# Primo de Mersenne

Primo de Mersenne é um número de Mersenne (número da forma M$_n$ = 2$^n$ – 1, com "n" número natural) que também é um número primo. Nem todo número de Mersenne é primo: entre os números de Mersenne, com efeito, há aqueles que são primos; porém, além do número um, que é número de Mersenne (M$_1$ = 1), porém não-primo, pois singular, há também números de Mersenne compostos.
* Assim: M$_2$ = 3, M$_3$ = 7, M$_5$ = 31, M$_7$ = 127, M$_{13}$ = 8.191, M$_{17}$ = 131.071, M$_{19}$ = 524.287... etc. formam a série de mersennes primos.
* Mas: M$_0$ = 0 (composto, par); M$_1$ = 1 (singular, ímpar); M$_4$ = 15, M$_6$ = 63, M$_8$ = 255, M$_9$ = 511, M$_{10}$ = 1.023, M$_{11}$ = 2.047, M$_{12}$ = 4.095... etc. (todos números compostos e ímpares), formam a série de mersennes não-primos (o zero; o um; e os demais, compostos ímpares).
É o maior número primo conhecido. O número é um tipo especial de primo chamado primo de Mersenne que é da forma 2 elevado a alguma potência menos 1; neste caso, 2 $^{136279841}$ - 1, que tem 41 024 320 dígitos. Assumindo 3 000 caracteres por página, imprimi-lo levaria mais de 13 000 páginas. O novo grande primo foi encontrado usando um algoritmo otimizado para rodar em unidades de processamento gráfico (GPUs) da NVIDIA, os poderosos chips usados ​​em muitas aplicações de IA. Apenas 52 primos de Mersenne são conhecidos e, em notação binária, eles consistem em todos os 1s.

## História

Tabela de conjecturas de Mersenne: n ≤ 263 :
| P: M$_n$ é Mersenne prime —: M$_n$ é o número composto de Mersenne Ciano: Mersenne tinha planejado Rosa: ele tinha planejado o oposto |||||||||
| n | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 |
| M$_n$ | P | P | P | P | — | P | P | P |
| n | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 |
| M$_n$ | — | — | P | — | — | — | — | — |
| n | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 |
| M$_n$ | — | P | — | — | — | — | — | P |
| n | 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 |
| M$_n$ | — | — | — | P | — | — | P | — |
| n | 137 | 139 | 149 | 151 | 157 | 163 | 167 | 173 |
| M$_n$ | — | — | — | — | — | — | — | — |
| n | 179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 |
| M$_n$ | — | — | — | — | — | — | — | — |
| n | 227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 |
| M$_n$ | — | — | — | — | — | — | — | — |
Os registros históricos dão conta de que os números primos de Mersenne, como atualmente conhecidos, já eram considerados por Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.), o notável matemático platônico, o criador da geometria euclidiana. Euclides, ao estudá-los, achou-lhes conexão com os números perfeitos. O nome atual, entretanto, veio em consequência dos estudos de Marin Mersenne, matemático francês que chegou a compilar uma lista de mersennes primos até o expoente 257. Verificou-se, posteriormente, que a lista era apenas parcialmente correta: em seu trabalho, ele omitiu M$_{61}$, M$_{89}$, M$_{107}$ (que são primos), bem como incluiu impropriamente M$_{67}$ e M$_{257}$ (que são compostos). Não se tem informação de como Mersenne obteve essa lista e sua verificação rigorosa só foi levada a efeito mais de dois séculos depois.

## Marin Mersenne

Assim como os números de Mersenne, chamam-se assim esses números em honra ao seu mais ilustre estudioso, Marin Mersenne (Oizé, 8 de setembro de 1588 - Paris, 1 de setembro de 1648), matemático, teórico musical, padre mínimo, teólogo e filósofo francês. Dos estudos matemáticos, em especial na teoria dos números, notabilizou-o sobretudo a sua contribuição relativa aos chamados primos de Mersenne.

## Propriedades

Um resultado elementar sobre os números de Mersenne afirma que se $2^{n}-1$ é um número primo, então n também é um número primo. Isso porque o polinômio $x^{nm}-1$ é divisível pelo polinômio $x^{n}-1$:
    $x^{nm}-1=(x^{n}-1)*\sum _{i\mathop {=} 1}^{m}x^{i-1}\,$
e os dois fatores, para $x=2$, são números maiores que 1.
Uma das questões em aberto na matemática é se existem finitos ou infinitos primos de Mersenne.
Uma outra propriedade é que sabendo que $x^{n}-1$ é divisível pelo polinómio $x-1$ podemos admitir que só com $x=2$ é que se podem obter números primos em expressões do tipo $x^{n}-1$.

