# Notas de Mecânica/Movimento em duas e três dimensões
## Redefinição das grandezas cinemáticas
### Posição

Em 2D:
    ${\vec {r}}=x{\hat {i}}+y{\hat {j}}$
Em 3D:
    ${\vec {r}}=x{\hat {i}}+y{\hat {j}}+z{\hat {k}}$

### Deslocamento

Em 2D:
    ${\vec {r}}_{i}=x_{i}{\hat {i}}+y_{i}{\hat {j}}$
    ${\vec {r}}_{f}=x_{f}{\hat {i}}+y_{f}{\hat {j}}$
    $\Delta {\vec {r}}={\vec {r}}_{f}-{\vec {r}}_{i}$
    $\Delta {\vec {r}}=(x_{f}{\hat {i}}+y_{f}{\hat {j}})-(x_{i}{\hat {i}}+y_{i}{\hat {j}})$
    $\Delta {\vec {r}}=(x_{f}-x_{i}){\hat {i}}+(y_{f}-y_{i}){\hat {j}}$
    $\Delta {\vec {r}}=\Delta x{\hat {i}}+\Delta y{\hat {j}}$
Em 3D :
    ${\vec {r}}_{i}=x_{i}{\hat {i}}+y_{i}{\hat {j}}+z_{i}{\hat {k}}$
    ${\vec {r}}_{f}=x_{f}{\hat {i}}+y_{f}{\hat {j}}+z_{f}{\hat {k}}$
    $\Delta {\vec {r}}={\vec {r}}_{f}-{\vec {r}}_{i}$
    $\Delta {\vec {r}}=(x_{f}{\hat {i}}+y_{f}{\hat {j}}+z_{f}{\hat {k}})-(x_{i}{\hat {i}}+y_{i}{\hat {j}}+z_{i}{\hat {k}})$
    $\Delta {\vec {r}}=(x_{f}-x_{i}){\hat {i}}+(y_{f}-y_{i}){\hat {j}}+(z_{f}-z_{i}){\hat {k}}$
    $\Delta {\vec {r}}=\Delta x{\hat {i}}+\Delta y{\hat {j}}+\Delta z{\hat {k}}$

### Velocidade

    ${\vec {v}}_{med}={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}$
em 2D:
    ${\vec {v}}_{med}={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {\Delta x{\hat {i}}+\Delta y{\hat {j}}}{\Delta t}}$
    ${\vec {v}}_{med}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\hat {i}}+{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\hat {j}}$
    ${\vec {v}}_{med}=v_{med,x}{\hat {i}}+v_{med,y}{\hat {j}}$
    ${\vec {v}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}$
    ${\vec {v}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\hat {i}}+\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\hat {j}}$
    ${\vec {v}}=v_{x}{\hat {i}}+v_{y}{\hat {j}}$
em 3D:
    ${\vec {v}}_{med}={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {\Delta x{\hat {i}}+\Delta y{\hat {j}}+\Delta z{\hat {k}}}{\Delta t}}$
    ${\vec {v}}_{med}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\hat {i}}+{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\hat {j}}+{\frac {\Delta z}{\Delta t}}{\hat {k}}$
    ${\vec {v}}_{med}=v_{med,x}{\hat {i}}+v_{med,y}{\hat {j}}+v_{med,z}{\hat {k}}$
    ${\vec {v}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}$
    ${\vec {v}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\hat {i}}+\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\hat {j}}+\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta z}{\Delta t}}{\hat {k}}$
    ${\vec {v}}=v_{x}{\hat {i}}+v_{y}{\hat {j}}+v_{z}{\hat {k}}$

### Aceleração

    ${\vec {a}}_{med}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}$
em 2D:
    ${\vec {a}}_{med}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}={\frac {\Delta v_{x}{\hat {i}}+\Delta v_{y}{\hat {j}}}{\Delta t}}$
    ${\vec {a}}_{med}={\frac {\Delta v_{x}}{\Delta t}}{\hat {i}}+{\frac {\Delta v_{y}}{\Delta t}}{\hat {j}}$
    ${\vec {a}}_{med}=a_{med,x}{\hat {i}}+a_{med,y}{\hat {j}}$
    ${\vec {a}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}$
    ${\vec {a}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta v_{x}}{\Delta t}}{\hat {i}}+\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta v_{y}}{\Delta t}}{\hat {j}}$
    ${\vec {a}}=a_{x}{\hat {i}}+a_{y}{\hat {j}}$
em 3D:
    ${\vec {a}}_{med}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}={\frac {\Delta v_{x}{\hat {i}}+\Delta v_{y}{\hat {j}}+\Delta v_{z}{\hat {k}}}{\Delta t}}$
    ${\vec {a}}_{med}={\frac {\Delta v_{x}}{\Delta t}}{\hat {i}}+{\frac {\Delta v_{y}}{\Delta t}}{\hat {j}}+{\frac {\Delta v_{z}}{\Delta t}}{\hat {k}}$
    ${\vec {a}}_{med}=a_{med,x}{\hat {i}}+a_{med,y}{\hat {j}}+a_{med,z}{\hat {k}}$
    ${\vec {a}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}$
    ${\vec {a}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta v_{x}}{\Delta t}}{\hat {i}}+\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta v_{y}}{\Delta t}}{\hat {j}}+\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta v_{z}}{\Delta t}}{\hat {k}}$
    ${\vec {a}}=a_{x}{\hat {i}}+a_{y}{\hat {j}}+a_{z}{\hat {k}}$

