# Cálculo Intermediário/Índice/Aplicações de funções vetoriais

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## Arcos

Costumeiramente, desenvolvemos um método para calcular o comprimento de arco de curvas, nesta seção veremos um método que visa generalizar as disposições anteriores unificando-as em uma fórmula comum. Conforme já vimos anteriormente, uma função paramétrica em um plano tem como comprimento de arco, a resultante da seguinte fórmula:
$C_{ab}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}{\mbox{d}}t$
Coincidentemente, a função vetorial: ${\vec {f}}(t)=\langle x,y\rangle$, terá derivada igual a: ${\vec {f}}\ '(t)=\left\langle {\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle$, que representa um vetor de módulo igual a:
$|{\vec {f}}\ '(t)|={\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}$
Ocorre que, da mesma forma observada no caso anterior, uma curva no espaço tem o seu comprimento de arco definido pela equação que também já conhecemos:
$C_{ab}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}}}{\mbox{d}}t$
Que nos revela uma característica comum para todas as famílias de curvas, aparentemente, em todas as dimensões, de apresentarem o comprimento de arco, no caso das mesmas serem contínuas, igual à integral do módulo da derivada da função vetorial que as define em relação ao parâmetro:
$C_{ab}=\int _{a}^{b}|{\vec {f}}\ '(t)|{\mbox{d}}t$

### Reparametrização

Não é raro o uso do comprimento de arco de uma curva para defini-la segundo um parâmetro independente do sistema de coordenadas, isto é possível porque quando nos referenciamos ao comprimento de arco da curva, qualquer sistema de coordenadas será excluído da definição da função que resulta na curva. Este artifício possibilita que façamos o estudo das características de uma curva sem que nos preocupemos com o sistema de eixos na qual a mesma foi definida.
A definição de uma curva em termos de seu comprimento de arco baseia-se na parametrização da mesma, onde o parâmetro é o comprimento da curva. Fazemos uso da fórmula:
$C(t)=\int _{a}^{t}{\vec {v}}(u){\mbox{d}}u$
Para definir uma função comprimento de curva; a mesma é composta da integral definida de ${\vec {v}}(u)\,\!$, que aqui comparamos com a equação anterior e podemos deduzir ser igual a $|{\vec {f}}\ '(t)|\,\!$ quando substituimos os parâmetros. Devemos considerar a curva $f\,\!$ contínua no intervalo $[a,b]\,\!$ cuja variável independente passa a ser $u\,\!$, donde temos:
$C(t)=\int _{a}^{t}|f\ '(u)|{\mbox{d}}u$
Como comprimento de arco da mesma entre os pontos onde o parâmetro está definido em: $a\leq u\leq t\,\!$
Podemos encontrar uma função $g\,\!$, tal que:
$g=C(t)\,\!$
depois encontrar a inversa da fução que define o comprimento:
$g=C(t)-C(a)\,\!$
$t=C^{-1}\left[g+C(a)\right]$
De fato, agora t é função do comprimento da curva, portanto temos:
$t=t(g)\,\!$
Se ${\vec {v}}\,\!$ é uma curva definida em termos de $t\,\!$, podemos substituir o parâmetro pelo comprimento de curva, tal que tenhamos:
${\vec {v}}=f\left[t(g)\right]$

### Exemplo 1

Calcular o comprimento de arco da curva ${\vec {f}}(t)=\langle 3\ {\mbox{sen}}(t),4t,3\cos(t)\rangle$ entre os pontos $P_{1}=(0,0,3)\,\!$ e $P_{2}=(0,4\pi ,-3)\,\!$.
Primeiro encontremos a derivada da função:
${\vec {f}}\ '(t)=\langle 3\cos(t),4,-3\ {\mbox{sen}}(t)\rangle$
Cujo módulo é:
$\left|{\vec {f}}\ '(t)\right|={\sqrt {9\cos ^{2}(t)+16+9\ {\mbox{sen}}^{2}(t)}}$
$\left|{\vec {f}}\ '(t)\right|=5\,\!$
Ainda, devemos verificar os valores do parâmetro para os pontos dados:
* Para $P_{1},t=0\,\!$
* Para $P_{2},t=\pi \,\!$
Logo, o comprimento de arco é:
$C=\int _{0}^{\pi }5\ {\mbox{d}}t$
$C=5t]_{0}^{\pi }\,\!$

### Exemplo 2

Definir a curva $f(t)=\left\langle t^{2},t^{2},{\frac {t^{2}}{2}}\right\rangle$ em função de seu comprimento de arco, para o domínio do parâmetro a partir de zero com crescimento de valores positivos.
Encontremos o comprimento de arco da curva em relação ao parâmetro:
A derivada da função é,
$f\ '(t)=\langle 2t,2t,t\rangle$
Da qual substituimos a variável e calculamos o comprimento de arco:
$f\ '(u)=\langle 2u,2u,u\rangle$
$C(t)=\int _{0}^{t}{\sqrt {4u^{2}+4u^{2}+u^{2}}}\ {\mbox{d}}u$
$C(t)=\int _{0}^{t}3|u|\ {\mbox{d}}u$
$C(t)=\left.{\frac {3}{2}}u^{2}\right|_{0}^{t}$
$C(t)={\frac {3}{2}}t^{2}$
Logo, a sua inversa é:
$t=\pm {\sqrt {{\frac {2}{3}}C(t)}}$
O que nos fornece a função vetorial com relação ao comprimento de arco:
$f(C(t))=\left\langle {\frac {2}{3}}C(t),{\frac {2}{3}}C(t),{\frac {1}{3}}C(t)\right\rangle$

## Curvaturas

Consideremos a curva ${\vec {f}}(t)\,\!$ contínua em todo o seu domínio, cujas variações podem ser percebidas com mudanças dos valores de seu versor tangente $T(t)\,\!$. Dizemos que a medida da variação da direção da curva em relação ao comprimento de arco da mesma é chamada de curvatura, a qual podemos representar por:
$k=\left|{\frac {dT(t)}{dC}}\right|\,\!$
A medida da curvatura é um valor independente do sistema de coordenadas que define a curva, visto que o mesmo é calculado com base no comprimento de arco da mesma, porém seu cálculo, como definido acima, traz diversos inconvenientes quando temos que definir o comprimento de arco da curva para ter condições de calculá-la.

