משושה קסם

במתמטיקה, משושה קסם הוא סידור של מספרים בצורה של משושה מרוכז בעל n מספרים בכל צלע, כך שסכום המספרים בכל שלושת הכיוונים שווה ל-M. משושה קסם רגיל מכיל את המספרים העוקבים מ-1 עד 3n<sup>2</sup> &#x2212; 3n + 1. משושי קסם רגילים קיימים רק עבורn = 1 ו-n = 3. יתר על כן הפתרון של משושה קסם מסדר 3 הוא ייחודי.
{| style="margin: auto auto 10px;"

| style="padding: 0 2em 1em" | קובץ:MagicHexagon-Order1.svg
| style="padding: 0 2em 1em" | 160x160 פיקסלים
|-
| align="center" | סדר 1<br>
M = 1
| align="center" | סדר 3<br>
M = 38
|}
משושה הקסם מסדר 3 פורסם פעמים רבות כ"תגלית חדשה". ההתייחסות הכי מוקדמת, ואולי המגלה הראשון, הוא ארנסט פון הסלברג (1887).

== הוכחה שאין משושי קסם רגילים חוץ ממשושי קסם בסדר 3 ובסדר 1 ==
המספרים על המשושים הם עוקבים ומתחילים 1 עד <math>(3n^2-3n+1)</math>. ולכן הסכום שלהם הוא מספר משולשי, כלומר:
: <math>s={1\over{2}}(3n^2-3n+1)(3n^2-3n+2)={9n^4-18n^3+18n^2-9n+2\over{2}}</math>
ישנם (r = (2n &#x2212; 1 טורים בכל כיוון (צפון-דרום, דרום מזרח-צפון מערב ודרום מערב-צפון מזרח). בכל טור סכום הספרות הוא M. ולכן:
: <math>M={s\over{r}}={9n^4-18n^3+18n^2-9n+2\over{2(2n-1)}}</math>
שיכול להכתב גם כ:
: <math> M = \left(\frac{9n^3}{4} - \frac{27n^2}{8} + \frac{45n}{16} - \frac{27}{32}\right) + \frac{5}{32\left(2n-1\right)}</math>
הכפלת המשוואה ב-32 תיתן:
: <math>32M=72n^3-108n^2+90n-27+{5\over2n-1}</math>
מאחר ש-M שלם, <math>\frac{5}{2n-1}</math> חייב להיות שלם. ולכן 2n-1 צריך להיות מחלק של 5. ה-nים היחידים שגם גדולים מאחד וגם מקיימים תנאי זה הם <math>n=1</math> ו-<math>n=3</math>.

== משושי קסם לא רגילים ==
אף על פי שאין משושי קסם רגילים מסדר שעולה על 3, ישנם כמה משושים לא רגילים. במקרה זה לא רגיל כוונתו הוא שרצף המספרים אינו מתחיל מאחד. ארסן זהרי גילה את המשושים מסדר 4 וסדר 5 הבאים:
{| style="margin:auto"

| style="padding: 0 2em 1em" | 300x300 פיקסלים
| style="padding: 0 2em 1em" | 300x300 פיקסלים
|-
| align="center" | סדר 4<br>
M = 111
| align="center" | סדר 5<br>
M = 244
|}
משושה הקסם מסדר 4 מתחיל מהסיפרה 3 נגמר בספרה 39, וסכום כל טור הוא 111. משושה הקסם מסדר 5 מתחיל מהספרה 6 נגמר בספרה 66 וסכום כל טור בו הוא 244. 

משושה קסם מסדר 5 המתחיל בספרה 15 מסתיים בספרה 75 וסכום הטורים בו הוא 305, הוא המשושה הבא:

300px פיקסלים

סכום טורים גדול מ-305 במשושה מסדר חמש הוא אינו אפשרי. 

משושה מסדר 5, בו ה"x" מסמל משושה מסדר 3 המשלים את רצף המספרים. במשושה העליון המשושה מסדר 3 הוא משושה קסם רגיל, ובתחתון המשושה מסדר 3 הוא משושה המתחיל בספרה 9- מסתיים בספרה 9 וסכום כל טור הוא 0.

600px פיקסלים

משושה מסדר 6 ניתן לראות למטה. הוא נוצר על ידי לואיס הולבלינג, 11 אוקטובר, 2004:
400px פיקסלים
המשושה מתחיל בספרה 21 מסתיים בספרה 111 וסכום כל טור הוא 546. 

המשושה הקסום הגדול ביותר המורכב ממספרים חיוביים התגלה על ידי ארסן זהרי ב-22 במאי 2006: 
450px פיקסלים
המשושה הוא מסדר 7. הוא מתחיל בספרה 2 מסתיים בספרה 128 וסכום כל טור הוא 635. 

עם זאת, משושה קסם מסדר 8, נוצר על ידי לואיז ק' הולבלינג ב-5 בפברואר 2006:
500px פיקסלים
הוא מתחיל בספרה -84 מסתיים בספרה 84 וסכום כל טור הוא 0. 

== משושה משולש קסומים ==
משושים יכולים להיות מורכבים על ידי משולשים, כפי שהתמונה מטה מציגה.
{| style="margin:auto"

| style="padding: 0 2em 1em" style="padding: 0 2em 1em" -
| align="center" | סדר 2
| align="center" | סדר 2 עם המספרים 1&#x2013;24
|}
משושים מסוג זה מכונים "משושים משולשים" ויש להם הרבה יותר פתרונות ממשושה קסום רגיל.

כפי שמוצג במשושים למעלה, הטורים של המשולשים מתפרסים בשלושה כיוונים וישנם 24 משולשים במשושה מסדר 2. בהכללה, למשושה משולש מסדר n יש <math>6n^2</math> משולשים. הסכום של כל המשולשים ניתן על ידי הנוסחה הבאה:
: <math>{S}={3n^2(6n^2 + 1)}</math>
אם אנחנו מנסים לבנות משושה משולש קסום בסדר  n, אנחנו חייבים לבחור את n כך שהוא יהיה מספר זוגי, זאת משום שישנם r = 2n טורים ולכן הסכום של כל טור הוא:
: <math>M={S\over R}={3n^2(6n^2+1)\over 2n}</math>
על מנת שתוצאה זו תהיה מספר שלם, n חייב להיות מספר זוגי. נכון להיום, משושים משולשים קסומים מסדר 2, 4, 6 ואפילו 8 כבר התגלו. הראשון היה משושה משולש קסום מסדר 2, שהתגלה על ידי ג'ון בקר ב-13 בספטמבר 2003. מאז ג'ון פעל בשיתוף פעולה עם דויד קינג, שגילה שישנם 59,674,527 משושים משולשים קסומים מסדר 2. 

למשושים משולשים קסומים ישנם מספר תכונות משותפות עם ריבועי קסם, אבל יש להם גם מספר תופעות מפתיעות. למשל, סכום המשולשים המצביעים כלפי מעלה שווה לסכום המשולשים המצביעים כלפי מטה (לא משנה באיזה סדר גודל המשושה). בדוגמה למעלה:
: <math>{17 + 20 + 22 + 21 + 2 + 6 + 10 + 14 + 3 + 16 + 12 + 7}</math>
: <math> {= 5 + 11 + 19 + 9 + 8 + 13 + 4 + 1 + 24 + 15 + 23 + 18}</math>
: <math> {= 150}</math>

== ראו גם ==
* ריבוע קסם
* כוכב קסם

==קישורים חיצוניים==

* 

קטגוריה:שעשועי מתמטיקה
קסם