# Cálculo (Volume 2)/Formas paramétricas
## Formas paramétricas

Agora iremos introduzir conceitos que mudam a forma de análise gráfica de funções, no estudo clássico de análise cartesiana estamos acostumados a tomar uma variável como independente e outra como dependente, porém isto nos traz uma grave limitação: não podemos representar formas que apresentem mais de um valor para a variável dependente, obviamente, gráficos de formas que apresentam mais de um valor da variável dependente para cada valor da variável independente não são funções, porém se fizermos a representação dos valores de forma que tenhamos uma lei que determine as duas variáveis de um gráfico bidimensional, poderíamos encontrar um meio de representar tais formas, isto é feito com um artifício chamado: parametrização. na próxima seção iremos introduzir este conceito, que é muito útil na representação de duas ou mais variáveis em um gráfico.

### O parâmetro

O processo para se obter um conjunto de pontos com variáveis cartesianas de forma a não estipular uma relação obrigatória entre as mesmas é conseguido com uma variável a parte, que define os valores das coordenadas, mas não é usada diretamente no gráfico, esta variável é chamada de parâmetro. Teremos que nos habituar a esta nova maneira de analisar os valores de uma função, vejamos como criar uma função simples usando o parâmetro:
Seja a equação $x=y^{2}\,\!$, podemos observar que a mesma não pode ser representação de uma função se tomarmos $x\,\!$ como abscissa, visto que teremos mais de um valor possível a $y\,\!$, o que fazemos neste caso é dizer que $y=t\,\!$ e $x=t^{2}\!$. Ou seja:
* $t\,\!$ parâmetro (variável independente);
* $y=t\,\!$ (variável dependente);
* $x=t^{2}\,\!$ (variável dependente).

### Interpretando valores e gráficos

A princípio, todos os novos conceitos a respeito de formas de representação podem nos trazer uma certa dificuldade inicial, uma vez que temos uma certa inércia à novos conceitos, o que nos exige um esforço inicial para que possamos assimilar novos métodos, um certo esforço é necessário para que tenhamos meios mais eficientes para analisar certas formas gráficas.
A variável parâmetro, geralmente representada por $t\,\!$, é muitas vezes associada ao tempo em algumas análises na Física, porém aqui temos que generalizar o seu uso, englobando-a em diversas situações, mais apropriadamente, podemos representar diversos conjuntos de valores sob a forma paramétrica, mas o melhor meio de fazer as análises e torná-las compreensíveis é fazer a representação gráfica das mesmas. Introduziremos agora alguns conceitos para facilitar a análise de evoluções de funções segundo a representação gráfica bidimensional com o par $(x,y)\,\!$.
Lembre-se que o parâmetro é a variável independente, o que nos dá a possibilidade de arbitrar os valores para a mesma, portanto a primeira regra é estabelecer uma seqüência de evolução de valores para $t\,\!$, o que nos permite estabelecer um meio de representá-los no gráfico, geralmente usamos uma seta sobre a linha do traçado da curva para indicar o sentido convencional de evolução dos valores do parâmetro, ou seja, definimos que a seta aponta para valores de $t\,\!$ maiores em relação aos anteriores, colocando setas sobre o traçado da curva de forma a prover um caminho de evolução do parâmetro.
Analisemos a evolução de valores de uma função muito conhecida: a circunferência, os valores que desenvolvem o traçado da mesma podem ser determinados pelas equações paramétricas:
* $x=cos(t)\,\!$
* $y=sen(t)\,\!$
Para isto devemos estabelecer uma faixa de valores para $t\,\!$, que neste caso deve ser: $0\leq t\leq 2\pi \,\!$, verificando os valores em seqüência crescente temos:
| $t\,\!$ | $x=cos(t)\,\!$ | $y=sen(t)\,\!$ |
| $0\,\!$ | $1\,\!$ | $0\,\!$ |
| ${\frac {\pi }{4}}\,\!$ | $0,707\,\!$ | $0,707\,\!$ |
| ${\frac {\pi }{2}}\,\!$ | $0\,\!$ | $1\,\!$ |
| $3{\frac {\pi }{4}}\,\!$ | $-0,707\,\!$ | $0,707\,\!$ |
| $\pi \,\!$ | $-1\,\!$ | $0\,\!$ |
| $5{\frac {\pi }{4}}\,\!$ | $-0,707\,\!$ | $-0,7070\,\!$ |
| $3{\frac {\pi }{2}}\,\!$ | $0\,\!$ | $-1\,\!$ |
| $7{\frac {\pi }{4}}\,\!$ | $0,707\,\!$ | $-0,707\,\!$ |
| $2\pi \,\!$ | $1\,\!$ | $0\,\!$ |
O que observamos é uma distribuição de valores que nos permite avaliar certas características do formato gráfico a ser apresentado quando plotamos os resultados das equações paramétricas acima. Em primeiro lugar notamos que os pontos se mostram equidistantes da orígem dos eixos $(0,0)\,\!$, o que nos indica que temos uma circunferência de raio unitário. Obviamente, este resultado já era esperado, visto que as equações paramétricas acima nada mais são que as equações de definição do seno e do cosseno. Apesar desta contatação ser um tanto simples de constatar, podemos utilizá-la para que possamos delinear certos direcionamentos para análise de formas mais complexas.
Inicialmente, faça uma relação entre parâmetro e valores das outras variáveis, assim como fazemos em $(x\ \to \ y)\,\!$, com as relações que já fizemos em gráficos de relação direta entre duas variáveis em Cálculo I.
Separando as variáveis e analisando a evolução das mesmas em relação ao parâmetro poderemos verificar a evolução dos valores frente à evolução do parâmetro, isto deve ser feito para que tenhamos a noção de como os valores do gráfico evoluem, uma característica muito útil deste tipo de análise é que podemos observar o "caminho" descrito pelos pontos a medida que os valores do parâmetro aumentam. Se pensarmos mais detalhadamente poderemos ver que:
* A evolução dos valores de $x\,\!$ determinam uma trajetória ao longo das abscissas;
* A evolução dos valores de $y\,\!$ determinam uma trajetória ao longo das ordenadas;
Em coseqüência disto, a interligação de pontos orientados por setas nos mostra a evolução dos valores do gráfico, vinculando-os aos valores do parâmetro, o que possibilita-nos avaliar a seqüência de pontos que é criada a medida que o parâmetro varia.
De forma a observar a evolução dos valores podemos esboçar as curvas de $x\,\!$ , $y\,\!$ e em relação ao parâmetro e assim teremos uma idéia de como o gráfico será desenvolvido, poderemos então esboçar $(x,y)\,\!$, veja abaixo:
Temos uma circunferência.
Isto confirma que a função paramétrica que gera os pontos $[cos(t),sen(t)]\,\!$ representa uma circunferência.
Da mesma forma isto nos fornece uma visualização do que acontece quando analisamos um gráfico de forma parcial, ou seja, temos uma função $[cos(t),t]\,\!$, outra $[t,sen(t)]\,\!$ e, finalmente, $[cos(t),sen(t)]$, se acompanharmos o desenvolvimento das funções simples que formam os valores para cada ponto, temos uma idéia do que acontece com a função paramétrica composta pelas mesmas. Como deve estar explícito, fizemos com que a função que determina os valores de $y$ varie ao longo do eixo $x$ e que a função que determina os valores de $x$ varie ao longo do eixo $y$, o artifício aqui usado permite que usemos os eixos como base temporária para o parâmetro $t$, ou seja ao analisar a função de $y$ devemos considerar $x=t$, fazendo o oposto com a função que determina $x$.

### Funções paramétricas diversas

Algumas funções paramétricas são comumente usadas ou citadas devido a sua excentricidade e sua história... As análises abaixo nos ajudarão a compreender melhor estas funções, além de nos dar uma visão mais detalhada de como esboçar e prever seu comportamento.

