נוסחאות ניוטון-קוטס

נוסחת ניוטון-קוטס עבור&nbsp;<math>n=2</math>
באנליזה נומרית, הנוסחאות של ניוטון-קוטס, הנקראות גם כללי הריבוע של ניוטון-קוטס או פשוט כללי ניוטון-קוטס, הן קבוצה של נוסחאות לאינטגרציה נומרית (נקראת גם ריבוע) המבוססת על הערכת האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. הם נקראים על שם אייזק ניוטון ורוג'ר קוטס.

נוסחאות ניוטון-קוטס יכולות להיות שימושיות אם ניתן הערך של האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. אם אפשר לשנות את הנקודות שבהן מוערך האינטגרנד, אז כנראה ששיטות אחרות כמו תרבוע גאוס ותרבוע קלנשו-קרטיס מתאימות יותר.

== תיאור ==
ההנחה היא שערך הפונקציה המוגדרת ב <math>[a, b]</math> ידוע ב <math>n + 1</math> נקודות שוות מרחק: <math>a \leq x_0 < x_1 < \dots < x_n \leq b</math> . ישנן שתי מחלקות של ריבוע ניוטון-קוטס: הן נקראות "סגורות" כאשר <math>x_0 = a</math> ו <math>x_n = b</math>, כלומר הן משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה של המרווחים, ו"פתוחות" כאשר <math>x_0 > a</math> ו <math>x_n < b</math>, כלומר הן לא משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה. שימוש בנוסחאות ניוטון-קוטס באמצעות <math>n+1</math> נקודות ניתן להגדרה (עבור שתי המחלקות) כ- <ref></ref><math display="block">\int_a^b f(x)\, dx \approx \sum_{i = 0}^n w_i\, f(x_i),</math>כאשר
* עבור נוסחה סגורה, <math>x_i = a + ih</math>, עם <math>h = \frac{b - a}{n}</math> ,
* עבור נוסחה פתוחה, <math>x_i = a + (i + 1)h</math>, עם <math>h = \frac{b - a}{n + 2}</math> .

המספר נקרא גודל צעד, <math>w_i</math> נקראות משקולות .

ניתן לחשב את המשקולות כאינטגרל של פולינומי לגרנז' בסיסיים. הם תלויים רק ב <math>x_i</math> ולא על הפונקציה .

יהי <math>L(x)</math> פולינום האינטרפולציה בצורת לגראנז' עבור הנקודות <math>(x_0, f(x_0)), (x_1, f(x_1)), \ldots, (x_n, f(x_n))</math>, אזי<math display="block"> \int_a^b f(x)\, dx \approx \int_a^b L(x)\, dx = \int_a^b \left(\sum_{i = 0}^n f(x_i) l_i(x)\right)\, dx
= \sum_{i = 0}^n f(x_i) \underbrace{\int_a^b l_i(x)\, dx}_{w_i}.</math>

== חוסר יציבות לדרגה גבוהה ==
ניתן לבנות נוסחת ניוטון-קוטס בכל דרגה . עם זאת, עבור גדול כלל ניוטון-קוטס יכול לפעמים לסבול מתופעת רונגה <ref></ref> שבה השגיאה גדלה באופן אקספוננציאלי עבור גדול. שיטות כמו נצב גאוס וניצב קלנשאו-קרטיס עם נקודות מרווחות באופן לא שווה (מקובצות בנקודות הקצה של מרווח האינטגרציה) הן יציבות ומדויקות הרבה יותר, ובדרך כלל הן מועדפות על ניוטון-קוטס. אם לא ניתן להשתמש בשיטות אלו, מכיוון שהאינטגרנד ניתן רק ברשת הניתנת בחלוקה שווה, אז ניתן להימנע מהתופעה של Runge באמצעות כלל מורכב, כפי שיוסבר להלן.

לחלופין, ניתן לבנות נוסחאות ניוטון-קוטס יציבות באמצעות קירוב ריבועים קטנים במקום אינטרפולציה. כך ניתן לבנות נוסחאות יציבות מבחינה נומרית גם לדרגות גבוהות. <ref></ref> <ref></ref>

