# Lógica/Paradoxos
## Introdução

O termo "paradoxo" é usado para designar diversas situações conflituosas e antiintuitivas. Neste módulo trataremos dos paradoxos de autoreferência, ou seja, contradições lógicas resultantes de assertivas que se referem a si próprias, mas cuja a contradição não é evidente.
O estudo dos paradoxos é mais do que uma mera curiosidade lógica, mas algo que traz conseqüencias significativas para as ciências. O paradoxo de Russell foi um sério empencilho para o logicismo de Frege. E o milenar paradoxo do mentiroso está relacionado com o Teorema da Incompletude de Gödel.

## Paradoxo de Russell

    $M=\{X\mid X\not \in X\}\,\!$
$M\,\!$ é o conjunto de todos os conjuntos que não pertencem a si próprios.
$M\,\!$ pertence a si próprio?

### Análise

Se $M\in M\,\!$, então a $M\,\!$ pertence um conjunto que contém a si mesmo, o que está em contradição com a definição de $M\,\!$.
Se $M\not \in M\,\!$, então nem todos conjuntos que não pertencem a si mesmos pertencem a $M\,\!$, o que também está em contradição com a definição de $M\,\!$.
Para efeito ilustrativo, veja as seguintes listas:
| Lista de números pares entre 1 e 9 | Lista de vogais do alfabeto romano | Lista de compras | Lista de todas as listas desta análise | Lista de todas as listas desta análise que não contém a si próprias |
| 2 | A | Feijão | Lista de algarismos indo-arábicos | Lista de algarismos indo-arábicos |
| 4 | E | Arroz | Lista de vogais do alfabeto romano | Lista de vogais do alfabeto romano |
| 6 | I | Batata | Lista de compras | Lista de compras |
| 8 | O | Cebola | Lista de todas as listas desta análise | ¿Lista de todas as listas desta análise que não contém a si próprias? |
| | U | Laranja | Lista de todas as listas desta análise que não contém a si próprias | |
Se a "lista de todas as listas desta análise que não contém a si próprias" contém a si própria, então ela está errada. Contudo, se ela não contém a si própria, então está faltando para ela um item: si própria.
Modernamente, evita-se o paradoxo porque nos abstemos de considerar que a propriedade $M\in M\,\!$ define um conjunto. Dito de outro modo, a coleção de Russell não seria um conjunto, mas sim uma classe.

## Paradoxo de Grelling-Nelson

Este paradoxo consiste em um caso particular do paradoxo de Russell.
* Um adjetivo é autológico se e somente se denotar uma propriedade que ele próprio contém.
* Um adjetivo é heterológico se e somente se não denotar uma propriedade que ele próprio contém.
Exemplos de adjetivos autológicos:
* proparoxítona
* portuguesa (especificamente quando escrita em Português)
* polissilábica
* horizontal
* denotativa
Exemplos de adjetivos heterológicos:
* oxítona
* monossilábica
* vertical
* ilegível (neste contexto)
"Heterológico" é uma palavra heterológica?

### Análise

Se "heterológico" for uma palavra heterológica, então ela denota uma propriedade que ela contém. Sendo, portanto, autológica.
Se "heterológico" for uma palavra autológica, então ela não denota uma propriedade que ela contém. Sendo, portanto, heterológica.

## Paradoxo do Mentiroso

Este é um dos mais antigos paradoxos de autoreferência e já foi formulado de diversas maneiras. Aqui formularemos ele assim:
    O conteúdo desta caixa é falso.

### Análise

Se o conteúdo da caixa for verdadeiro, então, segundo ele próprio, o conteúdo da caixa é falso.
Se o conteúdo da caixa for falso, então o conteúdo da caixa é verdadeiro.

## Paradoxo de Curry

    Se tudo nesta caixa é verdade, então o mundo acabará semana que vem.

### Análise

Se o mundo acabar semana que vem, então tudo na caixa em questão é verdade. Disto segue que o mundo acaba semana que vem.
Agora, se o mundo não acabar semana que vem, então nem tudo na caixa é verdade. Neste caso, a condicionalidade na caixa é verdadeira, ou seja, tudo na caixa é verdade. Disto segue que o mundo acaba semana que vem.
Podemos formalizar isto assim:
Seja $P\,\!$ a proposição "tudo nesta caixa é verdade" e seja $Q\,\!$ a proposição "o mundo acabará semana que vem", a proposição "Se tudo nesta caixa é verdade, então o mundo acabará semana que vem" é formalizada assim: $P\to Q\,\!$.
Portanto, a satisfação da verdade do conteúdo da caixa é descrito assim:
${\mathfrak {v}}\left(P\to Q\right)=\mathrm {V} \iff {\mathfrak {v}}\left(P\right)=\mathrm {F} \quad ou\quad {\mathfrak {v}}\left(Q\right)=\mathrm {V}$
Como $P\,\!$ afirma a verdade do conteúdo da caixa, então:
${\mathfrak {v}}\left(P\right)=\mathrm {V} \iff {\mathfrak {v}}\left(P\to Q\right)=\mathrm {V}$
Portanto,
${\mathfrak {v}}\left(P\right)=\mathrm {F} \Longrightarrow {\mathfrak {v}}\left(P\to Q\right)=\mathrm {V} \Longrightarrow {\mathfrak {v}}\left(P\right)=\mathrm {V} \,\!$
Ou seja, se $P\,\!$ é falso, então $P\,\!$ é verdadeiro e segue por modus ponens que $Q\,\!$ é verdadeiro. O mesmo ocorre para quaisquer outras valorações dadas a $P\,\!$ e $Q\,\!$.

## Paradoxo de Epiménides

Era uma vez um acusado que disse:
"Enquanto a minha mentira não for desvendada, continuarei mentindo".
Em seguida o juíz disse:
"Se o acusado mentir, seu advogado também mentirá".
Por fim o advogado disse:
"Quem for capaz de desvendar a minha mentira dirá a verdade".
Qual deles está mentindo?