# Álgebra linear/Espaços vetoriais
## Definição

Um espaço vetorial é formado por:
* Um conjunto qualquer $V,$ cujos elementos serão chamados de vetores;
* Um corpo $K,$ cujos elementos serão denominados escalares, com elementos neutros distintos 0 e 1;
* Uma operação $+:V+V\to V,$ conhecida como adição de vetores;
* Uma operação $*:K\times V\to V,$ chamada de multiplicação por escalar.
Neste wikilivro, será escrito simplesmente $\alpha v$ para denotar $\alpha *v.$
Normalmente, o corpo K é o corpo dos números racionais, dos números reais ou dos números complexos.

### Definição

Dizemos que $V$ é um espaço vetorial sobre $K$ quando as operações $+$ e $*$ satisfazem as seguintes propriedades:

### Adição

* Para cada $u,v\in V,$ $u+v\ =\ v+u$ (comutatividade)
* Para cada $u,v,w\in V,$ $(u+v)+w\ =\ u+(v+w)$ (associatividade)
* Existe um vetor $0,$ tal que para cada $u\in V,$ $0+u\ =\ u$ (neutro aditivo)
* Para cada $u\in V,$ existe $-u\in V$ tal que $u+(-u)\ =\ 0$ (inverso aditivo)

### Multiplicação por escalar

* Para cada $\alpha \in K$ e cada $u,v\in V,$ $\alpha (u+v)\ =\ \alpha u+\alpha v$ (distributividade)
* Para cada $\alpha ,\beta \in K$ e cada $u\in V,$ $(\alpha +\beta )u\ =\ \alpha u+\beta u$ (distributividade)
* Para cada $\alpha ,\beta \in K$ e cada $u\in V,$ $(\alpha \beta )u\ =\ \alpha (\beta u)$ (associatividade)
* Para cada $u\in V,$ $1u\ =\ u$ (neutro multiplicativo)

## Exemplos

* $\mathbb {R} ^{2}\,$, $\mathbb {R} ^{3}\,$ e, mais geralmente, $\mathbb {R} ^{n}$, são espaços vetoriais reais (sobre o corpo $\mathbb {R}$), quando munidos da soma e multiplicação por escalar usuais.
* O conjunto formado pelo único número real 0, ou seja, {0}, é um espaço vetorial sobre $\mathbb {R} \,.$
* $\mathbb {R} \,$ é um espaço vetorial sobre $\mathbb {R} \,.$
* Os exemplos acima são aplicáveis para qualquer corpo K, ou seja, são espaços vetoriais sobre K: {0}, K e K$^n$.
* Seja $n\in \mathbb {N}$ um número qualquer. O conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a $n$ é um espaço vetorial, onde consideramos a soma de dois polinômios como a soma dos coeficientes de mesmo grau e a multiplicação por escalar como a multiplicação de cada coeficiente pelo escalar em questão.
* Seja $\mathbb {N} \,$ o conjunto dos números inteiros positivos, e S o conjunto de todas as funções de domínio $\mathbb {N} ^{*}\,$ e contradomínio $\mathbb {R} \,.$ Dadas f e g funções e λ um número real, podemos definir
    (f + g) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real f(n) + g(n)
    (λ f) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real λ f(n).
Ou seja, foram definidas as operações de soma de vetores e produto de um escalar por um vetor em S. Como exercício, podem-se provar os axiomas, mostrando que S é um espaço vetorial. Este espaço vetorial é tão importante que tem um nome: ele é o espaço vetorial das sequências de números reais.
* O exemplo acima pode ser generalizado. Seja K um corpo qualquer, e I um conjunto qualquer (a letra I é porque este conjunto será chamado de conjunto de índices). Então o conjunto K$^I$, das funções de domínio I e contra-domínio K, torna-se naturalmente um espaço vetorial definindo-se para $f,g\in K^{I}\,,$ $\lambda \in K\,:$
    $(f+g)(x)=f(x)+g(x)\,$
    $(\lambda f)(x)=\lambda f(x)\,$
    O fato de um conjunto ser ou não um espaço vetorial depende fortemente das operações envolvidas. O próximo exemplo ilustra esta questão:
    Exemplo: Verifique se $(\mathbb {R} ^{2},\oplus ,.)$, munido das operações
    ${\begin{cases}(x_{1},y_{1})\oplus (x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})&\\k.(x_{1},y_{1})=(-kx_{1},-ky_{1})\end{cases}}$
    é um espaço vetorial.
    Com efeito, observe inicialmente que a a soma em questão é a usual. Logo, satisfaz as propriedades de espaço vetorial. Iremos provar que a a multiplicação por escalar não satisfaz o seguinte propriedade de espaço vetorial:
    $1\cdot u=u$
    De fato, se $u=(x_{1},y_{1})$, então $1.u=1(x_{1},y_{1})=(-1x_{1},-1y_{1})=(-x_{1},-y_{1})\neq (x_{1},y_{1})$. Portanto, $\mathbb {R} ^{2}$, munido destas operações, não é um espaço vetorial.

