# Tabela-verdade

Tabela-verdade, tabela de verdade ou tabela veritativa é um tipo de tabela matemática usada em lógica para determinar se uma fórmula é válida ou se um sequente é correto.
As tabelas-verdade derivam do trabalho de Gottlob Frege, Charles Peirce e outros nomes da década de 1880, e tomaram a forma atual em 1922 através dos trabalhos de Emil Post e Ludwig Wittgenstein. A publicação do Tractatus Logico-Philosophicus, de Wittgenstein, utilizava as mesmas para classificar funções veritativas em uma série. A vasta influência de seu trabalho levou, então, à difusão do uso de tabelas da verdade.

## Como construir uma tabela-verdade

Uma tabela-verdade consiste em:
* uma linha em que estão contidos todas as subfórmulas de uma fórmula. Por exemplo, a fórmula ¬((A∧B)→C) tem o seguinte conjunto de subfórmulas: { ¬((A∧B)→C) , (A∧B)→C , A∧B , A , B , C}
* L linhas em que estão todos possíveis valores que os termos podem receber e os valores cujas fórmulas moleculares tem dados os valores destes termos; o número destas linhas é L = n$^t$ , sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do cálculo proposicional clássico) e t o número de termos que a fórmula contém; assim, se uma fórmula contém 2 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos termos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos termos são falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos termos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois termos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos termos são falsos (F F F).
Para proposições com mais de três termos, basta seguir o mesmo raciocínio apresentado nas imagens acima.

## Tabelas das principais operações do cálculo proposicional
### Negação (~)

| A | ~A |
| V | F |
| F | V |
A negação da proposição "A" é a proposição "~A", de maneira que se "A" é verdade então "~A" é falsa, e vice-versa.
Obs.: Usando o Excel, tal proposição pode ser expressado da seguinte maneira: =NÃO(C1;C2)

### Conjunção (∧)

| A | B | A ∧ B |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
A conjunção é verdadeira se e somente se ambos os operandos são verdadeiros.
Obs.: Usando o Excel, tal proposição pode ser expressado da seguinte maneira: =E(C1;C2)

### Disjunção (v)

| A | B | AvB |
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
A disjunção é falsa se, e somente se ambos os operandos forem falsos.
Obs.: Usando o Excel, tal proposição pode ser expressado da seguinte maneira: =OU(C1;C2)

### Disfunção (f)

| A | B | AfB |
| V | V | F |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
A disfunção é necessariamente falsa, independente dos operandos.

### Condicional (se... então) [implicação]

| A | B | A→B |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
A condicional é falsa se, e somente se, o primeiro operando é verdadeiro e o segundo operando é falso.

### Bicondicional (se e somente se) [equivalência]

| A | B | A↔B |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
A bicondicional é verdadeira se, e somente se, ambos operandos forem falsos ou ambos verdadeiros. Trata-se de um detetor de igualdade.

### Disjunção exclusiva (OU EXCLUSIVO... ou XOR)

| A | B | A∨B |
| V | V | F |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
A disjunção exclusiva é verdadeira se, e somente se, apenas um dos operandos for verdadeiro. Trata-se de um detetor de desigualdades.

### Adaga de Quine (NOR)

| A | B | A∨B | A↓B |
| V | V | V | F |
| V | F | V | F |
| F | V | V | F |
| F | F | F | V |
A Adaga de Quine (negação da disjunção) é verdadeira se e somente se os operandos são falsos.

## Como usar tabelas para verificar a validade de argumentos

Verifique se a conclusão nunca é falsa quando as premissas são verdadeiras. Em caso positivo, o argumento é válido. Em caso negativo, é inválido.

### Alguns argumentos válidos

* Modus ponens
    $\left\{A\to B\ ,A\right\}\vDash B$
| A | B | A→B |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
* Modus tollens
    $\left\{A\to B\ ,\neg B\right\}\vDash \neg A$
| A | B | ¬A | ¬B | A→B |
| V | V | F | F | V |
| V | F | F | V | F |
| F | V | V | F | V |
| F | F | V | V | V |
* Silogismo hipotético
    $\left\{A\to B,B\to C\right\}\vDash A\to C$
| A | B | C | A→B | B→C | A→C |
| V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | F | F |
| V | F | V | F | V | V |
| V | F | F | F | V | F |
| F | V | V | V | V | V |
| F | V | F | V | F | V |
| F | F | V | V | V | V |
| F | F | F | V | V | V |

### Algumas falácias

* Afirmação do consequente
    Se A, então B. (A→B)
    B.
    Logo, A.
| A | B | A→B |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
* Comutação dos condicionais
    A implica B. (A→B)
    Logo, B implica A. (B→A)
| A | B | A→B | B→A |
| V | V | V | V |
| V | F | F | V |
| F | V | V | F |
| F | F | V | V |

## Como usar tabelas para verificar a equivalência de fórmulas

    A∧B ≡ ¬(B→¬A) ≡ ¬(¬A∨¬B) ≡ ¬A↓¬B
| A | B | ¬A | ¬B | A∧B | B→¬A | ¬(B→¬A) | ¬A∨¬B | ¬(¬A∨¬B) | ¬A↓¬B |
| V | V | F | F | V | F | V | F | V | V |
| V | F | F | V | F | V | F | V | F | F |
| F | V | V | F | F | V | F | V | F | F |
| F | F | V | V | F | V | F | V | F | F |
    A→B ≡ ¬(A∧¬B) ≡ ¬A∨B ≡ ¬(¬A↓B)
| A | B | ¬A | ¬B | A→B | A∧¬B | ¬(A∧¬B) | ¬A∨B | ¬A↓B | ¬(¬A↓B) |
| V | V | F | F | V | F | V | V | F | V |
| V | F | F | V | F | V | F | F | V | F |
| F | V | V | F | V | F | V | V | F | V |
| F | F | V | V | V | F | V | V | F | V |
    A∨B ≡ ¬(¬A∧¬B) ≡ ¬A→B ≡ ¬(A↓B)
| A | B | ¬A | ¬B | ¬A∧¬B | ¬(¬A∧¬B) | ¬A→B | A↓B | ¬(A↓B) |
| V | V | F | F | F | V | V | F | V |
| V | F | F | V | F | V | V | F | V |
| F | V | V | F | F | V | V | F | V |
| F | F | V | V | V | F | F | V | F |

## Resumo das tabelas das operações do cálculo proposicional

| n | Operação 1 | Operação 2 | | | | | nome |
| | A | | V | V | F | F | |
| | B | | V | F | V | F | |
| 0 | A∧¬A | B∧¬B | F | F | F | F | Contradição |
| 1 | A↓B | ¬(A∨B) | F | F | F | V | p nor q |
| 2 | ¬(B→A) | B∧¬A | F | F | V | F | Negação da condicional |
| 3 | ¬A | | F | F | V | V | not A |
| 4 | ¬(A→B) | A∧¬B | F | V | F | F | Negação da condicional |
| 5 | ¬B | | F | V | F | V | not B |
| 6 | A∨B | A$\oplus$B | F | V | V | F | xor |
| 7 | ¬(A∧B) | ¬(B∧A) | F | V | V | V | nand |
| 8 | A∧B | B∧A | V | F | F | F | Conjunção |
| 9 | A↔B | B↔A | V | F | F | V | Bicondicional |
| 10 | B | | V | F | V | F | B |
| 11 | A→B | ¬A∨B | V | F | V | V | Condicional |
| 12 | A | | V | V | F | F | A |
| 13 | B→A | A∨¬B | V | V | F | V | Condicional |
| 14 | A∨B | B∨A | V | V | V | F | Disjunção |
| 15 | A∨¬A | B∨¬B | V | V | V | V | Tautologia |