OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Álgebra abstrata/Subgrupos
## Submonóides e subgrupos gerados por um subconjunto

Quando dizermos monóide podemos trocar por grupo, e quando dizermos submonóide podemos trocar por subgrupo na explicação abaixo, porque é válido para os dois tipos de objetos.
Dado um subconjunto S de um monóide M, nós precisamos do menor submóide de M que contém S. O que queremos é um submóide contendo S e contido em cada submóide contendo S. Se tal objeto existir, ele é único. Vamos supor que existem dois, H(S) e H'(S), assim $H(S)\subset H'(S),H'(S)\subset H(S),\implies H(S)=H'(S)$
Seja S um subconjunto dado do monóide M e seja $M_{S}=\{P/S\subset P\subset M\}$, i é, $M_{S}\;$ é o conjunto de todos os submonóides P de M que contém S. Agora tomemos $<S>\;=\;\cap M_{S}$. $<S>\;$ é um submonóide se $\cap M_{S}$ é um submóide. Como todos os P contém S, é claro que $S\subset <S>$. Assim vemos que $S\subset <S>\subset P$. Podemos chamar $<S>\;$ de submonóide gerado por S.
Quando $<S>=M\;$, dizemos que M é gerado pelo conjunto S e S é um conjunto gerador do monóide M.
Agora vamos separar monóides de grupos, para estudar cada caso.

### Submonóides gerados por um subconjunto

Seja $S=\{s_{1},s_{2},...,s_{n}\}\;$. Temos que $<S>\;$ é um submonóide que contém 1 de M e é fechado para o produto(p), de M, dos elementos de S. Assim se tomarmos S' como sendo o conjunto $\{1,s_{1},s_{2},...,s_{n}\}\;$, $<S'>=\{a\;p\;b;\;a,b\in S'\}$. Assim $S\;\subset \;<S'>\;$, temos um monóide que contém S, como consequência contém $<S>\;$. Mas a construção de ambos os geradores possui o mesmo conceito: contém uma cópia de S e contém 1 de M e é fechado para o produto p, de M, dos elementos de S. Assim só lhes restam ser iguais. $<S><S'>\;$

## Grupo Cíclico (Subgrupos gerados por um subconjunto)

Quando $G=<a>\;$ é um grupo G gerado por um subgrupo $<a>\;$, chamamos de grupo cíclico com gerador a. Exemplo: Podemos ter um subgrupo gerador $<t>=\{t^{k}/k\in \mathbb {Z} \}$. Neste caso temos um grupo abeliano. Exemplo: o que um número pode gerar? Seja S = 1, e seja p = +. Assim $<1>\;=\;(G,+,1)\;$, é um subgrupo que gera os inteiros, assim $<1>\;=\;(\mathbb {Z} ,p,1)$
O tipo de gerador que vai nos interessar é o do tipo $<t>=\{t^{k}/k\in \mathbb {Z} \}$.
A aplicação $\phi :n\mapsto t^{n}$ é uma aplicação bijetora.
    Pois pra todo $\phi (m+n)=t^{m+n}=t^{m}t^{n}=\phi (m)\phi (n),\;\phi (0)=1$ a aplicação é sobretiva
    Dado $\phi (m)=\phi (n)\implies t^{m}=t^{n}\implies t^{n}t^{-}m=1\implies t^{n-m}=1.\;existsp=n-m\implies t^{p}=1$, logo a aplicação é injetiva e por final bijetiva. Portanto é isomorfa
Assim temos que $<t>=\{1=t^{0},t^{1},...t^{r-1}\}\;$, onde a ordem de $<t>\;$ é r.
Teorema: Qualquer dois grupos cíclicos de mesma ordem são isomorfos.
Teorema: Qualquer subgrupo de um grupo cíclico $<a>\;$ é cíclico.
# Álgebra linear/Bibliografia
## Livros

* Artin, Michael. Algebra. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1991. 672 p. ISBN 0130047635
* Halmos, Paul Richard. Finite-Dimensional Vector Spaces. Berlin: Springer, 1974. ISBN 0387900934
* Hoffman, Kenneth, Kunze, Ray. Linear Algebra. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1971. 407 p. ISBN 0135367972
* Hogben, Leslie. Handbook of Linear Algebra. Boca Raton: CRC Press, 2007. 1400 p. ISBN 1584885106
* Jacobson, Nathan. Lectures in Abstract Algebra. Berlin: Springer, 1976. 217 p. v. 1. ISBN 0387901817
* Lang, Serge. Algebra. Berlin: Springer, 2002. 914 p. ISBN 038795385X
* Leon, Steven J.. Álgebra Linear com Aplicações. 4ª.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999. 390 p. ISBN 8521611501
* Lima, Elon Lages. Álgebra Linear. 7ª.ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2006. 357 p. ISBN 8524400897

## Ligações externas

* Linear Algebra Livro de Álgebra linear no wikilivros em inglês.
* A First Course in Linear Algebra - livro sobre álgebra linear, em língua inglesa, licenciado sob a GNU Free Documentation License.
* Linear Algebra - outra opção de livro em língua inglesa, licenciado sob a GNU Free Documentation License.
* Página do professor Reginaldo (UFMG) - contém diversos livros sobre o assunto.
# Álgebra abstrata/Permutação
## Teorema de Lagrange

Seja G um grupo de ordem finita, e H um subgrupo de G. Então a ordem de H divide a ordem de G.

### Observação

O número de elementos de um conjunto A é representado por |A|

### Demonstração

Considere-se, para o grupo G, a seguinte relação:
    $x\sim y\iff \exists h\in H,x=yh\,$
Esta é uma relação de equivalência; basta mostrar:
* Reflexiva: $1\in H\implies x=x1\implies x\sim x\,$
* Simétrica: $x\sim y\implies \exists h\in H,x=yh\implies y=xh^{-1},h^{-1}\in H\implies y\sim x\,$
* Transitiva: $x\sim y\ \land \ y\sim z\implies \exists h_{1},h_{2}\in H,x=yh_{1}\ \land \ y=zh_{2}\implies \,$ $x=(zh_{2})h_{1}\implies x=z(h_{2}h_{1})\implies x\sim z\,$
Seja, então G:H o conjunto das classes de equivalência deste relação de equivalência, e escolha-se, para cada classe, um elemento de G, formando o conjunto G$_1$. Este passo, no caso do conjunto G ser infinito, requer o axioma da escolha.
Note-se que, por construção, se $g_{1},g_{2}\in G_{1}\,$ e $g_{1}\sim g_{2}\,$, então $g_{1}=g_{2}\,$
Considere-se agora a função:
    $f:G_{1}\times H\to G,f(x,h)=xh\,$
Esta função é bijetiva:
* Injetiva: $f(x_{1},h_{1})=f(x_{2},h_{2})\implies x_{1}h_{1}=x_{2}h_{2}\implies x_{1}=x_{2}(h_{2}h_{1}^{-1})\implies \,$ $x_{1}\sim x_{2}\implies x_{1}=x_{2}\implies x_{1}h_{1}=x_{1}h_{2}\implies h_{1}=h_{2}\,$
* Sobrejetiva: Seja g um elemento de G, então escolha-se a classe de equivalência [g]. Existe um elemento em G$_1$ nesta classe, x, então temos $g\sim x\implies \exists h\in H,g=xh\implies f(x,h)=g\,$
Ou seja, |G$_1$ x H| = |G|, ou seja, |G:H| x |H| = |G|.
Note-se que esta relação vale, inclusive, no caso de ordem infinita. No caso particular da ordem de G ser finita, temos o Teorema de Lagrange.
# Álgebra linear

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Este livro tem uma coleção para a criação de versões nos formatos HTML, PDF, ODT, ZIM, ePUB ou para encomendas para a PediaPress.

## Índice

* Capa
* Créditos
* Introdução
* Equações lineares e matrizes
** Sistemas de equações lineares
** Matrizes
** Determinantes
** Transformações elementares sobre linhas
** Eliminação gaussiana
** Matrizes invertíveis
** Aplicações dos sistemas lineares
* Espaços vetoriais
** Axiomas e exemplos
** Subespaços vetoriais
** Dependência linear
** Espaço gerado
** Bases
** Coordenadas
* Transformações lineares
** Núcleo
** Espaço linha e espaço coluna
** A álgebra das transformações lineares
** Isomorfismos
** Funcionais lineares
** Operadores especiais
** Espaços biduais
* Polinômios
** Raízes
* Determinantes
* Formas canônicas elementares
* A forma racional e a forma de Jordan
* Espaços com produto interno
* Operadores sobre espaços com produto interno
* Formas bilineares e quadráticas
* Autovetores
** Teoremas espectrais
* Estilo
* Lista de símbolos
* Índice remissivo
* Bibliografia
# Álgebra linear/Créditos

