# Limite

Em matemática, a noção de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito $(+\infty )$. Os limites são usados no cálculo diferencial e integral e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas, continuidade de funções, soma de Riemann, integrais definidas e integrais impróprias.

## Limite de uma sequência

Seja $x_{1},x_{2},\ldots$ uma sequência de números reais. A expressão: $\lim x_{i}=L$ significa que, para índices i{\textstyle i} suficientemente grandes, os termos x$_i${\textstyle x_{i}} da sequência estão arbitrariamente próximos do valor L.{\textstyle L.} Neste caso, dizemos que o limite da sequência é L.{\textstyle L.}
A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, pode ser interpretada como um desafio. O desafiante propõe quão perto de L{\textstyle L} os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo índice i{\textstyle i}, os demais termos da sequência estão tão ou mais perto de L{\textstyle L} quanto solicitado.
Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de L{\textstyle L} (dado pelo desafiante), por exemplo, o intervalo aberto (L−ϵ, L+ϵ){\textstyle (L-\epsilon , L+\epsilon )} com ϵ>0{\textstyle \epsilon >0}, o desafiado deve exibir um número natural $N$ tal que ∀i{\textstyle \forall i} com i>N{\textstyle i>N} tem-se que x$_i$∈(L−ϵ, L+ϵ){\textstyle x_{i}\in (L-\epsilon , L+\epsilon )}.
Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim: $\forall \epsilon >0,~\exists N\in \mathbb {N} ;\forall i\in \mathbb {N} \land ~i\geq N\Rightarrow |x_{i}-L|<\epsilon$

## Limite de uma função

Suponhamos que f(x){\textstyle f(x)} é uma função real e que c{\textstyle c} é um número real. A expressão: $\lim _{x\to c}f(x)=L$ significa que f(x){\textstyle f(x)} se aproxima tanto de L{\textstyle L} quanto quisermos, quando se toma x{\textstyle x} suficientemente próximo de c{\textstyle c}. Quando tal acontece dizemos que o limite de f(x){\textstyle f(x)}, à medida que x{\textstyle x} se aproxima de c{\textstyle c}, é L{\textstyle L}.
Note-se que esta definição não exige (ou implica) que f(c)=L{\textstyle f(c)=L}, nem sequer que f(x){\textstyle f(x)} esteja definida em c{\textstyle c}. Agora, no caso de f(c){\textstyle f(c)} existir (estar definido) e $\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$ diz-se que f(x){\textstyle f(x)} é contínua no ponto c{\textstyle c}.

### Exemplos

Consideremos $f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}$ à medida que x{\textstyle x} se aproxima de 2{\textstyle 2}, i.e busquemos calcular $\lim _{x\to 2}f(x)=\lim _{x\to 2}{\frac {x}{x^{2}+1}}$ Neste caso, f(x){\textstyle f(x)} está definida em 2{\textstyle 2} e é igual ao seu limite: 0, 4, {\textstyle 0, \!4, } vejamos:
| f(1,9) | f(1,99) | f(1,999) | f(2) | f(2,001) | f(2,01) | f(2,1) |
| 0,4121 | 0,4012 | 0,4001 | $\rightarrow$ 0,4 $\leftarrow$ | 0,3998 | 0,3988 | 0,3882 |
À medida que x{\textstyle x} aproxima-se de 2{\textstyle 2}, f(x){\textstyle f(x)} aproxima-se de 0, 4{\textstyle 0, \!4} e consequentemente temos $\lim _{x\to 2}f(x)=0,\!4$ Ou seja, f(x){\textstyle f(x)} é contínua no ponto 2{\textstyle 2}.
Vejamos, agora, o seguinte exemplo de uma função não contínua (descontínua): $g(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {x}{x^{2}+1}},&{\mbox{se }}x\neq 2\\\\0,&{\mbox{se }}x=2.\end{matrix}}\right.$ O limite de g(x){\textstyle g(x)} à medida que x{\textstyle x} se aproxima de 2{\textstyle 2} é 0, 4{\textstyle 0, \!4} (tal como no exemplo acima), mas $g(2)=0\neq \lim _{x\to 2}g(x)$ e consequentemente g(x){\textstyle g(x)} não é contínua em x=2{\textstyle x=2}.
Consideremos, agora, mais o seguinte exemplo de uma função descontínua: $h(x)={\frac {x-1}{{\sqrt {x}}-1}}$ Apesar de h(x){\textstyle h(x)} não estar definida em x=1{\textstyle x=1}, pode-se demonstrar (por exemplo, via regra de l'Hôpital) que $\lim _{x\to 1}h(x)=2$
| h(0,9) | h(0,99) | h(0,999) | h(1.0) | h(1,001) | h(1,01) | h(1,1) |
| 1,95 | 1,99 | 1,999 | $\rightarrow$ não está definido $\leftarrow$ | 2,001 | 2,010 | 2,10 |
Observa-se que x{\textstyle x} pode ser tomado tão próximo de 1{\textstyle 1} quanto quisermos, sem no entanto ser igual a 1{\textstyle 1}, donde infere-se que o limite de f(x){\textstyle f(x)} é 2{\textstyle 2}.

