OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Observatório dos Prenomes/Camila

Camila é o canônico de 13 variantes homófonas e 4 semânticas (subconjunto das homófonas).
É o 43º no ranking de 2010. Teve seu máximo em meados da década de 1990.

## Variantes fonéticas

Listando em ordem de tipo de semelhança fonética e de frequência de ocorrência na população brasileira de 2010.
    Prenome Tipo Frequência Perc. Popularidade WikiData CAMILA canônico 471.559 88,31% 43º Q19869011 KAMILA homófono 28.831 5,40% 919º Q18021635 CAMILLA homófono 10.455 1,96% 10.455º Q16422363 KAMILLA homófono 5.256 0,98% 2.645º Q1726539 CAMYLA homófono 482 0,09% 13.917º CAMIILA homófono 43 0,01% 75.133º KAMMILA homófono 25 0,00% 110.131º KAMYLLA homófono 1.024 0,19% 8.186º KAMYLA homófono 814 0,15% 9.583º CAMYLLA homófono 468 0,09% 14.197º KAMILAH homófono 28 0,01% 102.331º CAMILLE parecido 7.379 1,38% 2.082º Q5160736 KAMILE parecido 4.973 0,93% 2.754º KAMILLE parecido 1.830 0,34% 5.445º CAMYLLE parecido 408 0,08% 15.657º CAMYLE parecido 312 0,06% 19.004º CAMELA afim 44 0,01% 74.189º KAMLA afim 28 0,01% 102.332º Totais: 533.959 100,00% Grau de semelhança fonética: homófono =100% parônimo = 75% parecido = 50% afim = 25%.
| Prenome | Frequência |
| Camila | 471.559 |
| Kamila | 28.831 |
| Camilla | 10.455 |
| Camille | 7.379 |
| Kamilla | 5.256 |
| Kamile | 4.973 |
| Demais variantes fonéticas | total 5.500, média 460 ± 520 |
| Excluindo as variantes afins | total 5.453, média 550 ± 530 |
| Variantes dominates | total 56.894, média 11.400 ± 8.900 |

## Todas as variações

... em construção...
# Observatório dos Prenomes/Mateus

Mateus é o canônico de 7 variantes homófonas e 5 semânticas (subconjunto das homófonas).
É o 26º no ranking de 2010. Teve seu máximo entre 1990 e 2000.

## Variantes homófonas

    Prenome Tipo Frequência Perc. Mateus canônico 588819 62,658% Matheus homófono-3 350434 37,290% Mahteus homófono-3 118 0,013% Mhateus homófono-3 117 0,012% Mateuz homófono-3 107 0,011% Matheuz homófono-3 63 0,007% Matehus homófono-1 55 0,006% Mathaeus homófono-1 28 0,003%
    Homófonas h3=aceitação nacional; h2=regional; h1=mediante ruído.
O canônico, Mateus, tem domínio de 62% sobre as suas 7 variantes. Apesar de não-canônico a variante modal Matheus tem da ordem 2900 vezes mais que o seguinte, caracterizando o conjunto, num gráfico logarítmico como bimodal.
No ranking geral (Brasil 2010) Mateus comparece como 26º e Matheus em 72º. Todos os demais estão na ordem de 37.600º ou mais abaixo.
    Prenome Frequência Perc. Mateus + Matheus 939253 99,948% Demais variantes homófonas (h1 a h3) total 488, média 81,3 0,052%
# Observatório dos Prenomes/Rosangela

Rosângela (Q38133486)é o canônico de 9 variantes homófonas e 8 semânticas.
É o 88º no ranking de 2010. Teve seu máximo entre 1960 e 1980.

