התמרת כוכב משולש

התמרת כוכב משולש היא שיטה מתימטית לניתוח של מעגלים חשמליים. התאוריה שמאחורי שיטה זו פורסמה על ידי ארתור אדווין קינלי (אנגלית: Arthur Edwin Kennelly) בשנת 1899 בשיטה זו נעשה שימוש נרחב בעיקר בניתוח מעגלים תלת-פאזיים.

==התמרת כוכב בסיסית==
המעגל החשמלי בתצורת כוכב ובתצורת משולש.
ההתמרה משמשת להדמיית מעגל חשמלי למעגל בעל שלושה הדקים. כאשר שלושה רכיבים מחוברים לאותו צומת ואף אחד מהם לא משמש כמקור אז הצומת מתבטל על ידי הפיכת העכבות. על מנת שתתקבל שקילות, העכבה החשמלית בין כל זוג הדקים חייבת להיות זהה לשני המעגלים (לפני ההתמרה ואחרי ההתמרה). הנוסחאות הנתונות כאן נכונות הן עבור עכבות מרוכבות והן עבור עכבות ממשיות.

===נוסחאות עבור התמרה מתצורת משולש לתצורת כוכב===
הרעיון הכללי הוא לחשב את העכבה של הדק מסוים בתצורת כוכב של המעגל תוך שימוש בעכבות הנתונות מתוך תצורת משולש, ולהפך. עבור עכבות <math>Ry,R_1,R_2</math> עכבת ההדק היא:
:<math>R_y = \frac{R_1R_2}{\sum R_\Delta}</math>
כאשר <math>{\sum R_\Delta}</math> הוא סכום כל העכבות בתצורת משולש.
בצורה מפורשת:
:<math >\begin{align}
 R_1 &= \frac{R_bR_c}{R_a + R_b + R_c} \\
 R_2 &= \frac{R_aR_c}{R_a + R_b + R_c} \\
 R_3 &= \frac{R_aR_b}{R_a + R_b + R_c}
\end{align}</math>

===משוואות עבור טרנספורמציה מכוכב למשולש===
הרעיון הכללי הוא לחשב את העכבה <math>R_\Delta</math> בתצורת משולש על ידי הנוסחה:
:<math>R_\Delta = \frac{R_P}{R_\mathrm{opposite}}</math>
כאשר <math>Rp</math> הוא סכום מכפלת כל זוג עכבות בתצורת כוכב, כלומר: <math>R_P = R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1</math>. <math>R_\mathrm{opposite}</math> הוא העכבה בתצורת הכוכב בחיבור לצומת אשר אליו העכבה אותה אנחנו מעוניינים לחשב אינה מתחברת.
ובצורה מפורשת:
:<math>\begin{align}
 R_a &= \frac{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}{R_1} \\
 R_b &= \frac{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}{R_2} \\
 R_c &= \frac{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}{R_3}
\end{align}</math>

===ניתוח מעגל: שיטה לפתרון תצורת משולש על ידי המרה לתצורת כוכב===
מעגל שיש בו שילוב של שתי התצורות המדוברות צריך להיות מומר לתצורת כוכב. על ידי שינוי מתוצרת משולש לתצורת כוכב, ניתן לנתח כל אלמנט במעגל בנפרד. שיטה זו נועדה לפשט את ניתוח המעגל. (הערה: ההתנהגות ההרמונית של המעגל המקורי נשמרת). ההמרה מתצורת משולש לתצורת כוכב היא כך:
:<math>\begin{align}
 V_{\text{LL}} = \sqrt{3}V_{\text{LN}} \angle 30 \\
 I_{\text{LL}} = \sqrt{3}I_{\text{LN}} \angle-30\\
 Z_{\Delta}/3 = Z_{\text{Y}} \\
 S_{3\Phi} = |S_{3\Phi}|= \sqrt{3}V_{\text{LL}} I_{\text{L}}=3V_{\text{LN}} I_{\text{L}}\\
\end{align}</math>

==פישוט רשת נגדים==
רשת נגדים בין שני הדקים ניתנת לפישוט לנגד שווה ערך (ובאופן כללי יותר הדבר מתקיים גם לעכבות). שיטת חיבור נגדים בטור ושיטת חיבור נגדים במקביל הן כלים בסיסיים לפישוט רשת נגדים, אך עבור רשת הנגדים המתוארת בתמונה הן לא יספיקו. ניתן לעשות שימוש בהתמרת כוכב משולש על מנת לפשט את רשת הנגדים כמתואר בתמונה.
התמרה של רשת נגדים תוך שימוש בהתמרת כוכב משולש על מנת להיפטר מצומת D.
התמרת כוכב משולש ההפוכה (מתצורת משולש לתצורת כוכב) אשר מוסיפה צומת, נועדה גם כן לפשט את המעגל.
שימוש בהתמרת כוכב משולש ההפוכה על מנת לפשט רשת נגדים.

==הדגמה==
===התמרה מתצורת משולש לתצורת כוכב===
תצורת משולש ותצורת כוכב עם שמות המשתנים שבהם משתמשים בהדגמה.
כדי לקשר את {<math>R_a, R_b, R_c</math>} מתצורת Δ ל {<math>R_1, R_2, R_3</math>} מתצורת Y, משווים את העכבה בין שני צמתים בתצורת Δ לעכבה המתאימה בין שני צמתים בתצורת Y, חוזרים על התהליך עבור כל זוג צמתים. העכבה בין הצמתים נקבעת כאשר הצומת האחר לא מחובר למעגל ובמקומו יש קצר. העכבה בין N_1 ו N_2 כאשר N_3 מקוצר, בתצורת Δ:
:<math>\begin{align}
 R_\Delta(N_1, N_2) &= R_c \parallel (R_a + R_b)= \\
 &= \frac{1}{\frac{1}{R_c} + \frac{1}{R_a + R_b}} \\
 &= \frac{R_c(R_a + R_b)}{R_a + R_b + R_c}
\end{align}</math>
כדי להקל על הרישום נקרא לסכום {<math>R_T</math>}, {<math>R_A, R_B, R_C</math>}:
:<math> R_T = R_a + R_b + R_c </math>
לכן:
:<math> R_\Delta(N_1, N_2) = \frac{R_c(R_a+R_b)}{R_T} </math>
העכבה המתאימה בין N_1 ו N_2 בתצורת Y, היא:
:<math>R_Y(N_1, N_2) = R_1 + R_2</math>
נשווה בין העכבות שהתקבלו:
:<math>R_Y(N_1, N_2) = R_\Delta(N_1, N_2)</math>

לכן מתקבל:
:<math>R_1+R_2 = \frac{R_c(R_a+R_b)}{R_T}</math>   (1)
נחזור על התהליך עבור <math>R(N_2,N_3)</math>:
:<math>R_2+R_3 = \frac{R_a(R_b+R_c)}{R_T}</math>   (2)
נחזור על התהליך שוב עבור <math>R(N_1,N_3)</math>:
:<math>R_1+R_3 = \frac{R_b(R_a+R_c)}{R_T}.</math>   (3)

מכאן ניתן לקבוע את הערכים {<math>R_1, R_2, R_3</math>} על ידי צירוף ליניארי.
למשל מחיבור משוואות (1) ו (3) וחיסור משוואה (2) נקבל:
:<math>
R_1+R_2+R_1+R_3-R_2-R_3 =
 \frac{R_c(R_a+R_b)}{R_T}
+ \frac{R_b(R_a+R_c)}{R_T}
- \frac{R_a(R_b+R_c)}{R_T}
</math>
לכן:
:<math>R_1 = \frac{R_bR_c}{R_T}.</math>
כאשר,
:<math> R_T = R_a + R_b + R_c </math>

לכן מתקבל:
:<math>R_1 = \frac{R_bR_c}{R_T}</math> (4)



:<math>R_2 = \frac{R_aR_c}{R_T}</math> (5)



:<math>R_3 = \frac{R_aR_b}{R_T}</math> (6)

===התמרה מתצורת Y לתצורת Δ===
נקבע ש:
:<math>R_T = R_a+R_b+R_c</math>.
אנחנו יכולים לכתוב את נוסחאות המעבר מתצורת Y לתוצרת Δ כך:
:<math>R_T = R_a+R_b+R_c</math>.

ומתצורת Δ לתצורת Y כך:

:<math>R_1 = \frac{R_bR_c}{R_T} </math>   (1)

:<math>R_2 = \frac{R_aR_c}{R_T} </math>   (2)

:<math>R_3 = \frac{R_aR_b}{R_T} </math>   (3)

מהכפלת כל זוג משוואות, מתקבל:

:<math>R_1R_2 = \frac{R_aR_bR_c^2}{R_T^2}</math>   (4)

:<math>R_1R_3 = \frac{R_aR_b^2R_c}{R_T^2}</math>   (5)

:<math>R_2R_3 = \frac{R_a^2R_bR_c}{R_T^2}</math>   (6)

נסכום את המשוואות שהתקבלו:

:<math>R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3 = \frac{R_aR_bR_c^2 + R_aR_b^2R_c + R_a^2R_bR_c}{R_T^2}</math>   (7)

נוציא גורם משותף במונה {<math>R_aR_bR_c</math>}:

:<math>R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3 = \frac{(R_aR_bR_c)(R_a+R_b+R_c)}{R_T^2}</math>

:<math>R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3 = \frac{R_aR_bR_c}{R_T}</math> (8)

נחלק את משוואה (8) במשוואות (1),(2) ו (3) בנפרד.
חלוקה במשוואה (1):
:<math>\frac{R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3}{R_1} = \frac{R_aR_bR_c}{R_T}\frac{R_T}{R_bR_c}</math>

:<math>\frac{R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3}{R_1} = R_a</math>   (9)

חלוקה במשוואה (2):
:<math>\frac{R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3}{R_2} = \frac{R_aR_bR_c}{R_T}\frac{R_T}{R_aR_c}</math>

:<math>\frac{R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3}{R_2} = R_b</math>   (10)

חלוקה במשוואה (3):
:<math>\frac{R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3}{R_3} = \frac{R_aR_bR_c}{R_T}\frac{R_T}{R_aR_b}</math>

:<math>\frac{R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3}{R_3} = R_c,</math>   (11)

משוואות (9), (10) ו (11) שהתקבלו מקשרות בין תצורת Y לתצורת Δ.

==ראו גם==
* זרם חילופין
*מעגל חשמלי
*ניקולה טסלה
*מערכת תלת פאזית

==קישורים חיצוניים==
* William Stevenson, Elements of Power System Analysis 3rd ed., McGraw Hill, New York, 1975, 

==הערות שוליים==

קטגוריה:מעגלים חשמליים
קטגוריה:הנדסת חשמל