אנטרופיה (סטטיסטיקה)

בסטטיסטיקה ובתחומים נוספים, ובעיקר בתורת האינפורמציה, אנטרופיה (באנגלית: Entropy) היא מדד לגודלו האפקטיבי של מרחב הסתברות. האנטרופיה של התפלגות אחידה בדידה על n מצבים היא <math>\ \log_2n</math>. את מושג האנטרופיה המתמטית פיתח אבי תורת האינפורמציה קלוד שאנון ב־1948.

לדוגמה, הטלת מטבע מחזירה אחת מבין שתי אפשרויות, והטלת קובייה מחזירה אחת מבין שש אפשרויות. ברור שאת התוצאה של הטלת הקוביה קשה יותר לחזות מאשר את זו של המטבע. חיבור התוצאות של שתי קוביות מחזיר אחת מבין 11 אפשרויות, שבהן 7 היא השכיחה ביותר, ואילו 2 או 12 נדירות ביחס. כאן לא די לומר שגודל מרחב ההסתברות הוא 11 – ההסתברויות אינן אחידות, ולכן לא ניתן במבט ראשון לקבוע האם תוצאת החיבור קשה יותר לחיזוי מאשר, נאמר, בחירה של ספרה אקראית בין 1 ל־9 (בהתפלגות אחידה בדידה). הצורך להשוות באופן מדויק בין מרחבי התפלגות שונים קיים בכל תחומי המדע, ומדידת האנטרופיה באופן שיוצג להלן שכיחה בפיזיקה, בתורת האינפורמציה בביולוגיה (שם היא נקראת מדד שאנון-ויבר) ובתחומים נוספים.

== הגדרה ואקסיומטיקה ==

אם X הוא מרחב הסתברות סופי, עם הסתברויות הבאות <math>p_1,\dots,p_n</math> המייצגות את המאורעות השונים במרחב, אזי האנטרופיה שלו מוגדרת לפי הנוסחה
<math display="block">H(X) = - \sum_i p_i \log_2(p_i)</math>
זהו ערך אי-שלילי, המקיים <math>H(X) \leq \log_2(n)</math>, עם שוויון רק כאשר ההסתברויות שוות כולן זו לזו. במובן זה, האנטרופיה מייצגת את הלוגריתם של גודל המרחב, ולא את הגודל עצמו. על־פי אותה נוסחה בדיוק אפשר לחשב את האנטרופיה של משתנה מקרי (המקבל מספר סופי של ערכים). בשני המקרים, האנטרופיה אינה מתחשבת בטיבם של המאורעות השונים במרחב, אלא בהסתברות שהם יתרחשו.

את "מספר האפשרויות" שמייצג X אפשר למדוד בדרכים נוספות, כגון ספירת מצבים נאיבית (n, במקרה שלנו), ממוצע הרמוני של ההסתברויות (<math>(\sum p_i^{-1}/n)^{-1}</math>), ועוד.

ניתן להסתכל על מזווית קצת שונה. אם אנו מסתכלים על מספר מאורעות בלתי תלויים וזרים מתקיים השוויון

<math>p(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = \sum_1^n p(n)</math>

וכאשר ממשקלים את ההסתברות בערך המאורעות עצמם מתקבלת התוחלת של המשתנה המקרי

<math>\operatorname E(X) = \sum_i x_i P(X=x_i)</math>

מנקודת מבט זו ניתן לראות את התוחלת על משתנה מקרי i.i.d כמדד כללי שמייחס להסתברות שאחד מהמאורעות יקרה. <math>A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n</math>

לעומת זאת אנטרופיה היא מדד להסתברות שכל המאורעות יקרו ביחד <math>A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n </math> וזאת בשל העובדה שפונקציית הלוגריתם הופכת כפל לסכום.

<math>H(X) = E(x) = \sum(-p\cdot \ln(p)) =\ln(\prod \sqrt[-p_i]{p_i})</math>

שזהו למעשה ממוצע הנדסי משוקלל על ההסתברות. 

הסיבה לכך שמדד האנטרופיה נחשב למדד המתאים בהקשרים רבים כל־כך קשורה לכמה תכונות יסודיות שהוא מקיים.

כדי שניתן יהיה להסביר תכונות אלה, עלינו להזכיר מושג יסודי אחר בסטטיסטיקה: התפלגות מותנית. אם X ו־Y שני משתנים מקריים, אז עבור כל ערך אפשרי y של Y, אפשר לבנות משתנה מקרי חדש <math>X \mid Y=y</math>, "המשתנה המותנה", המייצג את הערכים שיכול לקבל X אם ידוע ש־Y קיבל את הערך y. כאשר הערך של Y אינו ידוע, מסמנים את המשתנה המותנה בסימון <math>X \mid Y</math>; זהו, אם כך, משתנה מקרי, שהתפלגותו המדויקת תלויה בערך שיקבל Y.

פונקציית האנטרופיה H מקיימת את ארבע התכונות הבאות:
# אדיטיביות: אם X ו־Y שני משתנים מקריים בלתי תלויים, אז <math>H(X,Y)=H(X)+H(Y)</math>. במילים אחרות, האנטרופיה של מכפלה ישרה של מרחבי התפלגות שווה לסכום האנטרופיות של שני המרחבים.
# פיצול: אם X משתנה מקרי ו־Y פונקציה של X, אז <math>H(X)=H(X \mid Y)+H(Y)</math>, כאשר <math>H(X \mid Y)</math> מייצג את התוחלת של <math>H(X \mid Y=y)</math> במעבר על כל הערכים האפשריים של Y.
# רציפות: האנטרופיה של התפלגות ברנולי <math>b(p)</math> היא פונקציה רציפה של p.
# נורמליות: האנטרופיה של ההתפלגות האחידה על שני מצבים, היא 1.

משפט: פונקציית האנטרופיה H היא הפונקציה היחידה המקיימת את ארבע התכונות לעיל.
הוכחה: נניח ש-H היא פונקציה המוגדרת על משתנים מקריים, ומקיימת את תכונות האדיטיביות, הפיצול, הרציפות והנורמליות. ראשית נחשב את <math>H(p)</math>, שהוא הערך של H במשתנה ברנולי <math>b(p)</math>. יהיו <math>X,Y \sim b(p)</math> משתני ברנולי בלתי תלויים. נסמן ב-Z את המשתנה המוגדר להיות 0 אם X=Y ו-1 אחרת. Z הוא פונקציה של הזוג הסדור (X,Y), ולפי אקסיומות הפיצול והאדיטיביות, <math>2H(p) = H(X)+H(Y)= H(X,Y) = H(X,Y|Z) + H(Z)</math>. אבל Z עצמו מתפלג ברנולי, עם הסתברות 2pq להיות 1 (כאשר q=1-p). בהינתן Z=1, הזוג (X,Y) מקבל את הערכים (0,1) ו-(1,0) בהסתברויות שוות; ובהינתן Z=0 (מאורע שהסתברותו א-פריורי היא p^2+q^2), ההסתברות ל-(1,1) היא q^2/(p^2+q^2). אם כך, לפי ההגדרה, <math>\ H(X,Y|Z) = (p^2+q^2)H\left(\frac{p^2}{p^2+q^2}\right) + 2pqH\left(\frac{1}{2}\right)</math>. לכן <math>2 H(p) = (p^2+q^2)H\left(\frac{p^2}{p^2+q^2}\right) + 2pqH\left(\frac{1}{2}\right)+ H\left(2pq\right)</math>. זוהי משוואה פונקציונלית, שהפתרון היחיד שלה הוא <math>\ H(p) = -p \log p-q\log q</math>, עד כדי קבוע; הנורמליות קובעת שהלוגריתם הוא בבסיס 2. עבור משתנה המקבל n ערכים, אפשר לחשב את H באינדוקציה, על ידי התניה בקבלת הערך האחרון: <math>\ H(p_1,\dots,p_n) = (1-p_n)H(\frac{p_1}{1-p_n},\dots,\frac{p_{n-1}}{1-p_n}) + H(p_n)</math>.

== דוגמה ==
נפתור את הדוגמה שבפתיח (מה יותר קשה לחיזוי – סכום הטלת שתי קוביות או התפלגות אחידה בין 9 תוצאות):
למרחב אחיד בגודל 9 יש 9 תוצאות שלכל אחת מהן הסתברות <math>{1 \over 9}</math>, ולכן האנטרופיה היא
<math>9 \cdot (- {1 \over 9} \log_2\left({1 \over 9}\right)) = \log_2(9) \approx 3.17</math>, ואילו האנטרופיה של מרחב התוצאות האפשריות של סכום שתי קוביות היא
<div class="mw-content-ltr"><math>
\begin{align}
\ -\sum p_i \log_2(p_i) = - \left[ 2 \cdot \left({1 \over 36} \log_2\left({1 \over 36}\right)\right) + 2 \cdot \left({1 \over 18} \log_2\left({1 \over 18}\right)\right) + 2 \cdot \left({1 \over 12} \log_2\left({1 \over 12}\right)\right) + 2 \cdot \left({1 \over 9} \log_2\left({1 \over 9}\right)\right) \right. +\\ \left. 2 \cdot \left({5 \over 36} \log_2\left({5 \over 36}\right)\right) + \left({1 \over 6} \log_2\left({1 \over 6}\right)\right)\right] \approx 3.27.
\end{align}
</math>
</div>

כלומר, מעט קשה יותר לחזות את התוצאה של סכום שתי קוביות מאשר את התוצאה של בחירה אקראית מתוך 9 אפשרויות.

== שימושים ==

לאנטרופיה של שאנון קשר הדוק ליכולת לדחוס אינפורמציה וליכולת ללמוד מהאינפורמציה באמצעות אלגוריתמים של למידת מכונה. מושגים נוספים הקשורים לאנטרופיה קשר הדוק הם אינפורמציה הדדית ואנטרופיה מותנית. לאנטרופיה יש גם קשר עמוק למושג סיבוכיות קולמוגורוב.

== ראו גם ==
* אנטרופיה
* מרחק לוינשטיין

==קישורים חיצוניים==

* 
* 
* 

==הערות שוליים==

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:סטטיסטיקה
קטגוריה:תורת ההסתברות
קטגוריה:תורת האינפורמציה