פונקציה מטריציאלית

במתמטיקה, פונקציה מטריציאלית (Matrix function) היא פונקציה הממפה מטריצה אחת למטריצה אחרת.

==הרחבת פונקציה סקלרית לפונקציות מטריציאליות==
קיימות מספר שיטות להצגת פונקציה ממשית כמטריצה ריבועית כך שתכונות מעניינות יישמרו.
הטכניקות הבאות מניבות את אותה פונקציה מטריציאלית, אך התחומים שבהם מוגדרת הפונקציה עשויים להיות שונים.

=== טור חזקות ===

אם לפונקציה ממשית קיימת הצגה כטור טיילור
:<math>f(x) = f(0) + f'(0)\cdot x + f(0)\cdot \frac{x^2}{2!} + \cdots</math>
אז הפונקציה המטריציאלית יכולה להיות מוגדרת על ידי החלפת במטריצה: החזקות הופכות לחזקות של מטריצות, החיבור לחיבור מטריצות והכפל לפעולות דירוג. אם הסדרה ממשית מתכנסת עבור <math>\|A\| < r</math> אז סדרת המטריצות המקבילה תתכנס למטריצה אם <math>\|A\| < r</math>עבור נורמת מטריצה כלשהי <math>\|\cdot\|</math>שמקיימת <math>\|AB\|\leq \|A\|\cdot\|B\|</math>.

=== מטריצה לכסינה ===

אם לכסינה, ניתן למצוא מטריצה ומטריצה אלכסונית כך ש <math>A = P\cdot D\cdot P^{-1}</math>. נפעיל את סדרת החזקות על הפירוק ונקבל כי מוגדר על ידי
:<math>f(A) = P \begin{bmatrix}
f(d_1) & \dots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \dots & f(d_n)
\end{bmatrix} P^{-1} ~ </math>,
כאשר <math>d_1, \dots, d_n</math> הם ערכי האלכסון של .

לדוגמה, נניח כי מחפשים (A! = (+1 עבור
:<math>A= \begin{bmatrix}
1&3\\
2&1
\end{bmatrix} ~ </math>.

ניתן לרשום את באופן הבא
:<math>A = P \begin{bmatrix}
1-\sqrt{6}& 0 \\
0 & 1+ \sqrt{6}
\end{bmatrix} P^{-1}~ </math>,

כאשר
:<math> P= \begin{bmatrix}
1/2 & 1/2 \\
-\frac{1}{\sqrt{6}} &\frac{1}{\sqrt{6}}
\end{bmatrix} ~ </math>.

מהפעלת הנוסחה נקבל
:<math> A! = \begin{bmatrix}
1/2 & 1/2 \\
-\frac{1}{\sqrt{6} } & \frac{1}{\sqrt{6} }
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
\Gamma(2-\sqrt{6}) & 0\\
0&\Gamma(2+\sqrt{6})
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
1 & -\sqrt{6}/2 \\
 1 & \sqrt{6}/2
\end{bmatrix} \approx
\begin{bmatrix} 3.6274 & 8.8423\\
5.8949 & 3.6274
\end{bmatrix} ~
</math>.

ובאופן דומה
:<math> A^4 = \begin{bmatrix}
1/2 & 1/2 \\
-\frac{1}{\sqrt{6} } & \frac{1}{\sqrt{6} }
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
(1-\sqrt{6})^4 & 0\\
0&(1+\sqrt{6})^4
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
1 & -\sqrt{6}/2 \\
 1 & \sqrt{6}/2
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 73.00 & 84.00\\
56.00 & 73.00
\end{bmatrix} ~
</math>.

=== פירוק ז'ורדן ===
כל המטריצות המרוכבות, לכסינות או לא, בעלות צורת ז'ורדן <math>A = P\cdot J\cdot P^{-1}</math>, כאשר המטריצה מורכבת מבלוקי ז'ורדן.
נסתכל על כל בלוק בנפרד ונפעיל עליו את סדרת החזקות:
:<math> f \left( \begin{bmatrix}
\lambda & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & \lambda & 1 & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ldots & \ddots & \lambda & 1 \\
0 & \ldots & \ldots & 0 & \lambda
\end{bmatrix} \right) =

\begin{bmatrix}
\frac{f(\lambda)}{0!} & \frac{f'(\lambda)}{1!} & \frac{f(\lambda)}{2!} & \ldots & \frac{f^{(n)}(\lambda)}{n!} \\
0 & \frac{f(\lambda)}{0!} & \frac{f'(\lambda)}{1!} & \vdots & \frac{f^{(n-1)}(\lambda)}{(n-1)!} \\
0 & 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ldots & \ddots & \frac{f(\lambda)}{0!} & \frac{f'(\lambda)}{1!} \\
0 & \ldots & \ldots & 0 & \frac{f(\lambda)}{0!}
\end{bmatrix}
</math>.

הגדרה זו יכולה לשמש כדי להרחיב את תחום הפונקציה המטריציאלית מעבר לקבוצת מטריצות עם רדיוס ספקטרלי קטן יותר מרדיוס ההתכנסות של טור החזקות.

=== אינטגרל קושי ===
נוסחת האינטגרל של קושי באנליזה מרוכבת יכולה לשמש להכללת פונקציות סקלריות לפונקציות מטריציאליות. לפי נוסחת האינטגרל של קושי לכל פונקציה אנליטית המוגדרת בקבוצה ,
:<math>f(x) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C {\frac{f(z)}{z-x}}\, \mathrm{d}z ~</math>,
כאשר היא עקומה סגורה בתחום בצירוף .
כעת, נחליף את במטריצה כאשר היא בתוך ומכילה את כל הערכים העצמיים של . אז, מוגדר על ידי
:<math>f(A) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C {f(z)(zI-A)^{-1}}\, \mathrm{d}z~ </math>.
אינטגרל זה ניתן בקלות להעריך באמצעות כלל הטרפז, אשר במקרה זה מתכנס באופן אקספוננציאלי. כלומר, הדיוק של התוצאה מוכפל כאשר מספר הצמתים מוכפל.

==מחלקות של פונקציות מטריציאליות==
חלק ממחלקות הפונקציות הסקליות ניתנות להרחבה לפונקציות מטריציאליות של מטריצות הרמיט, באמצעות שימוש ביחס סדר על מטריצות (
<math>
X-Y
\Leftrightarrow
X \preceq Y
</math>
מטריצה חיובית ו-

<math>
X-Y
\Leftrightarrow
X \prec Y
</math>
מטריצה חיובית לחלוטין.)

=== אופרטור מונוטוני ===
פונקציה נקראת אופרטור מונוטוני אם ורק אם
<math>
0 \prec A \preceq H \Rightarrow f(A) \preceq f(H)
</math>
לכל <math>A,H</math> מטריצות צמודות לעצמן עם ספקטרום בתחום של .

ההגדרה הזו מקבילה לפונקציות מונוטוניות במקרה הסקלרי.

=== אופרטור קעור/קמור ===
פונקציה נקראת אופרטור קעור אם ורק אם <math>
\tau f(A) + (1-\tau) f(H) \preceq f \left ( \tau A + (1-\tau)H \right )
</math> לכל <math>A,H</math> מטריצות צמודות לעצמן עם ספקטרום בתחום של ו- <math>\tau \in [0,1]</math>.

ההגדרה הזו מקבילה לפונקציות קעורות במקרה הסקלרי.
אופרטור קמור מוגדר על ידי החלפת <math>\preceq</math> ב <math>\succeq</math> בהגדרה הנ"ל.

==ראו גם==
* אנליזה מתמטית

==לקריאה נוספת==
<div class="mw-content-ltr">
* </div>

==קישורים חיצוניים==
* [https://archive.siam.org/books/ot104/OT104HighamChapter1.pdf תורת הפונקציות המטריציאליות (באנגלית)]
* [http://www.maths.manchester.ac.uk/~higham/talks/funm03.pdf פונקציות מטריציאליות: תאוריה ואלגוריתמים (באנגלית)]

==הערות שוליים ==

קטגוריה:מטריצות
קטגוריה:פונקציות מתמטיות