# Divisão

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Divisão é a operação matemática inversa da multiplicação. O ato de dividir por algum elemento de um conjunto só faz sentido quando a multiplicação por aquele elemento for uma função bijetora.
No anel dos números inteiros a hipótese da bijetividade não é satisfeita para o zero, assim, não se define divisão por zero.

## Propriedades importantes

As propriedades da divisão são herdadas, via inversão, da multiplicação. Não existe, entretanto, a propriedade de fechamento no conjunto dos números reais, uma vez que a divisão por zero não produz como resultado um número real.

### Nos números inteiros

Os números inteiros não formam um corpo, portanto a divisão (como foi definido) só faz sentido quando o número que vai ser dividido (dividendo) é um múltiplo inteiro do número pelo qual se vai dividir (divisor). Para tratar dos casos em que o dividendo não é um múltiplo do divisor é necessário definir quociente e resto.
Se a e b são dois números inteiros positivos (com $b\geq a$), o quociente da divisão de a por b é o maior número inteiro q tal que $bq\leq a$. O resto da divisão de a por b com quociente q é o número inteiro r tal que $r=a-bq.$
A noção de resto no anel dos números inteiros está intimamente conectada com a noção de congruência.

### Nos números racionais, reais e em outros corpos

Por se tratarem de corpos, a divisão nesse caso fica reduzida a multiplicação pelo inverso.
Por um exemplo, para dividirmos um número racional $q_{1}={\frac {a}{b}}$ por $q_{2}={\frac {c}{d}}$ (com as hipóteses de que a,b,c e d sejam inteiros e que b,c e d sejam diferentes de zero) devemos prosseguir da seguinte forma
${\frac {q_{1}}{q_{2}}}=q_{1}\ q_{2}^{-1}={\frac {a}{b}}\ {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}$
Em $\mathbb {Z} _{13}$ (grupo multiplicativo dos inteiros módulo 13), que também é um corpo, a divisão de 7 por 5 se daria da seguinte forma:
${\frac {7}{5}}=7.5^{-1}=7.8=4$

### Divisão de polinômios

Pode-se definir a operação de divisão para polinômios. Então, como no caso dos inteiros, tem-se um resto. Veja divisão polinomial.

### Em estruturas mais gerais

A divisão é possível em estruturas que não são dotadas dos axiomas de corpo. Em analogia ao caso dos números inteiros, tenta-se encontrar um quociente e um resto. Isso nem sempre pode ser feito com o auxílio da relação de ordem, pois a mesma nem sempre está presente. Quando pode-se definir uma função conveniente, trabalhamos com domínios euclidianos.

## Representação

Sejam a e b elementos do conjunto dos números inteiros, e b diferente de zero. Podemos representar uma divisão da seguinte forma:
* Como uma fração: ${\frac {a}{b}},$ (utilizando uma barra horizontal entre os dois números);
* Através de uma barra inclinada: $^{a}\!{/}\!_{b}$. (É utilizado para fazer operações em computadores);
* Com a simbologia usual da divisão, utilizando dois pontos e uma barra horizontal entre eles: $a\div b$;
* Utilizando dois pontos entre os dois números na horizontal: $a:b$;
* Usando a notação do inverso multiplicativo: $ab^{-1}$.
Divisão de números consecutivos
Seja o número impar a>1{\textstyle a>1} e o seu consecutivo a+1{\textstyle a+1} .
Seja a divisão $a/(a+1)=s$. Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir :
a - O quociente $s$ é menor do que $1$ e tende para $1$ com o aumento de $a$, então $\lim _{a\to \infty }\rightarrow s=1$
b - Na imensa maioria das proposições o quociente $s$ apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.
Seja a divisão $(a+1)/a=s'$. Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir:
a - O quociente $s'$ é maior do que $1$ e tende para $1$ com o aumento de $a$, então $\lim _{a\to \infty }\rightarrow s'=1$
b - Na imensa maioria das proposições o quociente $s'$ apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.
Entretanto
Em nenhuma das proposições para $s,s'$ ocorre com estes números consecutivos, de o quociente apresentar em ambas proposições os dois quocientes com números finitos de algarismos após a virgula decimal.

### Divisão entre números consecutivos

Na divisão entre dois números consecutivos temos dois casos a considerar:
Caso 1 - Caso em que o número maior tem paridade par
Caso 2 - Caso em que o número maior tem paridade impar

#### Caso 1

sejam dois números consecutivos $A,B$ com $A>B$ e de paridade par.
A divisão $A/B=1+1/B$ , e a outra divisão $B/A=1-1/A$ .
Na imensa maioria dos casos cada uma dessas expressões tem como resultados números com infinitos algarismos após o ponto decimal.
Em absolutamente todos os casos ao menos uma das duas expressões acima apresenta infinitos algarismos após o ponto decimal.
No sistema decimal a decomposição única do número $10$ é dada por $10=2.5$ , então a fração $1/B$ só não será uma dizima infinita quando $B=5^{n}$ pois $B$ é um número de paridade impar.
A fração $1/A$ só não será uma dizima infinita quando $A=2^{m}.10^{n}$ .
A expressão $5^{n}$ termina sempre com o número $25$ exceto para $n=1$.
Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número $A$ tem que terminar com o número $26$ exceto para o primeiro caso onde $A=6$ , e o número $A$ , terá que ser da forma $2^{m}$ onde a expressão $1/A$ não será uma dizima infinita.
Como os números da forma $2^{m}$ com algarismo $6$ na na última posição são sempre terminados em $16,56,96,36,76$ jamais teremos o par consecutivo com os dois últimos algarismos sendo $25,26$ e com a propriedade de serem da forma $5^{n},2^{m}$.

#### Caso 2

Sejam dois números consecutivos $B,A$ com $B>A$ e de paridade impar.
A divisão $B/A=1+1/A$ e a outra divisão $A/B=1-1/B$
Na imensa maioria dos casos, cada uma destas duas expressões tem como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.
Em absolutamente todos os casos ao menos uma destas duas expressões apresenta como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.
No sistema decimal a decomposição única do número $10$ é $10=2.5$, então a fração $1/A$ só não uma dizima infinita quando $A=2^{m}$ .
A fração $1/B$ só não será uma dizima infinita quando $B=5^{n}$ .
A expressão $5^{n}$ termina sempre no número $25$ exceto para $n=1$ .
Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número $A$ tem que terminar em $24$ , exceto para o primeiro caso onde $A=4$ , e número $A$ terá que ser da forma $2^{m}$ , onde a expressão $1/A$ não será uma dizima infinita.
O valor de $A$ só termina em $24$ , para $m=10,30,50,70,90,110...$ e para nenhum destes casos o número sucessivo terminado em $25$ é da forma $5^{n}$, impedindo que tenhamos números consecutivos terminados em $24,25$ que sejam da forma $2^{m},5^{n}$ .
Estas divisões são aplicadas nas soluções para o Último Teorema de Fermat e para a Conjectura de Beal a partir das equações do Terno Pitagórico obtidas por Geometria , pois qualquer raiz de um número racional com dizima infinita não terá como resposta um número inteiro.
Todas as outras fórmulas para a determinação do Terno Pitagórico inclusive as Fórmulas de Euclides não se aplicam, porque são fórmulas incompletas.