# Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/F5

* Teoria
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## Enunciado

Para estimar a força de arrasto a que um transdutor de sonar estará sujeito, foi construído um modelo de forma esférica de 10 cm de diâmetro para ensaios em um túnel de vento. Considerando que o transdutor tem 50 cm de diâmetro e será mergulhado em água do mar a 5 °C, fluindo à velocidade média de 8 km/h, determine a velocidade necessária do vento. Calcule a força de arrasto sobre o transdutor, considerando que a força exercida pelo vento sobre o modelo foi de 30 N.

## Dados do problema

| | Original | Modelo |
| Fluido | Água a 5° C | Ar a 0° C (atmosfera padrão) |
| Densidade do fluido | 1000 kg/m$^3$ | 1.2 kg/m$^3$ |
| Viscosidade do fluido | 1.5 x 10$^{-3}$ kg·m$^{-1}$·s$^{-1}$ | 1.8 x 10$^{-5}$ kg·m$^{-1}$·s$^{-1}$ |
| Diâmetro | 50 cm | 10 cm |
| Velocidade | 8 km/h | ? |
| F$_o$ | ? | 30 N |
Dados adicionais:
Velocidade do som no ar = 330 m/s

## Solução

Para usar um gás como meio físico, é preciso que duas condições sejam cumpridas:
* no original, o efeito de cavitação seja desprezível;
* no protótipo, os efeitos de compressibilidade sejam desprezíveis;
Como a velocidade de arrasto é relativamente baixa e a pressão esperada é relativamente elevada, porque o transdutor trabalhará a grandes profundidades, o número de cavitação no original
$N_{Ca}\;=\;{\frac {2\;(p_{o}\;-\;p_{v})}{\rho v_{o}^{2}}}$
será alto e a probabilidade de ocorrência de cavitação, por conseguinte, será pequena.
Para que os efeitos de compressibilidade sejam desprezíveis, é preciso que o número de Mach no modelo
$N_{Ma}\;=\;{\frac {v_{m}}{v_{r}}}$
(onde v$_r$ é a velocidade do som no ar) não seja maior que 0.3.
Similitude dinâmica, neste caso, é exigida, porque o problema envolve predição de magnitudes de forças. Assim, os grupos adimensionais importantes devem possuir o mesmo valor no original e no modelo. Como visto, os grupos Π obtidos a partir do teorema de Buckingham são os seguintes:
$\pi _{1}\;=\;{\frac {F}{\rho v^{2}L^{2}}}\qquad \pi _{2}\;=\;{\frac {\mu }{\rho vL}}\qquad \pi _{3}\;=\;{\frac {L}{e}}$
Além disso, é preciso que o escoamento em ambos os casos tenha as mesmas características, por isso o número de Reynolds deve ter o mesmo valor em ambos os casos. Mas pode-se ver que o número de Reynolds é justamente o inverso do segundo grupo Π. Assim, as equações que devem ser atendidas são as seguintes:
(1)
${\frac {F_{o}}{\rho _{o}v_{o}^{2}L_{o}^{2}}}\;=\;{\frac {F_{m}}{\rho _{m}v_{m}^{2}L_{m}^{2}}}$
(2)
${\frac {\mu _{o}}{\rho _{o}v_{o}L_{o}}}\;=\;{\frac {\mu _{m}}{\rho _{m}v_{m}L_{m}}}$
(3)
${\frac {L_{o}}{e_{o}}}\;=\;{\frac {L_{m}}{e_{m}}}$
(4)
${\frac {v_{m}}{v_{r}}}\;\leq \;0.3$
A condição (3) siginifa que as superfícies do modelo e do original devem apresentar a mesma rugosidade relativa, ou seja, a altura das rugas deve ser proporcional ao diâmetro. Essa condição implica que o modelo não pode ser construído com o mesmo material que o original, e sim com outro 5 vezes mais liso. Sendo o transdutor de aço, é preciso que o modelo seja de aço polido, por exemplo.
De (2), temos que
$v_{m}\;=\;{\frac {\rho _{o}v_{o}L_{o}\mu _{m}}{\mu _{o}\rho _{m}L_{m}}}\;=\;{\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot 8\;km/h\cdot 50\;cm\cdot 1.8\times 10^{-5}kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}{1.5\times 10^{-3}kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}\cdot 1.2\;kg/m^{3}\cdot 10\;cm}}$
$\;=\;{\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot 8.0\cdot {\frac {1000}{3600}}\;m/s\cdot 0.50m\cdot 1.8\times 10^{-5}kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}{1.5\times 10^{-3}kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}\cdot 1.2\;kg/m^{3}\cdot 0.10\;m}}\;=\;110\;m/s$
A condição (4)
${\frac {v_{m}}{v_{r}}}\;=\;{\frac {110\;m/s}{330\;m/s}}\;=\;0.3$
é, portanto, satisfeita. No limite, devido ao fato de a razão densidade/viscosidade ser cerca de 10 vezes maior para a água do que para o ar. Se a velocidade do fluido no original fosse maior, seria necessário usar um fator de escalamento menor, ou seja, construir um modelo um pouco maior.
Tomando agora a equação (1), calculamos a força de arrasto sobre o transdutor
$F_{o}\;=\;F_{m}\;{\frac {\rho _{o}v_{o}^{2}L_{o}^{2}}{\rho _{m}v_{m}^{2}L_{m}^{2}}}\;=\;30\;N\cdot {\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot (8\;km/h)^{2}\cdot (50\;cm)^{2}}{1.2\;kg/m^{3}\cdot (110\;m/s)^{2}\cdot (10\;cm)^{2}}}$
$30\;N\cdot {\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot (8\;{\frac {1000}{3600}}\;m/s)^{2}\cdot (0.50cm)^{2}}{1.2\;kg/m^{3}\cdot (110\;m/s)^{2}\cdot (0.10m)^{2}}}\;=\;250\;N$