מספר טרסקי

מספר טרסקי של חבורה <math>G</math> הוא מדד מספרי למרחק של החבורה מתכונת האמנביליות, המכמת ומכליל את פרדוקס בנך-טרסקי. מספר טרסקי מוגדר כמספר הקטן ביותר של חלקים בפירוק פרדוקסלי של החבורה (ראו להלן). לחבורה סופית, ובאופן כללי יותר לחבורה קומפקטית, אין פירוקים פרדוקסליים. על-פי משפט טרסקי, לחבורה <math>G</math> קיימת חלוקה פרדוקסלית אם ורק אם <math>G</math> אינה אמנבילית; לכן מספר טרסקי הוא סופי אם ורק אם החבורה אינה אמנבלית.

==הגדרה==
תהי <math>G</math> חבורה. פירוק של G לקבוצות זרות <math>A_1,\dots,A_m,B_1,\dots,B_n\subseteq G</math> נקרא פירוק פרדוקסלי אם יש איברים <math>g_1,\dots,g_m,h_1,\dots,h_n\in G</math> כך ש 
<math>G=\bigcup_{i=1}^mA_ig_i=\bigcup_{j=1}^nB_jh_j</math>. 

אם ל-<math>G</math> קיים פירוק פרדוקסלי, מספר טרסקי של <math>G</math>, המסומן <math>\mathcal T(G)</math>, מוגדר להיות המספר המינימלי של חלקים <math>m+n</math> בחלוקה פרדוקסלית שלה. אם אין פירוק כזה, מספר טרסקי של <math>G</math> מוגדר להיות אינסוף.

קיימת בספרות הגדרה נוספת של פירוק פרדוקסלי של חבורה. בהגדרה זו, מתווספת הדרישה ש <math>A_1,\dots,A_m,B_1,\dots,B_n</math> יהוו חלוקה של <math>G</math> והדרישה שהאיחודים <math>\bigcup_{i=1}^mA_ig_i</math> ו-<math>\bigcup_{j=1}^nB_jh_j</math> יהיו איחודים זרים. השוני בהגדרה לא משפיע על הערך המספרי של מספר טרסקי, המוגדר בשני המקרים להיות המספר המינימלי של חלקים בפירוק פרדוקסלי של החבורה.

==מספרי טרסקי של חבורות==

מכיוון שהזזה של תת-קבוצה אמיתית אינה יכולה לכסות את החבורה, בכל חלוקה פרדוקסלית מספרי החלקים מקיימים <math>m,n\ge 2</math>. לכן, מספר טרסקי של חבורה הוא לכל הפחות ארבע.

ב-2013 הוכיח מרק ספיר כי קיימות חבורות בעלות מספרי טרסקי סופיים גדולים כרצוננו. יתר על כן, לכל <math>n</math> גדול מספיק, קיימת חבורה בעלת מספר טרסקי בין <math>n</math> ל <math>2n</math>. למרות זאת, המספרים היחידים המהווים בוודאות מספרי טרסקי של חבורות הם <math>5,4</math> ו-<math>6</math>.

==חבורות חופשיות==

תהי <math>F=\langle a,b\rangle</math> חבורה חופשית מדרגה 2. לכל אות <math>c\in\{a,a^{-1},b,b^{-1}\}</math>, נגדיר את הקבוצה <math>X_c</math> להיות קבוצת כל המילים המצומצמות ב <math>F</math> הנגמרות ב <math>c</math>. אזי, <math>X_a,X_{a^{-1}},X_b,X_{b^{-1}}</math> הן תתי קבוצות זרות של <math>F</math>. כמו כן <math>F=X_aa^{-1}\cup X_{a^{-1}}=X_bb^{-1}\cup X_{b^{-1}} </math>. לכן, מספר טרסקי של <math>F</math> הוא לכל היותר 4. לפי האמור לעיל, <math>\mathcal T(F)=4</math>. מכאן נתן להסיק (בעזרת תכונה 1 למטה) כי אם לחבורה <math>G</math> יש תת-חבורה חופשית לא אבלית אז מספר טרסקי של <math>G</math> הוא <math>4</math>.
על פי משפט של ג'ונסון ודקר ההפך גם נכון: אם מספר טרסקי של חבורה <math>G</math> הוא <math>4</math> אז ל <math>G</math> יש תת-חבורה חופשית לא אבלית.

