# Inversa de Moore–Penrose

Em matemática, e em particular em álgebra linear, a matriz inversa de Moore-Penrose $A^{+}$ de uma matriz $A$ é a generalização mais conhecida da matriz inversa. Ela foi descrita independentemente por EH Moore em 1920, Arne Bjerhammar em 1951 e Roger Penrose em 1955. Anteriormente, Erik Ivar Fredholm introduziu o conceito de pseudoinversa para operadores integrais em 1903. Ao se referir a uma matriz, o termo pseudoinversa, sem maiores especificações, é frequentemente usado para indicar a inversa de Moore-Penrose. O termo inversa generalizada às vezes é usado como sinônimo de pseudoinversa.
Um uso comum da pseudoinversa é o cálculo da solução de mínimos quadrados para um sistema de equações lineares que não possui solução. Outro uso é encontrar a solução de norma (euclidiana) mínima para um sistema de equações lineares com múltiplas soluções. A matriz pseudoinversa facilita o enunciado e a e a prova de resultados em álgebra linear.
A pseudoinversa é definida e única para todas as matrizes cujas entradas são números reais ou complexos. Pode ser determinada usando-se a decomposição de valores singulares. No caso especial em que $A$ é uma matriz normal (por exemplo, uma matriz Hermitiana), a pseudoinversa $A^{+}$anula o núcleo de $A$ e atua como uma inversa tradicional de $A$ no subespaço ortogonal ao núcleo.

## Notação

Na discussão a seguir, as seguintes convenções são adotadas:
* $\mathbb {K}$ denota o corpo dos números reais ($\mathbb {R}$) ou o cordos dos números complexos ($\mathbb {C}$). O espaço vetorial de matrizes $m\times n$ sobre $\mathbb {K}$ é denotado por $\mathbb {K} ^{m\times n}$.
* Para $A\in \mathbb {K} ^{m\times n}$, sua transposta é denotada por $A^{\operatorname {T} }$ e a transposta conjugada (também chamada de adjunta) é denotada por $A^{*}$. Se $\mathbb {K} =\mathbb {R}$, entãoo $A^{*}=A^{\operatorname {T} }$.
* Para $A\in \mathbb {K} ^{m\times n}$, $\operatorname {Col} (A)$ denota o espaço coluna (imagem) de $A$ (o espaço gerado pelos vetores colunas de $A$) e $\operatorname {Nul} (A)$ (ou $\ker(A)$) denota o núcleo (espaço nulo) de $A$.
* Para qualquer inteiro positivo $n$, a matriz identidade de ordem $n\times n$ é denotada por $I_{n}\in \mathbb {K} ^{n\times n}$.

## Definição

Para $A\in \mathbb {K} ^{m\times n}$, uma pseudoinversa de A é definida como uma matriz $A^{+}\in \mathbb {K} ^{n\times m}$ satisfazendo todos os quatro critérios a seguir, conhecidos como condições de Moore-Penrose:
* $AA^{+}$ não precisa ser a matriz identidade, mas deve mapear todos os vetores colunas de A em si mesmos:$AA^{+}A=\;A.$
* $A^{+}$ atua como uma inversa graca: $A^{+}AA^{+}=\;A^{+}.$
* $AA^{+}$ é Hermitiana: $\left(AA^{+}\right)^{*}=\;AA^{+}.$
* $A^{+}A$ também é Hermitiana: $\left(A^{+}A\right)^{*}=\;A^{+}A.$
A pseudoinversa $A^{+}$ existe para qualquer matriz $A\in \mathbb {K} ^{m\times n}$. Se, além disso, $A$ tem posto completo, ou seja, seu posto é $\min\{m,n\}$, então $A^{+}$ tem uma expressão algébrica particularmente simples.
Em particular, quando $A$ tem colunas linearmente independentes (equivalentemente, $A$ é injetiva e, portanto $A^{*}A$ é invertível), $A^{+}$ pode ser calculado como$A^{+}=\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}.$
Esta pseudoinversa específica é uma inversa à esquerda, ou seja, $A^{+}A=I$ . Se, por outro lado, $A$ tem linhas linearmente independentes (equivalentemente, $A$ é sobrejetiva e, portanto, $AA^{*}$ é invertível), $A^{+}$ pode ser calculado como
$A^{+}=A^{*}\left(AA^{*}\right)^{-1}.$Esta é uma inversa à direita, uma vez que $AA^{+}=I$.
No caso mais geral, a matriz pseudoinversa pode ser expressa usando-se a decomposição de valores singulares. Qualquer matriz pode ser decomposta como $A=UDV^{*}$ para algumas matrizes $U,V$ e matriz real positiva diagonal $D$ . A pseudoinversa pode então ser escrita como $A^{+}=VD^{-1}U^{*}$ . Que esta matriz satisfaz o requisito acima é verificado diretamente observando que $AA^{+}=UU^{*}$ e $A^{+}A=VV^{*}$, que são as projeções na imagem e suporte de $A$
$A$, respectivamente.

