נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)

נוסחת אוילר היא נוסחה יסודית באנליזה מרוכבת, הקושרת את הפונקציה המעריכית הטבעית המרוכבת לפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס. הנוסחה נקראת על-שמו של לאונרד אוילר.

הנוסחה קובעת כי: <math>\ e^{i \theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta} </math> לכל <math>\ \theta</math> ממשי, כאשר e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי ו-i הוא היחידה המדומה. את <math>\cos{\theta} + i \sin{\theta} </math> יש הנוהגים לסמן בצורה המקוצרת <math>\ cis{\theta} </math>.

לנוסחה שימושים רבים, בין היתר היא מסייעת בפתרון משוואות דפרנציאליות לינאריות עם מקדמים קבועים, שלהן יישומים רבים בפיזיקה ובהנדסה.

==זהות אוילר==

כאשר מציבים בנוסחה את <math>\ \pi </math> כערכה של הזווית <math>\ \theta </math>, מתקבל:
<math>\ e^{i \pi} = -1</math> או <math>\ e^{i \pi}+1 = 0 </math>,
תוצאה הקרויה זהות אוילר ומקשרת בצורה פשוטה בין 5 קבועים מתמטיים בסיסיים.

==הקשר להצגה קוטבית==
הצגה גאומטרית של נוסחת אוילר
בהינתן מספר מרוכב <math>z</math> השונה מאפס, ניתן למתוח קטע <math>l</math> במישור המרוכב בין ראשית הצירים לנקודה <math>z</math>. האורך של <math>l</math>, <math>r</math>, מכונה הערך המוחלט של <math>z</math>, ואילו הזווית (ברדיאנים) בין הכיוון החיובי של הציר הממשי ל-<math>l</math> (נגד כיוון השעון), <math>\theta</math>, מכונה הארגומנט של <math>z</math>. הזוג <math>(r,\theta)</math> מכונה ההצגה הקוטבית של <math>z</math>.

אם נציג את <math>z</math> בצורה <math>z = x+iy</math>, אז <math>x</math> ו-<math>y</math> הם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית שיתרו הוא <math>l</math>. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות מתקיים <math>x = r\cos \theta</math> ו-<math>y = r\sin \theta</math>. לכן לפי נוסחת אוילר:
:<math>z = x+iy = r(\cos \theta+i\sin\theta) = re^{i\theta}</math>

הצגה זו של מספר מרוכב נוחה לשימוש במקרים רבים. למשל כאשר כופלים אותם: <math>z_1\cdot z_2 = r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2} = r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math>.

מסקנה מיידית מהצגה זו היא משפט דה-מואבר הקובע כי <math>\ (\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx)</math> ל-n טבעי ו-x ממשי. לפי נוסחת אוילר זהו פשוט השוויון <math>(e^{ix})^n = e^{i(nx)}</math>.

==משמעות אלגברית==
מנוסחת אוילר נובע שההעתקה <math>\ f(x) = e^{ix} = \cos x +i \sin x</math> היא הומומורפיזם של חבורות מן הישר הממשי כחבורה ביחס לפעולת החיבור, אל מעגל היחידה במישור המרוכב כחבורה ביחס לפעולת הכפל. זהו אפימורפיזם שאיננו איזומורפיזם שכן <math>f(x) = f(x+2\pi)</math>.

הגרעין של <math>f</math> הוא הקבוצה <math>2\pi\mathbb{Z}</math> ולכן לפי משפט האיזומורפיזם הראשון מעגל היחידה איזומורפי ל-<math>\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}</math>, או אחרי נרמול <math>\mathbb{R}/\mathbb{Z}</math>.

==הוכחות==
קיימות מספר הוכחות לנוסחה, שמתבססות על ההגדרה של פונקציית האקספוננט המרוכבת לפי טור טיילור של הפונקציה הממשית או כפונקציה המקיימת את התכונות הידועות של הפונקציה הממשית.

