טווח של פונקציה

תמונה של <math>f</math>, והאדומה היא התחום שלה.]]
במתמטיקה, טווח של פונקציה אחד משלושת המרכיבים של פונקציה, לצד תחום וכלל התאמה. הטווח, הוא קבוצת כל הפלטים שהפונקציה מחזירה. בסימון <math>f\colon X \rightarrow Y</math> הטווח של הפונקציה <math>f</math> הוא הקבוצה <math>Y</math>.

== הגדרה ==
באופן פורמלי, טווח הוא חלק מפונקציה <math>f</math>, אם <math>f</math> מוגדרת על ידי השלשה הסדורה <math>(X, Y, G)</math> כאשר <math>X</math> הוא התחום של <math>f</math>, <math>Y</math> הטווח שלה ו-<math>G</math> כלל ההתאמה ביניהם. 

== ההבדל בין טווח לתמונה ==
טווח של פונקציה הוא מונח שונה מתמונה של פונקציה. התמונה מוגדרת להיות קבוצת כל האיברים מהצורה <math>f(x)</math>, כאשר <math>x</math> נע על פני איברי התחום <math>X</math>, נקרא התמונה של <math>f</math>. באופן בלתי פורמלי, הטווח הוא קבוצת כל האיברים שהפונקציה יכולה להגיע אליהם, ואילו התמונה היא קבוצת כל האיברים שהפונקציה אכן מגיעה אליהם. היות שתמונה של פונקציה היא תת-קבוצה של הטווח שלה, היא לא בהכרח שווה לטווח. כלומר, ייתכן שקיימים איברים בטווח שלמשוואה <math>f(x)=y</math> אין פתרון עבורם. אם התמונה והטווח של <math>f</math> שווים, אז <math>f</math> היא פונקציה על.

== דוגמאות ==
עבור הפונקציה <math>f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> המוגדרת על ידי כלל ההתאמה <math>f(x)\ =\ x^2</math> הטווח של <math>f</math> הוא <math>\textstyle \mathbb R</math>, אבל <math>f</math> לא מגיעה לשום מספר שלילי. לפיכך התמונה של <math>f</math> היא הקבוצה <math>\textstyle \mathbb{R}^+_0</math>; כלומר, הקטע <math> [0,\infin)</math>.

דוגמה נוספת היא הפונקציה <math>g</math>: <math>g\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+_0</math> עם כלל ההתאמה <math>g(x)\ =\ x^2</math>.

אף על פי שהפונקציות <math>f</math> ו-<math>g</math> מתאימות לכל <math>x</math> בתחום את אותו ה-<math>y</math> בטווח, הן פונקציות שונות, מכיוון שיש להן טווחים שונים.

נגדיר פונקציה שלישית <math>h</math> על ידי כלל ההתאמה <math>h(x) = \sqrt x</math>. התחום של <math>h</math> לא יכול להיות <math>\textstyle \mathbb{R}</math>, אבל ניתן להגדיר בתור תחום את <math>\textstyle \mathbb{R}^+_0</math>: <math>h\colon\mathbb{R}^+_0\rightarrow\mathbb{R}</math>.

נבדוק את ההרכבות <math>h \circ f</math> ו-<math>h \circ g</math>.

<math>h \circ f</math> אינו שימושי. התמונה של <math>f</math> אינה ידועה; ידוע רק שהיא תת-קבוצה של <math>\textstyle \mathbb R</math>. מסיבה זו, ייתכן ש-<math>h</math>, כאשר היא מורכבת עם <math>f</math>, עשויה לקבל ארגומנט שלא מוגדר עבורו פלט. שהרי מספרים שליליים אינם איברים בתחום של <math>h</math>, שהיא פונקציית השורש הריבועי. לכן הרכבה של פונקציה היא מושג שימושי רק כאשר הטווח של הפונקציה <math>f</math> היא תת-קבוצה של התחום של הפונקציה <math>g</math>.

הטווח משפיע על האם הפונקציה היא פונקציה על. הפונקציה היא על אם ורק אם הטווח שלה שווה לתמונה שלה. בדוגמה, <math>g</math> פונקציה על בעוד <math>f</math> לא. הטווח אינו משפיע על האם פונקציה היא חד חד ערכית.

דוגמה שנייה להבדל בין טווח לתמונה מודגמת על ידי העתקות הליניאריות בין שני מרחבים וקטוריים. בפרט, כל העתקות הליניאריות מ-<math>\textstyle \mathbb{R}^2</math> לעצמו, שיכולות להיות מיוצגות על ידי מטריצות עם מקדמים ממשיים. כל מטריצה מייצגת מפה עם תחום <math>\textstyle \mathbb{R}^2</math> וטווח <math>\textstyle \mathbb{R}^2</math>. עם זאת, התמונה אינה ודאית. לחלק מההעתקות עשויות להיות תמונה שווה לכל הטווח (במקרה זה המטריצות מדרגה ) אך רבות לא. במקום זאת ממפות לתת-מרחב קטן יותר (מטריצות מדרגה או ). למשל, המטריצה:<math>T = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 0 \end{pmatrix}</math> מייצגת העתקה ליניארית הממפה את הנקודה <math>(x,y)</math> ל-<math>(x,x)</math>. הנקודה <math>(2,3)</math> אינה בתמונה של <math>T</math> אבל היא עדיין בטווח, שכן ההעתקות הליניאריות הן מ-<math>\textstyle \mathbb{R}^2</math> ל-<math>\textstyle \mathbb{R}^2</math>. בדיוק כמו כל המטריצות בגודל , <math>T</math> מייצגת איבר בקבוצה זו. בחינת ההבדלים בין התמונה לטווח יכולה לעיתים קרובות להיות שימושית לגילוי מאפיינים של הפונקציה המדוברת. לדוגמה, ניתן להסיק של-<math>T</math> אין דרגה מלאה, מאחר שהתמונה שלה קטנה יותר מהטווח.

== תורת הקבוצות ==
בתורת הקבוצות רצוי לאפשר לתחום של פונקציה להיות מחלקה נאותה <math>X</math>, ובמקרה אלו, אין דבר כזה שלשה סדורה <math>(X, Y, G)</math>. עם הגדרה כזו אין לפונקציות טווח, אף על פי שחלק מהכותבים עדיין משתמשים בו באופן לא רשמי, לאחר הצגת פונקציה בצורה <math>f\colon X \rightarrow Y</math>.

== קישורים חיצוניים ==
* 
* 

== הערות שוליים ==

קטגוריה:פונקציות מתמטיות