# Medida e integração/Imprimir

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# Prefácio

Este material está sendo elaborado com base nas notas de aula da disciplina Medida e Integração, do programa de Doutorado em Matemática do IME, ministrada pelo professor Alfredo Jorge Aragona Vallejo, no primeiro semestre letivo do ano de 2009.
O conteúdo do livro não precisa (nem deve) se limitar àquele que consta atualmente no índice. Sendo assim, a qualquer momento o livro pode ser revisto e ampliado.
Sinta-se a vontade para ler este ou quaisquer outros livros do projeto, melhorando-os conforme lhe for possível. Com isso estará ajudando a aumentar a quantidade e a qualidade dos textos didáticos disponíveis em língua portuguesa, ao mesmo tempo em que colaborará com o crescimento projeto Wikilivros como um todo.
Se tiver dúvidas ou sugestões sobre páginas específicas, utilize as páginas de discussão correspondentes para deixar um comentário a respeito.
Ainda há muito por fazer, mas cada um daqueles que contribuem acredita estar fazendo o possível para oferecer o melhor a todos.

# Notações

No decorrer deste texto algumas notações serão usadas com bastante frequência. Por este motivo, este capítulo é destinado a esclarecer tais notações.

## Conjuntos numéricos

Os conjuntos de números mais conhecidos serão denotados de maneira usual:
* $\mathbb {N}$ é o conjunto formado pelos números que se usa para contar, ou seja, os números naturais: $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,\ldots \};$
* $\mathbb {Z}$ é o conjunto que contém todos os números inteiros, ou seja, os números naturais e seus opostos: $\mathbb {Z} =\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots \};$
* $\mathbb {Q}$ é o conjunto formado pelos números racionais, ou seja, as frações positivas e negativas com numerador e denominador inteiros: $\mathbb {Z} =\{{\frac {p}{q}}:p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {Z} ,q\not =0\};$
* $\mathbb {R}$ denota o conjunto dos números reais, que é formado pela união dos números racionais com os números irracionais;
* $\mathbb {C}$ denota o corpo dos números complexos;
Adicionalmente, quando for mencionada uma propriedade que vale tanto para o corpo $\mathbb {R}$ quanto para o corpo $\mathbb {C} ,$ será usada a notação $\mathbb {K}$ para não ser necessário mencionar ambos os conjuntos. Sendo assim, sempre que você encontrar $\mathbb {K}$ ao longo do texto, lembre-se que o mesmo pode ser trocado por $\mathbb {R}$ ou por $\mathbb {C} ,$ sem prejuízo algum.

## Operações entre conjuntos

Às vezes, ao se definir um conjunto $A$ (ou um conceito qualquer $A$) em termos de uma expressão $B$, é conveniente abreviar a afirmação "$A$ é definido como sendo $B$" denotando-a simplesmente como:
    $A:=B$.
Em alguns livros, você pode encontrar também as notações $A{\dot {=}}B$ e $A{\overset {\underset {\mathrm {def} }}{=}}B,$ mas neste texto elas não serão utilizadas.
Se $\Lambda$ for qualquer um dos conjuntos $\mathbb {N} ,$ $\mathbb {Z} ,$ $\mathbb {Q} ,$ $\mathbb {R} ,$ ou $\mathbb {C} ,$ indica-se que o zero foi removido de tal conjunto usando-se a notação $\Lambda ^{*}.$ Em símbolos, isto se expressa como:
    $\Lambda ^{*}:=\Lambda \smallsetminus \{0\}=\{x\in \Lambda :x\not =0\}.$
Se $A$ e $B$ são conjuntos, então:
* $|A|$ denota a cardinalidade do conjunto $\mathbf {A}$ (ou a quantidade de elementos em $\mathbf {A}$). Quando $A$ é finito, escreve-se $|A|<\infty$;
* $A\cap B:=\{x\in A{\text{ e }}x\in B\}$ é a interseção dos conjuntos $\mathbf {A}$ e $\mathbf {B} ;$
* $A\cup B:=\{x\in A{\text{ ou }}x\in B\}$ é a união dos conjuntos $\mathbf {A}$ e $\mathbf {B} ;$
* $B\smallsetminus A=B-A:=\{x\in B:x\not \in A\}$ denota a diferença entre os conjuntos $\mathbf {B}$ e $\mathbf {A} ;$
* Se $A\subset B,$ o conjunto $B\smallsetminus A$ é chamado de complementar de $\mathbf {A}$ em relação a $\mathbf {B}$ e passa a ser denotado por $A_{B}^{c}.$ No entanto, alguns autores preferem manter a notação $B\smallsetminus A.$
* Quando ficar claro pelo contexto qual é o conjunto $B,$ pode-se omiti-lo na notação $A_{B}^{c}.$ Nesses casos, escreve-se apenas $A^{c}$ (o complementar de $\mathbf {A}$). Com esta notação, tem-se $B\smallsetminus A=B\cap A^{c}.$ Em alguns livros, encontram-se também as notações $A\complement ,$ ou ainda ${\tilde {A}}.$
* $A\Delta B:=(A\smallsetminus B)\cup (B\smallsetminus A)=(A\cup B)\smallsetminus (A\cap A)$ é a diferença simétrica entre $\mathbf {A}$ e $\mathbf {B} ;$
* ${\mathcal {P}}(A):=\{Y:Y\subset A\}$ é o conjunto das partes de $\mathbf {A} ,,$ ou seja, o conjunto dos subconjuntos de $A;$
* ${\mathcal {P}}_{f}(A):=\{Y\in {\mathcal {P}}(A):|Y|<\infty \}$ é o conjunto das partes finitas de $\mathbf {A} ;$
Se $\Lambda$ e $X$ são conjuntos não-vazios, então uma família em $\mathbf {X}$ indexada por ${\boldsymbol {\Lambda }}$ é simplesmente qualquer aplicação $x:\lambda \in \Lambda \mapsto x_{\lambda }\in X.$ Os elementos de $\Lambda$ são chamados de índices e conjunto $\Lambda$ é então um conjunto de índices. A família é denotada por $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ ou, quando o conjunto de índices ficar claro pelo contexto, simplesmente por $(x_{\lambda }).$
Alguns autores preferem usar $I$ ou $\Gamma$ no lugar de $\Lambda .$ Ocasionalmente isto poderá acontecer ao longo deste wikilivro.
Se $\Lambda$ é enumerável, ou seja, se existe uma correspondência biunívoca de $\Lambda$ com $\mathbb {N} ,$ a família $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ é chamada de sequência em $\mathbf {X}$ indexada por ${\boldsymbol {\Lambda }}$. Se $\Lambda$ é finito, a família $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ é chamada de sequência finita em $\mathbf {X}$ indexada por ${\boldsymbol {\Lambda }}.$
Se $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ é uma família em $X$ indexada por $\Lambda ,$ enumerável ou não, então:
* A união arbitrária dos $\mathbf {X} _{\boldsymbol {\lambda }}$ quando ${\boldsymbol {\lambda }}$ percorre ${\boldsymbol {\Lambda }}$ é o conjunto
    $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }:=\{x:x\in X_{\lambda _{0}},{\text{ para algum }}\ \lambda _{0}\in \Lambda \};$
* A intereseção arbitrária dos $\mathbf {X} _{\boldsymbol {\lambda }}$ quando ${\boldsymbol {\lambda }}$ percorre ${\boldsymbol {\Lambda }}$ é o conjunto
    $\bigcap _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }:=\{x:x\in X_{\lambda },\forall i\in \Lambda \}.$
Se $\Lambda =\mathbb {N}$, a união arbitrária dos $X_{\lambda }$ quando $\lambda$ percorre $\Lambda$ é
    $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\bigcup _{\lambda =0}^{\infty }X_{\lambda },$
e a intereseção arbitrária dos $X_{\lambda }$ quando $\lambda$ percorre $\Lambda$ é
    $\bigcap _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\bigcap _{\lambda =0}^{\infty }X_{\lambda }.$
Analogamente, se $\Lambda =\left\{0,\ldots ,k\right\}$, então:
    $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\bigcup _{\lambda =0}^{k}X_{\lambda }=\bigcup _{0\leq \lambda \leq k}X_{\lambda }=X_{0}\bigcup \ldots \bigcup X_{k}.$
Do mesmo modo, escreve-se
    $\bigcap _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\bigcap _{\lambda =0}^{k}X_{\lambda }=\bigcap _{0\leq \lambda \leq k}X_{\lambda }=X_{0}\bigcap \ldots \bigcap X_{k}.$

### Convenção

Se $\Lambda =\emptyset ,$ então $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\emptyset$ e $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=X.$

## Referências

* ↑ DiBenedetto (2002)
* ↑ Royden (1988).

# Mensurabilidade
## Introdução

Nos cursos básicos de cálculo, aprende-se que a integral está intimamente relacionada com a noção de área que se conhece desde o ensino fundamental. A teoria da integração tem em suas raízes os trabalhos de matemáticos gregos como Eudoxo e Arquimedes, que viveram alguns séculos antes de Cristo. Naqueles tempos, eles já eram capazes de calcular áreas e volumes por meio do método de exaustão, no qual se decompunha um todo em infinitas partes cuja área ou volume fossem quantidades conhecidas.
O maior avanço em relação a integração veio somente no século XVII, com a descoberta do teorema fundamental do cálculo, feita independentemente por Newton e Leibniz. No entanto, mesmo nesta época a teoria da integração carecia de uma formulação rigorosa. Foi Riemann quem, no século XIX, trouxe uma formalização da noção de integral através do uso de limites. Hoje em dia, os cursos de cálculo trazem tradicionalmente as ideias e propriedades mais relevantes da integral de Riemann.
Apesar de sua popularidade, a teoria de integração desenvolvida por Riemann tem algumas deficiências que se tornam evidentes quando se precisa estudar sequências de funções integráveis ou mesmo séries de tais funções. O exemplo notável surge ao considerar uma sequência $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ de funções integráveis à Riemann que em cada ponto $x$ converge para um valor $f(x).$ Geralmente, quando se tem uma sequência convergente (no caso, $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} })$ e uma operação sendo feita sobre cada um de seus termos (no caso o cálculo da integral de Riemann), é importante poder "comutar o limite e a operação". No exemplo citado, seria interessante que valesse a seguinte igualdade:
$\lim \int f_{n}=\int \lim f_{n}.$
Usando-se a integral de Riemann, para se ter garantia desta propriedade é preciso exigir muito mais do que a convergência pontual: Se a sequência for uniformemente convergente, pode-se comutar o símbolo da integral com o do limite.
Henri Lebesgue, em 1902 desenvolveu em sua dissertação uma teoria de integração mais elegante, preenchendo as grandes lacunas na teoria de integração de Riemann. Devido a importância daquele trabalho, a teoria é hoje chamada de Integração de Lebesgue.

