מעוות

מאמץ-מעוות ב[[מערכת צירים קרטזית]]
דיאגרמת מאמץ-מעוות סכמטית. הקו הישר הכחול מציין את התחום האלסטי. העקומה הירוקה מציינת את התחום הפלסטי. נקודת השבירה מצוינת באדום
מַעֲוות הוא השינוי הגאומטרי החל בגוף הנתון תחת מאמץ. מעוות יכול להיות אחיד (הומוגני) בכל חלקי הגוף או בלתי אחיד. הביטוי הכללי למעוות הוא טנזור מעוות סימטרי. לרוב מתייחסים למעוות היחסי שהוא ערך חסר יחידת מידה המגדיר את השינוי ביחס לערך הראשוני לפני הפעלת המאמץ. בתחום האלסטי של החומר, הקשר בין המאמץ לבין המעוות נתון על ידי חוק הוק ומתואר באופן גרפי על ידי קו ישר. התחום הפלסטי של חומר מתאפיין בהשתנות שאינה ליניארית, ובמעוות שיורי שנותר לאחר הסרת העומס. דיאגרמת מאמץ-מעוות נותנת ערך נסיוני למעוות היחסי כתלות במאמץ הפועל על דגם של החומר הנבדק. המעוות היחסי מסומן באמצעות האות היוונית אפסילון (<math>\varepsilon</math>).

== מעוות יחסי במוט ==
כאשר המוט מתארך במאמץ מתיחה, <math>\delta \ell</math> הוא בעל ערך חיובי וכך גם המעוות היחסי <math>\varepsilon</math>. כאשר המוט מתקצר במאמץ לחיצה, <math>\delta \ell</math> בעל ערך שלילי וגם המעוות היחסי <math>\varepsilon</math> בעל ערך שלילי. האורך הראשוני של המוט <math>\ell_o</math> הוא ערך חיובי.

המעוות היחסי כתוצאה ממאמץ הגורם לשינוי אורך של מוט נתון על ידי הביטוי:

:<math>\varepsilon = \frac {\delta \ell}{\ell_o} = \frac {\ell - \ell_o}{\ell_o}</math>

כאשר
* <math>\varepsilon</math> – המעוות היחסי
* <math>\ell_o</math> – האורך הראשוני של המוט
* <math>\ell</math> – האורך הנוכחי של המוט
* <math>\delta \ell</math> – שינוי האורך של המוט

== מעוות צירי ליניארי ==
הביטוי למעוות היחסי בנקודה כלשהי בגוף מתקבל מהשינוי היחסי במרחק בין שתי נקודות:

:<math> \varepsilon = \mathop {\lim_{\ell \to 0}} \frac }</math>

כאשר:
* <math>\vartheta</math> – מעוות נפחי יחסי
* <math>V^{(0)}\!</math> – הנפח ההתחלתי
* <math>V</math> – הנפח הסופי לאחר הפעלת המאמץ

במערכת קואורדינטות ישרת זווית (קרטזית) המעוות הנפחי היחסי הוא בקרוב:

:<math>\vartheta = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z</math>

כאשר:
* <math>\vartheta</math> – מעוות נפחי יחסי
* <math>\varepsilon_x , \varepsilon_y , \varepsilon_z</math> הם מעוותים יחסיים בכיוון הצירים x, y, z

== טנזור מעוותים ==

נבטא את המעוותים בצורה של טנזור:
:<math>\varepsilon_{ij} = {1 \over 2} \left({\nabla_i u_j + \nabla_j u_i}\right)</math>

בסימון של אינדקסים:
:<math>\varepsilon = {1 \over 2} ( \vec{\nabla}\vec{u} + (\vec{\nabla}\vec{u})^T)</math>

במערכת קואורדינטות ישרת זווית:
:<math>\varepsilon_{ij}= 
 \left[{\begin{matrix}
 {\varepsilon _x } & \frac {\gamma _{xy} } {2} & \frac {\gamma _{xz} } {2} \\ 
 \frac {\gamma _{yx} } {2} & {\varepsilon _y } & \frac {\gamma _{yz} } {2} \\ 
 \frac {\gamma _{zx} } {2} & \frac {\gamma _{zy} } {2} & {\varepsilon _z } 
 \end{matrix}}\right]
</math>

המעוות הנפחי הוא:
:<math>\vartheta = \varepsilon_{ij}g^{ij}</math>
:g<sup>ij</sup> <math>\vartheta = tr(\varepsilon)</math>

נכתוב טנזור מעוותים דו־ממדי:
:<math>\varepsilon_{ij}= 
 \left[{\begin{matrix}
 {\varepsilon _x } & {\frac {\gamma _{xy}} {2}} \\ 
 {\frac {\gamma _{xy}} {2}} & {\varepsilon _y } \\ 
 \end{matrix}}\right]
</math>

המעוותים הראשיים <math> \varepsilon _1, \varepsilon _2</math> 

:<math>\varepsilon _1 = \frac {\varepsilon _x + \varepsilon _ y}{2} + \sqrt{ \left( \frac {\varepsilon _x - \varepsilon _y}{2} \right)^2 + \left( \frac{\gamma _{xy}} {2}\right)^2 }</math>

:<math>\varepsilon _2 = \frac {\varepsilon _x + \varepsilon _ y}{2} - \sqrt{ \left( \frac {\varepsilon _x - \varepsilon _y}{2} \right)^2 + \left( \frac{\gamma _{xy}} {2}\right)^2 }</math>

== לקריאה נוספת ==
<div style="text-align: left; direction: ltr; margin-left: 1em;">
*Timoshenko S.P, Strength of Materials, 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976. 
* Sybil P. Parker Editor in Chieh. McGraw-Hill Encyclopedia of Engineering, McGraw Hill Book Company 1983.
*S.P. Timoshenkoo & J.N. Goodier Theory of Elasticity, 3rd edition, International Student Edition, McGraw-Hill 1970.
* Shames I.H., Cozzarelli F.A., Elastic and inelastic stress analysis, Prentice-Hall, 1991.
</div>
== קישורים חיצוניים ==

* [https://web.archive.org/web/20080128003648/http://www.uwgb.edu/DutchS/structge/shear.htm מעוות גזירה], אוניברסיטת ויסקונסין-גרין ביי
* [http://www.efunda.com/formulae/solid_mechanics/mat_mechanics/strain.cfm מעוות] באי פאנדה
* 

קטגוריה:סטטיקה
קטגוריה:הנדסה אזרחית
קטגוריה:הנדסת מכונות