# Área

Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície.
Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos. São também muito usadas as medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o acre e o alqueire.
Na geografia e cartografia, o termo "área" corresponde à projeção num plano horizontal de uma parte da superfície terrestre. Assim, a superfície de uma montanha poderá ser inclinada, mas a sua área é sempre medida num plano horizontal.

## Definição formal

Uma abordagem para definir o que se entende por área é por meio de axiomas. Por exemplo, pode-se definir área como sendo uma função a de uma coleção M de figuras planas de um tipo especial (denominadas conjuntos mensuráveis) no conjunto dos números reais satisfazendo as seguintes propriedades:
* Para qualquer S em M, a(S) ≥ 0.
* Se S e T estão em M então S ∪ T e S ∩ T também estão e, além disso, a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S∩T).
* Se S e T estão em M e S ⊆ T então T − S está em M e a(T−S) = a(T) − a(S).
* Se um conjunto S está em M e S é congruente a T então T também está em M e a(S) = a(T).
* Todo retângulo R está em M. Se o retângulo tem largura h e altura k então a(R) = hk.
* Seja Q um conjunto limitado entre duas regiões com degraus, S e T. Uma região com degraus é formada a partir de uma união finita de retângulos adjacentes apoiados em uma mesma base, isto é, S ⊆ Q ⊆ T. Se existe um único número c tal que a(S) ≤ c ≤ a(T) para quaisquer regiões step S e T, então a(Q) = c.
Pode ser demonstrado que existe uma tal função área.

## Unidades

Cada unidade de comprimento tem uma unidade de área correspondente, igual à área do quadrado que tem por lado esse comprimento. Desta forma, as áreas podem ser medidas em metros quadrados (²), centímetros quadrados (cm²), milímetros quadrados (mm²), quilómetros quadrados (km²), pés quadrados (ft²), jardas quadradas (yd²), milhas quadradas (mi²), e assim por diante. Algebricamente, estas unidades são os quadrados das unidades de comprimento correspondentes.
A unidade do Sistema Internacional para área é o metro quadrado, que é considerado uma unidade derivada de SI.

### Conversões

A conversão entre duas unidades quadradas é o quadrado do fator de conversão entre as unidades de comprimento correspondentes. Por exemplo, como
    1 Pé = 12 polegadas,
é a relação entre pés quadrados e polegadas quadradas, temos que
    1 pé = 144 polegadas quadradas,
sendo 144 = 12² = 12 × 12. Da forma análoga:
* 1 quilómetro quadrado = 1 milhão de metros quadrados;
* 1 metro quadrado = 10 000 centímetros quadrados = 1 000 000 milímetros quadrados;
* 1 centímetro quadrado = 100 milímetros quadrados;
* 1 jarda quadrada = 9 pés quadrados;
* 1 milha = 3 097 600 jardas quadradas = 27 878 400 pés quadrados.

### Outras unidades

Existem várias outras unidades usadas para áreas. O are foi a unidade de medida original do sistema métrico para a área:
* 1 are = 100 metros quadrados.
Embora o are tenha caído em desuso, o hectare ainda é muito usado para medir terrenos e propriedades:
* 1 hectare = 100 ares = 10 000 metros quadrados = 0,01 quilómetros quadrados.
Outras unidades métricas menos habituais para a área incluem a tétrade, hectade e miríade.
O acre também é muito usado na medição da área de terrenos, sendo:
* 1 acre = 4 840 jardas quadradas = 43 560 pés quadrados.
Um acre é aproximadamente 40% de um hectare.

