# Análise real/Sequências
## Definição

Uma sequência de números reais é uma função $s:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}$ que associa cada número natural a um número real. A notação usual para representar uma sequência é $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} },$ quando não houver ambiguidade também pode-se escrever apenas $(s_{n}).$ Para se referir a um termo específico da sequência, a notação é $s_{n},$ ao invés de s(n). Uma outra forma muito comum de dar exemplos de sequências é listando os primeiros elementos (como um conjunto), seguido de "...", de forma que a regra de formação seja óbvia. Vamos observar que em todo livro estaremos considerando que o conjunto dos naturais $\mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}$.
Exemplos:
* A sequência dos números naturais $s:\mathbb {N} \rightarrow R$ dada por $s_{n}=n,\forall n\in \mathbb {N}$ ou mais simplesmente $(n)_{n\in \mathbb {N} }.$
* A sequência de fibonacci $s_{1}=1,s_{2}=1,s_{n}=s_{n-1}+s_{n-2},\forall \;n\in \mathbb {N} ,$ com $n\geq 2.$
* $s_{n}={1 \over n},\forall n\in \mathbb {N} ,$ com $n\geq 1,$ ou mais simplesmente $({1 \over n})_{n\in \mathbb {N} }.$
* A sequência $\{1,{1 \over 4},{1 \over 9},{1 \over 16},...\}$ é uma forma de representar $s_{1}={1 \over 1^{2}},s_{2}={1 \over 2^{2}},s_{3}={1 \over 3^{2}},s_{4}={1 \over 4^{2}},\ldots \,$ ou seja, $s_{n}={1 \over n^{2}}$
Faremos o uso da equivalência de ponto em um intervalo.

## Classificação das sequências

Algumas propriedades das sequências são tão importantes que elas recebem nomes especiais. Uma sequência $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ é dita:
* estritamente crescente se $\forall n\in \mathbb {N} :a_{n}<a_{n+1};$
* não-decrescente se $\forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\leq a_{n+1};$
* estritamente decrescente se $\forall n\in \mathbb {N} :a_{n}>a_{n+1};$
* não-crescente se $\forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\geq a_{n+1};$
* monótona se a sequência satisfaz alguma das propriedades acima (i.é. se ela é não-decrescente ou não-crescente);
* estritamente monótona se ela é ou estritamente crescente ou estritamente decrescente;
* limitada superiormente se existe $M\in \mathbb {R}$ tal que $\forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\leq M;$
* limitada inferiormente se existe $m\in \mathbb {R}$ tal que $\forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\geq m;$
* limitada se ela é limitada superior e inferiormente, ou seja, se $\exists M,m\in \mathbb {R}$ tal que $m\leq a_{n}\leq M;$
* ilimitada quando ela não é limitada nem superior e nem inferiormente;
* Cauchy se $\forall \epsilon >0,\exists n_{0}\ |\ \forall n,m>n_{0}\ \Rightarrow |a_{m}-a_{n}|<\epsilon ;$

## Propriedades de uma sequência
### Convergência de uma sequência

Dizemos que uma sequência $(a_{n})\;$ converge para o número real $a\;$ quando, qualquer que seja $\epsilon >0\;$ dado, $\exists n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que, se $n>n_{0}\;,$ então $|a_{n}-a|<\epsilon \;.$ Para dizer que $(a_{n})\;$ converge para $a\;,$ normalmente escrevemos $(a_{n})\rightarrow a,$ ou $\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=a$ ou apenas $\lim a_{n}=a,$ quando não houver dúvida que o limite trata de $n$ tendendo ao infinito. Em outras palavras, a sequência $(a_{n})\;$ fica arbitrariamente próxima de $a\;$ desde que se tome um $n\;$ suficientemente grande.
Exemplos
* A sequência $(1/n)_{n\in \mathbb {N} }$ converge para $0.$ De fato, dado $\epsilon >0,$ pela propriedade arquimediana da reta real, existe $n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que $n_{0}>{\frac {1}{\epsilon }}\;,$ portanto $-\epsilon <0<1/n_{0}<\epsilon \;.$ Logo $|1/n_{0}-0|<\epsilon \;$ e concluimos que $(1/n)\rightarrow 0\;.$

### Divergência de uma sequência

Uma sequência que não é convergente é dita divergente. A divergência geralmente ocorre por dois motivos: A sequência não é limitada ou possui duas subsequências convergindo para valores diferentes.

### Proposição (unicidade do limite)

Uma pergunta muito natural de se fazer: a definição de convergência é precisa? Intuitivamente sabemos o que significa uma sequência convergir para um número, mas agora precisamos saber se a definição formal não permite que exista mais de um limite. Ou seja, queremos provar que, se uma sequência converge, então o limite é único.

#### Demonstração

* Seja $(x_{n})$ uma sequência de números reais convergente com $x=\lim x_{n}.$ Suponha que $y\in R$ seja tal que $y=\lim x_{n},$ queremos mostrar que $x=y$.
* Suponha, por absurdo, que $x\not =y,$ então $|x-y|>0$. Tomemos então $\epsilon ={|x-y| \over 2}$.(3)
* Por um lado, $(x_{n})\rightarrow x,$ assim $\forall \;\epsilon >0,\exists \;n_{1}\in \mathbb {N}$ tal que $n>n_{1}\Rightarrow |x_{n}-x|<\epsilon$.(4)
* Por outro lado $(x_{n})\rightarrow y,$ logo $\forall \;\epsilon >0,\exists \;n_{2}\in \mathbb {N}$ tal que $n>n_{2}\Rightarrow |x_{n}-y|<\epsilon$.(5)
* Tome $n_{0}=max\{n_{1},n_{2}\}$ para garantir que os termos da sequência satisfaçam a convergência tanto para x, como para y. Assim $n>n_{0}\Rightarrow \forall \;n\in \mathbb {N} ,n>n_{1}\;e\;n>n_{2}\Rightarrow _{(4),(5)}|x_{n}-x|,|x_{n}-y|<\epsilon$ (2)
* Contudo $|x-y|=|x-x_{n}+x_{n}-y|\leq _{(1)}|x-x_{n}|+|x_{n}-y|<_{(2)}\epsilon +\epsilon =2\epsilon =_{(3)}|x-y|$.
** (1) pela desigualdade triangular
* Mas é um absurdo concluir que $|x-y|<|x-y|$. Portanto foi um absurdo ter suposto que $x\neq y$. Então podemos concluir que x=y.

### Proposição

Essa proposição nos diz que se uma sequência converge para um limite a, então dados b e c reais, tais que b<a<c então a partir de um certo termo da sequência $n_{0}$ todos os termos estarão no intervalo (b,c).
Seja $a=\lim a_{n},b\in \mathbb {R}$, logo:
* Se $a<b$ ( resp. $a>b$ ), então existe $n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que $n>n_{0}\Rightarrow a_{n}<b\;(resp.a_{n}>b)$.
* Se $a_{n}\geq b\;(resp.a_{n}\leq b),\forall \;n\in \mathbb {N}$, então $a\geq b\;(resp.a\leq b)$.

#### Demonstração

* Tome $a<b(\Rightarrow b-a>0)\;e\;\epsilon =b-a$(1), logo $\exists \;n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que $n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<\epsilon \Rightarrow _{(1)}-(b-a)<a_{n}-a<b-a\Rightarrow a_{n}<b,\forall \;n\in \mathbb {N}$.
* O segundo resultado resulta da contraposição do primeiro.

### Proposição

Toda sequência convergente é limitada.

#### Demonstração

Seja $\lim \;a_{n}=a$, assim para $\epsilon =1,\exists \;n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que $n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<1.$ Além disso, o conjunto $X=\{a_{0},a_{1},...,a_{n_{0}},a-1,a+1\}$ é finito, não-vazio e limitado, então existe $A=\min X\;$ e $B=\max X\;,$. Tome $L=\max\{|A|,|B|,\}\Rightarrow -L<A<B<L$. Como temos que $A\leq x_{n}\leq B\Rightarrow -L\leq x_{n}\leq L\Rightarrow |x_{n}|\leq L$ para todo $n\in \mathbb {N} .$

### Proposição (operações com sequências)

Dadas duas sequências $(a_{n})\;$ e $(b_{n})\;$ convergentes, com $a=\lim a_{n}$ e $b=\lim b_{n}$ e um número real $\lambda \;,$ então valem as seguintes propriedades:
* $(a_{n}+b_{n})\rightarrow a+b;$
* $(a_{n}b_{n})\rightarrow ab;$
* $(\lambda a_{n})\rightarrow \lambda a;$
Se $b_{n}\not =0,\forall n\in \mathbb {N} ,$ e $b\not =0,$ então:
* $\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)\rightarrow {\frac {a}{b}}.$

#### Demonstração

Vamos demonstrar a primeira das propriedades. Dado $\epsilon >0\;,$ existem $n_{a},n_{b}\;$ naturais tais que, se $n>n_{a},n_{b}\;$ então $|a_{n}-a|<{\frac {\epsilon }{2}}$ e $|b_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}.$
Portanto, se $n_{0}=max\{n_{a},n_{b}\}\;$ e $n>n_{0}\;,$ então $|(a_{n}+b_{n})-(a+b)|=|(a_{n}-a)+(b_{n}-b)|\leq |a_{n}-a|+|b_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon .$ Logo $(a_{n}+b_{n})\rightarrow a+b.$
As outras propriedades ficam de exercício para o leitor.

### Proposição

Se $a_{n}\rightarrow 0,b_{n}\;{\text{é limitada}},$ então $a_{n}\cdot b_{n}\rightarrow 0;$

#### Demonstração

Como b$_n$ é uma sequência limitada, temos que existe B > 0 tal que |b$_n$| < B para todo n.
Então, dado ε > 0, temos que ${\frac {\epsilon }{B}}>0\,.$ Como a$_n$ é uma sequência que converge para 0, existe n$_0$ tal que, para todo n > n$_0$, |a$_n$ - 0| < ε / B.
Finalmente, fazendo as contas, temos que |a$_n$ b$_n$ - 0| < |a$_n$| |b$_n$| < (ε / B) . B = ε.
Ou seja, para todo ε > 0, encontramos n$_0$ tal que para todo n > n$_0$, |a$_n$ b$_n$ - 0| < ε - precisamente a definição de limite.

### Proposição (convergência de sequências monótonas limitadas)

Toda sequência de números reais monótona limitada converge.

#### Demonstração

Vamos demonstrar que toda sequência não-decrescente, limitada superiormente, é convergente. Fica como exercício para o leitor adaptar a demonstração para outros tipos de sequências monótonas.
Seja $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ uma sequência não-decrescente limitada superiormente. Isto é, $a_{n}\leq a_{m}$ se $n<m\;$ e existe $M\in \mathbb {R}$ tal que $a_{n}<M\;,$ para todo $n\in \mathbb {N} .$ Desta forma, o conjunto $A=\{a_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ é um conjunto de número reais, não vazio e limitado superiormente, então $A\;$ tem supremo. Seja $a=supA\;,$ vou mostrar que $(a_{n})\rightarrow a.$ Como $a=supA\;,$ qualquer que seja $\epsilon >0,a-\epsilon \;$ não é o supremo de $A\;,$ então existe $a_{n_{0}}\in A$ com $a-\epsilon \leq a_{n_{0}}\leq a.$ Como a sequência $(a_{n})\;$ é não-decrescente, se $n\geq n_{0},$ temos $a-\epsilon \leq a_{n_{0}}\leq a_{n}\leq a,$ sendo a o supremo de $A\;,$ podemos ainda acrescentar uma relação à desigualdade, temos então $a-\epsilon \leq a_{n_{0}}\leq a_{n}\leq a\leq a+\epsilon ,$ que significa que, se $n\geq n_{0}$ então $|a-a_{n}|<\epsilon \;.$ Que é exatamente a definição de convergência de sequências, então $(a_{n})\rightarrow a.$

### Proposição

Toda sequência monótona converge se possui uma subsequência convergente

#### Demonstração
### Lema

Sejam $(a_{n})\;$ uma sequência em $\mathbb {R}$ convergente para $a\;.$
* Se $a>0\;,$ então $\exists \;n_{0}\in \mathbb {N} ;n>n_{0}\Rightarrow a_{n}>0$
* Se $a_{n}>0,\forall \;n\in \mathbb {N} ,$ então $a\geq 0.$

#### Demonstração

* (1)Seja $\epsilon =a$, então existe $n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que $\forall n\geq n_{0}\implies |a_{n}-a|<a\implies -a<a_{n}-a<a$. Somando $a$ a todos os lados da desigualdade temos que $0<a_{n}<2a\implies a_{n}>0\quad \forall n\geq n_{0}$
* (2)Dado $\epsilon >0,\exists n_{0}$ tal que $n>n_{0}\Rightarrow a-\epsilon <a_{n}<a+\epsilon .$ Como $a_{n}>0\;,$ temos $0<a_{n}<a+\epsilon \;$ e portanto $0<a+\epsilon \;$ e consequentemente $0\leq a.$

### Proposição

Sejam $(a_{n})\;$ e $(b_{n})\;$ duas sequências em $\mathbb {R}$ convergentes, com $a=\lim a_{n}$ e $b=\lim b_{n}.$
* Se $a_{n}<b_{n}\;,$ para todo $n$ natural, então $a\leq b.$
* Se $a\leq b_{n},\forall \;n,$ então $a\leq b$

#### Demonstração

* (1)Se $a_{n}<b_{n}\;,$ para todo $n\;$ natural, então $0<b_{n}-a_{n}\;,$ para todo $n\;$ e, pelo lema anterior, $0\leq \lim(b_{n}-a_{n})=\lim b_{n}-\lim a_{n}$ e portanto $\lim a_{n}\leq \lim b_{n}.$
* $(1)\Rightarrow (2)$ Seja $a_{n}=a(constante),\forall \;n.$

### Teorema (do confronto)

Sejam $(a_{n}),(b_{n}){\mbox{ e }}(c_{n})\;$ sequências em $\mathbb {R} .$ Se $\lim a_{n}=\lim b_{n}$ e $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n},$ para todo $n\;$ então $\exists \lim c_{n}$ e $\lim c_{n}=\lim a_{n}=\lim b_{n}.$

#### Demonstração

Seja $c=\lim a_{n}$ e $\epsilon >0\;$ dado.
Por um lado, como $c=\lim a_{n},$ existe $n_{a}\in \mathbb {N}$ tal que, se $n>n_{a}\;$ então $c-\epsilon <a_{n}<c+\epsilon \;.$
Por outro lado, como também temos que, como $c=\lim b_{n}$ existe $n_{b}\in \mathbb {N}$ tal que, se $n>n_{b}\;$ então $c-\epsilon <b_{n}<c+\epsilon \;.$
Pela desigualdade $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n},$ se $n>\max\{n_{a},n_{b}\}\;$ então $c-\epsilon <a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}<c+\epsilon .$
Logo $c=\lim c_{n}.$

## Subsequências

Uma subsequência de uma sequência $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ é uma função $s:\mathbb {N} '\rightarrow \mathbb {R} ,$ onde $\mathbb {N} '\subset \mathbb {N}$ e $\mathbb {N} '$ é infinito. A notação usual para representar uma subsequência é $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} '}.$
Como $\mathbb {N} '$ é enumerável, seus elementos podem ser escritos como $\{n_{1},n_{2},...,n_{k},..\}\;,$ e ainda podemos escolher a enumeração de forma com que $n_{i}<n_{j}\;,$ se $i<j\;.$ Então podemos identificar uma subsequência com uma sequência escrevendo $(a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }.$ Portanto, todos os teoremas que valem para sequências valem para subsequências.

### Proposição (convergência de subsequências)

Toda subsequência de uma sequência convergente é convergente.

#### Demonstração

Seja $(a_{n})\;$ uma sequência convergente para $a\;$ e $(a_{n_{k}})$ uma subsequência de $(a_{n})\;.$ Como $(a_{n})\rightarrow a,$ dado $\epsilon >0\;,$ existe $n_{0}\;$ tal que, se $n>n_{0}\;,$ então $|a_{n}-a|<\epsilon \;.$ Em especial, se $n_{k}>n_{0}\;,$ temos $|a_{n_{k}}-a|<\epsilon .$ Logo $(a_{n_{k}})\rightarrow a.$

### Proposição (divergência de subsequências)

Se uma sequência possui duas subsequências convergindo para valores distintos então a sequência é divergente.

### Proposição

Toda sequência limitada, possui uma subsequência convergente $\;$

## Valor de aderência

Definição(Valor de aderência): $a\;$ é "valor de aderência" de uma sequência $(a_{n})\;$ se, e somente se, $a\;$ é limite de alguma das subsequências de $(a_{n})\;$ se, e somente se, $\forall \epsilon >0,\exists \;n_{0}\in \mathbb {N} ;\;n>n_{0}\Rightarrow a_{n}\in (a-\epsilon ,a+\epsilon ).$

### Fatos(Menor e Maior(Valor de aderência))

Seja $a_{n}\;$ uma sequência limitada.
* Se a sequência $a_{n}\;$ é convergente, então o valor de aderência é único
* Se a sequência $a_{n}\;$ possui duas subsequências convergente, convergindo para a e b, com a<b então para índices suficientemente grandes $a_{n}\in (a-\epsilon ,b+\epsilon )$
* Se a sequência $a_{n}\;$ possui n+2 subsequências convergindo para $a,c_{1},...,c_{n},b\;com\;a<c_{i}<b,i=1,2,...,n.$ Então a e b são o menor e maior valor de aderência e $c_{i}\in (a+\epsilon ,b-\epsilon ),i=1,2,...,n$
* Se $b_{n}\rightarrow a,c_{n}\rightarrow b$ subsequências de $a_{n}\;$ que possuem menor e o maior valor de aderência respectivamente, então $b_{n},c_{n}\;$ são monótonas e $b_{n}\;$ é crescente ou não-decrescente e $c_{n}\;$ é decrescente ou não-crescente

#### Demonstração (VERIFICAR SE ESTÁ CORRETO)

* (1) $a_{n}\rightarrow a\Rightarrow a_{n}$ possui uma subsequência convergindo para a. Por definição a é valor de aderência. Como $a_{n}\;$ é convergente, não existe outra subsequência convergindo para outro valor diferente de a. Logo a é o único valor de aderência.
* (2) Temos $n>n_{1}\Rightarrow a_{n}\in (a-\epsilon ,a+\epsilon )\;e\;n>n_{2}\Rightarrow a_{n}\in (b-\epsilon ,b+\epsilon ).$
** Também $a-\epsilon <a<b<b+\epsilon \Rightarrow n>n_{0}=max\{n_{1},n_{2}\},com\;a_{n}\in (a-\epsilon ,b+\epsilon )$
* (3)Seja $c_{j}\leq c_{i}\leq c_{k},i=1,2,...,n.$ Temos $n>n_{j}\Rightarrow a_{n}\in (c_{j}-\epsilon ,c_{j}+\epsilon )$. Tome $n>n_{k}\Rightarrow a_{n}\in (c_{k}-\epsilon ,c_{k}+\epsilon )\Rightarrow n>n_{0}^{*}=\max\{n_{j},n_{k}\},\;com\;a_{n}\in (c_{j}-\epsilon ,c_{k}+\epsilon ).$
** $a+\epsilon <c_{j}<c_{k}<b-\epsilon \Rightarrow a<c_{j}-\epsilon <c_{k}+\epsilon <b\;$
** $c_{i}\in [c_{j},c_{k}]\subset (c_{j}-\epsilon <c_{k}+\epsilon )\subset (a,b)$ e $c_{i}\in [c_{j},c_{k}]\subset (a+\epsilon ,b-\epsilon )\subset (a,b)$
* (4) por (2) é verdade que $n>n_{0}=max\{n_{1},n_{2}\}\Rightarrow a_{n}\in (a-\epsilon ,b+\epsilon ).$ Mas não pode existir $b_{n},c_{n}\in (a+\epsilon ,b-\epsilon )\;com\;n>n_{0}(Sendo\;\epsilon <{a+b \over 2})$
** $\not \exists b_{j}\geq c_{i},\forall \;i,j\in \mathbb {N} \Rightarrow b_{i}<c_{j},\forall \;i,j\in \mathbb {N}$
** Se $b_{n}\;$ fosse decrescente ou não-crescente, teríamos $b_{n}\in [a,a+\epsilon ).$ Como $n>n_{0}\Rightarrow b_{n}\in (a,b+\epsilon ),\;assim\;b<b_{i}$ para algum $b_{i}\;.$ (contradição). Da mesma forma fazemos com $c_{n}\;$

## sequências de Cauchy

Uma classe muito importante de sequências são as sequências de Cauchy, que são muito importantes não só para a Análise Real, mas também para a Análise Matemática e Topologia.

### Proposição: toda sequência convergente é de Cauchy
#### Demonstração

Seja $(a_{n})\;$ uma sequência convergente para um ponto $a\;.$ Como $(a_{n})\;$ converge para $a\;,$ qualquer que seja $\epsilon >0\;,$ existe $n_{0}\;$ tal que, se $n>n_{0}\;,$ então $|a_{n}-a|<\epsilon /2\;.$ Portanto, se $n,m>n_{0}\;,$ então $|a_{n}-a_{m}|\leq |a_{n}-a|+|a_{m}-a|<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon .$ Portanto $(a_{n})\;$ é de Cauchy.

### Proposição: toda sequência de Cauchy é limitada

Se $(x_{n})\;$ é uma sequência de números reais de Cauchy, então existem $m,M\;$ reais tais que $m\leq x_{n}\leq M,$ para todo n natural.

#### Demonstração

Como $(x_{n})\;$ é uma sequência de Cauchy, dado $\epsilon >0\;,$ existe $n_{0}\;$ natural tal que, se $n,m>n_{0}\;,$ então $|x_{n}-x_{m}|<\epsilon \;,$ portanto $|x_{n}-x_{{n_{0}}+1})|<\epsilon ,$ de onde concluimos que $x_{n}\in (x_{{n_{0}}+1}-\epsilon ,x_{{n_{0}}+1}+\epsilon ).$
Como $\{x_{0},x_{1},...,x_{n_{0}}\}$ é um conjunto finito, sabemos que ele tem maior e menor elemento, então podemos definir $s=min\{x_{0},x_{1},...,x_{n_{0}}\},S=max\{x_{0},x_{1},...,x_{n_{0}}\},$ Desta forma definindo $m=min\{s,x_{{n_{0}}+1}-\epsilon \}$ e $M=max\{S,x_{{n_{0}}+1}+\epsilon \},$ temos que $m\leq x_{n}\leq M,$ para todo $n\;$ natural. Como queríamos.

### Proposição: se uma sequência de Cauchy tem subsequência convergente, então converge

Se $(a_{n})\;$ em $\mathbb {R}$ é uma sequência de Cauchy com subsequência $(a_{n_{k}})$ convergente para $a\;,$ então $(a_{n})\;$ converge para $a\;.$

#### Demonstração

Dado $\epsilon >0\;,$ como $(a_{n_{k}})$ converge para $a\;,$ existe $n_{k_{0}}$ tal que se $n_{k}\geq n_{k_{0}},$ então $|a-a_{n_{k}}|<\epsilon /2.$ Como $(a_{n})\;$é Cauchy, existe $n_{0}>0\;tal\;que\;n,m\geq n_{0},$ então $|a_{m}-a_{n}|<\epsilon /2\;.$Tome agora $n_{k_{1}}=\max(n_{k_{0}},n_{0})$. Assim, pela desigualdade triangular, se $n>n_{k_{1}}\;,$ então $|a-a_{n}|\leq |a-a_{n_{k_{1}}}|+|a_{n_{k_{1}}}+a_{n}|\leq \epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon .$

### Lema: toda sequência tem subsequência monótona
#### Demonstração

Seja $(a_{n})\;$ uma sequência qualquer e considere o conjunto $B=\{a_{n}:a_{n}\leq a_{k},\forall k\in \mathbb {N} ,k>n\}.$ Se $B\;$ for infinito, então $(a_{n})\;$ tem subsequência não decrescente, caso contrário $(a_{n})\;$ tem subsequência decrescente.

### Teorema: toda sequência real de Cauchy converge
#### Demonstração:

Se $(a_{n})\;$ é uma sequência de Cauchy, pelo lema anterior, existe uma subsequência $(a_{n_{k}})$ monótona. Como $(a_{n})\;$ é Cauchy, $(a_{n})\;$ é limitada e portanto a subsequência $(a_{n_{k}})$ também é limitada. Como toda sequência real monótona limitada converge, temos que $(a_{n_{k}})$ converge, logo $(a_{n})\;$ converge também, pois tem subsequência convergente. Concluímos que toda sequência real de Cauchy converge.

## Os números reais não são enumeráveis

Vimos, em um capítulo anterior (Enumerabilidade) que existem conjuntos enumeráveis e conjuntos que não são enumeráveis. A prova será feita agora; mais especificamente, mostraremos que o intervalo fechado [0, 1] não é enumerável (o resultado para $\mathbb {R} \,$ é imediato, pois $[0,1]\subseteq \mathbb {R} \,$).
Seja portanto $s:\mathbb {N} \to [0,1]\,$ uma sequência qualquer de números reais entre zero e um.
Vamos construir uma sequência de intervalos, por indução finita, definindo:
* $I_{0}=[0,1]\,$
* Seja $I_{n}=[a,b]\,$ e sejam $m={\frac {a+b}{2}}$, $a_{1}={\frac {2a+b}{3}}\,$ e $b_{1}={\frac {a+2b}{3}}$. Então definimos $I_{n+1}=[a,a_{1}]\,$ se $x_{n}>m\,$, e $I_{n+1}=[b_{1},b]\,$ caso contrário.
Por construção, é fácil ver que $\ldots I_{2}\subset I_{1}\subset I_{0}\,$. Além disso, temos que $\forall n,x_{n}\not \in I_{n+1}\,$.
Consideremos, então, a interseção de todos os intervalos $A=I_{0}\cap I_{1}\cap I_{2}\ldots \,$. Pela propriedade dos intervalos encaixados, este conjunto não é vazio (este conjunto é unitário, mas este detalhe não é importante neste prova).
Assim, temos que existe a, $a\in A\,$. Mas, pela propriedade de que $\forall n,x_{n}\not \in I_{n+1}\,$, temos que $x_{n}\not \in A\,$, ou seja, a é diferente de cada um dos x$_n$.
Em outras palavras, dada uma sequência de números entre 0 e 1, é possível construir um número real que não está nesta sequência.
Ou seja, o intervalo [0, 1] (portanto, os números reais) não é um conjunto enumerável.