## O conceito de mensurabilidade

Quando se estuda topologia, um conceito que está sempre presente é o de função contínua. As funções contínuas tem várias propriedades interessantes e são fundamentais no estudo de espaços topológicos. Em contrapartida, no desenvolvimento da teoria de integração, certo tipo de funções, as chamadas funções mensuráveis, também têm grande importância. Estas funções possuem algumas características em comum com as funções contínuas, e isto ficará evidente conforme forem deduzidas algumas de suas propriedades.
Ao se definir o que são funções contínuas, é levada em consideração a forma como estas funções se comportam em relação a certos subconjuntos de seu domínio e seu contradomínio. Para ser mais exato, se diz que uma função é contínua quando a pré-imagem (ou imagem inversa) de qualquer aberto do seu contradomínio é um conjunto aberto do seu domínio. De forma análoga, definem-se as funções mensuráveis considerando o comportamento destas funções em relação a conjuntos abertos do contradomínio e um outro tipo de subconjuntos do seu domínio: os conjuntos mensuráveis.
Apesar de ainda não ter sido dito o que é uma medida, esta é uma ideia que aparece em contextos bastante simples, como é o caso dos intervalos numéricos da reta de números reais. Intuitivamente, pode-se dizer que o comprimento do intervalo $\left(a,b\right)$ é igual a $|b-a|,$ ou ainda, a distância de $a$ até $b.$ Os intervalos são exemplos típicos de algo que se gostaria de poder "medir". Seria igualmente interessante poder medir as uniões finitas de intervalos, e também ser capaz de fornecer a medida da diferença $\left(a,b\right)\smallsetminus \left(c,d\right)$ entre dois intervalos. Propriedades como estas servem de motivação para se definir as $\sigma$-álgebras de conjuntos e em sequência a noção de mensurabilidade.

### Definição 1.1

Dado um conjunto $X\not =\emptyset ,$ diz-se que uma coleção ${\mathfrak {M}}\subset {\mathcal {P}}(X)$ de subconjuntos de $X$ é uma ${\boldsymbol {\sigma }}$-álgebra sobre $\mathbf {X}$ se ${\mathfrak {M}}$ satisfaz as seguintes condições:
* $X\in {\mathfrak {M}};$
* Se $A\in {\mathfrak {M}}$ então $X\smallsetminus A\in {\mathfrak {M}};$
* Se $(A_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ é uma sequência em ${\mathfrak {M}}$ então $\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathfrak {M}}.$

### Observações

* Obs. 1.2: Conforme já foi dito, será usada a notação $A^{c}$ para denotar o complementar de $A$ em relação a $X$ sempre que o contexto deixar claro qual o conjunto $X$ em questão. Em particular, isto se aplica ao segundo item da definição de $\sigma$-álgebra. Assim, a propriedade 2 diz que se $A$ pertence a uma $\sigma$-álgebra, então $A^{c}$ também pertence.
* Obs. 1.3: Decorre diretamente da definição que o conjunto vazio $\emptyset$ pertence a qualquer $\sigma$-álgebra, pois $\emptyset =X^{c}$ e $X\in {\mathfrak {M}}.$
* Obs. 1.4: Utilizando as leis de De Morgan, obtém-se uma propriedade equivalente à terceira exigência da Definição 1.1, mas que envolve uma interseção enumerável:
3'. Se $(A_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ é uma sequência em ${\mathfrak {M}}$ então $\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathfrak {M}}.$
* Obs. 1.5: Se $(x_{\lambda })_{1\leq \lambda \leq p}$ é uma sequência finita em ${\mathfrak {M}},$ então
$\bigcap _{1\leq \lambda \leq p}X_{\lambda }\in {\mathfrak {M}}$ e $\bigcup _{1\leq \lambda \leq p}X_{\lambda }\in {\mathfrak {M}}.$
* Obs. 1.6: Se $A\in {\mathfrak {M}}$ e $B\in {\mathfrak {M}},$ então $A\smallsetminus B\in {\mathfrak {M}}.$ De fato, sendo $A\subset X,$ tem-se
$A\smallsetminus B=\{x\in A;x\not \in B\}=A\cap \{x\in X;x\not \in B\}=A\cap (X\smallsetminus B).$
Como se poderia imaginar a partir dos comentários que precederam a definição definição de $\sigma$-álgebra, os conjuntos mensuráveis serão aqueles que verificam as propriedades acima. De forma mais precisa:

#### Definição 1.7

Se ${\mathfrak {M}}$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $X,$ o par ordenado $\left(X,{\mathfrak {M}}\right)$ é chamado de espaço mensurável e os elementos de ${\mathfrak {M}}$ são denominados conjuntos mensuráveis.
* Obs. 1.8: É comum cometer um abuso de linguagem e se referir ao "espaço mensurável $\left(X,{\mathfrak {M}}\right)$" sem mencionar a $\sigma$-álgebra ${\mathfrak {M}},$ como por exemplo ao dizer "o espaço mensurável $X$". Obviamente, isto só será feito quando ficar claro qual a $\sigma$-álgebra em questão. A situação análoga no contexto da Topologia é falar de um espaço topológico sem mencionar sua topologia, como em "$\mathbb {R}$ é um espaço topológico".
Finalmente, uma vez caracterizados os conjuntos mensuráveis, a noção de mensurabilidade pode ser definida também para funções:

#### Definição 1.9

Se $f:X\mapsto Y$ é uma função para a qual $X$ é um espaço mensurável e $Y$ é um espaço topológico, diz-se que $f$ é uma função mensurável ou aplicação mensurável se para cada aberto $A$ de $Y,$ sua imagem inversa $f^{-1}(A)$ for um conjunto mensurável.
O próximo resultado mostra uma forma de se obter funções mensuráveis quando já se conhece uma função mensurável e uma contínua: basta realizar sua composição, aplicando primeiro a função mensurável e por último a função contínua.

#### Proposição 1.10

Sejam $X$ um espaço mensurável, $Y$ e $Z$ espaços topológicos e $f:X\mapsto Y$ uma aplicação mensurável. Se $g:Y\mapsto Z$ é uma função contínua então $h:=g\circ f:X\mapsto Z$ é uma aplicação mensurável.
Um resultado análogo ao anterior, que pode ser aplicado quando se tem uma função contínua a duas variáveis reais (ou a uma variável complexa), é mostrado a seguir.

#### Proposição 1.11

Sejam $X$ um espaço mensurável, $\mathbb {R}$ e $Y$ espaços topológicos, onde a topologia de $\mathbb {R}$ é a usual. Se $u,v:X\mapsto \mathbb {R}$ são aplicações mensuráveis e $\Phi :\mathbb {C} \mapsto Y$ é uma função contínua então $h:X\mapsto Y,$ definida por $h(x)=\Phi (u(x),v(x))$ é uma aplicação mensurável.
Como consequência imediata desta proposição, tem-se o seguinte:

#### Corolário 1.12

Sejam $X$ um espaço mensurável e $\mathbb {R}$ um espaço topológico (com sua topologia usual). Se $u,v:X\mapsto \mathbb {R}$ são aplicações mensuráveis, então $f:=u+iv$ é uma aplicação mensurável.
Um outro resultado imediato que trata especificamente da mensurabilidade de funções de uma variável complexa é o seguinte:

#### Corolário 1.13

Sejam $X$ um espaço mensurável e $\mathbb {R}$ um espaço topológico (com sua topologia usual). Se $f:=u+iv:X\mapsto \mathbb {C}$ é uma aplicação mensurável então $u,v,|f|:X\mapsto \mathbb {R}$ são aplicações mensuráveis.
Além do que já foi mostrado até o momento, no conjunto das funções mensuráveis que tomam valores em um corpo também verifica uma propriedade muito frequente em matemática: o fechamento em relação a soma e o produto. Uma consequência disto é que um polinômio em funções mensuráveis continua sendo mensurável e, em particular, a multiplicação de uma função mensurável por uma constante (ou se preferir, um escalar) também é mensurável. O resultado que garante estas propriedades é apresentado a seguir.

#### Corolário 1.14

Sejam $X$ um espaço mensurável, $\mathbb {K}$ um espaço topológico (com sua topologia usual) e $\lambda \in \mathbb {K} .$ Se $f,g:X\mapsto \mathbb {K}$ são mensuráveis então $u+v,$ $uv$ e $\lambda v$ são mensuráveis.
* Obs. 1.15: Seja $X$ um espaço mensurável. Então o conjunto
${\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} ):=\{f:X\mapsto \mathbb {K} ;f$ é mensurável $\$
munido das operações pontuais de adição, multiplicação e multiplicação por escalar, é uma $\mathbb {K}$-álgebra (ou também uma sub $\mathbb {K}$-álgebra de ${\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )$).

#### Definição 1.16

Dado um conjunto $X\not =\emptyset$ e $E\subset X,$ a função característica de $\mathbf {E}$ é a função $X_{E}:X\mapsto \{0,1\}$ definida por
$X_{E}(x)={\begin{cases}1,&{\text{ se }}x\in E\\0,&{\text{ se }}x\in E_{X}^{c}\end{cases}}$
Obs. 1.17: Note que o domínio da função característica de $E\subset X$ é $X,$ e não $E.$
O próximo resultado mostra que um conjunto é mensurável se, e somente se, a sua função característica for mensurável (se vista como uma função que toma valores em $\mathbb {R} ).$ Por simplicidade, a função ${\overline {X_{E}}}:X\mapsto \mathbb {R}$ definida por ${\overline {X_{E}}}(x)=X_{E}(x)$ em cada elemento de $X$ também será denotada pelo símbolo $X_{E},$ ficando implícito que o contradomínio é o conjunto dos números reais ao se falar sobre a sua mensurabilidade. Além disso, como já foi dito, se não for feita indicação em contrário será considerada a topologia usual de $\mathbb {R} .$

#### Proposição 1.18

Dado um espaço mensurável $X$ e $E\subset X,$ as seguintes afirmações são equivalentes
* $E$ é mensurável;
* $X_{E}$ é uma função mensurável;

#### Proposição 1.19

Dado um espaço mensurável $X$ e uma função mensurável $f:X\mapsto \mathbb {C} ,$ existe uma função mensurável $\alpha :X\mapsto \mathbb {C}$ tal que $|\alpha (x)|=1$ para todo $x\in X$ e $f=\alpha |f|.$
A seguir, é demonstrado um a interseção de uma família de $\sigma$-álgebras é ainda uma $\sigma$-álgebra.

#### Lema 1.20

Se $X$ é um conjunto não-vazio e $(M_{i})_{i\in I}$ é uma família de $\sigma$-álgebras sobre $X,$ então $M:=\cap _{i\in I}M_{i}$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $X.$

#### Proposição 1.21

Se $X$ é um conjunto não-vazio e $F$ é um de seus subconjuntos, então existe a menor $\sigma$-álgebra sobre $X$ que contém $F.$

#### Definição 1.22

A menor $\sigma$-álgebra sobre $X$ que contém $F$ é chamada de ${\boldsymbol {\sigma }}$-álgebra gerada por $\mathbf {F}$ e denotada por ${\boldsymbol {\langle F\rangle }}.$

## Exercícios
### Exercício

Demonstre que se obtém uma definição de $\sigma$-álgebra equivalente a que foi dada se for trocada a propriedade 3 por 3', ou seja, se for exigido que a interseção enumerável de mensuráveis seja mensurável (em vez da união enumerável).

### Exercício

Mostre que a interseção finita $\bigcap _{1\leq \lambda \leq p}X_{\lambda }$ e a união finita $\bigcup _{1\leq \lambda \leq p}X_{\lambda }$ são mensuráveis sempre que os conjuntos $X_{1},\ldots ,X_{p}$ forem mensuráveis.

### Exercício

Dado um conjunto $X$ arbitrário, verifique se os seguintes conjuntos são $\sigma$-álgebras sobre $X$:
* ${\mathfrak {M}}=\left\{\emptyset ,X\right\}$
* ${\mathfrak {M}}={\mathcal {P}}(X)$

### Exercício

Se $X$ é um conjunto infinito, é verdade que ${\mathfrak {M}}={\mathcal {P}}_{f}(X)$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $X$?

### Exercício

Seja $X$ é um conjunto arbitrário e $S\subset X.$ Demonstre que ${\mathfrak {M}}=\left\{A\in {\mathcal {P}}(X):A\cap S=\emptyset {\text{ ou }}S\subset A\right\}$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $X$ e que $\left\{S,S_{X}^{c}\right\}\subset {\mathfrak {}M).$

## Notas

* ↑ Ver propriedades 1 e 2 da Definição 1.1
* ↑ Como $B\in {\mathfrak {M}},$ a propriedade 2 da Definição 1.1 garante que $X\smallsetminus B\in {\mathfrak {M}}$ e, pela observação anterior, a interseção desta diferença com $A$ está em ${\mathfrak {M}}.$
* 1 2 3 4 5 A rigor, um espaço topológico é um par $\left(X,\tau \right),$ onde $\tau$ é uma topologia para o conjunto $X.$ Para mais detalhes, consulte um dos livros citados nas referências do wikilivro Topologia, por exemplo General topology, de John L. Kelley, página 37.
* 1 2 3 4 5 6 7 Note que está sendo cometido um abuso de linguagem: a rigor, um espaço mensurável é na verdade um par $\left(X,{\mathfrak {M}}\right)$ e não apenas um conjunto $X.$ No entanto, conforme foi mencionado na Observação 1.9, é costume não explicitar a $\sigma$-álgebra ${\mathfrak {M}},$ principalmente quando esta puder ser deduzida pelo contexto.
* ↑ Na Obs. 1.3 se justifica porque o conjunto vazio é mensurável.
* ↑ Note que qualquer outro conjunto aberto com esta propriedade também serve.
* ↑ Está sendo suposto que a família é não-vazia, ou seja, que o seu conjunto de índices não é vazio.

## Referências

* ↑ Conforme introdução do livro "The Elements of Integration and Lebesgue Measure", escrito por Bartle. Ver também a seção History, do artigo sobre integrais na Wikipédia inglesa.
* ↑ Ver na Wikiversidade a ementa da disciplina "Introdução ao Cálculo".
* ↑ Este teorema da análise é explicado em detalhes no capítulo sobre Convergência uniforme do wikilivro de Análise real.
* ↑ Lebesgue (1902)
* ↑ Para maiores detalhes, pode ser consultado o wikilivro intitulado "Topologia", ou alguma de suas referências.
* ↑ Alguns autores definem a mensurabilidade de funções a partir de outra propriedade (que será apresentada na Proposição 2.29). Veja, por exemplo, Isnard (2007), pág. 57.
* ↑ Isnard (2007) apresenta uma versão deste resultado, com $Y$ e $Z$ sendo espaços vetoriais normados, no exercício 13 da página 109.
* 1 2 3 Conforme K. D. Joshi em seu livro Introduction to General Topology, a topologia usual de $\mathbb {R}$ é aquela induzida pela métrica euclidiana.

# A reta real estendida

No estudo da teoria da medida, é comum lidar com sequências e séries de funções. Como se sabe da análise real, algumas vezes os termos de uma sequência assumem valores arbitrariamente grandes e este é um dos casos em que se diz que a sequência não converge. Entretanto, em certos contextos é extremamente útil considerar este tipo de sequência como sendo convergente, pois os seus termos "tendem a infinito" ou se "aproximam do infinito". O problema é que o "infinito" não faz parte do conjunto dos números reais, então para que esta noção possa ter um sentido mais preciso, costuma-se definir um novo conjunto a partir dos números reais e dos elementos $-\infty$ e $+\infty ,$ de modo que este seja uma extensão da reta real:

## Definição 2.23

A reta real estendida ${\overline {\mathbb {R} }}$ é o conjunto $\mathbb {R} \cup \{-\infty \}\cup \{+\infty \}.$
* Obs. 2.24: Por simplicidade, também poderá ser usada a notação $\infty$ para o elemento $+\infty$ de ${\overline {\mathbb {R} }}.$ A reta real estendida também costuma ser denotada por $\left[-\infty ,\infty \right].$
Em capítulos posteriores será considerado frequentemente o subconjunto ${\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ da reta real estendida definido por
${\overline {\mathbb {R} }}_{+}:=\left[0,\infty \right]=\mathbb {R} _{+}\cup \{\infty \}$.
Há outros motivos importantes para se considerar o $\infty$ ao longo da teoria da medida, por exemplo:
* É de interesse poder integrar funções sobre conjuntos que tenham "medida infinita": perceba que $\mathbb {R}$ tem, intuitivamente, comprimento infinito;
* Mesmo quando se pretende fazer a integração de funções que tomam valores reais, pode ocorrer que ao considerar uma sequência de funções $f_{n}:X\mapsto \mathbb {R} _{+},$ o valor de $\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ ou de $\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)$ seja infinito em alguns pontos $x\in X.$ Em tais situações, caso não se trabalhe com o $\infty$, se perde uma parte da elegância e simplicidade dos principais resultados sobre convergência (por exemplo, o teorema da convergência monótona e a "integração termo a termo" de séries de funções). Torna-se então mais conveniente a introdução do símbolo $\infty$ e de algumas convenções para se fazer cálculos envolvendo este símbolo.
Na próxima seção serão definidas algumas estruturas que facilitam o uso de ${\overline {\mathbb {R} }}:$ uma relação de ordem, uma topologia e também uma aritmética.

## Ordem, topologia e aritmética na reta real estendida

A retal real estendida se torna um conjunto totalmente ordenado definindo $-\infty \leq a\leq +\infty$ para todo número real $a$. Analogamente, a ordem sobre ${\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ é induzida ordem de ${\overline {\mathbb {R} }},$ ou seja, para cada $a\in \mathbb {R} _{+}$ se tem $0\leq a<\infty .$
Com esta ordem, se $\emptyset \not =X\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ e $X$ não é limitado superiormente, isto é, se para todo $y\in \mathbb {R}$ existe algum $x\in X$ tal que $x>y,$ então $\sup X=\infty .$ Analogamente, se $X$ não é limitado inferiormente, então $\inf X=-\infty .$ Deste modo, todo subconjunto não vazio de ${\overline {\mathbb {R} }}$ (e, em particular, de $\mathbb {R}$) tem supremo e ínfimo em ${\overline {\mathbb {R} }},$ o que faz da reta real estendida um reticulado completo. Este é um dos principais motivos para a introdução dos símbolos $-\infty$ e $+\infty .$
A partir desta relação de ordem, defini-se a topologia da ordem sobre ${\overline {\mathbb {R} }}.$ Os intervalos abertos são os subconjuntos de ${\overline {\mathbb {R} }}$ que podem ser escritos em uma das seguintes formas:
* $(a,b):=\{x\in \mathbb {R} :a\in \mathbb {R} ,b\in \mathbb {R} {\text{ e }}a<x<b\}$
* $[-\infty ,a):=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}:a\in \mathbb {R} {\text{ e }}-\infty \leq x<a\}$
* $(a,+\infty ]:=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}:a\in \mathbb {R} {\text{ e }}a<x\leq +\infty \}$
Deste modo, um conjunto $U\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ é aberto se for uma reunião de intervalos dos tipos acima (pois eles formam uma base de abertos para ${\overline {\mathbb {R} }}$).
Com esta topologia, as noções de limite envolvendo o infinito podem ser definidas de forma unificada a partir da definição topológica de limite.
Observe que ao fazer a interseção de $\mathbb {R}$ com intervalos abertos de ${\overline {\mathbb {R} }}$ se obtém um intervalo aberto de $\mathbb {R} ,$ ou seja, um conjunto da forma $(a,b),$ $(-\infty ,a)$ ou $(a,+\infty ).$ Levando em conta que estes intervalos formam uma base de abertos para a topologia usual de $\mathbb {R} ,$ segue que tal topologia é induzida pela que se definiu sobre ${\overline {\mathbb {R} }}$ anteriormente e que a inclusão $x\in \mathbb {R} \mapsto x\in {\overline {\mathbb {R} }}$ é contínua. Do mesmo modo, a topologia usual sobre ${\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ é a induzida pela topologia usual de ${\overline {\mathbb {R} }}.$
As operações aritméticas de $\mathbb {R}$ podem ser parcialmente estendidas para ${\overline {\mathbb {R} }}$ da seguinte maneira:
    ${\begin{aligned}a+\infty =+\infty +a&=+\infty ,&a&\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a&=-\infty ,&a&\neq +\infty \\a\cdot \pm \infty =\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot \pm \infty =\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\a\cdot +\infty =+\infty \cdot a&=0,&a&=0\end{aligned}}$
Aqui, $a+\infty$ significa tanto $a+(+\infty )$ quanto $a-(-\infty )$ e $a-\infty$ significa tanto $a-(+\infty )$ quanto $a+(-\infty ).$
Também será convencionado que $|\pm \infty |=+\infty .$
Quando se restringe as operações apenas ao conjunto ${\overline {\mathbb {R} }}_{+},$ vale:
    $a+\infty =\infty +a=\infty ,a\in {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$
    $a\cdot \infty =\infty \cdot a={\begin{cases}\infty ,&{\mbox{se }}a\in (0,+\infty ]\\0,&{\mbox{se }}a=0\end{cases}}$
Por mais estranho que possa parecer a definição de $0\cdot \infty$ (ou $\infty \cdot 0$) como sendo $0,$ verifica-se facilmente que, com esta escolha, em ${\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ continuam valendo as propriedades comutativa, associativa e distributiva, sem qualquer restrição. Vale ressaltar, no entanto, que as "leis de cancelamento" devem ser usadas com cuidado, pois:
* $a+b=a+c\Rightarrow b=c,$ apenas no caso em que $a<\infty$
* $ab=ac\Rightarrow b=c,$ somente quando se tem $0<a<\infty$
As expressões $1/0,$ $\infty -\infty$ e $\pm \infty /\pm \infty$ (chamadas de "formas indeterminadas") serão deixadas indefinidas, como é de costume em outros textos da área. As regras acima podem ser intuídas a partir das propriedades usuais de limites que tomam valores infinitos, presentes nos textos de cálculo.
Com as definições dadas, ${\overline {\mathbb {R} }}$ não é um corpo nem mesmo um anel. Apesar disto, ele ainda possui diversas propriedades bastante convenientes:
* $a+(b+c)$ e $(a+b)+c$ ou são iguais ou são ambos indefinidos.
* $a+b$ e $b+a$ ou são iguais ou são ambos indefinidos.
* $a\times (b\times c)$ e $(a\times b)\times c$ ou são iguais ou são ambos indefinidos.
* $a\times b$ e $b\times a$ ou são iguais ou são ambos indefinidos
* $a\times (b+c)$ e $(a\times b)+(a\times c)$ são iguais se ambos estiverem definidos.
* Se $a=b$ e se tanto $a+c$ quanto $b+c$ estiverem definidos, então $a+c=b+c$.
* Se $a=b$ e $c>0$ e tanto $a\times c$ quanto $b\times c$ estiverem definidos, então $a\times c=b\times c$.
Em geral, todas as regras usuais de aritmética continuam válidas em ${\overline {\mathbb {R} }},$ desde que todas as expressões envolvidas estejam definidas.
Na próxima seção será considerado uma $\sigma$-álgebra que pode ser definida de modo muito natural a partir da topologia de um conjunto: Se $(X,{\mathcal {C}})$ é um espaço topológico, tem-se em particular que ${\mathcal {C}}\subset {\mathcal {P}}(X).$ Neste caso, conforme se demonstrou na Proposição 1.21 existe a menor $\sigma$-álgebra sobre $X$ que contém ${\mathcal {C}},$ que é $\langle {\mathcal {C}}\rangle .$ Isto motiva a próxima definição.

## Conjuntos de Borel
### Definição 2.25

Seja $(X,{\mathcal {C}})$ um espaço topológico. A $\sigma$-álgebra ${\mathcal {B}}_{X}:=\langle {\mathcal {C}}\rangle$ gerada pela topologia ${\mathcal {C}}$ é denominada ${\boldsymbol {\sigma }}$-álgebra de Borel. Qualquer elemento desta $\sigma$-álgebra é chamado de conjunto de Borel de ${\boldsymbol {(X,{\mathcal {C}})}}$ ou boreliano de ${\boldsymbol {(X,{\mathcal {C}})}}.$
* Obs. 2.26: Quando a topologia estiver subentendida, será dito simplesmente "conjunto de Borel de $X$" ou "boreliano de $X$". Se não houver risco de confusão, pode-se denotar a $\sigma$-álgebra ${\mathcal {B}}_{X}$ simplesmente por ${\mathcal {B}}.$
* Obs. 2.27: Considerando que os abertos da topologia são mensuráveis, os seus complementares são também mensuráveis pela propriedade 2 da definição de $\sigma$-álgebra. Consequentemente, as reuniões eumeráveis de conjuntos fechados também são mensuráveis, conforme a propriedade 3 da mesma definição. Além disso, da observação 1.4 segue que as interseções enumeraveis de abertos também são elementos da ${\boldsymbol {\sigma }}$-álgebra de Borel.
Conforme se aprende em topologia, se $(X,{\mathcal {C}})$ e $(Y,{\mathcal {C}}')$ são espaços topológicos, e $f:X\mapsto Y$ é uma função contínua, então a pré-imagem $f^{-1}(A)$ de qualquer aberto $A\in {\mathcal {C}}'$ é um aberto da topologia ${\mathcal {C}}.$ Neste caso, levando em conta que ${\mathcal {C}}\subset {\mathcal {B}}_{X},$ se conclui que $f^{-1}(A)\in {\mathcal {B}}_{X},$ para qualquer $A\in {\mathcal {C}}'.$ Isto significa que $f$ é mensurável em relação a ${\mathcal {B}}_{X}$ e ${\mathcal {C}}'.$ Estas funções mensuráveis recebem os nomes específicos, conforme a próxima definição.

### Definição 2.28

Sejam $(X,{\mathcal {C}})$ e $(Y,{\mathcal {C}}')$ espaços topológicos. Uma função Borel mensurável é qualquer função contínua $f:X\mapsto Y.$ Se $Y=\mathbb {K} ,$ tais funções são denominadas funções de Borel ou ainda aplicações de Borel.

### Proposição 2.29

Seja $(X,{\mathfrak {M}})$ um espaço mensurável. Se $(Y,{\mathcal {C}})$ é um espaço topológico e $f:X\mapsto Y$ é uma função entre estes espaços, então:
* $M_{f}:=\{E\in {\mathcal {P}}(Y)|f^{-1}(E)\in {\mathfrak {M}}\}$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $Y;$
* Se $f$ é mensurável (em relação a ${\mathfrak {M}}$ e ${\mathcal {C}}$) então ${\mathcal {B}}_{Y}\subset M_{f}$ e $f^{-1}\in {\mathfrak {M}},$ para qualquer que seja $E\in {\mathcal {B}}_{Y};$
* Se $Y={\overline {\mathbb {R} }}$ e $f^{-1}((a,\infty ])\in {\mathfrak {M}}$ para todo $a\in \mathbb {R} ,$ então $f$ é mensurável.
A última propriedade da proposição anterior costuma ser usada para verificar se determinada função que toma valores reais é ou não mensurável.
A próxima definição apresenta alguns conceitos relacionados a ideia de limite: os limites de oscilação. Sua importância será notada no decorrer do estudo de sequências, tanto numéricas quanto de funções.

### Definição 2.30

Seja $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ uma sequência em ${\overline {\mathbb {R} }},$ o limite inferior de ${\boldsymbol {(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}}$ é o elemento de ${\overline {\mathbb {R} }}$ dado por
    $\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup _{n\in \mathbb {N} }\,\inf _{m\geq n}x_{m}=\sup\{\,\inf\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\in \mathbb {N} \,\}$
Analogamente, o limite superior de ${\boldsymbol {(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}}$ é o elemento de ${\overline {\mathbb {R} }}$ dado por
    $\limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf _{n\in \mathbb {N} }\,\sup _{m\geq n}x_{m}=\inf\{\,\sup\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\in \mathbb {N} \,\}$

### Proposição 2.31

Uma sequência $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ de ${\overline {\mathbb {R} }}$ é convergente se, e somente se,
$\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$
A seguir serão definidas algumas operações que se costuma fazer com funções com imagem na reta real estendida. A essência de tais operações é "tomar um limite em cada ponto do domínio da função". A definição 2.31 formaliza esta ideia:

### Definição 2.33

Seja $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ uma sequência de funções definidas em um subconjunto $X$ de ${\overline {\mathbb {R} }}.$ Definem-se as funções $\inf f_{n},$ $\sup f_{n},$ $\liminf f_{n}$ e $\limsup f_{n},$ de $X$ em ${\overline {\mathbb {R} }}$ através das fórmulas:
$(\inf f_{n})(x):=\inf _{n\in \mathbb {N} }\{f_{n}(x)\}$
$(\sup f_{n})(x):=\sup _{n\in \mathbb {N} }\{f_{n}(x)\}$
$(\liminf f_{n})(x):=\liminf _{n\in \mathbb {N} }\{f_{n}(x)\}$
$(\limsup f_{n})(x):=\limsup _{n\in \mathbb {N} }\{f_{n}(x)\}$
Além disso, se em cada $x\in X$ existe $\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x),$ define-se $\lim f_{n},$ o limite pontual da sequência $f_{n}$ no ponto $x,$ como sendo:
$(\lim f_{n})(x):=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$

### Proposição 2.39

Seja $(X,{\mathfrak {M}})$ um espaço mensurável e considere para cada $n\in \mathbb {N}$ uma função $f_{n}:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}.$ Se $f_{n}$ é mensurável, para todo $n\in \mathbb {N} ,$ então as funções $\inf f_{n},$ $\sup f_{n},$ $\liminf f_{n}$ e $\limsup f_{n}$ são mensuráveis.

### Corolário 2.40

Seja $(X,{\mathfrak {M}})$ um espaço mensurável e considere para cada $n\in \mathbb {N}$ uma função mensurável $f_{n}:X\mapsto \mathbb {C} .$ Se $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge pontualmente para $f,$ então $f$ é mensurável.

### Corolário 2.41

Seja $(X,{\mathfrak {M}})$ um espaço mensurável. Se $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ e $g:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ são mensuráveis então as funções $\min\{f,g\}$ e $\max\{f,g\}$ são mensuráveis.
No desenvolvimento da teoria de integração, será importante considerar os seguintes tipos particulares de funções da forma $\min\{f,g\}$ e $\max\{f,g\}:$

### Definição 2.42

Seja $X$ um conjunto, $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ uma função e $0:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ a função nula. A parte positiva de $f$ é a função definida por
$f^{+}:=\max\{f,0\}$
Analogamente a parte negativa de $f$ é a função definida por
$f^{-}:=-\min\{f,0\}=\max\{-f,0\}$

### Lema 2.45

Seja $X$ um conjunto, $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ uma função e $0:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ a função nula. Então:
* $f^{+}\geq 0$
* $f^{-}\geq 0$
* $|f|=f^{+}+f^{-}$
* $f=f^{+}-f^{-}$
* Se $X$ é um espaço mensurável e $f$ é mensurável, então $f^{+},$ $f^{-},$ e $|f|$ são mensuráveis;
* Se $X$ é um espaço mensurável e tanto $f^{+}$ quanto $f^{-}$ são mensuráveis, então $f$ e $|f|$ são mensuráveis;
* Se $f=g-h,$ com $g\geq 0$ e $h\geq 0$ então $f^{+}\leq g$ e $f^{-}\leq h.$
Obs. 2.46: O último item do Lema 2.45 pode ser interpretado da seguinte maneira: $f^{+}$ e $f^{-}$ são as menores funções não-negativas cuja diferença é $f.$ Neste sentido, pode-se dizer que a representação $f=f^{+}-f^{-}$ é mínima.

## Notas

* ↑ Lembre-se que em $\mathbb {R}$ só os conjuntos limitados possuem esta propriedade
* ↑ Note que aqui é usada a convenção $|\pm \infty |=+\infty .$

## Referências

* ↑ Ver também: Isnard (2007), pág. 60.
* ↑ Conforme Isnard (2007), pág. 61, Corolário 5.7.
* ↑ Ver também Isnard (2007), pág. 116.
* ↑ Compare a Definição 1.9 com a definição de Isnard (2007), pág. 57.
* ↑ No livro de Isnard (2007), este teorema corresponde às proposições 5.6 (pág. 61) e 5.10 (i) (pág. 63).
* ↑ No livro de Isnard (2007), este corolário corresponde ao item (ii) da proposição 5.10 (pág. 63).
* ↑ No livro de Isnard (2007), este corolário aparece como caso particular do item (ii) na proposição 5.6 (pág. 61).
* ↑ No livro de Isnard (2007), este item corresponde ao corolário 5.7 (pág. 61).

# Funções simples e a topologia da reta estendida

Em linhas gerais, uma função simples é uma função que assume uma quantidade finita de valores. No contexto da teoria abordada neste livro, a definição de função simples incluirá algumas restrições adicionais, de modo que este nome possa ser usado apenas para se referir ao tipo de específico de função simples que é relevante para a integração.

## Definição 3.1

Seja $(X,{\mathfrak {M}})$ um espaço mensurável. Uma função simples sobre $X$ é qualquer função $\sigma :X\mapsto \mathbb {R} _{+}=[0,+\infty )$ tal que $Im(\sigma )$ é um conjunto finito.

## Exemplo

A função $f:\mathbb {R} ^{*}\mapsto \mathbb {R} _{+}$ definida por $f(x)={\frac {x}{|x|}}$ é uma função simples. De fato, tem-se
$f(x)={\begin{cases}-1,&{\mbox{se }}x<0\\1,&{\mbox{se }}x>0\end{cases}}$
Isto significa que $f\left(\mathbb {R} ^{*}\right)=\{-1,1\},$ que é finito. Observe ainda que $f(x)=-X_{(-\infty ,0)}+X_{(0,+\infty )}.$
Em geral, se $Im(\sigma )=\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$ e se definem os conjuntos $A_{i}=\sigma ^{-1}(\alpha _{i}),$ para cada $i$ de $1$ a $n,$ resulta que $\sigma =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}X_{A_{i}}.$ Note que $(A_{i})_{1\leq i\leq n}$ é uma partição finita de $X.$
Por outro lado, sempre que se tem uma partição $(A_{i})_{1\leq i\leq n}$ finita de $X$ e uma sequência finita $(\alpha _{i})_{1\leq i\leq n}$ de elementos em $\mathbb {R} _{+},$ de modo que $\alpha _{i}\not =\alpha _{j}$ quando $i\not =j,$ a equação $\sigma =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}X_{A_{i}}$ define uma função simples. É comum se referir ao segundo membro daquela equação como sendo a representação canônica de $\sigma .$

### Lema 3.2

Seja $(X,{\mathfrak {M}})$ um espaço mensurável e $\sigma :X\mapsto \mathbb {R} _{+}=[0,+\infty )$ a função simples sobre $X$ dada por
$\sigma =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}X_{A_{i}}.$
$\sigma$
$A_{i}$
$1\leq i\leq n.$

### Teorema 3.4

Seja $(X,{\mathfrak {M}})$ um espaço mensurável. Se $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ e $0:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ é a função nula, então existe uma sequência $(\sigma _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ de funções simples, mensuráveis em $X$ de modo que:
* $0\leq \sigma _{n}\leq \sigma _{n+1}\leq f$ para todo $n\in \mathbb {N} ;$
* $\lim _{n\rightarrow \infty }\sigma _{n}(x)=f(x)$ em todo ponto $x\in X.$
Obs. 3.5: No caso em que $f$ é uma função limitada, ou seja, quando existe uma constante $M$ para a qual $f(x)<M$ em todo ponto $x\in X,$ pode-se tomar $p_{x}=M$ na prova acima. Nesta situação, a conclusão é que a sequência $\{\sigma _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ converge uniformemente para $f.$
Com relação as sequências cujos termos estão em ${\overline {\mathbb {R} }}_{+},$ tem-se a seguinte propriedade: Se $(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ e $(b_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ são sequências não decrescentes em ${\overline {\mathbb {R} }}_{+},$ ou seja, $0\leq a_{i}\leq a_{i+1}\leq \infty$ e $0\leq b_{i}\leq b_{i+1}\leq \infty$ para todo $i\in \mathbb {N} ,$ e existem os limites $a=\lim _{i\rightarrow \infty }a_{i}$ e $b=\lim _{i\rightarrow \infty }b_{i},$ então $\lim _{i\rightarrow \infty }a_{i}b_{i}=ab$
Esta propriedade, juntamente com a Proposição 2.39 e o Teorema 3.4, implicam que se

### Proposição 3.6

Se $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ e $g:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ são funções mensuráveis, então $f+g$ e $fg$ também são mensuráveis.

