# Topologia/Conceitos básicos da teoria de conjuntos
## Partes de um conjunto

Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em, é subconjunto de ou ainda é parte de B quando todo elemento de A é elemento de B ou, simbolicamente, x ∈ A ⇒ x ∈ B. Neste caso, escrevemos A ⊂ B. Esta relação entre os conjuntos A e B é chamada relação de inclusão. Se trabalhamos com conjuntos dentro de algum universo, esta passa a ser uma relação de ordem. Isto quer dizer que, para quaisquer conjuntos A, B e C dentro deste universo, valem as três propriedades a seguir: Reflexiva: $A\subset A$ Antissimétrica: $A\subset B{\text{ e }}B\subset A\implies A=B$ Transitiva: $A\subset B{\text{ e }}B\subset C\implies A\subset C$ Chamamos de conjunto das partes de A o conjunto $\wp (A)$ cujos elementos são os subconjuntos de A. Ele nunca é vazio, já que $\varnothing \in \wp (A)$ e $A\in \wp (A)$.

## União, interseção e complemento

A união de dois conjuntos A e B é o conjunto A ∪ B cujos elementos pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B. A interseção de A e B é o conjunto A ∩ B cujos elementos pertencem a ambos os conjuntos A e B. Dado um conjunto A num conjunto universo U definimos o complemento de A como sendo o conjunto $\complement A$ formado pelos elementos de U que não pertencem a A. Mais geralmente, a diferença dos conjuntos A e B é o conjunto $A-B$ formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Se A e B se encontram no mesmo conjunto universo, temos $A-B=A\cap \complement B$.
Com estas definições, temos algumas propriedades importantes:
* $A\cup A=A$, $A\cap A=A$ e $\complement (\complement A)=A$;
* $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ e $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$;
* $A\cup B=B\cup A$ e $A\cap B=B\cap A$;
* $A\cap B\subset A\subset A\cup B$;
* $A\subset B\iff A\cup B=B$ e $A\subset B\iff A\cap B=A$;
* $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ e $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$;
* (DeMorgan) $\complement (A\cup B)=\complement A\cap \complement B$ e $\complement (A\cap B)=\complement A\cup \complement B$.

## Família

Dados conjuntos X e Y, uma família em Y com índices em X é uma função f: X → Y. Apesar de definida por uma função, a ideia de família se guarda no conjunto-imagem desta função, não na função em si. Costuma-se denotar, para cada x ∈ X, $f(x)$ por um subscrito. Se denotamos $f(x)=a_{x}$, a família é denotada por (a$_x$)$_{x∈X}$. Quando subentendido o conjunto X de índices, podemos omití-lo na notação, escrevendo simplesmente $(a_{x})_{x}$. Se os elementos de Y são conjuntos, temos uma família de conjuntos.
Sendo (A$_x$)$_{x∈X}$ uma família de conjuntos, definimos a união ${\bigcup }_{x\in X}A_{x}$ como sendo o conjunto dos y tais que y ∈ A$_x$ para algum x.
Analogamente, quando X não for o conjunto vazio, definimos a interseção ${\bigcap }_{x\in X}A_{x}$ como o conjunto dos y tais que, para todo x ∈ X, y ∈ A$_x$.
Vale também para famílias de conjuntos as leis de DeMorgan, desde que a interseção esteja definida: $\complement {\bigg\bigcup _{x\in X}A_{x}{\bigg )}=\bigcap _{x\in X}\complement A_{x}$ e $\complement {\bigg\bigcap _{x\in X}A_{x}{\bigg )}=\bigcup _{x\in X}\complement A_{x}$.
O problema com ${\bigcap }_{x\in \varnothing }A_{x}\,$ é que qualquer coisa seria um elemento deste conjunto, o que é incompatível com a teoria dos conjuntos, já que o conjunto de todos os conjuntos não existe. Este problema desaparece quando subentendido um conjunto universo U no qual estão contidos os A$_x$. Neste caso, podemos considerar a interseção como sendo o próprio U.

## Ver também

* Teoria dos conjuntos - livro que aborda a teoria de uma forma axiomática