# Matemática elementar/Função quadrática

Observe o exemplo que segue:
${\tfrac {4}{\pi }}$
A resposta para este problema é uma função quadrática, que pode ser deduzida pelo seguinte modo:
    $V=r^{2}\pi h\to {\frac {4}{25}}={\frac {4r^{2}\pi }{\pi }}\to r={\frac {1}{5}}$
    ${\frac {4}{25}}+y={\frac {4\pi ({\frac {1}{5}}+x)^{2}}{\pi }}$
    ${\frac {4}{25}}+y={\frac {4}{25}}+4x^{2}+{\frac {8x}{5}}$
    $y={\frac {20x^{2}+8x}{5}}$
Que é a solução para o problema. A presença da variável x no segundo grau (x$^2$) caracteriza a função como quadrática (ou de segundo grau). O expoente 2 caracteriza o contradomínio por uma progressão geométrica. Tenha como exemplo a função anteriormente encontrada:
| x | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| y | 184,8 | 134,4 | 92 | 57,6 | 31,2 | 12,8 | 2,4 | 0 | 5,6 | 19,2 | 40,8 | 70,4 | 108 | 153,6 | 207,8 |
Diferentemente da função afim (em que para cada x há um valor y), na função do segundo grau os valores y se repetem. Trata-se, portanto, de uma função sobrejetora e par.

## Função quadrática

A expressão geral da função do segundo grau é
    $f(x)=ax^{2}+bx+c$
Em que a e b são os coeficientes de x$^2$ e x, respectivamente, e c é o coeficiente independente.

### Gráfico

Para traçar o gráfico no plano cartesiano, é necessário, ao menos, três soluções para f(x). Desta forma, a equação do segundo grau origina uma parábola, que é formada pelo corte vertical de um cone. A parábola pode ter concavidade voltada para cima (para a > 0) ou para a parte de baixo (para a < 0), como é mostrado nos exemplos a baixo:
| Gráfico f(x) = x$^2$, em que a concavidade está para cima. | Gráfico f(x) = -x$^2$ + 2x, em que a concavidade está para baixo. |
Além disso, você deve notar que para f(0), obtêm-se o ponto (0, c), em f(x) = ax$^2$ + bx + c:
    $f(0)=0^{2}a+0b+c$
Portanto, diz-se que o coeficiente independente c é o ponto no eixo das ordenadas em que passa a parábola. Note que nos gráficos anteriores, a ausência do coeficiente independente faz com que a parábola passe pelo eixo y no ponto zero.

#### Zeros

Sempre que encontramos um valor da variável x onde a função y (ou f(x)) é igual a zero, chamamos este valor de zero (ou raiz) da função. No gráfico, as raízes representam os pontos (x, 0) - ou seja, aqueles em que a parábola intercepta o eixo das abcissas. Os zeros de uma função quadrática são no máximo dois, pois a forma fatorada da função quadrática é sempre:
$y=f(x)=(x-p)(x-q)$
Ou seja, só existem dois valores que podem anular o valor da função, que são p e q. Observe que para x igual a p ou q, o produto será zero. Entretanto, a função pode, também, ter apenas uma raiz, ou também, nenhuma raiz real. O número exato de raízes reais da função quadrática é dado por seu discriminante (Δ):
    $\Delta =b^{2}-4ac$
Desta forma, se Δ > 0, f(x) tem duas raízes reais e distintas. Se Δ = 0, f(x) tem duas raízes reais idênticas. Se Δ < 0, f(x) possuirá duas raízes complexas distintas.
Os valores de p e q podem ser descobertos facilmente por:
| $p={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ | $q={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ |
Desta forma, os zeros da função podem ser conhecidos pela seguinte fórmula resumida:
    $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
É a chamada fórmula quadrática (erroneamente conhecida como fórmula de Bhaskara). Veja um exemplo em que foram calculadas as raízes de f(x) = -4x$^2$ + 3x + 1:
    $x={\frac {-3\pm {\sqrt {3^{2}-4\times (-4)\times 1}}}{2\times (-4)}}={\frac {-3\pm {\sqrt {25}}}{-8}}={\frac {-3\pm 5}{-8}}$
Assim, as raízes são descobertas alternando-se o sinal anterior a √Δ:
| $p={\frac {-3+5}{-8}}=-{\frac {1}{4}}$ | $q={\frac {-3-5}{-8}}=1$ |

#### Vértice

O vértice é o único ponto x da função f(x) em que um determinado valor y não se repete. Ele pode ser obtido pela média aritmética de quaisquer valores x desde que determinem o mesmo y. As raízes, por exemplo, podem ser utilizadas para tal efeito. Considerando (x; y) as coordenadas do vértice de f(x), podemos encontrar o vértice do exemplo anterior:
    $x={\frac {-{\frac {1}{4}}+1}{2}}={\frac {-1+4}{8}}={\frac {3}{8}}$
O valor y é obtido pela substituição de x na equação original (y = -4x$^2$ + 3x + 1):
    $y=-4\left({\frac {3}{8}}\right)^{2}+3{\frac {3}{8}}+1=-4{\frac {9}{64}}+{\frac {9}{8}}+1={\frac {-36}{64}}+{\frac {72}{64}}+{\frac {64}{64}}={\frac {100}{64}}={\frac {25}{16}}$
Outra forma de se calcular as coordenadas (x; y) do vértice, é utilizando as seguintes fórmulas:
| $x={\frac {-b}{2a}}$ | $y={\frac {-\Delta }{4a}}$ |
Exemplo: quais as coordenadas do vértice de y = x$^2$ + 4x + 1?
| $x={\frac {-4}{2\times 1}}=-2$ | $y={\frac {-(4^{2}-4\times 1\times 1)}{4\times 1}}=-3$ |

#### Elementos da parábola

A parábola é construída a partir de um foco e de uma diretriz.

### Função dados três pontos

Dados três pontos quaisquer de um plano em que a mesma parábola os une, então é possível descobrir a função por dois métodos: por um sistema linear ou pela regra de Cramer. Mostraremos a resolução somente pelo sistema de equações, deixando o método de Cramer a cargo do leitor. Consideraremos os pontos z$_1$ = (x$_1$; y$_1$), z$_2$ = (x$_2$; y$_2$) e z$_3$ = (x$_3$; y$_3$) pertencentes à parábola. Dá-se a equação, então, por:
    $f(x)={\begin{cases}ax_{1}^{2}+bx_{1}+c=y_{1}\\ax_{2}^{2}+bx_{2}+c=y_{2}\\ax_{3}^{2}+bx_{3}+c=y_{3}\end{cases}}$
Exemplo: qual a equação da parábola que passa pelos pontos z$_1$ = (2; 6), z$_2$ = (-1; -3) e z$_3$ = (-2; 2)?
    ${\begin{cases}2^{2}a+2b+c=6\\(-1)^{2}a-b+c=-3\\(-2)^{2}a-2b+c=2\end{cases}}\quad \to {\begin{cases}4a+2b+c=6\\a-b+c=-3\\4a-2b+c=2\end{cases}}$
Multiplicaremos a terceira equação por -1 e somá-la-emos às duas primeiras:
    ${\begin{cases}4a+2b+c=6\\a-b+c=-3\\-4a+2b-c=-2\end{cases}}\quad \to {\begin{cases}4b=4\\-3a+b=-5\end{cases}}\quad \to {\begin{cases}b=1\\-3a+1=-5\end{cases}}\quad \to {\begin{cases}b=1\\a=2\end{cases}}$
Substituindo-se a por 2 e b por 1 em uma das equações, obteremos c = - 4. Assim, a equação desta parábola é y = 2x$^2$ + x - 4.

## Exercícios

* Ver Funções quadráticas/Exercícios

## Referências

* ↑ Fórmula de Bháskara. Por José Roberto Lessa. InfoEscola, 24 de abril de 2018.