פולינום סימטרי אלמנטרי

באלגברה, הפולינומים הסימטריים האלמנטריים הם סוג אפשרי של אבני בניין של פולינומים סימטריים, במובן שכל פולינום סימטרי ניתן לביטוי כפולינום בפולינומים הסימטריים האלמנטריים. ישנו פולינום סימטרי אלמנטרי אחד ממעלה <math>d</math> ב-<math>n</math> משתנים בעבור כל מעלה שמקיימת <math>d\le n</math>, והוא נוצר על ידי חיבור כל המכפלות האפשריות של <math>d</math> משתנים שונים מתוך האוסף של <math>n</math> משתנים.

==הגדרה==
הפולינומים הסימטריים האלמנטריים ב-<math>n</math> משתנים <math>x_1,\ldots,x_n</math>, שנסמנם <math>e_k(x_1,\ldots,x_n)</math> בעבור <math>k=0,1,\ldots,n</math>, מוגדרים כך:
:<math>\begin{align}e_0(x_1,\ldots,x_n)&=1\\[10pt]e_1(x_1,\ldots,x_n)&=\sum_{1\le i\le n}x_i\\e_2(x_1,\ldots,x_n)&=\sum_{1\le i_1<i_2\le n}\!\!\!\!x_{i_1}x_{i_2}\\e_3(x_1,\ldots,x_n)&=\sum_{1\le i_1<i_2<i_3\le n}\!\!\!\!\!\!x_{i_1}x_{i_2}x_{i_3}\end{align}</math>
וכך הלאה, עד הפולינום האלמנטרי האחרון <math>e_n(x_1,\ldots,x_n)=x_1\cdots x_n</math>.

באופן כללי, עבור <math>0\le k\le n</math> מגדירים:
:<math>e_k(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n}\!\!\!\!\!\!x_{i_1}\cdots x_{i_k}</math>
לכן, בעבור כל שלם אי-שלילי <math>k\le n</math> ישנו בדיוק פולינום סימטרי אלמנטרי אחד ממעלה <math>k</math> ב-<math>n</math> משתנים. כדי ליצור את הפולינום האלמנטרי ממעלה <math>k</math>, יש לקחת את הסכום של כל המכפלות של תת-קבוצות בעלות <math>k</math> איברים שונים של קבוצת המשתנים המקורית (בשונה מכך, אם מבצעים את אותה פעולה באמצעות מולטי-קבוצות של משתנים, כלומר על ידי בחירה עם חזרות של משתנים, אז מקבלים את הפולינום ההומוגני השלם ממעלה <math>k</math> ב-<math>n</math> משתנים).

==דוגמאות==
להלן רשימה של כל הפולינומים הסימטריים האלמנטריים בעבור מספר משתנים בין אחד לארבע (בכל מקרה, <math>e_0=1</math> גם הוא אחד הפולינומים):
:<math>\begin{align}&n=1:\\&e_1(x_1)=x_1\\\\&n=2:\\&e_1(x_1,x_2)=x_1+x_2\\&e_2(x_1,x_2)=x_1x_2\\\\&n=3:\\&e_1(x_1,x_2,x_3)=x_1+x_2+x_3\\&e_2(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\\&e_3(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2x_3\\\\&n=4:\\&e_1(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1+x_2+x_3+x_4\\&e_2(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4\\&e_3(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4\\&e_4(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1x_2x_3x_4\end{align}</math>

==תכונות==
הפולינומים הסימטריים האלמנטריים מופיעים כאשר מפתחים פירוק לגורמים ליניאריים של פולינום במשתנה אחד; ישנה הזהות:
:<math>\prod_{j\,=\,1}^n(\lambda-x_j)=\lambda^n-e_1(x_1,\ldots,x_n)\lambda^{n-1}+e_2(x_1,\ldots,x_n)\lambda^{n-2}+\cdots+(-1)^ne_n(x_1,\ldots,x_n)</math>
כלומר, כאשר מציבים ערכים מספריים במשתנים <math>x_1,\ldots,x_n</math> מקבלים את מקדמי הפולינום ששורשיו הם הערכים שהוצבו עבור <math>x_1,\ldots,x_n</math>. הקשרים בין השורשים למקדמים של הפולינום נקראים נוסחאות ויאטה.

הפולינום האופייני של מטריצה ריבועית הוא דוגמה ליישום של נוסחאות ויאטה. השורשים של הפולינום הזה הם הערכים העצמיים של המטריצה. כאשר מציבים את הערכים העצמיים הללו בפולינומים הסימטריים האלמנטריים מקבלים, עד כדי סימן, את המקדמים של הפולינום האופייני. למשל, העקבה של המטריצה (סכום האיברים על האלכסון הראשי) הוא הערך של <math>e_1</math>, ולפיכך הוא גם סכום הערכים העצמיים שלה – או העקבה של הצורה האלכסונית של המטריצה. בדומה לכך, הדטרמיננטה היא, עד כדי סימן, האיבר הקבוע של הפולינום האופייני; כלומר היא שווה ל-<math>e_n</math>. לכן הדטרמיננטה של מטריצה היא מכפלת הערכים העצמיים.

