# Método dos momentos generalizado

Método dos momentos generalizado (GMM, do inglês: Generalized method of moments) é uma técnica econométrica genérica de estimação de parâmetros de uma equação de regressão desenvolvida como uma extensão ao método de momentos. Sua aplicação é recomendada quando há suspeita de problemas de endogeneidade entre as variáveis explicativas do modelo e o número de momentos é maior do que o número de parâmetros a estimar.
O GMM é considerado uma das técnicas mais avançadas de econometria e sua aplicação é cada vez mais frequente. O método requer que um certo número de momentos sejam especificados.

## Motivação

Considere um modelo de estimação de oferta e demanda de um bem qualquer. Seja $p_{i}$ o preço do bem, com o índice "i" representando cada observação deste preço.
    1) demanda: $q_{i}^{d}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\cdot p_{i}+u_{i}$, onde $q_{i}^{d}$ é a quantidade demandada.
    2) oferta: $q_{i}^{s}=\beta _{0}+\beta _{1}\cdot p_{i}+v_{i}$, onde $q_{i}^{s}$ é a quantidade ofertada.
    3) equilíbrio de mercado: $q_{i}^{d}=q_{i}^{s}=q_{i}$
Substituindo a equação 3 nas equações 1 e 2, podemos transformar as três equações em duas.
    1) $q_{i}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\cdot p_{i}+u_{i}$
    2) $q_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\cdot p_{i}+v_{i}$
Dizemos que um regressor (variável explicativa) é endógeno se não for predeterminado, ou seja, se não for ortogonal ao termo de erro. No exemplo acima, o regressor $p_{i}$ é necessariamente endógeno nas duas equações, pois é uma função dos dois termos de erro:
    $p_{i}={\frac {\beta _{0}-\alpha _{0}}{\alpha _{1}-\beta _{1}}}+{\frac {v_{i}-u_{i}}{\alpha _{1}-\beta _{1}}}\rightarrow Cov\left(p_{i},u_{i}\right)\neq 0,Cov\left(p_{i},v_{i}\right)\neq 0$
Como a correlação entre o regressor e o termo de erro (em cada uma das equações) é diferente de zero, o métodos de mínimos quadrados ordinários (OLS) não pode ser utilizado, pois gera estimadores inconsistentes para $\alpha _{1}$ e $\beta _{1}$. Portanto, o método métodos de mínimos quadrados ordinários é um caso muito particular de GMM, que ocorre quando não há correlação entre a variável explicativa e o termo de erro..
Igualmente, o método de variáveis instrumentais (que considera um instrumento para cada variável endógena) e o método dos mínimos quadrados em dois estágios também são considerados casos especiais de GMM.

## Formulação geral e hipóteses

Seja uma equação linear, a ser estimada, na forma matricial:
    $y_{i}=\mathbf {x_{i}} {\boldsymbol {\delta }}+\varepsilon _{i},i=1,2,...,n$
onde $\mathbf {x_{i}}$ indica um uma um vetor L dimensional (indicando L variáveis explicativas), e $\varepsilon _{i}$ indica um termo de erro não observável.
* Seja $\mathbf {z_{i}}$ um vetor de instrumentos e $\mathbf {w_{i}}$ os elementos únicos e não constantes de $\left(y_{i},\mathbf {x_{i}} ,\mathbf {z_{i}} \right)$.
* Seja $\mathbf {g_{i}} \equiv \mathbf {z_{i}} \cdot \varepsilon _{i}$. Assumimos que $E\left(\mathbf {g_{i}} \right)=0$, ou seja, os instrumentos são ortogonais ao termo de erro.
* Condição de posto:A matriz KXL $E\left(\mathbf {z_{i}} \mathbf {x_{i}} ^{T}\right)={\boldsymbol {\Sigma _{zx}}}$ tem posto pleno, ou seja, se u posto é L = número de colunas.
* Condição necessária para a identificação: o número de variáveis pre-determinadas (K) deve ser maior ou igual a L (=número de regressores)

## Propriedades

A ideia do método dos momentos generalizado é usar as condições dos momentos que podem ser encontrados em um problema de estimação de parâmetros com o menor esforço. Assume-se que os dados são processos estocásticos $(Y_{1},Y_{2},\ldots ).$ Na linguagem matemática, inicia-se com uma função (vector de valores) $f$ que depende de ambos, os parâmetros e uma simples observação que tem média zero para o valor verdadeiro do parâmetro, $\theta =\theta _{0},$ i.e.
    $E[f(Y_{i},\theta _{0})]=0.\,$
Para converter essa função em uma estimação de parâmetros, deve-se minimizar a função quadrática associada
    $\ {\hat {\theta }}={\text{arg}}\min _{\theta }\left(\sum _{i=1}^{N}f(Y_{i},\theta )\right)^{T}A\left(\sum _{i=1}^{N}f(Y_{i},\theta )\right)$
Onde o sobrescrito $T$ denota a transposta, e $A$ é uma matriz de ponderações positivo definida. $A$ pode ser conhecida a priori ou estimada a partir dos dados da amostra, incorporando obervações e instrumentos.
O método GMM escolhe os coeficientes de forma que os resíduos sejam ortogonais aos instrumentos utilizados.

## História

Atribui-se frequentemente o método GMM a Lars Peter Hansen em artigo na revista Econometrica de 1982. Mas o método tem seus antecedentes nos trabalhos de Karl Pearson sobre o método dos momentos em 1895, e mais na frente nos trabalhos de Fisher (1925) e Neyman e Egon Pearson (1928) sobre o método MCE que supera a dificuldade do método dos momentos quando se tem mais condições de momentos do que parâmetros a serem estimados (sistema sobre determinado).