# Tábuas Atuariais/Tábuas de comutação

Quando se aplica uma determinada taxa de juros sobre os dados de uma tábua de mortalidade tem-se uma Tábua de Comutação. As tábuas de comutação foram um grande marco na história dos seguros de renda e contra a morte, pois simplificaram o cálculo de diversas operações relacionadas a estes tipos de seguros, na época em que estes eram atribuições humanas e não dos computadores.
Esse recurso foi desenvolvido com o emprego de símbolos para simplificar as expressões utilizadas no cálculo de anuidades em espaços de tempo diferentes. A maioria dos autores em português atribuem a Johannes Nikolaus Tetens a criação deste recursos em 1785 na obra Introduction to the Calculation of Life Annuities. Mas há também quem atribua a William Morgan, William Dale ou George Barrett (1752-1821) esta invenção. A seguir, as funções que são utilizadas neste wikilivro seguindo o sistema de comutação usualmente utilizado:

## Principais funções
   ## Sobrevivência, ou 1ª série

* $\,D_{x}=l_{x}\times v^{x}\,\!$: Comutação de primeira ordem
* $\,N_{x}=\sum _{x=x}^{\omega }D_{x}\,\!$: Comutação de segunda ordem
* $\,S_{x}=\sum _{x=x}^{\omega }N_{x}\,\!$: Comutação de terceira ordem

   ## Morte, ou 2ª série

* $\,C_{x}=d_{x}.v^{x+1}\,\!$: Comutação de primeira ordem
* $\,M_{x}=\sum _{x=x}^{\omega }C_{x}\,\!$: Comutação de segunda ordem
* $\,R_{x}=\sum _{x=x}^{\omega }M_{x}\,\!$: Comutação de terceira ordem
Para:
$\,v=(1+i)^{-1}\,\!$, onde,
| $\,v\,\!$: fator de desconto; | $\,i\,\!$: taxa de juros; | $\,x\,\!$: idade; | $\omega \,\!$: última idade atingível; | $l_{x}\,\!$: indivíduos no início da idade $\,x\,\!$; | $d_{x}\,\!$: indivíduos que faleceram na idade $x\,\!$. |
Observe a simplificação trazida pela utilização das comutações:
${\frac {N_{50}}{D_{50}}}={\frac {l_{50}\times v^{50}+l_{51}\times v^{51}+l_{52}\times v^{52}+l_{53}\times v^{53}+l_{54}\times v^{54}+l_{55}\times v^{55}+...+l_{\omega -1}\times v^{\omega -1}+l_{\omega }\times v^{\omega }}{l_{50}\times v^{50}}}\,\!$
Embora os símbolos de comutação só tenham sido inventados na segunda metade do século XVIII, a “descapitalização” dos vivos e mortos em cada idade, já era usada anteriormente. O que nos ajuda a comprovar isso é que os símbolos utilizados nas comutações, segundo a simbologia atribuída a Barret, são as iniciais dos termos - na língua inglesa, obviamente - que representam a utilização mais constante nos cálculos de prêmios e valores garantidos em seguros de renda e contra morte. Assim, temos a letra D representando o Denominator, utilizado nos cálculos de renda e seguros contra morte, na parte “de baixo” da divisão, predominantemente. A letra N, “a parte de cima” vêm de Numerator. E a letra S vem de Sum, por ser um somatório de N.
As funções de morte, são as letras imediatamente anteriores na ordem alfabética: C, M e R, também em maiúsculo. Pela ordem natural da vida, haveria "mais lógica" na utilização da letras posteriores (E, O e T), mas estas poderiam causar alguma confusão, já que o e, tanto maiúsculo quanto minúsculo, e o T, já representam-se outras funções usadas na matemática atuarial.

## Comutações de Invalidez

As comutações também passaram a ser utilizadas nos seguros envolvendo invalidez, criando tábuas de serviço que facilitam e viabilizaram os cálculos de prêmio e reservas em muitos seguros.