זרימת טיילור-קואט

תיאור סכמטי של מערכת ניסוי טיילור-קואט
במכניקת הזורמים, זרימת טיילור-קואט (Taylor-Couette) מתייחסת למצב בו זורם צמיג כלוא בין שני גלילים מסתובבים. עבור מהירויות זוויתיות נמוכות, (בהן מתקבל מספר ריינולדס נמוך) הזרימה תמידית ואזימוטלית. המצב הבסיסי ידוע כזרימת קואט מעגלית, על שם מ.מ. אלפרד קואט, אשר בנה מערכת כזו על מנת למדוד את הצמיגות של הזורם. סר גפרי טיילור חקר את היציבות של זרימה זו במאמר שהיווה את אבן הבסיס של הבנת יציבות במכניקת הזורמים. (הרחבה בהמשך)

==פיתוח המשוואות==

נמצא את שדה המהירות תחת ההנחות הבאות:

*מצב מתמיד <math> \frac{\partial}{\partial t }=0 </math>
*נוזל בלתי דחיס <math> \rho=const. </math>
*בעיה דו־ממדית עם אקסיסימטריה: <math> \frac{\partial}{\partial\phi}=0 </math>
*כוחות גוף זניחים.

משוואות נאוויה-סטוקס בקואורדינטות גליליות:
:<math>
\hat{r}:\;\;\rho \left(\frac{\partial u_r}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \phi} + u_z \frac{\partial u_r}{\partial z} - \frac{u_{\phi}^2}{r}\right) =
-\frac{\partial p}{\partial r} +
\mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_r}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u_r}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 u_r}{\partial z^2}-\frac{u_r}{r^2}-\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_\phi}{\partial \phi} \right] + \rho g_r</math>
:<math>
\hat{\phi}:\;\;\rho \left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r} \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \phi} + u_z \frac{\partial u_{\phi}}{\partial z} + \frac{u_r u_{\phi}}{r}\right) =
-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \phi} +
\mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u_{\phi}}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 u_{\phi}}{\partial z^2} + \frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial \phi} - \frac{u_{\phi}}{r^2}\right] + \rho g_{\phi}</math> 
:<math>
\hat{z}:\;\;\rho \left(\frac{\partial u_z}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_z}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r} \frac{\partial u_z}{\partial \phi} + u_z \frac{\partial u_z}{\partial z}\right) =
-\frac{\partial p}{\partial z} + \mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_z}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u_z}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 u_z}{\partial z^2}\right] + \rho g_z.</math>

משוואת הרצף בקואורדינטות גליליות:

:<math>
\frac{\partial\rho}{\partial t} +
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\rho r u_r\right) +
\frac{1}{r}\frac{\partial (\rho u_\phi)}{\partial \phi} +
\frac{\partial (\rho u_z)}{\partial z} = 0.</math>

תחת ההנחות לעיל:

:<math>
\hat{r}:\;\;\rho \left( u_r \frac{\partial u_r}{\partial r} - \frac{u_{\phi}^2}{r}\right) =
-\frac{\partial p}{\partial r} +
\mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_r}{\partial r}\right) -\frac{u_r}{r^2} \right] </math>
:<math>
\hat{\phi}:\;\;\rho \left( u_r \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r} + \frac{u_r u_{\phi}}{r}\right) =
\mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right) - \frac{u_{\phi}}{r^2}\right] </math> 

משוואת הרצף :

:<math>
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left( r u_r\right) = 0</math>

תנאי השפה המתאימים:
* אי חדירה: <math> u_r(r=R_1)=0 ;\;\ u_r(r=R_2)=0</math>
*אי החלקה: <math> u_\phi(r=R_1)=\Omega_1R_1 ;\;\ u_\phi(r=R_2)=\Omega_2R_2 </math>

מפתרון משוואת הרצף והצבת תנאי שפה של אי חדירה מתקבל כי <math> R_1 \le r \le R_2 \ \ u_r=0 </math>

נציב זאת למשוואות ונתמקד בכיוון המשיקי:
:<math>
\hat{\phi}:\;\;0= \mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right) - \frac{u_{\phi}}{r^2}\right] </math> 

נשים לב כי ניתן לכתוב גם כך:

<math>
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right) - \frac{u_{\phi}}{r^2} =
\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r} \frac{ \partial (r u_{\phi}) }{\partial r} \right)
 </math>

כעת ניתן לפתור על ידי אינטגרציה פשוטה והעברת אגפים ולקבל:

<math>
u_{\phi} (r) = C_1 r + \frac{C_2}{r} 
</math>

הצבת תנאי שפה של אי החלקה: <math> u_\phi(r=R_1)=\Omega_1R_1 ;\;\ u_\phi(r=R_2)=\Omega_2R_2 </math> 

נותנת:

<math> 
C_1 = \frac{ {R_1}^2 \Omega_1 - {R_2}^2\Omega_2}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r} \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \phi} + u_z \frac{\partial u_{\phi}}{\partial z} + \frac{u_r u_{\phi}}{r}\right) =
-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \phi} +
\mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u_{\phi}}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 u_{\phi}}{\partial z^2} + \frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial \phi} - \frac{u_{\phi}}{r^2}\right] + \rho g_{\phi}</math> 
:<math>
\hat{z}:\;\;\rho \left(\frac{\partial u_z}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_z}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r} \frac{\partial u_z}{\partial \phi} + u_z \frac{\partial u_z}{\partial z}\right) =
-\frac{\partial p}{\partial z} + \mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_z}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u_z}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 u_z}{\partial z^2}\right] + \rho g_z.</math>

משוואת הרצף בקואורדינטות גליליות:

:<math>
\frac{\partial\rho}{\partial t} +
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\rho r u_r\right) +
\frac{1}{r}\frac{\partial (\rho u_\phi)}{\partial \phi} +
\frac{\partial (\rho u_z)}{\partial z} = 0.</math>

תחת ההנחות לעיל:

:<math>
\hat{r}:\;\;\rho \left( u_r \frac{\partial u_r}{\partial r} - \frac{u_{\phi}^2}{r}\right) =
-\frac{\partial p}{\partial r} +
\mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_r}{\partial r}\right) -\frac{u_r}{r^2} \right] </math>
:<math>
\hat{\phi}:\;\;\rho \left( u_r \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r} + \frac{u_r u_{\phi}}{r}\right) =
\mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right) - \frac{u_{\phi}}{r^2}\right] </math> 

משוואת הרצף :

:<math>
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left( r u_r\right) = 0</math>

תנאי השפה המתאימים:
* אי חדירה: <math> u_r(r=R_1)=0 ;\;\ u_r(r=R_2)=0</math>
*אי החלקה: <math> u_\phi(r=R_1)=\Omega_1R_1 ;\;\ u_\phi(r=R_2)=\Omega_2R_2 </math>

מפתרון משוואת הרצף והצבת תנאי שפה של אי חדירה מתקבל כי <math> R_1 \le r \le R_2 \ \ u_r=0 </math>

נציב זאת למשוואות ונתמקד בכיוון המשיקי:
:<math>
\hat{\phi}:\;\;0= \mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right) - \frac{u_{\phi}}{r^2}\right] </math> 

נשים לב כי ניתן לכתוב גם כך:

<math>
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right) - \frac{u_{\phi}}{r^2} =
\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r} \frac{ \partial (r u_{\phi}) }{\partial r} \right)
 </math>

כעת ניתן לפתור על ידי אינטגרציה פשוטה והעברת אגפים ולקבל:

<math>
u_{\phi} (r) = C_1 r + \frac{C_2}{r} 
</math>

הצבת תנאי שפה של אי החלקה: <math> u_\phi(r=R_1)=\Omega_1R_1 ;\;\ u_\phi(r=R_2)=\Omega_2R_2 </math> 

נותנת:

<math> 
C_1 = \frac{ {R_1}^2 \Omega_1 - {R_2}^2\Omega_2}