\pi : \lbrace 1, \ldots, m \rbrace \to \lbrace 1, \ldots, m \rbrace</math>

המיוצגת בסימון שתי שורות כ-
:<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & m \\ \pi(1) & \pi(2) & \cdots & \pi(m) \end{pmatrix}</math>

ישנן שתי דרכים טבעיות לקשר בין תמורה למטריצת תמורה; כאשר מתחילים ממטריצת הזהות מסדר <math>m \times m</math>, כלומר <math>I_m</math>, אז ניתן לבצע תמורה על עמודות או שורות המטריצה, בהתאם ל-<math>\pi</math>. מאמר זה ידון רק באחת מההצגות הללו, כאשר האחרת תוזכר רק אם יש הבדל ביניהן שיש להיות מודעים אליו.

למטריצת התמורה מסדר <math>m \times m</math>, כלומר <math>P_\pi=(p_{ij})</math>, המתקבלת מערבוב העמודות של מטריצת הזהות <math>I_m</math>, כלומר הפועלת כך שלכל <math>i</math>, מתקיים <math>p_{ij}=1</math> אם <math>j=\pi(i)</math> ו-0 אחרת, נתייחס כהצגת העמודות בערך זה. כיוון שהאיברים בשורה <math>i</math> כולם 0 למעט ה-1 שמופיע בעמודה 
<math>\pi(i) </math>, ניתן לכתוב 
:<math>P_\pi = \begin{bmatrix} \mathbf e_{\pi(1)} \\ \mathbf e_{\pi(2)} \\ \vdots \\ \mathbf e_{\pi(m)} \end{bmatrix}</math>
כאשר <math>\mathbf e_j</math>, וקטור בסיס סטנדרטי, מסמן וקטור שורה באורך <math>m</math> עם 1 במיקום ה-<math>j</math> ו-0 בכל מיקום אחר.

לדוגמה, מטריצת התמורה <math>P_{\pi}</math> המתאימה לתמורה: <math>\pi=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 2 & 5 & 3 \end{pmatrix},</math>, היא:

:<math>P_\pi 
= 
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{\pi(1)} \\
\mathbf{e}_{\pi(2)} \\
\mathbf{e}_{\pi(3)} \\
\mathbf{e}_{\pi(4)} \\
\mathbf{e}_{\pi(5)} 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{1} \\
\mathbf{e}_{4} \\
\mathbf{e}_{2} \\
\mathbf{e}_{5} \\
\mathbf{e}_{3} 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 
\end{bmatrix}.
</math>

ניתן להבחין בכך שהעמודה ה-<math>j</math> של מטריצת הזהות <math>I_5</math> מופיעה כעת כעמודה ה-<math>\pi(j)</math> של <math>P_{\pi}</math>.

== תכונות אלגבריות ==
הכפלת <math>P_{\pi}</math> בווקטור עמודה g תערבב את השורות של הווקטור:

:<math>P_\pi \mathbf{g} 
= 
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{\pi(1)} \\
\mathbf{e}_{\pi(2)} \\
\vdots \\
\mathbf{e}_{\pi(n)}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
g_1 \\
g_2 \\
\vdots \\
g_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
g_{\pi(1)} \\
g_{\pi(2)} \\
\vdots \\
g_{\pi(n)}
\end{bmatrix}.
</math>

שימוש חוזר בתוצאה הזאת מראה שאם <math>M</math> היא מטריצה במידות מתאימות, המכפלה <math>P_{\pi} M</math> היא פשוט תמורה של השורות של <math>M</math>. 

המטריצה ההופכית של מטריצה תמורה שווה למטריצה המשוחלפת שלה, כלומר: <math>P_{\pi}^{-1} = P_{\pi^{-1}} = P_{\pi}^{\mathsf T}</math>. 

העקבה של מטריצת תמורה היא מספר נקודות השבת של התמורה. אם למטריצה יש נקודות שבת, אז היא ניתנת לכתיבה בצורה ציקלית כ-<math>\pi = (a_1)(a_2)\dots(a_k)\sigma</math>, כאשר <math>\sigma</math> היא תמורה ללא נקודות שבת, ו-<math>e_{a_1},e_{a_2},\dots,e_{a_k}</math> הם וקטורים עצמיים של מטריצת התמורה (אלו הם וקטורי השבת).

כדי לחשב את הערכים העצמיים של מטריצת תמורה נתונה <math>P_{\sigma}</math>, נכתוב את <math>\sigma</math> כמכפלה של תמורות ציקליות, כלומר <math>\sigma= C_{1}C_{2} \cdots C_{t}</math>. יהיו האורכים של המחזורים הללו <math>l_{1},l_{2}...l_{t}</math> בהתאמה, ויהי <math>R_{i} (1 \le i \le t)</math> אוסף הפתרונות המרוכבים של <math>x^{l_{i}}=1</math> (כלומר שורשי היחידה מסדר <math>l_{i}</math>). אז האיחוד של כל ה-<math>R_{i}</math>-ים הוא אוסף הערכים העצמיים של מטריצת התמורות המתאימה. הריבוב הגאומטרי של כל ערך עצמי שווה למספר ה-<math>R_{i}</math>-ים שמכילים אותו.

מתורת החבורות ידוע שכל תמורה ניתנת להצגה כהרכבה של חילופים. לפיכך כל מטריצת תמורה <math>P</math> ניתנת לפירוק כמכפלה של מטריצות אלמנטריות המחליפות שתי שורות, אשר לכל אחת יש דטרמיננטה 1-. לפיכך, מכפליות הדטרמיננטה מקבלים שהדטרמיננטה של כל מטריצת תמורה <math>P</math> היא 1 או 1- בהתאם לזוגיות התמורה.

== ראו גם ==
* תמורה (מתמטיקה)

==קישורים חיצוניים==

* 

קטגוריה:אלגברה ליניארית