# Número primo

Um número primo é um número natural maior que 1 que não pode ser formado pela multiplicação de outros dois naturais menores. Um número natural maior que 1 que não é primo é chamado de número composto. Por exemplo, 5 é primo porque as únicas maneiras de escrevê-lo como um produto, 1 × 5 ou 5 × 1, envolvem o próprio 5. No entanto, 4 é composto porque é um produto (2 × 2) no qual ambos os números são menores que 4. Os primos são centrais na teoria dos números devido ao teorema fundamental da aritmética: todo número natural maior que 1 é ou um primo, ou pode ser fatorado como um produto de primos de maneira única, salvo pela ordem dos fatores.
A propriedade de ser primo é chamada primalidade. Um método simples, mas lento, de verificar a primalidade de um número dado n, chamado de divisão por tentativa, testa se n é um múltiplo de qualquer inteiro entre 2 e ${\sqrt {n}}$. Algoritmos mais rápidos incluem o teste de primalidade de Miller-Rabin, que é rápido, mas tem uma pequena chance de erro, e o teste de primalidade AKS, que sempre produz a resposta correta em tempo polinomial, mas é muito lento para ser prático. Métodos particularmente rápidos estão disponíveis para números de formas especiais, como números de Mersenne. Em outubro de 2024, o maior número primo conhecido é um número primo de Mersenne com 41 024 320 algarismos.
Há infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C. Não existe uma fórmula simples conhecida que distinga números primos de números compostos. No entanto, a distribuição de números primos nos números naturais em geral pode ser modelada estatisticamente. O primeiro resultado nessa direção é o teorema dos números primos, provado no final do século XIX, que afirma que a probabilidade de um número grande escolhido aleatoriamente ser primo é inversamente proporcional ao número de seus dígitos, ou seja, ao seu logaritmo.
Várias questões históricas relacionadas a números primos continuam sem solução. Estas incluem a conjectura de Goldbach, que afirma que todo número inteiro par maior que 2 pode ser expresso como a soma de dois números primos, e a conjectura dos números primos gêmeos, que diz que existem infinitos pares de números primos cuja diferença é igual a dois. Tais questões estimularam o desenvolvimento de várias áreas da teoria dos números, concentrando-se em aspectos analíticos ou algébricos dos números. Números primos são utilizados em diversos procedimentos na tecnologia da informação, como na criptografia de chave pública, que depende da dificuldade de decompor números grandes em seus fatores primos. Na álgebra abstrata, objetos que se comportam de maneira generalizada como números primos incluem elementos primos e ideais primos.

## Definição e exemplos

Um número natural (1, 2, 3, 4, 5, 6 etc.) é chamado de número primo se é maior que 1 e não pode ser escrito como o produto de dois números naturais menores. Os números maiores que 1 que não são primos são chamados de números compostos. Noutras palavras, n é primo se n elementos não podem ser divididos em grupos menores, porém maior que apenas um, de mesma quantidade, ou não é possível organizar n pontos em uma grade retangular que possui mais de um ponto de altura ou largura. Por exemplo, entre os números de 1 a 6, os números 2, 3 e 5 são primos, visto que não há nenhum outro número que os divida igualmente (sem deixar resto). 1 não é primo, pois é especificadamente excluído da definição. 4 = 2 × 2 e 6 = 2 × 3 são ambos compostos.
Os divisores de um número natural n são os números naturais que dividem igualmente n. Todo número natural tem tanto 1 quanto ele mesmo como divisores. Se ele possuir qualquer outro divisor além desses dois, então não será primo. Isso leva a uma definição equivalente de número primo: são os números que possuem exatamente dois divisores positivos. Esses dois números são justamente 1 e ele mesmo. Como 1 possui apenas um único divisor, ele mesmo, não é primo por definição. Ainda, outra maneira de expressar a mesma coisa, é que um número n é primo se é maior que um e nenhum dos números 2, 3, ... , n − 1 divide igualmente n.
Os primeiros 25 números primos (todos os primos menores que 100) são:
    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (sequência A000040 na OEIS)
Nenhum número par n maior que 2 é primo, visto que tal número pode ser expresso como o produto 2 × n/2. Portanto, Todo número primo além do 2 é um número impar. Similarmente, quando escrito no sistema decimal usual, todos os números primos maiores que 5 terminam em 1, 3, 7 ou 9. Os números que terminam com os outros dígitos são sempre compostos: um número decimal terminado nos dígitos 0, 2, 4, 6 ou 8 são pares, e os números decimais que terminam em 0 ou 5 são divisíveis por 5.
O conjunto de todos os primos é às vezes denotado pela letra P (uma letra P maiúscula em negrito) ou por $\mathbb {P}$ (uma letra P maiúscula em blackboard bold)

