# Álgebra abstrata/Funções
## Produto Cartesiano

Podemos associar dois conjuntos de forma que os seus elementos sejam independentes. Seja A,B conjuntos tais que seus elementos não estejam relacionados, assim:

## Aplicação (Funções)

Uma função associa elementos de dois conjuntos através de uma regra. Assim temos A,B conjuntos e f associando A e B através de uma regra e escrevemos $f:A\mapsto B\;$.
* (função) f é uma aplicação $\Leftrightarrow \forall \;x\in A,\exists \;f(x)=y\in B$
** (unicidade) $Se\;f(x)=y,f(x)=z,logo\;y=z$

### Funções iguais

Duas funções f,g são iguais se, e somente se, $D_{f}=D_{g},CD_{f}=CD_{g},f(x)=g(x)\;\forall \;x\in D$

### Transformação

Uma transformação é uma aplicação onde D=CD. $f:S\mapsto S\;$ é uma transformação de S sobre S.

### Aplicação Identidade

Uma aplicação Identidade leva um elemento ao mesmo elemento. Seja $1_{S}:S\mapsto S,\;assim\;1_{S}(t)=t,\;\forall \;t\in S$

### Contra-domínio

O conjunto B é chamado de contra-domínio porque é o conjunto onde f aplicado em A vai procurar estabelecer sua regra.

### Imagem

O conjunto $B'=\{f(x),x\in A,f(x)\in B\}$ é chamado de conjunto imagem porque é o conjunto de todos os elementos de B que são alcançados pela regra de f aplicado em A.

### Restrição\Extensão

Seja $f:A\mapsto B\;e\;C\subset A$.
Uma aplicação $g:C\mapsto B$ é chamada restrição f para C, e escrevemos $f|C:C\mapsto B$.
Uma restrição f|C é uma restrição do domínio, e $C\times B=\{(c,f(c)),c\in C\}$
A aplicação f é uma extensão da aplicação f|C

### Sobrejetora

Uma aplicação $f:A\mapsto B$ é sobrejetora, se $Im(A)=B\;$

### Injetora

A aplicação $f:A\mapsto B$ é injetora se elementos distintos de A(domínio) tem imagens distintas em B, isto é, se $a1\neq a2\Rightarrow f(a1)\neq f(a2)$

### Gráfico de uma função

Seja $f:A\mapsto B$ uma função. O gráfico de f é dado por $G_{f}=\{(x,f(x));x\in A,f(x)\in B\}$

## Composição de funções

Seja $f:R\mapsto S,g:S\mapsto T\;e\;h:T\mapsto U$.
* As aplicações $f\circ g:R\mapsto T\;e\;g\circ h:S\mapsto U$ são chamadas de aplicações compostas
* A aplicação $f\circ g\circ h:R\mapsto U$ é interessante pela sua forma associativa
** $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h):R\mapsto U$
** Se f e g são sobrejetora, então $f\circ g$ também o é
** Se f e g são injetora, então $f\circ g$ também o é

### Bijetora

Se f é sobrejetora e injetora, então ela é chamada bijetora.
De uma maneira mais rigorosa, $f:X\mapsto Y$ é bijetiva se, e somente se, existe $g:Y\mapsto X$ tal que $g\circ f=1_{X}\;e\;f\circ g=1_{Y}$

### Aplicação Inversa

Função inversa de $f:X\mapsto Y$ é uma função com gráfico (f(x),x), onde é o mesmo gráfico de f(x), rotacionado em torno da reta y=x. Dizemos que $f^{-1}:Y\mapsto X$ é a função inversa de f.
Seja $f:X\mapsto Y,g:Y\mapsto Z$. Assim $f\circ g:X\mapsto Z,g^{-1}\circ f^{-1}:X\mapsto Z$; Façamos:
    i) $(f\circ g)\circ (g^{-1}\circ f^{-1})=f\circ (g\circ g^{-1})\circ f^{-1}=f\circ f^{-1}=1_{Y}$
    ii) $(g^{-1}\circ f^{-1})\circ (f\circ g)=g^{-1}\circ (f^{-1}\circ f)\circ g=g^{-1}\circ g=1_{X}$

### Imagem Inversa

Suponha $f:X\mapsto Y$, seja uma relação de equivalência envolvendo a imagem, de forma que, a R b se, e comente se, f(a) = f(b). Assim se $c\in Y$ nós temos $f^{-1}(c)=\{a\in X/f(a)=c\}$
    Seja $C\subset Y$. De fato, $f^{-1}(C)=\bigcup _{c\;\in \;Y}f^{-1}(c)$