בעיית קפלר

בעיית קפלר היא בעיה פיזיקלית המבקשת למצוא את המסלול שבו נעים שני גופים, כאשר פועל עליהם רק כוח אחד - כוח הדדי שעוצמתו יורדת עם ריבוע המרחק (כוח ריבועי הפוך), דוגמת כוח הכבידה או הכוח החשמלי.

בעיה זו, שהיא מקרה פרטי של בעיית שני הגופים, היא אחת הבעיות החשובות בפיזיקה. היא מופיעה למשל בתיאור התנועה של כוכב לכת יחיד סביב כוכב, או בתיאור תנועת האלקטרון והפרוטון באטום המימן לפי המודל הקלאסי. בעיית קפלר היא בין הבעיות הבודדות במכניקה הניתנות לפתרון באופן מדויק, וזאת במגוון דרכים.

הבעיה קרויה על שם האסטרונום הגרמני יוהאנס קפלר, אשר 'גילה' את פתרון הבעיה בעזרת ניתוח תצפיות של תנועת גרמי השמים. מאוחר יותר ניסח אייזק ניוטון את חוקי ניוטון ואת חוק המשיכה האוניברסלי, בעזרתם ניתן לקבל את החוקים שניסח קפלר באופן תאורטי מעקרונות יסודיים יותר. ערך זה עוסק בניתוח מתמטי של בעיית קפלר במכניקה קלאסית וקבלת חוקי קפלר באופן תאורטי מתוך חוקי ניוטון. תיאור מפורט של חוקי קפלר מופיע בערך חוקי קפלר.

==ניתוח מתמטי של בעיית קפלר וקבלת חוקי קפלר מחוקי ניוטון==
בעיית קפלר היא בעיה דו-גופית, המערבת שני גופים שמסתם <math>\ m_1,m_2 </math> הנמצאים במיקום <math> \vec r_1, \vec r_2 </math>. הגופים מפעילים זה על זה כוח ריבועי הפוך, כלומר גוף אחד מפעיל על הגוף השני כוח מן הצורה <math> \vec F = \frac{k}{r^2} \hat r </math>, כאשר:
* <math> \hat r </math> הוא וקטור יחידה המצביע בכיוון הווקטור המחבר בין מיקומי שני הגופים.
* <math>\ r </math> הוא המרחק בין שני הגופים.
* <math>\ k </math> הוא פרמטר התלוי באופי הכוח. עבור כוח הכבידה <math>\ k=- G m_1 m_2 </math> (כאשר <math>\ G</math> הוא קבוע הגרביטציה האוניברסלי). אם <math>\ k < 0 </math> הכוח מושך (דוגמת כוח הגרביטציה, או הכוח החשמלי האלקטרוסטטי בין מטענים בעלי סימן שונה). אם <math>\ k > 0 </math> הכוח דוחה (דוגמת הכוח החשמלי בין מטענים שווי סימן).

כיוון שמדובר בבעיה דו-גופית, מרכז המסה של שני הגופים נע במהירות קבועה, ועל ידי שימוש במערכת מרכז המסה ניתן להתעלם ממנו ולטפל רק בתנועה היחסית של גוף אחד יחסית לשני סביב מרכז המסה. משוואת התנועה של הקואורדינטה היחסית <math> \vec r = \vec r_1 - \vec r_2 </math> (מיקום הגוף הראשון יחסית לשני) היא:
<math display="block"> \ m \frac{d^2 \vec r}{dt^2} = m \ddot {\vec r} = \frac{k}{r^2} \hat r</math>
כאשר <math>\ m = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} </math> היא המסה המצומצמת, ונקודה עילית מסמנת גזירה לפי הזמן.

המשוואה האחרונה היא משוואת תנועה של גוף בעל מסה m הנע בהשפעת כוח מרכזי, ולפיכך:
* התנועה מוגבלת למישור קבוע, וניתן לאפיין את מסלול התנועה בעזרת קואורדינטות קוטביות <math>\ r, \theta </math> במישור זה.
* האנרגיה <math>\ E </math> והתנע הזוויתי <math> \vec L </math> משתמרים, וגודלם נתון על ידי:
<div style="text-align: center;">
<math>L=m r^2 \dot \theta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)</math>

<math> E = \frac{1}{2} m \dot r^2 +\frac{L^2}{2mr^2} -\frac{k}{r} \ \ \ \ (2)</math>
</div>
כאשר <math>\frac{1}{2} m \dot r^2 +\frac{L^2}{2mr^2} </math> היא האנרגיה הקינטית (של תנועה בכיוון הרדיאלי ותנועה סיבובית), ו-<math> -\frac{k}{r} </math> היא האנרגיה הפוטנציאלית.

===החוק השני של קפלר===
ציור 1 - השטח (באפור) שמכסה רדיוס הווקטור <math> \vec r </math> בפרק זמן קצר dt.
החוק השני של קפלר גורס כי הקו המחבר בין השמש וכוכב הלכת (הווקטור <math> \vec r </math>) מכסה שטחים שווים בפרקי זמן שווים.
חוק זה נובע באופן ישיר משימור התנע הזוויתי:

בפרק זמן קצר <math>\ dt</math> הווקטור <math> \vec r </math> עובר זווית <math>\ d\theta </math> [ציור 1]. השטח שכיסה הווקטור בזמן זה הוא
<math>dA = \frac{1}{2}r^2 d\theta </math> (שטח של גזרה ברדיוס <math>\ r </math> ובזווית <math>\ d\theta </math>).
המהירות בה הווקטור מכסה שטח היא לפיכך:
<math display="block">\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r^2 \dot \theta = \frac{L}{2m}=\mbox{const}</math>
כלומר מן העובדה שהתנע הזוויתי קבוע נובע כי המהירות בה הווקטור <math> \vec r </math> מכסה שטחים קבועה ובפרקי זמן שווים הוא יכסה שטחים שווים.

יש לציין כי כיוון שהחוק השני של קפלר מסתמך אך ורק על שימור תנע זוויתי, הוא נכון לכל כוח מרכזי ולא ייחודי לבעיית קפלר.

===מסלול התנועה - החוק הראשון של קפלר===
את מסלול התנועה, <math>\ r(\theta) </math>, ניתן למצוא במספר דרכים. אחת הפשוטות בהן היא שימוש במשוואת שימור האנרגיה (2). על ידי ארגון מחדש של אברי המשוואה ניתן להפריד משתנים ולקבל:
<math display="block"> dt = \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E+\frac{k}{r}-\frac{L^2}{2mr^2}\right)}} </math>
נחליף משתנה בשני אגפי המשוואה. באגף שמאל:
<math display="block"> L = m r^2 \dot \theta \ \Rightarrow \ dt=\frac{mr^2}{L}d\theta</math>
ובאגף ימין נגדיר <math> u = \frac{1}{r} \ \Rightarrow \ dr = -r^2 du </math>. כך נקבל:
<math display="block"> d\theta = -\frac{du}{\sqrt{\frac{2mE}{L^2}+\frac{2mku}{L^2}-u^2}} </math>
כעת, ניתן לבצע אינטגרציה לשני האגפים. באגף שמאל האינטגרציה טריביאלית, ובאגף ימין האינטגרל הוא מן הצורה:
<math display="block">\int \frac{du}{\sqrt{a+bu-cu^2}} = -\frac{1}{\sqrt{c}}\arccos\left(\frac{2cu-b}{\sqrt{b^2+4ac}}\right) </math>
שימוש בנוסחה זו עבור ערכי a,b,c המתאימים:
(<math> a = \frac{2mE}{L^2}, \ b = \frac{2mk}{L^2}, \ c=1 </math>),
נותן:
<math display="block"> \theta = \theta' + \arccos{\frac{\frac{L^2 u}{mk}-1}{\sqrt{1+\frac{2EL^2}{mk^2}}}}</math>
כאשר <math>\ \theta' </math> קבוע אינטגרציה, אותו ניתן לקבוע כאפס על ידי סיבוב מערכת הצירים.

כעת, ניתן לחלץ את <math>\ u </math> ולקבל ממנו את <math>\ r (\theta) </math>:
<math display="block"> r(\theta) = \frac{\frac{L^2}{mk}}{1-\sqrt{1+\frac{2EL^2}{mk^2}}\cos(\theta)}</math>

או באופן יותר קומפקטי:
<math display="block"> r(\theta) = \frac{r_0}{1-\epsilon\cos(\theta)} \ \ (*)</math>
עם הקבועים:
<math display="block"> r_0 = \frac{L^2}{mk} \, , \quad \epsilon = \sqrt{1+\frac{2EL^2}{mk^2}}</math>

ציור 2 - צורת המסלולים האפשריים בבעיית קפלר:<br> [[מעגל (בסגול), אליפסה (בכחול), פרבולה (ירוק) והיפרבולה (אדום).<br> ראשית הצירים מסומנת בנקודה שחורה.]]

