# Exponenciação

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Exponenciação ou potenciação é uma operação matemática, escrita como a$^n$, envolvendo dois números: a base a e o expoente n. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência a$^n$ indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é, ${{a^{n}=} \atop {\ }}{{\underbrace {a\times \cdots \times a} } \atop n},$ da mesma forma que a multiplicação de n por a pode ser vista como uma soma de n parcelas iguais a a, ou seja, $a\times n=\underbrace {a+\cdots +a} _{n}.$ O expoente geralmente é indicado à direita da base, aparecendo sobrescrito ou separado da base por um circunflexo. Pode-se ler a$^n$ como a elevado à n-ésima potência, ou simplesmente a elevado a n. Alguns expoentes possuem nomes específicos, por exemplo, a$^2$ costuma ser lido como a elevado ao quadrado , a$^3$ como a elevado ao cubo e a$^4$ como a elevado a quarta potência. Assim sucessivamente.
A potência a$^n$ também pode ser definida quando n é um inteiro negativo, desde que a seja diferente de zero. Não existe uma extensão natural para todos os valores reais de a e n, apesar de que quando a base é um número real positivo é possível definir a$^n$ para todo número real n, e até mesmo para números complexos através da função exponencial e$^z$. As funções trigonométricas podem ser representadas em termos da exponenciação complexa.
Na resolução de sistemas de equações diferenciais lineares utiliza-se um tipo de exponenciação em que os expoentes são matrizes.
A potenciação também é usada em várias outras áreas, incluindo economia, biologia, física e ciência da computação, com aplicações tais quais juros compostos, crescimento populacional, cinética química, comportamento de ondas e criptografia de chave pública.

## História
### Antiguidade
#### O Contador de Areia

Em The Sand Reckoner , Arquimedes provou a lei dos expoentes, 10 $^a$ · 10 $^b$ = 10 $^{a+b}$ , necessária para manipular potências de 10, e utilizou essa manipulação para estimar o número de grãos de areia que podem ser contidos no universo.

### Era de Ouro Islâmica
#### Māl e kaʿbah ("quadrado" e "cubo")

No século IX, o matemático persa Al-Khwarizmi usou os termos مَال ("posses", "propriedade") para um quadrado — "os muçulmanos, como a maioria dos matemáticos daquela época e de épocas anteriores, pensavam em um número quadrado como uma representação de uma área, especialmente de terra, portanto propriedade" — e كَعْبَة ( Kaʿbah , "cubo") para um cubo , que os matemáticos islâmicos posteriores representaram em notação matemática como as letras mīm (m) e kāf (k), respectivamente, no século XV, como visto na obra de Abu'l-Hasan ibn Ali al-Qalasadi .

### Séculos XV–XVIII
#### Apresentando expoentes

Nicolas Chuquet usou uma forma de notação exponencial no século XV, por exemplo 12 $^2$ para representar 12 x $^2$ . Isso foi usado mais tarde por Henricus Grammateus e Michael Stifel no século XVI. No final do século XVI, Jost Bürgi usaria algarismos romanos para expoentes de uma forma semelhante à de Chuquet, por exemplo $4^{iii}$ para 4 x $^3$ .

#### "Expoente"; "quadrado" e "cubo"

A palavra expoente foi cunhada em 1544 por Michael Stifel. No século XVI, Robert Recorde usou os termos quadrado, cubo, zenzizenzic ( quarta potência ), sursolid (quinto), zenzicube (sexto), segundo sursolid (sétimo) e zenzizenzizenzic (oitavo). Biquadrado também foi usado para se referir à quarta potência.

#### Notação exponencial moderna

Em 1636, James Hume usou essencialmente a notação moderna, quando em L'algèbre de Viète escreveu A $^{iii}$ para A $^3$ . No início do século XVII, a primeira forma de nossa notação exponencial moderna foi introduzida por René Descartes em seu texto intitulado La Géométrie ; lá, a notação é introduzida no Livro I.
   Eu designo ... aa , ou a $^2$ ao multiplicar a por si mesmo; e a $^3$ ao multiplicá-lo mais uma vez por a , e assim até o infinito.
   -  René Descartes, La Geométrie
Alguns matemáticos (como Descartes) usaram expoentes apenas para potências maiores que dois, preferindo representar quadrados como multiplicação repetida. Assim, eles escreveriam polinômios , por exemplo, como ax + bxx + cx $^3$ + d .

#### "Índices"

Samuel Jeake introduziu o termo índices em 1696. O termo involução era usado como sinônimo do termo índices , mas seu uso havia diminuído e não deve ser confundido com seu significado mais comum .

#### Expoentes variáveis, expoentes não inteiros

Em 1748, Leonhard Euler introduziu expoentes variáveis ​​e, implicitamente, expoentes não inteiros, escrevendo:
   Considere exponenciais ou potências em que o próprio expoente é uma variável. É claro que quantidades deste tipo não são funções algébricas , uma vez que nelas os expoentes devem ser constantes.

### século XX

À medida que o cálculo foi mecanizado, a notação foi adaptada à capacidade numérica por convenções em notação exponencial. Por exemplo, Konrad Zuse introduziu a aritmética de ponto flutuante em seu computador Z1 de 1938. Um registro continha representação de dígitos iniciais e um segundo continha representação do expoente de 10. Anteriormente, Leonardo Torres Quevedo contribuiu com Essays on Automation (1914), que sugeriu a representação de números em ponto flutuante. A representação decimal de ponto flutuante mais flexível foi introduzida em 1946 com um computador dos Laboratórios Bell . Eventualmente, educadores e engenheiros adotaram a notação científica de números, consistente com a referência comum à ordem de magnitude em uma escala de razão .

## Definição

As potências são explicadas em uma série de passos envolvendo matemática básica.
Todos esses passos se baseiam na generalização das leis seguintes, que podem ser facilmente provadas para n e m inteiros positivos:
$a^{(n\ m)}=(a^{n})^{m}$$a>1\land n>m\rightarrow a^{n}>a^{m}$

### Expoente zero

Para que
$a^{n}\ a^{m}\ =a^{(n+m)},$
continue valendo para n = 0, devemos ter:
$a^{0}=1$

### Expoentes inteiros negativos

Para que
$a^{n}\ a^{m}=a^{(n+m)}$seja válido para n + m = 0, é necessário que elevar um número (exceto 0) à potência -1 produza seu inverso. $a^{-1}=\left({\frac {1}{a}}\right)$
Então esse cálculo fica assim : $a^{-n}=a^{-1.n}={(a^{-1})}^{n}={\left({\frac {1}{a}}\right)}^{n}={\frac {1^{n}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}$
Elevando 0 a uma potência negativa implicaria uma divisão por 0, sendo assim indefinido.
Um expoente inteiro negativo também pode ser visto como uma divisão pela base. Logo: $3^{-5}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}=\left({\frac {1}{3}}\right)^{5}={\frac {1}{3^{5}}}$
Pode-se provar que, com essa definição, $a^{(n+m)}=a^{n}\ a^{m}$ continua valendo para $n,m\in \mathbb {Z} .$

### Expoentes um e zero

* qualquer número elevado a "um" é igual a ele mesmo.
$n^{1}=n$
* qualquer número (exceto o 0) elevado a 0 é igual a 1.
$n^{0}=n^{1}\cdot n^{-1}=n\cdot {\frac {1}{n}}=1$

### Indeterminações

Na exponenciação, é possível chegar às formas de indeterminação a seguir:
* $0^{0}$
* $\infty ^{0}$
* $1^{\infty }$

### Potências cujo expoente não altera o resultado
#### Potências de 0

As potências de 0 são as potências de base 0, dados por $0^{n}$ n>0. A matemática julga ser indeterminado o valor da potência: $0^{0},$ mas as potências cuja base é 0 e cujo expoente é positivo, têm como resultado o próprio 0. As outras potências cuja base é 0 e cujo expoente é negativo, têm como resultado ${\infty }$ (infinito).

#### Potências de 1

As potências de 1 são as potências de base 1, dados por $1^{n},$ sendo n pertencente aos reais. Não importa o valor de "n", $1^{n}$ será sempre 1. Não se pode afirmar que 0 elevado a 0 é igual a 1.

### Potências de 10

Multiplicações sucessivas por 10 são fáceis de efectuar pois usamos um sistema decimal. Por exemplo, $10^{6}$ é igual a um milhão, que é 1 seguido de 6 zeros. Exponenciação com base 10 é muito utilizada na física para descrever números muito grandes ou pequenos em notação científica; por exemplo, 299 792 458 (a velocidade da luz no vácuo, em metros por segundo) pode ser escrita como 2,99792458 × $10^{8}$ e então aproximada para 2,998 × $10^{8}.$ Os prefixos do sistema internacional de unidades também são utilizados para medir quantidades grandes ou pequenas. Por exemplo, o prefixo "kilo" (quilo) significa $10^{3}$ = 1 000, logo, um quilómetro é igual a 1 000 metros.

### Potências de 2

Potências de 2 são importantes na ciência da computação. Por exemplo, existem $2^{n}$ valores possíveis para uma variável que ocupa n bits da memória. 1 kilobyte = $2^{10}$ = 1 024 bytes. Como pode haver confusão entre os significados padrão dos prefixos, em 1998 a Comissão Eletrotécnica Internacional aprovou vários prefixos binários novos. Por exemplo, o prefixo de múltiplos de 1 024 é kibi-, então 1 024 bytes é equivalente a um kibibyte. Outros prefixos são mebi-, gibi- e tebi-.

### Expoentes fracionários

Para que a expressão
$x^{n}\cdot x^{m}=x^{(n+m)}$
seja válida para números racionais, devemos ter:
${\sqrt[{n}]{x}}=x^{\frac {1}{n}}$
Ou, de forma genérica, para qualquer expoente fracionário, o denominador do expoente é o índice da raiz e o numerador é o expoente do radicando. ${\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}$
Observe que para que isso seja válido, independentemente da fração usada no expoente, deve-se impor que x seja um número positivo e b diferente de 0.

### Expoentes decimais

No caso de expoente decimal, devemos transformá-lo em fração e depois em raiz. $x^{1,5}=x^{\frac {15}{10}}=x^{\frac {3}{2}}={\sqrt[{2}]{x^{3}}}$

### Expoentes irracionais

Como a exponenciação tem a propriedade de que expoentes próximos geram resultados próximos (essa noção pode ser tornada mais precisa usando-se o conceito de continuidade), pode-se definir expoentes irracionais: $x^{\pi }\approx x^{3,14159}$

### Expoentes imaginários e complexos

Euler divulgou a fórmula $e^{i.x}=\cos x+i\cdot \operatorname {sen} x$ que, sob a forma equivalente $\log _{e}(\cos x+i\operatorname {sen} x)=ix$ já era conhecida por Roger Cotes.
Assim, usando-se logaritmos, pode-se definir para qualquer $a$ real e $z$ complexo, $z=x+iy$: $a^{z}=(e^{\log a})^{z}=e^{(z\cdot \log a)}=a^{x}(\cos(y\ \log a)+i\cdot \operatorname {sen}(y\ \log a))$

## Sintaxe em linguagens de programação e programas

A maioria das linguagens de programação fornece métodos para executar a exponenciação, porém eles variam entre as diversas linguagens:
* x ^ y: Basic, Matlab, R, Excel, Calculadora Cientifica e vários outros
* x ** y: Fortran, Perl, Python, Ruby, Bash
* pow(x, y): C, C++ (deve-se incluir a biblioteca math.h)
* Math.pow(x, y): Java, JavaScript, ActionScript 3
* $x^y$: LaTeX
* Em Pascal não existe a função correspondente, podendo ser utilizado no lugar, por exemplo, a função logaritmo (função ln) juntamente com a exponencial (função exp) (ambos na base e), na forma exp(y * ln(x)), ou até mesmo um ciclo de repetição, com multiplicações sucessivas.
** Os compiladores Pascal aceitam a notação x ^ y.
Um cuidado deve ser tomado: como, normalmente, os compiladores traduzem a potenciação pela expressão exp(y * ln(x)), quando $x<=0$ e y for inteiro, o compilador costuma dar erro, mesmo havendo uma resposta única.
Outro cuidado deve ser tomado no Excel. Ao contrário de outras linguagens de programação, uma expressão do tipo =-A1^2, que, significaria tirar o quadrado de A1 e depois aplicar o sinal menos, no Excel pode significar (-A1)^2. Para evitar este bug (e outros), recomenda-se o uso de parêntesis sempre no Excel, mesmo quando, matematicamente, eles sejam redundantes. Além disso, a exponencial no Excel pode ser substituída por uma função (em português, "POTÊNCIA", em inglês, "POWER"), tornando o código totalmente ilegível.