משוואת ולסוב

משוואת ולסוב היא משוואה דיפרנציאלית המתארת את ההתפתחות בזמן של פונקציית ההתפלגות של פלזמה המכילה חלקיקים טעונים עם אינטראקציה רחוקת-טווח (למשל, קולונית). המשוואה הוצעה לראשונה לתיאור פלזמה על ידי הפיזיקאי הרוסי אנטולי ולסוב בשנת 1938.

== הבעייתיות במודל הקינטי הסטנדרטי ==
ולסוב טען כי המודל הקינטי המבוסס על משוואת בולצמן מתקשה בתיאור פלזמה, מכיוון שהמערכת כוללת אינטראקציות רחוקות-טווח כמו האינטראקציה הקולונית. ולסוב ציין את הבעיות הבאות העולות בניסיון להחיל את המודל הקינטי המבוססת על התנגשות של זוג חלקיקים לדינמיקה של פלזמה:
# התאוריה של התנגשויות בין זוג חלקיקים נמצאת בסתירה לגילויים של ריילי, אירווינג לאנגמיור ולואי טונקס על תנודות טבעיות בפלזמת אלקטרונים.
# התאוריה של התנגשויות בין זוג חלקיקים לא ניתנת ליישום עבור אינטראקציה קולונית מכיוון שהאיברים הקינטיים מתבדרים.
# התאוריה של התנגשויות בין זוג חלקיקים לא מסוגלת להסביר את הניסויים שבוצעו על ידי האריסון מריל והארולד ווב בנושא פיזור אנומלי של אלקטרונים בפלזמה גזית.

ולסוב העלה השערה כי האופי ארוך-הטווח של האינטראקציה הקולונית הוא המקור לקשיים האלו. ולסוב החל לפתח את משוואת בולצמן עבור מקרה ללא התנגשויות, המוצגת בקואורדינטות מוכללות:
<math display="block">\frac{\text{d}f(\bar{q},\bar{p},t)}{\text{d}t}=0,</math>
ובמפורש, כמשוואה דיפרנציאלית חלקית:
<math display="block">\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial \bar{q}}{\partial t}\cdot\frac{\partial f}{\partial \bar{q}}+\frac{\partial \bar{p}}{\partial t} \cdot \frac{\partial f}{\partial \bar{p}}=0,</math>
התאים אותה למקרה של פלזמה, וקיבל את מערכת המשוואות המפורטות להלן.

==מערכת המשוואות של ולסוב-מקסוול==
במקום התאוריה הקינטית, המבוססת על התנגשויות, ולסוב השתמש בשדה קולקטיבי עקבי הנוצר על ידי חלקיקי הפלזמה הטעונים על-מנת לתאר את האינטראקציה בין חלקיקי הפלזמה. בתיאור זה מתבצע שימוש בפונקציות ההתפלגות <math>f_e(\vec{r},\vec{p},t)</math> ו-<math>f_i(\vec{r},\vec{p},t)</math> עבור האלקטרונים והיונים. פונקציית ההתפלגות <math>f_\alpha(\vec{r},\vec{p},t)</math> עבור חלקיק מסוג כללי <math>\alpha</math>, בעל תנע <math>\vec{p}</math> בקרבת מקום <math>\vec{r}</math> בזמן <math>t</math>. בתיאור זה, במקום משוואת בולצמן, מתקבלת המערכת הבאה של משוואות לתיאור הפלזמה (ביחידות cgs):
<math display="block">\frac{\partial f_e}{\partial t}+\vec{v}_e \cdot \nabla f_e - e\left[ \vec{E}+\frac{1}{c}\left(\vec{v} \times \vec{B}\right)\right] \cdot \frac{\partial f_e}{\partial \vec{p}} = 0</math>
<math display="block">\frac{\partial f_i}{\partial t}+\vec{v}_i \cdot \nabla f_i - e\left[ \vec{E}+\frac{1}{c}\left(\vec{v} \times \vec{B}\right)\right] \cdot \frac{\partial f_i}{\partial \vec{p}} = 0</math>
<math display="block">\nabla \times \vec{B} = \frac{4 \pi \vec{j}}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}, ~~ \nabla \times \vec{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t}}</math>
<math display="block">\nabla \cdot \vec{E} = 4\pi \rho, ~~ \nabla \cdot \vec{B} = 0</math>
<math display="block">\rho = e \int \left( f_i-f_e \right) d^3p, ~~ \vec{j} = e \int \left( f_i - f_e \right) \vec{v} d^3 p, ~~ \vec{v}_\alpha = \frac{\vec{p}/m_\alpha}{\left[1+p^2/\left(m_\alpha c\right)^2\right]^{1/2}}</math>

