# Conjunto

Conjunto é um conceito-chave primitivo do ramo matemático da Teoria dos Conjuntos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A.
Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. Dizemos que dois conjuntos são iguais se, e somente se, cada elemento de um é também elemento do outro.

## Importância

Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo o elemento principal da teoria dos conjuntos.

## Notação matemática

É possível descrever o mesmo conjunto de três maneiras diferentes, por:
* extensão: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos);
* compreensão: definindo uma propriedade de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell, em Principia mathematica);
* representação gráfica: usando Diagramas de Venn.
A notação padrão em Matemática lista os elementos separados por vírgulas e delimitados por chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum e, em determinados contextos, considerado incorreto). Um certo conjunto A, por exemplo, poderia ser representado como: $A=\left\{1,2,3\right\}$
Como a ordem não importa em conjuntos, isso é equivalente a escrever, por exemplo: $A=\left\{1,2,2,1,3,2\right\}$ Um certo conjunto A também fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário pertence ou não a A. Por exemplo, a frase "B é o conjunto dos triângulos retângulos" define perfeitamente o conjunto B, já que permite decidir se um objeto qualquer é ou não elemento de B. O mesmo conjunto A do parágrafo anterior poderia ser representado por uma regra: $A=\left\{x\,|\,x{\mbox{ é um número inteiro tal que }}0<x<4\right\}$
ou ainda: $A=\left\{x\,:\,x{\mbox{ é um número natural tal que }}1\leq x\leq 3\right\}$
Note que as propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das, após os elementos e separadas destes por : ou por |. Também é possível representar graficamente os conjuntos. O Diagrama de Venn-Euler é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

## Conceitos essenciais

* Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas;
* Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;
* Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Se $a$ é um elemento do conjunto $A,$ podemos dizer que o elemento $a$ pertence ao conjunto $A$ e podemos escrever $a\in A$. Se $a$ não é um elemento de $A$, nós podemos dizer que o elemento $a$ não pertence ao conjunto $A$ e podemos escrever $a\not \in A.$

### Subconjuntos próprios e impróprios

Se $A$ e $B$ são conjuntos e todo o elemento $x$ pertencente a $A$ também pertence a $B$, então o conjunto $A$ é dito um subconjunto do conjunto $B$, denotado por $A\subseteq B$. Note que esta definição inclui o caso em que $A$ e $B$ possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto ($A=B$, é equivalente a $A\subseteq B$ e $B\subseteq A$). Se $A\subseteq B$ e ao menos um elemento pertencente a $B$ não pertence a $A$, então $A$ é chamado de subconjunto próprio de $B$, denotado por $A\subset B$. Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, entretanto não se enquadra na definição de subconjunto próprio, e é chamado de subconjunto impróprio.

### Conjunto vazio

É o conjunto que não possui elemento. Ele é representado pelos símbolos $\{\}$ ou $\emptyset$. Nunca use para demonstrar um conjunto vazio esta representação $\{\emptyset \}$, pois ela indica que há um elemento dentro deste conjunto o que o torna um conjunto unitário. Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por $\{\}$ou $\emptyset$.
Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais, uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

### Cardinalidade

Se um conjunto tem n{\textstyle n} elementos, onde n{\textstyle n} é um número natural (incluindo o 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com cardinalidade, ou número cardinal n{\textstyle n}.
Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser $\aleph _{0}$ (aleph-0), $\aleph _{1},\aleph _{2}....$
Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto $A$ é denotada por $|A|$. Se para dois conjuntos $A$ e B{\textstyle B} é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então $|A|=|B|.$

### Conjunto potência ou das partes

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado $A$ é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de $A$, denotado por $P(A).$ O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.
Sendo o conjunto dado $A$ finito, com $n$ elementos, prova-se que o número de subconjuntos, isto é, o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de $A$ é $2^{n},$ ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de $A$ é igual a $2^{n}.$ Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de A{\textstyle A} e o conjunto $\{0,1\}^{A},$ é usual representar-se P(A){\textstyle P(A)} por $2^{A}.$
O Teorema de Cantor estabelece que $|A|<|P(A)|.$

### Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:
$A\times B=\{(a,b):a\in A\land b\in B\}$
A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto
$A+B=A\times \{0\}\cup B\times \{1\}.$

## Operações com conjuntos

De maneira semelhante ao que ocorre com os números, também existem operações matemáticas com conjuntos. Nos exemplos são utilizados diagramas de Venn para ilustrar.
| Operação | Operador | Definição | Exemplo |
| União | $\cup$ | A união (ou reunião) de dois conjuntos $A$ e $B$ é o conjunto $A\cup B$ composto dos elementos que pertencem a um dos conjuntos $A$ ou $B$ ou a ambos. A união de N conjuntos $S=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cdots \cup S_{N}=\cup _{i=1}^{N}S_{i}$ é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos $S_{i}$. A união entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por $A\cup B=\{\forall x|x\in A\lor x\in B\}$. | $A\cup B$ |
| Interseção | $\cap$ | A interseção de dois conjuntos $A$ e $B$ é o conjunto $A\cap B$ composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos $A$ e $B$. A definição formal da interseção é $A\cap B=\{\forall x|x\in A\land x\in B\}$. | $A\cap B$ |
| Complementar | $A^{c}$ ou $U\setminus A$ | O complemento $A^{c}$ (ou $U\setminus A$) de um conjunto $A$ se refere aos elementos que não estão no conjunto $A$. Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa a um conjunto universo $U$, isto é, o complemento de $A$ em relação a $U$. É o mesmo que $U$$-$$A$. O conjunto $A^{c}$ é formado pelos elementos de $U$ que não pertencem a $A$, formalmente definida por $A^{c}=\{\forall x|x\in U\land x\notin A\}$ | $A^{c}$ |
| Diferença | $\setminus$ ou $-$ | A diferença $A\setminus B$ (ou $A$$-$$B$) entre dois conjuntos $A$ e $B$ é o conjunto dos elementos que pertencem a $A$ e que não pertencem a $B.$ A diferença entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por $A\setminus B=\{\forall x|x\in A\land x\notin B\}$. | $A\setminus B$ |
Em uma expressão que envolve mais de dois conjuntos, deve-se seguir um conjunto de regras para estabelecer a ordem de execução das operações:
* Da mesma forma que com números, faz-se primeiramente o que está entre parênteses. Se houver mais de um conjunto de parênteses, resolve-se de dentro para fora;
* Em seguida, calcula-se os complementos;
* As operações de união, interseção e diferença possuem a mesma prioridade. Desta forma, deve-se utilizar parênteses para indicar qual operação deve ser executada primeiro. Dito isso, uma expressão como $A\cup B-C$ não possui solução definida, visto que $(A\cup B)-C\neq A\cup (B-C)$.

## Conjuntos compostos por números

Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r, s, t e u são números reais.
* Números naturais são usados para contar. O símbolo $\mathbb {N}$ usualmente representa este conjunto. Na literatura matemática, é possível encontrar textos que incluem o zero como número natural e textos que não incluem.
* Números primos aparecem na fatoração de números inteiros. O símbolo $\mathbb {P}$ usualmente representa este conjunto.
* Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo $\mathbb {Z}$ usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
* Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo $\mathbb {Q}$ usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
* Números irracionais são números reais que não são números racionais. O símbolo $\mathbb {I}$ ou a operação $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ usualmente representa este conjunto.
* Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo $\mathbb {A}$ usualmente representa este conjunto.
* Números transcendentais são números reais que não são números algébricos. O símbolo $\mathbb {T}$ ou a operação $\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$ usualmente representa este conjunto.
* Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo $\mathbb {R}$ usualmente representa este conjunto. (O estudo destes conjuntos é tão importante que recebe até nome específico: análise real.)
* Números imaginários aparecem como soluções de equações como x ² + r = 0 onde r > 0. O símbolo $i$ usualmente representa este conjunto.
* Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários: $r+si.$ O símbolo $\mathbb {C}$ usualmente representa este conjunto.
* Números quaterniões é a soma de números reais e de três números imaginários de unidades distintas: $r+si+tj+uk.$ O símbolo $\mathbb {H}$ usualmente representa este conjunto.
* Números octoniões é a soma de números reais e de sete números imaginários de unidades distintas. O símbolo $\mathbb {O}$ usualmente representa este conjunto.
* Números complexos hiperbólicos é a soma de números reais com uma unidade que satisfaz $\jmath ^{2}=1$ e $\jmath \neq \pm 1.$ Os números complexos hiperbólicos são da forma $r+s\jmath .$ Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero. O símbolo $\mathbb {R} ^{1,1}$ usualmente representa este conjunto.
* Números p-ádicos são uma extensão dos números inteiros, onde p é um número primo. Os símbolos $\mathbb {Z} _{p}$ usualmente representam estes conjuntos. (não confundir com inteiros módulo p)
* Números ordinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Não existe o conjunto dos números ordinais.
* Números cardinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Um número cardinal é um número ordinal que não é equipotente a nenhum ordinal menor do que ele. Não existe o conjunto dos números cardinais.