קשר מאייר

קשר מאייר (הנקרא גם "נוסחת מאייר") פותח על ידי יוליוס רוברט פון מאייר ומתאר קשר בין קיבול החום בלחץ קבוע וקיבול החום בנפח קבוע עבור חומרים אחידים בכלל וגז אידיאלי בפרט.

עבור גז אידיאלי, הקשר הוא:
<math display="block">C_P-C_V=R</math>
כאשר <math>R</math> זהו קבוע הגזים ו- <math>C_P</math> הוא קיבול החום המולרי.

עבור חומרים אחידים כלליים יותר, ההפרש נראה כך,
<math display="block">C_P-C_V=VT \frac{\alpha_V^2}{\beta_T}</math>
(ראו יחס קיבולי החום) כאשר <math>T</math> הטמפרטורה, <math>V</math> הנפח, <math>\alpha_V</math> מקדם ההתפשטות התרמית ו- <math>\beta_T</math> הוא .

מקשר זה ניתן להסיק כמה מסקנות:
* משום שריבוע מקדם ההתפשטות התרמית <math>\alpha_V^2</math> ומקדם הדחיסות <math>\beta_T</math> הם ערכים חיוביים, מקשר מאייר נובע כי קיבול החום בלחץ קבוע הוא תמיד גדול מקיבול החום בנפח קבוע.
* כאשר הטמפרטורה מתקרבת לאפס (הטמפרטורה נמדדת בקלווין, לכן אפס זהו האפס המוחלט), ההפרש בין קיבולי החום הולך לאפס.
* עבור חומרים בלתי דחיסים, שני קיבולי החום הם שווים. עבור חומרים כמעט בלתי דחיסים (נוזלים, מוצקים), ההפרש בין שני קיבולי החום הוא קטן.

==פיתוח הקשר==
נפתח את הקשר מזהויות תרמודינמיות בסיסיות.<ref></ref>
הדיפרנציאל המלא של האנטרופיה הוא<math display="block">ds= \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_V dT+ \left(\frac{\partial s}{\partial V}\right)_T dV</math>
אם נציב אותו לתוך החוק הראשון של התרמודינמיקה ונשווה לדיפרנציאל האנרגיה, נקבל כי
<math display="block">\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_V dT+ \left(\frac{\partial u}{\partial V}\right)_T dV=du=Tds-pdV=T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_V dT+\left[T\left(\frac{\partial s}{\partial V}\right)_T-P\right]dV</math>
ולכן <math>\left(\frac{\partial u}{\partial V}\right)_T=T\left(\frac{\partial s}{\partial V}\right)_T-P</math> וגם <math>\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_V=T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_V</math>

כעת נציב את שני הקשרים שמצאנו בדיפרנציאל האנטרופיה <math>ds</math>, ובעזרת קשרי מקסוול השלישי והרביעי נקבל שני קשרים,
<math>ds=\frac{C_V}{T} dT+ \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V dV</math> ו-
<math>ds=\frac{C_P}{T} dT- \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P dP</math>.

נשווה ביניהם ונפתור לדיפרנציאל הטמפרטורה
<math display="block">\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P dV+\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_V dP=dT=\frac{T}{C_P-C_V}\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V dV +\frac{T}{C_P-C_V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P dP</math>

נשווה בין מקדמי הדיפרנציאל ונקבל כי
<math>C_P-C_V=T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V=-T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P^2\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T</math>,
ובעזרת הגדרות מקדם ההתפשטות התרמית
<math>\alpha_V=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T</math>
ומקדם הדחיסה
<math>\beta_T=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P</math>
נקבל את הקשר הכללי
<math display="block">C_P-C_V=VT\frac{\beta_T^2}{\alpha_V}</math>

== שימושים ==
עבור גזים, ניתן למדוד בקלות יחסית את <math>C_V</math> (הרי גז תופס את כל הנפח שהוא יכול).
בניגוד לכך, כאשר הטמפרטורה של נוזלים ומוצקים משתנה גם נפחם משתנה- ולכן קשה למדוד את <math>C_V</math> בשבילם (צריכים להפעיל לחצים כדי למנוע את התפשטותם).

מסיבה זאת, בשביל נוזלים ומוצקים מחשבים קודם כל את <math>C_P</math>, בעזרת הכנסת כמות אנרגיה ידועה (על ידי קלורימטר) לגוף בטמפרטורה ידועה והסתכלות על הפרשי הטמפרטורות בסוף התהליך (קיימות גם שיטות מדויקות יותר, שמשתמשים בהן בטמפרטורות נמוכות<ref></ref><ref></ref>).

לאחר חישוב <math>C_P</math> ניתן להשתמש בקשר מאייר כדי לחלץ את <math>C_V</math>.

== הערות שוליים ==

קטגוריה:תרמודינמיקה