# Equação de Laplace

Equação de Laplace, em matemática, é uma equação diferencial parcial cujo nome honra seu criador, Pierre Simon Laplace. Trata-se de uma equação diferencial elíptica de alta relevância, pois é descritora de comportamentos em vários campos da ciência, como, por exemplo, a astronomia, o eletromagnetismo, a mecânica dos fluidos, formulando-lhes as funções potencial gravitacional, elétrica, fluídica, entre outras aplicações. Com efeito, a teoria geral de soluções para a equação de Laplace é conhecida como teoria do potencial.

## Definição

Em um conjunto aberto U⊂R$^n${\textstyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}, a equação de Laplace é definida por:
$\Delta f=0$
onde, Δ{\textstyle \Delta } denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):
$\Delta f:=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}$
Aqui, a incógnita f{\textstyle f} é uma função de U⊂R$^n${\textstyle U\subset \mathbb {R} ^{n}} em R.{\textstyle \mathbb {R} .} Uma tal função f{\textstyle f} é dita ser harmônica, se é solução da equação de Laplace e é duas vezes continuamente diferenciável, i.e. Δf=0{\textstyle \Delta f=0} e f∈C$^2$(U, R){\textstyle f\in C^{2}(U, ~\mathbb {R} )}. Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por ∇$^2${\textstyle \nabla ^{2}}. Esta notação é motivada pelo fato de que Δ=∇⋅∇{\textstyle \Delta =\nabla \cdot \nabla }, onde ∇{\textstyle \nabla } denota o gradiente.

### Definição em R$^2${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}

Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano R$^2${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}, a equação de Laplace toma a forma (em coordenadas cartesianas):
${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=0$
Em coordenadas polares (r, θ){\textstyle (r, ~\theta )}, a equação torna-se:
${\frac {\partial ^{2}g}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial g}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial \theta ^{2}}}=0$
Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis x=rcos θ{\textstyle x=r{\text{cos }}\theta }, y=rsen θ{\textstyle y=r{\text{sen }}\theta } e g(r, θ)=f(rcos θ, rsen θ){\textstyle g(r, \theta )=f(r{\text{cos }}\theta , r{\text{sen }}\theta )}.

### Definição em R$^3${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}

Em três dimensões, o problema consiste em determinar funções reais f{\textstyle f} duplamente diferenciáveis, de variáveis reais x{\textstyle x}, y{\textstyle y} e z{\textstyle z}, tais que:
- em coordenadas cartesianas
    ${\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0.$
- em coordenadas cilíndricas,
    ${1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0$
- em coordenadas esféricas,
    ${1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \varphi }{\partial \over \partial \varphi }\left(\sin \varphi {\partial f \over \partial \varphi }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\varphi }{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}=0$

## Solução fundamental

A função Φ:R$^n$−{0}→R{\textstyle \Phi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to \mathbb {R} } definida por:
$\Phi (x)=\left\{{\begin{array}{rr}-{\frac {1}{2\pi }}\ln |x|&,n=2\\{\frac {1}{n(n-2)\alpha (n)}}{\frac {1}{|x|^{n-2}}}&,n\geq 3\end{array}}\right.$
é chamada de solução fundamental da equação de Laplace. Aqui, α(n){\textstyle \alpha (n)} denota o volume da bola unitária em R$^n${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}. Verifica-se, por substituição direta, que ΔΦ=0{\textstyle \Delta \Phi =0} em R$^n$−{0}{\textstyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}}.

## Condições de contorno

A equação de Laplace deve ser complementada com condições de contorno.

### Problema de Dirichlet

Quando como condição de contorno é especificado o valor da função sobre o contorno ∂D{\textstyle \partial D} do domínio D{\textstyle D}, esta é denominada condição de contorno de Dirichlet:
    ${\begin{array}{rclcl}\Delta \varphi &=&0,\quad &x\in D\\\varphi &=&g,&x\in \partial D\end{array}}$.

