משפט פרובניוס (תורת החבורות)

משפט פרובניוס בתורת החבורות, אומר שלכל מחלק <math>d</math> של הסדר של חבורה <math>G</math>, מספר האיברים בחבורה הפותרים את המשוואה <math>x^d = 1</math> מתחלק ב-<math>d</math>. המשפט נקרא ע"ש פרדיננד גאורג פרובניוס שהוכיח אותו בשנת 1895.

== ניסוח המשפט ==
תהי G חבורה ויהי <math>d</math> מחלק של הסדר <math>|G|</math>. נסמן ב <math>A_d = \{ x \in G \mid x^d = e \}</math> את אוסף האיברים מסדר המחלק את <math>d</math>. אזי <math>d \mid|A_d|</math>.

== הוכחה ==
נעזר בעובדה הבאה מתורת החבורות:

כל איבר מסדר <math>nm</math>, כאשר <math>n,m</math> זרים, אפשר לפרק בצורה <math>x=yz</math> כאשר <math>zy=yz =x, o(y) = n, o(z) = m</math> (למעשה אפשר לבחור את <math>y,z</math> להיות חזקות של <math>x</math>).

נעזר גם בלמה הבאה:

למה: לכל n אם <math>A_n</math> לא ריקה אז <math>\phi(n) \mid |A_n|</math> כאשר <math>\phi</math> היא פונקציית אוילר. בנוסף אם <math>d \mid |G|</math> מהצורה <math>d = p^{\alpha}s</math> כאשר <math>p^{\alpha+1} \mid |G|,(p,s) = 1</math> ואם <math>A = A_{dp}\setminus A_{d}</math> אז <math>A</math> ריקה או ש <math>\phi(p^{\alpha+1}) \mid |A|</math>.

הוכחה: נתבונן ביחס השקילות הבא: <math>x \equiv y \iff \langle x \rangle = \langle y \rangle</math>, כלומר הם יוצרים אותה תת-חבורה. מתקיים <math>x \equiv x^t \iff (t,o(x)) = 1</math>. לכן מס' האיברים במחלקת השקילות של x הוא <math>\phi(o(x))</math>. מקבלים ש <math>A_n</math> איחוד של מחלקות שקילות של איברים מסדר n ונקבל ש <math>\phi(n) \mid |A_n|</math>. נרשום את A בצורה הבאה: <math>A = \{ x \in G \mid o(x) = p^{\alpha+1}s_1,s1 \mid s\}</math>. אם A אינה ריקה נקבל ש<math>A = \bigcup_{s1 \mid s}\bigcup_{o(x_i)=p^{\alpha+1}s_1} [x]</math> כאשר <math>[x]</math> מסמן את המחלקה של <math>x</math>. כל אחת מהחלקות המשתתפות באיחוד מתחלקת ב <math>\phi(p^{\alpha+1}s_1) = \phi(p^{\alpha+1}) \phi(s_1)</math>. ונקבל את הדרוש.

הוכחת המשפט:

יהו <math>d \mid n:=|G|</math>. ההוכחה באינדוקציה כפולה על <math>n,d</math>. מקרה הבסיס <math>n=1</math> או <math>d=n</math> טריוויאליים. נניח שהוכחנו לכל חבורה קטנה יותר ולכל מחלק גדול יותר של החבורה נראה נכונות עבור d,n: יהי <math>p \mid \tfrac{|G|}{d}, d = p^{\alpha}s,(s,p) = 1</math>. תהי <math>A = A_{dp}\setminus A_{d}</math>. מתקיים <math>|A_d| = |A_{dp}| - |A|</math>.

