# Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E4

* Teoria
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## Enunciado

Deduzir o perfil de velocidades para escoamento laminar de um líquido Newtoniano em um tubo cilíndrico horizontal de diâmetro D.

## Solução

Aqui, não podemos modelar as paredes do tubo como duas placas paralelas, e será preciso empregar as equações em coordenadas cilíndricas.
${\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}\;(rv_{r})\;+\;{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial \theta }}\;(v_{\theta })\;+\;{\frac {\partial }{\partial z}}\;(v_{z})\;=\;0$
$\rho _{0}\left({\frac {\partial v_{r}}{\partial t}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{r}}{\partial r}}\;+\;{\frac {v_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}\;-\;{\frac {v_{\theta }^{2}}{r}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{r}}{\partial z}}\right)\;=\;$
$\;=\;\rho _{0}g_{r}\;-\;{\frac {\partial p}{\partial r}}\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{r})\right)\;+\;{\frac {1}{r^{2}}}\;{\frac {\partial ^{2}v_{r}}{\partial \theta ^{2}}}\;-\;{\frac {2}{r^{2}}}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{r}}{\partial z^{2}}}\right]$
$\rho _{0}\left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial t}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}\;+\;{\frac {v_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}\;+\;{\frac {v_{r}v_{\theta }}{r}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial z}}\right)\;=\;$
$\;=\;\rho _{0}g_{\theta }\;-\;{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial p}{\partial \theta }}\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{\theta })\right)\;+\;{\frac {1}{r^{2}}}\;{\frac {\partial ^{2}v_{\theta }}{\partial \theta ^{2}}}\;+\;{\frac {2}{r^{2}}}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{\theta }}{\partial z^{2}}}\right]$
$\rho _{0}\left({\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\;+\;{\frac {v_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial \theta }}\;+\;v_{z}\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\;=\;$
$\;=\;\rho _{0}g_{z}\;-\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\right)\;+\;{\frac {1}{r^{2}}}\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial \theta ^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial z^{2}}}\right]$
Por simetria, para qualquer propriedade η, ${\frac {\partial \eta }{\partial \theta }}\;=\;0$. O movimento é unidimensional, portanto $v_{r}\;=\;v_{\theta }\;=\;0$. Em regime estacionário, ${\frac {\partial \eta }{\partial t}}\;=\;0$. Assim, as equações se tornam
$0\;+\;0\;+\;{\frac {\partial }{\partial z}}\;(v_{z})\;=\;0\;\;\;\Rightarrow {\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\;=\;0$
$\rho _{0}\left(0\;+\;0\;-\;0\;+\;0\right)\;=\;\rho _{0}g_{r}\;-\;{\frac {\partial p}{\partial r}}\;+\;\mu _{0}\;\left[0\;+\;0\;-\;0\;+\;0\right]\;\;\;\Rightarrow {\frac {\partial p}{\partial r}}\;=\;\rho _{0}g_{r}$
$\rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)\;=\;\rho _{0}g_{\theta }\;-\;{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial p}{\partial \theta }}\;+\;\mu _{0}\;\left[0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right]\;\;\;\Rightarrow {\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial p}{\partial \theta }}\;=\;\rho _{0}g_{\theta }$
$\rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;v_{z}\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\;=\;0\;-\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\right)\;+\;0\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial z^{2}}}\right]$
${\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\;=\;0\;\;\;\Rightarrow {\frac {\mu _{0}}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\right)\;=\;{\frac {\partial p}{\partial z}}$
As três primeiras equações nos trazem informação trivial: o fluxo deve ser constante ao longo do eixo Z (horizontal) e a distribuição de pressões ao longo de cada seção circular é hidrostática. Integrando a última equação, teremos
${\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\right)\;=\;{\frac {1}{\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}\;r\;\;\;\Rightarrow r\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\;=\;k_{1}r^{2}\;+\;k_{2}\qquad \left(k_{1}\;=\;{\frac {1}{2\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}\right)$
${\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\;=\;k_{1}r\;+\;k_{2}\;{\frac {1}{r}}$
mas k$_2$ deve ser nulo, caso contrário a velocidade seria infinita em r = 0 (centro do tubo). Assim,
${\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\;=\;k_{1}r\;\;\;\Rightarrow v_{z}\;=\;{\frac {k_{1}}{2}}r^{2}\;+\;k_{3}$
Como v$_z$(R) = 0, temos
$v_{z}(R)\;=\;0\;\;\;\Rightarrow {\frac {k_{1}}{2}}R^{2}\;+\;k_{3}\;=\;0\;\;\;\Rightarrow k_{3}\;=\;-\;{\frac {k_{1}}{2}}R^{2}$
Assim
$v_{z}\;=\;{\frac {k_{1}}{2}}\left(r^{2}\;-\;R^{2}\right)\;=\;{\frac {1}{4\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}\;(r^{2}\;-\;R^{2})$
Finalmente, é bom lembrar que, para saber se o escoamento é laminar, é preciso examinar o número de Reynolds, que aqui tem a forma:
$N_{Re}\;=\;{\frac {\rho \;{\bar {v}}\;D}{\mu _{0}}}$
Por isso, é importante determinar a velocidade média. Para isso, calcula-se primeiro a vazão na seção circular A
$\Phi \;=\;\int _{A}v_{z}dA\;=\;\int _{0}^{R}{\frac {1}{4\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}\;(r^{2}\;-\;R^{2})(2\pi r\;dr)\;=\;{\frac {\pi }{2\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}\int _{0}^{R}(r^{3}\;-\;R^{2}r)\;dr$
$\Phi \;=\;{\frac {\pi }{2\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}\left.\left({\frac {r^{4}}{4}}\;-\;{\frac {R^{2}r^{2}}{2}})\right)\right|_{0}^{R}$
$\Phi \;=\;-\;{\frac {\pi R^{4}}{8\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}$
${\bar {v}}\;=\;{\frac {Phi}{A}}\;=\;-\;{\frac {\pi R^{4}}{8\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}\;{\frac {1}{\pi R^{2}}}\;=\;-\;{\frac {R^{2}}{8\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}$
Os valores negativos de vazão e velocidade média devem-se ao fato de o fluxo ocorrer do ponto de maior pressão para o ponto de menor pressão (Δp < 0).