# Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Corda interceptada por lado de triângulo eqüilátero
## O problema

Considere um triângulo eqüilátero ABC, inscrito em um círculo de raio R. Os pontos M e N são, respectivamente, os pontos médios do arco menor AC e do segmento BC. Se a reta que contém MN também intercepta a circunferência desse círculo no ponto P, P ≠ M, então calcule a medida do segmento NP em função de R.

## Uma solução

Inicialmente, vamos atentar para a figura que podemos elaborar a partir das informações do enunciado:
O problema pede o comprimento de NP em função de R. Vamos então, antes de partir para esse segmento, calcular o valor do lado do triângulo ABC em função de R, pois vamos precisar desse dado.
Como foi dito que ABC é um triângulo eqüilátero, o raio da circunferência circunnscrita a ele em função de seu lado é:
$R={\frac {l.{\sqrt {3}}}{3}}$
Então vamos desenvolver um pouco essa expressão para encontrar o lado do referido triângulo em função de R:
$l={\frac {3R}{\sqrt {3}}}={3R{\sqrt {3}}}{3}=R{\sqrt {3}}$
Agora podemos seguir com o segmento NP. Note que os segmentos MN e BC podem ser considerados cordas da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, que se interceptam no ponto P. Sendo assim, atentemos para o seguinte enunciado:
"Se duas cordas de uma mesma circunferência se interceptam em um ponto P dentro da circunferência, então o produto das medidas das duas partes de uma corda é igual ao produto das medidas das duas partes da outra corda."
Sendo assim, podemos escrever:
$(MN).(NP)=(BN).(NC)$
Como o ponto N é o ponto médio do segmento BC, temos que:
$BN=NC={\frac {R{\sqrt {3}}}{2}}$
Portanto:
$(MN).(NP)=\left({\frac {R{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{2}={\frac {3R^{2}}{4}}$....(I)
Agora, vamos atentar para o triângulo BNM. Note que, como o segmento BM é a bissetriz de um triângulo eqüilátero, o ângulo MBN é igual a 30°. Como conhecemos os dois lados adjacentes a um ângulo (BN e BM, em relação ao ângulo MBN), conhecemos o cosseno desse ângulo e queremos a medida do segmento oposto a esse ângulo (no nosso caso, o segmento MN), podemos utilizar a Lei dos Cossenos:
$(MN)^{2}=4R^{2}+{\frac {3R^{2}}{4}}-2.2R.{\frac {R{\sqrt {3}}}{2}}.{\frac {\sqrt {3}}{2}}$
$(MN)^{2}=4R^{2}+{\frac {3R^{2}}{4}}-3R^{2}$
$(MN)^{2}={\frac {7R^{2}}{4}}$
$(MN)={\frac {R{\sqrt {7}}}{2}}$....(II)
Agora, podemos substituir (II) em (I) e, finalmente, obter o comprimento do segmento NP em função de R:
$(NP).\left({\frac {R{\sqrt {7}}}{2}}\right)={\frac {3R^{2}}{4}}$
$NP=\left({\frac {3R^{2}}{4}}\right).\left({\frac {2}{R{\sqrt {7}}}}\right)$
$NP={\frac {3R}{2{\sqrt {7}}}}={\frac {3R{\sqrt {7}}}{14}}$
E assim terminamos o problema.
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## Agradecimentos

* A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.

## Referências

* ↑ Jader Otávio Dalto, Sônia F. L. Toffoli e Ulysses Sodré, in Matemática Essencial: Geometria: Círculo, circunferência e arcos.