# Matemática elementar/Trigonometria/Lei dos senos e dos cossenos
## Lei dos cossenos

Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A saber:
    $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot \cos {\widehat {A}}:$ $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot \cos {\widehat {B}}:$ $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot \cos {\widehat {C}}$

### Demonstração

Esta é uma das maneiras de demonstrar a lei dos cossenos.
Considerando a figura, podemos observar três triângulos: $ABC,BCD,BAD.$
Destes, pode-se extrair as seguintes relações: $b=n+m$ e $m=c\cdot \cos {\widehat {A}}.$
Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:
* Para $BCD:$ $a^{2}=n^{2}+h^{2}$
* Para $BAD:$ $c^{2}=m^{2}+h^{2}$
Substituindo $n=b-m$ e $h^{2}=c^{2}-m^{2}$ em $a^{2}=n^{2}+h^{2}:$
$a^{2}=(b-m)^{2}+c^{2}-m^{2}$
$\Rightarrow a^{2}=b^{2}-2b\cdot m+m^{2}+c^{2}-m^{2}$
$\Rightarrow a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot m$
Entretanto, pode-se substituir a relação $m=c\cdot cos{\widehat {A}},$ do triângulo $BAD,$ na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot \cos {\widehat {A}}$
Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:
$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot \cos {\widehat {B}}$
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot \cos {\widehat {C}}$

### Aplicação

A Lei dos Cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triângulo conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ângulo oposto a esse. Ela também permite calcular todos os ângulos de um triângulo, desde que se saiba o comprimento de todos os lados.

#### Exemplos

* Considere um triângulo de lados $p,$ $q$ e $r,$ sendo que o comprimento de $p$ é 2 metros e o comprimento de $q$ é ${\sqrt {3}}$ metros. Os lados $p$ e $q$ definem um ângulo de 30º. Calcule o comprimento de $r.$
** Resolução
    Dada a Lei dos Cossenos, $r^{2}=p^{2}+q^{2}-2p\cdot q\cdot \cos {\widehat {A}}$ tem-se que $p=2,$ $q={\sqrt {3}}$ e ${\widehat {A}}=30^{\circ }$ portanto:
    $r^{2}=2^{2}+\left({\sqrt {3}}\right)^{2}-2\cdot 2\cdot {\sqrt {3}}\cdot \cos 30^{\circ }:$ $r^{2}=4+3-4\cdot {\sqrt {3}}\cdot {{\sqrt {3}} \over 2}:$ $r^{2}=7-2\cdot 3:$ $r^{2}=7-6:$ $r^{2}=1:$ $r=1:$ O comprimento de $r$ é 1 metro.
* Prove por Lei dos Cossenos que o triângulo eqüilátero também é eqüiângulo
** Resolução
    Dado um triângulo eqüilátero de lados $l_{1},$ $l_{2}$ e $l_{3},$ por definição tem-se que $l_{1}=l_{2}=l_{3}.$ Sejam $x,$ $y$ e $z$ os ângulos deste triângulo. Aplicando a Lei dos Cossenos:
    $l^{2}=l^{2}+l^{2}-2l\cdot l\cdot \cos x:$ $l^{2}=2l^{2}-2l^{2}\cdot \cos x:$ $l^{2}-2l^{2}=\left(2l^{2}-2l^{2}\cdot \cos x\right)-2l^{2}:$ $-l^{2}=-2l^{2}\cdot \cos x:$ ${-l^{2} \over -2l^{2}}={-2l^{2}\cdot \cos x \over -2l^{2}}:$ ${1 \over 2}=\cos x:$ $x=60^{\circ }:$ O mesmo vale para $y$ e $z:$
    $l^{2}=l^{2}+l^{2}-2l\cdot l\cdot \cos y:$ $l^{2}=l^{2}+l^{2}-2l\cdot l\cdot \cos z$

## Lei dos senos

O seno de um ângulo de um triângulo qualquer é proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo. A saber:
    ${\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}={\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}={\frac {c}{\mathrm {sen} \,{\widehat {C}}}}=2r$

### Demonstração

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo $ABC$ qualquer inscrito em uma circunferência de raio $r.$ A partir do ponto $B$ pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto $D$ e, ligando $D$ a $C$ formamos um novo triângulo $BCD$ retângulo em $C.$
Da figura, podemos perceber também que ${\widehat {A}}={\widehat {D}}$ porque determinam na circunferência uma mesma corda ${\overline {BC}}.$ Desta forma, podemos relacionar:
$\mathrm {sen} \,{\widehat {D}}={\frac {a}{2r}}$ $\Rightarrow a=2r\cdot \mathrm {sen} \,{\widehat {A}}$ $\Rightarrow {\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}=2r$
Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos ${\widehat {B}}$ e ${\widehat {C}}$ teremos as relações:
${\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}=2r$ e ${\frac {c}{\mathrm {sen} \,{\widehat {C}}}}=2r,$ em que $b$ é a medida do lado $AC$ oposto a ${\widehat {B}}$ $c$ é a medida do lado $AB$ oposto a ${\widehat {C}}$ e $2r$ é uma constante.
Logo, podemos concluir que:
* ${\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}={\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}={\frac {c}{\mathrm {sen} \,{\widehat {C}}}}=2r$

## Lei das tangentes

Seja um triângulo não isósceles e não retângulo $ABC$ cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura. A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:
${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}},$ ${\frac {a+c}{a-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {C}})]}},$ ${\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}-{\widehat {C}})]}}$

### Demonstração

Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:
${\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}={\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}$ $\Rightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}$
Usando uma propriedade das proporções, temos que:
${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}+\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}-\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}$
Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:
${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {2\mathrm {sen} \,{\frac {{\widehat {A}}+{\widehat {B}}}{2}}\cdot \cos {\frac {{\widehat {A}}-{\widehat {B}}}{2}}}{2\mathrm {sen} \,{\frac {{\widehat {A}}-{\widehat {B}}}{2}}\cdot \cos {\frac {{\widehat {A}}+{\widehat {B}}}{2}}}}$
$\Rightarrow {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}}$
Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.

## Exercícios

* Ver: Matemática elementar/Trigonometria/Lei dos senos e dos cossenos/Exercícios