# Cone

Em geometria, o cone é um sólido geométrico obtido quando se tem uma pirâmide cuja base é um polígono regular, o número de lados da base tende ao infinito e a medida de lado do polígono tende a zero.

## Classificação

Os cones podem ser divididos em:
* Reto;
* Oblíquo;
* Equilátero.

### Reto

O cone é dito reto quando a sua base é um círculo e a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base (isto é, o seu eixo) é perpendicular ao plano da base. Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada por geratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. O conjunto desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cônica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por um triângulo retângulo que roda sobre um eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto.

### Oblíquo

Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo não é perpendicular ao plano da base.

### Equilátero

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

## Cone de um espaço vetorial

Um subconjunto C do espaço vetorial E chama-se um cone quando, para todo elemento v pertencente a C e todo t > 0 real, tem-se que tv pertence a C.

## Fórmulas

O volume, V{\textstyle V}, de um cone de altura, h{\textstyle h}, e base com raio, r{\textstyle r}, é 1/3{\textstyle 1/3} do volume do cilindro com as mesmas dimensões, ou seja:
   $V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$
O centro de massa (considerando que o cone possui densidade uniforme) está localizado no seu eixo a 1/4{\textstyle 1/4} da distância da base ao eixo.
A área da superfície de um cone A{\textstyle A} é dada por:
   $A=\pi r(r+g)$
onde, g=√(r$^2$+h$^2$){\textstyle g={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}} é a geratriz ou altura lateral do cone. O primeiro termo nesta fórmula, πr$^2${\textstyle \pi r^{2}} é a área da base, enquanto que o segundo termo πrg{\textstyle \pi rg} é a área lateral. Ou seja, a área total é a área lateral mais a área da base:
   $_{A=πr⋅g+πr2{\displaystyleA=\pir\cdotg+\pir^{2}}}$

### Com uso de cálculo integral

Aqui, obteremos as fórmulas do volume e área total do cone usando de técnicas de cálculo diferencial e integral. Um cone de altura h{\textstyle h} e raio r{\textstyle r} corresponde ao sólido de revolução que se obtém ao rotacionar a função:
   $y={\frac {r}{h}}x$
em torno do eixo x{\textstyle x}.
Volume
Notemos que a área da seção circular do cone é dada por:
   $A=\pi y^{2}=\pi \left({\frac {r}{h}}x\right)^{2}$
Para um deslocamento infinitesimal dx{\textstyle dx} tem-se o incremento de volume:
   $dV=\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}x^{2}dx$
Então, integrando de 0{\textstyle 0} a h{\textstyle h} obtemos o volume do cone:
   $\int _{0}^{h}dV=\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}x^{2}dx\Rightarrow V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$
Área total
O cálculo da área de superfície total do cone se divide em duas partes: o cálculo da área da base e o cálculo da área lateral. A base é um círculo de área:
   $A_{b}=\pi r^{2}$
Agora, para obtermos a área da superfície lateral, vamos empregar um raciocínio semelhante ao do cálculo do volume. Primeiramente, observamos que um deslocamento infinitesimal dx{\textstyle dx} corresponde a um deslocamento de comprimento de linha dL{\textstyle dL} sobre a reta y=r/h x{\textstyle y={\frac {r}{h}}x}. Pelo Teorema de Pitágoras temos que $(dL)^{2}=(dy)^{2}+(dx)^{2}$, ou seja:
   $dL={\sqrt {\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+1}}\,dx$
Considerando a rotação do segmento dL{\textstyle dL} em torno do eixo x{\textstyle x}, temos que o incremento de área lateral infinitesimal é dada por:
   $dA_{l}=2\pi y\,dL$
Substituindo y{\textstyle y} e dL{\textstyle dL} em função de x{\textstyle x} e dx{\textstyle dx}, obtemos:
   $dA_{l}=2\pi {\frac {r}{h}}x{\sqrt {{\frac {r^{2}}{h^{2}}}+1}}\,dx$
Integrando de 0{\textstyle 0} a h{\textstyle h}, temos:
   $\int _{0}^{h}dA_{l}=\int _{0}^{h}2\pi {\frac {r}{h}}x{\sqrt {{\frac {r^{2}}{h^{2}}}+1}}\,dx\Rightarrow A_{l}=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$
Somando-se as áreas da base e lateral temos a área total:
   $A=\pi r(g+r)$
onde, $g={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$.

### Para cones equiláteros

A área da base do cone é:
    $A_{b}=\pi r^{2}$
Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)$^2$=h$^2$+r$^2${\textstyle (2r)^{2}=h^{2}+r^{2}}, logo h$^2$=4r$^2$−r$^2$=3r$^2${\textstyle h^{2}=4r^{2}-r^{2}=3r^{2}}, assim:
    $h=r{\sqrt {3}}$
Como o volume do cone é obtido por 1/3{\textstyle 1/3} do produto da área da base pela altura, temos:
    $V={\frac {\pi r^{3}{\sqrt {3}}}{3}}$
Similarmente, a área lateral é dada por:
    $A_{l}=\pi \cdot r\cdot g=\pi \cdot r\cdot 2r=2\cdot \pi \cdot r^{2}$
e, a área total por:
    $A=3\pi r^{2}$