משפט הרשל-מקסוול

במתמטיקה, ובפרט בתורת ההסתברות, משפט הרשל-מקסוול הוא משפט הקובע כי משתנה מקרי רציף רב ממדי המקיים סימטריה לסיבוב ואי-תלות בין רכיביו הוא בהכרח משתנה מקרי המתפלג רב-נורמלית כאשר כל רכיביו בעלי אותה סטיית תקן.

משפט זה, ביחד עם משפט הגבול המרכזי וחוק המספרים הגדולים, מציגים את ייחודה של ההתפלגות הנורמלית על-פני התפלגויות אחרות. מעבר לכך, המשפט מאפשר אינטואיציה גאומטרית להופעתו של פאי בפונקציית צפיפות ההסתברות של ההתפלגות הנורמלית.

המשפט נוסח לראשונה במאמר של ג'ון הרשל משנת 1850,<ref></ref> ונוסח שוב במאמר של ג'יימס קלרק מקסוול משנת 1860 כטענת עזר למאמר בנושא מערכות דינמיות של גז.<ref></ref>

== נוסח המשפט ==
בהינתן מרחב הסתברות <math>(\Omega,\mathcal{F},\mu)</math>, <math>2\le n\in \mathbb{N}</math> ומשתנה מקרי רב ממדי <math>\vec{X}=(X_1, X_2,\dots,X_n)</math> המקיים את התנאים הבאים:

# כל המשתנים המקריים <math>X_i</math> רציפים.
# כל המשתנים המקריים <math>X_i</math> בלתי-תלויים זה בזה בזוגות.
# פונקציית צפיפות ההסתברות של <math>\vec{X}</math> סימטרית לסיבוב במרחב <math>\mathbb{R}^n</math>.

אזי כל המשתנים המקריים <math>X_i</math> שווי התפלגות, ובפרט כולם מתפלגים נורמלית עם ממוצע 0 ואותה סטיית תקן.

== הוכחה ==
=== המקרה הדו-ממדי ===
מכיוון שהמשתנים המקריים <math>X_1,X_2</math> רציפים, קיימות לשניהם פונקציות צפיפות הסתברות <math>\rho_i:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> (<math>i=1,2</math>).

עבור <math>\vec{X}</math> ניתן לסמן פונקציית צפיפות הסתברות כוללת <math>\rho:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>.

מכיוון ו-<math>X_1,X_2</math> בלתי-תלויים מתקיים <math>\rho(x,y)=\rho_1(x)\rho_2(y)</math>.

לכל <math>(x,y)\in\mathbb{R}^2</math> קיימים <math>r\ge 0</math> ו-<math>0\le \theta \le 2\pi</math> כך ש-<math>x=r\cos\theta</math> ו-<math>y=r\sin\theta</math>. בגלל תנאי הסימטריה מתקיים כי:

<math>\begin{array}{lcl}\rho_1(x)\rho_2(y)=\rho(x,y)=\rho(r,0)=\rho_1(r)\rho_2(0)=\rho_1\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\rho_2(0) & (1)\end{array}</math>

בגלל תנאי הנרמול על פונקציית צפיפות ההסתברות בהכרח מתקיים כי <math>\rho_2(0)\ne 0</math> (אחרת האינטגרל של <math>\rho</math> על כל <math>\mathbb{R}^2</math> היה מתאפס). באופן דומה ניתן להוכיח כי <math>\rho_1(0)\ne 0</math>. מטעמי סימטריה סיבובית:

<math>\rho_1(x)\rho_2(0)=\rho(x,0)=\rho(0,x)=\rho_1(0)\rho_2(x)\implies\frac{\rho_1(x)}{\rho_1(0)}=\frac{\rho_2(x)}{\rho_2(0)}=:g(x)</math>

כאשר <math>g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. על ידי חילוק משוואה (1) ב-<math>\rho_1(0)\rho_2(0)</math> מתקבל:

<math>g(x)g(y)=\frac{\rho_1(x)\rho_2(y)}{\rho_1(0)\rho_2(0)}=\frac{\rho_1\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}{\rho_1(0)}=g\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)</math>

זוהי משוואה פונקציונלית שפתרונה הוא מהצורה <math>g(x)=e^{-ax^2}</math> עבור <math>a>0</math> כלשהו. על ידי הצבה, נרמול פונקציות ההסתברות והחלפת משתנים, מתקבל כי:

<math>\rho_1(x)=\rho_2(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}</math>

זוהי פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות נורמלית עם ממוצע 0 וסטיית תקן <math>\sigma</math>, כרצוי. מ.ש.ל.

קיימת הוכחה נוספת למשפט המבוססת על חוק המספרים הגדולים.<ref></ref>

=== המקרה הכללי ===
בגלל שהסמטריה מתקיימת לכל סיבוב שהוא, היא מתקיימת בפרט לכל סיבוב בתת-מרחב דו-ממדי של <math>\mathbb{R}^n</math>. כלומר, לכל זוג משתנים מקריים <math>X_i,X_j</math> מתקיים תנאי המשפט הדו-ממדי, ולכן שתיהן מתפלגות נורמלית עם ממוצע 0 ואותה סטיית תקן. הדבר נכון לכל זוג משתנים מקריים, ולכן נכון לכל המשתנים המקריים במשפט.

== ראו גם ==
* התפלגות מקסוול-בולצמן
* התפלגות נורמלית
* משפט הגבול המרכזי
* חוק המספרים הגדולים

== קישורים חיצוניים ==
* 

== הערות שוליים ==

קטגוריה:משפטים בתורת ההסתברות
קטגוריה:משפטים בסטטיסטיקה