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# Guia de problemas matemáticos/Teoria dos números
## Teoria do números

* Divisibilidade por 16 - CACN (2001 - 2002)
* Múltiplos de 12 num dado intervalo - CACN (2001 - 2002)
* Números no quadrado - CACN (2001 - 2002)
* Relação entre quadrados de números - CACN (2001 - 2002)
* Soma de números irracionais 1 - CACN (2001 - 2002)

## Referências

* 1 2 3 4 5 CACN - Concurso de Admissão ao Colégio Naval. Concurso (exame) de nível nacional, aplicado a jovens com os seguinte requisitos: ser do sexo masculino; possuir entre 14 e 17 anos de idade; ser solteiro e brasileiro nato. Tal concurso (exame) é composto por questões de alto nível de Matemática, bem como de outras áreas do conhecimento pertinentes ao nível dos candidatos. Aplicado a candidatos com Ensino Fundamental (equivalente, em Portugal, ao Ensino Básico) completo, confere, aos aprovados, a admissão ao Colégio Naval, uma instituição de ensino da Marinha do Brasil, que oferece educação a nível de Ensino Médio (equivalente, em Portugal, ao Ensino Secundário).
# Guia de problemas matemáticos/Teoria dos números/Divisibilidade por 16
## O problema

Justapondo-se os números naturais conforme a representação abaixo, onde o sinal * indica o último algarismo, forma-se um número de 1002 algarismos. Então calcule o resto da divisão desse número por 16.
$N=123456789101112131415161718192021....*$

## Uma solução

Para resolver esse problema, precisamos conhecer uma pequena regra de divisibilidade:
"Um número é divisível por $2^{n}$ quando seus n últimos algarismos forem iguais a 0, ou divisíveis por $2^{n}$.
Em outras palavras, a divisão de um número qualquer por $2^{n}$ depende dos n últimos algarismos desse número.
Então, para solucionarmos nosso problema, precisamos conhecer os 4 últimos algarimos do número formado (pois 16 = $2^{4}$). Como o processo de formação desse número é relativamente simples, não será complicado descobrir os 4 últimos algarismos desse número.
Pelo que o enunciado já nos informou, podemos obter os últimos algarismos do número formado da seguinte maneira:
De 1 a 9, teremos 9 números de 1 algarismo, portanto 9 algarismos. De 10 a 99 teremos 90 números de 2 algarismos, portanto 180 algarismos. Somando os algarismos, obtemos 189. Se o número formado terá 1002 algarismos, temos que restam 813 algarismos (1002 - 189). Percebamos, então, que todos esses 813 algarismos serão ocupados por números naturais de três algarismos. Assim sendo, ainda restam 271 números (813 : 3) de três algarismos para serem justapostos. Vamos então elaborar um pequeno esquema, que nos fornecerá os últimos algarismos do número formado:
$100\rightarrow 200\Rightarrow 101n{\acute {u}}meros$
$201\rightarrow 300\Rightarrow 100n{\acute {u}}meros$
$301\rightarrow 370\Rightarrow 70n{\acute {u}}meros$
Logo, o número formado será:
$N=123456789101112...368369370$
Pelo critério de divisibilidade por 16 mencionado inicialmente, o resto da divisão desse número por 16 será igual ao resto da divisão de 9370 por 16. Portanto:
$N\equiv 9370(mod16)$
Como 9370 : 16 deixa resto 10, o resto da divisão de N por 16 nos dará resto 10.
E o problema termina.
Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

## Agradecimentos

* A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.

## Referências

* ↑ Artigo no Wikipédia: Critérios de divisibilidade - Outros critérios de divisibilidade.
# Guia de problemas matemáticos/Teoria dos números/Múltiplos de 12 num dado intervalo
## O problema

Calcule o número de múltiplos de 12 compreendidos entre 357 e 3578.

