# Triângulo isósceles

Em geometria, um triângulo isósceles é um triângulo que possui dois lados de mesma medida, isso é, congruentes.

## Definição

Dizemos que um triângulo é isósceles, se, e somente se, têm dois lados congruentes.
Com notação matemática, isso pode ser expresso da seguinte forma:
$\triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}}\quad \Longleftrightarrow \quad {\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}$

## Propriedades

A seguir temos uma lista de propriedades dos triângulos isósceles e abaixo suas explicações e demonstrações.
* Em um triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes.
* Em um triângulo isósceles a mediatriz relativa à base, a bissetriz relativa ao ângulo oposto ao da base, a mediana e a altura relativas a base coincidem.

### Congruência dos ângulos da base

Todo triângulo isósceles é também um triângulo isoângulo, isto é, possui dois ângulos congruentes, que são os dois ângulos opostos aos lados congruentes. Chamamos esses ângulos de ângulos da base.
Porém, essa é uma propriedade que parte da definição de triângulo isósceles, portanto, necessita de demonstração.
Essa propriedade traz uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja isósceles, isso é, ela diz:
Se um triângulo tem dois lados congruentes, então esse triângulo possui os dois ângulos da base congruentes e é um triângulo isósceles.
Se um triângulo tem dois ângulos congruentes, então os dois lados opostos a esses ângulos são congruentes e esse é um triângulo isósceles.
Assim, vamos demonstrar que para um triângulo ser isósceles basta ele possuir dois ângulo congruentes ou dois lados congruentes.

#### Demonstração

Esse teorema pode ser enunciado de três formas diferentes:
* "Se um triângulo tem dois lados congruentes, então os ângulos opostos a esses lados são congruentes."
* "Se um triângulo é isósceles, os ângulos da base são congruentes."
* "Todo triângulo isósceles é isoângulo."
Com notação matemática, podemos expressá-lo da seguinte forma:
$\triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}}\quad \longleftrightarrow \quad \triangle {ABC}\quad {\text{é isoângulo}}$
ou
$\triangle {ABC},\quad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}\qquad \longleftrightarrow \qquad {{\hat {B}}\equiv {\hat {C}}}$
Para fazer essa demonstração precisamos mostrar primeiro que ser isósceles implica ser isoângulo.
Assim, partiremos de um triângulos isósceles qualquer e buscaremos provar que este triângulo é congruente a si mesmo, porém havendo uma correspondência nos vértices.
Para isso tomaremos duas vezes $\triangle {ABC}$, tendo o cuidado de, em cada vez, alternar a ordem dos vértices da base.
Assim, podemos abstrair e pensar em dois triângulos "distintos": $\triangle {ABC}$ e $\triangle {ACB}$.
Tendo isso em mente, percebe-se que $\triangle {ABC}\equiv \triangle {ACB}$, pelo caso de congruência $LAL$:
${\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}\quad {\text{e}}\quad {B{\hat {A}}C}\equiv {C{\hat {A}}B}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AC}}\equiv {\overline {AB}}\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {ABC}\equiv \triangle {ACB}$
Visto que temos, a congruência dos dois triângulos, com isso obtemos que todos seus ângulo correspondentes são congruentes.
Logo: ${\hat {B}}\equiv {\hat {C}}$
Agora precisamos mostrar que ser isoângulo implica ser isósceles.
Para isso partiremos de um triângulo $ABC$ qualquer que seja isoângulo, isto é, que tenha dois ângulos congruentes.
Para facilitar na demonstração, utilizaremos notação matemática com base em um triângulo $ABC$.
${\hat {B}}\equiv {\hat {C}}\qquad \longrightarrow \qquad {\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}$
Então traçaremos no triângulo $ABC$ a sua bissetriz relativa ao vértice $A$. À intersecção da bissetriz com o segmento ${\overline {BC}}$ chamaremos de ponto $M$.
Assim teremos dois triângulos: $\triangle {AMB}$ e $\triangle {AMC}$, ficando fácil de verificar a congruência entre esses dois triângulos, pelo caso de congruência, lado, ângulo e ângulo oposto ao lado.
${\overline {AM}}\equiv {\overline {AM}}\quad {\text{e}}\quad {B{\hat {A}}M}\equiv {M{\hat {A}}C}\quad {\text{e}}\quad {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}\quad \left(LAA_{o}\right)\qquad \longrightarrow \qquad \triangle {AMB}\equiv \triangle {AMC}$.
Com essa congruência, temos a seguinte congruência: ${\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}$.
Assim demonstramos que ser triângulo isósceles implica ser triângulo isoângulo e que ser triângulo isoângulo implica ser triângulo isósceles.
Logo, temos que ser triângulo isósceles é condição necessária e suficiente para ser triângulo isoângulo.

