# Observatório de dados/Partições

Partições agrupamentos sistemáticos e classificações
Partição de A em A$_1$, ... , A$_6$ :
| Validade | Neste curso e alguns textos |
| Contexto: | classif. estatística |
Denominamos agrupamento sistemático dos elementos de um conjunto $C$, ou partição de $C$ em k partes, ao processo de definir dois ou mais subconjuntos $C_{i}$ tais que esses subconjuntos formem um "mosaico" de k células ($C_{1},C_{2},...,C_{i},...,C_{k}$). Um mosaico, como nas ilustrações desta página, pode ser caracterizado por suas propriedades, e estas propriedades descritas em linguagem de conjuntos:
* nenhuma "célula" $C_{i}$ está vazia.
* A união das células $C_{i}$ reproduz o todo $C$.
* As células $C_{i}$ não se sobrepõe, são disjuntas entre si.
Exemplo. Um conjunto de letras A={a,b,c,d,f} pode ser subdividido em $A_{1}=\{a,b\}$ e $A_{2}=\{c,d,f\}$. Os subconjuntos $A_{i}$ possuem todas as características de um mosaico:
* $A_{1}\neq \emptyset$, $A_{2}\neq \emptyset$.  Nenhuma "célula" está vazia.
* $A=A_{1}\cup A_{2}$.  A união das células reproduz o todo.
* $A_{1}\cap A_{2}=\emptyset$.  As células não se sobrepõe, são disjuntas entre si.
Uma definição mais genérica é oferecida abaixo, assim como uma definição análoga para multiconjuntos. Os exemplos em seguida também ajudam a compreender melhor a definição.

## Definição para conjuntos

A partição de $C$ em k partes é formada por subconjuntos $C_{i}\subset C$, com $i\in \{0,1,\dots k\}$, tais que:
* $C_{i}\neq \emptyset$.
* $C=C_{0}\cup C_{1}\cup C_{2}\cup \dots C_{k}$
* $C_{0}\cap C_{1}=\emptyset$ ; $C_{0}\cap C_{2}=\emptyset$ ; $\dots$ ; $C_{k-1}\cap C_{k}=\emptyset$.
Resumidamente, os subconjuntos $C_{i}$ formam uma partição de C quando: são disjuntos entre si; a sua união reproduz C; e cada subconjunto tem pelo menos um elemento. Os exemplos abaixo ajudam a compreender melhor a definição.

### Intuição e visualização

Visualmente, se imaginarmos elementos como pontos no plano, os agrupamentos $C_{i}$ formam um mosaico, cobrindo completamente a superfície original, sem buracos nem interseções.
Na ilustração a superfície original, que faz papel do conjunto $C$ da definição, é um retângulo, e cada célula colorida do mosaico faz papel de classe $C_{i}$.
Podemos imaginar que cada polígono do mosaico possa ser novamente particionado em células menores, formando sub-mosaicos, ou seja, subclasses. A relação classe-subclasse forma uma hierarquia, como no mapa do Brasil (ilustrado mais abaixo) onde podemos ter primeiro uma divisão do território nacional em regiões, depois a subdivisão dessas regiões em estados.

### Motivação

... Vimos nas atividades ... e ... que os elementos de um conjunto podem ser bastante distintos, o que nos leva a dividir os mesmos em "tipos" agrupados por semelhança ... Por exemplo ao medir folhas vimos que não faz sentido usar o mesmo critério de medida para todas, nem comparar folhas com medidas obtidas de critérios diferentes...
... É bastante comum, nas mais diversas áreas da Ciência e Tecnologia, o problema de se reduzir a diversidade de tipos de elementos em um conjunto, resolvendo esse problema com o estabelecimento de regras de classificação...
... pelas aplicações e motivações entendemos melhor o porque da definição ... Não faz sentido por exemplo definir uma classificação com menos de duas classes... Não faz sentido ter mais classes do que elementos ... etc.

## Características da classificação

... outras características de uma classificação podem ser demandas ... definindo elas mais formalmente...

### Domínio de uma classe

... uma classificação $K_{i}$ tem domínios $D_{i}$ quando podemos dizer que $K_{i}=\{x\in D_{i}\}$ ... Necessariamente $D_{i}\subset D$, onde D é o domínio de C. No caso de multiconjuntos ...

### Classificação de sequências e multiconjuntos

Quando se tratando de multiconjunto, deve-se tomar certo cuidado ao estabelecer domínios, e então acrescentar uma quarta propriedade, de que os domínios das classes-multiconjunto também são distintos. ... similarmente numa sequência ...

