# Representação de números com sinal

Em computação, representações de número com sinal são modos de representar números com sinal, i.e. números positivos e negativos, em sistemas de números binários.
Em matemática, os números negativos em qualquer base são representados por prefixando-os com um sinal de −. No entanto, em um hardware computacional, os números são representados em binário apenas, sem símbolos extras, requerendo um método de codificação para números negativos. Quatro métodos existem para estender o sistema binário para representar números com sinal: sinal-e-magnitude, complemento para um, complemento de dois, e excesso-N.

## Método sinal-e-magnitude

Sinal-e-magnitude de 8 bits :
| Binário | com Sinal | sem Sinal |
| 00000000 | +0 | 0 |
| 00000001 | 1 | 1 |
| 01111111 | 127 | 127 |
| 10000000 | −0 | 128 |
| 10000001 | −1 | 129 |
| 11111111 | −127 | 255 |
A representação de sinal-e-magnitude (ou sinal-magnitude) é a mais familiar a nós que utilizamos o sistema numérico de base 10, usando um sinal positivo ou negativo à esquerda do número para indicar se este é positivo ou negativo. Pode-se primeiramente abordar o problema de representar um sinal de número através da atribuição de um bit de sinal para representar o sinal: define-se esse bit (frequêntemente o bit mais significativo) para 0 para representar um número positivo, e define-se como um para representar um número negativo. Os bits restantes do número representam a magnitude (ou o valor absoluto). Assim, em um byte com 8 bits, são utilizados 7 bits para representar o valor e um bit para representar o sinal. Neste caso, o valor pode variar de 0000000 (0) a 1111111 (127). Assim, pode-se representar números de −127$_{10}$ a +127$_{10}$ (-(2$^{N−1}$−1) a +(2$^{N−1}$−1)), onde n é a quantidade de bits do número), uma vez que você adicione o bit de sinal (o oitavo bit). Uma conseqüência desta representação é que existem duas maneiras de representar o zero, 00000000 (0) e 10000000 (-0).
Esta abordagem é directamente comparável com a maneira comum de se mostrar um sinal (colocando um "+" ou "-" junto à magnitude do número). Alguns dos primeiros computadores binários (por exemplo, o IBM 7090) usaram esta representação, talvez por causa de sua relação natural com o uso comum.$^[$ Sinal de magnitude é a forma mais comum de representar os significandos em valores de ponto flutuante.

## Complemento para um

Complemento para um com 8 bits :
| Binário | Interpretação de complemento para um | Interpretação sem sinal |
| 00000000 | +0 | 0 |
| 00000001 | 1 | 1 |
| 01111101 | 125 | 125 |
| 01111110 | 126 | 126 |
| 01111111 | 127 | 127 |
| 10000000 | −127 | 128 |
| 10000001 | −126 | 129 |
| 10000010 | −125 | 130 |
| 11111110 | −1 | 254 |
| 11111111 | −0 | 255 |
Como alternativa, um sistema conhecido como complemento para um ou complemento de um pode ser usado para representar números negativos. A forma de representar números negativos em "complemento para um" é aplicar a operação bitwise NOT para os números negativos (com -), ou seja, o complemento da sua contraparte positiva. Como na representação sinal de magnitude, o "complemento para um" tem duas representações para o 0: 00000000 (+0) e 11111111 (-0). Na prática, este zero negativo, quando detectado é transformado em zero normal.$^{:p.17,18}$
Como exemplo, a forma em complemento para um de 00101011 (43) torna-se 11010100 (-43). O intervalo de números com sinal usando complemento para um é representado por: −(2$^{N−1}$−1) para (2$^{N−1}$−1) e +/-0. Um byte de oito bits convencional é −127$_{10}$ para +127$_{10}$ com zero sendo ou 00000000 (+0) ou 11111111 (-0).
Nesse caso citado, para transformar o número binário em decimal, segue-se o padrão normal, porém sem contar o primeiro número. Vamos usar o número 00101011 como exemplo, o primeiro 0 da esquerda é apenas para indicar o sinal e não faz parte da conta, portanto (0 + 2^5 + 0 + 2^3 + 0 + 2^1 + 2^0) = (0 + 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1) = 43.
Para adicionar dois números representados neste sistema, se faz uma adição binária convencional, mas é então necessário adicionar qualquer "vai-um" resultante de volta para a soma resultante. Para ver por que isso é necessário, considere o seguinte exemplo que mostra o caso da adição de −1 (11111110) a +2 (00000010).$^{:p.19}$
No exemplo anterior, a adição binária somente dá 00000000, o que é um resultado incorreto. Somente quando o "vai-um" é adicionado de volta o resultado correto (00000001) aparece.
Este sistema de representação numérica era comum em computadores mais antigos; o PDP-1, CDC 160A e a série UNIVAC 1100/2200, entre muitos outros, utilizavam aritmética de "complemento para um".$^[$
Uma observação sobre a terminologia: O sistema é conhecido como "complemento para um", porque a negação de um valor positivo x(representado como a operação bitwise NOT de x) pode também ser formado pela subtração de x da representação em "complemento para um" do número zero que é uma longa seqüência de uns (-0). A aritmética de "Complemento de dois", por outro lado, constitui a negação de x subtraindo x a partir de uma única grande potência de dois que é congruente a 0. Por isso, a representação de "complemento para um" e a representação de "complemento para dois" irão diferir de um.
Os protocolos Internet IPv4, ICMP, UDP e TCP usam todos o mesmo algoritmo checksum de 16 bits de complemento para um. Embora a maioria dos computadores careça de um hardware para método de complementos, a complexidade extra é aceita porque "é igualmente sensível a erros em todas as posições dos bits". No UDP, a representação de zero com todos os bits setados para 0s indica que o recurso de verificação opcional foi omitido. A outra representação, FFFF, indica um valor de checksum 0. (Checksums são obrigatórios em IPv4, ICMP e TCP; eles foram omitidos do IPv6).
Note que a representação de complemento para um de um número negativo pode ser obtida de uma representação sinal-e-magnitude simplesmente fazendo-se uma operação de complemento bitwise da magnitude.

## Complemento para dois

Complemento para dois de 8 bits :
| Binário | Interpretação de complemento para dois | Interpretação sem sinal |
| 00000000 | 0 | 0 |
| 00000001 | 1 | 1 |
| 01111110 | 126 | 126 |
| 01111111 | 127 | 127 |
| 10000000 | −128 | 128 |
| 10000001 | −127 | 129 |
| 10000010 | −126 | 130 |
| 11111110 | −2 | 254 |
| 11111111 | −1 | 255 |
Os problemas de múltiplas representações de 0 e a necessidade de tratamento com "vai-um" são contornadas por um sistema chamado complemento para dois.$^{:p.21}$ Neste modelo, os números negativos são representados pelo padrão de bits que é maior em uma unidade (no sentido sem-sinal) que o "complemento para um" do valor positivo.
Em complemento para dois, há apenas um zero (00000000). Se nega um número (negativo ou positivo) invertendo-se todos os bits e, em seguida, adicionando 1 ao resultado. A adição de um par números em complemento para dois é o mesmo a adição de um par de números sem-sinal . Por exemplo, um complemento para dois da adição de 127 e -128 dá o mesmo padrão de bits binário de uma adição sem sinal de 127 com 128, como pode ser visto na tabela ao lado.$^{:p.21}$
Um método mais fácil de obter a negação de um número em complemento de dois é o que se segue:
| | Exemplo 1 | Exemplo 2 |
| 1. A partir da direita, encontre o primeiro '1' | 0101001 | 0101100 |
| 2. Inverte todos os bits à esquerda deste um | 1010111 | 1010100 |

