# Álgebra abstrata/Conjuntos
## Teoria dos Conjuntos

O objetivo deste livro não é estudar a Teoria dos Conjuntos; este estudo pode ser feito de forma elementar (ou ingênua), de forma axiomática, ou mesmo de forma avançada (que é a análise dos próprios axiomas, verificando independência, completude e consistência).
Uma versão elementar está incluída no livro Matemática elementar: Matemática elementar/Conjuntos.
A teoria axiomática dos conjuntos (algumas vezes chamada de teoria ingênua dos conjuntos) está no livro Teoria dos conjuntos.
A Teoria dos Conjuntos é essencial para aprender Álgebra. O que se segue é um resumo da teoria, apenas alguns conceitos, mas será o suficiente para começarmos a estudar álgebra.

### Definição de Conjunto

Conjunto é uma coleção de objetos
* Ex: $A=\{1,2,3\}\;$, $B=\{azul,amarelo,verde\}\;$
** $A\;$ é uma coleção de números, $B\;$ é uma coleção de cores $\;$
** Logo $A\;e\;B$ são conjuntos
Seja $X\;$ um conjunto:
* $Se\;x\in X$, significa que $x\;$ é um elemento de $X\;$.
* $Se\;x\not \in X$, significa que $x\;$ não é um elemento de $X\;$.

### Definição de Subconjunto

Um subconjunto $Y\;$ é parte de certa coleção $X\;$.
* Ex: $X=\{x\in \mathbb {R} ;\;x>2\},Y=\{y\in \mathbb {R} ;\;4<y<10\}$
** Assim $y\in X,\forall \;y\in Y$, isto é, todo elemento que pertence a $Y\;$, pertence a $X\;$, por isso dizemos que $Y\;$ é subconjunto de $X\;$.
* Mais formalmente, se $y\in Y\Rightarrow y\in X$, logo $Y\subset X\Leftrightarrow X\supset Y$

#### Inclusão

$Y\subset X$ é a inclusão dos elementos de $Y\;a\;X$, e lê-se $Y\;$ está contido em $X\;$.

#### Igualdade

* $Y=X\Leftrightarrow Y\subset X\;e\;X\subset Y$
* Subconjunto próprio: $Y\;$ é subconjunto próprio de $X\Leftrightarrow Y\neq X$
** Isto é, $Y\subset X,mas\;X\not \subset Y$

#### Conjunto vazio

Um conjunto que não têm elementos é chamado de conjunto nulo e representado pelo símbolo $\varnothing$
* O $\varnothing \subset X$, isto é, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
* Às vezes é chamado de conjunto vazio.

### Conjunto x propriedade

É comum definirmos um conjunto usando alguma propriedade:
* $Seja\;X\subset K,X=\{x\in K;x\;goza\;da\;propriedade\;P\}$
* Ex: $K=\{...,-3,-2,-1,0,1,...\},X=\{x\in K;x>0\}=\{1,2,3,4,...\}$
** Veremos mais para frente que K é o conjunto dos inteiros e que X é o conjunto dos naturais

#### União

A união de dois conjuntos é a reunião dos seus elementos, se algum elemento estiver repetido na inclusão, será contado uma única vez, assim:
* $Seja\;A,B\subset K,A\cup B=\{x\in K;x\in A\;ou\;x\in B\}$
** Veremos mais para frente que $A\cup B=(A-B)\cup (B-A)\cup (A\cap B)$ ao qual são três conjuntos disjuntos
Exemplos:
* $A\cup A=A$
* $A\cup B=A\Leftrightarrow B\subset A$

#### Intersecção

A intersecção de dois conjuntos é a reunião dos elementos que estão em ambos, assim:
* $Seja\;A,B\subset K,A\cap B=\{x\in K;x\in A\;e\;x\in B\}$
Exemplos:
* $A\cap A=A$
* $A\cap B=B\Leftrightarrow B\subset A$

#### Disjuntos

Dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção dos conjuntos é o conjunto vazio, ou seja, quando seus elementos são distintos.
* $Seja\;A,B\subset K,A\cap B=\varnothing \Rightarrow A,B$ são disjuntos.
Exemplos:
* $A\cap A=A$. Logo A não é disjunto dele próprio.
* $A\cap B=B$. Logo A,B não são disjuntos.
* $Seja\;A=\{...,-4,-3,-2,-1\},B=\{1,2,3,4,...\};A\cap B=\varnothing$. Logo A,B são disjuntos.

#### Diferença

A diferença de dois conjuntos é a exclusão dos elementos do segundo conjunto que estão no primeiro, assim:
* $Seja\;A,B\subset K,A-B=\{x\in K;x\in A\;e\;x\not \in B\}$.
Exemplos:
* $A-A=\varnothing$.
* $A-B=A\Leftrightarrow A\cap B=\varnothing$.
** $Seja\;A=\{...,-4,-3,-2,-1\},B=\{1,2,3,4,...\};Como\;A\cap B=\varnothing \Rightarrow A-B=A$.
* $Seja\;A,B\subset K;A\cap B=\varnothing ;A\cup B=K\Rightarrow K-A=B;K-B=A$.

##### Complemento

É um modo diferente de ver a diferen~ça de dois conjuntos
* $Seja\;A,B\subset K;A\cup B=K\Rightarrow A-B=\complement _{A}B=K-B=\complement _{K}B$.

