# Difusão de Itō

Em matemática, especificamente em análise estocástica, uma difusão de Itō é uma solução para um tipo específico de equação diferencial estocástica. Esta equação é semelhante à equação de Langevin usada em física para descrever o movimento browniano de uma partícula sujeita a um potencial em um fluido viscoso. As difusões de Itō recebem este nome em homenagem ao matemático japonês Kiyoshi Itō.

## Visão geral

Uma difusão de Itō homogênea em tempo em um espaço euclidiano de $n$ dimensões $\mathbb {R} ^{n}$ é um processo $X:[0,+\infty )\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ definido em um espaço de probabilidade $(\Omega ,\Sigma ,P)$ e que satisfaz uma equação diferencial estocástica da forma:
   $\mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\mathrm {d} B_{t},$
em que $B$ é um movimento browniano de $m$ dimensões e $b:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ e $\sigma :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n\times m}$ satisfazem a condição de continuidade de Lipschitz usual:
   $|b(x)-b(y)|+|\sigma (x)-\sigma (y)|\leq C|x-y|$
para alguma constante $C$ e todo $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$. Esta condição garante a existência de uma única solução forte $X$ à equação diferencial estocástica dada acima. O campo vetorial $b$ é conhecido como coeficiente de deriva de $X$. O campo tensorial $\sigma$ é conhecido como o coeficiente de difusão de $X$. É importante notar que $b$ e $\sigma$ não dependem do tempo. Se dependessem do tempo, $X$ seria apenas considerado um processo de Itō, não uma difusão. Difusões de Itō têm uma série de propriedades importantes, que incluem:
* a continuidade amostral e a continuidade de Feller;
* a propriedade de Markov;
* a propriedade forte de Markov;
* a existência de um gerador infinitesimal;
* a existência de um operador característico;
* a fórmula de Dynkin.
Em particular, uma difusão de Itō é um processo contínuo e fortemente markoviano de tal modo que o domínio de seu operador característico inclui todas as funções dupla e continuamente diferenciáveis, sendo uma difusão no sentido definido pelo matemático soviético-americano Eugene Dynkin.

## Continuidade
### Continuidade amostral

Um difusão de Itō $X$ é um processo contínuo amostral, isto é, para quase todas as realizações $B_{t}(\omega )$ do ruído, $X_{t}(\omega )$ é uma função contínua do parâmetro de tempo $t$. Mais precisamente, há uma "versão contínua" de $X$, um processo contínuo $Y$ tal que:
   $\mathbf {P} [X_{t}=Y_{t}]=1{\mbox{ para todo }}t.$
Isto se segue da existência padrão e da teoria da unicidade para soluções fortes de equações diferenciais estocásticas.

### Continuidade de Feller

Além de ser contínua e amostral, uma difusão de Itō $X$ satisfaz o requisito mais forte da continuidade de Feller.
Para um ponto $x\in \mathbb {R} ^{n}$, considere que P$^{x}$ denota a lei de $X$, sendo o dado inicial $X_{0}=x$, e considere que $\mathbf {E} ^{x}$denota o valor esperado em relação a P$^{x}$.
Considere que $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ é uma função mensurável de Borel limitada abaixo e defina, para $t\geq 0$ fixo, $u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ por:
   $u(x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})].$
* Semicontinuidade inferior: se $f$ for semicontínua inferior, então, $u$ é semicontínua inferior.
* Continuidade de Feller: se $f$ for limitada e contínua, então, $u$ é contínua.
O comportamento da função $u$ acima quando o tempo $t$ é variado foi abordado pela equação regressiva de Kolmogorov, pela equação de Fokker–Planck, entre outras.

