OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Logística/Técnicas de previsão/Regressão múltipla

Sousa (2009, p. 20) define regressão linear múltipla como uma relação entre uma variável aleatória dependente, $y\,\!$, e $k\,\!$ variáveis independentes, $x_{1}\,\!$, $x_{2}\,\!$, …, $x_{k}\,\!$, com a seguinte expressão:
$y=\beta _{0}+x_{1}\beta _{1}+x_{2}\beta _{2}+x_{3}\beta _{3}+\dots +x_{k}\beta _{k}+e\,\!$
Onde, tal como no caso da regressão simples, se utiliza o método dos mínimos quadrados para determinar os parâmetros $\beta _{i}\,\!$
De acordo com Henriques (2009, p. 22), a expressão acima pode ser re-escrita na forma matricial como:
    ${\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\y_{4}\\\dots \\y_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&x_{11}&x_{21}&\dots &x_{k1}\\1&x_{12}&x_{22}&\dots &x_{k2}\\1&x_{13}&x_{23}&\dots &x_{k3}\\1&x_{14}&x_{24}&\dots &x_{k4}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\1&x_{1n}&x_{2n}&\dots &x_{kn}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\\\beta _{2}\\\beta _{3}\\\dots \\\beta _{k}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\dots \\\varepsilon _{n}\end{bmatrix}}\Leftrightarrow Y=X\beta +\varepsilon \,\!$
Onde:
| $Y\,\!$: | matriz das observações da variável dependente; |
| $X\,\!$: | matriz das observações da variável independente, ou matriz significativa do modelo; |
| $\beta \,\!$: | vector dos parâmetros de regressão a serem estimados; |
| $\varepsilon \,\!$: | vector do erro que resulta do facto de $y\,\!$ ter características aleatórias. |
Admite-se que $\varepsilon _{1}\,\!$, $\varepsilon _{2}\,\!$, ...,$\varepsilon _{k}\,\!$ são variáveis aleatórias independentes de média 0 e desvio padrão $\sigma ^{2}\,$.
Da mesma forma que na regressão simples se utiliza o método dos mínimos quadrados para estimar os parâmetros da regra de regressão, o mesmo acontece na regressão múltipla, da qual se obtém que o vector dos parâmetros da regressão é dado por:
${\begin{bmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\\\beta _{2}\\\beta _{3}\\\dots \\\beta _{k}\end{bmatrix}}=\beta =(X^{T}X)^{-1}X^{T}\times Y$
Caso ocorra $k=1\,\!$, está-se perante um problema de regressão linear simples, que também pode ser resolvido desta forma.
Um exemplo de regressão múltipla, dado por Henriques (2009, p. 18), é a relação entre o volume de vendas efectuadas num período de tempo por um vendedor, os seus anos de experiência, e a sua pontuação num teste de inteligência.
# PostgreSQL Prático/Configurações
## 11 - Configurações

* Configurar acessos (pg_hba.conf)
* Configurações Diversas (postgresql.conf)
# PostgreSQL Prático/DDL
## 3 - DDL (Data Definition Language)

* Criação e Exclusão de Bancos, Esquemas, Tabelas, Views, Constraints, etc
* Alterações nos objetos dos bancos
* Índices, Tipos de Dados e Integridade Referencial
# PostgreSQL Prático/DDL/Alterações nos objetos dos bancos

3.2 - Alterações nos objetos dos bancos
Adicionar campo, remover campo, adicionar constraint, remover constraint, alterar valor default, alterar nome de campo, alterar nome de tabela, alterar tipo de dado de campo (>=8.0).
Adicionar Um Campo
ALTER TABLE tabela ADD COLUMN campo tipo;
ALTER TABLE produtos ADD COLUMN descricao text;
Remover Campo
ALTER TABLE tabela DROP COLUMN campo;
ALTER TABLE produtos DROP COLUMN descricao;
ALTER TABLE produtos DROP COLUMN descricao CASCADE; -- Cuidado com CASCADE
Adicionar Constraint
ALTER TABLE tabela ADD CONSTRAINT nome;
ALTER TABLE produtos ADD COLUMN descricao text CHECK (descricao <> );
ALTER TABLE produtos ADD CHECK (nome <> );
ALTER TABLE produtos ADD CONSTRAINT unique_cod_prod UNIQUE (cod_prod);
ALTER TABLE produtos ADD FOREIGN KEY (cod_produtos) REFERENCES grupo_produtos;
ALTER TABLE produtos ADD CONSTRAINT vendas_fk FOREIGN KEY (cod_produtos) REFERENCES produtos (codigo);
Remover Constraint
ALTER TABLE tabela DROP CONSTRAINT nome;
ALTER TABLE produtos DROP CONSTRAINT produtos_pk;
ALTERAR VALOR DEFAULT DE CAMPO:
Mudar Tipo de Dados de Campo (Só >=8.0):
ALTER TABLE tabela ALTER COLUMN campo TYPE tipo;
ALTER TABLE produtos ALTER COLUMN preco TYPE numeric(10,2);
ALTER TABLE produtos ALTER COLUMN data TYPE DATE USING CAST (data AS DATE);
Mudar Nome De Campo
ALTER TABLE tabela RENAME COLUMN campo_atual TO campo_novo;
ALTER TABLE produtos RENAME COLUMN cod_prod TO cod_produto;
Setar/Remover Valor Default de Campo
ALTER TABLE tabela ALTER COLUMN campo SET DEFAULT valor;
ALTER TABLE produtos ALTER COLUMN cod_prod SET DEFAULT 0;
ALTER TABLE produtos ALTER COLUMN preco SET DEFAULT 7.77;
ALTER TABLE tabela ALTER COLUMN campo DROP DEFAULT;
ALTER TABLE produtos ALTER COLUMN preco DROP DEFAULT;
Adicionar/Remover NOT NULL
ALTER TABLE produtos ALTER COLUMN cod_prod SET NOT NULL;
ALTER TABLE produtos ALTER COLUMN cod_prod DROP NOT NULL;
Renomear Tabela
ALTER TABLE tabela RENAME TO nomenovo;
ALTER TABLE produtos RENAME TO equipamentos;
Adicionar Constraint (Restrição)
ALTER TABLE produtos ADD CONSTRAINT produtos_pk PRIMARY KEY (codigo);
ALTER TABLE vendas ADD CONSTRAINT vendas_fk FOREIGN KEY (codigo) REFERENCES produtos(codigo_produto);
ALTER TABLE vendas ADD CONSTRAINT vendas_fk FOREIGN KEY (codigo) REFERENCES produtos; -- Neste caso usa a chave primária da tabela produtos
Remover Constraint (Restrição) ALTER TABLE produtos DROP CONSTRAINT produtos_pk;
ALTER TABLE vendas DROP CONSTRAINT vendas_fk;
# PostgreSQL Prático/Configurações/Configurações Diversas
## 11.2 - postgresql.conf

O postgresql.conf permite configurar as demais funcionalidades do PostgreSQL
Liberando acesso via rede TCP/IP na versão 7.4.x: tcp_socket = true (default = false)
No 8.0.x: listen_address = '10.0.0.16'
Alguns configurações do postgresql.conf: Regra geral: os valores que vêm comentados com # são os valores default. Se formos alterar algum idealmente devemos fazer uma cópia da linha e descomentar, para sempre saber o valor default.
sameuser é o usuário padrão no ident.conf (significa o mesmo user do sistema operacional).
Consultando no psql: SHOW DATESTYLE;
Retorna -> SQL, DMY
Ajustando o estilo da data no psql: SET DATESTYLE TO SQL, DMY;
ALTER ROLE nomeuser SET datestyle TO SQL, DMY;
O caminho de entrada num banco do PostgreSQL: -> postgresql.conf -> ph_hba.conf -> ident.conf (caso este exista e seja citado no pg_hba.conf)
O encoding e outros recursos podem ser passados para cada banco, no momento de sua criação, como por exemplo:
De fora do banco: createdb -E LATIN1 nomebanco.
De dentro do banco (psql): CREATE DATABASE nomebanco WITH ENCODING 'LATIN1';
Para a relação completa dos encoding suportados veja tabela 21-2. Para visualizar a codificação no psql digite \encoding.
Para mudar a codificação de um banco dinamicamente, estando nele utilize: \encoding novoencoding
Como também podemos utilizar o comando SET: SET CLIENT_ENCODING 'LATIN1'; Consultando o encoding existente SHOW CLIENT_ENCODING;
PARA DESFAZER AS ALTERAÇÕES E VOLTAR À CODIFICAÇÃO PADRÃO: RESET CLIENT_ENCODING;
Mais detalhes: http://www.postgresql.org/docs/8.1/interactive/runtime-config.html#CONFIG-SETTING
Para saber os locales existentes execute de dentro do psql: \l -- Exibe bancos, donos e locales (Codificação)
Em cada conexão com o PostgreSQL, somente se pode acessar um único banco. No postgresql.conf podemos definir o encoding através da variável client_encoding.
# PostgreSQL Prático/DCL
## 7 - DCL (Data Control Language) - Administração

