פונקציית גמא

פונקציית גמא היא פונקציה מרוכבת מֶרוֹמורפית, המרחיבה את מושג ה"עצרת" לכל המישור המרוכב: לכל מספר טבעי <math>\ n=1,2,\dots</math>, הפונקציה מקבלת את הערך <math>\ \Gamma(n)=(n-1)!</math>.

הפונקציה הוגדרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר באמצע המאה ה-18, אך הסימון של הפונקציה באות <math>\ \Gamma</math> נכנס לשימוש בעקבות עבודתו של לז'נדר. גאוס הציע גרסה מעט שונה של פונקציית גמא, <math>\ \Pi(z) = \Gamma(z+1)</math>, לה הוא קרא "פונקציית פאי", אלא שהסימון של לז'נדר הועדף בצרפת, ובעקבות זאת גם בשאר העולם.

הפונקציה מוגדרת במחצית הימנית של המישור המרוכב באמצעות האינטגרל <math> \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,\mathrm{d}t</math>.

לפונקציית גמא קטבים (פשוטים) בנקודות <math>\,z=0,-1,-2,\dots</math> בלבד, ואין לה שורשים. הפונקציה מקיימת את המשוואה הפונקציונלית <math>\ \Gamma(z+1) = z\Gamma(z)</math>, המסבירה את הקשר לפונקציית העצרת, ועוד זהויות פונקציונליות רבות אחרות.

== הגדרה ==
פונקציית גמא מוגדרת על ידי האינטגרל הבא:
<div style="text-align: center;">
<math>
\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,\mathrm{d}t
</math>
</div>
וזאת לכל <math>\ z \in \mathbb{C}</math> שהחלק הממשי שלו, <math>\,Re(z)</math>, הוא חיובי. פונקציה זו מתלכדת עם הפונקציה המוגדרת באמצעות הגבול
<math>\ \Gamma(z) = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1\cdot 2 \cdots n}{z\cdot (z+1)\cdots (z+n-1)}(n+1)^{z-1} </math>, המוגדר היטב לכל <math>\ z \neq 0,-1,-2,\dots</math>. משום כך, הפונקציה השנייה מהווה המשכה אנליטית של האינטגרל לפונקציה מרומורפית.

== תכונות ==

=== הקשר לפונקציית עצרת ===
גרף של פונקציית גמא על הישר הממשי

ניתן להראות שעבור מספרים טבעיים, פונקציית גמא שווה (בהזזת 1) לפונקציית העצרת.

אם <math>\,n</math> הוא חיובי ושלם, אזי <math>\Gamma(n) = \int_0^\infty t^{n-1}\,e^{-t}\,\mathrm{d}t=(n-1)! </math>, כי על ידי ביצוע אינטגרציה בחלקים, אפשר להראות כי <math>\,\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)</math>, ומאחר ש-<math>\,\Gamma(1)=1</math> נקבל כי <math>\,\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=\ldots=n!\Gamma(1)=n!\,</math>
לכל מספר טבעי <math>\,n</math>.

=== זהויות אחרות ===
זהות חשובה אחת לפונקציית גמא היא נוסחת השיקוף: <math>\ \Gamma(1-z)\Gamma(z) = {\pi \over \sin \pi z}</math>.

מכאן נובע כי
<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2 = {\pi \over \sin \pi/2}=\pi</math>, ולכן <math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}</math>.

זהות חשובה אחרת היא נוסחת הכפל של גאוס:
<div style="text-align: center;">
<math>
\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{k}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{k}\right) \cdots
\Gamma\left(z + \frac{k-1}{k}\right) =
(2 \pi)^{(k-1)/2} \; k^{1/2 - kz} \; \Gamma(kz) \,\!
</math>
</div>

גרף של הערך המוחלט של פונקציית גמא במישור המרוכב. {{ש}} באיור זה ניתן לראות בבירור את הקטבים של הפונקציה

לפונקציית גמא יש קוטב ב <math>\,z=-n</math> לכל <math>\,n</math> טבעי. בנקודה זאת נתון גם ש:

: <math>\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}.</math>

המכפלה האינסופית הבאה, כפי שהראה ויירשטראס, נכונה לכל <math>\,z</math> מרוכב, אשר אינו שלם אי-חיובי:

: <math>\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}</math>

כאשר <math>\,\gamma</math> הוא "קבוע אוילר-מסקרוני".

==משפט בוהר-מולרופ==

משפט בוהר-מולרופ הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא על פי המשוואה הפונקציונלית שהיא מקיימת. המשפט קרוי של-שמם של המתמטיקאים הדנים הארלד בוהר ויוהאן מולרופ שהוכיחו אותו.

: משפט: פונקציית גמא הממשית, המוגדרת לכל <math>\,x>0</math> על ידי <math>\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t</math>, היא הפונקציה היחידה <math>\,f</math> בקרן <math>(0,\infty)</math> המקיימת:
:#<math>\,f(1)=1</math>
:# <math>f(x+1)=xf(x)\ \mbox{for}\ x>0</math>
:# <math>\,f</math> היא פונקציה לוג-קמורה

אחת ההוכחות לנוסחת סטירלינג משתמשת במשפט זה. במסגרת ההוכחה בונים פונקציה המקיימת את שלושת התנאים במשפט בוהר-מולרפ, ולכן פונקציה זו היא בהכרח פונקציית גמא.


== אומדן ==

השוואה בין גמא מוזז (קו כחול) לעצרת (נקודות כחולות) ואומדן סטירלינג (קו סגול)
ניתן לאמוד את הערכים הממשיים והמרוכבים של פונקציית גמא בעזרת אומדן לנקזוס או אומדן סטירלינג:

<math>\Gamma(z) \sim \sqrt{2\pi}z^{z-1/2}e^{-z},\quad\left|\arg(z)\right|<\pi</math>

אומדן זה מדויק בכך שהיחס בין האומדן לערך האמיתי שואף ל-1 כש <math>|z|</math> שואף לאינסוף.

==ראו גם==
* פונקציית בטא
* פונקציית גמא הלא שלמה
* משפט בוהר-מולרופ

==קישורים חיצוניים==

* [http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html פונקציית גמא] באתר Wolfram mathworld
* 
* [http://functions.wolfram.com/webMathematica/FunctionEvaluation.jsp?name=Gamma מחשבון לפונקציית גמא]
* 
* 

גמא, פונקציית
קטגוריה:לאונרד אוילר