# Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C8

* Teoria
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## Enunciado

A velocidade de um fluido incompressível em um canal que se estreita continuamente é dada pela equação
${\vec {v}}\;=\;v_{1}\left[1\;+\;{\frac {x}{L}}\right]\;{\vec {u}}_{x}$
Calcular a aceleração de uma partícula qualquer no fluxo. Calcular também a trajetória da partícula localizada no ponto (0,0,0) no instante t = 0.

## Solução

Aqui é preciso usar a forma diferencial das equações. A partir da velocidade, podemos encontrar a aceleração calculando a derivada direcional de v na direção do eixo X:
${\vec {a}}_{x}\;=\;\left({\frac {D}{Dt}}{\vec {v}}\right)\cdot {\vec {u}}_{x}\;=\;\left({\frac {\partial {\vec {v}}_{x}}{\partial t}}\;+\;v_{x}\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;v_{y}\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;+\;v_{z}\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\right)\cdot {\vec {u}}_{x}$
${\vec {a}}_{x}\;=\;\left(0\;+\;{\frac {v_{1}}{L}}\cdot v_{1}\left[1\;+\;{\frac {x}{L}}\right]\;+\;0\;+\;0\right)\cdot {\vec {u}}_{x}\;=\;{\frac {v_{1}^{2}}{L}}\left[1\;+\;{\frac {x}{L}}\right]\;{\vec {u}}_{x}$
Para encontrar uma expressão para a posição da partícula citada, que denotaremos por P, é preciso integrar a equação que determina a velocidade. Como só existe movimento com relação ao eixo X,
$v_{x}\;=\;{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}_{x}\Rightarrow \;\;\;{\frac {dx_{P}}{dt}}\;=\;v_{1}\left[1\;+\;{\frac {x_{P}}{L}}\right]$
${\frac {dx_{P}}{1\;+\;{\frac {x_{P}}{L}}}}\;=\;v_{1}dt\Rightarrow \;\;\;\int _{0}^{x}{\frac {dx_{P}}{1\;+\;{\frac {x_{P}}{L}}}}\;=\;\int _{0}^{t}v_{1}dt$
$\left.L\ln \left(1\;+\;{\frac {x_{P}}{L}}\right)\right|_{0}^{x}\;=\;\left.v_{1}t\right|_{0}^{t}\Rightarrow \;\;\;L\ln {\frac {1\;+\;{\frac {x}{L}}}{1\;+\;{\frac {0}{L}}}}\;=\;v_{1}(t\;-\;0)$
$\ln \left(1\;+\;{\frac {x}{L}}\right)\;=\;{\frac {v_{1}}{L}}t\Rightarrow \;\;\;\left(1\;+\;{\frac {x}{L}}\right)\;=\;e^{{\frac {v_{1}}{L}}t}$
$x\;=\;L\left(e^{{\frac {v_{1}}{L}}t}\;-\;1\right)$
e, evidentemente, y = 0 e z = 0 para todo t.
A aceleração poderia ser calculada também derivando-se a função de posição
${\vec {a}}\;=\;{\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2}}}\;{\vec {u}}_{x}\;+\;{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}\;{\vec {u}}_{y}\;+\;{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;{\vec {u}}_{z}\;=\;{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left[L\left(e^{{\frac {v_{1}}{L}}t}\;-\;1\right)\right]\;{\vec {u}}_{x}$
${\vec {a}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\left[L{\frac {v_{1}}{L}}\left(e^{{\frac {v_{1}}{L}}t}\;-\;1\right)\right]\;{\vec {u}}_{x}\;=\;\left[v_{1}{\frac {v_{1}}{L}}\left(e^{{\frac {v_{1}}{L}}t}\;-\;1\right)\right]\;{\vec {u}}_{x}$
${\vec {a}}\;=\;\left[{\frac {v_{1}^{2}}{L}}\left(e^{{\frac {v_{1}}{L}}t}\;-\;1\right)\right]\;{\vec {u}}_{x}$
que expressa a aceleração como uma função de t, não de x. É possível provar que as expressões são equivalentes substituindo-se x na primeira equação:
${\vec {a}}_{x}\;=\;{\frac {v_{1}^{2}}{L}}\left[1\;+\;{\frac {x}{L}}\right]\;{\vec {u}}_{x}\;=\;{\frac {v_{1}^{2}}{L}}\left[1\;+\;{\frac {L\left(e^{{\frac {v_{1}}{L}}t}\;-\;1\right)}{L}}\right]\;{\vec {u}}_{x}\;=\;{\frac {v_{1}^{2}}{L}}\left(e^{{\frac {v_{1}}{L}}t}\;-\;1\right)\;{\vec {u}}_{x}$
Essas duas formas de obtenção da aceleração ilustram, respectivamente, o modelo de descrição Euleriano e o modelo de descrição Lagrangeano do movimento.