פונקציית התפלגות

בתורת ההסתברות, פונקציית התפלגות, פונקציית הצטברות או פונקציית התפלגות מצטברת (פה"מ) (באנגלית: Cumulative distribution function, בראשי תיבות: CDF) של משתנה מקרי היא פונקציה של משתנה מקרי X, שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה <math>\ X \leq a</math>, לכל a ממשי. פונקציה זו מהווה הכללה של פונקציית הסתברות שעוסקת במשתנה מקרי בדיד, גם למשתנה מקרי רציף.

== תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקריים ==

אם X משתנה מקרי, פונקציית ההתפלגות המוגדרת על ידי: <math>\ F_X(a) = \operatorname{Pr}(X \leq a)</math> מקיימת בהכרח ארבע תכונות:
# הגבול <math>\ \lim_{a \rightarrow -\infty} F_X(a)</math> שווה ל-0.
# הגבול <math>\ \lim_{a \rightarrow \infty} F_X(a)</math> שווה ל-1.
# הפונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), כלומר <math>\ F_X(a) \leq F_X(b)</math> לכל <math>\ a \leq b</math>.
# הפונקציה רציפה מימין.

ולהפך: אם F היא פונקציה המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי כך ש-F היא פונקציית ההתפלגות שלו. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת לאלגברת בורל על הממשיים. עם זאת, מכיוון שהקטעים יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות <math>\ a < X < b</math>. ואכן, אם דורשים ש- <math>\ \operatorname{Pr}(X \leq a) = F(a)</math>, נובע שהגבול משמאל <math>\ \lim_{x \rightarrow b^{-}} F(b)</math> שווה להסתברות <math>\ \operatorname{Pr}(X<b)</math>. מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה <math>\ a < X < b</math>, 
<math>\ a < X \leq b</math>, 
<math>\ a \leq X < b</math> 
ו- <math>\ a < X < b</math>.

בפרט נובע ש-<math>\ P(X=b) = F_X(b) - \lim_{x\rightarrow b^{-}}F_X(x)</math>, כך שהסיכוי למאורעות <math>\ X=b</math> הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה גזירה, אפשר לתאר אותה כאינטגרל של פונקציית צפיפות f:
:<math>F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt.</math>

== דוגמאות ==
=== קובייה ===
נניח ש-<math>X</math> הוא תוצאת ההטלה של קובייה הוגנת, כלומר הוא יכול לקבל כל אחד מהמספרים: 1, 2, 3, 4, 5, 6 בסיכוי שווה (סיכוי 1/6 כל אחד. למעשה זוהי התפלגות אחידה בדידה).

אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של <math>X</math> נתונה על ידי:

:<math>F(x) = \begin{cases}
0 &:\ x < 1\\
1/6 &:\ 1 \le x < 2\\
2/6 &:\ 2 \le x < 3\\
3/6 &:\ 3 \le x < 4\\
4/6 &:\ 4 \le x < 5\\
5/6 &:\ 5 \le x < 6\\
1 &:\ x \ge 6.
\end{cases}</math>

=== התפלגות ברנולי ===
דוגמה נוספת: נניח ש-<math>X</math> הוא משתנה מקרי ברנולי, כלומר הוא יכול לקבל רק את הערכים 0 ו-1, והוא מקבל את הערך 1 בסיכוי <math>p</math>, ואת הערך 0 בסיכוי <math>1-p</math> (למשל: אם <math>p=40\%</math> אז <math>1-p=60\%</math>).

אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של <math>X</math> נתונה על ידי:

:<math>F(x) = \begin{cases}
0 &:\ x < 0\\
1-p &:\ 0 \le x < 1\\
1 &:\ x \ge 1.
\end{cases}</math>

כי ההסתברות ש-<math>X</math> יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן  או שווה ל-1 היא 100%, וההסתברות שהוא יקבל ערך גדול-שווה מ-0 אך קטן מ-1 היא <math>1-p</math>.

=== התפלגות אחידה רציפה ===
נניח ש-<math>X</math> מתפלג באופן אחיד בקטע [0, 1].
אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של <math>X</math> נתונה על ידי:

:<math>F(x) = \begin{cases}
0 &:\ x < 0\\
x &:\ 0 \le x < 1\\
1 &:\ x \ge 1.
\end{cases}</math>

כי ההסתברות שהמשתנה המקרי <math>X</math> יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן מ-x היא 100% לכל x>1, וההסתברות למאורע <math>\ X \leq x</math> לכל מספר <math>x</math> בין 0 ל-1 היא <math>x</math>.

קטגוריה:התפלגויות רציפות
קטגוריה:התפלגויות בדידות

==קישורים חיצוניים==

* 

קטגוריה:תורת ההתפלגויות