# Teoria clássica de campos

A teoria clássica de campos ou campo é uma teoria física que descreve o estudo de como um ou mais campos físicos interagem com a matéria. A palavra "clássica" é usada em contraste com as teorias de campo que incorporam a mecânica quântica (teoria quântica de campos).
Um campo físico pode ser pensado como a atribuição de uma quantidade física em todos os pontos do espaço e do tempo. Por exemplo, numa previsão do tempo, a velocidade do vento durante o dia em um país é descrita através da atribuição de um vetor para cada ponto no espaço. Cada vetor representa a direção do movimento do ar naquele momento. À medida que o dia passa, as direções dos vetores mudam à medida que a direção do vento muda. Do ponto de vista matemático, campos clássicos são descritos por um conjunto de vetores (teoria clássica de campos covariante). A expressão "teoria clássica de campos" é comumente reservada para descrever as teorias físicas sobre eletromagnetismo e gravitação, duas das forças fundamentais da natureza.
A descrição de campos físicos começou antes do advento da teoria da relatividade e em seguida foi revista à luz desta teoria. Conseqüentemente, as teorias clássicas de campos geralmente são classificadas como não-relativista e relativista.
Atualmente, seu desenvolvimento se associa a áreas da matemática como teoria de grupos, álgebras e representações, e até mesmo de topologia. É uma área de interesse para os pesquisadores que trabalham com sistemas não lineares, sistemas exatamente integráveis e sólitons.

## Teorias de campos não-relativistas

Alguns dos campos físicos mais simples são os de força vetorial. Historicamente, os campos foram levados a sério pela primeira vez com as linhas de força de Faraday, ao descrever o campo elétrico. O campo gravitacional foi descrito então da mesma forma.

### Gravitação newtoniana

Uma teoria clássica de campos sobre a gravidade é a gravitação newtoniana, que descreve a força gravitacional como uma interação mútua entre duas massas.
Em um campo gravitacional, se uma partícula de prova de massa gravitacional m experimenta uma força F, então a força do campo gravitacional g é definida por "g = F / m", onde é necessário que a massa de prova m seja pequena o suficiente para que sua presença efetivamente não perturbe o campo gravitacional. A lei da gravitação de Newton diz que duas massas separadas por uma distância r experimenta uma força
    ${\vec {F}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\hat {r}}$
onde ${\hat {r}}$ é um vetor unitário que aponta para um dos objetos. Usando a segunda lei de Newton (para massa inercial constante), F = ma leva a uma definição da intensidade do campo gravitacional devido a uma massa m:
    ${\vec {g}}=-G{\frac {m}{r^{2}}}{\hat {r}}.$
A observação experimental de que as massas inercial e gravitacional são iguais leva à identificação da intensidade do campo gravitacional como idêntico à aceleração experimentada por uma partícula. Este é o ponto de partida do princípio da equivalência, que leva a relatividade geral.

### Eletrostática

Uma partículas de teste carregada, de carga q, experimenta uma força F proveniente unicamente em sua carga. Podemos igualmente descrever o campo elétrico E de modo que F = qE. Usando isto e o conteúdo da lei de Coulomb, definimos o campo elétrico devido a uma única partícula carregada como
    ${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {r}}.$

### Hidrodinâmica
## Teoria de campos relativística

Formulações modernas para teorias clássicas de campos geralmente requerem a covariância de Lorentz, pois isto hoje é reconhecido como um aspecto fundamental da natureza. Uma teoria de campos tende a ser expressa matematicamente com Lagrangianas. Esta é uma função que, quando submetida a um princípio de ação, dá origem às equações de campo e uma lei de conservação para a teoria.
Usamos um sistema de unidades onde c = 1.

### Dinâmica lagrangiana

Dado um campo tensorial $\phi$, um escalar chamado de densidade Lagrangiana ${\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,...,x)$ pode ser construído a partir de $\phi$ e suas derivadas.
A partir desta densidade, o funcional ação pode ser construído através da integração ao longo do espaço-tempo:
    ${\mathcal {S}}[\phi ]=\int {{\mathcal {L}}[\phi (x)]\,\mathrm {d} ^{4}x}.$
Em seguida, através da aplicação do Princípio da mínima ação, as equações de Euler-Lagrange são obtidas:
    ${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)=0.$

## Campos Relativísticos

Duas das teorias clássicas de campos covariante de Lorentz mais conhecidas são agora descritas.

### Eletromagnetismo

Historicamente, as primeiras teorias (clássicas) de campos foram as que descrevem os campos elétrico e magnético (separadamente). Depois de inúmeras experiências, verificou-se que esses dois campos estão relacionados, ou, na verdade, dois aspectos do mesmo campo: o campo eletromagnético. A teoria eletromagnética de Maxwell descreve a interação da matéria carregada com o campo eletromagnético. A primeira formulação dessa teoria de campos utilizou campos de vetores para descrever os campos elétrico e magnético. Com o advento da relatividade especial, uma formulação melhorada (e mais consistente com a mecânica) utilizando campos tensoriais foi obtida. Em vez de usar dois campos de vetores que descrevem os campos elétrico e magnético, é usado um campo tensorial que representa esses dois campos.
Temos o potencial eletromagnético, $A_{a}=\left(-\phi ,{\vec {A}}\right)$, e a quadricorrente $j_{a}=\left(-\rho ,{\vec {j}}\right)$. O campo eletromagnético em qualquer ponto do espaço-tempo é descrito pelo tensor do campo eletromagnético anti-simétrico de ordem 2
    $F_{ab}=\partial _{a}A_{b}-\partial _{b}A_{a}.$

#### A Lagrangiana

Para obter a dinâmica para este campo, tentamos construir um escalar a partir do campo. No vácuo, temos ${\mathcal {L}}={\frac {-1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}.$ Podemos usar a teoria de campos de calibre para obter o termo de interação, e isso nos fornece
    ${\mathcal {L}}={\frac {-1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}+j^{a}A_{a}.$

#### As Equações

Isto juntamente com as equações de Euler-Lagrange fornece o resultado desejado, já que as equações de Euler-Lagrange dizem que
    $\partial _{b}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{b}A_{a}\right)}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}.$
É fácil ver que $\partial {\mathcal {L}}/\partial A_{a}=\mu _{0}j^{a}$. O lado esquerdo é mais complicado. Tomando cuidado com os fatores de $F^{ab}$, no entanto, o cálculo fornece $\partial {\mathcal {L}}/\partial (\partial _{b}A_{a})=F^{ab}$. Juntas, as equações de movimento são então
    $\partial _{b}F^{ab}=\mu _{0}j^{a}.$
Isto nos fornece uma equação vetorial, que são as equações de Maxwell no vácuo. As outras duas são obtidas do fato de que F é o 4-rotacional de A:
    $6F_{[ab,c]}\,=F_{ab,c}+F_{ca,b}+F_{bc,a}=0.$
onde a vírgula indica derivada parcial.

### Gravitação

Após a gravitação de Newton ser considerada inconsistente com a relatividade especial, Albert Einstein formulou uma nova teoria da gravitação chamada de relatividade geral. Esta trata a gravidade como um fenômeno geométrico ("espaço-tempo curvo"), causado pela matéria e representa o campo gravitacional matematicamente por um campo tensorial chamado tensor métrico. As equações de campo de Einstein descrevem como tal curvatura é produzida. As equações de campo podem ser diferenciadas usando-se a ação de Einstein-Hilbert. Variando-se a Lagrangiana
    ${\mathcal {L}}=\,R{\sqrt {-g}}$,
onde $R\,=R_{ab}g^{ab}$ é o tensor de Ricci escrito em termos do tensor de Ricci $\,R_{ab}$ e do tensor métrico $\,g_{ab}$, que levam às equações de campo no vácuo,
    $G_{ab}\,=0$,
onde $G_{ab}\,=R_{ab}-{\frac {R}{2}}g_{ab}$ é o tensor de Einstein.