### Bissetriz, mediatriz, mediana e altura

Em um triângulo isósceles a mediatriz relativa à base, a bissetriz relativa ao ângulo oposto ao da base, a mediana e a altura relativas a base coincidem.
Esta propriedade pode ser expressa com notação matemática da seguinte forma:
$\triangle {ABC},\quad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}\quad {\text{e}}\quad {\text{M é ponto médio de}}\quad {\overline {BC}}\qquad \longrightarrow \qquad {\overline {AM}}\qquad {\begin{cases}{\text{é bissetriz de }}{\hat {A}}\\{\text{está contido na mediatriz de }}{\overline {BC}}\\{\text{é mediana de }}{\overline {BC}}\\{\text{é altura relativa à }}{\overline {BC}}\end{cases}}$

#### Demonstração

Como já vimos acima, temos o triângulo isósceles $ABC$, onde ${\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}$,${\hat {B}}\equiv {\hat {C}}$ e $M$ é ponto médio de ${\overline {BC}}$.
Assim, pela definição de mediana temos que ${\overline {AM}}$ é mediana relativa ao lado ${\overline {BC}}$ e ao vértice $A$.
Esse segmento ${\overline {AM}}$ divide $\triangle {ABC}$ em dois triângulos congruentes: $\triangle {AMC}$ e $\triangle {AMB}$.
${\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BM}}\equiv {\overline {MC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AM}}\equiv {\overline {AM}}\quad \left(LLL\right)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {AMB}\equiv \triangle {AMC}$.
Essa congruência dos triângulos implica a congruência $B{\hat {A}}M\equiv {M{\hat {A}}C}$. Assim, temos que ${\overline {AM}}$ é também bissetriz de $B{\hat {A}}C$.
A partir disso temos também a congruência $B{\hat {M}}A\equiv {C{\hat {M}}A}$. Porém, temos também que esses ângulos são suplementares.
Assim temos: $med\left(B{\hat {M}}A\right)+med\left(C{\hat {M}}A\right)=180^{\circ }=2.med\left(B{\hat {M}}A\right)\qquad \Longrightarrow \qquad {med\left(B{\hat {M}}A\right)=90^{\circ }}$.
Como os ângulos $B{\hat {M}}A$ e $A{\hat {M}}C$ são ângulos retos, temos que ${\overline {AM}}$ é perpendicular à ${\overline {BC}}$. Isso nos garante que ${\overline {AM}}$ é a altura relativa à base ${\overline {BC}}$ e é mediatriz, por $M$ ser ponto médio.
Assim temos que ${\overline {AM}}$ é bissetriz, mediatriz, mediana e altura relativa à base.

### Baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro

Como implicação da propriedade anterior, temos que em um triângulo isósceles o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares. Assim, temos que isso é uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja isósceles.
$\triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}},\quad \longleftrightarrow \quad {\text{o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares}}$

#### Demonstração

$\triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}}\quad \longrightarrow \quad {\text{o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares}}$
Primeiramente vamos provar que, se um triângulo é isósceles, então o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares. Para demonstrar esse teorema partiremos do que foi demonstrado acima.
Assim temos que, se tomarmos a mediana de um triângulo isósceles, temos que essa mediana é também bissetriz, altura relativa e está contida na mediatriz do triângulo.
Isso implica qualquer ponto que pertence à mediana pertence também à bissetriz, à altura relativa e à mediatriz.
Após demonstrar isso precisamos demonstrar a recíproca.
Assim, precisamos demonstrar que:
$\triangle {ABC},{\text{baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro são colineares}}\qquad \longrightarrow \qquad {\triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}}}$
Como temos que os quatro pontos notáveis são colineares, daremos nomes a esses pontos como forma de simplificar a notação.
Desse modo temos que $G{\text{ é baricentro}}$, $I{\text{ é incentro}}$, $D{\text{ é o circuncentro}}$ e $O{\text{ é o ortocentro}}$.
Para fazer essa demonstração tomaremos uma reta $r$ que contém todos esses pontos, ou seja:
$\exists {r}/G,I,D,O\in {r}$
Com relação a essa reta podemos analisar duas situações em relação ao vértice $A$ (sem perda de generalidade):
Ou $A\in {r}$ ou $A\notin {r}$.
Analisaremos essas duas situações separadamente

