# Limites iterados

Em cálculo com múltiplas variáveis, os limites iterados são apresentados como expressões do tipo ${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)\right).$
Temos, assim, uma expressão cujo valor depende de, ao menos, duas variáveis. Tomando o limite em relação a uma dessas variáveis, ou seja, tomando $g(x):={\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)$, nos aproximamos de uma expressão cujo valor depende apenas da outra e, então, tomando o limite em relação a essa outra variável, ${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}g(x)$, nos aproximamos de um número, que representa um dos limites iterados para essas variáveis. O outro limite iterado é dado por ${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)\right)$.
Essa definição difere da expressão ${\underset {(x,y)\rightarrow (a,b)}{\lim }}f(x,y)$, que não é um limite iterado, mas sim um Limite Duplo. Nesse caso, o significado da expressão é que o limite da função de mais de uma variável $f(x,y)$ se aproxima tanto de um determinado número L tanto quanto aproximamos $(x,y)$ do ponto $(a,b)$. Ou seja, não envolve tomar um limite e, então, o outro, mas sim analisar o comportamento da função em torno do ponto desejado por vários caminhos.
Deve-se considerar que, em geral, os três limites acima (os dois iterados e o duplo) não levam a resultados comuns, ou seja, em geral
${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)\right)\neq {\underset {y\rightarrow b}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)\right)\neq {\underset {(x,y)\rightarrow (a,b)}{\lim }}f(x,y)$.
Exemplos e condições nos quais as trocas de ordem dos operadores de limite são aceitas serão analisados nas seções seguintes.

## Definição formal

Suponha $A,B\subseteq M$, onde $M$ é um espaço métrico completo e, ainda $a\in A^{\prime }$ e $b\in B^{\prime }$, onde $A^{\prime }$ e $B^{\prime }$ são os conjuntos de pontos de acumulação de $A$ e $B$, respectivamente. Sejam, então, $g(x):={\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)$ e $h(y):={\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)$, chamamos de limites iterados as expressões ${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}g(x)={\underset {x\rightarrow a}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)\right)$ e ${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}h(y)={\underset {y\rightarrow b}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)\right)$. Chamamos, ainda, de limite duplo a expressão ${\underset {(x,y)\rightarrow (a,b)}{\lim }}f(x,y).$

## Exemplos

Acima atentamos para o fato de que os limites iterados e duplo nem sempre tem resultados iguais. Aliás, pode-se adicionar o fato de que os limites iterados nem sempre existem. Abaixo seguem alguns exemplos de funções e o cálculo dos limites iterados relacionados a essas funções.
Sejam as funções abaixo definidas de forma que, $f,g,h:A\times B=(0,+\infty )\times (0,+\infty )\rightarrow \Re$,
(1) $f(x,y)={\dfrac {x-y+x^{2}+y^{2}}{x+y}}$
Temos ${\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)=y-1$ e ${\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)=x+1$, de onde segue
${\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)\right)=-1$ e ${\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)\right)=1$, ou seja
${\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)\right)\neq {\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)\right)$.
(2) $g(x,y)={\dfrac {x\sin {\frac {1}{x}}+y}{x+y}}$
${\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)=1$, de onde ${\underset {y\rightarrow 0\%}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}g(x,y)\right)=1$.
Mas, ${\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}g(x,y)=\sin {\frac {1}{x}}$ e, portanto, $\nexists {\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}g(x,y)\right)$.
(3) $h(x,y)=x\sin {\frac {1}{y}}$, $0\leq \left\vert x\sin {\frac {1}{y}}\right\vert \leq \left\vert x\right\vert$
Temos ${\underset {(x,y)\rightarrow (0,0)}{\lim }}h(x,y)={\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}h(x,y)\right)=0$, mas $\nexists {\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}y(x,y)\right)$.
Deve-se atentar ao fato de que os limites iterados nem sempre são iguais e, mesmo que sejam, isso não é condição suficiente para garantir que o limite duplo também o seja. Tomemos o seguinte exemplo,
(4) $f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}},$
Oras, $\lim _{y\to 0}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=0$, logo $\lim _{x\to 0}\left(\lim _{y\to 0}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}\right)=\lim _{y\to 0}\left(\lim _{x\to 0}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}\right)=0$
Mas o limite duplo em torno do caminho $y=x$ é dado por,
    $\lim _{{\Big(x,y)\to (0,0)\,:\,y=x{\Big )}}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2}}.$

## Troca da ordem dos operadores de limite

Já vimos que a operação de limites não é comutativa. Existem, contato, algumas condições que permitem a troca de operadores de limites.

### Proposição

Seja $f:A\times B\rightarrow M$ uma função de um subconjunto $A\times B\subset M_{1}\times M_{2}$ em $M$ e $(a,b)\in A^{\prime }\times B^{\prime }$, onde $M_{1},M_{2},M$ são espaços métricos. Se
(i) $\exists {\underset {(a,b)}{\lim }}f(x,y)=\alpha$
(ii) para cada $y\in B,\exists {\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)=g(y)$
então $\exists {\underset {y\rightarrow b}{\lim }}g(y)=\alpha$.

### Teorema do intercâmbio de limites

Seja $f:A\times B\rightarrow M$ uma função em um espaço métrico completo, onde $A$ e $B$ são subconjuntos dos espaços métricos $M_{1}$ e $M_{2}$, respectivamente, e seja $a\in A^{\prime }\backslash A,b\in B^{\prime }\backslash B$. Se
(i) $\exists {\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)=g(y)$,$\forall y\in B$
(ii) ${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)=h(x)$ existe uniformemente em $x\in A$
então os três limites ${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}{\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y),$ ${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}{\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y),{\underset {(a,b)}{\lim }}f(x,y)$ existem e são iguais.