מקדמי קלבש-גורדן

במכניקת הקוונטים, מקדמי קלבש-גורדן הם מקדמים המשמשים לבניית מצבים עצמיים של התנע הזוויתי הכולל של מערכת מורכבת מתוך מצבים עצמיים של תנע זוויתי של תת-מערכות שלה.

==מרחב המכפלה החיצונית==
נתונה מערכת המורכבת משתי תת-מערכות.

יהי <math>\ V_1</math> מרחב וקטורי <math>\ 2j_1+1</math> ממדי, הנפרס על ידי המצבים העצמיים של <math>j_1^2, j_{z1}</math>, התנע הזוויתי של תת-המערכת הראשונה ורכיב <math>\ z</math> שלו:

:<math>|j_1 m_1 \rangle \quad m_1=-j_1,-j_1+1,\ldots j_1</math>

ויהי <math>\ V_2</math> מרחב וקטורי <math>\ 2j_2+1</math> ממדי, הנפרס על ידי המצבים העצמיים של <math>j_2^2, j_{z2}</math>, של תת-המערכת השנייה:

:<math>|j_2 m_2 \rangle \quad m_2=-j_2,-j_2+1,\ldots j_2</math>

מרחב המצבים של המערכת הכוללת הוא מרחב <math>\ (2j_1+1)(2j_2+1)</math> ממדי, הנתון על ידי המכפלה של שני המרחבים הנפרדים <math>V_{12} \equiv V_1 \otimes V_2</math>.
בסיס אפשרי למרחב זה הוא סט מצבי המכפלה החיצונית של המצבים הנפרדים

:<math>|j_1 m_1 \rangle |j_2 m_2 \rangle \equiv |j_1 m_1 \rangle \otimes |j_2 m_2 \rangle</math>

כאשר הסימון <math> \otimes </math> מייצג את אופרטור המכפלה טנזורית.

==התנע הזוויתי הכולל של המערכת המורכבת==
נגדיר אופרטורים הפועלים במרחב <math>\ V_{12}</math> באמצעות רכיבי התנעים הזוויתיים הנפרדים (כאן <math>\mathbf{1}</math> מייצג את אופרטור היחידה)

:<math>J_i \equiv j_{i1} \otimes \mathbf{1} + \mathbf{1} \otimes j_{i2}\quad\mathrm{for}\quad i = x,y,z</math>

כל מכפלה כזאת פועלת על מרחב המצבים של המערכת הכוללת באופן הבא

:<math>(j_{i1} \otimes \mathbf{1})|j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle \equiv (j_{i1}|j_1m_1\rangle) \otimes |j_2m_2\rangle</math>

:<math>(\mathbf{1} \otimes j_{i2}) |j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle) \equiv |j_1m_1\rangle \otimes j_{i2}|j_2m_2\rangle</math>

אופרטורים אלו מקיימים את יחסי החילוף של רכיבי תנע זוויתי

:<math>[J_k,J_l] = i \sum_{m=1}^3 \epsilon_{klm}J_m</math>

לפיכך נוכל להגדיר את התנע הזוויתי הכולל של המערכת, שאופרטורים אלו הם רכיביו, ואשר מקיים

:<math>\mathbf{J}^2 |j_1j_2JM\rangle = J(J+1) |j_1j_2JM\rangle</math>

:<math>J_z |j_1j_2JM\rangle = M |j_1j_2JM\rangle,\quad \mathrm{for}\quad M=-J,\ldots,J</math>

כאשר <math>|j_1j_2JM\rangle</math> הם המצבים העצמיים של התנע הזוויתי הכולל (וגם של התנעים הזוויתיים הנפרדים), והם פורסים את המרחב <math>\ V_{12}</math>. כמו כן <math>\ J</math> מקיים את אי שוויון המשולש

:<math>|j_1-j_2| \leq J \leq j_1+j_2</math>

==הגדרת מקדמי קלבש גורדן==
מצבי המכפלה מהווים בסיס של המרחב <math>\ V_{12}</math>, מכאן שניתן להביע כל מצב במרחב כצירוף ליניארי שלהם. בפרט, ניתן להביע את המצבים העצמיים של התנע הזוויתי הכולל בבסיס זה:

:<math>|j_1j_2JM\rangle = \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2}
 |j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|j_1j_2JM\rangle</math>

מקדמי הצירוף הליניארי <math>\langle j_1m_1j_2m_2|j_1j_2JM\rangle</math> נקראים מקדמי קלבש גורדן. נהוג להשמיט את <math>\ j_1j_2</math>, ולסמן את המקדמים בקיצור <math>\langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle</math>.

על ידי הגדרת אופרטורי סולם של התנע הזוויתי הכולל ניתן למצוא יחסי רקורסיה שבאמצעותם ניתן לחשב את מקדמי קלבש גורדן במפורש. את יחסי הרקורסיה מצא יואל רקח בשנת 1941.

==תכונות==
הפעלת האופרטור <math>J_z = j_{z1} \otimes \mathbf{1} + \mathbf{1} \otimes j_{z2}</math> על המשוואה המגדירה את המקדמים מראה שהמקדמים מתאפסים אלא אם מתקיים

:<math>\ M = m_1 + m_2</math>

בנוסף, המקדמים מקיימים

:<math>\langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle \equiv \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M \rangle</math>

ואת יחסי האורתוגונליות:

:<math>\sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{M=-J}^{J}
 \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M \rangle \langle J M|j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle
 = \delta_{m_1,m_1'}\delta_{m_2,m_2'}</math>

:<math>\sum_{m_1m_2} \langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle
 \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J' M' \rangle
 = \delta_{J,J'}\delta_{M,M'}</math>

==שימושים==
כאמור, המקדמים משמשים לבניית מצבים של התנע הזוויתי הכולל מתוך מצבים של התנעים הזוויתיים הנפרדים.
בנוסף, לתכונות מקדמי קלבש גורדן יש חשיבות בקביעת כללי ברירה של מעברים קרינתיים תוך שימוש במשפט ויגנר-אקרט.

==קישורים חיצוניים==
*[http://pdg.lbl.gov/2011/reviews/rpp2011-rev-clebsch-gordan-coefs.pdf קובץ המכיל טבלת מקדמי קלבש-גורדן, הרמוניות ספריות ומטריצות d של ויגנר.]
* טבלאות של מקדמי קלבש גורדן, מתוך ויקיפדיה האנגלית
* 

קטגוריה:מכניקת הקוונטים