חבורת בראואר

באלגברה מופשטת, חבורת בראואר (Brauer group) של שדה נתון היא חבורת אוסף מחלקות האלגברות הפשוטות המרכזיות הסוף ממדיות עם פעולת המכפלה הטנזורית, בה איבר ההופכי הוא (המחלקה של) האלגברה המנוגדת. היא נקראת על שם המתמטיקאי ריכרד בראואר. מטרתה היא לאפיין ולמיין את האלגברות הפשוטות המרכזיות מעל השדה.

==מבוא והגדרה פורמלית==
אלגברה פשוטה מרכזית (Central simple algebra) מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> היא אלגברה פשוטה סוף ממדית שמרכזה הוא השדה <math>\mathbb{F}</math>. אלגברת חילוק מרכזית (Central division algebra) היא אלגברה פשוטה מרכזית עם חילוק.

לפי משפט ודרברן-ארטין, כל אלגברה פשוטה מרכזית סוף-ממדית איזומורפית לאלגברת מטריצות מעל חוג עם חילוק; חוג זה וגם סדר אלגברת המטריצות יחידים עד כדי איזומורפיזם. אלגברת החילוק הזו נקראת האלגברה הבסיסית (היא בבסיס האלגברה המקורית).

נאמר ששתי אלגברות פשוטות מרכזיות <math>{R}_{1},{R}_{2}</math> הן שקולות בראואר אם לשתיהן אותה אלגברה בסיסית. נסמן זאת <math>{R}_{1} {\sim }_{Br} {R}_{2}</math>. בשקילות, <math>{R}_{1} {\sim }_{Br} {R}_{2}</math> כאשר קיימים <math>n_1,n_2</math> כך ש-<math>M_{n_1}({R}_{1}) \cong M_{n_2}({R}_{2}</math>. קל לבדוק שזהו אכן יחס שקילות, ואת המחלקה של אלגברה פשוטה מרכזית <math>R</math> נסמן על ידי <math>[R]</math>. למשל, מתקיים <math>[\mathbb{F}]=\</math>. הגרעין שלה נקרא חבורת בראואר היחסית (relative Brauer group), המסומנת <math>Br(\mathbb{L}/ \mathbb{F})</math>. אם <math>[R] \in Br(\mathbb{L}/ \mathbb{F})</math> אז <math>R \otimes \mathbb{L} {\sim}_{Br} \mathbb{L}</math>, ובמקרה זה <math>\mathbb{L}</math> נקרא שדה מפצל של האלגברה <math>R</math>.

הסגור האלגברי <math>\overline { \mathbb{F} }</math> של <math>\mathbb{F}</math> תמיד שדה מפצל של כל <math>\mathbb{F}</math>-אלגברה <math>R</math>, ולכן קיים מספר טבעי <math>n</math> כך ש-<math>R{\otimes}_{\mathbb{F}} (\overline{\mathbb{F}}) {\sim}_{Br} {M}_{n}(\overline{\mathbb{F}}) </math>, ולכן ממדו הוא <math>{n}^{2}</math>. המספר <math>n</math> נקרא הדרגה של <math>R</math>, ומסמנים <math>n=deg(R)</math>. האינדקס של <math>R={M}_{t}(D)</math> הוא הדרגה של <math>D</math> מעל <math>\mathbb{F}</math>, מסומן <math>ind(R)</math>, ומתקיים <math>deg(R)= t \cdot ind(R)</math>.

לתת-שדות מקסימליים של האלגברה מקום מרכזי בתאוריה:

משפט:שדה <math>\mathbb{L}</math> מפצל את <math>R</math> אם ורק אם <math>\mathbb{L}</math> תת-שדה מקסימלי של איזושהי אלגברה <math>R'</math> השקולה ל-<math>R</math> בחבורה.

האקספוננט של אלגברה <math>R</math> הוא הסדר של <math>[R] \in Br(\mathbb{F})</math>, ומסומן <math>exp(R)</math>. תמיד מתקיים <math>exp(R)|deg(R),exp(R)|ind(R)</math>, וכל ראשוני המחלק את <math>ind(R)</math> מחלק את <math>exp(R)</math>. בפרט, חבורת בראואר היא חבורה מפותלת, כלומר חבורה בה לכל איבר סדר סופי.

לכל מספר <math>m</math>, מגדירים את החבורה <math>{Br(\mathbb{F})}_{m}</math> להיות תת-החבורה המכילה את כל האלגברות מאקספוננט המחלק את <math>m</math>. אם <math>gcd([\mathbb{L}: \mathbb{F}],m)=1</math> העתקת הצמצמום מ-<math>{Br(\mathbb{F})}_{m}</math> ל-<math>{Br(\mathbb{L})}_{m}</math> היא שיכון.

==חבורת בראואר וקוהומולוגיה==
===חבורת הקוהומולוגיה הראשונה===
דרך הגדרה שקולה לחבורת בראואר היא בעזרת חבורת הקוהומולוגיה הראשונה של החבורה הליניארית הכללית הפרויקטיבית - 
<math>{PGL}_{n}(\mathbb{K})={GL}_{n}(\mathbb{K})/Z({GL}_{n}(\mathbb{K}))</math>.

תהי <math>\mathbb{K} / \mathbb{F}</math> הרחבת שדות עם חבורת גלואה <math>G=Gal(\mathbb{K} / \mathbb{F})</math>.

נסמן ב<math>CSA_{\mathbb{K}}(n)</math> את ה<math>\mathbb{F}</math>-אלגברות הפשוטות המרכזיות מדרגה <math>n</math> המתפצלות על ידי <math>\mathbb{K}</math> (עד כדי איזומורפיזם). ישנה פעולה <math>CSA_{\mathbb{K}}(m) \times CSA_{\mathbb{K}}(n) \rightarrow CSA_{\mathbb{K}}(mn) </math> הנתונה על ידי המכפלה טנזורית, היות ששדה פיצול של שתי אלגברות הוא גם שדה פיצול של המכפלה הטנזורית שלהן.

יחס השקילות שקולים בראואר שהוצג לעיל הוא יחס על <math>\bigcup _{ n \in \mathbb{N} } { {CSA}_{\mathbb{K}}(n)} </math>, ואוסף מחלקות השקילות הוא בדיוק חבורת בראואר היחסית <math>Br(\mathbb{K} / \mathbb{F})</math>, וחבורת בראואר היא <math>\bigcup_{\mathbb{K}} {Br(\mathbb{K}/\mathbb{F})}</math>, כאשר האיחוד הוא על כל הרחבות הגלואה הסופיות.

כעת, נצטט את המשפט החשוב הבא:

משפט: יש התאמה חד-חד-ערכית: <math>{CSA}_{n}(\mathbb{K}) \leftrightarrow {H}^{1}(G,{PGL}_{n}(\mathbb{K}))</math>.

ממשפט זה יחד עם הפעולה <math>CSA_{\mathbb{K}}(m) \times CSA_{\mathbb{K}}(n) \rightarrow CSA_{\mathbb{K}}(mn) </math> לעיל, נובע שיש פעולה מתאימה 
<math>{ \lambda }_{ mn }:{CSA}_{\mathbb{K}}(n) \times {H}^{1}(G,{PGL}_{m}(\mathbb{K})) \rightarrow {H}^{1}(G,{PGL}_{mn}(\mathbb{K}))</math>.

משפט: <math>{ \lambda }_{ mn }</math> חד-חד-ערכיות.

כלומר, אפשר לשכן חבורות קוהומולוגיה כנ"ל, ולכן נגדיר <math>{H}^{1}(G,{PGL}_{\infty}(\mathbb{K}))=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} (\overline{\mathbb{F}}) {\sim}_{Br} {M}_{n}(\overline{\mathbb{F}}) </math>, ולכן ממדו הוא <math>{n}^{2}</math>. המספר <math>n</math> נקרא הדרגה של <math>R</math>, ומסמנים <math>n=deg(R)</math>. האינדקס של <math>R={M}_{t}(D)</math> הוא הדרגה של <math>D</math> מעל <math>\mathbb{F}</math>, מסומן <math>ind(R)</math>, ומתקיים <math>deg(R)= t \cdot ind(R)</math>.

לתת-שדות מקסימליים של האלגברה מקום מרכזי בתאוריה:

משפט:שדה <math>\mathbb{L}</math> מפצל את <math>R</math> אם ורק אם <math>\mathbb{L}</math> תת-שדה מקסימלי של איזושהי אלגברה <math>R'</math> השקולה ל-<math>R</math> בחבורה.

האקספוננט של אלגברה <math>R</math> הוא הסדר של <math>[R] \in Br(\mathbb{F})</math>, ומסומן <math>exp(R)</math>. תמיד מתקיים <math>exp(R)|deg(R),exp(R)|ind(R)</math>, וכל ראשוני המחלק את <math>ind(R)</math> מחלק את <math>exp(R)</math>. בפרט, חבורת בראואר היא חבורה מפותלת, כלומר חבורה בה לכל איבר סדר סופי.

לכל מספר <math>m</math>, מגדירים את החבורה <math>{Br(\mathbb{F})}_{m}</math> להיות תת-החבורה המכילה את כל האלגברות מאקספוננט המחלק את <math>m</math>. אם <math>gcd([\mathbb{L}: \mathbb{F}],m)=1</math> העתקת הצמצמום מ-<math>{Br(\mathbb{F})}_{m}</math> ל-<math>{Br(\mathbb{L})}_{m}</math> היא שיכון.

==חבורת בראואר וקוהומולוגיה==
===חבורת הקוהומולוגיה הראשונה===
דרך הגדרה שקולה לחבורת בראואר היא בעזרת חבורת הקוהומולוגיה הראשונה של החבורה הליניארית הכללית הפרויקטיבית - 
<math>{PGL}_{n}(\mathbb{K})={GL}_{n}(\mathbb{K})/Z({GL}_{n}(\mathbb{K}))</math>.

תהי <math>\mathbb{K} / \mathbb{F}</math> הרחבת שדות עם חבורת גלואה <math>G=Gal(\mathbb{K} / \mathbb{F})</math>.

נסמן ב<math>CSA_{\mathbb{K}}(n)</math> את ה<math>\mathbb{F}</math>-אלגברות הפשוטות המרכזיות מדרגה <math>n</math> המתפצלות על ידי <math>\mathbb{K}</math> (עד כדי איזומורפיזם). ישנה פעולה <math>CSA_{\mathbb{K}}(m) \times CSA_{\mathbb{K}}(n) \rightarrow CSA_{\mathbb{K}}(mn) </math> הנתונה על ידי המכפלה טנזורית, היות ששדה פיצול של שתי אלגברות הוא גם שדה פיצול של המכפלה הטנזורית שלהן.

יחס השקילות שקולים בראואר שהוצג לעיל הוא יחס על <math>\bigcup _{ n \in \mathbb{N} } { {CSA}_{\mathbb{K}}(n)} </math>, ואוסף מחלקות השקילות הוא בדיוק חבורת בראואר היחסית <math>Br(\mathbb{K} / \mathbb{F})</math>, וחבורת בראואר היא <math>\bigcup_{\mathbb{K}} {Br(\mathbb{K}/\mathbb{F})}</math>, כאשר האיחוד הוא על כל הרחבות הגלואה הסופיות.

כעת, נצטט את המשפט החשוב הבא:

משפט: יש התאמה חד-חד-ערכית: <math>{CSA}_{n}(\mathbb{K}) \leftrightarrow {H}^{1}(G,{PGL}_{n}(\mathbb{K}))</math>.

ממשפט זה יחד עם הפעולה <math>CSA_{\mathbb{K}}(m) \times CSA_{\mathbb{K}}(n) \rightarrow CSA_{\mathbb{K}}(mn) </math> לעיל, נובע שיש פעולה מתאימה 
<math>{ \lambda }_{ mn }:{CSA}_{\mathbb{K}}(n) \times {H}^{1}(G,{PGL}_{m}(\mathbb{K})) \rightarrow {H}^{1}(G,{PGL}_{mn}(\mathbb{K}))</math>.

משפט: <math>{ \lambda }_{ mn }</math> חד-חד-ערכיות.

כלומר, אפשר לשכן חבורות קוהומולוגיה כנ"ל, ולכן נגדיר <math>{H}^{1}(G,{PGL}_{\infty}(\mathbb{K}))=\bigcup_{n \in \mathbb{N}}