OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Introdução ao SQL

* Bem vindo ao curso Introdução ao SQL
* Objetivo
* Este curso pretende oferecer os conceitos e fundamentos básicos da linguagem para bancos de dados relacionais SQL padrão.
* Nível do curso
* Básico.
* Pré-requisito
* Este curso não tem pré-requisitos, porém é recomendável algum conhecimento de Lógica de Programação e Banco de Dados, principalmente no que se relaciona a modelagem de bancos.
* Bibliografia
* Wikilivro de SQL
* Obrigatório
* Este curso é recomendado para todos os cursos relacionados a Banco de Dados da Wikiversidade.
* Índice de aulas
* O que é SQL
* Estrutura da Linguagem SQL
* Linguagem de Definição de Dados
* Criando Tabelas
* Alterando Tabelas
* Removendo Tabelas
* Linguagem de Manipulação de Dados
* Inserindo Dados
* Alterando Dados
* Removendo Dados
* Selecionando Dados
* Ordenando e Agrupando Dados
* Agregações
* Junções
* Conclusão
* Avaliação
# Introdução ao SQL/Alterando Dados

Em um banco de dados, alterar dados de uma tabela significa atualizar um dado de uma determinada tabela, por outro dado de mesmo tipo daquele que é atualizado.
Na linguagem SQL, para alterarmos dados em uma determinada tabela, utilizamos o seguinte comando:
O comando Update pode ser realizado sem o WHERE. Neste caso todas as linhas da tabela serão atualizadas com o valor determinado no comando. Para os casos onde se necessite atualizar apenas linhas que cumpram determinada condição, esta condição é estabelecida com a inclusão do comando WHERE.
Exemplo:
Ou:
# Introdução ao Python/Estruturas de Dados

Em Python existem dois tipos de estruturas de dados:
* Sequências: são objetos ordenados e finitos
* Dicionários é um conjunto de elementos de mapeamentos indexados por chaves.
As sequências imutáveis são as strings e as tuplas, dois ou mais elementos de qualquer tipo dentro de parênteses e separados por vírgula.
Exemplo de sequência com strings:

## Dicionários

Dicionário é o outro tipo de sequência que associam objetos. São separados por vírgulas e delimitados por chaves e associados por dois-pontos.

## Listas

As sequências mutáveis são as listas. Listas são elementos entre colchetes e separados por vírgula. Em outras linguagens chamadas de vetor.

### Construção de listas

Existem várias formas de gerar listas de números. A mais simples é a função range, que gera uma lista de zero a n-1:
Para gerar uma lista que comece em um ponto arbitrário, passar este ponto como o início da lista:
Caso o valor inicial seja maior ou igual ao valor final, a lista é vazia; listas decrescentes, ou listas que tenham um passo diferente de um podem ser geradas com um terceiro parâmetro:
Uma forma curiosa de gerar estas listas é construir o objeto xrange; na prática, fazer um loop com xrange ou com range dá o mesmo resultado; para mais detalhes, consulte o help (help(xrange)):

### Operações com listas

Listas podem ser unidas, através de extend. Como a lista é um objeto, usa-se a forma lista.extend(lista2):
Listas também podem ser replicadas, usando-se *. Note que esta operação é comutativa:

### Pilhas

Agora você deve estar se perguntando: "Sim, mas Python só oferece essas Estruturas de Dados?" Você pode não ter reparado, mas podemos utilizar as listas nativas do Python para trabalharmos com outras estruturas, como Pilhas, Filas, Árvores, Listas de Prioridades(Heaps), etc...
Utilizando as listas como Pilhas: Pilhas nada mais são do que listas em que a inserção e a remoção de elementos acontece na mesma extremidade.
Utilizando as listas como Filas:
# Introdução ao Python/Herança e polimorfismo

Deitel, em "Programando em Java", diz que "quando utilizamos herança para criar uma classe a partir da classe existente, a nova classe herda os atributos e comportamentos dessa classe existente, podendo adicionar atributos e comportamentos para solucionar nossas necessidades".
O polimorfismo condiz com a reutilização de código: é fato que ocorrem funções semelhantes em várias partes do software; então definimos estas funções em uma biblioteca, e todas as outras funções que dela precisarem poderão chamá-la sem a necessidade de reescrevê-la.
Em Python, ao contrário das outras linguagens, todo objeto é 100% dinâmico, onde você pode definir propriedades adicionais a ele mesmo que não existam na classe originalmente, podemos ver isso no exemplo abaixo:
# Introdução ao SQL/Agregações

As funções de agregação permitem tratar e retornar um resultado de várias linhas de um campo de uma tabela.

## Funções de Agregação
### Sum

A função Sum permite a soma de um campo numérico. Sua sintaxe é:

### Avg

A função Avg retorna o valor médio entre os conjuntos de valores de um campo numérico. Sua sintaxe é:

### Count

A função Count conta a quantidade de dados de um campo dado. Os registros onde o campo dado apresenta valores nulos não é somado. Sua sintaxe é :

### Max

A função Max retorna o maior valor encontrado entre os dados de um campo dado. Sua sintaxe é:

### Min

A função Min retorna o menor valor encontrado entre os dados de um campo dado. Sua sintaxe é:

### Distinct

A função Distinct não permite que valores iguais de uma mesma coluna sejam retornados. Sua sintaxe é:

### Having

Conforme aprendemos anteriormente utilizamos a cláusula WHERE quando queremos definir uma condição de retorno de um comando SELECT. No entanto a cláusula WHERE determina os dados que serão agregados, e não podem definir as condições de retorno de uma agregação. Neste caso, utilizamos a cláusula Having que seleciona grupos de linhas após as agregações e agrupamentos serem efetuados. Exemplo:
# Introdução ao Python/Funções

Funções são blocos de código com nome e argumentos (algumas funções não possuem argumentos), usadas para realizar tarefas. Algumas funções já estão presentes no interpretador, como exemplo a usada no cálculo do seno de um ângulo que está presente na biblioteca math.sin de python.
Se a função retorna algum valor (linguagens de programação chamam funções que não retornam valor de subrotinas), usa-se a instrução "return valor". Exemplo:
Funções podem não ter argumento, neste caso a lista de argumentos será vazia:
Os argumentos pode vir "nus", ou seguidos de "= valor". No primeiro caso, não passar este argumento para a função dá erro, no segundo caso, o argumento toma, por default, o valor passado.
Um cuidado deve ser tomado: se o valor é variável, ele é determinado no momento da definição da função. Por exemplo:

## Funções sem nome - lambda

A vantagem é que podem ser usadas dentro de expressões
a função acima substitui...
Funções lambda podem ser divididas em:
Onde nome sempre será 'lambda', variável pode conter uma ou mais variáveis e ações pode ser uma potência ou referência a uma função matemática tipo
# Introdução ao Python/Tipos e operadores

Python é uma linguagem de tipos dinâmicos, ou seja, não é necessário fazer casting como em Java, Pascal ou C.
O conceito de variável é uma associação entre um nome e um valor, mas não é necessário declarar o tipo da variável, portanto, o tipo relacionado à variável pode variar durante a execução do programa, o que implica em muitos aspectos o uso da linguagem.
Existem 4 tipos numéricos:
* inteiro (int)
* ponto flutuante (float)
* booleano (bool)
* complexo (complex)
Suportam adição, subtração, multiplicação e divisão e também podem se relacionar.
Existe também o seguinte tipo:
Mesmo os tipos não sendo declarados explicitamente, eles sempre irão assumir um tipo de dado. Abaixo, exemplos de retornos de tipos:
E eles mudam de tipo dinamicamente por exemplo, a variável a:
Operadores são símbolos que atuam sobre variáveis e valores. Existem:
A substituição em strings acontece com o operador %, para substituir strings usa-se %s, para substituir decimais usa-se %d e para substituir floats usa-se %f.
# Engenharia e ambiente/5.3 Identificar os respectivos poluentes do solo, água e atmosfera
## Poluentes do solo, água e atmosfera

* Poluentes do Solo
A poluição ou contaminação do solo é causada pela introdução de químicos ou alteração do ambiente do solo pela ação do homem. Essas substâncias químicas levam à poluição do solo e, direta ou indiretamente, à poluição da água e do ar.
São considerados poluentes do solo toda substância que altera as propriedades físico-químicas e biológicas do solo, tais como os fertilizantes, os adubos minerais, os defensivos agrícolas, o esgoto doméstico, o chorume proveniente de lixões e resíduos gerados pela industria, pelo comércio e pela atividade domiciliar. Resíduos industriais como metais pesados também contaminam o solo, junto de dejetos radioativos advindos de processos nucleares.
* Poluentes da Água
Assim como os poluentes do solo, toda substância que altera as propriedades físico-químicas e biológicas do meio aquático são considerados poluentes. Os poluentes do solo podem poluir os meios aquáticos também, mas junto a eles podemos complementar, por exemplo, com o óleo de cozinha despejado de forma inadequada, alem do petróleo resultante de vazamentos em plataformas de extração. Rejeitos orgânicos de indústrias ou esgoto podem causar desequilíbrio e por isso também são poluentes.
* Poluentes Atmosféricos
Poluentes atmosféricos são compostos basicamente por gases e partículas sólidas resultantes das atividades humanas e de fenômenos naturais dispersos no ar atmosférico. Suas concentração determinam se estes compostos podem ser considerados poluentes. Os poluentes atmosféricos são classificados em primários e secundários. Os poluentes primários são emitidos direto da fonte para o ambiente (monóxido de carbono, fuligem, óxidos de nitrogênio, óxidos de enxofre, hidrocarbonetos, aldeídos e outros). No entanto, os poluentes secundários são produtos das reações dos poluentes primários com substâncias presentes na camada baixa da atmosfera e frações da radiação solar. Outros gases poluentes são os CFCs e o dióxido de nitrogênio.

## Glossário

CFCs: Gases Clorofluorcarbonetos , compostos em sua maioria por moléculas de Cloro,Flúor e Carbono. Eram indiscriminadamente utilizados em aerossóis e equipamentos de refrigeração como geladeiras , ar condicionados e até mesmo desodorantes. Os CFCs, contudo, reagem amplamente com os gases da camada de ozônio, destruindo-a . Algumas convenções , como a de Viena (1985), e protocolos , como o de Montreal (1987) foram realizados a fim de minimizar/suspender o uso desses gases em produtos lançados ao mercado .
# Engenharia e ambiente/5.4.4 Identificar instrumentos de comando e controle para poluição do solo associado a resíduos industriais
## instrumentos de comando e controle para poluição do solo

-Resolução CONAMA N° 420 DE 28 DE DEZEMBRO DE 2009: Dispõe sobre critérios e valores orientadores de qualidade do solo quanto à presença de substâncias químicas e estabelece diretrizes para o gerenciamento ambiental de áreas contaminadas por essas substâncias em decorrência de atividades antrópicas.
# Engenharia e ambiente/5.2 Identificar fontes de poluição do solo, água e atmosfera
## Poluição do solo, água e atmosfera

A atividade humana possui grande responsabilidade sobre a poluição da água, do solo e da atmosfera, mas não pode ser considerada a única. Não associada à mesma, podemos observar desastres como: inundações, terremotos, maremotos, vendavais e atividades vulcânicas que colaboram de forma natural para a poluição do ambiente. Pode-se citar as atividades humanas que ajudam na poluição temos: atividades agropastoris, atividades domiciliares, construções de edificações e infra-estrutura, funcionamento das industrias, atividades extrativas(mineração), destinação do lixo em aterros ou lixões.
A poluição do Ar ocorre em na maioria das vezes nos centros urbanos, onde a concentração de automóveis e de industrias são maiores. Dessa maneira, a emissão de gases poluentes, como o monóxido e dióxido de carbono influenciam diretamente na saúde das populações em contato com esse ar.
A poluição do Solo ocorre tanto em centros urbanos como em áreas rurais. A origem dos resíduos poluentes são diversos, e podem se originar em processos produtivos agrícolas, como no uso de inseticidas, e processos produtivos industriais, como na infiltração de chorume nos grandes aterros de lixo urbanos.
A poluição da água também ocorre em centros urbanos como em áreas rurais. Sua principal origem urbana são os processos produtivos que envolve grande volume de água e o despejo ilegal de esgoto em rios, lagos e mares.

