# Teoria de números/Equações diofantinas

Neste capítulo serão estudados certos problemas cuja solução envolve conceitos da teoria de números que foram tratados nos capítulos anteriores.
Considere o seguinte problema:
Matematicamente, o que se quer saber é:
Em geral, as equações que surgem no contexto da teoria de números devem ser resolvidas no conjunto dos números inteiros. Este tipo de equação é conhecido como equação diofantina.

## As equações diofantinas lineares

A equação que surgiu do exemplo apresentado no início do capítulo é apenas um caso particular da seguinte: $ax+by=n.$ Aqui, os inteiros $a$ e $b$ são fixados.
Quando é que tal equação possui solução?
O próximo teorema responde exatamente essa pergunta.

### Teorema

Dados $a,b\in \mathbb {Z} ,$ existem $x,y\in \mathbb {Z}$ tais que $ax+by=n$ se, e somente se, $d=(a,b)|n.$
Além disso, se $(x_{0},y_{0})$ é solução, então todas as soluções são da forma: $x=x_{0}-b't$ e $y=y_{0}+a't,$ onde $a=a'd$ e $b=b'd.$
Assim como acontece em problemas que envolvem equações diferenciais, para determinar o conjunto solução de uma equação diofantina, encontra-se primeiramente uma solução particular, e combina-se a mesma com a solução da equação homogênea (no caso, $ax+by=0$)
Agora é possível resolver o problema proposto no início.

### Aplicação

Será que existem números inteiros $x,y,n$ que verificam $2x+5y=n?$
Conforme o teorema indica, para que exista uma solução (e portanto infinitas) é preciso que $,mdc(2,5)|n.$
Pelo algoritmo de Euclides obtem-se $mdc(2,5)=1,$ além de $2\cdot (-2)+5\cdot 1=1.$ Multiplicando ambos os membros por $n,$ segue que:
    $2\cdot (-2n)+5\cdot n=n$
Assim, as demais soluções são da forma:
* $x=-2n+5t$
* $y=n-2t$
No contexto em que o problema foi colocado, é exigido que as soluções não sejam números negativos. Disto seguem as seguintes restrições:
* $-2n+5t\geq 0$
* $n-2t\geq 0$
que são equivalentes a
    ${\frac {2}{5}}n\leq t\leq {\frac {n}{2}}$
Para que exista algum valor inteiro $t$ nesse intervalo, é suficiente que ${\frac {n}{2}}-{\frac {2}{5}}n\geq 1,$ ou seja,
    $n=5n-4n\geq 10$
Note que a condição anterior é suficiente, mas não necessária, pois para alguns valores de $n<10$ também há soluções:
* $4=2+2$
* $5=5+0$
* $6=2+2+2$
* $7=5+2$
* $8=2+2+2+2$
* $9=5+2+2$
A conclusão final é que, utilizando apenas notas de $2$ e de $5$ é possível obter qualquer valor inteiro maior que ou igual a $4.$

### Interpretação geométrica

Sabe-se que o conjunto dos pontos $(x,y)$ (com coordenadas reais) que verificam a equação $d=ax+by$ é representado por uma reta sobre o plano cartesiano. Então as soluções da equação diofantina $d=ax+by,$ são representadas pelos pontos da reta que possuem ambas as coordenadas inteiras.

## Diferença de quadrados

Um outro problema que pode ser tratado com as ferramentas desenvolvidas até agora é a busca de soluções inteiras para a seguinte equação:
    $n=x^{2}-y^{2}$
Buscar tais soluções significa determinar se existe algum inteiro $n$ que pode ser escrito como soma de dois quadrados perfeitos. Se a resposta for afirmativa, será interessante saber exatamente quais são os números inteiros $n$ que são soma de quadrados.
Estes são alguns exemplos desse tipo de problema:
* $x^{2}-y^{2}=30$ tem soluções inteiras?
* $x^{2}-y^{2}=32$ tem soluções inteiras?
Para poder entender a estratégia para a resolução desse tipo de problema, considere que a segunda equação tenha alguma solução $x,y:$
    $32=x^{2}-y^{2}$
O que se pode afirmar sobre esses dois números inteiros?
Primeiramente, deve valer $32=x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y),$ ou seja, a soma e a diferença das soluções devem ser divisores de $32.$ Sabe-se, por exemplo, que $32=8\cdot 4.$ Será que existem inteiros $x,y$ tais que
* $x+y=8$
* $x-y=4$
Por inspeção, percebe-se que $x=6$ e $y=2$ servem, logo $32=6^{2}-2^{2}=36-4.$
E quanto ao outro problema?
É possível encontrar um par de divisores de $30$ (por exemplo, $d$ e ${\frac {30}{d}}$) tais que um seja a soma, e outro a diferença das soluções?
Observe:
    Divisores de $30$ $d$${\frac {30}{d}}$ $1$$30$ $2$$15$ $3$$10$ $5$$6$
Você é capaz de encontrar alguma linha dessa tabela contendo a soma e a diferença de dois números inteiros? Justifique.
Em vez de continuar tratando o problema baseando-se em exemplos particulares, considere que existem $x,y$ satisfazeno a equação em sua forma geral:
    $n=x^{2}-y^{2}$
Conforme anteriormente, conclui-se que, para alguma escolha de $u,v,$ tais que $n=u\cdot v,$ tem-se $u=x+y$ e $v=x-y,$ ou seja, para tais divisores de $n$ existe uma solução $x,y$ para o sistema:
    $\left\{{\begin{matrix}x+y&=&u\\x-y&=&v\\\end{matrix}}\right.$
Equivalentemente, tais inteiros $x,y$ são também solução do sistema:
    $\left\{{\begin{matrix}2x&=&u+v\\2y&=&u-v\\\end{matrix}}\right.$
Se você interpretar essas equações adequadamente, concluirá que $u,v$ devem ter a mesma paridade (ser ambos pares ou ambos ímpares). De fato, se um deles for par e o outro for ímpar, sua soma será um número ímpar, e consequentemente não poderá ser escrita como $2x,$ para nenhum valor inteiro $x.$
Na verdade, com pouca ou nenhuma argumentação extra, prova-se a validade do seguinte teorema

### Teorema
#### Teorema

Um número inteiro $n$ pode ser escrito como a diferença de dois quadrados perfeitos, $n=x^{2}-y^{2},$ se e somente se $n$ é ímpar ou múltiplo de $4.$
Uma forma direta de obter a representação de $n$ como diferença de quadrados é a seguinte:
* Se $n$ é múltiplo de $4.$
    Nessa situação, $n=4k=(k+1)^{2}-(k-1)^{2}.$
* Se $n$ é ímpar.
    Nesse caso, $n=2k+1=(k+1)^{2}-k^{2}.$

### Exemplo

Com esse resultado, conclúi-se que não há solução para o problema dado em um exemplo anterior:
* $x^{2}-y^{2}=30$
De fato, $30$ não é ímpar e nem múltiplo de $4.$
Por outro lado, usando a fórmula anterior, fica fácil resolver:
* $x^{2}-y^{2}=32$
Como $32=4\cdot 8,$ segue que $32=(8+1)^{2}-(8-1)^{2}=81-49$

