# Análise real/Topologia da reta

Conceitos da topologia da reta que serão usados na Análise Real. Nota: para usar uma analogia com a geometria, um número real x também será chamado de um ponto x.

## Conjunto aberto
### Vizinhança

* Seja X um conjunto real, a vizinhança de um elemento x de X são todos os elementos y que estão próximo de x a um "raio" $\epsilon \;$, isto é, $|x-y|$ deve ser menor estrito a $\epsilon \;$. Portanto $V_{\epsilon }(x)=\{y\in \mathbb {R} ;|x-y|<\epsilon \}=B(x,\epsilon )=(x-\epsilon ,x+\epsilon )=\{y\in \mathbb {R} ;x-\epsilon <y<x+\epsilon \}$
* $\bigcap _{\forall \epsilon >0}V_{\epsilon }(x)=\{x\}$
* Tome $x,y\in X,x\neq y\Rightarrow \exists \;\epsilon >0;V_{\epsilon }(x)\cap V_{\epsilon }(y)=\emptyset$

#### Teorema da Vizinhança Interna

Tome $x\in X,\delta <\epsilon \Rightarrow V_{\delta }(x)\subset V_{\epsilon }(x)$

##### Prova

Tome $y\in V_{\delta }(x)\Rightarrow |y-x|<\delta$, como $\delta <\epsilon \Rightarrow |y-x|<\delta <\epsilon \Rightarrow y\in V_{\epsilon }(x)$

### Ponto interior

Um ponto x é dito ponto interior de um conjunto $X\subset \mathbb {R} ,$ se, e somente, se $\exists \;V_{\epsilon }(x)\subseteq X$
Usamos a notação $int(X)\,$ para denotar o conjunto de todos os pontos interiores do conjunto $X\,$
* $Xfinito\Rightarrow int(X)=\emptyset$ ( A recíproca é falsa, por exemplo $int(\mathbb {Q} )=\emptyset$ )
* $int(X)=\{x\in X;V_{\epsilon }(x)\subset X,{\mbox{ para algum }}\epsilon >0\}$.
* $\exists V_{\epsilon }(x)\subset X\Rightarrow x\in int(X)$.

#### Exemplos

* Todo ponto x é um ponto interior de $\mathbb {R} \,$
* Todo número real x com a < x < b é um ponto interior do intervalo aberto (a, b). É fácil ver que nenhum outro ponto é ponto interior de (a, b); por exemplo, a não é ponto interior de (a, b) porque qualquer intervalo aberto em volta de a incluirá pontos menores que a.
* Analogamente, os pontos interiores do intervalo fechado [a, b] formam o intervalo aberto (a, b).
* Nenhum ponto é ponto interior de $\mathbb {N} \,,$ $\mathbb {Z} \,$ ou $\mathbb {Q} \,.$

### Fronteira de um conjunto

Dado $X\subset \mathbb {R}$. Um ponto $x\in \mathbb {R}$ é dito ponto da fronteira de $X\;$, se toda vizinhança de x intersecta $X{\mbox{ e }}\mathbb {R} -X\;$.
* $\forall \;\epsilon >0,V_{\epsilon }(x)\cap X\neq \varnothing {\mbox{ e }}V_{\epsilon }(x)\cap \mathbb {R} -X\neq \varnothing \Rightarrow x\in \partial X$
* Denotamos o conjunto dos pontos da fronteira do conjunto $A$ por $\partial A$.

### Definição de conjunto aberto

* Dizemos que um conjunto $X\subset \mathbb {R}$ é conjunto aberto se todos seus pontos forem pontos interiores, ou seja: $\forall \;x\in X,\exists \;\epsilon >0;V_{\epsilon }(x)\subset X.$
** $\forall x\in X,\exists \epsilon \;;V_{\epsilon }(x)\subset X\Rightarrow X$ é aberto.
* Dizemos que um conjunto $X\subset \mathbb {R}$ não é conjunto aberto se $\exists \;x\in X;\forall \;\epsilon >0;V_{\epsilon }(x)\not \subset X.$
* Um conjunto é aberto se $A\cap \partial A=\varnothing$.

#### Exemplos

* O intervalo aberto $(a,b)\subset \mathbb {R} ,$ com $a<b\;$ é aberto, de fato, dado $x\in (a,b),$ tomando $\epsilon =min\{x-a,b-x\}\;,$ temos que $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subset (a,b).$ Portanto, o intervalo aberto é, de fato, aberto.
* $[a,b)\subset \mathbb {R} ,$ com $a<b\;$ não é aberto, pois, qualquer que seja $\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\not \subset [a,b).$
* $(a,\infty )\subset \mathbb {R} ,$ é aberto, de fato, dado $x\in (a,\infty ),$ tomando $\epsilon =x-a,\;$ temos que $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subset (a,\infty ).$
* $(-\infty ,b)\subset \mathbb {R} ,$ é aberto, de fato, dado $x\in (-\infty ,b),$ tomando $\epsilon =b-x,\;$ temos que $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subset (-\infty ,b).$

### Propriedades dos conjuntos abertos

* Os conjuntos $\mathbb {R}$ e $\emptyset \,$ são abertos.
* A união de uma família arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
* A intersecção de uma família finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

#### Demonstração

1. Imediato da definição.
2.Seja $\{O_{\lambda }\}\,$ uma família de conjuntos abertos indexada pelo índice $\lambda \in \Lambda \,$ e seja:
    $O=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\,.$
Então se $x\in O\,,$ existe um $\lambda '\in \Lambda \,$ tal que $x\in O_{\lambda '}\,.$
Como $O_{\lambda '}\,$ é aberto, existe um intervalo $(a,b)\,$ com $a<b\,$ tal que:
    $x\in (a,b)\subseteq O_{\lambda '}\,$
Como $O_{\lambda '}\subseteq \bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\,,$ temos que:
    $x\in (a,b)\subseteq O\,$
E portanto $O\,$ é aberto.
3.Seja $\{O_{k}\}_{k=1}^{n}$ uma família finita de conjuntos aberto e seja $O=\bigcap _{k=1}^{n}O_{k}\,$ e $x\in O\,.$ Como $x\in O_{k},k=1,\ldots ,n\,$ e cada $O_{k}\,$ é aberto. Existem intervalos $(a_{k},b_{k})\,$ tais que:
    $x\in (a_{k},b_{k})\subseteq O_{k}\,$
Naturalmente vale que $a_{k}<x<b_{k}\,.$ Agora definimos:
    $a=\max\{a_{k}\}_{k=1}^{n}\quad b=\min\{b_{k}\}_{k=1}^{n}\,$
É fácil ver que $a<x<b\,$ e também que:
    $x\in (a,b)\subseteq O_{k},k=1,\ldots ,n\,$
e portanto:
    $x\in (a,b)\subseteq O\,.$
O que completa a demonstração.

### Lema

Seja $X\subset \mathbb {R}$. As aﬁrmativas abaixo são equivalentes.
* (1) X é aberto.
* (2) Todo ponto de X é ponto interior.
* (3) X é uma vizinhança de seus pontos.

#### DEMONSTRACÃO

Vamos mostrar que $(1)\Rightarrow (2)\Rightarrow (3)\Rightarrow (1).$
* Assumindo (1), Seja $x\in X\;$. Como por hipótese, X é aberto, temos que $\exists \;\epsilon >0,V_{\epsilon }(x)\subset X$. Logo x é ponto interior de X. Como x é arbitrário, obtemos (2).
* Seja agora (2) verdadeiro. Se $x\in X\;$, então por hipótese, x é ponto interior de X, i.e., $\exists \;\epsilon >0,V_{\epsilon }(x)\subset X$ existe um aberto em X contendo x. Logo, por deﬁnição, X é uma vizinhança de x e (3) vale.
* Finalmente, assumindo (3), tome para cada $x\in X\;$ um aberto $I_{x}\subset B$ tal que $x\in I_{x}$.
Então $X=\bigcup _{x\in B}I_{x}$ é aberto pois é união de abertos.

