# Lista de transformadas de Laplace

A tabela a seguir provê as transformadas de Laplace para as funções mais comuns de uma variável. Para definições e exemplos, veja a nota explanatória no fim da tabela.
A transformada de Laplace é definida como:
    $F(s)={\mathcal {L}}\{f(s)\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$
Porque a transformada de Laplace é um operador linear:
    ${\mathcal {L}}\left\{f(t)+g(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}$
    ${\mathcal {L}}\left\{af(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$
Usando a propriedade da linearidade e as relações/identidades trigonométricas, hiperbólicas e complexas, algumas transformadas de Laplace podem ser obtidas de outras mais rápida do que diretamente pela definição.
A unilateralidade da transformada de Laplace toma como entrada uma função cujo domínio são os reais não negativos, este é o motivo de todas as funções no domínio de tempo na tabela abaixo serem múltiplas da Função de Heaviside, u(t). As entradas desta tabela que envolvem um tempo de atraso $\tau$ são obrigadas a serem causais (para $\tau$ > 0). Um sistema causal é um sistema em que a resposta ao impulso h(t) é zero para todo tempo t prévio a t = 0. Em geral, a região de convergência para um sistema causal não é o mesmo para um sistema anti-causal.
| Função | Domínio de tempo $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}$ | Laplace s-domínio $F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$ | Região de Convergência | Referência |
| impulso unitário | $\delta (t)\$ | $1$ | todo s | inspeção |
| impulso atrasado | $\delta (t-\tau )\$ | $e^{-\tau s}\$ | | mudança de tempo do impulso unitário |
| Degrau Unitário | $u(t)\$ | ${1 \over s}$ | Re(s) > 0 | integral do impulso unitário |
| Função Constante | $k\cdot u(t)$ | $k/s$ | Re(s) > 0 | Convolução |
| passo único atrasado | $u(t-\tau )\$ | ${\frac {1}{s}}e^{-\tau s}$ | Re(s) > 0 | mudança de tempo do passo único |
| rampa | $t\cdot u(t)\$ | ${\frac {1}{s^{2}}}$ | Re(s) > 0 | integral do impulso unitário duas vezes |
| n-ésima potência ( para n inteiro) | $t^{n}\cdot u(t)$ | ${n! \over s^{n+1}}$ | Re(s) > 0 (n > −1) | Integral do passo único n vezes |
| q-ésima potência (para q complexo) | $t^{q}\cdot u(t)$ | ${\Gamma (q+1) \over s^{q+1}}$ | Re(s) > 0 Re(q) > −1 | |
| n-ésima raiz | ${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$ | ${1 \over s^{{\frac {1}{n}}+1}}\Gamma \left({\frac {1}{n}}+1\right)$ | Re(s) > 0 | Deixe q = 1/n acima. |
| n-ésima potência com mudança de frequência | $t^{n}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$ | ${\frac {n!}{(s+\alpha )^{n+1}}}$ | Re(s) > −α | Integral do passo único aplique a mudança de frequência |
| n-ésima potência atrasada com mudança de frequência | $(t-\tau )^{n}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$ | ${\frac {n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$ | Re(s) > −α | Integral do passo único, aplique a mudança de frequência, aplique a mudança de tempo |
| Decaimento exponencial | $e^{-\alpha t}\cdot u(t)$ | ${1 \over s+\alpha }$ | Re(s) > −α | Mudança de frequência do passo único |
| Decaimento exponencial bilateral | $e^{-\alpha |t|}\$ | ${2\alpha \over \alpha ^{2}-s^{2}}$ | −α < Re(s) < α | Mudança de frequência do passo único |
| Exponencial genérica | $a^{t}\cdot u(t)$ | $1/(s-ln(a))$ | Re(s) > ln(a) | Adaptação da transformada do decaimento exponencial |
| aproximação exponencial | $(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$ | ${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$ | Re(s) > 0 | passo único menos decaimento exponencial |
| Seno | $\sin(\omega t)\cdot u(t)\$ | ${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$ | Re(s) > 0 | Bracewell 1978, p. 227 |
| Cosseno | $\cos(\omega t)\cdot u(t)\$ | ${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$ | Re(s) > 0 | Bracewell 1978, p. 227 |
| Seno hiperbólico | $\sinh(\alpha t)\cdot u(t)\$ | ${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$ | Re(s) > |α| | Williams 1973, p. 88 |
| Cosseno hiperbólico | $\cosh(\alpha t)\cdot u(t)\$ | ${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$ | Re(s) > |α| | Williams 1973, p. 88 |
| decaimento exponencial onda senoidal | $e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$ | ${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$ | Re(s) > −α | Bracewell 1978, p. 227 |
| decaimento exponencial onda cossenoidal | $e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$ | ${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$ | Re(s) > −α | Bracewell 1978, p. 227 |
| Logaritmo natural | $\ln(t)\cdot u(t)$ | $-{1 \over s}\,\left[\ln(s)+\gamma \right]$ | Re(s) > 0 | Williams 1973, p. 88 |
| Logaritmo genérico | $log_{a}(x)\cdot u(t)$ | $-(ln(s)+\gamma )/(s\centerdot ln(a))$ | Re(s) > 0 | Adaptação da transformada do logaritmo natural |
| Função de Bessel de primeira espécie, de ordem n | $J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$ | ${\frac {\left({\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}-s\right)^{n}}{\omega ^{n}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}$ | Re(s) > 0 (n > −1) | Williams 1973, p. 89 |
| Função erro | $\mathrm {erf} (t)\cdot u(t)$ | ${\frac {1}{s}}e^{{\frac {1}{4}}s^{2}}\left(1-\operatorname {erf} {\frac {s}{2}}\right)$ | Re(s) > 0 | Williams 1973, p. 89 |
| decaimento exponencial onda cossenoidal deslocada (I) | $e^{-\alpha t}\cos(\omega t+\theta )\cdot u(t)$ | ${\frac {\cos(\theta )s+\alpha \cos(\theta )-\omega \sin(\theta )}{s^{2}+2\alpha s+\alpha ^{2}+\omega ^{2}}}$ | Re(s) > −α | |
| decaimento exponencial onda cossenoidal deslocada (II) | $Ce^{-\alpha t}\cos(\omega t+\theta )\cdot u(t)$ | ${\frac {As+B}{s^{2}+2\alpha s+\beta }}$ $\omega ={\sqrt {\beta -\alpha ^{2}}}$ $C={\frac {1}{\omega }}{\sqrt {A^{2}\beta +B^{2}-2AB\alpha }}$ $\theta =\tan ^{-1}\left({\frac {A\alpha -B}{A\omega }}\right)$ | Re(s) > −α | |
| decaimento exponencial onda cossenoidal deslocada (III) | $e^{-\alpha t}\left[A\cos(\omega t)-{\frac {B-A\alpha }{\omega }}\sin(\omega t)\right]\cdot u(t)$ | ${\frac {As+B}{s^{2}+2\alpha s+\beta }}$ $\omega ={\sqrt {\beta -\alpha ^{2}}}$ | Re(s) > −α | |
| Produto de exponencial por seno hiperbólico | $\exp(-at)sinh(bt)\cdot u(t)$ | $b/(s+a)(s^{2}-b^{2})$ | Re(s) > Max(-a,|b|) | Convolução |
| Produto de exponencial por cosseno hiperbólico | $\exp(-at)cosh(bt)\cdot u(t)$ | $s/(s+a)(s^{2}-b^{2})$ | Re(s) > Max(-a,|b|) | Convolução |
| Produto de exponencial por logaritmo natural | $\exp(-at)\ln(t)\cdot u(t)$ | $-[ln(s)+\gamma ]/(s^{2}+sa)$ | Re(s) > Max(-a,0) | Convolução |
| Produto de monômio por seno | $t^{n}sin(\omega t)\cdot u(t)$ | $n!\omega /s^{n}(s^{3}+\omega ^{2}s)$ | Re(s) > 0 | Convolução |
| Produto de monômio por cosseno | $t^{n}cos(\omega t)\cdot u(t)$ | $n!s/s^{n}(s^{3}+\omega ^{2}s)$ | Re(s) > 0 | Convolução |
| Produto de monômio por seno hiperbólico | $t^{n}sinh(at)\cdot u(t)$ | $n!a/s^{n}(s^{3}-a^{2}s)$ | Re(s) > |a| | Convolução |
| Produto de monômio por cosseno hiperbólico | $t^{n}cosh(at)\cdot u(t)$ | $n!s/s^{n}(s^{3}-a^{2}s)$ | Re(s) > |a| | Convolução |
| Produto de monômio por função erro | $t^{n}erf(t)\cdot u(t)$ | $n!\exp(s^{2}/4)(1-erf(s/2))/s^{2}s^{n}$ | Re(s) > 0 | Convolução |
| Produto de monômio por logaritmo natural | $t^{n}ln(t)\cdot u(t)$ | $n![ln(s)+\gamma ]/s^{2}s^{n}$ | Re(s) > 0 | Convolução |
| Produto de seno por cosseno | $sin(at)cos(bt)\cdot u(t)$ | $sb/(s^{2}+a^{2})(s^{2}+b^{2})$ | Re(s) > 0 | Convolução |
| Produto de seno por seno hiperbólico | $sin(\omega t)sinh(at)\cdot u(t)$ | $a\omega /(s^{2}-a^{2})(s^{2}+\omega ^{2})$ | Re(s) > |a| | Convolução |
| Produto de seno por cosseno hiperbólico | $sin(\omega t)cosh(at)\cdot u(t)$ | $s\omega /(s^{2}-a^{2})(s^{2}+\omega ^{2})$ | Re(s) > |a| | Convolução |
| Produto de seno por logaritmo natural | $sin(at)ln(t)\cdot u(t)$ | $\omega [ln(s)+\gamma ]/(s^{3}+s\omega ^{2})$ | Re(s) > 0 | Convolução |
| Produto de cosseno por seno hiperbólico | $cos(\omega t)sinh(at)\cdot u(t)$ | $as/(s^{2}-a^{2})(s^{2}+\omega ^{2})$ | Re(s) > |a| | Convolução |
| Produto de cosseno por cosseno hiperbólico | $cos(\omega t)cosh(at)\cdot u(t)$ | $s^{2}/(s^{2}-a^{2})(s^{2}+\omega ^{2})$ | Re(s) > |a| | Convolução |
| Produto de cosseno por função erro | $cos(\omega t)erf(t)\cdot u(t)$ | $\exp(s^{2}/4)(1-erf(s/2))/(s^{2}+\omega ^{2})$ | Re(s) > 0 | Convolução |
| Produto de cosseno por logaritmo natural | $cos(\omega t)ln(t)\cdot u(t)$ | $[ln(s)+\gamma ]/(s^{2}+\omega ^{2})$ | Re(s) > 0 | Convolução |
| Produto de seno hiperbólico por cosseno hiperbólico | $sinh(at)cosh(bt)\cdot u(t)$ | $sa/(s^{2}-a^{2})(s^{2}-b^{2})$ | Re(s) > Max(|a|, |b|) | Convolução |
| Produto de seno hiperbólico por função erro | $sinh(at)erf(t)\cdot u(t)$ | $a\exp(s^{2}/4)(1-erf(s/2))/(s^{3}-a^{2}s)$ | Re(s) > |a| | Convolução |
| Produto de seno hiperbólico por logaritmo natural | $sinh(at)ln(t)\cdot u(t)$ | $a[ln(s)+\gamma ]/(s^{3}-a^{2}s)$ | Re(s) > |a| | Convolução |
| Produto de cosseno hiperbólico por função erro | $cosh(at)erf(t)\cdot u(t)$ | $\exp(s^{2}/4)(1-erf(s/2))/(s^{2}-a^{2})$ | Re(s) > |a| | Convolução |
| Produto de cosseno hiperbólico por logaritmo natural | $cosh(at)ln(t)\cdot u(t)$ | $[ln(s)+\gamma ]/(s^{2}-a^{2})$ | Re(s) > |a| | Convolução |
| Produto de função erro por logaritmo natural | $erf(t)ln(t)\cdot u(t)$ | $\exp(s^{2}/4)(1-erf(s/2))[ln(s)+\gamma ]/s^{2}$ | Re(s) > 0 | Convolução |
| Tangente de t | $\tan(t)$ | $-{i \over s}-{i \over 2}(\pi \csc h({\pi s \over 2}))-{1 \over 2\psi }({1 \over 2}+{si \over 4})+\psi ({si \over 8})$ | Re(s) > 0 | Inspeção |
| Cotangente de t | $\cot(t)$ | $\int _{0}^{t}{exp(-pt)\cot(t)dt \over 1+exp(-p\pi )}$ | Re(s) > 0 | Inspeção |
| Secante de t | $\sec(t)$ | $-{i \over 2}(\pi \sec h({\pi s \over 2}))-\psi ({1 \over 4}+{si \over 4})+\psi ({si \over 4}+{3 \over 4})$ | Re(s) > 0 | Inspeção |
| Cossecante de t | $\csc(t)$ | $\int _{0}^{2\pi }{exp(-st)\csc(t)dt \over 1-exp(-2s\pi )}$ | Re(s) > 0 | Inspeção |
| Tangente hiperbólico de t | $\tanh(t)$ | ${1 \over 2s}(-s\psi ({s \over 4})+s\psi ({s+2 \over 4}))$ | Re(s) > 0 | Inspeção |
| Cotangente hiperbólico de t | $\coth(t)$ | $\int _{0}^{i\pi }{exp(-st)\coth(t)dt \over 1-exp(-is\pi )}$ | Re(s) > 0 | Inspeção |
| Secante hiperbólico de t | $\sec h(t)$ | ${1 \over 2}(\psi ({s+3 \over 4})-\psi ({s+1 \over 4}))$ | Re(s) > 0 | Inspeção |
| Cossecante hiperbólico de t | $\csc h(t)$ | $\int _{0}^{2i\pi }{exp(-st)\csc h(t)dt \over 1-exp(-2is\pi )}$ | Re(s) > 0 | Inspeção |
| 'a' seno de t | $a\sin(t)$ | ${i\pi (iLo(s)+Yo(-is) \over 2s}$ | Re(s) > 0 | Inspeção |
| 'a' cosseno de t | $a\cos(t)$ | ${(\pi Lo(s)-\pi Io(s)+2iKo(s)+\pi ) \over 2s}$ | Re(s) > 0 | Inspeção |
| 'a' tangente de t | $a\tan(t)$ | $(2Ci(s)\sin(s))+(\pi -2Si(s))\cos(s) \over 2s$ | Re(s) > 0 | Inspeção |
| 'a' seno hiperbólico de t | $a\sin h(t)$ | $\pi (Ho(s)-Yo(s)) \over 2s$ | Re(s) > 0 | Inspeção |
| Seno de t ao quadrado | $\sin(t^{2})$ | ${{\sqrt {\pi \over 2}} \over 2}[(-2C({s \over {\sqrt {2\pi }}})\cos({s^{2} \over 4})-2S({s \over {\sqrt {2\pi }}})\sin({s^{2} \over 4}))+\sin({s^{2} \over 4})+{\sqrt {s^{-4}}}s^{2}\cos({s^{2} \over 4})]$ | Re(s) > 0 | Inspeção |
| Cosseno de t ao quadrado | $\cos(t^{2})$ | ${{\sqrt {\pi \over 2}} \over 2}[(2C({s \over {\sqrt {2\pi }}})-1)\sin({s^{2} \over 4})-2S({s \over {\sqrt {2\pi }}})\cos({s^{2} \over 4})+\cos({s^{2} \over 4})]$ | Re(s) > 0 | Inspeção |
| Seno hiperbólico de t ao quadrado | $\sin h(t^{2})$ | $(2F({s \over 2})-{\sqrt {}\pi )e^{({s^{2} \over 4})}erfc({s \over 2})) \over 4$ | Re(s) > 0 | Inspeção |
| Cosseno hiperbólico de t ao quadrado | $\cos h(t^{2})$ | $(2F({s \over 2})+{\sqrt {}\pi )e^{({s^{2} \over 4})}erfc({s \over 2})) \over 4$ | Re(s) > 0 | Inspeção |
| Nota explicatória: u(t) representa a Função de Heaviside. $\delta (t)\,$ representa a Delta de Dirac. Γ(z) representa a Função gama. γ é a Constante de Euler-Mascheroni. t, um número real, tipicamente representa tempo, embora possa representar qualquer dimensão independente. s é a Frequência angular complexa, e Re(s) é sua parte real. α, β, τ, e ω são números reais. n é um Número inteiro. |||||