# Teorema do índice de Atiyah-Singer

Na geometria diferencial, o teorema do índice de Atiyah-Singer afirma que para um operador diferencial elíptico sobre uma variedade compacta, o índice analítico (relacionado com a dimensão do espaço de soluções) é igual ao índice topológico (definida em termos de alguns dados topológicos). Ele inclui muitos outros importantes teoremas (como o teorema de Riemann-Roch) como casos especiais, e tem aplicações em física teórica.
Foi provado por Michael Atiyah e Isadore Singer em 1963.

## Índice analítico

Quando devidamente estendido a um espaço de Sobolev, todo operador diferencial elíptico $D$ pode ser visto como um operador de Fredholm- ou seja, um operador contínuo com núcleo e conúcleo de dimensão finita. Assim, os espaços vetoriais $\ker(D)$ e $\operatorname {coker} (D)=\ker(D^{*})$ têm dimensão finita, e portanto podemos calcular o índice analítico do operador:
    $\operatorname {Ind} (D)=\dim \ker(D)-\dim \operatorname {coker} (D)$
que é um invariante topológico de operadores de Fredholm entre espaços de Hilbert (isto é, dois operadores do tipo são homotópicos em $B(H)$ exatamente quando têm mesmo índice).

## Índice topológico

Usando invariantes topológicas conhecidas como classes características, é possível associar a um operador elíptico $D$ o seu índice topológico, igual à expressão
    $(-1)^{n}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )[T^{*}X]=(-1)^{n}\int _{T^{*}X}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )$
onde
* $\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )$ é a classe de Todd do fibrado tangente complexificado;
* $\operatorname {ch} (D)$ é igual a $\operatorname {ch} (d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D)))$, onde
** $\operatorname {ch} :K(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )$ é o caráter de Chern;
** $d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))$ é o "elemento de diferença" em $K(B(X)/S(X))$ associado aos fibrados $p^{*}E$ e $p^{*}F$ sobre $B(X)=\{(v,x)\in T^{*}X;\vert \vert v\vert \vert \leq 1,\,x\in X\}$ e o isomorfismo $\sigma (D)$ entre eles no subespaço $S(X)=\{(v,x)\in T^{*}X;\vert \vert v\vert \vert =1,\,x\in X\}$;
** $\sigma (D)$ é o símbolo de $D$.
Em algumas situações, é possível simplificar a fórmula acima para fins computacionais. Em particular, se $X$ é uma variedade (compacta) orientável $2m$-dimensional cuja classe de Euler $e(TX)$ é não-nula, então aplicando o isomorfismo de Thom e dividindo pela classe de Euler, o índice topológico pode ser expresso como
    $(-1)^{m}\int _{X}{\frac {\operatorname {ch} (E)-\operatorname {ch} (F)}{e(TX)}}\operatorname {Td} (X)$
onde a divisão por formas faz sentido na medida em que fazemos o pullback de $e(TX)^{-1}$ a partir do espaço classificante $BSO$.
O teorema do índice então afirma que: o índice analítico é igual ao índice topológico.

## Exemplos
##### Teorema de Chern-Gauss-Bonnet

Seja $M$ uma variedade compacta orientável de dimensão $n=2r$. Se $\Lambda ^{even}$ representar a soma dos produtos exteriores de grau par do fibrado cotangente, e $\Lambda ^{odd}$ a soma dos de grau ímpar, defina $D=d+d^{*}$, considerado como uma aplicação de $\Lambda ^{even}$ a $\Lambda ^{odd}$. Então o índice analítico de $D$ é a característica de Euler de $\chi (M)$, e o índice analítico é a integral da classe de Euler sobre a variedade. Essa é a versão "topológica" do teorema de Chern-Gauss-Bonnet.
Mais concretamente, segundo uma variação do princípio de divisão, se $E$ é um fibrado vetorial real de dimensão $n=2r$, para provarmos fórmulas envolvendo classes características, é possível supor que existem fibrados de linha complexos $l_{1},...l_{r}$ tais que $E\otimes \mathbb {C} =l_{1}\oplus {\overline {l_{1}}}\oplus ...l_{r}\oplus {\overline {l_{r}}}$. Logo, podemos tratar das raízes de Chern $x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}(l_{i})$, $x_{r+i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}({\overline {l_{i}}})=-x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )$, $i=1,...,r$.
Usando raízes de Chern como acima e aplicando as propriedades básicas da classe de Euler, temos que $e(TM)=\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )$. Em relação ao caráter de Chern e à classe de Todd,
    ${\begin{aligned}\operatorname {ch} (\Lambda ^{even}-\Lambda ^{odd})&=1-\operatorname {ch} (T^{*}M\otimes \mathbb {C} )+\operatorname {ch} (\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathbb {C} )-...+(-1)^{n}\operatorname {ch} (\Lambda ^{n}T^{*}M\otimes \mathbb {C} )\\&=1-\sum _{i}^{n}e^{-x_{i}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\sum _{i<j}e^{-x_{i}}e^{-x_{j}}(TM\otimes \mathbb {C} )+...+(-1)^{n}e^{-x_{1}}...e^{-x_{n}}(TM\otimes \mathbb {C} )\\&=\prod _{i}^{n}(1-e^{-x_{i}}(TM\otimes \mathbb {C} ))\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}\operatorname {Td} (TM\otimes \mathbb {C} )=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )\end{aligned}}$
Aplicando o teorema do índice,
    $\chi (M)=(-1)^{r}\int _{M}{\frac {\prod _{i}^{n}(1-e^{-x_{i}})}{\prod _{i}^{r}x_{i}}}\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )=(-1)^{r}\int _{M}(-1)^{r}\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )=\int _{M}e(TM)$,
que é a versão topológica do teorema de Chern-Gauss-Bonnet (a geométrica sendo obtida ao aplicarmos o homomorfismo de Chern-Weil).

##### Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch

Seja X uma variedade complexa de dimensão (também complexa) $n$ e V um fibrado vetorial holomórfico sobre X. Se E e F forem as somas dos fibrados de formas diferenciais com coeficientes em V de tipo (0,i) com i par (no caso de E) ou ímpar (no caso de F), consideramos o operador diferencial
    $D={\overline {\partial }}+{\overline {\partial }}^{*}$
restrito a E.
Nesse caso, o índice analítico do operador é a característica de Euler holomórfica de V:
    ${\textrm {index}}(D)=\sum _{p}(-1)^{p}{\textrm {dim}}\,H^{p}(X,V)=\chi (X,V)$
Como estamos tratando de fibrados que já são compelxos, calcular o índice topológico é mais simples. Usando raízes de Chern e fazendo contas similares às do exemplo anterior, a classe de Euler é dada por $e(TX)=\prod _{i}^{n}x_{i}(TX)$ e
    $\operatorname {ch} (\sum _{j}^{n}(-1)^{j}V\otimes \Lambda ^{j}{\overline {T^{*}X}})=\operatorname {ch} (V)\prod _{j}^{n}(1-e^{x_{j}})(TX)$
    $\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )=\operatorname {Td} (TX)\operatorname {Td} ({\overline {TX}})=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}\prod _{j}^{n}{\frac {-x_{j}}{1-e^{x_{j}}}}(TX)$
Aplicando o teorema do índice, obtemos o teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch:
    $\chi (X,V)=\int _{X}\operatorname {ch} (V)\operatorname {Td} (TX)$
Na verdade, obtemos uma generalização a todas as variedades complexas: a demonstração original de Hirzebruch funcionava somente para variedades projetivas.