מאינדוקציה נקבל כי <math>dp \mid |A_{dp}|</math> ולכן מספיק להראות ש <math>d \mid |A|</math>. אם A ריקה זה ברור. נניח ש-A אינה ריקה. מהלמה <math>p^{\alpha}(p-1) = \phi(p^{\alpha+1}) \mid |A|</math> ולכן מספיק להראות ש <math>s \mid |A|</math>. נרשום<math>A = \{ x \in G \mid o(x) = p^{\alpha+1}s_1,s1 \mid s\}</math> ומהעובדה שצוטטה לעיל נקבל שלכל x ב-A ישנם y,z כך ש <math>x = yz=zy, o(y) = p^{\alpha+1}, z^s = e</math>. נסמן ב <math>C(a) = C(\langle a \rangle)</math> את המרכז של a וב <math>\operatorname{conj}(a)</math> את מחלקת הצמידות של <math>a</math>. עבור <math>a</math> ב <math>G</math> נגדיר <math>S_a = \{ab \mid b^{s} = e,b \in C(a)\},S_{\operatorname{conj}(a)} = \bigcup_{x \in \operatorname{conj}(a)} S_x</math>. מקבלים ש <math>A = \bigcup_{o(a) = p^{\alpha+1}} S_a</math>. נראה שזהו איחוד זר. אכן יהיו <math>o(a) = o(a_1) = p^{\alpha+1}, ab=ba=b_1a_1 = a_1b_1,b^s = b_1^s=1</math>. נקבל ש <math>a^s = a^sb^s = (ab)^s = (a_1b_1)^s = a_1^sb_1^s = a_1^s</math>. כיוון ש<math>o(a) = o(a_1) = p^{\alpha+1}</math> וכן <math>(s,p) = 1</math>נקבל ש <math>a=a_1</math> והראנו שהאיחוד זר. לכן מספיק להראות ש <math>s \mid |S_{\operatorname{conj}(a)}|</math> לכל a מסדר <math>p^{\alpha + 1}</math>. נשים לב שהעתקה <math>\Phi \colon S_a \to S_{x^{-1}ax}, ab \to x^{-1}axx^{-1}bx</math> היא התאמה חח"ע ועל ולכן <math>|S_{\operatorname{conj}(a)}| = |\operatorname{conj}(a)||S_a|</math>. יהי <math>k = |C(a)/\langle a \rangle|, m = (s,k)</math>. ההתאמה <math>ab \to b \langle a \rangle</math> היא התאמה חח"ע ועל מ <math>S_a</math> ל <math>\{ y \in C(a)/ \langle a \rangle \mid y^s = e\} = \{ y \in C(a)/ \langle a \rangle \mid y^m = e\}</math>. כיוון ש-k<n נקבל מהנחת האינדוקציה ש <math>m \mid |\{ y \in C(a)/ \langle a \rangle \mid y^m = e\}| = |S_a|</math> ולכן <math>|S_a| = cm</math>. ממשפט מסלול מייצב נקבל ש <math>|\operatorname{conj}(a)| = \tfrac{|G|}{|C(a)|} </math> ולכן <math>|S_{\operatorname{conj}(a)}| = |\operatorname{conj}(a)||S_a| = \tfrac{|G||S_a|}{|C(a)|} = \tfrac{ncm}{kp^{\alpha+1}}</math>. כיוון שגם <math>k</math> וגם <math>s</math> מחלקים את <math>n</math> נקבל שגם הכפולה המשותפת המינימלית שלהם <math>\operatorname{lcm}(k,s) = \tfrac{ks}{m}</math> מחלקת את <math>n</math>. לכן <math>s</math> מחלק את <math> \tfrac{ncm}{k}</math>. מכיוון ש <math>(s,p) = 1</math> נקבל ש <math>s \mid |S_{\operatorname{conj}(a)}|</math> וסיימנו.

== שימושים ==
1) משפט פרובניוס מאפשר להראות שחבורות רבות אינן פשוטות ואפילו לתאר את המבנה שלהם.

מסקנה 1: תהי G חבורה כך ש <math>|G| = \prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i}</math> ו <math>p_i</math> סדרה עולה. נניח שכל תת חבורה p סילו היא ציקלית. במקרה כזה תת-חבורת <math>p_r
</math> סילו היא נורמלית ב <math>G</math> ובנוסף <math>G</math> חבורה פתירה. בפרט אם <math> |G|</math>חופשית מריבועיים אז היא פתירה ותת חבורת <math>p_r
</math> סילו שלה היא נורמלית.

