מערכת דינקין

מערכת דינקין היא משפחה של קבוצות המקיימת תכונות סגירות מסוימות. מערכות אלו נקראות על שמו של המתמטיקאי הרוסי יוג'ין דינקין.

משפט π−λ קובע קשר בין מערכות דינקין לבין סיגמא-אלגברות, וקשר זה מאפשר להוכיח תכונות רבות בתורת המידה ובתורת ההסתברות, כדוגמת משפט המחלקה המונוטונית.

==הגדרות==

תהי <math>X</math> קבוצה.
* משפחה של תת-קבוצות <math>\mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)</math> נקראת מערכת-π, אם לכל <math>A,B \in \mathcal{E}</math> מתקיים <math>A \cap B \in \mathcal{E}</math>.
* משפחה של תת-קבוצות <math>\mathcal{L} \subseteq \mathcal{P}(X)</math> נקראת מערכת-λ (או מערכת דינקין), אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים:
*# <math>X \in \mathcal{L}</math>
*# לכל <math>A,B \in \mathcal{L}</math> המקיימות <math>A \subseteq B</math>, מתקיים <math>B \setminus A \in \mathcal{L}</math>.
*# לכל סדרה <math>\left\{A_i\right\}_{i=1}^{\infty} \subseteq \mathcal{L}</math> המקיימת <math>A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq ...</math>, מתקיים כי <math>\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i \in \mathcal{L}</math>.

יחד, התכונות האלה מרכיבות את המושג סיגמא אלגברה: משפחה של תת-קבוצות היא סיגמא-אלגברה, אם ורק אם היא גם מערכת-π וגם מערכת-λ. 

תהי <math>P \subseteq \mathcal{P}(X)</math> משפחה כלשהי של תתי-קבוצות.
* נסמן את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי <math>P</math> להיות <math>\sigma(P)</math>. זהו חיתוך כל הסיגמא-אלגבראות המכילות את <math>P</math>.
* נסמן את המערכת-λ הנוצרת על ידי <math>P</math> להיות <math>\lambda(P)</math>. זהו חיתוך כל המערכות-λ המכילות את <math>P</math>.

==משפט π−λ==

משפט: תהי <math>X</math> קבוצה ותהי <math>\mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)</math> מערכת-π. אזי <math>\sigma(\mathcal{E}) = \lambda(\mathcal{E})</math>.

נשים לב שכל סיגמא-אלגברה היא בפרט גם מערכת-λ, ולכן ברור כי לכל משפחה של תתי-קבוצות <math>P \subset \mathcal{P}(X)</math> מתקיים <math>\lambda(P) \subset \sigma(P)</math>. משפט π−λ מוסיף כי אם <math>P</math> היא מערכת-π, אז <math>\lambda(P)</math> היא למעשה סיגמא-אלגברה.

===הוכחה===

* נראה כי <math>\lambda(\mathcal{E})</math> סגורה לחיתוך. 
*:למה: לכל <math>E \in \mathcal{E}</math> נגדיר <math>\mathcal{L}_E= \left\{ A \subseteq X | A \cap E \in \lambda(\mathcal{E}) \right\}</math>. אזי <math>\mathcal{L}_E</math> היא מערכת-λ המכילה את <math>\mathcal{E}</math>.
*:הוכחת הלמה: ברור כי <math>\mathcal{E} \subseteq \mathcal{L}_0</math>. נראה כי היא מערכת-λ.
*: ברור כי <math>X \in \mathcal{L}_E</math>. יהיו <math>A,B \in \mathcal{L}_E</math> המקיימות <math>A \subseteq B</math>. מתקיים כי <math>E \cap (B \setminus A) = (E \cap B) \setminus (E \cap A)</math>, וזהו הפרש של שתי קבוצות השייכות ל-<math>\lambda(\mathcal{E})</math>, לכן <math>B \setminus A \in \mathcal{L}_E</math>. בהינתן סדרה <math>\left\{A_i\right\}_{i=1}^{\infty} \subseteq \mathcal{L}_E</math> העולה ביחס להכלה, אז ברור כי <math>E \cap (\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i) = \bigcup_{i=1}^{\infty}(E \cap A_i)</math>, לכן <math>\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i \in \mathcal{L}_E</math>.
*:מסקנה: <math>\lambda(\mathcal{E})</math> סגורה לחיתוכים סופיים.
*:הוכחת המסקנה: מהלמה נובע שלכל <math>E \in \lambda(\mathcal{E})</math> מתקיים כי <math>\mathcal{L}_E</math> היא מערכת-λ המכילה את <math>E</math>, לכן נובע כי <math>\lambda(\mathcal{E}) \subseteq \mathcal{L}_E</math>.
*:יהיו <math>A,B \in \lambda(\mathcal{E})</math>. נגדיר <math>\mathcal{L}_A = \left\{B \subseteq X | B \cap A \in \lambda(\mathcal{E}) \right\}</math>. באופן דומה להוכחת הלמה ניתן להראות כי <math>\mathcal{L}_A</math> היא מערכת-λ המכילה את <math>\mathcal{E}</math>, ומכך נובע כמו קודם כי <math>\lambda(\mathcal{E}) \subseteq \mathcal{L}_A</math>, כלומר לכל <math>B \in \lambda(\mathcal{E})</math> מתקיים <math>A \cap B \in \lambda(\mathcal{E})</math>.

