# Matriz de massa

Na mecânica analítica, a matriz de massa é a matriz simétrica M que expressa a relação entre a derivativa de tempo ${\dot {q}}$ do vetor de coordenadas generalizadas q de um sistema e a energia cinética T do sistema, pela equação
    $T={\frac {1}{2}}{\dot {q}}^{\mathrm {T} }M{\dot {q}}$
onde ${\dot {q}}^{\mathrm {T} }$ denota a transposição do vetor ${\dot {q}}$. Esta equação é análoga à fórmula da energia cinética de uma partícula com a massa $m$ e velocidade v, ou seja,
    $T\;=\;{\frac {1}{2}}m|v|^{2}\;=\;{\frac {1}{2}}v\cdot mv$
e pode ser derivada dela, expressando a posição de cada partícula do sistema em termos de q.
Em geral, a matriz de massa M depende do estado q, e, portanto, varia com o tempo.
Na mecânica de Lagrange obtém-se uma equação diferencial ordinária (na verdade, um sistema acoplado de equações diferenciais) que descreve a evolução de um sistema em termos de um vetor arbitrário de coordenadas generalizadas que completamente define a posição de cada partícula do sistema. A fórmula da energia cinética acima é um termo desta equação que representa a energia cinética total de todas as partículas.

## Exemplos
### Sistema unidimensional de dois corpos

Por exemplo, considere um sistema composto de duas massas pontuais confinadas em uma pista de linha reta. O estado do sistema pode ser descrito por um vetor q de duas coordenadas generalizadas, ou seja, as posições das duas partículas ao longo da pista.
    $q=[x_{1}\,x_{2}]^{\mathrm {T} }$.
Supondo que as partículas têm massas m$_1$, m$_2$, a energia cinética do sistema é
    $T=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {x}}_{i}^{2}$
Esta fórmula também pode ser escrita como
    $T={\frac {1}{2}}{\dot {q}}^{\mathrm {T} }M{\dot {q}}$
onde
    $M={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}$

### Sistema de N corpos

De forma mais generalizada, considere um sistema de N partículas com índices i = 1, 2,...,N, no qual a posição da partícula de número i é definida por n$_i$ coordenadas cartesianas livres (onde n$_i$ é 1, 2 ou 3). Deixe q ser o vetor coluna contendo todas as coordenadas. A matriz de massa M é a matriz diagonal em bloco onde em cada bloco os elementos da diagonal contém as massas das partículas correspondentes:
    $M=\mathrm {diag} [m_{1}I_{n_{1}},m_{2}I_{n_{2}},\cdots ,m_{N}I_{n_{N}}]$
onde I$_{ni}$ é a n$_i$ × n$_i$ matriz de identidade, ou mais plenamente,
$M={\begin{bmatrix}m_{1}&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &m_{1}&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\0&\cdots &0&m_{2}&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &m_{2}&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &m_{N}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &m_{N}\\\end{bmatrix}}$

### Rotação de halter

Como um exemplo menos trivial, considere dois objetos como pontos com massas m$_1$, m$_2$, acoplados às extremidades de uma barra rígida sem massa de comprimento 2R, o conjunto sendo livre para girar e deslizar ao longo de um determinado plano. O estado do sistema pode ser descrito pelo vetor de coordenadas generalizadas
    $q=[x,y,\alpha ]$
onde x, y são as coordenadas cartesianas do ponto médio da barra e α é o ângulo da barra contando a partir de uma referência arbitrária. As posições e velocidades das duas partículas são
    ${\begin{array}{ll}x_{1}=(x,y)+R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{1}=({\dot {x}},{\dot {y}})+R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\\x_{2}=(x,y)-R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{2}=({\dot {x}},{\dot {y}})-R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\end{array}}$
e a sua energia cinética total é
    $2T=m{\dot {x}}^{2}+m{\dot {y}}^{2}+mR^{2}{\dot {\alpha }}^{2}+2Rd\cos \alpha {\dot {x}}{\dot {\alpha }}+2Rd\sin \alpha {\dot {y}}{\dot {\alpha }}$
onde $m=m_{1}+m_{2}$ e $d=m_{1}-m_{2}$. Esta fórmula pode ser escrita em forma de matriz como
    $T={\frac {1}{2}}{\dot {q}}^{\mathrm {T} }M{\dot {q}}$
onde
    $M={\begin{bmatrix}m&0&Rd\cos \alpha \\0&m&Rd\sin \alpha \\Rd\cos \alpha &Rd\sin \alpha &R^{2}m\end{bmatrix}}$
Note que a matriz depende do ângulo α da barra.

## Mecânica de meios contínuos

Para aproximações discretas da mecânica de meios contínuos, como no método de elementos finitos, pode haver mais de uma maneirade construir a matriz de massa, dependendo da precisão e desempenho computacional desejados. Por exemplo, um método de massas agrupadas, no qual a deformação de cada elemento é ignorado, cria-se uma matriz diagonal de massa e nega a necessidade de integrar a massa ao longo do elemento deformado.

## Veja também

* Momento de inércia
* Tensor de energia-momento