# Álgebra abstrata/Números naturais
## Conjunto totalmente ordenado

Intuitivamente, é qualquer conjunto onde, dados dois objetos, sabemos, sem equívoco, qual deles é o maior. Em vez de dar uma definição abstrata de ordenação, vamos começar com alguns exemplos de conjuntos ordenados e explorar as características básicas que permitirão uma definição mais formal. Esta abordagem, apesar de não ser tão rigorosa desde o início, deve facilitar a compreensão do conceito abstrato. Nosso primeiro e mais importante passo é definir os números naturais.

### Números naturais

É o conjunto básico de análise $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}$ (poucos autores tomam $\{1,2,\ldots \}$ - quando queremos referir-se a este conjunto usamos $\mathbb {N} ^{*}$). Os números naturais são tudo o que você precisa para realizar uma contagem.
Pode-se definir os números naturais de duas formas:
* axiomaticamente
São dados axiomas que os números naturais satisfazem; normalmente, estes são os Axiomas de Peano. Mostra-se, em seguida, que existe um modelo para eles. Mostra-se que este modelo é "único" no sentido matemático; a "unicidade" significa que qualquer outro objeto com os mesmos axiomas será essencialmente igual)Este conjunto é definido por suas propriedades.
* construtivamente
A partir da teoria (por exemplo, a teoria dos conjuntos segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel) constrói-se o conjunto dos números naturais, e provam-se os seus axiomas.

## Relação Binária

Dados dois conjuntos não vazios $E$ e $F$, uma relação binária de $E$ em $F$, é um subconjunto qualquer de $E\times F$. Se $R$ é uma relação binária e um determinado par $(a,b)\in R$ então dizemos que $a$ está relacionado com $b$ por $R$, e neste caso também podemos escrever $aRb$. É comum também a representação de relações por símbolos tais como $\equiv$, $\approx$, $\sim$. Quando os conjuntos $E$ e $F$ são iguais, escrevemos simplesmente $<E,R>$, para indicar que $R$ é uma relação binária de $E$ em $E$, e dizemos que $R$ é uma relação sobre $E$.
* Exemplo: Tomemos o conjunto dos números reais $\mathbb {R}$ e a relação $\leq$, significando que um certo número $a$ está relacionado com outro número $b$ se (e somente se) $a\leq b$. Assim, claramente $1\leq 2;10\leq 80;-1/2\leq 0,789;\dots$. De outra forma, dizemos que 1 está relacionado com 2, 10 está relacionado com 80. Claro que existem pares ordenados $(a,b)$ que não fazem parte desta relação. Como por exemplo os pares $(100,1);(5,-3);\dots$
* Analogamente, $<\mathbb {R} ,<>$ também é uma relação binária.

### Relação de Equivalência

Tomemos uma relação binária $\approx$ sobre uma conjunto não vazio A. A relação $\approx$ é uma relação de equivalência sobre A se:
* (reflexividade) $x\approx x$ para todo $x\in A$;
* (simetria) Se $x\approx y$, então $y\approx x$;
* (transitividade) Se $x\approx y$ e $y\approx z$, então $x\approx z$.
A relação $=$ sobre o conjunto $\mathbb {N}$ é uma relação de equivalência. De fato:
* Reflexividade
    $\forall n\in \mathbb {N} ,\ n=n$
* Simetria
    $\forall n,m\in \mathbb {N} ,\ n=m\Leftrightarrow m=n$
* Transitividade
    $\forall n,m,l\in \mathbb {N} ,\ (n=m)\land (m=l)\Rightarrow (n=l)$.
Estas declarações matematicamente concisas podem ser descritas em uma forma menos rigorosa. A primeira declaração afirma simplesmente que cada número natural é igual a si próprio. A segunda afirma que a declaração da igualdade é válida independentemente da ordem em que você diga isso. A última declaração diz que quando dois números naturais são iguais e um deles é igual a qualquer outra coisa pode-se concluir que os três são iguais. Estas são as premissas simples que fazemos quando falamos informalmente de igualdade. Esta pequena lista dá-nos uma forma de verificar se uma certa "igualdade" satisfaz nossas expectativas do que significa dizer que duas coisas são iguais.

#### Relação de ordem total

Diferentemente de uma relação de equivalência, em uma relação de ordem estrita total as propriedades são:
* Tricotomia
    $\forall m,n\in \mathbb {N}$ uma e só uma das seguintes afirmações é válida
    $m<n\,$
    $m=n\,$
    $n<m\,$
    Nós denotamos $(m<n)\lor (m=n)$ como $m\leq n$. Analogamente, denotamos $(m>n)\lor (m=n)$ como $m\geq n$
* Transitividade de $<\$, $>\$ e $=\$.
    $\forall n,m,l\in \mathbb {N} ,\ (n<m)\land (m<l)\Rightarrow (n<l)$
    $\forall n,m,l\in \mathbb {N} ,\ (n>m)\land (m>l)\Rightarrow (n>l)$
Menos formalmente isso significa que dados quaisquer dois números naturais ou são eles são iguais ou então um deles (e somente um) é o maior dos dois. Se for considerado um terceiro número, que é maior do que o maior dos nossos dois primeiros, ele também será maior do que o menor dos dois primeiros. Com isto, agora temos uma definição concisa do que significa dizer que os números possuem uma ordenação.
Finalmente, aos números naturais $\mathbb {N}$ está associada uma operação chamada adição.

#### Propriedades da adição

O conjunto $\mathbb {N} ^{*}$ e a operação de adição $+\$ satisfazem os seguintes axiomas:
* Fechamento
    $\forall n,m\in \mathbb {N} ^{*},\ (n+m)\in \mathbb {N} ^{*}$
* Comutatividade
    $\forall n,m\in \mathbb {N} ^{*},\ n+m=m+n$
* Associatividade
    $\forall n,m,l\in \mathbb {N} ^{*},\ n+(m+l)=(n+m)+l$
    Significa que podemos inequivocamente escrever $n+m+l$
* Boa ordenação
    $\forall n,m\in \mathbb {N} ^{*},\ n<n+m$
* Lei do corte (ou cancelamento)
    $\forall n,m\in \mathbb {N} ^{*},\ m+n=m+p\Rightarrow n=p$
* Tricotomia
    $\forall p,q,m,l\in \mathbb {N} ^{*},\ (m=n)\lor (n+q=m)\lor (n=m+p)$
* Monotonicidade
    $\forall n,m,l\in \mathbb {N} ^{*},\ (n<m)\Rightarrow n+l<m+l$
Essas propriedades significam o seguinte: se acrescentarmos dois números naturais positivos o resultado é um número natural positivo. A ordem em que é feita a adição de dois números não é importante e se eu adicionar dois números naturais positivos, a soma é maior do que qualquer deles. Este é o nosso conceito de adição de números positivos simplificado para as premissas básicas. Há apenas mais um pressuposto necessário para trazer a uma existência bem definida os números naturais positivos como os conhecemos: o conjunto dos números naturais positivos não é vazio. Podemos nomear o menor elemento de $\mathbb {N} ^{*}$ como sendo o número 1.
    $\exists 1\in \mathbb {N} ^{*}:1\leq n,\ \forall n\in \mathbb {N} ^{*}$
Esta declaração apenas diz que 1 existe e é inferior ou igual a qualquer outro número natural positivo. Com estes pressupostos, poderemos ir em frente e derivar todas as propriedades de $\mathbb {N} ^{*}$.

#### Propriedades da multiplicação

Sobre os números naturais positivos, podemos definir um segundo operador, a multiplicação $\times$. O conceito de multiplicação sobre $\mathbb {N} ^{*}$ é simplesmente uma abreviação para a adição repetida. Aqui estão os axiomas da multiplicação.
* Fechamento
    $\forall n,m\in \mathbb {N} ^{*},\ n\times m\in \mathbb {N}$
* Identidade
    $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ n\times 1=n$
* Comutatividade
    $\forall n,m\in \mathbb {N} ^{*},\ n\times m=m\times n$
* Associatividade
    $\forall n,m,l\in \mathbb {N} ^{*},\ (n\times m)\times l=n\times (m\times l)$
    Significa que podemos inequivocamente escrever $n\times m\times l$
* Distributividade
    $\forall n,m,l\in \mathbb {N} ^{*},\ n\times (m+l)=n\times m+n\times l$
* Boa ordenação
    $\forall n,m\in \mathbb {N} ^{*},\ m\leq n\times m$
* Lei do corte (ou cancelamento)
    $\forall n,m,l\in \mathbb {N} ^{*},\ (n\times l=m\times l)\implies (n=m)$
* Monotonicidade
    $m<n\Rightarrow m\times p<n\times p$
O primeiro axioma diz que o resultado da multiplicação entre dois números naturais positivos é também um número natural positivo. Outro deles indica que qualquer número multiplicado por 1 é ele mesmo. Os dois últimos dizem como a multiplicação se comporta em relação à adição e à ordenação sobre $\mathbb {N}$. Escrever sempre $n\times m$ para multiplicação é entediante, por isso a abreviaremos como $nm\$. Além disso, abreviaremos também repetidos produtos de um mesmo número usando um índice logo acima do número, indicando quantas vezes o mesmo é repetido. Por exemplo:
    $n\times n\equiv n^{2}\$

### Axiomas de Peano

Suplente derivação do conjunto de números naturais; pode ser caracterizado por alguns axiomas chamado de Peano ou axiomas de Peano Dedekind . Uma ligeira modificação das definições de adição e multiplicação nos axiomas de Peano construiria um conjunto diferente, onde o elemento "0" a ser descrita poderia ser efetivamente algum número natural diferente de 0. Estes axiomas podem, assim, servir como a definição do conjunto de números naturais.
* $\exists 0\in \mathbb {N}$
    Existe um elemento chamado de "0" dentro do conjunto dos números naturais.
* $\forall x\in \mathbb {N} \ \exists S_{x}\in \mathbb {N} _{0}$
    Todo número natural tem um sucessor, que também é um número natural.
* $\forall x\in \mathbb {N} \ S_{x}\not =0$
    Não há número natural cujo sucessor é 0.
* $\forall x,y\in \mathbb {N} \ S_{x}=S_{y}\implies x=y$
    O sucessor de um elemento é único.
* $(0\in A)\land ((x\in A)\implies (S_{x}\in A))\implies \mathbb {N} \subset A$
    Indução matemática: se 0 está dentro do conjunto e n esta dentro do conjunto, implica que o seu sucessor também estará dentro do conjunto e, em seguida, todos os números naturais estão dentro do conjunto.
Um número natural pode ser definido como um elemento do conjunto dos números naturais. Estes axiomas podem ser usados para provar muitas teoremas importantes sobre operações básicas e predicados, que são adição, multiplicação e ordem. Adição e multiplicação são muito importantes operadores binários, e a ordenação é um importante binário predicado. Eles podem ser definidos como segue:

#### Ordenação

    $S_{y}>y\$
    O sucessor de um número y é maior do que o número y
    $x>y\implies S_{x}>y$
    Se x é um número maior do que um número y então o sucessor de x é maior do que y

#### Adição

    $x+0=x\$
    A soma de qualquer número com zero e retorna o próprio número
    $x+S_{y}=S_{x+y}\$
    A soma de um número x com o sucessor de um número y é o sucessor da soma de x e y

#### Multiplicação

    $x\times 0=0$
    O produto de um número com zero é zero
    $x\times S_{y}=x+xy$
    O produto de um número x com o sucessor de um número y é a soma de x com o produto de x e y
Não é necessário conhecer estas definições para saber o que adição, multiplicação e ordenação significam. No entanto, estas definições mostram como é possível construir adição, multiplicação e ordenação dos axiomas de Peano.

#### Construções alternativa de adição e multiplicação

O elemento básico não tem necessariamente de ser uma identidade para adição. Com efeito, se as definições de adição e multiplicação, foram definidas de maneira diferente, em seguida, o elemento básico é comumente escrito "1".
* $\exists 1\in \mathbb {N} ^{*}$
    1 é um elemento do conjunto
* $\forall x\in \mathbb {N} ^{*}\implies (x+1)\in \mathbb {N} \$
    Para qualquer número natural x a soma de x com 1 também é um número natural
* $\forall x\in \mathbb {N} ^{*}\ x+1\neq x$
    A soma de qualquer número natural x com 1 é diferente de x
* $\forall x,y\in \mathbb {N} ^{*}\ x+1=y+1\implies x=y$
    Adicionando 1 de um modo único
* $(1\in A)\land (x\in A)\implies (x+1)\in A\implies \mathbb {N} ^{*}\subset A$
    Indução matemática: Se 1 é um elemento do conjunto A e para qualquer elemento x de A a soma de x com 1 também está no conjunto então todos os números naturais estão no conjunto A.

### Axiomas de Zermelo-Fraenkel

    Ver módulo principal: Teoria dos conjuntos/O conjunto dos números naturais
Os números naturais também podem ser construídos a partir de conjuntos. Este não é um passo necessário, e pode ser ignorada, mas demonstra que definida a teoria, temos uma base suficiente para explicar os números naturais. O Axioma de Zermelo Fraenkel proporciona condições suficientes para um conjunto que satisfaça o Axioma de Peano.
* Seja 0 associado com o conjunto vazio $\emptyset$.
* Seja o conjunto $S_{n}=n\cup \{n\}$
    O sucessor de um número natural n é a união do conjunto associado com n e o conjunto contendo n. Assim, cada número natural é um conjunto contendo os seus predecessores. Por exemplo, 1 é (0), 2 é (0,1), 3 é (0,1,2), e assim por diante.
* $\exists \mathbb {N} :\emptyset \in \mathbb {N} \land \left(\forall x\in \mathbb {N} \ x\cup \{x\}\in \mathbb {N} \right)$
    Existe um conjunto chamado $\mathbb {N}$ contendo $\emptyset$ (o conjunto vazio), e de tal forma que para qualquer elemento x, o conjunto $x\cup \{x\}$ também está dentro do conjunto. Este axioma é chamado de axioma do infinito e foi construído de modo a definir identificando-se com os números naturais.
Esta construção dos números naturais obviamente satisfaz os três primeiros axiomas de Peano. O fato de S$_x$ = S$_y$ $\implies$ x = y pode ser visto facilmente pelo fato de que $x\cup \{x\}=y\cup \{y\}\implies x=y$. O quinto axioma de Peano detém porque se $\emptyset \in A\land \left(\forall x\in A\ x\cup \{x\}\in A\right)$, então este seria definido como sendo os números naturais e, por isso, o natural seria um número trivial do subconjunto A.

## Ver também
### Wikilivros

* Análise real
* Matemática elementar

### Wikipédia

* Análise matemática
* Conjunto ordenado
* Números naturais
* Relação de equivalência
* Axiomas de Peano
* Axiomas de Zermelo-Fraenkel
* Números inteiros
* Valor absoluto
* Espaço métrico