גרופואיד

במתמטיקה, גרופואיד (נקרא גם חבורואיד) הוא קטגוריה קטנה שכל המורפיזמים שלה הם איזומורפיזמים, כלומר הפיכים (מימין ומשמאל).

== הגדרה ==

ביתר פירוט, גרופואיד <math>\mathcal{G}</math> הוא קטגוריה המורכבת מקבוצה של עצמים <math>X</math> ואוסף מורפיזמים (הנקראים "חצים") ביניהם <math>A</math> עם 2 העתקות <math>s,t : A \to X</math> הנקראות source (מקור) ו-target (מטרה) כך שלכל חץ (מורפיזם) <math>f : x \to y </math>
: <math>s(f) = s(x \to y) = x</math> ו-<math>t(f) = t(x \to y)=y</math>.
לכן, אפשר לתאר חץ כמורפיזם מ-<math>x</math> ל-<math>y</math>. סימון מקובל לחץ הוא
: <math>f : x \to y</math> או <math>x \stackrel{f}{\longrightarrow} y</math>.
בגרופואיד, כמו כל קטגוריה, קיימת הרכבה של חצים. הרכבה של <math>f</math> ו-<math>g</math> מוגדרת כאשר <math>s(g)=t(f)</math> ואז <math>g \circ f : s(f) \to t(g)</math> הוא חץ (מורפיזם) בקטגוריה. למעשה, ההרכבה היא פעולת כפל עם תחום שהוא מכפלת הסיב
: <math>A \times_X A = \left\{ (f,g) \in A \times A \mid t(f)=s(g) \right\}</math>
וטווח שהוא <math>A</math>. הרכבה זו היא פעולה אסוציאטיבית: אם ההרכבה של <math>f,g,h \in A</math> מוגדרת אזי מתקיים <math>h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f </math>.

ישנו גם שיכון של <math>X</math> בתוך <math>A</math> המתאים לכל אובייקט <math>x \in X</math> את מורפיזם הזהות <math>1_x</math> שמקיים את התכונות המצופות מזהות: לכל <math>f : w \to x</math> מתקיים <math>1_x \circ f = f</math> ולכל <math>g : x \to y</math> מתקיים <math>g \circ 1_x = g</math>.

לבסוף, אנו דורשים שכל חץ הוא הפיך, כלומר אם <math>f : x \to y</math> הוא חץ בקטגוריה, אז קיים החץ ההפכי <math>f^{-1} : y \to x</math> כך שמתקיים <math>f^{-1} \circ f = 1_x</math> ו-<math>f \circ f^{-1} = 1_y</math>. 

את הגרופואיד מסמנים <math>\mathcal{G} : A \rightrightarrows X</math> או <math>\mathcal{G} = \left[ A \rightrightarrows X \right] </math>.

== דוגמאות ==

חבורה היא גרופואיד עם עצם אחד <math>X = \{ x \}</math> ולכן כל חץ הוא מהצורה <math>f : x \to x</math> וכל החצים ב-A ניתנים להרכבה זה עם זה. קיים איבר יחידה והוא <math>1_x</math>. לכל חץ <math>f</math> יש הפכי <math>f^{-1}</math>, ולכן זהו גרופואיד.

דוגמה טיפוסית: הקטגוריה שהאובייקטים שלה הם תת-הקבוצות של קבוצה קבועה, והמורמפיזמים הם התאמות חד-חד-ערכיות ועל בין תת-קבוצות. כשמקודדים את התכונות של קטגוריות כאלה לאקסיומות, מתקבלת הגדרה לאובייקט הקרוי גרופואיד אינדוקטיבי; גרופואידים אלה מתאימים באופן טבעי לחבורות למחצה הפיכות.

עוד דוגמה: גרופואיד פעולה <math>G \times X \rightrightarrows X</math> - האובייקטים שלו הם איברי קבוצה <math>X</math> שחבורה <math>G</math> פועלת עליה, והחצים ניתנים על ידי <math>x \to g \cdot x</math> לכל <math>x \in X , g \in G</math>, כלומר: כל חץ הוא זוג סדור <math>(g,x)</math> כך ש-<math>(g,x) : x \to g \cdot x</math>. קל לראות שכל חץ הוא הפיך ו-<math>(g,x)^{-1} = (g^{-1},g \cdot x) = g \cdot x \to g^{-1} \cdot (g \cdot x)=x</math>.

== תכונות ==

ב-1929 הוכיח H.Brandt שכל גרופואיד קשיר הוא קטגוריה שבה האובייקטים הם קבוצה <math>X</math> והמורפיזמים מ-<math>a</math> ל-<math>b</math> נמצאים בהתאמה לאברים של חבורה קבועה, <math>G</math>. "אלגברת החבורה" של גרופואיד כזה היא אלגברת מטריצות מעל אלגברת החבורה של <math>G</math>.

== ראו גם ==

בעבר התייחסה המלה גרופואיד לקבוצה עם פעולה בינארית כלשהי; אובייקט זה מכונה היום מאגמה.

== לקריאה נוספת ==
<div class="mw-content-ltr">
* The algebraic theory of semigroups, A. H. Clifford, G. B. Preston.
</div>

==קישורים חיצוניים==
* 
* 

קטגוריה:תורת הקטגוריות
קטגוריה:מבנים אלגבריים