## Ternos pitagóricos

* Um pouco de história
* Bust of Pythagoras of Samos in the Capitoline Museums, Rome
* Pitágoras foi um matemático e filósofo grego nascido por volta de 570 a.C., na ilha de Samos. Ele é creditado pela demonstração de uma importante relação entre os lados de um triangulo retângulo, hoje conhecida como o teorema de Pitágoras, cujo enunciado é geralmente resumido da seguinte forma:
* O quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados sobre os outros dois lados.
Um terno pitagórico é uma tripla de números inteiros $x,y,z$ que satisfazem a equação:
    $x^{2}+y^{2}=z^{2}$
Por exemplo, $3^{2}+4^{2}=5^{2},$ então $3,4,5$ é um terno pitagórico. Obviamente, $0,0,0$ também é um terno pitagórico, mas este último caso é trivial e sem interesse, portanto não será considerado na discussão que segue. O objetivo dessa seção é determinar em que circunstâncias a equação $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ tem solução $x,y,z$ não trivial (não todos nulos).
É possível simplificar a investigação, considerando somento o caso em que $x,y,z$ são primos entre si. De fato, se $x=dx',y=dy',z=dz'$ então:
    $(dx')^{2}+(dy')^{2}=(dz')^{2}\Leftrightarrow x'^{2}+y'^{2}=z'^{2}$
Na verdade, se $x,y,z$ for uma solução, então o máximo divisor comum destes números verifica as seguintes igualdades:
    $(x,y,z)=(x,y)=(x,z)=(y,z)$
Em particular, não pode haver $x,y$ não podem ser ambos pares.
Por outro lado, os inteiros $x,y$ também não podem ser ambos ímpares.
    De fato, se assim ocorresse, valeria:
   * $x=2a+1,$ para algum inteiro $a$
   * $y=2b+1,$ para algum inteiro $b$
    Deste modo, elevando cada um destes números ao quadrado, resultaria:
   * $x^{2}=(2a+1)^{2}=4a^{2}+4a+1$ e
   * $x^{2}=(2b+1)^{2}=4b^{2}+4b+1$
    Donde:
   * $x^{2}+y^{2}=(2b+1)^{2}=(4a^{2}+4a+1)+(4b^{2}+4b+1)=4k+2$
    Ou seja, a soma dos quadrados de $x$ e $y$ seria par, mas não pertenceria a $4\mathbb {Z} .$
    No entanto, sempre que $z^{2}$ é par, tem-se $z$ par e consequentemente $z^{2}\in 4\mathbb {Z} .$
    Logo, quando $x,y$ são ambos ímpares, a soma de seus quadrados não pode ser um quadrado perfeito.
Segue que dos inteiros $x,y,$ um é ímpar e outro é par. Sem perda de generalidade, pode-se supor que $x$ é par e $y$ é ímpar.
Uma outra forma de escrever a equação original é:
    $x^{2}=z^{2}-y^{2}=(z+y)(z-y)$
A partir daí, pode-se deduzir outras informações sobre os inteiros que a satisfazem. Por exemplo, $(z+y,z-y)=1,$ pois:
    $d|z+y,z-y\Rightarrow d|2z,2y\Rightarrow d|2$
A segunda implicação vale pois $(z,y)=1.$ Logo, $d\leq 2.$
Mas não pode ocorrer $d=2,$ senão:
    $2|z+y$
e como $y$ é par, $z$ também seria, coisa que não é possível já que $(z,y)=1.$
Assim, o quadrado perfeito $x^{2}$ é o produto de dois números primos entre si. Disso decorre que cada um deles deve ser um quadrado perfeito (veja o exercício 1), ou seja:
    $\left\{{\begin{matrix}z+y&=&u^{2}\\z-y&=&v^{2}\end{matrix}}\right.$
que equivale a:
    $\left\{{\begin{matrix}2z&=&u^{2}+v^{2}\\2y&=&u^{2}-v^{2}\end{matrix}}\right.$
Portanto, quando três números inteiros primos entre si (e não todos nulos) satizfazem a equação:
    $x^{2}+y^{2}=z^{2}$
devem existir inteiros $u,v,$ ímpares e primos entre si, tais que $u>v$ e:
    $\left\{{\begin{matrix}x&=&uv\\y&=&{\frac {u^{2}-v^{2}}{2}}\\z&=&{\frac {u^{2}+v^{2}}{2}}\end{matrix}}\right.$
Claramente, para quaisquer inteiros $u,v,$ os valores de $x,y,z$ obtidos pelas fórmulas acima são ternos pitagóricos, pois:
    $(uv)^{2}+({\frac {u^{2}-v^{2}}{2}})^{2}={\frac {2u^{2}v^{2}+(u^{2}-v^{2})^{2}}{2}}={\frac {u^{2}+v^{2}}{2}}$

### Exemplos

Pode-se obter facilmente uma dezena de ternos pitagóricos utilizando as fórmulas:
    $\left\{{\begin{matrix}x&=&uv\\y&=&{\frac {u^{2}-v^{2}}{2}}\\z&=&{\frac {u^{2}+v^{2}}{2}}\end{matrix}}\right.$
Alguns deles são listados na tabela a seguir:
    parâmetrosternos pitagóricos $u$$v$$x$$y$$z$ 31345 5151213 7172425 9194041 5315817 73212029
Note ainda que toda solução é da forma:
    $4UV+(U-V)=(U+V)^{2}$
onde:
    $\left\{{\begin{matrix}U&=&u^{2}\\V&=&v^{2}\\\end{matrix}}\right.$

### Observações

A fórmula clássica para a obtenção de ternos pitagóricos é conhecida como Fórmula de Euclides, por ter sido apresentada nos Elementos de Euclides é a seguinte:
    $\left\{{\begin{matrix}x&=&a^{2}-b^{2}\\y&=&2ab\\z&=&a^{2}+b^{2}\end{matrix}}\right.$
Tal fórmula é equivalente àquela deduzida anteriormente, como se pode verificar facilmente:

## Exercícios

* Mostre que se $a^{2}=b\cdot c,$ com $b,c$ primos entre si, então $b,c$ são quadrados perfeitos.