# Matemática elementar/Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras

Tomemos dois conjuntos $X\!\,$ e $Y\!\,$. Digamos que o primeiro seja um conjunto de crianças e o segundo é de mulheres adultas. Seja f a função que leva cada criança x do conjunto X na sua mãe y = f(x) do conjunto Y.
* Função Injetora e não sobrejetora
* Função Sobrejetora e não injetora
* Função Bijetora
No restante do texto, serão estudadas funções numéricas, ou seja, funções entre conjuntos de números reais.

## Domínio finito

Quando o domínio da função é finito, a forma mais prática de verificar se a função é injetora, sobrejetora ou bijetora é calcular diretamente f(x) para cada ponto do domínio, e verificar:
* se existem x e y diferentes com f(x) = f(y), então a função não é injetora
* se existe algum y no contra-domínio que ficou de fora, ou seja, para o qual não existe x com f(x) = y, então a função não é sobrejetora

### Exemplo

Seja A = { -2, -1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4}, C = {0, 1, 4}, D = {0, 1, 2} e as funções:
* $e:B\to C\,$ dada por k(x) = 1
* $f:D\to B\,$ dada por g(x) = x$^2$
* $g:A\to C\,$ dada por h(x) = x$^2$
* $h:A\to B\,$ dada por f(x) = x + 2
Então:
* e não é injetora, porque e(0) = e(1). e também não é sobrejetora, porque não existe x tal que e(x) = 0.
* f não é sobrejetora, porque não existe x tal que f(x) = 2. Mas f é injetora: a única forma de f(x) ser igual a f(y) é quando x = y, como pode ser visto listando os pares ordenados de f: {(0, 0), (1, 1), (2, 4)}.
* g não é injetora, porque g(-1) = g(1). Mas g é sobrejetora, porque para todo elemento y de C existe um elemento (pode haver mais de um) x de A com g(x) = y. Isto pode ser visto também listando os pares de g: {(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}. Outra forma de ver que ela é sobrejetora é observar que a imagem de g é o conjunto {0, 1, 4}, igual ao contra-domínio C.
* h é injetora, porque se h(x) = h(y), então x + 2 = y + 2 logo x = y. h também é sobrejetora, porque para todo elemento y de B existe um x de A com h(x) = y. De fato, isto pode ser visto enumerando-se os pares de h, ou observando-se que a imagem de h é o conjunto B.

### Casos particulares

Alguns casos particulares para funções $f:A\to B\,$, em que A e B são conjuntos finitos de números
* Se f é injetora, então A não tem mais elementos que B
* Se f é sobrejetora, então A não tem menos elementos que B
* Se f é bijetora, então A tem tantos elementos quanto B
* Se f é uma função do primeiro grau, f(x) = a x + b, com a ≠ 0, então f é injetora.
Deve-se notar que estas regras não são suficientes para resolver todos os casos, por exemplo a função $f:A\to B\,$ dada por f(x) = x$^2$, em que A = {-1, 1} e B = {0, 1} não é nem injetora nem sobrejetora.

## Domínio e contra-domínio real

Neste caso temos uma função $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,$.
Alguns casos particulares:
* Se f é uma função do primeiro grau, f(x) = a x + b, com a ≠ 0 então f é bijetora.
* Se f é uma função do segundo grau, f(x) = a x$^2$ + b x + c, com a ≠ 0, então f não é injetora nem sobrejetora.
Em outros casos, deve-se procurar desenhar o gráfico da função.

### Exemplo

Considere a função $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,$ dada por f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3).
Obviamente, pelo gráfico é fácil ver que esta função não é injetiva. Pela equação também é fácil, já que f(1) = f(2) = f(3) = 0.
Esta função é sobrejetiva. Este fato e sugerido pelo gráfico, apesar deste mostrar apenas parte do conjunto imagem.

## Domínio e contra-domínio intervalos de números reais

Neste caso temos uma função $f:\mathbb {A} \to \mathbb {B} \,$, em que A e B podem ser toda a reta real, intervalos finitos ou intervalos infinitos.
A única regra especial é:
* Se f é uma função do primeiro grau, f(x) = a x + b, com a ≠ 0 então f é injetora.

## Ver também

Artigos na wikipedia:
* Função injetiva
* Função sobrejetiva
* Função bijetiva