## Propriedade de Markov
### Propriedade de Markov

Uma difusão de Itō tem a importante propriedade de ser markoviana: o futuro comportamento de $X$, dado o que aconteceu até o tempo $t$, é o mesmo como se o processo tivesse sido iniciado na posição $X_{t}$ no tempo 0. A formulação matemática precisa desta afirmação exige alguma notação adicional.
Considere que $\Sigma _{*}$ denota a filtração natural de $(\Omega ,\Sigma )$ gerada pela movimento browniano $B$. Para $t\geq 0$,
   $\Sigma _{t}=\Sigma _{t}^{B}=\sigma \left\{B_{s}^{-1}(A)\subseteq \Omega :0\leq s\leq t,A\subseteq \mathbf {R} ^{n}{\mbox{Borel}}\right\}.$
É fácil mostrar que $X$ é adaptada a $\Sigma _{*}$ (isto é, que cada $X_{t}$ é $\Sigma _{t}$-mensurável), de modo que a filtração natural $F_{*}=F_{*}^{X}$ de $(\Omega ,\Sigma )$ gerada por $X$ tem $F_{t}\subseteq \Sigma _{t}$ para cada $t\geq 0$.
Considere que $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ é uma função limitada e mensurável de Borel. Então, para todo $t$ e $h\geq 0$, o valor esperado condicional condicionado na σ-álgebra $\Sigma _{t}$ e o valor esperado do processo "reiniciado" a partir de $X_{t}$ satisfazem a propriedade de Markov:
   $\mathbf {E} ^{x}{\bigf(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}{\big ]}(\omega )=\mathbf {E} ^{X_{t}(\omega )}[f(X_{h})].$
De fato, $X$ é também um processo de Markov no que se refere à filtração $F_{*}$, como mostra o que segue:
   ${\begin{aligned}\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}F_{t}\right]&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}\right]{\big |}F_{t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right]{\big |}F_{t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right].\end{aligned}}$

### Propriedade forte de Markov

A propriedade forte de Markov é uma generalização da propriedade de Markov acima em que $t$ é substituído por um tempo aleatório adequado $T:\Omega \to [0,+\infty ]$ conhecido como tempo de parada. Então, por exemplo, em vez de "reiniciar" o processo $X$ no tempo $t=1$, pode-se "reiniciar" quando quer que $X$ alcance pela primeira vez algum ponto especificado $p$ de $\mathbb {R} ^{n}$.
Como antes, considere $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ uma função limitada e mensurável de Borel. Considere $\tau$ um tempo de parada no que se refere à filtração $\Sigma _{*}$ com $\tau <+\infty$ quase certamente. Então, para todo $h\geq 0$,
   $\mathbf {E} ^{x}{\bigf(X_{\tau +h}){\big |}\Sigma _{\tau }{\big ]}=\mathbf {E} ^{X_{\tau }}{\bigf(X_{h}){\big ]}.$

## Gerador
### Definição

Associado a cada difusão de Itō, há um operador diferencial parcial de segunda ordem conhecido como o gerador de difusão. O gerador é muito útil em muitas aplicações e codifica uma grande quantidade de informação sobre o processo $X$. Formalmente, o gerador infinitesimal de uma difusão de Itō $X$ é o operador $A$, que é definido como agindo em funções adequadas $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ por:
   $Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})]-f(x)}{t}}.$
O conjunto de todas as funções $f$ para as quais este limite existe em um ponto $x$ é denotado como $D_{A}(x)$, enquanto $D_{A}$ denota o conjunto de todas as $f$ para as quaIS o limite existe para todo $x\in \mathbb {R} ^{n}$. Pode-se mostrar que qualquer função $f$ compactamente suportada $C^{2}$ (duplamente diferenciável com segunda derivada contínua) repousa em $D_{A}$ e que:
   $Af(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right)_{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x),$
ou, em termos de gradiente, escalar e produto interno de Frobenius,
   $Af(x)=b(x)\cdot \nabla _{x}f(x)+{\tfrac {1}{2}}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right):\nabla _{x}\nabla _{x}f(x).$

### Exemplo

O gerador $A$ para o movimento browniano $B$ padrão de $n$ dimensões, que satisfaz a equação diferencial estocástica $\operatorname {d} X_{t}=\operatorname {d} B_{t}$, é dado por
   $Af(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\delta _{ij}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}(x),$
isto é, $A=\Delta /2$, em que $\Delta$ denota o operador de Laplace.

