פונקציית סכום הריבועים

בתורת המספרים, פונקציית סכום הריבועים היא פונקציה אריתמטית, שסופרת את מספר ההצגות של מספר טבעי נתון n כסכום של k ריבועים, כאשר הצגות עם סדר מחוברים שונה או סימן הפוך של המספרים המועלים בריבוע נספרות כהצגות שונות, והיא מסומנת (r<sub>k</sub>(n.

==הגדרה==
הפונקציה מוגדרת באופן הבא:

:<math>r_k(n) = |\{(a_1, a_2, \ldots, a_k) \in \mathbb{Z}^k \ : \ n = a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_k^2\}|</math>

כאשר <math>|\,\ |</math> מסמל את הגודל של הקבוצה. במילים אחרות, (r<sub>k</sub>(n הוא מספר הדרכים שבהן n ניתן לכתיבה כסכום של k ריבועים.

לדוגמה, <math>r_2(1) = 4</math> מכיוון ש-<math>1 = 0^2 + (\pm 1)^2 = (\pm 1)^2 + 0^2</math>, ו-<math>r_2(2) = 4</math> מכיוון ש-<math> 2 = (\pm 1)^2 + (\pm 1)^2</math> (יש ארבעה צירופי סימנים). כדוגמה נוספת - <math>r_2(3) = 0</math>, שכן אין דרך להציג את 3 כסכום של שני ריבועים.

== תוצאות ידועות ==
=== k = 2 ===

את מספר הדרכים לכתוב מספר טבעי כסכום של שני ריבועים סופרת הפונקציה (r<sub>2</sub>(n. יש לה נוסחה מפורשת:

:<math>r_2(n) = 4(d_1(n)-d_3(n))</math>

כאשר (d<sub>1</sub>(n הוא מספר המחלקים של n המשאירים שארית 1 בחלוקה ב-4 ו- (d<sub>3</sub>(n הוא מספר המחלקים של n המשאירים שארית 3 בחלוקה ב-4. באמצעות סימן הסכימה, הביטוי הזה ניתן לכתיבה גם כ-:

:<math>r_2(n) = 4\sum_{d \mid n \atop d\,\equiv\,1,3 \pmod 4}(-1)^{(d-1)/2}</math>

פירוק לגורמים ראשוניים <math>n = 2^g p_1^{f_1}p_2^{f_2}\cdots q_1^{h_1}q_2^{h_2}\cdots </math>, כאשר <math>p_i</math> הם הגורמים הראשוניים מהצורה <math>p_i \equiv 1\pmod 4</math>, ו-<math>q_i</math> הם הגורמים הראשוניים מהצורה <math>q_i \equiv 3\pmod 4</math>, מניב נוסחה שקולה נוספת:

:<math>r_2(n) = 4 (f_1 +1)(f_2+1)\cdots </math>

התקפה אם כל המעריכים <math>h_1, h_2, \cdots</math> הם זוגיים. אם אחד או יותר מהמעריכים הללו הוא אי-זוגי, אז <math>r_2(n) = 0</math>.

=== k = 3 ===
גאוס הוכיח שעבור מספר ללא גורמים ריבועיים n > 4:

<math>r_3(n) = \begin{cases}
24 h(-n), & \text{if } n\equiv 3\pmod{8}, \\
0 & \text{if } n\equiv 7\pmod{8}, \\
12 h(-4n) & \text{otherwise},
\end{cases}</math>

כאשר (h(m מסמל את מספר המחלקות (class number) של תבניות ריבועיות בינאריות מדיסקרימיננטה m.

=== k = 4 ===

מספר הדרכים להציג את n כסכום של ארבעה ריבועים תמיד חיובי (בהתאם למשפט ארבעת הריבועים של לגראנז'), והוא מחושב בהתאם לנוסחה המפורשת של קרל גוסטב יעקב יעקובי, לפיה הוא שווה לשמונה פעמים סכום כל המחלקים של n שאינם מתחלקים ב-4, כלומר:

:<math>r_4(n)=8\sum_{d\,\mid\,n,\ 4\,\nmid\,d}d.</math>

אם מפרקים את m לגורם זוגי וגורם אי-זוגי, כלומר כותבים אותו בצורה n 2<sup>k</sup>m, כאשר m מספר אי-זוגי, אז ניתן להציג את <math>r_4(n)</math> במונחי פונקציית סכום המחלקים באופן הבא:

:<math>r_4(n) = 8\sigma(2^{\min\{k,1\}}m).</math>

===k = 8 ===
יעקובי מצא גם נוסחה מפורשת עבור המקרה k = 8:

:<math>r_8(n) = 16\sum_{d\,\mid\,n}(-1)^{n+d}d^3.</math>

== פונקציה יוצרת ==
הפונקציה היוצרת של הסדרה <math>r_k(n)</math> בעבור k קבוע ניתנת לביטוי במונחי פונקציית תטא של יעקובי:

:<math>\vartheta(0;q)^k = \vartheta_3^k(q) = \sum_{n=0}^{\infty}r_k(n)q^n,</math>

כאשר

:<math>\vartheta(0;q) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2} = 1 + 2q + 2q^4 + 2q^9 + 2q^{16} + \cdots.</math>
== ערכים מספריים ==
30 הערכים הראשונים של <math>r_k(n), \; k=1, \dots, 8</math> נתונים בטבלה למטה:

{| class="wikitable" style="text-align:right;"
! n !! = !! r<sub>1</sub>(n)!! r<sub>2</sub>(n)!! r<sub>3</sub>(n)!! r<sub>4</sub>(n)!! r<sub>5</sub>(n)!! r<sub>6</sub>(n)!! r<sub>7</sub>(n)!! r<sub>8</sub>(n)
|-
| 0||style='text-align:center;'| 0|| 1|| 1|| 1|| 1|| 1|| 1|| 1|| 1
|-
| 1||style='text-align:center;'| 1|| 2|| 4|| 6|| 8|| 10|| 12|| 14|| 16
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 2||style='text-align:center;'| 2|| 0|| 4|| 12|| 24|| 40|| 60|| 84|| 112
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 3||style='text-align:center;'| 3|| 0|| 0|| 8|| 32|| 80|| 160|| 280|| 448
|-
| 4||style='text-align:center;'| 2<sup>2</sup>|| 2|| 4|| 6|| 24|| 90|| 252|| 574|| 1136
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 5||style='text-align:center;'| 5|| 0|| 8|| 24|| 48|| 112|| 312|| 840|| 2016
|-
| 6||style='text-align:center;'| 2×3|| 0|| 0|| 24|| 96|| 240|| 544|| 1288|| 3136
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 7||style='text-align:center;'| 7|| 0|| 0|| 0|| 64|| 320|| 960|| 2368|| 5504
|-
| 8||style='text-align:center;'| 2<sup>3</sup>|| 0|| 4|| 12|| 24|| 200|| 1020|| 3444|| 9328
|-
| 9||style='text-align:center;'| 3<sup>2</sup>|| 2|| 4|| 30|| 104|| 250|| 876|| 3542|| 12112
|-
| 10||style='text-align:center;'| 2×5|| 0|| 8|| 24|| 144|| 560|| 1560|| 4424|| 14112
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 11||style='text-align:center;'| 11|| 0|| 0|| 24|| 96|| 560|| 2400|| 7560|| 21312
|-
| 12||style='text-align:center;'| 2<sup>2</sup>×3|| 0|| 0|| 8|| 96|| 400|| 2080|| 9240|| 31808
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 13||style='text-align:center;'| 13|| 0|| 8|| 24|| 112|| 560|| 2040|| 8456|| 35168
|-
| 14||style='text-align:center;'| 2×7|| 0|| 0|| 48|| 192|| 800|| 3264|| 11088|| 38528
|-
| 15||style='text-align:center;'| 3×5|| 0|| 0|| 0|| 192|| 960|| 4160|| 16576|| 56448
|-
| 16||style='text-align:center;'| 2<sup>4</sup>|| 2|| 4|| 6|| 24|| 730|| 4092|| 18494|| 74864
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 17||style='text-align:center;'| 17|| 0|| 8|| 48|| 144|| 480|| 3480|| 17808|| 78624
|-
| 18||style='text-align:center;'| 2×3<sup>2</sup>|| 0|| 4|| 36|| 312|| 1240|| 4380|| 19740|| 84784
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 19||style='text-align:center;'| 19|| 0|| 0|| 24|| 160|| 1520|| 7200|| 27720|| 109760
|-
| 20||style='text-align:center;'| 2<sup>2</sup>×5|| 0|| 8|| 24|| 144|| 752|| 6552|| 34440|| 143136
|-
| 21||style='text-align:center;'| 3×7|| 0|| 0|| 48|| 256|| 1120|| 4608|| 29456|| 154112
|-
| 22||style='text-align:center;'| 2×11|| 0|| 0|| 24|| 288|| 1840|| 8160|| 31304|| 149184
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 23||style='text-align:center;'| 23|| 0|| 0|| 0|| 192|| 1600|| 10560|| 49728|| 194688
|-
| 24||style='text-align:center;'| 2<sup>3</sup>×3|| 0|| 0|| 24|| 96|| 1200|| 8224|| 52808|| 261184
|-
| 25||style='text-align:center;'| 5<sup>2</sup>|| 2|| 12|| 30|| 248|| 1210|| 7812|| 43414|| 252016
|-
| 26||style='text-align:center;'| 2×13|| 0|| 8|| 72|| 336|| 2000|| 10200|| 52248|| 246176
|-
| 27||style='text-align:center;'| 3<sup>3</sup>|| 0|| 0|| 32|| 320|| 2240|| 13120|| 68320|| 327040
|-
| 28||style='text-align:center;'| 2<sup>2</sup>×7|| 0|| 0|| 0|| 192|| 1600|| 12480|| 74048|| 390784
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 29||style='text-align:center;'| 29|| 0|| 8|| 72|| 240|| 1680|| 10104|| 68376|| 390240
|-
| 30||style='text-align:center;'| 2×3×5|| 0|| 0|| 48|| 576|| 2720|| 14144|| 71120|| 395136
|}

==קישורים חיצוניים ==

*

קטגוריה:תורת המספרים
קטגוריה:פונקציות אריתמטיות