# Matemática elementar/Função módulo

A função módulo, também conhecida como função do valor absoluto, é aquela que associa a cada número real, a sua distância até a origem. Desta forma, a imagem dessa função normalmente é composta por valores positivos, pois uma distância jamais pode ser negativa. Veja os seguintes problemas em que é aplicada esta função:

## Definição

O símbolo do módulo é | |. Quando um número apresenta-se entre estas riscas, dizemos que o seu módulo é o valor do número, sempre com sinal positivo. Assim:
* |5| = 5
* |-5| = 5
* |x| = x
* |-x| = x
Podem aparecer coeficientes na equação modular, o que pode fazer, em alguns casos, o resultado da equação ser negativo:
* -|4| = -4
* |-2| - 5 = -3
Pode-se trocar o sinal de todos os coeficientes do módulo:
* |-y| + 1 = |y| + 1
* |-2x + 3| = |2x - 3|
* |x$^2$ - 2x + 1| = |-x$^2$ + 2x - 1|
Também, é indiferente resolver o módulo, multiplicação positiva ou divisão positiva primeiro:
* 2|x| = |2x|
* 3x|2x - 5| = |6x$^2$ - 15x|
    |2x|  =  |x| 2

## Gráfico da função

Consideremos a função f(x) = |x|. Determinaremos o contradomínio:
${\begin{array}{c|c}x&y=|x|\\\hline -2&2\\-1&1\\0&0\\1&1\\2&2\\\end{array}}$
Podemos observar que f(x)= f(-x), assim temos que a função módulo é uma função par, pois a imagem repete à medida que os valores absolutos de x repetem.

### Características da função modular de primeiro grau

Consideraremos como expressão geral da função modular de primeiro grau:
    $f(x)=|ax+b|+cx+d$
Determinaremos como ponto P aquele onde a reta inverte o sentido. As coordenadas deste não são somente determinadas pelos coeficientes lineares b e d, mas também pelos angulares a e c:
| $P_{x}={\frac {-b}{a}}$ | $P_{y}=cP_{x}+d$ |
Quanto aos coeficientes angulares a e c, podemos dizer que:
    $\tan \alpha =|a|-c$
    $\tan \beta =|a|+c$
Sendo α e β os ângulos que cada segmento a partir do ponto P forma com o eixo das abcissas (α, o segmento à esquerda de P e β à direita). Quanto aos valores de α temos as seguintes conclusões:
* Se α < 0, o segmento direciona-se ao quadrante III;
* Se α > 0, o segmento direciona-se ao quadrante II;
* Se α = 0, o segmento direciona-se ao quadrante III (caso P esteja no III ou IV) ou ao II (caso P esteja em I ou no II quadrante). Se P pertencer ao eixo das abcissas, o segmento permanece no eixo das abcissas.
Quanto a β:
* Se β < 0, o segmento direciona-se ao quadrante IV;
* Se β > 0, o segmento direciona-se ao quadrante I;
* Se β = 0, o segmento direciona-se ao quadrante IV (caso P esteja no III ou IV) ou ao I (caso P esteja em I ou no II quadrante). Se P pertencer ao eixo das abcissas, o segmento permanece no eixo das abcissas.
Podemos, também, analisar separadamente cada segmento. Para isso, deve-se utilizar -α.
Ainda pode ocorrer de haver sinal negativo anterior ao módulo. Neste caso, ocorre a reflexão da função no gráfico.

### Soma de funções modulares de primeiro grau

Quando ocorre a soma de duas funções modulares, é possível haver mais de dois segmentos no gráfico. Nestes casos, teremos como expressão geral
    $g(x)=|ax+b|+|cx+d|+ex+f$
Tenha como exemplo a função g(x) = |x + 1| - |x|:
${\begin{array}{c|c|c}x&g(x)&y\\\hline -2&|-2+1|-|-2|&-1\\-1&|-1+1|-|-1|&-1\\0&|0+1|-|0|&1\\1&|1+1|-|1|&1\\2&|2+1|-|2|&1\\\end{array}}$
Note que esta apresenta três segmentos de reta:
* Quando x ≤ -1, y = -1;
* Quando -1 < x < 0, y = 2x + 1;
* Quando x ≥ 0, y = 1.

## Resolução dos problemas

Você viu no início desta página dois problemas que envolvem a função módulo. A resolução destes problemas pode ser visualizada abaixo:
O primeiro problema é uma questão de ótica em que deve ser aplicada a Lei de Snell, que nos diz:
    $n_{1}\sin A=n_{2}\sin B$
Onde n são os coeficientes de refração, e sin corresponde ao seno entre a trajetória do raio luminoso e a reta normal.
A equação |x| - 3x - 2y = 0, primeiramente, deve ser convertida para f(x) = |ax + b| + cx + d. Ela fica da seguinte forma:
    $f(x)={\frac {|x|-3x}{2}}$
Agora, calcularemos os ângulos dos segmentos que formam o gráfico da função:
    $\tan \alpha =\left|{\frac {1}{2}}\right|-{\frac {-3}{2}}\to \tan \alpha =2\to \alpha =\arctan 2$
    $\tan \beta =\left|{\frac {1}{2}}\right|+{\frac {-3}{2}}\to \tan \beta =-1\to \beta =45^{\circ }$
Descobertos os ângulos entre o eixo das abcissas e os segmentos, resta descobrir entre os segmentos e a reta normal:
    $90-\alpha =90-\arctan 2$
    $90-\beta =90-45=45$
A Lei de Snell pode ser aplicada:
    $1\sin(90-\arctan 2)=n\sin 45$
Então:
    $n={\frac {\sin(90-\arctan 2)}{\sin 45}}=0,63$
Conclui-se que o coeficiente de refração da superfície é igual a 0,63.
O primeiro passo é analisar o melhor trajeto para que a bola amarela seja encaçapada pela bola preta. Observe que se a bola preta for tacada com o ângulo correto na borda inferior da imagem (y = -3), o desafio de Pedro é facilmente concluído.
Para tanto, calculemos o segmento de reta que passa tanto pela bola amarela (7;1) e a caçapa (9;3):
${\begin{cases}7a+b=1\\9a+b=3\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}b=1-7a\\2a=2\to a=1\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}a=1\\b=-6\end{cases}}\Rightarrow f(x)=x-6$
Descubramos o ponto P em que a bola bate na borda inferior, substituindo y = -3 na função f(x) = x - 6:
    $f(x)=-3\to -3=x-6\to x=3$
    $P=(3;-3)$
Calcularemos, então, a reta que liga a bola (origem) ao ponto (3;-3):
${\begin{cases}0+b=0\\3a+b=-3\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}b=0\\3a+0=-3\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}b=0\\a=-1\end{cases}}\Rightarrow f(x)=-x$
Os ângulos dos dois segmentos de reta são dados pela tangente de seus coeficientes angulares, trocando-se o sinal de α:
    $-\alpha =-\tan -1=45^{\circ }=|a|-c$
    $\beta =\tan 1=45^{\circ }=|a|+c$
Através de um sistema de equações, podemos descobrir os coeficientes angulares:
${\begin{cases}|a|-c=1\\|a|+c=1\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}|a|=1\\c=0\end{cases}}$
Agora podemos descobrir os coeficientes lineares através de P. para isso, optaremos para a = 1:
| $P_{x}={\frac {-b}{1}}=3$ | $P_{y}=3\times 0+d=-3$ |
Assim, b = -3 e d = -3.
Portanto:
    $f(x)=|1x-3|+0x-3$
Que simplificada:
    $f(x)=|x-3|-3$