## Uma solução

Esse problema é facilmente respondido utilizando a noção de progressão aritmética. Porém, como essa questão faz parte de um concurso aplicado a candidatos sem essa noção (ao menos considerando o currículo escolar brasileiro... é óbvio que alguns podem ter uma noção desse assunto por se interessarem por matemática, ou por já serem alunos do Ensino Médio que ainda possuam idade para prestarem o exame) nós vamos resolvê-la de maneira diferente. Vamos utilizar uma pequena noção de intervalos para solucioná-la. Vamos lá!
Seja k o número de múltiplos de 12 compreendidos entre 357 e 3578. Podemos perceber que 360 é o múltiplo de 12 mais próximo de 357.Então podemos escrever o seguinte:
360 ≤ 12.k ≤ 3576 (3576 porque é o múltiplo de 12 mais próximo de 3578)
30 ≤ k ≤ 298
Agora podemos perceber que o número de múltiplos de 12 será dado por:
k = 298 - 30 + 1 (aqui somamos 1 porque ao fazer a diferença, excluimos o 360, que por ser múltiplo de 12 deve ser "reabilitado")
k = 299 - 30
k = 269
E terminamos o problema.
Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

## Agradecimentos

* A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.
# Guia de problemas matemáticos/Matemática financeira
## Matemática Financeira

* Preço de custo do carro - CACN

## Referências

* ↑ CACN - Concurso de Admissão ao Colégio Naval. Concurso (exame) de nível nacional, aplicado a jovens com os seguinte requisitos: ser do sexo masculino; possuir entre 14 e 17 anos de idade; ser solteiro e brasileiro nato. Tal concurso (exame) é composto por questões de alto nível de Matemática, bem como de outras áreas do conhecimento pertinentes ao nível dos candidatos. Aplicado a candidatos com Ensino Fundamental (equivalente, em Portugal, ao Ensino Básico) completo, confere, aos aprovados, a admissão ao Colégio Naval, uma instituição de ensino da Marinha do Brasil, que oferece educação a nível de Ensino Médio (equivalente, em Portugal, ao Ensino Secundário).
# Guia de problemas matemáticos/Matrizes e determinantes
## Problema 1

Determine todos os valores de $x$ e $y$ para os quais é válida a seguinte igualdade entre matrizes:
    ${\begin{pmatrix}x^{2}&4\\3&y^{2}-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}16&4\\3&24\end{pmatrix}}$

### Solução

Para que duas matrizes sejam iguais, é necessário que cada entrada de uma delas seja igual a entrada correspondente na outra. No caso das matrizes quadradas acima, é preciso que se verifiquem quatro igualdades, das quais duas são claramente verdadeiras:
    $4=4$
    $3=3$
Para que as outras duas igualdades sejam válidas, é necessário e suficiente que $x$ e $y$ satisfaçam as seguintes equações:
    $x^{2}=16$
    $y^{2}-1=24$
A primeira delas só é possível quando $x=4$ ou $x=-4$. Enquanto a segunda implica que $y$ deve ser igual a $-5$, ou a $5$.
Assim, o conjunto contendo todos os pares de números $x$ e $y$ para os quais as duas matrizes apresentadas são idênticas, é:
    $S=\{(-4,-5),(-4,5),(4,-5),(4,5)\}$

## Ver também

O conceito de matrizes é abordado em dois livros:
* Matemática elementar/Matrizes - nível elementar (ensino médio ou secundário)
* Álgebra linear/Matrizes - nível avançado (universitário)
# Introdução

Os Problemas Matemáticos estão presentes em nossa vida, a todo momento. Desde uma ida à padaria para comprar pães até os cálculos complexos envolvidos nas construções, a matemática nos impõe problemas, que devem ser solucionados a fim de facilitar a nossa vida e melhorar nossa interação com o mundo. Tendo isso em mente, esse livro foi criado para que os usuários possam colocar livremente os problemas matemáticos que enfrentaram ao longo de sua vida, bem como aqueles que ainda não conseguiram decifrar e aqueles que conseguiram elaborar. Aconselho que cada área da matemática tenha um espaço próprio para a postagem dos seus respectivos problemas. Assim, teremos um ótimo guia de auxílio na solução de problemas, bem-organizado e atualizado. Sinta-se livre para colaborar!
AVISO: esse Guia não deve ser considerado um Fórum de discussão sobre problemas, com a postagem de problemas ainda não solucionados, ou ainda com a postagem de dúvidas sobre problemas. Não crie páginas intituladas "Como resolver isso?" ou "Dúvida urgente". Ao invés de criar uma página para discutir sobre um determinado problema, utilize a aba "Discussão" para colocar suas dúvidas.
# Guia de problemas matemáticos/Números complexos
## Números complexos

* Complexo de menor argumento em função de duas constantes - ITA

## Referências

* ↑ ITA - Instituto Tecnológico da Aeronáutica. Instituição de Ensino Superior da Força Aérea Brasileira (FAB). O concurso (exame) de admissão a essa instituição de ensino é considerado o mais difícil do Brasil. Elaborado com questões de Matemática, Física, Química, Português (Gramática e Literatura) e Inglês, conta com níveis de concorrência que superam facilmente os 50 candidatos por vaga, além de ser uma das mais renomadas instituições de Ensino Superior do mundo.
# Guia de problemas matemáticos/Matemática financeira/Preço de custo do carro
## O problema

João vendeu dois carros, um do modelo SL e outro do modelo SR, sendo o preço de custo do primeiro 20% mais caro que o do segundo. Em cada carro ele teve um lucro de 20% sobre seus respectivos preços de venda. Se o total dessa venda foi R$ 88.000,00 calcule, em reais, o preço de custo do segundo modelo.

## Uma solução

Primeiramente, o enunciado nos informou que o preço de custo do modelo SL (representaremos por x) é 20% maior que o do modelo SR (representaremos o preço de custo do modelo SR por y). Sendo assim:
$x=y+20\%y\longrightarrow x=y+0,2y\longrightarrow x=1,2y$
Agora, vamos raciocinar com o lucro da venda. Foi-nos informado que João obteve um lucro de 20% sobre os respectivos preços de venda dos carros (por exemplo, se João vendeu um carro por R$ 10.000,00, então seu lucro foi de R$ 2.000,00). Certo. Vamos então utilizar o fato de que o lucro é dado pela diferença entre o preço da venda de determinado produto pelo seu respectivo preço de custo. Equacionando essas informações, e representado por L e V o lucro e a venda, respectivamente:
$L_{x}=V_{x}-x\longrightarrow 0,2V_{x}=V_{x}-x\longrightarrow x=0,8V_{x}$
$L_{y}=V_{y}-y\longrightarrow 0,2V_{y}=V_{y}-y\longrightarrow y=0,8V_{y}$
O enunciado do problema também nos informou que a soma da venda dos dois carros totalizou R$ 88.000,00. Então:
$V_{x}+V_{y}=88.000$
Agora, vamos multiplicar a equação toda por 0,8:
$0,8V_{x}+0,8V_{y}=(0,8).(88.000)$
Lembra-se da relação que encontramos logo acima? Pois bem:
$x+y=70.400$
Lembra-se ainda da primeira relação que estabelecemos? Com ela, podemos terminar o problema:
$1,2y+y=70.400$
$2,2y=70.400$
$y={\frac {70.400}{2,2}}$
$y=R\$32.000,00$
E terminamos o problema.
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## Agradecimentos

* Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.
# Guia de problemas matemáticos/Números complexos/Complexo de menor argumento em função de duas constantes
## O problema

Sejam a e k constantes reais, sendo a > 0 e 0 < k < 1. De todos os números complexos z que satisfazem a relação $|z-ai|\leq ak$, qual é o de menor argumento?

## Uma solução

Primeiramente, vamos pensar em todos os complexos w que possuem módulo menor ou igual a ak. Podemos perceber que eles formam um círculo, de centro O (0,0) e raio igual a ak. Ok. Agora, pelo enuncidado, temos que:
$|w|=|z-ai|\rightarrow w=z-ai\rightarrow z=w+ai$
Então, temos que todos os complexos z que satisfazem o enunciado serão dados pela soma de todos os complexos w com o fator ai. Sendo assim, se todos os complexos w formavam um círculo de centro O e raio ak, agora todos os complexos z formarão outro círculo, de mesmo raio ak, porém com centro em (0,a). Todas essas coordenadas e figuras expressam-se no plano de Argand-Gauss. Para um melhor entendimento, eu montei essa imagem (na imagem, $\rho _{1}=\rho _{2}=ak$):
Agora, nós já sabemos onde procurar pelo complexo z de menor argumento. Mas, como encontrá-lo?!
Bom, sabe-se que, quanto menor o argumento, maior será o cosseno desse ângulo, se ele pertencer ao 1° quadrante. Então, precisamos encontrar o complexo z que fornecerá o argumento com maior cosseno. Se nós traçarmos o módulo do complexo z, do ponto O até as coordenadas de z (lembre-se, z pertence ao círculo c, em vermelho, da figura acima), veremos que o menor argumento ocorrerá exatamente quando o módulo de z for tangente ao círculo c. Dessa maneira, teremos um triângulo retângulo com hipotenusa igual a a, catetos iguais a ak e |z|. Outra imagem para um melhor esclarecimento:
Aproveitando a imagem, eu coloquei também os lados x e y do complexo z. Portanto, se encontrarmos x e y, encontramos o complexo z. Mas como encontrar x e y ? É um pouco simples: o triângulo formado por a, ak e |z| é semelhante ao triângulo formado por |z|, x e y, sendo a proporcional a |z|, ak proporcional a x e |z| proporcional a y. Então, vamos aos cálculos!
Primeiro, calculemos |z|:
$a^{2}=|z|^{2}+\left(ak\right)^{2}$
$|z|^{2}=a^{2}-a^{2}k^{2}$
$|z|^{2}=a^{2}\left(1-k^{2}\right)$
$|z|=a{\sqrt {1-k^{2}}}$
Agora, vamos às semelhanças dos triângulos:
Seja $\theta$ o argumento de z. Então:
$\cos \theta ={\frac {x}{|z|}}={\frac {ak}{a}}\rightarrow x=k.|z|\rightarrow x=ak{\sqrt {1-k^{2}}}$
$\sin \theta ={\frac {y}{|z|}}={\frac {|z|}{a}}\rightarrow y={\frac {|z|^{2}}{a}}\rightarrow y={\frac {a^{2}.\left(1-k^{2}\right)}{a}}\rightarrow y=a\left(1-k^{2}\right)$
Logo, se z = x + yi:
$z=ak{\sqrt {1-k^{2}}}+a\left(1-k^{2}\right)i$.
Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.
# Livro de receitas/Café cremoso à moda Bomjepe

Existem várias maneiras de preparar:

## Café cremoso à moda Bomjepe - 1
### Ingredientes

* 1 xícara (chá) ou 1 copo (americano) de café solúvel granulado (Nescafé);
* 3 e 1/2 xícaras (chá) (ou copos americano) de açúcar refinado;
* 1 xícara (chá) ou (1 copo americano) de água fervente.
* 2 colherinhas (chá, rasas) de canela em pó.

### Preparo

* Coloque na tigela da batedeira o açúcar refinado com o café solúvel granulado e misture bem com uma colher. Em seguida acrescente a água fervendo e mexa bem com a colher. A seguir bata por aproximadamente 10 minutos, até virar um creme (tipo chantilli).
* Retire o creme da batedeira, coloque-o em vasilhas de plástico e conserve-as no freezer. Validade: 60 (sessenta) dias.
* Para fazer o café cremoso, coloque 1 colher (sobremesa) deste creme em 1 xícara (chá) de leite quente, mexa bem para ficar cremoso e sirva a seguir.
# Livro de receitas/Café geladinho

Existem várias maneiras de preparar:

## Receita 1
### Ingredientes

* 1 vidro de leite de coco ( 200 ml );
* 100 ml de café forte;
* 200 ml de vodka;
* 1 lata de leite condensado;
* 1 lata de creme de leite, com soro.
* Bata no liquidificador os quatro primeiros ingredientes.
* Depois misture o creme de leite e leve para gelar.
* Sirva bem geladinho.
# Livro de receitas/Café helvetia

Existem várias maneiras de preparar:

## Café helvetia - 1
### Ingredientes e Preparo:

* Café instantâneo --
* Água fervente;
* 1 dedo de Kirch;
* 1 dedo de licor amaretto.
    Preparo:
* Faça um café bem forte, adicione o Kirch e o amareto.
* Agite, coloque o açúcar a gosto e sirva com creme chantilly.
* Enfeite com cereja e sirva a seguir.
# Livro de receitas/Café mexicano

Existem várias maneiras de preparar:

## Café mexicano - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 3 xícaras (chá) de café --
* 1/3 xícara (chá) de tequila;
* 1/3 xícara (chá) de licor de Kahlua;
* 1/4 de limão;
* 1/4 xícara (chá) de açúcar;
* 1/2 xícara (chá) de creme chantilly;
* 16 grãos de café cobertos com chocolate.
    Preparo:
* Aqueça o café com a tequila e Kahlua.
* Passe limão na borda de uma xícara grande e mergulhe no açúcar. Encha com o café.
* Coloque o creme chantilly por cima, enfeite cada bebida com quatro grão de café.
* Sirva a seguir.
# Ingredientes

* Um pacote pequeno de polpa de cacau congelada
* Um copo de leite
* Açúcar a gosto

# Modo de preparo

Bater todos os ingredientes no liquidificador e servir.
# Livro de receitas/Cachorro quente assado

Existem várias maneiras de preparar:

## Cachorro quente assado - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 1/2 kg de farinha de trigo --
* 1/2 colher (sopa) de açúcar;
* 1 colher (sopa) de manteiga;
* 2 colheres (sopa) de fermento;
* 2 colheres (sopa) de banha;
* 2 ovos;
* 1 xícara (chá) de leite;
* Sal.
    Preparo:
Amassar bem e deixar descansar meia hora.
    Recheio:
* Afogar cebola, pimenta, 1/2 kg de tomate, 200 gramas de salsicha picada.
* Misturar 1/2 litro de leite no qual desmanchou 4 colheres (sopa) de farinha de trigo e salsa.
* Mexa, fazendo-se um creme.
* Recheia-se a massa, que deve estar aberta num tabuleiro bem untado.
# Livro de receitas/Café com sorvete

Existem várias maneiras de preparar:

## Café com sorvete - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 1 xícara (chá) de café forte --
* 2 colheres (chá) de açúcar;
* 2 e 1/2 xícaras (chá) de leite;
* 6 colheres (sopa) de sorvete de baunilha ou chocolate.
    Preparo:
* Misture o café, o açúcar e o leite e divida o líquido em dois copos grandes.
* Coloque 3 colheres de sorvete em cada copo, misture e sirva com canudinho.
# Livro de receitas/Cabrito refogado

Existem várias maneiras de preparar:

## Cabrito refogado - 1
### Ingredientes e Preparo:

* 1 cabrito novo --
* 5 folhas de louro;
* 2 cebolas;
* 5 tomates maduros;
* Sal e pimenta a gosto;
* Óleo;
* Suco de 2 limões.
    Preparo:
* Tire o nervo que há na perna do cabrito e que lhe dá um mau cheiro.
* À parte, numa bacia, junte as cebolas raladas, o sal, a pimenta, o louro picadinho e o caldo de limão.
* Pique o cabrito em pedaços e coloque nesse tempero, do dia para a noite.
* No dia seguinte, ponha óleo numa panela, junte os pedaços de cabrito, refogue-os mas não os deixe fritarem.
* Adicione a cebola, tomate e os demais temperos e deixe cozinhar juntando água aos poucos. Sirva quente.
# Livro de receitas/Café cremoso

Existem várias maneiras de preparar:

