# Logística/Gestão de existências/Encomendas únicas/Procura variável, tempo de aprovisionamento conhecido

De acordo com Tersine (1988, p.304-305) , quando e procura é variável e o tempo de aprovisionamento é conhecido, o problema de existências relacionado com as encomendas únicas consiste na definição do tamanho da encomenda. Se a procura não é conhecida, mas se disponibiliza de uma distribuição da probabilidade da procura, o problema pode ser resolvido com uma tomada de decisão sob risco. É seleccionado o tamanho da encomenda com maior lucro ou com o menor custo esperados.
O procedimento, para a tomada de decisão sob risco, é determinar a estratégia da procura que conduza a um valor óptimo esperado. A probabilidade da procura ser menor ou igual à quantidade única de encomenda, para uma distribuição discreta, é a seguinte:
${P(M\leq Q)}=\sum _{M=0}^{Q}P(M)=1-\sum _{M=Q+1}^{M_{max}}P(M)$,
onde
Q = quantidade da encomenda única, em unidades,
M = procura em unidades (uma variável aleatória),
P(M) = probabilidade de uma procura de M unidades,
$M_{max}$ = procura máxima, em unidades.
A probabilidade da procura exceder a quantidade de encomenda única, é:
${P(M>Q)}=\sum _{M=Q+1}^{M_{max}}P(M)=1-\sum _{M=0}^{Q}P(M)$.
O procedimento, para calcular o valor esperado para cada estratégia de procura discreta, $Q_{i}$, é:
$E(Q_{i})\,\!$ $=P(M_{0})F(Q_{i}M_{0})+P(M_{1})F(Q_{i}M_{1})+\cdots +P(M_{n})F(Q_{i}M_{n})$ $=\sum _{j=0}^{n}P(M)F(Q_{i}M_{j})$,
onde F(Q_iM_j) é o resultado da estratégica da procura, $Q_{i}$, quando a procura actual está no estado de natureza $M_{j}$. A determinação dos resultados pode assumir duas formas, consoante a quantidade encomendada ($Q_{i}$), é menor ou maior do que o nível da procura ($M_{j}$). Quando os resultados são expressos em termos de lucro ou benefício, aplicam-se as seguintes relações:
$F(Q_{i}M_{j})\,\!$ $=Q_{i}J\,\!$ para $Q_{i}\leq M_{j}$ (condição de ruptura de stock),
$F(Q_{i}M_{j})\,\!$ $=M_{i}J-(Q_{i}-M_{j})l\,\!$ para $\,\!Q_{i}>M_{j}$ (condição de excesso de stock),
onde
J = lucro ou benefício unitário,
l = perda por disponibilidade de stock não utilizado,
$Q_{i}$ = quantidade única de encomenda de i unidades,
$M_{j}$ = nível de procura de j unidades,
$Q_{i}-M_{j}$ = número de unidades em excesso de stock.
Quando os resultados são expressos em termos de custo ou sacrifício, aplicam-se as seguintes relações:
$F(Q_{i}M_{j})\,\!$ $=Q_{i}P\,\!$ para $Q_{i}\geq M_{j}$ (condição de excesso de produção),
$F(Q_{i}M_{j})\,\!$ $=Q_{i}P+(M_{j}-Q_{i})A\,\!$ para $\,\!Q_{i}<M_{j}$ (condição de subprodução),
onde
P = custo unitário,
A = custo de ruptura de stock, por unidade,
$(M_{j}-Q_{i})$ = tamanho da ruptura de stock, em unidades.
Análise (marginal) do benefício
Segundo Tersine (1988, p.307-308), a secção anterior delineou um apuramento exaustivo da perspectiva de cada quantidade de encomenda para determinar o tamanho do lote com o valor óptimo esperado. Embora o método seja aplicável à quantidade única de encomenda envolvendo unidades de procura discretas, pode ser um processo tedioso quando o número de alternativas é grande. Nesta secção, é desenvolvida uma relação de optimização mais simples para indicar a quantidade de encomenda mais rentável. O objectivo é determinar o tamanho da encomenda (Q) que deve ser comprado no início do período (assumido que não há stock inicial) para maximizar o benefício esperado no final do período:
benefício esperado (EP) = receita esperada (ER) - custo esperado (EC);
receita esperada (ER) = receita de vendas esperada + receita de segurança esperada,
$ER\,\!$ $=P_{1}{\BigQ-\textstyle \int \limits _{0}^{Q}(Q-M)f(M)dM\ {\Big ]}+V\textstyle \int \limits _{0}^{Q}(Q-M)f(M)dM$ $=P_{1}Q+(V-P_{1})\textstyle \int \limits _{0}^{Q}(Q-M)f(M)dM$;
custo esperado (EC) = custo de compra + custo de encomenda + custi de ruptura esperado,
$EC\,\!$ $=PQ+C+A\textstyle \int \limits _{Q}^{\infty }(M-Q)f(M)dM$,
$EP\,\!$ $=P_{1}Q+(V-P_{1})\textstyle \int \limits _{0}^{Q}(Q-M)f(M)dM-PQ-C-A\textstyle \int \limits _{Q}^{\infty }(M-Q)f(M)dM$ $=P_{1}Q+(V-P_{1})(Q-{\bar {M}})-(P_{1}-V+A)\times \textstyle \int \limits _{Q}^{\infty }(M-Q)f(M)dM-PQ-C$,
onde
A = custo de ruptura por unidade,
C = custo de encomenda, por cada encomenda realizada,
M = procura em unidades (uma variável aleatória),
f(M) = função da densidade de probabilidade da procura,
M - Q = tamanho da ruptura de stock, em unidades,
Q = quantidade da encomenda única, em unidades,
Q - M = quantidade de stock em excesso, em unidades,
P = custo de compra unitário,
P_1 = preço de venda unitário;
$P(M>Q)$ = probabilidade de uma ruptura de stock (probabilidade de haver uma procura superior a Q),
V = valor de segurança, por unidade,
$\textstyle \int \limits _{0}^{Q}(Q-M)f(M)dM$ = número de unidades em excesso (segurança) esperado,
$\textstyle \int \limits _{Q}^{\infty }(M-Q)f(M)dM$ = quantidade da ruptura de stock esperada, em unidades.
Para determinar o benefício máximo esperado, para uma distribuição contínua, é necessário derivar o benefício esperado em ordem à quantidade de encomenda e igualar a expressão a zero:
${\frac {dEP}{dQ}}\ =P_{1}+V-P_{1}+(P_{1}+A-V)P(M>Q)-P=0$,
$P(M>Q)\,\!$ $=P(s)\,\!$ $={\frac {P-V}{P_{1}+A-V}}$ $={\frac {ML}{MP+ML+A}}$ = probabilidade de ruptura de stock óptima,
onde
ML = P - V = perda marginal,
MP = $P_{1}-P$ = benefício marginal.
Análise da perda
Quando os itens são para uso interno, sem haver receita, a selecção do tamanho da encomenda única é baseada no menor custo esperado. Os componentes do custo são os custos por ordem, o custo de aquisição, custo de ruptura de stock e valor de segurança. A seguinte fórmula é relativa ao custo esperado para uma distribuição contínua:
custo esperado = custo de encomenda + custo de compra + custo de ruptura de stock esperado - segurança esperada,
$EC\,\!$ $=C+PQ+A\textstyle \int \limits _{Q}^{\infty }(M-Q)f(M)dM-V\textstyle \int \limits _{0}^{Q}(Q-M)f(M)dM$, $=C+PQ+(A-V)\textstyle \int \limits _{Q}^{\infty }(M-Q)f(M)dM+V({\bar {M}}-Q)$,
onde
C = custo de encomenda, por cada encomenda realizada ou custo de instalação,
P = custo de compra unitário,
Q = quantidade da encomenda única, em unidades,
A = custo de ruptura por unidade,
M = procura em unidades (uma variável aleatória),
M - Q = tamanho da ruptura de stock, em unidades,
f(M) = função da densidade de probabilidade da procura,
V = valor de segurança, por unidade.
Para determinar a perda mínima esperada, para uma distribuição contínua, é necessário derivar o custo esperado em ordem à quantidade de encomenda e igualar a expressão a zero:
${\frac {dEC}{dQ}}\ =P-(A-V)P(M>Q)-V=0$,
$P(M>Q)\,\!$ $=P(s)\,\!$ $={\frac {P-V}{A-V}}$ = probabilidade óptima de ruptura de stock.
É de observar que, se o custo de aquisição é igual ou superior ao custo de ruptura de stock, a probabilidade de ruptura desejada é 1. Nestas condições, nenhuma ordem seria instituída até existir uma procura conhecida. Além disso, se um item não tem valor de segurança, a probabilidade de ruptura de stock ideal é $P(s)={\frac {P}{A}}$. A expressão $1-P(s)\,\!$ é o nível de serviço e $P(s)\,\!$ é a probabilidade de ruptura de stock. Assim, se a procura para o item é normalmente distribuída com uma média conhecida ${\bar {M}}$ e desvio padrão $\sigma \,\!$, a seguinte expressão determina o menor custo esperado para a quantidade única de encomenda:
$Q_{0}={\bar {M}}+Z\sigma$ = tamanho óptimo da encomenda única,
onde Z é o desvio padrão normal obtido a partir da tabela normal, para uma probabilidade de ruptura de stock, $P(s)\,\!$ (Tersine, 1988, p.310-312) .