# Fasor

Em física e engenharia, um vetor de fase ou fasor, é uma representação de uma função senoidal cuja amplitude (A), frequência angular (ω) e fase (θ) são invariantes no tempo. É um subconjunto de um conceito mais geral chamado representação analítica. Fasores separam as dependências em A, ω e θ em três fatores independentes. Isto pode ser particularmente útil, porque o fator de frequência (que inclui a dependência da senoide em relação ao tempo) muitas vezes é comum a todos os componentes de uma combinação linear das sinusoides. Nessas situações, fasores permitem esse recurso comum ser fatorado para fora, deixando apenas as características A e θ. O resultado é que reduz a trigonometria à álgebra e equações diferenciais se tornam funções algébricas. O fasor de termo, portanto, muitas vezes se refere a apenas esses dois fatores. Em textos antigos, um fasor é também referido como um sinor. A teoria de transformada fasorial foi desenvolvida por Charles Proteus Steinmetz trabalhando na General Electric no fim do século 19.
Trata-se da utilização de um vetor bidimensional para representar uma onda em movimento harmônico simples. Devido ao modelo matemático de uma onda em movimento harmônico simples
    $x(t)=A\cos(\omega t+\alpha )\,$
é possível identificar-se uma relação entre esse modelo e a projeção no eixo das abscissas do seguinte vetor
    ${\vec {x}}(t)=A(\cos(\omega t+\alpha ){\vec {i}}+\sin(\omega t+\alpha ){\vec {j}})\,$
Ou seja, é possível representar uma onda de amplitude máxima $A\,$ e ângulo de fase $(\omega t+\alpha )\,$ através de um vetor de magnitude $A\,$ e que perfaz o ângulo $(\omega t+\alpha )\,$ com o eixo das abscissas, no sentido directo.

## Definição

A fórmula de Euler indica que sinusóides podem ser representados matematicamente como a soma de duas funções de valores complexos:
    $A\cdot \cos(\omega t+\theta )=A\cdot {\frac {e^{i(\omega t+\theta )}+e^{-i(\omega t+\theta )}}{2}},$
ou como a parte real de uma das funções:
    ${\begin{aligned}A\cdot \cos(\omega t+\theta )&=\operatorname {Re} \left\{A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}\right\}\\&=\operatorname {Re} \left\{Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\right\}.\end{aligned}}$
Como indicado acima, os ' fasores ' podem referir-se a $Ae^{i\theta }e^{i\omega t}\,$ ou apenas ao complexo constante, $Ae^{i\theta }\,$ . Neste último caso, entende-se ser uma notação abreviada, a amplitude e a fase de uma senóide subjacente de codificação.
Um atalho ainda mais compacto é a notação de ângulo: $A\angle \theta .\,$

## Aritmética de fasor
### Multiplicação por uma constante (escalar)

Multiplicação do fasor $Ae^{i\theta }e^{i\omega t}\,$ por uma constante complexa, $Be^{i\phi }\,$ , produz outro fasor. Isso significa que seu único efeito é alterar a amplitude e a fase da senoide subjacente:
    ${\begin{aligned}\operatorname {Re} \{(Ae^{i\theta }\cdot Be^{i\phi })\cdot e^{i\omega t}\}&=\operatorname {Re} \{(ABe^{i(\theta +\phi )})\cdot e^{i\omega t}\}\\&=AB\cos(\omega t+(\theta +\phi ))\end{aligned}}$
Em eletrônica,$Be^{i\phi }\,$ representaria uma impedância, que é independente do tempo. Em particular não é a notação abreviada para outro fasor. Multiplicando um fasor corrente por uma impedância produz uma tensão de fasor. Mas o produto de dois fasores (ou quadratura de um fasor) representaria o produto de duas sinusóides, que é uma operação não-linear que produz novos componentes de freqüência. Notação de fasor só pode representar sistemas com uma freqüência, como um sistema linear estimulada por uma senóide.

