# Matemática essencial/Noções básicas de Trigonometria

Trigonometria é a parte da matemática que estuda ângulos em razão e proporção. temos a definição de seno, cosseno ,tangente , cotangente, secante, cossecante. De um triangulo retângulo de catetos b e c e de hipotenusa a, teremos seno e cosseno como sendo a razão entre a e b e a e c.

### Teorema de Pitágoras
#### Pitágoras - Matemático e Filósofo Grego

A vida e obra de Pitágoras, matemático e filosofo grego, está envolta em fantasias e mitos uma vez que os relatos originais se perderam através dos séculos. Assim, tudo o que sabemos sobre Pitágoras chegou a nós por meio de fontes muito posteriores.
Acreditasse que Pitágoras tenha nascido por volta de 570 a.C. em Samos, uma ilha grega na costa marítima da atual Turquia. Nessa época Samos era uma rica cidade-estado mercantil, porém limitada intelectual, motivo pelo qual Pitágoras, aos 18 anos de idade, teria mudado para a ilha de Lesbos, onde por dois anos estudou filosofia.
Após sua estadia em Lesbos, Pitágoras teria seguido para Mileto, onde alguns historiadores acreditam que tenha se tornado discípulo de Tales, que o teria Influenciado a empreender uma incursão ao Egito, onde permaneceu por aproximadamente 20 anos (OLIVEIRA, 2008).
Após longas viagens e peregrinações, Pitágoras, aos 56 anos de idade, estabeleceu-se em Crotona, sul da Itália, onde fundou sua Escola Pitagórica, reunindo um grupo de discípulos e iniciando-os em Matemática, Música e Astronomia (SILVA et al, 2016).
A Escola Pitagórica era uma secreta e comunitária instituição religiosa, filosófica, intelectual e política, que pregava, entre outras ideias, a crença na transmigração da alma após a morte, a lealdade entre os membros e a total entrega da mente ao estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia (SILVA et al, 2016).
Com o passar do tempo, devido às suas ideias e crenças, Pitágoras angariou inimigos. Um deles em particular, que não foi aceito na Escola Pitagórica, começou a persegui-lo e maldizê-lo, colocando o povo da cidade de Crotona contra Pitágoras. A Escola Pitagórica, por volta de 500 a.C., foi então destruída e Pitágoras, assassinado (SILVA et al, 2016).
Contudo, alguns historiadores dizem que Pitágoras teria fugido para Metaponto, onde viveu até os 80 anos de idade (EVES, 2004).
Uma das grandes contribuições da Escola Pitagórica à Matemática foi a formalização de partes da geometria por meio de métodos demonstrativos; isto é, enunciando teoremas de resultados conhecidos e demonstrando-os, como, por exemplo, a teoria das paralelas e a relação métrica entre os lados de um triângulo retângulo, que ficou conhecida como Teorema de Pitágoras (OLIVEIRA, 2008).

#### O Teorema de Pitágoras - alguns dados históricos

   "Num triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos".
Essa importante relação métrica dos lados de um triângulo retângulo ficou conhecida, na Geometria Euclidiana, como Teorema de Pitágoras, mas séculos antes do nascimento de Pitágoras, tal relação já era conhecida por babilônios, egípcios e chineses, que utilizavam esse resultado cotidianamente na resolução de problemas (LIMA et al, 2006).
Uma das inúmeras provas desse fato é um tablete babilônico de argila, o Plimpton 322, datado do século VII a.C., que contém uma tabela de 15 linhas e 3 colunas onde estão listadas algumas “ternas pitagóricas”, gravadas em escrita cuneiforme (MANSFIELD E WILDBERGR, 2017), como podemos observar na figura 2.
Os antigos egípcios utilizavam triângulos retângulos na construção de templos e pirâmides e na mensuração de terrenos.Com uma corda dividida em doze partes iguais por treze nós, os agrimensores egípcios construíam triângulos retângulos a partir da sobreposição do primeiro e do décimo terceiro nós (EVES, 2004), como ilustrado abaixo.
Embora, conhecessem e utilizassem ao menos um caso particular, a “terna pitagórica” 3, 4, 5, não existem indícios históricos que os antigos egípcios conhecessem, de modo geral, a relação métrica entre os lados de um triângulo retângulo (EVES, 2004).
Apesar de Pitágoras não ter sido o primeiro a evidenciar a relação entre os lados do triângulo retângulo, foi possivelmente Pitágoras, ou um de seus discípulos, o primeiro matemático que se preocupou em enunciar o resultado e demonstrá-lo; motivo pelo qual o teorema carrega seu nome (BOYER, 1996).

#### Teorema de Pitágoras - enunciado e demonstrações.

   “O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos.”
Apresentaremos a seguir duas das mais de 370 demonstrações encontradas para o Teorema de Pitágoras.

##### Demonstração Clássica

Considere o triângulo retângulo XYZ,cujos catetos medem b e c e a hipotenusa mede a.
Queremos mostrar que a$^2$=b$^2$+c$^2${\textstyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}, como enunciado anteriormente pelo teorema.
Considere um quadrado ABCD, cujos lados medem $b+c$ . Sobre os lados do quadrado, tome os pontos M, N, P e Q, tais que AM=BN=CP=DQ=b{\textstyle AM=BN=CP=DQ=b} e MB=NC=PD=QA=c{\textstyle MB=NC=PD=QA=c}, como ilustrado na figura abaixo.
Pelo caso de congruência LAL – lado-ângulo-lado, os triângulos retângulos QAM, MBN, NCP e PDQ são congruentes entre si e também são congruentes ao triângulo retângulo da nossa hipótese, △XYZ{\textstyle \bigtriangleup XYZ}.
Assim, temos que MN=NP=PQ=QM=a{\textstyle MN=NP=PQ=QM=a} e; portanto, podemos concluir que o quadrilátero MNPQ é um losango.
Agora, vamos mostrar que, de fato, o quadrilátero MNPQ é um quadrado. Para isso, suponhamos que os ângulos agudos, ângulos cujas medidas são menores do que 90°, do triângulo XYZ meçam α e β, como ilustrado figura 6.
Assim, por congruência de triângulos, sabemos que os ângulos agudos, correspondentes aos pares de lados congruentes, dos triângulos QAM, MBN, NCP e PDQ, também medem a e b , como ilustrado a seguir, figura 7.
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180°, temos que α+β+90=180{\textstyle \alpha +\beta +90=180}; portanto, α+β=90{\textstyle \alpha +\beta =90} .
Deste modo, temos que cada ângulo interno do quadrilátero MNPQ é reto; isto é, mede 90°. Logo, o quadrilátero MNPQ é um quadrado de lado a.
Daí, segue que a área do quadrado ABCD, de lados b+c{\textstyle b+c}, é igual à soma das áreas dos quatro triângulos retângulos, de lados a, b e c, e do quadrado MNPQ, de lados a. Ou seja, (b+c)$^2$=a$^2$+4(bc/2)⇒a$^2$=b$^2$+c$^2${\textstyle {\biglb+c{\bigr )}^{2}=a^{2}+4\left({\frac {bc}{2}}\right)\Rightarrow a^{2}=b^{2}+c^{2}}, como queríamos demonstrar.

##### Demonstração por semelhança de triângulos

Seja o triângulo ABC retângulo em A, cujos catetos medem b e c e a hipotenusa mede a, como ilustrado a seguir, figura 7.
Seja a altura AH, relativa ao lado BC, tal que AH divide o triângulo ABC em dois outros triângulos, BHA e CHA, ambos retângulos em H, como ilustrado na figura 7.
Suponhamos que os ângulos agudos do triângulo ABC sejam α e β, figura 9.
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180°, temos que α+β+90=180{\textstyle \alpha +\beta +90=180} e, portanto, α+β=90{\textstyle \alpha +\beta =90}. Assim, os triângulos ABC, HBA e HAC possuem os mesmos ângulos, como ilustrado na figura 9, e; portanto, são semelhantes, pelo critério AA – ângulo-ângulo.
Sendo os triângulos ABC e HBA semelhantes pelo critério AA, temos as seguintes relações métricas: BC/BA=BA/BH ⇒ a/c=c/m ⇒c$^2$=a m (I){\textstyle {\frac {BC}{BA}}={\frac {BA}{BH}}\Rightarrow {\frac {a}{c}}={\frac {c}{m}}\Rightarrow c^{2}=a\ m\ \quad (I)}.
Por outro lado, da semelhança entre os triângulos ABC e HAC, temos que: BC/AC=AC/HC ⇒ a/b=b/n ⇒b$^2$=a n (II){\textstyle {\frac {BC}{AC}}={\frac {AC}{HC}}\Rightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {b}{n}}\Rightarrow b^{2}=a\ n\ \quad (II)}.
Somando-se as expressões (I) e (II), temos que: b$^2$+c$^2$=a m+an=a (m+n){\textstyle b^{2}+c^{2}=a\ m+a\quad n=a\ (m+n)}. Mas por construção, temos que m+n=a{\textstyle m+n=a}; logo, a$^2$=b$^2$+c$^2${\textstyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}, como queríamos demonstrar.

#### Recíproca do Teorema de Pitágoras

Anteriormente provamos que dado um triângulo ABC retângulo, cujos catetos medem b e c e a hipotenusa mede a, a$^2$=b$^2$+c$^2${\textstyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}.
Entretanto, dado um triângulo qualquer ABC, cujas medidas dos lados sejam a, b e c, tais que a$^2$=b$^2$+c$^2${\textstyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}, podemos afirmar que o triângulo ABC é retângulo de hipotenusa a? A A seguir, mostraremos que a resposta a essa questão é “sim”, ou seja, que a reciproca do Teorema de Pitágoras é verdadeira.
Para tanto, consideremos um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c, tal que $AB=c$, $BC=a$ e $CA=b$.
* Primeiro caso: $\alpha <90$
Suponhamos $b\leq c$. Neste caso, o ponto D, projeção ortogonal de C sobre o segmento ${\overline {AB}}$, pertence ao segmento ${\overline {AB}}$.
Sejam $AD=x$, $CD=h$ e $DB=c-x$, como ilustrado na figura 11.
Como o triângulo ADC é retângulo em D, temos que $b^{2}=h^{2}+x^{2}\Longrightarrow h^{2}=b^{2}-x^{2}$.
Por outro lado, do triângulo BDC também retângulo em D, temos que $a^{2}=h^{2}+(c-x)^{2}=h^{2}+c^{2}-2cx+x^{2}$. Mas, $h^{2}=b^{2}-x^{2}$, daí, segue que $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cx$. Logo $a^{2}<b^{2}+c^{2}$.
* Segundo caso: $\alpha >90$
Seja o ponto D, projeção ortogonal de C sobre a reta ${\overleftarrow {AB}}$. Suponhamos $b\leq c$, nesse caso, D não pertence ao segmento ${\overline {AB}}$. Sejam, ainda, $AD=x$ e $CD=h$, como ilustrado na figura 12.
No triângulo ADC, retângulo em D, provamos que valem as seguintes relações:$b^{2}=h^{2}+x^{2}\Longrightarrow h^{2}=b^{2}-x^{2}$. Analogamente, para o triângulo DCB, teremos:$a^{2}=h^{2}+(c+x)^{2}=h^{2}+c^{2}+2cx+x^{2}$. Mas, como $h^{2}=b^{2}-x^{2}$, temos que $a^{2}=b^{2}+c^{2}+2cx$. Logo, $a^{2}>b^{2}+c^{2}$.
Deste modo, concluímos que para qualquer triângulo ABC de lados a, b e c, se $a^{2}=b^{2}+c^{2}$, então o triângulo é retângulo e sua hipotenusa mede a, como queríamos demonstrar.

#### O Teorema de Pitágoras e a generalização de Pappus de Alexandria

Pappus de Alexandria foi um dos últimos grandes matemáticos da antiga Grécia, geômetra esplêndido enunciou e provou inúmeros teoremas de Geometria Projetiva. Além disso, seus trabalhos embasaram a criação da Geometria Analítica, desenvolvida por Descartes treze séculos depois.
Pappus ao estudar o Teorema de Pitágoras não apenas forneceu mais uma prova de sua veracidade como também demonstrou que este é um caso particular; isto é, um corolário, de um teorema mais geral, que ficou conhecido como a Generalização ou Extensão do Teorema de Pitágoras (SILVA et al, 2016).
Proposição (Generalização de Pappus)
Seja ABC um triângulo, não necessariamente retângulo, se sobre dois de seus lados construirmos dois paralelogramos quaisquer, ABDE e ACFG. Então é possível construirmos sobre o terceiro lado desse triângulo, um outro paralelogramo, BCHI, cuja área seja igual à soma das áreas dos outros dois paralelogramos já construídos.
Demonstração
Vamos inicialmente construir o terceiro paralelogramo, seguindo o raciocínio de Pappus, e posteriormente provaremos que a relação entre as áreas é satisfeita. Considere o triângulo ABC e os paralelogramos ABDE e ACFG., figura 15.
Construção
Sejam M e N, respectivamente, os pontos de intersecção entre as retas suportes dos lados $DE$ e $FG$ e entre a reta $MA$ e o lado $BC$.
Consideremos P, o ponto sobre $MA$, tal que $MA=NP$.
Sejam l a reta paralela à ${\overline {BC}}$, que passa por P, r e s as retas paralelas à reta $MA$, que passam por B e C, respectivamente.
Sejam I e H, respectivamente, os pontos de intersecção entre a reta l e as retas r e s, como ilustrado na figura 16.
Agora, precisamos mostrar que o paralelogramo BCHI, construído, satisfaz a relação proposta; isto é, que sua área igual a soma das áreas dos paralelogramos ABDE e ACFG.
Sejam Q e K, respectivamente, os pontos de intersecção entre a reta r e o lado $DE$ e entre a reta s e o lado $FG$.
Note que os paralelogramos BNPI e ABQM têm a mesma área, pois, por construção, possuem bases de mesma medida, $MA=NP$, e mesma altura, pois, estão situados entre duas retas paralelas.
Os triângulos BDQ e AEM são congruentes, pelo critério AA – ângulo-ângulo (verifique!), então a área do quadrilátero ABDE é igual a área do quadrilátero ABQM e; portanto, a área do quadrilátero ABDE é igual a área do quadrilátero BNPI.
Analogamente mostramos que a área do quadrilátero ACFG é igual a área do quadrilátero ABDE e; portanto, provamos que a soma das áreas dos paralelogramos ACFG e ABDE é igual a área do paralelogramo BCHI.
Corolário (Teorema de Pitágoras)
Se o triângulo ABC, da proposição de Pappus, for retângulo e os paralelogramos construídos sobre seus catetos forem quadrados, então, a partir da construção de Pappus, obteremos um terceiro quadrado que satisfaz a relação proposta.
Demonstração
Para mostrarmos que, de fato, a proposição de Pappus é uma generalização do Teorema de Pitágoras, precisamos mostrar que o quadrilátero BCHI é um quadrado. Para tanto, mostraremos que $NP=BC$ e que as retas $BC$ e $NP$ são perpendiculares.
Note que, por construção o paralelogramo AEMG é um retângulo e que os triângulos GMA e ABC são congruentes, por conseguinte, temos que $BC=AM$. Ainda, por construção, temos que $AM=NP$, logo, $BC=NP$.
Agora, basta verificarmos que o ângulo ${\widehat {BNP}}$ é reto para mostrarmos que BCHI é um quadrado, provando nossa tese.
Temos que os ângulos ${\widehat {BAN}}$ e ${\widehat {MGA}}$, opostos pelo vértice, são congruentes e que os ângulos ${\widehat {ABN}}$ e ${\widehat {GMA}}$ também são congruentes, pela congruência dos triângulos GMA e ABC. Logo, o ângulo ${\widehat {ANB}}$ é congruente ao ângulo ${\widehat {AGM}}$, que é reto, por construção.
Como os ângulos ${\widehat {BNP}}$ e ${\widehat {ANB}}$ são suplementares; isto é, ${\widehat {BNP}}+{\widehat {ANB}}=180$, temos que $m({\widehat {BNP}})=90$ e; portanto, BCHI é um quadrado, como queríamos demonstrar.

#### Extensões do Teorema de Pitágoras

Veremos a seguir que a relação estabelecida por Pitágoras é válida para outras figuras planas construídas sobre um triângulo retângulo, desde que tais figuras sejam semelhantes.
Proposição 1 - Triângulos Equiláteros
A área do triângulo equilátero construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos triângulos equiláteros construídos sobre os catetos de um triângulo retângulo.
Demonstração
Seja o triângulo ABC retângulo em A, cuja hipotenusa mede a e seus catetos medem b e c. Sejam $S_{a}$, $S_{b}$ e $S_{c}$ as áreas dos triângulos equiláteros construídos, respectivamente, sobre a hipotenusa e os catetos desse triângulo, figura 16.
Sabemos que a área de um triângulo equilátero qualquer é obtida através da formula $S_{l}={\frac {l^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$. Deste modo, temos que $S_{a}={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$, $S_{b}={\frac {b^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$ e $S_{c}={\frac {c^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$.
Somando as áreas $S_{b}$ e $S_{c}$, temos que $S_{b}+S_{c}={\frac {b^{2}{\sqrt {3}}}{4}}+{\frac {c^{2}{\sqrt {3}}}{4}}=(b^{2}+c^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$.
Como o triângulo ABC é retângulo, pelo Teorema de Pitágoras, é válido que $a^{2}=b^{2}+c^{2}$. Por conseguinte, temos que $S_{b}+S_{c}=(b^{2}+c^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}=S_{a}$, como queríamos demonstrar.
Proposição 2 - Triângulos Semelhantes
Se construirmos triângulos semelhantes sobre os lados de um triângulo retângulo e se os lados do triângulo retângulo são lados homólogos aos lados dos triângulos semelhantes que os contém, então a área do triângulo construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos triângulos construídos sobre os catetos.
Demonstração
Sejam $T_{a}$, $T_{b}$ e $T_{c}$, respectivamente, as áreas dos triângulos semelhantes construídos sobre a hipotenusa a e os catetos b e c, como ilustrado na figura 17.
Sabemos que a razão entre as áreas de triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre seus lados, Lema 1. Assim, temos que ${\frac {T_{b}}{T_{a}}}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}$ e ${\frac {T_{c}}{T_{a}}}=\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}$.
Por conseguinte, temos que $T_{b}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}T_{a}$ e $T_{c}=\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}T_{a}$.
Somando as duas expressões, temos que $T_{b}+T_{c}=\left({\frac {b^{2}+c^{2}}{a^{2}}}\right)T_{a}$, como o triângulo ABC é retângulo, pelo Teorema de Pitágoras, temos que $a^{2}=b^{2}+c^{2}$. Logo, $T_{b}+T_{c}=T_{a}$, como queríamos demonstrar.
Proposição 3 - Polígonos Regulares
A área do polígono regular de n lados construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos polígonos regulares de n lados construídos sobre seus catetos.
Demonstração
Seja a triângulo ABC retângulo em B, sabendo que em cada um de seus lados foram construídos polígonos regulares de n lados, como ilustrado na figura 18. Podemos decompor cada polígono regular de n lados em n triângulos cujos vértices são dois vértices consecutivos do polígono regular e o seu centro.
Sejam $S_{a}$, $S_{b}$ e $S_{c}$ as áreas dos polígonos regulares construídos sobre os lados do triângulo retângulo. Assim, temos que $S_{a}=n\ T_{a}$, $S_{b}=n\ T_{b}$ e $S_{c}=n\ T_{c}$, onde $T_{a}$, $T_{b}$ e $T_{c}$ são, respectivamente, as áreas de dos triângulo em que foram decompostos cada um dos polígonos regulares construídos sobre a hipotenusa e os catetos do triângulo ABC.
Somando as expressões,teremos $S_{b}+S_{c}=n\ (T_{b}+T_{c})$.
Pela Proposição 2, temos que $T_{b}+T_{c}=T_{a}$, pois, os triângulos isósceles apoiados sobre os lados do triângulo retângulo são semelhantes. Portanto, $S_{b}+S_{c}=n\ T_{a}=S_{a}$, como queríamos demonstrar.
Polígonos Semelhantes
Pela Proposições 2 e pelo Lema 1, podemos mostrar que o padrão pitagórico; isto é, a relação entre as áreas, é válido também para polígonos semelhantes, sem necessariamente serem regulares, construídos sobre os lados de um triângulo retângulo, deixamos essa demonstração como exercício.
A Generalização de Polya
George Polya nasceu, em 1887, na Hungria, foi um brilhante matemático que contribuiu para o desenvolvimento de diversas áreas Matemática, como Análise, Combinatória e Probabilidade, dentre seus trabalhos está uma notável prova e generalização do Teorema de Pitágoras, enunciada a seguir.
Proposição 4 (de Polya)
Se as figuras construídas sobre os lados de um triângulo retângulo, independentemente da forma geométrica, forem semelhantes, então o padrão pitagórico das áreas é satisfeito, isto é, a área da figura construída sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas das figuras construídas sobre os catetos.

#### Bibliografia

* BOYER, C. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
* COSTA, R. A., ZUIN, E. de S. L. O “Teorema de Pitágoras” sob uma perspectiva histórica: uma análise de livros didáticos de Matemática do ensino fundamental no Brasil. IX ENEM - ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, Belo Horizonte - MG, 18 a 21 julho, 2007.
* EVES, H. Introdução à História da Matemática. Tradução Hygino H. Domingues. Campinas, SP. Editora da UNICAMP, 2004.
* LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, A. Temas e problemas elementares. 12 ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006, 256 p.
* MANSFIELD, D. F., WILDBERGR, N. J. Plimpton 322 is Babylonian exact sexagesimal trigonometry. Hist. Math., 2017. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1016/j.hm2017.08.001
* OLIVEIRA, J. A. Teorema de Pitágoras. Monografia sob orientação de Prof. Francisco Dutenhefner. Universidade Federal de Minas gerais – UFMG, Belo Horizonte – MG, 2008.
* SILVA, J. E. B.; FANTI, E. L. C.; PEDROSO, H. A. Teorema de Pitágoras: extensões e generalizações. C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 6, p. 21-47, jul. 2016. Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp.