# Divisão por zero

Na matemática, uma divisão é chamada divisão por zero se o divisor é zero. Tal divisão pode ser formalmente expressada como $a\div 0$ = $\textstyle {\frac {a}{0}}$ no qual a é o dividendo. Um valor bem definido para essa expressão depende do contexto matemático. Para a aritmética com números reais, a expressão não possui significado.
Em programação, uma tentativa de dividir um número de ponto flutuante por zero deve resultar em infinito (${\infty }$) de acordo com o padrão IEEE 754 para pontos flutuantes. No entanto, dependendo do ambiente de programação e do tipo de número sendo dividido por zero (como o inteiro, por exemplo), é possível que: seja gerada uma exceção, seja produzida uma mensagem de erro, faça o programa terminar, resulte em infinito positivo ou negativo ou resulte em um valor especial não numérico (NaN).

## Interpretação em aritmética elementar

Quando uma divisão é explicada no nível elementar, frequentemente usa-se a descrição da divisão de um conjunto de objetos em partes iguais. Como exemplo, se tem-se dez maçãs, e deseja-se distribuí-las entre cinco pessoas, cada pessoa irá receber $10\div 5$ = $\textstyle {\frac {10}{5}}$ = 2 maçãs. Se tem-se dez maçãs e deseja-se distribuir entre zero pessoas, quantas maçãs cada pessoa receberá? Uma tentativa para calcular $10\div 0$ = $\textstyle {\frac {10}{0}}$ = ${\infty }$ maçãs.
Outra maneira de entender a natureza indefinida da divisão por zero é perceber uma divisão como repetidas subtrações. Para dividir treze por cinco, pode-se subtrair cinco duas vezes, restando três. O dividendo é subtraído até que o resto seja menor que o divisor. Mas, no caso do zero, repetidas subtrações por zero nunca resultarão em um resto menor que o divisor, então a divisão não é definida.

## Primeiras tentativas

Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta (598–668) é o primeiro texto conhecido a tratar o zero como um número e a definir operações envolvendo o zero. O autor falhou, entretanto, em sua tentativa a explicar a divisão por zero: sua definição pode ser facilmente provada a levar a absurdos algébricos. De acordo com Brahmagupta, "um número positivo ou negativo, quando divido por zero, é uma fração com o zero como denominador. O zero dividido por um número positivo ou negativo é tanto zero ou expresso como uma fração com zero como numerador. Zero dividido por zero é zero."
Em 830, Mahavira tentou sem sucesso corrigir a falha de Brahmagupta em seu livro Ganita Sara Samgraha: "um número permanece inalterado quando dividido por zero."
Bhaskara II tentou resolver o problema ao definir $\textstyle {\frac {n}{0}}=\infty$. Essa definição, apesar de fazer sentido, pode levar a paradoxos se não tratadas com cuidado.

## Interpretação algébrica

É geralmente considerado entre matemáticos que uma maneira natural de interpretar a divisão por zero é primeiramente definir a divisão em termos de outras operações aritméticas. Nas regras padrão da aritmética de inteiros, racionais, reais e complexos, a divisão por zero é indefinida. A divisão por zero deve ser deixada indefinida em qualquer sistema matemático que obedece os axiomas de um corpo. A razão é que a divisão é definida como a operação inversa da multiplicação, o que significa que o valor de $\textstyle {\frac {a}{b}}$ ($a\div b$) é a solução x da equação $b\times x=a$ sempre que o valor existir e for único. Senão o valor é deixado indefinido.
Para b = 0, a equação $b\times x=a$ pode ser reescrita como $0\times x=a$ ou simplesmente 0 = a. Nesse caso, a equação $b\times x=a$ não possui solução se a é diferente de zero, e possui qualquer x como solução se a é igual a 0. Em qualquer caso, não há solução única, então $\textstyle {\frac {a}{b}}$ ($a\div b$) é indefinida.

### Falácias

É possível distinguir um caso especial da divisão por zero em um argumento algébrico, levando a provas inválidas tais como 2 = 1 como a seguinte:
Assume-se:
    $0\times 1=0$
    $0\times 2=0$
O seguinte deve ser verdadeiro:
    $0\times 1=0\times 2$
Dividindo por zero temos:
    $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2$
Simplificando, resulta-se em :
    $1=2\,$
A falácia é assumir que dividir por zero é uma operação legítima com $0\div 0=1$. Apesar da maioria das pessoas provavelmente assumirem que a prova acima é falaciosa, o mesmo argumento pode ser apresentado de uma forma que torna-se mais difícil encontrar o erro. Por exemplo, se 1 é denotado por $x$, $0$ pode ser escondido em $x-x$ e $2$ escondido em $x+x$. A prova acima pode ser apresentada como:
    $(x-x)\times x=x^{2}-x^{2}=0$
    $(x-x)\times (x+x)=x^{2}-x^{2}=0$
Então:
    $(x-x)\times x=(x-x)\times (x+x)$
Dividindo por $x-x$ temos:
    $x=x+x$
E dividindo por $x$ temos:
    $1=2$
Contra argumentação da prova:
Cria-se paradoxo quando se atribui várias igualdades simultâneas a uma equação.
    $(x-x)\times x=x^{2}-x^{2}$
    $(x-x)\times x=0$
    $x^{2}-x^{2}=0$
Fazendo o cálculo de forma individual não se percebe erro lógico ao afirmar que todo número que seja dividido por si resulte em 1, inclusive zero.

## Subtrações sucessivas

Toda divisão pode ser interpretada como uma sequência finita de subtrações. E, utilizando o método de subtrações sucessivas, pode-se provar que a divisão por zero é impossível. Esta operação peculiar gera uma sequência infinita de subtrações, isto é, obriga a efetuar infinitas repetições (mais conhecidas na área computacional como loops infinitos).

### Passo-a-passo

* Subtrair o dividendo pelo divisor;
* Caso o quociente obtido seja maior ou igual ao divisor, subtrair o quociente obtido pelo divisor;
* Repetir o segundo passo até que o quociente obtido seja menor que o divisor, encerrando o processo e tornando o atual quociente em resto.

### 18 ÷ 18 = 1

* 18 – 18 = 0 (1$^a$ subtração)
Como foi feita apenas uma subtração, a divisão de 18 por 18 resulta em 1 com resto 0.

### 18 ÷ 9 = 2

* 18 – 9 = 9 (1$^a$ subtração)
* 9 – 9 = 0 (2$^a$ subtração)
Como foram feitas duas subtrações, a divisão de 18 por 9 resulta em 2 com resto 0.

### 18 ÷ 6 = 3

* 18 – 6 = 12 (1$^a$ subtração)
* 12 – 6 = 6 (2$^a$ subtração)
* 6 – 6 = 0 (3$^a$ subtração)
Como foram feitas três subtrações, a divisão de 18 por 6 resulta em 3 com resto 0.

### 18 ÷ 4 = 4,5

* 18 – 4 = 14 (1$^a$ subtração)
* 14 – 4 = 10 (2$^a$ subtração)
* 10 – 4 = 6 (3$^a$ subtração)
* 6 – 4 = 2 (4$^a$ subtração)
Como foram feitas quatro subtrações, a divisão de 18 por 4 resulta em 4 com resto 2, ou seja, verdadeiramente resulta em 4,5.

### 18 ÷ 3 = 6

* 18 – 3 = 15 (1$^a$ subtração)
* 15 – 3 = 12 (2$^a$ subtração)
* 12 – 3 = 9 (3$^a$ subtração)
* 9 – 3 = 6 (4$^a$ subtração)
* 6 – 3 = 3 (5$^a$ subtração)
* 3 – 3 = 0 (6$^a$ subtração)
Como foram feitas seis subtrações, a divisão de 18 por 3 resulta em 6 com resto 0.

### 18 ÷ 2 = 9

* 18 – 2 = 16 (1$^a$ subtração)
* 16 – 2 = 14 (2$^a$ subtração)
* 14 – 2 = 12 (3$^a$ subtração)
* 12 – 2 = 10 (4$^a$ subtração)
* 10 – 2 = 8 (5$^a$ subtração)
* 8 – 2 = 6 (6$^a$ subtração)
* 6 – 2 = 4 (7$^a$ subtração)
* 4 – 2 = 2 (8$^a$ subtração)
* 2 – 2 = 0 (9$^a$ subtração)
Como foram feitas nove subtrações, a divisão de 18 por 2 resulta em 9 com resto 0.

### 18 ÷ 1 = 18

* 18 – 1 = 17 (1$^a$ subtração)
* 17 – 1 = 16 (2$^a$ subtração)
* 16 – 1 = 15 (3$^a$ subtração)
* 15 – 1 = 14 (4$^a$ subtração)
* 14 – 1 = 13 (5$^a$ subtração)
* 13 – 1 = 12 (6$^a$ subtração)
* 12 – 1 = 11 (7$^a$ subtração)
* 11 – 1 = 10 (8$^a$ subtração)
* 10 – 1 = 9 (9$^a$ subtração)
* 9 – 1 = 8 (10$^a$ subtração)
* 8 – 1 = 7 (11$^a$ subtração)
* 7 – 1 = 6 (12$^a$ subtração)
* 6 – 1 = 5 (13$^a$ subtração)
* 5 – 1 = 4 (14$^a$ subtração)
* 4 – 1 = 3 (15$^a$ subtração)
* 3 – 1 = 2 (16$^a$ subtração)
* 2 – 1 = 1 (17$^a$ subtração)
* 1 – 1 = 0 (18$^a$ subtração)
Como foram feitas dezoito subtrações, a divisão de 18 por 1 resulta em 18 com resto 0.

### 18 ÷ 0 = ${\infty }$

* 18 – 0 = 18 (1$^a$ subtração)
* 18 – 0 = 18 (2$^a$ subtração)
* 18 – 0 = 18 (3$^a$ subtração)
Como foram feitas infinitas subtrações, a divisão de 18 por 0 resulta em ${\infty }$. Isso ocorre, pois o resultado das subtrações continuarão sendo 18 e jamais serão um número menor que o dividendo (lembrando que o resto deve ser sempre menor que o dividendo), portanto seria infinitas subtrações.

## Outras formas de subtrações como prova
### 6 ÷ 6 = 1

* 6 – 6 = 0

### 6 ÷ 5 = 1,2

* 6 – 5 = 1

### 6 ÷ 4 = 1,5

* 6 – 4 = 2

### 6 ÷ 3 = 2

* 6 – 3 – 3 = 0

### 6 ÷ 2 = 3

* 6 – 2 – 2 – 2 = 0

### 6 ÷ 1 = 6

* 6 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 = 0

### 6 ÷ 0 = ${\infty }$

* 6 – 0 – 0 – 0 ... = 6

## Três possíveis situações

Sabendo que a expressão algébrica $a\div b=c$ (a dividido por b é igual a c) equivale à expressão algébrica a = $b\times c$ (a é igual a b multiplicado por c), podemos definir as três possíveis situações encontradas ao tentar dividir algum número por zero.

### 99 ÷ 0 = ${\infty }$

* Qualquer número positivo dividido por zero resulta em ${\infty }$.

### (-99) ÷ 0 = (-${\infty }$)

* Qualquer número negativo dividido por zero resulta em (-${\infty }$).

### 0 ÷ 0 = indeterminado

* Zero dividido por zero resulta em indeterminado, pois qualquer número (com exceção do infinito e do infinito negativo) multiplicado por zero, sempre irá resultar em zero e não é determinado o único valor de quociente para esta divisão. Vale ressaltar que zero é número neutro, ou seja, não é positivo e nem negativo.

## Divisão por zero na natureza

É possível encontrar a divisão por zero sendo representada pela singularidade de um buraco negro. Usando a fórmula da densidade $d={\frac {m}{v}}$, a massa de um buraco negro está contida em um volume que tende a zero, concebendo assim, a singularidade.