# Curva de perseguição

Na matemática, curva de perseguição é a curva que descreve a trajetória de um ponto, o perseguidor, que se move em direção a outro, o perseguido. A curva descrita por esse último é definida como curva de fuga, podendo ser uma reta, no caso mais simples. Foi estudada pelo matemático francês Pierre Bouguer, em 1732. Contudo, o termo 'curva de perseguição' foi definido pelo matemático George Boole em 1859 no livro Treatise on Differential Equations (pág 246) .
Duas condições devem ser especificadas para definir uma Curva de Perseguição:
* O perseguidor move-se apontando sempre diretamente para o perseguido;
* A velocidade do perseguidor é diretamente proporcional à do perseguido.
Exemplos clássicos para modelar a Curva são o de um gato caçando um rato, uma raposa perseguindo um coelho, ou a trajetória de um míssil teleguiado perseguindo o alvo.

## Equação diferencial de uma curva de perseguição

Sejam $x,y$ as coordenadas de um ponto perseguidor, e $x',y'$ as coordenadas simultâneas do ponto perseguido. Seja a equação do caminho dado
    $f(x',y')=0\quad (1)$
Note que o ponto perseguido é sempre tangente ao caminho dado pelo ponto perseguidor, cujas coordenadas satisfazem a equação da tangente.Então: $y'-y={\frac {dy}{dx}}\left(x'-x\right)\quad (2)$ Por fim, sendo as velocidades dos dois pontos uniformes, o arco correspondente será obtido pela razão constante entre as velocidades com os quais eles. Então, se a velocidade do ponto perseguidor estiver para o ponto perseguido com $n:1$, teremos:
    $n\times {\sqrt[]{(dx'^{2}+dy'^{2})}}={\sqrt[]{(dx^{2}+dy^{2})}}$ ,
ou, tomando x como uma variável independente,
    $n\times {\sqrt[]{\left({\frac {dx'}{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {dy'}{dx}}\right)^{2}}}={\sqrt[]{\left(1+{\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\quad (3)$
O sinal a ser dado em cada radical pode ser positivo ou negativo, de acordo com a tendência do movimento crescer ou diminuir no arco correspondente.
De $(2)$ e $(3)$ , quando a forma da função $f(x',y')$ é determinada, $x'$ e $y'$ podem ser encontrados em termos de $x,y$ e ${\frac {dy}{dx}}$ , e esses valores nos permitem reduzir $(1)$ para uma equação entre $x,y,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$. Resta apenas resolver esta equação diferencial de segunda ordem. Se os sinais dos radicais são ambos mudados, o movimento em cada curva é simplesmente invertido, e a curva de perseguição torna-se uma curva de fuga. Mas a equação diferencial permanece inalterada, bem como a forma da curva, apenas com suas relações invertidas.

### Exemplo

Uma partícula que parte de um ponto do eixo das abcissas, a uma distância $a$ da origem, e move-se uniformemente em uma direção vertical paralela ao eixo das ordenadas, é perseguido por uma partícula que parte simultaneamente da origem cuja velocidade é de razão $n:1$. Queremos saber o caminho do perseguidor.

#### Solução

A equação do caminho da primeira partícula dado por $x'=a$, por $(2)$ , é
    $y'-y={\frac {dy}{dx}}(a-x)$ ,
então,
    $y'=y+{\frac {dy}{dx}}(a-x)$ .
Assim nós temos que
    ${\frac {dy'}{dx}}=0,\quad {\frac {dy'}{dx}}=(a-x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$
e a equação diferencial, sendo ambos radicais positivos, é
    $n(a-x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\sqrt[]{1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\quad (a)$.
Então,
    ${\frac {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\sqrt[]{1+({\frac {dy}{dx}})^{2}}}}={\frac {1}{n(a-x)}}$.
Multiplicando por $dx$ e integrando
    ${\frac {dy}{dx}}+{\sqrt[]{1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}=c(a-x)^{1/n}$
Logo,
    ${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left(c(a-x)^{1/n}-{\frac {1}{c}}(a-x)^{1/n}\right)$
Disso, se $n$ não for igual a $1$ ,
    ${\frac {1}{2}}\left({\frac {c(a-x)^{1-{\frac {1}{n}}}}{{\frac {1}{n}}-1}}+{\frac {1}{c}}{\frac {(a-x)^{1+{\frac {1}{n}}}}{1+{\frac {1}{n}}}}\right)+c'\quad (b)$
mas se $n$ for igual a $1$, teremos, ao substituir $C$ por ${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{c}}-c\right),$
disso,
    $y={\frac {C(x-a)^{2}}{2}}+c'\quad (c)$
que é representado por uma parábola.

## O problema do Rato

No problema do rato, cada ponto parte dos vértices de um polígono regular e faz simultaneamente o papel de perseguidor e perseguido, caçando o ponto mais próximo a esquerda, seguindo em sentido horário. Observa-se que a curva traçada por cada ponto é uma espiral logarítmica, e ligando-os em períodos regulares de tempo temos um efeito redemoinho de polígonos proporcionais ao original.