התפלגות ריילי

\sigma</math>|
צפיפות=<math>\ \frac{x}{\sigma^2}\exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})</math>|
מצטברת=<math>\ 1-\exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})</math>|
תוחלת=<math> \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \sigma</math>|
חציון=<math>\sigma\sqrt{\ln(4)}\,</math>|
שכיח=<math>\sigma\,</math>|
שונות=<math>\frac{4 - \pi}{2} \sigma^2</math>|
אנטרופיה= <math>1+\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma^3}\right)+\frac{\gamma}{2}</math>|
מומנטים=<math>M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)</math>|
גבנוניות=<math>-\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}</math>|
צידוד=<math>\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}</math>
}}
בהסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות ריילי היא התפלגות רציפה, המתקבלת כאורך של וקטור דו-ממדי ששני רכיביו מתפלגים נורמלית, עם תוחלת אפס ואותה סטיית תקן. למשל, אם הסטיות של קליע מן המטרה מתפלגות נורמלית בציר X ובציר Y, ובלתי תלויות זו בזו, אז מרחק הקליע מן המטרה מתפלג לפי התפלגות ריילי.

ההתפלגות תלויה בפרמטר <math>\ \sigma</math>, המציין את סטיית התקן של הרכיבים בווקטור. 

פונקציית הצפיפות היא <math>f(x|\sigma) = \frac{x \exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma^2}
</math>. 

המומנטים נתונים על ידי <math>\mu_k=\sigma^k2^{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,</math>, 

כאשר <math>\ \Gamma</math> מסמנת את פונקציית גמא. 

בפרט, מתקבלים: 

התוחלת 
<math>\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}</math>,

השונות 
<math>\frac{4-\pi}{2} \sigma^2</math>, 

הצידוד 
<math>\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}</math> 

והגבנוניות 
<math>- \frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}</math>.

== אמידת פרמטרים ==
בהינתן מדגם בן N ערכים בלתי תלויים ושווי התפלגות מהתפלגות ריילי עם פרמטר <math>\sigma</math> (שאינו ידוע), אומד הנראות המקסימלית של הפרמטר נתון על ידי הנוסחה 
<math>\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{2N}\sum_{i=1}^N x_i^2}.</math>

== דגימה מהתפלגות ריילי ==
בהינתן שיש בידינו משתנה מקרי u מהתפלגות אחידה רציפה סטנדרטית (בין 0 ל-1), אז למשתנה X המוגדר על ידי:

<math>X=\sigma\sqrt{-2 \ln (u)}\,</math>

יש התפלגות ריילי עם פרמטר <math>\sigma</math>. תוצאה זו מושגת על ידי שימוש בשיטת דגימת ההעתקה ההופכית (ITS).

== התפלגויות קשורות ==

* אם <math>\ X,Y \sim N(0, \sigma^2)</math> משתנים נורמליים בלתי תלויים, אז <math>\ R = \sqrt{X^2 + Y^2} \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma)</math> מתפלג לפי התפלגות ריילי (מכאן הפרמטר סיגמא).
* אם <math>\ R \sim \mathrm{Rayleigh}(1)</math>, אז <math>\ R^2</math> מתפלג התפלגות כי בריבוע עם שתי דרגות חופש.
* אם <math>\ X</math> מתפלג התפלגות אקספוננציאלית, <math>\ X \sim \mathrm{Exponential}(x|\lambda)</math>, אז 
<math>\ Y=\sqrt{2X\sigma^2\lambda} \sim \mathrm{Rayleigh}(y|\sigma)</math>.
* אם <math>\ R \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma)</math> אז לסכום הריבועים <math>\ \sum_{i=1}^N R_i^2</math> יש התפלגות גמא עם הפרמטרים N ו- <math>2\sigma^2</math>: 
<math>\ [Y=\sum_{i=1}^N R_i^2] \sim \Gamma(N,2\sigma^2)</math>.

התפלגות כי בריבוע, התפלגות רייס, התפלגות וייבול מהוות כולן הכללות של התפלגות ריילי.

התפלגות מקסוול-בולצמן היא התפלגות האורך של וקטור נורמלי תלת-ממדי, בדומה להתפלגות ריילי, המתאימה למקרה הדו-ממדי.

===פונקציית סיכון===
פונקציית הסיכון (Hazard function) של ההתפלגות ריילי היא ליניארית, וערכה הוא <math>h(x)=\frac{x}{\sigma^2}\!</math>.

== ראו גם ==

* התפלגות נורמלית
* התפלגות רייס

==לקריאה נוספת==
* Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 104 and 148, 1984

==קישורים חיצוניים==

* 

ריילי