# Relação (matemática)

Em matemática, uma relação é uma correspondência (ou associação) entre elementos de dois conjuntos não vazios. Mais especificamente, seja R{\textstyle R} uma relação definida do conjunto A{\textstyle A} com o B{\textstyle B}. O conjunto A{\textstyle A} é denominado conjunto de partida e o conjunto B{\textstyle B} é denominado conjunto de chegada. A correspondência (ou relação) entre um dado elemento a∈A{\textstyle a\in A} com um elemento b∈B{\textstyle b\in B}, quando definida, é denotada pelo par ordenado (a, b){\textstyle (a, b)}, onde o primeiro elemento do par ordenado procede do conjunto de partida A{\textstyle A} e o segundo do conjunto de chegada B{\textstyle B}.
Os conjuntos de partida e de chegada não tem necessariamente que ter uma estrutura. Entretanto, segundo o tipo de estrutura que é sobreposta a esses conjuntos e o tipo de restrição que se impõe à própria relação, tem-se tipos especiais de relações, cada qual com um nome específico.
Uma classe de relações especialmente importante é a classe das funções.

## Fundamentos

Matematicamente, uma relação é qualquer subconjunto de um produto cartesiano. Em termos mais explícitos, definimos uma relação R{\textstyle R} como sendo um conjunto de pares ordenados (a, b){\textstyle \left(a, b\right)} tais que a{\textstyle a} pertença ao conjunto A{\textstyle A} e que b{\textstyle b} pertença ao conjunto B{\textstyle B}, i.e.:
    $R\subseteq A\times B=\left\{\left(a,b\right)\mid a\in A\land b\in B\right\}$
Note-se que o próprio conjunto cartesiano é uma relação, dado que todo conjunto é subconjunto impróprio de si mesmo. Até o conjunto vazio pode ser considerado uma relação, mas deve-se tomar alguns cuidados em definições e teoremas para se evitarem paradoxos e contradições.

### Relações entre elementos do mesmo conjunto

Um tipo importante são as relações em que A=B{\textstyle A=B}, ou, em outras palavras, subconjuntos de A×A{\textstyle A\times A}. Os tipos de propriedades que essas relações podem ter são:
* Reflexiva:
       $\left(a,a\right)\in R\quad \forall a\in A$
* Simétrica:
       $\left(a,b\right)\in R\to \left(b,a\right)\in R$
* Antissimétrica:
       $\left(a,b\right)\in R\land \left(b,a\right)\in R\to \left(a,b\right)=\left(b,a\right)$
* Transitiva:
       $\left(a,b\right)\in R\land \left(b,c\right)\in R\to \left(a,c\right)\in R$

### Relações de equivalência

É uma relação que possui as propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.

### Relações de ordem

É uma relação que possui as propriedades: reflexiva, anti-simétrica e transitiva.

## Relação Composta

Seja R{\textstyle R} uma relação de A{\textstyle A} para B{\textstyle B} e S{\textstyle S} uma relação de B{\textstyle B} para C{\textstyle C}. Então podemos definir a relação composta de S{\textstyle S} com R{\textstyle R} dos conjuntos A{\textstyle A} com C{\textstyle C}, usualmente denotada por S∘R{\textstyle S\circ R}. Ou seja, define-se:
    $S\circ R:=\{(x,z)\in A\times C\mid \exists y\in B,(x,y)\in R\land (y,z)\in S\}\,$
Um cuidado deve ser tomado com essa notação, que é consistente com a notação de função composta, porque S e R parecem estar invertidas.

## Relação Inversa

Analogamente ao conceito de função inversa, podemos definir a relação inversa da relação $R\subset A\times B\,$:
    $R^{-1}=\{(y,x)\in B\times A\mid (x,y)\in R\}\,$
Note-se que nem sempre:
    $R\circ R^{-1}=Id_{B}\,$.