קטגוריות של תורות

בלוגיקה מתמטית, אומרים שתורה <math>T</math> היא קטגורית אם כל המודלים שלה איזומורפיים. במקרה כזה, ניתן לומר שהמודל <math>M</math> של התורה היחיד עד כדי איזומורפיזם, מגדיר אותה.

בלוגיקה מסדר ראשון, תורה קטגורית היא בהכרח בעלת מודלים סופיים בלבד. זו מסקנה ישירה ממשפט לוונהיים-סקולם, שכן אם היה לה מודל אינסופי, אז היה לה מודל מכל עוצמה אינסופית (עם זאת, בלוגיקות מסדר גבוה יותר, ייתכנו תורות קטגוריות בעלות מודלים אינסופיים: למשל לאקסיומות פיאנו מסדר שני יש מודל אחד עד כדי איזומורפיזם, והוא <math>\mathbb{N}</math>). בנוסף, תורה קטגורית היא בהכרח שלמה (אך ההפך לא נכון; יש למשל תורות שלמות בעלות מודלים אינסופיים). זאת כי איזומורפיזם גורר שקילות אלמנטרית, ולכן כל שני מודלים של התורה שקולים אלמנטרית, וזאת אם ורק אם היא שלמה.

ניתן הגדרה עדינה יותר: אומרים שתורה <math>T</math> היא <math>\kappa</math>-קטגורית אם כל המודלים שלה מעוצמה <math>\kappa</math> איזומורפיים.

== שימוש ב-<math>\kappa</math>-קטגוריות ככלי להוכחת שלמות של תורות ==
פעמים רבות, נוח להוכיח שלמות של תורות באמצעות <math>\kappa</math>-קטגוריות. זה נובע מהמשפט הבא: 
משפט: תהי <math>\kappa</math> עוצמה כלשהי, לפחות כעוצמת השפה. אם תורה <math>T</math> היא <math>\kappa</math>-קטגורית, וכל מודל שלה הוא אינסופי, אז <math>T</math> שלמה.

הוכחה: נניח בשלילה ש-<math>T</math> לא שלמה. אז קיים פסוק <math>\alpha</math> כך ש-<math>T \nvdash \alpha</math> וגם <math>T \nvdash \neg\alpha</math>. מכך ש-<math>T \nvdash \alpha</math> נובע ש-<math>T,\alpha</math> עקבית (חסרת סתירה), ולכן ממשפט השלמות קיים מודל <math>M' \vDash T,\alpha</math>. מההנחה מודל זה אינסופי, ולכן ממשפט לוונהיים-סקולם יש מודל <math>M \vDash T,\alpha</math> מעוצמה <math>\kappa</math>. באופן דומה, מ-<math>T \nvdash \neg\alpha</math> נקבל שיש מודל <math>N \vDash T,\neg\alpha</math> מעוצמה <math>\kappa</math>. אז בפרט <math>M,N</math> מודלים ל-<math>T</math>, אבל הם לא איזומורפיים כי הם לא שקולים אלמנטרית: <math>M \vDash \alpha</math> אך <math>N \vDash \neg\alpha</math> ולכן <math>N \nvDash \alpha</math>. קיבלנו סתירה להנחה ש-<math>T</math> היא <math>\kappa</math>-קטגורית.

== דוגמאות ==
* ניקח שפה עם סימן השוויון <math>=</math> ושלושה סימני קבועים <math>c_1,c_2,c_3</math>. ניקח תורה עם האקסיומות הבאות: <math>\exists x_1\, \exists x_2\, \exists x_3\, \neg(x_1 = x_2) \wedge \neg(x_1 = x_3) \wedge \neg(x_2 = x_3) \wedge \forall y\, (y = x_1 \vee y = x_2 \vee y = x_3)</math> <math>\neg(c_1 = c_2) \wedge \neg(c_1 = c_2) \wedge \neg(c_2 = c_3) </math> זו תורה קטגורית, כי בכל מודל <math>M</math> שלה יש שלושה איברים בדיוק (מהאקסיומה הראשונה), והם פירושי הקבועים <math>c_1^M, c_2^M, c_3^M</math>, ששונים זה מזה (מהאקסיומה השנייה).
* אם בדוגמה הקודמת היינו מוותרים על האקסיומה השנייה, אז התורה לא הייתה קטגורית, כי קיים מודל בו כל סימני הקבועים מתאימים לאותו איבר, למשל (כלומר <math>c_1^M = c_2^M = c_3^M</math>).
* ניקח הפעם שפה עם סימן השוויון <math>=</math>, ועם סימני קבועים <math>c_1,c_2,c_3,\dots</math>. ניקח את התורה הבאה: <math>T = \{\neg(c_i = c_j) \mid i \neq j\}</math>. אז כל מודל <math>M</math> של <math>T</math> אינסופי, כי יש בו אינסוף איברים שונים שהם פירושי הקבועים <math>c_i^M</math>. נבחין כי <math>T</math> לא <math>\aleph_0</math>-קטגורית: הרי נוכל לקחת מודל <math>M</math> שלה המכיל את פירושי הקבועים בלבד, ומודל <math>M'</math> המכיל איבר נוסף, ואז אין איזומורפיזם ביניהם (כי איזומורפיזם שומר על קבועים). אמנם, נבחין ש-<math>T</math> היא <math>\kappa</math>-קטגורית לכל <math>\kappa > \aleph_0</math>: בהינתן שני מודלים מעוצמה <math>\kappa</math>, נוכל להתאים את פירושי הקבועים זה לזה (כלומר להתאים <math>c_i^M \mapsto c_i^{M'}</math>), ואת יתר <math>\kappa</math> האיברים להתאים על ידי איזומורפיזם של קבוצות, שמתאים גם כאיזומורפיזם של מודלים כי אין יחסים עליהם יש לשמור ביחס אליהם. מהמשפט לעיל נקבל כי <math>T</math> שלמה.
* נעיין בתורת המספרים עם פונקציית העוקב בלבד. נטען שהיא שלמה, ונראה זאת בעזרת המשפט שלעיל. אכן, כל מודל שלה אינסופי, שכן הוא מכיל עותק של <math>\mathbb{N}</math>, וכן מספר עותקים כלשהו של <math>\mathbb{Z}</math>. ברור שהיא לא <math>\aleph_0</math>-קטגורית, כי יש לה מודל המכיל עותק של <math>\mathbb{N}</math> בלבד, ומודל אחר שמכיל בנוסף עותק של <math>\mathbb{Z}</math>, ומודלים אלו לא איזומורפיים. אבל היא כן <math>\kappa</math>-קטגורית לכל <math>\kappa > \aleph_0</math>, כי בהינתן שני מודלים מעוצמה <math>\kappa</math>, נוכל להתאים בין העותקים של <math>\mathbb{N}</math> שבהם, וכן בין <math>\kappa</math> העותקים של <math>\mathbb{Z}</math> שיש בכל אחד מהם. מכאן שזו תורה שלמה.
* תורת הסדר המלא הצפוף בלי קצוות היא שלמה, שכן כל מודל שלה אינסופי, וניתן להראות שהיא <math>\aleph_0</math>-קטגורית, על ידי בניית התאמה בין שני סדרים צפופים בני-מנייה.
* תורת המרחבים הווקטוריים מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> כלשהו בן מנייה היא שלמה. היא לא <math>\aleph_0</math>-קטגורית כי למשל <math>\mathbb{F},\mathbb{F}^2</math> לא איזומורפיים, כי הם לא מאותו מימד מעל <math>\mathbb{F}</math>: הראשון ממימד <math>1</math> ואילו השני ממימד <math>2</math>. אמנם, לכל <math>\kappa > \aleph_0</math> התורה כן <math>\kappa</math>-קטגורית. מכיוון שאיבר כללי במרחב הוא צירוף ליניארי סופי של איברי בסיס, נובע שכל מרחב וקטורי מעוצמה <math>\kappa</math> הוא ממימד <math>\kappa</math> מעל <math>\mathbb{F}</math>, ולכן יש איזומורפיזם בין כל שני מרחבים וקטוריים מעוצמה <math>\kappa</math>.
* תורת השדות הסגורים אלגברית ממציין כלשהו היא שלמה. זאת כי כל שדה סגור אלגברית הוא אינסופי (הרי בהינתן שדה <math>\mathbb{F} = \{a_1,\dots,a_n\}</math> סופי, הפולינום <math>p(x) = 1 + \prod_{i=1}^n (x-a_i)</math> מקיים <math>p(a_i) = 1</math> לכל <math>1 \leq i \leq n</math> ואזי אין לו שורש בשדה, ומכאן ש-<math>\mathbb{F}</math> לא סגור אלגברית). בנוסף, לפי משפט, בהינתן עוצמה <math>\kappa > \aleph_0</math> ומאפיין כלשהו, יש רק שדה סגור אלגברי אחד מעוצמה וממאפיין אלו עד כדי איזומורפיזם. לכן התורה היא <math>\kappa</math>-קטגורית לכל <math>\kappa > \aleph_0</math>, ונובע כי היא שלמה.

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:לוגיקה מתמטית