# Derivada total

Em matemática, a derivada total de uma função f{\textstyle f}é a melhor aproximação linear do valor da função em relação aos seus argumentos. Ao contrário das derivadas parciais, a derivada total aproxima a função em relação a todos os seus argumentos, e não apenas a um. Em muitas situações, isso é o mesmo que considerar todas as derivadas parciais simultaneamente. O termo "derivado total" é usado principalmente quando $f$ é uma função de várias variáveis, porque quando $f$ é uma função de uma única variável, a derivada total é a mesma que a derivada da função. $^{:198–203}$
A "derivada total" é algumas vezes também usada como sinônimo da derivada de material na mecânica de fluidos .

## A derivada total como um mapa linear

Seja $U\subseteq \mathbf {R^{n}}$um subconjunto aberto . Então uma função $f:U\rightarrow \mathbf {R} ^{m}$é dito ser (totalmente) diferenciável em um ponto $a\in U$se existe uma transformação linear $df_{a}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{m}$tal que$\lim _{x\rightarrow a}{\frac {\|f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)\|}{\|x-a\|}}=0.$O mapeamento linear $df_{a}$é chamado de diferencial (total) ou derivada (total) de $f$ em $a$$f$. Outras notações para a derivada total incluem $D_{a}{f}$ e $Df{\biga{\big )}$. Uma função é (totalmente) diferenciável se sua derivada total existir em todos os pontos de seu domínio.
Conceitualmente, a definição da derivada total expressa a ideia de que $df_{a}$é a melhor aproximação linear para $f$no ponto $a$. Isso pode ser feito com precisão quantificando o erro na aproximação linear determinada por $df_{a}$. Para fazer isso, escreva$f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+\varepsilon (h),$
onde $\varepsilon {\bigh{\big )}$é igual ao erro na aproximação. Dizer que a derivada de $f$em $a$ é $df_{a}$é equivalente à enunciar que
    $\varepsilon {\bigh{\big )}=o{\big\lVert h\rVert {\big )},$
onde $o$ é notação do pequeno o e indica que $\varepsilon {\bigh{\big )}$ é muito menor do que $\lVert h\rVert$quando $h\rightarrow 0$. A derivada total $df_{a}$é a única transformação linear para a qual o termo de erro é tão pequeno, e este é o sentido em que é a melhor aproximação linear para $f$.
A função $f$ é diferenciável se e somente se cada um de seus componentes $f_{i}:U\rightarrow \mathbf {R}$é diferenciável, por isso, quando se estudam derivadas totais, muitas vezes é possível trabalhar uma coordenada de cada vez no co-domínio. No entanto, o mesmo não é verdade das coordenadas no domínio. É verdade que se $f$ é diferenciável em $a$, então cada derivada parcial $\partial f/\partial x_{i}$existe em $a$. O inverso é falso: pode acontecer que todas as derivadas parciais de $f$em $a$ existam, mas $f$ não seja diferenciável em $a$. Isso significa que a função é muito ''grosseira" em $a$, a tal extremo que seu comportamento não pode ser adequadamente descrito por seu comportamento nas direções das coordenadas. Quando $f$ não é tão grosseira, isso não pode acontecer. Mais precisamente, se todas as derivadas parciais de $f$ em $a$ existem e são contínuos em uma vizinhança de $a$, então $f$é diferenciável em $a$. Quando isso acontece, então, além disso, a derivada total de $f$ é a transformação linear correspondente à matriz jacobiana de derivadas parciais naquele ponto.