משפט הקיצוץ

משפט הקיצוץ (Excision theorem) הוא משפט בתורת ההומולוגיה הקובע כי קיים איזומורפיזם בין חבורות ההומולוגיה היחסיות של תתי-מרחבים מסוימים, באופן שניתן "לקצץ" מרחב היושב בצורה נוחה מספיק במרחב המקורי.

למשפט יש מספר שימושים, המובילים אל הגדרת אוריינטציה בכלים מתורת ההומולוגיה.

==ניסוח==
יהי <math>X</math> מרחב טופולוגי, ויהיו שני תתי-מרחבים שלו <math>K \subseteq A \subseteq X</math> כך ש-<math>\operatorname{cl}(K) \subseteq \operatorname{Int}(A)</math>. אזי העתקת ההכלה של זוגות <math>i:(X \setminus K, A \setminus K) \to (X,A)</math> משרה איזומורפיזם על חבורות ההומולוגיה היחסיות <math>i_*:H_n(X \setminus K, A \setminus K) \to H_n(X,A)</math>.

==הוכחה==
נביט בכיסוי <math>U=\{A, X\setminus K\}</math> = הוא כיסוי טוב, כלומר מתקיים <math>\operatorname{Int}(A) \cup \operatorname{Int}(X \setminus K)=\operatorname{Int}(A) \cup (X \setminus \operatorname{cl}(K))=X</math> לפי הנתון.

כעת ידוע שההכלה <math>i:C_n^{U}(X,A) \to C_n(X,A)</math> משרה איזומורפיזם <math>i_*: H_n^{U}(X) \to H_n(X)</math>, ולכן מספיק להוכיח כי ההכלה <math>C_n(X \setminus K , A \setminus K) \to C_n^{U}(X,A)</math> משרה איזומורפיזם <math>H_n(X \setminus K , A \setminus K) \to H_n^{U}(X,A)</math>.

ההעתקה על: כל סימפלקס ב-<math>C_n^{\{X \setminus K , A\}}(X,A)</math> למעשה יושב ב-<math>X \setminus K</math> (כי יש מנה ביחס ל-<math>A</math>), ולכן מגיע מ-<math>C_n(X \setminus K,A \setminus K)</math>.

ההעתקה חח"ע: איבר מ-<math>C_n(X \setminus K , A \setminus K)</math> שהולך לאפס פירושו שהוא יושב ב-<math>A</math>, והוא מלכתחילה ב-<math>X \setminus K</math> כלומר לא ב-<math>K</math>, לכן הוא מ-<math>A \setminus K</math>, כלומר אפס גם ב-<math>C_n(X \setminus K , A \setminus K)</math>.

==החבורה היחסית והחברה של המנה==
נניח כי <math>K \subseteq A \subseteq X</math> כך ש-<math>\operatorname{cl}(K) \subseteq \operatorname{Int}(A)</math>. ובנוסף כי <math>K</math> נסג עיוותי של <math>A</math>. בתנאים אלו, מתקיים <math>H_i(X,K) \cong H_i(X/K,[K])</math>. היות שההומולוגיה ביחס לנקודה היא ההומולוגיה המצומצמת, נקבל <math>H_i(X,K) \cong \tilde{H}_i(X/K)</math>.

===דוגמה===
נביט ב-2-טורוס <math>2T</math> ובתת-המרחב שלו <math>K \subset 2T</math> שהוא מעגל באזור החיבור בין שני הטורוסים. נרצה לחשב את <math>H_i(2T,K)</math>.

ניקח את <math>A</math> להיות טבעת פתוחה קטנה מסביב ל-<math>K</math>. אכן מתקיים <math>\operatorname{cl}(K)=K \subseteq A=\operatorname{Int}(A)</math> והמעגל נסג של הטבעת, ולכן <math>H_i(X,K) \cong H_i(X/K)</math>. כעת, זיהוי המעגל המפריד לנקודה בדיוק נותן איחוד נקודתי של שני טורוסים, והחבורה שלו היא כידוע הסכום הישר של החבורה של הטורוס עם עצמה, כלומר החבורות הן:
<center>
<math>H_{i}(2T,K)=\begin{cases} \mathbb{Z}^{4} & i=1\\ \mathbb{Z}^{2} & i=2\\ 0 & i\neq1,2 \end{cases} </math>
</center>

==הגדרת אוריינטציה==

ראשית, חישוב בסיסי מראה כי <math>H_{i} \left(D^{n},D^{n}\setminus\{0\}\right)=\begin{cases} \mathbb{Z} & i=n\\ 0 & i\neq n \end{cases} </math>, כאשר <math>D^n</math> דיסק <math>n</math>-ממדי.

כעת, יהי <math>M</math> משטח <math>2</math>-ממדי ותהי <math>p \in M</math>. תהי <math>U</math> סביבה של <math>p</math> שהומיאומורפית לדיסק. בשימוש במשפט הקיצוץ על <math>K=M \setminus D</math>, מתקבל כי ההומולוגיה של הזוג <math>(D,D \setminus \{p\})</math> (שנתונה לעיל), שווה ל-
<center>
<math>H_i(M, M\setminus \{p\})=\begin{cases} \mathbb{Z} & i=2\\ 0 & i\neq 2 \end{cases} </math>.
</center>
הטענה המקבילה ליריעה עם שפה מובילה לכך שהחבורות כולן אפס.

למעשה, ידוע יותר - באיזומורפיזם <math>H_n(S^n) \cong H_n(D^n , D^n \setminus \{p\})</math> יוצר מפורש של החבורה הוא שיכון של סימפלקס ביריעה, מסביב לנקודה שהוצאנו. כעת, ל-<math>\mathbb{Z}</math> יש שני יוצרים, <math>1</math> ו-<math>-1</math>; כל אחד מהם מתאים לשיכון של סימפלקס או שיקוף של סימפלקס. בחירה של אחת האפשרויות היא בדיוק השראת אוריינטציה בנקודה. אחד האפיונים לאוריינטציה גלובלית הוא בחירה רציפה של אוריינטציות נקודתיות, ובשפה של תורת ההומולוגיה - בחירה עקבית בכל נקודה של יוצר לחבורה לעיל.

קיצוץ
קיצוץ