חוג מנה

במתמטיקה, חוג מנה הוא בניה בתורת החוגים הדומה לבניה של חבורות מנה בתורת החבורות. בהינתן חוג <math>R</math> ואידיאל דו-צדדי <math>I</math>, ב-<math>R</math> בונים את חוג המנה <math>R/I</math>. מבחינה אינטואיטיבית, <math>R/I</math> מתקבל מ-<math>R</math> על ידי איפוס של כל איברי <math>I</math>.

==בניית חוג המנה==
בהינתן חוג <math>R</math> ואידיאל דו-צדדי <math>I</math>, ניתן להגדיר יחס שקילות <math>\sim</math> על <math>R</math> על ידי: <math>a \sim b</math> אם ורק אם <math>b-a \in I</math>, ואומרים כי <math>a</math> שקול ל-<math>b</math> מודולו <math>I</math>.
מחלקת השקילות של איבר <math>a</math> ב-<math>R</math> נתונה על ידי: <math>[a] = a + I = \{a+r:r\in I\}</math>. מחלקה זו נקראת מחלקת השקילות של <math>a</math> מודולו <math>I</math>.
את אוסף מחלקות השקילות מסמנים ב-<math>R/I</math>. קבוצה זו הופכת לחוג, חוג המנה <math>R</math> מודולו <math>I</math> על ידי הפעולות:
<center>
:<math>[a]+[b]=(a+I)+(b+I)=(a+b)+I=[a+b]</math>
:<math>[a] \cdot [b] = (a+I) \cdot (b+I) = a\cdot b + I = [a\cdot b]</math>
</center>

מתכונת הבליעה של אידיאל דו-צדדי נובע כי פעולות אלה מוגדרות היטב (כלומר – הן אינן תלויות בנציגים אשר נבחרים למחלקות השקילות). איבר האפס של <math>R/I</math> מוגדר להיות <math>[0] = 0 + I = I</math> ואיבר היחידה (ביחס לכפל) מוגדר להיות <math>[1] = 1 + I</math>. ביחס לפעולות ואיברים אלו, <math>R/I</math> הוא חוג.
ההעתקה <math>\rho:R\rightarrow R/I</math> המוגדרת על ידי <math>\rho(x) = [x] = x+I</math> היא הומומורפיזם של חוגים, ומההגדרה של <math>R/I</math> נובע כי זהו הומומורפיזם על.

==תכונות==
* אם <math>R</math> הוא חוג חילופי, ו-<math>I</math> הוא אידיאל ב-<math>R</math>, אז גם <math>R/I</math> הוא חוג חילופי; ייתכן כי <math>R/I</math> הוא חילופי בעוד ש-<math>R</math> אינו.

* הגרעין של ההעתקה הטבעית <math>\rho:R\rightarrow R/I</math> שווה ל-<math>I</math>. כיוון שהגרעין של הומומורפיזם של חוגים הוא תמיד אידיאל (דו-צדדי), ניתן לומר כי אידיאלים הם בדיוק גרעינים של הומומורפיזמים. ביתר כלליות, ההומומורפיזמים המוגדרים על חוג המנה <math>R/I</math> שקולים להומומורפיזמים של חוגים המוגדרים על <math>R</math> ואשר מתאפסים על <math>I</math>. ליתר דיוק, בהינתן אידיאל דו-צדדי <math>I</math> בחוג <math>R</math> והומומורפיזם של חוגים <math>f:R\rightarrow S</math> אשר גרעינו מכיל את <math>I</math>, קיים הומומורפיזם יחיד <math>g:R/I \rightarrow S</math> כך ש-<math>g\circ \rho = f</math>. ההעתקה <math>g</math> מוגדרת על ידי הכלל <math>g([a]) = f(a)</math>.

* כמסקנה מכך מתקבל משפט האיזומורפיזם עבור חוגים: כל הומומורפיזם של חוגים <math>f:R\rightarrow S</math> משרה איזומורפיזם בין חוג המנה <math>R/\ker(f)</math> לתמונה <math>Im(f)</math>.

* בחוג חילופי <math>R</math> מתקיים שאידיאל <math>I</math> הוא ראשוני אם ורק אם חוג המנה <math>R/I</math> הוא תחום שלמות. יתר על כן, <math>I</math> הוא אידיאל מקסימלי אם ורק אם <math>R/I</math> הוא חוג פשוט, ובמקרה הקומוטטיבי זה שקול להיותו שדה.

* באמצעות ההעתקה הטבעית מ-<math>R</math> ל-<math>R/I</math> ניתן להוכיח כי ישנם קשרים רבים בין האידיאלים בחוגים אלו: ישנה התאמה חד-חד-ערכית בין האידיאלים ב-<math>R</math> המכילים את <math>I</math> לבין האידיאלים של <math>R/I</math>. יתר על כן, אם <math>J</math> הוא אידיאל ב-<math>R</math> המכיל את <math>I</math>, ו-<math>J/I</math> היא התמונה שלו ב-<math>R/I</math>, אז חוגי המנה <math>R/J</math> ו-<math>(R/I)/(J/I)</math> איזומורפיים. ולכן מתקיים ש-<math>J</math> ראשוני/מקסימלי אם ורק אם <math>J/I</math> מקסימלי/ראשוני.

==דוגמאות==
* הדוגמאות הקיצוניות ביותר של חוגי מנה מתקבלות מה"אידיאלים הקיצוניים ביותר" בחוג – אידיאל האפס והחוג כולו. לכל חוג <math>R</math> מתקיים <math>R/\{0\}\cong R</math> ו-<math>R/R \cong \{0\}</math>. עובדות אלו מתאימות לכלל האצבע לפיו ככל שהאידיאל <math>I</math> "גדול יותר" כך החוג <math>R/I</math> "קטן יותר".

* בחוג המספרים השלמים <math>\mathbb{Z}</math>, נסמן ב<math>n\mathbb{Z}</math> את האידיאל המכיל את כל הכפולות של מספר שלם נתון <math>n</math>. עבור <math>x,y \in \mathbb{Z}</math> מתקיים <math>x-y \in n\mathbb{Z}</math> אם ורק אם ל-<math>x,y</math> יש אותה שארית חלוקה ב-<math>n</math>. לכן, חוג המנה <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> מכיל <math>n</math> איברים – מחלקות השקילות תחת יחס החלוקה: <math>\{[0],[1],\dots,[n-1]\}</math>. מבנה זה מקבל מבנה של חוג המנה מפעולות החיבור והכפל במספרים השלמים, והופך לחוג בפני עצמו – זהו חוג בסיסי במתמטיקה.

* בחוג הפולינומים מעל שדה המספרים הממשיים <math>\mathbb{R}[x]</math>, יהי <math>I=\langle x^2+1\rangle</math>, האידיאל המכיל את כל הכפולות של הפולינום <math>x^2+1</math>. חוג המנה <math>\mathbb{R}[x] / \langle x^2+1\rangle</math> איזומורפי לשדה המספרים המרוכבים. הסיבה לכך היא שהמחלקה של האיבר <math>[x]</math> מקיימת ש-<math>[x]^2 + [1] = [x^2+1] = [0]</math>, ולכן [x] הוא שורש ריבועי של מינוס אחד.

* באופן יותר כללי, חוגי מנה משמשים לבניית שדות הרחבה. נניח כי <math>K</math> הוא שדה וכי <math>f</math> הוא פולינום אי פריק ב-<math>K[x]</math>. המנה <math>L=K[x]/ \langle f\rangle </math> היא שדה המכיל את <math>K</math> ושהאיבר <math>[x]</math> שבו מקיים שהפולינום המינימלי שלו מעל <math>K</math> שווה ל-<math>f</math>.

* שימוש חשוב בדוגמה האחרונה מתעורר בבעיית הבניה של שדות סופיים. לדוגמה, עבור <math>F_3 = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</math>, השדה בעל 3 איברים, הפולינום <math>f(x) = x^2+1</math> הוא אי-פריק מעל <math>F_3</math> (שכן אין לו שורשים), וניתן לבנות את חוג המנה <math>F_3[x]/\langle f\rangle </math>. זהו שדה עם <math>3^2=9</math> איברים. כל שדה סופי ניתן לבניה בדרך זו תוך שימוש בשדות מסדר ראשוני ופולינום אי פריק מכל מעלה.

* חוגי הקואורדינטות של יריעות אלגבריות מהווים דוגמה חשובה לחוגי מנה המופיעה בגאומטריה אלגברית. לדוגמה, עבור היריעה <math>V=\{(x,y):x^2=y^3\} \subseteq \mathbb{R}^2</math>, ניתן לזהות את חוג הפונקציות הפולינומיות על היריעה עם חוג המנה <math>\mathbb{R}[x,y]/(x^2-y^3)</math>, וזהו חוג הקואורדינטות של <math>V</math>. ניתן ללמוד על הגאומטריה של <math>V</math> על ידי חקירה של חוג זה.

* נניח כי <math>M</math> היא יריעה דיפרנציאלית וכי <math>p</math> היא נקודה על <math>M</math>. בחוג <math>R=C^{\infty}(M)</math> – חוג הפונקציות החלקות על <math>M</math>, יהי <math>I</math> האידיאל של הפונקציות החלקות אשר מתאפסות בסביבה כלשהי של <math>p</math>. חוג המנה <math>R/I</math> נקרא חוג הנבטים של <math>M</math> ב-<math>p</math>. באמצעות חוג זה ניתן ללמוד על הגאומטריה של <math>M</math> קרוב ל-<math>p</math>.

==ראו גם==
* משפט השאריות הסיני

==קישורים חיצוניים==
* 

קטגוריה:תורת החוגים