# Funções elípticas de Weierstrass

Em matemática, funções elípticas de Weierstrass são funções elípticas que tomam uma forma particularmente simples (cf funções elípticas de Jacobi); elas são nomeadas em referência a Karl Weierstrass. Esta classe de funções são também tratadas como funções P e geralmente escritas usando o símbolo $\wp$ (uma letra p estilizada chamada p Weierstrass).

## Definições

Pode-se definir à função elíptica de Weierstrass de três maneiras muito similares, cada uma delas possui certas vantagens. Uma é como uma função de variável complexa $z$ e uma retículo $\Lambda$ no plano complexo. Outra é em termos de $z$ e dois números complexos $\omega _{1}$ e $\omega _{2}$ que definem um par de geradores, ou períodos, do retículo. A terceira é em termo de $z$ e de um módulo $\tau$ no semiplano superior. Esta se relaciona com a definição prévia mediante a seguinte expressão $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$, a qual em virtude da convenção usual de pares de períodos se encontra no semiplano superior. Utilizando este método, para um $z$ fixo as funções de Weierstrass resultam ser funções modulares de $\tau$.
Considerando os dois períodos a função elíptica de Weierstrass é uma função elíptica com períodos $\omega _{1}$ e $\omega _{2}$ definida como
    $\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{m^{2}+n^{2}\neq 0}\left\{{\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\}.$
Então $\Lambda =m\omega _{1}+n\omega _{2}$ são os pontos do par de retículos, pelo que
    $\wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})$
para todo par de geradores do retículo define a função de Weierstrass como uma função de uma variável complexa e um retículo.
Se $\tau$ é um número complexo no semiplano superior, então
    $\wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}{1 \over (z-n-m\tau )^{2}}-{1 \over (n+m\tau )^{2}}.$
A soma indicada anteriormente é homogênea com um grau menos dois, com o qual se pode definir a função $\wp$ de Weierstrass para todo par de períodos, como
    $\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\wp (z/\omega _{1};\omega _{2}/\omega _{1})/\omega _{1}^{2}.$
Pode-se calcular $\wp$ de forma direta e rápida em termo das funções teta; porque as mesmas convergem rapidamente, esta é uma forma mais veloz de computar-se $\wp$ que as séries que nós usamos para definí-las. A fórmula é
    $\wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}+e_{2}(\tau )$
onde
    $e_{2}(\tau )=-{\pi ^{2} \over {3}}(\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )).$
Existe um polo de segunda ordem em cada ponto do retículo do período (incluindo a origem). Com estas definições, $\wp (z)$ é uma função par e sua derivada em relação a $z$, $\wp '$, é uma função ímpar. Posteriores desenvolvimentos da teoria das funções elípticas mostram que a condição sobre a função de Weierstrass (corretamente chamada pe) é determinada pela adição de uma constante e multiplicação por uma constante não nula sobre os polos isolados, entre todos as funções meromorfas com o retículo do período dado.

## Invariantes

Se pontos próximos à origem são considerados a série de Laurent apropriada é
    $\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=z^{-2}+{\frac {1}{20}}g_{2}z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}z^{4}+O(z^{6})$
onde
    $g_{2}=60\sum'\Omega _{m,n}^{-4},\qquad g_{3}=140\sum'\Omega _{m,n}^{-6}.$
(aqui $\Omega _{m,n}=m\omega _{1}+n\omega _{2}$ e uma soma tracejada referem-se ao somatório sobre todos os pares de inteiros exceto $m=n=0$). Os números $g_{2}$ e $g_{3}$ são conhecidos como os invariantes — são dois termos externos da série de Eisenstein. (Abramowitz e Stegun limitam-se ao caso de $g_{2}$ real e $g_{3}$, estabelecendo neste caso "parecer abranger a maioria das aplicações"; isto pode ser verdadeiro do ponto de vista de matemática aplicada. Se $\omega _{1}$ é real e $\omega _{2}$ puramente imaginário, ou se $\omega _{1}={\overline {\omega _{2}}}$, os invariantes são reais).
Note-se que $g_{2}$ e $g_{3}$ são funções homogêneas de grau -4 e -6; isto é,
    $g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})$
e
    $g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).$
Então, por convenção, frequentemente escreve-se $g_{2}$ e $g_{3}$ em termos de razão de meio período $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$ e toma-se $\tau$ situando-se no meio plano superior. Então, $g_{2}(\tau )=g_{2}(1,\omega _{2}/\omega _{1})$ e $g_{3}(\tau )=g_{3}(1,\omega _{2}/\omega _{1})$.
A série de Fourier para $g_{2}$ e $g_{3}$ pode ser escrita em termos do quadrado da nome $q=\exp(i\pi \tau )$ como
    $g_{2}(\tau )={\frac {4\pi ^{4}}{3}}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]$
e
    $g_{3}(\tau )={\frac {8\pi ^{6}}{27}}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]$
onde $\sigma _{a}(k)$ é a função divisor. Esta fórmula pode ser reescrita em termos de série de Lambert.
Os invariantes podem ser expressos em termos de funções teta de Jacobi. Este método é muito conveniente para cálculo numérico: as funções teta convergem muito rapidamente. Na notação de Abramowitz e Stegun, mas notando os semiperíodos primitivos por $\omega _{1},\omega _{2}$, os invariantes satisfazem
    $g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})={\frac {\pi ^{4}}{12\omega _{1}^{4}}}\left(\theta _{2}(0,q)^{8}-\theta _{3}(0,q)^{4}\theta _{2}(0,q)^{4}+\theta _{3}(0,q)^{8}\right)$
e
    $g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})={\frac {\pi ^{6}}{(2\omega _{1})^{6}}}\left[{\frac {8}{27}}\left(\theta _{2}(0,q)^{12}+\theta _{3}(0,q)^{12}\right)\right.$
             $\left.-{\frac {4}{9}}\left(\theta _{2}(0,q)^{4}+\theta _{3}(0,q)^{4}\right)\cdot \theta _{2}(0,q)^{4}\theta _{3}(0,q)^{4}\right]$
onde $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$ é o razão de meio período e $q=e^{\pi i\tau }$ é o nome.

