# Equação paramétrica

Equações paramétricas são um conjunto de equações que expressam um conjunto de quantidades como funções explícitas de número de variáveis independentes, conhecidas como parâmetros. Por exemplo, enquanto a equação de um círculo em coordenadas cartesianas é: $r^{2}=x^{2}+y^{2},$ um conjunto de equações paramétricas para o círculo pode ser:
$x=r\cos t$
$y=r\operatorname {sen} t,$
Um exemplo da utilidade das equações paramétricas está na cinemática, onde esse tipo de equação serve para descrever a trajetória que um objeto pode assumir ao longo do tempo, este último serve como parâmetro da equação.
A noção de equação paramétrica tem sido generalizada para superfícies e variedades de mais dimensões, com o número de parâmetros igual ao número de dimensões e o número de equações sendo igual à dimensão do espaço em que o distribuidor ou variedade é considerado. Nas curvas por exemplo um parâmetro é usado, sendo a dimensão igual a um, enquanto em superfícies a dimensão é dois e dois parâmetros são utilizados.

## Aplicações

As equações paramétricas são frequentemente utilizadas na cinemática, por exemplo, utilizamos as equações paramétricas para descrever movimentos de corpos, a posição de uma partícula pode ser descrita como:
$r(t)=(x(t),y(t),z(t)),$
a qual pode ser escrita também como:
$r(t)=x(t){\overset {\rightarrow }{i}}+y(t){\overset {\rightarrow }{j}}+z(t){\overset {\rightarrow }{k}}.$
A velocidade, portanto, pode ser encontrada através da derivada dessa fórmula:
$r'(t)=(x'(t)+y'(t)+z'(t))$
escrevendo na forma vetorial, obtemos:
$r'(t)=x'(t){\overset {\rightarrow }{i}}+y'(t){\overset {\rightarrow }{j}}+z'(t){\overset {\rightarrow }{k}}$
Consequentemente, a aceleração é dada pela derivada da velocidade ou pela derivada segunda da posição, isto é:
$r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))$
na forma vetorial, temos:
$r''(t)=x''(t){\overset {\rightarrow }{i}}+y''{\overset {\rightarrow }{j}}+z''{\overset {\rightarrow }{k}}$
Além disso, as equações paramétricas são utilizadas na área da computação (CAD - Computer-aided design) e também são usadas para resolver problemas de geometria, uma clássica utilização é a parametrização euclidiana para triângulos retângulos.

## Exemplos em duas dimensões
### Parábola

A equação de uma parábola não parametrizada é
$f(x)=x^{2}$
a qual pode ser parametrizada utilizando x=t, para um intervalo $-\infty <t<\infty .$ como:
$x=t$ e $y=t^{2}$

### Círculo

A equação do círculo de raio igual a 1 comumente utilizada é:
$x^{2}+y^{2}=1$ para este mesmo círculo podemos escrever a seguinte equação parametrizada, para o intervalo de $0\leq t\leq 2\pi :$
$(x,y)=(cos(t),sen(t))$
ou se preferirmos podemos escrever na forma:
$x=cos(t)$ e $y=sen(t)$

### Hipérbole

* Hipérbole de abertura leste-oeste:
A equação dessa hipérbole no sistema de coordenadas cartesianas é:
${\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1$
A equação parametrizada de uma hipérbole de abertura leste-oeste pode ser escrita como:
${\begin{aligned}x&=a\sec t+h\\y&=b\tan t+k\end{aligned}}\quad$
* Hipérbole de abertura norte-sul:
A equação dessa hipérbole no sistema cartesiano é:
${\frac {\left(y-k\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{b^{2}}}=1$
A equação parametrizada de uma hipérbole de abertura norte-sul pode ser escrita como:
${\begin{matrix}x=b\tan t+h\\y=a\sec t+k\\\end{matrix}}\quad$
sendo (h,k) o centro da hipérbole, 'a' o semi-eixo real, isto é, metade da distância entre os ramos, e 'b' o semi-eixo imaginário.

### Elipse

A curva no plano cartesiano de uma elipse é:
${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$
com todos os coeficientes reais, sendo que quando os eixos da elipse são paralelos aos eixos coordenados a equação pode ser simplificada para:
${\displaystyle \left({\frac {x-h}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y-k}{b}}\right)^{2}=1,}$
sendo (h,k) o centro da elipse e 'a' e 'b' os semi-eixos da elipse.
A equação paramétrica canônica de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos 'a' e 'b' é dada pela seguinte fórmula:
$x=acos(t)$e $y=bsen(t)$
Enquanto, a equação paramétrica geral dessa mesma curva pode ser dada, por:
$x=Xc+acos(t)cos(\varphi )-bsen(t)sen(\varphi )$
$y=Yc+acos(t)sen(\varphi )+bsen(t)cos(\varphi )$
t varia de $0\leq t\leq 2\pi ,$ Xc e Yc representam o centro da elipse e ${\displaystyle \varphi }$ é o ângulo entre eixo x e o maior eixo da elipse.

## Exemplo em três dimensões
### Hélice

A hélice é uma curva tridimensional que combina a rotação em torno de um ponto com o movimento de translação desse mesmo ponto, a parametrização dessa forma tridimensional é dada pela seguinte fórmula em coordenadas cartesianas:
${\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\mathrm {sen} \,(t)\\z&=bt\,\end{aligned}}$
Em coordenadas cilíndricas, essas equações são escritas da seguinte forma:
${\displaystyle r=1\,}$
${\displaystyle \theta =t\,}$
${\displaystyle h=t\,}$