# Método de Frobenius

Em matemática, o método de Frobenius, referente a Ferdinand Georg Frobenius, é uma maneira de encontrar uma solução em série infinita de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem da forma
    $z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u=0$
sendo
    $u'\equiv {{du} \over {dz}}$ e $u''\equiv {{d^{2}u} \over {dz^{2}}}$
nas vizinhanças do ponto singular regular $z=0$. Dividindo a expressão por $z^{2}$, obtém-se a seguinte equação diferencial:
    $u''+{p(z) \over z}u'+{q(z) \over z^{2}}u=0$
que não será solúvel pelo método das séries de potências se p(z)/z ou q(z)/z$^2$ não forem analítica em z = 0. O método de Frobenius permite criar uma solução em série de potências para tal equação diferencial, contanto que p(z) e q(z) sejam analíticas em 0 ou, sendo analíticas em outro intervalo, contanto que os limites de p e q existam em z = 0 (e sejam finitos).

## Explicação

O método de Frobenius afirma que existe um solução da forma: $u(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}$
Diferenciando em relação a $z$ $u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}$ $u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}$
Substituindo na equação (1):
${\begin{aligned}0&=z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u\\&=z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }[(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}]+p(z)\sum _{k=0}^{\infty }[(k+r)A_{k}z^{k+r}]+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }[A_{k}z^{k+r}]\\&=\sum _{k=0}^{\infty }([(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}]+p(z)[(k+r)A_{k}z^{k+r}]+q(z)[A_{k}z^{k+r}])\\&=\sum _{k=0}^{\infty }[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)]A_{k}z^{k+r}\\0&=(r(r-1)+p(z)r+q(z))A_{0}z^{r}+\sum _{k=1}^{\infty }((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_{k}z^{k+r}\end{aligned}}$
A expressão $r\left(r-1\right)+p(0)r+q(0)=:I(r)$ é conhecido como polinômio indicial, que é quadrático em $r.$
Usando isto, a expressão geral do coeficiente $z^{k+r}$ é dada por: $I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_{j}$ Estes coeficientes devem se anular, uma vez que a equção deve ser satisfeita: $I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_{j}=0$ $\sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_{j}=-I(k+r)A_{k}$ ${1 \over -I(k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_{j}=A_{k}$ A série formada pelos A$_k$ acima, $U_{r}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}$ satisfaz $z^{2}U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}$ Se $r$ é uma raiz do polinômio indicial, então podemos construir uma solução para a equação. Se a diferença entre as raízes do polinômio indicial não é um número inteiro, então podem-se construir duas solução linearmente independentes para (1).

## Pontos singulares regulares

Os pontos singulares da equação diferencial
$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0$
são os pontos $x_{0}$ onde
$P(x_{0})=0$
Se os seguintes limites existem:
${A=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {xQ(x)}{P(x)}}\qquad B=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {x^{2}R(x)}{P(x)}}}$
diz-se que o ponto $x_{0}$ é um ponto singular regular.
Se $x=0$ for um ponto singular regular, existirá pelo menos uma solução da forma
$y(x)=x^{r}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+r}$
A função $f(x)$ é analítica em $x=0$ e podemos admitir, sem perder nenhuma generalidade, que $f(0)$ é diferente de zero (se $f(0)$ for nula, fatoriza-se $x,$ e redefinem-se $r$ e $f$ ficando $f(0)$ diferente de zero).
Isso implica que a constante $a_{0}$ seja também diferente zero:
$a_{0}=\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {y}{x^{r}}}=f(0)\neq 0$
As derivadas $y'$ e $y''$ são
${\begin{aligned}&y'=\sum _{n=0}^{\infty }(n+r)a_{n}x^{n+r-1}\\&y''=\sum _{n=0}^{\infty }(n+r)(n+r-1)a_{n}x^{n+r-2}\end{aligned}}$
Para calcular o valor do índice $r$ primeiro observamos que
${\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow 0}x^{1-r}y'&=&ra_{0}\\\lim _{x\rightarrow 0}x^{2-r}y''&=&r(r-1)a_{0}\end{aligned}}$
a seguir multiplicamos a equação diferencial por $x^{2-r}$ e dividimos por P
$x^{2-r}y''+{\frac {xQ}{P}}x^{1-r}y'+{\frac {x^{2}R}{P}}x^{-r}y=0$
No limite $x=0$ e usando as constantes $A$ e $B$ definidas acima
Das equações obtemos:
$[r(r-1)+Ar+B]a_{0}=0$
Como $a_{0}$ é diferente de zero, $r$ deverá ser solução da chamada equação indicial:
$r(r-1)+Ar+B=0$
Para cada raiz real $r$ da equação indicial substituímos as séries para $y,$ $y'$ e $y''$ na equação diferencial e procedemos da mesma forma que no método das séries, para calcular os coeficientes $a_{n}.$
Cada raiz conduz a uma solução; se as duas soluções forem diferentes, a solução geral será a combinação linear das duas.

### Solução em séries em pontos singulares

Em geral, cada raiz da equação indicial pode conduzir a uma solução em séries de potências. No entanto, em alguns casos é possível encontrar apenas uma solução. O teorema que se segue indica como determinar a solução geral por meio de séries de potências.
teorema Frobenius
Se $r_{1}$ e $r_{2}$ são duas raízes da equação indicial (em $x=0$) de uma equação diferencial linear de segunda ordem com ponto singular em $x=0,$ existem três casos, a depender dos valores de $r_{1}$ e $r_{2}:$
* Se $r_{1}-r_{2}$ for diferente de zero e diferente de um número inteiro,
cada raiz conduz a uma solução diferente.
* Se $r_{1}=r_{2},$ é possível obter uma única solução $y_{1}$ a partir do
método de Frobenius. A segunda solução terá a forma:
$y_{2}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n+r_{1}}+y_{1}\ln \ x$
onde a sucessão $b_{n}$ deverá ser obtida por substituição de $y_{2}$ na equação diferencial.
* Se $r_{1}-r_{2}$ for um número inteiro, existirá uma solução $y_{1}$ com a
forma usada no método de Frobenius. A segunda solução será:
$y_{2}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n+r_{2}}+cy_{1}\ln \ x$
onde $c$ é uma constante.
Nos casos em que $c=0,$ a segunda solução tem também a forma do método de Frobenius, o qual implica que aplicando o método de Frobenius é possível encontrar as duas soluções $y_{1}$ e $y_{2}$ linearmente independentes.
Quando $c$ não é nula, o método de Frobenius permite encontrar apenas uma solução e a segunda solução deverá ser encontrada por substituição da forma geral de $y_{2}$ na equação diferencial.
Com as duas soluções encontradas seguindo o método indicado pelo teorema de Frobenius, a solução geral será:
$y(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)$
Em alguns casos as condições fronteira exigem que $y$ seja finita na origem o qual implica $C_{2}=0,$ se $r_{2}<0$ ou $r_{2}=r_{1},$ já que nos dois casos a segunda solução é divergente na origem.
Se $r_{1}-r_{2}$ é um inteiro e o método de Frobenius conduz a uma única solução $y_{1},$ $C_{2}$ será também nula e não será preciso calcular $y_{2}.$