# Matemática elementar/Funções

Uma função é uma relação especial, que é definida da seguinte maneira: sejam dois conjuntos A e B, tais que para todo elemento x pertencente a A, haja uma correspondência de um elemento y pertencente a B. Essa correspondência é a função: a associação, definida de algum modo, entre todos os elementos de um conjunto e os elementos de outro conjunto.
A função que associa um elemento x a outro valor pode ser indicada por f(x). O aparecimento de x na simbologia da função não ocorre por acaso, uma vez que o valor f(x) depende de x. Por isso mesmo, x é chamada variável independente e f(x) (ou y) é chamada de variável dependente. Matematicamente a função é definida:
       $f:A\rightarrow B:x\mapsto f(x)$, ou mais simplificadamente, $f:A\rightarrow B$
Um exemplo de função: dado o conjunto dos números naturais, uma função pode associar cada número ao seu quadrado. Assim, essa função assumiria os valores: { 1,4,9,16,... }.
Uma função pode, na verdade, associar mais de um conjunto a outro; pode haver diversas variáveis independentes. Por exemplo: uma função pode tomar dois valores inteiros e expressar sua soma:
       $f(x,y)=x+y$
No entanto, neste livro será dada mais atenção às funções de uma variável, apenas. São duas características da função enquanto relação:
* há correspondência unívoca entre um elemento e o valor associado a ele pela função: isso significa que para cada valor assumido pela variável independente (x), há um único valor da variável dependente (y) associado pela função. Consequentemente, se t = f(x) e w = f(x), então t = w.
* a correspondência é total, ou seja, um valor assumido pela variável dependente estará associado para todo valor possível de ser assumido pela variável independente.
A tabela a seguir mostra dois exemplos de relações que não são funções:
| Nesse caso, um mesmo elemento (3) do domínio X aparece associado a dois elementos do contradomínio Y (c,d). | Aqui a correspondência não é total: falta um valor associado a 1. |
Já o diagrama a seguir representa uma função:
Duas funções f e g são ditas iguais (f = g) se e somente se para cada valor de x no domínio D, f(x) e g(x) assumam o mesmo valor:
       $\forall x\in D,f(x)=g(x)\to g=f$
    OBS.: uma função é uma relação, por isso não possui grau. Quem possui grau são os polinômios associados a função. Dessa maneira é um equívoco pensar em "função de 1° ou 2° graus".

## Introdução

Relações que estabeleçam dependência entre os elementos de dois conjuntos são denominadas funções.
Um exemplo clássico de função é a do salário de vendedores que ganham por comissão:
Existe um valor fixo que o vendedor ganha mesmo se não conseguir vender nada naquele mês e uma comissão, que depende da quantidade de vendas que o vendedor realizou. Por exemplo:
| Vendas | Comissão por venda | Valor Fixo | Salário |
| 0 | 55 | 300 | 300 |
| 1 | 55 | 300 | 355 |
| 2 | 55 | 300 | 410 |
Da tabela acima podemos construir uma relação entre as vendas e o salário do vendedor:
$S=55\cdot V+300\,\!$
E com isso, construímos um gráfico que relaciona vendas a salário, onde verifica-se que:
* O salário depende das vendas.
* O salário é uma função das vendas.

## Definição

Ao aplicar uma função $f\,\!$ em um dado conjunto $D\,\!$, cada elemento deste deverá ter como correspondente um elemento em um dado conjunto $C\,\!$.
Ao conjunto $D\,\!$ denomina-se domínio da função, sendo seus elementos denominados abscissas, e ao conjunto $C\,\!$ denomina-se contra-domínio, sendo seus elementos denominados ordenadas ou imagens, quando estas se correlacionarem a um elemento de $D\,\!$.
Ou seja:
Dados dois conjuntos $D\,\!$ e $C\,\!$ não vazios, dizemos que a relação f de $D\,\!$ em $C\,\!$ será função se, e somente se,
    $\forall x\in D\;\exists \;y\in C\;|\;\left(x,y\right)\in f$.
(Para qualquer x pertencente a D existe um y pertencente a C tal que o par ordenado (x,y) pertence à função f)
    Obs: Para cada $x\,\!$, deve haver apenas um $y\,\!$

## Representações

Existem várias maneiras de se representar funções.
Abaixo você pode ver as três mais comumente utilizadas, sendo a primeira a predominante.
As representações abaixo são de uma função em relação a seu domínio e contra-domínio.
$f:A\rightarrow B\,\!$
$x\rightarrow y=f(x)\,\!$
${\begin{matrix}&f&\\A&\rightarrow &B\end{matrix}}\,\!$
Há também as representações por sua fórmula algébrica em relação a sua imagem, como a seguir:
$f(x)=ax+b,\!$
$g(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$

## Condições de existência

As condições básicas de existência são:
* Todo e qualquer elemento do domínio deve possuir uma única imagem no contra-Domínio.
* Caso a equação algébrica da função contenha uma fração, seu denominador deve ser diferente a 0 (zero).
* Caso a equação algébrica da função possua uma raíz de índice par, para que seu resultado pertença aos Reais, o radicando deve ser maior ou igual a 0 (zero).
** Caso essa mesma raíz esteja no denominador de uma fração, o radicando deve ser estritamente maior que 0 (zero).
** Caso o índice dessa raíz seja um número ímpar, a única restrição é que o radicando seja diferente de 0 (zero).
Com isso, cada função deverá ter suas restrições particulares, mas sempre obedecendo as gerais acima. Algumas regras não são aplicáveis a funções com contradomínio Complexo.

## Nomenclaturas

Abaixo você confere o que significa cada nome utilizado ao se falar sobre funções:

### Domínio, contradomínio e imagem

São três conjuntos especiais associados à função. O domínio é o conjunto A do exemplo dado no início deste capítulo: contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. Já o conjunto B do exemplo é o contradomínio: o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio.
Também define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.
Por exemplo, suponha a função que associa um elemento do domínio D = { 1,2,3,4,5 } a uma vogal ordenada no alfabeto.
       O domínio, já especificado, é $D=\{1,2,3,4,5\}$
       O contradomínio é $CD=\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z\}$
       A imagem é $Im=\{a,e,i,o,u\}$

### Gráfico Cartesiano
#### Abscissa

    Todo e qualquer elemento do domínio.

#### Ordenada

    Todo e qualquer elemento do conjunto imagem.

#### Gráfico em Plano Cartesiano da função

    Representação de todos os pontos que compõem uma função através de dois eixos perpendiculares.

### Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras

    Ver módulo principal: Matemática elementar/Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras

### Funções Pares e Ímpares

* Uma função $f$ é denominada par quando $f(x)=f(-x)$, para todo $x\in \operatorname {Dom} (f)$ (domínio de f).
* Uma função $f$ é denominada ímpar quando $f(x)=-f(-x)$, para todo $x\in \operatorname {Dom} (f)$.

## Propriedades das funções
### Continuidade

Uma função é dita contínua sobre um intervalo dado, $[a,b]$, se possui um valor definido para todos os números contidos nesse intervalo. Por exemplo, a função:
       $y={\sqrt {x}}$, definida para o contradomínio $y\in \mathbb {R}$, não é contínua no intervalo $]-\infty ,+\infty [$, uma vez que não está definida para x < 0.

### Crescimento e decrescimento

Uma função é dita crescente, sobre um intervalo [A,B], se para cada valor de x + ε (ε sendo qualquer valor positivo), $f(x)<f(x+\epsilon )$.
Uma função é dita decrescente, sobre um intervalo [A,B], se para cada valor de x + ε (ε sendo qualquer valor positivo), $f(x)>f(x+\varepsilon )$.

### Paridade

A paridade de uma função é uma propriedade relacionada a simetria da mesma, e portanto só pode ser definida para funções cujo domínio é simétrico (veja a definição de conjunto simétrico). Sendo $x\!\,$ um elemento pertencente a um conjunto simétrico $A\!\,$, uma função é dita:
* par, se para todo $x\!\,$, $f(x)=f(-x)\!\,$; ou seja, o valor da função é definido apenas de acordo com o módulo da variável independente;
* ímpar, se para todo $x\!\,$, $f(x)=-f(-x)\!\,$;
* sem paridade, se não corresponder a nenhum dos dois casos anteriores.
| Exemplo de função par: -5x$^2$ + 120. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = f(-x); por exemplo: f(2) = -5*(2$^2$) + 120 = -5*4 + 120 = 100, f(-2) = -5*(-2$^2$) + 120 = -5*4 + 120 = 100 f(2) = f(-2) | Exemplo de função ímpar: x$^3$. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = -f(-x); por exemplo: f(2) = 2$^3$ = 8 f(-2) = -2$^3$ = -8 f(2) = -f(-2) |

## Funções polinomiais de primeiro e segundo graus

Existem dois tipos especiais de funções a respeito das quais cabe fazer comentários aqui. Uma função é dita polinomial do primeiro grau ou afim quando pode ser expressa na forma:
       $y=ax+b,\,a\in \mathbb {R^{*}} ,b\in \mathbb {R}$
A função polinomial do primeiro grau sempre toma no gráfico a forma de pontos colineares. Se o domínio da função for o conjunto R, tem-se uma reta.
O valor da constante $a$, na função $y=ax+b$ e que tem domínio igual a $R$, é chamado coeficiente angular da reta que define a função. Ele pode ser obtido a partir da relação entre quaisquer dois pontos da reta (ou valores associados da variável independente e dependente), conforme a equação:
       $a={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$
Para o caso específico da constante $b$ ser igual a zero, a função $y=ax$ é chamada função linear.
Já a função do segundo grau toma a forma:
       $y=ax^{2}+bx+c$
       $a\in \mathbb {R^{*}} ,b\in \mathbb {R} ,c\in \mathbb {R}$
Graficamente, a função do segundo grau é sempre uma parábola, cuja concavidade depende unicamente do sinal da constante a. Se a for negativo, a parábola tem o vértice voltado "para cima"; se a for positivo, a parábola tem o vértice voltado "para baixo". (Considerando a representação usual do plano cartesiano.)

## Operações sobre funções
### Composição de funções

* Composição e inversão de funções
O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de "fórmula matemática". Funções descrevem relações matemáticas entre dois objetos, $x$ e $y=f(x)$. O objeto $x$ é chamado o argumento da função $f$, e o objeto $y$, que depende de $x$, é chamado imagem de $x$ pela $f$.
Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento $x$ um único valor da função $f(x)$. Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula ou regra de associação, um gráfico, ou uma simples tabela de correspondência...

## Alguns tipos de funções

Propriedades fundamentais, gráficos, máximos, mínimos, equações e inequações envolvendo estas funções.
* Função polinomial
** Função linear
** Função quadrática
* Função exponencial e Função logaritmica
* Função trigonométrica
* Função modular
* Função afim