ממוצע

במתמטיקה, ממוצע הוא מספר שמחושב מתוך סדרה סופית של מספרים, ומשמש כמדד מיקום מרכזי. השיטה הנפוצה ביותר, שאליה מתכוונים לרוב כאשר אומרים "ממוצע", היא הממוצע החשבוני, והוא מחושב כסכום המספרים מחולק במספר במספרים. לדוגמה, הממוצע החשבוני של המספרים 5,6,7,8,4 הוא הסכום שלהם 4+5+6+7+8 = 30, המחולק במספרם (5), כלומר 6 = 5÷30. אם כך, הממוצע החשבוני של מספרים אלו הוא 6.

פרט לממוצע החשבוני, קיימים סוגים נוספים של ממוצעים כגון ממוצע גאומטרי, ממוצע הרמוני. כל ממוצע מדגיש היבט שונה של סדרת הנתונים, והבחירה בממוצע המתאים תלויה בהקשר ובמטרת הניתוח.

==תכונות כלליות==
ישנן כמה תכונות שמתקיימות לכל הממוצעים:
*הממוצע קטן מהמספר הגדול ביותר וגדול מהמספר הקטן ביותר (אלא אם כן כולם שווים, ואז גם הוא שווה להם).
*מונוטוניות ורציפות: הממוצע צריך להיות פונקציה עולה ורציפה בכל אחד מהמשתנים. כלומר, אם מגדילים את אחד המספרים באופן רציף גם הממוצע גדל באופן רציף.
*סימטריות: אין חשיבות לסדר המספרים.
*הומוגניות: הכפלת כל המספרים במספר מסוים, גוררת הכפלה של הממוצע באותו מספר.

== ממוצע חשבוני (ממוצע אריתמטי) ==

הממוצע החשבוני <math> \bar{x}</math> של סדרת מספרים <math>x_1, x_2, \ldots x_n \,</math> הוא ה"ממוצע" המקובל והנפוץ ביותר' ומוגדר כסכום המספרים בסדרה, מחולק באורך הסדרה <math>n</math>, כלומר:

<math display="block"> \bar{x} = {\sum_{i=1}^n{x_i} \over n} = \frac{x_1 + x_2 + \dotsb + x_n}{n} </math>

הממוצע של סדרת ערכים מאופיין בכך שסכום ריבועי המרחקים שלו מן הערכים בסדרה הוא הקטן ביותר. הממוצע החשבוני של הערכים הוא מדד למרכז הנתונים אך אינו משקף את אופן התפלגותם. דוגמה: לערכים {1,2,2,2,3,9}, הממוצע החשבוני הוא 3.17, אבל חמישה מתוך ששת הערכים קטנים ממנו. כדי לקבל מידע על ה"פיזור" של המספרים, משתמשים בסטיית תקן.

== ממוצע הנדסי (ממוצע גאומטרי) ==

ממוצע הנדסי של סדרת ערכים חיוביים הוא מכפלת הערכים, בחזקת המספר ההופכי למספר הערכים:

<math display="block"> \bar{x} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n}</math>
לממוצע ההנדסי תכונה דומה לזו של הממוצע החשבוני: מכפלתה של קבוצת מספרים אינה משתנה אם מחליפים כל אחד מהמספרים במכפלה בממוצע ההנדסי של המספרים שבקבוצה.

==ממוצע הרמוני==

ממוצע הרמוני של סדרת ערכים מוגדר בתור:

<math display="block"> \bar{x} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} = \frac{n} </math>

כאשר הערכים הנתונים חיוביים, הממוצע ההרמוני יכול להיות שווה לממוצעים החשבוני וההנדסי או נמוך מהם אך לא גבוה מהם.

דוגמה לבעיה שלפתרונה משמש ממוצע הרמוני: אדם נסע מתל אביב לחיפה במהירות של 90 קמ"ש, ואת הדרך חזרה עשה במהירות של 60 קמ"ש. מה הייתה מהירותו הממוצעת? ממוצע אריתמטי של המהירויות יוביל אותנו לתשובה 75 קמ"ש, אך תשובה זו שגויה, שכן הנסיעה חזרה ארכה זמן רב יותר. לשם הבהרת הבעיה, נניח שהמרחק בין שתי הערים הוא 90 ק"מ. את הדרך לשם עשה האיש בשעה, ואת הדרך חזרה עשה בשעה וחצי. בשעתיים וחצי עבר האיש מרחק של 180 ק"מ, ולכן מהירותו הממוצעת היא 72 קמ"ש. אל תוצאה זו יוביל אותנו הממוצע ההרמוני.

דוגמה נוספת היא חיבור נגדים במקביל. בהינתן מספר נגדים המחוברים במקביל, ההתנגדות השקולה שלהם היא הממוצע ההרמוני של ערכי התנגדויותיהם, חלקי מספר הנגדים.

== ממוצע לוגריתמי ==

בהינתן שני מספרים חיוביים <math>a,b</math> ניתן לחשב את הממוצע הלוגריתמי שלהם:

<math>x_\text{LM}=\frac{a - b}{\ln a - \ln b}</math>

ניתן להוכיח כי הממוצע הלוגריתמי של שני המספרים תמיד גדול מהממוצע הגאומטרי שלהם וקטן מהממוצע החשבוני שלהם, בכך הממוצע הלוגריתמי מהווה ממוצע ביניים בין שניהם.

לממוצע הלוגריתמי שימושים במתמטיקה, בפיזיקה ובהנדסה, ביניהם בהקשר של מעבר חום ומסה.

==שורש ממוצע הריבועים==

שורש ממוצע הריבועים (או ממוצע RMS) כפי ששמו מרמז, הוא השורש של ממוצע (חשבוני) של ריבועי הערכים:

<math>x_{\mathrm{rms}} = \sqrt = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n}</math>
לממוצע ההנדסי תכונה דומה לזו של הממוצע החשבוני: מכפלתה של קבוצת מספרים אינה משתנה אם מחליפים כל אחד מהמספרים במכפלה בממוצע ההנדסי של המספרים שבקבוצה.

==ממוצע הרמוני==

ממוצע הרמוני של סדרת ערכים מוגדר בתור:

<math display="block"> \bar{x} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} = \frac{n} </math>

כאשר הערכים הנתונים חיוביים, הממוצע ההרמוני יכול להיות שווה לממוצעים החשבוני וההנדסי או נמוך מהם אך לא גבוה מהם.

דוגמה לבעיה שלפתרונה משמש ממוצע הרמוני: אדם נסע מתל אביב לחיפה במהירות של 90 קמ"ש, ואת הדרך חזרה עשה במהירות של 60 קמ"ש. מה הייתה מהירותו הממוצעת? ממוצע אריתמטי של המהירויות יוביל אותנו לתשובה 75 קמ"ש, אך תשובה זו שגויה, שכן הנסיעה חזרה ארכה זמן רב יותר. לשם הבהרת הבעיה, נניח שהמרחק בין שתי הערים הוא 90 ק"מ. את הדרך לשם עשה האיש בשעה, ואת הדרך חזרה עשה בשעה וחצי. בשעתיים וחצי עבר האיש מרחק של 180 ק"מ, ולכן מהירותו הממוצעת היא 72 קמ"ש. אל תוצאה זו יוביל אותנו הממוצע ההרמוני.

דוגמה נוספת היא חיבור נגדים במקביל. בהינתן מספר נגדים המחוברים במקביל, ההתנגדות השקולה שלהם היא הממוצע ההרמוני של ערכי התנגדויותיהם, חלקי מספר הנגדים.

== ממוצע לוגריתמי ==

בהינתן שני מספרים חיוביים <math>a,b</math> ניתן לחשב את הממוצע הלוגריתמי שלהם:

<math>x_\text{LM}=\frac{a - b}{\ln a - \ln b}</math>

ניתן להוכיח כי הממוצע הלוגריתמי של שני המספרים תמיד גדול מהממוצע הגאומטרי שלהם וקטן מהממוצע החשבוני שלהם, בכך הממוצע הלוגריתמי מהווה ממוצע ביניים בין שניהם.

לממוצע הלוגריתמי שימושים במתמטיקה, בפיזיקה ובהנדסה, ביניהם בהקשר של מעבר חום ומסה.

==שורש ממוצע הריבועים==

שורש ממוצע הריבועים (או ממוצע RMS) כפי ששמו מרמז, הוא השורש של ממוצע (חשבוני) של ריבועי הערכים:

<math>x_{\mathrm{rms}} = \sqrt