מעגל LC

דיאגרמת מעגל LC
מעגל LC (משמאל) המורכב מסליל וקבל המשמש כמעגל מכוון במקלט עבור שעון רדיו
מעגל LC, הנקרא גם מעגל תהודה, או מעגל מכוון, הוא מעגל חשמלי המורכב מסליל השראה (ממשרן), המיוצג על ידי האות L, וקבל, המיוצג על ידי האות C, המחוברים יחדיו. המעגל יכול לשמש מהוד חשמלי, אנלוגי חשמלי של מזלג מכוון, לאחסן אנרגיה המתנדנדת בתדר התהודה של המעגל.

מעגלי LC משמשים להפקת אותות בתדר מסוים, או לבחירת אות בתדר מסוים מתוך אות מורכב יותר; פונקציה זו נקראת מסנן פס . מעגלים אלו הם רכיבי מפתח במכשירים אלקטרוניים רבים, במיוחד במכשירי רדיו, המשתמשים במעגלים כגון מתנדים, מסננים, מקלטים ומערבלי תדרים.

מעגל LC הוא מודל אידיאלי מכיוון שאינו מסתמך על פיזור של אנרגיה עקב התנגדות. כל יישום מעשי של מעגל LC יכלול אובדן הנובע מהתנגדות (קטנה אך לא אפס) הרכיבים והכבלים. המטרה של מעגל LC היא להתנדנד עם שיכוך מינימלי, כך שההתנגדות נעשית נמוכה ככל האפשר. עבור מעגל המשלב התנגדות, ראה מעגל RLC.

== טרמינולוגיה ==
מעגל ה-LC, המורכב משני האלמנטים שתוארו מעלה, הוא הסוג הפשוט ביותר של רשת קבל-משרן (או רשת LC ). הוא מכונה גם מעגל LC מסדר שני, כדי להבדיל אותו מרשתות LC מסובכות יותר (מסדר גבוה יותר) עם יותר משרנים וקבלים. רשתות LC כאלה עם יותר משתי ריאקטנסים עשויות להיות בעלות יותר מתדר תהודה יחיד.

סדר הרשת הוא סדר הפונקציה הרציונלית המתארת את הרשת במשתנה התדר המורכב . בדרך כלל, הסדר שווה למספר האלמנטים L ו-C במעגל ואינו יכול לחרוג ממספר זה.

== אופן פעולה ==
החשמלי שלו והמשרן L אוגר אנרגיה בשדה המגנטי שלו ( <span style="color:green;">ירוק</span> ) . האנימציה מציגה את המעגל בנקודות שונות בתנודה. התנודות מואטות; במעגל מכוון בפועל המטען עשוי להתנודד הלוך ושוב אלפי עד מיליארדי פעמים בשנייה.]]
מעגל LC, המתנודד בתדר התהודה הטבעי שלו, יכול לאגור אנרגיה חשמלית (ראה אנימציה). קבל אוגר אנרגיה בשדה החשמלי ( ) שבין הלוחות שלו, בהתאם למתח עליו, ומשרן אוגר אנרגיה בשדה המגנטי שלו ( ), בהתאם לזרם שדרכו.

אם משרן מחובר עם קבל טעון, המתח על פני הקבל יניע זרם דרך המשרן, וייווצר סביבו שדה מגנטי. המתח על פני הקבל ירד לאפס כאשר המטען זרם. בשלב זה, האנרגיה האצורה בשדה המגנטי של הסליל משרה מתח על פני הסליל, מכיוון שמשרנים מתנגדים לשינויים בזרם. המתח המושרה הזה גורם לזרם להתחיל לטעון מחדש את הקבל במתח בקוטביות הפוכה למטען המקורי שלו. בשל חוק פאראדיי, ה-EMF שמניע את הזרם נגרם כתוצאה מירידה בשדה המגנטי, ולכן האנרגיה הנדרשת לטעינת הקבל מופקת מהשדה המגנטי. כאשר השדה המגנטי יתפזר לחלוטין הזרם ייפסק והמטען יישמר שוב בקבל, בקוטביות הפוכה כמו קודם. אז המחזור יתחיל שוב, כשהזרם זורם בכיוון ההפוך דרך המשרן.

המטען זורם הלוך ושוב בין הלוחות של הקבל, דרך המשרן. האנרגיה מתנדנדת קדימה ואחורה בין הקבל למשרן עד שהתנגדות פנימית (אם לא מתחדשת ממעגל חיצוני) גורמת לתנודות לגווע. פעולת המעגל המכוונן, המכונה מתמטית מתנד הרמוני, דומה למטוטלת המתנדנדת קדימה ואחורה, או מים המתנפצים קדימה ואחורה במיכל; מסיבה זו המעגל נקרא גם מעגל טנק .<ref name="Rao"></ref> התדר הטבעי (כלומר, התדר שבו הוא יתנדנד כאשר הוא מבודד מכל מערכת אחרת, כמתואר לעיל) נקבע על פי ערכי הקיבול וההשראות. ברוב היישומים המעגל המכוון הוא חלק ממעגל גדול יותר אשר מחיל עליו זרם חילופין, ומניע תנודות מתמשכות. אם תדר הזרם המופעל הוא תדר התהודה הטבעי של המעגל ( תדר טבעי <math>f_0\,</math> להלן), תתרחש תהודה, וזרם הנעה קטן יכול לעורר אמפיטודה גבוהה עבור מתחים וזרמים מתנודדים.

== אפקט תהודה ==
תהודה מתרחשת כאשר מעגל LC מונע ממקור חיצוני בתדר זוויתי שבו התגובה האינדוקטיבית והקיבולית שוות בגודלן. התדר שבו מתקיים שוויון נקרא תדר התהודה. תדר התהודה של מעגל LC הוא

: <math>\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},</math>

כאשר הוא השראות ביחידות הנרי, ו- הוא הקיבול ביחידות פאראדי . לתדר הזוויתי יש יחידות של רדיאנים לשנייה.

התדר המקביל ביחידות הרץ הוא

: <math>f_0 = \frac{\omega_0}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}.</math>

== יישומים ==
לאפקט התהודה של מעגל ה-LC יש יישומים חשובים רבים במערכות עיבוד אותות ותקשורת.

* היישום הנפוץ ביותר של מעגלי טנקים הוא כוונון משדרי ומקלטי רדיו. לדוגמה, כאשר מכוונים רדיו לתחנה מסוימת, מעגלי ה-LC מוגדרים בתהודה עבור תדר גל נושא.
* שרשור מעגלי תהודה יוצר הגדלת מתח .
* מעגל תהודה מקבילי יוצר הגדלה של זרם .
* מעגל תהודה מקבילי יכול לשמש כעכבת עומס (Z) במעגלי מוצא של מגברי RF. בשל עכבה גבוהה, העוצמה של המגבר הוא מקסימלי בתדר התהודה.
* מעגלים תהודה מקבילים וסדרתיים משמשים בחימום השראתי .

מעגלי LC מתנהגים כמו מהודים אלקטרוניים, שהם מרכיבי מפתח ביישומים רבים:

* מגברים
* מתנדים
* מסננים
* מקלטים
* מיקסרים
* דיסקרימינטור פוסטר-סילי
* כרטיסים ללא מגע
* טאבלטים גרפיים
* תגי אבטחה

== פתרון תחום זמן ==
=== חוקי קירכהוף ===
על פי חוק המתח של קירכהוף, המתח על פני קבל בתוספת המתח על פני המשרן חייב להיות שווה לאפס:

: <math>V_C + V_L = 0.</math>

באופן דומה, לפי חוק הזרמים של קירכהוף, הזרם דרך הקבל שווה לזרם דרך המשרן:

: <math>I_C = I_L.</math>

מהיחסים המכוננים של מרכיבי המעגל, אנחנו גם יודעים כי

: <math>\begin{align}
 V_L(t) &= L \frac{\mathrm{d}I_L}{\mathrm{d}t}, \\
 I_C(t) &= C \frac{\mathrm{d}V_C}{\mathrm{d}t}.
\end{align}</math>

=== משוואה דיפרנציאלית ===
שינוי הנוסחה מניב את המשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני הבאה

: <math>\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}I(t) + \frac{1}{LC} I(t) = 0.</math>

כאשר הפרמטר , התדר הזוויתי של התהודה, מוגדר כ

: <math>\omega_0 = \frac{1}\sqrt{LC}.</math>

שימוש בו יכול לפשט את המשוואה הדיפרנציאלית:

: <math>\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}I(t) + \omega_0^2 I(t) = 0.</math>

טרנספורמצית לפלס הקשורה היא

: <math>s^2 + \omega_0^2 = 0,</math>

לכן

: <math>s = \pm j \omega_0,</math>

כאשר היא היחידה המרוכבת .

