# Relação Faber-Jackson
## Introdução

Usando observações de galáxias espirais, em 1977, R. Brent Tully e J. Richard Fisher descobriram que a velocidade máxima de rotação das espirais está intimamente relacionada à sua luminosidade, seguindo a relação
$L\propto v_{max}^{\alpha }$
onde a inclinação da relação Tully-Fisher é sobre α ∼ 4. Uma relação para galáxias elípticas análoga ao Tully- Fisher foi encontrada por Sandra Faber e Roger Jackson: a relação Faber-Jackson pode ser usada para estimar a distância de uma galáxia a partir de sua dispersão de velocidade medida.
$L\propto v_{0}^{4}$ ou $\log(\sigma _{0})=-0.1M_{B}+const$
Também podemos derivar a relação de Faber-Jackson tal como a de Tully-Fisher. Entretanto, como é possível perceber na Imagem 1, ao contrário das espirais com a Relação de Tully-Fisher, existe uma grande dispersão de elípticas na de Faber-Jackson.

## Galáxias elípticas

Conforme o nome já diz, as galáxias elípticas são aquelas cujo formato é arredondado, algumas de formato oblato, como uma abóbora, e outras têm forma triaxial com três eixos desiguais, como uma bola de futebol americano. Elas abrangem uma gama bem grande (mais de 106) em luminosidade e massa, como é mostrado pela compilação na Tabela 1. O termo geral “galáxias elípticas” (ou elípticas) cobre uma ampla classe de galáxias que diferem em suas luminosidades e tamanhos. Uma subdivisão aproximada é a seguinte:
* Elípticas normais - Esta classe inclui elípticas gigantes (gE's), de luminosidade intermediária (E's), e elípticas compactas (cE's), cobrindo uma gama de magnitudes absolutas de $M_{B}$ ∼ −23 a $M_{B}$ ∼ −15.
* Elípticas anãs (dE's) - A diferença entre esse tipo dos cE's é que sua superfície tem significativamente menor brilho e uma menor metalicidade.
* Galáxias cD - Estas galáxias são extremamente luminosas (até $M_{B}$ ∼ −25) e grandes (até R $\lesssim$ 1 Mpc), tendo uma relação M / L muito alta.
* Galáxias anãs compactas azuis - Estas “compactas anãs azuis” (BCD's) são galáxias visivelmente mais azuladas (com $\langle B-V\rangle$ entre 0,0 e 0,3) do que as outras, contendo uma grande quantidade de gás.
* Esferoidais anãs (dSph’s) - possuem tanto luminosidade quanto brilho superficial muito baixos, com valores observados de até $M_{B}$ ∼ −8.
Tabela 1 - Valores característicos para galáxias elípticas. Fonte: Schneider, Peter. Extragalactic Astronomy and Cosmology: An Introduction. Springer, 2006. :
| | s0 | cD | E | dE | dSph | BCD |
| $M_{B}$ | -17 a -22 | -22 a -25 | -15 a -23 | -13 a -19 | -8 a -15 | -14 a -17 |
| $M(M\odot )$ | $10^{10}$ a $10^{12}$ | $10^{13}$ a $10^{14}$ | $10^{8}$ a $10^{13}$ | $10^{7}$ a $10^{9}$ | $10^{7}$ a $10^{8}$ | ~$10^{9}$ |
| $D_{25}(kpc)$ | 10-100 | 300-1000 | 1-200 | 1-10 | 0.1-0.5 | <3 |
| $\langle M/L_{B}\rangle$ | ~10 | >100 | 10-100 | 1-10 | 5-100 | 0.1-10 |
| $\langle S_{N}\rangle$ | ~5 | ~15 | ~5 | 4.8$\pm$1.0 | - | - |

## Teoria

A Energia de Ligação Gravitacional (do inglês Gravitational Binding Energy, ou GBE) de um sistema com raio $R$ e massa $M$
$U=-\alpha {\frac {GM^{2}}{R}}$
onde $G$ é a Constante Gravitacional Universal que tem como valor 6,67408 × 10$^{-11}$ m$^3$ kg$^{-1}$ s$^{-2}$, e $\alpha$ é uma constante dependente da galáxia elíptica. Para uma densidade constante,
$\alpha ={\frac {3}{5}}$.
A energia cinética é dada pela expressão:
$K={\frac {1}{2}}MV^{2}={\frac {3}{2}}M\sigma ^{2}$
Pelo Teorema do Virial ($2K+U=0$):
$\sigma ^{2}={\frac {1}{5}}{\frac {GM}{R}}$
Assumindo que $M/L$ é constante, ou seja, que a relação massa/luz não varia, é possível obter a seguinte expressão:
$R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}}$
Introduzindo o brilho da superfície $B=L/(4\pi R^{2})$ e assumindo que esta é uma constante, é possível obter:
$L=4\pi R^{2}B$
Sabendo-se disso e relacionando $L$ e $R$ o resultado se torna:
$L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)B$
Finalmente, reescrevendo a expressão acima, é possível obter a relação entre a dispersão de velocidade e a luminosidade:
$L\propto 4\pi \left({\frac {\sigma ^{4}}{4\pi G^{2}B}}\right)$
ou seja
$L\propto \sigma ^{4}$