אי-שוויון הממוצעים

במתמטיקה, אי-שוויון הממוצעים הוא אי-שוויון מפורסם הקושר בין הממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי של סדרת מספרים סופית. זהו אי-שוויון בסיסי באנליזה מתמטית, ויש לו שימושים חשובים והכללות רבות. את האי-שוויון הוכיח אוגוסטן לואי קושי, וברבות השנים התגלו עשרות הוכחות אחרות.

לכל קבוצת מספרים ממשיים חיוביים <math>a_1,\ldots,a_n</math> מתקיים
:<math display=block>\frac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}}\le\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\le\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\le\sqrt{\frac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{n}}</math>
#הממוצע ההרמוני קטן או שווה לממוצע ההנדסי.
#הממוצע ההנדסי קטן או שווה לממוצע החשבוני.
#הממוצע החשבוני קטן או שווה לשורש ממוצע הריבועים.
בשלושת המקרים לא מתקיים שוויון, אלא אם כל המספרים <math>a_1,\ldots,a_n</math> שווים זה לזה.

==רקע==
אם <math>a_1,\cdots,a_n</math> מספרים חיוביים, הרי
*הממוצע החשבוני שלהם הוא סכומם המחולק ב-<math>n</math>: <math>A_n=\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}</math>
*הממוצע ההנדסי הוא השורש ה-<math>n</math>-י של מכפלתם: <math>G_n=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>
*הממוצע ההרמוני הוא המספר ההופכי לממוצע החשבוני של ההופכיים: <math>H_n=\frac{n}{\dfrac1{a_1}+\cdots+\dfrac1{a_n}}</math>
שלושת הביטויים מתאימים, בהקשרים שונים, לשמש כ"ממוצע", למשל בכך ששלושתם נמצאים תמיד בין הערך הקטן ביותר לגדול ביותר בסדרה <math>a_1,\ldots,a_n</math>.

במקרה <math>n=2</math> טענה זו קובעת כי <math>\frac2{\frac1a+\frac1b}\le\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}</math>, ושוויון מתקיים אם ורק אם <math>a=b</math>.

==הוכחות==
===המקרה n = 2===
הוכחה גאומטרית לאי-שוויון הממוצעים במקרה n = 2. ב[[אדום הממוצע החשבוני של <math>a,b</math>, בתכלת הממוצע ההנדסי שלהם ובירוק הממוצע ההרמוני שלהם]]
נשתמש בעובדה הפשוטה שהריבוע של מספר ממשי הוא תמיד אי-שלילי:
:<math>\begin{align}0\le(a-b)^2&=a^2-2ab+b^2\\&=a^2+2ab+b^2-4ab\\&=(a+b)^2-4ab\\4ab&\le(a+b)^2\\G_2&=\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}=A_2\end{align}</math>
קל לראות כי <math>H_2A_2=G_2^2</math> ולכן משום ש-<math>G_2\le A_2</math> בהכרח <math>H_2\le G_2</math>.

===הוכחתו של קושי===
קושי הוכיח את האי-שוויון <math>G_n\le A_n</math> בשיטה הנקראת לפעמים "אינדוקציה הפוכה":

ראשית, הוא הראה שאם האי-שוויון מתקיים לסדרות בנות <math>n</math> מספרים, אזי הוא מתקיים לסדרות בנות <math>2n</math> מספרים – ולכן, באינדוקציה (רגילה) הוא מתקיים לסדרות בנות <math>2^m</math> מספרים, לכל <math>m</math>. בנוסף לכך, הראה קושי שאם האי-שוויון מתקיים לסדרות בגודל מסוים אזי הוא מתקיים לסדרות קטנות יותר. מכיוון שכל מספר קטן מחזקה של שתיים כלשהי, ההוכחה הושלמה.