## História

Acredita-se que as necessidades cotidianas, tais como as divisões de terra para o plantio às margens dos rios, a construção de residências, assim como os estudos relativos aos movimentos dos astros inserem-se no contexto de atividades ligadas à geometria e desenvolvidas pelos seres humanos ao longo da evolução humana.
Dentre os principais matemáticos da antiguidade responsáveis pelo desenvolvimento da geometria destacam-se Tales de Mileto (VI a.C.), na Grécia, importando a geometria utilizada pelos egípcios; Pitágoras, conhecido pelo teorema aplicado ao triângulo retângulo que recebeu o seu nome e aperfeiçoou o conceito de demonstração matemática da época. E, ainda nesse século, "os Elementos” de Euclides trouxeram inovações consistentes quanto aos métodos utilizados na antiguidade e que vêm contribuindo há mais de 20 séculos para o desenvolvimento das ciências, baseando-se em três conceitos básicos, tais como ponto, reta e círculo, como também nos cinco postulados. É um sistema axiomático que surge de conceitos e proposições aceitos sem demonstração, conhecidos como, postulados e axiomas.
Uma curiosidade interessante dentro do trabalho com áreas diz respeito ao corpo humano como unidade. Assim, palmos, pés, passos, braças e cúbitos, foram algumas das primeiras unidades de medida utilizadas direta ou indiretamente. Aproximadamente em 3500 a.C., período em que iniciavam-se a construção dos primeiros templos na Mesopotâmia e no Egito, os responsáveis por tais projetos sentiram a necessidade de encontrar unidades de medidas mais regulares e exatas, usaram então como base de medida as partes do corpo de apenas um homem (por exemplo, o rei) e com tais medidas confeccionaram réguas de madeiras e metal, ou ainda com nós, as quais destacaram-se como as primeiras medidas oficiais de comprimento.
O cálculo de áreas iniciou-se possivelmente pela prática da arrecadação de impostos pelos sacerdotes, os quais calculavam intuitivamente a extensão dos campos só pela observação visual, com o tempo observaram trabalhadores revestindo uma parte retangular do chão com pedras quadradas e perceberam que para determinar a quantidade de pedras, seria suficiente contar a quantidade de quadrados de uma fileira e multiplicar pelo número de fileiras existentes, dando origem assim à fórmula para o cálculo da área de um retângulo, sendo esta obtida a partir produto da base pela altura.
Logo após, desenvolveram uma fórmula para o cálculo da área de um triângulo, fundados num pensamento bastante geométrico, no qual tinham a área de um quadrado ou retângulo e dividindo-os ao meio em diagonal obtinham a área do triângulo, assim a área do triângulo é dada pela metade da área do quadrado ou do retângulo. Quando o terreno não tinha a forma retangular ou triangular, os primeiros cartógrafos e agrimensores, utilizavam a triangulação, que consistia num processo de divisão da área em triângulos, cuja soma de suas áreas representava o total da área.
No entanto, esse processo de triangulação apresentava alguns pequenos erros, ao medir a área de terrenos não planos ou com curvas. Surgiu assim a necessidade de calcular o comprimento da circunferência e a área do círculo. Com uma corda pequena ou grande sendo girada em torno de um ponto fixo tinha-se a figura de um circunferência. Essa corda, medida que conhecemos como raio da circunferência, tinha alguma relação com o comprimento da circunferência, assim, tomando essa corda e observando quantas vezes ela caberia na circunferência, perceberam que cabia pouco mais de seis vezes e um quarto, independente do seu tamanho. Desta forma concluíram que o comprimento da circunferência poderia ser dado por 6,28 vezes a medida do raio o que corresponde ao que calculamos hoje quando fazemos $C=2\pi r$, onde $\pi$ vale aproximadamente $3,14$.
Quanto à área do círculo, por volta de 2000 anos a.C., conta-se que Amósis, um escriba egípcio, se propôs a determinar a área de um círculo, pensando inicialmente em calcular a área de um quadrado e obter o número de vezes que essa área caberia na área do círculo. Depois para definir qual seria esse quadrado, considerou mais adequado utilizar o quadrado cujo lado tivesse a mesma medida do raio do círculo do qual se desejava calcular a área, assim procedendo provou que o quadrado se inseria no círculo entre três e quatro vezes, o que representava uma aproximação de três vezes e um sétimo, o que atualmente consideramos aproximado a 3,14 vezes. Desta forma determinou a área do círculo multiplicando a área do quadrado por 3,14, situação que utilizamos atualmente com $A=\pi r^{2}$, com $\pi$ valendo aproximadamente $3,14$.
Na Grécia, aproximadamente em 500 a.C. foram fundadas as primeiras universidades. Neste período Tales e seu discípulo Pitágoras organizaram, desenvolveram e aplicaram todo o conhecimento da Babilônia, Etúrria, Egito e Índia à matemática, navegação e religião. Neste período, crescia a curiosidade e a procura por livros de geometria, o conhecimento do Universo ampliava-se velozmente e a escola de Pitágoras fez afirmações quanto à forma da Terra identificando-a como esférica ao invés de plana. Surgiram novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.

