חבורת גלואה

במתמטיקה, ובפרט בתורת גלואה, חבורת גלואה של הרחבת שדות <math> \ E / F</math> היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה <math> \ E</math>, המעבירים כל איבר של השדה <math> \ F</math>לעצמו.

חבורה זו נקראת על שם אווריסט גלואה, אבי תורת החבורות.

לחבורה זו חשיבות גדולה באפיון ההרחבה <math> \ E / F</math>, זאת בזכות המשפט היסודי של תורת גלואה המציג את הקשר בין שדות הביניים של ההרחבה, לבין תת החבורות של חבורת הגלואה של ההרחבה.

== הגדרה ==

יהי <math>\ F</math> שדה, ותהי <math> \ E / F </math> הרחבת שדות. חבורת הגלואה של ההרחבה <math> \ E / F </math> המסומנת ב-<math> \ \operatorname{G} \left(E / F \right) </math>, <math>\operatorname{Aut} \left(E / F \right)</math> או ב-<math> \ \operatorname{Gal} \left(E / F \right) </math> מוגדרת להיות

<math> \ \operatorname{G} \left(E / F \right) = \{\sigma \in \operatorname{Aut} \left( E \right) | \sigma (x) = x; \forall x \in F \}</math>

כאשר <math>\operatorname{Aut} \left( E \right)</math> היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה <math> \ E </math>.

קל לבדוק שזוהי אכן חבורה.

== דוגמאות ==

*חבורת הגלואה של ההרחבה <math> \ \mathbb{C} / \mathbb{R} </math> היא קבוצה המכילה שני איברים: את העתקת הזהות, ואת העתקת ההצמדה. זאת מאחר שאם <math> \sigma </math> בחבורת הגלואה של ההרחבה, מתקיים <math> \sigma\left(i^2 + 1 \right) = \sigma(i)^2 + 1 = 0 </math>. לכן <math>\sigma(i) \in \{ -i, i \}</math>. לכן מתקיים לכל <math>a,b \in \mathbb{R}</math> כי <math>\ \sigma(a + bi) = \sigma(a) + \sigma(b) \sigma(i) = a + b \cdot \sigma(i)</math>. במעבר האחרון השתמשנו בכך ש<math>\ \sigma</math> משאירה את איברי <math>\mathbb{R}</math> במקום. לכן <math> \sigma\left(a + bi\right) = a + bi</math> או <math> \sigma\left(a + bi\right) = a - bi</math>.
*באופן דומה, ניתן להראות כי חבורת הגלואה של ההרחבה <math> \ \mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right) / \mathbb{Q} </math> מכילה שני איברים: העתקת הזהות, והעתקת ההצמדה: <math> \sigma\left(a + b\sqrt{2}\right) = a - b\sqrt{2}</math>
*חבורת הגלואה של ההרחבה <math> \ \mathbb{R} / \mathbb{Q} </math> מכילה רק את העתקת הזהות. יתרה מזאת, חבורת האוטומורפיזמים של <math> \ \mathbb{R} </math> מכילה רק את העתקת הזהות. כדי להוכיח זאת, יש לשים לב שאוטומורפיזם של <math> \ \mathbb{R} </math> מעביר כל מספר חיובי למספר חיובי, מאחר ש-<math> \ \sigma(a^2) = \sigma(a)^2</math> ולכן שומרת על יחס סדר.
*תהי <math> \ F / \mathbb{Q}</math> הרחבת שדות. אזי חבורת הגלואה של <math> \ F / \mathbb{Q}</math> היא חבורת האוטומורפיזמים של <math>\ F</math>, כלומר <math> \ \operatorname{Aut}\left(F\right)</math>. זאת מאחר שהומומורפיזם של שדות מעביר את המספרים השלמים לעצמם, ולכן גם את המספרים הרציונליים לעצמם.
*יהי <math>\ p</math> מספר ראשוני, ותהי <math> \ K / \mathbb{F}_p</math> הרחבת שדות, אזי באופן דומה חבורת הגלואה של <math> \ K / \mathbb{F}_p</math> היא חבורת האוטומורפיזמים של <math>\ K</math>, כלומר <math> \ \operatorname{Aut}\left(K\right)</math>.
*חבורת הגלואה של ההרחבה <math> \ \mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{2}\right) / \mathbb{Q} </math> מכילה רק את העתקת הזהות. זאת מאחר שאם <math>\sigma</math> בחבורה, מתקיים <math> \sigma\left(\sqrt[3]{2}^3 - 2 \right) = \sigma(\sqrt[3]{2})^3 - 2 = 0 </math>. לכן בהכרח <math>\sigma\left(\sqrt[3]{2}\right) = \sqrt[3]{2}</math>. מאחר ש-<math>\{1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}^2 \} </math> בסיס, נובע כי <math>\sigma</math> היא בהכרח העתקת הזהות.

== שדה השבת ==

יהי <math>\ E</math> שדה. תהי <math> \ G \le \operatorname{Aut}\left(E\right)</math> תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של <math> \ E</math>. נגדיר את שדה השבת של <math>\ G</math>, המסומן גם ב-<math>\ E^G</math> להיות הקבוצה הבאה:

<math>E^G = \{ x \in E | \forall \sigma \in G : \sigma(x) = x \}</math>

כלומר, שדה השבת של <math>\ G</math> הוא קבוצת כל האיברים מהשדה <math>\ E</math>שכל איברי <math>\ G</math> משאירים אותם במקום.

קל לבדוק שזהו אכן שדה. מתקיים כי אם <math>\ E / F</math> הרחבת שדות ו-<math>\ G = \operatorname{G}\left(E/F\right)</math> אז <math>F \le E^G</math>.

שוויון לא בהכרח מתקיים, למשל אם <math> \ F = \mathbb{Q}</math> ו-<math>\ E = \mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{2}\right) </math>, אז ראינו קודם ש-<math>\ G</math> מכילה רק את העתקת הזהות ולכן מתקיים כי <math> \ F \ne E^G = E</math>

== תכונות ==
*אם ההרחבה <math> \ E / F </math> מממד סופי, מתקיים כי <math>\ \left|\operatorname{G}\left(E/F\right)\right| \le \left[E:F\right]</math>, כאשר צד שמאל הוא גודל חבורת הגלואה וצד ימין הוא ממד ההרחבה.
*השוויון <math>\ \left|\operatorname{G}\left(E/F\right)\right| = \left[E:F\right]</math> מתקיים אם ורק אם <math> \ E / F </math> הרחבת גלואה. הרחבות מסוג זה חשובות, מאחר שהן מקיימות את המשפט היסודי של תורת גלואה.
*הלמה של ארטין: יהי <math>\ E</math> שדה, ו-<math> \ G \le \operatorname{Aut}\left(E\right)</math> תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של <math> \ E</math>. אזי אם <math>\ E^G = F</math> מתקיים <math>|G| \le \left[E:F\right]</math>. מתקיים אפילו <math>G = \operatorname{G}\left(E/F\right)</math>

==קישורים חיצוניים==
* 
* 

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:אלגברה
קטגוריה:תורת גלואה
קטגוריה:אווריסט גלואה