# Lei de Coulomb

A lei de Coulomb é uma lei experimental da física que descreve a interação eletrostática entre partículas eletricamente carregadas. Foi formulada e publicada pela primeira vez em 1783 pelo físico francês Charles Augustin de Coulomb e foi essencial para o desenvolvimento do estudo da eletricidade.
Esta lei estabelece que o módulo da força entre duas cargas elétricas puntiformes (q$_1$ e q$_2$) é diretamente proporcional ao produto dos valores absolutos (módulos) das duas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância r entre eles. Esta força pode ser atrativa ou repulsiva dependendo do sinal das cargas. É atrativa se as cargas tiverem sinais opostos. É repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal.
Sendo uma lei do inverso do quadrado , a lei é análoga à lei do inverso do quadrado da gravitação universal de Isaac Newton , mas as forças gravitacionais são sempre atrativas, enquanto as forças eletrostáticas podem ser atrativas ou repulsivas. A lei de Coulomb pode ser usada para derivar a lei de Gauss e vice-versa. No caso de uma única carga pontual estacionária, as duas leis são equivalentes, expressando a mesma lei física de maneiras diferentes. A lei foi testada extensivamente e as observações confirmaram a lei na escala de 10 $^{−16}$ m a 10 $^8$ m.

## História

Os primeiros investigadores do século XVIII que suspeitaram que a força elétrica diminuía com a distância como a força da gravidade (ou seja, como o inverso do quadrado da distância) incluíram Daniel Bernoulli e Alessandro Volta , ambos medindo a força entre as placas de um capacitor e Franz Aepinus que supôs a lei do inverso do quadrado em 1758.
Com base em experimentos com esferas eletricamente carregadas, Joseph Priestley, em 1767, foi um dos primeiros a propor que a força elétrica seguia uma lei do inverso do quadrado, semelhante à lei da gravitação universal de Newton. No entanto, ele não generalizou ou elaborou sobre isso. Em 1767, ele conjeturou que a força entre as cargas variava como o inverso do quadrado da distância.
Em 1769, o físico escocês John Robison anunciou que, de acordo com suas medições, a força de repulsão entre duas esferas com cargas do mesmo sinal variava em x $^{-2,06}$ .
No início da década de 1770, a dependência da força entre corpos carregados em relação à distância e à carga já havia sido descoberta, mas não publicada, por Henry Cavendish da Inglaterra.
Charles Augustin Coulomb foi o primeiro a realizar uma investigação experimental direta da lei de forças. Em 1785, ele publicou três relatórios sobre eletricidade e magnetismo, onde declarou o que veio a ser conhecido como Lei de Coulomb. Ele utilizou uma balança de torção para estudar as forças de repulsão e atração de partículas carregadas e determinou que a magnitude da força elétrica entre duas cargas pontuais é diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.
A balança de torção consiste em uma barra suspensa em seu meio por uma fibra fina. A fibra atua como uma mola de torção muito fraca. No experimento de Coulomb, a balança de torção era uma haste isolante com uma bola revestida de metal presa a uma extremidade, suspensa por um fio de seda. A bola foi carregada com uma carga conhecida de eletricidade estática, e uma segunda bola carregada da mesma polaridade foi trazida para perto dela. As duas bolas carregadas se repeliam, torcendo a fibra em um determinado ângulo, que podia ser lido em uma escala do instrumento. Ao saber quanta força era necessária para torcer a fibra através de um determinado ângulo, Coulomb foi capaz de calcular a força entre as bolas e deduzir a lei da proporcionalidade do inverso do quadrado.

## Definição

A lei de Coulomb afirma que:
   A magnitude das forças eletrostáticas com as quais duas cargas pontuais em repouso interagem é diretamente proporcional ao produto da magnitude de ambas as cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa.
   A força eletrostática atua ao longo da linha reta entre as cargas. Se ambas as cargas possuem o mesmo sinal, a força eletrostática entre elas será de repulsão; se elas possuírem sinais diferentes, a força entre elas será de atração.
A lei de Coulomb também pode ser expressa como uma expressão matemática simples. As formas escalar e vetorial da equação matemática são:

### Forma escalar da lei

A forma escalar fornece a magnitude do vetor da força eletrostática $F$ entre duas cargas pontuais q$_1$ e q$_2$ mas não sua direção. Se $r$ é a distância entre as cargas, a magnitude da força é
    $|\mathbf {F} |=k_{\text{e}}{|q_{1}q_{2}| \over r^{2}}\qquad$
    Onde:
   * $k_{e}$ é a Constante de Coulomb ($k_{e}$ = 7009898755178736817♠8.9875517873681764×10$^9$ N⋅m$^2$⋅C$^{−2}$ );
   * $q_{1}$ e $q_{2}$ são as magnitudes sinalizadas das cargas, expressas em Coulomb (C)
   * a força eletrostática é dada em Newtons (N )

### Forma vetorial da lei

A lei de Coulomb afirma que a força eletrostática $F$$_1$ experimentado por uma carga, q$_1$ na posição $r$$_1$ nas proximidades de outra carga, q$_2$ na posição $r$$_2$ no vácuo é igual a:
$\qquad \mathbf {F} _{1}=k_{\text{e}}{\frac {q_{1}q_{2}}{{|\mathbf {r} _{12}|}^{2}}}\mathbf {\widehat {r}} _{12},\qquad$
Onde:
* o escalar $r$ é a distância entre as cargas, dada em metros (m)
* o vetor r$_{12}$=r$_1$−r$_2${\textstyle r_{12}=r_{1}-r_{2}} é a distância vetorial entre as cargas, e r$^^$$_{12}$=r$_{12}$/|r$_{12}$| {\textstyle {\widehat {\mathbf {r} }}_{12}={\frac {\mathbf {r_{12}} }{\mathbf {|r_{12}|} }}} (um vetor de unidade apontando de q$_2${\textstyle q_{2}} a q$_1${\textstyle q_{1}}).
* a força eletrostática é dada em Newtons (N)
A forma vetorial da lei de Coulomb é simplesmente a definição escalar da lei com a direção dada pelo vetor unitário, ${\hat {r}}$$_{12}$, paralelo com a linha de carga q$_2$ a carga q$_1$. Se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal (como cargas), o produto q$_1$q$_2$ é positivo e a direção da força sobre q$_1$ é dado por ${\hat {r}}$$_{12}$ as cargas repelem. Se as cargas tiverem sinais opostos, o produto q$_1$q$_2$ é negativo e a direção da força sobre q$_1$ é -${\hat {r}}$$_{12}$ as cargas se atraem.
A força eletrostática $F$2 experimentado por q$_2$, de acordo com a terceira lei de Newton , é $F$2 = $-F$1.
No sistema CGS de unidades, que adota cm, g, s como unidades básicas, toma-se $k=1$ para interação entre cargas no vácuo, e define-se a unidade de carga como aquela que exerce uma força de 1 dina sobre outra carga idêntica à distância de 1 cm.

