מרחב (CAT(k

במתמטיקה, מרחבי (CAT(k הם מרחבים מטריים מטיפוס מיוחד: המשולשים שלהם "דקים" יותר ממשולשי-ההשוואה במרחב סטנדרטי בעל עקמומיות קבועה k. העקמומיות של מרחבי <math>\ \mbox{CAT}(k)</math> היא לכל היותר k בכל נקודה. את המונח <math>\ \mbox{CAT}(k)</math> טבע מיכאיל גרומוב ב-1987, כראשי-תיבות של המתמטיקאים אלי קרטן (C), אלכסנדר אלכסנדרוב (A) וויקטור אנדרייביץ' טופונוגוב (T). 

ההפרדה האמיתית היא בין המקרים k<0, k=0 ו- k>0, מכיוון שמרחבי <math>\ \mbox{CAT}(k)</math> אפשר לכייל למרחבי <math>\ \mbox{CAT}(k')</math> אם לשני הפרמטרים k ו- 'k אותו סימן. מרחבי (CAT(0 שלמים קרויים גם "מרחבי הדמר", על-שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אק אדמר.

== הגדרות ==

=== מרחבי המודל ===

עבור מספר ממשי k, מסמנים ב- <math>\ M_k</math> את המשטח היחיד שהוא פשוט קשר בעל עקמומיות קבועה k. לדוגמה, <math>\ M_0</math> הוא המישור האוקלידי <math>\ \mathbb{R}^2</math> עם המטריקה הרגילה שלו; <math>\ M_1</math> הוא ספירת היחידה במרחב האוקלידי התלת-ממדי, ו- <math>\ M_{-1}</math> הוא המישור ההיפרבולי. 

אם k>0, הקוטר של המרחב הוא <math>\ \frac{\pi}{\sqrt{k}}</math> (אחרת הקוטר אינסופי).

=== משולשי השוואה ===

נקבע k ממשי. נניח ש- X הוא מרחב מטרי ו- T משולש שקודקודיו p,q,r; אם k>0, נניח שקוטר המשולש אינו עולה על <math>\ \frac{\pi}{\sqrt{k}}</math>. אז קיים ב-<math>\ M_k</math> משולש יחיד, עד כדי איזומטריה, שבו המרחקים בין הקודקודים שווים לאלה של T. משולש זה נקרא משולש ההשוואה של T.

=== תנאי <math>\ \mbox{CAT}(k)</math> ===

משולשים טיפוסיים במרחבים בעלי עקמומיות חיובית (למעלה) ,שלילית (באמצע) ואפס (למטה)
נניח ש-<math>\ (X,d)</math> הוא מרחב גאודזי, כלומר, מרחב מטרי שבו יש מסילה גאודזית המחברת כל שתי נקודות (מסילה גאודזית היא פונקציה <math>\ \gamma : [a,b] \rightarrow X</math>, כאשר <math>\ [a,b]</math> הוא קטע על הישר הממשי, והמרחק מקיים <math>\ d(\gamma(t),\gamma(s)) = |t-s|</math> לכל <math>\ a\leq t \leq s\leq b</math>). אומרים שמשולש גאודזי D במרחב X (משולש שצלעותיו הן מסילות גאודזיות המחברות את הקודקודים) מקיים את "תנאי <math>\ \mbox{CAT}(k)</math>", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות של D קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש ההשוואה שלו, 'D במרחב <math>\ M_k</math>. 

המרחב X נקרא מרחב <math>\ \mbox{CAT}(k)</math>, אם כל משולש גאודזי (שקוטרו, אם k>0, אינו עולה על <math>\ \frac{\pi}{\sqrt{k}}</math>), מקיים את תנאי <math>\ \mbox{CAT}(k)</math>. אומרים שמרחב מטרי (אפילו אם אינו גאודזי) הוא "בעל עקמומיות k לכל היותר", אם לכל נקודה שלו יש סביבה קמורה-גאודזית (סביבה הכוללת עם כל שתי נקודות גם קו גאודזי המחבר אותן), המקיימת את תנאי <math>\ \mbox{CAT}(k)</math>. מרחב בעל עקמומיות 0 לכל היותר הוא "מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית". 

התנאי <math>\ \mbox{CAT}(k)</math> הולך ומתחזק כאשר k מקבל ערכים נמוכים יותר: אם <math>\ k<k'</math>, אז כל מרחב <math>\ \mbox{CAT}(k)</math> הוא גם מרחב <math>\ \mbox{CAT}(k')</math>. מאידך התכונה סגורה במובן הבא: מרחב שהוא <math>\ \mbox{CAT}(k')</math> לכל <math>\ k<k'</math>, הוא גם <math>\ \mbox{CAT}(k)</math>.

== דוגמאות ==

המרחב <math>\ M_k</math> הוא <math>\ \mbox{CAT}(k)</math>. 

המרחב האוקלידי <math>\ \mathbb{E}^n</math> (מכל ממד) הוא <math>\ \mbox{CAT}(0)</math>.
המרחב ההיפרבולי <math>\ \mathbb{H}^n</math> (מכל ממד) הוא <math>\ \mbox{CAT}(-1)</math>.
ספירת היחידה <math>\ \mathbb{S}^n</math> (בכל ממד) היא <math>\ \mbox{CAT}(1)</math> (אבל לא <math>\ \mbox{CAT}(0)</math>). ספירה ברדיוס r (ולכן מעקמומיות <math>\ \frac{1}{\sqrt{r}}</math>) היא <math>\ \mbox{CAT}(\frac{1}{\sqrt{r}})</math>.
כל מרחב נורמי המקיים איזשהו תנאי <math>\ \mbox{CAT}(k)</math> הוא מרחב מכפלה פנימית.

אם מנקבים את המישור האוקלידי בנקודה, המרחב הנותר אינו גאודזי, ולכן אינו <math>\ \mbox{CAT}(0)</math>. מאידך, לכל נקודה יש סביבה קמורה-גאודזית שהיא <math>\ \mbox{CAT}(0)</math>, ולכן המישור המנוקב הוא מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית.

עץ הוא מרחב <math>\ \mbox{CAT}(k)</math> לכל k.

כל מרחב <math>\ \mbox{CAT}(k)</math>, עבור k<0, הוא מרחב <math>\ \mbox{CAT}(0)</math>. בפרט, מרחבים כאלו הם כוויצים.

== תכונות של מרחבי <math>\ \mbox{CAT}(k)</math> ==

יהי X מרחב <math>\ \mbox{CAT}(k)</math>.

=== תכונות מקומיות ===

* בין כל שתי נקודות (ממרחק שאינו עולה על <math>\ \frac{\pi}{\sqrt{k}}</math> אם k>0) מחברת מסילה גאודזית יחידה. יתרה מזו, המסילה משתנה באופן רציף עם שינוי נקודות הקצה שלה.
* כל עקום (שאורכו אינו עולה על <math>\ \frac{\pi}{\sqrt{k}}</math> אם k>0), שהוא גאודזי-מקומית, הוא עקום גאודזי.
* כדור פתוח (ברדיוס שאינו עולה על <math>\ \frac{1}{2}\frac{\pi}{\sqrt{k}}</math> אם k>0) הוא קמור-גאודזית.
* כדורים (שרדיוסם אינו עולה על <math>\ \frac{\pi}{\sqrt{k}}</math> אם k>0) הם כוויצים.
* נקודות שאינן רחוקות משני קצות קטע, קרובות לאמצע הקטע, במובן הבא: לכל a (שאינו עולה על <math>\ \frac{\pi}{\sqrt{k}}</math> אם k>0) ולכל <math>\ \epsilon>0</math> קיים <math>\ \delta>0</math>, כך שאם m היא נקודת האמצע של העקום הגאודזי המחבר את הנקודות x ו-y, אז כל נקודה שמרחקה מ-x ומ-y אינו עולה על <math>\ \frac{1}{2}d(x,y)+\delta</math>, נמצאת במרחק <math>\ \epsilon</math> לכל היותר מ-m.

=== מרחב הכיסוי האוניברסלי ===

* מתכונות אלה נובע שאם <math>\ k\leq 0</math>, מרחב הכיסוי האוניברסלי של מרחב <math>\ \mbox{CAT}(k)</math> הוא כוויץ. בפרט, חבורות ההומוטופיה, מן השנייה ואילך, הן טריוויאליות. הספירות <math>\ \mathbb{S}^n</math> מראות שתכונות אלה אינן מתקיימות כאשר k>0. למעשה, מרחב הכיסוי האוניברסלי של כל מרחב בעל עקמומיות שאינה עולה על k (כאשר k שלילי) הוא מרחב <math>\ \mbox{CAT}(k)</math>.

=== היפרבוליות ===

כל מרחב <math>\ \mbox{CAT}(k)</math> (עבור <math>\ k<0</math>) הוא מרחב היפרבולי. מרחב <math>\ \mbox{CAT}(0)</math> הוא היפרבולי אם ורק אם אין לו תת-מרחב איזומטרי למישור האוקלידי <math>\ \mathbb{R}^2</math> (עם המטריקה הרגילה).

== ראו גם ==

* מרחב (CAT(0

קטגוריה:מרחבים מטריים