# Quicksort

O algoritmo quicksort é um método de ordenação muito rápido e eficiente, inventado por C.A.R. Hoare em 1960, quando visitou a Universidade de Moscovo como estudante. Naquela época, Hoare trabalhou em um projeto de tradução de máquina para o National Physical Laboratory. Ele criou o quicksort ao tentar traduzir um dicionário de inglês para russo, ordenando as palavras, tendo como objetivo reduzir o problema original em subproblemas que possam ser resolvidos mais fácil e rápido. Foi publicado em 1962 após uma série de refinamentos.
O quicksort é um algoritmo de ordenação por comparação não-estável.

## O algoritmo computacional

O quicksort adota a estratégia de divisão e conquista. A estratégia consiste em rearranjar as chaves de modo que as chaves "menores" precedam as chaves "maiores". Em seguida o quicksort ordena as duas sublistas de chaves menores e maiores recursivamente até que a lista completa se encontre ordenada.Os passos são:
* Escolha um elemento da lista, denominado pivô;
* Particiona: rearranje a lista de forma que todos os elementos anteriores ao pivô sejam menores que ele, e todos os elementos posteriores ao pivô sejam maiores que ele. Ao fim do processo o pivô estará em sua posição final e haverá duas sub listas não ordenadas. Essa operação é denominada partição;
* Recursivamente ordene a sub lista dos elementos menores e a sub lista dos elementos maiores;
O caso base da recursão são as listas de tamanho zero ou um, que estão sempre ordenadas. O processo é finito, pois a cada iteração pelo menos um elemento é posto em sua posição final e não será mais manipulado na iteração seguinte.
A escolha do pivô e os passos do Particiona podem ser feitos de diferentes formas e a escolha de uma implementação específica afeta fortemente a performance do algoritmo.

### Método de partição de Lomuto

Método atribuído a Nico Lomuto e popularizado por Bentley em seu livro Programming Pearls e por Cormen et al. no livro Introduction to Algorithms. Este método escolhe um pivô tipicamente no início ou no final do array. O Particiona recebe como parâmetro dois índices do array, lo e hi, que será a parte do array a ser particionada, então escolhe-se um índice i e percorre-se o array usando outro índice j realizando trocas, quando necessário, a fim de que todos os elementos menores ou iguais ao pivô fiquem antes do índice i e os elementos i + 1 até hi, ou j - 1, sejam maiores que o pivô . Esta é a maneira mais simples e fácil de entender, geralmente utilizada como uma introdução ao quicksort, entretanto é menos eficiente que o método Hoare. Este Método decai para O(n2) quando o array já está ordenado ou quando só possui elementos iguais. Existem várias formas para melhorar a eficiência do algoritmo através da escolha do pivô, lidar com elementos iguais, usar outros algoritmos para pequenos arrays como o Insertion sort e assim por diante.

## Complexidade

* Complexidade de tempo:

### Comportamento no pior caso

O pior caso de particionamento ocorre quando o elemento pivô divide a lista de forma desbalanceada, ou seja, divide a lista em duas sub listas: uma com tamanho 0 e outra com tamanho n - 1 (no qual n se refere ao tamanho da lista original). Isso pode ocorrer quando o elemento pivô é o maior ou menor elemento da lista, ou seja, quando a lista já está ordenada, ou inversamente ordenada.
Se isso acontece em todas as chamadas do método de particionamento, então cada etapa recursiva chamará listas de tamanho igual à lista anterior - 1. Teremos assim, a seguinte relação de recorrência:$T(n)=T(n-1)+T(0)+\theta (n)$$T(n-1)+\theta (n)$
Se somarmos os custos em cada nível de recursão, teremos uma série aritmética que tem valor $\theta (n^{2})$, assim, o algoritmo terá tempo de execução igual à $\theta (n^{2})$.

### Comportamento no melhor caso

O melhor caso de particionamento acontece quando ele produz duas listas de tamanho não maior que n/2, uma vez que uma lista terá tamanho [n/2] e outra tamanho [n/2] - 1. Nesse caso, o quicksort é executado com maior rapidez. A relação de recorrência é a seguinte:
$T(n)\leq 2T({\frac {n}{2}})+\theta (n)$
que, a partir do teorema mestre, terá solução $T(n)=O(n*log(n))$.
* Complexidade de espaço: $\theta (log_{2}n)$ no melhor caso e no caso médio e $\theta (n)$ no pior caso. R. Sedgewick desenvolveu uma versão do quicksort com partição recursão de cauda que tem complexidade $\theta (n^{2})$ no pior caso.

