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# Conceitos básicos da teoria de conjuntos
## Elemento, conjunto e a relação de pertinência
## Partes de um conjunto

Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em, é subconjunto de ou ainda é parte de B quando todo elemento de A é elemento de B ou, simbolicamente, x ∈ A ⇒ x ∈ B. Neste caso, escrevemos A ⊂ B. Esta relação entre os conjuntos A e B é chamada relação de inclusão. Se trabalhamos com conjuntos dentro de algum universo, esta passa a ser uma relação de ordem. Isto quer dizer que, para quaisquer conjuntos A, B e C dentro deste universo, valem as três propriedades a seguir: Reflexiva: $A\subset A$ Antissimétrica: $A\subset B{\text{ e }}B\subset A\implies A=B$ Transitiva: $A\subset B{\text{ e }}B\subset C\implies A\subset C$ Chamamos de conjunto das partes de A o conjunto $\wp (A)$ cujos elementos são os subconjuntos de A. Ele nunca é vazio, já que $\varnothing \in \wp (A)$ e $A\in \wp (A)$.

## União, interseção e complemento

A união de dois conjuntos A e B é o conjunto A ∪ B cujos elementos pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B. A interseção de A e B é o conjunto A ∩ B cujos elementos pertencem a ambos os conjuntos A e B. Dado um conjunto A num conjunto universo U definimos o complemento de A como sendo o conjunto $\complement A$ formado pelos elementos de U que não pertencem a A. Mais geralmente, a diferença dos conjuntos A e B é o conjunto $A-B$ formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Se A e B se encontram no mesmo conjunto universo, temos $A-B=A\cap \complement B$.
Com estas definições, temos algumas propriedades importantes:
* $A\cup A=A$, $A\cap A=A$ e $\complement (\complement A)=A$;
* $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ e $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$;
* $A\cup B=B\cup A$ e $A\cap B=B\cap A$;
* $A\cap B\subset A\subset A\cup B$;
* $A\subset B\iff A\cup B=B$ e $A\subset B\iff A\cap B=A$;
* $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ e $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$;
* (DeMorgan) $\complement (A\cup B)=\complement A\cap \complement B$ e $\complement (A\cap B)=\complement A\cup \complement B$.

## Família

Dados conjuntos X e Y, uma família em Y com índices em X é uma função f: X → Y. Apesar de definida por uma função, a ideia de família se guarda no conjunto-imagem desta função, não na função em si. Costuma-se denotar, para cada x ∈ X, $f(x)$ por um subscrito. Se denotamos $f(x)=a_{x}$, a família é denotada por (a$_x$)$_{x∈X}$. Quando subentendido o conjunto X de índices, podemos omití-lo na notação, escrevendo simplesmente $(a_{x})_{x}$. Se os elementos de Y são conjuntos, temos uma família de conjuntos.
Sendo (A$_x$)$_{x∈X}$ uma família de conjuntos, definimos a união ${\bigcup }_{x\in X}A_{x}$ como sendo o conjunto dos y tais que y ∈ A$_x$ para algum x.
Analogamente, quando X não for o conjunto vazio, definimos a interseção ${\bigcap }_{x\in X}A_{x}$ como o conjunto dos y tais que, para todo x ∈ X, y ∈ A$_x$.
Vale também para famílias de conjuntos as leis de DeMorgan, desde que a interseção esteja definida: $\complement {\bigg\bigcup _{x\in X}A_{x}{\bigg )}=\bigcap _{x\in X}\complement A_{x}$ e $\complement {\bigg\bigcap _{x\in X}A_{x}{\bigg )}=\bigcup _{x\in X}\complement A_{x}$.
O problema com ${\bigcap }_{x\in \varnothing }A_{x}\,$ é que qualquer coisa seria um elemento deste conjunto, o que é incompatível com a teoria dos conjuntos, já que o conjunto de todos os conjuntos não existe. Este problema desaparece quando subentendido um conjunto universo U no qual estão contidos os A$_x$. Neste caso, podemos considerar a interseção como sendo o próprio U.

## Ver também

* Teoria dos conjuntos - livro que aborda a teoria de uma forma axiomática

# Espaços topológicos
## Topologia

Seja $X$ um conjunto não-vazio e $\tau$ um conjunto formado por partes de $X$. Se $\tau$ possuir as seguintes propriedades:
* $X,\varnothing \in \tau$;
* Se $A,B\in \tau$, então $A\cap B\in \tau$;
* Se $(A_{\lambda })_{\lambda \in L}$ é uma família tal que $A_{\lambda }\in \tau \ \forall \lambda \in L$, então ${\bigcup }_{\lambda \in L}A_{\lambda }\in \tau$;
dizemos que $\tau$ é uma topologia em $X$ e que o par $(X,\tau )$ é um espaço topológico. Chamamos os elementos de $\tau$ de abertos. Sendo $A$ um aberto, a $X-A$ chama-se um fechado, isto é, F é fechado se $X-F$ é um elemento da topologia.
Como se vê, a intersecção finita de abertos é um aberto e a união arbitrária de abertos é um aberto. Não se garante no entanto que a intersecção infinita de abertos seja um aberto. Como se verá, na maior parte dos casos não é assim.
Sendo τ$_1$, τ$_2$ duas topologias em X, diz-se que τ$_1$ é menor que τ$_2$ ou que τ$_2$ é maior que τ$_1$ se, e somente se, τ$_1$ ⊆ τ$_2$, isto é, um aberto segundo τ$_1$ é também aberto segundo τ$_2$.

### Exemplos

Seja X um conjunto. Então:
* $\{\emptyset ,X\}$ é uma topologia em $X$. Na verdade é a menor das topologias que se pode definir em $X$. A esta topologia chama-se a topologia indiscreta, antidiscreta ou topologia caótica em $X$.
* $\wp (X)$, o conjunto das partes de $X$, é uma topologia em $X$. Na verdade é a maior das topologias que se pode definir em $X$. A esta topologia chama-se a topologia discreta em $X$.
* $\{X-A:A{\text{ é finito}}\}$ é uma topologia em $X$ que se chama topologia cofinita em $X$. Note-se que, se $X$ é finito, esta topologia no fim de contas é a topologia discreta. A topologia cofinita é um exemplo de topologia que não possui a propriedade de Hausdorff. Note que, se $X$ é finito, a topologia cofinita é a topologia discreta e se X é infinito não é possível construir uma topologia em que os abertos são finitos.
* $\{X-A:A{\text{ é parte contável de }}X\}$ é uma topologia em $X$ que se chama topologia cocontável. Note-se que, se $X$ é contável, esta topologia no fim de contas é a topologia discreta. Note ainda que, se $X$ é não-contável, não é possível construir uma topologia em que os abertos são contáveis.
* Seja $B_{r}(x):=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:\lVert x-y\rVert <r\}$. O conjunto $\tau =\{X\subset \mathbb {R} ^{n}:\forall x\in X,\exists r>0\mid B_{r}(x)\subset X\}$ é uma topologia sobre o conjunto $\mathbb {R} ^{n}$.

## "Topologia" segundo os fechados

Sejam X um espaço topológico e σ o conjunto dos fechados em X. Então:
* X,Ø ∈ σ;
* Para A,B ∈ σ, vem que $A\cup B\in \sigma$;
* Para uma família (A$_i$)$_i$ em σ, vem que ${\bigcap }_{i}A_{i}\in \sigma$.
Como se vê, os fechados seguem regras parecidas às que os abertos seguem, mas tendo em conta a complementação. Na verdade pode-se definir essa espécie de "topologia" começando por definir os fechados e definir mais tarde os abertos como os seus complementares.

## $F_{\sigma }$ e $G_{\delta }$

Sendo X espaço topológico, às uniões contáveis de fechados chama-se F$_σ$ e às intersecções contáveis de abertos chama-se G$_δ$. Em geral um F$_σ$ não é fechado e um G$_δ$ não é aberto, no entanto um fechado é um F$_σ$ e um aberto é um G$_δ$.
Note-se que a união contável de F$_σ$ 's é um F$_σ$, a intersecção arbitrária de F$_σ$ 's é um F$_σ$, a união arbitrária de G$_δ$ 's é um G$_δ$ e a intersecção contável de G$_δ$ 's é um G$_δ$.
A união finita de fechados é um fechado. Mas se se passar à união numerável, pode já não ser. Aqui não se quis considerar a união arbitrária de fechados. O que sucederia em tal caso? Em Topologia, como se verá, considerar famílias contáveis ou incontáveis de objectos topológicos delineia uma raia muito importante. Quando, para descrever e trabalhar numa topologia, basta apenas considerar famílias contáveis de objectos, tem-se uma topologia na qual é muito fácil trabalhar. Quando famílias contáveis não chegam, depara-se a todo o momento com problemas intratáveis.
Para aquilo que é a maioria das aplicações da Topologia, na Análise em particular, as topologias que verificam um certo grau de contabilidade são mais do que suficientes.

# Espaços métricos
## Espaços métricos

Seja M um conjunto não-vazio e $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$ uma função. Dizemos que $(M,d)$ é um espaço métrico se, para todo $x,y,z\in M$, a função d satisfizer as seguintes propriedades:
* M1: $d(x,y)\geq 0$;
* M2: $d(x,y)=d(y,x)$, simetria;
* M3: $d(x,y)=0\iff x=y$;
* M4: $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$, desigualdade trigonométrica.
Define-se, num espaço métrico M, a bola aberta de centro em x e raio $r>0$ $B_{r}(x)=\{y\in M:d(y,x)<r\}$.

## Estrutura de espaço topológico

Pode-se provar que o conjunto $T=\{U\subset M:\forall x\in U,\exists \epsilon >0\mid B_{\epsilon }(x)\subset U\}$ é uma topologia sobre M. De fato, temos, por vacuidade, $\varnothing \in T$ e, para quaisquer $x\in M,\epsilon >0$, $B_{\epsilon }(x)\subset M$, donde $M\in T$. Sejam $A,B\in T$ e $x\in A\cap B$. Então existem $\epsilon _{1},\epsilon _{2}>0$ tais que $B_{\epsilon _{1}}(x)\subset A$ e $B_{\epsilon _{2}}(x)\subset B$. Escolhemos $\epsilon =\min\{\epsilon _{1},\epsilon _{2}\}$. Vemos que $B_{\epsilon }(x)\subset B_{\epsilon _{1}}(x)\subset A$ e $B_{\epsilon }(x)\subset B_{\epsilon _{2}}(x)\subset B$, logo $B_{\epsilon }(x)\subset A\cap B$ e $A\cap B\in T$. Seja $(A_{\lambda })_{\lambda }$ uma família em T. Se $x\in {\bigcup }_{\lambda }A_{\lambda }$, então, para algum μ, $x\in A_{\mu }$, donde existe um $\epsilon >0$ tal que $B_{\epsilon }(x)\subset A_{\mu }\subset {\bigcup }_{\lambda }A_{\lambda }$. Logo ${\bigcup }_{\lambda }A_{\lambda }\in T$. Isto completa a demonstração de que T é uma topologia sobre M.

# Bases
## Base de uma topologia e topologia gerada

Seja X conjunto e (τ$_i$)$_i$ família de topologias em X. Então ∩$_i$ τ$_i$ é uma topologia em X (∩$_i$ τ$_i$ é o conjunto de todas as partes de X que são simultaneamente abertas para todas as topologias τ$_i$). Sendo α conjunto de partes de X, ∩{τ topologia em X : α ⊆ τ} é a menor topologia em X para a qual os elementos de α são abertos, que se diz gerada por α e se denota top α (note-se que o conjunto ao qual se aplica a intersecção não é vazio: pelo menos a topologia discreta é elemento dele). Note-se que top α é precisamente o conjunto das uniões arbitrárias de intersecções finitas de elementos de α, ou, doutra forma, o conjunto das intersecções finitas de uniões arbitrárias de elementos de α.
Sejam τ uma topologia em X e β conjunto de partes de X. Então diz-se que β é uma base de τ sse τ for precisamente o conjunto das uniões arbitrárias de elementos de β. Diz-se que β é uma sub-base de τ sse o conjunto das intersecções finitas de elementos de β for uma base de τ. Note-se que uma base é uma sub-base.
Dado α conjunto de partes de X, α é uma sub-base de top α.

## Vizinhança

Sejam X um espaço topológico, x ∈ X e V parte de X. Então:
1) Diz-se que V é vizinhança de x sse existe um aberto A com x ∈ A ⊆ V.
2) Diz-se que V é vizinhança pontuada de x sse existe W vizinhança não singular de x com V = W − {x}.
3) Note-se que, sendo Y parte de X com x ∈ Y, V é uma vizinhança de x em Y sse existe U vizinhança de x em X com V = Y ∩ U.

## Bases de vizinhanças

Sejam X espaço topológico e x ∈ X. Então:
1) Uma família (V$_i$)$_i$ de vizinhanças de x diz-se uma base de vizinhanças de x sse, sendo V vizinhança de x, para algum i, vem que V$_i$ ⊆ V.
2) Uma família (V$_i$)$_i$ de vizinhanças pontuadas de x diz-se uma base de vizinhanças pontuadas de x sse, sendo V vizinhança de x, para algum i, vem que V$_i$ ⊆ V.
3) Note-se que a família de todas as vizinhanças de x é ela própria uma base de vizinhanças de x. Assim como o é a família de todos os abertos que contenham x.

# Pontos em conjuntos
## Interior, exterior, fronteira e fecho

Sejam X espaço topológico, A parte de X e x ∈ X. Então:
1) Diz-se que x é interior a A sse A é vizinhança de x.
2) Diz-se que x é exterior a A sse X − A é vizinhança de x.
3) Diz-se que x é fronteiro a A sse x não é interior a A e x não é exterior a A sse qualquer vizinhança de x tem pontos de A e pontos exteriores a A.
4) Diz-se que x é aderente a A sse x é interior a A ou x é fronteiro a A sse qualquer vizinhança de x intersecta A.
5) Ao conjunto de todos os pontos interiores (resp. exteriores, fronteiros, aderentes) a A chama-se o interior (resp. exterior, fronteira, fecho) de A e denota-se int A (resp. ext A, front A, fecho A).
6) int A, ext A, front A constituem uma partição de X.
7) int A, ext A são abertos e front A, fecho A são fechados.
8) int A é o maior aberto contido em A e fecho A é o menor fechado que contém A.
9) int A = ext(X − A), ext A = int(X − A), front A = front(X − A), fecho A = X − ext A = front A ∪ int A = front A ∪ A, front A = fecho A ∩ fecho(X − A).
10) int int A = int A, ext ext A = int A, front int A = front ext A = front A, fecho int A = fecho A.

### Proposição

Num espaço topológico X:
1) A é aberto sse A é vizinhança de todos os seus pontos sse A = int A.
2) A é fechado sse A = fecho A.
3) int(A ∩ B) = int A ∩ int B.
4) int ∩$_i$ A$_i$ ⊆ ∩$_i$ int A$_i$.
5) ext(A ∪ B) = ext A ∩ ext B.
6) ext ∪$_i$ A$_i$ ⊆ ∩$_i$ ext A$_i$.
7) fecho(A ∪ B) = fecho A ∪ fecho B.
8) fecho(A ∩ B) ⊆ fecho A ∩ fecho B.
9) fecho ∪$_i$ A$_i$ ⊇ ∪$_i$ fecho A$_i$.
10) Sendo A aberto, vem que A ∩ B = Ø sse A ∩ fecho B = Ø.

## Ponto de acumulação, ponto isolado, conjunto perfeito e conjunto puro

Sejam X espaço topológico, A parte de X e x ∈ X. Então:
1) Diz-se que x é ponto isolado de A sse, para alguma V vizinhança pontuada de x, V não intersecta A.
2) Diz-se que x é ponto de acumulação de A sse x não é ponto isolado de A sse x ∈ fecho(A − {x}).
3) O conjunto dos pontos isolados (resp. de acumulação) de A denota-se isol A (resp. acum A).
4) Note-se que pode haver pontos isolados de A que pertençam a A, assim como pode haver pontos de acumulação de A que não pertençam a A.
5) acum A ⊆ fecho A.
6) A é fechado sse acum A ⊆ A.
7) Diz-se que A é perfeito sse A = acum A.
8) Diz-se que A é puro sse A = A ∩ isol A sse a sub-topologia em A é a topologia discreta.
9) Se A é perfeito, então A é fechado.
10) Num espaço de Hausdorff, um conjunto finito é puro.

# Sequências
## Base-de-filtro

Num conjunto X, diz-se que um conjunto B de partes de X é uma base-de-filtro se, e somente se:
1) Ø ∉ B;
2) Para α, β ∈ B, existe γ ∈ B tal que γ ⊆ α ∩ β.

## Aderência e convergência

Dados dois conjuntos X, com um conjunto A de partes X, e Y, com um conjunto de B de partes de Y, dada uma função f: X → Y, pode-se perguntar se, dado α ∈ A, f(α) tem alguma relação com os elementos de B ou se, dado β ∈ B, f$^{−1}$(β) tem alguma relação com os elementos de A. Considere-se os casos:
1) Diz-se que f é A,B-mensurável sse, para todos os β ∈ B, f$^{−1}$(β) é um elemento de A.
2) Diz-se que f é A,B-aderente sse, para todos os β ∈ B e α ∈ A, vem que f(α) intersecta β.
3) Diz-se que f é A,B-convergente sse, para todos os β ∈ B, existe α ∈ A tal que f(α) ⊆ β.
4) É evidente que, se A, B são bases-de-filtro, vem que f ser A,B-convergente implica f ser A,B-aderente.

## Composição de funções aderentes e convergentes

Sejam X, A; Y, B e Z, C conjuntos com bases-de-filtro respectivas e f: X → Y e g: Y → Z funções. Então:
1) Se f é aderente e g convergente, então g ○ f é aderente.
2) Se f é convergente e g convergente, então g ○ f é convergente.

## Carácter local da aderência e da convergência

Sejam X, A e Y, B conjuntos com bases-de-filtro. Sejam Z ∈ A e C = {Z ∩ α : α ∈ A}, que é uma base-de-filtro em Z. Sejam f: X → Y e g: Y → Z funções. Então:
1) f é A,B-aderente (resp. convergente) sse f│Z é C,B-aderente (resp. convergente).
2) g: Y → X é B,A-aderente (resp. convergente) sse g: Y → Z é B,C-aderente (resp. convergente).

# Subespaços
## Sub-topologia

Seja X um espaço topológico. Sendo Y uma parte de X, em Y considera-se a topologia {A ∩ Y: A é aberto de X} que se diz ser sub-topologia da topologia em X e diz-se que Y é um sub-espaço topológico de X. Isto é, os abertos em Y são as intersecções com Y dos abertos em X. Note-se que então os fechados em Y são as intersecções com Y dos fechados em X. Por outro lado, se Y é um aberto em X, os abertos em Y são também abertos em X, e se Y é um fechado em X, os fechados em Y são também fechados em X.
Em Y pode-se definir outras topologias, mas esta é a que se considera canonicamente associada a Y como parte do espaço topológico X.
Se Z for uma parte de Y, então a sub-topologia em Z que vem de Y é a mesma que vem de Z quando se considera Z como parte de X.

# Axiomas de separação

Axiomas de separação são uma série de axiomas que descrevem de que forma um espaço topológico pode ser separado em partes menores; ou, mais precisamente, de que forma pontos e subconjuntos de um espaço topológico podem ser distinguidos através de propriedades topológicas.
O conceito básico dos axiomas de separação é que pontos e conjuntos do espaço possam ser distintos topologicamente, em outras palavras, que haja alguma propriedade topológica que permita distinguir estes elementos.
Por exemplo, dois pontos p e q, $p\neq q\,$ são topologicamente distintos quando existe um aberto A que contém um deles mas não contém o outro.
Na topologia grosseira, em que há apenas dois abertos (o conjunto vazio e o conjunto total), dois pontos quaisquer não são topologicamente distintos. Por outro lado, na topologia discreta, em que todos subconjuntos do espaço são abertos, dois pontos quaisquer são topologicamente distintos. Nos espaços métricos, igualmente, dois pontos quaisquer são topologicamente distintos. Assim, chama-se a esta propriedade o axioma T$_{0deseparação:}$
    Um espaço é T$_0$ ou Kolmogorov quando dois pontos diferentes p e q podem ser distintos topologicamente.
Os demais axiomas de separação são formulados analogamente; pode ser exigida a existência simultânea de abertos disjuntos, a separação de conjuntos fechados ou a existência de funções contínuas.

