# Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/F6

* Teoria
* Voltar para a lista de exercícios resolvidos

## Enunciado

Uma bomba centrífuga, cuja eficiência é de 80%, possui rotor de diâmetro 20 cm e bombeia água a 1170 rpm e a uma vazão de 1500 litros por minuto. A velocidade específica da bomba é igual a 4.5.
* Determine a vazão resultante quando ela funcionar a 1750 rpm;
* Determine a elevação de carga obtida a 1170 e a 1750 rpm;
* Determine a potência de alimentação necessária a 1170 e a 1750 rpm;

## Dados do problema

| | 1 | 2 |
| ω | 1170 rpm | 1750 rpm |
| Φ | 1500 l/min | ? |
| h | ? | ? |
| P$_a$ | ? | ? |
Dados adicionais:
Eficiência da bomba (η) = 80 %
Diâmetro do rotor (D) = 20 cm
Densidade da água (ρ) = 1000 kg/m$^3$
Velocidade específica (ω$_e$) = 4.5

## Solução

Pelas leis de bombas
${\frac {\Phi _{m}}{\omega _{m}D_{m}^{3}}}\;=\;{\frac {\Phi _{o}}{\omega _{o}D_{o}^{3}}}\;\;\;\Rightarrow \Phi _{2}\;=\;\Phi _{1}{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\left({\frac {D_{2}}{D_{1}}}\right)^{3}\;=\;\Phi _{1}{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}$
$\;=\;1500\;l/min\;{\frac {1750\;rpm}{1170\;rpm}}\;=\;2200\;l/min$
Da definição de velocidade específica
$\omega _{e1}\;=\;\omega _{1}{\sqrt {\frac {\Phi _{1}}{\sqrt {h_{1}^{3}}}}}\;\;\;\Rightarrow h_{1}\;=\;{\sqrt[{3}]{\left({\frac {\omega _{1}{\sqrt {\Phi _{1}}}}{\omega _{e1}}}\right)^{4}}}$
$h_{1}\;=\;{\sqrt[{3}]{\left({\frac {1170\;rpm\;{\sqrt {1500\;l/min}}}{4.5}}\right)^{4}}}\;=\;{\sqrt[{3}]{\left({\frac {1170\cdot {\frac {2\cdot 3.1}{60}}\;rd/s\;{\sqrt {1500\cdot {\frac {0.001}{60}}\;m^{3}/s}}}{4.5}}\right)^{4}}}\;=\;6.9\;m$
$h_{2}\;=\;{\sqrt[{3}]{\left({\frac {1750\;rpm\;{\sqrt {2200\;l/min}}}{4.5}}\right)^{4}}}\;=\;{\sqrt[{3}]{\left({\frac {1750\cdot {\frac {2\cdot 3.1}{60}}\;rd/s\;{\sqrt {2200\cdot {\frac {0.001}{60}}\;m^{3}/s}}}{4.5}}\right)^{4}}}\;=\;15\;m$
A elevação de carga também poderia ter sido calculada por meio das leis de bombas
${\frac {h_{o}}{\omega _{o}^{2}D_{o}^{2}}}\;=\;{\frac {h_{m}}{\omega _{m}^{2}D_{m}^{2}}}\;\;\;\Rightarrow h_{2}\;=\;h_{1}\left({\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)^{2}\;\left({\frac {D_{2}}{D_{1}}}\right)^{2}\;=\;h_{1}\left({\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)^{2}$
$h_{2}\;=\;6.9\;m\;\left({\frac {1750\;rpm}{1170\;rpm}}\right)^{2}\;=\;15\;m$
A potência mecânica entregue pela bomba é dada por
$P\;=\;{\frac {\Delta E}{\Delta t}}\;=\;{\frac {\Delta (mgh)}{\Delta t}}\;=\;gh{\frac {\Delta m}{\Delta t}}\;=\;gh\Phi _{m}\;=\;gh\rho \Phi$
onde Φ$_m$ é a vazão mássica do fluido. Assim
$P_{a1}\;=\;{\frac {P_{1}}{\eta _{1}}}\;=\;{\frac {\rho gh_{1}\Phi _{1}}{\eta _{1}}}\;=\;{\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot 6.9\;m\cdot 1500\;l/min}{0.8}}$
$P_{a1}\;=\;{\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot 6.9\;m\cdot 1500\cdot {\frac {0.001}{60}}\;m^{3}/s}{0.8}}\;=\;2100\;W$
Novamente pelas leis de bombas
${\frac {P_{m}}{\rho _{m}\omega _{m}^{3}D_{m}^{5}}}\;=\;{\frac {P_{o}}{\rho _{o}\omega _{o}^{3}D_{o}^{5}}}\;\;\;\Rightarrow P_{2}\;=\;P_{1}\;{\frac {\rho _{2}\omega _{2}^{3}D_{2}^{5}}{\rho _{1}\omega _{1}^{3}D_{1}^{5}}}$
$P_{a2}\;=\;{\frac {P_{2}}{\eta }}\;=\;{\frac {\rho _{1}gh_{1}\Phi _{1}}{\eta }}\;\left({\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)^{3}\;=\;{\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot 6.9\;m\cdot 1500\;l/min}{0.8}}\;\left({\frac {1750\;rpm}{1170\;rpm}}\right)^{3}$
$\;=\;{\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot 6.9\;m\cdot 1500\cdot {\frac {0.001}{60}}\;m^{3}/s}{0.8}}\;\left({\frac {1750\;rpm}{1170\;rpm}}\right)^{3}\;=\;7000\;W$
A potência também poderia ter sido calculada pela expressão alternativa
$P_{2}\;=\;\rho _{2}gh_{2}\Phi _{2}\;\;\;\Rightarrow P_{a2}\;=\;{\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot 15\;m\cdot 2200\;l/min}{0.8}}$
$\;=\;{\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot 15\;m\cdot 2200\cdot {\frac {0.001}{60}}\;m^{3}/s}{0.8}}\;=\;7000\;W$