השערת הודג'

השערת הודג (קרויה על שם וויליאם הודג') היא השערה מרכזית בגאומטריה אלגברית ואחת מ-7 בעיות המילניום של מכון קליי. ההשערה עוסקת בקשר בין הגאומטריה של אוסף הפתרונות למערכת משוואות פולינומית מסוימת לבין מערכות משוואות שמכילות את מערכת המשוואות הנתונה.

==הקוהומולוגיה של יריעה פרויקטיבית חלקה==

יריעה אלגברית פרויקטיבית היא קבוצת האפסים המשותפים של אוסף כלשהו של פולינומים הומוגנים. אומרים שהיריעה חלקה אם היא יריעה חלקה במובן של גאומטריה דיפרנציאלית.

תהא <math> X </math> יריעה פרויקטיבית חלקה. כל תת-יריעה פרויקטיבית <math> Y </math> (לאו דווקא חלקה) מגדירה מחלקת קוהומולוגיה <math> \eta_{Y,X}\in H^{2k}(X;\mathbb{Z}) </math>, כאשר <math> k </math> הוא הקו-ממד של <math> Y </math> ב-<math> X </math>. 

הודג' הוכיח שחבורות הקוהומולוגיה של <math> X </math> עם מקדמים מרוכבים מתפרקות לסכום ישר מהצורה

<math> H^k(X;\mathbb{C})=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}(X), </math>

כאשר תת-המרחב <math> H^{p,q}(X) </math> מכיל את מחלקות הקוהומולוגיה שמיוצגות על ידי תבניות הרמוניות מטיפוס <math> (p,q) </math>. אפשר להראות שלכל תת-יריעה <math> Y </math> מקו-ממד <math> k </math>, מחלקת הקוהומולוגיה <math> \eta_{Y,X} </math> שייכת לתת המרחב <math> H^{k,k}(X) </math>. השערת הודג' היא שמחלקות הקו הומולוגיה של תתי יריעות לא נמצאות בתת-מרחב קטן יותר.

==ניסוח ההשערה==

השערת הודג': אם <math> X </math> יריעה פרויקטיבית חלקה, אז, לכל <math> k </math>, תת-המרחב <math> H^{2k}(X;\mathbb{Q})\cap H^{k,k}(X) </math> נפרש על ידי מחלקות הקוהומולוגיה של תתי היריעות של <math> X </math>.

==מקרים שבהם ההשערה ידועה==

1. המקרה <math> k=1 </math> נובע ממשפט של סולומון לפשץ. המקרה <math> k=dim(X)-1 </math> נובע מזה וממשפט לפשץ החזק.
בפרט, ההשערה נכונה עבור יריעות מממד קטן מ-4.

2. חוג הקוהומולוגיה של יריעה אבלית גנרית נוצר על ידי חבורת הקוהומולוגיה השנייה (שעבורה ההשערה נכונה) ומכאן נובע שההשערה נכונה עבור יריעות אבליות גנריות.

==קישורים חיצוניים==
* 
* 
* 

קטגוריה:בעיות פתוחות באלגברה
קטגוריה:בעיות פתוחות בטופולוגיה

קטגוריה:בעיות המילניום של מכון קליי
הודגהשערת הודג (קרויה על שם וויליאם הודג') היא השערה מרכזית בגאומטריה אלגברית ואחת מ-7 בעיות המילניום של מכון קליי. ההשערה עוסקת בקשר בין הגאומטריה של אוסף הפתרונות למערכת משוואות פולינומית מסוימת לבין מערכות משוואות שמכילות את מערכת המשוואות הנתונה.

==הקוהומולוגיה של יריעה פרויקטיבית חלקה==

יריעה אלגברית פרויקטיבית היא קבוצת האפסים המשותפים של אוסף כלשהו של פולינומים הומוגנים. אומרים שהיריעה חלקה אם היא יריעה חלקה במובן של גאומטריה דיפרנציאלית.

תהא <math> X </math> יריעה פרויקטיבית חלקה. כל תת-יריעה פרויקטיבית <math> Y </math> (לאו דווקא חלקה) מגדירה מחלקת קוהומולוגיה <math> \eta_{Y,X}\in H^{2k}(X;\mathbb{Z}) </math>, כאשר <math> k </math> הוא הקו-ממד של <math> Y </math> ב-<math> X </math>. 

הודג' הוכיח שחבורות הקוהומולוגיה של <math> X </math> עם מקדמים מרוכבים מתפרקות לסכום ישר מהצורה

<math> H^k(X;\mathbb{C})=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}(X), </math>

כאשר תת-המרחב <math> H^{p,q}(X) </math> מכיל את מחלקות הקוהומולוגיה שמיוצגות על ידי תבניות הרמוניות מטיפוס <math> (p,q) </math>. אפשר להראות שלכל תת-יריעה <math> Y </math> מקו-ממד <math> k </math>, מחלקת הקוהומולוגיה <math> \eta_{Y,X} </math> שייכת לתת המרחב <math> H^{k,k}(X) </math>. השערת הודג' היא שמחלקות הקו הומולוגיה של תתי יריעות לא נמצאות בתת-מרחב קטן יותר.

==ניסוח ההשערה==

השערת הודג': אם <math> X </math> יריעה פרויקטיבית חלקה, אז, לכל <math> k </math>, תת-המרחב <math> H^{2k}(X;\mathbb{Q})\cap H^{k,k}(X) </math> נפרש על ידי מחלקות הקוהומולוגיה של תתי היריעות של <math> X </math>.

==מקרים שבהם ההשערה ידועה==

1. המקרה <math> k=1 </math> נובע ממשפט של סולומון לפשץ. המקרה <math> k=dim(X)-1 </math> נובע מזה וממשפט לפשץ החזק.
בפרט, ההשערה נכונה עבור יריעות מממד קטן מ-4.

2. חוג הקוהומולוגיה של יריעה אבלית גנרית נוצר על ידי חבורת הקוהומולוגיה השנייה (שעבורה ההשערה נכונה) ומכאן נובע שההשערה נכונה עבור יריעות אבליות גנריות.

==קישורים חיצוניים==
* 
* 
* 

קטגוריה:בעיות פתוחות באלגברה
קטגוריה:בעיות פתוחות בטופולוגיה

קטגוריה:בעיות המילניום של מכון קליי
הודג'