# Mecânica dos fluidos/Pressão sobre corpos submersos
## Pressão sobre uma placa retangular imersa em um fluido incompressível

Uma placa retangular, de dimensões L x W, espessura desprezível, imersa em um fluido incompressível de densidade $\rho$, sofre pressão sobre a sua superfície superior, devido ao peso desse fluido. Se a placa estiver imersa a uma profundidade D e perfeitamente alinhada horizontalmente, todos os pontos estarão sujeitos à mesma pressão $p\;=\;\rho gD$.
Se, no entanto, apenas a sua extremidade superior estiver alinhada com a horizontal e a face fizer um ângulo Θ com esta, os pontos sofrerão uma pressão que varia com a profundidade, de $\rho gD$ no topo a $\rho g(D\;+\;L\sin \theta )$ na extremidade inferior. Isso dará origem não apenas a uma força resultante sobre a superfície, mas também a um torque na direção horizontal.
Para obter a força, é preciso integrar a força infinitesimal sobre cada elemento de área da placa.
$dF\;=\;pdA\;=\;(\rho gh)dA$
A direção da pressão é sempre perpendicular à superfície da placa, pois o líquido está estático, o que simplifica o cálculo, tornando desnecessário trabalhar com vetores. Podemos introduzir a variável x, variando de 0 a L, ao longo da face da placa, sendo $h\;=\;D\;+\;x\sin \theta$, para integrar a equação acima.
$dF\;=\;\rho g(D\;+\;x\sin \theta )dA$
$dF\;=\;\rho g(D\;+\;x\sin \theta )Wdx$
$F\;=\;\rho gW\left(DL\;+\;{\frac {L^{2}\sin \theta }{2}}\right)$
O torque sobre a superfície, por sua vez, tomando-se como referência a extremidade superior, será dado por
$d\Omega \;=\;xdF\;=\;x\rho g(D\;+\;x\sin \theta )Wdx\;=\;\rho gW(Dx\;+\;x^{2}\sin \theta )dx$
$\Omega \;=\;\rho gW\left({\frac {DL^{2}}{2}}\;+\;{\frac {L^{3}\sin \theta }{3}}\right)$
A profundidade do centro geométrico da placa é
$h_{c}\;=\;D\;+\;{\frac {L\sin \theta }{2}}$
e a pressão nessa profundidade é
$p_{c}\;=\;\rho gh_{c}\;=\;\rho g\left(D\;+\;{\frac {L\sin \theta }{2}}\right)$
que daria origem, se aplicada uniformemente a toda a placa, a uma força
$F_{c}\;=\;p_{c}A\;=\;\rho g\left(D\;+\;{\frac {L\sin \theta }{2}}\right)WL\;=\;\rho gW\left(DL\;+\;{\frac {L^{2}\sin \theta }{2}}\right)$
que é igual à força resultante sobre a placa calculada acima. Assim, podemos escrever que a força resultante sobre a placa submersa é igual à força que apareceria se ela estivesse mergulhada na posição horizontal na profundidade em que se encontra o seu centro geométrico. Quanto ao torque, podemos dizer que ele é igual à força $F_{C}$ aplicada à posição
$x_{\Omega }\;=\;{\frac {\Omega }{F_{c}}}\;=\;{\frac {{\frac {DL}{2}}\;+\;{\frac {L^{2}\sin \theta }{3}}}{D\;+\;{\frac {L\sin \theta }{2}}}}$
$x_{\Omega }\;=\;{\frac {\left({\frac {DL}{2}}\;+\;{\frac {L^{2}\sin \theta }{4}}\;+\;{\frac {L^{2}\sin \theta }{12}}\right)}{D\;+\;{\frac {L\sin \theta }{2}}}}\;=\;{\frac {L}{2}}\;+\;{\frac {\frac {L^{2}\sin \theta }{12}}{D\;+\;{\frac {L\sin \theta }{2}}}}$
Esse ponto está a uma profundidade
$h_{\Omega }\;=\;D+x_{\Omega }\sin \theta$
e é a coordenada vertical do ponto de aplicação da força resultante F$_c$. As outras coordenadas são, obviamente:
$y_{\Omega }\;=\;{\frac {W}{2}}$
$z_{\Omega }\;=\;x_{\Omega }\cos \theta$
A força F$_c$, por sua vez, pode ser expressa por suas componentes em cada uma das dimensões
$F_{H}\;=\;F_{c}\sin \theta \qquad F_{V}\;=\;F_{c}\cos \theta \qquad F_{y}\;=\;0$
Os 6 valores F$_H$, F$_V$, F$_y$, h$_Ω$, z$_Ω$ e y$_Ω$ descrevem completamente a força aplicada à superficie.

## Pressão sobre uma placa plana de qualquer formato imersa em um fluido incompressível

Qualquer que seja o formato da placa, podemos escrever, como acima
$dF\;=\;pdA\;=\;(\rho gh)dA\;=\;\rho g(D\;+\;x\sin \theta )dA$
$F\;=\;\rho g\left(D\int dA\;\;\;+\;\;\;\sin \theta \int xdA\right)\;=\;\rho g\left(DA\;+\;M_{0}\sin \theta \right)$
$d\Omega _{x}\;=\;xdF\;=\;x\rho g(D\;+\;x\sin \theta )dA$
$\Omega _{x}\;=\;\rho g\left(D\int xdA\;\;\;+\;\;\;\sin \theta \int x^{2}dA\right)\;=\;\rho g\left(M_{0}D\;+\;I_{0}\sin \theta \right)$
onde
$M_{0}\;=\;\int xdA\qquad e\qquad I_{0}\;=\;\int x^{2}dA$
são, respectivamente, o primeiro e o segundo momentos da área da superfície com relação ao eixo que passa pela extremidade superior.
A profundidade do centro geométrico da placa é
$h_{c}\;=\;D\;+\;x_{c}\sin \theta \;=\;D\;+\;{\frac {\int xdA}{\int dA}}\sin \theta \;=\;D\;+\;{\frac {M_{0}}{A}}\sin \theta$
e a pressão nessa profundidade é
$p_{c}\;=\;\rho gh_{c}\;=\;\rho g\left(D\;+\;{\frac {M_{0}}{A}}\sin \theta \right)$
que daria origem, se aplicada uniformemente a toda a placa, a uma força
$F_{c}\;=\;p_{c}A\;=\;\rho g\left(DA\;+\;M_{0}\sin \theta \right)$
que também é igual à força resultante sobre a placa calculada acima. Assim, podemos escrever que a força resultante sobre a placa submersa, qualquer que seja o seu formato, é igual à força que apareceria se ela estivesse mergulhada na posição horizontal na profundidade em que se encontra o seu centro geométrico. Quanto ao torque, podemos lançar mão do teorema dos eixos paralelos (ou teorema de Steiner) e substituir
$I_{0}\;=\;I_{c}\;+\;Ax_{c}^{2}\;=\;I_{c}\;+\;Ax_{c}\cdot x_{c}\;=\;I_{c}\;+\;Ax_{c}{\frac {M_{0}}{A}}\;=\;I_{c}\;+\;x_{c}M_{0}$
onde $I_{c}$ é o segundo momento da área (ou momento de inércia da placa) com relação a um eixo que passa pela posição $x_{c}$
$\Omega _{x}\;=\;\rho g\left(M_{0}D\;+\;I_{0}\sin \theta \right)\;=\;\rho g\left(Ax_{c}D\;+\;(I_{c}\;+\;x_{c}M_{0})\sin \theta \right)\;=\;\rho gx_{c}(DA\;+\;M_{0}\sin \theta )\;+\;\rho gI_{c}\sin \theta$
$\Omega _{x}\;=\;x_{c}F_{c}\;+\;\rho gI_{c}\sin \theta$
$x_{\Omega }\;=\;{\frac {\Omega _{x}}{F_{c}}}\;=\;{\frac {x_{c}F_{c}\;+\;\rho gI_{c}\sin \theta }{F_{c}}}\;=\;x_{c}\;+\;{\frac {\rho gI_{c}\sin \theta }{F_{c}}}\;=\;x_{c}\;+\;{\frac {\rho gI_{c}\sin \theta }{\rho gh_{c}A}}$
$x_{\Omega }\;=\;x_{c}\;+\;{\frac {I_{c}\sin \theta }{h_{c}A}}$
No caso de uma placa retangular, não haverá torque na direção horizontal, devido à simetria $\left(y_{\Omega }\;=\;{\frac {W}{2}}\right)$. Para uma placa de formato qualquer, é preciso calculá-lo de acordo com as mesmas fórmulas. Os 6 valores F$_H$, F$_V$, F$_y$, h$_Ω$, z$_Ω$ e y$_Ω$ descrevem completamente a força aplicada à superficie.

