משפט לגראנז' (תורת החבורות)

משפט לגראנז הוא אחד המשפטים היסודיים בתורת החבורות הסופיות. המשפט קובע שאם <math>G</math> חבורה סופית ו-<math>H\sube G</math> תת-חבורה שלה, אז הסדר של <math>H</math> מחלק את הסדר של <math>G</math>, כלומר <math>\frac{|G|}{|H|}</math> הוא מספר שלם. המשפט נקרא על שם ז'וזף לואי לגראנז'.

מן המשפט אפשר מיד להסיק שהסדר של כל איבר בחבורה סופית מחלק את סדר החבורה (מכיוון שהחבורה הנוצרת על ידי <math>x</math> היא תת-חבורה, והסדר שלה שווה לסדר של <math>x</math>). במילים אחרות, אם <math>G</math> חבורה סופית אז <math>g^{|G|}=e</math> לכל <math>g\in G</math>. עובדה זו פותחת את האפשרות לנתח מבנה של חבורות סופיות באמצעות הסדרים של האיברים השונים. זוהי גם הוכחה כמעט מיידית למשפט אוילר.

אם <math>G</math> חבורה אבלית, אז יש לה תת-חבורה מכל סדר המחלק את <math>|G|</math>. תכונה זו, המהווה מעין היפוך של משפט לגראנז', אינה נכונה בחבורות כלליות – הדוגמה הקטנה ביותר היא חבורת התמורות הזוגיות <math>A_4</math>, שהיא חבורה מסדר 12 ואין לה אף תת-חבורה מסדר 6.

לגראנז' פרסם את המשפט ב-1770, בעבודתו על שורשים של פולינומים, יותר ממחצית המאה לפני לידתה של תורת החבורות. באותו זמן, המשפט קבע שמספר הערכים השונים שאפשר לקבל מפונקציה של <math>n</math> משתנים על ידי החלפת המשתנים זה בזה מחלק תמיד את <math>n!</math>. הקשר לניסוח המודרני של המשפט הוא שקבוצת התמורות של משתני הפונקציה שאינם משנים אותה (הפונקציה סימטרית ביחס אליהן) היא תת-חבורה <math>H</math> של החבורה הסימטרית של <math>n</math> משתנים (הכוללת <math>n!</math> איברים). מספר הפונקציות השונות המתקבלות מהפונקציה על ידי חילוף סדר המשתנים שווה לאינדקס של <math>H</math> בחבורה הסימטרית, <math>n!/|H|</math>.

==הוכחת המשפט==
לצורך הוכחת המשפט נוכיח שני דברים - ראשית, שקבוצת כל המחלקות (קוסטים) השמאליות של <math>H</math> מהווה חלוקה של <math>G</math>, ושנית, שגודלה של כל מחלקה כזו שווה לסדר של <math>H</math>.

לצורך הטענה הראשונה, די להראות שהקבוצות <math>aH</math> זרות זו לזו. אכן, אם <math>x\in aH</math> אז <math>xH\sube aHH=aH</math>, ומאידך אפשר לכתוב <math>x=ah</math> עבור <math>h\in H</math>, ולכן גם <math>a=xh^{-1}\in xH</math>, כך ש-<math>aH\sube xH</math> ולכן <math>xH=aH</math>. כעת, אם <math> aH\cap bH\ne\varnothing</math>, אז יש <math>x\in aH\cap bH</math> ולכן <math>aH=xH=bH</math>.

כעת נראה כי גודלה של כל מחלקה של <math>H</math> שווה לסדר <math>H</math>. לשם כך נבנה פונקציה חד-חד-ערכית מ-<math>H</math> על מחלקה <math>\ aH</math> כלשהי שלה.

ההתאמה <math>f:H\to aH</math> תיבנה כך: <math>f(h)=ah</math>.

נראה כי זו התאמה חד-חד-ערכית: נניח כי <math>f(h_1)=f(h_2)</math> אז <math>ah_1=ah_2</math> ואחרי צמצום נקבל <math>h_1=h_2</math>.

נראה כי זו התאמה על: יהי <math>x\in aH</math>, אז על פי הגדרת המחלקה, <math>\exists h\in H:x=ah</math> ולכן <math>f(h)=x</math>.

על כן הקבוצות <math>H,aH</math> שקולות, כלומר <math>|H|=|aH|</math>.

כעת, לכל איבר ב-<math>G</math> ידוע שהוא שייך למחלקה כלשהי של <math>H</math>. לכן מספר האיברים ב-<math>G</math> הוא סכום מספר האיברים בכל המחלקות של <math>H</math>. יש מספר סופי של מחלקות, כי יש מספר סופי של איברים ב-<math>G</math>. יהי <math>k</math> מספר המחלקות, אז <math>k\cdot|H|=|G|</math>, כלומר סדר <math>H</math> מחלק את סדר <math>G</math>, כפי שהיה להוכיח.