## Lista dos axiomas de separação

Os textos didáticos costumam diferir na apresentação dos axiomas, e na sua numeração; por exemplo, um espaço T3 deve ter a propriedade de que dado um conjunto fechado e um ponto externo, eles podem ser separados por abertos, porém alguns textos não exigem nenhum outro axioma, enquanto outros textos também existem o axioma T1.
Os axiomas são:
* Kolmogorov ou T0: dois pontos quaisquer são topologicamente distintos.
* T1: dois pontos quaisquer podem ser separados por abertos, ou seja, para todo a e b existem abertos U$_a$ e U$_b$ tais que cada ponto está em um aberto e não está no outro. Também chamado de espaço de Fréchet.
* Hausdorff ou T2: dois pontos quaisquer podem ser separados por abertos disjuntos.
A partir daqui, as definições costumam variar entre livros.
* Qualquer conjunto fechado e um ponto que não pertence a este conjunto podem ser separados por abertos. Algumas vezes chamado de T3.
* Espaço normal, quando satisfaz o axioma acima e é T1 (chamado, neste contexto, de T3) ou T2. Note que as duas definições são equivalentes, porque $T2\implies T1\implies T0\,$, e a propriedade acima combinada com T0 implica em T2.
* Qualquer conjunto fechado não vazio e um ponto que não pertence a este conjunto podem ser separados por funções contínuas.
* Espaço completamente regular ou $T3{\frac {1}{2}}\,$, quando satisfaz o axima acima e é T1.
* Dois conjuntos fechados disjuntos quaisquer podem ser separados por abertos. Algumas vezes chamado de T4, em outras vezes T4 exige este axioma e T1.
* Espaço normal, quando satisfaz a propriedade acima e é T1,algumas vezes chamado T4.
* T5, quando dois conjuntos disjuntos quaisquer podem ser separados por abertos.
* Espaço completamente normal, quando é normal e T5.

## Espaço de Kolmogorov ou Espaço T0

Um espaço topológico é Kolmogorov ou T$_0$ quando dois pontos quaisquer são topologicamente distintos, ou seja, existe alguma propriedade topológica que distingue um ponto do outro. Mais precisamente:
    Um espaço topológico é T$_0$ quando, para todos pontos x e y, existe um aberto A tal que $(x\in A\land \neg (y\in A))\lor (y\in A\land \neg (x\in A))\,$
Em palavras, dados dois pontos, existe um aberto que contém um deles mas não contém o outro.
Exemplo: espaços métricos são Kolmogorov, a topologia discreta é Kolmogorov, a topologia grosseira, em um espaço com dois ou mais pontos, não é Kolmogorov.
Em um espaço que não é Kolmogorov, é possível definir uma relação de equivalência, $x\sim y\,$ como sendo x e y são topologicamente indistinguíveis, ou, mais precisamente:
    $x\sim y\,$ se não existe um aberto A que separe x e y
Em outras palavras:
    $x\sim y\,$ se, para todo aberto A, temos que $x\in A\land y\in A\,$ ou $x\not \in A\land y\not \in A\,$
É fácil verificar, nesta relação, a propriedade reflexiva e simétrica; a propriedade transitiva pode ser vista quebrando-se nos quatro casos: sejam $x\sim y\,$ e $y\sim z\,$, e um aberto qualquer A, então temos:
* $x\in A\land y\in A\,$ e $y\in A\land z\in A\,$, portanto $x\in A\land z\in A\,$
* $x\in A\land y\in A\,$ e $y\not \in A\land z\not \in A\,$ - contradição em y
* $x\not \in A\land y\not \in A\,$ e $y\in A\land z\in A\,$ - contradição em y
* $x\not \in A\land y\not \in A\,$ e $y\not \in A\land z\not \in A\,$, portanto $x\not \in A\land z\not \in A\,$
Em outras palavras, se um espaço tem pontos topologicamente indistinguíveis, é como se estes pontos pudessem ser agrupados como se fossem um só. Ou seja, é possível ver a projeção canônica do espaço nas classes de equivalência como uma forma de colapsar pontos indistinguíveis.
Mais tecnicamente, seja K um espaço qualquer, e $\sim \,$ a relação de equivalência definida acima.
Seja:
    $\pi :K\to K/\sim \,$
a projeção canônica que leva cada ponto em sua classe de equivalência, e tomemos em $K/\sim \,$ a topologia induzida pela projeção, ou seja, um conjunto U é aberto em $K/\sim \,$ se, e somente se, sua imagem inversa $\pi ^{-1}(U)\,$ é um aberto em K.
Então:
* $\pi \,$ é uma função contínua
* $K/\sim \,$ é um espaço de Kolmogorov
* caso K também seja Kolmogorov (neste caso, cada elemento de $K/\sim \,$ é um conjunto da forma {x}, com $x\in K\,$) a função é um homeomorfismo
Prova: exercício.
Este espaço construído a partir de um espaço qualquer e da relação de equivalência entre pontos indistinguíveis se chama Quociente de Kolmogorov. Várias das propriedades topológicas estão presentes no espaço se, e somente se, estão presentes no seu quociente de Kolmogorov, mas há exceções (obviamente, as propriedades associadas aos axiomas de separação, além de outras).

## Ver também

* Axiomas de separação, na Wikipédia.

# Conexidade
## Espaços conexos
### Cisões

Seja M, um espaço métrico. Uma cisão de M é uma decomposição M=A$U$B, onde A e B são abertos disjuntos de M.
Se A ou B são vazios, esta cisão é dita trivial de M.
Um espaço métrico é conexo, quando a única cisão que este admite é a cisão trivial.
A ideia de conexidade está ligada a noção generalizada de não possuir "buracos" mas isso nem sempre é verdadeiro como se verá abaixo.

### Exemplos

Exercite sua mente tentando provar estes fatos, na dúvida consulte o livro de Elon L. Lima sobre espaços métricos.
Os reais são conexos, bem como qualquer dos seus intervalos.
Porém se dos reais retirarmos um ponto temos um espaço não conexo, (dito desconexo), pois o ponto dividira este em duas partes não vazias.
Uma bola aberta no plano é conexa. Mas se retirarmos seu centro ela se matem conexa.

# Enumerabilidade
## Enumerabilidade

1) Um espaço topológico X diz-se que verifica o 1º Axioma da Contabilidade se a topologia em X tem uma base contável se a topologia em X tem uma sub-base contável.
2) Um espaço topológico X diz-se que verifica o 2º Axioma da Contabilidade se cada ponto de X tem uma base contável de vizinhanças.
3) Sendo X um espaço topológico, se x ∈ X tem uma base contável de vizinhanças, então tem uma base (V$_n$)$_n$ de vizinhanças tal que ... ⊆ V$_3$ ⊆ V$_2$ ⊆ V$_1$.
4) Se X verifica o 1º Axioma da Contabilidade, então também verifica o 2º Axioma da Contabilidade.
5) Um sub-espaço dum espaço topológico que verifique o 1º Axioma da Contabilidade (resp. 2º Axioma da Contabilidade) também verifica o 1º Axioma da Contabilidade (resp. 2º Axioma da Contabilidade).

## Densidade

Sendo X espaço topológico, diz-se que uma parte A de X é densa em X sse alguma das condições equivalentes se verifica:
1) fecho A = X.
2) ext A é vazio.
3) Todo o aberto de X intersecta A.

### Proposição

Sendo X espaço topológico:
1) A é denso em fecho A.
2) Se A é denso em B e B é denso em X, então A é denso em X.
3) Ainda que A seja denso em X, pode ser que B ∩ A não seja denso em B, como se pode ver fazendo X = {1, 2, 3} com a topologia {Ø, X, {1, 2}} sendo A = {2, 3} e B = {1, 3}.

## Espaço separável

Sendo X um espaço topológico:
1) Diz-se que X é separável sse X contiver uma parte densa contável.
2) Se X verifica o 1º Axioma da Contabilidade, então X é separável.
    Demonstração
    2): Suponha-se que X verifica o 1º Axioma da Contabilidade. Seja β uma base contável da topologia em X. Para cada A ∈ β, seja um certo x$_A$ ∈ A. Então B = {x$_A$: A ∈ β} é contável. Sendo U aberto de X, U é a união de elementos de β, portanto algum elemento de B está em U. Assim B é denso em X.