### T49 - Curvatura da função vetorial

Este teorema simplifica o cálculo da curvatura de uma função vetorial.
* Curvatura da função vetorial
Seja a função vetorial ${\vec {f}}(t)\,\!$ e suas derivadas: ${\vec {f}}\ '(t)\,\!$, de primeira ordem e ${\vec {f}}\ ''(t)\,\!$ de segunda ordem, a curvatura da mesma em relação ao seu comprimento de arco em cada ponto pode ser encontrada pela equação: :
$k={\frac {|{\vec {f}}\ '(t)\times {\vec {f}}\ ''(t)|}{|{\vec {f}}\ '(t)|^{3}}}$ :
Demonstração:
Temos, pela definição:
Que para qualquer curva que tenha seu versor tangente: $T\,\!$ e seu comprimento de curva: $C\,\!$ a curvatura será:
$k=\left|{\frac {dT}{dC}}\right|$
onde $T={\vec {T}}(t)\,\!$
Por outro lado, se:
$C=\int |{\vec {f}}'(t)|dt\,\!$
Então:
${\frac {dC}{dt}}=|{\vec {f}}'(t)|$
Também temos:
$T={\frac {{\vec {f}}'(t)}{|{\vec {f}}'(t)|}}$
Notemos que:
${\vec {f}}'(t)=T|{\vec {f}}'(t)|\,\!$
${\vec {f}}'(t)=T{\frac {dC}{dt}}\,\!$
ou
${\vec {f}}'(t)=TC'\,\!$
Derivando a função mais uma vez, temos:
${\vec {f}}''(t)=TC''+T'C'\,\!$
Façamos o produto vetorial:
${\vec {f}}'(t)\times {\vec {f}}''(t)=TC'\times (TC''+T'C')\,\!$
${\vec {f}}'(t)\times {\vec {f}}''(t)=TC'\times TC''+TC'\times T'C'\,\!$
Este resultado parcial admite duas simplificações:
* A primeira parte da equação é nula, uma vez que $T\times T=0\,\!$;
* O módulo de T é unitário e os teoremas T47 e T48 estabelecem que $|T\times T'|=|T||T'|\,\!$.
Implicando em:
* ${\vec {f}}'(t)\times {\vec {f}}''(t)=T'C'\times TC'\,\!$ e, depois,
* $|{\vec {f}}'(t)\times {\vec {f}}''(t)|=|T'\times T|(C')^{2}\Rightarrow |{\vec {f}}'(t)\times {\vec {f}}''(t)|=|T'||T|(C')^{2}\,\!$.
Sendo T um versor:
$|{\vec {f}}'(t)\times {\vec {f}}''(t)|=|T'|(C')^{2}\,\!$
$|{\vec {f}}'(t)\times {\vec {f}}''(t)|=|T'||{\vec {f}}'(t)|^{2}\,\!$
$|T'|={\frac {|{\vec {f}}'(t)\times {\vec {f}}''(t)|}{|{\vec {f}}'(t)|^{2}}}$
Retomando a aplicação da definição, temos:
${\frac {|T'|}{|{\vec {f}}'(t)|}}={\frac {|{\vec {f}}'(t)\times {\vec {f}}''(t)|}{|{\vec {f}}'(t)|^{3}}}$
$k={\frac {|{\vec {f}}'(t)\times {\vec {f}}''(t)|}{|{\vec {f}}'(t)|^{3}}}$
O que comprova o teorema.

### Exemplo 3

Calcule a curvatura da função vetorial ${\vec {f}}(t)=\left\langle t^{3},t^{2},t\right\rangle$.
Encontremos as derivadas da curva:
${\vec {f}}'(t)=\left\langle 3t^{2},2t,1\right\rangle$
${\vec {f}}''(t)=\left\langle 6t,2,0\right\rangle$
Encontremos o produto:
${\vec {f}}'(t)\times {\vec {f}}''(t)={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\f'_{x}&f'_{y}&f'_{z}\\f''_{x}&f''_{y}&f''_{z}\end{vmatrix}}$
${\vec {f}}'(t)\times {\vec {f}}''(t)={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\3t^{2}&2t&1\\6t&2&0\end{vmatrix}}$
${\vec {f}}'(t)\times {\vec {f}}''(t)=-2{\vec {i}}+6t{\vec {j}}-6t^{2}{\vec {k}}$
$|{\vec {f}}'(t)\times {\vec {f}}''(t)|=2{\sqrt {9t^{4}+9t^{2}+1}}$
Enquanto que o módulo da derivada primeira é:
$|{\vec {f}}'(t)|={\sqrt {9t^{4}+4t^{2}+1}}$
Lancemos os valores na fórmula:
$k={\frac {2{\sqrt {9t^{4}+9t^{2}+1}}}{\left(9t^{4}+4t^{2}+1\right)^{\frac {3}{2}}}}$

## Curvatura em duas dimensões

Também podemos definir a curvatura de funções de duas variáveis, neste caso em particular, não parametrizadas. O princípio é o mesmo que usamos para o cálculo de funções parametrizadas no espaço, em suma, o cálculo da curvatura de funções reais com uma variável dependente é o resultado da anulação de um eixo no sistema de coordenadas, o que define um plano onde a função é expressa.

