# Cálculo (Volume 3)/Imprimir

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# Sequências numéricas infinitas
## Conceitos Iniciais

Uma sequência pode ser entendida como um conjunto de valores enumerados em uma ordem, de forma a estabelecer uma lista. Esta lista é, usualmente, denotada como $a_{n}$, genericamente devido ao fato de que cada elemento pode ser identificado pela posição na lista. Temos, por exemplo, $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\cdots a_{n}$, como uma representação de uma sequência.

### Representação

Para se representar uma sequência, colocam-se os membros entre parênteses, seraparados por vírgulas (quando há números decimais na sequência, usa-se o ponto-e-vírgula). Exemplos:
$\,\!P.a.(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)$
$\,\!P.g.(1;0,5;0,25;0,125;0,0625;0,03125;0,015625;...)$
Vejamos alguns exemplos de sequências, notando que, a princípio, não há uma regra clara para estabelecimento de cada valor que os termos da mesma assumem:
$\{0,1,0,3,0,5,1,7\cdots \}$
$\left\{{\frac {1}{3}},{\frac {2}{9}},{\frac {3}{27}}\cdots \right\}$
$\left\{{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},{\frac {5\pi }{2}}\cdots \right\}$

### Fórmula do termo geral

Por vezes, uma sequência possui um padrão que permite criar uma fórmula do termo geral. É uma equação fundamental que determina os termos da sequência.
Em uma progressão aritmética, por exemplo, a fórmula do termo geral é:
$a_{n}=a_{1}+(n-1).r\,\!$
Apesar de não haver uma exigência de que haja uma equação que descreva o comportamento dos elementos de uma sequência, as sequências que mantem uma relação como regra para definição de seus termos são muito úteis para o estudo do comportamento numérico. De modo genérico, podemos dizer que o mais comum é estabelecer uma relação do numero que designa o ítem da sequência e o elemento. Por exemplo, podemos ter:
$a_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}$
Esta sequência nos fornece para cada termo a somatória dos números inteiros até o nésimo elemento da sequência. A função sequência tem um gráfico onde os valores são apresentados como pontos cuja magnitude é expressa em $y$ e o número do indice da sequência é expresso em $x$, vejamos o exemplo abaixo:
Podemos observar que os pontos representantes das amplitudes fazem com que o aspecto do gráfico de uma sequência seja diferente do conjunto contínuo que nos abituamos a observar em gráficos de funções. Enquanto a função se mantém definida para $\mathbb {R}$, a sequência define valores em $\mathbb {N} ^{*}$.
Observando o gráfico da sequência, vemos que a medida que os números índice crescem as amplitudes se aproximam de um valor fixo em "y". Esta característica torna-se bastante útil para análise de tendências. Por este motivo vamos analisar estas sequências com maior atenção.

## Formalmente

Definição: Uma seqüência (em Portugal diz-se sucessão) é uma função onde o domínio é $\mathbb {Z} _{+}^{*}\,\!$ e cuja imagem é $\mathbb {R} \,\!$ ou $\mathbb {Z} \,\!$. $f:\mathbb {Z} _{+}^{*}\rightarrow \mathbb {R}$
É uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemento fica naturalmente seqüenciado. Uma seqüência é uma função com domínio igual ao conjunto dos números inteiros positivos (ou, o que é o mesmo, o conjunto dos números naturais não-nulos).
A seqüência dos inteiros positivos é: 1, 2, 3, ..., n - 1, n, n + 1, ... Cada número é um termo, com n sendo o enésimo termo. Denota-se a seqüência por: {a$_n$}; assim sendo, na lista de inteiros positivos acima, a$_1$ é 1, a$_{317}$ é 317, e a$_n$ é n.
A seqüência também é indicada por: a$_0$, a$_1$, a$_2$, ..., a$_n$, ... Os termos da seqüência fazem parte de um conjunto comumente indicado por S; Eles são uma seqüência em S.
Uma seqüência pode ter um número finito ou infinito de termos; portanto, pode ser uma seqüência finita ou uma seqüência infinita. Obviamente, é impossível enumerar ou explicitar todos os termos de uma seqüência infinita. seqüências infinitas são dadas listando-se seus primeiros termos e colocando um sinal de reticências donde, com costumeira sorte, se depreende a regra formadora do restante da seqüência.
Formalmente, uma seqüência pode ser definida como uma função de $\mathbb {N}$ (o conjunto dos números naturais) em S.
Se S for o conjunto dos inteiros, então trata-se de uma seqüência inteira. Se for um conjunto de polinômios, então é uma seqüência polinomial.
Uma subseqüência de uma seqüência S é formada removendo-se alguns elementos de S sem mudar a posição relativa dos elementos restantes.
Alternativamente, pode-se definir uma seqüência de modo recursivo. Consiste em se definir alguns termos iniciais e, a partir daí, atribui-se uma regra que a cada novo termo depende de um ou mais termos antecedentes. Talvez o exemplo mais famoso seja o da seqüência de Fibonacci.
A soma de uma seqüência é chamada de série matemática. Por exemplo:
    $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n-1}}}$
Notações:
OBS.: Utilizaremos mais a notação 4
OBS.: Estudaremos apenas seqüências que obedecem a uma lei de formação

## Evolução

As sequências evoluem, dependendo do seu número sequencial $n$, de diversas formas. Esta evolução pode ser classificada quando a equação da sequência é conhecida. Podemos, nestes casos, verificar se a evolução da fórmula leva a números em ordem crescente ou decrescente em um intervalo ou durante sua evolução completa, do primeiro elemento ao infinito.
Uma sequência é classificada como crescente quando, para cada $n$, temos $a_{n}<a_{n+1}$ e decrescente quando $a_{n}>a_{n+1}$. Este comportamento pode ser encontrado em um trecho em particular da evolução, delimitado por dois valores de $n$, ou em toda a evolução. Sob este contexto, uma sequência crescente ou decrescente pode ser chamada de monotônica quando apresenta apenas um dos comportamentos.
Vamos analisar a evolução da sequência: $a_{n}={\frac {n+1}{5n-2}}$
$a_{1}={\frac {1+1}{5(1)-2}}={\frac {2}{3}}$
$a_{2}={\frac {2+1}{5(2)-2}}={\frac {3}{8}}$
$a_{3}={\frac {3+1}{5(3)-2}}={\frac {4}{12}}={\frac {1}{3}}$
$a_{4}={\frac {4+1}{5(4)-2}}={\frac {5}{18}}$
$a_{5}={\frac {5+1}{5(5)-2}}={\frac {6}{23}}$
ou seja, temos:
$a_{n}=\left\{{\frac {2}{3}},{\frac {3}{8}},{\frac {1}{3}},{\frac {5}{18}},{\frac {6}{23}},\cdots \right\}$
Portanto, a sequência aparentemente indefinível algebricamente por uma expressão em função do índice, se mostra redutível a uma equação. Estas séries redutíveis a equações nos fornecem informações muito úteis, nos permitindo encontrar relações e regras que podemos usar na síntese de equações.

## Limites no infinito

Temos sequências que se aproximam de valores quando $n$ tende a aumentar indefinidamente, ou seja, quando o valor desta variável tende a infinito. Este comportamento é similar ao encontrado quando analisamos funções que tendem a valores quando levadas ao infinito. A única diferença entre funções e sequências, quando analisadas sob este aspecto, é o fato das sequências exigirem valores inteiros das variáveis, enquanto que funções admitem valores reais para as mesmas.
Uma vez que temos a evolução de valores de sequências similares a valores de funções, é plausível concluir que limites em valores estritamente limitados a números inteiros possam levar a análise de limites de forma semelhante. Então vejamos como esta análise pode ser conduzida:
Conforme fizemos o estudo de limites no infinito no Volume 1, temos $N$ como um número tomado sob a abscissa inteira, ou seja, um número inteiro. Uma vez que tomamos este número, façamos a sequência $a_{n}$ evoluir a números maiores e observamos que estes se aproximam de um valor $M$, quanto mais alto seja $N$ mais proximo de $M$ a sequência $a_{n}$ se estabelece:
$a_{n}>M$ sempre que $n>N$
Desta forma, os valores tomados para a sequência são inteiros e o número $M$ tem a única obrigação de estar definido para um valor $N$. Portanto, podemos arbitrar valores cada vez maiores para $M$ dentro do limite estabelecido. Neste intervalo, qualquer valor de $N$ inteiro leva a valores que se aproximam de $M$ por parte de $a_{n}$.
O fato de ser possível encontrar este limite nos reporta a informação de convergência, ou seja dizemos que uma sequência converge quando é possível encontar um limite no infinito, caso contrário dizemos que a sequência diverge. Portanto, podemos classificar as sequências como convergentes ou divergentes de acordo com a existência do limite no infinito ou sua inexistência.

