מהלך חופשי ממוצע

מהלך תנועת [[חלקיק]]
בפיזיקה ובייחוד בתאוריה הקינטית ובפיזיקת מצב מוצק מהלך חופשי ממוצע של חלקיק (אטום, מולקולה, פוטון, פונון) הוא המרחק הממוצע שהחלקיק עובר בין התנגשויות עם חלקיקים אחרים. חישובי מוליכות קוונטית למשל במוליכים למחצה ובננואלקטרוניקה מתבססים על מושג יסודי זה.

==הפיתוח המתמטי==
איור: צבר מטרות בעובי dx
נניח כי קרן חלקיקים נורית דרך מטרות (צבועות באדום באיור) וננתח ריבוע בעל צלע L ועובי אינפיניטסימלי dx.

הנוסחה לחישוב הגודל של המהלך החופשי הממוצע תלויה במאפייני המערכת בה נמצא החלקיק. עבור חלקיק עם מהירות גבוהה ביחס לאוסף של חלקיקים זהים בעלי מיקום אקראי, מתקיים הקשר הבא:

:<math>\ell = (n\sigma)^{-1}</math>

כאשר <math>\ell</math> הוא המהלך החופשי הממוצע, n הוא מספר החלקיקים ליחידת נפח (צפיפות) ו-&sigma; הוא חתך הפעולה האפקטיבי להתנגשות. אם, מצד שני, המהירויות של החלקיקים הזהים הן בעלות התפלגות מקסוול של מהירויות, אזי הקשר הבא הוא התקף:

:<math>\ell = (\sqrt{2}\, n\sigma)^{-1} \,</math>.

חתך פעולה של חלקיק הוא ה"שטח" האפקטיבי של המטרה בה החלקיק יכול להתנגש. שטח הבלוק הוא <math>L^{2}</math>. מספר המטרות הטיפוסי בבלוק הוא צפיפות המטרות n כפול נפח הבלוק <math>L^{2}dx</math>. ההסתברות שחלקיק יעצר בבלוק שווה לשטח הכולל של המטרות חלקי השטח הכולל של הבלוק.

:<math>
P(\mathrm{stopping \ within\ dx}) =
\frac{\mathrm{Area_{atoms}}}{\mathrm{Area_{slab}}} =
\frac{\sigma n L^{2} dx}{L^{2}} = n \sigma dx
</math>

כאשר <math>\sigma</math> הוא השטח (או ליתר דיוק "חתך הפיזור" של החלקיקים).

הירידה בעוצמת קרן החלקיקים שווה לשטף הנכנס כפול ההסתברות שחלקיק יעצר בתוך הבלוק.

:<math>
dI = -I n \sigma dx
</math>

זוהי משוואה דיפרנציאלית רגילה:

:<math>
\frac{dI}{dx} = -I n \sigma \equiv -\frac{I}{\ell}
</math>

שפתרונה הוא <math>I = I_{0} e^{-x/\ell}</math>,
כאשר <math>x</math> הוא המרחק שטייל החלקיק המוקרן דרך הבלוק ו <math> I_{0} </math> הוא שטף החלקיקים ההתחלתי, לפני הפגיעה בבלוק.

<math>\ell</math> נקרא מהלך חופשי ממוצע כי הוא שווה למרחק הממוצע שמטייל החלקיק לפני שהוא נעצר בבלוק.

ההסתברות שהחלקיק יבלע בין x ל x+dx היא:
:<math>dP(x) = \frac{I(x)-I(x+dx)}{I_0} = \frac{1}{\ell} e^{-x/\ell} dx.</math>

והתוצאה לפי ההגדרת ההסתברות מקיימת את הנוסחא:

:<math>
\langle x \rangle \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_0^\infty x dP(x) = \int_0^\infty \frac{x}{\ell} e^{-x/\ell} dx = \ell
</math>

== ערכים אופייניים ==
מהלך חופשי ממוצע ל[[פוטון]]
בטבלה הבאה מובאים ערכים אופייניים עבור לחצים שונים.
{| border=1
|-----
! width="25%" | תחום הריק
! width="25%" | לחץ ב-hPa
! width="25%" | מולקולות / cm<sup>3</sup>
! width="25%" | מהלך חופשי ממוצע
|-----
| width="25%" | ריק נמוך || width="25%" | 300..1
| width="25%" | 10<sup>19</sup>..10<sup>16</sup>
| width="25%" | 0.1..100 μm
|-----
| width="25%" | ריק בינוני || width="25%" | 1..10<sup>-3</sup>
| width="25%" | 10<sup>16</sup>..10<sup>13</sup>
| width="25%" | 0.1..100 mm
|-----
| width="25%" | ריק גבוה
| width="25%" | 10<sup>-3</sup>..10<sup>-7</sup>
| width="25%" | 10<sup>13</sup>..10<sup>9</sup>
| width="25%" | 10 cm..1 km
|-----
| width="25%" | ריק מאוד גבוה
| width="25%" | 10<sup>-7</sup>..10<sup>-12</sup>
| width="25%" | 10<sup>9</sup>..10<sup>4</sup>
| width="25%" | 1 km..10<sup>5</sup> km
|-----
| width="25%" | ריק מאוד מאוד גבוה
| width="25%" | <10<sup>-12</sup>
| width="25%" | <10<sup>4</sup>
| width="25%" | >10<sup>5</sup> km
|}

==דוגמאות ושימושים==
יישום קלאסי של מהלך חופשי ממוצע הוא הערכת גודלם של אטומים או מולקולות.

יישום חשוב נוסף הוא הערכת ההתנגדות של חומר באמצעות המהלך החופשי הממוצע של האלקטרונים בו.

לדוגמה, עבור גל קול המתפשט בחלל סגור, המהלך החופשי הממוצע הוא המרחק הממוצע אותו עובר הגל בין החזרות סמוכות מקירות החלל.

==ראו גם==
* ריק
==קישורים חיצוניים==

* 

קטגוריה:תרמודינמיקה
קטגוריה:פיזיקה סטטיסטית
קטגוריה:כימיה פיזיקלית