## Conjunto fechado
### Ponto aderente

Ponto aderente de um conjunto é definido como todo ponto a que é limite de uma sequência de pontos x$_n$ ∈ X ⊂ $\mathbb {R} .$
* Todo ponto a de um conjunto $X\,$ é também um ponto aderente, pois ele é o limite da sequência constante $x_{n}=a\,.$
* Um ponto aderente pode não pertencer ao conjunto, por exemplo, o conjunto $X:=\left\{1/n\right\}_{n=1}^{\infty }\,$ possui 0 como ponto aderente, mas 0 não pertence a X.

### Valor de aderência

valor de aderência de uma sequência é um ponto aderente do conjunto $\{x_{1},x_{2},...,x_{n},...\}.$
* O único valor de aderência de $\{x_{1},x_{2},...,x_{n},...\}\cup \{a=\lim x_{n}\}$ é a.

### Teorema

As seguintes afirmações são equivalentes:
* $a$ é ponto aderente de $X$
* Para todo $\epsilon >0\,,$ existe um ponto $x\in X\,$ tal que $\left|x-a\right|\leq \varepsilon$
* $B(a,\epsilon )\cap X\not =\varnothing \,$ para todo $\epsilon >0\,;$ Demonstração
1→2: Se a é um ponto aderente de X, por definição, existe um sequência $x_{n}\in X\,$ tal que $x_{n}\to a.$ Da definição de limite de sequências, para todo $\epsilon >0\,,$ existe um $x_{k}\,$ tal que $\left|x_{k}-a\right|\leq \varepsilon .$ Como $x_{k}\in X\,,$ basta definir $x=x_{k}\,$ e o resultado segue.
2→3:Suponha que $x\in X\,$ e $\left|x-a\right|\leq \varepsilon \,.$ Como $B(a,\epsilon )=\left\{x\in \mathbb {R} :|x-a|<\epsilon \right\},$ $x\in B(a,\epsilon )\,$ e o resultado segue.
3→1:Defina a sequência $x_{n}\,,$ escolhendo-os de forma que $x_{n}\in B(a,1/n)\cap X\,.$ Esta sequência tem a propriedade que $x_{n}\in X\,$ e $\left|x_{n}-a\right|<1/n\,,$ logo $x_{n}\to a\,$ e o resultado segue.

### Fecho

Define-se o fecho de um conjunto X como o conjunto dos pontos aderentes de X e denota-se por ${\bar {X}}:$
    ${\bar {X}}:=\left\{a\in \mathbb {R} :\forall \epsilon >0.B(a,\epsilon )\cap X\not =\varnothing \right\}$

#### Exemplos

* Os fechos de $\mathbb {R} \,$ e $\varnothing \,$ são eles mesmos
* O fecho do conjunto {1, 1/2, 1/3, ...} é o conjunto {0, 1, 1/2, 1/3, ...}
* Como cada número irracional pode ser arredondado com a precisão que se queira por números racionais, existe, para todo $x\in \mathbb {R} \,$ uma sequência de números racionais $q_{i}\,$ que converge para x. Ou seja, o fecho de $\mathbb {Q} \,$ é $\mathbb {R} \,$
* Uma sequência de números naturais (ou inteiros) só será convergente se ela for constante a partir de algum índice. Portanto, uma sequência de números naturais (ou inteiros), se converge, converge para um número natural (resp. inteiro). Ou seja, os fechos de $\mathbb {N} \,$ e $\mathbb {Z} \,$ são eles mesmos.
* O fecho de qualquer intervalo (a, b), (a, b], [a, b) ou [a, b], em que a < b, é o intervalo fechado [a, b]. É fácil ver que nenhum ponto x < a e nenhum ponto x > b pode ser ponto aderente; então basta provar que a é um ponto aderente de (a, b) (os demais casos são similares). Mas isto equivale a dizer que existe uma sequência com elementos em (a, b) que converge para a. Tomando-se a sequência a + 1, a + 1/2, a + 1/3, ..., é fácil ver que esta sequência converge para a. Então, por definição, para ε = b - a > 0, existe N tal que se n > N, então |a - (a + 1/n)| < ε. Reescrevendo, temos que para n > N, 1/n < b - a, ou seja, a + 1/n < b. Como a + 1/n > a, temos que $a+1/n\in (a,b)\,.$ Portanto, a sequência de elementos do intervalo (a, b) dada por a + 1/N, a + 1/(N + 1), a + 1/(N + 2), ... é uma sequência de elementos de (a, b) que converge para a.

### Definição de conjunto fechado

Um conjunto $X\,$ é dito conjunto fechado se e somente ele é igual ao seu fecho: $X={\bar {X}}\,$

#### Exemplos

* São fechados: $\mathbb {R} \,,$ $\varnothing \,,$ $\mathbb {N} \,,$ $\mathbb {Z} \,,[a,b],[a,\infty ),(-\infty ,b]$.
* Não são fechados: $\mathbb {Q} ,\mathbb {R} -\mathbb {Q} ,(a,b),(a,b],[a,b)$ .

### Teorema

Um conjunto é fechado se, e somente se, seu complementar for um conjunto aberto. De fato, este é talvez o principal teorema sobre conjuntos fechados. Nos estudos mais avançados da chamada "topologia geral", os fechados são usualmente definidos através desta caracterização.
a. Suponha que X seja um conjunto fechado e O seja o complementar de X nos reais:
    $O=\mathbb {R} \backslash X\,$
Suponha por absurdo que $O\,$ não seja um conjunto aberto, ou seja, suponha a existência de um ponto $x\in O\,$ tal que:
    $\forall \epsilon >0;B(x,\epsilon )\nsubseteq O\,$
Como $O\cup X=\mathbb {R} \,$ temos que
    $B(x,\epsilon )\nsubseteq O\Longrightarrow B(x,\epsilon )\cup X\neq \emptyset \,$
Esta propriedade implica que $x\in {\bar {X}}\,$ e como X é fechado,$x\in X\,,$ o que contraria a hipótese inicial de que $x\in O\,$ e $O=\mathbb {R} \backslash X\,.$
b. Suponha que X seja o complementar nos reais de um conjunto aberto O:
    $X=\mathbb {R} \backslash O\,$
Suponha a existência de uma sequência $x_{n}\in X\,$ tal que:
    $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x\,$
Queremos mostrar que $x\in X\,.$ Suponha, por absurdo, que $x\notin X\,,$ ou seja, $x\in O\,.$ Como O é aberto, exite uma bola $B(x,\epsilon )\subseteq O\,.$ Escolha $x_{N}\,$ tal que $\left|x_{N}-x\right|<\epsilon \,.$ Isso implica $x_{N}\in B(x,\epsilon )\subseteq O\,,$ o que é uma contradição, já que $x_{N}\in X\,.$

### Propriedades dos conjuntos fechados

* Os conjuntos $\mathbb {R}$ e $\emptyset \,$ são fechados.
* A intersecção de uma família arbitrária de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
* A união de uma família finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado.

#### Demonstração

1. $\emptyset \,$ é aberto. Pelo teorema "Um conjunto é fechado $\Leftrightarrow$ se, e somente se, seu complementar é aberto" o seu complementar é fechado, isto é, $\mathbb {R}$ é fechado.

## Densidade

$X\subset Y$. $X\;$ é denso em $Y\;$ logo:
* Dado $y\in Y\Rightarrow I_{y}\cap X\not =\emptyset ,\;$
* Dado $y\in Y\Rightarrow \exists \;x\in I_{y}\cap X\;$
* Dado $y\in Y\Rightarrow y\in {\overline {X}}\;$
* Dado $y\in Y\Rightarrow y=limx_{n},\forall \;(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X\;$

## Ponto de acumulação
### Ponto de acumulação

Seja X um subconjunto dos números reais. Dizemos que um ponto x pertencente aos reais é um ponto de acumulação se existe uma sequência $x_{n}\in X\,$ de pontos diferentes de x convergindo para x.
É claro da definição que todo ponto de acumulação é também um ponto de aderência. Deve-se observar que nem todo ponto de aderência é um ponto de acumulação. Por exemplo o conjunto $X=\{0\}\;$ possui um único elemento. Este elemento é um ponto de aderência, já que a sequência constante $x_{n}=0\,$ converge para ele, mas não é um ponto de acumulação, pois não existe nenhuma sequência de elementos de X diferentes de 0 convergindo para 0.
* x é ponto de acumulação se, $\forall \epsilon >0,X\cap (x-\epsilon ,x+\epsilon )\neq \{x\}.$
* x é ponto de acumulação se, $\forall \epsilon >0;\exists y\in X;0<|y-x|<\epsilon$

