# Teoria dos conjuntos/Funções e relações

Já vimos em um capítulo anterior (Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união) como definir funções e relações.
Recapitulando, e atualizando com os novos conceitos:
* um conjunto G é o gráfico de uma relação quando todo elemento de G é um par ordenado
* uma relação de um conjunto A para um conjunto B é representada por ((A, B), G), em que $G\subseteq A\times B\,$.
* uma função é uma relação que satisfaz determinados axiomas adicionais, de forma que faz sentido escrever f(x), ou seja, para todo $x\in A\,$, f(x) existe e é único.

## Funções

Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Uma correspondência que associe a todo elemento pertencente a A um e apenas um elemento y do conjunto B. Essa correspondência entre os elementos de A e os elementos de B recebe o nome de "aplicação de A em B". Diz-se também "função" como sinônimo para aplicação.
Para dizer que f é uma função de A em B, escreve-se: ${\begin{aligned}f\colon A&\to B\\x&\mapsto f(x)\end{aligned}}$ Ou simplesmente f: A → B.
A letra x, que representa um elemento qualquer de A, chama-se "variável" e o elemento correspondente f(x) chama-se "valor de f em x ou imagem de x por f".

## Definindo funções

Um cuidado que se deve ter, em um texto rigoroso, é na hora de definirmos funções.
O leitor deve estar familiarizado com os paradoxos numéricos que são gerados ao se usar expressões como ${\sqrt {.}}\,$ e $\log \,$, sem tomar cuidado com o domínio destas funções. Como exemplo, temos seguinte prova de que 1 = -1: ${\sqrt {x^{2}}}=x\,$, logo ${\sqrt {(-1)^{2}}}=-1\,$, etc.
Em Teoria dos conjuntos não é diferente; definindo-se funções de forma descuidada também é possível gerar paradoxos.
A formas de se definir uma função são:

### Pelo seu gráfico

Em que o gráfico, aqui, é o conjunto dos pontos (x, y) em que y = f(x). O cuidado que se deve tomar é:
* o domínio deve ser formado pelos x (e apenas por eles) que aparecem nos pontos (x, y) do gráfico
* se (x, y$_1$) e (x, y$_2$) pertencem ao gráfico, então y$_1$ = y$_2$.
* o contra-domínio deve ser a imagem ou um superconjunto da imagem
Exemplo: seja G = {(1, 2), (3, 4), (5, 2)}. Uma função definida por este gráfico poderia ser $f:\{1,3,5\}\to \{2,3,4\}\,$, em que f(1) = f(5) = 2 e f(3) = 4.

### Por uma fórmula ou expressão

Esta definição é consequência do Axioma da substituição. Se φ(x) for uma expressão (escrita através de símbolos já definidos) que sempre está definida para valores de um conjunto X, então existe uma (única) função sobrejetiva $f:X\to f(X)\,$ em que $f(x)=\phi (x)\,$.
Muitas vezes φ(x) está definida implicitamente, através de uma fórmula Φ(x, y) que se comporta analogamente ao gráfico de uma função. Nestes casos, é preciso mostrar que para todo $x\in X\,$, a fórmula Φ(x, y) é satisfeita por um, e apenas um, y.
Exemplo: sejam X e a conjuntos. Então existe uma única função sobrejetiva $f:X\to f(X)\,$ em que $f(x)=x\cup A\,$.

### Por propriedades das funções

Definições por composição de funções, por inversão de funções bijetivas, etc.

### Por casos particulares, usando funções já definidas

Este é o caso em que aparecem expressões da forma:
    $h(x)={\begin{cases}f(x)&{\mbox{se }}x\in A,\\g(x)&{\mbox{se }}x\in B.\end{cases}}$
Obviamente, temos que $f:A\to C\,$ e $g:B\to C\,$ são funções anteriormente definidas (ou expressões bem definidas), e $A\cap B=\varnothing \,$.

### Através do Axioma da Escolha

O Axioma da escolha diz que existe uma função escolha em todo conjunto que não tem o conjunto vazio como seu elemento. Quando necessário, podemos invocar o axioma e dizer que tal função existe.
Este axioma é controverso porque, ao contrário dos demais axiomas, ele não dá a menor ideia de como esta função possa ser construída.