# Equilíbrio de motores de combustão interna

Em um motor a pistão, as massas em movimento alternativo produzem forças de inércia que quando não adequadamente tratadas provocam vibrações.

## Cinemática de um Sistema Biela Manivela
### Definições

l = comprimento da biela r = raio do eixo de manivelas (metade do curso) Θ = ângulo da manivela em relação a linha de centro do cilindro x = Posição do pistão v = Velocidade do pistão a = Aceleração do pistão ω = Velocidade angular do eixo de manivelas

### Descrição

Conforme o eixo de manivelas gira, o pistão P se desloca ao longo do eixo do centro do cilindro executando um movimento alternativo. A partir do Ponto Morto Superior (PMS), o pistão acelera até atingir a velocidade máxima, quando então começa a desacelerar até atingir o Ponto Morto Inferior (PMI), quando então inverte a trajetória.

### Velocidade Angular

A velocidade angular (rad/s) pode ser calculada a partir do número de rotações por minuto (RPM):
    $\omega ={\frac {2\pi \cdot RPM}{60}}$

### Posição

A aplicação da lei dos cossenos ao diagrama fornece a posição do pistão:
    $l^{2}=r^{2}+x^{2}-2rx\cos \theta$
    $x^{2}-2xr\cos \theta +(r^{2}-l^{2})=0$
Fazendo
    $y=r\cos \theta$
    $z=(r^{2}-l^{2})$
temos:
    $x^{2}-2xy+z=0$
Resolvendo pela formula quadrática e substituindo de volta y e z, temos:
    $x=r\cos \theta +{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta }}$
expressando em termos da velocidade angular, temos:
    $\theta =\omega t$
    $x=r\cos {(\omega t)}+{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}(\omega t)}}=r\left[\cos {(\omega t)}+{\sqrt {\left({\frac {l}{r}}\right)^{2}-\sin ^{2}(\omega t)}}\right]$

### Velocidade

A primeira derivada da equação da posição fornece a velocidade do pistão:
    $v={\frac {dx}{dt}}=-r\omega \sin {(\omega t)}\left[1+{\frac {\cos {(\omega t)}}{\sqrt {\left({\frac {l}{r}}\right)^{2}-\sin ^{2}{(\omega t)}}}}\right]$
Na grande maioria dos casos $r\leq {\frac {l}{3}}$, fazendo com que $r^{2}\sin ^{2}{(\omega t)}$ seja muito pequeno, podendo ser ignorado:
    $v=-r\omega \sin {(\omega t)}-{\frac {r^{2}\omega \sin {(2\omega t)}}{2l}}$

### Aceleração

A derivada da velocidade fornece a aceleração do pistão:
    $a={\frac {dv}{dt}}=-r\omega ^{2}\left\{\cos(\omega t)+{\frac {\cos(2\omega t)}{\left[\left({\frac {l}{r}}\right)^{2}-sin^{2}(\omega t)\right]^{1/2}}}+{\frac {\sin ^{2}(\omega t)cos^{2}(\omega t)}{\left[\left({\frac {l}{r}}\right)^{2}-sin^{2}(\omega t)\right]^{3/2}}}\right\}$
Para $r\leq {\frac {l}{3}}$, (e considerando $l>>r\sin {(\omega t)}$), a derivada fica:
    $a={\frac {dv}{dt}}=-r\omega ^{2}\cos {(\omega t)}-{\frac {r^{2}\omega ^{2}\cos {(2\omega t)}}{l}}$
Em termos do ângulo da manivela temos:
    $a=-r\omega ^{2}\cos {\theta }-{\frac {r^{2}\omega ^{2}\cos {(2\theta )}}{l}}$
Rearranjando:
    $a=-r\omega ^{2}\left[\cos {\theta }+{\frac {r}{l}}\cos {(2\theta )}\right]$

## Dinâmica de um Motor com Cilindros em Linha

As massas em movimento alternativo produzem forças de inércia e binários, que se não forem equilibrados, irão gerar vibrações .

### Forças de Inércia

Se m é a massa das partes em movimento alternativo (pistão e parte da biela), a força de inércia é igual a:
    $F=mr\omega ^{2}\left[\cos {(\theta )}+{\frac {r}{l}}\cos {(2\theta )}\right]$
    $F=F_{p}+F_{s}$
onde $F_{p}=mr\omega ^{2}\cos {(\theta )}$ é a força primeira ordem, com frequência igual à rotação do motor e $F_{s}=mr\omega ^{2}{\frac {r}{l}}\cos {(2\theta )}$ é a força de segunda ordem, com frequência igual a 2 vezes a rotação do motor.

### Equilíbrio de Motores Multicilíndricos em Linha

Em um motor de n cilindros em linha com ignição igualmente espaçada, o intervalo $\phi$ entre as explosões é igual a:
    $\phi ={\frac {360}{n}}$ em motores de 2 tempos e
    $\phi ={\frac {720}{n}}$ em motores de 4 tempos.
A força de inércia de cada pistão é dada por:
    $F_{1}=mr\omega ^{2}\left[\cos {(\theta +\phi _{1})}+{\frac {r}{l}}\cos {2(\theta +\phi _{1})}\right]$
    $F_{2}=mr\omega ^{2}\left[\cos {(\theta +\phi _{2})}+{\frac {r}{l}}\cos {2(\theta +\phi _{2})}\right]$
e assim por adiante.
    $F_{i}=mr\omega ^{2}\left[\cos {(\theta +\phi _{i})}+{\frac {r}{l}}\cos {2(\theta +\phi _{i})}\right]$
A soma total das forças de inércia é então igual a:
    $F=\sum _{i=1}^{n}F_{i}=mr\omega ^{2}\sum _{i=1}^{n}\left[\cos {(\theta +\phi _{i})}+{\frac {r}{l}}\cos {2(\theta +\phi _{i})}\right]$
mas
    $\cos(\theta +\phi _{i})=\cos {\theta }\cdot \cos {\phi _{i}}-\sin {\theta }\cdot \sin {\phi _{i}}$
Substituindo temos:
    ${F=m\omega ^{2}r\left[\cos \theta \sum _{i=1}^{n}\cos \phi _{i}-\sin \theta \sum _{i=1}^{n}\sin \phi _{i}+{\frac {r}{l}}\cos {(2\theta )}\sum _{i=1}^{n}\cos {(2\phi _{i})}-{\frac {r}{l}}\sin {(2\theta )}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {sen} {(2\phi _{i})}\right]}$

### Condições de Equilíbrio das Forças de Inércia

Equilíbrio das Forças de Primeira Ordem
    $\sum _{i=1}^{n}\cos \phi _{i}=0$
    $\sum _{i=1}^{n}\sin \phi _{i}=0$
Equilíbrio das Forças de Segunda Ordem
    $\sum _{i=1}^{n}\cos(2\phi _{i})=0$
    $\sum _{i=1}^{n}\sin(2\phi _{i})=0$

### Condições de Equilíbrio dos Binários

O equilíbrio as forças de inércia não garante o motor não irá vibrar em decorrência da atuação de binários. Tomando como referência o cilindro número 1 e considerando d como a distancia entre os cilindros temos:
    $B_{1}=F_{1}\cdot d_{1}$
    $B_{2}=F_{2}\cdot d_{2}$
    $B_{3}=F_{3}\cdot d_{3}$
e assim por diante...
    $B_{i}=F_{i}\cdot d_{i}$
Se fizermos B igual a soma dos binários temos:
    $B=\sum _{i=1}^{n}F_{i}d_{i}$
    ${\color {black}B=m\omega ^{2}r\color {red}\left[\cos \theta \sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos \phi _{i}-\sin \theta \sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin \phi _{i}+\color {blue}{\frac {r}{l}}\cos(2\theta )\sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos(2\phi _{i})-{\frac {r}{l}}\sin(2\theta )\sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin(2\phi _{i})\right]}$
com a parte em vermelho representando os binários de primeira ordem e a parte em azul os de segunda ordem.
As condições de equilíbrio dos binários podem então ser escrita como: Binários de primeira ordem
    $\sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos \phi _{i}=0$
    $\sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin \phi _{i}=0$
Binários de segunda ordem
    $\sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos(2\phi _{i})=0$
    $\sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin(2\phi _{i})=0$

### Efeitos sobre o motor

Dependendo da existência de forças de inércia ou de binários teremos os seguintes efeitos sobre o motor:
    $F=0\land M=0\Rightarrow$ Completamente equilibrado
    $F\neq 0\land M=0\Rightarrow$ Desequilíbrio causado por força de inércia
    $F=0\land M\neq 0\Rightarrow$ Desequilíbrio causado por binário
    $F\neq 0\land M\neq 0\Rightarrow$ Desequilíbrio causado por força de inércia. A distancia $L$ do ponto de atuação da força em relação ao plano de referência é dada por $L={\frac {B}{F}}$

## Exemplo: Motor de três cilindros em linha - quatro tempos

    $\phi ={\frac {720}{3}}=240^{0}$
Ordem de ignição: 1,3,2

### Tabela de Equilíbrio

Tabela de equilibrio :
| Φ | Inércia 1$^a$ ordem cosΦ | Inércia 1$^a$ ordem senΦ | 2Φ | Inércia 2$^a$ ordem cos2Φ | Inércia 2$^a$ ordem sen2Φ | d | Binário 1$^a$ ordem dcosΦ | Binário 1$^a$ ordem dsenΦ | Binário 2$^a$ ordem dcos2Φ | Binário 2$^a$ ordem dsen2Φ |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 240 | $-{\frac {1}{2}}$ | $-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ | 480 | $-{\frac {1}{2}}$ | ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ | 2d | $-d$ | $-d{\sqrt {3}}$ | $-d$ | $d{\sqrt {3}}$ |
| 120 | $-{\frac {1}{2}}$ | ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ | 240 | $-{\frac {1}{2}}$ | $-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ | d | $-{\frac {d}{2}}$ | $d{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ | $-{\frac {d}{2}}$ | $-d{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ |
| $\sum$ | $0$ | $0$ | | $0$ | $0$ | | $-{\frac {3}{2}}d$ | $-d{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ | $-{\frac {3}{2}}d$ | $d{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ |
Força de inércia de primeira ordem: equilibrado Força de inércia de segunda ordem: equilibrado Binário de primeira ordem: desequilibrado Binário de segunda ordem: desequilibrado

### Binário de primeira ordem

    $B_{p}=m\omega ^{2}r\left[\cos \theta \sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos \phi _{i}-\sin \theta \sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin \phi _{i}\right]$
    $B_{p}=m\omega ^{2}r\left[-{\frac {3d}{2}}\cos \theta +{\frac {d{\sqrt {3}}}{2}}\sin \theta \right]$
    $B_{p}=m\omega ^{2}r{\frac {d}{2}}\left[-3\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta \right]$
Sendo
    $acos\alpha +bsen\alpha ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}sen(\alpha +\phi )$
    $a\cos \alpha -b\sin \alpha =-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(\alpha -\phi )$
    $\tan \phi ={\frac {a}{b}}$
Temos
    $-3\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta ={\sqrt {9+3}}\sin(\alpha +\phi )={\sqrt {4\cdot 3}}\sin(\alpha +\phi )=2{\sqrt {3}}\sin(\alpha +\phi )$
    $\tan \phi ={\frac {-3}{\sqrt {3}}}={\frac {-3{\sqrt {3}}}{3}}=-{\sqrt {3}}$
Portanto
    $\phi =-60$
e o binário de primeira ordem é igual a:
    $B_{p}={\sqrt {3}}m\omega ^{2}rd\sin(\theta -60)$
O valor máximo do binário ocorrerá quando $\sin(\theta -60)=1$,ou seja, quando $\theta =150$ graus.

### Binário de segunda ordem ordem

    $B_{s}=m\omega ^{2}r\left[{\frac {r}{l}}\cos(2\theta )\sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos(2\phi _{i})-{\frac {r}{l}}\sin(2\theta )\sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin 2\phi _{i}\right]$
    $B_{s}={\frac {r}{l}}m\omega ^{2}r\left[-{\frac {3d}{2}}\cos(2\theta )-{\frac {d{\sqrt {3}}}{2}}\sin 2\theta \right]$
    $B_{s}={\frac {r}{l}}m\omega ^{2}r{\frac {d}{2}}\left[-3\cos(2\theta )-{\sqrt {3}}\sin 2\theta \right]$
    $B_{s}=-{\sqrt {3}}{\frac {r}{l}}m\omega ^{2}rd\sin(2\theta +60)$

## Exemplo: Motor de quatro cilindros em linha - quatro tempos

    $\phi ={\frac {720}{4}}=180^{0}$
Ordem de ignição: 1,3,4,2

### Tabela de Equilíbrio

Tabela de equilibrio :
| Φ | Inércia 1$^a$ ordem cosΦ | Inércia 1$^a$ ordem senΦ | 2Φ | Inércia 2$^a$ ordem cos2Φ | Inércia 2$^a$ ordem sen2Φ | d | Binário 1$^a$ ordem dcosΦ | Binário 1$^a$ ordem dsenΦ | Binário 2$^a$ ordem dcos2Φ | Binário 2$^a$ ordem dsen2Φ |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 180 | $-1$ | $0$ | 360 | $1$ | $0$ | 2d | $-2d$ | $0$ | $2d$ | $0$ |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 3d | 3d | 0 | 3d | 0 |
| 180 | $-1$ | $0$ | 360 | $1$ | $0$ | d | $-d$ | $0$ | $d$ | $0$ |
| $\sum$ | $0$ | $0$ | | $4$ | $0$ | | $0$ | $0$ | $6d$ | $0$ |

### Força de inércia de segunda ordem

    $F=m\omega ^{2}r\left[{\frac {r}{l}}\cos(2\theta )\sum _{i=1}^{n}\cos(2\phi _{i})-{\frac {r}{l}}\sin(2\theta )\sum _{i=1}^{n}\sin(2\phi _{i})\right]$
Substituindo temos:
    $F=m\omega ^{2}r\left[4{\frac {r}{l}}\cos(2\theta )\right]$
    $F=4{\frac {r}{l}}m\omega ^{2}r\cos(2\theta )$
Como
    $F\neq 0\land M\neq 0\Rightarrow$ Desequilíbrio causado por força de inércia. A distancia $L$ do ponto de atuação da força em relação ao cilindro numero 1 é dada por $L={\frac {6d}{4}}=1,5d$