# Medida e integração/Funções simples e a topologia da reta estendida

Em linhas gerais, uma função simples é uma função que assume uma quantidade finita de valores. No contexto da teoria abordada neste livro, a definição de função simples incluirá algumas restrições adicionais, de modo que este nome possa ser usado apenas para se referir ao tipo de específico de função simples que é relevante para a integração.

## Definição 3.1

Seja $(X,{\mathfrak {M}})$ um espaço mensurável. Uma função simples sobre $X$ é qualquer função $\sigma :X\mapsto \mathbb {R} _{+}=[0,+\infty )$ tal que $Im(\sigma )$ é um conjunto finito.

## Exemplo

A função $f:\mathbb {R} ^{*}\mapsto \mathbb {R} _{+}$ definida por $f(x)={\frac {x}{|x|}}$ é uma função simples. De fato, tem-se
$f(x)={\begin{cases}-1,&{\mbox{se }}x<0\\1,&{\mbox{se }}x>0\end{cases}}$
Isto significa que $f\left(\mathbb {R} ^{*}\right)=\{-1,1\},$ que é finito. Observe ainda que $f(x)=-X_{(-\infty ,0)}+X_{(0,+\infty )}.$
Em geral, se $Im(\sigma )=\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$ e se definem os conjuntos $A_{i}=\sigma ^{-1}(\alpha _{i}),$ para cada $i$ de $1$ a $n,$ resulta que $\sigma =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}X_{A_{i}}.$ Note que $(A_{i})_{1\leq i\leq n}$ é uma partição finita de $X.$
Por outro lado, sempre que se tem uma partição $(A_{i})_{1\leq i\leq n}$ finita de $X$ e uma sequência finita $(\alpha _{i})_{1\leq i\leq n}$ de elementos em $\mathbb {R} _{+},$ de modo que $\alpha _{i}\not =\alpha _{j}$ quando $i\not =j,$ a equação $\sigma =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}X_{A_{i}}$ define uma função simples. É comum se referir ao segundo membro daquela equação como sendo a representação canônica de $\sigma .$

### Lema 3.2

Seja $(X,{\mathfrak {M}})$ um espaço mensurável e $\sigma :X\mapsto \mathbb {R} _{+}=[0,+\infty )$ a função simples sobre $X$ dada por
$\sigma =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}X_{A_{i}}.$
$\sigma$
$A_{i}$
$1\leq i\leq n.$

### Teorema 3.4

Seja $(X,{\mathfrak {M}})$ um espaço mensurável. Se $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ e $0:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ é a função nula, então existe uma sequência $(\sigma _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ de funções simples, mensuráveis em $X$ de modo que:
* $0\leq \sigma _{n}\leq \sigma _{n+1}\leq f$ para todo $n\in \mathbb {N} ;$
* $\lim _{n\rightarrow \infty }\sigma _{n}(x)=f(x)$ em todo ponto $x\in X.$
Obs. 3.5: No caso em que $f$ é uma função limitada, ou seja, quando existe uma constante $M$ para a qual $f(x)<M$ em todo ponto $x\in X,$ pode-se tomar $p_{x}=M$ na prova acima. Nesta situação, a conclusão é que a sequência $\{\sigma _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ converge uniformemente para $f.$
Com relação as sequências cujos termos estão em ${\overline {\mathbb {R} }}_{+},$ tem-se a seguinte propriedade: Se $(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ e $(b_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ são sequências não decrescentes em ${\overline {\mathbb {R} }}_{+},$ ou seja, $0\leq a_{i}\leq a_{i+1}\leq \infty$ e $0\leq b_{i}\leq b_{i+1}\leq \infty$ para todo $i\in \mathbb {N} ,$ e existem os limites $a=\lim _{i\rightarrow \infty }a_{i}$ e $b=\lim _{i\rightarrow \infty }b_{i},$ então $\lim _{i\rightarrow \infty }a_{i}b_{i}=ab$
Esta propriedade, juntamente com a Proposição 2.39 e o Teorema 3.4, implicam que se

### Proposição 3.6

Se $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ e $g:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ são funções mensuráveis, então $f+g$ e $fg$ também são mensuráveis.