קבועים טריגונומטריים מדויקים

הקבועים הבסיסיים על [[מעגל היחידה הם כפולות של 30 ו45 מעלות.]]
ייצוג קבועים טריגונומטריים מדויקים על ידי ביטויים מתמטיים שימושי להמרת ביטויים טריגונומטריים לביטויים רדיקלים (ביטויים מהצורה <math>\sqrt[n]{a}</math>).

ערכי סינוס, קוסינוס וטנגנס של כפולות 3° ניתנים לפיתוח על ידי זהויות טריגונומטריות מתוך הערכים הידועים של 0°, 30° ו-45°.

הרשימה כאן אינה שלמה, כיוון שניתן להמשיך ולחלק כל זווית נתונה לזוויות קטנות ממנה.

==רשימת קבועים==
ערכים נוספים מחוץ לטווח הרשימה ניתן לחשב בקלות על ידי זהויות טריגונומטריות.

=== 0° ===
{| border="0"
| <div align="left"><math>0</math></div> || <math>\sin 0=</math></div>
|-
| <div align="left"><math>1</math></div> || <math>\cos 0=</math>
|-
| <div align="left"><math>0</math></div> || <math>\tan 0=</math>
|-
| <div align="left">לא מוגדר</div> || <math>\cot 0=</math>
|}

=== מצולע בעל 60 צלעות - 3° ===
{| border="0"
|<div align="left"><math>\frac{(2-2\sqrt3)\sqrt{5+\sqrt5}+(\sqrt6+\sqrt2)(\sqrt5-1)}{16}\,</math></div> || <math>\sin\frac{\pi}{60}=\sin 3^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{(2+2\sqrt3)\sqrt{5+\sqrt5}+(\sqrt6-\sqrt2)(\sqrt5-1)}{16}\,</math></div> || <math>\cos\frac{\pi}{60}=\cos 3^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\left((2-\sqrt3)(3+\sqrt5)-2\right)\left(2-\sqrt{10-2\sqrt5}\right)}{4}\,</math></div> || <math>\tan\frac{\pi}{60}=\tan 3^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\left((2+\sqrt3)(3+\sqrt5)-2\right)\left(2+\sqrt{10-2\sqrt5}\right)}{4}\,</math></div> || <math>\cot\frac{\pi}{60}=\cot 3^\circ=</math>
|}

=== מצולע בעל 30 צלעות - 6° ===
{| border="0"
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{30-6\sqrt5}-\sqrt5-1}{8}\,</math></div> || <math>\sin\frac{\pi}{30}=\sin 6^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}+\sqrt{15}+\sqrt3}{8}\,</math></div> || <math>\cos\frac{\pi}{30}=\cos 6^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}-\sqrt{15}+\sqrt3}{2}\,</math></div> || <math>\tan\frac{\pi}{30}=\tan 6^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{3\sqrt3+\sqrt{15}+\sqrt{50+22\sqrt5}}{2}\,</math></div> || <math>\cot\frac{\pi}{30}=\cot 6^\circ=</math>
|}

=== מצולע בעל 20 צלעות - 9° ===
{| border="0"
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{10}+\sqrt2-2\sqrt{5-\sqrt5}}{8}\,</math></div> || <math>\sin\frac{\pi}{20}=\sin 9^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{10}+\sqrt2+2\sqrt{5-\sqrt5}}{8}\,</math></div> || <math>\cos\frac{\pi}{20}=\cos 9^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\sqrt5+1-\sqrt{5+2\sqrt5}\,</math></div> || <math>\tan\frac{\pi}{20}=\tan 9^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\sqrt5+1+\sqrt{5+2\sqrt5}\,</math></div> || <math>\cot\frac{\pi}{20}=\cot 9^\circ=</math>
|}

=== מצולע בעל 15 צלעות - 12° ===
{| border="0"
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}-\sqrt{15}+\sqrt3}{8}\,</math></div> || <math>\sin\frac{\pi}{15}=\sin 12^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{30+6\sqrt5}+\sqrt5-1}{8}\,</math></div> || <math>\cos\frac{\pi}{15}=\cos 12^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{3\sqrt3-\sqrt{15}-\sqrt{50-22\sqrt5}}{2}\,</math></div> || <math>\tan\frac{\pi}{15}=\tan 12^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{15}+\sqrt3+\sqrt{10+2\sqrt5}}{2}\,</math></div> || <math>\cot\frac{\pi}{15}=\cot 12^\circ=</math>
|}