### Constante de Coulomb

A constante de Coulomb é um fator de proporcionalidade que aparece na lei de Coulomb, bem como em outras fórmulas relacionadas à eletricidade. O valor dessa constante depende do meio em que os objetos carregados estão imersos. Denotada, também é chamada de constante de força elétrica ou constante eletrostática, daí o subscrito $e$.
Antes da redefinição das unidades do SI, a constante de Coulomb no vácuo era considerada como tendo um valor exato:
    ${\begin{aligned}k_{\text{e}}&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}={\frac {c_{0}^{2}\mu _{0}}{4\pi }}=c_{0}^{2}\times 10^{-7}\ {H\cdot m}^{-1}\\&=8.987\,551\,787\,368\,176\,4\times 10^{9}\ {N\cdot m^{2}\cdot C}^{-2}.\end{aligned}}$
Desde a redefinição, a constante de Coulomb não é mais exatamente definida e está sujeita ao erro de medição. Conforme calculado a partir dos valores recomendados do CODATA 2018, a constante de Coulomb é
    $k_{\text{e}}=8.987\,551\,792\,3\,(14)\times 10^{9}\ {N\cdot m^{2}\cdot C}^{-2}$
Em unidades Gaussianas e unidades Lorentz-Heaviside , que são ambos sistemas de unidades CGS , a constante tem diferentes valores adimensionais .
Em unidades electrostáticas ou unidades gaussianas a unidade de carga ( ESU ou statcoulomb ) é definida de tal modo que a constante de Coulomb desaparece, uma vez que tem o valor de um e torna-se adimensional.
    $k_{\text{e}}=1$ (Unidades gaussianas).
Em unidades de Lorentz-Heaviside, também chamadas de unidades racionalizadas , a constante de Coulomb é adimensional e é igual a:
    $k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi }}$ (Unidades Lorentz-Heaviside)
As unidades gaussianas são mais adequadas para problemas microscópicos, como a eletrodinâmica de partículas individuais eletricamente carregadas. As unidades SI são mais convenientes para fenômenos práticos de grande escala, como aplicações de engenharia.

### Limitações

Existem três condições a serem cumpridas para a validade da lei de Coulomb:
* As cargas devem ter uma distribuição esfericamente simétrica (por exemplo, cargas pontuais ou uma esfera de metal carregada).
* As cargas não devem se sobrepor (por exemplo, devem ser cargas pontuais distintas).
* As cargas devem ser estacionárias uma em relação à outra.
A última delas é conhecida como aproximação eletrostática . Quando o movimento ocorre, a teoria da relatividade de Einstein deve ser levada em consideração, e um resultado, é introduzido um fator extra, o que altera a força produzida sobre os dois objetos. Essa parte extra da força é chamada de força magnética e é descrita por campos magnéticos. Para movimentos lentos, a força magnética é mínima e a lei de Coulomb ainda pode ser considerada aproximadamente correta, mas quando as cargas estão se movendo mais rapidamente em relação umas às outras, todas as regras eletrodinâmicas (incorporando a força magnética) devem ser consideradas.

## Campos elétricos

As forças de campo podem agir através do espaço, produzindo um efeito mesmo quando não ocorre contato físico na interação entre os objetos. O campo gravitacional ${\vec {g}}$ em um ponto no espaço devido a uma partícula de origem como sendo igual à força gravitacional ${\vec {F}}$$_g$ agindo sobre uma partícula teste de massa m dividida pela massa: ${\vec {g}}={\vec {Fg}}/m$. O conceito de campo foi desenvolvido por Michael Faraday (1791-1867) no contexto das forças elétricas. Diz-se que um campo elétrico existe na região de espaço em torno de um objeto carregado, a carga fonte. Quando outro objeto carregado – a carga teste – entra neste campo elétrico, uma força elétrica atua sobre ele.
Define-se campo elétrico devido à carga fonte no local da carga teste como sendo a força elétrica sobre a carga teste por unidade de carga, ou, mais especificamente, o vetor campo elétrico ${\vec {E}}$ num ponto no espaço é definido como força elétrica ${\vec {F}}$ agindo sobre uma carga teste positiva q0 colocada nesse ponto dividida pela carga teste:
${\vec {E}}={\frac {\vec {Fe}}{q0}}$
* O vetor ${\vec {E}}$ tem unidades no SI de newtons por coulomb (N/C).
Observe também que a existência de um campo elétrico é uma propriedade de sua fonte; a presença da carga teste não é necessária para o campo existir. A carga teste funciona como um detector do campo elétrico: um campo elétrico existe em um ponto se uma carga teste nesse momento experimenta uma força elétrica. Uma vez que o campo elétrico é conhecido em algum momento, a força sobre qualquer partícula com carga q colocada nesse ponto pode ser calculada a partir de um rearranjo:
${\vec {Fe}}=q{\vec {E}}$
Uma vez que a força elétrica sobre uma partícula é avaliada, o seu movimento pode ser determinado a partir do modelo de partícula sob força resultante ou o modelo da partícula em equilíbrio (a força elétrica pode ter que ser combinada com as outras forças que atuam sobre a partícula).

