# Cálculo de Ricci

Em matemática, o cálculo de Ricci constitui as regras da notação de índice e manipulação de tensores e campos tensoriais. Também é o nome moderno para o que costumava ser chamado de cálculo diferencial absoluto (a base do cálculo tensorial), desenvolvido por Gregorio Ricci-Curbastro em 1887-1896, e posteriormente popularizado em um artigo escrito com seu pupilo Tullio Levi-Civita em 1900. Jan Arnoldus Schouten desenvolveu a notação moderna e o formalismo para esta estrutura matemática, e fez contribuições com a teoria, durante suas aplicações à relatividade geral e geometria diferencial no início do século XX.

## Partes simétricas e anti-simétricas
### Parte simétrica do tensor

Parênteses, ( ), em torno de vários índices denota a parte simetrizada do tensor. Ao simetrizar índices p usando σ para variar sobre as permutações dos números 1 a p, obtém-se uma soma sobre as permutações desses índices α$_{σ(i)}$ por i = 1, 2, 3, …, p, e então divide pelo número de permutações:
    $A_{(\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p})\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\,.$
Por exemplo, dois índices de simetrização significam que há dois índices para permutar e somar:
    $A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)$
enquanto para três índices de simetrização, existem três índices para somar e permutar:
    $A_{(\alpha \beta \gamma )\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }+A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }+A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)$
A simetrização é distributiva em relação à adição;
    $A_{(\alpha }\left(B_{\beta )\gamma \cdots }+C_{\beta )\gamma \cdots }\right)=A_{(\alpha }B_{\beta )\gamma \cdots }+A_{(\alpha }C_{\beta )\gamma \cdots }$
Os índices não fazem parte da simetrização quando são:
* não no mesmo nível, por exemplo;
    $A_{(\alpha }B^{\beta }_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }_{\gamma }+A_{\gamma }B^{\beta }_{\alpha }\right)$
* entre parênteses e entre as barras verticais (ou seja, |⋅⋅⋅|), modificando o exemplo anterior;
    $A_{(\alpha }B_{|\beta |}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }+A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)$
Aqui os índices α e γ são simetrizados, β não.

### Parte anti-simétrica ou alternada do tensor

Colchetes, [ ], em torno de vários índices denota a parte anti-simetrizada do tensor. Para índices p anti-simetrizantes - a soma das permutações desses índices α$_{σ(i)}$ multiplicado pela assinatura da permutação sgn(σ) é tomado, então dividido pelo número de permutações:
    ${\begin{aligned}&A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\[3pt]=&{\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\=&\delta _{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}^{\beta _{1}\dots \beta _{p}}A_{\beta _{1}\cdots \beta _{p}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\\end{aligned}}$
onde δβ$_1$⋅⋅⋅β$_p$ α$_1$⋅⋅⋅α$_p$ é o delta de Kronecker generalizado de grau 2p, com escala conforme definido abaixo.
Por exemplo, dois índices anti-simetrizantes implicam:
    $A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)$
enquanto três índices anti-simetrizantes implicam:
    $A_{[\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)$
como para um exemplo mais específico, se F representa o tensor eletromagnético, então a equação
    $0=F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}={\dfrac {1}{3!}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha }\right)\,$
representa a lei de Gauss para o magnetismo e a lei de indução de Faraday.
Como antes, a anti-simetrização é distributiva em relação à adição;
    $A_{[\alpha }\left(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\gamma \cdots }\right)=A_{[\alpha }B_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }C_{\beta ]\gamma \cdots }$
Tal como acontece com a simetrização, os índices não são anti-simetrizados quando são:
* não no mesmo nível, por exemplo;
    $A_{[\alpha }B^{\beta }_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }_{\gamma }-A_{\gamma }B^{\beta }_{\alpha }\right)$
* dentro dos colchetes e entre as barras verticais (ou seja, |⋅⋅⋅|), modifica o exemplo anterior;
    $A_{[\alpha }B_{|\beta |}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }-A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)$
    Aqui os índices α e γ são anti-simetrizados, β não.

### Soma das partes simétricas e antissimétricas

Qualquer tensor pode ser escrito como a soma de suas partes simétricas e antissimétricas em dois índices:
    $A_{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }$
como pode ser visto adicionando as expressões acima para A$_{(αβ)γ⋅⋅⋅}$ e A$_{[αβ]γ⋅⋅⋅}$. Isso não se aplica a outros índices.