### Conjunto Derivado

X' é o conjunto chamado derivado, onde seus elementos são os pontos de acumulação de X, assim:
    $X'=\{x\in \mathbb {R} ;\forall \epsilon >0,X\cap (x-\epsilon ,x+\epsilon )\neq \{x\}\}=\{x\in \mathbb {R} ;\forall \epsilon >0;\exists y\in X;0<|y-x|<\epsilon \}$

### Ponto isolado

Define-se como ponto isolado de um conjunto X, um elemento $x\in X\,$ que não é ponto de acumulação.

### Conjunto discreto

Diz-se que $X\,$ é um conjunto discreto se todos os seus pontos forem isolados. O conjunto dos números naturais é um exemplo de conjunto discreto nos reais.

#### Teorema: Conjunto discreto é enumerável

Seja $X\subset \mathbb {R}$ um conjunto cujos pontos são todos isolados, então $|X|\leq |\mathbb {N} |$.

##### Demonstração

Uma vez que os pontos de $X$ são todos isolados, para cada $x\in X$ podemos fixar $\delta _{x}>0$ tal que $B_{\delta _{x}}(x)\cap X=\{x\}$. Agora $\mathbb {Q}$ é denso em $\mathbb {R}$, então $B_{\frac {\delta _{x}}{2}}(x)\cap \mathbb {Q} \neq \emptyset$.
Fixemos para cada $x\in X$ algum $q_{x}\in B_{\frac {\delta _{x}}{2}}(x)\cap \mathbb {Q}$ e definamos a função $\phi :X\to \mathbb {Q}$ por $\phi (x)=q_{x}$. Essa função é injetora, de fato, suponha que $\phi (x)=q=\phi (y)$ devemos ter que $d(x,q)<{\frac {\delta _{x}}{2}}$ e $d(y,q)<{\frac {\delta _{y}}{2}}$. Defina $\delta =\max(\delta _{x},\delta _{y})$, segue que $d(x,y)<d(x,q)+d(q,y)<{\frac {\delta _{x}}{2}}+{\frac {\delta _{y}}{2}}<\delta$, mas isso significa que ou $x\in B_{\delta }(y)\cap X\subset B_{\delta _{y}}(y)\cap X=\{y\}$ ou $y\in B_{\delta }(x)\cap X\subset B_{\delta _{x}}(x)\cap X=\{x\}$ e em ambos os casos concluímos que $x=y$.
Uma vez que $\phi :X\to \mathbb {Q}$ é injetora devemos ter $|X|\leq |\mathbb {Q} |=|\mathbb {N} |$ e portanto $X$ é enumerável.
Note que a mesma demonstração continua válida para espaços métricos que satisfazem o 3º axioma de enumerabilidade.

## Teorema de Bolzano-Weierstrass

Seja $X$ um conjunto infinito e limitado, então $X$ possui pelo menos um ponto de acumulação.

