# Equação de Poisson

Em matemática, a equação de Poisson é uma equação diferencial parcial com uma ampla utilidade em eletrostática, engenharia mecânica e física teórica. O seu nome é derivado do matemático e físico francês Siméon Denis Poisson.

## Definição

Em um conjunto aberto $U\subset \mathbb {R} ^{n}$, a equação de Poisson é definida por:
    $\Delta \varphi =f$
onde, $f:U\to \mathbb {R}$ é uma função chamada de termo fonte e $\Delta$ denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):
    $\Delta \varphi :=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{i}^{2}}}$
Aqui, a incógnita $\varphi$ é uma função de $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ em $\mathbb {R} .$ Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por $\nabla ^{2}$. Esta notação é motivada pelo fato de que $\Delta =\nabla \cdot \nabla$, onde $\nabla$ denota o gradiente. Quando $f\equiv 0$ a equação é chamada de equação de Laplace.

### Caso em duas dimensões

Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano $\mathbb {R} ^{2}$, a equação de Poisson toma a forma (em coordenadas cartesianas):
    ${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}=f(x,y)$.
Em coordenadas polares $(r,~\theta )$, a equação torna-se:
    ${\frac {\partial ^{2}g}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial g}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial \theta ^{2}}}=h(r,\theta )$,
Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis $x=r{\text{cos }}\theta$, $y=r{\text{sen }}\theta$, $g(r,\theta )=\varphi (r{\text{cos }}\theta ,r{\text{sen }}\theta )$ e $h(r,\theta )=\phi (r{\text{cos }}\theta ,~r{\text{sen }}\theta )$.

### Caso em três dimensões

Em três dimensões, i.e. no espaço euclidiano $\mathbb {R} ^{3}$, a equação de Poisson toma a forma (em coordenadas cartesianas):
    ${\partial ^{2}\varphi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial z^{2}}=f(x,y,z)$.
Em coordenadas cilíndricas $(\rho ,~\theta ,~z)$, a equação torna-se:
    ${1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial g \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}g \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}g \over \partial z^{2}}=h(\rho ,\theta ,z)$
Pode-se obter esta fazendo as mudanças de variáveis $x=r{\text{cos }}\theta$, $y=r{\text{sen }}\theta$, $z=z$, $g(r,\theta ,z)=\varphi (r{\text{cos }}\theta ,r{\text{sen }}\theta ,z)$ e $h(r,\theta ,z)=\phi (r{\text{cos }}\theta ,~r{\text{sen }}\theta ,z)$.
Em coordenadas esféricas $(r,\phi ,\theta )$, a equação toma a forma:
    ${1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial g \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \phi }{\partial \over \partial \phi }\left(\sin \phi {\partial g \over \partial \phi }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\phi }{\partial ^{2}g \over \partial \theta ^{2}}=h(r,\phi ,\theta )$.

## Soluções

Para resolver uma equação de Poisson podem-se utilizar vários métodos como, por exemplo, uma função de Green ou métodos numéricos como o método das diferenças finitas (MDF), o método dos elementos finitos (MEF) ou o Element Free-Gallerkin Method (EFGM).

### Solução em R$^n$

Pode-se obter uma solução clássica para a equação de Poisson em $\mathbb {R} ^{n}$:
    $-{\Delta }\varphi =g$
supondo $g\in C_{c}^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$, i.e. $g$ é duas vezes continuamente diferenciável com suporte compacto. Neste caso, a solução é dada por:
    $\varphi (x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (x-y)g(y)dy$
onde, $\Phi :\mathbb {R} ^{n}-{0}\to \mathbb {R}$ é a solução fundamental da equação de Laplace.

