# Conjuntos

Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem representar qualquer coisa — números, pessoas, letras, etc - até mesmo outros conjuntos. Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive. Incorretamente chamada de "Teoria dos Conjuntos" no ensino médio. Essa teoria existe, mas não é tratada no ensino médio, sendo a Teoria mais conhecida, a Axiomática de Zermello Frankel (ZFC, C relacionado ao Axioma da Escolha), tratada de forma elementar no livro "Teoria Ingênua dos Conjuntos" de Paul Halmos, traduzida para o português pelo prof. Irineu Bicudo.
Trata-se de um conceito primitivo. Um conjunto possui como única propriedade os elementos que contém. Ou seja, dois conjuntos são iguais se eles tem os mesmos elementos.

## Representação

Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino, maiúscula (A, B, C, ...). Já os elementos do conjunto são representados por letras latinas minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira:
       $A=\{v,x,y,z\}$
Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z
A exceção é feita a conjuntos que contenham elementos que devem ser representados por letras maiúsculas — por exemplo, pontos geométricos:
       $S=\{A,B,C,D\}$

### Especificando conjuntos

A maneira mais simples de representar algebricamente um conjunto é através de uma lista de seus elementos entre chaves ({ }), conforme descrito nas seções anteriores:
       $P=\{6,28,496\}$
Informalmente, usa-se o sinal ... quando a regra de formação do conjunto é óbvia a partir da enumeração de alguns elementos. Por exemplo, os conjuntos abaixo, o primeiro com um número finito, e o segundo com um número infinito de elementos:
       $Z_{100}=\{0,1,2,...,99\}$
       $N=\{0,1,2,3,4,5,...\}$
Conjuntos que são elementos de outros conjuntos são representados com chaves dentro de chaves:
       $T=\{\{1,6\},\{5,8\}\}$
Porém há notações alternativas para representar os conjuntos, como a chamada notação de composição do conjunto, que utiliza uma condição P para definir os elementos do conjunto:
       $A=\{x|P(x)\}$
P é uma função na variável x que tem o domínio igual ao conjunto A. A variável x pode estar limitada por outro conjunto, indicando-se a relação de pertinência adequada. Por exemplo:
       $A=\{x\in \mathbb {R} |x^{2}-6x=-8\}$
O conjunto A será formado, de acordo com o desenvolvimento da equação dada, por 2 e 4 (únicos números inteiros que satisfazem a condição P, ou seja, que tornam verdadeira a equação). Logo, $A=\{2,4\}$.
Um cuidado deve ser tomado com a propriedade P(x), já que a formação de conjuntos através deste método pode gerar resultados paradoxais.

## Terminologia
### Conjunto unitário

Um conjunto unitário possui um único elemento.

### Conjunto vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por $\{\}$, $\emptyset$, $\varnothing$ ou $\phi$. Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

### Subconjuntos

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B. Por exemplo:
       A = { 1,2,3 }
       B = { 1,2,3,4,5,6 }
Nesse caso A é subconjunto de B, é indica-se $A\subset B$. Deve-se reparar que B é subconjunto de si mesmo; os subconjuntos de B que não são iguais a B são chamados subconjuntos próprios.
Nota: O conjunto vazio, { } ou Ф (phi), é um subconjunto de todos os conjuntos.

#### Conjunto das partes ou potência

Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, ${\mathcal {P}}(A)$, como o conjunto que contém todos os subconjuntos de A (incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto A).
Uma maneira prática de determinar ${\mathcal {P}}(A)$ é pensar em todos os subconjuntos com um elemento, depois todos os subconjuntos com dois elementos, e assim por diante.
Exemplo:
    Se A = { 1, 2, 3 }, então ${\mathcal {P}}(A)$ = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.
Observação:
    Se o conjunto A tem n elementos, o conjunto ${\mathcal {P}}(A)$ terá 2$^n$ elementos. Ou seja:
       $\#{\mathcal {P}}(A)=2^{\#A}$.
Demonstração: Seja P(A) o conjunto de partes de A e n(S) o número de elementos distintos de S.
Se A = $\varnothing$ → P(A) = {$\varnothing$} → n(P(A)) = 2^0 = 1
Se A = {a} → P(A) = {$\varnothing$,a} → n(P(A)) = 2^1 = 2
Se A = {a,b} → P(A) = {$\varnothing$,a,b,{a,b} → n(P(A)) = 2^2 = 4
Se A = {a,b,c} → P(A) = {$\varnothing$,a,b,c,{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}} → n(P(A)) = 2^3 = 8
P(A) é formado por $\varnothing$ somado às possíveis combinações dos elementos de A, com taxa variando de 1 a n(A).
Assim, n(P(A)) = número de combinações n(A), com taxa variando de 1 a n(A) somado a 1 (responsável por $\varnothing$).
n(P(A)) = ${n \choose 1}+{n \choose 2}+{n \choose 3}+...+{n \choose n}+1=\sum _{k=1}^{n}{n! \over (n-k)!k!}+1$
Pelo triângulo de pascal, com a soma das linhas:
$C_{n}^{0}\,\!+C_{n}^{1}\,\!+C_{n}^{2}\,\!+C_{n}^{3}\,\!+...+C_{n}^{n}\,\!=\sum _{k=0}^{n}{n! \over (n-k)!k!}=2^{n}$
→ n(P(A)) = $2^{n}-C_{n}^{0}\,\!+1$
Mas, $C_{n}^{0}\,\!={n! \over (n-0)!0!}={n! \over n!}=1$
→ n(P(A))$=2^{n}-C_{n}^{0}\,\!+1=2^{n}-1+1=2^{n}$
Provando, portanto, que o número de elementos do conjunto de partes de A é dois elevado ao número de elementos distintos de A.
Nota: O conjunto das partes é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.
O Teorema de Cantor estabelece que $|A|<|P(A)|$.

### Conjunto Universo

Em certos problemas da teoria dos conjuntos, é preciso que se defina um conjunto que contenha todos os conjuntos considerados. Assim, todos os conjuntos trabalhados no problema seriam subconjuntos de um conjunto maior, que é conhecido como conjunto universo, ou simplesmente universo.
Por exemplo: em um problema envolvendo conjuntos de números inteiros, o conjunto dos números inteiros Z é o conjunto universo; em um problema envolvendo palavras (consideradas como conjuntos de letras), o universo é o alfabeto.

## Relações entre conjuntos
### Relação de inclusão

Para relacionar um conjunto com outro conjunto(ou subconjunto) utilizamos a relação de inclusão.
Exemplo: Se considerarmos o conjunto $A$ formado por todas as letras do alfabeto e o conjunto $V$ formado pelas vogais, podemos dizer que $A\supset V$ (A contém V) ou $V\subset A$ (V está contido em A)

### Relação de pertinência

Se $\,\!a$ é um elemento de $A$, nós podemos dizer que o elemento $a$ pertence ao conjunto $A$ e podemos escrever $a\in A$. Se $a$ não é um elemento de $A$, nós podemos dizer que o elemento $a$ não pertence ao conjunto $A$ e podemos escrever $a\not \in A$.
Exemplos:
* $-16\in \mathbb {Z}$
* $c\in \{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l\}$
* $c\ \not \in \ \{a,e,i,o,u\}$
* ${\frac {4}{9}}\ \not \in \ \mathbb {Z}$

#### Subconjuntos próprios e impróprios

Se $A$ e $B$ são conjuntos e todo o elemento $x$ pertencente a $A$ também pertence a $B$, então o conjunto $A$ é dito um subconjunto do conjunto $B$, denotado por $A\subseteq B$. Note que esta definição inclui o caso em que $A$ e $B$ possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto ($A=B$). Se $A\subseteq B$ e ao menos um elemento pertencente a $B$ não pertence a $A$, então $A$ é chamado de subconjunto próprio de $B$, denotado por $A\subset B$. Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio.

### Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos A e B são ditos iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. Ou seja, todo elemento de A é elemento de B e vice-versa. A simbologia usada é $A=B$. Se um conjunto não é igual a outro, utiliza-se o símbolo $\neq$.

### Simetria de conjuntos

Um conjunto A é dito simétrico se, para todo elemento a pertencente a ele, houver também um elemento -a pertencente a esse conjunto. Os conjuntos numéricos Z, R, Q e C são simétricos.

## Operações com conjuntos

* A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A co|A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A co m B ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto A ou ao conjunto B. Matematicamente:
       $A\cup B=\{x\in U|x\in A\lor x\in B\}$
Por exemplo:
       $A=\{a,e,i\}$
       $B=\{o,u\}$
       $A\cup B=\{a,e,i,o,u\}$
       $A=\{2,3,4,5\}$
       $B=\{1,3,5\}$
       $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$
Observar no último exemplo que os elementos repetidos (3,5) não aparecem na união.
* A união de um conjunto $A$, qualquer que seja, com o conjunto vazio é igual ao próprio conjunto $A$, $A\cup \{\}=A$.
* Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou seja, $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C=(A\cup C)\cup B$.

### Intersecção

A intersecção de dois conjuntos $A$ e $B$, é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então: Dados dois conjuntos $A$ e $B$, pertencentes a um universo U, chama-se intersecção de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem tanto a $A$ quanto a $B$. Matematicamente:
       $A\cap B=\{x\in U|x\in A\land x\in B\}$
Por exemplo:
       $A=\{1,2,3\}$
       $B=\{3,4,5\}$
       $A\cap B=\{3\}$
       $C=\{a,e,i,o,u,y\}$
       $D=\{b,c,d,f,g,h,j,k,l,m,n,p,q,r,s,t,v,w,x,z\}$
       $C\cap D=\{\}$
Observar no último exemplo que, dado os conjuntos não terem elementos iguais, a intersecção resulta num conjunto vazio.

### Diferença

Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Matematicamente:
       $A-B=\{x\in U|x\in A\land x\not \in B\}$
       $B-A=\{x\in U|x\in B\land x\not \in A\}$
Por exemplo, o conjunto definido pela diferença entre os números inteiros e números naturais é igual ao conjunto Z- (números inteiros não-positivos):
       Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}
       N = {1,2,3,4,5,...}
       $\mathbb {Z} -\mathbb {N} =\mathbb {Z} _{-}=\{...,-2,-1,0\}$
* A subtração de um conjunto A menos um conjunto vazio é igual ao próprio conjunto A, $A-\{\}=A$.

### Complementar

Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a A. Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se o símbolo $\complement$. Matematicamente:
       $\complement B_{A}=\{x\in A|x\not \in B\}$
Exemplo:
       A = { 3,4,9,{10,12},{25,27} }
       D = { {10,12} }
          $\complement D_{A}=\{3,4,9,\{25,27\}\}$

## Cardinalidade

A cardinalidade de um conjunto A representa a quantidade de elementos do conjunto, e é
Exemplos:
    Se A = { 7, 8, 9 }, então a cardinalidade do conjunto A é 3.
    Se A = { }, então a cardinalidade do conjunto A é 0.
Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número Número cardinal n.
Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser $\aleph _{0}$ (aleph zero), $\aleph _{1},\aleph _{2}...$.
Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto $A$ é denotada por $|A|$ ou por $\#A$. Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um (ou seja, uma bijeção) entre seus elementos, então $|A|=|B|$.

### Problemas matemáticos sobre cardinalidade

Os problemas matemáticos no nível elementar sobre cardinalidade usualmente tomam as formas seguintes:
* É dada a cardinalidade de alguns conjuntos e suas interseções, uniões ou diferenças, e pede-se a cardinalidade de algum conjunto derivado dele
* É dada a proporção ou porcentagem de alguns subconjuntos de algum conjunto (universo), e pede-se este número para outro subconjunto.
Um problema típico simples do primeiro caso é:
* Em uma escola, existem duas atividades extra-escolares: Artesanato ou Bioterrorismo. 59 alunos fazem Artesananto, 87 alunos fazem Bioterrorismo, e 31 alunos fazem ambos. Quantos alunos fazem alguma atividade extra?
Um problema típico simples do segundo caso é:
* Em uma cidade, 5% da população foi exposta ao Antrax, 8% da população foi exposta a Peste Bubônica, e 87% da população não foi exposta a Antrax nem Peste Bubônica. Quantas pessoas foram expostas a Antrax e Peste Bubônica?
A resolução, nos dois casos, deve ser feita com o Diagrama de Venn, marcando-se em cada pedaço o número (ou porcentagem) de elementos, começando-se sempre do mais interno para o mais externo. No caso da porcentagem, deve-se levar em conta que o total do Universo é 100%.

### Exercícios

* Matemática elementar/Conjuntos/Exercícios

## Par ordenado

Um par ordenado é uma coleção de dois objetos que tem uma ordem definida; existe o primeiro elemento (ou primeira coordenada) e o segundo elemento (ou segunda coordenada). Diferentemente do conjunto { a,b }, um par ordenado — simbolizado por (a,b) — precisa ser apresentado em uma determinada ordem, e dois pares ordenados só são iguais quando os primeiros elementos são iguais e os segundos elementos são iguais. Ou seja,
       $(a,b)\neq (b,a)$
Porém, o par ordenado pode ser representado como um conjunto, tal que não existe ambiguidade quanto à ordem. Esse conjunto é:
       $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$
       $(b,a)=\{\{b\},\{b,a\}\}$
Observar que o formato do conjunto, que inclui um subconjunto contendo os dois elementos do par e um conjunto contendo o primeiro elemento, elimina a possibilidade de ambiguidade quanto à ordem. A notação (a,b) também é conhecida como intervalo aberto.

## Produto cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O símbolo do produto cartesiano é $\times$. Matematicamente:
       $A\times B=\{(x,y)|x\in A\land y\in B\}$
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:
    $A\times B=\{(a,b):a\in A\land b\in B\}$
A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto
    $A+B=A\times \{0\}\cup B\times \{1\}$.
* O produto cartesiano é não-comutativo: $A\times B\neq B\times A$.
* Quem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático Descartes, quando desenvolvia a geometria analítica. Ele enunciou, por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais R (imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano.

### Relações

Na teoria dos conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamada relação de A em B. (O assunto é abordado com mais detalhes na próxima seção.)

## Notas

* ↑ Estas notações foram introduzidas pelo grupo Bourbaki, que inspirou-se na letra norueguesa Ø.

## Ver também
### Wikilivros

* Teoria dos conjuntos - texto mais avançado

### Wikipédia

* Conjunto
* Complementar
* Diagrama de Venn
* Diagrama de Euler
* Teoria dos conjuntos

## Ligações externas

* Números Naturais: Primeira parte
* Números Naturais: Segunda parte
* Critérios de Divisibilidade
* Exercícios Resolvidos de MDC, MMC e Divisores
* Números Inteiros
* Frações
* Frações e Números Decimais
* Números Racionais
* Frações e Números decimais (Exercícios)

# Números naturais
## Definição

Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, ...). Em alguns contextos, o número natural é definido como um número inteiro positivo, i.e., o zero não é considerado como um número natural. O uso mais comum deles é a contagem ou a ordenação. As propriedades dos números naturais como, por exemplo, divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas neste capítulo. Outras propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela análise combinatória.
Os matemáticos usam $\mathbb {N}$ para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é infinito e contável por definição.
$\mathbb {N}$ = {0,1,2,3,4,5,6,7,...}
Se retirarmos o $0$ desses conjunto, obtemos o subconjunto:
$\mathbb {N} ^{*}$ = {1,2,3,4,5,6,7,...}

## Operações em $\mathbb {N}$

São duas as operações em naturais que sempre tem correspondente natural. São a adição e a multiplicação de naturais. As outras operações básicas, a subtração e a divisão nem sempre tem correspondente em naturais, embora possam ter em outros conjuntos.
Por exemplo: 10 e 11 são números naturais, porém, $10-11=-1$, e $-1$ não é um número natural. Porém, é um número inteiro, pertencente ao conjunto $\mathbb {Z}$

## Critérios de divisibilidade
### Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par. Por exemplo, 40, 42, e 44 são números divisíveis por 2.

### Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo:
* 360 (3+6+0=9) → é divisível.

### Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismo forem 0 ou formarem um número divisível por 4.
Exemplo:
* 416 (últimos dois algarismos: 16 [= 4×4]) → é divisível.

### Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
Exemplo:
* 2.654.820 → é divisível.

### Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplo:
* 414 → divisível por 6, pois
** par → divisível por 2
** 4+1+4=9 → divisível por 3.

### Divisibilidade por 7

A divisibilidade por $7$ também pode ser verificada da seguinte maneira:
Tome por exemplo o número 453. Separando-se o último algarismo ficamos com 45 e 3. Do primeiro subtraímos o dobro do segundo, ou seja, $45-6=39.$ Como 39 não é divisível por 7 o número 453 também não é.
Outro exemplo: $784$ → Separando $78$ e $4,$ teremos $78-8=70.$ Como $70$ é divisível por $7$ o número $784$ também é.
Outro critério usa a soma e não a subtração. Um número de mais de três algarismos ABCD... é divisível por 7 quando o número B(C+2A)D... for múltiplo de 7. Isso porque 98 = 100 - 2 é múltiplo de 7, então o que esta operação faz é trocar 100 A por 2 A. Exemplos: 1645 -> 665 -> 65 + 12 -> 77 (múltiplo de 7); 3192 -> 192 + 60 -> 252 -> 56 (múltiplo de 7); 9876 -> 876 + 180 -> 1056 -> 76 (não é múltiplo de 7).

### Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismo forem 0 ou formarem um número múltiplo de 8.
Exemplo:
* 24512 → é divisível.

### Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
Exemplo:
* 927 (9+2+7=18) → é divisível.

### Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando termina em zero.
Exemplo:
* 154.870 → é divisível

### A divisibilidade por 11

Segue uma regra parecida com a da divisibilidade por 7. A título de exemplo considere o número 154.
* Separe o último algarismo
    15 e 4
* Subtraía o segundo do primeiro, ou seja,
    15 - 4 = 11.
Como 11 é divisível por 11, então 154 também o é.
Num contra-exemplo, usaremos o número 277. Pelo algoritmo teremos 27 e 7; 27 - 7 = 20, que não é divisível por 11, e portanto 277 também não o é.
O algoritmo pode ser aplicado várias vezes no caso de números maiores.
    Dica: Números que seguem a forma "ABBA" são divisíveis por 11.
    Por exemplo: para 1221, temos A = 1 e B = 2.
Uma regra prática para números grandes é somar os algarismos de posição par e os de posição ímpar. Se as somas forem iguais ou os restos das divisões por 11 forem iguais, então o número é múltiplo de 11. Ou seja, em um número da forma ABCDEFG, compara-se A+C+E+G com B+D+F
    Exemplo: 783178 é divisível por 11, porque 7+3+7 = 8+1+8 = 17. Analogamente, 703175 também é, porque o resto da divisão das duas somas por 11 são iguais, 7+3+7=17 tem resto 6 e 0+1+5=6 também tem resto 6.
Dois exemplos com números grandes:
* 4611686018427387901307445734561825860123058430092136939501844674407370955160 → $168\equiv 146{\pmod {11}}$, portanto é divisível.
* 4611686018427387903307445734561825860223058430092136939511844674407370955161 → $171\not \equiv 148{\pmod {11}}$, portanto não é divisível.

### Divisibilidade por $2^{n}$

Um número é divisível por $2^{n}$ quando seus últimos n algarismos forem 0 ou divisíveis por $2^{n}.$

### Divisibilidade por $3^{n}$

Um número é divisível por $3^{n}$ quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por $3^{n}.$

## Números primos

Número primo é um número natural maior que 1 e que tem exatamente dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo. Se um número natural é maior que 1 e não é primo, diz-se que ele é um número composto. Por convenção, os números 0 e 1 não são primos nem compostos.

### Decomposição em fatores primos (fatoração)

O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que qualquer número inteiro positivo pode ser escrito como o produto de vários números primos (chamados fatores primos). O processo que recebe como argumento um número composto e devolve os seus fatores primos chama-se decomposição em fatores primos (fatoração).
Exemplos:
* $6=2\times 3$
* $16=2^{4}\,\!$
* $20=2^{2}\times 5$

## Máximo Divisor Comum (MDC)

O máximo divisor comum (também conhecido por maior divisor em comum) entre dois números $a\,\!$ e $b\,\!$ (vulgarmente abreviada como $mdc(a,b)\,\!$) é o maior número inteiro encontrado, que seja divisor dos outros dois. Por exemplo, $mdc(16,8)=8\,\!.$ A definição abrange qualquer número de termos.
Exemplo:
* $mdc(a,b,c,d)\,\!.$
Esta operação é tipicamente utilizada para reduzir equações a outras equivalentes:
Seja $m\,\!$ o máximo divisor comum entre $a\,\!$ e $b\,\!$ e também $a'\,\!$ e $b'\,\!$ o resultado da divisão de ambos por $m\,\!,$ respectivamente.
Então, o seguinte se verifica:
    $a=b\Leftrightarrow ma=mb\Leftrightarrow a'=b'\,\!$

### Cálculo

Pode-se calcular o MDC de duas formas:
* Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas)
* Fatoração disjunta

#### Fatoração disjunta

Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, multiplicar os fatores comuns de menor expoente.

##### Exemplo

$mdc(24,40)\,\!$
Com efeito,

#### Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides)

Na Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas) fatora-se simultaneamente até dois números.
Monta-se a tabela com a seguinte estrutura:
onde,
O último resto (antes do 0) será o MDC.

##### Exemplo
## Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

O Mínimo Múltiplo Comum (também conhecido por menor múltiplo em comum) entre dois números $a\,\!$ e $b\,\!$ (vulgarmente abreviada como $mmc(a,b)\,\!$) é o menor número inteiro encontrado, que seja múltiplo dos outros dois. Por exemplo, $mmc(6,8)=24\,\!.$

### Cálculo

Pode-se calcular o MMC de duas formas:
* Fatoração conjunta
* Fatoração disjunta

#### Fatoração conjunta

Faz-se a fatoração com todos os n termos, simultaneamente:

##### Exemplo

$mmc(24,40)\,\!$

#### Fatoração disjunta

Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, manter-se a base em comum e o expoente maior, multiplicado pelos fatores não comuns.

##### Exemplo

$mmc(24,40)\,\!$
Com efeito,

## Propriedades do MDC e do MMC

Relação de Bézout:
$MDC(a,b)\times MMC(a,b)=a\times b$
Algoritmo de Euclides:
MDC(a, b)=MDC(a, b-a) MDC(a, b)=MDC(a, r), onde r é o resto da divisão de b por a.

## Ver também
### Wikilivros

Exercícios:
* Matemática elementar/Conjuntos/Números naturais/Exercícios
Uma abordagem mais avançada:
* Álgebra abstrata/Números naturais
* Teoria de números

### Wikipédia

* Critérios de divisibilidade
* Fatoração
* Número natural
* Número primo
* Máximo divisor comum

# Números inteiros
## Definição

Os inteiros, ou números inteiros, consistem dos números naturais (0, 1, 2, ...) e dos números inteiros negativos (-1, -2, -3, ...). O conjunto de todos os inteiros é normalmente chamado de Z (Mais apropriadamente, um Z em blackboard bold, $\mathbb {Z}$), que vem de Zahlen (do alemão, "número").
Inteiros podem ser adicionados ou subtraídos, multiplicados e comparados. A principal razão para a existência dos números negativos é que tornou possível resolver todas as equações da forma:a + x = b para a incógnita x; nos números naturais apenas algumas destas equações eram solúveis.
Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.
$\mathbb {Z}$ = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
Se retirarmos o $0$ desses conjuntos, obtemos o subconjunto:
$\mathbb {Z} ^{*}$ = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...}
Outros subconjuntos de $\mathbb {Z} :$
* Conjunto dos inteiros não-negativos:
$\mathbb {Z} +$ = {0,1,2,3,...}
* Conjunto dos inteiros não-positivos:
$\mathbb {Z} -$ = {...,-3,-2,-1,0}
* Conjunto dos inteiros positivos:
$\mathbb {Z} ^{*}+$ = {1,2,3,...}
* Conjunto dos inteiros negativos:
$\mathbb {Z} ^{*}-$ = {...,-3,-2,-1}
Notas:
* $\mathbb {Z} +$ = $\mathbb {N}$
* $\mathbb {Z} ^{*}+$ = $\mathbb {N} ^{*}$

## Veja também
### Wikilivros

* Álgebra abstrata/Números inteiros - uma abordagem mais avançada

### Wikipedia

* Número inteiro

# Números racionais
## Números racionais e frações

Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais que divida uma unidade ou um inteiro.
Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.
Na matemática, um número racional (ou, vulgarmente, fração) é uma razão entre dois inteiros, geralmente escrita na forma $a/b\,\!,$ onde $b\,\!$ é um número inteiro diferente de Zero.
Exemplos:
    ${\frac {29}{8}}:$ $3(={\frac {3}{1}}):$ $-{\frac {29}{8}}:$ $3{\frac {5}{8}}:$ $0(={\frac {0}{x}})$
A adição e multiplicação de racionais é dada da seguinte forma:
    ${\begin{matrix}{a \over b}&+&{c \over d}&=&{ad+bc \over bd}\\{a \over b}&\cdot &{c \over d}&=&{ac \over bd}\end{matrix}}$
Exemplo:
    ${\frac {1}{4}}$ + ${\frac {1}{4}}$ = ${\frac {1}{2}}$
Dois números racionais a/b e c/d são iguais apenas se ad = bc.
O conjunto de todos os números racionais é Q, ou:
    $\mathbb {Q}$
Cada número racional pode ser escrito de diversas formas, como, por exemplo, 3/6 = 2/4 = 1/2. A forma mais simples é quando a e b não possuem divisores em comum, e todo racional tem uma forma como esta. A expansão decimal de um racional é finita ou periódica, propriedade que caracteriza os números racionais.

## Definições

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como ${\frac {a}{b}},$ designa este número ${a}\,\!$ dividido em ${b}\,\!$ partes iguais. Neste caso, ${a}\,\!$ corresponde ao numerador, enquanto ${b}\,\!$ corresponde ao denominador.
Por exemplo, a fração ${\frac {56}{8}}$ designa o quociente de $56\,\!$ por $8\,\!.$ Ela é igual a $7\,\!,$ pois $7\,\!$ x $8\,\!$ = $56\,\!.$
Nota: A divisão é a operação inversa da multiplicação.
Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por $\mathbb {Q} .$
       $\mathbb {Q}$ = {$x\,\!$ / $x\,\!$ = ${\frac {a}{b}},$ com $a\in \mathbb {Z}$ e $b\in \mathbb {Z}$ $\neq 0$}

## Decimais
### Decimais exatos

${\frac {1}{2}}$ = $0,5\,\!$
${\frac {1}{5}}$ = $0,2\,\!$

### Decimais periódicos

${\frac {5}{3}}$ = $1,66...\,\!$ (a)
${\frac {7}{6}}$ = $1,166...\,\!$ (b)
Os decimais periódicos são denominados dízimas periódicas. As dízimas periódicas podem ser simples como no exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração que originou a dízima periódica é denominada de fração geratriz e a parte que repete na dízima é denominada período.

#### Geratriz de dízima periódica
##### Dízima simples

A fração geratriz é obtida usando-se como numerador o período e como denominador um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.
$0,6666..\,\!\Rightarrow {\frac {6}{9}}={\frac {2}{3}}$
$1,6666...\,\!=1\,\!+0,6\,\!\Rightarrow 1\,\!+{\frac {6}{9}}={\frac {15}{9}}={\frac {5}{3}}$

##### Dízima composta

A fração geratriz terá como numerador a parte não-periódica, seguida do período menos a parte não-periódica, e denominador um número formado de tantos noves quanto são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não-periódica (ante-período).
$1,166...\,\!$ => $1\,\!$ + $0,166...\,\!$ = $1\,\!$ + ${\frac {15}{9}}$ = ${\frac {105}{90}}$ = ${\frac {7}{6}}$

##### Conversão entre dízima e fração

Seja o número x = 2,333... (dízima). O período da dízima é o número 3 (um só dígito), assim, para colocar o período da dízima antes da vírgula, fazemos 10*x = 23,333.... Agora, podemos eliminar a dízima fazendo a subtração: 10*x - x = 23,333... - 2,333..., ou seja, 9*x = 21 x = $\,\!{\begin{matrix}{\frac {21}{9}}\end{matrix}}$
Outro exemplo mais complexo desta conversão, que ocorre quando a dízima se apresente mais à frente da vírgula: x = 38,07821821821... (dízima). Após a virgula, temos os números "07"´(dois dígitos) que não fazem parte do período e o período "821" (três dígitos).
Primeiro isolamos o período logo após a vírgula:
100*x = 3807,821821821...
Agora repetimos o processo do exemplo anterior:
100.000*x = 3807821,821821821...
Fazemos então a subtração
100.000*x - 100*x = 3807821,821821821... - 3807,821821821..., assim, temos que
99900*x = 3804014 , portanto
x = $\,\!{\begin{matrix}{\frac {3804014}{99900}}\end{matrix}}$, que poderá ainda ser simplificada.
Como decorrência da repetição deste processo de conversão, podemos chegar à seguinte regra prática de conversão de dízimas em frações. Vamos aplicá-la ao número 38,07821821821...
Eis os passos:
1. O período da dízima tem 3 dígitos, que é o número de algarismos nove (999 portanto);
2. Após a vírgula temos 2 dígitos que não fazem parte da dízima, que é o número de zeros (00 portanto);
3. Temos assim o denominador da fração que será 99900;
4. O númerador da fração será a diferença do número formado pelos algarismos até o primeiro período da dízima, no caso 3807821, pelo número formado pelos algarismos que antecedem o início da dízima, no caso 3807. Temos então 3807821 - 3807.
5. A fração será, portanto, $\,\!{\begin{matrix}{\frac {3807821-3807}{99900}}\end{matrix}}$.

## Tipos de frações

* própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: ${\frac {1}{2}}$
* imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: ${\frac {7}{3}}$
* mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: $2{\frac {1}{3}}$
* aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.: ${\frac {12}{4}}$
* equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: ${\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}$
* irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.: ${\frac {9}{22}}$
* unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: ${\frac {1}{3}}$
* egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: ${{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{15}}}={\frac {3}{5}}$
* decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.: ${\frac {437}{100}}$
* composta: fração cujo numerador e denominador são frações: ${\frac {\frac {19}{15}}{\frac {5}{6}}}$
* contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais $(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{k},...)$ da seguinte maneira $a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+{\frac {1}{...}}}}}}}}.$ Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional.

## Operações
### Multiplicação

Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.:
    ${3 \over 5}\times {2 \over 7}={\frac {{3}\times {2}}{{5}\times {7}}}={6 \over 35}$
Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:
    $3\times {1 \over 4}={3 \over 1}\times {1 \over 4}={3 \over 4}$
É importante notar que, muitas vezes, a multiplicação dos numeradores e denominadores resulta em frações redutíveis. Esta fração deve ser reduzida a uma fração irredutível:
    ${1 \over 3}\times {9 \over 2}={9 \over 6}={\not {9}^{3} \over \not {6}^{2}}={3 \over 2}\,$
Costuma ser mais prático simplificar antes de efetuar a multiplicação:
    ${1 \over 3}\times {9 \over 2}={1 \over \not {3}^{1}}\times {\not {9}^{3} \over 2}={3 \over 2}\,$

### Divisão

Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre frações:
    ${\frac {3}{5}}$ ÷ ${\frac {7}{2}}$
Primeiramente inverte-se o divisor da segunda fração. Com isto, tem-se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma multiplicação:
    ${\frac {3}{5}}\times {\frac {2}{7}}={6 \over 35}$
Que se resolve como mostrado acima.

### Adição

Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre os denominadores:
    ${{\frac {2}{3}}+{\frac {3}{5}}}$
Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem-se que:
    ${15 \over {3}}={5}$ ∴ $5\times {2}={10}:$ ${15 \over {5}}={3}$ ∴ $3\times {3}={9}$
Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre os numeradores:
    ${\frac {10+9}{15}}$
O denominador comum é mantido:
    ${\frac {19}{15}}$

### Subtração

A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição.

### Exponenciação

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:
    ${\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}={{1}^{2} \over {2}^{2}}={\frac {1}{4}}=0,25$
Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:
    ${\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}={({0,5})^{2}}=0,25$

### Radiciação

A radiciação de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

### Expoente fracionário

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:
    $8^{{2} \over {3}}={\sqrt[{3}]{8}}^{2}={\sqrt[{3}]{64}}={4}$

### Simplificação de frações

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:
    ${\frac {8}{4}}$
Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:
    ${\frac {8:4}{4:4}}={{2} \over {1}}$

### Comparação entre frações

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.
    ${\frac {2}{5}}$ ? ${\frac {3}{7}}$
O MMC entre 5 e 7 é 35.
    ${35 \over {5}}={7}$ ∴ $7\times {2}={14}:$ ${35 \over {7}}={5}$ ∴ $5\times {3}={15}$
Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:
    ${\frac {14}{35}}$ < ${\frac {15}{35}}$ ∴ ${\frac {2}{5}}$ < ${\frac {3}{7}}$
A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:
    ${\frac {14}{35}}={\frac {2}{5}}$ e ${\frac {15}{35}}={\frac {3}{7}}$

### Conversão entre frações impróprias e mistas

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.
    ${\frac {7}{3}}$
Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:
    $2{\frac {1}{3}}$
Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.

## Ver também
### Wikilivros

* Matemática elementar/Conjuntos/Números racionais/Exercícios
* Análise real/Números racionais - texto mais avançado

### Wikipédia

* Fração
* Números racionais

# Números irracionais

O conjunto dos números irracionais $(\mathbb {I} )$ é um subconjunto dos números reais. Distingue-se dos números racionais, pois não pode ser representado por ${\tfrac {a}{b}}$, sendo a e b números racionais. Todos os números reais são infinitos e não são periódicos. Portanto, é usual os números irracionais serem representados por símbolos. Veja, abaixo, algumas constantes que são números irracionais utilizadas na matemática:
* π (Pi Radiano) = 3,141592...
* e (Número de Euler) = 2,718281...
* φ (Número de Ouro) = 1,618033...

## Raízes irracionais

Também são considerados números irracionais as raízes de números primos:
* √2 = 1,414213...
* √3 = 1,732050...
* √5 = 2,236067...
* $^3$√2 = 1,259921...
Os múltiplos destas raízes também o são:
* √6 = √2.3 = 2,449489...
* √10 = √2.5 = 3,162277...
* √30 = √2.3.5 = 5,477225...
Os múltiplos de raízes de números primos resultarão em números racionais $(\mathbb {Q} )$, se, e somente se em
    ${\sqrt[{n}]{x^{a}y^{b}z^{c}...}}$
o quociente entre todos os expoentes (a, b, c, ...) dos números primos (x, y, z, ...) e o índice n forem números inteiros. Exemplo:
    ${\sqrt {5,76}}={\sqrt {2^{4}.3^{2}.5^{-2}}}$
O quociente entre os expoentes dos números primos e o índice é: 4÷2 = 2; 2÷2 = 1; -2÷2 = -1. Já que todos são inteiros, a raiz de 5,76 é racional, e equivale a 2,4.

## Operações em $\mathbb {I}$

* Adição - Uma adição x + y, em que ao menos uma das variáveis é irracional, resultará em um número irracional (exceto se x = -y). Exemplo:
    π + 1 = 4,141592...
    π + √2 = 4,555806...
    √2 + √3 = 3,146264...
* Subtração - Em uma subtração x - y, em que ao menos uma das variáveis é irracional, o resultado será um número irracional (exceto se x = y). Exemplo:
    π - 1 = 2,141592...
    √10 - π = 0,020685...
    √7 - √10 = -0,516526...
* Multiplicação - Se em uma multiplicação um dos fatores for irracional, o produto será também irracional (exceto se um dos fatores for zero, ou se ocorrer a repetição de uma mesma raiz n vezes, em que n também é o índice). Exemplo:
    √2 x √3 = √6
    $^3$√2.$^3$√2.$^3$√2 = 2 (observe que o índice das raízes coincidiu com o número de vezes em que ela repetiu na multiplicação, originando, portanto, um número racional).
Inconsistente o exemplo logo acima, porque multiplicar dois números irracionais, iguais ou distintos entre si, resulta num número irracional.
Não é porque o número irracional está representado por (raiz enésima (a)), ele passa a ser racional. Então, mesmo que eu eleve (raiz enésima (a)) à enésima potência, o resultado não será "a", e sim um número que tende a "a". Se formos pensar sobre essa questão, veremos que, se tivermos b = (raiz enésima (a)), com "b" pertencente ao conjunto dos números irracionais, e "a" e "n" pertencentes ao conjunto dos números racionais, então a extração de (raiz enésima (a)) é impossível.
* Divisão - Uma divisão que envolva um número irracional, resultará em outro número irracional (exceto se o mesmo número irracional multiplique n vezes tanto no denominador quanto no numerador, ou se o número zero estiver presente). Exemplo:
    √6 ÷ √3 = √2
    2√2 ÷ √2 = 2 (veja que o mesmo número irracional repetiu a mesma quantidade de vezes no divisor e no dividendo).
* Potenciação - Uma potenciação que envolva um número irracional sempre resultará num número irracional (exceto se o expoente for zero, ou o quociente entre o expoente do radicando e o índice for um número inteiro). Exemplo:
    π$^2$ = 9,869604...
    (√3)$^4$ = 9 (pelo fato de a razão entre o expoente do radicando e o índice ser um número inteiro, 4 ÷ 2 = 2, a potenciação não originou um número irracional).
Também é inconsistente o exemplo logo acima, pelo mesmo motivo de que falei em "Multiplicação".
Bem, se os intelectuais que lerem meus comentários duvidarem, então façam assim: extraiam a raiz quadrada de dois, à mão, consoante o Método Exato de Extração de Raízes Quadradas, explanado em Wikipedia, em "Raiz quadrada". Extraiam-na, indo a partir da primeira até, no mínimo, a quintitilionésima casa decimal após a vírgula; depois, elevem cada resultado ao quadrado, também à mão. Se algum dos, no mínimo, cinco milhões, der 2,000000000000000000000000..., eu retifico esse comentário. Caso não der, eu estarei certo.
Não basta só teorizar. Tem que, provar, na prática.

# Números reais
## Potenciação
### Conceito

Em matemática, potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesma. As potências apresentam-se na forma $x^{n},$ onde n é o expoente e x é a base.
A potência $4^{3},$ por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja $4^{3}=4\cdot 4\cdot 4=64.$ Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base ($7^{1}=7$), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de operações feitas diretamente com potências, o resultado é sempre igual a 1 ($16^{0}$ = 1).

### Propriedades da potenciação
#### Primeira propriedade

Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.
$x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}$

#### Segunda propriedade

Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.
${\frac {x^{a}}{x^{b}}}=x^{a-b}$

#### Terceira propriedade

Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes.
$(x^{a})^{b}=x^{ab}$

#### Quarta propriedade

Ao elevar um produto ou um quociente a um expoente, elevamos cada um dos fatores a esse expoente ou, no caso do quociente, elevamos o dividendo e também o divisor ao mesmo expoente.
$(xy)^{a}=x^{a}\cdot y^{a}$

### Equivalência entre bases

É importante perceber que, mesmo com bases diferentes, podemos torná-las iguais para efetuar uma operação. Exemplo:
    $2^{-3}\times 4^{3}$
Podemos substituir 4 por 2$^2$:
    $2^{-3}\times (2^{2})^{3}=2^{-3}\times 2^{6}=2^{-3+6}=2^{3}$

### Expoentes negativos

Quando temos um número elevado a n em que n < 0, podemos dizer que:
    $\left({\frac {x}{y}}\right)^{n}={\frac {y^{-n}}{x^{-n}}}$
Observe que a fração foi invertida e o sinal negativo do expoente desapareceu. Exemplo:
    $\left({\frac {2}{3}}\right)^{-2}={\frac {3^{2}}{2^{2}}}={\frac {9}{4}}$
Tópicos
* Definição de Potência
* Operações com potências
** Multiplicação
*** Com a mesma base
*** Com o mesmo expoente
*** Com a mesma base e o mesmo expoente
** Divisão
*** Com a mesma base
*** Com o mesmo expoente
*** Com a mesma base e o mesmo expoente
* Equações envolvendo potências
* Inequações envolvendo potências
* Gráficos de funções exponenciais

### Exercícios

Ver: Matemática elementar/Exponenciais/Exercícios

## Radiciação
### Exercícios

Ver: Matemática elementar/Números reais/Exercícios

## Intervalos reais

Intuitivamente, um intervalo real é um subconjunto dos números reais que não tem nenhum buraco. Ou seja, se I é um intervalo, a e b são elementos deste intervalo com a < b, então todo número entre a e b também pertence ao intervalo.
Os intervalos são classificados de acordo com seus extremos (o extremo superior e o extremo inferior). Cada extremo pode ser ilimitados, limitado e aberto ou limitado e fechado.
Representa-se o intervalo através do seu limite inferior, seguido da vírgula (ou ponto-e-vírgula) e o limite superior.
Costuma-se representar o limite inferior por:
* $]-\infty \,$ - ilimitado
* $]a\,$ - limitado e aberto
* $[a\,$ - limitado e fechado
Sendo o limite superior representado por:
* $\infty [\,$ - ilimitado
* $b[\,$ - limitado e aberto
* $b]\,$ - limitado e fechado
Por exemplo:
* $]-\infty ,0]\,$ - é o conjunto dos números reais não-positivos
* $[1,2[\,$ - é o conjuntos dos números reais x em que x ≥ 1 e x < 2

### Exercícios

Ver: Matemática elementar/Números reais/Intervalos reais/Exercícios

## Veja também

* Análise real/Os números reais - uma abordagem mais avançada

### Wikipédia

* Número real

# Exercícios
## Sobre Radiciação

    Ver módulo principal: Matemática elementar/Conjuntos/Números reais
* Coloque em ordem crescente: ${\sqrt[{3}]{11}},{\sqrt {5}},2{\sqrt {2}}\,$
* Expresse sob a forma de raiz as expressões abaixo:
** ${\sqrt[{3}]{{\frac {x}{y}}{\sqrt[{4}]{\frac {x^{2}}{y}}}}}\,$
** ${\sqrt[{4}]{\frac {36}{125}}}{\sqrt[{3}]{\frac {5}{4}}}\,$
** ${\sqrt[{6}]{x^{2}y}}{\sqrt[{4}]{x^{3}y^{2}}}\,$
* Os lados de um triângulo valem ${\sqrt {7}}\,$ cm, ${\sqrt {18}}\,$ cm e ${\sqrt {27}}\,$ cm. Calcule seu perímetro.
* Simplifique os radicais
** ${\sqrt {\frac {x^{5}}{y^{7}}}}\,$
** ${\sqrt[{3}]{\frac {4^{2}}{9^{4}}}}\,$
** ${\sqrt[{4}]{\frac {x^{6}.y^{9}}{z^{7}}}}\,$
* Racionalize as expressões abaixo:
** ${\frac {2}{{\sqrt {5}}+1}}=\,$
** ${\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}}=\,$
** ${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {3}}}{{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}}=\,$
** ${\frac {\sqrt[{5}]{8}}{\sqrt[{5}]{4}}}=\,$
** ${\frac {100}{{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{4}]{5}}}}=\,$
** ${\frac {1}{{\sqrt {10}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {3}}}}=\,$
** ${\frac {{\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt[{3}]{9}}}{{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{3}}}}=\,$
* Transforme as expressões em um único radical:
** ${\sqrt {x{\sqrt {y{\sqrt {z}}}}}}=\,$
** ${\sqrt[{3}]{x{\sqrt[{3}]{x{\sqrt[{3}]{x}}}}}}=\,$
** ${\sqrt[{4}]{x^{3}{\sqrt[{3}]{x^{2}{\sqrt {x}}}}}}=\,$
** ${\sqrt[{10}]{x^{3}}}{\sqrt[{6}]{x^{5}}}=\,$
** ${\frac {\sqrt[{5}]{8}}{\sqrt[{3}]{4}}}=\,$
** ${\frac {125}{{\sqrt {5}}{\sqrt[{3}]{25}}}}=\,$
* Coloque a expressão na forma mais simples, conforme o exemplo do exercício 1:
** ${\sqrt[{3}]{\frac {x^{4}\ y^{2}}{2\ z}}}\,$ = ${\sqrt[{3}]{\frac {x^{3}\ x\ y^{2}\ 2^{2}\ z^{2}}{2^{3}\ z^{3}}}}$ = ${\sqrt[{3}]{\frac {x^{3}}{2^{3}\ z^{3}}}}{\sqrt[{3}]{x\ 2^{2}\ y^{2}\ z^{2}}}$ = ${\frac {x}{2\ z}}{\sqrt[{3}]{2^{2}\ x\ y^{2}\ z^{2}}}\,$
** ${\sqrt {\frac {24}{125}}}=\,$
** ${\sqrt[{5}]{\frac {64}{81}}}=\,$
** ${\sqrt {\frac {x-y}{x+y}}}=\,$
** ${\sqrt[{15}]{x^{32}\ y^{83}\ z^{41}}}=\,$
* Escreva as expressões abaixo como uma soma de radicais:
** ${\sqrt {12+{\sqrt {140}}}}=\,$
** ${\sqrt {13-{\sqrt {160}}}}=\,$
** ${\sqrt {9-{\sqrt {72}}}}=\,$
** ${\sqrt {7+{\sqrt {48}}}}=\,$
* Seja x um número real positivo tal que $x+2{\sqrt {2}}\,$ é o inverso de $x-2{\sqrt {2}}\,$. Determine $x^{2}+x^{\frac {1}{2}}\,$.
* Seja $a={\frac {3+{\sqrt {10}}}{4-{\sqrt {5}}}}\,$ e $b={\frac {4+{\sqrt {5}}}{{\sqrt {10}}-2}}\,$. Determine a:b.
* Simplifique as expressões abaixo:
** ${\frac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4}}}-{\frac {1}{\sqrt[{3}]{16}}}=\,$
** ${\frac {2+{\sqrt {5}}}{2-{\sqrt {3}}}}+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2+{\sqrt {3}}}}=\,$
** $(5-{\sqrt {10}})^{2}=\,$
** $({\sqrt[{3}]{9}}-{\sqrt[{3}]{3}})^{2}=\,$
== Veja também ==Leonardo Belo Nato
* Matemática elementar/Exponenciais/Exercícios
* Matemática elementar/Números reais/Intervalos reais/Exercícios

# Números complexos

O conjunto dos números complexos $\mathbb {C}$ é a extensão dos números reais. Esta extensão é toda construída a partir de um elemento novo, a unidade imaginária $i$. Tipicamente, números deste conjunto são designados por z, mas é permitido utilizar qualquer signo para representá-los.

## O número imaginário

A unidade imaginária i - que define os números complexos - tem o valor de √-1. Para esta, então, podemos considerar todas as regras de radiciação. Observe o exemplo abaixo:
    ${\sqrt {-4}}={\sqrt {4}}{\sqrt {-1}}=\pm 2i$
Desta forma, raízes negativas podem ser facilmente reduzidas a um número complexo. Esta característica é muito utilizada para descobrir raízes de funções em que o discriminante é menor que zero. Por exemplo, as raízes de f(x) = x$^2$ + 9 são dadas por
    $f(0)={\frac {\pm {\sqrt {-4\times 1\times 9}}}{2}}={\frac {\pm {\sqrt {-36}}}{2}}={\frac {\pm {\sqrt {36}}{\sqrt {-1}}}{2}}={\frac {\pm 6i}{2}}=\pm 3i$

### Soma por um número real

A soma de um número imaginário por um número real origina o afixo do número complexo z. Desta forma, em um número complexo z cujo afixo é dado por a + bi, teremos a como a parte real (denotada por Re), e b a parte imaginária (denotada por Im). Desta forma, teremos:
* b igual a zero para um número real qualquer;
* a igual a zero para um número imaginário puro qualquer.
Já para a - bi, teremos o conjugado do número complexo. O conjugado de um número complexo z é dado por z. Por exemplo, o conjugado do número z = 2 - i é
    ${\overline {z}}=2-(-i)$
Que resulta em z = 2 + i.

## Operações com os complexos
### Soma e subtração

O seguinte fragmento resume a soma e a subtração dos números complexos:
Por exemplo, considere os números complexos z$_1$ e z$_2$, para z$_1$ = -2 + 4i e z$_2$ = -3 - i, então z$_1$ + z$_2$ =
    ${\begin{cases}\operatorname {Re} =-2{\color {Red}+}(-3)=-5\\\operatorname {Im} =4i{\color {Red}+}(-i)=3i\end{cases}}$
Conclui-se a soma pela obtenção de -5 + 3i.
A subtração pode ser deduzida a partir da adição. Veja a diferença entre z$_1$ e z$_2$:
    ${\begin{cases}\operatorname {Re} =-2{\color {Red}-}(-3)=1\\\operatorname {Im} =4i{\color {Red}-}(-i)=5i\end{cases}}$
Que é igual a 1 + 5i.

### Multiplicação

A própria definição do conjunto dos números complexos reside na multiplicação. Assim, definimos o conjunto dos números complexos como tendo a seguinte operação de multiplicação:
Na prática, isto resume-se na multiplicação distributiva:
    $z_{1}z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}i+a_{2}b_{1}i+b_{1}b_{2}i^{2}$
Exemplo: z$_1$z$_2$, para z$_1$ = 2 + i e z$_2$ = -1 + 2i:
    $z_{1}z_{2}=-2+4i-i+2i^{2}=-2+3i+2i^{2}=-2+(3+2i)i$

### Potenciação

Você deve ter notado a presença de expoente acima da unidade imaginária no exemplo anterior. A potência pode e deve ser resolvida. Facilmente ela pode ser deduzida. Veja:
    $i^{0}=1$
    $i^{1}={\sqrt {-1}}$
    $i^{2}=({\sqrt {-1}})^{2}=-1$
    $i^{3}=i^{2}i^{1}=-1{\sqrt {-1}}=-i$
Para expoentes maiores que três (x), a seguinte operação é válida:
    $i^{x}=i^{x-4k-1}=i^{y}$
Em que k é o maior inteiro possível para {y ∈ N| 0 ≤ y ≤ 3}. Por exemplo, i$^{20}$:
    $i^{20}=i^{20-4k-1}=i^{19-4k}=i^{19-16}=i^{3}=-i$

### Divisão

A divisão de números complexos pode ser feita pelo método da chave. Entretanto, esta última muitas vezes pode ser demorada até que se obtenha resto igual a zero. Geralmente, o método aplicado consiste na multiplicação do denominador e numerador pelo conjugado do divisor. Exemplo:
    ${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {2+3i}{-1+2i}}$
O conjugado do divisor é igual a -1 - 2i. Portanto:
    ${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {z_{1}}{z_{2}}}\times {\frac {\bar {z_{2}}}{\bar {z_{2}}}}={\frac {2+3i}{-1+2i}}\times {\frac {-1-2i}{-1-2i}}={\frac {-2-4i-3i-6i^{2}}{(-1)^{2}-(2i)^{2}}}={\frac {4-7i}{5}}$

## Representação geométrica

    É denominado de norma de um complexo z, dado por $z=a+bi$ , o quadrado da parte real somada ao quadrado da parte imaginária, ou seja, $N(z)=a^{2}+b^{2}$.
    E, denomina-se módulo (ou valor absoluto) de z, ao seguinte real e positivo:
    $|z|=\surd N(z)=\surd (a^{2}+b^{2})$
    Veja o módulo que trata sobre o plano de Argand-Gauss.

## Veja também

Uma abordagem mais avançada dos números complexos pode ser vista no livro Análise complexa/Introdução.

# Relações

Relações são, conforme visto no capítulo anterior, quaisquer subconjuntos do produto cartesiano A × B. Em verdade, as relações podem envolver produtos cartesianos de vários conjuntos (X$_1$ × X$_2$ × ... × X$_n$), e a relação específica que envolve o produto cartesiano de dois conjuntos é chamada relação binária.
Assim, uma relação binária é o conjunto de pares ordenados cujo primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B, quaisquer que sejam os conjuntos A e B. Representa-se a relação binária por $R:A\rightarrow B\,\!$. O conjunto A é chamado de domínio da relação, o conjunto B é chamado de contradomínio da relação.

## Especificando relações

A imagem à direita mostra uma maneira comum de se especificar relações: através de figuras mostrando os dois conjuntos, com setas indicando os pares ordenados.
As relações também podem ser especificadas matematicamente da seguinte maneira:
       $R=\{(x,y)\in A\times B|C\}\,\!$,
Onde C é uma condição qualquer que associe os elementos de A e B. Pode ser uma equação ou inequação. Por exemplo:
       A = { 1,2,3 }
       B = { 1,2,3,4,5,6 }
       $R=\{(x,y)\in A\times B|y=2x\}\,\!$
A relação, cujo domínio é A e o contradomínio é B, é especificada por y = 2x. Logo, R = { (1,2),(2,4),(3,6) }.
       C = { 1,2,4,8 }
       D = { 0,1,2 }
       $R=\{(x,y)\in C\times D|x<y\}\,\!$
       R = { (1,2) }

## Representação gráfica

Relações binárias, visto consistirem de pares ordenados, podem ser representadas em gráficos. Um gráfico é nada mais do que uma curva (o nome se aplica mesmo a gráficos com apenas retas) que representa visualmente a relação binária, para cada par ordenado em que ela se defina. O gráfico formado assim é também chamado de sistema cartesiano ou gráfico cartesiano, por representar um produto cartesiano.
Uma relação que tenha por coordenadas elementos pertencentes ao conjunto dos números reais é representada, usualmente, num plano com duas retas: o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas. Estas retas recebem também os símbolos x e y, respectivamente.
No caso da relação ser definida por inequações, o gráfico correspondente vai representar áreas, e não curvas. (Por razões práticas, no gráfico muitas vezes aparece colorida ou hachurada apenas uma parte, logo abaixo ou acima de uma linha que define a inequação.)
Um gráfico pode estar "em branco" para relações definidas pelo conjunto vazio ().
No gráfico como apresentado o eixo das abcissas representa o domínio da relação, e o eixo das ordenadas representa o contra-domínio da relação.

## Função

Existe um tipo especial de relação que é chamado função: é a relação na qual, para todo elemento do domínio, há correspondência de um (e somente um) elemento no contradomínio. A função normalmente é simbolizada por f(x) (sendo x uma variável, ou seja, um valor que pode representar qualquer elemento do conjunto domínio).
Como conseqüência natural da correspondência biunívoca entre elementos do domínio e contradomínio, a função é sempre uma relação definida por uma equação (pois uma inequação associa um elemento do domínio a vários elementos do contradomínio).
As funções são estudadas com mais detalhes no próximo capítulo.

## Relações de equivalência

Uma classe muito importante de relações são as de equivalência, que serão definidas a seguir. Seja R uma relação entre os conjuntos A e B, ou seja, R ⊆ A×B. Denotaremos que um elemento a de A se relaciona com o elemento b de B, segundo a relação R, por aRb. Se uma relação R definida com domínio A e contradomínio A cumpre as seguintes propriedades: ∀a $\in$ A aRa (propriedade reflexiva) ∀a,b $\in$ A aRb ⇔ bRa (propriedade simétrica) ∀a,b,c $\in$ A aRb e bRc ⇒ aRc (propriedade transitiva) Ela é dita Relação de Equivalência.
Relações de equivalência permitem que se definam classes de equivalência. Seja ā = {x $\in$ A | xRa}. ā é denominado classe de equivalência de a. Alguns resultados importantes desta definição são:
Teorema: Se a $\in$ ē ⇒ ā=ē Demonstração: Tome x $\in$ ā. Por definição xRa. Como a $\in$ ē, por definição aRe. Pela propriedade transitiva das relações de equivalência, xRe, logo x $\in$ ē. Tome x $\in$ ē. Por definição xRe. Como a $\in$ ē, por definição aRe, logo, eRa. Pela propriedade transitiva das relações de equivalência, xRa, logo x $\in$ ā. Deste modo, ā=ē.
Teorema: Se a∉ē, então ā∩ē=∅ Demonstração: Suponha, por absurdo que existe um x em ā∩ē. Da definição de interseção de conjuntos e da definição de classes de equivalência, xRa e xRe. Logo aRx e xRe. Daí aRe. Deste modo, a $\in$ ē. Isto é um absurdo pela hipótese. Deste modo, nenhum x pode pertencer a ā∩ē. Logo ā∩ē=∅.
Teorema: Se ā≠ē, então ā∩ē=∅ Demonstração: Se ā≠ē, então existe u $\in$ ā tal que u∉ē ou u $\in$ ē tal que u∉ā. Suporemos, sem perda de generalidade, que existe u $\in$ ā tal que u∉ē. Como já provamos ū=ā e ū∩ē=∅. Logo ā∩ē=∅.
Definição: Uma partição de um conjunto X é um conjunto P tal que x $\in$ P ⇒ x⊆X, além de x,y $\in$ P ⇒ x∩y=∅ e x $\in$ X ⇒ ∃a $\in$ P tal que x $\in$ a.
Teorema: Seja R uma relação de equivalência em A, P={ā⊆A|a $\in$ A} é uma partição de A. Demonstração: Mostramos, no teorema anterior, que os elementos de P são subconjuntos de A, o que cumpre a primeira condição da definição de partição. Dois elementos de P, se são distintos, são disjuntos, conforme provamos no teorema anterior. E, para todo u em A, ū pertence a P, pela definição de P. Deste modo P é uma partição de A.
Teorema: Seja P uma partição de A, a relação R dada por aRe ⇔ a $\in$ ē é de equivalência. Demonstração: a $\in$ ā por definição, de modo que aRa para todo a em A. Se aRe, então a $\in$ ē, logo ā=ē. Daí, como e $\in$ ē por definição, então e $\in$ ā. Logo eRa Se aRe e eRu, então a $\in$ ē e e $\in$ ū. Daí, sabemos que ā=ē=ū. Logo a $\in$ ū e, portanto, aRu. Deste modo, provamos as três condições da definição de relação de equivalência.
Disto sabemos que toda partição induz uma relação de equivalência e toda relação de equivalência induz uma partição. Estes resultados são muito úteis em vários ramos da Matemática, como Geometria.

# Funções

Uma função é uma relação especial, que é definida da seguinte maneira: sejam dois conjuntos A e B, tais que para todo elemento x pertencente a A, haja uma correspondência de um elemento y pertencente a B. Essa correspondência é a função: a associação, definida de algum modo, entre todos os elementos de um conjunto e os elementos de outro conjunto.
A função que associa um elemento x a outro valor pode ser indicada por f(x). O aparecimento de x na simbologia da função não ocorre por acaso, uma vez que o valor f(x) depende de x. Por isso mesmo, x é chamada variável independente e f(x) (ou y) é chamada de variável dependente. Matematicamente a função é definida:
       $f:A\rightarrow B:x\mapsto f(x)$, ou mais simplificadamente, $f:A\rightarrow B$
Um exemplo de função: dado o conjunto dos números naturais, uma função pode associar cada número ao seu quadrado. Assim, essa função assumiria os valores: { 1,4,9,16,... }.
Uma função pode, na verdade, associar mais de um conjunto a outro; pode haver diversas variáveis independentes. Por exemplo: uma função pode tomar dois valores inteiros e expressar sua soma:
       $f(x,y)=x+y$
No entanto, neste livro será dada mais atenção às funções de uma variável, apenas. São duas características da função enquanto relação:
* há correspondência unívoca entre um elemento e o valor associado a ele pela função: isso significa que para cada valor assumido pela variável independente (x), há um único valor da variável dependente (y) associado pela função. Consequentemente, se t = f(x) e w = f(x), então t = w.
* a correspondência é total, ou seja, um valor assumido pela variável dependente estará associado para todo valor possível de ser assumido pela variável independente.
A tabela a seguir mostra dois exemplos de relações que não são funções:
| Nesse caso, um mesmo elemento (3) do domínio X aparece associado a dois elementos do contradomínio Y (c,d). | Aqui a correspondência não é total: falta um valor associado a 1. |
Já o diagrama a seguir representa uma função:
Duas funções f e g são ditas iguais (f = g) se e somente se para cada valor de x no domínio D, f(x) e g(x) assumam o mesmo valor:
       $\forall x\in D,f(x)=g(x)\to g=f$
    OBS.: uma função é uma relação, por isso não possui grau. Quem possui grau são os polinômios associados a função. Dessa maneira é um equívoco pensar em "função de 1° ou 2° graus".

## Introdução

Relações que estabeleçam dependência entre os elementos de dois conjuntos são denominadas funções.
Um exemplo clássico de função é a do salário de vendedores que ganham por comissão:
Existe um valor fixo que o vendedor ganha mesmo se não conseguir vender nada naquele mês e uma comissão, que depende da quantidade de vendas que o vendedor realizou. Por exemplo:
| Vendas | Comissão por venda | Valor Fixo | Salário |
| 0 | 55 | 300 | 300 |
| 1 | 55 | 300 | 355 |
| 2 | 55 | 300 | 410 |
Da tabela acima podemos construir uma relação entre as vendas e o salário do vendedor:
$S=55\cdot V+300\,\!$
E com isso, construímos um gráfico que relaciona vendas a salário, onde verifica-se que:
* O salário depende das vendas.
* O salário é uma função das vendas.

## Definição

Ao aplicar uma função $f\,\!$ em um dado conjunto $D\,\!$, cada elemento deste deverá ter como correspondente um elemento em um dado conjunto $C\,\!$.
Ao conjunto $D\,\!$ denomina-se domínio da função, sendo seus elementos denominados abscissas, e ao conjunto $C\,\!$ denomina-se contra-domínio, sendo seus elementos denominados ordenadas ou imagens, quando estas se correlacionarem a um elemento de $D\,\!$.
Ou seja:
Dados dois conjuntos $D\,\!$ e $C\,\!$ não vazios, dizemos que a relação f de $D\,\!$ em $C\,\!$ será função se, e somente se,
    $\forall x\in D\;\exists \;y\in C\;|\;\left(x,y\right)\in f$.
(Para qualquer x pertencente a D existe um y pertencente a C tal que o par ordenado (x,y) pertence à função f)
    Obs: Para cada $x\,\!$, deve haver apenas um $y\,\!$

## Representações

Existem várias maneiras de se representar funções.
Abaixo você pode ver as três mais comumente utilizadas, sendo a primeira a predominante.
As representações abaixo são de uma função em relação a seu domínio e contra-domínio.
$f:A\rightarrow B\,\!$
$x\rightarrow y=f(x)\,\!$
${\begin{matrix}&f&\\A&\rightarrow &B\end{matrix}}\,\!$
Há também as representações por sua fórmula algébrica em relação a sua imagem, como a seguir:
$f(x)=ax+b,\!$
$g(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$

## Condições de existência

As condições básicas de existência são:
* Todo e qualquer elemento do domínio deve possuir uma única imagem no contra-Domínio.
* Caso a equação algébrica da função contenha uma fração, seu denominador deve ser diferente a 0 (zero).
* Caso a equação algébrica da função possua uma raíz de índice par, para que seu resultado pertença aos Reais, o radicando deve ser maior ou igual a 0 (zero).
** Caso essa mesma raíz esteja no denominador de uma fração, o radicando deve ser estritamente maior que 0 (zero).
** Caso o índice dessa raíz seja um número ímpar, a única restrição é que o radicando seja diferente de 0 (zero).
Com isso, cada função deverá ter suas restrições particulares, mas sempre obedecendo as gerais acima. Algumas regras não são aplicáveis a funções com contradomínio Complexo.

## Nomenclaturas

Abaixo você confere o que significa cada nome utilizado ao se falar sobre funções:

### Domínio, contradomínio e imagem

São três conjuntos especiais associados à função. O domínio é o conjunto A do exemplo dado no início deste capítulo: contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. Já o conjunto B do exemplo é o contradomínio: o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio.
Também define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.
Por exemplo, suponha a função que associa um elemento do domínio D = { 1,2,3,4,5 } a uma vogal ordenada no alfabeto.
       O domínio, já especificado, é $D=\{1,2,3,4,5\}$
       O contradomínio é $CD=\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z\}$
       A imagem é $Im=\{a,e,i,o,u\}$

### Gráfico Cartesiano
#### Abscissa

    Todo e qualquer elemento do domínio.

#### Ordenada

    Todo e qualquer elemento do conjunto imagem.

#### Gráfico em Plano Cartesiano da função

    Representação de todos os pontos que compõem uma função através de dois eixos perpendiculares.

### Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras

    Ver módulo principal: Matemática elementar/Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras

### Funções Pares e Ímpares

* Uma função $f$ é denominada par quando $f(x)=f(-x)$, para todo $x\in \operatorname {Dom} (f)$ (domínio de f).
* Uma função $f$ é denominada ímpar quando $f(x)=-f(-x)$, para todo $x\in \operatorname {Dom} (f)$.

## Propriedades das funções
### Continuidade

Uma função é dita contínua sobre um intervalo dado, $[a,b]$, se possui um valor definido para todos os números contidos nesse intervalo. Por exemplo, a função:
       $y={\sqrt {x}}$, definida para o contradomínio $y\in \mathbb {R}$, não é contínua no intervalo $]-\infty ,+\infty [$, uma vez que não está definida para x < 0.

### Crescimento e decrescimento

Uma função é dita crescente, sobre um intervalo [A,B], se para cada valor de x + ε (ε sendo qualquer valor positivo), $f(x)<f(x+\epsilon )$.
Uma função é dita decrescente, sobre um intervalo [A,B], se para cada valor de x + ε (ε sendo qualquer valor positivo), $f(x)>f(x+\varepsilon )$.

### Paridade

A paridade de uma função é uma propriedade relacionada a simetria da mesma, e portanto só pode ser definida para funções cujo domínio é simétrico (veja a definição de conjunto simétrico). Sendo $x\!\,$ um elemento pertencente a um conjunto simétrico $A\!\,$, uma função é dita:
* par, se para todo $x\!\,$, $f(x)=f(-x)\!\,$; ou seja, o valor da função é definido apenas de acordo com o módulo da variável independente;
* ímpar, se para todo $x\!\,$, $f(x)=-f(-x)\!\,$;
* sem paridade, se não corresponder a nenhum dos dois casos anteriores.
| Exemplo de função par: -5x$^2$ + 120. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = f(-x); por exemplo: f(2) = -5*(2$^2$) + 120 = -5*4 + 120 = 100, f(-2) = -5*(-2$^2$) + 120 = -5*4 + 120 = 100 f(2) = f(-2) | Exemplo de função ímpar: x$^3$. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = -f(-x); por exemplo: f(2) = 2$^3$ = 8 f(-2) = -2$^3$ = -8 f(2) = -f(-2) |

## Funções polinomiais de primeiro e segundo graus

Existem dois tipos especiais de funções a respeito das quais cabe fazer comentários aqui. Uma função é dita polinomial do primeiro grau ou afim quando pode ser expressa na forma:
       $y=ax+b,\,a\in \mathbb {R^{*}} ,b\in \mathbb {R}$
A função polinomial do primeiro grau sempre toma no gráfico a forma de pontos colineares. Se o domínio da função for o conjunto R, tem-se uma reta.
O valor da constante $a$, na função $y=ax+b$ e que tem domínio igual a $R$, é chamado coeficiente angular da reta que define a função. Ele pode ser obtido a partir da relação entre quaisquer dois pontos da reta (ou valores associados da variável independente e dependente), conforme a equação:
       $a={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$
Para o caso específico da constante $b$ ser igual a zero, a função $y=ax$ é chamada função linear.
Já a função do segundo grau toma a forma:
       $y=ax^{2}+bx+c$
       $a\in \mathbb {R^{*}} ,b\in \mathbb {R} ,c\in \mathbb {R}$
Graficamente, a função do segundo grau é sempre uma parábola, cuja concavidade depende unicamente do sinal da constante a. Se a for negativo, a parábola tem o vértice voltado "para cima"; se a for positivo, a parábola tem o vértice voltado "para baixo". (Considerando a representação usual do plano cartesiano.)

## Operações sobre funções
### Composição de funções

* Composição e inversão de funções
O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de "fórmula matemática". Funções descrevem relações matemáticas entre dois objetos, $x$ e $y=f(x)$. O objeto $x$ é chamado o argumento da função $f$, e o objeto $y$, que depende de $x$, é chamado imagem de $x$ pela $f$.
Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento $x$ um único valor da função $f(x)$. Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula ou regra de associação, um gráfico, ou uma simples tabela de correspondência...

## Alguns tipos de funções

Propriedades fundamentais, gráficos, máximos, mínimos, equações e inequações envolvendo estas funções.
* Função polinomial
** Função linear
** Função quadrática
* Função exponencial e Função logaritmica
* Função trigonométrica
* Função modular
* Função afim

# Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras

Tomemos dois conjuntos $X\!\,$ e $Y\!\,$. Digamos que o primeiro seja um conjunto de crianças e o segundo é de mulheres adultas. Seja f a função que leva cada criança x do conjunto X na sua mãe y = f(x) do conjunto Y.
* Se houver ao menos uma criança no conjunto $X\!\,$ que não seja filha de uma mulher do conjunto $Y\!\,$, então esta relação não consiste em uma função.
* Se houver ao menos uma criança no conjunto $X\!\,$ que seja filha de mais de uma mulher do conjunto $Y\!\,$, então esta relação também não consiste em uma função.
* Se no conjunto X não houver nenhum par de irmãos, ou seja, as mulheres do conjunto Y tem apenas um filho ou nenhum filho, então temos que para a e b crianças diferentes do conjunto X, as suas mães f(a) e f(b) são diferentes. Neste caso, a função é injetora.
* Se o conjunto Y for formado apenas de mães, ou seja, não há mulheres sem filho em Y, então qualquer que seja a mãe m do conjunto Y existe alguma criança c tal que f(c) = m (ou seja, m é a mãe de c). Neste caso, a função é sobrejetora.
* Se não houver irmãos em X, e o conjunto Y for formado de mães, então existe uma correspondência perfeita entre crianças e suas mães, ou seja, toda criança tem só uma mãe e toda mulher tem só um filho. A função f é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora, ou seja, é bijetora.
* Função Injetora e não sobrejetora
* Função Sobrejetora e não injetora
* Função Bijetora
* Resumindo:
** Função Injetora (ou função injetiva, ou uma injeção) é aquela na qual dois elementos diferentes no domínio correspondem sempre a elementos diferentes no contra-domínio.
** Função sobrejetora (ou função sobrejetiva ou uma sobrejeção) é aquela na qual o contra-domínio é igual à imagem, ou seja, cada elemento do contradomínio é correspondido por ao menos um do domínio.
** Função bijetora (ou função bijetiva ou uma bijeção) é aquela na qual para cada elemento no domínio corresponde a um único elemento no contradomínio, e cada elemento no contradomínio corresponde a um único do domínio.
No restante do texto, serão estudadas funções numéricas, ou seja, funções entre conjuntos de números reais.

