# Métrica de Reissner-Nordström

Em física e astronomia, a métrica Reissner-Nordström é uma solução estática das equações de campo de Einstein no espaço vazio, a qual corresponde ao campo gravitacional de uma corpo esfericamente simétrico de massa M, carregado eletricamente e sem rotação. Foi desenvolvida por Gunnar Nordström e Hans Reissner, e presta-se ao tratamento dos corpos massivos chamados de buracos negros de Reissner-Nordström. Tal métrica pode se escrita como
    $c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}}}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}$
em que
    τ é o "tempo próprio" (tempo medido por um relógio movendo-se coma partícula) em segundos,
    c é a velocidade da luz em metros por segundo,
    t é a coordenada tempo (medida por um relógio estacionário no infinito) em segundo,
    r é a coordenada radial (circunferência de um círculo centrado sobre a estrela divida por 2π) em metros,
    θ é a colatitude (ângulo referente ao Norte) em radianos,
    φ é a longitude em radianos, e
    r$_s$ é o raio de Schwarzschild (em metros) do corpo massivo, o qual é relacionado a sua mass M por
       $r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$
    onde G é a contante gravitacional, e
    r$_Q$ é uma escala de comprimento correspondente à carga elétrica Q da massa
       $r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \epsilon _{0}c^{4}}}$
    onde 1/4πε$_0$ é a constante de força de Coulomb.
No limite que a carga Q (ou equivalentemente, a escala de comprimento r$_Q$) tenderá a zero, esta tende a métrica de Schwarzschild. A teoria clássica newtoniana da gravidade deve então ser tomada no limite com o raio r$_s$/r tendendo a zero. No limite, a métrica volta à métrica de Minkowski para a relatividade especial
    $c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,$
Na prática, o raio r$_s$ é quase sempre extremamente pequeno. Por exemplo, o raio de Schwarzschild r$_s$ da Terra é aproximadamente 9 mm ($^3$⁄$_8$ de polegada), onde um satélite em uma órbita geossíncrona tem um raio r que é aproximadamente quatro bilhões de vezes maior, em 42 164 km (26 200 milhas). Quando na superfície da Terra, as correções para a gravitação newtoniana são somente uma parte em um bilhão. O raio somente torna-se grande próximo a buracos negros e outros objetos ultradensos tais como estrelas de nêutrons.

## Buracos negros carregados

Embora buracos negros com $r_{Q}\ll r_{s}$ sejam similares a buracos negros de Schwarzschild, eles têm dois horizontes: o horizonte de eventos e um horizonte de Cauchy interno. Como usual, o horizonte de eventos para o espaço-tempo pode ser confiavelmente encontrado pela análise da equação
    $g^{00}=1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}=0$
Esta equação quadrática para r tem as soluções
    $r_{\pm }={\frac {r_{s}\pm {\sqrt {r_{s}^{2}-4r_{Q}^{2}}}}{2}}.$
Estes horizontes concêntricos tornam-se degenerados para $2r_{Q}=r_{s}$ a qual corresponde a um buraco negro extremo. Buracos negros com $2r_{Q}>r_{s}$ acreditam-se não existir na natureza porque eles conteriam uma "singularidade nua"; sua aparência iria contradizer a hipótese da censura cósmica de Roger Penrose a qual geralmente acredita-se ser verdadeira. Teorias com supersimetria usualmente garantem que tais buracos negros "superextremos" não podem existir.
O potencial eletromagnético é
    $A_{\alpha }=\left({\frac {Q}{r}},0,0,0\right)$.
Se monopolos magnéticos são incluídos na teoria, então uma generalização para incluir carga magnética $P$ é obtida por substituir $Q^{2}$ por $Q^{2}+P^{2}$ na métrica e incluir o termo $P\cos \theta d\phi$ no potencial eletromagnético.