### Proposição

Sejam X espaço topológico e (X$_n$)$_n$ sucessão de partes de X cuja união é X. Para cada n, seja D$_n$ contável denso em X$_n$. Então ∪ $_n$ D$_n$ é contável e denso em X. Em particular, se um espaço é a união contável de sub-espaços separáveis, então ele é separável.
    Demonstração
    Evidentemente ∪ $_n$ D$_n$ é contável. Será denso em X? Seja U aberto de X. Então, para um certo n, U ∩ X$_n$ não é vazio. Mas U ∩ X$_n$ é aberto de X$_n$, logo existe x ∈ U ∩ X$_n$ ∩ D$_n$. Então x ∈ ∪ $_n$ D$_n$, portanto U ∩ ( ∪ $_n$ D$_n$) não é vazio. O que mostra que ∪ $_n$ D$_n$ é denso em X.

## Propriedade de Hausdorff

Sendo X espaço topológico, diz-se que X é de Haudsdorff sse, para quaisquer x, y ∈ X diferentes, existem U vizinhança de x e V vizinhança de y que são disjuntas.
Note-se que a sub-topologia numa parte dum espaço de Hausdorff é ainda de Hausdorff. E note-se também que, se X for de Hausdorff, qualquer que seja x ∈ X, {x} é fechado.
Note-se que a propriedade de Hausdorff afirma sobre a possibilidade de «separar» dois pontos do espaço. No entanto, atenção, o facto dum espaço topológico ser separável, não significa que seja de Hausdorff. É muito fácil criar um contra-exemplo.

## Conjunto raro, categorização de Baire

Sejam X espaço topológico e A parte de X. Então:
1) Diz-se que A é raro sse int fecho A = Ø.
2) Diz-se que A é da 1ª Categoria de Baire sse A é a união contável de conjuntos raros.
3) Diz-se que A é da 2ª Categoria de Baire sse A não é da 1ª Categoria de Baire.
4) A é aberto e denso em X sse X - A é fechado e raro em X.

# Grupo livre e apresentação de um grupo
## Monóide livre gerado por um conjunto

Sejam $V$ um espaço vetorial e $v_{1},\ldots ,v_{n}$ uma base de $V$. Dado qualquer espaço vetorial $W$ e quaisquer elementos $w_{1},\ldots ,w_{n}\in W$, existe uma aplicação linear $\varphi :V\rightarrow W$ tal que $\forall i\in \{1,\ldots ,n\},\,\varphi (v_{i})=w_{i}$. Poderíamos dizer que isto acontece porque os elementos $v_{1},\ldots ,v_{n}$ de uma base não estão "relacionados" uns com os outros (formalmente, são linearmente independentes). De fato, se, por exemplo, tivéssemos a relação $v_{1}=\lambda v_{2}$ para algum escalar $\lambda$ (e então $v_{1},\ldots ,v_{n}$ já não seriam linearmente independentes), então a aplicação linear $\varphi$ podia não existir.
Consideremos um problema semelhante com grupos: dado um grupo $G$ gerado por um conjunto $X=\{x_{i}:i\in I\}\subseteq G$ e dados um qualquer grupo $H$ e um qualquer conjunto $Y=\{y_{i}:i\in I\}\subseteq H$, existirá sempre um morfismo de grupos $\varphi :G\rightarrow H$ tal que $\forall i\in I,\,\varphi (x_{i})=y_{i}$? A resposta é não. Por exemplo, consideremos o grupo $G=\mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ que é gerado pelo conjunto $X=\{1\}$, o grupo $Y=\mathbb {R}$ (com a operação de adição) e o conjunto $Y=\{2\}$. Se existisse um morfismo de grupos $\varphi :\mathbb {Z} _{n}\rightarrow \mathbb {R}$ tal que $\varphi (1)=y$, então $2n=n\varphi (1)=\varphi (n\,1)=\varphi (0)=0$, o que é impossível. Mas se tivéssemos escolhido $G=\mathbb {Z}$, então tal morfismo de grupos existiria e seria dado por $\varphi (t)=2t$. De fato, dado qualquer grupo $H$ e qualquer $y\in H$, temos um morfismo de grupos $\varphi :\mathbb {Z} \rightarrow H$ definido por $\varphi (t)=y^{t}$ (em notação multiplicativa) que verifica $\varphi (1)=y$. De certo modo, podemos pensar que isto acontece porque os elementos do conjunto $X=\{1\}\subseteq \mathbb {Z}$ (que gera $\mathbb {Z}$) não verificam relações como $nx=1$ (como $\mathbb {Z} _{n}$) ou $xy=yx$. Portanto, parece que $\mathbb {Z}$ é um grupo mais "livre" do que $\mathbb {Z} _{n}$.
O nosso objetivo nesta seção vai ser, dado um conjunto $X$, construir um grupo gerado pelo conjunto $X$ e que seja o mais "livre" possível, no sentido de não ter de obedecer a relações como $x^{n}=1$ ou $xy=yx$. Para isso, vamos começar por definir um monóide "livre" (no mesmo sentido). Informalmente, este monóide vai ser o monóide das palavras escritas com letras do "alfabeto" $X$, onde a identidade vai ser a palavra sem letras (a "palavra vazia"), e a operação binária do monóide vai ser "juntar" duas palavras para forma uma nova palavra. A notação $x_{1}\ldots x_{n}$ que vamos usar para os elementos deste monóide vai ao encontro da ideia de que os elementos deste monóide são palavras $x_{1}\ldots x_{n}$ onde $x_{1},\ldots ,x_{n}$ são letras do alfabeto $X$. Segue-se a definição formal deste monóide.
Definição Seja $X$ um conjunto.
* Denotamos os $n$-uplos $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ (com $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ e $n\in \mathbb {N} \cup \{0\}$) por $x_{1}\ldots x_{n}$.
* Denotamos $$, isto é, $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ com $n=0$, por $1$.
* Denotamos por $FM(X)$ o conjunto $\{x_{1}\ldots x_{n}:n\in \mathbb {N} \cup \{0\}\,\wedge \,x_{1},\ldots ,x_{n}\in X\}$.
* Definimos em $FM(X)$ a operação de concatenação $*$ por $x_{1}\ldots x_{m}*y_{1}\ldots y_{n}=x_{1}\ldots x_{m}y_{1}\ldots y_{n}$.
De seguida provamos que este monóide é efetivamente um monóide. Trata-se de um resultado de demonstração simples.
Proposição $(FM(X),*)$ é um monóide com elemento neutro $1$.
Demonstração A operação $*$ é associativa porque, dados $x_{1}\ldots ,x_{m},y_{1}\ldots ,y_{n},z_{1}\ldots z_{p}\in FM(X)$ quaisquer temos
$(x_{1}\ldots x_{m}*y_{1}\ldots y_{n})*z_{1}\ldots z_{m}=x_{1}\ldots x_{m}y_{1}\ldots y_{n}*z_{1}\ldots z_{m}=$ $x_{1}\ldots x_{m}y_{1}\ldots y_{n}z_{1}\ldots z_{m}=x_{1}\ldots x_{m}*(y_{1}\ldots y_{n}z_{1}\ldots z_{m})=x_{1}\ldots x_{m}(y_{1}\ldots y_{n}*z_{1}\ldots z_{m})$.
É óbvio que $(FM(X),*)$ tem elemento neutro $1$. $\square$
Seguindo a ideia de que o monóide $(FM(X),*)$ é o monóide mais "livre" gerado por $X$, vamos chamar-lhe monóide livre gerado por $X$.
Definição Seja $X$ um conjunto. Ao monóide (FM(X),*) chamamos monóide livre gerado por $X$.
Exemplos
* Seja $X=\{x\}$. Então $FM(X)=\{1,x,xx,xxx,\ldots \}$ e, por exemplo, $xx*xxx=xxxxx$.
* Seja $X=\{x,y,z\}$. Então $1,x,y,z,xxx,yxz,xyzzz\in FM(X)$ e, por exemplo, $xxx*yxz=xxxyxz$.

