אקוטוטיאנט

במתמטיקה, אקוטוטיאנט הוא מספר טבעי n שלא ניתן לבטא אותו כהפרש בין מספר טבעי m לבין כמות המספרים הקטנים מ-m שזרים ל-m.

== הגדרה ==
בניסוח פורמלי יותר: מספר טבעי כלשהו <math>n</math> הוא מספר אקוטוטאינטי אם ורק אם למשוואה <math>m - \varphi(m) = n</math>, כאשר <math>\varphi</math> מייצג את פונקציית אוילר, אין פתרון מעל המספרים הטבעיים.

: הקוטוטיאנט של m מוגדר כהפרש <math>m - \varphi(m)</math>, כלומר, כמות המספרים הקטנים מ-m שאינם זרים לו.

ולכן הגדרה נוספת היא: מספר טבעי כלשהו <math>n</math> הוא מספר אקוטוטאינטי אם ורק אם הוא אינו קוטוטיאנט של אף מספר טבעי.

תחילתה של סדרת המספרים האקוטוטיאנטים היא:

10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490,...
== זוגיות המספרים האקוטוטיאנטים ==
משוער כי כל המספרים האקוטוטיאנטים הם זוגיים. ההשערה מתבססת על השערת גולדבך: אם ניתן לייצג את המספר הזוגי n כסכום של שני ראשוניים שונים p ו-q, אזי

: <math>pq - \varphi(pq) = pq - (p-1)(q-1) = p+q-1 = n-1</math>
: כלומר, המספר האי זוגי <math>n-1</math> הוא הקוטוטיאנט של <math>pq</math>, ולכן אינו אקוטונטיאנט.

לפי השערת גולדבך, כל מספר זוגי גדול מ-6 הוא סכום של שני מספרים ראשוניים נפרדים, כך שככל הנראה, אף מספר אי-זוגי שגדול מ-5 אינו אקוטוטיאנט. שאר המספרים האי-זוגיים אינם אקוטוטיאנטים כי: <math>1=2-\varphi(2), 3 = 9 - \varphi(9)</math> ו <math>5 = 25 - \varphi(25)</math> .

עבור מספרים זוגיים, ניתן להראות כי

: <math>2pq - \varphi(2pq) = 2pq - (p-1)(q-1) = pq+p+q-1 = (p+1)(q+1)-2</math>

לפיכך, כל המספרים הזוגיים n שעבורם מתקיים: <math>(p+1)\times(q+1)=n+2</math> (כש <math>n = p + q</math> מספרים ראשוניים כלשהם) הם קוטוטיאנטים.

== סדרות קשורות ==
{| class="wikitable"
!26
!25
!24
!23
!22
!21
!20
!19
!18
!17
!16
!15
!14
!13
!12
!11
!10
!9
!8
!7
!6
!5
!4
!3
!2
!1
!0
!n
|-
| colspan="28" |סדרת הקוטוטיאנט של n
|-
|14
|5
|16
|1
|12
|9
|12
|1
|12
|1
|8
|7
|8
|1
|8
|1
|6
|3
|4
|1
|4
|1
|2
|1
|1
|0
| -
!cototient(n)
|-
| colspan="28" |סדרת המספרים k כך ש k המספר הכי קטן שהקוטוטיאנט שלו הוא n (0 אם לא קיים k כזה - כלומר אם n אקוטוטיאנט):
|-
|0
|69
|36
|95
|30
|45
|38
|51
|34
|65
|24
|39
|26
|33
|18
|35
|0
|21
|12
|15
|10
|25
|6
|9
|4
|2
|1
!k
|-
| colspan="28" |סדרת המספרים l כך ש l המספר הכי גדול שהקוטוטיאנט שלו הוא n (0 אם לא קיים l כזה - כלומר אם n אקוטוטיאנט):
|-
|0
|133
|46
|529
|30
|85
|38
|361
|34
|289
|32
|55
|26
|169
|22
|121
|0
|27
|16
|49
|10
|25
|8
|9
|4
|∞
|1
!l
|-
| colspan="28" |סדרת המספרים s כך ש-s הוא כמות המספרים שהם הקוטוטיאנט של n:
|-
|0
|3
|4
|4
|1
|3
|1
|3
|1
|3
|3
|2
|1
|2
|3
|2
|0
|2
|3
|2
|1
|1
|2
|1
|1
|∞
|1
!s
|}

== שכיחות האקוטיאנטים ==
ארדש (1913-1996) ו-שרפינסקי (1882-1969) חקרו האם קיימים אינסוף מספרים אקוטוטיאנטים. לבסוף הוכח על ידי Browkin and Schinzel (1995) כי אכן קיימים אינסוף מספרים אקוטוטיאנטים, השניים הראו כי כל אחד מהאיברים בסדרה האינסופית <math> 2^k \cdot 509203</math> הוא מספר אקוטוטיאנטי. מאז התגלו סדרות אינסופיות נוספות, מצורה דומה, שגם עבורן כל איבריהן הם מספרים אקוטוטיאנטים.

== לקריאה נוספת ==

== קישורים חיצוניים ==
* [https://mathworld.wolfram.com/Noncototient.html הגדרת אקוטוטיאנטיות לפי MathWorld]
* 

==הערות שוליים==

קטגוריה:סדרות של שלמים