## História

A origem do conceito número primo é incerta, todavia, há um indício de consciência desses números demonstrado pelo osso de Ishango, um achado osseo datado do Paleolítico Superior, no qual aparecem sinais representando os números primos entre 10 e 20, mas isso pode ser apenas uma coincidência. Outro indício pode ser observado na mesopotâmia no segundo milênio a.C., onde há tábuas contendo soluções para alguns problemas aritméticos relativos que, para serem solucionados, requerem um conhecimento de fatoração em números primos. No mesmo milênio, datado de aproximadamente 1550 a.C., o Papiro de Rhind tem expansões de frações egípcias de diferentes formas para números primos e compostos. As expansões de números que compartilham o menor dos seus fatores são semelhantes, sugerindo que os egípcios estavam pelo menos cientes da diferença entre números primos e compostos.
Entretanto, o primeiro registro sobrevivente do estudo de números primos vem dos matemáticos da Grécia Antiga, que os chamaram de prōtos arithmòs (πρῶτος ἀριθμὸς). Os Elementos de Euclides prova a infinidade dos números primos e o teorema fundamental da aritmética, e mostra como construir um número perfeito a partir de um primo de Mersenne. Outra invenção grega, o crivo de Eratóstenes, ainda é utilizado para construir listas de primos. Os séculos seguintes foram marcados por um certo desinteresse pelo estudo dos números primos, sem haver resultados relevantes neste tópico.
Por volta de 1000 d.C., o matemático islâmico Alhazém enunciou o teorema de Wilson, caracterizando os números primos como os números n dividem igualmente (n − 1)! + 1. Ele também conjecturou que todo número perfeito par vêm da construção de Euclides usando primos de Mersenne, mas não conseguiu prová-la. Outro matemático islâmico, Ibne Albana de Marraquexe, observou que o crivo de Eratóstenes pode ser agilizado considerando apenas os divisores primos até a raiz quadrada da cota superior. Fibonacci levou as inovações dos matemáticos islâmicos à Europa. No seu livro Liber Abaci (1202), foi o primeiro a descrever a divisão por tentativa para realizar o teste de primalidade, novamente utilizando divisores somente até à raiz quadrada do número a ser realizado o teste.
Em 1640, Pierre de Fermat afirmou (sem provar) o pequeno teorema de Fermat (que posteriormente foi provado por Leibniz e Euler) e o teorema de Fermat sobre somas de dois quadrados (provado por Euler). Fermat também investigou a primalidade dos números de Fermat 2$^{2n}$ + 1, e Marin Mersenne estudou os primos de Mersenne, primos da forma 2$^p$ − 1 com p primo. Christian Goldbach formulou a conjectura de Goldbach, que todo número par é a soma de primos, numa carta de 1742 para Euler. Euler provou a conjectura de Alhazém (agora chamado de teorema de Euclides–Euler [en]) que dizia que todo número perfeito par pode ser construido a partir de primos de Mersenne. Ele introduziu métodos da análise matemática a esta área nas suas provas da infinitude dos números primos e a divergência da série dos inversos dos primos ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots$. No início do século XIX, Legendre e Gauss conjecturaram que conforme x tende a infinito, o número de primos menores que x é assintótico a x/log x, onde log x é o logaritmo natural de x. Uma pequena consequência dessa alta densidade de primos era o postulado de Bertrand, que para todo n > 1, existe pelo menos um primo entre n e 2n, provado em 1852 por Pafnuty Chebyshev. As ideias de Bernhard Riemann no seu artigo de 1859 sobre a função zeta esboçaram uma prova da conjectura de Legendre e Gauss. Apesar de a hipótese de Riemann, intimamente relacionada, ainda não tenha sido comprovada, o esboço de Riemann foi concluído em 1896 por Hadamard e de la Vallée Poussin, e agora o resultado é conhecido como o teorema dos números primos. Outro importante resultado do século XIX foi o teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas, que afirma que certas progressões aritméticas possuem infinitos números primos.
Diversos matemáticos trabalharam em testes de primalidade para números demasiados grandes, os quais a divisão por tentativa torna-se inviável. Alguns métodos são restritos a algum tipo específico de número, como o teste de Pépin para números de Fermat (1877), o teorema de Proth (c. 1878), o teste de primalidade de Lucas–Lehmer (originalmente desenvolvido em 1878) e o teste de primalidade de Lucas generalizado. Desde 1951, todos os maiores primos conhecidos foram encontrados utilizando esses testes em computadores. A pesquisa por números primos cada vez maiores gerou interesses fora do círculo da matemática pelo Great Internet Mersenne Prime Search e outros projetos de processamento distribuído. A ideia de que os números primos tinham poucas aplicações fora da matemática pura foi desfeita na década de 1970, quando a criptografia de chave pública e o sistema de criptografia RSA foram inventados, usando números primos como base.
O aumento da importância prática dos testes de primalidade e da fatoração computadorizados levou ao desenvolvimento de métodos aprimorados capazes de lidar com um grande número de formas irrestritas. A teoria matemática também avançou com o teorema de Green–Tao (2004), que afirma a existência de progressões aritméticas comprimento arbitrário de números primos, e a prova de 2013 de Yitang Zhang de que existem intervalos entre primos de tamanho limitado.

