# Cálculo (Volume 1)/Limites e Continuidade
## Limites
### Breve explanação

Vejamos o gráfico a seguir:
Figura 1
O gráfico representa a função $f:\!\mathbb {R} \ \!\smallsetminus \!\{6\}\to \mathbb {R} \$ definida pela regra:
Esta função não está definida para $x\ =\ 6$, pois não faz sentido escrever $y\ =\ {\frac {0}{0}}$. No entanto, podemos calcular $f(x)$ para valores de $x$ muito próximos de 6. Observe a tabela:
| $x$ | 5,5 | 5,8 | 5,99 | 6 | 6,05 | 6,2 | 6,5 |
| $y=f(x)$ | 0,75 | 0,9 | 0,995 | $\not \exists$ | 1,025 | 1,1 | 1,25 |
Se fizermos $x\ =\ 5,5$ temos $y\ =\ 0,75$; se agora fizermos $x\ =\ 5,8$ teremos $y\ =\ 0,9$; depois fazendo $x\ =\ 5,99$ teremos $y\ =\ 0,995$; portanto quando nós aproximamos $x$ de 6, vemos que também aproximamos $y$ de 1. Intuitivamente faremos o mesmo usando valores maiores que 6: se tivermos $x\ =\ 6,5$ teremos $y\ =\ 1,25$; e para $x\ =\ 6,2$ teremos $y\ =\ 1,1$; finalmente, se $x\ =\ 6,05$ teremos $y\ =\ 1,025$ e vemos que o mesmo acontece.
O que isto quer dizer?
Acontece que, quando aproximamos $x$ de 6, $y$ se aproxima de 1, o que indica uma tendência de se igualar a 1. Perceba que quando $x$ se aproxima de 6, de forma a alcançar o limite entre ele e o número mais próximo a ele, inevitavelmente faz com que $y$ também alcance um número ainda mais próximo de 1. Então dizemos que: se $f(x)=y$ então, o limite de $f(x)$ quando $x$ tende a 6 é igual a 1.
Como veremos mais adiante, isto é representado pela seguinte notação:
Como pode ver, acabamos de caracterizar o conceito de limite a partir da noção intuitiva de aproximar um número de outro.
Mas como podemos dizer "se aproximar" em termos matemáticos?
Se levarmos em consideração que ao aproximar duas coisas, a distância entre elas diminui, fica fácil perceber que será necessário medir a distância entre os números. Sendo assim, vale a pena recordar que a distância entre dois números reais é dada pela fórmula $d(a,b)=|a-b|$. Assim, usando essa fórmula podemos dizer que, por exemplo:
* Se $\delta$ é um número pequeno e $|x-a|<\delta$ então $x$ está próximo de $a$ ;
* Se diminuimos gradativamente o valor de $\epsilon$, e ao mesmo tempo escolhemos $y$ satisfazendo $|y-L|<\epsilon$, podemos dizer que estamos aproximando $y$ de L;
Com isso em mente, vamos retomar o nosso exemplo. A dependência entre a variação de $x$ e a variação dos valores assumidos pela função $f(x)$ pode agora ser expressa de uma forma bem simples. Como é mostrado na tabela, é possível fazer $f(x)$ ficar extremamente próximo de 1, bastando escolher valores de $x$ suficientemente próximos de 6. Assim, se queremos fazer $d(f(x),1)$ ficar menor que $\epsilon$, é suficiente encontrar um valor de $\delta$ pequeno o bastante e fazer escolhas de $x$ que satisfaçam $d(x,6)=|x-6|<\delta$, ou seja, basta escolher $x$ próximo de 6.

