# Métodos numéricos/Equações não lineares
## Introdução

Os métodos descritos neste capítulo permitem obter, por um processo iterativo, uma solução de uma equação $f(x)=0$ onde $f(x):\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ fornecendo uma aproximação inicial $x_{0}$. Obtém-se um sucessão de pontos $\{x_{n}\}_{n=0}^{+\infty }$ tal que $x_{n}\to p$ quando $n\to +\infty$ e $f(p)=0$.

### Definição

    Diz-se que $p$ é uma raiz da equação $f(x)=0$ se $f(p)=0$.

### Iterações, ordem de convergência e constante assimptótica de erro
#### Definição

    Seja $\{x_{n}\}_{n=0}^{+\infty }$ uma sucessão de pontos tal que $x_{n}\to p$ quando $n\to +\infty$ e $x_{n}\neq p$ e duas constantes $\lambda$, $\alpha$. Se o limite existe
$\lim _{n\to +\infty }{\frac {\vert x_{n+1}-p\vert }{\vert x_{n}-p\vert ^{\alpha }}}=\lambda$
Então diz-se que a sucessão de pontos dada converge para $p$ com ordem de convergência $\alpha$ e constante assimptótica de erro $\lambda$.
Um método iterativo diz-se com convergência linear se $\alpha =1$, com convergência supra linear se $\alpha >1$ e com convergência quadrática se $\alpha =2$.

#### Exemplo

    Considere-se as seguintes sucessões:
$x_{n}=1+{\frac {1}{n}}$,
$y_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$,
$z_{n}=4\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{2k-1}}$, para as quais se tem
$x_{n}\to 1,n\to +\infty$,
$y_{n}\to e,n\to +\infty$ e
$z_{n}\to \pi ,n\to +\infty$.
Pode então construir-se a seguinte tabela de valores para cada uma das sucessões:
| $n$ | $x_{n}$ | $y_{n}$ | $z_{n}$ |
| $1$ | $2$ | $2$ | $4$ |
| $2$ | $1.5$ | $2.25$ | $2.66...$ |
| $3$ | $1.33...$ | $2.37...$ | $3.46...$ |
| $4$ | $1.25$ | $2.44...$ | $2.89...$ |
| $5$ | $1.2$ | $2.48...$ | $2.97...$ |
| $10$ | $1.1$ | $2.59...$ | $3.04...$ |
| $25$ | $1.04$ | $2.66...$ | $3.18...$ |
| $50$ | $1.02$ | $2.69...$ | $3.12...$ |
| $100$ | $1.01$ | $2.70...$ | $3.13...$ |
E estimar quanto vale a constante assimptótica de erro $\lambda$ através da expressão
$\lambda _{n}={\frac {\vert x_{n+2}-x_{n+1}\vert }{\vert x_{n+1}-x_{n}\vert }}$. Para $n=100$ obtém-se
| $\lambda _{x_{100}}$ | $\lambda _{y_{100}}$ | $\lambda _{z_{100}}$ |
| $0.9800392$ | $0.9800567$ | $0.990148$ |
A tabela anterior mostra que as sucessões têm uma convergência linear ($\alpha =1$) com uma constante assimptótica de erro próxima de um, têm por isso uma convergência muito lenta.

### Critérios de parada

Os métodos que serão expostos nas seções seguintes permitem obter uma sucessão de valores que aproximam sucessivamente o zero de uma função. De modo a definir um critério que permita aferir qual a exatidão da aproximação obtida é usual terminar o algoritmo que calcula cada aproximação através da verificação das seguintes condições, dado um $0<\epsilon <1$:

#### i.

    $\vert x_{n+1}-x_{n}\vert <\epsilon$

#### ii.

    ${\frac {\vert x_{n+1}-x_{n}}{\vert x_{n}\vert }}\vert <\epsilon$ onde $x_{n}\neq 0$,

#### iii.

    $\vert f(x_{n})\vert <\epsilon$.
A estas condições é necessário adicionar ainda a condição $n\leq N$ onde $N$ é o número máximo de iterações.

## Método da bissecção
### Código em Octave

Com a função
Para correr o programa fazer

#### Input

e gera o

#### Output

No caso de o número de iterações não seja suficiente o resultado é este

#### Output
## Método de Newton
### Zeros simples

$x_{0}$
$x_{n}=x_{n-1}-{\frac {f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}}$, $n\geq 1$

### Zeros múltiplos

$x_{0}$
$x_{n}=x_{n-1}-m{\frac {f'(x_{n-1})}{f(x_{n-1})}}$, $n\geq 1$ onde $m=1,2,\ldots$ é a multiplicidade da raíz.

## Método da secante
#### Implementação em Octave

Com a mesma f.m definida anteriormente.

##### Output
## Método da falsa posição (Regula falsi)
### Implementação em Octave

Com a mesma f.m definida anteriormente.

#### Output
## Método da falsa posição modificado
### PASSO 1

Faça i = 1

### PASSO 2

Enquanto i £ ITMAX, execute os passos 3 – 6

### PASSO 3

Faça p = f( p) (calcular pi )

### PASSO 4

Se 0 p - p < e então Saída ( p ) (procedimento efetuado com sucesso) FIM

### PASSO 5

Faça i = i + 1

### PASSO 6

Faça p0 = p (atualize p0 )

### PASSO 7

Saída (solução não encontrada após ITMAX iterações)

### FIM
## Método do ponto fixo

i) f e f' são funções contínuas em I; ii) = f ( ) <1 Î k x x I max ' iii) x0 ÎI e xn+1 = f(xn )ÎI , para n = 0, 1, 2, ¼ Então a seqüência { } xn converge para o zero a .

### Implementação em Octave

Com a função g.m definida por: