# Análise real/Naturais
## Axioma da Indução

Ao querermos provar alguma sentença matemática P(n), se é verdadeira, tendo seus elementos nos naturais, usamos a indução, onde:
* Provamos que a propriedade é válida para n = 1.
* Supomos válida para n = k e mostramos ser válida para n = k+1, usando a equação advinda da propriedade ser válida em n = k.

## Um número Natural

Definição de um número natural: $n={\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\n\;vezes\end{matrix}}$

## Adição dos Naturais
### Adição

Somar dois números n e p:
* $n+p={\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\n\;vezes\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\p\;vezes\end{matrix}}={\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\n+p\;vezes\end{matrix}}$.

### sucessor de um número natural

Um número natural n tem o seu sucessor como sendo s(n) = n + 1.

### propriedade identidade de sucessão

Sejam a,b naturais, assim se a=b então s(a) = s(b)
* Vamos fixar a natural e provar por indução sobre b. assim:
** mostrar que é válido para b = 1: a=1, então s(a) = 1+1 e s(1) = 1+1, logo s(a) = s(1)
** supor que seja válido para b = k, ou seja, a=k implica que s(a) = s(k), ou seja, a+1 = k+1.
** Provar que seja válido para b = k+1:
*** $s(a+1)=^{1}(a+1)+1=^{2}(k+1)+1=^{3}s(k+1)$
**** onde as igualdades 1 e 3 ocorrem por definição de sucessão e a igualdade 2 ocorre por hipótese de indução.

### p-sucessor

* p-sucessor de n será definido como $s_{p}(n)=n+p$, onde $p={\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\p\;vezes\end{matrix}}$.
Exemplos:
* $s(n)=n+1,s_{2}(n)=(n+1)+1=n+2,s_{3}(n)=(n+2)+1=n+3,...,\;e\;s_{p}(n)=(n+p-1)+1=n+p.$
* Provaremos por indução que essa propriedade é válida.
** Quando p=1, temos que $s_{1}(n)=n+1=s(n)$.
** Suponhamos ser válida para p = k, ou seja, $s_{k}(n)=n+k$.
** provaremos que é válida para p=k+1, ou seja, que $s_{k+1}(n)=n+(k+1)$. Assim:
*** Pela hipótese temos que $s_{k}(n)=n+k$.
*** Pela identidade da sucessão é implicado que $s(s_{k}(n))=s(n+k)$
*** Pela definição de sucessão ocorre que $s_{k}(n)+1=(n+k)+1$.
*** Pela definição de sucessão ocorre que $s_{k+1}(n)=n+(k+1)$.
*** Faltando apenas mostrar o porque que para todo n,k naturais, é válido que $(n+k)+1=n+(k+1)$.

### O sucessor de uma adição n + p

Na última prova é bem aceitável aceitar como verdadeira a igualdade $(n+k)+1=n+(k+1)$. Ela é dada como válida pois é dada por definição da adição, mas é interessante prová-la por indução.
Assim vamos fazer indução sobre p em $(n+p)+1=n+(p+1)$.
* quando p = 1, temos que $\forall \;n\in \mathbb {N} ,(n+1)+1=n+(1+1)\Rightarrow s(s(n))=n+s(1)=n+2$.
* Supomos verdadeira para p = k, ou seja, $(n+k)+1=n+(k+1),\;ou\;seja,\;s(n+k)=n+s(k)$.
* Queremos provar que é válido para p = k+1, isto é, $(n+(k+1))+1=n+((k+1)+1),\;ou\;seja,\;s(n+s(k))=n+s(s(k))$
** Por hipótese, $s(n+k)=n+s(k)$.
** Pela identidade da sucessão temos que $s(n+s(k))=s(s(n+k))$.
** Mas $s(s(n+k))=(n+k)+2=(n+k)+1+1=n+(k+1)+1=n+s(k)+1=n+s(s(k))$.
ou
* $(n+p)+1={\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\n+p\;vezes\end{matrix}}+1={\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\n+p+1\;vezes\end{matrix}}={\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\n\;vezes\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {1+1+...+1} \\p+1\;vezes\end{matrix}}=n+(p+1)$

### Teorema: Associatividade da adição

$\forall m,n,p\in \mathbb {N} ,m+(n+p)=(m+n)+p$.
* Fixemos m,n naturais. Provaremos que é válido para todo p natural. Fazendo indução sobre p, temos:
** para p = 1, provamos no teorema acima, isto é, que m + (n+1) = (m+n)+1.
** supomos válido para p = k, isto é, $m+(n+k)=(m+n)+k$.
** Provaremos que é válido para p = k+1, ou seja, $m+(n+(k+1))=(m+n)+(k+1)$.
*** Assim, $m+(n+(k+1))=^{1}m+((n+k)+1)=^{2}(m+(n+k))+1=^{3}((m+n)+k)+1=^{4}(m+n)+(k+1)$.
**** onde as igualdades 1, 2 e 4 ocorrem pelo axioma da adição e a 3 pela hipótese.

