# Princípio da correspondência

Em física, o princípio da correspondência afirma que o comportamento de sistemas descritos pela teoria da mecânica quântica reproduz a mecânica clássica a partir de um limite para altos valores de número quântico. Em outras palavras, diz que para grandes orbitais e altos valores de energia, cálculos utilizando mecânica quântica apresentam uma equivalência com os resultados clássicos.
A nível qualitativo, este princípio simplesmente afirma que se a mecânica quântica é a teoria subjacente a todos os fenômenos físicos, ela deve reduzir-se em boa aproximação à física clássica nas situações nas quais se sabe que esta fornece uma descrição adequada da realidade.
O princípio foi formulado por Niels Bohr em um artigo intitulado “Sobre a série de espectros dos elementos”, lançando em julho de 1920, porém ele já tinha se utilizado do termo desde 1913 para determinar a relação correta entre a frequência mecânica da rotação do elétron em torno do núcleo, e a frequência da radiação eletromagnética emitida, ν.

## Enunciados

Este princípio aparece em muitos casos, nos quais ideias provenientes da mecânica quântica são analisadas em um limite clássico. No caso da radiação de corpo negro pode-se mostrar que, tomando h tendendo a zero, encontravam-se resultados compatíveis com a lei de Rayleigh – Jeans, enquanto no caso da capacidade calorífica de sólidos se observa que o comportamento das equações de Einstein no limite de altas temperaturas reproduzem o resultado clássico que Dulong-Petit haviam estabelecido um século antes. Apesar de ser verdadeira em muitas ocasiões, o princípio nem sempre é válido, como por exemplo, no caso de uma partícula em uma caixa cúbica ou um rotor rígido.
O princípio foi enunciado por Niels Bohr, em dois pontos:
* As previsões baseadas na teoria quântica deveriam demonstrar comportamento compatível com os resultados clássicos nos limites em que o número quântico tende a infinito, ou que a constante de Planck tende a zero. (Vale ressaltar que essas duas condições não são universalmente equivalentes).
* Uma regra de seleção é válida em todos os números quânticos possíveis. Portanto, todas as regras de seleção que são necessárias para se obter a correspondência exigida no limite clássico também se aplicam ao limite quântico.

## O átomo de hidrogênio

O princípio da correspondência aplicado ao átomo de hidrogênio do modelo de Bohr, significa que os níveis de energia com números quânticos n muito grandes e consequentemente, muito próximos uns dos outros, em um quase contínuo de estados. Da mesma maneira que a frequência de emissão deve ser igual à frequência mecânica. Para obter a correta relação entre a frequência mecânica do elétron e a frequência de emissão ou absorção, Bohr supôs que a energia de ligação W é quantizada, assim como sugerem as fórmulas espectroscópicas descobertas empiricamente por Balmer e Rydberg. Bohr aplicando o princípio da correspondência conseguiu demonstrar que a relação entre as duas frequências envolvidas era ν = f /2.

## Os escritos de Bohr

A maioria dos escritos de Bohr a respeito do princípio da correspondência estão presentes no volume 3 do “Niels Bohr collected works”, intitulado o princípio da correspondência (1918-1923). Como o próprio Bohr relata, a primeira aparição do termo pode ser encontrado no ano de 1913 em uma de suas palestras “Sobre a constituição de moléculas e átomos” no entanto, o termo em si não aparece em seus escritos até 1920. Nos anos antes de Bohr adotar a expressão “princípio da correspondência”, ele descreveu a relação como uma analogia entre a mecânica clássica e a quântica. Por exemplo, em um artigo de 1918 Bohr escreveu:
Em escritos posteriores, no entanto, Bohr rejeitou explicitamente a ideia de que o princípio da correspondência poderia ser visto como uma analogia, e se refere a ele como uma lei da teoria quântica, um princípio universal, que seria parte da própria teoria quântica e não apenas uma condição generalizada fora do âmbito da teoria quântica. No artigo no qual finalmente o termo correspondência e princípio da correspondência aparecem, Bohr escreve:
A atitude da comunidade científica a respeito do princípio da correspondência de Bohr pode ser divido em três categorias: aqueles que interpretaram erroneamente o princípio, aqueles que não só o aceitaram como expandiram a ideia e aqueles que entenderam, porém, questionavam sua utilidade. Dentre os mais críticos estavam Max Born e Léon Rosenfeld, entre os apoiadores estavam Anthony Kramers e Von Vleck, enquanto que Sommerfeld e Heinsenberg aceitavam o princípio com certo grau de desconfiança.

## Mecânica quântica

As regras da mecânica quântica são muito eficazes em descrever objetos microscópicos, como átomos e partículas elementares. No entanto, sistemas macroscópicos, molas e capacitores são descritos precisamente por teorias convencionais, como a mecânica newtoniana e eletrodinâmica clássica. Se a mecânica quântica fosse aplicada a objetos macroscópicos, deve então, segundo o princípio da correspondência de Bohr, existir no qual a mecânica quântica é reduzida a mecânica clássica.
O princípio da correspondência se refere as condições pelas quais a mecânica quântica e a clássica entram em concordância. Bohr forneceu uma sucinta definição para o limite de correspondência: Ocorre quando os sistemas descritos pela mecânica quântica são grandes, ou seja, possuem grandes números quânticos. Uma análise mais elaborada da correspondência quântico-clássica (QCC) no espalhamento da função de onda de um elétron leva a uma distinção entre a “QCC restrita” e a “QCC detalhada”. A “QCC detalhada” requer potenciais suaves que variam em uma escala muito maior do que um comprimento de onda, que era o que Bohr considerava.
Na visão de Schrödinger, o comportamento clássico não e bem definido porque as ondas se espalham a medida que se movem. Uma vez que a sua equação obteve uma interpretação probabilística, Ehrenfest mostrou que as leis de newton valem para valores médios, de modo que os valores quânticos esperados para posição e momento obedecem à física newtoniana.

## Exemplo

Com relação a osciladores harmônicos clássicos, as regiões mais prováveis de encontrá-los são próximas aos pontos de virada do movimento, que é onde o oscilador se move mais devagar e V é grande, em contraste, para um oscilador harmônico quântico no estado fundamental, a região de maior probabilidade é ao redor da origem. Para osciladores com altos números quânticos, se observa que os picos externos de |ѱ|2 são maiores do que os picos próximos a origem, e as regiões de maior probabilidade se tornam as próximas dos pontos de virada clássicos, onde V é grande, ou seja, se evidencia o princípio da correspondência. Considere um oscilador harmônico unidimensional. De acordo com a mecânica quântica, a energia total E do oscilador (potencial e cinética), possui um conjunto de valores discretos:
    $E=(n+1/2)\hbar \omega ,\ n=0,1,2,3,\dots ~,$
No entanto, um oscilador harmônico clássico, como uma bola presa a uma mola, a energia do sistema pertence a um contínuo de valores. Podemos verificar que essa ideia de sistema macroscópico cai no princípio da correspondência. A energia de um oscilador harmônico clássico é a seguinte:
    $E={\frac {m\omega ^{2}A^{2}}{2}}.$
E o número quântico (n) vale:
    $n={\frac {E}{\hbar \cdot \omega }}-{\frac {1}{2}}={\frac {m\omega A^{2}}{2\hbar }}-{\frac {1}{2}}$
Se aplicarmos os seguintes valores típicos de sistemas considerados macroscópicos: m=1kg, ω=1 rad/s, e A= 1 m, se obtêm um n que vale aproximadamente 4.74 x 1033, ou seja, um número quântico muito alto.

## Princípio da correspondência generalizada

É importe distinguir o princípio da correspondência de Bohr com o que alguns filósofos chamam de princípio da correspondência generalizada, ou princípio da correspondência geral. O filósofo da ciência Heinz Post definiu o termo no seu importante trabalho “Correspondence, Invariance and Heuristics: In Praise of Conservative Induction”, da seguinte maneira:
Em outras palavras, o princípio serve para indicar a redução de uma nova teoria científica a uma teoria anterior, em condições apropriadas. Para isso, a nova teoria deve explicar todos os fenômenos nas circunstâncias pelas quais a teoria precedente era válida, e mostrar similaridades nos limites correspondentes, como por exemplo a teoria da relatividade especial de Einstein, que satisfaz o princípio da correspondência, pois é reduzida à mecânica clássica para fenômenos cujas velocidades sejam muito menores do que a velocidade da luz, ou quando a mecânica estatística reproduz resultados da termodinâmica quando se trabalha com números muito altos de partículas.
Embora a correspondência geral de Post mostre certa similaridade com o princípio da correspondência de Bohr, elas são bem diferentes. E de acordo com o próprio Post a correspondência geral nem mesmo é aplicável para o específico par de teorias que Bohr se referia.