#### Demonstração

Mostraremos, primeiro, que $\varphi \in C^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ).$ Note que:
    $\varphi (x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (y)g(x-y)dy$.
Como $g\in C_{c}^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$, temos
    ${\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\varphi (x+h\cdot e_{i})-\varphi (x)}{h}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (y)\left[\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+he_{i}-y)-g(x-y)}{h}}\right]dy=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (y){\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}(x-y)dy$
e, de forma análoga, temos
    ${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{i}^{2}}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (y){\frac {\partial g^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}(x-y)dy$
o que mostra que $\varphi \in C^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ).$ No cálculo acima, $e_{i}$ denota o $i$-ésimo vetor da base canônica do $\mathbb {R} ^{n}$.
Mostraremos, agora, $-\Delta \varphi =g$. Como $\Phi$ tem uma singularidade em $0$, tomamos $\varepsilon >0$ e escrevemos:
(1)\quad $\Delta \varphi (x)=\int _{B(0,\varepsilon )}\Phi (y)\Delta _{x}g(x-y)dy+\int _{\mathbb {R} ^{n}-B(x,\varepsilon )}\Phi (y)\Delta _{x}g(x-y)dy$
Aqui, $B(0,\varepsilon )$ denota a bola de centro $0$ e raio $\varepsilon$. Estimando o primeiro termo, vemos que:
(2)\quad $\left|\int _{B(0,\epsilon )}\Phi (y)\Delta _{x}g(x-y)dy\right|\leq \left\{{\begin{array}{ll}C||D^{2}g||_{\infty }\varepsilon ^{2}|\ln \varepsilon |&,n=2\\C||D^{2}g||_{\infty }\varepsilon ^{2}&,n\geq 3\end{array}}\right.$
Aqui, $||\cdot ||_{\infty }$ denota a norma $L_{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$. Já o segundo termo pode ser integrado por partes, o que nos fornece:
(3)\quad $\int _{\mathbb {R} ^{n}-B(x,\epsilon )}\Phi (y)\Delta _{x}g(x-y)dy=-\int _{\mathbb {R} ^{n}-B(0,\varepsilon )}D\Phi (y)\cdot D_{y}g(x-y)dy+\int _{\partial B(0,\varepsilon )}\Phi (y){\frac {\partial g}{\partial \nu }}(x-y)dS(y)$
Aqui, ${\frac {\partial g}{\partial \nu }}$ denota a derivada normal de $g$. Estimando este último termo, obtemos:
(4)\quad $\left|\int _{\partial B(0,\varepsilon )}\Phi (y){\frac {\partial g}{\partial \nu }}(x-y)dS(y)\right|\leq \left\{{\begin{array}{ll}C||Dg||_{\infty }\varepsilon |\ln \varepsilon |&,n=2\\C||Dg||_{\infty }\varepsilon &,n\geq 3\end{array}}\right.$
Se integrarmos por partes o penúltimo termo de (3) novamente, vemos que:
(5)\quad $-\int _{\mathbb {R} ^{n}-B(0,\varepsilon )}D\Phi (y)\cdot D_{y}g(x-y)dy=\int _{\mathbb {R} ^{n}-B(0,\varepsilon )}\Delta \Phi (y)g(x-y)dy-\int _{\partial B(0,\epsilon )}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}(y)g(x-y)dS(y)$
Aqui, o penúltimo termo é nulo, pois $\Delta \Phi \equiv 0$ em $\mathbb {R} ^{n}-B(0,\varepsilon )$. E, este último termo é tal que:
(6)\quad $\int _{\partial B(0,\epsilon )}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}(y)g(x-y)dS(y)={\frac {1}{n\alpha (n)\varepsilon ^{n-1}}}\int _{\partial B(x,\varepsilon )}g(y)dS(y)\to g(x)\quad {\text{quando}}\quad \varepsilon \to 0$
pois, notemos que o termo a direita deste símbolo de igualdade é a média de $g$ sobre a fronteira da bola $B(x,\varepsilon )$. Voltando a (1) e usando as conclusões de (2)-(6), concluímos que $-\Delta \varphi =g$.

## Condições de contorno

A equação de Poisson em domínios limitados deve ser complementada com condições de contorno.

### Condição de contorno de Dirichlet

Diz que a equação de Poisson tem condições de contorno de Dirichlet quando a função incógnita $\varphi$ é explicitamente descrita no contorno do domínio, i.e.:
    ${\begin{array}{rclcl}\triangle \varphi &=&f,\quad &x\in D\\\varphi &=&g,&x\in \partial D\end{array}}.$

#### Unicidade

Como consequência do princípio do máximo forte para funções harmônicas, mostra-se que se $D$ é conexo, $\varphi \in C^{2}(D)\cap C({\bar {D}})$ e $g\in C(\partial D)$, então existe no máximo uma solução para o problema de Dirichlet sobre tais hipóteses.
A unicidade de solução também é garantida mesmo que $D$ não seja conexo. Com efeito, assumindo $D$ aberto, limitado, $\partial D\in C^{1}$ e $\varphi ,~{\tilde {\varphi }}\in C^{2}(U)$ duas soluções do mesmo problema acima, então tomando $u=\varphi -{\tilde {\varphi }}$ temos:
    ${\begin{array}{rclcl}\triangle u&=&0,\quad &x\in D\\u&=&0,&x\in \partial D\end{array}}.$
Agora, usando de integração por partes, obtemos:
    $\int _{D}\|D\,u\|^{2}\,dx=-\int _{D}u\Delta u\,dx=0$
o que implica que $D\,u=0$ que, por sua vez, implica $u$ constante. Como $u=0$ em $\partial D$, temos $u=0$ em ${\bar {D}}$, i.e. $\varphi ={\tilde {\varphi }}$, como queríamos demonstrar.

### Condição de contorno de Neumann

Diz que a equação de Poisson tem condições de contorno de Neumann quando a derivada normal da função incógnita $\varphi$ é explicitamente descrita no contorno do domínio, i.e.:
    ${\begin{array}{rclcl}\triangle \varphi &=&f,\quad &x\in D\\{\frac {\partial }{\partial \eta }}\varphi &=&g,&x\in \partial D\end{array}}.$