# Aplicações do GeoGebra ao ensino de Matemática/Atividades

Orientações gerais para resolução das atividades:
* Procure fazer cada item em um arquivo novo e sem esquecer de salvar em sua área de trabalho sendo seunome_ativ1.1_01;
* Procure realizar as atividades na ordem proposta, pois as definições e ferramentas estão sendo exploradas gradativamente;
* Ao surgirem dúvidas solicite a ajuda imediata de um monitor ou ao termino de cada aula;
* As dúvidas podem ser enviadas também para geogebraufpr@gmail.com e serão respondidas na seqüência e esta porta de contato é permanente.
OBS: as soluções das atividades não serão descritas, pois serão realizadas durante o mini-curso.

## Atividade 01 – Ponto, reta e segmento 01

* Crie dois pontos livres. Movimente-os.
* Construa uma reta passando por estes dois pontos.
* Construa mais dois pontos livres em qualquer lugar da tela, e o segmento de reta com extremidades nestes pontos.
* Apague a reta e o segmento construído, inclusive as extremidades (para apagar um objeto, clique sobre ele com o botão direito do mouse e, a seguir, clique em Apagar).
* Usando apenas a ferramenta, construa um outro segmento e determine a medida do segmento. Movimente uma das extremidades do segmento. Observe a janela geométrica e a janela algébrica.

## Atividade 02 – Ponto, reta e segmento 02

* Crie um segmento a partir de um seletor com intervalo de 0 a 8.Clique sobre o segmento com o botão direito do mouse, a seguir clique em Propriedades para mudar sua cor e sua "espessura".
* Renomeie as extremidades do segmento (clique sobre a extremidade do segmento com o botão direito do mouse, no menu que abrirá clique em Renomear, digite na janela que aparecerá o novo nome do ponto e clique em Aplicar).
* Faça uma círculo com centro em uma das extremidades do segmento passando por um ponto qualquer.
* Faça outra círculo de raio 3 e centro na outra extremidade do segmento. Clique com o botão direito do mouse sobre a círculo e entre em propriedades, modifique a cor, a espessura da linha e preencha o desenho, agora observe que temos o disco.
* Faça um ponto sobre cada um dos círculos e uma reta passando por esses pontos. Movimente o seletor e verifique o que acontece com o segmento e os círculos.
* Verifique a posições relativas entre os círculos.

## Atividade 03 – Círculos

* Construa um círculo com centro (2, 3) e um de seus pontos sendo (2, 1). Determine a medida do raio deste círculo.
* Crie um seletor de intervalo de 0 a 5. Construa um círculo com centro (0, 0) e raio dependente do seletor. (para isso quando o círculo pedir o tamanho do raio coloque a letra que representa o seletor). Movimente o seletor
* Construa um círculo com centro (2, 4) e raio 4 (utilizando a ferramenta de construção de círculo com centro e raio). Altere a espessura, e preencha o círculo. O que temos agora?
* Construa um círculo definido pelos seguintes pontos: (2, 2), (1, 4), (3, 4), (dica: crie os pontos primeiro, e você pode utilizar a ferramenta exibir malha para facilitar a localização dos pontos). Agora clique com o botão direito sobre a figura vá em propriedades, cor e altere a cor do círculo, depois vá em preenchimento e preencha a figura.

## Atividade 04 – Arcos

* Construa um semicírculo dados os pontos extremos (1, 1) e (4, 1).
* Construa um arco circular dados centro A (3, 2) e os pontos extremos B (3, 4), C (1, 2). Agora considere o mesmo centro e tome B (1, 2) e C (3, 4). Compare estes dois arcos. Que figuras formamos unindo-os?
* Construa um arco circuncircular dados os pontos: A(-5, -2), B(-2, -2), C(-2, 2). Movimente o ponto B e descreva o que acontece.
* Construa um segmento qualquer e determine a semicírculo com extremos coincidentes com os extremos do segmento.

## Atividade 05 – Segmento, ponto médio, mediatriz e perpendicular

* Construa um segmento com uma extremidade em A(3, 4) e medida 3,5 (lembre que no lugar de vírgula devemos colocar o ponto).
* Utilizando a ferramenta ponto médio, determine o ponto médio deste segmento. Renomeie o ponto de M.
* Construa a reta perpendicular a este segmento passando pelo ponto M. O que temos?
* Construir um segmento qualquer, e sua mediatriz utilizando círculos
* Construa outro segmento qualquer, determine a sua mediatriz (o programa tem esta ferramenta localize-a). Meça este segmento, depois movimente uma das extremidades dele e verifique o que acontece com a mediatriz.
* Construa uma reta passando por dois pontos quaisquer, determine sua mediatriz. Porque isso acontece.
* Construa uma semi-reta e determine seu ponto médio.

## Atividade 06 – Paralelas

* Construa uma reta e nomeia de r, construa uma círculo de raio 2,. construa um ponto P sobre a círculo, trace uma reta paralela a r por P
* Construa uma reta passando por A(2,3) e B(-1,-2). Determine a reta paralela a esta passando pelo ponto C (-1,3)
* Construa um seletor. Construa um segmento dependente do seletor. Crie o ponto D(-3,2) e a reta paralela ao segmento passando por D. Calcule a distância do segmento até sua paralela.
* Construa uma reta t. Construa um seletor. Construa um ponto F sobre t. Construa uma perpendicular a t passando por F. Construa uma círculo de centro F dependente do seletor. Com a opção intersecção de dois objetos encontre a interseção da círculo e a perpendicular. Trace paralela pelas intersecções e t. Movimente o seletor e descreva o que acontece.

## Atividade 07 – Ângulos e bissetrizes

* Construa duas retas paralela entre si. Construa uma concorrente a essas duas. Meça o ângulos formado na intersecção delas.
* Construa um ângulo de 60° utilizando a ferramenta ângulo com amplitude fixa. Determine sua bissetriz.
* Construa um ângulo qualquer, e determine sua medida. Utilizando a ferramenta bissetriz, determine sua bissetriz.
* Construa um setor circular com raio 4 cm. Meça seu ângulo, determine sua área e seu comprimento. Agora altere a medida do raio e verifique o que acontece com o ângulo, com a área e com o perímetro do setor circular.
* Construa um círculo pelo centro (A) e um de seus pontos (B). Marque três outros pontos (C, D e E) da círculo. Construa os segmentos EC, ED, AC e AD. Marque o ângulo inscrito CÊD e o ângulo central CÂD. Observe, na janela algébrica a medida desses ângulos e compare-as.

## Atividade 08 – Triângulos

* Explorando a ferramenta ângulo crie um triangulo retângulo isósceles
* Utilizando a ferramenta polígono, construa um triângulo qualquer. Determine uma das bissetrizes deste triângulo, utilizando a ferramenta bissetriz e através de círculos.
* Construa um triângulo equilátero de lado 6 cm. Determine sua altura, uma de suas bissetrizes, a medida de seus ângulos internos, a medida de sua altura, seu perímetro, sua área, e a mediatriz de um de seus lados.
* Construa um triângulo qualquer. Determine sua altura, uma de suas bissetrizes, a medida de seus ângulos internos, a medida de sua altura, seu perímetro, sua área, e a mediatriz de um de seus lados.
* Movimente o triângulo acima alterando sua forma e perceba o que acontece com as outras construções, e suas medidas.
* Construa um triângulo retângulo ABC que possa ser deslocado pela tela sem perder suas propriedades. Marque os ângulos internos do triângulo e observe suas medidas na janela algébrica. Movimente um dos vértices e confira sua construção.
* Construa um triângulo isósceles ABC que possa ser deslocado pela tela sem perder suas propriedades. Observe as medidas dos lados do triângulo, na janela algébrica. Movimente um dos vértices e confira sua construção. Marque os ângulos internos do triângulo e observe suas medidas na janela algébrica. Movimente, novamente, um dos vértices e descreva o que você observou quanto à medida dos ângulos da base.
* Construa um triângulo equilátero ABC que possa ser deslocado pela tela sem perder suas propriedades. Observe as medidas dos lados do triângulo, na janela algébrica. Movimente um dos vértices e confira sua construção. Marque os ângulos internos do triângulo e observe suas medidas na janela algébrica. Movimente, novamente, um dos vértices e descreva o que você observou quanto à medida dos ângulos internos.
* Construa um triângulo ABC. Utilizando a ferramenta Mediatriz (no menu que contém a ferramenta reta perpendicular), construa a mediatriz do lado AB e a do lado AC . Marque o ponto D, interseção dessas retas. Trace a mediatriz do lado BC, movimente um dos vértices e verifique que ela também passa por D. Trace a círculo de centro D que passa por A. Observe as posições dos pontos B e C em relação à círculo. Movimente um dos vértices do triângulo e enuncie com suas palavras a propriedade que você observou.
* Construa um triângulo ABC. Trace duas alturas desse triângulo e marque o ponto D, interseção dessas retas. Trace a terceira altura, movimente um dos vértices e verifique que ela também passa por D (ortocentro do triângulo ABC). Movimente novamente um dos vértices de forma a obter triângulos acutângulos, obtusângulos e retângulos. Relacione a posição do ortocentro com a classificação dos triângulos quanto à medida de seus ângulos (acutângulo, obtusângulo ou retângulo).

