# Desigualdade das médias

A desigualdade das médias afirma que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica e esta maior ou igual à média harmônica.
Mais precisamente falando, seja $\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$ um conjunto não vazio de números reais positivos então:
    ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\geq {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}\geq {\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)}}$
onde $\sum _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}$, veja somatório.
e $\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}$, veja produtório.

## Demonstração do caso n=2

Queremos mostrar que:
    ${\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\geq {\sqrt {x_{1}\cdot x_{2}}}\geq {\frac {2}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}}}$
Como $x_{1}$ e $x_{2}$ são reais, temos:
    $(x_{1}-x_{2})^{2}\geq 0$
Expandindo, temos:
    $x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\geq 0$
Somando $4x_{1}x_{2}$, obtemos:
    $x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\geq 4x_{1}x_{2}$
Assim:
    $(x_{1}+x_{2})^{2}\geq 4x_{1}x_{2}$
Assumindo como sendo números positivos, podemos tomar a raiz quadrada e dividir por 2:
    ${\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\geq {\sqrt {x_{1}x_{2}}}$
A primeira desigualdade segue. Para mostrar a segunda, escreva esta última como:
    ${\frac {2}{x_{1}+x_{2}}}\leq {\frac {1}{\sqrt {x_{1}x_{2}}}}$
Multiplique ambos os lados por :$x_{1}x_{2}$:
    ${\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\leq {\sqrt {x_{1}x_{2}}}$
E observe que esta é justamente a desigualdade que procuramos, pois:
    ${\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}={\frac {2}{\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}}}={\frac {2}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}}}$
E o resultado segue.

## Demonstração no caso $n=2^{k}$

Queremos a igualdade para $n=2^{k}$, com k inteiro positivo.
Procederemos por indução em k: O caso k=1, já foi demonstrado.
Suponha então que a desigualdade é valida para um certo k positivo, escreva para $n=2^{k}$:
    ${\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{2n}x_{i}={\frac {1}{2n}}\left[\sum _{i=1}^{n}x_{i}+\sum _{i=n+1}^{2n}x_{i}\right]$
Aplique a desigualdade da média com dois elementos:
    ${\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{2n}x_{i}\geq {\sqrt {\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=n+1}^{2n}x_{i}\right)}}$
Agora, aplique a desigualdade para n elementos em cada um dos termos:
    ${\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{2n}x_{i}\geq {\sqrt {{\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}\cdot {\sqrt[{n}]{\prod _{i=n+1}^{2n}x_{i}}}}}$
E assim, conclua:
    ${\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{2n}x_{i}\geq {\sqrt[{2n}]{\prod _{i=1}^{2n}x_{i}}}$
E a primeira desigualdade segue pois $2n=2\cdot 2^{k}=2^{k+1}$
Usemos o mesmo procedimento para demonstrar a segunda desigualdade:
    ${\sqrt[{2n}]{\prod _{i=1}^{2n}x_{i}}}={\sqrt {{\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}\cdot {\sqrt[{n}]{\prod _{i=n+1}^{2n}x_{i}}}}}$
    ${\sqrt[{2n}]{\prod _{i=1}^{2n}x_{i}}}\geq {\frac {2}{{\frac {1}{\sqrt[{n}]{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}}}}+{\frac {1}{\sqrt[{n}]{\displaystyle \prod _{i=n+1}^{2n}x_{i}}}}}}$
    ${\sqrt[{2n}]{\prod _{i=1}^{2n}x_{i}}}\geq {\frac {2n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}+\displaystyle \sum _{i=n+1}^{2n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$
    ${\sqrt[{2n}]{\prod _{i=1}^{2n}x_{i}}}\geq {\frac {2n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{2n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$
E a segunda desigualdade segue.

## Demonstração do caso geral

Completaremos a demonstração, mostrando que se a desigualdade for válida para n termos, então também é válida para n-1 termos.
Suponha, então, que a desigualdade é válida para um número inteiro n maior que 1, ou seja:
    ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\geq {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}\geq {\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)}}$
Escreva:
* $p={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}$
* $q={\sqrt[{n-1}]{\prod _{i=1}^{n-1}x_{i}}}$
* $r={\frac {n-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)}}$
Queremos mostrar que $p\geq q\geq r$
Substitua $x_{n}=q\,$
    ${\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}+q\right)\geq {\sqrt[{n}]{q\prod _{i=1}^{n-1}x_{i}}}\geq {\frac {n}{\sum _{i=1}^{n-1}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)+{\frac {1}{q}}}}$
Observe que:
    ${\sqrt[{n}]{q\prod _{i=1}^{n-1}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{qq^{n-1}}}=q$
Assim temos, da primeira desigualdade:
    ${\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}+q\right)\geq q$
Rearranjando, temos:
    $p={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}\geq q$
A segunda desigualdade diz:
    $q\geq {\frac {n}{\sum _{i=1}^{n-1}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)+{\frac {1}{q}}}}$
O que equivale a:
    $\sum _{i=1}^{n-1}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)+{\frac {1}{q}}\geq {\frac {n}{q}}$
ou:
    $\sum _{i=1}^{n-1}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)\geq {\frac {n-1}{q}}$
Equivalente a:
    $q\geq {\frac {n-1}{\sum _{i=1}^{n-1}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)}}=r$
O que completa a demonstração.

## Desigualdade entre as Médias Quadrática e Aritmética

Se, na desigualdade de Cauchy fizermos $b_{1}=b_{2}=b_{3}=...=b_{n}=1$, ela assume a forma:
    $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$≤$\scriptstyle {\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+...+{a_{n}}^{2}}}\scriptstyle {\sqrt {n}}$
    Agora é só dividir os membros da desigualdade acima por $n$.
    Finalmente:
    $\scriptstyle {\sqrt {\frac {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+...+{a_{n}}^{2}}{n}}}$≥${\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}}{n}}$