חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג'

חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' הוא משפט בתורת ההסתברות שהוכיחו המתמטיקאים אדווין יואיט ולאונרד סאוואג'. המשפט מתאר מאורעות שהסתברותם היא 0 או 1 בלבד.

באופן לא לגמרי פורמלי, המשפט קובע כי בהינתן סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי-התפלגות, כל מאורע שנקבע על ידי המשתנים המקריים הללו, אך שאינו תלוי באף שינוי סדר של מספר סופי מתוך המשתנים המקריים, הוא בהכרח קורה או בהכרח לא קורה בהסתברות 1.

==נוסח פורמלי==

תהי <math>\mu</math> מידת הסתברות על <math>\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}\right)</math>, כאשר <math>\mathcal{B}</math> היא סיגמא אלגברת בורל.

נדון במרחב המכפלה <math>\left(\mathbb{R}^\mathbb{N}, \mathcal{F}, \mathbb{P}\right)</math>, כאשר <math>\mathcal{F} = \otimes_{i \in \mathbb{N}}\mathcal{B}</math> וכן <math>\mathbb{P} = \otimes_{i \in \mathbb{N}} \mu</math>. נשים לב כי במרחב זה המשתנים המקריים <math>\left\{X_i\right\}_{i \in \mathbb{N}}</math> המוגדרים <math>X_i\left( \left(x_i\right)_{x \in \mathbb{N}} \right) = x_i</math> הם כולם בלתי-תלויים, והם גם שווי-התפלגות, שכן כל אחד מהם בעל ההתפלגות <math>\mu</math>.

נתבונן בחבורה <math>\mathcal{S}</math> של התמורות הסופיות על <math>\mathbb{N}</math>, כלומר התמורות שמשנות רק מספר סופי של איברים. נשים לב כי <math>\mathcal{S}</math> פועלת על <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math>, על ידי כך שכל תמורה סופית <math>\pi \in \mathcal{S}, \pi: \mathbb{N} \to \mathbb{N}</math>, משרה העתקה <math>T_\pi:\mathbb{R}^\mathbb{N} \to \mathbb{R}^\mathbb{N}</math>, על ידי <math>T_\pi\left( \left(x_i\right)_{i \in \mathbb{N}} \right) = \left(x_{\pi(i)}\right)_{i \in \mathbb{N}}</math>. \right) = x_{\pi\left(j\right)}</math>.}}

אזי חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' קובע כי הפעולה היא ארגודית. כלומר, לכל מאורע <math>A \in \mathcal{F}</math>, אם <math>T_{\pi}^{-1}\left(A\right) = A</math> לכל <math>\pi \in \mathcal{S}</math>, אז <math>\mathbb{P}\left(A\right) = 0</math> או <math>\mathbb{P}\left(A\right) = 1</math>.

==הוכחה==

תחילה ניתן להראות כי המשפחה <math>\mathcal{E} = \left\{ E \mid T^{-1}\left(E\right) = E \right\} \subset \mathcal{F}</math> מהווה תת-סיגמא-אלגברה.

אם כך תהי <math>E \in \mathcal{E}</math>. נתבונן בהעתקה המציינת <math>1_E</math>, ונשתמש בעובדה הבאה: קיימת סדרה של העתקות <math>\left(g_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> החסומות על ידי <math>1</math>, כך שלכל <math>n</math> ההעתקה <math>g_n</math> היא מדידה ביחס לסיגמא-אלגברה <math>\mathcal{F}_n = \sigma\left(X_1,X_2,...,X_n\right)</math>, ומתקיים <math>\mathbb{E}\left|1_E - g_n\right| \to 0</math> כאשר <math>n \to \infty</math>.

תהי <math>g_n</math> העתקה כלשהי שהיא <math>\mathcal{F}_n</math>-מדידה. נבחר תמורה <math>\pi \in \mathcal{S}</math> שמקיימת <math>\left\{1,2,...,n \right\} \cap \left\{\pi\left(1\right),\pi\left(2\right),...,\pi\left(n\right) \right\} = \emptyset</math>. יש כזאת, כי ניתן למשל לבחור את התמורה שמחליפה את המספרים <math>1,2,...,n</math> עם המספרים <math>n+1,n+2,...,2n</math>, ואת כל שאר המספרים משאירה במקומם.

תחילה נשים לב כי <math>g_n \circ T_\pi</math> היא העתקה בלתי-תלויה ב-<math>\mathcal{F}_n</math>, ולכן מתקיים <math>\mathbb{E} \left[g_n\right]^2 = \mathbb{E}\left[g_n\right]\cdot\mathbb{E}\left[g_n \circ T_\pi\right] = \mathbb{E}\left[g_n \cdot g_n \circ T_\pi\right]</math>. כמו כן נבחין כי מההנחה לגבי <math>E</math> נובע כי <math>1_E \circ T_\pi = 1_{T^{-1}\left(E\right)} = 1_E</math>, ולכן נובע כי <math>\mathbb{E}\left[1_E\right] = \mathbb{E}\left[1_E^2\right] = \mathbb{E}\left[1_E \cdot 1_E \circ T_\pi \right]</math>.

