המשוואה הקינטית של לנדאו

בתאוריה הקינטית של הגזים, המשוואה הקינטית של לנדאו היא משוואת טרנספורט, המתארת חלקיקים טעונים בגבול הדליל המבצעים התנגשויות קולון בפלזמה (מצב צבירה).

המשוואה פורסמה על ידי לב לנדאו ב-1936<ref name=":0"></ref> כתיקון למשוואת בולצמן עבור אינטראקציית קולון. בשילוב עם משוואת ולסוב, המשוואה נותנת את האבולוציה בזמן של המערכת, ולכן מהווה מודל קינטי חשוב בתורת הפלזמה.<ref name=":1"></ref><ref name=":2"></ref>

== סקירה ==
=== הגדרה ===
עבור פונקציית התפלגות של חלקיק אחד, <math>f(v, t)</math>, המשוואה נתונה על-ידי:

<math>\frac{\partial f}{\partial t} = B \frac{\partial}{\partial v_i}(\int_{\mathbb{R^3}}dw \frac{(u^2 \delta_{ij}-u_iu_j)}{u^3}(\frac{\partial}{\partial v_j} - \frac{\partial}{\partial w_j})f(v)f(w))
</math>

<math>u=v-w</math>

צד ימין של המשוואה ידוע כ-Landau collision integral (בהקבלה לBoltzmann collision integral).

הקבוע <math>B</math> מתקבל על-ידי אינטגרציה על הפוטנציאל התוך-מולקולרי <math>U(r)</math>:

<math>B = \frac{1}{8 \pi}\int^{\infin}_0dr r^3 \hat{U}(r)^2</math>

<math>\hat{U}(|k|)=\int_{\mathbb{R^3}}dxU(|x|)e^{ikx}</math>

יש לשים לב כי עבור הרבה פוטנציאלים תוך-מולקולריים (דוגמה נפוצה היא כאשר <math>U(r) \propto \frac{1}{r^n}</math>) הביטוי עבור <math>B</math> מתבדר. לנדאו מתמודד עם בעיה זו על-ידי קטיעת האינטגרל עבור זוויות קטנות וגדולות.

=== שימושים ===
המשוואה בנמצאת בשימוש למידול של פלזמה במכניקה סטטיסטית ופיזיקת חלקיקים. לכן, נעשה בה שימוש נרחב במחקר של פלזמה בכורים תרמו-גרעיניים. <ref>Landau kinetic equation. Encyclopedia of Mathematics. URL: <nowiki>http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Landau_kinetic_equation&oldid=47573</nowiki></ref><ref>J. Killeen, K.D. Marx, "Methods in computational physics", 9, Acad. Press (1970)</ref><ref>J. Killeen, A.A. Mirin, M.E. Rensink, "Methods in computational physics", 16, Acad. Press (1976)</ref>

המשוואה ותכונותיה נחקרו לעומק על-ידי אלכסנדר בובילב.<ref>Alexander Bobylev. ResearchGate. URL: <nowiki>https://www.researchgate.net/profile/Alexander-Bobylev</nowiki></ref>

== פיתוחים ==
הפיתוח הראשון של משוואה נתון במאמר המקורי של לנדאו<ref name=":0" /> כאשר הרעיון הוא כדלקמן:

נתבונן בגז הומוגני במרחב המורכב ממסות נקודתיות המתוארת על-ידי <math>f(v, t)</math>. נבחר פוטנציאל <math>\hat{U_{ij}} = U_{ij} exp(\frac{-r_{ij}}{r_D})</math> כך ש-<math>U_{ij}</math> פוטנציאל קולון, <math>U_{ij}=\frac{e_i e_j}{|x_i - x_j|}</math>, ו-<math>r_D</math> הוא רדיוס דביי. נציב את הפוטנציאל <math>\hat{U_{ij}}</math> בתוך איבר ההתנגשות במשוואת בולצמן ונפתור עבור האיבר האסימפטוטי הראשי בגבול <math>r_D \rightarrow \infin</math>.

הפיתוח הפורמלי הראשון מתוך היררכיית BBGKY פורסם לראשונה ב-1946 על-ידי ניקולאי בוגוליובוב. <ref></ref>

== משוואת פוקר-פלאנק-לנדאו ==
ב-1957, המשוואה פותחה בנפרד על-ידי מרשל רוזנבלות.<ref></ref> נפתור את משוואת פוקר פלאנק תחת חוק ריבוע ההפכים לקבלת:

<math>\frac{1}{4 \pi L} \frac{\partial f_i}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial v_{\alpha}} (-f_i \frac{\partial h_i}{\partial v_{\alpha}}+\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial v_{\beta}}(f_i \frac{\partial^2 g_i}{\partial v_{\alpha} \partial v_{\beta}}))</math>

כאשר <math>h_i, g_i</math> ידועים כפוטנציאלי רוזנבלות:

<math>h_i = \sum^n_{j=1} K_{ij} \int dw \frac{f_i(w, t)}{|v-w|}
</math>

<math>g_i = \sum^n_{j=1} K_{ij} \frac{m_j}{m_i} \int dw \frac{f_i(w, t)}{|v-w|}</math>

for <math>K_{ij} = \frac{e_i^2e_j^2}{m_i m_j}, i=1,2,...,n</math>

צורת פוקר-פלאנק של המשוואה נמצאת בשימוש בעיקר לטובת נוחות בחישובים נומריים.

== גרסה יחסותית ==
תיקון יחסותי של המשוואה פורסמה על-ידי גרש בודקר וספרטק בלייב ב-1956. <ref>S. T. Belyaev and G. I. Budker. Relativistic kinetic equation. Dokl. Akad. Nauk SSSR (N.S.), 107:807–810, 1956.</ref>

עבור חלקיקים יחסותיים בעלי תנע <math>p = (p^1, p^2, p^3) \in \mathbb{R}^3</math> ואנרגיה <math>p^0 = \sqrt{1+|p|^2}</math>, המשוואה מקיימת:

<math>\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial p_i}\int_{\mathbb{R}^3} dq \Phi^{ij}(p,\ q)[h(q)\frac{\partial}{\partial p_j}g(p)-\frac{\partial}{\partial q_j}h(q)g(p)]</math>

כאשר הקרנל נתון על-ידי <math>\Phi^{ij}= \Alpha(p, q)S^{ij}(p, q)</math> כך שמתקיים:

<math>\Alpha=\frac{\left(\rho_-+1\right)^2}{p^0q^0}\left(\rho_+\rho_-\right)^{-\frac{-3}{2}}</math>

<math>S^{ij}=\rho_+\rho_-\delta_{ij}-\left(p_i-q_i\right)\left(p_j-q_j\right)+\rho_-\left(p_iq_j+p_jq_i\right)</math>

<math>\rho_{\pm}=p^0q^0-pq\pm1</math>

גרסה יחסותית למשוואה נחוצה שכן חלקיקים בפלזמה חמה מסוגלים להגיע למהירות הקרובות למהירות האור.

== ראו גם ==
* משוואת בולצמן
* משוואת ולסוב

== הערות שוליים ==

קטגוריה:פיזיקת הפלזמה