## Limite de uma sequência

Definição: Dada uma seqüência ${a_{n}}\,\!$, dizemos que o número $L\in \mathbb {R} \,\!$ é o limite de ${a_{n}}\,\!$ para $n\rightarrow +\infty \,\!$ se, $\forall \quad \varepsilon \,\!$ > 0, $\exists N\,\!$ tal que $n\geq N\Rightarrow |a_{n}-L|\,\!$ < $\epsilon \,\!$.
Definição: Se a seqüência ${a_{n}}\,\!$ tem limite L, dizemos que ela é convergente e que converge a L. Caso contrário, dizemos que ela diverge.
Encontremos o limite quanto $n$ tende a infinito, para a sequênca do exemplo acima:
$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{5n-2}}$:
$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1+{\frac {1}{n}}}{5-{\frac {2}{n}}}}$
$\lim _{n\to \infty }a_{n}={\frac {1}{5}}$
Desta forma o resultado acima nos fornece a certeza de que podemos arbitrar valores para a variável de forma a conseguir a precisão que queiramos para a sequência e que sempre teremos valores mais próximos deste limite a medida que o valor da variável aumenta.

## Propriedades de sequências

Sejam $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ duas seqüências convergentes, isto é, $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A$ e $\lim _{n\to \infty }b_{n}=B$. Então:
* $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=A+B$
* $\lim _{n\to \infty }k\cdot (a_{n})=k\!\cdot \!A$
* $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=A\cdot B$
* $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {A}{B}},\quad B\neq 0$

## Subsequências

Definição: Dada uma seqüência $f:\mathbb {Z} _{+}^{*}\rightarrow \mathbb {R}$, as restrições de $f$ a subconjuntos de $\mathbb {Z} _{+}^{*}$ serão denominadas subseqüências de $f$.
Teorema: Se $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$, então toda subseqüência de $\{a_{n}\}$ converge para o mesmo limite L.
Teorema: Dada a seqüência $\{a_{n}\}$, se as subseqüências de ordem par e as subseqüências de ordem ímpar convergem para o mesmo valor L, então $\{a_{n}\}$ converge também para L.
Definição: Dada uma seqüência ${a_{n}}$, temos que:
* l é chamada de cota inferior se $l\leq a_{n},\forall n$
* L é chamada de cota superior se $L\geq a_{n},\forall n$
* ${a_{n}}$ é dita limitada se possui cota inferior e cota superior
Observações:
* Se $\{a_{n}\}$ é uma seqüência crescente ($a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \ldots$), então $a_{1}$ é uma cota inferior
* Se $\{a_{n}\}$ é uma seqüência decrescente ($a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \ldots$), então $a_{1}$ é uma cota superior
* Se $\{a_{n}\}$ é uma seqüência decrescente e seus termos são positivos ($a_{n}$ > $0$), então $a_{n}$ é limitada, $0\leq a_{n}\leq a_{1}$
Teorema: Toda seqüência monótona e limitada é convergente.

## Sequências monótonas e limitadas

Definição: Seja $\{a_{n}\}$ uma seqüência monótona:
* crescente, se $a_{n}\leq a_{n+1}$
* decrescentes, se $a_{n}\geq a_{n+1}$

# Séries numéricas infinitas
## Séries numéricas infinitas

Quando temos que representar um número de forma literal, por meio de equação infinita, podemos lançar mão de um recurso interessante, a série. Ela consiste de uma soma de parcelas literais significativas onde cada valor de parcela é um valor sequencial. Podemos dizer que a série é a somatória de uma sequência numérica simples, a qual se torna uma nova sequência.
Definição: Seja $\{a_{n}\}$ uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:
$\sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \,\!$
Observemos que $n$, como termo livre, pode assumir o valor que arbitremos, o que fornece um valor da série para cada valor inteiro que arbitremos. Assim, se tivermos um valor de série para cada $n$, temos uma nova seqUência gerada pela série.

### Seqüência das somas parciais

Seja $\sum a_{n}\,\!$ uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência ${S_{n}}\,\!$, onde
    $S_{1}=a_{1}\,\!$
    $S_{2}=a_{1}+a_{2}=S_{1}+a_{2}\,\!$
    $S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=S_{2}+a_{3}\,\!$
    $\vdots \,\!$
    $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=S_{n-1}+a_{n}\,\!$

### Série convergente

Definição: Seja $\sum a_{n}\,\!$ uma série e ${S_{n}}\,\!$ a sua seqüência de somas parciais.
* Se $\lim _{n\to \infty }S_{n}=S,|S|\,\!$ < $\infty \,\!$, a série é dita convergente e tem soma $S$;
* Caso contrário, a série diverge
Note que esta constatação não é tão clara para muitas das séries. Para estas, temos que recorrer a diversos recursos de análise matemática, dentre os mais conhecidos temos a indução.

### Critério do termo geral

Se $\sum a_{n}\,\!$ é uma série convergente, então $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0\,\!$

### Teste da divergência

Se $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0\,\!$, então a série $\sum a_{n}\,\!$ diverge.

### Séries geométricas

São séries do tipo $\sum a\cdot r^{n-1}\,\!$.
A série geométrica:
* Converge se e só se $a=0\,\!$ ou $|r|<1\,\!$.
* Se $a=0\,\!$, então $\sum a\cdot r^{n-1}=0\,\!$ (independentemente do valor de $r\,\!$). Se $|r|<1\,\!$, então $\sum a\cdot r^{n-1}={\frac {a}{1-r}}\,\!$.
A prova é feita por indução. Façamos um ensaio parcial da série, definindo as parcelas algebricamente:
$S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}$
Se multiplicarmos a equação por $r$:
$rS_{n}=ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}+ar^{n}$
Subtraímos as duas equações acima e obtemos:
$(1-r)S_{n}=a(1-r^{n})$
Finalmente, temos $r^{n}=0$ se $|r|<1$ e $lim_{n\to \infty }S_{n}$. O que nos revela que a série converge para:
$S_{n}={\frac {a}{1-r}}$

### Propriedades de séries

* Sejam $\sum a_{n}\,\!$ e $\sum b_{n}\,\!$ duas séries convergentes. Então $\sum (a_{n}\pm b_{n})\,\!$ = $\sum a_{n}\pm \sum b_{n}\,\!$ converge
* Se $\sum a_{n}\,\!$ converge (diverge) e $k\not =0\,\!$, então $\sum k\cdot a_{n}=k\sum a_{n}\,\!$ converge (respectivamente, diverge) (se $k=0\,\!$, então $\sum k\cdot a_{n}=0\,\!$ converge)
* Se $\sum a_{n}\,\!$ converge e $\sum b_{n}\,\!$ diverge, então $\sum (a_{n}\pm b_{n})\,\!$ diverge
* Sejam as séries $\sum a_{n}\,\!$ e $\sum b_{k}\,\!$ tais que $b_{k}=a_{n}\,\!$ a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento.

# Série geométrica
## Série Geométrica

A série geométrica é uma sequência numérica muito importante para a matemática e para o estudo do cálculo já que a partir dela pode-se expressar várias funções em séries de potência infinitas. Essa série também é chamada de progressão geométrica ou simplesmente PG (veja alguns exemplos no livro de matemática elementar). Referências a esta série podem ser encontradas no trabalho de Malthus e em várias formas da natureza como em conchas de caracóis.

### Formalização matemática

Termo geral
$a_{n}=c\cdot r^{n}.\,\!$
Onde c é uma constante qualquer.
Soma dos $n$ primeiros termos:
$S_{n}=c\sum _{k=0}^{n}r^{k}.\,\!$

## Ver também
# Séries de termos positivos
## Séries de termos positivos

$\sum a_{n};\,a_{n}>0,\forall n\,\!$

### Teste da integral

Seja $\sum a_{n}\,\!$ uma série de termos positivos. Seja $f(x)\,\!$ uma função positiva, contínua e decrescente para $x\geq 1\,\!$, e tal que $f(n)=a_{n}\,\!$, para $n\geq 1\,\!$. Então a série $\sum a_{n}=\sum f(x)=f(1)+f(2)+\ldots \,\!$:
* Converge, se $\int _{1}^{+\infty }f(x)\,dx\,\!$ convergir;
* Diverge, se $\int _{1}^{+\infty }f(x)\,dx\,\!$ divergir.

### Teste da comparação simples

Sejam $\sum a_{n}\,\!$ e $\sum b_{n}\,\!$, $a_{n},b_{n}\,\!$ > $0\,\!$, tais que $a_{n}\geq b_{n}\,\!$. Então:
* Se $\sum a_{n}\,\!$ converge, então $\sum b_{n}\,\!$ converge
* Se $\sum b_{n}\,\!$ diverge, então $\sum a_{n}\,\!$ diverge

### Teste da comparação por limite

Sejam $\sum a_{n}\,\!$ e $\sum b_{n}\,\!$, $a_{n},b_{n}\,\!$ > $0\,\!$, tais que $a_{n}\geq b_{n}\,\!$. Se:
* $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=k,k\neq 0\,\!$, então as séries têm o mesmo comportamento
* $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0\,\!$, então a série $\sum a_{n}\,\!$ converge se a série $\sum b_{n}\,\!$ converge
* $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty \,\!$, então a série $\sum a_{n}\,\!$ diverge se a série $\sum b_{n}\,\!$ diverge

### P-séries (Critério de Dirichelet)

Uma série do tipo $\sum {\frac {1}{n^{p}}}\,\!$ converge se p > 1 e diverge se $p\leq 1\,\!$. Essas séries são conhecidas como p-séries, e são comumente usadas em testes de comparação.

### Teste da razão (Critério de d'Alembert)

Seja $\sum a_{n}\,\!$ uma série, onde $a_{n}\,\!$ > $0\,\!$. Então:
$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=k\,\!$
* Se k < 1, a série converge
* Se k > 1, a série diverge
* Se k = 1, nada se pode concluir

### Teste da raiz (Critério de Cauchy)

Seja $\sum a_{n}\,\!$ uma série, onde $a_{n}\,\!$ > $0\,\!$. Então:
$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=k\,\!$
* Se k < 1, a série converge
* Se k > 1, a série diverge
* Se k = 1, nada se pode concluir

# Séries alternadas
## Séries alternadas

São séries da forma:
$\sum (-1)^{n+1}a_{n}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\ldots$
ou
$\sum (-1)^{n}a_{n}=-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}-\ldots$

### Teste de Leibniz

Seja a série alternada $\sum (-1)^{n+1}a_{n}$, $a_{n}$ > $0$. Se $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ e $a_{n}$ > $a_{n+1},\forall n$, então a série converge e a sua soma não ultrapassa o primeiro termo.

### Séries absolutamente convergentes

Uma série numérica $\sum a_{n}$ é absolutamente convergente se a série dos módulos, $\sum |a_{n}|=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots$, converge.
Teorema: Se uma série numérica $\sum a_{n}$ é absolutamente convergente, então é convergente.

### Séries condicionalmente convergentes

Uma série $\sum a_{n}$ convergente, mas não absolutamente convergente, é chamada de condicionalmente convergente.

### Teste da razão para convergência absoluta

Seja $\sum (-1)^{n}a_{n}$ uma série numérica. Então
$\lim _{n\to +\infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=k$
* Se k < 1, a série converge
* Se k > 1, a série diverge
* Se k = 1, nada se pode concluir

### Teste da raiz para convergência absoluta

Seja $\sum (-1)^{n}a_{n}$ uma série numérica. Então
$\lim _{n\to +\infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=k$
* Se k < 1, a série converge
* Se k > 1, a série diverge
* Se k = 1, nada se pode concluir

# Aplicação de séries alternadas no cálculo numérico
## Aplicação de séries alternadas no cálculo numérico

Definição: Dada uma série $\sum a_{n}$ que converge, cuja soma é S, a diferença entre S e a sua soma parcial de ordem n é chamada de resto.
Notação: $R_{n}=S-S_{n}$
Teorema: Seja $\sum (-1)^{n+1}a_{n},\,a_{n}$ > $0,\forall a_{n}$, uma série alternada convergente. Então o módulo do erro, $R_{n}$, cometido ao aproximarmos a soma da série S pela soma parcial $S_{n}$, é numericamente inferior ao elemento $a_{n+1}$, ou seja, $|R_{n}|$ < $a_{n+1}$

# Sequências e séries: Exercícios

* Suponha que a n-ésima soma parcial de uma série seja dada por $s_{n}=2-{\frac {1}{3^{n}}}$.
    a) Esta série converge? Em caso afirmativo, para qual valor?
    b) Qual é a fórmula do n-ésimo termo da série?
* Determine o valor para o qual as séries abaixo convergem:
    a) $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3}{4^{n}}}$
    b) $\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2}{e}}\right)^{n}$
    c) $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}-n}}$
    d) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{n-1}}{3^{n}}}$
* Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
    a) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$
    b) $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$
    c) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{2}+1}}$
    d) $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\ln n}}$
    e) $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{2^{n}}}$
    f) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \pi n}{n}}$
    g) $\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n\ln n-1}}$
* Determine se as séries abaixo convergem condicionalmente, convergem absolutamente ou divergem:
    a) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}$
    b) $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\ln n}{n}}$
    c) $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n}{(\ln n)^{2}}}$
    d) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{n}}{e^{n}-1}}$
    e) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sin ^{2}n}}$
    f) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{(2n)!}}$
    g) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}e^{1/n}}{\arctan n}}$

# Séries de potências
## Séries de potências

Uma série de potências é uma série do tipo $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-a)+a_{2}(x-a)^{2}+\ldots$ (série de potências de $x-a$), em que a e a$_n$ são constantes.
Observação: Note que não se trata de uma série numérica. Uma série desse tipo pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros valores. Assim, faz sentido falar em _domínio de convergência_, $D_{c}$, que é o conjunto dos valores de x que tornam a série convergente.
Teorema: Seja a série $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}$ com raio de convergência $r$, isto é, a série converge no intervalo aberto $(a-r,a+r)$. Então, chamando $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}$ de $f(x)$, temos:
* $f(x)$ é contínua em $(a-r,a+r)$
* $\exists f'(x)$ tal que $f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot a_{n}(x-a)^{n-1}$
* $\exists H(x)$ tal que $H(x)=\int \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}\right)dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(x-a)^{n+1}}{n+1}}$
Dica: Para determinar a soma de séries de potências, é comum partir de uma das seguintes séries:
$\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}}\quad {\mbox{se }}|x|$ < $1$
$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{x}$
Através de processos como substituição de variáveis, multiplicação, integração e diferenciação, efetuados em ambos os membros da igualdade, é possível chegar à série cuja soma queremos determinar.

# Equações diferenciais primeira ordem

Uma equação diferencial de primeira ordem é uma equação em que as incógnitas são funções e essa equação envolve a primeira derivada da incógnita. Assim, podemos definir uma equação diferencial de primeira ordem como:
F(t,y,y')=0
em que t é a variável independente, y é uma função dependente de t e ao mesmo tempo a incógnita da equação e y' é a primeira derivada de y.
Uma equação diferencial de primeira ordem pode ser classificada também de acordo com o seu tipo (ordinária ou parcial) e quanto a linearidade (linear ou não-linear).
Exemplo de equação diferencial de primeira ordem:
(t-3)y'+(5t+2)y+(2t²+t)=0
Esta é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem.