חבורת הייזנברג

בתורת החבורות, חבורת הייזנברג היא חבורה מעל חוג חילופי, הבנויה מהמטריצות המשולשיות העליונות בגודל <math>3 \times 3</math>, עם אחדות באלכסון, יחד עם פעולת כפל מטריצות.

החבורה נקראת על שמו של הפיזיקאי הגרמני ורנר הייזנברג. לחבורה קשרים חשובים למכניקה קוונטית, ובעזרתה ניתן לנסח את משפט סטון-פון נוימן בשפה של תורת ההצגות. מעל שדות סופיים, מהווה חבורת הייזנברג חבורת-p בעלת תכונות מעניינות, ועוזרת בבחקר תכונות של חבורות-p.

==הגדרה==
יהי <math>R</math> חוג חילופי. חבורת הייזנברג (מממד 3) מעל החוג <math>R</math> היא החבורה שאיבריה הם המטריצות: <math>\begin{pmatrix}
1 & a & c\\ 
0 & 1 &b \\ 
0 &0 &1 
\end{pmatrix}</math>, כאשר <math>a,b,c \in R</math>. הפעולה בחבורה היא כפל מטריצות, ואיבר היחידה שלה הוא מטריצת היחידה. המבנה הנתון אכן מהווה חבורה, שכן הוא סגור לכפל: <math>\begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 1 & a' & c'\\
 0 & 1 & b'\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 1 & a+a' & c+c'+ab'\\
 0 & 1 & b+b'\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\,</math>

ולכל איבר יש איבר הפיך (ללא הדרישה שהאיברים <math>a,b,c \in R</math> יהיו הפיכים בעצמם):<math>\begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}^{-1}=
\begin{pmatrix}
 1 & -a & ab-c\\
 0 & 1 & -b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\,</math>.

חבורת הייזנברג מסדר <math>2n+1</math> היא: <math>H_{2n+1}(R) = \Bigg\{\begin{pmatrix}
1 & a_1 & a_2 & \cdots & \cdots & a_{n+1} \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & a_{n+2} \\ 
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 & a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 & a_{2n+1} \\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}\ \Bigg|\ a_1,\dots,a_{2n+1}\in R\Bigg\}</math>.

==דוגמאות==
===חבורת הייזנברג הממשית===
כאשר החוג <math>R</math> הוא שדה המספרים הממשיים <math>\mathbb{R}</math>, מתקבלת חבורת הייזנברג הממשית, או חבורת הייזנברג הרציפה.

במקרה זה, מתקבלת חבורת לי נילפוטנטית מסדר 3. לפי משפט סטון-פון נוימן, לחבורה זו יש הצגה יחידה עליה המרכז פועל כמו קרקטר.

===חבורת הייזנברג הבדידה===
כאשר החוג <math>R</math> הוא חוג המספרים השלמים <math>\mathbb{Z}</math>, מתקבלת חבורת הייזנברג הדיסקרטית. זוהי חבורה נילפוטנטית חופשית ממחלקה 2, ונוצרת על ידי:<math>x=\begin{pmatrix}
 1 & 1 & 0\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix},\ \ y=\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 1\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</math>

לחבורה הייצוג הבא: <math><x,y,z|z^{}_{}=[x,y],\ [x,z] = e,\ [y,z] = e> </math>, כאשר <math>x,y</math> הם כדלעיל ו-<math>z=xyx^{-1}y^{-1}=\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 1\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</math>.

במקרה זה, האיבר <math>z</math> יוצר את המרכז של החברה, וכל איבר שלה ניתן לכתוב מהצורה<math>\begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}=y^bz^cx^a\,</math>.

בתור חבורה נילפוטנטית נוצרת סופית, לחבורת הייזנברג הדיסקרטית גידול פולינומי וממד גלפנד-קירילוב שלה הוא 4. מתברר כי ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית, טור הילברט של חבורת הייזנברג הוא פונקציה רציונלית (היינו, מנה של שני פולינומים במקדמים שלמים). תופעה זו, המכונה 'פאן-רציונליות', הוכחה על ידי דוצ'ין ושפירו<ref></ref>.

===מעל שדה סופי===
חבורת הייזנברג מעל השדה הסופי <math>\mathbb{Z}_{p}</math> היא מסדר <math>p^{3}</math> ומאקספוננט <math>p</math>. ניתן לתאר אותה על ידי היחסים הבאים:

<math> z=[x,y],\ x^p=y^p=z^p=1,\ [x,z]=e,\ [y,z]=e </math>

חבורות אלו הן חבורות מאוד מיוחדות<sup></sup> - חבורת-p בה המרכז <math>C</math> איזומורפי ל-<math>\mathbb{Z}_p</math> וחבורת המנה <math>G/C</math> היא אבלית וכל איבר לא טריוויאלי בה הוא מסדר <math>p</math>.

במקרה של <math>p=2</math>, מתקבלת החבורה הדיהדרלית <math>D_4</math>.

==אלגברת לי המתאימה==
לחבורת הייזנברג הממשית ניתן להתאים את אלגברת לי המכילה את המטריצות הבאות:

<math>\begin{pmatrix}
 0 & a & b\\
 0 & 0 & c\\
 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}</math>,

עם הבסיס הבא:

<math>X=\begin{pmatrix}
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 0\\
 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix};\quad
Y=\begin{pmatrix}
 0 & 0 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix};\quad
Z=\begin{pmatrix}
 0 & 0 & 1\\
 0 & 0 & 0\\
 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}
</math>

איברי הבסיס מקיימים את היחסים הבאים, המזכירים את יחסי החילוף הקנוניים במכניקה קוונטית:

<math>[X,Y]=Z;\quad [X,Z]=0;\quad [Y,Z]=0</math>

ההתאמה בין אלגברת לי לחבורת הייזנברג, בעזרת פונקציית האקספוננט, היא הפיכה.
==קישורים חיצוניים==
* 

== הערות שוליים ==

קטגוריה:תורת החבורות
קטגוריה:חבורות לי