# Modo normal

Um modo normal de um sistema oscilatório é a frequência na qual a estrutura deformável oscilará ao ser perturbada. Os modos normais são também chamados frequências naturais ou frequências ressonantes. Para cada estrutura existe um conjunto destas frequências que é único.
É usual utilizar um sistema formado por uma massa e uma mola para ilustrar o comportamento de uma estrutura deformável. Quando este tipo de sistema é excitado numa das suas frequências naturais, todas as massas movem-se com a mesma frequência. As fases das massas são exactamente as mesmas ou exactamente as contrárias. O significado prático pode ser ilustrado mediante um modelo de massa e mola de um edifício. Se um terremoto excita o sistema com uma frequência próxima a una das frequências naturais o deslocamento de um piso (nível) em relação a outro será máximo. Obviamente, os edifícios só podem suportar deslocamentos de até uma certa magnitude. Ser capaz de representar um edifício e encontrar os seus modos normais é uma forma fácil de verificar se o desenho do edifício é seguro. O conceito de modos normais também é aplicável em teoria ondulatória, óptica e mecânica quântica.

## Exemplo - modos normais de osciladores acoplados

Sejam dois corpos (não afectados pela gravidade), cada um deles de massa M, vinculados a três molas com constante característica K. Os mesmos encontram-se vinculados da seguinte maneira:
onde os pontos em ambos os extremos estejam fixos e não se possam deslocar. Utiliza-se a variável x$_1$(t) para identificar o deslocamento da massa da esquerda, e x$_2$(t) para identificar o deslocamento da massa da direita.
Se tomar-se a derivada segunda de x(t) com respeito ao tempo como x″, as equações de movimentos são:
    $Mx_{1}''=-K(x_{1})-K(x_{1}-x_{2})\,$
    $Mx_{2}''=-K(x_{2})-K(x_{2}-x_{1})\,$
Prova-se uma solução do tipo:
    $x_{1}(t)=A_{1}e^{i\omega t}\,$
    $x_{2}(t)=A_{2}e^{i\omega t}\,$
Substituindo estas nas equação de movimento, obtém-se:
    $-\omega ^{2}MA_{1}e^{i\omega t}=-2KA_{1}e^{i\omega t}+KA_{2}e^{i\omega t}\,$
    $-\omega ^{2}MA_{2}e^{i\omega t}=KA_{1}e^{i\omega t}-2KA_{2}e^{i\omega t}\,$
dado que o factor exponencial é comum a todos os termos, pode-se omitir e simplificar a expressão:
    $(\omega ^{2}M-2K)A_{1}+KA_{2}=0\,$
    $KA_{1}+(\omega ^{2}M-2K)A_{2}=0\,$
O que em notação matricial é:
    ${\begin{bmatrix}\omega ^{2}M-2K&K\\K&\omega ^{2}M-2K\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}}=0$
Para que esta equação não tenha uma solução não trivial, a matriz da esquerda deve ser singular, ou seja, o determinante da matriz deve ser igual a zero, portanto:
    $(\omega ^{2}M-2K)^{2}-K^{2}=0\,$
Resolvendo para $\omega$, existem duas soluções:
    $\omega _{1}={\sqrt {\frac {K}{M}}}$ \,
    $\omega _{2}={\sqrt {\frac {3K}{M}}}$ \,
Se substitui-se $\omega _{1}$ na matriz e se resolve para ($A_{1},A_{2}$), obtem-se (1, 1). Se se substitui $\omega _{2}$, obtem-se (1, -1). (Estes vectores são autovectores, e as frequências denominam-se autovalores.)
O primeiro modo normal é:
    ${\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{1}t+\phi _{1})}$
e o segundo modo normal é:
    ${\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}=c_{2}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{2}t+\phi _{2})}$
A solução geral é uma sobreposição dos modos normais onde c$_1$, c$_2$, φ$_1$, e φ$_2$, são determinados pelas condições iniciais do problema.
O processo demonstrado aqui pode ser generalizado utilizando o formalismo da mecânica lagrangiana ou mecânica hamiltoniana.

## Ondas estacionárias

Uma onda estacionária é uma forma contínua de modo normal. Numa onda estacionária, todos os elementos do espaço (ou seja as coordenadas (x,y,z)) oscilam com a mesma frequência e em fase (alcançando o ponto de equilíbrio juntas), mas cada uma delas com uma amplitude diferente.
A forma general de uma onda estacionária é:
    $\Psi (t)=f(x,y,z)(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t))$
onde f(x, y, z) representam a dependência da amplitude com a posição e o seno e coseno são as oscilações no decurso do tempo.
Em termos físicos, as ondas estacionárias são produzidas pela interferência (sobreposição) de ondas e suas reflexões (apesar de que também é possível dizer justamente o oposto; que uma onda viajante é uma sobreposição de ondas estacionárias). A forma geométrica do meio determina qual será o padrão de interferência, ou seja determina a forma f(x, y, z) da onda estacionária. Esta dependência no espaço é chamada um modo normal.
Usualmente, em problemas com dependência contínua de (x,y,z) não existe um número determinado de modos normais, em mudança existe um número infinito de modos normais. Se o problema está delimitado (ou seja está definido numa porção restringida do espaço) existe um número discreto infinito de modos normais (usualmente numerados n = 1,2,3,...). Se o problema não está delimitado, existe um espectro contínuo de modos normais.
As frequências permitidas dependem dos modos normais como também das constantes físicas do problema (densidade, tensão, pressão, etc.) o que determina a velocidade de fase da onda. A classe de todas as frequências normais é no geral chamado o espectro de frequências. De modo geral, cada frequência está modulada pela amplitude na qual foi gerado, dando lugar a um gráfico do espectro de potência das oscilações.
No âmbito da música, os modos normais de vibração dos instrumentos (cordas, sopro, percussão, etc.) são chamados "harmónicos".

## Modos normais em mecânica quântica

Em mecânica quântica, o estado $\ |\psi \rangle$ de um sistema descreve-se pela sua função de onda $\ \psi (x,t)$, a qual é uma solução da equação de Schrödinger. O quadrado do valor absoluto de $\ \psi$ , ou seja:
    $\ P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}$
é a densidade de probabilidade de medir a partícula na posição x no tempo t.
Usualmente, quando se relaciona com algum tipo de potencial, a função de onda descompõe-se na sobreposição de autovectores de energia definida, cada um oscilando com uma frequência $\omega =E_{n}/\hbar$. Portanto, pode-se expressar:
    $|\psi (t)\rangle =\sum _{n}|n\rangle \left\langle n|\psi (t=0)\right\rangle e^{-iE_{n}t/\hbar }$
Os autovectores possuem um significado físico mais além da base ortonormal. Quando se mede a energia do sistema, a função de onda colapsa num de seus autovectores e portanto a função de onda da partícula descreve-se pelo autovector puro correspondente à energea medida.