# Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2)
## Trigonométricas II

Esta seção é a continuação do estudo trigonométrico, iniciado no capítulo anterior, que foi criada após o aumento progressivo do conteúdo.

### Tangente e secante

Quando definimos o seno e o cosseno fizemos a referência a seu significado no ciclo trigonométrico, da mesma forma introduziremos a tangente neste momento. Como já vimos anteriormente a derivada é uma função que representa a declividade de uma curva, da mesma forma podemos definir a tangente, pois essencialmente, ela representa a declividade do ciclo para cada ângulo em particular, ou seja, se traçarmos uma reta orgononal a cada ponto do ciclo trigonométrico e relacionarmos ao ângulo que forma com o eixo x, teremos retas com declividades iguais às tangentes desses ângulos. Como cada ponto do ciclo é definido por $[\cos(\alpha ),\ {\mbox{sen}}(\alpha )]$ e o valor inicial $(\Delta x)$ é sempre nulo, temos um valor de declividade tal que:
$\ {\mbox{tg}}(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$
que é:
$\tan x\ ,\ \sec x$
$\tan(x)\ ,\ \sec(x)$
Desta forma também podemos concluir que a tangente é a representação do cateto oposto ao ângulo quando mantemos o cateto adjacente constante e unitário, cosiderando este ponto de vista, qual seria o valor da hipotenusa?
Para definir h, a hipotenusa, façamos :
$h^{2}(x)=1^{2}+\ {\mbox{tg}}^{2}(x)$
$h^{2}(x)=1^{2}+{\frac {\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}$
$h^{2}(x)={\frac {\cos ^{2}(x)+\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}$
Da identidade relacional temos:
$h^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}$
portanto:
$h(x)={\frac {1}{\cos(x)}}$
Este valor é o que chamamos de secante, que é outra função importante para o estudo trigonométrico, então podemos dizer que:
Nas próximas seções veremos que a secante mantém íntimas ralações com a tangente.

#### Identidades (2)

Como definimos as identidades entre seno e cosseno, incluiremos as identidades que incluem tangente e secante nesta seção, todas são algebricamente dedutíveis e intercambiaveis.

#### I-14 Relacionando tangente e secante

Seja x uma variável que expressa o ângulo em cada ponto do ciclo trigonométrico, entre $\ {\mbox{tg}}(x)\ e\ \sec(x)$ podemos afirmar que:
Conforme visto nos conceitos iniciais logo acima, a relação é conseqüência direta das relações triangulares que definem as funções tangente e secante.

#### I-15 Tangente da diferença

Sendo a e b dois ângulos no ciclo trigonométrico:
Comprovação:
Considerando a definição da tangente temos:
$\ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {\ {\mbox{sen}}(a-b)}{\cos(a-b)}}$
$\ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {\ {\mbox{sen}}(a)\cos(b)-\ {\mbox{sen}}(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)+\ {\mbox{sen}}(a)\ {\mbox{sen}}(b)}}$
$\ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {{\frac {\ {\mbox{sen}}(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}}-{\frac {\ {\mbox{sen}}(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)}}}{{\frac {\cos(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}}+{\frac {\ {\mbox{sen}}(a)\ {\mbox{sen}}(b)}{\cos(a)\cos(b)}}}}$
$\ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {{\frac {\ {\mbox{sen}}(a)}{\cos(a)}}-{\frac {\ {\mbox{sen}}(b)}{\cos(b)}}}{1+{\frac {\ {\mbox{sen}}(a)\ {\mbox{sen}}(b)}{\cos(a)\cos(b)}}}}$
$\ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {{\frac {\ {\mbox{sen}}(a)}{\cos(a)}}-{\frac {\ {\mbox{sen}}(b)}{\cos(b)}}}{1+{\frac {\ {\mbox{sen}}(a)}{\cos(a)}}{\frac {\ {\mbox{sen}}(b)}{\cos(b)}}}}$
Resultando em:
$\ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {\ {\mbox{tg}}(a)-\ {\mbox{tg}}(b)}{1+\ {\mbox{tg}}(a)\ {\mbox{tg}}(b)}}$
O que comprova a identidade.

#### I-16 Tangente da soma

Comprovação:
Admitamos $b=-b$ e teremos pela tangente da diferença:
$\ {\mbox{tg}}(a-(-b))={\frac {\ {\mbox{tg}}(a)-\ {\mbox{tg}}(-b)}{1+\ {\mbox{tg}}(a)\ {\mbox{tg}}(-b)}}$
Considerando que a tangente é:
$\ {\mbox{tg}}(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}$
E que o seno é determinante para o sinal enquanto o cosseno não é, concluímos que o sinal da tangente é igual ao da variável, tal qual se comporta o seno, logo:
$\ {\mbox{tg}}(a+b)={\frac {\ {\mbox{tg}}(a)+\ {\mbox{tg}}(b)}{1-\ {\mbox{tg}}(a)\ {\mbox{tg}}(b)}}$
O que comprova a identidade.

#### Derivada da tangente

Seja $f(x)=\ {\mbox{tg}}(x)$, uma função contínua em $\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)$, visto que $\lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\ {\mbox{tg}}(x)\quad \not \exists$, o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:
$f(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}$
logo, pela derivada da razão:
$f\ '(x)={\frac {\cos(x)\cos(x)-\ {\mbox{sen}}(x)[-\ {\mbox{sen}}(x)]}{\cos ^{2}(x)}}$
$f\ '(x)={\frac {\cos ^{2}(x)+\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}$
$f\ '(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}$
Portanto:

#### Derivada da secante

Seja $f(x)=\sec(x)$, uma função contínua em $\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)$, visto que $\lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\sec(x)\quad \not \exists$, o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:
$f(x)={\frac {1}{\cos(x)}}$
logo, pela derivada da razão:
$f\ '(x)={\frac {\cos(x)\cdot (0)-1\cdot (-\ {\mbox{sen}}(x))}{\cos ^{2}(x)}}$
$f\ '(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos ^{2}(x)}}$
$f\ '(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}\cdot {\frac {1}{\cos(x)}}$
O que nos revela:

#### Integral da tangente

Seja a função $f(x)=\ {\mbox{tg}}(x)$, definida contínua no intervalo onde seus valores estão sendo considerados, podemos deduzir que:
$F(x)=\int \ {\mbox{tg}}(x)dx$
$F(x)=\int {\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}dx$
Por outro lado, se:
$u=\cos(x)$
$du=-\ {\mbox{sen}}(x)dx$
O que nos possibilita afirmar que:
$F(x)=-\int {\frac {du}{u}}$
$F(x)=-\ln |\cos(x)|$
$F(x)=\ln \left|{\frac {1}{\cos(x)}}\right|$
Portanto:

#### Integral da secante

Seja a função $f(x)=\sec(x)$, dizemos que sua integral é a função $F(x)$ e podemos deduzí-la através de substituições algébricas como segue:
$F(x)=\int \sec(x)dx$
multiplicando e dividindo $\sec(x)+\ {\mbox{tg}}(x)$:
$F(x)=\int {\frac {\sec ^{2}(x)+\sec(x)\ {\mbox{tg}}(x)}{\sec(x)+\ {\mbox{tg}}(x)}}dx$
Por outro lado, se:
$u=\sec(x)+\ {\mbox{tg}}(x)$,
$du=[\sec(x)\ {\mbox{tg}}(x)+\sec ^{2}(x)]dx$
logo, por substituição, temos:
$\int {\frac {du}{u}}$, sendo $u=\sec(x)+\ {\mbox{tg}}(x)$, o que nos permite fazer:
$F(x)=\ln |u|$
Portanto:

### Cotangente e cossecante

Considerando a semelhança entre as definições das funções trigonométricas até aqui abordadas, observamos que para cada função, curiosamente há uma "co-função", assim como temos um seno e um "co-seno" temos uma tangente e uma "co-tangente". A função
cotangente é definida tal qual a analogia adotada antes para seno e cosseno; podemos dizer que as funções estão relacionadas ao eixo y e as "co-funções" estão relacionadas ao eixo x, a imagem de um ponto no ciclo trigonométrico a partir do eixo x é o cosseno do ângulo e o seno é a imagem do mesmo ponto vista pelo eixo y. Para verificar essa relação observe o gráfico:
Figura 8
Se nós fizermos a mesma observação entre tangente e cotangente concluiremos que a tangente é a imagem deste ponto do ciclo trigonométrico no eixo paralelo ao eixo y traçado a partir da coordenada (1,0) e a cotangente é a sua "co-função" que espelha o ponto no eixo paralelo ao eixo x na coordenada (0,1). Segundo o mesmo critério de analogia podemos dizer que a função cossecante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a cotangente relacionada a um ponto do ciclo, da mesma forma que a secante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a tangente do mesmo ponto.
Podemos deduzir a fórmula de definição da função cotangente fazendo uma análise de semelhança de triângulos, notamos no ciclo que:
${\frac {1}{\ {\mbox{cotg}}(x)}}={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}$
O que nos revela:
$\cot x\ ,\ \csc x$
$\cot(x)\ ,\ \csc(x)$
Da mesma forma podemos verificar uma relação de semelhança de triângulos para determinar a cossecante, vemos que existe a seguinte relação:
${\frac {1}{\ {\mbox{cosec}}(x)}}={\frac {\cos(x)}{\ {\mbox{cotg}}(x)}}$
${\frac {1}{\ {\mbox{cosec}}(x)}}=\cos(x){\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}$
Que define a cossecante como:

#### Identidades (3)

Algumas identidades são conseqüentes das definições, apresentamos as mais usuais que poderão ser úteis nos demais capítulos deste livro, as identidades, de modo geral, são altamente intercambiáveis devido a natureza cíclica das funções trigonométricas, no nosso estudo abordamos as mais utilizadas.
Conseqüentes das definições:

#### Derivada da cotangente

Seja a função $f(x)=\ {\mbox{cotg}}(x)$, considerando que:
$f(x)={\frac {\cos(x)}{\ {\mbox{sen}}(x)}}$
Novamente usamos a regra da derivada da razão:
$f\ '(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)[-\ {\mbox{sen}}(x)]-\cos(x)\cos(x)}{\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}}$
$f\ '(x)=-{\frac {\ {\mbox{sen}}^{2}(x)+cos^{2}(x)}{\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}}$
$f\ '(x)=-{\frac {1}{\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}}$
Portanto:

#### Derivada da cossecante

Seja a função $f(x)=\ {\mbox{cosec}}(x)$, considerando que:
$f(x)={\frac {1}{\ {\mbox{sen}}(x)}}$
Novamente usamos a regra da derivada da razão:
$f\ '(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)\cdot 0-1\cdot \cos(x)}{\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}}$
$f\ '(x)={\frac {-\cos(x)}{\ {\mbox{sen}}(x)}}\cdot {\frac {1}{\ {\mbox{sen}}(x)}}$
Portanto:

#### Integral da cotangente

Seja a função $f(x)=\ {\mbox{cotg}}(x)$, considerando que:
$f(x)={\frac {\cos(x)}{\ {\mbox{sen}}(x)}}$
Sua integral é:
$F(x)=\int \ {\mbox{cotg}}(x)dx$
$F(x)=\int {\frac {\cos(x)}{\ {\mbox{sen}}(x)}}dx$
Sendo $u=\ {\mbox{sen}}(x)$:
$du=\cos(x)dx$
Logo:
$F(x)=\int {\frac {du}{u}}$
E, por substituição:

#### Integral da cossecante

Seja a função $f(x)=\ {\mbox{cosec}}(x)$,
Sua integral é:
$F(x)=\int \ {\mbox{cosec}}(x)dx$
Sendo $u=\ {\mbox{cotg}}(x)-\ {\mbox{cosec}}(x)$:
$du=[-\ {\mbox{cosec}}^{2}(x)+\ {\mbox{cotg}}(x)\ {\mbox{cosec}}(x)]dx$
Podemos então multiplicar e dividir u na equação da integral anterior:
$F(x)=\int {\frac {-\ {\mbox{cosec}}^{2}(x)+\ {\mbox{cotg}}(x)\ {\mbox{cosec}}(x)}{\ {\mbox{cotg}}(x)-\ {\mbox{cosec}}(x)}}dx$
Logo:
$F(x)=\int {\frac {du}{u}}$
E, por substituição:

## Inversas das trigonométricas

O conjunto de equações até o momento abordadas nos trazem uma nova questão: Quais as funções que nos permitem encontrar o ângulo a partir do resultado de uma função trigonométrica?
A resposta está nas inversas das funções trigonométricas, também chamamos de arc-funções. Uma arc-função é uma função na qual podemos inserir o valor da função e encontrar o arco que originou este resultado, por isto dizemos que a $arcfunc(x)$ é aquela que retorna o valor do arco cuja função resulta em x.

### arcseno e arccosseno

Conforme o anteriormente exposto, temos que encontrar as funções que nos dão o valor do arco que forma um seno x e o arco que forma um cosseno x, para isto cabe uma observação:
    O seno e o cosseno podem ser resultado de vários ângulos diferentes, devido a característica cíclica que as mesmas apresentam quando assumimos valores em $(-\infty ,\infty )$, portanto não existem as funções inversas do seno e cosseno neste intervalo.
O exposto nos obriga a limitar o intervalo do seno e do cosseno dentro de uma faixa que possibilite encontrar apenas um arco para cada valor, é necessário que escolhamos um intervalo onde as funções sejam monótonas. Considerando a função seno dentro da faixa: $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$, podemos dizer que a condição de inversibilidade é satisfeita, da mesma forma a função cosseno dentro da faixa: $\left[0,\pi \right]$ também apresenta valores únicos para cada arco tomado.
Assim, dizemos que:
Da mesma forma que:
$\sin ^{-1}x\ ,\ \cos ^{-1}x$
$\sin ^{-1}(x)\ ,\ \cos ^{-1}(x)$
$\arcsin x\ ,\ \ {\mbox{arccos}}x$
$\arcsin(x)\ ,\ \ {\mbox{arccos}}(x)$

#### Derivadas do arcseno e arccosseno

Seja a função $y=\ {\mbox{arcsen}}(x)$, sendo a sua inversa:
$x=\ {\mbox{sen}}(y)$,
podemos operá-la desta forma:
$dx=\cos(y)dy$
${\frac {dx}{dy}}=\cos(y)$,
Por outro lado:
$\ {\mbox{sen}}^{2}(y)+\cos ^{2}(y)=1$
$\cos(y)={\sqrt {1-\ {\mbox{sen}}^{2}(y)}}$
$\cos(y)={\sqrt {1-x^{2}}}$
O que nos dá:
${\frac {dx}{dy}}={\sqrt {1-x^{2}}}$,
Logo:
Ainda temos que a função $z=\ {\mbox{arccos}}(x)$, sendo a sua inversa:
$x=\cos(z)$,
podemos operá-la desta forma:
$dx=-\ {\mbox{sen}}(z)dz$
${\frac {dx}{dz}}=-\ {\mbox{sen}}(z)$,
Por outro lado:
$\ {\mbox{sen}}^{2}(z)+\cos ^{2}(z)=1$
$\ {\mbox{sen}}(z)={\sqrt {1-\cos ^{2}(z)}}$
$\ {\mbox{sen}}(z)={\sqrt {1-x^{2}}}$
O que nos dá:
${\frac {dx}{dz}}=-{\sqrt {1-x^{2}}}$,
Logo:

#### Integrais do arcseno e arccosseno

Para integração das funções arcseno e arccosseno, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

### Arctangente e arccotangente

Definimos a função:
arctangente de x, como a inversa da função:
$\tan ^{-1}x\ ,\ \cot ^{-1}x$
$\tan ^{-1}(x)\ ,\ \cot ^{-1}(x)$
$\arctan x\ ,\ \operatorname {arccot} x$
$\arctan(x)\ ,\ \operatorname {arccot}(x)$
tangente de y, para todo o intervalo $(-\infty ,\infty )$, porque no mesmo há apenas um valor de tangente para cada arco.
Do mesmo modo podemos definir a função:
arccotangente de t, como a inversa da função:
cotangente de z, para todo o intervalo $(-\infty ,\infty )$, porque no mesmo há apenas um valor de cotangente para cada arco.

#### Derivadas da arctangente e arccotangente

Seja a função $y=arctg(x)$, sendo a sua inversa:
$x=tg(y)$,
podemos operá-la desta forma:
$dx=sec^{2}(y)dy$
${\frac {dx}{dy}}=sec^{2}(y)$,
Por outro lado:
$sec^{2}(y)=1+tg^{2}(y)$
$sec^{2}(y)=1+x^{2}$
O que nos dá:
${\frac {dx}{dy}}=1+x^{2}$,
Logo:
Ainda temos que a função $z=arccotg(x)$, sendo a sua inversa:
$x=cotg(z)$.
Por outro lado:
$arccotg(z)={\frac {\pi }{2}}-arctg(z)$
O que nos dá:
${\frac {dz}{dx}}=0-{\frac {d[arctg(z)]}{dx}}$,
Logo:

#### Integrais da arctangente e arccotangente

Para integração das funções arctangente e arccotangente, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

### Arcsecante e arccossecante

Definimos a função:
arcsecante de x, como a inversa da função:
$\sec ^{-1}x\ ,\ \csc ^{-1}x$
$\sec ^{-1}(x)\ ,\ \csc ^{-1}(x)$
$\operatorname {arcsec} x\ ,\ \operatorname {arccsc} x$
$\operatorname {arcsec}(x)\ ,\ \operatorname {arccsc}(x)$
secante de y, para os intervalos de x: $(-\infty ,-1]\quad ;\quad [1,\infty )$, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.
A função $\ {\mbox{arcsec}}(x)$ é relacionada a função $\ {\mbox{arccos}}(x)$ como segue:
Do mesmo modo podemos definir a função:
arccosecante de t, como a inversa da função:
cosecante de y, para os intervalos de x: $(-\infty ,-1]\quad ;\quad [1,\infty )$, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.
A função $\ {\mbox{arccosec}}(x)$ é relacionada a função $\ {\mbox{arcsen}}(x)$ como segue:

#### Derivadas da arcsecante e arccossecante

Seja a função:
$y=\ {\mbox{arcsec}}(x)$
que tem correspondência em:
$\ {\mbox{arcsec}}(x)=\ {\mbox{arccos}}\left({\frac {1}{x}}\right)$
Sendo:
${\frac {d[\ {\mbox{arccos}}(t)]}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)$
${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}}}}\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {|x|}{x^{2}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
Portanto:

#### Integrais da arcsecante e arccossecante

Para integração das funções arcsecante e arccossecante, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

### Trigonométricas inversas como integrais algébricas

Como resultado das derivadas de funções trigonométricas inversas algumas integrais de funções algébricas podem ser convertidas em "arc-funções", são elas:
Em todas, como é de costume, encontramos a constante de antidiferenciação C.

## hiperbólicas

A hipérbole é uma das funções cônicas exploradas em geometria analítica e tem como característica uma íntima relação com as exponenciais $e^{x}$ e $e^{-x}$, as funções desta seção são obtidas segundo o mesmo princípio das funções trigonométricas utilizando-se da hipérbole como função geratriz, ou seja, para cada ponto cartesiano de um gráfico da hipérbole podemos adotar a análise feita no ciclo trigonométrico, desta análise resultam as funções discutidas nesta seção.
As funções hiperbólicas são essencialmente exponenciais, portanto o seu estudo é simplificado nesta seção, visto que suas conseqüências são imediatamente dedutíveis pelos princípios já vistos na seção que trata de funções exponenciais.

### Seno e cosseno hiperbólicos

A função seno hiperbólico é obtida a partir da hipérbole da mesma forma que o seno no ciclo trigonométrico, sua definição pode ser obtida por análise geométrica do gráfico da hipérbole $y={\frac {1}{2x}}$, onde encontramos:
A função cosseno hiperbólico, que referenciamos ao cosseno no ciclo trigonométrico pode ser encontrado pela seguinte expressão:
Sendo obtida de forma similar a anterior.
O fato destas funções serem resultantes da soma e subtração de uma exponencial crescente $e^{x}$ e uma exponencial decrescente $e^{-x}$ lhes conferem propriedades únicas, do mesmo modo temos a possibilidade de fazer analogias para uma fácil assimilação dos seus conceitos. Estas funções também são largamente úteis devido ao fato de serem comuns em problemas reais na física, na química e nas engenharias.

#### Relacionando seno e cosseno hiperbólico

Considere a operação: $\cosh ^{2}(x)-\ {\mbox{senh}}^{2}(x)$,
Da definição temos:
$\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)^{2}$
${\frac {e^{2x}+e^{-2x}+2e^{x}e^{-x}}{4}}-{\frac {e^{2x}+e^{-2x}-2e^{x}e^{-x}}{4}}$
${\frac {e^{2x}-e^{2x}+e^{-2x}-e^{-2x}+4}{4}}$
${\frac {4}{4}}$
logo:

#### Derivada do seno hiperbólico

Seja a função seno hiperbólico $y=\ {\mbox{senh}}(x)$, podemos dizer que:
$y={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$
sendo:
${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}(e^{x}-(-e^{-x}))$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x})$
Portanto:

#### Derivada do cosseno hiperbólico

Seja a função cosseno hiperbólico $y=\cosh(x)$, podemos dizer que:
$y={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$
sendo:
${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}(e^{x}+(-e^{-x}))$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}(e^{x}-e^{-x})$
Portanto:

#### Integral do seno hiperbólico

A integral do seno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:
$\int \left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)dx$
$\int {\frac {1}{2}}e^{x}dx-\int {\frac {1}{2}}e^{-x}dx$
${\frac {1}{2}}e^{x}+{\frac {1}{2}}e^{-x}$
${\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$
Concluimos que:

#### Integral do cosseno hiperbólico

A integral do cosseno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:
$\int \left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)dx$
$\int {\frac {1}{2}}e^{x}dx+\int {\frac {1}{2}}e^{-x}dx$
${\frac {1}{2}}e^{x}-{\frac {1}{2}}e^{-x}$
${\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$
Concluimos que:

### Tangente e secante hiperbólicas

Da mesma forma que no caso trigonométrico a tangente e as outras funções hiperbólicas são definidas através do seno e do cosseno, ou seja, a tangente é definida como:
ou
A secante hiperbólica é definida como:
ou

#### Relacionando tangente e secante hiperbólicas

Vamos desenvolver a expressão abaixo:
$1-\ {\mbox{tgh}}^{2}(x)$
$1-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}\right)^{2}$
$1-{\frac {e^{2x}+e^{-2x}-2}{e^{2x}+e^{-2x}+2}}$
${\frac {e^{2x}-e^{2x}+e^{-2x}-e^{-2x}+4}{e^{2x}+e^{-2x}+2}}$
${\frac {4}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}}}$
${\frac {1}{\cosh ^{2}(x)}}$
Portanto:

#### Derivada da tangente hiperbólica

Seja a função $y=\ {\mbox{tgh}}(x)$, temos:
$y={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {\left(e^{x}+e^{-x}\right)\left(e^{x}+e^{-x}\right)-\left(e^{x}-e^{-x}\right)\left(e^{x}-e^{-x}\right)}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}}}$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {\left(\cosh ^{2}(x)\right)-\left(\ {\mbox{senh}}^{2}(x)\right)}{\left(\cosh ^{2}(x)\right)}}$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\cosh ^{2}(x)}}$
Portanto:

#### Derivada da secante hiperbólica

Seja a função $y=\ {\mbox{sech}}(x)$, temos:
$y={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {-2\left(e^{x}-e^{-x}\right)}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}}}$
${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}\cdot {\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$
e finalmente:

#### Integral da tangente hiperbólica

Seja a função $f(x)=\ {\mbox{tgh}}(x)$, temos:
$F(x)=\int {\frac {\ {\mbox{senh}}(x)}{\cosh(x)}}dx$
Se fizermos:
$u=\cosh(x)$
$du=\ {\mbox{senh}}(x)dx$
verificamos:
$F(x)=\int {\frac {du}{u}}$
$F(x)=\ln |u|$
e finalmente:

#### Integral da secante hiperbólica

Para integração da função secante hiperbólica, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

### Cotangente e cossecante hiperbólicas

A cotangente hiperbólica é definida como:
ou
A cosecante hiperbólica é definida como:
ou

#### Relacionando cotangente e cossecante hiperbólicas

Vamos desenvolver a expressão abaixo:
$1-\ {\mbox{cotgh}}^{2}(x)$
$1-\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}\right)^{2}$
$1-{\frac {e^{2x}+e^{-2x}+2}{e^{2x}+e^{-2x}-2}}$
${\frac {e^{2x}-e^{2x}+e^{-2x}-e^{-2x}-4}{e^{2x}+e^{-2x}-2}}$
$-{\frac {4}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{2}}}$
$-{\frac {1}{\ {\mbox{senh}}^{2}(x)}}$
Portanto:

#### Derivada da cotangente hiperbólica

Seja a função $y=\ {\mbox{cotgh}}(x)$, temos:
$y={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {\left(e^{x}-e^{-x}\right)\left(e^{x}-e^{-x}\right)-\left(e^{x}+e^{-x}\right)\left(e^{x}+e^{-x}\right)}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{2}}}$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {\left(\ {\mbox{senh}}^{2}(x)\right)-\left(cosh^{2}(x)\right)}{\left(\ {\mbox{senh}}^{2}(x)\right)}}$
${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\ {\mbox{senh}}^{2}(x)}}$
Portanto:

#### Derivada da cossecante hiperbólica

Seja a função $y=\ {\mbox{cosech}}(x)$, temos:
$y={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {-2\left(e^{x}+e^{-x}\right)}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{2}}}$
${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}\cdot {\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}$
e finalmente:

#### Integral da cotangente hiperbólica

Seja a função $f(x)=\ {\mbox{cotgh}}(x)$, temos:
$F(x)=\int {\frac {\cosh(x)}{\ {\mbox{senh}}(x)}}dx$
Se fizermos:
$u=\ {\mbox{senh}}(x)$
$du=\cosh(x)dx$
verificamos:
$F(x)=\int {\frac {du}{u}}$
$F(x)=\ln |u|$
e finalmente:

#### Integral da cossecante hiperbólica

Para integração da função cossecante hiperbólica, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

## Inversas das hiperbólicas

As funções hiperbólicas inversas são particularmente interessantes, elas estão ligadas ao logaritmo natural e por este motivo, sua análise é excencialmente exponencial, como a análise das funções hiperbólicas, deste fato nascem novas possibilidades para lidar com problemas relacionados a análises de estruturas não lineares.

### Análise da inversão das variáveis

As funções hiperbólicas são característicamente analisadas de forma semelhante às trigonométricas, o que nos sugere a análise da inversão das variáveis das equações hiperbólicas da forma:
$y=funch(x)$,
Para a forma:
$x=argfunch(y)$
Isto é particularmente fácil de implementar para funções do tipo $senh(x)$, que são funções monótonas e contínuas, para as demais que restringem sua continuidade em um determinado intervalo, devemos adotar faixas para o domínio de cada uma em particular.
É importante notar que, embora as funções hiperbólicas sejam semelhantes às trigonométricas, estas funções se baseiam em ângulos que devem ser analisados de forma diferente dos trigonométricos, lembre-se que o raio de uma função circular é constante, o que não acotece com uma função baseada em uma cônica, neste caso a hipérbole, por isso escolhemos a nomeclatura de argfunch(x), pois não podemos classificar os ângulos hiperbólicos como arcos.

### argsenh e argcosenh

Agora consideremos a função $t=\ {\mbox{senh}}(x)$, então:
$t={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$
Podemos fazer $e^{x}=u$, logo:
$t={\frac {u-u^{-1}}{2}}$
O que resulta na equação:
$u^{2}-2tu-1=0$
cujas raízes são:
$u=t\pm {\sqrt {t^{2}+1}}$
Podemos apenas admitir: $u>0$, consequentemente:
$e^{x}=t+{\sqrt {t^{2}+1}}$
Substituindo as variáveis x por y e t por x, temos a inversa de $senh(x)$ que é:
No caso de $t=\cosh(x)$, a dedução é similar:
$t={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$
Podemos fazer $e^{x}=u$, logo:
$t={\frac {u+u^{-1}}{2}}$
O que resulta na equação:
$u^{2}-2tu+1=0$
cujas raízes são:
$u=t\pm {\sqrt {t^{2}-1}}$
Podemos apenas admitir: $u>0$, consequentemente:
$e^{x}=t+{\sqrt {t^{2}-1}}$
Substituindo as variáveis x por y e t por x, temos a inversa de $cosh(x)$ que é:

#### Derivadas de argsenh(x) e argcosh(x)

Considerando as fórmulas deduzidas acima, temos:
$y=\ {\mbox{argsenh}}(x)=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+1}}|$
de onde deduzimos:
${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot \left(1+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot \left({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)$
resultando:
E para $y=\ {\mbox{argcosh}}(x)=\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|$
de onde deduzimos:
${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot \left(1+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\right)$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot \left({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}\right)$
e finalmente:

#### Integrais de argsenh(x) e argcosh(x)

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.

### argtgh e argsech

Considerando $t=\ {\mbox{tgh}}(x)$, temos:
$t={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$
se $u=e^{x}$:
$t={\frac {u-u^{-1}}{u+u^{-1}}}$
o que resulta na equação:
$(t-1)u^{2}+t+1=0$
cujas raízes são:
$u=\pm {\sqrt {\frac {1+t}{1-t}}}$
Onde apenas podemos admitir $u>0$ e $t<1$:
$e^{x}={\sqrt {\frac {1+t}{1-t}}}$
Substituindo x por y e t por x:
$y=\ln {\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}$
Que é a inversa da $\ {\mbox{tgh}}(x)$, portanto:
Ou,
Considerando $t=\ {\mbox{sech}}(x)$, temos:
$t={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}$
se $u=e^{x}$:
$t={\frac {2}{u+u^{-1}}}$
o que resulta na equação:
$tu^{2}-2u+t=0$
Cujas raízes são:
$u={\frac {1\pm {\sqrt {1-t^{2}}}}{t}}$
Onde apenas podemos admitir $u>0$ e $0<t<1$:
$e^{x}={\frac {1-{\sqrt {1-t^{2}}}}{t}}$
Substituindo x por y e t por x:
$y=\ln \left|{\frac {1-{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right|$
Que é a inversa da $sech(x)$, portanto:

#### Derivadas de argtgh e argsech

Seja $y=\ {\mbox{argtgh}}(x)$ $={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}$, $|x|<1$
Deduzimos que sua derivada é:
${\frac {dy}{dx}}={\frac {d[\ {\mbox{argtgh}}(x)]}{dx}}$
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1-x}{1+x}}\right)\left[{\frac {1-x-(1+x)(-1)}{(1-x)^{2}}}\right]$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1-x}{1+x}}\right)\left[{\frac {2}{(1-x)^{2}}}\right]$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {2}{(1+x)(1-x)}}\right]$
e, finalmente:
Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não existe fora deste domínio.
Seja $y=\ {\mbox{argsech}}(x)$ $=\ln \left|{\frac {1-{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right|$,
Deduzimos que sua derivada é:
${\frac {dy}{dx}}={\frac {d[{\mbox{argsenh}}(x)]}{dx}}$
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1-x^{2}}}}}\left[{\frac {x{\frac {-(-2x)}{2{\sqrt {1-x^{2}}}}}-\left(1-{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}{x^{2}}}\right]$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1-x^{2}}}}}\left({\frac {x^{2}-{\sqrt {1-x^{2}}}+1-x^{2}}{x^{2}{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1-x^{2}}}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1-x^{2}}}}{x^{2}{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)$
e, finalmente:

#### Integrais de argtgh e argsech

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.

### argcotgh e argcosech

Considerando $t=\ {\mbox{cotgh}}(x)$, temos:
$t={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}$
se $u=e^{x}$:
$t={\frac {u+u^{-1}}{u-u^{-1}}}$
o que resulta na equação:
$(1-t)u^{2}-t-1=0$
cujas raízes são:
$u=\pm {\sqrt {\frac {t+1}{t-1}}}$
Onde apenas podemos admitir $u>0$ e $t<1$:
$e^{x}={\sqrt {\frac {t+1}{t-1}}}$
Substituindo x por y e t por x:
$y=\ln {\sqrt {\frac {x+1}{x-1}}}$
Que é a inversa da $\ {\mbox{cotgh}}(x)$, portanto:
Ou,
Considerando $t=\ {\mbox{cosech}}(x)$, temos:
$t={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}$
se $u=e^{x}$:
$t={\frac {2}{u-u^{-1}}}$
o que resulta na equação:
$tu^{2}-2u-t=0$
Cujas raízes são:
$u={\frac {1\pm {\sqrt {1+t^{2}}}}{t}}$
Onde apenas podemos admitir $u>0$:
$e^{x}={\frac {1-{\sqrt {1+t^{2}}}}{t}}$
Substituindo x por y e t por x:
$y=\ln \left|{\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right|$
Que é a inversa da $cosech(x)$, portanto:

#### Derivadas de argcotgh e argcosech

Seja $y=\ {\mbox{argcotgh}}(x)$ $={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x-1}{x+1}}$, $|x|>1$
Deduzimos que sua derivada é:
${\frac {dy}{dx}}={\frac {d[\ {\mbox{argcotgh}}(x)]}{dx}}$
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {x+1}{x-1}}\right)\left[{\frac {x+1-(x-1)}{(x+1)^{2}}}\right]$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {x+1}{x-1}}\right)\left[{\frac {2}{(x+1)^{2}}}\right]$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {2}{(x-1)(x+1)}}\right]$
e, finalmente:
Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio.
Seja $y=\ {\mbox{argcosech}}(x)$ $=\ln \left|{\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right|$,
Deduzimos que sua derivada é:
${\frac {dy}{dx}}={\frac {d[{\mbox{argcosh}}(x)]}{dx}}$
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1+x^{2}}}}}\left[{\frac {x{\frac {-2x}{2{\sqrt {1+x^{2}}}}}-\left(1-{\sqrt {1+x^{2}}}\right)}{x^{2}}}\right]$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1+x^{2}}}}}\left({\frac {-x^{2}-{\sqrt {1+x^{2}}}+1+x^{2}}{x^{2}{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1+x^{2}}}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x^{2}{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)$
e, finalmente:

#### Integrais de argcotgh e argcosech

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.