# Evoluta

Na geometria diferencial de curvas, a evoluta de uma curva é o lugar geométrico de todos suas circunferências osculatrizes (centros de curvatura).
Isso significa que, quando o centro de curvatura de cada ponto de uma curva é desenhado, a forma resultante será a evoluta dessa curva. A evoluta de um círculo é, portanto, um único ponto em seu centro. Equivalente a isso, uma evoluta é o invólucro das normais a uma curva.
A evoluta de uma curva, uma superfície ou, mais geralmente, de uma subvariedade é a cáustica do mapa normal. Seja M uma subvariedade regular e suave em R$^n$. Para cada ponto p em M e cada vetor v, baseado em p e normal a M, associamos o ponto p + v. Isso define um mapa lagrangiano, chamado de mapa normal. A cáustica do mapa normal é a evoluta de M.
As evolutas estão intimamente ligadas às involutas: uma curva é a evoluta de qualquer uma de suas involutas.

## História

Apollonius (Cerca de 200 a.C.) discutiu evolutas no Livro V de sua obra Cônicas. Contudo, Huygens é, por vezes, creditado como o primeiro a estudá-las (1673). Huygens formulou sua teoria das evolutas por volta de 1659 para ajudar a resolver o problema de encontrar a curva tautócrona, o que, por sua vez, o auxiliou na construção de um pêndulo isócrono. Isso ocorreu porque a curva tautócrona é uma cicloide, e a cicloide tem a propriedade única de que sua evoluta também é uma cicloide. A teoria das evolutas, na verdade, permitiu a Huygens alcançar muitos resultados que mais tarde seriam encontrados utilizando cálculo.

## Evoluta de uma curva paramétrica

Se ${\vec {x}}={\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]$ é a representação paramétrica de uma curva regular no plano com curvatura diferente de 0 e $\rho (t)$ seu raio de curvatura e ${\vec {n}}(t)$ a unidade normal apontando para o centro de curvatura, então ${\vec {E}}(t)={\vec {c}}(t)+\rho (t){\vec {n}}(t)$ descreve a evoluta da curva dada.
Para ${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{\mathsf {T}}$ e ${\vec {E}}=(X,Y)^{\mathsf {T}}$, obtém-se $X(t)=x(t)-{\frac {y'(t){\Bigx'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}$ e $Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t){\Bigx'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}.$

## Propriedades da evoluta

Para derivar propriedades de uma curva regular, é vantajoso usar o comprimento do arco $s$ como parâmetro da curva dada, por conta de |c$^→$$^′$|=1{\textstyle \left|{\vec {c}}'\right|=1} e n$^→$$^′$=−c$^→$$^′$/ρ{\textstyle {\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho } (ver Fórmulas de Frenet–Serret). Assim, o vetor tangente da evoluta E$^→$=c$^→$+ρn$^→${\textstyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}} é: ${\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\ .$ A partir dessa equação, obtém-se as seguintes propriedades da evoluta:
* Em pontos com $\rho '=0$, a evoluta não é regular. Ou seja: em pontos de curvatura máxima ou mínima (vértices da curva dada), a evoluta possui cúspides. (Ver os diagramas das evolutas da parábola, da elipse, da cicloide e da nefroide.)
* Para qualquer arco da evoluta que não inclua uma cúspide, o comprimento do arco é igual à diferença entre os raios de curvatura nos pontos extremos. Esse fato leva a uma prova fácil do teorema de Tait–Kneser sobre aninhamento de círculos osculadores.
* As normais da curva dada em pontos de curvatura diferente de zero são tangentes à evoluta, e as normais da curva em pontos de curvatura zero são assíntotas da evoluta. Portanto: a evoluta é o invólucro das normais da curva dada.
* Em trechos da curva com $\rho '>0$ ou $\rho '<0$, a curva é uma involuta de sua evoluta.

## Evolutas de algumas curvas

A evoluta
* de uma parábola é uma parábola semicúbica (ver acima),
* de uma elipse é uma asteroide não simétrica (ver acima),
* de uma linha é um ponto,
* de uma nefroide é uma nefroide (metade do tamanho, veja o diagrama),
* de uma astroide é uma astroide (duas vezes maior),
* de uma cardioide é uma cardioide (um terço do tamanho),
* de um círculo é o seu centro,
* de uma deltoide é uma deltoide (três vezes maior),
* de uma cicloide é uma cicloide congruente,
* de uma espiral logarítmica é a mesma espiral logarítmica,
* de uma tractriz é uma catenária.

## Curva radial

Uma curva com uma definição semelhante é a radial de uma dada curva. Para cada ponto na curva, tome o vetor do ponto até o centro de curvatura e o traduza para que comece na origem. Em seguida, o lugar geométrico dos pontos no final de tais vetores é chamado de radial da curva. A equação para a radial é obtida removendo-se os termos x e y da equação da evoluta. Isso produz: $(X,Y)=\left(-y'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\;,\;x'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\right).$