# Teoria dos conjuntos/O conjunto dos números naturais

O objetivo deste capítulo é mostrar que o conjunto dos números naturais existe, é único, e provar algumas de suas propriedades básicas.
Um capítulo anterior (Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união) definiu o que um conjunto deve satisfazer para ser chamado de um número natural.
O Axioma do infinito diz que existe um conjunto que inclui o conjunto vazio e, para cada elemento seu, inclui o seu sucessor (definido no capítulo Axioma da união). Assim, para cada conjunto que o axioma do infinito provém, podemos definir, pelo Axioma da extensão, um conjunto dos números naturais - o que prova a existência.
Nosso primeiro objetivo é mostrar que todo número natural é elemento de qualquer conjunto dos números naturais; com isto mostramos que este conjunto é único.

## Unicidade

Devemos provar o seguinte:
    Seja A um conjunto que satisfaz ao Axioma do infinito. Então todo número natural n é um elemento de A.
Como vimos antes, n é um número natural quando:
* n é o conjunto vazio ou n é um sucessor de algum seu elemento
* todo elemento de n é o conjunto vazio ou um sucessor de algum seu elemento
Nos capítulos anteriores, mostramos vários teoremas a respeito dos números naturais. Em particular, no capítulo sobre o Axioma da regularidade, mostramos que para todo número natural n e todo subconjunto K de n satisfazendo:
* $\varnothing \in n\implies \varnothing \in K\,$
* $x\in K\ \land s(x)\in n\implies s(x)\in K\,$
temos que K = n.
É óbvio como provaremos que todo número natural n é elemento de A: basta formar o subconjunto $K=n\cap A\subseteq n\,$ e mostrar que $K=n\cap A=n\,$.
É imediato que:
* Como $\varnothing \in A\,$, temos que $\varnothing \in n\implies \varnothing \in n\cap A=K\,$
* Como $x\in A\implies s(x)\in A\,$ e $K\subseteq A\,$, temos que $x\in K\ \land s(x)\in n\implies s(x)\in n\cap A=K\,$
O que completa a prova.
Assim, sendo A e B dois conjuntos que satisfazem ao Axioma do infinito, pelo Axioma da separação, podemos definir:
* $\mathbb {N} _{A}=\{x\in A|x{\mbox{ eh um numero natural }}\}\,$
* $\mathbb {N} _{B}=\{x\in B|x{\mbox{ eh um numero natural }}\}\,$
é imediato que $\mathbb {N} _{A}=\mathbb {N} _{B}\,$, ou seja, temos que o conjunto dos números naturais existe e é único, o que justifica a definição:
    $\mathbb {N} =\{x|x{\mbox{ eh um numero natural }}\}\,$

## Princípio da indução finita

A unicidade de $\mathbb {N} \,$ permite imediatamente demonstrar vários fatos.
Por exemplo, seja K um subconjunto de $\mathbb {N} \,$ satisfazendo:
* $\varnothing \in K\,$
* $n\in K\implies s(n)\in K\,$
Então, obviamente, K é um conjunto que satisfaz ao Axioma do infinito, então $\mathbb {N} \subseteq K\,$, completando a prova.
Esta propriedade costuma ser apresentada como um esquema de teoremas: seja P(x) uma propriedade escrita na linguagem formal da teoria dos conjuntos.
Então se:
* $P(\varnothing )\,$
* $P(n)\implies P(s(n))\,$
então
* $\forall n\in \mathbb {N} ,(P(n))\,$
A demonstração parte da construção do conjunto $K=\{n\in \mathbb {N} |P(n)\}\,$, e aplicando-se o resultado anterior para provar que $K=\mathbb {N} \,$.

## Todo número natural é um número ordinal

A indução finita torna muito simples várias propriedades dos números naturais.
Por exemplo, podemos provar que todo número natural é um número ordinal (ver a definição de ordinal segundo von Neumann em Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união). Isto porque $\varnothing \,$ é um número ordinal, e o sucessor de todo número ordinal também é um número ordinal (ver prova em Axioma da potência) - logo, por indução, todo número natural é um número ordinal.

## Axiomas de Peano

    Ver módulo principal: Álgebra abstrata/Números naturais
O estudo de várias estruturas algébricas complexas parte, quase sempre, do estudo da estrutura mais elementar, que é o conjunto dos números naturais com sua relação de ordem e as operações binárias de soma e produto de números naturais.
Veremos aqui como é possível construir esta estrutura algébrica de forma axiomática.
Uma forma é partir do conjunto $\mathbb {N} \,$ e definí-las.
Mas uma forma mais elegante é partir dos Axiomas de Peano.
Peano, em 1889, propôs nove axiomas que servem como fundamentos da aritmética - na verdade, estes axiomas são tão completos, que servem como fundamentos para quase toda a matemática. Destes axiomas, os quatro primeiros são sobre lógica, e os cinco últimos supõem a existência de um conjunto N satisfazendo:
* $\exists 0\in N\,$
* $\exists s:N\to N\,$
* $\not \exists n\in N,(s(n)=0)\,$
* $\forall n,m,(s(n)=s(m)\implies n=m)\,$
* $\forall K\subseteq N,(0\in K\land (n\in K\implies s(n)\in K)\implies K=N)\,$
Em palavras:
* N possui um elemento, que chamaremos de 0
* Todo elemento de N possui um sucessor em N; chamamos de s(n) ao sucessor de n
* Não existe um número cujo sucessor seja o 0
* Se os sucessores de dois números são iguais, então eles são iguais (equivalente: Se dois elementos de N são diferentes, então seus sucessores são diferentes)
* Se um subconjunto de N tem 0 como elemento, e este conjunto tem o sucessor de cada um dos seus elementos, então este conjunto é igual a N (princípio da indução)
Mostremos agora que $N=\mathbb {N} \,$, $0=\varnothing \,$ e $s(x)=x\cup \{x\}\,$ é um modelo dos axiomas de Peano.
* $\varnothing \in \mathbb {N} \,$ - por construção
* $\exists s:\mathbb {N} \to \mathbb {N} \,$ - por construção
* $\not \exists n\in \mathbb {N} ,(s(n)=\varnothing )\,$ - verdadeiro, pois s(n) é um conjunto que possui (pelo menos) um elemento - n - logo $s(n)\neq \varnothing \,$
* $\forall n,m,(s(n)=s(m)\implies n=m)\,$ - deixaremos esta prova para o final
* o princípio da indução foi demonstrado acima
Então falta mostrar que se dois números tem o mesmo sucessor então eles são iguais. Mas isto segue do axioma da separação, porque se s(n) = s(m) temos que $n\in m\cup \{m\}\,$ e $m\in n\cup \{n\}\,$ e, dos quatro casos seguintes, apenas um deles não viola o axioma da separação:
* $n\in m\land m\in n\,$
* $n\in m\land m=n\,$
* $n=m\land m\in n\,$
* $n=m\land m=n\,$
que é o caso n = m.