שארית (אנליזה מרוכבת)

באנליזה מרוכבת, השארית של <math>f(z)</math> בנקודה <math>z_0</math> היא מספר מרוכב המתכונתי לאינטגרל מסילתי של פונקציה מרומורפית לאורך עקומה סגורה המקיפה את אחת הסינגולריות שלה. באופן כללי יותר, ניתן לחשב שאריות עבור כל פונקציה <math> f\colon \mathbb{C} \setminus \{z_k\}_k \rightarrow \mathbb{C}</math> שהולומורפית בכל המישור המרוכב למעט מספר סופי של נקודות <math>\{z_k\}_k</math>, גם אם חלקן הן סינגולריות עיקריות. ניתן לחשב שאריות די בקלות, ולאחר מכן ניתן לחשב באמצעותן את ערכם של אינטגרלים מסילתיים כלליים באמצעות משפט השאריות.

== הגדרה ==
שארית של פונקציה מרומורפית <math>f</math> בסינגולריות מבודדת <math>z_0</math> היא הערך הייחודי <math>R</math> כך של־<math>f(z)- R/(z-z_0)</math> יש אנטי נגזרת אנליטית בסביבה המנוקבת <math>0<\vert z-a\vert<\delta</math>.

לחלופין, ניתן לחשב שאריות על ידי מציאת פיתוח טור לורן עבור הפונקציה, ואז להגדיר את השארית כמקדם של החזקה <math>(z-z_0)^{-1}</math> (<math>a_{-1}</math>) בטור לורן של הפונקציה.

באמצעות משפט השאריות ניתן להשתמש בשארית כדי לחשב את ערכם של אינטגרלים מסילתיים מרוכבים בבעיות מסוימות. לפי משפט השאריות, השארית של פונקציה מרומורפית <math>f</math> בנקודה <math>z_k</math> נתונה לפי הנוסחה:

: <math>\operatorname{Res}(f,z_k) = {1 \over 2\pi i} \oint_\gamma f(z)\,dz \,</math>

כאשר <math>\gamma</math> היא עקומה סגורה פשוטה בעלת אוריינטציה חיובית סביב <math>z_k</math>, שאינה כוללת סינגולריות אחרות על העקומה או בתוכה.

ניתן להכליל את הגדרת השארית למשטחי רימן שרירותיים. נניח ש־<math>\omega</math> היא תבנית-1 על משטח רימן, וש־<math>\omega</math> מרומורפית בנקודה מסוימת <math>x</math>, כך שנוכל לכתוב את <math>\omega</math> בקואורדינטות מקומיות (לוקליות) כ־<math>f(z) \; dz</math>. לאחר מכן, השארית של <math>\omega</math> ב־<math>x</math> מוגדרת כשארית של <math>f(z)</math> בנקודה המתאימה ל־<math>x</math>.

שארית מסומנת לעיתים קרובות כ־<math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>, <math>\operatorname{Res}_{z_0}(f)</math>, <math>\mathop{\operatorname{Res}}_{z=z_0}f(z)</math> או <math>\mathop{\operatorname{res}}_{z=z_0}f(z)</math>.

== חישוב שאריות ==
נניח שנתונה סביבה מנוקבת <math>D = \{z : 0 < |z - z_0| < R\}</math> במישור המרוכב וש־<math>f</math> היא פונקציה הולומורפית ב־<math>D</math>. השארית <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math> של <math>f</math> ב־<math>z_0</math> היא המקדם <math>a_{-1}</math> של <math>(z - z_0)^{-1}</math> בפיתוח טור לורן של <math>f</math> סביב <math>z_0</math>. קיימות שיטות שונות לחישוב ערך זה, והבחירה באיזו שיטה להשתמש תלויה בפונקציה המדוברת ובסוג הסינגולריות.

לפי משפט השאריות:
: <math>\operatorname{Res}(f,z_0) = {1 \over 2\pi i} \oint_\gamma f(z)\,dz</math>

כאשר <math>\gamma</math> מתווה מעגל סביב <math>z_0</math> נגד כיוון השעון ואינה כוללת סינגולריות אחרות על העקומה או בתוכה. ניתן לבחור את העקומה <math>\gamma</math> כמעגל ברדיוס <math>\varepsilon</math> סביב <math>z_0</math>. מכיוון ש־<math>\varepsilon</math> יכול להיות קטן כרצוננו, ניתן לגרום לו להכיל רק את הסינגולריות של <math>c</math> מכיוון שהסינגולריות מבודדת. אמנם נוסחה זאת עשויה לשמש לחישוב השארית במקרים בהם ניתן לחשב את האינטגרל באופן ישיר, אבל בדרך כלל שאריות הן אלו שמשמשות לפישוט חישוב האינטגרלים, ולא להפך.

=== סינגולריות סליקה ===
אם ניתן להשלים את הפונקציה <math>f</math> כך שהיא תהיה הולומורפית בכל הסביבה <math>|z-z_0| < R</math>, אזי <math>\operatorname{Res}(f,z_0) = 0</math>. ההפך אינו נכון בדרך כלל.

===קוטב פשוט===
בקוטב פשוט (קוטב מסדר 1) <math>z_0</math>, השארית של <math>f</math> נתונה על ידי <math>\mathop{\operatorname{Res}}_{z=z_0}f(z) = \lim _{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>.

אם הגבול הזה לא קיים, זוהי נקודת סינגולריות עיקרית. אם הגבול קיים ושווה 0 אז <math>f</math> אנליטית בנקודה או שזוהי נקודת סינגולריות סליקה. אם הגבול קיים אך אינסופי אז הנקודה היא קוטב מסדר גבוה מ־1.

אם ניתן לכתוב את הפונקציה <math>f</math> כמנה של שתי פונקציות, <math>f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}</math>, כאשר <math>p</math> ו־<math>q</math> הן פונקציות הולומורפיות בסביבה של <math>z_0</math>, ו־<math>q(z_0) = 0</math> ו־<math>q'(z_0) \ne 0</math>, ניתן להראות באמצעות כלל לופיטל שמתקיים:
:<math>\mathop{\operatorname{Res}}_{z=z_0}\frac{p(z)}{q(z)} = \frac{p(z_0)}{q'(z_0)}</math>

הוכחה:
:<math>\begin{align}
\mathop{\operatorname{Res}}_{z=z_0}f(z) & =\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) = \lim_{z\to z_0}\frac{z p(z) - z_0p(z)}{q(z)} \\[4pt]
& = \lim_{z\to z_0}\frac{p(z) + z p'(z) - z_0p'(z)}{q'(z)} = \frac{p(z_0)}{q'(z_0)}
\end{align}
</math>

===קוטב מסדר n===
באופן כללי יותר, אם <math>z_0</math> הוא קוטב מסדר <math>n</math>, אזי ניתן למצוא את השארית של <math>f(z)</math> סביב הנקודה <math>z = z_0</math> על ידי הנוסחה:
:<math> \mathop{\operatorname{Res}}_{z=z_0}f(z) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left( (z-z_0)^n f(z) \right)</math>

=== שארית באינסוף ===
באופן כללי, השארית באינסוף מוגדרת כ־<math> \operatorname{Res}(f(z), \infty) = -\operatorname{Res}\left(\frac{1}{z^2} f\left(\frac 1 z \right), 0\right)</math>.

אם מתקיים <math> \lim_{|z| \to \infty} f(z) = 0</math>, אזי ניתן לחשב את השארית באינסוף באמצעות הנוסחה הבאה:
:<math> \operatorname{Res}(f, \infty) = -\lim_{|z| \to \infty} z \cdot f(z)</math>

אך אם <math> \lim_{|z| \to \infty} f(z) = c \neq 0</math>, אז השארית באינסוף היא <math> \operatorname{Res}(f, \infty) = \lim_{|z| \to \infty} z^2 \cdot f'(z)</math>.

עבור פונקציות הולומורפיות, סכום השאריות בסינגולריות המבודדות בתוספת השארית באינסוף הוא אפס, מה שנותן:
:<math> \operatorname{Res}(f(z), \infty) = -\sum_k \operatorname{Res}\left(f\left(z\right), z_k\right)</math>.

== דוגמאות ==
=== דוגמה ראשונה ===
ראו את האינטגרל המסילתי הבא:

: <math>\oint_C {e^z \over z^5}\,dz</math>

כאשר C היא עקומה סגורה פשוטה סביב 0.

ניתן לחשב אינטגרל זה באמצעות תוצאת התכנסות סטנדרטית לגבי אינטגרציה לפי טורים. אנחנו יכולים להציב את טור טיילור עבור <math>e^z</math> באינטגרנד, ואז האינטגרל הופך ל:

: <math>\oint_C {1 \over z^5}\left(1+z+{z^2 \over 2!} + {z^3\over 3!} + {z^4 \over 4!} + {z^5 \over 5!} + {z^6 \over 6!} + \cdots\right)\,dz</math>

נכניס את הגורם <math>{1 \over z^5}</math> לתוך הטור:

: <math>
\begin{align}
& \oint_C \left({1 \over z^5}+{z \over z^5}+{z^2 \over 2!\;z^5} + {z^3\over 3!\;z^5} + {z^4 \over 4!\;z^5} + {z^5 \over 5!\;z^5} + {z^6 \over 6!\;z^5} + \cdots\right)\,dz \\[4pt]
= {} & \oint_C \left({1 \over\;z^5}+{1 \over\;z^4}+{1 \over 2!\;z^3} + {1\over 3!\;z^2} + {1 \over 4!\;z} + {1\over\;5!} + {z \over 6!} + \cdots\right)\,dz
\end{align}
</math>

מכיוון שהטור מתכנס במידה שווה בתומך של מסלול האינטגרציה, מותר להחליף את סדר האינטגרציה והסכימה. לאחר מכן, טור האינטגרלים המסילתיים קורס לצורה פשוטה בהרבה בגלל החישוב הקודם. אז עכשיו האינטגרל סביב C של כל איבר אחר שאינו מהצורה <math>cz^{-1}</math> הוא אפס, והאינטגרל מצטמצם ל:

: <math>\oint_C {1 \over 4!\;z} \,dz= {1 \over 4!} \oint_C{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i) = {\pi i \over 12} \,</math>

הערך <math>{1 \over 4!}</math> הוא השארית של <math>{e^z \over z^5}</math> ב־<math>z=0</math>.

=== דוגמה שנייה ===
כדוגמה שנייה, נחשב את השאריות בסינגולריות של הפונקציה:
:<math>f(z) = {\sin z \over z^2-z}</math>
שעשויה לעזור בחישוב אינטגרלים מסילתיים מסוימים. נראה שלפונקציה זו יש סינגולריות ב־<math>z=0</math>, אך אם מפרקים את המכנה לגורמים וכותבים את הפונקציה כ:
:<math>f(z) = {\sin z \over z(z - 1)}</math>
קל לראות שהסינגולריות ב־<math>z=0</math> היא סינגולריות סליקה, ואז השארית ב־<math>z=0</math> היא 0. הסינגולריות הנוספת היחידה היא ב־<math>z=1</math>. הביטוי של טור טיילור עבור פונקציה <math>g(z)</math> סביב <math>z=a</math>:
:<math> g(z) = g(a) + g'(a)(z-a) + {g(a)(z-a)^2 \over 2!} + {g(a)(z-a)^3 \over 3!}+ \cdots</math>
עבור <math>g(z) = \sin z</math> ו־<math>a=1</math> מתקבל:
:<math> \sin z = \sin 1 + (\cos 1)(z-1)+{-(\sin 1)(z-1)^2 \over 2!} + {-(\cos 1)(z-1)^3 \over 3!} + \cdots</math>
ועבור <math>g(z)={1 \over z}</math> ו־<math>a=1</math> מתקבל:
:<math> \frac{1}{z} = \frac1 {(z - 1) + 1} = 1 - (z - 1) + (z - 1)^2 - (z - 1)^3 + \cdots</math>
מהכפלת שני הטורים והכנסת <math>{1 \over z-1}</math>, מתקבל:
:<math> \frac{\sin z} {z(z - 1)} = {\sin 1 \over z-1} + (\cos 1 - \sin 1) + (z-1) \left(-\frac{\sin 1}{2!} - \cos1 + \sin 1\right) + \cdots</math>

השארית של <math>f(z)</math> ב־<math>z=1</math> היא <math>\sin 1</math>.

== ראו גם ==
* משפט השאריות – משפט המקשר בין אינטגרל מסילתי סביב חלק מהקטבים של פונקציה לסכום השאריות שלהם
* נוסחת האינטגרל של קושי
* משפט האינטגרל של קושי
* משפט מיטאג-לפלר
* משפט מוררה

== לקריאה נוספת ==

== קישורים חיצוניים ==

* 

קטגוריה:אנליזה מרוכבת