# Maior número primo conhecido

O maior número primo conhecido é 2$^{136279841}$ − 1, que possui 41 024 320 algarismos quando escrito na base 10. Foi descoberto em outubro de 2024 por um computador oferecido por Luke Durant para o Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS).
Euclides demonstrou que há infinitos números primos através do Teorema de Euclides. Então, há sempre um número primo maior do que o maior primo conhecido. Muitos matemáticos e hobbistas procuram por números primos grandes. A Electronic Frontier Foundation oferece diversos prêmios por números primos recordes.
A implementação do teste de primalidade de Lucas–Lehmer por meio da transformada rápida de Fourier para números de Mersenne é rápida se comparada a outros testes de primalidade conhecidos para outros tipos de números. Devido a isso e também ao interesse histórico em primos de Mersenne, muitos dos maiores primos conhecidos são primos de Mersenne. Até Agosto de 2024, os seis primeiros maiores números primos eram de Mersenne.
O uso de computadores eletrônicos acelerou as descobertas e todos os recordes foram encontrados desde 1951. O recorde passou um milhão de dígitos em 1999, ganhando seu descobridor um prêmio de 50 mil dólares. Em 2008 o recorde passou os 10 milhões de dígitos, sendo o descobridor premiado com 100 mil dólares. Ainda existem premiações de 150 mil dólares para o primeiro número com, no mínimo, 100 milhões de dígitos decimais e 250 mil dólares ao número com 1 bilhão de dígitos.