7.1 - Administração de usuários, grupos e privilégios
# PostgreSQL Prático/DML
## 4 - DML (Data Manipulation Language)

* Consultas (select, insert, update e delete)
* Consultas Join
* Sub Consultas
# Selos do Brasil/1936

* 1930 . 1931 . 1932 . 1933 . 1934 . 1935 . 1936 . 1937 . 1938 . 1939
* 1936
Aviação
Mercúrio e Globo
Cifra Horizontal
Tricentenário de Cametá
IX Feira Internacional de Amostras
Centenário do Nascimento de Carlos Gomes
1o Congresso de Numismática Brasileira
1o Congresso Nacional de Direito Judiciário
2o Congresso Eucarístico de Belo Horizonte
Centenário Farroupilha
Fé e Força
Visconde de Cairú
# Selos do Brasil/1938

* 1930 . 1931 . 1932 . 1933 . 1934 . 1935 . 1936 . 1937 . 1938 . 1939
* 1938
Instrução
Cifra Horizontal
Cataratas do Iguaçú
Outros
# Selos do Brasil/1939

* 1930 . 1931 . 1932 . 1933 . 1934 . 1935 . 1936 . 1937 . 1938 . 1939 . >>
* 1939
Pró-Juventude
Instrução
Fé e Força
Mercúrio e Globo
Versos
Outros
# Selos do Brasil/1940

* 1940 . 1941 . 1942 . 1943 . 1944 . 1945 . 1946 . 1947 . 1948 . 1949
* 1940
Pró-Juventude
Cifra Horizontal
Feira Mundial de Nova York
Mercúrio e Globo
Outros
# Selos do Brasil/1946

* 1940 . 1941 . 1942 . 1943 . 1944 . 1945 . 1946 . 1947 . 1948 . 1949
* 1946
Agricultura
Indústria
Petróleo
Comércio
V Congresso da União Postal das Américas e Espanha
Versos
Outros
# Selos do Brasil/1937

* 1930 . 1931 . 1932 . 1933 . 1934 . 1935 . 1936 . 1937 . 1938 . 1939
* 1937
Centenário do Nacsimento de Francisco Pereira Passos
Baía da Guanabara
Palácio Monroe
Jardim Botânico do Rio de Janeiro
Outros
# Selos do Brasil/1942

* 1940 . 1941 . 1942 . 1943 . 1944 . 1945 . 1946 . 1947 . 1948 . 1949
* 1942
Siderurgia
Petróleo
Agricultura
Cifra Horizontal
Oitavo Congresso Brasileiro de Educação
IV Congresso Eucarístico Nacional
Inauguração da Cidade de Goiânia
II Exposição Agro-Pecuária do Brasil Central - Uberaba
Versos
Outros
# Selos do Brasil/1943

* 1940 . 1941 . 1942 . 1943 . 1944 . 1945 . 1946 . 1947 . 1948 . 1949
* 1943
Centenário do Selo Postal
Cifra
Petróleo
II Exposição Agro-Pecuária do Brasil Central - Uberaba
Outros
# Selos do Brasil/1944

