# Números muito grandes

Números muito grandes são números que são significativamente grandes daqueles usados normalmente utilizados no cotidiano, por exemplo, na contagem simples ou em transações monetárias. O termo normalmente se refere a grandes inteiros positivos, ou, de forma mais geral, grandes números reais positivos, mas também pode ser usado em outros contextos.
Números muito grandes, frequentemente ocorrem, em áreas como a matemática, cosmologia, criptografia e mecânica estatística. Algumas vezes as pessoas se referem a tais números como sendo "astronomicamente grandes". No entanto, é fácil definir matematicamente números que são muito maiores até do que os usados em astronomia.

## Usando a notação científica para lidar com números grandes e pequenos

A Notação científica foi criada para lidar com a vasta gama de valores que ocorrem em estudo científico. 1,0×10$^9$, por exemplo, significa um bilhão, um 1 seguido de nove zeros: 1000000000 e 1,0 × 10$^{−9}$ significa um bilionésimo, ou 0,000000001. Escrevendo-se 10$^9$ em vez de nove zeros poupa os leitores do esforço e do risco de contar uma longa série de zeros para ver o quão grande é o número.

## Grandes números no mundo cotidiano

Exemplos de grandes números descrevendo objetos do mundo cotidiano real são:
* O número de bits em um disco rígido de computador (tipicamente em 2010, em torno de 10$^{13}$, 500 a 1000 GB)
* O número de células do corpo humano (mais de 10$^{14}$)
* O número de conexões neuronais no cérebro humano (estimadas em 10$^{14}$)
* A Constante de Avogadro, o número de "entidades elementares" (usualmente átomes e moléculas) em um mol; o número de átomos em 12 gramas de carbono-12; (aproximadamente 6,022 × 10$^{23}$ por mol)

## Números astronomicamente grandes

Outros grandes números, no que diz respeito a comprimento e tempo, são encontrados em astronomia e cosmologia. Por exemplo, o atual modelo do Big Bang do universo sugere que ele é de 13,7 bilhões de anos (4,3×10$^{17}$ segundos) de idade, e que o universo observável é de 93 bilhões de anos-luz em (8,8×10$^{26}$ metros), e contém cerca de 5×10$^{22}$ estrelas, organizado em torno de 125 bilhões (1,25×10$^{11}$) de galáxias, de acordo com observações do Telescópio Espacial Hubble.
Processos combinatórios rapidamente geram números ainda maiores. A função fatorial, que define o número de permutações em um conjunto de objetos fixos, cresce muito rapidamente com o número de objetos. A Fórmula de Stirling dá uma expressão precisa assintótica para esta taxa de crescimento.
Os processos combinatórios geram números muito grandes em mecânica estatística. Estes números são tão grandes que são, tipicamente, apenas se referidos através de seus logaritmos.
Números de Gödel, e números similares usados para representar cadeias de bits na teoria algorítmica da informação, são muito grandes, mesmo para as demonstrações matemáticas da duração razoável. No entanto, alguns números patológico são ainda maiores do que os números de Gödel em suas proposições matemáticas típicas.

## Exemplos

* $10^{10}$ (10.000.000.000), denominado "10 bilhões" (ou algumas vezes, 10.000 milhões).
* googol = $10^{100}$ (10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000)
* centilhão = $10^{303}$ ou $10^{600}$, dependendo do sistema de nomenclatura de números
* Googolplex = $10^{\mbox{googol}}=10^{10^{100}}$
* Googolduplex = $10^{\mbox{googolplex}}=10^{10^{10^{100}}}$
* Números de Skewes: o primeiro é aproximadamente $10^{10^{10^{34}}}$, o segundo $10^{10^{10^{1000}}}$
* Googoltriplex = $10^{\mbox{googolduplex}}=10^{10^{10^{10^{100}}}}$

### Exemplos de números, em ordem numérica

* ( 1 → Y ) = 1 para cada subcadeia Y
* ( 2 → 2 → Y ) = 4 para cada subcadeia Y
* $2^{2^{2}}$ = ( 2 → 3 → 2 ) = 16
* $3^{3}$ = ( 3 → 2 → 2 ) = 27
* 4$^4$ = ( 4 → 2 → 2 ) = 256
* 5$^5$ = ( 5 → 2 → 2 ) = 3125
* 6$^6$ = ( 6 → 2 → 2 ) = 46.656
* $2^{2^{2^{2}}}$ = ( 2 → 3 → 3 ) = ( 2 → 4 → 2 ) = 65.536
* 7$^7$ = ( 7 → 2 → 2 ) = 823.543
* 8$^8$ = ( 8 → 2 → 2 ) = 16.777.216
* 9$^9$ = ( 9 → 2 → 2 ) = 387.420.489
* 10$^{10}$ = ( 10 → 2 → 2 ) = 10.000.000.000
* $3^{3^{3}}$ = ( 3 → 3 → 2 ) = ( 3 → 2 → 3 ) = 7.625.597.484.987
* googol = $10^{100}$
* $4^{4^{4}}$ = ( 4 → 3 → 2 ) = $1,34078079299\times 10^{154}$
* Número aproximado de volumes de Planck compreendendo o volume observável do universo = $8,5\times 10^{184}$
* ( 2 → 5 → 2 ) = $2^{65536}\approx 2,0\times 10^{19,729}$
* $10^{10^{10}}=10\uparrow \uparrow 3=(10\uparrow )^{3}1$ = (10 → 3 → 2)
* $3^{3^{3^{3}}}$ = ( 3 → 4 → 2 ) = $10^{3,63833464\times 10^{12}}$
* googolplex = $10^{10^{100}}$
* ( 2 → 6 → 2 ) = $2^{2^{65536}}\approx 10^{6,0\times 10^{19.728}}$
* $10^{10^{10^{10}}}=10\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{4}1$ = ( 10 → 4 → 2 )
* googolduplex = $10^{10^{10^{100}}}$
* ( 2 → 7 → 2 ) = $2^{2^{2^{65536}}}\approx 10^{10^{6,0\times 10^{19.728}}}$
* $10\uparrow \uparrow 5=(10\uparrow )^{5}1$ = ( 10 → 5 → 2 )
* googoltriplex = $10^{10^{10^{10^{100}}}}$
* $10\uparrow \uparrow 6=(10\uparrow )^{6}1$ = ( 10 → 6 → 2 )
* $10\uparrow \uparrow 7=(10\uparrow )^{7}1$ = ( 10 → 7 → 2 )
* $10\uparrow \uparrow 8=(10\uparrow )^{8}1$ = ( 10 → 8 → 2 )
* $10\uparrow \uparrow 9=(10\uparrow )^{9}1$ = ( 10 → 9 → 2 )
* $(10\uparrow )^{8}783$
* $10\uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow 10=(10\uparrow )^{10}1$ = ( 10 → 2 → 3 ) = ( 10 → 10 → 2 )
* ( 2 → 3 → 4 ) = ( 2 → 4 → 3 ) = ( 2 → 65,536 → 2 ) $\approx (10\uparrow )^{65531}(6.0\times 10^{19,728})$
* $3\uparrow \uparrow \uparrow 3=(3\to 3\to 3)\approx 10\uparrow \uparrow 7,6\times 10^{12}$
* $10\uparrow \uparrow 10^{\,\!10^{10^{3,81\times 10^{17}}}}=(10\to 10^{\,\!10^{10^{3,81\times 10^{17}}}}\to 2)$
* $10\uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow )^{3}1$ = ( 10 → 3 → 3 )
* $(10\uparrow \uparrow )^{2}11$
* $(10\uparrow \uparrow )^{2}10^{\,\!10^{10^{3,81\times 10^{17}}}}$
* $10\uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow )^{4}1$
* $(10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9,73\times 10^{32})$
* $10\uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow )^{5}1$ = ( 10 → 5 → 3 )
* $10\uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow )^{6}1$ = ( 10 → 6 → 3 )
* $10\uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow )^{7}1$ = ( 10 → 7 → 3 )
* $10\uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow )^{8}1$ = ( 10 → 8 → 3 )
* $10\uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow )^{9}1$ = ( 10 → 9 → 3 )
* $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow )^{1}01$ = ( 10 → 2 → 4 ) = ( 10 → 10 → 3 )
* $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{3}1$ = (10 → 3 → 4)
* $4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4$ = ( 4 → 4 → 4 ) $\approx (10\uparrow \uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow \uparrow )^{3}154$
* $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{4}1$ = ( 10 → 4 → 4 )
* $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{5}1$ = ( 10 → 5 → 4 )
* $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{6}1$ = ( 10 → 6 → 4 )
* $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{7}1=$ = ( 10 → 7 → 4 )
* $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{8}1=$ = ( 10 → 8 → 4 )
* $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{9}1=$ = ( 10 → 9 → 4 )
* $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{10}1$ = ( 10 → 2 → 5 ) = ( 10 → 10 → 4 )
* ( 2 → 3 → 2 → 2 ) = ( 2 → 3 → 8 )
* ( 3 → 2 → 2 → 2 ) = ( 3 → 2 → 9 ) = ( 3 → 3 → 8 )
* ( 10 → 10 → 10 ) = ( 10 → 2 → 11 )
* ( 10 → 2 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → 100 )
* ( 10 → 10 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → $10^{10}$ ) = $10\uparrow ^{10^{10}}10\!$
* ( 10 → 10 → $10^{\,\!10^{10^{3,81\times 10^{17}}}}$ )
* ( 10 → 10 → 3 → 2 ) = (10 → 10 → (10 → 10 → $10^{10}$) ) = $10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10\!$
* ( 10 → 10 → 10 → 2 )
* ( 3 → 3 → 64 → 2 )
* ( 10 → 10 → 64 → 2 )
* Número de Graham
* ( 3 → 3 → 65 → 2 )
* ( 10 → 10 → 65 → 2 )
* ( 3 → 3 → 3 → 3 )
* ( 10 → 10 → 10 → 3 )
* ( 10 → 10 → 10 → 4 )
* ( 10 → 10 → 10 → 10 )
* Número de Rayo
A função Σ do algoritmo do castor ocupado é um exemplo de uma função que cresce mais rápido do que qualquer função computável. Seu valor, mesmo para uma entrada relativamente pequena é enorme. Os valores de Σ (n) para n= 1, 2, 3, 4 são 1, 4, 6, 13. Σ (5) não é conhecida, mas é com certeza ≥ 5093. Σ (6), é, pelo menos, igual ou superior a 4,6 × 10$^{1439}$.
Alguns dos trabalhos de Harvey Friedman também envolvem seqüências que crescem mais rápido do que qualquer função computável.

## Números Infinitos

Apesar de todos estes números acima serem muito grandes, eles ainda são todos finitos. De todas as ciências a matemática foi a que mais contribuiu para o conceito de infinito, e por sua vez números infinitos e números transfinitos.

## Notações

Algumas anotações para números muito grandes:
* Notação de Knuth / hiperoperadores / Função de Ackermann, incluindo tetração
* Notação de seta encadeada de Conway
* Notação de Steinhaus-Moser