מכפלה ריקה

במתמטיקה, מכפלה ריקה היא מכפלה ללא גורמים, והיא שווה ליחידה הכפלית, 1. המכפלה הריקה מוגדרת כמקרה פרטי של ההגדרה הכללית של מכפלה, והיא שומרת על העקביות של תכונות שימושיות הקשורות בכפל.

כפי שיוסבר להלן, ההגדרה הכי טבעית למכפלה ריקה היא איבר היחידה 1, האדיש לכפל. זאת באופן דומה להגדרת הסכום הריק כאיבר היחידה החיבורי, 0. צורות מוכרות של המכפלה הריקה הן הטענות <math>\ a^0=1</math> לכל a שונה מאפס, <math>\ 0!=1</math> (אפס עצרת) ו-<math>\prod_{i=m}^{n} x_{i}=1</math> לכל n<m. הגדרות אלו עקביות עם התכונות של הפעולות הללו. לדוגמה לפי חוקי חזקות: <math>\ a^0 = a^{1-1} = a^1\cdot a^{-1}= a/a = 1</math>.

משפטים רבים מניחים את קיום המכפלה הריקה. לדוגמה קיומה של המכפלה הריקה מאפשר את תקפות המשפט היסודי של האריתמטיקה לכל מספר טבעי כולל 1.

==מדוע המכפלה הריקה שווה ל-1==

יש שתי דרכים להגדיר את המכפלה של קבוצה סופית של מספרים טבעיים. דרך אחת היא להגדיר את המכפלה של שני מספרים (באינדוקציה), ואז להגדיר את המכפלה של כל קבוצה סופית באינדוקציה על גודל הקבוצה: <math>\ a_1 \cdots a_n = (a_1 \cdots a_{n-1})a_n</math>. כדי שנוסחה אינדוקטיבית זו תתאים למקרה n=1, יש לקבל כי המכפלה הריקה היא איבר היחידה הכפלי.

דרך נוספת להגדיר את המכפלה <math>\ a_1 \cdots a_n</math> כעוצמה של המכפלה הקרטזית של קבוצות בגדלים <math>\ a_1, \dots,a_n</math> (ההגדרה מתלכדת עם ההגדרה האינדוקטיבית). אבל המכפלה הקרטזית של משפחה ריקה של קבוצות היא קבוצה בת איבר אחד (ראו להלן), ולכן המכפלה הריקה שווה ל-1.

==הכללות==
מההגדרה הפורמלית של המכפלה הקרטזית, כאוסף כל פונקציות הבחירה מקבוצת האינדקסים, נובעת הזהות:
:<math>\prod_{i \in \varnothing} X_i = \{ \varnothing\}</math>
כלומר מכפלה קרטזית ריקה של קבוצות היא יחידון, שאת איברו היחיד אפשר לפרש כפונקציה הריקה. אם נפעיל על השוויון את כללי האריתמטיקה של עוצמות נקבל כי מכפלה ריקה של עוצמות, ובכללם מכפלה ריקה של מספרים טבעיים, שווה לעוצמת היחידון, שהיא 1.

באופן כללי מגדירים לרוב תוצאה ריקה של פעולה בינארית בתור האיבר הנייטרלי של הפעולה. לדוגמה חיתוך ריק של תת-קבוצות של קבוצה X שווה לקבוצה X עצמה.

==אפס בחזקת אפס==

לביטוי אפס בחזקת אפס, המסומן <math>0^0</math>, אין הגדרה חד-משמעית, משום שפעולת החזקה מוגדרת באופנים שונים בהקשרים שונים.

מעריכים שלמים. עבור מעריכים טבעיים n, פעולת החזקה <math>x^n</math> מוגדרת כמכפלה חוזרת n פעמים של הבסיס x (שיכול להיות מספר כלשהו). בפרט, <math>0^n=0</math> לכל <math>\, n>0</math>. אפשר, כביכול, להמשיך את הנוסחה הזו לערך n=0, ולקבוע שגם <math>0^0=0</math>. מאידך, עבור מעריכים טבעיים החזקה מקיימת את החוק <math>x^{n+m} = x^{n}x^{m}</math>, שאם מאמצים אותו עבור m=0, מקבלים <math>x^{n} = x^{n}x^{0}</math>, ולכן <math>x^0=1</math> לכל <math>\, x\neq 0</math>. הפעם, אם נמשיך את הנוסחה לערך x=0, נקבל <math>0^0=1</math>. בשל הסתירה הזו, משאירים את הערך <math>0^0</math> בלתי מוגדר. 

באנליזה. עבור מספרים ממשיים x,y, עם x>0, אפשר להגדיר <math>x^y=\exp(y \log(x))</math>. ערך זה אינו מוגדר עבור x=0 (למרות שאין מניעה לקבוע ש-<math>0^y=0</math> לכל y>0), ואפילו הגבול שלו כאשר x שואף לאפס (ו-y קבוע) תלוי בסימן של y. לכן גם מנקודת מבט זו משאירים את הערך <math>0^0</math> בלתי מוגדר. אכן, כפונקציה של שני משתנים, הגבול של <math>x^y</math> כאשר x,y חיוביים ושואפים ל-0 אינו קיים.

בקומבינטוריקה ובתורת הקבוצות. בתורת הקבוצות מגדירים את החזקה <math>a^b</math> של שני מונים כעוצמת קבוצת הפונקציות מקבוצה בעוצמה b לקבוצה בעוצמה a. הגדרה זו מסכימה עם ההגדרה המקובלת כאשר a,b מספרים סופיים. יש בדיוק פונקציה אחת מן הקבוצה הריקה לכל קבוצה אחרת (לרבות אל הקבוצה הריקה), הלוא היא הפונקציה הריקה; לכן הגדרה זו מספקת את הערך <math>a^0=1</math> לכל a, לרבות <math>0^0=1</math>.

==קישורים חיצוניים==

* 
* [https://www.youtube.com/watch?v=r0_mi8ngNnM ?What is 0 to the power of 0]

קטגוריה:1 (מספר)
קטגוריה:כפל
קטגוריה:מושגים במתמטיקה