מספר פרמה

בתורת המספרים, מספרי פרמה הם מספרים טבעיים מהצורה <math>F_{n} = 2^{\left(2^n\right)} + 1</math>, כאשר <math>\,n</math> הוא מספר שלם לא שלילי. המספרים קרויים על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר דה פרמה שחקר אותם לראשונה.

ניתן להוכיח שכאשר <math>\, {2^n} + 1</math> הוא מספר ראשוני, <math>\,n</math> חייב להיות חזקה של 2. מכאן: כל מספר ראשוני מהצורה <math>\, {2^n} + 1</math> הוא מספר פרמה, ומספר ראשוני כזה קרוי ראשוני פרמה. פרמה הבחין שחמשת המספרים הראשונים בסדרה, 
:F<sub>0</sub> = 2<sup>1</sup> + 1 = 3
:F<sub>1</sub> = 2<sup>2</sup> + 1 = 5
:F<sub>2</sub> = 2<sup>4</sup> + 1 = 17
:F<sub>3</sub> = 2<sup>8</sup> + 1 = 257
:F<sub>4</sub> = 2<sup>16</sup> + 1 = 65,537,
הם ראשוניים, וקבע (בסביבות 1640) שכל המספרים בסדרה הם ראשוניים. כמאה שנים אחר-כך גילה לאונרד אוילר שהמספר הבא בסדרה אינו ראשוני: <math>\ F_5 = 2^{2^5}+1=4294967297 = 641 \cdot 6700417</math>. יתרה מזו, אוילר הראה שכל גורם ראשוני של <math>\ F_n</math> מוכרח להיות מהצורה <math>\ 2^{n+1}k+1</math> (הוכחה: אם <math>\ 2^{2^n}+1\equiv 0 \pmod{p}</math> אז הסדר של 2 בחבורת אוילר של p הוא <math>\ 2^{n+1}</math>, ולכן מספר זה מחלק את סדר החבורה שהוא p-1). הגורם 641 הוא הראשוני החמישי בלבד מהצורה <math>\ 64k+1</math>. 
מאז התגלו גורמים ראשוניים של מספרי פרמה רבים, כגון: <math>\ F_6 = 2^{2^6}+1 = 18446744073709551617 = 274177 \cdot 67280421310721</math>, ולא נמצא אף ראשוני פרמה נוסף.

אחת התכונות המעניינות של מספרי פרמה הוא הקשר שלהם לבעיות של ימי קדם. גאוס הוכיח שניתן לבנות עם סרגל ומחוגה מצולע משוכלל בן <math>\,p</math> צלעות, כאשר <math>\,p</math> ראשוני, אם ורק אם <math>\,p</math> הוא ראשוני פרמה. ובאופן כללי ניתן לבנות מצולע משוכלל בן <math>\,n</math> צלעות (כאשר <math>\,n>2</math> ) אם ורק אם n הוא מכפלה של ראשוניי פרמה שונים זה מזה וחזקה כלשהי של 2.

מספר בעיות פתוחות בתורת המספרים עוסקות במספרי פרמה:
* האם <math>\,F_n</math> הוא מספר פריק לכל <math>\,n>4</math> ?
* האם יש מספר אינסופי של ראשוני פרמה?
* האם יש מספר אינסופי של מספרי פרמה פריקים?

עד כה פורקו פירוק מלא לגורמים 12 מספרי פרמה הראשונים; המספר הראשון שטבעו (ראשוני או פריק) אינו ידוע הוא <math>\ F_{33} = 2^{2^{33}}+1</math>; ונמצאו עוד כ-250 מספרי פרמה שהוכחו כפריקים.

הפירוק המלא של 12 מספרי פרמה הראשונים הוא:
:{|
|- valign="top"
|F<sub>0</sub> ||=|| 2<sup>1</sup>||+||1 ||=||3 ראשוני||
|- valign="top"
|F<sub>1</sub> ||=|| 2<sup>2</sup>||+||1 ||=||5 ראשוני||
|- valign="top"
|F<sub>2</sub> ||=|| 2<sup>4</sup>||+||1 ||=||17 ראשוני||
|- valign="top"
|F<sub>3</sub> ||=|| 2<sup>8</sup>||+||1 ||=||257 ראשוני||
|- valign="top"
|F<sub>4</sub> ||=|| 2<sup>16</sup>||+||1 ||=||65,537 מספר פרמה הראשוני המוּכָּר הגדול ביותר||
|- valign="top"
|F<sub>5</sub> ||=|| 2<sup>32</sup>||+||1 ||=||4,294,967,297||
|- style="background:white; color:#700000"
| || || || || ||=||641 &times; 6,700,417 (פורק באופן מלא בשנת 1732)
|- valign="top"
|F<sub>6</sub> ||=|| 2<sup>64</sup>||+||1 ||=||18,446,744,073,709,551,617 (20 ספרות) ||
|- style="background:white; color:#700000"
| || || || || ||=||274,177 &times; 67,280,421,310,721 (14 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1855)
|- valign="top"
|F<sub>7</sub> ||=|| 2<sup>128</sup>||+||1 ||=||340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457 (39 ספרות)||
|- style="background:white; color:#700000"
| || || || || ||=||59,649,589,127,497,217 (17 ספרות) &times; 5,704,689,200,685,129,054,721 (22 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1970)
|- valign="top"
|F<sub>8</sub> ||=|| 2<sup>256</sup>||+||1 ||=||115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,<br>639,937 (78 ספרות)||
|- style="background:white; color:#700000; vertical-align:top"
| || || || || ||=||1,238,926,361,552,897 (16 ספרות) &times; <br>93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321 (62 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1980)
|- valign="top"
|F<sub>9</sub> ||=|| 2<sup>512</sup>||+||1 ||=||13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,0<br>30,073,546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,6<br>49,006,084,097 (155 ספרות)||
|- style="background:white; color:#700000; vertical-align:top"
| || || || || ||=|| 2,424,833 &times; 7,455,602,825,647,884,208,337,395,736,200,454,918,783,366,342,657 (49 ספרות) &times; <br>741,640,062,627,530,801,524,787,141,901,937,474,059,940,781,097,519,023,905,821,316,144,415,759,<br>504,705,008,092,818,711,693,940,737 (99 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1990)
|- valign="top"
|F<sub>10</sub> ||=|| 2<sup>1024</sup>||+||1
||=||179,769,313,486,231,590,772,930...304,835,356,329,624,224,137,217 (309 ספרות)||
|- style="background:white; color:#700000; vertical-align:top"
| || || || || ||=||45,592,577 &times; 6,487,031,809 &times; 4,659,775,785,220,018,543,264,560,743,076,778,192,897 (40 ספרות) &times; <br>130,439,874,405,488,189,727,484...806,217,820,753,127,014,424,577 (252 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1995)
|- valign="top"
|F<sub>11</sub> ||=|| 2<sup>2048</sup>||+||1
||=||32,317,006,071,311,007,300,714,8...193,555,853,611,059,596,230,657 (617 ספרות)||
|- style="background:white; color:#700000; vertical-align:top"
| || || || || ||=|| 319,489 &times; 974,849 &times; 167,988,556,341,760,475,137 (21 ספרות) &times; 3,560,841,906,445,833,920,513 (22 ספרות) &times; <br>173,462,447,179,147,555,430,258...491,382,441,723,306,598,834,177 (564 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1988)
|-
|}

== מקורות ==

==קישורים חיצוניים==
* 
* 
* 
<div dir=ltr>
* 
</div>

==הערות שוליים==

קטגוריה:תורת המספרים
קטגוריה:בעיות פתוחות בתורת המספרים
קטגוריה:פונקציות בעלות גידול על-מעריכי
קטגוריה:מספרים ראשוניים
קטגוריה:פייר דה פרמה
קטגוריה:השערות מתמטיות שהופרכו