רמה של שדה

בתורת השדות, הרמה של שדה F, המסומנת <math>s(F)</math>, היא המספר הקטן ביותר <math>\ell</math> כך ש-<math>-1</math> הוא סכום של <math>\ell</math> ריבועים. לפי משפט ארטין-שרייר, שדה הוא ניתן לסידור אם ורק אם הרמה שלו אינסופית. חישוב הרמה של שדה הוא בדרך כלל בעיה אריתמטית קשה.

==הגדרה==
יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה. האורך של כל <math>a \in \mathbb{F}</math> הוא המספר המינימלי <math>\ell</math> עבורו <math>a</math> הוא סכום של <math>\ell</math> ריבועים. אם אין מספר כזה, נאמר שהאורך הוא אינסופי. הרמה של השדה היא האורך של <math>-1</math>, ומסמנים אותה <math>s(\mathbb{F})</math>

אלברט פיסטר הוכיח שהרמה של שדה היא או אינסוף או חזקה של 2. לכל חזקת 2 אכן קיים שדה שזו הרמה שלו, לפי המשפט הבא של פיסטר:

משפט (Pfister): שדה הפונקציות הרציונליות של היריעה הפרויקטיבית האלגברית הנתונה על ידי המשוואה <math>x_0^2+...+x_{2n}^2=0</math> הוא מרמה 
<math>s(\mathbb{F})=2^n</math>.

שדות מסוג זה היו הדוגמאות הראשונות לשדות מרמה שגדולה מ-4, ובמובן מסוים הם השדות היחידים מרמה גדולה מ-4 הידועים עד היום. 

==דוגמאות==
* משפט ארטין-שרייר קובע כי שדה הוא ניתן לסידור אם ורק אם <math>-1</math> איננו סכום של ריבועים, כלומר הרמה שלו אינסופית.
* הרמה של שדה סופי מסדר <math>n</math> היא <math>1</math> אם <math>n=1(\bmod4)</math> ו-<math>2</math> אם <math>n=3(\bmod4)</math>.
* הרמה של שדה מספרים מהצורה <math>\mathbb{Q}[\sqrt{-d}]</math> כאשר <math>d</math> מספר טבעי שהוא סכום של שלושה ריבועים היא 4.
* האורך של סכום ריבועים בשדה גלובלי הוא לכל היותר 4, ולכן הרמה היא 1,2 או 4 או אינסוף.
* מתקיים <math>s(\mathbb{F})=s(\mathbb{F}(t))=s(\mathbb{F}((t)))</math>.
* אם הרמה של שדה לא ממשי היא <math>2^r</math>, אז חוג ויט <math>W(\mathbb{F})</math> הוא בעל פיתול <math>2^{r+1}</math>.
* הרמה של הרחבה לא-ממשית סופית של <math>\mathbb{R}((x_1,\dots,x_n))</math> היא לכל היותר <math>2^{n-1}</math>. 


==רמה ביחס לתבנית ריבועית==
יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה ו-<math>q</math> תבנית ריבועית מעל <math>\mathbb{F}</math>. הרמה של השדה ביחס לתבנית היא המספר המינימלי <math>\ell</math> עבורו <math>-1</math> הוא סכום של <math>\ell</math> ערכים של <math>q</math>, כלומר <math>-1 = q(x_1)+...+q(x_l)</math> (ואינסוף אם אין ערכים כאלה). הרמה של השדה היא הרמה ביחס לתבנית <math>q(x)=x^2</math>, והאורך של איבר <math>a</math> הוא הרמה ביחס לתבנית <math>q(x)=a^{-1}x^2</math>. את הרמה ביחס לתבנית נסמן <math>s_q(\mathbb{F})</math>.

מתקיימות התכונות הבסיסיות הבאות:
* <math>1 \le s_q(\mathbb{F}) \le s(\mathbb{F})+1</math>.
* אם <math>\mathbb{K} / \mathbb{F}</math> הרחבת שדות אז <math>s_q(\mathbb{F}) \ge s_q(\mathbb{K})</math>, לכל תבנית משדה הבסיס. 
* אם ההרחבה לעיל מממד אי-זוגי, אז יש שוויון - <math>s_q(\mathbb{F}) = s_q(\mathbb{K})</math>
* בדומה לרמה הרגילה, אם <math>\mathbb{K}/\mathbb{F}</math> הרחבה טרנסצנדנטית אז <math>s_q(\mathbb{F})=s_q(\mathbb{K})=s_q(\mathbb{K}((t)))</math>.

אם <math>\mathbb{K} / \mathbb{F}</math> הרחבת שדות ריבועית, ונניח <math>\mathbb{K}=\mathbb{F}[\sqrt{a}]</math>, אז מתקיים <math>s(K)=s_{\langle 1,-a \rangle}(\mathbb{F})=s_{\langle \langle a \rangle \rangle}(\mathbb{F})</math>, כאשר <math>\langle \langle \cdot \rangle \rangle </math> היא תבנית פיסטר. 

ביתר כלליות, אם <math>Q=(a,b)_2</math> אלגברת קווטרניונים מעל <math>\mathbb{F}</math> אז <math>s(Q)=s_{\langle \langle a,b \rangle \rangle}(\mathbb{F})</math>.

אם <math>\phi</math> תבנית פיסטר אז <math>s_\phi(\mathbb{F})</math> הוא או אינסוף או חזקת 2. במקרה של הרחבת שדות ריבועית <math>\mathbb{K} / \mathbb{F}</math> עם <math>\mathbb{K}=\mathbb{F}[\sqrt{a}]</math>, אז <math>\ell _\phi(-a) \le 2 s_\phi(\mathbb{K})</math>.

==שאלת הרמה==
שאלת הרמה (The level question) שואלת האם קיים שדה בעל מספר מחלקות ריבועים <math>q(\mathbb{F})=|\mathbb{F}^{\times}/\mathbb{F}^{\times^2}|</math> סופי, שהרמה שלו <math>4 < s(\mathbb{F}) < \infty</math>. שאלה זו נשארה פתוחה עד היום. בכל זאת, ישנן מספר תוצאות משניות (למקור ראו בקריאה נוספת).

משפט (Djokovic): אם <math>\mathbb{F}</math> שדה בעל רמה <math>8 \le s < \infty</math> אז מתקיים:

<math>q(\mathbb{F}) \ge 2 \sum_{i=1}^{s/2} \frac{1}{s-i+2} \cdot {s}</math>

עבור <math>s=8,16</math> מתקבלות תוצאות טובות יותר:

משפט:
* אם <math>s(\mathbb{F}) = 8</math> אז <math>q(\mathbb{F}) \ge 2^9</math>.
* אם <math>s(\mathbb{F}) = 16</math> אז <math>q(\mathbb{F}) \ge 2^{15}</math>.

==ראו גם==
*משפט ארטין-שרייר

==לקריאה נוספת==
<div class="mw-content-ltr">
* Level of a field and the number of square classes, Dragomir Ž. Djoković, 1974
* [https://web.archive.org/web/20160303175556/http://www.math.uiuc.edu/documenta/lsu/becher.pdf On the Number of Square Classes of a Field of Finite Level], Karim Johannes Becher, 2011
* [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00585267/document Sums of values represented by a quadratic form], G. Berhuy, N. Grenier-Boley, M. G. Mahmoudi, 2011
</div>

קטגוריה:תורת השדות
קטגוריה:תבניות ריבועיות
קטגוריה:שדות סדורים