# Congruência triangular

Casos de congruência de triângulos (ou simplesmente, congruência triangular) são critérios creditados a Tales de Mileto, dados a dois ou mais triângulos para estabelecer que estes são congruentes (podendo dizer que são idênticos, ou seja, com todas as medidas iguais). Há cinco conhecidos casos de congruência triangular:

## Definição

Um triângulo é congruente (símbolo $\equiv$) a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que:
* seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outros;
* seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro.
Na figura ao lado temos dois triângulos congruentes.
Assim, pela definição de triângulos congruentes temos:
$\triangle {\text{ABC}}\equiv {\triangle {\text{A'B'C'}}}\quad \Longleftrightarrow \quad {\begin{cases}{\overline {\text{AB}}}\equiv {\overline {\text{A'B'}}}\\{\overline {\text{AC}}}\equiv {\overline {\text{A'C'}}}\\{\overline {\text{BC}}}\equiv {\overline {\text{B'C'}}}\end{cases}}\qquad {\text{e}}\qquad {\begin{matrix}{\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\\{\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}\\{\hat {C}}\equiv {\hat {C'}}\end{matrix}}$

## Propriedades

A congruência entre triângulos é reflexiva, simétrica e transitiva.
Essas propriedades, de reflexão, simetria e transitividade na congruência de triângulos podem expressas da seguinte forma:
* Todo triângulo é congruente a si mesmo (reflexiva): $\triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{ABC}}$.
* Se um triângulo é congruente a outro, então este outro é congruente ao primeiro (simétrica): $\triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{DEF}}\Rightarrow \triangle {\text{DEF}}\equiv \triangle {\text{ABC}}$.
* Se um triângulo é congruente a outro e este outro é congruente a um terceiro triângulo, então o primeiro triângulo é congruente ao terceiro (transitiva): $\triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{DEF}}\quad {\text{e}}\quad \triangle {\text{DEF}}\equiv \triangle {\text{GHI}}\quad \Rightarrow \quad \triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{GHI}}$

## Casos de congruência

A definição de congruência de triângulos dá todas as condições que devem ser satisfeitas para que dois triângulos sejam congruentes. Existem o que podemos chamar de "condições mínimas" para que dois triângulos sejam congruentes. Essas condições são chamadas casos ou critérios de congruência.

### Caso LAL (lado, ângulo, lado)

Esse caso pode ser expresso da seguinte forma:
"Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido entre eles, então esses triângulos são congruentes."
Esta proposição é um postulado (aceito sem demonstração) e indica que, se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido entre eles, então o lado restante e os outros dois ângulos restantes também são ordenadamente congruentes.

### Caso ALA (ângulo, lado, ângulo)

Esse caso pode ser expresso da seguinte forma:
"Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes."
Diferente do caso $LAL$, essa proposição não é um postulado. Para podermos aplicá-la, precisamos fazer sua demonstração.

#### Demonstração

Para provar esse caso de congruência, vamos, primeiramente, enunciá-lo na forma de um teorema utilizando as informações geométricas da figura ao lado:
Sejam os triângulos △ABC{\textstyle \triangle {\text{ABC}}} e △A'B'C'{\textstyle \triangle {\text{A'B'C'}}}, vamos demonstrar que:
${\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BC}}\equiv {\overline {B'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {C}}\equiv {\hat {C'}}\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{A'B'C'}}$
Para fazer essa demonstração, partiremos da hipótese e buscaremos provar que ${\overline {BA}}\equiv {\overline {B'A'}}$, de modo a cair no caso de congruência $LAL$.
Pelo postulado do transporte de segmentos, podemos obter na semirreta ${\overrightarrow {B'A'}}$ um ponto $X$ tal que ${\overline {B'X}}\equiv {\overline {BA}}$.
Assim, dessa construção, temos que o triângulo $\triangle {\text{ABC}}$ é congruente ao triângulo $\triangle {\text{XB'C'}}$. Isso pode ser enunciado da seguinte forma:
${\overline {BC}}\equiv {\overline {B'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BA}}\equiv {\overline {B'X}}\qquad \Rightarrow \qquad \triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{XB'C'}}\left(LAL\right)\qquad \Longrightarrow {B{\hat {C}}A}\equiv {B'{\hat {C'}}X}$.
Utilizando essas informações, voltaremos a nossa hipótese. Por hipótese temos que $B{\hat {C}}A\equiv {B'{\hat {C'}}A'}$ e agora temos que $B{\hat {C}}A\equiv {B'{\hat {C'}}X}$.
Observaremos que, através dessa informações, temos que as retas ${\overleftrightarrow {B'A'}}$ e ${\overleftrightarrow {C'X}}$ se interceptam em um único ponto, que é o ponto $X$.
Da mesma forma, temos também que as retas ${\overleftrightarrow {B'A'}}$ e ${\overleftrightarrow {C'A'}}$ também se interceptam em um único ponto, que é o ponto $A'$.
Assim, pelo postulado do transporte de ângulos e pelas congruências $B{\hat {C}}A\equiv {B'{\hat {C'}}A'}$ e $B{\hat {C}}A\equiv {B'{\hat {C'}}X}$, temos que os pontos $X$ e $A'$ são coincidentes.
Logo, como $X\equiv {A'}$ e ${\overline {B'X}}\equiv {\overline {BA}}$, implica ${\overline {B'A'}}\equiv {\overline {BA}}$.
Com essa última informação caímos no primeiro caso de congruência ($LAL$) e demonstramos que:
${\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BC}}\equiv {\overline {B'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {C}}\equiv {\hat {C'}}\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{A'B'C'}}$.
Logo, se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes.

