# Número de Prandtl turbulento

O número de Prandtl turbulento ($Pr_{t}$) é um termo adimensional definido como a razão entre o momento difusividade turbulenta e a difusividade turbulenta de transferência de calor. É útil para resolver o problema da transferência de calor por convecção de fluxos de camada limite turbulenta. O mais simples modelo para $Pr_{t}$ é a analogia de Reynolds, a qual resulta um número de Prandtl turbulento de 1. De dados experimentais, $Pr_{t}$ tem uma média de 0,85 , mas varia de 0,7 a 0,9 dependendo do número de Prandtl do fluido em questão.

## Definição

A introdução da difusividade turbulenta e subsequentemente o número de Prandtl turbulento funciona como um meio de se definir uma relação simples entre a tensão extra de cisalhamento e fluxo de calor que está presente em um fluxo turbulento. Se o momento e coeficientes de difusão térmica são nulos (sem tensão de cisalhamento aparente e fluxo de calor turbulento), então as equações de fluxo turbulento reduzem-se a equações laminares. Podemos definir os coeficientes de difusão para a transferência de momento $\epsilon _{M}$ e transferência de calor
    $\epsilon _{H}$ as $-{\overline {u'v'}}=\epsilon _{M}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}$ and $-{\overline {v'T'}}=\epsilon _{H}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}$
onde $-{\overline {u'v'}}$ é a tensão de cisalhamento turbulento aparente e $-{\overline {v'T'}}$ é o fluxo de calor turbulento aparente. O número de Prandtl turbulento é então definido como
    $Pr_{t}={\frac {\epsilon _{M}}{\epsilon _{H}}}.$

## Aplicação

A equação da camada limite de momento turbulento:
    ${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu {\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}-{\overline {u'v'}})\right].$
A equação da camada limite térmica turbulenta,
    ${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\alpha {\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}-{\overline {v'T'}}\right).$
Substituindo as difusividades turbulentas nas equações de momento e térmica obtem-se
    ${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu +\epsilon _{M}){\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}\right]$
e
    ${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +\epsilon _{H}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].$
Substituindo na equação termal usando a definição do número de Prandtl turbulento, tem-se
    ${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +{\frac {\epsilon _{M}}{Pr_{t}}}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].$

## Consequências

No caso especial onde o número de Prandtl e número de Prandtl turbulento são ambos iguais a um (como na analogia de Reynolds), os perfis de velocidade e temperaturas são idênticos. Isso simplifica bastante a solução do problema de transferência de calor. Se o número de Prandtl e o número de Prandtl turbulento não são iguais a um, a solução ainda é simplificada, porque por conhecer-se as propriedades do fluido, mas apenas a difusividade turbulenta de momento, ainda se pode resolver o momento e as equações térmicas.
Em um caso geral de turbulência tri-dimensional, o conceito de viscosidade turbulenta e difusividade turbulenta não são válidos. Consequentemente, o número de Prandtl turbulento não tem nenhum significado.