## História

A tabela a seguir lista os maiores números primos conhecidos em ordem crescente. Aqui, M$_p$ = 2$^p$ − 1 é um primo de Mersenne com exponente p. O detentor do recorde mais longo conhecido foi M$_{19}$ = 524 287, que foi o maior número primo conhecido por 144 anos. Não há registros conhecidos antes de 1456.
| Número | Expansão decimal (parcial para números > M$_{1000}$) | Dígitos | Ano descoberto | Descoberto por |
| M$_{13}$ | 8 191 | 4 | 1456 | Anônimo |
| M$_{17}$ | 131 071 | 6 | 1588 | Pietro Cataldi |
| M$_{19}$ | 524 287 | 6 | 1588 | Pietro Cataldi |
| ${\tfrac {2^{32}+1}{641}}$ | 6 700 417 | 7 | 1732 | Leonhard Euler? Euler não publicou explicitamente a primalidade de 6 700 417, mas as técnicas que ele havia usado para fatorar 2$^{32}$ significavam que ele já havia feito a maior parte do trabalho necessário para provar isso, e alguns especialistas acreditam que ele tinha conhecimento desse fato. |
| M$_{31}$ | 2 147 483 647 | 10 | 1772 | Leonhard Euler |
| ${\tfrac {10^{18}+1}{1000001}}$ | 999 999 000 001 | 12 | 1851 | Incluído (mas com um ponto de interrogação) em uma lista de números primos por Looff. Devido à sua incerteza, alguns não consideram isso como um registro. |
| ${\tfrac {2^{64}+1}{274177}}$ | 67 280 421 310 721 | 14 | 1855 | Thomas Clausen (mas nenhuma prova foi fornecida). |
| M$_{127}$ | 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 | 39 | 1876 | Édouard Lucas |
| ${\tfrac {2^{148}+1}{17}}$ | 20 988 936 657 440 586 486 151 264 256 610 222 593 863 921 | 44 | 1951 | Aimé Ferrier com uma calculadora mecânica; o maior número primo encontrado sem auxílio de um computador. |
| 180 × (M$_{127}$)$^2$ + 1 | 5210644015679228794060694325390955853335898483908056458352183851018372555735221 | 79 | 1951 | J. C. P. Miller e D. J. Wheeler Utilizando o computador EDSAC de Cambridge. |
| M$_{521}$ | 6864797660130609714981900799081393217269435300143305409394463459185543183397656052122559640661454554977296311391480858037121987999716643812574028291115057151 | 157 | 1952 | Raphael M. Robinson |
| M$_{607}$ | 531137992816767098689588206552468627329593117727031923199444138200403559860852242739162502265229285668889329486246501015346579337652707239409519978766587351943831270835393219031728127 | 183 | 1952 | Raphael M. Robinson |
| M$_{1279}$ | 104079321946...703168729087 | 386 | 1952 | Raphael M. Robinson |
| M$_{2203}$ | 147597991521...686697771007 | 664 | 1952 | Raphael M. Robinson |
| M$_{2281}$ | 446087557183...418132836351 | 687 | 1952 | Raphael M. Robinson |
| M$_{3217}$ | 259117086013...362909315071 | 969 | 1957 | Hans Riesel |
| M$_{4423}$ | 285542542228...902608580607 | 1 332 | 1961 | Alexander Hurwitz |
| M$_{9689}$ | 478220278805...826225754111 | 2 917 | 1963 | Donald B. Gillies |
| M$_{9941}$ | 346088282490...883789463551 | 2 993 | 1963 | Donald B. Gillies |
| M$_{11213}$ | 281411201369...087696392191 | 3 376 | 1963 | Donald B. Gillies |
| M$_{19937}$ | 431542479738...030968041471 | 6 002 | 1971 | Bryant Tuckerman |
| M$_{21701}$ | 448679166119...353511882751 | 6 533 | 1978 | Laura A. Nickel e Landon Curt Noll |
| M$_{23209}$ | 402874115778...523779264511 | 6 987 | 1979 | Landon Curt Noll |
| M$_{44497}$ | 854509824303...961011228671 | 13 395 | 1979 | David Slowinski e Harry L. Nelson |
| M$_{86243}$ | 536927995502...709433438207 | 25 962 | 1982 | David Slowinski |
| M$_{132049}$ | 512740276269...455730061311 | 39 751 | 1983 | David Slowinski |
| M$_{216091}$ | 746093103064...103815528447 | 65 050 | 1985 | David Slowinski |
| 391581 × 2$^{216193}$ - 1 | 148140632376...836387377151 | 65 087 | 1989 | O grupo "Amdahl Six": John Brown, Landon Curt Noll, B. K. Parady, Gene Ward Smith, Joel F. Smith, Sergio E. Zarantonello. Maior número primo não-Mersenne que era o maior número primo conhecido quando foi descoberto. |
| M$_{756839}$ | 174135906820...328544677887 | 227 832 | 1992 | David Slowinski e Paul Gage |
| M$_{859433}$ | 129498125604...243500142591 | 258 716 | 1994 | David Slowinski e Paul Gage |
| M$_{1257787}$ | 412245773621...976089366527 | 378 632 | 1996 | David Slowinski e Paul Gage |
| M$_{1398269}$ | 814717564412...868451315711 | 420 921 | 1996 | GIMPS, Joel Armengaud |
| M$_{2976221}$ | 623340076248...743729201151 | 895 932 | 1997 | GIMPS, Gordon Spence |
| M$_{3021377}$ | 127411683030...973024694271 | 909 526 | 1998 | GIMPS, Roland Clarkson |
| M$_{6972593}$ | 437075744127...142924193791 | 2 098 960 | 1999 | GIMPS, Nayan Hajratwala |
| M$_{13466917}$ | 924947738006...470256259071 | 4 053 946 | 2001 | GIMPS, Michael Cameron |
| M$_{20996011}$ | 125976895450...762855682047 | 6 320 430 | 2003 | GIMPS, Michael Shafer |
| M$_{24036583}$ | 299410429404...882733969407 | 7 235 733 | 2004 | GIMPS, Josh Findley |
| M$_{25964951}$ | 122164630061...280577077247 | 7 816 230 | 2005 | GIMPS, Martin Nowak |
| M$_{30402457}$ | 315416475618...411652943871 | 9 152 052 | 2005 | GIMPS, professores da Universidade de Central Missouri Curtis Cooper e Steven Boone |
| M$_{32582657}$ | 124575026015...154053967871 | 9 808 358 | 2006 | GIMPS, Curtis Cooper e Steven Boone |
| M$_{43112609}$ | 316470269330...166697152511 | 12 978 189 | 2008 | GIMPS, Edson Smith |
| M$_{57885161}$ | 581887266232...071724285951 | 17 425 170 | 2013 | GIMPS, Curtis Cooper |
| M$_{74207281}$ | 300376418084...391086436351 | 22 338 618 | 2016 | GIMPS, Curtis Cooper |
| M$_{77232917}$ | 467333183359...069762179071 | 23 249 425 | 2017 | GIMPS, Jonathan Pace |
| M$_{82589933}$ | 148894445742...325217902591 | 24 862 048 | 2018 | GIMPS, Patrick Laroche |
| M$_{136279841}$ | 881694327503...219486871551 | 41 024 320 | 2024 | GIMPS, Luke Durant |
O GIMPS encontrou os dezesseis últimos registros (todos eles números primos de Mersenne) em computadores comuns operados por participantes ao redor do mundo.

## Os maiores números primos conhecidos

Uma lista com os 5 mil maiores números primos conhecidos é mantido pelo PrimePages, dos quais os vinte e um maiores são listados abaixo.
| Posição | Números | Descoberto | Dígitos | Método |
| 1 | 2$^{136279841}$ − 1 | 12 de outubro de 2024 | 41 024 320 | Mersenne |
| 2 | 2$^{82589933}$ − 1 | 7 de dezembro de 2018 | 24 862 048 | Mersenne |
| 3 | 2$^{77232917}$ − 1 | 26 de dezembro de 2017 | 23 249 425 | Mersenne |
| 4 | 2$^{74207281}$ − 1 | 7 de janeiro de 2016 | 22 338 618 | Mersenne |
| 5 | 2$^{57885161}$ − 1 | 25 de janeiro de 2013 | 17 425 170 | Mersenne |
| 6 | 2$^{43112609}$ − 1 | 23 de agosto de 2008 | 12 978 189 | Mersenne |
| 7 | 2$^{42643801}$ − 1 | 4 de junho de 2009 | 12 837 064 | Mersenne |
| 8 | Φ$_3$(−516693$^{1048576}$) | 2 de outubro de 2023 | 11 981 518 | Único generalizado |
| 9 | Φ$_3$(−465859$^{1048576}$) | 31 de maio de 2023 | 11 887 192 | Único generalizado |
| 10 | 2$^{37156667}$ − 1 | 6 de setembro de 2008 | 11 185 272 | Mersenne |
| 11 | 2$^{32582657}$ − 1 | 4 de setembro de 2006 | 9 808 358 | Mersenne |
| 12 | 10223 × 2$^{31172165}$ + 1 | 31 de outubro de 2016 | 9 383 761 | Proth |
| 13 | 2$^{30402457}$ − 1 | 15 de dezembro de 2005 | 9 152 052 | Mersenne |
| 14 | 4 × 5$^{11786358}$ + 1 | 1 de outubro de 2024 | 8 238 312 | Outros métodos |
| 15 | 2$^{25964951}$ − 1 | 18 de fevereiro de 2005 | 7 816 230 | Mersenne |
| 16 | 69 × 2$^{24612729}$ − 1 | 13 de agosto de 2024 | 7 409 102 | Outros métodos |
| 17 | 2$^{24036583}$ − 1 | 15 de maio de 2004 | 7 235 733 | Mersenne |
| 18 | 107347 × 2$^{23427517}$ − 1 | 4 de agosto de 2024 | 7 052 391 | Outros métodos |
| 19 | 3 × 2$^{22103376}$ − 1 | 30 de setembro de 2024 | 6 653 780 | Tabite |
| 20 | 1963736$^{1048576}$ + 1 | 24 de setembro de 2022 | 6 598 776 | Fermat generalizado |