איבר פרובניוס

בתורת המספרים האלגברית, איבר פרובניוס היא איבר מיוחד בחבורת גלואה של הרחבה של שדות מספרים, הנקבע על-פי אידיאל ראשוני בלתי מסועף. את קיומם של איברים מסוג זה הוכיח פרדיננד פרובניוס. משפט הצפיפות של צ'בוטרב מראה שכל איבר בחבורה עשוי להיות איבר פרובניוס, אם בוחרים את הראשוני המתאים.

== הגדרה ==

=== רקע ===

איבר פרובניוס מוגדר עבור הרחבת גלואה K/F של שדות מספרים, בנוכחות אידיאל ראשוני p של חוג השלמים <math>\ O_F</math> של F. האידיאל p מתפרק למכפלה של אידיאלים ראשוניים בחוג השלמים <math>\ O_K</math> של K: 
<math>\ p = P_1^{e_1}\cdots P_g^{e_g}</math>. מכיוון שזו הרחבת גלואה, כל גורמי הסיעוף <math>\ e_i</math> שווים זה לזה. ההנחה שהאידיאל אינו מסועף פירושה שגורמי הסיעוף שווים ל-1, כלומר <math>\ p = P_1\cdots P_g</math>. 

שדה השאריות של F ביחס ל-p הוא חוג המנה <math>\ \bar{F}=O_F/p</math>. זהו שדה סופי, נאמר מסדר q. שדות השאריות ביחס לגורמים <math>\ P_i</math> של p הם <math>\ \bar{K}_i=O_K/P_i</math>: גם כאן, מכיוון שזו הרחבת גלואה, כולם איזומורפיים זה לזה. המימד <math>\ f = [\bar{K}_i:\bar{F}]</math> מקיים <math>\ n = [K:F] = fg</math>.

כל האוטומורפיזמים בחבורת גלואה <math>\ G=\operatorname{Gal}(K/F)</math> שומרים על חוג האיברים השלמים, כקבוצה. חבורת ההרכבה <math>\ G(P_i)</math> של הגורם <math>\ P_i</math> כוללת את האוטומורפיזמים בחבורת גלואה השומרים את P, כלומר, <math>\ G(P_i) = \{\sigma \in G : \sigma(P_i) = P_i\}</math> (כל החבורות <math>\ G(P_i)</math> צמודות זו לזו).

=== הגדרה ===

האיברים בחבורה <math>\ G(P_i)</math> מתאימים לאלו בחבורת גלואה של הרחבת השדות הסופיים <math>\ \bar{K}_i/\bar{F}</math>, וזו האחרונה נוצרת על ידי אוטומורפיזם פרובניוס - פעולת ההעלאה בחזקת q. כך מוגדר איבר פרובניוס - האיבר היחיד של <math>\ G(P_i)</math> המקיים <math>\ \sigma(x) - x^q \in P_i</math>.

=== יחידות ===

לכל אידיאל לא מסועף של K יש איבר פרובניוס יחיד, <math>Fr_{(K/F,P_i)}</math>, כפי שהוגדר לעיל. לכל אידיאל ראשוני לא מסועף <math>p\subset O_F</math>, כל איברי פורובניוס המתאימים לאידיאלים <math>P_i\subset O_K</math> המופיעים בפרוק של <math>pO_K</math> צמודים זה לזה. מכאן שניתן להגדיר מחלקת צמידות ב <math>Gal(K/F)</math> המתאימה לאידיאל <math>p\subset O_F</math>. מחלקת צמידות זאת נקראת מחלקת פרובניוס של <math>\ (K/F,p)</math>.

== דוגמה ==

נתבונן בהרחבה של <math>\ F = \mathbb{Q}</math> על ידי השורשים a ו-b של <math>\ a^2=1+ \sqrt{3}, b^2=1-\sqrt{3}</math>, בהתאמה (המכפלה ab היא שורש של 2-). ההרחבה של <math>\ K = \mathbb{Q}[a,b]</math> מעל F היא הרחבת גלואה ממימד 8, עם חבורת גלואה דיהדרלית, עם איבר <math>\ \sigma</math> מסדר 4 המקיים <math>\ \sigma(a)=b, \sigma(b)=-a</math>, ואיבר <math>\ \tau</math> המקיים <math>\ \tau(a) = a, \tau(b) = -b</math>. 

האידיאל הראשוני <math>\ p=\langle 5 \rangle</math> מתפרק למכפלה <math>\ \langle 5 \rangle = P P'</math> כאשר <math>\ P = \langle 5,ab(a^2-1)-2 \rangle</math> ו- <math>\ P' = \langle 5,ab(a^2-1)+2\rangle</math>. האוטומורפיזם <math>\ \tau</math> מחליף בין האידיאלים, ואילו <math>\ \sigma</math> שומר על שניהם. לכן חבורת ההרכבה של שני האידיאלים היא אותה חבורה - זו הנוצרת על ידי <math>\ \sigma</math>. שדה השאריות <math>\ \bar{F}</math> מסדר 5, וההרחבה <math>\ \bar{K}/\bar{F}</math> היא ממימד 4. אפשר לחשב שאיבר פרובניוס ביחס ל-P הוא <math>\ \sigma</math>, ואיבר פרובניוס ביחס ל-'P הוא <math>\ \sigma^{-1}</math>. 

קטגוריה:תורת המספרים האלגברית