# Quádrica

Quádrica ou superfície quádrica é, em matemática, o conjunto dos pontos do espaço tridimensional cujas coordenadas formam um polinômio de segundo grau de no máximo três variáveis denominada de equação cartesiana da superfície:

## Plano cartesiano

Como a dimensão do plano é 2, ou $\mathbb {R} ^{2}$, as quádricas no plano cartesiano têm dimensão um e são curvas planas. Também são chamados de seções cónicas ou cónicas.

## Superfícies

Numa visão informal, as superfícies quadráticas são as regiões formadas quando as cônicas se movimentam no espaço. A partir da equação geral do segundo grau nas três variáveis x,y,z é possível representar uma superfície quadrática.
Observemos que se a superfície quadrática formada pela equação geral, for cortada por um plano paralelo a um dos planos coordenados, a curva de interseção será uma cônica.

### Superfície Esférica

A superfície esférica S de centro C e raio r > 0 é o lugar geométrico dos pontos do espaço que mantém a distância r de C. Sendo $P=(x,y,z)\in S\,$ e C = $(x_{o},y_{o},z_{o})\,$ então d(P,C) = r, ou seja, a equação implícita de S é:
$(x-x_{o})^{2}+(y-y_{o})^{2}+(z-z_{o})^{2}=r^{2}\,$
Se aproximarmos um plano $\pi \,$ de uma superfície esférica de modo que este toque a superfície em apenas um ponto Pt, este ponto é chamado ponto de tangência onde é válido:
$\pi \cap S=\{Pt\}\,$
${\overline {C\ Pt}}\perp \pi \,$
$d(C,\pi )=r\,$
Porém, se o plano $\pi$ tocar a superfície em mais de um ponto, então o plano é secante à superfície, o que acontece sempre que $d(C,\pi )<r\,$.

### Superfície Cilíndrica

Uma superfície é dita cilíndrica se existir uma curva C e uma reta r tais que a superfície seja a união de retas paralelas a r que passem por C. C é chamada diretriz da superfície S e as retas paralelas a r são geratrizes de S.
Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.

### Superfície Cônica

Uma superfície S é dita cônica se ela for formada a partir de uma curva C e um ponto V não pertencente a C tal que S é a união das retas VQ, onde Q percorre C.
Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.

### Superfície de Rotação

Uma superfície S é uma superfície de rotação se existem uma reta r e uma curva C tal que S é a união das circunferências com centro em r e que tangenciam C.
r é o eixo de rotação de S. A interseção de S com o semiplano de origem r é um meridiano de S.
Na maioria dos casos em que a curva C é uma quádrica plana, a superfície tem grau maior que 2 (não sendo uma quádrica; por exemplo, se C for um círculo que não intercepta r, S será um toro).
S será uma quádrica quando C, além de ser uma quádrica, ainda tem r como eixo de simetria.

## Superfícies Quádricas

Relação das superfícies quádricas da sua fórmula e desenho: :
| Superfície quádrica | Fórmulas |
| Elipsoide | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,$ |
| Elipsoide de revolução (caso particular do elipsoide) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1\,$ |
| Esfera (caso particular do elipsoide de revolução) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1\,$ |
| Paraboloide elíptico | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,$ |
| Paraboloide de revolução (caso particular do paraboloide elíptico) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,$ |
| Paraboloide hiperbólico | ${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,$ |
| Hiperboloide de uma folha | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,$ |
| Hiperboloide de duas folhas | $-{x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,$ |
| Cone | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,$ |
| Cilindro elíptico | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,$ |
| Cilindro circular (caso particular do Cilindro elíptico) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1\,$ |
| Cilindro hiperbólico | ${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,$ |
| Cilindro parabólico | $x^{2}+2y=0\,$ |