# Teorema de Picard-Lindelöf

Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais ordinárias, o teorema de Picard-Lindelöf estabelece condições suficientes para a existência e unicidade de soluções em uma vizinhança de $t_{0}\,$ para o problema de valor inicial:
   ${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}y(t)=f(y(t),t)\\&y(t_{0})=y_{0}\end{aligned}}$
onde $f(x,t)\,$ é uma função contínua na variável $t\,$ e Lipschitz contínua na variável $x\,$.
Algumas vezes, notadamente na França, este teorema é chamado de Teorema de Cauchy-Lipschitz. Os nomes do teorema são em honra aos matemáticos Charles Émile Picard, Ernst Leonard Lindelöf, Rudolf Lipschitz e Augustin Louis Cauchy.

## Enunciado

Seja $f(x,t):[y_{0}-a,y_{0}+a]\times [t_{0}-b,t_{0}+b]\to \mathbb {R}$ uma função contínua tal que:
    $\left|f(x,t)-f(y,t)\right|\leq L|x-y|,~~\forall x,y,t\in \mathbb {R} \,$ para algum $L\,$ positivo.
Então existe um número $h\,$ positivo tal que o problema de valor inicial
    ${\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}y(t)=f(y(t),t)\\y(t_{0})=y_{0}\end{array}}\,$
admite uma única solução no intervalo $[t_{0}-h,t_{0}+h]\,$.

## As iterações de Picard

Este teorema admite uma demonstração construtiva cujo cerne são as iterações de Picard. Estas iterações consistem em definir as seguintes funções indexadas por $n\,$:
    $y_{0}(t)=y_{0}\,$
    $y_{n+1}(t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(y_{n}(\tau ),\tau )d\tau ,~~n\geq 0\,$

## Unicidade

Assuma que $y(t)\,$ e $z(t)\,$ sejam solução do problema, então a diferença $w(t)=y(t)-z(t)\,$ satisfaz:
    ${\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}w(t)=f(y(t),t)-f(z(t),t)\\w(t_{0})=0\end{array}}\,$
Integrando temos:
    $w(t)=\int _{t_{0}}^{t}\left[f(y(\tau ),\tau )-f(z(\tau ),\tau )\right]d\tau ,~~t\in [t_{0},t_{0}+h]\,$
Usando a condição de Lipschitz, temos:
    $|w(t)|\leq \int _{t_{0}}^{t}\left|f(y(\tau ),\tau )-f(z(\tau ),\tau )\right|d\tau \leq L\int _{t_{0}}^{t}\left|w(\tau )\right|d\tau ,~~t\in [t_{0},t_{0}+h]\,$
Uma simples aplicação do lema de Gronwall nos permite concluir que $w(t)\equiv 0\,$ e, portanto, $y(t)\equiv z(t)\,$ como queríamos. A demonstração no intervalo $[t_{0}-h,t_{0}]\,$ é perfeitamente análoga.

## Existência

Como $f\,$ é contínua em $[y_{0}-a,y_{0}+a]\times [t_{0}-b,t_{0}+b]\,$, existe uma constante $M>0\,$ tal que:
    $|f(x,t)|\leq M,\forall (x,t)\in [y_{0}-a,y_{0}+a]\times [t_{0}-b,t_{0}+b]\,$
Fixe $h>0\,$ tal que:
    $Mh\leq a\,$
Por simplicidade e sem perda de generalidade considere $y_{0}=0\,$. Defina as iterações de Picard:
    $y_{0}(t)=y_{0}\,$
    $y_{n+1}(t)=y_{0}+\int _{0}^{t}f(y_{n}(\tau ),\tau )d\tau ,~~n\geq 0\,$
É fácil estabelecer por indução que:
    $\left|y_{n}(t)-y_{0}\right|\leq \int _{0}^{|t|}\left|f(y_{n-1}(\tau ),\tau )\right|d\tau \leq Mt\leq Mh\leq a\,$
Isto garante que $y_{n}\in [y_{0}-a;y_{0}+a],~~\forall n=1,2,3,\ldots \,$
Necessitamos estabelecer a seguinte estimativa por indução em $n\,$:
    $\left|y_{n+k}(t)-y_{n}(t)\right|\leq {\frac {ML^{n}|t|^{n}}{n!}}\,$
* Base:
    $\left|y_{1+k}(t)-y_{1}(t)\right|\leq \int _{0}^{|t|}\left|f(y_{k}(\tau ),\tau )-f(y_{0}(\tau ),\tau )\right|d\tau \,$
    $\left|y_{1+k}(t)-y_{1}(t)\right|\leq L\int _{0}^{|t|}\left|y_{k}(\tau )-y_{0}(\tau )\right|d\tau \leq ML|t|\,$
* Indução:
    $\left|y_{n+k}(t)-y_{n}(t)\right|\leq \int _{0}^{|t|}\left|f(y_{n+k-1}(\tau ),\tau )-f(y_{n-1}(\tau ),\tau )\right|d\tau \,$
    $\left|y_{n+k}(t)-y_{n}(t)\right|\leq L\int _{0}^{|t|}\left|y_{n+k-1}(\tau )-y_{n-1}(\tau )\right|d\tau \,$
    $\left|y_{n+k}(t)-y_{n}(t)\right|\leq L\int _{0}^{|t|}{\frac {ML^{n-1}|t|^{n-1}}{(n-1)!}}d\tau ={\frac {ML^{n}|t|^{n}}{n!}}\,$
Como ${\frac {ML^{n}|t|^{n}}{n!}}\leq {\frac {ML^{n}h^{n}}{n!}}\to 0,~~n\to \infty \,$, temos que as funções $y_{n}(t)\,$ convergem uniformemente no intervalo $[t_{0}-h,t_{0}+h]\,$ para uma função contínua $y\,$
Tomando o limite em:
    $y_{n+1}(t)=y_{0}+\int _{0}^{t}f(y_{n}(\tau ),\tau )d\tau ,~~n\geq 0\,$
temos:
    $y(t)=y_{0}+\int _{0}^{t}f(y(\tau ),\tau )d\tau \,$
Neste limite usamos que $f(y_{n}(\tau ),\tau )\to f(y(\tau ),\tau )\,$ uniformemente, isto é consequência da continuidade uniforme que é válida para funções contínuas em conjuntos compactos.
Como $f(y(\tau ),\tau )\,$ é contínua em $\tau \,$, podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo:
    ${\frac {d}{dt}}y(t)=f(y(t),t)\,$
E o resultado segue.

## Generalizações

O teorema pode facilmente generalizado para espaços de Banach, onde o problema de valor inicial toma a seguinte forma:
Seja $f(x,t):V\times [t_{0}-b,t_{0}+b]\to \mathbb {X}$ uma função contínua tal que:
    $\left\|f(x,t)-f(y,t)\right\|\leq L\|x-y\|,~~\forall x,y,t\in \mathbb {R} \,$ para algum $L\,$ positivo. Onde $\mathbb {X} \,$ é um espaço de Banach e $V\,$ é uma aberto contido nele.
Então existe um número $h\,$ positivo tal que o problema de valor inicial
    ${\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}y(t)=f(y(t),t)\\y(t_{0})=y_{0}\in \mathbb {V} \end{array}}\,$
admite uma única solução no intervalo $t\in [t_{0}-h,t_{0}+h]\,$.
A derivada ${\frac {d}{dt}}\,$ deve ser entendida no sentido de Fréchet.
A demonstração se faz de forma perfeitamente análoga, definindo as iterações de Picard.

## Observações

* O teorema de Picard-Lindelöf estabele apenas existência local, ou seja, em torno de alguma vizinhança da condição inicial.
* As condições do teorema são suficientes, porém não são necessárias.

## Exemplos e contra-exemplos

* O problema:
    ${\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}y(t)=y(t)^{2}\\y(t_{0})=1\end{array}}\,$
satisfaz as condições do teorema e, de fato, sua solução é dada por:
    $y(t)={\frac {1}{1-t}},~~t<1~\,$
* O problema:
    ${\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}y(t)={\sqrt {|y(t)|}}\\y(t_{0})=0\end{array}}\,$
não satisfaz as condições do teorema, pois $f\,$ não é lipschitziana na origem. Este problema admite, no entanto, soluções, embora não haja unicidade. Duas possíveis soluções são:
    $y(t)=0\,$
    $y(t)={\frac {t^{2}}{4}}\,$