* נסיק כי <math>\lambda(\mathcal{E})</math> היא סיגמא-אלגברה.
*:סגירות למשלים: תהי <math>A \in \lambda(\mathcal{E})</math>. מהיות <math>\lambda(\mathcal{E})</math> מערכת-λ נובע כי <math>X \in \lambda(\mathcal{E})</math>, ולכן גם <math>A^{\complement} = X \setminus A \in \lambda(\mathcal{E})</math>.
*:סיגמא אדיטיביות: תהי <math>\left\{A_i\right\}_{i=1}^{\infty} \subseteq \lambda(\mathcal{E})</math>. נציג <math>\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i = \bigcup_{N=1}^{\infty}\bigcup_{i=1}^{N}A_i</math>, וברור כי הסדרה <math>\left\{\bigcup_{i=1}^{N}A_i \right\}_{N=1}^{\infty}</math> עולה ביחס להכלה, ולכן <math>\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i \in \lambda(\mathcal{E})</math>.

==שימוש יסודי==

משפט π−λ מספק כלי חזק לזיהוי של מידות ולאפיונן. מידה היא סיגמא-סופית אם המרחב מהווה איחוד בן-מניה של קבוצות בעלות מידה סופית.

טענה: תהי <math>\mathcal{E}</math> מערכת-π על מרחב X, ויהי <math> (X, \,\sigma(\mathcal{E}))</math> המרחב המדיד הנוצר על-ידה. תהי <math>\mu</math> מידה סיגמא-סופית על המרחב הזה כך שקיימת לפחות קבוצה אחת <math>E \in \mathcal{E}</math> המקיימת <math>\mu(E) < \infty</math>. אזי המידה <math>\mu</math> נקבעת ביחידות על כל <math>\sigma(\mathcal{E})</math>, על-פי ערכיה על <math> \mathcal{E}</math>.

בפרט למשל עבור המרחב <math>\mathbb{R}^n</math> יחד עם סיגמא-אלגברת בורל שלו, מידה נקבעת באופן יחיד באמצעות ערכיה על התיבות. כלומר, קיימת מידה יחידה <math>\mu</math> על <math>\mathbb{R}^n</math> שמקיימת:
<center>
<math>\mu([a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \times ... \times [a_n,b_n])=(b_1-a_1)\cdot(b_2-a_2)\cdot...\cdot(b_n-a_n)</math>
</center>
לכל <math>a_i \leq b_i \in \mathbb{R}</math> עבור <math>1 \leq i \leq n</math>.

הוכחה: יהיו <math>\mu_1, \mu_2</math> זוג מידות המזדהות על המערכת-π <math>\mathcal{E}</math>. נקבע <math>E \in \mathcal{E}</math> המקיימת <math>\mu_1(E) < \infty</math>. נסמן <math>\mathcal{L}_E= \left\{ A \in \sigma \left( \mathcal{E} \right) | \mu_1 (A \cap E) = \mu_2 (A \cap E) \right\}</math>. ניתן להראות כי זו מערכת-λ המכילה את <math>\mathcal{E}</math>, ולכן ממשפט π−λ נובע כי היא מכילה את <math>\lambda(\mathcal{E}) = \sigma(\mathcal{E})</math>. כעת השוויון הכללי לקבוצה מדידה כלשהי <math>F \in \sigma(\mathcal{E})</math> נובע מסיגמא-אדיטיביות ומרציפות המידות, תוך שימוש בשרשרת המכסה את המרחב:
<center>
<math>\mu_1(F) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu_1(F \cap E_i) = \lim_{i \to \infty} \mu_1 (F \cap E_i) = \lim_{i \to \infty} \mu_2(F \cap E_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu_2(F \cap E_i) = \mu_2(F)</math>
</center>

קטגוריה:תורת ההסתברות
קטגוריה:תורת המידה
קטגוריה:משפחות של תת-קבוצות