# Distribuição gama

Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição gama é uma família de distribuições contínuas de probabilidade de dois parâmetros. Diversos tipos de distribuições são dependentes, ou são casos específicos da distribuição gama, como a distribuição exponencial e a distribuição qui-quadrado. A distribuição gama é usada para modelar valores de dados positivos que são assimétricos à direita e maiores que 0. Ela é comumente usada em estudos de sobrevivência de confiabilidade.
Existem três diferentes parametrizações no uso comum:
* Com um parâmetro de forma $k$ e um parâmetro de escala $\theta$.
* Com um parâmetro de forma $\alpha =k$ e um parâmetro de escala inversa $\beta ={\frac {1}{\theta }}$, chamado parâmetro de taxa.
* Com um parâmetro de forma $k$ e um parâmetro média $\mu ={\frac {k}{\beta }}$.
Em cada uma dessas formas, ambos os parâmetros são números reais positivos.
ra a qual $E[X]=k\theta ={\frac {\alpha }{\beta }}$ é fixada e maior que zero, e $E[ln(X)]=\psi (k)+ln(\theta )=\psi (\alpha )-ln(\beta )$ é fixado ($\psi$ é a função digama).
Dentro da distribuição gama uma importante propriedade é o fato de que à medida que $\theta$ aumenta, essa distribuição se aproxima de uma Normal com média µ e variância $\theta$ µ²= µ²/v
Por exemplo, a distribuição gama pode descrever o tempo de um componente elétrico de falhar. A maioria dos componentes elétricos de um determinado tipo falharão na mesma época, mas alguns vão demorar muito tempo para falhar.

## Parametrização

A parametrização com $k$ e $\theta$ parece ser mais comum em econometria e em outros campos de aplicação, onde por exemplo, a distribuição gama é frequentemente usada para modelar tempos de espera. A parametrização com $\alpha$ e $\beta$ é mais comum em estatística bayesiana, onde a distribuição gama é usada como uma distribuição conjugada a priori para vários tipos de parâmetros de escala inversa (também conhecido como parâmetros de taxa), assim como o $\lambda$ de uma distribuição exponencial ou uma distribuição de Poisson.
Se $k$ é um inteiro positivo, então a distribuição representa uma distribuição Erlang, isto é, a soma de $k$ variáveis aleatórias exponencialmente distribuídas, cada uma das quais tem média $\theta$

### Caracterização usando $\alpha$ e taxa $\beta$

A distribuição gama pode ser parametrizadas em termos de um parâmetro de forma $\alpha =k$ e o parâmetro de escala inversa $\beta ={\frac {1}{\theta }}$, chamado parâmetro de taxa. Uma variável aleatória $X$ que é distribuída sob gama com forma $\alpha$ e taxa $\beta$ é denotada
    $X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )\equiv {\textrm {Gama}}(\alpha ,\beta )$
A função densidade de probabilidade correspondente na parametrização forma-taxa é
    $f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}{\Gamma (\alpha )}}\quad {\text{ para }}x>0{\text{ e }}\alpha ,\beta >0$,
onde ${\Gamma (\alpha )}$ é uma função gama completa. Para todos os inteiros positivos $\Gamma (\alpha )=(\alpha -1)!$
A função de distribuição acumulada é a função gama regularizada:
    $F(x;\alpha ,\beta )=\int _{0}^{x}f(u;\alpha ,\beta )\,du={\frac {\gamma (\alpha ,\beta x)}{\Gamma (\alpha )}}$
onde $\gamma (\alpha ,\beta x)$ é a função gama incompleta inferior.
Se $\alpha$ é um inteiro positivo (isto é, a distribuição é uma Distribuição Erlang), a função de distribuição acumulada tem a seguinte expansão em séries:
    $F(x;\alpha ,\beta )=1-\sum _{i=0}^{\alpha -1}{\frac {(\beta x)^{i}}{i!}}e^{-\beta x}=e^{-\beta x}\sum _{i=\alpha }^{\infty }{\frac {(\beta x)^{i}}{i!}}$

### Caracterização usando a forma $k$ e escala $\theta$

Uma variável aleatória $X$ que é distribuída sob gama com parâmetro de forma $k$ e escala $\theta$ é denotada por
    $X\sim \Gamma (k,\theta )\equiv {\textrm {Gama}}(k,\theta )$
A função densidade de probabilidade usando a parametrização forma-escala é
    $f(x;k,\theta )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\quad {\text{ para }}x>0{\text{ e }}k,\theta >0.$
Aqui $\Gamma (k)$ é a função gama avaliada em $k$.
A função de distribuição acumulada é a função gama regularizada:
    $F(x;k,\theta )=\int _{0}^{x}f(u;k,\theta )\,du={\frac {\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)}{\Gamma (k)}}$
onde $\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)$ é a função gama incompleta inferior.
Também pode ser expressa como segue, se $k$ é um inteiro positivo (isto é, a distribuição é uma distribuição Erlang):
    $F(x;k,\theta )=1-\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {1}{i!}}\left({\frac {x}{\theta }}\right)^{i}e^{-x/\theta }=e^{-x/\theta }\sum _{i=k}^{\infty }{\frac {1}{i!}}\left({\frac {x}{\theta }}\right)^{i}$
    Aplicações
    Este tipo de distribuição geralmente é aplicada quando se quer fazer algum tipo de analise ligada ao tempo de vida de algum tipo de produto. Por exemplo em um painel elétrico, os mesmo componentes elétricos tem a sua duração (vida útil) aproximadamente igual, ou seja vão durar o mesmo período de tempo, porem alguns podem durar muito mais.