משוואת הגז האידיאלי

משוואת הגז האידיאלי (באנגלית: Ideal Gas Law) היא משוואת מצב, המתארת את היחס בין המשתנים האקסטנסיביים והאינטנסיביים של גז אידיאלי. המשתנים אשר לוקחים חלק במשוואה הם הלחץ <math>P</math>, הטמפרטורה המוחלטת <math>T</math>, נפח הגז <math>V</math> וכמות הגז במולים <math>n</math>.
המשוואה מתוארת בצורה הבאה:
<math display="block">PV=nRT</math>
כאשר <small><math>R</math></small> הוא קבוע הגזים האוניברסלי.
המשוואה תקפה עבור גזים אידיאליים - גזים היפותטיים המורכבים ממולקולות שאינן מבצעות אינטראקציה ביניהן, כלומר כל מולקולה נעה באופן עצמאי מיתר המולקולות בגז. גזים אלו אינם בהכרח מכילים חלקיקים נקודתיים ללא מבנה פנימי, אלא עשויים להיות מורכבים ממולקולות פולי-אטומיות עם דרגות חופש סיבוביות, ויברציוניות וחשמליות. משוואת הגז האידיאלי מתארת את תנועת מרכזי המסה של המולקולות, אשר אכן יכולים להחשב כמסות נקודתיות. לעומת זאת, עבור תכונות אחרות של גז אידיאלי כמו אנטרופיה, למבנה הפנימי של המולקולות תיתכן השפעה.

משוואת הגז האידיאלי מהווה קירוב טוב לחישוב תכונות החומר של גזים רבים והתנהוגתם תחת שלל תנאים ועבור טווח רחב של ערכים, כל עוד שילוב ערכי הטמפרטורה והלחץ רחוק מספיק מהערכים עבורם נוצרת התעבות או המראה. למרות זאת, משוואה זו אינה מציינת אם גז מתקרר או מתחמם תחת דחיסה או התפשטות. גז אידיאלי מסוגל להישאר באותה טמפרטורה בתהליכים אלו, אך רוב הגזים אינם אידיאליים ומקיימים את אפקט ג'ול תומסון.

== רקע היסטורי ==
העבודה הראשונית על התנהגותם של גזים החלה באירופה בחציה השני של המאה ה-17 על ידי רוברט בויל. בשנת 1662 הוא ניסח את חוק בויל, אשר אומת מאוחר יותר באופן עצמאי בדיוק רב על ידי אדם מריוט ולכן החוק נקרא כיום חוק בויל-מריוט.<ref></ref> עבודתם על אוויר בלחצים נמוכים הניבה את היחס ההפוך בין הלחץ לנפח, כלומר <small><math>V=\frac KP</math></small> כאשר <small><math>K</math></small> קבוע הנקבע עבור כמות חלקיקי הגז וטמפרטורה קבועים.
בסוף המאה ה-17 הפיזיקאי הצרפתי גיליאם אמונטונס חקר את היחס בין הלחץ והטמפרטורה בגזים. אף על פי שתוצאותיו לקו בחוסר דיוק, הוא הצליח לקבוע כי לחץ גז גדל בקירוב בשליש בין טמפרטורה של <small><math>0 ^{\circ}C</math></small> לטמפרטורת הרתיחה של מים.<ref></ref> עבודתו הכינה את הקרקע עבור ז'וזף לואי גה-ליסאק, אשר ניסח ב-1802 את חוק גה-ליסאק לפיו עבור גז הנמצא בנפח קבוע, הלחץ והטמפרטורה נמצאים ביחס ישר, כלומר - <small><math>P \propto T</math></small>.<ref></ref> בנוסף לכך, ב-1787 נוסח חוק שארל על ידי הפיזיקאי ז'אק שארל הקובע כי בלחץ קבוע, נפחה של כמות נתונה של גז גדל ככל שהטמפרטורה גדלה, כלומר מתקיים <small><math>V \propto T</math></small>.<ref></ref><ref></ref>
בשנת 1811, הכימאי האיטלקי אמדאו אבוגדרו, ניסח על בסיס חוק גה-ליסאק את חוק אבוגדרו אשר קובע כי נפחים שווים של גזים כלשהם תחת אותם תנאי טמפרטורה ולחץ מכילים את אותו מספר המולקולות.<ref></ref>
ב-1833 אמיל קלפרון איחד את עבודתם של בויל, מריוט, שארל וגה-ליסאק למשוואת מצב אחת עבור גז אידיאלי : <small><math>PV=R_0T</math></small>, כאשר <small><math>R_0</math></small> היה קבוע התלוי בסוג הגז.<ref></ref>
בשנת 1845 הפך אנרי ויקטור רניו את משוואתו של קלפרון למשוואה הידועה כיום - <small><math>PV=nRT</math></small>, בכך שהפעיל את חוק אבוגדרו עבור נפח של מול אחד של גז אידיאלי. 
חוק בויל, חוק שארל, חוק גה-ליסאק וחוק אבוגדרו הובילו אל משוואת הגז האידיאלי אשר נמצאת בשימוש כיום, אך כל אחד מהם מייצג מקרה מיוחד של המשוואה. חוק בויל מתאר את המשוואה תחת תהליך איזותרמי, חוק שארל תחת תהליך איזוברי, חוק גה-ליסאק תחת תהליך איזוכורי וחוק אבוגדרו עבור תהליך בו כמות החומר קבועה.

