# Fórmulas de Newton-Cotes

Em Análise numérica, as Fórmulas de Newton-Cotes, também chamadas de Regras de Quadratura de Newton-Cotes, ou simplesmente Regras de Newton-Cotes, são um grupo de fórmulas para Integração numérica (também chamadas de Quadratura) baseadas na avaliação do integrante em pontos igualmente espaçados. Foram batizadas em homenagem a Isaac Newton e Roger Cotes.
As fórmulas de Newton-Cotes podem ser úteis se o valor do integrante, em pontos igualmente espaçados, é fornecido. Se for possível trocar os pontos nos quais o integrante é avaliado, então outros métodos, como Quadratura Gaussiana e Quadratura de Clenshaw–Curtis são, provavelmente, mais adequados.

## Descrição

Assume-se que o valor da função ƒ, definida entre [a, b] é conhecido, em pontos x$_i$ entre i = 0, …, n igualmente espaçados, onde x$_0$ = a e x$_n$ = b. Existem dois tipos de Fórmulas Newton–Cotes, as "fechadas" que utilizam o valor da função em todos os pontos, e as "abertas", que não utilizam os valores da função nas extremidades. A fórmula de Newton–Cotes, de grau n é definida como:
    $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i})$
Onde x$_i$ = h i + x$_0$, com h (tamanho do passo) igual a (x$_n$ − x$_0$) / n = (b − a) / n. Os w$_i$ são chamados de pesos.
Como demonstrado na derivação seguinte, os pesos são derivados das bases polinomiais de Lagrange. Isto significa que eles dependem apenas de x$_i$ e não da função ƒ. Sendo L(x) a interpolação polinomial em Lagrange para os pontos dados (x$_0$, ƒ(x$_0$) ), …, (x$_n$, ƒ(x$_n$) ), então:
    $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}{\bigl\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x){\bigr )}\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.$
A fórmula de Newton-Cotes aberta, de grau n é definida como:
    $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n-1}w_{i}\,f(x_{i}).$
Os pesos são encontrados de maneira similar á fórmula fechada.

## Instabilidade para graus mais elevados

Uma fórmula de Newton-Cotes de qualquer grau n pode ser construída. Porém, para n elevados, a regra de Newton-Cotes pode sofrer do Fenômeno de Runge, onde erros aumentam exponencialmente para n elevados. Métodos como a Quadratura Gaussiana e a Quadratura de Clenshaw-Curtis com pontos espaçados de maneira desigual (acumulados nas extremidades do intervalo de integração) são estáveis e muito mais precisos, e são geralmente escolhidos no lugar de Newton-Cotes. Se estes métodos não podem ser utilizados, porque o integrante é dado em uma grade igualmente distribuída, o Fenômeno de Rungue pode ser evitado utilizando a regra composta, como explicado a seguir.

## Fórmula de Newton Cotes fechada

Esta tabela lista algumas das Fómulas de Newton-Cotes do tipo fechadas. A notação $f_{i}$ é a abreviação de $f(x_{i})$, com x$_i$ = a + i (b − a) / n,, e n graus.
Fórmulas de Newton–Cotes Fechadas :
| Grau | Nome usual | Fórmula | Termo de erro |
| 1 | Regra do Trapézio | ${\frac {b-a}{2}}(f_{0}+f_{1})$ | $-{\frac {(b-a)^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )$ |
| 2 | Regra de Simpson | ${\frac {b-a}{6}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$ | $-{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}\,f^{(4)}(\xi )$ |
| 3 | Regra 3/8 de Simpson | ${\frac {b-a}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$ | $-{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}\,f^{(4)}(\xi )$ |
| 4 | Regra de Boole | ${\frac {b-a}{90}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$ | $-{\frac {(b-a)^{7}}{1935360}}\,f^{(6)}(\xi )$ |
O expoente do segmento de tamanho b - a no termo de erro mostra a taxa com a qual o erro de aproximação diminui. A derivada de ƒ no termo do erro mostra que polinômios podem ser integrados exatamente (por exemplo, com erro igual a zero). Note que a derivada de ƒ no termo do erro aumenta em 2 para cada outra regra. O número $\xi$ está entre a e b.

## Fórmulas de Newton Cotes Abertas

Esta tabela lista algumas das fórmulas de Newton-Cotes do tipo abertas. Novamente, 'ƒi é abreviação de ƒ(xi), com xi = a + i (b − a) / n, de n graus.
Fórmulas de Newton–Cotes Abertas :
| Nome usual | Tamanho do passo | Fórmula | Termo do erro | Grau |
| Método Retangular | ${\frac {b-a}{2}}$ | $(b-a)f_{1}\,$ | ${\frac {(b-a)^{3}}{24}}\,f^{(2)}(\xi )$ | 2 |
| Método do Trapezio | ${\frac {b-a}{3}}$ | ${\frac {b-a}{2}}(f_{1}+f_{2})$ | ${\frac {(b-a)^{3}}{36}}\,f^{(2)}(\xi )$ | 3 |
| Regra de Milne | ${\frac {b-a}{4}}$ | ${\frac {b-a}{3}}(2f_{1}-f_{2}+2f_{3})$ | ${\frac {7(b-a)^{5}}{23040}}f^{(4)}(\xi )$ | 4 |
| Sem nome | ${\frac {b-a}{5}}$ | ${\frac {b-a}{24}}(11f_{1}+f_{2}+f_{3}+11f_{4})$ | ${\frac {19(b-a)^{5}}{90000}}f^{(4)}(\xi )$ | 5 |

## Regra Composta

Para que as regras de Newton-Coles sejam precisas, o tamanho de passo h precisa ser pequeno, o que significa que o intervalo de integração $[a,b]$, deve ser pequeno, comportamento que não se observa na maioria das vezes. Por esta razão, usualmente se realiza uma integração numérica, dividindo $[a,b]$ em subintervalos menores, aplicando a regra de Newton-Cotes em cada subintervalo, e somando os resultados. Isto é chamado de Regra composta, veja Análise Numérica.