# Cálculo com múltiplas variáveis

Cálculo com múltiplas variáveis (também conhecido como cálculo multivariável) é a extensão do cálculo em uma variável ao cálculo em diversas variáveis: as funções as quais são diferenciáveis e integráveis envolvem várias variáveis ao invés de uma única variável.
Não é mais que a extensão do cálculo infinitesimal a funções escalares e vetoriais de várias variáveis, com tudo o que esta generalização implica.

## Cálculo diferencial em campos escalares e vetoriais
### Funções de R$^n$ em R$^m$. Campos escalares e vetoriais

Formulando as definições para campos vetoriais, estas também sendo válidas para campos escalares. Seja
    $\mathbf {f} :V\longrightarrow W$
um campo vetorial que faz corresponder a todo ponto P definido biunivocamente por sua vetor posição um vetor $\mathbf {f} {\big\mathbf {OP} {\big )}$ onde o ponto O é a origem de coordenadas.
    $V\subseteq \mathbb {R} ^{n},W\subseteq \mathbb {R} ^{m},$ com $n>1$ e $m\geqslant 1$. Quando $m=1$ temos um campo escalar. Para $m>1$ temos um campo vetorial. Utiliza-se a norma euclidiana para encontrar a magnitude dos vetores.

### Limites e continuidade

Sejam $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ e $\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{m}.$ Escrevemos:
    $\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b}$,
    ou ainda,
    $\mathbf {f} (\mathbf {x} )\rightarrow \mathbf {b}$ cuando $\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a}$
    para expressar o seguinte:
    $\lim _{{\big \|}\mathbf {x-a} {\big \|}\to 0}{\big \|}\mathbf {f} {\big\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\big \|}=0$
onde ${\big \|}\mathbf {x} {\big \|}$ é a norma euclideana de $\mathbf {x}$.
Expresando-o em função das componentes de $\mathbf {x} ={\bigx_{1},\ldots ,x_{n}{\big )},\mathbf {a} ={\biga_{1},\ldots ,a_{n}{\big )},$
    $\lim _{{\bigx_{1},\ldots ,x_{n}{\big )}\to {\biga_{1},\ldots ,a_{n}{\big )}}\mathbf {f} {\bigx_{1},\ldots ,x_{n}{\big )}=\mathbf {b}$
ou, de forma equivalente,
    $\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b}$
   Dizemos que uma função $\mathbf {f}$ é contínua em $\mathbf {a} \Leftrightarrow \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} {\big\mathbf {a} {\big )}$.
   $\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {g} {\big\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {c} \Rightarrow$
       a) $\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big\mathbf {f} +\mathbf {g} {\big ]}{\big\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} +\mathbf {c}$
       b) $\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda \mathbf {f} {\big\mathbf {x} {\big )}=\lambda \mathbf {b} \quad \forall \lambda \in \mathbb {R}$
       c) $\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} {\big )}{\big\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} \cdot \mathbf {c}$
       (produto escalar de $\mathbf {b}$ com $\mathbf {c}$).
       d) $\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\Big \|}\mathbf {f} {\big\mathbf {x} {\big )}{\Big \|}={\big \|}\mathbf {b} {\big \|}$
   Sabemos que a) e b) no teorema se verificam se $f$ e $g$ são funções escalares. Portanto, se
       $\mathbf {b} ={\bigb_{1},\ldots ,b_{m}{\big )},\mathbf {c} ={\bigc_{1},\ldots ,c_{m}{\big )}$ temos
       ${\begin{array}{rl}a)&\mathbf {f} {\big\mathbf {x} )={\bigf_{1}{\big\mathbf {x} {\big )},\ldots ,f_{m}{\big\mathbf {x} {\big )}{\big ]},\mathbf {g} {\big\mathbf {x} )={\Bigg_{1}{\big\mathbf {x} {\big )},\ldots ,g_{m}{\big\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}\\&\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big\mathbf {f} +\mathbf {g} {\big )}{\big\mathbf {x} {\big )}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\Big{\bigf_{1}+g_{1}{\big )}{\big\mathbf {x} {\big )},\ldots ,{\bigf_{m}+g_{m}{\big )}{\big\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\Big\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\bigf_{1}+g_{1}{\big )}{\big\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\bigf_{m}+g_{m}{\big )}{\big\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\Big\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{1}{\big\mathbf {x} {\big )}+\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }g_{1}(\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{m}{\big\mathbf {x} {\big )}+\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }g_{m}{\big\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\bigb_{1}+c_{1},\ldots ,b_{m}+c_{m}{\big )}={\bigb_{1},\ldots ,b_{m}{\big )}+{\bigc_{1},\ldots ,c_{m}{\big )}=\mathbf {b} +\mathbf {c} \end{array}}$
       ${\begin{array}{rl}b)&\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda \mathbf {f} {\big\mathbf {x} {\big )}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda {\Bigf_{1}{\big\mathbf {x} {\big )},\ldots ,f_{m}{\big\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\Big\lambda f_{1}{\big\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lambda f_{m}{\big\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\Big\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda f_{1}{\big\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda f_{m}{\big\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}={\Big\lambda \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{1}{\big\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lambda \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{m}{\big\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&\lambda {\Big\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{1}{\big\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{m}{\big\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\lambda {\bigb_{1},\ldots ,b_{m}{\big )}=\lambda \mathbf {b} \end{array}}$
       $c)\quad {\big\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} {\big )}{\big\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} ={\Big\mathbf {f} {\big\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big ]}\cdot {\Big\mathbf {g} {\big\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big ]}+\mathbf {b} \cdot {\Big\mathbf {g} {\big\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big ]}+\mathbf {c} \cdot {\Big\mathbf {f} {\big\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big ]}$
       Aplicando a desigualdade triangular e a desigualdade de Cauchy-Schwarz temos
       ${\begin{array}{l}{\Big |}{\big\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} {\big )}{\big\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} {\Big |}\leqslant {\Big \|}\mathbf {f} {\big\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big \|}\cdot {\Big \|}\mathbf {g} {\big\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big \|}+{\big \|}\mathbf {b} {\big \|}\cdot {\Big \|}\mathbf {g} {\big\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big \|}+{\big \|}\mathbf {c} {\big \|}\cdot {\Big \|}\mathbf {f} {\big\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big \|}\Rightarrow \\0\leqslant \lim _{{\big \|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \|}\to 0}{\Big |}{\big\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} {\big )}{\big\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} {\Big |}\leqslant \lim _{{\big \|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {f} {\big\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big \|}\cdot \lim _{{\big \|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {g} {\big\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big \|}+\\{\big \|}\mathbf {b} {\big \|}\cdot \lim _{{\big \|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {g} {\big\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big \|}+{\big \|}\mathbf {c} {\big \|}\lim _{{\big \|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {f} {\big\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big \|}=0\cdot 0+{\big \|}\mathbf {b} {\big \|}\cdot 0+{\big \|}\mathbf {c} {\big \|}\cdot 0=\\0\end{array}}$
       , como queríamos demonstrar.
       $d)\quad \mathbf {g} {\big\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} {\big\mathbf {x} {\big )},\mathbf {c} =\mathbf {b} \Rightarrow \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\Big \|}\mathbf {f} {\big\mathbf {x} {\big )}{\Big \|}^{2}={\big \|}\mathbf {b} {\big \|}^{2}$, como queríamos demonstrar.
   Sejam $\mathbf {f}$ e $\mathbf {g}$ duas funções tais que a função composta $\mathbf {f} \circ \mathbf {g}$ está definida em $\mathbf {a}$, sendo
       ${\big\mathbf {f} \circ \mathbf {g} {\big )}{\big\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} {\Big\mathbf {g} {\big\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}$
       $\mathbf {g}$ é contínua em $\mathbf {a}$ e $\mathbf {f}$ é contínua em $\mathbf {g} {\big\mathbf {a} {\big )}\Rightarrow {\big\mathbf {f} \circ \mathbf {g} {\big )}$ é contínua em $\mathbf {a}$.
   Sejam $\mathbf {y} =\mathbf {g} {\big\mathbf {x} {\big )}$ e $\mathbf {b} =\mathbf {g} {\big\mathbf {a} {\big )}$. Então,
       ${\begin{array}{l}\lim _{{\big \|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {f} {\Big\mathbf {g} {\big\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}-\mathbf {f} {\Big\mathbf {g} {\big\mathbf {a} {\big )}{\Big ]}{\Big \|}=\lim _{{\big \|}\mathbf {y} -\mathbf {b} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {f} {\big\mathbf {y} {\big )}-\mathbf {f} {\big\mathbf {b} {\big )}{\Big \|}=0\Rightarrow \\\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\Big\mathbf {g} {\big\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\mathbf {f} {\Big\mathbf {g} {\big\mathbf {a} {\big )}{\Big ]}\end{array}}$
       como queríamos demostrar.

### Derivadas direcionais
#### Derivada de um campo escalar em relação a um vetor

   Seja $f:S\subseteq \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$. Seja $\mathbf {x}$ um vetor cuja origem é a origem das coordenadas e cujo extremo $\in S,$ e $\mathbf {y}$ um vetor arbitrário de $\mathbb {R} ^{n}$. Definimos a derivada de f em $\mathbf {x}$ em relação a $\mathbf {y}$ como
       $f'{\big\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}=\lim _{h\to 0}{\cfrac {f{\big\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}-f{\big\mathbf {x} {\big )}}{h}}$

#### Derivadas parciais

   ${\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}=\lim _{h\to 0}{\cfrac {f{\bigx_{1},\ldots ,x_{k}+h,\ldots ,x_{n}{\big )}-f{\bigx_{1},\ldots ,x_{k},\ldots ,x_{n}{\big )}}{h}}$
    Se derivamos a expressão anterior em relação a uma segunda variável, $x_{j}$, teremos ${\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}$. Na prática, calcularemos ${\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}$ derivando em relação a $x_{k}$ e supondo $x_{j},\quad \forall j\neq k$ constante.

### A diferencial
#### Definição de campo escalar diferenciável

   Dizemos que f é diferenciável em $\mathbf {a} \Leftrightarrow$
       $\exists f_{L}:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} {\Big |}\lim _{{\big \|}\mathbf {v} {\big \|}\to \mathbf {0} }f{\big\mathbf {a} +\mathbf {v} {\big )}=f{\big\mathbf {a} {\big )}+f_{L}{\big\mathbf {v} {\big )}$.
       $f_{L}$ deve ser uma aplicação linear, que definimos como a diferencial de f em a.
    A equação anterior é a fórmula de Taylor de primeira ordem para $f{\big\mathbf {a} +\mathbf {v} {\big )}$.

#### Teorema de unicidade da diferencial

   $f$ é diferenciável em $\mathbf {x}$ com diferencial $f_{L}{\big\mathbf {y} {\big )}\Rightarrow$
       a) $\exists f'{\big\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}\quad \forall \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}$
       b) $f'{\big\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}=\sum _{k=1}^{n}y_{k}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}$
   ${\begin{array}{rl}a)&\mathbf {v} =h\mathbf {y} ,\quad h\in \mathbb {R} ,\\&\lim _{{\big \|}\mathbf {v} {\big \|}\to \mathbf {0} }f{\big\mathbf {x} +\mathbf {v} {\big )}=\lim _{{\big \|}\mathbf {v} {\big \|}\to \mathbf {0} }f{\big\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}=f{\big\mathbf {x} {\big )}+f_{L}{\bigh\mathbf {y} {\big )}=\\&f{\big\mathbf {x} {\big )}+hf_{L}{\big\mathbf {y} {\big )}\Rightarrow \\&\lim _{h\to 0}{\cfrac {f{\big\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}-f{\big\mathbf {x} {\big )}}{h}}=f'{\big\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}=f_{L}{\big\mathbf {y} {\big )}\end{array}}$
       como queríamos demonstrar.
       $b)$ Expressando $y$ em função de seus componentes na base
       ${\begin{array}{l}{\big \\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}{\big \}},f_{L}{\big\mathbf {y} {\big )}=f_{L}{\big\sum _{k=1}^{n}y_{k}\mathbf {e} _{k}{\big )}=\sum _{k=1}^{n}y_{k}f_{L}{\big\mathbf {e} _{k}{\big )}=\sum _{k=1}^{n}y_{k}f'{\big\mathbf {x} ;\mathbf {e} _{k}{\big )}=\\\sum _{k=1}^{n}y_{k}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}\end{array}}$
       como queríamos demonstrar.

#### Regra da cadeia

   Seja $f:S\subset \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$ um campo escalar e $\mathbf {x} :J\in \mathbb {R} \longrightarrow S$. Definimos a função composta $g=f\circ \mathbf {x}$ como $g(t)=f{\Big\mathbf {x} {\bigt{\big )}{\Big ]}$, então $\quad g'{\bigt{\big )}=\sum _{k=1}^{n}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}\cdot {\cfrac {dx_{k}}{dt}}$