הוכחה: נוכיח באינדוקציה על <math>d</math> ש <math>d =|A_d|</math> עבור <math>d \mid |G|</math> כך ש <math>d = p_k^{\beta_k} \prod_{i=k+1}^r p_i^{\alpha_i} 1 \leq k \leq r, \beta_k \leq \alpha_k</math>. המקרה של <math>d = |G|</math> ברור. נניח שהראנו לכל מחלק <math>d'</math> מהצורה לעיל הגדול מ <math>d</math>, ונוכיח כעת עבור <math>d</math>. יהי <math>p</math> המחלק הראשוני הגדול ביותר של <math>\tfrac{|G|}{d}</math>. תהי<math>A = A_{dp}/A_d</math>. כיוון שחבורות <math>p</math> סילו ציקליות, <math>A</math> לא ריקה. מהנחת האינדוקציה <math>|A_{dp}| = dp</math>. ממשפט פרובניוס קיים <math>1 \leq t < p</math> כך ש <math>|A_d| = dt</math>. מהלמה בהוכחת משפט פרובניוס נקבל ש <math>p - 1 \mid dp - dt = d(p-t)</math> מהצורה של <math>d</math> כל מחלק של <math>d</math> הוא לפחות <math>p</math> ולכן <math>(p-1,d) = 1</math> לכן <math>p - 1 \mid (p-t)</math> ולכן <math>t=1</math>. קיבלנו לכן ש <math>d =|A_d|</math> עבור d מהצורה הנ"ל. בפרט עבור <math>d = p_r^{\alpha_r}</math>נקבל ש <math>|A_{p_r^{\alpha_r}}| = p_r^{\alpha_r}</math> ונקבל שתת-חבורת ה <math>p_r
</math> סילו <math>N</math> יחידה ולכן נורמלית. מאינדוקציה <math>N</math>,<math>G / N</math> פתירות ונקבל את הדרוש. ה"בפרט" נובע מכך שכל חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית.

באופן דומה מוכיחים את המסקנה הנוספת הבאה:

מסקנה 2: לכל n קיימת חבורה בגודל n שאינה ציקלית אמ"מ <math>(n,\phi(n)) \neq 1</math>.

2) על ידי חישוב <math>|A_d|</math> בחבורות ספציפיות ניתן לקבל זהויות בתורת המספרים. למשל לכל ראשוני p ולכל <math>p \leq n </math> על ידי חישוב <math>|A_p|</math> בחבורה הסימטרית <math>S_n</math> ניתן להראות כי מתקיים:<math>\sum_{k=1}^{\left\lfloor \tfrac{n}{p} \right\rfloor} \tfrac{n!}{p^kk!(n-pk)!} \equiv - 1\pmod{p}</math>.

== תוצאות נוספות ==
* גרסה כללית יותר (הול 1959 משפט 9.1.1) היא שאם <math>C</math> היא מחלקת צמידות עם <math>h</math> איברים אזי מספר האיברים <math>k</math> כך ש <math>k^n</math> נמצא ב <math>C</math> מתחלק ב <math>(hn,|G|)</math>.
* פרובניוס שיער שאם <math>d \mid |G|</math> ו <math>d =|A_d|</math> אז <math>A_d\vartriangleleft G</math>, תת-חבורה נורמלית של <math>G</math>. ההשערה הוכחה בשנת 1991 תוך שימוש במשפט המיון לחבורות סופיות פשוטות לאחר עבודה רבה.

== ראו גם ==
* משפטי סילו

== קישורים חיצוניים ==
* [https://www.maa.org/sites/default/files/3004416017467.pdf.bannered.pdf הוכחת המשפט ושימושים]

== הערות שוליים ==

2019 06
קטגוריה:תורת החבורות
קטגוריה:משפטים בתורת החבורות