# Curso de termodinâmica/Equação de estado dos gases perfeitos

Equação de estado :
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## Lei de Avogadro

A uma temperatura e pressão constantes, o número de moléculas de gás contido num certo volume é o mesmo qualquer que seja o gás. Então, o volume V é diretamente proporcional ao número de moléculas (a P e a T constantes) ou ainda , em termos de número de mols (1 mol = 6,022 x 10$^{23}$ moléculas), V é diretamente proporcional ao número de mols (a P e a T constantes)

## Lei de Boyle-Mariotte

A temperatura constante (isotermia), os volumes ocupados por uma mesma massa gasosa são inversamente proporcionais às pressões que suportam. Por inversamente proporcional entenda que, quando a pressão aumenta, o volume decresce na mesma proporção e vice-versa.
Se representarmos a pressão em ordenadas e volume em abscissas, o gráfico da eq. de Boyle-Mariotte é uma curva denominada hipérbole equilátera.
Se a transformação isotérmica se realizar numa temperatura T'>T, valor do produto pV será mais elevado, e portanto a hipérbole representativa ficará mais afastada dos eixos.

## Lei de Charles

A pressão constante (condições isóbaras), o volume de uma quantidade constante de gás aumente proporcionalmente com a temperatura.
Para pressões suficientemente baixas, este comportamento é observado para todos gases. O volume é diretamente proporcional à temperatura T , isto é:
se a temperatura é expressa numa nova unidade : o Kelvin (K) , ligado ao grau Celsius por :

## Lei de Gay-Lussac

A volume constante, a pressão a que está sujeita uma certa quantidade constante de gás aumenta proporcionalmente com a temperatura.

## Equação de estado dos gases perfeitos

Os gases que obedecem às 3 ultimas leis são ditos perfeitos (tem uma polémica : estes gases são perfeitos ou ideais? Usaremos o termo perfeito) . A combinação destas leis fornece :
A constante é chamada constante dos gases perfeitos (símbolo R). A dimensão de PV é de uma energia .
R = 8.314 J.K$^{-1}$.mol$^{-1}$ = 0.08206 L.atm.K$^{-1}$.mol$^{-1}$ = 1.9872 cal.K$^{-1}$.mol$^{-1}$
Um traçado da pressão em relação ao volume (a temperatura constante) P = nRT /V se chama um isotermo e, como é uma função da forma f(x) = constante/x, possui aparência de uma hipérbole.
Podemos também representar o estado de um gás perfeito (para uma certa quantidade de matéria por área) num diagrama a três dimensões P,V e T . Os isotermos P(V) com duas dimensões são as projeções desta área sobre um plano .

## Equação barométrica

A pressão exercida por uma coluna de líquido ( por exemplo o mercúrio) é calculada a partir de sua densidade que supomos constante qualquer seja a altura na coluna. No caso de uma coluna de gás de seção A, a densidade varia com a altitude. A pressão P na altura z, Pz , é devida ao peso da coluna de gás entre z e z+dz. Em conseqüência, a pressão diminui quando a altitude aumenta.
Quando a altura aumenta de uma pequena quantidade dz , a pressão aumenta de uma quantidade dP:
$dP\;=\;P_{z+dz}\;-\;P_{z}$
$dP\;=\;{\frac {massa\;do\;g{\acute {a}}s\;de\;z+dz\;ate\;\infty }{A}}\;\cdot \;g-{\frac {massa\;de\;g{\acute {a}}s\;de\;z\;at{\acute {e}}\;\;\infty }{A}}\;\cdot \;g$
$dP\;=\;{\frac {massa\;do\;g{\acute {a}}s\;de\;z\;at{\acute {e}}\;z+dz}{A}}\;\cdot \;g$
$dP\;=\;-{\frac {\rho _{z}\;\cdot \;A\;\cdot \;dz}{A}}\;\cdot \;g\;=\;-\rho _{z}\;\cdot \;g\cdot \;dz$
onde g é a aceleração da gravidade e $\rho _{z}$ a densidade do gás, que suponhamos ser idéntica de z ate z +dz . Além disso, para um gás perfeito de massa molar M:
$\rho _{z}\;=\;{\frac {MP_{z}}{RT}}$
o que conduz à equação barométrica:
$P\;=\;P_{0}\;e^{\frac {-Mg(z-z_{0})}{RT}}$
onde $P_{0}$ é a pressão na altitude $z_{0}$

## Mistura de gases. Pressão parcial. Lei de Dalton

Seja uma mistura de diversos gases contida num volume V, colocada a uma temperatura T e submetida a uma pressão P . Anotamos por $n_{i}$ , o número de mols do gás i .
Por definição, a pressão parcial $P_{i}$ do componente i da mistura é a pressão que o gás iria produzir se for sozinho no recipiente .
No caso de um gás perfeito , a pressão total exercida por uma mistura é igual à soma das pressões parciais dos componentes . É a lei de Dalton , conseqüência da equação dos gases perfeitos , para qual o estado do gás depende só do número de moléculas e não da sua natureza .
$P_{1}\;=\;{\frac {n_{1}RT}{V}}$
$P_{2}\;=\;{\frac {n_{2}RT}{V}}$
$\;P_{total}\;$
$P_{total}\;=\;{\frac {n_{total}RT}{V}}\;=\;{\frac {(n_{1}+n_{2})RT}{V}}=\;{\frac {n_{1}RT}{V}}+\;{\frac {n_{2}RT}{V}}\;=P_{1}\;+P_{2}$
No caso de uma mistura de mais de dois constituintes:
       $P_{i}\;={\frac {n_{i}RT}{V}}$
       $P\;=\;\sum _{i}\;P_{i}\;=\sum _{i}{\frac {n_{i}RT}{V}}\;=\;{\frac {RT}{V}}\sum _{i}n_{i}$
       ${\frac {n_{i}}{\sum n_{i}}}\;=\;{\frac {P_{i}}{P}}\;=\;x_{i}$
onde xi é a fração molar do constituinte i da mistura .