תורת שדה ממוצע

תורת שדה ממוצע (Mean Field Theory - MFT) היא שיטה בפיזיקה סטטיסטית ותורות הסתברות נוספות המאפשרת תיאור והבנת מערכות סטוכסטיות על ידי מיצוע על דרגות חופש מיקרוסקופיות (לכן "ממוצע") ורדוקציה של ממדיות הבעיה לתיאור מקרוסקופי. קירובים כאלו ממצעים על דרגות חופש כגון מיקום יחסי, צפיפות מסה, תנע, תנע זוויתי, מגנטיזציה וכדומה, כתלות בבעיה אותה מנסים לפתור.

דרגות החופש יכולות לבוא באינטראקציה אחת עם השנייה (למשל - ספין של חלקיק אחד בא באינטראקציה עם ספין סמוך לו. שני הספינים נחשבים לדרגות חופש מיקרוסקופיות נפרדות), והמיצוע צריך להתחשב בכך. לרוב נייצג את ההשפעה של כל השכנים של חלקיק מסוים על דרגות החופש של החלקיק באמצעות שדה ממוצע. כך ניתן לצמצם בעיה רב גופית, שאינה פתירה עקרונית באופן אנליטי דטרמיניסטי, לבעיה דו-גופית של החלקיק והשדה הממוצע. השיטה גם מכונה "פיתוח עקבי-עצמי" כיוון שניתן כעת לסכום על כל החלקיקים ולשחזר את השדה מהממוצע, מה שמניב, באופן כללי, משוואה אינטגרלית.

הרעיון הופיע לראשונה בפיזיקה בעבודתו של פייר קירי ופייר ווייס כדי לתאר מעברי פאזה. גישות נוספות שאימצו את השיטה תרמו למחקר ויישומים במודלים אפידמיולוגיים, תורת התורים, ביצועי רשתות מחשבים גדולות ותורת המשחקים.

בעיה עם גופים רבים עם אינטראקציות באופן כללי אינה פתירה במדויק (אפילו בהתייחסות סטטיסטית לבעיה ושימוש בפונקציית החלוקה) למעט למקרי קיצון פשוטים בעלי סימטריה רבה (כגון תורת שדה אקראי ומודל איזינג בממדים נמוכים מ-3). בתורת שדה ממוצע, הבעיה הרב-גופית מוחלפת בבעיה חד-גופית בשדה חיצוני הנבנה על ידי מיצוע אינטראקציות מיקרוסקופיות - המיצוע למעשה מחליף את האינטראקציות מכל שאר החלקיקים על חלקיק שרירותי בשדה אפקטיבי, דרגת חופש יחידה. הקושי הגדול (למשל של חישוב פונקציית החלוקה) נעוץ בדרך כלל בספירה קומבינטורית של כמות האינטראקציות הנוצרות בעקבות רכיבי האינטראקציה בהמילטוניאן כאשר סוכמים על כל המצבים. המטרה של תורת השדה הממוצע היא לפתור את הבעיות הקומבינטריות האלו. הקלות שבה השיטה מובילה לתובנות וניבויים הנוגעים לגבי התנהגות המערכת (כתוצאה מאוניברסליות של מערכות מורכבות) הופכת אותה לטכניקה נפוצה.

טכניקות המשתמשות בתורת שדה ממוצע כהנחה מרכזית כוללות את קירוב בראג-ויליאמס, מודלים על עץ קיילי, תורת לנדאו לניתוח מעברי פאזה, קירוב פייר-ווייס ועוד.

בתורת שדות, ניתן לפתח את ההמילטוניאן בטור חזקות של גודל התנודות סביב ממוצע השדה. בהקשר הזה ניתן לחשוב על השדה ממוצע עצמו כ"סדר אפס" של הפיתוח, ממנו כבר ניתן להסיק התנהגויות חשובות של המערכת. למעשה ניתן להשתמש בתורת הפרעות כדי להשתמש בפתרון עבור שדה ממוצע עבור חישוב הסדרים הבאים, ולהשיג תובנות רבות נוספות.

באופן כללי, לממדיות הבעיה תפקיד חשוב בקביעה האם תורת שדה ממוצע תניב תוצאות טובות. ככל שיותר אינטראקציות פועלות על חלקיק יחד במערכת המקורית, כך המיצוע יתן תוצאה מדויקת יותר. זה קורה במערכות בממדים מרחביים גבוהים או בעלות אינטראקציות ארוכות-טווח. קריטריון גינזבורג נותן אומדן פורמלי לכמה התנודות מעבר לשדה הממוצע הופכות את תורת שדה ממוצע לפחות אפקטיבית, כתלות במספר הממדים המרחביים של המערכת.

== ניסוח פורמלי ==
הבסיס הפורמלי של תורת השדה הממוצע הוא אי שוויון בוגוליובוב. על פי משפט זה, בהינתן מערכת עם המילטוניאן המטרה אותו נרצה לחקור:<blockquote><math>\mathcal{H}=\mathcal{H}_{0}+\Delta \mathcal{H}</math></blockquote>כאשר פירקנו את ההמילטוניאן להמילטוניאן <math>\mathcal{H}_{0}</math> פשוט ותוספת <math>\Delta \mathcal{H}</math> שיכולה לכלול אינטראקציות בין זוגות חלקיקים או תרומות לא ליניאריות אחרות. במקרה זה ניתן לשים חסם עליון על האנרגיה החופשית:<blockquote><math>F \leq F_{0} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \langle \mathcal{H} \rangle_{0} -T S_{0}</math></blockquote>כאשר <math display="inline">S_0</math> היא האנטרופיה של המערכת והממוצע נלקח על צבר של המערכת בשיווי משקל תרמודינמי תחת ההמילטוניאן <math>\mathcal{H}_{0}</math>. במקרה הפרטי בו <math display="inline">\mathcal{H}_{0}</math> מתאר מערכת ללא אינטראקציות של דרגות חופש פנימיות, נוכל לכתוב:<blockquote><math>\mathcal{H}_{0}=\sum_{i=1}^{N}h_{i}\left( \xi_{i}\right)</math></blockquote>כאשר <math display="inline">\left(\xi_{i}\right)</math>  מסמל את רשימת כל דרגות החופש של חלקיק יחיד (מיקום, תנע, תנ"ז, ספין וכו'), והאינדקס <math display="inline">i</math> רץ על כל החלקיקים במערכת, עד למספר החלקיקים <math display="inline">N</math>. במקרה זה נוכל להביא למינימום את הצד הימני של אי השוויון. למעשה מערכת היחוס <math display="inline">\mathcal{H}_{0}</math> היא הקירוב הטוב ביותר למערכת בהזנחת קורלציה בין דרגות החופש של המערכת, והיא ידועה כקירוב השדה הממוצע.

במקרה הנפוץ בו המילטוניאן המטרה מכיל רק אינטראקציות דו-חלקיקיות, כלומר:<blockquote><math>\mathcal{H}=\sum_{(i,j)\in \mathcal{P}}V_{i,j}\left( \xi_{i},\xi_{j}\right)</math></blockquote>כאשר <math display="inline">\mathcal{P}</math> היא קבוצת כל זוגות החלקיקים שבאים באינטראקציה, ניתן לבצע את המינימיזציה הנ"ל באופן פורמלי.

