# Covariância

Em teoria da probabilidade e na estatística, a covariância, ou variância conjunta, é uma medida do grau de interdependência (ou inter-relação) numérica entre duas variáveis aleatórias. Assim, variáveis independentes têm covariância zero.
A covariância é por vezes chamada de medida de dependência linear entre as duas variáveis aleatórias.

## Definição formal

A covariância ou variância conjunta é um momento conjunto de primeira ordem das variáveis aleatórias X e Y, centrados nas respectivas médias. É a média do grau de interdependência ou inter-relação numérica linear entre elas.
Se a variável for discreta, a covariância pode ser calculada de duas formas:
* $\operatorname {cov} (X,Y)=\sum _{i=1}^{n}\left[\left(x_{i}-\mu _{i}^{x}\right)\left(y_{i}-\mu _{i}^{y}\right)p(x_{i},y_{i})\right]$, onde $p(x_{i},y_{i})$ é a frequência relativa (ou probabilidade de ocorrer o par $(x_{i},y_{i})$ e $\mu _{i}^{var}$ é a média para os valores da variável indicada.
* $\operatorname {cov} (X,Y)={\frac {1}{n}}\left[\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}\right)\right]$

## Prova matemática

Em teoria da probabilidade e na estatística, a covariância entre duas variáveis aleatórias reais X e Y, com valores esperados $\operatorname {E} (X)=\mu _{X}$ e $\operatorname {E} (Y)=\mu _{Y}$ é definida como uma medida de como duas variáveis variam conjuntamente:
    $\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} [(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})],\,$
onde $E$ é o operador do valor esperado. Desenvolvendo a expressão para a Covariância, temos:
    $\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} [(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})]$
$\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} (X))(Y-\operatorname {E} (Y))]$
$\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} [XY-X\operatorname {E} (Y)-Y\operatorname {E} (X)+\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)]$
Usando a propriedade de que a Esperança (Valor esperado) de uma variável aleátória X qualquer é um operador linear, determinamos que a Esperança de uma soma é a soma das Esperanças:
    $\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} [X\operatorname {E} (Y)]-\operatorname {E} [Y\operatorname {E} (X)]+\operatorname {E} [\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)]\$
Novamente utilizando da linearidade da Esperança, temos que a Esperança de uma constante K qualquer multiplicada pela variável X é equivalente à constante K multiplicada pela Esperança da variável X. Sendo a Esperança de X um número qualquer definido no conjunto dos Números Reais, podemos fatorá-la em dois fatores:
$\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (Y)\operatorname {E} (X)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)+\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)$
Isto equivale à seguinte fórmula, a qual é geralmente usada para fazer os cálculos:
    $\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)\,$
Se X e Y são independentes, então a sua covariância é zero. Isto acontece porque sob independência:
    $E(XY)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)=\mu _{X}\mu _{Y}$.
Assim:
    $\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)\,$
    $\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)$
    $\operatorname {cov} (X,Y)=0$
O inverso, no entanto, não é verdadeiro: é possível que X e Y não sejam independentes e terem no entanto covariância zero. Variáveis aleatórias cuja covariância é zero são chamadas descorrelacionadas.

## Propriedades da Covariância

Se X e Y são variáveis aleatórias de valor real e a, b, c e d constantes ("constante", neste contexto, significa não aleatória), então os seguintes factos são uma consequência da definição da covariância:
    $\operatorname {cov} (X,X)=\operatorname {var} (X)\,$
    $\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {cov} (Y,X)\,$
    $\operatorname {cov} (aX+b,cY+d)=a\ c\ \operatorname {cov} (X,Y)\,$
    $\operatorname {cov} \left(\sum _{i}{X_{i}},\sum _{j}{Y_{j}}\right)=\sum _{i}{\sum _{j}{\operatorname {cov} \left(X_{i},Y_{j}\right)}}\,$
Para variáveis aleatórias em vetores coluna X e Y com respectivos valores esperados μ$_X$ e μ$_Y$, e n e m de componentes escalares respectivamente, a covariância é definida como matriz n×m
    $\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} ((X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})^{\top }).\,$
Para variáveis aleatórias em vetor, cov(X, Y) e cov(Y, X) são a transposta de cada um.

## Relação entre variância e covariância

A covariância entre duas variáveis pode ser obtida de dados de variância. Para variáveis aleatórias X e Y, sejam:
* $\operatorname {var} (X)\,$ é a variância populacional de X
* $\operatorname {var} (Y)\,$ é a variância populacional de Y
* $\operatorname {var} (X+Y)\,$ é a variância populacional de uma variável obtida a partir da soma simples das variáveis X e Y.
* "a" e "b" são constantes
Então, teremos:
    $\operatorname {cov} (X,Y)={\frac {\operatorname {var} (aX+bY)-a^{2}\operatorname {var} (X)\,-b^{2}\operatorname {var} (Y)\,}{2ab}}$

## Outras nomenclaturas

A covariância é por vezes chamada de medida de dependência linear entre as duas variáveis aleatórias.
O Coeficiente de Correlação Linear é um conceito relacionado usado para medir o grau de dependência linear entre duas variáveis, variando entre -1 e 1, indicando o sentido da dependência.

## Exemplo de cálculo de covariância populacional

Seja X a variável "altura dos jogadores de basquete" e seja Y a variável "peso dos mesmos atletas". A partir desses dados, é possível montar uma tabela com os desvios em relação a média. Essa tabela auxilia no cálculo da covariância:
| Atleta | Variável X (altura em metros) | Variável Y (peso em kg) | Desvio de X (valor menos média da variável) | Desvio de Y (valor menos média da variável) | Multiplicação dos desvios |
| 1) Pedro | 1,95 | 93,1 | -0,038 | -1,34 | -0,038*-1,34=+0,05092 |
| 2) João | 1,96 | 93,9 | -0,028 | -0,54 | -0,028*-0,54=+0,01512 |
| 3) José | 1,95 | 89,9 | -0,038 | -4,54 | -0,038*-4,54=+0,17252 |
| 4) Renato | 1,98 | 95,1 | -0,008 | +0,66 | -0,008*0,66=-0,00528 |
| 5) André | 2,10 | 100,2 | +0,112 | +5,76 | 0,112*5,76=0,64512 |
| Soma | ${\color {Red}\sum _{x=1}^{N}x}$= 1,95+1,96+...+2,10=9,94 | ${\color {Sepia}\sum _{y=1}^{N}y}$$=472{,}2$ | A soma de desvios é sempre igual a zero | A soma de desvios é sempre igual a zero | +0,05092+0,01512+0,17252-0,00528+0,64512=0,8784. |
| Número de elementos | N = 5 alturas medidas | N = 5 pesos medidos | 5 desvios calculados | 5 desvios calculados | 5 multiplicações feitas |
| Média | ${\frac {\color {Red}\sum _{x=1}^{N}x}{N}}$$={\frac {9{,}94}{5}}=1{,}988$ | ${\dfrac {\color {Sepia}\sum _{y=1}^{N}y}{N}}$$={\frac {472,2}{5}}=94{,}44$ | A média de desvios é sempre igual a zero | A média de desvios é sempre igual a zero | 0,8784/(5)=0,17568=covariância de X e Y |