## Quicksort utilizando dois ou mais pivôs

Dentre inúmeras tentativas de melhorar a eficiência do quicksort clássico, em 2009 foi proposto por Yaroslavskiy (2009) o Dual-Pivot Quicksort , onde são utilizados 2 pivôs, particionando um array de entrada em 3 partes. Yaroslavskiy demonstra que o uso de dois pivôs é mais eficaz, especialmente quando possui uma quantidade maior de dados de entrada, comprovando a sua vantagem em relação ao algoritmo quicksort clássico.
O algoritmo Dual-Pivot Quicksort, particiona um array de entrada de dados de diferentes dados primitivos (tais como, int, char, double float e long) em três partes, utilizando dois pivôs P1 e P2. Desse modo, estabelecem os seguintes ponteiros, L, K, G e left e right(índices para o primeiro e último elementos).
Segue abaixo a descrição do algoritmo.
* Para pequenos vetores (tamanho < 17) utilizar o algoritmo Insertion Sort.
* Escolha dois pivôs (P1 e P2), podemos escolher por exemplo, o primeiro (a[left]) elemento como P1 e o último como P2.
* P1 deve ser menor do que o P2, caso contrário, eles são trocados. Então, existem as seguintes partes:
** Parte I: com índices elemento mais a esquerda, de left até L-1 contendo os elementos que são menores que o P1.
** Parte II: com índices de L até K-1 contendo os elementos maiores ou iguais a P1 e menores ou iguais a P2.
** Parte III: Com índices de G + 1 até o último elemento a direita, contendo os elementos superiores P2.
** Parte IV: contendo os elementos a ser examinados com índices de K até G
* O próximo elemento na posição K pertencente a parte IV é comparado com os pivôs P1 e P2, e alocado na parte correspondente, I, II ou III.
* Os ponteiros L, K e G são alterados nas direções correspondentes.
* Os passos 4 e 5 são repetidos enquanto G se aproxima de K.
* O pivô P1 é trocado com o último elemento da parte I, o pivô P2 é trocado com o primeiro elemento da parte III.
* As etapas 1 e 7 são repetidas de forma recursiva para cada parte I, II e III.
Também foi demonstrado por Yaroslavskiy que para ordenação de dados primitivos é mais eficiente a utilização do quicksort de 3 partições, sendo o número médio de comparações do Dual-Pivot Quicksort é ${\mathcal {}{2})n\ln(n)$, e o número médio de trocas é ${\mathcal {}{0,8})n\ln(n)$, enquanto a versão clássica do algoritmo Quicksort possui ${\mathcal {}{2})n\ln(n)$ e ${\mathcal {}1)n\ln(n)$, respectivamente.
Uma experimento realizado pelo Budiman, Zamzami e Rachmawati (2017), foi proposto, implementado e realizado experimentos com os algoritmos quicksort clássico e quicksort com dois, três, quatro e cinco pivôs. Analisando os resultados experimentais notou-se que o quicksort com um único pivô é o mais lento entre as cinco. Em segundo lugar, analisando o uso de até 5 pivôs foi comprovado que quanto mais pivôs são utilizados em um algoritmo quicksort, mais rápido seu desempenho se torna. Em terceiro lugar, o aumento de velocidade resultante da adição de mais pivôs tende a diminuir gradualmente.

## Comparação com outros algoritmos de ordenação

O quicksort é uma versão optimizada de uma árvore binária ordenada. Em vez de introduzir itens sequencialmente numa árvore explicita, o quicksort organiza-os correntemente na árvore onde está implícito, fazendo-o com chamadas recursivas à mesma. O algoritmo faz exactamente as mesmas comparações, mas com uma ordem diferente.
O algoritmo que mais se familiariza com o quicksort é o Heapsort. Para o pior caso neste algoritmo temos ${\mathcal {O}}(n\log 2n).$ Mas, o Heapsort em média trata-se de um algoritmo mais lento que o quicksort, embora essa afirmação já tenha sido muito debatida. No quicksort permanece o caso do pior caso, à exceção quando se trata de usar a variante Intro sort, que muda para Heapsort quando um pior caso é detectado. Caso se saiba à partida que será necessário o uso do heapsort é aconselhável usá-lo directamente, do que usar o introsort e depois chamar o heapsort, torna mais rápido o algoritmo.
O quicksort também compete com o Mergesort, outro algoritmo de ordenação recursiva, tendo este o benefício de ter como pior caso ${\mathcal {O}}(n\log n).$ Mergesort, ao contrário do quicksort e do Heapsort, é estável e pode facilmente ser adaptado para operar em listas encadeadas e em listas bastante grandes alojadas num tipo de acesso lento a média como um Network-Attached Storage ou num disco. Embora o quicksort possa ser operado em listas encadeadas, por vezes escolhendo um mau pivô sem acesso aleatório. A maior desvantagem do Mergesort é que quando opera em arrays, requer ${\mathcal {O}}(n)$ de espaço para o melhor caso, considerando que o quicksort com um particionamento espacial e com recursão utiliza apenas ${\mathcal {O}}(\log n)$ de espaço.
Bucket sort com dois buckets é muito parecido ao quicksort (quase idêntico), o pivô neste caso é garantidamente o valor do meio do vector.

## Implementações
### Pseudocódigo

Em pseudocódigo, o quicksort ordena elementos do índice $i_{0}$ até $H_{i}$ de um array A pode ser escrito da seguinte forma:
ou de outra maneira, como:

### Python

Uma versão do algoritmo na linguagem Python 3 poderia ser escrito da seguinte forma:

### C++

Uma versão em C++ do primeiro pseudocódigo é expressa da seguinte maneira:
Tendo os valores como saída respectivamente, desorganizados e organizados através da função quicksort;
Há também uma implementação padrão deste algorítimo melhor detalhada no seguinte endereço função qsort

### Haskell

Uma versão do algoritmo em Haskell poderia ser escrito da seguinte forma:
Partindo de uma lista inicial [10,2,5,3,1,6,7,4,2,3,4,8,9], teremos: