# Curva elíptica

Em matemática, as curvas elípticas se definem mediante equações cúbicas (de terceiro grau). Têm sido usadas para provar o último teorema de Fermat e se empregam também em criptografia (para mais detalhes pode-se ver o artigo sobre criptografia de curvas elípticas) e em fatoração de inteiros. Estas curvas não são elipses: pode ser visto também o verbete sobre integral elíptica para aprender algo sobre a origem do termo.
As curvas elípticas são "regulares", ou pode-se dizer "não-singulares", o que significa que não têm "cúspides" nem auto-intersecções, e se pode definir uma operação binária para o conjunto de seus pontos de uma maneira geométrica natural, o que faz deste conjunto um grupo abeliano.
As curvas elípticas sobre o corpo dos números reais vêm a ser dadas pelas equações $y^{2}=x^{3}-x$ e por $y^{2}=x^{3}-x+1$.
As curvas elípticas podem definir-se sobre qualquer corpo $K$; a definição formal de uma curva elíptica é a de uma curva algébrica projetiva não singular sobre $K$ de gênero 1. Se a característica de $K$ não é nem 2 nem 3, então toda curva elíptica sobre $K$ pode escrever-se na forma: $y^{2}=x^{3}-px-q$, onde $p$ e $q$ são elementos de $K$ tais que o polinômio do membro direito $x^{3}-px-q$ não tenha nenhuma raiz dupla. Se a característica é 2 ou 3 farão falta mais termos.
Sendo assim, vale salientar que há uma forma geral para expressar a equação de uma curva elíptica, a qual é válida para qualquer corpo. Essa forma é conhecida como Equação de Weierstrass e é dada por:
$y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$

## Definição

Normalmente se define a curva como o conjunto de todos os pontos $(x,y)$ que satisfazem a equação acima e tais que $x$ e $y$ sejam elementos do fecho algébrico de $K$. Os pontos da curva cujas coordenadas pertençam ambas a $K$ se chamam pontos K-racionais.
Se adicionarmos um ponto "ao infinito", obteremos a versão projetiva de tal curva. Se temos dois pontos da curva, $P$ e $Q$ então podemos descrever de forma unívoca um terceiro ponto que seja a intersecção da curva com a linha que atravessa aos dois pontos $P$ e $Q$. Se a linha é tangente à curva em um ponto, então esse ponto contará duas vezes; e se a linha é paralela ao eixo $y$, definimos o terceiro ponto como o "no" infinito. Então justo uma de tais condições será a que cumpra qualquer par de pontos de uma curva elíptica.
subgrupo deste grupo.
Se a curva se denota por $E$, este subgrupo se denota normalmente como $E(K)$.
O grupo acima se pode descrever geométrica e algebricamente. Dada a curva $y^{2}=x^{3}-px-q$ sobre o corpo $K$ (cuja característica assumimos que não é nem 2 nem 3), e os pontos $P=(x_{P},y_{P})$ e $Q=(x_{Q},y_{Q})$ na curva, assumimos primeiro que $x_{P}\neq x_{Q}$. Seja $s={\dfrac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}$, já que $K$ é um corpo, $s$ está bem definido. Então podemos definir $R=P+Q=(x_{R},y_{R})$ mediante
    ${x_{R}}={s^{2}}-{x_{P}}-{x_{Q}}$
    ${y_{R}}=-{y_{P}}+{s({x_{P}}-{x_{R}}})$
Se $x_{P}=x_{Q}$, então há duas opções: se $y_{P}\neq -y_{Q}$, então a soma se define como 0; assim que o inverso de cada ponto da curva se encontra refletindo-o no eixo $x$. Se $y_{P}=-y_{Q}\neq 0$, então $R=P+P=2P=(x_{R},y_{R})$ será dado por
    $s={(3{x_{P}}^{2}-p)}/{(2y_{P})}$
    ${x_{R}}={s^{2}}-2{x_{P}}$
    ${y_{R}}=-{y_{P}}+s({x_{P}}-{x_{R}})$
Se $y_{P}=-y_{Q}=0$, então $P+P=0$;

### Implicações do teorema de Mordell-Weil

O teorema de Mordell-Weil estabelece que se o corpo subjacente $K$ é o dos racionais (ou de maneira mais geral um corpo numérico), então o grupo de pontos $K$-racionais será finitamente gerado. Ainda que se possa determinar facilmente o subgrupo de torsão de $E(K)$, não se conhece um algoritmo geral para computar sua ordem. Uma fórmula para um dado conjunto imagem vem a ser dada pela conjetura de Birch e Swinnerton-Dyer.

### Implicações para o último teorema de Fermat

A demonstração recente do último teorema de Fermat se leva a cabo provando um caso especial da profunda conjectura de Taniyama-Shimura que relaciona as curvas elípticas sobre os racionais com as formas modulares; esta conjectura foi também completamente demonstrada.
Se o corpo subjacente $K$ é o dos complexos, toda curva elíptica poderá ser parametrizada por certa função elíptica e sua derivada. Especificamente, a cada curva elíptica E se associa um reticulado $L$ e uma função elíptica de Weierstrass correspondente $\wp$, tal que a aplicação
    $\varphi :\mathbf {C} /L\longrightarrow E$
com
    $\varphi (z)=\mathbf {C} (\wp (z),\wp '(z))$
seja um isomorfismo de grupos e um isomorfismo de superfícies de Riemann.
O que prova em particular que topologicamente, E assemelha-se a um toro (já que $\mathbf {C} /L$ é um toro). Se o reticulado $L$ está relacionado com outro reticulado $cL$ mediante a multiplicação por um número complexo distinto de zero $c$, então as curvas correspondentes são isomorfas. As classes de isomorfismo das curvas elípticas se especificam mediante o j-invariante.
Enquanto que o número de pontos racionais de uma curva elíptica E sobre um corpo finito F$_p$ é difícil de computar em geral, um teorema de Hasse sobre curvas elípticas diz que
    $\left|\sharp E(\mathbb {F} )-p-1\right|<2{\sqrt {p}}$
Este fato pode entender-se e demostrar-se com algo da teoria geral; ver função zeta local, cohomologia étale.
Para desenvolvimentos posteriores ver aritmética de variedades abelianas.

## Teorema de Bezout

Sejam $C_{1}$ e $C_{2}$ curvas projetivas planas de graus $m$ e $n$ definidas sobre um corpo algebricamente fechado. Se $C_{1}$ e $C_{2}$ não possuem componentes comuns, então o número de intersecções $C_{1}\cap C_{2}$, contadas com a multiplicidade, é o produto de seus graus, isto é, $\delta (C_{1})\cdot \delta (C_{2})$.
Demonstração: ver [1].

## Curvas Elípticas e Teoria dos Grupos

É possível traçar uma relação entre curvas elípticas e a Teoria dos Grupos, conforme mencionado anteriormente. Nesta seção, será introduzida a ideia para demonstrar que uma curva elíptica $C$ sobre um corpo $\mathbb {Q}$ é um Grupo abeliano. Para isso, vamos definir uma operação que nos auxiliará para realizar essa demonstração. Sejam $P$ e $Q$ pontos com coordenadas racionais na curva elíptica $C$, e tracemos uma reta que passa por $P$ e $Q$. Além disso, seja $P*Q$ o terceiro ponto ponto de interseção da reta traçada com a curva $C$, conforme a Figura 1 acima.
Agora, vamos definir o $O$, o qual facilmente é provado como elemento neutro. Assim, seja a reta que passa por $P$ e $Q$ e seja $P*Q$ o terceiro ponto ponto de interseção com a curva. Seja $O$ um ponto tal que a reta que passa por $O$ e por $P*Q$ intersecta a curva no ponto denotado por $P+Q$. Assim, teremos que $P+Q=O*(P*Q)$. Veja na Figura 2 a seguir.
A partir dessa construção, podemos definir um grupo. Sejam $C$ uma curva elíptica sobre um corpo $\mathbb {Q}$ denotada por $C(\mathbb {Q} )$ e $O\in C(\mathbb {Q} )$. Então, $C(\mathbb {Q} )$ é um grupo abeliano com a operação "+" definida, isto é, $C(\mathbb {Q} )$ satisfaz as seguintes propriedades
* Elemento Neutro: $P+O=O+P$, para todo $P$ com coordenadas racionais.
* Inverso: Para todo $P$ com coordenadas racionais existe um ponto $-P$ com coordenadas racionais tal que $P+(-P)=(-P)+P=O$.
* Associatividade: Sejam $P$, $Q$ e $R$ pontos quaisquer com coordenadas racionais, então $(P+Q)+R=P+(Q+R)$.
* Comutatividade: Sejam $P$ e $Q$ pontos quaisquer com coordenadas racionais, então $P+Q=Q+P$.
A demonstração desse resultado pode ser vista em.

## Curvas elípticas e criptografia

As curvas elípticas sobre corpos finitos são usadas em algumas aplicações em criptografia assim como na fatoração de inteiros. Uns dos precursores dos estudos relacionando curvas elípticas e criptografia foram Victor Miller e Neal Koblitz. A ideia geral nessas aplicações é que se temos um algoritmo que usa certos grupos finitos podemos reescrevê-lo usando os grupos de pontos racionais de curvas elípticas. Vários são os problemas tópicos relacionados a esse tema, tais como
* O problema do logaritmo discreto em curvas elípticas
* A troca de chaves de Diffie-Hellman com curvas elípticas
* A analogia de Massey-Omura
* A escolha do ponto na curva e seleção "aleatória" de (E, B)
* A redução Global de (E, B) $mod$ $p$
* Ordem do ponto B