# Notação Steinhaus-Moser

Em matemática, a notação Steinhaus–Moser é uma notação utilizada para expressar números extremamente grandes. É uma extensão da notação de Steinhaus que utiliza polígonos em torno de números inteiros.

## Definições

    um número n num triângulo significa n$^n$
    un número n num quadrado é equivalente "ao número n dentro de n triângulos, os quais estão todos aninhados."
    um número num pentágono é equivalente "ao número n dentro de n quadrados, os quais estão todos aninhados."
etc.: n escrito num polígono de m lados é equivalente "ao número n dentro de n polígonos encaixados de (m - 1) lados". Numa série de polígonos encaixados, estes estão associados para dentro. O número n dentro de dois triângulos é equivalente a n$^n$ dentro de un triângulo, o qual é por sua vez equivalente a n$^n$ elevado à potência n$^n$.
Steinhaus só definiu o triângulo, o quadrado, e um círculo , este último o equivalente ao pentágono definido anteriormente.

## Valores especiais

Moser definiu:
* mega é o equivalente ao número 2 num pentágono:
* megiston é o equivalente ao número 10 num círculo: ⑩
O número de Moser é o número representado por "2 num megagon", onde um megagon é um polígono com "mega" lados.
Notações alternativas:
* Utilizar o quadrado de funções(x) e triângulo(x)
* Deixar M(M(n, m, p), M(n, m, p), M(n, m, p)) ser o número representado pelo número n em m adicionado p para polígonos; então as regras são:
* Y
** mega =$M(2,1,5)$
** megagón =$M(10,1,5)$
** moser =$M(2,1,M(2,1,5))$

## Mega

Um mega, ②, é um número muito grande, e ② = quadrado(quadrado(2)) = quadrado(triângulo(triângulo(2))) = quadrado(triângulo(22)) = quadrado(triângulo(4)) = quadrado(44) = quadrado(256) = triângulo(triângulo(triângulo(...triângulo(256)...))) [256 triângulos] = triângulo(triângulo(triângulo(...triângulo(256256)...))) [255 triângulos] ~ triângulo(triângulo(triângulo(...triângulo(3.2 × 10616)...))) [254 triângulos] = ...
Utilizando a outra notação:
mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)
Com a função vem mega = $f(x)=x^{x}$$f^{256}(256)=f^{258}(2)$ onde o superíndice denota uma potência funcional, não uma potência numérica.
Temos (de notar a convenção que as potências estão avaliadas da direita para a esquerda):
* M(256,2,3) =$(256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}$
* M(256,3,3) = ≈$(256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}$$256^{\,\!256^{256^{257}}}$
De modo parecido:
* M(256,4,3) ≈${\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}$
* M(256,5,3) ≈${\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$
etc.
Assim:
* mega = $M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257$, onde $(256\uparrow )^{256}$ denota uma potência funcional da função $f(n)=256^{n}$.
Arredondando mais (reenquadrando o 257 no final por 256), conseguimos mega ≈ $256\uparrow \uparrow 257$, utilizando a notação de Knuth.
Após uns poucos passos iniciais, o valor é cada vez aproximadamente igual a $n^{n}$$256^{n}$. De facto, é aproximadamente igual a $10^{n}$. Utilizando base 10 poderes, conseguimos:
* $M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}$ ($\log _{10}616$ está adicionado a 616)
* $M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}$ ($619$ está adicionado a $1.99\times 10^{619}$, o qual é insignificante; portanto só um 10 está adicionado no inferior)
* mega = $M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}$, onde denota um poder funcional da função $(10\uparrow )^{255}$$f(n)=10^{n}$. Daí $10\uparrow \uparrow 257<{\text{mega}}<10\uparrow \uparrow 258$

## Número de Moser

Foi provado que na notação de seta encadeada de Conway,
    $\mathrm {moser} <3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2,$
E, na notação com setas de Knuth,
    $\mathrm {moser} <f^{3}(4)=f(f(f(4))),{\text{ onde }}f(n)=3\uparrow ^{n}3.$
Portanto, o número de Moser, apesar de ser incompreensivelmente grande, é incrivelmente pequeno quando comparado com número de Graham:
    $\mathrm {moser} \ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<f^{64}(4)={\text{o número de Graham}}.$