# Proporcionalidade

A proporcionalidade, para a matemática, a química e a física, é a mais simples e comum relação entre grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente difundido na população leiga pois é bastante útil e de fácil resolução através da "regra de três". Quando existe proporcionalidade direta, a razão (divisão) entre os correspondentes valores das duas grandezas relacionadas é uma constante, e a esta constante dá-se o nome de constante de proporcionalidade.

## Definição

Em regra, a proporcionalidade é uma relação binária que pode ocorrer numa dupla de funções reais de mesmo domínio. Uma função é proporcional a outra se e somente se existe(m) alguma(s) constante(s) real(is) – denominada(s) constante(s) de proporcionalidade – que iguale(m) cada razão entre as valorações. Então, dados um conjunto $X\subseteq \mathbb {R}$ e duas funções $f,g:X\to \mathbb {R}$, temos que: $f$ é proporcional a $g$ se e só se existe alguma constante real $k$ tal que, para todo $x$ ao longo de $X$, ${\frac {f(x)}{g(x)}}=k$ Isso é
    $f\propto g\iff \exists k\in \mathbb {R} .\quad \forall x\in X.\quad {\frac {f(x)}{g(x)}}=k$
Isso vale para os números reais; álgebras exóticas não serão abordadas nesse artigo.
Sendo verdadeira a proporcionalidade, existirão exatamente um ou dois valores possíveis para $k$.
    $\forall x\in X.\quad k\in \left\{{\frac {f(x)}{g(x)}},{\frac {g(x)}{f(x)}}\right\}$
E mantêm a propriedade de serem inversas multiplicativas uma da outra.

## Propriedades

Algumas propriedades da proporcionalidade serão enunciadas e provadas abaixo:

### Equivalente

A relação de proporcionalidade é reflexiva, comutativa (ou "simétrica") e transitiva, portanto, é uma relação de equivalência.

#### Reflexiva

Toda função é proporcional a si mesma.
    $f\propto f$
Provada a partir da definição:
    $\forall x\in X.\quad {\frac {f(x)}{f(x)}}=1$
Este é o único caso em que existe uma só constante real de proporcionalidade.

#### Comutativa (ou "Simétrica")

Não existe uma ordem exata dos objetos, pois seja qual for a sua colocação a proporcionalidade não se altera.
    $f\propto g\iff g\propto f$
Isso porque compartilham do mesmo conjunto de constantes de proporcionalidade:
    $\forall x\in X.\quad k\in \left\{{\tfrac {f(x)}{g(x)}},{\tfrac {g(x)}{f(x)}}\right\}=\left\{{\tfrac {g(x)}{f(x)}},{\tfrac {f(x)}{g(x)}}\right\}$

#### Transitiva

A proporcionalidade é transitiva:
    $f\propto g\land g\propto h\iff f\propto h$
Portando a expressão acima pode ser simplificada em:
    $f\propto g\propto h$
Prova-se a partir da definição:
    ${\begin{aligned}\forall x\in X.\quad f(x)&=\alpha \cdot g(x)\\\forall x\in X.\quad g(x)&=\beta \cdot h(x)\\\therefore \forall x\in X.\quad f(x)&=\alpha \beta \cdot h(x)\\\end{aligned}}$
O produto entre constantes é constante.

## Mecanismos de resolução

Eis alguns processos de cálculo que conservam uma proporcionalidade verdadeira:
* Multiplicação de ambos os termos
* Inversão de ambos os termos
* Eliminação de constantes

### Algoritmos

* "Regra de três" ou "Multiplicação cruzada"
* "Regra de três composta"

### Deduzindo proporcionalidades a partir de igualdades

Considere, por exemplo, a equação de Clapeyron:
    $\forall t\in {\mathfrak {T}}.\quad P(t)\cdot V(t)=n(t)\cdot R\cdot T(t)$

## Formas de proporcionalidade

| Retórica | Simbologia | Exemplo |
| "variação proporcional" | $\Delta a\propto \Delta b$ | Retas paralelas |
| "directamente proporcional" | $a\propto b$ | Semelhança de triângulos |
| "inversamente proporcional" | $ab\propto 1$ | Lei de Boyle-Mariotte (pressão e volume) |
| "proporcional ao quadrado" | $a\propto b^{2}$ | Esfera (raio e volume) |
| "inversamente proporcional ao quadrado" | $ab^{2}\propto 1$ | Gravitação Universal e Lei de Coulomb (força e distância) |
| "proporcional ao cubo" | $a\propto b^{3}$ | Semelhança de pirâmides |
| "inversamente proporcional ao cubo" | $ab^{3}\propto 1$ | Força dipolo permanente (força e distância) |
| "quadrado proporcional ao cubo" | $a^{2}\propto b^{3}$ | Terceira lei de Kepler (período e semieixo maior) |
| "em divina proporção" | ${\tfrac {a+b}{a}}={\tfrac {a}{b}}$ | As alturas do Homem vitruviano até o umbigo e até a cabeça. |

### Proporcionalidade inversa

Se duas funções são inversamente proporcionais, então uma é proporcional ao inverso multiplicativo da outra.
    $a\propto b^{-1}\iff b\propto a^{-1}$
Isso ocorre por que podemos inverter ambos os termos da expressão de proporcionalidade. Ambas as formas estabelecem que:
    $ab\propto 1$

### Divina proporção

Quando o número de ouro $\left(\varphi \approx 1,618\right)$ é uma constante duma relação verdadeira de uma proporcionalidade entre funções positivas diz-se que estão em divina proporção.
Isso ocorre se e somente se:
    ${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\quad \therefore \quad {\frac {a}{b}}=\varphi$

## Aplicações

Além de um enorme número de aplicações cotidianas, a proporcionalidade, associada à análise dimensional é muito útil ao empirismo científico.
A proporcionalidade também é de interesse das artes e do estudo da estética.

## Linearização

Embora a mais simples relação entre grandezas, é sabido contudo que grande parte das relações encontradas entre grandezas físicas naturais não se fazem mediante proporção direta. Há contudo ferramentas matemáticas específicas, a exemplo a troca de variáveis e as linearizações, que permitem reduzir uma relação inicialmente mais complicada a uma relação de proporção direta, quando não ao longo de todo o domínio de validade da relação, ao menos localmente. A expansão em séries de Taylor desempenha importante papel em áreas científicas exatas tanto em teorias como na prática. Indica-se a leitura de artigos específicos para mais informações sobre o assunto.