# Introdução ao Cálculo/Conceitos básicos de funções
## Conceitos básicos
### Definições iniciais:

Para uma melhor compreensão do conteúdo desta lição sugerimos ler o livro Matemática elementar/Funções, pois o estudo completo de funções foge do escopo desta lição, que tem como objetivo destacar princípios e notações importantes para o estudo de cálculo.

#### Função, domínio e imagem

Seja um conjunto de pontos A, cujos membros são os números em $\mathbb {R} \Rightarrow \{-\infty ,\dots ,x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,+\infty \}\,\!$, então tomamos $x\,\!$ e denominamo-la variável independente, visto que, arbitrariamente, lhe podemos atribuir qualquer valor em $\mathbb {R} \,\!$ e portanto dizemos que:
Da mesma forma, admitamos um conjunto de pontos B, cujos membros são números que são obtidos única e exclusivamente por um conjunto de regras matemáticas $f\,\!$, quando números arbitrários em A lhe são transferidos; visto que há um único valor assumido para cada valor arbitrário transferido a $f\,\!$, dizemos que:
Sendo B obtido através das regras de $f\,\!$ :
Da mesma forma, como B é restrito aos valores definidos por A e às regras definidas por $f\,\!$, os seus elementos espelham estas condições, portanto, podemos dizer que:

#### Extensões de domínios

Observemos a expressão: ${\sqrt {12-x}}$ Note que assim que atribuirmos valores a $x$ , a mesma assumirá valores inválidos, valores de raizes quadradas de números negativos, para sanar este problema, poderemos atribuir uma faixa de valores válidos para o domínio de $x$ , então teremos:
Assim, teremos um domínio restrito a valores iguais ou menores que 12, portanto, incluindo-o, este extremo ao qual pertence o valor 12 chamamos de extremo fechado.
Temos uma situação semelhante, porém com uma sutil diferença, quando temos que fazer: $\log {x}$ , neste caso, temos que restringir o valor 0 e todos os números abaixo dele, desta forma:
Poderemos atribuir apenas valores maiores que 0, uma vez que este valor não pertence ao conjunto de números que podem ser atribuidos à variável, chamamos este de extremo aberto.

#### Notações

O conjunto de números B $\{-\infty ,\dots ,y_{1},y_{2},y_{3},\dots ,+\infty \}\,\!$ dos quais $y_{n}\,\!$ dependem do conjunto A $\{-\infty ,\dots ,x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,\infty \}\,\!$ de onde temos $x_{n}\,\!$, estabelecemos o par de números $\{x_{n},y_{n}\}\,\!$, ou simplesmente:
Este é chamado de par ordenado.
Sendo também $f\,\!$ a representação dos valores de $(x,y)\,\!$, então podemos dizer que:
Sendo $f(x)\,\!$ o valor de $y\,\!$ quando definido pelas operações em $f\,\!$.
Faixas de valores que delimitam os domínios podem ser representados com desigualdades, como nos exemplos abaixo:
Porém, os extremos podem ser colocados em um par entre delimitadores de forma que, para os extremos fechados usamos os delimitadores [ ou ], para os extremos abertos usamos ( ou ), habilitando-nos a identificar os extremos mais claramente, desta forma podemos identificar os domínios do exemplo acima desta forma:
Também é comum usar colchetes invertidos para extremos abertos:

### Operações com funções

Consideremos duas funções f e g; admitindo que as duas são, intuitivamente, expressões que se traduzem em valores, podemos dizer que:
Sendo D(f) o domínio da função f e D(g) o domínio da função g, o domínio da função resultante das operações acima é sempre: