# Cálculo (Volume 1)/Derivadas
## Derivadas

Funções são criadas para refletir o comportamento de certos entes físicos ou estados de valores, porém existe outro meio para analisar o comportamento dos números, que não conhecemos. Trata-se da derivação, um processo destinado a analisar as variações no comportamento de um conjunto de dados numéricos, largamente utilizado hoje em dia.
Vamos criar os conceitos, desde o início, para entender como estão fundamentados os princípios de derivação. Com estes teremos meios de analisar vários problemas sob a ótica infinitesimal (das pequenas variações).

## Introdução (coeficientes angulares)

Seja uma reta definida pelos pontos $(x_{1},y_{1})$ e $(x_{2},y_{2}).$ Existe uma relação entre as coordenadas dos dois pontos que expressa a inclinação da reta;
Definimos como coeficiente angular de uma reta, a seguinte razão:
$m\ =\ {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$
O resultado desta relação é um número que expressa quanto a reta está inclinada comparada com o eixo x (da variável independente), pois quanto maior for o coeficiente angular de uma reta, mais próximo ela estará de ser uma reta vertical.
O coeficiente m é constante para qualquer segmento de uma reta fixada, e é visivelmente igual à tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo x.
Agora imagine o que teríamos se ao invés de uma reta tivéssemos uma curva... Em uma função para a qual os pontos do gráfico não acompanham uma linha reta, geralmente temos diferentes valores de m para cada par de pontos que tomamos para fazer o seu cálculo. Isto se deve ao fato de que a inclinação varia ao longo da curva, o que nos sugere que cada pequeno segmento da curva possui um m diferente.
Considerando uma função $f(x),$ teríamos sobre o seu gráfico os pontos:
$\left(x_{1},f(x_{1})\right)$
$\left(x_{2},f(x_{2})\right)$
Podemos denotar a distância de $x_{1}$ até $x_{2}$ por $\Delta x$, e deste modo:
$x_{2}=x_{1}+\Delta x$
Logo, teríamos:
$m={\frac {f(x_{1}+\Delta x)-f(x_{1})}{\Delta x}}$
Esta relação nos dá a inclinação de cada segmento de reta ligando um ponto $(x,f(x))$ a outro estabelecida pela distância $\Delta x,$ que nos fornece: $(x+\Delta x,f(x+\Delta x)).$ Imaginando que o gráfico da função seja uma "curva suave", podemos, a partir da equação anterior, encontrar os valores de m e verificar qual a inclinação aproximada da curva para cada ponto; note que quando diminuímos o módulo de $\Delta x$ a equação se torna mais precisa, no sentido de fornecer uma melhor aproximação para o coeficiente angular de um pequeno trecho da curva, pois cada segmento que é analisado se torna menor, logo temos condições de analisar mais segmentos da curva.

## Definição

Imaginemos que para cada par de pontos tenhamos uma reta, com seu respectivo coeficiente angular $m$, como vimos anteriormente existe uma maneira de relacionar a declividade a cada ponto da curva...
Observe a figura a seguir, que mostra o gráfico da função $f(x)=2+{\sqrt[{3}]{x-3}}+{\frac {x-3}{10}},$ e algumas retas secantes, passando pelo ponto $(x,y),$ onde $x=2$ e $y=f(x).$:
Figura 2
Podemos constatar que a função tem as seguintes características:
* A função f(x), expressa pelo gráfico, apresenta uma sinuosidade no intervalo entre $(x,y)$ e $(x_{1},y_{1});$
* A função não apresenta qualquer ruptura ou salto neste intervalo.
Dada uma sequência de pontos $(x_{1},y_{1}),$ $(x_{2},y_{2}),$ $(x_{3},y_{3}),\ldots$ cada vez mais próximos de $x$, traçamos as retas $r_{1}$, $r_{2},$ $r_{3},\ldots$ partindo do ponto $(x,y)$ fixado e passando pelos pontos correspondentes na sequência. Desta forma, podemos observar que, no caso da sequência apresentada na ilustração:
* A reta $r_{1}$ possui uma inclinação maior que $r_{2}$;
* Esta última possui uma inclinação maior que $r_{3}$;
Além disso, observamos ainda que:
* Quase não se consegue distinguir a reta $r_{3}$ do gráfico da função nas vizinhanças do valor $x$ de seu domínio, ou seja, esta reta parece uma boa aproximação da função $f$ em torno de $x.$
O que é importante saber é que os valores das inclinações das retas secantes se aproximam da inclinação de uma "reta tangente" ao gráfico da própria função no ponto $(x,y),$ a medida que diminui a distância entre um ponto $x_{i}$ da sequência e seu limite $x.$
Vemos então que uma maneira de tornar a inclinação da reta mais próxima da inclinação da função é diminuir a distância entre os pontos até o limite de sua aproximação, ou seja, se tomarmos uma sequência de pontos $x_{i}$ que ficam cada vez mais perto de $x$, o resultado é que a partir de algum momento, os pontos tomados para o cálculo de m estarão tão próximos que cada um se tornará quase idêntico ao seguinte. Uma vez que se obteve um valor de m para cada ponto da sequência, gostaríamos de definir a inclinação de $f$ em $x_{0}$, ou para ser mais preciso, a inclinação da reta tangente ao gráfico da função $f$ no ponto $(x_{0},f(x_{0})),$ como sendo o limite:
$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}m(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$
Uma vez que tenhamos um valor deste limite para cada valor de $x$ de um certo conjunto, podemos criar uma nova função, que chamamos de função derivada de f, associando cada $x$ deste conjunto (o domínio da função derivada) com o correspondente $f'(x)$ (a inclinação de f neste ponto x). A nova função é obtida através dos valores de $f(x),$ esse artifício de criar uma função que nos dá a declividade de uma outra função em cada ponto é chamado de derivação, uma vez que criamos uma função que é a derivada da primeira.
A diferença entre os valores de $x_{1}$ e $x_{2},$ quando levada ao limite próximo de zero, também é chamada de diferencial $dx$ e a diferença entre os valores de $y_{1}$ e $y_{2},$ quando o diferencial $dx$ é levado ao limite, é chamada de diferencial $dy$:
$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}}$
Por este motivo, esta operação é chamada de diferenciação, pois se refere à criação de variáveis diferenciais (usando as diferenças entre $x_{i}$ e $x$), neste caso ${\mbox{d}}y$ e ${\mbox{d}}x.$

## Diferenciabilidade

Para que as diferenciais e por consequência, a derivada de uma função em um determinado ponto possam existir, certas condições devem ser cumpridas pela função. Verifica-se a partir da definição de $f'(x)$ que:
* Em primeiro lugar, o limite da função no ponto deve existir (verifique!);
* A função deve estar definida no ponto e seu valor ser igual ao limite;
Isso nos lembra a definição de continuidade. De fato, as condições acima significam que quando a função é diferenciável em um ponto, ela é também contínua no ponto.
O fato de funções derivadas serem contínuas se deve a existência do limite e do valor da função no ponto, uma vez que torna-se possível a existência do $\lim _{x\to 0}\left[f(x+\Delta x)-f(x)\right]$ nestes casos.
Portanto, podemos em primeiro lugar verificar a continuidade de uma função para sabermos se há possibilidade da mesma ser diferenciável: se esta não for contínua temos condições de afirmar que a mesma não é diferenciável.

## Regras básicas

Para simplificar os métodos de derivação algumas regras básicas são universalmente utilizadas, todas são consequências da definição e podem ser facilmente demonstradas através do limite que aparece na definição e dos teoremas sobre limites de funções.

### T7 - Soma e subtração

* Derivada da soma e subtração
Seja a função $F(x)=f(x)\pm g(x)\,\!;$ sua derivada é: :
$F'(x)=f'(x)\pm g'(x)\,\!.$ :
Demonstração:
Pela definição temos:
$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)\pm g(x+\Delta x)-f(x)\mp g(x)}{\Delta x}}$
$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)\pm g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}$
$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\pm \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}$
e portanto:
$F'(x)=f'(x)\pm g'(x)$

### T8 - Multiplicação

* Derivada da multiplicação
Seja a função $F(x)=f(x)\cdot g(x)\,\!,$ então sua derivada é: :
$F'(x)=f(x)\cdot g'(x)\ +\ g(x)\cdot f'(x)\,\!.$ :
Demonstração:
Pela definição temos:
$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x}}$
Somamos e subtraímos $g(x+\Delta x)\cdot f(x)$ na equação anterior:
$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-g(x+\Delta x)\cdot f(x)+g(x+\Delta x)\cdot f(x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x}}$
$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\left[f(x+\Delta x)-f(x)\right]\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot \left[g(x+\Delta x)-g(x)\right]}{\Delta x}}$
$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\left[g(x)+\Delta x\right]\cdot \left[f(x+\Delta x)-f(x)\right]}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)\cdot \left[g(x+\Delta x)-g(x)\right]}{\Delta x}}$
$F'(x)=g(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}$
e portanto:
$F'(x)=f(x)\cdot g'(x)\ +\ g(x)\cdot f'(x).$

### T9 - Razão

* Derivada da razão
Seja a função $F(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}\,\!,$ então sua derivada é: :
$F'(x)={\frac {g(x)\cdot f'(x)\ -\ f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^{2}}}\,\!.$ :
Demonstração:
Pela definição temos:
$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{\Delta x}}$
$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)}{g(x)\cdot g(x+\Delta x)\cdot \Delta x}}$
Podemos lançar mão de mais um artifício algébrico e somar e subtrair $f(x)\cdot g(x),$ o que nos dá:
$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)}{g(x)\cdot g(x+\Delta x)\cdot \Delta x}}$
$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)\cdot \left[f(x+\Delta x)-f(x)\right]-f(x)\cdot \left[g(x+\Delta x)-g(x)\right]}{g(x)\cdot g(x+\Delta x)\cdot \Delta x}}$
$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)\cdot \left[{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]-f(x)\cdot \left[{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]}{g(x)\cdot g(x+\Delta x)}}$
Depois que aplicamos os limites, resulta em:
$F'(x)={\frac {g(x)\cdot f'(x)\ -\ f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^{2}}}$

### T10 - Natureza algébrica das diferenciais

* Natureza algébrica das diferenciais
Se $f'(x)$ existe, suas diferenciais podem ser tratadas como duas variáveis com características operacionais algébricas.
Seja ${\mbox{d}}y$ e ${\mbox{d}}x$ as diferenciais de $f(x)\,\!,$ sua derivada é: :
$f'(x)={\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}}$ :
Seja ${\mbox{d}}y$ e ${\mbox{d}}x$ as diferenciais de $f(x)$ quando sua derivada é $f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}},$ Então:
Demonstração:
Pelo teorema da razão do limite:
$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\lim _{\Delta x\to 0}\Delta y}{\lim _{\Delta x\to 0}\Delta x}}.$
O que nos dá a possibilidade de fazer:
${\mbox{d}}y=\lim _{\Delta x\to 0}\Delta y$
${\mbox{d}}x=\lim _{\Delta x\to 0}\Delta x$
Desta forma, os operadores ${\mbox{d}}y$ e ${\mbox{d}}x$ são limites e podem ser operados como tal, de forma que, obedecendo às regras das operações algébricas dos limites, podem ser separados.

### T11 - Regra da cadeia

* Regra da cadeia
Seja a função composta $h(x)=f[g(x)]\,\!,$ sua derivada pode ser calculada por: :
$h'(x)=g'(x)\cdot f'[g(x)]$ :
A função composta $\{y=f(u)\ ;\ u=g(x)\}$ nos dá a possibilidade de generalizar diversas funções, permitindo a sua simplificação, a sua derivada pode ser conseguida pela relação ${\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}}={\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}u}}\cdot {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}}$
Que pode ser verificada quase que imediatamente através das propriedades algébricas das diferenciais, de qualquer forma podemos demonstrá-la como segue:
Para simplificar a interpretação do conteúdo, usaremos a notação de derivada em relação à variável dependente; nesta notação colocamos um D e um sobescrito da variável dependente, ou seja, o símbolo $D_{t}(z)$ indica a derivada de z em relação a sua variável t.
Adotando esta notação para as derivadas, temos:
$D_{u}(y)=\lim _{\Delta u\to 0}{\frac {f(\Delta u)}{\Delta u}}$
$D_{x}(u)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(\Delta x)}{\Delta x}}$
queremos $D_{x}(y)$ e sabemos que $\lim _{\Delta u\to 0}f(\Delta u)=D_{u}(y)\cdot \lim _{\Delta u\to 0}\Delta u,$ para isso teríamos:
$D_{x}(y)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(\Delta u)}{\Delta x}}$
$D_{x}(y)=D_{u}(y)\cdot {\frac {\lim _{\Delta u\to 0}\Delta u}{\lim _{\Delta x\to 0}\Delta x}}$
Quando $\Delta x\to 0$ ocorre que $\Delta u\to 0,$ pois as duas funções são contínuas e u depende de x, logo:
$D_{x}(y)=D_{u}(y)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta u}{\Delta x}}$
então:
$D_{x}(y)=D_{u}(y)\cdot D_{x}(u)$

## Derivadas algébricas simples

Podemos deduzir, a partir das regras comuns e da definição, equações que determinam a derivada para as funções mais comuns, adiante temos uma amostra destas equações e suas demonstrações.

#### T12 - constante

* Derivada da constante
Seja a função $f(x)=c\,\!,$ onde c é constante e portanto, independente de x, é demonstrável que sua derivada é nula, pois não existe variação do valor da função; :
$c'=0$ :
Conforme constatamos:
$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(c)-f(c)}{\Delta x}}$

#### T13 - fator

* Derivada da função com fator
Seja a função $f(x)=c\cdot g(x),$ onde c é um fator constante e portanto, independente de x, é demonstrável que: :
$f'(x)=c\cdot g'(x)$ :

##### Demonstração

Façamos o cálculo pela definição:
Admitindo, inicialmente, que o ponto onde pretendemos encontrar a derivada tem $x=x_{1}$ e $x_{2}=x_{1}+\Delta x$, logo:
$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {c\cdot g(x_{2})-c\cdot g(x_{1})}{\Delta x}}$
$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {c\cdot [g(x_{2})-g(x_{1})]}{\Delta x}}$
$f'(x)=c\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x_{2})-g(x_{1})}{\Delta x}}$
O que nos afirma a validade do teorema.

#### T14 - Variável com expoente constante

* Derivada da função com expoente constante.
Seja a função $f(x)=x^{n}\,\!,$ onde $n$ é uma constante positiva e $n\geq 1,$ sua derivada é: :
$f'(x)=n\cdot x^{n-1}$ :
Demonstração:
Temos pela definição:
$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}}$
$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{n}+n\cdot x^{n-1}\cdot \Delta x+{\frac {n\cdot (n-1)\cdot x^{n-2}\cdot (\Delta x)^{2}}{2!}}+...+n\cdot x\cdot (\Delta x)^{n-1}+(\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}}$
$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\left[n\cdot x^{n-1}+{\frac {n\cdot (n-1)\cdot x^{n-2}\cdot (\Delta x)}{2!}}+...+n\cdot x\cdot (\Delta x)^{n-2}+(\Delta x)^{n-1}\right]$
Considerando o limite, temos:
$f'(x)=n\cdot x^{n-1}$
Como única parte relevante, pois todas as outras terão valores nulos no limite, isto prova o teorema.

## Diferenciação implícita

Considerando que as diferenciais podem ser tratadas separadamente e que temos meios para tratar ambas as variáveis de uma equação, a partir da regra da cadeia, temos instrumentos para diferenciar qualquer equação que represente uma função contínua. O método de diferenciação implícita é muito útil como meio de simplificar a resolução de diferenciais onde a variável dependente é de órdem superior.
A idéia mestra deste mecanismo é tornar implícito o conteúdo da variável, sem que seja necessária a sua substituição por equivalente algébrico antes da resolução; Vejamos um exemplo para simplificar a explanação:
A função $y^{2}-2y-3=x^{3}-3x^{2}$ é realmente complicada para ser diferenciada pelos métodos que vimos até agora, porém podemos esquecer a resolução da equação e considerar que a diferenciação pode, implicitamente, ser operada diretamente na equação inteira, desta forma:
$2y\ {\mbox{d}}y-2\ {\mbox{d}}y=3x^{2}\ {\mbox{d}}x-6x\ {\mbox{d}}x$
A partir desta equação podemos operar as diferenciais algebricamente para encontrar o valor da derivada ${\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}}.$
${\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}}={\frac {3x^{2}-6x}{2(y-1)}}$
A equação que representa a função apresenta dois valores possíveis para y:
$\left[y=\left(2-x\right){\sqrt {x+1}}+1\quad ,\quad y=\left(x-2\right){\sqrt {x+1}}+1\right]$
O que nos dá duas derivadas, quando substituímos o valor de y na sua derivada:
$\left[{\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}}={\frac {3x^{2}-6x}{2\left(2-x\right){\sqrt {x+1}}}}\quad ,\quad {\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}}={\frac {3x^{2}-6x}{2\left(x-2\right){\sqrt {x+1}}}}\right]$
Simplificando:
$\left[{\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}}={\frac {3x{\sqrt {x+1}}}{2(x+1)}}\quad ,\quad {\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}}=-{\frac {3x{\sqrt {x+1}}}{2(x+1)}}\right]$
Desta forma podemos encontrar qualquer diferencial implicitamente, reduzindo a complexidade na aplicação das regras de derivação.