OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Análise rn/Bibliografia
## Bibliografia

* Livro-textos
** Lima, Elon Lages. Curso de Análise. Rio de Janeiro: IMPA, 2006. v. 2.
** Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. New York: McGraw-Hill Inc., 1976. v. 1.
** Hönig, Chaim Samuel. Aplicações da Topologia à Análise. Brasil: IMPA, 1976.
** Spivak, Michael. Cálculo on Manifolds. United States of America: Addison-Wesley Publishing Company, 1965.
* Livro-virtuais
** Real analysis: Wikilivro em inglês sobre Análise real e sua Bibliografia;
** Real analysis: Conceitos de Análise real na Wikipédia em inglês;
** Análise Real: Conceitos de Análise real na Wikipédia em português;
** Topology: Wikilivro em inglês sobre Topologia;
** Topologia: Wikilivro em português sobre Topologia;
** Análise I - Notas de aula de um curso de análise ministrado na Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação. Pode ser útil em algum momento.
** Análise II - Notas de aula de um curso de análise ministrado no Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação. Pode ser útil em algum momento.
** Análise III - Notas de aula de um curso de análise ministrado na Universidad Nacional Autônoma de México. Pode ser útil em algum momento.

## Recursos iniciais

* Ajuda:Página principal: Tutorial principal do Wikipédia;
** Fórmulas TeX: Página da Wikipédia sobre fórmulas matemáticas;
** Ajuda:Marcação TeX: Página do Wikilivros sobre fórmulas matemáticas;
** Help:Displaying a formula: Página do Meta sobre fórmulas matemáticas;
* Ajuda:Como iniciar uma página: Tutorial do wikilivros;

### Tradutores automáticos

* Tradução do Google (também disponível aqui)
* Windows Live Translator Beta
* Dicionário Michaelis - 6 Idiomas
# Análise rn/Capa

Índice
# Análise rn/Créditos

Este livro é resultado do conhecimento, do empenho e da dedicação de várias pessoas, que acreditam que o conhecimento deve ser de todos os que aspiram obtê-lo, sendo a doação um ato que é recompensado pela satisfação em difundir o saber.
Wikilivristas que cooperaram com o desenvolvimento e manutenção deste wikilivro:
# Análise real/tório
## Notação de Somatório e Produtório

Muitas vezes precisamos usar a soma ou produto de vários números reais de cada vez. Como "..." é dado sem significado pelos nossos axiomas, não podemos apenas escrever "$a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}$". Logo usamos símbolos $\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ e $\prod _{k=1}^{n}a_{k}$ para denotar a soma e produto, respectivamente, sobre um arbitrário número finito de números reais. Faremos isto indutivamente, como se segue:
* $\sum _{k=1}^{1}a_{k}=a_{1}$ e $\prod _{k=1}^{1}=a_{1}$
* $\sum _{k=1}^{n}a_{k}=a_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}$ e $\prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{n}\prod _{k=1}^{n-1}a_{k}$
Agora podemos provar algumas propridades de soma e produto:

### Propriedades

* A ordem da somatória pode ser mudada arbitrariamente. Ao qual, se $\{a_{k}:1\leq k\leq n\}=\{b_{k}:1\leq k\leq n\},$ então $\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}$ e $\prod _{k=1}^{n}a_{k}=\prod _{k=1}^{n}b_{k}$
** Prova: Isto segue por comutatividade e um pouco de indução.
* $\sum _{k=1}^{n}a_{k}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}=\sum _{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})$ e $\prod _{k=1}^{n}a_{k}\prod _{k=1}^{n}b_{k}=\prod _{k=1}^{n}(a_{k}b_{k})$
** Prova: Procederemos por indução. Primeiro, note que $\sum _{k=1}^{1}a_{k}+\sum _{k=1}^{1}b_{k}=a_{k}+b_{k}=\sum _{k=1}^{1}(a_{k}+b_{k}).$
Agora vamos supor que $\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}+\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}=\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k}+b_{k}).$ Logo $\sum _{k=1}^{n}a_{k}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}$$=\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}+a_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}+b_{n}$$=\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}+\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}+a_{n}+b_{n}$$=\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k}+b_{k})+(a_{n}+b_{n})$$=\sum _{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k}).$
A prova para o produto segue-se similarmente.
* $c\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}ca_{k}$
** Prova: Outra indução. Para $n=1,$ $c\sum _{k=1}^{1}a_{k}=ca_{1}=\sum _{k=1}^{1}ca_{k}.$ Vamos supor que seja verdade para n-1. logo $c\sum _{k=1}^{n}a_{k}=c(\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}+a_{n})=\sum _{k=1}^{n-1}ca_{k}+ca_{n}=\sum _{k=1}^{n}ca_{k}.$
* $\sum _{k=1}^{n}(a_{k})\sum _{l=1}^{m}(b_{l})=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{m}a_{k}b_{l}$
** Prova: Faremos indução sobre n. A propriedade anterior toma conta do caso em que n=1. Assuremos que seja verdade para n-1. Logo $\sum _{k=1}^{n}(a_{k})\sum _{l=1}^{m}(b_{k})$$=(\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k})+a_{n})\sum _{l=1}^{m}(b_{k})$$=\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k})\sum _{l=1}^{m}(b_{k})+a_{n}\sum _{l=1}^{m}(b_{k})$$=\sum _{k=1}^{n-1}\sum _{l=1}^{m}(a_{k}b_{l})+\sum _{l=1}^{m}(a_{n}b_{k})$$=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{m}(a_{k}b_{l})$
Propridades mais familiares de soma e produto podem ser deduzidas por métodos similares.

## Princípio dos Intervalos encaixados

Esse conceito será muito útil para nós. E será muito usado nas próximas secções e em muitos exercícios.
* Seja uma $X_{1}\subset X_{2}\subset ...\subset X_{n}\subset ...$ sequência decrescentes de intervalos limitados e fechados $X_{n}=[x_{n},y_{n}]\;.$
** $X=\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}\neq \varnothing \Leftrightarrow \exists a\in \mathbb {R} ;\;a\in X_{n},\;\forall \;n\in \mathbb {N}$
** De fato temos que $X\;=[x,y],onde\;x=sup\;x_{n},y=inf\;y_{n}$
# Análise rn/Derivadas parciais e direcionais
## Derivadas Parciais

Dados $a,h\in U\subset \mathbb {R} ^{n}$ temos:
* O acréscimo h ao vetor a resulta no vetor a+h.
** Dizer que h é o acréscimo de a siginifica que (a+h) - (a) = h
* A imagem de a é f(a) e a imagem de a+h é $''\phi (a+h)''$
** O acréscimo que h produz na imagem é o acréscimo $''\phi (a+h)-f(a)''$
* O segmento de reta de um ponto p ao ponto q é dado por $\lambda (t)=p+tq;t\in (0,1)$
** O segmento de reta de um ponto a na direção de um $e_{i}$ é dado por $\lambda (t)=a+te_{i};t\in (0,1)$

### I-ésima Derivada Parcial

Seja o aberto ($U\subset \mathbb {R} ^{n}$) tal que $\phi :U\mapsto \mathbb {R} ^{n}$. Dado o ponto $a\in U$ e $i\in I_{n}$,

#### a i-ésima derivada parcial de $\phi$ no ponto a é o limite

    ${\partial \phi \over \partial x_{i}}(a)=\left(\lim _{t\to 0}{\phi (a+te_{i})-\phi (a) \over (a+te_{i})-(a)}=\right)\lim _{t\to 0}{\phi (a+te_{i})-\phi (a) \over t}$
    $(a+te_{i})-(a)$ é a distância um ao outro, então temos $|a+te_{i}|-|a|\leq |a|+|te_{i}|-|a|=|a|-|a|+|t||e_{i}|{\mbox{ como }}|e_{i}|=1{\mbox{ logo }}|t|=t$.
    Aqui ficou implícito que $|t|=t{\mbox{ pois }}t\in (0,1)$

### função real de n variáveis por um caminho

Seja o aberto ($U\subset \mathbb {R} ^{n}$) tal que $\phi :U\mapsto \mathbb {R} ^{n}$. Dado o ponto $a\in U$ e $i\in I_{n}$
# Análise rn/Bolas e conjuntos limitados
## Bolas e conjuntos limitados
### Na reta

Quando temos a seguinte vizinhança em relação a um ponto a (números próximos o quanto se queira)
* Seja $V_{\delta }=\{x\in \mathbb {R} ,x\in (a-\delta ,a+\delta )\}=\{x\in \mathbb {R} ,0<|x-a|<\delta )\}:$ Que é o mesmo que dizer que temos um conjunto de elementos, cuja norma da diferença entre um elemento a e certos elementos x é menor que um certo delta.

### No $\mathbb {R} ^{n}$

Quando mudamos da reta pro $\mathbb {R} ^{n}$, a norma significa agora que temos uma bola, que engloba todos os elementos em qualquer direção, e nosso delta é o raio da bola. Então nossa vizinhança se chamará bola.
* $Seja\;B_{r}=\{x\in \mathbb {R} ,0<|x-a|<r)\}=B(a,r):$ quanto a ultima igualdade dizemos, a bola de centro a e raio r

### Projeção

A i-ésima projeção de um vetor é a i-ésima coordenada do vetor
    $a\in \mathbb {R} ^{n},a=(a_{1},a_{2},...,a_{n});\pi _{i}(a)=a_{i}$
# Análise rn/Caminhos e integrais de caminho
## Caminhos diferenciáveis

Um caminho em $\mathbb {R} ^{n}\,$ é uma função contínua f de um intervalo fechado I (que pode ser infinito, mas deve ter tamanho maior que zero) em $\mathbb {R} ^{n}\,$. Algumas vezes, por abuso de notação, considera-se que o caminho é a imagem a função, ou f(I).
Quando o intervalo I possui ponto inicial a ou ponto final b, temos que o ponto inicial do caminho é f(a) e o ponto final é f(b). Um caminho de A até B, sendo A e B pontos do espaço, é um caminho com ponto inicial A e ponto final B.
Observe-se que um caminho não é somente um subconjunto de $\mathbb {R} ^{n}\,$ que se parece com uma curva, pois também inclui uma parametrização. Por exemplo, os caminhos em R definidos pelas funções c e d de domínio [0, 1] dadas por c(t) = t e por d(t) = t$^2$ são dois caminhos distintos que têm a mesma imagem: o intervalo [0,1].
Um caminho é diferenciável quando a função f for diferenciável.
# Livro de receitas/Pão de ló pobre

Existem várias maneiras de preparar:

## Pão de ló pobre - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 4 ovos --
* 2 xícaras (chá) de açúcar refinado;
* 2 xícaras (chá) de farinha de trigo;
* 5 colheres (sopa) de água.
    Preparo:
* Bata as claras em neve, põe o açúcar e torna a bater.
* Bata as gemas com a água em outra vasilha e misture com as claras já batidas com o açúcar.
* A seguir, põe a farinha de trigo e só mexe.
* Leve ao forno para assar.

## Pão de ló pobre - 2
### Ingredientes e Preparo:

* 4 gemas --
* 2 xícaras (chá) de açúcar.
    Preparo:
* Com os ingredientes acima faz-se uma gemada bem batida.
* Em seguida, acrescente os ingredientes abaixo:
* 1 xícara (chá) de água --
* 3 xícaras (chá) de farinha de trigo (mal cheias);
* 1 colher (sopa) de fermento em pó (Pó Royal);
* e por último, acrescente as claras em neve.
    Preparo final:
* Colocar em fôrma untada com manteiga e polvilhada com farinha de trigo.
* Assar em forno quente, preaquecido.

## Pão de ló pobre - 3
### Ingredientes e Preparo:

* 2 xícaras de farinha de trigo --
* 2 xícaras de açúcar;
* 4 ovos, bem batidos;
* 1 colher (sobremesa), rasa, de pó Royal;
* 8 colheres (sopa) de água;
* Pode substituir a água por 1 xícara (chá) de caldo de laranja.
    Preparo:
* Bata as claras em neve, põe o açúcar e torna a bater.
* Bata as gemas com a água em outra vasilha e misture com as claras já batidas com o açúcar.
* A seguir, põe a farinha de trigo e o fermento (peneirados juntos) e só mexe.
* Colocar em fôrma untada e enfarinhada.
* Leve ao forno para assar.
# Livro de receitas/Pão de orégano

Existem várias maneiras de preparar:

## Pão de orégano - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 1 e 1/4 xícaras (chá) de leite morno --
* 15 gramas de fermento biológico (de padaria);
* 1/4 xícara (chá) de óleo;
* 2 colheres (sopa) de orégano;
* 1 colher (sopa) de sal;
* 1/4 xícara (chá) de queijo parmesão, ralado;
* 3 e 1/2 xícaras (chá) de farinha de trigo.
    Preparo:
* Misturar, sovar e fermentar. Dividir em 20 bolas.
* Colocar sete bolas no fundo da fôrma.
* Pincelar com azeite e distribuir, por cima, o resto dos pãezinhos.
* Untar com azeite e polvilhar, com 1 (uma) colher (sopa) de orégano, misturado com 2 colheres (sopa) de queijo parmesão ralado.
* Deixe fermentar e, em seguida, assar em forno quente, preaquecido.
* Comer na hora ou, se depois, aquecer em papel alumínio.
# Livro de receitas/Pão de manjericão

Existem várias maneiras de preparar:

## Pão de manjericão - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 1 xícara (chá) de água morna --
* 1 tablete de fermento para pão;
* 2 colheres (sopa) de manteiga ou margarina;
* 1 ovo;
* 1 colher (chá) de sal;
* 1 colher (sopa) de manjericão fresco, picado;
* 3 xícaras (chá) de farinha de trigo.
    Preparo:
* Coloque no copo do liquidificador a água e o fermento. Deixe descansar por 5 minutos. Tampe e bata por 20 segundos.
* Junte a manteiga, o ovo, o sal e o manjericão. Bata em alta velocidade por 15 segundos.
* Junte 1 xícara (chá) de farinha de trigo, tampe e bata por 20 segundos.
* Tampe e deixe descansar no próprio copo por 1 (uma) hora. E depois bata mais 3 minutos.
* Despeje a massa numa vasilha e acrescente a farinha de trigo restante. Mexa bem.
* Unte uma fôrma de bolo inglês de uns 22 x 10 cm.
* Com as mãos enfarinhadas, forme um pão com a massa e coloque na fôrma preparada.
* Deixe crescer por mais 1 (uma) hora.
* Pincele com um ovo batido e asse em forno preaquecido quente (200 graus), por uns 40 minutos.
    Preparo: Este pão é Ideal para congelar.
# Livro de receitas/Pão de mel

Existem várias maneiras de preparar:

## Pão de mel - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 3 copos (americano) de farinha de trigo --
* 1 copo (americano) de café forte;
* 1 copo (americano) de mel;
* 1 e 1/2 copos (americano) de açúcar;
* 2 colheres (sopa) de manteiga;
* 1 colher (sobremesa) de canela em pó;
* 1 colher (chá) de cravo moído;
* 1 colher (chá) de fermento em pó;
* 1 colher (chá) de bicarbonato;
* 3 ovos;
* Cobertura: Açúcar e água.
    Preparo:
* Faça uma gemada bem batida com as gemas e o açúcar.
* Acrescente as claras batidas e os ingredientes secos, a margarina, o mel e o café.
* Unte uma assadeira, polvilhe-a com farinha, despeje a massa e leve ao forno quente para assar.
* Depois do pão assado e frio, crescente-o com um angu bem grosso e frio, com bastante açúcar e um pouquinho de água.
* Deixe secar e corte em quadrados.
# Livro de receitas/Pão de minuto

Existem várias maneiras de preparar:

## Pão de minuto - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 12 colheres (sopa) de farinha de trigo --
* 2 colheres (sopa) de açúcar;
* 1 colher (sopa) de manteiga;
* 1 colher (sopa) de banha;
* 1/2 colher (sopa) de fermento;
* 1 xícara (chá) de leite;
* 2 ovos.
    Preparo:
* Amassa-se tudo muito bem e faz os pãezinhos no feitio de suspiros.
* Põe para crescer num tabuleiro untado com manteiga.
* Leve ao forno quente, preaquecido, para asssar.

## Pão de minuto - 2
### Ingredientes e Preparo:

* 4 copos (americano) de água ou leite --
* 1 xícara (chá) de óleo;
* 1 xícara (chá) de açúcar;
* 3 ovos;
* 2 colheres (sopa) de fermento;
* 1 colher (café) de sal;
* Farinha de trigo até ao ponto de enrolar.
    Preparo:
* Pode bater no liquidificador e depois enrola os pães e põe para crescer.
* Assar em fôrma untada.

## Pão de minuto - 3
### Ingredientes e Preparo:

* 4 xícaras (chá) de farinha de trigo --
* 3 colheres (sopa) de açúcar;
* 2 colheres (sopa) de manteiga;
* 1 colher (sopa) de pó Royal;
* 1 xícara (chá) de leite;
* 1 pitada de sal;
* 1 ovo.
    Preparo:
* Misturar e amassar todos os ingredientes.
* Enrolar os pães, coloque em fôrma untada, deixe crescer e asse.
# Livro de receitas/Pão de mandioca

Existem várias maneiras de preparar:

## Pão de mandioca - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 1 prato fundo, bem cheio, de farinha de trigo --
* 1 prato, raso, de mandioca cozida e passada na máquina de moer (peça fina);
* 50 gramas de fermento biológico (de padaria), dissolvido em 1 xícara (chá) de leite morno;
* 5 ovos;
* 2 colheres (sopa) de gordura talhada;
* 2 colheres (sopa) de açúcar;
* 1 colher (sopa) de sal.
    Preparo:
* Este pão cresce muito depressa.
* Depois de amassado, enrola-se os pãezinhos da maneira que quiser.
* Dourar com gema.
* Para saber quando está bom e na hora de se levar ao forno para assar, faça o seguinte: ponha uma bolinha no copo com água, quando esta bolinha subir, pode-se assar.
* Assar em forno quente.

## Pão de mandioca - 2
### Ingredientes e Preparo:

* 1 prato de farinha de trigo --
* 1/2 prato de mandioca;
* 1 xícara (chá) de óleo;
* 50 gramas de fermento;
* 1 e 1/2 xícaras (chá) de açúcar;
* 2 ovos.
    Preparo:
* Mistura-se tudo e por último, coloque o fermento misturado no leite morno.
* Amassa-se, enrola os pães e põe para crescer mais ou menos 2 horas.
* Põe no forno para assar.

## Pão de mandioca - 3
### Ingredientes e Preparo:

    Para o fermento:
2 tabletes de fermento dissolvidos em 1 copo (americano) de leite morno -- 1 colher (sopa) de açúcar; 1 colher (sopa) de farinha de trigo.
    Preparo do fermento:
* Misture os ingrediente acima e deixe crescer.
* Depois de crescido acrescente os ingredientes abaixo:
    Para a massa:
* 6 ovos batidos --
* 2 conchas de gordura derretida;
* 2 xícaras de açúcar;
* 1 colher (sopa) de sal;
* 1 prato fundo de mandioca cozida e moída;
* 1 garrafa de leite;
* Farinha de trigo que dê para enrolar.
    Preparo:
* Depois de amassado, enrola-se os pãezinhos, faça-os pequenos.
* Dourar com gema (opcional).
* Para saber quando está bom e na hora de se levar ao forno para assar, faça o seguinte: ponha uma bolinha no copo com água, quando esta bolinha subir, pode-se assar.
* Leve para assar em forno quente, preaquecido.

## Pão de mandioca - 4
### Ingredientes e Preparo:

* 1 kg de mandioca --
* 4 ovos;
* 1 xícara (chá) de banha;
* 1 xícara (chá) de açúcar;
* 2 colheres (sopa) de fermento;
* 1 colher (sopa) de sal;
* 1 colher (sopa) de manteiga;
* 1 gema;
* 1 xícara (chá) de leite morno;
* Farinha de trigo até a massa ficar lisa.
    Preparo:
* Dissolva o fermento no leite morno.
* Depois de bem amassado, deixe a massa descansar.
* Enrola-se os pãezinhos, faça-os pequenos, coloque em fôrma untada e deixe crescer.
* Dourar com gema..
* Para saber quando está bom e na hora de se levar ao forno para assar, faça o seguinte: ponha uma bolinha no copo com água, quando esta bolinha subir, pode-se assar.
* Leve para assar em forno quente, preaquecido.
# Livro de receitas/Pão de mandioquinha

Existem várias maneiras de preparar:

## Pão de mandioquinha - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 1 lata de leite condensado --
* 30 gramas de fermento biológico (2 tabletes);
* 700 gramas de farinha de trigo;
* 4 colheres (sopa) de manteiga;
* 2 ovos;
* 500 gramas de mandioquinha cozida e passada pelo espremedor;
* 1 pitada de sal.
    Preparo:
* Dilua 1/4 da lata de leite condensado numa tigela com meia xícara (chá) de água.
* Dissolva aí também o fermento e acrescente a farinha de trigo suficiente para dar consistência de massa para panqueca.
* Deixe descansar em local protegido até crescer, ou então, até formar bolhas.
* À parte, junte o restante da farinha e do leite condensado com os demais ingredientes e misture
* Acrescente então na massa já crescida e amasse bem.
* Forme 2 (dois) pães e deixe-os crescerem em assadeiras untadas, até dobrar de volume.
* Leve para assar em forno quente (200º C) pré-aquecido, por aproximadamente 30 minutos.
# Livro de receitas/Pão de mel da padaria

Existem várias maneiras de preparar:

## Pão de mel da padaria - 1
### Ingredientes e Preparo:

    Para o pão:
* 1 xícara (chá) de mel --
* 1 xícara (chá) de leite (misturado com uma colher (chá) de bicarbonato de sódio);
* 1 xícara (chá) de açúcar refinado;
* 1/2 xícara (chá) de açúcar mascavo;
* 3 e 1/2 xícaras (chá) de farinha de trigo;
* 3 colheres (sopa) de chocolate em pó peneirado;
* 1 colher (chá) de canela em pó;
* 1 colher (chá) de cravo em pó.
* 1 colher (chá) de gengibre em pó;
* 1 colher (chá) de cardamono;
* 1 colher (chá) de noz moscada;
* 1 pitada de sal.
    Para o chá:
* 600 ml de água --
* 6 pedaços de canela em pau;
* 1 colher (sobremesa) de cardamono;
* 1 colher (sopa) de cravo;
* 1 colher (sopa) de erva-doce.
    Preparo do chá:
* Ferver os ingredientes do chá juntamente com a água.
* Deixar esfriar por alguns minutos e, em seguida, coar.
    Preparo do pão de mel:
* Misturar todos os ingredientes (inclusive o chá) com uma colher de pau, em um recipiente à parte.
* Colocar numa fôrma untada com manteiga e polvilhada com farinha.
* Levar ao forno, preaquecido, assar em temperatura de 180 graus, por cerca de 20 minutos.
# Livro de receitas/Pão de milho

Existem várias maneiras de preparar:

## Pão de milho - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 2 xícaras (chá) de água ou leite --
* 1/2 xícara (chá) de açúcar;
* 2 colheres (chá) de sal;
* 1 e 1/2 xícara (chá) de fubá;
* 4 colheres (sopa) de óleo ou gordura;
* 1/2 xícara (chá) de água morna;
* 2 colheres (sopa) de fermento granulado ou 2 tabletes de fermento fresco;
* 3 e 1/2 xícaras (chá) de farinha de trigo;
* 1 ovo.
    Preparo:
* Colocar numa panela 2 xícaras (chá) de água (ou leite), o açúcar e o sal.
* Levar ao fogo e, quando ferver, retirar a panela, acrescentar aos poucos o fubá, mexendo rápido para não empelotar.
* Voltar com a panela ao fogo para cozinhar o fubá, mexendo sempre.
* Fica na consistência de angu mais duro. Retirar do fogo e deixar esfriar.
* Em vasilha à parte, misturar a água morna, o fermento e uma colher (sopa) de açúcar.
* Mexer, tampar com um pano de prato e deixar crescer por 10 a 15 minutos.
* Acrescentar ao angu o óleo, o ovo, a farinha de trigo e o fermento.
* Misturar muito bem e sovar a massa por cerca de 10 minutos, até ficar lisa e macia.
* Untar uma vasilha com óleo, colocar a massa e virá-la, para que fique com a parte untada para cima.
* Tampar a massa com um pano de prato e deixar crescer até dobrar de tamanho (demora mais ou menos 1 (uma) hora).
* Amassar novamente por 5 (cinco) minutos, formar os pães no tamanho desejado, passando-os para uma tábua polvilhada com fubá.
* Colocar os pães nas fôrmas untadas e deixar crescer tampados com pano de prato até dobrar de tamanho (demora cerca de 45 minutos).
* Assar em forno quente, previamente aquecido.
* Os pãezinhos levam de 20 a 25 minutos para assar. Pães maiores demoram 40 minutos.
* Retirar das fôrmas assim que sair do forno.

## Pão de milho - 2
### Ingredientes e Preparo:

* 900 gramas de farinha de trigo --
* 250 gramas de fubá;
* 300 ml de água;
* 150 gramas de açúcar;
* 100 gramas de margarina;
* 100 gramas de fermento biológico;
* 1 pitada de sal;
* 3 ovos;
* Erva-doce a gosto.
    Preparo:
* Numa vasilha, colocar todos os ingredientes, deixando a água por último (ela deve ser acrescentada aos poucos, amassando sem parar).
* Misturar e sovar até obter uma massa lisa e consistente.
* Dividir a massa em quatro pedaços e modelar, em formato redondo.
* Com um pincel, passar óleo sobre a massa, fazer leves cortes e polvilhar com fubá.
* Colocar numa assadeira untada com óleo.
* Descansar em temperatura ambiente por três horas, para crescer.
* Levar ao forno, preaquecido, para assar em temperatura de 180 graus, por cerca de 20 minutos a 25 minutos.
# Livro de receitas/Pão de mel enfeitado

Existem várias maneiras de preparar:

## Pão de mel enfeitado - 1
### Ingredientes e Preparo:

    Para a calda:
* 500 gramas de açúcar mascavo --
* 2 xícaras (chá) de água.
    Para a massa:
* 4 e 1/2 xícaras (chá) de farinha de trigo --
* 2 colheres (sopa) bem cheias, de chocolate em pó;
* 1 colher (café) de cravo-da-índia moído;
* 1 colher (café) de canela em pó;
* 1 colher (sopa), rasa, de bicarbonato;
* 1 pitada de sal;
* 1 xícara (chá) de leite;
* 4 ovos;
* 1 xícara (chá) de mel;
* 1 kg e 200 gramas de chocolate ao leite.
    Para a decoração:
* Cereja e frutas secas (20 gramas de cada):
** nozes, castanha-do-Pará, castanha de caju, macadâmia e pistache, ameixa preta, passas, etc.
    Preparo da calda:
* Levar ao fogo a água e o açúcar mascavo.
* Quando levantar fervura, contar 15 minutos e desligar o fogo.
* Deixar esfriar. Reservar.
    Preparo da massa:
* Passar na peneira os ingredientes secos — farinha de trigo, chocolate em pó, bicarbonato, cravo, canela e sal.
* Acrescentar a calda, leite, gemas e mel, misturando com uma colher de pau.
* Bater as claras em neve e juntar à massa, mexendo bem.
* Pôr nas forminhas untadas com manteiga e polvilhadas com farinha de trigo.
* Assar em forno de temperatura média durante 20 a 25 minutos.
    Montagem:
* Derreter o chocolate em banho-maria ou no microondas e banhar os pães.
* Pôr um a um sobre uma placa de acetato e, antes que seque a cobertura, decorar com frutas secas e cereja.
* O arremate será feito com fios de chocolate derretido.
* Rendimento: 90 pães-de-mel pequenos.