פונקציה תת-ליניארית

באלגברה ליניארית ובאנליזה פונקציונלית, פונקציה תת-ליניארית (נקראת גם פונקציונל תת-ליניארי) היא פונקציונל על מרחב וקטורי מעל שדה הממשיים או שדה המרוכבים, אשר מקיים תת-חיבוריות והומוגניות חיובית. פונקציות מסוג זה הן גרסה מוחלשת של נורמה ונורמה-למחצה מחד ופונקציה ליניארית מאידך.

שימושם העיקרי של פונקציונלים תת-ליניאריים בא לידי ביטוי במשפט האן-בנך. כמו כן ניתן להשתמש בפונקציונלים אלה במקרים שבהם מרחב כלשהו אינו נורמבילי, כלומר שלא ניתן להגדיר עליו נורמה.

== הגדרה מתמטית ==
עבור מרחב וקטורי <math>V</math> מעל שדה <math>\mathbb{K}</math> שהוא שדה הממשיים או המרוכבים, הפונקציונל <math>\rho:V\to\mathbb{R}</math> יקרא פונקציונל תת-ליניארי אם ורק אם הוא מקיים את שתי התכונות הבאות:<ref></ref>
# תת-חיבוריות (Subadditivity): לכל שני וקטורים <math>x,y\in V</math> מתקיים <math>\ \rho(x+y) \le \rho(x) + \rho(y)</math>
# הומוגניות חיובית (Positive homogeneity): לכל וקטור <math>x\in V</math> במרחב ולכל סקלר אי-שלילי <math>\lambda\ge 0</math> מתקיים <math>\rho( \lambda x) = \lambda \rho(x)</math>.
תנאי התת-חיבוריות הוא למעשה קיום אי-שוויון המשולש של הפונקציונל.

==תכונות==
=== ערך בראשית והכפלה בסקלר שלילי ===
מתוך תכונת ההומוגניות החיובית ניתן להסיק כי כל פונקציונל תת-ליניארי מתאפס בראשית, כלומר <math>\rho(0)=0</math>, זאת על ידי הכפלת כל איבר כלשהו ב-<math>V</math> בסקלר <math>0</math>.

מאחר שתכונת ההומוגניות החיובית אינה נוגעת להכפלה בסקלר שלילי, לא ניתן להסיק כי <math>\rho(-x)</math> משתווה ל-<math>\rho(x)</math> עבור <math>x\in V</math> כלשהי כפי שתכונה זו מתקיימת עבור נורמה ונורמה-למחצה. לעומת זאת, מתכונת התת-חיבוריות ניתן להסיק כי:

<math>0=\rho(0)=\rho(x+(-x))\le \rho(x)+\rho(-x)</math>

כלומר, ניתן להסיק שלפחות אחד מ-<math>\rho(-x)</math> ו-<math>\rho(x)</math> הוא חיובי.

=== אריתמטיקה ===
עבור פונקציונל תת-ליניארי <math>\rho</math> מעל <math>V</math> וסקלר אי-שלילי <math>\alpha\ge 0</math> הפונקציונל <math>\alpha\rho</math> הוא תת-ליניארי. הדבר איננו מתקיים עבור <math>\alpha<0</math>.

כמו כן, עבור זוג פונקציונלים תת-ליניאריים <math>\rho_1,\rho_2</math> מעל <math>V</math> הפונקציונל <math>\rho_1+\rho_2</math> אף הוא תת-ליניארי. הדבר איננו מתקיים בהכרח עבור <math>\rho_1-\rho_2</math>.

בנוסף, עבור זוג פונקציונלים תת-ליניאריים <math>\rho_1,\rho_2</math> מעל <math>V</math> הפונקציונל <math>q:=\max(\rho_1,\rho_2)</math> אף הוא תת-ליניארי. כלומר לכל <math>x\in V</math>:

<math>q(x):=\max(\rho_1(x),\rho_2(x))</math>

=== קמירות ===
כל פונקציה תת-ליניארית היא בהכרח פונקציה קמורה. ניתן להוכיח זאת מתוך ההגדרה:

עבור <math>x,y\in V</math> ו-<math>0\le t\le 1</math> מתקיים:

<math>\rho(tx+(1-t)y)\le \rho(tx)+\rho((1-t)y)=t\rho(x)+(1-t)\rho(y)</math>

כאשר אי השוויון משמאל מתקיים מתכונת התת-חיבוריות והשוויון מימין מתקיים בגלל הומוגניות חיובית.

כל פונקציה <math>p:V\to \mathbb{R}</math> שהיא תת-חיבורית (תנאי 1 בהגדרה), קמורה ומקיימת <math>p(0)\le 0</math> היא בהכרח תת-ליניארית.