כאשר <math>e</math> מטען האלקטרון, <math>c</math> מהירות האור, <math>m_\alpha</math> מסת חלקיק מסוג <math>\alpha</math>, <math>\vec{E}(\vec{r},t)</math> ו-<math>\vec{B}(\vec{r},t)</math> השדות החשמלי והמגנטי בנקודה <math>\vec{r}</math> בזמן <math>t</math>, בהתאמה. ההבדל הבסיסי בין מערכת המשוואות האלו ומערכת משוואות המתארת חלקיקים בהשפעת שדה אלקטרומגנטי חיצוני נעוץ בעובדה שהשדות במשוואת ולסוב מקיימים אינטראקציה דו-כיוונית עם החלקיקים מכיוון שהתפלגות החלקיקים הטעונים משפיעה על השדה האלקטרומגנטי, ולהפך.

==משוואת ולסוב-פאוסון==
משוואות ולסוב-פואסון הן קירוב למשוואות ולסוב-מקסוול עבור מקרה לא-יחסותי ללא שדה מגנטי:
<math display="block">\frac{\partial f_\alpha}{\partial t} + \vec{v} \cdot \frac{\partial f_\alpha}{\partial \vec{x}} + \frac{q_a\vec{E}}{m_\alpha} \cdot \frac{\partial f_\alpha}{\partial \vec{v}} = 0,</math>
ומשוואת פואסון עבור השדה החשמלי:
<math display="block">\epsilon \nabla^2\phi+\rho=0.</math>
כאשר <math>q_\alpha</math> מטען החלקיק, <math>m_\alpha</math> מסת החלקיק, <math>\vec{E}(\vec{x},t)</math> השדה החשמלי, <math>\phi(\vec{x},t)</math> הפוטנציאל החשמלי ו-<math>\rho</math> צפיפות המטען החשמלי.
משוואות ולסוב-פואסון משמשות לתיאור תופעות רבות בפלזמה בעלות מאפיינים לא-מקסווליאנים בולטים, למשל דעיכת לנדאו ושכבות כפולות, אשר לא ניתן לתאר באמצעות מודלים קינטיים.

==משוואות המומנט==
במודל נוזלי לתיאור פלזמה, למשל מגנטו-הידרודינמיקה (MHD), התפלגות המהירויות איננה מחושבת. עובדה זו מושגת על ידי החלפת <math>f(\vec{r},\vec{v},t)</math> במומנטים של הפלזמה כמו צפיפות מספרית, <math>n</math>, מהירות ממוצעת, <math>\mathbf{u}</math>, וצפיפות, <math>\mathbf{p}</math>. גדלים אלו מכונים מומנטים מכיוון שהמומנט מסדר n של <math>f</math> מתקבל על ידי אינטגרציה של <math>v^n f</math> לפי המהירות. המשתנים המתקבלים תלויים במיקום ובזמן בלבד, כלומר מידע מסוים אבד. בתאוריה מרובת-נוזלים, כל סוג חלקיקים מתואר כנוזל נפרד עם ערכים של לחץ, צפיפות ומהירות זרימה. המשוואות המתארות את מומנטי הפלזמה מכונות משוואות מומנט או משוואות זרימה. שתי משוואות המומנט הנפוצות ביותר מוצגות בהמשך (במערכת היחידות הבינלאומית). קבלת משוואות המומנט ממשוואת ולסוב לא מצריכה הנחות לגבי פונקציית ההתפלגות.