## Experimento simples para verificar a lei de Coulomb

É possível verificar a lei de Coulomb com um experimento simples. Considere duas pequenas esferas de massa me carga de mesmo sinal $q$, penduradas em duas cordas de massa desprezível e de comprimento $l$. As forças que atuam em cada esfera são três: o peso $mg$, a tensão da corda $\mathbf {T}$ e a força elétrica $\mathbf {F}$.
No estado de equilíbrio:
| $\mathbf {T} \sin \theta _{1}=\mathbf {F} _{1}$ | (1) |
| $\mathbf {T} \cos \theta _{1}=mg$ | (2) |
Dividindo (1) por (2):
| ${\frac {\sin \theta _{1}}{\cos \theta _{1}}}={\frac {F_{1}}{mg}}\Rightarrow F_{1}=mg\tan \theta _{1}$ | (3) |
Sendo $\mathbf {L} _{1}$ a distância entre as esferas carregadas; a força de repulsão entre elas $\mathbf {F} _{1}$, assumindo que a lei de Coulomb está correta, é igual a
| $F_{1}={\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{1}^{2}}}$ | (Lei de Coulomb) |
então:
| ${\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{1}^{2}}}=mg\tan \theta _{1}\,\!$ | (4) |
Se agora descarregamos uma das esferas, e a colocamos em contato com a esfera carregada, cada uma delas adquire uma carga q/2 {\textstyle {\frac {q}{2}}}. No estado de equilíbrio, a distância entre as cargas será L$_2$<L$_1${\textstyle \mathbf {L} _{2}<\mathbf {L} _{1}} e a força repulsiva entre elas será
| $F_{2}={\frac {{({\frac {q}{2}})}^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}={\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}\,\!$ | (5) |
Sabemos que $\mathbf {F} _{2}=mg\tan \theta _{2}$ e:
    ${\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}=mg\tan \theta _{2}$
Dividindo (4) por (5), obtemos:
| ${\frac {\left({\cfrac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{1}^{2}}}\right)}{\left({\cfrac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}\right)}}={\frac {mg\tan \theta _{1}}{mg\tan \theta _{2}}}\Rightarrow 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}={\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}$ | (6) |
Medindo os ângulos $\theta _{1}$ e $\theta _{2}$ e a distância entre as cargas $\mathbf {L} _{1}$ e $\mathbf {L} _{2}$ é suficiente para verificar se a igualdade é verdadeira levando em consideração o erro experimental. Na prática, os ângulos podem ser difíceis de medir, portanto, se o comprimento das cordas for suficientemente grande, os ângulos serão pequenos o suficiente para fazer a seguinte aproximação:
| $\tan \theta \approx \sin \theta ={\frac {\frac {L}{2}}{\ell }}={\frac {L}{2\ell }}\Rightarrow {\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}\approx {\frac {\frac {L_{1}}{2\ell }}{\frac {L_{2}}{2\ell }}}$ | (7) |
Usando essa aproximação, a relação (6) se torna uma expressão muito mais simples:
| ${\frac {\frac {L_{1}}{2\ell }}{\frac {L_{2}}{2\ell }}}\approx 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}\Rightarrow \,\!$ ${\frac {L_{1}}{L_{2}}}\approx 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}\Rightarrow {\frac {L_{1}}{L_{2}}}\approx {\sqrt[{3}]{4}}\,\!$ | (8) |
Dessa forma, a verificação se limita a medir a distância entre as cargas e verificar se a divisão se aproxima do valor teórico.