# Matemática elementar/Conjuntos/Números naturais
## Definição

Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, ...). Em alguns contextos, o número natural é definido como um número inteiro positivo, i.e., o zero não é considerado como um número natural. O uso mais comum deles é a contagem ou a ordenação. As propriedades dos números naturais como, por exemplo, divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas neste capítulo. Outras propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela análise combinatória.
Os matemáticos usam $\mathbb {N}$ para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é infinito e contável por definição.
$\mathbb {N}$ = {0,1,2,3,4,5,6,7,...}
Se retirarmos o $0$ desses conjunto, obtemos o subconjunto:
$\mathbb {N} ^{*}$ = {1,2,3,4,5,6,7,...}

## Operações em $\mathbb {N}$

São duas as operações em naturais que sempre tem correspondente natural. São a adição e a multiplicação de naturais. As outras operações básicas, a subtração e a divisão nem sempre tem correspondente em naturais, embora possam ter em outros conjuntos.
Por exemplo: 10 e 11 são números naturais, porém, $10-11=-1$, e $-1$ não é um número natural. Porém, é um número inteiro, pertencente ao conjunto $\mathbb {Z}$

## Critérios de divisibilidade
### Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par. Por exemplo, 40, 42, e 44 são números divisíveis por 2.

### Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo:
* 360 (3+6+0=9) → é divisível.

### Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismo forem 0 ou formarem um número divisível por 4.
Exemplo:
* 416 (últimos dois algarismos: 16 [= 4×4]) → é divisível.

### Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
Exemplo:
* 2.654.820 → é divisível.

### Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplo:
* 414 → divisível por 6, pois
** par → divisível por 2
** 4+1+4=9 → divisível por 3.

### Divisibilidade por 7

A divisibilidade por $7$ também pode ser verificada da seguinte maneira:
Tome por exemplo o número 453. Separando-se o último algarismo ficamos com 45 e 3. Do primeiro subtraímos o dobro do segundo, ou seja, $45-6=39.$ Como 39 não é divisível por 7 o número 453 também não é.
Outro exemplo: $784$ → Separando $78$ e $4,$ teremos $78-8=70.$ Como $70$ é divisível por $7$ o número $784$ também é.
Outro critério usa a soma e não a subtração. Um número de mais de três algarismos ABCD... é divisível por 7 quando o número B(C+2A)D... for múltiplo de 7. Isso porque 98 = 100 - 2 é múltiplo de 7, então o que esta operação faz é trocar 100 A por 2 A. Exemplos: 1645 -> 665 -> 65 + 12 -> 77 (múltiplo de 7); 3192 -> 192 + 60 -> 252 -> 56 (múltiplo de 7); 9876 -> 876 + 180 -> 1056 -> 76 (não é múltiplo de 7).

### Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismo forem 0 ou formarem um número múltiplo de 8.
Exemplo:
* 24512 → é divisível.

### Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
Exemplo:
* 927 (9+2+7=18) → é divisível.

### Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando termina em zero.
Exemplo:
* 154.870 → é divisível

### A divisibilidade por 11

Segue uma regra parecida com a da divisibilidade por 7. A título de exemplo considere o número 154.
* Separe o último algarismo
    15 e 4
* Subtraía o segundo do primeiro, ou seja,
    15 - 4 = 11.
Como 11 é divisível por 11, então 154 também o é.
Num contra-exemplo, usaremos o número 277. Pelo algoritmo teremos 27 e 7; 27 - 7 = 20, que não é divisível por 11, e portanto 277 também não o é.
O algoritmo pode ser aplicado várias vezes no caso de números maiores.
    Dica: Números que seguem a forma "ABBA" são divisíveis por 11.
    Por exemplo: para 1221, temos A = 1 e B = 2.
Uma regra prática para números grandes é somar os algarismos de posição par e os de posição ímpar. Se as somas forem iguais ou os restos das divisões por 11 forem iguais, então o número é múltiplo de 11. Ou seja, em um número da forma ABCDEFG, compara-se A+C+E+G com B+D+F
    Exemplo: 783178 é divisível por 11, porque 7+3+7 = 8+1+8 = 17. Analogamente, 703175 também é, porque o resto da divisão das duas somas por 11 são iguais, 7+3+7=17 tem resto 6 e 0+1+5=6 também tem resto 6.
Dois exemplos com números grandes:
* 4611686018427387901307445734561825860123058430092136939501844674407370955160 → $168\equiv 146{\pmod {11}}$, portanto é divisível.
* 4611686018427387903307445734561825860223058430092136939511844674407370955161 → $171\not \equiv 148{\pmod {11}}$, portanto não é divisível.

### Divisibilidade por $2^{n}$

Um número é divisível por $2^{n}$ quando seus últimos n algarismos forem 0 ou divisíveis por $2^{n}.$

### Divisibilidade por $3^{n}$

Um número é divisível por $3^{n}$ quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por $3^{n}.$

## Números primos

Número primo é um número natural maior que 1 e que tem exatamente dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo. Se um número natural é maior que 1 e não é primo, diz-se que ele é um número composto. Por convenção, os números 0 e 1 não são primos nem compostos.

### Decomposição em fatores primos (fatoração)

O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que qualquer número inteiro positivo pode ser escrito como o produto de vários números primos (chamados fatores primos). O processo que recebe como argumento um número composto e devolve os seus fatores primos chama-se decomposição em fatores primos (fatoração).
Exemplos:
* $6=2\times 3$
* $16=2^{4}\,\!$
* $20=2^{2}\times 5$

## Máximo Divisor Comum (MDC)

O máximo divisor comum (também conhecido por maior divisor em comum) entre dois números $a\,\!$ e $b\,\!$ (vulgarmente abreviada como $mdc(a,b)\,\!$) é o maior número inteiro encontrado, que seja divisor dos outros dois. Por exemplo, $mdc(16,8)=8\,\!.$ A definição abrange qualquer número de termos.
Exemplo:
* $mdc(a,b,c,d)\,\!.$
Esta operação é tipicamente utilizada para reduzir equações a outras equivalentes:
Seja $m\,\!$ o máximo divisor comum entre $a\,\!$ e $b\,\!$ e também $a'\,\!$ e $b'\,\!$ o resultado da divisão de ambos por $m\,\!,$ respectivamente.
Então, o seguinte se verifica:
    $a=b\Leftrightarrow ma=mb\Leftrightarrow a'=b'\,\!$

### Cálculo

Pode-se calcular o MDC de duas formas:
* Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas)
* Fatoração disjunta

#### Fatoração disjunta

Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, multiplicar os fatores comuns de menor expoente.

##### Exemplo

$mdc(24,40)\,\!$
Com efeito,

#### Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides)

Na Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas) fatora-se simultaneamente até dois números.
Monta-se a tabela com a seguinte estrutura:
onde,
O último resto (antes do 0) será o MDC.

##### Exemplo
## Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

O Mínimo Múltiplo Comum (também conhecido por menor múltiplo em comum) entre dois números $a\,\!$ e $b\,\!$ (vulgarmente abreviada como $mmc(a,b)\,\!$) é o menor número inteiro encontrado, que seja múltiplo dos outros dois. Por exemplo, $mmc(6,8)=24\,\!.$

### Cálculo

Pode-se calcular o MMC de duas formas:
* Fatoração conjunta
* Fatoração disjunta

#### Fatoração conjunta

Faz-se a fatoração com todos os n termos, simultaneamente:

##### Exemplo

$mmc(24,40)\,\!$

#### Fatoração disjunta

Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, manter-se a base em comum e o expoente maior, multiplicado pelos fatores não comuns.

##### Exemplo

$mmc(24,40)\,\!$
Com efeito,

## Propriedades do MDC e do MMC

Relação de Bézout:
$MDC(a,b)\times MMC(a,b)=a\times b$
Algoritmo de Euclides:
MDC(a, b)=MDC(a, b-a) MDC(a, b)=MDC(a, r), onde r é o resto da divisão de b por a.

## Ver também
### Wikilivros

Exercícios:
* Matemática elementar/Conjuntos/Números naturais/Exercícios
Uma abordagem mais avançada:
* Álgebra abstrata/Números naturais
* Teoria de números

### Wikipédia

* Critérios de divisibilidade
* Fatoração
* Número natural
* Número primo
* Máximo divisor comum