### Demonstração

Como X é um conjunto limitado, existe um intervalo finito $[a,b]\,$ tal que $X\subset [a,b]\,.$ Defina $M_{1}\,,$ o ponto médio deste intervalo:
    $M_{1}:={\frac {a+b}{2}}\,$
como $X=\left(X\cap [a,M_{1}]\right)\cup \left(X\cap [M_{1},b]\right)$ e X é um conjunto com infinitos pontos, podemos inferir que $\left(X\cap [a,M_{1}]\right)$ ou $\left(X\cap [M_{1},b]\right)$ possui infinitos pontos. Definimos então:
    : ${\begin{array}{lll}a_{1}=M_{1},&b_{1}=b,&{\hbox{se }}\left(X\cap [M_{1},b]\right){\hbox{for infinito;}}\\a_{1}=a,&b_{1}=M_{1},&{\hbox{c.c.}}\end{array}}$
E define-se $X_{1}:=X\cap [a_{1},b_{1}]\,,$ $X_{1}\,$ é novamente um conjunto infinito. Este processo pode ser aplicado recursivamente, definindo:
    $M_{n+1}:={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\,:$ ${\begin{array}{lll}a_{n+1}=M_{n+1},&b_{n+1}=b_{n},&{\hbox{se }}\left(X\cap [M_{n+1},b_{n}]\right){\hbox{for infinito;}}\\a_{n+1}=a_{n},&b_{n+1}=M_{n+1},&{\hbox{c.c.}}\end{array}}$
e, finalmente, $X_{n+1}:=X_{n}\cap [a_{n+1},b_{n+1}]\,,$ que será um conjunto de infinitos pontos. Observe que a sequência $a_{n}\,$ é não decrescente e limitada superiormente por b e a sequência $b_{n}\,$ é não crescente e limitada inferiormente por a. Daí, podemos inferir a existência dos limites:
    $\lim _{n\to \infty }a_{n}\,$ e $\lim _{n\to \infty }b_{n}\,.$
Como $b_{n}-a_{n}={\frac {b-a}{2^{n}}}\,,$ estes limites deve ser idênticos:
    $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=:x^{*}\,.$
Vamos mostrar agora que $x^{*}\,$ é um ponto de acumulação de X. Para isso, devemos mostrar que para todo $\epsilon >0\,$ o conjunto $B(x^{*},\epsilon )\cap X$ possui infinitos pontos. De fato, fixe $\epsilon >0\,$ e escolha n tal que:
    $b_{n}-a_{n}<\epsilon \,$
Como $x\in [a_{n},b_{n}]\,,$ temos que $[a_{n},b_{n}]\subseteq B(x^{*},\varepsilon )\,.$ Logo $B(x^{*},\epsilon )\cap X\supseteq [a_{b},b_{n}]\cap X=X_{n}.$ Como $X_{n}\,$ é infinito por construção, $x^{*}\,$ é um ponto de acumulação de X, o que completa a demonstração.

### Aplicação

Uma aplicação versão ligeiramente modificada e muito útil do teorema de Bolzano-Weierstrass é a seguinte:

## Teorema (Propriedade dos intervalos encaixantes)

Se $F_{n}\,$ é uma sequência de conjuntos fechados, limitados e não-vazios tais que $F_{n+1}\subseteq F_{n}\,,$ então a intersecção destes conjuntos é não vazia. Isto é:
    $\bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}\neq \emptyset \,;$ Demonstração
Como cada $F_{n}\,$ é não vazio é possível construir a sequência $x_{n}\,$ tal que:
    $x_{n}\in F_{n}\,$
Do fato de os conjuntos $F_{n}\,$ são limitados, passando a uma subsequência se necessário, pode-se supor $\{x_{n}\}\,$ é uma sequência convergente para algum real $x^{*}\,.$
De $F_{k}\subseteq F_{n}\,$ se $k\geq n\,,$ temos que $\{x_{n}\}_{n=k}^{\infty }\subseteq F_{k}\,$ e como cada um destes conjuntos é fechados, $x^{*}\in F_{k}\,$ para todo k. Daí temos que o limite $x^{*}\in \bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}\,$ e o resultado segue.

## Distância de um conjunto a um ponto

A distância de um conjunto até um ponto é um importante conceito na análise e permite uma nova caracterização para os pontos do fecho de um conjunto: um ponto $x\in \mathbb {R} \,$ pertence ao fecho ${\overline {S}}\,$ de um conjunto $S\,$ se e somente se a distância se $S\,$ ate $x\,$ é nula.
Definimos a distância entre um conjunto $S\subseteq \mathbb {R} \,$ e um ponto $x\in \mathbb {R} \,$ como o ínfimo da distância entre os pontos de S e o ponto x.
    ${\hbox{dist}}(S,x):=\inf _{y\in S}|x-y|\,$

