# Lógica Matemática/Cálculo Proposicional

Cálculo proposicional é um sistema da lógica matemática que representa os príncipios e operações da lógica proposicional .

## Proposição

Proposição é uma sentença declarativa afirmativa que pode assumir um valor de Verdadeiro (V) ou Falso (F).
Como exemplo de proposições temos:
* A terra é redonda.
* O dado é quadrado.
As proposições, de acordo com a lógica clássica, devem observar os seguintes princípios (entre outros):
* Príncipio da não-contradição: uma proposição não pode ser Verdadeira ou Falsa ao mesmo tempo.
* Príncipio do terceiro excluído: uma proposição deve obrigatoriamente ser Verdadeira ou Falsa, mas não ter uma terceira possibilidade.

## Símbolos
### Variáveis proposicionais

Dentro da lógica proposicional cada proposição é considerado um elemento simples (átomo), representado com uma letra minúscula a partir do p. (Por exemplo, p, q e outros).

### Conectivos lógicos

As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si utilizando-se os conectivos lógicos. Utilizam-se os parênteses para delimitar o alcance de cada conectivo.
| Valor lógico | Símbolo | Expressão | Observação |
| Negação | $\not$ , ¬ , ~ ou ' | não, é falso, não é verdade que | inverte o valor da proposição |
| Conjunção | $\land$ | e, mas , também, além disso | nenhuma |
| Disjunção | $\lor$ | ou | não confundir com o ou exclusivo |
| Condicional | $\to$ | se...então, implica, logo, somente se | nenhuma |
| Bi-condicional | $\leftrightarrow$ | ...se, e somente se...; ...é condição necessária que ... | nenhuma |
Uma cadeia que forma uma expressão válida (isto é, que ofereça um valor F ou V de retorno) é chamada de fórmula bem-formulada (fbf).

## Tabelas-verdades

Tabelas-verdades são matrizes de V ou F que uma proposição assume de acordo com o conectivo lógico associado a ele. Utilizaremos a letra p para representar o uso de conectivos sobre apenas uma proposição, e p e q quando o conectivo age sobre duas proposições.

### Conjunção

| p | q | p $\land$q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |

### Disjunção

| p | q | p $\lor$q |
| V | V | v |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |

### Condicional

| p | q | p $\rightarrow$q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |

### Bi-condicional

| p | q | p $\leftrightarrow$q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |

### Disjunção-exclusiva

| p | q | p $\lor$q |
| V | V | F |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |

## Proposições compostas

Uma proposição composta é um conjunto de proposições simples com seus conectivos, representada por uma letra maiúscula. Ex: P: p$\land$q ou P (p,q):p,q. Para n proposições simples com possibilidades V e F, considera-se que a tabela-verdade que os combina terá $2^{n}$ linhas.

### Tautologia

Tautologia é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são Verdadeiras (V).

### Contradição

Contradição é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são Falsas (F).

### Contingência

Contingência é uma proposição composta onde os valores F e V aparecem pelo menos uma vez nas combinações finais.

## Implicação

Uma proposição implica logicamente outra quando, e somente quando, para cada atribuição de valores verdade que torna uma proposição verdadeira, também tornam sua implicação verdadeira. Ou seja, dadas duas proposições P e Q, P implica Q todas as vezes que ambos os lados aparecerem Ve.
| p | q | (P) p$\land$q | (Q)p$\lor$q | (R) p$\leftrightarrow$q |
| V | V | V | V | V |
| V | F | F | V | F |
| F | V | F | V | F |
| F | F | F | F | V |

## Equivalência lógica

Uma proposição composta é logicamente equivalente a outra se suas tabelas-verdades são idênticas. A equivalência lógica é representada por ($\Longleftrightarrow$)...,,

## Resumo

* Cálculo proposicional é um sistema da lógica matemática que representa os príncipios e operações da lógica proposicional .
* Proposição é uma sentença declarativa afirmativa que pode assumir um valor de Verdadeiro (V) ou Falso (F).Uma proposição não pode ser Verdadeira ou Falsa ao mesmo tempo e uma proposição deve obrigatoriamente ser Verdadeira ou Falsa, mas não ter uma terceira possibilidade.
* As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si utilizando-se os conectivos lógicos. Utilizam-se os parênteses para delimitar o alcance de cada conectivo.
* Uma Proposição Composta é um conjunto de proposições simples com seus conectivos, representada por uma letra maiúscula.
* Tautologia é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são V.
* Contradição é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são F.
* Contingência é uma proposição composta onde os valores F e V aparecem pelo menos uma vez nas combinações finais.
* Uma proposição implica logicamente outra quando, e somente quando, para cada atribuição de valores verdade que torna uma proposição verdadeira, também tornam sua implicação verdadeira.
* Uma proposição composta é logicamente equivalente a outra se suas tabelas-verdades são idênticas.