# Matemática elementar/Progressões/Progressão aritmética

Progressão aritmética (PA) é uma sequência que tem entre um elemento e seus adjacentes uma diferença igual. Ou seja, uma sequência para a qual se determinam os números somando ou subtraindo a razão de progressão.
Exemplo:
    $P=(2,4,6)$
    $(6-4=2;4-2=2)$
No exemplo, 2 é a razão de progressão da PA.

## Fórmula do termo geral

Denomina-se fórmula do termo geral a uma equação que expressa a regra para obterem-se os elementos da progressão. É praticamente o mesmo que a função que define a sequência. No caso das progressões aritméticas, a fórmula do termo geral é:
    $a_{n}=a_{1}+(n-1)r$
Onde:
* a$_n$ é o termo que se procura encontrar (n é o índice, por exemplo, a$_3$ é o terceiro termo da progressão);
* a$_1$ é o primeiro termo da progressão. Conquanto a fórmula do termo geral seja expressa em função do primeiro termo, nada impede que se utilizem outras posições na sequência, desde que se adapte a fórmula;
* r é a razão de progressão;
* n é, como já explicado, o índice do elemento procurado (a localização do termo na sequência).

## Soma dos termos

A soma dos termos de uma PA (S$_n$), é obtido por:
    $S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$
Considerando a$_1$ e a$_n$ como o primeiro e o último termo da progressão. Mas imagine a soma de uma progressão de cem termos. Seria bastante demorado somar cada termo para se obter o resultado.
Diz a lenda que o matemático Gauss descobriu uma fórmula prática de soma de termos de uma PA quando tinha cinco anos. Gauss teria sido submetido a um exercício que consistia em somar os números naturais de 1 a 100, e o teria resolvido em alguns minutos, ao contrário do que esperava seu mestre. O diagrama, abaixo, esquematiza o raciocínio de Gauss, em que a soma do primeiro e do último termo equivale a soma do segundo e do penúltimo termo, assim sucessivamente.
Lendas matemáticas à parte, a soma dos termos de uma progressão aritmética pode ser obtida por uma fórmula simples:
    $S_{n}={\frac {(a_{1}+a_{n})n}{2}}$
Onde:
* S$_n$ é a soma dos termos até n.
* a$_1$ e a$_n$ são, respectivamente, o primeiro e o último termo da progressão (ou pelo menos, do subconjunto da progressão sobre o qual será feita a soma)
* n é o total de elementos somados; reparar que a fórmula só permite somar elementos contíguos da progressão

#### Somatórios

Para uma melhor representação da soma dos termos de uma progressão, foi definido o somatório. No somatório, que é designado pela letra sigma maiúscula, os valores de uma PA são descritos pela seguinte maneira:
    $S_{n}=\sum _{i=0}^{n}(a_{1}+ir)$
Por este somatório, é obtido o seguinte resultado:
    $\sum _{i=0}^{n}(a_{1}+ir)=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$
Em que:
* n é a quantidade de termos da soma (não necessariamente todos os termos da progressão);
* a$_n$ é o último termo da soma;
* i = 0 é o coeficiente de r para o primeiro termo da soma (igual a a$_n$ - 1), e a cada termo sucessivo que i aparecer, será adicionado 1 ao seu valor;
* r é a razão.
Desta forma, a soma dos 5 termos de uma progressão aritmética, em que o primeiro termo é igual a -7 e a razão igual a 2, teremos:
    $\sum _{i=0}^{\color {Blue}5}(-7+2i)=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{\color {Blue}5}$
    $\sum _{\color {Red}i=0}^{5}({\color {OliveGreen}-7+2}{\color {Red}i})=({\color {OliveGreen}-7+2}\times {\color {Red}0})+({\color {OliveGreen}-7+2}\times {\color {Red}1})+({\color {OliveGreen}-7+2}\times {\color {Red}2})+({\color {OliveGreen}-7+2}\times {\color {Red}3})+({\color {OliveGreen}-7+2}\times {\color {Red}4})$
    $\sum _{i=0}^{5}(-7+2i)=-7+(-5)+(-3)+(-1)+1=-15$