### Propriedades

* ${\hbox{dist}}(S,x)>0\Longrightarrow x\notin S\,$
* ${\hbox{dist}}(S,x)={\hbox{dist}}({\overline {S}},x)\,$
* $x\in {\overline {S}}\Longleftrightarrow {\hbox{dist}}(S,x)=0\,;$ Demonstração
1. Se ${\hbox{dist}}(S,x)>0\,,$ todo ponto $y\in S\,$ tem a propriedade que:
    $|x-y|\geq {\hbox{dist}}(S,x)>0\Longrightarrow x\neq y\,$
e o resultado segue.
2. Do fato que $S\subseteq {\overline {S}}\,$ e da definição de ínfimo, temos:
    ${\hbox{dist}}(S,x)\geq {\hbox{dist}}({\overline {S}},x)\,$
Para provar a desiguldade inversa, fixe um ponto $x\in \mathbb {R} \,$ e defina
    $\delta :={\hbox{dist}}({\overline {S}},x)\,$
Da definição de ínfimo, podemos construir a sequência $\{y_{n}\}\,$ tal que
    $y_{n}\in {\overline {S}}{\hbox{ e }}|y_{n}-x|<\delta +1/n,~~n=1,2,3,\ldots \,$
Como $y_{n}\in {\overline {S}}\,,$ da definição de fecho de um conjunto, temos a existência de pontos $z_{n}\,$ tais que:
    $z_{n}\in S{\hbox{ e }}|z_{n}-y_{n}|<1/n\,$
Da desigualdade triangular, temos:
    $|z_{n}-x|\leq |z_{n}-y_{n}|+|y_{n}-x|<\delta +2/n\,$
Agora, basta estimar:
    ${\hbox{dist}}(S,x)\leq \inf _{n=1}^{\infty }|z_{n}-x|=\delta ={\hbox{dist}}({\overline {S}},x)\,$
E o resultado segue.
3. Resta-nos demonstrar que se $F\,$ é um conjunto fechado então ${\hbox{dist}}(F,x)=0\Longrightarrow x\in F\,$ Da definição de ínfimo, podemos construir a sequência $\{y_{n}\}\,$ tal que
    $y_{n}\in {\overline {S}}{\hbox{ e }}|y_{n}-x|<1/n,~~n=1,2,3,\ldots \,$
Da definição de limite, temos que:
    $\lim _{n\to \infty }y_{n}=x\,$
Como $F\,$ é um conjunto fechado, o limite $x\,$ da sequência $\{y_{n}\}\,$ deve pertencer a $F\,.$ Assim, o resultado segue.

## Conjuntos compactos

Um conjunto é dito compacto se toda sequência contida em X possui uma sub-sequência que converge para algum ponto de X.

### Todo compacto é fechado e limitado

a.Suponha que X não seja um conjunto fechado, então, por definição, existe uma sequência $x_{n}\in X\,$ que converge para um número real $x\notin X\,$. Como $\{x_{n}\}\,$ é convergente, todas as suas sub-sequências convergem para o mesmo limite x, portanto, nenhuma subsequência de $\{x_{n}\}$ converge para um ponto de X, logo X não pode ser compacto.
b.Suponha que X não seja um conjunto limitado. Então por definição, é possível construir uma sequência $x_{n}\in X\,$ tal que $|x_{n}|>n\,.$ Esta sequência não possui nenhuma sub-sequência convergente, logo X não pode ser compacto.

### Todo conjunto fechado e limitado é compacto

Suponha que X é fechado e limitado e seja $\{x_{n}\}\,$ uma sequência contida em X. A sequência $\{x_{n}\}\,$ é limitado, portanto, possui um sub-sequência convergente para um limite $x^{*}\,,$ como X é fechado, $x^{*}\in X\,,$ o que completa a demonstração.

## Compacidade no sentido de Heine-Borel

Seja $X\,$ um conjunto na reta e $\{O_{\lambda }\}\,$ um coleção de conjuntos abertos $O_{\lambda }\,$ indexados por um índice $\lambda \in \Lambda \,.$ Dizemos que $\{O_{\lambda }\}\,$ é uma cobertura de $X\,$ se:
    $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\supseteq X\,$

### Exemplos de cobertura

* A família de abertos $\left\{O_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\,$ dada por $O_{n}=(-n,n)\,$ é uma cobertura para o conjuntos dos número reais, $\mathbb {R} \,$
* A família de abertos $\left\{O_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\,$ dada por $O_{n}=(1-1/n,1+1/n)\,$ é uma cobertura do intervalo $(0,1)\,.$
* A família de abertos $\left\{O_{\lambda }\right\}\,$ dada por $O_{\lambda }=(-\lambda ,\lambda )\,,$ onde o índice $\lambda \,$ pertence a $(0,1)\,$ é uma cobertura do intervalo $(-1,1)\,.$

### Subcobertura

Seja $\{O_{\lambda }\},~~\lambda \in \Lambda \,$ uma cobertura de $X\,$ e $\Gamma \subseteq \Lambda \,.$ Dizemos que $\{O_{\gamma }\},~~\gamma \in \Gamma \,$ é uma subcobertura de $\{O_{\lambda }\},~~\lambda \in \Lambda \,$ se $\{O_{\gamma }\},~~\gamma \in \Gamma \,$ é também uma cobertura de X.

### Teorema de Heine-Borel

Um conjunto é compacto se e somente se possui a propriedade de Heine-Borel:
    Toda cobertura de abertos admite uma subcobertura finita.

#### Demonstração

Começamos demonstrando o seguinte lema:

#### Lema

Se um conjunto K possui a propriedade de Heine-Borel e $x\notin K\,,$ então ${\hbox{dist}}(K,x)>0\,;$ Demonstração
Define-se:
    $r(y)={\frac {|x^{*}-y|}{2}},\forall y\in \mathbb {R} ^{n}$
É claro que $r(y)>0\,$ para todo ponto $y\,$ em $K\,.$
Agora constróem-se os abertos:
    $O_{y}=B(y,r(y)),\forall y\in K,$ ou seja, a bola de centro y e raio $r(y)\,$
Eles formam uma cobertura para $K:$
    $K=\bigcup _{y\in K}\{y\}\supseteq \bigcup _{y\in K}O_{y}$
Usando a propriedade de Heine-Borel, estabelecemos a existência de um conjunto finito de pontos $y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\in K\,$ tais que:
    $K\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}O_{y_{k}}$
Da simples definição de $O_{y}\,,$ sabemos que eles são disjuntos das bolas centradas em $y^{*}\,$ de raio $r(y)\,:$
    $O_{y}\bigcap B(x^{*},r(y))=B(y,r(y))\bigcap B(x^{*},r(y))=\emptyset$
Define-se:
    $\delta =\min _{k=1}^{n}r(y_{k})\,$
temos:
    $O_{y_{k}}\bigcap B(x^{*},\delta )=B(y_{k},r(y_{k}))\bigcap B(x^{*},\delta )\subseteq B(y_{k},r(y_{k}))\bigcap B(x^{*},r(y_{k}))=\emptyset ,\forall k=1,\ldots ,n$
Tomando a união, temos:
    $K\bigcap \left(B(x^{*},\delta )\right)\subseteq \left(\bigcup _{k=1}^{n}O_{y_{k}}\right)\bigcap B(x^{*},\delta )=\emptyset$
O que completa a demonstração.

#### Todo conjunto de Heine-Borel é fechado

Seja K um conjunto com a propriedade de Heine-Borel e seja $x\notin K\,,$ pelo lema anterior ${\hbox{dist}}{K,x}>0\,$ e, portanto, $x\notin {\overline {K}}\,,$ isso significa que:
    $K^{c}\subseteq {\overline {K}}^{c}\Longrightarrow {\overline {K}}\subseteq K\,$
e portanto K é fechado.

#### Todo conjunto de Heine-Borel é limitado

Seja K um conjunto com a propriedade de Heine-Borel. Considere a seguinte cobertura de K:
    $K\subseteq \mathbb {R} =\bigcup _{n=1}^{\infty }(-n,n)\,$
Da propriedade de Heine-Borel, podemos extrair uma subcobertura finita tal que:
    $K\subseteq \bigcup _{n=1}^{N}(-n,n)=(-N,N)\,$
Logo K é limitado.

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