# Sistema adiabático

Um sistema adiabático (emgrego:ἀδιάβατοςromaniz.:adiabatos;"impenetrável") é, na física, um sistema que está isolado de quaisquer trocas de calor.
É uma qualidade relativa à fronteira que delimita e determina o que vem a ser um sistema físico e por conseguinte o que se chama de sua vizinhança. Uma fronteira adiabática isola completamente o sistema de sua vizinhança no que tange a troca de matéria ou ao calor.
Na termodinâmica, associa-se também a processos ou transformações que ocorrem no interior de fronteiras adiabáticas, havendo ausência de troca de energia na forma de calor com a vizinhança. Geralmente é aceito, entretanto, que uma fronteira adiabática não é completamente restritiva em relação à troca de energia, havendo a "flexibilidade" de que o volume encerrado pela fronteira se altere em processos ditos adiabáticos, o que por conseguinte pode levar à troca de energia entre o sistema e sua vizinhança na forma de trabalho.
Observa-se experimentalmente que processos que ocorram muito rapidamente em sistemas fechados podem ser tratados como processos adiabáticos, mesmo que as fronteiras que definam os respectivos sistemas não o sejam. Isto ocorre porque não há tempo para trocas de calor significativas entre o meio e sua vizinhança. Como exemplos têm-se a compressão súbita do ar em uma seringa e um fenômeno climático que ocorre na atmosfera terrestre no qual uma parcela de ar aquecido, forçada a subir por convecção, se expande devido à diminuição da pressão atmosférica com a altitude, e se esfria devido a esta expansão (resfriamento adiabático e Vento Foehn). Inversamente, processos muito lentos, em que a temperatura do sistema permanece constante pela troca de calor com o ambiente, podem ser tratados como processos isotérmicos.
Um processo adiabático pode ser descrito pela expressão $\delta Q=0$ onde $\delta Q$ é a energia transferida pelo aquecimento (ou resfriamento). Pela segunda lei da termodinâmica, $\delta Q=TdS$ para um processo reversível (onde T é a temperatura e S é a entropia), um processo adiabático reversível é também um processo isentrópico ($dS=0$). Entretanto, para um processo irreversível, $\delta Q<TdS$ de modo que um processo adiabático irreversível não é isentrópico.
Um extremo oposto — permite transferência de calor com ambiente, fazendo com que a temperatura permaneça constante — é conhecido como um processo isotérmico. Como a temperatura é termodinamicamente conjugada à entropia, o processo isotérmico é conjugado ao processo isentrópico, e portanto a um processo adiabático reversível.
Uma curva adiabática é a representação, em um gráfico adequadamente dimensionado, da relação existente entre os valores de grandezas como pressão, volume e temperatura assumidos para o sistema que, sofrendo transformações, vai de um estado inicial P1, V1 e T1 para um estado final P2, V2 e T2, mantidas as condições de que não haja troca de calor ou matéria com o meio circunvizinho na passagem de um estado ao outro.

## Gás ideal (processo reversível)

A equação matemática para um gás ideal passando por um processo adiabático reversível é
    $PV^{\gamma }=\operatorname {constante} \qquad$
onde P é a pressão, V é o volume, e
    $\gamma ={C_{P} \over C_{V}}={\frac {f+2}{f}}$
$C_{P}$ sendo o calor específico para pressão constante, $C_{V}$ sendo o calor específico para volume constante, $\gamma$ é o coeficiente de expansão adiabática, e $f$ é o número de graus de liberdade (3 para um gás monoatômico, 5 para um gás diatômico e moléculas colineares).
Para um gás ideal monoatômico, $\gamma =5/3\,$, e para um gás diatômico (como nitrogênio e oxigênio, principais componentes do ar) $\gamma =7/5\,$. Note que a fórmula acima se aplica somente a gases ideais clássicos e não Bose–Einstein ou Fermi gases.
Para processos adiabáticos reversíveis, também é correto afirmar que
    $P^{1-\gamma }T^{\gamma }=\operatorname {constante}$
    $VT^{f/2}=\operatorname {constante}$
onde T é uma temperatura absoluta.
Isto também pode ser escrito como
    $TV^{\gamma -1}=\operatorname {constante}$