== המשוואה ==
=== הצגה סטנדרטית ===
למשוואת הגז האידיאלי ישנן מספר הצגות שונות. שתי ההצגות הנפוצות ביותר הן:<ref></ref>

<math>PV=nRT=Nk_BT</math>

כאשר:
* <math>P</math> - לחץ הגז
* <math>V</math> - נפח הגז
* <math>n</math> - מספר המולים בגז
* <math>R</math> - קבוע הגזים האוניברסלי
* <math>N</math> - מספר חלקיקי הגז
* <math>k_B</math> - קבוע בולצמן
* <math>T</math> - הטמפרטורה המוחלטת של הגז

קבוע הגזים האוניברסלי הוא בקירוב <small><math>R= 8.314 \frac J {K\cdot mol}</math></small> וערכו של קבוע בולצמן הוא <small><math>k_B = 1.38 \times 10^{-23} \frac J K</math></small>.
ביחידות SI - <math>P</math> נמדד בפסקל, <math>V</math> נמדד במ"ק, <math>n</math> נמדד במולים ו- <math>T</math> נמדד בקלווין.

=== הצגה מולרית ===
<math>PV=\rho\frac{R}{M}T = \rho R_{specific}T</math>

כאשר <math display="inline">M</math> המסה המולרית של הגז ו- <math display="inline">\rho</math> הצפיפות.

<math display="inline">R_{specific}</math> הוא קבוע הגז הספציפי המוגדר בתור <math display="inline">\frac RM</math> וערכו משתנה עבור גזים שונים.

הניסוח הנ"ל מתקבל מכך שמספר המולים הוא:

<math>n=\frac mM=\frac {\rho}{VM}</math>

כאשר <math>m</math> היא המסה הכוללת של הגז.

על ידי הצבת <math>n</math> בהצגה הסטנדרטית מתקבלת ההצגה המולרית:

<math>PV=nRT=\frac mMRT</math>

<math>P=\frac mV \frac{RT}{M}=\rho\frac{R}{M}T</math>

=== משוואת הגז המשולבת ===
משילוב של חוק בויל, חוק שארל וחוק גה-ליסאק מתקבלת משוואת הגז המשולבת.<ref></ref>

<math>\frac {PV}{T} =k</math>

כאשר <math>k</math> קבוע כלשהו.

כלומר, היחס בין מכפלת הנפח והלחץ <math>PV</math>, לטמפרטורה <math>T</math> ע"פ החוקים הנ"ל הוא קבוע.

הצגה נוספת של המשוואה המשולבת מתייחסת לגדלים הללו לפני ואחרי שתהליך התרחש בגז:

<math>\frac {P_1V_1}{T_1} =\frac {P_2V_2}{T_2}</math>

כאשר אגף שמאל מתאר את היחס בו נכללים הנפח, הלחץ והטמפרטורה ההתחלתיים, ואגף שמאל מתאר את היחס עם הגדלים הללו לאחר התהליך.

=== הצגה בממדים גבוהים ===
משוואת הגז האידיאלי תקפה גם כאשר מדובר במערכת בעלת יותר משלושה ממדים.<ref></ref>

המשוואה עבור מערכת כזו היא:

<math>P^{(d)}=\frac{Nk_BT}{V^d}</math>

כאשר <math>V^d</math> הוא הנפח ה-<math>d</math>-ממדי.

ניתן לראות משיקולי יחידות כי גם הלחץ משתנה עם מספר הממדים.

== פיתוחים ==
=== פיתוח אמפירי ===
החוקים אשר קדמו למשוואת הגז האידיאלי המוכרת כיום והובילו לפיתוחה, התגלו באמצעות ניסויים בהם שינו רק שניים מהמשתנים של הגז, בעוד יתר המשתנים נשארו קבועים.
היחסים השונים בין חוקי הגז האידיאלי.
החוקים הללו הם:

(1) חוק בויל מריוט - <small><math display="inline">PV={C_1} \longleftrightarrow P_1V_1=P_2V_2</math></small>.

(2) חוק גה-ליסאק - <small><math>\frac PT =C_2 \longleftrightarrow \frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}</math></small>.

(3) חוק שארל - <small><math>\frac VT =C_3 \longleftrightarrow \frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}</math></small>.

(4) חוק אבוגדרו - <small><math>\frac VN =C_4 \longleftrightarrow \frac{V_1}{N_1} = \frac{V_2}{N_2}</math></small>.

(5) <small><math>NT=C_5 \longleftrightarrow{N_1}{T_1}={N_2}{T_2}
</math></small>.

