# Número esfênico

Um número esfênico (do grego antigo σφήνα) é um número inteiro positivo que é o produto de três fatores primos distintos. A função de Möbius retorna -1 para todo número esfênico.
Note que essa definição é mais restringente que se exigisse simplesmente que o inteiro tivesse exatamente três fatores primos; exemplo: 60 = 2² × 3 × 5 tem exatamente 3 fatores primos, mas não é esfênico.
Todos os números esfênicos têm exatamente oito divisores. Se o número esfênico for expresso como $n=x\cdot y\cdot z$, então seus divisores serão (possivelmente não ordenados):
    $\left\{1,\ x,\ y,\ z,\ xy,\ xz,\ yz,\ n\right\}$
Os primeiros números esfênicos são: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, ... (sequência A007304 na OEIS)

## Números esfênicos consecutivos

O menor par de números consecutivos esfênicos é (230, 231), uma vez que 230 = 2×5×23 e 231 = 3×7×11. A menor tripla de números consecutivos esfênicos é (1309, 1310, 1311), já que 1309 = 7×11×17, 1310 = 2×5×131, e 1311 = 3×19×23. Não existe uma sequência de números esfênicos consecutivos com mais de 3 elementos. Em outras palavras, para cada n-upla (lê-se ênupla) $(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})$:
* $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ podem ser esfênicos se e somente se $n=2$ ou $n=3$;
* $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ não são esfênicos $\forall \ n\geq 4.$
As primeiras triplas de números esfênicos são:
(1309, 1310, 1311), (1885, 1886, 1887), (2014, 2015, 2016), (2665, 2666, 2667), ... (sequência A165936 na OEIS)

## Maior número esfênico conhecido

Uma vez que existem infinitos números primos, também existem infinitos números esfênicos.
O maior número esfênico conhecido é
    (2$^{74.207.281}$ − 1) × (2$^{57.885.161}$ − 1) × (2$^{43.112.609}$ − 1).
Produto dos três maiores números primos conhecidos. Foi definido em janeiro de 2016.
Divisão entre números consecutivos
Na divisão entre dois números consecutivos temos dois casos:
Caso 1 - Caso em que o número maior tem paridade par
Caso 2 - Caso em que o número maior tem paridade impar
Caso 1 -
Sejam dois números consecutivos $A,B$ com $A>B$ e de paridade par.
A divisão $A/B=1+1/B$ e a outra divisão $B/A=1-1/A$
Na imensa maioria dos casos cada uma dessas expressões tem como resultados números, com infinitos algarismos após o ponto decimal.
Em absolutamente todos os casos ao menos uma das duas expressões acima apresenta infinitos algarismos após o ponto decimal.
No nosso sistema decimal a decomposição única do número $10$ é $10=2.5$ , então a fração $1/B$ só não será uma dizima infinita quando $B=5^{n}$ pois $B$ é um número de paridade impar.
A fração $1/A$ só não será uma dizima infinita quando $A=2^{m}.a^{n}$ onde $a=10$ .
A expressão $5^{n}$ termina sempre no número $25$ exceto para $n=1$ .
Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número $A$ tem que terminar em $26$ exceto para o primeiro caso onde $A=6$ , e o número $A$, terá que ser da forma $2^{m}$ onde a expressão $1/A$ não será uma dizima infinita.
Como os números da forma $2^{m}$ com o algarismo $6$ na última posição são sempre terminados em $16,56,96,36,76$, jamais teremos o par consecutivo com os dois últimos algarismos sendo $25,26$ e com a propriedade de serem da forma $5^{n},2^{m}$ .
Esta divisão é aplicada na solução para o Ultimo Teorema de Fermat e para a Conjectura de Beal.
Caso 2
Sejam dois números consecutivos $B,A$ com $B>A$ e de paridade impar.
A divisão $B/A=1+1/A$ e a outra divisão $A/B=1-1/B$
Na imensa maioria dos casos, cada uma destas expressões tem como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.
Em absolutamente todos os casos ao menos uma destas duas expressões apresenta como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.
No nosso sistema decimal a composição única do número $10$ é $10=2.5$ , então a fração $1/A$ só não será uma dizima infinita quando $A=2^{m}$ .
A fração $1/B$ só não será uma dizima infinita quando $B=5^{n}$
A expressão $5^{n}$ termina sempre no número $25$ exceto para $n=1$ .
Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número $A$ tem que terminar em $24$ , exceto para o primeiro caso onde $A=4$ , e o número $A$ terá que ser da forma $2^{m}$, onde a expressão $1/A$ não será uma dizima infinita. O valor de $A$ só termina em $24$ , para $m=10,30,50,70,90,110...$ e para nenhum destes casos o número sucessivo terminado em $25$ é da forma $5^{n}$., impedindo que tenhamos números consecutivos terminados em $24,25$ que sejam da forma $2^{m},5^{n}$.
Ligações externas
da On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, em inglês.
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