# Teoria de números/Divisibilidade

A teoria de números é a área da matemática em que é estudado o anel dos números inteiros. O conjunto dos números inteiros é denotado por $\mathbb {Z}$, sendo que:
    $\mathbb {Z} =\{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}$
O conjunto $\mathbb {Z}$ pode ser definido formalmente a partir do conjunto dos números naturais $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}$ e estes, a partir dos axiomas de Peano. Para maiores detalhes sobre o assunto pode ser consultado o "capítulo específico" do wikilivro sobre álgebra abstrata, ou o livro de Milies & Coelho (2003).
O conjunto dos números inteiros é definido juntamente com duas operações: a adição e a multiplicação.
A estrutura aditiva dos números inteiros é trivial. Acompanhe os exemplos:
| -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | $\ldots$ |
| $-1-1$ | $\mathbf {-1}$ | $1-1$ | $\mathbf {1}$ | $1+1$ | $(1+1)+1$ | $(1+1)+(1+1)$ | $\ldots$ |
Como se pode observar, qualquer número inteiro pode ser "formado aditivamente" a partir do número 1. Nesse sentido, a unidade é o "bloco básico" a partir do qual são construídos todos os números inteiros, usando-se as propriedades da operação de adição (como por exemplo a associatividade e a existência de elemento oposto).
Além disso, dado um número inteiro, sua decomposição em "blocos básicos" é essencialmente uma só. Por exemplo, se considerarmos o número 5, teremos:
    $\mathbf {5} =2+2+1=(1+1)+(1+1)+1$
    $\mathbf {5} =2+1+2=(1+1)+1+(1+1)$
No entanto, a única diferença entre duas representações do 5 é a posição dos parêntesis. Não há uma mudança significativa.
Já a estrutura multiplicativa de $\mathbb {Z}$ é muito mais sofisticada. Veja alguns exemplos:
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | $\ldots$ |
| bloco básico | bloco básico | $2\cdot 2$ | bloco básico | $2\cdot 3$ | bloco básico | $(2\cdot 2)\cdot 2$ | $3\cdot 3$ | $2\cdot 5$ | bloco básico | $(2\cdot 2)\cdot 3$ | $\ldots$ |
Como deve ter percebido, quando se trata da operação de multiplicação, não existe um único bloco básico que gere todos os outros números. Por exemplo, os números 2, 3, 5, 7 e 11 não têm como ser obtidos a partir da multiplicação de dois números inteiros (além de 1 e eles próprios), mas permitem gerar outros números: $6=2\cdot 3$, $10=2\cdot 5$ e assim por diante. Parece razoável que todos os inteiros podem ser gerados dessa maneira, bastando encontrar os blocos básicos adequados.
Mas será que mesmo sendo necessários mais "blocos básicos" para a estrutura multiplicativa que para a aditiva, um número inteiro sempre será decomposto de forma única em tais blocos?
Como foi visto, isso é o que acontece na estrutura aditiva. No entanto, para responder (de forma afirmativa) a esta pergunta, será necessário definir o conceito de divisibilidade, e conhecer de suas algumas propriedades. Este é o conteúdo da próxima seção.

## Definição de divisibilidade
### Definição

Dados os inteiros $a$ e $b$, diz-se que "$a$ divide $b$" e escreve-se $a|b$, se existe um inteiro $c$ tal que $b=a\cdot c$. Alternativamente, $a|b$ pode ser lido como "$a$ é divisor de $b$", "$a$ é um fator de $b$" ou "$b$ é múltiplo de $a$". Quando não se tem $a|b$, escreve-se $a\not |b$.
O conceito apresentado acima define uma relação binária no conjunto dos números inteiros: a divisibilidade.
Lembre-se que uma relação binária sobre $\mathbb {Z}$ é qualquer subconjunto $R$ do conjunto das partes de $\mathbb {Z}$, $P(\mathbb {Z} )$. No caso da divisibilidade, tem-se:
    $R=\{(a,b)|a{\mbox{ divide }}b\}$
Nesses termos, quando $(a,b)\in R$ costuma-se dizer que $a$ está relacionado com $b$ escrevendo-se $aRb$.

## Propriedades da divisibilidade

A relação de divisibilidade possui as seguintes propriedades, para quaisquer (salvo indicação em contrário) inteiros $a,b,c,d,r,s$:
    1. $a|a$(reflexividade) 2. $a|b$ e $b|c$ implica $a|c$(transitividade) 3. $a|b$ e $b|a$ implica $a=b$ ou $a=-b$ 4. $c|a$ e $c|b$ implica $c|ra+sb$(linearidade) 5. $a|b$ e $c|d$ implica $ac|bd$ 6. $a|b$ implica $ac|bc$(multiplicatividade) 7. $ac|bc$ e $c\not =0$ implica $a|b$(lei do cancelamento) 8. $1|a$($1$ divide todo número inteiro) 9. $a|0$(todo número inteiro divide zero) 10. $0|a$ implica $a=0$(zero só divide zero) 11. $a|1$ implica $a=\pm 1$(os divisores de 1 são 1 e -1) 12. $a|b$ e $b\not =0$ implica $|a|\leq |b|$(compatibilidade com a ordem "$\leq$") 13. $a|b$ e $a\not =0$ implica $(b/a)|b$
1. Como $a=1.a$ segue da definição que $a|a$.
2. Se $a|b$ e $b|c$, então existem $q_{1},q_{2}\in \mathbb {Z}$ tais que $b=aq_{1}$ e $c=bq_{2}$, logo $c=aq_{1}q_{2}$ e portanto $a|c$.
3. $a|b$ implica que $a\geq b$. E se $b|a$, então $b\geq a$. Logo como $a$ não pode ser menor que $b$ e $b$ não pode ser menor que $a$ ao mesmo tempo, temos que $a=b$. $a=-b$ e $-b=a$ também são possíveis, já que a diferença entre $b/a$ e $b/-a$ é somente o sinal do quociente. O mesmo vale para $b/a$ e $-b/a$.
4. Como $c|a$ e $c|b$ temos que $a=q_{1}c$ e $b=q_{2}c$ com $q_{1}$ e $q_{2}$ $\in \mathbb {Z} .$. Multiplicando a primeira igualdade por $r$ e a segunda por $s$, temos $ra=rq_{1}c$ e $sb=sq_{2}c$. Somando membro a membro e colocando $c$ em evidência: $ra+sb=(rq_{1}+sq_{2})c$ daí como $rq_{1}+sq_{2}$ é inteiro segue por definição que $c|ra+sb$.
5. Tendo $a|b$ e $c|d$, podemos transformar $a|b$ e $c|d$ em equações: $b/a=x$ e $d/c=y$, sendo $x$ e $y$ os quocientes das divisões. Multiplicando ambas as equações temos: $bd/ac=xy$. Assim, já que $xy$ é o quociente da divisão $bd/ac$ (cujo resto $=0$), temos que $ac|bd$.
6. Adicionando fatores comuns no dividendo e divisor da equação $b/a=x$ (divisão exata), que implica em $a|b$; não altera o resultado da divisão, pois: $bc/ac=(b/a)(c/c)$. Como $c/c=1$: $(b/a)(c/c)=1(b/a)=b/a$. Assim $b/a=bc/ac$, que implica em $ac|bc$.
7. Como $a|b$ vem de $b/a=x$ (c = quociente), $ac|bc$ vem de $bc/ac=x$, no qual podemos tirar $c$ da divisão, já que ele é um fator comum no dividendo e divisor de $bc/ac$. Assim $ac|bc=a|c$.
8. $1a=a$ implica que $a/1=a$. Assim $1|a$.
9. $0a=0$ implica que $0/a=0$. Logo $a|0$.
10. $a|0$ pode ser transformado em $a/0=x$. Como não existe divisão por 0 (já que tendo $0x=0$ e não existe número que multiplicado por 0 dê x </math>), o único número que pode estar no dividendo é 0. Logo $0|a$ implica em $a=0$.
11. $a|1$ implica que $1/a$. Como os divisores de $1=1;-1$, temos que $a=\pm 1$.
12. Como $a|b$ e $b\neq 0$ podemos escrever $b=aq$ com $q\neq 0$. Assim, $|q|\geq 1$ e $|b|=|a||q|\geq |a|$.
$a|b$
$b/a=c$
$b/a=c$
$(quociente)(divisor)=dividendo$
$b/c=a$
$b/a=c$
$b/c=a$
$c|b=(b/a)|b$

### Observações

* A terceira propriedade seria chamada de anti-simetria, se não fosse necessário considerar o caso "$a=-b$". Quando são considerados apenas os números não-negativos (os elementos de $\mathbb {Z} _{+}$) a conclusão é apenas "$a=b$", e as propriedades de 1 a 3 fazem da divisibilidade uma relação de ordem parcial sobre $\mathbb {Z} _{+}$. No entanto, essa não é uma ordem total, pois nem todo par de elementos em $\mathbb {Z} _{+}$ é comparável, ou seja, existem inteiros não negativos $a$ e $b$, para os quais não se tem $a|b$ nem $b|a$.
* Frequentemente é mais prático trabalhar apenas com o conjunto dos números naturais $\mathbb {N}$ (o subconjunto dos inteiros não-negativos $\mathbb {Z} _{+}$) ou com os números naturais não nulos $\mathbb {N} ^{*}$ (os inteiros positivos $\mathbb {Z} _{+}^{*}$).
* As propriedades 1 e 8 garantem que todo número inteiro não negativo $a$, diferente de $1$, possui ao menos dois divisores, chamados de divisores triviais: $1$ e $a$. Os números que possuem somente estes divisores são de grande interesse na teoria de números, e serão estudados no próximo capítulo.

## Critérios de divisibilidade no sistema de numeração decimal

Nas aulas de matemática do ensino fundamental, é possível que você tenha aprendido algumas regras (ou critérios) para saber rapidamente se um certo número é divisível por outro. Por exemplo, você identifica rapidamente que um número é par quando nota que o seu último dígito é par, assim como reconhece de imediato os múltiplos de 5, pois sabe que o seu dígito das unidades é sempre 0 ou 5.
O que talvez você não saiba é que podem ser deduzidos critérios de divisibilidade para vários outros números, senão todos, embora nem sempre tais regras sejam simples e fáceis de memorizar. Uma listagem das regras mais populares é apresentada na próxima tabela. Note que as regras descritas transformam um certo número em outro, geralmente menor, que preserva a divisibilidade pelo divisor em questão. Além disso, sempre que não fica claro se um número é múltiplo de certo divisor, a mesma regra pode ser aplicada novamente ao resultado já obtido, até que se torne evidente se determinado resultado é ou não divisível pelo divisor em questão.
| Um número é divisível por... | quando... | Exemplos |
| 1 | sempre! | Qualquer número inteiro é divisível por 1. |
| 2 | seu dígito das unidades é par (ou seja, 0, 2, 4, 6, ou 8). | 1 294 é par, pois 4 é par. |
| 3 | é divisível por 3 a soma dos seus dígitos. | 405 é divisível por 3, pois 4 + 0 + 5 = 9, que é múltiplo de 3. |
| 4 | é divisível por 4 o dígito das unidades somado com o dobro do dígito das dezenas. | 5 096 é múltiplo de 4, pois 6 + (2 × 9) = 24 que é múltiplo de 4 |
| 4 | é divisível por 4 o número formado pelos dois últimos dígitos. | 70 841 não é divisível por 4, pois 41 não é. |
| 5 | o dígito das unidades é 0 ou 5. | 123 456 7890 é divisível por 5, já que seu último dígito é 0. |
| 6 | é divisível por 2 e por 3. | 24 é divisível por 6, já que seu é múltiplo de 2 e de 3. |
| 6 | é divisível por 6 a soma do dígito das unidades com o quádruplo da soma dos demais dígitos. | 12 348 é divisível por 6, pois (1 + 2 + 3 + 4) × 4 + 8 = 48 |
| 7 | vale qualquer dessas propriedades: | vale qualquer dessas propriedades: |
| 7 | é divisível por 7 a soma alternada dos números formados pelos blocos de três dígitos (da direita para esquerda). | 1 369 851 é divisível por 7, pois 851 - 369 + 1 = 483 = 7 × 69 |
| 7 | é divisível por 7 a soma do número formado pelos dois últimos dígitos com o dobro do número formado ao desconsiderar estes dígitos. | 364 é divisível por 7, uma vez que (3 × 2) + 64 = 70. |
| 7 | é divisível por 7 a soma do quíntuplo do último dígito com o número formado pelos dígitos restantes. | 364 é divisível por 7, já que 36 + (4 x 5) = 56. |
| 7 | é divisível por 7 a diferença entre o número formado ao desconsiderar o último dígito e o dobro deste dígito. | 364 é divisível por 7, pois 36 − (4 x 2) = 28. |
| 8 | vale qualquer dessas propriedades: | vale qualquer dessas propriedades: |
| 8 | o dígito das centenas é par e o número formado pelos dois últimos dígitos é divisível por 8. | 12 345 624 é divisível por 8, pois 6 é par e 24 = 3 x 8. |
| 8 | o dígito das centenas é ímpar e o número formado pelos dois últimos dígitos, somado com 4 é divisível por 8. | 12 352, é múltiplo de 8, já que 3 é ímpar e 52 + 4 = 56 = 7 x 8. |
| 8 | é divisível por 8 a soma do último dígito com o dobro do número formado pelos demais. | 136 é divisível por 8, uma vez que (13 × 2) + 6 = 32. |
| 9 | é divisível por 9 a soma dos seus dígitos. | 3 753 é múltiplo de 9, pois 3 + 7 + 5 + 3 = 18 e 1 + 8 = 9 |
| 10 | o último dígito é 0. | 135790 é múltiplo de 10, pois seu último dígito é 0. |
| 11 | vale qualquer dessas propriedades: | vale qualquer dessas propriedades: |
| 11 | é divisível por 11 a soma alternada dos seus dígitos. | 918 082 é múltiplo de 11, pois 9 - 1 + 8 - 0 + 8 - 2 = 22 = 2 x 11. |
| 11 | é múltiplo de 11 a soma dos números formados pelos blocos de dois dígitos (da direita para a esquerda). | 627 é múltiplo de 11, pois 6 + 27 = 33 = 3 x 11. |
| 11 | é múltiplo de 11 a diferença entre o número formado ao desconsiderar o último dígito e o último dígito. | 627 é múltiplo de 11, já que 62 - 7 = 55 = 5 x 11.. |

