אטום (תורת המידה)

בתורת המידה, אטום הוא קבוצה מדידה שאינה קבוצה ממידה אפס אשר כל תת-הקבוצות המדידות שלה הן קבוצות ממידה שווה לה או ממידה אפס. מבחינה אינטואיטיבית, כשם שאטום בכימיה הוא היחידה הבסיסית שאינה ניתנת לחלוקה, כך גם האטום המתמטי הוא קבוצה שאינה ניתנת לחלוקה (לקבוצות ממידה קטנה יותר).

לאטומים יש חשיבות רבה בתורת המידה, תורת ההסתברות ובפיזיקה, שם הם מייצגים חלקיק נקודתי במרחב.

== הגדרה פורמלית ==
בהינתן מרחב מידה <math>(\Omega, \Sigma,\mu)</math> וקבוצה מדידה <math>A\in\Sigma</math>, הקבוצה <math>A</math> תקרא אטום אם ורק אם מתקיימים התנאים הבאים:<ref></ref>
* <math>\mu(A)>0</math>
* לכל <math>\Sigma\ni B\subseteq A</math> מתקיים כי <math>\mu(B)=\mu(A)</math> או <math>\mu(B)=0</math>

את התנאי האחרון ניתן לנסח באופן שקול:<ref></ref>
* לכל <math>B\in\Sigma</math> מתקיים כי <math>\mu(A\cap B)=0</math> או <math>\mu(A\backslash B)=0</math>

== קבוצות שונות עד כדי מידה אפס ==
בהינתן אטום כלשהו <math>A\in\Sigma</math> וקבוצה מדידה כלשהי <math>B\in\Sigma</math> כך ש-<math>\mu(A\Delta B)=0</math> (הסימון <math>\Delta</math> הוא ההפרש הסימטרי), אזי <math>B</math> עצמה היא אטום ו-<math>\mu(B)=\mu(A)</math>. כלומר, אם מחלקים את המרחב למחלקות שקילות על-פי הפרש סימטרי ממידה אפס, כל הקבוצות במחלקת השקילות של אטום כלשהו, אף הן אטומיות.

יתרה מזאת, אם עבור שני אטומים <math>A,B\in\Sigma</math> מתקיים כי <math>\mu(A\cap B)\ne 0</math>, אז בהכרח <math>\mu(A\Delta B)=0</math> והקבוצות שייכות לאותה מחלקת שקילות. כלומר, זוג אטומים יכולים להחשב "אטומים ייחודיים" אם ורק אם החיתוך שלהם הוא ממידה אפס.

== אטום יחידוני ==
איבר כלשהו <math>x\in\Omega</math> יקרא אטום יחידוני אם ורק אם <math>\left\{x\right\}</math> היא קבוצה מדידה ו-<math>\mu(\left\{x\right\})\ne 0</math>. ניתן להבחין כי אם <math>x</math> הוא אטום יחידוני אז <math>\left\{x\right\}</math> היא אטום. באופן דומה ניתן להגדיר אטום יחידוני להיות אטום שעוצמתו 1 (על פי הגדרה זו האטום היחידוני הוא קבוצה מהצורה <math>\left\{x\right\}</math> ולא <math>x</math> עצמו, וניתן להבין מההקשר האם משתמשים בהגדרה הראשונה או השנייה).

ניתן להוכיח כי עבור המרחב <math>\mathbb{R}^n</math> עם סיגמא-אלגברת בורל ואטום כלשהו <math>A</math> קיים אטום יחידוני <math>x\in A</math>, כלומר <math>\mu(A\backslash \{x\})=0</math>. אטום זה יהיה האטום היחידוני היחיד בתוך <math>A</math>.

=== הוכחה עבור מימד אחד ===
במקרה שבו <math>\Omega= \mathbb{R}</math> ההוכחה מתבצעת באינדוקציה. בסיס האינדוקציה הוא <math>B_0=A</math>. כמובן ש-<math>B_0</math> הוא אטום. לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מגדירים קבוצה חדשה <math>B_n</math> בצורה רקורסיבית (כלומר, על סמך השלב הקודם) ומוכיחים כי היא אטום.

שלב האינדוקציה הוא:
מניחים ש-<math>B_{n-1}</math> הוא אטום, ומחלקים את המרחב למקטעים חצי פתוחים מלמעלה באורך <math>\frac{1}{n}</math>. בגלל ש-<math>B_{n-1}</math> הוא אטום, בהכרח קיים מקטע יחיד אשר חיתוכו עם <math>B_{n-1}</math> אינו ממידה אפס. מסמנים מקטע זה ב-<math>\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right)</math> ומגדירים:<math display="block">. B_n:=B_{n-1}\cap \left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right)</math>בגלל ש-<math>\mu(B_{n-1}\backslash B_n)= 0</math> בהכרח, <math>B_n</math> אף הוא אטום ושווה במידתו ל-<math>A</math>. ממשיכים כך עד אינסוף.

