התפלגות בינומית

התפלגות בינומית היא התפלגות בדידה, המתארת את מספר ההצלחות בסדרה של <math>n</math> ניסויי ברנולי בלתי תלויים עם הסתברות הצלחה <math>p</math> בכל אחד. אם <math>X</math> משתנה מקרי בינומי המתאים לסדרת ניסויים שכזו מסמנים <math>X \sim \mathrm{Bin}(n,p)</math>.

== ההתפלגות הבינומית ==
ההתפלגות של משתנה בינומי <math>X \sim \mathrm{Bin}(n,p)</math> היא

<math>p_X(k) = \Pr\left(X=k\right) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}</math>

עבור <math>k=0,1,\ldots,n</math>, ונהוג לסמן את ההסתברות לכישלון בניסוי בודד <math>q=1-p</math>. הסימון <math>\binom{n}{k}</math> מתייחס למקדם הבינומי, שממנו קיבלה ההתפלגות את שמה.

אכן, ההסתברות להצליח בדיוק <math>k</math> פעמים בסדרה של <math>n</math> ניסויי ברנולי עם פרמטר הצלחה <math>p</math> שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות האפשריות של תוצאות שיש בהן <math>k</math> הצלחות ו-<math>n-k</math> כישלונות. מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הסיכוי של סדרה מסוימת (כגון הצלחה-הצלחה-כישלון-כישלון-הצלחה) שווה למכפלה <math>p^k q^{n-k}</math>. לכן ההסתברות הכוללת שווה למספר הדרכים לבחור את <math>k</math> הניסויים המוצלחים מתוך כלל <math>n</math> הניסויים, שהוא המקדם הבינומי <math>\binom{n}{k}</math>, כפול <math>p^k q^{n-k}</math>.

=== סכום ההסתברויות ===
כמו בכל התפלגות, סכום ההסתברויות לכל התוצאות האפשריות הוא 1. אפשר לסכם את ההסתברויות ישירות על ידי נוסחת הבינום: <math>\sum_{k=0}^n {n \choose k}p^k q^{n-k} = (p+q)^n = 1^n = 1</math>.

=== תוחלת ושונות ===
התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא <math>np</math>, והשונות שלו היא <math>npq</math>.

==דוגמה==
מטילים <math>7</math> פעמים מטבע בעל סיכוי ל"עץ" של <math>0.6</math>. נניח שההטלות הן בלתי תלויות זו בזו. אם נסמן את מספר הפעמים בהן התקבל "עץ" ב-<math>X</math> אז <math>X \sim \mathrm{Bin}(7,0.6)</math>. ההסתברות לקבלת "עץ" <math>4</math> פעמים בדיוק היא
<math>\Pr(X=4) = \binom{7}{4} \cdot 0.6^4 \cdot 0.4^3 = 0.290304</math>

==התפלגות בינומית שלילית==

נאמר שמשתנה מקרי <math>X</math> מתפלג בינומית שלילית עם פרמטרים <math>(r,p)</math> אם

<math>p_X(k)=\frac{\Gamma(r+k)}{k!\cdot\Gamma(r)}p^r(1-p)^k</math>

כאשר <math>\Gamma</math> היא פונקציית גמא המרחיבה את מושג העצרת אל המישור המרוכב.

== קשרים להתפלגויות אחרות ==
===סכום של משתנים מקריים בינומיים===
אם <math>X \sim \mathrm{Bin}(n,p)</math> וכן <math>Y \sim \mathrm{Bin}(m,p)</math> הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים, בעלי אותו פרמטר הצלחה <math>p</math> אז <math>X+Y \sim \mathrm{Bin}(n+m,p)</math>, זאת אומרת סכומם של המשתנים המקריים גם כן מתפלג בינומי.

===התפלגות ברנולי===
התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי של התפלגות בינומית כאשר <math>X \sim \mathrm{Bin}(1,p)</math> ונהוג לסמן <math>X \sim \mathrm{Ber}(p)</math>. למעשה, ניתן לראות בכל התפלגות בינומית Bin(n, p) כסכום של <math>n</math> התפלגויות ברנולי בלתי תלויות שלכולן אותה הסתברות <math>p</math>.

===קירוב על ידי התפלגות פואסון===
ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי <math>n</math> גדולים מאוד וערכי <math>p</math> קטנים מאוד על ידי שימוש בהתפלגות פואסון עם פרמטר <math>\lambda = np</math>. באופן פורמלי, אם <math>\{X_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרת משתנים מקריים המתפלגים <math>X_n \sim \mathrm{Bin}\left(n,\frac{\lambda}{n}\right)</math> אז <math>\lim_{n \to \infty} \Pr(X=k) = \Pr(Y=k)</math> כאשר <math>Y \sim \mathrm{Pois}(\lambda)</math>.

===קירוב על ידי התפלגות נורמלית===
אם <math>n</math> גדול מספיק חוסר הסימטריה שבהתפלגות לא יהיה גדול, במקרה זה נוכל לקרב את ההתפלגות הבינומית על ידי ההתפלגות הנורמלית <math>X \sim N(np,np(1-p))</math>. כשמשתמשים בהתפלגות הנורמלית על מנת לקרב התפלגות בינומית, נהוג להשתמש בתיקון רציפות על מנת לשפר את איכות הקירוב.

== התפלגויות קשורות ==
{| class="wikitable"
|-
! !! עם החזרה !! בלי החזרה
|-
| מספר הצלחות מתוך מספר הוצאות || התפלגות בינומית || התפלגות היפרגאומטרית
|-
| מספר הוצאות עד מספר הצלחות || התפלגות בינומית שלילית || התפלגות היפרגאומטרית שלילית
|}

== ראו גם ==
* תיבת גלטון

== קישורים חיצוניים ==

* 
* 

בינומית