## Propriedades
### Existência e unicidade

Para qualquer matriz $A$, existe uma, e somente uma pseudoinversa $A^{+}$.
Uma matriz que satisfaz a primeira condição da definição é conhecida como inversa generalizada. Se a matriz também satisfaz a segunda definição, ela é chamada de inversa generalizada reflexiva. Inversas generalizadas sempre existem, mas em geral não são únicas. A unicidade é uma consequência dessas duas condições.

### Propriedades básicas

* Se $A$ tem entradas reais, então $A^{+}$ também tem.
* Se $A$ é invertível, sua pseudoinversa é sua inversa, ou seja, $A^{+}=A^{-1}$.
* A pseudoinversa de uma matriz nula é sua transposta, ou seja, $A^{+}=A^{\operatorname {T} }$.
* A pseudoinversa da pseudoinversa de $A$ é a própria matriz $A$, ou seja, $\left(A^{+}\right)^{+}=A$.
* Pseudoinversion commutes with transposition, conjugation, and taking the conjugate transpose:$^{:245}$
    $\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{+}=\left(A^{+}\right)^{\mathrm {T} }$, $\left({\overline {A}}\right)^{+}={\overline {A^{+}}}$, $\left(A^{*}\right)^{+}=\left(A^{+}\right)^{*}$.
* A pseudoinversa de um múltiplo escalar de $A$ é o múltiplo inverso de $A^{+}$, ou seja, $\left(\alpha A\right)^{+}=\alpha ^{-1}A^{+}$ for $\alpha \neq 0$.

#### Identidades

As seguintes identidades podem ser usadas para simplificar ou expandir expressões envolvendo pseudoinversas:
    ${\begin{alignedat}{3}A^{+}=&A^{+}&&A^{+*}&&A^{*}\\=&A^{*}&&A^{+*}&&A^{+},\\A=&A^{+*}&&A^{*}&&A\\=&A&&A^{*}&&A^{+*},\\A^{*}=&A^{*}&&A&&A^{+}\\=&A^{+}&&A&&A^{*}.\end{alignedat}}$

## Exemplos

Como para matrizes invertíveis a pseudoinversa é igual à inversa usual, apenas exemplos de matrizes não invertíveis são apresentados abaixo.
* Para $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},\,$ a pseudoinversa é $\mathbf {A^{+}} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.$ (De modo geral, a pseudoinversa de uma matriz nula é a sua transposta). A unicidade desta pseudoinversa pode ser vista a partir da condição $A^{+}=A^{+}AA^{+}$, já que a multiplicação por uma matriz nual sempre produz uma matriz nula.
* Para $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}},\,$ a pseudoinversa é $\mathbf {A^{+}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}.$ De fato, $\mathbf {A\,A^{+}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\,$ e portanto $\mathbf {A\,A^{+}A} ={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}=A.$ Similarmente, $\mathbf {A^{+}A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\,$ e portanto $\mathbf {A^{+}A\,A^{+}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}=A^{+}.$
* Para $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix}},\$ $\mathbf {A^{+}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}.$
* Para $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix}},\$ $\mathbf {A^{+}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}\\0&0\end{pmatrix}}.$ (Os denominadores são $5=1^{2}+2^{2}$.)
* Para $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}},\$ $\mathbf {A^{+}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}.$
* Para $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&1\end{pmatrix}},\,$ a pseudoinversa é $\mathbf {A^{+}} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.$ Observe que para esta matriz, a inversa à esquerda existe e, portanto, é igual $\mathbf {A^{+}}$. De fato, $\mathbf {A^{+}A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.$