# Torção mecânica

Em mecânica dos sólidos, torção é a tensão que ocorre quando é aplicado momento sobre o eixo longitudinal de um elemento construtivos ou prisma mecânico, como podem ser eixos ou, em geral, elementos onde uma dimensão predomina sobre as outras duas, ainda que seja possível encontrá-la em situações diversas.
A torção se caracteriza geometricamente por qualquer curva paralela ao eixo da peça e deixa de estar contida no plano formado inicialmente pelas duas curvas. Em lugar disso uma curva paralela ao eixo se retorce ao redor dele (ver torção geométrica).
O estudo geral da torção é complicado porque sob esse tipo de solicitação a seção transversal de uma peça em geral se caracteriza por dois fenômenos:
* Aparecem tensões tangenciais paralelas à seção transversal. Se estas são representadas por um campo vetorial suas linhas de fluxo "circulam" ao redor da seção.
* Quando as tensões anteriores não estão distribuídas adequadamente, coisa que sucede sempre a menos que a seção tenha simetria circular, aparecem deformações seccionais que fazem com que as seções transversais deformadas não sejam planas.
A deformação da seção complica o cálculo de tensões e deformações, e faz com que o momento torsor possa ser decomposto em uma parte associada a torção deformada e uma parte associada à chamada torção de Saint-Venant. Em função da forma da seção e a forma da deformação, podem ser usadas diversas aproximações mais simples que o caso geral.

## Torção geral: Domínios de torção

No caso geral pode ser Teoria de Saint-Venant demonstrado que a rotação relativa de uma seção não é constante e não coincide tão pouco com a função de deformação unitário. A partir do caso geral, e definindo-se a esbeltez torsional como:
    $\lambda _{T}\approx L{\sqrt {\frac {GJ}{EI_{\omega }}}}$
Onde G, E são respectivamente o módulo de elasticidade transversal e o módulo de elasticidade longitudinal, J, I$_ω$ são o módulo torsional e o momento de deformação e L é o comprimento da barra reta. Podemos classificar os diversos casos de torção geral dentro de limites onde resultam adequadas as teorias aproximadas expostas a seguir.
De acordo com Kollbruner e Basler:
* Torção de Saint-Venant pura, quando $\lambda _{T}\in (10,\infty )$.
* Torção de Saint-Venant dominante, quando $\lambda _{T}\in [5,10)$.
* Torção deformada mista, quando $\lambda _{T}\in (2,5)$.
* Torção deformada dominante, quando $\lambda _{T}\in (1/2,2]$.
* Torção deformada pura, quando $\lambda _{T}\in (0,1/2]$.
O cálculo exato da torção no caso geral pode ser levado a cabo mediante métodos variacionais ou usando um lagrangiano baseado na energia de deformação. O caso da torção deformada mista só pode ser tratado pela teoria geral de torção. Em substituição a torção de Saint-Venant e as torsões deformadas puras admitem algumas simplifações úteis.

## Torção de Saint-Venant pura

A teoria da torção de Saint-Venant é aplicável a peças prismáticas de grande inércia torsional com qualquer forma de secção, nesta simplificação se assume que o chamado momento de deformação é nulo, o que não significa que a deformação seccional também o seja. A teoria de torção de Saint-Venant dá boas aproximações para valores $\lambda _{T}>10$, isto só cumpre-se em:
* Seções maciças de grande inércia torsional (circulares ou de outra forma).
* Seções tubulares fecha de parede delgada.
* Seções multicelulares de parede delgada.
Para seções não circulares e sem simetria de revolução a teoria de Sant-Venant além de uma rotação relativa da seção transversal em relação ao eixo baricêntrico prediz uma deformação seccional ou curvatura da seção transversal. A teoria de Coulomb de fato é um caso particular no que a deformação é zero, e portanto só existe rotação.

### Torção reta: Teoria de Coulomb

A teoria de Coulomb é aplicável a eixos de transmissão de potência maciços ou ocos, devido à simetria circular da seção não podem existir deformações diferenciais sobre a seção. De acordo com a teoria de Coulomb a torção gera uma tensão cortante a qual se calcula mediante a fórmula:
    $\tau _{\rho }={\frac {T}{J}}\rho$
Onde:
    $\tau _{\rho }\;$: Esforço cortante à distância $\rho$.
    $T$: Momento torsor total que atua sobre a seção.
    $\rho \$: distância desde o centro geométrico da seção até o ponto onde se está calculando a tensão cortante.
    $J$: Módulo de torção.
Esta equação se assenta na hipótese cinemática de Coulomb sobre como se deforma uma peça prismática com simetria de revolução, ou seja, é uma teoria aplicável só a elementos da seção circular ou circular oca. Para peças com seção desse tipo se supõe que o eixo baricêntrico permanece inalterado e qualquer outra linha paralela ao eixo se transforma em uma espiral que gira ao redor do eixo baricêntrico, ou seja, se admite que a deformação é dada por uns deslocamentos do tipo:
    $u_{x}(x,y,z)=0\qquad u_{y}(x,y,z)=-\alpha (x)z\qquad u_{z}(x,y,z)=+\alpha (x)y$
O tensor de deformações para uma peça sob torção como a anterior se obtém derivando adequadamente as anteriores componentes do vetor de deslocamento:
    $\varepsilon _{xx}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}=0\qquad \varepsilon _{xy}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}z=-{\frac {\alpha '_{x}z}{2}}$
    $\varepsilon _{yy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}=0\qquad \varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)=+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}y=+{\frac {\alpha '_{x}y}{2}}$
    $\varepsilon _{zz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}=0\qquad \varepsilon _{yz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\right)=0$
A partir destas componentes do tensor de deformações usando as equações de Lamé-Hooke levam a que o tensor tensão seja dado por:
    $\mathbf {T} _{tor}={\frac {G}{2}}{\begin{bmatrix}0&-\alpha '_{x}z&+\alpha '_{x}y\\-\alpha '_{x}z&0&0\\+\alpha '_{x}y&0&0\end{bmatrix}}$
Usando as equações de equivalência se chega à relação existente entre a função α e o momento torsor:
    $M_{tor}=\int _{\Sigma }(-\tau _{xy}z+\tau _{xz}y)dydz={\frac {\alpha '_{x}G}{2}}\int _{\Sigma }(z^{2}+y^{2})dydz\,={\frac {\alpha '_{x}G}{2}}I_{0}$
Onde $I_{0}=I_{y}+I_{z}\,$, é o momento de inércia polar que é a soma dos segundos momentos de área.

### Torção não reta: Teoria de Saint-Venant

Para uma barra reta de seção não circular também da rotação relativa aparecerá uma pequena deformação que requer uma hipótese cinemática mais complicada. Para representar a deformação se pode tomar um sistema de eixos no que X coincida com o eixo da viga e então o vetor de deslocamentos de um ponto de coordenadas (x, y, z) venha a ser dado na hipótese cinemática de Saint-Venant por:
    $u_{x}(x,y,z)=\omega (y,z){\frac {d\theta _{x}(x)}{dx}}\qquad u_{y}(x,y,z)=-(z-z_{C})\theta _{x}(x)\qquad u_{z}(x,y,z)=+(y-y_{C})\theta _{x}(x)$
Onde $\theta _{x}(x)\;$ é a rotação relativa da seção (sendo sua derivada constante); sendo z$_C$ e y$_C$ as coordenadas do centro de cortante em relação ao centro de gravidade da seção transversal e sendo ω(y, z) a função de deformação unitária que dá os deslocamentos perpendiculares à seção e permitem conhecer a forma curvada final a qual tenderá a seção transversal. Convém assinalar, que a teoria, ao postular que a derivada da rotação é constante, é só uma aproximação útil para peça de grande inércia torsional.
Calculando as componentes do tensor de deformações a partir das derivadas do deslocamento se tem que:
    ${\begin{matrix}\varepsilon _{xx}={\cfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}=\omega {\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}&&\varepsilon _{xy}={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\cfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right]={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {\partial \omega }{\partial y}}-(z-z_{C})\right]{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\\\varepsilon _{yy}={\cfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}=0&&\varepsilon _{xz}={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right]={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {\partial \omega }{\partial y}}+(y-y_{C})\right]{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\\\varepsilon _{zz}={\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}=0&&\varepsilon _{yz}={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial y}}\right]=0\end{matrix}}$
Calculando as tensõs a partir das deformações anteriores e introduzindo-as na equação de equilíbrio elástico se chega a:
    $\mathbf {T} _{tor}={\begin{bmatrix}0&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&0&0\\\tau _{xz}&0&0\end{bmatrix}}$

### Analogia da membrana de Prandtl

Para seções maciças de grande rigidez torsional a distribuição das tensões associadas à torção guarda uma analogia mecânica com a deformação de uma membrana elástica quase plana. Concretamente Prandtl provou em 1903 que a forma que adota a membrana pode relacionar-se com uma função de tensões cujas derivadas dão as tensões tangenciais em cada direção. Dito de outra maneira a pendente de uma membrana de Prandtl deformada coincide com as tensões tangencias de torção de um prisma mecânico cuja seção transversal tenha precisamente a mesma forma que a membrana.

### Seções fechadas simples de parede delgada

Neste caso as tensões tangenciais podem ser consideradas aproximadamente constantes sobre uma linha paralela a espessura da peça, ou seja, tangente ao contorno exterior da peça. A tensão tangencial neste caso pode ser expressa mediante:
    $\tau (s)={\frac {M_{x}}{2e(s)A_{m}}}$
Onde:
    $A_{m}\;$, é a área fechada pela linha média da seção tubular.
    $e(s)\;$, é a espessura da seção tubular no ponto s da curva do contorno.
Enquanto que a rotação:
    $\theta ={\frac {M_{x}}{J}}={\frac {M_{x}}{4A_{m}^{2}}}\int _{L_{\Gamma }}{\frac {ds}{e(s)}}$
No caso de que a espessura seja e(s) = e$_0$ constante esta última equação se reduz a:
    $\theta ={\frac {L_{\Gamma }}{4e_{0}A_{m}^{2}}}M_{x}$

### Seções multicelulares de parede delgada
## Torção deformada pura

Para peças de muito pouca inércia torsional, como as piezas de parede delgada aberta, pode-se construir um conjunto de equações muito simples na quais quase toda a resistência à torção se deve às tensões cortantes induzidas pela deformação da seção. Na teoria de torção deformada pura se usa a aproximação de que o momento de deformação coincide com o momento torsor total. Esta teoria se aplica especialmente a peças de parede delgada aberta, onde não aparecem esforços de membrana.

### Seções abertas de parede delgada

Para um retângulo muito alongado (b << a) a tensão tangencial máxima e a rotação podem ser aproximados por:
    $\tau _{max}={\frac {M_{x}}{{\frac {1}{3}}ab^{2}}}\qquad \theta ={\frac {M_{x}}{G\left({\frac {1}{3}}ab^{3}\right)}}$
Para um perfil I ou perfil H que pode ser aproximado unindo retângulos de dimensões $(a_{i},b_{i})$ (duas abas retangulares alongadas e uma alma retangular alongada) as expressões anteriores podem ser generalizada a:
    $\tau _{i,max}\leq {\frac {M_{x}b_{i}}{{\frac {1}{3}}\sum _{i}a_{i}b_{i}^{3}}}\qquad \theta \leq {\frac {M_{x}}{G\left({\frac {1}{3}}\sum _{i}a_{i}b_{i}^{3}\right)}}$
Onde τ$_{i,max}$ é a tensão tangencial máxima sobre o retângulo i-ésimo, b$_i$ é a espessura (largura) de tal retângulo e a$_i$ seu comprimento.

## Torção mista

No domínio de torção de Saint-Venant dominante e de torção deformada dominante, podem empregar-se com certo grau de aproximação a teoria de Sant-Venant e a teoria de torção deformada. Entretanto no domínio central de torção extrema, se cometem erros importantes e é necessário usar a teoria geral mais complexa.
    $\mathbf {T} _{tor}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&0&0\\\tau _{xz}&0&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{cases}\sigma _{xx}=\omega {\cfrac {B_{\omega }}{I_{\omega }}}\\\tau _{xy}=-{\cfrac {1-\kappa _{0}}{\kappa _{0}}}\left[{\cfrac {\partial \omega }{\partial y}}+z_{C}\right]{\cfrac {M_{\omega }}{J}}+\left[{\cfrac {\partial \omega }{\partial y}}-(z-z_{C})\right]{\cfrac {M_{x}-M_{\omega }}{J}}\\\tau _{xz}=-{\cfrac {1-\kappa _{0}}{\kappa _{0}}}\left[{\cfrac {\partial \omega }{\partial y}}-y_{C}\right]{\cfrac {M_{\omega }}{J}}+\left[{\cfrac {\partial \omega }{\partial y}}+(y-y_{C})\right]{\cfrac {M_{x}-M_{\omega }}{J}}\end{cases}}$
Onde as grandezas geométricas $I_{\omega },J\;$ são respectivamente o segundo momento de deformação e o módulo de torção e os "esforços" $B_{\omega },M_{\omega }\;$ se denominam bimomento e momento de deformação, todos eles definidos para prismas mecânicos.