===משוואת הרציפות===
משוואת הרציפות מתארת את שינוי הצפיפות עם הזמן. ניתן לקבלה על ידי אינטגרציה של משוואת ולסוב על-פני מרחב המהירויות כולו.
<math display="block">\int\frac{\text{d}}{\text{d}t}fd^3v = \int\left[ \frac{\partial}{\partial t}f + (\vec{v} \cdot \nabla_r)f+\nabla_v \cdot (\vec{a}f) \right]d^3v = 0</math>
לאחר חישובים, ניתן לקבל
<math display="block">\frac{\partial}{\partial t}n + \nabla \cdot (n \mathbf{u})=0</math>
צפיפות החלקיקים, <math>n</math>, והמהירות הממוצעת, <math>\mathbf{u}</math>, הם המומנטים מסדר אפס וסדר ראשון:
<math display="block">n = \int fd^3v</math>
<math display="block">\mathbf{u} = \frac{\int \vec{v}fd^3v}{\int fd^3v} = \frac{1}{n} \int \vec{v} fd^3 v</math>

===משוואת התנע===
קצב השינוי בתנע של חלקיק ניתן על ידי הצבת כוח לורנץ במשוואת החוק השני של ניוטון:
<math display="block">m\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} = q\left(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \right)</math>
על ידי שימוש במשוואה זו ומבשוואת ולסוב, משוואת התנע עבור כל נוזל מתקבלת כ:
<math display="block">mn\frac{\text{d}}{\text{d}t}\textbf{u} = -\nabla \cdot \mathbf{p} + qn\vec{E} + qn \mathbf{u} \times \vec{B},</math>
כאשר <math>\mathbf{p}</math> הוא טנזור הלחץ. הנגזרת המלאה לפי הזמן מתקבלת:
<math display="block">\frac{\text{d}}{\text{d}t} = \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla.</math>
טנזור הלחץ מוגדר כצפיפות המסה כפול מטריצת הקו-וריאנס של המהירות:
<math display="block">p_{ij} = m \int (v_i-u_i)(v_j-u_j)fd^3v.</math>

==קירוב השדה הקפוא==
בדומה למקרה של MHD-אידיאלי, ניתן להתייחס את הפלזמה כאל "קשורה" לקווי השדה המגנטי בתנאים מסוימים. ניתן לומר שקווי השדה המגנטי "קפואים" בתוך הפלזמה. ניתן לפתח את התנאים לקירוב זה ממשוואת ולסוב.

נגדיר את הסקלות <math>\mathbf{L, T}</math> ו-<math>\mathbf{V}</math> עבור זמן, מרחק ומהירות, בהתאמה. סקלות אלו מייצגות מדד לפרמטרים השונים המביאים לשינוי גדול ב-<math>f</math>, כאשר שינוי גדול משמעותו
<math display="block">\frac{\partial f}{\partial t}T \sim f, ~~ \left| \frac{\partial f}{\partial \vec{r}} \right|L \sim f, ~~ \left| \frac{\partial f}{\partial \vec{v}} \right|V \sim f.</math>
ניתן לכתוב:
<math display="block">t' = \frac{t}{T}~~, ~~ \vec{r}~'=\frac{\vec{r}}{L}~~, ~~ \vec{v}~' = \frac{\vec{u}}{V}.</math>
כעת ניתן להציג את משוואת ולסוב כך:
<math display="block">\frac{1}{T}\frac{\partial f}{\partial t'} + \frac{V}{L} \vec{v}~' \cdot \frac{\partial f}{\partial \vec{r}} + \frac{q}{mV} \left( \vec{E} + V\vec{v}~'\times \vec{B} \right) \cdot \frac{\partial f}{\partial \vec{v}~'} = 0</math>
עד כה לא בוצעו קירובים. כעת נקבע <math>V = R \omega_g</math>, כאשר <math>\omega_g = qB/m</math> היא תדירות הגירו ו-<math>R</math> הוא רדיוס הגירו (ראה פרמטרים של פלזמה). על ידי חלוקת המשוואה ב-<math>\omega_g</math> נקבל
<math display="block">\frac{1}{\omega_gT}\frac{\partial f}{\partial t'} + \frac{R}{L} \vec{v}~' \cdot \frac{\partial f}{\partial \vec{r}~'} + \left( \frac{\vec{E}}{VB} + \vec{v}~' \times \frac{\vec{B}}{B} \right) \cdot \frac{\partial f}{\partial \vec{v}~'} = 0</math>
בקירוב בו <math>1/\omega_g \ll T</math> ו-<math>R \ll L</math>, שני האיברים הראשונים יהיו קטנים הרבה יותר מ-<math>f</math>, מכיוון ש-<math>\partial f / \partial t' \sim f ~,~v' \lesssim 1 ~,~\partial f / \partial \vec{r}~' \sim f</math>. האיבר האחרון הוא מסדר-גודל של <math>f</math>, ולכן ניתן להזניח את שני האיברים הראשונים ולקבל
<math display="block">\left( \frac{\vec{E}}{VB} + \vec{v}~' \times \frac{\vec{B}}{B} \right) \cdot \frac{\partial f}{\partial \vec{v}~'} \approx 0 \Rightarrow \left( \vec{E} + \vec{v} \times {\vec{B}} \right) \cdot \frac{\partial f}{\partial \vec{v}} \approx 0</math>

ניתן לפרק את המשוואה לחלקים מקביל וניצב:
<math display="block">\vec{E}_\parallel \frac{\partial f}{\partial \vec{v}_\parallel} + \left( \vec{E}_\perp + \vec{v} \times \vec{B} \right) \cdot \frac{\partial f}{\partial \vec{v}_\perp} \approx 0</math>
כעת נשים לב לכך ש- <math>\vec{v} = \vec{v}_0 + \Delta\vec{v}</math>, כאשר 
<math display="block">\vec{v}_0 \times \vec{B} = -\vec{E}_\perp</math>
וכעת ניתן לקבל
<math display="block">\vec{E}_\parallel \frac{\partial f}{\partial \vec{v}_\parallel} + \left( \Delta\vec{v}_\perp \times \vec{B} \right) \cdot \frac{\partial f}{\partial \vec{v}_\perp} \approx 0</math>
עבור שדה מקביל קטן נקבל
<math display="block">\left( \Delta\vec{v}_\perp \times \vec{B} \right) \cdot \frac{\partial f}{\partial \vec{v}_\perp} \approx 0</math>
המשמעות של משוואה זו היא שההתפלגות היא גירו-טרופית. המהירות הממוצעת של התפלגות גירו-טרופית היא אפס, ולכן <math>\vec{v}_0</math> שווה זהותית למהירות הממוצעת, <math>\mathbf{u}</math>, ונקבל
<math display="block">\vec{E} + \mathbf{u} \times \vec{B} \approx 0</math>

לסיכום, זמן המחזור של תנועת הגירו ורדיוס הגירו קטנים הרבה יותר, בהתאמה, מסקלות הזמן והמרחק שיגרמו לשינויים גדולים בפונקציית ההתפלגות. יש לחשב את התנאים לקירוב השדה הקפוא לכל סוג חלקיקים בנפרד. מכיוון שלאלקטרונים זמן מחזור גירו ורדיוס גירו קצרים יותר מאשר ליונים, התנאים יתקיימו עבורם לעיתים קרובות יותר.

==ראו גם==
*פלזמה (מצב צבירה)
*פרמטרים של פלזמה
*משוואות מקסוול
*המשוואה הקינטית של לנדאו

==הערות שוליים==

קטגוריה:פיזיקת הפלזמה