מחלקה מונוטונית

מחלקה מונוטונית היא משפחה של קבוצות המקיימת תכונות סגירות מסוימות.

משפט המחלקה המונוטונית קובע קשר בין מחלקות מונוטוניות לבין סיגמא-אלגברות, וקשר זה מאפשר להוכיח תכונות רבות בתורת המידה ובתורת ההסתברות, כדוגמת משפט פוביני.

==הגדרה==

תהי <math>X</math> קבוצה. משפחה של תתי-קבוצות <math>\mathcal{M} \subset \mathcal{P}(X)</math> נקראת מחלקה מונוטונית, אם היא סגורה לאיחוד וחיתוך שרשראות מונוטוניות בנות-מניה, כלומר:
# לכל סדרה <math>\left\{E_i\right\}_{i=1}^{\infty} \subset \mathcal{M}</math> המקיימת <math>E_1 \subset E_2 \subset E_3 \subset ...</math>, מתקיים כי <math>\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i \in \mathcal{M}</math>.
# לכל סדרה <math>\left\{E_i\right\}_{i=1}^{\infty} \subset \mathcal{M}</math> המקיימת <math>E_1 \supset E_2 \supset E_3 \supset ...</math>, מתקיים כי <math>\bigcap_{i=1}^{\infty}E_i \in \mathcal{M}</math>.

==משפט המחלקה המונוטונית==

תהי <math>X</math> קבוצה ותהי <math>P \subset \mathcal{P}(X)</math> משפחה כלשהי של תתי-קבוצות.

נסמן את המחלקה המונוטונית הנוצרת על ידי <math>P</math> להיות <math>\mathcal{C}(P)</math>, ונסמן את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי <math>P</math> להיות <math>\sigma(P)</math>. לא קשה לראות כי <math>\mathcal{C}(P)</math> היא חיתוך כל המחלקות המונוטוניות המכילות את <math>P</math> וכי <math>\sigma(P)</math> היא חיתוך כל הסיגמא-אלגבראות המכילות את <math>P</math>.

משפט: תהי <math>\mathcal{A}</math> אלגברה של קבוצות על קבוצה <math>X</math> (כלומר <math>\mathcal{A}</math> משפחה הסגורה ללקיחת משלים ולאיחודים סופיים). אזי <math>\mathcal{C}(\mathcal{A})=\sigma(\mathcal{A})</math>.

===הוכחה===

ברור שכל סיגמא-אלגברה היא מחלקה מונוטונית, ולכן ודאי <math>\mathcal{C}(\mathcal{A}) \subset \sigma(\mathcal{A})</math>. כדי להראות את ההכלה ההפוכה די להראות כי <math>\mathcal{C}(A)</math> מהווה סיגמא-אלגברה בעצמה.

לא קשה לראות שאם מחלקה מונוטונית היא אלגברה, אז היא גם סיגמא-אלגברה, ולכן די להראות כי <math>\mathcal{C}(A)</math> היא אלגברה. אם כך נראה כי היא סגורה ללקיחת משלים ולאיחודים סופיים.

תהי <math>E \in \mathcal{C}(A)</math>. נגדיר <math> \mathcal{R}(E) = \left\{F \in \mathcal{C}(\mathcal{A}) |F \cap E, F \cap E^\complement, F^\complement \cap E \in \mathcal{C}(\mathcal{A}) \right\} </math>. לא קשה לראות כי <math>\mathcal{R}(E)</math> מהווה מחלקה מונוטונית וכן כי <math>\emptyset, E \in \mathcal{R}(E)</math> מהיות <math>\mathcal{A}</math> אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי לכל <math>E_1,E_2 \in \mathcal{C}(\mathcal{A})</math> מתקיים <math> E_1 \in \mathcal{R}(E_2) \iff E_2 \in \mathcal{R}(E_1)</math>.

לכל <math>E \in \mathcal{A}</math>, לכל <math>B \in \mathcal{A}</math> מתקיים כי <math>B \in \mathcal{R}(E)</math> מהיות <math>\mathcal{A}</math> אלגברה. לכן נובע כי <math>\mathcal{A} \subset \mathcal{R}(E)</math>. נזכור כי <math>\mathcal{R}(E)</math> מהווה מחלקה מונוטונית, ולכן נסיק כי <math>\mathcal{C}(\mathcal{A}) \subset \mathcal{R}(E)</math>.

אם כך לכל <math>F \in \mathcal{C}(\mathcal{A})</math> מתקיים <math>F \in \mathcal{R}(E)</math>, ובאופן שקול <math>E \in \mathcal{R}(F)</math>, ולכן נובע כי גם <math>\mathcal{C}(\mathcal{A}) \subset \mathcal{R}(F)</math> לכל <math>F \in \mathcal{R}(E)</math>.

אם כך לכל <math>E,F \in \mathcal{C}(\mathcal{A})</math> מתקיים <math>\mathcal{C}(\mathcal{A}) \subset \mathcal{R}(E), \mathcal{R}(F)</math>, כלומר <math>F \cap E, F \cap E^\complement, F^\complement \cap E \in \mathcal{C}(\mathcal{A})</math>, ולכן <math>\mathcal{C}(\mathcal{A})</math> סגורה למשלים.

לסיום, קל לראות שמחלקה מונוטונית הסגורה למשלים סגורה גם לאיחודים סופיים, ועל כן <math>\mathcal{C}(\mathcal{A})</math> מהווה אלגברה.

==משפט המחלקה המונוטונית לפונקציות==

משפט: תהי <math>\mathcal{A}</math> מערכת-π ותהי <math>\Omega</math> קבוצה השייכת ל-<math>\mathcal{A}</math>, ותהי <math>\mathcal{H}</math> משפחה של פונקציות <math>\Omega \to \mathbb{R}</math>, המקיימת את שלוש התכונות הבאות:
# לכל <math>A \in \mathcal{A}</math> מתקיים <math>1_A \in \mathcal{H}</math>, כאשר <math>1_A</math> היא הפונקציה המציינת.
# אם <math>f,g \in \mathcal{H}</math> אז <math>f+g \in \mathcal{H}</math> וכן <math>cf \in \mathcal{H}</math> לכל <math>c \in \mathbb{R}</math>.
# לכל סדרה מונוטונית עולה של פונקציות אי-שליליות <math>\left\{f_i\right\}_{i=1}^{\infty} \subset \mathcal{H}</math> המתכנסת לפונקציה גבולית <math>f</math>, מתקיים <math>f \in \mathcal{H}</math>.

אזי <math>\mathcal{H}</math> מכילה את כל הפונקציות החסומות והמדידות ביחס לסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי <math>\mathcal{A}</math>.

===הוכחה===

הוכחה זו מבוססת על משפט π−λ.

ההנחה כי <math>\Omega \in \mathcal{A}</math> יחד עם תכונות 2,3 גוררת כי המשפחה <math>\mathcal{G}=\left\{A | 1_A \in \mathcal{H} \right\}</math> מהווה מערכת-λ.

מתכונה 1 וממשפט π−λ נובע כי <math>\sigma(\mathcal{A}) \subset \mathcal{G}</math>.

תכונה 2 מראה כי <math>\mathcal{H}</math> מכילה את כל הפונקציות הפשוטות, ומתכונה 3 נובע כי היא מכילה את כל הפונקציות המדידות והחסומות, שכן כל פונקציה מדידה וחסומה היא גבול של סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות.

קטגוריה:תורת ההסתברות
קטגוריה:תורת המידה
קטגוריה:משפחות של תת-קבוצות