# Álgebra abstrata/Definição de anel

Anel é um conjunto com duas operações binárias, convencionalmente chamadas de soma e produto, e representado da forma (A, +, .), satisfazendo as seguintes propriedades:
* (A, +) é um grupo abeliano
* O produto é associativo
* Distributividade: para todo $x,y,z\in A\,$, vale:
** $(x+y).z=(x.z)+(y.z)\,$
** $x.(y+z)=(x.y)+(x.z)\,$
* Alguns autores incluem a propriedade de que o produto tem elemento neutro

## Notação

Por ser (A, +) um grupo abeliano, podemos definir -x como o inverso aditivo de x, e definir a operação x - y = x + (-y).
A associatividade da adição permite definir, para um número natural positivo n qualquer e um elemento x qualquer do anel, o que significa n x. Analogamente, pela adição formar um grupo, esta definição pode se estender a qualquer n inteiro.
Do mesmo modo, para n natural e positivo, pode-se definir x$^n$, mas a analogia termina aqui. x$^0$ só faz sentido se o anel tiver elemento neutro multiplicativo, mas, mesmo assim, não é conveniente definir x$^0$ para qualquer valor de x (em particular, para os divisores de zero).
As definições rigorosas de n x e x$^n$ são, para n > 0:
    1 x = x$^1$ = x
    0 x = 0 (aqui, o primeiro zero é o número natural, o segundo é o elemento neutro aditivo)
    (n + 1) x = n x + x (definição por indução)
    (-n) x = -(n x) (novamente, -n é a inversão aditiva nos inteiros, e -(n x) é a inversão aditiva no grupo abeliano (A, +)
    x$^{(n+1)}$ = x$^n$ . x (definição por indução)

## Propriedades

Várias propriedades são herdadas da estrutura de grupo abeliano de (A, +) e da associatividade do produto, e não serão repetidas aqui. Outras propriedades, que são semelhantes às propriedades dos inteiros, são:

### 1

    0 x = x 0 = 0, em que 0 é o elemento neutro aditivo do grupo (A, +)

#### Demonstração

A demonstração usa a propriedade distributiva e o fato do elemento aditivo, de qualquer grupo, ser único, ou seja, sempre que a + b = b, então a = 0.
    0 x = (0 + 0) x = 0 x + 0 x, etc

### 2

    - (x y) = (-x) y = x (-y)

#### Demonstração

A demonstração também usa a propriedade distributiva:
    (-x) y + x y = (-x + x) y = 0 y = 0, etc

### 3

    n (x y) = (n x) y

#### Demonstração

Antes da demonstração, cabe notar que esta propriedade não é consequência da associatividade do produto em A, porque n é um inteiro, e não um elemento do anel. A demonstração é feita em quatro etapas: primeiro, demonstra-se que ela é válida para n = 1. Em seguida, que, se ela vale para algum n, então vale para n + 1. Com esta etapa, cumpre-se a indução finita, e provou-se para todo n inteiro positivo. Finalmente, demonstra-se para n = 0 e para n negativo.
    1 (x y) = x y e 1 x = x (por definição)
Logo:
    1 (x y) = x y = (1 x) y
Supondo que a propriedade é válida para um n qualquer, então:
    (n + 1) (x y) = n (x y) + x y (por definição)
mas, pelo passo da indução, n (x y) = (n x) y, portanto:
    (n + 1) (x y) = (n x) y + x y = (n x + x) y (pela propriedade distributiva)
Finalmente, pela definição de (n + 1) x = n x + x:
    (n + 1) (x y) = ((n + 1) x) y, completando a indução
Com isto, podemos escrever n x y em vez de n (x y) = (n x) y, sem ambiguidade, sempre que n > 0.
O resultado para n = 0 é trivial.
Para um número negativo -n, temos que provar que:
    (-n) (x y) = ((-n) x) y
Obviamente, provaremos que os dois lados desta expressão são iguais a -(n x y):
    (-n) (x y) = -(n (x y)) (por definição de (-n) a)
Logo:
    (-n) (x y) = -(n x y)
    ((-n) x) y = (-(n x)) y (por definição de (-n) x)
Logo:
    ((-n) x) y = (-(n x)) y = -((n x) y) = - (n x y)
Conclusão: pode-se escrever expressões como (-) m n ... x y z ..., sem colocar parêntesis, pois estas expressões não são ambíguas.