האינדקס האדיאבטי

בתרמודינמיקה, האינדקס האדיאבטי (הנקרא גם "יחס קיבול החום") הוא היחס בין קיבול החום בלחץ קבוע (<math>C_P</math>) לקיבול החום בנפח קבוע (<math>C_V</math>). הוא לפעמים גם מוכר בתור מקדם ההתפשטות האיזנטרופי ומסומל באות <math>\gamma</math> (גמא) עבור גז אידיאלי או <math>\kappa</math> (קפא), האקספוננט האיזנטרופי לגז ריאלי. הסימול גאמה γ נמצא בשימוש על ידי מהנדסי חלל וכימיה.

<math>\gamma =\frac{C_P}{C_V} =\frac{c_P}{c_V}</math>

כאשר C הוא קיבול החום, c הוא קיבול החום הסגולי (קיבול החום חלקי יחידת מסה) של גז. האינדקסים P ו-V מתייחסים ללחץ קבוע ונפח קבוע, בהתאמה.
על מנת להבין יחס זה, נחשוב על הניסוי המחשבתי הבא. בוכנה פנאומטית סגורה מכיל אוויר. הבוכנה נעולה. הלחץ בפנים שווה ללחץ אטמוספירי. הצילינדר מחומם לטמפרטורת יעד מסוימת. מכיוון שהבוכנה נעולה, הנפח נשאר קבוע. הטמפרטורה והלחץ עולים. כאשר מגיעים לטמפרטורת היעד, החימום נפסק. כמות החום שהתווסף שווה <math>C_V\Delta T</math> כאשר <math>\Delta T</math> מייצג את השינוי בטמפרטורה. הבוכנה כעת משוחררת ומתחילה לנוע כלפי חוץ, הבוכנה תיעצר כאשר הלחץ בצילינדר יגיע ללחץ אטמוספירי. אנו מניחים כי ההתפשטות מתרחשת ללא מעבר חום (התפשטות אדיאבטית). על ידי ביצוע עבודה זו, האוויר בתוך הצילינדר יתקרר מתחת לטמפרטורת היעד. על מנת לחזור לטמפרטורת היעד (כאשר הבוכנה משוחררת), יש לחמם את האוויר, אך הוא כעת הוא לא נמצא בנפח קבוע שכן הבוכנה חופשייה לזוז כאשר האוויר מחומם. תוספת חום זו מגיעה לכ-40% יותר מאשרת תוספת החום הראשונית. בדוגמה זו, תוספת החום כאשר הבוכנה חופשייה היא פרופורציונלית ל-<math>C_V</math>, בעוד שתוספת החום כאשר הבוכנה נעולה פרופורציונלית ל-<math>C_P</math>. לפיכך, יחס קיבול החום הוא 1.4.

דרך נוספת להבנת ההבדל בין <math>C_V</math>, ל-<math>C_P</math> היא לפיכך ש-<math>C_P</math> מיושם כאשר העבודה המתבצעת על מערכת גורמת לשינוי בנפח (כמו הזזת בוכנה הדוחסת את תכולת הצילינדר), או אם עבודה נעשית על ידי המערכת הגורמת לשינוי בטמפרטורה (כמו חימום צילינדר הגורם לתזוזת הבוכנה). <math>C_V</math> מיושם רק אם PdV - כלומר, העבודה - היא אפס. נסתכל על ההבדל בין חימום הצילינדר כאשר הבוכנה נעולה, לבין חימום הצילינדר כאשר הבוכנה חופשייה לנוע, כך שהלחץ נשאר קבוע. במקרה השני, האוויר גם יתחמם וגם יתפשט, ובכך יגרום לבוכנה לעשות עבודה מכנית על האטמוספירה. החום שמתווסף לאוויר הולך רק בחלקו לחימום הגז, ואילו השאר מומר לעבודה מכנית המבוצעת על ידי הבוכנה. במקרה הראשון, במקרה של נפח קבוע (בוכנה נעולה) אין תזוזה חיצונית, ולכן לא מתבצעת עבודה מכנית על האטמוספירה; משתמשים ב-<math>C_V</math>. במקרה השני, תוספת עבודה מתבצעת ככל שהנפח משתנה, כך שכמות החום הדרושה לחמם את הגז (קיבול החום הסגולי) גבוהה יותר עבור מקרה זה של לחץ קבוע.

== קשרי גז אידיאלי ==
{| class="infobox" style="clear:left; border-collapse:collapse;"
|-
! colspan="11" style="text-align:center; background:#ffdead;"| Heat capacity ratio for various gases
|-
| style="background:#e0e0e0; text-align:center;"| Temp.
| style="background:#e0e0e0; text-align:center;"| Gas
| style="background:#e0e0e0; text-align:center;"| 
| style="background:#f8eaba; width:10px;" rowspan="17"| 
| style="background:#e0e0e0; text-align:center;"| Temp.
| style="background:#e0e0e0; text-align:center;"| Gas
| style="background:#e0e0e0; text-align:center;"| 
| style="background:#f8eaba; width:10px;" rowspan="17"| 
| style="background:#e0e0e0; text-align:center;"| Temp.
| style="background:#e0e0e0; text-align:center;"| Gas
| style="background:#e0e0e0; text-align:center;"| 
|-
| −181 °C
| rowspan="7" style="text-align:center;"| H<sub>2</sub>
| 1.597
| 200 °C
| rowspan="4" style="text-align:center;"| Dry air
| 1.398
| 20 °C
| style="text-align:center;"| NO
| 1.400
|-
| −76 °C
| 1.453
| 400 °C
| 1.393
| 20 °C
| style="text-align:center;"| N<sub>2</sub>O
| 1.310
|-
| 20 °C
| 1.410
| 1000 °C
| 1.365
| −181 °C
| rowspan="2" style="text-align:center;"| N<sub>2</sub>
| 1.470
|-
| 100 °C
| 1.404
| 2000 °C
| 1.088
| 15 °C
| 1.404
|-
| 400 °C
| 1.387
| 0 °C
| rowspan="5" style="text-align:center;"| CO<sub>2</sub>
| 1.310
| 20 °C
| style="text-align:center;"| Cl<sub>2</sub>
| 1.340
|-
| 1000 °C
| 1.358
| 20 °C
| 1.300
| −115 °C
| rowspan="3" style="text-align:center;"| CH<sub>4</sub>
| 1.410
|-
| 2000 °C
| 1.318
| 100 °C
| 1.281
| −74 °C
| 1.350
|-
| 20 °C
| style="text-align:center;"| He
| 1.660
| 400 °C
| 1.235
| 20 °C
| 1.320
|-
| 20 °C
| rowspan="3" style="text-align:center;"| H<sub>2</sub>O
| 1.330
| 1000 °C
| 1.195
| 15 °C
| style="text-align:center;"| NH<sub>3</sub>
| 1.310
|-
| 100 °C
| 1.324
| 20 °C
| style="text-align:center;"| CO
| 1.400
| 19 °C
| style="text-align:center;"| Ne
| 1.640
|-
| 200 °C
| 1.310
| −181 °C
| rowspan="6" style="text-align:center;"| O<sub>2</sub>
| 1.450
| 19 °C
| style="text-align:center;"| Xe
| 1.660
|-
| −180 °C
| rowspan="2" style="text-align:center;"| Ar
| 1.760
| −76 °C
| 1.415
| 19 °C
| style="text-align:center;"| Kr
| 1.680
|-
| 20 °C
| 1.670
| 20 °C
| 1.400
| 15 °C
| style="text-align:center;"| SO<sub>2</sub>
| 1.290
|-
| 0 °C
| rowspan="3" style="text-align:center;"| Dry air
| 1.403
| 100 °C
| 1.399
| 360 °C
| style="text-align:center;"| Hg
| 1.670
|-
| 20 °C
| 1.400
| 200 °C
| 1.397
| 15 °C
| style="text-align:center;"| C<sub>2</sub>H<sub>6</sub>
| 1.220
|-
| 100 °C
| 1.401
| 400 °C
| 1.394
| 16 °C
| style="text-align:center;"| C<sub>3</sub>H<sub>8</sub>
| 1.130
|}

עבור גז אידיאלי, קיבול החום הוא קבוע עם שינוי בטמפרטורה. בהתאם, אנו יכולים לבטא אנטלפיה באופן הבא <math>H=C_PT</math>, ואת האנרגיה הפנימית <math>U=C_VT</math>. לפיכך, ניתן גם לומר שיחס קיבולי החום הוא היחס בין האנטלפיה לאנרגיה הפנימית.

<math>\gamma= \frac{H}{U}</math>

יתרה מכך, ניתן לבטא את קיבולי החום כביטוי של (<math>\gamma</math>) ושל קבוע הגזים (R):

<math>C_P =\frac{\gamma nR}{\gamma- 1}</math>, <math>C_V=\frac{nR}{\gamma-1}</math>

כאשר n הוא כמות המולים של החומר.
קשר מאייר (Mayer's relation) מאפשר לנו לקבל את הערך של <math>U=C_VT</math> מתוך הערך של <math>U=C_PT</math> אותו ניתן למצוא בעזרת טבלאות.