## Glossário

Atividade agropastoril - Atividade agrícola com cuidados ambientais e ecológicos, remetendo aos cuidados que os pastores têm com seu rebanho.
# Engenharia e ambiente/5.4.5 Identificar riscos a vida e doenças causadas pela poluição do solo associada a processos produtivos industriais
## Riscos a vida e doenças causadas pela poluição do solo

O solo é a camada de material orgânico e inorgânico que cobre a superfície rochosa da terra onde habita uma grande variedade biótica. A porção orgânica, derivada da decomposição de animais e plantas, concentra-se em maior quantidade na parte superior do solo. A parte inorgânica é formada em sua maioria por fragmento de rochas e outros componentes como água e ar.
A poluição ou contaminação do solo é causada principalmente pela introdução de químicos no mesmo pela ação direta ou indireta do homem no descarte de resíduos. Substâncias químicas em alta concentração podem causar uma diversidade de doenças , entre esses químicos, os mais comum são os hidrocarbonetos de petróleo, metais pesados (como o chumbo, cádmio, mercúrio, cromo e arsênio) e pesticidas. Um exemplo de doença causada pela grande quantidade de metal no solo é a do cromo, que em contato com a pele pode provocar sérias irritações, e em o contato sendo prolongado pode provocar câncer no individuo.
Outro tipo de doença que pode ser ocasionada pela poluição do solo, são aquelas que são mais comuns na população mais vulnerável que vive em local de risco, como lugares onde não existe saneamento básico, e essas doenças são causadas por agentes patológicos. A poluição acontece por conta do descarte de resíduos e materiais orgânicos em local inadequado, por exemplo o descarte de esgoto em rios e/ou locais a céu aberto.
Listagem das principais doenças causada por agentes patógenos:
Bicho geográfico - Essa doença é transmitida por fezes presentes no solo. A doença é bastante comum em países em desenvolvimento, com clima tropical. O agente transmissor da doença está presente na areia de praias e tanques em parques e praças. Os sintomas são: inchaço, coceira e vermelhidão. O tratamento é feito com pomadas e vermífugos.
Lombriga – A doença é causada pela Ascaris lumbricoides, que pode ser encontrado no solo. Os sintomas da doença são: dor de barriga, diarreia e náuseas. O tratamento é feito com remédios via oral. Lavar bem as mãos e os alimentos é uma forma de evitar o problema.
Amarelão – Essa doença é causada pela penetração da larva do amarelão na pele humana. Os sintomas são: anemia, infecções pulmonares e fezes com sangue. O tratamento é feito com vermífugos.
Verminoses – O solo tem larvas de vermes que podem prejudicar a saúde humana. As verminoses mais comuns são: teníase, oxiuríase ou enterobíase.
Tétano – O bacilo tetânico, micro-organismo que provoca o tétano.
# Engenharia e ambiente/5.4.1 Definir Remediação do solo, citar exemplos
## Remediação do solo

Remediação do solo são os conjuntos de processos adotados para a recuperação de áreas comprovadamente contaminadas por algum tipo de agente contaminante, seja impedindo ou dificultando a disseminação de substâncias nocivas ao ambiente..
Esta recuperação pode ser total ou parcial, de modo que no final dos processos adotados a concentração de agentes contaminantes seja compatível com a Avaliação de Risco a Saúde Humana ou com as leis vigentes no local.
Os métodos adotados para a Remediação do solo serão escolhidos de acordo com o agente contaminante, tendo em vista que cada tipo de contaminação é tratada de forma diferente.Tais métodos podem ser processos térmicos, físico-químicos, biológicos, processos especiais e ainda de isolamento, de acordo com o nível de contaminação a a área afetada.
Geralmente há uma preferencia na remediação do solo in-situ, devido a facilidade de trabalhar no próprio local contaminado, aos baixos custos trazidos com a falta de necessidade de transporte de matéria e a baixa taxa de contaminação secundária.

## Exemplos

Alguns exemplos de Remediação do Solo seriam:
Estabilização/Solidificação/Encapsulamento - Técnica usada para contaminações envolvendo metais pesados e hidrocarbonetos.
Cimento é injetado no solo, fazendo com que o movimento dos agentes contaminantes seja reduzido ou pare de existir. Logo, este método não remove o problema, mas o isola, prevenindo seu espalhamento.
Bombeamento e Tratamento - Como o próprio nome diz,o processo é baseado no bombeamento,extração e tratamento da água contaminada no solo.
Dessorção térmica – Método usado em solos grossos e com uma contaminação não muito profunda.
O solo é aquecido para provocar a volatilização dos compostos orgânicos que poderão ser extraídos do local junto com o vapor dagua.
Air Stripping - essa técnica consiste em forçar a passagem de ar nas águas subterrâneas com contaminantes voláteis.O fluxo de ar permite que os contaminantes possam movimentar-se, possibilitando assim sua retirada.O método requer equipamento especializado para águas subterrâneas.
Bioremediação - consiste no uso de micro-organismo, como por exemplo fungos,bactérias etc para desagregar substancias que ferem a saúde humana,se trata de um método muito eficaz,e geralmente é feito para a limpeza de água ou dióxido de carbono.

