קוסינוס

גרף הפונקציה קוסינוס]]

קוסינוס (מסומן ב-<math>\cos</math>) היא פונקציה טריגונומטרית בסיסית, המתאימה לכל זווית מספר ממשי בין (1-) ל-1. הרחבות שונות של הפונקציה משמשות במגוון תחומים, כגון: הגדרות שונות באנליזה (ובפרט באנליזה מרוכבת). הפונקציה שימושית מאוד בפיזיקה, בהנדסת חשמל ובתחומי מדע והנדסה אחרים.

==הגדרות==
===הגדרה בסיסית===
במשולש זה, קוסינוס הזווית A שווה <math>\frac{b}{c}</math>
בהגדרתה הבסיסית ביותר, פונקציית הקוסינוס מציינת את היחס בין הניצב שליד הזווית ליתר במשולש ישר-זווית, כפונקציה של הזווית שליד הניצב הזה. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 ל-90 מעלות או <math>\frac{\pi}{2}</math> רדיאנים. משולשים עם זוויות זהות דומים ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הקוסינוס של זווית מוגדר היטב.

===הרחבה===
במעגל היחידה ניתן להסתכל על רדיוס הנמתח מהמרכז לנקודה (x,y) כיתר של משולש ישר-זווית שניצביו ניצבים לצירים. מכיוון שאורך היתר הוא 1 נקבל שקוסינוס הזווית שבין ציר ה-x לרדיוס הוא בדיוק אורך ניצב המשולש המקביל לציר ה-x, כלומר שיעור ה-x של הנקודה (x,y).
עובדה זו מאפשרת להגדיר את פונקציית הקוסינוס לכל מספר ממשי: הקוסינוס של מספר <math>\ \theta</math> הוא שיעור ה-x של הנקודה על מעגל היחידה שהזווית בין הרדיוס הנמתח אליה לציר ה-x הוא <math>\ \theta</math> (ברדיאנים).

===טור טיילור===
כאשר הזווית נתונה ברדיאנים, ניתן להגדיר את פונקציית הקוסינוס באמצעות טור טיילור:
:<math> \cos x = \ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} \pm \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}</math>

ניתן גם להסיק את הטור מתוך ההגדרה הקודמת של קוסינוס על ידי גזירה חוזרת של הפונקציה. מהטור נובע קירוב קוסינוס לזוויות קטנות: <math>\cos x \approx 1-\frac{x^2}{2}\approx 1</math>, מכיוון שכאשר x קטן החזקה הרביעית שלו (לפעמים אפילו השנייה) וחזקות גבוהות יותר זניחות.

הגדרה זאת מאפשרת להגדיר את פונקציית הקוסינוס גם למספרים מרוכבים. באמצעות נוסחת אוילר אפשר לקבל הגדרות נוספות לקוסינוס:
:<math>\ \cos(x)= \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} </math>

==תכונות==
* פונקציית הקוסינוס היא זוגית, משום שמתקיים <math>\cos \ (-x) = \cos \ (x)</math>.
* פונקציית הקוסינוס היא מחזורית בעלת מחזור של <math>\ 2\pi</math>. זאת משום שסיבוב של <math>\ 2\pi</math> מחזיר אותך לנקודת המוצא.
* פונקציית הקוסינוס רציפה, גזירה ואינטגרבילית לכל <math>\ x</math>. לפונקציה אינסוף נקודות קיצון מהצורה <math>\ x = \ 2 \pi k</math> (מקסימום) ו-<math>\ x = \pi + \ 2 \pi k</math> (מינימום), כאשר <math>\ k</math> מספר שלם. הערך במקסימום הוא 1 ובמינימום .
* לפונקציה אינסוף שורשים מהצורה <math>\ x =\frac{\pi}{2} + \pi k</math>, כאשר <math>\ k</math> מספר שלם.
* התמונה של הפונקציה היא <math>\ [-1,1]</math>.

==נגזרת==
הנגזרת של פונקציית הקוסינוס, כאשר <math>x</math> מבוטא ברדיאנים, היא מינוס פונקציית הסינוס:
:<math>{d \over dx} \cos x = -\sin x</math>

זאת כיוון שהנגזרת של פונקציית הסינוס היא קוסינוס (ראו הוכחה כאן) ובעזרת כלל השרשרת מקבלים:

<math>{d \over dx} \cos x = {d \over dx} \sin (\frac{\pi}{2} - x) = - \cos (\frac{\pi}{2} - x) = -\sin x</math>.

מכאן נובעת דרך נוספת להגדיר את פונקציית הקוסינוס בעזרת משוואה דיפרנציאלית:

פונקציית הקוסינוס היא פתרון המשוואה <math>\ f(x) = - f(x)</math> כאשר <math>\ f(0) = 1</math> ו-<math>\ f'(0) = 0</math>.

הפונקציה הקדומה של הקוסינוס היא סינוס: <math>\int \cos x \,dx = \sin x+C</math>

==ערכים==
ערכי הפונקציה לזוויות שונות על מעגל היחידה
להלן טבלת ערכים שהפונקציה מקבלת עבור זוויות נפוצות:
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
|-----
! style="background:#ffdead;" colspan="3" | x (זווית)
! colspan="2" style="background:#ffdead;" | cos x
|-----
| style="background:#efefef;" align="Center" | מעלות
| style="background:#efefef;" | רדיאנים
| style="background:#efefef;" align="Center" | גראדים
| style="background:#efefef;" align="Center" | במדויק
| style="background:#efefef;" | קירוב עשרוני
|-----
| align="Center" | 0° || align="Center" | 0
| align="Center" | 0<sup>g</sup>
| align="Center" | 1 || | 1
|-----
| align="Center" | 15°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{12}</math>
| align="Center" | 16<sup>2</sup>/<sub>3</sub><sup>g</sup>
| align="Center" | <math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>
| | 0.965925826289068
|-----
| align="Center" | 30°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{6}</math>
| align="Center" | 33<sup>1</sup>/<sub>3</sub><sup>g</sup>
| align="Center" | <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| | 0.866025403784439
|-----
| align="Center" | 45°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{4}</math>
| align="Center" | 50<sup>g</sup>
| align="Center" | <math>\sqrt{\frac{1}{2}}</math>
| | 0.707106781186548
|-----
| align="Center" | 60°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{3}</math>
| align="Center" | 66<sup>2</sup>/<sub>3</sub><sup>g</sup>
| align="Center" | <math>\frac{1}{2}</math>
| | 0.5
|-----
| align="Center" | 75°
| align="Center" | <math>\frac{5 \cdot \pi}{12}</math>
| align="Center" | 83<sup>1</sup>/<sub>3</sub><sup>g</sup>
| align="Center" | <math>\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math>
| | 0.258819045102521
|-----
| align="Center" | 90°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{2}</math>
| align="Center" | 100<sup>g</sup> || align="Center" | 0
| 0
|}

==זהויות==

* פונקציית הקוסינוס מקיימת: <math>\ \cos(-\theta) = \cos\theta</math> וכן <math>\ \cos(\pi - \theta) = -\cos \theta</math>
* בעזרת פונקציית הקוסינוס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים): <math>\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} </math> <big>,</big> <math>\tan\theta = \frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta} </math> <big>,</big> <math>\cot\theta = {\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}}</math> <big>,</big> <math>\csc\theta = {1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}} </math> <big>,</big> <math>\sec\theta = {1 \over \cos \theta} </math>
* סכום זוויות: <math>\cos(\theta \pm \varphi) = \cos \theta \cos \varphi \mp \sin \theta \sin \varphi</math>
* זווית כפולה: <math>\ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta </math> <big>,</big> <math>\ \cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta</math> ובאופן כללי <math>\cos n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\cos\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)</math>
* חצי זווית: <math>\cos \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}</math>
* סכום קוסינוסים: <math>\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( {\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi \over 2}\right)</math> <big>,</big> <math>\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)</math>

==הפונקציה ההפוכה==
גרף הפונקציה ארכקוסינוס
הפונקציה ההפוכה לפונקציית הקוסינוס נקראת ארכקוסינוס ומסומנת <math> \ \arccos </math> או <math> \ \cos^{-1} </math>. הפונקציה מוגדרת לערכים שבקטע
<math>\ [-1 ,1]</math>, וכיוון שפונקציית הקוסינוס אינה חד-חד-ערכית, ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים <math>\ [0 ,\pi]</math>. הנגזרת שלה היא <math>{d \over dx} \arccos x = -{ 1 \over \sqrt{1 - x^2}}</math>.

==משפט הקוסינוסים==

משפט הקוסינוסים הוא הכללה של משפט פיתגורס, והוא קובע את הקשר בין צלעות המשולש ואחת מזוויותיו, תוך שימוש בפונקציית הקוסינוס. המשפט הוא:
:<math>\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma</math>
כאשר a, b, c הן צלעות המשולש ו- <math>\ \gamma</math> נמצאת מול הצלע c.

כאשר זווית c ישרה, <math>\ \cos \gamma = 0</math> ומתקבל משפט פיתגורס.

==קישורים חיצוניים==

* 

==הערות שוליים==

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:פונקציות טריגונומטריות

no:Trigonometriske funksjoner#Sinus, cosinus og tangens