# Função quadrática

Na álgebra, uma função quadrática, é uma função polinomial associada a um polinômio do segundo grau, então ela possui a mesma forma.
Por exemplo, uma função quadrática univariada (variável única) tem a forma
    $f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0$
na única variável x . O gráfico de uma função quadrática univariada é uma parábola cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo y, como mostrado à direita.
Se a função quadrática for definida como zero, o resultado será uma equação quadrática . As soluções para a equação univariada são chamadas de raízes da função univariada.
O caso bivariável em termos de variáveis x e y tem o formulário
    $f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f\,\!$
com pelo menos um de a, b, c diferente de zero, e uma equação definindo esta função igual a zero dá origem a uma seção cônica (um círculo ou outra elipse, uma parábola ou uma hipérbole ).
Uma função quadrática em três variáveis x, y e z contém exclusivamente os termos x $^2$, y $^2$, z $^2$, xy, xz, yz, x, y, z e uma constante:
    $f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,$
com pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f dos termos de segundo grau sendo diferente de zero.
Em geral, pode haver um número arbitrariamente grande de variáveis, caso em que a superfície resultante de definir uma função quadrática como zero é chamada de quádrica, mas o termo de grau mais alto deve ser de grau 2, como x $^2$, xy, yz, etc.

## Etimologia

O adjetivo quadrático vem da palavra latina quadrātum (" quadrado "). Um termo como x$^2$ é chamado de quadrado em álgebra porque é a área de um quadrado com o lado x .

## Terminologia

Nomenclatura Correta
Nunca deve-se chamar uma função quadrática de "função do segundo grau". Pois tal nome da origem a seguinte pergunta: "O que é o grau de uma função?", Nada! pois uma função não possui grau, o que possui grau é um polinômio.

### Coeficientes

Os coeficientes de um polinômio são frequentemente considerados números reais ou complexos, mas, na verdade, um polinômio pode ser definido em qualquer anel .

### Grau

Ao usar o termo "polinômio quadrático", os autores às vezes querem dizer "tendo grau exatamente 2", e às vezes "tendo grau no máximo 2". Se o grau for menor que 2, isso pode ser chamado de " caso degenerado ". Normalmente, o contexto estabelecerá qual dos dois se refere.
Às vezes, a palavra "ordem" é usada com o significado de "grau", por exemplo, um polinômio de segunda ordem.

### Variáveis

Um polinômio quadrático pode envolver uma única variável x (o caso univariado) ou múltiplas variáveis, como x, y e z (o caso multivariado).

#### O caso de uma variável

Qualquer polinômio quadrático de variável única pode ser escrito como
    $ax^{2}+bx+c,\,\!$
onde x é a variável e a, b e c representam os coeficientes . Na álgebra elementar, esses polinômios costumam surgir na forma de uma equação quadrática $ax^{2}+bx+c=0$ . As soluções para essa equação são chamadas de raízes do polinômio quadrático e podem ser encontradas por meio da fatoração, do preenchimento do quadrado, da representação gráfica, do método de Newton ou do uso da fórmula quadrática . Cada polinômio quadrático tem uma função quadrática associada, cujo gráfico é uma parábola .

#### Caso bivariado

Qualquer polinômio quadrático com duas variáveis pode ser escrito como
    $f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,\,\!$
onde x e y são as variáveis e a, b, c, d, e e f são os coeficientes. Tais polinômios são fundamentais para o estudo de seções cônicas, que se caracterizam por igualar a expressão de f ( x, y ) a zero. Da mesma forma, polinômios quadráticos com três ou mais variáveis correspondem a superfícies quádricas e hipersuperfícies . Na álgebra linear, polinômios quadráticos podem ser generalizados para a noção de uma forma quadrática em um espaço vetorial .

## Formas de uma função quadrática univariada

Uma função quadrática univariada pode ser expressa em três formatos:
* $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ é chamado de formulário padrão ,
* $f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ é chamada de forma fatorada, onde r$_1$ e r$_2$ são as raízes da função quadrática e as soluções da equação quadrática correspondente.
* $f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!$ chama-se a forma de vértice, em que h e k são as coordenadas x e y do vértice, respectivamente.
O coeficiente a é o mesmo valor em todas as três formas. Para converter a forma padrão para a forma fatorada, é necessária apenas a fórmula quadrática para determinar as duas raízes r$_1$ e r$_2$ . Para converter a forma padrão em forma de vértice, é necessário um processo chamado preenchimento do quadrado . Para converter a forma fatorada (ou forma de vértice) para a forma padrão, é necessário multiplicar, expandir e / ou distribuir os fatores.
Independentemente do formato, o gráfico de uma função quadrática univariada $f(x)=ax^{2}+bx+c$ é uma parábola (conforme mostrado à direita). Equivalentemente, este é o gráfico da equação quadrática bivariada $y=ax^{2}+bx+c$ .
* Se a > 0, a parábola abre para cima.
* Se a < 0 a parábola se abre para baixo.
O coeficiente a controla o grau de curvatura do gráfico; uma magnitude maior de a dá ao gráfico uma aparência mais fechada (curva acentuada).
Os coeficientes b e a juntos controlam a localização do eixo de simetria da parábola (também a coordenada x do vértice e o parâmetro h na forma do vértice) que está em
    $x=-{\frac {b}{2a}}.$
Além disso, o coeficiente b está associado ao termo de grau 1 na função. Se observarmos, há uma função de 1º grau contida na função quadrática, equivalente a $y^{1}=bx+c$. O coeficiente b corresponde ao coeficiente angular dessa função $f(x^{1})=y^{1}$, a qual é sempre tangente de $y=ax^{2}+bx+c$ na altura c de $f(x^{2})$, isto é, no ponto (0,c).
O coeficiente c controla a altura da parábola; mais especificamente, é a altura da parábola onde intercepta o eixo y .

### Vértice

O vértice de uma parábola é o lugar onde ela gira; portanto, também é chamado de ponto de inflexão . Se a função quadrática está na forma de vértice, o vértice é (h, k) . Usando o método de completar o quadrado, pode-se virar o formulário padrão
    $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$
para dentro
    ${\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-h)^{2}+k\\&=a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}$
então o vértice, (h, k), da parábola na forma padrão é
    $\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).$
Se a função quadrática estiver na forma fatorada então
    $f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$
a média das duas raízes, ou seja:
    ${\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!$
é a coordenada x do vértice e, portanto, o vértice (h, k) é
    $\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right).\!$
O vértice também é o ponto máximo se a < 0, ou o ponto mínimo se a > 0 .
A linha vertical:
    $x=h=-{\frac {b}{2a}}$
que passa pelo vértice é também o eixo de simetria da parábola.

#### Pontos de máximos e mínimos

Usando o cálculo, o ponto do vértice, sendo um máximo ou mínimo da função, pode ser obtido encontrando as raízes da derivada :
    $f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b\,\!.$
x é uma raíz de f '(x) if f '(x) = 0 resultando em:
    $x=-{\frac {b}{2a}}$
com o valor da função correspondente temos:
    $f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}}\,\!,$
então, novamente, as coordenadas do ponto do vértice, (h, k), podem ser expressas como
    $\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).$

## Raízes da função univariada

Predefinição:Quadratic equation graph key points.svgPredefinição:Quadratic function graph complex roots.svg

### Raízes exatas

As raízes (ou zeros ), r$_1$ e r$_2$, da função quadrática univariada
    ${\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\\\end{aligned}}$
são os valores de x para os quais f(x) = 0 .
Quando os coeficientes a, b e c são reais ou complexos, as raízes são
    $r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},$
    $r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

### Limite superior na magnitude das raízes

O módulo das raízes de um quadrático $ax^{2}+bx+c\,$ não pode ser maior que ${\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\times \phi ,\,$ Onde $\phi$ é a proporção áurea ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$ [ importância? ]

## A raiz quadrada de uma função quadrática univariada

A raiz quadrada de uma função quadrática univariada dá origem a uma das quatro seções cônicas, quase sempre uma elipse ou uma hipérbole .
E se $a>0\,\!$ então a equação $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ descreve uma hipérbole, como pode ser visto ao quadrado de ambos os lados. As direções dos eixos da hipérbole são determinadas pela ordenada do ponto mínimo da parábola correspondente $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ . Se a ordenada for negativa, o eixo principal da hipérbole (por meio de seus vértices) é horizontal, enquanto se a ordenada for positiva, o eixo principal da hipérbole é vertical.
E se $a<0\,\!$ então a equação $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ descreve um círculo ou outra elipse ou nada. Se a ordenada do ponto máximo da parábola correspondente $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ é positivo, então sua raiz quadrada descreve uma elipse, mas se a ordenada é negativa, então ela descreve um locus vazio de pontos.

## Iteração

Para iterar uma função $f(x)=ax^{2}+bx+c$, aplica-se a função repetidamente, usando a saída de uma iteração como entrada para a próxima.
Nem sempre se pode deduzir a forma analítica de $f^{(n)}(x)$, O que significa que a $^{enésima}$ iteração $f(x)$ . (O sobrescrito pode ser estendido para números negativos, referindo-se à iteração do inverso de $f(x)$ se o inverso existe. ) Mas existem alguns casos analiticamente tratáveis .
Por exemplo, para a equação iterativa
    $f(x)=a(x-c)^{2}+c$
uma tem:
    $f(x)=a(x-c)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),\,\!$
Onde
    $g(x)=ax^{2}\,\!$ e $h(x)=x-c.\,\!$
Então, por indução,
    $f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))\,\!$
pode ser obtido, onde $g^{(n)}(x)$ pode ser facilmente calculado como:
    $g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.\,\!$
Finalmente, temos:
    $f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c\,\!$
como a solução.
Consulte Conjugação topológica para obter mais detalhes sobre a relação entre f e g . E veja Polinômio quadrático complexo para o comportamento caótico na iteração geral.
O mapa logístico
    $x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}<1$
com o parâmetro 2 < r <4 pode ser resolvido em certos casos, um dos quais é caótico e outro não. No caso caótico r = 4, a solução é
    $x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )$
onde o parâmetro de condição inicial $\theta$ É dado por $\theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})$ . Para racional $\theta$, após um número finito de iterações $x_{n}$ mapeia em uma seqüência periódica. Mas quase todos $\theta$ são irracionais e, para irracionais $\theta$, $x_{n}$ nunca se repete – não é periódico e exibe uma dependência sensível das condições iniciais, por isso é considerado caótico.
A solução do mapa logístico quando r = 2 é
$x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}$
para $x_{0}\in [0,1)$ . Desde a $(1-2x_{0})\in (-1,1)$ para qualquer valor de $x_{0}$ diferente do ponto fixo instável 0, o termo $(1-2x_{0})^{2^{n}}$ vai para 0 enquanto n vai para o infinito, então $x_{n}$ vai para o ponto fixo estável ${\tfrac {1}{2}}.$

## Função quadrática bivariada (duas variáveis)

Uma função quadrática bivariada é um polinômio de segundo grau da forma
    $f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!$
onde A, B, C, D e E são coeficientes fixos e F é o termo constante. Essa função descreve uma superfície quadrática. Configuração $f(x,y)\,\!$ igual a zero descreve a interseção da superfície com o plano $z=0\,\!$, que é um locus de pontos equivalente a uma seção cônica .

### Mínimo/máximo

E se $4AB-E^{2}<0\,$ a função não tem máximo ou mínimo; seu gráfico forma um parabolóide hiperbólico.
E se $4AB-E^{2}>0\,$ a função tem um mínimo se A > 0 e um máximo se A <0; seu gráfico forma um parabolóide elíptico. Neste caso, o mínimo ou máximo ocorre em $(x_{m},y_{m})\,$ Onde:
    $x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}},$
    $y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}.$
E se $4AB-E^{2}=0\,$ e $DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,$ a função não tem máximo ou mínimo; seu gráfico forma um cilindro parabólico.
E se $4AB-E^{2}=0\,$ e $DE-2CB=2AD-CE=0\,$ a função atinge o máximo / mínimo em uma linha - um mínimo se A > 0 e um máximo se A <0; seu gráfico forma um cilindro parabólico.

## Veja também

* Forma quadrática
* Equação quadrática
* Representação matricial de seções cônicas
* Quadric
* Pontos periódicos de mapeamentos quadráticos complexos
* Lista de funções matemáticas