## Princípio da Independência dos Movimentos (Galileu)

Consideremos um bloco deslizando sobre um plano inclinado de maneira que sua aceleração é constante. Admitamos que em $t=0$ seu vetor velocidade inicial seja ${\vec {v}}_{0}$ .
Se orientarmos nosso eixo coordenado da maneira indicada na figura podemos usar tudo que vimos anteriormente sobre movimentos unidimensionais com aceleração constante. Isto é as equações que descrevem o movimento serão :
    $Y=Y_{0}$ (a coordenada Y não varia )
    $X=X_{0}+v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}$
    $v=v_{0}+at$
Contudo não necessariamente precisamos usar o sistema $XY$ de eixos coordenados, poderiamos, por exemplo usar o sistema coordenado $xy$ mostrado na figura abaixo para descrever o mesmo movimento.
(vai a figura aqui)
A natureza física do problema não irá mudar pelo fato de termos mudado a orientação dos eixos coordenados para analisar o movimento ou seja, se em $XY$ tinhamos um movimento com aceleração constante em $xy$ também teremos. Contudo agora teremos que nos valer da descrição bidimensional do movimento, desta forma teremos as seguintes equações vetoriais para descrever o movimento:
    ${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}$
e
    ${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t$
Por termos um problema bidimensional (em $xy$) teremos as grandezas:
    ${\vec {r}}=x{\hat {i}}+y{\hat {j}}$
    ${\vec {r}}_{0}=x_{0}{\hat {i}}+y_{0}{\hat {j}}$
    ${\vec {v}}_{0}=v_{0,x}{\hat {i}}+v_{0,y}{\hat {j}}$
    ${\vec {v}}=v_{x}{\hat {i}}+v_{y}{\hat {j}}$
    ${\vec {a}}=a_{x}{\hat {i}}+a_{y}{\hat {j}}$
Desta maneira teremos:
    ${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}$
    $x{\hat {i}}+y{\hat {j}}=x_{0}{\hat {i}}+y_{0}{\hat {j}}+(v_{0,x}{\hat {i}}+v_{0,y}{\hat {j}})t+{\frac {(a_{x}{\hat {i}}+a_{y}{\hat {j}})t^{2}}{2}}$
    $x{\hat {i}}+y{\hat {j}}=x_{0}{\hat {i}}+v_{0,x}t{\hat {i}}+{\frac {a_{x}t^{2}}{2}}{\hat {i}}+y_{0}{\hat {j}}+v_{0,y}t{\hat {j}}+{\frac {a_{y}t^{2}}{2}}{\hat {j}}$
    $x{\hat {i}}+y{\hat {j}}=\left(x_{0}+v_{0,x}t+{\frac {a_{x}t^{2}}{2}}\right){\hat {i}}+\left(y_{0}+v_{0,y}+{\frac {a_{y}t^{2}}{2}}\right){\hat {j}}$
Logo :
    $x=x_{0}+v_{0,x}t+{\frac {a_{x}t^{2}}{2}}$
    $y=y_{0}+v_{0,y}t+{\frac {a_{y}t^{2}}{2}}$
da mesma forma para:
    ${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t$
teremos:
    $v_{x}{\hat {i}}+v_{y}{\hat {j}}=v_{0,x}{\hat {i}}+v_{0,y}{\hat {j}}+(a_{x}{\hat {i}}+a_{y}{\hat {j}})t$
    $v_{x}{\hat {i}}+v_{y}{\hat {j}}=v_{0,x}{\hat {i}}+a_{x}t{\hat {i}}+v_{0,y}{\hat {j}}+a_{y}{\hat {j}}t$
    $v_{x}{\hat {i}}+v_{y}{\hat {j}}=(v_{0,x}+a_{x}t){\hat {i}}+(v_{0,y}+a_{y}t){\hat {j}}$
Logo:
    $v_{x}=v_{0,x}+a_{x}t$
    $v_{y}=v_{0,y}+a_{y}t$
Podemos generalizar para o caso em 3D:
    ${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}\Rightarrow {\begin{cases}x=x_{0}+v_{0,x}t+{\frac {a_{x}t^{2}}{2}}\\\\y=y_{0}+v_{0,y}+{\frac {a_{y}t^{2}}{2}}\\\\z=z_{0}+v_{0,z}t+{\frac {a_{z}t^{2}}{2}}\end{cases}}$
e
    ${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t\Rightarrow {\begin{cases}v_{x}=v_{0,x}+a_{x}t\\\\v_{y}=v_{0,y}+a_{y}t\\\\v_{z}=v_{0,z}+a_{z}t\end{cases}}$

## Movimento Balístico

    ${\vec {a}}=0{\hat {i}}+(-g){\hat {j}}$
ONDE $g=9,8m/s^{2}$
    $x=x_{0}+{\color {red}v_{0,x}}t$ (1)
    $y=y_{0}+{\color {blue}v_{0,y}}t-{\frac {gt^{2}}{2}}$
    $v_{x}={\color {red}v_{0,x}}$
    $v_{y}={\color {blue}v_{0,y}}-gt$
onde:
    ${\color {blue}v_{0,y}=v_{0}\sin \theta }$
    ${\color {red}v_{0,x}=v_{0}\cos \theta }$
Definimos como alcance $A$ do projétil o seu deslocamento na direção $x$, ou seja :
    $A=x_{f}-x_{i}$
e desta forma pela equação (1) temos:
    $A={\color {red}v_{0,x}}t_{v}$
onde chamamos $t_{v}$ o tempo de voo da partícula ou seja o tempo que ela permanece em movimento no ar.

### Equação da trajetória

    $x=x_{0}+{\color {red}v_{0,x}}t$
Isolando o tempo:
    $t={\frac {x-x_{0}}{v_{0,x}}}$
    $t={\frac {x-x_{0}}{v_{0}\cos \theta }}$
substituindo em :
    $y=y_{0}+{\color {blue}v_{0,y}}t-{\frac {gt^{2}}{2}}$
    $y=y_{0}+{\color {blue}v_{0}\sin \theta }t-{\frac {gt^{2}}{2}}$
temos:
    $y=y_{0}+v_{0}\sin \theta \left({\frac {x-x_{0}}{v_{0}\cos \theta }}\right)-{\frac {g\left({\frac {x-x_{0}}{v_{0}\cos \theta }}\right)^{2}}{2}}$
    $y=y_{0}+\tan \theta \left({x-x_{0}}\right)-{\frac {g}{\left(2v_{0}\cos \theta \right)^{2}}}\left(x-x_{0}\right)^{2}$

### UM CASO PARTICULAR: Lançamento num plano horizontal

Usando o sistema de eixos coordenados indicados na figura temos:
    $x_{0}=0$
    $y_{0}=0$
    $y_{f}=0$
Nosso alcance será então $x_{f}=A$
Pelas equações anteriores:
    $A={v_{0}\cos \theta }t_{v}$
o tempo que o projétil permanece em movimento podemos calcular pela equação em $y$ , desta forma:
    $y=y_{0}+{v_{0}\sin \theta }t-{\frac {gt^{2}}{2}}$
    $0=0+{v_{0}\sin \theta }t_{v}-{\frac {gt_{v}^{2}}{2}}$
    ${\frac {g{t_{v}}^{2}}{2}}=v_{0}\sin \theta t_{v}$
    ${\frac {gt_{v}}{2}}=v_{0}\sin \theta$
    $t_{v}={\frac {2v_{0}}{g}}\sin \theta$
Substituindo na equação em $x$ teremos:
    $A={v_{0}\cos \theta }\left({\frac {2v_{0}}{g}}\sin \theta \right)$
    $A={\frac {v_{0}^{2}}{g}}(2\sin \theta \cos \theta )$
Usando a identidade trigométrica:
    $\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )$
No caso particular se $\alpha =\beta$ :
    $\sin(\beta \pm \beta )=\sin(\beta )\cos(\beta )\pm \cos(\beta )\sin(\beta )$
    $\sin(2\beta )=2\sin(\beta )\cos(\beta )$
Desta forma usando na equação para o alcance:
    $A={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\sin(2\theta )$