פולינומי צ'בישב

<span style="color:red;background-color:lightgrey;">T<sub>1</sub></span>, <span style="color:blue;background-color:lightgrey;">T<sub>2</sub></span>, <span style="color:green;background-color:lightgrey;">T<sub>3</sub></span>, <span style="color:yellow;background-color:lightgrey;">T<sub>4</sub></span>, <span style="color:grey;background-color:lightgrey;">T<sub>5</sub></span>

המונח פולינומי צ'בישב (על שם המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב) מתייחס לשתי סדרות של פולינומים בעלי מקדמים שלמים: פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון <math>T_0(x),T_1(x),\ldots</math>, ופולינומי צ'בישב מהסוג השני <math>U_0(x),U_1(x),\ldots</math>, המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן <math>p(x)</math> מקיים את האי-שוויון <math>\max_{-1\le x\le1}|p(x)|\ge2^{1-n}</math>, והפולינומים <math>2^{1-n}T_n(x)</math> הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון.

ארבעת פולינומי צ'בישב מסוג ראשון הראשונים הם: 
:<math display="block"> \begin{align}T_0(x)&=1\\T_1(x)&=x\\T_2(x)&=2x^2-1\\T_3(x)&=4x^3-3x\end{align}</math>

==הגדרה ותכונות יסוד של פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון==
אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה <math>T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta)</math>, שבגללה <math>T_n(x+x^{-1})=x^n+x^{-n}</math> לכל <math>x</math>. לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית: 
:<math>\begin{align}T_0(x)&=1\\T_1(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x)\end{align}</math>
מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה-<math>n</math>-י היא <math>n</math>.

מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות
:<math display=block>T_n(x)=\begin{cases}\cos(n\arccos(x))&:x\in[-1,1]\\\cosh(n\,\text{arccosh}(x))&:x\ge1\\(-1)^n\cosh(n\,\text{arccosh}(-x)) &:x\le-1\end{cases}</math>
מן ההגדרה נובע כי 
:<math display=block>\begin{matrix}T_n(T_m(x))=T_{nm}(x)\\\\T_n(1)=1,\qquad T_n(-1)=(-1)^n,\qquad T_{2n+1}(0)=0,\qquad T_{2n}(0)=(-1)^n\end{matrix}</math>
באינדוקציה (מעל המרוכבים) אפשר להוכיח את הנוסחה
:<math display=block>T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n}{2}=\sum_{k\,=\,0}^{\lfloor0.5n\rfloor}\binom{n}{2k}(x^2-1)^kx^{n-2k}</math>
ולקבל את הפונקציה היוצרת 
:<math display=block>\sum_{n\,=\,0}^\infty T_n(x)t^n=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}</math>
מתקיים גם השוויון <math>T_n(x)=1+n^2(x-1)\prod_{k\,=\,1}^{n-1}\left(1+\frac{x-1}{2\sin\!\bigl(\frac{k\pi}{n}\bigr)^2}\right)</math>.

פולינומי צ'בישב <math>\{T_n\}_{n=0}^\infty</math> מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת <math>\langle f_1,f_2\rangle=\int\limits_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}f_1(x)f_2(x)dx</math>.

==הגדרה של פולינומי צ'בישב מהסוג השני==
כמו לפולינומי צ'בישב מהסוג הראשון, גם לפולינומי צ'בישב מהסוג השני ישנן מספר הגדרות שקולות. ניתן להגדיר את סדרת פולינומים זו בעזרת נוסחא טריגונומטרית
<math display="block">U_n(\cos \theta) \sin \theta = \sin\big((n + 1)\theta\big)</math>

בנוסף, קיימת הנוסחת הנסיגה הבאה:
<math display="block">\begin{align}
U_0(x) & = 1 \\
U_1(x) & = 2 x \\
U_{n+1}(x) & = 2 x\,U_n(x) - U_{n-1}(x).
\end{align}</math>
אפשר לשים לב שנוסחאות הנסיגה של פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון והשני זהות, למעט ההבדל ש 
<math> U_1(x) = 2x </math> ולאומת זאת, <math> T_1(x) = x </math>.

==השלכות לבניות גאומטריות==
מכך שמעלת <math>T_n</math> היא <math>n</math> נובע כי <math>\cos(\theta)</math> פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה <math>\Q[\cos(n\theta)]</math>, ובפרט הממד <math>\bigl[\Q[\cos(\theta)]:\Q[\cos(n\theta)]\bigr]\le n</math>. אם בוחרים <math>\theta=\frac{\pi}{2n}</math> מתקבל <math>T_n(\cos(\theta))=0</math>, ולעיתים קרובות <math>T_n</math> הוא הפולינום המינימלי של <math>\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)</math>.

==ראו גם==
*מסנני צ'בישב
*Chebfun

==קישורים חיצוניים==

קטגוריה:פולינומים
קטגוריה:פונקציות אורתוגונליות