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## Tablôs semânticos

Como vimos, as tabelas de verdade são uma ferramenta que nos permite analisar as fórmulas para cada caso de valoração, o que nos permite determinar se elas são tautologias, contradições ou contingentes. Também podemos usar as tabelas de verdade para comparar fórmulas, e assim dizer se são contraditórias entre si, equivalentes ou se uma é conseqüencia lógica da outra.
Contudo, digamos que nosso interesse seja apenas determinar se uma fórmula é tautológica ou um argumento é válido. Caso a fórmula ou o argumento seja complexo, poderíamos demorar muito até terminar a tabela, ou, no caso de ser uma contingência ou um argumento inválido, encontrar a valoração na qual a fórmula é falsa, ou a premissa seja verdadeira enquanto a conclusão é falsa, respectivamente.
Neste caso, seria interessante um método que permite rapidamente determinar se existe alguma valoração na qual a fórmula seja falsa ou a premissa seja verdadeira, ou uma valoração na qual a premissa seja verdadeira enquanto a conclusão seja falsa. Este metodo é a construção dos tablôs semânticos.
Tablôs semânticos - também conhecidos como tableaux ou árvores - consistem num método de provar que uma fórmula é tautologia ou que um argumento é válido por contradição.
Provar por contradição consiste em provar a verdade de $\psi \!\,$ supondo que $\psi \!\,$ é falso, desenvolvendo a idéia da falsidade até chegar a uma contradição. Oras, se $\psi \!\,$ é falso é contraditório, então $\psi \!\,$ é verdadeiro.
Em outras palavras, se ${\mathfrak {v}}\left(\psi \right)=\mathrm {F} \Longrightarrow {\mathfrak {v}}\left(\varphi \right)=\mathrm {V} \ ,\ {\mathfrak {v}}\left(\varphi \right)=\mathrm {F}$ então devemos inferir ${\mathfrak {v}}\left(\psi \right)=\mathrm {V}$.

### Tablôs de Fórmulas
#### Exemplo 1

    Comecemos então com as tautologias. Vamos provar que a fórmula (ou mais precisamente, esquema de fórmula) $\alpha \to \left(\beta \to \alpha \right)$ é uma tautologia.
    O primeiro passo consiste em supor que ela seja falsa:
    $\mathbf {F} \quad \alpha \to \left(\beta \to \alpha \right)$
    Agora desenvolveremos esta suposição. A fórmula consiste em uma implicação que tem $\alpha \,\!$ como antecedente e $\alpha \to \beta \,\!$ como conseqüente. Como vimos anteriormente, o valor de uma implicação é falso se e somente se o antecedente é verdadeiro e o consequente, falso. Portanto, vamos inserir isto no tablô.
    $\mathbf {F} \quad \alpha \to \left(\beta \to \alpha \right)\quad$
    $\mathbf {V} \quad \alpha \,\!$
    $\mathbf {F} \quad \beta \to \alpha$
    É feita uma marca nas fórmulas usadas, pois estas não podem ser usadas novamente.
    Mais uma vez, se $\beta \to \alpha$ é falso, então o antecedente $\beta \,\!$ é verdadeiro enquanto o conseqüente $\alpha \,\!$ é falso:
    $\mathbf {F} \quad \alpha \to \left(\beta \to \alpha \right)\quad$
    $\mathbf {V} \quad \alpha \,\!$
    $\mathbf {F} \quad \beta \to \alpha \quad$
    $\mathbf {V} \quad \beta \,\!$
    $\mathbf {F} \quad \alpha \,\!$
    $\times$
Este tablô nos mostra que ${\mathfrak {v}}\left(\alpha \to \left(\beta \to \alpha \right)\right)=\mathrm {F} \Longrightarrow {\mathfrak {v}}\left(\alpha \right)=\mathrm {V} \ ,\ {\mathfrak {v}}\left(\alpha \right)=\mathrm {F}$.
    Oras, a fórmula $\alpha \,\!$ está com dois valores. Isto é contradição. Supor que $\alpha \to \left(\beta \to \alpha \right)$ seja falso nos leva a uma contradição. Assim sendo, $\alpha \to \left(\beta \to \alpha \right)$ sempre é verdadeira, ou seja, é uma tautologia.

#### Exemplo 2

    Passemos agora para um caso mais complicado. Vamos provar que a fórmula que descreve o modus tollens, $\left(\neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)\right)\to \neg \alpha$ , é tautológica.
    O primeiro passo. Supor que ela seja falsa:
    $\mathbf {F} \quad \left(\neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)\right)\to \neg \alpha$
Já sabemos como proceder no caso da falsidade de uma implicação:
    $\mathbf {F} \quad \left(\neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)\right)\to \neg \alpha \quad$
    $\mathbf {V} \quad \neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)$
    $\mathbf {F} \quad \neg \alpha$
    Na terceira linha temos a falsidade da negação de $\alpha \!\,$. Oras, se estamos supondo que a negação de uma fórmula é falsa, então temos que supor que a fórmula seja verdadeira:
    $\mathbf {F} \quad \left(\neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)\right)\to \neg \alpha \quad$
    $\mathbf {V} \quad \neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)$
    $\mathbf {F} \quad \neg \alpha \quad$
    $\mathbf {V} \quad \alpha \,\!$
    Como acabamos com o fragmento $\neg \alpha$ , marcamos isto. Agora voltemos nossa atenção à segunda linha, na qual temos a verdade de uma conjunção. Uma conjunção é verdadeira se e somente se as subfórmulas conjuntas são verdadeiras:
    $\mathbf {F} \quad \left(\neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)\right)\to \neg \alpha \quad$
    $\mathbf {V} \quad \neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)\quad$
    $\mathbf {F} \quad \neg \alpha \quad$
    $\mathbf {V} \quad \alpha \,\!$
    $\mathbf {V} \quad \neg \beta$
    $\mathbf {V} \quad \alpha \to \beta$
    Na quinta linha temos a verdade da negação de $\beta \,\!$. Oras, se estamos supondo que a negação de uma fórmula é verdadeira, devemos supor que a fórmula seja falsa.
    $\mathbf {F} \quad \left(\neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)\right)\to \neg \alpha \quad$
    $\mathbf {V} \quad \neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)\quad$
    $\mathbf {F} \quad \neg \alpha \quad$
    $\mathbf {V} \quad \alpha \,\!$
    $\mathbf {V} \quad \neg \beta \quad$
    $\mathbf {V} \quad \alpha \to \beta$
    $\mathbf {F} \quad \beta \,\!$
    Agora, lidar com a verdade de $\alpha \to \beta$ é mais complicado. Afinal, uma implicação entre duas fórmulas é verdadeira em dois casos, quando o antecedente é falso ou o conseqüente é verdadeiro.
    O tablô fica, então, desta forma:
Sempre que uma fórmula tem duas condições alternativas para receber uma determinada valoração, o tablô é ramificado; e é necessário que todos os ramos caiam em contradição para que a fórmula seja tautológica.

#### Exemplo 3

    Façamos um tablô de uma fórmula que envolva vários conectivos usuais. Uma das leis de Morgan,
$\neg \left(\alpha \lor \beta \right)\leftrightarrow \left(\neg \alpha \land \neg \beta \right)$ , parece bastante adequada para este fim.
    O primeiro passo já sabemos muito bem qual é:
    $\mathbf {F} \quad \neg \left(\alpha \lor \beta \right)\leftrightarrow \left(\neg \alpha \land \neg \beta \right)$
    Se estamos supondo a falsidade da bi-implicação entre duas subfórmulas, temos que supor que uma é falsa e a outra é verdadeira. Já temos uma ramificação:
    Analisemos primeiramente no ramo da esquerda, a fórmula $\neg \left(\alpha \lor \beta \right)$, que está marcada como verdadeira. Já sabemos bem como lidar com a verdade de uma negação:
    Agora temos uma situação nova: a falsidade de uma disjunção. Oras! Se estamos supondo que a disjunção entre duas fórmulas é falsa, temos que supor que ambas são falsas:
    Mais uma novidade para nós: a falsidade de uma conjunção. Sabemos que a conjunção entre duas fórmulas é falsa quando ao menos uma delas é falsa, o que nos obriga a ramificar o tablô:
Fecharam todos ramos do lado esquerdo. Voltemos nossa atenção para o direito:
    Já estão feitos todos casos conhecidos até chegarmos a um caso novo: a verdade de uma disjunção. Sabemos que uma disjunção entre duas fórmulas é verdadeira se e somente se ao menos uma das fórmulas for verdadeira. Isto nos obriga a ramificar o tablô:
Como podemos ver, o tablô fechou em todos os seus ramos. A fórmula é, portanto, tautológica.
Obs: Na verdade estamos trabalhando aqui com esquemas de fórmulas. Como já foi explicado, chamar "esquemas de fórmulas" por "fórmulas" é uma economia de linguagem.

#### Exemplo 4

    Agora vejamos como fica o tablô no caso de uma contradição, tal como a negação da primeira tautologia que fizemos tablô, $\neg \left(\alpha \to \left(\beta \to \alpha \right)\right)$:
    Todas fórmulas moleculares foram usadas. Não hás mais como proceder. Os ramos do tablo ficaram abertos. Não caímos em contradição ao supor que a fórmula seja falsa. Portanto ela não consiste numa tautologia.

#### Exemplo 5

    Vejamos agora como fica um tablô de uma fórmula contingente, tal como $\left(\varphi \lor \psi \right)\to \psi$ :
Mesmo que algum(ns) ramo(s) feche(m), e não necessariamente um tablô de uma fórmula contingente terá ramos fechados, outro(s) continua(m) aberto(s).

#### Regras de Construção de Tablôs

Segue adiante as regras de construção de tablôs:
    Um tablô está completo se:
* todos ramos do tablô fecharem (caírem em contradição). Neste caso a fórmula é tautológica ou argumento é válido.
    Ou se:
* todas fórmulas moleculares do tablô foram usadas. Neste caso, se algum ramo ficar aberto (não cair em contradição) então a fórmula não é tautológica ou o argumento não é válido.

#### Exercício

Determine por tablôs semânticos se as seguintes fórmulas são ou não são tautológicas:
* $\left(A\land B\right)\to \neg \neg A$
* $A\to \neg A$
* $\left(C\to \left(D\to E\right)\right)\to \left(\left(C\to D\right)\to \left(C\to E\right)\right)\,\!$
* $\neg P\to \left(P\to Q\right)\,\!$
* $P\to \left(P\to Q\right)\,\!$
* $\left(A\lor B\right)\to \left(A\land B\right)\,\!$
* $\left(A\to \left(B\to C\right)\right)\leftrightarrow \left(B\to \left(A\to C\right)\right)\,\!$
* $\neg \left(A\land B\right)\leftrightarrow \left(\neg A\lor \neg B\right)$
* $\neg \left(A\land B\right)\leftrightarrow \left(\neg A\land \neg B\right)$
* $\left(P\to Q\right)\to P$
* $\left(\left(P\to Q\right)\to P\right)\to P$
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### Tablôs de Argumentos

    Para verificar se uma fórmula é tautológica, ou seja, sempre verdadeira, supomos que ela seja falsa, desenvolvemos esta suposição e, se cairmos em contradição, é porque a fórmula é mesmo tautológica.
    De forma análoga, para verificar se um argumento é válido - ou seja, é de forma tal que sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão também é verdadeira – supomos que ele seja inválido.
    Se um argumento é inválido então as premissas podem ser verdadeiras enquanto a conclusão é falsa. É justamente isto que vamos supor.

#### Exemplo 1

    Vejamos como ficara o tablô de um argumento que já conhecemos, o Modus tollens,
    $\left\{A\to B\ ,\neg B\right\}\vDash \neg A$
    $\mathbf {V} \quad A\to B$
    $\mathbf {V} \quad \neg B$
    $\mathbf {F} \quad \neg A$
    Oras, só muda o passo inicial em relação aos tablôs de fórmulas. Já sabemos como proceder agora:

#### Exemplo 2

    Agora vejamos como fica uma falácia no tablô. Peguemos uma que já conhecemos, tal como a afirmação do termo disjunto:
    Não caímos em contradição ao supor que $B\,\!$ seja falsa enquanto $\neg \left(A\land B\right)$ e $\neg A\,\!$ são verdadeiras. Portanto, $B\,\!$ não é conclusão de um argumento válido do conjunto de premissas $\left\{\neg \left(A\land B\right),\neg A\right\}$

#### Exercício

Determine por meio dos tablôs semânticos se os seguintes argumentos são válidos ou não. Lembre-se que as fórmulas à esquerda do símbolo "$\therefore$" são as premissas, enquanto as fórmulas à direita, as respectivas conclusões.
* $\varphi \therefore \varphi \lor \psi \,\!$
* $\left\{\varphi \to \psi ,\psi \to \chi \right\}\therefore \varphi \to \chi \,\!$
* $\delta \to \gamma \therefore \neg \delta \to \neg \gamma \,\!$
* $\left\{\alpha \lor \beta ,\neg \alpha \right\}\therefore \beta \,\!$
* $\left\{\alpha \lor \beta ,\alpha \right\}\therefore \neg \beta \,\!$
* $\delta \to \gamma \therefore \neg \gamma \to \neg \delta \,\!$
* $\left\{\varphi \to \psi ,\psi \to \varphi \right\}\therefore \varphi \leftrightarrow \psi$
* $\left\{\varphi \to \chi ,\delta \to \chi \right\}\therefore \left(\varphi \lor \delta \right)\to \chi \,\!$
* $\neg \left(\alpha \land \beta \right)\therefore \neg \alpha \,\!$
* $\neg \alpha \therefore \neg \left(\alpha \land \beta \right)\,\!$
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