# Espaço conexo

Em topologia, conexidade ou conectividade é a propriedade de um espaço conexo, isto é, um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.

## Definição

Uma cisão de um conjunto é a decomposição $X=A\cup B$ em dois abertos disjuntos. Todo conjunto admite a cisão trivial em que $A=X$ e $B=\emptyset$. Um conjunto chama-se conexo quando admite apenas a cisão trivial.

### Equivalências

Os subconjuntos $\emptyset$ e $X$ são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de $X$. Assim, equivalentemente, se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então $X$ é conexo. Por outro lado, se existe $A$ não-vazio aberto e fechado em $X$, então $X$ é desconexo.

## Exemplos

* $\mathbb {R}$ e $\mathbb {C}$ são conexos, enquanto $\mathbb {N} ,$ $\mathbb {Z}$ e $\mathbb {Q}$ são desconexos.
* Em $\mathbb {R}$, os únicos subconjuntos conexos são os intervalos.
* $\mathbb {R} -\{0\}$ é desconexo pois possui a cisão não-trivial $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$.

## Propriedades

* A imagem de um conexo por uma aplicação contínua é um conexo.
* Todo conjunto homeomorfo a um conexo é conexo.
* A união de uma família de conjuntos conexos que possuam um ponto em comum é conexa.
* O produto cartesiano de dois conjuntos é conexo se, e somente se, ambos são conexos.
* O fecho de um conjunto conexo é conexo.

## Componentes conexas

Mesmo que um conjunto $X$ não seja conexo, ele sempre poderá ser representado pela união disjunta de suas componentes conexas.
A componente conexa $C_{x}$ é o maior subconjunto conexo que contém $x\in X$. Para quaisquer dois pontos de $X$, suas componentes conexas ou coincidem ou são disjuntas. Se possuem um ponto em comum, são a mesma componente conexa, pois a componente conexa é o maior subconjunto conexo contendo um dado ponto; se não possuem, são disjuntas.
Por exemplo, para $\mathbb {R} -\{0\}$, a componente conexa de $-1$ é $(-\infty ,0)$ e a componente conexa de $1$ é $(0,+\infty )$. No caso, essas são as duas componentes conexas do conjunto.

### Propriedades

Toda componente conexa de $X$ é um conjunto fechado em $X$.
Homeomorfismos estabelecem, entre os dois espaços, uma bijeção entre as componentes conexas de um com as componentes conexas do outro. Sendo assim, dois conjuntos homeomorfos possuem a mesma quantidade de componentes conexas.

## Conexo por caminhos

Um tipo de conexidade mais estrita é a conexidade por caminhos.
Um caminho num conjunto $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ é uma função contínua definida num intervalo real que passa por pontos de $X$. Dois pontos podem ser ligados por um caminho quando existe um caminho $f$ tal que esses pontos estejam na imagem de $f$. Um conjunto se diz conexo por caminhos quando quaisquer dois pontos podem ser ligados por um caminho.
Todo conjunto conexo por caminhos é conexo, mas a recíproca é falsa. Por exemplo, no $\mathbb {R} ^{2},$ o gráfico da função $f(x)={\mbox{sen}}{\frac {1}{x}}$ para $0<x\leq 1$ com a origem $(0,0)$ é conexo mas não é conexo por caminhos.

### Propriedades

* A união de dois conjuntos conexos por caminhos, de interseção não-vazia, é conexa por caminhos.$^[$
* A topologia produto de dois conjuntos conexos por caminhos é conexa por caminhos.$^[$
* Todo conjunto convexo é conexo por caminhos.
* No $\mathbb {R} ^{n}$, um conjunto aberto é conexo se, e somente se, é conexo por caminhos.