כיסוי בזיקוביץ'

באנליזה מתמטית, כיסוי בזיקוביץ של תת־קבוצה <math>S</math> במרחב אוקלידי הוא כיסוי של <math>S</math> על ידי כדורים פתוחים כך שכל נקודה של <math>S</math> היא המרכז של כדור מהכיסוי.

משפט הכיסוי של בזיקוביץ קובע שלכל מרחב אוקלידי <math>\mathbb R^N</math> יש קבוע <math>c_N</math> שמקיים את התכונה הבאה:
*לכל כיסוי בזיקוביץ' <math>F</math> של קבוצה חסומה <math>E</math> קיימות <math>c_N</math> תת־קבוצות בנות־מנייה של <math>F</math> שכל אחת מהן מורכבת מכדורים זרים, כך שאיחודן מכסה את <math>E</math>.

את המשפט הוכיח המתמטיקאי הרוסי אברם סמוילוביץ' בזיקוביץ'.

== הכללות ==
המשפט נכון גם כשהכדורים סגורים, וגם עבור קוביות. למעשה, הכללה שמצא A.P. Morse למשפט נותנת מגוון רחב של צורות אפשריות: 

תהי <math>E</math> קבוצה חסומה במרחב אוקלידי, ולכל נקודה <math>x</math> של <math>A</math> תהי <math>H</math> קבוצה שמקיימת את שתי התכונות הבאות:

*יש מספר חיובי <math>M</math> שאינו תלוי ב-<math>x</math>, ויש כדור סגור <math>B</math> סביב <math>x</math>, כך ש-<math>H</math> מכילה את <math>B</math> ומוכלת בכדור סביב <math>x</math> שרדיוסו גדול פי <math>M</math> מרדיוס <math>B</math>.

*לכל נקודה <math>z</math> ב-<math>H</math>, הקבוצה <math>H</math> מכילה את הקמור של הכדור <math>B</math> שסופחה לו הנקודה <math>z</math>.

אז אפשר לבחור מתוך משפחת הקבוצות הנתונה <math>c_N</math> תת־משפחות שכל אחת מהן מורכבת מקבוצות זרות, כך שאיחודן מכסה את <math>E</math>. 

משפט הכיסוי נכון בכל מרחב נורמי מממד סופי, ואף לקבוצות <math>E</math> שאינן חסומות, ובלבד שרדיוסי הכדורים שמכסים אותן חסומים. 

הנחה זו על הרדיוסים היא נחוצה, כפי שניתן לראות מכיסוי הקרן <math>[0,\infty]</math> על ידי כל הכדורים שרדיוסם שווה למרכזם; אכן, במקרה זה כל אחת מהתת־קבוצות של הכיסוי חייבת להיות קטע בודד, אך כמות סופית של קטעים לא תוכל לכסות את כל הקרן.

== שימוש ==
ניתן להוכיח בעזרת משפט הכיסוי חיזוק של משפט סארד: תהי <math>G</math> קבוצה פתוחה במרחב אוקלידי, תהי <math>X</math> קבוצה עם מידה חיצונית <math>m</math> ותהי <math>f: G \to X</math> פונקציה. נאמר שנקודה <math>x \in G</math> היא נקודה קריטית של <math>f</math> אם קיימת סדרת קוביות סביב <math>x</math> שרדיוסן שואף לאפס כך ש<math>m(f(Q_n)) = o(v(Q_n))</math> כאשר <math>v(Q_n)</math> הוא נפח הקובייה. אז המידה של תמונת קבוצת הנקודות הקריטיות של <math>f</math> היא אפס.

הוכחה: תהי <math>S</math> קבוצה חסומה של נקודות קריטיות, מספיק להוכיח שהמידה של תמונת <math>S</math> היא אפס. מספיק להוכיח שהיא קטנה כרצוננו, ולכן יהי <math>\epsilon</math> חיובי. <math>S</math> חסומה ולכן מוכלת בקבוצה פתוחה וחסומה <math>U</math>. תהי <math>x</math> נקודה ב-<math>S</math>. כיוון ש-<math>x</math> היא נקודה קריטית נוכל (מהגדרת הסימון האסימפטוטי <math>o</math>) למצוא קובייה סביבה שמוכלת ב-<math>U</math> ושנפחה גדול פי לפחות <math>\frac 1 \epsilon</math> ממידת תמונתה. נתאים לכל נקודה את הקובייה שמצאנו, ונקבל כך כיסוי בזיקוביץ' של <math>S</math>. לפי משפט הכיסוי נוכל לבחור משפחה בת־מנייה <math>Q_k</math> מתוך הקוביות הללו שמכסה את <math>S</math> כך שכל איבר של <math>S</math> מופיע בלכל היותר <math>c_N</math> מהקוביות הללו. המשפחה מוכלת כמובן ב-<math>U</math>, ולכן:
<math display="block">m(f(S)) \leq m(f(\bigcup Q_k))= m(\bigcup(f( Q_k)) \leq \sum m(f(Q_k)) \leq

 \sum \epsilon v(Q_k) \leq c_N \epsilon v(\bigcup Q_k)\leq c_N \epsilon v(U)
 
 </math>

והביטוי האחרון קטן כרצוננו; מש"ל.

קטגוריה:אנליזה מתמטית