פונקציית המספרים הראשוניים

הפונקציה עבור 60 המספרים הטבעיים הראשונים
התכנסות של הפונקציה <math>\pi(x)</math> ביחס לפונקציות <math>\frac{x}{\ln(x)},\text{Li}(x)</math>, כאשר <math>x\to\infty</math>.
במתמטיקה ובעיקר בתורת המספרים, פונקציית המספרים הראשוניים <math>\pi(x)</math> (ללא קשר למספר פאי) היא פונקציה הסופרת את כמות המספרים הראשוניים שגודלם אינו עולה על <math>x</math> כלשהו. הפונקציה ידועה בעיקר ממשפט המספרים הראשוניים, הטוען כי פונקציית המספרים הראשוניים אסימפטוטית לפונקציה
:<math>\begin{align}\pi(x)\sim\frac{x}{\ln(x)}\\\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{\dfrac{x}{\ln(x)}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{\text{li}(x)}=1\end{align}</math>
כאשר <math>\text{li}</math> היא פונקציית האינטגרל הלוגריתמי.

עובדה זו שוערה לראשונה על ידי גאוס ולז'נדר בסוף המאה ה-18 בנפרד, והוכחה על ידי אדמר ופוסן ב-1896 כשהם מתבססים על מאפיינים של פונקציית זטא של רימן שרימן הציג בשנת 1859. המשפט הוכח ללא שימוש בפונקציית זטא של רימן או אנליזה מרוכבת על ידי פאול ארדש בשנת 1948.

==טבלה של ערכי הפונקציות==
:{| class=wikitable border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 style=text-align:center;
! <math>x</math>
! <math>\pi(x)</math>
! <math>\pi(x)-\frac{x}{\ln(x)}</math>
! <math>\text{Li}(x)-\pi(x)</math>
! <math>\frac{x}{\pi(x)}</math>
|- 
| 10<sup>1</sup>
| 4
| 0
| 2
| 2.500
|- 
| 10<sup>2</sup>
| 25
| 3
| 5
| 4.000
|- 
| 10<sup>3</sup>
| 168
| 23
| 10
| 5.952
|- 
| 10<sup>4</sup>
| 1,229
| 143
| 17
| 8.137
|- 
| 10<sup>5</sup>
| 9,592
| 906
| 38
| 10.425
|- 
| 10<sup>6</sup>
| 78,498
| 6,116
| 130
| 12.740
|- 
| 10<sup>7</sup>
| 664,579
| 44,159
| 339
| 15.047
|- 
| 10<sup>8</sup>
| 5,761,455
| 332,774
| 754
| 17.357
|- 
| 10<sup>9</sup>
| 50,847,534
| 2,592,592
| 1,701
| 19.667
|- 
| 10<sup>10</sup>
| 455,052,511
| 20,758,029
| 3,104
| 21.975
|- 
| 10<sup>11</sup>
| 4,118,054,813
| 169,923,159
| 11,588
| 24.283
|- 
| 10<sup>12</sup>
| 37,607,912,018
| 1,416,705,193
| 38,263
| 26.590
|- 
| 10<sup>13</sup>
| 346,065,536,839
| 11,992,858,452
| 108,971
| 28.896
|- 
| 10<sup>14</sup>
| 3,204,941,750,802
| 102,838,308,636
| 314,890
| 31.202
|- 
| 10<sup>15</sup>
| 29,844,570,422,669
| 891,604,962,452
| 1,052,619
| 33.507
|- 
| 10<sup>16</sup>
| 279,238,341,033,925
| 7,804,289,844,392
| 3,214,632
| 35.812
|- 
| 10<sup>17</sup>
| 2,623,557,157,654,233
| 68,883,734,693,281
| 7,956,589
| 38.116
|- 
| 10<sup>18</sup>
| 24,739,954,287,740,860
| 612,483,070,893,536
| 21,949,555
| 40.420
|- 
| 10<sup>19</sup>
| 234,057,667,276,344,607
| 5,481,624,169,369,961
| 99,877,775
| 42.725
|- 
| 10<sup>20</sup>
| 2,220,819,602,560,918,840
| 49,347,193,044,659,702
| 222,744,644
| 45.028
|-
| 10<sup>21</sup>
| 21,127,269,486,018,731,928
| 446,579,871,578,168,707
| 597,394,254
| 47.332
|-
| 10<sup>22</sup>
| 201,467,286,689,315,906,290
| 4,060,704,006,019,620,994
| 1,932,355,208
| 49.636
|-
| 10<sup>23</sup>
| 1,925,320,391,606,803,968,923
| 37,083,513,766,578,631,309
| 7,250,186,216
| 51.939
|-
| 10<sup>24</sup>
| 18,435,599,767,349,200,867,866
| 339,996,354,713,708,049,069
| 17,146,907,278
| 54.243
|-
| 10<sup>25</sup>
| 176,846,309,399,143,769,411,680
| 3,128,516,637,843,038,351,228
| 55,160,980,939
| 56.546
|-
| 10<sup>26</sup>
| 1,699,246,750,872,437,141,327,603
| 28,883,358,936,853,188,823,261
| 155,891,678,121
| 58.850
|}

==קישורים חיצוניים==

*

קטגוריה:מספרים ראשוניים