# Cardinal fracamente compacto

Em matemática, um cardinal fracamente compacto é um certo tipo de número cardinal introduzido por Erdős & Tarski (1961) ; cardinais fracamente compactos são cardinais grandes, o que significa que sua existência não pode ser provada pelos axiomas padrão da teoria dos conjuntos . (Tarski originalmente os chamou de cardeais "não fortemente incompactos".)
Formalmente, um cardinal κ é definido como fracamente compacto se for incontável e para cada função f : [κ] $^2$ → {0, 1} há um conjunto de cardinalidade κ que é homogêneo para f . Neste contexto, [κ] $^2$ significa o conjunto de subconjuntos de 2 elementos de κ, e um subconjunto S de κ é homogêneo para f se e somente se todos os [ S ] $^2$ mapeiam para 0 ou todos eles mapeiam para 1.
O nome "fracamente compacto" se refere ao fato de que se um cardinal é fracamente compacto então uma certa linguagem infinitária relacionada satisfaz uma versão do teorema da compacidade ; veja abaixo.

## Formulações equivalentes

Os seguintes são equivalentes para qualquer cardinal incontável κ:
* κ is weakly compact.
* for every λ<κ, natural number n ≥ 2, and function f: [κ]$^n$ → λ, there is a set of cardinality κ that is homogeneous for f. (Drake 1974, chapter 7 theorem 3.5)
* κ is inaccessible and has the tree property, that is, every tree of height κ has either a level of size κ or a branch of size κ.
* Every linear order of cardinality κ has an ascending or a descending sequence of order type κ. (W. W. Comfort, S. Negrepontis, The Theory of Ultrafilters, p.185)
* κ is $\Pi _{1}^{1}$-indescribable.
* κ has the extension property. In other words, for all U ⊂ V$_κ$ there exists a transitive set X with κ ∈ X, and a subset S ⊂ X, such that (V$_κ$, ∈, U) is an elementary substructure of (X, ∈, S). Here, U and S are regarded as unary predicates.
* For every set S of cardinality κ of subsets of κ, there is a non-trivial κ-complete filter that decides S.
* κ is κ-unfoldable.
* κ is inaccessible and the infinitary language L$_{κ,κ}$ satisfies the weak compactness theorem.
* κ is inaccessible and the infinitary language L$_{κ,ω}$ satisfies the weak compactness theorem.
* κ is inaccessible and for every transitive set $M$ of cardinality κ with κ $\in M$, $^{<\kappa }M\subset M$, and satisfying a sufficiently large fragment of ZFC, there is an elementary embedding $j$ from $M$ to a transitive set $N$ of cardinality κ such that $^{<\kappa }N\subset N$, with critical point $crit(j)=$κ. (Hauser 1991, Theorem 1.3)
* $\kappa =\kappa ^{<\kappa }$ ($\kappa ^{<\kappa }$ defined as $\sum _{\lambda <\kappa }\kappa ^{\lambda }$) and every $\kappa$-complete filter of a $\kappa$-complete field of sets of cardinality $\leq \kappa$ is contained in a $\kappa$-complete ultrafilter. (W. W. Comfort, S. Negrepontis, The Theory of Ultrafilters, p.185)
* $\kappa$ has Alexander's property, i.e. for any space $X$ with a $\kappa$-subbase ${\mathcal {A}}$ with cardinality $\leq \kappa$, and every cover of $X$ by elements of ${\mathcal {A}}$ has a subcover of cardinality $<\kappa$, then $X$ is $\kappa$-compact. (W. W. Comfort, S. Negrepontis, The Theory of Ultrafilters, p.182--185)
* $(2^{\kappa })_{\kappa }$ is $\kappa$-compact. (W. W. Comfort, S. Negrepontis, The Theory of Ultrafilters, p.185)
Diz-se que uma linguagem L $_{κ,κ}$ satisfaz o teorema da compacidade fraca se sempre que Σ for um conjunto de sentenças de cardinalidade no máximo κ e cada subconjunto com menos de κ elementos tiver um modelo, então Σ tem um modelo. Cardeais fortemente compactos são definidos de maneira semelhante, sem a restrição da cardinalidade do conjunto de sentenças.

## Propriedades

Todo cardeal fracamente compacto é um cardeal refletor e também é um limite de cardeais refletores. Isso significa também que cardeais fracamente compactos são cardeais de Mahlo, e o conjunto de cardeais de Mahlo menores que um dado cardeal fracamente compacto é estacionário.
Todo cardeal fracamente compacto é um cardeal refletor e também é um limite de cardeais refletores. Isso significa também que cardeais fracamente compactos são cardeais de Mahlo, e o conjunto de cardeais de Mahlo menores que um dado cardeal fracamente compacto é estacionário .
Se $\kappa$ é fracamente compacto, então há cadeias de extensões elementares bem fundamentadas de $(V_{\kappa },\in )$ de comprimento arbitrário $<\kappa ^{+}$ . $^{pág.6}$
Os cardeais fracamente compactos permanecem fracamente compactos em $L$ . Assumindo V = L, um cardinal é fracamente compacto se for 2-estacionário.