עקרון המילטון

עקרון המילטון או עקרון הפעולה המינימלית הוא עיקרון פיזיקלי שמתוכו ניתן לגזור את משוואות התנועה של המכניקה הקלאסית. על פי הגישה המקובלת העיקרון אינו מכיל מידע פיזיקלי והצדקתו היא בעצם קבלת משוואות התנועה, אך ישנה גם גישה פיזקאלית המוצגת להלן (גישת היחסות המורחבת). הייחוד בעיקרון זה הוא שבעזרת הכללתו ושימוש בלגרנז'יאנים שונים, ניתן להכליל את המכניקה הקלאסית לכדי תורת שדות ובנוסף לכך, העיקרון תומך בצורה פשוטה במערכות בעלות אילוצים. שימוש באינטגרלי מסלול במכניקת הקוונטים מהווה הכללה של עקרון הפעולה המינימלית.

הרעיון צמח במהלך המאה ה-18 על ידי המתמטיקאי הצרפתי פייר לואי מופרטואי שלעיתים קרובות מיוחסת לו את המצאת "עקרון הפעולה המינימלית" או "עקרון מיעוט הפעולה" ; בגרסה המוכרת בתור העיקרון של מופרטואי 

== פורמליזם ==

מגדירים את הלגראנז'יאן של המערכת באופן הבא
:: <math display="block">\ L(x,\dot{x},t) = T - U = E_k(x,\dot{x},t) - E_p(x,\dot{x},t) </math>

לגודל זה קשה לתת משמעות אינטואיטיבית אבל באמצעות הלגראנז'יאן אפשר גם להגדיר את ההמילטוניאן על ידי
:: <math display="block">\ H = p \dot{x} - L</math>
כאשר ההמילטוניאן מייצג לרוב את האנרגיה הכוללת של המערכת.

הפעולה, שהיא האינטגרל על הלגראנז'יאן לאורך הזמן בו התרחשה התנועה תוגדר על ידי :
:: <math display="block">S = \int_{t_1}^{t_2}{ L(x,\dot{x},t) \ dt}</math>

עקרון המילטון קובע שהמערכת תנוע במסלול בו הפעולה תהיה סטציונרית, כלומר יתקיים התנאי ש

::: <math display="block">\ \delta S= 0</math>

משמעותו המתמטית של תנאי זה היא שאין שינוי ב־<math>S</math> לכל וריאציה קטנה ב־<math>x</math>.

אם כן, המשוואה <math>\delta S= 0</math> מהווה ניסוח שונה של חוקי הדינמיקה כך שכל מערכת הכפופה להם תנוע ממצבה בזמן <math>t_1</math> למצבה החדש בזמן <math>t_2</math> באופן שהפעולה בטווח זמן זה תהיה סטציונרית מתוך כלל פעולות ביתר הנתיבים האפשריים מבחינה קינמטית.
הדרישה שלעיל היא כללית וחלשה יותר מאשר דרישה שהפעולה תהיה מינימלית. אם הפרש הזמנים <math>t_2-t_1</math> הוא מספיק קטן אז נקודת הקיצון הוא מינימום אמיתי.

עבור מערכות פיזיקליות עם תנאי שפה קבועים (נקודת ההתחלה והסוף של המסלול קבועים) אפשר להראות בעזרת שיטות של חשבון וריאציות שהתנאי לכך שהמערכת תנוע במסלול <math>x(t)</math> הוא שהפונקציה הנ"ל תקיים את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה:
:: <math display="block">\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{ \partial L}{ \partial \dot{x} } \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0</math>
משוואה זו ידועה כמשוואת אוילר לגראנז', ועבור מערכת עם n דרגות חופש, כל דרגת חופש מקיימת את המשוואה הזו (וכך מקבלים מערכת של n משוואות דיפרנציאליות מצומדות).

== דוגמה - הסקת החוק השני של ניוטון ==

נניח שגוף נקודתי נע תחת השפעה של פוטנציאל משמר חד-ממדי, אזי מתקיים:
: <math display="block">\ F(x) = - \vec{\nabla} V(x) = - V'(x)</math>
הלגראנז'יאן שלו יהיה:
: <math display="block">\ L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - V(x)</math>
נציב במשוואות אוילר-לגראנז':
: <math display="block">\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{ \partial L}{ \partial \dot{x} } \right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( m \dot{x} \right) = m \ddot{x} </math>
: <center><math>\ \frac{\partial L}{\partial x} = -V'(x) </math></center> (כלל השרשרת)
ובסה"כ קיבלנו
: <center><math>\ m \ddot{x} = -V'(x) = F(x) </math> </center>
או
: <center><math>\ F = ma</math> </center>
וזהו החוק השני של ניוטון.
נשים לב שחוק זה הוא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני.