### Distributividade do conjuntos

Existe duas importantes propriedades usando união e intersecção, são elas:
* $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
* $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

## Axiomas básicos

Um subconjunto importante é o $I_{n}=\left\{p\in \mathbb {N} ,1\leq p\leq n\right\}$ $\forall n\in \mathbb {N}$, pois através deles conseguimos contar elementos de um conjunto.
* Exemplo: $I_{5}=\{1,2,3,4,5\}$

### Axiomas de Peano (sucessão)

A função sucessão é dada por $S(n)=n+1;\forall n\in \mathbb {N}$
* (Identidade) A função de sucessão $s:\mathbb {N} \mapsto \mathbb {N}$ é injetiva
** Dados $m,n\in \mathbb {N} ,s(m)=s(n)\Rightarrow m=n$
* (Menor Elemento) Existe um elemento que não é sucessor de nenhum outro: 1
** Logo $\not \exists m$ tal que s(m)=1
** (unicidade) $\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow s(n)\in \mathbb {N}$
*** Seja $m,n,p\in \mathbb {N} ;s(n)=p+1;s(m)=p+1$, para cada fator temos que n=p e m=p; por transitividade n=m. Logo o sucessor de um número é único
* (Princípio da Indução) Seja $X\subset \mathbb {N}$ um conjunto com as seguintes propriedades: $1\in X$; Se $k\in X$ então $k+1\in X$. Então $X=\mathbb {N}$

### Teorema (Princípio da boa ordenação)

Todo subconjunto não-vazio $A\subset \mathbb {N}$ possui um elemento mínimo.

##### Prova

* Devemos mostrar o complementar de $A$ em relação ao $\mathbb {N}$ assim $B\subset \mathbb {N} -A$
** Tomemos um subconjunto $\mathbb {N}$ : $B$ formado pelos elementos que não estão em $A\;$, ou seja, $B=\{x\in \mathbb {N} /x\not \in A\}$.
* a quem pertence o elemento $1$
** Se $1\in A$ o teorema está demonstrado, pois $1$ é o menor elemento do $\mathbb {N}$.
** Se $1\not \in A,$ logo $1\in B$
* O conjunto $I_{n}\;$
** Agora tomemos um subconjunto de $B\;$, chamado $I_{n}=\{1,2,...n\}\;$ onde n é o maior natural tal que aconteça isso, assim $1\not \in A,2\not \in A,...,n\not \in A$
* mostrar que $n+1\in A$
** Pela construção do conjunto $I_{n}\;$, temos que $n\in I_{n}$. Se $n+1\in B$, teríamos $n+1\in I_{n}$ e logo $I_{n+1}\;$. Como não faz sentido, logo $n+1\not \in B$, portanto $n+1\in A$
* Devemos mostrar que $n+1\;$ é o menor elemento de $A\;$
** Como todos os antecessores de $n+1\;$ são os elementos de $I_{n}\;$, temos que $n+1\;$ é o menor elemento de $A\;$, pois os elementos menores que $n+1\;$ estão em $B\;$

## Conjuntos finitos e infinitos

Um conjunto X é finito quando assume uma das opções abaixo:
* quando ele é vazio. (Neste caso o conjunto têm 0 elementos)
* quando existe uma bijeção entre $I_{n}$ e $X$. (Neste caso o conjunto têm n elementos)
** escreve-se $f_{bij}:I_{n}\mapsto X$.
Concluímos que:
* todo conjunto $I_{n}$ é finito.
* Que uma função bijeção entre dois conjuntos ocorre somente quando eles possuem a mesma quantidade de elementos
* Numa bijeção, se um conjunto é finito, o outro também o é.
Quando o conjunto X não é finito (ou seja, não atende os requisitos para ser finito), o chamamos de infinito.

## Propriedades importantes dos conjuntos finitos
### Teorema (Bijeção sobre um subconjunto)

Seja $A\subset I_{n}$. Se existir uma bijeção $f:I_{n}\mapsto A,$ então $A=I_{n}$.

##### Prova

* o fato de $A$ ser um subconjunto de $I_{n}$ nos diz que
** $A$ têm no máximo os mesmos elementos de $I_{n}$
** $A$ têm no máximo n elementos.
* Se $I_{n}\mapsto A$ é uma bijeção, pela definição de finito, temos que A têm a mesma quantidade de elementos de $I_{n}$.
* Juntando os dois fatos (o fato de $A$ ter a mesma quantidade de elementos de $I_{n}$ e que esses elementos são no máximo os elementos de $I_{n}$) temos que $A=I_{n}$.

#### Corolário (unicidade numa bijeção)

Se existir uma bijeção $f:I_{m}\mapsto I_{n}$ então $m=n$. Consequentemente, se existem duas bijeções $f:I_{m}\mapsto X$ e $f:I_{n}\mapsto X$, logo $m=n$.

##### Prova

* o teorema 2 nos diz que seja $A\subset I_{n}$ e se existir uma $f_{bij}:I_{n}\mapsto X$, temos que $I_{n}=A$
** Logo devemos supor que $I_{m}\subset I_{n}$ (neste caso estamos supondo que $m\leq n$), e essa suposição é válida pois se fosse $m>n$ não teríamos uma bijeção
* Pelo teor 2, $I_{m}=I_{n}$ ao qual $\Rightarrow m=n$

#### Corolário (bijeção sobre uma parte própria)

Não pode existir uma $f_{bij}:X\mapsto Y$ de um conjunto finito sobre uma parte própria $Y\subset X$

##### Prova
### Teorema (Propriedades de um subconjunto)

Se $X$ é um conjunto finito então todo subconjunto $Y\subset X$ é finito. O número de elementos de Y não excede o de X e só é igual quando Y = X.

##### Prova
#### Corolário

Seja $f:X\mapsto Y$ uma função injetora. Se Y for finito então X também será. Além disso, o número de elementos de X não excede o de Y.

##### Prova
## Leia mais

* Conjunto estudado no ensino médio
* Teoria dos conjuntos
* Bijetiva
* Teoria dos Conjuntos (em inglês)