# Subestrutura

Em lógica matemática, uma subestrutura é uma estrutura cujo domínio é um subconjunto de uma estrutura maior, cujas funções e relações são rastros das funções e relações da estrutura maior. Mudando o ponto de vista, a estrutura maior é chamada de uma extensão ou uma superestrutura de uma subestrutura. Na Teoria dos modelos, o termo "submodelo" é freqüentemente usado como sinônimo de subestrutura, especialmente quando o contexto sugere uma teoria em que ambas as estruturas são modelos. Na presença de relações (ou seja, para estruturas como grupos ordenados ou grafos, cuja assinatura não é funcional) pode fazer sentido abrandar as condições em uma subálgebra de modo que as relações em uma subestrutura fraca são, no máximo, aquelas induzidas a partir da estrutura maior. Subgrafos são um exemplo onde a distinção importa, e o termo "subgrafo", de fato, refere-se a subestruturas fracas. Grupos ordenados, por outro lado, têm a propriedade especial de que toda subestrutura de um grupo ordenado que é ele próprio um grupo ordenado, é uma subestrutura induzida.
Dadas duas estruturas A e B, como sabemos se:
* A é subestrutura de B?
* B é subestrutura de A?
I) Mesma assinatura → Relações binárias, ternárias; funções...
II) Mesma natureza de domínio → A ⊆ B
III) “Tudo” é preservado

## Definição

Sejam A e B duas estruturas de "MESMA ASSINATURA L". Uma função entre os domínios de A e B, isto é, h : dom(A) → dom(B) , “preserva os papéis” se:
1. Para todo símbolo de constante c de L:
2. Para todo símbolo de relação n-ária (n > 0) R de L:
3. Para todo símbolo de função n-ária (n > 0) m de L:
As definições acima definem um "Homomorfismo". Para que haja um "Homomorfismo imersor", a função h deve ser "Injetiva" e no lugar de "se" temos "sse"(se somente se). Já para o caso de "Isomorfismo", além de ser "imersor", a função deve ser "Bijetiva" ("Imersão sobrejetora").
Sejam A e B duas estruturas, dizemos que A ⊆ B sse a função identidade de A para B é um "HOMOMORFISMO IMERSOR" de A para B e dom(A) ⊆ dom(B). Nesse caso dizemos que A é "SUBESTRUTURA" de B ou que B é "EXTENSÃO" de A.

## Exemplo

Na linguagem que consiste das funções binárias + e ×, relações binárias <, e constantes 0 e 1, a estrutura (Q, +, ×, <, 0, 1) é uma subestrutura de (R, +, ×, <, 0, 1). Mais genericamente, as subestruturas de um corpo ordenado são precisamente seus subcorpos. Da mesma forma, na linguagem (x, -1, 1) de grupos, as subestruturas de um grupo são seus subgrupos. No caso de grafos (na assinatura consistindo de uma relação binária), as subestruturas induzida de um grafo são precisamente os seus subgrafos induzidos, e suas subestruturas fracas são precisamente seus subgrafos.

## Subestruturas como subobjetos

Para cada assinatura s, subestruturas induzidas de s-estruturas são os subobjetos na categoria concreta de s-estruturas e homomorfismos forte (e também na categoria concreta de s-estruturas e s-imersões). Subestruturas fracas de s-estruturas são os subobjetos na categoria concreta de s-estruturas e homomorfismos no sentido comum.

## Submodelo

Em Teoria dos modelos, dada uma estrutura M, que é um modelo de uma teoria T, um submodelo de M em um sentido mais estrito é uma subestrutura de M que é também um modelo de T. Por exemplo, se T é a teoria de grupos abelianos na assinatura (+, 0), então o submodelos do grupo dos inteiros (Z, +, 0) são as subestruturas que também são os grupos. Assim, os números naturais (N, +, 0) forma uma subestrutura de (Z, +, 0) que não é um submodelo, enquanto os números pares (2Z, +, 0) formam um submodelo que é (um grupo, mas) não um subgrupo.

## Outros Exemplos

* Os números algébricos formam um submodelo dos números complexos na teoria de corpos algebricamente fechados.
* Os números racionais formam um submodelo dos números reais na teoria dos corpos.
* Toda subestrutura básica de um modelo de uma teoria T também satisfaz T; logo é um submodelo.
Na categoria de modelos de uma teoria e imersão entre eles, os submodelos de um modelo são os seus subobjetos.