# Reversibilidade do tempo

A reversibilidade do tempo é uma propriedade de um processo matemático ou físico cuja dinâmica permanece bem definida quando a sequência de estados de tempo é revertida.
Um processo determinístico é reversível no tempo se o processo com tempo revertido satisfizer as mesmas equações dinâmicas do processo original. Em outras palavras, as equações são invariantes ou simétricas sob uma mudança no sinal de tempo. Um processo estocástico é reversível se as propriedades estatísticas do processo forem iguais às propriedades estatísticas para os dados com tempo revertido a partir do mesmo processo.

## Matemática

Em matemática, um sistema dinâmico é reversível no tempo se a evolução direta for uma função injetora, de modo que, para todo estado, existe uma transformação (uma involução) $\pi$ que dá um mapeamento injetor entre a evolução com tempo revertido de qualquer estado e a evolução direta no tempo de outro estado correspondente, dada pela equação operadora:
   $U_{-t}=\pi U_{t}\pi .$
Quaisquer estruturas independentes no tempo (por exemplo, pontos críticos ou atratores) que a dinâmica faz surgir devem por isso ser autossimétricas ou ter imagens simétricas sob a involução $\pi$.

## Física

Em física, as leis do movimento da mecânica clássica exibem reversibilidade do tempo, enquanto o operador $\pi$ reverte os momentos conjugados de todas as partículas do sistema, isto é, $\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {-p}$ (simetria T).
Em sistemas de mecânica quântica, entretanto, a força nuclear fraca não é invariante sob a simetria T apenas. Se as interações fracas estiverem presentes, as dinâmicas reversíveis ainda são possíveis, mas apenas se o operador $\pi$ também reverter os sinais de todas as cargas e a paridade das coordenadas espaciais (simetria C e simetria P). Esta reversibilidade de várias propriedades relacionadas é conhecida como simetria CPT.
Os processos termodinâmicos podem ser reversíveis ou irreversíveis, dependendo da mudança na entropia durante o processo.

## Processos estocásticos

Um processo estocástico é reversível no tempo se as probabilidades conjuntas das sequências de estado direta e reversa forem as mesmas para todos os conjuntos de incrementos de tempo $\{\tau _{s}\}$, para $s=1,\ldots ,k$ para qualquer $k$:
   $p(x_{t},x_{t+\tau _{1}},x_{t+\tau _{2}},\ldots ,x_{t+\tau _{k}})=p(x_{t'},x_{t'-\tau _{1}},x_{t'-\tau _{2}},\ldots ,x_{t'-\tau _{k}}).$
Um processo gaussiano estacionário univariado é reversível no tempo. Os processos de Markov podem apenas ser reversíveis se suas distribuições estacionárias tiverem a propriedade do equilíbrio detalhado:
   $p(x_{t}=i,x_{t+1}=j)=p(x_{t}=j,x_{t+1}=i).$
O critério de Kolmogorov define a condição para que uma cadeia de Markov ou uma cadeia de Markov de tempo contínuo sejam reversíveis no tempo.
A reversão do tempo de numerosas classes de processos estocásticos tem sido estudada, incluindo processos de Lévy, redes estocásticas (lema de Kelly), processos de nascimento e morte, cadeias de Markov e processos de Markov determinísticos por partes.

## Ondas e óptica

O método da reversão do tempo funciona com base na reciprocidade linear da equação de onda, que afirma que a solução revertida no tempo de uma equação de onda é também uma solução para a equação de onda já que as equações de onda padrão apenas contêm derivadas pares das variáveis desconhecidas. Assim, a equação de onda é simétrica sob a reversão do tempo, de modo que a reversão do tempo de qualquer solução válida é também uma solução. Isto significa que o caminho de uma onda através do espaço é válido quando percorrido em qualquer direção.
O processamento de sinal de reversão de tempo é um processo em que esta propriedade é usada para reverter um sinal recebido. O sinal é então reemitido e uma compressão temporal ocorre, resultando em um reverso da forma de onda da excitação inicial sendo reproduzida na fonte inicial.