מודל הרוכסן לשכפול DNA

מודל הרוכסן הוא מודל תרמודינמי משמש קירוב פשטני של סליל DNA במהלך שכפול<ref></ref>. המודל מקרב את ה-DNA למולקולה חד־ממדית שמבצעת מעבר פאזה, שמתוארת על ידי רוכסן שיכול להיפתח ולהיסגר. הפיתוח המלא ודיון בו פורסמו לראשונה על ידי צ'ארלס קיטל ב-1969<ref></ref>.
ההקבלה בין מערכת מולקולת הרוכסן לבין שכפול ה-DNA. מימין נראה מזלג השכפול של ה-DNA ומשמאל נראה רוכסן באזור הפתיחה שלו.
הדמיון בין המערכות נובע מהמכניזם של תהליך פתיחת ה-DNA לצורך שכפולו, ובייחוד תהליך האתחול. תהליך האתחול מתרחש מסביב למקור השכפול (Origin of Replication), שהוא אזור מסוים בכרומוזום שבו מתחיל שכפול ה-DNA.

בהמשך התהליך נקשרים מספר חלבונים למקור השכפול וגורמים לו להיפתח בצורה חלקית (הפתיחה נעשית באמצעות הפרדת זוגות הנוקלאוטידים שמקשרים בין הגדילים). כך נוצרת בועת השכפול (Replication Bubble), שבשני הצדדים שלה נוצרים מזלגות השכפול (אזורי המעבר בין החלק הפתוח של ה-DNA לזה הסגור, נקראים כך משום צורתם), אחד בכל צד. המשך הפתיחה מבוצע על ידי ה-DNA הליקאז, אנזים שאחראי על הפרדת שני הגדילים. 

המזלגות הנוצרים במהלך הפתיחה דומים לאזור הפתיחה של רוכסן: ה-DNA שעוד לא נפתח מקביל לחלק ברוכסן שבו השיניים סגורות ומשולבות, החלק הפתוח של ה-DNA מקביל לשני הקצוות הפתוחים של הרוכסן והחוליות מקבילות לנוקלאוטידים.

== פיתוח תרמודינמי ==
הסבר על מערכת הרוכסן:1) זוג חוליות סגורות

2) הקצה הסגור של הרוכסן

3) חוליות פתוחות
מערכת הרוכסן היא מולקולה חד־ממדית בעלת <math display="inline">N</math> זוגות של חוליות. כל זוג יכול להיות באחד משני מצבים: סגור או פתוח. נניח כי הרוכסן יכול להיפתח רק מכיוון אחד. 

נגדיר את מספר החוליות הפתוחות, <math>p</math>. כדי להבחין בין קצות הרוכסן, נניח כי החוליה <math>p=N</math> לא יכולה להיפתח ולכן נאמר כי הרוכסן פתוח כאשר <math>p=N-1</math>. בנוסף נניח כי למצב הפתוח של חוליה יש ניוון <math>G</math> שנובע מדרגות החופש הרוטציוניות שלה<ref></ref>. 

=== פונקציית החלוקה ===
נניח כי אם <math>p</math> החוליות הראשונות פתוחות, האנרגיה הדרושה לפתוח את החוליה ה- <math>p+1</math> היא <math>\epsilon</math>. אחרת, לפחות חלק מ- <math>p</math> החוליות הראשונות סגורות ואז האנרגיה הדרושה לפתוח את החוליה ה- <math>p+1</math> היא אינסופית.

האנרגיה הדרושה עבור פתיחת <math>p</math> החוליות הראשונות היא <math>p\epsilon</math> והניוון של <math>p</math> החוליות הוא <math>G^p</math>. התרומה של מצב זה לפונקציית החלוקה היא: <div style="text-align: center;">
<math>G^p\exp\left(-\frac{p\epsilon}{\tau}\right)</math>
</div>

כאשר <math>\tau\equiv k_BT</math>, <math>T</math> הטמפרטורה ו- <math>k_B</math> קבוע בולצמן.
גרף של צפיפות אופטית של פולימר דמוי-dG:dC, DNA, כפונקציה של הטמפרטורה. בטמפרטורה נמוכה המערכת היא סליל כפול, בטמפרטורה גבוהה הסליל הכפול נפרד לשניים. הצפיפות האופטית היא כלי למדידת מצב המערכת.

מכך מתקבלת פונקציית החלוקה, כאשר נסכום על מספר החוליות הפתוחות כדי לקבל תרומות מכל המצבים:<div style="text-align: center;">

<math>Z=\sum_{p=1}^{N-1}G^p\exp\left(-\frac{p\epsilon}{\tau}\right)</math></div>ועל ידי שימוש בטור הגאומטרי והגדרת משתנה חסר יחידות <math>x\equiv G\exp\left(-\frac{\epsilon}{\tau}\right)</math> נקבל<div style="text-align: center;">

<math>Z=\frac{1-G^N\exp\left(-\frac{N\epsilon}{\tau}\right)}{1-G\exp\left(-\frac{\epsilon}{\tau}\right)}\equiv\frac{1-x^N}{1-x}</math>
</div>

=== מספר החוליות הפתוחות ===
את מספר החוליות הפתוחות הממוצע עבור טמפרטורה <math>\tau</math> מקבלים על ידי מיצוע תרמודינמי. הממוצע של פונקציה תרמודינמית <math>O</math> הוא 

<math><O>=\frac{\sum_io_iz_i}{\sum_i{z_i}}</math> 

כאשר <math>z_i</math> ההסתברות למצב ה-<math>i</math>.

לכן מספר החוליות הפתוחות הממוצע יהיה:<div style="text-align: center;">

<math><n>=\frac{\sum_{p=i}^{N-1}{px^p}}{\sum_{p=i}^{N-1}x^p}=x\left({d \over dx}\ln Z\right)=\frac{Nx^N}{x^N-1}-\frac{x}{x-1}</math>
</div>

=== אנטרופיה ===
האנטרופיה <math>S </math> מחושבת על ידי:

<math>\frac{S}{k_B}\equiv \sigma=-\left(\frac{\partial F}{\partial \tau}\right)_{V,N}</math>

כאשר <math>F=-\tau\ln Z</math>, האנרגיה החופשית של הלמהולץ. לכן האנטרופיה של המערכת:<div style="text-align: center;">

<math>\sigma=\tau\frac{\partial}{\partial \tau}\ln Z+\ln Z=x\ln\left(\frac{G}{x}\right)\left(\frac{d}{dx}\ln Z \right)+\ln Z </math>
</div>
נזהה את <math><n>=x\left({d \over dx}\ln Z\right)</math> ונקבל<div style="text-align: center;">

<math>\sigma=<n>\ln \left(\frac{G}{x}\right)+\ln \left(\frac{1-x^N}{1-x}\right)</math>
</div>

== מעבר פאזה ==
נשים לב כי אם נשרטט את הגרף של מספר החוליות הפתוחות הממוצע כפונקציה של <math>x</math>, נקבל תופעה מעניינת<ref>J. F. Nagle הראה במאמרו כי האנלוגיה החד־ממדית של מודל "Slater KDP" מבצעת מעבר פאזה מסדר ראשון. פונקציית החלוקה של הרוכסן זהה לזו מהמאמר של Nagle.</ref><ref name=":0" />.
מספר החוליות הממוצע כפונקציה של המשתנה חסר היחידות <math>x\equiv G\exp\left(-\frac{\epsilon}{\tau}\right)</math>, עבור רוכסן עם <math>N=1000</math> חוליות.אפשר לראות עלייה חדה באזור <math>x\equiv x_c=1</math>. זה אזור שבו כאשר מעלים את הטמפטורה מעט (כשמגדילים את <math>x</math> מגדילים את <math>\tau</math> בלבד כי <math>G</math>,<math>\epsilon</math> קבועים), נפתחות הרבה מאוד חוליות ברוכסן וקצב הפתיחה גדל גם הוא. באזור זה מתרחש מעבר פאזה בין המצב של הרוכסן הסגור לבין המצב של שני קצוות הרוכסן הפתוחים.

=== אזורי <math>x</math> שונים ===

* <math>x=1</math>

כדי למדל את ההתנהגות באזור זה תחילה נפתח לטור את מספר החוליות הפתוחות הממוצע. נשים לב כי המכנה של <math><n></math> מתאפס באזור הזה ולכן ניעזר בפיתוח לטור.

מפיתוח טיילור לפי <math>x</math> סביב <math>x=1</math> עד סדר ראשון נקבל<div style="text-align: center;">

<math><n>=\frac{Nx^N}{x^N-1}-\frac{x}{x-1}\approx {1\over2}\left(N-1\right)+{1\over12}\left(N^2-1\right)\left(x-1\right)+\ldots</math>
</div>

כעת נניח כי <math>N\gg1</math> ונחלק ב-<math>N</math>:<div style="text-align: center;">

<math>{<n>\over N} \xrightarrow[N\gg1] {}{1\over2}+{N\over12}\left(x-1\right)+\ldots
</math>
</div>

נגדיר <math>x-1\equiv\xi</math> משום שיהיה נוח בהמשך להתייחס לאזור מעבר הפאזה כ- <math>\xi\ll1</math>. השיפוע באזור זה יהיה<div style="text-align: center;">

<math>{1\over N}{d<n>\over d\xi} \cong {N\over12}+\ldots
</math>
</div>
כלומר סך הכל קיבלנו שעבור <math>N\longrightarrow\infin</math> ו- <math>\xi\ll1</math> השיפוע אינסופי בנקודת המעבר וגם מספר החוליות הפתוחות הוא <math><n>\cong{1\over2}N</math>.

* <math>x\gg1</math>

עבור <math>x\gg1</math>, נוכל לראות שמתקיים:<div style="text-align: center;">

<math><n>=\frac{N}{1-\left(\frac{1}{x}\right)^N}-\frac{x}{x-1}\cong N\left(1+\left(\frac{1}{x}\right)^N\right)-\left(1+y\right)\approx N-\frac{x}{x-1}=\left(N-1\right)-\frac{1}{x-1}=\left(N-1\right)-{1\over \xi}</math>
</div>
כאשר מזניחים את האיבר <math>\left(\frac{1}{x}\right)^N\ll1</math>. כלומר <math><n></math> שואף מלמטה לחסמו העליון <math>N-1</math>.

* <math>x\ll1</math>

עבור <math>x\ll1</math>, נקבל כי האיבר <math>x^N\ll1</math> זניח ולכן:<div style="text-align: center;">

<math><n>=\frac{Nx^N}{x^N-1}+\frac{x}{1-x}\approx \frac{x}{1-x}</math>
</div>
ללא תלות ב-<math>N</math>.

=== טמפרטורת המעבר ===
ראינו כבר כי המעבר מתקיים בנקודה <math>x_c=1</math>, כלומר הטמפרטורה הקריטית של מעבר הפאזה היא הפתרון למשוואה<div style="text-align: center;">

<math>G\exp\left(-{\epsilon\over\tau_c}\right)=1</math>
</div>
עבור <math>G=1</math>, למשוואה זו יש פתרון רק בטמפרטורה אינסופית. לכן נקבל כי התנאי לקיום מעבר פאזה בטמפרטורה סופית הוא:<div style="text-align: center;">

<math>G=\exp\left({\epsilon\over\tau_c}\right)>1</math>
</div>
והטמפרטורה בה מתקיים מעבר הפאזה, <math>\tau_c</math>, היא:<div style="text-align: center;">

<math>\tau_c={\epsilon\over\ln G}</math>
</div>
תוצאה זו מערערת על ההגדרה של המודל כחד־ממדי, משום שניתן לטעון כי הניוון <math>G</math> נובע מדרגות החופש הרוטציוניות של החוליה, שאינן קיימות במודל חד־ממדי אמיתי. בכל זאת, ישנם מודלים חד־ממדיים דומים בהם משמש הניוון חלק חשוב ממעבר הפאזה<ref name=":0"></ref>. זה נובע מכך שהקיום של קונפיגורציות אסורות במערכת (כלומר, אנרגיה אינסופית) הוא תנאי הכרחי אך לא מספיק למעבר פאזה במערכת חד־ממדית כמו זו. דרישה נוספת יכולה להיות, למשל, שהניוון של מצב מעורר של יחידה מבנית (באנגלית- Structural Unit) חייב להיות גדול מהניוון של מצב היסוד.

ניתן להראות גם כי באזור מעבר הפאזה מתקיים<div style="text-align: center;">

<math>\xi=\ln G\cdot\frac{\tau-\tau_c}{\tau_c}</math>
</div>
=== קיבול החום ===
הגדרת קיבול החום היא <math>C=k_B\tau\left(\frac{d\sigma}{d\tau}\right)</math>. באזור מעבר הפאזה האנטרופיה היא <math>\sigma\approx<n>\cdot\ln \left(\frac{G}{x_c}\right)=<n>\ln G</math>, ולכן קיבול החום באזור זה:<div style="text-align: center;">

<math>C\approx k_B\tau_c\ln G\cdot\left(\frac{d<n>}{d\tau}\right)\approx k_B\ln^2G\cdot\left(\frac{d<n>}{d\xi}\right)</math>
</div>
ותחת ההנחה <math>N\xi\ll1</math> מתקבל הביטוי<div style="text-align: center;">

<math>C\cong Nk_B\ln^2G\cdot\left({1\over 12}N+\ldots\right)</math>
</div>
כלומר קיבול החום לחוליה שואף לאינסוף כאשר <math>N\longrightarrow\infin</math> וזה מעבר פאזה מסדר ראשון.
=== פתיחת כל החוליות ברוכסן ===
תופעה מעניינת היא קיום של מעבר פאזה כאשר כל החוליות ברוכסן פתוחות, כלומר <math>p=N-1</math>. הסיכוי למצב כזה:<div style="text-align: center;">

<math>P\left(p=N-1\right)={x^{N-1}\over Z}=x^{N-1}\frac{1-x}{1-x^N}</math>
</div>
אנחנו קרובים לנקודת המעבר, לכן <math>\xi\ll1</math> ומתקיים <math>N\xi\ll1</math> ומקבלים:<div style="text-align: center;">

<math>P\left(p=N-1\right)=\xi+{1\over N}\approx{1\over N}</math>
</div>
כלומר רוכסן אחד מכל <math>N</math> יהיה פתוח לגמרי בנקודת מעבר הפאזה. מעל נקודה זו, עבור <math>x^N\gg1</math> הסיכוי לרוכסן פתוח לחלוטין הוא<div style="text-align: center;">

<math>P\left(p=N-1\right)\cong1-{1\over x}</math>
</div>

== ראו גם ==

* שכפול DNA
* ביופיזיקה
* מעברי פאזה

== קישורים חיצוניים ==

* http://x3dna.org/articles/seeing-is-understanding-as-well-as-believing, באתר x3dna.

== הערות שוליים ==

2020 07
קטגוריה:DNA