## Excesso-N

Excesso-127 em 8 bits :
| Valor binário | Interpretação de Excesso-127 | Interpretação sem-sinal |
| 00000000 | -127 | 0 |
| 00000001 | -126 | 1 |
| 01111111 | 0 | 127 |
| 10000000 | 1 | 128 |
| 11111111 | +128 | 255 |
A representação de Excesso-N usa um número pré-especificado N como um valor de polarização. Um valor é representado pelo número sem sinal que é N unidades maior do que o valor pretendido. Assim, 0 é representado por N, e -N é representado pelo padrão de bits zeros (tudo zerado).
Esta é uma representação que é agora utilizada principalmente em números de ponto flutuante. O padrão IEEE de ponto flutuante, define o campo de expoente de um número de 32 bits de precisão simples como um campo de 8 bits na representação de Excesso-127. O expoente de um número de 64 bits de precisão dupla é um de campo de 11 bits com representação de Excesso-1023.

## Base −2

Em sistemas convencionais de número binário, a base, ou raiz, é de 2; assim, o bit mais à direita representa 2$^0$, o próximo bit representa 2$^1$, o próximo bit 2², e assim por diante. No entanto, um sistema numérico binário com base -2 também é possível. O bit mais à direita representa (−2)$^0$=+1, o próximo bit representa (−2)$^1$=−2, o próximo bit (−2)²=+4, e assim por diante, com o sinal alternado. Os números que podem ser representados com quatro bits são mostrados na tabela de comparação abaixo.
O intervalo de números que pode ser representado é assimétrico. Se a palavra tem um número par de bits, a magnitude do maior número negativo que pode ser representado é duas vezes maior que o maior número positivo que pode ser representado, e vice-versa, se a palavra tem um número ímpar de bits.

## Tabela de comparação

A tabela abaixo mostra os números inteiros positivos e negativos que podem ser representados utilizando 4 bits.
representações inteiras de 4 bits :
| Decimal | Sem sinal | Sinal-e-magnitude | Complemento para um | Complemento de dois | Excesso-7 | Base −2 |
| +16 | — | — | — | — | — | — |
| +15 | 1111 | — | — | — | — | — |
| +14 | 1110 | — | — | — | — | — |
| +13 | 1101 | — | — | — | — | — |
| +12 | 1100 | — | — | — | — | — |
| +11 | 1011 | — | — | — | — | — |
| +10 | 1010 | — | — | — | — | — |
| +9 | 1001 | — | — | — | — | — |
| +8 | 1000 | — | — | — | 1111 | — |
| +7 | 0111 | 0111 | 0111 | 0111 | 1110 | — |
| +6 | 0110 | 0110 | 0110 | 0110 | 1101 | — |
| +5 | 0101 | 0101 | 0101 | 0101 | 1100 | 0101 |
| +4 | 0100 | 0100 | 0100 | 0100 | 1011 | 0100 |
| +3 | 0011 | 0011 | 0011 | 0011 | 1010 | 0111 |
| +2 | 0010 | 0010 | 0010 | 0010 | 1001 | 0110 |
| +1 | 0001 | 0001 | 0001 | 0001 | 1000 | 0001 |
| +0 | — | 0000 | 0000 | — | — | — |
| 0 | 0000 | — | — | 0000 | 0111 | 0000 |
| −0 | — | 1000 | 1111 | — | — | — |
| −1 | — | 1001 | 1110 | 1111 | 0110 | 0011 |
| −2 | — | 1010 | 1101 | 1110 | 0101 | 0010 |
| −3 | — | 1011 | 1100 | 1101 | 0100 | 1101 |
| −4 | — | 1100 | 1011 | 1100 | 0011 | 1100 |
| −5 | — | 1101 | 1010 | 1011 | 0010 | 1111 |
| −6 | — | 1110 | 1001 | 1010 | 0001 | 1110 |
| −7 | — | 1111 | 1000 | 1001 | 0000 | 1001 |
| −8 | — | — | — | 1000 | — | 1000 |
| −9 | — | — | — | — | — | 1011 |
| −10 | — | — | — | — | — | 1010 |
| −11 | — | — | — | — | — | — |