# Fórmula de Viète

Na matemática, a fórmula de Viète é o seguinte produto infinito de radicais aninhados representando a constante matemática π:
    ${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$
A fórmula é denominada em memória de François Viète (1540–1603), que a publicou em 1593 em sua obra Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII.

## Significância

Na época em que Viète publicou sua fórmula, métodos para aproximações de π com precisão (em princípio) arbitrária já eram conhecidos há muito tempo. O método de Viète pode ser interpretado como uma variação da ideia de Arquimedes de aproximar o comprimento de um círculo por umperímetro de um polígono de múltiplos lados, usado por Arquimedes para encontrar a aproximação
    ${\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}.$
Contudo, ao publicar seu método como uma fórmula matemática, Viète formulou pela primeira vez um produto infinito conhecido na matemática, e o primeiro exemplo de uma fórmula explícita para o valor exato de π. Como a primeira fórmula representando um número como resultado de um processo infinito em vez de um cálculo finito, a fórmula de Viète foi notada como o início da análise matemática e ainda mais amplamente como "o alvorecer da matemática moderna".
Usando sua fórmula, Viète calculou π com uma precisão de nove dígitos decimais. No entanto, esta não foi a aproximação mais precisa para π conhecida na época, pois o matemático persa Ghiyath al-Kashi havia calculado π com uma precisão de nove dígitos sexagesimais e 16 dígitos decimais em 1424. Não muito tempo depois de Viète publicar sua fórmula, Ludolph van Ceulen usou um método estreitamente relacionado para calcular 35 dígitos de π, publicados somente após a morte de van Ceulen em 1610.

## Interpretação e convergência

A fórmula de Viète pode ser reescrita e entendida como uma expressão limite
    $\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{2}}={\frac {2}{\pi }}$
com a$_n$ = √2 + a$_{n−1}$, com condição inicial a$_1$ = √2. Viète fez seu trabalho muito antes de os conceitos de limites e provas rigorosas de convergência serem desenvolvidos em matemática; a primeira prova de que esse limite existe não foi dada até o trabalho de Ferdinand Rudio em 1891.
A taxa de convergência de um limite governa o número de termos que uma expressão necessita para atingir um dado número de dígitos de precisão. No caso da fórmula de Viète, existe uma relação linear entre o número de termos e o número de dígitos: o produto dos primeiros n termos no limite fornecem uma expressão para π que é precisa até aproximadamente 0.6n digits. esta taxa de convergência compara-se muito favoravelmente com o produto de Wallis, uma fórmula de produto infinito posterior para π. Embora Viète tenha usado esta fórmula para calcular π com precisão de nove dígitos, uma versão acelerada de sua fórmula foi usada para calcular π com centenas de milhares de dígitos.

## Fórmulas relacionadas

A fórmula de Viète pode ser obtida como um caso especial de uma fórmula mais de um século depois por Leonhard Euler. Euler descobriu que
    ${\frac {\sin x}{x}}=\cos {\frac {x}{2}}\cdot \cos {\frac {x}{4}}\cdot \cos {\frac {x}{8}}\cdots$
Substituindo x = π2, e expressando cada termo do produto como uma função de termos anteriores usando a fórmula para o ângulo metade
    $\cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}$
resulta na fórmula de Viète.
É também possível obter da fórmula de Viète uma fórmula relacionada para π que envolve ainda raízes quadradas aninhadas de dois, porém com apenas uma multiplicação:
    $\pi =\lim _{k\to \infty }2^{k}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}}}}} _{k\ \mathrm {square} \ \mathrm {roots} }$
Atualmente diversas fórmulas similares a fórmula de Viète envolvendo radicais aninhados ou produtos infinitos de funções trigonométricas são conhecidas para π, bem como para outras constantes tal como a proporção áurea.

## Dedução

Viète obteve sua fórmula comparando as áreas de polígonos regulars com 2$^n$ e 2$^{n+1}$ lados inscritos em um círculo. O primeiro termo do produto, √22, é a relação das das áreas de um quadrado e um octógono, o segundo termo é a relação das áreas de um octógono e um hexadecágono, etc. Assim, o produto telescopica para fornecer a razão entre as áreas de um quadrado (o polígono inicial na sequência) e um círculo (o caso limite de um 2$^n$-gono). Alternativamente, os termos em um produto podem ser interpretados como a relação de perímetros da mesma sequência de polígonos, iniciando com a relação de perímetros de um dígono (o diâmetro de um círculo, contado duas vezes) e um quadrado, a relação de perímetros de um quadrado e um octógono, etc.
Outra dedução é possível, baseada sobre identidades trigonométricas e fórmula de Euler. Aplicando sucessivamente a fórmula para o ângulo duplo
    $\sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}},$
pode ser provado por indução matemática que, para todo inteiro positivo n,
    $\sin x=2^{n}\sin {\frac {x}{2^{n}}}\left(\prod _{i=1}^{n}\cos {\frac {x}{2^{i}}}\right).$
O termo 2$^n$ sin x2$^n$ converge para x no limite quando n converge para infinito, da qual segue a fórmula de Euler. A fórmula de Viète pode ser obtida desta fórmula pela substituição x = π2.