#### Unicidade

Como consequência do princípio do máximo forte para funções harmônicas, mostra-se que se D{\textstyle D} é conexo, φ∈C$^2$(D)∩C(D$^¯$){\textstyle \varphi \in C^{2}(D)\cap C({\bar {D}})} e g∈C(∂D){\textstyle g\in C(\partial D)} é uma função não-negativa (não-positiva), então φ{\textstyle \varphi } é não-negativa (não-positiva) em D{\textstyle D}. Como consequência, existe no máximo uma solução para o problema de Dirichlet sobre tais hipóteses.
Observamos que a unicidade de solução para o problema de Dirichlet pode ser garantida mesmo sem a hipótese de conexidade sobre D{\textstyle D}. Para tanto, veja condição de contorno de Dirichlet para equação de Poisson.

#### Representação da Solução

Se u∈C$^2$(D$^¯$){\textstyle u\in C^{2}({\bar {D}})} é solução do problema de Dirichlet acima, então:
    $\varphi (x)=-\int _{\partial D}g(y){\frac {\partial G(x,y)}{\partial \nu }}(x,y)\,dS(y)$
onde, ν{\textstyle \nu } é a normal unitária exterior a ∂D{\textstyle \partial D} e ∂G(x, y)/∂ν{\textstyle \partial G(x, y)/\partial \nu } é a derivada normal da função de Green:
    $G(x,y)=\Phi (y-x)-\phi ^{x}(y),\quad \forall x,y\in D,~x\neq y.$
Aqui, Φ{\textstyle \Phi } é a solução fundamental (veja acima) e, para cada x{\textstyle x}, ϕ$^x$=ϕ$^x$(y){\textstyle \phi ^{x}=\phi ^{x}(y)} é solução de:
    ${\begin{array}{rclcl}\Delta \phi ^{x}&=&0,\quad &x\in D\\\phi ^{x}&=&\Phi (y-x),&x\in \partial D\end{array}}$

##### Fórmula de Poisson para a bola

A fórmula de representação acima depende da função de Green G(x, y){\textstyle G(x, y)}. Em alguns casos esta função é conhecida. Se D=B(0, r)={x: ‖x‖<r}{\textstyle D=B(0, r)=\{x:~\|x\|<r\}}, então:
    $G(x,y)={\frac {r^{2}-\|x\|^{2}}{n\alpha (n)r}}{\frac {1}{\|x-y\|^{n}}}$
a qual é conhecida como núcleo de Poisson para a bola B(0, r){\textstyle B(0, r)}. De fato, podemos mostrar que se g∈C(∂B(0, r)){\textstyle g\in C(\partial B(0, r))}, então:
    $\varphi (x)=-\int _{\partial B(0,r)}g(y){\frac {\partial G(x,y)}{\partial \nu }}(x,y)\,dS(y)=-{\frac {r^{2}-\|x\|^{2}}{n\alpha (n)r}}\int _{\partial B(0,r)}{\frac {g(y)}{\|x-y\|^{n}}}dS(y),\quad \forall x\in B(0,r)$
é solução do problema de Dirichlet no sentido que Δφ=0{\textstyle \Delta \varphi =0} e:
    $\lim _{\begin{array}{cc}x\to y\\x\in B(0,r)\end{array}}\varphi (x)=g(y),\quad \forall y\in \partial B(0,r).$

### Problema de Neumann

Quando como condição de contorno é especificado a derivada normal função incógnita sobre o contorno ∂D{\textstyle \partial D} do domínio D{\textstyle D}, esta é denominada condição de contorno de Neumann:
Neste caso o valor da derivada normal da função é especificado sobre o contorno:
    ${\begin{array}{rclcl}\triangle \varphi &=&0,\quad &x\in D\\{\frac {\partial }{\partial \eta }}\varphi &=&g,&x\in \partial D\end{array}}.$
Uma condição de existência pode ser encontrada integrando a equação em todo o domínio D{\textstyle D} e aplicando a primeira identidade de Green:
    $0=\int _{D}0dx=\int _{D}\triangle \varphi dx=\int _{\partial D}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\varphi dS(x)=\int _{\partial D}gdS(x)$