# Matriz idempotente

Em álgebra, uma matriz idempotente é uma matriz que, ao ser multiplicada por si mesma, resulta em si mesma. Em outras palavras, a matriz A, é idempotente se e somente se $AA=A$. Para que este produto AA seja possível, A deve necessariamente ser uma matriz quadrada.

## Propriedades

* Matrizes idempotentes são sempre positivas semi-definidas.
* Com exceção da matriz identidade, uma matriz idempotente A é sempre singular, ou seja, não admite inversa:
    $I=AA^{-1}=A^{2}A^{-1}=A\left(AA^{-1}\right)=A$
* Se uma matriz A é idempotente, a matriz $I-A$ também é.

### Matriz de projeção

É possível construir matrizes idempotentes de forma bem generalizada, a partir de matrizes não simétricas. Seja $X$ uma matriz de dimensão $n\times k$ com posto $rank(A)=k$ . A Matriz de projeção é uma matriz quadrada, idempotente e hermitiana que se encaixa nessa categoria:
$P\equiv X\left(X^{T}X\right)^{-1}X^{T}$, onde $X^{T}$ denota a matriz transposta de X e $\left(X^{T}X\right)^{-1}$ denota a matriz inversa da matriz $X^{T}X$. Esta matriz é chamada de matriz de projeção porque sempre é verdade que $PX=X$.
* Uma propriedade importante desta matriz é que, se particionarmos a matriz X de dimensão nXk em duas matrizes $X_{1}$ e $X_{1}$ de tal forma que $X={\begin{bmatrix}X_{1}&X_{2}\end{bmatrix}}$, então
    $PX_{1}=X_{1}$:
Por exemplo, sejam as matrizes $X={\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}},X_{1}={\begin{bmatrix}{a}\\{c}\end{bmatrix}},X_{2}={\begin{bmatrix}{b}\\{d}\end{bmatrix}}$. Então,
    $PX_{1}=$${\begin{matrix}\underbrace {X\left(X^{T}X\right)^{-1}X^{T}} \\P\end{matrix}}*{\begin{bmatrix}{a}\\{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}{a}&{c}\\{b}&{d}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}{a}&{c}\\{b}&{d}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{a}\\{c}\end{bmatrix}}=$
    ${\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}{a}^{2}+{c}^{2}&{a}{b}+{c}{d}\\{a}{b}+{c}{d}&{b}^{2}+{d}^{2}\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}{a}^{2}+{c}^{2}\\{a}{b}+{c}{d}\end{bmatrix}}$$={\begin{bmatrix}{a}\\{c}\end{bmatrix}}$
* A matriz de projeção é largamente utilizadas em econometria. Na estimação por mínimos quadrados ordinários, por exemplo, a matriz P gera os valores estimados da variável dependente y. Por causa desta propriedade, a matriz P também é chamada de "matriz chapéu" (hat matrix, em inglês):
    $Py=\left(X^{T}X\right)^{-1}X^{T}y=X{\hat {\beta }}={\hat {y}}$
* P é sempre positiva semi-definida.
* Toda matriz de projeção é idempotente, mas o contrário não é verdadeiro. Apenas as matrizes idempotentes que são simétricas (ou seja, cuja transposta é igual a ela mesma) e hermitianas são matrizes de projeção.

### Matriz de aniquilação

* Matriz de aniquilação: $M\equiv I_{n}-P\equiv I_{n}-X\left(X^{T}X\right)^{-1}X^{T}$. Esta matriz é chamada de matriz de aniquilação porque sempre é verdade que $MX=0$.
A matriz aniquiladora também é bastante útil em econometria. Pode-se provar que, dado um modelo econométrico de mínimos quadrados ordinários
    $y=X\beta +\varepsilon =X_{1}\beta _{1}+X_{2}\beta _{2}+\varepsilon$, sendo $X_{1},X_{2},\beta _{1},\beta _{2}$ matrizes, poderemos definir
    $M_{1}\equiv I_{n}-X_{1}\left(X_{1}^{T}X_{1}\right)^{-1}X_{1}^{T}$ e
    $M_{2}\equiv I_{n}-X_{2}\left(X_{1}^{T}X_{2}\right)^{-1}X_{2}^{T}$
E então podemos estimar os coeficientes separadamente:
    ${\hat {\beta }}_{1}=\left(X_{1}^{T}M_{2}X_{1}\right)^{-1}\left(X_{1}^{T}M_{2}y\right)$
    ${\hat {\beta }}_{2}=\left(X_{2}^{T}M_{1}X_{2}\right)^{-1}\left(X_{2}^{T}M_{1}y\right)$