# Divisor

Divisores são números inteiros e racionais, sendo o dito divisor y diferente de 0 (y$\neq$0)e o divisor z igualmente (z$\neq$0) com os quais se pode efetuar uma divisão de números maiores (igualmente inteiros e racionais), tendo como resto e quociente uma quantidade exata.
Exemplo:
$\,\!{\frac {x}{y}}=z\rightarrow \,\!{\frac {x}{z}}=y$
Todo e qualquer número tem seus divisores, inclusive os números primos, que só tem como divisores 1 e o dito primo.

## Sobre os divisores

* Existem infinitos números primos (ver Teoria dos números, seção: Propriedades dos números primos; Teorema de Euclides) e infinitos divisores de números.
* Para cada número inteiro e racional há um conjunto de divisores que lhe é próprio.
* Dois números podem ter em comum vários divisores. Quando isto acontece, diz-se que os ditos números fazem parte de mais de um conjunto matemático.
Como exemplo, pode-se citar o número 22, que pertence ao conjunto de múltiplos de 2 e dos múltiplos de 11 igualmente, ou seja, os divisores de 22 são 2 e 11, além de 1 e 22.
No conjunto dos múltiplos de 11:
$\left\{11,22,33...\right\}\,\!$
No conjunto dos múltiplos de 2:
$\left\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24...\right\}\,\!$
* Quanto maior o divisor, menor será o resto. É similar a uma regra de três inversamente proporcional, pois, quanto menor o divisor de número qualquer inteiro e racional, maior será o resto.
* Somente há um número que dividido por qualquer número inteiro e racional tem como resto a mesma quantidade: 0. Quaisquer números divididos ou multiplicados pelo mesmo resultarão em 0;
$\,\!{\frac {0}{1298}}=0\rightarrow 0.\ 1298=\ 0$
* Todos os divisores de um número qualquer N podem ser descobertos realizando-se Fatoração.
* Nem todos os números maiores possuem muitos divisores. É o caso de muitos números relativamente grandes em quantidade, tais como 158, 302, 218, 514, 614, 866, 914, 1514 e obviamente os números primos (ver também número defectivo). Números relativamente grandes em quantidade que não sejam múltiplos de 3, 4, 5 ou 7 tem grandes chances de serem do mesmo caso. Geralmente é um número defectivo ou número deficiente que se encontra nesse caso.
* Quando determinados números x possuem um determinado divisor N, que multiplicado por N, que possui o mesmo valor de x, diz-se que é um quadrado perfeito do número x
Exemplo:
$5.\ 5=\ 25\rightarrow 5^{2}$
Portanto:
$\,\!{\frac {25}{5}}=5$
* Os números irracionais não podem ser postos em forma de fração (ver também números irracionais), logo não possuem nenhum divisor no conjunto dos números reais. Por exemplo o $\pi$, que é a proporção numérica aproximada (pois é número irracional) oriunda da relação das medidas de perímetro de circunferência e diâmetro.
Sejam n, d e q números inteiros, com d diferente de zero (d $\neq$ 0). Dizemos que d é divisor de n (ou que d divide n, ou ainda que n é divisível por d) se existir um q tal que $q\cdot d=n$ (note que isto é o mesmo que escrever $n=d\cdot q$)
Exemplo: $(n=0)\land (n=d\cdot q)\Rightarrow 0=d\cdot q\Rightarrow q=0,\forall d\in \mathbb {Z} ^{*}$ (se n é igual a zero, e se ainda n é igual a d vezes q, então zero é igual a d vezes q, de onde se conclui que q deve ser igual a zero, para todo d pertencente a $\mathbb {Z} ^{*}$, que é o conjunto dos números inteiros sem o zero)
Formalmente, se d é divisor de n, então: $\exists _{q\in \mathbb {Z} }:n=d\cdot q$ (lê-se: existe um número inteiro q tal que n é igual a d vezes q)
Também podemos dizer o seguinte: seja $r\in \mathbb {Z}$. Se ${\frac {n}{d}}$ (n dividido por d) tem quociente q e resto r, então $n=d\cdot q+r$
Note que há duas situações possíveis para o resto r: 1) r = 0 Neste caso, dizemos que d divide n (d é divisor de n). Isto porque a expressão $n=d\cdot q+r$ será igual à expressão $n=d\cdot q+0$, que é o mesmo que escrever simplesmente $n=d\cdot q$. Nota: como o divisor d não pode ser zero, repare que se n for zero o quociente q também terá que ser zero.
2) r $\neq$ 0 Neste caso, dizemos que d não divide n (d não é divisor de n). Isto porque existe um resto r diferente de zero, ou seja, a expressão $n=d\cdot q+r$ não será igual à expressão $n=d\cdot q$. Nota: podemos escrever $n-r=d\cdot q$. O resultado da diferença n-r é um número inteiro. Vamos chamar este número de x, ou seja: $n-r=x$. Assim, $x=d\cdot q$. Como d e q também são números inteiros e d é diferente de zero, concluímos que d divide x (d é divisor de x).
Exemplos: 1) A divisão ${\frac {15}{3}}$ tem quociente 5 e resto 0. Assim: O numerador da fração é n = 15; O denominador da fração é d = 3; O quociente da divisão é q = 5; O resto da divisão é r = 0. Como $n=d\cdot q+r$, escrevemos $15=3\cdot 5+0$, ou simplesmente $15=3\cdot 5$. Neste exemplo, o denominador d (= 3) divide 15, portanto d também é divisor de 15 (note que r = 0).
2) A divisão ${\frac {7}{2}}$ tem quociente 3 e resto 1. Assim: O numerador da fração é n = 7; O denominador da fração é d = 2; O quociente da divisão é q = 3; O resto da divisão é r = 1. Como $n=d\cdot q+r$, escrevemos $7=2\cdot 3+1$ Neste exemplo, o denominador d (= 2) não divide 7, portanto d não é divisor de 7 (note que r $\neq$ 0). Porém, lembre-se de que $n-r=d\cdot q$. Isto significa que d divide n - r (d é divisor de n - r). Conferindo: $d=2$ e $n-r=7-1=6$. Como $d\cdot q=2\cdot 3=6$, ambas as expressões $n-r$ e $d\cdot q$ valem 6, portanto elas são iguais, e por isto podemos escrever $n-r=d\cdot q$. Logo, d divide n - r, ou seja, 2 divide 6 (2 é divisor de 6).