## Grupo livre gerado por um conjunto

Passemos agora à construção do grupo mais "livre" gerado por um conjunto $X$. Informalmente, o que vamos fazer é introduzir no monóide $FM(X)$ os elementos inversos que lhe faltam para ser um grupo. Concretizando um pouco mais, vamos tomar um conjunto ${\bar {X}}$ equipotente a $X$, escolher uma bijecção de $X$ em ${\bar {X}}$ e deste modo ficar com uma "associação" entre os elementos de $X$ e os elementos de ${\bar {X}}$. Então encaramos o elemento $x_{1}\ldots x_{n}\in FM(X)$ (com $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$) como tendo o elemento ${\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ (com ${\overline {x_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}}}\in X$) como inverso, onde os $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ estão associados a ${\overline {x_{1}}}\ldots {\overline {x_{n}}}$, respectivamente. Notemos que a ordem dos elementos em ${\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ está "invertida" porque o inverso do produto $x_{1}\ldots x_{n}=x_{1}*\cdots *x_{n}$ tem de ser $x_{n}^{-1}*\cdots *x_{1}^{-1}$, e os $x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1}$ serão, respectivamente, os ${\overline {x_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}}}$. A forma de fazemos com que ${\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ seja o inverso de $x_{1}\ldots x_{n}$ é tomar uma relação de congruência $R$ que identifica $x_{1}\ldots x_{n}{\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ com $1$, e passar $FM(X\cup {\bar {X}})$ ao quociente por esta relação (definindo depois nesse quociente, de forma natural, a operação binária do grupo, $[u]_{R}\star [v]_{R}=[u*v]_{R}$). Ao passarmos ao quociente, estamos a formalizar a ideia intuitiva de identificar $x_{1}\ldots x_{n}{\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ com $1$, pois no quociente temos a igualdade $[x_{1}\ldots x_{n}{\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}]_{R}=[1]_{R}$. Passemos então à definição formal.
Definição Seja $X$ um conjunto. Tomemos um outro conjunto ${\overline {X}}$ equipotente a $X$ e disjunto de $X$ e seja $f:X\rightarrow {\overline {X}}$ uma aplicação bijectiva.
* Para cada $x\in X$ denotemos $f(x)$ por ${\bar {x}}$, para cada $x\in {\overline {X}}$ denotemos $f^{-1}(x)$ por ${\bar {x}}$ e para cada $x_{1}\ldots x_{n}\in FM(X\cup {\overline {X}})$ denotemos ${\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ por ${\overline {x_{1}\ldots x_{n}}}$.
* Seja $R$ a relação de congruência em $FM(X\cup {\overline {X}})$ gera por $G=\{(u*{\bar {u}},1):u\in X\cup {\overline {X}}\}$, isto é, $R$ é a interseção de todas as relações de congruência em $FM(X\cup {\overline {X}})$ que contêm $G$. Denotamos o conjunto quociente $FM(X\cup {\overline {X}})/R$ por $FG(X)$.
Frequentemente, por abuso de notação, denotamos um elemento $[u]_{R}\in FG(X)$ simplesmente por $u$.
Uma vez que a operação $[u]_{R}\star [v]_{R}=[u*v]_{R}$ que queremos definir em $FM(X\cup {\bar {X}})/R$ está definida à custa de representantes particulares $u$ e $v$ das classes de equivalência $[u]_{R}$ e $[v]_{R}$, um primeiro cuidado a ter é verificar que a definição não depende dos representantes escolhidos. Trata-se de uma verificação simples.
Lema Seja $X$ um conjunto. Fica bem definida em $FG(X)$ a operação binária $\star$ por $[u]_{R}\star [v]_{R}=[u_{r}*v_{r}]_{R}$ (onde $R$ é a relação de congruência de definição anterior).
Demonstração Sejam $u,u',v,v'\in FM(X)$ quaisquer tais que $[u]_{R}=[u']_{R}$ e $[v]_{R}=[v']_{R}$, isto é, $uRu'$ e $vRv'$. Por $R$ se relação de congruência em $FM(X\cup {\bar {X}})$, temos $u*vRu'*v'$, isto é, $[u*v]_{R}=[u'*v']_{R}$. $\square$
Visto então que a definição é legítima, apresentamo-la.
Definição Seja $X$ um conjunto. Definimos em $FG(X)$ a operação binária $\star$ por $[u]_{R}\star [v]_{R}=[u_{r}*v_{r}]_{R}$.
Finalmente, verificamos que o grupo que construímos é efetivamente um grupo.
Proposição Seja $X$ um conjunto. $(FG(X),\star )$ é um grupo com elemento neutro $[1]_{R}$ e onde $\forall [u]_{R}\in FG(X),\,{[u]_{R}}^{-1}=[{\bar {u}}]_{R}$.
Demonstração
* $(FG(X),\star )$ é associativo porque $\forall [u]_{R},[v]_{R},[w]_{R}\in FG(X),\,([u]_{R}\star [v]_{R})\star [w]_{R}=([u*v]_{R})\star [w]_{R}=[(u*v)*w]_{R}=$ $[u*(v*w)]_{R}=[u]_{R}\star [v*w]_{R}=[u]_{R}\star ([v]_{R}\star [w]_{R}).$
* Vejamos que $[1]_{R}$ é elemento neutro de $(FG(X),\star )$. Seja $[u]_{R}\in FG(X)$ qualquer. Temos $[u]_{R}\star [1]_{R}=[u*1]_{R}=[u]_{R}$ e, analogamente, $[1]_{R}\star [u]_{R}=[u]_{R}$.
* Seja $[u]_{R}\in FG(X)$ qualquer e vejamos que $[u]_{R}\star [{\bar {u}}]_{R}=[1]_{R}$. Temos $[u]_{R}\star [{\bar {u}}]_{R}=[u*{\bar {u}}]_{R}$ e, por definição de $R$, $u*{\bar {u}}R1$, isto é, $[u*{\bar {u}}]_{R}=[1]_{R}$, logo $[u]_{R}\star [{\bar {u}}]_{R}=[1]_{R}$ e, analogamente, $[{\bar {u}}]_{R}\star [u]_{R}=[1]_{R}$. $\square$
Analogamente ao que fizemos com o monóide livre, ao grupo mais "livre" gerado pelo conjunto $X$ vamos chamar grupo livre gerado por $X$.
Definição Seja $X$ um conjunto. Ao grupo $(FG(X),\star )$ chamamos grupo livre gerado por $X$.
Exemplo Seja $X=\{x\}$. Escolhamos um qualquer conjunto ${\bar {X}}=\{y\}$ disjunto (e equipotente) de $X$. Seja $f:X\rightarrow {\bar {X}}$ uma (na verdade, a única) aplicação bijectiva de $X$ em ${\bar {X}}$. Então denotamos $f(x)=y$ por ${\bar {x}}$ e denotamos $f^{-1}(y)=x$ por ${\bar {y}}$. Passamos a encarar $x$ e $y$ como elementos inversos. Seja $R$ a relação de congruência de $FM(X\cup {\bar {X}})$ gerada por $G=\{(1,1),(x{\bar {x}},1),(xx{\bar {x}}{\bar {x}},1),\ldots \}$. $FG(X)=FM(\{x,{\bar {x}}\})$ é o conjunto das "palavras" escritas no alfabeto $\{[x]_{R},[{\bar {x}}]_{R}\}$. Por exemplo, $[1]_{R},[x]_{R},[{\bar {x}}]_{R},[xx{\bar {x}}xx]_{R}\in FG(X)$.
Temos $G\subseteq R$ e, por exemplo, $(xx{\bar {x}},1)\in R$, pois de $(x{\bar {x}},1)\in G\subseteq R$ (logo $x{\bar {x}}R1$) e de $R$ ser relação de congruência, vem que podemos "multiplicar" ambos os "membros" da relação $x{\bar {x}}R1$ e obter $xx{\bar {x}}Rx$. Encaramos $x{\bar {x}}R1$ como significando que em $FG(X)$ temos $xx{\bar {x}}=x$ (em rigor, $[xx{\bar {x}}]_{R}=[1]_{R}$), e pensamos nesta igualdade como sendo resultado de um $x$ "anular-se" com ${\bar {x}}$ em $xx{\bar {x}}$.
Dado $u\in FM(X\cup {\bar {X}})$, denotemos o número exato de vezes que a "letra" $x$ ocorre em $u$ por $|u|_{x}$ e denotemos o número exato de vezes que a "letra" ${\bar {x}}$ ocorre em $u$ por $|u|_{\bar {x}}$. Então "cortando" $x$'s com ${\bar {x}}$'s ficamos com uma palavra reduzida com $|u|_{x}-|u|_{\bar {x}}$ vezes a letra $x$ (se $|u|_{x}-|u|_{\bar {x}}<0$, entendamos que não há letras $x$ e fica $-(|u|_{x}-|u|_{\bar {x}})$ vezes a letra ${\bar {x}}$). Denotemos este número $|u|_{x}-|u|_{\bar {x}}$ por $|u|_{x-{\bar {x}}}$. Temos
* $[u]_{R}=[v]_{R}$ se e só se $|u|_{x-{\bar {x}}}=|v|_{x-{\bar {x}}}$ e
* $\forall [u]_{R},[v]_{R}\in FG(X),\,|uv|_{x-{\bar {x}}}=|u|_{x-{\bar {x}}}+|v|_{x-{\bar {x}}}$.
Assim, cada elemento $[u]_{R}\in FG(X)$ fica determinado pelo número inteiro $|u|_{x-{\bar {x}}}$ e o produto $\star$ de dois elementos $[u]_{R},[v]_{R}\in FG(X)$ corresponde à soma dos seus inteiros associados $|u|_{x-{\bar {x}}}$ e $|v|_{x-{\bar {x}}}$. Assim, parece que o grupo $(FG(X),\star )$ é "semelhante" a $(\mathbb {Z} ,+)$. Com efeito $(FG(X),\star )$ é isomorfo a $(\mathbb {Z} ,+)$ e a aplicação $|\cdot |_{x-{\bar {x}}}:FG(X)\rightarrow \mathbb {Z}$ é um isomorfismo de grupos.

## Apresentação de um grupo

Informalmente, parece que $\mathbb {Z} _{n}$ é obtido do grupo "livre" $\mathbb {Z}$ impondo a relação $nx=1$. Vamos tentar formalizar esta ideia. Partimos de um conjunto $X$ que gera um grupo $G$ que queremos criar e de um conjunto de relações $R$ (tais como $x^{n}=1$ ou $xy=yz$) que os elementos de $G$ devem verificar e obtemos o grupo $G/R$ gerado por $G$ e que verifica as relações $R$. Mais precisamente, escrevemos cada relação $u=v$ na forma $uv^{-1}=1$ (por exemplo, $xy=yx$ escreve-se na forma $xyx^{-1}y^{-1}=1$) e encaramos $uv^{-1}$ como uma "palavra" de $FG(X)$. Como $R$ não tem necessariamente de ser um subgrupo normal de $G$, não podemos considerar o quociente $FG(X)/R$, pelo que consideramos o quociente $FG(X)/R$ onde $N$ é o subgrupo normal de $FG(X)$ gerado por $R$. Em $G/N$, vamos ter $uv^{-1}N=1N$, o que encaramos como significando que em $G/N$ os elementos $uv^{-1}$ e $1$ são o mesmo. Assim, $FG(X)/N$ vai verificar todas as relações que queremos e vai ser gerado por $X$ (mais precisamente, por $\{xN:x\in X\}$). Formalizamos de seguida esta ideia.
Definição Seja $G$ um grupo. Chamamos apresentação de $G$, e denotamos por $<X:R>$, a um par ordenado $(X,R)$ onde $X$ é um conjunto, $R\subseteq FG(X)$ e $G\simeq FG(X)/N$, onde $N$ é o subgrupo normal de $FG(X)$ gerado por $R$. Numa apresentação $<X:R>$, a $X$ chamamos conjunto gerador e a $R$ chamamos conjunto das relações.
Vejamos exemplos de apresentações do grupo livre $FG(X)$ e dos grupos $\mathbb {Z} _{n}$, $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$, $\mathbb {Z} _{m}\oplus \mathbb {Z} _{n}$ e $S_{3}$. Aproveitamos também os exemplos para expor alguma notação usual e mostrar que a apresentação de um grupo não tem de ser única.
Exemplos
* Seja $X$ um conjunto. $<X:{\emptyset }>$ é uma apresentação de $FG(X)$ porque $FG(X)\simeq FG(X)/\{1\}$, onde $\{1\}$ é o subgrupo normal de $FG(X)$ gerado por $\emptyset$. Em particular, $<\{x\}:\emptyset >$ é uma apresentação de $(\mathbb {Z} ,+)\simeq FG(\{x\})$, mais usualmente denotada por $<x:\emptyset >$. Outra apresentação de $(\mathbb {Z} ,+)$ é $<\{x,y\}:\{xy^{-1}\}>$, mais usualmente denotada por $<x,y:xy^{-1}>$. Informalmente, na apresentação $<x,y:xy^{-1}>$ introduzimos um novo elemento $y$ no conjunto gerador, mas depois impomos a relação $xy^{-1}=1$, isto é, $x=y$, o que na prática é o mesmo que nem ter introduzido $y$ e ter ficado pela apresentação $<x:\emptyset >$.
* Seja $X=\{x\}$. $<X:\{x^{n}\}>$ (onde $x^{n}=x\star \cdots \star x\in FG(X)$ $n$ vezes) é uma apresentação de $\mathbb {Z} _{n}$. Com efeito, o subgrupo de $FG(X)$ gerado por $\{x^{n}\}$ é $N=\{\ldots ,{\bar {x}}^{2n},{\bar {x}}^{n},1,x^{n},x^{2n},\ldots \}\simeq n\mathbb {Z}$ e $FG(X)\simeq \mathbb {Z}$, logo $\mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \simeq FG(X)/N$. É mais usual denotar $<\{x\}:\{x^{n}\}>$ por $<x:x^{n}>$.
* Sejam $X=\{x,y\}$ (com $x$ e $y$ distintos) e $R=\{xyx^{-1}y^{-1}\}$. $<X:R>$ é uma apresentação de $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$. Informalmente, o que fazemos é impor em $FG(X)$ que haja comutatividade, isto é, $xy=yx$, ou seja, $xyx^{-1}y^{-1}=1$, obtendo um grupo isomorfo a $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$. É mais usual denotar $<\{x,y\}:\{xyx^{-1}y^{-1}\}>$ por $<x,y:xyx^{-1}y^{-1}>$.
* Sejam $X=\{x,y\}$ e $R=\{xyx^{-1}y^{-1},x^{m},y^{n}\}$. $<X,R>$ é uma apresentação de $\mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}$. Informalmente, o que fazemos é impor a comutatividade da mesma forma que no exemplo anterior, e impomos ainda $x^{m}=1$ e $x^{n}=1$ para obtermos $\mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}$ em vez de $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$. É mais usual denotar $<\{x,y\}:\{xyx^{-1}y^{-1},x^{m},y^{n}\}>$ por $<x,y:xyx^{-1}y^{-1},x^{m},y^{n}>$.
