# Topologia/Espaços topológicos
## Topologia

Seja $X$ um conjunto não-vazio e $\tau$ um conjunto formado por partes de $X$. Se $\tau$ possuir as seguintes propriedades:
* $X,\varnothing \in \tau$;
* Se $A,B\in \tau$, então $A\cap B\in \tau$;
* Se $(A_{\lambda })_{\lambda \in L}$ é uma família tal que $A_{\lambda }\in \tau \ \forall \lambda \in L$, então ${\bigcup }_{\lambda \in L}A_{\lambda }\in \tau$;
dizemos que $\tau$ é uma topologia em $X$ e que o par $(X,\tau )$ é um espaço topológico. Chamamos os elementos de $\tau$ de abertos. Sendo $A$ um aberto, a $X-A$ chama-se um fechado, isto é, F é fechado se $X-F$ é um elemento da topologia.
Como se vê, a intersecção finita de abertos é um aberto e a união arbitrária de abertos é um aberto. Não se garante no entanto que a intersecção infinita de abertos seja um aberto. Como se verá, na maior parte dos casos não é assim.
Sendo τ$_1$, τ$_2$ duas topologias em X, diz-se que τ$_1$ é menor que τ$_2$ ou que τ$_2$ é maior que τ$_1$ se, e somente se, τ$_1$ ⊆ τ$_2$, isto é, um aberto segundo τ$_1$ é também aberto segundo τ$_2$.

### Exemplos

Seja X um conjunto. Então:
* $\{\emptyset ,X\}$ é uma topologia em $X$. Na verdade é a menor das topologias que se pode definir em $X$. A esta topologia chama-se a topologia indiscreta, antidiscreta ou topologia caótica em $X$.
* $\wp (X)$, o conjunto das partes de $X$, é uma topologia em $X$. Na verdade é a maior das topologias que se pode definir em $X$. A esta topologia chama-se a topologia discreta em $X$.
* $\{X-A:A{\text{ é finito}}\}$ é uma topologia em $X$ que se chama topologia cofinita em $X$. Note-se que, se $X$ é finito, esta topologia no fim de contas é a topologia discreta. A topologia cofinita é um exemplo de topologia que não possui a propriedade de Hausdorff. Note que, se $X$ é finito, a topologia cofinita é a topologia discreta e se X é infinito não é possível construir uma topologia em que os abertos são finitos.
* $\{X-A:A{\text{ é parte contável de }}X\}$ é uma topologia em $X$ que se chama topologia cocontável. Note-se que, se $X$ é contável, esta topologia no fim de contas é a topologia discreta. Note ainda que, se $X$ é não-contável, não é possível construir uma topologia em que os abertos são contáveis.
* Seja $B_{r}(x):=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:\lVert x-y\rVert <r\}$. O conjunto $\tau =\{X\subset \mathbb {R} ^{n}:\forall x\in X,\exists r>0\mid B_{r}(x)\subset X\}$ é uma topologia sobre o conjunto $\mathbb {R} ^{n}$.

## "Topologia" segundo os fechados

Sejam X um espaço topológico e σ o conjunto dos fechados em X. Então:
* X,Ø ∈ σ;
* Para A,B ∈ σ, vem que $A\cup B\in \sigma$;
* Para uma família (A$_i$)$_i$ em σ, vem que ${\bigcap }_{i}A_{i}\in \sigma$.
Como se vê, os fechados seguem regras parecidas às que os abertos seguem, mas tendo em conta a complementação. Na verdade pode-se definir essa espécie de "topologia" começando por definir os fechados e definir mais tarde os abertos como os seus complementares.

## $F_{\sigma }$ e $G_{\delta }$

Sendo X espaço topológico, às uniões contáveis de fechados chama-se F$_σ$ e às intersecções contáveis de abertos chama-se G$_δ$. Em geral um F$_σ$ não é fechado e um G$_δ$ não é aberto, no entanto um fechado é um F$_σ$ e um aberto é um G$_δ$.
Note-se que a união contável de F$_σ$ 's é um F$_σ$, a intersecção arbitrária de F$_σ$ 's é um F$_σ$, a união arbitrária de G$_δ$ 's é um G$_δ$ e a intersecção contável de G$_δ$ 's é um G$_δ$.
A união finita de fechados é um fechado. Mas se se passar à união numerável, pode já não ser. Aqui não se quis considerar a união arbitrária de fechados. O que sucederia em tal caso? Em Topologia, como se verá, considerar famílias contáveis ou incontáveis de objectos topológicos delineia uma raia muito importante. Quando, para descrever e trabalhar numa topologia, basta apenas considerar famílias contáveis de objectos, tem-se uma topologia na qual é muito fácil trabalhar. Quando famílias contáveis não chegam, depara-se a todo o momento com problemas intratáveis.
Para aquilo que é a maioria das aplicações da Topologia, na Análise em particular, as topologias que verificam um certo grau de contabilidade são mais do que suficientes.