## Variantes homófonas

    Prenome Tipo Frequência Perc. ROSÂNGELA (ROSÂNGELA + ROSANGELA) canônico 310889 97,5 % ROZÂNGELA (ROZÂNGELA + ROSANGELA) homófono-3 6041 1,89 % ROSANJELA (ROSÂNJELA + ROSANGELA) homófono-3 1001 0,31 % ROZANJELA (ROZÂNJELA + ROZANJELA) homófono-3 72 0,02 % ROSANGILA (ROSÂNGILA + ROSANGILA) homófono-2 629 0,20 % ROSANJILA (ROSÂNJILA + ROSANJILA) homófono-2 26 0,01 % ROSANGLA (ROSÂNGLA + ROSANGLA) homófono-1 200 0,06 % ROSANGALA (ROSÂNGALA + ROSANGALA) homófono-1 54 0,02 %
    Homófonas h1=aceitação nacional; h2=regional; h3=mediante ruído.
O canônico, Rosângela (Q38133486) 97% sobre as suas outras 8 variantes. O Canônico tem da ordem 50 vezes mais que o seguinte. O homófono Rozângela possui 3 vezes mais ocorrências que os outros somados .
No ranking geral (Brasil 2010) Rosângela comparece como 81º e Rozângela em 2173º. Todos os demais estão na ordem de 8000º ou mais abaixo.
    Prenome Frequência Perc. Rosângela 310889 97,5% Rozângela 6041 1,89% Demais variantes homófonas (h1 a h3) total 1982, média 330±363 0,61%

## Variantes semânticas

O nome Rosângela, possui váriantes semanticas como Rosa e Angela , pois Rosângela é a composição de Rosa + ângela.
| Prenome | Tipo | Frequência | Link wikidata |
| Rosa | homosemântico | 307184 | Q1640276 |
| Angela | homosemântico | 278796 | Q4851436 |
| Rosana | homosemântico | 190764 | Q12800431 |
| Roseane | homosemântico | 5205 | N/A |
| Anjela | homosemântico | 2120 | Q21857366 |
| Roza | homosemântico | 1518 | Q17856047 |
| Angila | homosemântico | 341 | N/A |
| Anjila | homosemântico | 35 | N/A |
Rosa (Q1640276) e Ângela (Q4851436) são quase tão comum quanto o canonico Rosângela, sendo 90º e 103º , respectivamente, no ranking do IBGE , em países de língua inglesa é mais comum a variante Angela (Q4851436).
# Observatório dos Prenomes/Debora

Débora é o canônico de 9 variantes fonéticas e 2 semânticas (subconjunto das fonéticas).
É o 86º no ranking de 2010. Teve seu máximo entre 1980 e 1990.

## Variantes fonéticas

Listando em ordem de tipo de semelhança fonética e de frequência de ocorrência na população brasileira de 2010.
    Prenome Tipo Frequência Perc. DEBORA (Débora+Debora) canônico 313947 96,43% DEBORAH (Déborah+Deborah) homófono 10381 3,19% DHEBORA homófono 309 0,10% DEBHORA homófono 93 0,09% DEBORHA homófono 264 0,08% DEDORA afim 281 0,07% BEBORA afim 211 0,03% BEDORA afim 42 0,01% DEBORRA afim 32 0,01% DEBORAR afim 25 0,01% Totais: 325585 100%
    Grau de semelhança fonética: homófono =100% parônimo = 75% afim = 25%.
O canônico, DEBORA, tem domínio de 96% sobre as suas 9 variantes. Apesar de não-canônico a variante modal DEBORAH tem da ordem 30 vezes mais que o seguinte, caracterizando o conjunto como bimodal (ver histograma logarítmico).
É suposto que as formas acentuadas Débora e Déborahsejam as mais usadas.
No ranking geral (Brasil 2010) DEBORA comparece como 86º e Deborah em 1.648º. Todos os demais estão na ordem de 20.000º ou mais abaixo.
    Prenome Frequência Perc. Débora + Debora + Debóra 313947 96,4% Déborah + Deborah 10381 3,2% Demais variantes fonéticas total 1260, média 160 ± 110 0,39% Excluindo as variantes afins total 670, média 220 ± 90 0,20%
A variante Deborah é da ordem de 10 vezes maior que a soma de todas as demais juntas, o que nos permite caracterizá-la como dominante.

## Variantes semânticas

O nome Débora (Wikidata Q20001813), grafado com acento no português, foi qualificado como forma diferenciada (das variantes que o IBGE agrega sob mesma grafia) na Wikidata:
* Debora (Q505908) não-acentuada;
* Debóra (Q33093589), mais usada na Hungria.
Deborah (Q18558974) é também distinguível pelo IBGE. Aparentemente a grafia é mais usado em slavo e bretão, e o nome foi o mais frequente nos países baixos em 2010. No inglês também há preferência por esta grafia, provavelmente seja essa a influência maior do seu uso no Brasil.
Todas, de qualquer forma, partilham do mesmo grupo semântico. São apenas 2 variações efetivas nas estatísticas do IBGE: o canônico Débora e a homófona dominante Deborah.
Nota: existe apenas mais uma variação do mesmo grupo semântico, Depke (escrita derivada da língua Baixo-alemão), mas nunca atimgiu frequência mínima de uso no Brasil.

## Prenomes compostos

Algumas variantes da canônica Débora e sua variante mais popular Deborah:
* Débora+Maria
* Deborah+Maria
# Observatório dos Prenomes/Pedro

Pedro é o canônico de x variantes homófonas e x semânticas (subconjunto das homófonas).
É o 9º no ranking de 2010. Teve seu máximo entre a década de 1990 e os anos 2000.

## Variantes fonéticas

Listando em ordem de tipo de semelhança fonética e de frequência de ocorrência na população brasileira de 2010.
    Prenome Variante Frequência Perc. Perc. Brasil Popularidade WikiData PEDRO Canônico 1.219.605 96,99% 0,67% 9º Q15897419 PEDRRO homófono 34 0,00% 0,00% 88.128º PEDROH homófono 20 0,00% 0,00% 126.058º PIEDRO parônimo 450 0,04% 0,00% 14.583º PETRO parônimo 295 0,02% 0,00% 19.809º Q15898089 PYEDRO parecido 29 0,00% 0,00% 99.794º PIETRO afim 22.409 1,78% 0,01% 962º Q15897583 Grau de semelhança fonética: homófono =100% parônimo = 75% afim = 25%.
| Prenome | Frequência | Perc. |
| Pedro | 471.559 | 98,13% |
| Demais variantes fonéticas | total 23.237, média 3.872,83 ± 8.291,18 | 1,87% |
| Excluindo as variantes afins | total 828, média 165,6 ± 175,96 | 0,07% |

## Variantes semânticas

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# Observatório dos Prenomes/Regina

Regina é o canônico de 6 variantes homófonas e 2 semânticas (subconjunto das homófonas).
É o 55º no ranking de 2010. Teve seu máximo em 1960.

## Variantes fonéticas

    Prenome Tipo Frequência Perc. REGINA canônico 253086 99,34% REJINA homófono 748 0,29% RGINA homófono 79 0,031% REGINE parônimo 539 0,211% RIGINA parônimo 200 0,078% REIGINA parônimo 90 0,035% REGIN parônimo 23 0,009%  Homófono=100%, Parônimo=75%.
O canônico, Regina, tem domínio de 99% sobre as suas 6 variantes.
No ranking geral (Brasil 2010) Regina comparece como 55º . Todos os demais estão na ordem de 5.570º ou mais abaixo.
| Prenome | Frequência | Perc. |
| Regina | 253086 | 99,34% |
| variantes fonéticas (todas) | total 1679, média 280 ± 270 | 0,65% |

## Variantes semânticas

O nome Débora (Wikidata Q20001813), grafado com acento no português, foi qualificado como forma diferenciada (das variantes que o IBGE agrega sob mesma grafia) na Wikidata:
* Debora (Q505908) não-acentuada;
* Debóra (Q33093589), mais usada na Hungria.
Deborah (Q18558974) é também distinguível pelo IBGE. Aparentemente a grafia é mais usado em slavo e bretão, e o nome foi o mais frequente nos países baixos em 2010. No inglês também há preferência por esta grafia, provavelmente seja essa a influência maior do seu uso no Brasil.
Todas, de qualquer forma, partilham do mesmo grupo semântico. São apenas 2 variações efetivas nas estatísticas do IBGE: o canônico Débora e a homófona dominante Deborah.
Nota: existe apenas mais uma variação do mesmo grupo semântico, Depke (escrita derivada da língua Baixo-alemão), mas nunca atimgiu frequência mínima de uso no Brasil.

