# Coeficiente de expansão adiabática

O coeficiente de expansão adiabática, representado pela letra grega γ, é a razão entre a capacidade térmica a pressão constante e a capacidade térmica a volume constante:
    $\gamma ={\frac {C_{P}}{C_{V}}}$
Nessa transformação, o sistema não troca calor com o meio externo; o trabalho realizado é graças à variação de energia interna. Numa expansão adiabática, o sistema realiza trabalho sobre o meio e a energia interna diminui. Na expansão adiabática ocorre um abaixamento de temperatura.
A partir da Lei dos gases ideais e outras equações de termodinâmica pode-se chegar as equações:
$PV^{\gamma }=constante$
$TV^{\gamma -1}=constante$
$T^{\gamma }P^{1-\gamma }=constante$
Onde P é a pressão do gás, V é o volume do gás e T é a temperatura do gás.

## Sistema adiabático

Um sistema adiabático é definido como aquele em que não há troca de calor entre o sistema e o meio, ou seja, todo o trabalho realizado pelo gás provém de sua energia interna:
$W=-\Delta U$
Se um sistema se expande adiabaticamente, o trabalho do sistema é positivo, logo a energia interna do sistema diminui e por consequência sua temperatura também diminui. Se o sistema se contrai adiabaticamente, o trabalho do sistema é negativo, a energia interna aumenta e sua temperatura também aumenta.
O processo adiabático é possível se o sistema estiver isolado termicamente (com paredes adiabáticas) ou se o trabalho é realizado tão rapidamente que não há
tempo para o sistema trocar calor com o meio.

### Exemplos de processos adiabáticos

São exemplos de processos adiabáticos a formação de uma névoa na abertura de uma garrafa de refrigerante ou alguma outra bebida com gás, o aquecimento da bomba de encher pneus ao se utilizá-la e o resfriamento do gás de um desodorante quando ele sai do spray. Processos adiabáticos também são importantes no estudo do aquecimento e resfriamento de gases na atmosfera terrestre.

## Relação com graus de liberdade

Como $Cp$ e $Cv$ variam conforme o número de graus de liberdade do gás, o coeficiente de expansão adiabática também varia.
$Cv=(f/2)R$
$Cp=(f/2)R+R$
Onde $f$ são os graus de liberdade. A partir disso podemos tomar
$\gamma =1+{\frac {2}{f}}\qquad {\mbox{ou}}\qquad f={\frac {2}{\gamma -1}}$
Para gases monoatômicos ideais, existem 3 graus de liberdade:
$Cp/Cv={\frac {5R/2}{3R/2}}=5/3=1,666...=\gamma _{monoatomico}$
Para gases diatômicos ideais, existem 5 graus de liberdade:
$Cp/Cv={\frac {7R/2}{5R/2}}=7/5=1,4=\gamma _{diatomico}$
Em gases reais, o valor dos calores específicos a volume constante e a pressão constante variam em função da temperatura, então $\gamma$ será um valor aproximado do ideal (ver tabela).

## Dedução das fórmulas

Imagine um sistema com um gás em um embolo hermeticamente fechado. Partindo da primeira lei da termodinâmica:
$\Delta U=Q-W$
Onde $\Delta U$ é a variação da energia interna, $Q$ é o calor trocado com o meio e $W$ é o trabalho realizado pelo gás.
Para variações infinitesimais e substituindo $dW$ por $PdV$:
$dU=Q-PdV$
Supondo que o gás está termicamente isolado, $Q=0$. Também podemos substituir $dU$ por $CvdT$ em que $n$é o número de mols do gás e $dT$ é a variação infinitesimal da Temperatura. Após algumas alterações algébricas chegamos a
$dT=-(P/Cv)dV$
Dada a equação: $d(PV)=PdV+VdP=nRdT$ , onde $nR=Cp-Cv$ e substituindo o $dT$ da equação acima chega-se em:
$dP/P=-(Cp/Cv)dV/V$
Substituindo $\gamma =Cp/Cv$, integrando ambos os lados e fazendo operações logarítmicas:
$PV^{\gamma }=constante$
Logo,
$P_{1}V_{1}^{\gamma }=P_{2}V_{2}^{\gamma }$
Para deixar em termos da temperatura e do volume, se substitui $P=nRT/V$na equação anterior e se chega a fórmula
$TV^{\gamma -1}=constante$
pois $(nR)^{\gamma }$ é constante durante a expansão.
Para deixar em função da pressão e do volume, substitui-se $V=nRT/P$ na equação anterior e fazendo algumas substituições algébricas se encontra
T$^γ$P$^{1−γ}$=constante{\textstyle T^{\gamma }P^{1-\gamma }=constante}