## Café cremoso - 1
### Ingredientes e Preparo:

* Coloque para ferver 400 ml de leite com um pedaço de canela --
* Peneire 11 colheres (sopa) de cacau em pó com 3 colheres (sopa) de farinha de trigo em uma panela pequena.
* Junte 10 colheres (sopa) de açúcar e dilua, aos poucos, com o leite coado.
* Cozinhe por 10 minutos, mexendo sempre. Adicione 150 ml de café quente e distribua a bebida em 4 xícaras grandes.
* Complete com Chantilly e amêndoas carameladas picadas. Sirva a seguir.
# Livro de receitas/Café cremoso cappuccino

Existem várias maneiras de preparar:

## Receita 1
### Ingredientes

* 1 lata média de leite em pó;
* 1 vidro médio café solúvel granulado – 100 gramas;
* 20 colheres (sopa) de açúcar refinado;
* 1 colher (sopa) de bicarbonato de sódio;
* Uma pitada de canela em pó (Opcional).

### Preparo

* Misturar bem todos os ingredientes.
* Nota: Se quiser, pode acrescentar 4 colheres (sopa) de achocolatado em pó para cada mistura
* Dividir esta mistura em 3 partes e bater uma por uma no liquidificador.
* Guardar em vidros hermeticamente fechados.
* Para cada xícara de café, colocar 3 colheres (café), despejando água fervendo.

## Receita 2
### Ingredientes

* 1 lata pequena de achocolatado em pó (200 gramas);
* 1 lata de leite em pó instantâneo e a mesma medida de açúcar refinado;
* 1 vidro de 100 gramas de café solúvel granulado;
* 1 pacote de chantineve.

### Preparo

* Misturar tudo e guardar em vidros bem fechados.
* Conservar na geladeira.
Observação:
    Ao servir, colocar 2 ou 3 colherinhas desta mistura em cada xícara (café), completando com água fervendo.

## Receita 3
### Ingredientes

* 1 lata de leite em pó (ninho);
* 1 vidro de café solúvel granulado (café solúvel) 100 gramas;
* 4 xícaras (chá) de açúcar refinado;
* 12 colheres (sopa) de achocolatado em pó;
* 1 colher (sopa), rasa, de bicarbonato de sódio;
* 1 colherinha (chá, rasa) de canela em pó. (Opcional) ;

### Preparo

* Misturar e bater tudo no liquidificador.
* Colocar em vasilha que vede bem a tampa.

## Receita 4
### Ingredientes

* 500 ml de café quente e forte
* 200 gm de creme de leite (1 pote)
* 2 colheres de canela
* Açúcar a gosto

### Preparo

Misture o café com o creme de leite, e a canela em pó em um recipiente de plástico ou de vidro e misture bem.
Obs: Misturar os ingredientes com uma colher deixa mais saboroso ao invés de utilizar o liquidificador!
# Turismo no Brasil/Ecoturismo

Várias oportunidades no Brasil inteiro:
* Pólo Ecoturístico Caminhos do Mar
* Bonito - MS
* Chapada dos Veadeiros - GO
* Chapada Diamantina - BA
# Turismo no Brasil/Nordeste

Muita praia e sol: o que mais se pode querer? O Nordeste Brasileiro tem um clima tropical e equatorial, e diversas oportunidades de passeios, desde parques nacionais com antigas inscrições pré-históricas, até praias com dunas de areia.

## Grandes cidades

* São Luís

## Orla marítima

* Lençóis Maranhenses
* Porto de Galinhas
# Porto de Galinhas

Praia turística com pequena cidade com muitas opções de hospedagem, compras, alimentação e diversões

## Como Chegar

Fica a 1:30 de carro do Recife. Existem ônibus urbanos que saem do centro do Recife para Porto de Galinhas, sendo o tempo de viagem de aproximadamente 2:30.

## Maracaípe

Praia de surfe. fica a meia hora de caminhada de Porto de Galinhas, pela praia. A própria praia tem estrutura de hospedagem e alimentação.

## Piscinas naturais

Formação de corais que fica em frente ao centro de Porto de Galinhas. É possível ser alcançada a pé com a maré baixa. Se a pessoa não tem muita afinidade com o mar, é recomendável alugar uma jangada com guia que leva um grupo e trás de volta.