# Mecânica dos fluidos/Análise dimensional
## Introdução
### Conceito

A análise tradicional trata das relações matemáticas entre as grandezas físicas relevantes. Em contraste, a análise dimensional trata das relações matemáticas entre as dimensões dessas grandezas. As técnicas da análise dimensional geralmente são mais simples e complementam as técnicas tradicionais, apresentando utilidade no:
* desenvolvimento de equações para uso na análise tradicional
* desenvolvimento de fórmulas para conversão entre diferentes sistemas de unidades
* descoberta de quais variáveis são relevantes em um determinado problema teórico ou experimental
* estabelecimento de princípios para o desenvolvimento de protótipos
A análise dimensional tem o objetivo de proporcionar uma idéia geral de um determinado problema antes de aplicar as técnicas experimentais ou de análise. Dessa forma, a probabilidade de escolha de uma linha de trabalho bem sucedida ou mais econômica é maior. Ela também permite identificar tendências ou constantes a partir de um volume grande de dados experimentais.
Análise dimensional não se aplica apenas à mecânica dos fluidos, mas a qualquer ramo da ciência, em princípio. Em mecânica dos fluidos, entretanto, ela adquire uma importância particular devido à dificuldade em se obterem soluções analíticas para a maioria dos problemas práticos.

### Algumas relações básicas

A análise dimensional consiste em expressar todas as relações em função de três dimensões básicas independentes, que podem ser massa (M), comprimento (L) e tempo (t), por exemplo. Neste caso, algumas grandezas comuns em mecânica dos fluidos seriam facilmente expressas da forma seguinte:
* área: [L$^2$]
* volume: [L$^3$]
* densidade: [ML$^{-3}$]
* velocidade: [Lt$^{-1}$]
* velocidade angular: [t$^{-1}$]
* aceleração: [Lt$^{-2}$]
* força: [MLt$^{-2}$]
* pressão: [ML$^{-1}$t$^{-2}$]
* energia/trabalho/calor: [ML$^2$t$^{-2}$]
* potência: [ML$^2$t$^{-3}$]
* torque: [ML$^2$t$^{-2}$] (o mesmo que energia/trabalho/calor)
A partir daí, podemos passar a algumas grandezas menos comuns:
* tensão: [ML$^{-1}$t$^{-2}$] (o mesmo que a pressão)
* tensão superficial: [Mt$^{-2}$] (o mesmo que força por comprimento)
* viscosidade: [ML$^{-1}$t$^{-1}$]
* viscosidade cinemática: [L$^2$t$^{-1}$]
* vazão volumétrica: [L$^3$t$^{-1}$]
* vazão mássica: [Mt$^{-1}$]

### Exemplo de desenvolvimento de equação a partir da análise dimensional

Como exemplo, suponhamos que queremos encontrar uma fórmula para expressar a distância percorrida por um corpo em queda livre a partir do repouso. Intuitivamente, sabemos que ela dependerá da aceleração gravitacional, da massa do corpo e do tempo decorrido. Escrevemos então l = f(m,g,t) e supomos f = k·m$^a$·g$^b$t$^c$, onde k é uma constante adimensional; essa é a forma mais simples de equação possível. O problema consiste, então, em encontrar os valores de a, b e c, constantes inteiras. Escrevemos então a equação dimensional L = D(l) = D(f) = D(k·m$^a$·g$^b$t$^c$) = M$^a$[Lt$^{-2}$]$^b$t$^c$ = M$^a$L$^b$t$^{c-2b}$, o que resulta em a = 0, b = 1 e c - 2b = 0 ⇒ c = 2. Assim, l = kgt$^2$, o que indica que nossa expectativa inicial de a massa do corpo influir no resultado era incorreta, mas não nos impediu de chegar à resposta correta.
A constante adimensional k precisa ser obtida experimentalmente. Neste caso, k = 0.5. Frequentemente é impossível encontrar o valor dessa constante, o que indica que a função f considerada inicialmente precisa ser reformulada. Suponhamos, por exemplo, que o corpo possuía uma velocidade inicial v. Para encontrar a influência dessa grandeza no resultado, aplicamos novamente a técnica, escrevendo l = f(m,g,t,v), supomos f = k·m$^a$·g$^b$t$^c$v$^d$,o que resulta em L = D(l) = D(f) = D(k·m$^a$·g$^b$t$^c$v$^d$) = M$^a$[Lt$^{-2}$]$^b$t$^c$[Lt$^{-1}$]$^d$ = M$^a$L$^{b-d}$t$^{c-2b-d}$, o que resulta em a = 0, b - d = 1 e c - 2b - d = 0. Esse sistema possui uma infinidade de soluções: uma delas é b = 2, d = 1 e c = 5, o que resultaria em l = kg$^2$t$^5$v. A experiência mostrará que em nenhum caso será possível encontrar um valor para k que se ajuste aos resultados práticos. A função f teria que ser alterada para f = k$_1$·m$^a$·g$^b$t$^c$v$^d$ + k$_2$·m$^e$·g$^f$t$^g$v$^h$, e então, após algumas tentativas, o resultado correto seria alcançado.

### Exemplo de aplicação da análise dimensional para simplificar um procedimento experimental

Considere-se o problema, relativamente simples, da determinação da força de arrasto em um objeto esférico perfeitamente liso imerso em um líquido. Podemos razoavelmente supor que o fenômeno será influenciado por um pequeno número de variáveis: o tamanho da esfera, a velocidade do fluxo, a viscosidade e a densidade do fluido. Um procedimento experimental direto para levantar o valor da força F como uma função desses 5 parâmetros seria realizar um número n de experiências diferentes variando apenas um deles, mantendo os demais constantes, e medindo de alguma forma a força de arrasto em cada caso; seriam, portanto n$^4$ experiências e n = 10, um valor não muito grande, resultaria em 10.000 experiências. Além disso, para eliminar erros aleatórios de medição, cada medição deveria ser realizada algumas vezes, e a média e a variância da distribuição, analisadas. O trabalho seria imenso e tomaria muito tempo, e o volume de dados obtido demandaria um esforço de análise ainda maior. Outra dificuldade seria a obtenção de fluidos diferentes com a mesma densidade e viscosidades diferentes, e de fluidos com viscosidades iguais e diferentes densidades.
A análise dimensional ajuda a diminuir essas dificuldades, pois podem-se combinar essas 5 variáveis (as 4 originais, mais a força de arrasto) de forma a obterem-se 2 grupos adimensionais (ou monômios adimensionais) e escrevendo-se um em função do outro, o que requer um número de experiências 1.000 vezes menor. Além disso, a viscosidade e a densidade podem ser combinadas no adimensional ${\frac {\rho vL}{\mu }}$, o que elimina a necessidade de se variar o valor desses parâmetros durante o experimento; basta variar a velocidade do fluxo, o que permite que apenas um líquido já seja suficiente para o levantamento.

## O teorema Pi de Buckingham
### Enunciado

O teorema Pi de Buckingham estabelece que, em lugar de aplicar a técnica da análise dimensional a uma função f de n variáveis, é possível aplicar a técnica a uma função g de n - k variáveis auxiliares, sendo k o número de dimensões fundamentais, o que torna o problema mais simples. As variáveis auxiliares são adimensionais, e cada uma pode ser expressa por uma função h de, no máximo, k + 1 variáveis originais. Essas variáveis auxiliares são chamadas grupos adimensionais π ou números π.
Como ilustração, tomemos novamente o problema da queda livre de um corpo a partir de uma velocidade inicial. Em lugar de l = f(m,g,t,v) devemos escrever f(l,m,g,t,v) = 0, para satisfazer a forma exigida pelo teorema. Neste caso, n = 5; as dimensões de cada variável (l,m,g,t,v) são, respectivamente, [L], [M], [LT$^{-2}$], [T] e [LT$^{-1}$]. São k = 3 as dimensões fundamentais presentes. É possível, portanto, definir n - k = 2 grupos adimensionais π. Selecionam-se k + 1 = 4 das variáveis originais de maneira a formar o primeiro grupo adimensional π: por exemplo, s, m, g e t; escrevemos [M$^0$L$^0$T$^0$] = [L$^a$M$^b$[LT$^{-2}$]$^c$T$^d$] = [M$^b$L$^{a+c}$T$^{d-2c}$] ⇒ b = a + c = d - 2c = 0. Escolhemos arbitrariamente a = -1, o que implica c = e d = 2. Assim, π$_1$ = h$_1$(s,m,g,t) = l$^{-1}$·m$^0$·g$^1$t$^2$. Procedendo da mesma forma em relação ao grupo adimensional π$_2$ = h$_2$(s,m,t,v), encontraremos [M$^0$L$^0$T$^0$] = [L$^e$M$^f$T$^g$[LT$^{-1}$]$^h$ = [M$^f$L$^{e+h}$T$^{g-h}$] ⇒ f = e + h = g - h = 0. Escolhemos arbitrariamente e = -1, o que implica h = 1 e g = 1. Assim, π$_2$ = h$_2$(s,m,t,v) =l$^{-1}$·m$^0$·t$^1$v$^1$ = 0. Com tudo isso, obtivemos
$\pi _{1}\;=\;k_{a}l^{-1}gt^{2}\qquad \pi _{2}\;=\;k_{b}l^{-1}tv$
$l\;=\;k_{1}\;l\;\pi _{1}\;+\;k_{2}\;l\;\pi _{2}\;=\;k_{1}gt^{2}\;+\;k_{2}tv$
O teorema se torna tanto mais útil quanto maior é o número de variáveis originais.
Os expoentes a, b, c etc. devem ser números racionais. Para facilitar os cálculos, é comum que sejam escolhidos números inteiros.
Os grupos adimensionais encontrados não são únicos. Vários conjuntos diferentes de grupos adimensionais podem ser obtidos a partir do mesmo procedimento, se escolhermos de forma diferente as variáveis a serem repetidas.

### Procedimento de aplicação

O procedimento para aplicação do teorema π de Buckingham em casos práticos é o seguinte:
* Listar as n variáveis físicas q$_1$, q$_2$ ... q$_n$ que se supõem relevantes no caso;
* Listar as k dimensões físicas envolvidas no problema;
* Se uma das variáveis for adimensional, ela constitui por si só um grupo π;
* Se duas variáveis q$_i$ e q$_j$ tiverem a mesma dimensão, formar um grupo π com a razão q$_i$/q$_j$;
* Tomar k das variáveis q$_i$, de forma que todas as dimensões físicas estejam representadas no grupo;
** incluir as variáveis mais propícias ao trabalho experimental; por exemplo, a velocidade é mais fácil de se conseguir fazer variar numa faixa ampla do que a viscosidade, portanto é mais propícia ao trabalho experimental;
** não incluir nesse grupo a variável para a qual se deseja obter a fórmula;
** não incluir nesse grupo um par de variáveis tais que a dimensão de uma seja a potência da dimensão da outra; por exemplo, comprimento (L) e momento de inércia de área (L$^4$);
* Para cada uma das demais variáveis, tomar o grupo obtido nos passos acima, cada uma elevada a um expoente desconhecido e mais essa variável, elevada a um expoente conhecido (em geral, 1 ou -1);
* Resolver as equações dimensionais resultantes e encontrar o valor de cada expoente.

### Exemplo de aplicação do teorema ao problema do arrasto de uma esfera

Considere-se novamente o problema da determinação da força de arrasto em um objeto esférico perfeitamente liso imerso em um líquido, e apliquemos a ele o teorema Pi de Buckingham. As variáveis originais serão:
* o diâmetro da esfera (L) - dimensão [L];
* a velocidade do fluxo (v) - dimensão [Lt$^{-1}$];
* a viscosidade do fluido (μ) - dimensão [ML$^{-1}$t$^{-1}$];
* a densidade do fluido (ρ) - dimensão [ML$^{-3}$];
* a força de arrasto (F) - dimensão [MLt$^{-2}$];
As k = 3 dimensões envolvidas, como se vê, são [M], [L] e [t].
Selecionemos os 3 parâmetros ρ, v e L; F, de acordo com o teorema, não deve ser utilizado. As equações dimensionais resultantes serão:
$\pi _{1}\;=\;\rho ^{a}v^{b}L^{c}F\qquad \pi _{2}\;=\;\rho ^{d}v^{e}L^{f}\mu$
$[M]^{0}[L]^{0}[t]^{0}\;=\;[ML^{-3}]^{a}[Lt^{-1}]^{b}[L]^{c}[MLt^{-2}]\qquad [M]^{0}[L]^{0}[t]^{0}\;=\;[ML^{-3}]^{d}[Lt^{-1}]^{e}[L]^{f}[ML^{-1}t^{-1}]$
o que resulta em
$(M)\;\;\;0\;=\;a\;+\;1\;\;\;\Rightarrow a\;=\;-1$
$(t)\;\;\;0\;=\;-\;b\;-\;2\Rightarrow b\;=\;-2$
$(L)\;\;\;0\;=\;-\;3a\;+\;b\;+\;c\;+\;1\;\;\;\Rightarrow c\;=\;-2$
$(M)\;\;\;0\;=\;d\;+\;1\;\;\;\Rightarrow d\;=\;-1$
$(t)\;\;\;0\;=\;-\;e\;-\;1\;\;\;\Rightarrow e\;=\;-1$
$(L)\;\;\;0\;=\;-\;3d\;+\;e\;+\;f\;-\;1\;\;\;\Rightarrow f\;=\;-1$
Assim
$\pi _{1}\;=\;{\frac {F}{\rho v^{2}L^{2}}}\qquad \pi _{2}\;=\;{\frac {\mu }{\rho vL}}$

## Exercícios resolvidos

* F1
* F2
* F3
* F4