מספר p-אדי

בתורת המספרים וענפים שונים במתמטיקה, מספר p-אדי הוא פיתוח פורמלי לפי בסיס ראשוני <math>p</math>, שהוא סופי בצד החזקות השליליות <math>p^{-N}</math>, ועשוי להיות אינסופי בצד החזקות החיוביות. במובן זה, המספרים ה-p-אדיים הפוכים לשברים העשרוניים הרגילים, שהם סופיים מצד החזקות החיוביות, ועשויים להמשיך לאינסוף בצד החזקות השליליות. אוסף המספרים ה-p-אדיים תלוי במספר <math>p</math>, וכך קיימים מספרים 2-אדיים, 3-אדיים, 5-אדיים, וכן הלאה.

==תכונות==
במספר p-אדי, שצורתו הכללית
:<math>a_{-N}p^{-N}+\cdots+a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots</math>
עשויים המקדמים <math>a_{-N},\ldots,a_0,a_1,a_2,\ldots</math> להיות מספרים שלמים כלשהם. אולם, כל מספר p-אדי ניתן להציג גם באופן כזה שהמקדמים יהיו בטווח <math>0\le a_i\le p-1</math>, והצגה זו היא יחידה. על כן מקובל להניח שתנאי זה מתקיים עבור המקדמים.

מבין מספרים ה-p-אדיים, השלמים ה-p-אדיים הם הביטויים <math>a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots</math>, שבהם אין חזקות שליליות של <math>p</math>.

==מרחק בין שני מספרים==
בין מספרים ה-p-אדיים <math>a,b</math> מגדירים מרחק לפי חזקת <math>p</math> הגדולה ביותר המחלקת את ההפרש – ככל שהחזקה גדולה יותר, המספרים קרובים יותר.

באופן פורמלי, אם <math>a=a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots</math> אזי <math>|a|_p=p^{-k}</math>, כאשר <math>k=\min\{n\in\N:a_n\ne0\}</math>. כמו כן מגדירים <math>|0|_p=0</math>. המטריקה היא <math>d(a,b)=|a-b|_p</math>.

תחת הגדרה זו, כל מספר p-אדי מהווה טור מתכנס, משום שהגורמים <math>a_np^n</math> הולכים ונעשים קטנים יותר. בין המספרים ה-p-אדיים, הסדרה <math>1,p,p^2,\ldots</math> שואפת לאפס, בעוד שבמספרים הממשיים דווקא הסדרה ההפוכה <math>1,p^{-1},p^{-2},\ldots</math> היא השואפת לאפס. היפוך תפקידים זה בין המספרים הממשיים למספרים ה-p-אדיים הוא המאפשר לחקור את המספרים הרציונליים דרך התבוננות במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים בעת ובעונה אחת.

==הצגת מספר שלילי==
לפי ההגדרה, המקדמים <math>0\le a_i\le p-1</math> בהצגה כטור חזקות הם חיוביים, ולכאורה אי אפשר להציג מספרים שליליים בתור מספרים p-אדיים. אך ההפך הוא הנכון.

לדוגמה: יהי <math>p=3</math> ונתבונן במספר
:<math>\ldots222=2\cdot1+2\cdot3+2\cdot3^2+\cdots</math>
נחבר לו את המספר 1, ונקבל
:<math>\begin{array}{r}\ldots\stackrel{1}{2}\stackrel{1}{2}\stackrel{}{2}\\ ^{+}\ldots001\\\hline\ldots000\end{array}</math>
שכן <math>1+2=3</math> ולכן מקבלים 0 בעמודה הראשונה ומוסיפים 1 בתור נשא (carry) לעמודה השנייה, אך גם שם <math>1+2=3</math> ולכן גם שם מקבלים 0 ומוסיפים 1 לעמודה הבאה, וכך הלאה. בסופו של דבר מקבלים:
:<math>\ldots222+1=0</math> 
ולכן <math>-1=\,\ldots222=2\cdot1+2\cdot3+2\cdot3^2+\cdots</math>

במקרה הכללי מתקיים כי <math>-1=\sum_{n\,=\,0}^\infty(p-1)p^n</math>. אפשר להוכיח זאת כמו בדוגמה של <math>p=3</math> אך יש הוכחה אלגנטית יותר המשתמשת בנוסחה לסכום של טור הנדסי אינסופי (שהרי טור בחזקות הולכות וגדלות של <math>p</math> מתכנס במטריקה ה-p-אדית). כאן <math>a_0=p-1,q=p</math> ולכן
:<math>S=\frac{a_0}{1-q}=\frac{p-1}{1-p}=-1</math>
כעת, כל מספר שלילי <math>m</math> ניתן להציג כמכפלה של ההצגה ה-p-אדית של <math>|m|</math> בהצגה ה-p-אדית של <math>-1</math>.

==הצגת מספר רציונלי==
כל מספר רציונלי ניתן להציג באופן יחיד בתור מספר p-אדי, שהוא לעולם מחזורי (ולהפך: מספר p-אדי הוא רציונלי אם ורק אם ההצגה שלו מחזורית). לדוגמה, בשדה המספרים ה-5-אדיים, 
:<math>\frac{2}{3}=4+1\cdot5+3\cdot5^2+1\cdot5^3+3\cdot5^4+\cdots</math>
אכן, חזקות של המספר 5 שואפות לאפס (ולא לאינסוף), ולכן הטור <math>S=1+5^2+5^4+5^6+\cdots</math> מתכנס, וסכומו על פי הנוסחה הידועה לסיכום טורים הנדסיים <math>S=\frac{1}{1-5^2}=-\frac{1}{24}</math>. לכן הסכום לעיל מתכנס ל- <math>4+5\cdot S+ 3\cdot5^2\cdot S=4-\frac{80}{24}=\frac{2}{3}</math>.

השבר המצומצם <math>\frac{a}{b}</math> הוא שלם p-אדי, אם ורק אם <math>p</math> אינו מחלק את המכנה <math>b</math>. למספרים שלמים רבים יש שורש p-אדי. למשל,
:<math>\sqrt{7}=1+3+3^2+2\cdot3^4+2\cdot3^7+3^8+\cdots</math>
(ביטוי זה אינו מחזורי). כאשר <math>p\ne2</math>, ו-<math>a</math> הוא מספר שלם זר ל-<math>p</math> ללא גורמים ריבועיים שלמים, יש ל-<math>a</math> שורש p-אדי אם ורק אם <math>a</math> הוא שארית ריבועית מודולו <math>p</math>. בין המספרים ה-p-אדיים לא ניתן להגדיר יחס סדר, מאחר שלמספר השלילי <math>1-p^3</math> תמיד יש שורש p-אדי.

חשיבותם של המספרים ה-p-אדיים היא בכך שניתן להגדיר ביניהם פעולות של חיבור וכפל המחקות את אלה של המספרים הרציונליים. הרחבה זו של הפעולות אפשרית מכיוון שהביטוי ה-p-אדי נמשך לאינסוף רק בכיוון אחד. על ביטויים מאותו סוג הנמשכים לאינסוף לשני הכיוונים לא ניתן להגדיר פעולת כפל סבירה, והם חסרי ערך מתמטי.

==הגישה האלגברית==
ניתן להגדיר מספר p-אדי כסדרה הבאה:
:<math>x=(\ldots,x_n,\ldots,x_1)=(x_n)_{n=1}^\infty</math>
כך שלכל <math>n\ge1</math> מתקיים <math>x_n\in\Z/p^n\Z</math> (כלומר: כל איבר או רכיב בסדרה שייך לחוג הסופי של השלמים מודולו <math>p</math>). כמו כן, על רכיביה להתאים אחד לשני באופן הבא:
*הם מקיימים <math>\forall n\le m:x_n=x_m\ \text{mod}\ p^n</math> 
*או באופן שקול, המעבר מ-<math>x_n</math> ל-<math>x_{n-1}</math> נעשה על ידי <math>x+p^n\mapsto x+p^{n-1}</math>.
נסתכל בקבוצת כל הסדרות הנ"ל, קבוצה זו נקראת גבול הפוך או גבול פרויקטיבי. עבור <math>p</math> ראשוני נתון, הגבול ההפוך הוא קבוצת המספרים ה-p-אדיים <math>\Z_p</math>. אפשר להפוך קבוצה זו לחוג על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל. זה נעשה באופן הבא:
*חיבור: <math>x+y=(\ldots,x_n,\ldots,x_1)+(\ldots,y_n,\ldots,y_1)=(\ldots,x_n+y_n,\ldots,x_1+y_1)</math>
*כפל: <math>x\cdot y=(\ldots,x_n,\ldots,x_1)\cdot(\ldots,y_n,\ldots,y_1)=(\ldots,x_ny_n,\ldots,x_1y_1)</math>
למעשה, מחברים וכופלים מספרים p-אדיים על ידי חיבור וכפל איבר-איבר (לפי רכיבים: <math>x_n+y_n,x_n\cdot y_n\in\Z/p^n\Z</math>). 
זהו חוג עם אפס <math>0=(\ldots,0,0,0)</math> ויחידה <math>1=(\ldots,1,1,1)</math>. יתרה מזו, זהו גם תחום שלמות ולכן ניתן לבנות את שדה השברים על ידי לוקליזציה. שדה זה נקרא "שדה המספרים ה-p-אדיים" ומסומן <math>\Q_p</math>.

גישה זו שימושית באלגברה מופשטת ובתורת המספרים, למשל בחישוב פתרון של משוואה פולינומית מעל חוג ה-p-אדיים באמצעות הלמה של הנזל.

===מעבר בין ההצגה כטור חזקות להצגה כגבול הפוך===
נתון p ראשוני, ונרשום שלם p-אדי כטור חזקות וכסדרה של גבול הפוך:
:<math>(\ldots,x_n,\ldots,x_1)=a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots</math>
כדי לעבור מטור חזקות לסדרה יש לקחת סכומים חלקיים באופן הבא:
:<math>x_{n+1}=\sum_{k\,=\,0}^na_kp^k</math>
בכיוון השני, אפשר להשתמש בחישוב רקורסיבי באופן הבא:
:<math>
\begin{array}{rcl}a_0&=&x_1\\a_1&=&\dfrac{x_2-x_1}{p}\\a_2&=&\dfrac{x_3-x_2}{p^2}\\a_3&=&
\dfrac{x_4-x_3}{p^3}\\&\vdots&\\a_n&=&\dfrac{x_{n+1}-x_n}{p^n}\\&\vdots&\end{array}</math>
או בנוסחה מפורשת: 
:<math>a_n=\frac{x_{n+1}-x_n}{p^n}=x_{n+1}\ \text{div}\ p^n</math>
כאשר div הוא חילוק שלם, כלומר לקיחת החלק השלם וזריקת השארית (למשל <math>8\ \text{div}\ 3=(2+3\cdot2)\ \text{div}\ 3=2</math>).

==שדה המספרים וחוג השלמים ה-p-אדיים==
קבוצת המספרים ה-p-אדיים מרכיבה שדה, הנקרא שדה המספרים ה-p-אדיים. אוסף השלמים ה-p-אדיים, שמסמנים ב-<math>\Z_p</math>, מהווה חוג מקומי בשם חוג השלמים ה-p-אדיים, המתייחס אל שדה המספרים ה-p-אדיים באותו יחס שיש בין חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים. לשדה המספרים ה-p-אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר האריתמטיקה של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים. למשל, כדי להוכיח כי למשוואה דיופנטית אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות p-אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה-p-אדיים, זוהי לעיתים קרובות משימה קלה בהרבה.

כחבורה חיבורית, חוג השלמים ה-p-אדיים הוא גבול פרויקטיבי של החבורות הציקליות מסדר <math>p^n</math>. אוסף ההעתקות הרציפות מ-<math>\Z_p</math> למעגל היחידה המרוכב הוא החבורה החליקה <math>\Z[1/p]/\Z=\cup_{n\,=\,1}^\infty p^{-n}\Z/\Z</math>.

==ראו גם==
*שדה המספרים ה-p-אדיים

==קישורים חיצוניים==

*
*
*אנדרו בייקר, [https://web.archive.org/web/20161213093839/http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf הרצאות בקורס על מבוא למספרים p-אדים], אוניברסיטת גלאזגו, סקוטלנד, 2011
*

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:תורת המספרים
קטגוריה:שיטות ספירה