מעוין

מעוינים ואלכסוניהםמעוין הוא מרובע שווה-צלעות. מעוין הוא מקרה פרטי של דלתון (דלתון קמור שווה-שוקיים) ושל מקבילית (מקבילית שוות שוקיים). ריבוע הוא מקרה פרטי של מעוין שבו הזוויות שוות.

בגאומטריה אנליטית ניתן להגדיר מעוין, שאלכסוניו p ו-q מונחים על הצירים, כמקום הגאומטרי של הנקודות (x, y) שמקיימות:
:<math>\left|\frac{x}{p}\right|\! + \left|\frac{y}{q}\right|\! = 1</math>.

פאון שכל פאותיו הן מעוינים נקרא "מעוינון".

== אטימולוגיה ==
המילה "מעוין" שאולה מהמילה הערבית "معين" (תרגומו המילולי הוא גם "מוגדר"). המינוח נקבע לייצג את הצורה הגאומטרית של מרובע שווה-צלעות בעברית על ידי המתרגם רבי אברהם בר חייא, נעשה בו גם שימוש בספרות ימי הביניים היהודית<ref></ref>.

כמו כן נמצא גם שימוש במושג "מעוין" בעברית הירושלמית כמילה המגדירה את המושג שקול, דוגמה לכך אפשר למצוא במדרש על משה שאמר לאלוהים <ref></ref>. כמו כן נעשה גם שימוש דומה במילה על ידי ספרות ההלכה של ימי הביניים<ref></ref>.

== תכונות המעוין ==
מעוין
* כל הצלעות שוות באורכן. בציור: AB = BC = CD = DA.
* צלעות נגדיות מקבילות (AB || CD ; BC || DA).
* זוויות נגדיות שוות זו לזו (<math>\angle A = \angle C; \angle B = \angle D</math>).
* כל הגבהים שווים בארכם (בציור הגובה מסומן ב-h).
* היקף המעוין שווה לאורך הצלע כפול 4 (<math>\ P=4a</math>).
* בכל מעוין ניתן לחסום מעגל שרדיוסו <math>r=\frac{a \sin\alpha}{2}</math>
* חבורת הסימטריות של מעוין שאינו ריבוע היא חבורת הארבעה של קליין.

==האלכסונים==
* האלכסונים מאונכים זה לזה (<math>AC \perp BD</math>).
* האלכסונים חוצים זה את זה (AS = CS; BS = DS).
* האלכסונים חוצים את זוויות המעוין.

את אורך האלכסונים p = AC ו-q = BD ניתן להציג לפי אורך הצלע ואחת הזוויות באמצעות הנוסחאות הבאות, שנובעות ממשפט הקוסינוסים:

:<math>p=a\sqrt{2+2\cos{\alpha}}</math>

:<math>q=a\sqrt{2-2\cos{\alpha}}</math>

==שטח המעוין==
קיימות דרכים אחדות לחישוב שטח המעוין:
* מחצית מכפלת האלכסונים זה בזה. נובע מכך שהאלכסונים מחלקים את המעוין לארבעה משולשים ישרי זווית.
* אורך צלע כפול הגובה (בציור: <math>K = a \cdot h</math>). בהתאם לנוסחה לחישוב שטח מקבילית.
* אורך צלע בריבוע כפול סינוס של אחת הזוויות. בציור: <math>K = a^2 \cdot \sin \alpha = a^2 \cdot \sin \beta </math>
* הגובה בריבוע חלקי סינוס של אחת הזוויות. בציור: <math>K=\frac{h^2}{\sin\alpha},</math>
* חצי ההיקף של המעוין כפול רדיוס המעגל החסום. בציור: <math>K = 2a \cdot r </math>

== משפטים הפוכים ==
* מקבילית שאלכסוניה מאונכים זה לזה היא מעוין.
* מקבילית שבה אלכסון חוצה את הזווית היא מעוין.
* מקבילית עם זוג צלעות סמוכות שוות היא מעוין.
* מרובע שכל צלעותיו שוות הוא מעוין.

==ריצוף המישור==
באמצעות מעוינים זהים ניתן ליצור ריצוף של המישור בשלוש דרכים:
{| class=wikitable
!colspan=2|ריצוף ששקול טופולוגית לריצוף ריבועי
!ריצוף במעוינים שזוויותיהם60 ו-120 מעלות
|-
242px
}

==תכונות דואליות==
המצולע הדואלי של המעוין הוא המלבן:
* במעוין כל הצלעות שוות ובמלבן כל הזוויות שוות.
* במעוין זוויות נגדיות שוות ובמלבן צלעות נגדיות שוות.
* למעוין יש מעגל חסום ולמלבן יש מעגל חוסם.
* למעוין יש ציר סימטריה דרך כל זוג זוויות נגדיות, ולמלבן יש ציר סימטריה דרך כל זוג צלעות נגדיות.
* האלכסונים של מעוין נפגשים בזוויות שוות, ואלכסונים של מלבן נחתכים באורכים שווים.
* חיבור אמצעי הצלעות של מעוין יוצר מלבן, וחיבור אמצעי הצלעות של מלבן יוצר מעוין.

== ראו גם ==
* ארגייל - דוגמת סריגה פופולרית של תבנית מעוינים

==קישורים חיצוניים==

* 

==הערות שוליים==

קטגוריה:מרובעים
קטגוריה:צורות גאומטריות סימטריות