משפט שפלי-שוביק

משפט שפלי שוביק הוא משפט מתחום תורת המשחקים, הקובע כי הליבה של משחק שוק אינה ריקה.

הערה: המשפט מסתמך על כך שמשחק שוק נגזר משוק שבו פונקציות הייצור הן רציפות וקעורות.

המשפט ההפוך אינו נכון.

== הוכחה ==
הוכחת המשפט משתמשת במשפט בונדרבה-שפלי. נוכיח כי משחק שוק הוא משחק מאוזן, כלומר, תנאי בונדרבה-שפלי מתקיים. <br /><br />
במהלך ההוכחה נשתמש בסימונים המופיעים בערך משחק שוק. <br /><br />
נסמן ב- <math>X^{S}</math> את קבוצת כל ההקצאות עבור קואליציה <math>S</math>: <br /><br />
<math>X^{S} := \left\{(x^{i})_{i\in{S}}:x^{i}\in\mathbb{R}_+^{L}\quad\forall{i}\in{S},\quad x(S) = a(S)\right\}\subseteq{\mathbb{R}_+^{|S|L}}</math>
<br /><br />
כאשר <math>a(S) = \sum_{i\in{s}}a^{i}</math> הוא סך המצרכים העומד לרשות הקואליציה <math>\ S</math>.

נגדיר את התשלום לקואליציה <math>\ S</math> בצורה הבאה: <math>v(S)=max\left\{\sum_{i\in{S}}u_{i}(x^{i}):x=(x^{i})_{i\in{S}}\in{X^{S}}\right\}</math>, כאשר <math>\ u_{i}</math> היא פונקציית הייצור.<br />
לכל קואליציה <math>S \neq \varnothing</math> נבחר הקצאה <math>x^{S}= (x^{S,i})_{i\in{S}}\in\mathbb{R}_+^{|S|L}</math> שבה מתקבל המקסימום בהגדרת <math>\ v(S)</math>.
<br /> <br />
מתקיים: <br /><br />
(i)
<math>x^{S,i}\in\mathbb{R}_+^{L}</math> לכל שחקן i.
<br /> <br />
(ii)
<math>x^{S}(S)=\sum_{i\in{S}}x^{S,i}=\sum_{i\in{s}}a^{i}=a(S)</math>, כאשר <math>a^{i}\in\mathbb{R}_+^{L}</math> הוא הסל ההתחלתי של שחקן i.
<br /> <br />
(iii)
<math>v(S)=\sum_{i\in{S}}u_{i}(x^{S,i})</math> 
<br /><br />
נראה כעת כי המשחק הוא משחק מאוזן. <br /> <br />
יהי <math>\delta=(\delta_{S})_{s\in{\mathcal{D}^{*}}}\in{P}</math>, כאשר <math>\mathcal{D}^{*}</math> הוא אוסף כל הקואליציות הלא ריקות ב-<math>\ N</math>, ו-<math>\ P</math> היא קבוצת כל וקטורי המקדמים המאזנים חלש את <math>\mathcal{D}^{*}</math>. 
<br /> <br />
צריך להראות כי <math>v(N)\ge\sum_{S\in{\mathcal{D}^{*}}}\delta_{S}v(S)</math>. 
<br />
נגדיר: <br /> <br />
<math>\forall{i}\in{N}.\quad z^{i}:=\sum_{\{s\in{\mathcal{D}^{*}}:i\in{S}\}}\delta_{S}x^{S,i}</math>.
<br /><br />
נראה כי <math>z=(z^{i})_{i\in{N}}</math> הוא הקצאה אפשרית: <br /><br />
<math>z^{i}\in\mathbb{R}_+^{L}</math> כי הוא ממוצע של וקטורים ב-<math>\mathbb{R}_+^{L}</math>.
נותר להראות כי <math>\ z(N)=a(N)</math>:
<br /><br />
<math>z(N)=\sum_{i\in{N}}z^{i}=\sum_{i\in{N}}\sum_{\{S:i\in{S}\}}\delta_{S}x^{S,i}=\sum_{S\in{\mathcal{D}^{*}}}\sum_{i\in{S}}\delta_{S}x^{S,i}=\sum_{S\in{\mathcal{D}^{*}}}\delta_{S}\sum_{i\in{S}}x^{S,i}=\sum_{S\in{\mathcal{D}^{*}}}\delta_{S}x^{S}(S)</math>
<br />
מכיוון ש-<math>\ x^{S}(S)=a(S)</math> ועל ידי שינוי סדר סכימה, נקבל:
<br /><br />
<math>z(N)=\sum_{S\in{\mathcal{D}^{*}}}\delta_{S}a(S)=\sum_{S\in{\mathcal{D}^{*}}}\delta_{S}\sum_{i\in{S}}a^{i}=\sum_{i\in{N}}a^{i}\sum_{\{S:i\in{S}\}}\delta_{S}</math>
<br /><br />
<math>\ \delta</math> הוא וקטור מקדמים מאזנים, כלומר - <br /><br />
<math>\sum_{\{S:i\in{S}\}}\delta_{S}=1</math> 
<br />
לכן - <br /><br />
<math>z(N)=\sum_{i\in{N}}a^{i}=a(N)</math>
<br />
כלומר <math>\ z</math> הוא אכן הקצאה אפשרית. לכן, מהגדרת <math>\ v</math> ומהגדרת <math>\ z</math> נקבל: 
<br /><br />
<math>v(N)\ge\sum_{i\in{N}}u_{i}(z^{i})=\sum_{i\in{N}}u_{i}\left(\sum_{\{S:i\in{S}\}}\delta_{S}x^{S,i}\right)\ge\sum_{i\in{N}}\sum_{\{S:i\in{S}\}}\delta_{S}u_{i}(x^{S,i})</math>
<br /><br />
אי השוויון האחרון נובע מקעירות הפונקציות <math>\ u_{i}</math>.
על ידי שינוי סדר סכימה, נקבל: <br /><br />
<math>v(N)\ge\sum_{S\in{\mathcal{D}^{*}}}\sum_{i\in{S}}\delta_{S}u_{i}(x^{S,i})=\sum_{S\in{\mathcal{D}^{*}}}\delta_{S}v(S)</math>.
<br /><br />
כיון ש- <math>\delta</math> הוא וקטור מקדמים מאזנים חלש כלשהו, נובע מכאן כי תנאי בונדרבה-שפלי מתקיים, ולכן הליבה של המשחק אינה ריקה.
<math>\blacksquare</math>

== ראו גם ==
* תורת המשחקים
* משחק שוק
* ליבה של משחק שיתופי
* משפט בונדרבה-שפלי

== לקריאה נוספת ==
*

שפלי שוביק