# Equação de Burgers
## Introdução

A equação de Burgers é expressa por $u_{t}+c\cdot u_{x}=\mu \cdot u_{xx}$ e é a equação linear mais simples conhecida. O estudo dessa equação é de extrema importância, já que ela é utilizada como modelo matemático para análise de fenômenos como turbulência e formação de choque.
A equação de Burgers, estabelecida por Burgers em 1940, é uma equação diferencial parcial simplificada das equações de Navier-Stokes, do tipo convecção-difusão, para casos em que o gradiente de pressão possa ser ignorado. O termo não linear dá origem a uma onda que se move em alguma direção. Essa onda eventualmente se dissipa e a solução não linear tende à mesma forma da solução não linearizada, porém com amplitude menor.
A solução desta equação sem viscosidade, ou seja, com $\mu =0$, pode se dar pelo método das características, no qual é possível descobrir curvas características, onde a equação é reduzida para uma EDO.
Considerando $\mu >0$, Hopf e Cole deduziram que as equações de Burgers podem ser transformadas em uma equação linear da difusão do calor, conhecida como "transformação de Hopf-Cole".

## Teorema da Transformada de Hopf-Cole

Seja $v(x,t)>0$ uma solução positiva da equação do calor:
$v_{t}=\mu v_{xx}$
Então, definimos a transformação de Hopf-Cole como:
$u(x,t)=-2\mu {\frac {v_{x}}{v}}$
Essa transformação é útil para converter a equação de Burgers na equação do calor, facilitando sua resolução.

## Teorema da Conservação de Massa

O Teorema da Conservação de Massa afirma que a integral total da solução $u(x,t)$ ao longo de toda a reta real $\mathbb {R}$ permanece constante no tempo, desde que $u(x,0)\in L^{1}(\mathbb {R} ).$ Seja u(x,t) uma solução da equação de Burgers viscosa:
    $u_{t}+uu_{x}=\mu u_{xx}$
com condição inicial $u(x,0)\in L^{1}(\mathbb {R} ).$ Então, para todo $t\geq 0$ , a seguinte identidade se mantém:
    $\int _{\mathbb {R} }u(x,t)\,dx=\int _{\mathbb {R} }u(x,0)\,dx.$
Ou seja, a quantidade total de $u(x,t)$ ao longo do domínio permanece constante no tempo.

## Teorema da Monotonicidade

Se $||u(x,t)||_{L^{1}(\mathbb {R} )}\leq ||u(x,0)||_{L^{1}(\mathbb {R} )}$ para todo $t>0$, e o teorema da conservação de massa, que estabelece que, sendo $u(x,t)$ solução para a equação de Burgers com $u(x,0)\in L^{1}(\mathbb {R} )$, tem-se que:
$\int _{\mathbb {R} }u(x,t)dx=\int _{\mathbb {R} }u(x,0)dx$
Para demonstrar o teorema da monotonicidade da solução, definimos uma função de corte $\zeta _{r}(x)$ e uma função sinal regularizada $L'_{s}(u(x,t))$.

### Função sinal regularizada

$S\in C_{1}(\mathbb {R} )$
$L'_{s}=\int S\left({\frac {\xi }{S}}\right)d\xi$
$sgn(x)={\begin{cases}1,&{\text{se }}x>0\\0,&{\text{se }}x=0\\-1,&{\text{se }}x<0\end{cases}}$

### Função de Corte

$\zeta _{r}(x)\in C^{1}(\mathbb {R} )$
$\zeta _{r}(x)={\begin{cases}1,&{\text{se }}|x|\leq r/2\\0,&{\text{se }}|x|\geq r\end{cases}}$
O teorema da monotonicidade da solução consiste em multiplicar a equação de Burgers por $L'_{s}(u(x,t))$ e pela função de corte $\zeta _{r}(x)$, integrando em $[t_{o},T]\times [-r,r]$. Assim, obtemos:
$\int _{t_{0}}^{T}\!\!\!\int _{-r}^{r}L_{s}'\cdot \zeta _{r}(x)\cdot u_{t}dxdt+\int _{t_{0}}^{T}\!\!\!\int _{-r}^{r}L_{s}'\cdot \zeta _{r}(x)uu_{x}dxdt=\int _{t_{0}}^{T}\!\!\!\int _{-r}^{r}L_{s}'\cdot \zeta _{r}(x)\cdot \mu u_{xx}dxdt$
Resolvendo a primeira parte da equação:
$I\rightarrow \int _{\mathbb {R} }L_{s}(u(x,T))-\int _{\mathbb {R} }L_{s}(u(x,t_{o}))$
Pela parte III:
$III\rightarrow -\mu \int _{t_{0}}^{T}\!\!\!\int _{\mathbb {R} }Ls''(u)\cdot u_{x}^{2}dxdt$
Unindo todas as partes:
$\int _{\mathbb {R} }L_{s}(u(x,T))\leq \int _{\mathbb {R} }L_{s}(u(x,t_{o}))$
Então, quando $S\rightarrow 0$, temos $L_{s}(u(x,T))\rightarrow |u(x,t)|$, resultando em:
$\int _{\mathbb {R} }|u(x,T)|\leq \int _{\mathbb {R} }|u(x,t_{o})|$
O mesmo raciocínio pode ser aplicado para $r>1$.
No caso da conservação de massa, multiplicamos a equação de Burgers $u_{t}+uu_{x}=\mu \cdot u_{xx}$ pela função de corte $\zeta _{r}(x)$ e integramos em $[to,T]\times [-r,r]$, resultando em:
$\int _{-r}^{r}u(x,T)=\int _{-r}^{r}u(x,t_{0})$
Como a função ${\frac {d\zeta _{r}}{dx}}$ tende a 0 quando r $\rightarrow \infty$, resulta que a função $u$ é limitada, obtemos que os termos adicionais desaparecem, garantindo a conservação da massa na equação de Burgers.