## Subespaços vetoriais
### Definição

Seja $V$ um espaço vetorial sobre o corpo $K.$ Um subespaço vetorial de $V$ é um subconjunto $W$ que também é um espaço vetorial sobre $K,$ com as mesmas operações (adição e multiplicação por escalar) de $V.$
Equivalentemente, um subespaço vetorial de $V$ é um subconjunto não-vazio $W$ fechado em relação às operações de adição e multiplicação por escalar, ou seja, um subconjunto tal que
* Para todos $u,v\in W$ tem-se $u+v\in W;$
* Para qualquer escalar $\lambda \in K$ e para todo $u\in W$ tem-se $\lambda u\in W.$
Exemplo: Seja $F=\{(x,2x,3x):x\in \mathbb {R} \}$. Provemos que $F$ é um subespaço vetorial.
* O subconjunto $F$ é não-vazio, uma vez que o vetor nulo pertence a $F$. $F\neq \emptyset ,{\text{ pois }}{\vec {0}}=(0,0,0)=(0,2.0,3.0)$
* O subconjunto $F$ é fechado em relação à soma. Considere os vetores $u$ e $v$ abaixo: $u=(x_{1},2x_{1},3x_{1})\ \ \ \ \ \ v=(x_{2},2x_{2},3x_{2})$A soma desses dois vetores resulta no vetor$u+v=(x_{1}+x_{2},\ 2x_{1}+2x_{2},\ 3x_{1}+3x_{2})$O vetor resultante da soma de $u$ e $v$ ainda se encontra presente em $F$, pois a segunda coordenada continua sendo o dobro da primeira e a terceira coordenada, o triplo da primeira.
* O subconjunto $F$ é fechado em relação à multiplicação por escalar. Considere novamente o vetor $u$ abaixo: $u=(x_{1},2x_{1},3x_{1})$A multiplicação de $u$ por um escalar $\alpha \in \mathbb {R}$ resultará em: $\alpha .u=(\alpha .x_{1},\alpha .2x_{1},\alpha .3x_{1})$O vetor resultante dessa multiplicação ainda se encontra presente no subespaço $F$, pois a segunda coordenada continua sendo o dobro da primeira e a terceira coordenada, o triplo da primeira.

## Combinação linear
### Definições
#### Definição

Seja $V$ um espaço vetorial sobre um corpo $K.$ Um vetor $u\in V$ é dito combinação linear dos vetores $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ se existem escalares $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$ tais que
    $\lambda _{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{n}v_{n}=u$
Note-se que, pela definição, nem os λ nem os v precisam ser distintos.

#### Definição

Seja S um subconjunto do espaço vetorial V. Um vetor $u\in V$ é dito uma combinação linear de elementos de S quando $u=0$ ou existem:
    um número inteiro positivo n, $n\in \mathbb {N} ^{*}$
    vetores $v_{1},\ldots ,v_{n}\in S$ e
    escalares $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$
tais que
    $\lambda _{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{n}v_{n}=u$
Deve-se notar que a condição u = 0 é importante para o caso em que S seja o conjunto vazio. Equivalentemente, seria possível definir a soma de zero vetores como o vetor nulo (isto é semelhante à definição do fatorial de 0, igual ao produto de zero fatores, ou seja, é o elemento neutro multiplicativo, 1).

### Propriedades

* Todo elemento x de S é uma combinação linear de elementos de S. Basta escolher n = 1, v$_1$ = x e λ = 1, de forma que x = λ v$_1$
* Se x é uma combinação linear de elementos de S, e λ é um escalar, então λ x também é uma combinação linear de elementos de S. Prova: x = 0 (neste caso, λ x = 0) ou $x=\lambda _{1}v_{1}+\ldots \lambda _{n}v_{n}\,.$ Então $\lambda x=(\lambda \lambda _{1})v_{1}+\ldots (\lambda \lambda _{n})v_{n})\,.$
* Se x e y são combinações lineares de elementos de S, então x + y também é. A prova é um pouco mais complicada, e será feita com cuidado
** Caso x ou y sejam 0, é imediato que x + y, sendo igual a x ou y, é uma combinação linear de elementos de S.
** No caso geral, $x=\lambda _{1}v_{1}+\ldots +\lambda _{n}v_{n}\,$ e $y=\mu _{1}w_{1}+\ldots +\mu _{m}w_{m}\,.$ Então definindo $\eta _{1}=\lambda _{1},\ldots \eta _{n}=\lambda _{n},\eta _{n+1}=\mu _{1},\ldots \eta _{n+m}=\mu _{m}\,$ e $u_{1}=v_{1},\ldots u_{n}=v_{n},u_{n+1}=w_{1},\ldots u_{n+m}=w_{m}\,,$ temos que $x+y=\eta _{1}u_{1}+\ldots +\eta _{n+m}u_{n+m}\,$
* Os últimos resultados mostram que o conjunto formado por todas as combinações lineares de elementos de S é um espaço vetorial - o capítulo seguinte estudará este espaço

## Dependência e Independência linear
### Definição

Seja $S$ um subconjunto de $V.$ Dizemos que $S$ é linearmente dependente se existem vetores distintos $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ e escalares $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K,$ não todos nulos, tais que
    $\lambda _{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{n}v_{n}=0$
Ou seja, $S$ é linearmente dependente se alguma combinação linear não-trivial de alguns de seus vetores resulta no vetor nulo.
$S$
$S$
$S$
Quando temos um número finito de vetores $v_{1},\ldots ,v_{n},$ é comum dizer que os vetores $v_{1},\ldots ,v_{n}$ são linearmente dependentes (ou independentes), em vez de dizer que o conjunto $S=\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ é linearmente dependente (ou independente).

### Propriedades

* Pela definição, o conjunto vazio é linearmente independente.
* Todo conjunto que contém o vetor nulo é linearmente dependente.
* Todo conjunto que tem um subconjunto linearmente dependente é linearmente dependente.
* Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é linearmente independente.
* Se um vetor de um conjunto é combinação linear de outros vetores desse conjunto, então o conjunto é linearmente dependente.
* A interseção de dois conjuntos linearmente independentes é linearmente independente - podendo ser o conjunto vazio.
* A interseção de um número qualquer de conjuntos linearmente independentes é linearmente independente.
* A união de conjuntos linearmente independentes, normalmente, não será linearmente independente. Porém quando um conjunto é subconjunto de outro, a sua união (sendo igual ao maior conjunto) é linearmente independente. Uma extensão não-trivial desta propriedade é a seguinte: seja K um conjunto formado por conjuntos linearmente independentes, de modo que dados quaisquer dois elementos de K, um deles é subconjunto do outro. Então a união de todos os elementos de K também é linearmente independente.

## Espaço gerado
### Definição
#### Definição

Seja $S$ um subconjunto de um espaço vetorial $V.$ O conjunto de todas as combinações lineares finitas de elementos de $S$ é um subespaço $W$ de $V,$ e é dito o subespaço gerado por $S.$
Quando $S$ é um conjunto finito $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\},$ dizemos que $W$ é o subespaço gerado pelos vetores $v_{1},\ldots ,v_{n}.$

### Exemplos

* Em qualquer espaço vetorial V, o espaço vetorial gerado pelo conjunto vazio é o subespaço vetorial { 0 }. Analogamente, o espaço vetorial gerado pelo conjunto V é o próprio V
* Em $\mathbb {R} ^{2}\,,$ o espaço vetorial gerado por um vetor não-nulo é uma reta que passa pela origem
* Em $\mathbb {R} ^{3}\,,$ o espaço vetorial gerado por um vetor não-nulo também é uma reta que passa pela origem
* Em $\mathbb {R} ^{2}\,,$ o espaço vetorial gerado por dois vetores não-nulos, em que um deles não é múltiplo do outro, é todo o $\mathbb {R} ^{2}\,$
* Em $\mathbb {R} ^{3}\,,$ o espaço vetorial gerado por dois vetores não-nulos, em que um deles não é múltiplo do outro, é um plano que passa pela origem

### Definição através de conjuntos

Seja S um conjunto de vetores de V. Pode-se perguntar qual é o menor subespaço vetorial de V que contém S. Para ser mais preciso, temos o seguinte:
* V é um subespaço vetorial de V que contém S
* A interseção de subespaços vetoriais de V que contém S também é um subespaço vetorial de V
Ou seja, seja K o conjunto (não vazio, porque $V\in K\,$) definido por:
* $K=\{W\subseteq V\ |\ (W{\mbox{ subespaco vetorial de }}V)\land S\subseteq W\}\,$
e seja ${\bar {S}}\,$ definido por:
* ${\bar {S}}=\bigcap _{X\in K}X\,$

### Teorema

Nas condições definidas acima, ${\bar {S}}\,$ é o subespaço vetorial gerado por S.

## Bases
### Definição

Seja $S$ um subconjunto de um espaço vetorial $V.$ $S$ é uma base do espaço vetorial $V$ quando o subespaço de $V$ gerado por $S$ é o próprio $V$ e $S$ é um conjunto linearmente independente.
Quando uma base $S$ é um conjunto finito $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ de $n$ elementos, dizemos que $V$ tem dimensão $n$.
Seja V um espaço vetorial e B uma base de V. Suponha que um vetor $v\in V\,$ seja escrito como combinação linear de vetores de B de duas formas diferentes: $v=\lambda _{1}u_{1}+\ldots +\lambda _{n}u_{n}=\mu _{1}w_{1}+\ldots +\mu _{m}w_{m}\,.$ O que pode ser dito a respeito dos λ e μ? O que pode ser dito a respeito dos u$_i$ e w$_j$? A resposta é que, de certa maneira, eles são únicos.

## Coordenadas
### Definição

Seja B uma base de um espaço vetorial V. Se existe $b\in B\,,$ então para todo vetor $v\in V,$ se expressarmos v como uma combinação linear de elementos de B que inclua b, o coeficiente do termo b será constante.
Em outras palavras, para toda base B do espaço vetorial V existe uma função que associa a cada par $(v,b)\in V\times B\,$ um escalar. Esta função é chamada de a coordenada de v na base B

## Ver também
### Wikipédia

* Espaço vetorial
* Subespaço vetorial
* Independência linear
* Espaço vetorial gerado
* Base