* 1940 . 1941 . 1942 . 1943 . 1944 . 1945 . 1946 . 1947 . 1948 . 1949
* 1944
Pró-Juventude
Outros
# Selos do Brasil/1945

* 1940 . 1941 . 1942 . 1943 . 1944 . 1945 . 1946 . 1947 . 1948 . 1949
* 1945
Selos da FEB
Design Simbólico
10° Congresso Brasileiro de Esperanto
Outros
# Números primos/Objetivo
## Objetivo

Que existe muito interesse nos números primos todos nós sabemos. Há séculos a humanidade tem buscado uma fórmula que seja simples para se calcular o enésimo primo de uma sequência. Até hoje, não foi encontrada uma solução satisfatória.
O objetivo deste Wikilivro é, pois, analisar os números primos, agrupando os conhecimentos sobre eles com novas descobertas e, levar, com a ajuda de todos os autores, a uma fórmula simples para o cálculo do enésimo primo de uma sequência.
Comentando sobre a busca de uma fórmula simples para o cálculo do enésimo primo certo matemático disse: "Parece que existe algo na Matemática que ainda não descobrimos e que nos permitirá encontrar esta fórmula. Quando o encontrarmos isto mudará a estrutura da Matemática para sempre."
Então vamos procurar caminhos simples e intuitivos para encontrarmos o que falta. Tentando deixar de lado as fórmulas mais complicadas e incluindo o que encontramos de interessante nos números primos que podem levar à descoberta de uma das fórmulas mais procuradas de todos os tempos.
# Números primos/Números primos e base decimal
## Base decimal

Como todos já devem ter observado, o ser humano possui dez dedos nas mãos. Este pode ser o motivo para que a base de numeração mais utilizada hoje em dia seja a base 10. No entanto, o uso dos algarismos indo-arábicos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, juntamente com o 0, não é a única forma de descrever os números. Na ciência da computação, por exemplo, a base numérica usada pelos computadores é binária, utilizando apenas 0s e 1s. Percebemos então que o conceito de número independe da maneira como um determinado número é representado.
Por exemplo, quando dizemos 23 queremos dizer "2 dezenas e 3 unidades", isto é, $2\times 10+3$. Na base binária, esta mesma quantidade seria representado por 10111, pois neste sistema de numeração posicional, a quantidade representada por cada dígito é duas vezes o valor que ele teria se ocupasse uma posição à direita. Assim,
    $1\times 16(2\times 2\times 2\times 2)+1\times 4(2\times 2)+1\times 2+1=16+4+2+1=23.$
Se considerarmos outras bases de numeração, além da base binária e da base dez, podemos perceber que existem diversas bases numéricas e que cada número tem infinitas representações, uma para cada base numérica existente.
Intuitivamente, porém, associamos os números e suas representações à base decimal que nós conhecemos tão bem. Fizemos isto, no exemplo cima, quando para mostrarmos que 10111 na base binária era equivalente ao 23. Mas quem determinou que "23" é a melhor representação para o número 23? Quem sabe a melhor representação dele seja, por exemplo, 9? Por que 9?
Analisando o relacionamento entre os número primos e as frações percebemos que os números podem ser particionados de acordo com seus divisores primos. Por exemplo:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...
3, 6, 9, 12, 15, 18, ...
5, 10, 15, 20, 25, ...
Isto mostra que os números estão relacionados com os números primos e não com a base dez.
Observem que temos tentado descobrir qual a distribuição dos números primos entre os números compostos, quando na verdade, ELES é que geram os números compostos. Possivelmente é por isso que temos frações finitas apenas quando consideramos denominadores múltiplos de 2 e de 5, porque eles são os únicos que a nossa base numérica considera. Portanto, quando usamos apenas eles no denominador obtemos uma "representação" (na base 10) finita de um número. E quando qualquer outro fator primo entra no denominador de uma função, encontramos uma "representação decimal" (ou uma dízima) periódica.
# Números primos
## Prefácio