## Atividade 09 – Construção de triângulos a partir de elementos dados.
### Construir triângulo ABC, sendo dados:

* os três lados. a=5 cm, b=4,5, c=5 cm.
* dois lados e um ângulo adjacente. a=5 cm, b=3,5 cm, Bˆ =30°.
* um lado e dois ângulos adjacentes. a=5 cm, Bˆ =30°, Cˆ =45°.
* um lado, ângulo oposto e ângulo adjacente. a=4 cm, Â=45°,Bˆ =22,5°.
* dois lados e o ângulo oposto ao terceiro lado. a=4 cm, b=3 cm, Cˆ =60°.

### Construir o triângulo ABC, retângulo em A, dados:

* um cateto e o ângulo oposto. b=2 cm, Bˆ =30°.
* a hipotenusa e um ângulo adjacente. a=4 cm, Bˆ =60°.
* a hipotenusa e um cateto. a=5 cm, c=2 cm.
* os catetos. b=3,5, c=2 cm.
* as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. m=2 cm, n=3 cm
* um cateto e a sua projeção sobre a hipotenusa. c=3,5 cm, n=2 cm.
* um cateto e a projeção do outro sobre a hipotenusa. c=2 cm, m=4 cm

### Construir triângulo ABC, dados dois ângulos Bˆ =60° e Cˆ =45°, e

* uma altura. ha=3,5 cm.
* uma mediana. ma=4,5 cm.
* uma bissetriz. ba=4 cm.
* o raio da círculo circunscrita. R=3 cm.
* o raio da círculo inscrita. r=1,5 cm.

### Construir o triângulo ABC, dados

* dois lados e a altura relativa a um deles. a=3,5 cm, c=2,5 cm, ha=2 cm.
* um lado, altura relativa ao mesmo e um ângulo adjacente. a=3 cm, ha=2 cm, Bˆ =30°.
* um lado, um ângulo adjacente e a mediana relativa ao mesmo. a=4 cm, Bˆ =45°, ma=2,5 cm
* dois lados e a altura relativa ao terceiro lado. b=4,5 cm, c=4 cm, ha=3 cm.
* um lado, ângulo oposto e a altura relativa ao mesmo. a=3,5 cm, ha=2,5, Â=45°.
* um lado, altura relativa ao mesmo e altura relativa a outro lado. a=5 cm, ha=3,5 cm, hb=4 cm.
* um lado e as alturas relativas aos outros lados. a=5 cm, hb=4 cm, hc=4,5 cm.
* dois lados e a mediana relativa a um deles. a=5 cm, c=4 cm, mc=4,5.
* um lado, mediana relativa ao mesmo e a altura relativa ao outro lado. a=6 cm, ma=3,5 cm, hb=5 cm.
* dois lados e a mediana relativa ao terceiro. a=5 cm, c=4 cm, mb=3,5.
* as medianas. ma=3 cm, mb=4 cm, mc=5 cm.
* um ângulo, mediana relativa ao lado oposto e outra mediana. Â=60°, ma=5 cm, mc=4 cm.
* uma altura e uma mediana relativas ao mesmo lado e o raio da círculo circunscrita. ha=4 cm, ma=4,5 cm, R=3,5 cm
* um lado, um ângulo e o raio da círculo inscrita. b=6 cm, r=1,5 cm, Â=90o.
* os pontos médios dos lados em posição. MaMb=3,5 cm, MaMc=3 cm, MbMc=2,5.

