# Quaternião

Os quaterniões ou quatérnios são uma extensão H{\textstyle \mathbb {H} } do conjunto dos números complexos $\mathbb {C}$. Mais precisamente, o conjunto $\mathbb {H}$ é uma álgebra associativa formada pelos números da forma $u+xi+yj+zk\,\!$, onde $u,x,y,z\in \mathbb {R}$ e $i\,\!$, $j\,\!$ e $k\,\!$ são unidades imaginárias ($i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1\,\!$). Além disso, temos que $ij=k,jk=i,ki=j,ji=-k,kj=-i,ik=-j\,\!$, de forma que a multiplicação não é comutativa. A soma e o produto entre quaterniões podem ser calculadas usando-se as demais propriedades da álgebra, tais como a regra distributiva e associativa.
$u\!\,$ é chamada de parte escalar do quaternião e $xi+yj+zk\,\!$ é chamada de parte vetorial. Também dizemos que $u\!\,$ é a parte real e $xi+yj+zk\,\!$ é a parte imaginária do quaternião. Aos números $u\!\,$, $x\,\!$, $y\,\!$ e $z\,\!$ denominamos coeficientes.

## Conceitos

Em uma conta, deve-se realizar sempre a multiplicação, e então a soma; divisão; subtração etc...

### Quaternião escalar

Um quaternião escalar é aquele em que a parte vetorial é nula ( $q=\,\!$ $u\,\!$ ).

### Quaternião vetorial

Um quaternião vetorial é aquele em que a parte escalar é nula ( $q=xi+yj+zk\,\!$ ).

### Conjugado de um quaternião

O conjugado de um quaternião é o mesmo com os sinais da parte vetorial invertidos.
Assim, dado o número quaterniônico $q=u+xi+yj+zk\,\!$, seu conjugado é então:
${\overline {q}}=u-xi-yj-zk\,\!$.

### Módulo

O módulo de um número quaterniônico é igual a raiz quadrada da soma do quadrado de seus coeficientes. Assim, dado o número $q=u+xi+yj+zk\,\!$, seu módulo é então:
$\left|q\right|={\sqrt {u^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

## Operações elementares
### Adição e subtração

Na soma ou subtração de quaterniões, soma-se ou subtrai-se os coeficientes das bases correspondentes, conforme o caso. Assim, dados os números:
    $q=u+xi+yj+zk\,\!$
e
    $p=a+bi+cj+dk\,\!$
temos:
* $q+p=\,\!$ $(u+a)+(x+b)i+(y+c)j+(z+d)k\,\,$
* $q-p=\,\!$ $(u-a)+(x-b)i+(y-c)j+(z-d)k\,\,$

### Multiplicação
#### Produto interno ou escalar

Dados os quaterniões $q=u+xi+yj+zk\,\!$ e $p=a+bi+cj+dk\,\!$, o produto interno entre eles é dado por:
$qp=pq=au+bx+cy+dz\,\!$
Como se pode notar, o produto interno tem como resultado uma quantidade escalar (um número real).

#### Produto externo ou vetorial

Sejam $q=u+xi+yj+zk\,\!$ e $p=a+bi+cj+dk\,\!$ números quaterniônicos, então o produto exterior $qp\,\!$ (usualmente, $qp\neq pq\,\!$) é definido como:
$qp=\,\!$ $(u+xi+yj+zk)\,\!$ $(a+bi+cj+dk)\,\!$
$=ua+ubi+ucj+udk+xia+xibi+xicj+xidk+yja+yjbi+yjcj+yjdk+zka+zkbi+zkcj+zkdk\,\!$
$=ua+ubi+ucj+udk+xai-xb+xck-xdj+yaj-ybk-yc+ydi+zak+zbj-zci-zd\,\!$
$=(ua-xb-yc-zd)+(ub+xa+yd-zc)i+(uc-xd+ya+zb)j+(ud+xc-yb+za)k\,\!$
E importante notar que esse produto não é comutativo, isto é, existem q e p tais que $qp\neq pq\,\!$.

### Divisão

A não-comutatividade dos quaterniões permite dois tipos de divisão $p^{-1}q\,\!$ e $qp^{-1}\,\!$. Isso significa que a notação $q \over p\,\!$ não pode ser usada a menos que $p\,\!$ ou $q\,\!$ seja um escalar.
    ${\frac {a}{b}}={\frac {a{\bar {b}}}{|b|^{2}}}$ b ≠ 0.

## Representação através de matrizes

Há pelo menos duas formas de se representar quaterniões como matrizes, de tal forma que a adição e a multiplicação de quaterniões correspondem à adição da matriz e à multiplicação de matrizes (isto é, homomorfismo matriz-quaternião).
Uma dessas formas é usar matrizes complexas 2×2 , e a outra é usar matrizes reais 4×4 . Na primeira forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como
    ${\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}$
Essa representação tem diversas propriedades agradáveis.
* Os números complexos (c = d = 0) correspondem às matrizes diagonais.
* O quadrado do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.
* O conjugado de um quaternião corresponde à matriz transposta conjugada da matriz.
* Restringindo-se aos quaterniões unitários, essa representação fornece o isomorfismo entre S$^3$ e SU (2). O último grupo é importante em mecânica quântica no que se diz respeito à rotação. (Ver também matrizes de Pauli)
. Na segunda forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como
    ${\begin{pmatrix}\;\;a&-b&\;\;-c&-d\\\;\;b&\;\;a&-d&c\\\;\;c&\;\;d&\;\;a&-b\\\;\;d&\;\;-c&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}}$
Nessa representação, o conjugado de um quaternião corresponde a matriz transposta da matriz. A quarta potência do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.

## Construção de Cayley-Dickson

De acordo com a construção de Cayley-Dickson, um quaternião é um par ordenado de números complexos. Seja j uma nova raiz de −1, diferente de i e −i, e seja u e v um par de números complexos, então
    $q=u+jv\,$
é um quaternião.
Se u = a + i b e v = c + i d, então
    $q=a+ib+jc+jid\,$.
Além disso, seja:
    $ji=-ij\,$,
tal que:
    $q=a+ib+jc+ij(-d)\,$,
e também seja o produto dos quaterniões associativo.
Com estas regras, pode-se agora derivar a tabela da multiplicação para i, j e ij, os componentes imaginários de um quaternião:
    $ii=-1,\,$
    $ij=(ij),\,$
    $i(ij)=(ii)j=-j,\,$
    $ji=-(ij),\,$
    $jj=-1,\,$
    $j(ij)=-j(ji)=-(jj)i=i,\,$
    $(ij)i=-(ji)i=-j(ii)=j,\,$
    $(ij)j=i(jj)=-i,\,$
    $(ij)(ij)=-(ij)(ji)=-i(jj)i=ii=-1.\,$
Note que a díade i j se comporta exatamente como o k na definição.
Para todo o número complexo v = c + i d, seu produto com j têm a seguinte propriedade:
    $jv=v^{*}j\,$
Já que:
    $jv=jc+jid=jc-(ij)d=(c-id)j=v^{*}j\,$.
Seja p um quaternião com componentes complexos w e z:
    $p=w+jz\,$.
Então o produto qp é:
    $qp=(u+jv)(w+jz)=uw+ujz+jvw+jvjz\,$
Visto que o produto de números complexos é comutativo, temos:
    $(u+jv)(w+jz)=(uw-zv^{*})+j(u^{*}z+wv)\,$
que é precisamente como a multiplicação de quaterniões é definida pela construção de Cayley-Dickson.
Note que se u = a + i b, v = c + i d, e p = a + i b + j c + kd então a construção de p de u e v é de preferência:
    $p=u+vj=u+jv^{*}\,$.

## Aplicações
### Rotações de vetores em 3D

A rotação de vetores em 3D pode ser compactamente representada através de quaterniões.
Sejam v e w vetores, $w\neq 0\,$, e $\alpha \,$ um ângulo. Então a rotação de v, no sentido anti-horário, em torno do eixo dado por w é dada por:
    $R(v)=qvq^{-1}\,$
em que q é o quaternião (de módulo 1):
    $q=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\ {\frac {w}{\|w\|}}\,$