לצורך העניין, נוכל לבצע מינימיזציה על האנרגיה החופשית:<blockquote><math>F_{0} = {\rm Tr}_{1,2,..,N}\mathcal{H}(\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{N})P^{(N)}_{0}(\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{N})+kT \,{\rm Tr}_{1,2,..,N}P^{(N)}_{0}(\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{N})\log P^{(N)}_{0}(\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{N})</math></blockquote>כאשר <math display="inline">P^{(N)}_{0}(\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{N})</math> היא ההסתברות למצוא את מערכת היחוס <math display="inline">(\mathcal{H}_{0})</math> במצב המיקרוסקופי המתואר על ידי המשתנים<math display="inline">(\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{N}).</math>.  הסתברות זו ניתן לתאר בטמפרטורה <math display="inline">T</math> באמצעות התפלגות בולצמן:<blockquote><math>P^{(N)}_{0}(\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{N})=\frac{1}{Z^{(N)}_{0}}e^{-\beta \mathcal{H}_{0}(\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{N})}=\prod_{i=1}^{N}\frac{1}{Z_{0}}e^{-\beta h_{i}\left( \xi_{i}\right)}
 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \prod_{i=1}^{N} P^{(i)}_{0}(\xi_{i})</math></blockquote>כאשר <math display="inline"> Z_0</math> היא פונקציית החלוקה, <math display="inline">\beta = \frac 1 {K_BT}</math> ו- <math>K_B</math> הוא קבוע בולצמן. לכן נוכל להציב בביטוי עבור האנרגיה החופשית:<blockquote><math display="inline">F_{0}=\sum_{(i,j)\in\mathcal{P}} {\rm Tr}_{i,j}V_{i,j}\left( \xi_{i},\xi_{j}\right)P^{(i)}_{0}(\xi_{i})P^{(j)}_{0}(\xi_{j})+
 kT \sum_{i=1}^{N} {\rm Tr}_{i} P^{(i)}_{0}(\xi_{i}) \log P^{(i)}_{0}(\xi_{i})</math></blockquote>

נוכל כעת לבצע מינימיזציה של הביטוי לאנרגיה החופשית כדי למצוא את התפלגות השדה הממוצע הסבירה ביותר. על מנת לעשות זאת יש לגזור את הביטוי ביחס להסתברויות החד-חלקיקיות <math display="inline">P^{(i)}_{0}</math> ולאלץ נורמליזציה של ההתפלגות באמצעות כופל לגראנז'. התוצאה המתקבלת בתהליך זה היא מערכת משוואות בעלת התייחסות עצמית עקבית (לכן הפיתוח מכונה "עקבי-עצמי"):<blockquote><math>P^{(i)}_{0}(\xi_{i})=\frac{1}{Z_{0}}e^{-\beta h_{i}^{MF}(\xi_{i})}\qquad i=1,2,..,N</math></blockquote>כאשר השדה הממוצע נתון על ידי<blockquote><math>h_{i}^{MF}(\xi_{i})=\sum_{\{j|(i,j)\in\mathcal{P}\}}{\rm Tr}_{j}V_{i,j}\left( \xi_{i},\xi_{j}\right)P^{(j)}_{0}(\xi_{j})</math></blockquote>

== דוגמאות ==
תורת שדה ממוצע ניתנת ליישום מוצלח במספר מערכות פיזיקליות כדי לתאר תופעות כגון מעבר פאזה.

=== מודל איזינג ===
מודל איזינג הוא מודל מתחום המחקר של מצב מוצק, המתאר התנהגות של פרומגנט. במודל דרגות חופש ספינוריות (נמדד ביחס לציר ספציפי) המסודרות בסריג קובי d-ממדי, אשר באות באינטראקציה עם שדה מגנטי חיצוני <math display="inline">h</math> ואחת עם השנייה בין שכנים קרובים. ההמילטוניאן של המודל נתון על ידי:<blockquote><math> H = -J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_{j} - h \sum_i s_i</math></blockquote> כאשר <math display="inline">s_i = \pm 1</math> הוא הספין של האתר ה-<math display="inline">i</math> בסריג, ו- <math display="inline">\sum_{\langle i,j\rangle}</math> מסמן סכימה על כל זוגות השכנים הקרובים.

נניח כעת שדה מגטזיציה ממוצע באתר ה- <math display="inline">i</math>, <math display="inline">m_i</math>, כך שנוכל לכתוב את הספין באתר באמצעות הפלקטואציות מהממוצע:<blockquote><math> H = -J \sum_{\langle i,j \rangle} (m_i + \delta s_i ) (m_j + \delta s_j) - h \sum_i s_i</math></blockquote>כאשר נגדיר <math display="inline"> \delta s_i \equiv s_i - m_i</math>  - הפלקטואציה של הספין באתר ה- <math> i</math>. אם נפתח את הסוגריים בצד הימני של המשוואה, נקבל איבר אחד שתלוי בממוצעי הספינים בלבד. זהו איבר מסדר אפס, והוא כמובן לא משפיע על התכונות הסטטיסטיות של המערכת. האיבר הבא הוא איבר שכולל מכפלה של הממוצע והפלקטואציה. לבסוף נקבל איבר שכולל מכפלה של שתי פלקטואציות.

קירוב השדה הממוצע למעשה נכנס כאן, בתהליך ליניאריזציה בו מתעלמים מאיברים מסדר שני ומעלה - כלומר זהו הגבול בו הסטיה מהשדה הממוצע היא קטנה ולכן ניתן להזניח את האיבר האחרון בצד הימני של המשוואה (באותו אופן שבו מקבלים את משוואת הגלים במערכת לא ליניארית). ההמילטוניאן שנקבל:<blockquote><math> H \approx H^{MF} \equiv -J \sum_{\langle i,j \rangle} (m_i m_j +m_i \delta s_j + m_j \delta s_i ) - h \sum_i s_i</math></blockquote>בממדים נמוכים, הפלקטואציות הופכות למשמעותיות ולכן בלתי ניתנות להזנחה, מה שהופך את קירוב השדה הממוצע לטוב יותר עבור ממדים גבוהים יותר.

כעת נניח כי כל ספין מרגיש את אותו שדה ממוצע (ללא תלות באתר), וכך נוכל לוותר על האינדקסים השונים (אך לא על הסכימה) - זוהי למעשה הכלה של סימטריה (לטרנזלציה) על ההתפלגות שאנו מחפשים. נציב את <math display="inline"> \delta s_i</math> ונסדר מחדש באופן הבא:
<blockquote><math> H^{MF} = -J \sum_{\langle i,j \rangle} \left( m^2 + 2m(s_i-m) \right) - h \sum_i s_i</math></blockquote>
נוכל לכתוב את הסכימה על שכנים כ- <math display="inline"> \sum_{\langle i,j\rangle} = \frac{1}{2} \sum_i \sum_{j\in nn(i)}</math>  כאשר <math> nn(i)</math> זו קבוצת כל השכנים הקרובים של אתר <math display="inline"> i</math>. כדי להימנע מספירה כפולה נוסף פקטור <math display="inline">1/2</math>. כעת ניתן לספור באופן קומבינטורי ולחשב את הסכומים. נגיע לביטוי הבא:<blockquote><math> H^{MF}= \frac{J m^2 N z}{2}- \underbrace{(h+m J z)}_{h^{\mathrm{eff}}} \sum_i s_i</math></blockquote>כאשר <math display="inline"> z</math> הוא מספר השכנים של כל אתר, או מספר קואורדינציה. נשים לב שהגענו לשדה אפקטיבי שפועל על כל ספין המורכב מהשדה החיצוני <math display="inline"> h</math> והשדה הממוצע <math display="inline"> m J z</math>. כדאי לשים לב לתלות המפורשת של הביטוי במספר השכנים, ולכן במספר הממדים (למשל, עבור סריג קובי <math display="inline"> d</math>-ממדי, <math display="inline"> z = 2 d</math>).

כעת נציב את ההמילטוניאן האפקטיבי שקיבלנו בפונקציית החלוקה:<blockquote><math> Z = e^{-\beta J m^2 N z /2} \left[2 \cosh\left(\frac{h+m J z}{k_BT} \right)\right]^{N}</math></blockquote>כאשר <math display="inline"> N</math> הוא מספר האתרים בסריג ושוב השתמשנו בסימון <math display="inline">\beta = \frac 1 {K_BT}</math>. 

