# Gramática irrestrita

Em Teoria da computação, a Gramática irrestrita (conhecida também como Gramática com estrutura de frase) é também conhecida como Tipo 0 da Hierarquia de Chomsky, que são aquelas às quais nenhuma limitação é imposta. São capazes de gerar linguagens recursivamente enumeráveis. O universo das linguagens que se podem definir através dos mecanismos gerativos definidos pela gramática corresponde exatamente ao conjunto das linguagens que esta classe de gramática é capaz de gerar.

## Definição formal

Uma gramática irrestrita é uma gramática formal $G=(N,\Sigma ,P,S)$, onde $N$ é um conjunto de símbolos não-terminais, $\Sigma$ é um conjunto de símbolos terminais, $P$ contém as produções da forma $\alpha \to \beta$ onde $\alpha$ e $\beta$ são cadeias de símbolos em $N\cup \Sigma$ e $\alpha$ não é uma cadeia vazia. Além disso, $S\in N$ é o símbolo inicial. Como o nome implica, não há restrições nos tipos de produções que gramáticas irrestritas podem ter.
Vale notar que $N$ e $\Sigma$ não são necessariamente disjuntos, uma vez que gramáticas irrestritas não fazem distinção entre símbolos terminais e não-terminais. Tal distinção existe apenas para indicar quando parar ao gerar sentenças da gramática.

## Gramáticas irrestritas e máquinas de Turing

Pode ser mostrado que gramáticas irrestritas caracterizam as linguagens recursivamente enumeráveis. Isto é o mesmo que dizer que para toda gramática irrestrita $G$, existe alguma máquina de Turing capaz de reconhecer $L(G)$ e vice-versa. Dada uma gramática irrestrita, tal máquina de Turing é simples de construir como uma máquina de Turing não-determinística $M$, de duas fitas. A primeira fita contém a entrada w a ser testada e a segunda fita é usada pela máquina para gerar sentenças de $G$. $M$ é como segue:
* Comece na esquerda da segunda fita e repetidamente escolha entre mover para a direita ou selecionar a posição atual da fita.
* De modo não-determinístico, escolha uma produção $\beta \to \gamma$ das produções em $G$.
* Se $\beta$ aparecer em alguma posição na segunda fita, substitua $\beta$ por $\gamma$ neste ponto, possivelmente deslocando os símbolos da fita para a esquerda ou direita dependendo dos tamanhos relativos entre $\beta$ e $\gamma$, i.e., se $\beta$ for maior que $\gamma$, desloca os símbolos da fita para a esquerda.
* Compare a sentença resultante na fita 2 com a palavra da fita 1. Se forem iguais, aceite. Caso contrário, volte para o passo 1.
É fácil perceber que esta máquina de Turing irá gerar todas (e apenas) as sentenças de $G$ na segunda fita depois que o último passo for executado um número arbitrário de vezes. Assim a linguagem $L(G)$ é recursivamente enumerável. A construção reversa também é possível. Dada uma máquina de Turing, é possível criar uma gramática irrestrita.

## Propriedades computacionais

Como pode ser esperado da equivalência entre gramáticas irrestritas e máquinas de Turing, o problema uma cadeia w pertencer ou não à linguagem de uma gramática irrestrita é indecidível. É perfeitamente possível criar uma gramática irrestrita universal, capaz de aceitar qualquer linguagem de outra gramática irrestrita, dada a descrição da linguagem, assim como é possível criar uma máquina de Turing universal. Assim, seria teoricamente possível construir uma linguagem de programação baseada em gramáticas irrestritas (e.g. Thue).