# Mecânica dos fluidos/Equações de Navier-Stokes
## Equações de Navier-Stokes

Conforme visto anteriormente, a equação de conservação do momento linear em forma diferencial, para coordenadas cartesianas, pode ser escrita
$\left({\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}\right)\;{\vec {u}}_{x}\;+\;\left({\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}\right)\;{\vec {u}}_{y}\;+\;\left({\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\;-\;\rho g\right)\;{\vec {u}}_{z}\;=\;\rho \left({\vec {v}}\cdot \nabla {\vec {v}}\;+\;{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\right)$
Essa equação só pode ser resolvida depois que os valores das tensões σ e τ são relacionados às componentes da velocidade por meio de equações auxiliares. De acordo com a análise cinemática anterior, as tensões de cisalhamento estão relacionadas com a velocidade da seguinte maneira
${\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\;=\;{\frac {1}{\mu }}\;\tau _{yx}\;=\;{\frac {1}{\mu }}\;\tau _{xy}$
${\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\;=\;{\frac {1}{\mu }}\;\tau _{zx}\;=\;{\frac {1}{\mu }}\;\tau _{xz}$
${\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\;=\;{\frac {1}{\mu }}\;\tau _{yz}\;=\;{\frac {1}{\mu }}\;\tau _{zy}$
e, de acordo com a análise estática anterior
$\sigma _{xx}\;=\;-\;p\;-\;{\frac {2}{3}}\mu \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\;+\;2\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}$
$\sigma _{yy}\;=\;-\;p\;-\;{\frac {2}{3}}\mu \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\;+\;2\mu {\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}$
$\sigma _{zz}\;=\;-\;p\;-\;{\frac {2}{3}}\mu \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\;+\;2\mu {\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}$
Desenvolvendo, teremos um conjunto de três equações que é conhecido como equações de Navier-Stokes.
Na direção do eixo X, teremos:
$\left({\frac {\partial }{\partial x}}\left(-\;p\;-\;{\frac {2}{3}}\mu \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\;+\;2\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\right)\;+\;{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;+\;\mu {\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\right)\;+\;{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;+\;\mu {\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\right)\right)\;=\;$
$\;=\;\rho \left(v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}\right)$
Na direção do eixo Y, teremos
$\left({\frac {\partial }{\partial y}}\left(-\;p\;-\;{\frac {2}{3}}\mu \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\;+\;2\mu {\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\right)\;+\;{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;+\;\mu {\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\right)\;+\;{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mu {\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\;+\;\mu {\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\right)\right)\;=\;$
$\;=\;\rho \left(v_{x}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial t}}\right)$
E, na direção do eixo Z, teremos
$\left({\frac {\partial }{\partial z}}\left(-\;p\;-\;{\frac {2}{3}}\mu \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\;+\;2\mu {\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\;+\;{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;+\;\mu {\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\right)\;+\;{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\;+\;\mu {\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\right)\right)\;-\;\rho g\;=\;$
$\;=\;\rho \left(v_{x}{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}\right)$
Essas três equações, mais a equação de continuidade, formam um sistema de quatro equações diferenciais parciais não-lineares acopladas, cuja solução é possível apenas em casos especiais. Exemplos de casos especiais são aqueles onde o fluido é um líquido ideal e a geometria do problema é muito simples.