== נוסחאות סגורות של ניוטון-קוטס ==
טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הסגור. עבור <math>0 \le i \le n</math>, יהי <math>x_i = a + ih</math> כאשר <math>h = \frac{b - a}{n}</math>, ו <math>f_i = f(x_i)</math>.
{| class="wikitable" style="margin:1em auto 1em auto; text-align: center;"
|+נוסחאות ניוטון-קוטס סגורות
! 
! גודל צעד 
! שם נפוץ
! נוּסחָה
! מונח שגיאה
|-
| 1
| <math>b - a</math>
| כלל טרפז
| <math>\frac{1}{2} h(f_0 + f_1)</math>
| <math>-\frac{1}{12}h^3f^{(2)}(\xi)</math>
|-
| 2
| <math>\frac{b - a}{2}</math>
| כלל סימפסון
| <math>\frac{1}{3} h(f_0 + 4f_1 + f_2)</math>
| <math>-\frac{1}{90} h^5f^{(4)}(\xi)</math>
|-
| 3
| <math>\frac{b - a}{3}</math>
| חוק 3/8 של סימפסון
| <math>\frac{3}{8} h(f_0 + 3f_1 + 3f_2 + f_3)</math>
| <math>-\frac{3}{80} h^5f^{(4)}(\xi)</math>
|-
| 4
| <math>\frac{b - a}{4}</math>
| הכלל של בולה
| <math>\frac{2}{45} h(7f_0 + 32f_1 + 12f_2 + 32f_3 + 7f_4)</math>
| <math>-\frac{8}{945} h^7f^{(6)}(\xi)</math>
|}
הכלל של בולה מכונה לעיתים הכלל של בודה, כתוצאה מהפצת טעות דפוס ב־Abramowitz and Stegun, ספר עיון מוקדם. <ref>[http://mathworld.wolfram.com/BoolesRule.html Booles Rule at Wolfram Mathworld, with typo in year "1960" (instead of "1860")]</ref>

המעריך של גודל הצעד h ברכיב השגיאה מגדיר את הקצב שבו יורדת שגיאת הקירוב. סדר הנגזרת של f ברכיב השגיאה מגדיר את הדרגה הנמוכה ביותר של פולינום שלא ניתן עוד לשלב במדויק (כלומר בשגיאה שווה לאפס) עם הכלל הזה. את המספר <math>\xi</math> יש לקחת מהקטע (a, b ), לפיכך תחום השגיאה שווה לרכיב השגיאה כאשר <math>f(\xi) = \max(f(x)), a<x<b</math> .

== נוסחאות ניוטון-קוטס פתוחות ==
טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הפתוח. עבור <math>0 \le i \le n</math>, יהי <math>x_i = a + (i + 1)h</math> כאשר <math>h = \frac{b - a}{n + 2}</math>, ו <math>f_i = f(x_i)</math> .
{| class="wikitable" style="margin:1em auto 1em auto; text-align: center;"
|+פתח את נוסחאות ניוטון-קוטס
! 
! גודל צעד 
! שם נפוץ
! נוּסחָה
! מונח שגיאה
|-
| 0
| <math>\frac{b - a}{2}</math>
| כלל מלבן, או<br /><br /><br /><br /><nowiki></br></nowiki> כלל נקודת האמצע
| <math>2hf_0</math>
| <math>\frac{1}{3} h^3f^{(2)}(\xi)</math>
|-
| 1
| <math>\frac{b - a}{3}</math>
|
| <math>\frac{3}{2} h(f_0 + f_1)</math>
| <math>\frac{3}{4}h^3f^{(2)}(\xi) </math>
|-
| 2
| <math>\frac{b - a}{4}</math>
| כלל מילן
| <math>\frac{4}{3} h(2f_0 - f_1 + 2f_2)</math>
| <math>\frac{14}{45} h^5f^{(4)}(\xi)</math>
|-
| 3
| <math>\frac{b - a}{5}</math>
|
| <math>\frac{5}{24} h(11f_0 + f_1 + f_2 + 11f_3)</math>
| <math>\frac{95}{144} h^5f^{(4)}(\xi)</math>
|}

== כללים מורכבים ==
כדי שחוקי ניוטון-קוטס יהיו מדויקים, גודל הצעד צריך להיות קטן, מה שאומר שמרווח האינטגרציה <math>[a, b]</math> חייב להיות קטן בעצמו, וזה לא נכון רוב הזמן. מסיבה זו, בדרך כלל מבצעים אינטגרציה נומרית על ידי פיצול <math>[a, b]</math> לתת-מרווחים קטנים יותר, החלת כלל ניוטון-קוטס על כל תת-מרווח, וחיבור התוצאות. זה נקרא כלל מורכב . ראה אינטגרציה נומרית .

== ראו גם==
* ריבוע (מתמטיקה)
* אינטרפולציה
* אינטרפולציה של ספליין

==הערות שוליים==

* מ. אברמוביץ ואי.א. סטגון, עורכים. <nowiki><i id="mwAQM">מדריך לפונקציות מתמטיות עם נוסחאות, גרפים וטבלאות מתמטיות</i></nowiki> . ניו יורק: דובר, 1972. (ראה סעיף 25.4.)
* ג'ורג' אי פורסיית', מייקל א' מלקולם וקליב ב' מולר. שיטות מחשב לחישובים מתמטיים . Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall, 1977. (ראה סעיף 5.1.)
*
* יוסף סטואר ורולנד בולירש. מבוא לניתוח נומרי . ניו יורק: ספרינגר-ורלג, 1980. (ראה סעיף 3.1.)

== קישורים חיצוניים ==
* [http://www.math-linux.com/spip.php?article74 Newton–Cotes formulas] on www.math-linux.com
* Weisstein, Eric W. "Newton–Cotes Formulas". MathWorld.
* [http://www.numericalmathematics.com/integration_and_differentiation.htm Newton–Cotes Integration], numericalmathematics.com
* 

קטגוריה:אנליזה נומרית
קטגוריה:אינטגרלים