===באמצעות טור טיילור===
זוהי הוכחה של נוסחת אוילר באמצעות פיתוח טור טיילור וכן העובדות הבסיסיות אודות החזקות של <math>\ i</math>:

: <math>\begin{align}
i^{4n} &{}= 1, \quad &
i^{4n+1} &{}= i, \quad &
i^{4n+2} &{}= -1, \quad &
i^{4n+3} &{}= -i
\end{align}</math>

לכל n שלם. אפשר לבטא את הפונקציות הממשיות <math>\ e^{x}</math>, <math>\ \cos(x)</math> ו-<math>\ \sin(x)</math> באמצעות פיתוח טור טיילור שלהן סביב 0:

: <math> \begin{align}
 e^x &{}= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\
 \cos x &{}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\
 \sin x &{}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots.
\end{align}</math>

עבור מספרים מרוכבים נגדיר את הפונקציות האלה באמצעות הטורים הללו, על ידי החלפת המספר הממשי <math>\ x</math> במספר המדומה <math>\ i\theta</math> (כאשר <math>\ \theta</math>עצמו ממשי).

לפי הגדרה זאת אפשר לראות ש:

: <math>\begin{align}
 e^{i\theta} &{}= 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \frac{(i\theta)^5}{5!} + \frac{(i\theta)^6}{6!} + \frac{(i\theta)^7}{7!} + \frac{(i\theta)^8}{8!} + \cdots \\
 &{}= 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{i\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{i \theta^5}{5!} - \frac{\theta^6}{6!} - \frac{i\theta^7}{7!} + \frac{\theta^8}{8!} + \cdots \\
 &{}= \left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \frac{\theta^8}{8!} - \cdots \right) + i\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \right) \\
 &{}= \cos \theta + i\sin \theta
\end{align}</math>

(החלפת סדר האיברים מוצדקת משום שכל הטורים מתכנסים בהחלט).

===באמצעות חשבון דיפרנציאלי===
נגדיר את הפונקציה <math>\ f(x)</math>, במשתנה ממשי <math>\ x</math>, בתור:

: <math> f(x) = (\cos x + i\sin x)\cdot e^{-ix} \ </math>

הנגזרת של (f(x, לפי חוק המכפלה, היא:

:<math>\begin{align}
 \frac{d}{dx}f(x) &{}= (\cos x + i\sin x)\cdot\frac{d}{dx}e^{-ix} + \frac{d}{dx}(\cos x + i\sin x)\cdot e^{-ix} \\
 &{}= (\cos x + i\sin x)(-i e^{-ix}) + (-\sin x + i\cos x)\cdot e^{-ix} \\
 &{}= (-i\cos x - i^2\sin x)\cdot e^{-ix} + (-\sin x + i\cos x)\cdot e^{-ix} \quad \quad \quad (i^2=-1) \\
 &{}= (-i\cos x + \sin x - \sin x + i\cos x)\cdot e^{-ix} \\
 &{}= 0
\end{align} </math>

לכן, <math>\ f(x)</math> חייבת להיות פונקציה קבועה ביחס ל-<math>\ x</math>. משום ש-<math>\ f(0)</math> ידוע, הקבוע ש- <math>\ f(x)</math> שווה אליו עבור כל <math>\ x</math> ממשי גם ידוע. כלומר:

:<math>(\cos x + i\sin x)\cdot e^{-ix} = f(x) = f(0) = (\cos 0 + i\sin 0)\cdot e^0 = 1 \,</math>.

על ידי הכפלת שני הצדדים ב-<math>\ e^{ix}</math> ושימוש בשוויון

: <math> (\cos x + i\sin x)\cdot e^{-ix} \cdot e^{ix} = 1 \cdot e^{ix}\, </math>

נקבל כי:

:<math> e^{ix} = \cos x + i \sin x \ </math>.
==הכללות==
ניתן להכליל את נוסחת אוילר מהמספרים המרוכבים אל הקווטרניונים על ידי הנוסחה <math>\exp (x r) = \cos x + r \sin x \ ,</math> כאשר r הוא נקודה על כדור היחידה התלת-ממדי במרחב הקווטרניונים ה-4 ממדי הנקרא ורסור.
==קישורים חיצוניים==

* 
* 
* 
* 

אוילר
אוילר
קטגוריה:לאונרד אוילר
קטגוריה:הוכחות
קטגוריה:e (קבוע מתמטי)