טרנספורמציות לורנץ

טרנספורמציות לורנץ הן טרנספורמציות ליניאריות בין מערכות ייחוס המראות כיצד משתנים הזמן והמרחב כאשר עוברים ממערכת ייחוס אחת למערכת ייחוס אינרציאלית הנעה יחסית אליה במהירות קבועה בקו ישר. את טרנספורמציית לורנץ אפשר להסיק מעקרונות היסוד (הפוסטולטים) של תורת היחסות הפרטית, ואכן – טרנספורמציות לורנץ הן כלי מרכזי בביצוע חישובים במסגרת תורה זו.

טרנספורמציית לורנץ פותחה עוד במאה ה-19 בנפרד מתורת היחסות הפרטית על ידי הפיזיקאי ההולנדי הנדריק לורנץ כדי לפתור סתירות שנתגלו בין האלקטרומגנטיות למכניקה הקלאסית. אחת הבעיות הייתה כוח לורנץ המגנטי.

== מבוא ודוגמאות ==
נניח שמערכת ייחוס (צירים + שעון) S נמצאת במנוחה ברגע t=0 בראשית x=y=z=0. נניח שמערכת 'S שנמצאת באותו מקום נעה ביחס אליה במהירות v (קבועה) בכיוון x.

במכניקה הקלאסית, כדי לחשב כיצד משתנות המדידות של מקום וזמן במערכת 'S לעומת מדידות אלה במערכת S משתמשים בטרנספורמציית גליליי:
::::: <math>\ t' = t</math>
::::: <math>\ x' = x-vt</math>
::::: <math>\ y' = y \, \ z' = z</math>

ברם, כאשר v היא מהירות שאינה זניחה יחסית למהירות האור מסתבר שטרנספורמציית גליליי, המתארת כיצד לתרגם מקום וזמן בין שתי המערכות, איננה נותנת תוצאות מדויקות. הטרנספורמציה המתאימה לתרגום ניתנת במסגרת תורת היחסות הפרטית ובניגוד לטרנספורמציית גליליי היא מערבבת בין המרחב והזמן. לטרנספורמציה זו קוראים טרנספורמציית לורנץ או טרנספורמציית לורנץ boost (כאשר boost מרמז כי היא קשורה למהירות) והיא נראית כך:
::::: <math>t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right)</math>
::::: <math>\ x' = \gamma (x - v t)</math>
::::: <math>\ y' = y</math>
::::: <math>\ z' = z</math>
כאשר
: <math>\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}</math>
הוא פקטור לורנץ ו-c היא מהירות האור בריק.

אם מסמנים <math>\ \beta = v/c</math> וכן מתעלמים מצירי y ו-z שלא משתנים, ניתן לבטא את הטרנספורמציה על ידי הייצוג המטריציוני הבא:
:<math> \begin{pmatrix} ct \\ x \end{pmatrix} =
\begin{bmatrix} \gamma & \gamma \beta\\ \gamma \beta & \gamma\\
\end{bmatrix} \ \begin{pmatrix} ct' \\ x' \end{pmatrix}
</math>
כאשר הכפל כאן הוא כפל מטריצות רגיל.

}\equiv \gamma </math>

הסימון הסטנדרטי לגודל זה הוא האות היוונית <math>\ \gamma</math>. נציב את (6) ב- (1) ונקבל

(7) <math>\begin{align}x= a x'+bt = a\left(x'+\frac{b}{a}t'\right) &= \gamma (x'+vt') \\
x'= a x-bt = a\left(x-\frac{b}{a}t\right) &= \gamma (x-vt)\end{align}</math>

וכך קיבלנו את הנוסחה לטרנספורמציה של קואורדינטות המרחב. על מנת לקבל את הטרנספורמציה של קואורדינטות הזמן נציב את (3) ב-(7)

<math>\begin{align}t & = \gamma\left(t'+\frac{v}{c^2}x'\right) \\t'&= \gamma\left(t-\frac{v}{c^2}x\right) \end{align}</math>

מאחר שאין תנועה יחסית בין מערכת S למערכת 'S בכיוון ציר y וציר z, קואורדינטות אלה לא עוברות שינוי, וניתן לסכם את התוצאות בצורה תלת־ממדית:

