משפט גרונוולד-ואנג

בתורת המספרים האלגברית, משפט גרונוולד-ואנג קובע שפרט ליוצאי דופן ידועים, איבר של שדה מספרים <math>K</math> הוא חזקת-<math>n</math> של מספר אחר, אם ורק אם הוא חזקת-<math>n</math> כמעט בכל השלמה <math>K_{\mathfrak{p}}</math>. למשל, מספר רציונלי הוא ריבוע אם ורק אם הוא ריבוע כמעט בכל שדה מספרים p-אדי. למשפט יש גם גרסאות המאפשרות לבנות הרחבות ציקליות של <math>K</math> באמצעות מידע על השדות המקומיים המתאימים לו.

המשפט פורסם לראשונה על ידי המתמטיקאי הגרמני וילהלם גרונוולד בשנת 1933 ותוקן על ידי המתמטיקאי הסיני ואנג בשנת 1948.

==היסטוריה==
גרונוולד, שהיה סטודנט של הלמוט הסה, פרסם ב-1933 את הטענה שאיבר בשדה מספרים הוא חזקת-n אם ורק אם הוא חזקה כזו כמעט בכל השלמה של השדה. ב-1948 מצא ואנג דוגמה נגדית: 16 הוא חזקה שמינית בכל שדה מספרים <math>p</math>-אדי עבור <math>p</math> אי-זוגי, אבל אינו כזה בשדה המספרים ה-2-אדי (וגם לא בשדה המספרים הרציונליים). בתזת הדוקטורט שלו, שנכתבה (ב-1950) תחת הנחייתו של אמיל ארטין, מצא ואנג גרסה נכונה למשפט, שבה מטפלים בגורמים ה-2-אדיים באופן מיוחד.

המספר 16 אינו יכול להיות חזקה שמינית ב-<math>\Q_2</math>, משום שהערך ה-2-אדי שלו, 4, אינו מתחלק ב-8. מעל כל שדה <math>\mathbb F</math>, 16 הוא חזקה שמינית אם ורק אם לפולינום
:<math>x^8-16=(x^2-2)(x^2+2)(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)</math>
קיים שורש בשדה, כלומר, אם ורק אם בשדה יש שורש לאחד המספרים <math>2,-2,-1</math>. לפי התכונות הבסיסיות של שאריות ריבועיות, אחד המספרים האלה מוכרח להיות ריבוע מודולו <math>p</math>, וזאת לכל ראשוני <math>p</math>. לפי הלמה של הנזל, מקיום הפתרון מודולו <math>p</math>, כאשר <math>p</math> אי-זוגי, נובע שיש פתרון גם ב-<math>\Z_p\sube\Q_p</math>.

==משפט גרונוולד-ואנג==
נסמן <math>\zeta_s</math> את שורש היחידה הפרימיטיבי מסדר <math>2^s</math>. לכל <math>s\ge2</math>, השדה הציקלוטומי מסדר <math>2^s</math> הוא השדה <math>\Q[\zeta_s]=\Q[\sqrt{-1},\zeta_s+\zeta_s^{-1}]</math>. נאמר ששדה הוא <math>s</math>-מיוחד, אם הוא כולל את <math>\zeta_s+\zeta_s^{-1}</math>, אבל אינו כולל אף אחד מהמספרים <math>\sqrt{-1},\zeta_{s+1}+\zeta_{s+1}^{-1},\sqrt{-1}(\zeta_{s+1}+\zeta_{s+1}^{-1})</math>. 

יהי <math>K</math> שדה מספרים, עם קבוצה סופית של ראשוניים <math>S</math>, ויהי <math>n</math> מספר שלם. משפט גרונוולד-ואנג קובע שכל מספר שהוא חזקה <math>n</math>-ית בכל השלמה <math>K_{\mathfrak{p}}</math> עבור <math>\mathfrak{p}\notin S</math>, פרט למקרה המיוחד שבו מתקיימים התנאים המצטברים הבאים: קיים <math>s</math> עבורו 
<math>2^{s+1}|n</math>, <math>K</math> הוא <math>s</math>-מיוחד, ו-<math>S</math> כולל את כל "הראשוניים המיוחדים", שהם הראשוניים <math>\mathfrak{p}</math> שעבורם <math>K_{\mathfrak{p}}</math> הוא <math>s</math>-מיוחד (ראשוניים אלה הם בהכרח 2-אדיים, ולכן מספרם סופי). אפילו במקרה המיוחד, העיקרון הלוקאלי-גלובלי נכשל רק באופן סופי: חבורת המנה של חזקות-<math>n</math>-מקומיות מודולו חזקות-<math>n</math> היא מסדר 2.

לדוגמה, נתבונן שנית בדוגמה הנגדית של ואנג. שדה המספרים הרציונליים הוא 2-מיוחד, מכיוון שהוא מכיל את <math>\zeta_2+\zeta_2^{-1}=0</math>, אבל לא אף אחד מהמספרים <math>\sqrt{-1},\zeta_3+\zeta_3^{-1}=\sqrt2,\sqrt{-1}(\zeta_3+\zeta_3^{-1})=\sqrt{-2}</math>. הראשוני המיוחד היחיד הוא 2. לכן, מעל הרציונליים, המקרה המיוחד מתרחש רק אם <math>n</math> מתחלק ב-8 ו-<math>S</math> כולל את הראשוני 2. משום כך ייתכנו מספרים שהם חזקת-8 בכל השלמה אי-זוגית, ואינם כאלה מעל השדה עצמו. אפשר לתקן את הטענה גם כך: כל מספר שהוא חזקה <math>n</math>-ית *בכל* השלמה (לרבות ה-2-אדית), הוא חזקת-<math>n</math> רציונלית.

מן הדוגמה הנגדית של ואנג נובע שלא קיימת הרחבה ציקלית <math>K</math> מממד 8 של הרציונליים, שבה 2 הוא "אינרטי לחלוטין" (כלומר <math>K_2/\Q_2</math> מממד 8). 

קטגוריה:תורת המספרים האלגברית
גרונוולד-ואנג
גרונוולד-ואנג