עוד נשים לב כי מתקיים:

<div class="mw-content-ltr"><math>\left| \mathbb{E}\left[1_E\right] - \mathbb{E}\left[g_n\right]^2 \right| = \left| \mathbb{E}\left[1_E \cdot 1_E \circ T_\pi - g_n \cdot g_n \circ T_\pi \right] \right|</math>

<math>\leq \mathbb{E}\left| \left(1_E - g_n \right) \cdot 1_E \circ T_\pi \right] + \mathbb{E}\left|g_n \cdot \left(1_E \circ T_\pi - g_n \circ T_\pi \right) \right|</math>

<math>\leq \mathbb{E}\left|1_E-g_n\right| + \mathbb{E}\left|1_E \circ T_\pi - g_n \circ T_\pi \right| = 2 \cdot \mathbb{E}\left|1_E-g_n\right| \underset{\longrightarrow0} </math></div>

כעת נוכל להסיק כי:

<div class="mw-content-ltr">,<math>\left|\mathbb{P}\left(E\right)-\mathbb{P}\left(E\right)^{2}\right| = \left|\mathbb{E}\left[1_{E}\right]-\mathbb{E}\left[1_{E}\right]^{2}\right| \leq \left|\mathbb{E}\left[1_{E}\right]-\mathbb{E}\left[g_{n}\right]^{2}\right|+\left|\mathbb{E}\left[1_{E}\right]^{2}-\mathbb{E}\left[g_{n}\right]^{2}\right| </math>
</div>

ממה שהראינו נובע כי שני הנסכמים שואפים לאפס, ולכן בהכרח <math>\mathbb{P}\left(E\right) = \mathbb{P}\left(E\right)^2</math>, כלומר <math>\mathbb{P}\left(E\right) = 0</math> או <math>\mathbb{P}\left(E\right) = 1</math>.

==דוגמאות==

בדומה לחוק האפס-אחד של קולמוגורוב, מאורעות זנב גבוליים, כדוגמת <math>\left\{\sum_{i=1}^{\infty}X_{i} < \infty \right\}</math>, הם מאורעות שאינם תלויים בהחלפת הסדר של אף קבוצה סופית של המשתנים המקריים, ולכן גם חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' קובע כי הסתברותם היא 0 או 1.

דוגמה שלא ניתן להסיק מתוך חוק האפס-אחד של קולמוגורוב, היא הילוך מקרי פשוט <math>\left\{X_n\right\}_{n=1}^{\infty}</math> על המספרים השלמים, בהסתברות <math>p</math> ללכת ימינה ובהסתברות המשלימה ללכת שמאלה, כלומר <math>\mathbb{P}\left(X_n = X_{n-1}+1\right) = 1-\mathbb{P}\left(X_n = X_{n-1}-1\right) = p</math> באופן בלתי תלוי לכל <math>n</math>. במצב זה נתבונן בסדרת המשתנים המקריים <math>\left\{S_N\right\}_{N=1}^{\infty}</math> המוגדרים <math>S_N = \sum_{n=1}^{N}X_n</math>, כלומר <math>S_N</math> קובע היכן נמצא ההילוך בצעד ה-<math>N</math>. אזי המאורע <math>\left\{\limsup_N \left\{S_N = 0\right\} \right\}</math>, כלומר המאורע שמתאר כי ההילוך המקרי חוזר אינסוף פעמים ל-<math>0</math>, הוא מאורע שכמובן נקבע על ידי <math>\left\{X_n\right\}_{n=1}^{\infty}</math>, והוא לא תלוי באף תמורה סופית על <math>N</math>. לכן לפי חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' הוא בעל הסתברות 0 או 1 בלבד.

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב אינו מספיק כדי לקבוע כי המאורע הנ"ל הוא מאורע בעל הסתברות 0 או 1 בלבד, שכן <math>\left\{S_N\right\}_{N=1}^{\infty}</math> הם משתנים מקריים תלויים.

==קישורים חיצוניים==

* <div class="mw-content-ltr">Bruce K. Driver, [http://www.math.ucsd.edu/~bdriver/Cornell%20Summer%20Notes%202010/Lecture_Notes/Probability%20Tools%20with%20Examples.pdf Probability Tools with Examples ], 2010</div>

==הערות שוליים==

קטגוריה:חוקי אפס-אחד