# Equações de Friedmann

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As Equações de Friedmann são um conjunto de equações em cosmologia física que governam a expansão métrica do espaço em modelos homogêneos e isotrópicos do Universo dentro do contexto da Teoria Geral da Relatividade. Foram apresentadas por Alexander Friedman em 1922 a partir das equações de campo de Einstein para a métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker e um fluido com uma densidade de energia ($\rho$) e uma pressão ($p$) dadas. As equações para curvatura espacial negativa foram dadas por Friedmann em 1924.

## Pressupostos

As equações de Friedmann começam com a hipótese simplificadora de que o universo é espacialmente homogêneo e isotrópico, i.e. o Princípio Cosmológico; empiricamente, isto é justificado em escalas maiores que ~100 Mpc. O Princípio Cosmológico implica que a métrica do universo deve ser da forma:
    $ds^{2}={a(t)}^{2}ds_{3}^{2}-dt^{2}$
onde $ds_{3}^{2}$ é uma métrica tridimensional que deve ser de um (a) espaço plano, (b) uma esfera de curvatura positiva constante ou (c) um espaço hiperbólico com curvatura negativa constante. O parâmetro $k$ discutido abaixo toma o valor 0, 1, -1 nestes três casos, respectivamente. É este fato que nos permite falar de uma forma sensata de um "fator de escala", $a(t)$.
As equações de Einstein agora relacionam a evolução deste fator de escala para a pressão e energia da matéria no universo. As equações resultantes são descritas abaixo.

## Equações

As equações são:
    $H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda }{3}}-K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}$
    $3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda -4\pi G(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}})$
onde $\Lambda$ é a constante cosmológica possivelmente causada pela energia do vazio, $G$ é a constante gravitacional, $c$ é a velocidade da luz, $a$ é o fator de escala do Universo e $K$ é a curvatura gaussiana quando $a=1$ (p.ex. hoje, na atualidade). Se a forma do universo é hiperesférica e $R$ é o raio de curvatura ($R_{0}$ no momento atual), então $a=R/R_{0}$. Geralmente, $K \over a^{2}$ é a curvatura gaussiana. Se $K$ é positiva, então o Universo é hiperesférico. Se $K$ é zero, o Universo é plano e se $K$ é negativo o Universo é hiperbólico. Note-se que $\rho$ e $p$ são função de $a$. O parâmetro de Hubble, $H$, é a velocidade de expansão do universo.
Estas equações às vezes se simplificam redefinindo a densidade de energia e a pressão:
$\rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda }{8\pi G}}$ $p\rightarrow p+{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}$
para obter:
    $H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}$
    $3{\frac {\ddot {a}}{a}}=-4\pi G(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}})$
O parâmetro de Hubble pode mudar no tempo se outros membros da equação são dependentes do tempo (em particular a densidade de energia, a energia do vazio e a curvatura). Avaliando o parâmetro de Hubble no momento atual resulta que a constante de Hubble que é a constante de proporcionalidade da lei de Hubble. Aplicado a um fluido com uma equação de estado dada, as equações de Friedmann dão como resultado a evolução no tempo e a geometria do Universo como função da densidade do fluido.
Alguns cosmólogos chamam à segunda destas duas equações a equação de aceleração e reservam o termo equação de Friedmann só para a primeira equação.

## O parâmetro de densidade

O parâmetro de densidade, $\Omega$, se define como a relação da densidade atual (ou observada) $\rho$ relacionado à densidade crítica $\rho _{c}$ do Universo de Friedmann. Uma expressão para a densidade crítica se encontra assumindo que $\Lambda$ é zero (como é para todos os Universos de Friedmann básicos) e estabelecendo a curvatura $K$ igual a zero. Quando se substituem estes parâmetros na primeira equação de Friedmann encontramos que:
    $\rho _{c}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}$
E a expressão para o parâmetro de densidade (útil para comparar diferentes modelos cosmológicos) se obtém que é:
    $\Omega \equiv {\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G}{3H^{2}}}\rho$
Este termo originalmente foi utilizado como uma maneira de determinar a geometria do campo no que $\rho _{c}$ é a densidade crítica para a qual a geometria é plana. Assumindo uma densidade de energia do vazio nula, se $\Omega$ é maior que um, a geometria é fechada e o Universo eventualmente parará sua expansão e então se colapsará. Se $\Omega$ é menor que um, será aberto e o Universo se expandirá para sempre. Entretanto, também se podem sintetizar os termos de curvatura e da energia do vazio numa expressão mais geral para $\Omega$ no caso de que este parâmetro de densidade de energia seja exatamente igual à unidade. Então é uma questão de medir os diferentes componentes, normalmente designados por sub-índices. De acordo com o modelo Lambda-CDM, há importantes componentes de $\Omega$ devido a bárions, matéria escura fria e energia escura. A geometria do espaço-tempo foi medida pelo satélite WMAP estando próxima de ser uma geometria plana, o que quer dizer, que o parâmetro de curvatura $K$ é aproximadamente zero.
A primeira equação de Friedmann frequentemente se escreve formalmente com os parâmetros de densidade.
    ${\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{R}a^{-4}+\Omega _{M}a^{-3}+\Omega _{\Lambda }-Kc^{2}a^{-2}$
Onde, $\Omega _{R}$ é a densidade de radiação atual, $\Omega _{M}$ é a densidade da matéria (escura mais a bariónica) atual e $\Omega _{\Lambda }$ é a constante cosmológica ou a densidade do vazio atual.

## Equação de Friedmann reescalada

Estabelecendo $a={\tilde {a}}a_{0},\rho _{c}=3H_{0}^{2}/8\pi G,\rho =\rho _{c}\Omega ,t={\tilde {t}}/H_{0},\Omega _{c}=-K/H_{0}^{2}a_{0}^{2}$ onde $a_{0}$ e $H_{0}$ são em separado o fator de escala e o parâmetro de Hubble atuais. Então podemos dizer que:
    ${\frac {1}{2}}\left({\frac {d{\tilde {a}}}{d{\tilde {t}}}}\right)^{2}+U_{\rm {eff}}({\tilde {a}})={\frac {1}{2}}\Omega _{c}$
onde $U_{eff}({\tilde {a}})=\Omega {\tilde {a}}^{2}/2$. Para qualquer forma do potencial efetivo $U_{eff}({\tilde {a}})$, há uma equação de estado $p=p(\rho )$ que a produzirá.