# Número esquizofrênico

Um número esquizofrênico é definido como um número irracional que apresenta um arranjo original e anômalo de seus dígitos decimais, sendo que exibe certas características dos números racionais.
Dentro dos números irracionais, os decimais sempre têm um arranjo caótico e imprevisível (como no caso de π ou a raiz quadrada de dois), enquanto que para os números racionais (expressos como uma razão entre dois inteiros) a parte decimal é repetitiva e periódica.
A peculiaridade dos números esquizofrênicos se dá pelo fato de que, para alguns decimais (mesmo séries muito longas), eles parecem apresentar as características típicas de um racional, mas depois, a partir de certo ponto, revelam sua irracionalidade, inicialmente bem mascarada.

## Definição

O Livro Universal de Matemática define "número esquizofrênico" como:
    Um nome informal para um número irracional que exibe padrões tão persistentes em sua expansão decimal, que tem a aparência de um número racional. Um número esquizofrênico pode ser obtido como segue. Para qualquer inteiro positivo n seja f(n) o inteiro dado pela recorrência f(n) = 10 f(n − 1) + n com o valor inicial f(0) = 0. Assim, f(1) = 1 , f(2) = 12, f(3) = 123 e assim por diante. As raízes quadradas de f(n) para n inteiros ímpares dão origem a uma curiosa mistura que parece ser racional por períodos, e então se desintegra em irracionalidade. Isso é ilustrado pelos primeiros 500 dígitos de √f(49):
    As cordas repetidas tornam-se progressivamente mais curtas e as cordas embaralhadas tornam-se maiores até que eventualmente as cordas repetidas desaparecem. No entanto, aumentando n, podemos evitar o desaparecimento das cordas repetidas enquanto quisermos. Os dígitos repetidos são sempre 1, 5, 6, 2, 4, 9, 6, 3, 9, 2, ... .
A sequência de números gerada pela relação de recorrência f(n) = 10 f(n − 1) + n descrita acima é:
    0, 1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 1234567900, ... (sequência A014824 na OEIS).
    f(49) = 1234567901234567901234567901234567901234567901229
As partes inteiras de suas raízes quadradas,
    1, 3, 11, 35, 111, 351, 1111, 3513, 11111, 35136, 111111, 351364, 1111111, ... (sequência A068995 na OEIS),
alternam entre números com dígitos irregulares e números com dígitos repetidos, de forma semelhante às alternâncias que aparecem dentro da parte fracionária de cada raiz quadrada.

## Características

O número esquizofrênico mostrado acima é o caso especial de um fenômeno mais geral que aparece nas expansões $b$-ary de raízes quadradas das soluções da recorrência $f_{b}(n)=bf_{b}(n-1)+n$, para todo $b\geq 2$, com valor inicial $f(0)=0$ tomado em inteiros positivos ímpares $n$. O caso $b=10$ e $n=49$ corresponde ao exemplo acima.
De fato, Tóth mostrou que esses números irracionais apresentam padrões esquizofrênicos dentro de sua expansão $b$-ary, composta por blocos que começam com um bloco de dígitos não repetitivos seguido por um bloco de dígitos repetidos. Quando colocados juntos na base $b$, tesses blocos formam o padrão esquizofrênico. Por exemplo, na base $8$, o número ${\sqrt {f_{8}(49)}}$ começa:
O padrão é devido à expansão de Taylor da raiz quadrada da solução da recorrência tomada em inteiros positivos ímpares. As várias contribuições de dígitos da expansão de Taylor produzem os blocos de dígitos não repetitivos e repetitivos que formam o padrão esquizofrênico.

## Outras propriedades

Em alguns casos, em vez de repetir sequências de dígitos, encontramos padrões de dígitos repetidos. Por exemplo, o número ${\sqrt {f_{3}(49)}}$:
mostra padrões de dígitos repetidos na base $3$.
Números que são esquizofrênicos na base $b$ também são esquizofrênicos na base $b^{m}$ (até um certo limite, veja Tóth). Um exemplo é ${\sqrt {f_{3}(49)}}$ mostrado acima, que ainda é esquizofrênico na base $9$:

## História

Clifford A. Pickover disse que os números esquizofrênicos foram descobertos por Kevin Brown.
Em seu livro Wonders of Numbers ele descreveu assim a história dos números esquizofrênicos: