# Teorema de Knaster–Tarski

O Teorema de Knaster–Tarski, por Bronisław Knaster e Alfred Tarski, é um resultado matemático em teoria da ordem sobre reticulados que diz o seguinte:
    Seja L um reticulado completo e f : L → L uma função monótona. Então o conjunto de pontos fixos de f em L também é um reticulado completo.
O teorema determina ainda a forma geral do máximo e do mínimo do conjunto de pontos fixos de f. O teorema na sua forma mais geral, foi originalmente enunciado por Tarski; e assim o teorema é muitas vezes conhecido como teorema do ponto fixo de Tarski. Antes disso, Knaster e Tarski conjuntamente estabeleceram este resultado para o caso especial em que L é um reticulado de subconjuntos de um conjunto. Este teorema tem aplicações importantes na área de semântica formal de linguagens de programação e interpretações abstratas. O reverso deste teorema foi demonstrado por Anne C. Davis. Assim sendo, verifica-se também o seguinte: Se toda e qualquer função monótona f : L → L num dado reticulado L tem pontos fixos, então L é um reticulado completo.

## Teorema

Seja $\langle L,\leq \rangle$ um reticulado completo $f\colon L\rightarrow L$ uma função monótona. Considerem-se os conjuntos $P$, $Pre$ e $Pos$, dos pontos fixos, prefixos e posfixos de $f$ respetivamente, ou seja definidos por,
* $P=\{x\in L\mid f(x)=x\}$
* $Pre=\{x\in L\mid f(x)\leq x\}$
* $Pos=\{x\in L\mid f(x)\geq x\}$
Então verificam-se os seguintes resultados,
* $\langle P,\leq \rangle$ é um reticulado completo
* $\min \ P=\bigwedge Pre$
* $\max \ P=\bigvee Pos$

## Demonstração

Começamos por demonstrar que P tem mínimo e máximo, e que são respetivamente o supremo e ínfimo dos pontos prefixos e posfixos. Como ambos os casos são duais, apresentamos apenas a demonstração do primeiro, ou seja que o máximo de P existe e é o máximo de Pos. Como Pos contém P, basta demonstrar que o supremo de Pos pertence a P para concluir que é o seu máximo.
Lema 1: $Pos\neq \emptyset$
Por definição, $\bot \leq f(x)$ para todo $x\in L$. Daí resulta em particular $\bot \leq f(\bot )$, ou seja $\bot \in Pos$.
Lema 2: $x\in Pos\implies f(x)\in Pos$
Para todo $x\in pos$ tem-se que $x\leq f(x)$, logo $f(x)\leq f(f(x))$ pela monotonicidade de $f(x)$, ou seja $f(x)\in Pos$.
Lema 3: $\bigvee Pos\in Pos$
Seja u=⋁Pos{\textstyle u=\bigvee Pos}. Para todo $x\in Pos$ tem-se $x\leq u$, e também $f(x)\leq f(u)$ pela monotonicidade de $f$, do que resulta $x\leq f(x)\leq f(u)$ para todo o $x\in Pos$. Como $u$ o é menor dos majorantes então $u\leq f(u)$, ou seja $u\in Pos$.
Lema 4: $\bigvee Pos\in Pre$
Seja u=⋁Pos{\textstyle u=\bigvee Pos}. De $u\in Pos$ (lema 3) e $x\in Pos\implies f(x)\in Pos$ (lema 2), resulta que $f(u)\in Pos$. Portanto por definição de $u$ tem-se $f(u)\in u$, ou seja $u\in Pre$.
Conclusão: $\bigvee Pos=\max P$
Dos lemas 3 e 4 resulta que ⋁Pos∈(Pos∩Pre){\textstyle \bigvee Pos\in (Pos\cap Pre)}, ou seja ⋁Pos∈P{\textstyle \bigvee Pos\in P}. Como $P\subseteq Pos$, então o supremo de $Pos$ é também maior que todos os elementos de $P$, e como pertence a $P$ é o seu máximo.
Prosseguimos demonstrando que $P$ é um reticulado completo. Isto é, que todo o $U\subseteq P$ tem um supremo em ⋁U∈P{\textstyle \bigvee U\in P}.
É importante notar que o teorema não especifica que o supremo ⋁U{\textstyle \bigvee U} em $\langle P,\leq \rangle$ é o mesmo que ⋁U{\textstyle \bigvee U} em $\langle L,\leq \rangle$. O teorema diz sim que, para todo o subconjunto de pontos fixos $\langle U\rangle$, o conjunto de pontos fixos que o limitam superiormente tem um mínimo. Defina-se conjunto de majorantes de $U$, na forma de intervalo, como $[u,\top ]=\{x:u\leq x\leq \top \}$ onde u=⋁U{\textstyle u=\bigvee U} em $\langle L,\leq \rangle$. Este intervalo é trivialmente um reticulado completo. O objetivo é mostrar que a restrição de $f:L\rightarrow L$ ao reticulado $[u,\top ]$ tem um ponto fixo mínimo em $[u,\top ]$.
Lema 5: $f:L\rightarrow L$ tem um ponto fixo mínimo em $L$
Lema 6: $f([u,\top ])\subseteq [u,\top ]$
Para todo $x\in U\subseteq P$ tem-se $x\leq u$ por definição de $u$, e $x=f(x)\leq f(u)$ pela monotonicidade de $f$ e por $u$ ser ponto fixo. Consequentemente $u\leq f(u)$, pois $u$ é por definição o menor majorante de $U$, ou seja Como $u$ o menor dos majorantes então $f(u)\in [u,\top ]$.
Conclusão: A restrição de $f$ ao reticulado completo $[u,\top ]$ é da forma $f:[u,\top ]\rightarrow [u,\top ]$. Aplicando o lema 5 (ao reticulado completo $[u,\top ]$) conclui-se que $f:[u,\top ]\rightarrow [u,\top ]$ tem um ponto fixo mínimo em $[u,\top ]$. Fica demonstrada a existência de valor mínimo entre os pontos fixos que limitam superiormente $U$, ou seja a existência de ⋁U{\textstyle \bigvee U} em $\langle P,\leq \rangle$.