# Matemática elementar/Matrizes
## Matrizes
### Conceito

Uma matriz $A_{m,n}\,\!$ pode ser entendida como um conjunto de mn (m multiplicado por n) números, dispostos em m linhas e n colunas, conforme figura ao lado.
$A={\begin{bmatrix}4&0&9\\1&7&3\end{bmatrix}}$

### Notação

* Matrizes devem ser escritas com parênteses ou colchetes à esquerda e à direita, sendo as duas maneiras equivalentes.
* Uma matriz é indicada por uma letra maiúscula.
* Seus elementos são indicados usando a mesma letra, porém minúscula, com a linha e coluna usados como índice (nesta ordem). Assim, o elemento da 3ª coluna na 2ª linha da matriz A será $a_{23}$.
Assim, na matriz acima, de 2 linhas e 3 colunas, temos:
$a_{11}\ =\ 4,\ a_{12}\ =\ 0,\ a_{13}\ =\ 9$
$a_{21}\ =\ 1,\ a_{22}\ =\ 7,\ a_{23}\ =\ 3$

### Ordem de uma matriz

Ordem de uma matriz refere-se ao seu número de linhas e colunas. É apresentada na notação m×n, onde m é o número de linhas e n o de colunas. Lê-se "m por n".
Assim, a matriz A acima é de ordem 2×3.

### Adição e subtração

Esta operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas (mesma ordem). Sejam duas matrizes $A_{m,n}\,\!$ e $B_{m,n}\,\!$.
Então a matriz $R\ =\ A\ \pm \ B\,\!$ é uma matriz mn tal que cada elemento de $R\,\!$ é dado por:
    $r_{ij}\ =\ a_{ij}\pm b_{ij}$. Ver exemplo ao lado.

### Multiplicação por um escalar

Seja a matriz $A_{m,n}\,\!$ e $c\,\!$ um escalar. A matriz
$P=cA\,\!$ é uma matriz m×n tal que cada elemento de $P\,\!$ é dado por:
    $p_{ij}\ =\ c\cdot a_{ij}\,\!$.

### Algumas propriedades das operações anteriores

Sejam $A\,\!$ e $B\,\!$ matrizes $m\times n\,\!$ e $c\,\!$ e $d\,\!$ escalares. Então:
$c(A+B)=cA+cB\,\!$ e $d(cA)=dc(A)\,\!$.
E, também, se $cA=cB\,\!$ e $c\neq 0\,$ então $A=B\,\!$.

### Matrizes nulas

Matriz nula $O_{m,n}\,\!$ é aquela cujos elementos são todos nulos.
matriz identidade $I_{n}\,\!$ é matriz $I_{n,n}\,\!$ na qual $i_{j,k}=1\,\!$ se $j=k\,\!$ e zero nos demais casos. Ou, de outra maneira, é a matriz na qual todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos.

### Matrizes especiais

* Matriz linha é a matriz em que o número de linhas é igual a 1.
* Matriz coluna é a matriz em que o número de colunas é igual a 1.
* Matriz quadrada é a matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas.
* Matriz unitária é a matriz em que obedece a relação ($A^{t}=A^{-1}$).
* Matriz transposta ($A^{t}$) da matriz $A$ é a matriz obtida pela permutação das linhas e colunas de $A$. Ou seja, cada coluna de $A$ será uma linha de $A^{t}$ e cada linha da matriz original será uma coluna da transposta.

### Multiplicação de matrizes

Sejam as matrizes $A_{m,p}$ e $B_{p,n}$ (o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda).
O produto AB é dado pela matriz $C_{m,n}$ cujos elementos são calculados por:
$c_{ij}=\sum _{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}$
$A={\begin{bmatrix}4&0&5\\1&1&3\end{bmatrix}}$ e $B={\begin{bmatrix}1&2\\2&5\\1&0\end{bmatrix}}$
Veja os cálculos para o exemplo da figura acima.
    $c_{11}=4\cdot 1+0\cdot 2+5\cdot 1=9$
    $c_{12}=4\cdot 2+0\cdot 5+5\cdot 0=8$
    $c_{21}=1\cdot 1+1\cdot 2+3\cdot 1=6$
    $c_{22}=1\cdot 2+1\cdot 5+3\cdot 0=7$

### Ordem dos fatores

Se A e B são matrizes quadradas (igual número de linhas e colunas), ambos os produtos AB e BA podem ser calculados.
Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores não é indiferente. Em geral, $AB\neq BA$.
Se AB = BA, as matrizes são ditas comutativas......

### Algumas propriedades do produto de matrizes

Sejam as matrizes A, B e C.
* Se os produtos A(BC) e (AB)C são possíveis de cálculo, então A(BC) = (AB)C.
* Se os produtos AC e BC são possíveis, então (A+B)C = AC + BC.
* Se os produtos CA e CB são possíveis, então C(A+B) = CA + CB.
* Se $I_{p}$ é a matriz unitária $p\times p$ conforme já mencionado, então: $I_{p}A_{p,n}=A_{p,n}$ e $B_{m,p}I_{p}=B_{m,p}$.

### Matriz inversa

Sejam as matrizes quadradas $A_{n,n}$ e $B_{n,n}$.
Se $BA=I_{n}$, onde $I_{n}$ é a matriz unitária conforme já visto, então B é chamada de matriz inversa esquerda de A.
Para achar a matriz inversa:
Por exemplo, seja a matriz A ao lado e desejamos saber sua inversa esquerda B. O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito de A.
Agora, o objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por coeficientes de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo (processo de Gauss-Jordan).
* 1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por -1.
* 2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por -1.
* 3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por -2.
* 3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por -3.
* 3ª linha = 3ª linha multiplicada por -1.
* 2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por -1.
E a matriz inversa é a parte da direita.

## Determinantes
### Determinantes de 2ª ordem

O conceito de determinante está ligado ao de matriz, embora seja completamente distinto: enquanto matriz é o conjunto de elementos conforme já mencionado, determinante é o resultado de uma operação aritmética com todos os elementos de uma matriz, que obedece a uma determinada regra. Só se aplica a matrizes quadradas.
O prefixo det é colocado antes da matriz para indicar determinante. Ou, de forma mais compacta, os colchetes na matriz são substituídos por barras verticais para o mesmo efeito.
Para calcular um determinante de uma matriz $A_{2,2}$ (determinante de 2ª ordem):
Seja $A_{2,2}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$. Então $\det A={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc$

### Determinantes de ordens superiores

Para determinantes de 3ª ordem, há um método conhecido como regra de Sarrus. Considere a matriz:
    $A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}$
    $\det A=aei+bfg+cdh-(gec+hfa+idb)$
Exemplo para 3ª ordem.
Quando a ordem é superior a 3, não há algoritmos simples a ponto de poderem ser generalizados por uma fórmula. Há, no entanto, dois métodos de decomposição que reduzem um determinante a determinantes de ordens menores. Um deles é conhecido como Teorema de Laplace, e vale para qualquer matriz. Outro método, mais simples, é a regra de Chió, mas há algumas restrições para que ele funcione numa matriz.

#### Teorema de Laplace

O Teorema de Laplace permite expandir um determinante de ordem $n$ em uma soma de $n$ determinantes de ordem $n-1$. A descrição do procedimento é a seguinte:
Considera-se uma fila (linha ou coluna) qualquer da matriz; somam-se os produtos de cada elemento desta linha por seus respectivos cofatores. O cofator de um elemento, por sua vez, é definido como o determinante da matriz que resta da eliminação da linha e coluna que passam pelo elemento, multiplicado pelo fator sinal $(-1)^{i+j}$ ― negativo se a soma do índice da coluna com o índice da linha for ímpar, e positivo do contrário. O processo pode ser repetido indefinidamente, até chegarmos num determinante que possa ser calculado trivialmente.
Para deixar o processo mais claro, considere uma matriz $A={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}$. Podemos escolher qualquer linha ou coluna para calcular o determinante; vamos, por comodidade, escolher a segunda coluna, pois ela contém um zero ― o que nos dispensa de calcular um determinante, já que este seria multiplicado por zero. Então
    $\det A=(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot {\begin{vmatrix}-1&3\\2&-1\end{vmatrix}}+(-1)^{2+2}\cdot 1\cdot {\begin{vmatrix}-2&-3\\2&-1\end{vmatrix}}+(-1)^{3+2}\cdot 0\cdot {\begin{vmatrix}-2&-3\\-1&3\end{vmatrix}}$
       $=-2{\bigg(-1)\cdot (-1)-3\cdot 2{\bigg ]}+1{\bigg(-2)\cdot (-1)-(-3)\cdot 2{\bigg ]}$
       $=10+8=18$
Você pode verificar que esse mesmo valor será obtido se usarmos a expansão de Laplace por outra coluna ou linha, e também se usarmos a regra de Sarrus. De fato, podemos provar, algebricamente, que a regra de Sarrus é equivalente ao uso do teorema de Laplace para um determinante de ordem 3.

### Algumas propriedades dos determinantes

* Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas são trocadas (ou seja, $detA^{t}=detA$).
* Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal.
* Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si ou proporcionais entre si, o determinante é nulo. Se uma das linhas ou colunas contiver apenas zeros, o determinante também será nulo. Mais genericamente, o determinante é nulo se uma fila for uma combinação linear das outras filas.
* Se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em evidência.
* Generalizando a propriedade anterior, se uma matriz n x n tiver todos elementos multiplicados por k, então seu determinante será multiplicado por k$^n$
* Um determinante não se altera se aos elementos de uma linha ou coluna são somados ou subtraídos os elementos (ou múltiplos deles) de outra linha ou coluna.
* O determinante de uma matriz é igual ao da sua transposta
* Ao trocarmos duas linhas ou colunas, o valor do seu determinante é multiplicado por (-1)
* O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto os elementos da diagonal
* O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes destas matrizes (Teorema de Binet)

### Exemplo de aplicação de determinantes

Seja o sistema de equações lineares
    $\left\{{\begin{matrix}a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z&=&b_{1}\\a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z&=&b_{2}\\a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z&=&b_{3}\end{matrix}}\right.$
e o determinante
    $D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}$
e os determinantes $D_{x}$, $D_{y}$ e $D_{z}$, obtidos substituindo-se, respectivamente, as colunas dos coeficientes de $x$, $y$ e $z$ pela coluna dos termos independentes:
    $D_{x}={\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}$
    $D_{y}={\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}\end{vmatrix}}$
    $D_{z}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&b_{3}\end{vmatrix}}$
Então a solução do sistema é dada por:
    $x={\frac {D_{x}}{D}};\quad y={\frac {D_{y}}{D}};\quad z={\frac {D_{z}}{D}}$
Esse método costuma ser chamado de método de Cramer.

## Ver também

* Álgebra linear/Matrizes (livro com conteúdo mais avançado)