<math>C_V=C_P-nR</math>

קשרים עם דרגות חופש
ניתן לקשר את יחס קיבול החום (<math>\gamma </math>) עבור גז אידיאלי למספר דרגות החופש (<math>f</math> ) של מולקולה על ידי הקשר הבא:

<math>\gamma =1+ \frac{2}{f}</math> או <math>f=\frac{2}{\gamma-1}</math>.

ניתן לראות שעבור גז חד-אטומי עם שלוש דרגות חופש נקבל:

<math>\gamma=\frac{5}{3}=1.666...</math>,

ועבור גז דו-אטומי, עם חמש דרגות חופש (בטמפרטורת החדר: שלוש דרגות מיקום ושתי דרגות סיבוב; דרגת החופש של רטט קיימת רק בטמפרטורות גבוהות):

<math>\gamma=\frac{7}{5}=1.4</math>.

לדוגמה, האוויר בכדור הארץ מורכב בעיקר מגזים דו-אטומיים (בסביבות 78% חנקן (<math>N_2</math>), 21% חמצן (<math>O_2</math>)) ובתנאים סטנדרטיים יכול להיחשב כגז אידיאלי. הערך 1.4 שהוזכר הוא בעל התאמה טובה מאוד למדידות האינדקס האדיאבטי עבור אוויר יבש בטווח טמפרטורות 0–200 <math>^oC</math>, עם שגיאה של 0.2% בלבד (ראה טבלה).

== קשרי גז ראלי ==
כאשר הטמפרטורה גדלה, רמות אנרגיה גבוהות יותר במצבי סיבוב ורטט נעשות נגישות עבור גזים מולקולריים, ובכך גדל מספר דרגות החופש ו-<math>\gamma </math> קטן. עבור גז ראלי, קיבולי החום <math>U=C_VT</math> ו-<math>U=C_PT</math> גדלים עם עליית הטמפרטורה בעוד שהם שומרים על ההפרש הקבוע ביניהם (כאמור <math>C_V=C_P-nR</math>) אשר מייצג את ההפרש היחסי הקבוע PV בין העבודה שנעשית בזמן ההתפשטות, עבור תנאי לחץ קבוע, לבין תנאי נפח קבוע. לפיכך, היחס בין שני הערכים ,<math>\gamma</math>, קטן עם עליית הטמפרטורה. עוד מידע על מכניזמים של אגירת חום בגזים ניתן למצוא בפרק על גזים של הערך קיבול חום סגולי.

==ביטויים תרמודינמיים ==
ערכים המבוססים על הערכות (באופן ספציפי <math>C_P-C_V=nR</math>) הם במקרים רבים לא מדויקים בצורה מספקת עבור חישובים הנדסיים מעשיים כמו חישוב ספיקה דרך צינורות וברזים. יש להשתמש בערך ניסיוני ולא בערך משוער, היכן שניתן. ניתן לחשב ערך מדויק של <math>\frac{C_P}{C_V}</math> על ידי מציאת <math>C_V</math> מהתכונות המבוטאות על ידי:

<math>C_P-C_V=-T\frac{(\frac{\partial V}{\partial T})_P^2 }{(\frac{\partial V}{\partial P}) _T} =-T\frac{(\frac{\partial P}{\partial T})_V^2 }{(\frac{\partial P}{\partial V}) _T} </math>

ערכים של <math>U=C_P</math> קיימים ונגישים ממדידות, אך את ערכי <math>U=C_V</math> יש לחשב דרך קשרים כגון אלה. לחצו כאן עבור הגזירה של הקשרים התרמודינמיים בין קיבולי החום.
ההגדרה הנ"ל היא הגישה המיושמת על מנת לפתח ביטויים מדויקים ממשוואות המצב (כגון Peng-Robinson), המתאימים באופן כלכך מדויק לתוצאות מדודות כך שכמעט ואין צורך לפתח מאגר מידע של יחסי הקיבולים או של ערכי <math>U=C_V</math>. ניתן לקבל ערכים אלו גם דרך שיטת ההפרשים הסופיים.

==תהליך אדיאבטי ==

יחס זה נותן לנו את הקשר החשוב עבור גז אידיאלי מושלם קלורית בתהליך איזנטרופי (תהליך קווזיסטטי, הפיך ואדיאבטי) של דחיסה פשוטה:

<math>pv^\gamma=constant</math>

כאשר p הוא הלחץ, ו-v הוא הנפח הסגולי של הגז.

==הערות שוליים==

קטגוריה:תרמודינמיקה
קטגוריה:יחסים מתמטיים