### Primalidade do um

A maioria dos antigos gregos nem consideravam 1 ser um número, então eles nem consideravam a sua primalidade. Alguns estudiosos da tradição grega e da romana, incluindo Nicômaco, Jâmblico, Boécio e Cassiodoro, consideravam os números primos como uma subdivisão dos números ímpares, então também não consideravam o 2 ser primo. No entanto, Euclides e a maioria dos outros matemáticos gregos consideravam 2 um número primo. Os matemáticos islâmicos medievais seguiram em grande parte os gregos ao considerar que 1 não era um número. Na Idade Média e Renascença, matemáticos começaram a tratar o 1 como um número, e alguns deles incluia-o como o primeiro número primo. Em meados do século XVIII, Christian Goldbach listou 1 sendo primo em sua correspondência com Leonhard Euler; porém, o próprio Euler não considerava 1 como primo. Ainda no século XIX, diversos matemáticos ainda consideravam 1 ser primo, e listas de números primos que incluíam 1 continuaram a ser publicadas até 1956.
Se a definição de número primo fosse alterada para incluir o 1, diversas afirmações envolvendo números precisariam ser reformuladas de uma forma mais complicada. Por exemplo, o teorema fundamental da aritmética teria que ser reescrita para em termos de fatores maiores que 1, pois todo número poderia ter múltiplas decomposições com diferentes quantidades de cópias de 1. Similarmente, o crivo de Eratóstenes não funcionaria adequadamente se 1 fosse tratado como primo, pois eliminaria todos os múltiplos de 1 (isto é, todos os outros números) e resultaria em apenas um único número 1. Algumas outras propriedades mais técnicas dos primos também não iria funcionar para o número 1: por exemplo, as fórmulas para a função totiente de Euler ou para a função soma dos divisores são diferentes para números primos e para 1. No início do século XX, matemáticos começaram a concordar que 1 não deveria ser listado como primo, mas sim uma categoria própria especial chamada "unidade".

## Os átomos da aritmética

Os gregos foram os primeiros a perceber que qualquer número natural, exceto o $1,$ pode ser gerado pela multiplicação de números primos, os chamados "blocos de construção". A primeira pessoa, até onde se sabe, que produziu tabelas de números primos foi Eratóstenes, no terceiro século a.C. Ele escrevia inicialmente uma lista com todos os números de $1$ a $100.$ Em seguida escolhia o primeiro primo, $2,$ e eliminava da lista todos os seus múltiplos. Passava ao número seguinte que não fora eliminado e procedia também eliminando todos os seus múltiplos. Desta forma Eratóstenes produziu tabelas de primos, mais tarde este procedimento passou a se chamar de crivo de Eratóstenes. Observe a ilustração a seguir:
* Crivo de Eratóstenes
Assim obtemos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ... A partir desse procedimento podemos simplificar a descobertas de primos usando o lema: Se um número natural n > 1 não é divisível por nenhum primo p tal que $p^{2}$ ≤ n, então ele é primo. (demonstrado adiante). Este lema fornece um teste de primalidade, pois, para verificar se um dado número n é primo, basta verificar que não é divisível por nenhum p que não supere ${\sqrt {n}}.$
Durante o século XVII os matemáticos descobriram o que acreditavam ser um método infalível para determinar se um número $N$ era primo: calcule $2$ elevado a potência $N$ e divida-o por $N,$ se o resto for $2,$ então o número será primo. Em termos da calculadora-relógio de Gauss, esses matemáticos estavam tentando calcular $2^{N}$ em um relógio com $N$ horas. Em 1819, o teste dos números primos foi eliminado, pois funciona para todos os números até $340,$ mas falha para $341=11\times 31.$ Exceção descoberta com uma calculadora-relógio de Gauss contendo 341 horas utilizada para simplificar a análise de um número como $2^{341}.$

### Teoria dos números

Sabe-se que, à medida que avançamos na sequência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta duas questões: O conjunto dos números primos seria finito ou infinito? Dado um número natural $n,$ qual é a proporção de números primos entre os números menores que $n$?
* A resposta à primeira questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido na parte central dos Elementos de Euclides, que lida com as propriedades dos números. Na proposição 20, Euclides explica uma verdade simples porém fundamental sobre os números primos: existe um número infinito deles. Pode-se demonstrar, em notação moderna, da seguinte forma:
    Supondo que o número de primos seja finito e sejam $p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ ...,\ p_{n}$ os primos. Seja $P$ o número tal que
$P$ = $\prod _{i=1}^{n}p_{i}+1,$ onde $\prod$ denota o produtório.
    Se $P$ é um número primo, é necessariamente diferente dos primos $p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ ...,\ p_{n},$ pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1.
    Por outro lado, se $P$ é composto, existe um número primo $q$ tal que $q$ é divisor de $P.$
    Mas obviamente $q\neq \ p_{1},\;p_{2},\;...,\;p_{n}.$ Logo existe um novo número primo.
    Há um novo número primo, seja $P$ primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.
    Uma outra prova envolve considerar um número inteiro $n>1.$ Temos $n+1$ que, necessariamente, é coprimo de $n$ (números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que $1$). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado $0$ e resto $n$ e do maior pelo menor tem resultado $1$ e resto $1.$ Assim, $n(n+1)$ tem, necessariamente, ao menos dois factores primos.
    Tomemos o sucessor deste, que representamos como $n(n+1)+1.$ Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a $n(n+1).$ Ao multiplicar os dois números, temos $[n(n+1)]*[n(n+1)+1].$ Como um de seus fatores tem pelo menos dois factores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três factores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.
* A resposta para a segunda pergunta acima é que essa proporção é aproximadamente ${\frac {n}{\ln(n)}},$ onde $\ln$ é o logaritmo natural.
* Para qualquer número inteiro $k,$ existem $k$ números inteiros consecutivos todos compostos.
* O produto de qualquer sequência de $k$ números inteiros consecutivos é divisível por $k!$
* Se $k$ não é primo, então $k$ possui, necessariamente, um fator primo menor do que ou igual a ${\sqrt {k}}.$
* Todo inteiro maior que 1 pode ser representado de maneira única como o produto de fatores primos

## Grupos e sequências de números primos

Pierre de Fermat (1601-1665) descobriu que todo número primo da forma $4n+1,$ tal como $5,13,17,29,37,41,$ etc., é a soma de dois quadrados. Por exemplo: $5=1^{2}+2^{2},$ $13=2^{2}+3^{2},$ $17=1^{2}+4^{2},$ $29=2^{2}+5^{2},$ $37=1^{2}+6^{2},$ $41=4^{2}+5^{2}.$
Hoje são conhecidos dois grupos de números primos:
* $(4n+1)$ - que podem sempre ser escritos na forma ($x^{2}+y^{2}$); e
* $(4n-1)$ - nunca podem ser escritos na forma ($x^{2}+y^{2}$).
Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo:
$31$, $331,3.331,33.331,333.331,3.333.331$ e $33.333.331$ são primos mas $333.333.331$ não é, pois $333.333.331=17\times 19.607.843.$
Um olhar mais atento na forma como se distribuem os números primos revela que não há uma regularidade nesta distribuição. Por exemplo existem longos buracos entre os números primos, o número $370.261$ é seguido de cento e onze números compostos e não existem primos entre os números $20.831.323$ e $20.831.533.$
Algumas fórmulas produzem muitos números primos, por exemplo $x^{2}-x+41$ fornece primos quando $x=0,\ 1,\ 2,\ ...,\ 40.$ Veja que para x = 41, a fórmula resulta em $41^{2}$ que não é primo.
Não existe uma fórmula que forneça primos para todos os valores primos de $x,$ de fato em 1752 Goldbach provou que não há uma expressão polinomial em $x$ com coeficientes inteiros que possa fornecer primos para todos os valores de $x.$
Não se sabe se há uma expressão polinomial $ax^{2}+bx+c$ com $a\neq 0$ que represente infinitos números primos. Dirichlet usou métodos para provar que se $a,$ $2b$ e $c$ não têm fator primo em comum, a expressão polinomial a duas variáveis $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ representa infinitos primos, quando $x$ e $y$ assumem valores positivos inteiros.
Fermat pensou que a fórmula $2^{2^{n}}+1$ forneceria números primos para $n=0,\ 1,\ 2,\ ....$ Este números são chamados de números de Fermat e são comumente denotados por $F_{n}.$ Os cinco primeiros números são: $F_{0}=3,\;F_{1}=5,\;F_{2}=17,\;F_{3}=257\;e\;F_{4}=65.537,$ sendo todos primos.

