# Derivada simétrica

Em matemática, a derivada simétrica é uma operação relacionada à derivada ordinária. É conhecida também como derivada de Vallée Poussin ou derivada de Peano simétrica.
É definida como:
$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}.$
Ou seja, se uma função $f$ é simetricamente diferenciável em todos os pontos do intervalos, então tem derivadas simétricas nesse intervalo. Observando graficamente (figura 1) é possível notar que a interpretação da derivada e a interpretação da derivada simétrica parece ser a mesma, mas desde do ponto de vista analítico, ambos os conceitos não são equivalentes.
A esse limite denotaremos como $_{fs′(x){\displaystylef'_{s}(x)}}$ .

## Relação com a Derivada

Seja $f:I\to R$ uma função e $x_{0}$ Є $I$ . Suponha que $f'_{+}(x_{0})$ e $f'_{+}(x_{0})$ existem, então $f$ tem derivada simétrica em $x_{0}$, e
* $f'_{s}(x_{0})={\frac {f'_{+}(x_{0})+f'_{-}(x_{0})}{2}}$ .

### Demonstração:

Por hipótese existem $f'_{-}(x_{0})$ e $f'_{+}(x_{0})$. Nota-se que existe $f'_{s}(x_{0})$. Então tomando
$\lim _{h\to 0+}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}}$
$\lim _{h\to 0+}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})+f(x_{0})-f(x_{0}-h)}{2h}}$
${\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0+}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$
${\frac {+1}{2}}\lim _{h\to 0+}{\frac {f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{-h}}$
${\frac {f'_{+}(x_{0})+f'_{-}(x_{0})}{2}}$
com isso,
$f'_{s}(x_{0})={\frac {f'_{+}(x_{0})+f'_{-}(x_{0})}{2}}$ .

#### Observação 1 :

Se existir a derivada simétrica $f'_{s}(x_{0})$ então não significa que existem as derivadas $f'_{-}(x_{0})$ e $f'_{+}(x_{0})$ . Vejamos com um exemplo:
* Considere a função $f:R\to R$ definida como:
$f(x)=$
$xsen{\frac {1}{x}},\ se\ x$ ≠ $0$
$0,\ se\ x=0$.
Basta examinar se se a função $f$ tem derivada simétrica em $0$.
veja:
$f'_{s}(0)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}$
$=\lim _{h\to 0}{\frac {hsen({\frac {1}{h}})-[-hsen({\frac {-1}{h}})]}{2h}}$
$=\lim _{h\to 0}{\frac {hsen({\frac {1}{h}})-hsen({\frac {1}{h}})}{2h}}$
$=\lim _{h\to 0}0$
$=0$ , portanto a derivada simétrica de $f$ em zero existe e é igual a zero.
com isso, verifica-se que $f$ não tem derivada à direita em zero:
$f'(0)=\lim _{h\to 0+}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}.$
$=\lim _{h\to 0+}{\frac {hsen({\frac {1}{h}})}{h}}$
$=\lim _{h\to 0+}{sen({\frac {1}{h}})}$ , pois este limite não existe no zero e portanto $f$ não tem derivada pela direita no ponto zero e é fácil ver,analogamente, pela esquerda.
com isso mostra-se que se $f$ tem derivada simétrica em um ponto não necessariamente tem derivada nesse ponto.

#### Observação2:

Sabe-se da derivada que cada função diferenciável em um ponto é contínua nesse ponto. Mas uma função descontínua em um ponto pode ter derivada simétrica nesse ponto.Observe:
* Seja $f:R\to R$ uma função definida por :
$f(x)=$$$$({\frac {1}{x^{2}}}\ se\ x$ ≠ $0$ e $0,\ se\ x=0)$ , esta função tem derivada simétrica em zero, note:
$f'_{s}(0)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}$
$=\lim _{h\to 0}{\frac {{\frac {1}{h^{2}}}-{\frac {1}{h^{2}}}}{2h}}$
$\lim _{h\to 0}0=\ 0$ , portanto $f(x)={\frac {1}{x^{2}}}$ é diferenciável simetricamente em $x=0$, mas não é contínua em zero.Isso não ocorre com as funções diferenciáveis.

#### Observação 3:

* Seja $f:$ $R\to R$ uma função. Sabe-se que $f$ é uma função par se satisfaz $f(x)=f(-x)$, para todo $x$ Є $R$
Perceba que a função da Observação 1 é função par.
* Seja $f:R\to R$ uma função par, então $f$ tem derivada simétrica no ponto 0.
Demonstração:
Como $f$ é uma função par, temos que: $f(x)=-f(x)=0$, logo ${\frac {f(h)-f(-h)}{2}}={\frac {0}{2h}}$ então $\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}=0$, ou seja , $f'_{s}(x)=0.$