משפט מוררה

משפט מוררה הוא משפט באנליזה מרוכבת הנותן תנאי שימושי וחשוב להוכחת הולומורפיות של פונקציה.

המשפט נקרא על שם ג'אצ'ינטו מוררה , שהוכיח אותו בשנת 1886.

== ניסוח פורמלי ==
תהי <math>f:D\to\C</math> פונקציה רציפה על תחום פשוט וקשיר <math>D\sube\C</math>.

אם לכל משולש <math>\triangle</math> המוכל יחד עם פנימו ב-<math>D</math> מתקיים <math>\oint\limits_{\part\triangle}f(z)dz=0</math>, אזי <math>f</math> הולומורפית ב-<math>D</math>.

==הוכחה==
ראשית נוכיח שלפונקציה <math>f</math> קיימת פונקציה קדומה ב-<math>D</math>.

תהי <math>z_0\in D</math> נקודה בתחום. מכיוון ש-<math>D</math> קבוצה פתוחה, קיים עיגול <math>B(z_0,r)\sub D</math>.

לכל <math>z\in B(z_0,r)</math> נגדיר <math>F(z)=\int\limits_{[z_0,z]}f(w)dw</math>.

יהי <math>\triangle=[z_0,z,z+h,z_0]</math> משולש המוכל בעיגול <math>B(z_0,r)</math> (מתקיים בעבור <math>h</math> קטן מספיק כיוון שהעיגול הוא קבוצה פתוחה), מהנתון נובע <math>\oint\limits_{\part\triangle}f(z)dz=0</math>.

נוכל לרשום את השוויון כך:
:<math>0=\oint\limits_{\part\triangle}f(z)dz=\int\limits_{[z_0,z]}f(z)dz+\int\limits_{[z,z+h]}\!\!\!f(z)dz+\int\limits_{[z+h,z_0]}\!\!\!f(z)dz</math>
ולאחר העברת אגפים נקבל
:<math>\int\limits_{[z,z+h]}\!\!\!f(z)dz=\int\limits_{[z_0,z+h]}\!\!\!f(z)dz-\int\limits_{[z_0,z]}f(z)dz</math>
ולאחר הצבת ההגדרה נקבל את השוויון <math>\int\limits_{[z,z+h]}\!\!\!f(w)dw=F(z+h)-F(z)</math>.

כעת, נוכיח שהפונקציה <math>F</math> היא פונקציה קדומה של <math>f</math>. כלומר מתקיים <math>\lim_{h\to0}\left|\frac{F(z+h)-F(z)}{h}-f(z)\right|=0</math>.

נשתמש בשוויון שהוכחנו קודם ונקבל:
:<math>\begin{align}\left|\frac{F(z+h)-F(z)}{h}-f(z)\right|&=\left|\frac{1}{h}\int\limits_{[z,z+h]}f(w)dw-f(z)\right|=\frac{1}{h}\left|\int\limits_{[z,z+h]}(f(w)-f(z))dw\right|\\\\&\le\frac{1}{h}\int\limits_{[z,z+h]}|f(w)-f(z)|dw\le\frac{1}{h}\cdot h\cdot\sup_{\zeta\in(z,z+h)}|f(\zeta)-f(z)|\end{align}</math>

מרציפות <math>f</math> נקבל שכאשר <math>h</math> שואף לאפס גם הביטוי <math>\frac{1}{h}\cdot h\cdot\sup_{\zeta\in(z,z+h)}|f(\zeta)-f(z)|</math> שואף לאפס, כלומר מתקיים <math>\lim_{h\to0}\left|\frac{F(z+h)-F(z)}{h}-f(z)\right|=0</math>, ולכן <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>.

ומכיוון ש-<math>F</math> הולומורפית ב-<math>D</math> נובע שגם נגזרתה <math>f</math> הולומורפית ב-<math>D</math>.

==שימושים==
משפט מוררה ביחד עם משפט פוביני או מבחן M של ויירשטראס יכול לסייע בהוכחת אנליטיות של פונקציות שמוגדרות על ידי סכום או אינטגרל.

דוגמה: נוכיח את האנליטיות של פונקציית גמא <math>\Gamma(z)</math> על ידי כך שנוכיח את השוויון <math>\oint\limits_C\Gamma(z)dz=0</math> לכל מסילה סגורה <math>C</math>.

מהגדרת פונקציית גמא מתקיים <math>\oint\limits_C\Gamma(z)dz=\oint\limits_C\int\limits_0^\infty x^{z-1}e^{-x}dx\,dz</math>.

ולאחר שימוש במשפט פוביני כדי להחליף את סדר האינטגרציה נקבל:
:<math>\oint\limits_C\int\limits_0^\infty x^{z-1}e^{-x}dx\,dz=\int\limits_0^\infty\oint\limits_Cx^{z-1}e^{-x}dz\,dx=\int\limits_0^\infty e^{-x}\oint\limits_C x^{z-1}dz\,dx</math>
הפונקציה <math>f(z)=x^{z-1}</math> אנליטית, ולכן מתקיים <math>\oint\limits_Cx^{z-1}dz=0</math> (נובע ממשפט קושי-גורסה). כלומר <math>\oint\limits_C\Gamma(z)dz=0</math> לכל מסילה סגורה <math>C</math>, ולכן פונקציית גמא אנליטית בכל המישור.

==לקריאה נוספת==
*פונקציות מרוכבות (כרך ג' יחידות 5–6), האוניברסיטה הפתוחה, 2009

==קישורים חיצוניים==
*
*

קטגוריה:משפטים באנליזה מרוכבת