== גישת היחסות המורחבת ==
ישנה גישה פיזיקאלית להבנת עיקרון המילטון אותה ניסח פרופ' יעקב פרידמן<ref></ref>

ניתן לתאר תנועה של גוף נקודתי באופן מלא על ידי קו במרחב-זמן.

התיאור יהיה מלא מכיוון שהוא גם מכיל את כל המיקומים שהגוף נמצא בהם, וגם באילו זמנים הוא נמצא בכל אחד מהמיקומים הללו.

נגדיר פרמטר כלשהו <math>\sigma</math> איתו משתנה המסלול, (חשוב להדגיש, לפרמטר זה אין תכונה מיוחדת) ובאמצעותו נגדיר את המהירות:

<math display="block">\textbf{u} \equiv \frac{d\textbf{x}}{d\sigma} </math>

בנוסף <math>\hat{u}</math> מוגדר להיות בכיוון המסלול.

נבחר 2 נקודות על המסלול:
<math display="block">P = \textbf{x}, Q = \textbf{x} + \textbf{u}d \sigma</math>

כאשר
<math display="block">d\sigma \rightarrow 0 </math>

נגדיר את פונ' הפעולה הגאומטרית להיות:

<math display="block">L(\textbf{x},\textbf{u}) = \lim_{d\sigma \rightarrow 0} \frac{distance(P,Q)}{d\sigma} </math>

נסביר: כאשר קיימים שדות במרחב, ניתן להתייחס לגוף המושפע מהשדות השונים כנע במרחב עקום, הפונקציה של המרחק (distance) עליה אנחנו מגדירים את הלגראז'יאן היא המרחק בין 2 הנקודות במרחב העקום. בחיי היומיום אנחנו רואים שגוף הנע במהירות קבועה, בכיוון מסוים, ימשיך לנוע במהירות קבועה באותו הכיוון ולא יסטה מקו ישר, אלא אם כן יפעלו עליו כוחות שסכומם לא שווה ל־0 (על פי החוק הראשון של ניוטון).נרחיב את מושג הקו הישר למרחבים שאינם ישרים, על ידי שמירת אחת התכונות של הקו הישר: הקו הישר הוא הקו שעובר במרחק הקצר בין שתי נקודות נתונות. לאחר הרחבת מושג הקו הישר ניתן להרחיב את החוק הראשון של ניוטון לכל מקרה בפיזיקה, וזאת כיוון שגופים שדוממים לא יכולים להחליט לנוע על דעת עצמם, על כן במרחב העקום אותו הם מרגישים הם נעים בקווים ישרים (בצורה המורחבת בה הגדרנו קווים ישרים).

על מנת לחפש את הקו המינ' הנ"ל תחילה נסכום מרחקים באופן אינפי' על ידי פונ' פעולה הגאומטרית שהגדרנו:

<center><math>S[\textbf{x}(\sigma)] \equiv \int^{\sigma_2}_{\sigma_1}
L\left(\textbf{x}(\sigma),\frac{d\textbf{x}(\sigma)}{d\sigma}\right)d\sigma </math></center>

לS נקרא פעולה גאומטרית.

לאחר מכן נחפש את הווריאציה בה המסלול שנקבל הוא מינ', כלומר, בו הגוף ינוע בקווים ישרים בעולם העקום שלו:

<center><math>\left.\frac{d}{d{\varepsilon}}\right|_{\varepsilon = 0}
S[\textbf{x}(\sigma) + \varepsilon h(\sigma)] = 0
 </math></center>

וכך מקבלים את עיקרון המילטון באמצעות ההרחבה שביצענו לחוק ניוטון הראשון.

==ראו גם==
* חשבון וריאציות
* לגראנז'יאן
* עקרון ד'אלמבר

==קישורים חיצוניים==
* [http://www.eftaylor.com/leastaction.html הדגמות והסברים מורחבים] באתרו של פרופ' אדווין טיילור מ-MIT

== הערות שוליים ==

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:אופטימיזציה רציפה
קטגוריה:מכניקה אנליטית