### Exemplo de compressão adiabática

Vejamos agora um exemplo comum de compressão adiabática, - a compressão em um cilindro de um motor de combustão interna. Faremos algumas suposições simples: que o volume descompactado do cilindro é 1000 cm³ (um litro), que o gás em seu interior é quase que puramente nitrogênio (portanto um gás diatômico com cinco graus de liberdade e assim $\gamma$ = 7/5), e a taxa de compressão do motor é 10:1 (isto é, o volume de 1000 cm³ de gás descompactado irá comprimir-se até 100 cm³ quando o pistão for de baixo para cima). O gás descompactado está aproximadamente a temperatura e pressão ambientes (temperatura de 27 °C, e pressão de 1 atm ~ 7005100000000000000♠100000 Pa).
$PV^{\gamma }=\operatorname {constante} =100.000\operatorname {Pa} \cdot 1000^{7/5}=100\times 10^{3}\cdot 15,8\times 10^{3}=1,58\times 10^{9}$
então nossa constante adiabática para esse experimento é aproximadamente 1.58 bilhões.
O gás é agora compactado até um volume de 100 cm³ (iremos supor que isso ocorre suficientemente rápido para que nenhum calor penetre ou deixe o gás). O novo volume é 100 cm³, mas a constante para esse experimento ainda é 1.58 bilhões:
$PV^{\gamma }=\operatorname {constante} =1,58\times 10^{9}=P\cdot 100^{7/5}$
resolvendo para P:
$P=1,58\times 10^{9}/{100^{7/5}}=1,58\times 10^{9}/630,9=2,50\times 10^{6}\operatorname {Pa}$
ou em torno de 24.5 atm. Note que esse aumento da pressão é mais do que uma simples taxa de compressão de 10:1 indicaria; isso porque o gás não é somente compactado, mas o trabalho exercido para comprimir o gás também o aquece, e quanto mais quente o gás maior a pressão, mesmo que o volume não tenha mudado.
Podemos resolver para a temperatura do gás compactado no cilindro do motor também, usando a lei dos gases ideais. Nossas condições iniciais são 7005100000000000000♠100000 Pa para pressão, 1000 cm³ de volume, e 300 K para temperatura, então nossa constante experimental é:
${PV \over T}=\operatorname {constante} ={{10^{5}\cdot 10^{3}} \over {300}}=3,33\times 10^{5}$
Sabemos que o gás compactado possui um V = 100 cm³ e P = 2.5E6 pa, então podemos resolver para a temperatura por simples álgebra:
${PV \over {\operatorname {constante} }}=T={{2,50\times 10^{6}\cdot 100} \over {3,33\times 10^{5}}}=751$
Essa é uma temperatura final de 751 K, ou 477 °C, bem acima do ponto de ignição de muitos combustíveis. É por isso que um motor de alta compressão requer combustíveis especialmente formulados para não entrarem em autoignição (o que causaria o bater das bielas do motor quando operado sob estas condições de temperatura e pressão), ou que um supercompressor e intercooler que forneçam uma temperatura menor mantendo a mesma pressão. Um motor a diesel opera sob condições ainda mais extremas, com taxas de compressão de 20:1 ou mais, para fornecer uma alta temperatura de gás, que garanta a ignição imediata do combustível injetado.

### Expansão adiabática livre de um gás

Para uma expansão adiabática livre de um gás ideal, o gás é contido em um recipiente isolado e então liberado para expandir em um vácuo. Como não há pressão externa contra qual o gás se expandir, o trabalho realizado pelo sistema é zero. Como esse processo não envolve nenhuma transferência de calor ou trabalho, a primeira lei da termodinâmica implica uma variação de energia interna de rede igual a zero. Para um gás ideal, a temperatura permanece constante porque a energia interna depende somente da temperatura neste caso. Como à temperatura constante a entropia é proporcional ao volume, a entropia aumenta neste caso, portanto esse processo é irreversível.

### Derivação da fórmula contínua para aquecimento e resfriamento adiabático

A definição de um processo adiabático é que a transferência de calor ao sistema deve ser zero, $\delta Q=0$. Então, de acordo com a primeira lei da termodinâmica,
    ${\text{(1)}}\qquad dU+\delta W=\delta Q=0$
onde dU é a variação da energia interna do sistema e δW é o trabalho realizado pelo sistema. Qualquer trabalho (δW) realizado deve ser feito à
custo da energia interna U, já que nenhum calor δQ está sendo fornecido do ambiente. Pressão-volume trabalho δW feito pelo sistema é
definido como
    ${\text{(2)}}\qquad \delta W=P\,dV$
Entretanto, P não permanece constante durante um processo adiabático porém muda juntamente com V.
Deseja-se saber como os valores de dP e dV relacionam-se entre si conforme o processo procede. Para um gás ideal a energia interna é dada por
    ${\text{(3)}}\qquad U=\alpha nRT,$
onde ${\alpha }$ é o número de graus de liberdade dividido por dois, R é a constante universal dos gases perfeitos e n é o número de mols no sistema (uma constante).
Diferenciando a equação (3) e usando a lei dos gases ideais, $PV=nRT$, gera
    ${\text{(4)}}\qquad dU=\alpha nR\,dT=\alpha \,d(PV)=\alpha (P\,dV+V\,dP)$
A equação (4) é geralmente expressada como $dU=nC_{V}\,dT$, pois $C_{V}=\alpha R$.
Agora substituindo as equações (2) e (4) na equação (1) para obter
    $-P\,dV=\alpha P\,dV+\alpha V\,dP$
simplificando:
    $-(\alpha +1)P\,dV=\alpha V\,dP$
e dividindo ambos os lados por PV:
    $-(\alpha +1){dV \over V}=\alpha {dP \over P}$
Depois de integrar os lados esquerdo e direito de V$_0$ a V e de P$_0$ a P e mudando os lados respectivamente,
    $\ln \left({P \over P_{0}}\right)={-{\alpha +1 \over \alpha }}\ln \left({V \over V_{0}}\right)$
Exponencie ambos os lados,
    $\left({P \over P_{0}}\right)=\left({V \over V_{0}}\right)^{-{\alpha +1 \over \alpha }}$
e elimine o sinal negativo para obter
    $\left({P \over P_{0}}\right)=\left({V_{0} \over V}\right)^{\alpha +1 \over \alpha }$
Portanto,
    $\left({P \over P_{0}}\right)\left({V \over V_{0}}\right)^{\alpha +1 \over \alpha }=1$
e
    $PV^{\alpha +1 \over \alpha }=P_{0}V_{0}^{\alpha +1 \over \alpha }=PV^{\gamma }=\operatorname {constante}$

### Derivação da fórmula discreta

A variação na energia interna de um sistema, medida de um estado 1 até um estado 2, é igual a
    ${\text{(1)}}\qquad \Delta U=\alpha Rn_{2}T_{2}-\alpha Rn_{1}T_{1}=\alpha R(n_{2}T_{2}-n_{1}T_{1})$
Ao mesmo tempo, o trabalho realizado pela pressão–volume muda como um resultado desse processo, é igual a
    ${\text{(2)}}\qquad W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV$
Como queremos que o processo seja adiabático, a seguinte equação deve ser verdadeira
    ${\text{(3)}}\qquad \Delta U+W=0$
Pela derivação anterior,
    ${\text{(4)}}\qquad PV^{\gamma }={\text{constant}}=P_{1}V_{1}^{\gamma }$
Rearranjando (4) temos
    $P=P_{1}\left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\gamma }$
Substituindo isso em (2) temos
    $W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}P_{1}\left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\gamma }\,dV$
Integrando,
    $W=P_{1}V_{1}^{\gamma }{\frac {V_{2}^{1-\gamma }-V_{1}^{1-\gamma }}{1-\gamma }}$
Substituindo $\gamma ={\frac {\alpha +2}{\alpha }}$,
    $W=-{\frac {\alpha }{2}}P_{1}V_{1}^{\gamma }\left(V_{2}^{1-\gamma }-V_{1}^{1-\gamma }\right)$
Rearranjando,
    $W=-{\frac {\alpha }{2}}P_{1}V_{1}\left(\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{1-\gamma }-1\right)$
Usando a lei dos gases ideais e presumindo uma quantidade molar constante (como normalmente ocorre em casos práticos),
    $W=-{\frac {\alpha }{2}}nRT_{1}\left(\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{1-\gamma }-1\right)$
Pela fórmula contínua,
    ${\frac {P_{2}}{P_{1}}}=\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{-\gamma }$
Ou,
    $\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{-1 \over \gamma }={\frac {V_{2}}{V_{1}}}$
Substituindo na expressão anterior para W,
    $W=-{\frac {\alpha }{2}}nRT_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)$
Substituindo essa expressão em (1) e em (3) temos
    ${\frac {\alpha }{2}}nR(T_{2}-T_{1})={\frac {\alpha }{2}}nRT_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)$
Simplificando,
    $T_{2}-T_{1}=T_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)$
Simplificando,
    ${\frac {T_{2}}{T_{1}}}-1=\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1$
Simplificando,
    $T_{2}=T_{1}\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}$

## Gráficos adiabáticos

Uma adiabata é a curva de entropia constante no diagrama PxV. As propriedades das adiabatas num diagrama PxV são:
* Cada adiabata se aproxima assintoticamente tanto do eixo V como do eixo P (assim como as isotermas).
* Cada adiabata intercepta cada isoterma exatamente uma vez.
* Uma adiabata parece similar a uma isoterma, exceto que durante uma expansão, uma adiabata perde mais pressão que uma isotérma, então possui uma inclinação mais íngreme (mais vertical).
* Se isotérmas são côncavas na direção nordeste (45°), então adiabátas são côncavas na direção "leste nordeste" (31°).
* Se são feitos diversos gráficos das adiabatas e isotermas a mudanças regulares de entropia e temperatura, respectivamente (como altitude em um mapa de contornos), então conforme o olho se move em direção aos eixos (direção sudoeste), parece que a densidade de isotermas permanece constante, mas ele ve a densidade das adiabatas crescer. A exceção é muito próxima de zero absoluto, onde a densidade de adiabátas cai bruscamente e elas se tornam raras.
O seguinte diagrama é um diagrama PxV com a superposição de adiabatas e isotermas:

## Resumo

Sistemas físicos e permeabilidades das fronteiras :
| Sistemas | Matéria | Energia | Calor | Trabalho | Entropia | Volume |
| Sistema aberto | Sim | Sim | Sim | Sim | Sim | Sim |
| Sistema fechado | Não | Sim | Sim | Sim | Sim | Sim |
| Sistema isolado | Não | Não | Não | Não | Não | Não |
| Sistema adiabático | Não | Sim | Não | Sim | Não | Sim |
| Sistema isocórico | Não | Sim | Sim | Não | Sim | Não |