מרחב Lp

באנליזה מתמטית, מרחבי L<sup>p</sup> הם מרחבי פונקציות על מרחב מידה, המוגדרים על ידי הכללה טבעית של נורמות-p של מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים. הם מהווים מחלקה חשובה של דוגמאות למרחבי בנך ולמרחבים וקטוריים טופולוגיים. יש להם שימושים בפיזיקה, סטטיסטיקה, כלכלה, הנדסה ובתחומים אחרים. לעיתים הם קרויים מרחבי לבג, על שמו של אנרי לבג.

== מרחבי l<sup>p</sup><sub>n</sub> מממד סופי==

הנורמה האוקלידית על המרחב האוקלידי <math>\mathbb{R}^n</math> היא זו המושרית מן המכפלה הפנימית הסטנדרטית: האורך של וקטור <math>x=\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)</math> נתון על ידי <math>\|x\|_2=\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)^{1/2}</math>.

אך זוהי בהחלט לא הדרך היחידה להגדיר 'אורך' ב-<math>\mathbb{R}^n</math>. אם <math>p \ge 1</math> הוא מספר ממשי, נגדיר את נורמת <math>{\ell}^p</math> של וקטור <math>x</math> להיות

:<math>\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p\right)^{1/p}</math>

(ולכן נורמת <math>{\ell}^2_n</math> היא הנורמה האוקלידית המוכרת, בעוד שהמרחק בנורמת <math>{\ell}^1_n</math> ידוע בתור מטריקת מנהטן).

ניתן גם להגדיר נורמה ל-<math>p = \infty</math> על ידי

:<math>\|x\|_\infty=\max \left\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_n|\right\}</math>

למעשה מתקיים <math>\left\Vert x\right\Vert _{\infty}=\lim_{p\to\infty}\left\Vert x\right\Vert _{p}</math> ולכן מקובל סימון זה. נורמה זו ידועה בשמות נורמת הסופרמום, נורמת המקסימום או נורמת התכנסות במידה שווה.

לכל <math>p \ge 1</math> ההגדרות לעיל מקיימות את התכונות של נורמה. מפורשות:

* חיוביות - <math>||x||_p \ge 0 </math> ו-<math>||x||_p=0</math> אם ורק אם <math>x=0</math>,
* הומוגניות חיובית - <math>||c \cdot x||_p=|c| \cdot ||x||_p</math>, ו-
* אי-שוויון המשולש (ובמקרה פרטי זה קרוי גם אי-שוויון מינקובסקי) - <math>||x+y||_p \le ||x||_p + ||y||_p</math>.

יתרה מזאת, לכל <math>p \ge 1</math>,<math>\mathbb{R}^n</math> יחד עם נורמת <math>{\ell}^p</math> (או פשוט נורמת-p) מהווה מרחב בנך, כלומר הנורמה שלמה. מרחב זה מסומן לעיתים על ידי <math>\ell_{n}^{p}</math>.

לעיתים מגדירים את <math>\ell_{n}^{p}</math> להיות המרחב הווקטורי <math>\mathbb{C}^{n}</math> מעל שדה המספרים המרוכבים. ההגדרות הן כלעיל (הפעם הערך המוחלט הוא מרוכב), והתכונות הן אותן תכונות (בפרט, מתקבל מרחב בנך).

===p בין 0 ל-1===

ב-<math>\mathbb{R}^n</math> כאשר <math>n>1</math>, הנוסחה

:<math>\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p\right)^{1/p}</math>

מגדירה מספר ממשי אי-שלילי אם <math>0 < p < 1</math>, אבל ההעתקה המתקבלת <math>x\mapsto\left\Vert x\right\Vert _{p}</math> איננה נורמה, מכיוון שהיא לא מקיימת את אי-שוויון המשולש. למרות זאת, הפונקציה

:<math>d_{p}\left(x,y\right)=\left\Vert x-y\right\Vert _{p}^{p}=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}</math>

היא מטריקה. בדומה למקרה <math>p \ge 1</math>, נהוג לסמן את המרחב המטרי <math>\left(\mathbb{R}^{n},d_{p}\right)</math> ב-<math>\ell_{n}^{p}</math> וגם אותו ניתן להגדיר בדומה מעל המרוכבים.

אף על פי שכדור היחידה במטריקה <math>d_p</math>, המסומן <math>B_n^p</math>, הוא "קעור" (קרי, לא קמור), הטופולוגיה המושרית על <math>\mathbb{R}^n</math> על ידה היא הטופולוגיה הסטנדרטית על <math>\mathbb{R}^n</math> ולכן <math>\ell_{n}^{p}</math> הוא מרחב וקטורי טופולוגי קמור מקומית. מעבר לטענה איכותית זו, דרך כמותית למדוד את חוסר הקמירות של <math>\ell_{n}^{p}</math> היא להתבונן ב-<math>C_{p}\left(n\right)</math>, הקבוע הקטן ביותר <math>C</math> שעבורו הניפוח <math>C\cdot B_{n}^{p}</math> של כדור היחידה בנורמת-p מכיל את הקמור של <math>B_n^p</math> (שהוא למעשה <math>B_n^1</math> לכל <math>0<p<1</math>). מסתבר שמתקיים <math>C_{p}\left(n\right)=n^{-1+1/p}</math> לכל <math>n</math> טבעי. העובדה שערך זה שואף לאינסוף כאשר <math>n \to \infty</math> (עבור <math>0<p<1</math> קבוע) משקפת את העובדה שמרחב הסדרות האינסוף-ממדי <math>\ell^{p}</math> (המוגדר למטה) הוא כבר לא קמור מקומית.

===p=0===

במתמטיקה בדידה, נורמת-p מוגדרת גם עבור <math>p=0</math> לפי

: <math>\left\Vert x\right\Vert _{0}=\lim_{p\searrow0}\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\cdots+\left|x_{n}\right|^{p}\right)</math>

שהוא פשוט מספר הרכיבים השונים מאפס בוקטור <math>x</math>. אם נגדיר <math>0^0 = 0</math>, אז נורמת האפס של <math>x</math> שווה ל-<math>\left|x_{1}\right|^{0}+\cdots+\left|x_{n}\right|^{0}</math>. זוהי אינה נורמה במובן הרגיל של המילה, אך היא יכולה לשמש למדידת דלילות, למשל בתחום של Compressed sensing.

==מרחבי L<sup>p</sup> מממד בן מניה==
כהכללה של הממד הסופי, מגדירים את המרחב <math>\ell^p</math> להיות אוסף הסדרות <math>\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math> כך ש-<math>\sum_{n=1}^{\infty} {|x_n|^p}< \infty</math>, ומגדירים את נורמת-p להיות <math>||x_{ n }||_{ p }=\sqrt [ p ]{ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ |x_{ n }|^{ p } } } </math>.

כאשר <math>p=\infty</math> מגדירים, כמו במקרה הסופי, <math>||\{x_n\}||_\infty = sup \{x_n\}</math>, וגם כאן מתקיים <math>\left\Vert x\right\Vert _{\infty}=\lim_{p\to\infty}\left\Vert x\right\Vert _{p}</math> .

המרחבים שמתקבלים בבנייה זו גם הם מרחבי בנך. ניתן להוכיח זאת ישירות, אך החלק הבא מסביר זאת בצורה טובה מאוד.

== מרחבי L<sup>p</sup> ממד כללי==
ניתן לשים לב שבמקרים הקודמים התחלנו מקבוצות סופיות, עברנו לבנות מנייה, וכעת נרצה לעבור לעוצמה כללית - מסדרות סופיות, לסדרות בנות מנייה, נעבור לפונקציות, ובמקום סכימה נבצע אינטגרציה.

פורמלית, עבור <math>1 \le p< \infty</math> מגדירים את <math>\mathcal{L}^p(\mathbb{K},X,S,\mu)</math> עבור מרחב מידה <math>(X,S,\mu)</math> ושדה <math>\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}</math> להיות-

<math>\mathcal{L}^p(\mathbb{K},X,S,\mu)=\{f:X \to \mathbb{K} : \int_{X}{|f|^p d \mu} < \infty\}</math>

כאשר האינטגרל הוא אינטגרל לבג. מגדירים את נורמת-p להיות <math>||f||_p=\sqrt [ p ]{ \int_{X}{|f|^p}d \mu } </math>. מיפוי זה איננו נורמה, מפני שפונקציות ששוות כמעט בכל מקום לאפס, עדיין יחזירו אינטגרל אפס. כדי להתגבר על בעיה זו, מגדירים את המרחב <math>L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu)</math> שאיבריו הוא אוסף מחלקות השקילות עד כדי שוויון כמעט בכל מקום. כעת, <math>|| \cdot ||_p</math> היא אכן נורמה - היא חיובית והומוגנית חיובית, ומקיימת את אי שוויון המשולש - זהו אי-שוויון מינקובסקי. המרחבים גם שלמים - ניתן להוכיח זאת בשימוש משפטי התכנסות מתורת המידה (למשל, משפט ההתכנסות הנשלטת של לבג).

מרחבי <math>L^p</math> הם הדוגמה הקלאסית למרחב בנך באנליזה ובטופולוגיה.

===במקרה p=2===
המקרה <math>p=2</math> הוא מקרה מיוחד, מפני שבמקרה זה המרחב <math>L^2</math> הוא אף מרחב הילברט - מרחב מכפלה פנימית שלם מעל השדה, כאשר המכפלה הפנימית היא <math><f,g>=\int_{X}{f\cdot \overline{g} d \mu}</math>. זוהי דוגמה קלאסית למרחב הילברט, ולמעשה ידוע יותר מכך - כל מרחב הילברט איזומורפי למרחב <math>L^2(A,P(A),\#)</math>, כאשר <math>A</math> קבוצה כלשהי.

===המקרה ∞=p===
במקרה <math>p=\infty</math> אי אפשר להגדיר, כמו במקרה הסופי, את <math>L^\infty</math> להיות אוסף הפונקציות החסומות, משום שפונקציה יכולה לקבל את הערך אינסוף על קבוצה ממידה אפס. כדי להתגבר על הבעיה, מגדירים essential supremum של פונקציה:

<math>\operatorname{esssup}f=\inf\{a \in \mathbb{R} : \mu(f^{-1}(a,\infty) )=0\}</math>

והמרחב <math>L^\infty</math> הוא אוסף הפונקציות עבורן <math>\operatorname{esssup}|f|<\infty</math>, הנקראות גם פונקציות חסומות בעיקר (essentially bounded functions). המרחב שמתקבל אף הוא מרחב בנך, ומתקיים <math>||f||_\infty = \lim_{p \rightarrow \infty} {||f||_p}</math>. מרחב זה חשוב במיוחד בתורת המרחבים המטריים והשלמות, ראו מרחב מטרי שלם.

===ביחס למקרים הקודמים===
המקרה הסוף-ממדי <math>\ell^p _n</math> מתקבל כמקרה פרטי של <math>L^p</math>, עבור <math>X=\{1,...,n\}</math> ו-<math>\mu=\#</math> מידת הספירה (הסופרת כמה איברים יש בקבוצה).

המקרה הבן-מנייה מתקבל עבור <math>X=\mathbb{N}</math> ומידת הספירה. בפרט אפשר להסיק ש-<math>\ell^p</math> מרחב בנך בלי להוכיח זאת בנפרד. נובע גם ש-<math>\ell^2</math> הוא מרחב הילברט, ומפורשות ניתן לאמר ש-<math>\ell^2 \cong L^2(\mathbb{N},P(\mathbb{N}),\#)</math>.

==תכונות מרחבי L<sup>p</sup>==
===התכנסות בנורמה===
היות שהמרחב <math>L^p</math> הוא מרחב נורמי, מתאימה עבורו התכנסות בנורמה - נאמר שסדרת פונקציות <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנורמה-p לפונקציה <math>f</math> אם <math>||f_n-f||_p \to 0</math> כאשר <math>n \to \infty</math>. המשפט הבסיסי והחשוב בנושא הוא:

משפט: תהי <math>\{f_n\} \subseteq L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu)</math> כך ש- <math>f_n \to f</math> נקודתית כמעט בכל מקום, וכן נניח שיש <math>g \in L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu)</math> כך ש-<math>|f_n| \le g</math> (כלומר <math>f_n</math> נשלטת על ידי <math>g</math>), אז ההתכנסות היא גם בנורמה-p, כלומר <math>\lim_{n \rightarrow \infty}{||f_n-f||_p}=0</math>.

בכיוון ההפוך יש טענה מעט חלשה יותר-

משפט - תהי <math>f \in L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu)</math> ונניח שיש סדרה <math>\{f_n\}</math> כך ש-<math>\lim_{n \rightarrow \infty}{||f_n-f||_p}=0</math>. אזי ל-<math>\{f_n\}</math> יש תת-סדרה המתכנסת נקודתית ל-<math>f</math> כמעט בכל מקום.

במקרה של התכנסות במידה שווה, הטיעון 'חלק' יותר:

משפט: במרחב ממידה סופית, אם <math>f_n \to f</math> במידה שווה, אז ההתכנסות היא גם בנורמה-p.

תכונה טופולוגית נוספת של המרחב, היא שאוסף הפונקציות הפשוטות היא קבוצה צפופה ב-<math>L^p</math>. ניתן לראות זאת בקלות לפי המשפטים לעיל - ידוע שלכל פונקציה אינטגרבילית יש סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות <math>\phi_n</math> שמתכנסת אליה, ומפני שמתקיים <math>|f- \phi_n|^p \le 2^{p-1}(| f|^p+|\phi_n|^p) \to 2^p|f|^p</math>, נקבל שיש התכנסות גם בנורמת-p. למעשה, המרחב <math>L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu)</math> הוא ההשלמה של מרחב הפונקציות הפשוטות שיושב בו.

===שיכונים===
במרחבים ממידה סופית, יש שיכונים בין מרחבי <math>L^p</math>, ביחס הפוך לסדר.

משפט - יהי <math>(X,M,\mu)</math> מרחב מידה סופי, כלומר <math>\mu (X) < \infty</math>. אזי:
* אם <math>1<p<q</math> יש שיכון טבעי - <math>L_\mathbb{K}^q(X,S,\mu) \hookrightarrow L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu)</math>. יותר מכך, השיכון רציף, משום שזהו אופרטור ליניארי חסום. מפורשות, אי-שוויון ינסן (באחת מגרסאותיו) טוען כי <math>||f||_p \le \mu(X) ^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}\cdot||f||_q</math>.
* לכל <math>p>1</math> מתקיים <math>L_\mathbb{K}^\infty(X,S,\mu) \subseteq L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu)</math>.

==קישורים חיצוניים==
* 
<div class="mw-content-ltr">
* [http://www.math.ksu.edu/~nagy/real-an/4-03-lp-spaces.pdf The Lp Spaces]
</div>

קטגוריה:אנליזה פונקציונלית
קטגוריה:תורת המידה
קטגוריה:מרחבים נורמיים