# Matemática elementar/Trigonometria/Transformações de soma de funções trigonométricas em produtos

As fórmulas de transformação de soma e diferença em produto, também conhecidas como Fórmulas de Prostaférese, são:
    $\mathrm {sen} \,(x)+\mathrm {sen} \,(y)=2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)$
    $\mathrm {sen} \,(x)-\mathrm {sen} \,(y)=2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)$
    $\mathrm {cos} \,(x)+\mathrm {cos} \,(y)=2\cdot \mathrm {cos} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)$
    $\mathrm {cos} \,(x)-\mathrm {cos} \,(y)=-2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {sen} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)$

## Dedução - soma e diferença dos senos

Partindo das fórmulas do seno da soma de arcos:
    $\mathrm {sen} \,(a+b)=\mathrm {sen} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)+\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {cos} \,(a)$
    $\mathrm {sen} \,(a-b)=\mathrm {sen} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)-\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {cos} \,(a)$
Somando-as membro a membro:
    $\mathrm {sen} \,(a+b)+\mathrm {sen} \,(a-b)=2\cdot \mathrm {sen} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)(I)$
Fazendo:
    $x=a+b:$ $y=a-b$
Temos:
    $a={\frac {x+y}{2}}$
    $b={\frac {x-y}{2}}$
Substituindo a e b, em (I):
    $\mathrm {sen} \,(x)+\mathrm {sen} \,(y)=2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)$
Procedendo da mesma forma, novamente a partir de:
    $\mathrm {sen} \,(a+b)=\mathrm {sen} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)+\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {cos} \,(a)$
    $\mathrm {sen} \,(a-b)=\mathrm {sen} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)-\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {cos} \,(a)$
Subtraindo-as membro a membro:
    $\mathrm {sen} \,(a+b)-\mathrm {sen} \,(a-b)=2\cdot \mathrm {sen} \,(b)\mathrm {cos} \,(a)$ (II)
Substituindo a e b, em (II):
    $\mathrm {sen} \,(x)-\mathrm {sen} \,(y)=2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)$

## Dedução - soma e diferença dos cossenos

Agora para a função cosseno
    $\mathrm {cos} \,(a+b)=\mathrm {cos} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)-\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {sen} \,(a)$
    $\mathrm {cos} \,(a-b)=\mathrm {cos} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)+\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {sen} \,(a)$
Somando-as membro a membro:
    $\mathrm {cos} \,(a+b)+\mathrm {cos} \,(a-b)=2\cdot \mathrm {cos} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)$ (III)
Substituindo a e b, em (III):
    $\mathrm {cos} \,(x)+\mathrm {cos} \,(y)=2\cdot \mathrm {cos} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)$
E por fim:
    $\mathrm {cos} \,(a+b)=\mathrm {cos} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)-\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {sen} \,(a)$
    $\mathrm {cos} \,(a-b)=\mathrm {cos} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)+\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {sen} \,(a)$
Subtraindo-as membro a membro:
    $\mathrm {cos} \,(a+b)-\mathrm {cos} \,(a-b)=-2\cdot \mathrm {sen} \,(a)\mathrm {sen} \,(b)$ (IV)
Substituindo a e b, em (IV):
    $\mathrm {cos} \,(x)-\mathrm {cos} \,(y)=-2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {sen} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)$

## Exercícios

* Exercícios

## Referências

* ↑ Prostaférese