# Torre de Hanói

Torre de Hanói é um quebra-cabeça que consiste em uma base contendo três pinos, em um dos quais são dispostos alguns discos uns sobre os outros, em ordem crescente de diâmetro, de cima para baixo. O problema consiste em passar todos os discos de um pino para outro qualquer, usando um dos pinos como auxiliar, de maneira que um disco maior nunca fique em cima de outro menor em nenhuma situação. O número de discos pode variar sendo que o mais simples contém apenas três.
Atualmente, a Torre de Hanói tem sido tradicionalmente considerada como um procedimento para avaliação da capacidade de memória de trabalho, e principalmente de planejamento e solução de problemas.

## Origens

O quebra-cabeça foi inventado pelo matemático francês Édouard Lucas. Ele teve inspiração de uma lenda para construir o jogo das Torres de Hanói em 1883. Já seu nome foi inspirado na torre símbolo da cidade de Hanói, no Vietnã.
Existem várias lendas a respeito da origem do jogo, a mais conhecida diz respeito a um templo Hindu, situado no centro do universo. Diz-se que Brama supostamente havia criado uma torre com 64 discos de ouro e mais duas estacas equilibradas sobre uma plataforma. Brama ordenara-lhes que movessem todos os discos de uma estaca para outra segundo as suas instruções. As regras eram simples: apenas um disco poderia ser movido por vez e nunca um disco maior deveria ficar por cima de um disco menor. Segundo a lenda, quando todos os discos fossem transferidos de uma estaca para a outra, o templo iria desmoronar e o mundo desapareceria. Não é claro se Lucas inventou essa lenda ou foi inspirado por ele.
Existem muitas variações sobre esta lenda. Por exemplo, em algumas narrativas, o templo é um mosteiro e os sacerdotes são monges. O templo ou mosteiro pode estar em diferentes partes do mundo - incluindo Hanói, Vietnã, e pode ser associado a qualquer religião. Em algumas versões, são introduzidos outros elementos, tais como o facto de a torre ter sido criada no início do mundo, ou que os padres ou monges podem fazer apenas uma mudança por dia.

## Soluções

É interessante observar que o número mínimo de "movimentos" para conseguir transferir todos os discos da primeira estaca à terceira é 2$^n$-1, sendo n o número de discos. Logo:
Para solucionar um Hanói de 4 discos, são necessários 15 movimentos
Para solucionar um Hanói de 7 discos, são necessários 127 movimentos
Para solucionar um Hanói de 15 discos, são necessários 32.767 movimentos
Para solucionar um Hanói de 64 discos, como diz a lenda, são necessários 18.446.744.073.709.551.615 movimentos.
Para mover o primeiro disco da torre original, 1 movimento é gasto. Para mover o segundo da torre original, sendo que o primeiro já foi movido e será construída uma torre com os 2 menores discos, são gastos 2 movimentos. Para deslocar o terceiro disco formando nova torre com os três menores discos, tendo a torre com os dois menores já formada, são gastos 4 movimentos.
Assim se sucede com os próximos discos até que o enésimo disco (o último) seja deslocado compondo uma torre com os outros discos tendo uma torre com o penúltimo disco e os demais juntos já formada. A sucessão formada pela soma dos movimentos é uma sucessão $(1,2,4,8...2^{n})$
A fórmula $2^{n}-1$ é provinda da soma de uma progressão geométrica.
Sabe-se que em uma progressão geométrica a soma de seus termos equivale a $[a*(q^{n}-1)]/(q-1)$, onde "a" é o primeiro termo e "q" é a razão.
Já que a razão é 2 e o primeiro termo é 1 temos que $[a*(q^{n}-1)]/(q-1)=[1*(2^{n}-1)]/(2-1)=2^{n}-1$
Uma solução iterativa em Java para as Torres de Hanoi. A letra A representa o primeiro pino mais à esquerda, a letra C o pino central e a letra B representa o último pino para o qual todos os Disco devem estar no final do algoritmo.

### C
#### Implementação do Algoritmo Iterativo
#### Implementação do Algoritmo Recursivo

Python
Implementação do Algoritmo Recursivo

## Aplicação

A Torre de Hanói pode ser trabalhada em níveis de desenvolvimento com crianças. Na pré-escola, com regras simples de separação de cores e tamanhos, a torre de Hanói ajuda em questões de coordenação motora, identificação de formas, ordem crescente e decrescente, entre outras formas de aprendizado.
De uma maneira mais ampla, o jogo pode ser usado para o estabelecimento de estratégias de transferência das peças, como a contagem dos movimentos e raciocínio.
Iniciando com um número menor de peças, ou seja, resolvendo problemas mais simples, teremos oportunidade de experimentar uma das mais importantes formas de raciocínio matemático.
O jogo trabalha o desenvolvimento da lógica e do raciocínio matemático.

## Conclusão

A torre de Hanói consiste em passar todos os discos de uma extremidade a outra sem que um disco maior fique em cima de um menor.
As suas aplicações são basicamente usadas em escolas para que os professores possam melhorar e desenvolver o cognitivo das crianças, além do trabalho em grupo. Sendo este aplicado em pequenos grupos ou individualmente.
A Torre de Hanói possui várias formas de resolução. Uma delas é a resolução recursiva a qual podemos dizer que é a mais limitada quanto ao tempo de realização, já que sua execução dependerá de alguns fatores para tornar-se mais eficaz.
A resolução Iterativa utiliza alguns ciclos (estruturas) de repetição (for, whiles) que podem ser chamados de laços, existe ainda a possibilidade de algumas estruturas adicionais ( que são mais complexas) as quais tornam o algoritmo mais rápido.
É fato que todo algoritmo recursivo possui um algoritmo iterativo equivalente; dependendo apenas da sua complexidade de construção.