# Teorema de Jordan-Hölder

O Teorema de Jordan-Hölder é um teorema criado pelos matemáticos Otto Hölder e Camille Jordan. O teorema Jordan-Hölder afirma que dadas duas series indefinidas de composição de um determinado grupo então estas são equivalentes. Assim, eles têm o mesmo comprimento de composição e os mesmos fatores de composição, até a permutação e o isomorfismo. Camille Jordan conceituou a composição e séries principais (cf. séries principais ) para esses grupos e demonstrou que os índices de duas séries do mesmo tipo (ou seja, os índices dos subgrupos GEu no Gi + 1) são os mesmos, excetuando-se pela ordem de aparência. Já Otto Hölder provou que os fatores correspondentes são isomórficos.

## Escrita Formal do Teorema

Seja G um Grupo finito. Considere duas séries de decomposição.
$1=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft H_{2}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{k-1}\triangleleft H_{k}=G$
$1=K_{0}\triangleleft K_{1}\triangleleft K_{2}\triangleleft \cdots \triangleleft K_{l-1}\triangleleft K_{l}=G$
Então $k=l$ e a lista de fatores de composição é única até a permutação, ou seja, as listas $\{H_{i+1}/H_{i}\}$$\{K_{j+1}/K_{j}\}$ são os mesmos, depois de reorganizar uma das listas adequadamente.

### Demonstração

Tal como acontece com o teorema fundamental da aritimética, a prova procede por indução, em $\mid G\mid$.
Para $\mid G\mid =1$ é trivial. Agora suponha que o teorema foi provado para todos os grupos estritamente menores que $G$Pegue duas séries de composição $(H_{1},H_{2}.\ldots ,H_{k})$ e $(K_{1},K_{2}.\ldots ,K_{l})$ para $G$. O teorema é verdadeiro para $H=H_{k-1}$ e para $K=K_{l-1}$.
Se $H=K$ então nada temos a fazer, pois as séries de composição devem ser rearranjos uma da outra.
Se $H\neq K$, seja $L=H\cap K$.
então $L$ tem uma série de composição composta pelos grupos $L_{j}$, pela hipótese indutiva. Então existem duas séries de composição para $H$, aquele que envolve $H_{i}$ e a seguinte:
$1\vartriangleleft L_{1}\vartriangleleft L_{2}\vartriangleleft \cdots L_{t-1}\vartriangleleft L_{t}\vartriangleleft H$
(note que $L=H\cap K$ é um subgrupo máximo de $H$, pois $H/(H\cap K)\cong G/K$ pelo segundo teorema do isomorfismo)
Por indução, esta série de composição deve ser um rearranjo da outra:
$(H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\cdots H/H_{k-2})\thicksim (L_{1}/L_{0},L_{2}/L_{1},\cdots L/L_{t-1},H/L)$ $*$
$\sim$ significa "é o mesmo até a permutação". Note que os comprimentos sendo os mesmos implica que $t+1=k$
Analogamente, obtemos duas séries de composição para $K$ usando o mesmo $L_{i}$ para o segundo, isto é:
$(K_{1}/K_{0},K_{2}/K_{1},\cdots K/K_{l-2})\thicksim (L_{1}/L_{0},L_{2}/L_{1},\cdots L/L_{t-1},K/L)**$
então $t+1=l$ e isso prova que $k=l$
Agora, usando $G/H$ em $*$ e $G/K$ em $**$, temos:
$(H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\cdots ,H/H_{k-2},G/H)\thicksim (L_{1}/L_{0},L_{2}/L_{1},\cdots ,L/L_{t-1},H/L,G/H)$
$(L_{1}/L_{0},L_{2}/L_{1},\cdots ,L/L_{t-1},K/L,G/K)\thicksim (H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\cdots ,H/H_{k-2},G/K)$
Queremos que as duas listas externas sejam as mesmas até a permutação. As duas listas internas são as mesmas, exceto pelas duas últimas entradas. Mas $(H/L,G/H)$ e $(K/L,G/K)$ são iguais a $(G/K,G/H)$ e $(G/H,G/K)$, também pelo segundo teorema do isomorfismo.
Portanto, as duas listas internas são as mesmas até a permutação (uma transposição dos dois últimos fatores) $\blacksquare$

## Exemplo de código fonte

Suponha que temos um grupo finito G = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e queremos encontrar a sua decomposição em termos de grupos simples. Para isso, podemos usar o teorema de Jordan-Hölder.
Primeiro, criamos a lista de subgrupos de G:
Em seguida, calculamos a série normal de subgrupos de G:
Por fim, usamos a série normal para encontrar a decomposição de G em termos de grupos simples: