# Teorema de Papo

O teorema de Papo, mais conhecido como teorema de Pappus, atribuído a Papo (ou Pappus) de Alexandria, é um teorema de geometria projetiva do plano sobre o alinhamento de três pontos:
Dado um conjunto de pontos colineares A, B, C, e um outro conjunto de pontos colineares a, b, c, os pontos de intersecção x, y, z dos pares de retas Ab-aB, Ac-aC e Bc - bC também serão colineares.
A dualidade desse teorema afirma que:
Dado um conjunto de linhas concorrentes A, B, C, e um outro conjunto de linhas concorrentes a, b, c, então as linhas x, y, z definidas pelos pares de pontos resultantes dos pares de intersecção (A∩b, a∩B), (A∩c , a∩C) e (B∩c, b∩C) são concorrentes.
A generalização deste teorema é o teorema de Pascal, que foi descoberto por Blaise Pascal, quando tinha 16 anos de idade.

## Afirmação e prova do teorema de Papo

Vamos considerar seis linhas em um plano projetado: U, V, W, X, Y, e Z. Então o teorema pode ser expresso como:
Se
(1) os pontos equivalentes as intersecções de U com V, X com W, e Y com Z são colineares,
e se
(2) os pontos equivalentes as intersecções de U com Z, X com V, e Y com W são colineares, então
deve ser verdade que
(3) os pontos equivalentes a intersecções de U com W, X com Z, e Y com V são colineares.
Simbolicamente, o teorema de papus afirma o seguinte:
Se
    $\langle U\times V,X\times W,Y\times Z\rangle =0$
e se
    $\langle U\times Z,X\times V,Y\times W\rangle =0$
então
    $\langle U\times W,X\times Z,Y\times V\rangle =0.$

### Prova

Sendo
    $\alpha =\langle U\times V,X\times W,Y\times Z\rangle$
    $\beta =\langle U\times Z,X\times V,Y\times W\rangle$
    $\gamma =\langle U\times W,X\times Z,Y\times V\rangle$
Nós temos que demonstrar que se $\alpha$ = 0 e $\beta$ = 0, então $\gamma$ = 0.

#### Passo 1

Utilizando a identidade
    $\langle A,B,C\rangle =\langle C,A,B\rangle =\langle B,C,A\rangle$
podemos expressar $\alpha$, $\beta$, e $\gamma$ na seguinte forma equivalente:
    $\alpha =\langle U\times V,X\times W,Y\times Z\rangle$
    $\beta =\langle Y\times W,U\times Z,X\times V\rangle$
    $\gamma =\langle X\times Z,Y\times V,U\times W\rangle$

#### Passo 2

Aplicando as propriedades
    $\langle A,B,C\rangle =A\cdot (B\times C)$
    $A\times (B\times C)=(A\cdot C)B-(A\cdot B)C$
obtemos
    $\alpha =(U\times V)\cdot ((X\times W)\times (Y\times Z))$
    $\beta =(Y\times W)\cdot ((U\times Z)\times (X\times V))$
    $\gamma =(X\times Z)\cdot ((Y\times V)\times (U\times W))$
e então
    $\alpha =(U\times V)\cdot (\langle X,W,Z\rangle Y-\langle X,W,Y\rangle Z)$
    $\beta =(Y\times W)\cdot (\langle U,Z,V\rangle X-\langle U,Z,X\rangle V)$
    $\gamma =(X\times Z)\cdot (\langle Y,V,W\rangle U-\langle Y,V,U\rangle W)$

#### Passo 3

Usando a propriedade distributiva do produto escalar:
    $\alpha =\langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle -\langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle$
    $\beta =\langle U,Z,V\rangle \langle Y,W,X\rangle -\langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle$
    $\gamma =\langle Y,V,W\rangle \langle X,Z,U\rangle -\langle Y,V,U\rangle \langle X,Z,W\rangle$

#### Passo 4

Com as identidades
    $\langle A,B,C\rangle =\langle C,A,B\rangle =\langle B,C,A\rangle$
    $\langle A,B,C\rangle =-\langle A,C,B\rangle =-\langle C,B,A\rangle =-\langle B,A,C\rangle$
Podemos permutar os termos como segue:
    $\alpha =\langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle -\langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle$
    $\beta =-\langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle +\langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle$
    $\gamma =\langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle -\langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle$

#### Passo 5

Agora podemos somar as equações para obter:
    $\alpha +\beta +\gamma =0$
    $\gamma =-(\alpha +\beta )$
de onde segue que se $\alpha$ = 0 e $\beta$ = 0, então $\gamma$ = 0.