# Fórmula de Binet-Cauchy

Em matemática, e mais precisamente em álgebra linear, a fórmula de Cauchy-Binet é uma fórmula que generaliza o teorema de Binet. A fórmula é útil no cálculo do determinante do produto de duas matrizes em um caso mais geral que aquele considerado no teorema de Binet.

## Enunciado

Seja $R$ um anel comutativo possuindo elemento multiplicativo idêntico, isto é, um anel comutativo com unidade. Sejam $A$ e $B$ matrizes em $\operatorname {Mat} _{m,n}(R)$ e $\operatorname {Mat} _{n,m}(R)$, respectivamente. Se ${\mathcal {I}}_{n,m}$ denota o conjunto de $m$-tuplas estritamente crescentes com componentes em $\{1,\ldots ,n\}$, das quais há $\textstyle {\operatorname {card} ({\mathcal {I}}_{n,m})={\binom {n}{m}}}$, e se $A_{m,I}\in \operatorname {Mat} _{m,m}(R)$ é obtida de $A$ quando selecionadas as colunas de acordo com $I$, e $B_{I,m}$ é obtida de $B$ selecionando linhas similarmente, então
$\det {AB}=\sum _{I\in {\mathcal {I}}_{n,m}}\det(A_{m,I})\det(B_{I,m})$,
se $n\geq m$ e $\det(AB)=0$ caso contrário.

## Prova

Se $I=(i_{1},\ldots ,i_{m})$ está em ${\mathcal {I}}_{n,m}$, escreveremos $e_{I}=(e_{i_{1}},e_{i_{2}},\ldots ,e_{i_{m}})$, ${\widetilde {I}}=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{m}\}$. Consideraremos um elemento de $R^{n}$ como uma matriz em $\operatorname {Mat} _{1,n}(R)$. Se $m$ é um inteiro positivo, escreveremos $\{k\mid (k\in \mathbb {Z} )\,\&\,(1\leq k\leq m)\}=[m]$.
A multilinearidade alternada de $\det :\underbrace {R^{k}\times R^{k}\times \cdots \times R^{k}} _{k{\text{ copias}}}\rightarrow R$ para um anel comutativo com unidade será usada. Para ver por que $\det$ detém essa propriedade, dada uma função $[k]\times [k]\rightarrow R:(i,j)\mapsto a_{i,j}$, i.e. uma matriz em $\operatorname {Mat} _{k,k}(R)$, para a qual existem $r,s\in [k]$ com $r\neq s$ e $a_{r,i}=a_{s,i}$ para todo $i\in [k]$, note que temos a partição do conjunto $\operatorname {Sym} (k)=\operatorname {Alt} (k)\sqcup {\big\!\operatorname {Alt} (k)\cdot (r\,\,\,s){\big )}$. Daí, uma vez que toda permutação em $\operatorname {Alt} (k)\cdot (r\,\,\,s)$ tem sinal $-1$, temos
$\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (k)}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{1,\sigma (1)}a_{2,\sigma (2)}\ldots a_{k,\sigma (k)}=\sum _{\beta \in \operatorname {Alt} (k)}(a_{1,\beta (1)}\ldots a_{r,\beta (r)}\ldots a_{s,\beta (s)}\ldots a_{k,\beta (k)})-\sum _{\beta \in \operatorname {Alt} (k)}(a_{1,\beta (1)}\ldots a_{r,\beta (s)}\ldots a_{s,\beta (r)}\ldots a_{k,\beta (k)})$.
Pela comutatividade de $R$,
$\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (k)}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{1,\sigma (1)}a_{2,\sigma (2)}\ldots a_{k,\sigma (k)}=\sum _{\beta \in \operatorname {Alt} (k)}{\biga_{r,\beta (r)}a_{s,\beta (s)}-a_{r,\beta (s)}a_{s,\beta (r)}{\big )}\!\!\!\!\prod _{j\in [k]\smallsetminus \{r,s\}}\!\!\!\!a_{j,\beta (j)}$,
e uma vez que $a_{r,\beta (s)}=a_{s,\beta (s)}$, $a_{s,\beta (r)}=a_{r,\beta (r)}$, a soma se reduz de fato a zero. Que $\det$ é multilinear é imediato.
Voltando à prova da fórmula de Cauchy-Binet:
Fixe $A\in \operatorname {Mat} _{m,n}(R)$ e defina a aplicação $S_{A}:\underbrace {R^{n}\times R^{n}\times \cdots \times R^{n}} _{m{\text{ copias}}}\to R$ por $S_{A}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=\det {\bigA\cdot (x_{1}^{\textsf {T}}\quad x_{2}^{\textsf {T}}\quad \ldots \quad x_{m}^{\textsf {T}}){\big )}$. Faça $y_{r}={\textstyle {\sum _{j_{r}=1}^{n}b_{r,j_{r}}e_{j_{r}}}}$ e $B={\bigy_{1}^{\textsf {T}}\quad y_{2}^{\textsf {T}}\quad \ldots \quad y_{m}^{\textsf {T}}{\big )}$, de forma que $\det(AB)=S_{A}(y_{1},\ldots ,y_{m})$. Note que $\det(A_{m,I})=S_{A}(e_{I})$. Vê-se que a aplicação $S_{A}$ é multilinear alternada, logo
$S_{A}(y_{1},\ldots ,y_{m})=\sum _{(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{m})}b_{1,j_{1}}b_{2,j_{2}}\ldots b_{m,j_{m}}S_{A}(e_{j_{1}},e_{j_{2}},\ldots ,e_{j_{m}})$.
Se $m>n$, haverá repetição em toda lista $(e_{j_{1}},e_{j_{2}},\ldots ,e_{j_{m}})$; tendo em vista a alternância de $S_{A}$, segue que $\det(AB)=S_{A}(y_{1},\ldots ,y_{m})=0$.
Se $n\geq m$, a soma se estende sobre o conjunto de todas as $m$-tuplas com entradas distintas. Nesse conjunto podemos declarar duas $m$-tuplas equivalentes quando uma puder ser obtida a partir da outra por meio de uma permutação das entradas de uma delas. Trata-se de uma relação de equivalência, que particiona portanto esse conjunto. Cada classe de equivalência intersecta ${\mathcal {I}}_{n,m}$ em um, e apenas um, elemento; os outros elementos de uma classe são obtidos a partir deste representante por meio de permutações das entradas, e toda permutação em $m$ símbolos ocorre uma única vez, isto é, toda classe de equivalência está em bijeção com $\operatorname {Sym} (m)\cong \operatorname {Sym} ({\widetilde {I}})$. Se $I$ e $J$ estão relacionados por meio de uma permutação $\sigma$, então por alternância de $S_{A}$, vale $S_{A}(e_{I})=\operatorname {sgn}(\sigma )S_{A}(e_{J})$. Essas observações nos levam a
$S_{A}(y_{1},\ldots ,y_{m})=\sum _{I\in {\mathcal {I}}_{n,m}}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} ({\widetilde {I}})}b_{1,\sigma (i_{1})}b_{2,\sigma (i_{2})}\ldots b_{m,\sigma (i_{m})}S_{A}(e_{\sigma (I)})=\sum _{I\in {\mathcal {I}}_{n,m}}\left(\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} ({\widetilde {I}})}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{1,\sigma (i_{1})}\ldots b_{m,\sigma (i_{m})}\right)\!S_{A}(e_{I})$.
Mas
$\det({B_{I,m}}^{\!\!\!{\textsf {T}}})=\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} ({\widetilde {I}})}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{1,\sigma (i_{1})}\ldots b_{m,\sigma (i_{m})}$,
e como uma matriz quadrada e sua transposta têm o mesmo determinante, fica provada a fórmula. Que o determinante preserva produtos entre matrizes quadradas de mesma dimensão $m$ é consequência imediata, pois em tal caso ${\mathcal {I_{m,m}}}=\{I_{0}=(1,2,\ldots ,m)\}$, reduzindo a soma a $\det(A_{m,I_{0}})\det(B_{I_{0},m})=\det(A)\det(B).$ A fórmula também implica que para qualquer matriz $C\in \operatorname {Mat} _{m,n}(R)$, $n\geq m,$ com entradas em um anel comutativo com unidade, $\det(CC^{\textsf {T}})$ é uma soma de quadrados; de fato, é a soma dos quadrados dos menores de $C$ de ordem $m$.