מסנן Raised cosine

מסנן Raised cosine הוא מסנן בשימוש תדיר בעיצוב פולסים בתקשורת דיגיטלית עקב יכולתו למזער את תופעת הפרעה-בין-סימנים (Intersymbol Interference). שמו של המסנן נובע מהעובדה כי החלק הלא מאופס שלו בספקטרום בצורתו הפשוטה ביותר (<math>\beta = 1</math>) היא פונקציית קוסינוס, 'מורמת' לשבת מעל ציר התדר (<math>f</math> האופקי).

== תיאור מתמטי ==
תגובת התדר של המסנן, עם מקדמי Roll-off שונים.
תגובת הלם של המסנן עם מקדמי Roll-off שונים.
מסנן raised-cosine הוא יישום של מסנן נייקוויסט מעביר נמוכים. משמעות הדבר שהספקטרום שלו אי-זוגי סביב <math>\frac{1}{2T}</math>, כאשר <math>T</math> מסמל את קבוע הזמן של מערכת התקשורת (אורך הסימבול). הייצוג שלו בציר התדר נתון על ידי פונקציה מחולקת:
: <math>H(f) = \begin{cases}
 T,
 & |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\
 \frac{T}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right)\right],
 & \frac{1 - \beta}{2T} < |f| \leq \frac{1 + \beta}{2T} \\
 0,
 & \mbox{otherwise}
\end{cases}</math>

לכל <math>0 \leq \beta \leq 1</math>

והוא מאופיין על ידי שני ערכים; <math>\beta</math>, פקטור roll-off, ו-<math>T</math>, זמן סימבול.

תגובת ההלם של מסנן כזה נתונה על ידי:
: <math>h(t) = \begin{cases}
\frac{\pi}{4}\;\mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2\beta}\right),
 & t = \pm\frac{T}{2\beta} \\
\mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)\frac{\cos\left(\frac{\pi\beta t}{T}\right)}{1 - \left(\frac{2\beta t}{T}\right)^2},
 & \mbox{otherwise}
\end{cases}</math>
במונחים של פונקציית sinc מנורמלת.

=== פקטור Roll-off ===
פקטור ה-Roll off, <math>\beta</math>, הוא אמצעי מדידה של "רוחב פס עודף" של המסנן, כלומר רוחב הפס התפוס מעבר לתדר נייקוויסט שהוא <math>\frac{1}{2T}</math>. יש מחברים המשתמשים בסימון <math>\alpha=\beta</math>.

אם רוחב הפס העודף מסומן כ-<math>\Delta f</math> אז:
: <math>\beta = \frac{\Delta f}{\left(\frac{1}{2T}\right)} = \frac{\Delta f}{R_S/2} = 2T\Delta f</math>
כאשר <math>R_S = \frac{1}{T}</math> הוא קצב הסימבול.

הגרף מראה את תגובת המשרעת ככל ש-<math>\beta</math> נע בין 0 ל-1, ואת התגובה המקבילה בתגובת ההלם. כפי שניתן לראות, בתחום הזמן, ככל ש-<math>\beta</math> קטן, כך הגליות בתחום הזמן גדלה. זה מראה כי עודף רוחב הפס של מסנן יכול להיות מופחת, אבל רק על חשבון תגובת הלם מוארכת.

==== מקרה בוחן ראשון: β = 0 ====
ככל ש-<math>\beta</math> שואף ל-0, אזור ה-Roll-off הופך להיות צר יותר ולכן:
: <math>\lim_{\beta \rightarrow 0}H(f) = \mathrm{rect}(fT)</math>
כאשר <math>\mathrm{rect}(.)</math> היא פונקציית המלבן, אז תגובת התדר מתקרבת ל־<math>\mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)</math>. לפיכך, הוא ישאף למסנן מלבני אידיאלי במקרה זה.

==== מקרה בוחן שני: β = 1 ====
כאשר <math>\beta = 1</math>, החלק שאינו אפס של הספקטרום הוא raised-cosine טהור (קוסינוס מורם), המוביל לפישוט:
: <math>H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix}
 \frac{T}{2}\left[1 + \cos\left(\pi fT\right)\right],
 & |f| \leq \frac{1}{T} \\
 0,
 & \mbox{otherwise}
\end{matrix} \right.</math>

=== רוחב פס ===
רוחב הפס של המסנן, מוגדר לרוב על ידי רוחב האזור הלא-מאופס של הספקטרום, כלומר:
: <math>BW = R_S(\beta+1)</math>

== יישום ==
מספר תגובות הלם של המסנן, המדגימות אפס תופעות ISI (בכפולות של T)
כאשר נעשה שימוש כדי לסנן זרם סימבולים, למסנן נייקוויסט יש תכונה של ביטול הפרעה בין סימנים (ISI), מפני שתגובתו להלם היא אפס לכל <math>nT</math> (כאשר <math>n</math> הוא מספר טבעי), פרט ל־<math>n = 0</math>.

לכן, אם הגל המועבר נדגם כראוי במקלט, הסימבול המקורי יכול להיות משוחזר בשלמותו.

קטגוריה:עיבוד אותות