סריג (מבנה סדור)

בתורת הקבוצות, סריג הוא קבוצה עם יחס סדר חלקי, שבו לכל שני איברים <math>a ,b</math> יש אינפימום וסופרמום. פירושו של דבר שיש איבר גדול ביותר מבין כל אלה המקיימים <math>x \leq a,b</math>, ואיבר קטן ביותר מבין כל אלה המקיימים <math>a,b \leq x</math>. 

בצורה זו מתקבלות שתי פעולות בינאריות על איברי הקבוצה הסדורה: 
* פעולת המצרף (join) שמחזירה לכל זוג איברים את הסופרמום של שניהם. פעולה זו מסומנת <math>a \vee b</math>.
* פעולת המפגש (meet) שמחזירה לכל זוג איברים את האינפימום של שניהם. פעולה זו מסומנת <math>a \wedge b</math>.

אחת הדוגמאות הבסיסיות לסריג הוא אוסף תת-הקבוצות של קבוצה X, עם פעולות האיחוד והחיתוך כמצרף ומפגש, בהתאמה. גם אוסף תת-הקבוצות הסופיות הוא סריג. כל יחס סדר מלא הוא סריג כי בו המצרף של שני איברים הוא הגדול מביניהם, והמפגש של שני איברים הוא הקטן מביניהם. 
__תוכן__
== סריגים שלמים ==
בסריג אפשר להגדיר מצרף ומפגש של כל קבוצה סופית. אם לכל קבוצה יש אינפימום וסופרמום הסריג נקרא שלם. כל סריג שלם הוא חסום: יש בו איבר קטן ביותר (הסופרמום של הקבוצה הריקה), ואיבר גדול ביותר (האינפימום שלה). סריג תת-הקבוצות של X הוא סריג שלם; לא כל אלגברה בוליאנית היא שלמה. הסריג שמגדיר יחס סדר מלא הוא שלם, אם ורק אם הסדר וההפכי לו שניהם יחסי סדר טובים.

== סריגים למחצה ==

אם לכל שני איברים קיים מצרף, אבל לא בהכרח מפגש, הקבוצה מכונה סריג-למחצה עליון. באופן דומה, אם לכל זוג איברים קיים מפגש, אבל לא בהכרח מצרף, הקבוצה מכונה סריג-למחצה תחתון. היפוך של יחס הסדר מחליף בין שני טיפוסי הסריגים-למחצה.

=== הגדרה אלגברית ===

פעולת המצרף מקיימת שלוש תכונות אלגבריות חשובות: היא אסוציאטיבית (<math>(a \vee b) \vee c = a \vee (b \vee c)</math>), קומוטטיבית (<math>a \vee b = b \vee a</math>), ואידמפוטנטית (<math>a \vee a = a</math>). מאידך, בכל קבוצה עם פעולה בינארית <math>\bullet</math> המקיימת את שלוש התכונות האלה, אפשר להגדיר יחס סדר (<math>a \leq b</math> אם ורק אם <math>a \bullet b = a</math>), שביחס אליו <math>a \bullet b</math> הוא המצרף של a ו-b. לכן יש התאמה מלאה בין סריגים-למחצה לבין קבוצות עם פעולה אסוציאטיבית, קומוטטיבית ואידמפוטנטית. לדוגמה, פעולת החיתוך של קבוצות <math>A \bullet B = A \cap B</math> היא אסוציאטיבית, קומוטטיבית ואידמפוטנטית; ויחס הסדר שהיא מגדירה, <math>A \leq B</math> אם ורק אם <math>A \cap B = A</math>, אינו אלא יחס ההכלה הרגיל.

באופן דומה לזה, יש התאמה מלאה בין סריגים לבין אלגברות בוליאניות.

== סריגים מודולריים ==

בכל סריג, אם <math>a \leq b</math>, אז לכל c מתקיים <math>a \vee (c \wedge b) \leq (a \vee c) \wedge b</math>. אם זהו תמיד שוויון, הסריג נקרא מודולרי. המודולריות משותפת לסריגים חשובים רבים, כגון סריג תת-החבורות הנורמליות של חבורה, או סריג תת-המודולים של מודול. 

אומרים שאיבר a בקבוצה סדורה מכסה את האיבר b, אם <math>b<a</math>, ולא קיים <math>b<x<a</math>. אם המצרף עם x שומר על היחס "מכסה או שווה" (ובאופן שקול: אם <math>a\vee b</math> מכסה את b כל אימת ש-a מכסה את <math>a \wedge b</math>), אז הסריג נקרא מודולרי-למחצה עליון. אם המפגש עם x שומר על היחס "מכסה או שווה", אז הסריג הוא מודולרי-למחצה תחתון. כל סריג מודולרי הוא גם מודולרי למחצה עליון ותחתון. ולהפך: אם אין בסריג שרשראות אינסופיות, והוא מודולרי-למחצה עליון ותחתון, אז הוא מודולרי.

כאשר אין בסריג שרשראות אינסופיות, מן המודולריות למחצה (מאחד הטיפוסים) נובע שכל השרשראות המקסימליות מ-a ל-b הן באותו אורך. אם <math>a\leq b</math>, אפשר להגדיר את המרחק <math>d(a,b)</math> כארכה של השרשרת הקצרה ביותר מ-a ל-b. סריג הוא מודולרי-למחצה עליון, אם ורק אם <math>d(a\wedge b,a) \geq d(b,a\vee b)</math> לכל a ו-b; ומודולרי אם ורק אם <math>d(a\wedge b,a) = d(b,a\vee b)</math> לכל a ו-b.

== ראו גם ==

* סריג חופשי

== לקריאה נוספת ==

==קישורים חיצוניים==

* 
* 

קטגוריה:קבוצות סדורות