בעיית וארינג

בתורת המספרים, בעיית וארינג שואלת האם לכל מספר טבעי <math>k</math> קיים חסם עליון <math>s</math> על מספר החזקות ה-<math>k</math>-יות של מספרים טבעיים, הנדרשות כדי להציג כל מספר טבעי. את הבעיה הציע בשנת 1770 אדוארד וארינג.

הילברט הוכיח שאכן כך הדבר בשנת 1909. על כן אפשר להגדיר פונקציה <math>g(k)</math>, כך שכל מספר טבעי אפשר להציג כסכום של <math>g(k)</math> חזקות <math>k</math>-יות, אבל לא כסכום של פחות מכך. חישוב פשוט מראה שכדי להציג את המספר 7 דרושים 4 ריבועים, עבור 23 דרושים 9 מספרים בחזקה השלישית, וכדי להציג את 79 דרושים 19 מספרים בחזקה הרביעית. אלו הם חסמים תחתונים על <math>g(k)</math> עבור <math>k=2,3,4</math> בהתאמה.

משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' אומר שניתן להציג כל מספר טבעי כסכום של לכל היותר ארבעה ריבועים; מכיוון ש-7 דורש ארבעה ריבועים, הרי נובע מכך כי <math>g(2)=4</math>. ההשערה של משפט זה הוצעה בשנת 1640 על ידי פרמה.

במהלך השנים נקבעו חסמים נוספים, בשימוש בטכניקות מתוחכמות ומסובכות יותר ויותר. לדוגמה, ליוביל הראה כי <math>g(4)</math> הוא לכל היותר 53. הארדי וליטלווד הראו שכל מספר גדול מספיק הוא סכום של לכל היותר 19 מספרים בחזקה הרביעית.

ויפריך וקמפנר הראו כי <math>g(3)=9</math> בעבודתם בין השנים 1909 עד 1912. בשנת 1986 הוכיחו בלאסוברמיאן, דרס, ודשויירז כי <math>g(4)=19</math>. ג'נגרון הראה כי <math>g(5)=37</math> בשנת 1964. פילאי הוכיח כי <math>g(6)=73</math> בשנת 1940.

במהלך שנות ה-50, הוכיח יורי ליניק את קיום <math>g(k)</math> בכלים אלמנטריים תוך שימוש בצפיפות שנירלמן. 

כל הערכים של <math>g</math> ידועים כיום, הודות לעבודתם של דיקסון, פילאי, רבגנדיי וניבן. הנוסחה שלהם היא:
<math>g(k)=\left\lfloor1.5^k\right\rfloor+2^k-2</math> לכל <math>k\ge6</math>, כאשר <math>\lfloor x\rfloor</math> הוא הערך השלם של <math>x</math>, שהוא המספר השלם הגדול ביותר שאינו עולה על <math>x</math>. הנוסחה בעצם יותר מסובכת כי במקרה ש-<math>1.5^k-\left\lfloor1.5^k\right\rfloor>1-0.75^k</math> אזי הנוסחה ל-<math>g(k)</math> שונה, אמנם עד עכשיו לא מצאו אף מספר <math>k\ge6</math> כזה, ונבדקו כל המספרים שהם קטנים מ-471600000, וידוע שיש ככל האפשר מספר סופי של יוצאי דופן כאלה.

ערכי <math>g(k)</math> הראשונים הם:

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223 ,8384, 16673, 33203, 66190, 132055, ...

בעיה דומה, אבל קשה בהרבה, שואלת מהו המספר הקטן ביותר <math>G(k)</math> של חזקות-<math>k</math> הדרוש להצגת כל המספרים פרט למספר סופי של יוצאי דופן (או בניסוח שקול: המספר הקטן ביותר הדרוש כדי להציג כל מספר גדול מספיק). ברור כי <math>G(k)\le g(k)</math>. שלא כמו בפונקציה <math>g(k)</math>, מספרים בעייתיים כגון 23 או 79 אינם מסייעים בהערכה של <math>G(k)</math>, והערכים המדויקים של פונקציה זו אינם ידועים (פרט ל-<math>G(2)=g(2)=4</math> שנובע מעבודתם של לגראנז' וגאוס, שאפיינו את כל המספרים שאפשר להציג בשלושה ריבועים, ו-<math>G(4)=16</math> שהוכח על ידי דוונפורט בשנת 1939). עבור חזקות שלישיות ידוע רק כי <math>4\le G(3)\le7</math> (נכון ל-2005). 

עוד פונקציה דומה נקראת <math>G^+(k)</math> (<math>G_1(k)</math> בעבודות של וולי) שהיא המספר הקטן ביותר של חזקות-<math>k</math> הדרוש להצגת כמעט כל המספרים (כלומר, שהיחס בין מספר יוצאי הדופן שקטנים מ-<math>n</math> ובין <math>n</math> יתכנס ל-0 כאשר <math>n</math> ילך ויגדל). ברור כי <math>G^+(k)\le G(k)</math>. נכון ל-2006 ידוע 5 ערכים מדויקים של פונקציה זו בנוסף ל-<math>G^+(2)=g(2)=4</math>, והם 
:<math>G^+(3)=4,G^+(4)=15,G^+(8)=32,G^+(16)=64,G^+(32)=128</math>

==חזקות עד כדי סימן==
וריאציה של בעיית וארינג שואלת עבור <math>k</math> קבוע, מהו המספר <math>s</math> הקטן ביותר כך שלכל מספר יש הצגה בצורה <math>\pm n_1^k\pm\cdots\pm n_s^k</math>. את המספר הזה מסמנים <math>v(k)</math>. ידוע כי <math>v(2)=3</math>, אך הערך המדויק של הפונקציה אינו יודע בשום מקרה אחר. למשל, <math>4\le v(3)\le5</math>: כל מספר אפשר להציג כסכום של 5 חזקות שלישיות (של מספרים שלמים, לאו דווקא חיוביים), ולא ידוע האם די ב-4 חזקות.

==קישורים חיצוניים==
*
*הוכחתו של יורי ליניק: [https://www.maths.lancs.ac.uk/~jameson/warlin.pdf].
*Hardy and Wright, פרקים XX ו-XXI.
*

קטגוריה:תורת המספרים
קטגוריה:תורת המספרים האדיטיבית
קטגוריה:בעיות נודעות במתמטיקה
קטגוריה:דויד הילברט
קטגוריה:בעיות פתוחות בתורת המספרים