# Cardinal inacessível

Em matemática, especialmente em teoria dos conjuntos, um número cardinal $\kappa ^{\,}$ é denominado inacessível se $\kappa ^{\,}$ é um cardinal regular, não enumerável e limite forte. Essa propriedade é chamada as vezes de fortemente inacessível e é considerada uma propriedade de grande cardinal.

## Definição formal

Um cardinal $\kappa ^{\,}$ é inacessível se satisfaz as seguintes três propriedades:
1) $\kappa ^{\,}$ não é enumerável:
    $\kappa ^{\,}>\omega =\aleph _{0}$
onde $\omega =\aleph _{0}$ é o cardinal do conjunto dos números naturais $\mathbb {N}$.
2) $\kappa ^{\,}$ é regular:
    ${\mbox{cf}}\left(\kappa ^{\,}\right)=\kappa$
onde ${\mbox{cf}}\left(\kappa ^{\,}\right)$ é a cofinalidade de $\kappa ^{\,}$.
3) $\kappa ^{\,}$ é limite forte:
    $\forall \lambda <\kappa ^{\,}\left(2^{\lambda }<\kappa ^{\,}\right)$
Um cardinal $\kappa ^{\,}$ é fracamente inacessível ou inacessível no sentido fraco se satisfaz "1)" e "2)" acima, mas "3)" é substituída por:
3*) $\kappa ^{\,}$ é cardinal limite:
    $\forall \lambda <\kappa ^{\,}\left(\lambda ^{+}<\kappa ^{\,}\right)$
Na literatura mais antiga, o termo "inacessível" já foi usado para se referir aos cardinais fracamente inacessíveis, criando uma certa ambiguidade.
Em ZF mais a Hipótese Generalizada do Contínuum as propriedades "inacessível" e "fracamente inacessível" são equivalentes.

## Cardinais inacessíveis e modelos de ZF

Em ZFC, se $V_{\alpha }$ é a hierarquia cumulativa de von Neumann, então, se $\kappa ^{\,}$ é inacessível, então $V_{\kappa }$ é um modelo de ZFC. Em particular, se $\kappa ^{\,}$ é o primeiro inacessível, então $V_{\kappa }$ é um modelo de ZFC + "não existem cardinais inacessíveis", demonstrando a consistência relativa enunciado "não existem cardinais inacessíveis",ou seja, a existência de cardinais inacessíveis não pode ser demonstrada em ZFC, se ZFC é consistente. Mas isso também implica que a consistência de ZFC + "existem cardinais inacessíveis" não pode ser demonstrada em ZFC, ao menos que ZFC seja inconsistente.
Com relação à cardinalidade do contínuo, se supormos a consistência de ZFC mais "existe um cardinal fracamente inacessível", então ZFC mais "$2^{\omega }$ é fracamente inacessível" também é consistente.

## Cardinais inacessíveis e teoria de números

Se denominarmos ZFCI à ZFC mais o enunciado "existe um cardinal inacessível", devido a que a consistência de ZFC pode ser demonstrada em ZFCI, essa última teoria demonstra mais enunciados de teoria de números, se ZFC é consistente:
    a afirmação (mas não a negação) do axioma [sobre a existência de cardinais inacessíveis] implica novos teoremas sobre inteiros
A demonstração do Teorema de Fermat efetuada por Wiles usa como pressuposto a existência de Universos de Grothendieck:
    Grothendieck dá uma prova do que os pesquisadores de teoria dos conjuntos já sabiam: a definição de um universo em ZFC é o mesmo que dizer U é o conjunto $\;V_{\alpha }\;$ de todos os conjuntos tomando valores menores que $\;\alpha ^{\,}\;$ para algum cardinal não enumerável fortemente inacessível $\;\alpha ^{\,}\;$.
Em outras palavras, a demonstração de Wiles é realizada numa teoria mais forte que ZFC, como quando acrescentamos a existência de um cardinal inacessível. Entretanto, Mc Larty expressa a esperança de que essas hipóteses possam ser eliminadas e que o Teorema de Fermat possa ser demonstrado num fragmento da Aritmética de Peano, mas não propõe nenhuma linha demonstrativa de fazer isso, só possíveis caminhos.