# Estado Plano de Tensão

Na mecânica de meios contínuos, diz-se que um material está sob o Estado Plano de Tensão quando o vetor de tensão normal a um dos planos principais é zero. Quando esta situação ocorre sobre um elemento de estrutura inteiro, como é o caso de placas finas, a análise de tensões simplifica-se consideravelmente, já que o estado de tensão pode ser representado por um tensor de dimensão 2 (apresentável através de uma matriz de 2 × 2 em vez de uma matriz 3 × 3). Uma noção relacionada, estado plano de deformação, é também aplicável em membros muito espessos.
O estado plano de tensão ocorre tipicamente em placas finas que são sujeitas apenas a forças de carga paralelas a elas. Em certas situações, uma placa ligeiramente curvada pode ser assumida como tendo estado plano de tensão para propósitos de análise de tensões. Este é o caso, por exemplo, de um cilindro de paredes finas ocupado por um fluido sob pressão. Em tais casos, as componentes de tensão perpendiculares à placa são negligenciáveis quando comparadas com aquelas que são paralelas à mesma.
Em outras situações, contudo, a tensão de flexão de uma placa fina não pode ser desprezada. A análise pode ser simplificada através do uso de um domínio bidimensional, mas o tensor de estado plano de tensão para cada ponto deve ser complementado com os termos de flexão.

## Definição matemática

Matematicamente, a tensão em qualquer ponto do material está em estado plano de tensão se uma das três tensões principais (os valores próprios do tensor das tensões de Cauchy) é zero, isto é, o tensor de tensões no sistema de coordenadas cartesiano é,
    $\sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&0&0\\0&\sigma _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&0&0\\0&\sigma _{y}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$.
Por exemplo, considere-se um bloco de material rectangular medindo 10, 40 e 5 cm segundo $x$, $y$ e $z$ e que está a ser esticado na direcção $x$ e comprimido na direcção $y$ por pares de forças opostas com magnitude 10 N e 20 N, respectivamente, uniformemente distribuídas pelas faces correspondentes. O tensor de tensões do bloco seria de,
    $\sigma ={\begin{bmatrix}500\mathrm {Pa} &0&0\\0&-4000\mathrm {Pa} &0\\0&0&0\end{bmatrix}}$.
Mais genericamente, se se escolhem as duas primeiras coordenadas arbitrariamente mas perpendiculares à direcção de tensão zero, o tensor de tensões terá a forma,
    $\sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&0\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$
e poderá portanto ser representada em forma de matriz 2 × 2,
    $\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}\end{bmatrix}}$.

## Estado Plano de Tensão em superfícies curvas

Em certos casos, o modelo de estado plano de tensão pode ser usado na análise de superfícies ligeiramente curvas. Por exemplo, considere-se um cilindro de paredes finas sujeito a uma força de compressão axial distribuída uniformemente ao longo do seu aro, estando este ocupado por um fluido pressurizado. A pressão interna gerará uma tensão cilíndrica na parede, uma tensão de tracção normal directamente perpendicular ao eixo do cilindro e tangencial à sua superfície. O cilindro pode ser conceptualmente desenrolado e analisado como uma placa rectangular fina sujeita a uma tensão de tracção numa direcção e a uma tensão de compressão na outra direcção, ambas paralelas à placa.

## Estado Plano de Deformação

Se uma dimensão é muito grande comparada com as outras, a tensão principal na direcção da dimensão mais longa é desprezada e pode ser considerada zero, cedendo à condição de estado plano de deformação. Neste caso, apesar de todas as tensões principais não serem zero, a tensão principal na direcção da dimensão mais longa pode ser ignorada para os cálculos. Logo, isto permite uma análise bidimensional das tensões, como é o caso da análise de barragens na secção de corte carregada pelas reservas.
O tensor de deformações correspondente é,
    $\varepsilon _{ij}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&0\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&0\\0&0&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,\!$
no qual o termo não-zero $\varepsilon _{33}\,\!$ surge a partir do coeficiente de Poisson. Este termo de deformação pode ser temporariamente removido a partir da análise de tensões para deixar apenas os termos do plano, reduzindo de forma efectiva a análise para duas dimensões.

