# Integral de Duhamel

No estudo das teorias de vibrações, a integral de Duhamel é uma maneira de calcular e modelar como sistemas lineares e estruturas respondem a perturbações externas dependentes do tempo.

## Introdução

A resposta de um sistema dinâmico causal, linear, amortecido viscosamente e com apenas um grau de liberdade a algum estímulo mecânico $p(t)$ é governada pela seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem:
$m{{\text{d}}^{2}x(t) \over {\text{d}}t^{2}}+c{{\text{d}}x(t) \over {\text{d}}t}+kx(t)=p(t)$
em que m representa a massa, x o deslocamento, t representa o tempo, c representa o coeficiente de amortecimento viscoso e k representa a rigidez do sistema ou da estrutura. Em um sistema massa-mola, por exemplo, o termo k representa a constante elástica da mola, enquanto o termo c representa um agente externo dissipante de energia (uma força de atrito, por exemplo) proporcional à velocidade do sistema. Já em um sistema massa-mola-amotecedor, c representa o coeficiente de amortecimento da mola.
Se um sistema está inicialmente em sua posição de equilíbrio, em que ele recebe um pulso unitário no instante t=0, o estímulo mecânico $p(t)$ é a função Delta de Dirac, $\delta (t)$. Assim,
${\dot {x}}(0)=\left.{\frac {dx}{dt}}\right|_{t=0}=0$ . A partir desse fato, ao se resolver a equação diferencial encontra-se uma solução fundamental (conhecida como a função de resposta (ao) pulso unitário, ou resposta impulsiva),
$h(t)={\begin{cases}{\frac {1}{m\omega _{\text{d}}}}e^{-\varsigma \omega _{\text{n}}t}\operatorname {sen} \omega _{\text{d}}t,&t>0\\0,&t<0\end{cases}}$
em que $\varsigma ={\frac {c}{2{\sqrt {km}}}}$ é o fator de amortecimento do sistema, $\omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ é a frequência angular natural de oscilação do sistema não-amortecido (o que ocorre quando não há a presença de forças dissipativas, ou seja, quando c = 0) e $\omega _{\text{d}}=\omega _{\text{n}}{\sqrt {1-\varsigma ^{2}}}$ é a frequência angular do sistema quando estão presentes fatores de amortecimento (o que ocorre quando forças dissipativas, como a força de atrito, estão presentes). Nesse caso, c $\neq$ 0. Se o impulso ocorre no instante t = $\tau$, em vez de ocorrer em t = 0, então $p(t)=\delta (t-\tau )$ e a resposta ao impulso é:
$h(t-\tau )={\frac {1}{m\omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]$, $t\geq \tau$.

## Estímulo com sobreposição de impulsos

Considerando o estímulo variável no tempo $p(t)$ como uma sobreposição de uma série de impulsos, têm-se que
$p(t)\approx \sum _{\tau <t}{p(\tau )\cdot \Delta \tau \cdot \delta }(t-\tau )$
Como está sendo considerado um sistema linear, a resposta resultante a todos os impulsos pode ser vista como a superposição de uma série de impulsos-resposta,
$x(t)\approx \sum _{\tau <t}{p(\tau )\cdot \Delta \tau \cdot h}(t-\tau )$
Tomando $\Delta \tau \to 0$ e substituindo a notação de somatório pela integração, pode-se escrever validamente a seguinte equação:
$x(t)=\int _{0}^{t}{p(\tau )h(t-\tau )d\tau }$
Substituindo a expressão $h(t-\tau )$ na equação acima é encontrada a expressão geral da Integral de Duhamel:
$x(t)={\frac {1}{m\omega _{d}}}\int _{0}^{t}{p(\tau )e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]d\tau }$

## Proposição

A equação de equilíbrio dinâmico abaixo, para um sistema amortecido viscosamente e com um grau de liberdade, é uma equação homogênea quando $p(t)$ = 0:
${\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+{\bar {c}}{\frac {dx(t)}{dt}}+{\bar {k}}x(t)=0$. Aqui, todos os termos da equação foram divididos pela massa m, isto é, ${\bar {c}}={\frac {c}{m}},{\bar {k}}={\frac {k}{m}}$.
De fato, a solução dessa equação é
$x_{h}(t)=C_{1}\cdot e^{-{\frac {1}{2}}({\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4\cdot {\bar {k}}}})t}+C_{2}\cdot e^{{\frac {1}{2}}(-{\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4\cdot {\bar {k}}}})t}$
A substituição $A={\frac {1}{2}}({\bar {c}}-{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}}),\;B={\frac {1}{2}}({\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}}),\;P={\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}},\;P=B-A$ leva a
$x_{h}(t)=C_{1}e^{-B\cdot t}\;+\;C_{2}e^{-A\cdot t}$
Uma solução particular para a equação não-homogênea ${\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+{\bar {c}}{\frac {dx(t)}{dt}}+{\bar {k}}x(t)={\bar {p(t)}}$, onde ${\bar {p(t)}}={\frac {p(t)}{m}}$, pode ser obtida utilizando o método Lagrangeano de encontrar soluções particulares para equações diferenciais ordinárias não-homogêneas.
A solução tem a forma
$x_{p}(t)={\frac {\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{At}dt}\cdot e^{-At}-\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{Bt}dt}\cdot e^{-Bt}}{P}}$
Substituindo: $\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{At}dt}|_{t=z}=Q_{z},\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{Bt}dt}|_{t=z}=R_{z}$, onde $\int {x(t)dt}|_{t=z}$ é a antiderivada de $x(t)$ em t = z. Assim,
$x_{p}(t)={\frac {Q_{t}\cdot e^{-At}-R_{t}\cdot e^{-Bt}}{P}}$
Finalmente, a solução geral da equação não-homogênea acima é dada por:
$x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)=C_{1}\cdot e^{-Bt}+C_{2}\cdot e^{-At}+{\frac {Q_{t}\cdot e^{-At}-R_{t}\cdot e^{-Bt}}{P}}$
com derivada temporal:
${\frac {dx}{dt}}=-Ae^{-At}\cdot C_{2}-Be^{-Bt}\cdot C_{1}+{\frac {1}{P}}[{\dot {Q_{t}}}\cdot e^{-At}-AQ_{t}\cdot e^{-At}-{\dot {R_{t}}}\cdot e^{-Bt}+BR_{t}\cdot e^{-Bt}]$, onde ${\dot {Q_{t}}}=p(t)\cdot e^{At},{\dot {R_{t}}}=p(t)\cdot e^{Bt}$
De forma a encontrar as constantes desconhecidas $C_{1},C_{2}$, as condições iniciais em t = 0 serão aplicadas:
$x(t)|_{t=0}=0:C_{1}+C_{2}+{\frac {Q_{0}\cdot 1-R_{0}\cdot 1}{P}}=0\Rightarrow C_{1}+C_{2}={\frac {R_{0}-Q_{0}}{P}}$
$\left.{\frac {dx}{dt}}\right|_{t=0}=0:-A\cdot C_{2}-B\cdot C_{1}+{\frac {1}{P}}\cdot [-A\cdot Q_{0}+B\cdot R_{0}]=0\Rightarrow A\cdot C_{2}+B\cdot C_{1}={\frac {1}{P}}\cdot [B\cdot R_{0}-A\cdot Q_{0}]$
Reunindo as equações das condições iniciais, o seguinte sistema é obtido:
$\left.{\begin{alignedat}{5}C_{1}&&\;+&&\;C_{2}&&\;=&&\;{\frac {R_{0}-Q_{0}}{P}}&\\B\cdot C_{1}&&\;+&&\;A\cdot C_{2}&&\;=&&\;{\frac {1}{P}}\cdot [B\cdot R_{0}-A\cdot Q_{0}]\end{alignedat}}\right|{\begin{alignedat}{5}C_{1}&&\;=&&\;{\frac {R_{0}}{P}}&\\C_{2}&&\;=&&\;-{\frac {Q_{0}}{P}}\end{alignedat}}$
Substituindo novamente as constantes $C_{1}$ e $C_{2}$ na expressão de $x(t)$, tem-se que
$x(t)={\frac {Q_{t}-Q_{0}}{P}}\cdot e^{-A\cdot t}-{\frac {R_{t}-R_{0}}{P}}\cdot e^{-B\cdot t}$
Agora trocando as diferenças entre as antiderivadas nos instantes t = 0 e t = t, $Q_{t}-Q_{0}$ e $R_{t}-R_{0}$ , por integrais definidas (e utilizando outra variável, $\tau$) é encontrada a solução geral para o caso com condições iniciais iguais a zero,
$x(t)={\frac {1}{P}}\cdot [\int _{0}^{t}{{\bar {p(\tau )}}\cdot e^{A\tau }d\tau }\cdot e^{-At}-\int _{0}^{t}{{\bar {p(\tau )}}\cdot e^{B\tau }d\tau }\cdot e^{-Bt}]$
Finalmente, substituindo $c=2\xi \omega m,\;k=\omega ^{2}m$ e suas variantes divididas pela massa m, ${\bar {c}}=2\xi \omega ,{\bar {k}}=\omega ^{2}$, onde $\xi <1$, obtém-se
$P=2\omega _{D}i,\;A=\xi \omega -\omega _{D}i,\;B=\xi \omega +\omega _{D}i$, onde $\omega _{D}=\omega \cdot {\sqrt {1-\xi ^{2}}}$ e '$i$' é a unidade imaginária.
Substituindo essas expressões na solução geral da equação encontrada acima, com condições iniciais iguais a zero, e utilizando a fórmula de Euler, os termos imaginários são cancelados e pode-se escrever a Integral de Duhamel em sua forma final:
$x(t)={\frac {1}{\omega _{D}}}\int _{0}^{t}{{\bar {p(\tau )}}e^{-\xi \omega (t-\tau )}sin(\omega _{D}(t-\tau ))d\tau }$