## Aproximações para o n-ésimo primo

Como consequência do teorema do número primo, uma expressão assintótica para o n-ésimo primo $p_{n}$ é: $p_{n}\sim n\ln n.$
Uma aproximação melhor é: ${p_{n}=n\ln n+n\ln \ln n-n+{\frac {n}{\ln n}}\left(\ln \ln n-2\right)-{\frac {n\ln \ln n}{2(\ln n)^{2}}}\left(\ln \ln n-6\right)+O\left({\frac {n}{(\ln n)^{2}}}\right).}$
O teorema de Rosser mostra que $p_{n}$ é maior que $n\ln n.$ É possível melhorar esta aproximação com os limites: $n\ln n+n(\ln \ln n-1)<p_{n}<n\ln n+n\ln \ln n$, para $n\geq 6.$

## Maior número primo conhecido

Em Janeiro de 2013, foi divulgado o maior número primo já calculado até então. Tem 17.425.170 dígitos e, se fosse escrito por extenso, ocuparia 3,4 mil páginas impressas com cinco mil caracteres cada. É o número $2^{57885161}-1$. Foi descoberto por Curtis Cooper, da Universidade Central do Missouri em Warrensburg, EUA, como parte do Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), um projeto internacional de computação compartilhada desenhado para encontrar números primos de Mersene.
Em janeiro de 2016, um grupo de matemáticos da mesma universidade descobriu um número primo com 22.338.618 dígitos, que recebeu o nome "M74207281". É o número $2^{74207281}-1,$ que tem 5 milhões de dígitos a mais que o último conhecido. O achado foi divulgado pelo programa GIMPS.
Em dezembro de 2017 um engenheiro eletrotécnico da empresa de entregas FedEx descobriu um número primo ainda maior: “M77232917”, como foi batizado, tem mais de 23 milhões de dígitos. O homem que o descobriu chama-se Jonathan Pace, tem 51 anos, é norte-americano e também participa do GIMPS. Em dezembro de 2018 uma nova marca de maior número primo foi registrada, alcançando a quantidade de 24 milhões de dígitos.
Em 2024, foi descoberto o maior número primo, 2$^{136279841}$ – 1, com 41 milhões de dígitos (um primo de Mersenne). A descoberta de Luke Durant foi feita com recurso a software gratuito conhecido como Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS). A descoberta envolveu a coordenação de milhares de unidades de processamento gráfico (GPUs) em 24 centros de dados em 17 países.

## Outras Aplicações
### Biologia

* A estratégia evolutiva usada por cigarras do gênero "Magicicada" faz uso de números primos. Evolutivamente, à medida que algumas espécies foram alongando seus períodos de "hibernação", também os de seus predadores naturais foram se alongando. Foram favorecidas aquelas que só emergiam após número primo de anos (13, 17), pois isso reduz ao máximo as chances de encontrar seus predadores naturais. Um exemplo para entender isso é: Imagine uma espécie de cigarra que vire ninfa a cada 2 anos, e uma outra a cada 4. Um predador natural de cigarras que fique hibernando 4 anos, quando sair de sua hibernação, terá como fonte de alimentação ambas espécies, aumentando a quantidade de comida disponível. Já com as cigarras que ficam hibernando um número primo de anos, seus predadores naturais terão que hibernar esse período de temp também, e terão menos opções de comida.
* Há uma espécie de bambu, "Phyllostachys bambusoides", que tem sua florada a cada 23 anos. Cientistas acreditam que esse "número primo de tempo" para cada floração é um diferencial evolutivo dessa espécie frente as demais.

### Mecânica quântica

Começando com o trabalho de Hugh Montgomery e Freeman Dyson na década de 1970, matemáticos e físicos especularam que os zeros da função zeta Riemann estão conectados aos níveis de energia dos sistemas quânticos. Os números primos também são significativos na ciência da informação quântica, graças a estruturas matemáticas como bases mutuamente imparciales e medidas de valor positivo de operadores positivos.