# Oscilador harmônico quântico

O oscilador harmônico quântico é o análogo quântico do oscilador harmônico clássico. É um dos sistemas modelo mais importante em mecânica quântica, já que qualquer potencial pode ser aproximado por um potencial harmônico nas proximidades do ponto de equilíbrio estável (mínimo). Além disso, é um dos sistemas quânticos que admite uma solução analítica precisa.

## Oscilador harmônico monodimensional
### Hamiltoniano, energia e autofunções

No problema do oscilador harmônico monodimensional, uma partícula de massa $\displaystyle m$ está submetida a um potencial quadrático $\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}$. Em mecânica clássica $\displaystyle k=m\omega ^{2}$ se denomina constante de força ou constante elástica, e depende da massa $m$ da partícula e da frequência angular $\displaystyle \omega$.
O hamiltoniano quântico da partícula é:
    ${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}$
onde ${\hat {x}}\,$ é o operador posição e ${\hat {p}}\,$ é o operador momento $\left({\hat {p}}=-i\hbar {d \over dx}\right)$. O primeiro termo representa a energia cinética da partícula, enquanto que o segundo representa sua energia potencial. Com o fim de obter os estados estacionários (ou seja, as autofunções e os autovalores do hamiltoniano ou valores dos níveis de energia permitidos), é necessário resolver a equação de Schrödinger independente do tempo
    ${\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle$.
Pode-se resolver a equação diferencial na representação de coordenadas utilizando o método de desenvolver a solução em série de potências. Se obtém assim que a família de soluções é
    $\left\langle x|\psi _{v}\right\rangle ={\sqrt {\frac {1}{2^{v}\,v!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{v}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)$
    $v=0,1,2,\ldots$
onde $v\,$ representa o número quântico vibracional. As primeiras seis soluções ($v=0{\mbox{ a }}5\,$) se mostram na figura da direita. As funções $H_{n}$ são os polinômios de Hermite:
    $H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}$
Não se devem confundir com o hamiltoniano, que às vezes se denota por H (ainda que é preferível utilizar a notação ${\hat {H}}$ para evitar confusões). Os níveis de energia são
    $E_{v}=\hbar \omega \left(v+{1 \over 2}\right)\qquad v=0,1,2,\ldots$.
Este espectro de energia destaca por três razões. A primeira é que as energias estão "quantizadas" e somente podem tomar valores discretos, em frações semi-inteiras $1/2$, $3/2$, $5/2$, ... de $\hbar \omega$. Este resultado é característico dos sistemas quânticos em que a partícula está confinada.
A segunda é que os níveis de energia estão igualmente espaçados, ao contrário que no modelo de Bohr ou a partícula em uma caixa.
A última razão é que a energia mais baixa não coincide com o mínimo do potencial (zero neste caso). Assim, a energia mais baixa possível é $\hbar \omega /2$, e se denomina "energia do estado fundamental" ou energia do ponto zero.
A energia do ponto zero é necessária para cumprir com o princípio da incerteza de Heisenberg, já que se a energia do estado fundamental for zero, tanto a energia potencial quanto a energia cinética da partícula seriam zero. Energia potencial zero implica que a partícula está localizada exatamente na origem (com △x = 0) e energia cinética zero implica que o momento da partícula é zero (△p = 0), ferindo assim o principio da incerteza, pois a incerteza na posição e no momento não podem ser ambos zero.
Convém destacar que a densidade de probabilidade do estado fundamental se concentra na origem. Ou seja, a partícula passa mais tempo no mínimo do potencial, como seria de esperar em um estado de pouca energia. A medida que a energia aumenta, a densidade de probabilidade se concentra nos "pontos de retorno clássicos", onde a energia dos estados coincide com a energia potencial. Este resultado é consistente com o do oscilador harmônico clássico, para o qual a partícula passa mais tempo (e portanto é onde seria mais provável encontrá-la) nos pontos de retorno. Se satisfaz assim o princípio da correspondência.

### Aplicação: moléculas diatômicas

Para estudar o movimento de vibração dos núcleos pode-se utilizar, em uma primeira aproximação, o modelo do oscilador harmônico. Se consideramos pequenas vibrações em torno do ponto de equilíbrio, podemos desenvolver o potencial eletrônico em série de potências. Assim, no caso de pequenas oscilações o termo que domina é o quadrático, ou seja, um potencial de tipo harmônico. Portanto, em moléculas diatômicas, a frequência fundamental de vibração será dada por:
    $\nu ={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{\mu }}}$
que se relaciona com a frequência angular mediante $\omega =2\pi \nu \,$ e depende da massa reduzida $\mu \,$ da molécula diatômica.