מכפלת ואליס

במתמטיקה, מכפלת ואליס לחישוב פאי, הנקראת על שם ג'ון ואליס שגילה אותה בשנת 1655, היא הנוסחה הבאה:
:<math> 
\prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1}\right) = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
</math>
בשנת 2015 הפיזיקאי קארל ריצ'רד האיגן (Carl Richard Hagen) הוכיח כי יש קשר בין מכפלת ואליס לחישוב מודל בוהר של אטום חמצן.

==הוכחה==
===הוכחה על בסיס מכפלת אוילר לפונקציית סינוס===
:<math>\frac{\sin x}{x} = \prod_{n=1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)</math>

נציב x =π/2:
:<math>\begin{align}
 \Rightarrow\frac{2}{\pi} &= \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{4n^2}\right) \\
 \Rightarrow\frac{\pi}{2} &= \prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{4n^2}{4n^2 - 1}\right) \\
 &= \prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n}{2n+1}\right) = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots
\end{align}
</math>
===הוכחה על בסיס אינטגרציה===
נגדיר:
:<math>I(n) = \int_0^\pi \sin^nxdx</math>
נבצע אינטגרציה בחלקים:
:<math>\begin{align}
 u &= \sin^{n-1}x \\
 \Rightarrow du &= (n-1) \sin^{n-2}x \cos x dx \\
 dv &= \sin x dx \\
 \Rightarrow v &= -\cos x
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
 \Rightarrow I(n) &= \int_0^\pi \sin^nxdx=\int_0^\pi u dv = uv |_{x=0}^{x=\pi}-\int_0^\pi v du \\
 {} &= -\sin^{n-1}x\cos x |_{x=0}^{x=\pi} - \int_0^\pi - \cos x(n-1) \sin^{n-2}x \cos x dx \\
 {} &= 0 - (n-1) \int_0^\pi -\cos^2x \sin^{n-2}x dx, n > 1 \\
 {} &= (n - 1) \int_0^\pi (1-\sin^2 x) \sin^{n-2}x dx \\
 {} &= (n - 1) \int_0^\pi \sin^{n-2}x dx - (n - 1) \int_0^\pi \sin^{n}x dx \\
 {} &= (n - 1) I(n-2)-(n-1) I(n) \\
 {} &= \frac{n-1}{n} I(n-2) \\
 \Rightarrow \frac{I(n)}{I(n-2)}\\
 &= \frac{n-1}{n} 
 \Rightarrow \frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}\\
 &=\frac{2n+1}{2n}
\end{align}</math>
נשתמש במשוואה פונקציונלית הזו בדרך הבאה:
:<math>\begin{align}
 I(0) &= \int_0^\pi dx = x|_0^\pi = \pi \\
 I(1) &= \int_0^\pi \sin xdx = -\cos x|_0^\pi = (-\cos \pi)-(-\cos 0) = -(-1)-(-1) = 2 \\
 I(2n) &= \int_0^\pi \sin^{2n}xdx = \frac{2n-1}{2n}I(2n-2) = \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2}I(2n-4) \\
\end{align}</math>
נחזור על התהליך ונראה כי:
:<math>=\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \frac{2n-5}{2n-4} \cdot \cdots \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} I(0)=\pi \prod_{k=1}^n \frac{2k-1}{2k}</math>

:<math>I(2n+1)=\int_0^\pi \sin^{2n+1}xdx=\frac{2n}{2n+1}I(2n-1)=\frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n-2}{2n-1}I(2n-3)</math>
נחזור על התהליך ונראה כי:
:<math>=\frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n-2}{2n-1} \cdot \frac{2n-4}{2n-3} \cdot \cdots \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} I(1)=2 \prod_{k=1}^n \frac{2k}{2k+1}</math>

:<math>\sin^{2n+1}x \le \sin^{2n}x \le \sin^{2n-1}x, 0 \le x \le \pi</math>
:<math>\Rightarrow I(2n+1) \le I(2n) \le I(2n-1)</math>
:<math>\Rightarrow 1 \le \frac{I(2n)}{I(2n+1)} \le \frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}=\frac{2n+1}{2n}</math>, (מהתוצאות הנ"ל)
ניתן לראות על פי כלל הסנדוויץ' כי:
:<math>\Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{I(2n)}{I(2n+1)}=1</math>

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{I(2n)}{I(2n+1)}=\frac{\pi}{2} \lim_{n\rightarrow\infty} \prod_{k=1}^n \left(\frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k+1}{2k}\right)=1</math>
:<math>\Rightarrow \frac{\pi}{2}=\prod_{k=1}^\infty \left(\frac{2k}{2k-1} \cdot \frac{2k}{2k+1}\right)=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \cdots</math>

==קישורים חיצוניים==
* 

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:פאי