### Por que esses critérios funcionam?

Diante de tantas regras, é natural não acreditar de imediato que elas sejam todas infalíveis. Você já deve ter feito (ou ouvido alguém fazer) pelo menos uma pergunta desse tipo:
    Quem disse que esses macetes funcionam sempre?
    Por acaso alguém já testou algum deles para todos os números, e viu que nunca falham?
    Quem é que impôs essas regras?
    É possível encontrar um critério para os números que não estão na tabela?
Antes de responder a essas e outras perguntas do gênero, é interessante apresentar um resultado fundamental da teoria de números. O enunciado não deve parecer uma grande novidade, pois formaliza o tão conhecido algoritmo de divisão, aquele processo utilizado ao dividir dois números manualmente. Se estiver um pouco "enferrujado", experimente calcular o resultado da divisão de 39629376 por 321, para relembrar as suas primeiras aulas de matemática...

## Algoritmo da divisão (de Euclides)
### Teorema

Se $a$ e $b$ são números inteiros, e $b\not =0$, então existe um único par de números inteiros $q$ e $r$, tais que:
    $a=bq+r$, com $0\leq r<|b|$
Uma formulação alternativa é a seguinte:
Dados os números inteiros $a$ e $b$, ou $a$ é múltiplo de $b$ ou está entre dois múltiplos consecutivos de $b$.
Um último passo antes de apresentar a justificativa formal para os critérios de divisibilidade mostrados anteriormente é entender como funciona o sistema de numeração decimal.

## Sistemas de numeração

Conforme é ensinado nos primeiros anos de escola, um número como 726 representa a soma de 7 centenas com 2 dezenas e 6 unidades, ou seja,
    $726=\mathbf {7} \cdot 100+\mathbf {2} \cdot 10+\mathbf {6} \cdot 1$
Em geral, cada número inteiro não negativo possui uma única representação decimal $a_{n}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}$. Este é um resultado de extrema utilidade no cotidiano, pois é graças a tal sistema de numeração que estão a disposição algoritmos tão simples para a realização de adições, subtrações, multiplicações e divisões. Ou você é capaz de se imaginar realizando uma divisão de 646 por 38 utilizando o sistema de numeração inventado pelos romanos? (Experimente: DCXLVI dividido por XXXVIII é igual a...)
Dada a importância do sistema de numeração decimal, é justo enunciar e justificar precisamente o seu funcionamento. Isso é feito no próximo teorema, que garante a existência de representações posicionais em qualquer base, não apenas na base 10.

### Teorema

Dado um numero inteiro $b$ (chamado de base), maior do que a unidade, cada inteiro positivo $a$ pode ser escrito de uma única maneira como
    $a=a_{n}\cdot b^{n}+a_{n-1}\cdot b^{n-1}+\ldots +a_{1}\cdot b+a_{0}$
$a_{i}$
$a_{i}\in [0,b)$
$a_{n}\not =0$
$n\geq 0$
Utilizando o algoritmo da divisão é possível obter cada dígito de uma tal representação, um após o outro, começando pelo dígito das unidades. De fato, ao dividir o número em questão pelo valor da base, consegue-se:
    $a=q_{0}b+a_{0}$
Fazendo o mesmo com $q_{0}$, resulta:
    $q_{0}=q_{1}b+a_{1}$
Repetindo o procedimento com cada quociente $q_{i}$, será construída uma sequência decrescente:
    $a>q_{0}>q_{1}>q_{2}>\ldots$
Certamente algum termo da sequência deve ser igual a unidade, pois todos são números inteiros e nenhum deles é negativo. Então considere que $q_{n}=1$, ou seja, que o algoritmo da divisão fornece $q_{n-1}=1\cdot b+0$. Neste ponto o processo pode ser interrompido, e nota-se que:
    $a$ $=q_{0}b+a_{0}$ $=(q_{1}b+a_{1})b+a_{0}$ $=q_{1}\cdot b^{2}+a_{1}\cdot b^{1}+a_{0}$ $=((q_{2}b+a_{2})b+a_{1})b+a_{0}$ $=q_{2}\cdot b^{3}+a_{2}\cdot b^{2}+a_{1}\cdot b^{1}+a_{0}$ $\vdots$ $=((???)b+a_{1})b+a_{0}$ $=a_{n}\cdot b^{n}+\ldots +a_{2}\cdot b^{2}+a_{1}\cdot b^{1}+a_{0}$

### Observações

* Quando a base não é 10, é comum usar a notação $(a_{n}\ldots a_{2}a_{1}a_{0})_{b}$ para explicitar esse fato.
* Os sistemas que utilizam a base 2 (binário), a base 8 (octal) e a base 16 (hexadecimal) são particularmente úteis na informática e na eletrônica digital.
* O sistema de numeração com base 60 (sexagesimal) foi inventado pelos Sumérios, e ainda é utilizado para a contagem de minutos e segundos, tanto para indicar períodos de tempo quanto para medir ângulos.

## Exemplos

De posse dessas informações, já é possível demonstrar a validade dos critérios de divisibilidade dados pela tabela anterior. Nos próximos exemplos serão demonstrados alguns desses critérios. Os demais são deixados como exercício para o leitor.

### Divisibilidade por 2
#### Proposição

Um inteiro não negativo é par, e somente se, o dígito das unidades é par.

### Divisibilidade por 3
#### Proposição

Um inteiro não negativo é múltiplo de 3 se, e somente se, a soma de seus dígitos é múltiplo de 3.

### Divisibilidade por 11
#### Proposição

Um inteiro não negativo é divisível por 11 se, e somente se, a soma alternada dos seus dígitos é divisível por 11.

## Exercícios

* Justifique a validade de cada uma das propriedades da divisibilidade apresentadas no texto.

## Notas

* ↑ Veja a fatoração de 1294 e outras informações sobre este número no Wolfram Alpha (em inglês).
* ↑ Conforme diversos livros
* ↑ Conforme diversos livros