מונואיד חופשי

מונואיד חופשי הוא מבנה מתמטי, מהסוג מונואיד, המקיים את התכונה המאפיינת אובייקטים חופשיים.

==הגדרה==
קיימות מספר הגדרות שונות למונואיד חופשי.

מונואיד חופשי <math>(F,\cdot, 1_F, S)</math> הוא רביעייה סדורה של קבוצה <math>F</math>, פעולה <math>\cdot:F\times F\rightarrow F</math>, איבר <math>1_F \in F</math>, וקבוצה נוספת <math>S\subset F</math> כך ש <math>(F,\cdot, 1_F)</math> מונואיד ומתקיים:

ההגדרות הבאות שקולות:

# לכל <math>(M,*, 1_M)</math>מונואיד, ולכל <math>f:S\rightarrow M</math> פונקציה, קיים הומומורפיזם יחיד <math>\tilde{f}:F\rightarrow M</math> כך שמתקיים <math>\tilde{f} \circ i = f</math> כאשר <math>i</math> העתקת ההכלה (כלומר <math>i:S \rightarrow F, \forall a \in S : i(a) = a</math>). ניתן לראות הגדרה זו כ"חופש" של הקבוצה <math>S</math>. כל ההומומורפיזמים של המונואיד <math>F</math> נקבעים על ידי קבוצה זו, כלומר היא מהווה את כל ה"בשר" של המונואיד, ובנוסף כל "בחירה" של אברי <math>S</math> "לאן ללכת" מייצרת הומומורפיזם, מה שניתן לראות כ"חופש" של אברי <math>S</math>.
#<math>S</math> יוצרת את <math>F</math>, וגם לכל מספר טבעי <math>n>0</math> ולכל <math>\left \{ s_i \right \}_{i=1}^n \subset S</math> מתקיים: <math>s_1 \cdot \ldots \cdot s_n = \prod_{i=1}^n s_i \neq 1_F</math>. ניתן להבין תנאי זה כחוסר ביחסים בין איברי הקבוצה <math>S</math>. אם הייתה קיימת מכפלה כזו השווה ל<math>1_F</math> יכולנו להבין מכפלה כזו כיחס שאברי הקבוצה מקיימים.

==דוגמאות==
===המספרים הטבעיים <math>\mathbb \N</math>===
הדוגמה הפשוטה ביותר למונואיד חופשי היא המספרים הטבעיים עם פעולת החיבור הרגילה, האיבר <math>0</math> המהווה איבר נטרלי (בערך זה קבוצת המספרים בטבעיים כוללת את המספר <math>0</math>), ו<math>\left \{ 1 \right \}</math> מהווה את <math>S</math>.

כלומר הקבוצה <math>F</math> מכילה מספרים כמו <math>0,1, 2, 3, 45, 100,6</math> וכו', הפעולה חיבור פועלת באופן הבא: <math>1+1=2, 20+5=25</math> וכו'. האיבר 0 פועל באופן נטרלי: <math>0+1=1, 4+0=4,84+0=84</math> וכו'. וניתן לוודא גם את הגדרה 1 וגם את הגדרה 2.

===כוכב קלין===

כוכב קלין של קבוצה כלשהי של תווים <math>A</math> מסומן ב-<math>A^*</math> ומהווה למעשה מונואיד חופשי ביחס לשרשור המהווה כפל, המילה הריקה המהווה 1, ו-<math>A</math> המהווה את הקבוצה <math>S</math>. לדוגמה אם <math>A = \left \{ a,b,c \right \}</math> אז <math>A^*</math> מכיל איברים כגון <math>a, abab, aaabbcba</math> וכו'. הפעולה שרשור פועלת לדוגמה באופן הבא: <math>ab*ca=abca</math>.

==תתי-מונואידים של המונואיד החופשי==
=== הגדרת תת-מונואיד ===
יהי <math>(M,*, 1_M)</math> מונואיד. אומרים כי <math>L</math> תת-מונואיד של <math>(M,*, 1_M)</math> אם ורק אם מתקיימות הטענות הבאות:

# <math>L\subseteq M</math>.
# אם <math>a,b\in L</math> אזי <math>a*b\in L</math>.
# <math>1_M\in L</math>.

=== חיתוך של תתי-מונואידים ===
משפט: יהי <math>(F,\cdot, 1_F, S)</math> מונואיד חופשי. תהי <math>\left \{ L_\alpha \right \}_{\alpha \in I}</math> קבוצה של תתי-מונואידים של <math>(F,\cdot, 1_F, S)</math> כך שלכל <math>\alpha \in I</math> מתקיים כי <math>L_\alpha</math> מונואיד חופשי. אזי מתקיים <math>\bigcap_{\alpha \in I} L_\alpha</math> מונואיד חופשי.

==ראו גם==
* חבורה חופשית
* מונואיד (מבנה אלגברי)

==קישורים חיצוניים==

* [http://ehess.modelisationsavoirs.fr/atiam/biblio/Lothaire83-chap1.pdf]

==הערות שוליים==

קטגוריה:חבורות למחצה
קטגוריה:שפות פורמליות
קטגוריה:אובייקטים חופשיים