קינמטיקה

קינמטיקה היא תחום במכניקה הקלאסית המתאר תנועה של גופים במרחב. קינמטיקה עוסקת במהלך התנועה ובחיזוי המשך התנועה על פי נתונים מסוימים, אך אינה עוסקת בכוחות הגורמים לתנועה (הדינמיקה). הגדלים העיקריים בהם עוסקת התורה, הם הווקטורים: העתק, מהירות ותאוצה. מיקומו של גוף מוגדר בתור וקטור המרחק של גוף מנקודה שרירותית במרחב המכונה "נקודת יחוס". העתק של גוף מוגדר כהפרש בין שני מיקומים של הגוף בזמנים שונים. ההעתק אינו תלוי בבחירת ראשית מערכת הצירים ("נקודת הייחוס"). מהירות אינה אלא שיעור השינוי בהעתק, או נגזרת של המיקום לפי הזמן:

<math>\vec v = \dot{\vec x} = \frac{d \vec x}{dt}</math><br>
כאשר 
<math>\vec v</math> הוא המהירות ו
<math>\vec x</math> הוא מיקומו של גוף.

כמו כן, את שיעור השינוי במהירות (או, הנגזרת של המהירות לפי הזמן) נהוג לכנות "תאוצה":

<math>\vec a = \dot{\vec v} = \ddot{\vec x} = \frac{d \vec v}{dt}</math><br>
כאשר 
<math>\vec a</math> הוא התאוצה.

התאוצה יכולה לשנות את גודל המהירות, את כיוונה, או את שניהם יחדיו.

לשם הפשטות ניתן לחלק את הקינמטיקה לכמה חלקים. ראשית ניתן לחלק את הקינמטיקה לתנועה שוות תאוצה, הניתנת לפתרון על ידי אוסף מצומצם של משוואות, ותנועה עם תאוצה משתנה, בשבילה קיימות מערכות שונות של משוואות. עם זאת, כדי לחקור תנועה שתאוצתה משתנה, לרוב פשוט יותר להשתמש בשיקולי אנרגיה.

==תנועה בעלת תאוצה קבועה==
ישנן ארבע נוסחות בסיסיות המתארות תנועה שוות תאוצה:

<div style="text-align: center;">
<math>\ v=v_0+at</math>

<math>x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}{at^2}</math>

<math>x=x_0+\frac{v_0+v}{2}{t}</math>

<math>v^2=v_0^2+2a(x-x_0)</math>
</div>

<math>\ x</math> מסמל את מיקומו הסופי של הגוף, <math>\ x_0</math> את מיקומו ההתחלתי, <math>\ v_0</math> את מהירותו ההתחלתית, <math>\ v</math> את המהירות הסופית, <math>\ a</math> את התאוצה ו-<math>\ t</math> את הזמן.

===תנועה אופקית===
בעזרת נוסחות אלו, ניתן לקבל ערך חסר אם ידועים כל הערכים האחרים הרלוונטיים. לדוגמה, אם ידועה המהירות ההתחלתית (<math>\ v_0</math>), התאוצה ומשך התנועה, ניתן לחשב את המהירות בתום קטע התנועה בעזרת הנוסחה הראשונה. לחלופין, אם ידועה המהירות בתחילה ובסוף התנועה וכן ההעתק ההתחלתי (<math>\ x_0</math>) וההעתק הסופי, ניתן, בעזרת הנוסחה השלישית, לחשב את משך התנועה.
במקרה, שבו אין לגוף תאוצה, כלומר גודל וקטור התאוצה שווה ל-0, המהירות ההתחלתית הופכת למהירות קבועה. במקרה זה ניתן לגזור מהנוסחה השנייה את הנוסחה לתנועה במהירות קבועה:

<math display="block">\ x=x_0+vt</math>

===תנועה אנכית===
לתנועה האנכית יש מספר מאפיינים ייחודיים. ראשית, אלא אם מדובר במקרים חריגים של הפעלת כוח נוסף על הגוף, התאוצה היא תאוצה קבועה, תאוצת הכובד המסומן באות <math>\ g</math>. גודלה של תאוצת הכובד של כדור הארץ הוא בקירוב <math>9.8\frac{m}{s^2}</math> (בחישובים תאורטיים מקורבים רבים נהוג להשתמש בקירוב גס עוד יותר, לפיו <math>\ g=10\frac{m}{s^2}</math>). כיוונה של התאוצה, <math>\ g</math> יהיה תמיד כלפי מרכז הכוכב. כמו כן, כדי לסמן גובה מקובל
להשתמש ב-<math>\ y</math> במקום ב-<math>\ x</math>. במקרים רבים, נהוג לעבוד במערכת צירים בה נקודת הזריקה היא <math>\ y_0=0</math> והכיוון החיובי הוא כלפי מעלה. כמובן שבמקרים מסוימים ייתכן גם העתק שלילי (למשל זריקה של גוף מבניין). 
בבואנו להתאים את הנוסחות המובאות מעלה לתנועה אנכית, נציב: <math>\ a=-g</math>, <math>\ x=y</math>, <math>\ x_0=y_0=0</math>. הנוסחות שנקבל עבור תנועה אנכית שוות תאוצה הן:

<div style="text-align: center;">
<math>\ v=v_0-gt</math>

<math>y=v_0t-\frac{gt^2}{2}</math>

<math>y=\frac{v_0+v}{2}{t}</math>

<math>v^2=v_0^2-2gy</math>
</div>

===תנועה בליסטית===
כדור שנזרק בזווית <math>\alpha</math> כלשהי נע במסלול פרבולי
תנועה בליסטית היא תנועתו של גוף שנזרק בזווית <math>\alpha</math> השונה מ-90°, כלומר לא בזריקה אנכית. במקרה זה מבצע הגוף בעת נפילתו מסלול פרבולי כמתואר בתרשים. הגוף נע בדו-מימד, כלומר גם במישור האופקי וגם באנכי. כדי לבצע חישובים במסלולים בליסטיים, יש לפרק את התנועה לרכיב אופקי ולרכיב אנכי כשהמהירות האופקית שווה ל-<math>v_0\cos{\alpha}</math> והאנכית ל-<math>v_0\sin{\alpha}</math>. במידה ולא פועל שום כוח נוסף על הגוף בזמן תנועתו אפשר להתייחס לתנועתו מעלה-מטה כאל תנועה בעת זריקה אנכית, ולתנועתו קדימה כתנועה שוות מהירות. זאת כיוון שהכוח היחיד שפועל הוא כוח הכובד והוא פועל רק כלפי מטה, ולא במישור האופקי.
לרוב בעת חישוב חישובים בליסטיים משתמשים במערכת משוואות, משוואה אחת מהתנועה האנכית, ואחת מהתנועה האופקית. למשל ניתן למצוא את משך הנפילה בקלות בעזרת תנועה אנכית ואז כשידוע הזמן ניתן למצוא את המרחק שעבר הגוף. כל בעיה תיפתר בעזרת משוואות שונות, תלוי בנתונים, אך עקרון ההפרדה בבליסטיקה הוא עיקרון חשוב המהווה את הפתרון הכללי לבעיה הבליסטית.
<BR><BR>
חישוב המהירות של גוף הנזרק בזווית (שיפוע) מופרד לשני רכיבים קרטזיים X,Y והמשוואה היא:
<BR>
<div style="text-align: right;">
<math>V_x={v_0\cos{\alpha}}</math>
<BR>
<math>V_y={v_0\sin{\alpha}-gt}</math>
</div>
<BR>
כאשר החישוב הכולל (X+Y), נערך לפי משוואת פיתגורס, להלן:
<BR>
<div style="text-align: right;">
<math>V^2={v_x^2+v_y^2}</math>
</div>
<BR><BR>
בתנועה הבליסטית מוגדר המונח טווח כמרחק האופקי המקסימלי, שגוף עובר על פני מישור הזריקה. טווח מסומן באות <math>\ R</math>.
<br>משוואת הטווח היא:

<div style="text-align: right;">
<math>R=\frac{v_0^2\sin{2\alpha}}{g}</math>
</div>

==תנועה עם תאוצה משתנה==
את הנוסחה <math>x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}{at^2}</math> ניתן להכליל לנוסחה הבאה: <math>x=\sum_{k=0}^{m} \frac{\alpha_k}{k!}t^k</math> כאשר עבור המקרה הפרטי <math>m=2</math> מקבלים את הנוסחה המקורית (אשר עבורה <math>\alpha_0=x_0, \alpha_1=v_o, \alpha_2=a</math>), ועבור <math>m>2</math> יתקבל ביטוי לתנועה עם תאוצה משתנה.

לדוגמה, עבור <math>m=3</math> יתקבל הביטוי: <math>x = \alpha_0 + \alpha_1t + \frac{\alpha_2}{2}t^2 + \frac{\alpha_3}{6}t^3</math>. זהו ביטוי לתנועה שבה קצב השתנות התאוצה קבוע. כזכור, תאוצה היא קצב שינוי המהירות ומהירות היא קצב שינוי ההעתק. ניתן להמשיך בפיתוח זה לכל m טבעי.

===תנועה הרמונית===

כיון שתנועה הרמונית היא תנועה שבה הכח תלוי במרחק, התאוצה לא קבועה, לא בכיוונה ולא בגודלה. מכאן שצריך ליצור מערכת משוואות חדשה. 

המשוואה הבסיסית היא משוואה של העתק כנגד זמן והיא מהצורה הבאה:

<math display="block">\ x(t) = X_0 \cos ( \omega t + \phi) </math> 

כאשר: 
* <math>\ \omega </math> היא התדירות הזוויתית של תנודות המערכת.
* <math>\ X_0</math> היא משרעת התנודה. המשרעת היא ההעתק המקסימלי של המערכת.
* <math>\ \phi</math> נקראת הפאזה של המערכת, או המופע שלה. גודל זה מתאר את מצב המערכת בזמן <math>\ t=0</math>, כלומר את הזווית הנוצרת במעגל שרדיוסו הוא המשרעת, בין כיוון המשרעת לקו, המחבר את מרכז המעגל עם נקודת המפגש של האנך למיקום הגוף על פני המשרעת, עם המעגל.

הפונקציות האחרות, של המהירות והתאוצה כתלות בזמן הן הנגזרת הראשונה והשנייה של הפונקציה הזו, כלומר: 

<div style="text-align: center;">
<math>\ v(t) = -\omega X_0 \sin ( \omega t + \phi) </math>

<math>\ a(t) = -\omega^2 X_0 \cos ( \omega t + \phi) </math>
</div>

מכאן ניתן גם לקבל פונקציות של מהירות ותאוצה כתלות במיקום:

<div style="text-align: center;">
<math>\ v(x) = \pm \omega \sqrt{X_0^2 - x^2} </math>

<math>\ a(x) = -\omega^2 x </math>
</div>

===תנועה מעגלית===

תנועה מעגלית שונה ביסודה משאר התנועות. לכן היא לא ניתנת לפתרון מתמטי על ידי הנוסחות שמובאות לעיל כיוון שהתאוצה של גוף הנע בתנועה מעגלית כל הזמן משתנה, לפחות בכיוונה. הבדל נוסף בין התנועה במעגל לשאר התנועות הוא, שהמהירות על פני הרדיוס של התנועה המעגלית אינה זהה - ככל שמתרחקים ממרכז המעגל כך גדלה המהירות המשיקית, המרחקים, שעוברות הנקודות השונות על פני הרדיוס שונים גם הם.

השינוי המשותף לכלל הנקודות על פני הרדיוס הוא השינוי בזווית. שינוי במיקום זה נקרא העתק זוויתי ומסומן באות <math>\ \theta</math>. ההעתק הזוויתי נמדד יחסית לציר החיובי ונגד כיוון השעון ביחידות של רדיאנים.

אם כן, המהירות המתאימה להעתק הזוויתי, היא המהירות הזוויתית, המוגדרת כזווית <math>\theta</math> אותה עובר הרדיוס ליחידת זמן <math>t</math>. המהירות הזוויתית מסומנת באות היוונית, אומגה <math>\ \omega</math>. היא נמדדת ברדיאנים לשנייה (<math>\ \frac{rad}{s}</math>), כלומר ב-<math>\ s^{-1}</math>.

<math display="block">\omega=\frac{d\theta}{dt}</math>

התאוצה המתאימה למהירות לגדלים אלה, היא התאוצה הזוויתית, המוגדרת כשינוי במהירות הזוויתית ליחידת זמן. היא מסומנת באות <math>\alpha</math> ונמדדת ב (<math>\ \frac{rad}{s^2}</math>, כלומר ב-<math>\ s^{-2}</math>.

<math display="block">\alpha=\frac{d\omega}{dt}</math>

הצבת גדלים אלו במשוואות הקינמטיקה הבסיסיות תיתן:

<div style="text-align: center;">
<math>\ \omega=\omega_0+{\alpha}t</math>

<math>\theta=\theta_0+{\omega_0}t+\frac{1}{2}</math>
<BR>
<math>V_y={v_0\sin{\alpha}-gt}</math>
</div>
<BR>
כאשר החישוב הכולל (X+Y), נערך לפי משוואת פיתגורס, להלן:
<BR>
<div style="text-align: right;">
<math>V^2={v_x^2+v_y^2}</math>
</div>
<BR><BR>
בתנועה הבליסטית מוגדר המונח טווח כמרחק האופקי המקסימלי, שגוף עובר על פני מישור הזריקה. טווח מסומן באות <math>\ R</math>.
<br>משוואת הטווח היא:

<div style="text-align: right;">
<math>R=\frac{v_0^2\sin{2\alpha}}{g}</math>
</div>

==תנועה עם תאוצה משתנה==
את הנוסחה <math>x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}{at^2}</math> ניתן להכליל לנוסחה הבאה: <math>x=\sum_{k=0}^{m} \frac{\alpha_k}{k!}t^k</math> כאשר עבור המקרה הפרטי <math>m=2</math> מקבלים את הנוסחה המקורית (אשר עבורה <math>\alpha_0=x_0, \alpha_1=v_o, \alpha_2=a</math>), ועבור <math>m>2</math> יתקבל ביטוי לתנועה עם תאוצה משתנה.

לדוגמה, עבור <math>m=3</math> יתקבל הביטוי: <math>x = \alpha_0 + \alpha_1t + \frac{\alpha_2}{2}t^2 + \frac{\alpha_3}{6}t^3</math>. זהו ביטוי לתנועה שבה קצב השתנות התאוצה קבוע. כזכור, תאוצה היא קצב שינוי המהירות ומהירות היא קצב שינוי ההעתק. ניתן להמשיך בפיתוח זה לכל m טבעי.

===תנועה הרמונית===

כיון שתנועה הרמונית היא תנועה שבה הכח תלוי במרחק, התאוצה לא קבועה, לא בכיוונה ולא בגודלה. מכאן שצריך ליצור מערכת משוואות חדשה. 

המשוואה הבסיסית היא משוואה של העתק כנגד זמן והיא מהצורה הבאה:

<math display="block">\ x(t) = X_0 \cos ( \omega t + \phi) </math> 

כאשר: 
* <math>\ \omega </math> היא התדירות הזוויתית של תנודות המערכת.
* <math>\ X_0</math> היא משרעת התנודה. המשרעת היא ההעתק המקסימלי של המערכת.
* <math>\ \phi</math> נקראת הפאזה של המערכת, או המופע שלה. גודל זה מתאר את מצב המערכת בזמן <math>\ t=0</math>, כלומר את הזווית הנוצרת במעגל שרדיוסו הוא המשרעת, בין כיוון המשרעת לקו, המחבר את מרכז המעגל עם נקודת המפגש של האנך למיקום הגוף על פני המשרעת, עם המעגל.

הפונקציות האחרות, של המהירות והתאוצה כתלות בזמן הן הנגזרת הראשונה והשנייה של הפונקציה הזו, כלומר: 

<div style="text-align: center;">
<math>\ v(t) = -\omega X_0 \sin ( \omega t + \phi) </math>

<math>\ a(t) = -\omega^2 X_0 \cos ( \omega t + \phi) </math>
</div>

מכאן ניתן גם לקבל פונקציות של מהירות ותאוצה כתלות במיקום:

<div style="text-align: center;">
<math>\ v(x) = \pm \omega \sqrt{X_0^2 - x^2} </math>

<math>\ a(x) = -\omega^2 x </math>
</div>

===תנועה מעגלית===

תנועה מעגלית שונה ביסודה משאר התנועות. לכן היא לא ניתנת לפתרון מתמטי על ידי הנוסחות שמובאות לעיל כיוון שהתאוצה של גוף הנע בתנועה מעגלית כל הזמן משתנה, לפחות בכיוונה. הבדל נוסף בין התנועה במעגל לשאר התנועות הוא, שהמהירות על פני הרדיוס של התנועה המעגלית אינה זהה - ככל שמתרחקים ממרכז המעגל כך גדלה המהירות המשיקית, המרחקים, שעוברות הנקודות השונות על פני הרדיוס שונים גם הם.

השינוי המשותף לכלל הנקודות על פני הרדיוס הוא השינוי בזווית. שינוי במיקום זה נקרא העתק זוויתי ומסומן באות <math>\ \theta</math>. ההעתק הזוויתי נמדד יחסית לציר החיובי ונגד כיוון השעון ביחידות של רדיאנים.

אם כן, המהירות המתאימה להעתק הזוויתי, היא המהירות הזוויתית, המוגדרת כזווית <math>\theta</math> אותה עובר הרדיוס ליחידת זמן <math>t</math>. המהירות הזוויתית מסומנת באות היוונית, אומגה <math>\ \omega</math>. היא נמדדת ברדיאנים לשנייה (<math>\ \frac{rad}{s}</math>), כלומר ב-<math>\ s^{-1}</math>.

<math display="block">\omega=\frac{d\theta}{dt}</math>

התאוצה המתאימה למהירות לגדלים אלה, היא התאוצה הזוויתית, המוגדרת כשינוי במהירות הזוויתית ליחידת זמן. היא מסומנת באות <math>\alpha</math> ונמדדת ב (<math>\ \frac{rad}{s^2}</math>, כלומר ב-<math>\ s^{-2}</math>.

<math display="block">\alpha=\frac{d\omega}{dt}</math>

הצבת גדלים אלו במשוואות הקינמטיקה הבסיסיות תיתן:

<div style="text-align: center;">
<math>\ \omega=\omega_0+{\alpha}t</math>

<math>\theta=\theta_0+{\omega_0}t+\frac{1}{2}