תת-חבורה נורמלית

באלגברה, תת חבורה נורמלית היא תת חבורה הסגורה תחת פעולת ההצמדה באיברי החבורה החיצונית. חשיבותן העיקרית של תת-חבורות נורמליות היא בכך שניתן להשתמש בהן כדי ליצור חבורת מנה, וכך לפרק את החבורה לשני מרכיבים: תת-החבורה הנורמלית, והמנה ביחס אליה. הרכבת החבורה בחזרה משני מרכיבים אלה נקראת הרחבה של חבורות.

==הגדרה==
תהא <math>G </math> חבורה ותהא <math>N\leq G </math> תת-חבורה שלה. לכל איבר <math>g\isin G </math>, הקבוצה <math>g^{-1}Ng=\left\{g^{-1}xg : x\in N\right\} </math> היא ה"הצמדה" של <math>N </math> על ידי <math>g </math>. אם לכל איבר <math>g </math> מתקיים <math>g^{-1}Ng \subseteq N </math>, אז <math>N </math> היא תת חבורה נורמלית של <math>G </math>, ומסמנים <math>N\trianglelefteq G</math>. אם בנוסף <math>N\neq G</math> אז מסמנים <math>N\vartriangleleft G</math>.

=== הגדרה באמצעות קוסטים ===
קבוצה מהצורה <math>Ng = \{xg : x\in N\}</math> או <math>gN = \{gx : x\in N\}</math> נקראת "מחלקה" (ימנית או שמאלית, בהתאמה), או "קוסט" של <math>N </math>. תת-החבורה <math>N </math> נורמלית אם ורק אם לכל <math>g\isin G </math> מתקיים <math>gN=Ng </math>. במקרה כזה, לכל <math>g\isin G </math> ולכל <math>n_1\isin N </math> קיים <math>n_2\isin N </math> כך ש-<math>gn_1=n_2g </math>.

מכאן גם רואים ישירות כי בחבורה קומוטטיבית כל תת-חבורה היא נורמלית, כי לכל <math>g\isin G </math> ולכל <math>n\isin N </math> מתקיים <math>ng=gn </math>.

== תת-חבורות נורמליות וחבורות מנה ==
בהינתן חבורה <math>G </math> ותת חבורה <math>N\le G </math>, חבורת המנה <math>G/N </math> מוגדרת היטב אם ורק אם <math>N\trianglelefteq G</math>. הסיבה לכך היא שהנורמליות היא הדרישה השקולה לכך שכפל נציגי הקוסטים השונים יהיה מוגדר היטב: תהי <math>H</math> תת-חבורה של <math>G </math> ויהיו <math>g_1,g_2 \in G</math>. אנו רוצים שהכפל בין הקוסטים יהיה מוגדר היטב באמצעות נציגים, כלומר <math>(g_1 H)(g_2 H) = g_1 g_2 H</math>. נוכיח זאת: יהיו <math>g_1,g_2 \in G</math> איברים כלשהם ב-<math>G </math>. השוויון <math>(g_1 H)(g_2 H) = g_1 g_2 H</math> מתקיים רק אם קיימים <math>h_1,h_2,h_3 \in H</math> כך ש-<math>g_1 h_1 g_2 h_2 = g_1 g_2 h_3</math>, ובאמצעות אלגברה נקבל <math>h_1 g_2 = g_2 h_3 h_2^{-1} </math>, ואם נסמן <math>g = g_2 \in G , \ n_1 = h_1, \ n_2 = h_3 h_2^{-1} \in H</math> נקבל <math>n_1 g = g n_2</math> לכל <math>g \in G</math> וקיום תנאי זה אומר ש-<math>H</math> היא חבורה נורמלית.

ניתן להראות כי גרעין של הומומורפיזם שתחומו <math>G </math> הוא תמיד תת-חבורה נורמלית של <math>G </math>. יותר מכך, ניתן להראות גם כי כל תת-חבורה נורמלית של <math>G </math> היא גרעין של הומומורפיזם כלשהו שתחומו <math>G </math>.

== הנורמליזטור ==
אם <math>G </math> חבורה ו-<math>H</math> תת-חבורה, המנרמל (או: הנורמליזטור) של <math>H</math> ב-<math>G </math> הוא תת-החבורה <math>N_G(H) = \{x\in G: xHx^{-1} = H\}</math>. זוהי תת-החבורה הגדולה ביותר של <math>G </math> שבתוכה <math>H</math> נורמלית. המְרכז של <math>H</math>,
<math>C_G(H) = \{x\in G: \forall h \in H, xhx^{-1}=h \}</math>, בוודאי מוכל בנורמליזטור, ואף מתקיים <math>C_G(H)\trianglelefteq G</math>. האינדקס של הנורמליזטור ב-<math>G </math> שווה למספר תת-החבורות השונות מהצורה <math>xHx^{-1}</math> (היינו, תת-החבורות הצמודות ל-<math>H</math>).

== הליבה של חבורה ==
אם <math>H \leq G</math> תת-חבורה (שאינה בהכרח נורמלית), הליבה של <math>H</math> מוגדרת כחיתוך כל תת-החבורות הצמודות לה: <math>\operatorname{Core}_G(H) = \bigcap_{g \in G} g H g^{-1}</math>. זוהי תמיד תת-חבורה נורמלית, המוכלת ב-<math>H</math> (ראו גם העידון של משפט קיילי). מכיוון שבחישוב החיתוך די לקחת נציג אחד <math>g </math> מכל קוסט ימני של <math>H</math>, אם <math>H</math> תת-חבורה מאינדקס סופי, אז הליבה שלה היא חיתוך של מספר סופי של חבורות צמודות. מכאן נובע שכל תת-חבורה מאינדקס סופי מכילה גם תת-חבורה נורמלית מאינדקס סופי.

==חבורות פשוטות==
חבורה <math>G </math> אשר תת-החבורות הנורמליות היחידות שלה הן <math>G </math> עצמה ו-<math>\left\{e\right\} </math> נקראת חבורה פשוטה. לחבורות פשוטות חשיבות רבה, שכן הן מהוות את "אבני הבנייה" הבסיסיות של כל החבורות הסופיות, בצורה דומה לזו שבה המספרים הראשוניים מהווים אבני בנייה של המספרים הטבעיים.

== תת-חבורות אופייניות ==
תת-חבורה נורמלית של <math>G </math> היא, כאמור, תת-חבורה הנשמרת תחת פעולת ההצמדה בכל איבר של <math>G </math>. סוג חזק במיוחד של תת-חבורה כזו נקרא תת-חבורה אופיינית (או קרקטריסטית): זוהי תת-חבורה הנשמרת תחת כל אוטומורפיזם של <math>G </math> (ולא רק אוטומורפיזם פנימי). באופן כללי, תת-חבורות כאלה מתקבלות מהפעלת שיקולים מבניים (שאינם תלויים בהצגה מסוימת של <math>G </math>). לדוגמה, המרכז של <math>G </math> הוא תת-חבורה אופיינית. גם תת-חבורת הקומוטטורים והאיברים האחרים של הסדרה המרכזית היורדת והסדרה המרכזית העולה הם תת-חבורות אופייניות.

לתכונת האופייניות יש יתרון בולט על-פני נורמליות: זוהי תכונה טרנזיטיבית. אם <math>A </math> תת-חבורה נורמלית של <math>B </math> ו-<math>B </math> נורמלית (ואפילו אופיינית) של <math>C </math>, אז <math>A </math> עשויה שלא להיות תת-חבורה נורמלית של <math>C </math>. לעומת זאת, אם <math>A </math> אופיינית ב-<math>B </math>, אז התכונות של <math>B </math> עוברות בירושה ל-<math>A </math>: אם <math>B </math> נורמלית ב-<math>C </math> אז כך גם <math>A </math>, ואם <math>B </math> אופיינית ב-<math>C </math> אז כך גם <math>A </math>.

== תת-חבורות תת-נורמליות ==
אם קיימת שרשרת של תת-חבורות <math>G_t \leq \cdots \leq G_1 \leq G</math> כך שכל <math>G_{i+1} \trianglelefteq G_i</math>, אז אומרים ש-<math>G_t</math> תת-חבורה תת-נורמלית של <math>G </math>. לדוגמה, כל תת-חבורה של חבורת-p סופית היא תת-נורמלית. לכל חבורה <math>H</math> אפשר לבנות את השרשרת <math>H \subseteq N_G(H) \subseteq N_G(N_G(H)) \subseteq N_G(N_G(N_G(H))) \subseteq \cdots</math>; בחבורות סופיות, השרשרת נעצרת כאשר מתקבל שוויון בפעם הראשונה; <math>H</math> תת-נורמלית אם ורק אם שרשרת הנורמליזטורים מגיעה לחבורה <math>G </math>. חבורה היא כמעט תת-נורמלית אם יש שרשרת כנ"ל, שבה כל צעד הוא או סופי או נורמלי.

== חיתוך טריוויאלי ==

אם החיתוך של תת-חבורה עם כל תת-חבורה צמודה לה הוא טריוויאלי, אומרים שיש לה "חיתוך טריוויאלי"; תכונה זו נמצאת בקוטב המנוגד לנורמליות. חבורה שכל תת-החבורות שלה הן בעלות חיתוך טריוויאלי נקראת "חבורה בעלת חיתוך טריוויאלי", או חבורת TI .

תת חבורה <math>H</math> של <math>G </math> נקראת מלנורמלית אם כל הצמדה שלה על ידי איבר שאינו שייך ל-<math>H</math> נחתכת עם <math>H</math> רק באיבר היחידה. זהו טיפוס קיצוני של תת-חבורה עם חיתוך טריוויאלי.

==דוגמאות==
* בכל חבורה אבלית כל תת-חבורה היא נורמלית.
*<math>A_n</math> תת-חבורה נורמלית של <math>S_n</math>, כאשר <math>S_n</math> היא החבורה הסימטרית מסדר <math>n</math> ואילו <math>A_n</math> היא חבורת התמורות הזוגיות מסדר <math>n</math>.
* החבורה הציקלית שנוצרת על ידי הסיבוב ב-<math>\tfrac{2\pi}{ n}</math> היא תת-חבורה נורמלית של החבורה הדיהדרלית מסדר <math>n</math>.
* את שתי הדוגמאות האחרונות ניתן להכליל: כל תת-חבורה מאינדקס 2 היא נורמלית. זאת מכיוון שאם <math>[G:N]=2</math>, אז לכל <math>g\not\in H</math>, הן <math>gH</math> והן <math>Hg</math> הם הקוסט הלא טריוויאלי היחיד של <math>H</math>.
* עבור <math>n\ge 5</math> אין ל-<math>S_n</math> תת-חבורות נורמליות פרט ל-<math>A_n</math>.

==קישורים חיצוניים==
* 
==הערות שוליים==

קטגוריה:אלגברה
קטגוריה:תורת החבורות