# Matemática elementar/Plano de Argand-Gauss/Raízes complexas

Considere uma expressão do tipo x$^n$ = a + bi. Para um índice n, como podem ser calculadas as soluções para a expressão? Este problema pode ser aplicado, por exemplo, em
* x$^2$ = 4
* x$^3$ = 2 + i
* x$^4$ = 3i
O método para encontrarmos os valores de x$^n$ que se igualem a a + bi consiste em aplicar valores ao plano de Argand-Gauss. Para isto, você deve saber que
A partir disto, podemos chegar às seguintes conclusões:
* Se n é ímpar, haverá, no máximo, uma raiz real (pois não poderá haver um segundo vértice oposto ao primeiro no eixo real);
* Se n é par, o número de raízes reais é par (pois obrigatoriamente haverá um segundo vértice oposto ao primeiro).
Além disso, a distância entre um vértice e outro é constante (por tratar-se de um polígono regular). Então podemos dizer que a partir de um vértice A neste plano, os pontos seguintes serão parte de uma progressão aritmética, onde a soma de n distâncias deve completar o círculo. Portanto, a diferença d, em radianos, entre um vértice e outro é dada por
    $d={\frac {2\pi }{n}}$
Introduzindo o conceito de progressão aritmética, temos que a$_x$ = a$_1$ + (x - 1)r em que x é o termo da progressão. Então:
    $a_{x}=a_{1}+(x-1){\frac {2\pi }{n}}$
Pelo fato de x ter de ser um número natural diferente de zero, o resultado de (x - 1) é, obrigatoriamente, maior ou igual a zero. Como nos interessa determinar todas as raízes da expressão, devemos substituir x por cada n. Desta forma, o primeiro (x - 1) da nossa progressão será zero, o segundo igual a 1, o terceiro igual a 2, e assim sucessivamente. Substituiremos, então, x - 1 por k, que é o número natural que determinará cada raiz, para k < n:
$a_{x}=a_{1}+{\frac {k2\pi }{n}}$
Nestes casos, o nosso termo a$_1$ é o quociente entre o argumento θ e n (representa o ângulo entre o eixo real e a semirreta que une a origem e o primeiro vértice do primeiro quadrante). Representaremos o conceito de raíz por z$_k$ em vez de a$_x$. As coordenadas de cada vértice são determinadas a partir do valor absoluto. A parte real é calculada pelo cosseno, enquanto a parte imaginária pelo seno. As coordenadas (Re, Im) devem ser iguais, pelo fato de a distância entre o lugar geométrico e os vértices do polígono serem constantes:
    $z_{k}=\cos {\frac {\theta +k2\pi }{n}}+\sin {\frac {\theta +k2\pi }{n}}i$
Falta-nos determinar o apótema de nosso polígono (raio do círculo), que introduzido na fórmula:
    $z_{k}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\frac {\theta +k2\pi }{n}}+\sin {\frac {\theta +k2\pi }{n}}i\right)$
Para r o valor absoluto da expressão.
A fórmula gerada chama-se segunda fórmula de Moivre.

### Exemplo 1

* Primeiramente, transformaremos o monômio para a forma a + bi:
    ${\begin{cases}a=-8\\b=0\end{cases}}$
* Calcularemos o valor absoluto (r):
    $r={\sqrt {-8^{2}+0^{2}}}=8$
* Agora podemos descobrir o argumento (θ):
    $-8=8\cos \theta \to \theta =\arccos -1\to \theta =\pi$
* Temos que n = 3 (pois a raiz é cúbica). Como {k ∈ N| 0 ≤ k < n}, a nossa progressão terá k=0, k=1 e k=2. Iniciaremos por k=0, através da segunda lei de Moivre:
    $z_{0}={\sqrt[{3}]{8}}\left(\cos {\frac {\pi +0\times 2\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi +0\times 2\pi }{3}}i\right)=2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi }{3}}i\right)=1+{\sqrt {3}}i$
* Para k=1:
    $z_{1}={\sqrt[{3}]{8}}\left(\cos {\frac {\pi +1\times 2\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi +1\times 2\pi }{3}}i\right)=2\left(\cos \pi +\sin \pi i\right)=-2$
* E para k=2:
    $z_{2}={\sqrt[{3}]{8}}\left(\cos {\frac {\pi +2\times 2\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi +2\times 2\pi }{3}}i\right)=2\left(\cos {\frac {5\pi }{3}}+\sin {\frac {5\pi }{3}}i\right)=1-{\sqrt {3}}i$
Portanto, os valores de x são -2, 1 + √3i e 1 - √3i.

### Exemplo 2

* Na forma a + bi teremos:
    ${\begin{cases}a=1\\b={\sqrt {3}}\end{cases}}$
* E o valor absoluto:
    $r={\sqrt {1^{2}+({\sqrt {3}})^{2}}}=2$
* Teremos o argumento:
    $1=2\cos \theta \to \theta =\arccos {\frac {1}{2}}={\frac {\pi }{3}}$
* As raízes serão dadas por k=0 e k=1 através da segunda fórmula de Moivre:
    $z_{0}={\sqrt[{2}]{2}}\left(\cos {\frac {{\frac {\pi }{3}}+0\times 2\pi }{2}}+\sin {\frac {{\frac {\pi }{3}}+0\times 2\pi }{2}}i\right)={\sqrt[{2}]{2}}\left(\cos {\frac {\pi }{6}}+\sin {\frac {\pi }{6}}i\right)={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}i}{2}}$
    $z_{1}={\sqrt[{2}]{2}}\left(\cos {\frac {{\frac {\pi }{3}}+1\times 2\pi }{2}}+\sin {\frac {{\frac {\pi }{3}}+1\times 2\pi }{2}}i\right)={\sqrt[{2}]{2}}\left(\cos {\frac {7\pi }{6}}+\sin {\frac {7\pi }{6}}i\right)={\frac {-{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}i}{2}}$
Que são os valores de x.

### Exemplo 3

* Vemos que o valor absoluto da expressão é igual a 1, então
    $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=1$
* Observa-se, também, que a primeira raiz do primeiro quadrante localiza-se sobre o eixo real, logo, o argumento é igual a zero:
    ${\begin{cases}a=\cos 0\\b=\sin 0\end{cases}}$
* Sabemos que o cosseno de zero é igual a 1, e o seno de zero igual a zero. Observamos, também, que n = 6 (pois o polígono tem seis lados). Concluímos que a expressão representada no plano é x$^6$ = 1.