## Prenomes compostos

Algumas variantes da canônica Débora e sua variante mais popular Deborah:
* Débora+Maria
* Deborah+Maria
# Observações Astronómicas

* Bem vindo ao curso Observações Astronómicas
* Objetivo
* Saber observar estrelas e planetas usando binóculos e telescópios.
* Pré-requisito
* Nenhum.
* Obrigatório
* Este curso é recomendado para todos os cursos sobre astronomia.
* Índice de aulas
* Introdução
* Constelações
* Movimentos da Terra
* Movimentos dos Astros
* História dos Instrumentos de Observação
* Como Observar
* História de Observações Importantes
# Observatório dos Prenomes/Geni

Geni (Q43996464) é o canônico de 9 variantes homófonas e 8 semânticas, com interseção entre elas.
É o 465º no ranking de 2010. Teve seu máximo de batismos entre 1940 e 1960.

## Variantes fonéticas

Listando em ordem de tipo de semelhança fonética e frequência de ocorrência na população brasileira de 2010.
    Prenome Tipo Frequência Perc. GENI (Gení + Geni) canônico 60387 40,81% JENI (Jení + Jeni) homófono 5710 3,86% GENNI homófono 81 0,05% JENNY parônimo 1351 0,91% GENNY parônimo 655 0,44% JANE afim 77345 52,28% JANA afim 1576 1,07% JANNE afim 715 0,48% JHANE afim 95 0,064% JANAE afim 22 0,015%
    Grau de semelhança fonética: homófono =100% parônimo = 75% afim = 25%.
O canônico, Geni (Q43996464) e a variante Jane(Q1682564), tem domínio de respectivamente 41% e 52% sobre as suas outras 8 variantes. Tanto o Canônico como a variante modal Jane tem da ordem 30 vezes mais que o seguinte, caracterizando o conjunto, num gráfico logarítmico como bimodal.
No ranking geral (Brasil 2010) Geni comparece como 465º e Jane em 376º. Todos os demais estão na ordem de 20.000º ou mais abaixo.
    Prenome Frequência Perc. Geni + Gení 60387 40,8% Jane 77345 52,3% Demais variantes homófonas (h1 a h3) total 10207, média 1275 ± 1762 6,9%

## Variantes semânticas

O nome Geni, possui váriantes semanticas como Joana
| Prenome | Tipo | Frequência | Link wikidata |
| Geni | Canônico | 60387 | Q43996464 |
| Joana | homosemântico | 269732 | Q14945080 |
| Janaina | homosemântico | 210831 | Q20002184 |
| Giovana | homosemântico | 107324 | Q5563627 |
| Janice | homosemântico | 29032 | Q16277291 |
| Giovane | homosemântico | 26983 | N/A |
| Joane | homosemântico | 6145 | Q33818350 |
| Joanna | homosemântico | 2467 | Q4248351 |
Joana (Q14945080) é mais comum que o canonico Geni, sendo 106 no ranking do IBGE https://censo2010.ibge.gov.br/nomes/#/search/response/787 , em países de língua inglesa tem a variante Jenifer(Q4677161).
# Portal:Formação Básica/Matemática/Inequações

Inequação é uma sentença matemática, com uma ou mais incógnitas, expressas por uma desigualdade, diferenciando da equação, que representa uma igualdade. Elas são representadas através de relações que não são de equivalência.
Por exemplo:
    $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\neq g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,$
Sendo f e g funções genéricas de n variáveis. Em alguns contextos, também se consideram inequações expressões do tipo:
    $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\star g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,$
em que $\star$, pode ser >, <, ≥ ou ≤.
Se $\Phi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,$, com i variando de 1 a m, forem inequações ou equações, com pelo menos uma inequação, então um sistema de inequações é a combinação dos $\Phi _{i}\,$ usando as conexões lógicas E e OU.