(6) <small><math>\frac PN=C_6 \longleftrightarrow\frac {P_1}{N_1}=\frac{P_2}{N_2}
</math></small>.

כאשר <math display="inline">P</math> הוא הלחץ, <math>V</math> הנפח, <math>T</math> הטמפרטורה ו-<math>N</math> מספר החלקיקים.

<math display="inline">C_1,C_2,C_3,C_4,C_5,C_6</math> אינם קבועים באופן כללי, אך בפיתוח נתייחס אליהם כך מכיוון שבכל משוואה בה ייעשה שימוש יהיה צורך רק במשתנים שצוינו במפורש.

הפיתוח מתחיל עם גז בעל המאפיינים <small><math display="inline">P_1,V_1,T_1,N_1</math></small> עליו מבצעים תהליכים אשר משנים את גודל משתנים אלו בשלבים.

תחילה משנים רק את הנפח ומספר החלקיקים, ובהתאם לחוק אבוגדרו:

(7) <small><math>\frac{V_1}{N_1} = \frac{V_2}{N_2}</math></small>

לאחר תהליך זה הגז יהיה בעל המאפיינים <small><math display="inline">P_1,V_2,T_1,N_2</math></small>.

כעת משנים את הטמפרטורה והלחץ. לפי חוק גה-ליסאק:

(8) <small><math>\frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}</math></small>

לאחר תהליך זה הגז יהיה בעל המאפיינים <small><math display="inline">P_2,V_2,T_2,N_2</math></small>.

בשלב הבא משנים את הנפח והלחץ, ועל פי חוק בויל מריוט:

(9) <small><math>P_2V_2=P_3V_3</math></small>

לאחר תהליך זה הגז יהיה בעל המאפיינים <small><math display="inline">P_3,V_3,T_2,N_2</math></small>.

לבסוף נשנה את הטמפרטורה ומספר החלקיקים. ממשוואה (5) מתקבל:

(10) <small><math>{N_2}{T_2}={N_3}{T_3}
</math></small>

לאחר תהליך זה הגז יהיה בעל המאפיינים <small><math display="inline">P_3,V_3,T_3,N_3</math></small>.

ממכפלת משוואות (7) ו- (8) והשוואה למשוואות (9) ו-(10) מתקבל כי:

<small><math>\frac{P_1V_1}{T_1N_1}=\frac{P_2V_2}{T_2N_2}=\frac{P_3V_3}{T_3N_3}=K_B</math></small>

כאשר <small><math display="inline">K_B</math></small> הוא קבוע בולצמן.

ובאופן כללי - <small><math>\frac{PV}{TN}=K_B</math></small>.

בצורה דומה ניתן להגיע אל ההצגה המקבילה בה מופיעים מספר המולים <math>n</math> וקבוע הגזים <math>R</math>, על ידי שימוש בכך ש- <small><math display="inline">nR=NK_B</math></small> ולכן מתקיים:

<small><math>PV=Nk_BT=nRT</math></small>

=== פיתוח ניסיוני ===
ניתן לפתח את משוואת הגז האידיאלי על ידי שימוש בתוצאות של מדידות הטמפרטורה, הלחץ והנפח ומציאת הגבולות המתאימים.<ref name=":0"></ref>

נניח כי הלחץ <math>P</math> והנפח <small><math>V</math></small> של <math>n</math> מולים של גז המוחזקים תחת טמפרטורה קבועה כלשהי נמדדים על טווח רחב של לחצים וטווח רחב של ערכי המכפלה <math>Pv</math>.

נסמן את הנפח המולרי בתור <small><math>v=\frac Vn</math></small>.

את היחס בין <math>Pv</math> ל- <math>P</math> ניתן להביע באמצעות טור חזקות מהצורה הבאה:
<math>Pv=A(1+BP+CP^2+...)</math>

כאשר <math>A,B,C</math> וכו' נקראים המקדמים הויראליים והם תלויים בטמפרטורה ובאופי הגז.

בטווח הלחצים בין 0 ל-40 אטמוספירות היחס בין <math>Pv</math> ל- <math>P</math> הוא בקירוב ישר, כך שרק שני המקדמים הראשונים משמעותיים. באופן כללי, ככל שהלחץ גדל כך גדל גם מספר הרכיבים בטור.
מהקשר בין <math>Pv</math> ל- <math>P</math> המתקבל עבור גזים שונים באותה טמפרטורה, אפשר לראות כי כאשר <math display="inline">P\to0</math> המכפלה <math>Pv</math> היא באותו גודל עבור כל הגזים. מכך נובע כי המקדם הויראלי הראשון <math>A</math> הוא בלתי תלוי באופי הגז ולכן תלוי רק בטמפרטורה, כלומר: <math display="inline">\lim_{P\to0}(Pv)=A(T)</math>.

טמפרטורת הגז האידיאלי מוגדרת באמצעות הלחץ בנקודה המשולשת, <math>P_{TP}</math><ref name=":0" />, על פי הביטוי הבא:

<math>T=273.16K \lim_{P_{TP}\to0}(\frac P {P_{TP}})</math>

ואת ביטוי זה ניתן לפתח על ידי מכפלה ב- <small><math>\frac Vn</math></small> של המונה והמכנה של הגבול הנ"ל:

<math>T=273.16K \lim\frac{P\frac {V} {n}} \frac {V} {n}}= 273.16K \frac {\lim (Pv)} {\lim (Pv)_{TP}}</math>

וע"י שינוי הניסוח נקבל:

<math>\lim(Pv)=[\frac {\lim(Pv)_{TP}} {273.16K}] T\equiv RT</math>

כאשר <math>R</math> הוא קבוע הגזים האוניברסלי.

בצעד האחרון, נחליף את <math>v</math> חזרה ב- <math display="inline">\frac Vn</math> ובכך נגיע אל המשוואה הרצויה:

<math>\lim(PV)=nRT</math>

מכיוון ש- <math display="inline">\lim(Pv)=A=RT</math>, טור החזקות המלא הוא:

<math>\frac{Pv}{RT} = 1+BP+CP^2+DP^3+...</math>

למקדמים הויראליים חשיבות גבוהה גם בפיזיקה תאורטית מכיוון שהם קשורים בין היתר לתכונות מולקולריות.

=== פיתוח באמצעות מכניקה סטטיסטית ===
בפיתוח זה ישנן שתי הנחות מובילות:

# המולקולות המרכיבות את הגז הן מערכות עצמאיות לחלוטין - הן אינן משפיעות אחת על תנועת האחרת.
# מעבר אנרגיה בין מולקולות הוא אפשרי, כך שהמערכת יכולה להגיע לשיווי משקל תרמי.

פונקציית החלוקה הקנונית היא פונקציה של מספר החלקיקים <math display="inline">N=nN_{A}</math>, הנפח <math>V</math> והטמפרטורה <math>T</math> המוגדרת בצורה הבאה:

<math>Z(N,V,T)=\sum_{I}e^{-\mathcal{E}_{I}/(k_{B}T)}</math>

כאשר <math>\mathcal{E}_I </math> היא האנרגיה האפשרית ה-<math>I</math> של הגז הכולל, כלומר האנרגיה של כל <math>N</math> המולקולות.

ממכניקת הקוונטים ידוע כי לגז במיכל גדול סופי יש אנרגיות בדידות, <math>I</math> הוא אינדקס בדיד המתייג את האנרגיות השונות לפי גודלן. הסכום הוא על כל הערכים העצמיים (כולל ניוון) של ההמילטוניאן המתאר את המערכת. בנוסף, האנרגיה החופשית של הלמהולץ נתונה על ידי <math>F=-k_BT ln Z</math>.

מהנחה 1 ניתן להגיד כי האנרגיות <math>\mathcal{E}_I </math> הן סכומי אנרגיות של מולקולות בודדות <math>\mathcal{E}_i </math>, כלומר:

<math>\mathcal{E}_I=\mathcal{E}_{i_1} +\mathcal{E}_{i_2} +... </math>

האנרגיות הללו הן של מולקולות נפרדות הנעות בצורה עצמאית במיכל.

ניתן לרשום את <math>z</math>, פונקציית החלוקה עבור המולקולות הבודדות, בצורה הבאה:

<math>z(N,V,T)=\sum_{i}e^{-\mathcal{E}_{i}/(k_{B}T)}</math>

כאשר אין אינטראקציות, תחת ההנחה כי הגז מכיל סוג אחד בלבד של מולקולות, את פונקציית החלוקה הכוללת <math>Z</math> אפשר לבטא באמצעות <math>z</math> על ידי:

<math>Z(N,V,T)=\sum_{i_{1},i_{2},...}e^{-(\mathcal{E}_{i_{1}}+\mathcal{E}_{i_{2}}+...)/(k_{B}T)}=\sum_{i_{1}}e^{-\mathcal{E}_{i_{1}}/(k_{B}T)} \sum_{i_{2}}e^{-\mathcal{E}_{i_{2}}/(k_{B}T)}...=z^N</math>

הניסוח הנ"ל אינו מדויק לחלוטין מכיוון שבמכניקת הקוונטים מולקולות גז מאותו הסוג הן חלקיקים זהים, בדיוק כמו אלקטרונים, ולכן נדרש פקטור של <math display="inline">\frac 1 {N!}</math> כדי להימנע מספירה חוזרת. כלומר הביטוי המלא הוא <math display="inline">Z=\frac {z^N}{N!}</math>.