##### Primeira possibilidade: $A\in {r}$

Primeiramente, tomaremos um ponto $M$, tal que esse ponto seja a intersecção de $r$ com ${\overline {BC}}$. Assim teremos:
$M/{r\cap {\overline {BC}}=M}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overleftrightarrow {AM}}=r\qquad \Longrightarrow \qquad {G,I,D,O}\in {\overleftrightarrow {AM}}\Longrightarrow {\begin{cases}{\overline {AM}}{\text{ é bissetriz de }}{\hat {A}}\\{\overline {AM}}{\text{ é mediana de }}{\overline {BC}}\\{\overleftrightarrow {AM}}{\text{define altura relatica à }}{\overline {BC}}\\{\overleftrightarrow {AM}}{\text{ é mediatriz de }}{\overline {BC}}\end{cases}}$
A partir dessas relações, podemos chegar a nossa conclusão de várias maneiras.
Sabendo que ${\overleftrightarrow {AM}}$ é mediatriz de ${\overline {BC}}$, temos:
${\overleftrightarrow {AM}}{\text{ é mediatriz de }}{\overline {BC}}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {BM}}\equiv {\overline {MC}}}\quad {\text{e}}\quad {B{\hat {M}}}A\equiv {A{\hat {M}}C}$.
Dessas relações, temos a congruência entre os triângulos $\triangle {ABM}$ e $\triangle {ACM}$:
${{\overline {BM}}\equiv {\overline {MC}}}\quad {\text{e}}\quad {B{\hat {M}}}A\equiv {A{\hat {M}}C}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AM}}\equiv {\overline {AM}}\quad \left(LAL\right)\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ABM}\equiv \triangle {ACM}}$
A partir da congruência dos triângulos temos a congruência de dois lados de $\triangle {ABC}$, provando que ele é isósceles.
$\triangle {ABM}\equiv \triangle {ACM}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}\qquad \Longrightarrow {\triangle {ABC}{\text{ é isósceles}}}$.

##### Segunda possibilidade: $A\notin {r}$

Primeiramente tomaremos duas retas, a reta ${\overleftrightarrow {AG}}$ (reta que passa pelo vértice $A$ e pelo baricentro) e a reta ${\overleftrightarrow {AD}}$ (reta que passa pelo vértice $A$ e pelo circuncentro).
Então tomaremos dois pontos, que serão a intersecção dessas retas com o segmento ${\overline {BC}}$.
Com esses dois pontos teremos as seguintes implicações:
$H/{\quad {\overleftrightarrow {AG}}\cap {\overline {BC}}=H}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AG}}{\text{ é mediana relativa ao lado }}{\overline {BC}}}\qquad \Longrightarrow \qquad {H{\text{ é ponto médio de }}{\overline {BC}}}\qquad ({\text{I}})$
e
$J/{\quad {\overleftrightarrow {AD}}\cap {\overline {BC}}=J}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overleftrightarrow {AJ}}{\text{ é mediatriz de }}{\overline {BC}}}\qquad \Longrightarrow \qquad {J{\text{ é ponto médio de }}{\overline {BC}}}\qquad ({\text{II}})$
De $\left({\text{I}}\right)$ e $\left({\text{II}}\right)$, e pela propriedade de unicidade do ponto médio temos:
$J=H\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AH}}={\overline {AJ}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overleftrightarrow {AG}}={\overleftrightarrow {AD}}={\overleftrightarrow {GD}}=r\qquad \Longrightarrow \qquad {A\in {r}}$
Assim chegamos a uma contradição, pois, nesse segundo caso tinhamos por hipótese que $A\notin {r}$. Com isso temos que apenas a primeira possibilidade é possível.
Logo, em todo triângulo isósceles, o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares.