# Sistema dinâmico contínuo

Um sistema dinâmico contínuo é um sistema dinâmico cujo estado evolui ao longo do espaço de estado continuamente de acordo com uma regra fixa.
Usaremos a notação abreviada ${\dot {x}}$, ${\ddot {x}}$, $\ldots$ para representar as derivadas, em ordem ao tempo, de uma função $x(t)$ que depende do tempo, e $y'$, $y''$, $\ldots$ para representar as derivadas de uma função $y(x)$ que depende de $x$.
Consideremos, por exemplo:
${\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}\qquad {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\qquad y'={\frac {dy}{dx}}\qquad y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$

## Equações diferenciais de primeira ordem

Uma equação diferencial ordinária ou em forma abreviada, EDO é uma equação que envolve uma função de uma única variável, por exemplo, $y(x)$, e as suas derivadas; a variável $x$ pode aparecer também na equação.
Se a única derivada que aparece na equação for a derivada de primeira ordem, a equação é designada por equação diferencial ordinária de primeira ordem. Assim, a forma geral das EDO de primeira ordem é $F(x,y,y')=0$, mas vamos considerar unicamente as equações que possam ser escritas como uma ou mais equações da forma
$\color {red}{y'=f(x,y)}$
Dois exemplos de EDO de primeira ordem são os seguintes:
${\begin{aligned}&&y'y\cos(x)=3xy^{2}\sin(y)\\&&{\dot {y}}=3\mathrm {-5y} -y\end{aligned}}$
a função em questão, $y$ nos dois casos, é chamada variável dependente. A variável da qual depende a função é designada de variável independente.
Na primeira equação acima, a variável independente é $x$. No segundo caso, a variável independente não aparece na equação, mas a partir da derivada ${\dot {y}}$ torna-se evidente que a variável independente é $t$.
Uma solução de uma EDO, num dado intervalo, é qualquer função $f$ de uma variável que verifique a equação, quando substituída pela variável dependente.

### Campo de direções

É possível descobrir muita informação importante sobre as soluções da equação como a partir de uma análise geométrica simples da função
$f(x,y)$.
A função $f(x,y)$ define, em cada ponto do plano $(x,y)$, o declive que deverá ter uma função $y(x)$ que seja solução da EDO.
O campo de direções é um gráfico do plano $(x,y)$, onde em alguns pontos aparece um vector com declive igual ao valor de $f(x,y)$ nesse ponto. Assim, as soluções da equação diferencial deverão ser as curvas tangentes a esses vectores. Por exemplo, A figura ao lado mostra o campo de direções da equação $y'=y+x$, e uma solução.
Existem, em geral, muitas soluções de uma equação diferencial de primeira ordem. Dado um valor inicial $y(x_{0})=y_{0}$, é possível calcular a derivada $y'$ no ponto $x_{0}$, de acordo com a equação diferencial, a derivada nesse ponto é igual a $f(x_{0},y_{0})$.
E geralmente é possível encontrar uma solução particular que passe pelo ponto $(x_{0},y_{0})$ e com derivada igual a $f(x,y)$ em cada ponto.
O problema de valor inicial:
$y'=f(x,y)\qquad y(x_{0})=y_{0}$
consiste em encontrar a solução particular que passa pelo ponto $(x_{0},y_{0})$.

## Sistemas dinâmicos de primeira ordem

Para introduzir alguns conceitos básicos que serão essenciais , vamos analisar dois sistemas dinâmicos simples: um sistema em queda livre e um circuito RC. Nas próximas seções generalizaremos essa análise ao caso de outros sistemas, que podem aparecer em campos muito diversos, diferentes da dinâmica e da teoria de circuitos.

### Queda livre

Consideremos primeiro o caso de um objeto que cai livremente dentro de um tubo com vácuo. Nessas condições, a única força externa que atua sobre o sistema é o seu peso, $mg$, e a segunda lei de Newton para este sistema é:
$ma=-mg$
A massa do objecto é eliminada nos dois lados da equação, e a aceleração instantânea $a$ é igual à derivada da velocidade, ${\dot {v}}$. Assim, obtemos
$\color {YellowOrange}{{\dot {v}}=-g}$
a aceleração será independente da massa ou forma do objecto, e igual à aceleração da gravidade, $g$. O sinal negativo é devido a estarmos a considerar o sentido positivo da velocidade (e da aceleração) de baixo para cima.
O campo de direções para a equação diferencial é formado por vetores paralelos, todos com declive igual a $-g$ (figura ao lado).
No gráfico apresentado é fácil ver que as soluções da equação são rectas com declive igual a $-g$.
A velocidade diminui continuamente a uma taxa de $-9.8m/s$ cada segundo.
A solução que se mostra na figura anterior corresponde a um objecto que foi lançado verticalmente para cima (velocidade positiva), com uma velocidade inicial de 22 m/s. A velocidade decresce até zero, aproximadamente dois segundos mais tarde, no ponto mais alto da trajetória, e continua a diminuir passando para valores negativos, que indicam que o objecto está a descer.
Se o sistema em queda livre não estiver dentro de um tubo de vácuo, existe outra força externa que não pode ser desprezada: o atrito com o ar. A força de atrito com o ar é sempre oposta à velocidade e depende da forma do objecto e do quadrado do módulo da velocidade.
A expressão matemática para essa força é
$F_{a}=-{\frac {1}{2}}C_{d}\rho \,A\,|v|\,v$
onde $A$ é a área da secção transversal do objeto, $\rho$ é a massa volúmica do ar, e $C_{d}$ é uma constante, sem unidades, que depende da forma geométrica; para esferas, $C_{d}$ tem o valor de 0.5, e para um pára-quedas circular é aproximadamente $0.8$.
O produto $-|v|\,v$ garante um sentido oposto à velocidade; se o objecto desce, $v<0$, e força de atrito será para cima ($-|v|\,v$ positivo).
Se objeto sobe, $v>0$, e a força de atrito será para baixo ($-|v|\,v$ negativo).
A segunda lei de Newton para o objecto em queda livre é
$\color {blue}{m{\dot {v}}=-mg-{\frac {1}{2}}C_{d}\rho \,A\,|v|\,v}$
Para poder desenhar o campo de direções, será preciso substituir os valores numéricos dos parâmetros.
Alguns valores realistas para um pára-quedista são: $C_{d}=0.8$, $m=70$ kg e $A=7m^{2}$.
A aceleração da gravidade é aproximadamente $g=9.8m/s^{2}$.
A massa volúmica do ar varia com a temperatura, a umidade relativa e a altura sobre o nível do mar. À temperatura ambiente e alguns metros por cima do nível do mar, a massa volúmica do ar é aproximadamente $1.2kg/m^{3}$.
Assim, em unidades SI, a equação é igual a
${\dot {v}}=-9.8-0.048\,|v|\,v$

### Circuito RC

Um circuito RC é constituído por um capacitor, em série com uma resistência $R$ e uma fonte de tensão com força eletromotriz constante, $\varepsilon$.
A soma algébrica das diferenças de potencial nos três elementos do circuito, deverá ser nula. A diferença de potencial na fonte é $\epsilon$, a diferença de potencial na resistência é $R\,I$ e a diferença de potencial no capacitor é $Q/C$
$R\,I+{\frac {Q}{C}}=\varepsilon$
Toda a carga que passa pela resistência, ou sai de uma das armaduras do capacitor, ou é armazenada nessa armadura. Isso implica que a corrente através da resistência é igual à derivada da carga no capacitor. A equação reduz-se a uma equação diferencial para a carga no capacitor em função do tempo
$\color {OliveGreen}{{\dot {Q}}={\frac {\varepsilon }{R}}-{\frac {Q}{RC}}}$
Para desenhar o campo de direções, vamos substituir alguns valores típicos dos elementos do circuito:
$R=4k\Omega$, $C=250nF$ e $\varepsilon =5V$.
Convém usar um sistema de unidades apropriado, para evitar os erros numéricos associados aos números muito grandes ou muito pequenos. Usaremos unidades de micro-coulombs, $\mu C$, para a carga, e o tempo em ms.
Nesse sistema de unidades, e substituindo os valores da resistência, capacidade e força eletromotriz, a equação toma a forma
${\dot {Q}}=1.25-Q$

## Sistemas autônomos

Considerando o sistema na expressão :
${\dot {x}}=f(x)$
Nesse caso a função $f$ não depende da variável independente $t$. Do ponto de vista físico, a evolução da variável independente não depende do instante inicial; isto é, a partir de uma velocidade inicial o movimento do sistema será exatamente o mesmo, independentemente do instante em que o sistema obteve essa velocidade inicial. Se repetirmos uma experiência de queda livre uns dias mais tarde, o resultado da experiência será o mesmo.
Do ponto de vista geométrico, as soluções formam famílias de curvas idênticas, deslocadas na direção do eixo horizontal. O campo de direções é invariante se for deslocado na horizontal (eixo do tempo).
Esse tipo de equações diferenciais, em que a função $f$ não depende da variável independente, são designadas de equações diferenciais autônomas. São equações muito importantes, pois aparecem em muitos problemas e inclusivamente nos problemas que conduzem a equações não autônomas, é sempre possível transformar as equações num sistema de equações autônomas.
Assim, a partir desta seção vamos estudar unicamente sistemas autônomos, em que as equações do sistema são equações diferenciais autônomas. Um sistema dinâmico autônomo de primeira ordem é um sistema caracterizado por:
* Uma variável dependente do tempo, $x(t)$, que designamos por variável de estado
* Uma equação diferencial ordinária, autônoma, de primeira ordem: $\color {Purple}{{\dot {x}}=f(x)}$ que define a evolução da variável de estado, a partir de um estado inicial $x_{0}$, e designaremos de equação de evolução.

### Retrato de fase

Os pontos fixos de um sistema dinâmico contínuo, de primeira ordem, são os pontos onde a derivada da variável de estado é nula. Nesses pontos o estado do sistema permanece constante.
O retrato de fase de um sistema dinâmico é um esboço do campo de direções, mostrando os pontos fixos e algumas soluções que começam ou terminam nesses pontos. Os pontos fixos representam-se por meio de um ponto.
Como a derivada ${\dot {x}}$ num sistema autônomo (equação) depende apenas da variável de estado, $x$, o declive do campo de direções é o mesmo em todos os pontos com o mesmo valor de $x$.
Assim, para representar o campo de direções, basta desenhar a projeção do campo ao longo do eixo da variável de estado (eixo vertical). O retrato de fase será uma linha onde se mostram os pontos fixos e as direções das trajetórias.
O retrato de fase do campo da é apresentado na figura ao lado.
A velocidade terminal obtém-se a partir da equação da segunda lei de Newton para o objecto em queda livre, no ponto em que a derivada for igual a zero
$v_{\mathrm {t} }=-{\sqrt {\frac {2\,m\,g}{C_{d}\rho \,A}}}$
Assim, neste caso, existe um único ponto fixo, correspondente à velocidade terminal.
Na região à esquerda da velocidade terminal, do retrato de fase da figura anterior, o lado direito da segunda lei de Newton para o objecto em queda livre é positivo e, portanto, a derivada da velocidade é positiva. Tal fato é indicado pela seta que aponta para a direita.
A solução que se aproxima do ponto fixo (velocidade terminal) pela esquerda, corresponde ao caso em que no instante inicial o pára-quedista está a descer com uma velocidade com módulo maior que a velocidade terminal; o pára-quedas trava a queda até que o pára-quedista alcança a velocidade terminal. O ponto fixo é um nó atrativo; todas as soluções aproximam-se dele.
No caso do circuito RC, que também é um sistema autônomo de primeira ordem, o retrato de fase é semelhante a da partícula em queda.
O ponto fixo é o ponto $Q=1.25$, que faz com que a derivada seja nula. É um nó atrativo; a carga no condensador aproximar-se-á de $1.25\mu C$, independentemente do seu valor inicial.
Em geral, o ponto fixo localiza-se em $\varepsilon \,C$. Os valores negativos da carga representam situações em que o condensador encontra-se carregado em modo inverso à bateria.

## Método de Euler

Os métodos de resolução numérica de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem
${\dot {x}}=f(x,t)$
consistem em calcular o valor da variável de estado numa sequência discreta de instantes $\{t_{0},t_{1},t_{2},\ldots \}$, usando alguma estimativa dos valores médios das derivadas durante cada intervalo de tempo $[t_{i},t_{i+1}]$, a partir da função $f(x,t)$ que é a derivada instantânea.
Podemos usar uma sequência de instantes $t_{i}$ igualmente espaçados entre si, com incremento de tempo $h$:
$\{t_{0},t_{0}+h,t_{0}+2h,\ldots \}\qquad t_{n}=t_{0}+nh$
assim, substituiremos a variável contínua $x(t)$ por uma variável discreta:
$\color {red}{\{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \}\qquad x_{n}=x(t_{n})=x(t_{0}+nh)}$
O sistema contínuo é substituído por um sistema discreto. A equação de evolução desse sistema discreto dependerá do método numérico usado para fazer a estimativa do valor médio da derivada em cada intervalo $[t_{n},t_{n}+h]$.
Existem muitos métodos numéricos para resolver sistemas dinâmicos contínuos. Nesta secção apresentaremos um método muito simples, o método de Euler.
Usando a notação introduzida na equação, a definição da derivada ${\dot {x}}$, no instante $t_{n}=t_{0}+nh$, escreve-se
${\dot {x}}(t_{n})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x(t_{n}+h)-x(t_{n})}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{h}}$
Assim, se $h$ for suficientemente pequeno, a equação anterior conduz a uma forma aproximada de calcular $x_{n+1}$ em função do estado, $x_{n}$, e da derivada no instante $t_{n}$.
$x_{n+1}\approx x_{n}+h{\dot {x}}(t_{n})$
Combinando essa aproximação com a primeira equação da seção (método de euler), , obtemos a equação do sistema discreto equivalente:
$x_{n+1}=x_{n}+hf(t_{n},x_{n})$
A condição inicial $(t_{0},x_{0})$ permite-nos calcular $(t_{1},x_{1})$, usando a equação de recorrência , e assim sucessivamente podemos calcular $(t_{2},x_{2})$, $(t_{3},x_{3})$,etc.
É de salientar que a aproximação que se fez consiste em admitir que o valor médio da derivada ${\dot {x}}$ no intervalo $[t_{n},t_{n}+h]$ é igual ao valor da derivada no instante inicial do intervalo.
Do ponto de vista gráfico, o que estamos a fazer é deslocarmos-nos, desde o ponto $(t_{0},x_{0})$, uma distância $h$, segundo o eixo $t$, na direção do campo de direções, como se mostra na figura anterior.
Como mostra a figura, a direção do campo no ponto $i$ já não é a mesma no ponto $i+1$e, assim, a curva obtida não segue perfeitamente o campo de direções. Mas se $h$ for suficiente pequeno, obtém-se uma boa aproximação.

## Resolução analítica das equações diferenciais

Existem alguns tipos de equações ordinárias de primeira ordem que podem ser resolvidas analiticamente ,as quais veremos a seguir.

### Equações de variáveis separáveis

Se a equação tiver a forma
${\frac {dy}{dx}}={\frac {f(x)}{g(y)}}$
é designada por equação de variáveis separáveis. Para resolver este tipo de equação, primeiro observemos que a primitiva da função $g(y)$ pode ser calculada da seguinte forma
$\int g(y)\,dy=\int g(y(x)){\frac {dy}{dx}}\,dx$
a equação diferencial pode ser escrita como
$g(y){\frac {dy}{dx}}=f(x)$
a primitiva do lado esquerdo, em ordem a $x$, é igual à primitiva de $g(y)$, em ordem a $y$, como acabamos de ver; assim, temos que
$\int g(y)dy=\int f(x)dx+c$
Se conseguirmos calcular as primitivas a cada lado da equação, obteremos a solução analítica da equação diferencial.

### Equações lineares

Uma equação diferencial linear, de primeira ordem, tem a forma geral
$\color {Blue}{{\frac {dy}{dx}}+p(x)y=f(x)}$
onde $p(x)$ e $f(x)$ são quaisquer duas funções que dependem apenas de $x$ (podem também ser constantes).
No caso particular em que a função $p$ for uma constante $a$, o lado esquerdo terá alguma semelhança com a seguinte derivada
${\frac {dy}{dx}}(ye^{ax})=e^{ax}(y'+ay)$
consequentemente, se multiplicarmos os dois lados da equação diferencial por $e^{ax}$ obteremos:
${\begin{aligned}&{\frac {dy}{dx}}(ye^{ax})=e^{ax}f(x)\\&ye^{ax}=\int e^{ax}f(x)\,dx+c\end{aligned}}$
No caso geral em que $p$ depender de $x$, usaremos a primitiva de $p(x)$ em vez de $ax$, e o fator integrante pelo qual deveremos multiplicar a equação será
$\mu (x)=\exp \left[\int p(x)\,dx\right]$
multiplicando os dois lados da equação diferencial por $\mu$ obtém-se
${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(y\mu (x))=\mu (x)f(x)\\y\mu =\int \mu (x)f(x)\,dx+c\end{aligned}}$

### Equações exatas

Qualquer equação de primeira ordem pode ser escrita na forma
${\frac {dy}{dx}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}$
que conduz a
$-M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$
esta forma é semelhante à expressão da diferencial de uma função de duas variáveis
$dF(x,y)={\frac {\partial F}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}\,dy$
Esta equação sugere-nos admitir que existe uma função $F(x,y)$ cujas derivadas parciais são iguais a $-M(x,y)$ e $N(x,y)$; no entanto a segunda derivada parcial de $F$ seria
${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}=-{\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$
Assim, para que a conjectura da existência da função $F(x,y)$ seja consistente, é necessário que as funções $M$ e $N$ verifiquem a seguinte condição
${\frac {\partial N}{\partial x}}=-{\frac {\partial M}{\partial y}}$
nesse caso diz-se que a equação é exata e existirá uma função $F(x,y)$ tal que a equação diferencial é equivalente à condição
$dF(x,y)=0$
assim, a solução geral da equação diferencial será a família de curvas
$F(x,y)=c$
A função $F$ calcula-se encontrando a função cujas derivadas parciais sejam iguais a $N(x,y)$ e $-M(x,y)$.

### Equações homogêneas

Uma equação de primeira ordem diz-se homogênea se tiver a seguinte forma geral
${\frac {dy}{dx}}=f\left({\frac {y}{x}}\right)$
para resolver esse tipo de equação usa-se a substituição
$v={\frac {y}{x}}\qquad \longrightarrow \qquad {\frac {dy}{dx}}=v+x{\frac {dv}{dx}}$
a qual torna a equação numa equação de variáveis separáveis. Para reconhecer facilmente se uma função racional é da forma $f(y/x)$ observam-se os expoentes de cada termo no numerador e denominador (soma do expoente de $x$ mais o expoente de $y$) os quais deverão ser iguais.
Por exemplo, das duas funções seguintes as duas primeiras tem a forma $f(y/x)$ mas a terceira não
${\begin{aligned}&{\frac {xy^{2}-x^{3}}{yx^{2}}}\\&{\frac {y^{2}\cos(x/y)}{xy}}+5\\&{\frac {xy+y}{2+x}}\end{aligned}}$

### Equação de Bernoulli

Um tipo de equação diferencial que pode ser reduzida a equação linear, é a chamada equação de Bernoulli, definida por
${\frac {dy}{dx}}+p(x)y^{n}=f(x)y$
onde $n$ é um número racional, diferente de 0 e de 1. A substituição
$v=y^{1-n}\qquad \longrightarrow \qquad v'=(1-n)y^{-n}y'$
transforma a equação de Bernoulli numa equação linear.

### Equação de Riccati

Outra equação redutível a equação linear é a equação de Riccati:
${\frac {dy}{dx}}=a(x)+b(x)y+c(x)y^{2}$
onde $a(x)$, $b(x)$ e $c(x)$ são três funções que dependem de $x$. Se conhecermos uma solução particular da equação, por exemplo $y_{1}$, a seguinte mudança de variável transformará a equação de Riccati numa equação linear
$y=y_{1}+{\frac {1}{v}}\qquad \longrightarrow \qquad {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy_{1}}{dx}}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {dv}{dx}}$