# Intervalo de massa

Na teoria quântica de campos, o intervalo de massa é a diferença entre a energia do vácuo e próximo menor estado de energia possível. A energia do vácuo pode ser definida por zero, e assumindo que todos estados de energia podem ser descritos como partículas em funções de onda, o intervalo de massa é a massa da partícula mais leve.
Já que a energia exata do valor próprio é infinitamente espalhada, logo excluída de uma descrição matemática formal, uma descrição mais apurada é que o intervalo de massa é a energia ínfima de qualquer estado que seja ortogonal em relação ao vácuo.

## Definição

Para um dado campo real $\phi (x)$, pode-se dizer que a teoria possui um intervalo de massa se uma qualquer de dois pontos possui a propriedade
    $\langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)$
onde $\Delta _{0}>0$ é o menor valor energético no espectro do hamiltoniano, ou seja, é o intervalo de massa. Esta quantidade, facilmente generalizada para outros campos, é uma medida generalizada na teoria do retículo gauge. Isto foi matematicamente provado desta forma que pela teoria de Yang-Mills se desenvolve um intervalo de massa. O propagador terá a propriedade
    $\lim _{p\rightarrow 0}\Delta (p)=\mathrm {constante}$
sendo a constante finita. Um exemplo típico é oferecido por uma partícula massiva e livre, neste caso, a constante possui o valor $1/{m^{2}}$. No mesmo limite, o propagador para a partícula sem massa será singular.

## Exemplo

Um exemplo de intervalo de massa para teorias de partículas sem massa, pode ser visto na quebra espontânea de simetria ou no mecanismo de Higgs. No primeiro caso, tem-se que lidar com a aparência de excitações sem massa, Bóson de Goldstone, que são removidos pelo último caso devido a liberdade de gauge. A quantização preserva esta propriedade.
Um quark escalar sem massa pela teoria quântica de campos desenvolve um intervalo de massa de níveis clássicos. Então considere-se
    $\Box \phi +\lambda \phi ^{3}=0.$
esta equação possui a seguinte solução
    $\phi (x)=\mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{\frac {1}{4}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,-1\right)$
onde $\mu$ e $\theta$ possuem integrais constantes e $sn$ é uma função elíptica de Jacobi, fornece
    $p^{2}=\mu ^{2}{\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}.$

## Representação de Källén-Lehmann

Se a representação espectral de Källén-Lehmann se confirmar, neste estágio se excluiria as teorias de gauge, pois a função de densidade espectral pode ser descrita de forma simples com um espectro discreto com um intervalo de massa
    $\rho (\mu ^{2})=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}\delta (\mu ^{2}-m_{n}^{2})+\rho _{c}(\mu ^{2})$
onde $\rho _{c}(\mu ^{2})$ é a contribuição das partículas do espectro. Neste caso o propagador terá a seguinte forma
    $\Delta (p)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {Z_{n}}{p^{2}-m_{n}^{2}+i\epsilon }}+\int _{4m_{N}^{2}}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2}){\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }}$
sendo $4m_{N}^{2}$ aproximadamente o ponto inicial do setor de partículas. Agora, utilizando-se o facto que
    $\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})=1$
Obtém-se a seguinte conclusão para as constantes na densidade espectral
    $1=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}+\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2})$.
É importante enfatizar que esta representação ainda não foi comprovada numa teoria de gauge,