# Velocidade

Velocidade vetorial é a velocidade escalar em combinação com a direção do movimento de um objeto. A velocidade vetorial é um conceito fundamental na cinemática, o ramo da mecânica clássica que descreve o movimento dos corpos.
A velocidade vetorial é uma grandeza vetorial física: tanto a magnitude quanto a direção são necessárias para defini-la. O valor absoluto escalar (magnitude) da velocidade vetorial é chamado de velocidade escalar, sendo uma unidade derivada coerente cuja grandeza é medida no SI (sistema métrico) como metros por segundo (m/s ou m⋅s$^{−1}$). Por exemplo, “5 metros por segundo” é um escalar, enquanto “5 metros por segundo leste” é um vetor. Se houver uma mudança na velocidade escalar, direção ou ambas, diz-se que o objeto está sofrendo uma aceleração.

## Definição
### Velocidade média

A velocidade média de um objeto durante um período de tempo é sua mudança de posição, $\Delta s$, dividida pela duração do período, $\Delta t$, dada matematicamente como ${\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

### Velocidade instantânea

A velocidade instantânea de um objeto é a velocidade média limite conforme o intervalo de tempo se aproxima de zero. Em qualquer momento t específico, pode ser calculada como a derivada da posição em relação ao tempo: ${\boldsymbol {v}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {s}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {s}}}{dt}}.$
A partir desta equação derivada, no caso unidimensional pode-se ver que a área sob uma velocidade versus tempo (gráfico de v versus t) é o deslocamento, s. Em termos de cálculo, a integral da função de velocidade v(t) é a função de deslocamento s(t). Na figura, isto corresponde à área amarela sob a curva. ${\boldsymbol {s}}=\int {\boldsymbol {v}}\ dt$
Embora o conceito de velocidade instantânea possa à primeira vista parecer contra-intuitivo, pode ser pensado como a velocidade com que o objeto continuaria a viajar se parasse de acelerar naquele momento.

### Diferença entre as velocidades escalar e vetorial

Embora os termos velocidade escalar e velocidade vetorial sejam frequentemente usados coloquialmente de forma intercambiável para denotar a rapidez com que um objeto está se movendo, em termos científicos eles são diferentes. A velocidade escalar, a magnitude escalar de um vetor de velocidade, denota apenas a rapidez com que um objeto está se movendo, enquanto a velocidade vetorial indica a velocidade escalar e a direção de um objeto.
Para ter uma velocidade vetorial constante, um objeto deve ter uma velocidade escalar constante em uma direção constante. A direção constante restringe o objeto ao movimento em uma trajetória reta, portanto, uma velocidade vetorial constante significa movimento em linha reta a uma velocidade escalar constante.
Por exemplo, um carro que se move a uma velocidade constante de 20 quilômetros por hora em uma trajetória circular tem uma velocidade escalar constante, mas não tem velocidade vetorial constante porque sua direção muda. Portanto, considera-se que o carro está passando por uma aceleração.

### Unidades

Como a derivada da posição em relação ao tempo dá a mudança na posição (em metros) dividida pela mudança no tempo (em segundos), a velocidade é medida em metros por segundo (m/s).

## Equação de movimento
### Velocidade média

A velocidade é definida como a taxa de mudança de posição em relação ao tempo, que também pode ser referida como velocidade instantânea para enfatizar a distinção da velocidade média. Em algumas aplicações, a velocidade média de um objeto pode ser necessária, ou seja, a velocidade constante que forneceria o mesmo deslocamento resultante que uma velocidade variável no mesmo intervalo de tempo, v(t), ao longo de algum período de tempo Δt. A velocidade média pode ser calculada como:
    $\mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {x} }{\Delta t}}={\frac {\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {v} (t)dt}{t_{1}-t_{0}}}.$
A velocidade média é sempre menor ou igual à velocidade escalar média de um objeto. Isso pode ser visto ao perceber que, enquanto a distância está sempre aumentando estritamente, o deslocamento pode aumentar ou diminuir em magnitude, bem como mudar de direção.
Em termos de um gráfico de deslocamento-tempo (x versus. t), a velocidade instantânea (ou, simplesmente, velocidade) pode ser considerada como a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto, e a velocidade média como a inclinação da reta secante entre dois pontos com coordenadas t iguais aos limites do período de tempo para a velocidade média.