=== מתורסר, מצולע בעל 12 צלעות - 15° ===
{| border="0"
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\,</math></div> || <math>\sin\frac{\pi}{12}=\sin 15^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\,</math></div> || <math>\cos\frac{\pi}{12}=\cos 15^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>2-\sqrt3\,</math></div> || <math>\tan\frac{\pi}{12}=\tan 15^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>2+\sqrt3\,</math></div> || <math>\cot\frac{\pi}{12}=\cot 15^\circ=</math>
|}

=== מעושר, מצולע בעל 10 צלעות - 18° ===
{| border="0"
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt5-1}{4}=\frac{\varphi-1}{2}=\frac{1}{2\varphi}\,</math></div> || <math>\sin\frac{\pi}{10}=\sin 18^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}\,</math></div> || <math>\cos\frac{\pi}{10}=\cos 18^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{25-10\sqrt5}}{5}\,</math></div> || <math>\tan\frac{\pi}{10}=\tan 18^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\sqrt{5+2\sqrt 5}\,</math></div> || <math>\cot\frac{\pi}{10}=\cot 18^\circ=</math>
|}

=== סכום זוויות: 9° + 12° = 21° ===
{| border="0"
|<div align="left"><math>\frac{(2\sqrt3+2)\sqrt{5-\sqrt5}-(\sqrt6-\sqrt2)(1+\sqrt5)}{16}\,</math></div> || <math>\sin\frac{7\pi}{60}=\sin 21^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{(2\sqrt3-2)\sqrt{5-\sqrt5}+(\sqrt6+\sqrt2)(1+\sqrt5)}{16}\,</math></div> || <math>\cos\frac{7\pi}{60}=\cos 21^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\left(2-(2+\sqrt3)(3-\sqrt5)\right)\left(2-\sqrt{2(5+\sqrt5)}\right)}{4}\,</math></div> || <math>\tan\frac{7\pi}{60}=\tan 21^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\left(2-(2-\sqrt3)(3-\sqrt5)\right)\left(2+\sqrt{10\sqrt5}\right)}{4}\,</math></div> || <math>\cot\frac{7\pi}{60}=\cot 21^\circ=</math>
|}

=== מתומן, מצולע בעל שמונה צלעות - 22.5° ===
{| border="0"
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\,</math></div> || <math>\sin\frac{\pi}{8}=\sin 22.5^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\,</math></div> || <math>\cos\frac{\pi}{8}=\cos 22.5^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\sqrt{2}-1\,</math></div> || <math>\tan\frac{\pi}{8}=\tan 22.5^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\sqrt{2}+1\,</math></div> || <math>\cot\frac{\pi}{8}=\cot 22.5^\circ=</math>
|}

=== סכום זוויות: 12° + 12° = 24° ===
{| border="0"
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{15}+\sqrt3-\sqrt{10-2\sqrt5}}{8}\,</math></div> || <math>\sin\frac{2\pi}{15}=\sin 24^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{30-6\sqrt5}+\sqrt5+1}{8}\,</math></div> || <math>\cos\frac{2\pi}{15}=\cos 24^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{50+22\sqrt5}-3\sqrt3-\sqrt{15}}{2}\,</math></div> || <math>\tan\frac{2\pi}{15}=\tan 24^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}+\sqrt{15}-\sqrt3}{2}\,</math></div> || <math>\cot\frac{2\pi}{15}=\cot 24^\circ=</math>
|}

=== סכום זוויות: 15° + 12° = 27° ===
{| border="0"
|<div align="left"><math>\frac{(\sqrt5+1)\sqrt{5+\sqrt5}-\sqrt{10}+\sqrt2}{8}\,</math></div> || <math>\sin\frac{3\pi}{20}=\sin 27^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{(\sqrt5+1)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt{10}-\sqrt2)}{8}\,</math></div> || <math>\cos\frac{3\pi}{20}=\cos 27^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\sqrt5-1-\sqrt{5-2\sqrt5}\,</math></div> || <math>\tan\frac{3\pi}{20}=\tan 27^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\sqrt5-1+\sqrt{5-2\sqrt5}\,</math></div> || <math>\cot\frac{3\pi}{20}=\cot 27^\circ=</math>
|}

=== משושה, מצולע בעל שש צלעות - 30° ===
{| border="0"
|<div align="left"><math>\frac{1}{2}\,</math></div> || <math>\sin\frac{\pi}{6}=\sin 30^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt3}{2}\,</math></div> || <math>\cos\frac{\pi}{6}=\cos 30^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt3}{3}\,</math></div> || <math>\tan\frac{\pi}{6}=\tan 30^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\sqrt3\,</math></div> || <math>\cot\frac{\pi}{6}=\cot 30^\circ=</math>
|}