### Casos especiais

Se os invariantes são $g_{2}=0$, $g_{3}=1$, então isto é conhecido como o caso equianarmônico; $g_{2}=1$, $g_{3}=0$ é o caso lemniscática.

## Equação diferencial

Com esta notação, a função $\wp$ satisfaz a seguinte equação diferencial:
    $[\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},$
onde a dependência em $\omega _{1}$ e $\omega _{2}$ é suprimida.

## Equação integral

A função elíptica de Weierstrass pode ser dada como a inversa de uma integral elíptica.
Fazendo-se
    $u=\int _{y}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.$
Aqui, g$_2$ e g$_3$ são tomados como constantes. Então tem-se
    $y=\wp (u).$
O acima segue-se diretamente por integração da equação diferencial.

## Discriminante modular

O discriminante modular $\Delta$ é definido como
    $\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.$
Isto é estudado na forma adequada, como uma forma parabólica, na teoria da forma modular (isto é, como uma função do retículo do período).
Note-se que $\Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}$ onde $\eta$ é a função eta de Dedekind.
A presença do 24 pode ser entendida pela conexão com outras ocorrências, como na função eta e no retículo Leech.
O discriminante é uma forma modular de peso 12. Isto é, sob a ação de grupo modular, transforma-se como
    $\Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )$
com τ sendo a razão de meio período, e a,b,c e d sendo inteiros, com ad − bc = 1.

## As constantes e$_1$, e$_2$ e e$_3$

Considerando-se a equação polinomial cúbica $4t^{3}-g_{2}t-g_{3}=0$ com raízes $e_{1}$, $e_{2}$, e $e_{3}$. Se o discriminante $\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}$ não é zero, nem duas destas raízes são igauis. Já que o termo quadrático desta polinomial cúbica é zero, as raízes são relacionadas pela equação
    $e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.$
Os coeficientes lineare e constante (g$_2$ and g$_3$, respectivamente) são relacionados às raízes pelas equações
    $g_{2}=-4\left(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3}\right)=2\left(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}\right)$
    $g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}.$
No caso de invariantes reais, o sinal de $\Delta$ determina a natureza das raízes. Se $\Delta >0$, todas as três são reais e é convencional nomeá-las então $e_{1}>e_{2}>e_{3}$. Se $\Delta <0$, é convencional escrever-se $e_{1}=-\alpha +\beta i$ (onde $\alpha \geq 0$, $\beta >0$), onde $e_{3}={\overline {e_{1}}}$ e $e_{2}$ é real e não negativa.
Os meio períodos ω$_1$ e ω$_2$ da função elíptica de Weierstrass são relacionados às raízes
    $\wp (\omega _{1})=e_{1}\qquad \wp (\omega _{2})=e_{2}\qquad \wp (\omega _{3})=e_{3}$
onde $\omega _{3}=-(\omega _{1}+\omega _{2})$. Desde que a derivada da função elíptica de Weierstrass iguala-se the above polinomial cúbico do valor da função, $\wp '(\omega _{i})=0$ para $i=1,2,3$; se o valor da função iguala-se a raiz do polinômio, a derivada é zero.
Se $g_{2}$ e $g_{3}$ são reais e $\Delta >0$, a $e_{i}$ são todos reais, e $\wp$ é real sobre o perímetro do retângulo com vértices $0$, $\omega _{3}$, $\omega _{1}+\omega _{3}$, e $\omega _{1}$. Se as raízes são ordenadas como above ($e_{1}>e_{2}>e_{3}$), então o primeiro meio período é completamente real
    $\omega _{1}=\int _{e_{1}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}$
considerando-se que o terceiro meio período é completamente imaginário
    $\omega _{3}=i\int _{-e_{3}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}.$

## Teoremas de adição

As funções elípticas de Weierstrass tem diversas propriedades que podem ser provadas:
    $\det {\begin{bmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (y)&\wp '(y)&1\\\wp (z+y)&-\wp '(z+y)&1\end{bmatrix}}=0$
(uma versão simétrica seria
    $\det {\begin{bmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{bmatrix}}=0$
Onde $u+v+w=0$).
Além disso
    $\wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right\}^{2}-\wp (z)-\wp (y).$
e a fórmula da duplicação
    $\wp (2z)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right\}^{2}-2\wp (z),$
exceto $2z$ que é um período.

## O caso com 1 um meio período básico

Se $\omega _{1}=1$, muito da teoria acima torna-se mais simples; é então convencional escrever-se $\tau$ para $\omega _{2}$. Para um τ fixo no meio plano superior, então a parte imaginária de τ é positiva, nós definimos a função Weierstrass $\wp$ por
    $\wp (z;\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}{1 \over (z-n-m\tau )^{2}}-{1 \over (n+m\tau )^{2}}.$
A soma estende-se sobre o retículo {n+mτ : n e m in Z} com a origem omitida.
Aqui consideramos τ como fixo e $\wp$ como uma função de $z$; fixando $z$ e deixando τ variar a condução dentro da área das funções elípticas modulares.

## Teoria geral

$\wp$ é uma função meromorfa no plano complexo com um duplo polo a cada ponto do retículo. É duplamente periódico com os períodos 1 e τ; isto significa que $\wp$ satisfaz
    $\wp (z+1)=\wp (z+\tau )=\wp (z)$
A soma acima é homogênea de grau menos dois, e se $c$ é qualquer número complexo não zero,
    $\wp (cz;c\tau )=\wp (z;\tau )/c^{2}$
dos quais nós podemos definir a função Weierstrass $\wp$ para qualquer par de períodos. Nós também podemos tomar a derivada (evidentemente, em relação a z) e obter uma função algebricamente relacionada a $\wp$ por
    $\wp '^{2}=\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}$
onde $g_{2}$ and $g_{3}$ depende somente de τ, sendo forma modular. A equação
    $Y^{2}=X^{3}-g_{2}X-g_{3}$
define uma curva elíptica, e nós vemos que $(\wp ,\wp ')$ é uma parametrização desta curva.
A totalidade das funções meromorfas duplamente periódicas com dados períodos define uma função corpo algébrico, associado a esta curva.
Podemos mostrar que este corpo é
    $\mathbb {C} (\wp ,\wp '),$
então todas estas funções são funções racionais na função Weierstrass e sua derivada.
Nós também podemos inserir um paralelograma de período único em um toro, ou superfície de Riemann em forma de "donut" , e tendo as funções elípticas associadas a um dado par de períodos como sendo funções definidas sobre esta superfície de Riemann.
As raízes $e_{1}$, $e_{2}$, e $e_{3}$ da equação $X^{3}-g_{2}X-g_{3}$ dependem de τ e podem ser expressas em termos de funções teta; nós temos
    $e_{1}(\tau )={\pi ^{2} \over {3}}(\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{01}^{4}(0;\tau )),$
    $e_{2}(\tau )=-{\pi ^{2} \over {3}}(\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )),$
    $e_{3}(\tau )={\pi ^{2} \over {3}}(\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )-\vartheta _{01}^{4}(0;\tau )).$
Dado que $g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{2}e_{3}+e_{3}e_{1})$ e $g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}$ nós temos estes também em termos de funções teta.
Podemos também expressar $\wp$ em termos de funções theta; porque estas convergem muito rapidamente, este é um meio mais rápido de cálculo $\wp$ que as séries que usamos para definí-las.
    $\wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}+e_{2}(\tau ).$
A função $\wp$ tem dois zeros (módulos de períodos) e a função $\wp '$ tem três. Os zeros de $\wp '$ são fáceis de serem encontrados: dado que $\wp '$ é uma função ímpar devem estar em pontos de meio período. Por outro lado é muito difícil expressar os zeros de $\wp$ por forma fechada, exceto para valores especiais do módulo (e.g. quando o retículo do período é inteiro de Gauss). Uma expressão foi encontrada por Zagier e Eichler.
A teoria de Weierstrass também inclui a função zeta de Weierstrass, a qual é uma integral indefinida de $\wp$ e não duplamente periódica, e uma função teta chamada função sigma de Weierstrass, da qual sua função zeta é a derivada logarítmica. A função sigma tem zeros em todos os pontos do período (somente), e pode ser expressa em termos de funções de Jacobi. Isto dá um meio de conversão entre notações de Weierstrass e Jacobi.
A função sigma de Weierstrass é uma função inteira; desempenha o papel de função 'típica' na teoria de funções inteiras aleatórias de J. E. Littlewood.

## Relação com as funções elípticas de Jacobi

Para trabalho numérico, é frequentemente conveniente calcular a função elíptica de Weierstrass em termos das funções elípticas de Jacobi. As relações básicas são
    $\wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\mathrm {sn} ^{2}w}}=e_{2}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\mathrm {dn} ^{2}w}{\mathrm {sn} ^{2}w}}=e_{1}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\mathrm {cn} ^{2}w}{\mathrm {sn} ^{2}w}}$
onde e$_{1-3}$ são as três raízes descritas acima e onde o módulo k das funções de Jacobi iguala-se
    $k\equiv {\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}$
e seu argumento w iguala-se
    $w\equiv z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.$