# Matemática elementar/Equações algébricas
## Definição

Uma equação é uma igualdade de expressões matemáticas, que pode ser utilizada no estudo das funções, nomeadamente das suas raízes. Pelo menos uma da expressão contém uma ou várias incógnitas (variáveis), cujo valor é denominado de solução ou soluções da equação.
Cada uma das expressões pode ser considerada como função matemática (p.e. f(x) e g(x)), e partilhar as suas propriedades, em que cada operação efetuada sobre uma das expressões, terá que ser replicada na outra

## Raiz

Se as equações forem polinomiais, i.e., compostas por polinômios, o grau n da equação é o mesmo que o maior expoente encontrado de ambos polinômios, e a sua solução admite no máximo n raízes. A raiz de uma equação é o valor com o qual a incógnita anula a equação.

## Número de raízes de uma equação

Relações entre coeficientes e raízes, Equações algébricas com coeficientes reais - pesquisa de raízes racionais, raízes complexas conjugadas.

## Exemplo

Um exemplo de como completar quadrado:
Temos a seguinte equação: $(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4\,\!$
Agora imagine a equação:
$x^{2}+8x-5=0\,\!$
Vamos tentar transformá-la em um quadrado da soma.
$x^{2}+8x=5\,\!$
Perceba que $(x+4)^{2}=x^{2}+8x+16\,\!$
$(x+4)^{2}-16=5\,\!$
$(x+4)^{2}=21\,\!$
Esse menos 16 é para subtrair do 16 que se forma no produto notável de
$(x+4)\,\!$,
é só isso, o método de completar quadrados é simplesmente você transformar os números em um quadrado da soma.

## Casos particulares
### Equação do 1º grau com 1 incógnita
#### Problemas do 1º grau

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo $a=c-4\,\!$. Assim:
$c+a=22\,\!$
$c+(c-4)=22\,\!$
$2c-4=22\,\!$
$2c-4+4=22+4\,\!$
$2c=26\,\!$
$c=13\,\!$
Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.

### Equação do 2º grau com 1 incógnita

Aqui mostraremos como se pode deduzir a famosa fórmula para a resolução de equações do segundo grau, também conhecida como fórmula de Bhaskara.

## Evolução

$ax^{2}+bx+c=0$, donde
    $a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+{\frac {c}{a}}\right)=0$
      * a multiplica os termos:
    $a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)=0$
    $a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\right)\right]=0$
    $a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)\right]=0$
    $a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\right)\left(x+{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\right)\right]=0$
      * aqui $b^{2}-4ac$ tornou-se $\Delta$.
    $a\left[\left(x+{\frac {b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)\left(x+{\frac {b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)\right]=0$
      * aqui temos $\left({\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)$ como X$_1$ e $\left({\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)$ como X$_2$.
    $a\left\{x-x_{1}\right\}\left[x-x_{2}\right]=0$
    $a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=0$
      * então,
| x = x$_1$ $x_{1}=\left({\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)$ | x = x$_2$ $x_{2}=\left({\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)$ |
      * por fim, $x_{1}$ e $x_{2}$ (x) é representado pela seguinte fórmula:
$x={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}$

#### Exercícios

Exercícios de aplicação da Fórmula de Bhaskara.
* Determine o conjunto solução, nos reais, das equações seguintes, usando a fórmula de Bhaskara
** $x^{2}-2\ x+1=0(S=1;1)\,$
** $y^{2}-6\ y+8=0(S=2;4)\,$
** $x^{2}-7\ x-18=0(S=-2;9)\,$
** $-y^{2}+2y+3=0(S=-1;3)\,$
** $x^{2}-4\ x+5=0(x\notin \mathbb {R} )\,$
** $2\ x^{2}-5\ x+2=0(S=0,5;2)\,$
** $9\ x^{2}+6\ x+1=0(x\notin \mathbb {R} )\,$
** $-4\ x^{2}-4\ x-1=0(0,5;0,5)\,$
** $x^{2}-x-1=0\,$
** $3y^{2}+2\ y-1=0(S=2/6;-1)\,$
** $x^{2}-4=0\,$
** $-x^{2}-x-4=0\,$
** $x^{2}-17=0\,$
** $y^{2}+y-20=0\,$
** $x^{2}+626=0\,$
** $x^{2}-15x=0\,$
** $x^{2}-3\ {\sqrt {2}}\ x+6=0\,$
** $-y^{2}-3\ y+10=0\,$
** $-3z^{2}+10\ z-3=0\,$
** $z^{2}+8\ z+15=0\,$
Exemplo 2 (2+X)(X+1)=2x+2+x.x+x
Aplicando na fórmula teremos:
Delta=b.b-4.a.c
Substituindo os valores na fórmula teremos: Delta=3×3-4×1×2 Delta =9-8 Delta=1
X1=-b+√delta/2.a
Substuindo history para x1.:
X1=-3+√1/2×1 X1=-3+1/2 X1=-2/2 X1=-1
X2=-b-√delta/2×a X2=-3-√1/2×1 X2=-3-1/2 X2=-4/2 X2=-2
Equação frigate agradesso quem a very beijinho de Cristiamo

#### Problemas do 2º grau

Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos foram convidados a este jantar?

##### Solução
### Equação biquadrada

Uma equação biquadrada é um equação do quarto grau que não possuem termos de grau ímpar:
    $ax^{4}+bx^{2}+c=0,\quad a\neq 0\,$
A técnica para resolver esta equação consiste em reescrever a equação como uma expressão em y de forma que:
    $y=x^{2}\,$
Assim a equação biquadrada transforma-se numa equação do segundo grau em y:
    $ay^{2}+by+c=0,\quad a\neq 0\,$

#### Exercícios

Ver Matemática elementar/Expressões algébricas/Equação biquadrada/Exercícios

## Leitura complementar

* Gilberto G. Garbi. O Romance das Equações Algébricas. 3ª ed. São Paulo: Livraria da Física. 2009. ISBN 8588325764
* Gilberto G. Garbi. A rainha da Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. Livraria da Física, 2006. ISBN 8588325616