# Dipolo hertziano

O dipolo hertziano, ou dipolo oscilante, foi descoberto em 1886 pelo físico alemão Heinrich Rudolf Hertz em suas experiências para testar a teoria eletrodinâmica de Maxwell. Um dipolo oscilante pode ser formado, por exemplo, pela perturbação do movimento de elétrons num átomo ou por um dispositivo comum, como uma antena para telecomunicação.

## Histórico

O dipolo hertziano foi uma das descobertas fundamentais do físico alemão Heinrich Rudolf Hertz em seu esforço para a reprodução experimental dos fenômenos previstos pela eletrodinâmica de Maxwell. Diante de seus alunos na Universidade de Karlsruhe durante uma aula demonstrativa, no outono de 1886, utilizando duas bobinas ligadas a faiscadores, notou que enquanto uma faísca era gerada numa das bobinas, uma segunda era gerada na outra. No entanto esta era muito menor, pouco luminosa e seu ruído era encoberto pelo da primeira. Foi desse modo que Hertz, quase por acaso, descobriu o importante fenômeno das centelhas secundárias.
Hertz interpretou aquelas faíscas elétricas como consequência de fenômenos eletrodinâmicos que se processavam nas proximidades de circuitos oscilantes com capacitância e autoindutância mínimas. Para comprovar suas ideias, repetiu seguidamente as experiências. Logo percebeu que tinha diante de si um campo novo: o da criação das ondas eletromagnéticas e sua propagação a distância.
Em 1887 Hertz realizou sua célebre experiência, provando a propagação de ondas eletromagnéticas num meio indefinido: utilizando um fio condutor de 60 centímetros, interrompido no centro por um entreferro e terminado nas extremidades por placas metálicas de 40 centímetros quadrados, e uma bobina de indução como um gerador de alta tensão, ele carregava capacitivamente o dipolo assim constituído até a disrupção no entreferro central; o forte campo magnético ligado à descarga dava origem a uma corrente de deslocamento de sentido inverso, carregando o dipolo novamente com cargas de sinal contrário e provocando nova disrupção, agora no outro sentido; o processo continuava dando origem a um trem de ondas de amplitude amortecida e cuja frequência fundamental se pensa, hoje, ser da ordem dos 53,5 MHz (5,6 m). A dois ou três comprimentos de onda de distância, no entreferro de uma espira metálica, observou-se uma tênue faísca. Essa experiência mostrou também que as ondas que asseguravam a transferência de energia eletromagnética do dipolo para a espira poderiam ser refletidas, refratadas e polarizadas e se propagavam a uma velocidade que parecia ser a da luz, comprovando assim a teoria de Maxwell.
Desde o primeiro dipolo construído por Hertz até os dias atuais, os princípios físicos que regeram seu projeto e desenvolvimento foram sendo aprimorados e descobertas novas maneiras e tecnologias de se transmitir e receber sinais eletromagnéticos. Atualmente algumas antenas são estruturas de extrema complexidade e importância nas comunicações e, portanto, para o desenvolvimento tecnológico humano.

## Campos elétrico e magnético do dipolo de Hertz

Um dipolo oscilante ou hertziano constitui-se de um fio de comprimento $l$ muito fino, com uma corrente elétrica senoidal $i$, de amplitude uniforme, e de um par de cargas iguais e de sinais contrários,$q$ e $-q$, em ambos os extremos do fio.
Temos que, $i={\frac {dq}{dt}}=I_{0}e^{j\omega t}$.
    O campo magnético, $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$, e campo elétrico, $\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\partial \mathbf {A} \over \partial t}$, desta configuração podem ser obtidos através do potenciais retardados, o potencial vetor magnético, $\mathbf {A} =\mu \int {\frac {\mathbf {J} (t-r/v)}{4\pi r}}d\tau$, e o potencial escalar elétrico, $\varphi =\int {\frac {\mathbf {\rho } (t-r/v)}{4\pi \epsilon r}}d\tau$. E, como as fontes variam senoidalmente: $\varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon }}\int {\frac {\mathbf {\rho } _{0}e^{j\omega (t-r/c)}}{r}}d\tau$, $\mathbf {A} ={\frac {\mu }{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} _{0}e^{j\omega (t-r/c)}}{r}}d\mathbf {\tau }$. E se considerarmos a corrente no eixo z, a única componente espacial não nula de $\mathbf {A}$ é $A_{z}={\frac {\mu _{0}I_{0}}{4\pi }}\int _{-l/2}^{l/2}{\frac {e^{j(\omega t-\kappa r)}}{r}}dz$. Para $r>>l;\,\,\,\,\,l<<\lambda$, pode-se desconsiderar a contribuição da fase: $A_{z}={\frac {\mu _{0}I_{0}e^{j\omega t}l}{4\pi r}}e^{-j\kappa r}$. Em coordenadas esféricas, ${\dot {A}}_{r}={\frac {\mu _{0}I_{0}e^{j\omega t}l}{4\pi r}}\cos \theta \,e^{-j\kappa r}$ ${\dot {A}}_{\theta }={\frac {\mu _{0}I_{0}e^{j\omega t}l}{4\pi r}}\operatorname {sen} \theta \,e^{-j\kappa r}$ ${\dot {A}}_{\varphi }=0$. Agora, pode-se calcular o campo magnético, usando $\mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla \times \mathbf {A}$. De modo que, ${\dot {H}}_{r}=0$ ${\dot {H}}_{\theta }=0$ ${\dot {H}}_{\varphi }={\frac {\mu _{0}I_{0}e^{j\omega t}l}{4\pi }}\,e^{-j\kappa r}\left[{\frac {j\omega }{vr}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right]\,\operatorname {sen} \theta$. E para o campo elétrico temos que, $\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\partial \mathbf {A} \over \partial t}$. Notamos também que derivar com respeito ao tempo corresponde a multiplicar por uma constante: ${\partial \over \partial t}\rightarrow j\omega \,:$ $\mathbf {\dot {E}} =-\nabla {\dot {\varphi }}-j\omega \mathbf {\dot {A}}$ Mas $\varphi$ pode ser obtido a partir de $\mathbf {A}$, por $\nabla \cdot \mathbf {A} =-\mu \epsilon j\omega \varphi$. $\mathbf {\dot {E}} =-\nabla {\dot {\varphi }}-j\omega \mathbf {\dot {A}} =-\nabla \left({\frac {\nabla \cdot \mathbf {\dot {A}} }{j\omega \mu \epsilon }}\right)-j\omega \mathbf {\dot {A}}$ $\mathbf {\dot {E}} ={\frac {1}{j\omega \mu \epsilon }}\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\dot {A}} )-j\omega \mathbf {\dot {A}}$. O que leva a ${\dot {E}}_{r}={\frac {\mu _{0}I_{0}e^{j\omega t}l}{4\pi }}\,e^{-j\kappa r}\left[{\frac {2{\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}}}{r^{2}}}+{\frac {2}{j\omega \epsilon _{0}r^{3}}}\right]\,\cos \theta$ ${\dot {E}}_{\theta }={\frac {\mu _{0}I_{0}e^{j\omega t}l}{4\pi }}\,e^{-j\kappa r}\left[{\frac {j\omega \mu _{0}}{r}}+{\frac {\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}}{r^{2}}}+{\frac {1}{j\omega \epsilon _{0}r^{3}}}\right]\,\operatorname {sen} \theta$ ${\dot {E}}_{\varphi }=0$. Sendo impedância intrínseca do vácuo , $\eta :={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}},$ e como ${\frac {1}{\kappa }}={\frac {\lambda }{2\pi }}$; Demonstração
tomando os campos reais:
    $H_{r}=0$
    $H_{\theta }=0$
    $H_{\varphi }={\frac {I_{0}l\operatorname {sen} \theta }{2\lambda r}}\,\left[\cos \left({\frac {2\pi r}{\lambda }}-\omega t\right)-{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\lambda }{r}}\operatorname {sen} \left({\frac {2\pi r}{\lambda }}-\omega t\right)\right]$.
E,
    $E_{r}=-\eta {\frac {I_{0}l\cos \theta }{\lambda r}}\,\left[{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\lambda }{r}}\operatorname {sen} \left({\frac {2\pi r}{\lambda }}-\omega t\right)+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}\left({\frac {\lambda }{r}}\right)^{2}\cos \left({\frac {2\pi r}{\lambda }}-\omega t\right)\right]$
    $E_{\theta }=\eta {\frac {I_{0}l\operatorname {sen} \theta }{2\lambda r}}\,\left[\cos \left({\frac {2\pi r}{\lambda }}-\omega t\right)-{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\lambda }{r}}\operatorname {sen} \left({\frac {2\pi r}{\lambda }}-\omega t\right)-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}\left({\frac {\lambda }{r}}\right)^{2}\cos \left({\frac {2\pi r}{\lambda }}-\omega t\right)\right]$
    $E_{\varphi }=0$.

## Zonas de irradiação

Ao analisar os resultados obtidos, vê-se que existem parcelas que decaem com potências distintas de $1/r$. De acordo com que nos aproximamos ou nos afastamos da antena, cada uma destas parcelas contribui mais ou menos em relação às outras. Dessa forma distinguem-se 2 diferentes zonas de campos.

### Zona próxima

Aqui os campos são ditos campos próximos ou de campos de indução $(r<<\lambda )$ e predominam os termos com maior potência de $(\lambda /r)$.
Os campos ficam:
    $H_{\varphi }=-{\frac {I_{0}l\operatorname {sen} \theta }{4\pi r^{2}}}\,\operatorname {sen} \left({\frac {2\pi r}{\lambda }}-\omega t\right)$.
    $E_{r}=-\eta {\frac {I_{0}l\cos \theta }{\lambda r}}\,\left[{\frac {1}{4\pi ^{2}}}\left({\frac {\lambda }{r}}\right)^{2}\cos \left({\frac {2\pi r}{\lambda }}-\omega t\right)\right]$
    $E_{\theta }=-\eta {\frac {I_{0}l\operatorname {sen} \theta }{2\lambda r}}\,\left[{\frac {1}{4\pi ^{2}}}\left({\frac {\lambda }{r}}\right)^{2}\cos \left({\frac {2\pi r}{\lambda }}-\omega t\right)\right]$.
* A expressão para $\mathbf {E}$ corresponde ao campo elétrico de um dipolo elétrico estático colocado na origem do sistema de coordenadas, ainda que saibamos que neste caso ele é oscilante. Isso acontece pois estamos muito próximo do dipolo, portanto os efeitos de retardamento são desprezíveis e o campo elétrico acompanha, ao longo do tempo, o momento dipolar, como se o efeito fosse propagado instantaneamente.
* $\mathbf {H}$ está praticamente em fase com a corrente que o gera. Nesse regime a fonte é rotacional, devida à corrente na antena: em $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\partial \mathbf {D} \over \partial t}$, podemos dizer que o segundo termo do lado direito quase não contribui para o campo $H_{\varphi }$.
* $\mathbf {E}$ está defasado temporalmente de $\pi /2$ com respeito a $\mathbf {H}$. Para o campo próximo contribuem mais as fontes de divergência, ou seja, as contribuições das cargas são maiores que as dos rotacionais: $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$ pesa mais que $\nabla \times \mathbf {E} =-\mu {\partial \mathbf {H} \over \partial t}$.
* As linhas do campo magnético próximo terminam nos extremos do dipolo, onde estão as fontes de divergência.
* Aqui as as fontes predominantes são as correntes ($\mathbf {H}$ em fase com a corrente).

### Zona distante (ou de irradiação)

Aqui os campos são ditos campos distantes ou campos de irradiação $(r>>\lambda )$ e predominam os termos com menor potência, ou seja, $(\lambda /r)$. Em antenas esta é a zona mais importante, já que dadas as distâncias tipicamente utilizadas numa conexão entre duas antenas, cada antena encontra-se na zona de irradiação da outra.
Os campos são:
    $H_{r}=0$
    $H_{\theta }=0$
    $H_{\varphi }={\frac {I_{0}l\operatorname {sen} \theta }{2\lambda r}}\,\cos \left({\frac {2\pi r}{\lambda }}-\omega t\right)$.
    $E_{r}=0$
    $E_{\theta }=\eta {\frac {I_{0}l\operatorname {sen} \theta }{2\lambda r}}\,\cos \left({\frac {2\pi r}{\lambda }}-\omega t\right)$
    $E_{\varphi }=0$.
* A onda eletromagnética irradiada se expande (propaga) radialmente por todas as direções do espaço.
* A dependência em $r$ de $\mathbf {E}$ e $\mathbf {H}$ é sempre a de uma onda esférica $,e^{j\kappa r}/r$. Os campos decrescem com a distância com $1/r$.
* Os campos $\mathbf {E}$ e $\mathbf {H}$ dependem de $\theta$ e $\varphi$ já que a onda esférica não é homogênea. A irradiação se dá com maior intensidade nas direções transversais à orientação do dipolo $(\theta =\pi /2)$ e é nula nas direções correspondentes ao seu alinhamento (neste caso, sobre o eixo Oz ou seja, $\theta =0$).
* As componentes dos campos elétrico e magnético, $E_{\theta }$ e $H_{\varphi }$, estão em fase temporal e em quadratura espacial, resultando num fluxo equilibrado de energia, de forma que a onda esférica irradiada se comporta localmente como uma onda plana.
* Os campos $\mathbf {E}$ e $\mathbf {H}$ não possuem componentes radiais.
* Pode-se dizer que o campo distante é gerado pelo campo próximo, enquanto que este é gerado pelas fontes, cargas e correntes.
* As linhas do campo elétrico distante são fechadas, o que mostra que são devidas a uma fonte rotacional.
* As linhas do campo magnético são sempre circulares em torno do eixo do dipolo pois suas únicas fontes são o rotacional. Nesses campos predominam as correntes de deslocamento, ou seja, a variação do campo elétrico ($\mathbf {H}$ em fase com $\mathbf {E}$, por considerarmos um meio sem perdas).

## Potência irradiada

O vetor de Poynting na região distante é radial e no sentido da propagação da irradiação.
    $<\mathbf {S} >\,={\frac {1}{2}}Re[\mathbf {{\dot {E}}_{\theta }} \times \mathbf {{\dot {H}}_{\varphi }^{*}} ]$
    Demonstração $\mathbf {\dot {E}} _{\theta }=\eta {\frac {I_{0}l\operatorname {sen} \theta }{2\lambda r}}e^{-j\kappa r}=\eta {\frac {I_{0}\kappa lsen\theta }{4\pi r}}e^{-j\kappa r}$ e $\mathbf {\dot {H}} _{\varphi }={\frac {I_{0}\kappa l\operatorname {sen} \theta }{4\pi r}}e^{-j\kappa r}$.
Então,
    $<\mathbf {S} >\,=\eta {\frac {I_{0}^{2}\kappa ^{2}l^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }{32\pi ^{2}r^{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[W/m^{2}]$.
O fluxo total de potência irradiada pelo dipolo é
    Demonstração $<P_{rad}>\,=\int _{S}<\mathbf {S} >\cdot ds=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }<S_{r}(r,\theta )>r^{2}\operatorname {sen} \theta d\varphi d\theta$ $=\int _{0}^{\pi }<S_{r}(r,\theta )>2\pi r^{2}\operatorname {sen} \theta d\theta ={\frac {\eta I_{0}^{2}}{4}}\left({\frac {l}{\lambda }}\right)^{2}\int _{0}^{\pi }\operatorname {sen} ^{3}\theta d\theta$. O valor da última integral é $4/3$, assim
    $<P_{rad}>\,={\frac {\eta \pi I_{0}^{2}}{3}}\left({\frac {l}{\lambda }}\right)^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[W]$.
Enquanto a densidade de potência muda, caindo com $r^{2}$,a potência total que atravessa a superfície é constante para qualquer superfície fechada que encerre a antena.
Em particular, no vácuo $<P_{rad}>\,=40\pi ^{2}I_{0}^{2}\left({\frac {l}{\lambda }}\right)^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[W]$.

## Intensidade da irradiação

A intensidade de irradiação de uma antena é definida como
    $U(\theta ,\varphi )=\,<S_{r}(r,\theta )>r^{2}$.
Então,
    $P_{rad}=\oint _{\Omega }U(\theta ,\varphi )d\Omega =4\pi U_{i}$.
donde $U_{i}={\frac {P_{rad}}{4\pi }}$, que é a densidade de potência dividida por $r^{2}$.
Dividindo $U(\theta ,\varphi )$ por $U_{max}$ obtemos o padrão normalizado de potência da antena:
    $U_{n}(\theta ,\varphi )={\frac {U(\theta ,\varphi )}{U_{max}}}$.
Associado a este termo definimos o ângulo sólido A, como aquele através do qual toda a radiação da antena fluiria se a potência por unidade de ângulo sólido fosse constante sobre aquele ângulo e igual a seu valor máximo. Isso significa que para padrões típicos o ângulo sólido do feixe é aproximadamente igual à largura do feixe à meia potência. Isto é,
    $\Omega _{A}=\oint _{\Omega }U_{n}(\theta ,\varphi )d\Omega$.

## Diretividade

A diretividade é definida como a razão entre a intensidade máxima da irradiação pela média da intensidade sobre todas as direções.
A intensidade média pode ser conseguida dividindo a potência total irradiada por $4\pi$. Portanto
    $D={\frac {U_{max}}{<U>}}={\frac {U_{max}}{U_{i}}}={\frac {4\pi U_{max}}{P_{rad}}}$.
    $D={\frac {4\pi U_{max}}{\displaystyle \oint _{\Omega }U(\theta ,\varphi )d\Omega }}={\frac {4\pi }{\displaystyle \oint _{\Omega }{\frac {U(\theta ,\varphi )d\Omega }{U_{max}}}}}={\frac {4\pi }{\displaystyle \oint _{\Omega }U_{n}(\theta ,\varphi )d\Omega }}={\frac {4\pi }{\Omega _{A}}}$.
Para o dipolo de Hertz,
    $U(\theta ,\varphi )=<S_{r}(r,\theta )>r^{2}=\eta {\frac {I_{0}^{2}\kappa ^{2}l^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }{32\pi ^{2}}}$
e
    $U_{max}=\eta {\frac {I_{0}^{2}\kappa ^{2}l^{2}}{32\pi ^{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\theta =\pi /2$.
Assim,
    $U_{n}(\theta ,\varphi )=\operatorname {sen} ^{2}\theta$
e,
    $D={\frac {4\pi }{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\displaystyle \int _{0}^{\pi }\operatorname {sen} ^{3}\theta d\theta }}={\frac {3}{2}}=1,5$

## Ganho

O ganho é definido como a razão da intensidade máxima de irradiação numa dada direção pela intensidade que seria produzida na mesma direção por uma antena de referência, com a mesma potência de entrada, geralmente uma antena ideal que geraria uma irradiação chamada isotrópica (igual para todos os sentidos) e sem perdas de intensidade.
Portanto,
    $G={\frac {U_{max}(\theta ,\varphi )}{U_{i}}}={\frac {U_{max}(\theta ,\varphi )}{P_{in}/4\pi }}$
$P_{in}$ é a potência de entrada.
Definindo a eficiência da antena como $k={\frac {P_{rad}}{P_{in}}}$, temos
    $U(\theta ,\varphi )=kU_{0}(\theta ,\varphi )$.
Onde $U_{0}(\theta ,\varphi )$ é a intensidade da irradiação da antena se não houvesse perdas.
Portanto,
    $G=kD$.

## Resistência de irradiação

Ao perceber que a potência irradiada por uma antena é proporcional a $I^{2}$, somos levados a definir o conceito de resistência de irradiação, a resistência que dissiparia, por efeito Joule, a mesma quantidade de energia que é irradiada pela antena.
    $P_{rad}={\frac {1}{2}}R_{rad}I^{2}$.
Comparando com a expressão para a potência irradiada por um dipolo oscilante, temos
    $R_{rad}={\frac {2}{3}}\pi \eta \left({\frac {l}{\lambda }}\right)^{2}$.