### Definição formal

Sejam $I\subset \mathbb {R}$ um intervalo de números reais, $a\in I$ e $f:I-\{a\}\to \mathbb {R}$ uma função real definida em $I-\{a\}.$ Escrevemos $A=\lim _{x\to a}f(x)$ quando para qualquer que seja $\varepsilon >0$ existe um $\delta >0$ tal que para todo $x\in I,$ satisfazendo $0<|x-a|<\delta ,$ vale $|f(x)-A|<\varepsilon$. Ou, usando a notação simbólica:
$A=\lim _{x\to a}f(x)\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in I;0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$

### Exemplos de provas de limites
#### Exemplo 1

$\lim _{x\rightarrow 2}(3x+1)=7$ Supondo um $\epsilon >0$
$|(3x+1)-7|<\epsilon$
$|3x-6|<\epsilon$
Dividindo por 3 em ambos os lados:
$|x-2|<{\frac {\epsilon }{3}}$
O que prova o limite com $\delta ={\frac {\epsilon }{3}}>0$

#### Exemplo 2

$\lim _{x\rightarrow 1}(1+x)=2$
Supondo um $\epsilon >0$
$|1+x-2|<\epsilon$
$|x-1|<\epsilon$
E isso completa a prova com $\delta =\epsilon >0$

### Aproximação intuitiva

A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. A noção de limite pode ser aprendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente.
Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x$_0$ arbitrariamente muito pouco também.
Por exemplo, imaginemos a função: $f(x)=2x+1$ e imaginando $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos: $f(0)=2.0+1$ que nos dá: $f(0)=0+1=1,$ ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que se aproximem de 1, por exemplo:
* Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96
* Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996
* Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996
* Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998
Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite, quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever como no seguinte exemplo:
Exemplo 1.1: Sendo uma função f definida por: $f(x)=2x+1$ nos reais, calcular o limite da função $f$ quando $x\to 1.$ Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja, para a resolução fazemos:
Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja:
Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função $f(x)$ descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222. Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.

## Limites em funções de duas ou mais variáveis

A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que o limite exista ou não. A função distância entre os objectos da função, na definição formal anteriormente apresentada para uma variável, dada por $|x-a|,$ não pode ser utilizada. Neste contexto, surge a necessidade de uma função distância. Nesse caso, a definição de limite é a seguinte:
Seja $f$ uma função do tipo:
$D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$$x\longmapsto f(x)=z$
Em que $x$ é um vector com $n$ coordenadas e $z$ um número real. Se $a$ for um vector com $n$ coordenadas, então:
$\lim _{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\left(x\in D\;\wedge 0<d(x,a)<\delta \right)\Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon$
Em que $d(x,a)=\|x-a\|$ é a função distância.

### Exemplo

Uma função do tipo:
$\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$$(x,y)\longmapsto f(x,y)=z$
pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.
Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um grau de liberdade, ou seja, só se pode ir para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de menores números reais).
Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem-se dois graus de liberdade. Consequentemente, pode-se ter infinitos caminhos entre dois pontos, o que na verdade influencia o valor do limite.
Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele seja independente do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados. Isso é verdade no caso unidimensional, quando os dois limites laterais coincidem. Caso contrário, o limite não existe.
De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:
$\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$$(x,y)\longmapsto f(x,y)=xy$
o limite pode ser testado através de vários caminhos.
Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta função:
$\lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=L$
Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades (de entre uma infinidade delas):
* o limite através do eixo dos $yy,$ ou seja,
$\lim _{x\to 0}f(x,0)=L$
Nesse caso o limite L é zero.
* o limite através do eixo dos $xx,$ ou seja,
$\lim _{y\to 0}f(0,y)=L$
Nesse caso, o limite L é também zero.
Poder-se-ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa função, o limite nesse ponto é sempre zero, conforme demonstraremos.
Vamos, então, provar que
$\lim _{(x,y)\to (0,0)}xy=0$
Ou seja, provar que
$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\left((x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;\wedge 0<\|(x,y)-(0,0)\|<\delta \right)\Longrightarrow |xy-0|<\epsilon$$\Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\left((x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;\wedge 0<{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<\delta \right)\Longrightarrow |xy|<\epsilon$
Vamos procurar escrever $\delta$ em função de $\epsilon .$
${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<\delta \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}<\delta ^{2}$$|xy|\leq \max\{|x|,|y|\}^{2}\leq x^{2}+y^{2}<\delta ^{2}$
Se escolhermos $\delta ={\sqrt {\epsilon }},$ então, pela segunda desigualdade, $|xy|<\delta ^{2}=\epsilon ,$ o que prova o nosso limite.
Um exemplo de uma função que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:
$\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$$(x,y)\longmapsto f(x,y)={xy \over (x^{2}+y^{2})}$
que pode ser provado fazendo-se a aproximação do ponto (0,0) através das parametrizações dadas pelas equações paramétricas:
$x=\left(\cos \alpha \right)t$
$y=\left(\mathrm {sen} \,\alpha \right)t$
a função toma a forma
$f(x,y)={\cos(\alpha )\mathrm {sen} \,(\alpha ) \over (\cos \alpha )^{2}+(\mathrm {sen} \,\alpha )^{2}}={\mathrm {sen} \,(2\alpha ) \over 2}$
Vê-se, então, que o valor do limite depende do ângulo α pelo qual a reta de parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite não existe nesse ponto para essa função.