Este livro tem uma coleção para a criação de versões nos formatos HTML, PDF, ODT, ZIM, ePUB ou para encomendas para a PediaPress.
Este livro tem por objetivo apresentar métodos simples para se encontrar números primos, na esperança de que uma análise isolada destes métodos possa contribuir para a descoberta de uma fórmula geral para os números primos que seja simples e prática.
O conceito que guia este livro entende que toda a discussão sobre primos esteja no caminho errado e que, assim como já foi dito por outros, a solução para este problema tem de ser simples, como tudo o mais na teoria de números. Deve existir algo que falta para que tal fórmula seja encontrada. Este livro espera conseguir descobrir o que falta para permitir que alguém descubra a fórmula mais buscada em toda a história da Matemática.

## Conteúdo

Etapas de desenvolvimento - 9 fases :
| Início: | Básico: | Criação: | Desenvolvimento: | Maturação: | Revisão: | Desenvolvido: | Finalização: | Abrangente: |
* Objetivo
* Definição
* Números primos e frações
* Números primos e base decimal
* A base prima
* A reta numérica numa base infinita
# Teoria de números/Problemas em aberto
## Conjectura de Goldbach

Dos problemas matemáticos em aberto, a conjectura de Goldbach, embora considerada de pouca relevância por alguns, é muito importante para os estudos dos números primos. Em uma carta a Euler em 1742, Goldbach sugeriu o seguinte: todo número natural par maior que 3 pode ser escrito como soma de dois números primos.
# Teoria dos conjuntos

Teoria dos conjuntos é a teoria matemática que trata das propriedades dos conjuntos. Ela tem sua origem nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor (1845–1918), e se baseia na ideia de definir conjunto como uma noção primitiva. Também chamada de teoria ingênua ou intuitiva devido à descoberta de várias antinomias (ou paradoxos) relacionadas à definição de conjunto. Estas antinomias na teoria dos conjuntos conduziram a matemática a axiomatizar as teorias matemáticas, com influências profundas sobre a lógica e os fundamentos da matemática.
Este livro aborda a teoria dos conjuntos de uma forma axiomática, apresentado os Axiomas de Zermelo-Fraenkel e suas consequências, com construções de vários conjuntos conhecidos (números naturais, os ordinais, números reais) a partir dos axiomas. Para ver a teoria dos conjuntos tratada de forma mais elementar, consulte o capítulo Conjuntos do livro Matemática elementar.
Quase todos os resultados da matemática moderna (e todos os resultados da matemática com aplicação em física, química, engenharia, finanças, etc) podem ser demonstrados a partir destas construções e dos axiomas da teoria dos conjuntos; as fundações da matemática, portanto, são estes axiomas.
Para este livro, é necessário um bom conhecimento de lógica, e da notação simbólica.
Este livro apresenta os axiomas em sequência, de forma que os resultados de cada capítulo sejam construídos a partir dos resultados e definições dos capítulos anteriores.

## Índice

Uma versão para impressão de Teoria dos conjuntos está disponível. 
Este livro tem uma coleção para a criação de versões nos formatos HTML, PDF, ODT, ZIM, ePUB ou para encomendas para a PediaPress.
* Capítulo 1: Conjuntos
** Conjuntos
* Capítulo 2: Axiomas (primeira parte)
** Axioma da extensão
*** Subconjuntos, subconjunto próprio
** Axioma da separação
*** $\{x\in z|\Phi (x)\}\,,$ conjunto vazio, interseção, diferença
** Axioma do par
*** {x, y}, {x},, 1, 2, par ordenado
** Revendo o axioma da separação
*** fórmulas bem formadas
** Axioma da união
*** $A\cup B\,$, {x, y, z}, {w, x, y, z}, ..., s(x), 3, 4, ..., 9
* Capítulo 3: Axiomas (segunda parte)
** Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união
*** relações, funções, relações bem-ordenadas, conjuntos finitos, números ordinais, números naturais
** Axioma da potência
** Axioma da substituição
** Axioma da regularidade
** Axioma da escolha
** Axioma do infinito
* Capítulo 4: Construções básicas da teoria
** Funções e relações
** O conjunto dos números naturais
** Números ordinais
** Cardinalidade
* Apêndice
** Conjuntos Infinitos
** Bibliografia

## Ver também

* Matemática elementar/Conjuntos - abordagem mais elementar
# Teoria dos conjuntos/Axioma da extensão

O axioma da extensão diz que a única coisa que distingue dois conjuntos são seus elementos. Ou seja, dois conjuntos são iguais se, e somente se, seus elementos são os mesmos. Como só existem conjuntos (ou seja, os elementos dos conjuntos são conjuntos), este axioma diz dois objetos são iguais quando seus elementos são os mesmos.
Formalmente, o axioma se escreve:
    $\forall A\,\forall B\,(\forall C\,(C\in A\iff C\in B)\Rightarrow A=B)$

## Subconjuntos

A expressão $\forall C\,(C\in A\implies C\in B)\,$ é usada para representar a noção de subconjunto, ou seja, definimos:
    $A\subseteq B\,$
como
    $\forall C\,(C\in A\implies C\in B)\,$
Segue-se imediatamente que:
    $(A\subseteq B\land B\subseteq A)\iff A=B\,$
Um subconjunto é chamado de subconjunto próprio quando ele não é o próprio conjunto. Por definição:
    $A\subset B\,$
significa que:
    $A\subseteq B\land A\neq B\,$
Uma consequência das definições é o resultado seguinte:
    $A\subset B\implies (\exists x\in B,x\not \in A)\,$
Em palavras: se A é um subconjunto próprio de B, então B possui algum elemento que não é elemento de A.

### Propriedades

As propriedades seguintes são imediatas das definições, valendo para todos conjuntos A, B, C:
    $A\subseteq B\land B\subseteq C\implies A\subseteq C\,$
    $A\subseteq B\land B\subset C\implies A\subset C\,$
    $A\subset B\land B\subseteq C\implies A\subset C\,$
    $A\subset B\land B\subset C\implies A\subset C\,$
# Teoria de números/Índice remissivo

Nesta página estão listados os conceitos abordados neste livro em ordem alfabética.
O nome de cada conceito possui um link para a página onde o mesmo é definido. Outras ocorrências importantes do conceito são indicadas pelos links numerados, logo após o link principal.

## A

* Anel
* Axiomas de Peano
* Adição
* Associatividade

## B

* Bloco básico

## D

* Divisibilidade

## E

* Elemento oposto
* Estrutura
    aditiva
    multiplicativa

## L

* Lei do cancelamento
* Linearidade

## M

* Multiplicação
* Multiplicatividade

## N

* Número
    inteiro
    natural

## R

* Reflexividade

## T

* Transitividade
# Teoria dos conjuntos/Axioma da substituição

Axioma da substituição
Vimos até agora várias definições que pegam um conjunto e formam outro conjunto, único, a partir daquele conjunto.
Por exemplo, temos (sendo x o conjunto sobre o qual vamos operar, e C um conjunto fixo):
* $\bigcup _{y\in x}y\,$ - a união dos elementos de x
* $s(x)=x\cup \{x\}\,$ - o sucessor de x
* $x\cap C\,$, $x\cup C\,$, e várias outras operações
Parece natural perguntar se, sendo A um conjunto fixo, se é possível construir uma função
    $f:A\to B\,$
cujo gráfico seja precisamente os pares de valores definidos por estas propriedades, ou seja, aquilo que, intuitivamente (e tradicionalmente) escrevemos como:
* $f(x)=\bigcup _{y\in x}y\,$
* $f(x)=s(x)\,$
* $f(x)=x\cap C\,$, etc
Infelizmente, os axiomas até agora apresentados (mesmo com a inclusão do axioma da potência) não permitem a construção desta função - porque não conseguimos definir que o conjunto B existe!
O axioma da substituição vem preencher esta lacuna. Seu nome é devido ao esquema de substituição, ou seja, se existe alguma regra que associa a cada conjunto x que é elemento de A um único conjunto y (ou seja, esta regra faz o papel de uma função) então existe um conjunto B (único, pelo axioma da extensão) cujos elementos são estes y.
Assim, se existe alguma lei que, para cada conjunto x gera um único conjunto y = f(x), então existem f(A) e a função $f:A\to f(A)\,$ cujo gráfico são os pares (x, f(x)).

## Definição

Este axioma é, assim como o axioma da separação, um esquema de axiomas. Seja A um conjunto, e Φ(x, y) uma fórmula bem formada em x e y com a propriedade de:
    $\forall x\in A,\exists y,(\Phi (x,y)\land \forall z,(\Phi (x,z)\implies y=z))\,$
ou seja, para todo x, existe um y que satisfaz Φ(x, y) e este y é único.
Com estas condições:
    $\exists B,\forall x\in A,\exists y\in B,(\Phi (x,y)\,$.

## Notação

Uma fórmula Φ(x, y) que tem esta propriedade de unicidade do y costuma ser representada por y = φ(x). Assim, o que o axioma diz é que, se y = φ(x) está definido para todo elemento x de um conjunto A, então existe (e é único) o conjunto:
    $B=\{y|y=\phi (x),x\in A\}\,$

## Funções definidas por leis

Aplicando várias vezes o axioma da substituição, podemos justificar a notação tão comum para funções da forma:
    $f:A\to B,f(x)=\phi (x)\,$
em que são explicitamente exibidos apenas o conjunto A e a lei y = φ(x).
O que esta notação significa é o seguinte:
    O conjunto B é obtido pelo axioma da substituição, usando-se a fórmula bem formada Φ(x,y) = (y = φ(x))
    O gráfico da função é obtido pelo axioma da substituição, usando-se a fórmula bem formada Φ(x, z) = (z = (x, φ(x))
Segue direto da definição que esta função é sobrejetiva.
# Alemão/Gramática/Fonologia

A fonética do alemão é muito simples, e extremamente semelhante à do português.
| Letra | Som (IPA) | Exemplo | Exemplo | Pronúncia |
| ch | x ou ç | ich | [ˈix] Alemão Suíço; [ˈiç] Alemão Teutônico | (aproximada) entre rr e ch (encostando-se o maior comprimento possível da língua no céu da boca e forçando a passagem de ar por entre) |
| f | f | Hafen | [ˈhaːfən] | f |
| k | k | Katze | [ˈkatsə] | c em casa |
| sch | ʃ | Schule | [ˈʃuːlə] | ch |
| v | f | Vogel | [ˈfoːɡəl] | f |
| w | v | Wagen | [ˈvɑ:ɡən] | v |
# Alemão/Gramática
### Índice
## Gramática

* Adjetivos e advérbios
* Artigos
* Casos
* Substantivos
* Preposições e posposições
* Pronomes
* Sentenças
* Verbos

## Fonética

* Fonologia
# Alemão/Gramática/Preposições e Posposições
## Preposições e posposições

O Alemão tem dativas, acusativas, genitivas e bidireccionais preposições e posposições. Cada preposição causas da expressão adverbial sobre o qual age a tomar o caso da preposição. Preposições Bidireccionais causam a expressão adverbial de tomar o caso acusativo se o verbo é transitivo, e o caso dativo se o verbo é intransitivo.
Algumas preposições alemãs :
| Acusativo | Dativo | Genitivo | As duas formas |
| durch | aus | während | an |
| ohne | außer | trotz | auf |
| um | bei | anstatt | hinter |
| gegen | mit | wegen | in |
| bis | nach | innerhalb | neben |
| für | seit | außerhalb | über |
| entlang | von | - | unter |
| wieder | zu | - | vor |
| - | gegenüber | - | zwischen |
Notas:
Gegenüber é uma das raras preposições que se modifica de acordo com a palavra que a acompanha.
Aber auch:
Nach é também usado como uma posposição, quando significa: "de acordo para". As duas frases são equivalentes:
Na língua falada, o genitivo com preposições é atualmente norma, caso substitua o dativo, e.g.: