מידה מרוכבת

בתורת המידה, מידה מרוכבת היא פונקציית מידה שערכיה מרוכבים. פורמלית, מידה מרוכבת על מרחב מדיד <math>\left(X,\mathcal{M}\right)</math> היא פונקציה <math>\mu : \mathcal{M} \to \mathbb{C}</math> שהיא סיגמא-אדיטיבית, כלומר <math>\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu\left(E_{n}\right)</math> לכל סדרה <math>E_1, E_2, \dots</math> של קבוצות זרות בזוגות השייכות ל-<math>\mathcal{M}</math>. בפרט כל טור <math>\sum_{n=1}^{\infty}\mu\left(E_{n}\right)</math> כזה מתכנס ולמעשה אף מתכנס בהחלט.

לא כל מידה חיובית היא מידה מרוכבת, משום שלמידות חיוביות מרשים לקבל את הערך <math>\infty</math>, ואילו ממידה מרוכבת דורשים שכל הערכים יהיו מספרים. למעשה, מידה מרוכבת תמיד חסומה (על ידי מידת המרחב כולו).

==תכונות של מידה מרוכבת==

יהי <math>\left(X,\mathcal{M}\right)</math> מרחב מדיד ותהי <math>\mu</math> מידה מרוכבת עליו.

הסיגמא-אדיטיביות גוררת את העובדה הפשוטה <math>\mu (\varnothing) = 0</math> וזו בתורה גוררת אדיטיביות סופית: <math>\,\mu(A\cup B) = \mu(A)+\mu(B)</math> לכל שתי קבוצות זרות <math>A,B</math>.

כפי שמתקיים עבור מידות חיוביות, <math>\mu</math> היא רציפה מלמטה: אם <math>E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq\cdots</math> היא סדרה עולה של קבוצות מדידות, אז מתקיים <math>\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{i}\right)=\lim_{n\to\infty}\mu\left(E_{n}\right)</math>. בדומה לזה, <math>\mu</math> היא רציפה מלמעלה: אם <math>E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq\cdots</math> היא סדרה יורדת של קבוצות מדידות, אז מתקיים <math>\mu\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}\right)=\lim_{n\to\infty}\mu\left(E_{n}\right)</math>.

האיחוד של סדרת קבוצות מדידות (וזרות בזוגות) <math>E_1, E_2, \dots</math> אינו תלוי בסדר האיברים, ולכן לכל הטורים המתקבלים מ-<math>\sum_{n=1}^{\infty}\mu\left(E_{n}\right)</math> על ידי סידור מחדש, יש אותו סכום. משפט סטנדרטי אומר שבמקרה זה הטור מתכנס בהחלט.

==מידת ההשתנות הכוללת==

תהי <math>E</math> קבוצה מדידה ונגדיר פונקציה חדשה על <math>\mathcal{M}</math> על ידי <math>\left|\mu\right|\left(E\right) = \sup\sum_{n=1}^{\infty}\left|\mu\left(E_{n}\right)\right|</math>, כאשר הסופרמום נלקח על פני כל החלוקות האפשריות של <math>E</math> לסדרה של קבוצות מדידות <math>E_1, E_2, \dots</math> (ניתן לקחת את הסופרמום רק על פני כל החלוקות שבהן <math>E_n = \varnothing</math> לכל <math>n</math> טבעי פרט למספר סופי של קבוצות בסדרה ולקבל הגדרה שקולה).

ניתן להראות ש-<math>\left|\mu\right|</math> היא מידה חיובית ונהוג לכנות אותה מידת ההשתנות הכוללת (או מידת הערך המוחלט). למידה זו יש מספר תכונות מעניינות. ראשית כל, המידה המרוכבת <math>\mu</math> נשלטת על ידי <math>\left|\mu\right|</math>, כלומר <math>\left|\mu\left(E\right)\right|\le\left|\mu\right|\left(E\right)</math> לכל <math>E</math> מדידה. כמו כן, ברור כי <math>\left|\mu\right|</math> היא המידה החיובית המינימלית שלה תכונה זו. התכונה המפתיעה ביותר היא ש-<math>\left|\mu\right|</math> היא תמיד מידה סופית, כלומר <math>\left|\mu\right|\left(X\right)<\infty</math>. מכאן בפרט מקבלים שערכי המידה <math>\mu</math> שייכים כולם לעיגול הסגור ב-<math>\mathbb{C}</math> שמרכזו בראשית ורדיוסו <math>\left|\mu\right|\left(X\right)</math>.