#### Casos especiais

* Quando uma partícula se move com diferentes velocidades escalares uniformes v$_1$, v$_2$, v$_3$, ..., v$_n$ em diferentes intervalos de tempo t$_1$, t$_2$, t$_3$, ..., t$_n$ respectivamente, então a velocidade escalar média sobre o tempo total da jornada é dada como ${\bar {v}}={v_{1}t_{1}+v_{2}t_{2}+v_{3}t_{3}+\dots +v_{n}t_{n} \over t_{1}+t_{2}+t_{3}+\dots +t_{n}}$
Se t$_1$ = t$_2$ = t$_3$ = ... = t, então a velocidade escalar média é dada pela média aritmética das velocidades escalares ${\bar {v}}={v_{1}+v_{2}+v_{3}+\dots +v_{n} \over n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{v_{i}}$
* Quando uma partícula se move em diferentes distâncias s$_1$, s$_2$, s$_3$,..., s$_n$ com velocidades escalares v$_1$, v$_2$, v$_3$,..., v$_n$ respectivamente, então a velocidade escalar média da partícula ao longo da distância total é dada como
${\bar {v}}={s_{1}+s_{2}+s_{3}+\dots +s_{n} \over t_{1}+t_{2}+t_{3}+\dots +t_{n}}={{s_{1}+s_{2}+s_{3}+\dots +s_{n}} \over {{s_{1} \over v_{1}}+{s_{2} \over v_{2}}+{s_{3} \over v_{3}}+\dots +{s_{n} \over v_{n}}}}$
Se s$_1$ = s$_2$ = s$_3$ = ... = s, então a velocidade escalar média é dada pela média harmônica das velocidades escalares ${\bar {v}}=n\left({1 \over v_{1}}+{1 \over v_{2}}+{1 \over v_{3}}+\dots +{1 \over v_{n}}\right)^{-1}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{v_{i}}}\right)^{-1}$

### Relação com a aceleração

Embora a velocidade seja definida como a taxa de mudança de posição, é comum começar com uma expressão para a aceleração de um objeto. Como visto pelas três linhas tangentes verdes na figura, a aceleração instantânea de um objeto em um ponto no tempo é a inclinação da linha tangente à curva de um gráfico v(t) naquele ponto. Em outras palavras, a aceleração instantânea é definida como a derivada da velocidade em relação ao tempo: ${\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}$
A partir daí, a velocidade é expressa como a área sob um gráfico de aceleração versus tempo a(t). Como acima, isso é feito usando o conceito da integral: ${\boldsymbol {v}}=\int {\boldsymbol {a}}\ dt$

#### Aceleração constante

No caso especial de aceleração constante, a velocidade pode ser estudada usando as equações de suvat. Ao considerar a como sendo igual a algum vetor constante arbitrário, isso mostra ${\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t$ com v como a velocidade no tempo t e u como a velocidade no tempo t = 0. Ao combinar esta equação com a equação de suvat x = ut + at$^2$/2, é possível relacionar o deslocamento e a velocidade média por ${\boldsymbol {x}}={\frac {({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})}{2}}t={\boldsymbol {\bar {v}}}t$ Também é possível derivar uma expressão para a velocidade independente do tempo, conhecida como equação de Torricelli, da seguinte forma: $v^{2}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}=({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t)\cdot ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t)=u^{2}+2t({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})+a^{2}t^{2}$ $(2{\boldsymbol {a}})\cdot {\boldsymbol {x}}=(2{\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {u}}t+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {a}}t^{2})=2t({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})+a^{2}t^{2}=v^{2}-u^{2}$ $\therefore v^{2}=u^{2}+2({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}})$ onde v = |v| etc.
As equações acima são válidas tanto para a mecânica newtoniana quanto para a relatividade especial. Onde a mecânica newtoniana e a relatividade especial diferem é em como diferentes observadores descreveriam a mesma situação. Em particular, na mecânica newtoniana, todos os observadores concordam com o valor de t e as regras de transformação para posição criam uma situação na qual todos os observadores não aceleradores descreveriam a aceleração de um objeto com os mesmos valores. Nenhuma das duas é verdadeira para a relatividade especial. Em outras palavras, apenas a velocidade relativa pode ser calculada.

## Grandezas físicas que dependem da velocidade
### Momento

Na mecânica clássica, a segunda lei de Newton define momento (momentum), p, como um vetor que é o produto da massa e velocidade de um objeto, dado matematicamente como ${\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}$ onde m é a massa do objeto.

### Energia cinética

A energia cinética de um objeto em movimento depende de sua velocidade e é dada pela equação$E_{\text{k}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$ onde E$_k$ é a energia cinética. A energia cinética é uma grandeza escalar, pois depende do quadrado da velocidade.

### Arrasto (resistência de fluido)

Na dinâmica de fluidos, o arrasto é uma força que atua em oposição ao movimento relativo de qualquer objeto que se move em relação a um fluido circundante. A força de arrasto, $F_{D}$, depende do quadrado da velocidade e é dada como $F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{D}\,A$ onde
* $\rho$ é a densidade do fluido;
* $v$ é a velocidade do objeto em relação ao fluido;
* $A$ é a área da seção transversal;
* $C_{D}$ é o coeficiente de arrasto – um número adimensional.

### Velocidade de escape

A velocidade de escape é a velocidade escalar mínima que um objeto balístico precisa para escapar de um corpo massivo como a Terra. Ela representa a energia cinética que, quando adicionada à energia potencial gravitacional do objeto (que é sempre negativa), é igual a zero. A fórmula geral para a velocidade de escape de um objeto a uma distância r do centro de um planeta com massa M é$v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {2gr}},$onde G é a constante gravitacional e g é a aceleração gravitacional. A velocidade de escape da superfície da Terra é de cerca de 11.200 m/s, e é independente da direção do objeto. Isso torna "velocidade de escape" um tanto impróprio, pois o termo mais correto seria "velocidade escalar de escape": qualquer objeto que atinja uma velocidade dessa magnitude, independentemente da atmosfera, deixará a vizinhança do corpo base, desde que não intersecte com algo em seu caminho.

### O fator de Lorentz da relatividade especial

Na relatividade especial, o fator de Lorentz adimensional aparece frequentemente e é dado por$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ onde γ é o fator de Lorentz e c é a velocidade escalar da luz.

## Velocidade relativa

A velocidade relativa é uma medida da velocidade entre dois objetos determinada em um único sistema de coordenadas. A velocidade relativa é fundamental tanto na física clássica quanto na moderna, uma vez que muitos sistemas da física lidam com o movimento relativo de duas ou mais partículas.
Considere um objeto A movendo-se com vetor de velocidade v e um objeto B com vetor de velocidade w; essas velocidades absolutas são normalmente expressas no mesmo referencial inercial. Então, a velocidade do objeto A em relação ao objeto B é definida como a diferença dos dois vetores de velocidade: ${\boldsymbol {v}}_{A{\text{ em relação a }}B}={\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {w}}$ Da mesma forma, a velocidade relativa do objeto B movendo-se com velocidade w, em relação ao objeto A movendo-se com velocidade v é: ${\boldsymbol {v}}_{B{\text{ em relação a }}A}={\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {v}}$ Normalmente, o referencial inercial escolhido é aquele em que o último dos dois objetos mencionados está em repouso.
Na mecânica newtoniana, a velocidade relativa é independente do referencial inercial escolhido. Este não é mais o caso da relatividade especial, na qual as velocidades dependem da escolha do referencial.

### Velocidades escalares

No caso unidimensional, as velocidades são escalares e a equação é: $v_{\text{rel}}=v-(-w),$ se os dois objetos estiverem se movendo em direções opostas, ou: $v_{\text{rel}}=v-(+w),$ se os dois objetos estiverem se movendo na mesma direção.

## Sistemas de coordenadas
### Coordenadas cartesianas

Em sistemas de coordenadas cartesianas multidimensionais, a velocidade é dividida em componentes que correspondem a cada eixo dimensional do sistema de coordenadas. Em um sistema bidimensional, onde há um eixo x e um eixo y, os componentes de velocidade correspondentes são definidos como: $v_{x}=dx/dt$ $v_{y}=dy/dt$ O vetor de velocidade bidimensional é então definido como ${\textbf {v}}=<v_{x},v_{y}>$. A magnitude deste vetor representa a velocidade escalar e é encontrada pela fórmula de distância como: $|v|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}$ Em sistemas tridimensionais onde há um eixo z adicional, o componente de velocidade correspondente é definido como: $v_{z}=dz/dt$ O vetor de velocidade tridimensional é definido como ${\textbf {v}}=<v_{x},v_{y},v_{z}>$ com sua magnitude também representando a velocidade escalar e sendo determinada por: $|v|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}$ Enquanto alguns livros didáticos usam a notação subscrita para definir componentes cartesianos de velocidade, outros usam $u$, $v$, e $w$ para os eixos $x$, $y$, e $z$, respectivamente.

### Coordenadas polares

Em coordenadas polares, uma velocidade bidimensional é descrita por uma velocidade radial, definida como o componente da velocidade para longe ou em direção à origem, e uma velocidade transversal, perpendicular à radial. Ambas surgem da velocidade angular, que é a taxa de rotação em torno da origem (com grandezas positivas representando a rotação no sentido anti-horário e grandezas negativas representando a rotação no sentido horário, em um sistema de coordenadas destro).
As velocidades radial e transversal podem ser derivadas dos vetores de velocidade e deslocamento cartesianos decompondo o vetor de velocidade em componentes radial e transversal. A velocidade transversal é o componente da velocidade ao longo de um círculo centrado na origem. ${\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}_{T}+{\boldsymbol {v}}_{R}$ onde:
* ${\boldsymbol {v}}_{T}$ é a velocidade transversal;
* ${\boldsymbol {v}}_{R}$ é a velocidade radial.
A velocidade escalar radial (ou magnitude da velocidade radial) é o produto escalar do vetor de velocidade e o vetor unitário na direção radial. $v_{R}={\frac {{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {r}}}{\left|{\boldsymbol {r}}\right|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {r}}}$ onde ${\boldsymbol {r}}$ é a posição e ${\hat {\boldsymbol {r}}}$ é a direção radial.
A velocidade escalar transversal (ou magnitude da velocidade transversal) é a magnitude do produto cruzado do vetor unitário na direção radial e o vetor de velocidade. É também o produto escalar da velocidade e a direção transversal, ou o produto da velocidade escalar angular $\omega$ e o raio (a magnitude da posição). $v_{T}={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {t}}}=\omega |{\boldsymbol {r}}|$ tal que: $\omega ={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|^{2}}}$ Momento angular na forma escalar é a massa vezes a distância até a origem vezes a velocidade transversal, ou equivalentemente, a massa vezes a distância ao quadrado vezes a velocidade escalar angular. A convenção de sinais para momento angular é a mesma que para velocidade angular. $L=mrv_{T}=mr^{2}\omega$ onde:
* $m$ é a massa;
* $r=|{\boldsymbol {r}}|$
A expressão $mr^{2}$ é conhecida como momento de inércia. Se as forças estão na direção radial apenas com uma dependência inversa do quadrado, como no caso de uma órbita gravitacional, o momento angular é constante, e a velocidade escalar transversal é inversamente proporcional à distância, a velocidade escalar angular é inversamente proporcional à distância ao quadrado, e a taxa na qual a área é varrida é constante. Essas relações são conhecidas como leis de Kepler do movimento planetário.