חבורת p

בתורת החבורות, חבורת-p היא חבורה שהסדר של כל איבר בה הוא חזקה של <math>p</math>. קיימת מחלקה כזו של חבורות לכל מספר ראשוני <math>p</math>, והן נקראות, בהתאמה, חבורות-2, חבורות-3, חבורות-5, וכן הלאה. לפי משפט קושי, חבורה סופית היא חבורת-p אם ורק אם הסדר שלה הוא חזקה של <math>p</math>. 

התאוריה של חבורות-p היא מרכיב חשוב בתורת החבורות הסופיות, משום שכל חבורה סופית מכילה תת-חבורות-p (כל תת-חבורת-p מקסימלית של חבורה סופית היא מאינדקס זר ל-p: משפטי סילו). מאידך, בעיית המיון של חבורות-p קשה, ומבחינות מסוימות היא בלתי אפשרית.

== מבנה ==

שוויון המחלקות מראה שהמרכז של חבורת-p הוא לא-טריוויאלי. מכאן נובע (באינדוקציה על סדר החבורה) שהמנרמל של כל תת-חבורה אמיתית של חבורת-p, מכיל אותה ממש.

כל מכפלה ישרה של חבורות-p סופיות (גם לערכים שונים של <math>p</math>) היא חבורה נילפוטנטית, וגם ההפך נכון: כל חבורה נילפוטנטית סופית מתפרקת למכפלה ישרה של חבורות-סילו שלה.

חבורת-p היא חזקה (powerful) אם תת-החבורה הנוצרת על-ידי החזקות <math>x^p</math> (או <math>x^4</math> אם p=2) מכילה את תת-חבורת הקומוטטורים.

== מספרן של חבורות-p ==

עבור מספרים מאותו סדר גודל, מספר החבורות (עד כדי איזומורפיזם) מסדר <math>n</math> הוא הגדול ביותר כאשר <math>n</math> הוא חזקה של ראשוני. לדוגמה, יש 15 חבורות לא איזומורפיות מסדר 16 (לעומת 28 מכל הסדרים עד 15 גם יחד), 2328 חבורות מסדר 128 ו-56092 מסדר 256. 
Graham Higman (1960) ו-Sims (1965) הוכיחו שמספר החבורות מסדר <math>p^n</math> גדל כמו <math>p^{2n^3/27}</math>. 

יש חבורה יחידה מכל סדר <math>p</math>; 
2 חבורות מסדר <math>p^2</math>;
5 חבורות מסדר <math>p^3</math>; ו-15 חבורות מסדר <math>p^4</math>. 
מספר החבורות מסדר <math>p^5</math> הוא <math>2p</math> ועוד גורם בגודל חסום התלוי ב-<math>p</math>; 
מספר החבורות מסדר <math>p^6</math> הוא <math>3p^2</math> ועוד גורם ליניארי התלוי ב-<math>p</math>; 
מספר החבורות מסדר <math>p^7</math> הוא <math>3p^5</math> ועוד גורם ממעלה רביעית התלוי ב-<math>p</math>. חישובים אלה, שנערכו בדייקנות, הביאו את Higman לשער השערה שנודעה בשם "The PORC conjecture" (על-שם ראשי התיבות Polynomials On Residue Classes), שלפיה לכל <math>n</math> יש <math>N</math> גדול מספיק כך שמספר החבורות מסדר <math>p^n</math> (עבור <math>p</math> גדול מספיק) הוא פולינום מסוים של <math>p</math>, התלוי ב-<math>p\pmod{N}</math> בלבד.

החבורות מכל סדר <math>p^n</math>, עבור <math>n \leq 7</math> (וכאשר <math>p=2</math>, עבור <math>n\leq 9</math>) מויינו באופן מלא. יש <math>49478365422</math> חבורות מסדר <math>2^{10}</math>. 

== אוטומורפיזמים ==

משערים שאם <math>P</math> חבורת-p מסדר שאינו <math>p</math> או <math>p^2</math>, אז הסדר של חבורת האוטומורפיזמים <math>|\operatorname{Aut}(P)|</math> מתחלק בזה של <math>P</math>. חבורת האוטומורפיזמים החיצונית של חבורת-p תמיד כוללת איבר מסדר <math>p</math> (Gashutz, 1966). השאלה האם תמיד קיים אוטומורפיזם חיצוני מסדר p עודנה פתוחה.

== חבורת פרטיני והצגות לפי יוצרים ויחסים ==

חבורת פרטיני <math>\Phi(P)</math> של חבורת-p <math>P</math> היא תת-החבורה הנוצרת על ידי תת-חבורת הקומוטטורים וכל חזקות-p של אברי החבורה. לכן <math>P/\Phi(P)</math> היא מהצורה <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^d</math> עבור <math>d</math> מתאים. במקרה זה, אפשר ליצור את החבורה על ידי <math>d</math> איברים, אבל לא פחות. את מספר היחסים בהצגה לפי יוצרים ויחסים אפשר לקרוא מחבורת ההומולוגיה השנייה <math>H_2(P,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})</math>: גם זו חבורת-p אבלית אלמנטרית, שהדרגה שלה היא מספר היחסים המינימלי בהצגה של החבורה. משערים שתמיד יש לחבורה הצגה עם <math>d</math> יוצרים ו-<math>r</math> יחסים.

== אלגברת החבורה ==

בעיית האיזומורפיזם המודולרי (האם אלגברת החבורה <math>\ \mathbb{F}_p[G]</math>, כאשר <math>P</math> היא חבורת-p, קובעת את <math>P</math> עד-כדי איזומורפיזם) נפתרה לשלילה: ראו אלגברת חבורה.

== ראו גם ==

* חבורה פרו-p

==קישורים חיצוניים==
* 

קטגוריה:תורת החבורות