פונקציות זוגיות ואי-זוגיות

פונקציות זוגיות ואי-זוגיות הן פונקציות ממשיות בעלות סימטריה מוגדרת ביחס לישר <math>\ x=0</math> (כלומר לציר ה-<math>Y</math>).

==מקור השם==
המונח "פונקציה זוגית" נטבע על ידי לאונרד אוילר, ומופיע לראשונה בספרו שיצא ב-1727, והשימוש הראשון הידוע במונח "פונקציה אי-זוגית" הוא בספר של תומאס לייבורן שיצא ב-1814. הסברה המקובלת היא שהכינויים "זוגי" ו"אי-זוגי" נובעים מהעובדה שהפונקציה <math>f(x)=x^n</math> היא פונקציה זוגית כאשר <math>n</math> זוגי ופונקציה אי-זוגית כאשר <math>n</math> אי-זוגי.

==פונקציה זוגית==
הגדרה: ערכה זהה עבור כל מספר בתחום ההגדרה ועבור המספר הנגדי לו, כלומר <math>\ f(x)=f(-x)</math>.

סימטריה: כל פונקציה זוגית היא סימטרית ביחס לציר ה-<math>Y</math>.

דוגמאות של פונקציות זוגיות:
<gallery>
קובץ:Constant function.svg|<math>\ f(x)=a</math> פונקציה קבועה
קובץ:Function x^2.svg|<math>\ f(x)=x^2</math> פרבולה בעלת קודקוד בנקודה (0,0)
קובץ:Cos.svg|<math>\ f(x)=\cos(x)</math> קוסינוס
קובץ:Absolute value.svg|<math>\ f(x)=|x|</math> ערך מוחלט
</gallery>

==פונקציה אי-זוגית==
הגדרה: ערכה עבור כל מספר בתחום ההגדרה הוא המספר הנגדי של ערכה עבור המספר הנגדי לו, כלומר <math>\ f(-x)=-f(x)</math>.

סימטריה: כל פונקציה אי-זוגית היא אנטי-סימטרית ביחס לציר ה-<math>X</math> (כלומר יש לה סימטריית סיבוב של <math>180^\circ</math> סביב לראשית).

דוגמאות של פונקציות אי-זוגיות:
<gallery>
קובץ:Function-x.svg|<math>\ f(x)=x</math> פונקציה ליניארית שעוברת דרך הנקודה (0,0)
קובץ:Function-x3.svg|<math>\ f(x)=x^3</math> חזקה ממעלה שלישית עם נקודת פיתול בנקודה (0,0)
קובץ:Sin.svg|<math>\ f(x)=\sin(x)</math> סינוס
קובץ:Rectangular hyperbola.svg|<math>f(x)={1\over x}</math> מספר הופכי
</gallery>

==פונקציה כללית==
ניתן לייצג כל פונקציה באמצעות סכום של פונקציה זוגית ואי זוגית: <math>\ f(x)=f_{\text{even}}(x)+f_{\text{odd}}(x)</math><br />

:וזאת כאשר: <math>f_{\text{even}}(x) = {f(x) + f(-x) \over 2}</math> ו <math>f_{\text{odd}}(x) = {f(x) - f(-x) \over 2}</math>
<br />
יצוג זה הוא יחיד. מכאן נובע שמרחב הפונקציות כולן מהווה סכום ישר של מרחבי הפונקציות הזוגיות והאי-זוגיות (כשחיבור וכפל בסקלר מוגדרים נקודתית).

לפעמים, עבור פונקציות מרוכבות, הפונקציה הזוגיות והאי זוגית מיוצגים בהתאמה באופן הבא:<br />
<math>f_{\text{even}}(x) = {f(x) + f^*(-x) \over 2}</math> ו-<math>f_{\text{odd}}(x) = {f(x) - f^*(-x) \over 2}</math> <br />
או:<br />
<math>f_{\text{even}}(x) = f_{\text{even}}^*(-x) </math> ו-<math>f_{\text{odd}}(x) =- f_{\text{odd}}^*(-x) </math>

בצורת כתיבה זאת ניתן להוכיח בקלות רבה תכונות של התמרת פורייה.

==תכונות==
*סכום פונקציות:
**סכום של פונקציות זוגיות הוא פונקציה זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות זוגיות ובפתוח של פונקציה זוגית מ-<math>L^1</math> לטור פורייה יופיעו רק איברי הקוסינוס).
**סכום של פונקציות אי-זוגיות הוא פונקציה אי-זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית אי-זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות אי-זוגיות ובפתוח של פונקציה אי-זוגית מ-<math>L^1</math> לטור פורייה יופיעו רק איברי הסינוס).
*מכפלת פונקציות:
**מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
**מכפלה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
**מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.
* חלוקת פונקציות:
** מנה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
** מנה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
** מנה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.
באופן כללי כל מכפלה הכוללת פונקציות זוגיות ולא זוגיות בלבד (הפונקציה <math>x^{-1}</math> היא לא זוגית), הפונקציות הזוגיות משמרות את הזוגיות, והזוגיות תלויה האם מספר הפונקציות האי זוגיות זוגי או לא זוגי.
*הרכבת פונקציות:
**הרכבה הכוללת פונקציות זוגיות ולא כוללת פונקציות כלליות היא פונקציה זוגית.
**הרכבה של פונקציות אי-זוגיות היא פונקציה אי-זוגית.
**הרכבה של כל פונקציה עם פונקציה זוגית היא זוגית, אך הרכבה של פונקציה זוגית על פונקציה כללית אינה בהכרח זוגית.
*גזירת פונקציה:
**נגזרת של פונקציה זוגית היא פונקציה אי-זוגית (אם אינה אפס).
**נגזרת של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
**נגזרת של פונקציה כללית היא פונקציה כללית או זוגית.
הוכחה:הגדרת הנגזרת בנקודה <math>x_0</math>, היא הגבול <math>\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)</math>.

ניתן להגדיר את <math>\Delta x</math> כ-<math>x-{x_0}</math> ואת <math>\Delta y</math> כ-<math>f(x)-f(x_0)</math>

כעת נציב בגבול: <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>. נראה שאם נחליף את הסימן של <math>x</math> ושל <math>x_0</math> נקבל לפונקציה זוגית, <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{(-x)-(-x_0)}</math> כלומר שסימן הגבול התחלף. ולפונקציה אי זוגית נקבל, <math>\lim_{x\to x_0}\frac{(-f(x))-(-f(x_0))}{(-x)-(-x_0)}</math> כלומר שסימן הגבול נשמר.
*אינטגרל של פונקציה:
**כל פונקציה קדומה של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
**לפונקציה זוגית יש פונקציה קדומה אחת שהיא אי-זוגית - הפונקציה שבה המקדם החופשי שווה ל-0. שאר הפונקציות הקדומות הן כלליות.
**האינטגרל המסוים של פונקציה אי-זוגית בתחום סימטרי שווה לאפס.
**האינטגרל המסוים של פונקציה זוגית בתחום סימטרי שווה לפעמיים האינטגרל בחצי התחום הסימטרי.
*תכונת האפס: כל פונקציה אי זוגית המוגדרת ורציפה בנקודה <math>x=0</math> חייבת לקיים <math>\ f(0)=0</math>.

==קישורים חיצוניים==

==הערות שוליים==

זוגיות ואי-זוגיות
קטגוריה:סימטריה במתמטיקה