האוסף של פולינומים סימטריים אלמנטריים ב-<math>n</math> משתנים יוצר את חוג הפולינומים הסימטריים ב-<math>n</math> משתנים. באופן פורמלי יותר, חוג הפולינומים הסימטריים עם מקדמים שלמים שווה לחוג הפולינומי <math>\Z\bigl[e_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots,e_n(x_1,\ldots,x_n)\bigr]</math> (ראו למטה בעבור קביעה כללית והוכחה). עובדה זאת היא אחת מהיסודות של תורת האינווריאנטים.

==המשפט היסודי של פולינומים סימטריים==
בעבור חוג חילופי <math>A</math>, נסמן את החוג של פולינומים סימטריים במשתנים <math>x_1,\ldots,x_n</math> עם מקדמים ב-<math>A</math> על ידי <math>A[x_1,\ldots,x_n]^{S_n}</math>. לפי המשפט היסודי של פולינומים סימטריים, זהו חוג פולינומי ב-<math>n</math> הפולינומים הסימטריים האלמנטריים <math>e_k(x_1,\ldots,x_n)</math> בעבור <math>1\le k\le n</math>.

===הוכחה===
את המשפט ניתן להוכיח בעבור פולינומים הומוגניים סימטריים באמצעות אינדוקציה כפולה ביחס למספר המשתנים <math>n</math> וביחס למעלת הפולינום (צעד האינדוקציה ביחס למעלה נעשה כאשר <math>n</math> נלקח כקבוע). המקרה הכללי יותר של פולינום סימטרי אי-הומוגני מתקבל מהמשפט היסודי דרך פירוק הפולינום הסימטרי למרכיבים ההומוגניים שלו (שהם בהכרח סימטריים בעצמם).

במקרה <math>n=1</math> התוצאה מובנת מאליה כי כל פולינום במשתנה אחד הוא בהכרח סימטרי. לכן בסיס האינדוקציה מתקיים.

כעת נניח שהמשפט נכון עבור כל הפולינומים ב-<math>m<n</math> משתנים ובעבור כל הפולינומים הסימטריים ב-<math>n</math> משתנים ממעלה קטנה מ-<math>d</math>.

כל פולינום סימטרי הומוגני <math>P</math> ב-<math>A[x_1,\ldots,x_n]^{S_n}</math> ניתן לפירוק כסכום של פולינומים הומוגניים סימטריים באופן הבא:
:<math>P(x_1,\ldots,x_n)=P_{\text{lacunary}}(x_1,\ldots,x_n)+x_1\cdots x_n\cdot Q(x_1,\ldots,x_n)</math>
כאן "החלק הלקוני" <math>P_{\text{lacunary}}</math> מוגדר כסכום כל המונומים של <math>P</math> אשר הגורמים שלהם נלקחים מתוך תת-קבוצה חלקית של <math>n</math> המשתנים <math>x_1,\ldots,x_n</math>, כלומר כל המונומים אשר לפחות משתנה אחד <math>x_j</math> חסר בהם.

מאחר ש-<math>P</math> סימטרי, החלק הלקוני נקבע באופן חד-חד-ערכי על ידי איברי <math>P</math> שמכילים רק את המשתנים <math>x_1,\ldots,x_{n-1}</math>. ביותר דיוק, אם <math>A,B</math> הם שני פולינומים הומוגניים סימטריים ב-<math>x_1,\ldots,x_n</math> בעלי אותה מעלה, ואם המקדם לפני כל מונום של <math>A</math> שמכיל רק את המשתנים <math>x_1,\ldots,x_{n-1}</math> שווה למקדם המתאים של <math>B</math>, אזי ל-<math>A,B</math> יש חלקים לקוניים זהים. זה נובע מכך שכל מונום שמופיע בחלק הלקוני מוכרח להיות בעל לפחות משתנה חסר אחד, וכמו כן <math>P</math> נשמר תחת פעולת החבורה הסימטרית <math>S_n</math>, ולכן ניתן באמצעות תמורה מתאימה של המשתנים להפוך אותו למונום המכיל רק את המשתנים <math>x_1,\ldots,x_{n-1}</math>. כדוגמה מוחשית, נסתכל על הפולינום הסימטרי ההומוגני <math>P(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2+x_1x_2</math> – החלק הלקוני שלו הוא <math>x_1^2+x_2^2</math>, ואמנם הוא מכיל גם את <math>x_2^2</math>, אך איבר זה למעשה ניתן היה לקבל מראש על בסיס האיבר <math>x_1^2</math> – אם זוכרים ש-<math>P</math> סימטרי – כך שניתן להפעיל את התמורה <math>\sigma=(1,2)</math> על האינדקסים של המשתנים.

האיברים של <math>P</math> שמכילים רק את המשתנים <math>x_1,\ldots,x_{n-1}</math> הם בדיוק האיברים השורדים תחת פעולת הצבת הערך של <math>x_n</math> על 0, כך שסכומם שווה <math>P(x_1,\ldots,x_{n-1},0)</math>, שהוא פולינום סימטרי במשתנים <math>x_1,\ldots,x_{n-1}</math> שנסמנו כעת <math>\tilde{P}(x_1,\ldots,x_{n-1})</math>. מהנחת האינדוקציה, הפולינום הזה ניתן לכתיבה:
:<math>\tilde{P}(x_1,\ldots,x_{n-1})=\tilde{Q}(\sigma_{1,n-1},\ldots,\sigma_{n-1,n-1})</math>
עבור פולינום כלשהו <math>\tilde{Q}</math>, כאשר <math>\sigma_{j,n-1}</math> מייצג את הפולינום הסימטרי האלמנטרי ממעלה <math>j</math> ב-<math>n-1</math> משתנים.

נתייחס כעת לפולינום 
:<math>R(x_1,\ldots,x_n):=\tilde{Q}(\sigma_{1,n},\ldots,\sigma_{n-1,n})</math>
זהו פולינום סימטרי ב-<math>x_1,\ldots,x_n</math>, ממעלה זהה ל-<math>P_{\text{lacunary}}</math>, אשר מקיים
:<math>R(x_1,\ldots,x_{n-1},0)=\tilde{Q}(\sigma_{1,n-1},\ldots,\sigma_{n-1,n-1})=P(x_1,\ldots,x_{n-1},0)</math>
במילים אחרות, המקדם של <math>R</math> לפני כל מונום אשר מכיל רק את המשתנים <math>x_1,\ldots,x_{n-1}</math> שווה למקדם המתאים של <math>P</math>. פירוש הדבר הוא שהחלק הלקוני של <math>R</math> זהה לזה של הפולינום המקורי <math>P</math>. לפיכך להפרש <math>P-R</math> אין חלק לקוני, ולכן הוא מתחלק במכפלה <math>x_1,\ldots,x_n</math> של כל המשתנים, אשר שווה לפולינום הסימטרי האלמנטרי <math>\sigma_{n,n}</math>. מאחר שמתקיים <math>P-R=\sigma_{n,n}Q</math>, המנה <math>Q</math> היא פולינום הומוגני סימטרי ממעלה קטנה מ-<math>d</math> (למעשה ממעלה לכל היותר <math>d-n</math>) אשר לפי הנחת האינדוקציה ניתנת לביטוי כפולינום בפולינומים הסימטריים האלמנטריים. באמצעות שילוב ההצגות של <math>P-R</math> ו-<math>R</math> ניתן לבנות הצגה פולינומית של הפולינום המקורי <math>P</math>.

היחידות של ההצגה ניתנת להוכחה באמצעות טכניקה אינדוקטיבית דומה. היא שקולה לעובדה ש-<math>n</math> הפולינומים <math>e_1,\ldots,e_n</math> הם בלתי תלויים אלגברית מעל החוג <math>A</math>.

===דוגמה===
נציג את הפולינום הסימטרי <math>f(x_1,x_2)=x_1^4+x_2^4</math> כפולינום בפולינומים האלמנטריים.

בהתאם לתהליך בהוכחה, נציג את <math>f(x_1,x_2)</math> כהפרש בין חזקה של פולינום סימטרי אלמנטרי לבין פולינום סימטרי הומוגני ממעלה נמוכה יותר: 
:<math>\begin{align}x_1^4+x_2^4&=e_1^4(x_1,x_2)-(4x_1^3x_2+6x_1^2x_2^2+4x_1x_2^3)\\[5pt]&=e_1^4(x_1,x_2)-e_2(x_1,x_2)(4x_1^2+6x_1x_2+4x_2^2)\end{align}</math>
לפי הנחת האינדוקציה על מעלת הפולינום, את הפולינום <math>4x_1^2+6x_1x_2+4x_2^2</math> בהכרח ניתן להציג בדרך המבוקשת, ונראה זאת:
:<math>4x_1^2+6x_1x_2+4x_2^2=4e_1^2(x_1,x_2)-2e_2(x_1,x_2)</math>
לכן קיבלנו הצגה בפולינומים האלמנטריים:
:<math>x_1^4+x_2^4=e_1^4(x_1,x_2)-4e_1^2(x_1,x_2)e_2(x_1,x_2)+2e_2^2(x_1,x_2)</math>
ניתן להרחיב את הבנייה למקרה של סכום חזקות רביעיות של <math>n</math> משתנים, תוך התבססות על התוצאה ל-2 משתנים ושימוש בחלק השני של הנחת האינדוקציה; ביחס למספר המשתנים.

==ראו גם==
*פולינום סימטרי

==קישורים חיצוניים==
*

קטגוריה:אלגברה