#### Diferencial de um campo vetorial

   Seja $\mathbf {f} :S\subseteq \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ um campo vetorial. Seja $\mathbf {x} \in S$ e $\mathbf {y}$ um vetor qualquer. Definimos a derivada
       $\mathbf {f'} {\big\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}=\lim _{h\to 0}{\cfrac {\mathbf {f} {\big\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}-\mathbf {f} {\big\mathbf {x} {\big )}}{h}}$
Expressando $\mathbf {f'} {\big\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}$ em função de seus componentes, temos $\mathbf {f'} {\big\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}={\Bigf'_{1}{\big\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )},\ldots ,f'_{m}{\big\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}{\Big ]}$
   Dizemos que $\mathbf {f}$ é diferenciável $\Leftrightarrow \exists \mathbf {f} _{L}:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$, aplicação linear que verifica:
       $\lim _{{\big \|}\mathbf {v} {\big \|}\to 0}\mathbf {f} {\big\mathbf {x} +\mathbf {v} {\big )}=\mathbf {f} {\big\mathbf {x} {\big )}+\mathbf {f} _{L}{\big\mathbf {v} {\big )}$.
    Esta é a fórmula de Taylor de primeira ordem para $\mathbf {f} .\quad \mathbf {f} _{L}{\big\mathbf {v} {\big )}=\mathbf {f} '{\big\mathbf {x} ;\mathbf {v} {\big )}$.
A matriz de $\mathbf {f} '$ é sua matriz jacobiana.

#### Diferenciabilidade implica continuidade

   Se um campo vetorial $\mathbf {f}$ é diferenciável em $\mathbf {x} \Rightarrow$ é contínuo em $\mathbf {x}$.
    Se deduze facilmente da fórmula de Taylor de primeira ordem já vista.

#### Regra da cadeia para diferenciais de campos vetoriais

   Seja $\mathbf {h} {\big\mathbf {x} {\big )}={\big\mathbf {f} \circ \mathbf {g} {\big )}{\big\mathbf {x} {\big )}$ um campo vetorial definido e diferenciável em $\mathbf {x}$. Sua diferencial $\mathbf {h} '{\big\mathbf {x} {\big )}$ resulta ser
       $\mathbf {h} '{\big\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} '{\Big\mathbf {g} {\big\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}\circ \mathbf {g} '{\big\mathbf {x} {\big )}$

### Condição suficiente para a igualdade das derivadas parciais mistas

   ${\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}\quad \forall i\neq j\Leftrightarrow$ ambas derivadas parciais existem e são contínuas em $\mathbf {x}$.

## Aplicações do cálculo diferencial
### Cálculo de máximos, mínimos e "pontos de sela" para campos escalares

   Um campo escalar tem um máximo em $\mathbf {x} =\mathbf {a} \Leftrightarrow$ existe uma n-esfera $B{\big\mathbf {a} {\big )}{\Big |}\forall \mathbf {x} \in B{\big\mathbf {a} {\big )}\quad f{\big\mathbf {x} {\big )}\leqslant f{\big\mathbf {a} {\big )}$
   Um campo escalar tem um mínimo em $\mathbf {x} =\mathbf {a} \Leftrightarrow$ existe uma n-esfera $B{\big\mathbf {a} {\big )}{\Big |}\forall \mathbf {x} \in B{\big\mathbf {a} {\big )}\quad f{\big\mathbf {x} {\big )}\geqslant f{\big\mathbf {a} {\big )}$
   Um campo escalar tem um ponto de sela $\Leftrightarrow$
       $\forall B{\big\mathbf {a} {\big )}\quad \exists \mathbf {x} {\big |}f{\big\mathbf {x} {\big )}\leqslant f{\big\mathbf {a} {\big )}\land \exists \mathbf {x} {\big |}f{\big\mathbf {x} {\big )}\geqslant f{\big\mathbf {a} {\big )}$.
Para saber se é um dos casos anteriores:
* Obtemos $\mathbf {x} {\Big |}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}=0\qquad \forall k{\Big |}1\leqslant k\leqslant n$
* Obtemos a matriz hessiana de f. Seja esta $\mathbf {F} {\big\mathbf {x} {\big )}$.
** $\mathbf {F} {\big\mathbf {x} {\big )}$ é definida positiva $\Rightarrow f$ tem um mínimo local (mínimo relativo) em $\mathbf {x}$.
** $\mathbf {F} {\big\mathbf {x} {\big )}$ é definida negativa $\Rightarrow f$ tem um máximo local (máximo relativo) em $\mathbf {x}$.
** $\mathbf {F} {\big\mathbf {x} {\big )}$ é indefinida $\Rightarrow f$ tem um ponto de sela em $\mathbf {x}$.
No exposto anteriormente, supomos que ${\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}$ é contínua $\forall i,j{\big |}1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant j\leqslant n$