=== סכום זוויות: 18° + 15° = 33° ===
{| border="0"
|<div align="left"><math>\frac{(2\sqrt3-2)\sqrt{5+\sqrt5}+(1+\sqrt3)(\sqrt{10}-\sqrt2)}{16}\,</math></div> || <math>\sin\frac{11\pi}{60}=\sin 33^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{(2\sqrt3+2)\sqrt{5+\sqrt5}+(1-\sqrt3)(\sqrt{10}-\sqrt2)}{16}\,</math></div> || <math>\cos\frac{11\pi}{60}=\cos 33^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\left(2-(2-\sqrt3)(3+\sqrt5)\right)\left(2+\sqrt{2(5-\sqrt5)}\right)}{4}\,</math></div> || <math>\tan\frac{11\pi}{60}=\tan 33^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\left(2-(2+\sqrt3)(3+\sqrt5)\right)\left(2-\sqrt{2(5-\sqrt5)}\right)}{4}\,</math></div> || <math>\cot\frac{11\pi}{60}=\cot 33^\circ=</math>
|}

=== מחומש, מצולע בעל חמש צלעות - 36° ===
{| border="0"
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}\,</math></div> || <math>\sin\frac{\pi}{5}=\sin 36^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{1+\sqrt5}{4}=\frac{\varphi}{2}\,</math></div> || <math>\cos\frac{\pi}{5}=\cos 36^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\sqrt{5-2\sqrt5}\,</math></div> || <math>\tan\frac{\pi}{5}=\tan 36^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{25+10\sqrt5}}{5}\,</math></div> || <math>\cot\frac{\pi}{5}=\cot 36^\circ=</math>
|}

=== סכום זוויות: 21° + 18° = 39° ===
{| border="0"
|<div align="left"><math>\frac{(2-2\sqrt3)\sqrt{5-\sqrt5}+(\sqrt6+\sqrt2)(\sqrt5+1)}{16}\,</math></div> || <math>\sin\frac{13\pi}{60}=\sin 39^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{(2+2\sqrt3)\sqrt{5-\sqrt5}+(\sqrt6-\sqrt2)(\sqrt5+1)}{16}\,</math></div> || <math>\cos\frac{13\pi}{60}=\cos 39^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\left((2-\sqrt3)(3-\sqrt5)-2\right)\left(2-\sqrt{2(5+\sqrt5)}\right)}{4}\,</math></div> || <math>\tan\frac{13\pi}{60}=\tan 39^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\left((2+\sqrt3)(3-\sqrt5)-2\right)\left(2+\sqrt{2(5+\sqrt5)}\right)}{4}\,</math></div> || <math>\cot\frac{13\pi}{60}=\cot 39^\circ=</math>
|}

=== סכום זוויות: 21° + 21° = 42° ===
{| border="0"
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{30+6\sqrt5}-\sqrt5+1}{8}\,</math></div> || <math>\sin\frac{7\pi}{30}=\sin 42^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}+\sqrt{15}-\sqrt3}{8}\,</math></div> || <math>\cos\frac{7\pi}{30}=\cos 42^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{15}+\sqrt3-\sqrt{10+2\sqrt5}}{2}\,</math></div> || <math>\tan\frac{7\pi}{30}=\tan 42^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt{50-22\sqrt5}+3\sqrt3-\sqrt{15}}{2}\,</math></div> || <math>\cot\frac{7\pi}{30}=\cot 42^\circ=</math>
|}

=== ריבוע, מצולע בעל ארבע צלעות - 45° ===
{| border="0"
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt2}{2}\,</math></div> || 
<math>\sin\frac{\pi}{4}=\sin 45^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt2}{2}\,</math></div> || 
<math>\cos\frac{\pi}{4}=\cos 45^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>1\,</math></div> || 
<math>\tan\frac{\pi}{4}=\tan 45^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>1\,</math></div> || 
<math>\cot\frac{\pi}{4}=\cot 45^\circ=</math>
|}

=== משולש, מצולע בעל שלוש צלעות - 60° ===
{| border="0"
|<div align="left"><math>\frac{\sqrt3}{2}\,</math></div> || 
<math>\sin\frac{\pi}{3}=\sin 60^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{1}{2}\,</math></div> || 
<math>\cos\frac{\pi}{3}=\cos 60^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\sqrt3\,</math></div> || 
<math>\tan\frac{\pi}{3}=\tan 60^\circ=</math>
|-
|<div align="left"><math>\frac{3}\,</math></div> || 
<math>\cot\frac{\pi}{3}=\cot 60^\circ=</math>
|}

==קישורים חיצוניים==
* [http://mathforum.org/dr.math/faq/formulas/faq.regpoly.html Constructible Regular Polygons]
* [http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.polygon.names.html Naming polygons]
* 

*
טריגונומטריים