#### Reta

As equações paramétricas que definem a reta estão relacionadas diretamente à inclinação de um segmento em particular, estas aão:
$f(t)\,\!$ definida como:
$\left\{{\begin{matrix}t&,&(-\infty ,\infty )\\x&=&x_{0}+(x_{1}-x_{0})\ t\\y&=&y_{0}+(y_{1}-y_{0})\ t\end{matrix}}\right.$
Onde $(x_{0},y_{0})\,\!$ e $(x_{1},y_{1})\,\!$, são os pontos que definem a reta.
Observe que temos uma progressão linear dos valores de das variáveis da reta a medida que atribuimos valores ao parâmetro, isto nos permite verificar que as relações independentes para cada variável contibuem para uma concordância com a equação da reta que todos já conhecemos, podemos verificar isto aplicando a eliminação do parâmetro nas equações acima, façamos:
$t={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\,\!$
$y=y_{0}+(y_{1}-y_{0})\ {\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\,\!$
$y=y_{0}+(x-x_{0})\ {\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\,\!$
Uma vez que:
$m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\,\!$
onde $m\,\!$ é o coeficiente angular para dois pontos.
Temos:
$y=y_{0}+m\ (x-x_{0})\,\!$
Que é a clássica equação da reta, que todos conhecemos.

#### Ciclo parabólico

Um ciclo parabólico pode ser conseguido usando-se funções trigonométricas quadráticas, vejamos como fazê-lo:
Seja a função:
$f(t)\,\!$ definida como:
$\left\{{\begin{matrix}t&,&(-\infty ,\infty )\\x&=&cos^{2}(t)\\y&=&cos(t)\end{matrix}}\right.$
ou
$\left[cos^{2}(t),cos(t)\right]\quad -\infty <t<\infty \,\!$
Em termos gerais nos atemos ao fato de que a variável parâmetro $t$ deve ser usada como referência de nossas análises, diante disto desenvolvemos gráficos auxiliares que nos permitam esboçar o comportamento da função paramétrica. Traçando o gráfico de $x$ em função de $t$ usamos o eixo $y$ como eixo da variável independente, quando traçamos a função $y$ usamos o eixo $x$ para isto. O que temos agora é um panorama geral do comportamento das variáveis que nos permite visualizar a tendência dos valores da função paramétrica.
Observemos o gráfico:
Nesta representação:
* $f(t)\,\!$ está representada em verde;
* $x\,\!$ está representada em vermelho;
* $y\,\!$ está representada em azul
* Duas referências dos valores das funções para $t=2\,\!$ estão representadas em violeta.
Veja que os valores das funções se combinam perfeitamente, determinando o ponto exato do encontro dos dois valores que o definem. O recurso do uso de eixos virtuais sobrepostos aos eixos do gráfico para representar as funções isoladamente, permite que tenhamos uma noção de como estes valores se desenvolvem em relação ao parâmetro, facilitando o esboço da função paramétrica.
Quando traçamos as linhas de referência:
* $x=cos^{2}(2)\approx 0,173\,\!$
* $y=cos(2)\approx -0,416\,\!$
Os valores de $x\,\!$ jamais serão menores que zero e a função refletirá indefinidamente os valores quadráticos entre $0\,\!$ e $1\,\!$, da mesma forma podemos ver que os valores de $y\,\!$ jamais sairão da faixa: $[-1,1]\,\!$. Se acompanharmos os valores das funções dos eixos e seu reflexo na função paramétrica perceberemos que teremos sobre a mesma um ponto que se desloca sobre a parábola, indo de $1\,\!$ a $-1\,\!$ e depois voltando.

#### Ciclóide

O ciclóide é uma forma paramétrica conseguida através das coordenadas de um ponto fixado em uma circunferência, que se desloca sobre um eixo.
As equações paramétricas que definem a função do cilóide podem ser generalizadas da seguinte forma:
$f(t)\,\!$ onde:
$\left\{{\begin{matrix}t&,&(-\infty ,\infty )\\x&=&c\ [t-sen(t)]\\y&=&c\ [1-cos(t)]\\\end{matrix}}\right.$
Adotamos um valor $c\,\!$ para cada função ciclóide. Esta constante está ligada a amplitude do raio do ciclóide. A ilustração abaixo representa um ciclóide com $c=2\,\!$:
Nesta representação:
* $f(t)\,\!$ está representada em verde;
* $x\,\!$ está representada em vermelho;
* $y\,\!$ está representada em azul
Note que temos um desenvolvimento dos valores das abscissas de forma ascendente, ou seja temos sempre valores positivos para a tendência de crescimento em $(t,x)\,\!$, para as ordenadas temos valores sempre positivos do cosseno sobre um valor fixo e uma característica cíclica para os valores, na representação paramétrica temos, como conseqüência, uma forma cíclica semicircular.
Para verificar como conseguimos as equações paramétricas acima observemos o seguinte gráfico:
O ciclóide é formado pelos pontos que seguem o contorno da curva formada pelo movimento do disco sobre a superfície, de forma que o ponto (P) esteja fixado a um ponto da circunferência do disco, neste gráfico consideramos o raio unitário. Porém, se o raio é uma constante (c), e observamos o triângulo inscrito no disco, no qual podemos notar a distância do ponto (P) à superfície, que corresponde ao subsegmento da circunferência, veremos que esta é: $\theta c\,\!$, onde $c\,\!$ corresponde ao raio constante, o que nos dá:
$\theta c\ -\ x\ =c\ sen(\theta )\,\!$
$x\ =\ \theta c\ -\ c\ sen(\theta )\,\!$
$x\ =\ c\ (\theta -\ sen(\theta ))\,\!$
Por outro lado, se observarmos que:
$y\ =\ c\ -\ c\ cos(\theta )\,\!$
$y\ =\ c\ (1\ -\ cos(\theta ))\,\!$
Bastanos verificar que $\theta \,\!$ é o único parâmetro comum às duas equações e nos possibilita fazer a sua substituição por $(t)\,\!$, depois disso teremos as equações do ciclóide como definido acima.

#### Conchóides

Em homenagem ao estudioso grego Nicomedes, este grupo de funções paramétricas foram chamadas de conchóides de Nicomedes, pois este as chamou de conchóides após estudá-las, ele resolveu nomeá-las desta forma devido a sua semelhança com conchas.
De maneira geral os conchóides são definidos pelas equações paramétricas:
$f(t)\,\!$ onde:
$\left\{{\begin{matrix}t&,&(-\infty ,\infty )\\x&=&c\ +\ cos(t)\\y&=&c\cdot tg(t)-sen(t)\\\end{matrix}}\right.$
Sendo c uma constante que é fundamental para as características das curvas. Vejamos algumas das curvas que podemos obter com estas equações:
* Nesta representação:
* $f(t)\ ,\ c=-2\,\!$ está representada em vermelho;
* $f(t)\ ,\ c=-1\,\!$ está representada em azul
* $f(t)\ ,\ c=-0,2\,\!$ está representada em verde;
* Note que quanto mais se aproxima do eixo das ordenadas a conchóide tende a criar uma nova concha do lado oposto ao que está se desenvolvendo.
* Nesta representação:
* $f(t)\ ,\ c=2\,\!$ está representada em vermelho;
* $f(t)\ ,\ c=1\,\!$ está representada em azul
* $f(t)\ ,\ c=0,2\,\!$ está representada em verde;
* Neste caso a conchóide se desenvolve no lado oposto da ilustração anterior.

### Derivadas

Tratemos agora das derivadas para funções paramétricas, uma vez que temos duas variáveis dependentes, temos que ter certos cuidados no tratamento diferencial para estas funções, um trabalho adicional é necessário, uma vez que temos mais variáveis envolvidas na análise.
Seja a função $f_{xy}(t)\,\!$ na qual, os valores formam pares de forma que tenhamos: $[x(t),y(t)]\,\!$, desta forma podemos expressar as diferenciais como:
* ${\frac {dx}{dt}}\,\!$
* ${\frac {dy}{dt}}\,\!$
* ${\frac {dy}{dx}}\,\!$
No plano cartesiano bidimensional: $(x,y)\,\!$ a derivada que estamos acostumados a usar permanece, porém temos mais duas derivadas das funções que definem $x\,\!$ e $y\,\!$ em relação ao parâmetro $t\,\!$. Considerando as seguintes condições:
* Cada variável é dependente do parâmetro;
* Assumimos que o parâmetro varia linearmente e de forma crescente;
* As funções $x(t)\,\!$ e $y(t)\,\!$ são contínuas.
Então as derivadas das funções que definem cada variável representam taxas de variação de referência, o que nos permite verificar as seguintes condições:
* Se ${\frac {dx}{dt}}=0\,\!$ em algum ponto da curva, a reta tangente a este ponto é vertical, ou seja, paralela ao eixo $y\,\!$
* Se ${\frac {dy}{dt}}=0$ em algum ponto da curva, a reta tangente a este ponto é horizontal, ou seja, paralela ao eixo $x\,\!$

#### Derivadas primeiras

Considerando que temos uma função composta por duas variáveis dependentes, como poderemos encontrar a derivada de uma em relação à outra, visto que temos duas equações que a definem? A resposta vem da seguinte relação:
Se $x(t)\,\!$ e $y(t)\,\!$, são funções que definem uma forma paramétrica, sendo que:
$y\ '(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta t}}\,\!$
e
$x\ '(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}\,\!$
temos:
${\frac {y\ '(t)}{x\ '(t)}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta t}}\cdot \lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\,\!$
uma vez que $x\,\!$ depende de $t\,\!$:
${\frac {y\ '(t)}{x\ '(t)}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\,\!$
Ou seja:

#### Derivadas segundas

As derivadas de segunda órdem são conseguidas de forma um pouco mais trabalhosa, uma vez que queremos obter:
$f\ ''(x)={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\!$
Temos que difernciar a derivada primeira em relação a $t\,\!$ e depois dividí-la pela derivada de $x\,\!$ em relação a $t\,\!$. Pois:
${\frac {y\ ''(t)}{x\ '(t)\cdot x\ '(t)}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)}{\Delta x}}\,\!$
Que é:
${\frac {y\ ''(t)}{x\ '(t)\cdot x\ '(t)}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\frac {\Delta \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)}{\Delta t}}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}}\,\!$
Ou seja:
$y\ ''(x)={\frac {\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}\,\!$
Como já explicamos, definimos a derivada primeira depois calculamos a derivada desta em relação a $t\,\!$ dividindo-a em seguida pela derivada de $x\,\!$ em relação a $t\,\!$

#### Esboço de gráficos

A aplicação direta dos conceitos de derivadas de funções paramétricas pode ser usado de forma prática para o esboço de gráficos como veremos neste tópico. As propriedades de análise de curvatura são especialmente úteis para encontrar tendências de crescimento e análises de concavidades, uma vez que temos mais derivadas temos mais dados sobre as curvas.
Sabendo que as derivadas em relação ao parâmetro nos informam os pontos onde temos tangentes verticais ou horizontais, como já verificamos, devemos ter em conta que a derivada em relação a $x\,\!$ nos informa os pontos onde há mudança de declividade da curva em relação a este eixo, da mesma forma que a derivada segunda em relação a $x\,\!$ nos fornece a concavidade da curva em relação ao mesmo eixo.
Entretanto, devido a caracterísica independente das variáveis paramétricas, é comum encontrarmos equações paramétricas que nos fornecem valores inválidos durante a análise quando tomamos diferenciais de $y\,\!$ em função de $x\,\!$.
Observando as diferenciais em relação ao parâmetro temos um conjunto de informações que são muito úteis, vejamos:
* Quando ${\frac {dx}{dt}}$ é negativa a função desloca-se para a esquerda;
* Quando ${\frac {dx}{dt}}$ é positiva a função desloca-se para a direita;
* Quando ${\frac {dy}{dt}}$ é negativa a função desloca-se para baixo;
* Quando ${\frac {dy}{dt}}$ é positiva a função desloca-se para cima;
* Se ${\frac {dx}{dt}}=0$ a função tem uma tangente vertical neste ponto;
* Se ${\frac {dy}{dt}}=0$ a função tem uma tangente horizontal neste ponto;
A este conjunto de dados podemos adicionar as raízes e pontos de inflexão, os últimos podem ser consequidos pela análise de transição na declividade junto a pontos onde as derivadas não existem.
Analisemos os valores que estas derivadas nos fornecem no exemplo abaixo:
Consideremos a função paramétrica definida pelas equações:
* $x=t\left(t^{2}-2\right)\,\!$
* $y=2\left(t^{2}-1\right)\,\!$
As derivadas das equações em relação ao parâmetro são:
* Para as abscissas:
${\frac {dx}{dt}}=t(2t)+(t^{2}-2)\,\!$
${\frac {dx}{dt}}=3t^{2}-2\,\!$
* Para as ordenadas:
${\frac {dy}{dt}}=2(2t)\,\!$
${\frac {dy}{dt}}=4t\,\!$
O que nos dá a possibilidade de fazer algumas das nossas análises iniciais.
Antes de tudo devemos encontrar as raízes destas equações, tanto para as equações das variáveis como para as equações das derivadas, depois que tivermos conhecimento dos pontos onde as mudanças de sinais ocorrem para cada equação teremos uma idéia do esboço a ser feito, façamos:
$x=t\left(t^{2}-2\right)=0\,\!$
Onde, neste caso, temos:
$t=0\,\!$
ou
$\left(t^{2}-2\right)=0\,\!$
$t=\pm {\sqrt {2}}\,\!$
Os pontos, para os quais teremos estes valores para o parâmetro são:
* $(0,-2)\,\!$
* $(0,2)\,\!$
Nas ordenadas:
$y=2\left(t^{2}-1\right)=0\,\!$
$t=\pm 1\,\!$
Os pontos, para os quais teremos estes valores para o parâmetro são:
* $(1,0)\,\!$
* $(-1,0)\,\!$
Analisando as derivadas temos:
Para as abscissas:
${\frac {dx}{dt}}=3t^{2}-2=0\,\!$
$t=\pm {\sqrt {\frac {2}{3}}}\,\!$
$t=\pm {\frac {\sqrt {6}}{3}}\,\!$
O que nos dá dois pontos com tangentes verticais:
* $\left({\frac {4{\sqrt {6}}}{9}},-{\frac {2}{3}}\right)\approx (1,089;0,667)$
* $\left(-{\frac {4{\sqrt {6}}}{9}},-{\frac {2}{3}}\right)\approx (-1,089;0,667)$
Para as ordenadas:
${\frac {dy}{dt}}=4t=0\,\!$
$t=0\,\!$
O que nos dá o ponto com tangente horizontal:
* $(0,-2)\,\!$
Estes valores nos fornecem informações suficientes para prever a aparência da curva, façamos uma tabela com os valores numéricos aproximados para termos uma idéia de como poderemos esboçar o gráfico:
$t\,\!$
$x\,\!$
$y\,\!$
-1,414
0
2
-1
-1
0
-0,816
-1,089
-0,667
0
0
-2
0,816
1,089
-0,667
1
1
0
1,414
0
2 :
Agora desenhemos o gráfico: :
Laço :

### Integrais

Agora considere a função paramétrica definida por um conjunto de pontos tais que:
$f(t)=\{x(t),y(t)\}\,\!$
da mesma forma que:
$\left\{{\begin{matrix}x=g(t);\\y=h(t);\\f(t)=\{g(t),h(t)\}\end{matrix}}\right.$
Então, a integral $F(x)\,\!$, pode ser encontrada da seguinte forma:
$F(x)=\int y\ dx\,\!$
Se:
$x\ =\ g(t)\,\!$
${\frac {dx}{dt}}=g\ '(t)\,\!$
$dx=g\ '(t)dt\,\!$
temos:
$F(x)=\int y\ g\ '(t)dt\,\!$
Inevitavelmente, em alguns casos não poderemos encontrar uma integral de $y\,\!$ em relação ao eixo $x\,\!$ se os seus valores absolutos forem iguais e seus valores reais sejam de sinais diferentes, o que nos fará encontrar um valor nulo, porém poderemos encontrá-lo ao fazer o cálculo em relação ao parâmetro, comprovaremos isso na seção sobre áreas, logo abaixo.

#### Comprimentos de arcos

De forma geral a equação que define o comprimento de arcos de funções, como foi vista no livro Cálculo (Volume 1) pode ser expressa pela equação que relaciona a integral das diferencias em relação a $x\,\!$, desta forma:
$C\ =\ \int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\quad dx$
Portanto, para obter a equação paramétrica correspondente, podemos substituir as diferenciais por suas correspondentes paramétricas:
$C\ =\ \int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}\right)^{2}}}\quad dx$
$C\ =\ \int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}}}\quad {\frac {dt}{dx}}dx$
$C\ =\ \int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}}}\quad dt$
Considerando que $a\,\!$ e $b\,\!$ são valores de $x\,\!$, devemos adaptá-los a nova equação, consideremos, portanto, que:
$a\ =\ x(\alpha )$
$b\ =\ x(\beta )$
portanto:

##### A medida da circunferência

Temos agora a possibilidade de fazer o cálculo de uma medida bem conhecida, para que tenhamos uma comprovação prática do instrumento algébrico que conseguimos através da análise acima, calcularemos a medida da circunferência utilizando os conceitos abordados.
Seja uma circunferência definida pelas equações paramétricas:
* $x=r\ cos(t)$
* $y=r\ sen(t)$
Onde $r\,\!$ é o raio da circunferência.
Usando a fórmula do comprimento da curva acima, temos:
$C\ =\ \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {d[r\ cos(t)]}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d[r\ sen(t)]}{dt}}\right)^{2}}}\quad dt$
$C\ =\ \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left(r\ [-sen(t)]\right)^{2}+\left(r\ [cos(t)]\right)^{2}}}\quad dt$
$C\ =\ \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}\ \left[sen^{2}(t)+cos^{2}(t)\right]}}\quad dt$
$C\ =\ \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}}}\quad dt$
$C\ =\ \int _{0}^{2\pi }r\quad dt$
$C\ =\ r\ t]_{0}^{2\pi }\,\!$
Ou seja:

#### Áreas

O cálculo de áreas em funções paramétricas traz a possibilidade de encontrar a área de formas criadas por curvas fechadas, basicamente o processo é o mesmo que o descrito para as funções definidas num plano cartesiano com dependência nas abscissas, com a diferença que devemos fazer a adaptação do cálculo da integral para que tenhamos uma função com diferenciais bem definidas como vimos nos tópicos acima.
Neste exemplo iremos encontrar a área do círculo, cujo valor já é bem conhecido, o que nos possibilitará verificar a eficácia do método.
Seja o círculo cuja circunferência que o delimita é descrita tal que:
* $x=r\ cos(t)\,\!$
* $y=r\ sen(t)\,\!$
Onde $r\,\!$ é o raio do círculo.
Então, sua área pode ser calculada se fizermos com que o parâmetro $t\,\!$ varie de $0\,\!$ até $2\pi \,\!$, calculando a integral:
$A=\int _{0}^{2\pi }f(t)dt\,\!$
Considerando que:
$dx=-r\ sen(t)dt\,\!$
$dx=r\ sen(-t)dt\,\!$
temos:
$A=\int _{0}^{2\pi }r\ sen(t)\ r\ sen(-t)\ dt\,\!$
$A=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{2}}{2}}[1+cos(2t)]\ dt\,\!$
$A={\frac {r^{2}}{2}}\left[\int _{0}^{2\pi }dt+\int _{0}^{2\pi }cos(2t)\ dt\right]\,\!$
$A=\left.{\frac {r^{2}t}{2}}\right]_{0}^{2\pi }+{\frac {r^{2}}{4}}\left[sen(2t)\right]_{0}^{2\pi }\,\!$
$A={\frac {r^{2}2\pi }{2}}+0\,\!$
O que nos dá:

#### Superfícies

Outra aplicação interessante para o cálculo de integrais paramétricas é o cálculo de áreas de superfície, poderemos usar a fórmula de rotação para efetuar o cálculo de superfícies criadas pela rotação de uma curva paramétrica da mesma forma que fizemos antes para o cálculo de diversas funções mais simples.