# Topologia/Enumerabilidade
## Enumerabilidade

1) Um espaço topológico X diz-se que verifica o 1º Axioma da Contabilidade se a topologia em X tem uma base contável se a topologia em X tem uma sub-base contável.
2) Um espaço topológico X diz-se que verifica o 2º Axioma da Contabilidade se cada ponto de X tem uma base contável de vizinhanças.
3) Sendo X um espaço topológico, se x ∈ X tem uma base contável de vizinhanças, então tem uma base (V$_n$)$_n$ de vizinhanças tal que ... ⊆ V$_3$ ⊆ V$_2$ ⊆ V$_1$.
4) Se X verifica o 1º Axioma da Contabilidade, então também verifica o 2º Axioma da Contabilidade.
5) Um sub-espaço dum espaço topológico que verifique o 1º Axioma da Contabilidade (resp. 2º Axioma da Contabilidade) também verifica o 1º Axioma da Contabilidade (resp. 2º Axioma da Contabilidade).

## Densidade

Sendo X espaço topológico, diz-se que uma parte A de X é densa em X sse alguma das condições equivalentes se verifica:
1) fecho A = X.
2) ext A é vazio.
3) Todo o aberto de X intersecta A.

### Proposição

Sendo X espaço topológico:
1) A é denso em fecho A.
2) Se A é denso em B e B é denso em X, então A é denso em X.
3) Ainda que A seja denso em X, pode ser que B ∩ A não seja denso em B, como se pode ver fazendo X = {1, 2, 3} com a topologia {Ø, X, {1, 2}} sendo A = {2, 3} e B = {1, 3}.

## Espaço separável

Sendo X um espaço topológico:
1) Diz-se que X é separável sse X contiver uma parte densa contável.
2) Se X verifica o 1º Axioma da Contabilidade, então X é separável.
    Demonstração
    2): Suponha-se que X verifica o 1º Axioma da Contabilidade. Seja β uma base contável da topologia em X. Para cada A ∈ β, seja um certo x$_A$ ∈ A. Então B = {x$_A$: A ∈ β} é contável. Sendo U aberto de X, U é a união de elementos de β, portanto algum elemento de B está em U. Assim B é denso em X.

### Proposição

Sejam X espaço topológico e (X$_n$)$_n$ sucessão de partes de X cuja união é X. Para cada n, seja D$_n$ contável denso em X$_n$. Então ∪ $_n$ D$_n$ é contável e denso em X. Em particular, se um espaço é a união contável de sub-espaços separáveis, então ele é separável.
    Demonstração
    Evidentemente ∪ $_n$ D$_n$ é contável. Será denso em X? Seja U aberto de X. Então, para um certo n, U ∩ X$_n$ não é vazio. Mas U ∩ X$_n$ é aberto de X$_n$, logo existe x ∈ U ∩ X$_n$ ∩ D$_n$. Então x ∈ ∪ $_n$ D$_n$, portanto U ∩ ( ∪ $_n$ D$_n$) não é vazio. O que mostra que ∪ $_n$ D$_n$ é denso em X.

## Propriedade de Hausdorff

Sendo X espaço topológico, diz-se que X é de Haudsdorff sse, para quaisquer x, y ∈ X diferentes, existem U vizinhança de x e V vizinhança de y que são disjuntas.
Note-se que a sub-topologia numa parte dum espaço de Hausdorff é ainda de Hausdorff. E note-se também que, se X for de Hausdorff, qualquer que seja x ∈ X, {x} é fechado.
Note-se que a propriedade de Hausdorff afirma sobre a possibilidade de «separar» dois pontos do espaço. No entanto, atenção, o facto dum espaço topológico ser separável, não significa que seja de Hausdorff. É muito fácil criar um contra-exemplo.

## Conjunto raro, categorização de Baire

Sejam X espaço topológico e A parte de X. Então:
1) Diz-se que A é raro sse int fecho A = Ø.
2) Diz-se que A é da 1ª Categoria de Baire sse A é a união contável de conjuntos raros.
3) Diz-se que A é da 2ª Categoria de Baire sse A não é da 1ª Categoria de Baire.
4) A é aberto e denso em X sse X - A é fechado e raro em X.