משוואת איינשטיין

משוואת איינשטיין או משוואת השדה של איינשטיין היא המשוואה המרכזית של תורת היחסות הכללית, הקרויה על שם הפיזיקאי אלברט איינשטיין. היא מקשרת בין הגאומטריה של המרחב-זמן, המגולמת בטנזור איינשטיין, לבין החומר במרחב, המבוטא באמצעות טנזור מאמץ-אנרגיה, תוך שימוש בקבוע הכבידה האוניברסלי של ניוטון <math>G</math> ובקבוע של מהירות האור <math>c</math>. מציאת המשוואה הייתה אחד משיאי עבודתו של איינשטיין מפרסום תורת היחסות הפרטית ב-1905 ועד פרסום תורת היחסות הכללית בנובמבר 1915. משוואה זו מתארת קשר בין שדות טנזוריים והיא דיפרנציאלית ולא-ליניארית.

== רקע ==
איינשטיין רצה לתאר את הכבידה כתורת-שדה עם משוואות שדה, בדומה לתורה שפותחה כדי לתאר את הכוח האלקטרומגנטי וההישגים שהיו לה. הרעיון שלו היה להכליל את משוואת פואסון הקלאסית של פוטנציאל כבידה (ניוטוני)
: <math>\ \nabla ^2 \Phi = { 4 \pi G } \rho</math>
לצורה קו-וריאנטית יחסותית, כלומר צורה שאינה תלויה במערכת ייחוס ספציפית (מסקנה של תורת היחסות הפרטית). לאחר שנכשל מתודית בגיבוש תורה סקלרית (בה ישנו רכיב שדה יחיד) ובגיבוש תורה וקטורית (בה ישנם ארבעה רכיבי שדה, בדומה לתורה האלקטרומגנטית), פנה לחפש תורה טנזורית, בה לשדה יש 16 רכיבים (בפועל, תחת הדרישה שהטנזור יהיה סימטרי, ישנם 10 רכיבים בלתי-תלויים לכל היותר).

== מרכיבי המשוואה ==
===צד הגאומטריה===
איינשטיין תיאר את שדה הגרביטציה כשדה מטריקה, כלומר טנזור סימטרי בארבעה ממדי מרחב-זמן, <math>g_{\mu \nu}</math>. מטריקה זו מגדירה את העקמומיות של המרחב-זמן.
באמצעות אותה המטריקה ניתן להגדיר את טנזור ריצ'י וסקלר ריצ'י ומהם מרכיבים את טנזור איינשטיין <math> G_{\mu \nu} </math>:
:<math> G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - {g_{\mu \nu} R \over 2} </math>

===צד החומר===
החומר (כל חומר) נכנס למשוואה איינשטיין דרך טנזור המאמץ-אנרגיה, גם הוא טנזור סימטרי בארבעה ממדי מרחב-זמן, המסומן <math>\ T_{\mu \nu}</math>. רכיביו מתארים את צפיפות האנרגיה (כלומר מסה), צפיפות התנע, לחץ ומאמץ בכל נקודה במרחב. לחומרים שונים תרומות שונות לטנזור זה; המודלים הפשוטים ביותר מתארים ואקום, מסה נקודתית, גז, אבק, קרינה ועוד.

[[טנזור מאמץ-אנרגיה יחסותי ורכיביו]]

== המשוואה ==

כאשר בצד השמאלי יש רק גדלים שקשורים לגאומטריה של המרחב ובצד הימני של המשוואה יש טנזור (טנזור צפיפות האנרגיה) שמכיל מידע על החומר, משוואת איינשטיין מאפיינת את הקשר ביניהם:
:<math>G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu}</math>
זו משוואה טנזורית שבה כל רכיב הוא למעשה משוואה. לטנזורים במרחב-זמן יש 4x4=16 רכיבים, אך מאחר שהם סימטריים יש בפועל רק 10 רכיבים, וביניהם 4 הניתנים לשינוי חופשי באמצעות בחירת מערכת קואורדינטות. זוהי משוואה דיפרנציאלית לא ליניארית אך מוצגת היטב וניתנת לפתרון.
למשוואת-שדה זו ידועים מספר פתרונות, בין המפורסמים מהם: פתרון של ואקום, פתרונות של חור שחור, ופתרונות של גלי כבידה.

== הקבוע הקוסמולוגי ==
מאוחר יותר גילה איינשטיין שיש משוואה כללית יותר המקיימת את הדרישות התאוריות שהעלה. משוואה זו היא המשוואה הקודמת בתוספת תיקון שרירותי הידוע בשם "הקבוע הקוסמולוגי". המשוואה המלאה, הכוללת את הקבוע הקוסמולוגי <math>\Lambda</math>, היא
:<math>G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}</math>
איינשטיין הוסיף את הקבוע הקוסמולוגי למשוואת השדה כיוון שבתקופתו הייתה נטייה להאמין שהיקום סטטי במהותו, ואינו מתפשט או מצטמצם בגודלו. אולם, מרגע שהאסטרונום אדווין האבל גילה שהיקום מתפשט, ב-1929, הבין איינשטיין שהקבוע הקוסמולוגי היה סתם תיקון אד הוק, וכינה אותו "השטות הגדולה ביותר בחיי" ("biggest blunder of my life").

משהצטברו בסוף שנות ה-90 של המאה ה-20 עדויות לקיומה של אנרגיה אפלה ביקום, הוצע להשיב את הקבוע הקוסמולוגי למשוואות כדי לתאר את קיומה.

== פיתוח המשוואה ==

את משוואות השדה אפשר גם להסיק באופן ריגורוזי באמצעות עקרון הפעולה, לשם כך צריך לחשב את הפעולה של מרחב שיכול להתעקם ולעשות וריאציה על <math>\ S = S_H + S_M + S_{\Lambda}</math>
כאשר S<sub>M</sub> היא הפעולה של החומר (מוואריאציה מקבלים את טנזור צפיפות האנרגיה), <math>S_\Lambda </math> הוא פעולת האנרגיה האפלה (מוואריאציה עליה מקבלים את הקבוע הקוסמולוגי) ואילו S<sub>H</sub> היא הפעולה של מרחב עקום. המתמטיקאי דויד הילברט חישב את הפעולה של מרחב עקום ומצא שהיא שווה ל
: <math>\ S_H = \int{ d^4 x \sqrt{ - \det g } R }</math>
כאשר R הוא סקלר ריצ'י המבטא את עקמומיות המרחב. מוואריאציה על פעולה זו (שנקראת "פעולת הילברט") מקבלים את אגף שמאל של משוואת השדה של איינשטיין.

ישנו פיתוח אחר של משוואת איינשטיין

=== שלב ראשון: טנזור איינשטיין ===
משוואת איינשטיין נכתבת בצורה:

<math>G_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}</math> (1)

יחסות כללית עולה בקנה מידה אחד אם שימור לוקאלי של האנרגיה והתנע, הביטוי המתמטי לכך הוא:

<math>\nabla_{\mu}T^{\mu\nu}={T^{\mu\nu}}_{;\mu}=0</math> (2)

לכן נחפש טנזור איינשטיין <math>G^{\mu\nu}</math> אשר מקיים את התנאי:

<math>\nabla_{\mu}G^{\mu\nu}={G^{\mu\nu}}_{;\mu}=0</math> (3)

נתחיל בזהות ביאנקי הדפרנציילית:

<math>{R}_{\rho\sigma\mu\nu;\lambda}+{R}_{\rho\sigma\lambda\mu;\nu}+{R}_{\rho\sigma\nu\lambda;\mu} = 0</math> (4)

נכפיל את שני צידי המשוואה ב<math>g^{\rho\mu}</math>:

<math>{R^\mu}_{\sigma\mu\nu;\lambda}+{R^\mu}_{\sigma\lambda\mu;\nu}+g^{\rho\mu}{R}_{\rho\sigma\nu\lambda;\mu}=0</math>

שווה ל:

<math>{R}_{\sigma\nu;\lambda}-{R^\mu}_{\sigma\mu\lambda;\nu}-g^{\rho\mu}{R}_{\sigma\rho\nu\lambda;\mu}=0</math>

נכפיל את שני צידי המשוואה ב<math>g^{\sigma\nu}</math>:

<math>{R^\nu}_{\nu;\lambda}-
{R^\nu}_{\lambda;\nu}-
g^{\rho\mu}{R^\nu}_{\rho\nu\lambda;\mu}=0</math>

שווה ל:

<math>{R}_{;\lambda}-
{R^\nu}_{\lambda;\nu}-
g^{\rho\mu}{R}_{\rho\lambda;\mu}=0</math>