## Recorde atual (2024)

O número é um tipo especial de primo chamado primo de Mersenne que é da forma 2 elevado a alguma potência menos 1; neste caso, 2 $^{136279841}$ - 1, que tem 41 024 320 dígitos. Assumindo 3 000 caracteres por página, imprimi-lo levaria mais de 13 000 páginas. O novo grande primo foi encontrado usando um algoritmo otimizado para rodar em unidades de processamento gráfico (GPUs) da NVIDIA, os poderosos chips usados ​​em muitas aplicações de IA. Apenas 52 primos de Mersenne são conhecidos e, em notação binária, eles consistem em todos os 1s.

## Primos de Mersenne conhecidos

Abaixo esetão listados os números primos de Mersenne conhecidos, acompanhados dos descobridores e época. Nota-se que para os maiores primos de Mersenne somente por meio de computação assistida por artefatos construídos pelo gênio inventivo humano tem sido possível a descoberta. Para mais detalhes, ver Grupo de Busca dos Números Primos de Mersenne, Great Internet Mersenne Prime Search – GIMPS.
| # | n | M$_n$ | Digitos em M$_n$ | Data de descobrimento | Descobridor |
| 1 | 2 | 3 | 1 | Antiguidade | Antiguidade |
| 2 | 3 | 7 | 1 | Antiguidade | Antiguidade |
| 3 | 5 | 31 | 2 | Antiguidade | Antiguidade |
| 4 | 7 | 127 | 3 | Antiguidade | Antiguidade |
| 5 | 13 | 8.191 | 4 | 1456 | anônimo |
| 6 | 17 | 131.071 | 6 | 1588 | Cataldi |
| 7 | 19 | 524.287 | 6 | 1588 | Cataldi |
| 8 | 31 | 2.147.483.647 | 10 | 1772 | Euler |
| 9 | 61 | 2.305.843.009.213.693.951 | 19 | 1883 | Pervushin |
| 10 | 89 | 618970019…449.562.111 | 27 | 1911 | Powers |
| 11 | 107 | 162259276…010.288.127 | 33 | 1914 | Powers |
| 12 | 127 | 170141183…884.105.727 | 39 | 1876 | Lucas |
| 13 | 521 | 686479766…115.057.151 | 157 | 30 de janeiro de 1952 | Robinson |
| 14 | 607 | 531137992…031.728.127 | 183 | 30 de janeiro de 1952 | Robinson |
| 15 | 1.279 | 104079321…168.729.087 | 386 | 25 de junho de 1952 | Robinson |
| 16 | 2.203 | 147597991…697.771.007 | 664 | 7 de outubro de 1952 | Robinson |
| 17 | 2.281 | 446087557…132.836.351 | 687 | 9 de outubro de 1952 | Robinson |
| 18 | 3.217 | 259117086…909.315.071 | 969 | 8 de setembro de 1957 | Riesel |
| 19 | 4.253 | 190797007…350.484.991 | 1.281 | 3 de novembro de 1961 | Hurwitz |
| 20 | 4.423 | 285542542…608.580.607 | 1.332 | 3 de novembro de 1961 | Hurwitz |
| 21 | 9.689 | 478220278…225.754.111 | 2.917 | 11 de maio de 1963 | Gillies |
| 22 | 9.941 | 346088282…789.463.551 | 2.993 | 16 de maio de 1963 | Gillies |
| 23 | 11.213 | 281411201…696.392.191 | 3.376 | 2 de junho de 1963 | Gillies |
| 24 | 19.937 | 431542479…968.041.471 | 6.002 | 4 de março de 1971 | Tuckerman |
| 25 | 21.701 | 448679166…511.882.751 | 6.533 | 30 de outubro de 1978 | Noll e Nickel |
| 26 | 23.209 | 402874115…779.264.511 | 6.987 | 9 de fevereiro de 1979 | Noll |
| 27 | 44.497 | 854509824…011.228.671 | 13.395 | 8 de abril de 1979 | Nelson e Slowinski |
| 28 | 86.243 | 536927995…433.438.207 | 25.962 | 25 de setembro de 1982 | Slowinski |
| 29 | 110.503 | 521928313…465.515.007 | 33.265 | 25 de setembro de 1988 | Colquitt e Welsh |
| 30 | 132.049 | 512740276…730.061.311 | 39.751 | 20 de setembro de 1983 | Slowinski |
| 31 | 216.091 | 746093103…815.528.447 | 65.050 | 6 de setembro de 1985 | Slowinski |
| 32 | 756.839 | 174135906…544.677.887 | 227.832 | 19 de setembro de 1992 | Slowinski e Gage |
| 33 | 859.433 | 129498125…500.142.591 | 258.716 | 10 de janeiro de 1994 | Slowinski e Gage |
| 34 | 1.257.787 | 412245773…089.366.527 | 378.632 | 3 de setembro de 1996 | Slowinski e Gage |
| 35 | 1.398.269 | 814717564…451.315.711 | 420.921 | 13 de novembro de 1996 | GIMPS / Joel Armengaud |
| 36 | 2.976.221 | 623340076…729.201.151 | 895.932 | 24 de agosto de 1997 | GIMPS / Gordon Spence |
| 37 | 3.021.377 | 127411683…024.694.271 | 909.526 | 27 de janeiro de 1998 | GIMPS / Roland Clarkson |
| 38 | 6.972.593 | 437075744…924.193.791 | 2.098.960 | 1 de junho de 1999 | GIMPS / Nayan Hajratwala |
| 39 | 13.466.917 | 924947738…256.259.071 | 4.053.946 | 14 de novembro de 2001 | GIMPS / Michael Cameron |
| 40 | 20.996.011 | 125976895…855.682.047 | 6.320.430 | 17 de novembro de 2003 | GIMPS / Michael Shafer |
| 41 | 24.036.583 | 299410429…733.969.407 | 7.235.733 | 15 de maio de 2004 | GIMPS / Josh Findley |
| 42$^*$ | 25.964.951 | 122164630…577.077.247 | 7.816.230 | 18 de fevereiro de 2005 | GIMPS / Martin Nowak |
| 43$^*$ | 30.402.457 | 315416475…652.943.871 | 9.152.052 | 15 de dezembro de 2005 | GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone |
| 44$^*$ | 32.582.657 | 124575026…053.967.871 | 9.808.358 | 4 de setembro de 2006 | GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone |
| 45$^*$ | 37.156.667 | 202254406…308.220.927 | 11.185.272 | 6 de setembro de 2008 | GIMPS / Hans-Michael Elvenich |
| 46$^*$ | 42.643.801 | 169873516…562.314.751 | 12.837.064 | 12 de abril de 2009 | GIMPS / Odd M. Strindmo |
| 47$^*$ | 43.112.609 | 316470269…697.152.511 | 12.978.189 | 23 de agosto de 2008 | GIMPS / Edson Smith |
| 48$^*$ | 57.885.161 | 581887266…724.285.951 | 17.425.171 | 25 de janeiro de 2013 | GIMPS / Curtis Cooper |
| 49$^*$ | 74.207.281 | 300376418084…391086436351 | 22.338.618 | 7 de janeiro de 2016 | GIMPS / Curtis Cooper |
| 50$^*$ | 77.232.917 | 467333183359...069762179071 | 23.249.426 | 26 de dezembro de 2017 | GIMPS / Jonathan Pace |
| 51$^*$ | 82.589.933 | 148894445742...325217902591 | 24.862.048 | 7 de dezembro de 2018 | GIMPS / Patrick Laroche |
| 52 | 136.279.841 | 881694327503...219486871551 | 41.024.320 | 21 de outubro de 2024 | GIMPS / Luke Durant |
    (*) A tabela acima não é discretamente exaustiva em todo o intervalo apresentado. Até agora ( quinta-feira, 14 de novembro de 2024 01h17min (UTC)), do que a tabela contém, sabe-se (por critérios algorítmicos de busca exaustiva) que todos os primeiros primos de Mersenne de M$_2$ a M$_{13.466.917}$ já foram identificados e são ali listados. Entretanto, entre os primos M$_{25964951}$ e M$_{57885161}$ (respetivamente, 42º e 48º elementos da lista), não se tem registro oficial de outros primos de Mersenne — o que não significa poder afirmar-se inequivocamente não os haja: os intervalos são cada vez maiores e as buscas são cada vez mais trabalhosas. Como exemplo histórico, cite-se que o 29.º primo de Mersenne foi descoberto somente após os 30º e 31º. É digno de nota que após a descoberta de M$_{[46º]}$, em apenas 14 dias descobriu-se um primo de Mersenne menor (M$_{[45º]}$, conforme acima citado).
Padrão de distribuição dos expoentes dos números primos de Mersenne módulo 12:
Congruência 1 (mod 12): 21,15%
Congruência 5 (mod 12): 40,38%
Congruência 7 (mod 12): 25,00%
Congruência 11 (mod 12): 9,62%
Números separados por congruência (mod 12):
Congruência 1: [13, 61, 2281, 3217, 23209, 44497, 132049, 13466917, 30402457, 42643801, 74207281]
Congruência 5: [5, 17, 89, 521, 4253, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 859433, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 32582657, 43112609, 57885161, 77232917, 82589933, 136279841]
Congruência 7: [7, 19, 31, 127, 607, 1279, 2203, 4423, 110503, 216091, 1257787, 20996011, 24036583]
Congruência 11: [107, 86243, 756839, 25964951, 37156667]
E todos os primos Mercenne maiores que 5 são congruentes a 7 módulo 12