התפלגות רב-נורמלית

בתורת ההסתברות, התפלגות רב-נורמלית, או התפלגות גאוסיאנית רב-ממדית, (באנגלית: Multivariate normal distribution) היא הכללה של התפלגות נורמלית למשתנים מקריים רב-ממדיים. היא מוגדרת בתור וקטור משתנים מקריים, שכל צירוף ליניארי שלו מתפלג נורמלית. ישנה גם הגדרה (כללית יותר) בשפה של פונקציות אופייניות (הקובעת את המשתנה).

להתפלגות רב-נורמלית מספר שימושים, כגון הוכחת טענות על התפלגות הממוצע וסטיית התקן של משתנים מקריים שווי התפלגות נורמלית; טענות אלו שימושיות במיוחד בסטטיסטיקה. ניתן גם לנסח את משפט הגבול המרכזי בגרסה רב-ממדית בעזרת התפלגות רב-נורמלית.

==הגדרה==
יהי <math>X=(X_1, \dots ,X_n)</math> וקטור משתנים מקריים ממשיים. נאמר ש-<math>X</math> מתפלג רב-נורמלית (או גאוסיאנית) אם לכל <math>a_1,\dots,a_n \in \mathbb{R}</math> המשתנה המקרי (החד־ממדי) <math>\langle \bar{a} , \bar{X} \rangle=a_1 X_1 + \dots +a_n X_n</math> מתפלג נורמלית, כלומר קיימים <math>\mu,\sigma</math> (תלויים ב-<math>a_i</math>) כך ש-<math>\langle \bar{a} , \bar{X} \rangle \sim N(\mu,\sigma^2)</math>.

אם <math>X</math> משתנה רב-נורמלי, מסמנים <math>X \sim N(\bar{\mu},V)</math> כאשר <math>\bar{\mu}</math> הוא וקטור התוחלות, ו-<math>V</math> היא מטריצת השונויות המשותפות - <math>V_{i,j} = \operatorname{Cov}(X_i,X_j)</math>

==תכונות==
===הפונקציה האופיינית===
ניתן לאפיין את המשתנים המקריים הגאוסיאניים בעזרת הפונקציה האופיינית שלהם: וקטור משתנים מקריים הוא גאוסיאני אם ורק אם הוא בעל פונקציה אופיינית:
<center>
<math>\varphi_X(\bar{a}) = e^{i\langle \bar{\mu},\bar{a} \rangle - \frac{1}{2}\bar{a}^T V \bar{a}}</math>
</center>
מטריצה השונויות <math>V</math> היא חיובית.

בפרט, נובע שהמשתנים המקריים בלתי מתואמים אם ורק אם הם בלתי תלויים (מה שלא נכון באופן כללי).

===לכסון===
לכל משתנה מקרי רב-נורמלי <math>X</math> קיימים משתנה מקרי <math>Y</math> ומטריצה אורתוגונלית <math>A</math> כך ש-<math>X=\bar{\mu} + YA</math>, כאשר <math>Y_i \sim N(0,\lambda_i)</math> ו-<math>\lambda_i</math> הם הערכים עצמיים של <math>V</math> (מטריצת השונויות המשותפות).

בכיוון ההפוך, לכל משתנה מקרי רב-נורמלי <math>X</math> ולכל מטריצה אורתוגונלית <math>A</math>, המשתנה המקרי <math>AX</math> גם הוא רב נורמלי: <math>Y \sim N(A \mu , V)</math>.

כדי להוכיח משפט זה, יש להפעיל לכסון אורתוגונלי על <math>V</math> (בפרט, המטריצה <math>A</math> נבחרת להיות המטריצה המלכסנת).

===פונקציית צפיפות===
כאשר מטריצת השונויות <math>V</math> איננה מטריצה סינגולרית - כלומר כל ערכיה העצמיים <math>\lambda_i </math> שונים מאפס, למשתנה הרב-נורמלי יש פונקציית צפיפות, הנתונה על ידי הנוסחא:
<center>
<math>f_{X}(\bar{x}) =\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}| V|}}e^{-\frac{1}{2}({\bar{x}}-{\bar{\mu}})^T{V}^{-1}({\bar{x}}-{\bar{\mu})}}</math>
</center>
כאשר <math>| V|=\det(V)</math> מסמן את הדטרמיננטה של <math> V</math>.

==התפלגות רב-נורמלית סינגולרית==
בדרך כלל מניחים כי מטריצת השונויות <math>V</math> איננה מטריצה סינגולרית. כאמור, במקרה זה למשתנה הרב-נורמלי יש פונקציית צפיפות.

עם זאת, כאשר מורידים את ההנחה האחרונה (כלומר, יש ערכים עצמיים אפס), מתקבל משתנה מקרי רב-נורמלי סינגולרי. ההגדרה בעזרת הפונקציה האופיינית היא כללית יותר (כלומר, תקפה גם במקרה הסינגולרי). במקרה זה אין פונקציית צפיפות (ביחס למידת לבג) - ערכיה כל פונקציית צפיפות ייקבעו על ידי פחות מ-<math>n</math> משתנים, ואינטגרל של פונקציה כזו הוא אפס ולא 1, כנדרש מפונקציית צפיפות.

בכל זאת, ניתן להגדיר מידות אחרות (על תת-מרחב <math>\operatorname{rank}(V)</math>-ממדי של <math>\mathbb{R}^n</math>) ואז מוגדרת פונקציית צפיפות עבור משתנה מקרי ביחס למידה החדשה.

==יישומים==
בעזרת התפלגות רב-נורמלית ניתן לאמלל סטודנטים רבים, ניתן להוכיח תוצאות חשובות בסטטיסטיקה.

למשל, אם <math>X_1,X_2,\dots</math> משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים <math>N(0,1)</math>, נסמן <math>\bar{X}_n = \frac{X_1+\dots +X_n}{n}</math> ו-<math>S_n=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\bar{X}_n)^{2}}</math>. אז מתקיים <math>\bar{X}_n/\sqrt{\frac{S_n}{n}} \sim t_{n-1}</math>, כלומר מתפלג סטודנט עם <math>n-1</math> דרגות חופש.

==קישורים חיצוניים==
* 

קטגוריה:התפלגויות רציפות