# Momento (estatística)

Em estatística, a expressão genérica de esperança, o ${\color {Red}n}$-ésimo momento ou momento de ordem n de uma variável aleatória $X$ é dado por:
    $E\left[X^{\color {Red}n}\right],$
onde o símbolo $E$ indica a operação de valor esperado ou esperança.
Os momentos são muito importantes em estatística para caracterizar distribuições de probabilidade. Por exemplo, a distribuição normal é caracterizada apenas pelo primeiro e pelo segundo momentos. Os primeiro, segundo, terceiro e quarto momentos caracterizam a tendência central, dispersão, assimetria e curtose, respectivamente, de uma distribuição de probabilidades.
Os momentos mais importantes são os quatro primeiros, que são muito utilizados para caracterizar funções densidade de probabilidade. Entretanto, é quase sempre possível calcular momentos de alta ordem.

## Definição formal
### Momento

As seguintes definições são equivalentes:
* Para cada número inteiro ${\color {Red}n}$, o ${\color {Red}n}$-ésimo momento de uma variável aleatória $X$ é definido como
    $E\left[X^{\color {Red}n}\right].$
* O n-ésimo momento da variável aleatória $X$, cuja função densidade é dada por $f$, é definido por:
    $\mu '_{\color {Red}n}=E\left[X^{\color {Red}n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{\color {Red}n}f(x)dx.$

### Momento Central

* Para cada número inteiro ${\color {Red}n}$, o ${\color {Red}n}$-ésimo momento central de uma variável aleatória $X$ é definido como
    $\mu _{\color {Red}n}=E\left[(X-E[X])^{\color {Red}n}\right].$

## Cálculo de momentos

Por ser um cálculo de valor esperado (esperança), o cálculo dos momentos varia ligeiramente dependendo de a variável aleatória ser do tipo discreta ou contínua. Isso porque a esperança, no caso de variáveis aleatórias discretas, é calculado por uma soma ponderada das possíveis ocorrências. No caso de variáveis aleatórias contínuas, a esperança é calculada por uma integral (que nada mais é que uma soma infinita). A ideia, porém, é a mesma.
| Valor de n | Tipo de variável | Substituindo o valor de ${\color {Red}n}$ na equação de definição de momento, temos | Substituindo o valor de ${\color {Red}n}$ na equação de definição de momento central, temos |
| 1º momento (${\color {Red}n}=1$) | Contínua | $\mu _{\color {Red}1}^{'}=E\left(x^{\color {Red}1}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{x}(x)x^{\color {Red}1}dx$, ou seja, o primeiro momento é a média da variável X | $\mu _{\color {Red}1}=E\left[(X-E(X))^{\color {Red}1}\right]=E(X)-E(X)=0$. Ou seja, o primeiro momento central é sempre igual a zero. |
| 1º momento (${\color {Red}n}=1$) | Discreta | $\mu _{\color {Red}1}^{'}=E\left(x^{\color {Red}1}\right)=\sum _{x}^\left[f_{x}(x)x^{\color {Red}1}\right]$, ou seja, o primeiro momento é a média da variável X | $\mu _{\color {Red}1}=E\left[(X-E(X))^{\color {Red}1}\right]=E(X)-E(X)=0$. Ou seja, o primeiro momento central é sempre igual a zero. |
| 2º momento (${\color {Red}n}=2$) | Contínua | $\mu _{\color {Red}2}^{'}=E\left(x^{\color {Red}2}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{x}(x)x^{\color {Red}2}dx$ | $\mu _{\color {Red}2}=E\left[(X-E(X))^{\color {Red}2}\right]=Var\left(X\right)$. Ou seja, o segundo momento central de uma variável aleatória é sua variância. |
| 2º momento (${\color {Red}n}=2$) | Discreta | $\mu _{\color {Red}2}^{'}=E\left(x^{\color {Red}2}\right)=\sum _{x}^\left[f_{x}(x)x^{\color {Red}2}\right]$. | $\mu _{\color {Red}2}=E\left[(X-E(X))^{\color {Red}2}\right]=Var\left(X\right)$. Ou seja, o segundo momento central de uma variável aleatória é sua variância. |

## Momento conjunto

Seja o vetor $X=\left[X_{1}X_{2}X_{3}\cdots X_{N}\right]$. O k-ésimo momento conjunto de X é
$E\left[X_{1}^{k_{1}}*X_{2}^{k_{2}}*X_{3}^{k_{3}}*X_{4}^{k_{4}}...*X_{N}^{k_{n}}\right]$,
sendo que:
$\sum _{i=1}^{n}{k_{i}}=k.$