# Logaritmo natural

O logaritmo natural, também conhecido como logaritmo neperiano, é o logaritmo de base e, um número irracional aproximadamente igual a 2,71828. É definido para todos os números reais estritamente positivos $x$ e admite uma extensão como uma função complexa analítica em $\mathbf {C} \backslash \{0\}$.
Em termos simples, o logaritmo natural é uma função que é o expoente de uma potência de e, e aparece frequentemente nos processos naturais (o que explica o nome "logaritmo natural"). Esta função torna possível o estudo de fenômenos que evoluem de maneira exponencial.
O logaritmo neperiano leva o nome de seu inventor, o matemático escocês John Napier (ou John Naper), que utilizou a base 1/e e não a base e. É, portanto, a função inversa da função exponencial.

## Origem

Em uma época passada, antes do invento das calculadoras eletrônicas, fazer contas de multiplicar era muito difícil (quem aprendeu a regra deve se lembrar de exercícios tais como multiplicar 77323 por 48229), porém fazer contas de somar era mais simples.
Observando-se (ver exponenciação) que: $a^{(x+y)}=a^{x}\ a^{y}$
se houvesse uma tabela que transformasse cada número u no expoente x, sendo $u=a^{x},$ multiplicar u por v poderia ser feito através de uma soma: $u=a^{x},v=a^{y},u\ v=a^{(x+y)}$
O problema então é construir essa tábua de logaritmos. Uma das soluções encontradas foi baseada na observação de que, se x for um número pequeno $(x<1)$, temos $a^{x}\approx 1+kx$
sendo a constante k dependente apenas de a mas não de x. Por exemplo, para a = 2, k ≈ 0,7 e para a = 10, k ≈ 2,3.
A relação entre a e k é precisamente o logaritmo natural, e se escolhermos a = e, temos que k = 1, o que simplifica a montagem das tábuas de logaritmos.

## Uma definição precisa em $\mathbf {R}$

Uma maneira de definir o logaritmo natural: $\ln(x):\mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R}$ é através da integral: $\ln(x):=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}$
Para mostrar que esta definição de fato conduz a uma função logarítmica, devemos estabelecer:
* $\ln(1)=0$
* $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\forall a,b>0$
* $\ln(x)$ é uma função contínua.
A dificuldade reside apenas em mostrar a segunda propriedade, então vejamos: $\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {dt}{t}}=\int _{1}^{a}{\frac {dt}{t}}+\int _{a}^{ab}{\frac {dt}{t}}$ A primeira parcela desta soma é $\ln(a)$ e a segunda parcela pode ser resolvida pela substituição: $u=t/a,$ portanto: $\ln(ab)=\ln(a)+\int _{1}^{b}{\frac {du}{u}}$ segue que $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$
Sabemos então que $\ln(x)=\log _{b}(x)$ para alguma base $b$ a ser determinada.
Da simples definição temos: ${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}$
Seja $b^{x}$ a função inversa de $\ln(x),$ então, usando a fórmula ${\frac {d}{dx}}f^{-1}(x)={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}},$ obtemos: ${\frac {d}{dx}}b^{x}=b^{x}$
Portanto $b=e,$ onde $e$ é o número de Euler.

## Convenções de notação

Os matemáticos geralmente utilizam as notações "ln(x)" para significar log$_e$(x), i.e., o logaritmo natural de x, e escrevem "log$_{10}$(x)"ou "log(x)" para o logaritmo de base 10 de x. Engenheiros, biólogos, economistas e outros escrevem somente "ln(x)" ou (ocasionalmente) "log$_e$(x)" quando querem indicar o logaritmo natural de x, e "log(x)" para log$_{10}$(x) e, em Computação, log(x) para log$_{10}$(x) e lg(x) para log$_2$(x). Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado para log$_{10}$(x) por pessoas que usam log(x) com um l minúsculo para log$_e$(x).

## Função logarítmica complexa

Definimos a função logarítmica natural de uma variável complexa $z$ pela equação: $\ln z=\ln r+i(\theta \pm 2k\pi )$
onde $r$ é o módulo e $\theta$ é o argumento medido em radianos do número complexo$z$; $k=(1,2,3,\dots )$ e $\ln$ $r$ define o logaritmo natural real positivo de $r.$
Assim, a função $ln$ $z$ é multivalente com infinitos valores - mesmo para números reais. Chamamos de valor principal de $ln$ $z$ o número definido por: $\ln z=\ln r+i\theta$

## Derivada da função logarítmica natural

Dada a função:
    $f(x)=\ln(x)$
a sua derivada é:
    $f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {ln(x+h)-ln(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {ln((x+h)/x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}.ln(1+{\frac {h}{x}})=\lim _{h\to 0}ln(1+{\frac {h}{x}})^{\frac {1}{h}}=\lim _{h\to 0}ln(1+{\frac {1}{x/h}})^{\frac {1}{h}}$
Após uma mudança de variável
    $u={\frac {x}{h}}$
    $\lim _{u\to \infty }ln(1+{\frac {1}{u}})^{\frac {u}{x}}={\frac {1}{x}}\lim _{u\to \infty }ln(1+{\frac {1}{u}})^{u}={\frac {1}{x}}.ln(e)$
que resulta em:
    $f'(x)={\frac {1}{x}}$

## Integral da função logarítmica

Dada a função: $\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C$
esta integral pode ser obtida pela aplicação da integração por partes, ou seja: $\int \ln(x)dx=\int (x)'\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x(\ln(x))'dx.$