## Referências
# Medida
## Definição 4.1

* Seja ${\mathfrak {M}}$ uma $\sigma$-álgebra sobre um conjunto $X.$ Uma medida positiva sobre ${\mathfrak {M}}$ é uma função $\mu :{\mathfrak {M}}\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ satisfazendo a seguinte propriedade:
** Dada uma sequência $\left(A_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ de elementos de ${\mathfrak {M}},$ cujos termos são dois a dois disjuntos, vale $\textstyle \mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }^{\infty }\mu (A_{i});$
** Existe algum conjunto $A\in {\mathfrak {M}}$ para o qual $\mu (A)<\infty .$
* Um espaço com medida ou espaço de medida é uma terna ordenada $(X,{\mathfrak {M}},\mu ),$ em que ${\mathfrak {M}}$ é uma $\sigma$-álgebra sobre o conjunto $X$ (ou seja, $(X,{\mathfrak {M}})$ é um espaço mensurável) e $\mu$ é uma medida positiva sobre ${\mathfrak {M}}.$
* Uma medida complexa limitada é uma função $\mu :{\mathfrak {M}}\mapsto \mathbb {C}$ para a qual $\textstyle \mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }^{\infty }\mu (A_{i}),$ para toda sequência disjunta $\left(A_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ de elementos de ${\mathfrak {M}}.$
* Obs. 4.2: Apesar de serem chamadas de "positivas" as medidas abordadas neste capítulo tomam valores "não negativos". Neste sentido, talvez fosse preferível a terminologia "medida não negativa", em vez da adotada neste texto. No entanto, o uso da expressão mais simples não deve gerar confusão.
* Obs. 4.3: A exigência de que algum elemento da $\sigma$-álgebra tenha medida finita é apenas para evitar trivialidades, como a "medida" que toma o valor infinito em todos os elementos de ${\mathfrak {M}}.$
* Obs. 4.4: Uma vez que este capítulo irá abordar essencialmente as medidas positivas, elas serão chamadas simplesmente de "medidas" quando isto não causar confusão.

## Proposição 4.5

Se $\mu$ é uma medida positiva sobre uma $\sigma$-álgebra ${\mathfrak {M}},$ então:
* $\mu (\emptyset )=0;$
* Se $\left(A_{i}\right)_{1\leq i\leq n}$ é uma sequência disjunta finita cujos termos estão em ${\mathfrak {M}},$ então $\textstyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i});$
* Se $A$ e $B$ estão em ${\mathfrak {M}}$ e $A\subset B,$ então $\mu (A)\leq \mu (B)$ e $\mu (A\cup B)\leq \mu (A)+\mu (B).$ Se, além disso, $\mu (A)<\infty ,$ então $\mu (B\smallsetminus A)=\mu (B)-\mu (A);$
* Se $\left(A_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ é uma sequência cujos termos estão em ${\mathfrak {M}}$ e verificam $A_{i}\subset A_{i+1},$ para todo $n\in \mathbb {N} ,$ então $\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A_{n})=\mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right);$
* Se $\left(A_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ é uma sequência cujos termos estão em ${\mathfrak {M}}$ e verificam $A_{i}\supset A_{i+1},$ para todo $n\in \mathbb {N}$ e $\mu (A_{0})<\infty ,$ então $\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A_{n})=\mu \left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right).$
* Obs. 4.6: Com exceção do terceiro item desta proposição, as demais propriedades continuam valendo no caso das medidas complexas finitas, pois a prova é idêntica.
Antes de passar aos exemplos mais interessantes de medidas, pode-se apresentar alguns tipos bem simples, conforme os próximos exemplos mostram. A medida de Lebesgue sobre $\mathbb {R} ^{n}$ possui uma construção mais elaborada, e por isso será introduzida em um capítulo posterior.

## Exemplos
### Medida da contagem

    Dado um conjunto arbitrário $X,$ pode-se definir uma medida $\mu :{\mathcal {P}}(X)\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ da seguinte maneira:
$\mu (E)={\begin{cases}\infty ,&{\text{se }}E{\text{ tem infinitos elementos}}\\n,&{\text{se }}E{\text{ tem }}n{\text{ elementos}}\end{cases}}$
A verificação de que esta função é realmente uma medida fica a cargo do leitor. Sinta-se convidado a melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

### Medida de Dirac em $x_{0}$

    Dado um conjunto arbitrário $X$ e um ponto qualquer $x_{0}\in X,$ define-se $\delta _{x_{0}}:{\mathcal {P}}(X)\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ como
$\delta _{x_{0}}(E)={\begin{cases}1,&{\text{se }}x_{0}\in E\\0,&{\text{se }}x_{0}\not \in E\end{cases}}$
A verificação de que esta função é realmente uma medida fica a cargo do leitor. Sinta-se convidado a melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.
Esta medida também é conhecida popularmente pelo nome de "medida da massa unitária concentrada em $x_{0}$".

### Generalização

    Os exemplos anteriores são casos particulares de um tipo mais geral de medida. Para perceber isto, é preciso considerar um tipo de "soma" que envolve famílias não enumeráveis de números reais não negativos. Considere um conjunto $X$ e uma função $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}.$ Defina
$\sum _{x\in X}f(x):=\sup \left\{\sum _{x\in F}f(x):F\subset X{\text{ e }}|F|<\infty \right\}$
Posteriormente será visto que esta soma é a "integral de $f$" em relação a medida da contagem sobre $X.$ Agora que foi estabelecida uma notação para este tipo de soma, observe que a função $f$ determina uma medida positiva sobre a $\sigma$-álgebra ${\mathcal {C}},$ da seguinte maneira:
$\mu _{f}(E):=\sum _{x\in E}f(x)$
Com as notações anteriores, tem-se a medida da contagem sobre $X$ quando $f$ é a função constante igual a $1.$
Analogamente, a medida de Dirac em $x_{0}$ é obtida quando existe algum $x_{0}\in X$ tal que
$f(x)={\begin{cases}1,&{\text{se }}x=x_{0}\\0,&{\text{se }}x\not =x_{0}\end{cases}}.$

### Contra-exemplo

    No último item da Proposição 4.5, é realmente necessário que se verifique a hipótese $\mu (A_{0})<\infty ,$ caso contrário não se tem garantia sobre qualquer relação entre $\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A_{n})$ e $\textstyle \mu \left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right).$ Por exemplo, se $\mu$ é a medida da contagem sobre $X=\mathbb {N}$ e se define para cada $n\in \mathbb {N}$ o conjunto $A_{n}=\{p\in \mathbb {N} :p\geq n\},$ então obviamente $A_{n}\supset A_{n+1},$ para todo $n\in \mathbb {N}$ e $\textstyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\emptyset .$ No entanto, $\mu (A_{n})=\infty ,$ para todo $n\in \mathbb {N}$ e, em particular, $\mu (A_{0})=\infty .$ Neste caso,
$\mu \left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\mu (\emptyset )=0<\infty =\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A_{n}).$

## Sobre a as notações e a terminologia

Na definição Definição 4.1, caracterizou-se um "espaço de medida" como sendo uma terna ordenada $(X,{\mathfrak {M}},\mu ),$ em que $X$ é um conjunto, ${\mathfrak {M}}$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $X$ e $\mu$ é uma medida positiva sobre ${\mathfrak {M}}.$ Analogamente, na definição de "espaço mensurável", é explicitado um par ordenado $(X,{\mathfrak {M}}),$ no qual $X$ é um conjunto e ${\mathfrak {M}}$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $X.$ A presença de todo este formalismo é geralmente vantajosa, e por vezes necessária, principalmente ao se definir os novos conceitos. No entanto, tal formalismo é de certo modo dispensável: Ao definir um espaço de medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu ),$ é considerada a função $\mu .$ Como toda função tem um domínio, e no caso de $\mu ,$ o domínio é uma $\sigma$-álgebra, basta conhecer a medida para saber quem é ${\mathfrak {M}}.$ Além disso, sabendo-se quem é ${\mathfrak {M}},$ se deduz qual é o conjunto $X,$ pois ele é simplesmente o maior conjunto que pertence a qualquer $\sigma$-álgebra sobre $X.$
Sendo assim, é aceitável usar expressões informais como, por exemplo, "seja $\mu$ uma medida". No caso de ser necessário dar alguma ênfase para a $\sigma$-álgebra ou para o conjunto $X,$ poderia ser dito "seja $\mu$ uma medida sobre ${\mathfrak {M}}$" ou "seja $\mu$ uma medida sobre X".
Em síntese, é de uso corrente nos livros da área expressões e notações simples, em vez de suas formulações "logicamente impecáveis", então o leitor não deve se espantar ao se deparar com frases do tipo "seja $X$ um espaço com medida", já que em tais situações ficará implícito que há alguma medida definida sobre alguma $\sigma$-álgebra sobre $X,$ conforme as observações anteriores sugerem.

## Ver também

* Counting measure: Artigo sobre a medida da contagem, na Wikipédia inglesa;
* Dirac measure: Artigo sobre a medida de Dirac, na Wikipédia inglesa;

## Notas

* ↑ Magalhães (2006), p. 199

# Integração de funções positivas

Ao longo deste capítulo estará fixado um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu ).$

## Definição 5.1

Considere uma função simples $\sigma$ mensurável sobre $X$, cuja forma canônica é dada por:
$\sigma =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}X_{A_{i}},$
ou seja,
* $Im(\sigma )=\{\alpha _{i}:1\leq i\leq n\}$ tem $n$ elementos;
* $\left(A_{i}\right)_{1\leq i\leq n}$ é uma partição de $X$; e
* Para cada $1\leq i\leq n,$ tem-se $A_{i}=\sigma ^{-1}(\alpha _{i}).$
Nestas condições, define-se para cada $E\in {\mathfrak {M}}$ a integral de ${\boldsymbol {\sigma }}$ sobre $\mathbf {E}$ em relação à medida ${\boldsymbol {\mu }}$ como sendo:
$\int \limits _{E}\sigma =\int \limits _{E}\sigma \,d\mu :=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\mu \left(E\cap A_{i}\right).$
* Obs. 5.2: Note como está sendo usada a convenção de que $0\cdot \infty =0:$ pode acontecer de existir algum índice $i$ para o qual $\alpha _{i}=0$ e $\mu (E\cap A_{i})=\infty$. A convenção foi feita de tal modo que ao colocar um coeficiente nulo em uma parcela, a medida do subconjunto de $X$ correspondente não interfira no valor final da integral.
* Obs. 5.3: Pode ser demonstrado que o fato da função simples estar ou não expressa em sua forma canônica não influi no valor produzido pela fórmula 5.1.1.

