# Cubo

Um cubo ou hexaedro regular é um poliedro com 6 faces congruentes. Além disso, é um dos cinco sólidos platônicos, pois:
* cada face tem 4 arestas;
* de cada vértice partem 3 arestas;
* vale a relação de Euler: $V-A+F=2$, onde $V$ representa o número de vértices, $A$ o número de arestas e $F$ o número de faces.
O cubo é também um poliedro regular, pois além das características de sólido platônico, possui:
* faces poligonais regulares e congruentes;
* ângulos poliédricos congruentes.
Ainda, é um prisma quadrangular regular, pois possui duas bases paralelas e congruentes (já que é um poliedro regular), suas bases são polígonos regulares (quadrados) e as arestas laterais formam ângulos retos ($90^{\circ }$) com as arestas das bases. No cubo, todos os diedros possuem ângulo reto.
O cubo é também um sólido sociável, já que ele pode ser aglomerado perfeitamente, o que significa que é possível juntar vários cubos sem que sobrem espaços vazios.

## Obtenção do número de vértices do cubo utilizando a relação de Euler

Como definido anteriormente, o cubo possui 6 faces quadrangulares, de modo que cada face possui 4 arestas. Daí, multiplicando o número de faces pelo número de arestas, tem-se:
    $6\cdot 4=24$
Porém, o número de arestas obtido é o dobro do número de arestas total do cubo, já que cada aresta pertence a duas faces. Por isso, é necessário dividir o resultado acima por 2. Logo:
    $24\div 2=12$
Daí, segue que 12 é o número total de arestas do cubo.
Para obter o número de vértices do cubo, basta substituir na relação de Euler os valores obtidos:
    $V-A+F=2$
    sendo $F=6$ e $A=12$, tem-se:
    $V-12+6=2\Rightarrow V-6=2\Rightarrow V-6+6=2+6\Rightarrow V=8$
Logo, 8 é o número de vértices do cubo.

## Obtenção do número de vértices, arestas e faces partindo da informação do número de lados do polígono da base do prisma

Sendo $n$ o número de lados do polígono da base do prisma, é possível obter o número de vértices, arestas e faces que possui, já que todo prisma é composto por:
* $2$ bases congruentes;
* $n$ faces laterais e $n+2$ faces no total - as $n$ faces laterais e as $2$ bases (as faces laterais são paralelogramos e dependem do número de lados do polígono da base);
* $n$ arestas laterais e $3n$ arestas no total;
* $2n$ vértices - resultado da soma do número de vértices dos polígonos das bases.
Assim, como o polígono da base do cubo é um quadrado, tem-se:
    $n=4.$
Logo, substituindo $n$ por $4$, nas relações estabelecidas acima, conclui-se que:
* $F=n+2=4+2=6$
* $A=3n=3\cdot 4=12$
* $V=2n=2\cdot 4=8$.

## Planificação do cubo

O cubo possui, no total, 11 planificações distintas. E são elas:

## Área total da superfície do cubo

Como o cubo é formado por 6 faces regulares e congruentes (6 quadrados), basta calcular a área de uma de suas faces e multiplicar por 6.
Sabendo que a área de um quadrado com lado medindo $l$ é dada por $l^{2}$ e supondo que cada aresta do cubo tenha medida $a$, concluí-se que a área de cada face (quadrado) será $a^{2}$.
Logo a área total da superfície do cubo será $6a^{2}$.

## Diagonal do cubo

É possível obter a diagonal do cubo utilizando o Teorema de Pitágoras. Basta descobrir o valor da diagonal de uma de suas faces em função do valor da aresta $a$ e depois utilizá-lo para obter a diagonal do cubo.
Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras:
    $a^{2}+a^{2}=({\overline {AC}})^{2}$
onde $a$ representa a medida da aresta do cubo e ${\overline {AC}}$ representa a medida da diagonal de uma das faces do cubo. Portanto:
    $a^{2}+a^{2}=({\overline {AC}})^{2}$
    $\Rightarrow 2a^{2}=({\overline {AC}})^{2}$
    $\Rightarrow {\sqrt {2a^{2}}}={\sqrt {({\overline {AC}})^{2}}}$
    $\Rightarrow a{\sqrt {2}}={\overline {AC}}.$
Daí, novamente utilizando o Teorema de Pitágoras:
    $a^{2}+({\overline {AC}})^{2}=({\overline {AC'}})^{2}$
em que ${\overline {AC'}}$ representa a diagonal do cubo, $a$ representa a aresta do cubo e ${\overline {AC}}$ a diagonal de uma das faces. Substituindo ${\overline {AC}}$ por $a{\sqrt {2}}$:
    $a^{2}+({\overline {AC}})^{2}=({\overline {AC'}})^{2}$
    $\Rightarrow a^{2}+{\Big{a{\sqrt {2}}}{\Big )}^{2}=({\overline {AC'}})^{2}$
    $\Rightarrow a^{2}+2a^{2}=({\overline {AC'}})^{2}$
    $\Rightarrow 3a^{2}=({\overline {AC'}})^{2}$
    $\Rightarrow {\sqrt {3a^{2}}}={\sqrt {({\overline {AC'}})^{2}}}$
    $\Rightarrow a{\sqrt {3}}={\overline {AC'}}.$Ou seja, a diagonal do cubo é dada por $a{\sqrt {3}}$.

## Volume do cubo

Sendo um prisma, o volume do cubo pode ser obtido pelo produto da base pela altura. Assim,
    $V=Ab\cdot h$
onde $V$ representa o volume, $Ab$ a área da base e $h$ a altura.
Como a base é um quadrado de lado $a$ e a altura também vale $a$ (já que todas as arestas do cubo possuem a mesma medida), obtém-se:
    $V=a^{2}\cdot a\Rightarrow V=a^{3}.$
Caso a aresta seja duplicada, formando um cubo de aresta $2a$, o seu volume será 8 vezes maior que o inicial, pois:
    $V=(2a)^{3}\Rightarrow V=8a^{3}.$

## Esfera inscrita em cubo/Cubo circunscrito à esfera

Caso a esfera esteja inscrita no cubo, ela tangenciará cada face do cubo exatamente no centro. Assim, a medida da aresta do cubo será o dobro da medida do raio da esfera inscrita, ou seja, será igual a medida do diâmetro da esfera.
Utilizando $r$ para representar a medida do raio da esfera inscrita no cubo:
    $2r=a\Rightarrow r={\frac {a}{2}}.$

## Esfera circunscrita ao cubo/Cubo inscrito em esfera

Caso o cubo esteja inscrito em uma esfera, todos seus vértices irão tangenciar a esfera.
Se $R$ representa o raio da esfera circunscrita ao cubo, $2R$ representa o diâmetro. Mas o diâmetro da esfera é igual ao valor da diagonal do cubo (já calculado anteriormente). Portanto:
    $2R=a{\sqrt {3}}\Rightarrow R={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}.$

## Poliedro dual do cubo

O poliedro dual do cubo é o octaedro regular.
Para obter o poliedro dual de um poliedro, inicialmente marca-se o centro de cada face do poliedro original, em seguida liga-se, por segmento de reta, cada um destes centros aos centros das faces adjacentes e por fim desconsidera-se o poliedro original.

## Medida da aresta do octaedro inscrito em um cubo de aresta $a$

Como cada vértice do octaedro encontra-se exatamente no centro da face do cubo, basta utilizar o Teorema de Pitágoras. Daí, cada cateto irá medir a metade da aresta $a$ do cubo. Fixando $x$ para representar a hipotenusa (medida da aresta do octaedro), obtém-se:
    $x^{2}=\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{2}+\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{2}$
    $\Rightarrow x^{2}=2\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{2}$
    $\Rightarrow x^{2}=2\cdot {\dfrac {a^{2}}{4}}$
    $\Rightarrow x^{2}={\dfrac {2a^{2}}{4}}$
    $\Rightarrow {\sqrt {x^{2}}}={\sqrt {\dfrac {2a^{2}}{4}}}$
    $\Rightarrow x={\dfrac {a{\sqrt {2}}}{2}}.$
Portanto, a medida da aresta do octaedro é ${\dfrac {a{\sqrt {2}}}{2}}$.

## Exemplos

* Um cubo em rotação
* Dados de 6 faces
* Cubo (Matemateca_IME-USP)
* Revolução de um cubo (Matemateca_IME-USP)