יחס הופכי

במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, היחס ההופכי ליחס בינארי <math>\mathcal{R}</math> על קבוצה <math>A</math>, הוא היחס המסומן <math>\mathcal{R}^{-1}</math> ומוגדר על ידי <math>x\mathcal{R}^{-1}y\iff y\mathcal{R}x</math>. לדוגמה, היחס ההופכי ליחס <math><</math> על <math>\R</math> הוא היחס <math>></math>.

==תכונות של יחסים המשתמרות ביחס ההופכי==
*רפלקסיביות.
:הוכחה: <math>\forall x,x\mathcal{R}x\,\Rarr\,\forall x,x\mathcal{R}^{-1}x</math>.
*אי-רפלקסיביות.
:הוכחה: מההגדרה <math>x\mathcal{R}^{-1}y\iff y\mathcal{R}x</math> נובע כי <math>\neg x\mathcal{R}^{-1}y\iff\neg y\mathcal{R}x</math>, ולכן <math>\forall x,\neg x\mathcal{R}x\,\Rarr\,\forall x,\neg x\mathcal{R}^{-1}x</math>.
*סימטריה. בפרט אם <math>\mathcal{R}</math> סימטרי, אז <math>\mathcal{R}^{-1}=\mathcal{R}</math>.
:הוכחה: <math>x\mathcal{R}^{-1}y\iff y\mathcal{R}x\iff x\mathcal{R}y\iff y\mathcal{R}^{-1}x</math>.
*אנטי-סימטריה וכן א-סימטריה.
: הוכחה: <math>x\mathcal{R}^{-1}y\and y\mathcal{R}^{-1}x\,\Rarr\,y\mathcal{R}x\and x\mathcal{R}y\,\Rarr\, x=y</math> ולכן יש שימור של אנטי-סימטריה. עבור א-סימטריה: <math>x\mathcal{R}^{-1}y\and y\mathcal{R}^{-1}x\iff y\mathcal{R}x\and x\mathcal{R}y</math> ולכן אם <math>\mathcal{R}</math> א-סימטרי אז <math>\mathcal{R}^{-1}</math> א-סימטרי.
*טרנזיטיביות.
:הוכחה: <math>x\mathcal{R}^{-1}y\and y\mathcal{R}^{-1}z\,\Rarr\,y\mathcal{R}x\and z\mathcal{R}y\,\Rarr\,z\mathcal{R}x\Rarr x\mathcal{R}^{-1}z</math>.

==תכונות נוספות של היחס ההופכי==
*ההופכי של ההופכי הוא היחס עצמו: <math>(\mathcal{R}^{-1})^{-1}=\mathcal{R}</math>. תכונה זו מאפשרת להפוך את כל התכונות לעיל מ"אם ב-<math>\mathcal{R}</math> אז ב-<math>\mathcal{R}^{-1}</math>" ל"ב-<math>\mathcal{R}</math> אם ורק אם ב-<math>\mathcal{R}^{-1}</math>".
:הוכחה: לכל <math>x,y</math> מתקיים <math>x(\mathcal{R}^{-1})^{-1}y\iff y\mathcal{R}^{-1}x\iff x\mathcal{R}y</math>
*הפונקציה המתאימה לכל יחס את ההופכי שלו היא פונקציה שומרת הכלה: <math>\mathcal{R}\sube\mathcal{T}\iff\mathcal{T}\sube\mathcal{R}</math>.
:הוכחה: לכל <math>x,y</math> מתקיים <math>x\mathcal{R}^{-1}y\,\Rarr\,y\mathcal{R}x\,\Rarr\,y\mathcal{T}x\,\Rarr\,x\mathcal{T}^{-1}y</math> ולכן <math>\mathcal{R}^{-1}\sube\mathcal{T}^{-1}</math>.
*ההופכי מתפלג מעל החיתוך: <math>(\mathcal{R}\cap\mathcal{T})^{-1}=\mathcal{R}^{-1}\cap\mathcal{T}^{-1}</math>.
:הוכחה: לכל <math>x,y</math> מתקיים <math>x(\mathcal{R}\cap\mathcal{T})^{-1}y\iff y(\mathcal{R}\cap\mathcal{T})x\iff y\mathcal{R}x\and y\mathcal{T}x\iff x\mathcal{R}^{-1}y\and x\mathcal{T}^{-1}y\iff x(\mathcal{R}^{-1}\cap\mathcal{T}^{-1})y</math>.
*ההופכי מתפלג מעל האיחוד: <math>(\mathcal{R}\cup\mathcal{T})^{-1}=\mathcal{R}^{-1}\cup\mathcal{T}^{-1}</math>.
:הוכחה: לכל <math>x,y</math> מתקיים <math>x(\mathcal{R}\cup\mathcal{T})^{-1}y\iff y(\mathcal{R}\cup\mathcal{T})x\iff y\mathcal{R}x\or y\mathcal{T}x\iff x\mathcal{R}^{-1}y\or x\mathcal{T}^{-1}y\iff x(\mathcal{R}^{-1}\cup\mathcal{T}^{-1})y</math>.
*ההופכי להרכבת יחסים הוא הרכבת ההופכיים בסדר הפוך: <math>(\mathcal{R}\circ\mathcal{T})^{-1}=\mathcal{T}^{-1}\circ\mathcal{R}^{-1}</math>.
:הוכחה: לכל <math>x,y</math> מתקיים <math>x(\mathcal{R}\circ\mathcal{T})^{-1}y\iff y(\mathcal{R}\circ\mathcal{T})x\iff\exist z,y\mathcal{R}z\and z\mathcal{T}x\iff\exist z,z\mathcal{R}^{-1}y\and x\mathcal{T}^{-1}z\iff x(\mathcal{T}^{-1}\circ\mathcal{R}^{-1})y</math>.
*מכל התכונות בסעיף הקודם נובע כי היחס ההופכי ליחס שקילות הוא יחס שקילות, והיחס ההופכי ליחס סדר הוא יחס סדר.

==דוגמאות==
*לכל קבוצה <math>A</math>, היחס ההופכי ליחס <math>\sube</math> על <math>\mathcal{P}(A)</math> הוא <math>\supe</math>.
*לכל פונקציה חד-חד-ערכית ועל, היחס ההופכי הוא הפונקציה ההופכית.
*היחס ההופכי ליחס "קיימת פונקציה חד-חד-ערכית" בין קבוצות הוא היחס "קיימת פונקציה על".

==ראו גם==
*יחס (תורת הקבוצות)
*פונקציה הופכית

==קישורים חיצוניים==
*[http://storage.notes-heaven.com/notesheaven/Archive/Shirs_Notes/SetTheory_Lessons.pdf תורת הקבוצות על פי הרצאות של פרופ' ענר שלו], עמוד 11.

קטגוריה:תורת הקבוצות
קטגוריה:יחסים מתמטיים