פונקציית הניקוד

בסטטיסטיקה, פונקציית הניקוד (באנגלית: Score function) של פרמטר <math>\theta</math> היא הגרדיאנט של לוג פונקציית הנראות <math>L(\theta; X)</math> בכיוון של הפרמטר. הפונקציה מציינת עד כמה רגישה פונקציית הנראות לשינויים ב-<math>\theta</math>. 

פונקציית הנראות ממלאת תפקיד חשוב במספר היבטים של הסקה סטטיסטית, כגון:
* מציאת סטטיסטי מבחן בעל עוצמה מקסימלית מקומית
* הערכת גודל השגיאה של אומד נראות מקסימלית
* מציאת רווחי סמך
* הוכחה של חסם קרמר-ראו

פונקציית הניקוד ממלאת גם תפקיד חשוב בסטטיסטיקה חישובית , שכן היא יכולה לקחת חלק בחישוב של אומדי נראות מקסימלית.

== הגדרה ==
הערך של פונקציית הניקוד (או בקיצור: "הניקוד") הוא הגרדיאנט (וקטור של נגזרות חלקיות), בהתייחס לפרמטר מסוים <math>\theta</math>, של הלוגריתם (בדרך כלל הלוגריתם הטבעי) של פונקציית הנראות. אם התצפית היא <math>X</math> והנראות שלה היא <math>L(\theta; X)</math>, אז הניקוד <math>V</math> ניתן לחישוב לפי כלל השרשרת באופן הבא:

:<math>
V \equiv V(\theta, X)
=
\frac{\partial}{\partial\theta} \log L(\theta;X)
=
\frac{1}{L(\theta;X)} \frac{\partial L(\theta;X)}{\partial\theta}.
</math>

לכן הניקוד <math>V</math> מציין את הרגישות של <math>L(\theta; X)</math> (הנגזרת כשהיא מנורמלת על ידי ערך הפונקציה). יש לשים לב ש-<math>V</math> היא פונקציה גם של התצפית <math>X</math> אך גם של הפרמטר <math>\theta</math>, לכן זהו לא סטטיסטי. אף על פי כן ניתן להשתמש בו ביישומים מסוימים, על ידי חישוב ערך הפונקציה עבור ערך <math>\theta</math> ספציפי (כמו ערך ה-<math>\theta</math> של השערת האפס, או אומד הנראות המקסימלית של <math>\theta</math>), והתוצאות של חישובים אלו הן סטטיסטים.

== תכונות ==
=== תוחלת ===
תחת תנאי רגולריות מסוימים, התוחלת של פונקציית הניקוד <math>V</math> בהתייחס לתצפית <math>x</math>, בהינתן הפרמטר האמיתי <math>\theta</math>, כלומר <math>\mathbb{E}(V\mid\theta)</math>, שווה ל-0. על מנת לראות זאת נכתוב מחדש את פונקציית הנראות L כפונקציית צפיפות: <math>L(\theta; x) = f(x; \theta)</math>, ואז:

<math>\begin{align}
\mathbb{E}(V\mid\theta) & =\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial\theta} (\log L(\theta;X)) f(x; \theta) \,dx \\
& =\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial\theta} (\log f(\theta;X)) f(x; \theta) \, dx \\
& =\int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{1}{f(x; \theta)}\cdot\frac{\partial f(x; \theta)}{\partial \theta}\right) f(x; \theta)\, dx \\
& =\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial f(x; \theta)}{\partial \theta} \, dx
\end{align}</math>

אם תנאי גזירות מסוימים מתקיימים, אינטגרל זה שווה ל:

<math>
\frac{\partial}{\partial\theta} \int_{-\infty}^{+\infty}
 f(x; \theta) \, dx
= \frac{\partial}{\partial\theta}1 = 0.
</math>

מכיוון שהתוחלת של פונקציית הניקוד היא 0 כאמור לעיל, אם נדגום פעם אחר פעם מהתפלגות מסוימת, ובכל פעם נחשב את הניקוד, אז ממוצע ערכי הניקוד ישאף ל-0 כשמספר הדגימות ישאף לאינסוף.

=== שונות ===

השונות של פונקציית הניקוד ידועה בשם אינפורמציה של פישר, ומסומנת: <math>\mathcal{I}(\theta)</math>. מכיוון שהתוחלת של פונקציית הניקוד היא 0, ניתן לנסח את השונות בצורה הבאה:

:<math>
\mathcal{I}(\theta)
=
\mathbb{E}
\left\{\left.
 \left[
 \frac{\partial}{\partial\theta} \log L(\theta;X)
 \right]^2
\right|\theta\right\}
=
\mathbb{E}
\left\{\left.
 \left[
 \frac{\frac{\partial}{\partial\theta} L(\theta;X)}{L(\theta;X)}
 \right]^2
\right|\theta\right\}
</math>

יש לשים לב שהאינפורמציה של פישר כפי שהוגדרה לעיל, איננה פונקציה של תצפית מסוימת (אלא רק של הפרמטר <math>\theta</math>), שכן המשתנה המקרי <math>X</math> מתקזז בנוסחה. מושג זה של אינפורמציה שימושי כשמבצעים השוואה בין שתי שיטות תצפית מתהליך סטוכסטי כלשהו.

==קישורים חיצוניים==
* 

קטגוריה:סטטיסטיקה