מטריצה אורתוגונלית

באלגברה ליניארית, מטריצה אורתוגונלית היא מטריצה ריבועית שרכיביה ממשיים המקיימת את התנאי <math>\ A^t A = A A^t = I</math>, כאשר <math>\ I</math>היא מטריצת היחידה, ו- <math>\ A^t</math>היא המטריצה המשוחלפת של <math>\ A</math>. למטריצות כאלו יש דטרמיננטה שהיא 1+ או 1-. לכפל במטריצה כזו יש תכונה חשובה: הוא שומר על אורך של וקטורים, וגם על הזווית ביניהם. העמודות של מטריצה אורתוגונלית מהוות בסיס אורתונורמלי למרחב הווקטורי שממדו כמספר עמודות המטריצה, עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית. 

== אפיונים שקולים ==
למטריצות אורתוגונליות ישנן מספר הגדרות שקולות, החשובות בהן הן:

* <math>\ A A^t = I</math>, כלומר <math>\ A^t = A^{-1}</math>.
* <math>\vec{v} \cdot \vec{w} = A\vec{v} \cdot A\vec{w}</math>, כלומר שהכפל של וקטורים ב-<math>\ A</math>משמר מכפלה סקלרית.
* העמודות של המטריצה הן בסיס אורתונורמלי.
* השורות של המטריצה הן בסיס אורתונורמלי.

2 הקריטריונים האחרונים דומים זה לזה והם שקולים מאחר שאם <math>\ A</math>אורתוגונלית, כך גם <math>\ A^{t}</math>.

== חבורת המטריצות האורתוגונליות ==

אוסף המטריצות האורתוגונליות בגודל <math>\ n\times n</math> מעל שדה F סגור לכפל, והוא מהווה חבורה אלגברית שמקובל לסמן ב- <math>\ O_n(F)</math>. מעל שדה המספרים הממשיים, <math>\ O_n(\mathbb{R})</math> היא חבורה קומפקטית.

המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה 1 נקראות "מטריצות אורתוגונליות מיוחדות", והן מרכיבות את תת-החבורה <math>\ SO_n(F)</math> של <math>\ O_n(F)</math>. בשדה ממאפיין שונה מ-2, <math>\ SO_n(F) \triangleleft O_n(F)</math> היא תת-חבורה מאינדקס 2 (מעל שדה ממאפיין 2, שתי החבורות שוות). המטריצות הסקלריות האורתוגונליות הן <math>\ \pm I</math>, ומגדירים את חבורות המנה <math>\ PO_n(F) =O_n(F)/\langle-I\rangle</math> ו- <math>\ PSO_n(F) = SO_n(F)/(\langle -I\rangle \cap SO_n(F))</math>. 

המטריצה <math>\ -I</math>שייכת ל- <math>\ SO_n(F)</math>אם ורק אם n זוגי. לכן, כאשר n זוגי, ארבע החבורות <math>\ O_n, SO_n, PO_n, PSO_n</math>שונות זו מזו, ואילו כאשר n אי זוגי, <math>\ O_n \cong SO_n \times \langle -I \rangle</math>ו- <math>\ PO_n \cong SO_n = PSO_n</math>.

=== המקרה n=2 ===

מעל שדה המספרים הממשיים, <math>\ SO_2</math> כוללת את מטריצות הסיבוב בכל זווית אפשרית. חבורה זו, שהיא אבלית, איזומורפית לחבורה המעגלית <math>\ S^1</math> של המספרים המרוכבים בעלי נורמה 1, וגם לחבורת המנה <math>\ \mathbb{R}/\mathbb{Z}</math>. ליפוף כפול של המעגל (כלומר, זיהוי הקצוות <math>\ z \equiv -z</math>) נותן את אותה חבורה, ולכן <math>\ PSO_2(\mathbb{R}) \cong SO_2(\mathbb{R})</math>. החבורה <math>\ O_2(\mathbb{R})</math> כוללת איבר נוסף, <math>\ \tau = \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)</math>, המתאים לשיקוף סביב ציר ה-x, ואת כל המכפלות של <math>\ \tau</math> בסיבובים. החבורה הזו אינה אבלית. גם כאן <math>\ PO_2(\mathbb{R}) \cong O_2(\mathbb{R})</math>.

== מטריצות אוניטריות ==

מטריצה אורתוגונלית היא מטריצה אוניטרית מעל הממשיים. מטריצה אוניטרית <math> A \in M_n(\mathbb{F}) </math> מקיימת: <math>A^* A= I</math> כאשר <math> A^*:=\overline{A^t}</math> ותכונה הנובעת מזה היא שעמודותיה ושורותיה פורשות את <math> \mathbb{F}^n</math>. הערה: <math> \mathbb{F} \in \begin{Bmatrix} \mathbb{R},\mathbb{C} \end{Bmatrix} </math>

===תכונות של מטריצות אוניטריות===
* <math>A\,</math> מטריצה הפיכה ו-<math>A^{-1} = \overline{A}^T\,</math>
* מטריצה אוניטרית שומרת מכפלה פנימית: <math> \langle Ax,Ay \rangle = \langle x , A^{*}Ay \rangle = \langle x , Iy \rangle = \langle x,y \rangle</math> (כאן נעזרנו בתכונות הצמוד ההרמיטי במכפלה פנימית)
* מטריצה אוניטרית שומרת על נורמה, <math>\ \| A x \| = \| x \|</math>. כתוצאה מכך, ערך מוחלט של כל ערך עצמי שלה הוא 1.
* אם A אוניטרית <math>A^*\,</math> ו-<math>\overline{A}</math> גם הן אוניטריות

==ראו גם==
* מטריצת סיבוב
* מטריצה אוניטרית

==קישורים חיצוניים==
* 

קטגוריה:מטריצות