### Axioma: Comuto de m e 1 na adição

Provar por indução que $\forall \;m\in \mathbb {N} ,m+1=1+m$.
* Para m = 1, temos que 1+1=1+1 (verdade)
* Supomos válido para m = k, isto é, k+1 = 1+k e provar ser verdadeiro para k+1, ou seja, $(k+1)+1=1+(k+1)$.
** $(k+1)+1=^{1}(1+k)+1=^{2}1+(k+1)$
*** onde a igualdade 1 ocorre pela hipótese e a igualdade 2 ocorre pelo axioma da adição.

### Comutatividade da adição

$\forall m,n\in \mathbb {N} ,m+n=n+m$.
* Fixemos m natural. Provaremos que é válido para todo n natural. Fazendo indução sobre n, temos:
** para n = 1, temos que m + 1 = 1 + m. (m e 1 são comutáveis)
** supomos válido para n = k, isto é, $m+k=k+m$.
** Provaremos que é válido para n = k+1, ou seja, $m+(k+1)=(k+1)+m$.
*** Assim, $m+(k+1)=^{1}(m+k)+1=^{2}(k+m)+1=^{3}k+(m+1)=^{4}k+(1+m)=^{5}(k+1)+m$
**** onde as igualdades 1, 3 e 5 ocorrem pela associatividade da adição, a igualdade 2 ocorre pela hipótese e a igualdade 4 ocorre pelo comuto de 1 e m.

## Multiplicação dos naturais
### Multiplicação de dois números naturais, m e n

$m\cdot n={\begin{matrix}\underbrace {m+m+...+m} \\n\;vezes\end{matrix}}$

### Definição: multiplicação de m por (n+1)

$m\cdot (n+1)={\begin{matrix}\underbrace {m+m+...+m} \\n+1\;vezes\end{matrix}}={\begin{matrix}\underbrace {m+m+...+m} \\n\;vezes\end{matrix}}+m=mn+m$

### Distributividade

Para quaisquer $m,n,p\in \mathbb {N} ,$ tem-se $m\cdot (n+p)=m\cdot n+m\cdot p$.
* Fixamos m,n como sendo naturais quaisquer e provaremos por indução sobre p. Pela definição é válido para p = 1, isto é, $m\cdot (n+1)=m\cdot n+m\cdot 1$.
* Supomos válido para p = k, ou seja, $m\cdot (n+k)=m\cdot n+m\cdot k$.
* Provemos ser válido para n = k+1: $m\cdot (n+(k+1))=^{1}m\cdot ((n+k)+1)=^{2}m\cdot (n+k)+m=^{3}(m\cdot n+m\cdot k)+m=^{4}m\cdot n+(m\cdot k+m\cdot 1)=^{5}m\cdot n+m\cdot (k+1)$.
** onde a igualdade 1 ocorre pela definição de adição, as igualdades 2 e 5 ocorrem pela definição de multiplicação, a igualdade 3 pela hipótese e a igualdade 4 pela associatividade da adição.

### Comuto de 1 e m na multiplicação

Para quaisquer $m\in \mathbb {N} ,$ tem-se que $m\cdot 1=1\cdot m$.
* Mostraremos por indução sobre m que a relação acima é válida para todo m natural.
* Para m = 1, temos Para quaisquer $1\cdot 1=1\cdot 1$, verdadeiro.
* Supomos ser válido para m = k, ou seja, $k\cdot 1=1\cdot k$.
* Provaremos ser válido para m = k + 1:
** $1\cdot (k+1)=^{1}1\cdot k+1\cdot 1=^{2}k\cdot 1+1\cdot 1=^{3}(k+1)\cdot 1$.
*** onde a igualdade 1 é dada pela definição de multiplicação, a igualdade 2 é devida a hipótese e a igualdade 3 é devida a distributividade dos naturais.

### Comutatividade da Multiplicação

Para quaisquer $m,n\in \mathbb {N} ,$ tem-se $m\cdot n=n\cdot m$.
* Fixando m natural, faremos indução sobre n, mostraremos que a relação acima é válida para todo n natural.
* para n = 1, temos $m\cdot 1=1\cdot m$, que foi verificado ser verdadeiro no axioma anterior.
* Supomos válido para n=k, ou seja, $m\cdot k=k\cdot m$.
* vamos provar que é válido para n=k+1:
** $m\cdot (k+1)=^{1}m\cdot k+m\cdot 1=^{2}k\cdot m+1\cdot m=^{3}(k+1)\cdot m$.
*** onde as igualdades 1 e 3 ocorrem pela definição de multiplicação e a igualdade 2 ocorre pelas hipóteses de indução para quando n=1 e para quando n = k.

### Associatividade da multiplicação

$\forall m,n,p\in \mathbb {N} ,m\cdot (n\cdot p)=(m\cdot n)\cdot p$.
* Fixemos m,n naturais. Provaremos que é válido para todo p natural. Fazendo indução sobre p, temos:
** para p = 1, temos que $m\cdot (n\cdot 1)=m\cdot n=(m\cdot n)\cdot 1$. (por definição de multiplicação por 1)
** supomos válido para p = k, isto é, $m\cdot (n\cdot k)=(m\cdot n)\cdot k$.
** Provaremos que é válido para p = k+1, ou seja, $m\cdot (n\cdot (k+1))=(m\cdot n)\cdot (k+1)$.
*** Assim, $m\cdot (n\cdot (k+1))=^{1}m\cdot ((n\cdot k)+n)=^{2}(m\cdot (n\cdot k))+m\cdot n=^{3}((m\cdot n)\cdot k)+m\cdot n=^{4}(m\cdot n)\cdot (k+1)$.
**** onde as igualdades 1, 2 e 4 ocorre pela distributividade e a igualdade 3 ocorre pela hipótese de indução.

## outras propriedades
### Lei de corte para adição

$Se\;m,n,p\in \mathbb {N} \;e\;m+p=n+p,\;logo\;m=n$.
* Vamos fazer indução sobre p.
* Mostrar válido para p = 1, ou seja, $m+1=n+1\Rightarrow m=n$.
** Temos que s(m) = m + 1, mas pela hipótese s(m) = n + 1. Mas s(n) = n+1, assim m e n têm os mesmo sucessores. Pela identidade da sucessão, m = n.
* Supor válido para p = k, ou seja, $m+k=n+k\Rightarrow m=n$.
* Mostrar válido para p = k+1:
** $m+k+1=n+k+1$. Pela lei de sucessor identidade s(m+k)=s(n+k), implica que m+k=n+k e pela hipótese m = k.

### Recíproca da Lei de corte para adição

$Se\;m,n,p\in \mathbb {N} \;e\;m=n,\;logo\;m+p=n+p$.
* Vamos fazer indução sobre p.
* Mostrar válido para p = 1, ou seja, $m=n\Rightarrow m+1=n+1$.
** como m = n, logo s(m) = s(n), ou seja, m + 1 = n + 1.
* Supor válido para p = k, ou seja, $m=n\Rightarrow m+k=n+k$.
* Mostrar válido para p = k+1:
** $m+(k+1)=^{1}(m+k)+1=^{2}(n+k)+1=^{3}n+(k+1)$
*** onde as igualdades 1 e 3 ocorrem por associatividade da adição e a igualdade 2 ocorre pela hipótese da indução quando p=k.

### Lei de corte para multiplicação

$Se\;m,n,p\in \mathbb {N} \;e\;m\cdot p=n\cdot p,\;logo\;m=n$.
* Vamos fazer indução sobre p.
* Mostrar válido para p = 1, ou seja, $m\cdot 1=n\cdot 1\Rightarrow m=n$.
* Supor válido para p = k, ou seja, $m\cdot k=n\cdot k\Rightarrow m=n$.
* Mostrar válido para p = k + 1:
** $m\cdot (k+1)=^{1}m\cdot k+m\cdot 1=^{2}n\cdot k+n\cdot 1=^{3}n\cdot (k+1)\Rightarrow _{4}m=n$
*** onde as igualdades 1 e 3 ocorrem pela lei da distributividade, a igualdade 2 ocorre pela hipótese da indução quando p=k e a implicação 4 ocorre pela hipótese de indução de p = k.