# Anel (matemática)

Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto associado a duas operações binárias, normalmente chamadas de adição e multiplicação, em que cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto e suas duas operações devem satisfazer determinadas condições; especificamente, o conjunto deve ser um grupo abeliano sob adição e um monoide sob multiplicação tal que a multiplicação distribui sobre a adição.
Embora essas operações sejam familiares em muitas estruturas matemáticas, tais como sistemas de números ou números inteiros, elas também são muito gerais, tomando uma ampla variedade de objetos matemáticos. A onipresença dos anéis os torna um princípio organizador central da matemática contemporânea. O ramo da matemática que estuda os anéis é conhecido como teoria dos anéis.

## Definição

Um anel é uma estrutura algébrica que consiste numa tripla $(A,+,\cdot )$, o conjunto $A$ com um elemento $0$ e duas operações binárias $+$ e $\cdot$ que satisfazem as seguintes condições:
* Associatividade de $+:$ $(\forall a,b,c\in A):(a+b)+c=a+(b+c)$
* Existência de elemento neutro (0) de $+:$ $(\forall a\in A):a+0=0+a=a$
* Existência de simétrico de $+:$ $(\forall a\in A)(\exists b\in A):a+b=0$
* Comutatividade de $+:$ $(\forall a,b\in A):a+b=b+a$
* Associatividade de $\cdot :$ $(\forall a,b,c\in A):(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
* Distributividade de $\cdot$ em relação a $+$ (à esquerda e à direita): $(\forall a,b,c\in A):a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\,\wedge \,(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$
Dentro desta estrutura, em particular, temos que $(A,+)$ é um grupo abeliano (comutativo).
E $(A,\cdot )$ é semigrupo.
Além disso em $(A,+,\cdot )$ a multiplicação é distributiva em relação à adição
$(a+b)\cdot c=ac+bc$
$c\cdot (a+b)=ca+cb$.
Aneis que tem propriedades a mais recebem nomes específicos:
Um anel em o que grupo $(A,\cdot )$ tem identidade diferente do zero de $(A,+)$, diz-se anel de identidade.
Um anel em que o semigrupo $(A,\cdot )$ é comutativo é dito anel comutativo.

## Propriedades

* se $a+c=b+c$ então $a=b$.
* se $a+b=a$ para algum $a$, então $b=0$.
* $-(a+b)=-a-b$.

## Exemplos

* O conjunto $\mathbb {Z}$ dos números inteiros forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais. O mesmo acontece com o conjunto $\mathbb {Q}$ dos números racionais, o conjunto $\mathbb {R}$ dos números reais, o conjunto $\mathbb {C}$ dos números complexos e os quatérnios.
* O conjunto dos números complexos que são raízes de polinómios da forma $x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+$ ··· $+a_{1}x+a_{0},$ com coeficientes inteiros, forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais, o anel dos inteiros algébricos.
* O menor anel é formado somente por $0.$
* Seja $(G,+)$ um grupo abeliano e seja End($G$) o conjunto dos endomorfismos de $G.$ Se, dados $f,g$ ∈ End($G$), se definir a adição de $f+g$ ∈ End($G$) de $f$ com $g$ por $(f+g)(x)=f(x)+g(x),$ então End($G$) é um anel relativamente às operações adição e composição.

## Casos particulares

* Se a multiplicação é comutativa, temos um anel comutativo.
* Se a multiplicação tem elemento neutro, temos um anel com identidade ou anel com unidade.
* Um anel de divisão é um anel $(A,+,\;\cdot \;)$ em que $(A$ \ {$0$}$,\;\cdot \;)$ é um grupo.
* Se a multiplicação tem elemento neutro e é idempotente, temos um anel booliano. Anéis boolianos e álgebras boolianas tem uma correspondência trivial.

## Divisores de zero

Sejam $A$ um anel e $a$ um elemento de $A$ diferente de $0.$ Diz-se que $a$ é um divisor de zero se existir algum $b$ ∈ $A$ \ $\{0\}$ tal que $a.b=0$ ou que $b.a=0.$
Exemplos:
* O anel $\mathbb {Z}$ dos números inteiros não tem divisores de zero.
* Seja $n$ um número natural maior do que $1$ e seja $\mathbb {Z} _{n}=\{0,,\ldots ,n-1\}$ com a adição e o produto assim definidos: se $a,b$ ∈ $\mathbb {Z} _{n},$ então $a+b$ é o resto da divisão por $n$ da soma dos números inteiros $a$ e $b$ e $a.b$ é o resto da divisão por $n$ do produto dos números inteiros $a$ e $b.$ Então $\mathbb {Z} _{n},$ tem divisores de zero quando e só quando $n$ for composto. Neste caso, se a e b forem números naturais tais que $a.b=n$ então, em $\mathbb {Z} _{n},$$a.b=0.$

## Ideais

Sejam $A$ um anel e $I$ um subconjunto não vazio de $A.$ Diz-se que $I$ é um ideal à esquerda de $A$ se
* $I\neq A$
* $(\forall i,j\in I):i+j\in I$
* $(\forall a\in A)(\forall i\in I):a.i\in I$
Diz-se que $I$ é um ideal à direita de $A$ se satisfizer as duas primeiras das condições anteriores, juntamente com
    $(\forall a\in A)(\forall i\in I):i.a\in I$
Diz-se que $I$ é um ideal bilateral se for simultaneamente um ideal à esquerda e um ideal à direita.
Caso $A$ seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita. Fala-se então somente de ideais.
Exemplos:
* Os inteiros pares formam um ideal do anel dos números inteiros. Mais geralmente, se $m$ ∈ Z\{±$1$}, o conjunto dos inteiros que são múltiplos de $m$ é um ideal do anel dos números inteiros e, de facto, todos os ideais do anel dos números inteiros. são daquela forma.
* Seja $A$ o conjunto das funções $f$ de R² em R² da forma
    $f(x,y)=(a.x+b.y,c.x+d.y),$
onde $a,b,c,d$ ∈ R. Então, se $0$ for a função nula, se $+$ for a adição de funções e se $.$ for a composição, então $A$ é um anel (não comutativo). Se
    $I=\{f\in A\,|\,f(1,0)=(0,0)\},$
então $I$ é um ideal à esquerda, mas não é um ideal à direita.
Se $A$ for um anel e $I$ for um ideal (à esquerda ou à direita), considere-se em $A$ a relação de equivalência ∼ assim definida:
    $a$ ∼ $b$ se e só se $a-b$ ∈ $I.$
Se $a$ ∈ $A,$ seja $a+I$ a sua classe de equivalência; seja $A/I$ o conjunto de todas as classes de equivalência. Então, se se definir
    $(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,$
$(A/I,+)$ é novamente um grupo abeliano. Além disso, se $I$ for um ideal à esquerda e se $a$ ∈ $A,$ então faz sentido definir a função
    ${\begin{array}{ccc}A/I&\longrightarrow &A/I\\b+I&\mapsto &a.b+I\end{array}}$
Analogamente, se $I$ for um ideal à direita e se $a$ ∈ $A,$ então faz sentido definir a função
    ${\begin{array}{ccc}A/I&\longrightarrow &A/I\\b+I&\mapsto &b.a+I\end{array}}$
Caso $I$ seja um ideal bilateral, $A/I$ volta a ser um anel se se definir
    $(a+I).(b+I)=a.b+I$