<math>{R}_{;\lambda}-
{R^\nu}_{\lambda;\nu}-
{R^\mu}_{\lambda;\mu}=0</math>

<math>{R}_{;\lambda}-2{R^\mu}_{\lambda;\mu}=0</math>

<math>{R^\mu}_{\lambda;\mu}-\frac{1}{2}{R}_{;\lambda}=0</math>

נכפיל את שני צידי המשוואה ב<math>g^{\nu\lambda}</math>:

<math>{R^{\mu\nu}}_{;\mu}-
\frac{1}{2}g^{\nu\lambda}{R}_{;\lambda}=0</math>

<math>{R^{\mu\nu}}_{;\mu}-
\frac{1}{2}g^{\nu\mu}{R}_{;\mu}=0</math>

<math>\Bigl({R^{\mu\nu}}-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}{R}\Bigr)_{;\mu}=0</math> (5)

נגדיר טנזור איינשטיין <math>G^{\mu\nu}</math> כך:

<math>G^{\mu\nu} = {R^{\mu\nu}}-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}{R}</math>

טנזור איינשטיין מקיים את התנאי (לפי משוואה 5):

<math>\nabla_{\mu}G^{\mu\nu}={G^{\mu\nu}}_{;\mu}=0</math>

לכן טנזור איינשטיין הוא הטנזור שנמצא בצד השמאלי של משוואת איינשטיין.

=== שלב שני: קבוע הכבידה של איינשטיין ===
כעת נחפש את הערך הקבוע <math>\kappa</math>, קבוע הכבידה של איינשטיין. משוואת השדה צריכה לשמר את צורת תאורית הכבידה הניוטונית בקרובים של כבידה חלשה, למעשה כדי לפתוח של משוואת השדה נעשה שימוש בתאורית הכבידה הניוטונית תחת הנחת כבידה חלשה.

תאוריית הכבידה של ניוטון מנוסחת בצורתה הכללית ביותר על ידי חוק גאוס הכבידתי. חוק גאוס הכבידתי מקשר בין פטנציאל הכבידה <math>\Phi</math> לבין צפיפות המסה <math>\rho</math>.

<math>\nabla^2\Phi=4\pi G \rho</math> (6)

מסלול של גוף הנופל נפילה חופשית הוא:

<math>\ddot{\vec{x}}=\vec{g}=-\vec{\nabla}\Phi</math>

<math>{d^2 x^i \over dt^2} = -{\partial \Phi \over \partial x^i}</math> (7)

משוואת התנועה ביחסות כללית היא משוואת הגאודזיה שנכתבת כך:

<math>{d^2 x^\sigma \over d\tau^2}+\Gamma^\sigma_{\mu\nu}{dx^\mu \over d\tau}{dx^\nu \over d\tau} = 0</math> (8)

עובר קירוב של מהירויות נמוכות אנו מניחים ש 4-וקטור המהירות הוא:

<math>v^\sigma={dx^\sigma \over d\tau} \approx ( c,0,0,0)</math> (9)

חישב של סמלי כריסופל על ידי שימוש במשוואת התנועה (8) עבור מהירויות נמוכות נותן:

<math>\Gamma^i_{00}=-\frac{1}{c^2}{d^2 x^i \over dt^2}</math>

לפי משוואה 7

<math>\Gamma^i_{00}=\frac{1}{c^2}{\partial \Phi \over \partial x^i}</math> (10)

עבור מהירויות נמוכות טנזור האנרגיה תנע היה שווה ל:

<math>T_{\mu\nu}= \text{diag} (\rho c^2,0,0,0)</math> (11)

אנו מניחים שהכבידה חלשה לכן עקמומיות המרחב זמן גם כן קטן ולכן המטריקה היא:

<math>g_{\mu\nu} \approx \eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}</math> (12)

כאשר <math>h_{\mu\nu}</math> הוא ערך קטן מאוד.

נניח גם כן שהמטריקה אינה תלויה בזמן (כי המהירויות הם מאוד נמוכות) לכן:

<math>\partial _0 g_{\mu\nu}=0 \Rightarrow \partial_0 \Gamma^\sigma_{\mu\nu}=0</math> (13)

כעת נחשב את טנזור ריצ'י על ידי שימוש במשוואת איינשטיין עבור שלושת ממדי המרחב

<math>G_{ij}=R_{ij}- \frac{1}{2}g_{ij}R=\kappa T_{ij}</math>

לפי משוואה 12 ביטוי זה שווה בקרוב ל:

<math>R_{ij}- \frac{1}{2}\eta_{ij}R=0</math>

<math>R_{ij}=\frac{1}{2}R\delta_{ij}</math> (13)

נחשב את סקלר ריצ'י

<math>R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\approx\eta^{\mu\nu}R_{\mu\nu}=-R_{00}+\delta^{ij}R_{ij}</math>

נציב את משוואה 13

<math>R\approx-R_{00}+\delta^{ij}\frac{1}{2}R\delta_{ij}=-R_{00}+3\frac{1}{2}R</math>

לכן:

<math>R_{00}=\frac{1}{2}R</math> (14)

מתוך המשוואות 13 ו- 14

<math>R_{\mu\nu}=\frac{1}{2}R\delta_{\mu\nu}</math> (15)

כעת נחשב את <math>R_{00}</math> לפי נוסחת טנזור ריצ'י

<math>R_{00}={R^{\mu}}_{0\mu0}={R^{0}}_{000}+{R^{i}}_{0i0}={R^{i}}_{0i0}</math>

טנזור רימן הוא:

<math>{R^{\rho}}_{\sigma\mu\nu}=\partial_\mu\Gamma^\rho_{\sigma\nu}-\partial_\nu\Gamma^\rho_{\sigma\mu}+\Gamma^\alpha_{\sigma\nu}\Gamma^\rho_{\alpha\mu}-\Gamma^\alpha_{\sigma\mu}\Gamma^\rho_{\alpha \nu}</math>

לכן עובר <math>R_{00}</math>:

<math>{R^{i}}_{0 i0}=\partial_i\Gamma^i_{00}-\partial_0\Gamma^i_{0 i}+\Gamma^\alpha_{00}\Gamma^i_{\alpha i}-\Gamma^\alpha_{0 i}\Gamma^i_{\alpha 0}</math>

מתוך ההנחה שהכבידה חלשה מאוד (משוואה 12) סמלי קריסטופל קטנים לכן ניתן לבצע קירוב לביטוי זה

<math>{R^{i}}_{0 i0}=\partial_i\Gamma^i_{00}-\partial_0\Gamma^i_{0 i}</math>

מתוך ההנחה שהמטריקה אינה תלויה בזמן (משוואה 13) ניתן לכתוב ביטוי זה כך:

<math>{R^{i}}_{0 i0}=\partial_i\Gamma^i_{00}</math>

לכן:

<math>R_{00}=\partial_i \Bigl(\frac{1}{c^2}{\partial \Phi \over \partial x^i}\Bigr)=\frac{1}{c^2}\nabla^2\Phi</math>

נציב את משוואה 6 ונקבל:

<math>R_{00}=\frac{1}{c^2}4 \pi G \rho</math> (16)

נכתוב את משוואת איינשטיין:

<math>G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}- \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\kappa T_{\mu\nu}</math>

לפי הנחת הכבידה החלשה (משוואה 12), והצבה של משוואה 15, ניתן לכתוב משוואת איינשטיין כך:

<math>\frac{1}{2}R\delta_{\mu\nu}- \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}R=\kappa T_{\mu\nu}</math>

שווה ל:

<math>\frac{1}{2}R \text{ diag}(1,1,1,1) - \frac{1}{2}R \text{ diag}(-1,1,1,1)R=\kappa \frac{1}{2}R \text{ diag}(\rho c^2,0,0,0)</math>

לכן המשוואה איינשטיין עבור <math>\mu=\nu=0</math> היא:

<math>R=\kappa\rho c^2</math>

נציב את משוואה 14 ונקבל:

<math>2R_{00}=\kappa\rho c^2</math>

נציב את משוואה 16 ונקבל:

<math>2\frac{4 \pi G \rho}{c^2}=\kappa\rho c^2</math>

לכן קבוע הכבידה של איינשטיין הוא:

<math>\kappa= \frac{8 \pi G}{c^4}</math>

<math>\kappa=2.07664122\cdot10^{-43}sec^2kg^{-1}m^{-1}</math>

לכן משוואת השדה של איינשטיין היא:

<math>R_{\mu\nu}- \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R= \frac{8 \pi G}{c^4}T_{\mu\nu}</math>

==קישורים חיצוניים==
* 

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:אלברט איינשטיין
קטגוריה:תורת היחסות הכללית
קטגוריה:כבידה
קטגוריה:פיזיקה תאורטית