# Desigualdade de Boole

Em teoria da probabilidade, a desigualdade de Boole diz que, para qualquer conjunto de eventos finito ou contável, a probabilidade de que pelo menos um dos eventos aconteça não é maior que a soma das probabilidades dos eventos individuais. A desigualdade de Boole é nomeada em homenagem a George Boole.
Formalmente, para um conjunto contável de eventos de $A_{1},A_{2},A_{3},\dots$, temos
    ${\mathbb {P} }{\biggl\bigcup _{i}A_{i}{\biggr )}\leq \sum _{i}{\mathbb {P} }(A_{i}).$
Em termos de teoria da medida, a desigualdade de Boole segue do fato de que uma medida (e, certamente, qualquer medida de probabilidade) é $\sigma$-sub-aditivo.

## Prova
### Prova usando indução

A desigualdade de Boole pode ser provada para conjuntos de eventos finitos, utilizando o método de indução.
Para o caso $n=1$, segue-se que
    $\mathbb {P} (A_{1})\leq \mathbb {P} (A_{1})$.
Para o caso $n$, tem-se que
    ${\mathbb {P} }{\biggl\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i})$.
Como $\mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)$, e porque a operação de união é associativa, tem-se que
    ${\mathbb {P} }{\biggl\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}{\biggr )}={\mathbb {P} }{\biggl\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}+\mathbb {P} (A_{n+1})-{\mathbb {P} }{\biggl\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}{\biggr )}$.
Como
    ${\mathbb {P} }{\biggl\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}{\biggr )}\geq 0$,
pelo primeiro axioma de probabilidade, tem-se que
    ${\mathbb {P} }{\biggl\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}{\biggr )}\leq {\mathbb {P} }{\biggl\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}+\mathbb {P} (A_{n+1})$,
e, portanto,
    ${\mathbb {P} }{\biggl\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}{\biggr )}\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}{\mathbb {P} }(A_{i})$.

### Prova sem o uso de indução

Para quaisquer eventos $A_{1}...A_{i}$ em um espaço de probabilidade, tem-se que
$\mathbb {P} (\bigcup _{i}A_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i})$
Um dos axiomas de um espaço de probabilidade é que, se $B_{1}...B_{i}$ são subconjuntos disjuntos do espaço de probabilidade, então
$\mathbb {P} (\bigcup _{i}B_{i})=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})$
o que é chamado de aditividade contável.
Se $B\subset A$ então $\mathbb {P} (B)\leq \mathbb {P} (A)$
De fato, a partir dos axiomas de uma distribuição de probabilidade,
$\mathbb {P} (A)=\mathbb {P} (B)+\mathbb {P} (A-B)$
Observando-se que ambos os termos à direita são não-negativos.
Então é preciso modificar os conjuntos de $A_{i}$ para que eles se torne disjuntos.
$B_{i}=A_{i}-\bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}$
Se $B_{i}\subset A_{i}$, então sabe-se que
$\bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$
Portanto, pode-se fazer a seguinte equação:
$\mathbb {P} (\bigcup _{i}A_{i})=\mathbb {P} (\bigcup _{i}B_{i})=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i})$

## Desigualdades de Bonferroni

A desigualdade de Boole pode ser generalizada para encontrar limitantes superiores e inferiores sobre a probabilidade de uniões finitas de eventos. Estes limites são conhecidos como desigualdades de Bonferroni, em homenagem à Carlo Emilio Bonferroni.
Definindo
    $S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}),$
e
    $S_{2}:=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i}\cap A_{j}),$
bem como
    $S_{k}:=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}})$
para todos os números inteiros de $k$ em $\{3,\dots ,n\}$.
Então, para $k$ ímpares em $\{1,\dots ,n\}$,
    ${\mathbb {P} }{\biggl\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}\leq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j-1}S_{j}$,
e para $k$ pares em $\{2,\dots ,n\}$,
    ${\mathbb {P} }{\biggl\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j-1}S_{j}$.
A desigualdade de Boole é recuperada definindo $k=1$. Quando $k=n$, então a igualdade se mantém e a identidade resultante é o princípio da inclusão–exclusão.

## Veja também

* Conjuntos
* Evento
* Princípio da inclusão–exclusão diluído
* Teoria dos conjuntos
* George Boole