==קישורים חיצוניים==
*

לגראנזמשפט לגראנז הוא אחד המשפטים היסודיים בתורת החבורות הסופיות. המשפט קובע שאם <math>G</math> חבורה סופית ו-<math>H\sube G</math> תת-חבורה שלה, אז הסדר של <math>H</math> מחלק את הסדר של <math>G</math>, כלומר <math>\frac{|G|}{|H|}</math> הוא מספר שלם. המשפט נקרא על שם ז'וזף לואי לגראנז'.

מן המשפט אפשר מיד להסיק שהסדר של כל איבר בחבורה סופית מחלק את סדר החבורה (מכיוון שהחבורה הנוצרת על ידי <math>x</math> היא תת-חבורה, והסדר שלה שווה לסדר של <math>x</math>). במילים אחרות, אם <math>G</math> חבורה סופית אז <math>g^{|G|}=e</math> לכל <math>g\in G</math>. עובדה זו פותחת את האפשרות לנתח מבנה של חבורות סופיות באמצעות הסדרים של האיברים השונים. זוהי גם הוכחה כמעט מיידית למשפט אוילר.

אם <math>G</math> חבורה אבלית, אז יש לה תת-חבורה מכל סדר המחלק את <math>|G|</math>. תכונה זו, המהווה מעין היפוך של משפט לגראנז', אינה נכונה בחבורות כלליות – הדוגמה הקטנה ביותר היא חבורת התמורות הזוגיות <math>A_4</math>, שהיא חבורה מסדר 12 ואין לה אף תת-חבורה מסדר 6.

לגראנז' פרסם את המשפט ב-1770, בעבודתו על שורשים של פולינומים, יותר ממחצית המאה לפני לידתה של תורת החבורות. באותו זמן, המשפט קבע שמספר הערכים השונים שאפשר לקבל מפונקציה של <math>n</math> משתנים על ידי החלפת המשתנים זה בזה מחלק תמיד את <math>n!</math>. הקשר לניסוח המודרני של המשפט הוא שקבוצת התמורות של משתני הפונקציה שאינם משנים אותה (הפונקציה סימטרית ביחס אליהן) היא תת-חבורה <math>H</math> של החבורה הסימטרית של <math>n</math> משתנים (הכוללת <math>n!</math> איברים). מספר הפונקציות השונות המתקבלות מהפונקציה על ידי חילוף סדר המשתנים שווה לאינדקס של <math>H</math> בחבורה הסימטרית, <math>n!/|H|</math>.

==הוכחת המשפט==
לצורך הוכחת המשפט נוכיח שני דברים - ראשית, שקבוצת כל המחלקות (קוסטים) השמאליות של <math>H</math> מהווה חלוקה של <math>G</math>, ושנית, שגודלה של כל מחלקה כזו שווה לסדר של <math>H</math>.

לצורך הטענה הראשונה, די להראות שהקבוצות <math>aH</math> זרות זו לזו. אכן, אם <math>x\in aH</math> אז <math>xH\sube aHH=aH</math>, ומאידך אפשר לכתוב <math>x=ah</math> עבור <math>h\in H</math>, ולכן גם <math>a=xh^{-1}\in xH</math>, כך ש-<math>aH\sube xH</math> ולכן <math>xH=aH</math>. כעת, אם <math> aH\cap bH\ne\varnothing</math>, אז יש <math>x\in aH\cap bH</math> ולכן <math>aH=xH=bH</math>.

כעת נראה כי גודלה של כל מחלקה של <math>H</math> שווה לסדר <math>H</math>. לשם כך נבנה פונקציה חד-חד-ערכית מ-<math>H</math> על מחלקה <math>\ aH</math> כלשהי שלה.

ההתאמה <math>f:H\to aH</math> תיבנה כך: <math>f(h)=ah</math>.

נראה כי זו התאמה חד-חד-ערכית: נניח כי <math>f(h_1)=f(h_2)</math> אז <math>ah_1=ah_2</math> ואחרי צמצום נקבל <math>h_1=h_2</math>.

נראה כי זו התאמה על: יהי <math>x\in aH</math>, אז על פי הגדרת המחלקה, <math>\exists h\in H:x=ah</math> ולכן <math>f(h)=x</math>.

על כן הקבוצות <math>H,aH</math> שקולות, כלומר <math>|H|=|aH|</math>.

כעת, לכל איבר ב-<math>G</math> ידוע שהוא שייך למחלקה כלשהי של <math>H</math>. לכן מספר האיברים ב-<math>G</math> הוא סכום מספר האיברים בכל המחלקות של <math>H</math>. יש מספר סופי של מחלקות, כי יש מספר סופי של איברים ב-<math>G</math>. יהי <math>k</math> מספר המחלקות, אז <math>k\cdot|H|=|G|</math>, כלומר סדר <math>H</math> מחלק את סדר <math>G</math>, כפי שהיה להוכיח.

==קישורים חיצוניים==
*

לגראנז'