## Pressão sobre uma placa curva imersa em um fluido incompressível

No caso de uma placa curva, não temos mais os infinitesimais dF apontando todos para a mesma direção. O cálculo se torna mais complexo, porque é preciso integrar separadamente as componentes vertical e horizontal dF$_H$ e dF$_V$:
$dF_{H}\;=\;pdA_{V}\qquad dF_{V}\;=\;pdA_{H}$
$F_{H}\;=\;\int pdA_{V}\qquad F_{V}\;=\;\int pdA_{H}$
onde dA$_H$ e dA$_V$ são, respectivamente, as projeções do elemento de área dA na direção horizontal e vertical. No caso de F$_H$, a fórmula deixa claro que a superfície curva A pode ser substituída pela sua projeção na vertical A$_V$, sem que o cálculo seja afetado. Assim, podemos usar a fórmula geral
$F_{H}\;=\;p_{c}A_{V}$
Quanto a F$_V$, pode-se usar o mesmo método ou desenvolver-se a expressão
$F_{V}\;=\;\int pdA_{H}\;=\;\int \rho ghdA_{H}\;=\;\rho g\int hdA_{H}\;=\;\rho gV_{s}$
onde V_s é o volume de fluido total que se encontra sobre a placa.
O torque na direção horizontal pode ser calculado a partir da força F$_H$ como se a placa fosse plana. A direção x deve ser escolhida de forma a coincidir com o eixo vertical e a direção z, com a horizontal.
$x_{\Omega }\;=\;x_{c}\;+\;{\frac {I_{c}}{h_{c}A_{V}}}$
$\Omega _{H}\;=\;x_{\Omega }F_{H}$
Para calcular $z_{\Omega }$, deve-se encontrar a coordenada horizontal do centro de massa do volume de fluido sobre a placa.
Vale ressaltar que o método usado para o cálculo de F$_H$ é totalmente geral e pode ser usado qualquer que seja a direção desejada. Dependendo da posição da placa, pode ser conveniente escolher uma direção de análise que não coincida com a horizontal ou a vertical.

### Caso especial de uma placa plana retangular

Se a placa for plana e retangular, de dimensões L x W, espessura desprezível, estiver imersa a uma profundidade D e a face fizer um ângulo Θ com esta, como na seção anterior
$F_{H}\;=\;p_{c}A_{V}\;=\;\rho gh_{c}WL\sin \theta \;=\;\rho g(D+{\frac {L\sin \theta }{2}})WL\sin \theta$
$F_{H}\;=\;\rho gW\left(DL\;+\;{\frac {L^{2}\sin \theta }{2}}\right)\cdot \sin \theta \;=\;F_{c}\sin \theta$
que é a componente horizontal da força F$_c$ calculada na seção anterior.
$F_{V}\;=\;\rho gV_{s}\;=\;\rho g\left(DWL\cos \theta \;+\;W{\frac {L\sin \theta \cdot L\cos \theta }{2}}\right)\;=\;\rho gW\left(DL\;+\;{\frac {L^{2}\sin \theta }{2}}\right)\cdot \cos \theta \;=\;F_{c}\cos \theta$
que é a componente vertical da força F$_c$ calculada na seção anterior.
$x_{\Omega }\;=\;x_{c}\;+\;{\frac {I_{c}}{h_{c}A_{V}}}\;=\;{\frac {L\sin \theta }{2}}\;+\;{\frac {(\int _{0}^{L\sin \theta }(x\;-\;x_{c})^{2}dA)}{(D\;+\;{\frac {L}{2}}\sin \theta )A_{V}}}$
$x_{\Omega }\;=\;{\frac {L\sin \theta }{2}}\;+\;{\frac {W{\frac {(L\sin \theta \;-\;{\frac {L\sin \theta }{2}})^{3}\;-\;(0\;-\;{\frac {L\sin \theta }{2}})^{3}}{3}}}{(D\;+\;{\frac {L}{2}}\sin \theta )WL\sin \theta }}\;=\;{\frac {L\sin \theta }{2}}\;+\;{\frac {{\frac {L^{2}}{12}}\sin ^{2}\theta }{D\;+\;{\frac {L}{2}}\sin \theta }}$
$x_{\Omega }\;=\;\left[{\frac {L}{2}}\;+\;{\frac {{\frac {L^{2}}{12}}\sin \theta }{D\;+\;{\frac {L}{2}}\sin \theta }}\right]\sin \theta$
que é o mesmo valor calculado na seção anterior, apenas multiplicado por $\sin \theta$, devido à mudança de orientação do eixo x, de paralelo à face da placa para a vertical. Na direção horizontal, podemos escrever $x\;=\;z\tan \theta$ e calcular
$z_{\Omega }\;=\;{\frac {M_{Vs}}{V_{s}}}\;=\;{\frac {\int zdV}{\int dV}}\;=\;{\frac {W\int _{0}^{L\cos \theta }\int _{-D}^{z\tan \theta }zdxdz}{W\int _{0}^{L\cos \theta }\int _{-D}^{z\tan \theta }dxdz}}\;=\;{\frac {\int _{0}^{L\cos \theta }z(z\tan \theta \;+\;D)dz}{\int _{0}^{L\cos \theta }(z\tan \theta \;+\;D)dz}}$
$z_{\Omega }\;=\;{\frac {{\frac {L^{3}\cos ^{3}\theta \tan \theta }{3}}\;+\;{\frac {DL^{2}\cos ^{2}\theta }{2}}}{{\frac {L^{2}\cos ^{2}\theta \tan \theta }{2}}\;+\;DL\cos \theta }}\;=\;{\frac {{\frac {L^{2}\sin \theta }{3}}\;+\;{\frac {D}{2}}}{{\frac {L\sin \theta }{2}}\;+\;D}}\cdot \cos \theta$
que é o mesmo valor calculado na seção anterior.

### Outros casos especiais

O método apresentado nesta seção é bastante genérico e serve para calcular a pressão sobre uma superfície qualquer, bastando dividi-la em um número apropriado n de superfícies (S$_1$, S$_2$, etc.) de forma que o cálculo se torne fácil.
* Placa apenas parcialmente submersa: neste caso, é preciso dividir a superfície S em n partes, calcular os parâmetros (F$_H$, F$_V$, F$_y$, x$_Ω$, y$_Ω$ e zx$_Ω$) para cada uma das superfícies S$_i$ totalmente submersas e somar os vetores.
* Placa submersa em fluidos diferentes: neste caso, é preciso dividir a superfície S em n partes, cada uma delas em contato com no máximo um fluido, calcular os parâmetros (F$_H$, F$_V$, F$_y$, x$_Ω$, y$_Ω$ e zx$_Ω$) para cada uma das superfícies totalmente submersas e somar os vetores.