משפט גליסון-כהנא-ז'לאזקו

באנליזה פונקציולית הוא משפט המאפיין את הפונקציונלים הליניארים הכפליים מעל אלגברת בנך. המשפט נקרא ע"ש המתמטיקאים שהוכיחו אותו גליסון בשנת 1967 באופן בלתי תלוי בקיין וזלזקו שהוכיחו את המשפט ב 1968.

== ניסוח המשפט ==
תהי <math>\mathcal{A}</math>אלברת בנך ונסמן ב <math>G(\mathcal{A})</math>את אוסף האיברים ההפיכים על <math>\mathcal{A}</math>. נסמן ב e את איבר היחידה ב <math>\mathcal{A}</math>. יהי F פונקציונל ליניארי (רציף) כפלי על <math>\mathcal{A}</math>. בבירור צריך להתקיים ש <math>F(e) = 1</math> וכן ש <math>F(x) \neq 0</math> לכל x ב <math>G(\mathcal{A})</math>. לפי המשפט זהו גם תנאי מספיק לכפליות ולרציפות F כלומר:

כל פונקציונל על <math>\mathcal{A}</math> המקיים <math> \phi(e) = 1, \phi(x) \neq 0 \forall x \in G(\mathcal{A})</math> הוא בהכרח רציף וכפלי.

== הוכחה ==
לצורך ההוכחה נצטרך את הטענה הבסיסית הבאה לגבי אלגבראות בנך:

עובדה: יהי <math>x \in \mathcal{A}</math>כך ש <math>\|x\| < 1</math>אז <math>x-e</math> הפיך (רעיון ההוכחה: לא קשה להראות שסדרת הסכומים החלקיים של <math>\sum_{k}x^k</math> היא סדרת קושי ומשלמות מתכנסת. הגבול הוא ההופכי).

למה: תהי f פונקציה שלמה המקיימת <math>f(0) = 1,f'(0)=0,0<|f(\lambda)| \leq e^{|\lambda|}</math> אז <math>f \equiv 1</math>.

הוכחת הלמה: כיוון ש f לא מתאפסת אז יש לה לוגריתם אנליטי g. מהנתונים נקבל ש <math>g(0) = g'(0) = 0</math> וכן <math>\real(g(\lambda)) \leq |\lambda|</math>. יהי r>0. נקבל מהאי שוויון הקודם שלכל <math>|\lambda|\leq r</math>, <math>|g(\lambda)| \leq |2r - g(\lambda)|</math>. נגדיר את הפונקציה הבאה:

<math>h_{r}(\lambda) := \tfrac{r^2g(\lambda)}{\lambda^2(2r-g(\lambda))}</math>. אזי h אנליטית במעגל ברדיוס <math>2r</math>. כמו כן אם <math>|\lambda|= r</math>אז נקבל ש<math>|h_r(\lambda)| \leq 1</math>. כעת מעקרון המקסימום, <math>|h_r(\lambda)| \leq 1</math> לכל <math>|\lambda|\leq r</math>. נשאיף <math>r \to \infty</math>ונקבל שבהכרח g=0.

הוכחת המשפט:

יהי <math>N = \ker(\phi)</math>. יהו <math>x,y \in \mathcal{A}</math>ההנחה ש <math>\phi(e) = 1</math>גוררת שאפשר לרשום <math>x = a+\phi(x)e,y=b+\phi(y)e</math>כאשר <math>a,b \in N</math>. <math>\phi(xy) = \phi(ab) + \phi(x)\phi(y)</math>ולכן על מנת להראות את הכפליות יש להוכיח ש <math>a,b \in N \Rightarrow ab \in N</math>.נניח תחילה שהוכחנו מקרה פרטי, כלומר <math>a \in N \Rightarrow a^2 \in N</math>. נקבל ש <math>\phi(x^2) = \phi(x)^2</math>. נציב x+y במקום x ונקבל ש <math>\phi(xy+yx) = 2\phi(x)\phi(y)</math>. לכן <math>x \in N \Rightarrow xy+yx \in N</math>. נתבונן בזהות הבאה: <math>(xy-yx)^2 + (xy+yx)^2 = 2(x(yxy)+(yxy)x)</math>.

נניח ש <math>x \in N</math>. מהטענה הקודמת ומההנחה ש <math>a \in N \Rightarrow a^2 \in N</math> נקבל שצד ימין וכן <math>(xy+yx)^2</math>ב N. לכן <math>(xy-yx)^2</math>ב N וכיוון ש <math>\phi(x^2) = \phi(x)^2</math>נקבל ש <math>xy-yx</math>ב N. לכן xy,yx ב N ונקבל את הכפליות.

נוכיח כעת ש <math>\phi</math>רציף. מההנחה אין ב N איברים הפיכים ולכן מהעובדה למעלה, <math>\|x-e\| \geq 1 \forall x \in N</math>. לכן לכל <math>\lambda \in \Complex,x \in N</math> <math>\|x-\lambda e\| \geq |\lambda| = |\phi(x-\lambda e)|</math> לכן נסיק ש <math>\phi</math>רציף ומנורמה 1.

נשאר להוכיח ש <math>a \in N \Rightarrow a^2 \in N</math>. נקבע <math>a \in N </math>. ללא הגבלת הכלליות, <math>\|a\| = 1</math>. נגדיר <math>f(\lambda) := \sum_{k=0}^\infty \tfrac{\phi(a^n)\lambda^n}{n!}</math>. כיוון ש <math>|\phi(a^n)| \leq \|a^n\| \leq \|a\| ^n =1</math>נקבל ש f שלמה ומקיימת <math>|f(\lambda)| \leq e^{|\lambda|}</math> בבירור <math>f(0) = 1,f'(0)=\phi(a)=0</math>. נראה ש f לא מתאפסת: הסדרה <math>E(\lambda) := \sum_{k=0}^\infty \tfrac{\lambda^n}{n!}a^n</math> מתכנסת בנורמה ומרציפות <math>\phi</math> נקבל ש <math>f(\lambda) = \phi(E(\lambda))</math> הפונקציה E מקיימת משוואה פונקציונלית זהה לאקספוננט: <math>E(\lambda_1+\lambda_2)=E(\lambda_1)E(\lambda_2)</math>(אותה הוכחה). בפרט <math>e=E(0)=E(\lambda)E(-\lambda)</math>. לכן

לכל <math>\lambda \in \Complex</math>, <math>E(\lambda)</math>הפיך ולכן מהנתון f לא מתאפסת. מהלמה נקבל ש <math>f \equiv 1</math>ובפרט <math>\phi(a^2) = f(0)=0</math>וקיבלנו את הדרוש.

== ראו גם ==
* אלגברת בנך

== לקריאה נוספת ==
* רודין. וולטר, אנליזה פונקציונלית, 1973, Tata MacGraw-Hill.

== קישורים חיצוניים ==
* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Gleason-Kahane-Żelazko_theorem משפט גליסון-קיין-זלזקו], באתר האנציקלופדיה למתמטיקה.

קטגוריה:אנליזה פונקציונלית
קטגוריה:משפטים באנליזה פונקציונלית