השערת וון ניומן-דיי, שהופרכה ב 1980 על ידי אולשנסקי, טענה כי כל חבורה לא אמנבילית מכילה תת-חבורה חופשית לא אבלית. במונחים של מספרי טרסקי, ההשערה טענה כי לא קיימות חבורות לא אמנביליות בעלות מספר טרסקי <math>4<</math>. לכן, חבורות לא אמנביליות בעלות מספרי טרסקי גדולים יכולות להיחשב דוגמאות נגדיות חזקות להשערה.

==תכונות של מספרי טרסקי==

תהי <math>G</math> חבורה.

# אם <math>H</math> היא תת-חבורה או תמונה הומומורפית של <math>G</math>, אז <math>\mathcal T(G)\le \mathcal T(H)</math>.
# אם <math>H\le G</math> היא תת-חבורה מאינדקס סופי. אז <math>\mathcal T(H)-2\le [G:H](\mathcal T(G)-2)</math>.
# אם <math>H\triangleleft G</math> היא תת-חבורה נורמלית אמנבילית אז <math>\mathcal T(G)=\mathcal T(G/H)</math>.
# אם <math>G</math> חבורה מפותלת, אז <math>\mathcal T(G)\ge 6</math>.
# באופן כללי יותר, אם כל תת-חבורה נוצרת-<math>k</math> של <math>G</math> היא סופית, אז <math>\mathcal T(G)\ge 2k+4</math>.
# אם כל תת-חבורה נוצרת-<math>k</math> של <math>G</math> היא אמנבילית, אז <math>\mathcal T(G)\ge k+3</math>. 

==הכללה: פעולה של חבורה על קבוצה==

ניתן להכליל את ההגדרות של חלוקה פרדוקסלית ומספר טרסקי למקרה של פעולת חבורה על קבוצה.

הגדרה: תהי <math>G\curvearrowright X</math> פעולה של חבורה על קבוצה. 
נגיד כי ל <math>G\curvearrowright X</math> קיימת חלוקה פרדוקסלית אם קיימים <math>m,n</math> טבעיים, תתי קבוצות זרות <math>A_1,\dots,A_m,B_1,\dots,B_n\sub X</math> ואיברים <math>g_1,\dots,g_m,h_1,\dots,h_n\in G</math> כך ש-<math>X=\bigcup_{i=1}^m g_i A_i=\bigcup_{j=1}^n h_j B_j</math>.

מספר טרסקי של הפעולה, המסומן <math>\mathcal T(G\curvearrowright X)</math>, הוא המספר המינימלי של חלקים <math>m+n</math> המשתתפים בחלוקה פרדוקסלית שלה.
כך, מספר טרסקי של חבורה <math>G</math>, הוא למעשה מספר טרסקי של הפעולה של <math>G</math> על עצמה באמצעות כפל מימין.

אם <math>\ G\curvearrowright X</math> והמייצב של כל <math>x\in X</math> הוא אמנבילי, אז <math>\mathcal T(G\curvearrowright X)=\mathcal T(G)</math>.

בשנת 2014, הוכיחה גילי גולן שכל מספר <math>n\ge 4</math> הוא מספר טרסקי של פעולה טרנזיטיבית נאמנה של חבורה חופשית לא אבלית.

==מקורות==
<div class="mw-content-ltr">
# S. Wagon, The Banach-Tarski paradox, Cambridge University Press, (1985).
# T. Ceccherini-Silberstein, R. Grigorchuk and P. de la Harpe, Amenability and paradoxical decompositions for pseudogroups and discrete metric spaces, Proc. Steklov Inst. Math. 224 (1999), no. 1, 57 –97.
# M. Ershov, G. Golan and M. Sapir, The Tarski numbers of groups, http://arxiv.org/abs/1401.2202.
# G. Golan, Tarski numbers of group actions, preprint (2014), http://arxiv.org/abs/1406.5689
# N. Ozawa and M. Sapir, Non-amenable groups with arbitrarily large Tarski number?, mathoverflow question 137678.
</div>
<div class="mw-content-ltr">
== ראו גם ==

* הפרדוקס של בנך-טרסקי

==קישורים חיצוניים==
[http://www.youtube.com/watch?v=dGmwltOOWcI מספרי טרסקי של חבורות - הרצאה מאת מרק ספיר (באנגלית)]

קטגוריה:תורת החבורות