# Teorema do valor intermediário

O teorema do valor intermediário ou intermédio ou teorema de Bolzano (por vezes chamado teorema de Bolzano-Cauchy) garante que, se uma função real $f$ definida num intervalo $[a,b]$ é continua, então qualquer ponto $d$ tal que $f(a)\leq d\leq f(b)$ ou $f(a)\geq d\geq f(b)$ é da forma $f(c)$, para algum ponto $c$ do intervalo $[a,b]$. Em outras palavras, para uma tal função, dado qualquer valor $d$ entre $f(a)$ e $f(b)$, existe pelo menos um $c$ entre $a$ e $b$ tal que $f(c)=d$. Ou ainda, qualquer reta horizontal $y=d$ entre as retas $f(a)$ e $f(b)$ intercepta o gráfico da função em pelo menos um ponto $(c,d)$ com $c\in [a,b]$.

## Corolário do Teorema de Bolzano

O Corolário do Teorema de Bolzano é um caso particular deste teorema quando $d=0.$ Ou seja se numa função contínua considerando dois pontos a{\textstyle a} e b{\textstyle b} e $f(a)f(b)<0,$ então existe pelo menos um ponto $c\in ]a,b[:f(c)=0.$ Ou seja, a função tem pelo menos uma raiz entre a{\textstyle a} e b{\textstyle b}.

## Demonstrações

Nas demonstrações que se seguem vai-se supor que se está no caso em que f(a) ≤ d ≤ f(b); o outro caso é análogo.

### Primeira demonstração

Considerem-se os números a$_1$ e b$_1$ assim definidos:
* se f((a + b)/2) ≤ d, então a$_1$ = (a + b)/2 e b$_1$ = b;
* caso contrário, a$_1$ = a e b$_1$ = (a + b)/2.
Então a ≤ a$_1$ ≤ b$_1$ ≤ b, f(a$_1$) ≤ d ≤ f(b$_1$) e b$_1$ − a$_1$ = (b − a)/2.
Em seguida, definem-se pontos a$_2$ e b$_2$ a partir de a$_1$ e b$_1$ pelo mesmo processo e assim sucessivamente. Se se definir a$_0$ = a e b$_0$ = b, fica-se com uma sucessão ([a$_n$,b$_n$])$_{n≥0}$ de intervalos que é decrescente, ou seja
    $[a_{0},b_{0}]\supset [a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \cdots$
Pelo teorema do encaixe de intervalos, existe algum c que está em todos os intervalos. Por outro lado, como o comprimento de cada intervalo é metade do anterior, o comprimento dos intervalos tende para 0. Resulta deste facto e da definição de c que
    $c=\lim _{n\in \mathbb {N} }a_{n}=\lim _{n\in \mathbb {N} }b_{n}.$
Mas então, como f é contínua em c e como
    $(\forall n\in \mathbb {N} ):f(a_{n})\leqslant d\leqslant f(b_{n}),$
tem-se
    $f(c)=\lim _{n\in \mathbb {N} }f(a_{n})\leqslant d{\mbox{ e }}f(c)=\lim _{n\in \mathbb {N} }f(b_{n})\geqslant d.$
Logo, $f(c)=d$.

### Segunda demonstração

Seja
    $S=\left\{x\in [a,b]\,\vert \,(\forall y\in [a,x]):f(y)\leqslant d\right\}$
Então S é majorado (nenhum elemento de S é maior do que b) e não é vazio (pois contém a). Logo, tem um supremo c. Então f(c) ≤ d, pois:
* se c = a, então tem-se f(c) ≤ d por hipótese;
* caso contrário, como f é contínua em c e f(x) ≤ d quando a ≤ x < c, f(c) ≤ d.
Se se tivesse f(c) < d, haveria, pela continuidade de f em c, pontos x tais que c < x ≤ b para os quais se teria f(y) < d em todo o intervalo [a,x], o que contradiz o facto de c ser o supremo de S. Logo, f(c) = d.

## Corolários

* Uma função real de variável real contínua aplica intervalos em intervalos.
* Se f é uma função contínua de [a,b] em R e se f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos um número real c entre a e b tal que f(c) = 0.
* Teorema dos pontos antipodais: Em qualquer círculo máximo em torno da Terra sempre existem pontos antipodais com mesma temperatura, pressão ou elevação (ou qualquer quantidade escalar que varie continuamente).

### Demonstração

    Chama de $f$ a função contínua definida no círculo em questão. Claramente, $f(0)=f(2\pi )$. Define $g(t)=f(t)-f(t+\pi )$. Nota que a função $g$ fornece a diferença da função $f$ entre dois pontos opostos no círculo, ou seja, pontos antipodais. Se $g$ é constante e igual a zero a afirmação fica estabelecida. Senão, pega um ponto $a$ tal que $g(a)>0$. Agora, observa que $g(a)=-g(a+\pi )$. Pelo Teorema do valor intermediário, existe $c\in [a,a+\pi ]$ tal que $g(c)=0$. Portanto, $f(c)=f(c+\pi )$. cqd