### T50 - Curvatura de uma função no plano (x,y)

* Curvatura de uma função no plano (x,y)
Seja a função $y=f(x)\,\!$, contínua em todo o intervalo onde consideramos esta análise, sua curvatura pode ser calculada por: :
$k={\frac {|f''(x)|}{\left[1+|f'(x)|^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}$ :
Demonstração:
Temos a função $y=f(x)\,\!$ podemos adotar $x\,\!$ como parâmetro e fazer $y=\langle x,f(x),0\rangle \,\!$, então teremos duas derivadas, como segue:
$y'=\langle 1,f'(x),0\rangle \,\!$
$y''=\langle 0,f''(x),0\rangle \,\!$
O que nos possibilita fazer:
$k={\frac {|{\vec {y}}'\times {\vec {y}}''|}{|{\vec {y}}'|^{3}}}\,\!$
${\vec {y}}'\times {\vec {y}}''={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\y'_{x}&y'_{y}&y'_{z}\\y''_{x}&y''_{y}&y''_{z}\end{vmatrix}}$
${\vec {y}}'\times {\vec {y}}''={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\1&f'(x)&0\\0&f''(x)&0\end{vmatrix}}$
${\vec {y}}'\times {\vec {y}}''=f''(x)k\,\!$
$|{\vec {y}}'\times {\vec {y}}''|=|f''(x)|\,\!$
Da mesma forma:
$|{\vec {y}}'|={\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}$
Substituindo os valores na definição:
$k={\frac {|f''(x)|}{|1+[f'(x)]^{2}|^{\frac {3}{2}}}}\,\!$
O que comprova o teorema.

#### Exemplo 4

Seja a função quadrática no plano $xy\,\!$, definida por $y=x^{2}-3x+2\,\!$, qual a sua curvatura no ponto onde a abscissa é $4\,\!$?

##### Resposta

Encontremos as derivadas:
$y'=2x-3\,\!$
e
$y''=2\,\!$
Temos:
$k={\frac {2}{[1+(2x-3)^{2}]^{\frac {3}{2}}}}$
$k={\frac {2}{(4x^{2}-12x+10)^{\frac {3}{2}}}}$
$k={\frac {1}{(2x^{2}-6x+5)^{\frac {3}{2}}}}$

## Normais e binormais

Nada mais natural que determinar uma normal de um ponto, já que determinamos a sua tangente, o processo se baseia no teorema T48, uma vez que o versor tangente $T\,\!$ tem norma constante, podemos admitir que a derivada do mesmo é normal ao ponto, pois é perpendicular a sua tangente. Devemos, por outro lado, nos ater ao fato que o vetor resultante da derivação do versor não é, necessariamente, sempre unitário; devemos portanto, estabelecer o versor normal como:
$N(t)={\frac {T'(t)}{|T'(t)|}}$
A tangente e a normal de um ponto estabelecem um plano sob o qual o ponto está inserido, este mesmo plano também possui uma normal, uma vez que já estabelecemos uma normal ao ponto e que todos os vetores partindo do ponto, que são perpendiculares a sua tangente, são normais do ponto, estabelecemos a sua binormal, calculando desta forma:
$B(t)=N(t)\times T(t)\,\!$
Diferente do caso da normal, o vetor binormal é unitário, visto que resulta da operação acima, que basicamente é a multiplicação de dois escalares (os inversos dos módulos dos vetores) pelo vetor resultante do produto vetorial dos mesmos.
De fato, se:
$N(t)=k_{1}{\vec {n}}(t)$
e
$T(t)=k_{2}{\vec {t}}(t)$
sendo,
$N(t)\times T(t)=k_{1}k_{2}\left[{\vec {n}}(t)\times {\vec {t}}(t)\right]$
Desta forma, verificamos que os vetores que originam a binormal são multiplicados por fatores que os reduzem a unidade, são operados no produto vetorial e podemos concluir que a binormal representa um versor perpendicular ao plano dos versores tangente e normal da função dada. Ainda podemos verificar, pela fórmula do produto vetorial com referência ao ângulo, que o módulo é unitário, pois o ângulo entre os versores é reto, o que nos informa que:
$|B(t)|=|N(t)||T(t)|{\mbox{sen}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,\!$
$|B(t)|=1\,\!$

### Exemplo 5

Considerando a função vetorial do exemplo 3, calcule as componentes tangente, normal e binormal no ponto onde o parâmetro é igual a $2\,\!$.

