# Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias
## Introdução

Equações diferenciais ordinárias (EDO´s) podem se tornar complexas para serem calculadas através de métodos analíticos, por conta disso alguns dos principais matemáticos também despenderam seu precioso tempo para encontrar maneiras mais rápidas e fáceis de se obter a resolução de EDO´S de primeira ordem. Nessa secção estaremos analisando três dos principais métodos elaborados para solucionar tais problemas,a saber, o método de Euler, o método de Euler aperfeiçoado e o método de Runge Kutta.

## Problema de condições iniciais

Um problema de valor inicial (PVI) nada mais é que uma EDO acompanhada de uma condição inicial. Condição inicial é um ponto x (numa função f(x)) que pertence ao domínio da função f(x) que é solução do PVI.
Por exemplo: se conhecemos a função velocidade $v(t)$ podemos perguntar qual será a posição $x(t)$ de uma partícula no instante $t$. A equação diferencial a resolver será:
$dx/dt=v(t)$,
Cuja solução é $x(t)=x(0)+\int _{0}^{t}v(t)dt$.
A posição inicial é necessária para definir unicamente a solução do problema.

### Método de Euler

A fórmula que rege esse método é a seguinte $y_{n+1}=y_{n}+h*f(y_{n},t_{n})$ (1.1),
Onde y é igual a f(x) e h é um valor denominado passo; e f(y$_n$, t$_n$) = y'.
A origem da fórmula é a expansão em série de Taylor, da qual retemos apenas o termo de primeira ordem. Vejamos como utilizá-la.
Imagine o gráfico da EDO y'= f'(x), e que em seu domínio existam dois pontos x$_1$ e x$_2$ ; x$_1$ será a coordenada x da condição inicial e x$_2$ é o valor para o qual você deseja a solução do PVI, o passo é um valor que fará um incremento no valor de x$_1$ até que este chegue até x$_2$ nos cálculos seguintes.
O número de incrementos portanto é definido por (x$_2$ - x$_1$)/h (1.2).
Torne a EDO do PVI em função de y$_n$ (observe que este é um termo da fórmula acima).Determine o número de passos pela fórmula 1.2. Feito isto podemos iniciar os cálculos para determinar o valor do PVI para determinado valor de x. A fórmula do método será repetida por várias vezes, portanto por ser um método massivo, seria interessante a utilização de planilhas de cálculo. Para utilizarmos 1.1 devemos primeiramente calcular os valores de yn e y'n. Para a primeira linha do cálculo temos que yn = (y da condição inicial) e y´n é calculado a partir da EDO do PVI para os valores x e y da condição inicial.
Calculados estes dois termos, devemos substituí-los em 1.1, tendo assim efetuado a primeira linha do cálculo, o próximo passo é o cálculo da primeira iteração. Para a primeira iteração temos que$y_{n}=(y_{n}+1)$ calculado na linha anterior e y´n é calculado a partir da EDO do PVI para os valores x + h e (yn+1) da linha de comando anterior; calculados estes dois termos, novamente devemos substituídos em 1.1 e assim terminamos a primeira interação. A segunda iteração tem uma sistemática idêntica a da primeira iteração. Assim iterações sucessivas são executadas até que se atinja a iteração limite calculada anteriormente pela fórmula 1.2; alcançado este valor limite de iteração, o y desejado será o valor da fórmula 1.1 da linha anterior.

### Método de Runge-Kutta

A sistemática de resolução do método de Euler é a mesma que será utilizada para o Método de Runge-Kutta. Porém aqui os termos intermediários serão determinados pelas seguintes fórmulas:
    $y_{n+1}=y_{n}+1/6(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})$
    $k_{1}=hf(x_{n},y_{n})$
    $k_{2}=hf(x_{n}+h/2,y_{n}+k_{1}/2)$
    $k_{3}=hf(x_{n}+h/2,y_{n}+k_{2}/2)$
    $k_{4}=hf(x_{n}+h,y_{n}+k_{3})$
onde, $h$ denota o tamanho do passo.

## Notas

* ↑ S. D. Conte; Carl de Boor. Elementary Numerical Analysis. 1980. 3ed. p. 365-366