### Equações de Kolmogorov e de Fokker–Planck

O gerador é usado na formulação da equação regressiva de Kolmogorov. Intuitivamente, esta equação diz como o valor esperado de qualquer estatística adequadamente suave de $X$ evolui no tempo: ele deve resolver uma certa equação diferencial parcial em que o tempo $t$ e a posição inicial $x$ são variáveis independentes. Mais precisamente, se $f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ tiver suporte compacto e $u:[0;+\infty )\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ for definida por:
   $u(t,x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})],$
então, $u(t,x)$ é diferenciável no que diz respeito a $t,u(t,\cdot )\in D_{A}$ para todo $t$ e $u$ satisfaz a seguinte equação diferencial parcial, conhecida como equação regressiva de Kolmogorov:
   ${\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}(t,x)=Au(t,x),&t>0,x\in \mathbb {R} ^{n};\\u(0,x)=f(x),&x\in \mathbb {R} ^{n}.\end{cases}}$
A equação de Fokker–Planck (também conhecida como equação progressiva de Kolmogorov) é, em algum sentido, a "adjunta" da equação regressiva e diz como as funções densidade de probabilidade de $X_{t}$ evoluem com o tempo $t$. Considere que $\rho (t,\cdot )$ é a densidade de $X_{t}$ no que diz respeito à medida de Lebesgue em $\mathbb {R} ^{n}$, isto é, para qualquer conjunto mensurável de Borel $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$:
   $\mathbf {P} \left[X_{t}\in S\right]=\int _{S}\rho (t,x)\mathrm {d} x.$
Considere que $A^{*}$ denota o adjunto hermitiano de $A$ (no que diz respeito ao produto interno L$^2$). Então, dado que a posição inicial $X_{0}$ tem a densidade prescrita $\rho _{0}$, $\rho (t,x)$ é diferenciável no que diz respeito a $t$, $\rho (t,\cdot )\in D_{A^{*}}$ para todo $t$ e $\rho$ satisfaz a seguinte equação diferencial parcial, conhecida como a equação de Fokker–Planck:
   ${\begin{cases}{\dfrac {\partial \rho }{\partial t}}(t,x)=A^{*}\rho (t,x),&t>0,x\in \mathbb {R} ^{n};\\\rho (0,x)=\rho _{0}(x),&x\in \mathbb {R} ^{n}.\end{cases}}$

### Fórmula de Feynman–Kac

A fórmula de Feynman–Kac é uma generalização útil da equação regressiva de Kolmogorov. Novamente, $f$ está em $C^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ e tem suporte compacto e assume-se que $q:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ é uma função contínua que é limitada abaixo. Define-se uma função $v:[0,+\infty )\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ por:
   $v(t,x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\exp \left(-\int _{0}^{t}q(X_{s})\,\mathrm {d} s\right)f(X_{t})\right].$
A fórmula de Feynman–Kac afirma que $v$ satisfaz a equação diferencial parcial:
   ${\begin{cases}{\dfrac {\partial v}{\partial t}}(t,x)=Av(t,x)-q(x)v(t,x),&t>0,x\in \mathbb {R} ^{n};\\v(0,x)=f(x),&x\in \mathbb {R} ^{n}.\end{cases}}$
Além disso, se $w:[0,+\infty )\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ for $C^{1}$ em tempo, $C^{2}$ em espaço, limitada como $K\times \mathbb {R} ^{n}$ para todo $K$ compacto e satisfizer a equação diferencial parcial acima, então, $w$ deve ser $v$ como definida acima.
A equação regressiva de Kolmogorov é o caso especial da fórmula de Feynman–Kac em que $q(x)=0$ para todo $x\in \mathbb {R} ^{n}$.

## Operador característico
### Definição

O operador característico de uma difusão de Itō $X$ é um operador diferencial parcial intimamente relacionado com o gerador, mas de certa forma mais geral. É mais adequado para certos problemas, por exemplo na solução do problema de Dirichlet.
O operador característico ${\mathcal {A}}$ de uma difusão de Itō $X$ é definido por:
   ${\mathcal {A}}f(x)=\lim _{U\downarrow x}{\frac {\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{U}})\right]-f(x)}{\mathbf {E} ^{x}[\tau _{U}]}},$
em que os conjuntos $U$ formam uma sequência de conjuntos abertos $U_{k}$ que decrescem ao ponto $x$ no sentido em que:
   $U_{k+1}\subseteq U_{k}{\mbox{ e }}\bigcap _{k=1}^{\infty }U_{k}=\{x\}$
e
   $\tau _{U}=\inf\{t\geq 0\ :\ X_{t}\not \in U\}$
é o primeiro tempo de saída a partir de $U$ para $X$. $D_{\mathcal {A}}$ denota o conjunto de todas as $f$ para as quais este limite existe para todo $x\in \mathbb {R} ^{n}$ e todas as sequências $\{U_{k}\}$. Se $\mathbf {E} ^{x}[\tau _{u}]=+\infty$ para todos os conjuntos abertos $U$ contendo $x$, define-se:
   ${\mathcal {A}}f(x)=0.$

### Relação com o gerador

O operador característico e o gerador infinitesimal estão muito intimamente relacionados e até mesmo concordam para uma grande classe de funções. Pode-se mostrar que:
   $D_{A}\subseteq D_{\mathcal {A}}$
e que
   $Af={\mathcal {A}}f{\mbox{ para todo }}f\in D_{A}.$
Em particular, o gerador e o operador característico concordam para todas as funções $f$ $C^{2}$ e nesse caso:
   ${\mathcal {A}}f(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right)_{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x).$

### Aplicação do movimento browniano em uma variedade de Riemann

Acima, o gerador (e assim o operador característico) do movimento browniano em $\mathbb {R} ^{n}$ foi calculado como sendo $\Delta /2$, em que $\Delta$ denota o operador de Laplace. O operador característico é útil ao definir o movimento browniano em uma variedade de Riemann $(M,g)$ de $m$ dimensões: um movimento browniano em $M$ é definido como sendo uma difusão em $M$ cujo operador característico ${\mathcal {A}}$ em coordenadas locais $x_{i}$, $1\leq i\leq m$, é dado por $\Delta _{LB}/2$, em que $\Delta _{LB}$ é operador de Laplace–Beltrami dado em coordenadas locais por:
   $\Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}}\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det(g)}}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right),$
em que $[g^{ij}]=[g_{ij}]^{-1}$ no sentido do inverso da matriz quadrada.

## Operador resolvente

Em geral, o gerador $A$ de uma difusão de Itō $X$ não é um operador limitado. Entretanto, se um múltiplo positivo do operador identidade $\mathbf {I}$ for subtraído a partir de $A$, então, o operador resultante é invertível. O inverso deste operador pode ser expresso em termos do próprio $X$ usando o operador resolvente.
Para $\alpha >0$, o operador resolvente $R_{\alpha }$, agindo em funções limitadas, contínuas $g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$, é definido como:
   $R_{\alpha }g(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}g(X_{t})\,\mathrm {d} t\right].$
Pode-se mostrar, usando a continuidade de Feller da difusão $X$, que $R_{\alpha }g$ é ele mesmo uma função limitada, contínua. Também, $R_{\alpha }$ e $\alpha \mathbf {I} -A$ são operadores mutuamente inversos:
* Se $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ for $C^{2}$ com suporte compacto, então, para todo $\alpha >0$,
   $R_{\alpha }(\alpha \mathbf {I} -A)f=f;$
* Se $g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ for limitada e contínua, então, $R_{\alpha }g$ repousa em $D_{A}$, para todo $\alpha >0$,
   $(\alpha \mathbf {I} -A)R_{\alpha }g=g.$

## Medidas invariantes

Algumas vezes, é necessário encontrar uma medida invariante para uma difusão de Itō $X$, isto é, uma medida em $\mathbb {R} ^{n}$ que não muda sob o "fluxo" de $X$, ou seja, se $X_{0}$ for distribuída de acordo com tal medida invariante $\mu _{\infty }$, então, $X_{t}$ é também distribuída de acordo com $\mu _{\infty }$ para qualquer $t\geq 0$. A equação de Fokker–Planck oferece uma maneira de encontrar tal medida, pelo menos se tiver uma função densidade de probabilidade $\rho _{\infty }$: se $X_{0}$ for de fato distribuída de acordo com uma medida invariante $\mu _{\infty }$ com densidade $\rho _{\infty }$, então, a densidade $\rho (t,\cdot )$ de $X_{t}$ não muda com $t$, de modo que $\rho (t,\cdot )=\rho _{\infty }$, e então $\rho _{\infty }$ deve resolver a equação diferencial parcial (independente de tempo):
   $A^{*}\rho _{\infty }(x)=0,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.$
Isto ilustra uma das conexões entre a análise estocástica e o estudo das equações diferenciais parciais. Reciprocamente, uma dada equação diferencial parcial linear de segunda ordem da forma $\Lambda f=0$ pode ser difícil de resolver diretamente, mas se $\Lambda =A^{*}$ para alguma difusão de Itō $X$ e uma medida invariante para $X$ for fácil de computar, então, a densidade daquela medida oferece uma solução para a equação diferencial parcial.

### Medidas invariantes para fluxos de gradiente

Uma medida invariante é comparativamente fácil de computar quando o processo $X$ é um fluxo de gradiente estocástico de forma:
   $\mathrm {d} X_{t}=-\nabla \Psi (X_{t})\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}}\,\mathrm {d} B_{t},$
em que $\beta >0$ desempenha o papel de uma temperatura inversa e $\Psi :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ é um potencial escalar que satisfaz a suavidade adequada e as condições de crescimento. Neste caso, a equação de Fokker–Planck tem uma única solução estacionária $\rho _{\infty }$ (isto é, $X$ tem uma única medida invariante $\mu _{\infty }$ com densidade $\rho _{\infty }$) e é dada pela distribuição de Gibbs:
   $\rho _{\infty }(x)=Z^{-1}\exp(-\beta \Psi (x)),$
em que a função de partição $Z$ é dada por:
   $Z=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-\beta \Psi (x))\,\mathrm {d} x.$
Além disso, a densidade $\rho _{\infty }$ satisfaz um princípio variacional: isto minimiza sobre todas as densidades de probabilidade $\rho$ em $\mathbb {R} ^{n}$a energia livre funcional $F$ dada por:
   $F[\rho ]=E[\rho ]+{\frac {1}{\beta }}S[\rho ],$
em que
   $E[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Psi (x)\rho (x)\,\mathrm {d} x$
desempenha o papel de uma energia funcional e
   $S[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\rho (x)\log \rho (x)\,\mathrm {d} x$
é a negativa da funcional de entropia de Gibbs–Boltzmann. Mesmo quando o potencial $\Psi$ não é bem comportado o bastante para a função de partição $Z$ e a medida de Gibbs $\mu _{\infty }$ a serem definidas, a energia livre $F[\rho (t,\cdot )]$ ainda faz sentido para cada tempo $t\geq 0$, desde que a condição inicial tenha $F[\rho (0,\cdot )]<+\infty$. A energia livre funcional $F$ é, na verdade, uma função de Lyapunov para a equação de Fokker–Planck: $F[\rho (t,\cdot )]$ pode decrescer conforme $t$ aumenta. Assim, $F$ é uma função H para a dinâmica X.

### Exemplo

Considere o processo Ornstein–Uhlenbeck $X$ em $\mathbb {R} ^{n}$ que satisfaz a equação diferencial estocástica:
   $\mathrm {d} X_{t}=-\kappa (X_{t}-m)\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}}\,\mathrm {d} B_{t},$
em que $m\in \mathbb {R} ^{n}$ e $\beta ,\kappa >0$ são constantes dadas. Neste caso, o potencial $\Psi$ é dado por:
   $\Psi (x)={\tfrac {1}{2}}\kappa |x-m|^{2},$
e, então, a medida invariante para $X$ é uma medida gaussiana com densidade $\rho _{\infty }$ dada por:
   $\rho _{\infty }(x)=\left({\frac {\beta \kappa }{2\pi }}\right)^{\frac {n}{2}}\exp \left(-{\frac {\beta \kappa |x-m|^{2}}{2}}\right).$
Heuristicamente, para um $t$ grande, $X_{t}$ é aproximadamente normalmente distribuída com média $m$ e variância $(\beta \kappa )^{-1}$. A expressão para a variância pode ser interpretada como se segue: grandes valores de $\kappa$ significam que o poço de potencial $\Psi$ tem "lados muito íngremes", de modo que é improvável que $X_{t}$ se mova para longe do mínimo de $\Psi$ em $m$; de forma semelhante, grandes valores de $\beta$ significam que o sistema é muito "frio" com pouco ruído, de modo que, novamente, é improvável que $X_{t}$ se mova para longe de $m$.

## Propriedade martingale

Em geral, uma difusão de Itō não é um martingale. Entretanto, para qualquer $f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2};\mathbb {R} )$ com suporte compacto, o processo $M:[0,+\infty )\times \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ definido por:
   $M_{t}=f(X_{t})-\int _{0}^{t}Af(X_{s})\,\mathrm {d} s,$
em que $A$ é o gerador de $X$, é um martingale no que diz respeito à filtração natural $F_{*}$ de $(\Omega ,\Sigma )$ por $X$. A prova é simples: segue-se da expressão usual da ação do gerador em funções $f$ suficientemente suaves e do lema de Itō (a regra da cadeia estocástica) que:
   $f(X_{t})=f(x)+\int _{0}^{t}Af(X_{s})\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}\nabla f(X_{s})^{\top }\sigma (X_{s})\,\mathrm {d} B_{s}.$
Já que as integrais de Itō são martingales no que diz respeito à filtração natural $F_{*}$ de $(\Omega ,\Sigma )$ por $B$, para $t>s$,
   $\mathbf {E} ^{x}{\bigM_{t}{\big |}\Sigma _{s}{\big ]}=M_{s}.$
Assim, como exigido,
   $\mathbf {E} ^{x}[M_{t}|F_{s}]=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}{\bigM_{t}{\big |}\Sigma _{s}{\big ]}{\big |}F_{s}\right]=\mathbf {E} ^{x}{\bigM_{s}{\big |}F_{s}{\big ]}=M_{s},$
já que $M_{s}$ é $F_{s}$-mensurável.

## Fórmula de Dynkin

A fórmula de Dynkin, que recebe este nome em homenagem ao matemático russo-americano Eugene Dynkin, dá o valor esperado de qualquer estatística adequadamente suave de uma difusão de Itō $X$ (com gerador $A$) em um tempo de parada. Precisamente, se $\tau$ for um tempo de parada com $\mathbf {E} [\tau ]<+\infty$ e se $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ for $C^{2}$ com suporte compacto, então:
   $\mathbf {E} ^{x}[f(X_{\tau })]=f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau }Af(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].$
A fórmula de Dynkin pode ser usada para calcular muitas estatísticas úteis de tempos de parada. Por exemplo, o movimento browniano canônico na reta real começando em 0 sai do intervalo $(-R,+R)$ em um tempo aleatório $\tau _{R}$ com valor esperado:
   $\mathbf {E} ^{0}[\tau _{R}]=R^{2}.$
A fórmula de Dynkin oferece informação sobre o comportamento de $X$ em um tempo de parada razoavelmente geral. Para mais informações sobre a distribuição de $X$ em um tempo de chegada, pode-se estudar a medida harmônica do processo.

## Medidas associadas
### Medida harmônica

Em muitas situações, é suficiente saber quando uma difusão de Itō $X$ deixará pela primeira vez um conjunto mensurável $H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, isto é, estudar o primeiro tempo de saída:
   $\tau _{H}(\omega )=\inf\{t\geq 0|X_{t}\not \in H\}.$
Algumas vezes, entretanto, pode-se querer saber a distribuição dos pontos nos quais $X$ deixa o conjunto. Por exemplo, o movimento browniano canônico $B$ na reta real começando em 0 deixa o intervalo $(-1,1)$ em -1 com probabilidade $1/2$ e em 1 com probabilidade $1/2$, de modo que $B_{\tau _{(-1,1)}}$ é uniformemente distribuído no conjunto $\{-1,1\}$
Em geral, se $G$ for compactamente encaixado em $\mathbb {R} ^{n}$, então, a medida harmônica (ou distribuição de chegada) de $X$ na fronteira $\partial G$ de $G$ é a medida $\mu _{G}^{x}$ definida por:
   $\mu _{G}^{x}(F)=\mathbf {P} ^{x}\left[X_{\tau _{G}}\in F\right]$
para $x\in G$ e $F\subseteq \partial G$.
Retornando ao exemplo anterior do movimento browniano, pode-se mostrar que, se $B$ for um movimento browniano em $\mathbb {R} ^{n}$ começando em $x\in \mathbb {R} ^{n}$ e $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ for uma bola aberta centrada em $x$, então, a medida harmônica de $B$ em $\partial D$ é invariante sob todas as rotações de $D$ sobre $x$ e coincide com a medida de superfície normalizada em $\partial D$.
A medida harmônica satisfaz uma interessante propriedade de valor médio: se $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ for qualquer função limitada e mensurável de Borel e $\varphi$ for dado por:
   $\varphi (x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{H}})\right],$
então, para todos os conjuntos de Borel $G\subset \subset H$ e todo $x\in G$,
   $\varphi (x)=\int _{\partial G}\varphi (y)\,\mathrm {d} \mu _{G}^{x}(y).$
A propriedade de valor médio é muito útil na solução de equações diferenciais parciais usando processos estocásticos.

### Medida de Green e fórmula de Green

Considere $A$ um operador diferencial parcial em um domínio $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ e considere $X$ uma difusão de Itō com $A$ como seu gerador. Intuitivamente, a medida de Green de um conjunto de Borel $H$ é o comprimento esperado do tempo em que $X$ permanece em $H$ antes de deixar o domínio $D$. Em outras palavras, a medida de Green de $X$ no que diz respeito a $D$ em $x$, denotada $G(x,\cdot )$, é definida para conjuntos de Borel $H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ por:
   $G(x,H)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}\chi _{H}(X_{s})\,\mathrm {d} s\right],$
ou para funções limitadas, contínuas $f:D\rightarrow \mathbb {R}$, por:
   $\int _{D}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].$
A nome "medida de Green" vem do fato de que, se $X$ for um movimento browniano, então:
   $G(x,H)=\int _{H}G(x,y)\,\mathrm {d} y,$
em que $G(x,y)$ é a função de Green para o operador $\Delta /2$ no domínio $D$.
Suponha que $\mathbf {E} ^{x}[\tau _{D}]<+\infty$ para todo $x\in D$. Então, a fórmula de Green se aplica para toda $f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2};\mathbb {R} )$ com suporte compacto:
   $f(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f\left(X_{\tau _{D}}\right)\right]-\int _{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y).$
Em particular, se o suporte de $f$ for compactamente encaixado em $D$,
   $f(x)=-\int _{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y).$