# Álgebra abstrata/Monóides e grupos
## Monóide e Grupo

Definição geral: Monóide é um conjunto com a propriedade associativa e uma unidade, enquanto Grupo é um monóide ao qual todos os elementos têm inversos relativos a unidade.

## Monóide

Um Monóide é um triplo $(M,\cdot ,1)\;$ na qual M é um conjunto não-vazio, $\cdot$ é uma composição binária associativa em M e 1 é um elemento unidade de M tal que $1\cdot a=a=a\cdot 1\;$ para todo a em M.
Se retirarmos a hipótese que $\cdot \;$ é associativo temos um Monad. Ou se tirarmos a hipótese que possui uma unidade 1, teremos um conjunto com uma composição binária ao qual chamamos de semi-grupo. Assim Monóide é um semi-grupo com unidade.
Um monóide é dito finito se ele possui uma número finito de elementos.

### Exemplo 1 de Monóide

Seja M(S) o conjunto de todas as aplicações de S em si mesma; $1_{S}:S\mapsto S(s\mapsto s),s\in S$ uma aplicação identidade.
    Exemplo: Seja $\alpha ,\beta ,\gamma :S\mapsto S\;e\;S=\{1,2\};$
$M(S)={\Bigg \1_{S}={\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}},\alpha ={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}},\beta ={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}},\gamma ={\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}}{\Bigg \}},\;{\begin{array}{|c|cccc|}\hline \circ &1_{S}&\alpha &\beta &\gamma \\\hline 1_{S}&1_{S}&\alpha &\beta &\gamma \\\alpha &\alpha &1_{S}&\gamma &\beta \\\beta &\beta &\beta &\beta &\beta \\\gamma &\gamma &\gamma &\gamma &\gamma \\\hline \end{array}}$
M(S) é um exemplo de um monóide, que é um conjunto não-vazio, com uma composição binária associativa e uma unidade. M(S) é o monóide de todas as transformações do conjunto S.

### Exemplo 2 de Monóide

    $(\mathbb {N} ,+,0),(\mathbb {N} ,\cdot ,1),(\mathbb {I} ,\cdot ,1),(\mathbb {Z} ,+,0),(P(S),\cup ,\varnothing ),(P(S),\cap ,S)\;$
em que $\mathbb {I} \,$ é o conjunto dos números naturais ímpares e P(S) é o conjunto das partes de S.

### Fechado

Seja $(N,\cdot ,1)$ e $(M,\cdot ,1)$. Quando dizemos que N é fechado sobre o produto em M significa que $n_{1}\cdot n_{2}\in N,\;\forall \;n_{1},n_{2}\in N$.
Exemplo da expressão N é fechado sobre o produto em M.
    no monóide $(\mathbb {N} ,+,0)$, o subconjunto dos números pares é fechado sobre a operação binária, mas o subconjunto dos números ímpares não é.

### Submonóide

Um conjunto N é um Submonóide de M, se (i) N é um subconjunto do monóide M, (ii) N contém a unidade de M e (iii) N é fechado sobre o produto em M
Exemplos de Submonóide, sendo $\mathbb {I} \,$ o conjunto dos números naturais ímpares:
    $(\mathbb {I} ,\cdot ,1)$ é um submonóide de $(\mathbb {N} ,\cdot ,1)$, por sua vez, é um submonóide de $(\mathbb {Z} ,\cdot ,1)$

## Grupo

Seja um monóide $(M,\cdot ,1)\;$. Um elemento u de M é dito inversível se existe um v em M, tal que, $u\cdot v=1\;$. Chamamos v de inverso de u e escrevemos $v=u^{-1}\;$. No caso em que a operação binária $\cdot \;$ for representada pelo símbolo de soma, +, representa-se o inverso por $v=-u\;$.
Um grupo G ( ou seja, $(G,\cdot ,1)\;$ ) é um monóide que têm todos os seus elementos inversíveis.
Grupo também pode ser definido como um triplo $(M,\cdot ,1)\;$ na qual M é um conjunto não-vazio, $\cdot \;$ é uma composição binária associativa em M, 1 é um elemento unidade de M tal que $1\cdot a=a=a\cdot 1\;$ para todo a em M e para todo u, existe um v tal que $u\cdot v=1\;$.
Em resumo, seja $(G,\cdot ,1)\;$. G é um grupo multiplicativo com unidade 1 quando:
    $\exists 1\in G\;tal\;que\;1\cdot g=g\cdot 1=g\;\forall \;g\in G$ (existe unidade)
    $g_{1},g_{2}\in G\implies g_{1}\cdot g_{2}\in G$ (fechado para multiplicação)
    $\forall \;g\in G\;\exists g^{-1}\;tal\;que\;g\cdot g^{-1}=g^{-1}\cdot g=1$ (todo elemento possui inverso)
    $g_{1}.g_{2},g_{3}\in G\;\implies g_{1}\cdot (g_{2}\cdot g_{3})=(g_{1}\cdot g_{2})\cdot g_{3}$ (composição binária associativa)

### Subgrupo

Um submonóide de um monóide (em particular, um grupo), é um sub-grupo se é um grupo.
Seja M um grupo e G um subconjunto de M. G é um sub-grupo de M se: (i) 1 está em G, (ii) G é fechado sobre o produto em M (iii)
Nota-se que para todo grupo $(''G'',''\cdot '',''1'')\;$, se M é um subconjunto de G, $\cdot \;$ é fechada em M e existe um elemento 1' de M tal que $(''M'',''\cdot '',''1''')\;$ seja um grupo, então 1 = 1' . Esta propriedade não vale para monóides, conforme exercício abaixo:
Exercício: Sejam S e T conjuntos de forma que S é um subconjunto próprio de T. Mostre que:
* $(P(S),\cap ,S)\,$ e $(P(T),\cap ,T)\,$ são monóides
* P(S) é um subconjunto de P(T)
* a operação de interseção em P(T), quando aplicada a elementos de P(S), retorna um elemento de P(S) (fechamento)
* as identidades nos dois monóides são diferentes

### Grupo Comutativo (Abeliano)

Um grupo é dito comutativo se dado dois elementos do grupo, a operação p entre eles de ambos os lados são iguais, i é, seja $u,v\in (G,\cdot ,1)\;$, onde $u\cdot v\;=\;v\cdot u$.

## Monóide e grupo de transformação
### Monóide de Transformação

Um submonóide do monóide M(S) é chamado de monóide de transformação (de S).

### Ordem de um monóide

É a cardinalidade do monóide.

### Grupos de Transformação

Seja U(M) o conjunto dos elementos inversíveis do monóide M. Assim se p(u, v) = 1, u,v estão em U(M), Como $1\cdot 1=1\;$, 1 está em U(M). U(M) é um submonóide de M. Nós podemos chamar U(M) de grupo dos elementos invertíveis de M, ou de grupo das unidades de M.
    Exemplo: Se $M=(\mathbb {Z} ,\cdot ,1),\;U(M)={1,-1}$, se $M=(\mathbb {N} ,\cdot ,1),\;U(M)={1}$
Seja M(S) um monóide de transformação de um conjunto não vazio. U(M(S)) é o grupo dos elementos inversíveis de M(S). Vejamos o elemento dado no começo dessa página. $M(S)={\Bigg \1_{S}={\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}},\alpha ={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}},\beta ={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}},\gamma ={\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}}{\Bigg \}},\;{\begin{array}{|c|cccc|}\hline \circ &1_{S}&\alpha &\beta &\gamma \\\hline 1_{S}&1_{S}&\alpha &\beta &\gamma \\\alpha &\alpha &1_{S}&\gamma &\beta \\\beta &\beta &\beta &\beta &\beta \\\gamma &\gamma &\gamma &\gamma &\gamma \\\hline \end{array}}$
    vemos que $1_{S}\;e\;\alpha$ são inversíveis e fechado para a composição, assim U(M(S)) = $\{1_{S},\alpha \}\;$. U(M(S)) é chamado de grupo de transformação (de S).

### Exemplo: M(S)

Exemplo: Seja S= {-1,0,1,}, qual é a ordem de $M(S)$ e de Sim S?
$M(S)={\Bigg \\chi ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&-1&-1\end{pmatrix}},\rho ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&-1&0\end{pmatrix}},\epsilon ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&-1&1\end{pmatrix}}{\Bigg \}}$
    ${\Bigg \\eta ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&0&-1\end{pmatrix}},1_{S}={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&0&1\end{pmatrix}},\sigma ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&1&-1\end{pmatrix}},...\psi ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}}{\Bigg \}}$

### Exemplo: U(M(S))

$U(M(S))={\Bigg \1_{S}={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&0&1\end{pmatrix}},\alpha ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix}},\beta ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&-1&1\end{pmatrix}},\gamma ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}}{\Bigg \}}$
    ${\Bigg \\delta ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix}},\theta ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&0&-1\end{pmatrix}}{\Bigg \}}\;{\begin{array}{|c|cccccc|}\hline \circ &1_{S}&\alpha &\beta &\gamma &\delta &\theta \\\hline 1_{S}&1_{S}&\alpha &\beta &\gamma &\delta &\theta \\\alpha &\alpha &1_{S}&\delta &\theta &\beta &\gamma \\\beta &\beta &\gamma &1_{S}&\alpha &\theta &\delta \\\delta &\delta &\theta &\alpha &1_{S}&\gamma &\beta \\\gamma &\gamma &\beta &\theta &\delta &1_{S}&\alpha \\\theta &\theta &\delta &\gamma &\beta &\alpha &1_{S}\\\hline \end{array}}$.

### Teorema

Se dado um monóide de todas as transformação de S(não-vazio), cuja ordem de S seja n, a ordem de M(S) é n$^n$. E se tomarmos somente os elementos inversíveis de M(S), ou seja, Sim S = U(M(S)), então sua ordem é n!.

#### Prova
### Grupo de Transformação

Def. Um subgrupo de um U(M(S)) (grupo simétrico de S) se chamará grupo de transformação. Um grupo G de transformação de um conjunto D é um grupo de transformação se, e somente se, consiste de aplicações bijetivas (i é,possui aplicações inversas) e G têm as propriedades de fechamento:
    $1=1_{S}\in G$
    $\alpha \circ \beta \in G,se\;\alpha ,\beta \in G$
    $\alpha ^{-1}\in G,se\;\alpha \in G$
    $\alpha \circ (\beta \circ \gamma )=(\alpha \circ \beta )\circ \gamma ,se\;\alpha ,\beta ,\gamma \in G$

## Teoria de Grupo

Acima consideramos que todas as transformações de U(M(S)) são bijetivas, agora vamos provar esse fato.
Teorema 1: Uma transformação de U(M(S)) é injetiva se, e somente se têm inverso à direita. É sobrejetiva se, e somente se, têm inverso à esquerda.
    i) Se $\alpha \;$ têm inverso à direita $\beta \;$, assim $\beta \circ \alpha =1_{S}\;$ e $t,t'\in S,\alpha (t)=\alpha (t')$ implica que:
    $t=1_{S}(t)=(\beta \circ \alpha )(t)=\beta \circ (\alpha (t))=\beta \circ (\alpha (t'))=(\beta \circ \alpha )(t')=1_{S}(t')=t'$
    logo $t,t'\in S,\alpha (t)=\alpha (t')\implies t=t'$
    ii)Se $\alpha \;$ têm inverso à esquerda $\gamma \;$, assim $u\in S,\;\alpha \circ \gamma =1_{S}\;$ temos que:
    $u=1_{S}(u)=(\alpha \circ \gamma )(u)=\alpha (\gamma (u))=\gamma (v)\in S,v\in S$
$\;$ Corolário 1: Uma transformação de U(M(S)) é bijetiva se, e somente se têm inverso à direita e à esquerda. E se houver ambos, ambos serão iguais.
    Seja $t\in S,s=1_{S}(s)=\beta (\alpha (s))=\alpha (\gamma (s)),$
    Como $\beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta \circ (\alpha \circ \gamma ))(s)=(\beta \circ \alpha \circ \gamma )(s)=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)$
    Logo $\beta (s)=\beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)=\gamma (s)$
Corolário 2: Uma transformação de U(M(S)) é bijetiva se, e somente se têm inverso à direita e à esquerda. E se houver ambos, ambos serão iguais.
    Seja $t\in S,s=1_{S}(s)=\beta (\alpha (s))=\alpha (\gamma (s)),$
    Como $\beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta \circ (\alpha \circ \gamma ))(s)=(\beta \circ \alpha \circ \gamma )(s)=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)$
    Logo $\beta (s)=\beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)=\gamma (s)$
Como $(\alpha \circ \beta \circ \alpha )(s)=\alpha (s)$, temos que a inversa da inversa de uma transformação é ela própria.
Teorema 2: O conjunto de todas as bijeções de um espaço qualquer S sobre S é um grupo de transformações
Teorema 3: Seja $t,u\in G(S,\cdot ,1),Se\;t\cdot a=u;b\cdot t=u$, então $a=t^{-1}\cdot u,b=u\cdot t^{-1}\;$

## Teoria de Subgrupo

Seja T um subconjunto de um grupo S. Se T é um subgrupo de S, então T é fechado pro operador de S e todo elemento tem inversa em T