משחק הפיראטים

בתורת המשחקים, משחק הפיראטים הוא סיטואציה המתארת דילמה של חלוקת שלל משותף בין כמה צדדים. תחת ההנחה שכל השחקנים במשחק הם רציונליים ומעוניינים אך ורק במיקסום רווחיהם האישיים. התוצאות המתקבלות במשחק הפיראטים יכולות להיחשב מפתיעות ואף נוגדות את האינטואיציה הראשונית שעולה לשמע תיאור המשחק. המשחק הוא גרסה של משחק האולטימטום כשזה מורחב ליותר משני שחקנים. דרך מקובלת לניתוח משחק הפיראטים היא אינדוקציה לאחור.

== תיאור המשחק ==
נתונה קבוצה של חמישה פיראטים. הפיראטים מסומנים באותיות <math>\ A, B, C, D, E </math>. הפיראטים השיגו שלל משותף של 100 מטבעות זהב ועליהם להחליט על דרך לחלקם (לא ניתן לחלק מטבע בודד). כל הפיראטים הם רציונליים ומעוניינים להגדיל את הנתח האישי שלהם בחלוקה ככל הניתן.
על קבוצת הפיראטים מוגדר סדר מלא חזק כך ש-<math>\ E < D, D < C, C < B, B < A </math>, כלומר הפיראט המסומן ב-<math>\ A </math> בכיר יותר מזה המסומן ב-<math>\ B </math>, <math>\ B </math> בכיר יותר מ-<math>\ C </math> וכך הלאה.

המנגנון שלפיו מכריעים הפיראטים כיצד יחלקו את שללם הוא כדלקמן - הפיראט הבכיר מציע חלוקה של השלל. כל הפיראטים, כולל מציע ההצעה, עורכים הצבעה כדי להחליט האם לקבל את הצעת החלוקה או לא. אם ההצעה זכתה ברוב או נותרה בתיקו ההצעה מתקבלת. במידה ולא - הפיראט המציע מושלך מן הסיפון אל מותו והפיראט הבכיר מבין הנותרים מציע הצעת חלוקה משלו.
כאמור, הפיראטים מונעים אך ורק על ידי אינטרסים אישיים ואינם משתפים בהחלטתם שיקולים אלטרואיסטיים. אין להניח שהפיראטים יכבדו הסכמה כלשהי מלבד הכללים הבסיסיים שתוארו לעיל.

== פתרון המשחק ==
ניתן היה לצפות שהפיראט הבכיר <math>A</math>, יציע הצעה שתקנה לו חלק קטן מהרווח כדי להבטיח לעצמו שחבריו לא יצביעו נגדו מתוך מטרה להקטין את הקבוצה החולקת ברווח. בפועל, התוצאה המתקבלת שונה.
נתבונן תחילה במקרה שבו נותרו שני פיראטים בלבד - <math>D</math> ו- <math>E</math>. במקרה כזה יציע פיראט <math>D</math> חלוקה של 100 מטבעות לו ו-0 מטבעות לפיראט <math>E</math> היות שגם תיקו יספיק כדי לקבל את הצעת החלוקה ולכן אין לפיראט <math>D</math> כל סיבה להתחשב בפיראט <math>E</math>.
לאחר שברור לנו מה תהיה השתלשלות העניינים בקבוצה של שני פיראטים, ניתן לבחון מה תהיה התוצאה כאשר יוותרו הפיראטים <math>D</math>, <math>E</math> ו- <math>C</math>. במקרה זה, פיראט <math>C</math> יודע שכל רווח גדול מאפס שיוצע לפיראט <math>E</math> יתקבל על ידו היות שאם תידחה הצעתו של פיראט <math>C</math> הרי שפיראט <math>E</math> יוותר לחסדו של פיראט <math>D</math> שלא מתכוון לתת לו מאומה. לאור זאת, פיראט <math>C</math> מציע לעצמו 99 מטבעות, לפיראט <math>D</math> מוצעות 0 מטבעות ולפיראט <math>E</math> - מטבע אחת. שיקול דומה מראה שפיראט <math>B</math> יציע לפיראט <math>D</math> מטבע אחת, לשני הנותרים 0 ולעצמו - 99 מטבעות ואילו פיראט <math>A</math> יציע ל-<math>C</math> ו-<math>E</math> מטבע אחת, לשניים האחרים - 0 מטבעות ולעצמו - 98.

{| class="wikitable"
|+ משחק הפיראטים - פתרון באינדוקציה לאחור
|-
! !! פיראט A !! פיראט B
!פיראט C
!פיראט D
!פיראט E
|-
| שלב 1 || לא משתתף || לא משתתף
|לא משתתף
|100
|0
|-
| שלב 2 || לא משתתף || לא משתתף
|99
|0
|1
|-
| שלב 3 || לא משתתף || 99
|0
|1
|0
|-
|שלב 4
|98
|0
|1
|0
|1
|}

הערה - לכאורה, פיראט <math>A</math> יכול להציע מטבע אחת לכל צמד שיבחר מארבעת הפיראטים ועדיין לקבל תוצאת תיקו בהצבעה. עם זאת, אם נוסיף למערכת השיקולים של הפיראטים את ההנחה שבהינתן רווח זהה בשני פתרונות (במקרה שלנו, הרווח הוא מטבע אחת) כל פיראט יעדיף את הפתרון שיאפשר היפטרות מכמה שיותר פיראטים. ועל כן, פיראט <math>A</math> צריך להציע לכל פיראט שהוא מעוניין לקבל את קולו רווח גדול יותר מזה שיציע לו כל פיראט אחר. תחת הנחה זו, הפתרון לעיל הוא פתרון יחיד.

== לקריאה נוספת ==
* הסבר על משחק הפיראטים בצורת הבסיסית וכן על אפשרויות להרחיבו למספר משתתפים גדול יותר, [http://www2.stat.duke.edu/~banks/790gdrr-lectures.dir/Zhangpresentation.pdf A classic game theory problem & more: the pirate puzzle].

קטגוריה:תורת המשחקים