# Bola (matemática)

Em matemática, uma bola é o espaço interior a uma esfera. Ela pode ser tanto uma bola fechada (incluindo os pontos de fronteira) ou pode ser uma bola aberta (excluindo-os).
Estes conceitos são definidos não apenas no espaço euclidiano tridimensional mas também em dimensões menores e maiores, e para espaços métricos em geral. Uma bola no plano euclidiano, por exemplo, é a mesma coisa que um círculo, a área limitada por uma circunferência.
Nos contextos matemáticos em que o termo bola é usado, assume-se geralmente que uma esfera consiste somente dos pontos de fronteira (por exemplo, uma superfície esférica no espaço tridimensional). Em outros contextos, tais como a geometria euclidiana e situações informais, algumas vezes o termo esfera se refere à bola como um todo.

## Bolas em espaços métricos

Num espaço métrico $(X,d)\,\!$, a bola aberta de raio $\delta \,\!$ centrada num ponto $x\,\!$ é o conjunto de pontos cuja distância a $x\,\!$ é inferior a $\delta \,\!$, isto é, $B(x,\delta )=\{y\in X:d(x,y)<\delta \}\,\!$;
A bola fechada de raio $\delta \,\!$ centrada num ponto $x\,\!$ é o conjunto de pontos à distância de $x\,\!$ não superior a $\delta \,\!$, isto é, $B(x,\delta )=\{y\in X:d(x,y)\leq \delta \}\,\!$.
Ou seja, a diferença entre a bola aberta e a fechada é que na fechada os pontos de fronteira estão incluídos.

## Exemplos

* Em $\mathbb {R}$, uma bola é um intervalo.
* Em $\mathbb {R} ^{2}$, uma bola é um círculo. Também se utiliza o termo "disco" neste caso.
* Em $\mathbb {R} ^{3}$, uma bola é o espaço interior a uma esfera.
* Qualquer espaço vetorial normado é um espaço métrico fazendo d(x,y) igual à norma de (x-y). Nesse caso a B(a,r) vai ser o conjunto de vetores u que satisfazem norma de (a-u) menor que r.
* Em $\mathbb {R} ^{2}$ com a métrica $d((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\|(x_{1},y_{1})-(x_{2},y_{2})\|_{\infty }={\mbox{max}}(|x_{1}-x_{2}|,|y_{1}-y_{2}|)$, uma bola é um quadrado.
* Em $\mathbb {R} ^{2}$ com a métrica $d((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\|(x_{1},y_{1})-(x_{2},y_{2})\|_{1}=|x_{2}-x_{1}|+|y_{2}-y_{1}|$, uma bola é um losango.
* Toda bola no espaço métrico é uma vizinhança no espaço topológico gerado pelo espaço métrico. Reciprocamente, toda vizinhança de um ponto contém uma bola centrada neste ponto.

## Propriedades

Em qualquer espaço métrico $(X,d)\,\!$,
* Toda bola aberta é um aberto de X.
* Toda bola fechada é um fechado de X.
* Um subconjunto é limitado se, e somente se, está contido em alguma bola.
No $\mathbb {R} ^{n}$ com qualquer norma, todas bolas são convexas, sejam abertas ou fechadas.

## Esferas e Bolas Unitárias no espaço Euclidiano

No Espaço Euclidiano n dimensional, a esfera unitária é um conjunto de pontos $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ que satisfaz a equação
    $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1$
e a bola fechada unitária é o conjunto de pontos que satisfaz a inequação
    $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.$

### Fórmulas de área e volume

O volume de uma bola unitária n-dimensional no Espaço euclideano, que denotamos V$_n$, pode ser expressa em termos da função gama por
    $V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {se~} n\geq 0\mathrm {~e~par,} \\~\\{\pi ^{\lfloor n/2\rfloor }2^{\lceil n/2\rceil }}/{n!!}&\mathrm {se~} n\geq 0\mathrm {~e~impar,} \end{cases}}$
onde n!! é o duplo fatorial.
A hipervolume da esfera unitária (n<meta typeof="mw:DiffMarker">–1)-dimensional (i.e., a "área" da superfície de uma bola n-dimensional), que denotamos por A$_n$, pode ser expressa da forma
    $A_{n}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}\,,$
onde a última igualdade vale para n > 0.
As áreas de superfícies e os volumes para alguns valores de n são dados abaixo:
| $n$ | $A_{n}$ (área da superfície) | $A_{n}$ (área da superfície) | $V_{n}$ (volume) | $V_{n}$ (volume) |
| 0 | $0(1/0!)\pi ^{0}$ | 0 | $(1/0!)\pi ^{0}$ | 1 |
| 1 | $1(2^{1}/1!!)\pi ^{0}$ | 2 | $(2^{1}/1!!)\pi ^{0}$ | 2 |
| 2 | $2(1/1!)\pi ^{1}=2\pi$ | 6.283 | $(1/1!)\pi ^{1}=\pi$ | 3.141 |
| 3 | $3(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=4\pi$ | 12.57 | $(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=(4/3)\pi$ | 4.189 |
| 4 | $4(1/2!)\pi ^{2}=2\pi ^{2}$ | 19.74 | $(1/2!)\pi ^{2}=(1/2)\pi ^{2}$ | 4.935 |
| 5 | $5(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/3)\pi ^{2}$ | 26.32 | $(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/15)\pi ^{2}$ | 5.264 |
| 6 | $6(1/3!)\pi ^{3}=\pi ^{3}$ | 31.01 | $(1/3!)\pi ^{3}=(1/6)\pi ^{3}$ | 5.168 |
| 7 | $7(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/15)\pi ^{3}$ | 33.07 | $(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/105)\pi ^{3}$ | 4.725 |
| 8 | $8(1/4!)\pi ^{4}=(1/3)\pi ^{4}$ | 32.47 | $(1/4!)\pi ^{4}=(1/24)\pi ^{4}$ | 4.059 |
| 9 | $9(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/105)\pi ^{4}$ | 29.69 | $(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/945)\pi ^{4}$ | 3.299 |
| 10 | $10(1/5!)\pi ^{5}=(1/12)\pi ^{5}$ | 25.50 | $(1/5!)\pi ^{5}=(1/120)\pi ^{5}$ | 2.550 |
onde os decimais para n ≥ 2 são arredondados na precisão que são apresentados.

#### Recursão

Os valores de A$_n$ satisfazem a recursão:
    $A_{0}=0$
    $A_{1}=2$
    $A_{2}=2\pi$
    $A_{n}={\frac {2\pi }{n-2}}A_{n-2}$ para $n>2$.
Os valores de V$_n$ satisfazem a recursão:
    $V_{0}=1$
    $V_{1}=2$
    $V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}$ para $n>1$.

#### Dimensão Fracional

As fórmulas para A$_n$ e V$_n$ podem ser calculadas para qualquer real n ≥ 0.

#### Outros raios

A área da superfície de uma esfera (n–1)-dimensional com raio r é A$_n$ r$^{n−1}$ e o volume de uma bola n-dimensional com raio r é V$_n$ r$^n$. Particularmente, a área é A = 4π r$^2$ para a superfície de uma bola tridimensional de raio r. O Volume é V = 4π r$^3$ / 3 para a bola tridimensional de raio r.