# Martingale

Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas o evento atual importa. Em particular, um martingale é uma sequência de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente observados.
Em contraste, em um processo que não é um martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte. Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre os eventos futuros. Assim, o valor esperado do próximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o do presente evento se uma estratégia de ganho for usada. Martingales excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico do jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos. É também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações perdidas. Dobra-se a segunda mão para recuperar a anterior, e assim sucessivamente, até o acerto.
Martingale é o sistema de apostas mais comum na roleta. A popularidade deste sistema se deve à sua simplicidade e acessibilidade. O jogo Martingale dá a impressão enganosa de vitórias rápidas e fáceis. A essência do sistema de jogo da roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma chance igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no “vermelho”: fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você perder, dobramos e apostamos $ 2. Se perdermos na roleta, perderemos a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 1) de $ 3. 4, por exemplo. duas apostas ganham (1 + 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de $ 1 na roleta. Se você perder uma segunda vez na roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4). Se ganharmos, ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da roda da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino.

## Histórico

Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de estratégias de aposta popular na França do século XVIII. A mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em que o apostador ganhava se a moeda desse cara e perdia se a moeda desse coroa. A estratégia fazia o apostador dobrar sua aposta depois de cada derrota a fim de que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além de um lucro igual à primeira aposta. Conforme o dinheiro e o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como algo certo. Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que a quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma vantagem matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites às apostas). Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, pode ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.
O conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por Paul Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse dado este nome. O termo "martingale" foi introduzido em 1939 por Jean Ville, que também estendeu a definição à martingales contínuos. Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por Joseph Leo Doob, entre outros. Parte da motivação daquele trabalho era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.

## Definições

Uma definição básica de um martingale de tempo discreto diz que ele é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis aleatórias) $X_{1},X_{2},X_{3},...$ de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo $n$,
    $\mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty$
    $\mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.$
Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente observação.

### Sequências martingale em relação a outra sequência

Mais geralmente, uma sequência $Y_{1},Y_{2},Y_{3},...$ é considerada um martingale em relação a outra sequência $X_{1},X_{2},X_{3},...$ se, para todo $n$,
    $\mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty$
    $\mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.$
Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em relação ao processo estocástico $X_{t}$ é um processo estocástico $Y_{t}$ tal que, para todo $t$,
    $\mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty$
    $\mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.$
Isto expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de qualquer observação no tempo $t$, dadas todas as observações até o tempo $s$, é igual à observação no tempo $s$ (considerando que $s\leq t$).

### Definição geral

Em geral, um processo estocástico $Y:T\times \Omega \to S$ é um martingale em relação a uma filtração $\Sigma _{*}$ e medida de probabilidade $P$ se
* $\Sigma _{*}$ for uma filtração do espaço de probabilidade subjacente ($\Omega ,\Sigma ,P$);
* $Y$ for adaptado à filtração $\Sigma _{*}$, isto é, para cada $t$ no conjunto de índices $T$, a variável aleatória $Y_{t}$ for uma função mensurável $\Sigma _{\tau }$;
* Para cada $t$, $Y_{t}$ estiver no espaço Lp $L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)$, isto é,
       $\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;$
* Para todo $s$ e todo $t$, sendo $s<t$, e todo $F\in \Sigma _{S}$
       $\mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,$
    em que $\chi _{F}$ denota a função indicadora do evento $F$.
    A última condição é denotada como
       $Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),$
    que é uma forma geral de valor esperado condicional.
É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual os valores esperados são assumidos). É possível que $Y$ seja um martingale em relação a uma medida, mas não em relação a outra. O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida em relação à qual um processo de Itō é um martingale.

## Exemplos de martingales

* Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número de dimensões) é um exemplo de martingale.
* O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta com que ele se envolver forem honestos.
* Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores. A cada iteração, uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor. Para qualquer cor dada, a fração das bolas na urna com aquela cor é um martingale. Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo número de bolas não vermelhas alteraria.
* Suponha que $X_{n}$ seja o dinheiro de um apostador depois que uma moeda honesta foi jogada $n$ vezes, sendo que o apostador ganha $1 se der cara e perde $1 se der coroa. O valor esperado condicional do dinheiro do apostador depois que a moeda for jogada novamente, dado o histórico, é igual ao dinheiro atual. Esta sequência é, portanto, um martingale.
* Considere $Y_{n}={X_{n}}^{2}-n$, em que $X_{n}$ é o dinheiro do apostador no exemplo acima. Então, a sequência $\{Y_{n}:n=1,2,3,...\}$ é um martingale. Isto também pode ser usado para mostrar que o total de vitórias ou derrotas do apostador varia aproximadamente entre menos e mais a raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.
* No caso de um martingale de Moivre, suponha que a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade $p$ de dar cara e probabilidade $q=1-p$ de dar coroa. Considere
       $X_{n+1}=X_{n}\pm 1$
    com $+$ se der cara e $-$ se der coroa. Considere
       $Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.$
    Então, $\{Y_{n}:n=1,2,3,...\}$ é um martingale com relação à $\{X_{n}:n=1,2,3,...\}$. Para mostrar isto,
       ${\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}$
* No teste de razão de verossimilhança em estatística, uma variável aleatória $X$ é tida como distribuída de acordo com uma densidade de probabilidade $f$ ou uma densidade de probabilidade diferente $g$. Uma amostra aleatória $X_{1},...,X_{n}$ é tomada. Considere $Y_{n}$ a razão de verossimilhança
       $Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}$
    Se $X$ for verdadeiramente distribuída de acordo com a densidade $f$ e não com a densidade $g$, então $\{Y_{n}:n=1,2,3,...\}$ é um martingale com relação a $\{X_{n}:n=1,2,3,...\}$.
* Suponha que uma ameba se divide em duas amebas com probabilidade $p$ ou morre com probabilidade $1-p$ . Considere $X_{n}$ o número de amebas sobreviventes na $n$-ésima geração (em particular, $X_{n}=0$, se a população estiver extinta naquele momento). Considere $r$ a probabilidade de eventual extinção. Considerar $r$ como uma função de $p$ é um exercício instrutivo. A probabilidade de que os descendentes de uma ameba eventualmente morram é igual à probabilidade de que qualquer um de seus descendentes imediatos morra, dado que a ameba original se dividiu. Então
       $\{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}$
    é um martingale em relação a $\{X_{n}:n=1,2,3,...\}$.
* Em uma comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto como uma sequência de variáveis aleatórias. Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia.
* Se $\{N_{t}:t\geq 0\}$ for um processo de Poisson com intensidade $\lambda$, então o processo de Poisson compensado $\{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}$ é um martingale de tempo contínuo com caminhos amostrais contínuos à direita/limitados à esquerda.

## Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas

Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casos em que a observação atual $X_{n}$ não é necessariamente igual à futura expectativa condicional $E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]$, mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior à expectativa condicional. Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o estudo das funções harmônicas. Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a $E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall s\leq t$, uma função harmônica $f$ satisfaz a equação diferencial parcial $\Delta f=0$, em que $\Delta$ é o operador de Laplace. Dado um processo de movimento browniano $W_{t}$ e uma função harmônica $f$, o processo resultante $f(W_{t})$ também é um martingale.
* Um submartingale de tempo discreto é uma sequência $X_{1},X_{2},X_{3},\ldots$ de variáveis aleatórias integráveis que satisfaz a
       $E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.$
    Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a
       $E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.$
    Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica $f$ satisfaz a $\Delta f\geq 0$. Qualquer função sub-harmônica limitada acima por uma função harmônica para todos os pontos no limite de uma bola é limitada acima pela função harmônica para todos os pontos dentro da bola. Da mesma forma, se um submartingale e um martingale tem expectativas equivalentes para um dado tempo, o histórico do submartingale tende a ser limitado acima pelo histórico do martingale. Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação $X_{n}$ é menor ou igual à expectativa condicional $E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]$. Consequentemente, a observação atual oferece apoio a partir de baixo da futura expectativa condicional e o processo tende a crescer no tempo futuro.
* De forma análoga, um supermartingale de tempo discreto satisfaz a
       $E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.$
    Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a
       $E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.$
    Em teoria do potencial, uma função super-harmônica $f$ satisfaz a $\Delta f\leq 0$. Qualquer função super-harmônica limitada abaixo por uma função harmônica para todos os pontos no limite de uma bola é limitada abaixo pela função harmônica para todos os pontos dentro da bola. Da mesma forma, se um supermartingale e um martingale tem expectativas equivalentes para um dado tempo, o histórico do supermartingale tende a ser limitado abaixo pelo histórico do martingale. Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação $X_{n}$ é maior ou igual à expectativa condicional $E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]$. Consequentemente, a observação atual oferece apoio a partir de cima da futura expectativa condicional e o processo tende a decrescer no tempo futuro.

### Exemplos de submartingales e supermartingales

* Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale. Reciprocamente, todo processo estocástico que é tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.
* Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara e perde $1 quando a moeda der coroa. Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara com probabilidade $p$.
** Se $p$ for igual a $1/2$, o apostador em média não perde, nem ganha dinheiro e a riqueza do apostador ao longo do tempo é um martingale.
** Se $p$ for menor que $1/2$, o apostador perde dinheiro em média e a riqueza do apostador ao longo do tempo é um supermartingale.
** Se $p$ for maior que $1/2$, o apostador ganha dinheiro em média e a riqueza do apostador ao longo do tempo é um submartingale.
* Uma função convexa de um martingale é um submartingale pela desigualdade de Jensen. Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale (o que também se segue do fato de que ${X_{n}}^{2}-n$ é um martingale). Da mesma forma, uma função côncava de um martingale é um supermartingale.

## Martingales e tempos de parada

Um tempo de parada em relação a uma sequência de variáveis aleatórias $X_{1},X_{2},X_{3},...$ é uma variável aleatória $\tau$ com a propriedade de que para cada $t$, a ocorrência ou a não ocorrência do evento $\tau =t$ depende apenas dos valores de $X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}$. A intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular $t$, pode-se observar a sequência até o momento e dizer se é hora de parar. Um exemplo na vida real pode ser o tempo em que um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.
Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento $\tau =t$ seja probabilisticamente independente de $X_{t+1},X_{t+2},...$, mas não que isto seja completamente determinado pelo histórico do processo até o tempo $t$. Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em algumas das provas em que tempos de parada são usados.
Uma das propriedades básicas de martingales é que, se $(X_{t})_{t>0}$ for um (sub/super)martingale e $\tau$ for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente $(X_{t}^{\tau })_{t>0}$ definido por $X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}$ é também um (sub/super) martingale.
O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale em um tempo de parada é igual ao seu valor inicial.