## Atividade 10 – Congruência

* Mostrar que em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são também congruentes.
* Mostrar que em todo paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
* Mostrar que em todo retângulo, os lados opostos são congruentes.
* Mostrar que as diagonais de um retângulo são congruentes.
* Mostrar que em todo paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.
* Porque o caso (LLA) não é caso de congruência?

## Atividade 11 – Áreas e perímetro

* Construa um círculo de centro (-2, -3) e raio 3. Calcule a área deste círculo e o comprimento do círculo.
* Construa um círculo de centro (-2, -3) e raio 3. Calcule a área deste círculo e o comprimento do círculo
* Construa duas retas paralelas r e s. Um segmento AB qualquer sobre uma delas. Construa os pontos D e E sobre a outra. Construa os triângulos ABD e ABE, calcule suas áreas, movimente D e E e descreva o que acontece com as medidas das áreas.

## Atividade 12 – Quadriláteros

* Construa um quadrado de lado 4 cm. Determine a circunferência inscrita e a circunscrita a este quadrado, altere a medida do lado do quadrado. Determine a medida de seus ângulos internos.
* Construa um retângulo de lados 4 cm e 3 cm. Utilizando as propriedades do retângulo. Movimente um de seus vértices e perceba que as propriedades são conservadas. Calcule sua área e seu perímetro.
* Construa um quadrado de lado 3 Mostre, na janela geométrica, a medida dos ângulos e dos lados do quadrado (clique sobre o objeto com o botão direito do mouse; no menu que abrirá clique em propriedades; na janela que aparecerá, selecione todos os segmentos e ângulos, com o botão control do teclado apertado; em exibir rótulo, coloque Nome & Valor e clique em Aplicar).Movimente um dos vértices e confira sua construção, observando as medidas dos ângulos e dos lados. No menu, no alto da tela, clique em Exibir e, a seguir, clique em Protocolo de construção. Reveja a sequência de passos de sua construção. Ao terminar, feche essa janela.

## Atividades 13 – Construção de quadriláteros a partir de elementos dados
### Construir um quadrado dados:

* o lado. a=3 cm.
* a diagonal. BD=4 cm.
* o raio da círculo circunscrita. R=2,5 cm.
* o raio da círculo inscrita. r=2 cm.

### Construir um retângulo dados:

* os lados. a=4 cm, b=2,5 cm.
* diagonal e o lado. a=2,5, d=3,5.
* diagonal e o ângulo formado pelas mesmas. d=4 cm, a=120°.

### Construir um losango dados:

* as diagonais. AC=5 cm, BD=3 cm.
* um lado e uma diagonal. AB=3 cm, AC=4,5.
* um lado e um ângulo. AB=3 cm, Cˆ =45°.

### Construir um paralelogramo ABCD dados:

* os lados e um ângulo. AB=4 cm, BC=7 cm, Bˆ =45°.
* os lados e uma diagonal. AB=5 cm, BC=3 cm, AC=4 cm.
* as diagonais e um lado. AC=5 cm, BD=4 cm, BC=2,5 cm.
* as diagonais e o ângulo por elas formado. BD=4 cm, AC=3 cm, a=120°.
* os lados e a altura. BC=5 cm, AB=3 cm, hBC=2,5.

### Construir um trapézio ABCD dados:

* os lados. AB=5,5 cm, BC=3,5 cm, CD=4 cm, AD=3 cm.
* as bases e as diagonais. AB=4,5 cm, CD=3,5 cm, BD=5,5 cm, AC=5 cm
* as bases, uma diagonal e o ângulo formado pelas diagonais. AB=4,5 cm, AC=4 cm, DC=2,5, AÊB=120° (E é o ponto de interseção das diagonais).
* uma base, dois lados e o ângulo formado por um dos lados com a base dada. AB=4,5 cm, AD=3 cm, BC=2,5, Â=60°.

### Construir um trapézio isósceles dados:

* as bases e altura. AB=3 cm, CD=4,5 cm, h=2 cm.
* as bases e uma diagonal. AB=4 cm, CD=3 cm, AC=4 cm.
* as bases e o raio da círculo circunscrita. AB=5,5 cm, CD=3 cm, R=3 cm.

### Construir um trapézio retângulo em A dados:

* as bases e a altura. AB=3,5 cm, CD=2 cm, h=2,5 cm.
* uma base, um lado e a altura. AB=3,5 cm, BC=2,5 cm, h=2 cm.
* Em um losango de lado 5 cm, uma das diagonais mede 8 cm. Calcule a área desse losango.
* Calcule a área de um paralelogramo ABCD, em que AB = 8 cm, BC = 12 cm e m<ABC = 135°.

## Atividade 14 – Tales

* A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre o chão plano, mede 12m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1m de altura mede 0,6m. Qual a altura do poste?
* Uma fazenda tem a forma de um trapézio de bases AB (segmento) e CD (segmento), com AD = 9 km e BC = 12 km. A partir de um ponto E do lado AD (segmento) com AE = 6 km, o fazendeiro pretende construir uma estrada paralela a AB(segmento) que cruze a fazenda até um ponto F do lado BC (segmento). Calcule a distância FC.
* Construa um segmento AB de medida 6. Divida este segmento AB em n = 3 partes iguais.
* Construa um segmento AB de medida 7 e divida em n = 5 partes proporcionais a 2.

## Atividade 15 – Semelhança

* Considere um triângulo ABC, com E um ponto pertencente a AB(segmento), D ponto pertencente a AC(segmento), e ED(segmento) paralelo a BC(segmento), sendo AB = 18 cm, AC = 12 cm, ED = 6 cm e BC = 9 cm. Determine as medidas de AE(segmento) e AD(segmento).
* Um projetor de slaide, colocado a 9 m de distância de uma tela, projeta um retângulo de altura 6 m. A que distância da tela deve ser colocado o projetor para que o retângulo projetado tenha 2m de altura?
* No triangulo acutângulo ABC, a base AB (segmento) mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB (segmento), P pertence ao lado BC (segmento) e Q, ao lado AC (segmento). O perímetro desse retângulo em cm é?
* Por que o caso (LLA) não é caso de semelhança?

## Atividade 16 – Equivalência de áreas

* Construir um triângulo ABC equivalente a um quadrilátero PQRS dado, sabendo-se que P_A e que o segmento BC está sobre a reta QR.
* Construir um triângulo ABC equivalente a um polígono dado, sabendo-se que o ponto A coincide com o ponto P e o segmento BC está sobre a reta RS.
* Construir um triângulo ABC equivalente a um polígono dado, sabendo-se que o ponto A pertence ao segmento PQ e o segmento BC está sobre a reta RS.
* Construir um triângulo ABC equivalente a um polígono dado, sendo A_P e que o segmento BC está sobre a reta RS.
* Construir um quadrado equivalente a um triângulo ABC dado
* Obter graficamente o lado do quadrado equivalente ao trapézio ABCD dado.
* Obter graficamente o lado de um quadrado equivalente ao octógono regular inscrito numa círculo de raio 2 cm.
* Construir um quadrado equivalente a um círculo de raio 3 cm.
* Determinar graficamente o lado de um quadrado equivalente a um setor circular de 75o de um círculo de raio 4,3 cm.

## Atividade 17 – Pitágoras

* Demonstre (geometricamente) o teorema de Pitágoras com o triângulo retângulo qualquer.
* Construa um triângulo equilátero de lado a= 2,5 cm determine sua altura.
* Uma folha quadrada de papel ABCD é dobrada de modo que o vértice C coincide com o ponto M, médio de AB. Se o lado de ABCD é 1, o comprimento de BP é:
* Num trapézio retângulo as bases medem 16 cm e 4 cm respectivamente. O maior lado não paralelo mede 13 cm, qual o perímetro do trapézio?
* Numa círculo de 5 cm de raio calcule as medidas do lado e do apótema de um: triângulo equilátero inscrito; quadrado inscrito e hexágono regular inscrito.

## Atividade 18 – Funções

* Construa 2 seletores de intervalo de -10 à 10. Na entrada algébrica construa a reta y= ax+b. Movimente os seletores para ver o que acontece com o gráfico. Clique com o botão direito do mouse e habilite a função rastro, movimente os seletores.
* Construa a reta y= 2x+1, com entrada algébrica. Construa sua perpendicular por qualquer ponto da reta. Compare as duas equações.
* Qual a equação da paralela à reta y= -2x+5 passando pelo ponto P=(1,1)
* Ache a equação da reta perpendicular à reta y= 3x-1 passando pelo ponto Q= (2,2)
* Construa 3 seletores a, b e c de intervalo de -30 a 30. Na entrada algébrica construa y=ax$^2$+bx+c. Crie um ponto na curva descrita. Habilite o rastro deste ponto.
* Construa 4 seletores a, b, c e d, com intervalo -10 a 10. e na entrada algébrica construa a\*sen(bx+c)+d; a\*cos(bx+c)+d e a\*tan(bx+c) +d
* Construa a círculo dada pela seguinte equação: (x-2)$^2$+(y-3)$^2$=2 , qual a medida do raio desta círculo? E qual é o seu centro?
* Construa o círculo dada pela seguinte equação:(x+3)$^2$ + (y-4)$^2$=5, qual a medida do raio desta círculo? E qual é o seu centro?
* Tente mover as círculos construídas acima. Compare o que acontece.

## Atividade 19 – Macros

* Construa a macro para os seguintes pontos notáveis do Ortocentro, Baricentro, Incentro, Circuncentro.

## Atividade 20 – Extras

* Construa dois círculos concêntricos, de centro (2, 1) e raios 2 e 5 respectivamente.
* Determine o círculo de centro (3, 5) e raio 4, determine o círculo tangente a este de centro (5, 3). E um tangente a estes dois de raio 3.
* Utilizando a ferramenta polígono construa um polígono qualquer, e determine suas bissetrizes e movimente os vértices dos polígonos.
* Construa uma semi-reta, determine um segmento qualquer sobre esta semi-reta, construa um círculo de raio dependente a medida do segmento. Altere a medida do segmento e veja o que acontece com o círculo. Determine a medida do segmento, e a medida do raio do círculo, e compare estas medidas ao alterar o tamanho do segmento.
* Exercício especial: Dada a figura (criar a figura no GeoGebra) com AC = BC, DC = EC, G ponto médio de DC, H ponto médio de EC, <ACE ≈ <BCD. Demonstre que AG = BH.
* De um quadrado ABCD de lado 8 cm foram retirados quatro triângulos retângulos isósceles com catetos de 2 cm, um de cada vértice do quadrado. Qual é a área do octógono remanescente?
* Sendo ABC um triângulo isósceles de base BC(segmento), M o ponto médio de BC(segmento), e <CAM = 35°, determine a medida de <ABC.
* Em um triângulo ABC retângulo em A temos: M é ponto médio de BC(segmento), m(MÂC) = 30° e CM = 3 cm. Calcule o perímetro do triângulo ABM.
* Um triângulo ABC, retângulo em A, possui um ângulo interno de 30°. Calcule a medida de um ângulo agudo formado pela altura e pela bissetriz interna, ambas relativas ao vértice A.
* Um triângulo retângulo possui um ângulo interno de 40°. Determine a medida do ângulo agudo determinado pela mediana e pela altura, ambas relativas à hipotenusa.
* Construa o Ciclo trigonométrico mostrando as funções sen, cos e tan. Você pode também localizar cotg, cossec e sec.
* Construa a função modular de x, y=\|x\|, lembrando que na entrada algébrica função módulo é equivalente a abs(x). uma ideia interessante é construir a partir de seletores e verificar algumas alterações que ela sofre, como y= \|x+a\|