=== פתרון ===
לפיכך, הפתרון המלא למשוואת הדיפרנציאל הוא

: <math>I(t) = Ae^{+j \omega_0 t} + Be^{-j \omega_0 t}</math>

וניתן לפתרון עבור ו- על ידי שימוש בתנאי ההתחלה. מכיוון שהאקפוננט מרוכב, הפתרון מייצג זרם חילופין סינוסואידי. מכיוון שהזרם החשמלי הוא גודל פיזיקלי, יש להעריך אותו ממשי. כתוצאה מכך, ניתן להראות שהקבועים ו- חייבים להיות צמודים מרוכבים :

: <math>A = B^*.</math>

יהא

: <math>A = \frac{I_0}{2} e^{+j \phi}.</math>

לכן נקבל,

: <math>B = \frac{I_0}{2} e^{-j \phi}.</math>

בהמשך, נוכל להשתמש בנוסחת אוילר כדי להשיג סינוסואיד אמיתי עם משרעת , תדר זוויתי 

לפיכך, הפתרון המתקבל יהיה

: <math>I(t) = I_0 \cos\left(\omega_0 t + \phi \right),</math>

: <math>V_L(t) = L \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = -\omega_0 L I_0 \sin\left(\omega_0 t + \phi \right).</math>

=== תנאי התחלה ===
התנאי התחלה שיספקו תוצאה הם

: <math>I(0) = I_0 \cos \phi,</math>

: <math>V_L(0) = L \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\Bigg|_{t=0} = -\omega_0 L I_0 \sin \phi.</math>

== מעגל סדרתי ==
מעגל LC סדרה
בתצורה שרשור מעגלי LC, המשרן (L) והקבל (C) מחוברים כסדרה, כפי שמוצג באיור. המתח הכולל על פני המסופים הפתוחים הוא פשוט הסכום של המתח על פני המשרן והמתח על פני הקבל. הזרם למסוף החיובי של המעגל שווה לזרם דרך הקבל והמשרן.

: <math>\begin{align}
 V &= V_L + V_C, \\
 I &= I_L = I_C.
\end{align}</math>

=== תהודה ===
התגובה ההשראתית <math>X_L = \omega L</math> גדלה ככל שהתדר עולה, בעוד התגובה הקיבולת <math>X_C = \frac{1}{\omega C}</math> יורדת עם עליית התדירות (מוגדר כאן כמספר חיובי). בתדר מסוים, שתי התגובות הללו שוות והמתחים על פניהן שווים ומנוגדים בסימן; התדר הזה נקרא תדר התהודה עבור המעגל הנתון.

לפיכך, בעת תהודה,

: <math>\begin{align}
 X_L &= X_C, \\
 \omega L &= \frac{1}{\omega C}.
\end{align}</math>

פתרון עבור , נקבל

: <math>\omega = \omega_0 = \frac{1}\sqrt{LC},</math>

אשר מוגדר כתדר הזוויתי התהודה של המעגל. המרת תדר זוויתי (ברדיאנים לשנייה) לתדר (בהרץ), יהיה

: <math>f_0 = \frac{\omega_0}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}.</math>

בתצורת סדרה, ו- מבטלים זה את זה. ברכיבים אמיתיים ולא אידיאלים, הזרם מתנגד, בעיקר על ידי ההתנגדות של פיתולי הסליל. לפיכך, הזרם המסופק למעגל תהודה סדרתי הוא מקסימלי בתהודה.

* בגבול הזרם הוא מקסימלי. עכבת המעגל מינימלית. במצב זה, מעגל נקרא מעגל מקבל <ref>[http://www.qsstudy.com/physics/what-is-acceptor-circuit.html What is Acceptor Circuit].</ref>
* עבור , . לפיכך, המעגל הוא קיבולי.
* עבור , . לפיכך, המעגל הוא השראתי.

=== עכבה ===
בתצורת סדרה, התהודה מתרחשת כאשר העכבה החשמלית המרוכבת של המעגל מתקרבת לאפס.

ראשית, העכבה של מעגל LC הסדרתי. העכבה הכוללת ניתנת על ידי סכום העכבות האינדוקטיביות והקיבוליות:

: <math> Z = Z_L + Z_C \;.</math>

ייצוג העכבה האינדוקטיבית כ- ועכבה קיבולית כ- 

: <math> Z(\omega) = j \omega L + \frac{1}{j\omega C} \;.</math>

כתיבת ביטוי זה במכנה משותף מניב

: <math> Z(\omega) = j \left( \frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C} \right) \;.</math>

לבסוף, הגדרת התדר הזוויתי הטבעי כ

: <math> \omega_0 = \frac{1}\sqrt{ L C \,} \,,</math>

העכבה הופכת

: <math> Z(\omega) = j\ L\ \left( \frac{\omega^2 - \omega_0^2}{\omega} \right) = j\ \omega_0 L\ \left( \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \right) \,,</math>

כאשר <math>\, \omega_0 L\ \,</math> נותן את התגובה של המשרן בתהודה.

המונה מרמז שבמגבלה כמו , העכבה הכוללת תהיה אפס, אחרת - לא אפס. לכן מעגל ה-LC הסדרתי, כאשר הוא מחובר בסדרה עם עומס, יפעל כמסנן פס בעל עכבה אפסית בתדר התהודה של מעגל ה-LC.

== מעגל מקבילי ==
מעגל LC מקבילי
כאשר המשרן (L) והקבל (C) מחוברים במקביל כפי שמוצג באיור, המתח על המסופים הפתוחים שווה למתח על פני המשרן וגם למתח על פני הקבל. סך הזרם הזורם למסוף החיובי של המעגל שווה לסכום הזרם הזורם דרך המשרן והזרם שזורם דרך הקבל:

: <math>\begin{align}
 V &= V_L = V_C, \\
 I &= I_L + I_C.
\end{align}</math>

=== תהודה ===
כאשר שווה ל- , שני זרמי הענפים שווים ומנוגדים. הם מבטלים זה את זה כדי לתת זרם מינימלי בקו הראשי (באופן עקרוני, זרם אפס). עם זאת, יש זרם גדול במחזור בין הקבל והמשרן. באופן זה, זרם מחזורי זה הוא אינסופי, אך למעשה הוא מוגבל על ידי ההתנגדות במעגל, במיוחד התנגדות בפיתולי המשרן. מכיוון שהזרם הכולל הוא מינימלי, במצב זה העכבה הכוללת היא מקסימלית.

תדר התהודה ניתן על ידי

: <math>f_0 = \frac{\omega_0}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}.</math>

שימו לב שבכל הענפים, הזרם אינו מינימלי בתהודה, אך כל אחד מהם ניתן בנפרד על ידי חלוקת מתח המקור ( ) בתגובתיות ( ). מכאן על פי חוק אוהם

* ב- , זרם הקו מינימלי. העכבה הכוללת היא מקסימלית. במצב זה מעגל נקרא מעגל דוחה . <ref></ref>
* מתחת ל- , המעגל הוא השראתי.
* מעל , המעגל הוא קיבולי.

=== עַכָּבָּה ===
ניתן ליישם את אותו ניתוח על מעגל ה-LC המקביל. העכבה הכוללת ניתנת לאחר מכן על ידי

: <math>Z = \frac{Z_L Z_C}{Z_L + Z_C},</math>

ולאחר החלפה של ו- 

: <math>Z(\omega) = -j \cdot \frac{\omega L}{\omega^2 LC - 1}.</math>

באמצעות

: <math>\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},</math>

לאחר פישוט נוסף נקבל

: <math>Z(\omega) = -j \left(\frac{1}{C} \right) \left( \frac{\omega}{\omega^2 - \omega_0^2} \right).</math>

נציין כי

: <math>\lim_{\omega \to \omega_0} Z(\omega) = \infty,</math>

עבור כל שאר ערכי - העכבה היא סופית.

לפיכך, מעגל ה-LC המקביל המחובר בסדרה עם עומס יפעל כמסנן פס-בסיס בעל עכבה אינסופית בתדר התהודה של מעגל ה-LC, בעוד שמעגל ה-LC המקביל המחובר במקביל לעומס יפעל כמסנן פס-מעבר .

== ראו גם ==
* מעגל RL
* מעגל RC
* מעגל RLC

== קישורים חיצוניים ==

* [http://www.ibiblio.org/kuphaldt/electricCircuits/AC/AC_6.html#xtocid108300 מטוטלת חשמלית] מאת טוני קופלדט הוא סיפור קלאסי על פעולת טנק LC
* [http://www.tpub.com/neets/book9/34d.htm האופן שבו המעגל המקבילי-LC מאחסן אנרגיה] הוא עוד משאב LC מצוין.

==הערות שוליים==

קטגוריה:דפים עם תרגומים שלא נסקרו
קטגוריה:מעגלים חשמליים