# Teorema de Liouville–Arnold

Na teoria dos sistemas dinâmicos, o teorema de Liouville–Arnold estabelece que se, em um sistema Hamiltoniano dinâmico com n graus de liberdade, também há conhecidas n integrais de movimento primeiras que são independentes e em involução, então existe uma transformação canônica a coordenadas de ângulos de ação na qual a transformação Hamiltoniana é dependente somente das coordenadas de ação e os ângulos de coordenadas evoluem linearmente no tempo.

## Formulação geral
### Teorema (Liouville-Arnold-Jost)

Seja $(M^{2n},\omega )$ uma variedade simplética com colchete de Poisson associado $\{\cdot ,\cdot \}$. Sejam $f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n}\,\colon \,M\to \mathbb {R}$ funções suaves e defina $\mathbf {f} \,\colon M\to \mathbb {R} ^{n}$ por $\mathbf {f} (x)=(f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x))$. Fixe $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ na imagem de $\mathbf {f}$ e ponha $M_{\mathbf {a} }=\mathbf {f} ^{-1}(\mathbf {a} )=\{x\in M\mid \mathbf {f} (x)=\mathbf {a} \}$. Suponha que
(i) as funções estão em involução: $\{f_{i},f_{j}\}=0$ para todo $i,j$; e
(ii) $\mathrm {d} f_{1},\mathrm {d} f_{2},\ldots ,\mathrm {d} f_{n}$ são linearmente independentes em todo ponto de $M_{\mathbf {a} }$ ou, equivalentemente, $\mathbf {f} _{\ast }$ tem posto maximal em todo ponto de $M_{\mathbf {a} }$.
O subespaço topológico $M_{\mathbf {a} }$ é uma subvariedade lagrangiana de $M$. Se $C_{\mathbf {a} }$ é uma componente conexa e compacta de $M_{\mathbf {a} }$, então $C_{\mathbf {a} }$ é difeomorfa a um $n$-toro, $C_{\mathbf {a} }\cong \mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}$, o produto $\mathbb {T} ^{n}$ de $n$ círculos $\mathbb {S} ^{1}$. Se as $f_{i}$s estiverem em involução com um hamiltoniano $H$, então o fluxo do campo $\mathbf {X} _{H}$ associado a $H$ leva $C_{\mathbf {a} }$ em si mesmo. Tal toro é chamado portanto de toro invariante.
A segunda, e mais substancial, parte merece ser enunciada como outro.

### Teorema (Coordenadas de ângulo-ação)

Além disso, existem um aberto $U$ de $M$ contendo $C_{\mathbf {a} }$ e um difeomorfismo $(J_{1},\ldots ,J_{n},\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})\,\colon \,U\to D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}$, onde $D^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\Vert x\Vert <1\}$ é o disco $n$-dimensional, tais que
(i) se $\pi _{D}\,\colon \,D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\to D^{n}$ é a projeção canônica, as fibras de $\pi _{D}\circ (J,\varphi )$ são toros invariantes. As coordenadas de ação $J_{1},\ldots ,J_{n}$ são constantes em cada toro invariante do aberto $U$.
(ii) $(J,\varphi )^{\ast }\eta =\omega \vert _{U}$, onde $\textstyle {\eta =\sum \mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} \theta ^{i}}$. Em outras palavras, o difeomorfismo $(J,\varphi )$ é um simplectomorfismo (ou transformação canônica) de $(U,\omega \vert _{U})$ em $(D^{n}\times \mathbb {T} ^{n},\eta )$.
Uma carta semilocal do tipo de $(U,J,\varphi )$ é chamada de sistema semilocal de coordenadas de ângulo-ação.
Temos que $\lambda =\textstyle \sum J_{i}\,\mathrm {d} \varphi ^{i}\in \Omega ^{1}(U)$ é uma 1-forma de Liouville para $\omega \vert _{U}$, isto é, $\mathrm {d} \lambda =\omega \vert _{U}$. Segue daí e da isotropia de $C_{\mathbf {b} }\subset U$ que $J_{i}(x)={\frac {1}{2\pi }}\oint _{\Gamma _{i}(x)}\lambda$, onde $\Gamma _{i}(x)$ é a imagem de um dos geradores do primeiro grupo de homologia de $C_{\mathbf {a} }$. Note que $\mathrm {d} f_{i}(\mathbf {X} _{H})=\{H,f_{i}\}=0$, logo $\mathbf {X} _{H}$ é tangente a cada um dos toros invariantes. Portanto, $\mathrm {d} H{\Bigl{\frac {\partial }{\partial \varphi ^{i}}}{\Bigr )}=0$, ou seja, $H\vert _{U}$ depende apenas das coordenadas de ação. Se $\gamma$ é uma curva integral de $\mathbf {X} _{H}$ começando em $C_{\mathbf {a} }$ (portanto permanecendo aí), vemos que $\varphi ^{i}\circ \gamma$ evolui linearmente $(\mathrm {mod} \,\,2\pi )$ no tempo. Isso porque $\mathrm {d} {\bigl\mathrm {d} H{\bigl{\tfrac {\partial }{\partial J_{i}}}{\bigr )}{\bigr )}{\bigl{\tfrac {\partial }{\partial \varphi ^{j}}}{\bigr )}={\tfrac {\partial }{\partial \varphi ^{j}}}{\bigl{\tfrac {\partial }{\partial J_{i}}}(H){\bigr )}=[{\tfrac {\partial }{\partial \varphi ^{j}}},{\tfrac {\partial }{\partial J_{i}}}](H)+{\tfrac {\partial }{\partial J_{i}}}{\bigl\mathrm {d} H{\bigl{\tfrac {\partial }{\partial \varphi ^{j}}}{\bigr )}{\bigr )}$ e $[{\tfrac {\partial }{\partial \varphi ^{j}}},{\tfrac {\partial }{\partial J_{i}}}]=0$, logo $\partial H\vert _{U}/\partial J_{i}$ depende apenas das coordenadas de ação. Evoluir linearmente $\mathrm {mod} \,2\pi$ aqui significa que, levantando $\varphi ^{k}\circ \gamma$ ao recobrimento universal $\mathbb {R}$ segundo a aplicação $2\pi$-periódica $p\,\colon \,\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}$, $p(s)=e^{is}=\cos s+{\sqrt {-1}}\sin s$, obtemos uma função suave $s_{k}\,\colon \,\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Essa função satisfaz ${s_{k}}^{\!\prime }=\partial (H\vert _{U})/\partial J_{k}$, logo $s_{k}$ é afim, daí o “linearmente”. O movimento evolui como o de um sistema multiperiódico, com frequências $\nu _{k}(\mathbf {a} )={\tfrac {1}{2\pi }}\partial H/\partial J_{k}$.

## Subgrupos discretos do grupo aditivo $\mathbb {R} ^{n}$

Provaremos nesta seção que todo subgrupo discreto do grupo aditivo do $\mathbb {R}$-espaço vetorial $\mathbb {R} ^{n}$ é o span integral de um certo subconjunto linearmente independente.
Lema. Seja $\Gamma \neq \{\mathbf {0} \}$ um subgrupo discreto de $(\mathbb {R} ^{n},+)$. Então existem $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}$ elementos linearmente independentes tais que $\Gamma =\mathbb {Z} \mathbf {v} _{1}+\cdots +\mathbb {Z} \mathbf {v} _{k}$.
Antes, um
Fato. Um subgrupo discreto de um grupo topológico Hausdorff é necessariamente fechado.
Prova. Seja $H$ um subgrupo discreto do grupo topológico Hausdorff $G$. Suponha que existe $x\in G,x\notin H$ com a propriedade de que toda vizinhança de $x$ intersecta $H$. Nenhuma dessas interseções pode ter apenas um elemento, já que $G$ é Hausdorff e $x\notin H$. Sendo $H$ discreto, existe uma vizinhança $U$ de $e$, o elemento idêntico, tal que $U\cap H=\{e\}$ . Por continuidade da função $(x,y)\mapsto xy^{-1}$, alguma vizinhança $V$ de $e$ satisfaz $VV^{-1}\subset U$. Uma vez que translações são homeomorfismos, $xV$ é vizinhança de $x$, portanto há distintos $y_{1},y_{2}\in xV\cap H$. Mas $y_{1}{y_{2}}^{\!-1}\neq e$ está em $VV^{-1}\cap H\subset U\cap H$, absurdo.
Prova do Lema. Pelo resultado anterior, $\Gamma$ é fechado. Sejam $\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{r}$ elementos linearmente independentes de $\Gamma$ gerando um subgrupo $H$ e um subespaço $W$. Suponha que $\Gamma \cap W=H$. Se $H\neq \Gamma$, podemos definir a função $x\mapsto \operatorname {dist} (x,W)$ no fechado não-vazio $\Gamma \smallsetminus W$. Observe que $\operatorname {dist} (x+w,W)=\operatorname {dist} (x,W)$ para todo $w\in W$, pois a adição de $W$ lhe dá estrutura de grupo; e $\operatorname {dist} (cx,W)=c\operatorname {dist} (x,W)$, $c>0$, pois $W$ é subespaço. Seja $\alpha =\inf\{\,\operatorname {dist} (x,W)\mid x\in \Gamma \smallsetminus W\,\}$. Escolha uma sequência $(x_{n})$ de pontos em $\Gamma \smallsetminus W$ com $\operatorname {dist} (x_{n},W)<\alpha +{\tfrac {1}{n}}$. Então para alguma sequência $(p_{n})$ de pontos em $W$ temos $\vert x_{n}-p_{n}\vert <1+\alpha +{\tfrac {1}{n}}$. Considerando as partes inteiras das coordenadas de $p_{n}$ na base $\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{r}$, obtemos uma sequência $(z_{n})$ de pontos em $H$ com $(y_{n})=(x_{n}-z_{n})$ uma sequência limitada de pontos em $\Gamma \smallsetminus W$. Já que $\Gamma$ é um espaço discreto e fechado, alguma subsequência de $(y_{n})$ é constante, logo podemos supor que a sequência possui valor constante $y$. Como $\operatorname {dist} (x_{n}-z_{n},W)=\operatorname {dist} (x_{n},W)$, obtemos que $\operatorname {dist} (y,W)=\alpha$. Conclusão: há um ponto em $\Gamma$ fora de $W$ que minimiza a distância ao subespaço $W$.
Agora procederemos indutivamente: partindo de um ponto $\mathbf {v} _{1}\in \Gamma \smallsetminus \{\mathbf {0} \}$ mais próximo da origem, consideramos o subespaço $V_{1}$ gerado por $\mathbf {v} _{1}$ e o subgrupo $\Gamma _{1}$ gerado por esse elemento. Afirmo que $\Gamma \cap V_{1}=\Gamma _{1}$. Suponha que não. Então há $\mathbf {w} \in (\Gamma \cap V_{1})\smallsetminus \Gamma _{1}$. Podemos então escrever $\mathbf {w} =c\mathbf {v} _{1}$, com $c\notin \mathbb {Z}$. Logo $0<c-\lfloor c\rfloor <1$, donde $\mathbf {w} -\lfloor c\rfloor \mathbf {v} _{1}\in \Gamma \smallsetminus \{\mathbf {0} \}$; mas $\vert \mathbf {w} -\lfloor c\rfloor \mathbf {v} _{1}\vert <\vert \mathbf {v} _{1}\vert$, absurdo, pois $\mathbf {v} _{1}\neq \mathbf {0}$ minimiza a distância à origem. Se $\Gamma _{1}=\Gamma$, estamos terminados. Caso contrário, existe um ponto em $\Gamma$ fora de $V_{1}$ que minimiza a distância ao subespaço $V_{1}$; escolha algum, digamos, $\mathbf {v} _{2}$; então $\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\}$ é linearmente independente, gerando o subgrupo $\Gamma _{2}$ e o subespaço $V_{2}$. Novamente vejamos por que $\Gamma \cap V_{2}=\Gamma _{2}$: caso não, existe $\mathbf {w} =\mathbf {w} _{0}+c\mathbf {v} _{2}$, $\mathbf {w} \in \Gamma \smallsetminus \Gamma _{2}$, $\mathbf {w} _{0}\in V_{1}$, $c\notin \mathbb {Z}$; temos $\mathbf {w} -\lfloor c\rfloor \mathbf {v} _{2}\in \Gamma \smallsetminus V_{1}$, mas $\operatorname {dist} ((c-\lfloor c\rfloor )\mathbf {v} _{2}+\mathbf {w} _{0},V_{1})=(c-\lfloor c\rfloor )\operatorname {dist} (\mathbf {v} _{2},V_{1})$, resultando em contradição. Iterando esse processo, obtemos vetores em $\Gamma$ linearmente independentes $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{k-1}$ gerando um subgrupo $\Gamma _{k-1}$ e um subespaço $V_{k-1}$ tais que $\Gamma \cap V_{k-1}=\Gamma _{k-1}$. Se $\Gamma _{k-1}\neq \Gamma$, o procedimento anterior nos dá $\mathbf {v} _{k}\in \Gamma \smallsetminus V_{k-1}$, com os $\Gamma _{k},V_{k}$ correspondentes satisfazendo $\Gamma \cap V_{k}=\Gamma _{k}$. O número de iterações é obviamente limitado por $n=\dim \mathbb {R} ^{n}$.