### Analisando as condições

Seja a função $f(x)$, onde $x\ \in \ \mathbb {R}$. Façamos isto apenas para restringir o escopo da análise a funções mais simples e assim, que isto permita-nos colocar as condições dentro de parâmetros mais fáceis de analisar.
Sendo $f(x)$, definido ou não em um determinado ponto do domínio, verificamos a existência de valores que tendem a se aproximar de um valor $L$, próximo aos valores trivialmente encontrados para a função em pontos próximos e com valores conhecidos. Então, arbitramos um número $\epsilon$, delimitando uma região em $f(x)$ de forma que as condições sejam suficientes para garantir que:
Ao tomarmos um subintervalo em $f(x)$ com extensão $\epsilon$, o efeito esperado é que tenhamos delimitado um valor $\delta$ correspondente para $x$. Consideramos que temos um número $a$, neste intervalo, para todo $\delta$ que obtemos quando arbitramos um $\epsilon$ na função. Da mesma forma que temos um esperado valor em $f(x)$ devemos ter um número $x$ no domínio, tal que:
Devemos ter o cuidado de observar que a afirmativa acima exige que o valor da diferença não seja nulo, caso contrário a relação de correspondência dos valores na função e no domínio não existiria.
Caso as condições acima sejam satisfeitas e a relação entre os valores seja possível, dizemos que $L$ é o limite de $f(x)$ quando $\left(x\right)$ tende a $\left(a\right)$.

### Definição

Adotamos a notação
para dizer que a função possui a seguinte propriedade:
$\forall \epsilon >0,\quad \exists \delta >0\quad |\quad \forall x\in D_{f},\quad 0\ <\ \left|x\ -\ a\right|\ <\ \delta \qquad \Rightarrow \qquad \left|f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon$
De agora em diante, para indicar que uma função tem esta propriedade, usaremos indiferentemente qualquer das seguintes alternativas:
* $L$ é o limite de $f(x)$, quando $x$ tende para $a$, ou que
* $f(x)$ tende $L$ quando $x$ tende para $a$
ou com símbolos:
* $f(x)\to L$ quando $x\to a$
* $\lim _{x\to a}f(x)\ =\ L$
Observação
Para aqueles que também se interessam por lógica e fundamentos da matemática, podemos reescrever a definição anterior usando as notações do cálculo quantificacional clássico. Assim, dado $a\ \in \ \mathbb {R}$, diremos que $\exists \lim _{x\to a}f(x)$, quando:

#### Interpretação intuitiva da definição

Uma forma de compreender, de forma intuitiva, esta definição, é ver o limite como um jogo. Neste jogo, exite um proponente e um desafiante. O proponente declara que
Então cabe, ao desafiante, propor um número $\epsilon >0\,$. Sempre que o desafiante propuser algum $\epsilon \,$, o proponente deve exibir um $\delta >0\,$ e provar que, sempre que $x\in D_{f},\quad 0\ <\ \left|x\ -\ a\right|\ <\ \delta \,$, necessariamente temos que $\left|f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon$
Como exemplo, digamos que a função seja f(x) = x + 1, e o proponente declara que
(uma proposição claramente absurda). Então, caso o desafiante proponha $\epsilon =10\,$, basta ao proponente escolher $\delta ={\frac {1}{2}}\,$, porque para valores de x entre -1/2 e 1/2, temos que f(x) está entre 1/2 e 3/2, ou seja, a distância de f(x) para 2 é menor que 10. Só que isto não é o bastante, o proponente deve responder ao desafio para todo $\epsilon \,$, então caso o desafiante proponha $\epsilon ={\frac {1}{10}}\,$, o proponente não será capaz de encontrar um $\delta \,$ com a propriedade desejada.

### Propriedades

Uma vez motivada a definição do conceito de limite, e apresentada sua caracterização formalmente, é muito útil garantir que os limites satisfazem certas propriedades operatórias, no sentido de que pode-se fazer operações com as expressões que representam limites. As principais propriedades válidas para limites são apresentadas nos teoremas T1 até T6.
Resumidamente, T1 garante que o limite de uma função em um ponto (ou no infinito) é único. Isso significa que quando duas pessoas se propõe a calcular um limite (que exista), elas chegarão obrigatoriamente a um mesmo resultado. Isso justifica por exemplo o uso da expressão o limite de f(x) no ponto a em vez de um limite de f(x) no ponto a.
O teorema T2 estabelece a somatividade dos limites: para somar dois limites que existem, podemos somar as duas funções e calcular apenas o limite desta soma. Uma propriedade análoga vale para a diferença entre limites.
Os teoremas seguintes (de T3 até T6) exploram o mesmo tipo de propriedade para as operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação de limites. Observe que tradicionalmente estas operações são definidas para números reais. No entanto, talvez por causa de sua simplicidade, podem ser facilmente estendidas para operações entre funções.
Considere, por exemplo, o caso da potenciação. O teorema T5, mostra que para se calcular o limite da (função) n-ésima potência de f(x) que tem limite no ponto a, é suficiente calcular a n-ésima potência do (número dado pelo) limite de f(x) no ponto a.

#### T1 - (Unicidade)

* Unicidade
Seja uma função real $f(x)$ se o limite da mesma em um ponto existe, então ele é único. Em outras palavras: :
Se $\lim _{x\to a}f(x)=L_{1}$ e $\lim _{x\to a}f(x)=L_{2}$ então $L_{1}\ =\ L_{2}$ :
Demonstração:
Proponhamos que $\lim _{x\to a}f(x)=L_{1}$ e $\lim _{x\to a}f(x)=L_{2}$, mas $L_{1}\ \neq \ L_{2}$.
Logo, pela definição de limite, teremos que admitir que para cada $\epsilon >0$, existe ${\delta }_{1}$ tal que:
$|f(x)\ -\ L_{1}|\ <\ \epsilon$ para todo $x$ que satisfaz $0<|x\ -\ a|<\ {\delta }_{1}$
Além disso, existe ${\delta }_{2}$ para o qual vale
$|f(x)\ -\ L_{2}|\ <\ \epsilon$ sempre que $x$ verifica a desigualdade $0<|x\ -\ a|<\ {\delta }_{2}$
Como $L_{1}$ e $L_{2}$ não são iguais, a diferença $L_{1}\ -\ L_{2}$ é não nula.
Da desigualdade triangular:
$|L_{1}\ -\ L_{2}|\ =\ |(\ L_{1}-f(x))\ +\ (f(x)-L_{2})|\leq \ |f(x)\ -\ L_{1}|\ +\ |f(x)\ -\ L_{2}|$
Se tivermos um $\delta <min({\delta _{1}},{\delta _{2}})$ e $0<|x\ -\ a|<\ \delta$, serão válidas as condições:
$|f(x)\ -\ L_{1}|\ <\ \epsilon$
$|f(x)\ -\ L_{2}|\ <\ \epsilon$
Teremos em consequência que:
$|L_{1}\ -\ L_{2}|\ <\ 2\epsilon$ para todo $x$ para o qual $0<|x\ -\ a|<\ \delta$.
Como podemos arbitrar $\epsilon$, teremos, ao fazer $\epsilon \ =\ {\frac {|L_{1}\ -\ L_{2}|}{2}}$, que:
$|L_{1}\ -\ L_{2}|\ <\ |L_{1}\ -\ L_{2}|$
Mas isto é contraditório, portanto $L_{1}\ =\ L_{2}$.

#### T2 - (Soma e diferença)

* Limites da soma e da diferença
Sejam duas funções $f(x)$ e $g(x)$, cujo limite em um ponto $a$ exista. O limite da soma (ou da diferença) das funções no ponto $a$ existe e é: :
$\lim _{x\to a}\left(f(x)\ \pm \ g(x)\right)\ =\ \lim _{x\to a}f(x)\ \pm \lim _{x\to a}g(x)$ :
Demonstração:
Faremos a demonstração apenas para o caso da soma de funções, deixando a cargo do leitor verificar que a propriedade análoga para a diferença de funções pode ser provada de forma parecida.
Tomando $\lim _{x\to a}f(x)=A$ e $\lim _{x\to a}g(x)=B$, devemos, pela definição, provar que:
Dado qualquer $\epsilon$ positivo, existe algum $\delta$ positivo, para o qual $|(f(x)+g(x))\ -\ (A+B)|\ <\ \epsilon$ sempre que $x\in D_{f}$ satisfaz $0\ <\ |x-a|\ <\ \delta$
Posto que existem os limites de $f(x)$ e $g(x)$ em $a$, já sabemos que para quaisquer $k$ e $p$ positivos, existem $\delta _{1}$ e $\delta _{2}$ positivos satisfazendo:
* $|f(x)-A|\ <\ k$, $\forall x\in D_{f}$ tal que $0\ <\ |x-a|\ <\ \delta _{1}$
* $|g(x)-B|\ <\ p$, $\forall x\in D_{f}$ tal que $0\ <\ |x-a|\ <\ \delta _{2}$
e pela desigualdade triangular:
$|f(x)+g(x)\ -\ (A+B)|\ \leq \ |f(x)-A|\ +\ |g(x)-B|\$
Então, ao arbitrar $\epsilon \ =\ p+k\ >\ 0$, existe $\delta \ =\ min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$, de modo que se $0\ <\ |x-a|\ <\ \delta$ vale:
$|f(x)-A|\ +\ |g(x)-B|\ <\ k+p\ =\ \epsilon$, ou seja,
$|f(x)+g(x)\ -\ (A+B)|\ <\ \epsilon$

##### Observação

Ao provar a propriedade para a diferença de funções, a principal mudança é no passo onde é utilizada a desigualdade triangular. Em tal caso, deveriamos observar que:
$|f(x)-g(x)\ -\ (A-B)|\ =\ |f(x)-A\ +\ (-g(x)+B)|\ \leq \ |f(x)-A|\ +\ |g(x)-B|\$

#### T3 - (Produto)

* Limite do produto de duas funções
Se existem os limites das funções $f(x)$ e $g(x)$ em um ponto $a$, então o limite do produto das funções neste ponto existe, e é dado por: :
$\lim _{x\to a}\left(f(x)\ \cdot \ g(x)\right)\ =\ \lim _{x\to a}f(x)\ \cdot \lim _{x\to a}g(x)$ :
Demonstração:
Consideremos que $\lim _{x\to a}f(x)=L$ e que $\lim _{x\to a}g(x)=M$.
Queremos verificar se para cada $\epsilon$ positivo, existe algum $\delta$ positivo, tal que
$\left|f(x)\cdot g(x)\ -\ L\cdot M\right|\ <\ \epsilon$, para todo $x\in D_{f}\cap D_{g}$ que verifica $0<\left|x\ -\ a\right|<\delta$
Considerando que existem os limites $\lim _{x\to a}f(x)$ e $\lim _{x\to a}g(x)$, é possível encontrar certo $\delta _{1}\ >\ 0$, para o qual
* $|f(x)-L|\ <\ 1$$^{(1)}$ sempre que $x\in D_{f}$ e $0<|x-a|\ <\ \delta _{1}$.
do que podemos concluir que, para estes valores de $x$, vale $|f(x)|\ <\ |L|+1$.
Mas para qualquer $\epsilon \ =\ p+k$, com $p>0$ e $k>0$, também existem valores positivos $\delta _{2}$ e $\delta _{3}$, de modo que
* $|g(x)-M|\ <\ {\frac {p}{|L|+1}}$$^{(2)}$, quando $x\in D_{f}$ e $0<|x-a|<\ \delta _{2}$ e
* $|f(x)-L|\ <\ {\frac {k}{|M|+1}}$$^{(3)}$, se $x\in D_{f}$ e $0<|x-a|<\ \delta _{3}$.
Então, se $\delta \ <\ \{\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}\}$, e $0<|x-a|<\ \delta$, valem as desigualdades (1), (2) e (3).
Vamos então trabalhar com a expressão $|f(x)\cdot g(x)\ -\ L\cdot M|$ para concluir que ela é fica menor que $\epsilon$ para estes valores de $x$ . Primeiramente, observe que $|f(x)\cdot g(x)\ -\ L\cdot M|\ =|f(x)\cdot (g(x)-M)\ +\ M\cdot (f(x)-L)|$
Usando a desigualdade triangular nesta última expressão, e observando que $|M|<|M|+1$, obtemos $|f(x)\cdot g(x)\ -\ L\cdot M|\ \leq |f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L|$
Aplicando as desigualdades (1), (2) e (3), resulta $|f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L|\ <\ |f(x)|\cdot {\frac {p}{|L|+1}}\ +\ (|M|+1)\cdot {\frac {k}{|M|+1}}$
Como ${\frac {f(x)}{|L|+1}}<1$, concluimos que $|f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L|\ <\ p+k$
Portanto, $\left|f(x)\cdot g(x)\ -\ L\cdot M\right|\ <\ \epsilon$, o que confirma a validade do teorema.

#### T4 - (Razão)

* Limite da razão de duas funções
Se existem os limites das funções $f(x)$ e $g(x)$ em um ponto $a$, e se o limite da função $g(x)$ no ponto $a$ é diferente de zero, então o limite da razão das funções neste ponto existe e é: :
$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}\ =\ {\frac {\lim _{x\to a}f(x)}{\lim _{x\to a}g(x)}}$ :
Demonstração:
Seja $\lim _{x\to a}g(x)=M\neq 0$. Basta mostrar que $\lim _{x\to a}{\frac {1}{g(x)}}\ =\ {\frac {1}{M}}$, e aplicar a regra do produto para $f(x)\times {\frac {1}{g(x)}}$.
Queremos verificar se para cada $\epsilon$ positivo, existe algum $\delta$ positivo, tal que
$\left|{\frac {1}{g(x)}}\ -\ {\frac {1}{M}}\right|\ <\ \epsilon$, para todo $x\in D_{g}$ que verifica $0<\left|x\ -\ a\right|<\delta$
Mas esta expressão pode ser reescrita como: $\left|{\frac {M-g(x)}{Mg(x)}}\right|\ <\epsilon$.
A ideia agora é mostrar que, na fração acima, temos que o denominador é um número não muito pequeno, enquanto que o numerador é um número pequeno.
Como g(x) se aproxima de M, vamos forçar o denominador a ser um número maior (em módulo) que ${\frac {M^{2}}{2}}$, e vamos, portanto, forçar o numerador a ser um número menor (em módulo) que ${\frac {\epsilon }{2M^{2}}}$. Assim, a razão dos dois será menor (em módulo) que $\epsilon$.
* Denominador
Pelo fato de $\lim _{x\to a}g(x)=M\neq 0$, temos que para o número positivo ${\frac {\left|M\right|}{2}}$ existe um $\delta _{1}>0$ tal que $\forall x,(\left|x-a\right|<\delta _{1}\implies \left|g(x)-M\right|<{\frac {\left|M\right|}{2}}$.
Mas isto implica, em particular, que $\left|g(x)\right|=\left|M-(g(x)-M)\right|\geq \left|M\right|-\left|g(x)-M\right|>\left|M\right|-{\frac {\left|M\right|}{2}}={\frac {\left|M\right|}{2}}$.
Portanto, temos que $\left|Mg(x)\right|=\left|M\right|\ \left|g(x)\right|>\left|M\right|{\frac {\left|M\right|}{2}}={\frac {M^{2}}{2}}$.
* Numerador
É imediato, pela propriedade da subtração de limites, que, como $\lim _{x\to a}(M-g(x))=0$, temos que existe $\delta _{2}>0$ tal que $\forall x,(x<\delta _{2}\implies \left|M-g(x)\right|<{\frac {\epsilon }{2M^{2}}}$.
* Fração
Agora basta tomar $\delta =min(\delta _{1},\delta _{2})$, e observar o resultado desejado.

#### T5 - (Potência)

* Limite da função com expoente.
Seja a função $f(x)$, o limite da função em um ponto $a$, quando a mesma é elevada a um expoente inteiro $n>0$, é: :
$\lim _{x\to a}(f(x))^{n}\ =\ \left(\lim _{x\to a}f(x)\right)^{n}$ :
Demonstração:
De fato, para cada número natural $n,$ temos:
$\lim _{x\to a}\left(f(x)\right)^{n}=\ \lim _{x\to a}\left(\underbrace {f(x)\cdot f(x)\cdot \dots \cdot f(x)} _{n{\text{ vezes}}}\right)$
O que, pelo teorema do produto, é igual ao produto dos limites:
$\underbrace {\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}f(x)\cdot \dots \cdot \lim _{x\to a}f(x)} _{n{\text{ vezes}}}$
E portanto, estabelece o que pretendíamos demonstrar.

#### T6 - (Radiciação)

* Limite da radiciação de uma função.
Sejam a função $f(x)$, o limite da função em um ponto $a$, quando a mesma está sob um radical de potência inversa $n$, é: :
$\lim _{x\to a}{\sqrt[{n}]{(f(x))}}\ =\ {\sqrt[{n}]{\lim _{x\to a}f(x)}}$ :
Demonstração:
Conseqüentes para funções algébricas:
Estas propriedades são verificadas rapidamente a partir da definição.
Além disso, as regras a seguir são conseqüências diretas dos teoremas relacionados acima:

### Limites laterais

Consideremos a função: $f(x)={\sqrt {x-2}}$. Podemos notar que nenhum valor de $x$ menor que 2 está no domínio da função, ou seja, ela não está definida no intervalo $(-\infty ,2)$. Esta indefinição também se refletirá nos limites dos valores da função neste intervalo, pois não faz sentido falar de "limites" em valores nos quais a função não esteja definida (neste exemplo, uma certa faixa de números reais).
O que poderíamos fazer para analisar os valores válidos da função?
Como o seu domínio é apenas $[2,\infty )$, devemos restringir o cálculo de limites a este intervalo; quando um conjunto (no caso, um intervalo) de números precisa ser excluído do domínio da função, ou quando já se sabe que a função não está definida em tal conjuto, podemos também, excluir certa faixa de valores durante o cálculo de limites; Por exemplo, ao analisar o comportamento de $f(x)$ nas proximidades do ponto $a$, se quisermos adotar apenas números maiores que $a$ na análise, podemos simbolizar isto desta forma: $\lim _{x\to a^{+}}f(x)$, da mesma forma poderemos adotar apenas números menores que $a$, representando a restrição da seguinte forma: $\lim _{x\to a^{-}}f(x)$.
No primeiro caso dizemos que o limite lateral pela direita da função é o valor para o qual a função tende quando $x$ se aproxima de $a$ pela direita. No segundo caso dizemos que o limite lateral pela esquerda da função é o valor para o qual a função tende quando $x$ se aproxima de $a$ pela esquerda.

#### Limite lateral pela direita

Dizemos que $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=L$, quando:
$\left|f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon \quad \forall \quad 0\ <\ x\ -\ a\ <\ \delta$

#### Limite lateral pela esquerda

Dizemos que $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=L$, quando:

### Infinitos

Já lhe perguntaram o que é o infinito? Certamente alguém lhe deu uma resposta poética a respeito e de fato no sentido poético, o infinito é algo fascinante... Agora imagine um número absolutamente tão alto quanto é possível você conceber... Conseguiu? Pois bem, por maior que seja o número escolhido, ele não é infinito. Aqui, falaremos do infinito como sendo algo tão inatingível que nenhuma mente humana poderia imaginar. Infinito é uma tendência, uma forma de representar algo que é tão alto que jamais poderíamos atingir. É como se fosse um caminho sem fim, como o destino de um corpo sem obstáculos e atrito no espaço sem fim.
No início deste capítulo, discutimos como analisar o comportamento de uma função (sua tendência) quando a variável se aproxima de um determinado número. Nesta seção, discutiremos duas situações novas:
* O que acontece com os valores de $f(x)$, quando $x$ é muito grande?
* O que fazer quando, ao aproximar $x$ de um ponto $a$, os valores de $f(x)$ ficam cada vez maiores?
Usaremos o termo "infinito" sempre que for preciso lidar com "números gigantescos". Deste modo, também poderemos representar as duas situações acima usando conceitos de limite. Para isso, quando realizarmos um cálculo, podemos tratar o infinito como se fosse um número, embora ele seja um ente matemático que nunca poderemos alcançar. Por exemplo, caso a variável $x$ esteja tendendo ao infinito, e apareça em uma expressão, podemos imaginar o que aconteceria com a expressão caso $x$ fosse um número suficientemente grande. Então façamos um estudo de como podemos avaliar o comportamento das funções quando a variável tende a infinito.
Considerando uma função definida como:
$f(x)={\frac {1}{|x|}}$
Pensemos na melhor maneira de variar x para aumentar sucessivamente o valor desta função. Isto é possível fazendo com que $|x|$ forneça valores que diminuem até zero. É importante notar que quanto mais $|x|$ diminui, mais os valores da função $f(x)$ aumentam.
Obviamente existem inúmeras formas de criar funções que aumentam seu valor sucessivamente. Usaremos esta pois nos ajuda a evitar expressões como quociente de funções complicadas ou composição de várias funções, e assim eliminamos dificuldades desnecessárias na análise dos resultados que veremos logo adiante.
Vejamos alguns exemplos numéricos de como a função aumenta sucessivamente os seus valores, quando a variável se aproxima de zero. Acompanhe a tabela:
| $x$ | -2500 | -200 | -10 | -0,5 | -0,002 | -0,000016 | 0 | 0,00008 | 0,0025 | 2,5 | 250 | 4000 |
| $y=f(x)$ | 0,0004 | 0,005 | 0,1 | 2 | 500 | 62500 | ${\mathcal {6}}\exists$ | 12500 | 400 | 0,4 | 0,04 | 0,00025 |
Vemos que ao aproximar $x$ de zero, os valores de $y=f(x)$ tendem a ficar muito grandes. No entanto, se tivéssemos utilizado a função $g(x)={\frac {1}{x}}$ em vez de $f(x)={\frac {1}{|x|}}$, teríamos um comportamento ligeiramente para valores negativos de $x$: Ao fazer $x$ se aproximar de zero, $g(x)$ decresceria indefinidamente (tenderia a $-\infty$).
Levando em conta a discussão anterior, formalizaremos expressões intuitivas como "os valores da função vão para o infinito", "$f(x)$ tende ao infinito" e outras do gênero, com a notação $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{|x|}}=\infty$, que será definida precisamente mais adiante.
Isto é um exemplo do que chamamos de infinito matemático.

#### Tendências infinitas

Neste ponto, nosso interesse é tratar da possibilidade de $f(x)$ se aproximar de um certo número real, quando escolhemos valores cada vez maiores para $x$. Um ótimo exemplo é a função apresentada acima. De acordo com a tabela, vemos que parece ser razoável escrever:
$\lim _{x\to \infty }\ {\frac {1}{|x|}}\ =\ 0$
Isso se justifica, pois os valores de $f(x)$ ficam muito pequenos (próximos de zero), quando $|x|$ é muito grande.
Este é um conceito importantíssimo na análise, no cálculo e em diversos campos das ciências exatas. Iremos aprofundar este conceito para formar ferramentas que serão úteis em diversos estudos. Para isso, considere a função $f(x)\ =\ {\frac {x^{2}-2}{x^{2}-1}}$. Pode-se mostrar que o seu valor jamais será maior que 1 quando tomamos valores de $x$ maiores que 1 (verifique!).
Fazendo sucessivas aproximações vemos que:
$x=1,5\Rightarrow \quad f(x)=(0,2)$
$x=2,5\Rightarrow \quad f(x)=(0,809523)$
$x=3,5\Rightarrow \quad f(x)=(0,911111)$
$x=5,0\Rightarrow \quad f(x)=(0,985333)$
$x=10\Rightarrow \quad f(x)=(0,989898)$
$x=100\Rightarrow \quad f(x)=(0,999899)$
De fato temos uma tendência do valor da função se igualar a 1 quando levamos $x$ para números muito altos, embora ela nunca alcance o valor 1. Chamamos isso de limite no infinito, ou tendência infinita, e dizemos que $f(x)$ tende a 1 quando $x$ tende ao infinito.
Podemos simbolizar a tendência de $f(x)$, quando $x$ fica cada vez maior, usando uma destas formas:
ou
O mesmo pode acontecer quando o valor da variável independente tende ao infinito negativo ($-\infty$), então podemos representá-la assim:
ou
A partir das noções apresentadas anteriormente, podemos definir de forma rigorosa as têndências infinitas e os limites infinitos.
Definição
Chamamos o número $L$ de limite lateral no infinito positivo se:
Ou seja, $L$ é o número para qual uma função $f(x)$ tende a se igualar quando a variável independente $x$ ultrapassa o número positivo N.
Do mesmo modo, chamamos o número $L$ de limite lateral no infinito negativo se:
Os números são escolhidos de forma a fornecerem o maior valor possível dentro do domínio da função, que portanto deve necessariamente ser ilimitado.

#### Limites infinitos

Se nos depararmos com uma função onde o denominador decresce vertiginosamente até zero, o que podemos fazer?
Esta é a típica forma de funções que crescem até o infinito, neste caso adotamos o valor da definição de infinito, visto que não é possível colocar qualquer valor. Adotamos $+\infty$ ou $-\infty$, pois $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}\ =\ +\infty$, como já definimos anteriormente.

## Continuidade

O básico conceito de continuidade expressa da ausência de quebras na regularidade da forma da função, quando apresentamo-la sob a forma gráfica. O que temos que ter em mente é que a função contínua em um intervalo do seu domínio é suavemente descritível, cada valor é precedido de outro menor ou maior, mas com uma discreta variação.
Ao definir o conceito de continuidade, o objetivo é identificar uma propriedade comum a diversas funções: a ausência de quebras ou saltos em seu gráfico. Geralmente exemplifica-se esta característica dizendo que uma função contínua é aquela "cujo gráfico pode ser traçado sem levantar o lápis do papel". Mas é importante ter em mente que isso é apenas uma interpretação do conceito, e que este é muito mais amplo.
* Definição: (função contínua em um ponto)
* Se $f(x)$ é definida num intervalo aberto contendo $c$, então $f(x)$ é dita ser contínua em $c\;$ se, e somente se $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=f(c)$.
Para exprimir em símbolos que uma função $f(x)$ é contínua no ponto $a$, escreve-se:
Isto significa que:
* $\exists \;\lim _{x\rightarrow c}f(x)$
* $\exists f(a)$
* $\lim _{x\to a}f(x)\ =\ f(a)$
Estas três condições estão presentes apenas em funções que não possuem irregularidades nas tendências e valores que produzem. As funções contínuas são muito comuns dentro do universo que analisamos, a condição de continuidade é exigida sempre que temos avaliar tendências a valores minúsculos.

## Notas

* ↑ A ferramenta Wolfram|Alpha fornece mais informações computadas sobre "${\frac {(x-4)(x-6)}{2(x-6)}}$".