הצעד הראשון: נניח כי האי-שוויון מתקיים לכל <math>a_1,\ldots,a_n</math> חיוביים. אז
:<math display=block>\begin{align}
\frac{a_1+\cdots+a_{2n}}{2n}&=\frac{a_1+\cdots+a_n+a_{n+1}+\cdots+a_{2n}}{2n}\\\\&=\frac{\dfrac{a_1+\cdots+a_n}{n}+\dfrac{a_{n+1}+\cdots+a_{2n}}{n}}{2}\\\\&\ge\frac{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}+\sqrt[n]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}}{2}\\\\&\ge\sqrt{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\cdot\sqrt[n]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}}\\\\&=\sqrt{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n\cdot a_{n+1}\cdots a_{2n}}}\\\\&=\sqrt[2n]{a_1\cdots a_{2n}}
\end{align}</math>
כאשר האי-שוויון הראשון נובע מן ההנחה שהאי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל <math>n</math>, והשני מן המקרה <math>n=2</math>.

הצעד השני: נניח כי האי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל <math>n</math>; אם נתונים <math>a_1,\ldots,a_m</math> כאשר <math>m<n</math>, נסמן <math>a=\frac{a_1+\cdots+a_m}{m}</math> ונקבל
:<math>\sqrt[n]{a_1\cdots a_m\cdot a^{n-m}}\le\frac{a_1+\cdots+a_m+(n-m)a}{n}=a</math>
ולכן <math>\sqrt[m]{a_1\cdots a_m}\le a</math>.

את האי-שוויון <math>H_n\le G_n</math> אפשר להוכיח בדרך דומה.

===הוכחה באמצעות אי-שוויון ינסן===
ניתן להוכיח את האי-שוויון באמצעות אי-שוויון ינסן, הקובע כי
:<math>f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right)\le\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}{n}</math>
לכל פונקציה <math>f</math> קמורה. אם משתמשים בפונקציה exp, ומציבים <math>x_i=\ln(a_i)</math>, מתקבל
:<math>\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\le\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}</math>

== הממוצע הלוגריתמי ==

במקרה <math>n=2</math> ניתן להוסיף לשרשרת אי השוויונות גם את הממוצע הלוגריתמי אשר ממוקם בין הממוצע ההנדסי לממוצע החשבוני. כלומר:

<math>\sqrt{x_1x_2}\le \frac{x_1-x_2}{\ln x_1 - \ln x_2}\le \frac{x_1 + x_2}{2}</math>

==הכללות==
אחת ההכללות החשובות לאי־שוויון מתקבלת מחזרה על כל רכיב <math>a_k</math> מספר פעמים, למשל <math>p_k</math>.

אם <math>a_1,\ldots,a_n</math> חיוביים ו-<math>p_1,\ldots,p_n</math> שלמים חיוביים וסכומם <math>P</math>, אז האי-שוויון הופך להיות
:<math>\frac{P}{\dfrac{p_1}{a_1}+\cdots+\dfrac{p_n}{a_n}}\le\sqrt[P]{a_1^{p_1}\cdots a_n^{p_n}}\le\frac{p_1a_1+\cdots+p_na_n}{P}</math>
באי-שוויון זה אפשר להחליף את המקדמים <math>p_k</math> במספרים חיוביים כלשהם; למשל, כאלה שסכומם <math>P=1</math>. כאשר כל המקדמים שווים ל-<math>\frac1n</math> מתקבל אי־שוויון הממוצעים.

בנוסף, ישנן הכללות לאי-שוויון ממוצעים עבור חזקות שונות: <math>\sqrt[\alpha]{\sum\frac{x_i^\alpha}{n}}</math> זו פונקציה עולה ביחס ל-<math>\alpha</math>, כאשר <math>x_i</math> אי-שליליים. אי-שוויון הממוצעים מתקבל כאשר <math>\alpha=1</math> הפונקציה גדולה יותר מכאשר <math>\alpha\to0^+</math>.

==קישורים חיצוניים==
* 

ממוצעים
קטגוריה:ממוצעים