## Os toros invariantes

Seja $X_{i}$ o campo hamiltoniano em $M^{2n}$ associado à função hamiltoniana $f_{i}$: $X_{i}\mathbin {\lrcorner } \omega =-\mathrm {d} f_{i}$ Temos que $\mathrm {d} f_{j}(X_{i})=\{f_{j},f_{i}\}=0$, logo os campos $X_{1},\ldots ,X_{n}$ são tangentes à subvariedade compacta e conexa $C_{\mathbf {a} }$, logo podem ser restritos a campos em $C_{\mathbf {a} }$. Uma vez que $\mathbf {f} _{\ast }$ tem posto maximal em todo ponto de $M_{\mathbf {a} }$, os campos $X_{1},\ldots ,X_{n}$ são linearmente independentes em todo ponto de $C_{\mathbf {a} }$, logo trivializam o fibrado tangente $TC_{\mathbf {a} }$. Sendo $C_{\mathbf {a} }$ compacta, esses campos são completos, isto é, o fluxo $\rho _{i}^{s}$ está definido para todo ponto de $C_{\mathbf {a} }$ e para todo $s\in \mathbb {R}$. Pelas fórmulas de Cartan, os campos comutam: $[X_{i},X_{j}]=\mathbf {X} _{\{f_{i},f_{j}\}}=0$. É bem sabido que isso implica a comutatividade dos fluxos: ${\rho _{i}}^{\!s}\circ {\rho _{j}}^{\!t}={\rho _{j}}^{\!t}\circ {\rho _{i}}^{\!s}$. Para $\mathbf {t} =(t_{1},\ldots ,t_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$, defina a função suave $\rho ^{\mathbf {t} }\,\colon \,C_{\mathbf {a} }\to C_{\mathbf {a} }$ por $\rho ^{\mathbf {t} }={\rho _{1}}^{\!\!t_{1}}\circ {\rho _{2}}^{\!\!t_{2}}\circ \cdots \circ {\rho _{n}}^{\!\!t_{n}}$. Segue que $\rho ^{\mathbf {t} +\mathbf {s} }=\rho ^{\mathbf {t} }\circ \rho ^{\mathbf {s} }$. Agora para cada $p\in C_{\mathbf {a} }$, defina a função suave $\rho _{p}\,\colon \,\mathbb {R} ^{n}\to C_{\mathbf {a} }$ por $\rho _{p}(\mathbf {t} )=\rho ^{\mathbf {t} }(p)$. O fato de que $X_{1},\ldots ,X_{n}$ são linearmente independentes em todo ponto de $C_{\mathbf {a} }$ permite concluir, pelo Teorema da Função Inversa, que $\rho _{p}$ é um difeomorfismo local em torno de cada $\mathbf {t} \in \mathbb {R} ^{n}$. Essa afirmação é clara para $\mathbf {t} =\mathbf {0}$; use $\rho ^{\mathbf {t} +\mathbf {s} }=\rho ^{\mathbf {t} }\circ \rho ^{\mathbf {s} }$. Isso implica que a imagem de $\rho _{p}$ é aberta em $C_{\mathbf {a} }$. Analogamente, também é fechada. Por conexidade, $\rho _{p}$ é uma submersão sobrejetiva. Agora seja $G=\{\mathbf {t} \in \mathbb {R} ^{n}\mid \rho _{p}(\mathbf {t} )=p\}$. Trata-se de um subgrupo do grupo aditivo $\mathbb {R} ^{n}$. Uma vez que $\rho _{p}$ é difeomorfismo local, $G$ é subgrupo discreto. (Como esperávamos, $G$ é fechado.) Pelo resultado da seção anterior, existem $\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{k}$ linearmente independentes de forma que $G=\mathbb {Z} \mathbf {e} _{1}+\mathbb {Z} \mathbf {e} _{2}+\ldots +\mathbb {Z} \mathbf {e} _{k}$. Portanto, $C_{\mathbf {a} }$ é isomorfa como grupo de Lie difeomorfa como variedade a $\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{k}\cong \mathbb {T} ^{k}\times \mathbb {R} ^{n-k}$. Como $C_{\mathbf {a} }$ é compacta, devemos ter $k=n$, donde $C_{\mathbf {a} }\cong \mathbb {T} ^{n}$, com aplicação de recobrimento universal $\rho _{p}\,\colon \,\mathbb {R} ^{n}\to C_{\mathbf {a} }$. O subgrupo discreto $G$ independe do $p\in C_{\mathbf {a} }$ escolhido. É o subgrupo de isotropia de $C_{\mathbf {a} }$, denotado comumente por $\Lambda _{\mathbf {a} }$. Também é conhecido por reticulado de períodos de $C_{\mathbf {a} }$.