## Fórmulas de cálculo
### Retângulo

A mais simples fórmula de cálculo de uma área é a do retângulo Dado um retângulo com base l e altura w, a sua área é:
    $A=l\times w$ (área do retângulo)
Ou seja, a área do retângulo é obtida multiplicando a largura pela altura. Um caso particular é a área do quadrado; sendo l o comprimento do seu lado, a sua área é:
    $A=l^{2}$ (área do quadrado)
A fórmula para a área do retângulo decorre diretamente das propriedades básicas da área, e por vezes é tomada como uma definição ou axioma. Tendo a geometria sido desenvolvida antes da aritmética, o conceito de área pode ser usado para definir a multiplicação de números reais.

### Fórmulas por dissecção

A maioria das outras fórmulas simples para o cálculo da área seguem o método da dissecção. Como o nome indica, este método envolve seccionar a figura em partes mais simples, calcular a área de cada uma dessas partes, que somadas resultarão na área da figura original.
Por exemplo, um paralelogramo pode ser dividido num trapezoide e num triângulo retângulo, como ilustrado pela figura da esquerda. Se movermos o triângulo para o outro lado do trapezoide, o resultado é um retângulo. A conclusão é que a área do paralelogramo é igual à do retângulo:
    $A=b\times h$ (área do paralelogramo)
O mesmo paralelogramo pode ser dividido em dois triângulos congruentes através de um corte na diagonal, como mostrado na figura da direita:
    $A={\frac {b\times h}{2}}$ (área do triângulo)
É possível fazer raciocínios semelhantes para obter fórmulas para as áreas do trapezoide, do losango e de outros polígonos mais complicados.

### Área de outros polígonos

Área do trapézio:
    $A={\frac {B+b}{2}}\times h$ (B = base maior; b = base menor; h = altura)
Área do losango:
    $A={\frac {D\times d}{2}}$ (D = diagonal maior; d = diagonal menor)
Área de qualquer polígono regular:
    ${\frac {P\times a}{2}}$ (P = perímetro; a = comprimento do apótema)$^[$

### Círculo

A área de um círculo também pode ser calculada através do método de dissecção. Dado um círculo com raio $r$ é possível dividi-lo em setores. Cada setor tem uma forma aproximadamente triangular, e os setores podem ser rearranjados para formar uma figura próxima de um paralelogramo. A altura do paralelogramo é $r$ e a largura é metade da circunferência do círculo, ou seja, $\pi r.$ Resulta que a área do círculo é $r\times \pi r,$ ou seja, $\pi r^{2}$
$A=\pi \times r^{2}$ (área do círculo; r = raio)
Embora a dissecação usada na fórmula seja aproximada, o erro torna-se cada vez menor à medida que usamos setores cada vez menores.
O limite da área quando o tamanho dos setores tendo para zero é exatamente $\pi r^{2},$ que corresponde à área do círculo.
Este raciocínio é uma aplicação simples dos conceitos do cálculo. No passado, o método da exaustão foi usado de forma semelhante para encontrar a área do círculo, sendo reconhecido como um precursor do cálculo integral. Usando os métodos modernos, a área do círculo pode ser calculada usando um integral:
    $A\;=\;\int _{-r}^{r}2{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.$

### Área de uma superfície

A maioria das fórmulas para o cálculo da área de uma superfície pode ser obtida cortando e endireitando a superfície. Por exemplo, a superfície de um cilindro pode ser cortada e estendida formando um retângulo. Da mesma forma, a superfície de um cone pode ser cortada e endireitada num setor de um círculo, para permitir o cálculo da sua área.
O cálculo da área da superfície de uma esfera é mais complexo, pois a curvatura da superfície dificulta a sua projeção num plano direito. Isso acontece com sólidos com curvatura gaussiana diferente de zero. O primeiro a obter uma fórmula para o cálculo da área de uma esfera foi Arquimedes na sua obra Sobre a Esfera e o Cilindro. Provou que a área e volume da esfera é exatamente 2/3 da área e volume do cilindro que a envolve. Tal como acontece com a área do círculo, a fórmula para a área da esfera resulta de métodos similares aos do cálculo.
Á área de uma esfera com raio $r$ é:
    $A=4\pi r^{2}$ (área da esfera)

## Aplicações

Pode-se operacionalizar as áreas de algumas figuras planas e utilizá-las em algumas aplicações úteis. Evidentemente, associa-se área de uma figura plana a um número positivo, o qual expressa o espaço do plano ocupado por ela.

### Notação

Usa-se a escrita $(ABC...N)$ para indicar a área de um polígono de $N$ vértices. Vale lembrar que em qualquer polígono o número de vértices é igual ao número de lados.

### Área de um triângulo
#### Critério para equivalência de triângulos
##### Propriedade 1

Dois triângulos de mesma base e mesma altura têm áreas iguais.
Demonstração: Dadas duas retas paralelas $r$ e $s$, a uma distância $d$, marcamos sobre a reta $r$, os pontos $A$ e $B$, e sobre a reta $s$, marcamos os pontos, $C$ e $C^{\prime }$, conforme figura abaixo.
Essa é uma consequência do corolário: Sejam $ABC$ e $ABC^{\prime }$ triângulos tais que $AB//CC^{\prime }$. Então $(ABC)=(ABC^{\prime })$.
Analisando as áreas dos triângulos $ABC$ e $ABC^{\prime }$, temos que:
$(ABC)=AB\cdot {\frac {d}{2}}$
$(ABC^{\prime })=AB\cdot {\frac {d}{2}}$
Assim, como $r//s$ e a distância de $r$ a $s$ dada por $d(r,s)=d$, se $A$ e $B$ pertencem a reta $r$ e $C$ pertence a reta $s$, obtendo um ponto qualquer $C^{\prime }$ sobre a reta $s$, temos $AB//CC^{\prime }$, portanto os dois triângulos $ABC$ e $ABC^{\prime }$ possuem a mesma base $AB$ e a mesma altura $d$, logo suas áreas são iguais.

##### Propriedade 2

Se dois triângulos possuem mesma altura, então a razão entre as suas áreas é igual à razão entre as suas bases.
Na triângulo $ABC$, foi traçada uma ceviana a partir do vértice $A$ intersectando o lado $BC$ no ponto $X$, ficando assim determinados dois triângulos: $AXB$ e $AXC$, de mesma altura $AH$.
Demonstração: Fazendo a razão entre as áreas temos,
${\frac {(AXB)}{(AXC)}}={\frac {{\frac {1}{2}}BX\cdot AX}{{\frac {1}{2}}CX\cdot AH}}={\frac {BX}{CX}}$
Portanto,
${\frac {(AXB)}{(AXC)}}={\frac {BX}{CX}}$

#### Triângulos semelhantes

Dados dois triângulos semelhantes ABC e MNP, vamos analisar a razão de semelhança entre a razão entre suas áreas e sua razão de semelhança.
Sejam $ABC$ e $MNP$ dois triângulos semelhantes, sendo $k$ a razão de semelhança entre seus lados:
${\frac {MP}{AC}}={\frac {MN}{AB}}={\frac {NP}{BC}}=k$, então temos ${\frac {(MNP)}{(ABC)}}=k^{2}$
Demonstração: Como $NP=k\cdot BC$ e $HM=k\cdot AH$, temos pelas áreas dos triângulos:
${\frac {(MNP)}{(ABC)}}={\frac {{\frac {1}{2}}NP\cdot AM}{{\frac {1}{2}}BC\cdot AH}}={\frac {k\cdot BC\cdot k\cdot AH}{BC\cdot AH}}=k^{2}$
Portanto, dados dois triângulos com razão de semelhança $k$ entre seus lados correspondentes, a razão de semelhança entre suas áreas será $k^{2}$.

#### A prova do teorema de Pitágoras e outras relações métricas no triângulo retângulo através do cálculo de áreas

Seja $ABC$ um triângulo retângulo no vértice $A$, onde a hipotenusa $BC=a$, e seus catetos $AB=c$ e $AC=b$, considerando ainda a altura relativa à hipotenusa $AH=h$, bem como as projeções dos catetos sobre a hipotenusa $BH=m$ e $CH=n$, temos:
Vamos provar as seguintes relações através do cálculo de áreas:
* I. $ah=bc$
* II. $c^{2}=am$ e $b^{2}=na$
* III. $a^{2}=b^{2}+c^{2}$
Demonstração I:
I.a) Calculando a área $(ABC)$ a partir da base $BC$ e altura $AH$:
$(ABC)={\frac {1}{2}}BC\cdot AH={\frac {1}{2}}a\cdot h$
I.b) Calculando a área $(ABC)$ a partir da base $AC$ e altura $AB$:
$(ABC)={\frac {1}{2}}AC\cdot AB={\frac {1}{2}}b\cdot c$
Decorre de I.a) e I.b) temos que $(ABC)={\frac {1}{2}}a\cdot h={\frac {1}{2}}b\cdot c$.
Logo $a\cdot h=b\cdot c$
Demonstração II:
II.a) Dado o triângulo $ABC$, retângulo em $A$, constrói-se quadrados sobre a hipotenusa $BC$ e os catetos $AC$ e $AB$, respectivamente de medidas $a$, $b$ e $c$. Depois prolonga-se a altura $AH$ até interceptar o lado $FG$ do quadrado $BCGF$ no ponto $I$.
Observando os segmentos paralelos $BG$ e $AI$, percebe-se dois triângulos $GBA$ e $GBH$ de mesma área, cujas bases medem $a$ e as alturas medem $m$.
Assim, $(GBA)=(GBH)={\frac {1}{2}}BG\cdot BH={\frac {1}{2}}a\cdot m$
Vejamos ainda na figura acima que, os triângulos $GBA$ e $BDC$ são congruentes pelo caso LAL, pois $BD\equiv BA$, $BC\equiv BG$ e $\angle CBD\equiv \angle ABC+90^{\circ }$. Logo, $(BDC)=(GBA)$. E como os segmentos $BD$ e $AC$ são paralelos temos que $(BDA)=(BDC)$, visto que a base $BD$ e a altura $AB$ são comuns aos dois triângulos.
Assim: $BD=AB=c$, então $(BDA)=(BDC)={\frac {1}{2}}BD\cdot BA={\frac {1}{2}}c\cdot c={\frac {c^{2}}{2}}$
Daí, $(GBA)=(BDC)\Rightarrow {\frac {am}{2}}={\frac {c^{2}}{2}}\Rightarrow c^{2}=am$
II.b) De maneira análoga, é provado que $b^{2}=an$
Como $AI//CF$, temos nos triângulos $ACF$ e $HCF$ que $(ACF)=(HCF)$, pois possuem a mesma base $CF$ e mesma altura $CH$, sendo assim:
$(ACF)=(HCF)={\frac {1}{2}}CF\cdot CH={\frac {1}{2}}$
Temos ainda que os triângulos $BCJ$ e $ACF$ são congruentes pelo caso LAL, pois $AC\equiv CJ=b$; $CF\equiv BC=a$; $\angle ACF\equiv \angle BCJ\equiv \angle ACB+90^{\circ }$. Então, como $AK//CJ$ temos:
$(ACJ)=(BCJ)={\frac {1}{2}}AC\cdot CJ={\frac {1}{2}}b^{2}$
Portanto, da congruência $BCJ$ e $ACF$, temos:
$(BCJ)=(ACF)\Rightarrow {\frac {1}{2}}b^{2}={\frac {1}{2}}an\Rightarrow b^{2}=an$
Demonstração III:
De maneira simplificada, somando as duas igualdades II.a) e II.b) temos:
$b^{2}=an$ e $c^{2}=am$, logo $b^{2}+c^{2}=an+am\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a(n+m)$
Como $n+m=a$, temos:
$b^{2}+c^{2}=a(n+m)\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a^{2}$ (Teorema de Pitágoras)
Pode-se obter uma demonstração mais elaborada do teorema de Pitágoras por meio do cálculo de áreas. Observando a figura da demonstração II. b) temos que:
$BCJ\equiv ACF$, pelo caso LAL, então $(BCJ)=(ACF)$. Temos também que $(ACJ)=(BCJ)=(ACF)$ e $(ACF)=(CHF)=(BCJ)$. Daí, $(ACJ)=(CHF)$.
Logo, $(ACJK)=2(ACJ)=2(CHF)$.
Por outro lado, da demonstração II. b), onde $GBA\equiv BDC$, pelo caso LAL, então $(GBA)=(BDC)$. Temos ainda que $(ABD)=(BDC)=(ABG)$ e $(ABG)=(BHG)=(BDC)$. Daí, $(ABD)=(BHG)$.
Logo, $(ABDE)=2(ABD)=2(BHG)$.
Portanto, analisando a área do quadrado $BCGF$ de acordo com as demonstrações II. a) e II. b), temos que:
$(BCFG)=(CHIF)+(BHGI)$
$(BCFG)=2(CHF)+2(BHG)$
$(BCFG)=(ACJK)+(ABDE)$
Concluindo, $(BCFG)=a^{2}$, $(ACJK)=b^{2}$ e $(ABDE)=c^{2}$
Então, $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ (Teorema de Pitágoras)

### Área de um trapézio

No trapézio $ABCD$ de altura $h$, temos os lados paralelos $AB$ e $DC$, tal que $AB=a$ e $DC=b$.
Demonstração: Vamos supor, sem perda de generalidade, que $AB>DC$, e traçar pelo vértice $B$ um segmento paralelo ao lado $AD$ de forma que intercepte o lado $DC$ no ponto $E$. Assim, como $AB//DC$ e $AD//BE$, temos o paralelogramo $ABED$ de altura $h$ e base $DE=AB=a$, e temos ainda um triângulo $BCE$ de base $EC=DC-DE=b-a$, e altura $h$.
Note que:
$(ABCD)=(ABED)+(BCE)=a\cdot h+{\frac {1}{2}}(b-a)h={\frac {2ah+bh-ah}{2}}$
Portanto,
$(ABCD)={\frac {(a+b)h}{2}}$

### Área de um losango

De acordo com o corolário: Se ABCD é um losango de diagonais AC e BD, então $(ABCD)={\frac {1}{2}}ABCD$.
Demonstração: Dado o losango $ABCD$, cujas diagonais interceptam-se no ponto $M$, simultâneamente, ponto médio de ambas as diagonais $AC$ e $BD$.
Como $AB=BC=CD=DA$, os triângulos determinados pelas diagonais $AC$ e $BD$, são isósceles e como $M$ é ponto médio destas diagonais, temos que, $AM=MC$, $BM=MD$, portanto os triângulos $ABD$ e $BCD$ são congruentes pelo caso LAL, assim como os triângulos $ADC$ e $ABC$, pelo mesmo caso.
Sendo assim, vamos mostrar a área do losango através dos triângulos determinados pela diagonal $BD$.
$(ABCD)=(ABD)+(BCD)={\frac {1}{2}}BD\cdot MC+{\frac {1}{2}}BD\cdot AM$
$(ABCD)={\frac {1}{2}}BD\cdot (AM+MC)$.
Como $AM+MC=AC$, temos:
$(ABCD)={\frac {1}{2}}AC\cdot BD$