נורמה (אלגברה)

באלגברה מופשטת, הנורמה של אלגברה <math>A</math> מעל שדה <math>F</math> היא פונקציה כפלית מסוימת, המוגדרת בעזרת הפולינום האופייני של איברים באלגברה. בין הדוגמאות המוכרות ביותר: הפונקציה <math>N(x+yi) = x^2+y^2</math>, שהיא הנורמה של מספרים מרוכבים בהרחבה <math>\mathbb{C}/\mathbb{R}</math> של המרוכבים מעל הממשיים, והדטרמיננטה, שהיא הנורמה עבור אלגברת המטריצות מעל שדה הבסיס.

בניגוד לנורמה האנליטית, הנורמה האלגברית יכולה במקרים רבים לקבל את הערך <math>0</math> גם באיברים שאינם <math>0</math>.

== הגדרה כללית ==

אם <math>A</math> אלגברה מממד סופי מעל שדה <math>F</math>, אפשר לבחור לה בסיס <math>\ b_1,\dots,b_n</math>, ולהתבונן באיבר <math>X = x_1 b_1 + \cdots +x_n b_n</math> של האלגברה <math>A \otimes_F F(x_1,\dots,x_n)</math> המתקבלת מהרחבת סקלרים מ-<math>F</math> לשדה הפונקציות <math>F(x_1,\dots,x_n)</math>. ל-<math>X</math> יש פולינום מינימלי מתוקן הנקרא הפולינום המינימלי הגנרי של <math>A</math>, והמעלה שלו, <math>m</math>, היא הדרגה של האלגברה. המקדם האחרון של הפולינום המינימלי, שהוא פולינום הומוגני <math>(-1)^{m-1}N</math> ממעלה <math>m</math> במקדמים <math>x_1,\dots,x_n</math>, הוא הנורמה של איברים מ-<math>A</math>. הנורמה מקיימת את התנאי <math>N(xy)=N(x)N(y)</math>, ואם <math>\ \alpha \in F</math> אז <math>N(\alpha) = \alpha^m</math>.

אם מעלת הפולינום המינימלי של איבר שווה לדרגה (וזה כך "כמעט לכל איבר" – ראו טופולוגיית זריצקי), אז אפשר לקרוא את הנורמה מתוך המקדם החופשי של הפולינום המינימלי עצמו (ללא צורך בבניית הפולינום הגנרי). הנורמה של כל מחלק אפס היא אפס.

== הנורמה בתורת גלואה ==

אם <math>K/F</math> הרחבת גלואה של שדות, אפשר לראות ב-<math>K</math> אלגברה מעל השדה <math>F</math>, ולהגדיר עבורו נורמה על-פי ההגדרה הכללית לעיל. נסמן ב-<math>\{\sigma_1,\dots,\sigma_n\}</math> את האיברים בחבורת גלואה של ההרחבה (כאשר <math>n</math> שווה לממד ההרחבה). כל איבר <math>a \in K</math> מאפס את הפולינום <math>f(\lambda) = (\lambda-\sigma_1(a)) \cdots (\lambda - \sigma_n(a))</math>, שמקדמיו שייכים לשדה השֶבת <math>F</math>, ופולינום זה (עבור <math>a</math> גנרי) הוא הפולינום המינימלי הגנרי של <math>K</math>. מכאן מתקבלת הנוסחה <math>N_{K/F}(a) = \sigma_1(a)\cdots \sigma_n(a)</math>. 

לדוגמה, אם <math>K=F\left[\sqrt{d}\right]</math>, אז האוטומורפיזם הלא-טריוויאלי מוגדר לפי הנוסחה <math>\sigma(a+b\sqrt{d})=a-b\sqrt{d}</math>, ואז הנורמה היא <math>N(a+b\sqrt{d}) = a^2 - d b^2</math>. 

את הנוסחה הזו אפשר להכליל לכל מקרה שבו ההרחבה <math>K/F</math> ספרבילית, משום שאז קיים "סגור גלואה" <math>K \subseteq E</math>, היינו שדה <math>E</math> המהווה הרחבת גלואה של <math>F</math>. במקרה זה אפשר לבחור אוטומורפיזמים <math>\sigma_1,\dots,\sigma_n</math> של <math>E</math> המשרים פעולות שונות על <math>K</math>, ולהגדיר את הנורמה באותה צורה.

הנורמה של הרחבות ספרביליות היא טרנזיטיבית, כלומר, אם <math>F \subseteq L \subseteq K</math>, אז <math>N_{L/F} \circ N_{K/L} = N_{K/F}</math>.

== הנורמה בתורת המספרים האלגבריים ==

אפשר להגדיר נורמה של אידיאלים בתחום שלמות <math>D</math>, לפי גודלו של חוג המנה <math>N(I)=|D/I|</math>. ההגדרה שימושית בעיקר בחוגים שכל המנות שלהם סופיות. ההגדרה מכלילה את הערך המוחלט המקובל במספרים שלמים, משום שהנורמה של האידיאל <math>\ n \mathbb{Z}</math> בחוג המספרים השלמים היא <math>|\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}| = n</math>. עבור אידיאלים ראשיים הנוסחה כפלית בכל תחום שלמות: <math>|D/Dab|=|D/Da|\cdot |D/Db|</math>.

אם <math>D={\mathcal O}_K</math> הוא חוג השלמים של שדה מספרים <math>K</math>, אז הנורמה היא פונקציה כפלית לכל האידיאלים, כלומר, <math>N(IJ)=N(I)N(J)</math>. יתרה מזו, הנורמה מכלילה את זו של איברים שלמים ב-<math>K</math>: <math>N(a{\mathcal O}_K) = N_{K/F}(a)</math>. אם <math>\mathfrak{P}</math> הוא אידיאל ראשוני של חוג השלמים, ומתקיים <math>\mathbb{Z} \cap \mathfrak{P} = p\mathbb{Z}</math> עבור ראשוני שלם <math>p</math>, אז <math>N(\mathfrak P)=p^f</math>, כאשר <math>f</math> הוא "מקדם הממד" של <math>\mathfrak P</math> (השווה לממד של <math>\mathcal{O}_K/{\mathfrak P}</math> מכל <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>). 

==ראו גם==
* נורמה (אנליזה)

קטגוריה:אלגברה
קטגוריה:תורת המספרים האלגברית
*