קו-מכפלה (תורת הקטגוריות)

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, קו-מכפלה של אובייקטים בקטגוריה היא הכללה של בניות שונות במתמטיקה, כגון איחוד זר של קבוצות, מכפלה חופשית של חבורות, סכום ישר של מרחבים וקטוריים וכו'. במהותה, קו-מכפלה של זוג אובייקטים היא הקונספט הדואלי למכפלה (תורת הקטגוריות).

==הגדרה==
נניח כי C היא קטגוריה וכי <math>\,\{X_j|j \in I\}</math> היא משפחה של אובייקטים ב-C. הקו-מכפלה של הקבוצה <math>\,\{X_i\}</math> היא אובייקט X ביחד עם אוסף מורפיזמים <math>\,i_j: X_j \to X</math> (הנקראות השיכונים הקנוניים, שהם לעיתים קרובות, אם כי לא תמיד מונומורפיזמים) אשר מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל אובייקט Y ואוסף מורפיזמים <math>\,f_j :X_j \to Y</math> קיים מורפיזם יחיד <math>\,f: X \to Y</math> כך שלכל <math>\,j \in I</math> מתקיים <math>f_j = f \circ i_j</math>. במילים אחרות, לכל j הדיאגרמה הבאה היא דיאגרמה קומוטטיבית:
התכונה האוניברסלית של קו-מכפלה
במילים אחרות, X הוא אובייקט התחלתי בקטגוריה <math>{}_{\{X_j\}}C = \left\{ (Z, \{ g_j : X_j \to Z \}) \ | \ \forall i : X , X_j \in \mathrm{Ob}(C) \ , \ g_j \in \mathrm{Mor}(Z,X_j) \right\}</math> עם המורפיזמים המתאימים (כך שהדיאגרמה המתאימה קומוטטיבית). 

אם משפחת האובייקטים מכילה רק שני איברים, נהוג לסמן את המכפלה ב<math>\,X_1 \coprod X_2</math>, ואז התכונה האוניברסלית מבוטאת על ידי הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה:
התכונה האוניברסלית של מכפלת זוג אובייקטים
המורפיזם היחיד f ההופך את הדיאגרמה לקומוטטיבית מסומן לעיתים ב-f<sub>1</sub> ∐ f<sub>2</sub> או f<sub>1</sub> ⊕ f<sub>2</sub> או f<sub>1</sub> + f<sub>2</sub> או [f<sub>1</sub>, f<sub>2</sub>].

באופן כללי, הקו-מכפלה של <math>\,\{X_j|j \in I\}</math> מסומנת
<center><math>X = \coprod_{j \in I} X_j</math></center> 
ולעיתים 
<center><math>X = \bigoplus_{j \in I} X_j</math>.</center>

==דוגמאות==

* בקטגוריית הקבוצות, איחוד זר של קבוצות היא קו-מכפלה, כאשר השיכונים <math>i_A</math> ו-<math>i_B</math> הם פשוט ההכלות (כגון <math>A \subset A \uplus B</math>). בפרט, <math>A \coprod B = A \uplus B</math>, וזו הסיבה מדוע משתמשים לעיתים בסימן ∐ לציין איחוד זר.
* אפשר לבנות קו-מכפלה גם של קבוצות לא זרות באופן הבאה: אם <math>A \cap B \ne \emptyset</math> לוקחים קבוצה <math>B'</math> שוות עוצמה ל-B שזרה ל-A ואז בונים את האיחוד <math>A \uplus B'</math> עם שיכון <math>i_{B'} \circ f</math> כאשר <math>f : B \to B'</math> היא פונקציית שקילות של קבוצות.
* קו-מכפלה בקטגוריה של חבורות אבליות היא סכום ישר של החבורות, ומסומנת <math>G \oplus H</math>.
* קו-מכפלה בקטגוריה של מרחבים וקטוריים היא סכום ישר של המרחבים, ומסומנת <math> V = \bigoplus_{j \in I} V_j</math> כאשר את איבריה ניתן להציג כקבוצת כל הסכומים הסופים של איברים מ-V, כלומר: שכמעט לכל <math>j \in I</math> האיבר שבא מ-<math>V_j</math> שווה לאפס. למשל: <math>v_1 + v_2 \in \bigoplus_{n=1}^{\infty} V_n</math> אך <math>0 + 0 + v_3 + v_4 + v_5 + ... = \sum_{n=3}^{\infty} v_j \notin \bigoplus_{n=1}^{\infty} V_n </math>.
* בקטגוריה של חוגים קומוטטיביים עם יחידה, המכפלה הטנזורית של A ו-B הםומנת ב <math>A \otimes B</math> היא קו-מכפלה, ביחד עם השיכונים הקנוניים <math>a \mapsto a \otimes 1 \in A \otimes B</math> ו-<math>b \mapsto 1 \otimes b \in A \otimes B</math>.

==קיום ויחידות==
לא בכל קטגוריה C קיימת לכל משפחה <math>\,\{X_j\}</math> קו-מכפלה. אם קיימת המכפלה אז היא יחידה במובן הבא: אם <math>\, i_j: X_j \to X</math> ו-<math>\,i'_j: X_j \to X'</math> הן זוג מכפלות של המשפחה <math>\,\{X_j\}</math> אז קיים איזומורפיזם יחיד <math>\,f:X \to X'</math> כך ש <math>i_j' = f \circ i_j</math>.

== ראו גם ==

* מכפלה (תורת הקטגוריות)
* מכפלת סיב (תורת הקטגוריות)
* גבול ישר (תורת הקטגוריות)
* פונקטור מיוצג
* אובייקט התחלתי ואובייקט סופי
==קישורים חיצוניים==

* 

קטגוריה:תורת הקטגוריות