# Mecânica dos fluidos/Fluxo na camada limite
## Fluxo na camada limite

Como já vimos, a solução analítica das equações de Navier-Stokes é impossível para a maioria dos casos de interesse prático. Prandtl sugeriu que esses problemas fossem resolvidos considerando-se os efeitos da viscosidade apenas para as regiões próximas a uma superfície sólida e desprezando-os nas demais. Essa abordagem simplifica as equações e possibilita a solução de um maior número de problemas. As regiões próximas às superfícies de contato recebem o nome de camada limite, e as demais, de região de fluxo livre.
O escoamento na camada limite pode ser laminar ou turbulento. O Número de Reynolds é importante na caracterização do regime, da mesma forma que nos casos de escoamento em tubulações; no entanto, no caso da camada limite, entram outros fatores complicadores: perfil de pressão no fluido e rugosidade da superfície, por exemplo. Além disso, como se trata de regiões em contato com superfícies sólidas, em geral o efeito de troca de calor com o ambiente torna-se relevante.
O perfil de velocidade na camada limite varia muito lentamente nos pontos mais afastados das superfícies de contato, o que torna difícil medir ou determinar teóricamente onde termina a camada e começa a região de fluxo livre. A espessura de distúrbio y_d é usualmente definida como aquela em que a velocidade de escoamento atinge 99% do valor da velocidade de escoamento na região de fluxo livre, para a mesma distância até o ponto de estagnação. Outras definições que podem ser úteis são a espessura de deslocamento e a espessura de momento. A espessura de deslocamento y$_v$ é igual ao deslocamento que a superfície precisaria receber para que o fluxo de massa resultante fosse o mesmo, na hipótese de a viscosidade do fluido ser nula. A espessura de momento y$_m$ é igual ao deslocamento que a superfície precisaria receber para que o fluxo de momento linear resultante fosse o mesmo, também na hipótese de a viscosidade do fluido ser nula.
Em geral, a camada limite é muito estreita em comparação com as demais dimensões do problema. Por isso é comum considerar a pressão p$_b$ no seu interior como idêntica à pressão na região de fluxo livre à mesma distância do ponto de estagnação. Como a espessura da camada limite aumenta com a distância ao ponto de estagnação, a velocidade v$_f$ também aumenta, devido à diminuição da seção de escoamento. Em vista disso, a pressão p$_f$ cai, de acordo com a equação de Bernouilli.
Em geral, a linha imaginária que limita a camada limite não é uma linha de corrente. Partículas de fluido atravessam essa linha. Isso é requerido pelo princípio da continuidade e pela suposição de incompressibilidade do fluido, uma vez que a área da seção transversal da camada limite aumenta com a distância ao ponto de estagnação. Como a área da camada limite em x$_1$ + δx é maior que em x$_1$, entra fluido na camada limite à medida que nos afastamos do ponto de estagnação.

## Camada limite em uma placa plana de largura infinita
### Número de Reynolds

O caso mais simples de camada limite é aquele em que há uma única superfície de contato, e esta é uma placa plana de largura infinita. Nessa situação, a aplicação da equação de Euler para a região de fluxo livre resultará em uma velocidade constante v$_x$ = v$_f$, e v$_y$ = v$_z$ = 0. A velocidade constante implica em uma pressão constante p$_f$ na região. Por esse motivo, utiliza-se aqui a expressão fluxo com gradiente de pressão nulo.
O Número de Reynolds é calculado através da fórmula
$N_{Re}\;=\;{\frac {\rho _{0}v_{x}x}{\mu _{0}}}$
onde x a distância a partir do ponto de estagnação. Na ausência de troca de calor com o ambiente, a experiência mostra que um valor até 500000 indica que o escoamento é laminar, e só a partir de 1000000 torna-se plenamente turbulento. v$_x$ é uma função tanto de x quanto de y, a distância à superfície; por conseguinte, o Número de Reynolds também o será. É por isso que, à medida que x e y crescem, o escoamento tende a tornar-se turbulento.

### Largura da camada limite

A vazão mássica por uma seção transversal à superfície na região de fluxo livre é dada por
$\Phi _{m}\;=\;w\int _{0}^{\infty }\rho _{0}vdy\;=\;w\left(\int _{0}^{yd}\rho _{0}v_{x}dy\;+\;\int _{yd}^{\infty }\rho _{0}v_{f}dy\right)$
onde w é a largura da placa. Se, em lugar da espessura de distúrbio y$_d$ usarmos a espessura de delocamento y$_v$, poderemos escrever
$\Phi _{m}\;=\;w\int _{yv}^{\infty }\rho _{0}v_{f}dy$
Assim,
$\int _{0}^{yd}v_{x}dy\;+\;\int _{yd}^{\infty }v_{f}dy\;=\;\int _{yv}^{\infty }v_{f}dy$
Para expressar y$_v$ em função de y$_d$, podemos também igualar a perda de vazão mássica devida à camada limite à perda devida ao deslocamento da placa. Se o líquido não fosse viscoso, a velocidade na camada limite seria igual à velocidade na região de fluxo livre. Assim, a viscosidade provoca uma perda de vazão mássica
$\Delta \Phi _{m}\;=\;w\int _{0}^{yd}\rho _{0}(v_{f}\;-\;v_{x})\;dy$
Se, por outro lado, considera-se o líquido como ideal e a placa é deslocada de y$_v$, ocorrerá uma perda de vazão mássica devida à diminuição da seção de escoamento, perda essa dada por
$\Delta \Phi _{m}\;=\;w\rho _{0}v_{f}y_{v}$
Assim,
$v_{f}y_{v}\;=\;\int _{0}^{yd}v_{f}\;-\;v_{x})\;dy\;\;\;\Rightarrow y_{v}\;=\;\int _{0}^{yd}\left(1\;-\;{\frac {v_{x}}{v_{f}}}\right)\;dy$
O mesmo pode ser feito com relação à espessura de momento, resultando em
$\int _{0}^{yd}v_{x}^{2}dy\;+\;\int _{yd}^{\infty }v_{f}^{2}dy\;=\;\int _{ym}^{\infty }v_{f}^{2}dy$
e
$y_{m}\;=\;\int _{0}^{yd}{\frac {v_{x}}{v_{f}}}\;\left(1\;-\;{\frac {v_{x}}{v_{f}}}\right)\;dy$
As espessuras y$_v$ e y$_m$ podem ser medidas mais facilmente que a espessura y$_d$, o que justifica a introdução dos conceitos. Por exemplo, pode-se medir a velocidade e a pressão no ponto de estagnação e em outro ponto x$_1$ e a partir daí calcular a relação entre as áreas efetivas da seção transversal nesses locais; como em x = 0 a espessura da camada limite é nula, encontra-se a espessura de deslocamento em x = x$_1$; a partir daí, podemos determinar o valor de y$_d$(x$_1$).

### Princípio da continuidade

Como visto acima, a vazão mássica através da seção transversal da camada limite em um ponto x = x$_1$ é
$\Phi _{m}(x_{1})\;=\;w\int _{0}^{yd}\rho _{0}\;v_{x}(x_{1})\;dy$
Em x = x$_1$ + δx, será
$\Phi _{m}(x_{1}\;+\;\delta x)\;=\;w\int _{0}^{yd}\rho _{0}\;v_{x}(x_{1}\;+\;\delta x)\;dy$
$\Phi _{m}(x_{1}\;+\;\delta x)\;=\;w\int _{0}^{yd}\rho _{0}\;\left(v_{x}(x_{1})\;+\;\delta v_{x})\right)\;dy\;=\;w\int _{0}^{yd}\rho _{0}\left(v_{x}(x_{1})\;+\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;\delta x\right)\;dy$
Assim, a vazão mássica através da linha imaginária que delimita a camada limite será
$\delta \Phi _{m}\;=\;\Phi _{m}(x_{1}\;+\;\delta x)\;-\;\Phi _{m}(x_{1})\;=\;w\rho _{0}\left[\int _{0}^{yd}\left(v_{x}(x_{1})\;+\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;\delta x\right)dy\;-\;\int _{0}^{yd}\;v_{x}(x_{1})\;dy\right]$
$\delta \Phi _{m}\;=\;w\rho _{0}\int _{0}^{yd}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;\delta x\;dy$

### Vazão de momento

Da mesma forma, podemos calcular a vazão de momento na camada limite
$\Phi _{v}\;=\;w\int _{0}^{yd}\rho _{0}\;v_{x}^{2}(x_{1})\;dy$
$\Phi _{v}(x_{1}\;+\;\delta x)\;=\;w\int _{0}^{yd}\rho _{0}\left(v_{x}(x_{1})\;+\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;\delta x\right)^{2}\;dy\;=\;w\int _{0}^{yd}\rho _{0}\left(v_{x}^{2}(x_{1})\;+\;2\;v_{x}(x_{1})\cdot {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;\delta x\right)\;dy$
$\delta \Phi _{v}\;=\;2w\rho _{0}\int _{0}^{yd}v_{x}(x_{1})\cdot {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\cdot \delta x\;dy$

### Forças de superfície
## Exercícios resolvidos

* E19