משפט הממדים

מִשְׁפַּט הַמְּמַדִּים (בשפות אחרות ידוע בשם זהות גראסמן או נוסחת גראסמן, על-שם הרמן גראסמן) הוא משפט באלגברה ליניארית האומר כי סכום הממדים של שני מרחבים וקטוריים פחות ממד החיתוך שלהם שווה לממד הסכום שלהם. בצורה פורמלית:
<math display="block">\dim(U+W)=\dim(U) + \dim(W) - \dim(U \cap W)</math>.

== הוכחה ==

יהיו <math>U</math> ו-<math>W</math> תת-מרחבים של <math>V</math>, שהוא מרחב וקטורי נוצר סופית.

נניח כי <math>\dim(U \cap W) \ne \{0\}</math> וניקח בסיס לחיתוך <math>\{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}</math> (ההוכחה עובדת גם עבור <math>\dim(U \cap W) = \{0\}</math>)

נשלים אותו בשתי דרכים:
* לבסיס של <math>U</math>: <math>\{v_{1},v_{2},...,v_{k}, u_{1},...,u_{l}\}</math>
* לבסיס של <math>W</math>: <math>\{v_{1},v_{2},...,v_{k}, w_{1},...,w_{m}\}</math>

כעת נשאר להוכיח: <math>\dim(U+W) = k+l+k+m-k = k+l+m</math>, ולשם כך מספיק להראות כי הקבוצה <math>\{v_{1},...,v_{k}, u_{1},...,u_{l},w_{1},...,w_{m}\}</math> היא בסיס ל-<math>U+W</math>. ניזכר כי זה אומר שוקטורי הקבוצה פורשים את המרחב וגם בלתי תלויים ליניארית (בת"ל):

;פרישה:
יהי <math>v \in U+W</math>, קיימים <math>u_{0} \in U</math> ו-<math>w_{0} \in W</math> כך ש <math>v = u_{0} + w_{0}</math> הקבוצה <math>\{v_{1},v_{2},...,v_{k}, u_{1},...,u_{l}\}</math> היא בסיס ל-U לכן קיימים סקלרים <math>\alpha_{1},...,\alpha_{k}, \beta_{1},...,\beta_{l}</math> כך שמתקיים
<math display="block">u_{0} = \sum_{i=1}^{k}\alpha_{i}v_{i} + \sum_{i=1}^{l}\beta_{i}u_{i} </math>

באופן דומה, עבור W,
<math display="block">w_{0} = \sum_{i=1}^{k}\gamma_{i}v_{i} + \sum_{i=1}^{m}\delta_{i}w_{i} </math>

מכאן שמתקיים
<math display="block">,u_{0} + w_{0} = \sum_{i=1}^{k} ( \alpha_{i} + \gamma_{i} ) v_{i} + \sum_{i=1}^{l}\beta_{i}u_{i} + \sum_{i=1}^{m}\delta_{i}w_{i}</math>
ולכן הקבוצה פורשת.

;תלות ליניארית:
יהיו <math>\alpha_{1},...,\alpha_{k}, \beta_{1},...,\beta_{l}, \gamma_{1},...,\gamma_{m}</math> סקלרים כך ש:
<math display="block">.\sum_{i=1}^{k} \alpha_{i}v_{i} + \sum_{i=1}^{l}\beta_{i}u_{i} + \sum_{i=1}^{m}\gamma_{i}w_{i} = 0</math>
כדי להוכיח את הטענה, יש להראות שהשוויון מתקיים רק אם כל הסקלרים שווים לאפס. בעזרת העברת אגפים, מתקבל השוויון:
<math display="block">\sum_{i=1}^{k} \alpha_{i}v_{i} + \sum_{i=1}^{l}\beta_{i}u_{i} = - \sum_{i=1}^{m}\gamma_{i}w_{i} </math>

קיבלנו וקטור ב<math>U \cap W</math> (כי באגף ימין קיבלנו וקטור ב-<math>W</math> ובאגף שמאל וקטור ב-<math>U</math>). לכן, את אגף שמאל ניתן לכתוב כצירוף ליניארי של <math>\{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}</math> שהוא בסיס ל-<math>U \cap W</math>.

קיימים <math>\delta_{1},...,\delta_{k}</math> כך שמתקיים:
* <math>\sum_{i=1}^{k} \delta_{i}v_{i} = - \sum_{i=1}^{m}\gamma_{i}w_{i} </math>
* <math>\sum_{i=1}^{k} \delta_{i}v_{i} + \sum_{i=1}^{m}\gamma_{i}w_{i} = 0</math>

קיבלנו צירוף ליניארי של איברי <math>W</math> ולכן הם בת"ל, ובפרט עבור <math>\gamma_{i} = 0, \ \ \ 1 \leq i \leq m</math>

<math>\sum_{i=1}^{k} \alpha_{i}v_{i} + \sum_{i=1}^{l}\beta_{i}u_{i} = 0</math>

קיבלנו צירוף ליניארי של איברי <math>U</math> ולכן הקבוצה בת"ל.

לכן בפרט, <math>\beta_{i} = 0, \ \ \ 1 \leq i \leq l</math> <math>\alpha_{i} = 0, \ \ \ 1 \leq i \leq k</math>

מש"ל 

== ראו גם ==
* משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות
*עקרון ההכלה וההפרדה

== קישורים חיצוניים ==
* [https://proofwiki.org/wiki/Grassmann%27s_Identity הוכחה], באתר ProofWiki

קטגוריה:משפטים באלגברה ליניארית