# Matemática elementar/Geometria plana/Triângulos/Triângulo retângulo

    Como dito anteriormente, um triângulo retângulo é aquele no qual um dos ângulos internos é reto.

## Catetos e Hipotenusa

    Em um triângulo retângulo, são chamados de catetos os lados perpendiculares entre si, ou seja, aqueles que formam o ângulo reto, e é chamado de hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto.
    A altura relativa à hipotenusa é o segmento de reta que parte do ponto onde está o ângulo reto e vai perpendicularmente até a hipotenusa.
    As projeções dos catetos são as partes da hipotenusa divididas pela altura relativa.

## Teorema de Pitágoras

    Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
    Seja $c\!\,$ a hipotenusa, sejam $a\!\,$ e $b\!\,$ catetos do mesmo triângulo:
$c^{2}=a^{2}+b^{2}\!\,$
Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos.

### Demonstração do Teorema
#### Por semelhança

Existem várias formas de demonstrar o Teorema de Pitágoras. Esta demonstração é baseada na proporcionalidade de dois triângulos semelhantes.
Seja $ABC\!\,$ um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em $C\!\,$, como mostrado na figura. Nós desenhamos o segmento de reta $h\!\,$ que passa por $C\!\,$ e é perpendicular a ${\overline {AB}}\!\,$. O novo triângulo $ACH\!\,$ é semelhante ao nosso triângulo $ABC\!\,$, pois ambos tem um ângulo reto (por definição de perpendicular), e eles compartilham o ângulo em $A\!\,$, implicando que o terceiro ângulo terá a mesma medida em ambos. De forma análoga, o triângulo $CBH\!\,$ também é semelhante a $ABC\!\,$. A semelhança leva a duas razões:
    ${\frac {\overline {AC}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {AH}}{\overline {AC}}}\,$
    e
    ${\frac {\overline {CB}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {HB}}{\overline {CB}}}.\,$
Isto pode ser escrito como:
    ${\overline {AC}}^{2}={\overline {AB}}\times {\overline {AH}}$ e ${\overline {CB}}^{2}={\overline {AB}}\times {\overline {HB}}.$
Somando as duas igualdades, obtemos:
    ${\overline {AC}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}={\overline {AB}}\times {\overline {AH}}+{\overline {AB}}\times {\overline {HB}}={\overline {AB}}\times ({\overline {AH}}+{\overline {HB}})={\overline {AB}}^{2}.\,$
Em outras palavras, o Teorema de Pitágoras:
    ${\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}={\overline {AB}}^{2}.\,$

#### Por equivalência de polígonos

Esta demonstração se baseia na congruência de triângulos e na equivalência de área de quadriláteros.
Dado ${\color {Blue}\triangle }ABC$ retângulo em $B\,\!$ e seja ${\overline {BH}}$ a altura relativa à hipotenusa, marcamos na semi-reta ${\overrightarrow {BH}}$ um ponto $F\,\!$ tal que ${\overline {HF}}\cong {\overline {AC}}$ (lembre que ${\overline {AC}}$ é a hipotenusa). Então construímos o retângulo $AHFG\,\!$ (lembre que ${\overline {AH}}$ é a projeção de ${\overline {AB}}$).
Agora construímos ${\color {OliveGreen}\square }ABED$. A semi-reta ${\overrightarrow {DE}}$ intercepta ${\overrightarrow {GA}}$ em um ponto $I\,\!$, assim como ${\overrightarrow {HB}}$ em um ponto $J\,\!$. Temos o paralelogramo $ABJI\,\!$.
Como ${\color {OliveGreen}\square }ABED$ e $ABJI\,\!$ são paralelogramos de mesma base e mesma altura, ambos tem a mesma área.
Por definição de quadrado, segue que ${\overline {AD}}\cong {\overline {AB}}$, e também ${\color {OliveGreen}\angle }ADE$ é reto. Portanto, ${\color {OliveGreen}\angle }ADE\cong {\color {Blue}\angle }ABC$.
${\color {OliveGreen}\angle }DAI$ e ${\color {Blue}\angle }BAC$ são ambos suplementares de $\angle IAB$. Portanto, ${\color {OliveGreen}\angle }DAI\cong {\color {Blue}\angle }BAC$.
Segue pelo critério lado-ângulo-ângulo de congruência de triângulos que ${\color {Blue}\triangle }ABC\cong {\color {OliveGreen}\triangle }ADI$. Portanto, ${\overline {AI}}\cong {\overline {AC}}$, e por extensão, ${\overline {AI}}\cong {\overline {HF}}$.
Como $ABJI\,\!$ e $AHGFI\,\!$ são paralelogramos de mesma base e mesma altura, ambos tem a mesma área. Ou seja, a área do quadrado sobre um cateto é igual à área do retângulo determinado pela projeção deste cateto e um segmento congruente à hipotenusa. Como a união do retângulo determinado por ${\overline {AH}}$ e ${\overline {HF}}$ com o retângulo determinado por ${\overline {HC}}$ e ${\overline {HF}}$ é igual ao quadrado sobre ${\overline {AC}}$, segue que a soma das áreas dos quadrados sobre os catetos é igual a área do quadrado sobre a hipotenusa.
Q.E.D.

### Aplicações do Teorema

    Com o teorema de Pitágoras, pode-se calcular o comprimento da hipotenusa de um triângulo conhecendo apenas o comprimento de cada cateto deste. Ou ainda, calcular o comprimento de um cateto conhecendo apenas a medida da hipotenusa e de outro cateto. O teorema de Pitágoras pode também ser usado para calcular o comprimento da diagonal de um retângulo conhecendo apenas os lados deste.

#### Exemplos

* Seja $ABC\,\!$ um triângulo retângulo no qual ${\overline {AB}}\,\!$ consista em um dos catetos o qual mede 3 metros de comprimento e ${\overline {AC}}\,\!$ consista em outro cateto o qual mede 4 metros de comprimento. Calcule o comprimento da hipotenusa ${\overline {BC}}\,\!$.
** Resolução
    Dado o Teorema de Pitágoras, ${\overline {BC}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}\!\,$, tem-se que ${\overline {AB}}=3\!\,$ e ${\overline {AC}}=4\!\,$, portanto:
    ${\overline {BC}}^{2}=3^{2}+4^{2}\!\,$
    ${\overline {BC}}^{2}=9+16\!\,$
    ${\overline {BC}}^{2}=25\!\,$
    ${\sqrt {{\overline {BC}}^{2}}}={\sqrt {25}}\!\,$
    ${\overline {BC}}=5\!\,$
    A hipotenusa do triângulo $ABC\,\!$ mede 5 metros.
* Um triângulo retângulo tem os lados $a\!\,$, $b\!\,$ e $c\!\,$, sendo que $a\!\,$ é um cateto e mede 1 centímetro de comprimento, enquanto $c\!\,$ é a hipotenusa e mede 2 centímetros. Calcule o comprimento do cateto $b\!\,$
** Resolução
    Dado o Teorema de Pitágoras, $c^{2}=a^{2}+b^{2}\!\,$, tem-se que $a=1\!\,$ e $c=2\!\,$, portanto:
    $2^{2}=1^{2}+b^{2}\!\,$
    $4=1+b^{2}\!\,$
    $4-1=1+b^{2}-1\!\,$
    $3=b^{2}\!\,$
    ${\sqrt {3}}={\sqrt {b^{2}}}\!\,$
    $b={\sqrt {3}}\!\,$
    O cateto $b\!\,$ mede ${\sqrt {3}}\!\,$ centímetros de comprimento.

### Triângulos retângulo notáveis
##### Triângulo 3_4_5

Um "triângulo 3_4_5" é qualquer triângulo retângulo que tenha esta proporção de lados. Ou seja, um triângulo cujo um dos catetos tem o comprimento $l_{1}\!\,$, outro cateto, o comprimento $l_{2}\!\,$ e a hipotenusa, $l_{3}\!\,$; tal que haja um número $n\!\,$ que:
| ${l_{1} \over n}=3$ | ${l_{2} \over n}=4$ | ${l_{3} \over n}=5$ |
A consciência desta proporção permite, a partir do comprimento de dois lados de um triângulo 3_4_5, inferir rapidamente o comprimento do terceiro lado. Por exemplo, sabendo que um triângulo tem um lado de 6 metros e outro de 8 metros, pode-se inferir corretamente que o outro lado tem 10 metros (onde n=2).

##### Triângulo 45º_45º_90º

O chamado "triângulo 45º_45º_90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção entre seus lados é: $1:1:{\sqrt {2}}$. Ou seja, um triângulo retângulo e isóceles.

##### Triângulo 20º_70º_90º

O "triângulo 30º_60º_90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: $1:{\sqrt {3}}:2$.

## Exercícios resolvidos

Na comédia antiga Diálogo dos mortos, do poeta satírico Luciano de Samósata, Hermes empilha as montanhas Ossa e Pelion sobre o Olimpo, na esperança de, a partir de um ponto de vista mais alto, poder mostrar toda a Terra para Caronte; para sua decepção, porém, ele só consegue ver ao oeste, parte da Itália, ao sul, até Creta, ao leste, até a Jônia e, ao norte, até o Danúbio. Considerando a Terra esférica, que a visão corresponde a um raio tangente, que o ponto mais distante observado seja o ponto de tangência, que a soma da altura dos três montes seja 5 km e que a distância até o ponto de tangência seja 400 km, calcule qual foi o raio da Terra usado por Luciano.

## Ver também

* Trigonometria
* Lei dos senos e dos cossenos
* Demonstração ilustrada do Teorema de Pitágoras na edição de Byrne dos Elementos de Euclides

## Referências

* ↑ Luciano de Samósata, Diálogo dos mortos, Caronte
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