# Guia de problemas matemáticos/Equações e inequações/Número de soluções inteiras para a inequação 1
## O problema

Se o conjunto solução da inequação $3.\left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)-8.\left(x+{\frac {1}{x}}\right)+10\leq 0$ é S, então calcule o número de elementos da intersecção do conjunto S com o conjunto dos números inteiros.

## Uma solução

Um bom artifício para a solução desse problema é a substituição de uma operação mais complexa (ou um conjunto de variáveis) por uma incógnita, a fim de tornar a solução mais simples e rápida. Nesse caso, utilizaremos a seguinte notação:
$\left(x+{\frac {1}{x}}\right)=k$
$\left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)=k^{2}-2$
Agora basta substituir as novas incógnitas na equação inicial:
$3\left(k^{2}-2\right)-8k+10\leq 0$
$3k^{2}-8k+4\leq 0$
Acabamos numa inequação do segundo grau. Para resolvê-la precisamos encontrar suas raízes. Como o coeficiente do primeiro termo da inequação é maior que zero, a parabóla da equação correspondente sera voltada para cima. Assim, qualquer número x, pertencente ao conjunto dos Números Reais, que esteja entre as raízes (inclusive) fará com que a inequação torne-se verdadeira (qualquer x situado entre as raízes fara com que a função, ou equação, correspondente tome valor nulo ou negativo). Então, ao cálculo das raízes!
$k={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
$k={\frac {8\pm {\sqrt {64-48}}}{6}}$
$k={\frac {8\pm 4}{6}}$
$k_{1}={\frac {12}{6}}=2$
$k_{2}={\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}$
Logo, o conjunto-solução dessa inequação é:
${\frac {2}{3}}\leq k\leq 2$
Para auxiliar no entendimento, eu montei essa imagem, ilustrando o gráfico da função correspondente à inequação que encontramos:
Porém, nós calculamos o intervalo no qual k satisfaz a inequação. O problema pede as soluções para x... Em princípio, não podemos escrever:
${\frac {2}{3}}\leq x+{\frac {1}{x}}\leq 2\longrightarrow {\frac {2x}{3}}\leq x^{2}+1\leq 2x$
Porque x poderia ser menor que zero. No entanto, se x fosse menor que zero, então o termo $x+{\frac {1}{x}}$ também seria menor que zero, contradizendo o fato de ${\frac {2}{3}}\leq x+{\frac {1}{x}}$. Portanto, como x não pode ser menor que zero, nem zero, temos que x > 0, logo pode-se multiplicar a inequação por x:
${\frac {2}{3}}\leq x+{\frac {1}{x}}\leq 2\longrightarrow {\frac {2x}{3}}\leq x^{2}+1\leq 2x$
Agora, nós podemos transferir o fator (x² + 1) para cada um dos dois lados da desigualdade encontrada, e verificar, finalmente, quais valores de x satisfazem o problema:
$\left(I\right)\rightarrow x^{2}-{\frac {2x}{3}}+1\geq 0\longrightarrow 3x^{2}-2x+3\leq 0$
Essa última inequação encontrada não tem soluções no conjunto dos Números Reais. Então, não é necessário prosseguir com ela. Vamos à seguinte:
$\left(II\right)\rightarrow x^{2}-2x+1\leq 0\longrightarrow \left(x-1\right).\left(x-1\right)\leq 0$
Pela finalização acima, percebe-se claramente que a inequação encontrada é nula para x = 1 (pois, na decomposição de qualquer equação, tem-se que (x - p).(x - q) = 0, onde p e q são as raízes da equação). Ela possui somente esse ponto de intersecção com o eixo x , sendo que todo e qualquer outro x real fará com que ela tome valores positivos, nunca negativos. Então, a única solução inteira (e real) da inequação inicial é x = 1. Portanto:
$n(S\cap Z)=1$
E termina-se o problema.
Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

## Agradecimentos

* A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.