# Correlação de graus

No estudo de ciência das redes, assortatividade ou correlação de graus é uma propriedade estrutural amplamente observada em redes do mundo real. A correlação de graus indica a relação entre os nós de uma rede, e é frequentemente definido como o coeficiente de correlação de Pearson

## Topologias de rede devido a correlação de graus

A partir do cálculo da correlação dos graus da rede estudada, é possível observar até três tipos de topologias diferentes, que irão impactar na forma como hubs (nós fortemente vinculados) se comportam na rede.

### Rede Neutra (Neutral Network)

Em redes neutras, os hubs não possuem tendências a se conectar entre si e nem com nós de baixo grau, ao invés disso, possuem um número aleatório de arestas entre si. A rede elétrica é um exemplo de rede neutra. Nesse tipo de rede, a probabilidade de se ter uma aresta entre um nó com grau $k$ e $k'$, pode ser calculada a partir de:
$P_{k,k'}={\frac {kk'}{2L}}$
onde $L$ é o número de links (arestas) na rede.

### Rede Assortativa (Assortative Network)

Em redes assortativas, os hubs tendem a se conectar entre si, evitando nós com grau baixo. Ao mesmo tempo, nós com grau baixo tendem a se conectar entre si. Redes sociais são exemplos de redes deste tipo.

### Rede Dissassortativa (Disassortative Network)

Em redes dissassortativas, os hubs tendem a se conectar com nós de baixo grau. Um exemplo de rede deste tipo é a rede formada pelo mapa de interações de proteínas de fermento.

## Formas de quantificar a correlação de graus

Existem diversas formas de verificar a correlação de graus em uma rede, ela pode ser quantificada na forma de uma matriz, função ou até mesmo um único número.

### Matriz de correlação de graus

Uma das formas de observar a correlação de graus em uma rede é através da visualização da matriz de correção de graus $e$. Nesta matriz, cada elemento $e_{ij}$ representa a probabilidade de se selecionar uma aresta aleatória, e nesta aresta encontrar um nó de grau $i$ em uma ponta, e grau $j$ na outra ponta.

### Função de correlação de graus

Uma outra forma de observar a correlação de graus, é através da função de correlação de graus, a qual oferece uma forma mais simples de verificar a correlação em uma rede. Essa função pode ser calculada para todos os nós com grau $k$, a partir de:
$k_{nn}(k)=\sum _{k'}k'P(k'|k)$
onde $P(k'|k)$ é a probabilidade condicional de que seguindo uma aresta de um nó com grau $k$, encontraremos um nó com grau $k'$.
* Em redes neutras, o gráfico de $k_{nn}(k)$ deve resultar em uma linha horizontal;
* Em redes assortativas, o gráfico de $k_{nn}(k)$ aumenta conforme o grau k vai aumentando;
* Em redes dissassortativas, o gráfico de $k_{nn}(k)$ diminui conforme o grau k vai aumentando.
Podemos também aproximar a função de correlação de graus, escrevendo-a da seguinte forma:
$k_{nn}(k)=ak^{\mu }$
onde $a$ é a amplitude, e $\mu$ é o expoente de correlação. Utilizando essa aproximação, podemos verificar a correlação de graus a partir de $\mu$:
* Se $\mu >0$, a rede é assortativa;
* Se $\mu =0$, a rede é neutra;
* Se $\mu <0$, a rede é dissassortativa.

### Coeficiente de correlação de graus

Também é possível determinar correlação de graus utilizando um único número, para tal, podemos usar o coeficiente de correlação de graus, proposto por Mark Newman, e que pode ser definido como:
$r=\sum _{jk}{jk{\bigle_{jk}-q_{j}q_{k}{\bigr )} \over \sigma ^{2}}$
Sendo:
$\sigma ^{2}=\sum _{k}k^{2}q_{k}-{\bigg\sum _{k}kq_{k}{\bigg ]}^{2}$
$q_{k}={\frac {kp_{k}}{\langle k\rangle }}$
onde $p_{k}$ é probabilidade de se encontrar um nó com grau $k$ na rede, $\langle k\rangle$ é o grau médio dos nós da rede e $e_{jk}$ é calculado da mesma forma que os elementos ($e_{ij}$) da matriz de correlação $e$.
O coeficiente de correlação $r$ é um valor que está sempre no intervalo $[-1,1]$. De forma mais prática, assim como proposto por Newman, podemos reescrever a equação do coeficiente de correlação $r$ como:
$r\ =\ {\frac {M^{-1}\sum _{i}{j_{i}k_{i}\ -\ \left[M^{-1}\sum _{i}{{\frac {1}{2}}\ \left(j_{i}\ +k_{i}\right)}\right]^{2}}}{M^{-1}\sum _{i}{{\frac {1}{2}}\left({j_{i}}^{2}\ +{k_{i}}^{2}\right)}-\ \left[M^{-1}\sum _{i}{{\frac {1}{2}}\ \left(j_{i}\ +k_{i}\right)}\right]^{2}}}$
onde $j_{i}$, $k_{i}$ são os graus dos nós nas pontas da i-ésima aresta da rede. Utilizando $r$, podemos verificar a correlação de graus de acordo com o sinal do valor encontrado:
* Se $r>0$, a rede é assortativa;
* Se $r=0$, a rede é neutra;
* Se $r<0$, a rede é dissassortativa.

## Correlação de graus no mundo real

A tabela abaixo apresenta o coeficiente de correlação de graus $r$, descrito na seção anterior, em diferentes tipos de redes.
Quantidade de nós $n$ e coeficiente de correlação de graus $r$ em diversas redes. :
| | Rede | $n$ | $r$ |
| Redes do mundo real | co-autoria de física$^a$ | 52909 | 0,363 |
| Redes do mundo real | co-autoria de biologia$^a$ | 1520251 | 0,127 |
| Redes do mundo real | co-autoria de matemática$^b$ | 253339 | 0,120 |
| Redes do mundo real | colaboração de atores de cinema$^c$ | 449913 | 0,208 |
| Redes do mundo real | Diretores de uma empresa$^d$ | 7673 | 0,276 |
| Redes do mundo real | Internet$^e$ | 10697 | -0,189 |
| Redes do mundo real | World-Wide Web$^f$ | 269504 | -0,065 |
| Redes do mundo real | Interações de Proteínas$^g$ | 2115 | -0,156 |
| Redes do mundo real | Rede Neural$^h$ | 307 | -0,163 |
| Modelos | Rede Aleatória$^u$ | | 0 |
| Modelos | Barabási and Albert$^w$ | | 0 |
Nesta tabela, os indíces representam: (a) redes de colaboração científica de físicos, biólogos e (b) matemáticos; (c) atores de filmes; (d) empresários; (e) conexões entre sistemas autônomos na internet; (f) hyperlinks não direcionados entre páginas da Web em um único domínio; (g) Interação proteína-proteína no fermento; (h) Conexões sinápticas não direcionadas e sem peso de um nematóide; (u) Rede aleatória produzida pelo modelo de Erdós and Rényi; (w) Modelo de Barabási e Albert com acoplamento preferencial.