# Elementos de Arithmetica/Capítulo 0

1. A primeira idéa de numero resulta da consideração de um ou mais objectos da mesma especie, ou da observação de um ou mais phenomenos da mesma natureza.
O numero é ainda considerado como resultado da comparação de duas grandezas da mesma especie.
2. Grandeza é tudo aquilo que é susceptivel de augmento ou de diminuição; quer essa modificação seja real, quer concebida pelo pensamento. Uma linha, uma superficie, um espaço, o tempo, o peso de um corpo, o calor, a luz, uma reunião de homens, de arvores, de livros, etc., são grandezas.
3. As grandezas se classificam em continuas e descontinuas. A grandeza é continua se ella póde crescer ou diminuir por gráos tão pequenos quanto se queira; e descontinua quando só póde crescer ou diminuir por gráos determinados. Assim, o peso de um corpo, o calor, o tempo, a luz, são grandezas continuas; uma reunião de arvores, de homens, de navios, são grandezas descontinuas.
4. O valor numerico de uma grandeza se obtem comparando essa grandeza com uma outra da mesma especie e já conhecida. A grandeza que serve de termo de comparação denomina-se unidade.
O valor numerico de uma grandeza póde também ser obtido por meio de outras grandezas já avaliadas, e que tenham com ella relações determinadas.
Na primeira hypothese esse valor é obtido directamente, e na segunda, indirectamente.
A avaliação indirecta das grandezas é a que mais commummente se apresenta, pela impossibilidade frequente de as attingirmos afim de applicar-lhes immediatamente a unidade. Substituimos então a grandeza dada por outra mais facil de avaliar e ao nosso alcance, com a qual a proposta esteja intimamente ligada por certas relações conhecidas. Assim, por exemplo, a altura de que um corpo cae, e o tempo gasto na quéda, guardam entre si uma relação conhecida, em virtude da qual mediremos indirectamente a altura quando tivermos avaliado directamente o tempo e vice-versa. A medição da largura, espessura e comprimento de um tijolo, multiplicados entre si, dão indirectamente o volume do tijolo, por causa da relação existente entre as grandezas — comprimento, largura, espessura e volume de um corpo de fórma prismatica. A medição de poucas linhas, convenientemente escolhidas em um terreno accidentado, bastam para determinar com rigor sua extensão, comtanto que se conheçam as relações existentes entre as grandezas em jogo. Em taes casos substituimos sempre as primitivas grandezas por outras mais accessiveis, que sejam directamente avaliaveis.
Essa substituição póde complicar-se ainda mais pela necessidade de procurarmos novas grandezas auxiliares e accessiveis, quando das propostas tivermos passado á outras tambem inaccessiveis. O estudo e conhecimento perfeito das ligações entre as diversas séries de graudezas assim introduzidas, permitte reduzir ao minimo possivel a avaliação directa das grandezas, afinal limitada a um restricto numero de casos faceis. Por isso define-se a mathematica como a sciencia que tem por objecto o conhecimento das relações precisas entre as diversas grandezas, de modo a determinar umas quando se conhecem as outras.
5. A unidade é arbitrária ou determinada.
É arbitrária, se a grandeza que se trata de medir fôr continua. Assim, se é uma distancia que se trata de medir, podemos considerar como unidade uma outra distancia qualquer; se é o peso de um corpo que se quer conhecer, a unidade será o peso de um outro corpo qualquer. É determinada, se a grandeza que se trata de medir fôr descontinua.
Tratando-se, por exemplo, de saber quantas arvores tem um jardim, a unidade é uma arvore; se é o numero de navios que uma bahia contém, que se trata de conhecer, a unidade é um navio.
6. Medida commum de duas grandezas da mesma especie é uma terceira grandeza da mesma especie que as duas primeiras, e que se contém em cada uma d'ellas exactamente algumas vezes.
Uma grandeza póde ou não ter com outra da mesma especie uma medida commum. Na primeira hypothese as duas grandezas são commensuraveis, e na segunda incommensuraveis.
Podendo duas grandezas da mesma especie ser commensuraveis ou incommensuraveis, os numeros que exprimem os resultados de comparações d'essas grandezas, são tambem chamados commensuraveis ou incommensuraveis.