באמצעות הלמה של קנטור ניתן להוכיח כי קיים <math>x\in A</math> כך ש-<math>\bigcap_{n}{B_n}=\{x\}</math>. כמו כן, בגלל תכונות המידה:
<math display="block">\mu(\{x\})=\lim_{n\to\infty}{\mu(B_n)}=\mu(A)</math>
ובכך נמצא אטום יחידוני בתוך ב-<math>A</math>. יחידות נובעת ישירות מתכונות האטום. מ.ש.ל.

ההוכחה עבור <math>\Omega= \mathbb{R}^n</math> כללי דומה להוכחה זו.

== מרחבי מידה חשובים ==
=== מידת דיראק ===

עבור מרחב מדיד <math>(\Omega, \Sigma)</math> ו-<math>x\in\Omega</math> מגדירים את מידת דיראק סביב <math>x</math> המסומנת ב-<math>\delta_x</math> כך שלכל קבוצה מדידה <math>B</math> מתקיים:

<math>\delta_x(B):=\begin{cases}
1&& \text{if } x\in B \\
0 && \text{otherwise}
\end{cases}</math>

מידה זו נחשבת למידה הבסיסית עם אטום יחידוני <math>x</math> ביחס לסיגמא-אלגברה <math>\Sigma</math> (בהנחה ש-<math>\left\{x\right\}</math> קבוצה מדידה), שכן זו המידה עם התומך המינימלי שמכיל את <math>x</math>.

למידת דיראק חשיבות רבה בפיזיקה והיא קשורה קשר הדוק לפונקציית הדלתא של דיראק שמשמשת פיזיקאים לתאר מרחב ובו חלקיק נקודתי.

=== מידה אטומית ===
בהינתן מרחב מידה <math>(\Omega, \Sigma,\mu)</math> המידה <math>\mu</math> תקרא מידה אטומית (או לחלופין אטומית טהורה) אם ניתן לפרק את המרחב <math>\Omega</math> לאטומים זרים עד כדי קבוצה ממידה אפס. כלומר, עבור מידה אטומית קיימים <math>\{A_1,A_2,\dots\}\subseteq \Sigma</math> כך ש:

# <math>\Omega=\bigcup_n{A_n}</math>
# <math>A_n</math> הוא אטום לכל <math>n\in \mathbb{N}</math>
# לכל <math>i,j\in \mathbb{N}</math> כך ש-<math>i\ne j</math> מתקיים כי <math>\mu(A_i\cap A_j)=0</math>

על פי ההגדרה, אם כל האטומים של מידה אטומית הם ממידה סופית, אז המידה היא סיגמא-סופית. יתרה מכך, כל מידה סיגמא-סופית שעבורה כל קבוצה מדידה <math>B\in\Sigma</math> מכילה בתוכה אטום היא בהכרח מידה אטומית.

=== מידה בדידה ===
בהינתן מרחב מידה <math>(\Omega, \Sigma,\mu)</math> המידה <math>\mu</math> תקרא מידה בדידה אם ורק אם קיימת קבוצה מדידה בת-מניה <math>\{a_1,a_2,\dots\}\in\Sigma</math> כך ש-<math>\mu(\Omega \backslash \{a_1,a_2,\dots\})=0</math>.

עבור סיגמא-אלגברת בורל, ניתן להוכיח כי <math>\mu=\sum_i{\omega_i\delta_{a_i}}</math> כאשר <math>\delta_{a_i}</math> היא מידת דיראק סביב <math>a_i</math> ו-<math>\omega_i\in (0,\infty]</math> הן משקולות חיוביות או אינסופיות. כלומר, <math>\mu</math> המוגדרת על סיגמא-אלגברת בורל היא מידה בדידה אם ורק אם היא יכולה להכתב כסכום ממושקל בן-מניה של מידות דיראק.

ניתן להוכיח כי כל מידה אטומית סיגמא-סופית המוגדרת על סיגמא-אלגברת בורל היא מידה בדידה. לחלופין, כל מידה בדידה על סיגמא-אלגברת בורל היא מידה אטומית.

=== מידה אי-אטומית ===
בהינתן מרחב מידה <math>(\Omega, \Sigma,\mu)</math> המידה <math>\mu</math> תקרא מידה אי-אטומית אם ורק אם אין לה אטומים כלל. כלומר, לכל <math>A\in \Sigma</math> המקיים <math>\mu(A)>0</math> קיים <math>\Sigma\ni B\subset A</math> כך ש-<math>0<\mu(B)<\mu(A)</math>.

חשיבותן של מידות אי-אטומיות היא שהן מקיימות את משפט שרפינסקי<ref></ref>: בהינתן מרחב מידה אי-אטומי <math>(\Omega, \Sigma,\mu)</math>, לכל <math>A\in \Sigma</math> המקיים <math>\mu(A)=c\ne 0</math> ולכל <math>b\in [0,c]</math> קיימת קבוצה מדידה <math>\Sigma \ni B\subseteq A</math> כך ש-<math>\mu(B)=b</math>.

מידת לבג היא מידה אי-אטומית.

== ראו גם ==
* מידת דיראק
* מידה סינגולרית
* משפט הפירוק של לבג

== הערות שוליים ==

קטגוריה:תורת המידה