אי-שוויון הלדר

אי-שוויון הלדר הוא אי-שוויון יסודי באנליזה מתמטית ובמיוחד באנליזה פונקציונלית. אי-שוויון זה מהווה הכללה משמעותית של אי-שוויון קושי-שוורץ, ומשמש כדי להוכיח את אי-שוויון מינקובסקי.

אי-השוויון הוכח על ידי המתמטיקאי הבריטי לאונרד ג'יימס רוג'רס בשנת 1888, ובאופן לא תלוי על ידי המתמטיקאי הגרמני אוטו הלדר בשנת 1889.

ניתן להוכיח את אי השוויון באמצעות אי-שוויון יאנג או באמצעות אי-שוויון ינסן.

==אי-השוויון==

המקרה הכללי ביותר של אי-השוויון הוא במרחבי מידה: יהי <math>(X, \sigma, \mu)</math> מרחב מידה. עבור קבוע <math>r \in \mathbb{R}</math>, לכל <math>f:X \to \mathbb{C}</math> נהוג לסמן:
<math display="block"> \| f \|_r \equiv \left( \int_{X} \left| f \right|^r d\mu \right)^{1/r} </math>
יש לשים לב שביטוי זה מגדיר נורמה רק אם <math>f \in L^r(\mu)</math> (כלומר <math>\int f^r < \infty</math>).

אי-השוויון קובע שלכל <math>p,q \in [1,\infty]</math> המקיימים <math>1/p + 1/q = 1</math>, לכל זוג פונקציות מדידות <math>f,g:X \to \mathbb{C}</math>, מתקיים כי:
<math display="block">\| fg \|_1 \leq \| f \|_p \| g \|_q</math>

אם מתקיים בנוסף כי <math>p,q \in (1,\infty)</math> וכן גם <math>f \in L^p(\mu)</math>, <math>g \in L^q(\mu)</math>, אז אי השוויון הוא שוויון אם ורק אם <math>\left| f \right|^p, \left| g \right|^q</math> תלויות ליניארית במרחב <math>L^1(\mu)</math>, כלומר קיים <math>c \geq 0</math> כך שמתקיים <math>\left| f \right|^p = c \cdot \left| g \right|^q</math> כמעט תמיד ביחס ל-<math>\mu</math>.

===מקרים פרטיים חשובים===

ניתן עוד לראות כי אי-השוויון מתקיים גם לסדרות, ביחס למרחבי מידה מתאימים:
<center><math>\sum_{i=1}^{n} a_i^\alpha \cdot b_i^\beta \leq \left ( \sum_{i=1}^{n} a_i \right ) ^{\alpha} \cdot \left ( \sum_{i=1}^{n} b_i \right ) ^{\beta}</math>
</center>
עבור <math>a_i, b_i, \alpha , \beta \geq 0</math> כאשר <math>\alpha+\beta=1</math>.

באינדוקציה ניתן להכליל את אי-שוויון הלדר עבור מספר כלשהו של סדרות, לדוגמה:
<math display="block">\sum_{i=1}^{n} a_i^\alpha \cdot b_i^\beta \cdot c_i^\gamma \leq \left ( \sum_{i=1}^{n} a_i \right ) ^{\alpha} \cdot \left ( \sum_{i=1}^{n} b_i \right ) ^{\beta}\cdot \left ( \sum_{i=1}^{n} c_i \right ) ^{\gamma}</math>
כאשר <math>\alpha + \beta + \gamma=1</math> וגם <math>\alpha,\beta,\gamma \geq 0</math>

כאשר <math>\alpha = \beta = \frac{1}{2}</math> מתקבל אי-שוויון קושי-שוורץ:
<math>\left ( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right ) ^ \frac{1}{2} \cdot\left ( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right ) ^ \frac{1}{2} \geq \sum_{i=1}^{n} \left( a_i^2 \right )^\frac{1}{2} \cdot \left( b_i^2 \right )^\frac{1}{2}</math>
ולכן סה"כ
<math>\sum_{i=1}^{n} a_i^2 \cdot \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \geq \left ( \sum_{i=1}^{n} \left | a_ib_i \right | \right )^2</math>

==הוכחה==

נשים לב שלכל <math>x,y \geq 0</math> מתקיימת הטענה הבאה: <math>x^\alpha\cdot y^\beta \leq \alpha \cdot x + \beta \cdot y</math>. זאת ניתן להוכיח בעזרת אי-שוויון ינסן שהרי <math>\log</math> היא פונקציה קעורה ולכן: <math>\alpha \cdot \log(x) + \beta \cdot \log(y) \leq \log(\alpha \cdot x + \beta \cdot y)</math>.

כעת נסמן <math>S_a = \sum_{i=1}^{n} a_i, S_b = \sum_{i=1}^{n} b_i</math> ולפי הטענה הנ"ל מתקיים <math display="block">\sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{a_i}{S_a} \right )^\alpha \cdot \left ( \frac{b_i}{S_b} \right )^\beta \leq \sum_{i=1}^{n} \left ( \alpha \cdot \frac{a_i}{S_a} \right) + \sum_{i=1}^{n} \left ( \beta \cdot \frac{b_i}{S_b} \right) = \alpha + \beta = 1</math> נכפיל את שני האגפים ב <math>S_a ^ \alpha \cdot S_b^\beta</math> ונקבל את אי השוויון הרצוי <math>\sum_{i=1}^{n} a_i^\alpha \cdot b_i^\beta \leq S_a ^ \alpha \cdot S_b^\beta</math>.

הוכחה דומה ניתן לספק עבור פונקציות חיוביות והאינטגרלים שלהן במקום סדרות חיוביות והסכום שלהן.

==קישורים חיצוניים==
* 

קטגוריה:אי-שוויונות