# Introdução à Atuária/Tábuas de mortalidade

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Tábua de Mortalidade, também chamada de Tábua de Vida ou ainda Tábua A(c)tuarial é uma tabela utilizada no cálculo atuarial, para planos de previdência e seguros de vida, tanto no setor público, quanto no setor privado. São utilizadas para calcular as probabilidades de vida e morte de uma população, em função da idade.
As tábuas são criadas a partir de dados provenientes principalmente de Censos Populacionais. Ela apresenta a probabilidade de morte e sobrevida de um determinado número de indivíduos em certa idade, entre outros dados que variam conforme a tábua.
As tábuas de mortalidade são elaboradas com base em um grupo inicial de indivíduos, conhecido por coorte, com uma mesma idade inicial, chamada de raiz da tábua, até a morte do mais longevo, causando a extinção total do grupo em uma idade final, omega ($\omega$), que é a ultima idade atingível nesta tábua.
Como as tábuas analisam as probabilidades de sobrevivência e morte em relação da idade, é preciso que uma tábua analise um coorte com indivíduos de mesmas chances de sobrevivência. Para que isso ocorra e, uma tábua apresente dados confiáveis, os indivíduos estudados nascidos em um mesmo espaço de tempo, que convivam em uma mesma região geográfica, fechada a migração, sob as mesmas condições de vida.
Como não são considerados novos nascimentos ou outras formas de entrada de pessoas, diz-se que o cenário proposto por uma tábua é estacionário, sendo registrados apenas os óbitos dos membros do coorte. Assim, o número de indivíduos que atingem uma determinada idade é obrigatoriamente igual ou menor do que os indivíduos que estavam vivos no início da idade anterior.

## História

Embora não haja consenso e alguns autores acreditem que as primeiras tábuas foram construídas na Roma Antiga, os primeiros esforços para construção de uma Tábua de Mortalidade com algum rigor técnico foram empreendidos pelo cientista inglês John Graunt. Ao longo de sua vida, ele esforçou-se para a obtenção de dados referentes à mortalidade de pessoas, mas faleceu sem concluir seu trabalho.
Outro inglês, Edmund Halley em 1693, pode ser considerado o primeiro a concluir uma tábua de mortalidade sobre princípios científicos. Esta tábua foi construída com dados da cidade polonesa de Breslaw (atual Wroclaw), que apresentava pouca influência migratória. Em homenagem a cidade a tábua recebeu o nome de Breslaw Table.

## Nomenclatura

Não exista uma regra fixada para a nomenclatura das tábuas de mortalidade alguns padrões podem ser observados na maioria das tábuas.

### Sigla

As tábuas de mortalidade são usualmente conhecidas por suas siglas. Por exemplo:
* Annuity Mortality Table (AT);
* Commissioner's Standard Ordinary Table (CSO);
* Experiência Brasileira (EB).
Em alguns casos a sigla também indica o país de origem. Como ocorre com as tábuas UK (United Kingdom, Reino Unido em inglês) e US (United States, Estados Unidos em inglês)

### Ano

O número que acompanha a tábua representa o ano base da pesquisa que deu origem a ela. Por exemplo:
* CSO-58: Ano base de 1958;
* EB-75: Ano base de 1975;
* AT-2000: Ano base de 2000.

### Sexo

As letras M (Masculino ou Male em inglês) e F (Feminino ou Female em inglês), geralmente no final da sigla, representam o sexo da coorte pesquisada. Por exemplo:
* AT-2000M: Coorte masculina;
* EB-75F: Coorte feminina.
A indicação sobre o sexo na sigla pode estar também imediatamente anterior ao ano, como nas tábuas GK, a saber:
* GKM-95: Coorte masculina;
* GKF-95: Coorte feminina.

## Funções

As tábuas de mortalidade são divididas em colunas que cruzam a idade (representada por $x\,\!$) com uma informação.

### Principais funções

* Sobreviventes ($l_{x}\,\!$): indica o número de indivíduos no inicio da idade $\,x\,\!$.
* Falecimento ($d_{x}\,\!$): indica o número de indivíduos que faleceram ao longo da idade $x\,\!$.
* Probabilidade de Morte ($q_{x}\,\!$): indica a probabilidade de um indivíduo com idade $\,x\,\!$ de falecer ao decorrer desta idade.
* Probabilidade de Sobrevivência ($p_{x}\,\!$): indica a probabilidade de um indivíduo com idade $\,x\,\!$ de sobreviver ao longo desta idade, ou seja, de chegar com vida a próxima idade.
* Esperança Completa de Vida ($e_{x}^{o}\,\!$): indica a média de anos que os indivíduos de idade $\,x\,\!$ viverão.

### Deduções

A partir do conhecimento das funções aplicado a conceitos atuarias das tábuas pode-se chegar a algumas relações:
* $l_{0}\geq l_{1}...l_{x-1}\geq l_{x}\geq l_{x+1}...l_{\omega -1}\geq l_{\omega }>0\,\!$
* $d_{x}=l_{x}-l_{x+1}\,\!$
* $_{n}d_{x}=l_{x}-l_{x+n}\,\!$
* $l_{0}=\sum _{x=0}^{\omega }d_{x}\,\!$
* $l_{\omega }=d_{\omega }\,\!$
* $p_{x}={\frac {l_{x+1}}{l_{x}}}=1-q_{x}\,\!$
* $_{n}p_{x}={\frac {l_{x+n}}{l_{x}}}\,\!$

### Funções lineares

Funções lineares são aqueles que se utilizam suposições de mortalidade lineares, ou seja, de que os indivíduos vão morrendo em um mesmo ritmo ao longo de um ano.
* Tempo vivido & Sobreviventes na metade da idade ($L_{x}\,\!$): É uma média entre os vivos nas idades $x$ e $x+1$ que auxilia nos cálculos envolvendo tempo vivido por uma coorte e que necessitam do número de indivíduos na metade de uma idade. Embora tenha dois nomes distintos é calculada de uma mesma forma ${\frac {l_{x}+l_{x+1}}{2}}\,\!$.
* Quantidade de existência ($T_{x}\,\!$): Essa função calcula a quantidade de anos vividos por um coorte da idade $x$ até a idade $\omega$, sendo fundamental no cálculo da Esperança Completa de Vida. $T_{x}=L_{x}+L_{x+1}+...+L_{\omega -1}+L_{\omega }\,\!$ (ou, $T_{x}=\sum _{x=x}^{\omega }L_{x}\,\!$).
* Taxa central de mortalidade ($m_{x}\,\!$): Essa função apresenta os expostos ao risco de morte na metade da idade $x$, calculada por ${\frac {d_{x}}{L_{x}}}\,\!$, ou sua equivalente ${\frac {2q_{x}}{2-q_{x}}}\,\!$.