# Hiperdeterminante

Em álgebra, hiperdeterminante é uma generalização do determinante. Onde um determinante é um valor escalar de uma função definida numa matriz quadrada nxn. Um hiperdeterminante é definida como um vetor multidimensional de números ou hipermatriz. Como um determinante, o hiperdeteriminante é um polinômio homogêneo com coeficientes inteiros nos elementos da hipermatriz. Há muitas outras propriedades dos determinantes generalizados como hiperdeterminantes, porém não como um determinante, o hiperdeterminante não tem uma simples interpretação geométrica em termos de volumes. Ao invés de mais comumente ser definido como um discriminante para um ponto singular num conjunto escalar.
A notação para determinantes é estendida para hiperdeterminantes sem mudanças ou ambiguidades. Desde que o hiperdeterminante de uma hipermatriz A pode ser escrito usando uma notação com barras verticais como |A| ou então det(A).
O texto-padrão moderno para hiperdeterminantes é "Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants", de Gel'fand, Kapranov e Zelevinsky[2] referido a partir de agora como GKZ. Suas notações e terminologias serão seguidas aqui.

## Hiperdeterminante de Cayley

No caso especial de uma hipermatrix 2x2x2, o hiperdeterminante é conhecido como hiperdeterminante de Cayley após o matemático britânico Arthur Cayley tê-lo descoberto. A expressão quártica para o hiperdeterminante de Cayley de uma hipermatriz A com componentes a$_{ijk}$, i,j,k = 0 ou 1 é dado por
    det(A) = a$_{000}$$^2$a$_{111}$$^2$ + a$_{001}$$^2$a$_{110}$$^2$ + a$_{010}$$^2$a$_{101}$$^2$ + a$_{100}$$^2$a$_{011}$$^2$
       - 2a$_{000}$a$_{001}$a$_{110}$a$_{111}$ - 2a$_{000}$a$_{010}$a$_{101}$a$_{111}$ - 2a$_{000}$a$_{011}$a$_{100}$a$_{111}$ - 2a$_{001}$a$_{010}$a$_{101}$a$_{110}$ - 2a$_{001}$a$_{011}$a$_{110}$a$_{100}$ - 2a$_{010}$a$_{011}$a$_{101}$a$_{100}$
       + 4a$_{000}$a$_{011}$a$_{101}$a$_{110}$ + 4a$_{001}$a$_{010}$a$_{100}$a$_{111}$
Esta expressão atua como um discriminante no sentido que é igual a zero se e somente se há uma solução não trivial em seis incógnitas x$^i$, y$^i$, z$^i$, (com índice sobrescrito i = 0 or 1) do sistema com o seguinte modelo de equações
    a$_{000}$x$^0$y$^0$ + a$_{010}$x$^0$y$^1$ + a$_{100}$x$^1$y$^0$ + a$_{110}$x$^1$y$^1$ = 0
    a$_{001}$x$^0$y$^0$ + a$_{011}$x$^0$y$^1$ + a$_{101}$x$^1$y$^0$ + a$_{111}$x$^1$y$^1$ = 0
    a$_{000}$x$^0$z$^0$ + a$_{001}$x$^0$z$^1$ + a$_{100}$x$^1$z$^0$ + a$_{101}$x$^1$z$^1$ = 0
    a$_{010}$x$^0$z$^0$ + a$_{011}$x$^0$z$^1$ + a$_{110}$x$^1$z$^0$ + a$_{111}$x$^1$z$^1$ = 0
    a$_{000}$y$^0$z$^0$ + a$_{001}$y$^0$z$^1$ + a$_{010}$y$^1$z$^0$ + a$_{011}$y$^1$z$^1$ = 0
    a$_{100}$y$^0$z$^0$ + a$_{101}$y$^0$z$^1$ + a$_{110}$y$^1$z$^0$ + a$_{111}$y$^1$z$^1$ = 0
O hiperdeterminante pode ser escrito de uma forma mais compacta usando a notação de Einstein para somatórios com índices e o símbolo de Levi-Civita, onde tal é um tensor de densidade com componentes ε$^{ij}$ especificado por ε$^{00}$ = ε$^{11}$ = 0, ε$^{01}$ = -ε$^{10}$ = 1:
    b$_{kn}$ = (1/2)ε$^{il}$ε$^{jm}$a$_{ijk}$a$_{lmn}$
    det(A) = (1/2)ε$^{il}$ε$^{jm}$b$_{ij}$b$_{lm}$
Usando a mesma convenção nós podemos definir uma forma multilinear.
    f(x,y,z) = a$_{ijk}$x$^i$y$^j$z$^k$
Então o hiperdeterminante é zero se e somente se há um ponto não-trivial onde todas as derivadas de f desaparecem.