==אינטגרציה ביחס למידה מרוכבת==

תהי <math>\mu</math> מידה מרוכבת. באמצעות משפט רדון-ניקודים ניתן להוכיח שקיימת פונקציה מרוכבת מדידה <math>h</math> המקיימת <math>\left|h\left(x\right)\right|=1</math> לכל <math>x \in X</math> כך ש-<math>\mu\left(E\right)=\int_{E}h \, d\left|\mu\right|</math> לכל <math>E</math> מדידה. <math>h</math> זו היא הפונקציה היחידה שמקיימת תכונה זו, אם אנו מסכימים שלא להבדיל בין פונקציות שנבדלות בערכיהן רק על קבוצה ממידה <math>\mu</math> אפס. במצב זה מסמנים <math>d\mu=hd\left|\mu\right|</math> ואומרים שזהו פירוק פולרי של המידה <math>\mu</math> (באנלוגיה לפירוק הפולרי של מספר מרוכב). כעת בהתבסס על בניית אינטגרל לבג עבור מידות חיוביות ניתן להגדיר את האינטגרל של פונקציה מרוכבת מדידה <math>f</math> ביחס ל-<math>\mu</math> באופן הבא: <math>\int_{X}f \, d\mu=\int_{X}fh \, d\left|\mu\right|</math>.

בגישה אחרת, תחילה רושמים <math>\mu=\mu_{1}+i\mu_{2}</math>, כאשר <math>\mu_{1}</math> היא החלק הממשי של <math>\mu</math> ו-<math>\mu_{2}</math> היא החלק המדומה של <math>\mu</math>. אז <math>\mu_{1}</math> ו-<math>\mu_{2}</math> הן מידות מרוכבות המחזירות ערכים ממשיים בלבד. באמצעות פירוק האן-ז'ורדן ניתן לרשום <math>\mu_{1}=\mu_{1}^{+}-\mu_{1}^{-}</math> ו-<math>\mu_{2}=\mu_{2}^{+}-\mu_{2}^{-}</math>, כאשר <math>\mu_{1}^{+},\mu_{1}^{-},\mu_{2}^{+},\mu_{2}^{-}</math> הן מידות חיוביות סופיות מסוימות. כעת ניתן להגדיר את האינטגרל של פונקציה ממשית מדידה <math>f</math> ביחס ל-<math>\mu</math> באופן הבא:

:<math>\int_X \! f \, d\mu = \left(\int_X \! f \, d\mu_1^+ - \int_X \! f \, d\mu_1^-\right) + i \left(\int_X \! f \, d\mu_2^+ - \int_X \! f \, d\mu_2^-\right) </math>

כל עוד הביטוי באגף ימין מוגדר היטב, כלומר לא נתקלים בהפרש מהצורה <math>\infty-\infty</math>. כעת עבור <math>f</math> מרוכבת מדידה מגדירים באופן טבעי

<math>\int_{X}f \, d\mu=\int_{X}\mathrm{Re}\left(f\right) \, d\mu+i\int_{X}\mathrm{Im}\left(f\right) \, d\mu</math>.

שתי הגדרות אלה ל-<math>\int_{X}f \, d\mu</math> הן שקולות. האינטגרל ביחס למידה מרוכבת מקיים את כל התכונות הרגילות של אינטגרל לבג, לרבות ליניאריות האינטגרל ומשפטי ההתכנסות הידועים.

==רגולריות של מידה מרוכבת==

כעת נניח ש-<math>X</math> איננה סתם קבוצה, אלא מרחב טופולוגי, ונניח ש-<math>\mathcal{M}</math> היא הסיגמא-אלגברה של בורל המתאימה ל-<math>X</math>. בדומה למקרה של מידה חיובית, במקרה זה אנו אומרים ש-<math>\mu</math> היא מידת בורל. <math>\mu</math> נקראת מידת בורל רגולרית אם היא מידת בורל והמידה החיובית <math>\left|\mu\right|</math> היא רגולרית.

אחד מהשימושים החשובים של מידות מרוכבות מתבטא במשפט ההצגה של ריס ל-<math>C_{0}^{*}\left(X\right)</math>. המרחב <math>C_{0}\left(X\right)</math> מורכב מכל הפונקציות <math>f:X\to\mathbb{C}</math> שהן רציפות ומתאפסות באינסוף, כלומר לכל <math>\varepsilon > 0</math> קיימת תת-קבוצה קומפקטית <math>K \subseteq X</math> שמחוצה לה ערכי הפונקציה <math>f</math> קטנים בערכם המוחלט מ-<math>\varepsilon</math>. זהו מרחב נורמי, כאשר פעולות החיבור והכפל בסקלר מוגדרות נקודתית והנורמה היא נורמת הסופרמום, קרי <math>\left\Vert f\right\Vert =\sup_{x\in X}\left|f\left(x\right)\right|</math>. המרחב הדואלי שלו, <math>C_{0}^{*}\left(X\right)</math>, מורכב מכל הפונקציונלים הליניאריים הרציפים <math>\Phi: C_{0}\left(X\right)\to\mathbb{C}</math>.

כעת נניח ש-<math>X</math> הוא מרחב טופולוגי האוסדורף וקומפקטי מקומית. בהינתן מידת בורל מרוכבת רגולרית <math>\mu</math> על <math>X</math>, ההעתקה <math>f\mapsto\int_{X}f \, d\mu</math> מגדירה פונקציונל ליניארי רציף על <math>C_{0}\left(X\right)</math>. משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל ליניארי רציף על מרחב זה ניתן להצגה בצורה שכזו. באופן יותר פורמלי, הוא אומר שעבור כל פונקציונל ליניארי רציף <math>\Phi:C_{0}\left(X\right)\to\mathbb{C}</math>, קיימת מידת בורל מרוכבת רגולרית <math>\mu</math> על <math>X</math> כך ש-<math>\Phi\left(f\right)=\int_{X}f \, d\mu</math> לכל <math>f\in C_{0}\left(X\right)</math>, כלומר <math>\Phi</math> מיוצג כאופרטור אינטגרציה ביחס למידה המרוכבת <math>\mu</math>. המידה <math>\mu</math> המתאימה ל-<math>\Phi</math> מקיימת בנוסף את השוויון <math>\left\Vert \Phi\right\Vert =\left|\mu\right|\left(X\right)</math>.

==מרחב כל המידות המרוכבות==

אם <math>\left(X,\mathcal{M}\right)</math> הוא מרחב מדיד, אוסף כל המידות המרוכבות עליו מהווה מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{C}</math> תחת פעולות חיבור וכפל בסקלר נקודתיות, כלומר <math>\left(\mu+\lambda\right)\left(E\right)=\mu\left(E\right)+\lambda\left(E\right)</math> ו-<math>\left(c\mu\right)\left(E\right)=c\mu\left(E\right)</math> לכל שתי מידות מרוכבות <math>\mu,\lambda</math> ולכל סקלר קומפלקסי <math>c</math>. ההעתקה <math>\left\Vert \mu\right\Vert =\left|\mu\right|\left(X\right)</math> מגדירה נורמה על מרחב זה והופכת אותו למרחב בנך, אשר לעיתים מסומן <math>\mathbf{M}\left(X\right)</math>. אם <math>X</math> הוא מרחב טופולוגי האוסדורף וקומפקטי מקומית ו-<math>\mathcal{M}</math> היא אלגברת בורל שלו, אוסף כל המידות המרוכבות הרגולריות עליו הוא תת-מרחב סגור של <math>\mathbf{M}\left(X\right)</math> ולמעשה משפט ההצגה של ריס אומר שתת-מרחב זה הוא איזומורפי (במובן של איזומטריה ליניארית) ל-<math>C_{0}^{*}\left(X\right)</math>.

==ראו גם==

* מידה חיובית
* מידה מסומנת
* משפט ההצגה של ריס

קטגוריה:תורת המידה