מטוטלות מתמטיות צמודות

מערכת מטוטלות מתמטיות צמודות, או "מטוטלת בעלת מספר מתנדים צמודים" היא מערכת מכנית בה ישנם מספר מטוטלות שקשורות אחת לקצה השנייה. הטיפול במשוואות התנועה שלהן מתנהל בעזרת משוואות אוילר-לגראנז', וקירובי זוויות קטנות. 

עבור מטוטלת מתמטית פשוטה, יש למערכת תדירות עצמית (eigenvalue) לפיה המערכת מתנודדת. במקרה זה, עבור N מטוטלות יהיו למערכת N תדירויות עצמיות לפיהם תנוע המערכת. ניתן למצוא את תדירויות אלו באמצעות מעקב אחר מיקום המטוטלות כפונקציה של הזמן, והתמרת הפורייה של מידע זה תיתן את התדירויות העצמיות של המערכת. 

==ניתוח מתמטי עבור שני מתנדים צמודים==
שמאל
כמעט כמו כל הבעיות בפיזיקה, לבעיה זו ישנן הרבה דרכים להגיע לאותו פתרון. מכיוון שקשה לעסוק במשוואות כוחות ומומנטים למספר רב של גופים, הניתוח הפשוט יותר יעשה באמצעות משוואות אוילר לגראנז'. באמצעות משוואות אלו, משתמשים בשיקולי אנרגיה בלבד ובכך המתמטיקה נעשית פשוטה יותר. 

נחשב תחילה את המיקום של כל גוף כפונקציה של הזמן, בכל ציר (נתייחס לזוויות כפונקציות שתלויות בזמן נגדיר Vn,x - המהירות בציר X, של מטוטלת מספר N (וכמו כן עבור ציר Y) :

<math>\ X_{1(t)} = R_1 \sin \phi, Y_{1(t)} =R_1 \cos \phi, </math> 
<math>\ \rightarrow \dot X_{1(t)} = R_1 \dot \phi \cos \phi, Y_{1(t)} = -R_1 \dot \phi \sin \phi, </math> 

<math>\ X_{2(t)} = R_1 \sin \phi + R_2 \sin \psi, Y_{2(t)} =R_1 \cos \phi+ R_2 \cos \psi</math> 
<math>\ \rightarrow \dot X_{2(t)} = R_1 \dot \phi \cos \phi + R_2 \dot \psi \cos \psi, \dot Y_{1(t)} = -R_1 \dot \phi \sin \phi -R_2 \dot \psi \sin \psi </math> 

על מנת לחשב את משוואות התנועה עבור מטוטלת בעלת שני גופים, נכתוב את הלגראנז'יאן של המערכת. לפי משוואות אלו: 

<math> \ T = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 </math> 

כאשר: T - האנרגיה הקינטית האצורה במערכת. ממשפט פיתגורס ידוע כי: 
<math> \ v_1^2 = v_{1,x}^2 + v_{1,y}^2</math> מכאן:

<math> \ T = \frac{1}{2} [m_1 (v_{1,x}^2 + v_{1,y}^2) + m_2(v_{2,x}^2 + v_{2,y}^2) = m_1 R_1^2 \dot \phi ^2 + m_2 R_1^2 \dot \phi ^2 + m_2 R_2^2 \dot \psi ^2 + R_1R_2\dot \phi \dot \psi \cos (\phi - \psi)</math>

U, אנרגיית הגובה האצורה במערכת היא:
<math> \ U = -g( R_1 \cos\phi (m_1+m_2)+ m_2 R_2 \cos \psi ) </math>

פונקציית הלגראנז' L של המערכת היא:
<math> \ L = T - U </math>;
<math> \ L = \frac{1}{2} [m_1 R_1^2 \dot \phi^2 + m_2 R_1^2 \dot \phi^2 + m_2 R_2^2 \psi^2 + 2m_2 R_1 R_2 \dot \psi \dot \phi \cos(\phi-\psi)] +g(R_1 \cos \phi (m_1+m_2)+ m_2 R_2 \cos \psi)</math>
נחשב עתה את משוואת אוילר-לגראנז' לפי הזווית <math>\ \phi</math> :
<math>\ \frac{d}{dt} \frac {\partial L}{\partial \dot \phi} = \frac {\partial L}{\partial \phi}</math> לאחר חישוב הנגזרות החלקיות בכל אגף מתקבלת המשוואה:
<math> \ (I): m_1 R_1^2 \ddot \phi + m_2 R_2^2 \ddot \phi + m_2 R_1 R_2 \ddot \psi \cos (\phi-\psi)- m_2 R_1 R_2 \dot \psi \sin(\phi-\psi)(\dot \phi - \dot \psi) </math>
<math> \ = -m_2 R_1 R_2 \dot \phi \dot \psi \sin(\phi-\psi)- gR_1 \sin \phi (m_1+m_2 )</math>

באותה צורה, מחישוב משוואת אוילר-לגראנז' לפי הזווית <math>\ \psi</math> מתקבלת המשוואה:

<math>\ (II): m_2 R_2^2 \ddot \psi + m_2 R_1 R_2 \ddot \phi \cos(\phi-\psi)- m_2 R_1 R_2 \dot \phi \sin(\phi-\psi)(\dot \phi - \dot \psi)</math> 
<math> \ = m_2 R_1 R_2 \dot \phi \dot \psi \sin(\phi-\psi)- g m_2 R_2 \sin \psi</math>

לאחר קירוב לזווית קטנות וארגון המשוואות, מקבלים מ-(I):

<math>\ (2,1): R_1 \ddot \phi + \frac{m_2}{m_1 + m_2} R_2 \ddot \psi = -g\psi</math>

הערה: משמעות הסימונים למשוואות (n,k) הוא: המשוואה ה-k עבור n מתנדים צמודים.
מ-(II) מקבלים:

<math>\ (2,2): R_1 \ddot \phi + R_2 \ddot \psi = -g\psi</math>

==ניתוח מתמטי עבור שלושה מתנדים צמודים==
שמאל

מחישוב משוואות אוילר לגראנז' בצורה זהה לזו שפורטה לעיל, קירוב לזוויות קטנות, וארגון המשוואות מתקבלות המשוואה הבאות:

<math>\ (3,1): R_1 \ddot \phi + \frac {m_2+ m_3}{m_1+m_2+m_3} R_2 \ddot \psi+\frac {m_3}{m_1+m_2+m_3} R_3 \ddot \theta = -g\phi</math>

<math>\ (3,2): R_1 \ddot \phi+ R_2 \ddot \psi + \frac {m_3}{m_2+m_3} R_3 \ddot \theta = -g\psi</math>

<math>\ (3,3): R_1 \ddot \phi + R_2 \ddot \psi + R_3 \ddot \theta = -g\theta</math>

==הכללה ל-N מתנדים צמודים==
בעזרת שש המשוואות שפותחו לעיל, ננסח עתה נוסחה כללית עבור מספר (k) של מתנד במטוטלת בעלת N מתנדים:
<math> \ (N,k) \sum_{i=1}^K R_i \ddot \phi_i + \sum_{i=k+1}^N \ddot \phi_i R_i \frac {\sum_{j=i}^N m_i}{\sum_{j = k}^N m_i} = -g\phi_k </math>

כאשר: <math>\ \phi _i</math> היא הזווית ה-i מלמעלה

הערה: בנוסחה לעיל, כאשר משתמשים במשוואה עבור k=n יש להשמיט בחישוב את האיבר האחרון (המשוואה אמורה להתחיל מ k+1 ולעלות עד N דבר אשר אינו אפשרי במקרה זה).

פתרון התנועה למערכת בעלת יותר משני מתנדים קשה מאוד אנליטית. ניתן לקבל הדמיה של התנועה באמצעים נומריים.

קטגוריה:מכניקה