# Análise real/Derivadas
## Definição

Estamos agora prontos para definir a derivada de uma função.
Seja $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, e seja $a\in \mathbb {R}$. Dizemos que $f(x)$ é diferenciável em $x=a$ se, e somente se, existir $L\in \mathbb {R}$ tal que
    $\lim _{x\rightarrow a}{f(x)-f(a) \over x-a}=L$.
$L$ é dita a derivada de $f$ em $a$ e é denotada por $f'(a)$.
A função é dita diferenciável no conjunto $A$ se a derivada existir para cada $a\in A$. A função é diferenciável se ela é diferenciável em todo o seu domínio.
Conceitualmente, encontrar a derivada em um ponto significa encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto. Assim, a derivada pode ser considerada como uma aproximação linear ou de primeira ordem.

## Propriedades

Algumas propriedades das derivadas seguem imediatamente a partir da definição:

### Propriedades básicas

Se f e g são diferenciáveis, então:
* $(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$
* $(\lambda f)'(x)=\lambda f'(x)$

#### Demonstração

* $(f+g)'(x)=\lim _{y\rightarrow x}{(f(y)+g(y))-(f(x)+g(x)) \over y-x}$
       $=\lim _{y\rightarrow x}\left({f(y)-f(x) \over y-x}+{g(y)-g(x) \over y-x}\right)$
       $=\lim _{y\rightarrow x}{f(y)-f(x) \over y-x}+\lim _{y\rightarrow x}{g(y)-g(x) \over y-x}=f'(x)+g'(x)$
* $(\lambda f)'(x)=\lim _{y\rightarrow x}{\lambda f(y)-\lambda f(x) \over y-x}=\lambda \lim _{y\rightarrow x}{f(y)-f(x) \over y-x}=\lambda f'(x)$

### Teorema (diferenciabilidade implica continuidade)

Se $f$ é diferenciável em $x$, então ela é contínua em $x$.

#### Demonstração

Uma vez que $f$ é diferenciável em $x$, $\lim _{y\rightarrow x}{f(y)-f(x) \over y-x}=f'(x)$.
Então $\lim _{y\rightarrow x}\left[f(y)-f(x)\right]=\lim _{y\rightarrow x}{f(y)-f(x) \over y-x}\lim _{y\rightarrow x}\left(y-x\right)=f'(x)\;0=0$
Assim, $\lim _{y\rightarrow x}f(y)=f(x)$, então f é contínua em x.

### Teorema (regra do produto)

Se $f$ e $g$ são diferenciáveis, então $(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$.

#### Prova

$(fg)'(x)=\lim _{y\rightarrow x}{f(y)g(y)-f(x)g(x) \over y-x}$
       $=\lim _{y\rightarrow x}{f(y)g(y)-f(x)g(y)+f(x)g(y)-f(x)g(x) \over y-x}$
       $=\lim _{y\rightarrow x}({f(y)-f(x))g(y)+f(x)(g(y)-g(x)) \over y-x}$
       $=\lim _{y\rightarrow x}{f(y)-f(x) \over y-x}\lim _{y\rightarrow x}g(y)+f(x)\lim _{y\rightarrow x}{g(y)-g(x) \over y-x}$
       $=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$, uma vez que g é contínua em x. $\blacksquare$
O próximo teorema é um pouco mais complicado para provar do que parece. Nós gostaríamos de usar o seguinte argumento:
$(f\circ g)'(x)=\lim _{y\rightarrow x}{f(g(y))-f(g(x)) \over y-x}$
       $=\lim _{y\rightarrow x}{f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}{g(y)-g(x) \over y-x}$
       $=\lim _{y\rightarrow x}{f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}\lim _{y\rightarrow x}{g(y)-g(x) \over y-x}$
       $=f'(g(x))g'(x)$
O problema é que $g(y)-g(x)$ pode ser zero em pontos arbitrariamente próximos de x, e, por conseguinte, ${f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}$ não seria contínua nesses pontos. Assim aplicamos um lema inteligente como se segue:

### Lema (Caratheodory)

Seja $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Dizemos que $f(x)$ é diferenciável em $x=c$ se, e somente se, existe uma função contínua $\phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ que satisfaz
    $(x-c)\phi (x)=f(x)-f(c)\quad \forall x\in \mathbb {R}$

#### Prova

* Seja $f(x)$ diferenciável em $x=c$ e defina a função $\phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ tal que
    $\phi (x)={\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}{\mbox{ para }}x\neq c$ e
    $\phi (c)=f'(c)$
É fácil ver que $\phi (x)$ é contínua e preenche a condição exigida.
* Seja $\phi (x)$ uma função contínua que satisfaz $(x-c)\phi (x)=f(x)-f(c)\quad \forall x\in \mathbb {R}$. Temos, $\forall x\neq c$, que
    $\phi (x)={\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}$
Como $\phi$ é contínua, $\phi (c)=\lim _{x\to c}\phi (x)$, ou seja,
    $\phi (c)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}$, o que implica que $f(x)$ é diferenciável em $x=c$.

### Teorema (regra da cadeia)

Seja $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ diferenciável em $c\in \mathbb {R}$ e seja $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ diferenciável em $d=g(c)$. Então
    (i) $(f\circ g)(x)$ é diferenciável em $x=c$;
    (ii) $(f\circ g)'(c)=f'(g(c))\,g'(c)$.

#### Prova

O lema de Caratheodory implica que existem funções contínuas $\phi ,\gamma :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ tais que
    $(x-c)\gamma (x)=g(x)-g(c)$ e
    $(g(x)-g(c))\phi (x)=f(g(x))-f(g(c))$.
Agora, considere a função $\eta (x)=\phi (x)\gamma (x)$. Obviamente, $\eta (x)$ é contínua. Além disso, ela satisfaz
    $(x-c)\eta (x)=(f\circ g)(x)-(f\circ g)(c)$.
Assim, pelo Lema de Caratheodory, $(f\circ g)(x)$ é diferenciável em $x=c$ e vale $(f\circ g)'(c)=\eta (c)=f'(g(c))\,g'(c)$.

## Exemplos

Considere $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ definida por $f(x)=x$. Qual é a derivada de $f$ em $a$?
$f'(a)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$
       $=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {a+h-a}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {h}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}1=1$
Assim, aqui vemos que $f'(a)=1$. Uma vez que $a$ foi um ponto arbitrariamente escolhido, concluímos que $f'(a)=1\quad \forall a\in \mathbb {R}$.
Similarmente a fórmula da derivada também pode ser encontrada.
Uma vez que os teoremas anteriores garantem que soma, bem como o produto, de funções diferenciáveis é resulta em uma função diferenciável, segue que as funções polinomiais são diferenciáveis.

## Exercícios

* Encontrar as derivadas das funções polinomiais, trigonométricas, exponencial e logarítmica.
* Alguns dos contra-exemplos mais populares para ilustrar propriedades de continuidade e de diferenciabilidade são funções que envolvem $f(x)=\operatorname {sen} \left({\frac {1}{x}}\right)$.
** Prove que $f(x)={\begin{cases}\operatorname {sen} \left({\frac {1}{x}}\right)&{\text{ para todo }}x\neq 0\\0&{\text{ para }}x=0\end{cases}}\$ não é contínua em $x=0$.
** Prove que a função $f(x)={\begin{cases}x\,\operatorname {sen} \left({\frac {1}{x}}\right)&{\text{ para todo }}x\neq 0\\0&{\text{ para }}x=0\end{cases}}\$ é contínua, mas não diferenciável em $x=0$.
** Prove que $f(x)={\begin{cases}x^{2}\,\operatorname {sen} \left({\frac {1}{x}}\right)&{\text{ para todo }}x\neq 0\\0&{\text{ para }}x=0\end{cases}}\$ é diferenciável em $x=0$.