# Lagrangiana de Darwin

A lagrangiana de Darwin (nomeado em homenagem a Charles Galton Darwin, neto do naturalista) descreve a interação que conduz a v$^2$/c$^2${\textstyle {v^{2}}/{c^{2}}} entre duas partículas carregadas no vácuo, em que c é a velocidade da luz. Foi derivado antes do advento da mecânica quântica e resultou de uma investigação mais detalhada das interações eletromagnéticas clássicas dos elétrons em um átomo. A partir do modelo de Bohr sabia-se que eles deveriam estar se movendo com velocidades próximas à da luz.
A lagrangiana completa para duas partículas em interação é
$L=L_{\text{f}}+L_{\text{int}},$ onde a parte da partícula livre é $L_{\text{f}}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{8c^{2}}}m_{1}v_{1}^{4}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}+{\frac {1}{8c^{2}}}m_{2}v_{2}^{4},$ A interação é descrita como $L_{\text{int}}=L_{\text{C}}+L_{\text{D}},$ onde a interação de Coulomb em unidades gaussianas é $L_{\text{C}}=-{\frac {q_{1}q_{2}}{r}},$ enquanto a interação de Darwin é $L_{\text{D}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}.$ Aqui q$_1$ e q$_2$ são as cargas nas partículas 1 e 2, respectivamente, m$_1$ e m$_2$ são as massas das partículas, v$_1$ e v$_2$ são as velocidades das partículas, c é a velocidade da luz, r é o vetor entre as duas partículas, e ${\hat {\mathbf {r} }}$ é o vetor unitário na direção de r.
A primeira parte é a expansão de Taylor da lagrangiana livre de duas partículas relativísticas de segunda ordem em v. O termo de interação de Darwin é devido a uma partícula reagindo ao campo magnético gerado pela outra partícula. Se termos de ordem superior em v/c forem retidos, então os graus de liberdade do campo devem ser levados em consideração, e a interação não pode mais ser considerada instantânea entre as partículas. Nesse caso, os efeitos de retardo devem ser levados em conta.$^:$

## Derivação no vácuo

A interação relativística lagrangiana para uma partícula com carga q interagindo com um campo eletromagnético é$^:$ $L_{\text{int}}=-q\Phi +{\frac {q}{c}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {A} ,$ onde u é a velocidade relativística da partícula. O primeiro termo à direita gera a interação de Coulomb. O segundo termo gera a interação de Darwin.
O vetor potencial in the calibre de Coulomb é descrito por$^{:242}$ $\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} _{t}$ onde a corrente transversal J$_t$ é a corrente solenoidal (ver decomposição de Helmholtz) gerado por uma segunda partícula. A divergência da corrente transversal é zero.
A corrente gerada pela segunda partícula é $\mathbf {J} =q_{2}\mathbf {v} _{2}\delta {\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}\right)},$ a qual tem uma transformada de Fourier $\mathbf {J} \left(\mathbf {k} \right)\equiv \int d^{3}r\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {J} \left(\mathbf {r} \right)=q_{2}\mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).$
A componente transversal da corrente é $\mathbf {J} _{t}(\mathbf {k} )=q_{2}\left[\mathbf {1} -{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}}.$
É facilmente verificado que $\mathbf {k} \cdot \mathbf {J} _{t}(\mathbf {k} )=0,$ o qual deve ser verdadeiro se a divergência da corrente transversal for zero. Vemos que $\mathbf {J} _{t}(\mathbf {k} )$ é a componente da corrente transformada de Fourier perpendicular a k.
Da equação do potencial vetorial, a transformada de Fourier do potencial vetorial é $\mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)={\frac {4\pi }{c}}{\frac {q_{2}}{k^{2}}}\left[\mathbf {1} -{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}}$ onde mantivemos apenas o termo de ordem mais baixa em v/c.
A transformada inversa de Fourier do potencial vetorial é $\mathbf {A} \left(\mathbf {r} \right)=\int {\frac {d^{3}k}{\left(2\pi \right)^{3}}}\;\mathbf {A} (\mathbf {k} )\;e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{1}}={\frac {q_{2}}{2c}}{\frac {1}{r}}\left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}$ onde $\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$
O termo da interação de Darwin na lagrangiana é então $L_{\text{D}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}$ onde novamente mantivemos apenas o termo de menor ordem em v/c.

## Equações lagrangianas de movimento

A equação de movimento de uma das partículas é ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} _{1}}}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)$ ${\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)$ onde p$_1$ é o momento da partícula.

### Partícula livre

A equação de movimento para uma partícula livre desprezando as interações entre as duas partículas é ${\frac {d}{dt}}\left[\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}\right]=0$ $\mathbf {p} _{1}=\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}$

### Partículas interagindo

Para partículas em interação, a equação de movimento torna-se ${\frac {d}{dt}}\left[\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}+{\frac {q_{1}}{c}}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)\right]=-\nabla {\frac {q_{1}q_{2}}{r}}+\nabla \left[{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}\right]$ ${\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\frac {1}{2c^{2}}}\left\{\mathbf {v} _{1}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{2}}\right)+\mathbf {v} _{2}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{1}}\right)-{\hat {\mathbf {r} }}\left[\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} +3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {v} _{2}\right]\right\}$ $\mathbf {p} _{1}=\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}+{\frac {q_{1}}{c}}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)$ $\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)={\frac {q_{2}}{2c}}{\frac {1}{r}}\left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}$ $\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$

## Hamiltoniana para duas partículas no vácuo

A hamiltoniana de Darwin para duas partículas no vácuo está relacionado à lagrangiana por uma transformada de Legendre, isto é, $H=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+\mathbf {p} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}-L.$
A hamiltoniana torna-se $H\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {p} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {p} _{2}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}{\frac {p_{1}^{2}}{m_{1}^{2}c^{2}}}\right){\frac {p_{1}^{2}}{2m_{1}}}\;+\;\left(1-{\frac {1}{4}}{\frac {p_{2}^{2}}{m_{2}^{2}c^{2}}}\right){\frac {p_{2}^{2}}{2m_{2}}}\;+\;{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}\;-\;{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2m_{1}m_{2}c^{2}}}\mathbf {p} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {p} _{2}.$
Essa hamiltoniana fornece a energia de interação entre as duas partículas. Argumentou-se recentemente que, quando expressas em termos de velocidades de partículas, deveríamos simplesmente definir $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ no último termo e inverter seu sinal.

### Equações de movimento

As equações de movimento hamiltonianas são $\mathbf {v} _{1}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{1}}}$ e ${\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}=-\nabla _{1}H,$ a qual resulta $\mathbf {v} _{1}=\left(1-{\frac {1}{2}}{\frac {p_{1}^{2}}{m_{1}^{2}c^{2}}}\right){\frac {\mathbf {p} _{1}}{m_{1}}}-{\frac {q_{1}q_{2}}{2m_{1}m_{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}\left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {p} _{2}$ e ${\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\;+\;{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\frac {1}{2m_{1}m_{2}c^{2}}}\left\{\mathbf {p} _{1}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} _{2}}\right)+\mathbf {p} _{2}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} _{1}}\right)-{\hat {\mathbf {r} }}\left[\mathbf {p} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} +3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {p} _{2}\right]\right\}$

## Eletrodinâmica quântica

A estrutura da interação de Darwin também pode ser vista claramente em eletrodinâmica quântica e devido à troca de fótons na ordem mais baixa de teoria da perturbação. Quando o fóton tem quadrimomento p$^μ$ = ħk$^μ$ com vetor de onda k$^μ$ = (ω /c, k), seu propagador no calibre de Coulomb tem dois componentes.
    $D_{00}(k)={1 \over \mathbf {k} ^{2}}$
resulta na interação de Coulomb entre duas partículas carregadas, enquanto
    $D_{ij}(k)={1 \over \omega ^{2}-c^{2}\mathbf {k} ^{2}}\left(\delta _{ij}-{k_{i}k_{j} \over \mathbf {k} ^{2}}\right)$
descreve a troca de um fóton transversal. Tem um vetor de polarização $\mathbf {e} _{\lambda }$ e acopla-se a uma partícula com carga $q$ e trimomento $\mathbf {p}$ com uma força $-q{\sqrt {4\pi }}\,\mathbf {e} _{\lambda }\cdot \mathbf {p} /m.$ Dado que $\mathbf {e} _{\lambda }\cdot \mathbf {k} =0$ neste calibre, não importa se usamos o momento da partícula antes ou depois do fóton se acoplar a ela.
Na troca do fóton entre as duas partículas, pode-se ignorar a frequência $\omega$ comparada com $c\mathbf {k}$ no propagador trabalhando com a precisão em $v^{2}/c^{2}$ que é necessária aqui. As duas partes do propagador então resultam juntas a hamiltoniana efetiva
    $H_{int}(\mathbf {k} )={4\pi q_{1}q_{2} \over \mathbf {k} ^{2}}-{4\pi q_{1}q_{2} \over m_{1}m_{2}c^{2}\mathbf {k} ^{2}}\mathbf {p} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} -{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right)\cdot \mathbf {p} _{2}$
por sua interação no espaço k. Isto é agora idêntico ao resultado clássico e não há vestígios dos efeitos quânticos usados nesta derivação.
Um cálculo semelhante pode ser feito quando o fóton se acopla a partículas de Dirac com spin s = 1/2 e usado para uma derivação da equação de Breit. Isso resulta o mesmo que a interação de Darwin mas também termos adicionais envolvendo os graus de liberdade do spin e dependendo da constante de Planck.