7. Os numeros commensuraveis pódem ser inteiros ou fraccionarios.
O numero inteiro representa o valor de uma grandeza que contém a unidade exactamente algumas vezes.
          $A$———|———|———$B$
          $a$———$b$
Suppondo que a grandeza $AB$ contenha a unidade $ab$ tres vezes exactamente, o resultado da comparação é o numero inteiro $3.$
O numero fraccionario representa o valor de uma grandeza que não contém a unidade exactamente algumas vezes, e sim uma de suas partes iguaes.
Os numeros fraccionarios podem ser fracções propriamente ditas ou mixtos.
O numero fracção representa exactamente o valor de uma grandeza menor que a unidade.
          $A$———|———|———$B$
          $a$———|———|———|———|———$b$
Seja a grandeza que se quer medir a distancia $AB$ e a unidade a distancia $ab$.
Suppondo a unidade dividida em cinco partes iguaes, e que uma d'essas partes seja contida na grandeza tres vezes exactamente, o resultado da comparação é a fracção ${\frac {3}{5}}$
O numero mixto é o que representa o valor de uma grandeza que contém a unidade uma ou mais vezes e tambem uma de suas partes iguaes exactamente algumas vezes.
          $A$—————|—————|—|—|—$B$
          $a$—|—|—|—$b$
Seja a distancia $AB$ que se quer medir e a unidade a distancia $ab$.
Suppondo que a unidade seja contida na grandeza duas vezes, ficando um resto, e que esse resto contenha uma das quatro partes iguaes da unidade tres vezes exactamente, o resultado da comparação é o numero mixto $\scriptstyle {2{\frac {3}{4}}}$
O numero incommensuravel representa o valor de uma grandeza que não contém a unidade, nem uma de suas partes iguaes, por menor que ella seja, exactamente algumas vezes.
8. Os numeros podem ser considerados em particular ou em geral. Em particular, quando se consideram os seus valores, como, por exemplo: tres homens, quatro livros, cinco metros, etc. Em geral, quando não são considerados os seus valores, como, por exemplo: um numero qualquer de homens, de livros, de metros, etc.
9. A sciencia que se occupa dos numeros chama-se Algorithmia — e divide-se em tres partes — Arithmetica, Algebra e Calculo infinitesimal.
A arithmetica occupa-se das diversas operações que sobre esses numeros são feitas para satisfazer as necessidades da vida social, e tambem das propriedades de que gozam esses mesmos numeros.
10. A numeração tem por fim o estudo da formação e representação de todos os numeros por meio de poucos symbolos oraes e escriptos.
Consideraremos o estudo da numeração dividido em duas partes: na primeira trataremos da formação e representação dos numeros inteiros; e na segunda, da formação e representação dos numeros fraccionarios.
11. O primeiro numero inteiro resulta da comparação de duas grandezas na hypothese de serem iguaes. Chama-se unidade ou um.
Os outros numeros inteiros formam-se reunindo ao primeiro sucessivamente uma unidade. Assim, reunindo ao primeiro numero inteiro uma unidade, forma-se o segundo; reunindo ao segundo uma unidade, forma-se o terceiro; reunindo ao terceiro uma unidade, forma-se o quarto; e assim por diante.
D'este modo de formar os numeros inteiros se conclue que, formado um numero inteiro qualquer, para termos o que se lhe segue basta reunir ao numero formado uma unidade; e que por este facto, ha uma infinidade de numeros inteiros.
12. Os numeros inteiros são representados por meio de palavras ou por meio de signaes, e por isso o estudo da representação divide-se em duas partes: — a primeira tem por fim o estudo da representação dos numeros inteiros por meio de palavras, e chama-se nomenclatura dos numeros ou numeração falada; e a segunda tem por fim o estudo da representação d'esses numeros por meio de siguaes, e chama-se escriptura dos numeros ou numeração escripta.
13. Havendo uma infinidade de numeros inteiros, distinctos uns dos outros, foi necessario dar a cada um d'elles um nome differente dos nomes dos outros; e, reconhecida a impossibilidade de dar aos numeros inteiros nomes distinctos, assim como tambem de conservar todos esses nomes mentalmente, adoptou-se um pequeno numero de palavras; d'essas palavras foram derivadas outras, e, combinando-as convenientemente, conseguiu-se formar os nomes de todos os numeros inteiros possiveis.
Afim de conseguir nomear todos os numeros com limitada quantidade de palavras, foi-se levado a imaginar o que se chama — systema de numeração. Um systema de numeração é o conjuncto de principios constituindo o artificio logico de classificação em grupos e sub-grupos das unidades que formam os numeros.
O principio fundamental de um systema de numeração é o seguinte: Um certo numero de unidades de uma ordem ou grupo de unidades deve constituir uma unidade de ordem immediatamente superior.
Base de um systema de numeração é uma certa quantidade de unidades que deve constituir uma unidade de ordem immediatamente superior. Um systema de numeração tira seu nome da base adoptada. Assim, temos o systema binario, de base 2, o septimal, de base 7, o decimal, de base 10, que foi universalmente adoptado, etc. O principio fundamental para esse systema será portanto: dez unidades de uma ordem qualquer formam uma de ordem immediatamente superior.
O segundo principio que completa o artificio da numeração é o seguinte: Imaginar as unidades constitutivas dos numeros como distribuidas em classes, tendo cada classe sua denominação especial; que cada classe contenha tres ordens, tendo cada ordem sua denominação especial, sendo essas denominações as mesmas para as tres ordens de todas as classes; que as diversas quantidades de unidades de uma ordem tenham as suas denominações especiaes, e que estas denominações sejam identicas para as mesmas quantidades de unidades de todas as ordens das outras classes.
As denominações adoptadas devem, tando quanto possivel, ser formadas de radicaes e terminações que lembrem immediatamente as classes e as ordens de unidades que compõem o numero.
Applicando os preceitos precedentes ao systema decimal, póde-se organisar o seguinte quadro de nomenclatura dos numeros inteiros no systema decimal:
1ª CLASSE -- UNIDADES :
| 3ª. ORDEM | 2ª. ORDEM | 1ª. ORDEM |
| Centena | Dezena | Unidade |
| UMA CENTENA = DÉZ DEZENAS | UMA DEZENA = DÉZ UNIDADES | |
| Cem ou cento = Uma centena | Déz = Uma dezena | Um = uma unidade |
| Duzentos = Duas centenas | Vinte = Duas dezenas | Dous = duas unidades |
| Trezentos = Tres » | Trinta = Tres » | Tres = tres » |
| Quatrocentos = Quatro » | Quarenta = Quatro » | Quatro = quatro » |
| Quinhentos = Cinco » | Cincoenta = Cinco » | Cinco = cinco » |
| Seiscentos = Seis » | Sessenta = Seis » | Seis = seis » |
| Setecentos = Sete » | Setenta = Sete » | Sete = sete » |
| Oitocentos = Oito » | Oitenta = Oito » | Oito = oito » |
| Novecentos = Nove » | Noventa = Nove » | Nove = nove » |
2ª CLASSE -- MILHARES :
| 6ª. ORDEM | 5ª. ORDEM | 4ª. ORDEM |
| Centena | Dezena | Unidade |
| UMA CENTENA DE MILHAR = DÉZ DEZENAS DE MILHAR | UMA DEZENA DE MILHAR = DÉZ MILHARES | UM MILHAR = DÉZ CENTENAS |
| Cem mil = Uma centena de milhar | Déz mil » = Uma dezena de milhar | Mil = um milhar |
| Duzentos mil = duas » | Vinte » = duas » | Dous mil = dous milhares |
| Trezentos » = tres » | Trinta » = tres » | Tres » = tres » |
| Quatrocentos » = quatro » | Quarenta » = quatro » | Quatro » = quatro » |
| Quinhentos » = cinco » | Cincoenta » = cinco » | Cinco » = cinco » |
| Seiscentos » = seis » | Sessenta » = seis » | Seis » = seis » |
| Setecentos » = sete » | Setenta » = sete » | Sete » = sete » |
| Oitocentos » = oito » | Oitenta » = oito » | Oito » = oito » |
| Novecentos » = nove » | Noventa » = nove » | Nove » = nove » |
3ª CLASSE -- MILHÕES :
| 9ª. ORDEM | 8ª. ORDEM | 7ª. ORDEM |
| Centena | Dezena | Unidade |
| UMA CENTENA DE MILHÕES = DÉZ DEZENAS DE MILHÕES | UMA DEZENA DE MILHÕES = DÉZ MILHÕES | UM MILHÃO = DÉZ CENTENAS DE MILHAR |
| Cem milhões = Uma centena de milhões | Déz milhões = Uma dezena de milhões | Um milhão |
| Duzentos » = duas » | Vinte » = duas » | Dous milhões |
| Trezentos » = tres » | Trinta » = tres » | Tres » |
| Quatrocentos » = quatro » | Quarenta » = quatro » | Quatro » |
| Quinhentos » = cinco » | Cincoenta » = cinco » | Cinco » |
| Seiscentos » = seis » | Sessenta » = seis » | Seis » |
| Setecentos » = sete » | Setenta » = sete » | Sete » |
| Oitocentos » = oito » | Oitenta » = oito » | Oito » |
| Novecentos » = nove » | Noventa » = nove » | Nove » |
As outras classes serão respectivamente designadas:
| 4a. classe | .... bilhões | 7a. classe | .... quintilhões | 10a. classe | .... octilhões |
| 5a. classe | .... trilhões | 8a. classe | .... seistilhões | 11a. classe | .... nonilhões |
| 6a. classe | .... quatrilhões | 9a. classe | .... septilhões | | etc., etc. |
A's classes subsequentes não se dão nomes especiaes, pois representam numeros que por sua extensão não têm quasi emprego. Os nove primeiros numeros inteiros foram denominados: um, dous, tres, quatro, cinco, seis, sete, oito e nove. Ao numero nove reunindo uma unidade, fórma-se o numero dez.
As unidades de segunda ordem contam-se do mesmo modo que as unidades de primeira, e os nomes d'essas unidades são: dez, vinte, trinta, quarenta, cincoenta, sessenta, oitenta e noventa.
Os nomes dos nove numeros inteiros comprehendidos entre dez e vinte, vinte e trinta, trinta e quarenta, etc., são formados dos nomes das unidades de segunda ordem, seguidos dos nomes dos nove primeiros numeros inteiros, e são: dez e um, dez e dous, dez e tres, dez e quatro, dez e cinco, dez e seis.... dez e nove; vinte e um, vinte e dous, vinte e tres... vinte e nove; trinta e um, trinta e dous, trinta e tres.... trinta e nove; finalmente, noventa e um, noventa e dous, noventa e tres... e noventa e nove.
Em logar de dez e um, dez e dous, dez e tres, dez e quatro, dez e cinco, diz-se onze, doze, treze, quatorze e quinze.
Ao numero noventa e nove reunindo uma unidade, forma-se o numero cem ou uma unidade de terceira ordem.
As unidades de terceira ordem contam-se do mesmo modo que as unidades das duas primeiras, e os nomes d'essas unidades são formados dos nomes das unidades de primeira ordem, seguidos da palavra centos, e são: cem, dous centos, tres centos, quatro centos, cinco centos, seis centos sete centos, oito centos e nove centos.
Em logar de dous centos, tres centos e cinco centos, diz-se duzentos, trezentos e quinhentos.
Os nomes dos noventa e nove numeros inteiros comprehendidos entre cem e duzentos, duzentos e trezentos, trezentos e quatrocentos, etc., são formados dos nomes das unidades de terceira ordem seguidos dos nomes dos noventa e nove primeiros numeros inteiros, e são: cento e um, cento e dous, cento e tres.... cento e noventa e nove; duzentos e um, duzentos e dous, duzentos e tres... duzentos e noventa e nove; trezentos e um, trezentos e dous, trezentos e tres... trezentos e noventa e nove; finalmente, novecentos e um, novecentos e dous, novecentos e tres... nove centos e noventa e nove.
Ao numero novecentos e noventa e nove reunindo-se uma unidade, forma-se o numero mil ou uma unidade de quarta ordem. As unidades de quarta ordem contam-se do mesmo modo que as unidades das outras tres, e os nomes d'essas unidades são formados dos nomes das unidades de primeira ordem, seguidos da palavra mil, e são: mil, dous mil, tres mil, quatro mil, cinco mil, seis mil, sete mil, oito mil, nove mil.
Os nomes dos novecentos e noventa e nove numeros inteiros comprehendidos entre mil e dous mil, dous mil e tres mil, tres mil e quatro mil, etc., são formados dos nomes das unidades de quarta ordem seguidos dos nomes dos novecentos e noventa e nove primeiros numeros inteiros, e são: mil e um, mil e dous, mil e tres.... mil novecentos e noventa e nove; dous mil e um, dous mil e dous, dous mil e tres.... dous mil novecentos e noventa e nove; tres mil e um, tres mil e dous, tres mil e tres.... tres mil novecentos e noventa e nove; finalmente, nove mil e um nove mil e dous, nove mil e tres.... nove mil novecentos e noventa e nove.
Ao numero nove mil novecentos e noventa e nove reunindo-se uma unidade, forma-se o numero dez mil ou uma unidade de quinta ordem.
As unidades de quinta ordem contam-se do mesmo modo que as unidades das outras quatro, e os nomes d'essas unidades são formados dos nomes das unidades de segunda ordem seguidos da palavra mil, e são: dez mil,vinte mil, trinta mil, quarenta mil, cincoenta mil, sessenta mil, setenta mil, oitenta mil, noventa mil.
Os nomes dos nove mil novecentos e noventa e nove numeros inteiros comprehendidos entre dez mil e vinte mil, vinte mil e trinta mil, trinta mil e quarenta mil, etc., são formados dos nomes das unidades de quinta ordem, seguidos dos nomes dos nove mil novecentos e noventa e nove primeiros numeros inteiros, e são: dez mil e um, dez mil e dous, dez mil e tres.... dezenove mil mil novecentos e noventa e nove; vinte mil e um, vinte mil e tres.... vinte e nove mil novecentos e noventa e nove, trinta mil, trinta mil e um, trinta mil e dous, trinta mil e tres.... trinta e nove mil novecentos e noventa e nove; finalmente, 'noventa mil e um, noventa mil e dous, noventa mil e tres.... noventa e nove mil novecentos e noventa e nove.
Ao numero noventa e nove mil novecentos e noventa e nove reunindo-se uma unidade, forma-se o numero cem ou uma unidade de sexta ordem.
As unidades de sexta ordem contam-se do mesmo modo que as das cinco primeiras, e os nomes d'essas unidades são formados dos nomes das unidades de terceira ordem, seguidos da palavra mil, e são: cem mil, duzentos mil, trezentos mil, quatrocentos mil, quinhentos mil, seiscentos mil, setecentos mil, oitocentos mil e novecentos mil.
Do mesmo modo se formam os nomes de todos os outros numeros inteiros.
Presentemente é facil reconhecer que os nomes dos numeros inteiros foram formados com os elementos seguintes:
* O principio que preside á formação das unidades das differentes ordens.
* As doze palavras distinctas: um, dous, tres, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez, cem e mil.
As duas terminações differentes, enta e lhão.
Com o fim de simplificar a nomenclatura dos numeros foram estabelecidas classes, sendo cada uma d'ellas composta de tres ordens.
14. É manifesta a facilidade com que são representados os numeros inteiros por meio de palavras, conservando-se mentalmente e sem grande esforço os nomes de todos elles; mas as diversas combinações feitas com esses numeros nos usos da vida social, tornar-se-iam muito complicadas, se esse meio de representação fosse adoptado. Além d'isso tem a representação dos numeros por meio de palavras o grande inconveniente de não ser universal, pois para isso seria necessario que elles fossem escriptos em uma linguagem que todos entendessem.
Attendendo a esses e mais outros inconvenientes que se observam na representação dos numeros por meio de palavras, procurou-se represental-os por meio de signaes.
15. Havendo uma infinidade de numeros inteiros, distinctos uns dos outros, e reconhecida a impossibilidade de adoptar-se uma infinidade de caracteres differentes para representar esses numeros, procurou-se escrevel-os empregando um numero limitado de signaes.
Na nomenclatura dos numeros vimos que os numeros inteiros eram compostos de classes; essas classes de ordens; e essas ordens, de unidades; e, não podendo exceder de nove o numero de unidades de cada uma d'essas ordens, foram escolhidos nove signaes para exprimirem as unidades d'essas differentes ordens. Esses signaes são:
Elles representam na ordem em que se acham escriptos, uma, duas, tres, quatro, cinco, seis, sete, oito e nove unidades de qualquer ordem.
Para que esses signaes podessem em um mesmo numero representar as unidades das differentes ordens, foi necessario estabelecer-se o seguinte principio:
Todo signal escripto á esquerda de outro representa unidades dez vezes maiores do que representaria se estivesse escripto no logar d'esse outro; isto é, escriptos muitos signaes uns depois dos outros, o primeiro representa unidades, o segundo, dezenas; o terceiro, centenas; o quarto, milhares; o quinto, dezenas de milhares, etc., considerando-se sempre da direita para a esquerda.
16. Com esses elementos é claro que podemos representar qualquer numero inteiro, admittindo que todas as ordens d'esse numero tenham unidades. Assim, trataudo-se de representar um numero composto de seis dezenas de milhares, cinco milhares, quatro centenas, tres dezenas e duas unidades, escrevemos o signal 2 em primeiro logar, o signal 3 em segundo, o signal 4 em terceiro, o signal 5 em quarto, e o signal 6 em quinto logar da direita para a esquerda, e teremos:
Se em uma ou mais ordens de um numero houver falta de unidades, escreveremos nos logares d'essas ordens o signal 0 (zero).
Assim, se um numero tiver oito centenas de milhares, seis milhares, quatro centenas e tres unidades, escreveremos:
Os signaes destinados á representação dos numeros chamam-se algarismos. Os nove primeiros, que exprimem as unidades das differentes ordens, chamam-se significativos, e o decimo (0) serve para exprimir falta de unidades em uma ordem qualquer, determinaudo ao mesmo tempo o valor do algarismo que fica á sua esquerda.
Os algarismos significativos têm cada um d'elles dous valores: um absoluto ou real, e outro relativo ou local.
Valor absoluto ou real de um algarismo é o que elle tem por causa da fórma, ou o que elle tem considerado isoladamente.
Valor relativo ou local de um algarismo é o que elle tem conforme o logar que occupa no numero, ou o que elle tem em relação aos outros que ficam á sua direita.
Pelo que fica exposto, facilmente estabelecemos a seguinte:
Regra para escrever um numero inteiro qualquer. Escrevem-se os algarismos que representarem as centenas, as dezenas, as unidades de cada uma das classes, começando pela classe superior, tendo o cuidado de escrever zeros nos logares das ordens que não tiverem unidades.
Exemplo. O numero Vinte e oito septilhões, trezentos e cinco quintilhões, sete trilhões e vinte e nove milhões e doze unidades, é representado do seguinte modo:
Os numeros representados por um só algarismo chamam-se simples, e os representados por dous ou mais algarismos chamam-se compostos.
17. Notando-se que os tres primeiros algarismos da direita representam unidades, dezenas e centenas de unidades propriamente ditas; que os tres seguintes exprimem unidades, dezenas e centenas de milhar; que os tres que se seguem a estes ultimos exprimem unidades, dezenas e centenas de milhões etc., conclue-se que para lêr um numero inteiro qualquer deve-se empregar a seguinte:
Regra. -- Divide-se o numero em classes de tres algarismos da direita para a esquerda. Dá-se a cada uma d'essas classes, começando pela primeira da direita, as denominações respectivas de unidades, milhares, milhões, bilhões, trilhões, quatrilhões, etc. Lê-se da esquerda para a direita cada uma d'essas classes, dando a cada uma o nome que lhe competir. Exemplo. Lêr o numero 94035432700265023456. Dividindo-o em classes de tres algarismos:
| 94. | 035. | 432. | 700. | 265. | 023. | 456 |
| Quintilhões | Quatrilhões | Trilhões | Bilhões | Milhões | Milhares | Unidades |
Lê-se: Noventa e quatro quintilhões, trinta e cinco quatrilhões, quatrocentos e trinta e dous trilhões, setecentos bilhões, duzentos e sessenta e cinco milhões, vinte e tres milhares e quatrocentas e cincoenta e seis unidades.
18. Pelo principio estabelecido na numeração escripta, escrevendo á direita de um numero inteiro um, dous, tres zeros, os algarismos d'esse numero ficam representando unidades dez, cem, mil vezes maiores, e o numero fica dez, cem, mil vezes maior, ou multiplicado por 10, por 100, por 1000. Se, pelo contrario, um numero inteiro terminar por zeros, e prescindirmos de um, dous, tres zeros á sua direita, os algarismos d'esse numero ficarão representando unidades dez, cem, mil vezes menores, e o numero fica dez, cem, mil vezes menor, ou dividido por 10, por 100, por 1000.
19. O systema de numeração que acabamos de expôr, chama-se decimal, por ser a base d'esse systema o numero 10.
Base de um systema de numeração é o numero de unidades de uma ordem qualquer, necessário para formar uma unidade de ordem immediatamente superior.
A base de um systema de numeração podendo ser um numero inteiro qualquer, á excepção da unidade, segue-se que ha uma infinidade de systemas de numeração, e nesses diversos systemas os numeros inteiros são representados com tantos algarismos quantas forem as unidades da base, presidindo nelles leis semelhantes ás que foram estabelecidas no systema decimal.
Se o systema for binário, ou se a base do systema fôr o numero 2, as leis são:
1ª. Duas unidades de uma ordem qualquer forniam uma de ordem immediatamente superior. 2ª ﻿Todo algarismo escripto á esquerda de outro representa unidades duas vezes maiores do que representaria se estivesse escripto no logar d'esse outro.
Os numeros inteiros são escriptos nesse systema com os algarismos 0 e 1.
Se o systema fôr ternario, ou tiver para base o numero 3, as leis são:
1ª Tres unidades de uma ordem qualquer formam uma de ordem immediatamente superior.
2ª Todo algarismo escripto á esquerda de outro representa unidades tres vezes maiores do que representaria se estivesse escripto no logar d'esse outro.
Os numeros inteiros são escriptos nesse systema com os algarismos 0, 1 e 2.
Se o systema fôr quaternario, ou a base fôr o numero 4, facil é estabelecer as leis, e os numeros são representados com os algarismos 0, 1, 2 e 3.
Se o systema fôr quinario, ou tiver para base o numero 5, os numeros serão representados com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4.
Pelo que fica estabelecido, podemos dizer que, sendo a base do systema inferior a 10, os numeros são representados pelos algarismos usados no systema decimal desde 0 até ao que precede á base.
Se a base fôr superior a 10, é necessário adoptar mais outros signaes. Assim, se a base fôr o numero 12, devemos adoptar mais dous signaes, que poderão ser a e b; o primeiro para exprimir 10 unidades; e o segundo, 11 unidades de uma ordem qualquer.
20. Vejamos como se podem representar todos os numeros inteiros no systema de numeração cuja base é 8.
Nesse systema as leis são:
1ª Oito unidades de uma ordem qualquer formam uma de ordem immediatamente superior.
2ª Todo algarismo escripto á esquerda de outro representa unidades oito vezes maiores do que representaria se estivesse escripto no logar d'esse outro.
Os numeros nesse systema são representados com os algarismos:
Reunindo uma unidade ao numero sete, o resultado será o numero oito, ou uma unidade de segunda ordem, que escreveremos 10.
Escrevendo em logar do zero os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, teremos 11, 12, 13, 14, 15, 16 e 17, que representarão os numeros nove, dez, onze, doze, treze, quatorze e quinze.
Reunindo uma unidade ao numero quinze, teremos o numero dezeseis, ou duas unidades de segunda ordem, cuja representação será 20.
Escrevendo em logar de zero os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, teremos 21, 22, 23, 24, 25, 26 e 27, que representarão os numeros dezesete, dezoito, dezenove, vinte, vinte e um, vinte e dous e vinte e tres.
Continuando do mesmo modo, os numeros vinte e quatro, vinte e cinco, vinte e seis, vinte e sete, vinte e oito, vinte e nove, trinta e trinta e um, serão representados do seguinte modo:
Os numeros trinta e dous, trinta e tres, trinta e quatro, trinta e cinco, trinta e seis, trinta e sete, trinta e oito e trinta e nove, são representados do seguinte modo:
Podemos deixar de representar os outros numeros inteiros, demonstrando: que um numero inteiro qualquer sendo escripto no systema cuja base é 8, o numero inteiro immediatamente superior póde igualmente ser escripto com os oito algarismos d'esse systema.
Com effeito, seja qual fôr o numero escripto, o numero de unidades da primeira ordem é inferior ou igual a sete; sendo inferior, reunindo-se uma unidade, substitue-se o algarismo pelo que se seguir no systema, sem mudar os que ficam á esquerda; sendo igual, reunindo-se uma unidade, obtem-se oito unidades de primeira ordem, ou uma de segunda, e nessa hypothese deve-se escrever zero no logar da primeira ordem e reunir uma unidade á segunda ordem.
Se, reunindo uma unidade á segunda ordem, ella ficar com um numero de unidades inferior a oito, substitue-se o algarismo da segunda ordem por outro que se seguir no systema; e se ella ficar com oito unidades, escreve-se zero no logar da segunda ordem,e reune-se uma unidade á terceira ordem, e assim por diante.
Podendo-se applicar um raciocinio analogo em outro qualquer systema de numeração, conclue-se que:
Um numero inteiro qualquer póde ser sempre representado em um systema qualquer de numeração com os algarismos que em um numero limitado pertencerem a esse systema.
21. A fracção é o resultado exacto da comparação de duas grandezas, sendo uma d'ellas considerada como unidade,e na hypothese de ser a grandeza menor que a unidade.
A avaliação da grandeza, na hypothese considerada, se obtem dividindo a unidade em um numero qualquer de partes iguaes e vendo depois quantas vezes uma d'essas partes se contém nella.
Ha, pois, necessidade de representar a fracção por meio de dous numeros, indicando um o numero de partes iguaes em que a unidade está dividida, e o outro o numero d'essas partes que a grandeza contém. Esses numeros são separados por um traço horizontal; o primeiro fica abaixo do traço e chama-se denominador, o segundo fica acima do traço e chama-se numerador. Esses dous numeros, considerados simultaneamente, chamam-se tambem termos da fracção.
Assim, se a unidade estiver dividida em duas, tres, quatro, cinco, seis, sete, etc., partes iguaes, e uma das partes for contida na grandeza uma, duas, tres, quatro, cinco, seis, etc., vezes, as fracções serão $\textstyle {\frac {1}{2}},$ $\textstyle {\frac {2}{3}},$ $\textstyle {\frac {3}{4}},$ $\textstyle {\frac {4}{5}},$ $\textstyle {\frac {5}{6}},$ $\textstyle {\frac {6}{7}},$ etc.
As partes iguaes em que a unidade se acha dividida chamam-se unidades fraccionarias.
Assim, nas fracções $\textstyle {\frac {7}{12}},$ $\textstyle {\frac {25}{37}},$ $\textstyle {\frac {48}{59}},$ $\textstyle {\frac {32}{69}},$ as unidades fraccionarias são $\textstyle {\frac {1}{12}},$ $\textstyle {\frac {1}{37}},$ $\textstyle {\frac {1}{59}},$ $\textstyle {\frac {1}{69}}.$
Para enunciar-se uma fracção, lê-se o numerador e depois o denominador, juntando-lhe a terminação avos. Assim, as fracções ${\frac {7}{23}},$ ${\frac {9}{34}},$ ${\frac {8}{53}},$ devem ser enunciadas do seguinte modo: sete, vinte e tres avos; nove, trinta e quatro avos; oito, cincoenta e tres avos.
Se o denominador fôr 10, 100, 1000, etc., devemos lêr decimos, centesimos, millesimos, etc.
Sendo o numerador de uma fracção menor que o denominador, ella é propria; e se o numerador fôr igual ou maior que o denominador, ella é impropria.