==== הוכחה ====
לכל <math>x\in V</math> ולכל <math>0\le\lambda\le 1</math> כלשהו ניתן להסיק מתכונת הקמירות כי:

<math>p(\lambda x)=p((1-\lambda)0+\lambda x)\le (1-\lambda)p(0)+\lambda p(x)\le \lambda p(x)</math>

מכיוון ש-<math>0\le 1-\lambda\le 1</math> ניתן להסיק באותו אופן כי <math>p((1-\lambda)x)\le(1-\lambda )p(x)</math>.

כעת לפי תכונת התת-חיבוריות:

<math>p(x)=p((1-\lambda)x+\lambda x)\le p((1-\lambda)x)+p(\lambda x)\le (1-\lambda)p(x)+p(\lambda x)</math>

מהעברת אגפים נקבל כי <math>\lambda p(x)\le p(\lambda x)</math>.

מכיוון וגם <math>\lambda p(x)\le p(\lambda x)</math> וגם <math>\lambda p(x)\ge p(\lambda x)</math> בהכרח <math>p(\lambda x)=\lambda p(x)</math> ועל כן מתקיימת הומגוניות עבור <math>0\le\lambda\le 1</math>. עבור <math>\lambda\ge 1</math> מתקיים כי <math>0\le\frac{1}{\lambda}\le 1</math> ולכן:

<math>p(x)=p(\frac{1}{\lambda}\lambda x)=\frac{1}{\lambda}p(\lambda x)</math>

משמע <math>p(\lambda x)=\lambda p(x)</math> גם עבור <math>\lambda\ge 1</math>. מכל זה נגזרת הומגוניות-חיובית עבור <math>p</math>. מאחר ש-<math>p</math> תת-חיבורית והומוגנית חיובית היא בהכרח תת-ליניארית. מש"ל.

=== רציפות ===
אם מרחב התחום <math>V</math> של פונקציה תת-ליניארית <math>\rho</math> הוא מרחב וקטורי טופולוגי (כלומר שהוא מצויד בטופולוגיה שעבורה פעולות החיבור והכפל בסקלר רציפות), ניתן לקבוע האם <math>\rho</math> רציפה על-פי הטופולוגיה של המרחב.

ניתן להוכיח כי אם <math>\rho</math> רציפה בראשית אז היא רציפה בכל המרחב, ויתרה מכך היא גם רציפה במידה שווה (כפי שתכונה זו מוגדרת לחבורות טופולוגיות, ובפרט למרחבים וקטוריים טופולוגיים). בפרט, כל פונקציונל תת-ליניארי רציף הוא רציף במידה שווה.

==== הוכחה ====
עבור <math>\varepsilon >0</math> קיימת סביב פתוחה <math>U</math> של הראשית כך ש-<math>|\rho(v)|<\varepsilon</math> לכל <math>v\in U</math>. ניתן להגדיר קבוצה פתוחה חדשה <math>U'=U\cap (-U)</math> שאף היא סביב פתוחה של הראשית וסימטרית (כלומר לכל <math>v\in U</math> מתקיים <math>-v\in U</math>)

עבור <math>x,y\in V</math> כך ש-<math>x-y\in U'</math> מתקיים:

<math>\rho(x)=\rho(x-y+y)\le \rho(x-y)+\rho(y)<\varepsilon+\rho(y)</math>

לכן <math>\rho(x)-\rho(y)<\varepsilon</math>. מכיוון שגם <math>y-x\in U'</math> ניתן להסיק שגם <math>\rho(y)-\rho(x)<\varepsilon</math> לכן בסך הכל <math>|\rho(x)-\rho(y)|<\varepsilon</math>.

מתקבל כי לכל <math>\varepsilon >0</math> קיימת סביבה פתוחה <math>U'</math> כך שלכל <math>x,y\in V</math> עבורם <math>x-y\in U'</math> מתקיים <math>|\rho(x)-\rho(y)|<\varepsilon</math>. מכל זה <math>\rho</math> רציפה במידה שווה. מש"ל.

== מקרים פרטיים ==
=== פונקציה ליניארית ===

כל פונקציה ליניארית היא גם פונקציה תת-ליניארית (מחליפים את האי-שוויון בתנאי התת-חיבוריות לשוויון).

אם מגדירים ב-<math>V^{\#}</math> את קבוצת כל הפונקציונלים התת-ליניאריים על מרחב וקטורי <math>V</math> כלשהו, ניתן להגדיר על מרחב זה יחס סדר חלקי <math>\preceq</math> כך שלכל <math>\rho_1,\rho_2\in V^{\#}</math>, <math>\rho_1\preceq \rho_2</math> אם ורק אם <math>\rho_1(x)\le\rho_2(x)</math> לכל <math>x\in V</math> (סימון זה אינו סימון מוסכם בספרות ומשמש לערך זה בלבד).

על כן, בהינתן פונקציה תת-ליניארית <math>\rho</math> מעל מרחב <math>V</math> כלשהו, התנאים הבאים שקולים:

# <math>\rho</math> היא פונקציה ליניארית.
# <math>\rho</math> היא פונקציה אי-זוגית. כלומר, <math>\rho(-x)=-\rho(x)</math> לכל <math>x\in V</math>.
# <math>\rho</math> היא פונקציה תת-ליניארית מינימלית תחת היחס <math>\preceq</math>.<ref></ref>

מעובדה זאת נגזרת משמעות נוספת והיא שבהינתן פונקציונל תת-ליניארי כלשהו <math>\rho</math> מעל מרחב <math>V</math> ניתן למצוא פונקציה ליניארית <math>f:V\to\mathbb{R}</math> כך ש-<math>f(x)\le\rho(x)</math> לכל <math>x\in V</math>.

=== נורמה-למחצה ===

עבור מרחב וקטורי <math>V</math> מעל שדה <math>\mathbb{K}</math> (שהוא שדה הממשיים או המרוכבים) פונקציה <math>\rho:V\to\mathbb{R}</math> תקרא נורמה-למחצה אם ורק אם מתקיימים התנאים הבאים:

# <math>\rho</math> היא תת-חיבורית.
# <math>\rho</math> הומוגנית בהחלט (Absolute homogeneity). כלומר, לכל וקטור <math>x\in V</math> במרחב ולכל סקלר <math>\lambda\in\mathbb{K}</math> מתקיים <math>\rho( \lambda x) = |\lambda| \rho(x)</math>.

כמובן שכל פונקציה הומוגנית בהחלט היא הומוגנית חיובית, לכן כל נורמה למחצה היא פונקציה תת-ליניארית.

כל נורמה למחצה היא פונקציה זוגית. כלומר, <math>\rho(-x)=\rho(x)</math> לכל <math>x\in V</math>. אם <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> (שדה הממשיים), פונקציה תת-ליניארית <math>\rho</math> היא נורמה למחצה אם ורק אם היא זוגית.

מכיוון שכל נורמה למחצה היא זוגית, ושלפחות אחד מ-<math>\rho(-x)</math> ו-<math>\rho(x)</math> הוא חיובי, ניתן להסיק כי כל נורמה למחצה היא פונקציה חיובית. כלומר, לכל <math>x\in V</math> מתקיים ש-<math>\rho(x)\ge 0</math>.

בהינתן פונקציה תת-ליניארית <math>\rho</math> כלשהי, ניתן לבנות ממנה נורמה-למחצה <math>q:V\to\mathbb{R}</math> כך שלכל <math>x\in V</math>:

<math>q(x):=\max(\rho(x),\rho(-x))</math>

נורמה למחצה זו תקרא הנורמה-למחצה המשויכת ל-<math>\rho</math>.

לנורמות למחצה חשיבות רבה בבניית מרחבים וקטוריים טופולוגיים קמורים מקומית, אשר מהווים הכללה למרחבים נורמביליים.

=== נורמה ===

<math>\rho</math> תקרא נורמה אם ורק אם היא נורמה-למחצה ובנוסף מקיימת חיוביות בהחלט (positive definite). כלומר, אם <math>\rho(x)=0</math> בהכרח <math>x=0</math>. כל נורמה היא נורמה למחצה, אך ההפך אינו בהכרח נכון.

לנורמות חשיבות מכרעת באנליזה ובפיזיקה והן מהוות הבסיס למרחבי הילברט ומרחבי בנך.

== דוגמאות ==
* כל נורמה ונורמה-למחצה היא פונקציונל תת-ליניארי.
* פונקציית האפס <math>\rho(x)=0,\forall x\in V</math> היא פונקציונל תת-ליניארי.
* כל פונקציונל ליניארי על שדה <math>V</math> מעל הממשיים או המרוכבים הוא פונקציונל תת-ליניארי. הדבר נכון בפרט לפונקציית הזהות מ-<math>\mathbb{R}</math> לעצמו.
* הפונקציה <math>\rho:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> מהצורה <math>\rho(x)=
\begin{cases}
ax, & x\le 0 \\
bx, & \text{otherwise}
\end{cases}</math> כאשר <math>a\le b</math> היא פונקציונל תת-ליניארי.

== הערות שוליים ==

קטגוריה:אנליזה פונקציונלית
קטגוריה:אלגברה ליניארית