# Espaço de Banach

Em matemática, um espaço de Banach, é um espaço vectorial normado completo. Deve seu nome ao matemático polaco Stefan Banach (1892–1945), o qual contribuiu para a teoria das séries ortogonais e inovações na teoria de medida e integração, sendo a sua contribuição mais importante na análise funcional.

## Definições preliminares
### Espaços métricos

Sejam $M$ um conjunto não-vazio e $d$ uma métrica em $M$, dizemos que o par ($M$, $d$) é um espaço métrico.

### Espaço vetorial normado

Seja $E$ um espaço vetorial sobre um corpo e $\|.\|$ uma norma de $E$. O par ($E$, $\|.\|$ ) é um espaço vetorial normado.
* Um espaço normado ($E$, $\|.\|$) pode ser considerado um espaço métrico ($E$, $d$), basta definir a seguinte métrica
    $d(x,y)=\|x-y\|$, para todo $\ x,\ y\in E$.
De fato, os axiomas da métrica são satisfeitos. Assim, para todo $\ x,\ y,\ z\in E$, resulta:
* $d(x,x)=\|x-x\|=\|0\|=0$;
* Se $x\neq y$ e $x>y$, então $\|x-y\|=x-y>0$, $d(x,y)>0$.
Para o caso de $x<y$, temos: $\|x-y\|=-(x-y)=y-x>0$;
* $d(x,y)=\|x-y\|=\|(-1)(y-x)\|=|-1|.\|y-x\|=|1|.\|y-x\|=\|y-x\|=d(y,x)$;
* $d(x,z)=\|x-z\|=\|x+(-y+y)-z\|=\|(x-y)+(y-z)\|\leq \|x-y\|+\|y-z\|$.
Assim, todo espaço normado ($E$, $\|.\|$) é um espaço métrico ($E$, $d$), com $d$ sendo a métrica induzida pela norma $\|.\|$. De modo particular, todo espaço normado é um espaço topológico.
* É possível mostrar também que se $E$ é um espaço vetorial sobre os reais, munido de uma métrica $d$, essa métrica é induzida por uma norma se, e somente se, satisfaz:
** d(λx, λy)=|λ|d(x, y), ∀λ∈R;∀x, y∈E;{\textstyle d(\lambda x, \lambda y)=\vert \lambda \vert d(x, y), \;\forall \lambda \in \mathbb {R} ;\;\forall x, y\in E;}
** $d(x+z,y+z)=d(x,y),\;\forall x,y,z\in E.$

### Sequência de Cauchy

Uma sequência $(x_{n})$ em um espaço métrico $M$ chama-se uma sequência de Cauchy quando, para todo $\epsilon >0$ dado, existe $n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que $m,n>n_{0}$ implica $d(x_{m},x_{n})<\epsilon$.
Intuitivamente, à medida que o índice $n$ cresce, os termos da sequência de Cauchy se tornam mais próximos.
* Toda sequência convergente é de Cauchy.
* Toda sequência de Cauchy é limitada.

### Espaços métricos completos

Um espaço métrico $M$ é completo quando toda sequência de Cauchy em $M$ é convergente em $M$.
* Para mostrar que um espaço métrico $M$ não é completo, basta mostrar que existe uma sequência de Cauchy em $M$ que não seja convergente.
* O espaço métrico $\mathbb {Q}$ não é completo. Basta tomar uma sequência de números racionais $(x_{n})$ convergindo para um número irracional $a$. Por exemplo, $x_{1}=1;x_{2}=1,4;x_{3}=1,41;x_{4}=1,414...,$ com $\lim x_{n}={\sqrt {2}}$. Assim, $(x_{n})$ é uma sequência de Cauchy no espaço métrico $\mathbb {Q}$, mas não é convergente em $\mathbb {Q}$.

## Definição

Um espaço vectorial normado $E$ é chamado espaço de Banach quando for um espaço métrico completo, ou seja, se toda sequência de Cauchy em $E$ é convergente em $E$.
Quando queremos mostrar que um espaço é normado, a principal dificuldade ocorre em se demonstrar a desigualdade triangular. Há algumas desigualdades que nos auxiliam bastante neste processo:

### Desigualdade de Young

Dados $a,b\in \mathbb {R} ,\;p,q\in (1,+\infty )$ tais que $a,b>0{\text{ e }}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ (dizemos que $p{\text{ e }}q$ são conjugados de Hölder)¨, vale a desigualdade:
$ab\leqslant {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.$

### Desigualdade de Hölder

Dados $x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}),\;y=(y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\;p,q\in (1,+\infty )$ conjugados de Hölder, vale a desigualdade:
$\sum _{i=1}^{n}\vert x_{i}y_{i}\vert \leqslant \left(\sum _{i=1}^{n}\vert x_{i}\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{i=1}^{n}\vert y_{i}\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}.$
Se definimos um produto coordenada a coordenada em $\mathbb {R} ^{n}$ da forma $xy=(x_{1}y_{1},x_{2}y_{2},\cdots ,x_{n}y_{n})$, podemos reescrever a desigualdade como:
$\Vert xy\Vert _{1}\leqslant \Vert x\Vert _{p}\Vert y\Vert _{q}.$

### Desigualdade de Minkowski

Dados $x,y\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ e }}p\in (1,+\infty )$, vale a desigualdade:
$\Vert x+y\Vert _{p}\leqslant \Vert x\Vert _{p}+\Vert y\Vert _{p}.$

## Propriedades

* Se $X$ é espaço vetorial normado, e $Y\subseteq X$ é subespaço vetorial, então $Y$ é um espaço vetorial normado, com norma herdada do espaço $X$.
* Se $X$ é espaço de Banach e $Y\subseteq X$ é subespaço vetorial, então $Y$ é espaço de Banach se, e somente se, $Y$ é fechado em $X$.
* Para todo espaço vetorial normado $X$, é possível estender a norma de forma que o completamento de $X$, denotado ${\widetilde {X}}$, seja espaço vetorial normado completo, ou seja, ${\widetilde {X}}$ é espaço de Banach.

## Exemplos

* Os números reais e os números complexos são espaços de Banach onde a norma é o próprio valor absoluto.
* Qualquer espaço de Hilbert é um espaço de Banach.
* O espaço das funções contínuas reais definidas no intervalo $[0,1]\,$ é um espaço de Banach com a norma do supremo:
    $\|f\|=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|\,.$
Toda função contínua é limitada num compacto, portanto a norma está bem definida. Os axiomas da norma são facilmente verificados. Ainda, convergência nesta norma é equivalente à convergência uniforme. Como convergência uniforme preserva continuidade, o espaço é completo.
* Nos espaços euclidianos $\mathbb {R} ^{n}$, existem várias normas a se considerar que o tornam espaço de Banach:
** $(\mathbb {R} ^{n},\Vert \cdot \Vert _{2})$, sendo $\Vert x\Vert _{2}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$ a norma euclidiana usual.
** $(\mathbb {R} ^{n},\Vert \cdot \Vert _{p})$, definindo, para $p\in [1,+\infty )$, a norma $\Vert x\Vert _{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}\vert x_{i}\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$.

### Os espaços $\ell ^{p}$

Vendo que os espaços $\mathbb {R} ^{n}$ das n-uplas de números reais são espaços de Banach, queremos estender a definição de norma nesses espaços para o conjunto das sequências a fim de torná-las também em espaços de Banach.
Tomemos então $p\in [1,+\infty )$, e definamos o conjunto
$\ell ^{p}=\left\{x=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\left|\;\sum _{i=1}^{\infty }\vert x_{i}\vert ^{p}<+\infty \right.\right\}$, munido das operações de soma e produto por escalar coordenada a coordenada.
Podemos verificar que esse espaço é de fato um espaço vetorial com essas operações, e definindo a norma
$\Vert \cdot \Vert _{p}=\left(\sum _{i=1}^{\infty }\vert x_{i}\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$
é possível verificar que $(\ell ^{p},\Vert \cdot \Vert _{p})$ é um espaço de Banach.

### O espaço $\ell ^{\infty }$ e seus subespaços

Tomando novamente o espaço das sequências de números reais, definindo
$\ell ^{\infty }=\left\{x=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }:(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }{\text{ é limitada }}\right\}$
e tomando a norma $\Vert x\Vert _{\infty }=\sup _{i\in \mathbb {N} }\vert x_{i}\vert$, temos que $(\ell ^{\infty },\Vert \cdot \Vert _{\infty })$ é espaço de Banach.
Definindo os subconjuntos de $\ell ^{\infty }$
$c=\{x\in \ell ^{\infty }:x{\text{ é convergente}}\}$;
$c_{0}=\{x\in \ell ^{\infty }:x{\text{ é convergente a }}0\}$;
$c_{00}=\{x\in \ell ^{\infty }:x{\text{ é eventualmente nula}}\}$.
Vemos que $c_{00}\subseteq c_{0}\subseteq c\subseteq \ell ^{\infty }$, sendo cada um deles subespaço do espaço que o contém. Desses espaços, $c$ e $c_{0}$ são espaços de Banach, com a norma herdada de $\ell ^{\infty }$.
O espaço vetorial normado $c_{00}$ não é de Banach, pois não é completo. De fato, tome a sequência em $c_{00}$:
* $x_{1}=(1,0,0,0,\cdots )$
* $x_{2}=\left(1,{\frac {1}{2}},0,0,\cdots \right)$
* $x_{3}=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},0,0,\cdots \right)$
* $\vdots$
* $x_{k}=\left(1,{\frac {1}{2}},\cdots ,{\frac {1}{k}},0,0,\cdots \right)$.
Verificamos que $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ é convergente a $x=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\cdots ,{\frac {1}{k}},{\frac {1}{k+1}},\cdots \right)\in \ell ^{\infty }$, mas $x\notin c_{00}$.

### Espaço da transformações lineares entre espaços normados

Dados espaços normados $X,Y$, uma transformação $T:X\to Y$ é:
* linear, se $T(\lambda x_{1}+x_{2})=\lambda T(x_{1})+T(x_{2}),\;\forall \lambda \in \mathbb {R} ,\;\forall x_{1},x_{2}\in X.$
* contínua em $x_{0}$, se $\forall (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\text{ em }}X,{\text{ com }}x_{n}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\;x_{0},{\text{ temos que }}T(x_{n}){\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\;T(x_{0})$.
* contínua, se $T$ for contínua em todo $x_{0}\in X$.
* limitada, se $\exists \;C>0{\text{ tal que }}\Vert T(x)\Vert \leq C\Vert x\Vert ,\;\forall x\in X.$
É possível mostrar que são equivalentes:
* $T$ é contínua.
* $T$ é contínua no $0_{X}$.
* $T$ é limitada.
* $T$ leva conjuntos limitados em conjuntos limitados.
Definindo o conjunto ${\mathcal {L}}(X,Y)=\{T:x\to Y\;\vert \;T{\text{ linear e limitada}}\}$ e a norma $\Vert T\Vert =\sup _{x\in B_{X}}\Vert T(x)\Vert$, onde $B_{X}=\{x\in X:\Vert x\Vert \leq 1\}$, $({\mathcal {L}}(X,Y),\Vert \cdot \Vert )$ é um espaço de Banach, contanto que $Y$ seja de Banach.