# Espaço dual

Em matemática, qualquer espaço vetorial $V$ sobre um corpo $\mathbb {K}$ pode ser associado a um espaço dual, denotado $V'$, consistindo dos funcionais lineares $f:V\to \mathbb {K} \,$. Quando $V$ é um espaço vetorial topológico, considera-se também o espaço $V^{*}$dos funcionais lineares contínuos, chamado espaço dual topológico. Nesse caso, geralmente o espaço dual $V'$ é chamado de espaço dual algébrico .
A existência de um espaço vetorial 'dual' reflete de uma maneira abstrata a relação entre os vetores linha (1×n) e os vetores coluna (n×1) de uma matriz. A construção pode se dar também para os espaços infinito-dimensionais e dá lugar a modos importantes de ver as medidas, as distribuições e o espaço de Hilbert. O uso do espaço dual é, assim, de uma certa maneira, recurso da análise funcional. É também inerente à transformação de Fourier.

## Espaço dual algébrico
### O espaço dual é um espaço vetorial

O espaço dual de um espaço vetorial $V\,$ sobre um corpo $\mathbb {K}$ é costumeiramente denotado $V'\,$ ou $V^{*}\,$ e também é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo uma vez definida as operações de soma e multiplicação por escalar como:
    $(\phi +\psi )(x)=\phi (x)+\psi (x)\,$
    $(\lambda \phi )(x)=\lambda \phi (x)\,$
Para todo $\phi ,\psi$ em $V^{*}$, $\lambda$ em $\mathbb {K}$ e $x$ em $V$.

### Caso de dimensão finita

Se $V\,$ é um espaço vetorial de dimensão finita, então $V^{*}\,$ tem a mesma dimensão de $V\,$. Seja ${\mathcal {B}}=\{e_{1}\,,...\,,e_{n}\}$ uma base de $V$, então a base dual é dada pelo conjunto ${\mathcal {B}}^{*}=\{f_{1}\,,...\,,f_{n}\}$ onde:
    $\mathbf {f} _{i}(\mathbf {e} _{j})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}i=j\\0,&{\mbox{se }}i\neq j\end{matrix}}\right.$

### Exemplos

Se a dimensão de $V\,$ é finita, então $V^{*}\,$ tem a mesma dimensão que $V\,$; se $\{e_{1}\,,...\,,e_{n}\}$ é uma base para V, então a base dual associada $\{e^{1}\,,...\,,e^{n}\}$ de $V^{*}\,$ é dada por:
    $e^{i}(e_{j})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}i=j\\0,&{\mbox{se }}i\neq j\end{matrix}}\right.$
Específicamente, se é interpretado $\mathbb {R} ^{n}$ como espaço de colunas de $n$ números reais, seu espaço dual é escrito tipicamente como o espaço de linhas de $n$ números. Tal linha atua em $\mathbb {R} ^{n}$ como funcional linear pela multiplicação ordinária de matrizes.

### Duplo dual algébrico

Dado um espaço vetorial $V$, sempre podemos considerar seu duplo dual $V''{\overset {\underset {\mathrm {def} }}{=}}(V')'$, que consiste em todos os funcionais lineares $f:V'\to \mathbb {K}$. Existe um homomorfismo canônico entre $V$ e $V''$, ou seja, existe uma transformação $V\to V''$, definida por
${\begin{alignedat}{3}J:V&\to V''&&&&\\v&\mapsto f_{v}:V'&&\to \mathbb {K} &&\\&\qquad \qquad \phi &&\mapsto \phi (v)&&\\\end{alignedat}}$
que é linear. Além disso, $J$ é sempre injetora e é um isomorfismo entre os espaços vetoriais $V$ e $\mathrm {Ran} \,J$. Note, porém, que em geral $\mathrm {Ran} \,J\neq V''$; de outro modo, pode ser que existam $f\in V''$ tais que $f\neq f_{v}$ para todo $v\in V$.

## Espaço dual topológico

Quando se tem, além da estrutura de espaço vetorial, uma topologia compatível com as operações de soma e multiplicação por escalar (espaço vetorial topológico), os funcionais lineares mais interessantes passam a ser os contínuos. O conjunto dos funcionais lineares contínuos, chamado de espaço dual topológico (ou simplesmente espaço dual) e denotado $V^{*}$, é um subespaço do espaço dual algébrico $V'$.
Dados $\varphi \in V^{\ast }$ e $v\in V$, algumas vezes usamos a notação $\langle \varphi ,v\rangle _{V^{\ast },V}$ ou simplesmente $\langle \varphi ,v\rangle$ ao invés de $\varphi (x)$. A notação $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{V^{\ast },V}$ é conhecida como par dualidade entre $V^{\ast }$ e $V$.

### O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaço

Seja $H\,$ um espaço de Hilbert. O teorema da representação de Riesz afirma que $\phi \,$ é um funcional linear contínuo se, e somente se, existe um $z\in H\,$ tal que
    $\phi (x)=\langle z,x\rangle ,~~\forall x\in H\,$.

### Duplo dual topológico

Dado um espaço vetorial normado $X$, sempre podemos considerar seu duplo dual $X^{**}{\overset {\underset {\mathrm {def} }}{=}}(X^{*})^{*}$, que consiste em todos os funcionais lineares contínuos $f:X'\to \mathbb {K}$. Existe um homomorfismo canônico entre $X$ e $X^{**}$, ou seja, existe uma transformação $X\to X^{**}$, definida por
${\begin{alignedat}{3}J:X&\to X^{**}&&&&\\x&\mapsto f_{x}:X^{*}&&\to \mathbb {K} &&\\&\qquad \qquad \phi &&\mapsto \phi (x)&&\\\end{alignedat}}$
que é linear. Além disso, $J$ é sempre injetora, limitada e isométrica ($\lVert Jx\rVert =\lVert x\rVert$), este último fato sendo uma consequência do teorema de Hahn-Banach. Por isso, $J$ é um isomorfismo entre os espaços normados $X$ e $\mathrm {Ran} \,J$. Note, porém, que em geral $\mathrm {Ran} \,J\neq X^{**}$; de outro modo, pode ser que existam $f\in X^{**}$ tais que $f\neq f_{x}$ para todo $x\in X$.
Caso valha, de fato, que $\mathrm {Ran} \,J=X^{**}$, o espaço $X$ é dito ser reflexivo. Exemplos de espaços reflexivos são os espaços de Hilbert e os de dimensão finita.