## Domínio finito

Quando o domínio da função é finito, a forma mais prática de verificar se a função é injetora, sobrejetora ou bijetora é calcular diretamente f(x) para cada ponto do domínio, e verificar:
* se existem x e y diferentes com f(x) = f(y), então a função não é injetora
* se existe algum y no contra-domínio que ficou de fora, ou seja, para o qual não existe x com f(x) = y, então a função não é sobrejetora

### Exemplo

Seja A = { -2, -1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4}, C = {0, 1, 4}, D = {0, 1, 2} e as funções:
* $e:B\to C\,$ dada por k(x) = 1
* $f:D\to B\,$ dada por g(x) = x$^2$
* $g:A\to C\,$ dada por h(x) = x$^2$
* $h:A\to B\,$ dada por f(x) = x + 2
Então:
* e não é injetora, porque e(0) = e(1). e também não é sobrejetora, porque não existe x tal que e(x) = 0.
* f não é sobrejetora, porque não existe x tal que f(x) = 2. Mas f é injetora: a única forma de f(x) ser igual a f(y) é quando x = y, como pode ser visto listando os pares ordenados de f: {(0, 0), (1, 1), (2, 4)}.
* g não é injetora, porque g(-1) = g(1). Mas g é sobrejetora, porque para todo elemento y de C existe um elemento (pode haver mais de um) x de A com g(x) = y. Isto pode ser visto também listando os pares de g: {(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}. Outra forma de ver que ela é sobrejetora é observar que a imagem de g é o conjunto {0, 1, 4}, igual ao contra-domínio C.
* h é injetora, porque se h(x) = h(y), então x + 2 = y + 2 logo x = y. h também é sobrejetora, porque para todo elemento y de B existe um x de A com h(x) = y. De fato, isto pode ser visto enumerando-se os pares de h, ou observando-se que a imagem de h é o conjunto B.

### Casos particulares

Alguns casos particulares para funções $f:A\to B\,$, em que A e B são conjuntos finitos de números
* Se f é injetora, então A não tem mais elementos que B
* Se f é sobrejetora, então A não tem menos elementos que B
* Se f é bijetora, então A tem tantos elementos quanto B
* Se f é uma função do primeiro grau, f(x) = a x + b, com a ≠ 0, então f é injetora.
Deve-se notar que estas regras não são suficientes para resolver todos os casos, por exemplo a função $f:A\to B\,$ dada por f(x) = x$^2$, em que A = {-1, 1} e B = {0, 1} não é nem injetora nem sobrejetora.

## Domínio e contra-domínio real

Neste caso temos uma função $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,$.
Alguns casos particulares:
* Se f é uma função do primeiro grau, f(x) = a x + b, com a ≠ 0 então f é bijetora.
* Se f é uma função do segundo grau, f(x) = a x$^2$ + b x + c, com a ≠ 0, então f não é injetora nem sobrejetora.
Em outros casos, deve-se procurar desenhar o gráfico da função.

### Exemplo

Considere a função $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,$ dada por f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3).
Obviamente, pelo gráfico é fácil ver que esta função não é injetiva. Pela equação também é fácil, já que f(1) = f(2) = f(3) = 0.
Esta função é sobrejetiva. Este fato e sugerido pelo gráfico, apesar deste mostrar apenas parte do conjunto imagem.

## Domínio e contra-domínio intervalos de números reais

Neste caso temos uma função $f:\mathbb {A} \to \mathbb {B} \,$, em que A e B podem ser toda a reta real, intervalos finitos ou intervalos infinitos.
A única regra especial é:
* Se f é uma função do primeiro grau, f(x) = a x + b, com a ≠ 0 então f é injetora.

## Ver também

Artigos na wikipedia:
* Função injetiva
* Função sobrejetiva
* Função bijetiva

# Função inversa

Dada uma função $f:U\to V\,$, uma pergunta natural é, dado um valor v do contradomínio, em que condições a equação f(x) = v tem uma solução única x = u ?
Por exemplo, para funções do primeiro grau, de domínio e contra-domínios reais, f(x) = a x + b (em que a ≠ 0), a equação f(x) = v admite a única solução $x={\frac {v-b}{a}}\,$.
Por outro lado, para funções reais do segundo grau f(x) = a x$^{2+bx+c}$ (novamente, a ≠ 0), a equação f(x) = v pode possuir duas, uma ou nenhuma raiz (dependendo do valor de $\Delta =b^{2}\ -\ 4\ a\ (c-v)\,$ ser, respectivamente, positivo, zero ou negativo).
Como outro exemplo, a função f(x) = x$^2$ + 1, quando o domínio é o conjunto dos números reais positivos e o contra-domínio é o conjunto dos números reais maiores que um é tal que f(x) = v sempre admite uma única solução. Isto porque, sendo v > 1, temos que x$^2$ + 1 = v é equivalente a x$^2$ = v - 1, ou seja, a solução é a (única) raiz quadrada positiva do número positivo v - 1 dada por $x={\sqrt {v-1}}\,$.

## Conceito

Dada uma função $f:U\to V\,$, dizemos que $g:V\to U\,$ é a função inversa de f quando:
* Para todo valor $y\in V\,$, a equação f(x) = y tem uma solução
* Esta solução é única, e dada por x = g(y).

## Teoremas

* Se a função f tem uma inversa, então f é uma função bijetora.
* Se f é uma função bijetora, então f tem uma inversa, e a função inversa é bijetora
* A função inversa de uma função é única
* Se g é a função inversa de f, então f é a função inversa de g

## Definições relacionadas

Uma função que tenha inversa diz-se invertível.
A função inversa de uma função f é representada por f$^{-1}$ - note-se que esta notação deve ser usada com cuidado, pois, em alguns contextos, $f^{-1}={\frac {1}{f}}\,$.

## Ver também

Artigo na wikipedia:
* Função inversa

# Exponenciais
## Definição de Potência

Em matemática, potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesmo. As potências apresentam-se na forma $x^{n}$, onde n é o expoente e x é a base.
A potência $4^{3}$, por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja $4^{3}=4\cdot 4\cdot 4=64$. Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base ($7^{1}=7$), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de operações feitas diretamente com potências, o resultado é sempre igual a 1 ($16^{0}$ = 1).
A regra para o expoente zero pode parecer estranha. Mas se não fosse assim, todas as propriedades de potências ficariam mais complicadas. Além disto, quem olhar um gráfico de uma função exponencial vai ver que não poderia ser de outra forma. Enfim, tudo induz para que aceitemos esta forma de definir as potências com expoente 0.

## Operações com Potências

Existem várias regras que visam facilitar a resolução de potências. É possível multiplicar e dividir qualquer par de potências que possuam a mesma base, o mesmo expoente, ou os dois iguais.

### Multiplicação
#### Com a mesma base

| $a^{b}\times a^{c}=a^{b+c}$ | Para efetuar a multiplicação de potências com as bases iguais e expoentes diferentes, mantém-se a base e somam-se os expoentes. |

#### Com o mesmo expoente

| $b^{a}\times c^{a}=(b\times c)^{a}$ | Para multiplicar duas potências com os expoentes iguais e bases diferentes, mantém-se o expoente e multiplicam-se as bases. |

#### Com a mesma base e o mesmo expoente

| $a^{b}\times a^{b}=a^{b+b}$ $a^{b}\times a^{b}=(a\times a)^{b}$ | Para multiplicar duas potências com os expoentes iguais e as bases também iguais, pode-se utilizar qualquer uma das regras. |

### Divisão
#### Com a mesma base

| ${a^{b} \over a^{c}}=a^{b-c}$ | Para dividir duas potências com as bases iguais e expoentes diferentes, mantém-se a base e subtraem-se os expoentes. |

#### Com o mesmo expoente

| ${b^{a} \over c^{a}}=\left({b \over c}\right)^{a}$ | Para dividir duas potências com os expoentes iguais e bases diferentes, mantém-se o expoente e dividem-se as bases. |

#### Com a mesma base e o mesmo expoente

| ${a^{b} \over a^{b}}=a^{b-b}$ (1) ${b^{a} \over b^{a}}=\left({b \over b}\right)^{a}$ | Para dividir duas potências com os expoentes iguais e as bases também iguais, pode-se utilizar qualquer uma das regras. |
(1) - Este caso nos dá mais um motivo para tomarmos qualquer potência com expoente 0 como sendo igual a 1. Como ${a^{b} \over a^{b}}=1$ e ${a^{b} \over a^{b}}=a^{b-b}=a^{0}$ então $a^{0}=1$.
Observe que isto não é a prova que $a^{0}=1$ pois foi utilizada uma propriedade para subtrair os expoentes, propriedade esta que, para ser provada, necessita que seja considerado $a^{0}=1$ , logo, não pode ser provada utilizando a equação acima.

## Equações envolvendo potências
### Equações do tipo a$^{f(x)}$ = b$^{g(x)}$

Equações do tipo
    $a^{f(x)}=a^{g(x)}\,$
onde a é uma constante são resolvidas simplesmente igualando-se f(x) a g(x).
No caso mais geral:
    $a^{f(x)}=b^{g(x)}\,$
é preciso, primeiro, converter uma (ou ambas) bases para que as duas bases fiquem iguais.

#### Exemplo

* Resolva:
    $4^{(x+1)}=8^{x}\,$
O primeiro passo é transformar as bases. No caso, pode-se transformar $4=8^{(2/3)}\,$ ou $8=4^{(3/2)}\,$ (exercício), mas é bem mais simples transformar $4=2^{2}\,$ e $8=2^{3}\,$:
    $(2^{2})^{(x+1)}=(2^{3})^{x}\,$
Aplicando a propriedade $(a^{b})^{c}=a^{(bc)}\,$:
    $2^{(2x+2)}=2^{3x}\,$
Agora temos uma equação da forma $a^{f(x)}=a^{g(x)}\,$:
    $2x+2=3x\,$
    $-x+2=0\,$
    $x=2\,$
Verificando:
    $4^{3}=8^{2}\,$ (ok)

### Equações do tipo f(a$^x$) = 0

As equações do tipo
    $f({a^{x}})=0\,$
são resolvidas de forma análoga à biquadrada. Lembrando: uma biquadrada $ax^{4}+bx^{2}+c=0\,$ é resolvida pela substituição $y=x^{2}\,$. Resolve-se a equação em y, e, com o(s) valor(es) de y, resolve-se a equação em x.

#### Exemplo

* Resolva a equação
    $9^{x}+2^{3}\ 3^{(x-1)}-1=0\,$
De novo, como temos bases diferentes, é conveniente reescrever tudo para a mesma base. Como $9=3^{2}\,$, temos:
    ${(3^{2})}^{x}+8\ 3^{(x-1)}-1=0\,$
Usando agora a propriedade ${(a^{b})}^{c}={(a^{c})}^{b}\,$:
    ${(3^{x})}^{2}+8\ 3^{(x-1)}-1=0\,$
Ainda temos um problema! É preciso transformar $3^{(x-1)}\,$ em uma expressão onde $3^{x}\,$ esteja isolado. Para isto, vamos usar a propriedade $a^{(b-c)}=a^{b}/a^{c}\,$:
    $3^{(x-1)}=3^{x}/3^{1}=3^{x}/3\,$
Então a expressão fica:
    ${(3^{x})}^{2}+{\frac {8}{3}}3^{x}-1=0\,$
Resolvendo:
    $y=3^{x}\,$
    $y^{2}+{\frac {8}{3}}y-1=0\,$
    $3y^{2}+8y-3=0\,$
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
    $y={\frac {-8\pm {\sqrt {8^{2}-4(3)(-3)}}}{2(3)}}\,$
    $y={\frac {-8\pm {\sqrt {64+36}}}{6}}\,$
    $y={\frac {-8\pm {\sqrt {100}}}{6}}\,$
Ou seja, as duas raízes são:
    $y=-3\,$
    $y={\frac {1}{3}}\,$
A primeira solução, y = -3, gera uma equação sem solução em x, porque $3^{x}\,$ é sempre um valor positivo e não pode ser igual a -3.
A segunda solução fornece:
    $3^{x}={\frac {1}{3}}\,$
Ou seja:
    x = -1
Verificando, temos que:
    $9^{-1}+8\ 3^{-2}-1={\frac {1}{9}}+{\frac {8}{9}}-1=0\,$ (ok)

## Exercícios

* Ver Exercícios
81²+81²+81²=

## Ver também
# Exercícios

A seguir são sugeridos alguns exercícios sobre exponenciais.
    Ver módulo principal: Matemática elementar/Exponenciais
* Simplifique as expressões abaixo, conforme o exercício 1:
** $5^{5}\times 5^{2}=5^{(5+2)}=5^{7}.\,$
** $2^{3}\times 2^{4}=\,$
** $3^{5}\times 3^{8}\times 3^{2}=\,$
** $2^{10}\times 6^{5}=\,$
** ${10}^{2}\times {20}^{3}=\,$
** $x^{3}\times y^{2}\times x^{2}\times z^{4}=\,$
* Simplifique as expressões abaixo:
** ${\frac {2^{3}\times 3^{2}}{2^{4}\times 3}}=\,$
** ${\frac {x^{4}\times y^{2}}{x^{3}\times y^{5}}}=\,$
** ${\frac {2\times x^{3}\times y}{6\times x\times y^{5}}}=\,$
** ${\frac {6^{5}}{5^{6}}}\times {\frac {81}{25}}=\,$
* Simplifique as expressões abaixo:
** ${(-2)}^{4}\times {(-3)}^{3}\times {(-6)}^{2}=\,$
** ${\frac {{(-3)}^{2}\times 2^{(-2)}}{3^{3}\times {(-2)}^{-3)}}}=\,$
** ${(2^{3})}^{4}\times {({(-4)}^{-2})}^{-3}=\,$
** ${\frac {(x^{3})^{2}}{(x^{2})^{5}}}=\,$
* Sendo a = 4$^3$, b = (-8)$^5$, c = (-2)$^6$ e d = (1/2)$^{-3}$, determine o valor de:
** ${\frac {a^{2}\times b^{-1}}{(-c)^{-2}\times (-d)^{-3}}}=\,$
* Escreva Verdadeiro (V) ou Falso (F), corrigindo a resposta no segundo caso:
** $a^{2}\times a^{3}=a^{2\times 3}\,$ ( )
** $b^{3}\times b^{4}=b^{3+4}\,$ ( )
** $x^{4}\times y^{4}=(x\times y)^{4}\,$ ( )
** ${\frac {x^{a}}{x^{b}}}=x^{a-b}\,$ ( )
** Se n é um número par, $(-x)^{n}=x^{n}\,$ ( )
** Se n é um número ímpar, $(-x)^{n}=-x^{n}\,$ ( )
** $(-x)^{n}\times x^{-n}=1\,$ ( )
** ${(x^{a})}^{b}=x^{(a^{b})}\,$ ( )
** ${(a^{x})}^{y}=a^{x\times y}\,$ ( )
** Se a é diferente de zero, $a^{1}=a\,$ ( )
** $a^{0}=1\,$ ( )
** $0^{1}=0\,$ ( )
** $0^{65536}=0\,$ ( )
** $0^{-5}=0\,$ ( )
** $2^{10}={10}^{2}\,$ ( )
** $1^{47}=1\,$ ( )
** $1^{-65}=1\,$ ( )
** $1^{0}=0\,$ ( )
** $0^{0}=\pi ,$ ( )
* Simplifique as expressões:
** ${\frac {{(-2)}^{3}.{(-4)}^{2}.8^{-1}}{16^{-1}.{(-4)}^{-3}.{(-2)}^{4}}}\,$
** ${\frac {6^{4}.{(-3)}^{-2}.{(-2)}^{3}}{36^{3}.4^{-2}.81}}\,$
** Sendo x > 0 e y > 0, ${\frac {x^{-2}.y^{2}.{(-x)}^{4}}{-y^{2}.x^{-2}.{(-x)}^{2}}}\,$

# Logaritmos

Considere o seguinte exemplo:
Uma família decidiu construir sua árvore genealógica. Enquanto desenhavam-na, notaram que a cada geração superior, dobrava o número de ascendentes. Na última geração, havia um. Na penúltima, dois. Na antepenúltima, quatro, e assim sucessivamente.
Qual a geração em que há 128 pessoas? É simples:
    $2^{x}=128$
No entanto, há a impossibilidade de resolver o cálculo. Para isto, algumas calculadoras possuem a tecla log$_2$:
    $\log _{2}128=7$
Portanto, a geração em que há 128 ascendentes é a sétima geração anterior à primeira.
A tecla log nada mais faz que descobrir um logaritmo.

## Definição de logaritmo

Um logaritmo pode ser descrito como:
    $\log _{a}b=c\iff a^{c}=b\iff {\sqrt[{c}]{b}}=a$
Observe que em cada operação (logaritmo, potência e raiz) um elemento diferente está em evidência. Isto mostra qual destes (a, b ou c) é necessário para a resolução da equação. Sendo apenas a inversão de outras duas operações, as propriedades dos logaritmos são idênticas às das potências e raizes.
Vejamos um exemplo numérico abaixo:
    $2^{3}=8$
    ${\sqrt[{3}]{8}}=2$
    $\log _{2}8=3$
Neste caso, dizemos que 2 é a base e 8 é o logaritmando. Assim, 3 é o logaritmo de 8 na base 2.
Observação: quando o valor da base não está explicita, considera-se 10 para a base:
    $\log x=\log _{10}x$

## Equações envolvendo logaritmos

Existem basicamente três métodos para a resolução de equações com logaritmos:

### Desenvolvimento na forma de potência

Na resolução de equações envolvendo logaritmos é de grande ajuda em certas situações usar princípios de equações exponenciais. Nestes casos, convertemos o logaritmo para uma potência. Por exemplo:
    $\log _{3}27=x$
Que pode ser entendida como:
    $3^{x}=27$
Esse tipo de comparação facilita a compreensão do problema em questão e de muitos outros semelhantes. Neste caso, basta pensarmos a que expoente devemos elevar a base 3 para obtermos a potência 27. Conclui-se que x = 3, pois 3$^3$ = 27.

### Logaritmo como variável

O logaritmo pode também ser entendido como uma função. Por exemplo, se temos uma função x, operamos com os princípios da álgebra, e isto ocorre também com os logaritmos. Exemplo:
    $3x+5x=8x$
Na álgebra, para podermos operar termos é necessário que a parte literal de cada monômio seja igual. Com os logaritmos isto ocorre de forma similiar:
    $3\log _{2}x+5\log _{2}x=8\log _{2}x$
Para podermos operar logaritmos de forma análoga à álgebra, é fundamental que a base e o logaritmando sejam iguais. Veja outro exemplo:
    $x^{2}\cdot x=x^{3}$
Com logaritmos podemos interpretar de maneira semelhante:
    $\log _{10}^{2}x\cdot \log _{10}x=\log _{10}^{3}x$

### Logaritmo em funções compostas

Além de aparecer em parcelas de uma soma ou em fatores, como visto nos dois últimos exemplos, o logaritmo pode aparecer em qualquer outra função! Pode estar no quociente de uma divisão, no expoente de uma potência, no radicando de uma raíz, ou até mesmo no logaritmando de um outro logaritmo. Em alguns casos, é muito comum recorrermos a alguma substituição para podermos visualizar melhor a equação. Por exemplo:

## Função logaritmica

Na tabela abaixo, vejamos os resultados obtidos na função f (x) = log$_2$ x:
| f (x) | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x | 0,0625 | 0,125 | 0,25 | 0,5 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Note que os resultados obtidos seguem um progressão geométrica, e portanto, o gráfico será representado por uma curva. Pode-se observar, ainda, nesse exemplo, que quanto menor for f (x), mais próximo de zero será x, mas não há valor para x que faça y ser nulo. Neste caso, o intervalo do domínio da função é (0, +∞).
Chamamos de raíz da função os valores de x em que f(x) = 0. Isto é, os pontos em que a curva intersepta o eixo das abscissas. No exemplo anterior, isto ocorre quando x = 1.
Vejamos o caso abaixo, de f(x) = (-2)$^x$
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f(x) | -0,125 | 0,25 | -0,5 | 1 | -2 | 4 | -8 |
Veja que os valores de f (x) possuem alternância de sinal, o que faz haver descontinuidade. Desta forma, uma função do tipo log$_a$ b = c em que a < 0 não apresentaria um gráfico, e portanto, não existe. Esta é uma regra: a base não pode ser negativa!
Consequentemente, o logaritmando jamais será negativo, pois potências negativas existem somente se a base é negativa e o expoente é ímpar.

### Estudo de casos

Vejamos alguns casos que envolvam logaritmos (desenvolveremos na forma de potência) :
$\log _{x}x=1,\{x\in \mathbb {R} |x>0\}$
    Temos que log$_x$ x = y é o mesmo que x$^y$ = x. Pensemos, qual expoente que elevado a uma base qualquer produz uma potência igual a base? O único expoente que satisfaz esta condição é 1, portanto log$_x$ x = 1.
$\log _{x}{\frac {1}{x}}=-1,\{x\in \mathbb {R} |x>0\}$
    Sabemos que log$_x$ 1/x = y é igual a x$^y$ = 1/x. O único expoente que elevado a uma base qualquer que produz uma potência inversa a base é -1. Logo, log$_x$ 1/x = -1.
$\log _{x}1=0,\{x\in \mathbb {R} |x>0\}$
    Já que log$_x$ 1 = y é o mesmo que x$^y$ = 1, devemos pensar quais expoentes deixam qualquer base real positiva igual a 1. O único expoente é o zero, assim, log$_x$ 1 = 0.

## Operações com logaritmos

Existem várias regras que visam facilitar a resolução de logaritmos. Para as demonstrações a seguir, consideraremos log$_c$a = x, e log$_c$b = y. Assim, c$^x$ = a, e c$^y$ = b.

### Soma

    $\log _{c}a+\log _{c}b=\log _{c}(a\cdot b)$
Demonstração:
* Podemos utilizar a propriedade do produto de potências:
    $a\cdot b=c^{x}\cdot c^{y}=c^{(x+y)}\,$
* Convertemos o último resultado de potência para logaritmo:
    $\log _{c}(c^{x}\cdot c^{y})=x+y\,$
* Como c$^x$ = a, c$^y$ = b, log$_c$a = x e log$_c$b = y, substiuímos termos correspondentes:
    $\log _{c}(a\cdot b)=\log _{c}a+\log _{c}b\,$

### Multiplicação por constante

    $k\cdot \log _{c}a=\log _{c}a^{k}$
Demonstração:
* A partir de:
    $a^{k}={(c^{x})}^{k}=c^{(k\cdot x)}\,$
* Transformamos o último resultado em logaritmo:
    $\log _{c}{(c^{x})}^{k}=k\cdot x\,$
* Substituindo os termos correspondentes:
    $\log _{c}a^{k}=k\cdot \log _{c}a\,$

### Subtração

    $\log _{c}a-\log _{c}b=\log _{c}{\frac {a}{b}}$
Demostração:
* Podemos transformar a expressão na seguinte forma:
    $\log _{c}a-\log _{c}b=\log _{c}a+(-1\log _{c}b)$
* Assim, temos uma soma de logaritmos, sendo que um deles está multiplicado por uma constante (-1). Aplicaremos, então, a propriedade do produto por uma constante:
    $\log _{c}a+(-1\log _{c}b)=\log _{c}a+\log _{c}b^{-1}$
* Utilizado a propriedade do expoente negativo, teremos:
    $\log _{c}a+\log _{c}b^{-1}=\log _{c}a+\log _{c}{\frac {1}{b}}$
* Considerando a propriedade da soma de logaritmos:
    $\log _{c}a+\log _{c}{\frac {1}{b}}=\log _{c}a\cdot {\frac {1}{b}}$
* Portanto:
    $\log _{c}{\frac {a}{b}}=\log _{c}a-\log _{c}b$

### Mudança de base

    $A=\log _{b}a={\frac {\log _{c}a}{\log _{c}b}}$
* Consideraremos os valores para a demonstração:
    $\log _{c}a=x\to c^{x}=a$ (I)
    $\log _{c}b=y\to c^{y}=b\to c=b^{\frac {1}{y}}$ (II)
Demonstração:
* Para chegar ao resultado da expressão, tomamos o seguinte valor inicial:
    $b^{1}=b\to \log _{b}b=1$
* Multiplicaremos as duas últimas equações por x/y:
    ${\frac {x}{y}}\log _{b}b={\frac {x}{y}}$
* Aplicaremos a propriedade da multiplicação por constante na primeira equação:
    $\log _{b}b^{\frac {x}{y}}={\frac {x}{y}}$
* Usaremos a propriedade da potência de uma potência (multiplicação de expoentes):
    $\log _{b}(b^{\frac {1}{y}})^{x}={\frac {x}{y}}$
* Substituímos com o resultado em (II):
    $\log _{b}c^{x}={\frac {x}{y}}$
* Sabemos c$^x$ em (I):
    $\log _{b}a={\frac {x}{y}}$
* Substituimos x pela primeira equação de (I) e y pela primeira equação de (II):
    $\log _{b}a={\frac {\log _{c}a}{\log _{c}b}}$
Que prova a igualdade da propriedade.

## Outras propriedades

As quatro propriedades descritas anteriormente (soma, subtração, multiplicação e mudança de base) são fundamentais para o cálculo de logaritmos. Existem outras propriedades que podem ser deduzidas através das operações, que auxiliam em problemas que envolvem logaritmos. São elas:

### Inversão do logaritmando

Esta propriedade foi utilizada anteriormente na demonstração da substração de logaritmos de mesma base. Pela propriedade, temos que:
    $A=\log {\frac {x}{y}}\to -A=\log {\frac {y}{x}}$
Demonstração:
* Multiplicando A = log (x/y) por -1, teremos:
    $-A=-\log {\frac {x}{y}}$
* Utilizando a propriedade da multiplicação por constante:
    $-A=\log \left({\frac {x}{y}}\right)^{-1}$
* Que resulta em
    $-A=\log {\frac {y}{x}}$

### Bases com expoentes

    $\log _{b^{c}}x=\log _{b}x^{1/c}$
Demonstração:
* Pela propriedade da mudança de base, temos que:
    $\log _{b^{c}}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}b^{c}}}$
* Podemos retirar c do logaritmando pela propriedade da multiplicação por constante:
    $\log _{b^{c}}x={\frac {\log _{b}x}{c\log _{b}b}}$
* Temos um caso de logaritmos em que a base é igual ao logaritmando (log$_b$ b), que é igual a 1:
    $\log _{b^{c}}x={\frac {\log _{b}x}{c}}$ (I)
* Reescrevendo:
    $\log _{b^{c}}x={\frac {1}{c}}\times \log _{b}x$
* Pela multiplicação por constante:
    $\log _{b^{c}}x=\log _{b}x^{1/c}$
* Observe que em (I), podemos ter um final diferente para esta propriedade, ao multiplicarmos a equação por c:
    $c\log _{b^{c}}x=\log _{b}x$

### Troca da base pelo logaritmando

    $A=\log _{b}x\to {\frac {1}{A}}=\log _{x}b$
Demonstração:
* Pela propriedade da mudança de base, temos que:
    $\log _{b}x={\frac {\log _{x}x}{\log _{x}b}}$
* Ocorreu o caso de um logaritmo no qual a base é igual ao logaritmando (log$_x$x), que é igual a 1:
    $\log _{b}x={\frac {1}{\log _{x}b}}$
* Elevando-se a equação a -1, podemos reescrevê-la
    ${\frac {1}{\log _{b}x}}={\log _{x}b}$

## Divisão e multiplicação de logaritmos

Podemos simplificar uma divisão de logaritmos através da propriedade da mudança de base, na qual é necessário que os logaritmos tenham a mesma base:
    ${\frac {\log _{c}a}{\log _{c}b}}=\log _{b}a$
    $\log _{c}a\cdot \log _{b}c=\log _{b}a$
Demonstração:
* A multiplicação também é definida pela mudança de base. Na equação abaixo, desmembramos o denominador da divisão:
    $\log _{b}a={\frac {\log _{c}a}{\log _{c}b}}\to \log _{b}a=\log _{c}a\cdot {\frac {1}{\log _{c}b}}$
* Dividindo a equação por log$_c$a:
    ${\frac {\log _{b}a}{\log _{c}a}}={\frac {1}{\log _{c}b}}$
* Elevando-se a equação a -1:
    ${\frac {\log _{c}a}{\log _{b}a}}=\log _{c}b$
* Utilizando a propriedade da troca da base pelo logaritmando:
    ${\frac {\log _{b}a}{\log _{c}a}}={\log _{b}c}$
* Multiplicando a equação por log$_c$a:
    $\log _{b}a=\log _{c}a\cdot \log _{b}c$
Que prova a multiplicação de logaritmos.

## Cologaritmos

Cologaritmos são definidos pela seguinte expressão:
    ${\mbox{colog}}\,{\frac {x}{y}}=-\log {\frac {x}{y}}$
Pela propriedade da inversão do logaritmando, podemos reescrevê-los como:
    ${\mbox{colog}}\,{\frac {x}{y}}=\log {\frac {y}{x}}$

## Exercícios

    Ver Matemática elementar/Logaritmos/Exercícios

# Trigonometria
## Trigonometria

Trigonometria (do grego trigonon = três ângulos e metro = medida) é uma parte da Matemática que estuda as relações entre triângulos, ângulos e funções circulares como o seno e cosseno.
* Trigonometria do triângulo retângulo
* Arcos e ângulos - medida de um arco (radianos), relação entre arcos e ângulos.
* Razões trigonométricas na circunferência
* Funções trigonométricas
* Fórmulas de Adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos
* Transformações de soma de funções trigonométricas em produtos
* Identidades trigonométricas básicas
* Equações e inequações envolvendo funções trigonométricas
* Lei dos senos e dos cossenos
* Resolução de triângulos

## Ver também

Exercícios de trigonometria

# Arcos e ângulos
## Circunferência

Seja $O\,\!$ um ponto qualquer do plano e $r>0\,\!$ um número real. A circunferência de centro $O\,\!$ e raio $r\,\!$ é o lugar geométrico dos pontos $P\,\!$ desse plano tais que $PO=r\,\!.$
Veja no Wikicionário círculo.

## Arco de circunferência

Consideremos uma circunferência $\lambda \,\!$ de centro $O\,\!.$ Sejam $A\,\!$ e $B\,\!$ dois pontos distintos de $\lambda \,\!.$
Um arco de circunferência de extremos $A\,\!$ e $B\,\!$ $({\widehat {AB}})$ é cada uma das partes em que fica dividida uma circunferência por dois de seus pontos.
Quando $A\equiv B$ teremos dois arcos: o arco nulo (um ponto) e o arco de uma volta (uma circunferência).

## Arco de circunferência e ângulo central correspondente

A medida de um arco é, por definição, a medida do ângulo central correspondente. Medir significa comparar com uma unidade padrão previamente adotada. Contudo, para evitar possíveis divergências na escolha da unidade para medir um mesmo arco, as unidades de medida restringem-se a três principais: o grau ($\ ^{\circ }\,\!$), o radiano ($rad\,\!$) e o grado, sendo este último não muito comum.

### O grau

Um grau é um arco de circunferência cujo comprimento equivale a ${\frac {1}{360}}$ da circunferência que contém o arco a ser medido. Portanto, a medida, em graus, de um arco de uma volta completa (uma circunferência) é $360^{\circ }.$

#### Submúltiplos do grau

* O minuto $(^{\prime }):$ $1^{\prime }={\frac {1}{60}}\cdot 1^{\circ },$ ou seja, $1^{\circ }=60^{\prime }.$
* O segundo $(^{\prime \prime }):$ $1^{\prime \prime }={\frac {1}{60}}\cdot 1^{\prime },$ ou seja, $1^{\prime }=60^{\prime \prime }$ e $1^{\circ }=3600^{\prime \prime }.$

### O radiano

Um radiano é um arco de circunferência cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. É a unidade do Sistema Internacional (SI).
Conseqüentemente, para medir um ângulo $a{\widehat {O}}b$ em radianos, convém calcular a razão entre o comprimento $l\,\!$ do arco pelo raio $r\,\!,$ ou seja, calcular quantos radianos mede o arco ${\widehat {AB}}.$ Portanto, como consequência da definição de radiano, podemos estabelecer a seguinte relação:
$\alpha ={\frac {l}{r}},$ onde $l\,\!$ e $r\,\!$ devem estar na mesma unidade de comprimento.
O comprimento de uma circunferência de raio $r\,\!$ é $2\pi r\,\!.$ Logo, a medida do arco de uma volta completa, em radianos, é ${\frac {2\pi r}{r}}=2\pi rad\approx 6,283184.$ Para converter unidades, podemos usar as correspondências $180^{\circ }=\pi rad$ ou $360^{\circ }=2\pi rad$ e uma regra de três simples.

### O grado

Ver artigo na wikipedia Grado O grado foi introduzido junto com o Sistema métrico, durante a Revolução francesa mas, ao contrário do sucesso das outras medidas, não pegou. Atualmente, ele é apenas utilizado nos trabalhos topográficos e geodésicos feitos na França.
É a medida de um arco cujo comprimento equivale a ${\frac {1}{400}}$ da circunferência que contém o arco a ser medido. É evidente que, para conversão de unidades, pode-se utilizar as relações $180^{\circ }=\pi rad=200gr$ ou $360^{\circ }=2\pi rad=400gr$ e uma regra de três simples.

## O ciclo trigonométrico

Consideremos no plano um sistema de eixos perpendiculares $xOy\,\!,$ em que $O=\left(0,0\right)\,\!.$ Seja uma circunferência $\lambda \,\!$ de centro $O\left(0,0\right)\,\!,$ raio $r=1\,\!$ e o ponto $A\left(1,0\right)\,\!.$
A cada número real $\alpha \,\!$ associaremos um único ponto $P\,\!$ de $\lambda \,\!.$
* Se $\alpha =0\,\!,$ então tomamos $P=A\,\!;$
* Se $\alpha >0\,\!,$ realizamos, a partir de $A\,\!,$ um percurso de comprimento $\alpha \,\!,$ no sentido anti-horário e marcamos o ponto $P\,\!$ como final desse percurso.
* Se $\alpha <0\,\!,$ realizamos, a partir de $A\,\!,$ um percurso de comprimento $-\alpha \,\!,$ no sentido horário, e marcamos o ponto $P\,\!$ como final desse percurso.
Assim, a circunferência sobre a qual foi fixado o ponto $A\left(1,0\right)\,\!$ como orientação é chamada ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica.
O ponto $P\,\!$ é chamado imagem de $\alpha \,\!$ no ciclo trigonométrico.
O sistema de eixos perpendiculares $xOy\,\!$ divide o ciclo trigonométrico em quatro partes, cada uma das quais é chamada quadrante.

### Ângulos côngruos

Os ângulos $\alpha \,\!$ e $\beta \,\!,$ em graus, são côngruos ou congruentes se, e somente se, $\alpha -\beta =k\cdot 360^{\circ }\,\!,$ para algum $k\in \mathbb {Z} \,\!,$ ou seja, se $\alpha \,\!$ e $\beta \,\!$ têm a mesma imagem no ciclo trigonométrico. Para indicar que $\alpha \,\!$ e $\beta \,\!$ são côngruos escrevemos $\alpha \equiv \beta \,\!.$
Por exemplo, os ângulos $90^{\circ }\,\!$ e $450^{\circ }\,\!$ são congruentes, pois $450^{\circ }-90^{\circ }=360^{\circ }\,\!.$

### Expressão geral dos arcos que têm imagem em um ponto do ciclo trigonométrico..

Consideremos um sistema de eixos perpendiculares $xOy\,\!$ e uma circunferência $\lambda \,\!$ de centro $O\,\!$ e raio $r=1\,\!.$ Sendo um ponto qualquer pertencente à $\lambda \,\!$ a imagem de um ângulo $\alpha \,\!$ na circunferência, podemos estabelecer uma expressão geral dos arcos que têm imagem em um determinado ponto do ciclo trigonométrico.
Por exemplo, a expressão geral dos arcos que têm imagem no ponto $A\,\!$ dar-se-á por $0^{\circ }+n\cdot 360^{\circ }=n\cdot 360^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$ ou $0^{\circ }+n\cdot 2\pi ,\ n\in \mathbb {Z} \,\!,$ sendo $n\,\!$ o número de voltas completas. Quando $n>0\,\!,$ deve-se andar no sentido anti-horário; se $n<0\,\!,$ deve-se andar no sentido horário.
Analogamente, temos:
* Para $B\,\!:$ $90^{\circ }+n\cdot 360^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$ ou ${\frac {\pi }{2}}+n\cdot 2\pi ,\ n\in \mathbb {Z} \,\!.$
* Para $C\,\!:$ $180^{\circ }+n\cdot 360^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$ ou $\pi +n\cdot 2\pi ,\ n\in \mathbb {Z} \,\!.$
* Para $D\,\!:$ $270^{\circ }+n\cdot 360^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$ ou ${\frac {3\pi }{2}}+n\cdot 2\pi ,\ n\in \mathbb {Z} \,\!.$
* Para $A\,\!$ ou $C\,\!:$ $0^{\circ }+n\cdot 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$ ou $0^{\circ }+n\cdot \pi ,\ n\in \mathbb {Z} \,\!.$
* Para $B\,\!$ ou $D\,\!:$ $90^{\circ }+n\cdot 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$ ou ${\frac {\pi }{2}}+n\cdot \pi ,\ n\in \mathbb {Z} \,\!.$
* Para $A\,\!$ ou $B\,\!$ ou $C\,\!$ ou $D\,\!:$ $0^{\circ }+n\cdot 90^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$ ou $0^{\circ }+n\cdot {\frac {\pi }{2}},\ n\in \mathbb {Z} \,\!.$
Considerando a figura acima, a expressão geral dos arcos que têm imagem em $A\,\!$ ou $B\,\!$ é:
* $\alpha \,\!$ em graus: $\alpha +n\cdot 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$
* $\alpha \,\!$ em radianos: $\alpha +n\cdot \pi ,\ n\in \mathbb {Z} \,\!$
Expressão geral dos arcos que têm imagem em $A\,\!:$
* $\alpha \,\!$ em graus: $\alpha +n\cdot 360^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$
* $\alpha \,\!$ em radianos: $\alpha +n\cdot 2\pi ,\ n\in \mathbb {Z} \,\!$
No caso da figura seguinte, a expressão geral dos arcos fica:
* $\alpha \,\!$ em graus: $\pm \alpha +n\cdot 360^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$
* $\alpha \,\!$ em radianos: $\pm \alpha +n\cdot 2\pi ,\ n\in \mathbb {Z} \,\!$

### Primeira determinação positiva

A primeira determinação positiva de um ângulo é o menor ângulo côngruo que seja positivo.
Por exemplo, os ângulos (em graus) -15$^o$, 315$^o$, 2115$^o$, -2505$^o$ são congruentes, sendo sua primeira determinação positiva o ângulo 315$^o$.
Analogamente, os ângulos (em radianos) $-{\frac {18\pi }{5}}\,$, ${\frac {12\pi }{5}}\,$ e ${\frac {72\pi }{5}}\,$ são congruentes, sendo sua primeira determinação positiva o ângulo ${\frac {2\pi }{5}}\,$.
Para se resolver o problema de determinar a primeira determinação positiva é preciso:
* dividir o ângulo pelo valor do círculo trigonométrico (360$^o$ ou $2\pi \,$, conforme o problema seja apresentado em graus ou radianos)
* se este número não for inteiro, arredondar o valor para o valor inteiro imediatamente inferior
* tomar o número inteiro com sinal contrário (ou seja, se o passo anterior obteve n, obter agora -n)
* somar ao ângulo inicial este valor inteiro do passo acima multiplicado pelo círculo trigonométrico (360$^o$ ou $2\pi \,$, conforme o problema seja apresentado em graus ou radianos)
Exemplos:
* Se o ângulo inicial é -580$^o$
** Dividir -580 por 360 -> -1,(alguma coisa) (note que não é preciso fazer a divisão até o fim, já que estamos apenas interessados na parte inteira da divisão)
** Não sendo inteiro, tomar a parte inteira -> -2
** Trocar o sinal -> 2
** Somar -580$^o$ com 2 x 360$^o$ -> 140$^o$
* Se o ângulo inicial é $8\pi \,$
** Dividir $8\pi \,$ por $2\pi \,$ -> 4
** Sendo inteiro, manter -> 4
** Trocar o sinal -> -4
** Somar $8\pi \,$ com $(-4)(2\pi )\,$ -> 0
* Se o ângulo inicial é ${\frac {97}{11}}\pi \,$
** Dividir ${\frac {97}{11}}\pi \,$ por $2\pi \,$ -> ${\frac {97}{22}}\,$ ou, aproximadamente, 4,(alguma coisa)
** Não sendo inteiro, tomar a parte inteira -> 4
** Trocar o sinal -> -4
** Somar ${\frac {97}{11}}\pi \,$ com $(-4)(2\pi )\,$ -> ${\frac {9}{11}}\pi \,$

## Imagens de alguns arcos importantes

* Primeira volta no sentido anti-horário:

### Ângulos correspondentes

* Em graus:
* Em radianos:

## Exercícios

* Exercícios

# Razões trigonométricas na circunferência
## Definição geométrica de seno e cosseno

No círculo unitário mostrado abaixo, um raio unitário foi traçado da origem ao ponto (x,y) sobre o círculo.
A linha perpendicular ao eixo-x que passa pelo ponto (x,y) intercepta o eixo-x no ponto com abscissa x. Analogamente, a linha perpendicular ao eixo-y intercepta este eixo no ponto de ordenada y. O ângulo entre o eixo-x e o raio é α.
A funções trigonométricas de qualquer ângulo α são definidas por:
${\begin{matrix}\mathrm {Seno:} &\mathrm {sen} \,(\alpha )&=&y\\\mathrm {Cosseno:} &\cos(\alpha )&=&x\\\end{matrix}}$
$\tan \theta$ pode ser definido a partir do seno e cosseno.
$\tan \theta ={\frac {\mathrm {sen} \,\theta }{\cos \theta }}\qquad \cos \theta \neq 0$
$\tan \alpha ={\frac {y}{x}}\qquad x\neq 0$
Estas três funções trigonométricas pode ser usadas para ângulos medidos em graus, radianos ou qualquer outra medida angular, desde que fique claro qual é a unidade usada.

# Funções trigonométricas
## Definições

Funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelagem de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões de dois lados de um triângulo retângulo, contendo o ângulo ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário ou, de forma ainda mais geral, como séries infinitas ou como soluções para certas equações diferenciais.
Existem seis funções trigonométricas básicas, cada uma com a sua abreviatura notacional padrão.
* seno ($\operatorname {sen} ,$ em português; a maioria das linguagens de programação escrevem $\sin \,$).
* coseno ($\cos \,\!$).
* tangente ($\tan \,\!$).
As últimas quatro funções são definidas nos termos das primeiras duas. Por outras palavras, as quatro equações em baixo são definições e não identidades demonstradas.
* tangente $\left(\tan x={\mathrm {sen} \,x \over \cos x}\right)$
* secante $\left(\sec x={1 \over \cos x}\right)$
* cosecante $\left(\csc x={1 \over \mathrm {sen} \,x}\right)$
* cotangente $\left(\cot x={\cos x \over \mathrm {sen} \,x}\right)$
O seno, o cosseno e a tangente são as mais importantes.
As inversas destas funções são geralmente designadas de arco-função, isto é, arcsin, arccos, etc., ou adicionando o expoente -1 ao nome, como em sen$^{-1}$, cos$^{-1}$, etc. O resultado da função inversa é o ângulo que corresponde ao parâmetro da função. Por exemplo, arcsen(1) = 90°.

### Trigonometria do triângulo retângulo

As funções trigonométricas são oriundas das razões dos lados dos triângulos. Com base no triângulo retângulo ao lado, o segmento ${\overline {OB}}$ é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90°), o segmento ${\overline {OA}}$ é o cateto adjacente (ao lado) do ângulo α e ${\overline {AB}}$ é o cateto oposto ao ângulo α:
| $\operatorname {sen} \alpha ={\frac {\mbox{cateto oposto}}{\mbox{hipotenusa}}}$ | $\csc \alpha ={\frac {\mbox{hipotenusa}}{\mbox{cateto oposto}}}$ |
| $\cos \alpha ={\frac {\mbox{cateto adjacente}}{\mbox{hipotenusa}}}$ | $\sec \alpha ={\frac {\mbox{hipotenusa}}{\mbox{cateto adjacente}}}$ |
| $\tan \alpha ={\frac {\mbox{cateto oposto}}{\mbox{cateto adjacente}}}$ | $\cot \alpha ={\frac {\mbox{cateto adjacente}}{\mbox{cateto oposto}}}$ |
Tais funções são constantes para um mesmo ângulo α, pois dois triângulos formados pelos mesmos ângulos mantêm suas proporções.
As funções trigonométricas são utilizadas em geometria, portanto, para determinar um lado ou um ângulo de um triângulo.
    $\operatorname {sen} \alpha ={\frac {\mbox{cateto oposto}}{\mbox{hipotenusa}}}\to \operatorname {sen} 30={\frac {\mbox{cateto oposto}}{5}}\to 0,5={\frac {\mbox{cateto oposto}}{5}}\to {\mbox{cateto oposto}}=2,5$

## Seno, cosseno e tangente dos ângulos

Na tabela abaixo, temos o seno, cosseno e tangente dos principais ângulos em decimais:
| | 0° | 5° | 10° | 15° | 20° | 25° | 30° | 35° | 40° | 45° | 50° | 55° | 60° | 65° | 70° | 75° | 80° | 85° | 90° |
| Seno | 0 | 0,08 | 0,17 | 0,25 | 0,34 | 0,42 | 0,5 | 0,57 | 0,64 | 0,7 | 0,76 | 0,81 | 0,86 | 0,9 | 0,93 | 0,96 | 0,98 | 0,99 | 1 |
| Cosseno | 1 | 0,99 | 0,98 | 0,96 | 0,93 | 0,9 | 0,86 | 0,81 | 0,76 | 0,7 | 0,64 | 0,57 | 0,5 | 0,42 | 0,34 | 0,25 | 0,17 | 0,08 | 0 |
| Tangente | 0 | 0,08 | 0,17 | 0,26 | 0,36 | 0,46 | 0,57 | 0,7 | 0,83 | 1 | 1,19 | 1,42 | 1,73 | 2,14 | 2,74 | 3,73 | 5,67 | 11,43 | - |
Veja que os valores crescentes de sen x são os mesmos para cos x, entretanto são decrescentes. Além disso, a maioria dos senos, cossenos e tangentes dos ângulos são números irracionais. São, portanto, com infinitas casas decimais não periódicas. Todavia, pode-se obter o valor exato das funções trigonométricas em uma forma algébrica. Você pode conferir a forma algébrica de alguns ângulos clicando aqui (em inglês)

### Ângulos notáveis

Os ângulos notáveis (0°, 30°, 45°, 60° e 90°) são ângulos que se pode facilmente obter a forma algébrica por meio de triângulos retângulos. Consideremos um triângulo retângulo que corresponde à metade de um triângulo equilátero de lado 1 uc. Tem, portanto, sua hipotenusa c igual a 1, seu lado a igual a 0,5 uc e seu lado b igual a altura do triângulo equilátero, 0,5 √3 uc. Assim:
    $\sin 30=\cos 60={\frac {a}{c}}={\frac {0,5}{1}}={\frac {1}{2}}$
Que é o seno de 30° e o cosseno de 60°. O seno de 60° e o cosseno de 30° são obtidos de forma similar:
    $\sin 60=\cos 30={\frac {b}{c}}={\frac {0,5{\sqrt {3}}}{1}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$
E assim é possível obter as demais funções trigonométricas para 30° e 60°. Para 45°, considera-se um triângulo retângulo igual à metade de um quadrado de lado 1 uc. Tem, então, hipotenusa de medida √2 uc - a diagonal do quadrado - e os catetos de medida 1 uc - os lados do quadrado:
    $\sin 45=\cos 45={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}$
De forma mais simples, os valores do seno dos cinco ângulos notáveis são o quociente entre x e 2, em que x é a raiz de cada um dos cinco termos a$_1$, a$_2$, a$_3$, a$_4$ e a$_5$ de uma progressão aritmética em que a$_1$ = 0 e a razão é igual a +1. O cosseno destes ângulos é a ordem decrescente da progressão:
| | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| PA | ${\frac {\sqrt {0}}{2}}$ | ${\frac {\sqrt {1}}{2}}$ | ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ | ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ | ${\frac {\sqrt {4}}{2}}$ |
| Seno = | $0$ | ${\frac {1}{2}}$ | ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ | ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ | $1$ |
| Cosseno = | $1$ | ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ | ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ | ${\frac {1}{2}}$ | $0$ |
A tangente é obtida pela dividindo-se o seno do respectivo ângulo pelo seu cosseno, pois:
    ${\frac {\sin }{\cos }}={\frac {\frac {\mbox{cateto oposto}}{\mbox{hipotenusa}}}{\frac {\mbox{cateto adjacente}}{\mbox{hipotenusa}}}}={\frac {\mbox{cateto oposto}}{\mbox{cateto adjacente}}}=\tan$
Que resulta:
| $\tan 0=0$ | $\tan 30={\frac {\sqrt {3}}{3}}$ | $\tan 45=1$ | $\tan 60={\sqrt {3}}$ | $\tan 90=-$ |
A tangente de 90° não é definida, pois é impossível que o ângulo entre a hipotenusa e os catetos seja 90°.

## Círculo trigonométrico

Considerando um círculo de 1 uc de raio, este tem sua circunferência igual a 2π uc. Portanto, um setor de um grau deste círculo corresponde a:
    ${\frac {2\pi }{360}}\mathrm {uc} ={\frac {\pi }{180}}\mathrm {uc}$
Podemos transformar a unidade de medida uc (unidades de comprimento) em rad (radianos). Assim, podemos dizer que:
    $1^{\circ }={\frac {\pi }{180}}\mathrm {rad}$
Colocando os ângulos notáveis neste círculo obtêm-se os valores (x; y) em que x é o cosseno do ângulo e y o seno:
Observa-se em tais valores que à medida em que os ângulos avançam de quadrante os valores de seno e cosseno tem seu sinal alternado. É perfeitamente notável que tais funções seguem, então, uma periodicidade infinita, e seus valores repetiram a cada volta do círculo. Deste mesmo círculo, pode-se obter as demais funções trigonométricas, que não são mais que relações do triângulo retângulo entre a origem, a coordenada e ponto (x; 0):

## Gráficos

Podemos colocar as funções trigonométricas em um plano cartesiano, em que o eixo das abcissas equivale ao ângulo em radianos e o eixo das ordenadas ao contradomínio da função.

### Seno

Colocando-se os resultados obtidos para a função seno num plano, obteremos:
Observe que a função seno é uma função ímpar, pois sen (-x) = -sen x, qualquer que seja x pertencente aos números reais. Note que esta função é composta por infinitos intervalos 2π. Dizemos, então, que o período da função sen (x) é 2π. Quanto ao contradomínio, ele pertence ao intervalo [-1; 1]. A distância entre o centro e o limite da função é a amplitude. Neste caso, a amplitude da função é igual a 1. O gráfico da função seno forma uma senoide. Pode-se determinar o seno de qualquer ângulo através das seguintes equações:
| $x\lbrace x\in \mathbb {R} |0<x\leq 90\rbrace \equiv y-90(4z+w)$ $x\left\{x\in \mathbb {R} |0<x\leq {\frac {\pi }{2}}\right\}\equiv y-{\frac {\pi }{2}}(4z+w)$ | Para as quais: $\sin y{\begin{cases}w=0\to \sin x\\w=1\to \cos x\\w=2\to -\sin x\\w=3\to -\cos x\end{cases}}$ |
Onde y é um ângulo qualquer e z um número inteiro.
    $x\lbrace x\in \mathbb {R} |0<x\leq 90\rbrace \equiv 500-90(4z+w)$
Os únicos números z e w que satisfaçam 500 - 90 (4z + w) = x onde x pertence ao intervalo ]0; 90] é z = 1 e w = 1. Veja:
    $500-90(4+1)\equiv x\to x\equiv 50$

### Cosseno

O gráfico da função cosseno é o seguinte:
Esta é uma função par, pois cos (-x) = cos x, qualquer que seja x pertencente ao conjunto dos números reais. Igual à função seno, a função cosseno tem período igual a 2π e amplitude igual a 1. O gráfico da função cosseno forma uma cossenoide. De forma similar à função seno, podemos transformar qualquer ângulo real para 0° < x ≤ 90° e assim obter seu cosseno:
| $x\lbrace x\in \mathbb {R} |0<x\leq 90\rbrace \equiv y-90(4z+w)$ $x\left\{x\in \mathbb {R} |0<x\leq {\frac {\pi }{2}}\right\}\equiv y-{\frac {\pi }{2}}(4z+w)$ | Para as quais: $\cos y{\begin{cases}w=0\to \cos x\\w=1\to -\sin x\\w=2\to -\cos x\\w=3\to \sin x\end{cases}}$ |
Onde y é um ângulo qualquer e z um número inteiro.
Para que o ângulo y tenha seu cosseno igual ao seno de 30°, w deve ser igual a 3:
    $30\equiv y-90(4z+3)$
Já que a equivalência é verdadeira, há infinitos números z que a satisfazem. No entanto, a questão especifica que este deve ser o maior negativo, portanto, z = -1:
    $30\equiv y+90\to y=-60$

### Tangente

Já para o gráfico da função tangente, temos:
A função tangente é uma função ímpar pois é o quociente de uma função ímpar e uma função par. É, pois, tan (-x) = - tan x {x ∈ R}. O período desta função é igual a π, e sua amplitude estende-se ao infinito. O gráfico da função tangente forma uma tangentoide. Para determinar a tangente de um ângulo qualquer, temos, para 0° ≤ x < 90°:
    $\tan y{\begin{cases}180z\leq y<180z+90\to \tan(y-180z)=\tan y=\tan x\\180z+90\leq y<180(z+1)\to |y-180(z+1)|=x\to \tan y=-\tan x\end{cases}}$
Onde y é um ângulo qualquer e z um número inteiro.
O primeiro passo é determinar a qual conjunto pertence -200°. Veja que este encaixa-se perfeitamente em 180z + 90 ≤ y < 180 (z + 1) quando z = -2:
    $-270\leq y<-180$
Então,
    $x=|-200-180(-2+1)|=20$
E assim:
    $-\tan 20=\tan -200$

### Características

Dados a + b sen (cx - dπ) ou a + b cos (cx - dπ), que são as equações da senoide e da cossenoide, respectivamente, determina-se:
* a + b e a - b - os limites (0; a+b) e (0; a-b) da função trigonométrica, equivalente ao conjunto imagem Im = [a+b; a-b];
* 2π ÷ c - o período da função;
* d - o deslocamento horizontal da função trigonométrica.
A partir destes valores tem-se a amplitude (A), dada pela média aritmética da distância entre as ordenadas dos limites:
    $A={\frac {|a+b|+|a-b|}{2}}$

## Propriedades
### Cosseno ao quadrado mais seno ao quadrado

Diretamente da figura que define seno e cosseno (ao lado), temos, pelo triângulo retângulo no primeiro quadrante, que:
* $(\cos x)^{2}+(\mathrm {sen} \,x)^{2}=1^{2}\,$
É convencional escrever o quadrado de uma função trigonométrica colocando-se o sinal imediatamente ao lado do nome da função. Assim, esta relação é escrita:
* $\cos ^{2}x+\mathrm {sen} \,^{2}x=1\,.$
A geometria do triângulo retângulo prova esta relação no caso de $0<x<\pi /2\,,$ ou seja, para ângulos no primeiro quadrante. Nos casos $x=\pi /2,\pi {\mbox{ ou }}3\pi /2\,,$ temos que um deles (seno ou cosseno) vale 1, e o outro vale 0, logo a soma dos seus quadrados é 1.
Nos demais casos, temos:
    Se x está no segundo quadrante, então $y=\pi /2-x\,$ está no primeiro quadrante, e:
       $\cos x=-\cos(\pi /2-x)\,:$ : $\mathrm {sen} \,x=\mathrm {sen} \,(\pi /2-x)\,:$ portanto:
       $\cos ^{2}x+\mathrm {sen} \,^{2}x=\cos ^{2}(\pi /2-x)+\mathrm {sen} \,^{2}(\pi /2-x)=\cos ^{2}y+\mathrm {sen} \,^{2}y=1\,$
Analogamente:
    Se x está no terceiro quadrante, então $y=x-\pi \,$ está no primeiro quadrante, e:
       $\cos x=-\cos(x-\pi )\,:$ : $\mathrm {sen} \,x=-\mathrm {sen} \,(x-\pi )\,:$ portanto:
       $\cos ^{2}x+\mathrm {sen} \,^{2}x=\cos ^{2}(x-\pi )+\mathrm {sen} \,^{2}(x-\pi )=\cos ^{2}y+\mathrm {sen} \,^{2}y=1\,$
Finalmente:
    Se x está no quarto quadrante, então $y=-x\,$ está no primeiro quadrante, e:
       $\cos x=\cos(-x)\,:$ : $\mathrm {sen} \,x=-\mathrm {sen} \,(-x)\,:$ portanto:
       $\cos ^{2}x+\mathrm {sen} \,^{2}x=\cos ^{2}(-x)+\mathrm {sen} \,^{2}(-x)=\cos ^{2}y+\mathrm {sen} \,^{2}y=1\,$
Ou seja, a relação
    $cos^{2}x+sen^{2}x=1\,$
é válida para qualquer ângulo real x.

### Propriedades do quadrado da secante e da cossecante

Lembrando que:
    ${\mbox{sec}}x={\frac {1}{\cos x}}\,:$ ${\mbox{cosec}}x={\frac {1}{\mathrm {sen} \,x}}\,:$ ${\mbox{tan}}x={\frac {\mathrm {sen} \,x}{\cos x}}\,:$ ${\mbox{cotan}}x={\frac {\cos x}{\mathrm {sen} \,x}}\,$
temos que:
    Dividindo $\cos ^{2}x+\mathrm {sen} \,^{2}x=1\,$ por $\cos ^{2}x\,:$
       ${\mbox{tan}}^{2}+1={\mbox{sec}}^{2}x\,:$
    Dividindo $\cos ^{2}x+\mathrm {sen} \,^{2}x=1\,$ por $\mathrm {sen} \,^{2}x\,:$
       ${\mbox{cotan}}^{2}+1={\mbox{cosec}}^{2}x\,$

## Exercícios

* Matemática elementar/Trigonometria/Funções trigonométricas/Exercícios

# Adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos

Nesta página aprenderemos a efetuar operações trigonométricas que envolvam a adição, subtração ou multiplicação de números reais.

## Adição de arcos
### Cosseno da soma

Considere a figura ao lado. Sejam três pontos $A\;\!,$ $B\;\!$ e $C\;\!$ pertencentes à circunferência , cujas coordenadas são $A\left(\cos a,\mathrm {sen} \,a\right)\;\!,$ $B\left(\cos \left(a+b\right),\mathrm {sen} \,\left(a+b\right)\right)\;\!$ e $C\left(\cos b,-\mathrm {sen} \,b\right)\;\!.$ Os arcos ${\widehat {PB}}$ e ${\widehat {CA}}$ têm medidas iguais, logo as cordas ${\overline {PB}}$ e ${\overline {CA}}$ também têm a mesma medida. Após aplicarmos a fórmula da distância entre dois pontos da Geometria analítica, temos:
$d_{PB}^{2}=2-2\cdot \cos \left(a+b\right)\;\!$
$d_{CA}^{2}=2-2\cdot \cos a\cdot \cos b+2\cdot \mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,b\;\!$
Ao igualarmos as duas expressões, temos a fórmula:

### Seno da soma

Sabemos que $\mathrm {sen} \,x=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right).$ A partir disto e sendo $x=a+b\;\!,$ obtemos:
* $\mathrm {sen} \,\left(a+b\right)=\cos \left[{\frac {\pi }{2}}-\left(a+b\right)\right]=\cos \left[\left({\frac {\pi }{2}}-a\right)-b\right]$
Utilizando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos nessa última expressão:
* $\cos \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)\cdot \cos b+\mathrm {sen} \,\left({\frac {\pi }{2}}-a\right)\cdot \mathrm {sen} \,b$
Substituindo $\cos \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)=\mathrm {sen} \,a$ e $\mathrm {sen} \,\left({\frac {\pi }{2}}-a\right)=\cos a$ nesta expressão, então:

### Tangente da soma

Sabendo que $\tan x={\frac {\mathrm {sen} \,x}{\cos x}}$ e utilizando as fórmulas anteriores para soma de senos e cossenos, podemos facilmente conseguir uma expressão para $\tan \left(a+b\right)\;\!:$
* $\tan \left(a+b\right)={\frac {\mathrm {sen} \,\left(a+b\right)}{\cos \left(a+b\right)}}={\frac {\mathrm {sen} \,a\cdot \cos b+\mathrm {sen} \,b\cdot \cos a}{\cos a\cdot \cos b-\mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,b}}$
$={\frac {\frac {\mathrm {sen} \,a\cdot \cos b+\mathrm {sen} \,b\cdot \cos a}{\cos a\cdot \cos b}}{\frac {\cos a\cdot \cos b-\mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,b}{\cos a\cdot \cos b}}}$
Então:
Vale lembrar que essa fórmula só pode ser usada se $a\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,b\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ e $a+b\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} ,$ porque a relação $\tan x={\frac {\mathrm {sen} \,x}{\cos x}}$ só é válida se e somente se $x\neq {\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}.$

### Cotangente da soma

Como $\cot x={\frac {\cos x}{\mathrm {sen} \,x}},$ podemos obter, de maneira semelhante à formula da tangente da soma, uma expressão para $\cot \left(a+b\right)\;\!:$
* $\cot \left(a+b\right)={\frac {\ cos\left(a+b\right)}{\mathrm {sen} \,\left(a+b\right)}}={\frac {\cos a\cdot \cos b-\mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,b}{\mathrm {sen} \,a\cdot \cos b+\mathrm {sen} \,b\cdot \cos a}}$
$={\frac {\frac {\cos a\cdot \cos b-\mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,b}{\mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,b}}{\frac {\mathrm {sen} \,a\cdot \cos b+\mathrm {sen} \,b\cdot \cos a}{\mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,b}}}$
Simplificando, temos:
Como $\cot x={\frac {\cos x}{\mathrm {sen} \,x}}$ é válida se e somente se $x\neq 0,\pi ,2\pi \;\!,$ a identidade que demonstramos acima só pode ser usada se $a\neq k\pi ,b\neq k\pi \;\!$ e $a+b\neq k\pi ,k\in \mathbb {Z} \;\!.$

### Exemplos

* Calcule:
    $\left(1\right)\;\!$ $\cos 75^{\circ }\;\!:$ $\left(2\right)\;\!$ $\mathrm {sen} \,105^{\circ }\;\!:$ $\left(3\right)\;\!$ $\tan 105^{\circ }\;\!:$ $\left(4\right)\;\!$ $\cot 75^{\circ }\;\!$
** Resolução
    $\left(1\right)\;\!$ $\cos 75^{\circ }=\cos \left(30^{\circ }+45^{\circ }\right)=\cos 30^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }-\mathrm {sen} \,30^{\circ }\cdot \mathrm {sen} \,45^{\circ }$
$={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}:$ $\left(2\right)\;\!$ $\mathrm {sen} \,105^{\circ }=\mathrm {sen} \,\left(45^{\circ }+60^{\circ }\right)=\mathrm {sen} \,45^{\circ }\cdot \cos 60^{\circ }+\mathrm {sen} \,60^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }$ $={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}{4}}:$ $\left(3\right)\;\!$ $\tan 105^{\circ }=\tan \left(45^{\circ }+60^{\circ }\right)={\frac {\tan 45^{\circ }+\tan 60^{\circ }}{1-\tan 45^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }}}$ $={\frac {1+{\sqrt {3}}}{1-1\cdot {\sqrt {3}}}}={\frac {1+{\sqrt {3}}}{1-{\sqrt {3}}}}:$ $\left(4\right)\;\!$ $\cot 75^{\circ }=\cot \left(30^{\circ }+45^{\circ }\right)={\frac {\cot 30^{\circ }\cdot \cot 45^{\circ }-1}{\cot 30^{\circ }+\cot 45^{\circ }}}$ $={\frac {{\sqrt {3}}\cdot 1-1}{{\sqrt {3}}+1}}={\frac {{\sqrt {3}}-1}{{\sqrt {3}}+1}}$

## Subtração de arcos
### Cosseno da diferença

Para calcular $\cos \left(a-b\right)\;\!,$ fazemos uso da igualdade $a-b=a+\left(-b\right)\;\!$ na fórmula do cosseno da soma, conforme a seguir:
* $\cos \left(a-b\right)=\cos \left[a+\left(-b\right)\right]\;\!$
$=\cos a\cdot \cos \left(-b\right)-\mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,\left(-b\right)\;\!$ $=\cos a\cdot \cos b-\mathrm {sen} \,a\cdot \left(-\mathrm {sen} \,b\right)\;\!$
Então:

### Seno da diferença

Podemos fazer a mesma substituição da igualdade $a-b=a+\left(-b\right)\;\!$ para encontrar as outras relações de diferença de arcos. Para o seno, usaremos a fórmula do seno da soma e a igualdade citada acima, conforme a seguir:
* $\mathrm {sen} \,\left(a-b\right)=\mathrm {sen} \,\left[a+\left(-b\right)\right]=\mathrm {sen} \,a\cdot \cos \left(-b\right)+\mathrm {sen} \,\left(-b\right)\cdot \cos a\;\!$
Logo,

### Tangente da diferença

Usando novamente a igualdade $a-b=a+\left(-b\right)\;\!$ e, desta vez, a fórmula da tangente da soma:
* $\tan \left(a-b\right)=\tan \left[a+\left(-b\right)\right]={\frac {\tan a+\tan \left(-b\right)}{1-\tan a\cdot \tan \left(-b\right)}}$
Simplificando, temos:
Pelos motivos já citados anteriormente, esta fórmula só é válida se $a\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,b\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ e $a-b\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} .$

### Cotangente da diferença

Mais uma vez, usaremos a igualdade $a-b=a+\left(-b\right)\;\!$ e, desta vez, a fórmula da cotangente da soma:
* $\cot \left(a-b\right)=\cot \left[a+\left(-b\right)\right]={\frac {\cot a\cdot \cot \left(-b\right)-1}{\cot a+\cot \left(-b\right)}}$
Logo, obtemos a identidade:
Está fórmula só pode ser aplicada se $a\neq k\pi ,b\neq k\pi \;\!$ e $a-b\neq k\pi ,k\in \mathbb {Z} \;\!.$

### Exemplos

* Calcule:
    $\left(1\right)\;\!$ $\cos 15^{\circ }\;\!:$ $\left(2\right)\;\!$ $\mathrm {sen} \,15^{\circ }\;\!:$ $\left(3\right)\;\!$ $\cot 15^{\circ }\;\!$
** Resolução
$\left(1\right)\;\!$ $\cos 15^{\circ }=\cos 15^{\circ }\left(45^{\circ }-30^{\circ }\right)=\cos 45^{\circ }\cdot \cos 30^{\circ }+\mathrm {sen} \,45^{\circ }\cdot \mathrm {sen} \,30^{\circ }$ $={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$
$\left(2\right)\;\!$ $\mathrm {sen} \,15^{\circ }=\mathrm {sen} \,15^{\circ }\left(45^{\circ }-30^{\circ }\right)=\mathrm {sen} \,45^{\circ }\cdot \cos 30^{\circ }-\mathrm {sen} \,30^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }$ $={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$
$\left(3\right)\;\!$ $\cot 15^{\circ }=\cot 15^{\circ }\left(60^{\circ }-45^{\circ }\right)={\frac {\cot 60^{\circ }\cdot \cot 45^{\circ }+1}{\cot 45^{\circ }-\cot 60^{\circ }}}$ $={\frac {{\frac {\sqrt {3}}{3}}\cdot 1+1}{1-{\frac {\sqrt {3}}{3}}}}={\frac {3+{\sqrt {3}}}{3-{\sqrt {3}}}}$
* Dados $\tan \alpha =1\;\!$ e $\tan \beta ={\frac {1}{2}}\;\!,$ calcule $\tan \left(\alpha -\beta \right)\;\!.$
** Resolução
$\tan \left(\alpha -\beta \right)={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \cdot \tan \beta }}$ $={\frac {1-{\frac {1}{2}}}{1+1\cdot {\frac {1}{2}}}}={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {3}{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {1}{3}}$

## Multiplicação de arcos

É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de $2a,3a,...\;\!,$ utilizando as fórmulas obtidas para a soma de arcos e fazendo $2a=a+a,3a=2a+a,...\;\!,$ conforme será mostrado adiante.

### Cosseno

Usando a fórmula do cosseno da soma, temos:
* $\cos 2a=\cos \left(a+a\right)=\cos a\cdot \cos a-\mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,a=\cos ^{2}a-\mathrm {sen} \,^{2}a\;\!$
Logo, utilizando a Identidade relacional básica, podemos obter duas fórmulas finais:
* $\cos 3a=\cos \left(2a+a\right)=\cos 2a\cdot \cos a-\mathrm {sen} \,2a\cdot \mathrm {sen} \,a\;\!$
$=\left(2\cos ^{2}a-1\right)\cdot \cos a-\left(2\cdot \mathrm {sen} \,a\cos a\right)\cdot \mathrm {sen} \,a\;\!$ $=\left(2\cos ^{2}a-1\right)\cdot \cos a-2\mathrm {sen} \,^{2}a\cdot \cos a\;\!$
Utilizando a Identidade relacional básica e trabalhando algebricamente, temos:
Expressões para $\cos 4a,\cos 5a,...\;\!$ são obtidas por processos semelhantes.

### Seno

Ultilizando a fórmula do seno da soma:
* $\mathrm {sen} \,2a=\mathrm {sen} \,\left(a+a\right)=\mathrm {sen} \,a\cdot \cos a+\mathrm {sen} \,a\cdot \cos a\;\!$
Então, temos:
* $\mathrm {sen} \,3a=\mathrm {sen} \,\left(2a+a\right)=\mathrm {sen} \,2a\cdot \cos a+\cos 2a\cdot \mathrm {sen} \,a\;\!$
$=\left(2\cdot \mathrm {sen} \,a\cdot \cos a\right)\cdot \cos a+\mathrm {sen} \,a\left(1-2\cdot \ sen^{2}a\right)\;\!$
Utilizando a Identidade relacional básica:
* $=2\cdot \mathrm {sen} \,a\cdot \left(1-\mathrm {sen} \,^{2}a\right)+\mathrm {sen} \,a\cdot \left(1-2\cdot \mathrm {sen} \,^{2}a\right)\;\!$
Logo:
Expressões para $\mathrm {sen} \,4a,\mathrm {sen} \,5a,...\;\!$ são obtidas por processos semelhantes.

### Tangente

A partir da fórmula da tangente da soma:
* $\tan 2a=\tan \left(a+a\right)={\frac {\tan a+\tan a}{1-\tan a\cdot \tan a}}\;\!$
Logo:
* $\tan 3a=\tan \left(2a+a\right)={\frac {\tan 2a+\tan a}{1-\tan 2a\cdot \tan a}}\;\!$
Ao subtituimos a fórmula anterior para $\tan 2a\;\!$ e simplificarmos, obtemos como fórmula final:
Expressões para $\tan 4a,\tan 5a,...\;\!$ são obtidas por processos semelhantes.

### Exemplo

* Se $\cot x={\frac {5}{3}}\;\!$ e $0<x<{\frac {\pi }{2}}\;\!,$ calcule $\cos 2x\;\!.$
** Resolução
Precisamos encontrar $\mathrm {sen} \,x\;\!$ para aplicarmos a fórmula. Para tanto, utilizaremos a identidade $\csc ^{2}x=1+\cot ^{2}x\;\!,$ que relaciona as funções cotangente e cossecante. A partir da cossecante obtida, podemos encontrar o valor do seno, uma vez que $\csc x={\frac {1}{\mathrm {sen} \,x}}\;\!.$ Como $0<x<{\frac {\pi }{2}}\;\!,$ o valor da cossecante é positivo.
$\csc x={\sqrt {1+\cot ^{2}x}}={\sqrt {1+{\frac {25}{9}}}}={\sqrt {\frac {34}{9}}}={\frac {\sqrt {34}}{3}}$
De onde vem $\mathrm {sen} \,x={\frac {3}{\sqrt {34}}}.$
Podemos finalmente calcular:
$\cos 2x=1-2\cdot \ sin^{2}x=1-2\cdot {\frac {9}{34}}=1-{\frac {18}{34}}={\frac {8}{17}}.$

## Bissecção de arcos
### Cosseno

Vamos utilizar as duas fórmulas que encontramos para $\cos 2a\;\!$ a fim de que, dado o cosseno de uma arco $x\;\!$ qualquer, possamos obter $\cos {\frac {x}{2}},\mathrm {sen} \,{\frac {x}{2}}\;\!$ ou $\tan {\frac {x}{2}}\;\!.$ Para isto, consideraremos $2a=x\;\!.$
A partir de $\cos 2a=2\cos ^{2}a-1\;\!:$
* $\cos x=2\cdot \cos ^{2}{\frac {x}{2}}-1$
A partir de $\cos 2a=1-2\mathrm {sen} \,^{2}a\;\!,$ temos:
* $\cos x=1-2\cdot \mathrm {sen} \,^{2}{\frac {x}{2}}\;\!$
Finalmente, sabendo que $\tan x={\frac {\mathrm {sen} \,x}{\cos x}},$ temos:
* $\tan {\frac {x}{2}}={\frac {\mathrm {sen} \,{\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}}}$

### Seno

Caso nos seja dado o $\mathrm {sen} \,x\;\!,$ sabendo que $\cos x=\pm {\sqrt {1-\mathrm {sen} \,^{2}x}},$ calculamos $\cos x\;\!$ e usamos as fórmulas dadas logo acima para o cosseno.

### Tangente

Precisamos agora encontrar fórmulas que permitam calcular $\mathrm {sen} \,x\;\!,$ $\cos x\;\!$ e $\tan x\;\!,$ conhecida a $\tan {\frac {x}{2}}.$ Para tanto, tomaremos as fórmulas de multiplicação
$\mathrm {sen} \,2a=2\cdot \mathrm {sen} \,a\cos a=2\cdot \mathrm {sen} \,a\cdot {\frac {\cos ^{2}a}{\cos a}}=2\cdot {\frac {\mathrm {sen} \,a}{\cos a}}\cdot {\frac {1}{\sec ^{2}a}}={\frac {2\cdot \tan a}{1+\tan ^{2}a}}\;\!$
$\tan 2a={\frac {2\cdot \tan a}{1-\tan ^{2}a}}$
e consideraremos $2a=x\;\!,$ de modo que:

### Exemplos

* Se $\mathrm {sen} \,x={\frac {4}{5}},$ com $0<x<{\frac {\pi }{2}},$ calcule as funções circulares de ${\frac {x}{2}}.$
** Resolução
$\cos x={\sqrt {1-\mathrm {sen} \,^{2}x}}={\sqrt {1-{\frac {16}{25}}}}={\sqrt {\frac {9}{25}}}={\frac {3}{5}}$
Logo, temos:
    $\mathrm {sen} \,{\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos x}{2}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {3}{5}}}{2}}}={\sqrt {\frac {1}{5}}}:$ $\cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}={\sqrt {\frac {1+{\frac {3}{5}}}{2}}}={\sqrt {\frac {4}{5}}}={\frac {2{\sqrt {5}}}{5}}:$ $\tan {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {3}{5}}}{1+{\frac {3}{5}}}}}={\sqrt {\frac {1}{4}}}={\frac {1}{2}}$
* Se $\tan {\frac {x}{2}}={\frac {1}{4}},$ determine $\mathrm {sen} \,x\;\!.$
** Resolução
Podemos aplicar diretamente a fórmula, de modo que:
    $\mathrm {sen} \,x={\frac {2\cdot \tan {\frac {x}{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\cdot {\frac {1}{4}}}{1+{\frac {1}{16}}}}={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {17}{16}}}={\frac {8}{17}}$

## Exercícios

* Matemática elementar/Trigonometria/Adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos/Exercícios
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# Transformações de soma de funções trigonométricas em produtos

As fórmulas de transformação de soma e diferença em produto, também conhecidas como Fórmulas de Prostaférese, são:
    $\mathrm {sen} \,(x)+\mathrm {sen} \,(y)=2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)$
    $\mathrm {sen} \,(x)-\mathrm {sen} \,(y)=2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)$
    $\mathrm {cos} \,(x)+\mathrm {cos} \,(y)=2\cdot \mathrm {cos} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)$
    $\mathrm {cos} \,(x)-\mathrm {cos} \,(y)=-2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {sen} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)$

## Dedução - soma e diferença dos senos

Partindo das fórmulas do seno da soma de arcos:
    $\mathrm {sen} \,(a+b)=\mathrm {sen} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)+\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {cos} \,(a)$
    $\mathrm {sen} \,(a-b)=\mathrm {sen} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)-\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {cos} \,(a)$
Somando-as membro a membro:
    $\mathrm {sen} \,(a+b)+\mathrm {sen} \,(a-b)=2\cdot \mathrm {sen} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)(I)$
Fazendo:
    $x=a+b:$ $y=a-b$
Temos:
    $a={\frac {x+y}{2}}$
    $b={\frac {x-y}{2}}$
Substituindo a e b, em (I):
    $\mathrm {sen} \,(x)+\mathrm {sen} \,(y)=2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)$
Procedendo da mesma forma, novamente a partir de:
    $\mathrm {sen} \,(a+b)=\mathrm {sen} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)+\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {cos} \,(a)$
    $\mathrm {sen} \,(a-b)=\mathrm {sen} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)-\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {cos} \,(a)$
Subtraindo-as membro a membro:
    $\mathrm {sen} \,(a+b)-\mathrm {sen} \,(a-b)=2\cdot \mathrm {sen} \,(b)\mathrm {cos} \,(a)$ (II)
Substituindo a e b, em (II):
    $\mathrm {sen} \,(x)-\mathrm {sen} \,(y)=2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)$

## Dedução - soma e diferença dos cossenos

Agora para a função cosseno
    $\mathrm {cos} \,(a+b)=\mathrm {cos} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)-\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {sen} \,(a)$
    $\mathrm {cos} \,(a-b)=\mathrm {cos} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)+\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {sen} \,(a)$
Somando-as membro a membro:
    $\mathrm {cos} \,(a+b)+\mathrm {cos} \,(a-b)=2\cdot \mathrm {cos} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)$ (III)
Substituindo a e b, em (III):
    $\mathrm {cos} \,(x)+\mathrm {cos} \,(y)=2\cdot \mathrm {cos} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)$
E por fim:
    $\mathrm {cos} \,(a+b)=\mathrm {cos} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)-\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {sen} \,(a)$
    $\mathrm {cos} \,(a-b)=\mathrm {cos} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)+\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {sen} \,(a)$
Subtraindo-as membro a membro:
    $\mathrm {cos} \,(a+b)-\mathrm {cos} \,(a-b)=-2\cdot \mathrm {sen} \,(a)\mathrm {sen} \,(b)$ (IV)
Substituindo a e b, em (IV):
    $\mathrm {cos} \,(x)-\mathrm {cos} \,(y)=-2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {sen} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)$

## Exercícios

* Exercícios

## Referências

* ↑ Prostaférese

# Identidades trigonométricas básicas
## Conceito

Uma identidade trigonométrica é uma equação envolvendo funções trigonométricas e que é verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Estas identidades são úteis sempre que expressões envolvendo funções trigonométricas tem que ser simplificadas. Geralmente é possível aproveitar as características cíclicas das funções para modificar o seu comportamento, transformando uma ou mais funções trigonométricas em outras operadas de forma que apresentem o mesmo resultado da função original.

## Identidade relacional básica

Uma vez que no ciclo trigonométrico com ângulo $\theta \,\!$ podemos encontrar as coordenadas $(x,y)\,\!$ fazendo $x=\cos(\theta )\,\!$ e $y=\operatorname {sen} (\theta )\,\!,$ podemos verificar que estas coordenadas e a distância entre a origem $(0,0)\,\!$ e o ponto $(x,y)\,\!$ formam um triângulo retângulo. Sendo esta distância unitária, temos:
$x^{2}+y^{2}=1\,\!$
Portanto:
$\cos ^{2}(\theta )+\operatorname {sen} ^{2}(\theta )=1\,\!$

# Equações e inequações envolvendo funções trigonométricas
## Conceito

Equações trigonométricas são equações nas quais a variável a ser determinada aparece após a aplicação de funções trigonométricas.
Uma das grandes diferenças entre equações trigonométricas e as demais equações é a natureza periódica destas funções.
Assim, enquanto equações do tipo:
    $3x+4=0\,$
    $x^{2}-4x-7=0\,$
possuem uma solução única, ou uma quantidade finita (e pequena) de soluções, uma equação do tipo:
    $\tan x=1\,$
admite infinitas soluções - por ser tan uma função periódica de período $\pi \,,$ para cada solução x = a, temos que $x=a+\pi \,$ e $x=a-\pi \,$ também serão soluções, assim como qualquer valor $x=a+k\pi \,,$ sendo k um número inteiro (positivo, negativo ou zero).

## Equações do tipo sen(x) = n, cos(x) = n e tan(x) = n
### sen(x) = n

| $n\,\!$ | $\mathrm {sen} \ x=n\,\!$ |
| $\left|n\right|<1$ | ${\begin{matrix}x=\alpha +2k\pi \\x=\pi -\alpha +2k\pi \\\alpha \in \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\end{matrix}}$ |
| $n=-1\,\!$ | $x=-{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}+2k\pi$ |
| $n=0\,\!$ | $x=k\pi \,\!$ |
| $n=1\,\!$ | $x={\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}+2k\pi$ |
| $\left|n\right|>1$ | $x\in \varnothing$ |
A equação $\mathrm {sen} \,x=n$ só tem soluções quando $n$ está no intervalo [-1; 1]. Se $n$ está neste intervalo, então é preciso primeiro determinar um ângulo $\alpha$ tal que:
    $\alpha =\mathrm {sen} \,^{-1}n\,\!$
Neste caso, as soluções são dois conjuntos infinitos (que devem ser unidos):
    $x=\alpha +2k\pi \,\!$
    $x=\pi -\alpha +2k\pi \,\!$
Em que $k$ é qualquer inteiro.
Quando n = 1, 0 ou -1, estas soluções tem uma forma mais simples, que podem ser vistas na tabela ao lado.

#### Exemplo

Resolva:
    $\mathrm {sen} \,{\frac {x}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$
Primeiro, deve-se determinar um valor para $\alpha :$
    $\alpha =\mathrm {sen} \,^{-1}{\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\pi }{3}}$
Substituindo nas fórmulas, temos:
    ${\frac {x}{2}}={\frac {\pi }{3}}+2k\pi$
    ou
    ${\frac {x}{2}}=\pi -{\frac {\pi }{3}}+2k\pi$
Resolvendo estas equações em x chega-se à resposta final:
    $x={\frac {2\pi }{3}}\left(1+6k\right)$
    ou
    $x={\frac {4\pi }{3}}\left(1+3k\right)$
Em que k é um número inteiro.

#### Outro exemplo

Resolva:
    $\mathrm {sen} \,(x+\pi )={\frac {1}{2}}\,$
Substituindo $y=x+\pi \,:$
    $\mathrm {sen} \,y={\frac {1}{2}}\,$
Sabemos que ${\frac {\pi }{6}}\,$ é um ângulo cujo seno vale 1/2. Portanto, y deve valer:
    $y={\frac {\pi }{6}}+2k\pi$
    ou
    $y=\pi -{\frac {\pi }{6}}+2k\pi$
Substituindo o valor de $x=y-\pi \,$
    $x={\frac {\pi }{6}}-\pi +2k\pi$
    ou
    $x=\pi -{\frac {\pi }{6}}-\pi +2k\pi$
Ou seja:
    $x=-{\frac {5\pi }{6}}+2k\pi$
    ou
    $x=-{\frac {\pi }{6}}+2k\pi$
Esta solução está correta, mas, normalmente, deseja-se expressar os ângulos na forma $x=\alpha +2k\pi \,,$ em que $0\leq \alpha <2\pi ,$
Para isso, como k é um número inteiro qualquer, ele pode ser substituído por qualquer outra expressão que também indica um número inteiro qualquer. Ou seja, podemos substituir k por k + 10, k + 42, k - 1000, etc.
No caso, como queremos tornar a parte sem k em um número entre 0 e 2 π, temos que substituir k por k+1, obtendo:
    $x=-{\frac {5\pi }{6}}+2(k+1)\pi$
    ou
    $x=-{\frac {\pi }{6}}+2(k+1)\pi$
Finalmente:
    $x={\frac {7\pi }{6}}+2k\pi$
    ou
    $x={\frac {11\pi }{6}}+2k\pi$

## Exercícios

* Matemática elementar/Trigonometria/Equações e inequações envolvendo funções trigonométricas/Exercícios

# Lei dos senos e dos cossenos
## Lei dos cossenos

Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A saber:
    $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot \cos {\widehat {A}}:$ $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot \cos {\widehat {B}}:$ $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot \cos {\widehat {C}}$

### Demonstração

Esta é uma das maneiras de demonstrar a lei dos cossenos.
Considerando a figura, podemos observar três triângulos: $ABC,BCD,BAD.$
Destes, pode-se extrair as seguintes relações: $b=n+m$ e $m=c\cdot \cos {\widehat {A}}.$
Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:
* Para $BCD:$ $a^{2}=n^{2}+h^{2}$
* Para $BAD:$ $c^{2}=m^{2}+h^{2}$
Substituindo $n=b-m$ e $h^{2}=c^{2}-m^{2}$ em $a^{2}=n^{2}+h^{2}:$
$a^{2}=(b-m)^{2}+c^{2}-m^{2}$
$\Rightarrow a^{2}=b^{2}-2b\cdot m+m^{2}+c^{2}-m^{2}$
$\Rightarrow a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot m$
Entretanto, pode-se substituir a relação $m=c\cdot cos{\widehat {A}},$ do triângulo $BAD,$ na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot \cos {\widehat {A}}$
Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:
$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot \cos {\widehat {B}}$
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot \cos {\widehat {C}}$

### Aplicação

A Lei dos Cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triângulo conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ângulo oposto a esse. Ela também permite calcular todos os ângulos de um triângulo, desde que se saiba o comprimento de todos os lados.

#### Exemplos

* Considere um triângulo de lados $p,$ $q$ e $r,$ sendo que o comprimento de $p$ é 2 metros e o comprimento de $q$ é ${\sqrt {3}}$ metros. Os lados $p$ e $q$ definem um ângulo de 30º. Calcule o comprimento de $r.$
** Resolução
    Dada a Lei dos Cossenos, $r^{2}=p^{2}+q^{2}-2p\cdot q\cdot \cos {\widehat {A}}$ tem-se que $p=2,$ $q={\sqrt {3}}$ e ${\widehat {A}}=30^{\circ }$ portanto:
    $r^{2}=2^{2}+\left({\sqrt {3}}\right)^{2}-2\cdot 2\cdot {\sqrt {3}}\cdot \cos 30^{\circ }:$ $r^{2}=4+3-4\cdot {\sqrt {3}}\cdot {{\sqrt {3}} \over 2}:$ $r^{2}=7-2\cdot 3:$ $r^{2}=7-6:$ $r^{2}=1:$ $r=1:$ O comprimento de $r$ é 1 metro.
* Prove por Lei dos Cossenos que o triângulo eqüilátero também é eqüiângulo
** Resolução
    Dado um triângulo eqüilátero de lados $l_{1},$ $l_{2}$ e $l_{3},$ por definição tem-se que $l_{1}=l_{2}=l_{3}.$ Sejam $x,$ $y$ e $z$ os ângulos deste triângulo. Aplicando a Lei dos Cossenos:
    $l^{2}=l^{2}+l^{2}-2l\cdot l\cdot \cos x:$ $l^{2}=2l^{2}-2l^{2}\cdot \cos x:$ $l^{2}-2l^{2}=\left(2l^{2}-2l^{2}\cdot \cos x\right)-2l^{2}:$ $-l^{2}=-2l^{2}\cdot \cos x:$ ${-l^{2} \over -2l^{2}}={-2l^{2}\cdot \cos x \over -2l^{2}}:$ ${1 \over 2}=\cos x:$ $x=60^{\circ }:$ O mesmo vale para $y$ e $z:$
    $l^{2}=l^{2}+l^{2}-2l\cdot l\cdot \cos y:$ $l^{2}=l^{2}+l^{2}-2l\cdot l\cdot \cos z$

## Lei dos senos

O seno de um ângulo de um triângulo qualquer é proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo. A saber:
    ${\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}={\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}={\frac {c}{\mathrm {sen} \,{\widehat {C}}}}=2r$

### Demonstração

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo $ABC$ qualquer inscrito em uma circunferência de raio $r.$ A partir do ponto $B$ pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto $D$ e, ligando $D$ a $C$ formamos um novo triângulo $BCD$ retângulo em $C.$
Da figura, podemos perceber também que ${\widehat {A}}={\widehat {D}}$ porque determinam na circunferência uma mesma corda ${\overline {BC}}.$ Desta forma, podemos relacionar:
$\mathrm {sen} \,{\widehat {D}}={\frac {a}{2r}}$ $\Rightarrow a=2r\cdot \mathrm {sen} \,{\widehat {A}}$ $\Rightarrow {\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}=2r$
Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos ${\widehat {B}}$ e ${\widehat {C}}$ teremos as relações:
${\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}=2r$ e ${\frac {c}{\mathrm {sen} \,{\widehat {C}}}}=2r,$ em que $b$ é a medida do lado $AC$ oposto a ${\widehat {B}}$ $c$ é a medida do lado $AB$ oposto a ${\widehat {C}}$ e $2r$ é uma constante.
Logo, podemos concluir que:
* ${\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}={\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}={\frac {c}{\mathrm {sen} \,{\widehat {C}}}}=2r$

## Lei das tangentes

Seja um triângulo não isósceles e não retângulo $ABC$ cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura. A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:
${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}},$ ${\frac {a+c}{a-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {C}})]}},$ ${\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}-{\widehat {C}})]}}$

### Demonstração

Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:
${\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}={\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}$ $\Rightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}$
Usando uma propriedade das proporções, temos que:
${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}+\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}-\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}$
Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:
${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {2\mathrm {sen} \,{\frac {{\widehat {A}}+{\widehat {B}}}{2}}\cdot \cos {\frac {{\widehat {A}}-{\widehat {B}}}{2}}}{2\mathrm {sen} \,{\frac {{\widehat {A}}-{\widehat {B}}}{2}}\cdot \cos {\frac {{\widehat {A}}+{\widehat {B}}}{2}}}}$
$\Rightarrow {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}}$
Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.

## Exercícios

* Ver: Matemática elementar/Trigonometria/Lei dos senos e dos cossenos/Exercícios

# Resolução de triângulos

Uma das aplicações mais comuns da trigonometria é a resolução de triângulos.
A resolução de triângulos é a operação matemática que, a partir de três elementos de um triângulo, determina todos outros elementos. Estes elementos podem ser lados, ângulos, perímetro, área, etc.
Os casos mais comuns são representados por uma tríade de letras, usando-se L (para lado) e A para ângulo. Assim, LLL significa resolver um triângulo no qual são dados três lados, LAA significa resolver um triângulo no qual é dado um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto. Nem todos casos são solúveis: AAA pode ter nenhuma (se a soma dos ângulos não for de 180$^o$) ou infinitas soluções; LLA pode ter nenhuma, uma ou duas soluções.

## LLL

Usa-se a lei dos cossenos para se determinar dois ângulos; o terceiro ângulo sai naturalmente da soma dos ângulos ser 180$^o$.

## LAL

Usa-se a lei dos cossenos para se determinar o lado oposto ao ângulo. Um outro ângulo pode ser determinado pela lei dos senos ou dos cossenos.

## ALA

Determina-se o terceiro ângulo pelos dois ângulos. Os outros lados saem pela lei dos senos.

## LAA

Determina-se o terceiro ângulo pelos dois ângulos. Os outros lados saem pela lei dos senos.

## LLA

Dois métodos podem ser usados, mas ambos podem não ter solução:
* Resolve-se o terceiro lado pela lei dos cossenos - neste caso, a equação é uma equação do segundo grau, que pode ter nenhuma, uma ou duas raízes.
* Resolve-se o outro ângulo (que não é o ângulo formado pelos lados) pela lei dos senos - neste caso, a equação também pode ter nenhuma, uma ou duas soluções.

# Progressões

Sequências ou progressões são funções do tipo $f:A\rightarrow B$, onde A é o conjunto dos números naturais ou um subconjunto dos números naturais consecutivos com mais de dois elementos, e B é um conjunto numérico. Sendo funções, nas sequências existe uma regra geral que permite determinar cada elemento de B a partir do elemento A, por exemplo:
    (2,4,6,8,10) é uma sequência dos números pares de 2 até 10, que pode ser expressa pela função $y=2x\ (x\in A,y\in B)$. Também percebe-se que a função pode relacionar o elemento anterior (a$_n$) com o posterior (a$_{n+1}$) da seguinte maneira: $a_{n+1}=a_{n}+r$, sendo r uma razão fixa, a razão de progressão.
Os dois tipos de sequências matemáticas mais comuns são a progressão aritmética, que contém números tais que o anterior somado a uma razão fixa resulta no posterior, e progressões geométricas, que contém números tais que o anterior multiplicado pela razão fixa resulta no posterior.
Exemplos:
    (1,5,9,13,...) é uma progressão aritmética infinita (o que se indica pela reticiências ...) de razão igual a 4;
    (1,3,9,27,81) é uma progressão geométrica finita de razão igual a 3.
* Progressão aritmética
* Progressão geométrica

## Sequências numéricas

* Matemática elementar/Sequências numéricas
* Matemática elementar/Progressões aritméticas
* Matemática elementar/Progressões geométricas
* noção de limite de uma sequência

## Exercícios resolvidos

1) Ache tres números em P.A crescente,sabendo que a soma é 15 e o produto é 105.
O problema pode ser resolvido assim: Chame de x o primeiro dos 3 números na PA e de r a razão da mesma. Então os termos são os seguintes: x, x+r, x+2r Como a soma deve ser igual a 15, os números x e r precisam satisfazer a equação: x + x+r + x+2r = 15 ou seja, 3x + 3r = 15 que se reescreve como x + r = 5
Logo, r = 5-x.
Por outro lado, se o produto de tais números é 105, deve ocorrer: x*(x+r)*(x+2r)=105 ou seja, x*(x+5-x)*(x+2(5-x))=105 que pode ser reescrito como 50x-5x^2=105
As raízes dessa equação do segundo grau são 3 e 7 e se obtem rapidamente pela fórmula de Bhaskara.
temos que considerar cada um dos casos: x=3 nessa situação, como r=5-x=5-3=2, os termos da PA são 3, 5 e 7
x=7 deduz-se que r=5-7=-2, donde os termos são 7, 5 e 3
Apenas o primeiro caso representa uma PA crescente, logo a resposta é 3, 5 e 7
2) O perímetro de um triangulo retangulo mede 24 cm.Calcule as medidas dos lados sabendo que eles estão em P.A.
Sabendo que os lados estão em PA, podemos chamá-los de x, x+r e x+2r, e supor que esta é uma PA crescente, como no problema anterior. Mas se o perímetro é 24, ou seja a soma dos lados tem esse valor, então: 3x+3r=24
ou seja x+r=8
donde r=8-x
Mas em todo triângulo retângulo vale o Teorema de Pitágoras, e a hipotenusa é sempre o maior lado, então: (x+2r)^2=(x+r)^2+(x)^2
ou seja, (16-x)^2=8^2+x^2
ou ainda, 256 - 32x + x^2= 64 + x^2
que é equivalente a 32x=256-64=192
Portanto, x=6 e consequentemente r=8-6=2. Assim a resposta deve ser 6, 8 e 10.

# Expressões algébricas

Produtos notáveis são expressões matemáticas padronizadas, em que um produto ou uma potência pode ser expressa através de uma soma de monômios.
A operação inversa se chama fatoração algébrica, que consiste em expressar um polinômio como o produto de polinômios (usualmente binômios) mais simples.
O desenvolvimento dos produtos notáveis é um passo fundamental na simplificação de expressões que envolvem somas ou subtrações, como na resolução de vários tipos de equação.
A fatoração, por outro lado, é fundamental na simplificação de expressões que envolvem a divisão de polinômios, e também é importante na resolução de equações polinomiais.

## Produtos notáveis
### Quadrado da soma de dois termos

Exemplos:
* $(8x+a)^{2}=64x^{2}+16ax+a^{2}\,\!$
* $\left({\frac {4x}{5y}}-z\right)^{2}={\frac {16x^{2}}{25y^{2}}}-{\frac {8xz}{5y}}+z^{2}$

### Quadrado da diferença de dois termos

Exemplos:
* $(1-2x)^{2}=1-4x+4x^{2}\,\!$
* $\left({\frac {3x}{4y}}-n\right)^{2}={\frac {9x^{2}}{16y^{2}}}-{\frac {6xn}{4y}}+n^{2}$

### Cubo da soma de dois termos

Exemplos:
* $(m+3n)^{3}=m^{3}+9m^{2}n+27mn^{2}+27n^{3}\,\!$
* $(x+2)^{3}=x^{3}+6x^{2}+12x+8\,\!$

### Cubo da diferença de dois termos

Exemplos:
* $(b-2c)^{3}=b^{3}-6b^{2}c+12bc^{2}-8c^{3}\,\!$
* $\left({\frac {x}{y}}-{\frac {a}{b}}\right)^{3}={\frac {x^{3}}{y^{3}}}-{\frac {3ax^{2}}{by^{2}}}+{\frac {3a^{2}x}{b^{2}y}}-{\frac {a^{3}}{b^{3}}}$

### Exercícios

* Ver Matemática elementar/Expressões algébricas/Produtos notáveis/Exercícios.

## Fatoração algébrica
### Fatoração pelo fator comum em evidência

Considere o polinômio $14ab+7bc$, seu fator comum em evidência é $7b$, dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência $14ab:7b=2a$ e $7bc:7b=c$, a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de $14ab+7bc=7b.(2a+c)$. O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio.
Outros exemplos:
* $15x+9y=3.(5x+3y)$
* $50-10y=10.(5-y)$

### Fatoração por agrupamento

Observe o polinômio $ab-b^{2}+2a-2b$. Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios a partir do polinômio principal, veja:
$ab-b^{2}+2a-2b=(ab-b^{2})+(2a-2b)$, logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal:
$ab-b^{2}=b(a-b)$
$2a-2b=2(a-b)$, obtemos a fatoração de $ab-b^{2}+2a-2b=b(a-b)+2(a-b)$, nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência: $(a-b)(b+2)$. A forma fatorada de $ab-b^{2}+2a-2b=b(a-b)+2(a-b)=(a-b)(b+2)$.
Outro exemplo:
$a^{4}-a^{5}+a^{2}b-a^{3}b=a^{2}(a^{2}-a^{3})+b(a^{2}-a^{3})=(a^{2}-a^{3})(a^{2}+b)$

### Fatoração da diferença de dois quadrados

Considere o polinômio $m^{2}-n^{2}$, que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo ${\sqrt {m^{2}}}=m$ menos a raiz quadrada do segundo termo $-{\sqrt {n^{2}}}=-n$, logo temos ${\sqrt {m^{2}}}-{\sqrt {n^{2}}}=m-n$, devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raízes dos termos iniciais pelo seu oposto: $(m-n).(m+n)$, logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: $m^{2}-n^{2}=({\sqrt {m^{2}}}-{\sqrt {n^{2}}}).({\sqrt {m^{2}}}+{\sqrt {n^{2}}})=(m-n).(m+n)$, ou simplesmente $m^{2}-n^{2}=(m-n).(m+n)$.
Outros exemplos:
* $(n+8)^{2}-1=[(n+8)+1].[(n+8)-1]=[n+8+1].[n+8-1]=[n+9].[n+7]$
* $a^{4}-b^{4}=(a^{2}+b^{2}).(a^{2}-b^{2})=(a-b).(a+b).(a^{2}+b^{2})$

### Fatoração do trinômio quadrado perfeito

Considere o polinômio $4x^{2}+4xy+y^{2}$, que é um trinômio quadrado perfeito, pois representa $(2x+y)^{2}$, mas como saber se um trinômio é ou não quadrado perfeito?
Ainda considerando o polinômio $4x^{2}+4xy+y^{2}$, vamos obter a raiz quadrada do primeiro termo ${\sqrt {4x^{2}}}=2x$ e a raiz quadrada do terceiro termo ${\sqrt {y^{2}}}=y$, finalmente multiplicamos por dois o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao segundo termo do polinômio ($4xy$): $2.2x.y=4xy$, o resultado é igual ao segundo termo do polinômio, logo o mesmo é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é $4x^{2}+4xy+y^{2}=(2x+y)^{2}$.
Outro exemplo:
$x^{2}-8xy+16y^{2}={\sqrt {x^{2}}}-{\sqrt {16y^{2}}}=x-4y(2.x.(-4y)=(-8xy)=(x-4y)^{2}$ ou $x^{2}-8xy+16y^{2}=(x-4y)^{2}$

### Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos

As expressões usadas são:
    $x^{3}+y^{3}=(x+y).(x^{2}-xy+y^{2})\,\!$
    $x^{3}-y^{3}=(x-y).(x^{2}+xy+y^{2})\,\!$
Observe a multiplicação resolvida através da propriedade distributiva:
$(a+b).(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=a^{3}+b^{3}$, tendo este cálculo como base, podemos dizer que $a^{3}+b^{3}=(a+b).(a^{2}-ab+b^{2})$, logo, a fatoração do polinômio $a^{3}+b^{3}$ é igual à raiz cúbica do primeiro termo ${\sqrt[{3}]{a^{3}}}=a$, mais a raiz cúbica do segundo termo ${\sqrt[{3}]{b^{3}}}=b$ vezes o quadrado do primeiro termo $a^{2}$, o produto dos dois termos com o sinal oposto $-ab$ mais o quadrado do segundo termo $b^{2}$, formando:$a^{3}+b^{3}=(a+b).(a^{2}-ab+b^{2})$.
Outros exemplos:
* $x^{3}-y^{3}=(x-y).(x^{2}+xy+y^{2})$
* ${\frac {x^{3}}{8}}+{\frac {y^{3}}{27}}=\left({\frac {x}{2}}+{\frac {y}{3}}\right).\left({\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {xy}{6}}+{\frac {y^{2}}{9}}\right)$

### Fatoração do trinômio do segundo grau

Observe o trinômio $x^{2}-2x-35$, cuja forma fatorada é $(x-7).(x+5)$, para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados dêem o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos:
* $a^{2}+8a+12=(a+2).(a+6)$
* $x^{2}-15x-100=(x-20).(x+5)$
* $y^{2}+y-72=(y+9)(y-8)$

### Fatoração completa

A fatoração completa implica a união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio $x^{4}-y^{4}$, que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos: $x^{4}-y^{4}=(x^{2}-y^{2}).(x^{2}+y^{2})$, note que o primeiro termo da fatoração [$(x^{2}-y^{2})$] é uma diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: $x^{4}-y^{4}=(x^{2}-y^{2}).(x^{2}+y^{2})=(x-y).(x+y).(x^{2}+y^{2})$, assim, temos a fatoração completa do polinômio $x^{4}-y^{4}$.
Outros exemplos:
* ${\frac {x^{6}}{64}}-{\frac {y^{6}}{729}}=\left({\frac {x^{3}}{8}}-{\frac {y^{3}}{27}}\right).\left({\frac {x^{3}}{8}}+{\frac {y^{3}}{27}}\right)=\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {y}{3}}\right).\left({\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {xy}{6}}+{\frac {y^{2}}{9}}\right)\right].\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {y}{3}}\right).\left({\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {xy}{6}}+{\frac {y^{2}}{9}}\right)\right]$
* $3x^{2}-6x+3=3.(x^{2}-2x+1)=3.(x-1)^{2}$
* $a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}=(a+b)^{2}-c^{2}=(a+b-c)(a+b+c)$

### Fatoração por artifício

Em alguns casos, a fatoração só é possível com a utilização de algum artifício. Exemplo;
Fatore a expressão algébrica: $x^{4}+4x^{2}y^{2}+16y^{4}$.
$(x^{4}+4x^{2}y^{2}+16y^{4}+4x^{2}y^{2})-4x^{2}y^{2}=$
$x^{4}+8x^{2}y^{2}+16y^{4}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+4y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+4y^{2}+2xy)(x^{2}+4y^{2}-2xy)$
Artifício utilizado: Adicionamos e subtraímos o termo $4x^{2}y^{2}$, não alterando, assim, o valor da expressão e possibilitando a obtenção de trinômio quadrado perfeito para a realização da expressão.
Outro exemplo:
$x^{5}+x+1\,$
Artifício utilizado: soma-se e subtrai-se $x^{2}\,$, obtendo-se logo em seguida uma soma de cubos:
$x^{5}+x+1=x^{5}-x^{2}+x^{2}+x+1=x^{2}(x^{3}-1)+x^{2}+x+1=x^{2}(x-1)(x^{2}+x+1)+1(x^{2}+x+1)=(x^{2}(x-1)+1)(x^{2}+x+1)=(x^{3}-x^{2}+1)(x^{2}+x+1)\,$
Um passo intermediário que pode ser usado como artifício é a expressao da soma de dois quadrados:

### Polinômios irredutíveis

Alguns polinômios não podem ser fatorados, estes são chamados de polinômios irredutíveis, mas o estudo destes polinômios deve ficar para um livro mais avançado.

### Exercícios

* Ver Matemática elementar/Polinômios/Exercícios.

## Problemas resolvidos
### Caso 1

Uma indústria produz apenas dois tipos de camisas: o primeiro com preço de R$45,00 a unidade e o segundo com o preço de R$67,00 a unidade. Se chamarmos de x a quantidade vendida do primeiro tipo e de y a quantidade vendida do segundo tipo.
* Qual a expressão algébrica da venda desses dois artigos?
* Qual o valor se forem vendidos 200 e 300 unidades respectivamente?

### Caso 2

O segundo caso de fatoração é: agrupamento, onde há 4 ou mais termos. Temos como exemplo:
* ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y)= (x+y)(a+b).
* Colocamos o 'x+y' em evidência e quem os multiplica também.

### Caso 3

Diferença entre dois quadrados.

### Caso 4

Trinômio quadrado perfeito.

### Caso 5

Soma e produto

### Exercícios

* Ver Matemática elementar/Polinômios/Exercícios

## Fração algébrica
### Simplificação

15x²-15xy²=15x(x-y²)

### Operações
#### Divisão
## Referências
### Wikipédia
# Polinômios
## Definição

Polinômios em uma variável são séries de monômios (ou termos) em uma variável, que por sua vez são expressões matemáticas na forma $ax^{n}$ (que, no caso de n = 0, torna-se a constante a). Cada monômio é caracterizado por:
* um coeficiente, que na equação acima é representado por a;
* uma variável, que na equação é representada por x; e
* um expoente natural, que na equação é representado por n. No caso particular n = 0, considera-se que $x^{n}=1$ e o termo $ax^{n}$ torna-se simplesmente a.
Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é função polinomial, mas o uso de polinômio é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma:
    $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{1}x+a_{0}$
A função constante, $P(x)=c,$ é um exemplo de função polinomial, bem como a função linear $P(x)=ax+b.$

## Grau

Define-se o grau de um polinômio como igual ao expoente mais alto entre as variáveis de seus monômios não-nulos. Por exemplo, no polinômio $2+4x^{3}+2x^{2}-x$ o grau é 3, correspondente ao expoente mais alto entre as variáveis nos monômios ($x^{3}$).

## Valor numérico

É o valor que se resulta a expressão quando determina-se um valor para as variáveis.
Exemplo

## Raízes

Raiz ou zero é um valor tal que, atribuído à variável da função polinomial, faz com que a função resulte em 0, ou seja, se a é dito raiz do polinômio P(x), então $P(a)=0.$
Exemplos de raízes:
* $P(x)=3*x-12$ tem raiz r = 4 (pois $P(4)=3*4-12=0$)
* $P(x)=x^{100}+x^{99}+x^{98}+...+x^{2}+x^{1}$ tem raiz r igual a -1, pois $P(-1)=0.$
Um polinômio de grau n terá n raízes, sempre. Algumas vezes uma mesma raiz se repete, sendo por isso chamada raiz dupla, tripla, quádrupla, etc. Por exemplo:
* $P(x)=x^{2}-4x+4$ tem raiz dupla r igual a 2, uma vez que pode ser fatorado em $P(x)=(x-2)(x-2).$
Num gráfico representativo da função polinomial, as raízes sempre ocorrem nos pontos em que a curva cruza o eixo das abcissas.

### Obtenção de raízes
## Identidade de polinômios

Dois polinômios são ditos idênticos se tiverem o mesmo grau e os monômios correspondentes idênticos, por exemplo:
    $A(x)=3x^{2}+3:$ $B(x)={\frac {2x^{2}+4x^{2}+6}{2}}\Rightarrow B(x)=3x^{2}+3$
Como o desenvolvimento de B(x) resultou num polinômio de termos correspondentes idênticos a A(x), então os polinômios são idênticos ou equivalentes; indica-se: $A(x)\equiv B(x).$

## Polinômio nulo

Um polinômio é dito nulo quando todos os seus coeficientes são iguais a 0.

## Igualdade de polinômios

Diz-se que os polinômios $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$ e $b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\ldots +b_{1}x+b_{0}$ são iguais quando $a_{i}=b_{i},$ para todo $i.$

## Operações
### Adição

Consideremos que tenhamos os fatores:
${a_{A},b_{A},c_{A},d_{A},e_{A}}$ e
${a_{B},b_{B},c_{B},d_{B},e_{B}}$
Todos constantes e com valores diferentes de zero.
Ainda temos:
${x,y}$
que são variáveis.
Os polinômios:
$A(x)=a_{A}x^{4}+b_{A}x^{3}+c_{A}x^{2}+d_{A}x+e_{A}$
e
$B(x)=a_{B}x^{4}+b_{B}x^{3}+c_{B}x^{2}+d_{B}x+e_{B}$
A sua adição é efetuada como segue:
$S_{AB}(x)=(a_{A}+a_{B})x^{4}+(b_{A}+b_{B})x^{3}+(c_{A}+c_{B})x^{2}+(d_{A}+d_{B})x+(e_{A}+e_{B})$
Em caso de polinômios compostos por mais de uma variável, tais quais:
$A(xy)=a_{A}x^{2}y+b_{A}xy+c_{A}y^{2}+d_{A}xy^{3}+e_{A}$
e
$B(xy)=a_{B}x^{2}y+b_{B}xy+c_{B}y^{2}+d_{B}xy^{3}+e_{B}$
A sua adição é efetuada como segue:
$S_{AB}(xy)=(a_{A}+a_{B})x^{2}y+(b_{A}+b_{B})xy+(c_{A}+c_{B})y^{2}+(d_{A}+d_{B})xy^{3}+(e_{A}+e_{B})$
Processo:
Para fazer a soma dos polinômios de uma só variável, identificamos os monômios de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do monômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores.
Para fazer a soma dos polinômios de várias variáveis, identificamos os monômios com variáveis iguais de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do monômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores.

### Subtração

O sinal de negativo (-)antes dos parêntese exige a troca de todos os sinais que estejam dentro dele.
(3x²-2x+5)-(5x-3)=

### Multiplicação

(15x² - 10x + 2) • (3x - 2)
Nesse caso, multiplica-se todos os termos ou considere:
    (15x² - 10x + 2) = A
    (3x - 2) = B
donde,
    A • B (ou B • A)
donde,
Portanto, o produto da multiplicação indicada será 45x³ - 60x² + 26x -4.

### Divisão

Para realizar-se uma divisão de polinômios, utiliza-se um dos teoremas abaixo:
* Método de Descartes
* Método do Resto
* Método de D'Alembert
* Método de Briot-Ruffini

## Teoremas
### Teorema do resto

O resto da divisão do polinômio P(x) por ax + b é dado por P(-b/a)

#### Exemplo de resolução 1

    Têm-se a seguinte divisão:
       ${\frac {3x^{4}-x^{2}+2x-5}{x-2}}$
   * 1º passo: Determina-se x
    $x-2=0:$ $x=2$
   * 2º passo: Substitui-se os valores
    $3x^{4}-x^{2}+2x-5:$ $3.2^{4}-2^{2}+2.2-5:$ $3.16-4+4-5:$ $48-5:$ $43$
Portanto, o resto é 43.

#### Exemplo de resolução 2

    O resto da divisão do polinômio $A(x)$ pelo polinômio de primeiro grau $B(x)=ax+b$ é $A(-b/a).$
$A(-b/a)$
$B(x)=ax+b$

### Teorema de D'Alembert

Um polinômio $A(x)$ é divisível pelo polinômio de primeiro grau $B(x)=ax+b$ se e somente se, $A(-b/a)=0.$

## Equações polinomiais
### Definição
### Teorema Fundamental da Álgebra

Todo polinômio $P(x)$ de uma variável com coeficientes complexos e de grau $n\geq 1$ tem alguma raiz complexa. Em outras palavras, a equação polinomial $P(x)=0$ tem $n$ soluções, não necessariamente distintas.
Apesar do nome pomposo, um estudo mais aprofundado da Álgebra contemporânea mostra que este resultado não é assim "tão fundamental". No entanto, no contexto das equações polinomiais, é ele quem traz a garantia de que existem soluções para esse tipo de equação.

### Teorema das raízes complexas
## Fatoração

    Lembre-se: Fatorar é simplificar uma expressão a um produto.
Existem várias formas de se fatorar um polinômio, ou seja, escrevê-lo como um produto de expressões mais simples:
* fatoração simples (ou por evidência)
* fatoração por agrupamento
* trinômios do quadrado perfeito
* e outros

### Fatoração simples (ou por evidência)

Destacam-se os termos em comum, e coloca-o em evidência, colocando entre parênteses as outras parcelas entre parênteses na forma de produto, multiplicando-o com o número em evidência

#### Exemplo

    ax + ay + az = a (x + y + z)

### Por agrupamento

Agrupam-se os termos em comum. Quando agrupamos os termos, fazemos evidência separadamente em cada agrupamento.

#### Exemplo

    ax + by + bx + ay =
    ax + ay + bx + by =
    a (x + y) + b (x + y) =
    (x + y) • (a + b)

### Trinômio do quadrado perfeito

Esse já é mais complexo, pois, partiremos em etapas explicando através do exemplo.

#### Fatorar a expressão $m^{2}-10m+25$

Primeiro verificamos se é um Trinômio do quadrado perfeito:
* Extrai-se a raiz quadrada dos extremos. Com efeito,
    ${\sqrt[]{m^{2}}}=m$ e ${\sqrt[]{25}}=5$
* Multiplicam-se os resultados
    5 • m = 5m
* Multiplica-se o produto obtido por dois
    5m • 2 = 10m
Note que 10m é o valor do meio na expressão, isso prova que ela é um Trinômio do quadrado perfeito.

#### Sendo trinômio do quadrado perfeito

    Sendo Trinômio do quadrado perfeito, utiliza-se a fórmula $(a\pm b)^{2}$ substituindo-se os valores por ordem. O binômio representará uma adição caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de mais (+), ou será uma subtração caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de menos (-). Com efeito,
       (m - 5)²
Esse é o valor fatorado da expressão inicial.

### Equação do segundo grau

    Lembre-se: Da fórmula ax² + bx + c .
A expressão abaixo se encaixa na fórmula acima.
       x² - 8x + 15
Não há restrições quanto ao número de lados n de um polígono desde que n ≥ 3. Embora apenas alguns possuam nomenclatura própria, segue uma tabela com alguns destes nomes:
A circunferência é apenas a forma do círculo ou medida.