## Um sistema semilocal de coordenadas

Até então, estávamos interessados em um toro invariante particular. Passaremos agora a considerar vários toros invariantes simultaneamente, isto é, investigaremos uma vizinhança de $C_{\mathbf {a} }$. Precisamente, provaremos o seguinte
Lema (Vizinhança trivializável). Seja $C_{\mathbf {a} }$ um toro invariante em $M$. Existem uma vizinhança $U$ de $C_{\mathbf {a} }$ e um difeomorfismo $\Phi \,\colon \,U\to D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\,$ tais que
(i) $\mathbf {f}$ aplica $U$ sobre $D^{n}$ e $\operatorname {pr} _{D}\circ \,\Phi =\mathbf {f} \vert _{U}$;
(ii) as fibras da projeção canônica $\operatorname {pr} _{D}\,\colon \,D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\to D^{n}$ voltam para $U$ via $\Phi ^{-1}$ como toros invariantes, com ${\operatorname {pr} _{D}}^{\!\!-1}(\mathbf {a} )=\Phi (C_{\mathbf {a} })$.
Essencialmente, $\mathbf {f} \vert _{U}\,\colon \,U\to D^{n}$ é um fibrado trivial. Esse Lema pode ser visto como consequência do Lema da Fibração de Ehresmann, mas vamos prová-lo de forma a evidenciar aspectos dinâmicos.
Prova do Lema. Para cada $\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$ e para cada componente conexa $N_{\mathbf {b} }$ de um $M_{\mathbf {b} }$, temos que $N_{\mathbf {b} }$ e $M_{\mathbf {b} }\smallsetminus N_{\mathbf {b} }$ são fechados disjuntos em $M$, logo existem abertos disjuntos $V_{1},V_{2}$ com $N_{\mathbf {b} }\subset V_{1}$, $M_{\mathbf {b} }\smallsetminus N_{\mathbf {b} }\subset V_{2}$. Considere o toro invariante $C_{\mathbf {a} }$ em questão. Existe uma vizinhança $V$ de $C_{\mathbf {a} }$ em que $\mathbf {f} _{\ast }$ tem sempre posto maximal $n$. Podemos supor que $V$ tem fecho compacto. Seja $W$ a reunião de todas as componentes conexas contidas em $V$ de alguns $M_{\mathbf {b} }$s. Todas essas componentes conexas são compactas, uma vez que são subconjuntos fechados de um compacto, a saber, ${\overline {V}}$. Logo são toros invariantes $C_{\mathbf {b} }$. Afirmo que $W$ é aberto em $M$. Se $x\in C_{\mathbf {b} }\subset V$ não é ponto interior de $W$, toda vizinhança de $x$ contém algum ponto de algum $N_{\mathbf {c} }$ que por sua vez possui algum ponto fora de $V$, portanto fora de algum aberto $V^{\prime }$ que separe $C_{\mathbf {b} }$ de $M_{\mathbf {b} }\smallsetminus C_{\mathbf {b} }$. Tomando vizinhanças contidas em $V^{\prime }$ convergindo para o ponto $x$, da conexidade dos $N_{\mathbf {c} }$s obtemos pontos $q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n},\ldots$ em $\operatorname {bd} V^{\prime }$, a fronteira topológica de $V^{\prime }$, pertencendo a $N_{\mathbf {c} _{1}},N_{\mathbf {c} _{2}},\ldots$, e pontos $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ também em $N_{\mathbf {c} _{1}},N_{\mathbf {c} _{2}},\ldots$, com a sequência $(p_{n})$ convergindo para $x$. Se $q\in \operatorname {bd} V^{\prime }$ é um limite subsequencial de $(q_{n})$, temos, por um lado, $\mathbf {f} (p_{n})=\mathbf {c} _{n}$, donde $(\mathbf {c} _{n})$ converge para $\mathbf {f} (x)=\mathbf {b}$; por outro lado, $\mathbf {f} (q_{n})=\mathbf {c} _{n}$, logo $q\in M_{\mathbf {b} }$. Isso é absurdo pois $q\in \operatorname {bd} V^{\prime }$, logo $q\notin C_{\mathbf {b} }$; mas $\operatorname {bd} V^{\prime }$ é disjunta de $M_{\mathbf {b} }\smallsetminus C_{\mathbf {b} }$. Conclusão: $W$ é uma vizinhança de $C_{\mathbf {a} }$ fibrada por toros invariantes. Considere agora uma subvariedade de $W$ transversa a todos os toros invariantes que a intersectam (isso pode ser feito localmente); podemos restringi-la a uma subvariedade ${\mathcal {D}}$ tal que $\mathbf {f} ({\mathcal {D}})=D^{n}$. Por transversalidade, podemos ainda supor que $\mathbf {f} \vert _{\mathcal {D}}\,\colon \,{\mathcal {D}}\to D^{n}$ é um difeomorfismo. O aberto $U=\mathbf {f} ^{-1}(D^{n})\cap W$ é fibrado por toros invariantes. Conseguimos então uma seção $\sigma =(\mathbf {f} \vert _{\mathcal {D}})^{-1}\,\colon \,D^{n}\to U$ do fibrado $\mathbf {f} \vert _{U}$. Defina o seguinte subespaço topológico ${\mathcal {P}}$ de $U\times \mathbb {R} ^{n}$: $\textstyle {{\mathcal {P}}=\bigcup _{\mathbf {x} \in D^{n}}\{\sigma (\mathbf {x} )\}\times \Lambda _{\mathbf {x} }}$. Trata-se do fibrado de reticulados de períodos. Denotaremos por $\varpi \,\colon \,{\mathcal {P}}\to D^{n}$ a projeção $\varpi (\sigma (\mathbf {x} ),\mathbf {t} )=\mathbf {x}$. Pelo Teorema da Função Implícita, podemos resolver localmente $\rho ^{\mathbf {t} }(\sigma (\mathbf {x} ))=\sigma (\mathbf {x} )$ para $\mathbf {t}$ como função de $\mathbf {x}$, obtendo uma seção local do fibrado ${\mathcal {P}}$. Usando seções locais, podemos levantar continuamente caminhos na base $D^{n}$. Encontraremos uma função suave $A\,\colon \,D^{n}\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$, possivelmente depois de reduzir o raio de $D^{n}$, de forma que $A(\mathbf {x} )$ é base para o reticulado $\Lambda _{\mathbf {x} }$. Escolha uma base $(\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n})$ para o subgrupo de isotropia de $C_{\mathbf {a} }$; recorde que $\sigma (\mathbf {a} )\in C_{\mathbf {a} }$. Considere seções locais de ${\mathcal {P}}$ em torno de $\mathbf {a}$, levando $\mathbf {a}$ a $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}$; isso nos dá uma função suave $A\,\colon \,D^{n}\to \operatorname {Mat} _{n,n}(\mathbb {R} )$. Por continuidade do determinante, podemos supor que $A$ aplica $D^{n}$ em $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$. Vejamos por que $A(\mathbf {x} )$ é base para $\Lambda _{\mathbf {x} }$ para todo $\mathbf {x} \in D^{n}$: dado $\mathbf {t} \in \Lambda _{\mathbf {x} }$, escolha um caminho $\gamma \,\colon \,[0,1]\to D^{n}$ partindo de $\mathbf {0}$ até $\mathbf {x}$ na base. Levante a um caminho ${\widetilde {\gamma \,}}$ em ${\mathcal {P}}$ terminando em $\mathbf {t}$ e começando em algum ponto de $\Lambda _{\mathbf {a} }$. Temos que ${\widetilde {\gamma \,}}(s)$ expressa-se como combinação linear a coeficientes racionais das colunas de $A(\gamma (s))$. Considerando os coeficientes, temos uma função contínua $[0,1]\to \mathbb {R} ^{n}$ com imagem em $\mathbb {Q} ^{n}$. Essa função é constante, portanto. Como a imagem de $0$ possui coordenadas inteiras, também possui a imagem de $1$, isto é, $\mathbf {t}$ é combinação linear integral das colunas de $A(\mathbf {x} )$, como queríamos. Estamos prontos para definir a trivialização $\Phi \,\colon \,D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\to U$. Começaremos definindo o levantamento ao recobrimento universal, ${\widetilde {\Phi }}\,\colon \,D^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to U$ por ${\widetilde {\Phi }}(\mathbf {x} ,\mathbf {t} )=\rho ^{A(\mathbf {x} )\mathbf {t} }(\sigma (\mathbf {x} ))$. É imediato que ${\widetilde {\Phi }}$ desce a um difeomorfismo $D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\to U$ com todas as propriedades mencionadas.

## Definindo coordenadas de ângulo-ação

O difeomorfismo $(\mathbf {f} ,{\bar {\varphi }})$ obtido anteriormente pode não ser um simplectomorfismo, dada a arbitrariedade envolvida na escolha da seção $\sigma$. Começaremos identificando a vizinhança $U$ com o produto $D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}$ via o difeomorfismo $(\mathbf {f} ,{\bar {\varphi }})$ obtido na seção anterior. Então se $\pi _{D}\,\colon \,D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\to D^{n}$ é a projeção canônica, as fibras ${\pi _{D}}^{\!\!-1}(x)$ são toros invariantes.
Consideraremos o círculo $\mathbb {S} ^{1}$ como um subgrupo de Lie do grupo $\mathbb {C} ^{\ast }=\mathbb {C} -\{0\}\cong \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} ^{+}$. Recordemos que o campo $\partial /\partial \theta$ em $\mathbb {S} ^{1}$ satisfaz ${p_{\ast }}_{s}{\bigl{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\bigr \vert }_{s}{\bigr )}={\tfrac {\partial }{\partial \theta }}{\bigr \vert }_{p(s)}$, onde $p\,\colon \,\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}$ é a aplicação de recobrimento universal $p(s)=e^{is}$. Além disso, para a translação (à esquerda ou à direita, pois o grupo é Abeliano) por $z\in \mathbb {S} ^{1}$, $T_{z}\,\colon \,\mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}$ definida por $T_{z}(w)=zw$, vale ${(T_{z})}_{\ast }{\bigl{\tfrac {\partial }{\partial \theta }}{\bigr \vert }_{w}{\bigr )}={\tfrac {\partial }{\partial \theta }}{\bigr \vert }_{zw}$. A $1$-forma de ângulo $\mathrm {d} \theta$ é o campo de covetores dual a ${\tfrac {\partial }{\partial \theta }}$. Para $f\,\colon \,U\to \mathbb {S} ^{1}$ suave, ${f_{\ast }}_{x}(v)=\mathrm {d} f_{x}(v)\cdot {\tfrac {\partial }{\partial \theta }}{\bigr \vert }_{f(x)}$, definindo então uma $1$-forma (fechada) $\mathrm {d} f\in \Omega ^{1}(U)$; de fato $\mathrm {d} f=f^{\ast }(\mathrm {d} \theta )$. Para um grupo de Lie $G$ e para funções suaves $f,h\,\colon \,U\to G$, definimos $f\cdot h\,\colon \,U\to G$ pela fórmula $(f\cdot h)(x)=f(x)\cdot h(x)$. Não é difícil ver que ${(f\cdot h)_{\ast }}_{x}={{(L_{f(x)})}_{\ast }}_{h(x)}\circ {h_{\ast }}_{x}+{(R_{h(x)})_{\ast }}_{f(x)}\circ {f_{\ast }}_{x}$, onde $L_{g},R_{g}\,\colon \,G\to G$ são os difeomorfismos de translação por $g\in G$ à esquerda e à direita, respectivamente. Feitas essas observações, tornemos ao produto $D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}$.
Temos
${\frac {\partial }{\partial {\bar {\varphi }}^{i}}}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}X_{k}$, onde $a_{ik}\,\colon D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\to \mathbb {R}$ são funções suaves constantes em cada toro invariante. Na expressão da $2$-forma $\omega \in \Omega ^{2}(D^{n}\times \mathbb {T} ^{n})$ no sistema de coordenadas $(\mathbf {f} ,{\bar {\varphi }})$, não há termos envolvendo $\mathrm {d} {\bar {\varphi }}^{i}\wedge \mathrm {d} {\bar {\varphi }}^{j}$, uma vez que os toros invariantes são subvariedades isotrópicas para $\omega$, i.e., $\omega =0$ em um toro invariante. Para o coeficiente de $\mathrm {d} {\bar {\varphi }}^{i}\wedge \mathrm {d} f_{j}$, temos, uma vez que $X_{i}\mathbin {\lrcorner } \omega =-\mathrm {d} f_{i}$,
$\omega {\Bigl{\frac {\partial }{\partial {\bar {\varphi }}^{i}}},{\frac {\partial }{\partial f_{j}}}{\Bigr )}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}\omega {\BiglX_{k},{\frac {\partial }{\partial f_{j}}}{\Bigr )}=-\sum _{k=1}^{n}a_{ik}\mathrm {d} f_{k}{\Bigl{\frac {\partial }{\partial f_{j}}}{\Bigr )}=-a_{ij}$, então
$\omega =\sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}\,\mathrm {d} f_{i}\wedge \mathrm {d} f_{j}-\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}\,\mathrm {d} {\bar {\varphi }}^{i}\wedge \mathrm {d} f_{j}$, para certas funções $b_{ij}$. Já que $\mathrm {d} \omega =0$, temos ${\frac {\partial b_{ij}}{\partial {\bar {\varphi }}^{k}}}={\frac {\partial a_{ki}}{\partial f_{j}}}-{\frac {\partial a_{kj}}{\partial f_{i}}}$. Logo $\partial b_{ij}/\partial {\bar {\varphi }}^{k}$ independe das coordenadas ${\bar {\varphi }}$, pois isso vale para o lado direito. Como são fechadas as curvas integrais dos campos ${\tfrac {\partial }{\partial {\bar {\varphi }}^{k}}}$, temos $\partial b_{ij}/\partial {\bar {\varphi }}^{k}=0$. Consequentemente, tanto as funções $a_{ij}$ quanto as funções $b_{ij}$ são constantes em cada toro invariante. Agora escrevemos
$\omega =B-\sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} {\bar {\varphi }}^{i}\wedge A_{i}$, onde $B=\sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}\,\mathrm {d} f_{i}\wedge \mathrm {d} f_{j}$ e $A_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\,\mathrm {d} f_{j}$. Como as $a_{ij}$ e as $b_{ij}$ são constantes em cada toro invariante, podemos considerar $A_{i}$ e $B$ como formas no disco $D^{n}$, isto é, existem $1$-formas $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \Omega ^{1}(D^{n})$ e uma $2$-forma $\beta \in \Omega ^{2}(D^{n})$ tais que $A_{i}={\pi _{D}}^{\!\ast }\alpha _{i}$ e $B={\pi _{D}}^{\!\ast }\beta$. Novamente usando o fato de que $\omega$ é fechada, concluímos que $\mathrm {d} A_{i}=0$ e $\mathrm {d} B=0$. Como $\pi _{D}$ é submersão sobrejetiva, temos $\mathrm {d} \alpha _{i}=0$ e $\mathrm {d} \beta =0$. Sendo $D^{n}$ um espaço contrátil, existem uma função suave $\mathbf {I} =(I_{1},I_{2},\ldots ,I_{n})\,\colon \,D^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ e uma $1$-forma $\xi \in \Omega ^{1}(D^{n})$ tais que $\mathrm {d} I_{i}=\alpha _{i}$, $\mathrm {d} \xi =\beta$. Note que $\mathbf {I}$ é um difeomorfismo local em torno de $\mathbf {0}$, pois, tendo $\mathbf {f} _{\ast }$ posto maximal, segue que $\mathrm {d} I_{1},\ldots ,\mathrm {d} I_{n}$ são linearmente independentes no ponto $\mathbf {0}$. Aqui potencialmente reduziremos o raio de $D^{n}$ para que possamos supor $\mathbf {I}$ um difeomorfismo. Defina $J_{i}=I_{i}\circ \pi _{D}={\pi _{D}}^{\!\ast }I_{i}$ e note que $\mathrm {d} J_{i}=A_{i}$. Como $\omega =B-\sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} {\bar {\varphi }}^{i}\wedge \mathrm {d} J_{i}$, a matriz de $\omega$ na carta $(\mathbf {f} ,{\bar {\varphi }})$ é
$\left(\!{\begin{array}{c|c}{0}&-{\dfrac {\partial J_{i}}{\partial f_{j}}}\\\hline {\dfrac {\partial J_{i}}{\partial f_{j}}}&b_{ij}\end{array}}\!\right)$.
Já que $\omega$ é não-degenerada, essa matriz é não-singular, logo $\det {\Bigl{\dfrac {\partial J_{i}}{\partial f_{j}}}{\Bigr )}\neq 0$. Concluímos que $(J,{\bar {\varphi }})$ é difeomorfismo local; sendo invertível – recorde que $\mathbf {I}$ é difeomorfismo –, $(J,{\bar {\varphi }})$ é um sistema de coordenadas em $D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}$. Agora ajustaremos a escolha da seção $\sigma$. Escreva
$\xi =\sum _{i=1}^{n}g_{i}\,\mathrm {d} I_{i}$ onde $g_{i}\,\colon \,U\to \mathbb {R}$ são funções suaves. Para $p\,\colon \,\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}$ a aplicação de recobrimento mencionada anteriormente e usando a operação de grupo em $\mathbb {S} ^{1}$, defina $\varphi ^{i}\,\colon \,U\to \mathbb {S} ^{1}$ por ${(p\circ g_{i}\circ \pi _{D})}\cdot \varphi ^{i}={\bar {\varphi }}^{i}$, notando que $\mathrm {d} \varphi ^{i}=\mathrm {d} {\bar {\varphi }}^{i}-\mathrm {d} (g_{i}\circ \pi _{D})$. Agora,
${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} J_{i}\wedge \mathrm {d} \varphi ^{i}&=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} J_{i}\wedge \mathrm {d} {\bar {\varphi }}^{i}-\sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} J_{i}\wedge {\pi _{D}}^{\!\ast }(\mathrm {d} g_{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} J_{i}\wedge \mathrm {d} {\bar {\varphi }}^{i}+\sum _{i=1}^{n}{\pi _{D}}^{\!\ast }\mathrm {d} (g_{i}\,\mathrm {d} I_{i})\\&={\pi _{D}}^{\!\ast }(\mathrm {d} \xi )-\sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} {\bar {\varphi }}^{i}\wedge \mathrm {d} J_{i}\\&=B-\sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} {\bar {\varphi }}^{i}\wedge A_{i}\\&=\omega .\end{aligned}}$
Uma vez que ${\frac {1}{{(-1)}^{n(n-1)/2}n!}}\omega ^{\wedge n}=\mathrm {d} J_{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} J_{n}\wedge \mathrm {d} \varphi ^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} \varphi ^{n}$ e $\omega ^{n}$ é uma forma de volume pois $\omega$ é não-degenerada, temos que $(J,\varphi )_{\ast }$ tem posto maximal em todo ponto, portanto $(J,\varphi )$ é um difeomorfismo local. Como $(J,\varphi )$ possui inversa, serve como sistema semilocal de coordenadas de ângulo-ação, porque $J_{i}$ é constante em cada toro invariante. Isso finaliza a construção.

