# Medida e integração/Mensurabilidade
## Introdução

Nos cursos básicos de cálculo, aprende-se que a integral está intimamente relacionada com a noção de área que se conhece desde o ensino fundamental. A teoria da integração tem em suas raízes os trabalhos de matemáticos gregos como Eudoxo e Arquimedes, que viveram alguns séculos antes de Cristo. Naqueles tempos, eles já eram capazes de calcular áreas e volumes por meio do método de exaustão, no qual se decompunha um todo em infinitas partes cuja área ou volume fossem quantidades conhecidas.
O maior avanço em relação a integração veio somente no século XVII, com a descoberta do teorema fundamental do cálculo, feita independentemente por Newton e Leibniz. No entanto, mesmo nesta época a teoria da integração carecia de uma formulação rigorosa. Foi Riemann quem, no século XIX, trouxe uma formalização da noção de integral através do uso de limites. Hoje em dia, os cursos de cálculo trazem tradicionalmente as ideias e propriedades mais relevantes da integral de Riemann.
Apesar de sua popularidade, a teoria de integração desenvolvida por Riemann tem algumas deficiências que se tornam evidentes quando se precisa estudar sequências de funções integráveis ou mesmo séries de tais funções. O exemplo notável surge ao considerar uma sequência $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ de funções integráveis à Riemann que em cada ponto $x$ converge para um valor $f(x).$ Geralmente, quando se tem uma sequência convergente (no caso, $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} })$ e uma operação sendo feita sobre cada um de seus termos (no caso o cálculo da integral de Riemann), é importante poder "comutar o limite e a operação". No exemplo citado, seria interessante que valesse a seguinte igualdade:
$\lim \int f_{n}=\int \lim f_{n}.$
Usando-se a integral de Riemann, para se ter garantia desta propriedade é preciso exigir muito mais do que a convergência pontual: Se a sequência for uniformemente convergente, pode-se comutar o símbolo da integral com o do limite.
Henri Lebesgue, em 1902 desenvolveu em sua dissertação uma teoria de integração mais elegante, preenchendo as grandes lacunas na teoria de integração de Riemann. Devido a importância daquele trabalho, a teoria é hoje chamada de Integração de Lebesgue.

## O conceito de mensurabilidade

Quando se estuda topologia, um conceito que está sempre presente é o de função contínua. As funções contínuas tem várias propriedades interessantes e são fundamentais no estudo de espaços topológicos. Em contrapartida, no desenvolvimento da teoria de integração, certo tipo de funções, as chamadas funções mensuráveis, também têm grande importância. Estas funções possuem algumas características em comum com as funções contínuas, e isto ficará evidente conforme forem deduzidas algumas de suas propriedades.
Ao se definir o que são funções contínuas, é levada em consideração a forma como estas funções se comportam em relação a certos subconjuntos de seu domínio e seu contradomínio. Para ser mais exato, se diz que uma função é contínua quando a pré-imagem (ou imagem inversa) de qualquer aberto do seu contradomínio é um conjunto aberto do seu domínio. De forma análoga, definem-se as funções mensuráveis considerando o comportamento destas funções em relação a conjuntos abertos do contradomínio e um outro tipo de subconjuntos do seu domínio: os conjuntos mensuráveis.
Apesar de ainda não ter sido dito o que é uma medida, esta é uma ideia que aparece em contextos bastante simples, como é o caso dos intervalos numéricos da reta de números reais. Intuitivamente, pode-se dizer que o comprimento do intervalo $\left(a,b\right)$ é igual a $|b-a|,$ ou ainda, a distância de $a$ até $b.$ Os intervalos são exemplos típicos de algo que se gostaria de poder "medir". Seria igualmente interessante poder medir as uniões finitas de intervalos, e também ser capaz de fornecer a medida da diferença $\left(a,b\right)\smallsetminus \left(c,d\right)$ entre dois intervalos. Propriedades como estas servem de motivação para se definir as $\sigma$-álgebras de conjuntos e em sequência a noção de mensurabilidade.

### Definição 1.1

Dado um conjunto $X\not =\emptyset ,$ diz-se que uma coleção ${\mathfrak {M}}\subset {\mathcal {P}}(X)$ de subconjuntos de $X$ é uma ${\boldsymbol {\sigma }}$-álgebra sobre $\mathbf {X}$ se ${\mathfrak {M}}$ satisfaz as seguintes condições:
* $X\in {\mathfrak {M}};$
* Se $A\in {\mathfrak {M}}$ então $X\smallsetminus A\in {\mathfrak {M}};$
* Se $(A_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ é uma sequência em ${\mathfrak {M}}$ então $\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathfrak {M}}.$

### Observações

* Obs. 1.2: Conforme já foi dito, será usada a notação $A^{c}$ para denotar o complementar de $A$ em relação a $X$ sempre que o contexto deixar claro qual o conjunto $X$ em questão. Em particular, isto se aplica ao segundo item da definição de $\sigma$-álgebra. Assim, a propriedade 2 diz que se $A$ pertence a uma $\sigma$-álgebra, então $A^{c}$ também pertence.
* Obs. 1.3: Decorre diretamente da definição que o conjunto vazio $\emptyset$ pertence a qualquer $\sigma$-álgebra, pois $\emptyset =X^{c}$ e $X\in {\mathfrak {M}}.$
* Obs. 1.4: Utilizando as leis de De Morgan, obtém-se uma propriedade equivalente à terceira exigência da Definição 1.1, mas que envolve uma interseção enumerável:
3'. Se $(A_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ é uma sequência em ${\mathfrak {M}}$ então $\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathfrak {M}}.$
* Obs. 1.5: Se $(x_{\lambda })_{1\leq \lambda \leq p}$ é uma sequência finita em ${\mathfrak {M}},$ então
$\bigcap _{1\leq \lambda \leq p}X_{\lambda }\in {\mathfrak {M}}$ e $\bigcup _{1\leq \lambda \leq p}X_{\lambda }\in {\mathfrak {M}}.$
* Obs. 1.6: Se $A\in {\mathfrak {M}}$ e $B\in {\mathfrak {M}},$ então $A\smallsetminus B\in {\mathfrak {M}}.$ De fato, sendo $A\subset X,$ tem-se
$A\smallsetminus B=\{x\in A;x\not \in B\}=A\cap \{x\in X;x\not \in B\}=A\cap (X\smallsetminus B).$
Como se poderia imaginar a partir dos comentários que precederam a definição definição de $\sigma$-álgebra, os conjuntos mensuráveis serão aqueles que verificam as propriedades acima. De forma mais precisa:

#### Definição 1.7

Se ${\mathfrak {M}}$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $X,$ o par ordenado $\left(X,{\mathfrak {M}}\right)$ é chamado de espaço mensurável e os elementos de ${\mathfrak {M}}$ são denominados conjuntos mensuráveis.
* Obs. 1.8: É comum cometer um abuso de linguagem e se referir ao "espaço mensurável $\left(X,{\mathfrak {M}}\right)$" sem mencionar a $\sigma$-álgebra ${\mathfrak {M}},$ como por exemplo ao dizer "o espaço mensurável $X$". Obviamente, isto só será feito quando ficar claro qual a $\sigma$-álgebra em questão. A situação análoga no contexto da Topologia é falar de um espaço topológico sem mencionar sua topologia, como em "$\mathbb {R}$ é um espaço topológico".
Finalmente, uma vez caracterizados os conjuntos mensuráveis, a noção de mensurabilidade pode ser definida também para funções:

#### Definição 1.9

Se $f:X\mapsto Y$ é uma função para a qual $X$ é um espaço mensurável e $Y$ é um espaço topológico, diz-se que $f$ é uma função mensurável ou aplicação mensurável se para cada aberto $A$ de $Y,$ sua imagem inversa $f^{-1}(A)$ for um conjunto mensurável.
O próximo resultado mostra uma forma de se obter funções mensuráveis quando já se conhece uma função mensurável e uma contínua: basta realizar sua composição, aplicando primeiro a função mensurável e por último a função contínua.

#### Proposição 1.10

Sejam $X$ um espaço mensurável, $Y$ e $Z$ espaços topológicos e $f:X\mapsto Y$ uma aplicação mensurável. Se $g:Y\mapsto Z$ é uma função contínua então $h:=g\circ f:X\mapsto Z$ é uma aplicação mensurável.
Um resultado análogo ao anterior, que pode ser aplicado quando se tem uma função contínua a duas variáveis reais (ou a uma variável complexa), é mostrado a seguir.

#### Proposição 1.11

Sejam $X$ um espaço mensurável, $\mathbb {R}$ e $Y$ espaços topológicos, onde a topologia de $\mathbb {R}$ é a usual. Se $u,v:X\mapsto \mathbb {R}$ são aplicações mensuráveis e $\Phi :\mathbb {C} \mapsto Y$ é uma função contínua então $h:X\mapsto Y,$ definida por $h(x)=\Phi (u(x),v(x))$ é uma aplicação mensurável.
Como consequência imediata desta proposição, tem-se o seguinte:

#### Corolário 1.12

Sejam $X$ um espaço mensurável e $\mathbb {R}$ um espaço topológico (com sua topologia usual). Se $u,v:X\mapsto \mathbb {R}$ são aplicações mensuráveis, então $f:=u+iv$ é uma aplicação mensurável.
Um outro resultado imediato que trata especificamente da mensurabilidade de funções de uma variável complexa é o seguinte:

#### Corolário 1.13

Sejam $X$ um espaço mensurável e $\mathbb {R}$ um espaço topológico (com sua topologia usual). Se $f:=u+iv:X\mapsto \mathbb {C}$ é uma aplicação mensurável então $u,v,|f|:X\mapsto \mathbb {R}$ são aplicações mensuráveis.
Além do que já foi mostrado até o momento, no conjunto das funções mensuráveis que tomam valores em um corpo também verifica uma propriedade muito frequente em matemática: o fechamento em relação a soma e o produto. Uma consequência disto é que um polinômio em funções mensuráveis continua sendo mensurável e, em particular, a multiplicação de uma função mensurável por uma constante (ou se preferir, um escalar) também é mensurável. O resultado que garante estas propriedades é apresentado a seguir.

#### Corolário 1.14

Sejam $X$ um espaço mensurável, $\mathbb {K}$ um espaço topológico (com sua topologia usual) e $\lambda \in \mathbb {K} .$ Se $f,g:X\mapsto \mathbb {K}$ são mensuráveis então $u+v,$ $uv$ e $\lambda v$ são mensuráveis.
* Obs. 1.15: Seja $X$ um espaço mensurável. Então o conjunto
${\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} ):=\{f:X\mapsto \mathbb {K} ;f$ é mensurável $\$
munido das operações pontuais de adição, multiplicação e multiplicação por escalar, é uma $\mathbb {K}$-álgebra (ou também uma sub $\mathbb {K}$-álgebra de ${\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )$).

#### Definição 1.16

Dado um conjunto $X\not =\emptyset$ e $E\subset X,$ a função característica de $\mathbf {E}$ é a função $X_{E}:X\mapsto \{0,1\}$ definida por
$X_{E}(x)={\begin{cases}1,&{\text{ se }}x\in E\\0,&{\text{ se }}x\in E_{X}^{c}\end{cases}}$
Obs. 1.17: Note que o domínio da função característica de $E\subset X$ é $X,$ e não $E.$
O próximo resultado mostra que um conjunto é mensurável se, e somente se, a sua função característica for mensurável (se vista como uma função que toma valores em $\mathbb {R} ).$ Por simplicidade, a função ${\overline {X_{E}}}:X\mapsto \mathbb {R}$ definida por ${\overline {X_{E}}}(x)=X_{E}(x)$ em cada elemento de $X$ também será denotada pelo símbolo $X_{E},$ ficando implícito que o contradomínio é o conjunto dos números reais ao se falar sobre a sua mensurabilidade. Além disso, como já foi dito, se não for feita indicação em contrário será considerada a topologia usual de $\mathbb {R} .$

#### Proposição 1.18

Dado um espaço mensurável $X$ e $E\subset X,$ as seguintes afirmações são equivalentes
* $E$ é mensurável;
* $X_{E}$ é uma função mensurável;

#### Proposição 1.19

Dado um espaço mensurável $X$ e uma função mensurável $f:X\mapsto \mathbb {C} ,$ existe uma função mensurável $\alpha :X\mapsto \mathbb {C}$ tal que $|\alpha (x)|=1$ para todo $x\in X$ e $f=\alpha |f|.$
A seguir, é demonstrado um a interseção de uma família de $\sigma$-álgebras é ainda uma $\sigma$-álgebra.

#### Lema 1.20

Se $X$ é um conjunto não-vazio e $(M_{i})_{i\in I}$ é uma família de $\sigma$-álgebras sobre $X,$ então $M:=\cap _{i\in I}M_{i}$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $X.$

#### Proposição 1.21

Se $X$ é um conjunto não-vazio e $F$ é um de seus subconjuntos, então existe a menor $\sigma$-álgebra sobre $X$ que contém $F.$

#### Definição 1.22

A menor $\sigma$-álgebra sobre $X$ que contém $F$ é chamada de ${\boldsymbol {\sigma }}$-álgebra gerada por $\mathbf {F}$ e denotada por ${\boldsymbol {\langle F\rangle }}.$

## Exercícios
### Exercício

Demonstre que se obtém uma definição de $\sigma$-álgebra equivalente a que foi dada se for trocada a propriedade 3 por 3', ou seja, se for exigido que a interseção enumerável de mensuráveis seja mensurável (em vez da união enumerável).

### Exercício

Mostre que a interseção finita $\bigcap _{1\leq \lambda \leq p}X_{\lambda }$ e a união finita $\bigcup _{1\leq \lambda \leq p}X_{\lambda }$ são mensuráveis sempre que os conjuntos $X_{1},\ldots ,X_{p}$ forem mensuráveis.

### Exercício

Dado um conjunto $X$ arbitrário, verifique se os seguintes conjuntos são $\sigma$-álgebras sobre $X$:
* ${\mathfrak {M}}=\left\{\emptyset ,X\right\}$
* ${\mathfrak {M}}={\mathcal {P}}(X)$

### Exercício

Se $X$ é um conjunto infinito, é verdade que ${\mathfrak {M}}={\mathcal {P}}_{f}(X)$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $X$?

### Exercício

Seja $X$ é um conjunto arbitrário e $S\subset X.$ Demonstre que ${\mathfrak {M}}=\left\{A\in {\mathcal {P}}(X):A\cap S=\emptyset {\text{ ou }}S\subset A\right\}$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $X$ e que $\left\{S,S_{X}^{c}\right\}\subset {\mathfrak {}M).$

## Notas

* ↑ Ver propriedades 1 e 2 da Definição 1.1
* ↑ Como $B\in {\mathfrak {M}},$ a propriedade 2 da Definição 1.1 garante que $X\smallsetminus B\in {\mathfrak {M}}$ e, pela observação anterior, a interseção desta diferença com $A$ está em ${\mathfrak {M}}.$
* 1 2 3 4 5 A rigor, um espaço topológico é um par $\left(X,\tau \right),$ onde $\tau$ é uma topologia para o conjunto $X.$ Para mais detalhes, consulte um dos livros citados nas referências do wikilivro Topologia, por exemplo General topology, de John L. Kelley, página 37.
* 1 2 3 4 5 6 7 Note que está sendo cometido um abuso de linguagem: a rigor, um espaço mensurável é na verdade um par $\left(X,{\mathfrak {M}}\right)$ e não apenas um conjunto $X.$ No entanto, conforme foi mencionado na Observação 1.9, é costume não explicitar a $\sigma$-álgebra ${\mathfrak {M}},$ principalmente quando esta puder ser deduzida pelo contexto.
* ↑ Na Obs. 1.3 se justifica porque o conjunto vazio é mensurável.
* ↑ Note que qualquer outro conjunto aberto com esta propriedade também serve.
* ↑ Está sendo suposto que a família é não-vazia, ou seja, que o seu conjunto de índices não é vazio.

## Referências

* ↑ Conforme introdução do livro "The Elements of Integration and Lebesgue Measure", escrito por Bartle. Ver também a seção History, do artigo sobre integrais na Wikipédia inglesa.
* ↑ Ver na Wikiversidade a ementa da disciplina "Introdução ao Cálculo".
* ↑ Este teorema da análise é explicado em detalhes no capítulo sobre Convergência uniforme do wikilivro de Análise real.
* ↑ Lebesgue (1902)
* ↑ Para maiores detalhes, pode ser consultado o wikilivro intitulado "Topologia", ou alguma de suas referências.
* ↑ Alguns autores definem a mensurabilidade de funções a partir de outra propriedade (que será apresentada na Proposição 2.29). Veja, por exemplo, Isnard (2007), pág. 57.
* ↑ Isnard (2007) apresenta uma versão deste resultado, com $Y$ e $Z$ sendo espaços vetoriais normados, no exercício 13 da página 109.
* 1 2 3 Conforme K. D. Joshi em seu livro Introduction to General Topology, a topologia usual de $\mathbb {R}$ é aquela induzida pela métrica euclidiana.