משפט הפירוק של ז'ורדן

במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, משפט הפירוק של ז'ורדן קובע כי כל מידה מסומנת ניתנת לכתיבה כהפרש של מידות חיוביות סינגולריות.<ref></ref>

המשפט נקרא על שמו של קאמי ז'ורדן. המשפט מספק תובנה חשובה על מידות מסומנות והיא שהן ניתנות לייצוג על-ידי הפרש של מידות "פשוטות" יותר, שהן מידות חיוביות. יתרה מכך, ניתן להשתמש במשפט הפירוק של ז'ורדן כדי להוכיח את משפט הפירוק של לבג ואת משפט רדון־ניקודים עבור מידות מסומנות.

== מבוא ומונחים בסיסיים ==
עבור מרחב מדיד כלשהו <math>(\Omega,\Sigma)</math>, מידה מסומנת היא פונקציה <math>\mu:\Sigma\to\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}</math> (כאשר <math>\mathbb{R}</math> הוא שדה המספרים הממשיים) המקיימת סיגמא-חיבוריות, מתאפסת עבור הקבוצה הריקה ומקבלת לכל היותר את אחד הערכים <math>\infty</math> ו-<math>-\infty</math> (לא את שניהם). בהקשר זה פונקציית מידה "רגילה" תקרא מידה חיובית, והיא למעשה מידה מסומנת אשר מקבלת אך ורק ערכים אי-שליליים או <math>\infty</math>.

== ניסוח פורמלי ==
עבור מרחב מדיד כלשהו <math>(\Omega,\Sigma)</math> ומידה מסומנת על המרחב <math>\mu</math>, קיים זוג מידות חיוביות <math>\mu^+,\mu^-</math> כך ש:

# <math>\mu=\mu^+-\mu^-</math>.
# <math>\mu^+,\mu^-</math> סינגולריות אחת ביחס לשנייה.

פירוק זה נקרא פירוק ז'ורדן והוא פירוק יחיד.

== הוכחה ==
=== קיום ===
על-פי משפט הפירוק של האן קיימת קבוצה חיובית <math>P\in\Sigma</math> (קבוצה שכל תתי-הקבוצות שלה ממידה אי-שלילית) כך שהמשלים שלה <math>\Omega \backslash P</math> הוא קבוצה שלילית (קבוצה שכל תתי-הקבוצות שלה ממידה אי-חיובית). מגדירים את המידות <math>\mu^+,\mu^-</math> כך שלכל <math>A\in\Sigma</math>:<ref></ref>

<math>\mu^+(A):=\mu(A\cap P)</math>

<math>\mu^-(A):=-\mu(A\backslash P)</math>

על פי היותה של <math>P</math> קבוצה חיובית ו-<math>\Omega \backslash P</math> קבוצה שלילית, בהכרח <math>\mu^+,\mu^-</math> שתיהן חיוביות לכל <math>A\in\Sigma</math>. יתרה מזאת:

<math>\mu(A)=\mu((A\cap P)\cup(A\backslash P))=\mu(A\cap P)+\mu(A\backslash P)=\mu^+(A)-\mu^-(A)</math>

ולכן <math>\mu=\mu^+-\mu^-</math>. 

מכל זאת נובע כי <math>\mu^+,\mu^-</math> הוא פירוק לפי ז'ורדן של <math>\mu</math>. מ.ש.ל.

=== יחידות ===
בהינתן <math>\mu^+_1,\mu^-_1</math> ו-<math>\mu^+_2,\mu^-_2</math> שני פירוקים לפי ז'ורדן, לפי סינגולריות קיימות שתי קבוצות מדידות <math>P_1,P_2\in \Sigma</math> כך ש:
* <math>\mu^-_1</math> מתאפסת על <math>P_1</math>
* <math>\mu^+_1</math> מתאפסת על <math>\Omega\backslash P_1</math>
* <math>\mu^-_2</math> מתאפסת על <math>P_2</math>
* <math>\mu^+_2</math> מתאפסת על <math>\Omega\backslash P_2</math>

ניתן להבחין כי לכל <math>\Sigma\ni A\subseteq P_1</math> מתקיים:

<math>\mu(A)=\mu^+_1(A)-\underbrace{\mu^-_1(A)}_{=0}=\mu^+_1(A)\ge 0</math>

ולכל <math>\Sigma\ni A\subseteq \Omega \backslash P_1</math> מתקיים:

<math>\mu(A)=\underbrace{\mu^+_1(A)}_{=0}-\mu^-_1(A)=-\mu^-_1(A)\le 0</math>

כלומר <math>P_1</math> קבוצה חיובית ו-<math>\Omega\backslash P_1</math> קבוצה שלילית. נובע מכך כי <math>P_1,\Omega \backslash P_1</math> הוא פירוק לפי האן, ובאופן דומה גם <math>P_2,\Omega \backslash P_2</math> הוא פירוק לפי האן. בגלל שפירוק לפי האן הוא יחיד עד כדי קבוצות ממידה אפס, מתקיים <math>\mu(P_1\Delta P_2)=0</math>. מכאן נובע כי לכל <math>A\in\Sigma</math> מתקיים כי:

<math>\mu^+_1(A)=\mu(A\cap P_1)=\mu(A\cap P_2)=\mu^+_2(A)</math>

כאשר השוויונות הימני והשמאלי הם לפי הגדרה והשוויון האמצעי נובע מהיותן של <math>P_1,P_2</math> שונות עד כדי קבוצה ממידה אפס. הדבר נכון לכל <math>A\in\Sigma</math>, לכן <math>\mu^+_1=\mu^+_2</math> ובאופן דומה גם <math>\mu^-_1=\mu^-_2</math>.

מכאן שפירוק ז'ורדן הוא יחיד. מ.ש.ל.

== מידת השתנות כוללת ==
בהינתן מידה מסומנת <math>\mu</math> ופירוק ז'ורדן שלה <math>\mu^+,\mu^-</math>, ניתן להגדיר את מידת ההשתנות הכוללת המסומנת ב-<math>|\mu|</math> ומוגדרת להיות <math>|\mu|:=\mu^++\mu^-</math>. בגלל היחידות של פירוק ז'ורדן, מידת ההשתנות הכוללת מוגדרת היטב לכל <math>\mu</math>.

==קישורים חיצוניים==
* [https://proofwiki.org/wiki/Jordan_Decomposition_Theorem Jordan Decomposition Theorem], באתר Pr∞fWiki 

== הערות שוליים ==

קטגוריה:משפטים בתורת המידה