* $<\{a,b,c\}:\{aa,bb,cc,abac,cbab\}>$, mais usualmente escrito $<a,b,c:a^{2},b^{2},c^{2},abac,cbab>$, é uma apresentação de $S_{3}$, o grupo das permutações de $\{1,2,3\}$ com a composição de aplicações. Para verificar isto, podemos verificar que qualquer grupo com apresentação $<a,b,c:a^{2},b^{2},c^{2},abac,cbab>$ tem exatamente seis elementos $id$, $a$, $b$, $c$, $a$, $ab$ e $ac$, e que a multiplicação destes elementos resulta na seguinte tabela de Cayley que é igual à tabela de Cayley de $S_{3}$. Apenas para dar uma ideia de como o podemos fazer, um grupo com apresentação $<a,b,c:a^{2},b^{2},c^{2},abac,cbab>$ tem exatamente os elementos $id$, $a$, $b$, $c$, $a$, $ab$ e $ac$ porque nenhuns destes elementos são iguais (as relações $a^{2}=b^{2}=c^{2}=abac=cbab=1$ não permitem concluir que dois destes elementos são iguais) e porque "outros" elementos como $bc$ são na realidade alguns dos elementos anteriores (por exemplo, de $cbab=id$ temos $cb=ab$, e tomando inversos de ambos os membros, temos $b^{-1}c^{-1}=b^{-1}a^{-1}$, que, usando $a^{2}=b^{2}=c^{2}=id$, isto é, $a=a^{-1}$, $b=b^{-1}$ e $c=c^{-1}$, resulta em $bc=ba$). Então, usando as relações da apresentação, podemos calcular a tabela de Cayley. Por exemplo, $a(ab)=b$ porque temos a relação $a^{2}=1$. Outro exemplo: temos $b(ac)=a$ porque podemos multiplicar ambos os membros da relação $abac=id$ por $a$ e então usar $a^{2}=id$. Podíamos ter suspeitado desta representação tomando $a=(1\ 2)$, $b=(1\ 3)$ e $c=(2\ 3)$ e depois, tentando construir a tabela de Cayley de $S_{3}$, descoberto que tal era possível se soubéssemos que $a^{2}=b^{2}=c^{2}=abac=cbab=1$.
| $\times$ | $id$ | $a$ | $b$ | $c$ | $ab$ | $ac$ |
| $id$ | $id$ | $a$ | $b$ | $c$ | $ab$ | $ac$ |
| $a$ | $a$ | $id$ | $ab$ | $ac$ | $b$ | $c$ |
| $b$ | $b$ | $ac$ | $id$ | $ab$ | $c$ | $a$ |
| $c$ | $c$ | $ab$ | $ac$ | $id$ | $a$ | $b$ |
| $ab$ | $ab$ | $c$ | $a$ | $b$ | $ac$ | $id$ |
| $ac$ | $ac$ | $b$ | $c$ | $a$ | $id$ | $ab$ |
É natural perguntar se todo o grupo tem uma apresentação. O teorema seguinte diz-nos que sim, e dá-nos até uma apresentação.
Teorema Sejam $(G,\times )$ um grupo.
* A aplicação $\varphi :FG(G)\rightarrow G$ definida por $\varphi ([x_{1}]_{R}\star \cdots \star [x_{n}]_{R})=x_{1}\times \cdots \times x_{n}$ (onde $x_{1},\ldots ,x_{n}\in G$) é um epimorfismo de grupos.
* $<G:{\textrm {ker}}\,\varphi >$ é uma apresentação de $(G,\times )$.
Demonstração
* $\varphi$ está bem definida porque todo o elemento de $FG(X)$ tem uma representação única na forma $[x_{n}]\star \cdots [x_{n}]_{R}$ com $x_{1},\ldots ,x_{n}\in G$, a menos de $[1]_{R}$ surgir várias vezes na representação, o que não afeta o valor de $x_{1}\times \cdots \times x_{n}$. Sejam $[x_{1}]_{R}\star \cdots \star [x_{m}]_{R},[y_{1}]_{R}\star \cdots \star [y_{n}]_{R}\in FG(X)$ quaisquer, onde $x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n}\in G$. Temos $\varphi (([x_{1}]_{R}\star \cdots \star [x_{m}]_{R})\star ([y_{1}]\star \cdots \star [y_{n}]_{R}))=(x_{1}\times \cdots \times x_{m})\times (y_{1}\times \cdots \times y_{n})=$ $\varphi ([x_{1}]_{R}\star \cdots \star [x_{m}]_{R})\times \varphi ([y_{1}]_{R}\star \cdots \star [y_{n}]_{R})$, logo $\varphi$ é morfismo de grupos. Como $\forall x\in G,\,\varphi ([x]_{R})=x$, então $G$ é epimorfismo de grupos.
* Pelo primeiro teorema do isomorfismo (para grupos), temos $FG(G)/{\textrm {ker}}\,\varphi \simeq \varphi (G)=G$, logo $<G:{\textrm {ker}}\,\varphi >$ é uma apresentação de $(G,\times )$. $\square$
O teorema anterior, embora dê uma apresentação do grupo $G$, não nos dá uma "boa" apresentação, pois o conjunto gerador $G$ é usualmente bastante maior do que outros conjuntos geradores, e o conjunto das relações $\mathrm {ker} \,\varphi$ é também usualmente bastante maior do que outros conjuntos de relações suficientes (é até um subgrupo normal de $FG(G)$, quando bastava que gerasse um subgrupo normal apropriado).

# Referências bibliográficas
#### Topologia geral

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