# Domínio fatorial

Em teoria dos anéis, um domínio de integridade $D$ é de fatoração única (de onde é chamado de DFU, significando domínio de fatoração única) ou fatorial se:
* $\forall a\in D$, se $a\notin D^{*}$ (onde $D^{*}$ é o conjunto das unidades de $D$) e $a\not =0$ temos que $\exists c_{i}\in D$ irredutíveis $\forall i\in I_{n}$ tal que $a=\prod _{i=1}^{n}c_{i}$.
* Seja $a=\prod _{i=1}^{n}c_{i}$ e $a=\prod _{j=1}^{m}d_{j}$ com $c_{i},d_{j}$ irredutíveis $\forall i\in I_{n}$ e$\forall j\in I_{m}$ $\Rightarrow m=n$ e $\exists \sigma :I_{n}\rightarrow I_{n}$ bijeção, tal que $c_{i}$ é associado a $d_{\sigma (i)}$.

## Exemplos

* O anel dos números inteiros é um domínio fatorial. Usando o teorema fundamental da aritmética e sabendo que as unidades dos inteiros são 1 e -1 e que $\forall a\in \mathbb {Z}$ $a$ é associado a $-a$ temos:
* $\forall a\in \mathbb {Z}$, se $a\notin \{-1,1\}$ e $a\not =0$ temos que $\exists c_{i}\in D$ irredutíveis $\forall i\in I_{n}$ tal que $a=\prod _{i=1}^{n}c_{i}$.
* Seja $a=\prod _{i=1}^{n}c_{i}$ e $a=\prod _{j=1}^{m}d_{j}$ com $c_{i},d_{j}$ irredutíveis $\forall i\in I_{n}$ e$\forall j\in I_{m}$ $\Rightarrow m=n$ e $\exists \sigma :I_{n}\rightarrow I_{n}$ bijeção, tal que $c_{i}$ é associado a $d_{\sigma (i)}$ (isto é, como $c_{i}$ é primo então $d_{\sigma (i)}=c_{i}$ ou $d_{\sigma (i)}=-c_{i}$).
* Todo corpo é, trivialmente, um domínio fatorial. Este exemplo não parece muito interessante, mas ganha importância como caso particular do próximo exemplo
* Se D é um domínio fatorial, então o anel de polinômios com coeficientes em D, D[x], também é um domínio fatorial

## Unidades e D*

Seja $D$ um anel comutativo, $u\in D$ é unidade, então $\exists u^{-1}\in D$ tal que $uu^{-1}=1$. O elemento $u^{-1}$ é chamado de elemento inverso de $u$.
$D^{*}\subset D$ é o conjunto de todas as unidades de $D$. Logo $u\in D$ é unidade, então $u\in D^{*}$.
* Seja $1\in D$ a identidade. Como $1*1=1$, então $1$ é unidade, e é seu próprio elemento inverso.
* Seja $D=K$ um corpo. $\forall a\in K$, $a$ é unidade. Logo $K=K^{*}$.
* Seja $D=\mathbb {Z}$.
* 1, -1 são unidades.
* Como $|a||b|=|ab|$ e $\forall x\in \mathbb {Z} ,|x|\geq 1$. Então$\forall x\in \mathbb {Z}$ tal que $|x|\geq 2$, $x$ não é unidade.
* $\mathbb {Z} ^{*}=\{-1,1\}$.

## Divisão para anéis e elementos associados

Sejam $D$ um anel comutativo e $a,b\in D$, $a|b$ (i. é $a$ divide $b$) se $\exists q\in D$, tal que $b=qa$. E ainda, $a,b\in D$ são associados se $a|b$ e $b|a$.
* Seja $D$ um dominio:
* Seja $a,b\in D$ associados. $a|b\ e\ b|a\Rightarrow \exists u,u^{-1}\in D$ tal que $b=au$ e $a=bu^{-1}$. Logo $a=0\Leftrightarrow b=0$.Faça $a\not =0$. Então $a=auu^{-1}\Rightarrow a*(uu^{-1}-1)=0\Rightarrow uu^{-1}-1=0\Rightarrow uu^{-1}=1$. Logo $u$ é unidade. Assim $\exists u\in D$ unidade tal que $b=au$.
* Seja $a,b\in D$ tal que $\exists u\in D$ unidade com $b=au$. Logo $a|b$. Ainda mais, $u$ é unidade, logo $\exists u^{-1}\in D$ tal que $u*u^{-1}=1$.Assim $b=au\Rightarrow bu^{-1}=auu^{-1}\Rightarrow bu^{-1}=a$. E por fim $b|a$. Logo $a|b$ e $b|a$, logo $a,b$ são associados.
* Portanto em um domínio, $a,b\in D$ são associados se e somente se $\exists u\in D$ unidade tal que $b=au$.
* Em um corpo $K$, $\forall x,y\in K$, x e y são associados.
* Nos inteiros $\forall n\in \mathbb {Z}$, $-n$ é seu associado.

## Elementos Irredutíveis

Seja $A$ um anel comutativo. Um elemento $c\in A$ é irredutivel se $c\neq 0$, se $c\not \in A^{*}$ e se $c=ab$ com $a,b\in A$ então $a$ ou $b$ é unidade.
Uma definição semelhante a de elemento irredutível é a de elemento primo ja que $p\in A$ é primo se $p\neq 0$, $p\not \in A^{*}$ e se $p|ab$ com $a,b\in A$ então $p|a$ ou $p|b$.
* Seja $A$ um domínio e $p\in A$ primo. Seja $p=ab\Rightarrow p|ab\Rightarrow p|a\ ou\ p|b$. Sem perda de generalidade, seja $p|a\Rightarrow \exists q\in A$ tal que $a=pq\Rightarrow a=abq$. Como $a\not =0$, então $b$ é unidade. Logo p é irredutivel.
* Seja $\mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]=\{a+ib{\sqrt {5}}|a,b\in \mathbb {Z} \}$. $\mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]$ é um domínio, $2,3\in \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]$ são irredutíveis, mas não são primos já que $2*3=6=(1+i{\sqrt {5}})(1-i{\sqrt {5}})$.