פונקציית W של למברט

גרף הפונקציה <math>y = W(x)</math> עבור <math>x<6</math> ו <math>y > -4</math>. ההסתעפות העליונה (בכחול) עם ערכי <math>y \geq -1</math> היא גרף הפונקציה <math>W_0</math> (ההסתעפות הראשית), וההסתעפות התחתונה (בסגול) עם ערכי <math>y \leq -1</math> היא גרף הפונקציה <math>W_{-1}</math>. הערך המינימלי של <math>x</math> הוא ב-<math>(-\frac{1}{e},-1)</math>
במתמטיקה, פונקציית W של למברט (נקראת גם: פונקציית אומגה), היא פונקציה רב-ערכית, השווה לאוסף הענפים של הפונקציה ההופכית של הפונקציה <math>f(w)=we^w</math>, כש-<math>w</math> הוא מספר מרוכב כלשהו ו-<math>e^w</math> היא פונקציית האקספוננט.

לכל מספר שלם <math>k</math> משויך ענף אחד, המסומן בצורה <math>W_k(\text{z})</math>. <math>W_0</math> מוגדר כענף הראשי . לפונקציות אלו מתקיימת התכונה הבאה: אם <math>\text{z}</math> ו-<math>w</math> הם מספרים מרוכבים כלשהם, אזי מתקיים:

: <math>we^w = z</math>

אם ורק אם:

: <math>w = W_k(\text{z})</math> עבור <math>k</math> שלם כלשהו.

אם מתעסקים רק בעולם המספרים הממשיים, אז קיימים שני הענפים <math>W_0</math> ו-<math>W_{-1}</math> בלבד; עבור המספרים הממשיים <math>x</math> ו-<math>y</math> והמשוואה:

: <math>ye^y = x</math>

למשוואה זו יש פתרון רק עבור <math>x\geq-\frac{1}{e}</math>; אנו מקבלים כי <math>y = W_0(x)</math> אם <math>x\geq 0</math>, ואת שני הערכים <math>y = W_0(x)</math> וגם <math>y = W_{-1}(x)</math> אם <math>-\frac{1}{e}\leq x <0</math> (כפי שניתן לראות בתמונה).

הפונקציה שימושית בקומבינטוריקה, לדוגמה, בספירת עצים. ניתן להשתמש בה בכדי לפתור משוואות המכילות אקספוננט (למשל המקסימום של משוואת פלאנק, משוואת התפלגות בוז-איינשטיין ומשוואת התפלגות פרמי-דיראק).

== טרמינולוגיה ==
פונקציית W של למברט קרויה על שם המתמטיקאי יוהאן היינריך למברט.

לעיתים הענף הראשי <math>W_0</math> מסומן כ-<math>W_p</math> והענף <math>W_{-1}</math> מסומן כ-<math>W_m</math>.

לעיתים הפונקציה נקראת גם "לוגריתם המכפלה" (באנגלית product logarithm) כיוון שאם הפונקציה ההופכית של <math>f(w) = e^w</math> נקראת לוגריתם, אז הגיוני לקרוא לפונקציה ההופכית של המכפלה <math>we^w</math> בשם "לוגריתם המכפלה"

הפונקציה קשורה לקבוע אומגה, ששווה ל-<math>W_0(1)</math>.

== ייצוגים ==
אומנם את פונקציית W של למברט לא ניתן לבטא באמצעות פונקציות אלמנטריות<ref></ref>., אך ניתן לייצג אותה ובעיקר את הענף הראשי שלה בדרכים אחרות.

=== באמצעות אינטגרלים מסוימים ===
בתחום <math>|x| < \frac1{e}</math>, ניתן לייצג באמצעות האינטגרל הבא:<ref></ref>

: <math>-\frac{\pi}{2}W_0(-x)=\int_0^\pi\frac{\sin\left(\tfrac32 t\right)-xe^{\cos t}\sin\left(\tfrac52 t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^2e^{2\cos t}}\sin\left(\tfrac12 t\right)\,dt</math>

ועבור התחום הרחב יותר <math>-\frac1{e}\leq x\leq e</math>, ניתן לפשט עוד יותר את הביטוי:<ref></ref>

: <math>W_0(x) = \frac{1}{\pi} \operatorname{Re} \int_0^\pi \ln\left(\frac{e^{e^{it}} - xe^{-it}}{e^{e^{it}} - xe^{it}}\right) \,dt</math>

קיים ייצוג נוסף לענף הראשי:<ref></ref><ref></ref>

: <math>W_0(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\log\left(1+x\frac{\sin t}{t}e^{t\cot t}\right)dt</math>
עבור התחום <math>x\geq-\frac{1}{e}</math> בו הענף הראשי מוגדר, מתקיים:<ref></ref>
: <math>\begin{align}W_0(x)&= \frac{x}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}\frac{(1-v\cot v)^2 +v^2}{x+v\csc ve^{-v\cot v}}dv \\ \ &
= \frac{x}{\pi}\int^{\pi}_0\frac{(1-v\cot v)^2 +v^2}{x+v\csc ve^{-v\cot v}}dv\end{align}</math>

(שני האינטגרלים שווים כיוון שהפונקציה בתוך האינטגרל סימטרית).

=== באמצעות שברים משולבים ===
ניתן גם להציג את הענף הראשי באמצעות השבר המשולב הבא:<ref></ref>

: <math>W_0(x) = \cfrac{x}{1+\cfrac{x}{1+\cfrac{x}{2+\cfrac{5x}{3+\cfrac{17x}{10+\cfrac{133x}{17+\cfrac{1927x}{190+\cfrac{13582711x}{94423+\ddots}}}}}}}}</math>

ועבור התחום <math>|W_0(x)|<1</math>:<ref></ref>

: <math>W_0(x) = \cfrac{x}{\exp \cfrac{x}{\exp \cfrac{x}{\ddots}}}</math>

ובאופן דומה, עבור התחום <math>|W_0(x)|>e</math>:

: <math>W_0(x) = \ln \cfrac{x}{\ln \cfrac{x}{\ln \cfrac{x}{\ddots}}}</math>

== ד"א (דיפרנציאביליות ואינטגרביליות) ==
=== נגזרת ===
לפי השיטה למציאת נגזרת של פונקציה סתומה, ניתן להראות כי לכל הענפים של <math>W</math> יש משוואה דיפרנציאלית רגילה:

: <math>z(1+W)\frac{dW}{dz} = W \ \ \ (z \neq\frac{-1}{e})</math>

(<math>W</math> אינה גזירה עבור <math>z = -\frac{1}{e}</math>) כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הנוסחה הבאה עבור הנגזרת של <math>W</math>:

: <math>\frac{dW}{dz} = \frac{W(z)}{z(1+W(z))} \ \ \ z \notin \{0, -\frac{1}{e}\}</math>

ובאמצעות שימוש בזהות <math>e^{W(z)}=\frac{z}{W(z)} </math> נקבל את הנוסחה הבאה:

: <math>\frac{dW}{dz} = \frac{1}{z + e^{W(z)}} \ \ \ (z \neq -\frac{1}{e})</math>

בענף הראשי נקבל <math>W_{0}'(0) = 1</math>.

=== אינטגרל ===
ניתן למצוא את האינטגרל של הפונקציה <math>W(x)</math>, ושל פונקציות רבות נוספות המכילות בתוכן את פונקציית W, על ידי שימוש באינטגרציה באמצעות החלפת משתנים: <math>w = W(x) \ \ \ (x = we^w)</math>

: <math>\begin{align}\int W(x)dx&= xW(x) - x + e^{W(x)} + C \\ \ &
= x\left(W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)}\right) + C\end{align}</math>

המשוואה השנייה היא בשימוש הנפוץ יותר, אך אינה מוגדרת עבור <math>x=0</math>.

אם נשתמש בעובדה כי <math>W_0(e) = 1</math> נקבל:

: <math>\int_0^eW_0(x)dx = e-1</math>

==== אינטגרלים מסוימים ====
קיימים כמה אינטגרלים מסוימים שימושיים של הענף הראשי של פונקציית W. כגון:
: <math>\int_0^\pi W_0(2\cot^2x) \sec^2xdx = 4\sqrt{\pi}</math>

: <math>\int_0^{\infin}\frac{W_0(x)}{x\sqrt{x}}dx = 2\sqrt{2\pi}</math>

: <math>\int_0^\infin W_0\left(\frac{1}{x^2}\right)dx = 2\sqrt{\pi}</math>

את המשוואה הראשונה ניתן למצוא באמצעות כתיבת אינטגרל גאוסיאני בקואורדינטות קוטביות.

את המשוואה השנייה ניתן למצוא על ידי שימוש בהחלפה <math>u=W_0(x)</math>, ואז ניתן גם להחליף את:

: <math>x=ue^u</math>

: <math>\frac{dx}{du}=(u+1)e^u</math>

ואז ניתן להראות כי:

: <math>\begin{align}
\int_0^\infty \frac{W_0(x)}{x\sqrt{x}}\,dx &=\int_0^\infty \frac{u}{ue^{u}\sqrt{ue^{u}}}(u+1)e^u \, du \\[5pt]
&=\int_0^\infty \frac{u+1}{\sqrt{ue^u}}du \\[5pt]
&=\int_0^\infty \frac{u+1}{\sqrt{u}}\frac{1}{\sqrt{e^u}}du\\[5pt]
&=\int_0^\infty u^\tfrac12 e^{-\frac{u}{2}}du+\int_0^\infty u^{-\tfrac12} e^{-\frac{u}{2}}du\\[5pt]
&=2\int_0^\infty (2w)^\tfrac12 e^{-w} \, dw+2\int_0^\infty (2w)^{-\tfrac12} e^{-w} \, dw && \quad (u =2w) \\[5pt]
&=2\sqrt{2}\int_0^\infty w^\tfrac12 e^{-w} \, dw + \sqrt{2} \int_0^\infty w^{-\tfrac12} e^{-w} \, dw \\[5pt]
&=2\sqrt{2} \cdot \Gamma \left (\tfrac32 \right )+\sqrt{2} \cdot \Gamma \left (\tfrac12 \right ) \\[5pt]
&=2\sqrt{2} \left (\tfrac12\sqrt{\pi} \right )+\sqrt{2}\left(\sqrt{\pi}\right) \\[5pt]
&=2\sqrt{2\pi}.
\end{align}</math>

המשוואה השלישית נובעת מהמשוואה השנייה על ידי ההחלפה <math>u=x^{-2}</math>, ובנוסף גם המשוואה הראשונה נובעת מהשלישית על ידי ההחלפה <math>z=\frac{1}{\sqrt{2}}\tan x</math>.
==== אינטגרלים לא מסוימים ====
<math>\int\frac{W(x)}{x}dx = \frac{W(x)^2}{2} + W(x) + C</math>{\cancel{\color{green}u}\cancel{\color{red}e^u}}(u+1)\cancel{\color{red}e^u}du \\ \ &
= \int (u + 1) du \\ \ &
= \frac{u^2}{2} + u + C \\ \ &
\qquad u = W(x) \\ \ &
= \frac{W(x)^2}{2} + W(x) + C
\end{align}</math>}}

(u+1)\cancel{\color{green}e^u}du \\ \ &
= \int (u+1)du \\ \ &
= \frac{u^2}{2} u+C \\ \ &
= \frac{W(x)^2}{2} + W(x) + C
\end{align}</math>}}

<math>\int W\left(A e^{Bx}\right) \, dx \; = \; \frac{ W\left(A e^{Bx}\right) ^2}{2B} + \frac{ W\left(A e^{Bx}\right) }{B} + C</math>

 W(w)}{w} \cancel{\color{OliveGreen}{ \frac{1}{A} }} dw </math>
:: <math> t = W\left(w\right) \rightarrow te^t=w \;\;\;\; \frac{ d }{ dt } te^t = \left(t+1\right)e^t </math>
<math>\int W\left(A e^{Bx}\right) \, dx \; = \; \frac{1}{B} \int \frac{t}{te^t}\left(t+1\right)e^t dt </math>

<math>\int W\left(A e^{Bx}\right) \, dx \; = \; \frac{1}{B} \int \frac{ \cancel{\color{OliveGreen}{t}} }{ \cancel{\color{OliveGreen}{t}} \cancel{\color{BrickRed}{e^t}} }\left(t+1\right) \cancel{\color{BrickRed}{e^t}} dt </math>

<math>\int W\left(A e^{Bx}\right) \, dx \; = \; \frac{1}{B} \int t+1 dt </math>

<math> \int W\left(A e^{Bx}\right) \, dx \; = \; \frac{t^2}{2B} + \frac{t}{B} + C </math>
:: <math> t = W\left(w\right) </math>
<math> \int W\left(A e^{Bx}\right) \, dx \; = \; \frac{ W\left(w\right) ^2}{2B} + \frac{ W\left(w\right) }{B} + C </math>
:: <math> w = Av </math>
<math> \int W\left(A e^{Bx}\right) \, dx \; = \; \frac{ W\left(Av\right) ^2}{2B} + \frac{ W\left(Av\right) }{B} + C </math>
:: <math> v = e^u </math>
<math> \int W\left(A e^{Bx}\right) \, dx \; = \; \frac{ W\left(Ae^u\right) ^2}{2B} + \frac{ W\left(Ae^u\right) }{B} + C </math>
:: <math> u = Bx </math>
<math> \int W\left(A e^{Bx}\right) \, dx \; = \; \frac{ W\left(Ae^{Bx}\right) ^2}{2B} + \frac{ W\left(Ae^{Bx}\right) }{B} + C </math>}}<math> \int \frac{ W(x) }{x^2} \, dx \; = \; \operatorname{Ei}\left(- W(x) \right) - e^{ - W(x) } + C
</math>

== ערכים מיוחדים ==
עבור כל <math>x</math> מספר אלגברי השונה מ-0, מתקיים כי <math>W(x)</math> הוא מספר טרנסצנדנטי. אם <math>W(x)</math> הוא 0, אז <math>x</math> חייב להיות גם הוא 0, ואם <math>W(x)</math> הוא מספר לא אלגברי שונה מאפס, אז לפי משפט לינדמן-ויירשטראס, <math>e^{W(x)}</math> חייב להיות מספר טרנסצנדנטי, ולכן <math>x = W(x)e^{W(x)}</math> חייב להיות גם הוא מספר טרנסצנדנטי.

למטה מובאים ערכים מיוחדים של הענף הראשי (<math>W_0</math>):
* <math>W_0(-\frac{\pi}{2}) = \frac{i\pi}{2} </math>
* <math>W_0(-\frac{1}{e}) = -1</math>
* <math>W_0(2\ln2) = \ln 2</math>
* <math>W_0(0)=0</math>
* <math>W_0(1) = \Omega = \left(\int_{-\infin}^\infin\frac{dt}{(e^t-t)^2+\pi^2}\right)^{-1} \approx0.56714329</math> (קבוע אומגה)
* <math>W_0(1) = e^{-W(1)}=\ln \left(\frac{1}{W(1)}\right)= -\ln W(1)</math>
* <math>W(e)=1</math>
* <math>W(e^{1+e}) = e</math>

== קישורים חיצוניים ==

* [https://dlmf.nist.gov/4.13 פונקציית W של למברט לפי המכון הלאומי לתקנים וטכנולוגיה]
* 
* [https://github.com/DarkoVeberic/LambertW מימוש הפונקציה בשפת ]

== הערות שוליים ==

קטגוריה:אנליזה מרוכבת
קטגוריה:קומבינטוריקה
קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות