# Mecânica dos fluidos/Equações básicas da estática dos fluidos
## Fluidos estáticos

Um fluido pode ser considerado estático quando não está sujeito a nenhuma força de cisalhamento; isso acontece em duas situações:
* quando o fluido está parado
* quando o fluido está em movimento mas seu comportamento pode ser aproximado pelo de um corpo rígido
Nesse caso, as únicas forças a serem consideradas são a pressão externa P aplicada e o peso do próprio líquido. A análise usa geralmente o enfoque Lagrangeano. Os eixos coordenados são escolhidos de modo que o fluido esteja estacionário em relação a eles, e o eixo Z seja vertical e orientado para cima. Deformações nos elementos de volume podem ser desprezadas.
A equação básica da estática dos fluidos é a lei de Stevin
${\frac {dp}{dz}}\;=\;-\rho g$
Ela deve ser integrada e condições de contorno aplicadas de forma a obter-se o campo de pressões no fluido. Por convenção, a pressão $p$ é positiva quando orientada na direção do elemento de volume (ou seja, representando uma força de compressão).

### Fluidos incompressíveis

Em um fluido incompressível, $\rho$ é constante. Considerando a gravidade constante, a integração da equação resulta em
$p\;=\;p_{0}\;+\;\rho g(z_{0}\;-\;z)$
$p\;=\;p_{0}\;+\;\rho g(z_{0}\;-\;z)$
onde $p_{0}$ é a pressão em $z\;=\;z_{0}$.

#### Líquidos

Nas aplicações práticas, quando se trata de um líquido, fazem-se três escolhas de forma a simplificar os cálculos:
* $z_{0}$ fica localizado num ponto que esteja à pressão atmosférica
* inverte-se o sentido do eixo Z, de maneira a apontar para baixo
* trabalha-se com pressões manométricas, em lugar de pressões absolutas
Dessa forma, para evitar confusões, a variável z é substituída pela variável h. A expressão básica se torna então:
$p\;=\;\rho gh$
Em problemas envolvendo circuitos de tubulações, com trechos de profundidade h$_i$ preenchidos por líquidos diversos de densidade $\rho _{i}$, a pressão pode ser calculada através da equação
$p\;=\;g\Sigma \rho _{i}h_{i}$

## Fluidos compressíveis

Para esse tipo de fluido, $\rho$ não pode ser considerado constante. Antes de integrar a a equação básica é preciso, portanto, expressar como a densidade varia. Para os gases, um dos meios usado é a equação de estado, geralmente a equação de estado do gás ideal
$\rho \;=\;{\frac {p}{RT}}$
O uso de equaçãoes de estado requer a introdução de uma nova variável no problema, geralmente a temperatura. Ou seja, é preciso expressar T em função de outra variável (pressão, profundidade, altitude, etc.)

### Atmosfera

No caso especial de problemas que envolvem a atmosfera terrestre, quatro enfoques diferentes são comumente usados:
* considerar a densidade constante $(\rho \;=\;\rho _{0}\;=\;{\frac {p_{0}}{RT_{0}}})$
Então
${\frac {dp}{dz}}\;=\;-\rho g\;=\;-\rho _{0}g$
$dp\;=\;-\rho _{0}g\cdot dz$
$p\;-\;p_{0}\;=\;-\rho _{0}g(z\;-\;z_{0})$
$p\;=\;p_{0}-\rho _{0}g(z\;-\;z_{0})$
$p\;=\;p_{0}-{\frac {p_{0}}{RT_{0}}}g(z\;-\;z_{0})$
$p\;=\;p_{0}\left[1-{\frac {g(z\;-\;z_{0})}{RT_{0}}}\right]$
A temperatura é dada então por
$T\;=\;{\frac {p}{\rho _{0}R}}\;=\;{\frac {p_{0}\left[1-{\frac {g(z\;-\;z_{0})}{RT_{0}}}\right]}{{\frac {p_{0}}{RT_{0}}}R}}$
$T\;=\;T_{0}-{\frac {g(z\;-\;z_{0})}{R}}$
* considerar a temperatura constante $(T\;=\;T_{0})$
Então
${\frac {dp}{dz}}\;=\;-\rho g\;=\;-{\frac {p}{RT}}g$
${\frac {dp}{p}}\;=\;-{\frac {g}{RT_{0}}}dz$
$p\;=\;p_{0}\cdot e^{\left[-{\frac {g(z\;-\;z_{0})}{RT_{0}}}\right]}$
* considerar a temperatura variando linearmente com a altitude $(T\;=\;T_{0}\;-\;m(z\;-\;z_{0}))$
Então
${\frac {dp}{dz}}\;=\;-\rho g\;=\;-{\frac {p}{RT}}g\;=\;-{\frac {pg}{R(T_{0}\;-\;m(z\;-\;z_{0}))}}$
${\frac {dp}{p}}\;=\;-{\frac {g}{mR}}\cdot {\frac {dz}{({\frac {T_{0}}{m}}\;+\;z_{0})\;-\;z}}$
$\ln p\;-\;\ln p_{0}\;=\;{\frac {g}{mR}}\cdot \left[\ln \left({\frac {T_{0}}{m}}\;+\;z_{0}\;-\;z\right)-\ln \left({\frac {T_{0}}{m}}\;+\;z_{0}\;-\;z_{0}\right)\right]$
${\frac {p}{p_{0}}}\;=\;\left({\frac {{\frac {T_{0}}{m}}\;+\;z_{0}\;-\;z}{\frac {T_{0}}{m}}}\right)^{\frac {g}{mR}}$
$p\;=\;p_{0}\left({\frac {T_{0}\;-\;m(z\;-\;z_{0})}{T_{0}}}\right)^{\frac {g}{mR}}$
$p\;=\;p_{0}\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)^{\frac {g}{mR}}$
Observe-se que, quando $m\;=\;{\frac {g}{R}}$, cairemos no caso da densidade constante, analisado anteriormente.
* considerar a atmosfera um sistema adiabático $(\delta q\;=\;\Delta S\;=\;0)$
Essa hipótese é razoável, uma vez que o ar é um mau condutor de calor. Assim, quando um elemento de volume sofre convecção, movendo-se para cima, expandindo-se, resfriando-se, movendo-se para baixo, contraindo-se, aquecendo-se e movendo-se para cima novamente, ele permanece o tempo todo em equilíbrio termodinâmico. O processo é, então, reversível, e pode-se aplicar a relação termodinâmica da dilatação adiabática do gás ideal
$pV^{\gamma }\;=\;constante\Rightarrow \;\;\;p\rho ^{-\gamma }\;=\;k\Rightarrow \;\;\;\rho \;=\;({\frac {p}{k}})^{\frac {1}{\gamma }}$
Assim:
$p\;=\;\rho RT\;=\;({\frac {p}{k}})^{\frac {1}{\gamma }}RT$
$p^{\frac {\gamma \;-\;1}{\gamma }}\;=\;k^{-{\frac {1}{\gamma }}}RT$
${\frac {p^{\frac {\gamma \;-\;1}{\gamma }}}{p_{0}^{\frac {\gamma \;-\;1}{\gamma }}}}\;=\;{\frac {k^{-{\frac {1}{\gamma }}}RT}{k^{-{\frac {1}{\gamma }}}RT_{0}}}$
$({\frac {p}{p_{0}}})^{\frac {\gamma \;-\;1}{\gamma }}\;=\;{\frac {T}{T_{0}}}$
$p\;=\;p_{0}\cdot ({\frac {T}{T_{0}}})^{\frac {\gamma }{\gamma \;-\;1}}$

## Exercícios resolvidos

* B1