את הנפח ניתן להביע באמצעות משוואות המצב של האנרגיה החופשית של הלמהולץ כך שמתקיים:

<math>P= \Bigl(\frac {\partial F}{\partial V}\Bigr)_{N,T}=k_{B}T\Bigl(\frac {\partial \ln{Z}}{\partial V}\Bigr)_{N,T}=
k_{B}T\Bigl(\frac {\partial (N\ln{z}-\ln{N!})}{\partial V}\Bigr)_{N,T}=Nk_{B}T\Bigl(\frac {\partial \ln{z}}{\partial V}\Bigr)_{N,T}</math>

לפי המכניקה הקלאסית ומכניקת הקוונטים, את האנרגיה המולקולרית <math>\mathcal{E}_i </math> המאפיינת את המצב המיקרוסקופי ה-<math>i </math> ניתן להפריד במדויק לשני רכיבים <math>\mathcal{E}_i=\mathcal{E}_{i}^{trans}+\mathcal{E}_{i}^{int} </math>, כאשר:
* <math>\mathcal{E}_{i}^{trans} </math> - האנרגיה הטרנסלציונית של מרכז המסה של המולקולה.
* <math>\mathcal{E}_{i}^{int} </math> - האנרגיה הפנימית של המולקולה.

לכן, גם את פונקציית החלוקה של אותו מצב מיקרוסקופי ניתן להביע בצורה דומה:

<math>\mathcal{E}_i=\mathcal{E}_{i}^{trans}+\mathcal{E}_{i}^{int} \Longrightarrow z=z^{trans}z^{int} </math>

האנרגיה הפנימית של המולקולה אינה תלויה בנפח <math>V </math>, אך האנרגיה הטרנסלציונית כן תלויה ולכן יתקיים:

<math>P=Nk_{B}T\Bigl(\frac {\partial \ln z^{trans}}{\partial V} + \frac {\partial \ln z^{int}}{\partial V}\Bigr)
=Nk_{B}T\frac {\partial \ln z^{trans}}{\partial V} </math>

האנרגיה הטרנסלציונית של מולקולה אחת הנעה בקופסה בנפח <math>V </math> היא בעיה הניתנת לפתירה בצורה אנליטית. כלומר הפתרון של האנרגיות <math>\mathcal{E}_{i}^{trans} </math> ידוע בדיוק מוחלט והוא:

<math>\mathcal{E}_{n}^{trans}=\frac {\hbar^2} {2m} \Bigl(\frac \pi L\Bigr)^2 n^2=\frac {\hbar^2} {2m} \Bigl(\frac \pi L\Bigr)^2 (n_x^2+n_y^2+n_z^2) </math>

תחת ההנחה כי נפח הקופסה הוא <math display="inline">V=L^3 </math> ומכיוון שמדובר בשלושה ממדים מתקיים <math display="inline">n^2=(n_x^2+n_y^2+n_z^2) </math>.

בקירוב דיי טוב, ניתן להחליף את הסכום המופיע בביטוי עבור <math>z^{trans} </math> באינטגרל כך ש,

<math>z^{trans}\equiv \sum_{n} e^{-\mathcal{E}_{n}^{trans}/(k_BT)}=
\sum_{n_x,n_y,n_z=1}^\infty e^{-\frac {\hbar^2} {2mk_BT} (\frac {\pi}{L})^2(n_x^2+n_y^2+n_z^2)}=
\biggl(\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac {\hbar^2} {2mk_BT} (\frac {\pi}{L})^2n^2}\biggr)^3 \simeq
\int_0^{\infty}e^{-\alpha^2x^2}dx=\frac{\pi^{\frac 32}} {8\alpha^3}\equiv n_QV </math>

כאשר <math display="inline">\alpha^2 =\frac {\hbar^2} {2mk_BT} \Bigl(\frac \pi L \Bigr)^2 ,
n_Q=\Bigl(\frac{mk_BT}{2\pi\hbar^2}\Bigr)^{\frac 32} </math>.

נשים לב לכך ש- <math>n_Q </math> אינו תלוי בנפח <math>V </math> ולכן:

<math>P=Nk_{B}T\frac {\partial \ln z^{trans}}{\partial V}=
Nk_{B}T\Biggl(\frac {\partial (\ln V+\ln{n_Q})}{\partial V}\Biggr)=
\frac {Nk_{B}T} {V}</math>

כעת ניתן לקבל את משוואת הגז האידיאלי המלאה:

<math>PV=Nk_BT</math>

=== פיתוח קינטי ===
נסתכל על קובייה בעלת צלע באורך <math>L</math> המלאה בגז אידיאלי בלחץ <math>P</math> בטמפרטורה <math>T</math>.

נסמן את <math>n</math> ו-<math>N</math> בתור מספר המולים ומספר מולקולות הגז בקובייה בהתאמה.

בנוסף, נסמן את <math>m</math> בתור מסת מולקולת גז ואת <math>M</math> בתור מסת הגז כולו.

נניח בפיתוח זה כי כל ההתנגשויות המתרחשות בתוך המיכל הן התנגשויות אלסטיות - כלומר אין איבוד אנרגיה קינטית כתוצאה מהתנגשויות.

קביעת תדירות ההתנגשויות
תנועת המולקולה בקופסה בכיוון <math>\hat x</math> בזמנים השונים. הדופן הרלוונטית לפיתוח היא הדופן הימנית של הקופסה.
תחילה, נרצה למצוא את התדירות בה מולקולה יחידה מתנגשת בדופן מסוימת של המיכל.

