משפט התיכון

AD תיכון ל-BC
<span style="color: green;">השטח הירוק</span> ועוד <span style="color: blue;">השטח הכחול</span> שווה <span style="color: red;">לשטח האדום</span>

בגאומטריית המישור, משפט התיכון קובע שסכום ריבועי שתי צלעות במשולש, שווה לסכום מחצית ריבוע הצלע השלישית, ופעמיים ריבוע התיכון לה.

כלומר, אם במשולש ABC הנקודה D היא אמצע BC, מתקיים: <math>AB^2+AC^2=2AD^2+\frac{BC^2}{2}</math>

משפט התיכון הוא מקרה פרטי של משפט אפולוניוס הקובע: אם במשולש ABC הנקודה D נמצאת על BC ומחלקת אותו ביחס n:m (כלומר mBD = nDC), מתקיים: 
:<math>\ mAB^2 + nAC^2 = mBD^2 + nDC^2 + (m+n)AD^2</math>

במקרה של משפט התיכון, הנקודה D מחלקת את BC ביחס של 1:1.

==הוכחה ==

נסמן את היטל AB על BC ב-p (אם <math>\angle ABC>\frac{\pi}{2}</math> אז p<0)

במשולש ABC, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: <math>AC^2=AB^2+BC^2-2p\cdot BC</math>

נעביר אגפים, ונקבל: <math>2p\cdot BC=AB^2+BC^2-AC^2</math>

במשולש ABD, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: <math>AD^2=AB^2+BD^2-2p\cdot BD</math>

נציב <math>BD=\frac{BC}{2}</math>, ונקבל: <math>AD^2=AB^2+\frac{BC^2}{4}-p\cdot BC</math>

נעביר אגפים ונכפיל ב-2, ונקבל: <math>2p\cdot BC=2AB^2+\frac{BC^2}{2}-2AD^2</math>

על פי כלל המעבר, נקבל: <math>AB^2+BC^2-AC^2=2AB^2+\frac{BC^2}{2}-2AD^2</math>

לאחר העברת אגפים, נקבל: <math>2AD^2+\frac{BC^2}{2}=AB^2+AC^2</math>

== הוכחה גאומטרית ==

נסמן <math>AB = a, AC = b, BC = c</math>. כמו כן נסמן <math>AD = x</math>

אם <math>a=b 

</math>, המשולש שווה-שוקיים והתוצאה מתקבלת מידית מהפעלת משפט פיתגורס.

אחרת, <math>a\neq b 

</math>, נחשב את שטח המשולש <math>\Delta ABD </math> לפי נוסחת הרון:

<math>S_{\Delta ABD} = \sqrt{\Bigl(\frac{x + a + \frac{c}{2}}{2}\Bigl)
\cdot\Bigl(\frac{x + a + \frac{c}{2}}{2} - x\Bigl)
\cdot\Bigl(\frac{x + a + \frac{c}{2}}{2} - a\Bigl)
\cdot\Bigl(\frac{x + a + \frac{c}{2}}{2} - \frac{c}{2}\Bigl)} = 

</math>

<math>
\sqrt{\Bigl(\frac{(a + \frac{c}{2}) + x}{2}\Bigl)
\cdot\Bigl(\frac{(a + \frac{c}{2}) - x}{2}\Bigl)
\cdot\Bigl(\frac{x - (a - \frac{c}{2})}{2}\Bigl)
\cdot\Bigl(\frac{x + (a - \frac{c}{2})}{2}\Bigl)} = 

</math>

<math>\frac{1}{4} \cdot \sqrt{\Bigl((a + \frac{c}{2})^2 - x^2\Bigl)
\cdot\Bigl(x^2 - (a - \frac{c}{2})^2\Bigl)} = 
\frac{1}{4} \cdot \sqrt{-x^4 + x^2\cdot \Bigl(2a^2 + \frac{c^2}{2}\Bigl) - \Bigl(a^2-\frac{c^2}{4}\Bigl)^2}

</math>

נחשב את שטח המשולש <math>\Delta ACD

</math> ונקבל באותו אופן את התוצאה הבאה:

<math>S_{\Delta ACD} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{-x^4 + x^2\cdot \Bigl(2b^2 + \frac{c^2}{2}\Bigl) - \Bigl(b^2-\frac{c^2}{4}\Bigl)^2} 

</math>

התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח, כלומר <math>S_{\Delta ABD} = S_{\Delta ACD} 

</math>. נשווה ביניהם ונמצא את <math>x 

</math>

<math>\frac{1}{4} \cdot \sqrt{-x^4 + x^2\cdot \Bigl(2a^2 + \frac{c^2}{2}\Bigl) - \Bigl(a^2-\frac{c^2}{4}\Bigl)^2} =
\frac{1}{4} \cdot \sqrt{-x^4 + x^2\cdot \Bigl(2b^2 + \frac{c^2}{2}\Bigl) - \Bigl(b^2-\frac{c^2}{4}\Bigl)^2} 

</math>

נכפיל פי 4 ונעלה את שני האגפים בריבוע: 

<math>-x^4 + x^2\cdot \Bigl(2a^2 + \frac{c^2}{2}\Bigl) - \Bigl(a^2-\frac{c^2}{4}\Bigl)^2 =
-x^4 + x^2\cdot \Bigl(2b^2 + \frac{c^2}{2}\Bigl) - \Bigl(b^2-\frac{c^2}{4}\Bigl)^2 

</math>

נסדר את המשוואה:

<math>x^2\cdot \Bigl(2a^2 + \frac{c^2}{2} - 2b^2 - \frac{c^2}{2}\Bigl) = \Bigl(a^2-\frac{c^2}{4}\Bigl)^2 - \Bigl(b^2-\frac{c^2}{4}\Bigl)^2 

</math>

<math>2 (a^2 - b^2) x^2 = \Bigl(a^2-\frac{c^2}{4} - (b^2 - \frac{c^2}{4})\Bigl) \cdot \Bigl(a^2-\frac{c^2}{4} + (b^2 - \frac{c^2}{4})\Bigl) 

</math>

<math>2 (a^2 - b^2) x^2 = (a^2 - b^2) \cdot \Bigl(a^2 + b^2 - \frac{c^2}{2}\Bigl) 

</math>

נצמצם ב <math>a^2 - b^2 

</math> (זו פעולה חוקית מכיוון שהנחנו כי <math>a\neq b 

</math>) ונקבל את התוצאה: <math>2x^2 = a^2 + b^2 - \frac{c^2}{2} 

</math> 

תיכון, ה
קטגוריה:משולש