כעת נוכל להסיק את כל הפוטנציאלים התרמודינמיים, ולחשב אקספוננטים קריטיים של מעברי פאזה, באמצעות תורת לנדאו. נוכל למשל לחשב את המגנטיזציה הממוצעת m כפונקציה של הטמפרטורה, ולקבל, בממדים גדולים מ-2, סינגולריות בנגזרת בטמפרטורה <math display="inline"> T_c = \frac{J z}{k_B}</math>. . מודל זה מתאר למעשה את מעבר הפאזה הפרומגנטי, והטמפרטורה הקריטית היא קירוב לטמפרטורת קירי.

=== גביש נוזלי ===
גביש נוזלי הוא תיאור לאוסף של מצבי צבירה בין נוזל למוצק שמתרחשים בצבירים של מולקולות מוארכות. ניתן לתאר את מעבר הפאזה מנוזל איזוטרופי - בו כל המולקולות מצביעות בכיוונים אקראיים, לגביש נוזלי נמטי - בו המולקולות מצביעות לכיוון אחיד, באמצעות תורת לנדאו ובחירת פרמטר הסדר כשדה ממוצע. לשם הדוגמה נציג מודל של אלפרד זָאוּפֶּה ווילהלם מָאיֶר לתיאור מעבר הפאזה איזוטרופי-נמטי, בו מניחים אינטראקציות בין המולקולות שפרופורציונליות לחתך הפעולה של שתי המולקולות, ומזניחים את אפקט הדחיה הסטרית התלוי בטמפרטורה.
אילוסטרציה של הסתדרות המולקולות בפאזה הנמטית
נתבונן על סידור מולקולה אחת במרחב שמרכז המסה שלה ממוקם ב- <math display="inline">\vec r = \vec R_{CM}</math>. נשתמש בקואורדינטות <math display="inline">(\theta,\phi)</math> כאשר נבחר <math display="inline">\hat z = \hat n</math>, הכיוון הממוצע בו יסתדרו המולקולות בפאזה הנמטית (באמצעותו נבנה את השדה הממוצע). 
דרגות חופש במוקולה בגביש נוזלי
נסמן ב- <math display="inline">f(\theta,\phi; \vec r)</math> את התפלגות הזוויות <math display="inline">(\theta,\phi)</math> בנקודה <math display="inline">\vec r</math> בצבר. אנו נניח את הסימטריות הבאות, שיהיו תקפות לשתי הפאזות:
* סימטריה לטרנזלציה - ההתפלגות אינה תלויה במיקום <math>\vec r</math>, ולכן <math display="inline">f(\theta,\phi; \vec r) = f(\theta,\phi)</math>
* סימטריה גלילית - כלומר <math display="inline">f(\theta,\phi) = f(\theta)</math>
* סימטריית ראש-זנב - המולקולות סימטריות, אין הבדל בין ראש לזנב, ולכן <math display="inline">f(\theta) = f(\pi - \theta)</math>
נניח כמובן כי <math display="inline">f</math> מנורמלת במשתנה האקראי <math display="inline">\theta</math>. 

כעת ננסה לבנות פרמטר סדר <math display="inline">S</math>, שיתאר את הנטייה של המולקולות להצביע לכיוון יחיד. נרצה שפרמטר הסדר יקבל ערך <math display="inline">S = 0</math> בפאזה האיזוטרופית, ו- <math display="inline">S = 1</math> בפאזה הנמאטית.

בחירה טבעית לפרמטר סדר כזה היא פונקציית הקומולנט השני: <blockquote><math>S=\frac 1 2<3\cos^2(\theta)-1> = \frac 1 2\int f(\theta)[3\cos^2(\theta)-1]d\theta</math></blockquote>במצב האיזוטרופי <math display="inline">f = \frac 1 {4\pi}</math> (התפלגות אחידה), ואכן ניתן לוודא ש- <math>S=0</math>. במצב זה האנטרופיה תהיה:<blockquote><math>S_{iso} = -K_BT\int f(\theta)lnf(\theta)d\theta= K_bTln(4\pi)</math></blockquote>במצב הנמטי יהיו ל- <math>f</math> שני "פיקים" סביב <math display="inline">\theta = 0, \pi</math> (כי הנחנו מלכתחילה <math display="inline">\hat z = \hat n</math>), ונוכל להעריך את האינטגרל בקירוב טוב בנקודות אלו. אכן מתקבל <math display="inline">S=1</math>. במצב זה האנטרופיה תהיה:<blockquote><math>S_{nem} = -K_BT\int f(\theta)lnf(\theta)d\theta</math></blockquote>כלומר הפרש האנטרופיות: <blockquote><math>\delta S= S_{nem}-S_{iso} = -K_BT\int f(\theta)ln(4\pi f(\theta))d\theta</math></blockquote>הפוטנציאל שעלינו לעשות לו מינימיזציה הוא האנתלפיה:<blockquote><math>G(p,T)=G_{iso}(p,T)+k_BT\int f(\theta)log(4\pi f(\theta))d\Omega-\frac{1}{2}U(p)S^2</math></blockquote>האיבר הראשון הוא איבר איזוטרופי שלא תלוי ב- <math>S</math> ולכן יעלם במינימיזציה ולא ישפיע. האיבר השני הוא הפרש האנטרופיות שחישבנו. האיבר השלישי הוא האנרגיה שעולה סטיה מן הממוצע, שנוצר כתוצאה מאינטראקציות בין-מולקולריות. אנרגיה זו נתונה בפיתוח עד לסדר שני בפרמטר הסדר (הסדר הראשון מתאפס מטעמי סימטריה). הנחה נוספת שנעשה כאן היא כי המקדם <math display="inline">U</math> של האינטראקציה אינו תלוי בטמפרטורה. כפי שצוין קודם, למעשה ישנה דחייה סטרית בין המולקולות שניתן לפרשה כהימנעות מחדירת מולקולה אחת לנפח האחרת שאכן תלויה בטמפרטורה, אך זו מוזנחת בפיתוח זה. ניתן להתחשב גם בה במסגרת תורת שדה ממוצע, כפי שנעשה במודל אונסאנגר, ולקבל מעבר פאזה איזוטרופי-נמטי בעל מאפיינים קצת שונים.

לאחר מינימיזציה של האנתלפיה נקבל את ההתפלגות:<blockquote><math>f(\theta)=\frac{1}{4\pi Z}e^{\frac{3US}{2k_BT}cos^2(\theta)}</math></blockquote>כאשר <math>Z=\int_0^1e^{\frac{3US}{2k_BT}x^2}dx</math> הוא פרמטר נרמול של ההתפלגות.

כעת נוכל לדרוש עקביות-עצמית ולהציב את ההתפלגות בהגדרת פרמטר הסדר, וכך למצוא את מעבר הפאזה.

== הרחבה לשדות ממוצעים תלויים בזמן ==
בתורת שדה ממוצע קלאסית, השדה הממוצע הוא שדה סקלרי או שדה וקטורי בלתי תלוי בזמן. הנחה סמויה במודלים המשתמשים בקירוב זה, לרוב, היא הימצאות המערכת בשיווי משקל תרמודינמי. הנחה זו לא תמיד נכונה. בתורת שדה ממוצע דינמית (DMFT), השדה הממוצע נהפך לתלוי בזמן, ונחקרת הדינמיקה שלו בזמן באמצעות משוואות התנועה המיקרוסקופיות והשפעתן על השדה הממוצע. בקירוב זה משתמשים למשל במודל הובארד על מנת לחקור את מעבר הפאזה ממבודד למוליך.

== ראו גם==
* תורת לנדאו

== הערות שוליים ==

קטגוריה:פיזיקה סטטיסטית
קטגוריה:פיזיקה תאורטית