נתחיל לשם הפשטות בבחינת המתרחש בכיוון <math>\hat x</math> כאשר המולקולה בזמן <math>t=0</math> נמצאת במיקום <math>x=L-L_0</math> ומהירותה היא <math>\vec v = v_x \hat x</math>.

המולקולה תתנגש בדופן הקובייה לראשונה ב- <math>x=L</math> לאחר שעברה מרחק <math>L_0</math> בזמן כלשהו <math>t_1</math>.

ההתנגשות השנייה באותה הדופן תתרחש בזמן <math>t_2=t_1+t_{2L}</math> כאשר המרחק שעברה המולקולה בין שתי ההתנגשויות הוא <math>2L</math> ואינטרוול הזמן בין שתי ההתנגשויות הוא <math>\Delta t=(t_1+t_{2L})-t_1=t_{2L}</math>.

באופן דומה ההתנגשות השלישית תתרחש בזמן <math>t_3=t_1+2t_{2L}</math>, כך שהמרחק שהמולקולה עברה בין ההתנגשויות יהיה גם כן <math>2L</math> ואינטרוול הזמן יישאר זהה:

<math>\Delta t=t_3-t_2=(t_1+2t_{2L})-(t_1+t_{2L})=t_{2L}</math>

שני הגדלים הללו, המרחק ואינטרוול הזמן, יישארו זהים בין כל זוג התנגשויות עוקבות, ולכן ניתן לחשב את גודל המהירות <math>v_x</math> בתור המרחק שהמולקולה עברה חלקי אינטרוול הזמן:

<math>v_1 = \frac {L_0} {t_1},v_2 = \frac {2L} {t_{2L}},v_3 = \frac {2L} {t_{2L}},... </math>

מכיוון שכל ההתנגשויות אלסטיות ואין כוחות חיצוניים, המהירות אינה משתנה במהלך תנועת המולקולה ולכן:

<math>v_1 = v_2 = v_3 = ... = v_x </math>

מכאן ניתן לנסח את אינטרוולי הזמן בין כל זוג התנגשויות עוקבות גם בצורה הבאה:

<math>\Delta t_1 = t_1= \frac {L_0} {v_1}=\frac {L_0} {v_x}
 </math>

<math>\Delta t_2 = t_{2L}=\frac {2L} {v_2}=\frac {2L} {v_x}
 </math>

<math>\Delta t_3 = t_{2L}=\frac {2L} {v_3}=\frac {2L} {v_x}
 </math>

<math>...
 </math>

<math>\Delta t_k = t_{2L}=\frac {2L} {v_k}=\frac {2L} {v_x}
 </math>

הזמן הממוצע <math>t_{avg}</math> בין התנגשויות לאחר <math>k</math> התנגשויות יהיה:<math>t_{avg}=\frac{t_1+t_2+t_3+...+t_k} {k} = \frac{\frac {L_0}{v_x}+{2L}{v_x}+{2L}{v_x}+...+{2L}{v_x}} {k}=
\frac{\frac {L_0}{v_x}+\frac {2L}{v_x} \cdot(k-1)} {k}=\frac{L_0+2L \cdot(k-1)} {kv_x}</math>

וכאשר מספר ההתנגשויות <math>k</math> שואף לאינסוף נקבל:

<math>t_{avg}=\lim_{k\to\infty}{\frac{L_0+2L \cdot(k-1)} {kv_x}}=\frac{2L}{v_x}</math>

זהו הזמן הממוצע בין התנגשויות המתרחשות על דופן אחת. תדירות ההתנגשויות אם כך תהיה:

<math>f=\frac{1}{t_{avg}}=\frac {v_x}{2L}</math>

חישוב הכוח הפועל על הדופן

הכוח <math>F</math> מוגדר כקצב שינוי התנע <math>p</math> :

<math>F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=f\Delta p</math>

השינוי בתנע הוא ההפרש בין התנע לפני ההתנגשות בדופן לתנע לאחר ההתנגשות, כלומר:

<math>\Delta p=p_f-p_i=(-mv_x)-mv_x=-2mv_x</math>

הכוח שהדופן מפעילה על המולקולה הוא:

<math>F_{wm}=f\Delta p= -2mv_xf</math>

לפי החוק השלישי של ניוטון, הכוח שהמולקולה תפעיל על הדופן יהיה שווה בגודלו ל- <math display="inline">F_{wm}</math> והפוך בסימנו, כלומר:

<math>F_{mw}=-F_{wm}= 2mv_xf</math>

ניתן כעת להציב את התדירות שחושבה קודם לכן ולקבל:

<math>F_{mw}=2mv_x\cdot \frac {v_x}{2L}=\frac {mv^2_x}{L}</math>

עד לשלב זה התייחסנו רק למקרה בו קיימת מולקולה יחידה. כאשר הכוח יופעל על ידי <math display="inline">N</math> מולקולות הנעות בכיוון <math>\hat x</math> הוא יהיה מהצורה הבאה:<math>F_{N}=\frac {mv^2_{x_1}}{L}+\frac {mv^2_{x_2}}{L}+\frac {mv^2_{x_3}}{L}+...+\frac {mv^2_{x_N}}{L}=\frac mL(v^2_{x_1}+v^2_{x_2}+v^2_{x_3}+...+v^2_{x_N})=\frac mL \biggl(\sum_{i=1}^N v^2_{x_i}\biggr)</math>

מהירות RMS מוגדרת בצורה הבאה:

<math>v_{rms}^2=\bar v^2=\frac 1N \biggl(\sum_{i=1}^N v^2_{x_i}\biggr)</math>

ולכן ניתן להביע את הכוח המופעל על הדופן גם כך:

<math>F_{N}=\frac {Nm\bar v^2} L</math>

מציאת לחץ הגז

הגדרת הלחץ הפועל על הדופן הוא הכוח שמופעל עליה בידי הגז ליחידת שטח, כלומר:

<math>P=\frac {F_{N}}{A}=\frac {Nm\bar v_x^2} {L^3}=\frac {Nm\bar v_x^2} {V}</math>

כאשר <math>A=L^2</math> שטח דופן הקובייה ו- <math>V=L^3</math> נפח הקובייה.

לאורך הפיתוח התייחסנו רק לתנועת מולקולות בכיוון <math>\hat x</math>, כעת נשלב גם את תרומת תנועת המולקולות בשני הכיוונים הנותרים <math>\hat y ,\hat z</math>.

הקשר בין רכיבי הכיוונים השונים של מהירות ה- RMS ניתן לביטוי ע"י:

<math>\bar v^2=\bar v_x^2+\bar v_y^2+\bar v_z^2</math>

כאשר בקירוב גודל שלושת הרכיבים הוא שווה - <math>\bar v_x^2=\bar v_y^2=\bar v_z^2</math>, לכן נקבל כי <math>\bar v^2=3\bar v_x^2</math>.

כאשר נחליף את <math>\bar v_x^2</math> ב-<math>\bar v^2</math> בביטוי ללחץ נקבל כי הלחץ הוא:

<math>P=\frac {Nm\bar v^2} {3V}</math>

חישוב אנרגיית הגז האידיאלי

האנרגיה הקינטית הנתונה מהמכניקה הקלאסית היא:

<math>E_k=\frac12m \bar v^2</math>

האנרגיה הקינטית עבור גז מונואטומי הידועה ממכניקה סטטיסטית נתונה על יד:

<math>E_k=\frac 32 k_BT</math>

כאשר <math>k_B</math> הוא קבוע בולצמן ו- <math>T</math> טמפרטורת הגז.

השוואת שני הביטויים לעיל מניבה את הקשר בין מהירות ה-RMS לטמפרטורה:

<math>3k_BT= m\bar v^2</math>

מציאת משוואת הגז האידיאלי

על ידי שילוב שני הקשרים שנמצאו בשלבים הקודמים, ניתן להגיע לביטוי הרצוי של משוואת הגז האידיאלי:

<math>P=\frac {Nm\bar v^2} {3V}=\frac {3Nk_BT} {3V}</math>

<math>\Rightarrow PV={Nk_BT}</math>

בנוסף, מהביטוי שהתקבל ניתן לנסח את מהירות ה- RMS כמשוואה המכילה גדלים מדידים:

<math>\bar v^2=\frac {3PV} {mN} </math>

<math>\Rightarrow v_{rms}=\bar v = \sqrt{\frac {3PV}{M}}=\sqrt{\frac {3nRT}{M}}=\sqrt{\frac {3RT}{M_w}}</math>

כאשר <math>M_w</math> היא המסה המולקולרית של הגז האידיאלי.

== שימושים בתחום הרפואה ==
למשוואת הגז האידיאלי ונגזרותיה שימושים גם בתחום הרפואה.

==== השפעת הגובה על נפח גזים בגוף האדם ====
באמצעות חוק בויל ניתן לתאר את השפעת הגובה מעל פני הים על גזים בחללים סגורים בגוף האדם, ולחשב את לחץ הגז הכולל בחלל בית החזה באמצעות פלטיזמוגרפיה.

כאשר הגובה גדל, הלחץ האמביינטי יורד ולכן על פי חוק בויל נפח החללים הסגורים אמור להתרחב.

במודל מלאכותי שהיווה העתק של מערכת הנשימה האנושית עם חזה אוויר של 40 מיליליטר, נצפתה עליה בנפח בטווח של 16.2%-12.7% בגובה של כ־1500 מטר מגובה פני הים.<ref></ref> לתוצאה זו חשיבות רבה במקרים בהם נדרש פינוי של החולה בהליקופטר וחזה האוויר עלול לעבור למצב של חזה אוויר בלחץ, תרחיש אשר ניתן למנוע על ידי ביצוע ניקור חזה לפני ההמראה.

בגובה של 2.5 ק"מ מעל גובה פני הים משוערת התרחבות של עד כ-30% עבור נפח גז סגור בגוף האדם.

באמצעות חוק בויל - <small><math display="inline">P_1V_1=P_2V_2</math></small>, ניתן לחשב את השינוי הצפוי לנפח עבור בגבהים השונים.

לדוגמה, עבור חולה עם חזה אוויר של 40 מיליליטר בגובה פני הים, נחשב את השינוי בנפח כאשר יגיע לגובה של 1500 מטר.

הנתונים הידועים הם:

<small><math display="inline">P_1=1 [Atm], P_2=0.84[Atm],V_1=40[mL]</math></small>

מהצבה בחוק בויל נקבל:

<small><math display="inline">P_1V_1=P_2V_2 \rightarrow V_2= \frac {P_1V_1}{P_2}=\frac {1\cdot40}{0.85}\simeq47.06[mL]</math></small>

==== ריכוז חומרי הרדמה ====
חוק הגז האידיאלי יכול לשמש לחישוב ריכוז חומרי הרדמה בתערובות גזים.<ref></ref>

מכשירים המיועדים לניטור ריכוז חומרי הרדמה בתערובת גזים לרוב מציגים את התוצאה בחלק היחסי באחוזים מהנפח הכולל, המוגדר בצורה הבאה:

<math>volume\,% =\frac{V_p\times 100}{V_{tot}} </math>

כאשר:
* <math>V_p</math> - נפח חומר ההרדמה.
* <math>V_{tot}</math> - הנפח הכולל של תערובת הגזים.

כשרוצים לחשב את ההשפעה של חומר הרדמה על נפח נתון של גז, הגדרה זו אינה שימושית כל כך. הגודל המשמעותי הוא מספר המולקולות, או מספר המולים, של חומר ההרדמה המוכלים ביחידת נפח של תערובת הגז. עבור גז אידיאלי ההגדרה לעיל של החלק היחסי מהנפח הכולל עובדת כנדרש, זאת מכיוון שעל פי משוואת הגז האידיאלי בלחץ וטמפרטורה קבועים יחידת נפח של הגז תכיל תמיד את אותו מספר המולים. במילים אחרות, כאשר הלחץ והטמפרטורה קבועים, נפח הגז פרופורציונלי למספר המולים.

לכן, את ריכוז חומר ההרדמה בתערובות ניתן לתאר באחוזים ממספר המולים הכולל, כלומר:

<math>volume\,% =moles\,% </math>

במקרים בהם משוואת הגז האידיאלי אינה שמישה, המשוואה שיש להשתמש בה היא משוואת הגז הריאלי (באנגלית: Real Gas Law):

<math>\frac {PV}{nRT}=Z</math>

כאשר <math>Z</math> הוא פקטור הקומפרסיביליות, המתאר את היחס בין הנפח האמיתי של הגז לנפח המחושב באמצעות משוואת הגז האידיאלי. לכן, עבור גז אידיאלי מתקיים <math>Z=1</math>.

כאשר משתמשים במשוואת הגז הריאלי, אין זה שימושי בחלק היחסי מהנפח כמדד לריכוז - מספר המולים והנפח אינם פרופורציונליים במקרה זה ולכן אין שוויון בין החלק היחסי מהנפח הכולל לחלק היחסי ממספר המולים הכולל.

כדי שהשימוש בחלק היחסי מהנפח יהיה תקין, יש צורך למצוא את פקטור הקומפרסיביליות - אם הוא שווה ל-1 או קרוב ברמת הדיוק הרצויה ל-1 ניתן להשתמש במשוואת הגז האידיאלי לחישוב הריכוז. אם לא, יש להשתמש במדד של מספר מולים ליחידת נפח בתערובת.

בניסוי בו מדדו את פקטור הקומפרסיביליות עבור תערובות של חמצן עם חומרי ההרדמה איזופלורן, אנפלורן והלותאן בטמפרטורת החדר ולחץ אטמוספירי, נמצא כי ניתן לתאר את ריכוז חומרי ההרדמה באמצעות משוואת הגז האידיאלי עם אי ודאות של 0.3%.

לכן, באופן כללי אין צורך להתחשב בסטייה ממשוואת הגז האידיאלי והחלק היחסי מהנפח הוא מדד תקין לחישוב ריכוז חומר ההרדמה בתערובת.

== ראו גם ==
* גז אידיאלי
* גז ואן דר ואלס
* תרמודינמיקה
* מכניקה סטטיסטית

== קריאה נוספת ==
* Herbert B. Callen, Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, Second Edition, University of Pennsylvania: John Wiley & Sons
*Mark W. Zemansky & Richard H. Dittman, Heat and Thermodynamics, Seventh Edition, New York: McGraw-Hill, 

== קישורים חיצוניים ==

== הערות שוליים ==

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:גז אידיאלי
קטגוריה:חוקי התרמודינמיקה