### Caso LLL (lado, lado, lado)

Esse caso pode ser expresso da seguinte forma:
"Se dois triângulos têm ordenadamente os três lados respectivos congruentes, então esses dois triângulos são congruentes."
Observe os dois triângulos ao lado. O triângulos $\triangle {ABC}$ e $\triangle {A'B'C'}$ possuem seus respectivos lados congruentes. Isso implica que os dois triângulos são congruentes.
Isso pode ser enunciado da seguinte forma:
${\overline {AB}}\equiv {\overline {A'B'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BC}}\equiv {\overline {B'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {ABC}\equiv \triangle {A'B'C'}$
Diferente do caso $LAL$, essa proposição não é um postulado. Para podermos aplicá-la precisamos fazer sua demonstração.

#### Demonstração

Precisamos mostrar que, se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses triângulos são congruentes.
Para isso, vamos, primeiramente, enunciar esse teorema com notação matemática adequada.
${\overline {AB}}\equiv {\overline {A'B'}}\quad {\text{e}}\quad {{\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}}\quad {\text{e}}\quad {{\overline {BC}}\equiv {\overline {B'C'}}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ABC}}\equiv {\triangle {A'B'C'}}$
Para prosseguir, utilizaremos o postulado do transporte de ângulos e o postulado do transporte de segmentos de modo a obter um ponto $X$ no semiplano oposto ao de $C'$ em relação à reta ${\overleftrightarrow {A'B'}}$, tal que
$X{\hat {A'}}B'\equiv {C{\hat {A}}B}$
e
${\overline {A'X}}\equiv {\overline {AC}}$
Assim, através dessa última relação, podemos perceber, por transitividade, que ${\overline {A'X}}\equiv {\overline {A'C'}}$ (uma vez que ${\overline {A'X}}\equiv {\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}$).
Dessas informações, temos a congruência dos triângulos $\triangle {ABC}$ e $\triangle {A'B'X}$:
${\overline {AB}}\equiv {\overline {A'B'}}\quad {\text{e}}\quad {{X{\hat {A}}B}\equiv {C{\hat {A}}B}}\quad {\text{e}}\quad {{\overline {A'X}}\equiv {\overline {AC}}}\qquad \left(LAL\right)\Longrightarrow \qquad {\triangle {ABC}}\equiv {\triangle {A'B'X}}$.
Dessa congruência temos que ${\overline {XB'}}\equiv {\overline {CB}}$ e ${\overline {XB'}}\equiv {\overline {C'B'}}$.
A partir dessas relações podemos ver que os triângulos $\triangle {A'C'X}$ e $\triangle {B'C'X}$ são triângulos isósceles, ambos de base ${\overline {C'X}}$.
Tomando um ponto $D$, que seja o ponto de intersecção de ${\overline {C'X}}$ com a reta ${\overleftrightarrow {A'B'}}$, temos as seguintes congruências, que ocorrem entre os ângulos da base dos triângulos isósceles:
$A'{\hat {C'}}D\equiv {A'{\hat {X}}D}\quad {\text{e}}\quad {D{\hat {C'}}B'}\equiv {D{\hat {X}}B'}$.
Através dessas relações entre os ângulos temos que:
$A'{\hat {C'}}B'=A'{\hat {C'}}D+D{\hat {C'}}B'$
e
$A'{\hat {X}}B'=A'{\hat {X}}D+D{\hat {X}}B'=A'{\hat {C'}}D+D{\hat {C'}}B'$
Assim vemos que $A'{\hat {C'}}B'\equiv {A'{\hat {X}}B'}$.
Assim, temos a congruência entre os triângulos $\triangle {A'B'C'}$ e $\triangle {A'B'X}$ pelo caso $LAL$:
${\overline {A'C'}}\equiv {\overline {A'X}}\quad {\text{e}}\quad {A'{\hat {C'}}B'\equiv {A'{\hat {X}}B'}}\quad {\text{e}}\quad {{\overline {C'B'}}\equiv {\overline {XB'}}\quad \left(LAL\right)\qquad \Longrightarrow }\qquad \triangle {A'B'C'}\equiv \triangle {A'B'X}$
Temos então que $\triangle {ABC}\equiv \triangle {A'B'X}\equiv \triangle {A'B'C'}$. Por transitividade, temos que $\triangle {ABC}\equiv {\triangle {A'B'C'}}$.
Logo, se dois triângulos têm três lados respectivos congruentes, então esses triângulos são congruentes.

### Caso especial CH (cateto, hipotenusa)

Esse caso é um caso particular do LLL{\textstyle LLL} e pode ser expresso da seguinte forma:
"Se dois triângulos retângulos têm congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes."
A demonstração desse resultado consiste em provar que, na verdade, esse caso é um caso especial de LLL{\textstyle LLL}.

#### Demonstração

Vamos demonstrar que se dois triângulos retângulos têm congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes.
Para isso, sejam dados o triângulo retângulo △ABC{\textstyle \triangle {ABC}}, com hipotenusa medindo a{\textstyle a} e catetos medindo b{\textstyle b} e c{\textstyle c}, e o triângulo retângulo △A$^′$B$^′$C$^′${\textstyle \triangle {A'B'C'}}, com hipotenusa medindo a$^′${\textstyle a'} e catetos medindo b$^′${\textstyle b'} e c$^′${\textstyle c'}. Por hipótese temos a=a$^′${\textstyle a=a'}e, sem perda de generalidade, b=b$^′${\textstyle b=b'}. Então, do teorema de Pitágoras, temos:$a^{2}=b^{2}+c^{2}$e$(a')^{2}=(b')^{2}+(c')^{2}$donde, obtemos b$^2$+c$^2$=(b$^′$)$^2$+(c$^′$)$^2${\textstyle b^{2}+c^{2}=(b')^{2}+(c')^{2}} e, como assumimos b=b$^′${\textstyle b=b'}, temos c=c$^′${\textstyle c=c'}. Isto implica os triângulos dados são congruentes, pelo caso $LLL$. Logo, se dois triângulos retângulos têm congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes.

### Caso LAAo (lado, ângulo, ângulo oposto)

Esse caso pode ser expresso da seguinte forma:
"Se dois triângulos têm ordenadamente um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes."
Esse caso de congruência não é um postulado. Portanto, para aplicá-lo, precisamos fazer sua demonstração.

#### Demonstração

Primeiramente, para fazer essa demonstração, vamos enunciar esse caso de congruência sob a forma de um teorema, utilizando notação matemática adequada.
${\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}\quad {\text{e}}\quad {C{\hat {A}}B}\equiv {C'{\hat {A'}}B'}\quad {\text{e}}\quad {A{\hat {B}}C}\equiv {A'{\hat {B'}}C'}\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ABC}}\equiv {\triangle {A'B'C'}}$ Partindo-se da nossa hipótese, podemos observar que há três possibilidades de relações existentes entre os segmentos ${\overline {AB}}$ e ${\overline {A'B'}}$. Faremos a demonstração a partir de cada uma dessas possibilidades.
* 1° ${\overline {AB}}\equiv {\overline {A'B'}}$
Nesse primeiro caso podemos facilmente demonstrar a congruência dos triângulos, uma vez que acabamos por cair no caso de congruência $LAL$, pois:
${\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AB}}\equiv {\overline {A'B'}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ABC}\equiv {\triangle {A'B'C'}}}$.
Assim, nessa primeira possibilidade vemos que os dois triângulos são congruentes.
* 2° possibilidade.2° ${\overline {AB}}<{\overline {A'B'}}$
Como estamos partindo dessa relação acima como sendo verdadeira, tomaremos um ponto $D$ sobre a semirreta ${\overrightarrow {AB}}$ e externo ao segmento ${\overline {AB}}$ de tal modo que ${\overline {AD}}\equiv {\overline {A'B'}}$.
Se fizermos isso, teremos que os triângulos $\triangle {ACD}$ e $\triangle {A'B'C'}$ são congruentes pelo caso de congruência $LAL$, pois:
${\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AD}}\equiv {\overline {A'B'}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ADC}\equiv \triangle {A'B'C'}}$
Essa relação implica que ${\hat {B}}\equiv {\hat {D}}$, por transitividade. Essa relação contradiz a nossa hipótese, através do teorema do ângulo externo, que diz que o ângulo externo de um triângulo é maior do que qualquer ângulo interno não adjacente. Assim, vemos que o ângulo externo ao $\triangle {BDC}$ no vértice $D$ deve ser maior que o ângulo $C{\hat {B}}D$. Porém, vemos que esses dois ângulos são congruentes.
Assim, vemos que essa segunda possibilidade não ocorrerá e podemos, portanto, descartá-la.
* 3° ${\overline {AB}}>{\overline {A'B'}}$
Essa possibilidade pode ser anulada da mesma forma que a anterior. Para isso basta apenas tomar o ponto $D$ estando sob o segmento ${\overline {AB}}$, de modo que ${\overline {AD}}\equiv {\overline {A'B'}}$.
Com isso podemos verificar que os triângulos $\triangle {ACD}$ e $\triangle {A'B'C'}$ são congruentes pelo caso de congruência $LAL$, pois:
${\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AD}}\equiv {\overline {A'B'}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ADC}\equiv \triangle {A'B'C'}}$.
Assim, como na relação anterior temos que ${\hat {B}}\equiv {\hat {D}}$, o que é uma uma contradição, segundo o teorema do ângulo externo.
Logo essa possibilidade também não ocorrerá.
Uma vez que eliminamos a 2° e a 3° possibilidade, ficamos apenas com a primeira, que demonstra o nosso teorema.
Logo podemos afirmar que: se dois triângulos têm ordenadamente um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes.