# Métodos numéricos/Aritmética computacional
## Introdução

A aritmética computacional poder parecer, a princípio, estranha ou diferente da nossa noção de soma, divisão ou subtração. Mas, apenas no início, o sua função é a da matemática do cotidiano. A questão é: para quem a aritmética computacional foi pensada, a resposta é: para os computadores.
É importante deixar claro que as máquinas que nós usamos hoje para praticamente tudo, os computadores digitais, não possuem uma linguagem complexa como a nossa, sendo assim usar uma linguagem bastante simples foi pré-requisito fundamental para a evolução rápida dos computadores.

## Representação dos números reais em vírgula flutuante
### Algarismos significativos

Os algarismos significativos são os dígitos que representam uma informação relevante, por exemplo o valor e a precisão de uma medida. Exemplos:
* O número 0000001,0 : neste número todos os zeros à esquerda são desnecessários. É preferível escrevê-lo como 1,0 sendo um formato mais compacto e eficiente.
* O número 1000000,0 : neste exemplo, todos os zeros são significativos (não é o mesmo ter um milhão que ter dez na conta do banco!).
* E como regra geral, todo número diferente de zero é sempre um número significativo já que inclui alguma informação relevante.
* Os zeros que estejam entre outros números ou que estejam à direita desses números serão sempre número significativos. Por exemplo o número 1,2408900 : neste número todos os algarismos são significativos. Incluso os zeros ao final, já que eles me dizem que a minha medição tem uma precisão de 7 casas decimais.

### Notação científica dos números reais

A notação científica é uma maneira de escrever números muito pequenos ou muito grandes, uma situação comum para quem trabalha com números e medições. Escrevemos o número como o produto entre um número x{\textstyle x} (tal que 1≤x<10{\textstyle 1\leq x<10}) e uma potência de 10.

#### Exemplo

Suponha que queremos escrever o número: 123456789 em notação científica. Primeiro dividimos o número por 10$^n${\textstyle 10^{n}}, escolhendo n{\textstyle n} de forma que o resultado esteja entre -10 e 10. Para fazer isso dividimos por 10$^8${\textstyle 10^{8}} e obtemos:
    ${\frac {123456789}{100000000}}=1.23456789$
Já que dividimos o número original por 100000000, devemos também multiplicar o número anterior pelo mesmo número para manter a equivalência com o valor original.
    $123456789=1.23456789\times 100000000$
Para facilitar a leitura e o analise dos dados, escrevemos o último termo como um exponente de 10:
    $123456789=1.23456789\times 10^{8}$
É importante reparar que o formato da direita é muito mais útil que o formato da esquerda, já que é possível ter uma ideia da magnitude do número com só olhar o exponente (+8).

## Operações e erros em vírgula flutuante
### Erros de arredondamento

Sempre que trabalhamos medições, fórmulas e equações topamos com números como 1/3{\textstyle 1/3} ou π{\textstyle \pi }. Estes são números irracionais, isso quer dizer que precisamos infinitos algarismos para representar eles em uma base decimal.
Portanto, estamos obrigados a limitar o número de algarismos significativos. Existem duas maneiras de fazer isso: truncando ou arredondando o número.
Truncar é igual a cortar. Se é preciso truncar π≈3, 141592…{\textstyle \pi \approx 3, 141592\ldots } na quarta casa decimal. Temos que π≈3, 1415{\textstyle \pi \approx 3, 1415} sem importar qual número segue depois do cinco.
Arredondar é aproximar o número a aquele que está mais perto. Para arredondar π{\textstyle \pi } na quarta casa decimal aumenta-se a quarta casa decimal de 5 para 6 devido a que na sexta casa decimal tinha um 9, obtendo que π≈3, 1416{\textstyle \pi \approx 3, 1416}.
Resumidamente, o arredondamento tem a ver com regras que dizem o que fazer com o último algarismo a conservar. Nos exemplos anteriores chamamos ao 5 o último algarismo a conservar e o 9 o primeiro algarismo a ser eliminado.
Sempre que se arredonda um número, se inclui um erro junto. Por isso, devem se seguir algumas regras de arredondamento para poder diminuir o erro de arredondamento:
* Algarismo a ser eliminado < 5 : o algarismo a ser conservado fica como está. Exemplo: Arredondando a raiz quadrada de sete com cinco casas decimais temos que ${\sqrt {7}}=2,645751311\ldots \approx 2,64575$.
* Algarismo a ser eliminado > 5 : acrescenta +1 no algarismo a ser conservado. Exemplo: Arredondando π{\textstyle \pi } a quatro casas decimais temos que $\pi =3.1415926\ldots \approx 3,1416$.
* Algarismo a ser eliminado == 5, seguido de outro número diferente de zero: acrescenta +1 no algarismo a ser conservado. Exemplo: Arredondando o seguinte número a três casas decimais temos que $9,73251\approx 9,733$.
* Algarismo a ser conservado é par, seguido de 5, seguido de zero: o algarismo a ser conservado fica como está. Exemplo: Arredondando o seguinte número a três casas decimais temos que $9,73250\approx 9,732$.
* Algarismo a ser conservado é impar, seguido de 5, seguido de zero: acrescenta +1 no algarismo a ser conservado. Exemplo: Arredondando o seguinte número a três casas decimais temos que $9,73350\approx 9,734$.

### Aplicações

Erros de arredondamento tem causado a morte de muitas pessoas, a queda de aviões, problemas na bolsa e até conflitos em eleições ao parlamento alemão.