משפט הקירוב של ויירשטראס

משפט הקירוב של ויירשטראס הוא תוצאה יסודית בתורת הקירובים ובאנליזה פונקציונלית, הקובעת שכל פונקציה רציפה בקטע סגור וחסום ניתנת לקירוב במידה-שווה על ידי פולינומים. במילים אחרות, המשפט קובע שתת-מרחב הפולינומים מהווה קבוצה צפופה במרחב הפונקציות הרציפות על קטע סגור וחסום.

משפט סטון-ויירשטראס מהווה הכללה חשובה של משפט זה.

==המשפט==

:משפט הקירוב: לכל פונקציה רציפה מהצורה <math> f:[a,b] \to \mathbb{R} </math> עבור קטע ממשי <math> [a,b] </math> סגור וחסום, קיימת סדרת פולינומים על <math> [a,b] </math> המתכנסת אליה במידה-שווה.

פרספקטיבה אחרת בה ניתן לגשת למשפט זה, היא התייחסות למרחב הפולינומים כתת-מרחב של מרחב הפונקציות הרציפות.
באופן כללי, בהינתן קטע ממשי סגור וחסום <math> [a,b] </math> כלשהו, מסמנים ב-<math> C([a,b]) </math> את מרחב הפונקציות הרציפות <math>\ f:[a,b] \to \mathbb{R} </math>, שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת "נורמת <math>L</math>-אינסוף": <math> \| f \|_\infty = \sup_{x \in [a,b]}|f(x)| </math>.
לא קשה לראות שסדרת פונקציות מתכנסת תחת נורמת <math>L</math>-אינסוף אם ורק אם היא מתכנסת במדה שווה. לפיכך הנוסח הבא שקול לחלוטין למשפט הקירוב בנוסח שהזכרנו:
:נוסח שקול: מרחב הפולינומים על קטע ממשי <math> [a,b] </math> צפוף במרחב <math> C([a,b]) </math> תחת נורמת <math>L</math>-אינסוף.

:מסקנה: המרחב <math>C([a,b])</math> הוא ספרבילי, כלומר יש בו קבוצה צפופה שהיא בת-מניה.
:הוכחה: קל לראות שמרחב הפולינומים במקדמים רציונליים הוא בן-מניה, וכן גם קל לראות שמרחב הפולינומים במקדמים רציונליים צפוף במרחב הפולינומים במקדמים ממשיים. צפיפות היא תכונה טרנזיטיבית, ולכן מרחב הפולינומים במקדמים רציונליים צפוף במרחב <math>C([a,b])</math>.

==הוכחה==

קיימות הוכחות שונות למשפט זה. כאן לא נביא את הוכחתו המקורית של ויירשטראס, אלא הוכחה נפוצה של המתמטיקאי הרוסי סרגיי ברנשטיין שבה עושים שימוש בפולינומי ברנשטיין. פולינומים אלו הם תת-קבוצה של אוסף הפולינומים, ובמסגרת הוכחה זו נראה שאפילו תת-קבוצה מסוימת זו צפופה במרחב <math> C([a,b]) </math>.

פולינומי בסיס של ברנשטיין הם פולינומים מהצורה <math> p_k(x,n) = {n \choose k}x^k(1-x)^{n-k} </math>.
קל לראות מהבינום של ניוטון שמתקיים השוויון:
<center>
<math> \sum_{k=0}^n p_k(x,n) = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k(1-x)^{n-k} = (x+(1-x))^n = 1 </math>
</center>

זהות עקרונית נוספת המתקיימת לפולינומים אלה, היא שלכל <math> 0<\delta </math> מתקיים אי השוויון:
<center>
<math> \sum_{|{k \over n}-x| \geq \delta} p_k(x,n) \leq {1 \over n \delta^2} </math>.
</center>

ניגש להוכחת המשפט. נראה שבהינתן פונקציה רציפה <math> f:[0,1] \to \mathbb{R} </math>, לכל <math> 0 < \epsilon </math> קיים פולינום <math> g </math> מתאים כך שמתקיים <math> \sup_{x \in [0,1]}|f(x)-g(x)| < \epsilon </math>.

אם כך, בהינתן פונקציה <math> f </math> כנ"ל נגדיר לכל n טבעי את הפולינום <math> B_n(f(x)) = \sum_{k=0}^n f\left( \frac{k}{n} \right)p_k(x,n) </math>. נראה שלכל <math> 0 < \epsilon </math>, לכל n מספיק גדול מתקיים כי <math> \sup_{x \in [0,1]}|f(x)-B_n(x)| < \epsilon </math>.

יהי <math> 0<\epsilon </math>. נזכור שהפונקציה <math> f </math> רציפה בקטע סגור וחסום ולכן היא חסומה בו על ידי <math> M \in \mathbb{R} </math> כלשהו. מאותה עובדה נובע גם כי היא רציפה במידה שווה בקטע, לכן לכל <math> 0 < \epsilon </math>, בפרט עבור <math> { \epsilon \over 2} </math> הנתון, קיים <math> 0 < \delta </math> מתאים כך שלכל <math> x,y \in [a,b] </math> אם <math> |x-y| < \delta </math> אז <math> |f(x)-f(y)| < { \epsilon \over 2} </math>. נחשב:

<center>
<math> |B_n(f(x)) - f(x)| = |\sum_{k=0}^n f\left( \frac{k}{n} \right)p_k(x,n) - f(x)| = </math>

<math> = |\sum_{k=0}^n f\left( \frac{k}{n} \right)p_k(x,n) - f(x) \cdot \sum_{k=0}^n p_k(x,n)| = </math>

<math> = | \sum_{k=0}^n \left[ f\left( \frac{k}{n} \right) - f(x) \right] \cdot p_k(x,n) | \leq \sum_{k=0}^n \left| f\left( \frac{k}{n} \right) - f(x) \right|p_k(x,n) = </math>

<math> = \sum_{|{k \over n}-x| < \delta} \left| f\left( \frac{k}{n} \right) - f(x) \right|p_k(x,n) + \sum_{|{k \over n}-x| \geq \delta} \left| f\left( \frac{k}{n} \right) - f(x) \right|p_k(x,n) < </math>

<math> < \sum_{|{k \over n}-x| < \delta} { \epsilon \over 2} \cdot p_k(x,n) + 2M \cdot {1 \over n\delta^2} \leq </math>

<math> \leq { \epsilon \over 2} \cdot \sum_{k=0}^n p_k(x,n) + 2M \cdot {1 \over n\delta^2} = { \epsilon \over 2} + 2M \cdot {1 \over n\delta^2} </math>
</center>

נשים לב שהחסם שקיבלנו אינו תלוי במשתנה x, ולכן מדובר בחסם במידה-שווה על <math> [0,1] </math>, שמתקיים לכל n טבעי. אם כך ברור שעבור N מספיק גדול מתקיים:
<center>
<math> |B_N(f(x)) - f(x)| < { \epsilon \over 2} + 2M \cdot {1 \over N\delta^2} < \epsilon </math>
</center>

==קישורים חיצוניים==
* 

==הערות שוליים==

קטגוריה:משפטים באנליזה פונקציונלית