המשוואה <math>\ (*) </math> היא משוואה כללית של חתך קוני עם אקסצנטריות <math>\ \epsilon </math>, וניתוח גאומטרי שלה נותן את צורת המסלולים האפשריים [ציור 2] כתלות באנרגיה ובתנע הזוויתי (תנאי התחלה):

{| class="wikitable" border="1"
!
!
! צורת המסלול
|-
| <math>\ E>0 </math>
| <math>\ \epsilon>1 </math>
| היפרבולה
|-
| <math>\ E=0 </math>
| <math>\ \epsilon=1 </math>
| פרבולה
|-
| <math>\ E<0 </math>
| <math>\ 0<\epsilon<1 </math>
| אליפסה
|-
| <math> E = -\frac{mk^2}{2L^2}</math>
| <math>\ \epsilon=0 </math>
| מעגל
|}

====הערות====
ציור 3 - הפוטנציאל האפקטיבי (בשחור) עבור בעיית קפלר עם כוח מושך (<math> k < 0 </math>), ותחום ערכי <math> r </math> עבור ערכי אנרגיה המתאימים לצורות המסלול השונות:{{ש}}מעגל (בסגול), אליפסה (בכחול), פרבולה (ירוק) והיפרבולה (אדום)
ציור 4 - הפוטנציאל האפקטיבי (בשחור) עבור בעיית קפלר עם כוח דוחה (<math> k > 0 </math>). במקרה זה כל המסלולים הם היפרבוליים
אופי המסלול נקבע על פי האנרגיה. ניתן לקבל את אופי המסלול מהתבוננות בגרף של הפוטנציאל האפקטיבי <math>\ V_{eff}(r) </math> [ציורים 3,4]. הגוף יכול לנוע רק בתחום בו האנרגיה הקינטית שלו גדולה או לחלופין: <math>\ E > V_{eff}(r) </math>. באיור מסומן התחום בו בגוף נע עבור ערכים שונים של האנרגיה שלו.

עבור <math>\ E < 0 </math> ערכי <math>\ r </math> המותרים מקיימים <math>\ r_{min} < r <r_{max} </math> (הקו הכחול בציור 3). במקרה זה המסלול חסום (שני הגופים תמיד נמצאים במרחק סופי זה מזה), ובמקרה שלנו המסלול הוא אליפטי. אם <math>\ E </math> שווה לערך המינימלי של הפוטנציאל האפקטיבי (הנקודה הסגולה בציור 3) ל-<math>\ r </math> יש ערך מותר יחיד. דבר זה מתאים למסלול מעגלי בו המרחק קבוע.

עבור <math>\ E\ge 0 </math>, ערכי <math>\ r </math> המותרים מקיימים <math>\ r_{min} < r </math>. במקרה זה המסלול אינו חסום (הגופים מתרחקים למרחק אינסופי זה מזה). במקרה שלנו, המסלול יהיה פרבולי אם <math>\ E= 0 </math> (הקו הירוק בציור 3) והיפרבולי אם <math>\ E> 0 </math> (הקו האדום בציור 3 או 4).

אם בין שני הגופים פועל כוח דחייה (דוגמת הכוח החשמלי בין שני מטענים שווי סימן) ניתן לקבל רק מסלולים היפרבוליים. עבור כוח משיכה ניתן לקבל את כל סוגי המסלול כתלות באנרגיה. בפרט, ניתן לקבל מצב קשור, בו הגופים סמוכים זה לזה ולא מתרחקים למרחק אינסופי, עבור כוח מושך.

התנע הזוויתי משפיע על הצורה המדויקת של המסלול. כך לדוגמה, הפריהליון (המרחק המינימלי בין שני הגופים) הוא:
<math display="block"> r_{min} = \frac{r_0}{1+\epsilon} = \frac{\frac{L^2}{mk}}{1+\sqrt{1+\frac{2EL^2}{mk^2}}} </math>
התנע הזוויתי מונע מן הגופים להתקרב למרחק אפס זה מזה (ה"כוח הצנטריפוגלי" דוחה את הגופים) ויחד עם האנרגיה קובע את המרחק המינימלי האפשרי. המרחק הנ"ל הוא המרחק בין מרכזי המסה של שני הגופים. כך לדוגמה אסטרואיד הנע בסמוך לשמש יתנגש בה אם <math>\ r_{min} </math> המתאים למסלולו קטן מרדיוס השמש.

כמו כן אם התנע הזוויתי שווה לאפס, הפתרון שתואר בסעיף הקודם אינו תקף, והגופים יתקרבו או יתרחקו זה מזה בקו ישר.

ניתוח מפורט יותר של המקרה האליפטי יופיע בהמשך.

====מסלול שני הגופים והחוק הראשון של קפלר====
הפתרון שקיבלנו הוא עבור הקואורדינטה היחסית בין שני הגופים. בעזרתו ניתן להביע את מסלול התנועה של שני הגופים במערכת מרכז המסה באופן הבא:
<math display="block">\vec r_1(t) = \frac{m_2}{m_1+m_2}\vec r(t) \ \ ; \ \ \vec r_2(t) = - \frac{m_1}{m_1+m_2}\vec r(t) </math>
ומכאן שצורת מסלול תנועת כל אחד מהגופים (סביב מרכז המסה) דומה לצורת המסלול שקיבלנו. ההבדל היחיד הוא סקלת האורך של המסלול הנקבעת על פי הגורמים <math> \frac{m_i}{m_1+m_2}</math> התלויים ביחס בין המסות של שני הגופים.

עבור תנועת כוכבי הלכת סביב השמש, כיוון שמסת השמש גדולה בהרבה ממסת כוכבי הלכת, <math> m_1 \gg m_2 </math>, מתקיים עבור השמש <math> \vec r_1 \approx 0 </math> ועבור כוכב הלכת <math> \vec r_2 \approx \vec r </math>. כלומר, השמש כמעט ואינה נעה, מיקומה מתלכד (בקרוב) עם מיקום מרכז המסה וכוכב הלכת מקיף אותה במסלול אליפטי. זהו החוק הראשון של קפלר.

{| border="1"
|+ ציור 5 - הדגמה של תנועת מעגלית של שני גופים סביב מרכז המסה שלהם. כאשר מסת הגופים שווה (מימין) רדיוס התנועה שווה. ככל שיחס המסות בין הגופים גדל, גדל רדיוס התנועה של הגוף הקל וקטן רדיוס התנועה של הגוף הכבד.
! 200px
! 200px
! 200px
! 200px
|}

====דרכים נוספות למציאת המסלול====
כאמור, את מסלול התנועה עבור בעיית קפלר ניתן למצוא במגוון דרכים בנוסף לדרך שהוצגה כאן. דרכים אלו כוללות:
* שיטות גאומטריות - זו הדרך בה פתר אייזק ניוטון לראשונה את הבעיה.
* פתרון משוואת המסלול.
* שימוש בפורמליזם של המילטון-יעקובי.
* שימוש בווקטור לפלס-רונגה-לנץ - גודל שמור נוסף הייחודי לבעיית קפלר.

===המקרה האליפטי והחוק השלישי של קפלר===
ציור 6 - מסלול אליפטי סביב המוקד המסומן בצהוב. הציר הראשי של האליפסה (שאורכו 2a) מסומן באדום והציר המשני (שאורכו 2b) בכחול. כמו כן מסומנים מרחקים הפריהליון (<math> r_{min} </math>) וה[[אפהליון (<math> r_{max} </math>)]]
מן המשוואה <math>\ (*) </math> ניתן לקבל את מאפייני המסלול האליפטי (ציור 6):
* המרחק המינימלי (פריהליון) - <math> r_{min} = \frac{r_0}{1+\epsilon} </math>
* המרחק המקסימלי (אפהליון) - <math> r_{max} = \frac{r_0}{1-\epsilon} </math>
* אורך הציר הראשי - <math> 2a = r_{min}+r_{max} = 2 \frac{r_0}{1-\epsilon^2} </math>
* אורך הציר המשני - <math> 2b = 2a \sqrt{1-\epsilon^2} = 2\frac{r_0}{\sqrt{1-\epsilon^2}}</math>

====זמן המחזור - החוק השלישי של קפלר====
את זמן המחזור של המסלול ניתן לחשב בעזרת העובדה כי הווקטור <math> \vec r </math> מכסה את שטח האליפסה במהירות שווה (החוק השני של קפלר): <math> v_A = \frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m} </math>. כיוון ששטח האליפסה הוא <math> \ A_{tot}= \pi a b </math>, הזמן שייקח לווקטור <math> \vec r </math> להשלים הקפה ולכסות את כל שטח האליפסה יהיה:
<math display="block"> T = \frac{A_{tot}}{v_A} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}a^{3/2}</math>
או לחלופין:
<math display="block"> T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} a^3 </math>
כלומר, ריבוע זמן המחזור פרופורציוני לחזקה השלישית של מחצית הציר הראשי של האליפסה. זהו החוק השלישי של קפלר.

יש לציין כי מקדם הפרופורציה, <math>\alpha = 4\pi^2 \frac{m}{k} </math>, תלוי במסה של שני הגופים. עבור כוח הגרביטציה <math>\ k = Gm_1m_2 </math> ומקדם הפרופורציה הוא <math> \alpha = 4\pi^2 \frac{\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}}{G m_1 m_2}=\frac{4\pi^2}{G(m_1+m_2)} </math>. במקרה של תנועת כוכבי הלכת סביב השמש, מסת השמש גדולה בהרבה ממסת כוכבי הלכת, <math> m_1 \gg m_2 </math>, ומקדם הפרופורציה יהיה בקירוב <math> \alpha = \frac{4\pi^2} {Gm_1} </math>, שווה עבור כל כוכבי הלכת.

==הייחוד של בעיית קפלר לעומת בעיה דו-גופית כללית==
ציור 7 - סטייה קטנה מכוח ריבועי הפוך, תגרום ל[[נקיפה של המסלול האליפטי ומתקבל מסלול לא סגור]]
בעיית קפלר, בניגוד לבעיה דו-גופית כללית, ניתנת לפתרון מלא באופן אנליטי ופתרונה ניתן לביטוי על ידי פונקציות אלמנטריות. גם אופי המסלולים ייחודי ביחס לבעיה כללית, בכך שהמסלולים החסומים המתקבלים, שצורתם אליפסה, אף סגורים (מסלול ה'נסגר' על עצמו, בו הגוף חוזר על עקבותיו באופן מחזורי) עבור כל תנאי התחלה. על פי משפט ברטראן, תכונה זו ייחודית לכוח ריבועי הפוך, <math> \frac{k}{r^2} </math>, ולכוח הרמוני מן הצורה <math>\ kr </math>. כל סטייה קלה של הכוח (או הפוטנציאל) מן הצורות הנ"ל, תגרום למסלול הגנרי לשנות את אופיו (ציור 7). כך לדוגמה הכוחות שמפעילים כוכבי הלכת השונים זה על זה ואפקטים יחסותים, גורמים שהכוח הפועל על כוכבי הלכת אינו באמת כוח ריבועי הפוך. עובדה זו גורמת לנקיפה של המסלולים האליפטיים של כוכבי הלכת.

תכונה זו של המסלולים בבעיית קפלר, קשורה קשר הדוק לגודל שמור נוסף הקיים עבור בעיה זו - וקטור לפלס-רונגה-לנץ. וקטור זה מוגדר על ידי: <math> \vec A = m \dot {\vec r} \times \vec L - mk\hat r </math>, וניתן להראות שהוא מכוון לאורך הציר הראשי של האליפסה. כיוון שהווקטור קבוע, גם כיוון הציר הראשי של האליפסה קבוע - היא אינה מבצעת נקיפה.

עובדת קיומו של גודל שמור נוסף בבעיית קפלר, מעידה על הסימטריה המיוחדת שיש לבעיה זו. בעיה דו-גופית כללית עם כוח מרכזי כללי, אינווריאנטית תחת טרנספורמציות סיבוב של המרחב התלת הממדי - חבורת הסימטריה <math>\ SO(3) </math>. בעיית קפלר, לעומת זאת, אינווריאנטית תחת טרנספורמציות של חבורה גדולה יותר - <math> \ SO(4) </math>.

==ראו גם==
* חוקי קפלר
* בעיה דו-גופית
* כוח מרכזי
* משפט ברטראן
* וקטור לפלס-רונגה-לנץ
* אטום המימן

==לקריאה נוספת==

==הערות שוליים==

קטגוריה:מכניקה
קטגוריה:כבידה
קטגוריה:סימטריה בפיזיקה