בלבול (קומבינטוריקה)

בקומבינטוריקה, בלבול או תמורה ללא נקודות שבת (באנגלית: Derangement) הוא תמורה של איברי קבוצה, כך שאף איבר אינו מופיע במיקומו המקורי. במילים אחרות, בלבול הוא תמורה שאינה מכילה נקודות קבועות.

מספר הבלבולים של קבוצה בגודל <math>n</math>, בדרך כלל נכתב בתור <math>!n</math>, <math>D_n</math>, <math>d_n</math> או n¡.

הראשון שהתייחס לבעיה של ספירת הבלבולים היה פייר ריימונד דה מונמור , בשנת 1708; הוא פתר אותה בשנת 1713, בערך באותו זמן שעשה זאת ניקולאס ברנולי .

השאלה האם חבורת תמורות (הנתונה על ידי קבוצת יוצרים) מכילה בלבולים כלשהם היא בעיית NP שלמה.

==דוגמה==
מתוך כל התמורות של הקבוצה {A,B,C,D} יש רק 9 בלבולים (מסומנים בכתב כחול נטוי). בשאר התמורות של הקבוצה בת 4 האיברים, לפחות תלמיד אחד מקבל את המבחן שלו בחזרה (מסומנות בכתב אדום מודגש).
נניח שמורה בוחן 4 תלמידים <math>A,B,C,D</math> ורוצה שכל תלמיד יבדוק מבחן של אחד מעמיתיו, כאשר אף תלמיד לא יבדוק את המבחן של עצמו. בכמה דרכים יכול המורה לחלק את המבחנים לתלמידיו כדי שאלה יבדקו אותם? מתוך 24 = !4 תמורות אפשריות לחלוקת המבחנים:

יש רק 9 בלבולים (מסומנים בכתב כחול נטוי). בשאר התמורות של הקבוצה בת 4 האיברים, לפחות תלמיד אחד מקבל את המבחן שלו בחזרה (מסומנות בכתב אדום מודגש).

גרסאות נוספות של הבעיה הן שליחת <math>n</math> מכתבים ממוענים כך שאף מכתב לא יגיע לכתובתו הנכונה, או בעיית האנשים והכובעים להלן.

==ספירת בלבולים==
}

נתונים <math>n</math> אנשים ממוספרים <math>1,\ldots,n</math> בעלי כובעים ממוספרים <math>a_1,\ldots,a_n</math> בהתאמה. עלינו למצוא את מספר הדרכים בהן איש לא יקבל את כובעו שלו.

נניח כי <math>a_1=k</math> מתוך <math>n-1</math> אפשרויות. כעת יש שתי אפשרויות:
#אם <math>a_k=1</math> אזי הבעיה מצטמצמת ל-<math>n-2</math> אנשים ו-<math>n-2</math> כובעים.
#אם <math>a_k\ne1</math> אזי הבעיה מצטמצמת ל-<math>n-1</math> אנשים ו-<math>n-1</math> כובעים.
מכאן ניתן להגיע לנוסחה הבאה:
:<math>\begin{align}&!n=(n-1)\bigl(!(n-1)\,+\,!(n-2)\bigr)\\&!0=1,\,!1=0\end{align}</math>
אותה נוסחת נסיגה פועלת גם עבור עצרת, עם תנאי התחלה שונים:
:<math>\begin{align}&n!=(n-1)\bigl((n-1)!+(n-2)!\bigr)\\&0!=1!=1\end{align}</math>
וזה עוזר להוכיח את הגבול עם e בהמשך.

כמו כן, הנוסחאות להלן ידועות גם כן:
:<math>!n=n!\sum_{i\,=\,0}^n\frac{(-1)^i}{i!}=\left[\frac{n!}{e}\right]=\left\lfloor\frac{n!}{e}+\frac12\right\rfloor,\quad n\ge1</math>
כאשר <math>[x]</math> היא פונקציית הקיטום (מעגלת למספר השלם הקרוב) ו-<math>\lfloor x\rfloor</math> היא פונקציית הרצפה (מעגלת למספר השלם הנמוך).
:<math>\begin{align}!n&=\bigl\lfloor(e+e^{-1})n!\bigr\rfloor-\lfloor en!\rfloor,\quad n\ge2\\&=n!-\sum_{i\,=\,1}^n\binom{n}{i}\cdot!(n-i)\end{align}</math>
להלן נוסחה נוספת:
:<math>!n=n[!(n-1)]+(-1)^n</math>
ראו טבלה משמאל עבור ערכי הסדרה A000166 ב־OEIS.

שיטה ידועה לספירת בלבולים משתמשת בעקרון ההכלה וההפרדה: ראשית לספור את כל התמורות, לחסר את אלה שמיקום אחד האיברים נשאר בהן קבוע ולבצע תמורות של שאר האיברים, להוסיף בחזרה את התמורות בהן שני איברים שומרים על מיקומם המקורי וכדומה.
:<math>\begin{align}!n&=n!-\binom{n}{1}(n-1)!+\binom{n}{2}(n-2)!-\cdots(-1)^n\binom{n}{n}0!\\&=\sum_{i\,=\,0}^n(-1)^i\binom{n}{i}(n-i)!\\&=n!\sum_{i\,=\,0}^n\frac{(-1)^i}{i!}\end{align}</math>
לכן ההסתברות שתמורה אקראית תהיה בלבול היא <math>\frac{!n}{n!}</math>, וזהו טור טיילור של הפונקציה <math>e^{\pm x}</math> בנקודה <math>x=\mp1</math> וערכו בגבול הוא <math>\frac{1}{e}</math>.

==תמורות עם נקודות שבת==
מספר התמורות האפשריות בגודל <math>n</math> עם לפחות <math>k</math> נקודות שבת ניתן בנוסחה:
:<math>D_{n,k}=\binom{n}{k}\cdot D_{n-k,0}=\binom{n}{k}\cdot!(n-k)</math>
מספר התמורות האפשריות בגודל <math>n</math> עם <math>k</math> נקודות שבת ניתן בנוסחה:
:<math>D_{n,k}\cdot\sum_{i\,=\,0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!}=\binom{n}{k}\cdot D_{n-k,0}\cdot\sum_{i\,=\,0}^{n-k} \frac{(-1)^i}{i!}=\binom{n}{k}\cdot!(n-k)\cdot\sum_{i\,=\,0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!}</math>

==קישורים חיצוניים==
<div class="mw-content-ltr">
*
*
*
*
*
*</div>

==הערות שוליים==
<div class="mw-content-ltr"></div>

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:קומבינטוריקה
קטגוריה:סדרות של שלמים