## Exemplos

    $x^{2}-2x+1\neq 0\,$
    $(x+y\neq 3)\lor (x-y\neq 1)\,$

## Solução

Existem dois métodos básicos para se resolverem as inequações mais simples.
Dentre as do tipo $2\ x^{2}+3x+{\frac {4}{3x}}-9\neq 3$, é mais fácil estudar separadamente as raízes e definir os intervalos satisfatórios por meio de retas paralelas que os mostrem.
No caso de definir o domínio de uma função logarítimica, por exemplo :
$\log _{3x-6}{(x^{2}-6x)}>x^{3}+4\,\!$
fica complicado usar esse método. Por isso, existe um método mais geométrico que consiste em montar as interseções com a hipérbole equilátera que corresponda aos maiores expoentes como coeficientes da incógnitas de sua equação geral.
Seguindo este método, obtem-se um sistema com 3 incógnitas e 3 equações (SPD), em que as respostas são os intervalos em si já com as respectivas condições de existências.
# Portal:Formação Básica/Matemática/Multiplicação

Na sua forma mais simples a multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto. Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador.

## Mecanismo

A multiplicação é uma conta um pouco mais difícil que a adição e subtração, mas ela foi criada para evitar sucessivas adições. A operação de multiplicação é representada pelo sinal "x" ou pelo "." (ponto). Se temos uma conta "3 + 3 + 3 + 3 = 12" dizemos que temos quatro elementos três ou quatro vezes o elemento três, 4 x 3, ou seja, se somarmos 3 quatro vezes teremos o 12 ou matematicamente escrevendo "4 x 3 = 12".

## Multiplicação armada

Para efetuar uma multiplicação, coloca-se o 1º fator na 1ª linha e o 2º fator na 2ª linha. Multiplica-se o 1º fator com cada algarismo do 2º fator e somando os respectivos números encontrados. ex: 1020
1020×71

## Propriedades

* Elemento neutro: O elemento neutro da multiplicação é o 1.
* Fechamento: A propriedade de fechamento é satisfeita, pois o produto de dois números naturais ainda é um número natural.
* Associatividade: Na multiplicação de três ou mais números naturais quaisquer, podemos associar os fatores de diferentes modos que o produto é sempre o mesmo.
* Comutatividade: A propriedade comutativa também é satisfeita pela multiplicação, pois a ordem dos fatores não altera o produto.
* Distributividade: Um jeito simples de explicar a propriedade distributiva é com o seguinte exemplo, tenho 3 laranjas e ganho mais 5 laranjas então na verdade eu fiquei com (3 + 5) laranjas agora substituímos as laranjas por um número, por exemplo, o número 6.
Assim temos:
# Portal:Formação Básica/Matemática/Números Inteiros

O conjunto dos números Inteiros é representado pela letra maiúscula Z e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico. Uma das definições de números Inteiros são os números que podem ser representados sem estar em forma de fração.
O Conjunto dos numeros Inteiros é infinito em ambas as extremidades.
Z = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. Z é um conjunto com infinitos números.
Excluindo o zero do conjunto dos números Inteiros, o conjunto será representado por:
Z* = {..., -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
A construção dos Números Inteiros: Todo número inteiro dado tem um sucessor e um antecessor, considerando também o zero.
Exemplos: Seja m um número inteiro.
(a) O sucessor de m é m+1. (b) O sucessor de 0 é 1. (c) O sucessor de -5 é -4. (d) O sucessor de 19 é 20.
Se um número inteiro é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.
Exemplos:
(a) 1 e 2 são números consecutivos. (b) -10 e -9 são números consecutivos. (c) 50 e 51 são números consecutivos.
Vários números formam uma coleção de números inteiros consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.
Exemplos:
(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. (b) 5, 6 e 7 são consecutivos. (c) -98, -97, -96, -95 são consecutivos.
Todo número inteiro dado n, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
(a) O antecessor do número m é m-1. (b) O antecessor de 2 é 1. (c) O antecessor de -55 é -56. (d) O antecessor de 10 é 9.
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números inteiros pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números inteiros pares para representar o conjunto dos números inteiros pares:
P = {-12, -10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números inteiros ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos números ímpares.
I = {-13, -11, -9, -7, -5, -3, - 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} Informações Desatualizadas- 11 anos sem editar.
# Portal:Formação Básica/Matemática/Expressão númerica

Agora que já estudamos as quatro operações fundamentais, vamos avançar mais um pouco e aprender a resolver sequências que juntam diferentes tipos dessas operações. Essas sequências de operações são chamadas de expressões numéricas. Exemplo de expressão matemática: 2+(5-2)=2+3=5
# Portal:Formação Básica/Matemática/Função

A funçaõ é o conceito mais utilizado em matemática,mas tambem aplica_se em outras ciencias tais como a fisica,a quimica,a biologia ,e outras ciencias.
1-°)O presso de um armario é funçaõ da area que ele cobre.
2-°A dose de um remedio é funçaõ do presso da criança que é medicada.
3-°A altura de uma criancaça é fumaçaõ de sua idade. 4-°O salario de um vendedor é funçaõ do volume de venda. OBS:Para entender o conceito dr funçaõ é preciso penssar em duas grandezas que variam sendo que a variaçaõ de uma depende da variaçsõ da outra.
Para representar duas grandezas que dependem uma da outra utiliza_se uma tabela.
Area(m²):1 |2 |3… preço(kg):129 |240|720…
Ex:Um altomovel conssome um litro de combustivel a cada 8 km.
Consumo(L):1 |2 |3… Distancia(km)8 |16 |48…
# Portal:Formação Básica/Matemática/Introdução a trigonometria

Trigonometria é uma área da matemática que estuda a relação entre dois lados de um triângulo retângulo.
Observamos que a razão entre dois lados de um triângulo retângulo é constante e depende apenas da medida dos ângulos internos do triângulo, gerando assim as três funções básicas estudadas na trigonometria denominadas seno (sen), cosseno (cos) e tangente (tan).
Com base no triângulo acima, obtemos as definições das seguintes funções trigonométricas como dado abaixo:
$sen\gamma ={\frac {cateto{\text{ }}oposto}{Hipotenusa}}={\frac {b}{a}}$
$cos\gamma ={\frac {cateto{\text{ }}adjacente}{Hipotenusa}}={\frac {c}{a}}$
$tan\gamma ={\frac {cateto{\text{ }}oposto}{cateto{\text{ }}adjacente}}={\frac {b}{c}}$
$cotg\gamma ={\frac {cateto{\text{ }}adjacente}{cateto{\text{ }}oposto}}={\frac {c}{b}}$
Estas funções também podem ser vistas em um círculo trigonométrico (circunferência de raio 1, e centro na origem do sistema cartesiano), como pode ser visto na figura abaixo, feita com o uso do software GeoGebra.
Você encontra no seguinte link do GeoGebraTube: [Círculo Trigonométrico] uma cópia do círculo trigonométrico, construção feita no GeoGebra, em versão que pode ser utilizada com uso do software para trabalhar este assunto com os estudantes em sala de aula, de forma dinâmica. Caso não consiga visualizar a construção dinamicamente por falta de plugin, tente clicar no seguinte link: "View como Applet ($type)" que aparece logo abaixo da figura.
# Portal:Formação Básica/Matemática/Números Naturais

Bem-Vindo À disciplina de Números Naturais Curso de Matemática - Formação Básica
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.
Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Para saber mais, clique nos links: Notas históricas sobre o zero ou Notação Posicional. Caso queira se aprofundar no assunto, veja o belíssimo livro: "História Universal dos Algarismos, Tomos I e II, Editora Nova Fronteira, 1998 e 1999", de Georges Ifrah.
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
A construção dos Números Naturais Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.
Exemplos: Seja m um número natural.
(a) O sucessor de m é m+1.
(b) O sucessor de 0 é 1.
(c) O sucessor de 1 é 2.
(d) O sucessor de 19 é 20.
Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.
Exemplos:
(a) 1 e 2 são números consecutivos. (b) 5 e 6 são números consecutivos. (c) 50 e 51 são números consecutivos.
Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.
Exemplos:
(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. (b) 5, 6 e 7 são consecutivos. (c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
(a) O antecessor do número m é m-1. (b) O antecessor de 2 é 1. (c) O antecessor de 56 é 55. (d) O antecessor de 10 é 9.
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:
P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos números ímpares.
I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}