חבורה סופיתית

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת החבורות, חבורה סופיתית (sofic; נהוג לכנות בעברית 'סופית' במלעיל) היא חבורה שניתנת לקירוב על ידי חבורות סופיות בצורה מסוימת. המושג הוגדר לראשונה על ידי מיכאיל גרומוב ובנימין וייס. מקור השם (שהוצע על ידי וייס) בשם התואר העברי 'סופי'.

== הגדרות ==
=== כמעט הומומורפיזמים ===
תהי <math>S_n</math> החבורה הסימטרית על n עצמים. נגדיר מרחק המינג בין תמורות <math>\sigma,\pi\in S_n</math> בתור <math>d(\sigma,\pi)=\frac{1}{n}|\{1\leq i\leq n\ :\ \sigma(i)\neq \pi(i)\}|</math>.

תהי <math>G</math> חבורה ותהי <math>K\subseteq G</math> תת-קבוצה סופית. יהי <math>\varepsilon>0</math>; פונקציה <math>\varphi\colon G\rightarrow S_n</math> היא <math>(K,\varepsilon)</math>-כמעט הומומורפיזם אם מתקיים:
* לכל <math>x,y\in K</math>: <math>d(\varphi(xy),\varphi(x)\varphi(y))\leq \varepsilon</math>
* איבר היחידה <math>e\in G</math> מקיים: <math>d(\varphi(e),\text{id}) < \varepsilon</math>
* ישנו <math>\alpha>0</math> כך שלכל <math>x,y\in K</math> שונים זה מזה, <math>d(\varphi(x),\varphi(y)) > \alpha

</math>

כעת, <math>G</math> סופיתית אם לכל תת-קבוצה סופית <math>K\subseteq G</math> ולכל <math>\varepsilon>0</math> ישנו <math>(K,\varepsilon)</math>-כמעט הומומורפיזם <math>\varphi\colon G\rightarrow S_n</math>.

=== על-מכפלות מטריות ===
תהי <math>I</math> מולטי קבוצה של מספרים טבעיים ויהי <math>\mathcal{F}</math> על-מסנן לא ראשי על <math>I</math>. במכפלה הישרה <math>\prod_{n\in I} S_n</math> נביט בתת-החבורה של אותן סדרות תמורות שהגבול של מרחק המינג שלהן ביחס ל-<math>\mathcal{F}</math> מהאיבר הנייטרלי הוא אפס, דהיינו, <math>\{(\sigma_n)_{n\in I}|\forall \varepsilon>0, \{i\in I|d(\sigma_n,\text{id})<\varepsilon\}\in \mathcal{F} \}\triangleleft \prod_{n\in I} S_n</math>. על חבורת המנה (המכונה על-מכפלה מטרית) מושרית פונקציית מרחק המינג ('גבול של מרחקי המינג ביחס ל-<math>\mathcal{F}</math>'). חבורה היא סופיתית (ביחס להגדרה שלעיל) אם ורק אם היא משוכנת בחבורת מנה כזו.

== מחלקות קשורות של חבורות ==
* כל חבורה אמנבילית (ובפרט, כל חבורה סופית וכל חבורה פתירה) היא סופיתית.
* כל חבורה סופית שאריתית (ובפרט, חבורות חופשיות) היא סופיתית.
* מכפלה ישרה ותתי-חבורות של חבורות סופיתיות היא סופיתית.
* הרחבת HNN של חבורה סופיתית ביחס לחבורה אמנבילית היא סופיתית<ref></ref>.
* אומרים כי חבורה <math>G</math> משוכנת מקומית בחבורות סופיות (LEF - locally embeddable into finite groups) אם לכל תת-קבוצה סופית <math>K\subseteq G</math> ישנה פונקציה <math>f\colon K\cup K^2\rightarrow A</math> חד-חד-ערכית לתוך חבורה סופית <math>A</math> כך שלכל <math>x,y \in K</math> מתקיים כי <math>f(xy)=f(x)f(y)</math> ("הומומורפיזם חלקי"). באופן שקול, חבורה היא LEF אם ורק אם היא משוכנת בעל-מכפלה (לא מטרית) של חבורות סופיות. ניתן להרחיב את ההגדרה למשפחות אחרות של חבורות, למשל, LEA - locally embeddable into amenable groups (כאשר החבורות <math>A</math> אמנביליות אך לא בהכרח סופיות). כל חבורה LEA (ולכן כל חבורה LEF) היא סופיתית<ref></ref>, אך ההפך אינו נכון<ref></ref><ref></ref>.
* מן הסעיף הקודם נובע כי כל חבורה סופית מקומית (כזו שכל תת-חבורה נוצרת סופית שלה היא סופית) וכל חבורה אמנבילית מקומית (מוגדר באופן דומה) היא סופיתית.
לא ידוע האם קיימת חבורה שאינה סופיתית. בפרט, לא ידוע האם חבורת תומפסון F היא סופיתית, והאם חבורת ברנסייד <math>B(n,p)</math> חופשית (עבור <math>n,p</math> גדולים דיים) סופיתית.

== תכונות של חבורות סופיתיות ==
=== אוטומטים תאיים וסרג'נקטיביות ===
אוטומט תאי מעל חבורה <math>G</math> הוא פונקציה <math>\tau\colon A^G\rightarrow A^G</math> (כאשר <math>A</math> אלפבית סופי) שהיא רציפה (ביחס לטופולוגיית המכפלה, והטופולוגיה הדיסקרטית של <math>A</math>) ואקוויוריאנטית לפעולת <math>G</math>, היינו, <math>\tau(gx)=g\tau(x)</math> כאשר <math>G</math> פועלת על אוטמט תאי באמצעות הזזת האינדקסים. חבורה היא סרג'נקטיבית אם כל אוטומט תאי מעליה שהוא חד-חד-ערכי, הוא גם על. מושג זה הוגדר על ידי גוטשלק, ששיער כי כל חבורה היא סרג'נקטיבית; גרומוב ווייס הוכיחו כי חבורה סופיתית היא סרג'נקטיבית, ולפיכך דוגמה נגדית להשערת גוטשלק תהווה בפרט חבורה לא סופיתית.

=== אלגברת החבורה וסופיות ישרה ===
נאמר כי חוג הוא סופי ישר (directly finite), או סופי-דדקינד, אם כל שני איברים בו המקיימים <math>xy=1</math> מקיימים גם <math>yx=1</math>. קפלנסקי שיער כי אלגברת החבורה של כל חבורה היא סופית ישרה. אלק וסבו הוכיחו את השערת קפלנסקי לחבורות סופיתיות<ref>Gábor Elek, Endre Szabó, Sofic groups and direct finiteness, Journal of Algebra Volume 280, Issue 2, 15 October 2004, Pages 426-434.

</ref> ומכאן שאלגברות החבורה של חבורות סופיתיות הן stably finite.

== וריאציות על סופיתיות ==
חבורה היא סופיתית חלשה אם היא משוכנת בעל-מכפלה מטרית (בדומה לבנייה שתוארה לעיל עבור מרחק המינג על חבורות תמורות) של אוסף כלשהו של חבורות סופיות עם מטריקות בי-אינווריאנטיות.

חבורה היא סופיתית ליניארית אם היא משוכנת בעל-מכפלה מטרית של חבורות מטריצות <math>GL_n(F)</math> כאשר את מקומו של מרחק המינג תופסת הדרגה המנורמלת: <math>d(A,B)=\frac{1}{n}\text{rank}(A-B)</math>. כל חבורה סופיתית היא סופיתית ליניארית, וכל חבורה סופיתית ליניארית היא סופיתית חלשה<ref name=":0">Goulnara Arzhantseva, Liviu Paunescu, Linear sofic groups and algebras Trans. Amer. Math. Soc. Volume 369, Number 4, April 2017, Pages 2285–2310.</ref>; דוגמות נגדיות בכיוונים ההפוכים אינן ידועות. ההגדרה האחרונה מזמינה הגדרה אנלוגית של אלגברה סופיתית ליניארית, ואמנם, חבורה היא סופיתית ליניארית אם ורק אם אלגברת החבורה שלה היא סופיתית ליניארית<ref name=":0" />.

חבורה נקראת היפרלינארית אם היא משוכנת בעל-מכפלה מטרית של חבורות אוניטריות, המצוידות במטריקת הילברט-שמידט המנורמלת: <math>d(A,B)=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i,j = 1}^n |A_{i,j}-B_{i,j}|^2}</math>. כל חבורה סופיתית היא היפרלינארית<ref></ref>.

קיימות חבורות שלא משוכנות בעל-מכפלה מטרית של חבורות אוניטריות כאשר מציידים את החבורות האוניטריות במטריקת הילברט-שמידט לא מנורמלת (נקראת גם מטריקת פרובניוס): <math>d(A,B)=\sqrt{\sum_{i,j = 1}^n |A_{i,j}-B_{i,j}|^2}</math><ref></ref>.

== לקריאה נוספת ==
<div class="mw-content-ltr">
* Tullio Ceccherini-Silberstein, Michel Coornaert, Cellular Automata and Groups, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010
</div>
== הערות שוליים ==

קטגוריה:תורת החבורות