# Pêndulo de Foucault

Um pêndulo de Foucault (pronúncia em francês: ​), assim chamado em referência ao físico francês Jean Bernard Léon Foucault, é uma experiência concebida para demonstrar a rotação da Terra em relação a seu próprio eixo. A primeira demonstração data de 1851, quando um pêndulo de 30 kg foi fixado ao teto do Panteão de Paris por um fio rígido de 67 metros de comprimento. A massa de 30 kg era constituída de uma esfera metálica parcialmente oca, cheia de areia fina, com um orifício, pelo qual durante o movimento a areia ia se escorrendo lentamente, a fim de marcar no chão a trajetória do pêndulo; o rastro deixado pela areia não se sobrepunha um ao outro, mas sim existia um espaçamento entre um e outro a cada período do pêndulo completado. A originalidade do pêndulo reside no fato de ter liberdade de oscilação em qualquer direção, ou seja, o plano pendular não é fixo. A rotação do plano pendular é devida à rotação da Terra. A velocidade e a direção de rotação do plano pendular permitem igualmente determinar a latitude do local da experiência sem nenhuma observação astronômica exterior.

## Princípio

O pendulo de Foucault, devido à sua concepção e dimensões, é capaz de revelar a rotação da Terra, sem que seja necessário ir ao espaço sideral para verificar, o que veio a ocorrer cerca de um século depois da primeira demonstração do pêndulo.
O plano de oscilação do pêndulo gira em torno do seu eixo devido à força de Coriolis, que é consequência do movimento de rotação da Terra. Muitos textos e áudios, explicam erroneamente que "a Terra gira em torno do pêndulo". Efetivamente a Terra gira embaixo do pêndulo, pois ele possui um sofisticado sistema de sustentação de baixíssimo atrito, mas o período de rotação do plano do pêndulo não é igual ao período de rotação da Terra, exceto nos polos.
O período de rotação do plano pendular é inversamente proporcional ao seno da latitude do local. O tempo T para uma rotação completa do plano de oscilação, considerando uma latitude θ, é dado por T(θ) = 24/sen θ, sendo T dado em horas. Os únicos lugares em que o tempo de rotação completa do plano de oscilação do pêndulo de Foucault é igual a 24 horas são os polos norte e sul, onde temos θ = 90 graus. O movimento angular do pêndulo de Foucault ocorre no sentido horário no hemisfério norte e no sentido anti-horário no hemisfério sul, sendo que no equador não gira.
Por exemplo:
* 1 dia sideral (24 horas) nos polos;
* 1,4 dias a $45^{o}$ de latitude;
* 2 dias a $30^{o}$ de latitude;
* infinito (ou seja o plano pendular permanece constante) com $0^{o}$ de latitude, no equador.

## Um pouco de matemática

Para simplificar, suporemos a amplitude das oscilações suficientemente pequena para admitir que a massa oscilante do pêndulo se desloca horizontalmente. Notemos Oxy este plano horizontal, com O posição da massa em repouso, Ox eixo horizontal dirigido para o leste (logo tangente ao paralelo), e Oy dirigido para o norte (logo tangente ao meridiano). O terceiro eixo Oz será vertical, dirigido para cima.lp

### Caso do pêndulo simples

Sem se levar em conta a rotação da Terra, as equações do movimento são as do pêndulo simples, ou seja:
    $\left\{{\begin{matrix}x''=-\omega ^{2}x\\y''=-\omega ^{2}y\end{matrix}}\right.$
onde ω é a oscilação própria do pêndulo simples, ou seja:
    $\omega ={\sqrt {g/l}}$
onde g é a aceleração da gravidade e l o comprimento do pêndulo. A título de exemplo, se no instante t = 0 o pêndulo passa em O com uma velocidade V$_0$ segundo o eixo Ox, então a solução deste sistema é:
    $\left\{{\begin{matrix}x=&{V_{0} \over \omega }\sin(\omega t)\\y=&0\end{matrix}}\right.$

### Caso do pêndulo de Foucault

Com a rotação da Terra, deve-se levar em conta a aceleração de Coriolis:
    $2\Omega ({\vec {v}}\times {\vec {k}})$
onde ${\vec {v}}$ é a velocidade do pêndulo, ${\vec {k}}$ é o vetor unitário no eixo de rotação terrestre e Ω a velocidade de rotação angular da Terra (ou seja, uma volta em um dia sideral). Essa velocidade de rotação Ω é muito menor que a oscilação própria ω do pêndulo.
Se nos encontramos à latitude θ, então o vetor $\Omega {\vec {k}}$ tem como componentes no referencial Oxyz:
    ${\begin{pmatrix}0\\\Omega \cos {\theta }\\\Omega \sin {\theta }\end{pmatrix}}$
${\vec {v}}$ tem como componentes:
    ${\begin{pmatrix}x'\\y'\\0\end{pmatrix}}$,
de modo que a aceleração de Coriolis terá os componentes:
    ${\begin{pmatrix}2y'\Omega \sin {\theta }\\-2x'\Omega \sin {\theta }\\2x'\Omega \cos {\theta }\end{pmatrix}}$.
As equações de movimento no plano Oxy tornam-se:
    $\left\{{\begin{matrix}x''=-\omega ^{2}x+2y'\Omega \sin {\theta }\\y''=-\omega ^{2}y-2x'\Omega \sin {\theta }\end{matrix}}\right.$
Se se supõe ainda que no instante t = 0 o pêndulo passe em O com a velocidade V$_0$ no eixo Ox, então pode-se verificar que as soluções x e y do sistema diferencial são tais que:
    $\left\{{\begin{matrix}x=&{V_{0} \over \omega _{0}}\sin(\omega _{0}t)\cos(\Omega \sin(\theta )t)\\y=&-{V_{0} \over \omega _{0}}\sin(\omega _{0}t)\sin(\Omega \sin(\theta )t)\end{matrix}}\right.$
com
    $\omega _{0}={\sqrt {\omega ^{2}+\Omega ^{2}\sin ^{2}(\theta )}}$
Pode-se escrever que:
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={V_{0} \over \omega _{0}}\sin(\omega _{0}t){\begin{pmatrix}\cos(\Omega \sin(\theta )t)\\-\sin(\Omega \sin(\theta )t)\end{pmatrix}}$

### Interpretação e comparação

A quantidade ${V_{0} \over \omega _{0}}\sin(\omega _{0}t)$ exprime o fato que o pêndulo de Foucault oscila com uma pulsação própria ω$_0$ ligeiramente diferente daquela do pêndulo simples, mas como Ω é muito pequeno em comparação com ω, a diferença entre ω e ω$_0$ é muito pequena.
Mais notável, a oscilação se dá segundo a direção:
    ${\begin{pmatrix}\cos(\Omega \sin(\theta )t)\\-\sin(\Omega \sin(\theta )t)\end{pmatrix}}$
que roda lentamente segundo a pulsação:
    $\Omega \sin(\theta )$