# Desvio padrão

Em probabilidade, o desvio padrão ou desvio padrão populacional (comumente representado pela letra grega sigma, $\sigma$) é uma medida de dispersão em torno da média populacional de uma variável aleatória. O termo possui também uma acepção específica no campo da estatística, na qual também é chamado de desvio padrão amostral (comumente representado pela letra latina $s$) e indica uma medida de dispersão dos dados em torno de média amostral. Um baixo desvio padrão indica que os pontos dos dados tendem a estar próximos da média ou do valor esperado. Um alto desvio padrão indica que os pontos dos dados estão espalhados por uma ampla gama de valores. O desvio padrão populacional ou amostral é a raiz quadrada da variância populacional ou amostral correspondente, de modo a ser uma medida de dispersão que seja um número não negativo e que use a mesma unidade de medida dos dados fornecidos.
Tanto em probabilidade quanto em estatística, o desvio padrão é usado para expressar outros conceitos matemáticos importantes como o coeficiente de correlação, o coeficiente de variação ou a alocação ótima de Neyman, dentre outros. Há também outras medidas de desvio como o desvio médio absoluto, que fornecem propriedades matemáticas diferentes a partir do desvio padrão. O desvio padrão é mais simples, porém mais robusto que o desvio médio absoluto na prática. Além de expressar a variabilidade da população, o desvio padrão comumente é usado para medir a confiança em cálculos estatísticos e geralmente permite sintetizar os resultados de uma experiência repetida várias vezes. Por exemplo, a margem de erro de um conjunto de dados é determinada pelo cálculo do desvio padrão da média ou do desvio padrão populacional inverso da raiz quadrada do tamanho da amostra, se a mesma pesquisa for repetida várias vezes.
Esta derivação do desvio padrão geralmente é chamada de erro padrão da estimativa ou erro padrão da média (em referência à média). O erro padrão da média é calculado a partir do desvio padrão das médias, as quais poderiam ser computadas a partir de uma população se um número infinito de amostras e uma média para cada amostra fossem considerados. A margem de erro de uma pesquisa é calculada a partir do erro padrão da média (produto do desvio padrão populacional e do inverso da raiz quadrada do tamanho da amostra), e cerca do dobro do erro padrão da média é a metade da largura de 95% do intervalo de confiança para a média (populacional).
O desvio padrão é calculado em todas as áreas que usam probabilidade e estatística, em particular biologia, finanças, física e pesquisas em geral. Em ciência, os pesquisadores comumente reportam o desvio padrão dos dados experimentais. Em geral, apenas os efeitos mais de dois desvios padrões distantes do esperado são considerados estatisticamente significativos – por meio de erro aleatório normal ou variação nas medições podem-se distinguir os efeitos prováveis dos efeitos genuínos. Quando apenas uma amostra dos dados da população está disponível, o termo desvio padrão amostral pode referir-se tanto à quantidade mencionada acima quanto a uma quantidade modificada que seja uma estimativa não enviesada do desvio padrão populacional. Quando o desvio padrão populacional não é conhecido, o seu valor é aproximado por meio do desvio padrão amostral.

## História

O desvio padrão é uma grandeza que remete ao século XIX, no contexto do desenvolvimento da estatística no Reino Unido. Enquanto o conceito de medida de dispersão foi criado por Abraham de Moivre e usado em seu livro The Doctrine of Chances em 1718, o termo desvio padrão foi pontualmente usado pela primeira vez por Karl Pearson em 1894, em substituição a termos anteriores como erro médio, utilizado por Carl Friedrich Gauss. O símbolo $\sigma$ também foi utilizado pela primeira vez por Karl Pearson para representar o desvio padrão.
Em 1908, William Gosset (mais conhecido sob o pseudônimo Student) definiu o desvio padrão empírico de uma amostra e mostrou que a distinção entre o desvio padrão amostral e o desvio padrão populacional é importante. Somente em 1918, Ronald Aylmer Fisher definiu a noção da variância no texto The Correlation between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.

## Em probabilidade
### Definição

Seja $X$ uma variável aleatória com média $\mu$ e valor esperado $E[X]=\mu$. Então, o desvio padrão de $X$ pela definição é a raiz quadrada da variância de $X$ ou a raiz quadrada do valor médio de $(X-\mu )^{2}$
${\begin{aligned}\sigma &:={\sqrt {{\rm {Var}}[X]}}={\sqrt {\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]+\operatorname {E} [-2\mu X]+\operatorname {E} [\mu ^{2}]}}&={\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]-2\mu \operatorname {E} [X]+\mu ^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]-2\mu ^{2}+\mu ^{2}}}&={\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]-\mu ^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}}}.\end{aligned}}$
A fórmula foi derivada a partir das propriedades da esperança.

### Desvio padrão de uma variável aleatória discreta

Quando $X$ é uma variável aleatória de um conjunto de dados finito $x_{1},x_{2},\dots ,x_{N}$, com cada valor tendo a mesma probabilidade ${\frac {1}{N}}$, o desvio padrão é:
$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}$,
em que $\mu$ é a esperança da variável $X$, sendo $\mu ={\rm {E}}[X]={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}$.
Se os valores tiverem probabilidades diferentes em vez de probabilidade iguais (se $x_{1}$ tiver probabilidade $p_{1}$, se $x_{2}$ tiver probabilidade $p_{2}$, ... , se $x_{N}$ tiver probabilidade $p_{N}$), o desvio padrão é:
$\sigma ={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}p_{i}(x_{i}-\mu )^{2}}}$,
em que $\mu =\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}$.

### Desvio padrão de uma variável aleatória contínua

O desvio padrão de uma variável aleatória contínua $X$ com função densidade $p(x)$ é:
$\sigma ={\sqrt {\int _{\mathbb {R} }(x-\mu )^{2}\,p(x)\,{\rm {d}}x}}$,
em que $\mu ={\rm {E}}[X]=\int _{\mathbb {R} }x\,p(x)\,{\rm {d}}x$.
No caso de uma família paramétrica de uma distribuição, o desvio padrão pode ser expresso em termos de parâmetros. Por exemplo, no caso da distribuição log–normal com parâmetros $\mu$ e $\sigma ^{2}$, com $\ln X$ com distribuição normal com parâmetros $\mu$ e $\sigma ^{2}$, o desvio padrão é ${\bigl(\exp(\sigma ^{2})-1)\exp(2\mu +\sigma ^{2}){\bigr ]}^{\frac {1}{2}}$.

### Desvio padrão de distribuições de probabilidade conhecidas

| Distribuição | Parâmetros | Descrição | Desvio padrão |
| Distribuição de Bernoulli | $p$ | Distribuição discreta de valor 0 com probabilidade $1-p$ e 1 com probabilidade $p$. | $\sigma ={\sqrt {p(1-p)}}$ |
| Distribuição binomial | $p$ e $n\in \mathbb {N} ^{*}$ | Distribuição da soma de $n$ variáveis independentes de acordo com a distribuição de Bernoulli de parâmetro $p$. | $\sigma ={\sqrt {np(1-p)}}$ |
| Distribuição geométrica | $p$ | Distribuição discreta em $\mathbb {N}$, tal que a probabilidade de se obter o número inteiro $n$ é $(1-p)p^{n}$. | $\sigma ={\sqrt {\frac {1-p}{p^{2}}}}$ |
| Distribuição uniforme | $a<b$ | Distribuição uniforme contínua em $\mathbb {R}$, cuja densidade é um múltiplo da função indicadora de $[a,b]$. | $\sigma ={\frac {b-a}{\sqrt {12}}}$ |
| Distribuição exponencial | $p$ | Distribuição uniforme contínua com suporte $\mathbb {R} _{+}$, cuja densidade é a função$f\colon x\mapsto p\exp(-px)$. | $\sigma ={\frac {1}{p}}$ |
| Distribuição de Poisson | $\lambda$ | Distribuição em $\mathbb {N}$, cuja densidade é a função $f\colon x\mapsto \exp(-\lambda ){\frac {\lambda ^{x}}{x!}}$, em que $\lambda \in \mathbb {R} _{+}$. | $\sigma ={\sqrt {\lambda }}$ |
| Distribuição qui-quadrado | $n$ | Distribuição em $\mathbb {R} ^{+}$, cuja densidade é a função $f\colon x\mapsto {\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}x^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,$ para todo $x$ positivo, em que $\Gamma$ é a função gama. | $\sigma ={\sqrt {2n}}$ |
| Distribuição gama | $\alpha$, $r$ e $x$ | Distribuição de probabilidade contínua, cuja densidade é a função $f(x;{\alpha },r)={\frac {\alpha }{\Gamma (r)}}(\alpha x)^{r-1}e^{-\alpha x},$ para todo $x$ positivo, em que $\Gamma$ é a função gama. | $\sigma ={\frac {\sqrt {r}}{\alpha }}$ |
O desvio padrão de uma distribuição de probabilidade univariada é igual ao desvio padrão de uma variável aleatória com a mesma distribuição. Nem todas as variáveis aleatórias possuem desvio padrão, uma vez que os valores esperados podem não existir. Por exemplo, o desvio padrão de uma variável que segue uma distribuição de Cauchy é indefinido porque seu valor esperado é indefinido.

### Propriedades

* O desvio padrão é sempre positivo ou nulo. O desvio padrão de uma constante é nulo.
* O desvio padrão de uma variável aleatória $X$ à qual foi adicionada uma constante $Y=X+a$ é igual ao desvio padrão da variável aleatória $X$, uma propriedade chamada invariante por translação.
* O desvio padrão de uma variável multiplicada por uma constante positiva é igual à constante multiplicada pelo desvio padrão da variável, uma propriedade chamada invariante por dilatação, que pode ser resumida como $\sigma _{cX+b}=c\sigma _{X}$. Propriedades como invariante de dilatação são consequências diretas do teorema de Huygens e das propriedades de valor esperado.
* O desvio padrão da soma algébrica de duas variáveis é igual a $\sigma _{X+Y}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\sigma _{X}\sigma _{Y}\rho (X,Y)}}$, em que $\rho (X,Y)$ é o coeficiente de correlação entre as duas variáveis $X$ e $Y$.
* O desvio padrão segue a desigualdade triangular $\sigma _{X+Y}\leq \sigma _{X}+\sigma _{Y}$. Existe igualdade se e somente se existe uma relação linear quase certa entre as duas variáveis $Y=cX+b$. A desigualdade decorre da desigualdade anterior e da desigualdade $-1\leq \rho (X,Y)\leq 1$.
* A função $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}:c\rightarrow {\sqrt {(|X-c|^{2})}}$ admite o ponto mínimo $c=E(X)$. Portanto, assumindo–se no ponto o valor do desvio padrão da variável aleatória $X$.

### Usos

Em probabilidade, o desvio padrão compara as variáveis ou as suas distribuições.

#### Variável aleatória centrada reduzida

Se $X$ é uma variável aleatória com desvio padrão não nulo, é possível fazê–la corresponder à variável aleatória centrada reduzida$Z={\frac {X-{\bar {X}}}{\sigma }}$. Duas variáveis aleatórias centradas e reduzidas $Z_{1}$e $Z_{2}$ são fáceis de comparar, uma vez que $E(Z_{i})=0$ e $\sigma _{Z_{i}}=1$.
O teorema central do limite é o limite de uma sequência de variáveis aleatórias centradas reduzidas, os coeficientes de assimetria e a curtose de uma densidade de probabilidade $E[Z^{3}]$ e $E[Z^{4}]$ são usados para comparar diferentes distribuições.

#### Coeficiente de correlação

O coeficiente de correlação é outra aplicação do desvio padrão em probabilidade. Se $X$ e $Y$ são duas variáveis aleatórias, o coeficiente de correlação $\rho ={\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}$, em que $\operatorname {cov} (X,Y)=E[(X-E[X])\,(Y-E[Y])]={E}[XY]-E[X]E[Y]$, é a covariância das variáveis aleatórias $X$ e $Y$. De acordo com a desigualdade de Cauchy–Schwarz $\operatorname {cov} (X,Y)|\leq \sigma _{X}\sigma _{Y}$, é possível afirmar que $\rho$ assume valores no intervalo $[-1,+1]$. Se $\rho =0$, as duas variáveis aleatórias não são correlacionadas. Se $\rho =\pm 1$, as duas variáveis aleatórias são linearmente dependentes.

#### Desigualdade de Bienaymé–Chebyschev

É por meio da desigualdade de Bienaymé–Chebyschev que o desvio padrão aparece como uma medida de dispersão em torno da média. A desigualdade de Bienaymé–Chebyschev afirma que $P(|X-E(X)|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}$ e mostra que a probabilidade de $X$ desviar–se de $E(X)$ ao longo de $k$ desvios padrões é menor ou igual a ${\frac {1}{k^{2}}}$.
A desigualdade de Chebyschev afirma que, para todas as distribuições para as quais o desvio padrão é definido, o volume de dados dentro de uma quantidade de desvios padrões da média são pelo menos os mesmos que os da tabela a seguir.
| Distância da média | População mínima |
| ${\sqrt {2}}\sigma$ | 50% |
| $2\sigma$ | 75% |
| $3\sigma$ | 89% |
| $4\sigma$ | 94% |
| $5\sigma$ | 96% |
| $6\sigma$ | 97% |
| $k\sigma$ | $1-{\frac {1}{k^{2}}}$ |

## Em estatística

Para uma população finita e relativamente pequena, o cálculo do desvio padrão é puramente algébrico sem referência à probabilidade. A estatística utiliza o desvio padrão empírico definido por $s={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}$.
Em estatística, a população é geralmente muito importante em número (não é possível conhecer todos os valores da população). Entre os recursos utilizados em amostragem e estimativa para avaliar os valores está o desvio padrão.

### Interpretação

Um grande desvio padrão indica que os pontos dos dados estão espalhados longe da média e um pequeno desvio padrão indica que os pontos dos dados estão agrupados perto da média. Por exemplo, cada uma das três populações {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} e {6, 6, 8, 8} possui média 7. Os desvios padrões são 7, 5 e 1, respectivamente. A terceira população tem um desvio padrão menor porque seus valores são próximos de 7.
O desvio padrão tem a mesma unidade dos dados. Um exemplo, o conjunto de dados {0, 6, 8, 14} representa as idades de uma população de quatro irmãos em anos. A média é de 7 anos e o desvio padrão é de 5 anos. Outro exemplo, o conjunto de dados {1000, 1006, 1008, 1014} representa as distâncias percorridas por quatro atletas em metros. A média é de 1007 metros e o desvio padrão é de 5 metros.
O desvio padrão pode servir como medida de incerteza. Em ciências, a precisão de medições repetidas é dada pelo desvio padrão. O desvio padrão é crucial para analisar se as medições batem com a previsão teórica. Se a média das medições estiver muito longe da previsão teórica (distância medida pelo desvio padrão), então a teoria testada provavelmente precisa ser revisada.
Enquanto o desvio padrão mede a distância dos valores típicos da média, outras medidas estão disponíveis. É o exemplo do desvio médio absoluto, que pode ser considerado uma medida mais direta da distância da média em comparação à distância da raiz quadrada média inerente ao desvio padrão.

#### Interpretação geométrica

Seja uma população com três valores, $x_{1},x_{2},x_{3}$. Seja um ponto $P=(x_{1},x_{2},x_{3})$ em $\mathbb {R} ^{3}$. Consideramos a linha $L=\{(r,r,r):r\in \mathbb {R} \}$ que é a diagonal principal, partindo da origem. Se os três valores fossem iguais, então o desvio padrão seria 0 e o ponto $P$ estaria em $L$. Então, pode–se assumir que o desvio padrão está relacionado à distância entre $P$ e $L$. Para mover–se ortogonalmente de $L$ para $P$, é preciso partir do ponto $M=({\overline {x}},{\overline {x}},{\overline {x}})$, cujas coordenadas são as médias dos valores mencionados acima.
A distância entre $P$ e $M$ (igual à distância entre $P$ e $L$) ${\sqrt {\sum \limits _{i}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}$ é igual ao desvio padrão do vetor $x_{1},x_{2},x_{3}$ multiplicado pela raiz quadrada do número de dimensões do vetor (3 dimensões, no caso).

#### Regras para dados distribuídos normalmente

De acordo com o teorema central do limite, a distribuição da média de muitas variáveis aleatórias distribuídas independentemente e identicamente tende à distribuição normal
com função densidade $f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$, em que $\mu$ é o valor esperado das variáveis aleatórias, $\sigma$ é igual aos desvios padrões das distribuições dividido por $n^{\frac {1}{2}}$e $n$ é o número de variáveis aleatórias. Portanto, o desvio padrão é simplesmente uma variável escalonada que ajusta a amplitude da curva, embora ele apareça também na constante de normalização. Se a distribuição dos dados é aproximadamente normal, então a proporção dos valores dos dados dentro do desvio padrão $z$ da média é definida pela função erro $\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)$. Uma proporção que seja menor ou igual a um número $x$ é dada pela função cumulativa
$x={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]$.
Se a distribuição dos dados é aproximadamente normal, então cerca de 68% dos valores dos dados estão dentro de um desvio padrão da média ($\mu \pm \sigma$, em que $\mu$ é a média aritmética), cerca de 95% estão dentro de dois desvios padrões ($\mu \pm 2\sigma$) e cerca de 99,7% estão dentro de três desvios padrões ($\mu \pm 3\sigma$). Isto é conhecido como a regra empírica 68–95–99,7.
Para vários valores de $z$, as porcentagens dos valores esperados dentro ou fora do intervalo simétrico $IC=(-z\sigma ,z\sigma )$ são:
| Intervalo de confiança | Proporção dentro | Proporção fora | Proporção fora |
| Intervalo de confiança | Porcentagem | Porcentagem | Fração |
| $0,674490\sigma$ | 7001500000000000000♠50% | 7001500000000000000♠50% | ${\frac {1}{2}}$ |
| $0,994458\sigma$ | 68% | 32% | ${\frac {1}{3,125}}$ |
| $1\sigma$ | 68,2689492% | 31,7310508% | ${\frac {1}{3,1514872}}$ |
| $1,281552\sigma$ | 80% | 20% | ${\frac {1}{5}}$ |
| $1,644854\sigma$ | 90% | 10% | ${\frac {1}{10}}$ |
| $1,959964\sigma$ | 95% | 5% | ${\frac {1}{20}}$ |
| $2\sigma$ | 95,4499736% | 4,5500264% | ${\frac {1}{21,977895}}$ |
| $2,575829\sigma$ | 99% | 1% | ${\frac {1}{100}}$ |
| $3\sigma$ | 99,7300204% | 0,2699796% | ${\frac {1}{370,398}}$ |
| $3,290527\sigma$ | 99,9% | 0,1% | ${\frac {1}{1000}}$ |
| $3,890592\sigma$ | 99,99% | 0,01% | ${\frac {1}{10000}}$ |
| $4\sigma$ | 99,993666% | 0,006334% | ${\frac {1}{15787}}$ |
| $4,417173\sigma$ | 99,999% | 0,001% | ${\frac {1}{100000}}$ |
| $4,5\sigma$ | 99,9993204653751% | 0,0006795346249% | ${\frac {3,4}{1000000}}{\text{(em cada lado da média)}}$ |
| $4,891638\sigma$ | 7001999999000000000♠99.9999% | 0,0001% | ${\frac {1}{1000000}}$ |
| $5\sigma$ | 99,9999426697% | 0,0000573303% | ${\frac {1}{1744278}}$ |
| $5,326724\sigma$ | 99,99999% | 0,00001% | ${\frac {1}{10000000}}$ |
| $5,730729\sigma$ | 99,999999% | 0,000001% | ${\frac {1}{100000000}}$ |
| $6\sigma$ | 99,9999998027% | 0,0000001973% | ${\frac {1}{506797346}}$ |
| $6,109410\sigma$ | 99,9999999% | 0,0000001% | ${\frac {1}{1000000000}}$ |
| $6,466951\sigma$ | 99,99999999% | 0,00000001% | ${\frac {1}{10000000000}}$ |
| $6,806502\sigma$ | 99,999999999% | 0,000000001% | ${\frac {1}{100000000000}}$ |
| $7\sigma$ | 99,9999999997440% | 0,000000000256% | ${\frac {1}{390682215445}}$ |
Em resumo, de acordo com a regra 68–95–99,7, para uma distribuição normal unimodal, gaussiana, simétrica, de afunilamento médio (mesocúrtica):
* 68% dos valores encontram–se a uma distância da média inferior a um desvio padrão;
* 95% dos valores encontram–se a uma distância da média inferior a duas vezes o desvio padrão;
* 99,7% dos valores encontram–se a uma distância da média inferior a três vezes o desvio padrão.

### Exemplos
#### Desvio padrão populacional

Para um conjunto de dados finito, o desvio padrão é calculado a partir da raiz quadrada da média dos desvios entre os valores e a média dos valores dos dados elevado ao quadrado.
Sejam as notas de 8 estudantes ($n=8$) 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. A média das notas dos 8 estudantes é: ${\frac {2+4+4+4+5+5+7+9}{8}}=5$.
Os desvios entre as notas e a média das notas elevados ao quadrado são:${\begin{array}{lll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16.\\\end{array}}$
A variância ou a média de todos os valores é: ${\frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{8}}=4$ . O desvio padrão ou a raiz quadrada da variância é ${\sqrt {4}}=2$. Isto é, o desvio padrão é igual a 2.

#### Desvio padrão amostral

O cálculo da raiz quadrada da média dos desvios entre os valores e a média dos valores dos dados elevados ao quadrado é válido apenas se os valores formarem a população total. Se os valores forem parte de uma amostra aleatória extraída de uma população maior (por exemplo, 8 notas extraídas de uma sala de aula de 2 milhões de estudantes), então o denominador da fórmula da variância seria $n-1$ (7) em vez de $n$ (8) e o resultado seria chamado desvio padrão amostral.
A divisão da soma dos desvios entre as notas e a média das notas por $n-1$ em vez de $n$ fornece uma estimativa não enviesada do desvio padrão populacional maior, o que é conhecido como correção de Bessel.
Seja a altura média de um homem adulto nos Estados Unidos 1,78 metro ou 178 centímetros, com desvio padrão de 7 centímetros. Então, a maioria dos homens adultos dos Estados Unidos (cerca de 68%) tem entre 7 centímetros acima e 7 centímetros abaixo de 178 centímetros (entre 171 centímetros e 185 centímetros, correspondente a um desvio padrão) e praticamente todos os homens adultos dos Estados Unidos (cerca de 95%) tem entre 14 centímetros acima e 14 centímetros abaixo de 178 centímetros (entre 164 centímetros e 192 centímetros, correspondente a dois desvios padrões). Se o desvio padrão fosse 0 centímetro, então todos os homens adultos dos Estados Unidos teriam 178 centímetros. Se o desvio padrão fosse 50 centímetros, então os homens adultos dos Estados Unidos teriam uma variação muito maior de altura (entre 121 centímetros e 221 centímetros). Três desvios padrões representam 99,7% da amostra da população estudada, assumindo que é uma distribuição normal (em forma de sino).

### Estimadores

Um estimador é uma função que aproxima–se de um parâmetro de uma população por meio de uma amostra aleatória. Dois estimadores do desvio padrão são geralmente utilizados. Os estimadores $S_{n}$ ou $S$ e ${S_{n-1}}$ ou $S'$ são expressos em função dos valores da amostra por
$S_{n}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}$ e $S_{n-1}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}={\sqrt {\frac {n}{n-1}}}\cdot S_{n}$.
${S_{n-1}}$ é o estimador não enviesado.
Na verdade, uma boa estimativa do desvio padrão real seria $\sigma _{X}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}}$, em que $\mu$ é a média da distribuição de $x_{i}$. Muitas vezes a média $\mu$ não é conhecida e precisa ser calculada a partir da amostra pela fórmula ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$. Então, a estimativa do desvio padrão é calculado pela fórmula
$s_{n-1}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}$.
O denominador é $n-1$ em vez de $n$ (correção de Bessel) porque o cálculo da média de $x$ a partir da amostra perdeu um grau de liberdade, uma vez que a fórmula ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ liga ${\bar {x}}$ aos valores $x_{i}$. Portanto, há apenas $n-1$ valores independentes após o cálculo de ${\bar {x}}$.

### Propriedades dos estimadores

Duas propriedades importantes dos estimadores são a convergência e a falta de viés. Se ${\hat {\theta }}$ é um estimador do parâmetro $\theta$, o viés será a quantidade $E[{\hat {\theta }}]-\theta$. Se o valor for diferente de zero, significa que ${\hat {\theta }}$ está posicionado em torno de $E[{\hat {\theta }}]$ em vez de $\theta$. O estimador ${\hat {\theta }}$ é contaminado pelo erro. Um bom estimador não tem viés. O estimador $S_{n-1}$ do desvio padrão é enviesado, mas o viés é aceitável.
Se $\lim \limits _{n\to \infty }(a_{n})=a$, então $(a_{n})$ converge (em distribuição, em média, em probabilidade, quase certamente) para $a$ à medida que $n$ aproxima-se do infinito. Entretanto, se $S_{n}^{2}$ e $S_{n-1}^{2}$ são estimadores convergentes de $\sigma ^{2}$, reflete–se a aproximação de $\sigma ^{2}$ para as duas séries quando $n$ torna–se cada vez maior. Com o teorema da continuidade afirmando que se $f$ é contínua $\lim \limits _{n\to \infty }f(X_{n})=f(\lim \limits _{n\to \infty }X_{n})$ (limite em probabilidade), a função raiz quadrada é contínua, os estimadores ${S_{n}}$ e ${S_{n-1}}$ são convergentes também. O teorema da continuidade afirma que se $f$ é uma função contínua, então $X_{n}{\xrightarrow {\mathbb {P} }}X\Longrightarrow f(X_{n}){\xrightarrow {\mathbb {P} }}f(X)$, em que ${\xrightarrow {\mathbb {P} }}$ denota convergência em probabilidade. Como a função raiz quadrada é uma função contínua, ${S_{n}}$ e ${S_{n-1}}$ são estimadores convergentes do desvio padrão. Isto é, $S_{n-1}{\xrightarrow {\mathbb {P} }}\sigma$ e $S_{n}{\xrightarrow {\mathbb {P} }}\sigma$.

### Desvio padrão da média

A média e o desvio padrão de um conjunto de dados são estatísticas descritivas geralmente reportadas em conjunto. De uma certa maneira, o desvio padrão é uma medida natural de dispersão estatística se o centro dos dados for medido em relação à média. Isto porque o desvio padrão a partir da média é menor que o desvio padrão a partir de qualquer outro ponto. Sendo $x_{1},\dots ,x_{n}$ números reais, define–se a função $\sigma (r)={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-r)^{2}}}.$ Usando cálculo ou completamento de quadrado, é possível mostrar que $\sigma (r)$ tem um mínimo único na média $r={\overline {x}}.\,$
A variabilidade também pode ser medida pelo coeficiente de variação, que é a razão entre o desvio padrão e a média. É um número adimensional.
Geralmente quer-se mais informações sobre a precisão da média obtida. Podemos obtê-la determinando o desvio padrão da média amostral. Assumindo a independência estatística dos valores na amostra, o desvio padrão da média está relacionado ao desvio padrão da distribuição por $\sigma _{\text{média}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$, em que $n$ é o número de observações na amostra usado para estimar a média.
Isto pode ser provado com ${\begin{aligned}\operatorname {var} ({\text{média}})&=\operatorname {var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\operatorname {var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {var} (X_{i})={\frac {n}{n^{2}}}\operatorname {var} (X)={\frac {1}{n}}\operatorname {var} (X).\end{aligned}}$ Isto resulta em $\sigma _{\text{média}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.$
É importante ressaltar que para estimar o desvio padrão da média $\sigma _{\text{média}}$ é necessário saber o desvio padrão de toda a população $\sigma$ de antemão. Entretanto, este parâmetro é desconhecido na maioria das aplicações. Por exemplo, se uma série de 10 medições de uma quantidade previamente desconhecida é realizada em um laboratório, é possível calcular a média da amostra resultante e o desvio padrão amostral, mas é impossível calcular o desvio padrão da média.
Para estimar a exatidão da estimativa da média de uma variável, o método do cálculo do desvio padrão da distribuição da amostragem das médias é utilizado. Também chamado erro padrão da média e denotado como $\sigma _{\bar {x}}$, é o desvio padrão das médias das amostras de tamanho idêntico de uma população. Se $n$ é o tamanho das amostras tomadas a partir do desvio padrão de uma população $\sigma$ e se $N$ é o tamanho da população, então $\sigma _{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}$.
Quando o desvio padrão $\sigma$ da população é desconhecido, ele pode ser substituído pelo estimador $S_{n-1}$. Quando $n$ é suficientemente grande ($n\geq 30$), a distribuição da amostra provavelmente segue a lei de Laplace–Gauss, que permite deduzir um intervalo de confiança em função de $\sigma _{\bar {x}}$ para localizar a média da população a partir da média da amostra.
Há casos em que é possível encontrar o desvio padrão $\sigma$ de uma população inteira com o Teste Z, em que cada membro da população é amostrado. Em casos em que não é possível encontrar o desvio padrão $\sigma$, ele é estimado analisando uma amostra padrão extraída da população e calculando uma estatística da amostra, que é usada como uma estimativa do desvio padrão populacional.
Entretanto, ao contrário da estimativa da média da população, para a qual a média amostral é um estimador simples com muitas propriedades desejáveis (não enviesado, eficiente, máxima verossimilhança), não há um único estimador para o desvio padrão com todas estas propriedades, além de que um estimador não enviesado do desvio padrão é um problema técnico. Frequentemente o desvio padrão é estimado usando o desvio padrão corrigido da amostra $(n-1)$ e geralmente é referido como o desvio padrão amostral, sem qualificadores. Porém, outros estimadores são melhores em outros aspectos − o estimador com a correção ($n$) produz um erro quadrático médio mais baixo, enquanto o uso de correção $(n-1,\!5)$ para distribuição normal elimina quase completamente o viés.

#### Desvio padrão não corrigido da amostra

Primeiramente, a fórmula para o desvio padrão populacional de uma população finita pode ser aplicada à amostra usando o tamanho da amostra como o tamanho da população (embora o tamanho verdadeiro da população da qual a amostra é extraída possa ser muito maior). O estimador denotado como $s_{n}$ é conhecido como desvio padrão não corrigido da amostra ou às vezes como desvio padrão amostral (considerado com a população inteira) e é definido como $s_{n}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}},$ em que $\{x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\}$ são os valores observados dos itens da amostra, ${\overline {x}}$ é o valor da amostra das observações, $n$ é o tamanho da amostra (raiz quadrada da variância da amostra, que é a média dos desvios quadráticos da média da amostra).
$S_{n}$ é um estimador consistente (converge em probabilidade para os valores da população à medida que o número de amostras tende ao infinito) e é a estimativa por máxima verossimilhança quando a população é normalmente distribuída. Entretanto, $S_{n}$ é um estimador enviesado na medida em que as estimativas são geradas muito lentamente. O viés diminui conforme o tamanho da amostra aumenta, caindo para ${\frac {1}{n}}$ e, portanto, é mais significativo para tamanhos pequenos ou moderados de amostras. Para $n>75$, o viés é menor que 1%. Então, para tamanhos muito grandes de amostras, o desvio padrão não corrigido da amostra é geralmente aceitável. O estimador também tem erro quadrático médio uniformemente menor que o desvio padrão corrigido da amostra.

#### Desvio padrão corrigido da amostra

Se a variância enviesada da amostra (o segundo momento central da amostra, que é uma estimativa tendenciosa da variância populacional) é usada para calcular uma estimativa do desvio padrão populacional, retirando a raiz quadrada, introduzem-se mais vieses tendenciosos pela desigualdade de Jensen devido à raiz quadrada ser uma função côncava. O viés na variância é facilmente corrigido, mas o viés da raiz quadrada é mais difícil de ser corrigido e depende da distribuição em questão.
Um estimador não enviesado da variância é dado pela aplicação da correção de Bessel, usando $n-1$ em vez de $n$ para gerar a estimativa da variância não enviesada da amostra denotada como $s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.$ Retirando a raiz quadrada, reintroduz-se o viés porque a raiz quadrada é uma função não linear, que não é comutativa com a expectativa. Isto gera o desvio padrão corrigido da amostra denotado como $s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}.$
Enquanto $s^{2}$ é uma estimativa não enviesada da variância populacional, $s$ é uma estimativa enviesada do desvio padrão populacional. Embora notadamente menos enviesado que o desvio padrão não corrigido da amostra. O viés continua sendo significativo para pequenas amostras ($n<10$) e também cai para ${\frac {1}{n}}$ à medida que o tamanho da amostra aumenta. Este estimador é comumente usado e geralmente conhecido simplesmente como desvio padrão amostral.

#### Desvio padrão não enviesado da amostra

Para estimativas não enviesadas do desvio padrão, não há fórmula que aplique-se a todas as distribuições, ao contrário da média e da variância. $s$ é usado como uma base e é escalado por um fator de correção para produzir uma estimativa não enviesada. Para a distribuição normal, um estimador não enviesado é dado por ${\frac {s}{c_{4}}}$, em que o fator de correção que depende de $n$ é dado em termos da função gama:
$c_{4}(n)\,=\,{\sqrt {\frac {2}{n-1}}}\,\,\,{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}.$
Isto ocorre porque a distribuição amostral do desvio padrão amostral segue uma distribuição qui e o fator de correção é a média da distribuição qui. Uma aproximação pode ser dada pela substituição de $n-1$ por $n-1,\!5$, tal que ${\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{n-1,\!5}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}.$
O erro na aproximação cai quadraticamente para ${\frac {1}{n^{2}}}$, e é adequado para todas as amostras, com exceção daquelas menores ou de menor precisão. Para $n=3$, o viés é igual a 1,3% e para $n=9$ o viés é menor que 0,1%. Para outras distribuições, a fórmula correta depende da distribuição, mas uma regra de ouro é usar o refinamento da aproximação:
${\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{n-1,\!5-{\tfrac {1}{4}}\gamma _{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}},$
em que $\gamma _{2}$ denota o excesso de curtose da população, que pode ser tanto conhecido antecipadamente para certas distribuições quanto estimado a partir dos dados.

#### Intervalo de confiança para o desvio padrão amostral

O desvio padrão obtido a partir da distribuição amostral não é absolutamente preciso, tanto por razões matemáticas (aqui explicadas pelo intervalo de confiança) quanto por razões práticas de medição (erro de medição). O efeito matemático pode ser descrito pelo intervalo de confiança. Para mostrar como uma amostra maior tornará o intervalo de confiança menor, consideram-se os seguintes exemplos.
Uma pequena população de tamanho $n$ = 3 tem apenas um grau de liberdade para estimar o desvio padrão. O resultado é que um intervalo de confiança de 95% tem desvio padrão entre 0,45 e 31,90. Os fatores são ${\Pr }{\Bigg \q_{\frac {\alpha }{2}}<{\frac {ks^{2}}{\sigma ^{2}}}<q_{\frac {1-\alpha }{2}}{\Bigg \}}=1-\alpha ,$ em que $q_{p}$é o $p$−ésimo quantil da distribuição qui−quadrado com $k$ graus de liberdade e $1-\alpha$ é o nível de confiança. Isto é equivalente a ${\Pr }{\Bigg \{\frac {ks^{2}}{q_{\frac {1-\alpha }{2}}}}<\sigma ^{2}<{\frac {ks^{2}}{q_{\frac {\alpha }{2}}}}{\Bigg \}}=1-\alpha .$
Com $k=1$, $q_{0.025}=0,000982$ e $q_{0.975}=5,024$ . As recíprocas da raiz quadrada destes dois números fornecem os fatores 0,45 e 31,90 mencionados acima.
Uma população maior de tamanho $n=10$ tem 9 graus de liberdade para estimar o desvio padrão. Os mesmos cálculos acima fornecem um intervalo de confiança de 95% com desvio padrão entre 0,88 e 1,16. Para ter mais certeza de que o desvio padrão amostral será próximo do desvio padrão real, é preciso amostrar um grande número de pontos. As mesmas fórmulas podem ser usadas para obter os intervalos de confiança da variância de resíduos a partir do método dos mínimos quadrados, que se encaixa na teoria normal padrão, em que $k$ é o número de graus de liberdade do erro.

### Desvio padrão de desvio padrão empírico

Em geral, é muito difícil calcular a distribuição de probabilidade de desvio padrão empírico. Porém se $X_{n}$é uma sequência de variáveis aleatórias distribuídas de acordo com a distribuição normal $N(\mu ,\sigma ^{2})$, então $n{\frac {S_{n}^{2}}{\sigma ^{2}}}$ segue uma distribuição de $\chi ^{2}$ a $n$ graus de liberdade. Esta lei é o desvio padrão ${\sqrt {2n}}$. Portanto, o desvio padrão da distribuição das variações das variáveis normais é expresso por $\sigma _{S_{n}^{2}}=\sigma ^{2}{\sqrt {\frac {2}{n}}}$.

### Interpretação de um desvio padrão elevado

O conceito de desvio padrão elevado não tem sentido isoladamente. Ele não indica uma dispersão forte que se torna o valor adimensional quando dividido pela média. Um desvio padrão elevado possivelmente pode indicar a existência de um outlier. Um critério consiste em rejeitar os valores que diferem da média em mais de três vezes o desvio padrão, o qual está sob a distribuição normal de uma probabilidade de exceder de ${\frac {3}{1000}}$.

### Pesquisas de opinião

Em pesquisas de opinião, o desvio padrão $\sigma _{\bar {x}}$avalia a incerteza das variações acidentais de ${\bar {x}}$ inerentes à pesquisa, chamada de margem de erro devido às variações acidentais.
Com o método da amostragem representativa, quando os diferentes estratos têm desvios padrões muito diferentes, o desvio padrão é utilizado para calcular a repartição ótima de Neyman, que permite medir a população nos diferentes estratos em função do desvio padrão. Em outros termos, $n_{i}=n{\frac {N_{i}\sigma _{i}}{\sum N_{j}\sigma _{j}}}$ é o tamanho da amostragem do estrato, $n$ é o tamanho total do estrato, $N_{i}$ é o tamanho do estrato $i$ e $\sigma _{i}$ é o desvio padrão do estrato $i$.

## Em algoritmo

O cálculo do desvio padrão para um programa de computador pode resultar em dados inconsistentes quando não se utiliza um algoritmo adequado, como quando se utiliza o algoritmo que opera diretamente a fórmula de grandes amostras de valores entre 0 e 1.
Um dos melhores algoritmos é chamado B.P. Welford, descrito por Donald Knuth em seu livro The Art of Computer Programming Vol. 2. Uma aproximação do desvio padrão da direção do vento é dada pelo algoritmo de Yamartino, que é usado em anemômetros modernos.

### Métodos de cálculos rápidos

As duas fórmulas seguintes podem representar um desvio padrão repetidamente atualizado. Um conjunto de duas somas de potências $s_{1}$ e $s_{2}$ são calculadas sobre um conjunto de $n$ valores de $x$ denotados como $x_{1},\dots ,x_{n}$, $\ s_{j}=\sum _{k=1}^{n}{x_{k}^{j}}.$ Dados os resultados das duas somas, os valores $s_{1}$, $s_{2}$ e $n$ podem ser usados a qualquer hora para calcular o valor atual do desvio padrão $\sigma ={\frac {\sqrt {ns_{2}-s_{1}^{2}}}{n}}$, em que $n$ é o tamanho do conjunto de valores (também pode ser denotado como $s_{0}$), como mencionado acima. Similarmente para o desvio padrão $s={\sqrt {\frac {ns_{2}-s_{1}^{2}}{n(n-1)}}}.$
Em uma implementação de computador, à medida que as três somas $s_{j}$ aumentam, é preciso considerar o erro de arredondamento, o overflow aritmético e o underflow aritmético. O método abaixo calcula o método das somas correntes com erros de arredondamento reduzidos. Isto é um algoritmo para calcular a variância de $n$ amostras sem a necessidade de armazenar dados anteriores durante o cálculo. Aplicando este método a uma série de tempo, resultará em valores sucessivos de desvio padrão correspondente a $n$ pontos dados à medida que $n$ aumenta com cada nova amostra.
Para $k=1,\dots ,n$
${\begin{aligned}A_{0}&=0\\A_{k}&=A_{k-1}+{\frac {x_{k}-A_{k-1}}{k}}\end{aligned}}$, em que $A$ é o valor médio.
${\begin{aligned}Q_{0}&=0\\Q_{k}&=Q_{k-1}+{\frac {k-1}{k}}(x_{k}-A_{k-1})^{2}=Q_{k-1}+(x_{k}-A_{k-1})(x_{k}-A_{k})\\\end{aligned}}$, em que $Q_{1}=0$ desde que $k-1=0$ ou $x_{1}=A_{1}$.
A variância da amostra é $s_{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{n-1}}$. A variância da população é $\sigma _{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{n}}$.

### Cálculo ponderado

Quando os valores $x_{i}$ são ponderados com pesos desiguais $w_{i}$, as somas de potências $s_{0}$, $s_{1}$ e $s_{2}$ são calculadas como $\ s_{j}=\sum _{k=1}^{n}{w_{k}x_{k}^{j}}.\,$ As equações de desvio padrão continuam inalteradas, com a diferença de que $s_{0}$ passa a ser a soma dos pesos em vez do número de observações $n$. O método incremental com erros de arredondamento reduzidos também pode ser aplicado, com alguma complexidade adicional. Uma soma de pesos deve ser computada para cada $k$, de 1 até $n$.
${\begin{aligned}W_{0}&=0\\W_{k}&=W_{k-1}+w_{k}\end{aligned}}$
Os locais em que ${\frac {1}{n}}$ é usado devem ser substituídos por ${\frac {w_{i}}{w_{n}}}$.
${\begin{aligned}A_{0}&=0\\A_{k}&=A_{k-1}+{\frac {w_{k}}{W_{k}}}(x_{k}-A_{k-1})\\Q_{0}&=0\\Q_{k}&=Q_{k-1}+{\frac {w_{k}W_{k-1}}{W_{k}}}(x_{k}-A_{k-1})^{2}=Q_{k-1}+w_{k}(x_{k}-A_{k-1})(x_{k}-A_{k})\end{aligned}}$.
Na divisão final, $\sigma _{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{W_{n}}}\,$e $s_{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{W_{n}-1}}$ ou $s_{n}^{2}={\frac {n'}{n'-1}}\sigma _{n}^{2},$ em que $n$ é o número total de elementos e $n'$ é o número de elementos com pesos diferente de 0. As fórmulas mencionadas acima tornam-se iguais às fórmulas mais simples também mencionadas acima se os pesos forem tomados como iguais a 1.

## Aplicações

O desvio padrão é usado como medida de dispersão de um conjunto de dados. Quanto menor o desvio padrão, mais os valores são agrupados em torno da média. Seja a distribuição de notas entre os estudantes de uma sala de aula. Quanto menor o desvio padrão, mais homogêneas serão as notas. Quanto maior o desvio padrão, menos homogêneas serão as notas. Se as notas forem classificadas de 0 a 20, o desvio padrão mínimo será 0 (se todas as notas forem idênticas) e o desvio padrão máximo será 5 (se metade da classe tirar 0 e metade da classe tirar 20). Se $n$ estudantes tirarem 0 e $n$ estudantes tirarem 10, de modo que a amostra contenha $n$ vezes a nota 0 e $n$ vezes a nota 10, então a média será ${\frac {n\times 20}{n+n}}$ ou ${\bar {X}}=10$ e ${\bar {X}}^{2}=100$. Os valores quadrados $X^{2}$ são $n\times 400$ e $n\times 0$. A média de $X^{2}$é ${\bar {X}}^{2}=200$. Portanto, a variância é 100 e o desvio padrão é 10.

### Testes experimentais, industriais e de hipóteses

Na indústria, o desvio padrão é usado para calcular o índice de fidelidade de um aparelho de medida ou o índice de qualidade de um produto. Por exemplo, os pesos dos produtos de uma linha de produção precisam cumprir um valor exigido legalmente. Pesando uma fração dos produtos, é possível calcular o peso médio que sempre será um pouco diferente da média de longo prazo. Usando o desvio padrão, é possível encontrar um valor máximo e um valor mínimo para que o peso médio esteja dentro de uma porcentagem muito alta de tempo (igual ou maior que 99,9%). Se o desvio padrão ficar fora do intervalo, então o processo de produção precisa ser corrigido. Estes testes estatísticos são particularmente importantes quando o teste é relativamente caro.
Na ciência, é comum considerar que os valores são distribuídos de acordo com a curva de Gauss. Nas ciências sociais, a média e o desvio padrão determinam o intervalo em que existe a maioria da população. Se a média for $m$ e o desvio padrão for $\sigma$, então 95% da população estará no intervalo $[m-1,\!96\,\sigma \,;\,m+1,\!96\,\sigma ]$e 68,2% da população estará no intervalo $[m-\,\sigma \,;\,m+\,\sigma ]$.
O desvio padrão também é usado para formar um intervalo de confiança de uma amostra. Na imagem ao lado, há um desvio $\sigma$ nos dois lados da média de 68,2% da distribuição, dois desvios $\sigma$ $([-2\sigma ,+2\sigma ]13,6+34,1+34,1+13,6)=95,4\%$, 3 desvios $\sigma$ $([-3\sigma ,+3\sigma ]2,1+13,6+34,1+34,1+13,6+2,1)=99,6\%$ e assim por diante.
Em um exemplo na física de partículas, o padrão 5 sigma é usado para considerar o resultado significativo. O padrão 5 sigma traduz uma chance em 3,5 milhões de uma flutuação aleatória afetar o resultado, o que representa uma probabilidade de erro inferior a 0,00003 % (nível de confiança superior a 99.99997%). Este nível de certeza foi requerido para declarar a primeira detecção de ondas gravitacionais e garantir a descoberta de uma partícula consistente com bóson de Higgs em dois experimentos independentes na Organização Europeia para a Pesquisa Nuclear (CERN).
Em outro exemplo na mecânica quântica, o princípio da incerteza de Heisenberg afirma que o produto dos desvios padrões da posição $x$ e o impulso de uma partícula é maior ou igual que a constante de Planck dividida por dois $(\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}})$.

### Finanças

Em finanças, o desvio padrão da taxa de retorno de investimento é uma medida da volatilidade do investimento, ou uma medida de risco associada às flutuações de preço de um determinado ativo ou ao risco de uma carteira de ativos. O risco é um fator importante para gerenciar efetivamente uma carteira de investimentos porque ele determina a variação dos retornos sobre ativos e / ou sobre carteiras de ativos e fornece aos investidores uma base matemática para decisões de investimentos (teoria moderna do portfólio). O risco é medido pelo desvio padrão do retorno esperado sobre os preços de acordo com o modelo de precificação de ativos financeiros de Harry Markowitz. Em análise técnica dos preços das ações, o desvio padrão fornece uma estimativa quantificada da incerteza dos retornos futuros. Quanto maior o retorno esperado sobre o investimento, maior o risco. Em outras palavras, investidores devem estimar o retorno esperado e a incerteza de retornos futuros.
Seja um investidor que precise escolher entre duas ações. A ação A tem um retorno médio de 10% em 20 anos, com desvio padrão de 20 pontos percentuais. A ação B tem um retorno médio de 12% no mesmo período, com desvio padrão de 30 pontos percentuais. Com base no risco e no retorno, um investidor pode decidir pela ação A pelo retorno médio adicional de 12% não compensar o desvio padrão adicional de 10 pontos percentuais (risco ou incerteza maior sobre o retorno esperado). O investimento inicial da ação B deve ser menor que o investimento inicial da ação A. O retorno da ação B deve ser em média 2% maior que o retorno da ação A. A ação A deve ganhar 10% com 10 pontos percentuais para cima ou para baixo (variação de 30% para 10%), cerca de dois terços do retorno dos anos futuros. Quando são considerados possíveis retornos ou possíveis resultados mais extremos no futuro, um investidor deve esperar resultado de até 10% com 60 pontos percentuais para cima ou para baixo (variação de 70% para 50%), que inclui resultados para três desvios padrões a partir do retorno médio (cerca de 99,7% do possível retorno).
Calculando a média aritmética do retorno de um título em um determinado período, obtém-se o retorno esperado do ativo. Subtraindo o retorno esperado do retorno real em cada período, obtém-se a diferença a partir da média. Elevando a diferença em cada período ao quadrado e retirando a média, obtém-se a variância total do retorno do ativo. Quanto maior a variância, maior o risco do título. Encontrando a raiz quadrada da variância, obtém-se o desvio padrão da ferramenta de investimento em questão.
Séries temporais financeira são conhecidas por serem séries não estacionárias, enquanto os cálculos estatísticos acima como o desvio padrão aplicam–se apenas às séries estacionárias. Para aplicá–los às séries não estacionárias, as séries precisam ser transformadas em séries estacionárias, permitindo o uso de ferramentas estatísticas que agora possuem uma base válida para trabalhar.
A análise de Bollinger é uma ferramenta que facilita a análise de previsões do mercado. John Bollinger construiu a curva de deslocamento da média para vinte dias e as curvas, de cada lado da curva de deslocamento da média, situadas a duas vezes o desvio padrão dos vinte dias. O desvio padrão populacional é usado para estabelecer a largura das bandas de Bollinger. A banda de Bollinger ao lado é denotada como ${\overline {x}}+n\sigma _{x}$. O valor mais comumente usado para $n$ é 2. Há cerca de 5% de chance de o valor ser diferente, assumindo uma distribuição normal dos retornos.

### Tempo

Sejam as temperaturas máximas médias diárias de duas cidades, uma no continente e outra na costa. O intervalo das temperaturas máximas diárias das cidades perto da costa é menor que as temperaturas máximas diárias das cidades no continente. Portanto, enquanto cada uma das duas cidades pode ter a mesma temperatura máxima média, o desvio padrão da temperatura máxima diária da cidade da costa será muito menor que a temperatura máxima diária da cidade no continente. Em qualquer dia particular, é mais provável que a temperatura máxima real seja mais afastada da temperatura máxima média da cidade no continente que da temperatura máxima média da cidade na costa.