פנטציה

שלושת הערכים הראשונים של הביטוי x [5]2. הערך של 3[5]2 הוא בערך 7.626 × 10 <sup>12</sup> ; ערכים עבור x גבוה יותר, כגון 4[5]2, שזה בערך 2.361 × 10 <sup>8.072 × 10 <sup>153</sup></sup> גדולים מדי מכדי להופיע בגרף.
במתמטיקה, פנטציה (או היפר-5 ) היא ההיפר-פעולה הבאה אחרי הטטרציה ולפני ההקסציה. היא מוגדרת כטטרציה חוזרת, בדיוק כפי שטטרציה היא חזקה חוזרת<ref>.</ref> זוהי פעולה בינארית המוגדרת עם שני מספרים a ו-b, כאשר עושים a בטטרציית עצמו b פעמים. לדוגמה, שימוש בסימון היפר-פעולות עבור פנטציה וטטרציה, <math>2[5]3</math> פירושו 2 בטטרציית עצמו פעמיים, או <math>2[4](2[4]2)</math> . לאחר מכן ניתן לצמצם זאת ל <math>2[4](2^2)=2[4]4=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65,536.</math>

== אֶטִימוֹלוֹגִיָה ==
את המילה "פנטציה" טבע ראובן גודשטיין ב-1947 כהלחם מילים פנטה (חמש) ואיטרציה. זה חלק מתוכנית השמות הכללית שלו עבור היפר-פעולות. <ref>.</ref>

== סימון ==
אין הסכמה לגבי הסימון של פנטציה; ישנן דרכים רבות ושונות לכתוב את פעולת הפנטציה. עם זאת, חלקם נפוצים יותר מאחרים, ולחלקם יתרונות או חסרונות ברורים בהשוואה לאחרים.
* אפשר לכתוב פנטציה, כמו שכותבים היפר-פעולות פעולות אחרות, למשל: <math>a[5]b</math> = a בטטרצית a כך שכמות הפעמים שיש a בתרגיל הזה שווה ל-b, והחמש בסוגריים המסולסלות מסמן שזה פנטציה.
* בסימון החץ למעלה, <math>a[5]b</math> מיוצג כ <math>a \uparrow \uparrow \uparrow b</math> אוֹ <math>a \uparrow^{3}b</math> . בסימון זה, <math>a\uparrow b</math> מייצג חזקה ו-<math>a\uparrow \uparrow b</math> מייצג טטרציה. ניתן להתאים את הפעולה בקלות לחזקה וטטרציה על ידי שינוי כמות החצים.
* בסימון חץ משורשר, <math>a[5]b = a\rightarrow b\rightarrow 3</math> . <ref>.</ref>
* סימון מוצע נוסף הוא <math>{_{b}a}</math>, אם כי זה לא ניתבה לפעולות היפר-ניתוח גבוהות יותר. <ref></ref>

== דוגמאות ==
ניתן לקבל את ערכי פונקציית הפנטציה גם מהערכים בשורה הרביעית בטבלת הערכים של גרסה של פונקציית אקרמן: אם <math>A(n,m)</math> מוגדר על ידי הישנות אקרמן <math>A(m-1,A(m,n-1))</math> עם התנאים ההתחלתיים <math>A(1,n)=an</math> ו <math>A(m,1)=a</math>, לאחר מכן <math>a[5]b=A(4,b)</math> . <ref>.</ref>

כמו טטרציה, פעולת הבסיס שלו, פנטציה לא הורחבה לגבהים שאינם שלמים, pentation <math>a[5]b</math> מוגדר כרגע רק עבור ערכים שלמים של a ו- b שבהם a > 0 ו- b ≥ −2, ועוד כמה ערכי מספר שלמים שעשויים להיות מוגדרים באופן ייחודי. כמו בכל פעולות יתר מסדר 3 ( אקספונציה ) ומעלה, לפנטציה יש את המקרים הטריוויאליים (זהויות) הבאים שמתקיימים עבור כל הערכים של a ו- b בתחום שלו:
* <math>1[5]b = 1</math>
* <math>a[5]1 = a</math>
* <math>a[5]2 = a[4]a</math>
* <math>a[5]0 = 1</math>
* <math>a[5](-1) = 0</math>
* <math>a[5](-2) = -1</math>
* <math>a[5](b+1) = a[4](a[5]b)</math>

מלבד המקרים הטריוויאליים המוצגים לעיל, פנטציה מייצרת מספרים גדולים מאוד במהירות רבה, כך שיש רק מקרים בודדים שאינם טריוויאליים המייצרים מספרים שניתן לכתוב בסימון קונבנציונלי, כפי שמודגם להלן:
* <math>2[5]2 = 2[4]2 = 2^2 = 4</math>
* <math>2[5]3 = 2[4](2[5]2) = 2[4](2[4]2) = 2[4]4 = 2^{2^{2^2}} = 2^{2^4} = 2^{16} = 65,536</math>
* <math>2[5]4 = 2[4](2[5]3) = 2[4](2[4](2[4]2)) = 2[4](2[4]4) = 2[4]65,536 = 2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}} \mbox{ (a power tower of height 65,536) } \approx \exp_{10}^{65,533}(4.29508)</math> (מוצג כאן בתווי אקספוננציאלי חוזר מכיוון שהוא גדול מדי מכדי להיכתב בסימון קונבנציונלי. הערה <math> \exp_{10}(n) = 10^n </math> )
* <math>2[5]5 = 2[4](2[5]4) = 2[4](2[4](2[4](2[4]2))) = 2[4](2[4](2[4]4)) = 2[4](2[4]65,536) = 2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}} \mbox{ (a power tower of height 2[4]65,536) } \approx \exp_{10}^{2[4]65,536-3}(4.29508)</math>
* <math>3[5]2 = 3[4]3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7,625,597,484,987</math>
* <math>3[5]3 = 3[4](3[5]2) = 3[4](3[4]3) = 3[4]7,625,597,484,987 = 3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}} \mbox{ (a power tower of height 7,625,597,484,987) } \approx \exp_{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)</math>
* <math>3[5]4 = 3[4](3[5]3) = 3[4](3[4](3[4]3)) = 3[4](3[4]7,625,597,484,987) = 3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}} \mbox{ (a power tower of height 3[4]7,625,597,484,987) } \approx \exp_{10}^{3[4]7,625,597,484,987-1}(1.09902)</math>
* <math>4[5]2 = 4[4]4 = 4^{4^{4^4}} = 4^{4^{256}} \approx \exp_{10}^3(2.19)</math> (מספר עם יותר מ-10 <sup>153</sup> ספרות)
* <math>5[5]2 = 5[4]5 = 5^{5^{5^{5^5}}} = 5^{5^{5^{3125}}} \approx \exp_{10}^4(3.33928)</math> (מספר עם יותר מ-10 <sup>10 <sup>2184</sup></sup> ספרות)

== ראו גם==
* פונקציית אקרמן
* מספרים גדולים
* המספר של גרהם

==הערות שוליים==

קטגוריה:מספרים גדולים