# Sequência automática

Uma sequência automática (ou k-sequência automática) é uma sequência infinita de termos caracterizado por um autômato finito. O enésimo termo da sequência é um mapeamento do estado final do autômato quando a sua entrada de n dígitos tem como base um valor fixo k. Um conjunto k-automático é um conjunto não negativo de inteiros no qual cada sequência de valores é uma sequência automática de uma função característica, ou seja, um conjunto n da sequência pode ser determinado por um autômato finito de dígitos n na base k.
Um autômato lendo dígitos de base k a partir da mais significante é chamado de leitura direta, e uma leitura a partir do menos significante é chamada de leitura reversa. No entanto as duas direções conduzem a mais classes de sequências.
Cada sequência automática é uma palavra mórfica.

## Ponto de vista do autômato

Seja k um número inteiro positivo e D = (E, φ, e) seja um autômato determinístico onde
* E é um conjunto finito de estados
* φ : E×[0,k − 1] → E é um estado de transição
* $e\in E$ é o estado inicial
E também seja A um conjunto finito, e π:E → A uma projeção em A. Estenda a função de transição φ de atuando em dígitos únicos para atuando em “string” de dígitos, definindo a ação de φ em uma string s de forma s$_1$s$_2$...s$_t$ como:
Defina a função m a partir de um conjunto positivo de inteiro para o conjunto A na forma:
    $m(n)=\pi (\phi (e,s(n)))\,,$
Onde, s(n) é n escrito na base k. Então a sequência m = m(1)m(2)m(3)... é chamada de uma k-sequência automática.

## Substituição de pontos de vista

Seja σ um k-morfismo uniforme de monoide livre E$^∗$ , então $\sigma (E)\subseteq E^{k}$ e no qual é prolongável para $e\in E$, ou seja, σ(e) começa com e. Seja A e π definido como acima. Então se w é um ponto fixo de σ, ou seja, w = σ(w), então m = π(w) é uma k-sequência automática sobre A: esse é o teorema de Cobham. Reciprocamente toda k-sequência automática é obtida desse modo.

## Dizimação

Para um k fixo e k > 1. Para uma sequência w, definimos uma k-dizimação de w para r=0,1,...,k-1 sendo uma subsequência consistindo em letras das posições congruentes a r mod k. O kernel da dizimação de w consiste em um conjunto de palavras obtidas por todas as possíveis dizimações repetições de w. Uma sequência é k-automática se, e somete se, o kernel da k-dizimação for finito.

## 1-sequência automática

k-sequências automáticas são normalmente definidas apenas para k ≥ 2. O conceito pode ser estendido para k = 1 definido uma 1-sequência automática sendo uma sequências na qual o enésimo termo depende da notação unária para n, que é (1)$^n$. Como um autômato finito tem que retornar eventualmente para um estado já visitado, todas as 1-sequências automáticas são eventualmente periódicas.

## Propriedades

Para uma dado k e r, um conjunto é k-automático se, e somente se, for k$^r$-automático. Caso contrario, para h e k multiplicável independentemente, então um conjunto é h-automático e k-automático se, e somente se, for 1-automático, ou seja, for fundamentalmente periódico.
Se u(n) é uma sequência k-automática então a sequência u(k$^n$) e u(k$^n$−1) são fundamentalmente periódicas. Reciprocamente, se v(n) é fundamentalmente periódica então uma sequência u definida por u(k$^n$) = v(n)) e caso contrário 0, é k-automática.
Seja u(n) uma sequência k-automática sobre o alfabeto A. Se f é um morfismo uniforme de A$^∗$ para B$^∗$ então a palavra f(u) é uma k-sequência automática sobre o alfabeto B.
Seja u(n) uma sequência sobre o alfabeto A e supondo que há uma função injetiva j de A para uma área finita F$_q$. Então a serie formal de potências associadas é : :$f_{u}(z)=\sum _{n}j(u(n))z^{n}\ .$
A sequência u é q-automática se, e somente se, a serie de potencias f$_u$ for algébrica sobre o campo das funções racionais F$_q$(z).

## Exemplos

As seguintes sequências são automáticas:
* Sequência de Thue-Morse: Seja E = A = {0, 1}, e = 0, π = id e σ da forma que σ(0) = 01, σ(1) = 10; Pegando o ponto fixo 01101001100101101001011001101001..., que é de fato a palavras de Thue-Morse. O enésimo termo é a paridade da representação da base 2 de n e a sequência é 2-automática. O 2-kernel consiste na própria sequência e seu complemento. A serie de potencias associada T(z) satisfaz ::$(1+z)^{3}T^{2}+(1+z)^{2}T+z=0\$ sobre o campo F$_2$(z).
* Sequência de Rudin–Shapiro
* Sequência de Baum–Sweet
* Sequência regular de dobragem de papel e a genérica sequência de dobragem de papel com uma sequência periódica de dobras.
* A sequência de duplicação periódica, definida pela paridade das potencias de 2 dividindo por n; e o ponto fixo do morfismo 0 → 01, 1 → 00.

## Número real automático

Um número real automático é um numero real no qual a expansão da base b é uma sequência automática. Tais números são racionais ou transcendentais, mas não são números-U. Números racionais são k-automáticos na base b para todo k e b.

## References

* 1 2 3 Allouche & Shallit (2003) p.152
* 1 2 3 Berstel et al (2009) p.78
* ↑ Allouche & Shallit (2003) p.168
* 1 2 3 Pytheas Fogg (2002) p.13
* ↑ Pytheas Fogg (2002) p.15
* ↑ Allouche & Shallit (2003) p.212
* ↑ Allouche & Shallit (2003) p.175
* ↑ Allouche & Shallitt (2003) p.185
* ↑ Lothaire (2005) p.527
* ↑ Berstel & Reutenauer (2011) p.91
* ↑ Allouche & Shallit (2003) pp.345-350
* ↑ Lothaire (2005) p.529
* ↑ Berstel & Reutenauer (2011) p.103
* ↑ Lothaire (2005) p.532
* 1 2 Lothaire (2005) p.525
* 1 2 Berstel & Reutenauer (2011) p.92
* ↑ Lothaire (2005) p.528
* ↑ Berstel & Reutenauer (2011) p.94
* ↑ Allouche & Shallit (2003) p.154
* ↑ Allouche & Shallit (2003) p.156
* ↑ Allouche & Shallit (2003) p.155
* ↑ Lothaire (2005) p.526
* ↑ Allouche & Shallit (2003) p.183
* ↑ Allouche & Shallit (2003) p.176
* ↑ Shallitt (1999) p.556
* ↑ Allouche & Shallit (2003) p.379
* Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015
* Berstel, Jean; Lauve, Aaron; Reutenauer, Christophe; Saliola, Franco V. (2009). Combinatorics on words. Christoffel words and repetitions in words. Col: CRM Monograph Series. 27. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4480-9. Zbl 1161.68043
* Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011). Noncommutative rational series with applications. Col: Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 137. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250.68007
* Berthé, Valérie; Rigo, Michel, eds. (2010). Combinatorics, automata, and number theory. Col: Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 135. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-51597-9. Zbl 1197.68006
* Shallit, Jeffrey (1999). «Number theory and formal languages». In: Hejhal, Dennis A.; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C.; Odlyzko, Andrew M. Emerging applications of number theory. Based on the proceedings of the IMA summer program, Minneapolis, MN, USA, July 15--26, 1996. Col: The IMA volumes in mathematics and its applications. 109. [S.l.]: Springer-Verlag. pp. 547–570. ISBN 0-387-98824-6
* Lothaire, M. (2005). Applied combinatorics on words. Col: Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 105. A collective work by Jean Berstel, Dominique Perrin, Maxime Crochemore, Eric Laporte, Mehryar Mohri, Nadia Pisanti, Marie-France Sagot, Gesine Reinert, Sophie Schbath, Michael Waterman, Philippe Jacquet, Wojciech Szpankowski, Dominique Poulalhon, Gilles Schaeffer, Roman Kolpakov, Gregory Koucherov, Jean-Paul Allouche and Valérie Berthé. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-84802-4. Zbl 1133.68067
* Loxton, J. H. (1988). «13. Automata and transcendence». In: Baker, A. New Advances in Transcendence Theory. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 215–228. ISBN 0-521-33545-0. Zbl 0656.10032
* Pytheas Fogg, N. (2002). Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. Col: Lecture Notes in Mathematics. 1794. Editors Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44141-7. Zbl 1014.11015