### Uniformidade das classes

Conforme o tipo de elemento do conjunto $C$ pode-se exigir mais uma importante propriedade das classes $K_{i}$, que é a uniformidade entre elas. O critério de uniformidade pode ser imposto aos elementos do domínio, ou diretamente aos elementos da classe:
* classes uniformes: uma classificação $K_{i}$ será dita "uniforme" quando todas elas satisfazem a propriedade de uniformização, $\forall K_{i}PropriedadeX(K_{i})=True$. Exemplo: obrigar que todas as classes tenham mesmo número de elementos, $\forall K_{i},n(K_{i})=q$.
* classes com domínio uniforme: uma classificação $K_{i}$ com domínios $D_{i}$, com todos os domínios satisfazendo uma mesma propriedade $\forall D_{i}PropriedadeX(D_{i})=True$. Exemplo: obrigar que todas os domínios das classes tenham mesmo número de elementos, $\forall D_{i},n(D_{i})=q$.
* classes uniformes com domínios uniformes: duas propriedades, uma para uniformização do domínio e outra para uniformização dos elementos. $K_{i}=\{x\in D_{i}|PropriedadeX(K_{i})\land PropriedadeY(D_{i})\}$

### Classificação binária e múltipla

... quando existem apenas duas classes K1 e K2, dizemos que a classificação é binária... Quando são mais, é múltipla (multiclasse)... Os mecanismos de classificação múltipla sempre podem ser definidos a partir da binária.

### Ocupação das partições: princíṕiop do pombal

Fazemos uso do princípio do pombal quando desejamos contabilizar o número máximo de elementos das partições, quando tentamos distribuir elementos de forma "o mais uniforme possível" entre elas.
    Seja "n" o número de objetos distintos a serem guardados em "k" recipientes. Pode-se afirmar com certeza que pelo menos um recipiente conterá $\lceil n/k\rceil$ ou mais objetos, onde $\lceil x\rceil$ denota o menor inteiro igual ou superior a x (função teto).
Na notação utilizada para os agrupamentos podemos dizer que, havendo $n$ amostras agrupadas em partições $C_{k}$ de um conjunto C (com i=1..k), deve haver não menos que $\lceil n/k\rceil$ amostras em pelo menos uma dessas partições $C_{k}$.
Uma das consequências é que devemos reduzir o valor de k (consequentemente aumentando $n(C_{k})$ em média) até que seja satisfatória a aproximação $\lceil n/k\rceil \sim \lfloor n/k\rfloor$. Por exemplo $100\sim 101$ é satisfatória, já os valores 4 e 5 não podem ser tão bem aproximados.
    Nota: o termo "aproximação satisfatória" pode ser quantificado, ainda que de maneira arbitrária. Podemos supor que "10% ou menos de diferença" é satisfatório. 100 e 101 diferem em apenas 1%; 4 e 5 diferem em mais de 20%, ${\frac {2\times (101-100)}{101+100}}={\frac {2}{201}}\approx 1\%$. ${\frac {2\times (5-4)}{5+4}}={\frac {2}{9}}\approx 22\%$.
Em partições realizadas para fins de classificação uniforme, tipicamente em dados estatísticos, quando k é alto (muitos grupos) criam-se falsos valores modais: a estatística requer agrupamentos sem "efeito pombal" na sua moda.

## Exemplos
### População de uma escola

Os exemplos a seguir são relativos à abstração de uma escola como sendo um conjunto de pessoas.

### População do Brasil

Os exemplos a seguir são relativos à abstração do Brasil como sendo um conjunto de moradores, ou seja, usando o critério do Censo do IBGE, que estabelece as pessoas como "domiciliados". O IBGE também estabelece critérios para garantir que, mesmo em casos ambíguos, a mesma pessoa não seja contada duas vezes em cidades diferentes (ex. numa tem família e na outra tem trabalho certas épocas do ano).

### Análise combinatória

Para avaliar ou quantificar todas as possíveis maneiras de se particionar um conjunto, é preciso recorrer à Análise Combinatória e métodos mais sofisticados de descrição das "famílias de partições".

## Definição para multiconjuntos

Em um multiconjunto M, por analogia à partição de conjuntos, define-se que seus sub-multiconjuntos $M_{i}\subset M$. Eles formam partição de M em k partes se, para $i\in \{0,1,\dots k\}$ tivermos
    1. $M_{i}\neq \emptyset$ 2. $M=\biguplus _{i\in I}M_{i}$ 3. $M_{i}\cap M_{j}=\emptyset ~~~~~\forall j\neq i$.
Só difere da partição de conjuntos, ligeiramente, na segunda propriedade, pois num contexto de dados, onde se visa a preservação da informação, é requerida a soma das multiplicidades. Nota: em estatística os agrupamentos $M_{i}$ são denominados classes e é requerido que sejam representativos de intervalos uniformes.

## Exemplos de partições de multiconjuntos
### Sacola de palavras

... ver w:en:Bag-of-words_model ... Modela-se um documento textual qualquer como multiconjunto de suas palavras. Neste caso o documento é um mosaico e cada célula tem um só elemento, a palavra...