Wikilivristas que participaram do desenvolvimento e manutenção deste wikilivro:
* Albmont
* Dante
* Edudobay
* Felipe.sanches
* Helder
* João Jerónimo
* Jorge Morais
* LeonardoG
* Marcos Antônio Nunes de Moura
* Master
* Ozymandias
* Petrusz1
* Rodrigo Rocha
* Thiagoharry
* Thiago Marcel
# Álgebra linear/Determinantes

Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar; ela transforma essa matriz em um número real. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

## Definição

Seja $\mathrm {M}$ o conjunto das matrizes com n linhas e n colunas sobre um corpo k. Pode-se provar que existe uma única função $f$ com as seguintes propriedades:
* $f$ é n-linear e alternada nas linhas das matrizes;
* $f$ ($\mathrm {I}$$n$) onde $I$$n$ é a matriz identidade.
Esta função denomina-se de determinante.
O determinante de uma matriz $A$ representa-se por $\mid A\mid$ ou por $det(A)$.

## Matrizes 3x3

O determinante de matrizes de ordem 3 pode ser encontrado pela Regra de Sarrus, na qual a matriz é extendida repetindo as duas primeiras colunas, de modo que seja obtida uma sequência de 5 colunas. Em seguida, é somado os produtos das três diagonais principais (que partem de cima para baixo) e subtraído os produtos das três diagonais secundárias (que vão de baixo para cima). Seja a matriz de ordem 3 $M$, o determinante pode ser dado por:
det(M)=|a$_{11}$a$_{12}$a$_{13}$a$_{21}$a$_{22}$a$_{23}$a$_{31}$a$_{32}$a$_{33}$|=a$_{11}$a$_{22}$a$_{33}$+a$_{12}$a$_{23}$a$_{31}$+a$_{13}$a$_{21}$a$_{32}$−a$_{31}$a$_{22}$a$_{13}$−a$_{32}$a$_{23}$a$_{11}$−a$_{33}$a$_{21}$a$_{12}$.{\textstyle \det(M)={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{32}a_{23}a_{11}-a_{33}a_{21}a_{12}.}

## Cofator de uma matriz

É um número associado a um elemento qualquer de uma matriz quadrada. Compreender o cofator é um pré-requisito para o estudo do Teorema de La Place, que é comumente usada para calcular determinantes de ordem maior que três. Cada elemento possui o seu respectivo cofator, que é representado pela seguinte expressão:
$Aij=(-1)^{i+j}det(Mij)$
O valor de $A$ é justamente o cofator do elemento $aij$. O ultimo termo diz respeito a determinante da matriz em questão sem os elementos da linha $i$ e da coluna $j$.
Calcule o determinante usando cofatores:
    $A={\begin{bmatrix}1&0&-1&3\\2&3&4&2\\0&2&5&1\\4&1&0&0\end{bmatrix}}$
# Álgebra linear/Estilo

Nesta página estarão indicadas as convenções adotadas neste wikilivro, no que diz respeito a sua formatação. Recomenda-se a leitura do mesmo, por todos que pretendem contribuir com a melhoria desde texto.

## Dicas
### Observações

* Sempre que for dar uma dica ao leitor, utiliza a faixa acima. Isso oferece um destaque à sugestão que estiver sendo dada.
* Esta faixa é criada usando a predefinição {{CaixaMsg}}.

## Definições
### Definição

Uma definição pode ser entendida como o texto que explica de forma precisa o significado de um conceito.

### Observações

* Geralmente um termo importante aparece pela primeira vez em uma definição.
* Devido à sua importância, é bom destacar a definição do restante do texto.
* No momento, a forma de destacar uma definição neste wikilivro é a inclusão da mesma dentro de uma região com bordas duplas, como no exemplo acima. Para isso, utiliza-se a predefinição {{Definição}}.
* O conceito que está sendo definido tem sido colocado em negrito, sendo que o texto da explicação tem sido alinhado a esquerda.

## Exemplos
### Observações

* Novamente, utiliza-se a predefinição {{CaixaMsg}} para posicionar uma faixa azul e uma imagem no lado esquerdo do exemplo.
* Note que não há bordas em torno dos exemplos.

## Propriedades
### Teorema

Sempre que uma propriedade importante dos objetos tratados no texto precisa ser destacada, isto deve ser feito em uma caixa como essa.

### Observações

* Os principais tipos de propriedades a ser destacados são: teoremas, corolários e pequenos lemas.
* Para conseguir a formatação acima, utiliza-se a predefinição {{Teorema}}.
# Álgebra linear/Capa

Álgebra linear
Wikilivros
"Livros abertos por um mundo aberto"
# Álgebra linear/Formas bilineares e quadráticas
## Formas bilineares
### Definição

Uma função g do produto cartesiano $V\times V\rightarrow K$ (onde V é um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo K) é dita bilinear se, $\forall u,v,w\in V,\lambda \in K$:
* $g(u+v,w)=g(u,w)+g(v,w)$
* $g(\lambda u,v)=\lambda g(u,v)$
* $g(u,v+w)=g(u,v)+g(u,w)$
* $g(u,\lambda v)=\lambda g(u,v)$

### Matriz associada a uma forma bilinear

Sejam $g:V\times V\rightarrow K$ uma forma bilinear, e $\alpha =\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ uma base de V. Sejam X e Y dois vetores de V, sob a forma de matriz coluna:
$X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}$
Então:
$g(X,Y)=X^{t}AY\,$,
onde A é a matriz associada à forma bilinear g.
A matriz A é dada por:
${\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}$
onde $a_{ij}=f(v_{i},v_{j})\,$

### Formas bilineares simétricas
#### Definição

Uma forma bilinear $g:V\times V\rightarrow K$ é dita simétrica se $g(u,v)=g(v,u)$
Proposição: $g:V\times V\rightarrow K$ é uma forma bilinear simétrica se, e somente se, a matriz associada à forma bilinear é simétrica em qualquer base de V.

## Formas quadráticas
### Definição

Dada uma forma bilinear simétrica $g:V\times V\rightarrow K$, dizemos que a função $f:V\rightarrow K$, definida por $f(v)=g(v,v)$, é a forma quadrática associada à forma bilinear g.
Note que:
* $f(u+v)=f(u)+2g(u,v)+f(v)$
* $f(\lambda v)=\lambda ^{2}f(v)$

### Fórmulas de polarização

As fórmulas de polarização permitem que, dada a forma quadrática f, se descubra a forma bilinear g que a originou. Eis duas dessas fórmulas:
* $g(u,v)={\frac {1}{4}}\left(f(u+v)-f(u-v)\right)$
* $g(u,v)={\frac {1}{2}}\left(f(u+v)-f(u)-f(v)\right)$
# GIMP/Selection by Colour

Seleção de cores - Esta ferramenta funciona de forma bem similar a seleção de regiões contíguas, no entanto, seleciona instantaneamente cores similares em toda a imagem. Por exemplo, se a imagem contiver um texto, basta clicar em qualquer das letras para que todas sejam selecionadas (desde que sejam de uma cor sólida - não com efeitos de iluminação ou textura).
As opções são idênticas a da ferramenta de seleções contíguas. É interessante observar que na versão 1.2 esta ferramenta não aparecia na caixa de ferramentas, mas somente no menu de "Seleção". Na versão 2.0 ela passou a ficar visível.
# O Básico

Atalho: F
A ferramenta de seleção livre permite que você selecione de forma livre uma área na tela.
# The Basics

Atalho: I
A ferramenta é muito útil para selecionar de contornos com um grau mais elevado de contraste de cores.Para contornar objetos e ao mesmo tempo poder dizer onde começar o contorno ou seleção ela pode ser melhor do que a Seleção Livre pois com a seleção livre não há nenhuma assistência para ajudar a selecionar os contornos de cores mais próximos.
# O Básico

Atalho: E
A Seleção em Elipse é bem semelhante a Retangular, só não esta presente a opção Rounded Corners.
# O Básico

Atalho: U
Esta ferramenta é usada para contornar uma área que possui uma variação de cor (ajustada com Threshold).Como ela se baseia nas cores pode parecer bem semelhante a Seleção por Cor, no entanto a Seleção por Cor não parte do ponto em que apontamos com mouse, mas busca todas as cores na tela mesmo que entre elas hajam outras cores que não fazem parte do Threshold especificado, já a Fuzzy precisa achar um caminho.A melhor forma de entender melhor é experimentando ambas, assim você verá claramente a diferença.

## Select transparent areas

Permite selecionar áreas transparentes.

## Sample merged

Essa opção pode ter vários significados dependendo da quantidade de camadas (layers) na imagem.Ela basicamente faz com que as camadas se juntem em uma só para depois fazer o calculo para seleção.Dependendo da forma como ela é usada pode fazer com que depois de habilitada a área selecionada se torne mais abrangente.

## Threshold

Determina a variação de cor.Se por exemplo você precisa selecionar um objeto que possui várias tonalidades de uma cor, essa opção pode vir a ser muito útil.
# GIMP/Scripts
## Para que serve

Quando falamos em aplicativos e scripts estamos nos referindo a possibilidade de estender a funcionalidade do mesmo através de uma linguagem a princípio interpretada (como Python, Scheme, Perl etc.).
O GIMP por si só pode não satisfazer suas necessidades, mas isso não é uma limitação, você pode criar um pequeno programa em linguagem interpretada para satisfazer suas necessidades.

## Linguagens

As linguagens mais usadas para desenvolver extensões são: Scheme (ScriptFu), Perl, Python, Tcl e Ruby.
Antes de tudo você precisa saber como o GIMP organiza uma imagem, ou seja, os tipos de objetos que existem, quais as principais abstrações (camadas, modelos de cores, etc.).

## Onde encontrar scripts

Existe um endereço onde usuários registram suas extensões, o http://registry.gimp.org/.
# O Básico

Atalho: R
A ferramenta Seleção Retângulo é simples e util permitindo o usuário criar seleções retangulares.
   * Modos - determina o jeito de criar a seleção e se vai haver combinação com outra etc.
   * Antialiasing - faz as extremidades da seleção serem mais suaves
   * Feather edge - borra as extremidades da seleção
   * Rounded corners - arredonda as extremidades da seleção
   * Expand from centre - expande a seleção usando o ponto de partida como o centro da seleção ao invés do canto
   * Fixed - permite que você modifique a forma do retangulo
   * Position - posicionamento da seleção
   * Size - o tamanho da seleção
   * Highlight - destaca a seleção atual
   * Guides - seleciona os tipos de guias
   * Auto Shrink - encolhe a seleção para a forma retangular mais próxima na imagem
   * Shrink merged - se habilitado então Auto Shrink ira usar informações de pixel da tela (display) visível da imagem ao invés de uma camada (layer) ativa

## Modos, Antiserrilhamento e Feather Edges

    Veja GIMP/Ferramentas de seleção para mais informações sobre os Modos
    Veja GIMP/Ferramentas de seleção para mais informações sobre Antiserrilhamento
    Veja GIMP/Selection Tools para mais informações sobre Feather Edges

## Cantos arredondados (Rounded corners)

Um slider aparecerá após habilitar esta opção, use-a para mudar o raio que é usado para arredondar os cantos.

## Expansão do centro (Expand from centre)

Depois de habilitar esta opção o ponto inicial é usado como centro da seleção.Essa opção pode ser habilitada com Shift.

## Fixo (Fixed)

Essa opção permite que você modifique a forma do retângulo de 4 maneiras:
   * Aspect ratio - ajusta a relação entre comprimento e altura
   * Width - ajuste de comprimento
   * Height - ajuste de altura
   * Size - ajuste da altura e do comprimento

## Posição (Position)

O atual posicionamento da seleção.

## Tamanho (Size)

Tamanho atual da seleção.

## Destaque (Highlight)

Destaca a área da seleção.

## Guias (Guides)

Aqui você pode ver quais guias podem ser habilitadas.
   * No guides - nenhum guia é mostrado
   * Centre lines - somente as linhas centrais são visíveis
   * Rule of thirds - guias são mostrados junto a régua
   * Golden sections - guias são visíveis para mostrar as golden sections

## Redução automática (Auto Shrink)

A seleção é reduzida a forma retangular mais próxima da seleção.

## Shrink merged

Se habilitado então Auto Shrink ira usar informações de pixel da tela (display) visível da imagem ao invés de uma camada (layer) ativa.
# O Básico

Atalho: nenhum
Essa ferramenta utiliza um método muito útil para seleção de objetos.Aos poucos o usuário pode ir selecionando com pincel áreas de cores que deseja ter incluso na seleção assim como o local em que deseja selecionar.Unindo ambos dados a ferramenta vai fazendo cálculos e excluindo áreas com cores ou mesmo os locais que não fazem parte da seleção desejada.
Existem algumas opções novas.
   * Contiguous - somente áreas continuas serão selecionadas
   * Interactive refinement - um ajuste para o pincel
   * Preview colour - a cor usada para diferenciar o que está sendo selecionado do que não está
   * Colour Sensitivity - ajusta a sensibilidade
# O Básico

Atalho: ⇧ Shift+O
Como explicado na Seleção Fuzzy a principal diferença é que para selecionar uma área a Seleção por Cor não precisa achar caminhos com pixels dentro da variação especificada pelo Threshold, se você apontar para uma pixel A com cor X em um canto da tela e somente no outro canto existe um outro pixel B com variação aceitável, a ferramenta fará o calculo e selecionará ambos pixels, já a Fuzzy não selecionará pois não há pixels aceitáveis que liguem o pixel A ao pixel B.
# O Básico

Atalho:T
Uma ferramenta para criar objetos tipo texto.
   * Font - a fonte
   * Size - tamanho
   * Hinting - produz caracteres mais claros quando o tamanho é bem reduzido
   * Force auto-hinter - automaticamente procura saber melhor representar a fonte
   * Antialiasing - apresenta o texto de forma mais suave
   * Colour - cor
   * Justify - alinhamento
   * Indent - indentação
   * Line spacing - espaço entre as linhas de texto
   * Character spacing - espaço entre caracteres
   * Text along Path - texto ao longo de um path
   * Path from Text - cria um path usando o texto
# Livro de receitas/Licor cointreau

Existem várias maneiras de preparar:

## Licor cointreau - 1
### Ingredientes e Preparo:

* Em 1 vidro de boca larga, coloque --
* Um tanto de açúcar --
* O dobro de aguardente (cachaça), ou menos se não gostar muito forte.
* Tampar o vidro com uma laranja baiana de vez (sem lavar) ou mexerica.
* Deixar 4 dias com a laranja de um lado e os outros 4 dias com a laranja do outro lado, em recinto fechado (dentro de armário).
* Tirar a laranja, misturar bem e colocar em licoreira, servir em cálices.
# Livro de receitas/Licor de banana

Existem várias maneiras de preparar:

## Licor de banana - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 6 bananas nanicas, bem maduras --
* 800 gramas de açúcar refinado;
* 1 litro de álcool a 40º GL;
* 3 a 4 gotinhas de essência de baunilha.
    Preparo:
* Descasque as bananas e pique-as em rodelas.
* Coloque-as em um vidro de boca larga, junto com o açúcar, o álcool e as gotas de baunilha. (Como a concentração da essência pode variar conforme a marca, é bom usá-la com moderação para não mascarar o gosto da fruta).
* Mexa a mistura, durante 8 dias. Proceda à filtragem dupla:
** Coe o licor com um coador de pano e prove-o para verificar o teor alcoólico.
* Tampe o vidro e deixe o licor descansar por 30 dias em repouso total, para sedimentar possíveis impurezas.
* Então com ajuda de uma concha ou por sifonagem com um tubinho de plástico ou borracha, retire o licor que permaneceu em repouso, para uma nova filtragem. Desta vez use um filtro de papel ou um funil com um chumaço de algodão.
# Livro de receitas/Lentilha refogada

Existem várias maneiras de preparar:

## Lentilha refogada - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 200 gramas de lentilhas --
* Cebola ralada grossa, a gosto;
* 2 colheres (sopa) de óleo de soja;
* 1 folha de louro;
* Sal e água.
    Preparo:
* Escolha bem as lentilhas e lave-as e deixe de molho, por um bom tempo, para amaciarem.
* Ponha as lentilhas para ferverem (colocando duas vezes o seu volume em água), junto com a folha de louro.
* Quando estiverem cozidas, faça um refogado de cebola e óleo de soja, junte as lentilhas e deixe ferver por mais alguns minutos.
* Sirva como feijão.