# Modelo Galves-Löcherbach

O Modelo Galves-Löcherbach é um modelo com estocasticidade intrínseca para redes de neurônios, no qual a probabilidade de disparos futuros é dependente da evolução total do sistema desde o último disparo. Esse modelo de redes neurais foi desenvolvido pelos matemáticos Antonio Galves e Eva Löcherbach. No artigo original, de 2013, os autores chamaram o modelo de "sistema de cadeias estocásticas com memória de alcance variável interagindo entre si".

## História

Algumas inspirações do modelo são o sistema de partículas em interação de Frank Spitzer e a noção de cadeias estocásticas com memória de alcance variável de Jorma Rissanen. Outro trabalho que o influenciou inclui o estudo de Bruno Cessac com o modelo integra-e-dispara com vazamento, que por sua vez teve influência de Hédi Soula. Os próprios autores chamaram o processo apresentado por Cessac de "uma versão em dimensão finita" do modelo probabilístico.
Modelos anteriores de integra-e-dispara com características estocásticas necessitavam a inserção de um ruído para simular a estocasticidade. Esse modelo se destaca por ser inerentemente estocástisco, incorporando questões probabilísticas diretamente no cálculo dos disparos. Ele também é um modelo de implementação relativamente simples, do ponto de vista computacional, com uma boa relação entre custo e eficiência. É também um modelo não-markoviano, pois a probabilidade da ocorrência de um disparo de um neurônio dado depende da atividade acumulada do sistema desde o último disparo.
Desenvolvimentos do modelo foram realizados, contemplando a noção de limites hidrodinâmicos do sistema de neurônios em interação, o comportamento de longo prazo e aspectos referentes à estabilidade do processo no sentido de prever e classificar diferentes comportamentos como uma função dos parâmetros, e a generalização do modelo para tempo contínuo.
O modelo Galves-Löcherbach foi a pesquisa angular no desenvolvimento do Centro de Pesquisa, Inovação e Difusão em Neuromatemática.

## Definição formal

O modelo supõe um conjunto enumerável de neurônios $I$, e modela sua evolução em instantes de tempo discretos $t\in \mathbb {Z}$ por meio de uma cadeia estocástica $(X_{t})_{t\in \mathbb {Z} }$ assumindo valores no espaço de estados $\{0,1\}^{I}$. Mais precisamente, para cada neurônio $i\in I$ e instante de tempo $t\in \mathbb {Z}$, definimos $X_{t}(i)=1$ se o neurônio $i$ dispar no instante de $t$, e $X_{t}(i)=0$ em caso contrário. A configuração do conjunto de neurônios, no instante de tempo $t\in \mathbb {Z}$, é então definida por $X_{t}=(X_{t}(i),i\in I)$. Para cada instante de tempo $t\in \mathbb {Z}$, definimos a sigma-álgebra ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma (X_{s}(j),j\in I,s\leq t)$, representando o histórico da evolução da atividade deste conjunto de neurônios até o instante de tempo em questão $t$. A dinâmica da atividade deste conjunto de neurônios é definida do seguinte modo. Fixado o histórico ${\mathcal {F}}_{t-1}$, os neurônios disparam ou não no instante de tempo seguinte $t$ independentemente uns dos outros, isto é, para cada subconjunto $F\subset I$ finito e qualquer configuração $a_{i}\in \{0,1\},i\in F,$ tem-se que
$\mathop {\mathrm {Prob} } (X_{t}(i)=a_{i},i\in I|{\mathcal {F}}_{t-1})=\prod _{i\in I}\mathop {\mathrm {Prob} } (X_{t}(i)=a_{i}|{\mathcal {F}}_{t-1})$.
Além disso, a probabilidade de um dado neurônio $i$ disparar em um dado tempo $t$, de acordo com o modelo probabilístico, é dada pela fórmula
$\mathop {\mathrm {Prob} } (X_{t}(i)=1|{\mathcal {F}}_{t-1})=\phi _{i}{\Biggl\sum _{j\in I}W_{j\rightarrow i}\sum _{s=L_{t}^{i}}^{t-1}g_{j}(t-s)X_{s}(j),t-L_{t}^{i}{\Biggl )}$,
sendo $W_{j\rightarrow i}$ um peso sináptico que representa o aumento do potencial de ação do neurônio $i$ devido ao disparo do neurônio $j$, $g_{j}$ é uma função que modela o vazamento de potencial e $L_{t}^{i}$ o momento de disparo mais recente do neurônio $i$ antes do tempo em questão $t$, de acordo com a fórmula
$L_{t}^{i}={\text{sup}}\{s<t:X_{s}(i)=1\}$.
No instante $s$ anterior a $t$, o neurônio $i$ dispara, restaurando o potencial de ação ao valor inicial.