פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי

פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי <math>?(x)</math>
פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי היא פונקציה ממשית בעלת מספר תכונות מעניינות ולא-שגרתיות, ומהווה גורם עניין בתחומים כמו אנליזה מתמטית, תורת המידה ותורת הפרקטלים. את הפונקציה מסמנים על ידי <math>?(x)</math>; השם והסימון הנ"ל ניתנו לפונקציה בגלל התכונות הלא-שגרתיות ולא-מובנות שלה.

הפונקציה הוגדרה על ידי הרמן מינקובסקי בשנת 1904; היא נחקרה על ידי מספר מתמטיקאים, בהם ארנאוד דנג'וי, שהראה בשנת 1938 כיצד מעבירה הפונקציה מספרים ריבועיים אל מספרים רציונליים.

==הגדרה==
הפונקציה מוגדרת בנפרד על המספרים הרציונליים ועל המספרים האי-רציונליים.

עבור מספר רציונלי נתון, מביטים בפיתוח שלו לשבר משולב סופי <math>[a_0;a_1,a_2,...,a_n]</math>, ומגדירים

<math>?(x) = a_0 + 2\sum_{i=1}^{n}{\frac{(-1)^{i-1}}{2^{a_1 + \dots + a_i}}}</math>

עבור מספר אי-רציונלי, מביטים בפיתוח שלו לשבר משולב אינסופי <math>[a_0;a_1,a_2,...,]</math>, ומגדירים

<math>?(x) = a_0 + 2\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{i-1}}{2^{a_1 + \dots + a_i}}}</math>

הפונקציה אכן מוגדרת לכל מספר אי-רציונלי, כפי שניתן להוכיח בעזרת מבחן לייבניץ.

==הסבר אינטואיטיבי==
מאחורי ההגדרה לעיל ישנו הסבר אינטואיטיבי, אשר בליבתו מסתתרת המרה בין דרכי תצוגה של מספרים ממשיים (בדומה לפונקציית קנטור, הממירה בין בסיסים).

בהינתן מספר כלשהו בין 0 ל-1, ניתן להסתכל על הייצוג הבינארי האינסופי שלו, המתפרש לסדרה של אפסים ואחדות. על אותה סדרה ניתן גם להסתכל בתור השבר המשולב <math>[a_0; a_1,...,a_n,...]</math>, כאשר המספרים הטבעיים <math>a_i</math> הם מספר האפסים והאחדות הרצופים על פי הסדר.

לדוגמה: נביט בסדרה הבינארית <math>00100100100100100...</math>. הייצוג הבינארי שלה הוא המספר <math>\frac{2}{7}</math>; הייצוג שלה לפי שבר משולב הוא <math>[0;2,1,2,1,2,1,...]</math>, ששווה ל-<math>\frac{\sqrt{3}-1}{2}</math>.

אם כן, פונקציית סימן השאלה מתאימה בין מספר המיוצג באופן של שבר משולב למספר הבינארי בעל אותו הייצוג. בפרט, על פי הדוגמה מתקיים <math>?(\frac{\sqrt{3}-1}{2}) = \frac{2}{7}</math>.

==תכונות==
עבור שני שברים מצומצמים <math>\frac{p}{q}</math> ו- <math>\frac{r}{s}</math> כך ש-<math>|ps-rq|=1</math>, מתקיים: .

<math>?\left(\frac{p+r}{q+s}\right) = \frac12 \left(?\bigg(\frac pq\bigg) + {}?\bigg(\frac rs\bigg)\right)</math>

בעזרת נוסחה זו ניתן לחשב את פונקציית סימן השאלה עבור כל מספר רציונלי.

פונקציית סימן השאלה היא פונקציה אי-זוגית, רציפה ועולה חזק, אך איננה רציפה בהחלט. היא גם פונקציה סינגולרית.

הפונקציה ממפה מספרים רציונליים אל מספרים די-אדיים רציונליים (כלומר מהצורה המצומצמת <math>\frac{x}{2^y}</math>), ומספרים ריבועיים (שורשים של משוואות ריבועיות) אי-רציונליים אל מספרים רציונליים לא די-אדיים בהכרח; מעבר לכך, היא מתאימה באופן מלא בין מספרים ריבועיים למספרים רציונליים. עבור <math>x</math> אי-רציונלי, <math>?(x)</math> הוא או אלגברי מדרגה גדולה מ-2, או טרנסצנדנטי.

מתקיים <math>?(x+1) = ?(x) + 1</math> ועל כן הפונקציה <math>?(x) - x</math> היא מחזורית בעלת מחזור 1.

הפונקציה <math>?(x) - x</math>

==הפונקציה ההופכית - פונקציית הקופסה של קונוויי==
היות שהפונקציה עולה חזק, הרי שהיא חד-חד-ערכית, ועל כן הפיכה. ההופכית שלה היא פונקציית הקופסה של קונוויי, שהתגלתה באופן בלתי תלוי על ידי ג'ון הורטון קונוויי. הסימון המקובל עבורה הוא קופסה סביב x, והיא שווה ל-<math>?^{-1}(x)</math>.

ניתן לחשב את הפונקציה על ידי מציאת הפיתוח הבינארי של המספר <math>\frac{\{x\}}{2} = \frac{x-\lfloor x \rfloor}{2}</math>, ולאחר מכן לבצע את ההתאמה כמתואר לעיל ולקבל את השבר המשולב <math>[a_0; a_1, a_2, \dots]</math>, כאשר <math>a_0 = \lfloor x \rfloor</math>.

==ראו גם==
*פונקציה סינגולרית
*פונקציית הקופסה של קונוויי

==לקריאה נוספת==
* Arnaud Denjoy, On the real function of Minkowski.
* [http://linas.org/math/mink-exact.pdf LINAS VEPŠTAS, On the Minkowski Measure]
* [http://www.ams.org/journals/tran/1943-053-03/S0002-9947-1943-0007929-6/S0002-9947-1943-0007929-6.pdf R. SALEM, On some singular monotonic functions what are strictly increasing]

==קישורים חיצוניים==

* 

קטגוריה:תורת המידה
קטגוריה:פרקטלים
קטגוריה:פונקציות פתולוגיות