OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Análise real/Seqüência de funções

Nesta seção, introduzimos um importante conceito da análise real, a ideia de sequência de funções. Uma sequência de funções em um domínio $D\,$ é definida com um conjunto $\{f_{i}\}\,$ de funções $f_{i}:D\to \mathbb {R} \,$ indexadas com um índice $i\,$. São exemplos de sequência de funções definidas em toda a reta ($D=\mathbb {R} \,$):
* $f_{i}(x)=ix^{2}\,$
* $f_{i}(x)={\frac {i}{i+x^{2}}}~~,i\geq 1\,$
* $f_{i}(x)={\frac {x}{i}}~~,i\geq 1\,$
O leitor deve observar que para cada ponto fixo no domínio $x_{0}\,$, uma sequência de funções define um sequência numérica:

### Sequência equilimitada

Uma sequência de funções $\{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }\,$ é dita equilimitada num conjunto $E\,$ se cada uma das funções está definida em $E\,$ e se existe uma constante $M\,$ tal que:
* $|f_{i}(x)|\leq M,~~\forall x\in E~~\forall i\geq 1\,$
# Análise real/Subconjunto
## Definição de Subconjunto

Quando um conjunto $Y\;$ é parte de uma certa coleção $X\;$ dizemos que Y é subconjunto de X e escrevemos $Y\subset X$.
* Ex: $X=\{x\in \mathbb {R} ;\;x>2\},Y=\{y\in \mathbb {R} ;\;4<y<10\}$. Como $X=(2,\infty ),Y=(4,10),(4,10)\subset (2,\infty ){\mbox{ logo }}Y\subset X$, isto é, todo elemento que pertence a $Y\;$, pertence a $X\;$, por isso dizemos que $Y\;$ é subconjunto de $X\;$.
* Mais formalmente, se $y\in Y,Y\subset X\Rightarrow y\in X$, também $Y\subset X\Leftrightarrow X\supset Y$

### exemplo

Consideremos os seguintes conjuntos $A=\{2n;n\in \mathbb {N} \},B=\{4n;n\in \mathbb {N} \}.$
* Provaremos que $B\subset A.$ De fato, seja $x\in B,$ então $x=4n{\mbox{ para algum }}n\in \mathbb {N}$, sendo que pode ser escrito na forma $x=2(2n)=2m$, onde claramente $m=2n\in \mathbb {N}$, logo $x\in A$
* Agora vejamos que $\exists x\in A{\mbox{ tal que }}x\in B;{\mbox{ tomamos }}x=2=2(1)\in A$ provaremos que este não pertence a B. Assim usando o argumento do absurdo (ou contradição), isto é, suponhamos que $x=2\in B$ então existe $n\in \mathbb {N}$ tal que $2=4n$, porém esta igualdade somente é satisfeita se n for o número racional $n=1/2$ o qual não pertence a $\mathbb {N}$, fato que nos fornece uma contradição. Portanto $A\subset B.$

### Parte de um conjunto

$Y\subset X$ significa que todos os elementos de $Y\;$ estão em $X\;$.
    $Y\subset X$ lê-se $Y\;$ está contido em $X\;$.
    Podemos definir $Y\subset X$ como $Y=\{a;a\in X\;e\;a\;satisfaz\;a\;propriedade\;P_{1}\}$, considerando que $P_{1}\;$ não é uma das propriedades que definem os elementos de X.

### Subconjunto próprio

$Y\;$ é subconjunto próprio de $X\Leftrightarrow Y\neq X$ e $Y\subset X,mas\;X\not \subset Y$.

### Conjunto vazio

* O $\varnothing \subset X$, isto é, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

### Quando que um conjunto não é um subconjunto

Para mostrar que X não seja subconjunto de Y, isto é, $X\not \subset Y\;$, basta exibir um $x\in X\;$ e provar que $x\not \in Y$.
* Exemplo: X é o conjunto dos naturais e Y é o conjunto dos naturais impares. Vamos mostrar que $X\not \subset Y\;$. Segue que $2\in X\;$, mas $2\not \in Y\;$. Logo $X\not \subset Y\;$.
# Análise real/Série
## Definição de série

Série de uma sequência é a soma de todos os elementos de uma sequência infinita. Como uma sequência $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, têm infinitos termos, assim podemos dizer mais formalmente que:
* Série de uma sequência é a soma infinita de uma sequência
Dada uma sequência $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, como somaremos todos os seus termos? vamos tomar $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ como uma sequência de soma dos termos de $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. Assim:
* $s_{1}=a_{1}\;$, $s_{2}=\sum _{n=1}^{2}a_{n}\;$, $s_{m}=\sum _{n=1}^{m}a_{n}\;$
* $s=\lim s_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\;$

## Convergência de uma série
### Teste do termo geral

Proposição: é condição necessária para convergência de uma série que seu termo geral tenda para 0.
Se $s=\lim s_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\;$ é uma série convergente então $\lim \;a_{n}=0$

#### Demonstração

    $a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}-\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}\,$
tomando limites, temos:
    $\lim a_{n}=s-s=0\,$

#### Observação

A recíproca é, no entanto, falsa. Um contraexemplo simples é dado pela série harmônica $\sum _{1}^{\infty }1/n\,$ que não é convergente, apesar de seu termo geral convergir para zero.

### Propriedades de séries

Seja $\sum a_{n}=\;a,\sum b_{n}=b$ convergentes. Pelas propriedades de soma e produto
* $\sum a_{n}+\sum b_{n}=\sum (a_{n}+b_{n})\;$ converge para a + b
* $t\sum a_{n}=\sum ta_{n}\;$ converge para ta
* $(\sum a_{n})(\sum b_{n})=\;$ converge para ab
* $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\Rightarrow \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}$ converge para p.
** $p=a-\sum _{n=1}^{n_{0}-1}a_{n}\,$
** Se $a_{n}\geq 0,\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow p<a$

## Exemplos
### Série geométrica

A série geométrica é a é formada por termos em progressão geométrica:
    $\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}=1+r+r^{2}+r^{3}+\ldots$
Da teoria das progressões geométricas, temos que:
    $\sum _{n=0}^{N}r^{n}={\frac {1-r^{N+1}}{1-r}}={\frac {1}{1-r}}-{\frac {r^{N+1}}{1-r}}$
É facil ver que se $|r|<1$ então esta série é convergente e sua soma é dada por:
    $\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}$
Por outro lado, se $|r|\geq 1$, esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral, demonstrado logo acima.
De maneira geral, para qualquer série geométrica, cujo valor da razão r seja menor que 1, sua soma é dada por:
    $\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}={\frac {a}{1-r}}$
Onde "a" é o termo inicial da série.

## Notas

* ↑ Veja, por exemplo, esta página
* ↑ Conforme se vê nesta página
# Análise real/Teoria dos conjuntos

O objetivo deste livro não é estudar a teoria dos conjuntos. Para isto, sugere-se:
* Matemática elementar/Conjuntos - capítulo Conjunto do livro Matemática elementar, texto bem básico
* Álgebra abstrata/Conjuntos - capítulo Conjuntos do livro Álgebra abstrata, no mesmo nível do conhecimento necessário para Análise real
* Teoria dos conjuntos - texto avançado, analisando a teoria do ponto de vista axiomático
# Análise real/Propriedades-Funções
## Função Sobrejetiva

Uma função $f:A\mapsto B$ é dita sobrejetiva se $f(A)=B$, ou seja, se $\forall y\in B,\exists x\in A;{\mbox{ tal que }}f(x)=y$.
    Ao se verificar a sobrejetividade de uma função, deve estar claro qual conjunto está sendo considerado como contradomínio. Modificando-o, uma função que não é sobrejetiva pode passar a ser.
    Exemplo. Seja $A=\{a,b\}$. A função f, definida por $f(x)=x,\forall x\in A$, não é sobrejetiva de A em $\{a,b,c\}$ mas é sobrejetiva de A em $\{a,b\}$.
* Toda função é sobrejetiva na sua imagem, ou seja, $f:A\mapsto f(A)$ é sobrejetiva.

## Função Injetiva

Uma função $f:A\mapsto B$ é dita injetiva se ocorre uma destas:
* para quaisquer $x,y\in A$ tais que $x\neq y$ temos $f(x)\neq f(y)$;
* $x,y\in A$ são tais que $f(x)=f(y)$, então $x=y$;
* $\forall \;y\in f(A),\exists x!\in A{\mbox{ tal que }}f(x)=y$.
* Dizemos que a função f tem a propriedade P em A se $f|A$ tem a propriedade P. Por exemplo, dizer que f é injetiva em A significa que $f|A$ é injetiva. Isto é muito usual, sobretudo em conversas informais entre matemáticos. Entretanto, isto deve ser usado com cuidado para não cairmos em armadilhas.

## Função Bijetiva

Uma função $f:A\mapsto B$ é dita bijetiva ou bijeção se ela é injetiva e sobrejetiva.
    Exemplo: Sejam $A=\{1,2,3\},B=\{2,4,6\}eC=\{1,4,9,16\}$. Consideremos as funções $f:A\mapsto B,g:A\mapsto C{\mbox{ e }}h:A\mapsto A$ definidas por $f(x)=2x,g(x)=x^{2},h(x)=2\forall \;x\in A$.
    Temos que f é injetiva e sobrejetiva e, portanto, bijetiva. Temos ainda que g é injetiva, mas não é sobrejetiva e h não é injetiva e nem sobrejetiva.

## Teorema de Cantor

    Prova 1
* para que f não seja sobrejetiva, $P(A)\setminus f(A)\neq \varnothing \Rightarrow \exists \;y\in P(A),tal\;que\;\forall \;x\in A,f(x)\neq y$. Ou seja, existe algum y em P(A), que não é imagem de nenhum elemento de A pela função f.
* Pela f ser uma função, $\forall x\in A,\exists \;y\in P(A),tal\;que\;y=f(x)\in P(A)$.
* Tomemos $f:A\mapsto P(A),comf(x)=\{x\}$, assim $P(A)\setminus f(A)=P(A)\setminus \bigcup _{x\in A}\{x\}$. As outras funções que existir deverá ter que $\#P(A)\setminus \bigcup _{x\in A}\{x\}=\#IM_{f}-\#A,\forall \;f:A\mapsto P(A).$
** Em outras palavras, outras funções que existirem, basta x deixar de flexar {x} e flexar outro elemento.

### 2

    Prova 2
* Vamos considerar um subconjunto de P(A), U(A), como sendo os conjuntos unitários formados pelos elementos de A, mais o conjunto vazio.
* Assim U(A) sempre têm um elemento a mais que A, qualquer função que tomarmos, $g:A\mapsto U(A)$ não é sobrejetiva, pois sempre vai faltar um elemento em U(A) para ser flexado.
* É fácil ver que g é uma restrição da função f. Como g não é sobrejetiva, f também não é.

## Propriedades interessantes sobre funções

* $\phi (A\cup B)=\phi (A)\cup \phi (B)$
* $\phi (A\cap B)\subset \phi (A)\cup \phi (B)$
* $A\subset B\Rightarrow \phi (A)\subset \phi (B)$
* $\phi (\varnothing )=\varnothing$
# Análise real/Produto Cartesiano
## Conjunto de Pares ordenados

Dados dois objetos a e b definimos o par ordenado (a, b) cuja primeira coordenada é "a" e a segunda é "b". Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se eles forem iguais coordenada por coordenada, i.e., $(a,b)=(c,d)\Leftrightarrow a=c{\mbox{ e }}b=d$.
    Repare que $(a,b)\neq (b,a)$ salvo se a = b e que $(a,a)\neq a$. De maneira análoga definimos triplas ordenadas $(a,b,c)$ ou n-uplas ordenadas $(a_{1},...,a_{n})$.

### Plano Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B existe um conjunto chamado de produto cartesiano de A e B (denotado $A\times B$) formado pelos pares ordenados (a, b) tais que $a\in A\;e\;b\in B$. Em símbolos: $A\times B=\{(a,b);a\in A\;e\;b\in B\}$.
    Ex.: $A\times A=\{(a,b);a\in A\;e\;b\in A\}$ e, por simplicidade, o denotamos $A^{2}$.
    Ex.: De maneira análoga definimos $A\times B\times C=\{(a,b,c);a\in A,b\in B\;e\;c\in C\},$
    Ex.: $A^{3}=A\times A\times A,A^{n}={\begin{matrix}\underbrace {A\times ...\times A} \\nvezes\end{matrix}}$
    Ex: Sejam $A=\{1,2,3,4\}{\mbox{ e }}B=\{a,b,c\}\Rightarrow A\times B=\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(4,a),(4,b),(4,c)\}$
    Exemplos importantes de Planos Cartesianos: $\mathbb {N} ^{2}=\mathbb {N} \times \mathbb {N} ;\mathbb {Z} ^{2}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ;\mathbb {Q} ^{2}=\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} ;\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R}$.

### Diagonal de um Plano Cartesiano

A diagonal mais simples é do quadrado $A^{2}:\Delta (A^{2})=\{(a,a);a\in A\}$. Da mesma forma temos a diagonal do quadrado $A^{n}:\Delta (A^{n})=\{{\begin{matrix}\underbrace {(a,a,...,a)} \\nvezes\end{matrix}};a\in A\}$
* Mas temos outras diagonais que exigem um pouco mais de elaboração como a de um retângulo $A\times B$. Supondo que o $\min(A),\min(B),\max(A),\max(B)<\infty :$ $\Delta (A\times B)=\{(\min(A),\min(B))+c(\max(A)-\min(A),\max(B)-\min(B));c\in [0,1]\}$
    Ex.: $A=[2,12],B=[1,15]:\Delta (A\times B)=\{(2,1)+c(10,14);c\in [0,1]\}$

## Propriedades de Plano Cartesiano

* Dois pares ordenados são iguais se são iguais coordenada a coordenada, assim
** $(a,b)=(c,d)\Leftrightarrow a=c\;e\;b=d$
# Livro de receitas/Baianinhas

Existem várias maneiras de preparar:

## Baianinhas - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 1 e 1/2 xícaras (chá) de amendoim torrado e moído --
* 1 lata de leite condensado;
* 1 coco pequeno ralado.
    Preparo:
* Coloque no fogo até desprender da panela.
* Retire, esfrie e enrole, coloque em forminhas.
# Livro de receitas/Balas de leite

Existem várias maneiras de preparar:

## Receita 1
### Ingredientes

* 1 litro de leite --
* 600 gramas de açúcar;
* 1 colher (sopa) de manteiga dourada;
* 1 colher (sopa) de mel;
* 1 gema;
* 1 colher (sopa) de farinha de trigo.

### Preparo

* Misture tudo e leve ao fogo até tomar ponto de fio forte.
* Derrame sobre o mármore amanteigado.
* Quando estiver morno, faça as balas.
# Livro de receitas/Baianinha de festa

Existem várias maneiras de preparar:

## Baianinha de festa - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 1 e 1/2 xícaras (chá) de amendoim, torrado e moído --
* 1 coco pequeno ralado;
* 1 lata de leite condensado (395 gramas).
    Preparo:
* Misture bem todos os ingredientes e leve ao fogo, mexendo sempre, até desprender do fundo da panela.
* Retire, passe para um prato untado deixe esfriar.
* Enrole a massa em bolinhas e passe pelo açúcar cristal.
* Coloque em forminhas de papel.
    Rendimento: Em torno de 50 docinhos.
    Nota: Para a lata grande de leite condensado, use:
* 3 xícaras (chá) de amendoim --
* 3 xícaras (chá) de coco ralado.
# Livro de receitas/Balas de café

Existem várias maneiras de preparar:

## Balas de café - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 3 copos (americano) de açúcar --
* 1 copo (americano) de café forte;
* 1 copo (americano) de leite;
* 3 colheres (sopa) de mel;
* 1 colher (sopa) de manteiga;
* 1 colher (sopa) de farinha de trigo;
* 1 gema.
    Preparo:
* Misturar todos os ingredientes em uma panela, levar ao fogo e "bate" até obter ponto de bala.
* Derrame na pedra da pia ou em uma assadeira, ligeiramente untada com manteiga.
* Depois de frio, corte as balas no tamanho que desejar.

## Balas de café - 2
### Ingredientes e Preparo:

* 3 copos (americano) de açúcar --
* 1 copo (americano) de café, forte e sem açúcar;
* 1 colher (sopa) de manteiga;
* 1 colher (sopa) de farinha de trigo;
* 1 gema.
    Preparo:
    Misture tudo e leve ao fogo.
# Livro de receitas/Balas de coco para festa

Existem várias maneiras de preparar:

## Receita 1
### Ingredientes

* 1 coco verde ralado --
* 1 kg de açúcar.

### Preparo

* Ralar o coco e depois espremer num pano, retirando todo o caldo. Dispense o coco ralado.
* Misture o caldo com o açúcar e coloque para ferver até atingir o ponto de bala.
* Não pode mexer, para não açucarar.
* Despeje a massa numa pedra de mármore e deixe esfriar.
* O próximo passo é esticar a mistura até ficar branca, sendo o ideal que duas pessoas trabalhem juntas nessa etapa.
* O doce deverá ser colocado novamente sobre a pedra, para ser cortado em cubos pequenos (tipo balinha de coco de festas).
# Livro de receitas/Balas
## Balas

* Livro de receitas/Balas
* Livro de receitas/Balas de amendoim
* Livro de receitas/Balas de café
* Livro de receitas/Balas de caramelo
* Livro de receitas/Balas de coco
* Livro de receitas/Balas de coco para festa
* Livro de receitas/Balas de leite
* Livro de receitas/Balas de mel
* Livro de receitas/Balas de ovos
* Livro de receitas/Balas puxa-puxa de leite
* Livro de receitas/Imprimir
* Livro de receitas/Pirulito
* Livro de receitas/Pirulitos de mel
# Livro de receitas/Balas de coco

Existem várias maneiras de preparar:

## Balas de coco - 1
### Ingredientes e Preparo:

    Para a Cobertura:
* 1 kg de açúcar refinado --
* 1 vidro de leite de coco;
* 200 ml de água.
    Para o Recheio de Brigadeiro:
* 2 latas de leite condensado --
* 5 colheres (sopa) de chocolate em pó;
* 2 colheres (sopa) de manteiga.
    Para o Recheio de beijinho:
* 2 latas de leite condensado --
* 200 gramas de coco ralado.
    Como Fazer o Recheio:
* Escolher entre brigadeiro ou beijinho e juntar os ingredientes numa panela, em fogo baixo, e mexer sem parar até desgrudar do fundo.
* Despejar o conteúdo num prato e deixar esfriar por uma hora.
    Como Fazer a Cobertura:
* Juntar os ingredientes numa panela, em fogo baixo, e deixar por cerca de 40 minutos até dar o ponto de fio.
* Despejar a calda sobre uma pedra de mármore untada com manteiga e deixar esfriar, por aproximadamente 15 minutos.
* Dividir a massa em quatro. Pegar cada parte e amassar até que ela fique branca.
* Em seguida, abrir a massa, rechear e fechar. Cortar em pedaços do tamanho de um bombom.

## Balas de coco - 2
### Ingredientes e Preparo:

* 1 coco grande ralado --
* 3 xícaras (chá) de água;
* 1 kg de açúcar.
    Preparo:
* Rale o coco e ponha em uma terrina (vasilha de louça ou refratária).
* Leve as 3 xícaras de água ao fogo e, quando estiver fervendo, derrame sobre o coco ralado e esprema-o em guardanapo para tirar todo o leite.
* Leve o caldo obtido ao fogo com o açúcar, tomando o cuidado de não mexer para não açucarar. Quando começar a engrossar, experimente o ponto numa xícara de água fria. Retire imediatamente do fogo e derrame sobre a pedra de mármore untada de manteiga. Espere esfriar um pouco e, quando desgrudar facilmente da ponta de uma faca, estará pronto para puxar.
* Unte as mãos com manteiga e comece a puxar até que a massa fique bem branquinha; faça, então, os cordões e corte-os com uma tesoura. Depois de prontos, enrole-os imediatamente.
* Estas balas devem ser feitas de véspera para que estejam macias no dia seguinte.
# Livro de receitas/Balalaika

Existem várias maneiras de preparar:

## Balalaika - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 1 lata de leite condensado --
* 2 vezes a mesma medida de vodka;
* 1 colher (chá) de Nescafé;
* 1 gema.
    Preparo:
* Bata todos os ingredientes no liquidificador.
* Acrescente gelo picado a gosto e sirva a seguir.
# Livro de receitas/Balas de amendoim

Existem várias maneiras de preparar:

## Balas de amendoim - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 1 litro de leite --
* 4 copos (americano) de açúcar;
* 1 pratinho de amendoim torrado e moído.
    Preparo:
* Misture o leite e o açúcar e leve ao fogo até tomar ponto de fio forte.
* Coloca-se o amendoim na hora em que for tirar do fogo.
* Retire do fogo e despeje sobre o mármore da pia, amanteigado.
* Quando estiver morno, faça as balas.
# Livro de receitas/Balas de caramelo

Existem várias maneiras de preparar:

## Balas de caramelo - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 1 kg de açúcar --
* 200 gramas de doce de leite;
* 200 gramas de chocolate ao leite;
* 1 colher (sopa) de margarina;
* 1 copo (tipo americano) de água.
    Preparo:
* Misture os ingredientes em uma panela e leve ao fogo alto. Deixe ferver até dar o ponto de bala. Para verificar o ponto, ponha um pires com água fria na pia e pingue a mistura: Se ela ficar dura e com jeito de enrolar, está pronta de ponto.
* Despeje em um mármore molhado e deixe amornar. Corte pequenos pedaços do caramelo e ponha em uma travessa com água e gelo.
* Espere começar a endurecer e enrole com as mãos molhadas. Deixe secar sobre uma assadeira e embrulhe com papel de bala.

## Balinhas de caramelo - 2
### Ingredientes e Preparo:

* 1 litro de leite --
* 1 xícara (chá) de mel;
* 2 copos (americano) de açúcar;
* 1 colher (sopa) de manteiga.
    Preparo:
* Levar ao fogo, num tacho ou panela mais grossa, o leite, o açúcar, a manteiga e o mel. Mexer com colher de pau. Quando começar a ferver, continuar mexendo, durante cerca de uma hora, até dar o ponto. Para testá-lo, virar uma colher do doce num prato com água, juntar com os dedos e, quando se soltar totalmente do fundo, estará no ponto.
* Virar a mistura numa vasilha de louça ou de aço inoxidável, untada com manteiga. Deixar esfriar durante duas horas.
* Fazer rolinhos e cortar com tesoura, formando as balas de no máximo 3 cm.
* Enrolar em papel manteiga ou impermeável.
* Rende 100 balas, aproximadamente.
# Livro de receitas/Pão de fôrma recheado

Existem várias maneiras de preparar:

## Pão de fôrma recheado - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 1 pão de fôrma sem cortar --
* 4 ovos cozidos duros;
* 3 latas de atum ralado escorrido (170 gramas cada);
* 1 colher (sopa) de suco de limão;
* 1 colhe (sopa) de cebola picada;
* 1/2 xícara (chá) de salsinha picada;
* 1 colher (chá) de sal;
* 1 xícara (chá) de maionese;
* 1 colher (sopa) de pimentão verde picado;
* 2 colheres (sopa) de azeitona verde picada;
* 1 envelope de gelatina em pó sem sabor;
* 1/3 xícara (chá) de água.
    Ingredientes para a cobertura:
* 1 envelope de gelatina em pó, sem sabor --
* 1 colher (sopa) de vinagre de maçã;
* 4 colheres (sopa) de água;
* 2 xícaras (chá) de maionese;
* Gotas de molho inglês;
* Gotas de molho de pimenta;
* 1 ovo cozido duro, cortado em rodelas;
* Tiras de pimentão.
    Preparo:
Prepare esta receita de véspera.
    Faça a cobertura:
* Misture a gelatina com o vinagre e a água.
* Dissolva em fogo lento. Acrescente à maionese, aos poucos, misturando bem.
* Adicione os temperos.
    Preparando o pão:
* Com uma faca afiada retire as crostas do pão de fôrma ou peça, na padaria, que o façam.
* Corte uma fatia de cima do pão, no sentido do comprimento.
* Retire o miolo do pão, deixando um dos fundos e os lados com 1 cm de grossura. Coloque numa travessa que possa levar à mesa (use o miolo para fazer farinha de rosca ou como recheio de aves).
* Dilua a gelatina na água fria. Deixe descansar por 5 minutos para amolecer e leve ao fogo baixo até dissolver bem. Deixe amornar.
* Numa vasilha misture os ovos picados, o atum ralado, a salsinha, o suco de limão, a cebola, o sal, a maionese, o pimentão, as azeitonas e a gelatina.
* Recheie o pão com essa mistura. Cubra com a fatia recortada.
* Espalhe sobre toda a superfície do pão a mistura de maionese e gelatina.
* Enfeite com as rodelas de ovo e o pimentão.
* Cubra com papel de lanche para evitar que a maionese perca a cor.
* Leve à geladeira de um dia para o outro.
    Dica:
    Se quiser, substitua o recheio por peito de frango cozido e desfiado, presunto ou peru.
# Livro de receitas/Pão de cerveja

O sabor deste pão combina muito bem com patês e molhos salgados. utilize-o em canapês, acompanhando aperitivos.
Existem várias maneiras de preparar:

# Pão de cerveja - 1
## Ingredientes
### Massa

* 800 gramas de farinha de trigo;
* 100 gramas de margarina;
* 75 gramas de açúcar;
* 175 ml de leite;
* 90 ml de cerveja;
* 15 gramas de fermento biológico (de padaria);
* 7,5 (sete e meio) gramas de sal;
* 3 ovos;
* 2 gemas.

### Recheio

* 120 gramas de tomate;
* 100 gramas de mussarela;
* 100 gramas de presunto;
* 100 gramas de carne moída refogada;
* 50 gramas de cebola (opcional);
* 20 gramas de cheiro verde;
* 8 gramas de azeitonas sem caroço.

## Preparo

* Misturar os ingredientes para a massa na batedeira, exceto o leite e o fermento.
* Na velocidade baixa, acrescentar aos poucos o leite, até obter uma mistura consistente.
* Adicionar em seguida o fermento.
* Deixar a massa descansar por 20 a 30 minutos.
* Levar novamente para a batedeira e bater por mais três minutos.
* Em um recipiente à parte, picar a mussarela, o presunto, o tomate, a cebola (opcional), o cheiro verde, as azeitonas e misturar com a carne moída já temperada e refogada.
* Com o recheio pronto, cortar a massa no tamanho desejado — a sugestão é o tamanho aproximado de um pãozinho francês.
* Abrir a massa, rechear e enrolar, fechando as pontas. Colocar em fôrma untada.
* Se quiser, pode salpicar queijo ralado, cheiro verde e orégano.
* Deixar descansar por uma hora.
* Levar ao forno, preaquecido e assar em temperatura de 150 graus.

## Rendimento

Uns 22 pães.

# Pão de cerveja - 2
## Ingredientes

* 1 colher de sopa de fermento em pó;
* 1/2 colher de chá de sal;
* 4 xícaras de chá de farinha de trigo;
* 1 colher de chá de mel;
* 1 lata de cerveja em temperatura ambiente;
* óleo para untar.

### Preparo

* Numa tigela grande misture o fermento, o sal e a farinha de trigo.
* Acrescente a seguir o mel e a cerveja, cuja lata deve ser aberta na hora.
* Misture bem com uma colher, a massa deve ficar pesada e bastante úmida.
* Unte uma fôrma de bolo inglês e coloque a massa às colheradas, alisando a superfície.
* Asse em forno quente (200ºC), préaquecido por 40 minutos, ou até dourar.
# Livro de receitas/Pão de liquidificador

Existem várias maneiras de preparar:

## Pão de liquidificador - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 50 gramas de fermento (de padaria) --
* 3 copos (americano) de leite morno;
* 3 ovos;
* 1 xícara (chá) de óleo;
* 1/2 xícara (chá) de açúcar;
* 1/2 colher (sopa) de sal.
* 1 kg de farinha de trigo.
    Preparo:
* Bater todos os ingredientes acima no liquidificador.
* Depois amassar com 1 kg de farinha de trigo até o ponto de massa.
* Enrolar, colocar em fôrma untada, deixar crescer e assar.