## Exercício

    Justifique a afirmação feita na Observação 5.3.
Pelo Teorema 3.4, toda função $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ pode ser aproximada por uma sequência não-decrescente de funções simples. Isto motiva a próxima definição, na qual é apresentada a noção de integral para um certo tipo de funções que não são simples.

## Definição 5.4

Se $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ é uma função mensurável, define-se para cada $E\in {\mathfrak {M}}$ a integral de Lebesgue de ${\boldsymbol {f}}$ sobre $\mathbf {E}$ em relação à medida ${\boldsymbol {\mu }}$ como sendo o elemento de ${\overline {\mathbb {R} }}_{+}=[0,\infty ]$ dado por:
$\int \limits _{E}f=\int \limits _{E}f\,d\mu :=\sup _{\sigma \in S(f)}\int \limits _{E}\sigma \,d\mu ,$
onde $S(f):=\{\sigma |\sigma$ é função simples, mensurável sobre $X$ e tal que $\sigma \leq f\$
$\int \limits _{E}f<\infty ,$
$\int \limits _{X}f<\infty ,$
* Obs. 5.5: Note que se uma função mensurável $f$ é simples, a fórmula 5.4.1 da Definição 5.4 fornece para a integral $\int \limits _{E}f\,d\mu$ uma expressão que, a primeira vista, não tem motivo para coincidir com aquela da fórmula 5.1.1 presente na Definição 5.1. No entanto, pode-se verificar que elas de fato fornecem o mesmo valor.

## Exercício

    Justifique a afirmação feita na Observação 5.5.

## Lema 5.6

Dado um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ e uma partição finita $\left(G_{i}\right)_{1\leq i\leq p}$ de $X$ em conjuntos mensuráveis, considere a função simples mensurável $\sigma :X\mapsto \mathbb {R} _{+}$ definida por
$\sigma =\sum _{i=1}^{p}\gamma _{i}X_{G_{i}},$
onde, para cada $1\leq i\leq p,$ tem-se $\gamma _{i}\in \mathbb {R} _{+}.$ Então, para todo $E\in {\mathfrak {M}}$ vale:
$\int \limits _{E}\sigma \,d\mu =\sum _{i=1}^{p}\gamma _{i}\mu \left(E\cap G_{i}\right)=\sum _{a\in \mathbb {R} _{+}}\mu \left(E\cap \sigma ^{-1}(a)\right).$

## Lema 5.7

Dado um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ e as funções simples mensuráveis $\sigma$ e $\tau .$ Se $\sigma \leq \tau$, então para qualquer $E\in {\mathfrak {M}}$ tem-se:
$\int \limits _{E}\sigma \,d\mu \leq \int \limits _{E}\tau \,d\mu .$
* Obs. 5.8: Se $f:X\mapsto \mathbb {R} _{+}$ é mensurável, então a função $f_{1}:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ que em cada valor $x\in X$ é definida por $f_{1}(x)=f(x)$ também é mensurável. Deste modo, a Definição 5.4, que se aplica a função $f_{1},$ pode também ser aplicada à função $f.$

## Proposição 5.9

Seja $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ uma função mensurável. A integral definida anteriormente verifica as seguintes propriedades:
* Se $g:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ é mensurável e $f\leq g,$ então $\int \limits _{E}f\,d\mu \leq \int \limits _{E}g\,d\mu ;$
* Se $E,F\in {\mathfrak {M}}$ e $E\subset F,$ então $\int \limits _{E}f\,d\mu \leq \int \limits _{F}f\,d\mu ;$
* Se $k\in \mathbb {R} _{+},$ então $\int \limits _{E}kf\,d\mu =k\int \limits _{E}f\,d\mu ;$
* Se para todo $x\in E$ vale $f(x)=0,$ então $\int \limits _{E}f\,d\mu =0;$
* Se $\mu (E)=0,$ então $\int \limits _{E}f\,d\mu =0;$
* $\int \limits _{E}f\,d\mu =\int \limits _{E}X_{E}\cdot f\,d\mu .$
* Obs. 5.10: O último item desta proposição indica que mesmo se a integral tivesse sido definida apenas sobre o conjunto $X,$ ainda seria possível definir o valor da integral sobre subconjuntos mensuráveis de $X$ usando como definição a fórmula $\int \limits _{E}f\,d\mu :=\int \limits _{E}X_{E}\cdot f\,d\mu .$
* Obs. 5.11: É interessante notar que se $E\in {\mathfrak {M}},$ então é possível definir um espaço com medida sobre $E$ de forma muito natural: A coleção de partes de $E$ definida por ${\mathfrak {M}}|_{E}:=\{A\cap E|A\in {\mathfrak {M}}\}$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $E$ (isto fica como exercício para o leitor). Então a função $\mu _{E}:=\mu |_{\mathfrak {M}}$ é uma medida positiva sobre ${\mathfrak {M}}|_{E}$ e, consequentemente, $\left(E,{\mathfrak {M}},\mu _{E}\right)$ é um espaço com medida. Este fato serve para reforçar a ideia central da observação anterior: se é definida a integral sobre os espaços de medida, então é definida automaticamente a integral sobre cada parte mensurável de tais espaços.

## Corolário 5.12

Se $E$ é um conjunto mensurável, então:
* Para quaisquer funções mensuráveis $f,g:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ tais que $f(x)\leq g(x),$ tem-se $\int \limits _{E}f\,d\mu \leq \int \limits _{E}g\,d\mu ;$
* $\mu (E)=\int \limits _{E}\,d\mu =\int \limits _{X}X_{E}\,d\mu .$
* Obs. 5.13: Note que, ao contrário do que acontecia no item correspondente da Proposição 5.9, o primeiro item deste corolário exige apenas que a desigualdade seja válida nos pontos que pertemcem a $E.$
A essência do segundo item deste corolário é que a integral também serve para "medir conjuntos". Na verdade, isto continua válido mesmo que a função que está sendo integrada não seja $X_{E}:$ Conforme a próxima proposição, a integração de uma função simples sobre conjuntos que pertencem a uma $\sigma$-álgebra define uma medida.

## Proposição 5.14

Dada uma função simples $\sigma$ mensurável sobre $X$, se $\varphi :{\mathfrak {M}}\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ é a função que em cada $E\in {\mathfrak {M}}$ vale
$\varphi (E):=\int \limits _{E}\sigma \,d\mu ,$
$\varphi$
${\mathfrak {M}}.$
Outra propriedade que se poderia esperar da integração de funções simples é a somatividade:

## Proposição 5.15

Se $\sigma _{1}$ e $\sigma _{2}$ são funções simples mensuráveis sobre $X,$ então:
$\int \limits _{X}\left(\sigma _{1}+\sigma _{2}\right)=\int \limits _{X}\sigma _{1}\,d\mu +\int \limits _{X}\sigma _{2}\,d\mu .$

## Lema 5.16

Se a $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ é uma função mensurável e $\sigma :X\mapsto \mathbb {R} _{+}$ é uma função simples mensurável, então a função $f-\sigma :X\mapsto \mathbb {R} _{+}$ é mensurável.
* Obs. 5.17: Note que $Im(f-g)\subset \mathbb {R} \smallsetminus \{-\infty \}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}.$
* Obs. 5.18: O Corolário 1.14 e a observação 1.15 somente garantiam a validade deste resultado quando as imagens das funções envolvidas estavam contidas em $\mathbb {K} .$ É graças a este Lema 5.16 que será possível usar o mesmo resultado também quando a função $f$ assume o valor infinito. No entanto a demonstração é apenas uma adapatação daquela apresentada para a Proposição 1.11.
O próximo resultado é conhecido como Teorema da Convergência Monótona de Lebesgue e, além de ser um resultado importante sobre convergência, é um dos teoremas centrais de toda a teoria de Lebesgue.

## Teorema 5.19

Seja $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ um espaço com medida e, para cada $n\in \mathbb {N} ,$ seja $f_{n}:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ uma função mensurável. Se a sequência $\left(f_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ é não decrescente e, para cada $x\in X,$ existe o limite $\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x),$ então:
* A função $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ definida por $f(x)=\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ é mensurável;
* $\int \limits _{X}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{X}f_{n}\,d\mu .$
* Obs. 5.20: Note que no segundo item deste teorema, ambos os membros podem ser iguais a infinito.
Um resultado análogo sobre a integração de séries é apresentado no teorema seguir.

## Teorema 5.21

Seja $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ um espaço com medida e, para cada $n\in \mathbb {N} ,$ seja $f_{n}:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ uma função mensurável. Então:
* A função $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ definida por $f(x)=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ é mensurável;
* $\int \limits _{X}f\,d\mu =\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{X}f_{n}\,d\mu .$
O resultado técnico apresentado a seguir, conhecido como Lema de Fatou, se mostrará extremamente importante e útil.

## Teorema 5.22

Seja $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ um espaço com medida e, para cada $n\in \mathbb {N} ,$ seja $f_{n}:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ uma função mensurável. Então:
$\int \limits _{X}\left(\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}\right)\,d\mu \leq \limsup _{n\rightarrow \infty }\left(\int \limits _{X}f_{n}\,d\mu \right).$
O próximo resultado é uma generalização da Proposição 5.14.

## Teorema 5.23

Seja $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ um espaço com medida e $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ uma função mensurável sobre $X.$ Se $\varphi :{\mathfrak {M}}\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ é a função que em cada $E\in {\mathfrak {M}}$ vale
$\varphi (E):=\int \limits _{E}f\,d\mu ,$
então:
* $\varphi$ é uma medida sobre ${\mathfrak {M}}$;
* Para cada função mensurável $g:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ vale
$\int \limits _{X}g\,d\varphi =\int \limits _{X}gf\,d\mu .$
* Obs. 5.24: Alguns autores indicam o segundo item deste teorema com a notação $d\varphi =f\,d\mu ,$ embora isto não queira dizer que os símbolos $d\varphi$ e $d\mu$ façam sentido individualmente. A igualdade significa apenas que vale a fórmula 5.23.2 do Teorema 5.23.

## Notas

* ↑ Isto é, $\alpha _{i}\not =\alpha _{j}$ quando $i\not =j.$
* ↑ Lembre-se que $\sigma \leq f$ significa $\sigma (x)\leq f(x),$ para todo $x\in X.$
* ↑ A mensurabilidade desta função segue do Lema 3.2, considerando que cada $G_{i}$ é mensurável.
* ↑ Ou seja, $\sigma (x)\leq \tau (x),$ para todo $x\in X.$
* ↑ Mesmo quando$\mu (E)=\infty ,$ uma vez que se convencionou que $0\cdot \infty =0.$
* ↑ Mesmo quando em cada $x\in X$ vale $f(x)=\infty .$
* ↑ Lembre-se que $\left(X,{\mathfrak {M}},\mu \right)$ é um espaço com medida.
* ↑ Isto é, se $f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)$ para todo $n\in \mathbb {N}$ e para todo $x\in X.$

## Referências
# Integração de funções mais gerais

Assim como no capítulo anterior, ao longo deste capítulo será suposto fixado um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu ).$

## Definição 6.1

Dado um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu ),$ uma função mensurável $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}=\left[-\infty ,+\infty \right]$ e um conjunto mensurável $E,$ a integral de ${\boldsymbol {f}}$ sobre $E$ é definida como sendo o elemento de ${\overline {\mathbb {R} }}$ dado por
$\int \limits _{E}f\,\mathrm {d} \mu :=\int \limits _{E}f^{+}\,\mathrm {d} \mu -\int \limits _{E}f^{-}\,\mathrm {d} \mu ,$
* Obs. 6.2: Toda função que toma valores reais e é mensurável continua mensurável se for vista como uma função que toma valores na reta extendia, isto é, se $f:X\mapsto \mathbb {R}$ é uma função mensurável, então a função $f_{1}:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ definida por $f_{1}(x)=f(x)$ em cada $x\in \mathbb {R}$ também é mensurável. Consequentemente, a Definição 6.1 também é aplicável às funções $f:X\mapsto \mathbb {R}$ mensuráveis.
Reciprocamente, dada qualquer função mensurável $g:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ para a qual $\operatorname {Im} (g)\subset \mathbb {R} ,$ a sua restrição $g_{0}:X\mapsto \mathbb {R}$ definida por $g_{0}(x)=g(x)$ em cada $x\in \mathbb {R}$ também é uma função mensurável.

## Definição 6.3

Dado um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu ),$ define-se o espaço das funções integráveis sobre $\mathbf {E}$ em relação à medida ${\boldsymbol {\mu }}$ como sendo
$\textstyle {\mathcal {L}}_{1}(X,{\mathfrak {M}},\mu ;\mathbb {K} ):=\left\{f:X\mapsto \mathbb {K} |f{\mbox{ é mensurável e }}\int _{X}|f|\mathrm {d} \mu <\infty \right\}$
O conjunto ${\mathcal {L}}_{1}(X,{\mathfrak {M}},\mu ;\mathbb {K} )$ costuma ser simbolizado por notações mais simples como, por exemplo, ${\mathcal {L}}_{1}(X,\mu ;\mathbb {K} ),$ ${\mathcal {L}}_{1}(X,\mu ),$ ${\mathcal {L}}_{1}(X)$ ou mesmo ${\mathcal {L}}_{1}.$ Nestes casos, os itens que forem omitidos deverão estar claros pelo contexto. Alguns autores preferem usar ${\mathcal {L}}^{1}$, colocando o índice como sobrescrito.

## Definição 6.4

Para cada par de funções mensuráveis $u:X\mapsto \mathbb {R}$ e $v:X\mapsto \mathbb {R} ,$ define-se a integral da função complexa $f:=u+vi\in {\mathcal {L}}_{1}(X,\mu ;\mathbb {C} )$ em cada $E\in {\mathfrak {M}}$ como sendo:
$\int \limits _{E}f\,\mathrm {d} \mu :=\left(\int \limits _{E}u^{+}\,\mathrm {d} \mu -\int \limits _{E}u^{-}\,\mathrm {d} \mu \right)+i\left(\int \limits _{E}v^{+}\,\mathrm {d} \mu -\int \limits _{E}v^{-}\,\mathrm {d} \mu \right).$
O leitor deve observar que as funções $u^{+},$ $u^{-},$ $v^{+}$ e $v^{-}$ que aparecem na Definição 6.4 são mensuráveis, reais e não-negativas. Deste modo, existem as integrais correspondentes sobre o conjunto $E\in {\mathfrak {M}}$ (ver Definição 5.4). Note também que $u^{+},u^{-}\leq |u|\leq |f|$ e também $v^{+},v^{-}\leq |v|\leq |f|,$ de modo que, pelos itens 1 e 2 da Proposição 5.9, as integrais destas funções são finitas e, consequentemente, conforme a Definição 6.1, $\textstyle \int \limits _{E}f\,\mathrm {d} \mu \in \mathbb {C} ,\forall E\in {\mathfrak {M}}.$
* Obs. 6.5: Se $f\in {\mathcal {L}}_{1}(X,\mu ;\mathbb {R} ),$ então qualquer que seja $E\in {\mathfrak {M}}$, o valor da integral de $f$ em $E$ é real, isto é:
$\int \limits _{E}f\,\mathrm {d} \mu =\int \limits _{E}f^{+}\,\mathrm {d} \mu -\int \limits _{E}f^{-}\,\mathrm {d} \mu \in \mathbb {R}$
O teorema a seguir mostra que ${\mathcal {L}}_{1}(X,\mu ;\mathbb {K} )$ é um espaço vetorial seminormado (ver exercício).

## Teorema 6.6

Se $f\in {\mathcal {L}}_{1}={\mathcal {L}}_{1}(X,\mu ;\mathbb {R} )$ e $g\in {\mathcal {L}}_{1}$ e $\alpha \in \mathbb {K}$ e $\beta \in \mathbb {K} ,$ então
* $\alpha f+\beta g\in {\mathcal {L}}_{1}$
* $\textstyle \int _{X}(\alpha f+\beta g)\,\mathrm {d} \mu =\alpha \int _{X}f\,\mathrm {d} \mu +\beta \int _{X}g\,\mathrm {d} \mu$
* ${\mathcal {L}}_{1}$ é um espaço vetorial e a função $\|\cdot \|:{\mathcal {L}}_{1}\mapsto \mathbb {R} ^{+}$, que associa $f$ com $\textstyle \int _{X}f\,\mathrm {d} \mu ,$ é uma seminorma sobre ${\mathcal {L}}_{1}.$

## Referências

* ↑ O espaço ${\mathcal {L}}_{1}(X,{\mathfrak {M}},\mu ;\mathbb {K} )$ é um exemplo particular dos espaços ${\mathcal {L}}_{p}(X,{\mathfrak {M}},\mu ;\mathbb {K} )$ (formados pelas funções cuja $p$-ésima potência é integrável) que serão definidos mais adiante. Veja por exemplo, Rana (2002), Definição 8.4.1, p. 261.
* ↑ Ver, por exemplo, de Barra (2008), p. 109, seção 6.1.

# Conjuntos de medida nula

Assim como nos capítulos anteriores, ao longo deste capítulo será suposto fixado um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu ).$

## Definição 7.1

Dado um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu ),$ e um subconjunto mensurável $Z\in {\mathfrak {M}},$ diz-se que $Z$ é um conjunto de medida nula quando
$\mu (Z)=0\,$

## Definição

Considere um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ e uma propriedade $P$ que os pontos $x$ de $X$ podem verificar ou não. Se $E$ é um conjunto mensurável, diz-se que $\mathbf {P}$ vale quase sempre em $E$ ou que $\mathbf {P}$ vale em quase todo ponto de $E$ quando existe um conjunto $N\in {\mathfrak {M}}$ contido em $E,$ tal que $\mu (N)=0$ e que $P$ vale em $E\smallsetminus N.$
A noção que acaba de ser definida será usada com grande frequência e por isso será abreviada como $P$ vale q.s. em $E$ ou como $P$ vale em q.t.p. de $E$.
Observe que o conceito depende fortemente da medida $\mu ,$ então quando for preciso evitar ambiguidades, ela será indicada explicitamente, como por exemplo em $P$ vale q.s.$[\mu ]$ em $E$.
A seguir serão apresentados vários exemplos de "propriedades que valem quase sempre" em diferentes contextos, de modo que o leitor possa se familializar com este novo conceito. Por simplicidade, será usado sempre $\Gamma$ para denotar indistintamente qualquer dos conjuntos ${\overline {\mathbb {R} }},$ ${\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ e $\mathbb {K} .$

## Exemplo

Diz-se que $f:E\mapsto \Gamma$ está definida q.s.$[\mu ]$ em $E$ quando existe um conjunto mensurável $N\subset E,$ tal que $\mu (N)=0$ e que $E\smallsetminus N\subset \operatorname {Dom} f.$ Neste caso, a notação $f:E\mapsto \Gamma$ não significa que $E$ é o domínio de $f,$ mas apenas que $\operatorname {Dom} f\subset E.$ Aqui, a afirmação de que "$x$ está no domínio de $f$" corresponde à propriedade $P(x)$ da definição anterior.

## Exemplo

Se $f_{1},f_{2}:E\mapsto \Gamma$ são funções definidas q.s.$[\mu ]$ em $E,$ diz-se que $f_{1}$ é igual a $f_{2}$ q.s.$[\mu ]$ em $E$ se existir um conjunto mensurável $N\subset E,$ tal que $\mu (N)=0,$ $E\smallsetminus N\subset \operatorname {Dom} f_{1}\cap \operatorname {Dom} f_{2}$ e que $f_{1}(x)=f_{2}(x),$ $\forall x\in E\smallsetminus N.$ Quando este é o caso, utiliza-se a notação "$f_{1}=f_{2}$ q.s.$[\mu ]$" ou "$f_{1}{\stackrel {q.s.}{=}}f_{2}$". A a propriedade $P(x)$ corresponde à afirmação de que "$f_{1}(x)=f_{2}(x)$".
Note que por serem funções definidas q.s.$[\mu ]$ em $E,$ existem conjuntos mensuráveis $N_{1}$ e $N_{2}$ de medida nula tais que $\operatorname {Dom} f_{i}\supset E\smallsetminus N_{i},$ para $i=1,2.$ Deste modo, pode-se trocar a exigência de que $E\smallsetminus N\subset \operatorname {Dom} f_{1}\cap \operatorname {Dom} f_{2}$ por $N_{1}\cup N_{2}\subset N.$ De fato, quando $N_{1}\cup N_{2}\subset N$ tem-se
$x\in E\smallsetminus N\Rightarrow x\notin N\Rightarrow x\notin N_{1}\cup N_{2}\Rightarrow x\in E\smallsetminus N_{i}\Rightarrow x\in \operatorname {Dom} f_{1}\cap \operatorname {Dom} f_{2}.$
$f_{1}(x)=f_{2}(x),$
$\forall x\in E\smallsetminus N$
$E\smallsetminus N$
Mais adiante (na Definição ???), será dado o significado da mensurabilidade de funções que estejam definidas q.s.$[\mu ]$ em $E.$ Então, se for suposto que as funções $f_{i}$ do exemplo anterior forem mensuráveis, e que as imagens de ambas estão contidas em $\mathbb {K} ,$ é possível comprovar que o conjunto $N$ pode ser trocado por $\{x\in E|f_{1}(x)\not =f_{2}(x)\}.$ De fato, como $\{x\in E|f_{1}(x)\not =f_{2}(x)\}=\left(f_{1}-f_{2}\right)^{-1}(\mathbb {K^{*}} ),$ este conjunto é mensurável, pois $\mathbb {K^{*}}$ é um aberto e $f_{1}-f_{2}$ é mensurável. Assim, tem-se que $f_{1}$ é igual a $f_{2}$ q.s.$[\mu ]$ em $E$ se, e somente se, $\mu (\{x\in E|f_{1}(x)\not =f_{2}(x)\})=0.$

## Exemplo

Se $\left(f_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ é uma sequência de funções tal que cada $f_{n}:E\mapsto \Gamma$ está definida q.s.$[\mu ]$ em $E,$ diz-se que a sequência converge (ou tende) q.s.$[\mu ]$ para a função $f:E\mapsto \Gamma$ (também definida q.s.$[\mu ]$ em $E$) caso exista um conjunto mensurável $N\subset E,$ tal que $\mu (N)=0$ e que $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$ em $E\smallsetminus N.$ Se este for o caso, utiliza-se uma das seguintes notações: $f_{n}\to f$ q.s.$[\mu ],$ $f_{n}{\stackrel {q.s.}{\to }}f,$ $f{\stackrel {q.s.}{=}}\lim _{n\to \infty }f_{n}$ ou $f{\stackrel {q.s.}{=}}\lim f_{n}.$

## Exemplo

Diz-se que $f:E\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ é finita q.s.$[\mu ]$ em $E$ se existe um conjunto mensurável $N\subset E,$ tal que $\mu (N)=0$ e que $f(x)\in \mathbb {R} ,\forall x\in E\smallsetminus N.$
Ao longo dos próximos parágrafos serão apresentados resultados e definições com o objetivo de definir a "mensurabilidade" e a "integral" de "funções definidas quase sempre", isto é, de dizer o que significam coisas como:
* A frase "$f:X\to \Gamma$ está definida q.s.$[\mu ]$ em $X$ e $f$ é mensurável";
* A integral "$\int _{X}f{\text{d}}\mu$", no caso de $f$ ser uma função do tipo acima.
Lembrando que $f:X\to \Gamma$ está definida q.s.$[\mu ]$ em $X$ quando existe algum conjunto mensurável $N\subset X$ (não necessariamente único), tal que $\mu (N)=0$ e que $X\smallsetminus N=N^{c}\subset \operatorname {Dom} f,$ poderia ser feita uma tentativa de definir a mensurabilidade dizendo que tal função $f$ é mensurável se sua restrição $f|_{N^{c}}:N^{c}\to \Gamma$ for mensurável. No entanto, como o conjunto $N$ não tem motivo para ser único, se $N'\subset X$ for outro conjunto mensurável, para o qual $\mu (N')=0$ e $N'^{c}\subset \operatorname {Dom} f,$ este conceito de mensurabilidade só estaria bem definido se fosse independente da escolha de $N,$ isto é, se $f|_{N^{c}}$ fosse mensurável exatamente quando $f|_{N'^{c}}$ fosse mensurável. O leitor pode imaginar a dificuldade que resultaria de seguir esta direção, observando que não há uma relação simples entre os conjuntos $N^{c}$ e $N'^{c}.$
Uma alternativa mais simples consiste em investigar as propriedades e consequências da seguinte definição provisória para o conceito de mensurabilidade:

## Definição

Uma função $f:X\to \Gamma$ definida q.s.$[\mu ]$ em $X$ é mensurável em $X$ se $f^{-1}(V)\in {\mathfrak {M}}$ para cada aberto $V$ de $\Gamma .$
Para evitar que seja feita confusão, nos próximos parágrafos será usada a expressão "mensurável no sentido usual" para indicar que uma função é mensurável de acordo com a Definição ???.
O lema a seguir mostra como construir, por exemplo, uma função mensurável no sentido usual $f:X\to \Gamma$ quando já se conhece uma função $f:X\to \Gamma$ definida q.s.$[\mu ]$ que seja mensurável em $X$ (no sentido da definição anterior).

## Lema

Seja $f:X\to \Gamma$ definida q.s.$[\mu ]$ em $X$ uma função mensurável em X. Se $N\in {\mathfrak {M}},$ $\mu (N)=0$ e $N^{c}\subset \operatorname {Dom} f,$ então a função ${\tilde {f}}:X\to \Gamma$ definida por
${\tilde {f}}(x)={\begin{cases}f(x)&,{\text{ se }}x\in N^{c}\\0&,{\text{ se }}x\in N\end{cases}}$
Observe que o domínio da função ${\tilde {f}}$ é todo o conjunto $X.$ Além disso, por definição, existe um conjunto $N$ com as propriedades indicadas no enunciado e a função ${\tilde {f}}$ construída varia conforme a escolha deste conjunto $N.$ Uma função ${\tilde {f}}$ construída como no lema anterior será chamada de redefinição de $f$. Com essa nomenclatura, o lema anterior expressa o fato de que toda redefinição ${\tilde {f}}$ de uma função $f$ mensurável em $X$ é também mensurável no sentido usual.
Uma forma alternativa de se construir uma redefinição de uma função $f$ dada é estendê-la a todo $X$ atribuindo valores arbitrários aos pontos do conjunto de medida nula $N$ e então definir ${\tilde {f}}$ multiplicando $f$ pela função característica de $N^{c}$ (que irá zerar nos pontos de $N$):
${\tilde {f}}=X_{N^{c}}\cdot f.$
É comum alguns autores (citação???) usarem a expressão anterior para definir uma redefinição de $f$ sem antes atribuir valores arbitrários para os pontos de $N.$ Para isso, é convencionado (apenas por questões de praticidade) que "o produto de zero por algo que não existe dá zero".
Fazendo uso do lema anterior, é possível reformular a definição provisória do conceito de mensurabilidade (de funções definidas quase sempre). A forma mais geral do conceito é como segue:

## Definição

Uma função $f:X\to \Gamma$ definida q.s.$[\mu ]$ em $X$ é mensurável em $X$ quando toda redefinição ${\tilde {f}}$ de $f$ for mensurável no sentido usual.

## Lema

Seja $\left(f_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ uma sequência de funções tal que cada $f_{n}:X\mapsto \Gamma$ está definida q.s.$[\mu ]$ em $X.$ Se a sequência converge q.s.$[\mu ]$ para a função $f:E\mapsto \Gamma$ e cada $f_{n}$ é mensurável então $f$ é mensurável (sempre no sentido da definição anterior).
Obs.: Neste ponto é razoável acrescentar uma nota sobre a coerência entre as duas definições de mensurabilidade de funções que foram apresentadas até o momento. Se uma função $f:X\to \Gamma$ tem $X$ como domínio, pode-se dizer que a mesma está definida quase sempre em $X,$ pois
$\exists N=\emptyset \in {\mathfrak {M}}{\text{ tal que }}N=\emptyset \subset X{\text{ e }}\operatorname {Dom} f=X\supset N^{c}=\emptyset ^{c}=X.$
Sendo assim, em uma primeira análise, vê-se que existem dois sentidos nos quais a função $f$ pode ser ou não mensurável:
* No sentido usual, dado pela Definição ???; ou
* Conforme a Definição ??? que acaba de ser apresentada.
Felizmente, os dois conceitos coincidem. De fato, se uma função $f$ é mensurável conforme a Definição ???, então a redefinição ${\tilde {f}}=f\cdot X_{\emptyset ^{c}}$ é mensurável no sentido usual, e consequentemente $f$ também é mensurável, pois $\operatorname {Dom} f=X$ implica que $f={\tilde {f}}.$ Reciprocamente, se $f$ é mensurável no sentido usual, então $f$ também é mensurável em $X$ (definição ???). Logo, aplicando o Lema ??? conclui-se que qualquer redefinição de $f$ é mensurável, isto é, $f$ é mensurável de acordo com a Definição ???.
Obs.: Pode-se estender as definições e resultados anteriores para o caso de funções $f:E\to \Gamma$ (em vez de $f:X\to \Gamma$), em que $E\in {\mathfrak {M}},$ bastando trocar $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ por $(X,{\mathfrak {M}}|_{E},\mu |_{E})$ conforme foi feito em ???. Assim, fixando-se um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu ),$ um conjunto mensurável $E\in {\mathfrak {M}},$ e uma função $f:E\to \Gamma$ definida q.s.$\mu ,$ chama-se de redefinição de $f$ a qualquer função ${\tilde {f}}$ definida como
${\tilde {f}}(x)={\begin{cases}f(x)&,{\text{ se }}x\in E\smallsetminus N\\0&,{\text{ se }}x\in N\end{cases}}$
onde $N\in {\mathfrak {M}}$ é um subconjunto de $E,$ de medida é nula, tal que $E\supset \operatorname {Dom} f\supset E\smallsetminus N.$ A função $f$ diz-se mensuravel se cada uma de suas redefinições for mensurável no sentido usual (o que faz sentido já que $\operatorname {Dom} {\tilde {f}}=E$).
Para dar continuidade ao que foi iniciado logo depois do exemplo ???, o próximo passo é dar sentido à notação $\int _{X}f{\text{d}}\mu$ no caso de $f:X\to \Gamma$ ser uma função mensurável definida q.s.$[\mu ]$ em $X.$ Antes disso, porém, será introduzida uma notação adicional e serão deduzidos alguns resultados preliminares bastante simples.
Conforme o exemplo ???, $f_{1}=f_{2}$ q.s.$[\mu ]$ significa existir um conjunto mensurável $N\subset E,$ tal que $\mu (N)=0,$ $E\smallsetminus N\subset \operatorname {Dom} f_{1}\cap \operatorname {Dom} f_{2}$ e que $f_{1}(x)=f_{2}(x),$ $\forall x\in E\smallsetminus N.$ O leitor pode verificar que a relação de "ser igual quase sempre em um conjunto em relação a uma certa medida" é, na verdade, uma relação de equivalência sobre o conjunto
${\mathcal {M}}(E;{\overline {\mathbb {R} }}):=\{f:E\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}|f{\text{ e mensuravel}}\}.$
Isto justifica o uso de notações adicionais como $f{\stackrel {\mu }{\sim }}g$ ou $f{\stackrel {E}{\sim }}g$ (ou simplesmente $f\sim g$) quando as funções $f$ e $g$ forem iguais quase sempre $[\mu ]$ em $E.$

## Proposição

Sejam $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ um espaço com medida e $E\in {\mathfrak {M}}.$ Se $f,g:E\to {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ são funções mensuráveis então:
* Se $N\in {\mathfrak {M}},$ $N\subset E$ e $\mu (N)$ então $\int _{E}f=\int _{E\smallsetminus N}f;$
* Se $f=g$ q.s.$[\mu ]$ em $E$ então $\int _{E}f=\int _{E}g;$
* $f=0$ q.s.$[\mu ]$ em $E$ se, e somente se, $\int _{E}f=0;$

## Lema

Sejam $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ um espaço com medida e $f:E\to {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ uma função definida q.s.$[\mu ]$ em $E.$ Se $E\in {\mathfrak {M}}$ e ${\tilde {f_{1}}},{\tilde {f_{2}}}:E\to {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ são redefinições de $f$ então $\int _{E}{\tilde {f_{1}}}=\int _{E}{\tilde {f_{2}}}.$
Agora já é possível definir a integral de funções definidas q.s.$[\mu ]$ em $E.$

## Ver também
# Índice remissivo

Nesta página estão listados os conceitos abordados neste livro em ordem alfabética.
O nome de cada conceito possui um link para a página onde o mesmo é definido. Outras ocorrências importantes do conceito são indicadas pelos links numerados, logo após o link principal.

## A

* Aplicação mensurável

## B

* Boreliano

## C

* conjunto
** mensurável
** de Borel
** de medida nula

## E

* Espaço
** com medida
** mensurável

## F

* Função
** mensurável
** Borel mensurável

## I

* Ínfimo
** de uma sequência de funções

## L

* Limite
** de uma sequência de funções
** inferior
** inferior de uma sequência de funções
** superior
** superior de uma sequência de funções

## P

* Parte negativa de uma função
* Parte positiva de uma função

## Q

* Quase todo ponto
* Quase sempre

## R

* Radon-Nikodin, teorema de
* Reta real estendida

## S

* $\sigma$-álgebra
** gerada
** de Borel
* Supremo
** de uma sequência de funções

## T

* Teorema
** de Radon-Nikodin

## Z
# Bibliografia

* de Barra, G.. Measure Theory and Integration. New Age International, 2008. 239 p. ISBN 0852261861
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    A parte inicial pode ser mais trabalhosa por envolver um pouco de Álgebra, mas o livro inclui diversos exercícios interessantes.
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    Este livro adota uma notação mais antiga.
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