## Coordenadas de ângulo-ação no fibrado cotangente

No caso de um sistema mecânico cuja variedade de configurações é $M^{n}$, podemos tomar vantagem da existência de uma $1$-forma global de Liouville no espaço de fase $(T^{\ast }M,\omega )$. Temos que a forma simplética $\omega$ é $\omega =\mathrm {d} \theta$, onde $\theta \in \Omega ^{1}(T^{\ast }M)$ é a $1$-forma tautológica.

### Coordenadas de ação

Se for conhecida, numa vizinhança trivializável $U$ de um toro invariante $C_{\mathbf {a} }$, uma $1$-forma de Liouville $\theta$, podemos definir coordenadas de ação utilizando um difeomorfismo da forma $(\mathbf {f} ,{\bar {\varphi }})\,\colon \,U\to D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}$. Escolhemos ciclos ${\gamma _{1}}^{\!\mathbf {a} },\ldots ,{\gamma _{n}}^{\!\mathbf {a} }$ em $C_{\mathbf {a} }$ cujas classes de homologia geram o primeiro grupo de homologia $H_{1}(C_{\mathbf {a} };\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{n}$. O difeomorfismo $(\mathbf {f} ,{\bar {\varphi }})=\Phi$ seleciona então ciclos ${\gamma _{1}}^{\!\mathbf {b} },\ldots ,{\gamma _{n}}^{\!\mathbf {b} }$ em $C_{\mathbf {b} }$s vizinhos cujas classes geram $H_{1}(C_{\mathbf {b} };\mathbb {Z} )$ da seguinte maneira: se $\Phi \circ {\gamma _{i}}^{\!\mathbf {a} }(t)=(\mathbf {a} ,\gamma _{i}(t))$, então ${\gamma _{i}}^{\!\mathbf {b} }(t)=\Phi ^{-1}(\mathbf {b} ,\gamma _{i}(t))$. Note-se que, se $\gamma$ e $\gamma ^{\prime }$ são 1-ciclos (suaves) em algum $C_{\mathbf {b} }$ que estão na mesma classe de homologia, então $\gamma -\gamma ^{\prime }=\partial c$, para alguma 2-cadeia (suave) $c$ em $C_{\mathbf {b} }$, logo, pelo Teorema de Stokes,
$\oint _{\gamma }\theta ~-\oint _{\gamma ^{\prime }}\theta ~=\int _{\partial c}\theta ~=\int _{c}\omega ~=0$,
pois os toros invariantes são subvariedades isotrópicas.
Definimos $I_{k}\,\colon \,D^{n}\to \mathbb {R}$ por
$I_{k}(\mathbf {b} )={\frac {1}{2\pi }}\oint _{{\gamma _{k}}^{\!\mathbf {b} }}\theta$.
A $k$-ésima coordenada (ou aplicação) de ação é $J_{k}\,\colon \,U\to \mathbb {R}$, $J_{k}=I_{k}\circ \mathbf {f} \vert _{U}$. Essas funções são constantes em cada toro invariante.
Proposição. As funções $J_{1},\ldots ,J_{n}$ estão em involução.
Seja $\mathbf {Y} _{k}$ o campo Hamiltoniano associado à função $J_{k}$. Temos $\mathbf {Y} _{k}\mathbin {\lrcorner } \omega =-\mathrm {d} J_{k}=-{\textstyle \sum }\,h_{ik}\,\mathrm {d} f_{k}={\big{\textstyle \sum }\,h_{ik}\mathbf {X} _{k}{\big )}\mathbin {\lrcorner } \omega$, logo $\{J_{r},J_{s}\}=0$ pois $\{f_{r},f_{s}\}=0$.

### Coordenadas de ângulo

Construiremos coordenadas de ângulo sob a seguinte hipótese: numa vizinhança fibrada $U$ de $C_{\mathbf {a} }$ existe uma carta de Darboux $(p,q)\,\colon \,U\to D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}$ com a propriedade de que $(J,q)\,\colon \,U\to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {T} ^{n}$ é um difeomorfismo com a imagem. Dessa hipótese segue que
(i) $J$ é constante ao longo de uma curva integral de ${\partial }/{\partial q^{j}}$;
(ii) podemos supor $I=(I_{1},\ldots ,I_{n})$ um difeomorfismo, donde concluímos que as fibras de $J$ são toros invariantes;
(iii) o conjunto $\{\partial /\partial f_{k}\mid k=1,\ldots ,n\}\cup \{\partial /\partial q^{j}\mid j=1,\ldots ,n\}$ é linearmente independente em todo ponto, pois $\mathbf {f} \vert _{U}\circ (J,q)^{-1}(x_{1},\ldots ,x_{n},\ldots )=I^{-1}(x_{1},\ldots ,x_{n})$, logo $\mathbf {f} _{\ast }(\partial /\partial q^{j})=0$;
(iv) $\textstyle {\partial /\partial J_{i}=\sum c_{k}\cdot \partial /\partial f_{k}}$, onde $c_{k}\,\colon \,U\to \mathbb {R}$, $k=1,\ldots ,n$, são funções suaves constantes em cada toro invariante.
No que se segue, $\textstyle {\theta =\sum _{i}p_{i}\,\mathrm {d} q^{i}}\in \Omega ^{1}(U)$ – não necessariamente a $1$-forma tautológica –, de forma que $\mathrm {d} \theta =\omega \vert _{U}$.
Procederemos classicamente, construindo uma função (ou quase isso) geradora.
Começaremos cobrindo $\mathbb {T} ^{n}$ por cartas coordenadas $(W_{i},\beta _{i})_{i\in I}$ com $\beta _{i}\,\colon \,W_{i}\to D^{n}$ um difeomorfismo. O difeomorfismo $\Phi$ nos dá uma cobertura de $U$ por cartas coordenadas $(V_{i},\alpha _{i})_{i\in I}$, com $\alpha _{i}\,\colon \,V_{i}\to D^{n}\times D^{n}\subset \mathbb {R} ^{2n}$ difeomorfismo tal que $\operatorname {pr} _{1}\circ \,\alpha _{i}=\mathbf {f} \vert _{V_{i}}$. Para cada $i\in I$ e cada toro invariante $C_{\mathbf {b} }$, escolheremos um ponto ${y_{i}}^{\!\mathbf {b} }\in V_{i}\cap C_{\mathbf {b} }$. Fazemos isso para $C_{\mathbf {a} }$ e usamos $\Phi$ para selecionar em $C_{\mathbf {b} }$s vizinhos. Escolhemos para cada $\mathbf {b} ,i$ um caminho suave em $C_{\mathbf {b} }$ entre o ponto seccional $\sigma (\mathbf {b} )$ e ${y_{i}}^{\!\mathbf {b} }$. Temos $\alpha _{i}({y_{i}}^{\!\mathbf {b} })=(\mathbf {b} ,\ast )$. Se $x\in V_{i}\cap C_{\mathbf {b} }$, $\alpha _{i}(x)=(\mathbf {b} ,c_{x})$; voltando com o segmento de reta em $\{\mathbf {b} \}\times D^{n}$ entre $\ast$ e $c_{x}$, obtemos um caminho em $C_{\mathbf {b} }\cap V_{i}$ entre ${y_{i}}^{\!\mathbf {b} }$ e $x$. Definimos a aplicação suave $S_{i}\,\colon \,V_{i}\to \mathbb {R}$ por
$S_{i}(x)=\int _{\gamma }\theta ~=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma }p_{k}\,\mathrm {d} q^{k}$, onde $\gamma$ é o caminho no toro invariante sobre o qual $x$ está, entre o ponto seccional do toro e $x$, formado pela concatenação dos dois caminhos mencionados no parágrafo anterior.
Para encontrarmos a diferença $S_{i}\vert _{V_{i}\cap V_{j}}-S_{j}\vert _{V_{i}\cap V_{j}}$, note que teremos de integrar sobre um laço em um toro invariante. Lembrando-nos de que $\mathrm {d} \theta =\omega$ e da isotropia, passamos à classe de homologia desse loop em $H_{1}(C_{\mathbf {b} };\mathbb {Z} )$, aqui gerado pelas classes dos ciclos fundamentais ${\gamma _{1}}^{\!\mathbf {b} },\ldots ,{\gamma _{n}}^{\!\mathbf {b} }$. Vemos de imediato que $S_{i}\vert _{V_{i}\cap V_{j}}-S_{j}\vert _{V_{i}\cap V_{j}}=2\pi m_{1}J_{1}\vert _{V_{i}\cap V_{j}}+\ldots 2\pi m_{n}J_{n}\vert _{V_{i}\cap V_{j}}$, onde $m_{1},\ldots ,m_{n}$ são funções a valores inteiros constantes em cada componente conexa de $V_{i}\cap V_{j}$. Existem, portanto, funções que denotaremos por ${\frac {\partial S}{\partial q^{k}}}$, $k=1,\ldots ,n$, tais que ${\frac {\partial S}{\partial q^{k}}}{\bigg \vert }_{V_{i}}={\frac {\partial S_{i}}{\partial q^{k}}}$. Analogamente, existem funções $\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n}\,\colon \,U\to \mathbb {S} ^{1}$ tais que $\varphi ^{k}\vert _{V_{i}}(x)=\exp \!{\bigg{\sqrt {-1}}\cdot {\frac {\partial S_{i}}{\partial J_{k}}}{\bigg \vert }_{x}{\bigg )}$.
Note que as 1-formas $\mathrm {d} \varphi ^{1},\ldots ,\mathrm {d} \varphi ^{n}$ são localmente exatas com $\mathrm {d} \varphi ^{k}\vert _{V_{i}}=\mathrm {d} \left({\frac {\partial S_{i}}{\partial J_{k}}}\right)$.
Proposição 1. Vale ${\frac {\partial S}{\partial q^{k}}}=p_{k}$.
Prova. Tomando uma curva integral $q^{k}\,\colon \,(-\epsilon ,\epsilon )\to V_{i}$ de $\partial /\partial q^{k}$, temos, uma vez que a imagem de $q^{k}$ está contida numa vizinhança contrátil de uma subvariedade isotrópica (e usando a fórmula de Stokes),
${\frac {\partial S_{i}}{\partial q^{k}}}{\bigg \vert }_{q^{k}(0)}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\bigg \vert }_{t=0}\int _{{q^{k}}_{\!t}}\theta ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\bigg \vert }_{t=0}\int _{{q^{k}}_{\!t}}p_{k}\,\mathrm {d} q^{k}$, onde ${q^{k}}_{\!t}={q^{k}}{\bigl \vert }_{[-\epsilon /2,\,t]}$.
A proposição segue.
Proposição 2. Se $x\in U$, então $\oint _{{\gamma _{j}}^{x}}\mathrm {d} \varphi ^{i}=2\pi \delta _{i}^{j}.$
Prova. Queremos precisar a manipulação simbólica
$\int _{\gamma _{j}}\mathrm {d} \varphi ^{i}~=\int _{\gamma _{j}}\mathrm {d} \left({\frac {\partial S}{\partial J_{i}}}\right)~={\frac {\partial }{\partial J_{i}}}\int _{\gamma _{j}}\mathrm {d} S~={\frac {\partial }{\partial J_{i}}}\int _{\gamma _{j}}\theta ~={\frac {\partial }{\partial J_{i}}}(2\pi J_{j})=2\pi \delta _{i}^{j}$.
Seja $c_{j}\,\colon \,\mathbb {R} \times U\to U$ definida por $c_{j}(t,x)=\Phi ^{-1}(\mathbf {f} (x),\gamma _{j}(t))$. Para cada $x_{0}\in U$ existem uma vizinhança $U_{0}$ de $x_{0}$ e uma partição $0=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{r-1}<2\pi =t_{r}$ tais que para cada $1\leq k\leq r$ existe $\nu =\nu (k)$ com $c_{j}([t_{k-1},t_{k}]\times U_{0})\subset V_{\nu }$. Então para $x\in U_{0}$,
$2\pi J_{j}(x)=\int _{c_{j}(x,\cdot )}\theta ~=\sum _{k=1}^{r}\int _{t_{k-1}}^{t_{k}}{c_{j}(x,\cdot )}^{\ast }\theta ~=\sum _{k}\int _{t_{k-1}}^{t_{k}}\mathrm {d} (S_{\nu _{k}}\circ c_{j}(x,\cdot ))=\sum _{k}{\bigS_{\nu _{k}}\circ c_{j}(x,t_{k})-S_{\nu _{k}}\circ c_{j}(x,t_{k-1}){\big ]}.$Da observação (iv), temos ${c_{j}(t,\cdot )}_{\ast }{\Bigl{\frac {\partial }{\partial J_{i}}}{\Bigr \vert }_{x}{\Bigr )}={\frac {\partial }{\partial J_{i}}}{\Bigr \vert }_{{c_{j}}(t,x)}$. Isso implica o resultado pois $\mathrm {d} \varphi ^{i}\vert _{V_{\nu _{k}}}=\mathrm {d} {\big{\tfrac {\partial S_{\nu }}{\partial J_{i}}}{\big )}$.
Proposição 3. A aplicação $(J,\varphi )$ é uma carta local simplética.
Temos
$\mathrm {d} S_{\nu }=\theta \vert _{V_{\nu }}+\sum _{k}{\frac {\partial S_{\nu }}{\partial J_{k}}}\,\mathrm {d} J_{k}$. Tomando $\mathrm {d}$ de ambos os membros, obtemos
$0=\mathrm {d} ^{2}S_{\nu }=\omega \vert _{V_{\nu }}+\sum _{i}\mathrm {d} \left({\frac {\partial S_{\nu }}{\partial J_{i}}}\right)\wedge \mathrm {d} J_{i}=\omega \vert _{V_{\nu }}+\sum _{i}\mathrm {d} \varphi ^{i}\vert _{V_{\nu }}\wedge \mathrm {d} J_{i}$, logo $\omega =\sum _{i}\mathrm {d} J_{i}\wedge \mathrm {d} \varphi ^{i}$. Disso segue que $(J,\varphi )$ é difeomorfismo local.
Proposição 4. A carta $(J,\varphi )$ é um difeomorfismo com a imagem (portanto é um simplectomorfismo, ou transformação canônica).
Considere os campos $\partial /\partial \varphi ^{i}$, tangentes a cada toro invariante – de fato, $\partial /\partial \varphi ^{i}$ é o campo hamiltoniano associado a $J_{i}$. O subgrupo de isotropia da ação de $(\mathbb {R} ^{n},+)$ em um toro invariante $C_{\mathbf {b} }$ (fixo) dada pela composição dos fluxos dos $\partial /\partial \varphi ^{i}$ (restritos a $C_{\mathbf {b} }$) é discreto. Seja $\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}$ uma base. As imagens das curvas $t\mapsto t\mathbf {e} _{i}$ são ciclos que geram a primeira homologia de $C_{\mathbf {b} }$. Considere a matriz $B\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )$ que leva a base dos ciclos fundamentais $\{[{\gamma _{i}}^{\mathbf {b} }]\mid i=1,\ldots ,n\}\subset H_{1}(C_{\mathbf {b} };\mathbb {Z} )$ na base $\{[{\bar {\gamma }}_{i}]\}$ obtida pelas $t\mapsto (t\mathbf {e} _{i}\,\,\,\mathrm {mod} \,\,\Lambda )$. Usando que $\mathrm {d} \varphi ^{k}$ é fechada, concluímos, pela Proposição 2, que ${\tfrac {1}{2\pi }}({\mathbf {e} _{1}}^{\!\!{\mathsf {T}}}\quad {\mathbf {e} _{2}}^{\!\!{\mathsf {T}}}\quad \cdots \quad {\mathbf {e} _{n}}^{\!\!{\mathsf {T}}})=B$, logo $\Lambda$ é o reticulado canônico $2\pi \mathbb {Z} ^{n}$. Temos então um difeomorfismo $\psi \,\colon \,\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\Lambda \to C_{\mathbf {b} }$. Para $\psi \,\colon \,\mathbb {T} ^{n}\to C_{\mathbf {b} }$ temos $(\varphi \vert _{C_{\mathbf {b} }}\!\circ \psi )_{\ast }{\Big{\frac {\partial }{\partial \theta ^{i}}}{\Big )}={\frac {\partial }{\partial \theta ^{i}}}$, em seus respectivos espaços tangentes. Disso segue que $\varphi \vert _{C_{\mathbf {b} }}\!\circ \psi \,\colon \,\mathbb {T} ^{n}\to \mathbb {T} ^{n}$ é uma translação. Portanto $\psi$ inverte $\varphi \vert _{C_{\mathbf {b} }}$ a menos de uma translação. Isso é dizer que as coordenadas toroidais $\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n}$ são as coordenadas angulares canônicas em $\mathbb {T} ^{n}$.