# Logística/Sistemas de distribuição/Modelos de afectação de clientes

Os modelos de atribuição de clientes organizam as localizações dos clientes em subgrupos para serem servidos por uma única instalação ou veículo. Conforme as suposições obtêm-se modelos diferentes para uma vasta gama de aplicações (Jarvis et al., 1992, p. 2203-2207).
Restrições e objectivo
A questão a que os modelos de atribuição de clientes respondem é: "Que instalações (veículos) servirão que clientes?". Para se poder responder a essa questão, devem ser conhecidas as restrições dos resultados da atribuição, bem como o objectivo pretendido.
No que concerne à atribuição de clientes, podem existir restrições muito diferentes. Uma das principais restrições é a capacidade das instalações (veículos). Outras restrições são: limitações de tempo, grupagem de mercadorias, preferências dos clientes e viabilidade das rotas.
Por norma, o objectivo dos modelos de distribuição é a minimização do custo total. Ainda assim, a maior parte dos estudos de distribuição concentra-se nos dois principais componentes desses custos: os custos das instalações e das entregas. Conforme a aplicação, cada um desses custos pode incluir componentes fixas e variáveis.
Fornecedores fixos: problema dos transportes
O modelo de atribuição de clientes a pontos fixos de abastecimento é o mais simples. Com este tipo de modelo decide-se quais os pontos de procura a atribuir a determinados postos de abastecimento, dadas as localizações destes. A Figura X ilustra o processo de atribuição descrito para 10 pontos de procura (círculos) e 4 pontos de abastecimento (quadrados). Existem alguns pressupostos a ter em consideração. Primeiro, assume-se que é permitida mais do que uma fonte. É o que se verifica quando mais do que um posto de abastecimento satisfaz os requisitos de um ponto de procura específico. Segundo, assume-se que é fornecida uma matriz com os custos de atribuição ou que esses custos são directamente proporcionais à distância entre os pontos de procura e abastecimento, sem se desenvolverem as rotas.
Uma formulação matemática pode então ser desenvolvida, dados os pressupostos anteriores, para o modelo de atribuição envolvendo pontos fixos de abastecimento: Seja $\ x_{ij}$ a quantidade de procura destinada a abastecer o ponto $\ i$, através do ponto $\ j$, e $\ c_{ij}$ o custo de atribuição por unidade de procura. E seja $\ a_{i}$ a disponibilidade no ponto de abastecimento e $\ bj$ a necessidade no ponto de procura. Tem-se, então, o seguinte modelo:
${\mbox{minimizar}}\,\,\sum _{i}\sum _{j}c_{ij}x_{ij}\,\,{\mbox{(minimizar o custo de atribuição)}}$
tais que
$\sum _{j}x_{ij}\leq a_{i}\,\,{\mbox{(restrições de disponibilidade no ponto de abastecimento)}}$
$\sum _{i}x_{ij}=b_{j}\,\,{\mbox{(necessidades no ponto de procura)}}$
$x_{ij}\geq 0$
A solução para este modelo (problema de transportes clássico) resulta provavelmente em múltiplas fontes. Para determinar a melhor atribuição pode-se recorrer à resolução do problema de transportes. É também possível, através de métodos de fluxo numa rede, incluir restrições nas quantidades mínimas de abastecimento, para qualquer ponto de abastecimento.
Suponha-se então que é exigida uma única fonte. Adicionando a seguinte restrição ao modelo anterior
$x_{ij}=0\,\,\,or\,\,\,b_{j}$
o modelo de programação linear é transformado num modelo de programação inteiro, sendo esta uma variante do «problema geral de atribuição». Para obter a atribuição desejada, neste caso, provavelmente ter-se-á de combinar com o algoritmo clássico de transporte uma técnica de «branch-and-bound». Na Figura Y onde se encontra ilustrada uma solução com uma única fonte de abastecimento, verifica-se que as restrições adicionais podem originar aumentos significativos nos custos de distribuição. Em muitas circunstâncias, uma única fonte de abastecimento é uma exigência real, habitualmente devida a conveniências do cliente.
Frequentemente, existem situações que tornam o pressuposto de fonte única inválido, tais como insuficiências ou rupturas de stock. Para acautelar estas situações, antecipando e medindo os seus efeitos, o modelo de transporte pode ser empregue como uma primeira aproximação, podendo utilizar-se um modelo de simulação para determinar os efeitos de dificuldades com os stocks e outros.
Níveis múltiplos: problemas de transbordo
Habitualmente, os sistemas de distribuição implicam múltiplos níveis de transferência das mercadorias, ou seja, as mercadorias são enviadas de pontos de abastecimento para pontos de transferência ou distribuição. A partir daí são divididos e expedidos para pontos individuais de procura. Dependendo dos pressupostos especificamente envolvidos, o nível adicional no modelo pode ser incluído de várias maneiras.
Supondo a existência de um conjunto de custos separado desde os pontos de distribuição até aos pontos de procura, e de um conjunto de custos associado ao transporte dos postos de abastecimento aos pontos de distribuição, pode então ser desenvolvido o seguinte modelo:
${\mbox{minimizar}}\,\,\sum _{i}\sum _{k}s_{ik}x_{ik}\,+\,\sum _{k}\sum _{j}d_{ik}y_{ik}$
tal que
$\sum _{k}x_{ik}\,\leq \,a_{j}\,\,{\mbox{(disponibilidade no ponto de abastecimento)}}$
$\sum _{i}x_{ik}\,-\,\sum _{j}y_{kj}\,=\,0\,\,{\mbox{(balanço de fluxo nos pontos de distribuição)}}$
$\sum _{k}x_{ik}\,\leq \,f_{k}\,\,{\mbox{(capacidade no ponto de distribuição)}}$
$\sum _{k}y_{kj}\,=\,b_{j}\,\,{\mbox{(necessidade no ponto de procura)}}$
$x_{ik}\geq \,0,\,\,\,\,\,y_{kj}\,\geq \,0$
onde
$\ s_{ik}$ = ponto de abastecimento - custo no ponto de distribuição (e $\ x_{ik}$ o seu fluxo associado)
$\ d_{kj}$ = ponto de distribuição - custo no ponto de procura (e $\ y_{kj}$ o seu fluxo associado)
$\ s_{k}$ = capacidade no ponto de distribuição
Apesar deste modelo ser resolvido por simples e eficientes métodos de fluxo de rede, modelos mais complexos podem ser criados através de outras considerações. Supondo, por exemplo, que múltiplas fontes são permitidas e que o custo de transporte é uma função de todo o percurso relativo à entrega do artigo. Pode então, pela adição de um subscrito extra na variável de atribuição, ser desenvolvida uma extensão «straigh-forward» para o modelo definido pelas equações (1) a (4).
Considerando $\ x_{ijk}$ a procura no ponto $\ j$, com o ponto de fornecimento $\ i$, passando pelo ponto de distribuição $\ k$, e ainda $\ c_{ijk}$ o custo de distribuição associado e a capacidade de transferência, ter-se-á o seguinte modelo:
${\mbox{minimizar}}\,\,\sum _{i}\sum _{j}\sum _{k}\,c_{ijk}\,x_{ijk}$
tal que
$\sum _{j}\sum _{k}x_{ik}\,\leq \,a_{i}\,\,{\mbox{(disponibilidade no ponto de abastecimento)}}$
$\sum _{i}\sum _{j}x_{ik}\,\leq \,f_{k}\,\,{\mbox{(capacidade no ponto de distribuição)}}$
$\sum _{i}\sum _{k}y_{kj}\,=\,b_{j}\,\,{\mbox{(necessidade no ponto de procura)}}$
$x_{ijk}\geq \,0$
Apesar de não ser possível tratar este modelo através de técnicas de fluxo de rede simples, é possível recorrer a métodos de programação linear, provavelmente utilizando criação de colunas de modo a manter o seu tamanho. A Figura Z ilustra uma das possíveis soluções para um sistema de distribuição de múltiplos níveis com cinco pontos intermédios de distribuição.
Caso sejam exigidas restrições de fonte única de abastecimento, o modelo torna-se de programação inteira mista, sendo provavelmente necessário optar por um procedimento de enumeração, no qual os clientes inicialmente serão atribuídos aos pontos de distribuição. Resolve-se então, para os pontos de distribuição e de abastecimento, um simples problema de transportes, com as necessidades de procura no ponto atribuídas aos pontos de distribuição adequados.
Ao contrário dos modelos discutidos até agora, que consideram apenas a distribuição de um único produto, os modelos envolvendo múltiplas mercadorias tornam-se bastante complexos. Apesar de na maioria dos casos a actualização do modelo poder ser feita através da adição de outro índice, por tipo de mercadoria, na variável de atribuição (fluxo) e seus custos associados, isso geralmente significa que já não são aplicáveis técnicas de solução eficiente, recorrendo-se então à programação linear com criação de colunas.