# Medida e integração/Integração de funções positivas

Ao longo deste capítulo estará fixado um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu ).$

## Definição 5.1

Considere uma função simples $\sigma$ mensurável sobre $X$, cuja forma canônica é dada por:
$\sigma =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}X_{A_{i}},$
ou seja,
* $Im(\sigma )=\{\alpha _{i}:1\leq i\leq n\}$ tem $n$ elementos;
* $\left(A_{i}\right)_{1\leq i\leq n}$ é uma partição de $X$; e
* Para cada $1\leq i\leq n,$ tem-se $A_{i}=\sigma ^{-1}(\alpha _{i}).$
Nestas condições, define-se para cada $E\in {\mathfrak {M}}$ a integral de ${\boldsymbol {\sigma }}$ sobre $\mathbf {E}$ em relação à medida ${\boldsymbol {\mu }}$ como sendo:
$\int \limits _{E}\sigma =\int \limits _{E}\sigma \,d\mu :=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\mu \left(E\cap A_{i}\right).$
* Obs. 5.2: Note como está sendo usada a convenção de que $0\cdot \infty =0:$ pode acontecer de existir algum índice $i$ para o qual $\alpha _{i}=0$ e $\mu (E\cap A_{i})=\infty$. A convenção foi feita de tal modo que ao colocar um coeficiente nulo em uma parcela, a medida do subconjunto de $X$ correspondente não interfira no valor final da integral.
* Obs. 5.3: Pode ser demonstrado que o fato da função simples estar ou não expressa em sua forma canônica não influi no valor produzido pela fórmula 5.1.1.

## Exercício

    Justifique a afirmação feita na Observação 5.3.
Pelo Teorema 3.4, toda função $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ pode ser aproximada por uma sequência não-decrescente de funções simples. Isto motiva a próxima definição, na qual é apresentada a noção de integral para um certo tipo de funções que não são simples.

## Definição 5.4

Se $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ é uma função mensurável, define-se para cada $E\in {\mathfrak {M}}$ a integral de Lebesgue de ${\boldsymbol {f}}$ sobre $\mathbf {E}$ em relação à medida ${\boldsymbol {\mu }}$ como sendo o elemento de ${\overline {\mathbb {R} }}_{+}=[0,\infty ]$ dado por:
$\int \limits _{E}f=\int \limits _{E}f\,d\mu :=\sup _{\sigma \in S(f)}\int \limits _{E}\sigma \,d\mu ,$
onde $S(f):=\{\sigma |\sigma$ é função simples, mensurável sobre $X$ e tal que $\sigma \leq f\$
$\int \limits _{E}f<\infty ,$
$\int \limits _{X}f<\infty ,$

## Exercício

    Justifique a afirmação feita na Observação 5.5.

## Lema 5.6

Dado um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ e uma partição finita $\left(G_{i}\right)_{1\leq i\leq p}$ de $X$ em conjuntos mensuráveis, considere a função simples mensurável $\sigma :X\mapsto \mathbb {R} _{+}$ definida por
$\sigma =\sum _{i=1}^{p}\gamma _{i}X_{G_{i}},$
onde, para cada $1\leq i\leq p,$ tem-se $\gamma _{i}\in \mathbb {R} _{+}.$ Então, para todo $E\in {\mathfrak {M}}$ vale:
$\int \limits _{E}\sigma \,d\mu =\sum _{i=1}^{p}\gamma _{i}\mu \left(E\cap G_{i}\right)=\sum _{a\in \mathbb {R} _{+}}\mu \left(E\cap \sigma ^{-1}(a)\right).$

## Lema 5.7

Dado um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ e as funções simples mensuráveis $\sigma$ e $\tau .$ Se $\sigma \leq \tau$, então para qualquer $E\in {\mathfrak {M}}$ tem-se:
$\int \limits _{E}\sigma \,d\mu \leq \int \limits _{E}\tau \,d\mu .$

## Proposição 5.9

Seja $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ uma função mensurável. A integral definida anteriormente verifica as seguintes propriedades:
* Se $g:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ é mensurável e $f\leq g,$ então $\int \limits _{E}f\,d\mu \leq \int \limits _{E}g\,d\mu ;$
* Se $E,F\in {\mathfrak {M}}$ e $E\subset F,$ então $\int \limits _{E}f\,d\mu \leq \int \limits _{F}f\,d\mu ;$
* Se $k\in \mathbb {R} _{+},$ então $\int \limits _{E}kf\,d\mu =k\int \limits _{E}f\,d\mu ;$
* Se para todo $x\in E$ vale $f(x)=0,$ então $\int \limits _{E}f\,d\mu =0;$
* Se $\mu (E)=0,$ então $\int \limits _{E}f\,d\mu =0;$
* $\int \limits _{E}f\,d\mu =\int \limits _{E}X_{E}\cdot f\,d\mu .$
* Obs. 5.10: O último item desta proposição indica que mesmo se a integral tivesse sido definida apenas sobre o conjunto $X,$ ainda seria possível definir o valor da integral sobre subconjuntos mensuráveis de $X$ usando como definição a fórmula $\int \limits _{E}f\,d\mu :=\int \limits _{E}X_{E}\cdot f\,d\mu .$
* Obs. 5.11: É interessante notar que se $E\in {\mathfrak {M}},$ então é possível definir um espaço com medida sobre $E$ de forma muito natural: A coleção de partes de $E$ definida por ${\mathfrak {M}}|_{E}:=\{A\cap E|A\in {\mathfrak {M}}\}$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $E$ (isto fica como exercício para o leitor). Então a função $\mu _{E}:=\mu |_{\mathfrak {M}}$ é uma medida positiva sobre ${\mathfrak {M}}|_{E}$ e, consequentemente, $\left(E,{\mathfrak {M}},\mu _{E}\right)$ é um espaço com medida. Este fato serve para reforçar a ideia central da observação anterior: se é definida a integral sobre os espaços de medida, então é definida automaticamente a integral sobre cada parte mensurável de tais espaços.

## Corolário 5.12

Se $E$ é um conjunto mensurável, então:
* Para quaisquer funções mensuráveis $f,g:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ tais que $f(x)\leq g(x),$ tem-se $\int \limits _{E}f\,d\mu \leq \int \limits _{E}g\,d\mu ;$
* $\mu (E)=\int \limits _{E}\,d\mu =\int \limits _{X}X_{E}\,d\mu .$
A essência do segundo item deste corolário é que a integral também serve para "medir conjuntos". Na verdade, isto continua válido mesmo que a função que está sendo integrada não seja $X_{E}:$ Conforme a próxima proposição, a integração de uma função simples sobre conjuntos que pertencem a uma $\sigma$-álgebra define uma medida.

## Proposição 5.14

Dada uma função simples $\sigma$ mensurável sobre $X$, se $\varphi :{\mathfrak {M}}\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ é a função que em cada $E\in {\mathfrak {M}}$ vale
$\varphi (E):=\int \limits _{E}\sigma \,d\mu ,$
$\varphi$
${\mathfrak {M}}.$
Outra propriedade que se poderia esperar da integração de funções simples é a somatividade:

## Proposição 5.15

Se $\sigma _{1}$ e $\sigma _{2}$ são funções simples mensuráveis sobre $X,$ então:
$\int \limits _{X}\left(\sigma _{1}+\sigma _{2}\right)=\int \limits _{X}\sigma _{1}\,d\mu +\int \limits _{X}\sigma _{2}\,d\mu .$

## Lema 5.16

Se a $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ é uma função mensurável e $\sigma :X\mapsto \mathbb {R} _{+}$ é uma função simples mensurável, então a função $f-\sigma :X\mapsto \mathbb {R} _{+}$ é mensurável.
* Obs. 5.17: Note que $Im(f-g)\subset \mathbb {R} \smallsetminus \{-\infty \}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}.$
* Obs. 5.18: O Corolário 1.14 e a observação 1.15 somente garantiam a validade deste resultado quando as imagens das funções envolvidas estavam contidas em $\mathbb {K} .$ É graças a este Lema 5.16 que será possível usar o mesmo resultado também quando a função $f$ assume o valor infinito. No entanto a demonstração é apenas uma adapatação daquela apresentada para a Proposição 1.11.
O próximo resultado é conhecido como Teorema da Convergência Monótona de Lebesgue e, além de ser um resultado importante sobre convergência, é um dos teoremas centrais de toda a teoria de Lebesgue.

## Teorema 5.19

Seja $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ um espaço com medida e, para cada $n\in \mathbb {N} ,$ seja $f_{n}:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ uma função mensurável. Se a sequência $\left(f_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ é não decrescente e, para cada $x\in X,$ existe o limite $\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x),$ então:
* A função $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ definida por $f(x)=\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ é mensurável;
* $\int \limits _{X}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{X}f_{n}\,d\mu .$
Um resultado análogo sobre a integração de séries é apresentado no teorema seguir.

## Teorema 5.21

Seja $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ um espaço com medida e, para cada $n\in \mathbb {N} ,$ seja $f_{n}:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ uma função mensurável. Então:
* A função $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ definida por $f(x)=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ é mensurável;
* $\int \limits _{X}f\,d\mu =\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{X}f_{n}\,d\mu .$
O resultado técnico apresentado a seguir, conhecido como Lema de Fatou, se mostrará extremamente importante e útil.

## Teorema 5.22

Seja $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ um espaço com medida e, para cada $n\in \mathbb {N} ,$ seja $f_{n}:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ uma função mensurável. Então:
$\int \limits _{X}\left(\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}\right)\,d\mu \leq \limsup _{n\rightarrow \infty }\left(\int \limits _{X}f_{n}\,d\mu \right).$
O próximo resultado é uma generalização da Proposição 5.14.

## Teorema 5.23

Seja $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ um espaço com medida e $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ uma função mensurável sobre $X.$ Se $\varphi :{\mathfrak {M}}\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ é a função que em cada $E\in {\mathfrak {M}}$ vale
$\varphi (E):=\int \limits _{E}f\,d\mu ,$
então:
* $\varphi$ é uma medida sobre ${\mathfrak {M}}$;
* Para cada função mensurável $g:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ vale
$\int \limits _{X}g\,d\varphi =\int \limits _{X}gf\,d\mu .$

## Notas

* ↑ Isto é, $\alpha _{i}\not =\alpha _{j}$ quando $i\not =j.$
* ↑ Lembre-se que $\sigma \leq f$ significa $\sigma (x)\leq f(x),$ para todo $x\in X.$
* ↑ A mensurabilidade desta função segue do Lema 3.2, considerando que cada $G_{i}$ é mensurável.
* ↑ Ou seja, $\sigma (x)\leq \tau (x),$ para todo $x\in X.$
* ↑ Mesmo quando$\mu (E)=\infty ,$ uma vez que se convencionou que $0\cdot \infty =0.$
* ↑ Mesmo quando em cada $x\in X$ vale $f(x)=\infty .$
* ↑ Lembre-se que $\left(X,{\mathfrak {M}},\mu \right)$ é um espaço com medida.
* ↑ Isto é, se $f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)$ para todo $n\in \mathbb {N}$ e para todo $x\in X.$