פונקציות טריגונומטריות הפוכות

במתמטיקה, הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות הן פונקציות המתקבלות על ידי הפיכת הפונקציות הטריגונומטריות היסודיות.

הפונקציות הטריגונומטריות אינן חד-חד ערכיות בתחום הגדרתן, לכן יש לצמצם את תחומן כדי להגדיר את הפונקציות ההפוכות.

==תכונות יסודיות==
{| class="wikitable"
|-
!
! <math>\arcsin(x) \,</math>
! <math>\arccos(x) \,</math>
|--
! הפונקציה ההפיכה של
| <math>\ \sin(x) </math> (סינוס)
| <math>\cos(x) \,</math> (קוסינוס)
|--
! דרך נוספת לרשום את הפונקציה
| <math>\ \sin^{-1}(x) </math>
| <math>\cos^{-1}(x) \,</math>
|--
! תחום הגדרה
| <math>-1 \le x \le 1</math>
| <math>-1 \le x \le 1</math>
|-
! תמונה
| <math>-\frac{\pi}{2} \le f(x) \le + \frac{\pi}{2}</math>
| <math> 0 \le f(x) \le \pi </math>
|-
! הכללה לכל הישר הממשי
|<math>\sin y = x</math> אם ורק אם <math>y = \arcsin x + 2k\pi</math>
או <math>y =\pi- \arcsin x + 2k\pi</math> עבור שלם <math>k</math> כלשהו.
|<math>\cos y = x</math> אם ורק אם <math>y = \arccos x + 2k\pi</math>
או <math>y =2\pi- \arccos x + 2k\pi</math> עבור <math>k</math> שלם כלשהו.
|-
!זהות מרוכבת
|<math>\arcsin(z)=-i\ln(iz+\sqrt{1-z^2})</math>
|<math>\arccos(z)=-i\ln(z+\sqrt{1-z^2})</math>
|-
! מונוטוניות
| מונוטונית עולה ממש
| מונוטונית יורדת ממש
|-
! סימטריה
|פונקציה אי-זוגית: <math>\arcsin(-x) = -\arcsin(x)\!</math>
| <math>\arccos(x) = \pi - \arccos(-x)\!</math>
|-
! אסימפטוטות
| אין
| אין
|-
! שורשים
| <math>x = 0\!</math>
| <math>x = 1\!</math>
|-
! קיצון מקומי
| Minimum <math>\left( -1|- \frac {\pi} 2 \right)</math> <br /> Maximum <math>\left(1|\frac {\pi} 2 \right)</math>
| Minimum <math>\left(1|0\right)</math> <br /> Maximum <math>\left(-1|\pi\right)</math>
|-
! גרף
 200px
|-
! למידע נוסף
| 
| 
|}
----
{| class="wikitable"
|-
!
! <math>\arctan(x) \,</math>
! <math>\arccot(x) \,</math>
|--
! הפונקציה ההפיכה של
| <math>\tan(x) \,</math> (טנגנס)
| <math>\cot(x) \,</math> (קוטנגנס)
|--
! דרך נוספת לרשום את הפונקציה
| <math>\ \tan^{-1}(x) </math>
| <math>\cot^{-1}(x) \,</math>
|--
! תחום הגדרה
| <math> -\infty < x < \infty </math>
| <math> -\infty < x < \infty </math>
|-
! תמונה
| <math>-\frac{\pi}{2} < f(x) < \frac{\pi}{2}</math>
| <math>0 < f(x) < \pi \,</math>
|-
! הכללה לכל הישר הממשי
| tan y = x אם ורק אם y = arctan x + kπ עבור שלם k כלשהו.
| cot y = x אם ורק אם y = arccot x + kπ עבור שלם k כלשהו.
|-
! מונוטוניות
| מונוטונית עולה ממש
| מונוטונית יורדת ממש
|-
! סימטריה
| פונקציה אי-זוגית: <math>\arctan(-x) = -\arctan(x) \,</math>
| <math>\arccot (x) = \pi - \arccot(-x) \,</math>
|-
! אסימפטוטות
| <math>f(x) \to\pm \frac{\pi}{2}</math> כאשר <math>x \to\pm\infty</math>
| <math>f(x) \to \pi </math> כאשר <math>x \to -\infty</math><br/><math>f(x) \to 0 </math> כאשר <math>x \to + \infty</math>
|-
! שורשים
| <math>x = 0</math>
| אין
|-
! קיצון מקומי
| אין
| אין
|-
! גרף
 330px
|-
! למידע נוסף
| 
| 
|}
----
{| class="wikitable"
|-
!
! <math>\arcsec(x) \,</math>
! <math>\arccsc(x) \,</math>
|--
! הפונקציה ההפיכה של
| <math>\sec(x) \,</math> (סקאנס)
| <math>\csc(x) \,</math> (קוסקאנס)
|--
! דרך נוספת לרשום את הפונקציה
| <math>\ \sec^{-1}(x) </math>
| <math>\csc^{-1}(x) \,</math>
|--
! תחום הגדרה
| <math> -\infty < x \le -1 \,, \, 1 \le x < +\infty </math>
| <math> -\infty < x \le -1 \,, \, 1 \le x < +\infty </math>
|-
! תמונה
| <math> 0 \le f(x) < \frac{\pi}{2} \,, \, \frac{\pi}{2} < f(x) \le \pi</math>
| <math> - \frac{\pi}{2} \le f(x) < 0 \,, \, 0 < f(x) \le \frac{\pi}{2} </math>
|-
! הכללה לכל הישר הממשי
| sec y = x אם ורק אם y = arcsec x + 2kπ
או y = 2π − arcsec x + 2kπ עבור שלם k כלשהו.
| csc y = x אם ורק אם y = arccsc x + 2kπ
או y = π − arccsc x + 2kπ עבור שלם k כלשהו.
|-
! מונוטוניות
| בכל אחד ממרכיבי תחום ההגדרה הפונקציה עולה ממש
| בכל אחד ממרכיבי תחום ההגדרה הפונקציה יורדת ממש
|-
! סימטריה
| <math>\operatorname{arcsec}\,(x)=\pi -\operatorname{arcsec}\,(-x)</math>
| פונקציה אי-זוגית: <math>\operatorname{arccsc}\,(x)=-\operatorname{arccsc}\,(-x)</math>
|-
! אסימפטוטות
| <math>f(x) \to \frac{\pi}{2}</math> כאשר <math>x \to\pm\infty</math>
| <math>f(x) \to 0</math> כאשר <math>x \to\pm\infty</math>
|-
! שורשים
| <math>x = 1\!\,</math>
| אין
|-
! קיצון מקומי
| Minimum <math>\left(1|0\right)</math> <br /> Maximum <math>\left(-1|\pi\right)</math>
| Minimum <math>\left(-1|-\frac\pi2\right)</math> <br /> Maximum <math>\left(1|\frac\pi2\right)</math>
|-
! גרף
 330px
|-
! למידע נוסף
| 
| 
|}

==קישורים חיצוניים==

* 

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:פונקציות טריגונומטריות