# Domínio (matemática)

Na matemática, e mais especificamente na teoria ingênua dos conjuntos, o domínio de definição (ou simplesmente o domínio) de uma função é o conjunto de valores de "entrada" ou argumento para os quais a função é definida. Ou seja, a função fornece uma "saída" ou valor para cada membro do domínio. Por outro lado, o conjunto de valores que a função assume como saída é denominado imagem da função, o que às vezes também é chamado de intervalo da função.
Por exemplo, o domínio do cosseno é o conjunto de todos os números reais, o domínio da raiz quadrada consiste apenas em números maiores ou iguais a 0, enquanto o domínio do logarítmo consiste em todos os números reais positivos não-nulos ($\mathbb {R} _{*}^{+}$, $(0,+\infty )$) (ignorando números complexos em todos os casos).
Se o domínio de uma função é um subconjunto dos números reais e a função é representada em um sistema de coordenadas cartesianas, então o domínio é representado no eixo x.

## Definição formal

Dada uma função $f\colon X\to Y$, o conjunto $X$ é o domínio de $f$; o conjunto $Y$ é o contradomínio de $f$. Na expressão $f(x)$, $x$ é o argumento e $f(x)$ é o valor. Pode-se pensar em um argumento como um membro do domínio que é escolhido como uma "entrada" para a função e o valor como a "saída" quando a função é aplicada a esse membro do domínio.
Se tratando de relações entre conjuntos. Seja $R$ uma relação de $A$$_{(domínio)}$ em $B$$_{(contradomínio)}$, então:
$Dom(R)=\{x\in A|\exists y\in B(xRy)\}$ e
$Dom(R)=Im(R^{-1})$
A imagem (às vezes chamada de intervalo) de $f$ é o conjunto de todos os valores assumidos por $f$ para todos os possíveis $x$; este é o conjunto $\left\{f(x)|x\in X\right\}$. A imagem de $f$ pode ser o mesmo conjunto que o contradomínio ou pode ser um subconjunto próprio dele. É, em geral, menor que o contradomínio; é o contradomínio inteiro se e somente se $f$ é uma função sobrejetiva.
Uma função bem definida deve mapear todos os elementos de seu domínio para um elemento de seu contradomínio. Por exemplo, a função $f$ definida por
    $f(x)={\frac {1}{x}}$
não tem valor para $f(0)$. Assim, o conjunto de todos os números reais, $\mathbb {R}$, não pode ser o seu domínio. Em casos como este, a função é definida em $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ ou o "espaço é ligado" definindo explicitamente $f(0)$. Se estendermos a definição de $f$ para
    $f(x)={\begin{cases}1/x&x\not =0\\0&x=0\end{cases}}$
então $f$ é definido para todos os números reais, e seu domínio é $\mathbb {R}$.
Qualquer função pode ser restrita a um subconjunto de seu domínio. A restrição de $g\colon A\to B$ a $S$, onde $S\subseteq A$, é escrita como $\left.g\right|_{S}\colon S\to B$.

## Domínio natural

O domínio natural de uma função é o conjunto máximo de valores para os quais a função é definida, normalmente dentro dos reais, mas às vezes entre os números inteiros ou complexos. Por exemplo, o domínio natural da raiz quadrada é o real não negativo quando considerado como uma função numérica real. Ao considerar um domínio natural, o conjunto de valores possíveis da função é tipicamente chamado de intervalo.

## Domínio de uma função parcial

Há dois significados distintos no uso matemático atual para a noção do domínio de uma função parcial de $X$ a $Y$, isto é, uma função de um subconjunto $X'$ de $X$ a $Y$. A maioria dos matemáticos, incluindo os teóricos de recursão, usam o termo "domínio de $f$ " para o conjunto $X'$ de todos os valores $x$ tais que $f(x)$ é definida. Mas alguns, particularmente os teóricos de categoria, consideram o domínio como sendo $X$, independentemente de existir $f(x)$ para cada $x$ em $X$.

## Teoria das categorias

Na teoria das categorias, lida-se com morfismos em vez de funções. Os morfismos são flechas de um objeto para outro. O domínio de qualquer morfismo é o objeto a partir do qual uma seta começa. Nesse contexto, muitas ideias teóricas que estabelecem os domínios devem ser abandonadas ou, pelo menos, formuladas de maneira mais abstrata. Por exemplo, a noção de restringir um morfismo a um subconjunto de seu domínio deve ser modificada.

## Análise real e complexa

Na análise real e complexa, um domínio é um subconjunto aberto de um espaço vetorial real ou complexo.
Em equações diferenciais parciais, um domínio é um subconjunto aberto do espaço euclidiano $\mathbb {R} ^{n}$, onde o problema é colocado, isto é, onde a(s) função(ões) desconhecida(s) é(são) definida(s).

## Mais exemplos

* Como uma função parcial dos números reais, a função $x\mapsto {\sqrt {x}}$ é definida para todos $x\geq 0$.
* Se se define a raiz quadrada de um número negativo $x$ como o número complexo $z$, com parte imaginária positiva, tal que $z^{2}=x$, a função $x\mapsto {\sqrt {x}}$ é definida para todos os números reais $x$.
* A função $\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$ é definida para todo $x\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$