ראשוני ז'רמן

בתורת המספרים, מספר ראשוני p הוא ראשונִי ז'רמן, אם גם 2p+1 הוא מספר ראשוני. לדוגמה, המספר הראשוני 11 הוא ראשוני ז'רמן משום ש-23 ראשוני, ואילו 23 ראשוני ז'רמן, משום ש- 47 ראשוני. האחרון אינו ראשוני ז'רמן, שהרי 95 אינו ראשוני. ראשוניי ז'רמן קרויים כך על שם המתמטיקאית סופי ז'רמן, שהוכיחה עבורם את "המקרה הראשון" של השערת פרמה: אם p ראשוני ז'רמן, לא קיימים <math>\ x,y,z</math> שאינם מתחלקים ב- p, המקיימים <math>\ x^p+y^p=z^p</math>.

משערים שיש אינסוף ראשוניי ז'רמן. ואולם כמו השערת המספרים הראשוניים התאומים, השערה זו לא הוכחה. ראשוניי ז'רמן הראשונים הם 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431 ו- 443. 

לפי קירוב היוריסטי של הארדי וליטלווד, מספר ראשוניי ז'רמן שמתחת לגבול נתון n הוא <math>\ 2C_2 \frac{n}{\log(n)^2}</math>, כאשר <math>\ \log</math> הוא הלוגריתם בבסיס הטבעי, ו- <math>\ C_2\approx 0.66</math> הוא קבוע הראשוניים התאומים. עבור n=10000, האומדן הזה חוזה 156 ראשוניי ז'רמן, פחות ב-20% מן המספר הנכון, 190. עבור <math>\ n=10^7</math>, האומדן 50,822 נמוך בכ-10% מן המספר האמיתי, 56,032.

ראשוני ז'רמן הגדולים ביותר (נכון לאוגוסט 2021) הם:<ref>[http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=2 The Top Twenty Sophie Germain Primes] — from the Prime Pages. Retrieved 17 May 2020.</ref>

{| class="wikitable toccolours ctd-left-2 ctd-left-1"
|-bgcolor="#87cefa"
! ערך!! מספר ספרות !! זמן גילוי !! מגלה
|-bgcolor="#efefef" 
| 2618163402417 × 2<sup>1290000</sup> − 1 || align="center" | 388342 || align="right" | פברואר 2016 || align="right" | PrimeGrid<ref>[http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=121330 The Prime Database: 2618163402417×2<sup>1290000</sup> - 1]</ref>
|-
| 18543637900515 × 2<sup>666667</sup> − 1 || align="center" | 200701 || align="right" | אפריל 2012 || align="right" | פיליפ בלידונג בחיפוש PrimeGrid מבוזר עם TwinGen ומבחן LLR<ref></ref>
|-bgcolor="#efefef"
|183027 × 2<sup>265440</sup> − 1 || align="center" | 79911 || align="right" | מרץ 2010 || align="right" | טום וו באמצעות LLR<ref>[http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=92222 The Prime Database: 183027*2^265440-1]. From The Prime Pages.</ref>
|-
|648621027630345 × 2<sup>253824</sup> − 1 וגם 620366307356565 × 2<sup>253824</sup> − 1 || align="center" | 76424 || align="right" | נובמבר 2009 || align="right" | זולטן ז'ראי, גבור פרקש, טימאה סאז'בוק, יאנוס קאזה ואנטאל ז'ראי<ref>[http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=90907 The Prime Database: 648621027630345*2^253824-1].</ref><ref>[http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=90711 The Prime Database: 620366307356565*2^253824-1]</ref>
|-bgcolor="#efefef"
|1068669447 × 2<sup>211088</sup> − 1 || align="center" | 63553 || align="right" | מאי 2020 || align="right" | מיכאל קווק<ref>[https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130903 The Prime Database: 1068669447*2^211088-1] From The Prime Pages.</ref>
|-
|99064503957 × 2<sup>200008</sup> − 1 || align="center" | 60220 || align="right" | אפריל 2016 || S. Urushihata<ref>[https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=121507 The Prime Database: 99064503957*2^200008-1] From The Prime Pages.</ref>
|-bgcolor="#efefef"
|607095 × 2<sup>176311</sup> − 1 || align="center" | 53081 || align="right" | ספטמבר 2009 || align="right" | טום וו<ref>[http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=89999 The Prime Database: 607095*2^176311-1].</ref>
|-
|48047305725 × 2<sup>172403</sup> − 1 || align="center" | 51910 || align="right" | ינואר 2007 || align="right" | דייוויד אנדרבקה באמצעות שימוש ב TwinGen ו LLR <ref>[http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=79261 The Prime Database: 48047305725*2^172403-1].</ref>
|-bgcolor="#efefef"
|137211941292195 × 2<sup>171960</sup> − 1 || align="center" | 51780 || align="right" | מאי 2006 || align="right" | זולטן ז'ראי<ref>[http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=77705 The Prime Database: 137211941292195*2^171960-1].</ref>
|-
|}

==קישורים חיצוניים==
* [https://web.archive.org/web/20180828174907/http://mersennewiki.org/index.php/Sophie_Germain_prime טבלת ראשוני ז'רמן]
* 
* 

== הערות שוליים ==

קטגוריה:מספרים ראשוניים
קטגוריה:בעיות פתוחות בתורת המספרים