צמוד מרוכב

ייצוג גאומטרי ב[[מישור גאוס של <math>z</math> והצמוד שלו <math>\overline{z}</math>. ייצוגו של הצמוד המורכב הוא שיקוף של <math>z</math> על הציר הממשי]]
במתמטיקה, הצמוד המורכב של מספר מרוכב הוא המספר עם רכיב ממשי שווה ורכיב מדומה שווה בגודלו אך מנוגד בסימנו. כלומר, אם <math>a</math> ו-<math>b</math> הם מספרים ממשיים אז הצמוד המורכב של <math> z=a+bi</math> הוא <math>\overline{z}=z^*=a-bi</math>.

בייצוג קוטבי, ניתן להראות באמצעות נוסחת אוילר שאם <math>r</math> ו-<math>\varphi</math> הם מספרים ממשיים אז הצמוד של <math>r e^{i \varphi}</math> הוא <math>r e^{-i \varphi}</math>.

המכפלה של מספר מרוכב והצמוד שלו היא מספר ממשי: <math>a^2+b^2</math> (אוֹ <math>r^2</math> בקואורדינטות קוטביות).

== סימון ==
הצמוד המורכב של מספר מרוכב <math>z</math> מסומן כ-<math>\overline z</math> אוֹ <math>z^*</math>. הסימון הראשון, קו מחבר, דומה לסימון למטריצה צמודה, שהיא מעין הכללה של הצמוד המרוכב למטריצות. הסימון השני, כוכבית, מועדף בפיזיקה, שם המטריצה הצמודה מסומנת בדקר (†), וכן בהנדסת חשמל והנדסת מחשבים, בהן סימון הקו המחבר עלול לבלבל עם סימון השלילה הלוגית ("NOT") באלגברה בוליאנית.

אם מספר מרוכב מיוצג כמטריצה מסדר <math>2 \times 2</math>, הסימונים זהים והצמוד המורכב מתאים למטריצה המשוחלפת.

== תכונות ==
התכונות הבאות מתקיימות לכל המספרים המרוכבים <math>z</math> ו-<math>w</math>, אלא אם צוין אחרת, וניתן להוכיחן על ידי כתיבת <math>z</math> ו-<math>w</math> בצורה <math>a+bi</math>.

הצמוד שומר על חיבור, חיסור, כפל וחילוק: <math>\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}</math>, <math>\overline{z-w}=\overline{z}-\overline{w}</math>, <math>\overline{zw}=\overline{z} \cdot \overline{w}</math> ו-<math>\overline{(\frac{z}{w})}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}} (w\neq0)</math>.

מספר מרוכב שווה לצמוד המורכב שלו אם ורק אם הרכיב המדומה שלו הוא אפס, כלומר אם הוא מספר ממשי. במילים אחרות, המספרים הממשיים הם נקודות השבת היחידות של הצמוד.

הצמוד אינו משנה את הערך המוחלט של מספר מרוכב: <math>|\overline{z}|=|z|</math>.

הצמוד הוא אינוולוציה, כלומר צמוד של צמוד של מספר מרוכב <math>z</math> הוא <math>z</math> (<math>\overline{\overline{z}}=z</math>).

מכפלה של מספר מרוכב עם הצמוד שלו שווה לריבוע הערך המוחלט שלו: <math display="inline">z\overline{z}=|z|^2</math>.

תכונה זו מאפשרת חישוב קל של ההופכי הכפלי של מספר מרוכב: <math display="inline">z^{-1}=\frac{\overline{z}}{2}</math>
* רכיב מדומה: <math>y = \operatorname{Im}(z) = \dfrac{z - \overline{z}}{2i}</math>
* מודולוס (ערך מוחלט): <math>r= \left| z \right| = \sqrt{z\overline{z}}</math>
* ארגומנט: <math>e^{i\theta} = e^{i\arg z} = \sqrt{\dfrac{z}{\overline z}},</math>, כלומר <math>\theta = \arg z = \dfrac{1}{i} \ln\sqrt{\frac{z}{\overline{z}}} = \dfrac{\ln z - \ln \overline{z}}{2i}</math>

הצמוד מסייע גם לבצע חילוק מספרים מרוכבים, ולכל <math>z=a+bi,w=c+di \neq0</math> מתקיים <math>\frac{w}{z}=\frac{w \cdot \bar{z}}{z\cdot \bar{z}}=\frac{ w \cdot \bar{z}}{|z|^2}</math>, או בצורה מפורשת <math>\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)\cdot(c-di)}{(c+di)\cdot(c-di)}=\frac{(a+bi)\cdot(c-di)}{|c+di|^2}=\frac{ac+bd}{c^2 + d^2}+\frac{bc-ad}{c^2 + d^2}i</math>

בנוסף, ניתן להשתמש ב-<math>\overline{z}</math> כדי לציין ישרים במישור: הקבוצה <math>\{z : z \overline{r} + \overline{z} r=0 \}</math> מייצגת ישר דרך ראשית הצירים המאונך ל-<math>r</math>, מכיוון שהרכיב הממשי של <math>z\cdot\overline{r}</math> הוא אפס רק כאשר קוסינוס הזווית בין <math>z</math> ו-<math>r</math> הוא אפס. באופן דומה, עבור יחידה מורכבת קבועה <math>u=e^{ib}</math>, המשוואה <math display="inline">\frac{z - z_0}{\overline{z} - \overline{z_0}}=u^2</math> קובעת את ישר דרך <math>z_0</math> המקביל לישר דרך הראשית ו-<math>u</math>.

שימושים אלה בצמוד של <math>z</math> כמשתנה מומחשים בספרו של פרנק מורלי Inversive Geometry מ-1933, שנכתב עם בנו פרנק ויגור מורלי.

== הכללות ==

עבור מטריצות של מספרים מרוכבים, <math display="inline">\overline{\mathbf{AB}}=(\overline{\mathbf{A}}) (\overline{\mathbf{B}})</math>, כש-<math display="inline">\overline{\mathbf{A}}</math> היא המטריצה המורכבת מהצמוד של כל איבר ב-<math>\mathbf{A}</math>.

מטריצה צמודה של מטריצות מרוכבות היא הכללה של הצמוד המרוכב. כללי עוד יותר הוא הרעיון של אופרטור צמוד לאופרטורים במרחבי הילברט מרוכבים. כל אלו נכללים בפעולות הכוכב של אלגברות סי כוכב.

אפשר גם להגדיר צמוד גם לקווטרניונים: הצמוד של <math display="inline">a+bi+cj+dk</math> הוא <math display="inline">a-bi-cj-dk</math>.

קיים גם מושג מופשט של הצמוד למרחב וקטורי <math display="inline">V</math> מעל המספרים המרוכבים. בהקשר זה, כל מפה אנטי-ליניארית <math display="inline">\varphi: V \to V</math> המקיימת:

# <math>\varphi^2=\operatorname{id}_V</math> כש-<math>\varphi^2 = \varphi \circ \varphi</math> ו-<math>\operatorname{id}_V</math> היא מפת הזהות על <math>V</math>.
# <math>\varphi(zv) = \overline{z} \varphi(v)</math> לכל <math>v \in V, z \in \Complex</math>.
# <math>\varphi(v_1 + v_2)=\varphi(v_1)+\varphi(v_2)</math> לכל <math>v_1, v_2 \in V</math>

נקראת הצמדה מרוכבת. מכיוון שהאינוולוציה <math>\varphi</math> היא אנטי ליניארית היא לא יכולה להיות מפת הזהות על <math>V</math>.

== ראו גם ==

* מספר מרוכב
* שדה המספרים המרוכבים
* מטריצה צמודה
* אופרטור צמוד

==קישורים חיצוניים==
* 

קטגוריה:אנליזה מרוכבת
קטגוריה:מושגים במתמטיקה