# Representação de Schrödinger

Na mecânica quântica, uma função de estado é uma combinação linear (uma superposição) de valor próprio. Numa Representação de Schrödinger, o estado de um sistema evolui com o tempo, onde a evolução para um sistema quântico fechado é provocada por operador unitário chamado de operador da evolução temporal. Isto difere de uma Representação de Heisenberg onde os estados são constantes enquanto os observáveis evoluem com o tempo. As estatísticas de medição são as mesmas em ambas as representações.

## O operador de evolução temporal
### Definição

O operador de evolução temporal U(t,t$_0$) é definido como:
    $|\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$
Isto é, quando este operador está agindo no estado "ket" em t$_0$ no dá o estado "ket" em um tempo t. Para "bras", nós temos:
    $\langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})$

### Propriedades
#### Primeira propriedade

A operador da evolução temporal deve ser unitário. Isto é necessário porque nós precisamos que a norma do estado "ket" não mude com o tempo. Isto é,
    $\langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$
Em consequência disto,
    $U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I(U(t,t_{0})).$

#### Segunda propriedade

Distintamente U(t$_0$,t$_0$) = I, a função identidade. Como:
    $|\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$

#### Terceira propriedade

A evolução temporal de t$_0$ para t pode ser vista como a evolução temporal de t$_0$ para um tempo t$_1$ indeterminado e de t$_1$ para o tempo final t. Então conclui-se:
    $U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0})\!$

### Equação diferencial para o operador da evolução temporal

Se dermos, por convenção, o índice t$_0$ no operador da evolução temporal de forma que t$_0$ = 0 e escrevermos isto com U(t). A Equação de Schrödinger pode ser re-escrita da seguinte forma:
    $i\hbar {d \over dt}U(t)|\psi _{e}(0)\rangle =HU(t)|\psi _{e}(0)\rangle$
Onde H é o Hamiltoniano para o sistema. Como $|\psi (0)\rangle$ é uma constante de ket (o estado ket é da forma t = 0), nós vemos que o operador da evolução temporal obedece a Equação de Schrödinger:
    $i\hbar {d \over dt}U(t)=HU(t)$
Se o hamiltoniano independe do tempo, a solução da equação acima será:
    $U(t)=e^{-iHt/\hbar }.$
Onde nós também usamos o facto que t = 0, U(t) precisa reduzir para a função identidade. Assim obteremos:
    $|\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle \,.$
Perceba que $|\psi (0)\rangle$ é um ket arbitrário. Apesar de que, se o ket inicial é um valor próprio do hamiltoniano, com o valor próprio E, nós temos:
    $|\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle \,.$
Assim, vemos que os valores próprios do hamiltoniano são estados estacionários, eles apenas escolhem um fator de fase global já que eles evoluem com o tempo. Se o hamiltoniano é dependente do tempo, mas os hamiltonianos de diferentes tempo comutam, então o operador da evolução temporal pode ser escrito da forma:
    $U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t^{'})\,dt^{'}}\right)\,.$
Uma alternativa para a Representação de Schrödinger é trocar para uma rotação de referências de quadros, que seja rotacionada pelo propagador do movimento. Desde que a rotação ondulatória seja agora assumida pelo próprio referencial, uma função de estados não perturbados surge para ser verdadeiramente estáticos.