# 53 temperamentos iguais

Na música, 53 temperamentos iguais, chamados 53 TET (53 Tons em Eqüi-Temperamento), 53 EDO (53 Eqüi-Divisões da Oitava) ou 53 ET, são a escala temperada derivada da divisão da oitava em 53 etapas iguais (relações de frequência iguais) (Play) Cada passo representa uma taxa de frequência de 2 1⁄53 ou 22,6415 centes (Play), um intervalo às vezes chamado de coma Holdrian.
O intervalo de 7⁄4 é de 4,8 cêntimos em sustenido no 53-EDO, e usá-lo para harmonia de 7 limites significa que o cleisma septimal (play)., o intervalo 225⁄224, também é moderado.

## Por que 53?

A afinação pitagórica (ou temperamento pitagórico) é um sistema de entonação justa no qual intervalos de exatamente ${\frac {2}{3}}$ (também notados como 2:3) são usados para obterem-se as frequências conseguintes. Na música, intervalos 2:3 são chamados "quintas", por abrangerem 5 posições na pauta musical. Intervalos 1:2 são nomeados "oitavas" (por abrangerem 8 posições na pauta) e levam diretamente à próxima aparição da mesma nota.
Tomando-se uma frequência inicial equivalente a uma certa nota, ao percorrer-se uma sequência (ascendente ou descendente) de quintas, jamais se chega à mesma nota, já que a equação ${\frac {3}{2}}^{x}=2^{y}$ não possui solução para x e y inteiros. Entretanto, é possível chegar bem próximo da mesma nota. A primeira vez que isso ocorre é ao subirem-se 12 quintas e descerem-se 7 oitavas. Chega-se, então, a uma frequência próxima à de partida. O erro ou diferença, nesse caso, é chamado de comma pitagórico = ${\frac {1,5^{12}}{2^{7}}}=1,013643265$, equivalendo a cerca de 1/4 de um semitom. Essa é a diferença real entre, por exemplo, C e B#. Por esse motivo, 12 é o número de divisões de oitava mais usado.$^[$. Se continuarmos percorrendo um ciclo de quintas, chegamos novamente a uma frequência ainda mais próxima da inicial após correr 53 quintas e voltar 31 oitavas. Essa é a segunda ocorrência, proporcionando, agora, um erro ainda bem menor, o comma de Mercator: ${\frac {1,5^{53}}{2^{31}}}=1,002090314$. A terceira ocorrência seria após 306 quintas. Para todas essas ocorrências, temos não somente um erro cada vez menor como também espectro de subdivisões da oitava aproximadamente equidistante. Todavia, o sistema 53 EDO aqui tratado não é de afinação pitagórica, mas de iguais subdivisões da oitava. Assim como o 12 EDO, ele aproxima o sistema de afinação pitagórica de tal maneira que todos os intervalos sejam equidistantes.

## História

Desde a antiguidade, já havia interesse técnico na matemática da divisão de uma oitava. Ching Fang (78-37 AC), um músico teórico Chinês, já percebera que uma série de 53 quintas é aproximadamente igual a 31 oitavas. Ele calculara com uma precisão de 6 dígitos de acurácia. Mais tarde, no século XVII, Nicholas Mercator calculou tal valor com precisão como sendo $3^{53}/2^{84}$. Hoje, tal intervalo é conhecido como comma de Mercator e equivale a aproximadamente 3,615 cêntimos. O sistema 53 EDO encurta as quintas em 1/53 desse comma ou cerca de 0,0682 cêntimo ou 1/315 comma sintônicos ou 1/355 comma pitagóricos.

## Notação

Com o intuito de se usar a notação tradicional, sete notas nomeadas seguidas de sustenido ♯ ou bemol ♭ podem acabar tornando tudo confuso. Este não é o caso de 19 EDO ou 31 EDO nos quais há pouca ambigüidade. Por não ser mesotônico, acabam aparecendo problemas que requerem certa atenção. Especificamente, a terça maior é diferente de um ditom, cada um do qual é duas quintas menos uma oitava. Da mesma forma, a terça menor é diferente de um semiditom. O facto de que o comma sintônico não é temperado significa que notas e intervalos precisam ser definidos mais precisamente. A música clássica otomana usa uma notação de bemóis e sustenidos para um tom dividido em 9 commas.
Neste artigo, a notação diatônica será usada criando a seguinte escala cromática, na qual sustenidos e bemóis não são enarmônicos, somente E e B são enarmonicamente equivalente a F e C, respectivamente. Para outras notas, bemóis e sustenidos triplos e quádruplos não são enarmônicos.
C, C♯, C, C♯, C, D, D♭, D, D♭,
D, D♯, D, D♯, D, E, E♭, E, E♭,
E, E♯, E/F, F♭,
F, F♯, F, F♯, F, G, G♭, G, G♭,
G, G♯, G, G♯, G, A, A♭, A, A♭,
A, A♯, A, A♯, A, B, B♭, B, B♭,
B, B♯, B/C, C♭, C

## Tamanho de intervalos

Pelo facto de a distância de 31 passos nesta escala ser quase precisamente igual à quinta justa, em teoria esta escala pode ser considerada uma forma levemente temperada da afinação pitagórica que foi estendida a 53 tons. Como tal, os intervalos disponíveis podem ter as mesmas propriedades de qualquer afinação pitagórica, como quintas que são praticamente puras, terças maiores somente um pouco alargadas: 81⁄64 em comparação à pura terça maior 5⁄4, e terças menores que são só um pouco mais curtas (32⁄27 comparado a 6⁄5).
Não obstante, o sistema 53-EDO contém intervalos adicionais que estão muito próximos à entonação justa. Por exemplo, o intervalo de 17 passos é igualmente uma terça maior, mas apenas 1,4 cêntimos mais estreito que o intervalo justo 5⁄4. 53-EDO é muito bom como uma aproximação a qualquer intervalo em entonação justa de 5 limites.
Os casamentos de intervalos justos envolvendo o 7º harmônico são levemente menos próximos, mas todos esses tais intervalos ainda são casados, tendo 7⁄5 tritom como mais alto desvio. O 11º harmônico e os intervalos envolvendo-o são casados com menor proximidade, como ilustrado na tabela abaixo com as segundas e terças neutras em décima-primeira.
| Nome do intervalo | Size (passos) | Size (cêntimos) | Razão justa | Razão justa em cents | Erro |
| oitava | 53 | 1200 | 2:1 | 1200 | 0 |
| sétima harmônica | 43 | 973.59 | 7:4 | 968.83 | +4.76 |
| sexta maior | 39 | 882.96 | 5:3 | 884 | −1.04 |
| quinta perfeita | 31 | 701.89 | 3:2 | 701.96 | −0.07 |
| tritom diatônico | 26 | 588.68 | 45:32 | 590.22 | −1.54 |
| tritom septimal | 26 | 588.68 | 7:5 | 582.51 | +6.17 |
| classic tritom | 25 | 566.04 | 25:18 | 568.72 | −2.68 |
| tritom décimo-primeiro | 24 | 543.40 | 11:8 | 551.32 | −7.92 |
| quinta duplamente diminuta | 24 | 543.40 | 512:375 | 539.10 | +4.30 |
| quarta aumentada em décima-primeira | 24 | 543.40 | 15:11 | 536.95 | +6.45 |
| quarta aguda | 23 | 520.76 | 27:20 | 519.55 | +1.21 |
| quarta perfeita | 22 | 498.11 | 4:3 | 498.04 | +0.07 |
| quarta grave | 21 | 475.47 | 320:243 | 476.54 | −1.07 |
| quarta estreita em sétima | 21 | 475.47 | 21:16 | 470.78 | +4.69 |
| terça aumentada clássica | 20 | 452.83 | 125:96 | 456.99 | −4.16 |
| terça aumentada tridécima | 20 | 452.83 | 13:10 | 454.21 | −1.38 |
| terça maior em sétima | 19 | 430.19 | 9:7 | 435.08 | −4.90 |
| quarta diminuta clássica | 19 | 430.19 | 32:25 | 427.37 | +2.82 |
| ditom pitagórico | 18 | 407.54 | 81:64 | 407.82 | −0.28 |
| terça maior justa | 17 | 384.91 | 5:4 | 386.31 | −1.40 |
| terça maior grave | 16 | 362.26 | 100:81 | 364.80 | −2.54 |
| terça nêutra, tridécima | 16 | 362.26 | 16:13 | 359.47 | +2.79 |
| terça nêutra, décima-primeira | 15 | 339.62 | 11:9 | 347.41 | −7.79 |
| terça menor aguda | 15 | 339.62 | 243:200 | 337.15 | +2.47 |
| terça menor justa | 14 | 316.98 | 6:5 | 315.64 | +1.34 |
| semiditom | 13 | 294.34 | 32:27 | 294.13 | +0.21 |
| Segunda aumentada clássica | 12 | 271.70 | 75:64 | 274.58 | −2.88 |
| terça menor em sétima | 12 | 271.70 | 7:6 | 266.87 | +4.83 |
| terça diminuta clássica | 11 | 249.06 | 144:125 | 244.97 | +4.09 |
| tom inteiro em sétima | 10 | 226.41 | 8:7 | 231.17 | −4.76 |
| terça diminuta | 10 | 226.41 | 256:225 | 223.46 | +2.95 |
| tom inteiro, tom maior | 9 | 203.77 | 9:8 | 203.91 | −0.14 |
| tom inteiro, tom menor | 8 | 181.13 | 10:9 | 182.40 | −1.27 |
| segunda nêutra, décima-primeira alargada | 7 | 158.49 | 11:10 | 165.00 | −6.51 |
| segunda nêutra, tom inteiro grave | 7 | 158.49 | 800:729 | 160.90 | −2.41 |
| segunda nêutra, décima primeira estreitada | 7 | 158.49 | 12:11 | 150.64 | +7.85 |
| segunda nêutra, limma larga | 6 | 135.85 | 27:25 | 133.24 | +2.61 |
| Semitom pitagórico maior | 5 | 113.21 | 2187:2048 | 113.69 | −0.48 |
| semitom diatônico justo | 5 | 113.21 | 16:15 | 111.73 | +1.48 |
| limma maior | 4 | 90.57 | 135:128 | 92.18 | −1.61 |
| semitom pitagórico menor | 4 | 90.57 | 256:243 | 90.22 | +0.34 |
| just semitom cromático | 3 | 67.92 | 25:24 | 70.67 | −2.75 |
| diese justa | 2 | 45.28 | 128:125 | 41.06 | +4.22 |
| comma sintônico | 1 | 22.64 | 81:80 | 21.51 | +1.14 |