# Lógica/Lógica Tradicional/Princípios e as Proposições Categóricas
## Princípios da Lógica tradicional
### Não-contradição

"Efetivamente, é impossível a quem quer que seja acreditar que uma mesma coisa seja e não seja" ARISTÓTELES, Métafísica, $\Gamma 3,$ 1005 b 22-44.
Segundo o Princípio de Não-contradição, dada uma proposição e sua negação, não podem ser ambas verdadeiras.

### Terceiro excluído

"Quem diz de uma coisa que é ou que não é, ou dirá o verdadeiro ou dirá o falso. Mas se existisse um termo médio entre os dois contraditórios nem do ser nem do não ser poder-se-ia dizer que é ou que não é". ARISTÓTELES, Métafísica, $\Gamma 7,$ 1011 b 28-30

### Identidade

"(Todo) A é A".
"Cada coisa é aquilo que é" LEIBNIZ, Novos Ensaios sobre o Entendimento Humano.
Apesar de frequentemente atribuído a Aristóteles, não há referências do Princípio de Identidade até o século XIII. De qualquer forma, ele está inserido nos estudos de lógica tradicional. O princípio de identidade é a expressão do princípio de não contradição e formula-se da seguinte forma: - Forma ontológica: o ser é e o não ser não é, isto é, toda coisa é igual a si mesma. - Forma lógica: A=A; todo A é igual a A.

## Proposições Categóricas

* A - Universal Afirmativa: "Todo A é B" ou "Qualquer A é B".
* E - Universal Negativa: "Todo A não é B" ou "Nenhum A é B".
* I - Particular Afirmativa: "Algum A é B" ou "Alguns As são Bs".
* O - Particular Negativa: "Algum A não é B" ou "Alguns As não são Bs".
    Proposições cujo sujeito consiste em um nome próprio - exemplo: "Sócrates é mortal", "Fulano é A", "Beltrano é B" etc. - são chamadas de proposições singulares.
    Apesar de parecer muito restrito (e realmente é), o escopo deste sistema lógico pode ser ampliado parafraseando as proposições para a estrutura "A é B". Exemplos:
    "Algumas aves voam" ≡ "Algumas aves são voadoras"
    "João matou Pedro" ≡ "João é assassino de Pedro"
    "Renata tem uma moto" ≡ "Renata é dona de uma moto"
    "Todos ornitorrincos põem ovos" ≡ "Todos ornitorrincos são ovíparos"
    etc.
    Obviamente, nem sempre a quantificação ("todo", "algum", "nenhum" etc.) é explícita. Ex: "[todos] Ornitorrincos põem ovos", "A maioria das [ou seja, algumas] aves voam" etc.

### Conversões

    Conversão é um argumento ou raciocínio da seguinte estrutura:
    "A é B".
    "Logo, B é A".
    A quantificação torna algumas conversões lícitas e outras ilícitas:

#### Conversões Lícitas

* Do tipo E (Universal Negativa):
    Nenhum A é B. Logo nenhum B é A.
    Exemplo: Nenhum peixe é anfíbio. Logo nenhum anfíbio é peixe.
* Do tipo I (Particulares Afirmativas):
    Algum A é B. Logo algum B é A.
    Exemplo: Algumas mulheres são artistas. Logo alguns artistas são mulheres.

#### Conversões Ilícitas

* Do tipo A (Universal Afirmativa):
    Todo A é B. Logo todo B é A.
    Exemplo: Todos humanos são animais racionais. Logo todos animais racionais são humanos.
    Contra-exemplo: Todas mulheres são seres humanos. Logo todos seres humanos são mulheres.
    Observação: se a proposição universal afirmativa for uma definição - tal como o exemplo pode ser considerado - então a sua conversão é lícita.
* Do tipo O (Particular Negativa):
    Algum A não é B. Logo algum B não é A.
    Exemplo: Alguns peixes não são animais marítimos. Logo alguns animais marítimos não são peixes.
    Contra-exemplo: Alguns peixes não são tubarões. Logo alguns tubarões não são peixes.

### Oposições

    Oposições são relações entre proposições de tipos distintos com os mesmos termos nas mesmas posições de sujeito e predicado acerca do valor (verdadeiro ou falso) que cada uma deve receber no mesmo sistema ou contexto em vista dos valores das demais.
    Exemplo: Dadas as proposições "Todo corvo é preto" (A), "Nenhum corvo é preto" (E), "Algum(ns) corvo(s) é(são) preto(s)" (I), "Algum(ns) corvo(s) não é(são) preto(s)" (O), o valor (verdadeiro ou falso) de qualquer uma determina o valor das demais dentro do mesmo contexto.
    Todas oposições são recíprocas.
* Contrariedade
    Duas proposições são contrárias quando ambas não podem ser verdadeiras, mas ambas podem ser falsas.
    Universais Afirmativas (A) e Universais Negativas (E) são contrárias.
    Exemplos:
    "Todos corvos são pretos" e "Nenhum corvo é preto" não podem ser ambas verdadeiras.
    "Todos homens são brancos" e "Nenhum homem é branco" podem ser ambas falsas.
* Contraditoriedade
    Duas proposições são contraditórias quando elas nunca podem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas.
    Universais Afirmativas (A) e Particulares Negativas (O) são contraditórias. Universais Negativas (E) e Particulares Afirmativas (I) são contraditórias.
    Exemplos:
    Se "alguns mamíferos são ovíparos" (I) é verdadeira, então "nenhum mamífero é ovíparo" (E) é falsa.
    Se "alguns mamíferos são insetos" (I) é falsa, então "nenhum mamífero é inseto" (E) é verdadeira.
    Se "todos homens são mortais" (A) é verdadeira, então "alguns homens não são mortais" (O) é falsa.
    Se "alguns homens não são brancos" (O) é verdadeira, então "todos homens são brancos" (A) é falsa.
* Subalternidade
    Quando a Universal da relação é verdadeira, a Particular também é verdadeira. Contudo, o contrário não é logicamente necessário (ver: Indução).
    Quando a Particular da relação é falsa, a Universal também é falsa. Contudo, o contrário não é logicamente necessário.
    Universais Afirmativas (A) e Particulares Afirmativas (I) são subalternas. Universais Negativas (E) e Particulares Negativas (O) são subalternas.
    Exemplos:
    Se "todos triângulos são polígonos" (A) é verdadeira, então "alguns triângulos são polígonos" (I) é verdadeira.
    Se "nenhum mamífero é invertebrado" (E) é verdadeira, então "alguns mamíferos não são invertebrados" é verdadeira.
    Se "alguns triângulos são círculos" é falsa, então "todos triângulos são círculos" é falsa.
    Se "alguns insetos não são artrópodes" (O) é falsa, então "nenhum inseto é artrópode" (E) é falsa.
* Subcontrariedade
    Duas proposições são subcontrárias quando ambas não podem ser falsas, mas ambas podem ser verdadeiras.
    Particulares Afirmativas (I) e Particulares Negativas (O) são subcontrárias.
    Exemplos:
    "Alguns homens são asiáticos" (I) e "alguns homens não são asiáticos" (O) podem ser ambas verdadeiras, mas não podem ser ambas falsas.

### Subalternação

    Subalternação consiste num raciocínio no qual há uma única premissa que é universal e a conclusão é de um tipo subalterno ao da premissa, havendo a comutação entre sujeito e predicado.
   * Subalternação A-I
    Todo A é B.
    Logo alguns Bs são As.
    Exemplos:
    Todo triângulo é polígono.
    Logo alguns polígonos são triângulos.
    Todos gatos são mamíferos.
    Logo alguns mamíferos são gatos.
   * Subalternação E-O
    Nenhum A é B.
    Logo alguns Bs não são As.
    Exemplos:
    Nenhum mamífero é réptil.
    Logo alguns répteis não são mamíferos.
    Agora uma ressalva muito importante deve ser feita. Os lógicos contemporâneos repararam que, em certas circunstâncias, este tipo de raciocínio pode conter premissas verdadeiras e conclusão falsa. Ou seja, é falacioso. Isto ocorre quando ao menos um dos termos em questão é vazio. Por exemplo, se o conjunto A é vazio, “Todo A é B” pode ser verdade, mas “alguns Bs são As” é falso. A ilustração seguinte esclarecerá a questão:
    Imagine o seguinte contexto: um país no qual...
* Todos assassinos são executados.
* Outros crimes além do assassinato são punidos com a execução.
* Nunca ocorreu um assassinato.
    Este sistema é consistente, ou seja, as verdades não são contrárias ou contraditórias entre si. Não há nada de contraditório em estar estipulada a punição para um crime que nunca ocorreu. Contudo, se “todos assassinos são executados” for premissa de um raciocínio de subalternação, teremos como conclusão “alguns executados são assassinos”, o que é contraditório com “nunca ocorreu um assassinato”, ou seja, “assassinos não existem [no contexto em questão]”.
    Assim, para se realizar a inferência “Todo A é B. Logo alguns Bs são As.” deve-se assumir que o conjunto dos As (e consequentemente o dos Bs) não é vazio. O que, na concepção contemporânea de lógica, significa que deve haver uma premissa que afirme que As existem.
    Da mesma forma, para se realizar a inferência “Nenhum A é B. Logo alguns Bs não são As.” deve-se assumir que o conjunto dos Bs não é vazio (podendo o conjunto dos As ser ou não vazio). O que, na concepção contemporânea de lógica, significa que deve haver uma premissa que afirme que Bs existem.
    Algo semelhante também ocorre com alguns silogismos, como veremos adiante.