פונקציה הומוגנית

במתמטיקה, פונקציה הומוגנית מסדר <math>n</math> היא פונקציה אשר בעת שהארגומנטים בה מוכפלים במספר קבוע <math>c</math>, ערך הפונקציה מוכפל ב־<math>c^n</math>.

==הגדרה מפורטת==
תהי <math>f:V\to W</math> פונקציה בין שני מרחבים וקטורים מעל לשדה <math>F</math>, ויהי <math>k</math> מספר שלם.
אזי <math>f</math> תיקרא הומוגנית מסדר <math>k</math> אם <math>f(\alpha\mathbf{v})=\alpha^kf(\mathbf{v}) </math> לכל <math>0\ne\alpha\in F</math> ולכל <math>v\in V</math>.

כאשר המרחבים הווקטוריים הם מעל המספרים הממשיים מגדירים פונקציה הומוגנית חיובית מסדר <math>k</math> כאשר הדרישה <math>f(\alpha\mathbf{v})=\alpha^kf(\mathbf{v})</math> צריכה להתקיים רק עבור <math>\alpha>0</math> חיובי, ו-<math>k</math> יכול להיות כל מספר מרוכב. 

כמו כן, במקרה שבו <math>F</math> הוא שדה הממשיים או המרוכבים, מגדירים פונקציה הומוגנית בהחלט מסדר <math>k</math> אם מתקיים <math>f(\alpha\mathbf{v})=|\alpha|^kf(\mathbf{v})</math> לכל <math>\alpha\in F</math>.

==דוגמאות==
===העתקות ליניאריות===
כל העתקה ליניארית <math>f:V\to W</math> היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הליניאריות: <math>f(\alpha\mathbf{v})=\alpha f(\mathbf{v})</math> לכל <math>\alpha\in F</math> ולכל <math>v\in V</math>.

===פולינומים הומוגניים===
כל מונום (חד-איבר) ב-<math>n</math> משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית <math>f:F^n\to F</math>. לדוגמה, שטח של ריבוע <math>S(a)=a^2</math> הוא מונום הומוגני <math>f:\R\to\R</math> מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר <math>S(ca)=c^2a^2=c^2S(a)</math>.

סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר מהווה פולינום הומוגני. לדוגמה: <math>x^5+2x^3y^2+9xy^4</math> הוא פולינום הומוגני מסדר 5.

===פונקציות רציונליות===
הפונקציה הרציונלית הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת.

כלומר אם <math>f</math> פולינום הומוגני מסדר <math>m</math> ו-<math>g</math> פולינום הומוגני מסדר <math>n</math>, אזי <math>\frac{f}{g}</math> היא פונקציה הומוגנית מסדר <math>m-n</math> בכל הנקודות חוץ מבשורשים של <math>g</math>.

פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כגון <math>\frac{x^2+y^2+z^2}{(x+2y+3z)^2}</math>, מוגדרות היטב על הנקודות של המישור הפרויקטיבי.

===פונקציה תת-ליניארית ונורמה-למחצה===
כל פונקציה תת-ליניארית היא בהחלט הומוגנית חיובית מסדר 1, זאת על פי הגדרתה. לעומת זאת, כל נורמה-למחצה (ובפרט כל נורמה) היא הומוגנית בהחלט מסדר 1.

==פונקציות הומגניות חלקיות==
לעיתים הפונקציה היא הומוגנית מסדרים שונים עבור הפרמטרים השונים, כך למשל אנרגיה קינטית <math>E_k(m,v)=\frac{1}{2}mv^2</math> היא פונקציה הומוגנית מסדר שני עבור המהירות, כי אם מכפילים את המהירות בקבוע מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה השנייה עם האנרגיה הקינטית המקורית <math>E_k(m,cv)=\frac{1}{2}mc^2v^2</math>, לעומת זאת עבור המסה זוהי פונקציה הומוגנית מסדר ראשון מכיוון שמתקיים <math>E_k(cm,v)=\frac{1}{2}cmv^2</math>.

במקרים אחרים הפונקציה היא הומוגנית רק עבור חלק מהפרמטרים, למשל עבור התפרקות רדיואקטיבית מספר האטומים שנותרו בחומר לאחר פרק זמן <math>t</math> נתון על ידי <math>N(N_0,t,\tau)=N_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}</math>, ובעוד שמתקיים <math>N(cN_0,t,\tau)=cN(N_0,t,\tau)</math>, קרי <math>N</math> היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון עבור <math>N_0</math>, היא אינה הומוגנית במשתנים האחרים.

==משפט אוילר לפונקציות הומוגניות==
תהי <math>f:\R^n\to\R</math> פונקציה חלקה אזי <math>f</math> הומוגנית חיובית מסדר <math>k</math> אם ורק אם:
:<math>\mathbf{x}\cdot\nabla f(\mathbf{x})=\sum_{i\,=\,1}^nx_i\frac{\part f}{\part x_i}=kf(\mathbf{x}) </math>

===הוכחה===
<math>\Larr</math>: תהי <math>f:\R^n\to\R</math> פונקציה חלקה והומוגנית חיובית מסדר <math>k</math>. אזי <math>f(a\mathbf{x})=a^{k}f(\mathbf{x})</math>. נגזור את שני האגפים לפי <math>a</math> ונקבל
:<math>\frac{df(a\mathbf{x})}{da}=\mathbf{x}\cdot\nabla f(a\mathbf{x})=ka^{k-1}f(\mathbf{x})</math>
מכיוון שהומוגניות היא תכונה שמתקיימת לכל <math>a</math>, נציב <math>a=1</math> ונקבל <math>\mathbf{x}\cdot\nabla f(\mathbf{x})=kf(\mathbf{x}) </math>.

<math>\Rarr</math>: תהי <math>f:\R^n\to\R</math> פונקציה חלקה המקיימת <math>\mathbf{x}\cdot\nabla f(\mathbf{x})=kf(\mathbf{x})</math> לכל <math>\mathbf{x}</math>.

נבחר <math>\mathbf{x}</math> כלשהו ונגדיר <math>g(a)=a^{-k}f(a\mathbf{x})</math>. כעת:
:<math>\frac{dg}{da}=-ka^{-k-1}f(a\mathbf{x})+a^{-k}\mathbf{x}\cdot\nabla f(a \mathbf{x})</math>
נציב <math>a\mathbf{x}\cdot\nabla f(a \mathbf{x})=kf(a\mathbf{x})</math> ונקבל
:<math>\frac{dg}{da}=-ka^{-k-1}f(a\mathbf{x})+a^{-k}\frac{kf(a\mathbf{x})}{a}=0</math>
לכן <math>g</math> היא פונקציה קבועה.

נשים לב כי <math>g(1)=f(\mathbf{x})</math>, לכן לכל <math>a>0</math> מתקיים <math>g(a)=f(\mathbf{x})</math>. כלומר <math>f(a\mathbf{x})=a^kf(\mathbf{x})</math>

===תוצאה===
עבור פונקציה <math>f:\R^n\to\R</math> גזירה והומוגנית חיובית מסדר <math>k</math> נקבל כי <math>\frac{\part f}{\part x_i}</math> היא הומוגנית מסדר <math>k-1</math>. כלומר:
:<math>\frac{\part f}{\part x_i}\bigg|_{cx}=c^{k-1}\frac{\part f}{\part x_i}\bigg|_x</math>
תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי <math>x_i</math>. שכן על פי משפט אוילר:
:<math>\mathbf{x}\cdot\nabla f(\mathbf{x})=kf(\mathbf{x})</math>
נגזור לפי <math>x_i</math> ונקבל
:<math>\frac{\part(\mathbf{x}\cdot\nabla f(\mathbf{x}))}{\part x_i}=\frac{\part f}{\part x_i}+\mathbf{x}\cdot\nabla\frac{\part f}{\part x_i}=k\frac{\part f}{\part x_i}</math>
ולכן
:<math> \mathbf{x} \cdot \nabla \frac{\part f}{\part x_i}=(k-1)\frac{\part f}{\part x_i}</math>
הפעלת הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה.

==קישורים חיצוניים==
*

==הערות שוליים==

הומוגנית