צירוף קמור

צירוף אפיני של שלוש הנקודות, שכן הסגור האפיני שלהן הוא כל המישור.)]]
צירוף קמור של שתי נקודות <math> v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> במרחב וקטורי דו־ממדי <math>\mathbb{R}^2</math>, מונפש ב[[גאוגברה בצורה <math> K(t) := (1-t)\cdot v_1 + t \cdot v_2</math>, כאשר <math>t \in [0,1]</math>]]
צירוף קמור של שתי פונקציות כווקטורים במרחב וקטורי של פונקציות – מומחש בתוכנת גאוגברה על הקטע <math>[a,b]=[-4,7]</math>.פונקציה אחת (בירוק) היא הפולינום <math>f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math>, והפונקציה האחרת (בכחול) היא הפונקציה הטריגונומטרית <math>g(x):= 2\cos(x) + 1</math> – שתיהן מוגדרות על הקטע <math>[a,b]</math>.{{ש}}הצירוף הקמור <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g</math> שֶׁל <math>f</math> ו-<math>g</math> משורטט בצבע אדום.

בגאומטריה קמורה ובמרחבים וקטוריים, צירוף קמור הוא צירוף ליניארי של נקודות (שיכולות להיות וקטורים, סקלרים או באופן כללי יותר נקודות במרחב אפיני) כאשר כל המקדמים אי-שליליים וסכומם הוא 1.<ref name="rock"></ref> במילים אחרות, הפעולה שווה לממוצע משוקלל רגיל, אלא שנדרש שהמשקלים יהיו מבוטאים כחלק היחסי של כל משקל מ-1.

פורמלית, בהינתן מספר סופי של נקודות <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> במרחב וקטורי ממשי, צירוף קמור של הנקודות האלה הוא כל נקודה <math>u</math> שניתן לבטא בצורה

<math display="block">u = \alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n</math>

כאשר לכל <math>i</math>, מתקיים ש-<math>\alpha_i</math> הוא מספר ממשי אי-שלילי (<math>\alpha_i\ge 0 </math>) וכן <math>\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n=1</math>.<ref name="rock"/>

לדוגמה, כל צירוף קמור של שתי נקודות נמצא על הקטע המחבר ביניהן.<ref name="rock"/>

קבוצה נקראת קמורה אם היא מכילה את כל הצירופים הקמורים של הנקודות שלה. הקמוֹר של קבוצת נקודות נתונה הוא בדיוק קבוצת כל הצירופים הקמורים שלהם.<ref name="rock"/>

במרחבים וקטוריים, קיימות תת-קבוצות של המרחב שאינן סגורות תחת צירופים ליניאריים, אבל כן סגורות תחת צירופים קמורים. לדוגמה, הקטע <math>[0,1]</math> הוא קמור, אך תחת צירופים ליניאריים, הוא יוצר את הישר הממשי. דוגמה נוספת לכך היא קבוצה של התפלגויות הסתברות, שכן צירופים ליניאריים כלליים של התפלגויות אינם דווקא אי-שליליים או אפיניים (כלומר, בעלי מידה אחת).

== אובייקטים אחרים ==
* באופן דומה, ניתן להגדיר משתנה מקרי <math>X</math> שהוא צירוף קמור של משתנים מקריים <math>Y_i</math>, עם מקדמים <math>\alpha_i</math> כמו לעיל. במקרה זה, פונקציית התפלגות ההסתברות של <math>X</math> היא ממוצע משוקלל של התפלגויות ההסתברות המרכיבות שלו – המכונה לעיתים קרובות התפלגות תערובת (סופית):
*: <math display="block">F_{X}(x) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i F_{Y_i}(x)</math>

== מבנים קשורים ==
* צירוף חרוטי (conical combination) הוא צירוף ליניארי עם מקדמים אי-שליליים. כאשר נקודה <math>x</math> יש להשתמש כמקור הייחוס להגדרת וקטורי תזוזה, אם כן <math>x</math> הוא צירוף קמור של <math>n</math> נקודות <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> אם ורק אם תזוזה אפס היא שילוב חרוטי לא טריוויאלי שלהם <math>n</math> וקטורי תזוזה בהתאמה ביחס ל <math>x</math> .
* ממוצע משוקלל זהה מבחינה תפקודית לצירוף קמור, אך הם משתמשים בסימון שונה. המקדמים (המשקולות) בממוצע משוקלל אינם נדרשים להיסכם ל-1; במקום זאת, הצירוף הליניארי המשוקלל מחולק במפורש בסכום המשקולות.
* צירוף אפיני הוא כמו צירוף קמור, אבל המקדמים אינם נדרשים להיות אי-שליליים. לפיכך, צירופים אפיניים מוגדרים במרחבים וקטוריים מעל כל שדה, ולא רק מעל שדות סדורים.

== ראו גם==
* סגור אפיני
* משפט קרתאודורי (אנליזה קמורה)
* סימפלקס
* קואורדינטות בריצנטריות

==קישורים חיצוניים==
* 

== הערות שוליים ==

קטגוריה:קמירות
קטגוריה:אנליזה מתמטית