#### Desenvolvendo

Da função ${\vec {f}}(t)=\langle t^{3},t^{2},t\rangle$ calculamos o versor tangente, como segue:
$T(t)={\frac {{\vec {f}}\ '(t)}{|{\vec {f}}\ '(t)|}}$
Encontremos a derivada da função com relação ao parâmetro:
${\vec {f}}\ '(t)=\langle 3t^{2},2t,1\rangle$
O que nos fornece, para o parâmetro dado:
${\vec {f}}\ '(t)=\langle 3(2)^{2},2(2),1\rangle$
${\vec {f}}\ '(t)=\langle 12,4,1\rangle$
Logo:
Para a normal, temos:
$N(t)={\frac {T\ '(t)}{|T\ '(t)|}}$
Para isto calculamos a derivada novamente:
${\vec {f}}\ ''(t)=\langle 6t,2,0\rangle$
sendo:
${\vec {f}}\ ''(2)=\langle 12,2,0\rangle$
O que nos dá uma normal:
$N(2)=\left\langle {\frac {12}{2{\sqrt {37}}}},{\frac {4}{2{\sqrt {37}}}},0\right\rangle$
Para a binormal fazemos:
$B(t)={\vec {f}}'\times {\vec {f}}''={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\f'_{x}&f'_{y}&f'_{z}\\f''_{x}&f''_{y}&f''_{z}\end{vmatrix}}$
$B(2)={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\12&4&1\\12&2&0\end{vmatrix}}$
$B(2)=0{\vec {i}}+12{\vec {j}}+24{\vec {k}}-(2{\vec {i}}+0{\vec {j}}+48{\vec {k}})$
Portanto:

## Mecânica no espaço

Considerando que pontos no espaço podem ser expressos sob a forma de vetores é natural que tenhamos uma forma de analisar a evolução do movimento de um corpo sob a óptica vetorial.

### Introdução

De fato, vejamos alguns conceitos aplicáveis da Física para o estudo vetorial do movimento, como sabemos:
$F=ma\,\!$
Onde $F\,\!$ é força, $m\,\!$ é massa e $a\,\!$ é aceleração.
Sob análise inicial, temos que:
* A força é proporcional a aceleração;
* A relação linear entre as grandezas nos possibilita operá-las livremente;
* Tanto força quanto aceleração são grandezas direcionais.
Por isso podemos estabelecer que as grandezas podem ser expressas sob a forma de vetores no espaço:
${\vec {F}}=m{\vec {a}}\,\!$
Ainda podemos observar que, a aceleração neste caso é a derivada segunda do deslocamento de uma partícula no espaço, como também já sabemos do estudo de física. De fato, sendo ${\vec {s}}(t)\,\!$ o deslocamento de uma partícula no espaço:
${\vec {v}}(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {{\vec {s}}(t+h)-{\vec {s}}(h)}{h}}={\vec {s}}\ '(t)$
Analíticamente, temos um vetor para cada ponto da curva descrita pela partícula, cujo módulo é o deslocamento da mesma por unidade de tempo, diminuindo a distância $h\,\!$ obtemos vetores cada vez mais próximos, o que nos fornece a velocidade intantânea da partícula quando estabelecido o limite.
Sendo esta velocidade apresentada na forma vetorial, estabelecemos o valor de seu módulo como expressão da sua magnitude e o chamamos de rapidez, portanto a rapidez de uma partícula que se move no espaço é:
$v=|{\vec {v}}|=|s\ '(t)|$
Da mesma forma podemos verificar que a taxa de variação da velocidade da partícula em relação ao tempo pode ser conseguida pela derivada segunda da função vetorial que define a posição da mesma, tomando um referecial qualquer. Desta forma temos que:
${\vec {a}}(t)={\vec {s}}\ ''(t)$

### Acelerações tangentes e normais

Dada uma partícula no espaço, desenvolvendo um movimento variável sob qualquer trajetória, esta poderá manter um comportamento que lhe confira uma trajetória curva, isto nos sugere que sobre este movimento temos componentes fundamentais que o regem. Considerando que temos as componentes fundamentais normal e tangencial para as curvas vetoriais, nada mais plausível de se pensar do que usá-los para descrever os componentes do movimento da partícula que segue este trajeto.

#### T49 - Componentes da aceleração

* Compontentes da aceleração
Seja ${\vec {s}}\,\!$, um vetor posição para uma partícula no espaço, de forma que ${\vec {a}}\,\!$ é o vetor aceleração associado ao movimento, ainda definimos $N\,\!$ o versor normal e $T\,\!$ o versor tangente, então: :
${\vec {a}}=a_{N}N+a_{T}T\,\!$ :

##### Comprovação

Temos: $T={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}$
Podemos obter a aceleração derivando ${\vec {v}}\,\!$:
${\vec {a}}=|{\vec {v}}|T'+|{\vec {v}}|'T\,\!$
Por outro lado, a normal é definida como:
$N={\frac {T'}{|T'|}}$
logo:
$T'=|T'|N\,\!$
Trazendo para a equação anterior:
${\vec {a}}=|{\vec {v}}||T'|N+|{\vec {v}}|'T\,\!$
Isto nos mostra que temos dois escalares e dois versores componentes, associamos os escalares à notação da tangente e da normal e teremos $a_{n}\,\!$ e $a_{T}\,\!$ respectivamente, ou seja:
${\vec {a}}=a_{N}N+a_{T}T\,\!$
O que comprova o teorema.

#### T50 - Teorema da aceleração normal

* Aceleração normal
Seja ${\vec {s}}\,\!$, um vetor posição para uma partícula no espaço, de forma que $a_{N}\,\!$ é o módulo da aceleração normal associado ao movimento, então: :
$a_{N}={\frac {|{\vec {s}}\ '(t)\times {\vec {s}}\ ''(t)|}{|{\vec {s}}\ '(t)|}}$ :

##### Comprovação

Como sabemos, a curvatura da função vetorial é definida por:
$k={\frac {|T'|}{|{\vec {s}}\ '(t)|}}$
donde temos:
$|T'|=k|{\vec {s}}\ '(t)|$
Da demonstração anterior, temos:
$a_{N}=|{\vec {v}}||T'|N$
$a_{N}=|{\vec {s}}\ '(t)||T'|N$
Substituamos o módulo do vetor $T'\,\!$ pelo correspondente anterior:
$a_{N}=|{\vec {s}}\ '(t)|\ k\ |{\vec {s}}\ '(t)|N$
$a_{N}=k\ |{\vec {s}}\ '(t)|^{2}N$
Como é nossa intenção deixar toda a fórmula em termos de derivadas do comprimento substituimos a curvatura por sua equivalente nestes termos:
$a_{N}={\frac {|{\vec {s}}\ '(t)\times {\vec {s}}\ ''(t)|}{|{\vec {s}}\ '(t)|^{3}}}|{\vec {s}}\ '(t)|^{2}N$
E temos, por redução, a fórmula resultante:
$a_{N}={\frac {|{\vec {s}}\ '(t)\times {\vec {s}}\ ''(t)|}{|{\vec {s}}\ '(t)|}}$
O que comprova o teorema.

#### T51 - Teorema da aceleração tangente

* Aceleração normal
Seja ${\vec {s}}\,\!$, um vetor posição para uma partícula no espaço, de forma que $a_{T}\,\!$ é o módulo da aceleração tangente associada ao movimento, então: :
$a_{T}={\frac {|{\vec {s}}\ '(t)\cdot {\vec {s}}\ ''(t)|}{|{\vec {s}}\ '(t)|}}$ :

##### Comprovação

Da demonstração acima sobre componentes da aceleração, temos:
$a_{T}=|{\vec {v}}|'$
Podemos escrever:
$|{\vec {v}}|={\sqrt {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}$
Logo, sua derivada será:
$|{\vec {v}}|'={\frac {1}{2{\sqrt {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}}}({\vec {v}}\cdot {\vec {v}}\ '+{\vec {v}}\ '\cdot {\vec {v}})$
$|{\vec {v}}|'={\frac {2{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}\ '}{2{\sqrt {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}}}$
Resume-se a:
$|{\vec {v}}|'={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}\ '}{|{\vec {v}}|}}$
Em termos de ${\vec {s}}(t)$ temos:
$a_{T}=|{\vec {v}}|'={\frac {{\vec {s}}\ '(t)\cdot {\vec {s}}\ ''(t)}{|{\vec {s}}\ '(t)|}}$
O que comprova o teorema.

### Exemplo 6

Uma partícula puntiforme se desloca no espaço em órbita circular de raio $r=4\,\!$ no plano definido pelos vetores ${\vec {u}}=\langle 2,2,4\rangle ,{\vec {w}}=\langle 3,2,2\rangle$, sendo este último o centro da trajetória, com velocidade escalar igual a 2 m/s. Decomponha as acelerações associadas ao movimento.

#### Desenvolvendo

Trabalhemos inicialmente na forma algébrica... De acordo com o que já conhecemos, podemos estabelecer que a representação do movimento sob a forma vetorial é semelhante à da forma paramétrica do movimento circular uniforme, ou seja:
${\vec {s}}(t)=\langle r\,{\mbox{sen}}(\omega t),r\cos(\omega t)\rangle$
Onde $r\,\!$ é o raio, $\omega \,\!$ é a velocidade angular e t é o tempo.
Porém, isto representa apenas um movimento bidimensional. Se tivermos que analisar um evento no espaço temos que representar o movimento através de uma tripla ordenada, ou seja, um vetor espacial, para isto devemos observar que a circunferência traçada pela partícula está apoiada sobre dois eixos no plano onde a mesma se encontra, o que nos permite chamar os seus versores de ${\vec {a}}$ e ${\vec {b}}$, respectivamente horizontal e vertical. O vetor ${\vec {w}}$ pode ser tomado como referênca do eixo vertical de nossa referênca uma vez que define o centro da trajetória. Temos dois eixos mutuamente perpendiculares ao plano definido pelos vetores, por isso devemos encontrar a normal do plano:
${\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {w}}$
façamos:
${\vec {u}}={\vec {a}}|{\vec {u}}|\,\cos(\omega t)$
${\vec {w}}=|{\vec {w}}|\,{\vec {b}}$
${\vec {N}}={\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}$
ou seja,
${\vec {n}}={\vec {a}}|{\vec {u}}|\,\cos(\omega t)\times |{\vec {w}}|\,{\vec {b}}$
Poderemos, então, encontrar o versor ${\vec {a}}$ fazendo:
${\vec {a}}={\vec {b}}\times {\vec {N}}$
Temos um vetor ${\vec {a}}$ perpendicular a ${\vec {n}}$ e ${\vec {b}}$.
Podemos criar uma circunferência de tal forma que tenhamos:
${\vec {s}}(t)={\vec {w}}+r\,{\vec {a}}\cos(\omega t)+r\,{\vec {b}}\,{\mbox{sen}}(\omega t)$
Calculemos as derivadas:
${\vec {s}}\ '(t)=-r\omega \,{\vec {a}}\,{\mbox{sen}}(\omega t)+r\omega \,{\vec {b}}\cos(\omega t)$
Também temos:
${\vec {s}}\ ''(t)=-r\omega ^{2}\,{\vec {a}}\cos(\omega t)-r\omega ^{2}{\vec {b}}\,{\mbox{sen}}(\omega t)$
Agora, podemos usar as fórmulas de tangente e normal para calcular os valores:
$a_{N}={\frac {|{\vec {s}}\ '(t)\times {\vec {s}}\ ''(t)|}{|{\vec {s}}\ '(t)|}}$
$a_{N}={\frac {|r\omega \,(-{\vec {a}}\,{\mbox{sen}}(\omega t)+\,{\vec {b}}\cos(\omega t))\times [-r\omega ^{2}(\,{\vec {a}}\cos(\omega t)+{\vec {b}}\,{\mbox{sen}}(\omega t))]|}{|r\omega \,(-{\vec {a}}\,{\mbox{sen}}(\omega t)+\,{\vec {b}}\cos(\omega t))|}}$
$a_{N}=r\omega ^{2}\,{\frac {|(-{\vec {a}}\,{\mbox{sen}}(\omega t)+\,{\vec {b}}\cos(\omega t))\times [-(\,{\vec {a}}\cos(\omega t)+{\vec {b}}\,{\mbox{sen}}(\omega t))]|}{|(-{\vec {a}}\,{\mbox{sen}}(\omega t)+\,{\vec {b}}\cos(\omega t))|}}$
$a_{N}=r\omega ^{2}\,{\frac {|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,{\mbox{sen}}^{2}(\omega t)-{\vec {b}}\times {\vec {a}}\,\cos ^{2}(\omega t)|}{|(-{\vec {a}}\,{\mbox{sen}}(\omega t)+\,{\vec {b}}\cos(\omega t))|}}$
$a_{N}=r\omega ^{2}\,{\frac {|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,{\mbox{sen}}^{2}(\omega t)+{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,\cos ^{2}(\omega t)|}{|(-{\vec {a}}\,{\mbox{sen}}(\omega t)+\,{\vec {b}}\cos(\omega t))|}}$
$a_{N}=r\omega ^{2}\,{\frac {|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|}{|(-{\vec {a}}\,{\mbox{sen}}(\omega t)+\,{\vec {b}}\cos(\omega t))|}}$
Temos definida, na forma literal, a aceleração normal que corresponde à aceleração centrípeta. Façamos a mesma dedução para a aceleração tangencial:
$a_{T}={\frac {|{\vec {s}}\ '(t)\cdot {\vec {s}}\ ''(t)|}{|{\vec {s}}\ '(t)|}}$
$a_{T}=r\omega ^{2}\,{\frac {|(-{\vec {a}}\,{\mbox{sen}}(\omega t)+\,{\vec {b}}\cos(\omega t))\cdot [-(\,{\vec {a}}\cos(\omega t)+{\vec {b}}\,{\mbox{sen}}(\omega t))]|}{|(-{\vec {a}}\,{\mbox{sen}}(\omega t)+\,{\vec {b}}\cos(\omega t))|}}$
$a_{T}=r\omega ^{2}\,{\frac {||{\vec {a}}|^{2}\,{\mbox{sen}}(\omega t)\cos(\omega t)-|{\vec {b}}|^{2}\,{\mbox{sen}}(\omega t)\cos(\omega t)|}{|(-{\vec {a}}\,{\mbox{sen}}(\omega t)+\,{\vec {b}}\cos(\omega t))|}}$
Como era de se esperar.
Agora, podemos encontrar os valores substituindo os dados que temos nas fórmulas que acabamos de deduzir:
O vetor ${\vec {b}}$ é o versor do vetor ${\vec {w}}$, portanto:
${\vec {b}}={\frac {\vec {w}}{|{\vec {w}}|}}$
Calculemos o vetor normal ao plano que contém a partícula em movimento:
${\vec {u}}\times {\vec {w}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\2&2&4\\3&2&2\end{vmatrix}}$
${\vec {u}}\times {\vec {w}}=-4{\vec {i}}+8{\vec {j}}-2{\vec {k}}$
Cujo versor é:
${\vec {N}}=-{\frac {\vec {i}}{21}}+{\frac {2{\vec {j}}}{21}}-{\frac {\vec {k}}{42}}$
Podemos encontrar o versor ${\vec {a}}$:
${\vec {a}}={\vec {b}}\times {\vec {N}}$
${\vec {a}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\frac {3}{\sqrt {17}}}&{\frac {2}{\sqrt {17}}}&{\frac {2}{\sqrt {17}}}\\-{\frac {1}{21}}&{\frac {2}{21}}&-{\frac {1}{42}}\end{vmatrix}}$
Sendo $\omega ={\frac {v}{r}}$, temos:
$\omega ={\frac {2}{4}}$
E temos definidos todos os componentes.
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