אי-שוויון אדמר

במתמטיקה, אי-שוויון אדמר (ידוע גם כמשפט הדטרמיננטות של אדמר<ref></ref>) פורסם לראשונה על ידי ז'אק אדמר ב-1893.<ref name="MandS">Maz'ya & Shaposhnikova</ref> לפי האי-שוויון, הערך המוחלט של דטרמיננטה של מטריצה שערכיה מספרים מרוכבים קטן או שווה למכפלת האורכים של ווקטורי עמודותיה (שורותיה). כאשר למטריצה יש רק ערכים ממשיים, נפח המקבילון במרחב האוקלידי ה-<math>n</math>-ממדי הנפרש על ידי עמודות המטריצה (באמצעות צירופים ליניאריים עם מקדמים לא שליליים קטנים או שווים ל-1) קטן או שווה למכפלת אורכי עמודותיה.

בניסוח פורמלי, אי-שוויון אדמר קובע שאם <math>N</math> היא מטריצה בעלת עמודות <math>v_i</math>, <math>1\leq i\leq n</math>, אז

: <math>,\left| \det(N) \right| \le \prod_{i=1}^n \|v_i\|</math>

ושוויון ייתכן אם ורק אם העמודות של מטריצה <math>N</math> אורתוגונליות.

== תוצאות ==
אם הערכים המוחלטים של האיברים של מטריצה <math>N</math> חסומים מלעיל על ידי <math>B</math>, כלומר <math>\left|N_{i,j} \right|\leq B</math> לכל <math>1\leq i,j \leq n</math>, אז מתקיים,

: <math>.\left| \det(N) \right| \le B^n n^{n/2}</math>

בפרט, אם הערכים של <math>N</math> הם רק <math>1</math> או <math>-1</math> אז<ref>Garling</ref>

: <math>.\left| \det(N) \right| \le n^{n/2}</math>

בקומבינטוריקה, מטריצה <math>N</math> שעבורה מתקיים שוויון, כלומר, שבנוסף לדרישות הקודמות העמודות של <math>N</math> הן אורתוגונליות, נקראת מטריצת אדמר.

באופן כללי יותר, נניח ש-<math>N</math> היא מטריצה מרוכבת מסדר <math>n</math>, שהערכים המוחלטים של איבריה שלה חסומים מלעיל על ידי <math>1</math>, כלומר <math>\left|N_{i,j} \right|\leq 1</math> לכל <math>1\leq i,j \leq n</math>, מאי-שוויון אדמר נובע,

: <math>.|\operatorname{det}(N)| \leq n^{n/2}</math>

עבור מטריצה ממשית <math>N</math> מתקיים שוויון אם ורק אם <math>N</math> היא מטריצת אדמר.

אם מטריצה <math>P</math> חיובית למחצה קיימת <math>N</math> כך ש - <math>P=N^*N</math> כאשר <math>N^*</math> היא המטריצה הצמודה של <math>N</math>. לכן,

: <math>.\det(P)=\det(N)^2 \le \prod_{i=1}^n \|v_i\|^2 = \prod_{i=1}^n p_{ii}</math>

כלומר, הדטרמיננטה של מטריצה חיובית למחצה קטן או שווה למכפלת ערכי האלכסון שלה. גם אי-שוויון זה לעיתים מכונה אי-שוויון אדמר.<ref></ref>

== הוכחה ==
אם המטריצה <math>N</math> היא מטריצה לא הפיכה ולכן הדטרמיננטה שלה היא <math>0</math> והתוצאה היא מיידית. אם המטריצה <math>N</math> הפיכה ולכן העמודות של <math>N</math> אינן תלויות ליניארית. נסמן ב-<math>M</math> את המטריצה המתקבלת על ידי חלוקת כל עמודה של <math>N</math> באורך שלה. נסמן ב-<math>e_i</math>, <math>1\leq i\leq n</math>, את העמודות של <math>M</math>. ידוע לנו כי הן ווקטורי יחידה ואורכן 1. נוכיח תחילה שהמטריצה <math>M</math> מקיימת את טענת המשפט, כלומר, <math>.\left| \det M \right| \leq 1</math>

נסמן <math> P=M^*M</math> כאשר<math> M^*</math> היא המטריצה הצמודה של <math>M</math>, ונניח ש-<math> \lambda_1,...,\lambda_n</math> הם הערכים העצמיים של <math> P</math>. מכיוון שאורך כל עמודה של <math>M</math> הוא <math> 1</math>, כל איבר באלכסון הראשי של <math> P</math> הוא <math> 1</math> ולכן העקבה של <math> P</math> היא <math> n</math>. ניישם את אי-שוויון הממוצעים ונקבל,

: <math>,\det P = \prod_{i=1}^n \lambda_i \le \bigg({1 \over n}\sum_{i=1}^n \lambda_i\bigg)^n = \left({1 \over n} \operatorname{tr} P \right)^n = 1^n = 1</math>

מכאן נובע מקרה פרטי של המשפט,

: <math>.\left| \det M \right| = \sqrt{\det P} \le 1</math>
: התוצאה הכללית נובעת מהמקרה הפרטי:
:: <math>.\left| \det N \right| = \bigg (\prod_{i=1}^n \|v_i\| \bigg) \left|\det M\right| \leq \prod_{i=1}^n \|v_i\|</math>
:: אם יש שוויון אז כל הערכים העצמיים של <math> P</math> שווים וסכומם <math> n</math> ולכן שווים ל-<math> 1</math>. המטריצה <math> P</math> היא צמודה לעצמה ולכן ניתנת ללכסון, ומכאן שהיא מטריצת היחידה - במילים אחרות העמודות של <math>M</math> הן קבוצה אורתונורמלית והעמודות של <math>N</math> הן קבוצה אורתוגונלית.<ref>Proof follows, with minor modifications, the second proof given in Maz'ya & Shaposhnikova.</ref> הוכחות רבות אחרות ניתן למצוא בספרות.

==קישורים חיצוניים==
* 

==הערות שוליים==

קטגוריה:דטרמיננטות
קטגוריה:אי-שוויונות