# Matemática elementar/Sistemas lineares
## Definição

Sistemas lineares são conjuntos de equações lineares. Uma equação linear, por sua vez, é toda equação que pode tomar a forma:
       $a_{n}x_{n}+a_{n-1}x_{n-1}+...+a_{3}x_{3}+a_{2}x_{2}+a_{1}x_{1}=b$.
Por exemplo, 5x + 2y + z = 12 ou 0,2x - 15y = 0. Na equação linear sempre aparecem coeficientes e variáveis. No primeiro exemplo, os coeficientes são 5, 2 e 1 (implícito), e as variáveis são x, y e z.
As equações lineares podem ter um grupo de valores que, substituindo as variáveis, as tornam verdadeiras. Por exemplo:
       $5x+2y+z=12\!\,$
O conjunto de valores (2,1,0) torna essa equação verdadeira:
       $5(2)+2(1)+0=12\Rightarrow 10+2+0=12\Rightarrow 12=12\!\,$
Os valores que tornam a equação linear verdadeira são chamados soluções da mesma.
O sistema linear é composto por duas ou mais equações, geralmente apresentadas no seguinte formato:
       $\left\{{\begin{matrix}a_{n}x_{n}+a_{n-1}x_{n-1}+...+a_{2}x_{2}+a_{1}x_{1}=b\\c_{n}x_{n}+c_{n-1}x_{n-1}+...+c_{2}x_{2}+c_{1}x_{1}=d\\\vdots \end{matrix}}\right.$
Para estas equações pode haver um conjunto de valores que só serão a solução do sistema se forem solução de cada equação. Assim, no sistema:
       $\left\{{\begin{matrix}6x+3y=24\\4x-y=4\end{matrix}}\right.$
Percebe-se que a solução única capaz de satisfazer a ambas as equações é o par (2,4). O sistema acima é chamado de sistema linear a 2 incógnitas, e portanto admite soluções que são pares ou duplas. De modo genérico, um sistema será linear a n incógnitas (ou variáveis) e terá por solução uma n-upla (lê-se "enupla") do tipo (α$_1$, α$_2$, α$_3$, ... α$_n$). Conforme veremos mais adiante, um sistema apresenta melhores condições de ser resolvido (ou seja, de ter sua solução encontrada) caso tenha um número de equações igual ao número de incógnitas.

## Classificação

Os sistemas lineares podem ser classificados quanto a possibilidade de obtenção de soluções, dentro do conjunto numérico ao qual os sistemas devem ser resolvidos. Inicialmente, encontramos dois tipos de sistemas:
* impossíveis (ou inconsistentes) são os sistemas que não têm solução, geralmente por conterem equações lineares que se contradizem. Por exemplo:
       $\left\{{\begin{matrix}x+y=10\\x+y=12\end{matrix}}\right.$
    Observar que as equações apresentam o inconveniente de apresentar a mesma soma, mas com resultados diferentes, o que leva à impossibilidade de resolver o sistema. O sistema impossível (SI) sempre resulta numa contradição. Vale ressaltar que o conjunto numérico ao qual a solução pertence é fundamental na determinação da possibilidade do sistema; por exemplo:
       $\left\{{\begin{matrix}x+2y=10\\x-y=16\end{matrix}}\right.$
    É considerado impossível dentro do conjunto dos números naturais, pois não há nenhum número natural que somado em dobro 2y a outro número natural x resulte em um valor menor do que ele próprio y somado ao mesmo número x. A solução real, (14,-2), é descartada se restringirmos a solução ao conjunto de números naturais (-2 não é natural).
* possíveis (ou consistentes) são todos os sistemas que não levam a uma contradição, e portanto admitem soluções dentro do conjunto numérico ao qual estão designados. Os sistemas possíveis, por sua vez, se subdividem em dois tipos:
** possíveis determinados (SPD) são os sistemas que possuem apenas uma solução; é possível identificar uma n-upla capaz de resolver todas as equações, única. Como exemplo, além daquele citado na seção anterior, o sistema:
       $\left\{{\begin{matrix}3x+2y=-2\\x+2y=10\end{matrix}}\right.$
    Permite como solução real a dupla (-6, 8).
** possíveis indeterminados (SPI) são os sistemas que permitem infinitas soluções, porque apresentam os chamados graus de liberdade, ou seja, permitem soluções arbitrárias. Por exemplo, o sistema:
       $\left\{{\begin{matrix}x-y=8\\2x-2y=16\end{matrix}}\right.$
    Permite uma infinidade de soluções como (10,2), (12,4), (19,11), etc. Em todas elas, basta que a relação entre o primeiro elemento e o segundo seja (α,α - 8). Também é indeterminado o sistema:
       $\left\{{\begin{matrix}x+y+z=10\\x+y-2z=4\end{matrix}}\right.$
    Pois apresenta mais incógnitas do que equações, sendo por isso impossível "trabalhar" as incógnitas de modo a obter valor preciso para cada uma. A solução é qualquer tripla do tipo (α, 8 - α, -2). Observar que o terceiro elemento pode ser definido, mas não os dois outros, de modo que essa é a mesma situação do sistema indeterminado do exemplo anterior.

## Sistemas equivalentes

Diz-se que dois sistemas lineares são equivalentes se, e somente se, apresentam a(s) mesma(s) n-upla(s) como solução(ões). Assim, os sistemas:
       $\left\{{\begin{matrix}6x+2y=-2\\8x+y=-6\end{matrix}}\right.$
    E
       $\left\{{\begin{matrix}2x-y=-4\\4x+3y=2\end{matrix}}\right.$
    Ambos apresentam como solução (-1, 2). Ambos são sistemas equivalentes, portanto.
Um sistema equivalente constitui, de certo modo, apenas um desenvolvimento de outro sistema, das equações desse outro sistema devidamente transformadas. A relação de equivalência está presente desde situações mais óbvias (quando dois sistemas são em tudo iguais, exceto pela ordem das equações lineares, por exemplo) até situações mais complexas, nas quais é preciso multiplicar e somar as equações para obter as mesmas equações de outro sistema. No exemplo dado, o segundo sistema foi formado a partir de duas equações:
* $2x-y=-4$ é a subtração de $8x+y=-6$ por $6x+2y=-2$
* $4x+3y=2$ é a subtração de $2(6x+2y=-2)$ por $8x+y=-6$
A equivalência de sistemas é fundamental para transformação dos mesmos, e eventual resolução por método de escalonamento, que será discutido mais adiante.

## Resolução de sistemas

Os sistemas lineares podem ser resolvidos (ou seja, ter a solução encontrada) através de diferentes métodos. Aqui examinar-se-á o método de escalonamento, e no próximo capítulo, o método ou regra de Cramer, que utiliza-se de matrizes.
O método do escalonamento permite resolver sistemas lineares de n equações a n incógnitas. Caso existam mais incógnitas do que equações, o método não funcionará, ou seja, ele não permite resolver sistemas com grau de liberdade maior ou igual a 1. Já os sistemas com mais equações do que incógnitas podem ser resolvidos, desde que não hajam contradições que o tornem SI.

### Escalonamento

Classificado o sistema como SPD ou SPI, pode ser feito o escalonamento, que consiste basicamente em deixar as equações do sistema na forma:
       $\left\{{\begin{matrix}a_{n}x_{n}+a_{n-1}x_{n-1}+\cdots +a_{1}x_{1}=b\\c_{n-1}x_{n-1}+\cdots +c_{1}x_{1}=d\\\vdots \\e_{1}x_{1}=f\end{matrix}}\right.$
Ou seja, o sistema deve ter diversas equações, cada uma com um número crescente ou decrescente de incógnitas, de modo que a última se reduza a apenas uma incógnita. Isso é feito com as transformações adequadas – sempre é possível "zerar" uma das incógnitas na equação pela soma/subtração da equação anterior que contenha essa incógnita. Exemplificando:
       $\left\{{\begin{matrix}8x+4y+5z=-23\\4x+8y+1z=-7\\-2x-10y+2z=0\end{matrix}}\right.$
Inicialmente, vamos eliminar o termo composto pela variável x nas duas últimas equações, a partir da primeira. Para tanto, inicialmente multiplicamos a segunda equação por -2 e a terceira por 4. Depois, somamos as equações a primeira e obtemos:
       $\left\{{\begin{matrix}8x+4y+5z=-23\\-8x-16y-2z=14\\-8x-40y+8z=0\end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}8x+4y+5z=-23\\0x-12y+3z=-9\\0x-36y+13z=-23\end{matrix}}\right.$
A continuar o processo, pode-se trabalhar a segunda e a terceira equação linear para obter na terceira uma equação a uma variável, que arbitrariamente escolhemos ser z. Para tanto, vamos multiplicar a segunda equação por -3, e então somá-la à terceira equação:
       $\left\{{\begin{matrix}8x+4y+5z=-23\\36y-9z=27\\-36y+13z=-23\end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}8x+4y+5z=-23\\36y-9z=27\\0y+4z=4\end{matrix}}\right.$
A partir desta última equação, e em geral em qualquer sistema resolvido por escalonamento, é possível encontrar o valor de uma primeira variável, no caso específico:
       $4z=4\Rightarrow z=1\!\,$
Substituindo o valor encontrado para z na equação da segunda linha, temos:
       $36y-9z=27\Rightarrow 36y-9(1)=27\Rightarrow y=1$
Por fim, é possível substituir esses dois valores na primeira equação:
       $8x+5y+4z=-23\Rightarrow 8x+5(1)+4(1)=-23\Rightarrow 8x=-32\Rightarrow x=-4$
A solução do sistema é, portanto, (-4,1,1).
Assim resolvem-se os sistemas lineares pela técnica do escalonamento: progressivamente vão obtendo-se os valores das variáveis, até que todas as equações possam ser resolvidas. Trata-se de um método prático, que inclusive é utilizado em computadores para resolução de sistemas lineares (embora o enfoque computacional seja um tanto mais complicado e envolva matrizes).

### Sistemas com grau de liberdade

É usado na estatística

### Método de Gauss

O método de Gauss é um método geral de resolver sistemas de equações lineares, consistindo de uma sequência de passos simples que reduzem o sistema até que a solução se torna óbvia.