פונקציית גל

פונקציית גל היא פתרון של משוואת גלים. זוהי פונקציה של מיקום במרחב ובזמן והיא משמשת לתאר מערכת המתנהגת כמו גל.

שימוש נפוץ ביותר במושג פונקציית גל הוא במכניקת הקוונטים, שם משוואת התנועה היא תמיד משוואת שרדינגר שהיא סוג של משוואת גלים.

את פונקציית הגל נהוג לסמן כ-<math>\psi (\vec{r},t)</math> או לעיתים פשוט כ-<math>\psi</math>.

==הסבר אינטואיטיבי==
[[גל קפילרי - אדוות גלים בנוזל, פונקציה המתארת תנועה כזאת נקראת פונקציית גל]]

גובה פני נוזל עומד ללא תנועה יהיה אחיד במרחב ולא ישתנה בזמן. אם תיווצר תנועה (למשל על ידי זריקת אבן) יהיה גובה הנוזל שונה בנקודות שונות וישתנה עם הזמן. תנועה כזאת נקראת גל והפונקציה המתארת את גובה פני הנוזל, ביחס לגובה האחיד, בכל מיקום ובכל זמן, נקראת פונקציית הגל. דוגמה נוספת להתנהגות של פונקציית גל היא צפיפות האוויר כשנוצרים גלי קול.

==פונקציית גל במכניקת הקוונטים==
במכניקת הקוונטים המצב של מערכת כלשהי מתואר על ידי וקטור במרחב הילברט הנקרא וקטור מצב. פעמים רבות מתייחסים לווקטור זה כאל פונקציית גל. במקרים כאלה, פונקציית הגל היא פתרון למשוואת הגלים של שרדינגר והיא אינה מיצגת גודל פיזיקלי מדיד, אך הערך המוחלט שלה בריבוע מייצג את ההסתברות, או צפיפות הסתברות, למצוא את המערכת במצב מסוים. כשהמערכת מתוארת על ידי גדלים כמו מיקום ותנע, לדוגמה המיקום והתנע של אלקטרון יחיד, יש לפונקציית הגל צורה דומה לזו של גלים אחרים ("קלאסיים") הנזכרים למעלה. ערך זה דן בסוג זה של פונקציית גל.

לעובדה שפונקציית גל יכולה לתאר חלקיקים יש קשר לדואליות גל-חלקיק כמו גם לעובדה שלפונקציית הגל של האור ניתן ליחס תכונות חלקיקיות כמו תנע ומיקום ומכאן נובע המושג פוטון.

===ניסוח מתמטי===
פונקציית הגל יכולה להיות פונקציה של המיקום (והזמן) ואז נהוג לכתוב אותה כ-<math>\psi (\vec{r},t)</math>. כאן <math>\vec{r}</math> - וקטור המקום ו-<math>t</math> הוא הזמן. ערך הפונקציה, שנקרא לפעמים משרעת, הוא מרוכב, באופן כללי. צפיפות הסתברות נתונה על ידי <math>|\psi|^2</math> לכן אם נרצה לחשב את ההסתברות של המערכת (לדוגמה חלקיק) להימצא בתחום V כלשהו, נצטרך לסכום על צפיפות ההסתברות בתוך התחום כלומר:
: <math>\mbox{Prob}(\vec{r} \in V) = \int_V | \psi(\vec{r})|^2 dV = \int_V | \psi(\vec{r})|^2 d^3 r</math>
מכיוון שהמערכת חייבת להיות במיקום כלשהו, חייב להתקיים
: <math> \int | \psi(\vec{r})|^2 dV = \int | \psi(\vec{r})|^2 d^3 r = 1</math>
כשהאינטגרל הוא על כל המרחב. תנאי זה נקרא הנירמול של פונקציית הגל.

תמונה פשוטה יותר מתקבלת אם נתבונן בחלקיק היכול לנוע רק בכיוון אחד, נאמר ציר ה-<math>x</math>. זוהי מערכת חד־ממדית, כלומר כדי לתאר את המערכת כל שצריך הוא להגיד מה המיקום של החלקיק על ציר ה-<math>x</math>. תיאור קלאסי של המערכת יינתן על ידי <math>x(t)</math>, המיקום של החלקיק כפונקציה של הזמן. התיאור הקוונטי הוא דרך פונקציית הגל: <math>\psi (x,t)</math>. אם נרצה לדעת איפה החלקיק בזמן כלשהו, נוכל לחשב את ההסתברות שלו להיות בכל נקודה. מכיוון ש<math>x</math> הוא רציף יש אינסוף (<math>\aleph</math>) נקודות בכל תחום והסיכוי של החלקיק להיות בנקודה מסוימת שואף לאפס, אך הסיכוי של החלקיק להיות בתחום <math>b > x > a</math> הוא סופי ונתון על ידי
: <math>\mbox{Prob}( a \le x \le b) = \int_a^b | \psi(x)|^2 \ dx</math>
כשתנאי הנירמול הוא:
:1 = <math> \int_{-\infty}^\infty | \psi(x)|^2 \ dx</math>

===מרחב המיקום לעומת מרחב התנע===
גל מישורי במימד אחד נתון על ידי: <math>\psi (x) = e^{i k x}</math> כאשר <math>k </math> הוא מספר הגל ו-<math>\lambda = {2 \pi \over k}</math> הוא אורך הגל. לפי השערת דה ברויי תנע הגל הוא <math>p = \hbar k = \hbar {2 \pi \over \lambda}</math>

ניתן לרשום את פונקציית הגל כסופרפוזיציה של גלים מישוריים:
: <math>\psi (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int{ \tilde{\psi} (p) e^ \int{ \phi (\vec{p}) e^ \ dp}</math>
כמו גל, גם הפתרון הכללי הוא בעצם טרנספורם פורייה על מרחב דואלי שלא תלוי במיקום - זהו מרחב התנע (ראה מכניקה המילטוניאנית).
תיאור החלקיק על ידי פונקציית גל הסביר מדוע אלקטרונים יכלו לבצע התאבכות.

כדי לקבל את התפתחות פונקציית הגל בזמן, הפעיל שרדינגר שוב שיקול סמי-קלאסי. עבור גל אור מקוונטט <math>A = e^{i(kx - \omega t)}</math> מתקיימים הקשרים הבאים:
: <math>E = p c</math> כאשר E אנרגיה, p הוא תנע ו-c מהירות האור.
: <math>E = \hbar \omega \quad \quad ; \quad \quad \hbar k = p</math>
אך עבור חלקיק חופשי מתקיים ש
: <math>E = \frac{\vec{p}^2}{2m} = \frac{p^2}{2m} </math>
ולכן
: <math> \psi (t, \vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int{ \phi (\vec{p}) e^ \int{ \phi (\vec{p}) e^ \left( | 1 \rang +| 2 \rang + | 3 \rang \right) </math>
נניח שמבצעים עליו מדידה, שמבדילה בין שלושת המצבים העצמיים הללו (מדידה כזאת אפשר לייצג על ידי אופרטור השלכה שהוא אינו יוניטרי). אם במדידה מקבלים את הערך העצמי "2", אזי אחרי המדידה מצב החלקיק הוא <math>| 2 \rang</math> והתוצאה של כל מדידה נוספת תהיה תמיד "2".

קריסת פונקציית הגל מתרחשת רק לפי פרשנות קופנהגן. קיימים פירושים אחרים למכניקת הקוונטים, שבהם פונקציית הגל איננה קורסת, אחד מהם הוא פירוש העולמות המרובים.

== ראו גם ==
* סימון דיראק
* משוואת הגלים
* משוואת שרדינגר
* מכניקת הקוונטים

==קישורים חיצוניים==

* 

קטגוריה:מכניקת הקוונטים