### Diferenciação e integração

A derivada do tempo ou integral de um fasor produz outro fasor.
Por exemplo:
    ${\begin{aligned}\operatorname {Re} \left\{{\frac {d}{dt}}(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t})\right\}&=\operatorname {Re} \{Ae^{i\theta }\cdot i\omega e^{i\omega t}\}\\[8pt]&=\operatorname {Re} \{Ae^{i\theta }\cdot e^{i\pi /2}\omega e^{i\omega t}\}\\[8pt]&=\operatorname {Re} \{\omega Ae^{i(\theta +\pi /2)}\cdot e^{i\omega t}\}\\[8pt]&=\omega A\cdot \cos(\omega t+\theta +\pi /2)\end{aligned}}$
Portanto, na representação de fasor, a derivada do tempo de uma senóide fica apenas multiplicada pela constante,$i\omega =(e^{i\pi /2}\cdot \omega ).\,$ Da mesma forma, integrar um fasor corresponde à multiplicação por ${\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.\,$ O fator tempo-dependente, $e^{i\omega t}\,$, não é afetado.
Quando resolvemos uma equação diferencial linear com aritmética de fasor, nós estamos meramente fatorando $e^{i\omega t}\,$ fora de todos os termos da equação e voltando a colocar na resposta. Por exemplo, considere a seguinte equação diferencial para a tensão através do capacitor num circuito RC:
    ${\frac {d\ v_{C}(t)}{dt}}+{\frac {1}{RC}}v_{C}(t)={\frac {1}{RC}}v_{S}(t)$
Quando a fonte de tensão nesse circuito é senoidal:
    $v_{S}(t)=V_{P}\cdot \cos(\omega t+\theta ),\,$
devemos substituir:
    ${\begin{aligned}v_{S}(t)&=\operatorname {Re} \{V_{s}\cdot e^{i\omega t}\}\\\end{aligned}}$
    $v_{C}(t)=\operatorname {Re} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\},$
onde o fasor $V_{s}=V_{P}e^{i\theta },\,$ e o fasor $V_{c}\,$ é a quantidade desconhecida a determinar.
Na notação abreviada do fasor, a equação diferencial se reduz a
    $i\omega V_{c}+{\frac {1}{RC}}V_{c}={\frac {1}{RC}}V_{s}$
Resolvendo para o fasor tensão capacitor dá:
    $V_{c}={\frac {1}{1+i\omega RC}}\cdot (V_{s})={\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot (V_{P}e^{i\theta })\,$
Como vimos, o fator de multiplicação$V_{s}\,$ representa as diferenças de amplitude e fase de $v_{C}(t)\,$ relativo à $V_{P}\,$ e $\theta .\,$
Na forma de coordenadas polares, é:
    ${\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-i\phi (\omega )}$, onde $\phi (\omega )=\arctan(\omega RC)$
Portanto:
    $v_{C}(t)={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{P}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega ))$

### Adição

A soma de vários fasores produz outro fasor. Isso é porque a soma de sinusóides, com a mesma frequência é também uma senóide com a freqüência:
    ${\begin{aligned}A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})&=\operatorname {Re} \{A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}\}+\operatorname {Re} \{A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\}\\[8pt]&=\operatorname {Re} \{A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}+A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\}\\[8pt]&=\operatorname {Re} \{(A_{1}e^{i\theta _{1}}+A_{2}e^{i\theta _{2}})e^{i\omega t}\}\\[8pt]&=\operatorname {Re} \{(A_{3}e^{i\theta _{3}})e^{i\omega t}\}\\[8pt]&=A_{3}\cos(\omega t+\theta _{3}),\end{aligned}}$
onde:
    $A_{3}^{2}=(A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2})^{2},$
    $\theta _{3}=\arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right)$
ou,através da lei dos cossenos no plano complexo (ou a identidade trigonométrica para diferenças de ângulo):
    $A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ }-\Delta \theta ),=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta \theta ),$
onde $\Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}$.
Um ponto chave é que A3 e θ3 não dependem ω ou t, que é o que possibilita a notação de fasor. A dependência de tempo e frequência pode ser suprimida e re-inserida para o resultado, enquanto as operações apenas usadas no meio são aqueles que produzem outro fasor. Na notação de ângulo, a operação mostrada acima está escrita:
    $A_{1}\angle \theta _{1}+A_{2}\angle \theta _{2}=A_{3}\angle \theta _{3}.\,$
Outra maneira de ver a adição é que dois vectores com coordenadas [A1 cos(ωt + θ1), A1 sin (ωt + θ1)] e [A2 cos(ωt + θ2), A2 sin (ωt + θ2)] são adicionados vetorialmente para produzir um vetor resultante com coordenadas [A3 cos(ωt + θ3), A3 sin (ωt + θ3)]. (ver animação)
Em física, este tipo de adição ocorre quando sinusóides interferem uns com os outros, de forma construtiva ou destrutiva. O conceito de vetor estático fornece percepções úteis sobre perguntas como esta: "que diferença de fase seria necessária entre três sinusóides idênticos para cancelamento perfeito?" Neste caso, basta imaginarmos três vetores de igual comprimento e colocando-os cabeça à cauda, de tal modo que a última cabeça combina com a cauda do primeiro. Claramente, a forma que satisfaz essas condições é um triângulo equilátero, então o ângulo entre cada fasor para o próximo é de 120 ° (2 π/3 radianos), ou um terço de um comprimento de onda λ/3. Assim a diferença de fase entre cada onda deve também ser 120 °, como é o caso de corrente trifásica. Em outras palavras, o que isto mostra é:
    $\cos(\omega t)+\cos(\omega t+2\pi /3)+\cos(\omega t+4\pi /3)=0.\,$
No exemplo de três ondas, a diferença de fase entre a primeira e a última onda foi 240 graus, enquanto para duas ondas destrutivas a interferência acontece a 180 graus. No limite de muitas ondas, os fasores devem formar um círculo para a interferências destrutivas, para que o primeiro fasor seja quase paralelo com o último. Isso significa que, para muitas fontes, destrutivas interferências acontecem quando a primeira e a última onda diferem por 360 graus, um comprimento de onda completo. Isto é porque em único fenda difração, mínimos ocorrem quando a luz da borda distante viaja um comprimento de onda completo a mais que a luz vinda da fenda mais próxima.

## Aplicações

Os fasores têm uma larga aplicação prática pois oferecem várias vantagens na manipulação e cálculo de ondas. Eis algumas vantagens:

### Sobreposição de ondas

Graças à natureza vetorial dos fasores, o cálculo do efeito da sobreposição de ondas reduz-se a uma soma vetorial.

### Derivação e determinação da velocidade e aceleração

Devido à natureza do modelo matemático da onda em movimento harmónico simples, das operações de derivação e das propriedades trigonométricas, a determinação da velocidade e aceleração duma partícula em movimento harmónico simples torna-se trivial. Derivando a expressão de $x(t)$ obtêm-se as seguintes expressões para a velocidade e aceleração:
    $v(t)={\dot {x}}(t)=-A\omega \sin(\omega t+\alpha )\,$
    $a(t)={\ddot {x}}(t)=-A\omega ^{2}\cos(\omega t+\alpha )\,$
A partir das relações trigonométricas deduz-se que a velocidade e a aceleração podem ser representados como vetores que prefazem um ângulo de $\pi /2\,$ e $\pi \,$ com o fasor posição e que possuem as magnitudes $-A\omega \,$ e $-A\omega ^{2}\,$ respectivamente.

## Funções senoidais

Uma função senoidal $F(t)$ é uma função periódica que oscila entre dois valores $-F_{\text{máx}}$ e $F_{\text{máx}}$ , com a mesma forma de uma função seno ou cosseno, como mostra a figura abaixo.
A distância $T$ entre dois máximos ou dois mínimos sucessivos é o período da função e o seu inverso, $f=1/T$, é a frequência.
Se designarmos por $t_{\text{máx}}$a distância entre o ponto no eixo do tempo, onde a função atinge o seu valor máximo $F_{\text{máx}}$ antes de $t=0$ , e a origem, a fase da função é:
$\varphi =2\,\pi \left({\frac {t_{\text{máx}}}{T}}\right)$
Consequentemente, as funções sinusoidais têm todas a forma geral:
$F(t)=F_{\text{máx}}\,\cos(\omega \,t+\varphi )$
onde $\omega$ é a frequência angular:
$\omega =2\,\pi \,f$
Repare que existem várias formas de representar a mesma função. Podíamos substituir o cosseno por seno e subtrair $\pi /2$ fase, sem alterar nada. Podíamos também inverter o sinal da frequência e da fase e somar ou subtrair à fase qualquer múltiplo de $2\,\pi$.
No entanto, para poder garantir que duas funções sinusoidais são iguais unicamente se tiverem igual valor máximo, frequência e fase, vamos limitar-nos a usar unicamente a função cosseno, frequências positivas e fases no intervalo $[0,2\,\pi ]$ . Essas 3 escolhas são arbitrárias, mas habituais. Assim cada função sinusoidal é caraterizada por $F_{\text{máx}},\omega$ e $\varphi$. Duas funções sinusoidais que não tenham o mesmo valor máximo, frequência angular e fase, serão necessariamente diferentes.

### Circuitos elétricos em corrente alternada

Para circuitos elétricos sinusoidais em regime permanente, é possível a utilização do método fasorial para o estudo, evitando uma resolução com equações diferenciais. Os elementos elétricos (resistências, indutâncias e capacitâncias) serão representados por impedâncias, todos em uma mesma unidade (ohm).
Um fasor funciona como um vetor, onde o módulo é a intensidade da grandeza medida (tensão ou corrente) e o ângulo (com relação à horizontal) mede a defasagem da grandeza corrente elétrica em relação a Tensão Elétrica em um componente.