<math> \begin{array}{lclclcl}
 x&=&\gamma (x'+vt')&\qquad&x'&=&\gamma (x-vt)\\
 y & = & y' & \qquad & y' & = & y\\
 z & = & z' & \qquad & z' & = & z\\
 t&=&\gamma \left(t'+\frac{v}{c^2}x'\right)&\qquad&t'&=&\gamma \left(t-\frac{v}{c^2}x\right)\\
 \end{array}</math>

}}

== הגדרה פורמלית ==
=== מרחב מינקובסקי והמטריקה ===
נגדיר את המטריצה של מרחב מינקובסקי שטוח:
:<math>g= \eta =
\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-1
\end{bmatrix}</math>

בכתיב טנזורי, רושמים את g כ <math>g_{\mu \nu}</math>.
במרחב מינקובסקי הזמן איננו סקלר אלא חלק מ 4-וקטור:
: <math>\ x^\mu = \left( ct, \vec{r} \right) = \left( ct, r^i \right)</math>
נשים לב ש <math>\ x^\mu g_{\mu \nu} x^\nu = (ct)^2 - (\vec{r})^2</math> (כאשר אינדקס מופיע פעם למעלה ופעם למטה, הסכם הסכימה של איינשטיין, קובע שמסכמים על הערכים האפשריים 0,1,2,3) שימו לב שזהו לא שוויון מטריציוני ולא מתבצע כפל מטריצות אלא זה שוויון של סכום של איברים. וזהו בעצם חוק שמירות האינטרוול ואינווריאנטיות הזמן העצמי.

=== חבורת לורנץ ===
חבורת לורנץ היא החבורה האורתוגונלית של התבנית <math>\ q(t,x,y,z)=t^2-x^2-y^2-z^2</math>, כלומר, אוסף המטריצות <math>\Lambda</math> ההפיכות מסדר 4 על 4, המקיימות <math>\ \Lambda^T g \Lambda = g</math>, כאשר <math>\ \Lambda^T</math> מסמן את המטריצה המשוחלפת. אלו הן בדיוק הטרנספורמציות הליניאריות של המרחב-זמן השומרות על המטריקה של מינקובסקי.

== סיווג טרנספורמציות לורנץ ==
=== סיבובים מרחביים ===
כל טרנספורמציה מהצורה:
: <math>\ t' = t \ \ \, \ \ \vec{r'} = U\vec{r}</math>
כאשר U היא מטריצת סיבוב אורתוגונלית (כלומר: <math>U^{-1}=U^T</math>) היא טרנספורמציית לורנץ. למעשה, זוהי טרנספורמציית סיבוב מרחבית.
המשמעות של זה היא שכל חוקי הפיזיקה יישארו אינווריאנטים גם אם נסובב את מערכת הצירים סביב הראשית, כלומר: לטבע אין כיוון מועדף (איזוטרופיה).

=== boost ===
זוהי טרנספורמציה המעבירה ממערכת ייחוס אחת למערכת ייחוס הנעה ביחס אליה במהירות קבועה.

בלי הגבלת הכלליות, נניח שמערכת ייחוס 'S נעה במהירות יחסית v בכיוון x למערכת ייחוס S. אזי כלל התרגום בין 4-וקטור האירוע ב S <math>\ x^\mu = (ct,x,y,z)</math> לבין וקטור האירוע ב 'S <math>\ x'^\mu = (ct',x',y',z')</math> הוא
 \right)</math>
::: <math>\ x' = \gamma (x - v t)</math>
::: <math>\ y' = y</math>
::: <math>\ z' = z</math>
}}
כאשר
: <math>\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}</math>
הוא פקטור לורנץ ו-c היא מהירות האור בריק.

את 4 משוואות הטרנספורמציה אפשר לייצג באמצעות מטריצה:
: <math>
\begin{bmatrix}
t' \\x' \\y' \\z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\frac{v}{c} \gamma&0&0\\
-\frac{v}{c} \gamma&\gamma&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
t\\x\\y\\z
\end{bmatrix}
</math>

או באופן שקול כ

: <math>
\begin{bmatrix}
c t' \\x' \\y' \\z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\gamma \beta&0&0\\
-\gamma \beta&\gamma&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t\\x\\y\\z
\end{bmatrix}
</math>

כאשר מערכת 'S נעה ביחס ל S בכיוון כלשהו, טרנספורמציית לורנץ הכללית תינתן על ידי הרכבה של 2 סיבובים ו-boost. נסובב את שתי המערכות כך שציר x שלהן יהיה באותו כיוון ומקביל לכיוון המהירות היחסית ביניהן, נבצע את ה-boost ואז נסובב בחזרה לקואורדינטות המקוריות. הביטוי הכללי מכוער למדי ואין טעם לרשמו.

=== חיבור מהירויות יחסותי ===
כמו כן, מטרנספורמציית לורנץ ה-boost אפשר להסיק כלל של חיבור מהירויות באותו כיוון (על ידי הרכבה של boost על boost) ולקבל ש
: <math> \ v_{1+2} = \frac{v_1 + v_2}{1 + \frac{ v_1 v_2}{c^2}}</math>

== שדות אלקטרומגנטיים תחת טרנספורמציית לורנץ ==
זוהי טרנספורמציה המעבירה את השדה החשמלי ואת השדה המגנטי ממערכת ייחוס אחת למערכת ייחוס הנעה ביחס אליה במהירות קבועה, <math>\vec{v}</math> :

:<math>\vec{E}' = \gamma \left( \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \right ) - \left (\frac{\gamma-1}{v^2} \right ) ( \vec{E} \cdot \vec{v} ) \vec{v}</math>

:<math>\vec{B}' = \gamma \left( \vec{B} - \frac {\vec{v} \times \vec{E}}{c^2} \right ) - \left (\frac{\gamma-1}{v^2} \right ) ( \vec{B} \cdot \vec{v} ) \vec{v}</math>
:<math>\ \vec{E}'</math> הוא השדה החשמלי במערכת הנעה.
:<math>\ \vec{E}</math> הוא השדה החשמלי במערכת הייחוס.
:<math>\ \vec{B}'</math> הוא השדה המגנטי במערכת הנעה.
:<math>\ \vec{B}</math> הוא השדה המגנטי במערכת הייחוס.
:הלכה למעשה, את הטרנספורמציות לעיל ניתן להציג כטרנספורמציות על רכיבי השדות המקבילים לוקטור המהירות <math>\vec{v}</math>, נסמנם ב-<math>\vec{E}_\parallel</math> ו-<math>\vec{B}_\parallel</math>, ועל רכיבי השדות המאונכים לו, נסמנם ב-<math>\vec{E}_\perp</math> ו-<math>\vec{B}_\perp</math>. נקבל אם כן הטרנספורמציות הבאות עבור הרכיבים המאונכים:
:<math>\vec{E}'_\perp=\gamma(\vec{E}_\perp+\vec{v}\times\vec{B})</math>
:<math>\vec{B}'_\perp=\gamma\left(\vec{B}_\perp-\frac{\vec{v}\times\vec{E}}{c^2}\right)</math>
:ועבור הרכיבים המקבילים:
:<math>\vec{E}'_\parallel=\vec{E}_\parallel</math>
:<math>\vec{B}'_\parallel=\vec{B}_\parallel</math>
:כלומר, הרכיבים המקבילים למהירות עוברים ללא שינוי בטרנספורמציית לורנץ.

== ראו גם ==
* תורת היחסות הפרטית
* תורת היחסות הכללית
* אלברט איינשטיין
* הנדריק לורנץ

== קישורים חיצוניים ==

* [http://www.youtube.com/watch?v=C2VMO7pcWhg קליפ אנימציה] המדגים את טרנספורמציית לורנץ
* [http://ofer-megged-phys-notes.blogspot.co.il/2013/09/blog-post_26.html גזירת הביטויים עבור טרנספורמציות לורנץ], בבלוג "[http://ofer-megged-phys-notes.blogspot.co.il/ רשימות בפיזיקה עיונית]"
* 
* [http://www.damada.co.il/topics/inventions/db/lorentz_trans/lorentz_trans.shtml?item=lorentz_trans&year=1904 ההיסטוריה והנוסחה של לורנץ], באתר "דעמדע"
* 
* 

קטגוריה:תורת היחסות הפרטית
קטגוריה:אלקטרומגנטיות