# Binómio de Newton

Em matemática, binómio de Newton ou binômio de Newton permite escrever na forma canônica o polinómio correspondente à potência de um binómio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. Entretanto, deve-se salientar que o Binômio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade, o que Newton estudou foram regras que valem para $(a+b)^{n}$ quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas.
Casos particulares do Binômio de Newton são:
    ${\left(x+y\right)}^{1}=x+y$
    ${\left(x+y\right)}^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$

## Notação e fórmula

O teorema do binômio de Newton se escreve como segue:
    ${\left(x+y\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$
Os coeficientes ${n \choose k}$ são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:
    ${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},$ onde $n$ e $k$ são inteiros, $k\leq n$ e $x!=1\times 2\times \ldots x$ é o fatorial de x.
O coeficiente binomial ${n \choose k}$ corresponde, em análise combinatória, ao número de combinações de n elementos agrupados k a k.

## O triângulo de Pascal

Um algoritmo simples para calcular os coeficientes binomiais é o triângulo de Pascal.
O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por coeficientes binomiais ${\begin{matrix}{n \choose k}\end{matrix}},$ onde $n$ representa o número da linha (posição vertical) e $k$ representa o número da coluna (posição horizontal).
A construção do triângulo faz-se de forma que cada elemento do triângulo de Pascal seja igual à soma dos elementos imediatamente acima e à direita com o elemento imediatamente acima e à esquerda. O elemento da primeira linha e primeira coluna é 1.
O princípio do triângulo de Pascal é a relação de Stifel também conhecida como igualdade do triângulo de Pascal:
    ${n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}={n \choose k}$
Esta fórmula e o triângulo de Pascal são muitas vezes atribuídos a Blaise Pascal, que os descreveu no século XVII. Já eram, no entanto, conhecidos do matemático Chinês Yang Hui no século XIII. O matemático persa Omar Caiam, pode ter sido o primeiro a descobrir.
Por exemplo, o desenvolvimento de diversos binômios através dessa técnica:
    ${\left(x+y\right)}^{2}=x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+x^{0}y^{2}$
    ${\left(x+y\right)}^{3}=x^{3}y^{0}+3x^{2}y^{1}+3x^{1}y^{2}+x^{0}y^{3}$
    ${\left(x+y\right)}^{4}=x^{4}y^{0}+4x^{3}y^{1}+6x^{2}y^{2}+4x^{1}y^{3}+x^{0}y^{4}.$O triângulo de Pascal
Para resolvermos binômios do tipo (x+y)$^n$ é possível utilizar o triângulo de pascal, onde n é a linha reapresentada no triângulo (na imagem indo de 0 à 14). Para iniciar o processo utilizamos o primeiro (x) termo da esquerda para a direita:
(x+y)$^n$= __x$^n$___+__x$^{(n-1)}$__x$^{(n-2)}$+ ...+__x$^{(n-n)}$__
Agora seguindo o mesmo procedimento para o segundo termo (y), porém da direita para a esquerda:
(x+y)$^n$=__x$^n$ y$^{(n-n)}$+__x$^{(n-1)}$ y$^1$+__x$^{(n-2)}$ y$^2$+ ...+__x$^{(n-n)}$ y$^n$.
Para sabermos os coeficientes deste binômio basta olhar, no triângulo de Pascal, a n-ésima linha e colocá-los na ordem em que se encontra.
Para isso, segue o seguinte exemplo:
${\left(x+y\right)}^{3}=x^{3}y^{0}+3x^{2}y^{1}+3x^{1}y^{2}+x^{0}y^{3}$
Podemos ver que os coeficientes correspondem aos da linha 3 do triângulo de Pascal.
Neste exemplo podemos verificar que os coeficientes são, consecutivamente, os valores da linha 3 do triângulo de Pascal.
Sendo assim teríamos para cada linha do triângulo de Pascal um binômio:
| n | | | | | | | | (x+y)$^n$ |
| 0 | 1 | | | | | | | 1 |
| 1 | 1 | 1 | | | | | | x+y |
| 2 | 1 | 2 | 1 | | | | | x$^2$+2xy+y$^2$ |
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | | | | x$^3$+3x$^2$y+3xy$^2$+y$^3$ |
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | | | x$^4$+4x$^3$y+6x$^2$y$^2$+4xy$^3$+y$^4$ |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | | x$^5$+5x$^4$y+10x$^3$y$^2$+10x$^2$y$^3$+5xy$^4$+y$^5$ |
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | x$^6$+6x$^5$y+15x$^4$y$^2$+20x$^3$y$^3$+15x$^2$y$^4$+6xy$^5$+y$^6$ |

## Demonstração do teorema do Binômio de Newton

Antes de começar, vale lembrar que:
    $\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}a_{k-1}$ (1)
Sejam x, y elementos de um anel comutativo( xy=yx) e n um inteiro não-negativo.
    $(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$
Demonstraremos por indução matemática.
       Base:
    $n=0~,\qquad (x+y)^{0}=1={0 \choose 0}x^{0}y^{0}$
    $n=1~,\qquad (x+y)^{1}=x+y={1 \choose 0}x^{1}y^{0}+{1 \choose 1}x^{0}y^{1}$
       Recorrência:
Seja n um inteiro maior ou igual a 1, mostraremos que a relação para n implica a relação para n+1:
Da hipótese de indução:
    $(x+y)^{n+1}=(x+y)\cdot \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k},$
Por distributividade de produto sob a soma:
    $(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot \sum _{k=1}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y^{n+1}$
Que pode ser reescrito usando (1):
    $(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot \sum _{k=1}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y\cdot \sum _{k=1}^{n}{n \choose k-1}x^{n-k+1}y^{k-1}+y^{n+1}$
    $(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left\lbrack {{n} \choose {k}}+{{n} \choose {k-1}}\right\rbrack x^{n-k+1}y^{k}+y^{n+1}$
Usando a formula do triângulo de Pascal:
    $(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{{n+1} \choose k}~x^{n-k+1}y^{k}+y^{n+1}$
Reagrupando o somatório:
    $(x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{{n+1} \choose k}~x^{n-k+1}y^{k}$
E segue o resultado.

## Aplicações

O binómio de Newton pode ser usado para derivar diversas expressões matemáticas, através da escolha adequada de x e y. Por exemplo:
* $0=(1-1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{k}$
* $2^{n}=(1+1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}$
* $2^{2n}=(1+1)^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{2n \choose k}$
* $1=[x+(1-x)]^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}B_{k}^{n}(x),$ onde $B_{k}^{n}(x)$ são os polinómios de Bernstein.
    Recomendado:${\left(x+y\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$