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# Créditos

Este livro é resultado do conhecimento, do empenho e da dedicação de várias pessoas, que acreditam que o conhecimento deve ser de todos os que aspiram obtê-lo, sendo a doação um ato que é recompensado pela satisfação em difundir o saber.
Wikilivristas que cooperaram com o desenvolvimento e manutenção deste wikilivro:
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# Objetivo

O objetivo principal deste livro é que qualquer pessoa que tenha feito um bom curso de cálculo, e que esteja interessado em aprender análise, fique satisfeito depois de uma longa leitura desses textos. É claro que, às vezes, uma única leitura é insuficiente, pois se trata de conceitos abstratos. Abaixo temos o que chamamos de requisitos básicos. O que temos que saber primeiro para que entendamos tudo quanto está escrito no livro de análise.
* Cálculo (Volume 1)
* Cálculo (Volume 2)
* Cálculo (Volume 3)

### Outros objetivos

* Quando o livro-texto já estiver quase pronto, colocar a disposição exercícios e também suas resoluções.
* Buscar ser o melhor livro na área, pois ele será auto-explicativo.
* Evitar a trivialidade. Conforme os leitores forem tendo dúvidas, comunicarão pelas discussões para que possamos melhorar o texto para que ele se torne auto-explicativo.
* Sempre que alguém ver alguma falha, erro, equívoco ou algo que falte do livro-texto sempre estará aberto a novas opiniões.

## Objetivo secundário

Existe um grande pulo entre fazer um simples curso de cálculo (na licenciatura ou áreas práticas, como engenharias, física, ...) e fazer um rigoroso curso de cálculo no bacharelado nos livros rigorosos como Guidorizzi.
Assim em vez de fazermos um livro só para desfazer essa diferença, no final do livro de análise, estaremos colocando certos conceitos que o leitor tem que ter em mãos, esta que é a diferença citada acima.
Talvez algum dia, esses conceitos possam ser separados num novo livro.

# Introdução

A análise real é uma área da análise matemática que estuda o conjunto dos números reais e, principalmente, as propriedades analíticas das funções reais a valores reais. Entre os seus objetos de estudo, estão:
* Convergência de seqüências;
* Limite de funções;
* Continuidade de funções;
* Diferenciação;
* Integração.
Sendo assim, este livro começa definindo de forma precisa o que são "números reais" e o que se pode fazer com eles, ou seja, quais são as operações definidas sobre este conjunto numérico, e quais as suas propriedades. A presença de tais formalismos em um livro de análise é essencial. Uma razão muito simples para isso é que não se pode começar a provar teoremas sobre números reais, sem que se tenha deixado claro sobre o que exatamente está sendo falado. Essa é uma das grandes diferenças entre um livro de cálculo e um livro de análise: Em cálculo o mais importante é aprender a aplicar os conceitos e teoremas (da análise matemática), realizando cálculos. Na análise, procura-se desenvolver formalmente toda a teoria que garante o funcionamento daqueles teoremas, fazendo-se uma análise dessa teoria, levando em conta toda a estrutura lógica que interliga tais teoremas. Em certo sentido, em cálculo usam-se os teoremas para fazer contas, e na análise usa-se a lógica para fazer teoremas.
Com o conhecimento adquirido na formação escolar, tem-se ainda apenas uma idéia intuitiva do que são os números reais. Às vezes não se tem a familiaridade necessária com esse conceito para poder responder com segurança questões como:
* "Por que não se extrai raiz quadrada de números negativos, como ${\sqrt {-1}}$?" e
* "Por que não se pode dividir por zero, e escrever ${\frac {1}{0}}$?"
Mesmo que a verdade fosse dita, alguns alunos não ficariam satisfeitos com a explicação. Mesmo que a resposta possa não ser útil para muitas pessoas, para os futuros matemáticos, e professores de matemática, é preciso oferecer alguma explicação convincente. No caso:
* Pode-se, sim, extrair raiz quadrada de números negativos, mas o resultado será um número complexo.
* Mesmo que alguém quisesse definir a segunda expressão como sendo algum número real (e admita, até você já quis fazer isso, não?), imediatamente seriam deduzidos fatos contraditórios.
Um exemplo (talvez um pouco informal) de uma tentativa frustrada de definir essa última expressão, mas que oferece alguma intuição a respeito é:
* Se ${\frac {1}{0}}$ fosse igual a $10$, ou seja, ${\frac {1}{0}}=10$ então ao multiplicar ambos os membros pelo denominador (às vezes chamado de passar o zero para a direita) seria concluído que $1=0$. Nada é mais absurdo que isso!
Sendo assim, já que qualquer tentativa de escolher um valor real para atribuir à expressão ${\frac {1}{0}}$ leva a uma contradição como a anterior, é muito mais útil deixar tal expressão indefinida, do que estudar uma teoria cheia de contradições!
Neste livro, a abordagem escolhida para a construção da teoria é aquela em que se procura definir os números a partir de alguns axiomas (uma teoria axiomática). Em termos leigos, os axiomas correspondem às propriedades que se acredita que os números reais deveriam ter. Com base nessas propriedades, demonstram-se muitas outras (leia-se "todas as outras"), de forma que tudo aquilo que se pode fazer com os números reais esteja bem justificado.
Faça uma boa leitura e, se encontrar algum erro ao longo do texto, seja audaz: Faça você mesmo a correção! Melhorias no texto sempre serão bem vindas, e em caso de dúvida pode-se ainda consultar os autores.

# Lógica
## Afirmação

* todos os quadrados são retângulos
* qualquer losango é um quadrilátero.
* alguns triângulos são equilátero.

## Implicação

É uma sentença resultante de uma sentença que pode ser uma afirmação ou uma negação.
* Duas retas r e s são paralelas. Isso quer dizer que o coeficiente angular da reta r é igual ao coeficiente angular da reta s.
** $r:y=m_{r}\cdot x+n_{r}\;e\;s:y=m_{s}\cdot x+n_{s}.Se\;r//s,\;logo\;m_{r}=m_{s}$

# Conjunto
## Noções de Teoria dos Conjuntos

Definição de Conjunto
    Um Conjunto é constítuidos de objetos denominados de elementos.
    Quando um elemento x pertence a um conjunto X, escrevemos: $x\in X\;$.
    Quando um elemento x não pertence a um conjunto X, escrevemos: $x\not \in X\;$.
    Uma forma de caracterizar um conjunto é através da lista dos seus elementos, escrevendo-os separados por vírgulas “,” no interior de duas chaves “{” e “}”.
* Exemplo: Seja $A\;$ um conjunto cujos elementos são 1, 2, 3 e 4; $B\;$ é o conjunto dos quatro primeiros impares naturais. Temos que $A=\{1,2,3,4\},B=\{1,3,5,7\},{\mbox{ logo }}2\in A,2\not \in B$.
    Repetidas vezes usamos expressões do tipo “existe”, “para todo”, “qualquer que seja”, etc. Para simplificar a escrita destas expressões introduziremos alguns símbolos que as representam, a saber:
* $\exists$ significa “existe”;
* $\exists !$ significa “existe um único”;
* $\forall$ significa “para todo” ou “qualquer que seja”;
* $\Rightarrow$ significa “se ... então ...” ou “implica que”;
* $\Leftrightarrow$ significa “se, e somente se,”.

## Exemplos de Conjuntos importantes
### Conjunto dos naturais

O Conjunto $\mathbb {N} =\{1,2,3,...\}$

### Conjunto dos inteiros

O Conjunto $\mathbb {Z} =\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$

### Conjunto dos racionais

O Conjunto $\mathbb {Q} =\{{a \over b};a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {Z} \}$

### Conjunto dos iracionais

$\mathbb {R} -\mathbb {Q} =\{x\not \in \mathbb {Q} ;x\neq {a \over b},\forall \;a,b\;\mathbb {Z} \}$

### Conjunto dos reais

O Conjunto dos reais $\mathbb {R}$ são todos os números racionais e os irracionais.
* $\mathbb {R} =\mathbb {Q} \cup (\mathbb {R} -\mathbb {Q} )$
* $\mathbb {R} =\{x;ax^{2}+bx+c=0\;e\;b^{2}\geq 4ac\}$
* $\mathbb {R} =\{x\in \mathbb {C} ;ax^{2}+bx+c=0\;e\;b^{2}\geq 4ac\}$ (visto como subconjunto dos complexos)

### Conjunto dos complexos

O Conjunto $\mathbb {C} =\{x;ax^{2}+bx+c=0:a,b,c\in \mathbb {Z} \}=\{a+bi;a,b\in \mathbb {R} \}$

### Conjunto definido através de propriedades

$Y=\{y;y\;que\;satisfazem\;as\;propriedades\;P_{1},...,P_{n}\}$
* Exemplo: $Y=\{y;y\;seja\;natural,y\;seja\;maior\;que\;3,y\;seja\;menor\;ou\;igual\;a\;8\}=\{4,5,6,7,8\}$
** O exemplo anterior deve ser escrito assim: $Y=\{y\in \mathbb {N} ;3<y\leq 8\}=\{4,5,6,7,8\}$

### Conjunto vazio

Um conjunto que não têm elementos é chamado de conjunto nulo e representado pelo símbolo $\varnothing$. Mas é mais conhecido como conjunto vazio. Podemos dizer que é um conjunto que não possui elemento. Na prática é um conjunto definidos por propriedades, mas que elemento nenhum satisfaz as propriedades desse conjunto.
* exemplo: $A=\{x;x$ seja natural positivo $\$ e $B=\{y;y$ seja inteiro negativo $\$. Vamos tomar $C=\{$ elementos que estão no conjunto A e estão no conjunto B $\$. Logo C é vazio, pois nenhum elemento que seja natural positivo é inteiro negativo.
** A maneira matemática formal de escrever o que foi enunciado no exemplo anterior: $A=\{x\in \mathbb {N} ;x>0\}{\mbox{ e }}B=\{y\in \mathbb {Z} ;y<0\}$. Vamos tomar $C=A\cap B$. Logo $C=\varnothing$, pois nenhum elemento que seja natural positivo é inteiro negativo.

## Conjuntos Ordenados

Um Conjunto ordenado é um grupo de objetos com um sentido definido de quem é maior. Para dar uma definição abstrata de ordem, iremos dar alguns exemplos de conjuntos ordenados e explorar algumas relações básicas. Nosso primeiro e mais importante conjunto é o conjunto dos números naturais.

### Números Naturais

O conjunto dos números naturais $\mathbb {\mathbb {N} } =\{1,2,3,\ldots \}$ (Alguns autores tomam $\{0,1,2,\ldots \}$ — quando nós desejarmos nos referir a esse conjunto, usaremos $\mathbb {N} _{0}$). O conjunto dos números naturais são todos os números que usamos para contar. Este conjunto é definido por propriedades. A primeira propriedade do conjunto dos números naturais $\mathbb {N}$ é que têm uma relação de equivalência $=\$ satisfazendo as relações de equivalência seguintes:
* Reflexividade
    Qualquer que seja $n\in \mathbb {N} ,\ n=n;$
* Simétrico
    Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,\ n=m\Rightarrow m=n$;
* Transitividade
    Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb {N}$ se $n=m$ e $m=l$, então $n=l$;
Estes termos afirmativos matemáticos podem ser escritos de uma maneira menos rigorosa.
* A primeira relação simplesmente significa que qualquer número natural é igual a si mesmo.
* A segunda relação significa que igualdade vale para qualquer ordem que você disser.
* A última relação diz que quando dois números naturais são iguais e um destes é igual a outro então todos os três são iguais.
Associados com essas relações de equivalência está uma ordem significando que os axiomas adicionais são satisfeitos:
* Tricotomia
    Qualquer que seja$m,n\in \mathbb {N}$, um e somente um, destes abaixo é verdadeiro:
       $m<n$
       $m=n$
       $m>n$
    A notação $m\leq n$ significa que $m<n$ ou $m=n$, e a notação $m\geq n$ significa que $m>n$ ou $m=n$.
* Transitividade de < and >.
    Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb {N}$, se $n<m$ e $m\leq l$, então $n<l$.
    Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb {N}$, se $n>m$ e $m\geq l$, então $n>l$.
Tricotomia significa que qualquer dois números naturais tomados, ou eles são iguais ou um deles é maior que o outro. Transitividade diz que, se existe um terceiro número que é maior que o maior de dois primeiros, então ele é maior que o menor deles. Com isto nós temos uma definição concisa de que temos uma ordem para nossos números. Finalmente os números naturais $\mathbb {N}$ têm uma operação de associatividade chamada adição. O conjunto $\mathbb {N}$ e as operações de adição $+$ satisfazem o seguinte axioma:
* Fechamento
    Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,n+m\in \mathbb {N}$.
* Comutatividade
    Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,\ n+m=m+n$.
* Associatividade
    Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb {N} ,\ n+(m+l)=(n+m)+l$.
    Significa que podemos escrever sem ambiguidade $n+m+l$
* Compatibilidade com ordem
    Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,\ n<n+m$
Significa que se adicionarmos dois naturais o resultado é um natural. A ordem na qual adicionamos não é importante e se eu adicionar dois naturais a soma é tão grande se somar de outro modo.

### Multiplicação

* Fechamento
    Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,\ n\times m\in \mathbb {N}$.
* Identidade
    Qualquer que seja $n\in \mathbb {N} ,\ n\times 1=n$.
* Commutatividade
    Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,\ n\times m=m\times n$.
* Associatividade
    Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb {N} ,\ (n\times m)\times l=n\times (m\times l)$,
    significa que podemos escrever ambiguosamente $n\times m\times l$.
* Distributividade
    Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb {N} ,\ n\times (m+l)=n\times m+n\times l$.
* Compatibilidade com ordernados
    Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,\ m\leq n\times m$.

## Leia mais

* Conjunto estudado no ensino médio
* Teoria dos conjuntos
* Teoria dos Conjuntos (em inglês)

# Subconjunto
## Definição de Subconjunto

Quando um conjunto $Y\;$ é parte de uma certa coleção $X\;$ dizemos que Y é subconjunto de X e escrevemos $Y\subset X$.
* Ex: $X=\{x\in \mathbb {R} ;\;x>2\},Y=\{y\in \mathbb {R} ;\;4<y<10\}$. Como $X=(2,\infty ),Y=(4,10),(4,10)\subset (2,\infty ){\mbox{ logo }}Y\subset X$, isto é, todo elemento que pertence a $Y\;$, pertence a $X\;$, por isso dizemos que $Y\;$ é subconjunto de $X\;$.
* Mais formalmente, se $y\in Y,Y\subset X\Rightarrow y\in X$, também $Y\subset X\Leftrightarrow X\supset Y$

### exemplo

Consideremos os seguintes conjuntos $A=\{2n;n\in \mathbb {N} \},B=\{4n;n\in \mathbb {N} \}.$
* Provaremos que $B\subset A.$ De fato, seja $x\in B,$ então $x=4n{\mbox{ para algum }}n\in \mathbb {N}$, sendo que pode ser escrito na forma $x=2(2n)=2m$, onde claramente $m=2n\in \mathbb {N}$, logo $x\in A$
* Agora vejamos que $\exists x\in A{\mbox{ tal que }}x\in B;{\mbox{ tomamos }}x=2=2(1)\in A$ provaremos que este não pertence a B. Assim usando o argumento do absurdo (ou contradição), isto é, suponhamos que $x=2\in B$ então existe $n\in \mathbb {N}$ tal que $2=4n$, porém esta igualdade somente é satisfeita se n for o número racional $n=1/2$ o qual não pertence a $\mathbb {N}$, fato que nos fornece uma contradição. Portanto $A\subset B.$

### Parte de um conjunto

$Y\subset X$ significa que todos os elementos de $Y\;$ estão em $X\;$.
    $Y\subset X$ lê-se $Y\;$ está contido em $X\;$.
    Podemos definir $Y\subset X$ como $Y=\{a;a\in X\;e\;a\;satisfaz\;a\;propriedade\;P_{1}\}$, considerando que $P_{1}\;$ não é uma das propriedades que definem os elementos de X.

### Subconjunto próprio

$Y\;$ é subconjunto próprio de $X\Leftrightarrow Y\neq X$ e $Y\subset X,mas\;X\not \subset Y$.

### Conjunto vazio

* O $\varnothing \subset X$, isto é, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

### Quando que um conjunto não é um subconjunto

Para mostrar que X não seja subconjunto de Y, isto é, $X\not \subset Y\;$, basta exibir um $x\in X\;$ e provar que $x\not \in Y$.
* Exemplo: X é o conjunto dos naturais e Y é o conjunto dos naturais impares. Vamos mostrar que $X\not \subset Y\;$. Segue que $2\in X\;$, mas $2\not \in Y\;$. Logo $X\not \subset Y\;$.

# Inclusão
## Propriedades da relação de inclusão
### reflexidade

$X\subset X$
* Ao tomarmos um elemento do primeiro conjunto, este elemento também pertence ao segundo conjunto. Assim todo conjunto é subconjunto de si mesmo.

### antisimetria

$X\subset Y,Y\subset X\Rightarrow X=Y$
* prova: tome $x\in X,{\mbox{ como }}\;X\subset Y\Rightarrow x\in Y,{\mbox{ ou tome }}y\in Y,{\mbox{ como }}Y\subset X\Rightarrow y\in X\Rightarrow X=Y$

### transitividade

$X\subset Y,Y\subset Z\Rightarrow X\subset Z$
* prova: dado $x\in X,como\;X\subset Y\Rightarrow x\in Y,mas\;Y\subset Z\Rightarrow x\in Z\Rightarrow X\subset Z$

## Relação de dois conjuntos
### Igualdade

Um conjunto é igual ao outro se um conjunto é subconjunto do outro. Não podendo ser subconjunto próprio. $Y=X\Leftrightarrow Y\subset X\;e\;X\subset Y$.

### Disjuntos

Dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção dos conjuntos é o conjunto vazio, ou seja, quando seus elementos são distintos.
* $Seja\;A,B\subset K,A\cap B=\varnothing \Rightarrow A,B$ são disjuntos.
Exemplos:
* $A\cap A=A$. Logo A não é disjunto dele próprio.
* $A\cap B=B$. Logo A,B não são disjuntos.
* $Seja\;A=\{...,-4,-3,-2,-1\},B=\{1,2,3,4,...\};A\cap B=\varnothing$. Logo A,B são disjuntos.

# Operação
## Operações entre conjuntos

É comum definirmos um conjunto usando alguma propriedade:
* $Seja\;X\subset K,X=\{x\in K;x\;goza\;da\;propriedade\;P\}$
* Ex: $K=\{...,-3,-2,-1,0,1,...\},X=\{x\in K;x>0\}=\{1,2,3,4,...\}$
** Observe que K é o conjunto dos inteiros e que X é o conjunto dos naturais

## União

A união de dois conjuntos é a reunião dos seus elementos, se algum elemento estiver repetido na inclusão, será contado uma única vez, assim:
* $Seja\;A,B\subset K,A\cup B=\{x\in K;x\in A\;ou\;x\in B\}$
** Veremos mais para frente que $A\cup B=(A-B)\cup (B-A)\cup (A\cap B)$ ao qual são três conjuntos disjuntos
* Temos que $A,B\subset A\cup B$.
Propriedades Básicas:
* NULO: $A\cup \varnothing =A$
** Basta verificarmos que $A\cup \varnothing \subset A$ e depois que $A\subset A\cup \varnothing$. Assim $\forall \;x\in A\cup \varnothing \Leftrightarrow x\in A$
* IDENTIDADE: $A\cup A=A$
** $\forall \;x\in A\cup A\Leftrightarrow x\in A\;ou\;x\in A\Leftrightarrow x\in A$
* COMUTATIVIDADE: $A\cup B=B\cup A$
** $\forall \;x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\;ou\;x\in B\Leftrightarrow x\in B\;ou\;x\in A\Leftrightarrow x\in B\cup A$
* SUBCONJUNTO: $A\cup B=A\Leftrightarrow B\subset A$
** $\Rightarrow :A\cup B\subset A\Rightarrow \forall \;x\in B,\;teremos\;x\in A\Rightarrow B\subset A.$
** $\Leftarrow :\forall \;x\in A\Rightarrow x\in A\;ou\;x\in B\Rightarrow x\in A\cup B\Rightarrow x\in A\cup B,\;logo\;$ $A\subset A\cup B$.
** $\forall \;x\in A\cup B\Rightarrow x\in A\;ou\;x\in B,\;como\;B\subset A\Rightarrow x\in A\Rightarrow A\cup B\subset A.\;Portanto\;A\cup B=A$
* ASSOCIATIVA: $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C).$
** $\forall \;x\in (A\cup B)\cup C\Leftrightarrow (x\in A\;ou\;x\in B)\;ou\;x\in C\Leftrightarrow x\in A\;ou\;x\in B\;ou\;x\in C\Leftrightarrow x\in A\;ou\;(x\in B\;ou\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\cup (B\cup C).$
* $A\subset B\;e\;C\subset D\Rightarrow A\cup C\subset B\cup D$
** $\forall \;x\in A\cup C\Rightarrow x\in A\;ou\;x\in C,\;como\;A\subset B,C\subset D,\;logo\;x\in B\;ou\;x\in D\Leftrightarrow x\in B\cup D.$

## Intersecção

A intersecção de dois conjuntos é a reunião dos elementos que estão em ambos, assim:
* $Seja\;A,B\subset K,A\cap B=\{x\in K;x\in A\;e\;x\in B\},\;ou\;seja\;,x\in A\cap B\Rightarrow x\in A\;e\;x\in B$
Exemplos:
* NULO: $A\cap \varnothing =\varnothing .$
** $\forall x\in A\cap \varnothing \Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in \varnothing \Leftrightarrow x\in \varnothing .$
* IDENTIDADE: $A\cap A=A.$
** $\forall x\in A\cap A\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in A\Leftrightarrow x\in A.$
* COMUTATIVIDADE: $A\cap B=B\cap A.$
** $\forall x\in A\cap B\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in B\Leftrightarrow x\in B\;e\;x\in A\Leftrightarrow x\in B\cap A.$
* SUBCONJUNTO: $A\cap B=B\Leftrightarrow B\subset A.$
** $\Rightarrow :\forall x\in B,\;como\;B\subset A\cap B\Rightarrow x\in A\cap B\Rightarrow x\in A\Rightarrow B\subset A.$
** $\Leftarrow :\;Como\;B\subset A\Rightarrow \forall \;x\in B\Rightarrow x\in A\Rightarrow x\in A\;e\;x\in B\Rightarrow x\in A\cap B,\;logo\;$ $B\subset A\cap B$.
** $\forall x\in A\cap B\Rightarrow x\in A\;e\;x\in B\Rightarrow x\in B\Rightarrow A\cap B\subset B.\;Portanto\;A\cap B=B\;.$
* ASSOCIATIVA: $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C).$
** $\forall \;x\in (A\cap B)\cap C\Leftrightarrow x\in A\cap B\;e\;x\in C\Leftrightarrow (x\in A\;e\;x\in B)\;e\;x\in C\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in B\;e\;x\in C\Leftrightarrow$
    $\Leftrightarrow x\in A\;e\;(x\in B\;e\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in B\cap C\Leftrightarrow x\in A\cap (B\cap C).$
* $A\subset B\;e\;C\subset D\Rightarrow A\cap C\subset B\cap D$
** $\forall x\in A\cap C\Rightarrow x\in A\;e\;x\in C,\;como\;A\subset B,C\subset D,\;logo\;x\in B\;e\;x\in D\Leftrightarrow x\in B\cap D.$

## Diferença

A diferença de dois conjuntos é o conjunto dos elementos do primeiro com a exclusão dos elementos do segundo conjunto, assim:
* $Seja\;A,B\subset K,A-B=\{x\in K;x\in A\;e\;x\not \in B\}$.
* $A\setminus B\;e\;A-B$ significam a mesma coisa.

## Exemplo 1

* $A\setminus B=A\cap B^{C}$
** $Tome\;x\in A\setminus B\Rightarrow x\in A\land x\not \in B\Rightarrow x\in A\land x\in B^{C}\Rightarrow x\in A\cap B^{C}\Rightarrow A\setminus B\subset A\cap B^{C}$.
** $Tome\;x\in A\cap B^{C}\Rightarrow x\in A\land x\in B^{C}\Rightarrow x\in A\land x\not \in B\Rightarrow x\in A\setminus B\Rightarrow A\cap B^{C}\subset A\setminus B$.

## Exemplo 2

* $A\setminus B=A\setminus (A\cap B)$
** $Tome\;x\in A\setminus B\Rightarrow x\in A\land x\not \in B\Rightarrow x\in A\land x\in B^{C}$.
*** $Como\;A\cap B\subset B\Rightarrow B^{C}\subset (A\cap B)^{C}$. Logo $x\in B^{C}\Rightarrow x\in (A\cap B)^{C}$.
*** $Portanto\;x\in A\land x\in B^{C}\Rightarrow x\in A\land x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A\cap (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A\setminus (A\cap B)\Rightarrow A\setminus B\subset A\setminus (A\cap B)$.
** $Tome\;x\in A\setminus (A\cap B)\Rightarrow x\in A\land x\not \in (A\cap B)\Rightarrow x\in A\land x\in (A\cap B)^{C}$.
*** $(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}.Logo\;x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\cup B^{C}\Rightarrow x\not \in A\lor x\not \in B$
*** $Assim\;x\in A\land x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A\land (x\not \in A\lor x\not \in B)\Rightarrow (x\in A\land x\not \in A)\lor (x\in A\land x\not \in B)\Rightarrow (x\in A\land x\not \in B)\Rightarrow x\in (A\setminus B)\Rightarrow$
*** $\Rightarrow A\setminus (A\cap B)\subset A\setminus B$.

## Exemplo 3

* $A,B\subset K;tal\;que\;A\cap B=\varnothing ,A\cup B=K\Rightarrow K-A=B\land K-B=A$.

## Exemplo 4

* $A-A=\varnothing$.
** Suponha que $A-A\neq \varnothing \Rightarrow \exists \;x\in A-A\Rightarrow \exists \;x\in A\;e\;x\not \in A$. Mas isso é um absurdo. Um elemento pertence ou não a um conjunto, ele não pode pertencer e não pertencer.

## teorema

* $A\setminus B=\varnothing \Leftrightarrow A\subset B$.
** $\Rightarrow :A\setminus B=\varnothing \Rightarrow \forall x\in A,x\in B\Rightarrow A\subset B$.
** $\Leftarrow :Suponha\;que\;A-B\neq \varnothing \Rightarrow \exists \;x\in A\setminus B\Rightarrow \exists \;x\in A,x\not \in B.\;Absurdo,\;pois\;A\subset B,\Rightarrow \forall x\in A,x\in B$.
* $A-B=A\Leftrightarrow A\cap B=\varnothing$.
** $\Rightarrow :A=A-B\Rightarrow A\subset A-B\Rightarrow \forall x\in A,x\in A-B\Rightarrow \forall x\in A,x\not \in B\Rightarrow A\cap B=\varnothing$.
** $\Leftarrow :A\cap B=\varnothing \Rightarrow \forall x\in A,x\not \in B\Rightarrow \forall x\in A,x\in A-B\Rightarrow A\subset A-B$.
*** $\forall x\in A-B\Rightarrow x\in A,x\not \in B\Rightarrow A-B\subset A$.
*** $\therefore A=A-B$.
* $A-B=\varnothing =B-A\Leftrightarrow A=B$.
** $\Rightarrow :A-B\subset B-A\Rightarrow \forall x\in A,x\in B\Rightarrow A=B$.
** $\Leftarrow :A=B\Rightarrow \;dado\;x\in A-B,x\in A,x\not \in B\Rightarrow x\in B\;e\;x\not \in B\Rightarrow A-B=\varnothing$. Analogamente $B-A=\varnothing$.

### teorema

* $A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\setminus C\Leftrightarrow A\cap C=\varnothing$
** $A\setminus (B\setminus C)=A\setminus (B\setminus (B\cap C))=A\setminus (B\setminus ((B\cap C)\cap A)\cup ((B\cap C)\setminus A))=A\setminus (B\setminus ((A\cap B\cap C)\cup ((B\cap C)\setminus A)))=...$ $...=\{x\in (A\setminus B)\cup (A\cap B\cap C)\}$. Como $A\cap B\cap C\subset A\cap C\subset A\Rightarrow A\setminus (B\setminus C)=\{x\in (A\setminus B)\cup (A\cap C)\}$
** $(A\setminus B)\setminus C=(A\setminus B)\setminus (A\cap C)$
** $\therefore A\setminus (B\setminus C)=((A\setminus B)\setminus C)\cup (A\cap C)$

## Diferença Simétrica

* Definição 1: $A\Delta B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)=\{x\in U;x\in A\cup B\;e\;x\not \in A\cap B\}$
* Definição 2: $A\Delta B=(A\setminus B)\cup (A\setminus B)$

### teorema

Prova:
* $Tome\;x\in (A\setminus B)\cup (B\setminus A)\Rightarrow x\in (A\setminus B)\lor x\in (B\setminus A)\Rightarrow (x\in A\land x\not \in B)\lor (x\in B\land x\not \in A)\Rightarrow$
** $\Rightarrow [(x\in A\land x\not \in B)\lor x\in B]\land [(x\in A\land x\not \in B)\lor x\not \in A]\Rightarrow [(x\in A\lor x\in B)\land (x\not \in B\lor x\in B)]\land [(x\in A\lor x\not \in A)\land (x\not \in B\lor x\not \in A)]\Rightarrow$
** $\Rightarrow [(x\in A\lor x\in B)\land (x\not \in B\lor x\in B)]\land [(x\in A\lor x\not \in A)\land (x\not \in B\lor x\not \in A)]\Rightarrow$
** $\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\in B^{C}\lor x\in A^{C}]\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\in (B^{C}\cup A^{C})]\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\in (B\cap A)^{C}]\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\not \in (B\cap A)]\Rightarrow$
** $[x\in (A\cup B)\setminus (A\cap B)]$
* $\Rightarrow (A\setminus B)\cup (B\setminus A)\subset (A\cup B)\setminus (A\cap B)$

## Distributividade do conjuntos

Existe duas importantes propriedades usando união e intersecção, são elas:
* $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
** $\forall x\in A\cap (B\cup C)\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in B\cup C\Leftrightarrow x\in A\;e\;(x\in B\;ou\;x\in C)\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow (x\in A\;e\;x\in B)\;ou\;(x\in A\;e\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\cap B\;ou\;x\in A\cap C\Leftrightarrow x\in (A\cap B)\cup (A\cup C)$
* $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
** $\forall x\in A\cup (B\cap C)\Leftrightarrow x\in A\;ou\;x\in B\cap C\Leftrightarrow x\in A\;ou\;(x\in B\;e\;x\in C)\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow (x\in A\;ou\;x\in B)\;e\;(x\in A\;ou\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\cup B\;e\;x\in A\cup C\Leftrightarrow x\in (A\cup B)\cap (A\cap C)$
* $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap C\Leftrightarrow A-C=\varnothing$
** $\Rightarrow :A\cup (B\cap C)=(A-C)\cup (A\cap C)\cup (B\cap C)=(A-C)\cup ((A\cup B)\cap C)$. Para satisfazer a hipótese temos que uma condição necessária seja a de que $A-C=\varnothing$.
** $Ao\;observar\;a\;igualdade\;A\cup (B\cap C)=(A-C)\cup ((A\cup B)\cap C)$, que vimos ser verdadeira, percebermos que a nossa hipótese, $A-C=\varnothing$, é suficiente para dizermos que $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap C$

# Complementar
## Complementar de um conjunto

* Seja $A\subset K\Rightarrow K-A=\complement _{K}A=\{x\in K;x\not \in A\}$. (O complementar de um subconjunto sobre um conjunto é um modo diferente de ver a diferença entre um conjunto e seu subconjunto.)
** Dado $x\in K,A\subset K$. Temos que só uma é verdadeira $x\in A{\mbox{ ou }}x\not \in A$.
** Quando é claro quem é o conjunto K, podemos omiti-lo, assim o complementar de A em relação a K fica somente $A^{C}$
** $(A^{C})^{C}=A$
*** Considere Dado $x\in (A^{C})^{C}\Rightarrow x\not \in A^{C}\Rightarrow x\in A$. Analogamente seja, $x\in A\Rightarrow x\not \in A^{C}\Rightarrow x\in (A^{C})^{C}$.

# Propriedades
## Propriedades de conjuntos

Sejam $A,B\subset K$.
* $A\cup B=K,A\cap B\neq \varnothing \Rightarrow A-B=\complement _{A}B=K-B=\complement _{K}B$.
** $Dado\;x\in K=A\cup B\Rightarrow x\in A{\mbox{ ou }}x\in B{\mbox{ ou }}x\in A\cap B$
* $A\cup B=K,A\cap B=\varnothing \Rightarrow {\mbox{ dado }}x\in K\Rightarrow x\in A{\mbox{ ou }}x\in B$.
* $A\subset B\Rightarrow B^{C}\subset A^{C}$.
** Dado $x\in B^{C}\Rightarrow x\not \in B\Rightarrow ^{1}x\not \in A\Rightarrow x\in A^{C}$. 1 Suponha que $A-B\neq \emptyset \Rightarrow \exists x\in K;x\in A,x\not \in B\Rightarrow A\not \subset B$ que opõe-se da nossa hipótese.

### teorema

* $A\cup B=B\Leftrightarrow _{1}A\subset B\Leftrightarrow _{2}A\cap B=A$
** $\Rightarrow _{1}:De\;fato\;A\subset A\cup B.\;Como\;A\cup B=B\Rightarrow A\cup B\subset B.\;Logo\;A\subset A\cup B\subset B\Rightarrow A\subset B.$
** $\Leftarrow _{1}:De\;fato\;A,B\subset A\cup B.\;Como\;A\subset B,\;logo\;A\cup B\subset B.\;Portanto\;A\cup B=B.$
** $\Rightarrow _{2}:De\;fato\;A\cap B\subset A.\;Como\;A\subset B,\;logo\;A\subset A\cap B.$
** $\Leftarrow _{2}:Como\;A\cap B=A\Rightarrow A\subset A\cap B.\;De\;fato\;A\cap B\subset B\Rightarrow A\subset B.$

### Relações de Morgan

* $(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}$
** $\forall x\in (A\cup B)^{C}\Rightarrow x\not \in A\cup B.\;Como\;A\cup B=(A-B)\cup (B-A)\cup (A\cap B),\;disjuntos\Rightarrow x\not \in A-B,x\not \in B-A\;e\;x\not \in A\cap B\Rightarrow$
*** $\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\cap B^{C}\Rightarrow (A\cup B)^{C}\subset A^{C}\cap B^{C}$ (1)
** $\forall x\in A^{C}\cap B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\not \in A-B,x\not \in B-A\;e\;x\not \in A\cap B\Rightarrow x\not \in A\cup B\Rightarrow x\in (A\cup B)^{C}\Rightarrow A^{C}\cap B^{C}\subset (A\cup B)^{C}$ (2)
** Por (1) e (2), temos que $(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}$
* $(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}$
** $\forall x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\not \in A\cap B\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\cup B^{C}$
** $\forall x\in A^{C}\cap B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\not \in A\cap B\Rightarrow x\in (A\cap B)^{C}$

## exemplos

* $\varnothing \in \varnothing$
** Considere K, um conjunto qualquer e $A=K\cap K^{C}$. Suponha que $\varnothing \in A$. Como A é a intersecção disjunta de dois conjuntos, logo $\varnothing \in K\;e\;\varnothing \in K^{C}$. Mas não existe um elemento que pertença a um conjunto e ao seu complementar ao mesmo tempo. Portanto $\varnothing \not \in \varnothing$
* $\varnothing \subset \varnothing$
** Por contradição $\varnothing _{A}\not \subset \varnothing _{B}\Rightarrow \exists x\in \varnothing _{A};x\not \in \varnothing _{B}\Rightarrow \varnothing _{A}-\varnothing _{B}\neq \varnothing$. O que é um absurdo, pois estamos dizendo que um conjunto vazio tenha algum elemento.
** Suponha um conjunto A qualquer e que $\varnothing \not \subset A$, isso implica que o conjunto vazio têm um elemento que o A não tenha. Mas o conjunto vazio não têm elementos. Portanto o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive de si mesmo.
* $\varnothing \in \{\varnothing \}$
** O conjunto das partes do conjunto $\{\}$, é $\{\varnothing \}$. Portanto o conjunto vazio pertence ao conjunto das partes do conjunto vazio.
* $\varnothing \subset \{\varnothing \}$
** Tomemos as parte do conjunto $\{\}$, que é $\{\varnothing \}$. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, assim: $\{\varnothing \}\subset \{\varnothing \}$

## condições entre conjuntos

Considere $A=\{x\in U;P\;ocorre\},B=\{x\in U;Q\;ocorre\}\;e\;C=\{x\in U;R\;ocorre\}$. Determine a relação entre as condições P, Q e R, onde
* $A\cap B^{C}\subset C$
** $\forall x\in A\cap B^{C}\Rightarrow x\in A\;e\;x\in U-B\Rightarrow x\in C.$
*** $\therefore P\land \lnot Q\Rightarrow R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que possui a propriedade P e não possui a propriedade Q, possui a propriedade R.
*** Devemos aqui ter bem claro que $x\in U-A$ significa que temos um elemento do conjunto U que não pertence ao conjunto A, isto é, não possui a propriedade P.
* $A^{C}\cup B^{C}\subset C$
** $\forall x\in A^{C}\cup B^{C}\Rightarrow x\in U-A\;ou\;x\in U-B\Rightarrow x\in C$
*** $\therefore \lnot P\lor \lnot Q\Rightarrow R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P ou não possui a propriedade Q, possui a propriedade R.
* $A^{C}\cup B\subset C^{C}$
** $\forall x\in A^{C}\cup B\Rightarrow x\in U-A\;ou\;x\in B\Rightarrow x\in U-C$
*** $\therefore \lnot P\lor Q\Rightarrow \lnot R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P ou possui a propriedade Q, não possui a propriedade R.
* $A^{C}\subset B^{C}\cup C$
** $\forall x\in A^{C}\Rightarrow x\in U-A\Rightarrow x\in U-B\;ou\;x\in C$
*** $\therefore \lnot P\Rightarrow \lnot Q\lor R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P, não possui a propriedade Q ou possui a propriedade R.
* $A\subset B^{C}\cup C^{C}$
** $\forall x\in A\Rightarrow x\in B^{C}\cup C^{C}\Rightarrow x\in U-B\;ou\;x\in U-C$
*** $\therefore P\Rightarrow \lnot Q\lor \lnot R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que possui a propriedade P, não possui a propriedade Q ou não possui a propriedade R.

# Coleção de conjuntos
## Coleção de Conjuntos

Seja X um conjunto cujos objetos sejam conjuntos, nesse caso os objetos são denominados membros e o conjunto coleção.
    Ex.: $C=\{\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} \}$
    Ex.: $P=\{A,B,C,D\},{\mbox{ onde }}A=\varnothing ,B=\{1\},C=\{2\},D=\{1,2\}$. Nesse caso P é o conjunto dos subconjuntos de D, essa família tem o nome de conjunto das partes de D e é geralmente escrita como P(D), de forma que $P(D)=\{X;X\subset D\}$.

### Coleção das partes de um conjunto

O Conjunto das partes P(A) de um conjunto A é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.
    Ex.: Seja $X=\{a,b,c\}$, logo $P(X)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},X\}=\{Y;Y\subset X\}$.

### teorema de Cantor

Se A é um conjunto, não existe uma função $f:A\rightarrow P(A)$ que seja sobrejetiva.
* Prova:

### União de membros

Seja C uma família cujos membros são $A_{1},...,A_{n}$. Assim $C=\{A_{1},...,A_{n}\},$ onde n é quantidade de membros da família C.
    Geralmente não nos referimos a essa quantidade n, e dizemos apenas que os membros são do "tipo" A e que $A\in C$.
    A união dos membros da família C é escrita assim: $\bigcup _{A\in C}A=A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n}$.
    Como em geral não nos referimos a essa quantidade n, diremos apenas $\bigcup _{A\in C}A$.
* Definiremos $\bigcup _{A\in C}A=\{x;x\in A{\mbox{ para algum }}A\in C\}$ onde x são os elementos dos membros de C.

### Intersecção de membros

Seja C uma família cujos membros são $A_{1},...,A_{n}$. Assim $C=\{A_{1},...,A_{n}\},$ onde n é quantidade de membros da família C.
    Geralmente não nos referimos a essa quantidade n, e dizemos apenas que os membros são do "tipo" A e que $A\in C$.
    A intersecção dos membros da família C é escrita assim: $\bigcap _{A\in C}A=A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n}$.
    Como em geral não nos referimos a essa quantidade n, diremos apenas $\bigcap _{A\in C}A$.
* Definiremos $\bigcap _{A\in C}A=\{x;x\in A{\mbox{ para todo }}A\in C\}$ onde x são elementos de todos os membros de C.

## Anel de Conjuntos

Uma família de conjuntos ${\mathfrak {F}}$, denomina-se um anel de conjuntos, se satisfaz as seguintes propriedades:
* $Se\;A,B\in {\mathfrak {F}},logo\;A\triangle B,A\cap B\in {\mathfrak {F}}$
* Unidade de uma família de subconjuntos ${\mathfrak {F}}$:
** $E\in {\mathfrak {F}}$ é a unidade de ${\mathfrak {F}},se\forall \;A\in {\mathfrak {F}},implicar\;que\;A\cap E=A$

### Exemplo 1

Considere ${\mathfrak {F}}$ a família de subconjuntos de um conjunto com 1 elemento, onde ${\mathfrak {F}}$ é um anel de conjuntos.
* $Seja\;{\mathfrak {F}}=\{\varnothing ,\{a\}\}$, onde a é um elemento qualquer.
* Assim $\varnothing ,\{a\}\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow \varnothing \cap \varnothing ,\varnothing \cap \{a\},\{a\}\cap \{a\},\varnothing \triangle \varnothing ,\varnothing \triangle \{a\},\{a\}\triangle \{a\}\in {\mathfrak {F}}$
** Mas $\varnothing \cap \varnothing =\varnothing \cap \{a\}=\varnothing \triangle \varnothing ,\{a\}\triangle \{a\}=\varnothing$.
** Também $\{a\}\cap \{a\}=\varnothing \triangle \{a\}=\{a\}$
* A unidade de ${\mathfrak {F}}$ é $\{a\},$ pois:
** $\{a\}\cap \varnothing =\varnothing \;e\;\{a\}\cap \{a\}=\{a\}$

### Exemplo 2

Considere ${\mathfrak {F}}$ a família de subconjuntos de um conjunto com 2 elementos, onde ${\mathfrak {F}}$ é um anel de conjuntos.
* $Seja\;{\mathfrak {F}}=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$, onde a,b são elementos qualquer.
* Assim $\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow$:
** $\varnothing \cap \varnothing ,\varnothing \cap \{a\},\varnothing \cap \{b\},\varnothing \cap \{a,b\},\{a\}\cap \{a\},\{a\}\cap \{b\},\{a\}\cap \{a,b\},\{b\}\cap \{b\},\{b\}\cap \{a,b\},\{a,b\}\cap \{a,b\}$
** $\varnothing \triangle \varnothing ,\varnothing \triangle \{a\},\varnothing \triangle \{b\},\varnothing \triangle \{a,b\},\{a\}\triangle \{a\},\{a\}\triangle \{b\},\{a\}\triangle \{a,b\},\{b\}\triangle \{b\},\{b\}\triangle \{a,b\},\{a,b\}\triangle \{a,b\}$
* A unidade de ${\mathfrak {F}}$ é $\{a,b\},$ pois:
** $\{a,b\}\cap \varnothing =\varnothing ,\{a,b\}\cap \{a\}=\{a\},\{a,b\}\cap \{b\}=\{b\}\;e\;\{a,b\}\cap \{a,b\}=\{a,b\}$

# Produto Cartesiano
## Conjunto de Pares ordenados

Dados dois objetos a e b definimos o par ordenado (a, b) cuja primeira coordenada é "a" e a segunda é "b". Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se eles forem iguais coordenada por coordenada, i.e., $(a,b)=(c,d)\Leftrightarrow a=c{\mbox{ e }}b=d$.
    Repare que $(a,b)\neq (b,a)$ salvo se a = b e que $(a,a)\neq a$. De maneira análoga definimos triplas ordenadas $(a,b,c)$ ou n-uplas ordenadas $(a_{1},...,a_{n})$.

### Plano Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B existe um conjunto chamado de produto cartesiano de A e B (denotado $A\times B$) formado pelos pares ordenados (a, b) tais que $a\in A\;e\;b\in B$. Em símbolos: $A\times B=\{(a,b);a\in A\;e\;b\in B\}$.
    Ex.: $A\times A=\{(a,b);a\in A\;e\;b\in A\}$ e, por simplicidade, o denotamos $A^{2}$.
    Ex.: De maneira análoga definimos $A\times B\times C=\{(a,b,c);a\in A,b\in B\;e\;c\in C\},$
    Ex.: $A^{3}=A\times A\times A,A^{n}={\begin{matrix}\underbrace {A\times ...\times A} \\nvezes\end{matrix}}$
    Ex: Sejam $A=\{1,2,3,4\}{\mbox{ e }}B=\{a,b,c\}\Rightarrow A\times B=\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(4,a),(4,b),(4,c)\}$
    Exemplos importantes de Planos Cartesianos: $\mathbb {N} ^{2}=\mathbb {N} \times \mathbb {N} ;\mathbb {Z} ^{2}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ;\mathbb {Q} ^{2}=\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} ;\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R}$.

### Diagonal de um Plano Cartesiano

A diagonal mais simples é do quadrado $A^{2}:\Delta (A^{2})=\{(a,a);a\in A\}$. Da mesma forma temos a diagonal do quadrado $A^{n}:\Delta (A^{n})=\{{\begin{matrix}\underbrace {(a,a,...,a)} \\nvezes\end{matrix}};a\in A\}$
* Mas temos outras diagonais que exigem um pouco mais de elaboração como a de um retângulo $A\times B$. Supondo que o $\min(A),\min(B),\max(A),\max(B)<\infty :$ $\Delta (A\times B)=\{(\min(A),\min(B))+c(\max(A)-\min(A),\max(B)-\min(B));c\in [0,1]\}$
    Ex.: $A=[2,12],B=[1,15]:\Delta (A\times B)=\{(2,1)+c(10,14);c\in [0,1]\}$

## Propriedades de Plano Cartesiano

* Dois pares ordenados são iguais se são iguais coordenada a coordenada, assim
** $(a,b)=(c,d)\Leftrightarrow a=c\;e\;b=d$

# Equações
## Equação

Podemos definir equação como uma sentença matemática que possui uma igualdade entre duas expressões algébricas e uma ou mais incógnitas (valores desconhecidos) que são expressadas por letras.
* a idéia de uma equação é determinar o valor de cada incógnita.

### Teo

* $a=b,c=d\Leftrightarrow a+c=b+d\;e\;a-c=b-d$
* $a=b,c=d\Leftrightarrow a\cdot c=b\cdot d\;e\;a/c=b/d$
* $a=b\Leftrightarrow a\cdot a=b\cdot b\Leftrightarrow a^{2}=b^{2}$

### exemplo

* ${\sqrt {x}}=4\Leftrightarrow {\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {x}}=4\cdot 4\Leftrightarrow x=16$
* ${\sqrt {x}}+x=2\Leftrightarrow {\sqrt {x}}+x-x=2-x\Leftrightarrow {\sqrt {x}}=2-x\Leftrightarrow {\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {x}}=(2-x)\cdot (2-x)\Leftrightarrow x=4-4x+x^{2}\Leftrightarrow$
** $\Leftrightarrow x^{2}-4x-x+4-4=x-x-4\Leftrightarrow x^{2}-5x=-4\Leftrightarrow x^{2}-5x+{25 \over 4}=-4+{25 \over 4}\Leftrightarrow$
** $\Leftrightarrow (x-{5 \over 2})^{2}={-16+25 \over 4}\Leftrightarrow (x-{5 \over 2})^{2}={9 \over 4}\Leftrightarrow x-{5 \over 2}={3 \over 2}\;ou\;x-{5 \over 2}=-{3 \over 2}\Leftrightarrow$
** $\Leftrightarrow x-{5 \over 2}+{5 \over 2}={3 \over 2}+{5 \over 2}\;ou\;x-{5 \over 2}+{5 \over 2}=-{3 \over 2}+{5 \over 2}\Leftrightarrow$
** $x={8 \over 2}\;ou\;x={2 \over 2}\Leftrightarrow x=4\;ou\;x=1$
* ${\sqrt {x}}+3=x\Leftrightarrow {\sqrt {x}}+3-3=x-3\Leftrightarrow {\sqrt {x}}=x-3\Leftrightarrow {\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {x}}=(x-3)\cdot (x-3)\Leftrightarrow x=x^{2}-6x+9\Leftrightarrow$
** $\Leftrightarrow x^{2}-6x-x+9-9=x-x-9\Leftrightarrow x^{2}-7x=-9\Leftrightarrow x^{2}-7x+{49 \over 4}=-9+{49 \over 4}\Leftrightarrow$
** $\Leftrightarrow (x-{7 \over 2})^{2}={-36+49 \over 4}\Leftrightarrow (x-{7 \over 2})^{2}={13 \over 4}\Leftrightarrow x-{7 \over 2}={{\sqrt {1}}3 \over 2}\;ou\;x-{7 \over 2}=-{{\sqrt {1}}3 \over 2}\Leftrightarrow$
** $\Leftrightarrow x-{7 \over 2}+{7 \over 2}={{\sqrt {1}}3 \over 2}+{7 \over 2}\;ou\;x-{7 \over 2}+{7 \over 2}=-{{\sqrt {1}}3 \over 2}+{7 \over 2}\Leftrightarrow$
** $x={7+{\sqrt {1}}3 \over 2}\;ou\;x={7-{\sqrt {1}}3 \over 2}$

# Funções
## Função

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função $f:A\mapsto B$ (lê-se função f de A em B) é definida por uma regra de associação, ou relação, entre elementos de A e B que a cada $x\in A$ associa um único elemento $f(x)$ (lê-se f de x) em B, dito imagem de x por f. O conjunto A é o domínio de f enquanto que B é o contradomínio de f.
    Note que não pode haver exceção à regra: todo $x\in A$ possui uma imagem $f(x)\in B$. Por outro lado, pode existir $y\in B$ que não seja imagem de nenhum $x\in A$. Note também que, dado $x\in A$, não pode haver ambiguidade com respeito a f(x). Entretanto, o mesmo elemento $y\in B$ pode ser imagem de mais de um elemento de A, i.e., pode ocorrer $f(x_{1})=f(x_{2})$ com $x_{1}\neq x_{2}$.

## Conjuntos Básicos de uma função
### Domínio de uma Função

Uma mesma regra pode ser definida em vários domínios diferentes: Sejam $f:A_{1}\mapsto B\land g:A_{2}\mapsto B$, onde f e g tenham regras iguais.
* $f$ é uma função se $f(A_{1})\subset B\;e\;g$ é uma função se $g(A_{2})\subset B.$
* Exemplo: $f:2\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Z} \;e\;g:(2\mathbb {Z} -1)\mapsto \mathbb {Z} ,com\;f(x)=x+2\;e\;g(x)=x+2$.
** $f(2)=2+2=4\;e\;g(3)=3+2=5$. Mas certamente $f(3)\;e\;g(2)$ não existem porque $2\not \in 2\mathbb {Z} -1\;e\;3\not \in 2\mathbb {Z}$.
** Mas podemos definir uma função $h(x)=\left\{{\begin{matrix}f(x),&{\mbox{se }}x{\mbox{ é par}}\\g(x),&{\mbox{se }}x{\mbox{ é ímpar}}\end{matrix}}\right.=$ $\left\{{\begin{matrix}x+2,&{\mbox{se }}x{\mbox{ é par}}\\x+2,&{\mbox{se }}x{\mbox{ é ímpar}}\end{matrix}}\right.\Rightarrow h:\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Z} ,onde\;h(x)=x+2$

### Imagem e Contra-domínio de uma Função

Seja $f:A\mapsto B,B'\subset B$.
* $\forall x\in A:f:A\mapsto B\Rightarrow \exists !y\in B;tal\;que;f(x)=y$. y =f(a) é dito imagem de a pela função f ou valor da função aplicada em x = a.

### Imagem Inversa de uma Função

Dado $f:A\mapsto B$, uma função que relaciona cada $x\in A$ com um $f(x)\in B$.
* A imagem inversa de um $y\in B$ vai existir se existir um $x\in A,tal\;que\;f(x)=y,\;ou\;seja,x=f^{-1}(y).$
** Aqui não queremos afirmar que nada sobre a função inversa de f. Apenas dizer quem é o conjunto "Imagem Inversa" de "f".
** Para cada valor de y em B, x é dito imagem inversa de y, se f(x) = y.
* Tome $f:3\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Z} ,sendo\;que\;f(x)=2x$. O conjunto Imagem de f é o conjunto $Im_{f}=\{y\in \mathbb {Z} ,tal\;que\;y=f(x),para\;algum\;x\in 3\mathbb {Z} \}=$
** Como $x\in 3\mathbb {Z} \Rightarrow x=3k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z} .Como\;f(x)=2x\Rightarrow f(x)=2\cdot 3k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z} \Rightarrow f(x)=6k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z}$
** Assim, o conjunto $Im_{f}=\{y\in \mathbb {Z} ,tal\;que\;y=6k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z} \}=6\mathbb {Z}$
* O conjunto imagem inversa da função f, é o conjunto $\{x\in A,tal\;que\;f(x)=y,\forall \;y\in Im_{f}\}=$ $=\{x\in A,tal\;que\;x=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y),\forall \;y\in Im_{f}\}=A$.
* Para que y esteja na imagem da função f, ele foi tomado como f(x), de algum x no conjunto A. Como a função sempre é definida por todo o domínio, então qualquer x que esteja em A, terá uma imagem, e será a imagem inversa de sua imagem. logo $x=f^{-1}(f(x))$

### Gráfico "Algébrico" de uma função

Seja $f:A\mapsto B;f(A)\subset B$. O gráfico da função f é o conjunto $G(f)=\{(a,f(a));a\in A\}$.

## Exemplos Básicos de Função
### Função Identidade

Uma função $I:A\mapsto B$ é chamada função identidade se $\forall x\in A,I(x)=x.$ Implicações:
* $A\subset B$.
* a imagem inversa de $x\in B,$ sempre será $x\in A,ou\;seja,I^{-1}(x)=x.$.

### Função Constante

Uma função $f:A\mapsto B,f(x)=c$ é chamada função constante se $\forall x\in A,f(x)=c.$ Implicações:
* $c\in B$ é a única imagem da função, ou seja, $Im_{f}=\{c\}$.

### Função Característica

Dado $A\subset C$, definimos a função característica ou indicadora de A por $I_{A}:C\mapsto \{0,1\}$ (também denotada por $X_{A}$ ) por $I_{A}(x)={\begin{cases}0,{\mbox{ se }}x\not \in A\\1,{\mbox{ se }}x\in A\end{cases}}$.
    A função indicadora (ou característica) é muito utilizada em teoria da integração e em probabilidade. Podemos escrever que $I:P(C)\mapsto F(C;\{0,1\}){\mbox{ ou }}I\in F(P(C);F(C;\{0,1\}))$, pois I associa a cada subconjunto $A\in P(C)$ a função $I_{A}$.

# 2Funções
## Igualdade de funções

Sejam $f:A\mapsto B\;e\;g:C\mapsto D$ duas funções. Dizemos que f e g são iguais se
* são dadas pela mesma regra de associação, ou seja, se $f(x)=g(x),\forall x\in A,C$.
* "A = C": A condição acima só tem sentido (podendo ser falsa) se f e g tiverem o mesmo domínio (no caso A=C).
* "B = D": E também é indispensável que f e g tenham o mesmo contradomínio.
    Por esta razão, podemos considerar iguais duas funções de contradomínios diferentes. Mais delicado é considerar que funções de domínios diferentes sejam iguais. Entretanto, cometemos este abuso quando, por exemplo, o domínio de uma função contém o domínio da outra. Quando a prudência mandar, devemos lidar com os conceitos de restrição e extensão.

## Restrição de uma função

Sejam $f:A\mapsto B\;e\;g:C\mapsto D$. Dizemos que f é uma restrição de g ou que g é uma extensão de f se $A\subset C\;e\;f(x)=g(x),\forall \;x\in A$. Neste caso escrevemos $f=g|A$.

## Função Composta

Sejam $f:A\mapsto B\;e\;g:C\mapsto D$ tais que $f(A)\subset C$.
* BEM ENCAIXADOS: A definição anterior faz sentido pois dado $x\in A$ temos que $y=f(x)\in f(A),como\;f(A)\subset C$ temos $y=f(x)\in C$. Neste caso podemos aplicar g e encontrar $z=g(y)=g(f(x))\in D$.
** Na prática é assim: $Dado\;x\in A,(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=z,onde\;y=f(x)$.
* $B\not \subset C$ não atrapalha a composição. Suponha $f:\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Z} ,f(x)=2x\;e\;g:2\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Z} ,g(y)=3y.$ Observamos que $\mathbb {Z} \not \subset 2\mathbb {Z} ,mas\;f(\mathbb {Z} )\subset 2\mathbb {Z}$. Portanto a função composição é possível.
* ASSOCIATIVA: Observamos ainda que a operação de composição de funções é associativa, i.e., se $f:A\mapsto B,g:C\mapsto D\;e\;h:E\mapsto F\;com\;f(A)\subset C\;e\;g(C)\subset E$, então temos que $((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ (g\circ f))(x)=h(g(f(x))),\forall x\in A$.
* Para $f:A\mapsto A$ definimos $f^{n}:A\mapsto A$ por $f^{n}=\underbrace {f\circ ...\circ f} _{nvezes}$.

### Função Inversa

Seja $f:A\mapsto B$.
* $f:\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {N} ,com\;f(x)=x^{2}\;e\;g:f(\mathbb {Z} )\mapsto \mathbb {Z} ,com\;g(y)={\sqrt {y}},y=f(x)$. Assim $g(y)=g(f(x))=g(x^{2})={\sqrt {}x^{2})=x$.
** Exemplo $f(4)=16\;e\;g(16)=4$.
* Sejam $f:A\mapsto B{\mbox{ e }}g:B\mapsto A$ tais que $(g\circ f)(x)=x,\forall x\in A{\mbox{ e }}(f\circ g)(y)=y,\forall y\in B$. Dizemos que f é invertível, que g é a inversa de f e escrevemos $g=f^{-1}$.
* Não devemos confundir $f^{-1}$ da definição acima com ${\tilde {f}}^{-1}$. Sempre que aplicamos $f^{-1}$ em conjuntos está subentendido que trata-se da imagem inversa. Quando se aplica $f^{-1}$ num elemento y, pode-se entender como $f^{-1}(y)$, caso a inversa exista, ou ${\tilde {f}}^{-1}(\{y\})$, a imagem inversa de um conjunto unitário.
* Repare que intercambiando f com g, A com B e x com y as hipóteses da definição de função inversa não mudam, porém a conclusão dirá que f é a inversa de g. Concluímos que f é a inversa de g se, e somente se, g é a inversa de f. Se $f:A\mapsto B$ é injetiva, então mesmo quando ela não for sobrejetiva, ainda poderemos considerar sua função inversa $f^{-1}$ ficando subentendido que o domínio de $f^{-1}$ é f(A) (e não B). Desta forma $(f^{-1}\circ f)(x)=x,\forall x\in A{\mbox{ e }}(f\circ f^{-1})(y)=y\forall y\in f(A)$.

# Propriedades-Funções
## Função Sobrejetiva

Uma função $f:A\mapsto B$ é dita sobrejetiva se $f(A)=B$, ou seja, se $\forall y\in B,\exists x\in A;{\mbox{ tal que }}f(x)=y$.
    Ao se verificar a sobrejetividade de uma função, deve estar claro qual conjunto está sendo considerado como contradomínio. Modificando-o, uma função que não é sobrejetiva pode passar a ser.
    Exemplo. Seja $A=\{a,b\}$. A função f, definida por $f(x)=x,\forall x\in A$, não é sobrejetiva de A em $\{a,b,c\}$ mas é sobrejetiva de A em $\{a,b\}$.
* Toda função é sobrejetiva na sua imagem, ou seja, $f:A\mapsto f(A)$ é sobrejetiva.

## Função Injetiva

Uma função $f:A\mapsto B$ é dita injetiva se ocorre uma destas:
* para quaisquer $x,y\in A$ tais que $x\neq y$ temos $f(x)\neq f(y)$;
* $x,y\in A$ são tais que $f(x)=f(y)$, então $x=y$;
* $\forall \;y\in f(A),\exists x!\in A{\mbox{ tal que }}f(x)=y$.
* Dizemos que a função f tem a propriedade P em A se $f|A$ tem a propriedade P. Por exemplo, dizer que f é injetiva em A significa que $f|A$ é injetiva. Isto é muito usual, sobretudo em conversas informais entre matemáticos. Entretanto, isto deve ser usado com cuidado para não cairmos em armadilhas.

## Função Bijetiva

Uma função $f:A\mapsto B$ é dita bijetiva ou bijeção se ela é injetiva e sobrejetiva.
    Exemplo: Sejam $A=\{1,2,3\},B=\{2,4,6\}eC=\{1,4,9,16\}$. Consideremos as funções $f:A\mapsto B,g:A\mapsto C{\mbox{ e }}h:A\mapsto A$ definidas por $f(x)=2x,g(x)=x^{2},h(x)=2\forall \;x\in A$.
    Temos que f é injetiva e sobrejetiva e, portanto, bijetiva. Temos ainda que g é injetiva, mas não é sobrejetiva e h não é injetiva e nem sobrejetiva.

## Teorema de Cantor

    Prova 1
* para que f não seja sobrejetiva, $P(A)\setminus f(A)\neq \varnothing \Rightarrow \exists \;y\in P(A),tal\;que\;\forall \;x\in A,f(x)\neq y$. Ou seja, existe algum y em P(A), que não é imagem de nenhum elemento de A pela função f.
* Pela f ser uma função, $\forall x\in A,\exists \;y\in P(A),tal\;que\;y=f(x)\in P(A)$.
* Tomemos $f:A\mapsto P(A),comf(x)=\{x\}$, assim $P(A)\setminus f(A)=P(A)\setminus \bigcup _{x\in A}\{x\}$. As outras funções que existir deverá ter que $\#P(A)\setminus \bigcup _{x\in A}\{x\}=\#IM_{f}-\#A,\forall \;f:A\mapsto P(A).$
** Em outras palavras, outras funções que existirem, basta x deixar de flexar {x} e flexar outro elemento.

### 2

    Prova 2
* Vamos considerar um subconjunto de P(A), U(A), como sendo os conjuntos unitários formados pelos elementos de A, mais o conjunto vazio.
* Assim U(A) sempre têm um elemento a mais que A, qualquer função que tomarmos, $g:A\mapsto U(A)$ não é sobrejetiva, pois sempre vai faltar um elemento em U(A) para ser flexado.
* É fácil ver que g é uma restrição da função f. Como g não é sobrejetiva, f também não é.

## Propriedades interessantes sobre funções

* $\phi (A\cup B)=\phi (A)\cup \phi (B)$
* $\phi (A\cap B)\subset \phi (A)\cup \phi (B)$
* $A\subset B\Rightarrow \phi (A)\subset \phi (B)$
* $\phi (\varnothing )=\varnothing$

# AplicaçãodeFunções
## Projeção

A projeção de um plano cartesiano é o conjunto de pontos retirando uma das coordenadas.
    Ex.: Seja A x B um plano cartesiano tal que $A\times B=\{(a,b);a\in A,b\in B\}$. Aqui podemos fazer duas projeções:
* $\pi _{1}:A\times B\mapsto A;\pi _{1}(a,b)=a$
* $\pi _{2}:A\times B\mapsto B;\pi _{2}(a,b)=b$
    Ex.: Seja A x B X C um plano cartesiano tal que $A\times B\times C=\{(a,b,c);a\in A,b\in B,c\in C\}$. Aqui podemos fazer seis projeções:
* $\pi _{1}:A\times B\times C\mapsto A;\pi _{1}(a,b,c)=a$.
* $\pi _{2}:A\times B\times C\mapsto B;\pi _{2}(a,b,c)=b$.
* $\pi _{3}:A\times B\times C\mapsto C;\pi _{3}(a,b,c)=c$.
* $\pi _{4}:A\times B\times C\mapsto A\times B;\pi _{4}(a,b,c)=(a,b)$.
* $\pi _{5}:A\times B\times C\mapsto A\times C;\pi _{5}(a,b,c)=(a,c)$.
* $\pi _{6}:A\times B\times C\mapsto B\times C;\pi _{6}(a,b,c)=(b,c)$.

## Área de um retângulo com lados paralelos aos eixos

Consideremos um Retângulo de vértices $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{1}),(x_{1},y_{2}),(x_{2},y_{2}),{\mbox{ tais que }}x_{1}<x_{2}{\mbox{ e }}y_{1}<y_{2}$. Assim sua área é dada pela função $f:\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R} ^{+};f(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})=(x_{2}-x_{1})\cdot (y_{2}-y_{1})$
    Essa função não é injetiva, pois dado $x_{3}=x_{1}+2,x_{4}=x_{2}+2,y_{3}=y_{1},y_{4}=y_{2}\Rightarrow f(x_{3},x_{4},y_{3},y_{4})=(x_{2}-x_{1})\cdot (y_{2}-y_{1})=f(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})$ sendo que $x_{3}\neq x_{1}{\mbox{ e }}x_{4}\neq x_{2}$
    Essa função é sobrejetiva pois dado um $A\in \mathbb {R} ^{+},{\mbox{ temos que }}f(0,{\sqrt {A}},0,{\sqrt {A}})=({\sqrt {A}}-0)\cdot ({\sqrt {A}}-0)=A$

## Área de um triângulo com base paralela ao eixo x

Consideremos um Triângulo de vértices $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{1}),(x_{3},y_{2}),{\mbox{ tais que }}x_{1}<x_{2},{\mbox{ e }}y_{1}<y_{2}$. Assim sua área é dada pela função $f:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R} ^{+};f(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2})={(x_{2}-x_{1})\cdot (y_{2}-y_{1}) \over 2}$
    Essa função não é injetiva, pois dado $x_{4}=x_{1}+2,x_{5}=x_{2}+2,y_{3}=y_{1},y_{4}=y_{2}\Rightarrow f(x_{3},x_{4},x_{5},y_{3},y_{4})={(x_{2}-x_{1})\cdot (y_{2}-y_{1}) \over 2}=f(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2})$ sendo que $x_{4}\neq x_{1}{\mbox{ e }}x_{5}\neq x_{2}$
    Essa função é sobrejetiva pois dado um $A\in \mathbb {R} ^{+},{\mbox{ temos que }}f(0,{\sqrt {2A}},x_{3},0,{\sqrt {2A}})={({\sqrt {2A}}-0)\cdot ({\sqrt {2A}}-0) \over 2}=A$

## Área de um triângulo com uma incógnita

Consideremos um Triângulo de vértices $(0,x),(2,0),(0,0),{\mbox{ tais que }}x>0$. Assim sua área é dada pela função $f:\mathbb {R} ^{+}\mapsto \mathbb {R} ^{+};f(x)=x$
    Essa função é injetiva, pois dado $x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$.
    Essa função é sobrejetiva pois dado um $x\in \mathbb {R} ^{+},{\mbox{ temos que }}x_{Im}=f(x)=x_{D}$.

# Conjunto de Funções
### Conjunto de Funções

Dados dois conjuntos A e B, denotamos por F(A;B) o conjunto de todas as funções $f:A\mapsto B$.

## Família de Funções

Sejam I e C conjuntos não vazios. Uma família $(A_{i})_{i\in I}$ de elementos de C é uma função $A:I\mapsto C$ para a qual denotamos por $A_{i}$ (em vez de $A(i)$) a imagem de i por A. Dizemos que a família está indexada pelo índice $i\in I$, que I é o conjunto de índices e que $A_{i}$ é o i-ésimo elemento (ou membro) da família. Quando I é o conjunto dos números naturais substituímos a palavra família por sequência.
    Os gramáticos que nos perdoem, mas usamos o sufixo “ésimo” em i-ésimo mesmo quando i não é um número cardinal.
    Observe que na notação $(A_{i})_{i\in I}$ não aparece o contradomínio C da função. Por isto, ao introduzirmos uma família, é obrigatório dizer que tipo de objetos constituem o seu contradomínio. Por exemplo, uma família de pessoas é uma função cujo contradomínio é um conjunto de pessoas. Da mesma forma, uma família de macacos é uma função cujo contradomínio é um conjunto de macacos (agora são os biólogos que hão de nos perdoar).
Como dito anteriormente, o uso mais frequente do termo família é quando o contradomínio é uma coleção de conjuntos. Trata-se, então, de uma família de conjuntos. Neste caso, existem notações especiais para a união e a interseção da coleção. Se $(A_{i})_{i\in I}$ é uma família de conjuntos, então a união e a interseção da família são definidas, respectivamente, por $\bigcup _{i\in I}A_{i}=\{x;\exists i\in I,{\mbox{ tal que }}x\in A_{i}\}$ e $\bigcap _{i\in I}A_{i}=\{x;x\in A_{i}\forall i\in I\}$
    Exemplo. Sejam $A_{i}=(i,i+1){\mbox{ e }}A_{i}=(-i^{2}-1,i^{2})$. Então: $\bigcup _{i\in \mathbb {Q} }A_{i}=\mathbb {R} ,\bigcap _{i\in \mathbb {Q} }B_{i}=(-1,0),\bigcap _{i\in \mathbb {Q} }A_{i}=\varnothing ,\bigcup _{i\in \mathbb {Q} }B_{i}=\mathbb {R} ,\bigcup _{i\in \mathbb {Z} }A_{i}=\mathbb {R} -\mathbb {Z}$.
    Se I é o conjunto dos números inteiros de m até n, então também é usual escrever $\bigcup _{i=m}^{n}A_{i}=A_{m}\cup ...\cup A_{n}{\mbox{ e }}\bigcap _{i=m}^{n}A_{i}=A_{m}\cap ...\cap A_{n}$.
    Se I é o conjunto de todos os inteiros positivos, então as notações usuais são $\bigcup _{i=m}^{\infty }A_{i}=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup ...{\mbox{ e }}\bigcap _{i=m}^{\infty }A_{i}=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap ...$.
    O símbolo $\infty$ (infinito) que aparece nas notações anteriores não é um número. Ele é apenas um símbolo tipográfico cujo papel é dizer que tanto a união quanto a interseção da família $(A_{i})_{i\in I}$ são tomadas para todo $i\in \{1,2,3,...\}$. Este mesmo símbolo aparecerá em várias notações ao longo do texto sendo que em cada uma delas seu papel será diferente.
Porém, sempre devemos ter em mente que infinito não é número!

## Leia mais

* Bijetiva

# Naturais
## Axioma da Indução

Ao querermos provar alguma sentença matemática P(n), se é verdadeira, tendo seus elementos nos naturais, usamos a indução, onde:
* Provamos que a propriedade é válida para n = 1.
* Supomos válida para n = k e mostramos ser válida para n = k+1, usando a equação advinda da propriedade ser válida em n = k.

## Um número Natural

Definição de um número natural: $n={\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\n\;vezes\end{matrix}}$

## Adição dos Naturais
### Adição

Somar dois números n e p:
* $n+p={\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\n\;vezes\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\p\;vezes\end{matrix}}={\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\n+p\;vezes\end{matrix}}$.

### sucessor de um número natural

Um número natural n tem o seu sucessor como sendo s(n) = n + 1.

### propriedade identidade de sucessão

Sejam a,b naturais, assim se a=b então s(a) = s(b)
* Vamos fixar a natural e provar por indução sobre b. assim:
** mostrar que é válido para b = 1: a=1, então s(a) = 1+1 e s(1) = 1+1, logo s(a) = s(1)
** supor que seja válido para b = k, ou seja, a=k implica que s(a) = s(k), ou seja, a+1 = k+1.
** Provar que seja válido para b = k+1:
*** $s(a+1)=^{1}(a+1)+1=^{2}(k+1)+1=^{3}s(k+1)$
**** onde as igualdades 1 e 3 ocorrem por definição de sucessão e a igualdade 2 ocorre por hipótese de indução.

### p-sucessor

* p-sucessor de n será definido como $s_{p}(n)=n+p$, onde $p={\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\p\;vezes\end{matrix}}$.
Exemplos:
* $s(n)=n+1,s_{2}(n)=(n+1)+1=n+2,s_{3}(n)=(n+2)+1=n+3,...,\;e\;s_{p}(n)=(n+p-1)+1=n+p.$
* Provaremos por indução que essa propriedade é válida.
** Quando p=1, temos que $s_{1}(n)=n+1=s(n)$.
** Suponhamos ser válida para p = k, ou seja, $s_{k}(n)=n+k$.
** provaremos que é válida para p=k+1, ou seja, que $s_{k+1}(n)=n+(k+1)$. Assim:
*** Pela hipótese temos que $s_{k}(n)=n+k$.
*** Pela identidade da sucessão é implicado que $s(s_{k}(n))=s(n+k)$
*** Pela definição de sucessão ocorre que $s_{k}(n)+1=(n+k)+1$.
*** Pela definição de sucessão ocorre que $s_{k+1}(n)=n+(k+1)$.
*** Faltando apenas mostrar o porque que para todo n,k naturais, é válido que $(n+k)+1=n+(k+1)$.

### O sucessor de uma adição n + p

Na última prova é bem aceitável aceitar como verdadeira a igualdade $(n+k)+1=n+(k+1)$. Ela é dada como válida pois é dada por definição da adição, mas é interessante prová-la por indução.
Assim vamos fazer indução sobre p em $(n+p)+1=n+(p+1)$.
* quando p = 1, temos que $\forall \;n\in \mathbb {N} ,(n+1)+1=n+(1+1)\Rightarrow s(s(n))=n+s(1)=n+2$.
* Supomos verdadeira para p = k, ou seja, $(n+k)+1=n+(k+1),\;ou\;seja,\;s(n+k)=n+s(k)$.
* Queremos provar que é válido para p = k+1, isto é, $(n+(k+1))+1=n+((k+1)+1),\;ou\;seja,\;s(n+s(k))=n+s(s(k))$
** Por hipótese, $s(n+k)=n+s(k)$.
** Pela identidade da sucessão temos que $s(n+s(k))=s(s(n+k))$.
** Mas $s(s(n+k))=(n+k)+2=(n+k)+1+1=n+(k+1)+1=n+s(k)+1=n+s(s(k))$.
ou
* $(n+p)+1={\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\n+p\;vezes\end{matrix}}+1={\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\n+p+1\;vezes\end{matrix}}={\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\n\;vezes\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\p+1\;vezes\end{matrix}}=n+(p+1)$

### Teorema: Associatividade da adição

$\forall m,n,p\in \mathbb {N} ,m+(n+p)=(m+n)+p$.
* Fixemos m,n naturais. Provaremos que é válido para todo p natural. Fazendo indução sobre p, temos:
** para p = 1, provamos no teorema acima, isto é, que m + (n+1) = (m+n)+1.
** supomos válido para p = k, isto é, $m+(n+k)=(m+n)+k$.
** Provaremos que é válido para p = k+1, ou seja, $m+(n+(k+1))=(m+n)+(k+1)$.
*** Assim, $m+(n+(k+1))=^{1}m+((n+k)+1)=^{2}(m+(n+k))+1=^{3}((m+n)+k)+1=^{4}(m+n)+(k+1)$.
**** onde as igualdades 1, 2 e 4 ocorrem pelo axioma da adição e a 3 pela hipótese.

### Axioma: Comuto de m e 1 na adição

Provar por indução que $\forall \;m\in \mathbb {N} ,m+1=1+m$.
* Para m = 1, temos que 1+1=1+1 (verdade)
* Supomos válido para m = k, isto é, k+1 = 1+k e provar ser verdadeiro para k+1, ou seja, $(k+1)+1=1+(k+1)$.
** $(k+1)+1=^{1}(1+k)+1=^{2}1+(k+1)$
*** onde a igualdade 1 ocorre pela hipótese e a igualdade 2 ocorre pelo axioma da adição.

### Comutatividade da adição

$\forall m,n\in \mathbb {N} ,m+n=n+m$.
* Fixemos m natural. Provaremos que é válido para todo n natural. Fazendo indução sobre n, temos:
** para n = 1, temos que m + 1 = 1 + m. (m e 1 são comutáveis)
** supomos válido para n = k, isto é, $m+k=k+m$.
** Provaremos que é válido para n = k+1, ou seja, $m+(k+1)=(k+1)+m$.
*** Assim, $m+(k+1)=^{1}(m+k)+1=^{2}(k+m)+1=^{3}k+(m+1)=^{4}k+(1+m)=^{5}(k+1)+m$
**** onde as igualdades 1, 3 e 5 ocorrem pela associatividade da adição, a igualdade 2 ocorre pela hipótese e a igualdade 4 ocorre pelo comuto de 1 e m.

## Multiplicação dos naturais
### Multiplicação de dois números naturais, m e n

$m\cdot n={\begin{matrix}\underbrace {m+m+...+m} \\n\;vezes\end{matrix}}$

### Definição: multiplicação de m por (n+1)

$m\cdot (n+1)={\begin{matrix}\underbrace {m+m+...+m} \\n+1\;vezes\end{matrix}}={\begin{matrix}\underbrace {m+m+...+m} \\n\;vezes\end{matrix}}+m=mn+m$

### Distributividade

Para quaisquer $m,n,p\in \mathbb {N} ,$ tem-se $m\cdot (n+p)=m\cdot n+m\cdot p$.
* Fixamos m,n como sendo naturais quaisquer e provaremos por indução sobre p. Pela definição é válido para p = 1, isto é, $m\cdot (n+1)=m\cdot n+m\cdot 1$.
* Supomos válido para p = k, ou seja, $m\cdot (n+k)=m\cdot n+m\cdot k$.
* Provemos ser válido para n = k+1: $m\cdot (n+(k+1))=^{1}m\cdot ((n+k)+1)=^{2}m\cdot (n+k)+m=^{3}(m\cdot n+m\cdot k)+m=^{4}m\cdot n+(m\cdot k+m\cdot 1)=^{5}m\cdot n+m\cdot (k+1)$.
** onde a igualdade 1 ocorre pela definição de adição, as igualdades 2 e 5 ocorrem pela definição de multiplicação, a igualdade 3 pela hipótese e a igualdade 4 pela associatividade da adição.

### Comuto de 1 e m na multiplicação

Para quaisquer $m\in \mathbb {N} ,$ tem-se que $m\cdot 1=1\cdot m$.
* Mostraremos por indução sobre m que a relação acima é válida para todo m natural.
* Para m = 1, temos Para quaisquer $1\cdot 1=1\cdot 1$, verdadeiro.
* Supomos ser válido para m = k, ou seja, $k\cdot 1=1\cdot k$.
* Provaremos ser válido para m = k + 1:
** $1\cdot (k+1)=^{1}1\cdot k+1\cdot 1=^{2}k\cdot 1+1\cdot 1=^{3}(k+1)\cdot 1$.
*** onde a igualdade 1 é dada pela definição de multiplicação, a igualdade 2 é devida a hipótese e a igualdade 3 é devida a distributividade dos naturais.

### Comutatividade da Multiplicação

Para quaisquer $m,n\in \mathbb {N} ,$ tem-se $m\cdot n=n\cdot m$.
* Fixando m natural, faremos indução sobre n, mostraremos que a relação acima é válida para todo n natural.
* para n = 1, temos $m\cdot 1=1\cdot m$, que foi verificado ser verdadeiro no axioma anterior.
* Supomos válido para n=k, ou seja, $m\cdot k=k\cdot m$.
* vamos provar que é válido para n=k+1:
** $m\cdot (k+1)=^{1}m\cdot k+m\cdot 1=^{2}k\cdot m+1\cdot m=^{3}(k+1)\cdot m$.
*** onde as igualdades 1 e 3 ocorrem pela definição de multiplicação e a igualdade 2 ocorre pelas hipóteses de indução para quando n=1 e para quando n = k.

### Associatividade da multiplicação

$\forall m,n,p\in \mathbb {N} ,m\cdot (n\cdot p)=(m\cdot n)\cdot p$.
* Fixemos m,n naturais. Provaremos que é válido para todo p natural. Fazendo indução sobre p, temos:
** para p = 1, temos que $m\cdot (n\cdot 1)=m\cdot n=(m\cdot n)\cdot 1$. (por definição de multiplicação por 1)
** supomos válido para p = k, isto é, $m\cdot (n\cdot k)=(m\cdot n)\cdot k$.
** Provaremos que é válido para p = k+1, ou seja, $m\cdot (n\cdot (k+1))=(m\cdot n)\cdot (k+1)$.
*** Assim, $m\cdot (n\cdot (k+1))=^{1}m\cdot ((n\cdot k)+n)=^{2}(m\cdot (n\cdot k))+m\cdot n=^{3}((m\cdot n)\cdot k)+m\cdot n=^{4}(m\cdot n)\cdot (k+1)$.
**** onde as igualdades 1, 2 e 4 ocorre pela distributividade e a igualdade 3 ocorre pela hipótese de indução.

## outras propriedades
### Lei de corte para adição

$Se\;m,n,p\in \mathbb {N} \;e\;m+p=n+p,\;logo\;m=n$.
* Vamos fazer indução sobre p.
* Mostrar válido para p = 1, ou seja, $m+1=n+1\Rightarrow m=n$.
** Temos que s(m) = m + 1, mas pela hipótese s(m) = n + 1. Mas s(n) = n+1, assim m e n têm os mesmo sucessores. Pela identidade da sucessão, m = n.
* Supor válido para p = k, ou seja, $m+k=n+k\Rightarrow m=n$.
* Mostrar válido para p = k+1:
** $m+k+1=n+k+1$. Pela lei de sucessor identidade s(m+k)=s(n+k), implica que m+k=n+k e pela hipótese m = k.

### Recíproca da Lei de corte para adição

$Se\;m,n,p\in \mathbb {N} \;e\;m=n,\;logo\;m+p=n+p$.
* Vamos fazer indução sobre p.
* Mostrar válido para p = 1, ou seja, $m=n\Rightarrow m+1=n+1$.
** como m = n, logo s(m) = s(n), ou seja, m + 1 = n + 1.
* Supor válido para p = k, ou seja, $m=n\Rightarrow m+k=n+k$.
* Mostrar válido para p = k+1:
** $m+(k+1)=^{1}(m+k)+1=^{2}(n+k)+1=^{3}n+(k+1)$
*** onde as igualdades 1 e 3 ocorrem por associatividade da adição e a igualdade 2 ocorre pela hipótese da indução quando p=k.

### Lei de corte para multiplicação

$Se\;m,n,p\in \mathbb {N} \;e\;m\cdot p=n\cdot p,\;logo\;m=n$.
* Vamos fazer indução sobre p.
* Mostrar válido para p = 1, ou seja, $m\cdot 1=n\cdot 1\Rightarrow m=n$.
* Supor válido para p = k, ou seja, $m\cdot k=n\cdot k\Rightarrow m=n$.
* Mostrar válido para p = k + 1:
** $m\cdot (k+1)=^{1}m\cdot k+m\cdot 1=^{2}n\cdot k+n\cdot 1=^{3}n\cdot (k+1)\Rightarrow _{4}m=n$
*** onde as igualdades 1 e 3 ocorrem pela lei da distributividade, a igualdade 2 ocorre pela hipótese da indução quando p=k e a implicação 4 ocorre pela hipótese de indução de p = k.

# Desigualdades
### Ordem entre dois números naturais

Um número "m" é menor que o outro "n", se existe um natural "p" tal que o maior "n" é igual ao menor "m" adicionado a esse natural "p":
* Ou seja, o maior "n" é o "p"-sucessor de "m", ié, $n=s_{p}(m)$.
* Ou também $m+p={\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\m\;vezes\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\p\;vezes\end{matrix}}={\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\m+p\;vezes\end{matrix}}={\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\n\;vezes\end{matrix}}=n$
É considerada uma definição, mesmo que possamos provar. Pois o "p" indica que se somarmos 1 p-vezes ao menor número, teremos o maior. Dessa maneira "m" é dito menor que "n".

### Transitividade da relação de ordem

Prova:
* Sejam $m<n\;e\;n<p$. Pela definição da Relação de ordem, $\exists \;q,r\in \mathbb {N} ,\;tal\;que\;m+q=n\;e\;n+r=p\Rightarrow (m+q)+r=p$.
* Pela associatividade da adição dos naturais temos que $m+(q+r)=p$.
* Pela definição da relação de ordem $m<p$.

### 1 é o menor natural

Tomado qualquer natural diferente de 1, teremos que esse natural é maior que 1, isto é,
Prova:
* Por indução sobre m, devemos mostrar que é válido para o primeiro m possível, que no caso é o sucessor de 1, que é 2, assim: 1<2.
* Devemos supor que seja válido para qualquer m tomado, ou seja, para quando m = k, ou seja, 1<k.
* Devemos agora, provar ser válido para m = k+1. No entanto, k+1 é o sucessor de k, logo k<k+1, como por hipótese da indução 1<k, pela transitividade da relação de ordem, 1<k+1.

### o sucessor de um número é maior que esse número

* Vamos mostrar por indução sobre n, que $s(p)>p,\forall \;p\in \mathbb {N}$
** Devemos mostrar que é válido para p = 1, ou seja, $s(1)>1$. Mas $s(1)=2\;e\;2>1$.
** Suponhamos que é válido para p = k, ou seja, $s(k)>k,\forall \;k\in \mathbb {N}$.
** Como $k+n=s(k)=k+1\Rightarrow _{1}s(k+n)=s(k+1)\Rightarrow _{2}k+n+1=s(k+1)\Rightarrow _{3}k+1+n=s(k+1)\Rightarrow _{4}$
** $\Rightarrow _{4}\exists \;n\in \mathbb {N} ,tal\;que\;s(k+1)>k+1.$
** onde a implicação 1 é pela identidade de sucessão, a implicação 2 é pela sucessão de um natural, a implicação 3 é pela comutatidade da adição e a implicação 4 é pela definição de desigualdade.

### o sucessor do emésimo-sucessor de um natural

    Vamos provar por indução sobre m:
* Vamos mostrar que é válido para m = 1, ou seja $s^{1+1}(p)>s^{1}(p)$.
** Como $s(p)>p\Rightarrow \exists \;n\in \mathbb {N} ,$ tal que $s(p)=n+p\Rightarrow s(s(p))=s(n+p)\Rightarrow s^{1+1}(p)=n+p+1=n+s(p)\Rightarrow s^{2}(p)>s^{1}(p)$
* Suponha válido para m = k, ou seja, $s^{k+1}(p)>s^{k}(p),\forall \;k,p\in \mathbb {N}$
* Mostrar válido para m = k + 1, ou seja, $s^{k+2}(p)>s^{k+1}(p),\forall \;k,p\in \mathbb {N}$
** Como $s^{k+1}(p)>s^{k}(p)\Rightarrow _{1}\exists \;n\in \mathbb {N} ,tal\;que\;s^{k+1}(p)=n+s^{k}(p)\Rightarrow _{2}s(s^{k+1}(p))=s(n+s^{k}(p))\Rightarrow _{3}$
** $\Rightarrow _{3}s^{k+1+1}(p)=n+s^{k}(p)+1=n+s(s^{k}(p))\Rightarrow _{4}s^{k+2}(p)=n+s^{k+1}(p)\Rightarrow _{5}s^{k+2}(p)>s^{k+1}(p)$.
*** onde as implicações 1 e 5 são pela definição de desigualdade, a implicação 2 pela identidade de sucessão, a implicação 3 é pela definição de sucessor e a implicação 4 é pela definição de k-sucessor.

### Monotonicidade

Dados dois naturais, a relação de ordem não se perde somando ou multiplicando um natural qualquer por ambos os membros.
Prova:
* adição:
** Por hipótese temos que m<n. Pela definição da desigualdade, existe um q natural tal que m+q = n.
** Pela recíproca da lei de corte para adição, temos que $m+q+p=n+p$.
** Pela lei comutativa da adição, temos que m+p+q = n+p, logo m+p<n+p.
* multiplicação: Como m<n, pela definição de desigualdade, existe um q natural tal que m+q = n, assim $(m+q).p=n.p$, pela lei distributiva, temos que m.p+q.p = n.p, logo $m\cdot p<n\cdot p.$

### Tricotomia

Dados $m,n\in \mathbb {N}$. Das três possibilidades, somente uma é verdadeira:
* 1) m = n
* 2) m<n
* 3) n<m.
* Demonstração: Fixemos m natural. Queremos mostrar que para qualquer n, natural, dado, teremos que m = n ou m<n ou n<m (isto é, m e n são comparáveis).
** Suponha que exista um conjunto X, subconjunto dos números naturais que são comparáveis com m. Assim $X=\{n\in \mathbb {N} ;n=m\;ou\;n<m\;ou\;m<n\}$.
** Vamos provar que $X=\mathbb {N}$ por indução sobre n.
*** Devemos mostrar que é válido para n = 1, isto é, 1=m ou 1<m ou m<1:
**** caso m = 1, então 1 = 1
**** caso m é natural e diferente de 1, pelo axioma de que "1 é o menor natural", então 1 < m.
**** Portanto 1 é comparável com m e $1\in X$
*** Vamos supor que é válido para $n=k,k\in \mathbb {N}$, ou seja, das três possibilidade, uma é verdadeira, k=m ou k<m ou m<k e assim $k\in X$.
*** provar válido para n = k+1, ou seja, que das três possibilidade, uma é verdadeira, k+1=m ou k+1<m ou m<k+1 e assim $k+1\in X$.
**** caso k=m, logo k+1=m+1, e assim k+1 é o sucessor de m, e portanto m<k+1 e $k+1\in X$.
**** caso k<m, pelo axioma da ordem de dois números $\exists \;p\in \mathbb {N} ;k+p=m$.
***** caso $p=1\Rightarrow k+1=m\Rightarrow k+1\in X$.
***** caso 1<p, pela monotonicidade k+1<k+p. Como k+p = m, logo $k+1<m\Rightarrow k+1\in X$.
***** Pelo axioma que 1 é o menor inteiro, não é possível que p<1, portanto $k+1\in X$.
**** caso m<k, pelo axioma da ordem de dois números $\exists \;p\in \mathbb {N} ;m+p=k$.
***** caso $p=1\Rightarrow m+1=k\Rightarrow (m+1)+1=k+1\Rightarrow m+1<k+1.\;Como\;m<m+1$ logo pela transitividade da relação de ordem, $m<k+1\Rightarrow k+1\in X$.
***** caso 1<p, pela monotonicidade, m+1<m+p. Pela definição de desigualdade, existe um q natural tal que m+1+q=m+p. Como m+p = k, logo m+1+q=k, e assim m+1+q+1 = k+1, portanto m+1<k+1. Como m<m+1, pela transitividade da relação de ordem m < k+1 $\Rightarrow k+1\in X$.
***** Pelo axioma que 1 é o menor inteiro, não é possível que p<1, portanto $k+1\in X$.

### relatividade entre múltiplos de um natural

Sejam $m,n,p,r\in \mathbb {N} ;m\cdot p+r=n\cdot p\Rightarrow \exists \;q\in \mathbb {N} ;r=q\cdot p$
* Vamos fixar m e n naturais. Faremos a indução sobre p, assim:
** para quando p = 1, temos que $m\cdot 1+r=n\cdot 1\Rightarrow r=r\cdot 1\Rightarrow \exists q\in \mathbb {N} ;r=q\cdot 1$
** Suponha que seja válido para p = k, isto é, que $m\cdot k+r'=n\cdot k\Rightarrow \exists \;q\in \mathbb {N} ;r'=q\cdot k$.
** Mostrar válido para p = k+1, ou seja, que $m\cdot (k+1)+r''=n\cdot (k+1)\Rightarrow \exists \;q\in \mathbb {N} ;r''=q\cdot (k+1)$.
*** Pela propriedade distributiva $n\cdot (k+1)=n\cdot k+n$.
*** Por hipóteses $n\cdot k+n=m\cdot k+r'+n=m\cdot k+q\cdot k+m+r=m\cdot k+q\cdot k+m+q\cdot 1$.
*** Pela comutatividade da adição $m\cdot k+m+q\cdot k+q$.
*** Pela propriedade distributiva $m\cdot (k+1)+q\cdot (k+1)$
*** Tomemos $r''=q\cdot (k+1)$, assim $m\cdot (k+1)+r''=n\cdot (k+1);r''=q\cdot (k+1)$.

### Lei do Corte para desigualdades

Dados m,n,p naturais, de forma que $m+p<n+p$ ou que $m\cdot p<n\cdot p$, então ocorre em ambas que m < n.
* adição. Como $m+p<n+p$. Pela definição de ordem, existe um q natural tal que $m+p+q=n+p$. Pela comutatividade da adição, $m+q+p=n+p$. Pela lei do corte da adição, m+q=n. Pela relação de ordem entre dois números, m<n.
* multiplicação.
** 1ª Prova: Como $m\cdot p<n\cdot p$. Pela definição de ordem, existe um r natural tal que $m\cdot p+r=n\cdot p$.
*** Pela relatividade entre dois múltiplos naturais, temos que $r=q\cdot p\Rightarrow m\cdot p+q\cdot p=n\cdot p$. Pela propriedade distributiva, $(m+q)\cdot p=n\cdot p$. Pela lei do corte da multiplicação, $m+q=n$. Pela relação de ordem entre dois números, $m<n$.
** 2ª prova: ou Pela tricotomia, temos que dados m,n naturais temos que m=n ou m<n ou n<m.
*** caso m=n, logo mp=np (não atende nossa hipótese)
*** caso n<m, logo pela monotonicidade temos que np<mp, para qualquer p natural (também não atende a nossa hipótese)
*** logo m<n, pois as outras duas possibilidades são incompatíveis com a nossa hipótese e pela tricotomia uma das três comparações é verdade.

# Indução
## Naturais

O conjunto $\mathbb {N} =\{1,2,3,...\}$ é usado para contagens. De tão natural, $\mathbb {N}$ é chamado de conjunto dos números naturais, o primeiro conjunto numérico que aparece na história de qualquer civilização ou em qualquer tratado sobre os fundamentos da Matemática. Admitiremos conhecidos os conjunto $\mathbb {N} \;e\;\mathbb {Z} =\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ (dos números inteiros) bem como suas propriedades algébricas de soma e multiplicação e sua relação de ordem .
    No conjunto $\mathbb {N}$ valem dois princípios fundamentais: o “Princípio da Boa Ordem” e o “Princípio da Indução”. Vamos provar mais adiante que são equivalentes.

## Axiomas de Peano (sucessão)

A função sucessão é dada por $S(n)=n+1;\forall n\in \mathbb {N}$
* (Identidade) A função de sucessão $s:\mathbb {N} \mapsto \mathbb {N}$ é injetiva
** Prova: Dados $m,n\in \mathbb {N} ,s(m)=s(n)\Rightarrow m+1=n+1\Rightarrow m=n$.
* (Menor Elemento) Existe um elemento que não é sucessor de nenhum outro: 1
** Prova: Suponha ser 1 o sucessor de um número natural t, assim $s(t)=1\Rightarrow t+1=1\Rightarrow t=0\not \in \mathbb {N} \Rightarrow \not \exists \;m\in \mathbb {N}$ tal que $s(m)=1$.
* (unicidade) $\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow s(n)\in \mathbb {N}$
** Seja $m,n,p\in \mathbb {N} ;s(n)=p;s(m)=p$, para cada equação temos que n=p e m=p; por transitividade n=m. Logo o sucessor de um número natural é único.
* (Princípio da Indução) Seja $A\subset \mathbb {N}$ um conjunto com as seguintes propriedades: Se $\{1\in A\;e\;n\in A\Rightarrow n+1\in A\}$. Então $A=\mathbb {N}$
    O Princípio da Indução (e suas variantes) é usado para demonstrar que certas propriedades são verdadeiras para todo número natural. A estratégia é a seguinte. Definimos o conjunto A constituído pelos números naturais que possuem uma certa propriedade P. A seguir, mostra-se que A satisfaz as propriedades do princípio de indução. Daí, concluímos que $A=\mathbb {N}$ e, portanto, que P é verificada por todo número natural. Este tipo de argumento é chamado de demonstração por indução. É conhecido por indução finita pois existe a indução transfinita.

### Exemplo

Vamos demonstrar, por indução, a conhecida fórmula $1+...+n={n\cdot (n+1) \over 2}$.
* Mostraremos ser válida para n = 1 assim, $1={1\cdot (1+1) \over 2}$.
* Suponhamos válido para n = k, ou seja, é verdadeiro que $1+...+k={k\cdot (k+1) \over 2}$.
* Pela recíproca da lei do corte $1+...+k+k+1={k\cdot (k+1) \over 2}+k+1={k\cdot (k+1) \over 2}+{2(k+1) \over 2}={(k+1)(k+2) \over 2}$.

## Exemplo1

Teorema: $\forall \;n\in \mathbb {N} ,1+3+5+...+(2n-1)=n^{2}$
    Prova
* Vamos provar por indução sobre n:
** Para quando n = 1, temos que $2n-1\;vale\;2\cdot 1-1=2-1=1$, então nossa soma é $1=1=1^{2}$.
** Para quando n = 2, temos que $2n-1\;vale\;2\cdot 2-1=4-1=3$, então nossa soma é $1+3=4=2^{2}$.
** Suponha ser válido para quando n=k, ou seja, $2n-1\;vale\;2\cdot k-1$, então nossa soma é $1+3+...+2k-1=k^{2}$.
** Vamos provar ser válido para quando n=k+1, ou seja, $2n-1\;vale\;2\cdot (k+1)-1$, então nossa soma é $1+3+...+2(k+1)-1=(k+1)^{2}$.
*** $1+3+...+2(k+1)-1=_{1}1+3+...+2k+2-1=_{2}1+3+...+2k-1+2k+1=_{3}k^{2}+2k+1=_{4}k^{2}+k+k+1=_{5}$ $=_{5}k(k+1)+1(k+1)=_{6}(k+1)^{2}$
*** onde as igualdades 1, 5 e 6 são pela propriedade distributiva, a propriedade 2 pela definição de termos ocultos numa soma, a igualdade 3 pela hipótese de indução e a igualdade 4 pela definição de multiplicação.
** Portanto pelo princípio da indução é válido para todo n natural.

## Exemplo2

    Prova
* Vamos provar por indução sobre n:
** Para quando n = 1, temos que $1^{2}={1\cdot (1+1)\cdot (2\cdot 1+1) \over 6}={1\cdot 2\cdot 3 \over 6}$ (verdade).
** Para quando n = 2, temos que $1^{2}+2^{2}={2\cdot (2+1)\cdot (2\cdot 2+1) \over 6}\Rightarrow 1+4={2\cdot 3\cdot 5 \over 6}$ (verdade).
** Suponha ser válido para quando n=k, ou seja, $1+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}={k(k+1)(2k+1) \over 6}$.
** Vamos provar ser válido para quando n=k+1, ou seja, $1+2^{2}+3^{2}+...+(k+1)^{2}={(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1] \over 6}$.
*** $1+2^{2}+3^{2}+...+(k+1)^{2}=_{1}1+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}+(k+1)^{2}=_{2}{k(k+1)(2k+1) \over 6}+(k+1)^{2}=_{3}{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^{2} \over 6}=_{4}$ $=_{4}{(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)] \over 6}=_{5}{(k+1)[2k^{2}+k+6k+6)] \over 6}=_{6}{(k+1)(2k^{2}+4k+3k+6) \over 6}=_{7}$ $=_{7}{(k+1)[2k(k+2)+3(k+2) \over 6}=_{8}{(k+1)(k+2)(2k+3) \over 6}=_{9}{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1] \over 6}$
*** onde a igualdade 1 por definição de termo ocultos numa soma finita, a igualdade 2 é devido a hipótese de indução, a igualdade 3 por soma de frações, a igualdade 4 por evidência de um termo, as igualdades 5, 7 e 8 por distributiva, as igualdades 6 e 9 por associatividade da adição.
** Portanto pelo princípio da indução é válido para todo n natural.

## Exemplo 3

Prova:
* Mostrar que é válido para n = 1, $1^{3}={1^{2}\cdot (1+1)^{2} \over 4}\Rightarrow 1={4 \over 4}$ (verdade).
* Supor válido para n = k, ou seja, $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}={k^{2}\cdot (k+1)^{2} \over 4}$.
* Mostrar válido para n = k+1, ou seja, $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+(k+1)^{3}={(k+1)^{2}\cdot (k+2)^{2} \over 4}$.
** $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}+(k+1)^{3}=_{1}{k^{2}\cdot (k+1)^{2} \over 4}+(k+1)^{3}=_{2}{k^{2}\cdot (k+1)^{2}+4\cdot (k+1)\cdot (k+1)^{2} \over 4}=_{3}{[k^{2}+4(k+1)](k+1)^{2} \over 4}=_{4}$
** $=_{4}{(k^{2}+2k+2k+4)(k+1)^{2} \over 4}=_{5}{[k(k+2)+2(k+2)](k+1)^{2} \over 4}=_{6}{(k+2)(k+2)(k+1)^{2} \over 4}=_{7}{(k+1)^{2}\cdot (k+2)^{2} \over 4}$
** onde a igualdade 1 é pela hipótese de indução, a igualdade 2 é pela propriedade de potência e soma de frações, as igualdades 3, 4, 5 e 6 são pela propriedade distributiva, a igualdade 7 é pela comutativa e potência.

## Exemplo 4

* Prova por indução sobre n:
** Mostrar que é válido para n = 1: $1\cdot 2={1\cdot (1+1)\cdot (1+2) \over 3}\Rightarrow 2={1\cdot 2\cdot 3 \over 3}\Rightarrow 2=2$.
** Supor válido para n = k: $1\cdot 2+2\cdot 3+...+k\cdot (k+1)={k\cdot (k+1)\cdot (k+2) \over 3}$
** Mostrar válido para n = k+1, ou seja, Mostrar que $1\cdot 2+2\cdot 3+...+(k+1)\cdot (k+2)={(k+1)\cdot (k+2)\cdot (k+3) \over 3}$.
*** Temos que $1\cdot 2+2\cdot 3+...+k\cdot (k+1)+(k+1)\cdot (k+2)=_{1}{k\cdot (k+1)\cdot (k+2) \over 3}+{(k+1)\cdot (k+2) \over 1}=_{2}{k\cdot (k+1)\cdot (k+2)+3\cdot (k+1)\cdot (k+2) \over 3}=_{3}$.
*** $=_{3}{(k+1)\cdot (k+2)\cdot (k+3) \over 3}$.
*** a igualdade 1 é devida à hipótese de indução, a igualdade 2 pela soma de frações e a igualdade 3 é pela propriedade distributiva.

## Exemplo 5

* Prova por indução sobre n:
** Mostrar que é válido para n = 1: ${1 \over 1\cdot 2}={1 \over 1+1}\Rightarrow {1 \over 2}={1 \over 2}$.
** Supor válido para n = k: ${1 \over 1\cdot 2}+{1 \over 2\cdot 3}+...+{1 \over k\cdot (k+1)}={k \over k+1}$
** Mostrar válido para n = k+1, ou seja, Mostrar que ${1 \over 1\cdot 2}+{1 \over 2\cdot 3}+...+{1 \over (k+1)\cdot (k+2)}={k+1 \over k+2}$.
*** Temos que ${1 \over 1\cdot 2}+{1 \over 2\cdot 3}+...+{1 \over k\cdot (k+1)}+{1 \over (k+1)\cdot (k+2)}=_{1}{k \over k+1}+{1 \over (k+1)\cdot (k+2)}=_{2}{k\cdot (k+2)+1 \over (k+1)\cdot (k+2)}=_{3}$.
*** $=_{3}{k\cdot (k+1)+k+1 \over (k+1)\cdot (k+2)}=_{4}{(k+1)\cdot (k+1) \over (k+1)\cdot (k+2)}=_{5}{k+1 \over k+2}$
*** a igualdade 1 é devida à hipótese de indução, a igualdade 2 pela soma de frações, a igualdade 3 é pela propriedade redistributiva, a igualdade 4 é pela propriedade distributiva e a igualdade 5 pela lei do cancelamento.

## Exemplo 6

Prova (por indução):
* Mostrar válido para n = 1: $q(1)=2^{1}-1=2-1=1$
* Supor válido para n = k: $q(k)=2^{k}-1$
* Mostrar válido para n = k+1 ou seja, mostrar que $q(k+1)=2^{k+1}-1$.
** Para isso devemos ter uma equação que relaciona a quantidade de movimentos com um disco a menos:
*** Para passarmos os discos de uma haste para outra, ocorre uma sequência bem simples:
**** Se temos n discos, devemos passar n-1 discos para outro haste;
**** depois passamos o disco maior para uma terceira haste;
**** depois passamos os n-1 discos para a terceira haste.
**** Por recorrência, $q(d)=q(d-1)+1+q(d-1)\Rightarrow q(d)=2q(d-1)+1\Rightarrow q(d+1)=2q(d)+1$
** Assim, $q(k+1)=_{1}2q(k)+1=_{2}2\cdot (2^{k}-1)+1=_{3}2^{1+k}-2+1\Rightarrow q(k+1)=2^{k+1}-1$
*** onde a igualdade 1 é por recorrência, a igualdade 2 é pela hipótese de indução, a igualdade 3 é pela propriedade

## Exemplo 8
# Desigualdade
## Teorema (Desigualdade de Bernouli)

Em todo corpo ordenado K, se $n\in \mathbb {N}$ e $x\geq -1$, vale $(1+x)^{n}\geq 1+nx$

### Prova 1(indução sobre n)

* Mostrar válido para n=1
** $(1+x)^{1}=1+x\;e\;1+1\cdot x=1+x\Rightarrow (1+x)^{1}\geq 1+1\cdot x$
* Supor válido para n=k
** $(1+x)^{k}\geq 1+kx$
* Mostrar válido para n= k+1
** De $(1+x)^{k}\geq 1+kx$ multiplicamos $(1+x)$ por ambos os membros pois $x\geq -1\Rightarrow 1+x\geq 0$.
*** Logo $(1+x)^{k}(1+x)\geq (1+kx)(1+x)\Rightarrow (1+x)^{k+1}\geq 1+x+kx+kx^{2}\geq 1+x+kx=1+(k+1)x$ (porque k x$^2$ é não-negativo).
** E finalmente $(1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x$

### Prova 2(binômio de newton)

$(1+x)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(1)^{n-i}x^{i}=1+{\frac {n(n-1)}{2}}x+...\geq 1+nx$.
* Devemos mostrar que ${\frac {n(n-1)}{2}}\geq n$
** Como $n\in \mathbb {N} ,logo\;n^{2}-n\geq 2n\Rightarrow n^{2}-3n\geq 0\Rightarrow n(n-3)\geq 0\Rightarrow n\geq 3$ é verdade.
* Assim $(1+x)^{n}\geq 1+nx$ é verdade para $n\geq 3$
** como é válido para n = 1, basta mostrar que é válido para n = 2 que será válido para todo n natural
*** $(1+x)^{2}\geq 1+2x\Rightarrow 1+2x+x^{2}\geq 1+2x$ verdade
* portanto é válido para todo n natural

## Exemplo

Prova:
* Mostrar que a desigualdade é válida para quando n = 1: ${1 \over 2}\leq {1 \over {\sqrt {2+1}}}\Rightarrow {\sqrt {3}}<{\sqrt {4}}=2$
* Suponha ser válido para quando n = k: ${1 \over 2}\cdot {3 \over 4}\cdot {5 \over 6}\cdot ...\cdot {2k-1 \over 2k}\leq {1 \over {\sqrt {2k+1}}}$
* Mostrar ser válido para quando n=k+1, isto é, ${1 \over 2}\cdot {3 \over 4}\cdot {5 \over 6}\cdot ...\cdot {2(k+1)-1 \over 2(k+1)}\leq {1 \over {\sqrt {2(k+1)+1}}}$
** Pela hipótese temos que ${1 \over 2}\cdot {3 \over 4}\cdot {5 \over 6}\cdot ...\cdot {2k-1 \over 2k}\leq {1 \over {\sqrt {2k+1}}}$, onde ${2k+1 \over 2k+2}\geq 0$, pois k é um número natural.
** ${1 \over 2}\cdot {3 \over 4}\cdot {5 \over 6}\cdot ...\cdot {2k-1 \over 2k}\cdot {2k+1 \over 2k+2}\leq {1 \over {\sqrt {2k+1}}}\cdot {2k+1 \over 2k+2}$.
** Vamos verificar que ${1 \over {\sqrt {2k+1}}}\cdot {2k+1 \over 2k+2}\leq {1 \over {\sqrt {2(k+1)+1}}}\Rightarrow {\sqrt {2k+3}}\cdot {\sqrt {2k+1}}\leq 2k+2\Rightarrow (2k+3)\cdot (2k+1)\leq (2k+2)^{2}$
** $\Rightarrow 4k^{2}+8k+3\leq 4k^{2}+8k+4\Rightarrow 3\leq 4$

## Exemplo 3

* Prova: Tome $A=\{n\in \mathbb {N} ,tal\;que\;n^{2}<2^{n}\}.$
* Vamos fazer por indução sobre n, que será válido para $n\leq 5$
* Temos que mostrar que vale para quando $n=5:5^{2}=25<32=2^{5}$.
* Suponha que seja válido para quando $n=k:n^{2}<2^{k}$
* Vamos mostrar que é válido para quando $n=k+1:(k+1)^{2}<2^{k+1}$
** $(k+1)^{2}=_{1}k^{2}+2k+1<_{2}2^{k}+2k+1<_{3}2^{k}+2^{k}=_{4}2^{k}\cdot 2^{1}=_{5}2^{k+1}$
** a igualdade 1 é pelo quadrado da soma, a desigualdade 2 é pela hipótese de indução, a desigualdade 3 é pelo teorema anterior, a igualdade 4 é pela distributiva e a igualdade 5 é pela propriedade de potencia.

## Exemplo 4

    Vamos provar a desigualdade por indução sobre n, que é válido para $n\geq 3$. Tome $A={\bigg \n\in \mathbb {N} ,tal\;que\;\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}<n{\bigg \}}$
* vamos mostrar que é válido para $n=3:\left({3+1 \over 3}\right)^{3}={64 \over 27}\leq _{?}3\Leftrightarrow 64<81$.
* suponhamos que é válido para $n=k:\left({k+1 \over k}\right)^{k}<k\Rightarrow \left({k+1 \over k}\right)^{k+1}<k\cdot \left({k+1 \over k}\right)\Rightarrow \left({k+1 \over k}\right)^{k+1}<k+1$.
* Observação: $0<1,k\geq 3\Rightarrow k^{2}+2k<k^{2}+2k+1\Rightarrow (k+2)\cdot k<(k+1)(k+1)\Rightarrow {k \over k+1}<{k+1 \over k+2}\Rightarrow {\bigg{k \over k+1}{\bigg )}^{k+1}<{\bigg{k+1 \over k+2}{\bigg )}^{k+1}$.
* Vamos mostrar que é válido para $n=k+1:\left({k+1+1 \over k+1}\right)^{k+1}<k+1$.
** $\left({k+2 \over k+1}\right)^{k+1}=_{1}\left({k+2 \over k+1}\right)^{k+1}\cdot \left({k \over k+1}\right)^{k+1}\cdot \left({k+1 \over k}\right)^{k+1}<_{2}\left({k+2 \over k+1}\right)^{k+1}\cdot \left({k+1 \over k+2}\right)^{k+1}\cdot (k+1)=_{3}k+1.$
** a igualdade 1 é pelo inverso multiplicativo, a desigualdade 2 é pela observação acima e pela hipótese de indução e a igualdade 3 é pelo inverso multiplicativo.

### a

    Prova:
* Vamos provar por indução sobre n: ${\sqrt[{n+1}]{n+1}}<{\sqrt[{n}]{n}},n\geq 3$.
* Mostrar que é válido para n=3: ${\sqrt[{4}]{4}}<{\sqrt[{3}]{3}}$.
* Supor válido para n=k: ${\sqrt[{k+1}]{k+1}}<{\sqrt[{k}]{k}},n\geq 3\Leftrightarrow {\bigg{\sqrt[{k+1}]{k+1}}{\bigg )}^{k(k+1)}<{\bigg{\sqrt[{k}]{k}}{\bigg )}^{k(k+1)}\Leftrightarrow (k+1)^{k}<(k)^{k+1}\Leftrightarrow {(k+1)^{k} \over k^{k}}<k\Leftrightarrow {\bigg{k+1 \over k}{\bigg )}^{k}<k$.
* Provar válido para n=k+1: ${\sqrt[{k+1+1}]{k+1+1}}<{\sqrt[{k+1}]{k+1}},n\geq 3$.
** Pelo axioma anterior é verdade que ${\bigg{k+2 \over k+1}{\bigg )}^{k+1}<k+1\Leftrightarrow (k+2)^{k+1}<(k+1)^{k+2}\Leftrightarrow {\sqrt[{(k+2)(k+1)}]{(k+2)^{k+1}}}<{\sqrt[{(k+1)(k+2)}]{(k+1)^{k+2}}}\Leftrightarrow$
** $\Leftrightarrow {\sqrt[{k+2}]{k+2}}<{\sqrt[{k+1}]{k+1}}$

# Indução(Problemas)
## Exemplo 1

Prova:
* Mostrar que é válido para n = 1, $4^{1}+6\cdot 1-1=4+6-1=9$ e 9 é divisível por 9.
* Supor válido para n = k, ou seja, $4^{k}+6\cdot k-1=9t$, para algum t natural. Também $4^{k}=9t-6\cdot k+1$
* Mostrar válido para n = k+1, ou seja, $4^{k+1}+6\cdot (k+1)-1=9t'$, para algum $t'$ natural.
** $4^{k+1}+6\cdot (k+1)-1=_{1}4\cdot 4^{k}+6k+6-1=_{2}4\cdot (9t+1-6k)+6k+5=_{3}36t+4-24k+6k+5=_{4}36t-18k+9=_{5}9\cdot (4t-2k+1)$
** onde a igualdade 1 é pela propriedade de potência, a igualdade 2 é pela hipótese de indução, as igualdades 3 e 5 pela propriedade distributiva e a igualdade 4 pela soma dos termos.

# PBO
## Teorema (Princípio da boa ordenação)

Todo subconjunto não-vazio $A\subset \mathbb {N}$ possui um elemento mínimo, ou seja, se $A\subset \mathbb {N} ,A\neq \varnothing ,\;logo\;\exists \;n\in A,\;tal\;que\;n<m,\forall \;m\in A-\{n\}$.
    Prova
* Devemos mostrar o complementar de $A$ em relação ao $\mathbb {N}$ assim $B\subset \mathbb {N} -A$
** Tomemos um subconjunto $\mathbb {N}$ : $B$ formado pelos elementos que não estão em $A\;$, ou seja, $B=\{x\in \mathbb {N} /x\not \in A\}$.
* a quem pertence o elemento $1$
** Se $1\in A$ o teorema está demonstrado, pois $1$ é o menor elemento do $\mathbb {N}$.
** Se $1\not \in A,$ logo $1\in B$
* O conjunto $I_{n}\;$
** Agora tomemos um subconjunto de $B\;$, chamado $I_{n}=\{1,2,...n\}\;$ onde n é o maior natural tal que aconteça isso, assim $1\not \in A,2\not \in A,...,n\not \in A$
* mostrar que $n+1\in A$
** Pela construção do conjunto $I_{n}\;$, temos que $n\in I_{n}$. Se $n+1\in B$, teríamos $n+1\in I_{n}$ e logo $I_{n+1}$. Como não faz sentido, logo $n+1\not \in B$, portanto $n+1\in A$
* Devemos mostrar que $n+1\;$ é o menor elemento de $A\;$
** Como todos os antecessores de $n+1\;$ são os elementos de $I_{n}\;$, temos que $n+1\;$ é o menor elemento de $A\;$, pois os elementos menores que $n+1\;$ estão em $B\;$

## Teorema (Boa Ordem = Indução)

Vale o Princípio da Boa Ordem se, e somente se, vale o Princípio da Indução.
    Demonstração
* Suponha válido o Princípio da Boa Ordem. Seja $A\subset \mathbb {N}$ satisfazendo as propriedades do princípio da indução.
** Suponhamos, por absurdo, que $A\neq \mathbb {N}$. Isto significa que existe algum elemento de $\mathbb {N}$ que não pertence a A e, portanto, o conjunto $B=\complement _{\mathbb {N} }A\subset \mathbb {N}$ é não vazio.
** Pelo Princípio da Boa Ordem, B possui um elemento mínimo $m\in B$. Com certeza m > 1, pois como $1\in A\Rightarrow 1\not \in A^{C}=B$. Assim, $m-1$ é um natural menor que m.
** Pela minimalidade de m, temos que $m-1\not \in B$ e portanto $m-1\in A$. Pelo 2ª propriedade do princípio da indução, concluímos que $m=(m-1)+1\in A$, o que é um absurdo.
* Suponha válido o Princípio da Indução. Seja $B\subset \mathbb {N}$ não vazio.
** Suponhamos por absurdo que B não possua elemento mínimo. Em particular, $1\not \in B$ (senão 1 seria elemento mínimo de B). Seja $A=\{n\in N/n<m,\forall \;m\in B\}$.
** Observamos inicialmente que $A\cap B=\varnothing$. De fato, se $A\cap B\neq \varnothing$, então existiria $n\in A\cap B$, ou seja, n < n.
*** Tendo $n\in A$ temos também n < m qualquer que seja $m\in B$, em particular, tomando $m=n\in B$ obtemos n < n o que é absurdo. Concluímos que $A\cap B=\varnothing$.
** Mostraremos a seguir que $A=\mathbb {N}$. Vejamos agora que isto é suficiente para concluir a demonstração. Neste caso temos $\varnothing =A\cap B=\mathbb {N} \cap B=B$ contradizendo a hipótese $B\neq \varnothing$.
** Mostremos, por indução, que $A=\mathbb {N}$. Já sabemos que $1\not \in B$ e portanto $1<m$ qualquer que seja $m\in B$, ou seja, $1\in A$. Tomemos $n\in A$. Por definição de A temos $n<m$ qualquer que seja $m\in B$, logo $n+1\leq m$ para todo $m\in B$. Se $n+1\in B$ então $n+1$ é um elemento mínimo de B. Como, por hipótese, B não possui elemento mínimo, segue que $n+1\not \in B$ e portanto $n+1<m$ para qualquer $m\in B$. Concluímos que $n+1\in A$. Pelo Princípio da Indução $A=\mathbb {N}$.

## Exemplo 1

* Dados $a,b\in \mathbb {N}$, pela lei da tricotomia, temos três possibilidades $a<b,a=b\;ou\;b<a$.
** Caso $a<b$, tome $c=0$, assim $b\cdot 0\leq a<b\cdot (0+1)\Rightarrow 0\leq a<b$
** Caso $a=b$, tome $c=1$, assim $b\cdot 1\leq a<b\cdot (1+1)\Rightarrow b\leq a<2b$
** Caso $b<a$. Tome $A=\{n\in \mathbb {N} ;b\cdot n>a\}\subset \mathbb {N}$. A não é vazio, pois $b\cdot (a+1)>a$.
*** Pelo Princípio da Boa Ordem (P.B.O.), $\mathbb {N} \supset A\neq \varnothing \Rightarrow \exists \;m\in A;m=min(A)\Rightarrow b\cdot (m-1)<a<b\cdot m$.

## Exemplo 2

Se $n\in \mathbb {N} ,\not \exists \;p\in \mathbb {N} ,tal\;que\;n<p<n+1.$
* Considere $A=\{n\in \mathbb {N} :p<n\}\neq \varnothing ,A\subset \mathbb {N}$. Pelo PBO, $\exists m\in \mathbb {N} ,tal\;que\;m=min(A)\Rightarrow m=s(p)\Rightarrow p+1=m\Rightarrow p=m-1$

# Cardinalidade
## Subconjunto $I_{n}$

Um subconjunto importante dos naturais é o $I_{n}=\{p\in \mathbb {N} ,1\leq p\leq n\}$ para algum $n\in \mathbb {N}$.
* Exemplo: Caso exista uma bijeção entre A e $I_{5}=\{1,2,3,4,5\}$, então A possui 5 elementos.

## Conjuntos finitos e infinitos

Um conjunto A é finito quando assume uma das opções abaixo:
* quando ele é vazio. (Neste caso o conjunto não têm elementos)
* quando existe uma bijeção entre $I_{n}$ e $A$. (Neste caso o conjunto têm n elementos)
** escreve-se $f_{bij}:I_{n}\mapsto A$.
Concluímos que:
* todo conjunto $I_{n}$ é finito.
* Que uma função bijeção entre dois conjuntos finitos ocorre somente quando eles possuem a mesma quantidade de elementos, aí dizemos que eles possuem a mesma cardinalidade. (De forma geral, se existe uma bijeção entre dois conjuntos, eles possuem a mesma cardinalidade, podendo eles serem infinitos).
* Numa bijeção, se um conjunto é finito, o outro também o é ou se um não for finito o outro também não é.
* Seja A um conjunto não vazio. Se existe $n\in \mathbb {N}$ e uma função injetiva $g:A\mapsto I_{n}$ diremos que A é finito, caso contrário, A é infinito.
* O menor número n que verifica esta propriedade é dito número de elementos de A. Escrevemos $\sharp A=n$. Diremos também que o conjunto vazio é finito e que seu número de elementos é 0.

## Cardinalidade de um conjunto

* $\sharp (A)$: significa Cardinalidade de A. Caso A seja finito, $\sharp (A)$ é a quantidade de elementos de um conjunto finito A.
* Caso contrário dizemos que eles não têm a mesma cardinalidade ou que suas cardinalidades são diferentes e escrevemos $\sharp (A)\neq \sharp (B)$.
    Exemplo: $f_{bij}:A\mapsto I_{n}\Rightarrow \sharp (A)=n$

### Exemplo

Prova:
* Basta exibirmos uma função bijetiva entre os dois. Assim tome $f:\mathbb {N} \mapsto 2\mathbb {N} ;f(n)=2\cdot n$
* Injetividade: $f(m)=f(n)\Rightarrow 2m=2n\Rightarrow m=n$
* Sobrejetividade: Dado $n\in 2\mathbb {N}$, devemos mostrar que existe $m\in \mathbb {N} ;f(m)=2m=n$. Assim Tomemos $n=2m;n\in 2\mathbb {N} \Rightarrow m\in \mathbb {N}$.

### Exemplo2

Prova(Por indução):
* Devemos mostrar que é válido para quando $n=1:X=\{a_{1}\}$ (A ordenação é única).
* Como fica quando $n=2:X=\{a_{1},a_{2}\}$; Pode ser ordenado como: $\{a_{2},a_{1}\}\;ou\;\{a_{1},a_{2}\}$, isto é $2!=2$ vezes.
** Acontece que o termo $a_{2}$ foi colocado antes do termo $a_{1}$ e depois do termo $a_{1}$. Então para cada opção que tinhamos antes ficou duplicada.
* Como fica quando $n=3:X=\{a_{1},a_{2},a_{3}\}$; Pode ser ordenado como: $\{a_{3},a_{2},a_{1}\},\{a_{2},a_{3},a_{1}\},\{a_{2},a_{1},a_{3}\},\{a_{3},a_{1},a_{2}\},\{a_{1},a_{3},a_{2}\}\;ou\;\{a_{1},a_{2},a_{3}\}$, isto é 3! = 6 vezes.
** Aconteceu para cada opção que tinhamos antes com 2 elementos foi triplicada com a inserção de um terceiro elemento.
** Sendo que no primeiro o termo $a_{3}$ foi inserido, antes, entre e depois dos termos em $\{a_{2},a_{1}\}$ e depois antes, entre e depois dos termos em $\{a_{1},a_{2}\}$.
* Suponha ser válida para quando $n=k;X=\{a_{1},a_{2},...,a_{k}\}$, existem $k!$ modos de ordenar.
* Devemos mostrar que para quando $n=k+1$, existem $k+1!$ modos de ordenar esses $k+1$ elementos.
** Como para k elementos existem k! modos de ordenar, então para cada uma delas existem k+1 maneiras de ordenar com o k+1-ésimo elemento.
** Assim dado uma sequência com k elementos: $\{a_{1},a_{2},...,a_{k}\}$, teremos $\{a_{k+1},a_{1},a_{2},...,a_{k}\},\{a_{1},a_{k+1},a_{2},...,a_{k}\},...,\{a_{1},a_{2},...,a_{k},a_{k+1}\}$, onde o elemento $a_{k+1}$ vai sendo colocado entre as posições dos elementos, antes e depois, resultando em k+1 lugares para ser colocados em k! elementos, resultando em $k+1\cdot k!$ possibilidades
* Logo um conjunto com X com k+1 elementos, pode ser ordenado em k+1! modos.

### Exemplo3

Prova(indução sobre n):
* Um conjunto com 1 elemento possui $2^{1}=2$ subconjuntos, no caso de $X=\{a_{1}\}$, teremos os subconjuntos $X_{2}=\{a_{1}\}\;ou\;X_{1}=\{\}$
* Um conjunto com 2 elementos possui $2^{2}=4$ subconjuntos, no caso de $X=\{a_{1},a_{2}\}$, teremos os subconjuntos $X_{4}=\{a_{1},a_{2}\},\;X_{2}=\{a_{1}\},X_{3}=\{a_{2}\}\;ou\;X_{1}=\{\}$
** Ou seja, foram inseridos os subconjuntos $X_{3}\;e\;X_{4}$ ao inserir o elemento $a_{2}$.
* Um conjunto com 3 elementos possui $2^{3}=8$ subconjuntos, no caso de $X=\{a_{1},a_{2},a_{3}\}$, teremos os subconjuntos $X_{8}=\{a_{1},a_{2},a_{3}\},X_{4}=\{a_{1},a_{2}\},X_{6}=\{a_{1},a_{3}\},X_{7}=\{a_{2},a_{3}\},X_{2}=\{a_{1}\},X_{3}=\{a_{2}\},X_{5}=\{a_{3}\}\;ou\;X_{1}=\{\}$
** Ou seja, foram inseridos os subconjuntos $X_{5},X_{6},X_{7}\;e\;X_{8}$ ao inserir o elemento $a_{3}$.
* Vamos supor válido para quando n = k, ou seja, um conjunto com k elementos têm $2^{k}$ subconjuntos.
* Devemos mostrar válido para quando n = k+1, isto é, um conjunto com k elementos têm $2^{k+1}$ subconjuntos:
** Um conjunto com k elementos tem $2^{k}$ subconjuntos. Ao inserir o elemento $a_{k+1}$a quantidade de subconjuntos vai dobrar(segundo a proposição), assim um conjunto com k+1 elementos têm $2\cdot 2^{k}=2^{1+k}=2^{k+1}$ subconjuntos.
Prova (Triângulo de Pascal)
* um conjunto com n elementos tem $C_{n,0}+C_{n,1}+C_{n,2}+...+C_{n,n-1}+C_{n,n}=2^{k}$ subconjuntos
* um conjunto com 0 elementos tem $1=2^{0}$ subconjunto
* um conjunto com 1 elementos tem $1+1=2^{1}$ subconjuntos
* um conjunto com 2 elementos tem $1+2+1=2^{2}$ subconjuntos
* um conjunto com 3 elementos tem $1+3+3+1=2^{3}$ subconjuntos
* um conjunto com k elementos tem $1+C_{k,1}+C_{k,2}+...+C_{k,k-1}+1=2^{k}$ subconjuntos
* onde o $C_{n,0}$ é a quantidade de conjuntos nulo, que no caso é sempre 1
* onde o $C_{n,1}$ é quantidade de conjuntos unitários
* onde o $C_{n,2}$ é a quantidade de conjuntos formados de 2 elementos
* onde o $C_{n,n-1}$ é a quantidade de conjuntos formados com n-1 elementos
* onde o $C_{n,n}$ é a quantidade de conjuntos com n elementos, que no caso é sempre 1

## Relações e exemplos de cardinalidade

* Sejam A e B conjuntos não vazios.
** Se existe função injetiva $f:A\mapsto B$, então dizemos que a cardinalidade de A é menor ou igual à de B e escrevemos $\sharp A\leq \sharp B$.
** Se existe uma função sobrejetiva $g:A\mapsto B$, então dizemos que a cardinalidade de A é maior ou igual a de B e escrevemos $\sharp A\geq \sharp B$.
** Se $\sharp A\leq \sharp B\;e\;\sharp A\neq \sharp B$, então escrevemos $\sharp A<\sharp B$ (lê-se a cardinalidade de A é menor que a de B).
** Analogamente, se $\sharp A\geq \sharp B\;e\;\sharp A\neq \sharp B$, então escrevemos $\sharp A>\sharp B$ (lê-se a cardinalidade de A é maior que a de B).
    Feita esta definição, temos que $A\neq \varnothing$ é enumerável se, e somente se, $\sharp A\leq \sharp \mathbb {N}$.
    Exemplo: Seja A um conjunto não vazio. É evidente que $\sharp A=\sharp A$ pois a função identidade $Id:A\mapsto A$ dada por $Id(x)=x,\forall x\in A$ é uma bijeção.
    Exemplo: Sejam A e B dois conjuntos não vazios com $A\subset B$. Obviamente $\sharp A\leq \sharp B$ pois a função $Id:A\mapsto B$ dada por $Id(x)=x,\forall x\in A$ é injetiva.

## PROPOSIÇÃO 1

* Para provar essa proposição, fazemos em separado:
* $Ao\;tomar\;y\in B$, não sabemos se $\exists \;x\in A,tal\;que\;y=f(x).$
* Assim vamos considerar que $f(A)\neq B\Rightarrow B-f(A)\neq \varnothing .$
** Se ocorresse que $f(A)=B$, teríamos que $g:B\mapsto A,g(y)=x,comf(x)=y\Rightarrow \forall \;x\in A,f(x)\in B\Rightarrow g(f(x))=x$ e assim essa g é sobrejetiva.
* Vamos tomar $B=[B\setminus f(A)]\cup f(A)$. Assim, construamos $g:B\mapsto A$. Ao tomarmos $y\in B\Rightarrow y\in B\setminus f(A)\;ou\;y\in f(A)$.
* Assim, se $y\in f(A)$, logo $\exists \;x\in A,tal\;que\;y=f(x)\;e\;se\;y\in B-f(A)$, fixemos $x_{1}\in A$, um elemento arbitrário, tal que $g(y)=x_{1}$.
* Da forma que construímos g, $g(B)=A$, ou seja, g é sobrejetiva.
** Com efeito, se $g(B)\not \subset A,$ teríamos $y\in B,tal\;que\;g(y)\not \in A.Mas\;se\;y\in f(A),\exists \;x\in A,tal\;que\;y=f(x),$ ou seja, $g(y)=g(f(x))=x\in A$, que é uma contradição. Mas se $y\in [B\setminus f(A)],g(y)=x_{1},para\;algum\;x_{1}\in A$, que é uma contradição, logo $g(B)\subset A$.
** Também, se $A\not \subset g(B),$ teríamos $x\in A,tal\;que\;x\not \in g(B).Mas\;x\in A\Rightarrow f(x)\in B\cap f(A)\Rightarrow g(f(x))=x\in A$, que é uma contradição, logo $A\subset g(B)$.
* Suponha que exista uma $f:A\mapsto B,f(x)=y,tal\;que\;x=g(y)$, de forma que f não seja injetiva.
* Pela não-injetividade da f, existem $a\neq b\in A,y\in B,tal\;que\;f(a)=y=f(b).$
* Mas, se acontecesse que, dado $y\in B,g(y)=a\;e\;g(y)=b$, g não seria uma função.
* Portanto f é injetiva.

## PROPOSIÇÃO 2

    Prova
* Vamos tomar por hipótese que $f:A\mapsto B$ é invertível.
** Uma função f é invertível se existe outra função g tal que $f(x)=y\Leftrightarrow g(y)=x$ para todo x em A e y em B.
** Por g ser uma função, $\forall y\in B,\exists !x\in A,tal\;que\;g(y)=x,\Leftrightarrow \forall y\in B,\exists !x\in A,tal\;que\;f(x)=y$
** Observando que dado qualquer y em B, existe um único x, tal que f(x) = y, nos diz que f é sobrejetiva e g é injetiva.
** Observando que dado qualquer x em A, existe um único y, tal que g(y) = x, nos diz que g é sobrejetiva e f é injetiva.
** Logo f e g são bijetivas.

## TEOREMA =

    TEOREMA De Cantor1-Bernstein2-Schroder3)
    Se $\sharp A\leq \sharp B$ e $\sharp B\leq \sharp A$, então $\sharp A=\sharp B$.
Prova:
* Considere $h_{1}:A\mapsto B\;e\;h_{2}:B\mapsto A.$
** Como $\#A\leq \#B,$ temos que $h_{2}$ só pode ser definida se $\#A=\#B,$
** Como $\#B\leq \#A,$ temos que $h_{1}$ só pode ser definida se $\#A=\#B,$
* Portanto $\#A=\#B$

## Propriedades importantes dos conjuntos finitos
### Teorema (Bijeção sobre um subconjunto)

Seja $X\subset I_{n}$. Se existir uma bijeção $f:I_{n}\mapsto X,$ então $X=I_{n}$.

#### Prova

* ${\mbox{ Como }}X\subset I_{n}\Rightarrow \sharp (X)\leq \sharp (I_{n}).$
* Como f é bijetiva $\sharp (I_{n})=\sharp (X)\;e\;f(I_{n})\subset X\Rightarrow \sharp (I_{n})\leq \sharp (X)\Rightarrow \sharp (I_{n})=\sharp (X).$${\mbox{ Como }}X\subset I_{n}$
* Logo $X=I_{n}.$

### Corolário (unicidade numa bijeção)

Se existir uma bijeção $f:I_{m}\mapsto I_{n}$ então $m=n$. Consequentemente, se existem duas bijeções $f:I_{m}\mapsto X$ e $f:I_{n}\mapsto X$, logo $m=n$.

#### Prova

* Pela bijeção de f, $\sharp (f(I_{m}))=\sharp (I_{m}){\mbox{ e }}f(I_{m})=I_{n}\Rightarrow \sharp (I_{m})=\sharp (I_{n})\Rightarrow m=n.$
* Pela bijeção de f, $\sharp (f(I_{m}))=\sharp (X)=\sharp (f(I_{n})){\mbox{ e }}f(I_{m})=X=f(I_{n})\Rightarrow \sharp (I_{m})=\sharp (X)=\sharp (I_{n})\Rightarrow m=n.$

### Corolário (bijeção sobre uma parte própria)

Não pode existir uma $f_{bij}:X\mapsto Y$ de um conjunto finito sobre uma parte própria $Y\subset X$

#### Prova
### Teorema (Propriedades de um subconjunto)

Se $X$ é um conjunto finito então todo subconjunto $Y\subset X$ é finito. O número de elementos de Y não excede o de X e só é igual quando Y = X.

##### Prova
#### Corolário

Seja $f:X\mapsto Y$ uma função injetora. Se Y for finito então X também será. Além disso, o número de elementos de X não excede o de Y.

##### Prova
### Teorema

    Prova
* Primeiro vamos mostrar que $X\cup Y=(X\setminus Y)\cup (Y\setminus X)\cup (X\cap Y)$
** $X\cup Y=[X\cap (Y\cup Y^{C})]\cup [Y\cap (X\cup X^{C})]=[(X\cap Y)\cup (X\cap Y^{C})]\cup [(Y\cap X)\cup (Y\cap X^{C})].$
** $X\cup Y=(X\setminus Y)\cup (Y\cap X)\cup (Y\setminus X)\Rightarrow \sharp (X\cup Y)=\sharp (X\setminus Y)+\sharp (Y\cap X)+\sharp (Y\setminus X)$. Podemos somar porque a união é disjunta.
* Assim $X=X\cap (Y\cup Y^{C})]=(X\cap Y)\cup (X\cap Y^{C})]=(X\cap Y)\cup (X\cap Y^{C})\Rightarrow \sharp (X)=\sharp (X\cap Y)+\sharp (X\setminus Y)$
* Assim $Y=Y\cap (X\cup X^{C})]=(Y\cap X)\cup (Y\cap X^{C})]=(Y\cap X)\cup (Y\cap X^{C})\Rightarrow \sharp (Y)=\sharp (Y\cap X)+\sharp (Y\setminus X)$
* Logo $\sharp (X)+\sharp (Y)=\sharp (X\cap Y)+\sharp (X\setminus Y)+\sharp (Y\cap X)+\sharp (Y\setminus X)=\sharp (X\cap Y)+\sharp (X\cup Y)\Rightarrow \sharp (X\cap Y)+\sharp (X\cup Y)=\sharp (X)+\sharp (Y)\Rightarrow$
* $\Rightarrow \sharp (X\cup Y)=\sharp (X)+\sharp (Y)-\sharp (X\cap Y)$

# Enumerabilidade
## Conjuntos enumeráveis

    Intuitivamente, um conjunto A é enumerável quando é possível construir uma lista com todos os elementos de A.
    Mais formalmente falando, A é enumerável se existir uma bijeção (relação um para um) entre A e o conjunto dos números naturais N (chamam-se de conjuntos de mesma cardinalidade quando existe uma bijeção entre os conjuntos; também diz-se que estes conjuntos são equipotentes).
    Um Conjunto A é enumerável se uma função f bijetiva aos naturais ou ao conjunto $I_{n}$, isto é, $\exists \;f_{bij}:T\mapsto S$ onde $T=\mathbb {N} {\mbox{ ou }}T=I_{n}=\{1,2,...,n\},{\mbox{ de forma que }}T\subset \mathbb {N}$.
    Dizemos que um conjunto A é enumerável se ele é vazio ou se existe uma função injetiva $f:A\mapsto \mathbb {N}$. Caso contrário dizemos que A é não-enumerável.

### Teo enu.1: Todo conjunto finito é enumerável

Seja $X=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$ um conjunto finito. Seja $f:I_{n}\rightarrow X$ uma bijeção, onde $f(i)=x_{i},i=1,...,n\;$. Logo f é bijetiva. Portanto X é enumerável.

### O conjunto dos naturais é enumerável

Seja $\mathbb {N} =\{1,2,...\}$ o conjunto dos números naturais. Seja $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ uma bijeção, onde $f(i)=i,i=1,2,...\;$. Logo f é bijetiva(é fácil mostrar a bijetividade). Portanto $\mathbb {N}$ é enumerável.

### O conjunto dos pares naturais é enumerável

Seja $2\mathbb {N} =\{2,4,...\}$ o conjunto dos números pares naturais. Seja $f:\mathbb {N} \rightarrow 2\mathbb {N}$ uma bijeção, onde $f(i)=2i,i=1,2,...\;$. Logo f é bijetiva(é fácil mostrar a bijetividade). Portanto $2\mathbb {N}$ é enumerável.

### O conjunto dos impares naturais é enumerável

Seja $2\mathbb {N} -1=\{1,3,...\}$ o conjunto dos números impares naturais. Seja $f:\mathbb {N} \rightarrow 2\mathbb {N} -1$ uma bijeção, onde $f(i)=2i-1,i=1,2,...\;$. Logo f é bijetiva(é fácil mostrar a bijetividade). Portanto $2\mathbb {N} -1$ é enumerável.

### O conjunto dos inteiros é enumerável

Seja $f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {N}$ uma bijeção, onde $f(n)={\begin{cases}2n,se\;n\geq 0\;\\-1-2n,se\;n<0\;\end{cases}}\;$. Logo f é bijetiva(é fácil mostrar a bijetividade). Portanto $\mathbb {Z}$ é enumerável.

### O conjunto dos racionais é enumerável

É possível provar que os seguintes conjuntos são enumeráveis:
* o conjunto dos números racionais
* o conjunto dos números algébricos

### Teo enu.3: Todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável

Ou se dado Y enumerável e $f:X\rightarrow Y\;$ injetiva, então X é enumerável
    Prova: Dado Y enumerável.
* Se Y é finito, qualquer subconjunto X de Y é finito também, logo X é enumerável.
* Mas se Y é infinito, logo Y possui um subconjunto X enumerável.
    Prova2: Dado X um subconjunto de Y enumerável. Tome $f:X\rightarrow Y$ de forma que f seja injetiva.
* Assim, se Y é finito, logo X é finito, então dado $g:X\rightarrow I_{n}$(onde n é a cardinalidade de X). Implica que X é enumerável. se Y é finito, dado $x_{1},x_{2}\in X$ pela injetividade, $f(x_{1})\not =f(x_{2})\Rightarrow f(X)$
Além disso, é possível provar que $\mathbb {R} \,$ e $\mathbb {R} ^{2}\,$ tem a mesma cardinalidade; uma conjectura interessante neste ponto seria mostrar que todo conjunto infinito é enumerável. Esta conjectura, porém, é falsa. $\;$
$\Rightarrow \;\Leftrightarrow \;\rightarrow \;\exists \;\forall \;{\begin{cases}\;\\\;\end{cases}}\;{a \over b}\;{\bigg \{\bigg \}}\;{\sqrt[{3}]{a}}\;{\overline {X}}$

## Conjuntos não-enumeráveis

Cantor mostrou que o conjunto dos números reais tem mais elementos que o conjunto dos números naturais, no sentido preciso seguinte: existe uma função injetiva $f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} \,$, mas não existe uma função bijetiva $f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} \,$
Assim, o conjunto dos números reais não é enumerável, assim como qualquer conjunto equipotente a ele (o conjunto dos números complexos, o conjunto das funções contínuas $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,$, o conjunto das sequências de números reais, o conjunto das partes de $\mathbb {N} \,$, etc), ou conjuntos de maior cardinalidade (o conjunto das partes de $\mathbb {R} \,$, o conjunto das funções $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,$, etc).
Existem várias provas de que $\mathbb {R} \,$ não é enumerável; as provas consistem em supor uma sequência de números reais $a_{0},a_{1},a_{2},...\,$ e exibir um número real x que não está nesta sequência.
Uma das provas utiliza o princípio dos intervalos encaixados, que será visto no capítulo Completude; a demonstração está no capítulo Sequências.

## Ver também

* Conjunto Contável

# Isomorfismo
## Partição de um conjunto e União Disjunta

Podemos dividir um conjunto em suas partições disjuntas de forma que se unirmos tudo teremos novamente o conjunto:
* O conjunto dos inteiros pode ser dividido em dois grupos de mesma cardinalidade, o conjunto dos pares e dos impares, assim
** Pares = {...,-4,-2,0,2,4,...}
** Impares = {...,-5,-3,-1,1,3,5,...)}
** $\mathbb {Z} =Pares\cup Impares$

## Relação de Equivalência

* $(a,a)\in R,\forall \;a\in A$
* $(a,b)\in R,\rightarrow (b,a)\in R$
* $(a,b)\in R\;e\;(b,c)\in R\rightarrow (a,c)\in R$

## Relação Binária

A relação binária ~ sobre A é uma relação de equivalência sobre A se:
* $a\sim a,\forall a\in A$ (reflexiva)
* $a\sim b\rightarrow b\sim a$ (simétrica)
* $a\sim b\;e\;b\sim c\rightarrow c\sim a$ (transitiva)

## classe de equivalência

Seja A um conjunto e ~ uma relação de equivalência em A, então a classe de equivalência de a em A é o conjunto de todos os elementos que têm relação com a:
* $[a]=\{x\in A:x\sim a\}$.

### Pares e impares dos inteiros

Pares:
* $[0]=\{x\in \mathbb {Z} :x\sim 0,se\;x-0=par\}$
* $[0]=\{...,-4,-2,0,2,4,...\}$
Impares
* $[1]=\{x\in \mathbb {Z} :x\sim 1,se\;x-1=impar\}$
* $[1]=\{...,-5,-3,-1,1,3,5,...\}$

## Conjunto quociente

O conjunto das classes de equivalência de uma relação de equivalência ~ em A é chamado de conjunto quociente de A sobre ~, que será escrito como A/~.

### Exemplo

Como vimos acima, foi definido no conjunto dos inteiros uma relação de equivalência separando o conjunto dos inteiros em duas partições tal que a união disjusta:
* $Z/\sim =\{[0],[1]\}$

## O Conjunto $\mathbb {N} \times \mathbb {N} =\mathbb {N} ^{2}$

* $\mathbb {N} \times \mathbb {N} =\{(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}:a,b\in \mathbb {N} \}$

## Operações nos naturais

Seja s a função das somas naturais onde s(a,b) é a soma entre a e b.
* $s:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \setminus \{1\}\mapsto \mathbb {N} ,ondes(m,n)=m+n$
** Ex: $s(1,1)=1+1=2$
Seja d a função que multiplica dois naturais onde d(a,b) é a multiplicação entre a e b
* $d:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \mapsto \mathbb {N} ,onde\;d(m,n)=m\cdot n$
** $Ex:d(1,1)=1\cdot 1=2$

## Aplicação entre $\mathbb {N} ^{2}$ e $\mathbb {Z}$

* Consideremos uma aplicação $\Psi :\mathbb {N} ^{2}\mapsto \mathbb {Z}$.

## Isomorfismo
# Números racionais
### Grupo Aditivo dos Inteiros (Z,+)

O conjunto dos inteiros $\mathbb {Z}$ e a operação de adição $+\$ formam um grupo e a multiplicação carece de inversas. Se permitirmos que a multiplicação e a adição operem nos $\mathbb {Z} ,$ nós poderemos definir um conjunto onde todo elemento, exceto o zero, tem um inverso multiplicativo. Este é o conjunto de números racionais.

## Números Racionais

A próxima extensão padrão adiciona a possibilidade de quocientes ou divisão, e dá-nos os números racionais(ou apenas racionais) $\mathbb {Q} ,$ Que inclui o inverso multiplicativo de $\mathbb {Z} \setminus \{0\}$ da forma ${\frac {1}{z}}$ frações como a ${\frac {1}{2}},$ bem como produtos dos dois conjuntos a partir de ${\frac {z_{1}}{z_{2}}},$ como ${\frac {64}{7}},{\frac {17}{16\times 10^{5}}}.$ Os racionais nos permitem usar precisão arbitrária, e eles são suficientes para medição.
Os números racionais podem ser construídos a partir dos inteiros como classe de equivalência de pares ordenados (a, b) de inteiros, com b ≠ 0, tal que (a, b) e (c, d) são equivalentes quando ad = bc usando a definição de multiplicação de inteiros. Estes pares ordenados são, é claro, comumente escritos ${\tfrac {a}{b}}.$ Pode-se definir adição como (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) e multiplicação como (a, b) . (c, d) = (ac, bd); todos usando a definição de adição e multiplicação de inteiros.
Esta construção dos racionais a partir dos inteiros é denominada construção do corpo de frações de um anel; nem todos anéis podem ter um corpo de frações, mas uma classe especial de anéis, os domínios de integridade, podem. Entre os domínios de integridade estão os inteiros e o anel dos polinômios com coeficientes em um corpo ou domínio de integridade.

## Ver também

* Matemática elementar/Conjuntos/Números racionais - texto mais elementar
* Álgebra Abstrata
* Corpos
* Corpo Ordenado

# Os números reais
## Porque precisamos dos números reais

Este é um bom momento para justificar o tema da análise real, o que reduz essencialmente para justificar a necessidade de estudar $\mathbb {R}$. Portanto, o que está faltando? Porque é preciso algo além dos racionais?
O primeiro sinal de problema é a raíz quadrada. Famoso dilema, ${\sqrt {}2)$ não é um racional - em outras palavras, não existe um número racional que ao quadrado dá $2$ (veja os exercícios). Este fato tem uma curiosa consequência - considere as seguintes funções: $f:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} ;x\mapsto \left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{se }}x^{2}<2\\1&{\mbox{se }}x^{2}>2\\\end{matrix}}\right.$
É evidente que esta função tem um salto dramático em torno do racional $1,4$, onde ele muda de repente, inicialmente sendo igual a zero e muda para ser igual a um. No entanto, é impossível estabelecer exatamente onde esse salto acontece. Qualquer número racional específico é seguro de um lado ou para o outro, esta função é contínua, de acordo com a definição usual de continuidade. Conceito que ficará claro num capítulo posterior.
É esta falha que os números reais são projetados para consertar. Vamos definir os números reais $\mathbb {R}$ para que não importe o quão hábil tentaremos ser, se uma função tem um "salto" da forma que $f$ faz, em seguida sempre seremos capaz de encontrar um número específico em que ela salta.
As seções seguintes descrevem as propriedades dos $\mathbb {R}$, que tornam isso possível.

### Diferentes perspectivas

A fim de provar alguma coisa sobre o números reais, precisamos saber quais são as suas propriedades. Existem duas abordagens diferentes para descrever essas propriedades - axiomática e construtiva.

### Uma abordagem axiomática

Quando tomarmos uma abordagem axiomática, simplesmente faremos uma série de afirmações sobre $\mathbb {R}$, e assumir que são titulares. As afirmações que fazemos são chamados axiomas- num contexto matemático este termo significa aproximadamente "pressuposto básico". A vantagem desta abordagem é que é exatamente claro o que temos de assumir para obter os resultados que desejamos, e, além disso, podemos proceder imediatamente a dedução desses resultados. A desvantagem desta abordagem é que ela pode não ser imediatamente evidente que qualquer objeto que satisfaça as propriedades que desejamos ainda existe!

### Uma abordagem construtiva

Com uma abordagem construtiva, não estamos felizes simplesmente para assumir exatamente aquilo que queremos, mas sim tentarmos construir $\mathbb {R}$ de algo mais simples e, em seguida, provar que ela tem as propriedades que queremos. Desta forma, o que poderia ter sido axiomas tornam-se teoremas. Existem várias maneiras de fazer isso, a partir de $\mathbb {Q}$ e usando algum método para 'encher as lacunas entre as racionais'. Todos esses métodos são bastante complexos e serão adiadas até a próxima secção.

## Os axiomas

Então, quais são esses axiomas que vamos precisar? A versão curta é dizer que $\mathbb {R}$ é um Corpo ordenado completo. Isto é, de fato, dizendo muitas coisas:
* Que $\mathbb {R}$ é um corpo ordenado arquimediano.
* Que $\mathbb {R}$ é completo e ordenado (Note que o significado da integralidade aqui não é exatamente o mesmo que o sentido comum no estudo dos conjuntos parcialmente ordenados).
* Que as operações algébricas (adição e multiplicação) descritas pelo axiomas de corpo interagem com a ordenação na forma esperada.
Mais detalhadamente, afirmarmos o seguinte:
* $\mathbb {R}$ é um corpo. Por isso, exigimos que as operações binárias adição (denotado $+$) e multiplicação(denotado $\times$) definida sobre $\mathbb {R}$, e os elementos distintos $0$ e $1$ satisfazendo:
** $(\mathbb {R} ,+,0)$ é um grupo comutativo, satisfazendo:
*** $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :(x+y)+z=x+(y+z)$ (associatividade)
*** $\forall x,y\in \mathbb {R} :x+y=y+x$ (comutatividade)
*** $\forall x\in \mathbb {R} :x+0=x$ (identidade)
*** $\forall x\in \mathbb {R} :\exists y\in \mathbb {R} :x+y=0$ (inverso)
** $(\mathbb {R} \setminus \{0\},\times ,1)$ é um grupo comutativo, satisfazendo:
*** $\forall x,y,z\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:(x\times y)\times z=x\times (y\times z)$ (associatividade)
*** $\forall x,y\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:x\times y=y\times x$ (comutatividade)
*** $\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:x\times 1=x$ (identidade)
*** $\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:\exists y\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:x\times y=1$ (inverso)
** $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)$ (distributividade)
* $\mathbb {R}$ é um conjunto totalmente ordenado. Por isto, exigimos uma relação (denotado por $\leq$) satisfazendo:
** $\forall x\in \mathbb {R} :x\leq x$ (reflexividade)
** $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :(x\leq y{\mbox{ e }}y\leq z)\implies x\leq z$ (transitividade)
** $\forall x,y\in \mathbb {R} :(x\leq y{\mbox{ e }}y\leq x)\implies x=y$ (anti-simetria)
** $\forall x,y\in \mathbb {R} :{\mbox{temos}}(x\leq y){\mbox{ ou }}(y\leq x)$ (totalidade)
* $\mathbb {R}$ é um corpo ordenado se o conjunto $\mathbb {R} ^{+}$ satisfaz as condições abaixo:
** $\mathbb {R} ^{+}$ é fechado para a soma e para o produto
*** $\forall x,y\in \mathbb {R} ^{+}\Rightarrow x+y\in \mathbb {R} ^{+}$ e $x\times y\in \mathbb {R} ^{+}$;
** Dado $x\in \mathbb {R}$ aplicamos a tricotomia:
*** $x=0$ ou $x\in \mathbb {R} ^{+}$ ou $-x\in \mathbb {R} ^{+}$
* O Corpo com operações e ordem interagem de maneira esperada, satisfazendo:
** $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :x\leq y\implies (x+z)\leq (y+z)$
** $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :(x\leq y{\mbox{ e }}0\leq z)\implies (x\times z)\leq (y\times z)$
Esta é uma grande lista, e se não for utilizado para os axiomas matemáticos (ou mesmo se você estiver!) pode parecer um pouco assustador, especialmente desde que ainda tenha dado detalhes do que significa perfeição. Esta é uma das mais longas lista de axiomas, em qualquer região da matemática, mas se você analisar uma de cada vez, você vai descobrir que todos eles estabelecem coisas que você provavelmente já tomou conhecimento como "a forma como os números se comportam' sem um segundo pensamento.
Estes axiomas são tão exigentes que existe um sentido em que se especifiquem o número real precisamente. Em outras palavras $\mathbb {R}$ é somente o corpo ordenado completo.

## Outras notações

Tendo definido essas operações e relações nos $\mathbb {R}$, precisamos introduzir mais notações para melhor falar sobre elas. Esperamos que todas estas convenções devem ser familiares para você, mas é importante apresentar formalmente todas elas para evitar confusões na sequência de equívoco de notação:
* Ao invés de escrever $\times$ de multiplicação, podemos simplesmente denotá-la por justaposição. Em outras palavras, é escrever $xy$ para denotar $x\times y$.
* Uma vez que tanto multiplicação e a adição são associativas, omitiremos os desnecessários parênteses quando vários números são adicionados ou multiplicados. Em outras palavras, em vez de escrever $(x+y)+z$ ou $x+(y+z)$, que são iguais, nós simplesmente escreveremos $x+y+z$ para indicar seu valor comum.
* Para colocar parênteses em uma expressão, por convenção, a multiplicação tem maior precedência que a adição. Assim, por exemplo, a expressão $x+yz$ deve ser interpretada como $x+(yz)$, ao invés de $(x+y)z$.
* O número $x+y$ é chamado a soma de $x$ e $y$.
* O número $xy$ é chamado o produto de $x$ e $y$.
* O inverso aditivo de $x$ é escrito como $-x$, e chamado o negativo ou negativo de $x$. Então, $x+(-x)=0$.
* O inverso multiplicativo de $x$ é escrito como $x^{-1}$, e chamado o recíproco, ou simplesmente o inverso de $x$. Então, $x(x^{-1})=1$.
* Definimos a operação binária de subtração como se segue: $\forall x,y\in \mathbb {R}$, definimos $x-y=x+(-y)$. O número $x-y$ é chamado a diferença de $x$ e $y$.
* Subtração tem a mesma precedência que a adição (menos superior que a multiplicação), e quando as duas operações estão mixadas sem os parênteses, Esquerda-associatividade está implícita. Por exemplo, $a+b-c-d+e$ deverá ser interpretada como $(((a+b)-c)-d)+e$.
* Definimos a operação binária de divisão como se segue: $\forall x,y\in \mathbb {R}$, com $y\not =0$, definimos $x/y=x(y^{-1})$. O número $x/y$ é chamado o quociente de $x$ e $y$, e também é denotado ${\frac {x}{y}}$.
* A divisão tem uma precedência bastante superior que da adição ou subtração, mas não existe uma simples convenção sobre como deve ser mixado a multiplicação e a divisão. Usando a notação ${\frac {x}{y}}$, em vez da notação $x/y$ contribui para evitar confusões.
* Definimos a operação binária de exponenciação como se segue: $\forall x\in \mathbb {R}$ e $n\in \mathbb {N} _{0}$, definimos $x^{n}$ Recursivamente por $x^{0}=1$ e $x^{n+1}=(x^{n})x$. Então para $n\in \mathbb {Z}$, com $n<0$, definimos $x^{n}=(x^{-1})^{-n}$.
* A exponenciação têm uma precedência bastante superior que qualquer de divisão, multiplicação, adição e subtração. Por exemplo, $ab^{2}+d^{3}$ deverá ser interpretado como $(a(b^{2}))+(d^{3})$.
* Escrevemos $x\geq y$ para significar que $y\leq x$.
* Escrevemos $x<y$ para significar que $x\leq y$ e $x\not =y$.
* Escrevemos $x>y$ para significar que $y<x$.
* Para abreviar uma coleção de equações ou inequações, podem ser contribuídos juntos. Por exemplo, a expressão $a\leq b=c=d<e$ deverá ser interpretada como $a\leq b$ e $b=c$ e $c=d$ e $d<e$.
* Dizemos que $x$ é positivo significando $x>0$.
* Dizemos que $x$ é negativo significando $x<0$.
* Dizemos que $x$ é não-positivo significando $x\leq 0$.
* Dizemos que $x$ é não-negativo significando $x\geq 0$.
* Também introduzimos a notação comum para diversas variedades de subconjuntos dos $\mathbb {R}$. Todos estes subconjuntos são chamados intervalos:
** $[a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}$ (chamado de intervalo fechado de $a$ até $b$).
** $(a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\}$ (chamado de intervalo aberto de $a$ até $b$)
** $[a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x<b\}$
** $(a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}$
*** $[a,a]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq a\}$ chamado de intervalo degenerado, pois o único elemento do conjunto é o próprio a
** Em todos casos, $a$ é chamado o limite inferior do intervalo, e $b$ é chamado de limite superior.
** Uma exclusão do limite inferior (nos casos 2 e 4) podem ser substituídos por $-\infty$ para indicar que não existe restrição inferior. Por exemplo $(-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} :x\leq b\}$.
** Similarmente, uma exclusão do limite superior (nos casos 2 e 3) podem ser substituídos por $\infty$. Por exemplo, $(-\infty ,\infty )=\mathbb {R}$.
** Alguns intervalos específicos que aparecem frequentemente são os intervalos unitários fechados, ou seja intervalos unitários, que é $[0,1]$, e ${\mathbb {R} }^{+}=(0,\infty )$, os números reais positivos .
* Todo corpo ordenado é infinito e têm "característica zero", ou seja, ${\begin{matrix}\underbrace {1+1+\cdots +1} \\quantas-vezes-quisermos\end{matrix}}\not =0$

### Teorema (valor absoluto)

Sejam x,a elementos de um corpo ordenado $\mathbb {R}$. As seguintes afirmações são equivalentes:
* $-a\leq x\leq a$;
* $x\leq a$ e $-x\leq a$;
* $|x|\leq a$;

### Corolário (distância restrita)

Dados $a,b,x\in \mathbb {R}$ tem-se $|x-a|\leq b\Leftrightarrow a-b\leq x\leq a+b$

#### Prova
### Definição (Ponto em um intervalo)

$x\in (a-\epsilon ,a+\epsilon )\Leftrightarrow a-\epsilon <x<a+\epsilon \Leftrightarrow |x-a|<\epsilon$

### Teorema (Relações com módulo)

$\forall x,y,z\in \mathbb {R}$ temos
* $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$;
* $\|xy|=\|x\|\|y\|$
* $\|x\|-\|y\|\leq |\|x\|-\|y\||\leq \|x-y\|$
* $\|x-z\|\leq \|x-y\|+\|y-z\|$

#### Prova

* b) $\|x\|=\|x-y+y\|\leq \|x-y\|+\|y\|\Rightarrow \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|$ e $\|y\|=\|y-x+x\|\leq \|y-x\|+\|x\|\Rightarrow \|x\|-\|y\|\geq -\|x-y\|$, logo $|\|x\|-\|y\||\leq \|x-y\|$

## Alguns resultados simples

Neste ponto, há um grande número de resultados muito simples que podemos deduzir sobre estas operações a partir dos axiomas. Algumas destas são definidas e outras delas têm provas. As restantes provas devem ser considerados exercícios de manipular axiomas. O objetivo destes resultados é que nos permitam efetuar qualquer manipulação, que pensamos é "obviamente verdade", devido à nossa experiência de trabalhar com números. Salvo quantificados, o seguinte deveria realizar para todos.
* $0$ é a única identidade aditiva.
    Prova: Suponha que $x$ é uma identidade aditiva, então $x=x+0=0$. $\Box$
* $1$ é a única identidade multiplicativa.
* Ambas inversas aditivas e multiplicativas são únicas. Mais formamente: Se ambos $x+y=0$ e $x+z=0$ então $y=z$; e se ambos $xy=1$ e $xz=1$ então $y=z$ (De modo que a notação $-x$ e $x^{-1}$ fazem sentido).
    Prova: Para o caso de adição: Temos $x+y=0$ e $x+z=0$, de modo que acrescentando $y$ a esta última equação, temos $(x+z)+y=0+y$, mas, em seguida, por comutatividade e associatividade deduzimos que $(x+y)+z=0+y$, E por outro lado pressupomos que $0+z=y+0$ e, em seguida, pela identidade do outro lado $z=y$. $\Box$
* $-(-x)=x$
* $\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:(x^{-1})^{-1}=x$
* $0\times x=0$
* $0$ não têm inverso multiplicativo (pois divisão por $0$ não faz sentido)
* $\forall n,m\in \mathbb {Z} :x^{n}x^{m}=x^{n+m}$
* $\forall n,m\in \mathbb {Z} :(x^{n})^{m}=x^{nm}$
* $x>y\iff \neg x\leq y$ (Aqui $\neg$ é a negação da lógica, então $\neg x\leq y$ (Significa que "não é o caso que $x\leq y$".)
    Prova: Primeiro consideramos as implicações $\implies$. Supomos $x>y$. Por definição, isto significa que $x\not =y$ e $y<x$. Se fosse verdade que $x\leq y$ então pela anti-simetria teríamos $x=y$, o que é impossivel. Logo $\neg x\leq y$.
    Inversamente, suponha que $\neg x\leq y$. Primeiro, se tivéssemos $x=y$, em seguida, por reflexividade $x\leq y$, o que é impossível, por isso, na realidade $x\not =y$. Em segundo lugar, pela totalidade deduzimos que $y\leq x$. Estas duas condições são exatamente aqueles exigidos para $x>y$. $\Box$
* $x<y\iff \neg x\geq y$
* $x$ é um não-positivo se e somente se $x$ é um não positivo
* $x$ é um não-negativo se e somente se $x$ é um não negativo
* Se $x$ é ambos não-positivo e não-negativo então $x=0$
* $x$ é ambos não positivo e negativo
* $x\geq 0\iff -x\leq 0$
    Prova: Suponha $x\geq 0$. Por um dos axiomas chegamos que $x+(-x)\geq 0+(-x)$. Pelo inverso aditivo dá $0\geq 0+(-x)$ e, em seguida, pela identidade aditiva $0\geq -x$, como exigido.
    A implicação converge que sigamos similarmente. $\Box$
* $(x\leq y{\mbox{ e }}z\leq 0)\implies xz\geq yz$
* $\forall x\in \mathbb {R} :x^{2}\geq 0$
    Prova: Por totalidade da ordem, temos que $x\geq 0$ ou $x\leq 0$. No primeiro caso podemos aplicar os axiomas que ligam a ordem de multiplicação diretamente para $0\leq x$ e deduzimos que $0\leq x^{2}$. Neste último caso, se aplicar o último resultado desta lista para $0\leq x$ e obtemos $x^{2}\geq 0$. $\Box$
* $1>0$ e $-1<0$

## Aplicações

Embora possa ser dito que a totalidade deste livro é dedicada aos estudos de aplicações de completude, em particular, existem algumas aplicações simples que podemos dar facilmente quais fornecem uma indicação quanto ao modo como a completude resolve os problemas com os reais descritos acima.

### Teorema (Raíz quadrada)

Seja $x\in \mathbb {R}$ é não-negativo. Então $x$ têm uma única raíz quadrada não-negativa, denotado ${\sqrt {x}}$, que satisfaz $({\sqrt {x}})^{2}=x$.

#### Prova

Tratamos apenas com o caso $x\geq 1$. O caso $x\in [0,1)$ é deixado como exercício.
Primeiro, notamos que quando $y,z\in \mathbb {R}$ são não-negativos, $y<z\implies y^{2}<z^{2}$ (Na terminologia iremos Introduzir mais tarde, dizendo que a função $y\mapsto y^{2}$ é estritamente crescente). Isso deixa claro que só pode haver uma raiz quadrada de $x$, e assim ele continua a encontrar um.
Seja $S=\{y\in \mathbb {R} :y^{2}\leq x\}$. Pretendemos aplicar o axioma do menor das cotas superiores para $S$, por isso temos de mostrar que é não-vazio e limitada superiormente.
Este $S$ é não-vazio é claro, desde que $1\in S$.
Além disso, $x$ por si só é uma cota superior para $S$, uma vez que se $y>x\geq 1$, então $y^{2}>y$, de modo que $y^{2}>x$, e portanto $y\not \in S$.
Colocando estes fatos juntos, pelo axioma do menor da costas superiores, deduzimos que $S$ tem o menor das cotas superiores, ao qual chamamos $s$. Queremos mostrar que $s$ é a raiz quadrada de $x$ que queremos.
Certamente $s$ é positivo, uma vez que $1\in S$ e assim $s\geq 1$. Em particular, podemos dividir por $s$.
Para mostrar que $s^{2}=x$, eliminamos as possibilidades que $s^{2}>x$, e que $s^{2}<x$.
Suponha que $s^{2}>x$. Seja $t=s-{\frac {s^{2}-x}{2s}}$. Então:
$t^{2}=s^{2}-(s^{2}-x)+{\frac {(s^{2}-x)^{2}}{4s^{2}}}=x+{\frac {(s^{2}-x)^{2}}{4s^{2}}}>x$
Então $t$ é na verdade uma cota superior para $S$, mas isso é impossível, uma vez que $t<s$ e $s$ é a menor das cotas superiores para $S$.
Assim concluímos que $s^{2}\leq x$.
Agora suponha que $s^{2}<x$. Seja $t=s+{\frac {x-s^{2}}{2s}}$. De maneira similar ao de acima, deduzimos que $t^{2}<x$, de modo $t\in S$, mas isso é impossível uma vez que $t>s$ e $s$ é uma cota superior para $S$.
Assim concluímos que $s^{2}\geq x$, e assim $s^{2}=x$, conforme exigido. $\Box$
Este argumento pode parecer excessivamente complexo (especialmente porque alguns detalhes são deixados como exercícios) e, na verdade, há um sentido no qual ele é, e desejamos ter a possibilidade de apresentar um argumento muito esmerador mais tarde. No entanto, não é suficiente para mostrar que nós podemos encontrar uma raiz quadrada de 2, e assim evitar o problema imediato com os racionais colocados no início desta seção. Para mostrar que não mais construção elaborada dará origem ao mesmo problema terá que esperar até que chegar o estudo de continuidade.

### Propriedade de Arquimedes

Se x é um real positivo e y um real qualquer, então existe um natural n tal que nx > y
    Exemplo:
* a) $\forall x\in \mathbb {R} :\exists n\in \mathbb {N} :n>x$
* b) $\forall x\in \mathbb {R} ^{+}:\exists n\in \mathbb {N} :{\frac {1}{n}}<x$

#### Prova

a) Suponha que a afirmação não é verdadeira, então temos a negação, ao qual se afirma:
$\exists \;x\in \mathbb {R} ;\forall \;n\in \mathbb {N} \;onde\;n\leq x$
Mas essa é, precisamente, a afirmação de que $\mathbb {N}$ é limitada superiormente. Certamente, ele é não-vazio, para que possamos aplicar o axioma da completude, obtendo o menor das cotas superiores para $\mathbb {N}$. A este menor das cotas superiores chamamos $l\;$.
Uma vez que $l\;$ é o menor das cotas superiores, sabemos que $l-1\;$ não é uma cota superior e, assim, $\exists \;n\in \mathbb {N} ;n>l-1$. Mas então, $n+1>l:$, e $n+1\in \mathbb {N}$ logo chegamos a uma contradição: que $l\;$ não é uma cota superior para $\mathbb {N}$ depois de tudo.
Assim, a nossa suposição era falsa, e (a) está provado.
b)Tome $x\in \mathbb {R} ^{+}$. Certamente $x\not =0$, para que possamos inverter $x\;$ obteremos $x^{-1}\in \mathbb {R} ^{+}$. Aplicando parte (a) $x^{-1}\;$, podemos encontrar $n\in \mathbb {N}$ com $n>x^{-1}\;$ e, em seguida, invertendo esta desigualdade, deduzindo ${\frac {1}{n}}<x$, conforme exigido. $\Box$

### Proposições num Corpo Ordenado

Num corpo ordenado T. Seja $a,b\in T,a>0$, as seguintes afirmações são equivalentes:
* $\mathbb {N} \subset T$, então T é ilimitado superiormente
* $\exists n\in \mathbb {N}$ tal que $n\cdot a>b$;
* $\exists n\in \mathbb {N}$ tal que $0<{1 \over n}<a$

#### Prova
### Corpo Arquimediano (definições)

* Definição 1 - Se num corpo ordenado K é valido as afirmações do teorema acima, ele é chamado Corpo Ordenado Arquimediano
* Definição 2 - Um Corpo Ordenado K é completo quando todo subconjunto não-vazio $X\subset K$ que for limitado superiormente, possui supremo em K

### Conjunto Denso em $\mathbb {R}$

Um conjunto $X\;$ é chamado denso em $\mathbb {R}$ quando todo intervalo aberto $(a,b)\subset \mathbb {R}$, possui algum ponto de $X\;$. Ou seja, $\forall a,b\in \mathbb {R}$ com $a<b,\;\exists x\in X$ tal que $a<x<b\;$
* numa linguagem mais formal:
$Seja\;X\subset \mathbb {R} .\;Se\;(a,b)\cap X\neq \varnothing ,\;\forall \;a,b\in \mathbb {R}$, então $X\;$ é $denso\;em\;\mathbb {R}$

### Corolário (Densidade dos racionais e dos irracionais)

Se $x<y\;$ então $(x,y)\;$ contêm ambos um números racional e um número irracional.

#### Prova

Para encontrar um racional em $(x,y)\;$, que se aplica o axioma de Arquimedes (b) para $y-x,\exists n\in \mathbb {N}$ tal que ${\frac {1}{n}}<y-x$. Assim $1<yn-xn\;$, de modo que $xn<yn-1\;$.
Aplicando o axioma de arquimedes (a) para $y+1\;$ teremos um $N\in \mathbb {N}$ satisfazendo $N>yn+2\;$.
Agora escolha o menor $m\in \mathbb {N}$ satisfazendo $N-m<yn\;$. Pelo de cima, $m\geq 2$, e então, uma vez que $m\;$ é minimo, sabemos que:
$N-(m-1)\geq yn$
$N-m\geq yn-1$
Colocando este juntamente com o fato que $xn<yn-1\;$ deduzido do acima, temos:
$N-m>xn\;$
Assim, em resumo, temos $yn>N-m>xn\;$, de modo que $y>{\frac {N-m}{n}}>x$, e temos encontrado o número racional que queremos .
Para encontrar um número irracional, usaremos o que acabamos de deduzir do primeiro racional encontrado $q\in (x+{\sqrt {2}},y+{\sqrt {2}})$, de modo que $q-{\sqrt {2}}\in (x,y)$. Além disso, $q-{\sqrt {2}}$ deve ser irracional, pois se ele for um racional, então teríamos também $q-(q-{\sqrt {2}})={\sqrt {2}}$ racional, e sabemos que ele não é. $\Box$

# Cortes de Dedekind
## Definição (Corte de Dedekind)

Seja $A\subset \mathbb {Q}$; A é um corte se, e somente se
* a) contem algum racional e todos os racionais anterior a esse, ou seja, se $m\in A,n<m\Rightarrow n\in A$
* b) A não contém um racional como maior de todos, isto é, seja $A=\{n\in \mathbb {Q} \mid n<m\}$
** se m for racional, como m < m é absurdo, temos que não existe um racional maior do que todos e que esteja em A

### Propriedade(elemento dentro ou fora do corte)

Seja $A=\{n\in \mathbb {Q} ;n<m\}$; Se $n\in A$ temos que $n<m$ e $t\not \in A\Rightarrow m<t$, então $n<m<t\;$

### Definição(Unicidade)

A,B são cortes racionais; A=B, se e somente se, possuem os mesmos elementos. Como $A=\{n_{1}\in \mathbb {Q} \mid n_{1}<m_{1}\}$, $B=\{n_{2}\in \mathbb {Q} \mid n_{2}<m_{2}\},$ tenos que $m_{1}<m_{2}$. Se não fosse assim, teríamos elementos de um que não está em outro.

# Completude
## Completude

Os números racionais $\mathbb {Q}$ satisfazem todos os axiomas de Corpo Arquimediano, detalhadas no capítulo anterior. Por isso, se quisermos justificar a necessidade dos números reais então claramente precisamos de algo a mais. Este "algo mais" é a completude. Existem várias maneiras equivalentes de descrever essa completude, mas a maioria deles exige de nós conhecer um pouco sobre sequências, que nós não introduziremos até o próximo capítulo, portanto, de momento, só podemos dar uma definição.
Intuitivamente, é fácil ver que $\mathbb {Q}$ tem "buracos", por exemplo, podemos dividir $\mathbb {Q}$ em duas partes, a primeira formada pelos números que são negativos ou cujo quadrado é menor que 2, e a segunda formada pelos números positivos cujo quadrado é maior que 2. Como a raiz quadrada de dois não é um número racional, vemos que esta divisão de $\mathbb {Q}$ foi feita de forma que todos os números da primeira metade são menores que todos os números da segunda metade, mas não ficou nenhum número separando as duas.
Se lembrarmos dos axiomas da geometria, um deles diz que "um ponto divide uma reta em duas partes". Podemos pegar este axioma e virá-lo ao avesso, ou seja, "se uma reta está dividida em duas partes, então tem um ponto separando as duas". Note que $\mathbb {Q}$ pode ser dividido em duas partes sem que haja um "ponto" (um número racional) no meio.
Em $\mathbb {R}$, sempre que for feita uma divisão em duas partes, de modo que todos os números da primeira parte sejam menores que os números da segunda parte, então tem que existir um número real no meio, separando as duas partes; este número pertence ou à primeira parte, ou à segunda.

### Cota Superior

Seja $A\subseteq \mathbb {R} .$ Dizemos $b\in \mathbb {R}$ é uma cota superior para $A$ se
    $\forall s\in A:s\leq b$
Por exemplo, $3$ é uma cota superior para $[0,1],$ assim como $1,$ mas ${\frac {1}{2}}$ não é, porque $1\in [0,1]$ e $1>{\frac {1}{2}}.$ Um conjunto com uma cota superior $b$ é dito ser limitado superiormente por $b$.

#### Supremo e Ínfimo

Dizemos que $s$ é o extremo superior ou supremo de $A$ se $s$ é a menor das cotas superiores de $A,$ e $b$ é qualquer extremo superior para $A$ então $s\leq b.$ Mais formalmente:
    $(\forall a\in A:a\leq s){\mbox{ e }}(\forall b\in \mathbb {R} :((\forall a\in A:a\leq b)\implies (s\leq b)))$
Do mesmo modo, dizemos que $b\in \mathbb {R}$ é cota inferior para $A$ se
    $\forall a\in A:a\geq b$
E dizemos que $i$ é a maior das cotas inferiores ou ínfimo de $A$ se:
    $(\forall a\in A:a\geq i){\mbox{ e }}(\forall b\in \mathbb {R} :((\forall a\in A:a\geq b)\implies (i\geq b)))$
É fácil ver que o supremo (ou ínfimo), se existem, devem ser únicos. Se existem, o supremo e ínfimo de um conjunto $A$ são indicadas $\sup A$ e $\inf A$ respectivamente.

### O axioma completude

Agora estamos finalmente prontos para indicar o último axioma, que é de completude:
* Se $S\subseteq \mathbb {R}$ é não-vazio e tem uma cota superior, então $S$ tem o menor das cotas superiores.
* Se $S\subseteq \mathbb {R}$ é não-vazio e tem uma cota inferior, então $S$ tem a maior das cotas inferiores.
É de salientar, neste ponto, a fim de evitar possíveis confusões que, geralmente, nos estudo dos conjuntos ordenados, a definição de completude, é que cada subconjunto tem a menor cota superior, e não há qualquer condição de que seja não-vazio ou limitado superiormente. No entanto, nós, realmente, desejamos impor estas duas condições neste caso.

#### Outros axiomas de completude

Existem outros maneiras equivalentes de definir o axioma completude, mas envolvem sequências, então devemos falar sobre elas depois de discutido esse tema. Por causa da existência dessas outras formas, esse axioma é algumas vezes chamado de axioma do menor das cotas superiores.

### Completude

O significade de completeness: é um axioma relacionado com supremo e ínfimo. Que busca uma 'completude' nesses conceitos.

## Propriedades de supremo e ínfimo

Nós estaremos fazendo muito trabalho com a Menor das cotas superiores, por isso será importante saber como usá-los de forma eficiente nas provas. Aqui estão algumas definições e propriedades que são úteis a este respeito:

### Unicidade do supremo, isto é, da menor das cotas superiores

Todo conjunto não vazio que é limitado superiormente têm um único menor das cotas superiores, ou supremo (dito $\sup S$).

#### Prova

Sejam $a$ e $b$ duas menores cotas superiores de um conjunto $S.$
Se $a>b,$ então $b$ é uma cota superior para $S,$ $a$ não pode ser a menor das cotas superiores. Assim $a\leq b.$ Similarmente, $a\geq b.$ Assim $a=b,$ então $S$ pode ter somente uma menor das cotas superiores.

### Unicidade do infímo, isto é, da maior das cotas inferiores

Todo conjunto não vazio S que é limitado inferiormente têm um único maior das cotas inferiores, ou ínfimo (dito $\inf S$).

#### Prova

Seja S não-vazio e limitado inferiormente. Seja $T:=\{-x:x\in S\}.$
Como S é não-vazio, $\exists x\in S.$ Assim $-x\in T,$ então T é não-vazio.
Como S é limitado inferiormente, $\exists M:\forall x\in S:x>M.$
Então $x\in T\implies -x\in S\implies -x>M\implies x<-M.$
Logo T é limitado superiormente por -M, e portanto T têm a menor das cotas superiores, $\beta .$
Como $x\in S\implies -x\in T\implies -x<\beta \implies x>-\beta ,$ $-\beta$ é uma cota inferior para S.
Seja $\alpha$ uma cota inferior para S.
Logo $x\in T\implies -x\in S\implies -x>\alpha \implies x<-\alpha ,$ então $-\alpha$ é uma cota superior para T.
Como $\beta$ é a menor cota superior para T, $-\alpha \geq \beta ,$ e assim $\alpha \leq -\beta .$
Assim toda cota inferior para S é menor ou igual a $-\beta$
Ou seja, $-\beta$ é a maior cota inferior para S.
A unicidade segue similarmente ao da maior das cotas superiores.

### Teorema (Ordenação dos Sups e Infs)

Se $S\subseteq T,$ onde S é não-vazio e T é limitado, então $\inf T\leq \inf S\leq \sup S\leq \sup T$

#### Prova

Como S é não-vazio, ele contêm um elemento x. Por definição, $\inf S\leq x$ e $x\leq \sup S,$ então $\inf S\leq \sup S.$
Como T é limitado superiormente, ele têm a maior das cotas superiores, $\sup T.$
Como t é em particular uma cota superior para T, $\forall x\in T:x\leq \sup T.$ Como $S\subseteq T,$ $x\in S\implies x\in T\implies x\leq \sup T.$
Logo $\sup T$ é uma cota superior para S, Então $\sup S$ existe e por definição $\sup S\leq \sup T.$
Similarmente, $\inf S\geq \inf T.$

### Propriedade do supremo e ínfimo

$Seja\;X\subset \mathbb {R} \;e\;c\in \mathbb {R} ;$
* supremo
* $c<sup\;X\Rightarrow \exists x\in X;c<x$
* $x\leq c,\forall \;x\in X\Rightarrow supX\leq c$
* ínfimo
* $inf\;X<c\Rightarrow \exists x\in X;x<c$
* $c\leq x,\forall \;x\in X\Rightarrow c\leq infX$

### Existência de um elemento tão próximo do supremo quanto queremos

Seja $X\subset \mathbb {R}$ não vazio e limitado superiormente por $M\in \mathbb {R} ,M=supX$. Para qualquer $n\in \mathbb {N}$ dado, deve existir pelo menos um $x\in X$ tal que $M-{1 \over n}<x\leq M$.

#### Prova

Qualquer que seja $n\in \mathbb {N}$ devemos ter que $0<{1 \over n}$. Somando $M-{1 \over n}\in \mathbb {R}$ dos dois lados da inequação, teremos que $M-{1 \over n}<M$. Como M é o supremo de X, logo $M-{1 \over n}$ não pode ser o supremo de X. Assim deve existir $x\in X,$ tal que $M-{1 \over n}<x$. Como $M=supX$, temos que $x\leq M$. Juntando as duas desigualdades, temos que $M-{1 \over n}<x\leq M$.

## Dois conjuntos de cotas

Dois conjuntos, $X,Y\subset \mathbb {R}$, não vazios, são de cotas quando:
* qualquer elemento de X é cota inferior(ou superior) de Y e
* qualquer elemento de Y é cota superior(ou inferior) de X.

### Consequência de dois conjuntos serem de cotas

Sejam $X,Y\subset \mathbb {R}$, conjuntos não-vazios, tal que, $x\leq y,\forall \;x\in X\;e\;y\in Y$ temos que:
* X é limitado superiormente
* Y é limitado inferiormente
* $\sup \;X\leq \inf \;Y$.

#### prova

* Tome $y\in Y$ de forma arbitrária. Por hipótese, $x\leq y,\forall \;x\in X$. Assim y é uma cota superior de X. Logo X é limitado superiormente por y. Pelo axioma do supremo, existe o sup X e é único. Tome $M=\sup \;X$. Como M é a menor das cotas superiores de X e y é uma cota superior de X, logo $M\leq y$.
* Como y foi escolhido de maneira arbitrária, temos que $\forall \;y\in Y,M\leq y$. Assim M é uma cota inferior de Y. Assim Y é limitado inferiormente por M, pelo axioma de ínfimo, existe o inf Y e é único. Tome $N=\inf \;Y$.
* Como N é a maior das cotas inferiores e M é uma cota inferior, logo $M\leq N$.

### Caso particular: Igualdade

Sejam $X,Y\subset \mathbb {R}$, conjuntos não-vazios, sendo X limitado superiormente e Y limitado inferiormente. Suponha ainda que $\sup \;X\leq \inf \;Y$. Se $\forall \;n\in \mathbb {N} ,\exists \;x_{n}\in X\;e\;y_{n}\in Y$ tais que $y_{n}-x_{n}<{1 \over n}$, então $\sup \;X=\inf \;Y$

#### prova

* Sejam $M=\sup \;X\;e\;N=\inf \;Y$. Suponha por contradição que $M\neq N$. Pela lei da tricotomia $M<N\;ou\;N<M$.
* Suponha que $M<N$. Pela definição de supremo e ínfimo, $x\leq M,\forall x\in X$ e $N\leq y,\forall y\in Y$. Pela transitividade da inequação temos que $x\leq M<N\leq y,\forall \;x\in X\;e\;y\in Y$
* Assim $y-x\geq N-M,\forall \;x\in X\;e\;y\in Y$. (1)
* Como $N-M\in \mathbb {R} ^{+}$ pela propriedade arquimediana, existe $n\in \mathbb {N} ,$ tal que $N-M>{1 \over n}$.
* Por hipótese temos que $\forall \;n\in \mathbb {N} ,\exists \;x_{n}\in X\;e\;y_{n}\in Y$ tais que $y_{n}-x_{n}<{1 \over n}$. Pela transitividade da inequação $y_{n}-x_{n}<{1 \over n}<N-M$. (2)
* Perceba que (1) e (2) se contradizem, logo foi um absurdo considerar que M<N.
* Analogamente será um absurdo considerar que N<M.
* Portanto M=N.

## Ver também
# PA

Vamos definir PA de forma diferente para ter o que precisamos:

## Sequência estacionária

Uma sequência estacionária é uma sequência numérica onde todos os seus termos são iguais.
* Ex. $(a_{n})=(5,5,5,5,5,5,5)$.
** O primeiro termo é o primeiro "5". O enésimo termo também será "5".
Essa sequência ao ser estudada no ensino médio, ela é vista como progressão aritmética de razão zero. Vamos defini-la como sequência estacionária.

## PA de ordem 1

Vamos perceber que se a diferença for positiva, os termos são crescentes e se a diferença for negativa, os termos serão decrescentes. Como a diferença será constante, chamaremos a esse valor constante de razão.
* Ex. $(b_{n})=(2,7,12,17,...)$ é uma sequência não estacionária, porque seus termos têm diferença constante de "5".

## Sequência diferença

Vamos definir o operador diferença $\Delta b_{n}=b_{n+1}-b_{n}$ e a sequência diferença $(a_{n})=(\Delta b_{n})=(\Delta b_{1},\Delta b_{2},...)$.
* Retomando o exemplo anterior $(b_{n})=(2,7,12,17,...)$. Vamos definir $a_{n}$:
* $\Delta b_{1}=b_{2}-b_{1}=7-2=5;\Delta b_{2}=b_{3}-b_{2}=12-7=5$.
* Assim $(a_{n})=(5,5,5,...)$

## PA de ordem 3

* Vamos tomar $(a_{n})$ uma sequência cujo termo $a_{n}$ é determinado por um polinômio $a_{n}=n^{3}-n$.
** A sequência $(a_{n})=(0,6,24,60,120,210,...)$ não é uma sequência estacionária.
* Vamos tomar a sequência diferença de $(a_{n})$. Assim $\Delta (a_{n})=(6,18,36,60,90,...)$
** Vemos que $\Delta a_{1}=a_{2}-a_{1}=6-0=6$ é diferente de $\Delta a_{2}=a_{3}-a_{2}=24-6=18$.
** Logo $(\Delta (a_{n}))$ não é uma sequência estacionária.
** Mas $\Delta (a_{n})=a_{n+1}-a_{n}=(n+1)^{3}-(n+1)-(n^{3}-n)=n^{3}+3n^{2}+3n+1-n-1-n^{3}+n\Rightarrow \Delta a_{n}=3n^{2}+3n$
* Vamos tomar a sequência diferença de $(\Delta a_{n})$. Assim $\Delta ^{2}(a_{n})=(12,18,24,30,...)$
** Vemos que $\Delta ^{2}a_{1}=\Delta a_{2}-\Delta a_{1}=18-6=12$ é diferente de $\Delta ^{2}a_{2}=\Delta a_{3}-\Delta a_{2}=36-18=18$.
** Logo $\Delta ^{2}(a_{n})$ não é uma sequência estacionária.
** Mas $\Delta ^{2}(a_{n})=a_{n+1}-a_{n}=3(n+1)^{2}+3(n+1)-(3n^{2}+3n)=3n^{2}+6n+3+3n+3-3n^{2}-3n\Rightarrow \Delta ^{2}a_{n}=+6n+6$
* Vamos tomar a sequência diferença de $(\Delta ^{2}a_{n})$. Assim $\Delta ^{3}(a_{n})=(6,6,6,6,...)$
** Vemos que $\Delta ^{3}a_{1}=\Delta ^{2}a_{2}-\Delta ^{2}a_{1}=18-12=6$ é igual de $\Delta ^{3}a_{2}=\Delta ^{2}a_{3}-\Delta ^{2}a_{2}=24-18=6$.
** Logo $\Delta ^{3}(a_{n})$ é uma sequência estacionária.
** Mas $\Delta ^{3}(a_{n})=a_{n+1}-a_{n}=6(n+1)+6-(6n+6)=6n+6+6-6n-6\Rightarrow \Delta ^{3}a_{n}=6$
* Como $(\Delta ^{3}a_{n})$ é uma sequência estacionária, logo $(\Delta ^{2}a_{n})$ é uma PA de ordem 1, logo $(\Delta a_{n})$ é uma PA de ordem 2, logo $(a_{n})$ é uma PA de ordem 3.
** Percebemos que $(\Delta ^{3}a_{n})$ sendo uma sequência estacionária, tem seu termo geral sendo um polinômio constante.
** Percebemos que $(\Delta ^{2}a_{n})$ é uma PA de ordem 1, tem seu termo geral sendo um polinômio de grau 1.
** Percebemos que $(\Delta a_{n})$ é uma PA de ordem 2, tem seu termo geral sendo um polinômio de grau 2.
** Percebemos que $(a_{n})$ é uma PA de ordem 3, tem seu termo geral sendo um polinômio de grau 3.

## Somatório de uma PA

O somatório dos termos de uma PA $(a_{n})$ de ordem 1, do primeiro ao enésimo-termo é dada por: $\sum a_{n}={n(a_{1}+a_{n}) \over 2}$
* Percebemos que $\sum a_{n}={1 \over 2}\cdot {\biggn(a_{1}+a_{n}){\bigg )}={1 \over 2}\cdot {\biggna_{1}+n(a_{1}+(n-1)r{\bigg )}={1 \over 2}\cdot {\bigg2na_{1}+n(n-1)r{\bigg )}={1 \over 2}\cdot {\biggn^{2}+r(2a_{1}-1)n{\bigg )}$ é um polinômio em n de grau 2.

### Exemplo

* $a_{n}=n^{3}-n$ é um polinômio em n de grau 3.
** Vemos que $\sum a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1^{3}-1+...+(n-1)^{3}-(n-1)+n^{3}-n=(1^{3}+2^{3}+...+n^{3})-(1+2+...+n)=$
** $={\bigg{n(n+1) \over 2}{\bigg )}^{2}-{\bigg{n(1+n) \over 2}{\bigg )}={\bigg{n^{2}(n+1)^{2} \over 4}{\bigg )}-{\bigg{2n(1+n) \over 4}{\bigg )}={\bigg{n^{2}(n+1)^{2}-2n(1+n) \over 4}{\bigg )}={1 \over 4}\cdot {\biggn(1+n)(n^{2}+n-2){\bigg )}$.
** $\sum a_{n}$ é um polinômio em n de grau 4.
* $\Delta a_{n}=3n^{2}+3n$ é um polinômio em n de grau 2.
** Vemos que $\sum \Delta a_{n}=\Delta a_{1}+\Delta a_{2}+...+\Delta a_{n}=(3\cdot 1^{2}+3\cdot 1)+(3\cdot 2^{2}+3\cdot 2)+...+3\cdot n^{2}+3\cdot n=$
** $=3\cdot (1^{2}+2^{2}+...+n^{2})+3\cdot (1+2+...+n)={3n(n+1)(2n+1) \over 6}+{3n(1+n) \over 2}=$
** $={n(n+1)(2n+1)+3n(1+n) \over 2}={2n(n+1)(n+2) \over 2}=n(n+1)(n+2)$
** $\sum \Delta a_{n}$ é um polinômio em n de grau 3.
* $\Delta ^{2}a_{n}=+6n+6$
** Vemos que $\sum \Delta ^{2}a_{n}=\Delta ^{2}a_{1}+\Delta ^{2}a_{2}+...+\Delta ^{2}a_{n}=6\cdot 1+6+6\cdot 2+6+...+6n+6=6\cdot (1+2+...+n)+6n=$
** $=6\cdot {n(1+n)+6n \over 2}=3n(1+n)+6n=3n^{2}+9n$
** $\sum \Delta ^{2}a_{n}$ é um polinômio em n de grau 2.
* $\Delta ^{3}a_{n}=6$
** Vemos que $\sum \Delta ^{3}a_{n}=\Delta ^{3}a_{1}+\Delta ^{3}a_{2}+...+\Delta ^{3}a_{n}={\begin{matrix}\underbrace {6+6+...+6} \\n\end{matrix}}={n(6+6) \over 2}=6n$ que é um polinômio de 1º grau.

## grau e ordem de uma PA

Uma sequência $(a_{n})$ é uma PA de ordem p se, e somente se, $a_{n}$ é um polinômio de grau p.
* Vamos fazer indução sobre p
* Vamos mostrar que é válido para p=1
** Tome $(a_{n})$ uma PA de ordem 1 $\Rightarrow a_{n}=a_{1}+(n-1)r=rn+a_{1}-r$ que é um polinômio de grau 1
** Tome $a_{n}=an+b$ um polinômio de ordem 1 $\Rightarrow (a_{n})=(a+b,2a+b,...)\Rightarrow \Delta (a_{n})=(a,a,...)$ que nos diz que $(a_{n})$ é uma PA de ordem 1.
* Vamos mostrar que é válido para p=2
** Seja $(a_{n})$ uma PA de ordem 2 $\Rightarrow (\Delta a_{n})$ é uma PA de ordem 1, ou seja $\Delta a_{n}=\Delta a_{1}+(n-1)r$
** Assim $\sum \Delta a_{n}$ é um polinômio de grau 2, onde $\sum \Delta a_{n}=\Delta a_{1}+\Delta a_{2}+...+\Delta a_{n}=(a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+...+(a_{n+1}-a_{n})=a_{n+1}-a_{1}$
** Como $\sum \Delta a_{n}={n(\Delta a_{1}+\Delta a_{n}) \over 2}={n(2\Delta a_{1}+(n-1)r) \over 2}$ que é um polinômio de grau 2
** Tome $a_{n}=an+b$ um polinômio de ordem 1 $\Rightarrow (a_{n})=(a+b,2a+b,...)\Rightarrow \Delta (a_{n})=(a,a,...)$ que nos diz que $(a_{n})$ é uma PA de ordem 1.

# tório
## Notação de Somatório e Produtório

Muitas vezes precisamos usar a soma ou produto de vários números reais de cada vez. Como "..." é dado sem significado pelos nossos axiomas, não podemos apenas escrever "$a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}$". Logo usamos símbolos $\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ e $\prod _{k=1}^{n}a_{k}$ para denotar a soma e produto, respectivamente, sobre um arbitrário número finito de números reais. Faremos isto indutivamente, como se segue:
* $\sum _{k=1}^{1}a_{k}=a_{1}$ e $\prod _{k=1}^{1}=a_{1}$
* $\sum _{k=1}^{n}a_{k}=a_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}$ e $\prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{n}\prod _{k=1}^{n-1}a_{k}$
Agora podemos provar algumas propridades de soma e produto:

### Propriedades

* A ordem da somatória pode ser mudada arbitrariamente. Ao qual, se $\{a_{k}:1\leq k\leq n\}=\{b_{k}:1\leq k\leq n\},$ então $\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}$ e $\prod _{k=1}^{n}a_{k}=\prod _{k=1}^{n}b_{k}$
** Prova: Isto segue por comutatividade e um pouco de indução.
* $\sum _{k=1}^{n}a_{k}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}=\sum _{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})$ e $\prod _{k=1}^{n}a_{k}\prod _{k=1}^{n}b_{k}=\prod _{k=1}^{n}(a_{k}b_{k})$
** Prova: Procederemos por indução. Primeiro, note que $\sum _{k=1}^{1}a_{k}+\sum _{k=1}^{1}b_{k}=a_{k}+b_{k}=\sum _{k=1}^{1}(a_{k}+b_{k}).$
Agora vamos supor que $\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}+\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}=\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k}+b_{k}).$ Logo $\sum _{k=1}^{n}a_{k}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}$$=\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}+a_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}+b_{n}$$=\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}+\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}+a_{n}+b_{n}$$=\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k}+b_{k})+(a_{n}+b_{n})$$=\sum _{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k}).$
A prova para o produto segue-se similarmente.
* $c\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}ca_{k}$
** Prova: Outra indução. Para $n=1,$ $c\sum _{k=1}^{1}a_{k}=ca_{1}=\sum _{k=1}^{1}ca_{k}.$ Vamos supor que seja verdade para n-1. logo $c\sum _{k=1}^{n}a_{k}=c(\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}+a_{n})=\sum _{k=1}^{n-1}ca_{k}+ca_{n}=\sum _{k=1}^{n}ca_{k}.$
* $\sum _{k=1}^{n}(a_{k})\sum _{l=1}^{m}(b_{l})=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{m}a_{k}b_{l}$
** Prova: Faremos indução sobre n. A propriedade anterior toma conta do caso em que n=1. Assuremos que seja verdade para n-1. Logo $\sum _{k=1}^{n}(a_{k})\sum _{l=1}^{m}(b_{k})$$=(\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k})+a_{n})\sum _{l=1}^{m}(b_{k})$$=\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k})\sum _{l=1}^{m}(b_{k})+a_{n}\sum _{l=1}^{m}(b_{k})$$=\sum _{k=1}^{n-1}\sum _{l=1}^{m}(a_{k}b_{l})+\sum _{l=1}^{m}(a_{n}b_{k})$$=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{m}(a_{k}b_{l})$
Propridades mais familiares de soma e produto podem ser deduzidas por métodos similares.

## Princípio dos Intervalos encaixados

Esse conceito será muito útil para nós. E será muito usado nas próximas secções e em muitos exercícios.
* Seja uma $X_{1}\subset X_{2}\subset ...\subset X_{n}\subset ...$ sequência decrescentes de intervalos limitados e fechados $X_{n}=[x_{n},y_{n}]\;.$
** $X=\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}\neq \varnothing \Leftrightarrow \exists a\in \mathbb {R} ;\;a\in X_{n},\;\forall \;n\in \mathbb {N}$
** De fato temos que $X\;=[x,y],onde\;x=sup\;x_{n},y=inf\;y_{n}$

## Ver também
# Sequências
## Definição

Uma sequência de números reais é uma função $s:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}$ que associa cada número natural a um número real. A notação usual para representar uma sequência é $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} },$ quando não houver ambiguidade também pode-se escrever apenas $(s_{n}).$ Para se referir a um termo específico da sequência, a notação é $s_{n},$ ao invés de s(n). Uma outra forma muito comum de dar exemplos de sequências é listando os primeiros elementos (como um conjunto), seguido de "...", de forma que a regra de formação seja óbvia. Vamos observar que em todo livro estaremos considerando que o conjunto dos naturais $\mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}$.
Exemplos:
* A sequência dos números naturais $s:\mathbb {N} \rightarrow R$ dada por $s_{n}=n,\forall n\in \mathbb {N}$ ou mais simplesmente $(n)_{n\in \mathbb {N} }.$
* A sequência de fibonacci $s_{1}=1,s_{2}=1,s_{n}=s_{n-1}+s_{n-2},\forall \;n\in \mathbb {N} ,$ com $n\geq 2.$
* $s_{n}={1 \over n},\forall n\in \mathbb {N} ,$ com $n\geq 1,$ ou mais simplesmente $({1 \over n})_{n\in \mathbb {N} }.$
* A sequência $\{1,{1 \over 4},{1 \over 9},{1 \over 16},...\}$ é uma forma de representar $s_{1}={1 \over 1^{2}},s_{2}={1 \over 2^{2}},s_{3}={1 \over 3^{2}},s_{4}={1 \over 4^{2}},\ldots \,$ ou seja, $s_{n}={1 \over n^{2}}$
Faremos o uso da equivalência de ponto em um intervalo.

## Classificação das sequências

Algumas propriedades das sequências são tão importantes que elas recebem nomes especiais. Uma sequência $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ é dita:
* estritamente crescente se $\forall n\in \mathbb {N} :a_{n}<a_{n+1};$
* não-decrescente se $\forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\leq a_{n+1};$
* estritamente decrescente se $\forall n\in \mathbb {N} :a_{n}>a_{n+1};$
* não-crescente se $\forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\geq a_{n+1};$
* monótona se a sequência satisfaz alguma das propriedades acima (i.é. se ela é não-decrescente ou não-crescente);
* estritamente monótona se ela é ou estritamente crescente ou estritamente decrescente;
* limitada superiormente se existe $M\in \mathbb {R}$ tal que $\forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\leq M;$
* limitada inferiormente se existe $m\in \mathbb {R}$ tal que $\forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\geq m;$
* limitada se ela é limitada superior e inferiormente, ou seja, se $\exists M,m\in \mathbb {R}$ tal que $m\leq a_{n}\leq M;$
* ilimitada quando ela não é limitada nem superior e nem inferiormente;
* Cauchy se $\forall \epsilon >0,\exists n_{0}\ |\ \forall n,m>n_{0}\ \Rightarrow |a_{m}-a_{n}|<\epsilon ;$

## Propriedades de uma sequência
### Convergência de uma sequência

Dizemos que uma sequência $(a_{n})\;$ converge para o número real $a\;$ quando, qualquer que seja $\epsilon >0\;$ dado, $\exists n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que, se $n>n_{0}\;,$ então $|a_{n}-a|<\epsilon \;.$ Para dizer que $(a_{n})\;$ converge para $a\;,$ normalmente escrevemos $(a_{n})\rightarrow a,$ ou $\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=a$ ou apenas $\lim a_{n}=a,$ quando não houver dúvida que o limite trata de $n$ tendendo ao infinito. Em outras palavras, a sequência $(a_{n})\;$ fica arbitrariamente próxima de $a\;$ desde que se tome um $n\;$ suficientemente grande.
Exemplos
* A sequência $(1/n)_{n\in \mathbb {N} }$ converge para $0.$ De fato, dado $\epsilon >0,$ pela propriedade arquimediana da reta real, existe $n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que $n_{0}>{\frac {1}{\epsilon }}\;,$ portanto $-\epsilon <0<1/n_{0}<\epsilon \;.$ Logo $|1/n_{0}-0|<\epsilon \;$ e concluimos que $(1/n)\rightarrow 0\;.$

### Divergência de uma sequência

Uma sequência que não é convergente é dita divergente. A divergência geralmente ocorre por dois motivos: A sequência não é limitada ou possui duas subsequências convergindo para valores diferentes.

### Proposição (unicidade do limite)

Uma pergunta muito natural de se fazer: a definição de convergência é precisa? Intuitivamente sabemos o que significa uma sequência convergir para um número, mas agora precisamos saber se a definição formal não permite que exista mais de um limite. Ou seja, queremos provar que, se uma sequência converge, então o limite é único.

#### Demonstração

* Seja $(x_{n})$ uma sequência de números reais convergente com $x=\lim x_{n}.$ Suponha que $y\in R$ seja tal que $y=\lim x_{n},$ queremos mostrar que $x=y$.
* Suponha, por absurdo, que $x\not =y,$ então $|x-y|>0$. Tomemos então $\epsilon ={|x-y| \over 2}$.(3)
* Por um lado, $(x_{n})\rightarrow x,$ assim $\forall \;\epsilon >0,\exists \;n_{1}\in \mathbb {N}$ tal que $n>n_{1}\Rightarrow |x_{n}-x|<\epsilon$.(4)
* Por outro lado $(x_{n})\rightarrow y,$ logo $\forall \;\epsilon >0,\exists \;n_{2}\in \mathbb {N}$ tal que $n>n_{2}\Rightarrow |x_{n}-y|<\epsilon$.(5)
* Tome $n_{0}=max\{n_{1},n_{2}\}$ para garantir que os termos da sequência satisfaçam a convergência tanto para x, como para y. Assim $n>n_{0}\Rightarrow \forall \;n\in \mathbb {N} ,n>n_{1}\;e\;n>n_{2}\Rightarrow _{(4),(5)}|x_{n}-x|,|x_{n}-y|<\epsilon$ (2)
* Contudo $|x-y|=|x-x_{n}+x_{n}-y|\leq _{(1)}|x-x_{n}|+|x_{n}-y|<_{(2)}\epsilon +\epsilon =2\epsilon =_{(3)}|x-y|$.
** (1) pela desigualdade triangular
* Mas é um absurdo concluir que $|x-y|<|x-y|$. Portanto foi um absurdo ter suposto que $x\neq y$. Então podemos concluir que x=y.

### Proposição

Essa proposição nos diz que se uma sequência converge para um limite a, então dados b e c reais, tais que b<a<c então a partir de um certo termo da sequência $n_{0}$ todos os termos estarão no intervalo (b,c).
Seja $a=\lim a_{n},b\in \mathbb {R}$, logo:
* Se $a<b$ ( resp. $a>b$ ), então existe $n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que $n>n_{0}\Rightarrow a_{n}<b\;(resp.a_{n}>b)$.
* Se $a_{n}\geq b\;(resp.a_{n}\leq b),\forall \;n\in \mathbb {N}$, então $a\geq b\;(resp.a\leq b)$.

#### Demonstração

* Tome $a<b(\Rightarrow b-a>0)\;e\;\epsilon =b-a$(1), logo $\exists \;n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que $n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<\epsilon \Rightarrow _{(1)}-(b-a)<a_{n}-a<b-a\Rightarrow a_{n}<b,\forall \;n\in \mathbb {N}$.
* O segundo resultado resulta da contraposição do primeiro.

### Proposição

Toda sequência convergente é limitada.

#### Demonstração

Seja $\lim \;a_{n}=a$, assim para $\epsilon =1,\exists \;n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que $n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<1.$ Além disso, o conjunto $X=\{a_{0},a_{1},...,a_{n_{0}},a-1,a+1\}$ é finito, não-vazio e limitado, então existe $A=\min X\;$ e $B=\max X\;,$. Tome $L=\max\{|A|,|B|,\}\Rightarrow -L<A<B<L$. Como temos que $A\leq x_{n}\leq B\Rightarrow -L\leq x_{n}\leq L\Rightarrow |x_{n}|\leq L$ para todo $n\in \mathbb {N} .$

### Proposição (operações com sequências)

Dadas duas sequências $(a_{n})\;$ e $(b_{n})\;$ convergentes, com $a=\lim a_{n}$ e $b=\lim b_{n}$ e um número real $\lambda \;,$ então valem as seguintes propriedades:
* $(a_{n}+b_{n})\rightarrow a+b;$
* $(a_{n}b_{n})\rightarrow ab;$
* $(\lambda a_{n})\rightarrow \lambda a;$
Se $b_{n}\not =0,\forall n\in \mathbb {N} ,$ e $b\not =0,$ então:
* $\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)\rightarrow {\frac {a}{b}}.$

#### Demonstração

Vamos demonstrar a primeira das propriedades. Dado $\epsilon >0\;,$ existem $n_{a},n_{b}\;$ naturais tais que, se $n>n_{a},n_{b}\;$ então $|a_{n}-a|<{\frac {\epsilon }{2}}$ e $|b_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}.$
Portanto, se $n_{0}=max\{n_{a},n_{b}\}\;$ e $n>n_{0}\;,$ então $|(a_{n}+b_{n})-(a+b)|=|(a_{n}-a)+(b_{n}-b)|\leq |a_{n}-a|+|b_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon .$ Logo $(a_{n}+b_{n})\rightarrow a+b.$
As outras propriedades ficam de exercício para o leitor.

### Proposição

Se $a_{n}\rightarrow 0,b_{n}\;{\text{é limitada}},$ então $a_{n}\cdot b_{n}\rightarrow 0;$

#### Demonstração

Como b$_n$ é uma sequência limitada, temos que existe B > 0 tal que |b$_n$| < B para todo n.
Então, dado ε > 0, temos que ${\frac {\epsilon }{B}}>0\,.$ Como a$_n$ é uma sequência que converge para 0, existe n$_0$ tal que, para todo n > n$_0$, |a$_n$ - 0| < ε / B.
Finalmente, fazendo as contas, temos que |a$_n$ b$_n$ - 0| < |a$_n$| |b$_n$| < (ε / B) . B = ε.
Ou seja, para todo ε > 0, encontramos n$_0$ tal que para todo n > n$_0$, |a$_n$ b$_n$ - 0| < ε - precisamente a definição de limite.

### Proposição (convergência de sequências monótonas limitadas)

Toda sequência de números reais monótona limitada converge.

#### Demonstração

Vamos demonstrar que toda sequência não-decrescente, limitada superiormente, é convergente. Fica como exercício para o leitor adaptar a demonstração para outros tipos de sequências monótonas.
Seja $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ uma sequência não-decrescente limitada superiormente. Isto é, $a_{n}\leq a_{m}$ se $n<m\;$ e existe $M\in \mathbb {R}$ tal que $a_{n}<M\;,$ para todo $n\in \mathbb {N} .$ Desta forma, o conjunto $A=\{a_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ é um conjunto de número reais, não vazio e limitado superiormente, então $A\;$ tem supremo. Seja $a=supA\;,$ vou mostrar que $(a_{n})\rightarrow a.$ Como $a=supA\;,$ qualquer que seja $\epsilon >0,a-\epsilon \;$ não é o supremo de $A\;,$ então existe $a_{n_{0}}\in A$ com $a-\epsilon \leq a_{n_{0}}\leq a.$ Como a sequência $(a_{n})\;$ é não-decrescente, se $n\geq n_{0},$ temos $a-\epsilon \leq a_{n_{0}}\leq a_{n}\leq a,$ sendo a o supremo de $A\;,$ podemos ainda acrescentar uma relação à desigualdade, temos então $a-\epsilon \leq a_{n_{0}}\leq a_{n}\leq a\leq a+\epsilon ,$ que significa que, se $n\geq n_{0}$ então $|a-a_{n}|<\epsilon \;.$ Que é exatamente a definição de convergência de sequências, então $(a_{n})\rightarrow a.$

### Proposição

Toda sequência monótona converge se possui uma subsequência convergente

#### Demonstração
### Lema

Sejam $(a_{n})\;$ uma sequência em $\mathbb {R}$ convergente para $a\;.$
* Se $a>0\;,$ então $\exists \;n_{0}\in \mathbb {N} ;n>n_{0}\Rightarrow a_{n}>0$
* Se $a_{n}>0,\forall \;n\in \mathbb {N} ,$ então $a\geq 0.$

#### Demonstração

* (1)Seja $\epsilon =a$, então existe $n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que $\forall n\geq n_{0}\implies |a_{n}-a|<a\implies -a<a_{n}-a<a$. Somando $a$ a todos os lados da desigualdade temos que $0<a_{n}<2a\implies a_{n}>0\quad \forall n\geq n_{0}$
* (2)Dado $\epsilon >0,\exists n_{0}$ tal que $n>n_{0}\Rightarrow a-\epsilon <a_{n}<a+\epsilon .$ Como $a_{n}>0\;,$ temos $0<a_{n}<a+\epsilon \;$ e portanto $0<a+\epsilon \;$ e consequentemente $0\leq a.$

### Proposição

Sejam $(a_{n})\;$ e $(b_{n})\;$ duas sequências em $\mathbb {R}$ convergentes, com $a=\lim a_{n}$ e $b=\lim b_{n}.$
* Se $a_{n}<b_{n}\;,$ para todo $n$ natural, então $a\leq b.$
* Se $a\leq b_{n},\forall \;n,$ então $a\leq b$

#### Demonstração

* (1)Se $a_{n}<b_{n}\;,$ para todo $n\;$ natural, então $0<b_{n}-a_{n}\;,$ para todo $n\;$ e, pelo lema anterior, $0\leq \lim(b_{n}-a_{n})=\lim b_{n}-\lim a_{n}$ e portanto $\lim a_{n}\leq \lim b_{n}.$
* $(1)\Rightarrow (2)$ Seja $a_{n}=a(constante),\forall \;n.$

### Teorema (do confronto)

Sejam $(a_{n}),(b_{n}){\mbox{ e }}(c_{n})\;$ sequências em $\mathbb {R} .$ Se $\lim a_{n}=\lim b_{n}$ e $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n},$ para todo $n\;$ então $\exists \lim c_{n}$ e $\lim c_{n}=\lim a_{n}=\lim b_{n}.$

#### Demonstração

Seja $c=\lim a_{n}$ e $\epsilon >0\;$ dado.
Por um lado, como $c=\lim a_{n},$ existe $n_{a}\in \mathbb {N}$ tal que, se $n>n_{a}\;$ então $c-\epsilon <a_{n}<c+\epsilon \;.$
Por outro lado, como também temos que, como $c=\lim b_{n}$ existe $n_{b}\in \mathbb {N}$ tal que, se $n>n_{b}\;$ então $c-\epsilon <b_{n}<c+\epsilon \;.$
Pela desigualdade $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n},$ se $n>\max\{n_{a},n_{b}\}\;$ então $c-\epsilon <a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}<c+\epsilon .$
Logo $c=\lim c_{n}.$

## Subsequências

Uma subsequência de uma sequência $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ é uma função $s:\mathbb {N} '\rightarrow \mathbb {R} ,$ onde $\mathbb {N} '\subset \mathbb {N}$ e $\mathbb {N} '$ é infinito. A notação usual para representar uma subsequência é $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} '}.$
Como $\mathbb {N} '$ é enumerável, seus elementos podem ser escritos como $\{n_{1},n_{2},...,n_{k},..\}\;,$ e ainda podemos escolher a enumeração de forma com que $n_{i}<n_{j}\;,$ se $i<j\;.$ Então podemos identificar uma subsequência com uma sequência escrevendo $(a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }.$ Portanto, todos os teoremas que valem para sequências valem para subsequências.

### Proposição (convergência de subsequências)

Toda subsequência de uma sequência convergente é convergente.

#### Demonstração

Seja $(a_{n})\;$ uma sequência convergente para $a\;$ e $(a_{n_{k}})$ uma subsequência de $(a_{n})\;.$ Como $(a_{n})\rightarrow a,$ dado $\epsilon >0\;,$ existe $n_{0}\;$ tal que, se $n>n_{0}\;,$ então $|a_{n}-a|<\epsilon \;.$ Em especial, se $n_{k}>n_{0}\;,$ temos $|a_{n_{k}}-a|<\epsilon .$ Logo $(a_{n_{k}})\rightarrow a.$

### Proposição (divergência de subsequências)

Se uma sequência possui duas subsequências convergindo para valores distintos então a sequência é divergente.

### Proposição

Toda sequência limitada, possui uma subsequência convergente $\;$

## Valor de aderência

Definição(Valor de aderência): $a\;$ é "valor de aderência" de uma sequência $(a_{n})\;$ se, e somente se, $a\;$ é limite de alguma das subsequências de $(a_{n})\;$ se, e somente se, $\forall \epsilon >0,\exists \;n_{0}\in \mathbb {N} ;\;n>n_{0}\Rightarrow a_{n}\in (a-\epsilon ,a+\epsilon ).$

### Fatos(Menor e Maior(Valor de aderência))

Seja $a_{n}\;$ uma sequência limitada.
* Se a sequência $a_{n}\;$ é convergente, então o valor de aderência é único
* Se a sequência $a_{n}\;$ possui duas subsequências convergente, convergindo para a e b, com a<b então para índices suficientemente grandes $a_{n}\in (a-\epsilon ,b+\epsilon )$
* Se a sequência $a_{n}\;$ possui n+2 subsequências convergindo para $a,c_{1},...,c_{n},b\;com\;a<c_{i}<b,i=1,2,...,n.$ Então a e b são o menor e maior valor de aderência e $c_{i}\in (a+\epsilon ,b-\epsilon ),i=1,2,...,n$
* Se $b_{n}\rightarrow a,c_{n}\rightarrow b$ subsequências de $a_{n}\;$ que possuem menor e o maior valor de aderência respectivamente, então $b_{n},c_{n}\;$ são monótonas e $b_{n}\;$ é crescente ou não-decrescente e $c_{n}\;$ é decrescente ou não-crescente

#### Demonstração (VERIFICAR SE ESTÁ CORRETO)

* (1) $a_{n}\rightarrow a\Rightarrow a_{n}$ possui uma subsequência convergindo para a. Por definição a é valor de aderência. Como $a_{n}\;$ é convergente, não existe outra subsequência convergindo para outro valor diferente de a. Logo a é o único valor de aderência.
* (2) Temos $n>n_{1}\Rightarrow a_{n}\in (a-\epsilon ,a+\epsilon )\;e\;n>n_{2}\Rightarrow a_{n}\in (b-\epsilon ,b+\epsilon ).$
** Também $a-\epsilon <a<b<b+\epsilon \Rightarrow n>n_{0}=max\{n_{1},n_{2}\},com\;a_{n}\in (a-\epsilon ,b+\epsilon )$
* (3)Seja $c_{j}\leq c_{i}\leq c_{k},i=1,2,...,n.$ Temos $n>n_{j}\Rightarrow a_{n}\in (c_{j}-\epsilon ,c_{j}+\epsilon )$. Tome $n>n_{k}\Rightarrow a_{n}\in (c_{k}-\epsilon ,c_{k}+\epsilon )\Rightarrow n>n_{0}^{*}=\max\{n_{j},n_{k}\},\;com\;a_{n}\in (c_{j}-\epsilon ,c_{k}+\epsilon ).$
** $a+\epsilon <c_{j}<c_{k}<b-\epsilon \Rightarrow a<c_{j}-\epsilon <c_{k}+\epsilon <b\;$
** $c_{i}\in [c_{j},c_{k}]\subset (c_{j}-\epsilon <c_{k}+\epsilon )\subset (a,b)$ e $c_{i}\in [c_{j},c_{k}]\subset (a+\epsilon ,b-\epsilon )\subset (a,b)$
* (4) por (2) é verdade que $n>n_{0}=max\{n_{1},n_{2}\}\Rightarrow a_{n}\in (a-\epsilon ,b+\epsilon ).$ Mas não pode existir $b_{n},c_{n}\in (a+\epsilon ,b-\epsilon )\;com\;n>n_{0}(Sendo\;\epsilon <{a+b \over 2})$
** $\not \exists b_{j}\geq c_{i},\forall \;i,j\in \mathbb {N} \Rightarrow b_{i}<c_{j},\forall \;i,j\in \mathbb {N}$
** Se $b_{n}\;$ fosse decrescente ou não-crescente, teríamos $b_{n}\in [a,a+\epsilon ).$ Como $n>n_{0}\Rightarrow b_{n}\in (a,b+\epsilon ),\;assim\;b<b_{i}$ para algum $b_{i}\;.$ (contradição). Da mesma forma fazemos com $c_{n}\;$

## sequências de Cauchy

Uma classe muito importante de sequências são as sequências de Cauchy, que são muito importantes não só para a Análise Real, mas também para a Análise Matemática e Topologia.

### Proposição: toda sequência convergente é de Cauchy
#### Demonstração

Seja $(a_{n})\;$ uma sequência convergente para um ponto $a\;.$ Como $(a_{n})\;$ converge para $a\;,$ qualquer que seja $\epsilon >0\;,$ existe $n_{0}\;$ tal que, se $n>n_{0}\;,$ então $|a_{n}-a|<\epsilon /2\;.$ Portanto, se $n,m>n_{0}\;,$ então $|a_{n}-a_{m}|\leq |a_{n}-a|+|a_{m}-a|<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon .$ Portanto $(a_{n})\;$ é de Cauchy.

### Proposição: toda sequência de Cauchy é limitada

Se $(x_{n})\;$ é uma sequência de números reais de Cauchy, então existem $m,M\;$ reais tais que $m\leq x_{n}\leq M,$ para todo n natural.

#### Demonstração

Como $(x_{n})\;$ é uma sequência de Cauchy, dado $\epsilon >0\;,$ existe $n_{0}\;$ natural tal que, se $n,m>n_{0}\;,$ então $|x_{n}-x_{m}|<\epsilon \;,$ portanto $|x_{n}-x_{{n_{0}}+1})|<\epsilon ,$ de onde concluimos que $x_{n}\in (x_{{n_{0}}+1}-\epsilon ,x_{{n_{0}}+1}+\epsilon ).$
Como $\{x_{0},x_{1},...,x_{n_{0}}\}$ é um conjunto finito, sabemos que ele tem maior e menor elemento, então podemos definir $s=min\{x_{0},x_{1},...,x_{n_{0}}\},S=max\{x_{0},x_{1},...,x_{n_{0}}\},$ Desta forma definindo $m=min\{s,x_{{n_{0}}+1}-\epsilon \}$ e $M=max\{S,x_{{n_{0}}+1}+\epsilon \},$ temos que $m\leq x_{n}\leq M,$ para todo $n\;$ natural. Como queríamos.

### Proposição: se uma sequência de Cauchy tem subsequência convergente, então converge

Se $(a_{n})\;$ em $\mathbb {R}$ é uma sequência de Cauchy com subsequência $(a_{n_{k}})$ convergente para $a\;,$ então $(a_{n})\;$ converge para $a\;.$

#### Demonstração

Dado $\epsilon >0\;,$ como $(a_{n_{k}})$ converge para $a\;,$ existe $n_{k_{0}}$ tal que se $n_{k}\geq n_{k_{0}},$ então $|a-a_{n_{k}}|<\epsilon /2.$ Como $(a_{n})\;$é Cauchy, existe $n_{0}>0\;tal\;que\;n,m\geq n_{0},$ então $|a_{m}-a_{n}|<\epsilon /2\;.$Tome agora $n_{k_{1}}=\max(n_{k_{0}},n_{0})$. Assim, pela desigualdade triangular, se $n>n_{k_{1}}\;,$ então $|a-a_{n}|\leq |a-a_{n_{k_{1}}}|+|a_{n_{k_{1}}}+a_{n}|\leq \epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon .$

### Lema: toda sequência tem subsequência monótona
#### Demonstração

Seja $(a_{n})\;$ uma sequência qualquer e considere o conjunto $B=\{a_{n}:a_{n}\leq a_{k},\forall k\in \mathbb {N} ,k>n\}.$ Se $B\;$ for infinito, então $(a_{n})\;$ tem subsequência não decrescente, caso contrário $(a_{n})\;$ tem subsequência decrescente.

### Teorema: toda sequência real de Cauchy converge
#### Demonstração:

Se $(a_{n})\;$ é uma sequência de Cauchy, pelo lema anterior, existe uma subsequência $(a_{n_{k}})$ monótona. Como $(a_{n})\;$ é Cauchy, $(a_{n})\;$ é limitada e portanto a subsequência $(a_{n_{k}})$ também é limitada. Como toda sequência real monótona limitada converge, temos que $(a_{n_{k}})$ converge, logo $(a_{n})\;$ converge também, pois tem subsequência convergente. Concluímos que toda sequência real de Cauchy converge.

## Os números reais não são enumeráveis

Vimos, em um capítulo anterior (Enumerabilidade) que existem conjuntos enumeráveis e conjuntos que não são enumeráveis. A prova será feita agora; mais especificamente, mostraremos que o intervalo fechado [0, 1] não é enumerável (o resultado para $\mathbb {R} \,$ é imediato, pois $[0,1]\subseteq \mathbb {R} \,$).
Seja portanto $s:\mathbb {N} \to [0,1]\,$ uma sequência qualquer de números reais entre zero e um.
Vamos construir uma sequência de intervalos, por indução finita, definindo:
* $I_{0}=[0,1]\,$
* Seja $I_{n}=[a,b]\,$ e sejam $m={\frac {a+b}{2}}$, $a_{1}={\frac {2a+b}{3}}\,$ e $b_{1}={\frac {a+2b}{3}}$. Então definimos $I_{n+1}=[a,a_{1}]\,$ se $x_{n}>m\,$, e $I_{n+1}=[b_{1},b]\,$ caso contrário.
Por construção, é fácil ver que $\ldots I_{2}\subset I_{1}\subset I_{0}\,$. Além disso, temos que $\forall n,x_{n}\not \in I_{n+1}\,$.
Consideremos, então, a interseção de todos os intervalos $A=I_{0}\cap I_{1}\cap I_{2}\ldots \,$. Pela propriedade dos intervalos encaixados, este conjunto não é vazio (este conjunto é unitário, mas este detalhe não é importante neste prova).
Assim, temos que existe a, $a\in A\,$. Mas, pela propriedade de que $\forall n,x_{n}\not \in I_{n+1}\,$, temos que $x_{n}\not \in A\,$, ou seja, a é diferente de cada um dos x$_n$.
Em outras palavras, dada uma sequência de números entre 0 e 1, é possível construir um número real que não está nesta sequência.
Ou seja, o intervalo [0, 1] (portanto, os números reais) não é um conjunto enumerável.

# Série
## Definição de série

Série de uma sequência é a soma de todos os elementos de uma sequência infinita. Como uma sequência $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, têm infinitos termos, assim podemos dizer mais formalmente que:
* Série de uma sequência é a soma infinita de uma sequência
Dada uma sequência $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, como somaremos todos os seus termos? vamos tomar $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ como uma sequência de soma dos termos de $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. Assim:
* $s_{1}=a_{1}\;$, $s_{2}=\sum _{n=1}^{2}a_{n}\;$, $s_{m}=\sum _{n=1}^{m}a_{n}\;$
* $s=\lim s_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\;$

## Convergência de uma série
### Teste do termo geral

Proposição: é condição necessária para convergência de uma série que seu termo geral tenda para 0.
Se $s=\lim s_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\;$ é uma série convergente então $\lim \;a_{n}=0$

#### Demonstração

    $a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}-\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}\,$
tomando limites, temos:
    $\lim a_{n}=s-s=0\,$

#### Observação

A recíproca é, no entanto, falsa. Um contraexemplo simples é dado pela série harmônica $\sum _{1}^{\infty }1/n\,$ que não é convergente, apesar de seu termo geral convergir para zero.

### Propriedades de séries

Seja $\sum a_{n}=\;a,\sum b_{n}=b$ convergentes. Pelas propriedades de soma e produto
* $\sum a_{n}+\sum b_{n}=\sum (a_{n}+b_{n})\;$ converge para a + b
* $t\sum a_{n}=\sum ta_{n}\;$ converge para ta
* $(\sum a_{n})(\sum b_{n})=\;$ converge para ab
* $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\Rightarrow \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}$ converge para p.
** $p=a-\sum _{n=1}^{n_{0}-1}a_{n}\,$
** Se $a_{n}\geq 0,\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow p<a$

## Exemplos
### Série geométrica

A série geométrica é a é formada por termos em progressão geométrica:
    $\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}=1+r+r^{2}+r^{3}+\ldots$
Da teoria das progressões geométricas, temos que:
    $\sum _{n=0}^{N}r^{n}={\frac {1-r^{N+1}}{1-r}}={\frac {1}{1-r}}-{\frac {r^{N+1}}{1-r}}$
É facil ver que se $|r|<1$ então esta série é convergente e sua soma é dada por:
    $\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}$
Por outro lado, se $|r|\geq 1$, esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral, demonstrado logo acima.
De maneira geral, para qualquer série geométrica, cujo valor da razão r seja menor que 1, sua soma é dada por:
    $\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}={\frac {a}{1-r}}$
Onde "a" é o termo inicial da série.

## Notas

* ↑ Veja, por exemplo, esta página
* ↑ Conforme se vê nesta página

# Topologia da reta

Conceitos da topologia da reta que serão usados na Análise Real. Nota: para usar uma analogia com a geometria, um número real x também será chamado de um ponto x.

## Conjunto aberto
### Vizinhança

* Seja X um conjunto real, a vizinhança de um elemento x de X são todos os elementos y que estão próximo de x a um "raio" $\epsilon \;$, isto é, $|x-y|$ deve ser menor estrito a $\epsilon \;$. Portanto $V_{\epsilon }(x)=\{y\in \mathbb {R} ;|x-y|<\epsilon \}=B(x,\epsilon )=(x-\epsilon ,x+\epsilon )=\{y\in \mathbb {R} ;x-\epsilon <y<x+\epsilon \}$
* $\bigcap _{\forall \epsilon >0}V_{\epsilon }(x)=\{x\}$
* Tome $x,y\in X,x\neq y\Rightarrow \exists \;\epsilon >0;V_{\epsilon }(x)\cap V_{\epsilon }(y)=\emptyset$

#### Teorema da Vizinhança Interna

Tome $x\in X,\delta <\epsilon \Rightarrow V_{\delta }(x)\subset V_{\epsilon }(x)$

##### Prova

Tome $y\in V_{\delta }(x)\Rightarrow |y-x|<\delta$, como $\delta <\epsilon \Rightarrow |y-x|<\delta <\epsilon \Rightarrow y\in V_{\epsilon }(x)$

### Ponto interior

Um ponto x é dito ponto interior de um conjunto $X\subset \mathbb {R} ,$ se, e somente, se $\exists \;V_{\epsilon }(x)\subseteq X$
Usamos a notação $int(X)\,$ para denotar o conjunto de todos os pontos interiores do conjunto $X\,$
* $Xfinito\Rightarrow int(X)=\emptyset$ ( A recíproca é falsa, por exemplo $int(\mathbb {Q} )=\emptyset$ )
* $int(X)=\{x\in X;V_{\epsilon }(x)\subset X,{\mbox{ para algum }}\epsilon >0\}$.
* $\exists V_{\epsilon }(x)\subset X\Rightarrow x\in int(X)$.

#### Exemplos

* Todo ponto x é um ponto interior de $\mathbb {R} \,$
* Todo número real x com a < x < b é um ponto interior do intervalo aberto (a, b). É fácil ver que nenhum outro ponto é ponto interior de (a, b); por exemplo, a não é ponto interior de (a, b) porque qualquer intervalo aberto em volta de a incluirá pontos menores que a.
* Analogamente, os pontos interiores do intervalo fechado [a, b] formam o intervalo aberto (a, b).
* Nenhum ponto é ponto interior de $\mathbb {N} \,,$ $\mathbb {Z} \,$ ou $\mathbb {Q} \,.$

### Fronteira de um conjunto

Dado $X\subset \mathbb {R}$. Um ponto $x\in \mathbb {R}$ é dito ponto da fronteira de $X\;$, se toda vizinhança de x intersecta $X{\mbox{ e }}\mathbb {R} -X\;$.
* $\forall \;\epsilon >0,V_{\epsilon }(x)\cap X\neq \varnothing {\mbox{ e }}V_{\epsilon }(x)\cap \mathbb {R} -X\neq \varnothing \Rightarrow x\in \partial X$
* Denotamos o conjunto dos pontos da fronteira do conjunto $A$ por $\partial A$.

### Definição de conjunto aberto

* Dizemos que um conjunto $X\subset \mathbb {R}$ é conjunto aberto se todos seus pontos forem pontos interiores, ou seja: $\forall \;x\in X,\exists \;\epsilon >0;V_{\epsilon }(x)\subset X.$
** $\forall x\in X,\exists \epsilon \;;V_{\epsilon }(x)\subset X\Rightarrow X$ é aberto.
* Dizemos que um conjunto $X\subset \mathbb {R}$ não é conjunto aberto se $\exists \;x\in X;\forall \;\epsilon >0;V_{\epsilon }(x)\not \subset X.$
* Um conjunto é aberto se $A\cap \partial A=\varnothing$.

#### Exemplos

* O intervalo aberto $(a,b)\subset \mathbb {R} ,$ com $a<b\;$ é aberto, de fato, dado $x\in (a,b),$ tomando $\epsilon =min\{x-a,b-x\}\;,$ temos que $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subset (a,b).$ Portanto, o intervalo aberto é, de fato, aberto.
* $[a,b)\subset \mathbb {R} ,$ com $a<b\;$ não é aberto, pois, qualquer que seja $\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\not \subset [a,b).$
* $(a,\infty )\subset \mathbb {R} ,$ é aberto, de fato, dado $x\in (a,\infty ),$ tomando $\epsilon =x-a,\;$ temos que $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subset (a,\infty ).$
* $(-\infty ,b)\subset \mathbb {R} ,$ é aberto, de fato, dado $x\in (-\infty ,b),$ tomando $\epsilon =b-x,\;$ temos que $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subset (-\infty ,b).$

### Propriedades dos conjuntos abertos

* Os conjuntos $\mathbb {R}$ e $\emptyset \,$ são abertos.
* A união de uma família arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
* A intersecção de uma família finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

#### Demonstração

1. Imediato da definição.
2.Seja $\{O_{\lambda }\}\,$ uma família de conjuntos abertos indexada pelo índice $\lambda \in \Lambda \,$ e seja:
    $O=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\,.$
Então se $x\in O\,,$ existe um $\lambda '\in \Lambda \,$ tal que $x\in O_{\lambda '}\,.$
Como $O_{\lambda '}\,$ é aberto, existe um intervalo $(a,b)\,$ com $a<b\,$ tal que:
    $x\in (a,b)\subseteq O_{\lambda '}\,$
Como $O_{\lambda '}\subseteq \bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\,,$ temos que:
    $x\in (a,b)\subseteq O\,$
E portanto $O\,$ é aberto.
3.Seja $\{O_{k}\}_{k=1}^{n}$ uma família finita de conjuntos aberto e seja $O=\bigcap _{k=1}^{n}O_{k}\,$ e $x\in O\,.$ Como $x\in O_{k},k=1,\ldots ,n\,$ e cada $O_{k}\,$ é aberto. Existem intervalos $(a_{k},b_{k})\,$ tais que:
    $x\in (a_{k},b_{k})\subseteq O_{k}\,$
Naturalmente vale que $a_{k}<x<b_{k}\,.$ Agora definimos:
    $a=\max\{a_{k}\}_{k=1}^{n}\quad b=\min\{b_{k}\}_{k=1}^{n}\,$
É fácil ver que $a<x<b\,$ e também que:
    $x\in (a,b)\subseteq O_{k},k=1,\ldots ,n\,$
e portanto:
    $x\in (a,b)\subseteq O\,.$
O que completa a demonstração.

### Lema

Seja $X\subset \mathbb {R}$. As aﬁrmativas abaixo são equivalentes.
* (1) X é aberto.
* (2) Todo ponto de X é ponto interior.
* (3) X é uma vizinhança de seus pontos.

#### DEMONSTRACÃO

Vamos mostrar que $(1)\Rightarrow (2)\Rightarrow (3)\Rightarrow (1).$
* Assumindo (1), Seja $x\in X\;$. Como por hipótese, X é aberto, temos que $\exists \;\epsilon >0,V_{\epsilon }(x)\subset X$. Logo x é ponto interior de X. Como x é arbitrário, obtemos (2).
* Seja agora (2) verdadeiro. Se $x\in X\;$, então por hipótese, x é ponto interior de X, i.e., $\exists \;\epsilon >0,V_{\epsilon }(x)\subset X$ existe um aberto em X contendo x. Logo, por deﬁnição, X é uma vizinhança de x e (3) vale.
* Finalmente, assumindo (3), tome para cada $x\in X\;$ um aberto $I_{x}\subset B$ tal que $x\in I_{x}$.
Então $X=\bigcup _{x\in B}I_{x}$ é aberto pois é união de abertos.

## Conjunto fechado
### Ponto aderente

Ponto aderente de um conjunto é definido como todo ponto a que é limite de uma sequência de pontos x$_n$ ∈ X ⊂ $\mathbb {R} .$
* Todo ponto a de um conjunto $X\,$ é também um ponto aderente, pois ele é o limite da sequência constante $x_{n}=a\,.$
* Um ponto aderente pode não pertencer ao conjunto, por exemplo, o conjunto $X:=\left\{1/n\right\}_{n=1}^{\infty }\,$ possui 0 como ponto aderente, mas 0 não pertence a X.

### Valor de aderência

valor de aderência de uma sequência é um ponto aderente do conjunto $\{x_{1},x_{2},...,x_{n},...\}.$
* O único valor de aderência de $\{x_{1},x_{2},...,x_{n},...\}\cup \{a=\lim x_{n}\}$ é a.

### Teorema

As seguintes afirmações são equivalentes:
* $a$ é ponto aderente de $X$
* Para todo $\epsilon >0\,,$ existe um ponto $x\in X\,$ tal que $\left|x-a\right|\leq \varepsilon$
* $B(a,\epsilon )\cap X\not =\varnothing \,$ para todo $\epsilon >0\,;$ Demonstração
1→2: Se a é um ponto aderente de X, por definição, existe um sequência $x_{n}\in X\,$ tal que $x_{n}\to a.$ Da definição de limite de sequências, para todo $\epsilon >0\,,$ existe um $x_{k}\,$ tal que $\left|x_{k}-a\right|\leq \varepsilon .$ Como $x_{k}\in X\,,$ basta definir $x=x_{k}\,$ e o resultado segue.
2→3:Suponha que $x\in X\,$ e $\left|x-a\right|\leq \varepsilon \,.$ Como $B(a,\epsilon )=\left\{x\in \mathbb {R} :|x-a|<\epsilon \right\},$ $x\in B(a,\epsilon )\,$ e o resultado segue.
3→1:Defina a sequência $x_{n}\,,$ escolhendo-os de forma que $x_{n}\in B(a,1/n)\cap X\,.$ Esta sequência tem a propriedade que $x_{n}\in X\,$ e $\left|x_{n}-a\right|<1/n\,,$ logo $x_{n}\to a\,$ e o resultado segue.

### Fecho

Define-se o fecho de um conjunto X como o conjunto dos pontos aderentes de X e denota-se por ${\bar {X}}:$
    ${\bar {X}}:=\left\{a\in \mathbb {R} :\forall \epsilon >0.B(a,\epsilon )\cap X\not =\varnothing \right\}$

#### Exemplos

* Os fechos de $\mathbb {R} \,$ e $\varnothing \,$ são eles mesmos
* O fecho do conjunto {1, 1/2, 1/3, ...} é o conjunto {0, 1, 1/2, 1/3, ...}
* Como cada número irracional pode ser arredondado com a precisão que se queira por números racionais, existe, para todo $x\in \mathbb {R} \,$ uma sequência de números racionais $q_{i}\,$ que converge para x. Ou seja, o fecho de $\mathbb {Q} \,$ é $\mathbb {R} \,$
* Uma sequência de números naturais (ou inteiros) só será convergente se ela for constante a partir de algum índice. Portanto, uma sequência de números naturais (ou inteiros), se converge, converge para um número natural (resp. inteiro). Ou seja, os fechos de $\mathbb {N} \,$ e $\mathbb {Z} \,$ são eles mesmos.
* O fecho de qualquer intervalo (a, b), (a, b], [a, b) ou [a, b], em que a < b, é o intervalo fechado [a, b]. É fácil ver que nenhum ponto x < a e nenhum ponto x > b pode ser ponto aderente; então basta provar que a é um ponto aderente de (a, b) (os demais casos são similares). Mas isto equivale a dizer que existe uma sequência com elementos em (a, b) que converge para a. Tomando-se a sequência a + 1, a + 1/2, a + 1/3, ..., é fácil ver que esta sequência converge para a. Então, por definição, para ε = b - a > 0, existe N tal que se n > N, então |a - (a + 1/n)| < ε. Reescrevendo, temos que para n > N, 1/n < b - a, ou seja, a + 1/n < b. Como a + 1/n > a, temos que $a+1/n\in (a,b)\,.$ Portanto, a sequência de elementos do intervalo (a, b) dada por a + 1/N, a + 1/(N + 1), a + 1/(N + 2), ... é uma sequência de elementos de (a, b) que converge para a.

### Definição de conjunto fechado

Um conjunto $X\,$ é dito conjunto fechado se e somente ele é igual ao seu fecho: $X={\bar {X}}\,$

#### Exemplos

* São fechados: $\mathbb {R} \,,$ $\varnothing \,,$ $\mathbb {N} \,,$ $\mathbb {Z} \,,[a,b],[a,\infty ),(-\infty ,b]$.
* Não são fechados: $\mathbb {Q} ,\mathbb {R} -\mathbb {Q} ,(a,b),(a,b],[a,b)$ .

### Teorema

Um conjunto é fechado se, e somente se, seu complementar for um conjunto aberto. De fato, este é talvez o principal teorema sobre conjuntos fechados. Nos estudos mais avançados da chamada "topologia geral", os fechados são usualmente definidos através desta caracterização.
a. Suponha que X seja um conjunto fechado e O seja o complementar de X nos reais:
    $O=\mathbb {R} \backslash X\,$
Suponha por absurdo que $O\,$ não seja um conjunto aberto, ou seja, suponha a existência de um ponto $x\in O\,$ tal que:
    $\forall \epsilon >0;B(x,\epsilon )\nsubseteq O\,$
Como $O\cup X=\mathbb {R} \,$ temos que
    $B(x,\epsilon )\nsubseteq O\Longrightarrow B(x,\epsilon )\cup X\neq \emptyset \,$
Esta propriedade implica que $x\in {\bar {X}}\,$ e como X é fechado,$x\in X\,,$ o que contraria a hipótese inicial de que $x\in O\,$ e $O=\mathbb {R} \backslash X\,.$
b. Suponha que X seja o complementar nos reais de um conjunto aberto O:
    $X=\mathbb {R} \backslash O\,$
Suponha a existência de uma sequência $x_{n}\in X\,$ tal que:
    $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x\,$
Queremos mostrar que $x\in X\,.$ Suponha, por absurdo, que $x\notin X\,,$ ou seja, $x\in O\,.$ Como O é aberto, exite uma bola $B(x,\epsilon )\subseteq O\,.$ Escolha $x_{N}\,$ tal que $\left|x_{N}-x\right|<\epsilon \,.$ Isso implica $x_{N}\in B(x,\epsilon )\subseteq O\,,$ o que é uma contradição, já que $x_{N}\in X\,.$

### Propriedades dos conjuntos fechados

* Os conjuntos $\mathbb {R}$ e $\emptyset \,$ são fechados.
* A intersecção de uma família arbitrária de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
* A união de uma família finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado.

#### Demonstração

1. $\emptyset \,$ é aberto. Pelo teorema "Um conjunto é fechado $\Leftrightarrow$ se, e somente se, seu complementar é aberto" o seu complementar é fechado, isto é, $\mathbb {R}$ é fechado.

## Densidade

$X\subset Y$. $X\;$ é denso em $Y\;$ logo:
* Dado $y\in Y\Rightarrow I_{y}\cap X\not =\emptyset ,\;$
* Dado $y\in Y\Rightarrow \exists \;x\in I_{y}\cap X\;$
* Dado $y\in Y\Rightarrow y\in {\overline {X}}\;$
* Dado $y\in Y\Rightarrow y=limx_{n},\forall \;(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X\;$

## Ponto de acumulação
### Ponto de acumulação

Seja X um subconjunto dos números reais. Dizemos que um ponto x pertencente aos reais é um ponto de acumulação se existe uma sequência $x_{n}\in X\,$ de pontos diferentes de x convergindo para x.
É claro da definição que todo ponto de acumulação é também um ponto de aderência. Deve-se observar que nem todo ponto de aderência é um ponto de acumulação. Por exemplo o conjunto $X=\{0\}\;$ possui um único elemento. Este elemento é um ponto de aderência, já que a sequência constante $x_{n}=0\,$ converge para ele, mas não é um ponto de acumulação, pois não existe nenhuma sequência de elementos de X diferentes de 0 convergindo para 0.
* x é ponto de acumulação se, $\forall \epsilon >0,X\cap (x-\epsilon ,x+\epsilon )\neq \{x\}.$
* x é ponto de acumulação se, $\forall \epsilon >0;\exists y\in X;0<|y-x|<\epsilon$

### Conjunto Derivado

X' é o conjunto chamado derivado, onde seus elementos são os pontos de acumulação de X, assim:
    $X'=\{x\in \mathbb {R} ;\forall \epsilon >0,X\cap (x-\epsilon ,x+\epsilon )\neq \{x\}\}=\{x\in \mathbb {R} ;\forall \epsilon >0;\exists y\in X;0<|y-x|<\epsilon \}$

### Ponto isolado

Define-se como ponto isolado de um conjunto X, um elemento $x\in X\,$ que não é ponto de acumulação.

### Conjunto discreto

Diz-se que $X\,$ é um conjunto discreto se todos os seus pontos forem isolados. O conjunto dos números naturais é um exemplo de conjunto discreto nos reais.

#### Teorema: Conjunto discreto é enumerável

Seja $X\subset \mathbb {R}$ um conjunto cujos pontos são todos isolados, então $|X|\leq |\mathbb {N} |$.

##### Demonstração

Uma vez que os pontos de $X$ são todos isolados, para cada $x\in X$ podemos fixar $\delta _{x}>0$ tal que $B_{\delta _{x}}(x)\cap X=\{x\}$. Agora $\mathbb {Q}$ é denso em $\mathbb {R}$, então $B_{\frac {\delta _{x}}{2}}(x)\cap \mathbb {Q} \neq \emptyset$.
Fixemos para cada $x\in X$ algum $q_{x}\in B_{\frac {\delta _{x}}{2}}(x)\cap \mathbb {Q}$ e definamos a função $\phi :X\to \mathbb {Q}$ por $\phi (x)=q_{x}$. Essa função é injetora, de fato, suponha que $\phi (x)=q=\phi (y)$ devemos ter que $d(x,q)<{\frac {\delta _{x}}{2}}$ e $d(y,q)<{\frac {\delta _{y}}{2}}$. Defina $\delta =\max(\delta _{x},\delta _{y})$, segue que $d(x,y)<d(x,q)+d(q,y)<{\frac {\delta _{x}}{2}}+{\frac {\delta _{y}}{2}}<\delta$, mas isso significa que ou $x\in B_{\delta }(y)\cap X\subset B_{\delta _{y}}(y)\cap X=\{y\}$ ou $y\in B_{\delta }(x)\cap X\subset B_{\delta _{x}}(x)\cap X=\{x\}$ e em ambos os casos concluímos que $x=y$.
Uma vez que $\phi :X\to \mathbb {Q}$ é injetora devemos ter $|X|\leq |\mathbb {Q} |=|\mathbb {N} |$ e portanto $X$ é enumerável.
Note que a mesma demonstração continua válida para espaços métricos que satisfazem o 3º axioma de enumerabilidade.

## Teorema de Bolzano-Weierstrass

Seja $X$ um conjunto infinito e limitado, então $X$ possui pelo menos um ponto de acumulação.

### Demonstração

Como X é um conjunto limitado, existe um intervalo finito $[a,b]\,$ tal que $X\subset [a,b]\,.$ Defina $M_{1}\,,$ o ponto médio deste intervalo:
    $M_{1}:={\frac {a+b}{2}}\,$
como $X=\left(X\cap [a,M_{1}]\right)\cup \left(X\cap [M_{1},b]\right)$ e X é um conjunto com infinitos pontos, podemos inferir que $\left(X\cap [a,M_{1}]\right)$ ou $\left(X\cap [M_{1},b]\right)$ possui infinitos pontos. Definimos então:
    : ${\begin{array}{lll}a_{1}=M_{1},&b_{1}=b,&{\hbox{se }}\left(X\cap [M_{1},b]\right){\hbox{for infinito;}}\\a_{1}=a,&b_{1}=M_{1},&{\hbox{c.c.}}\end{array}}$
E define-se $X_{1}:=X\cap [a_{1},b_{1}]\,,$ $X_{1}\,$ é novamente um conjunto infinito. Este processo pode ser aplicado recursivamente, definindo:
    $M_{n+1}:={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\,:$ ${\begin{array}{lll}a_{n+1}=M_{n+1},&b_{n+1}=b_{n},&{\hbox{se }}\left(X\cap [M_{n+1},b_{n}]\right){\hbox{for infinito;}}\\a_{n+1}=a_{n},&b_{n+1}=M_{n+1},&{\hbox{c.c.}}\end{array}}$
e, finalmente, $X_{n+1}:=X_{n}\cap [a_{n+1},b_{n+1}]\,,$ que será um conjunto de infinitos pontos. Observe que a sequência $a_{n}\,$ é não decrescente e limitada superiormente por b e a sequência $b_{n}\,$ é não crescente e limitada inferiormente por a. Daí, podemos inferir a existência dos limites:
    $\lim _{n\to \infty }a_{n}\,$ e $\lim _{n\to \infty }b_{n}\,.$
Como $b_{n}-a_{n}={\frac {b-a}{2^{n}}}\,,$ estes limites deve ser idênticos:
    $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=:x^{*}\,.$
Vamos mostrar agora que $x^{*}\,$ é um ponto de acumulação de X. Para isso, devemos mostrar que para todo $\epsilon >0\,$ o conjunto $B(x^{*},\epsilon )\cap X$ possui infinitos pontos. De fato, fixe $\epsilon >0\,$ e escolha n tal que:
    $b_{n}-a_{n}<\epsilon \,$
Como $x\in [a_{n},b_{n}]\,,$ temos que $[a_{n},b_{n}]\subseteq B(x^{*},\varepsilon )\,.$ Logo $B(x^{*},\epsilon )\cap X\supseteq [a_{b},b_{n}]\cap X=X_{n}.$ Como $X_{n}\,$ é infinito por construção, $x^{*}\,$ é um ponto de acumulação de X, o que completa a demonstração.

### Aplicação

Uma aplicação versão ligeiramente modificada e muito útil do teorema de Bolzano-Weierstrass é a seguinte:

## Teorema (Propriedade dos intervalos encaixantes)

Se $F_{n}\,$ é uma sequência de conjuntos fechados, limitados e não-vazios tais que $F_{n+1}\subseteq F_{n}\,,$ então a intersecção destes conjuntos é não vazia. Isto é:
    $\bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}\neq \emptyset \,;$ Demonstração
Como cada $F_{n}\,$ é não vazio é possível construir a sequência $x_{n}\,$ tal que:
    $x_{n}\in F_{n}\,$
Do fato de os conjuntos $F_{n}\,$ são limitados, passando a uma subsequência se necessário, pode-se supor $\{x_{n}\}\,$ é uma sequência convergente para algum real $x^{*}\,.$
De $F_{k}\subseteq F_{n}\,$ se $k\geq n\,,$ temos que $\{x_{n}\}_{n=k}^{\infty }\subseteq F_{k}\,$ e como cada um destes conjuntos é fechados, $x^{*}\in F_{k}\,$ para todo k. Daí temos que o limite $x^{*}\in \bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}\,$ e o resultado segue.

## Distância de um conjunto a um ponto

A distância de um conjunto até um ponto é um importante conceito na análise e permite uma nova caracterização para os pontos do fecho de um conjunto: um ponto $x\in \mathbb {R} \,$ pertence ao fecho ${\overline {S}}\,$ de um conjunto $S\,$ se e somente se a distância se $S\,$ ate $x\,$ é nula.
Definimos a distância entre um conjunto $S\subseteq \mathbb {R} \,$ e um ponto $x\in \mathbb {R} \,$ como o ínfimo da distância entre os pontos de S e o ponto x.
    ${\hbox{dist}}(S,x):=\inf _{y\in S}|x-y|\,$

### Propriedades

* ${\hbox{dist}}(S,x)>0\Longrightarrow x\notin S\,$
* ${\hbox{dist}}(S,x)={\hbox{dist}}({\overline {S}},x)\,$
* $x\in {\overline {S}}\Longleftrightarrow {\hbox{dist}}(S,x)=0\,;$ Demonstração
1. Se ${\hbox{dist}}(S,x)>0\,,$ todo ponto $y\in S\,$ tem a propriedade que:
    $|x-y|\geq {\hbox{dist}}(S,x)>0\Longrightarrow x\neq y\,$
e o resultado segue.
2. Do fato que $S\subseteq {\overline {S}}\,$ e da definição de ínfimo, temos:
    ${\hbox{dist}}(S,x)\geq {\hbox{dist}}({\overline {S}},x)\,$
Para provar a desiguldade inversa, fixe um ponto $x\in \mathbb {R} \,$ e defina
    $\delta :={\hbox{dist}}({\overline {S}},x)\,$
Da definição de ínfimo, podemos construir a sequência $\{y_{n}\}\,$ tal que
    $y_{n}\in {\overline {S}}{\hbox{ e }}|y_{n}-x|<\delta +1/n,~~n=1,2,3,\ldots \,$
Como $y_{n}\in {\overline {S}}\,,$ da definição de fecho de um conjunto, temos a existência de pontos $z_{n}\,$ tais que:
    $z_{n}\in S{\hbox{ e }}|z_{n}-y_{n}|<1/n\,$
Da desigualdade triangular, temos:
    $|z_{n}-x|\leq |z_{n}-y_{n}|+|y_{n}-x|<\delta +2/n\,$
Agora, basta estimar:
    ${\hbox{dist}}(S,x)\leq \inf _{n=1}^{\infty }|z_{n}-x|=\delta ={\hbox{dist}}({\overline {S}},x)\,$
E o resultado segue.
3. Resta-nos demonstrar que se $F\,$ é um conjunto fechado então ${\hbox{dist}}(F,x)=0\Longrightarrow x\in F\,$ Da definição de ínfimo, podemos construir a sequência $\{y_{n}\}\,$ tal que
    $y_{n}\in {\overline {S}}{\hbox{ e }}|y_{n}-x|<1/n,~~n=1,2,3,\ldots \,$
Da definição de limite, temos que:
    $\lim _{n\to \infty }y_{n}=x\,$
Como $F\,$ é um conjunto fechado, o limite $x\,$ da sequência $\{y_{n}\}\,$ deve pertencer a $F\,.$ Assim, o resultado segue.

## Conjuntos compactos

Um conjunto é dito compacto se toda sequência contida em X possui uma sub-sequência que converge para algum ponto de X.

### Todo compacto é fechado e limitado

a.Suponha que X não seja um conjunto fechado, então, por definição, existe uma sequência $x_{n}\in X\,$ que converge para um número real $x\notin X\,$. Como $\{x_{n}\}\,$ é convergente, todas as suas sub-sequências convergem para o mesmo limite x, portanto, nenhuma subsequência de $\{x_{n}\}$ converge para um ponto de X, logo X não pode ser compacto.
b.Suponha que X não seja um conjunto limitado. Então por definição, é possível construir uma sequência $x_{n}\in X\,$ tal que $|x_{n}|>n\,.$ Esta sequência não possui nenhuma sub-sequência convergente, logo X não pode ser compacto.

### Todo conjunto fechado e limitado é compacto

Suponha que X é fechado e limitado e seja $\{x_{n}\}\,$ uma sequência contida em X. A sequência $\{x_{n}\}\,$ é limitado, portanto, possui um sub-sequência convergente para um limite $x^{*}\,,$ como X é fechado, $x^{*}\in X\,,$ o que completa a demonstração.

## Compacidade no sentido de Heine-Borel

Seja $X\,$ um conjunto na reta e $\{O_{\lambda }\}\,$ um coleção de conjuntos abertos $O_{\lambda }\,$ indexados por um índice $\lambda \in \Lambda \,.$ Dizemos que $\{O_{\lambda }\}\,$ é uma cobertura de $X\,$ se:
    $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\supseteq X\,$

### Exemplos de cobertura

* A família de abertos $\left\{O_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\,$ dada por $O_{n}=(-n,n)\,$ é uma cobertura para o conjuntos dos número reais, $\mathbb {R} \,$
* A família de abertos $\left\{O_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\,$ dada por $O_{n}=(1-1/n,1+1/n)\,$ é uma cobertura do intervalo $(0,1)\,.$
* A família de abertos $\left\{O_{\lambda }\right\}\,$ dada por $O_{\lambda }=(-\lambda ,\lambda )\,,$ onde o índice $\lambda \,$ pertence a $(0,1)\,$ é uma cobertura do intervalo $(-1,1)\,.$

### Subcobertura

Seja $\{O_{\lambda }\},~~\lambda \in \Lambda \,$ uma cobertura de $X\,$ e $\Gamma \subseteq \Lambda \,.$ Dizemos que $\{O_{\gamma }\},~~\gamma \in \Gamma \,$ é uma subcobertura de $\{O_{\lambda }\},~~\lambda \in \Lambda \,$ se $\{O_{\gamma }\},~~\gamma \in \Gamma \,$ é também uma cobertura de X.

### Teorema de Heine-Borel

Um conjunto é compacto se e somente se possui a propriedade de Heine-Borel:
    Toda cobertura de abertos admite uma subcobertura finita.

#### Demonstração

Começamos demonstrando o seguinte lema:

#### Lema

Se um conjunto K possui a propriedade de Heine-Borel e $x\notin K\,,$ então ${\hbox{dist}}(K,x)>0\,;$ Demonstração
Define-se:
    $r(y)={\frac {|x^{*}-y|}{2}},\forall y\in \mathbb {R} ^{n}$
É claro que $r(y)>0\,$ para todo ponto $y\,$ em $K\,.$
Agora constróem-se os abertos:
    $O_{y}=B(y,r(y)),\forall y\in K,$ ou seja, a bola de centro y e raio $r(y)\,$
Eles formam uma cobertura para $K:$
    $K=\bigcup _{y\in K}\{y\}\supseteq \bigcup _{y\in K}O_{y}$
Usando a propriedade de Heine-Borel, estabelecemos a existência de um conjunto finito de pontos $y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\in K\,$ tais que:
    $K\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}O_{y_{k}}$
Da simples definição de $O_{y}\,,$ sabemos que eles são disjuntos das bolas centradas em $y^{*}\,$ de raio $r(y)\,:$
    $O_{y}\bigcap B(x^{*},r(y))=B(y,r(y))\bigcap B(x^{*},r(y))=\emptyset$
Define-se:
    $\delta =\min _{k=1}^{n}r(y_{k})\,$
temos:
    $O_{y_{k}}\bigcap B(x^{*},\delta )=B(y_{k},r(y_{k}))\bigcap B(x^{*},\delta )\subseteq B(y_{k},r(y_{k}))\bigcap B(x^{*},r(y_{k}))=\emptyset ,\forall k=1,\ldots ,n$
Tomando a união, temos:
    $K\bigcap \left(B(x^{*},\delta )\right)\subseteq \left(\bigcup _{k=1}^{n}O_{y_{k}}\right)\bigcap B(x^{*},\delta )=\emptyset$
O que completa a demonstração.

#### Todo conjunto de Heine-Borel é fechado

Seja K um conjunto com a propriedade de Heine-Borel e seja $x\notin K\,,$ pelo lema anterior ${\hbox{dist}}{K,x}>0\,$ e, portanto, $x\notin {\overline {K}}\,,$ isso significa que:
    $K^{c}\subseteq {\overline {K}}^{c}\Longrightarrow {\overline {K}}\subseteq K\,$
e portanto K é fechado.

#### Todo conjunto de Heine-Borel é limitado

Seja K um conjunto com a propriedade de Heine-Borel. Considere a seguinte cobertura de K:
    $K\subseteq \mathbb {R} =\bigcup _{n=1}^{\infty }(-n,n)\,$
Da propriedade de Heine-Borel, podemos extrair uma subcobertura finita tal que:
    $K\subseteq \bigcup _{n=1}^{N}(-n,n)=(-N,N)\,$
Logo K é limitado.

## Navegando

* Espaço Topológico
* Topologia
* Abertos
* Fechados
* Fecho
* Ponto de acumulação
* Espaço compacto

# Teoria dos conjuntos

O objetivo deste livro não é estudar a teoria dos conjuntos. Para isto, sugere-se:
* Matemática elementar/Conjuntos - capítulo Conjunto do livro Matemática elementar, texto bem básico
* Álgebra abstrata/Conjuntos - capítulo Conjuntos do livro Álgebra abstrata, no mesmo nível do conhecimento necessário para Análise real
* Teoria dos conjuntos - texto avançado, analisando a teoria do ponto de vista axiomático

# Espaços métricos

Um espaço métrico (X,d) é um conjunto X dotado de uma função $d:X^{2}\to \mathbf {R} \,$ chamada métrica ou distância que associa a cada par de elementos de X uma distância entre eles. Esta distância deve satisfazer os seguintes axiomas:
* $d(x,y)\,$ é um número real, não negativo e finito
* $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$
* $d(x,y)=d(y,x)\,$ (simetria)
* $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (desigualdade triangular)

## Exemplos

* O espaço vetorial euclidiano $(\mathbb {R} ^{n},d)$, onde $d((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+\cdots +(y_{n}-x_{n})^{2}}}$, é um espaço vetorial de dimensão $n\,$
** É importante notar que a distância acima definida não é a única que satisfaz os axiomas de espaço métrico; porém, pela sua importância, ela é considerada a métrica canônica no $\mathbb {R} ^{n}\,$. Outras métricas são:
** $d((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))=\max(|y_{1}-x_{1}|,\cdots ,|y_{n}-x_{n}|)$
** $d((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))=|y_{1}-x_{1}|+\cdots +|y_{n}-x_{n}|$
* $(X,d)\,$, onde $d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0,&{\mbox{se }}x=y\\1,&{\mbox{se }}x\neq y\end{matrix}}\right.$ é denominado de espaço métrico discreto.
* Qualquer subconjunto de um espaço métrico é um espaço métrico (para a mesma distância)

## Convergência em espaços métricos

Diz-se que uma sequência de pontos $x_{n}\in X\,$ converge para um ponto $x\in X\,$ se e somente se:
    $\lim _{n\to \infty }d(x,x_{n})=0\,$
Diz-se que uma sequência de pontos $x_{n}\in X\,$ é de Cauchy se para todo $\varepsilon >0\,$, existe um N tal que
    $d(x_{n},x_{m})<\varepsilon ,\forall n,m>N\,$
Proposição: toda sequência convergente é de Cauchy.
Um espaço métrico é dito completo se todo sequência de Cauchy é convergente.
Teorema: Um subconjunto fechado de um espaço métrico completo é um espaço métrico completo.

## Ver também

Espaço métrico (topologia)

# Limites
## Definição

Lembrar que uma função de um conjunto X para um conjunto Y é uma aplicação $f:X\mapsto Y$ tais que f(x) é o único elemento de Y para cada $x\in X$. Na análise, temos tendência para falar de funções a partir de subconjuntos $A\subseteq \mathbb {R}$ para $\mathbb {R}$.
A definição para o limite de uma função é quase a mesma que a definição de uma seqüência. De fato, como veremos mais adiante, é possível definir limites funcionais, em termos de limites seqüenciais. Para o momento, porém, vamos apenas dar a definição:
Dado um subconjunto $A\subset \mathbb {R}$ e uma função $f:A\mapsto \mathbb {R}$, nós dizemos que o $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L,\;se\;\forall \;\epsilon >0,\exists \delta >0;\forall x\in D_{f},0<|x-c|<\delta \implies |f(x)-L|<\epsilon$
A exigência $0<|x-c|\;$ é um pouco técnico. É uma expressão que da a idéia de que o comportamento de uma função perto de um ponto não deve ser prejudicado pelo seu comportamento no ponto. Desta forma f(x) não precisa ser definida em c para ter um limite aí.
Esta definição dá um monte de problemas para um monte de gente, por isso é melhor passar algum tempo intrigante com isso, exemplos de trabalho, etc. Uma forma de conceituar a definição é esta: $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$ significa que nós podemos fazer f(x) tão próximo quanto gostarmos de L, fazendo x perto de c.

### Limite em um ponto de acumulação

Sejam $f:A\to \mathbb {R} \;$ uma função definida em um conjunto $A\subseteq \mathbb {R} \;$ e $x_{0}\in A'\;$. Diz-se que existe o limite de $f(x)\,$ quando $x\,$ tende a $x_{0}\,$ e denota-se por:
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)\,$
quando existe um $L\in \mathbb {R} \,$ com a propriedade de que, para todo $\varepsilon >0\,$, existe um $\delta >0\,$ tal que:
    $0<\left|x-x_{0}\right|\leq \delta \Longrightarrow \left|f(x)-L\right|<\varepsilon \,$
Observe cuidadosamente que $f(x_{0})\,$ não precisa estar definido e, quando está, não necessariamente vale
    $f(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\,$.

### Teorema (Unicidade do limite)

Seja $A\subseteq \mathbb {Q} ,f:A\mapsto \mathbb {R} ,x_{0}\in A'$.
Se $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=L_{1}\;e\;\lim _{x\to x_{0}}f(x)=L_{2}$, então $L_{1}=L_{2}\;$

#### Prova

Pela definição de limite temos
* (1)$\forall \;\epsilon >0,\exists \;\delta >0;\;x\in A;|x-x_{0}|<\delta _{1}\implies |f(x)-L_{1}|<{\epsilon \over 2}$
* (2) $\forall \;\epsilon >0,\exists \;\delta >0;\;x\in A;|x-x_{0}|<\delta _{2}\implies |f(x)-L_{2}|<{\epsilon \over 2}$
Seja $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}\;$. Como $x_{0}\in A'$ logo $\exists \;x_{\delta }\in (x-\delta ,x+\delta )$
De fato $x_{0}\in (x-\delta ,x+\delta )$.
$|L_{1}-L_{2}|=|L_{1}-f(x)+f(x)-L_{2}|<|L_{1}-f(x)|+|f(x)-L_{2}|<\epsilon \;$

## Teorema (do Confronto aplicado no limite)

Sejam $D\subseteq \mathbb {Q} ,f,g,h:D\mapsto \mathbb {R} ,x_{0}\in D'$.
* $Se\;f(x)<g(x)<h(x),\forall x\in D-\{a\}\;e\;\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=L$, então $\lim _{x\to x_{0}}g(x)=L$

### lim$_{x→x0}$f(x)=L⟹∀ϵ>0, ∃δ$_1$>0;x∈D;|x−x$_0$|<δ$_1$⟹L−ϵ<f(x)<L+ϵ{\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L\implies \forall \epsilon >0, \exists \delta _{1}>0;x\in D;|x-x_{0}|<\delta _{1}\implies L-\epsilon <f(x)<L+\epsilon \;}

$\lim _{x\to x_{0}}h(x)=L\implies \forall \epsilon >0,\exists \delta _{2}>0;x\in D;|x-x_{0}|<\delta _{2}\implies L-\epsilon <h(x)<L+\epsilon \;$
$x\in D,\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}\implies |x-x_{0}|<\delta \implies L-\epsilon <f(x)<g(x)<h(x)<L+\epsilon \implies \lim _{x\to x_{0}}g(x)=L\;$
Limite Sequencial
Poderíamos muito bem ter dado a seguinte definição do limite:
Dado um subconjunto $A\subset \mathbb {R}$ e uma função $f:A\rightarrow \mathbb {R}$, dizemos que o $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$ se $\forall (x_{n})_{n=1}^{\infty }$ tal que $x_{n}\not =c,\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n})=c$, e $\lim _{n\rightarrow \infty }(f(x_{n}))=L$
Note-se que o requisito $x_{n}\not =c$ corresponde com a exigência $|x-c|>0$.
Como um exercício para testar sua compreensão, prove que estas duas definições são equivalentes. Note-se que tendo o contrapositive dá um bom critério para determinar se ou não uma função diverge:
Se $\exists (x_{n}),(y_{n}):(x_{n})\rightarrow c,(y_{n})\rightarrow c$, e $\lim _{n\rightarrow \infty }(f(x_{n}))\not =\lim _{n\rightarrow \infty }(f(y_{n}))$, então $\lim _{x\rightarrow c}f(x)$ não existe.

## Comportamento de uma Função Composta sendo aplicado a um limite

Seja $D,E\subset \mathbb {R}$

## Limites no infinito

Podemos definir o que significa para uma função divergir para o infinito, e o que significa para uma função ter um limite no infinito:
* Dizemos que $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=\infty$ se $\forall M>0:\exists \delta :0<|x-c|<\delta \implies f(x)>M$.
* Dizemos que $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=-\infty$ se $\forall M>0:\exists \delta :0<|x-c|<\delta \implies f(x)<-M$
* Dizemos quet $\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=L$ se $\forall \epsilon >0:\exists M:x>M\implies |f(x)-L|<\epsilon$.
* Dizemos quet $\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=L$ se $\forall \epsilon >0:\exists M:x<-M\implies |f(x)-L|<\epsilon$.
Como exercício, veja se você pode definir o que significa para uma função ter limite $\infty$ como $x\rightarrow \infty$.

## Ver Também
# Continuidade

Agora que definimos o limite de uma função, estamos prontos para definir o que significa para uma função ser contínua. A noção de Continuidade captura a intuitiva imagem de uma função "sem oscilações bruscas ou saltos". Veremos alguns exemplos de funções descontínuas que ilustram o significado da definição. A idéia de funções contínuas é encontrada em várias áreas da matemática, além de análise real.

## Definição (Continuidade em um Ponto)

Seja $A\subseteq \mathbb {R}$; $f:A\to \mathbb {R}$; $c\in A$; Dizemos que $f(x)\;$ é contínua em $c\;$ se, e somente se, para todo $\epsilon >0\,$, existe um $\delta >0\,$ tal que:
* $x\in A,|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon$

### Definição (Continuidade em um Conjunto)

Seja $A\subset D\subseteq \mathbb {R}$; $f:A\to \mathbb {R}$; $c\in A$;. Dizemos que $f$ é contínua em $A\;$ se $f$ é contínua em $c\;$, para todo $c\in A$.
Dizemos que $f\;$ em si é contínua, se esta condição vale para todos os pontos em $A$.
Se $A\;$ é uma união de intervalos, a declaração é equivalente a dizer que $\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$.

### Exemplos

* A função identidade $f(x)=x$ é contínua em toda a reta. De fato, dado $\epsilon >0$ e $x_{0}$ real, tomando $\delta =\epsilon$, temos que, se $|x-x_{0}|<\delta =\epsilon$.
* A função quadrado $f(x)=x^{2}$ também é contínua em toda a reta.
Demonstração
Dado $\epsilon >0$, e $x_{0}$ real, temos
    $|x^{2}-(x_{0})^{2}|=|x+x_{0}||x-x_{0}|$.
Como estamos trabalhando com $x$ próximo de $x_{0}$, temos
    $|x+x_{0}|<C$, para algum $C$ real.
Definindo $\delta =\epsilon /C$, se
    $|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |x-x_{0}|<\epsilon /C\Rightarrow |x+x_{0}||x-x_{0}|<C|x-x_{0}|<\epsilon$.
Portanto $f$ é contínua em $x_{0}$, para todo $x_{0}$ real.
* A função $f(x)=x^{n}\,$ é contínua em toda a reta para qualquer natural n.
Demonstração
Fixemos um ponto $x_{0}\in \mathbb {R} \,$ e $\varepsilon >0\,$, e procedemos com a fatoração da potência:
    $f(x)-f(x_{0})=x^{n}-x_{0}^{n}=(x-x_{0})\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}x_{0}^{n-k-1}$
Definamos, agora,
    $\delta =\min \left[{\frac {\varepsilon }{n(|x_{0}|+1)^{n-1}}},1\right]$
Por definição, $\delta \leq 1\,$, portanto, se $\left|x-x_{0}\right|<\delta \,$, temos:
    $|x|=|x_{0}+(x-x_{0})|\leq |x_{0}|+|x-x_{0}|\leq |x_{0}|+\delta \leq |x_{0}|+1\,$
Assim:
    $\left|f(x)-f(x_{0})\right|=\left|(x-x_{0})\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}x_{0}^{n-k-1}\right|\leq \delta \sum _{k=0}^{n-1}|x^{k}|\cdot |x_{0}|^{n-k-1}\leq \varepsilon$

## Proposição (Operações com funções Contínuas)

Sejam $f,g:D\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ funções contínuas e $\lambda$ um número real, então valem as seguintes propriedades:
* $f+g\;$ é contínua;
* $fg\;$ é contínua;
* $\lambda f\;$ é contínua;
* $f/g\;$ é contínua em todos os pontos onde $g\;$ não se anula.

## Descontinuidade

Podemos usar limites seqüenciais para provar que funções são descontínuas da seguinte forma:
* $f(x)$ é descontínua em $c\;$ se, e somente se, houver duas seqüências $(x_{n})\rightarrow c$ e $(y_{n})\rightarrow c$ tal que $\lim _{n\rightarrow \infty }(f(x_{n}))\not =\lim _{n\rightarrow \infty }(f(y_{n}))$.

## Composição

Outro resultado que nos permitirá construir muitos exemplos de funções contínuas é que qualquer composição de funções contínuas em si é contínuo:

### Teorema

Se $f:B\rightarrow \mathbb {R}$ e $g:A\mapsto B$ são contínuas, então a composição $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ é contínua sobre A.

#### Prova

Seja $\epsilon >0$; $c\in A$.
Uma vez que f é contínua, $\exists \delta _{1}>0:|x-c|<\delta _{1}\implies |f(x)-f(c)|<\epsilon$.
Desde que g é contínua, $\exists \delta _{2}>0:|x-c|<\delta _{2}\implies |g(x)-g(c)|<\delta _{1}$.
Assim $|x-c|<\delta _{2}\implies |g(x)-g(c)|<\delta _{1}\implies |f(g(x))-f(g(c))|<\epsilon$, por isso $(f\circ g)(x)$ é contínua sobre A.

## O Teorema do Valor Intermediário

Este é o grande teorema sobre continuidade. Basicamente ele diz que funções contínuas não tem interrupções bruscas ou saltos.

### Teorema (do Valor Intermediário)

Seja f(x) uma função contínua. Se $a<b\;$ e $f(a)<m<f(b)\;$, então $\exists c\in (a,b):f(c)=M$.

#### Prova

Seja $S=\{x\in (a,b):f(x)<m\}$, e seja $c=\sup S$.
Seja $\epsilon =|f(c)-m|$. Pela continuidade, $\exists \delta :|x-c|<\delta \implies |f(x)-f(c)|<\epsilon$.
Se f(c) < m, então $|f(c+{\frac {\delta }{2}})-f(c)|<\epsilon$, por isso $f(c+{\frac {\delta }{2}})<f(c)+\epsilon =m$. Mas então $c+{\frac {\delta }{2}}\in S$, o que implica que c não é um limite superior para S, uma contradição.
Se f(c) > m, desde então $c=\sup S$, $\exists x:x\in S,c>x>c-\delta$. Mas desde que $|x-c|<\delta ,\;|f(x)-f(c)|<\epsilon$, por isso $f(x)>f(c)-\epsilon$ = m, o que implica que $x\notin S$, uma contradição. $\Box$
Iremos provar agora o Teorema Mínimo-Máximo, que é um outro resultado importante que está relacionada com a continuidade. Essencialmente, ela diz que qualquer imagem contínua de um intervalo fechado é limitada, e também que ele atinge esses limites.

## Teorema Mínimo-Máximo

Seja $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ contínuo
Então (i)$f([a,b])$ é limitado
(ii)Se $M,m$ são respectivamente o limite superior e inferior do $f([a,b])$, então existem $c,d\in [a,b]$ tais que $f(c)=M,f(d)=m$

### Prova

(i)Suponhamos que, se possível $f$ é ilimitado.
Seja $x_{1}={\tfrac {a+b}{2}}$. Em seguida, $f\;$ é ilimitado em pelo menos um dos intervalos fechados $[a,x_{1}]$ e $[x_{1},b]\;$ (para outra, $f\;$ seria ilimitada sobre $[a,b]$ contradizendo a hipótese). Chamar este intervalo $I_{1}$.
Similarmente, partindo $I_{1}$ em dois intervalos fechados e deixar $I_{2}$ ser um dos quais $f$ é ilimitado.
Assim sendo, temos uma seqüência de intervalos fechados adjacentes $[a,b]\supseteq I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \ldots$ tais que $f\;$ é ilimitada sobre cada um deles.
Sabemos que a intersecção de uma seqüência de intervalos fechados adjacentes é não vazio. Daí, seja $x_{0}\in I_{1}\cap I_{2}\cap \ldots$
Como $f(x)\;$ é contínua em $x=x_{0}$, existe $\delta >0$ tal que $x\in V_{\delta }(x_{0})\implies f(x)\in (f(x_{0})-1,f(x_{0})+1)$ Mas, por definição, existe sempre $k\in \mathbb {N}$ tal que $I_{k}\subseteq V_{\delta }(x_{0})$, contradizendo a hipótese de que $f\;$ é ilimitado sobre $I_{k}$. Assim, $f\;$ é limitada sobre $[a,b]$
(ii) Considere-se, se possível, $M=\sup(f([a,b]))$ mas $M\notin f([a,b])$.
Considere a função $g(x)={\frac {1}{M-f(x)}}$. Pela propriedade algébricas de continuidade, $g:[a,b]\to \mathbb {R}$ é contínuo. No entanto, $M\;$ sendo um ponto relativo de $f([a,b])$, $g(x)\;$ é ilimitado sobre $[a,b]$, contradizendo (i). Daí, $M\in f([a,b])$. Da mesma forma, podemos mostrar que $m\in f([a,b])$.

## Uso Geral

Como se referiu, a ideia de funções contínuas é utilizado em várias áreas da matemática, mais notavelmente na Topologia. A caracterização diferente de continuidade é útil em tais situações.

### Teorema

Seja $A\subseteq \mathbb {R}$ Seja $f:A\to \mathbb {R}$
$f(x)$ é contínua em $x=c\;$ se, e somente se, para cada vizinhança aberta $V$ de $f(x)\;$, existe uma vizinhança aberta $U$ de $x$ tal que $U\subseteq f^{-1}(V)$
Deve ser mencionado aqui que o termo "Conjunto aberto" pode ser definido em geral muito mais do que o conjunto de definições reais ou mesmo espaços métricos, e daí a utilidade desta caracterização.

## Continuidade uniforme

Seja $A\subseteq \mathbb {R}$ Seja $f:A\to \mathbb {R}$
Dizemos que $f\;$ é uniformemente contínua sobre $A\;$ se, e somente se, para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que, se $x,y\in A$ e $|x-y|<\delta$ então $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$

## Ver também

Continudade no wiki em inglês

# Variação total
## Oscilação

Seja $f:D\to \mathbb {R} \,$ uma função real. Definimos a oscilação de $f\,$ em um intervalo $[a,b]\,$ contido em $D\,$ como:
* ${\hbox{osc}}_{[a,b]}(f):=\sup _{[a,b]}f(x)-\inf _{[a,b]}f(x)\,$

### Propriedades

* Se $f\,$ é um função não decrescente, então:
    ${\hbox{osc}}_{[a,b]}(f)=f(b)-f(a)\,$
* Se $f\,$ é um função não crescente, então:
    ${\hbox{osc}}_{[a,b]}(f)=f(a)-f(b)\,$

## Variação em uma partição

Seja $f:D\to \mathbb {R} \,$ uma função real. Definimos a variação de $f\,$ em um partição $P:=\left\{x_{0}:=a,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},x_{n}:=b\right\}\,$ de um intervalo $[a,b]\,$ contido em $D\,$ como:
* ${\hbox{var}}_{P}(f):=\sum _{i=1}^{n}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|\,$

### Propriedades

1. Seja P uma partição cujos extremos são $x_{0}=a\,$ and $x_{n}=b\,$ e seja $f:D\to \mathbb {R} \,$ uma função real definida em um domínio $D\supset [a,b]\,$ então:
    ${\hbox{var}}_{P}(\alpha f)=|\alpha |{\hbox{var}}_{P}(f),~~\forall \alpha \in \mathbb {R} \,$

#### Demonstração

Imediato da definição.
2. Seja P uma partição cujos extremos são $x_{0}=a\,$ and $x_{n}=b\,$ e seja $f:D\to \mathbb {R} \,$ uma função monótona definida em um domínio $D\supset [a,b]\,$ então:
    ${\hbox{var}}_{P}(f)=\left|f(a)-f(b)\right|\,$

#### Demonstração

Considere, sem perda de generalidade, que $f\,$ é uma função crescente, da definição de variação temos:
    ${\hbox{var}}_{P}(f):=\sum _{i=1}^{n}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|\,$
Como $x_{i}\geq x_{i-1}\,$, temos que $\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|=f(x_{i})-f(x_{i-1})\geq 0\,$, logo:
    ${\hbox{var}}_{P}(f):=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})-f(x_{i-1})=f(x_{n})-f(x_{0})=f(b)-f(a)=\left|f(a)-f(b)\right|\,$
3. Seja P uma partição cujos extremos são $x_{0}=a\,$ and $x_{n}=b\,$ e sejam $f:D\to \mathbb {R} \,$ e $g:D\to \mathbb {R} \,$ funções reais definidas em um domínio $D\supset [a,b]\,$ então:
    ${\hbox{var}}_{P}(f+g)\leq {\hbox{var}}_{P}(f)+{\hbox{var}}_{P}(g)\,$

#### Demonstração

    ${\begin{array}{rcl}{\hbox{var}}_{P}(f+g)&:=&\sum _{i=1}^{n}\left|f(x_{i})+g(x_{1})-f(x_{i-1})-g(x_{i-1)}\right|\\&\leq &\sum _{i=1}^{n}\left(\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|+\left|g(x_{i})-g(x_{i-1})\right|\right)\\&=&{\hbox{var}}_{P}(f)+{\hbox{var}}_{P}(g)\end{array}}\,$
4. Seja P uma partição cujos extremos são $x_{0}=a\,$ and $x_{n}=b\,$ e $f:D\to \mathbb {R} \,$ uma função real definida em um domínio $D\supset [a,b]\,$ então, se P' é um refinamento de P
    ${\hbox{var}}_{P}f\leq {\hbox{var}}_{P'}(f)\,$

#### Demonstração

Sem perda de generalidade, considere que P' é um refinamento de P pela inclusão de um único ponto $x_{k-1}\leq x'\leq x_{k}\,$. Como a seguinte desigualdade é válida:
    $\left|f(x_{k-1})-f(x_{k})\right|\leq \left|f(x_{k-1})-f(x')\right|+\left|f(x')-f(x_{k})\right|\,$
o resultado segue.

## Variação total

Seja $f:D\to \mathbb {R} \,$ uma função real. Definimos a variação de $f\,$ em um intervalo $[a,b]\,$ contido em $D\,$ como:
* ${\hbox{var}}_{[a,b]}(f):=\sup _{P\in \mathbb {P} }{\hbox{var}}_{P}(f)\,$
O supremo é tomado em $\mathbb {P} \,$, o conjunto de todas as possíveis partições de $[a,b]\,$.

### Propriedades

As seguintes propriedades são de demonstração imediata, aparir da definição de supremo e das propriedades já demonstradas para a variação em uma partição.
1. Se $f\,$ é um função monótona, então:
    ${\hbox{var}}_{[a,b]}(f)=\left|f(a)-f(b)\right|\,$
2. Se $f\,$ uma função real, então:
    ${\hbox{var}}_{[a,b]}(f)\geq {\hbox{var}}_{[c,d]}(f)\,$, sempre que $a\leq c\leq d\leq b\,$.
3. Se $f\,$ e $g\,$ são funções reais, vale
    ${\hbox{var}}_{[a,b]}(f+g)\leq {\hbox{var}}_{[a,b]}(f)+{\hbox{var}}_{[a,b]}(g)\,$,
4. Se $f\,$ uma função real, então:
    ${\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha f)=|\alpha |{\hbox{var}}_{[a,b]}(f),~~\forall ~\alpha \in \mathbb {R} \,$,
5. Se $f\,$ uma função real, então:
    ${\hbox{var}}_{[a,c]}(f)={\hbox{var}}_{[c,b]}(f)+{\hbox{var}}_{[b,c]}(f),~~\forall ~c\in [a,b]\,$,

## Função de variação limitada

Diz-se que uma função real $f:D\to \mathbb {R} \,$ é de variação limitada em um intervalo $[a,b]\,$ se e somente se:
    ${\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha f)\leq \infty \,$

### Teorema

Seja $f:D\to \mathbb {R} \,$ uma função de classe $C^{1}[a,b]\,$, então:
    ${\hbox{var}}_{[a,b]}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|dx\,$

#### Demontração

Primeiro observamos que se $P\,$ é uma partição do intervalo $[a,b]\,$, podemos escrever, usando o teorema do valor médio:
    ${\hbox{var}}_{P}{f}=\sum _{i=1}^{n}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|=\sum _{i=1}^{n}\left|f'(x_{i}^{*})\right|(x_{i}-x_{i-1}),~~~x_{i}^{*}\in (x_{i-1},x_{i})\,$
Da definição de variação total, podemos inferir a existência de uma seqüência de partições $P_{k}=\left(x_{0}^{k},x_{1}^{k},\ldots ,x_{n_{k}}^{k}\right),\,$ tal que:
    $0\leq {\hbox{var}}_{[a,b]}(f)-{\hbox{var}}_{P_{k}}(f)\leq 1/k\,$
Como a variação não decresce com o refino da partição, pode supor que comprimento das partições $P_{k}\,$ está convergindo para zero. Assim:
    ${\hbox{var}}_{[a,b]}(f)=\lim _{k\to \infty }{\hbox{var}}_{P_{k}}(f)=\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{n_{k}}\left|f'(x_{i}^{k}*)\right|(x_{i}^{k}-x_{i-1}^{k})=\int _{a}^{b}|f'(x)|dx\,$

### Teorema

Uma função é de variação limitada se e somente se pode ser escrita como a diferença de duas funções não decrescentes.

#### Demontração

a.Seja $f:D\to \mathbb {R} \,$ uma função de variação limitada em $D\,$. Define-se a função $F:D^{2}\to \mathbb {R} \,$ da seguinte forma:
    $F(x_{0},x)=\left\{{\begin{array}{ll}{\hbox{var}}_{[x_{0},x]}(f),&x_{0}\leq x\\-{\hbox{var}}_{[x_{0},x]}(f),&x_{0}>x\\\end{array}}\right.\,$
Fixando um $x_{0}\in D\,$ é uma função não decrescente em $x\,$.
Agora define-se:
    ${\begin{array}{l}p(x)={\frac {1}{2}}\left[F(x_{0},x)+f(x)\right]\\~\\q(x)={\frac {1}{2}}\left[F(x_{0},x)-f(x)\right]\end{array}}$.
É fácil ver que $f(x)=p(x)-q(x)\,$. Resta-nos provar que tanto $p(x)\,$ como $q(x)\,$ são funções não decrescentes. Para tal, seja $y>x\,$ e fazemos a seguinte estimativa:
    ${\begin{array}{rcl}p(y)-p(x)&=&{\frac {1}{2}}\left[F(x_{0},y)+f(y)\right]-{\frac {1}{2}}\left[F(x_{0},x)+f(x)\right]\\&=&{\frac {1}{2}}\left[F(x_{0},y)-F(x_{0},x)\right]+{\frac {1}{2}}\left[f(y)-f(x)\right]\\&=&{\frac {1}{2}}\left[{\hbox{var}}_{[y,x](f)}\right]+{\frac {1}{2}}\left[f(y)-f(x)\right]\geq 0\end{array}}$
Da penúltipla para a última linha usamos $F(x_{0},y)-F(x_{0},x)={\hbox{var}}_{[x_{0},y](f)}-{\hbox{var}}_{[x_{0},x](f)}={\hbox{var}}_{[x,y](f)}$ e depois observamos que ${\hbox{var}}_{[x,y](f)}\geq \left|f(x)-f(y)\right|$.
A demontração sendo perfeitamente análoga para a função $q(x)\,$, o resultado segue.

## Existência de uma função contínua que não é de variação limitada

Considere a função:
    $f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}x\cos \left({\frac {\pi }{x}}\right),&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.$
Esta função não é de variação limitada no intervalo $[0,1]\,$. Para provar isso considere o seguintes pontos:
    $x_{n}={\frac {1}{n+1}},\quad f(x_{n})={\frac {1}{n+1}}(-1)^{n},n=0,1,2,\ldots \,$
Assim
    $\left|f(x_{n})-f(x_{n-1})\right|={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n}}>1/n,n=1,2,3,\ldots \,$
Portanto, ${\hbox{var}}_{[0,1]}(f)\geq \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=+\infty \,$

# Derivadas
## Definição

Estamos agora prontos para definir a derivada de uma função.
Seja $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, e seja $a\in \mathbb {R}$. Dizemos que $f(x)$ é diferenciável em $x=a$ se, e somente se, existir $L\in \mathbb {R}$ tal que
    $\lim _{x\rightarrow a}{f(x)-f(a) \over x-a}=L$.
$L$ é dita a derivada de $f$ em $a$ e é denotada por $f'(a)$.
A função é dita diferenciável no conjunto $A$ se a derivada existir para cada $a\in A$. A função é diferenciável se ela é diferenciável em todo o seu domínio.
Conceitualmente, encontrar a derivada em um ponto significa encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto. Assim, a derivada pode ser considerada como uma aproximação linear ou de primeira ordem.

## Propriedades

Algumas propriedades das derivadas seguem imediatamente a partir da definição:

### Propriedades básicas

Se f e g são diferenciáveis, então:
* $(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$
* $(\lambda f)'(x)=\lambda f'(x)$

#### Demonstração

* $(f+g)'(x)=\lim _{y\rightarrow x}{(f(y)+g(y))-(f(x)+g(x)) \over y-x}$
       $=\lim _{y\rightarrow x}\left({f(y)-f(x) \over y-x}+{g(y)-g(x) \over y-x}\right)$
       $=\lim _{y\rightarrow x}{f(y)-f(x) \over y-x}+\lim _{y\rightarrow x}{g(y)-g(x) \over y-x}=f'(x)+g'(x)$
* $(\lambda f)'(x)=\lim _{y\rightarrow x}{\lambda f(y)-\lambda f(x) \over y-x}=\lambda \lim _{y\rightarrow x}{f(y)-f(x) \over y-x}=\lambda f'(x)$

### Teorema (diferenciabilidade implica continuidade)

Se $f$ é diferenciável em $x$, então ela é contínua em $x$.

#### Demonstração

Uma vez que $f$ é diferenciável em $x$, $\lim _{y\rightarrow x}{f(y)-f(x) \over y-x}=f'(x)$.
Então $\lim _{y\rightarrow x}\left[f(y)-f(x)\right]=\lim _{y\rightarrow x}{f(y)-f(x) \over y-x}\lim _{y\rightarrow x}\left(y-x\right)=f'(x)\;0=0$
Assim, $\lim _{y\rightarrow x}f(y)=f(x)$, então f é contínua em x.

### Teorema (regra do produto)

Se $f$ e $g$ são diferenciáveis, então $(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$.

#### Prova

$(fg)'(x)=\lim _{y\rightarrow x}{f(y)g(y)-f(x)g(x) \over y-x}$
       $=\lim _{y\rightarrow x}{f(y)g(y)-f(x)g(y)+f(x)g(y)-f(x)g(x) \over y-x}$
       $=\lim _{y\rightarrow x}({f(y)-f(x))g(y)+f(x)(g(y)-g(x)) \over y-x}$
       $=\lim _{y\rightarrow x}{f(y)-f(x) \over y-x}\lim _{y\rightarrow x}g(y)+f(x)\lim _{y\rightarrow x}{g(y)-g(x) \over y-x}$
       $=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$, uma vez que g é contínua em x. $\blacksquare$
O próximo teorema é um pouco mais complicado para provar do que parece. Nós gostaríamos de usar o seguinte argumento:
$(f\circ g)'(x)=\lim _{y\rightarrow x}{f(g(y))-f(g(x)) \over y-x}$
       $=\lim _{y\rightarrow x}{f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}{g(y)-g(x) \over y-x}$
       $=\lim _{y\rightarrow x}{f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}\lim _{y\rightarrow x}{g(y)-g(x) \over y-x}$
       $=f'(g(x))g'(x)$
O problema é que $g(y)-g(x)$ pode ser zero em pontos arbitrariamente próximos de x, e, por conseguinte, ${f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}$ não seria contínua nesses pontos. Assim aplicamos um lema inteligente como se segue:

### Lema (Caratheodory)

Seja $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Dizemos que $f(x)$ é diferenciável em $x=c$ se, e somente se, existe uma função contínua $\phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ que satisfaz
    $(x-c)\phi (x)=f(x)-f(c)\quad \forall x\in \mathbb {R}$

#### Prova

* Seja $f(x)$ diferenciável em $x=c$ e defina a função $\phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ tal que
    $\phi (x)={\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}{\mbox{ para }}x\neq c$ e
    $\phi (c)=f'(c)$
É fácil ver que $\phi (x)$ é contínua e preenche a condição exigida.
* Seja $\phi (x)$ uma função contínua que satisfaz $(x-c)\phi (x)=f(x)-f(c)\quad \forall x\in \mathbb {R}$. Temos, $\forall x\neq c$, que
    $\phi (x)={\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}$
Como $\phi$ é contínua, $\phi (c)=\lim _{x\to c}\phi (x)$, ou seja,
    $\phi (c)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}$, o que implica que $f(x)$ é diferenciável em $x=c$.

### Teorema (regra da cadeia)

Seja $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ diferenciável em $c\in \mathbb {R}$ e seja $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ diferenciável em $d=g(c)$. Então
    (i) $(f\circ g)(x)$ é diferenciável em $x=c$;
    (ii) $(f\circ g)'(c)=f'(g(c))\,g'(c)$.

#### Prova

O lema de Caratheodory implica que existem funções contínuas $\phi ,\gamma :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ tais que
    $(x-c)\gamma (x)=g(x)-g(c)$ e
    $(g(x)-g(c))\phi (x)=f(g(x))-f(g(c))$.
Agora, considere a função $\eta (x)=\phi (x)\gamma (x)$. Obviamente, $\eta (x)$ é contínua. Além disso, ela satisfaz
    $(x-c)\eta (x)=(f\circ g)(x)-(f\circ g)(c)$.
Assim, pelo Lema de Caratheodory, $(f\circ g)(x)$ é diferenciável em $x=c$ e vale $(f\circ g)'(c)=\eta (c)=f'(g(c))\,g'(c)$.

## Exemplos

Considere $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ definida por $f(x)=x$. Qual é a derivada de $f$ em $a$?
$f'(a)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$
       $=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {a+h-a}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {h}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}1=1$
Assim, aqui vemos que $f'(a)=1$. Uma vez que $a$ foi um ponto arbitrariamente escolhido, concluímos que $f'(a)=1\quad \forall a\in \mathbb {R}$.
Similarmente a fórmula da derivada também pode ser encontrada.
Uma vez que os teoremas anteriores garantem que soma, bem como o produto, de funções diferenciáveis é resulta em uma função diferenciável, segue que as funções polinomiais são diferenciáveis.

## Exercícios

* Encontrar as derivadas das funções polinomiais, trigonométricas, exponencial e logarítmica.
* Alguns dos contra-exemplos mais populares para ilustrar propriedades de continuidade e de diferenciabilidade são funções que envolvem $f(x)=\operatorname {sen} \left({\frac {1}{x}}\right)$.
** Prove que $f(x)={\begin{cases}\operatorname {sen} \left({\frac {1}{x}}\right)&{\text{ para todo }}x\neq 0\\0&{\text{ para }}x=0\end{cases}}\$ não é contínua em $x=0$.
** Prove que a função $f(x)={\begin{cases}x\,\operatorname {sen} \left({\frac {1}{x}}\right)&{\text{ para todo }}x\neq 0\\0&{\text{ para }}x=0\end{cases}}\$ é contínua, mas não diferenciável em $x=0$.
** Prove que $f(x)={\begin{cases}x^{2}\,\operatorname {sen} \left({\frac {1}{x}}\right)&{\text{ para todo }}x\neq 0\\0&{\text{ para }}x=0\end{cases}}\$ é diferenciável em $x=0$.

# L'Hopital

* The Rule of L'Hopital says that a derivate of a function F(x) divided by the derivate of another function G(x) gives the same value of limit of both primitive functions;

# Integral de Riemann

Com origem histórica na antiguidade, o cálculo integral foi particularmente enriquecido a partir do momento em que Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Willelm Leibniz (1646-1716) lhe descobriram propriedades inversas da derivação. Até então foi sempre um assunto intimamente ligado ao cálculo de áreas e de volumes, que a partir de meados do século XVI sofre um desenvolvimento metodológico notável promovido principalmente, por Johann Kepler (1571-1630), Galileu Galilei (1584-1642), Buonaventura Cavalieri (1598-1647) e Evangelista Torricelli (1608-1647). Da sua importância bastará recordar o papel das áreas na descrição das leis físicas dos movimentos dos planetas, propostas por Kepler na sua Investigationes Astronomicae, e a segunda obra do mesmo autor, Nova Stereometria Doliorum Vinariorum, exclusivamente dedicada ao cálculo de volumes de sólidos.
Inspirando-se essencialmente no princípio da exaustão, largamente utilizado pelos matemáticos da Grécia antiga, desde Eudoxo (408-355 a.C.) até Arquimedes (287-213 a.C.), a base desse desenvolvimento encontra-se na introdução dos chamados indivisíveis ou infinitésimos, particularmente especificados de forma mais rigorosa por matemáticos do século XIX, entre os quais, Georg Bernhard Riemann (1826-1866). (Para uma descrição histórica detalhada sobre este tema veja-se)-
A integral de Riemann pode ter várias formulações. A versão que iremos apresentar é a devida a Jean-Gaston Darboux (1842-1917), publicada em 1875 nos Annales de l'École Normale Supérieur de Paris. Esta escolha apresenta algumas vantagens, pois sendo então a integral de Riemann uma consequência das integrais superior e inferior, as propriedades destes refletem-se necessariamente nas daquele. Esta ideia é explorada sempre que possível, com proveito em muitos casos.
A integral de Riemann têm como objetivo calcular a região limitada por funções limitadas em intervalos limitados. E calcularemos esta região através da divisão da mesma em retângulos.
* Já sabemos que a área de um retângulo de lados "a" e "b" é dado por A(Área) = ab. Agora basta saber como faremos a divisão de uma figura por retângulos.

## Propriedades de uma área no $\mathbb {R} ^{2}$

* Se a área for limitada por [a,b]x[0,f(x)]. Então temos x=a; x=b; y=0; y=f(x) limitando nossa figura.
* Por ser 0<y<f(x), temos que $f(x)>0;\forall x\in \mathbb {R}$.

## Partição do domínio [a,b]

* Quando particionamos a figura em retângulos, conseguimos calcular a área dela com um pequeno erro. É claro que enquanto maior for a partição, menor será o erro.
* (f,P) significa que a área relacionada a função f estará sendo particionada na partição P.
* Se tomarmos inicialmente o intervalo [a,b] e particionarmos uma vez, teremos $P_{1}=\{t_{0};t_{1};t_{2}\}{\mbox{ com }}t_{0}=a{\mbox{ e }}t_{2}=b$. Aqui estamos dividindo o intervalo [a,b] em $[t_{0},t_{1}]{\mbox{ e }}[t_{1},t_{2}]$
* Generalizando, podemos particionar o intervalo [a,b] quantas vezes quisermos.
* Estaremos trocando A(Área) por S(soma de áreas)

## Soma inferior e soma superior

* (A1) Sejam m e M; menor e maior "altura" do retângulo de base b-a
    Sejam $m={\mbox{inf}}\{f(x);x\in [a,b]\}{\mbox{ e }}M={\mbox{sup}}\{f(x);x\in [a,b]\}$
       $m(b-a)\leq M(b-a)$. Tomando $P_{0}=\{a,b\}{\mbox{ temos }}{\underline {S}}(f;P_{0})\leq {\overline {S}}(f;P_{0})$
* (A2) Sejam $m_{i}\;e\;M_{i}$; menor e maior "altura" do retângulo de base $t_{i}-t_{i-1}$
    Podemos calcular a área da partição $P_{1}$ da seguinte forma:
       Por falta $A(falta)=m_{1}(t_{1}-t_{0})+m_{2}(t_{2}-t_{1})={\underline {S}}(f;P_{1})$ conhecido como soma inferior
          Onde $m_{1}=inf\{f(x);x\in [t_{0},t_{1}]\}{\mbox{ e }}m_{2}=inf\{f(x);x\in [t_{1},t_{2}]\}$
       Por sobra $A(sobra)=M_{1}(t_{1}-t_{0})+M_{2}(t_{2}-t_{1})={\overline {S}}(f;P_{1})$ conhecido como soma superior
          Onde $M_{1}=sup\{f(x);x\in [t_{0},t_{1}]\}{\mbox{ e }}M_{2}=sup\{f(x);x\in [t_{1},t_{2}]\}$
       Como $m_{1}\leq M_{1}{\mbox{ e }}m_{2}\leq M_{2}$. Logo ${\underline {S}}(f;P_{1})\leq {\overline {S}}(f;P_{1})$
* (A3) Seja $m(b-a)=m(t_{2}-t_{0}){\mbox{. Tomando }}t_{1}\in [t_{0},t_{2}]{\mbox{, temos }}m(t_{2}-t_{1}+t_{1}-t_{0})=$
$=m(t_{2}-t_{1})+m(t_{1}-t_{0})\leq m_{2}(t_{2}-t_{1})+m_{1}(t_{1}-t_{0})\Rightarrow {\underline {S}}(f;P_{0})\leq {\underline {S}}(f;P_{1}){\mbox{, pois }}m\leq m_{1}{\mbox{ e }}m\leq m_{2}$
* (A4) o fato que ${\overline {S}}(f;P_{1})\leq {\overline {S}}(f;P_{0})$ é análogo a (A3)
* (A2),(A3)e(A4) ${\underline {S}}(f;P_{0})\leq {\underline {S}}(f;P_{1})\leq {\overline {S}}(f;P_{1})\leq {\overline {S}}(f;P_{0})$.
Pelo que vimos acima, quando acrescentamos um único ponto a partição inicial [a,b], a nossa soma inferior ficou maior, e nossa soma superior ficou menor. A nossa idéia então é fazer com que elas se aproximem o suficiente até $|{\overline {S}}(f;P_{\infty })-{\underline {S}}(f;P_{\infty })|<\epsilon ,onde\;P_{\infty }$ será para nós quando $\lim _{P_{i}\to P_{\infty }}|t_{i}-t_{i-1}|=0$. Então encontraremos a área da figura.

### Relações entre partição e subpartição
#### Lema 1 (refinando uma partição)

Sejam $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ limitada e as partições $P_{k-1}{\mbox{, Q cujo }}Q=P_{k-1}\cup \{c\}$
    ${\underline {S}}(f;P_{k-1})\leq {\underline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;P_{k-1})$.

##### Demonstração

Sejam $P_{k-1}=\{t_{0},t_{1},...,t_{l-1},t_{l},t_{l+1},...t_{k-1},t_{k}\}{\mbox{ e }}Q=P_{k-1}\cup \{c\}{\mbox{ onde }}c\in [t_{l-1},t_{l}]$
* ${\underline {S}}(f;P_{k-1})=\sum _{i=1}^{k}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})=\sum _{i=1}^{l-1}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})+m_{l}(t_{l}-t_{l-1})+\sum _{i=l}^{k}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})$
* ${\underline {S}}(f;Q)=\sum _{i=1}^{l-1}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})+m'(c-t_{l-1})+m''(t_{l}-c)+\sum _{i=l}^{k}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})$
** Onde $m'=inf\{f(x);x\in [t_{l-1},c]\}{\mbox{ e }}m''=inf\{f(x);x\in [c,t_{i}]\}$
* É verdade que $m_{l}(t_{l}-t_{l-1})=m_{l}(t_{l}-c+c-t_{l-1})=m_{l}(t_{l}-c)+m_{l}(c-t_{l-1}){\mbox{ como }}m_{l}\leq m'{\mbox{ e }}m_{l}\leq m''$. Então ${\underline {S}}(f;P_{k-1})\leq {\underline {S}}(f;Q)$
* De forma análoga se demonstra que ${\overline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;P_{k-1})$

#### Teorema 1

Sejam $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ limitada, quando se refina uma partição a soma inferior não diminui e a soma superior não aumenta

##### Demonstração

Pelo Lema 1, Q é uma refinação da partição P.

#### Corolário

Sejam $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ limitada, e as partições P e Q, onde ${\underline {S}}(f;P)\leq {\overline {S}}(f;Q)$.

##### Demonstração

Refinando P nos pontos de Q, e refinando Q nos pontos de P teremos ${\underline {S}}(f;P)\leq {\underline {S}}(f;P\cup Q){\mbox{ e }}{\overline {S}}(f;P\cup Q)\leq {\overline {S}}(f;P)$. Como ${\underline {S}}(f;P\cup Q)\leq {\overline {S}}(f;P\cup Q)\Rightarrow {\underline {S}}(f;P)\leq {\underline {S}}(f;P\cup Q)\leq {\overline {S}}(f;P\cup Q)\leq {\overline {S}}(f;P)$.

## Integral inferior e integral superior

Seja $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} {\mbox{ limitada e }}P^{*}$ todas as partições de [a,b]
* ${\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)\,dx={\mbox{ sup }}{\underline {S}}(f;P^{*})$ é a integral inferior de f
* ${\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)\,dx={\mbox{ inf }}{\overline {S}}(f;P^{*})$ é a integral superior de f
Pelo Lema 1 ${\underline {S}}(f;P^{*})\leq {\mbox{ sup }}{\underline {S}}(f;P^{*})\leq {\mbox{ inf }}{\overline {S}}(f;P^{*})\leq {\overline {S}}(f;P^{*})$.
    Logo ${\underline {S}}(f;P^{*})\leq {\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx\leq {\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx\leq {\overline {S}}(f;P^{*})$.

### Lema 2 (soma conservada no refinamento)

Seja $c\in ]a,b[$ e $Q^{*}$ são todas as partição de [a,b] que contém c. Assim $Q^{*}=P^{*}\cup \{c\}$, então ${\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx,{\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx$ são únicos.

#### Demonstração

* Em particular $Q\subset Q^{*}$, ou seja, tomemos uma partição que contém {c}
    Seja $P=Q\setminus {c}$; onde $P\subset P^{*}$.
       Pelo Lema 1 ${\underline {S}}(f;P)\leq {\underline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;P)$.
* olhemos para o fato que A' = {cota inferior de Q} e B' = {cota superior de Q}; A = {cota inferior de P} e B = {cota superior de P}
    $A\subset A'\Rightarrow se\;a\in A\;e\;a'\in A',logo\;a\leq a'$
       sup A = sup A', pois $c\in ]a,b[$
    $B\subset B'\Rightarrow se\;b\in B\;e\;b'\in B',logo\;b\leq b'$
       inf B = inf B', pois $c\in ]a,b[$
* ${\mbox{ sup }}{\underline {S}}(f;P)={\mbox{ sup }}{\underline {S}}(f;Q)\leq {\mbox{ inf }}{\overline {S}}(f;Q)={\mbox{ inf }}{\overline {S}}(f;P)$.

### Lema 3

Sejam A, B subconjuntos não vazios e limitados dos reais. (a) => (b)
* (a) Se $A=\{a\in A\},B=\{b\in B\}$, então $A+B=\{a+b;a\in A,b\in B\}$
* (b) inf(A+B) = inf A + inf B ; sup(A+B) = sup A + Sup B

#### Demonstração

* Dado $a\in A,b\in B,temos\;a\geq infA,b\geq infB\Rightarrow a+b\geq infA+infB$.
    Assim inf A + inf B é uma cota inferior de A+B,
* Dado $\epsilon >0,\exists a'\in A,b'\in B;a'<infA+{\epsilon \over 2},b'<infB+{\epsilon \over 2}\Rightarrow a'+b'<infA+infB+\epsilon$
    portanto inf A + inf B é o ínfimo do conjunto A + B
* o sup se mostra analogamente

### Corolário

Sejam $f,g:[a,b]\mapsto \mathbb {R}$ limitadas. Então
* (a) $sup(f+g)\leq sup(f)+sup(g)$
* (b) $inf(f+g)\geq inf(f)+inf(g)$

#### Demonstração

Se $A=f([a,b]),\;B=g([a,b])$, então $C=\{f(x)+g(x);x\in [a,b]\}\subset A+B$
    pelo teorema $inf(A+B)\leq inf(C)\leq sup(C)\leq sup(A+B)$ e pelo lema 3 temos
       (a) $sup(f+g)=sup(C)\leq sup(A+B)=sup(A)+sup(B)=sup(f)+sup(g)$
       (b) $inf(f+g)=inf(C)\geq inf(A+B)=inf(A)+inf(B)=inf(f)+inf(g)$

### Teorema 2

Sejam $c\in [a,b],f:[a,b]\mapsto \mathbb {R}$ limitada, então
* (a)${\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx={\underline {\int }}_{a}^{c}f(x)dx+{\underline {\int }}_{c}^{b}f(x)dx$
* (b)${\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx={\overline {\int }}_{a}^{c}f(x)dx+{\overline {\int }}_{c}^{b}f(x)dx$

#### Demonstração

* (a)Sejam $A=\{{\underline {S}}(f/[a,c],P);\forall P\subset P^{*}\},B=\{{\underline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}$
** $A+B=\{{\underline {S}}(f/[a,c],P)+{\underline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}=\{{\underline {S}}(f/[a,b],Q);\forall Q\subset Q^{*}\}$
*** pelo lema 2 e pelo lema 3 temos
**** ${\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx=sup(A+B)=sup(A)+sup(B)={\underline {\int }}_{a}^{c}f(x)dx+{\underline {\int }}_{c}^{b}f(x)dx$
* (b)Sejam $A=\{{\overline {S}}(f/[a,c],P);\forall P\subset P^{*}\},B=\{{\overline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}$
** $A+B=\{{\overline {S}}(f/[a,c],P)+{\overline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}=\{{\overline {S}}(f/[a,b],Q);\forall Q\subset Q^{*}\}$
*** pelo lema 2 e pelo lema 3 temos
**** ${\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx=inf(A+B)=inf(A)+inf(B)={\overline {\int }}_{a}^{c}f(x)dx+{\overline {\int }}_{c}^{b}f(x)dx$

### Lema 4

Seja $A'\subset \mathbb {R}$ e $A=\{x\in A';M\leq x\leq N\};A\cap [M,N]\neq \emptyset$; Dado $c\in \mathbb {R}$ temos:
* (a)Se c> 0, então $c\cdot A=\{c.x\in A';c\cdot M\leq c\cdot x\leq c\cdot N\}$
** Assim: $sup(c\cdot A)=c\cdot sup(A)\;e\;inf(c\cdot A)=c\cdot inf(A)$
* (b)Se c< 0, então $c\cdot A=\{c.x\in A';c\cdot M\geq c\cdot x\geq c\cdot N\}$
** Assim: $sup(c\cdot A)=c\cdot inf(A)\;e\;inf(c\cdot A)=c\cdot sup(A)$

#### Demonstração

* (a)$sup(c\cdot A)=c\cdot N=c\cdot sup(A)$
    $inf(c\cdot A)=c\cdot M=c\cdot inf(A)$
* (b)$sup(c\cdot A)=c\cdot M=c\cdot inf(A)$
    $inf(c\cdot A)=c\cdot N=c\cdot sup(A)$

### Teorema 3

Sejam $f,g:[a,b]\mapsto$
* (a) ${\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx+{\underline {\int }}_{a}^{b}g(x)dx\leq {\underline {\int }}_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx\leq {\overline {\int }}_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx\leq {\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx+{\overline {\int }}_{a}^{b}g(x)dx$
* (b)
** c>0
*** ${\underline {\int }}_{a}^{b}c\cdot f(x)dx=c{\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx$
*** ${\overline {\int }}_{a}^{b}c\cdot f(x)dx=c{\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx$
** c<0
*** ${\underline {\int }}_{a}^{b}c\cdot f(x)dx=c{\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx$
*** ${\overline {\int }}_{a}^{b}c\cdot f(x)dx=c{\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx$
* (c) $Sef(x)<g(x)\forall ~x\in [a,b]$, então
** \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \underline {\int}_{a}^{b} g(x)dx
** \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \overline {\int}_{a}^{b} g(x)dx

#### Demonstração
## Funções integráveis

Das somas de Darboux destacamos as seguintes propriedades elementares.
* Para quaisquer partições $P,Q\in {\mathcal {P}}([a,b])$ tem-se $s_{f}(P)\leq S_{f}(Q)$.
* Se $P,Q\in {\mathcal {P}}([a,b])$ são duas partições tais que $P\subset Q$ (caso em que $Q$ se diz uma partição mais fina que $P$ ou um refinamento da partição $P$) então $s_{f}(P)\leq s_{f}(Q)$ e $S_{f}(Q)\leq S_{f}(P)$.
As duas propriedades simples acima permitem-nos obter com facilidade a seguinte primeira condição de integrabilidade (ver), muito comum na literatura.

### Teorema

Uma função $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ limitada é integrável à Riemann se e só se
* Para cada $\epsilon >0$ existe $P\in {\mathcal {P}}([a,b])$ tal que $S_{f}(P)-s_{f}(P)<\epsilon$.
Para provar este teorema comecemos por observar que pelas propriedades algébricas dos ínfimos e dos supremos se tem
${\begin{aligned}{\overline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x-{\underline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} &=\inf \ \{S_{f}(Q_{1}):Q_{1}\in {\mathcal {P}}([a,b])\}-\sup\{s_{f}(Q_{2}):Q_{2}\in {\mathcal {P([a,b])}}\}\\&=\inf \ \{S_{f}(Q_{1}):Q_{1}\in {\mathcal {P}}([a,b])\}+\inf\{-s_{f}(Q_{2}):Q_{2}\in {\mathcal {P([a,b])}}\}\\&\\&=\inf \ \{S_{f}(Q_{1})-s_{f}(Q_{2}):Q_{1},Q_{2}\in {\mathcal {P}}([a,b])\}.\\\end{aligned}}$
Deste modo, se $f$ é integrável então para cada $\epsilon >0$ existem $Q_{1},Q_{2}\in {\mathcal {P}}([a,b])$ tais que $0\leq S_{f}(Q_{1})-s_{f}(Q_{2})<\epsilon$. Assim, tomando $P=Q_{1}\cup Q_{2}$, pela propriedade 2, teremos igualmente, $0\leq S_{f}(P)-s_{f}(P)<\epsilon .$
Reciprocamente, se para cada $\epsilon >0$ existir $P\in {\mathcal {P}}([a,b])$ tal que $0\leq S_{f}(P)-s_{f}(P)<\epsilon .$ então também $0\leq S_{f}(Q_{1})-s_{f}(Q_{2})<\epsilon$, para quaisquer $Q_{1},Q_{2}\in {\mathcal {P}}([a,b])$ que contenham $P.$

### Exemplo 1 (funções monótonas)

Seja $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ uma função monótona no intervalo $[a,b].$ Então $f$ é integrável em $[a,b].$
Supondo,por exemplo, que $f$ é crescente em $[a,b]$ (no caso decrescente, basta ter em conta que $-f$ é crescente), temos que $f$ é limitada, pois $f(a)\leq f/x)\leq f(b)$ para cada $x\in [a,b]$. Do mesmo modo, relativamente a uma qualquer partição $P=\{x_{0},x_{1},...,x_{n}\}$ de $[a,b]$. a diferença de somas de Darboux S$_f$(P)−s$_f$(P)=∑$_{1=1}$$^n$(f(x$_i$)−f(x$_{i−1]}$))(x$_i$−x$_{i−1}$){\textstyle S_{f}(P)-s_{f}(P)=\sum _{1=1}^{n}(f(x_{i})-f(x_{i-1]}))(x_{i}-x_{i-1})}. Ora, como $(x_{i}-x_{i-1})\leq |P|$ temos que S$_f$(P)−s$_f$(P)≤(f(b)−f(a))|P|{\textstyle S_{f}(P)-s_{f}(P)\leq (f(b)-f(a))|P|}. Então para cada $\epsilon >0$, se a partição $P$ for tal que $|P|<\epsilon /(f(b)-f(a))$ obtemos $S_{f}(P)-s_{f}(P)<\epsilon$. Logo a condição de Riemann é satisfeita e por conseguinte, $f$ é integrável em $[a,b].$
Igualmente como aplicação da condição de Riemann podemos obter a integrabilidade das funções contínuas. Para o efeito, vamos usar uma propriedade importante das funções contínuas em intervalos compactos (isto é, fechados e limitados): a de serem uniformemente contínuas. Significa isto, que para qualquer $\alpha >0$, existe $\beta >0$, tal que |f(x)−f(y)|<α{\textstyle |f(x)-f(y)|<\alpha } sempre que se tenha $|x-y|<\beta$.

#### Exemplo 2 (funções contínuas)

Seja $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ uma função contínua no intervalo $[a,b].$ Então $f$ é integrável em $[a,b].$
Comecemos por notar que, pelo teorema de Weierstrass, $f$ é uma função limitada em $[a,b]$. Pela mesma razão, as somas de Darboux são somas de Riemann. Mais concretamente, para $i=1,...,n,$ temos $m_{i}=f(c_{i})$ e $M_{i}=f(d_{i})$, com $c_{i},d_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$, pelo que para a correspondente partição $P=\{x_{0},x_{1},...,x_{n}\}$ de $[a,b]$, vem S$_f$(P)−s$_f$(P)=∑$_{i=1}$$^n$(f(d$_i$)−f(c$_i$))(x$_i$−x$_{i−1}$){\textstyle S_{f}(P)-s_{f}(P)=\sum _{i=1}^{n}(f(d_{i})-f(c_{i}))(x_{i}-x_{i-1})}.
Então na condição de Riemann tomemos $\epsilon >0$ arbitrário, na relação acima que define a continuidade uniforme de $f$ em $[a,b]$, façamos $\alpha =\epsilon /(b-a)$ e consideremos o valor β>0{\textstyle \beta >0} cuja existência nos é garantida. Supondo que a partição $P$ de $[a,b]$ possui diâmetro $|P|<\beta$, temos por conseguinte, para cada $i=1,...,n,$ que 0≤(f(d$_i$)−f(c$_i$))<ϵ/(b−a){\textstyle 0\leq (f(d_{i})-f(c_{i}))<\epsilon /(b-a)} donde resulta S$_f$(P)−s$_f$(P)<ϵ.{\textstyle S_{f}(P)-s_{f}(P)<\epsilon .} Logo pela condição de Riemann $f$ é integrável em $[a,b].$
A condição do teorema assume um aspeto meramente técnico. Ela não nos dá qualquer indício das qualidades que a função deva verificar para ser integrável à Riemann.Um quadro qualitativo desta propriedade, aparece pela mão de Henri Lebesgue, na sua tese doutoral ("Intégrale, Longueur, Aire" (Integral, Comprimento, Área) apresentada na Faculdade de Ciências de Paris em 1902, com base no conceito de conjunto de medida de nula.

## Referências

Seja $f:[a,b]\mapsto \mathbb {R}$

### Lema 5
#### Demonstrações
# Seqüência de funções

Nesta seção, introduzimos um importante conceito da análise real, a ideia de sequência de funções. Uma sequência de funções em um domínio $D\,$ é definida com um conjunto $\{f_{i}\}\,$ de funções $f_{i}:D\to \mathbb {R} \,$ indexadas com um índice $i\,$. São exemplos de sequência de funções definidas em toda a reta ($D=\mathbb {R} \,$):
* $f_{i}(x)=ix^{2}\,$
* $f_{i}(x)={\frac {i}{i+x^{2}}}~~,i\geq 1\,$
* $f_{i}(x)={\frac {x}{i}}~~,i\geq 1\,$
O leitor deve observar que para cada ponto fixo no domínio $x_{0}\,$, uma sequência de funções define um sequência numérica:

### Sequência equilimitada

Uma sequência de funções $\{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }\,$ é dita equilimitada num conjunto $E\,$ se cada uma das funções está definida em $E\,$ e se existe uma constante $M\,$ tal que:
* $|f_{i}(x)|\leq M,~~\forall x\in E~~\forall i\geq 1\,$

### Sequência equicontínua
# Convergência pontual

O conceito de convergência de funções é fundamental para a análise real. O critério de convergência pontual, também chamado de convergência ponto a ponto ou convergência simples é um dos muitos critérios diferentes de convergências para uma família de funções.

## Definição

Seja $D\in \mathbb {R}$ um conjunto e $f_{n}:D\to \mathbb {R} \,$ uma seqüência de funções reais definidas no domínio $D\,$.
Diz que $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,$ converge quando existe uma função $f:D\to \mathbb {R} \,$ tal que para cada ponto $x\in D\,$ a seqüência numérica $f_{n}(x)\,$ converge para $f(x)\,$. Ou, na notação de limites:
* $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x),~~\forall x\in D\,$
Equivalentemente, diz-se que $\{f_{n}\}\,$ converge para $f\,$ em $D\,$ se para todo $\varepsilon >0\,$ e todo $x\in D\,$ existe um $N\,$ tal que
* $\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon ,~~\forall n\geq N\,$

## Exemplos
### Exemplo 1

Seja a seguinte seqüência de funções:
* $f_{n}(x)={\frac {x}{n}},~x\in \mathbb {R} ,~~n=1,2,3,\ldots \,$
É fácil ver que:
* $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0$

### Exemplo 2

Deve-se observar que o limite pontual de funções contínuas não é necessariamente uma função contínua. Um exemplo deste fenômeno pode ser observado na seguinte seqüência de funções:
* $f_{n}(x)={\frac {1}{1+|x|^{n}}},~x\in \mathbb {R} ,~~n=1,2,3,\ldots \,$
cujo limite é dado por:
* $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\left\{{\begin{array}{rl}1,&|x|<1\\1/2,&|x|=1\\0,&|x|>1\end{array}}\right.$

### Exemplo 3

Algumas seqüências de funções podem ter um comportamento bastante peculiar, como a seguinte:
* $f_{n}(x)=\cos ^{2n}(m!\pi x)~x\in \mathbb {R} ,~~n=1,2,3,\ldots \,$
cujo limite é dado por:
* $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\left\{{\begin{array}{rl}1,&m!x\in \mathbb {Z} \\0,&{\hbox{c.c.}}\end{array}}\right.$

### Exemplo 4

Veja mais um exemplo peculiar de convergência:
* $f_{n}(x)=\left\{{\begin{array}{rl}0,x<n\\1,x\geq n\end{array}}\right.$

## Ver também
# Convergência uniforme

A convergência uniforme é um conceito mais forte que o de convergêcia pontual.

## Definição

Uma seqüência de funções $\{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }\,$ definida em um conjunto $D\,$ é dita convergir uniformemente se existe uma função $f:D\to \mathbb {R} \,$ tal que:
Observe que a desigualdade é válida para todo ponto do domínio.

## Comparação entre convergência uniforme e convergência pontual

Como comparação, uma sequência de funções $f_{n}(x):S\rightarrow \mathbb {R} \,$ converge pontualmente para uma função $f:S\rightarrow \mathbb {R} \,$ se, e somente se:
    $\forall \epsilon >0,\ \forall x\in S\ \exists N\in \mathbb {N} \ t.q.\ \forall n>N\ \Rightarrow \ |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon \,$
A sequência converge uniformemente quando:
    $\forall \epsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall x\in S\ t.q.\ \forall n>N\ \Rightarrow \ |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon \,$
Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada $\epsilon \,$ e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada $\epsilon \,$ um N que se aplica a todo x.

## Exemplos
### Exemplo 1

Considere a seqüência:
    $f_{n}(x)={\frac {1}{n}}\,$
A convergência uniforme é válida com $N>{\frac {1}{\varepsilon }}\,$.

### Exemplo em que a convergência uniforme falha na presença de convergência pontual

Considere o conjunto $D:=\{x\in \mathbb {R} :x>0\,$ e a seguinte seqüência de funções definidas em $D\,$:
* $f_{n}(x)={\frac {1}{nx}}\,$
Observa-se que para cada $x\,$ fixo $f_{n}(x)\,$ converge para 0 mas a convergência não é uniforme pois para cada n e cada $\varepsilon$ existe um x suficiente próximo à origem tal que:
* $|f_{n}(x)-0|\geq \varepsilon \,$

## Convergência uniforme preserva continuidade

Teorema Seja $f_{n}(x)\,$ uma seqüência de funções contínuas definidas um conjunto $D\in \mathbb {R} \,$. Suponha que $f_{n}\,$ converge uniformemente para uma função $f(x)\,$ então f é uma função contínua.
Demonstração Seja $\varepsilon >0\,$ e $x_{0}\in D\,$, devemos mostrar que existe um $\delta >0\,$ tal que:
* $|x_{0}-x|<\delta \Longrightarrow \left|f(x_{0})-f(x)\right|\leq \varepsilon$
Da convergência uniforme, temos a existência de um N tal que
* $\left|f_{n}(x)-f(x)\right|\leq \varepsilon /3,n\geq N\quad (1)$
Da continuidade de $f_{N}\,$, temos que existe um $\delta >0\,$ tal que:
* $|x_{0}-x|<\delta \Longrightarrow \left|f_{N}(x_{0})-f_{N}(x)\right|\leq \varepsilon /3\quad (2)$
Agora, basta estimar usando a desigualdade triangular:
* $\Longrightarrow \left|f(x_{0})-f(x)\right|\leq \left|f(x_{0})-f_{N}(x_{0})\right|+\left|f_{N}(x_{0})-f_{N}(x)\right|+\left|f_{N}(x)-f(x)\right|$
E das desigualdades $(1)\,$ e $(2)\,$, vale que se $|x_{0}-x|<\delta \,$:
* $\left|f(x_{0})-f(x)\right|\leq \varepsilon /3+\varepsilon /3+\varepsilon /3=\varepsilon$

## Convergência uniforme e a integração

Teorema Seja $f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} \,$ uma seqüência de funções integráveis a Riemann convergindo uniformemente para uma função $f:[a,b]\to \mathbb {R} \,$, então $f\,$ é integrável a Riemann e vale a igualdade:
* $\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int _{a}^{b}f(x)dx\,$
Demonstração Da definição de convergência uniforma, para todo $\varepsilon >0\,$, exite um $N\,$ tal que:
    $f_{n}(x)-\varepsilon \leq f(x)\leq f_{n}(x)+\varepsilon ,~~\forall n\geq N\,$
Como $f_{n}\,$ é integrável, vale que:
    ${\overline {\int _{a}^{b}}}f_{n}(x)dx={\underline {\int _{a}^{b}}}f_{n}(x)dx=\int _{a}^{b}f(x)dx$
Assim, valem as desigualdades:
    ${\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}\left(f_{n}(x)+\varepsilon \right)dx=\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx+(b-a)\varepsilon$
    ${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx\geq {\underline {\int _{a}^{b}}}\left(f_{n}(x)-\varepsilon \right)dx=\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx-(b-a)\varepsilon$
E, portanto:
    ${\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx-(b-a)\varepsilon \leq \int _{a}^{b}f_{n}(x)dx\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx+(b-a)\varepsilon$
Tomando o limite $n\to \infty \,$, temos:
    ${\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx-(b-a)\varepsilon \leq \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx+(b-a)\varepsilon$
Como $\varepsilon >0\,$ é arbitrário e a integral superior é sempre maior ou igual à integral inferior vale a igualdade:
    ${\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx={\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx$
E o resultado segue.

# Unicidade dos números reais

Existem várias maneira de construir o conjunto $\mathbb {R}$ dos números reais, portanto é importante é descobrir se diferentes maneiras de construir os números reais poderiam resultar em conjuntos com propriedades distintas. Como veremos a seguir, construir os reais usando cortes de Dedeking resultará em um conjunto que será, em essência, o mesmo conjuntos dos reais construídos usando sequências de Cauchy.
Se pensarmos estritamente, as várias maneira de construir os números reais de fato criam conjuntos muito estranhos e diferentes em sua estrutura, mas isto é irrelevante, pois o importante é o que podemos fazer com os números reais e não o que eles de fato são.
Como veremos a seguir, é que dois corpos ordenados completos arquimedianos, são iguais, a menos de um isomorfismo. Ou em linguagem mais coloquial, se tivermos dois existe isomorfismo entre eles, isto é, ambos possuem as mesmas propriedades.

## Definição (isomorfismo entre corpos ordenados)

Dizemos que $\phi :\mathbb {F} \to \mathbb {K}$ é um isomorfismo entre corpos ordenados se:
* $\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b),\forall a,b\in \mathbb {F}$;
* $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b),\forall a,b\in \mathbb {F}$;
* $\forall a,b\in \mathbb {F}$, com $a<b\Rightarrow \phi (a)<\phi (b)$;
* $\phi (a)=\phi (b)\Rightarrow a=b$, isto é, $\phi$ é injetiva;
* $\forall y\in \mathbb {K} ,\exists x\in \mathbb {F} |y=\phi (x)$, ou seja, é sobrejetiva.

## Proposição

Se $\mathbb {F} ,\mathbb {K}$ são corpos ordenados completos, então existe um isomorfismo entre eles.

### Demonstração

A demonstração NÃO ESTÁ pronta, tenham paciência.
A maneira mais simples de provar que existe um isomorfismo é construir uma função $\phi$ entre os corpos $\mathbb {F}$ e $\mathbb {K}$ e então provar que essa função é um isomorfismo.
Vamos começar definindo uma função auxiliar. Sabemos que $\mathbb {F} ,\mathbb {K}$ são corpos, então existe $0,1\in \mathbb {F}$ e $0',1'\in \mathbb {K}$, nada mais natural que definirmos:
Seja $f:\mathbb {Q} \subset \mathbb {F} \to \mathbb {K}$ definida da seguinte maneira: $f(0)=0'$
$f(1)=1'$
E por indução, para cada $n\geq 1$, temos:
$f(n)=f(n-1)+1'$
$f(-n)=-f(n)$
Se $n\not =0$, então sabemos que $\exists f(n)^{-1}\in \mathbb {K}$, pois como $n\not =0$, então $f(n)\not =0'$.
Portanto podemos definir:
$f(m/n)=f(m)f(n)^{-1}$.
Desta forma a função $f$ mapeia $\mathbb {Q} \subset \mathbb {F}$ em $\mathbb {Q} ':=f(\mathbb {Q} )\subset \mathbb {K}$.
Vamos mostrar que $f$ é um isomorfismo de corpos ordenados de $\mathbb {Q}$ em $\mathbb {Q} '.$
* $f$ preserva a soma:
Por definição, temos $f(n+1)=f(n)+1'=f(n)+f(1)$, para todo n natural.
Suponha que $f(n+m)=f(n)+f(m)$, para todo $m$ tal que $1\leq m<k$.
$f(n+(k-1))+f(1)=f(n)+f(k-1)+f(1)=f(n)+f(k)$, pela hipótese de indução.
* $f$ preserva o produto:
* $f$ preserva a ordem:
* $f$ é injetora:
* $f$ é sobrejetora;
Seja $\phi :\mathbb {F} \to \mathbb {K}$ definida da seguinte maneira:
Para cada $a\in \mathbb {F}$, sejam, $X_{a}=\{x\leq a;x\in \mathbb {Q} \subset \mathbb {F} \}$. Como $X_{a}\not =\emptyset$, podemos definir $\phi (a)=\sup\{f(x);x\in X_{a}\}.$
Agora vamos provar que $\phi$ é de fato um isomorfismo de corpos ordenados.
* $\phi$ preserva a soma:
* $\phi$ preserva o produto:
* $\phi$ preserva a ordem:
* $\phi$ é injetora:
* $\phi$ é sobrejetora;
Dado $y\in \mathbb {F} ,y=sup\{q'\in \mathbb {Q} ';q<y\}.$

# Equivalências entre corpos ordenados arquimedianos
### Definição (partição)

$(A_{1},A_{2},...,A_{n})$ é partição de $\Omega$ se, $\Omega =\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$ e $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$, se $i\not =j$.

### Definição (Seqüências de Cauchy)

Uma seqüência $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ em $\mathbb {K}$ é dita de Cauchy se, dado $\epsilon >0,\ \exists n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que, se $n,m>n_{0}$ então $|x_{n}-x_{m}|<\epsilon$.

### Definição (conjunto fechado em $\mathbb {K}$)

Um conjunto $F\subset \mathbb {K}$ é dito fechado se o limite de toda sequência de pontos de $F$ é ponto de F.

### Definição (conjunto conexo)

$\mathbb {K}$ é dito conexo se $\mathbb {K}$ e $\emptyset$ são os únicos subconjuntos abertos e fechados de$\mathbb {K}$

### Teorema

Seja $\mathbb {K}$ um corpo ordenado arquimediano. Em $\mathbb {K}$ são equivalentes:
1[1'] Toda seqüência crescente [decrescente] limitada superiormente [inferiormente] de $\mathbb {K}$ é convergente;
2[2']) Todo subconjunto $A\subset \mathbb {K}$ não-vazio limitado superiormente [inferiormente] tem supremo [ínfimo];
3[3']) Seja $F\subset \mathbb {K}$ um conjunto fechado limitado superiormente [inferiormente], então, $F$ tem máximo e mínimo;
4)$\mathbb {K}$ é conexo.
5) (Postulado de Dedekind) Dada uma partição $(A,B)$ de$\mathbb {K}$, com $a<b$, para todo $a\in A$, e $b\in B$, isto é $(A,B)$ é um corte de Dedekind, então, em $A$ existe maior elemento, ou, em $B$, existe menor elemento.
6) (Propriedade dos intervalos encaixantes) Toda seqüência de intervalos encaixantes, fechados e limitados tem intersecção não-vazia. Isto é, seja $([a_{n},b_{n}])_{n\in \mathbb {N} }$ uma seqüência de intervalos, satisfazendo $[a_{n+2},b_{n+2}]\subset [a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_{n},b_{n}]\subset ...\subset [a_{1},b_{1}]\subset [a_{0},b_{0}]$, para todo $n\in \mathbb {N}$, então $\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }[a_{n},b_{n}]\not =\emptyset$.
7)$\mathbb {K}$ é seqüêncialmente completo, isto é, se (x_n)_{n \in \mathbb{N}} é uma seqüência em $\mathbb {K}$ de Cauchy então (x_n) é convergente.

#### Demonstração

As equivalências $N\Leftrightarrow N'$ são evidentes e serão deixadas como exercício.
1) $\Rightarrow$ 2)
Seja A nas condições de 2), vamos mostrar que A tem supremo.
Como A $\not =\emptyset$, podemos pegar $a_{0}\in A$e como A é limitado superiormente, existe $b_{0}\in \mathbb {K}$majorante de A.
Seja $c_{1}=(a_{0}+b_{0})/2$, se $c_{1}$for majorante de A, então definimos $b_{1}=c_{1}$, e $a_{1}=a_{0}$ e caso $c_{0}$ não seja majorante de A, definimos $a_{1}=c_{1}$ e $b_{1}=b_{0}$.
Suponha que $a_{k-1}$ e $b_{k-1}$ estejam definidas, $c_{k}=(a_{k-1}+b_{k-1})/2$, se $c_{k}$ for majorante de A, então definimos $b_{k}=c_{k}$, e $a_{k}=a_{k-1}$ e caso $c_{k}$ não seja majorante de A, definimos $a_{k}=c_{k}$ e $b_{k}=b_{k-1}$.
Definimos duas seqüências $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ e $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ que formam, respectivamente, uma seqüência monótona não-decrescente e uma seqüência monótona não-crescente. Claramente $a_{0}$ é um limitante inferior de $(b_{n})$ e $b_{0}$ é um limitante superior de $(a_{n})$, e por '1), concluimos que ambas seqüências são convergentes.
Sejam $a=\lim a_{n}$ e $b=\lim b_{n}$.
Suponha, por absurdo que $a>b$, então $a-b>0$, tomando $\epsilon =a-b$, como $(a_{n})\rightarrow$, existe $n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que $a-\epsilon <a_{n_{0}}<a+\epsilon \Rightarrow a-(a-b)<a_{n_{0}}<a+(a-b)\Rightarrow b<a_{n_{0}}$. Portanto $b-a_{n_{0}}>0$, como $(b_{n})\rightarrow b$, definindo $\epsilon '=b-a_{n_{0}}$, existe $n_{1}\in \mathbb {N}$ tal que, $b-\epsilon <b_{n_{1}}<b+\epsilon \Rightarrow b-(b-a_{n_{0}})<b_{n_{1}}<b+(b-a_{n_{0}})\Rightarrow a_{n_{0}}<b_{n_{1}}$. Absurdo, pois isso contradiz nossa construção de $(a_{n})$ e $(b_{n})$.
Por construção, temos $a_{n}\leq a\leq b\leq b_{n}$ para todo $n$ natural.

# Bibliografia
## Bibliografia

* Livro-textos
** Lima, Elon Lages. Curso de Análise. Rio de Janeiro: IMPA, 1989. v. 1.
** Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. New York: McGraw-Hill Inc., 1976. v. 1.
** Hönig, Chaim Samuel. Aplicações da Topologia à Análise. Brasil: IMPA, 1976.
** Guidorizzi, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001. v. 1.
* Livro-virtuais
** em inglês
*** Real analysis: Wikilivro sobre Análise real e sua bibliografia;(1)
*** Real analysis: Conceitos de análise real na Wikipédia;
*** Introduction to Analysis: Wikilivro sobre Introdução a Análise real a respeito da topologia; (2)
*** Topology: Wikilivro sobre Topologia;
*** [http://www.labma.ufrj.br/~mcabral/textos/curso-analise-real-a5.pdf Curso de Análise Real - Cassio Neri - 1 ed - Rio de Janeiro.
163p.]
*** Analysis, Course C9
*** Integral de Riemann
** em português
*** Análise real: Conceitos de Análise real na Wikipédia;
*** Topologia: Wikilivro sobre Topologia;
*** Análise I
*** Análise I - Notas de aula de um curso de análise ministrado na Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação.
*** Análise II - Notas de aula de um curso de análise ministrado no Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação.
*** Análise III - Notas de aula de um curso de análise ministrado na Universidad Nacional Autônoma de México.

## Recursos Iniciais

* Ajuda:Página principal: Tutorial principal do Wikipédia;
** Fórmulas TeX: Página da Wikipédia sobre fórmulas matemáticas;
** Ajuda:Marcação TeX: Página do Wikilivros sobre fórmulas matemáticas;
** Help:Displaying a formula: Página do Meta sobre fórmulas matemáticas;
** Help:Displaying a formula: Página da wikipédia sobre fórmulas matemáticas;
* Ajuda:Como iniciar uma página: Tutorial do wikilivros;
* Lista de cores use <font color = cor> palavra </font>

### Tradutores automáticos

* Tradução do Google (também disponível aqui)
* Windows Live Translator Beta
* Dicionário Michaelis - 6 Idiomas

## Disposições finais

Este wikilivro está sendo feito em maior parte pela tradução dos livros-virtuais:(1),(2); e procurando não estar muito longe dos conceitos apresentados pelos livro-textos usados nas melhores universidades
* ↑ U. BOTTAZZINI, Il Calcolo Sublime: Storia dell’Analisi Matematica da Euler a Weierstrass, Boringhieri 1981.
* ↑ C. B. BOYER, The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover 1949.
* ↑ C. H. EDWARDS, The Historical Development of the Calculus, Springer-Verlag 1979.
* ↑ Predefinição:Smallcaps, Elon Lages. Curso de Análise (vol. 1). Rio de Janeiro: IMPA, CNPq, 1976. p. p,249, Teorema 4. ISBN 9-216-05138-8