## Transformação da tensão em estado plano de tensão e estado plano de deformação

Considere-se um ponto $P\,\!$ num meio contínuo sob um estado plano de tensão, com as componentes de tensão $(\sigma _{x},\sigma _{y},\tau _{xy})\,\!$ e todas as outras componentes de tensão iguais a zero. A partir do equilíbrio estático de um elemento material infinitesimal em $P\,\!$, a tensão normal $\sigma _{\mathrm {n} }\,\!$ e a tensão de corte $\tau _{\mathrm {n} }\,\!$ em qualquer plano perpendicular ao plano $x\,\!$-$y\,\!$ que passe através de $P\,\!$ com um vector unitário $\mathbf {n} \,\!$ fazendo um ângulo $\theta \,\!$ com a horizontal, ou seja, $\cos \theta \,\!$, é a direcção coseno na direcção $x\,\!$, saõ fornecidos por,
    $\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta \,\!$,
    $\tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta \,\!$.
Estas equações indicam que numa condição de estado plano de tensão ou estado plano de deformação, podem-se determinar as componentes da tensão num ponto em todas as direcções, ou seja, como uma função de $\theta \,\!$, se se souber as componentes de tensão $(\sigma _{x},\sigma _{y},\tau _{xy})\,\!$ em quaisquer duas direcções perpendiculares nesse ponto. É importante recordar que se considera a unidade de área de um elemento infinitesimal numa direcção paralela ao plano $y\,\!$-$z\,\!$.
As direcções principais, ou seja, a orientação dos planos onde as componentes de tensão de corte são zero, podem ser obtidas pela aplicação da equação anterior para a tensão de corte $\tau _{\mathrm {n} }\,\!$ igual a zero. Logo tem-se,
    $\tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta =0\,\!$,
e obtém-se,
    $\tan 2\theta _{\mathrm {p} }={\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{x}-\sigma _{y}}}\,\!$.
Esta equação define dois valores $\theta _{\mathrm {p} }\,\!$ os quais estão separados por $90^{\circ }\,\!$ em ângulo. O mesmo resultado pode ser obtido por encontrar o ângulo $\theta \,\!$ que faça com que a tensão normal $\sigma _{\mathrm {n} }\,\!$ seja máxima, ou seja, ${\frac {d\sigma _{\mathrm {n} }}{d\theta }}=0\,\!$.
As tensões principais $\sigma _{1}\,\!$ e $\sigma _{2}\,\!$, ou as tensões normais máximas e mínimas $\sigma _{\mathrm {max} }\,\!$ e $\sigma _{\mathrm {min} }\,\!$, respectivamente, podem então ser obtidas pela substituição de ambos os valores de $\theta _{\mathrm {p} }\,\!$ na equação anterior para $\sigma _{\mathrm {n} }\,\!$. Isto pode ser atingido pelo rearranjo das equações para $\sigma _{\mathrm {n} }\,\!$ e $\tau _{\mathrm {n} }\,\!$, primeiro transpondo o primeiro termo na primeira equação elevar ao quadrado ambos as margens de cada equação, somando-as depois. Logo tem-se,
    ${\begin{aligned}\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}\\(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{\mathrm {avg} })^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=R^{2}\end{aligned}}\,\!$,
onde,
    $R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\quad {\text{e}}\quad \sigma _{\mathrm {med} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\,\!$,
o qual é a equação de um círculo de raio $R\,\!$ centrado num ponto de coordenadas $[\sigma _{\mathrm {med} },0]\,\!$, denominado Círculo de Mohr. Conhecendo-o para as tensões principais e a tensão de corte $\tau _{\mathrm {n} }=0\,\!$, então obtém-se a partir desta equação,
    $\sigma _{1}=\sigma _{\mathrm {max} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!$,
    $\sigma _{2}=\sigma _{\mathrm {min} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})-{\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!$.
Quando $\tau _{xy}=0\,\!$ o elemento infinitesimal estão orientado na direcção das tensões principais, pelo que as tensões que actuam no elemento rectangular são as tensões principais, $\sigma _{x}=\sigma _{1}\,\!$ e $\sigma _{y}=\sigma _{2}\,\!$. Então a tensão normal $\sigma _{\mathrm {n} }\,\!$ e a tensão de corte $\tau _{\mathrm {n} }\,\!$ como uma função das tensões principais podem ser determinados através da aplicação de $\tau _{xy}=0\,\!$. Logo tem-se,
    $\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{2})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\cos 2\theta \,\!$,
    $\tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\sin 2\theta \,\!$.
Então a tensão de corte máxima $\tau _{\mathrm {max} }\,\!$ ocorre quando $\sin 2\theta =1\,\!$, ou seja, $\theta =45^{\circ }\,\!$,
    $\tau _{\mathrm {max} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\,\!$.
Então a tensão de corte mínima $\tau _{\mathrm {min} }\,\!$ ocorre quando $\sin 2\theta =-1\,\!$, ou seja, $\theta =135^{\circ }\,\!$,
    $\tau _{\mathrm {min} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\,\!$.