חוק גאוס למגנטיות

חוק גאוס למגנטיות הוא חוק פיזיקלי העוסק במגנטיות, והוא אחת מארבע משוואות מקסוול אשר עומדות בבסיס התורה האלקטרומגנטית הקלאסית.
על פי חוק זה סך השטף המגנטי דרך מעטפת סגורה שווה אפס. בניסוח מתמטי:

כאשר <math>\mathbf{B}</math> מציין את השדה המגנטי ו־<math>\mathbf{S}</math> הוא הווקטור הניצב למשטח המעטפת. ניתן לומר בצורה פשוטה יותר כי אם נבחר מעטפת סגורה כלשהי, אז כל קווי שדה של השדה המגנטי שנכנסים אליה חייבים גם לצאת ממנה, ללא תלות בצורתה, מקומה במרחב או גודלה. זו היא הצורה האינטגרלית לחוק.

החוק מופיע גם בצורה דיפרנציאלית:

קרי, דיברגנץ השדה המגנטי מתאפס. החוק בצורתו הדיפרנציאלית מראה כי השדה המגנטי הוא שדה וקטורי סולנואידי. ניתן להגיע מצורה אחת לאחרת על ידי משפט גאוס (משפט מתמטי להבדיל מחוק פיזיקלי).

שתי הצורות לחוק שקולות לקביעה כי לא קיימים מונופולים מגנטיים.

== הסקת חוק גאוס למגנטיות מחוק ביו-סבר ==
צורתו הדיפרנציאלית של חוק גאוס למגנטיות נובעת מיידית מחוק ביו-סבר, המתאר כיצד אלמנט שדה מגנטי נוצר על ידי אלמנט זרם חשמלי. עבור שדות מגנטיים כלליים יותר, הנוצרים על ידי מערכות של זרמים, חוק גאוס למגנטיות נובע מעקרון הסופרפוזיציה, שכן אם נתונים כמה שדות וקטוריים שהדיברגנץ של כל אחד מהם מתאפס בכל המרחב, גם הדיברגנץ של סכום השדות מתאפס בכל המרחב.

חוק ביו-סבר שקול לחוק גאוס למגנטיות. לשם ההוכחה, נגדיר מערכת קואורדינטות כדורית שראשיתה במקטע הזרם האינפיניטסימלי, אשר ציר z שלה (הציר שביחס אליו נמדדת הזווית <math>\theta</math>) מכוון לאורך מקטע הזרם. ניזכר כעת בצורתו המתמטית של חוק ביו-סבר:

:<math>d\vec{B} = \frac{\mu_0 I dl}{4\pi} \frac{\hat{dl}\times \hat{r}}{r^2}</math>

נשים לב שמתכונות המכפלה הווקטורית <math>\hat{dl}\times \hat{r}</math> עולה שהשדה המגנטי מכוון בכל מקום בניצב למישור הנפרש על ידי <math>\hat{r}</math> (הכיוון הרדיאלי) ו-<math>\hat{dl}</math> (כיוון ציר z). מישור זה חותך מן הכדור שרדיוסו r בדיוק קו אורך יחיד; במילים אחרות, פירוש הדבר הוא שהרכיב הרדיאלי <math>B_{r}</math> והרכיב הקוטבי <math>B_{\theta}</math> של השדה המגנטי מתאפסים שניהם, ונשאר רק הרכיב האזימוטלי <math>B_{\varphi}</math> (במקביל לקו הרוחב). אולם מתכונות המכפלה הווקטורית עולה שהשדה המגנטי האזימוטלי קבוע בגודלו ושווה ל-:

:<math>B_{\varphi}=\frac{\mu_0 I dl}{4\pi} \frac{\mathbb{sin}\theta}{r^2}\hat{\varphi}</math>

ולכן הנגזרת של ערך השדה המגנטי האזימוטלי ביחס לזווית האזימוט <math>\varphi</math> מתאפסת. מהגדרת אופרטור הדיברגנץ בקואורדינטות כדוריות, שהיא:

: <math>\vec \nabla \mathbf{\cdot}\vec B = \frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2 B_r)}{\partial r}+\frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial (B_\theta \sin \theta)}{\partial \theta}+\frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial B_\varphi}{\partial \varphi}</math>

נובע שהדיברגנץ מתאפס (שני האיברים הראשונים נופלים כי אין לשדה המגנטי רכיבים רדיאליים וקוטביים, ואילו האיבר השלילי נופל כי השדה המגנטי האזימוטלי קבוע בגודלו).

תמונת השדה המגנטי המצטיירת מן החישוב הזה (קווי השדה המגנטי מקיפים את הכדור בכיוון האזימוטלי בלבד) עשויה להידמות כסותרת את האינטואיציה הבסיסית לפיה קווי השדה המגנטי יוצאים מקוטב מגנטי אחד ונכנסים אל הקוטב השני (כך שקווי השדה מתקדמים גם בכיוון הקוטבי). בפועל, זרמים במציאות לעולם לא מופיעים במקטעים סופיים, אלא בלולאות סגורות בעלות מומנט מגנטי (כך גם צומח השדה של מגנט תמידי מתוך לולאות הזרם המיקרוסקופיות שבו). מהבדל זה נובע השוני בתמונת קווי השדה המגנטי.

==ראו גם==
* משוואות מקסוול
* חוק גאוס

==קישורים חיצוניים==

קטגוריה:מגנטיות
קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות
קטגוריה:קרל פרידריך גאוס