# colisões elásticas

Antes da colisão
Momentum linear antes da colisão:
    ${\vec {P}}_{i}={\vec {p}}_{1,i}+{\color {red}{\vec {p}}_{2,i}}$
    ${P}_{i}=m_{1}{v}_{1,i}$
Energia cinética antes da colisão:
$K_{i}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{i}^{2}$
Após a colisão:
Momentum linear após a colisão:
    ${\vec {P}}_{f}={\vec {p}}_{1,f}+{\color {red}{\vec {p}}_{2,f}}$
    ${P}_{f}=m_{1}{v}_{1,f}+{\color {red}m_{2}{v}_{2,f}}$
Energia cinética após a colisão:
    $K_{f}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1,f}^{2}+{\color {red}{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2,f}^{2}}$
Conservação de Momentum Linear:
    ${P}_{i}={P}_{f}$
    $m_{1}{v}_{1,i}=m_{1}{v}_{1,f}+{\color {red}m_{2}{v}_{2,f}}$
Reacrupando os termos
$m_{1}({v}_{1,i}-{v}_{1,f})={\color {red}m_{2}{v}_{2,f}}$
Conservação da energia cinética:
    $K_{i}=K_{f}$
    ${\frac {1}{2}}m_{1}v_{1,i}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1,f}^{2}+{\color {red}{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2,f}^{2}}$
Reacrupando os termos
    ${\frac {1}{2}}m_{1}(v_{1,i}^{2}-v_{1,f}^{2})={\color {red}{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2,f}^{2}}$
    $m_{1}(v_{1,i}^{2}-v_{1,f}^{2})=m_{2}v_{2,f}^{2}$
    $m_{1}(v_{1,i}-v_{1,f})(v_{1,i}+v_{1,f})=m_{2}v_{2,f}^{2}$
Usando a equação oriunda da conservação do momentum na equação anterior:
    $m_{1}(v_{1,i}-v_{1,f})(v_{1,i}+v_{1,f})=m_{2}v_{2,f}^{2}$
    ${\color {red}m_{2}{v}_{2,i}}(v_{1,i}+v_{1,f})=m_{2}v_{2,f}^{2}$
    ${\color {red}{\cancel {m_{2}}}{v}_{2,i}}(v_{1,i}+v_{1,f})={\cancel {m_{2}}}v_{2,f}^{2}$
    ${\color {red}{\cancel {{v}_{2,f}}}}(v_{1,i}+v_{1,f})=v_{2,f}^{\cancel {2}}$
    $(v_{1,i}+v_{1,f})=v_{2,f}$
Substituindo na equação do momentum:
    $m_{1}{v}_{1,i}=m_{1}{v}_{1,f}+m_{2}{\color {red}{v}_{2,f}}$
    $m_{1}{v}_{1,i}=m_{1}{v}_{1,f}+m_{2}{\color {red}(v_{1,i}+v_{1,f})}$
Reagrupando de maneira a escrever a velocidade final em termos da velocidade inicial:
    $m_{1}{v}_{1,i}-m_{2}v_{1,i}=m_{1}{v}_{1,f}+m_{2}{v_{1,f}}$
logo:
    ${v}_{1,f}={\frac {{v}_{1,i}(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}}$
Substituindo na equação que relaciona as velocidades teremos:
    $(v_{1,i}+{\color {red}v_{1,f}})=v_{2,f}$
    $(v_{1,i}+{\color {red}{\frac {{v}_{1,i}(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}}})=v_{2,f}$
Reescrevendo:
    ${\frac {(v_{1,i}({m_{1}+m_{2}})+{v}_{1,i}(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}}=v_{2,f}$
    $v_{2,f}={\frac {2m_{1}{v}_{1,i}}{m_{1}+m_{2}}}$
Resumindo:
Antes da colisão: após a colisão:
    ${v}_{1,f}={\frac {{v}_{1,i}(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}}v$
    $v_{2,f}={\frac {2m_{1}{v}_{1,i}}{m_{1}+m_{2}}}$

## Alguns casos particulares

    $m_{1}=m_{2}$
    ${v}_{1,f}={\frac {{v}_{1,i}(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {{v}_{1,i}(m_{2}-m_{2})}{m_{2}+m_{2}}}=0$
    $v_{2,f}={\frac {2m_{1}{v}_{1,i}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {2m_{2}{v}_{1,i}}{m_{2}+m_{2}}}={\frac {2m_{2}{v}_{1,i}}{2m_{2}}}={v}_{1,i}$
    $m_{1}<<m_{2}$
    ${v}_{1,f}={\frac {{v}_{1,i}(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\approx {\frac {{v}_{1,i}(-m_{2})}{m_{2}}}=-{v}_{1,i}$
    $v_{2,f}={\frac {2m_{1}{v}_{1,i}}{m_{1}+m_{2}}}\approx {\frac {2m_{1}{v}_{1,i}}{m_{2}}}\approx 0$
    $m_{1}>>m_{2}$
    ${v}_{1,f}={\frac {{v}_{1,i}(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\approx {\frac {{v}_{1,i}(m_{1})}{m_{1}}}={v}_{1,i}$
    $v_{2,f}={\frac {2m_{1}{v}_{1,i}}{m_{1}+m_{2}}}\approx {\frac {2m_{1}{v}_{1,i}}{m_{1}}}=2{v}_{1,i}$

## Alvo em movimento

Se usarmos um referencial que se move com a velocidade inicial da partícula 2 (partícula alvo) caimos no mesmo caso anterior (alvo em repouso)
    $V_{1,i}=v_{1,i}-v_{2,i};V_{1,f}=v_{1,f}-v_{2,i}$
    $V_{2,i}=v_{2,i}-v_{2,i}=0;V_{2,f}=v_{2,f}-v_{2,i}$
Usando os resultados anteriores:
    ${V}_{1,f}={\frac {{V}_{1,i}(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}}$
    $V_{2,f}={\frac {2m_{1}{V}_{1,i}}{m_{1}+m_{2}}}$
Lembrando que:
    $V_{1,f}=v_{1,f}-v_{2,i}\Longrightarrow v_{1,f}=v_{2,i}+V_{1,f}$
    $V_{2,f}=v_{2,f}-v_{2,i}\Longrightarrow v_{2,f}=v_{2,i}+V_{2,f}$
    $V_{1,i}=v_{1,i}-v_{2,i}$
Logo:
    $v_{1,f}=v_{2,i}+{\frac {(v_{1,i}-v_{2,i})(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}}$
    $v_{2,f}=v_{2,i}+{\frac {2m_{1}(v_{1,i}-v_{2,i})}{m_{1}+m_{2}}}$