## Glossário

in-situ - In situ. Expressão do latim que significa “no lugar” ou “no local”.
# Georgiano

acima: Livros da Bíblia em georgiano | próximo: Alfabeto
* Esta é uma página de desambiguação, a qual lista cursos e disciplinas associados a um mesmo título ou tema. Se uma ligação interna o conduziu até aqui, sugerimos que a corrija para apontá-la diretamente ao conteúdo adequado.
# Geometria Descritiva II

Bem-vindo À disciplina de Geometria Descritiva II

## Cursos que ministram esta disciplina

* Graduação em Arquitetura e Urbanismo

## Pré-requisitos

* Geometria Descritiva I

## Programa

* Problemas métricos
* representação de poliedros e superfícies geométricas (desenvolvíveis e revessas)
* seções e interseções em geral
* Aplicações práticas em arquitetura
# Geometria Euclidiana

Na matemática, Geometria euclidiana é a geometria sobre planos ou objetos em três dimensões baseados nos postulados de Euclides de Alexandria. O texto de Os Elementos foi a primeira discussão sistemática sobre a geometria e o primeiro texto a falar sobre teoria dos números. Foi também um dos livros mais influentes na história, tanto pelo seu método quanto pelo seu conteúdo matemático. O método consiste em assumir um pequeno conjunto de axiomas intuitivos, e então provar várias outras proposições (teoremas) a partir desses axiomas. Muitos dos resultados de Euclides já haviam sido afirmados por matemáticos gregos anteriores, porém ele foi o primeiro a demonstrar como essas proposições poderiam ser reunidas juntas em um abrangente sistema dedutivo.
Em matemática, linhas retas ou planos que permanecem sempre a uma distância fixa uns dos outros independentemente do seu comprimento. Este é um princípio da geometria euclidiana. Algumas geometrias não euclidianas, como a geometria elíptica e hiperbólica, no entanto, rejeitam o axioma do paralelismo de Euclides. Os postulados de Euclides são:
1. Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une;
2. Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta;
3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada;
4. Todos os ângulos retos são iguais;
Em especial, o quinto postulado de Euclides:
5.º Postulado de Euclides "Se uma linha reta cai em duas linhas retas de forma a que os dois ângulos internos de um mesmo lado sejam (em conjunto, ou soma) menores que dois ângulos retos, então as duas linhas retas, se forem prolongadas indefinidamente, encontram-se num ponto no mesmo lado em que os dois ângulos são menores que dois ângulos retos."
Paralelismo de Euclides."Há um ponto P e uma reta r não incidentes tais que no plano que definem não há mais do que uma reta incidente com P e paralela a r."
Soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo
"Existe um triângulo em que a soma das medidas dos ângulos é igual a dois retos."
a + b + d = 2 rectos (a º + b º + d º = 180º)
Os comentários que têm sido feitos a estes postulados ao longo dos séculos encheriam um grosso volume, em particular no que respeita ao termo "continuamente" no segundo postulado e em especial no que respeita ao último, chamado o postulado de paralelismo (de Euclides)...
# Geometria e Topologia
## Exercícios
### 1.

Mostre que a esfera $S^{2}$ menos um ponto é homeomorfa ao plano, o que nos permite então fazer a projeção estereográfica da esfera do plano.

#### Demonstração

Temos por definição que: $S^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}/x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$
Assim considere $p=(a,b,c)\in S^{2}$ e defina a reta:
$r:\{(0,0,1)+t*(a,b,c-1)/t\in \mathbb {R} \}=\{(ta,tb,1+t(c-1))/t\in \mathbb {R} \}$
e o plano:
$\pi :\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}/z=0\}$
Assim: $r\cap \pi :\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}/(x,y,z)=(ta,tb,0)\}$
${\begin{aligned}1+t(c-1)&=0\\t(c-1)&=-1\\t&={\frac {-1}{c-1}}\\t&={\frac {1}{1-c}}\end{aligned}}$
Assim
${\begin{aligned}\varphi :S^{2}-\{N\}&\mapsto \mathbb {R} ^{2}\\(a,b,c)&\mapsto ({\frac {a}{1-c}},{\frac {b}{1-c}})\end{aligned}}$
Bem definida
Obervemos que $\varphi$ está bem definida pois o ponto $(0,0,1)\in S^{2}$ que é o único ponto no qual ela não está definida não pertence ao domínio da $\varphi .$ Portanto está função está definida em todo o seu domínio.
Injetora
Sejam $p_{1}=(a_{1},b_{1},c_{1})$ e $p_{2}=(a_{2},b_{2},c_{2})$ com $p_{1}\neq p_{2}$ e $p_{1},p_{2}\in S^{2}\setminus \{N\}$ assim:
$\varphi (p_{1})=\varphi ((a_{1},b_{1},c_{1}))=({\frac {a_{1}}{1-c_{1}}},{\frac {b_{1}}{1-c_{1}}}).$
$\varphi (p_{2})=\varphi ((a_{2},b_{2},c_{2}))=({\frac {a_{2}}{1-c_{2}}},{\frac {b_{2}}{1-c_{2}}}).$
Portanto, $\varphi (p_{1})\neq \varphi (p_{2}).$ Logo $\varphi$ é injetora.
Sobrejetora
Tome $(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{2}$ e $N=(0,0,1)\in S^{2}.$ Considere a reta:
$r:\{(0,0,1)+t(x,y,-1)/t\in \mathbb {R} \}=\{(tx,ty,1-t)/t\in \mathbb {R} \}$
$\exists !$ ponto $p$ tal que $r\cap S^{2}=\{p\}$
${\begin{aligned}t^{2}x^{2}+t^{2}y^{2}+(1-t)^{2}&=1\\t^{2}x^{2}+t^{2}y^{2}+t^{2}-2t&=0\\t^{2}*(x^{2}+y^{2}+1)-2t&=0\\t&=0\\t*(x^{2}+y^{2}+1)-2&=0\\t&={\frac {2}{x^{2}+y^{2}+1}}\end{aligned}}$
Logo o ponto $p$ que existe é da forma:
$p=({\frac {2x}{x^{2}+y^{2}+1}},{\frac {2y}{x^{2}+y^{2}+1}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+y^{2}+1}})$
É facilmente verificável que $p\in S^{2},$ ou seja, $|p|=1.$
Assim concluímos que $\varphi$ é sobrejetora e podemos definir:
${\begin{aligned}\varphi ^{-1}:\mathbb {R} ^{2}&\mapsto S^{2}\setminus \{N\}\\(x,y)&\mapsto ({\frac {2x}{x^{2}+y^{2}+1}},{\frac {2y}{x^{2}+y^{2}+1}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+y^{2}+1}})\end{aligned}}$
Observe que $\varphi ^{-1}(x,y)\neq (0,0,1);\forall x,y\in \mathbb {R} ^{2}.$
Mostrar que, $(\varphi \circ \varphi ^{-1})(p)=(\varphi ^{-1}\circ \varphi )(p)=p.$
${\begin{aligned}\varphi ^{-1}(p)&=({\frac {2x}{x^{2}+y^{2}+1}},{\frac {2y}{x^{2}+y^{2}+1}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+y^{2}+1}})\\\varphi (\varphi ^{-1}(p))&=({\frac {2x}{x^{2}+y^{2}+1}}*{\frac {x^{2}+y^{2}+1}{2}},{\frac {2y}{x^{2}+y^{2}+1}}*{\frac {x^{2}+y^{2}+1}{2}})\\&=(x,y)\end{aligned}}$
Analogamente, mostra-se que $(\varphi ^{-1}\circ \varphi )(p)=p.$
Portanto $\varphi ^{-1}$ é a inversa de $\varphi .$
Continuidade
Como $\varphi$ e $\varphi ^{-1}$ possui todas as funções coordenadas contínuas, já que são compostas de funções polinomiais, temos que ambas são contínuas, e portanto $\varphi$ é um homeomorfismo.