# Álgebra linear/Transformações lineares
## Transformações Lineares
### Definição
#### Definição

Uma função $T:V\to W,$ onde $V$ e $W$ são espaços vetoriais sobre um corpo $K,$ é dita uma transformação linear se, para todos $u,v\in V$ e para todo $\lambda \in K,$ tem-se
    $\;T(u+v)=T(u)+T(v)$
    $T(\lambda u)=\lambda \,T(u)$

### Existência de uma transformação

Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, onde a $dim\;V<\infty$. Seja $\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}\;$ uma base de V e $w_{1},w_{2},...,w_{n}\;$ vetores quaisquer de W. Então existe uma transformação linear $T:V\mapsto W,Tv_{i}=w_{i},i=1,...,n$.

## Imagem de uma transformação linear

A seguir será discutido um exemplo de como achar a imagem de uma transformação linear. Considere $T:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$, definida por $T(x,y)=(2x+3y,4x-3y)$. O valor de $T$ em um ponto $(x,y)$ pode ser reescrito da seguinte forma:
    $T(x,y)=(2x+3y,4x-3y)=x(2,4)+y(3,-3)$.
Consequentemente, todo ponto da imagem é uma combinação linear dos vetores $(2,4)$ e $(3,-3)$, isto é, tais vetores formam um conjunto de geradores para a imagem de $T$. Como poderá ser verificado pelo leitor, estes vetores também são linearmente independentes, constituindo portanto uma base para a imagem de $T$.

## Núcleo
### Definição

Seja $T:V\to W\,$ uma transformação linear entre os espaços vetoriais V e W. O núcleo da transformação linear, Ker(T), é a imagem inversa do vetor nulo em W:
    $Ker(T)=\{v\in V|T(v)=0\}\,$

### Teorema do núcleo

O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio
A demonstração é simples:
* Ker(T) não é vazio, pois 0$_V$ é um elemento de Ker(T), já que T(0$_V$) = 0$_W$
* Se $v,w\in Ker(T)\,,$ então T(v) = T(w) = 0, logo, pela linearidade de T, T(v + w) = 0 e $v+w\in Ker(T)\,$
* Se $\lambda \in K\,$ e $v\in Ker(T)\,,$ temos $T(v)=0\,$ logo $T(\lambda v)=\lambda T(v)=\lambda 0=0\,,$ ou seja, $\lambda v\in Ker(T)\,$

## Posto e nulidade

Se $dimV<\infty$, e $T:V\mapsto W$
* O posto(T) = dim Im(T),isto é, a dimensão da imagem de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram toda a imagem de T(V).
e
* A Nulidade(T) = dim Ker(T), isto é, é a dimensão do núcleo de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram todo o núcleo de T(V).

#### Teorema do posto e da nulidade

Sejam V e W espaço vetoriais sobre o corpo K e $T:V\mapsto W$. Se $dimV<\infty$, então posto(T) + Nulidade(T) = dim V
Prova
* Definindo a base do núcleo e a base do espaço:
Seja $\{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}\;$ uma base do Ker(T). Existem vetores $v_{j},\;$ com j=k+1,...,n onde $\{v_{1},v_{2},...,v_{k},v_{k+1},...v_{n}\}\;$ é uma base de V.
* Definindo a base da imagem:
Como $\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}\;$ é a base de V, T aplicada nessa base gera um conjunto que gera a imagem de T por V. Aplicando T sobre os vetores da base de V, temos $Tv_{1},Tv_{2},...,Tv_{n}\;$, mas $Tv_{1}=Tv_{2}=...=Tv_{k}=0\;$, pela definição de núcleo. Assim os vetores $Tv_{k+1},...,Tv_{n}\;$ geram a imagem de T(V).
* Provando que os vetores são independentes:
Como queremos uma base, eles devem ser independentes, isto é, devem $\exists c_{i}\in K,$ tal que $\sum _{i=1}^{n}c_{i}v_{i}=0\Leftrightarrow c_{i}=0,i=1,...,n$.
Tomemos $\sum _{i=k+1}^{n}c_{i}(Tv_{i})=0\Leftrightarrow T(\sum _{i=k+1}^{n}c_{i}v_{i})=0$. Logo $w=\sum _{i=k+1}^{n}c_{i}v_{i}\in Ker(T)$. Como $w\in Ker(T),w=\sum _{i=1}^{k}b_{i}v_{i},b_{i}\in K$.
Portanto $w=\sum _{i=k+1}^{n}c_{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{k}b_{i}v_{i}\Leftrightarrow \sum _{i=k+1}^{n}c_{i}v_{i}-\sum _{i=1}^{k}b_{i}v_{i}=0$. Como $v_{1},v_{2},...,v_{k}\;$ são L.I., então $b_{i}=c_{i}=0,\forall i=1,...,n$.
* Definindo posto e nulidade:
O Posto(T) = dim Im(T). Como $Tv_{k+1},...,Tv_{n}\;$ geram a imagem de T(V), logo o posto(T)= n - (k+1) +1 = n-k.
A nulidade (T) = dim Ker(T). Como $\{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}\;$ é uma base do Ker(T), logo a Nulidade (T)= k - 1 + 1 = k
Como n = dim V, Nulidade(T)=k e Posto(T)=n-k, portanto Posto(T) + Nulidade(T) = dim(V).

## Funcionais lineares
### Definição
#### Definição

Uma função $f:V\rightarrow K,$ onde V é um espaço vetorial sobre K, é chamada de funcional linear se, $\forall u,v\in V$ e $\forall \lambda \in K:$
    $f(u+v)=f(u)+f(v)$
    $f(\lambda v)=\lambda f(v)$

#### Teorema (existência e unicidade)

Se V é um espaço vetorial de dimensão n e $\alpha =\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ é uma base de V, então existe um único funcional f, tal que $f(v_{i})=\lambda _{i},i=1,2,\ldots ,n$ e $\lambda _{i}\in K$

#### Teorema (base dual)

Se V é um espaço vetorial, $\mathrm {dim} V=n$ e $\beta =\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ é uma base de V, então existe uma única base $\beta ^{*}=\{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n}\}$ de $V^{*}$ tal que $f_{i}(v_{j})=\delta _{ij}$

#### Definição

    $\beta ^{*}$ é chamada de base dual de $\beta$
    $V^{*}$ é chamado de espaço dual de V
Corolários:
    $f=\sum f(v_{i})f_{i}$
    $v=\sum f_{i}(v)v_{i}$

### Teoremas
#### Teorema (representação dos funcionais lineares)

Sejam V um espaço vetorial sobre K, $\mathrm {dim} V=n,$ com produto interno, e $f:V\rightarrow K$ um funcional linear. Então existe um único vetor $v_{o}\in V,$ tal que $f(v)=\langle v,v_{o}\rangle ,$ $\forall v\in V.$
Demonstra-se ainda que $v_{o}=\sum {\overline {f(e_{i})}}e_{i}$

## Operador linear

Dizemos que T uma transformação linear, $T:V\mapsto V$ é chamada operador linear de T sobre V.

## Adjunto de um operador linear
### Definição
#### Definição

Seja V um espaço vetorial.
O operador adjunto, $T^{*}:V\rightarrow V,$ de um determinado operador linear $T:V\rightarrow V$ é definido pela igualdade:
    $\langle T(u),v\rangle =\langle u,T^{*}(v)\rangle ,\quad \forall u,v\in V$
Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.
A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):
    $(S+T)^{*}=S^{*}+T^{*}$
    $(\lambda T)^{*}={\bar {\lambda }}T^{*}$
    $(S\circ T)^{*}=T^{*}\circ S^{*}$

#### Proposição

Seja V um espaço vetorial sobre K, $\mathrm {dim} V=n,$ com produto interno. Seja $\alpha =\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}$ uma base ortonormal de V. Então $[T]_{\alpha }=(a_{ij}),$ onde $a_{ij}=\langle T(e_{j}),e_{i}\rangle$

#### Corolário

Seja V um espaço vetorial sobre K, $\mathrm {dim} V=n,$ com produto interno. Então, para qualquer base $\alpha =\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}$ ortonormal de V, temos que a matriz $[T^{*}]_{\alpha }=({\overline {[T]_{\alpha }}})^{t}.$

## Operadores especiais

* Auto-adjunto ($T^{*}=T$)
* Unitário ($T^{*}=T^{-1}$)
* Normal ($T^{*}T=TT^{*}$)

### Operador auto-adjunto
#### Definição

$T:V\rightarrow V$ é chamado de auto-adjunto se $T^{*}=T.$
Uma matriz A é auto-adjunta se ${\overline {A}}^{t}=A.$
* Se $K=R,$ $[T]_{\alpha }$ é chamada simétrica.
* Se $K=C,$ $[T]_{\alpha }$ é chamada hermitiana.
Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:
    Se $\langle T(u),v\rangle =0,\forall u,v\in V,$ então $T=0.$
    Se V é complexo e $\langle T(u),u\rangle =0,\forall u\in V,$ então $T=0.$
Prove:
* Se $T^{*}=T$ e $\langle T(u),u\rangle =0,\forall u\in V,$ então $T=0.$
* Seja $T:V\rightarrow V,$ com V complexo. Então $T^{*}=T\iff \langle T(v),v\rangle \in R.$

### Operador unitário
#### Definição

$T:V\rightarrow V$ é chamado de unitário se $T^{*}=T^{-1}.$
Uma matriz A é unitária se ${\overline {A}}^{t}=A^{-1}$
Prove:
* T é unitário $\iff \langle T(u),T(v)\rangle =\langle u,v\rangle$ (T preserva o produto interno)
* T é unitário $\iff |T(u)|=|u|$ (T preserva a norma)
* T é unitário $\iff T^{-1}$ é unitário

### Operador normal
#### Definição

$T:V\rightarrow V$ é chamado de normal se $TT^{*}=T^{*}T.$
Uma matriz A é normal se $AA^{*}=A^{*}A$
Prove:
* Todo operador auto-adjunto é normal
* Todo operador unitário é normal
É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.

## Subespaço invariante
### Definição
#### Definição

W, subespaço vetorial de V, é dito invariante sob o operador $T:V\rightarrow V,$ se $T(W)\subset W.$
Dizemos também que W é T-invariante.

### Exercícios

Prove:
* Se W é T-invariante, então $W^{\perp }$ é $T^{*}$-invariante.
* Se W é T-invariante e T é auto-adjunto, então W é $T^{*}$-invariante.
* Se W é T-invariante e T é inversível, então $T(W)=W.$
* Se W é T-invariante e T é inversível, então W é $T^{-1}$-invariante e $T^{-1}(W)=W.$
* Se W é T-invariante e T é unitário, então W é $T^{-1}$-invariante (ou $T^{*}$-invariante).
* Se W é T-invariante e T é unitário, então $W^{\perp }$ é T-invariante.

## Notas

* ↑ Ver por exemplo no Wolfram Alpha

## Ver também
### Wikipédia

* Núcleo da transformação linear
* Transformação linear