# Batimentos

Quando duas ondas sonoras, com frequências diferentes, mas muito próximas, chegam aos nossos ouvidos simultaneamente, percebemos uma variação na intensidade do som resultante; ela aumenta e diminui alternadamente, produzindo um fenômeno chamado batimento. Esse batimento é resultante da interferência construtiva e destrutiva das duas ondas quando ficam em fase ou em oposição de fase. Se as duas frequências forem ficando próximas, o batimento ficará gradualmente mais lento e desaparecerá quando elas forem idênticas (uníssono). Os batimentos entre dois tons podem ser percebidos pelo ouvido humano até uma frequência de 15Hz. Quando as frequências são superiores a 15Hz os batimentos individuais não podem ser distinguidos.

## Superposição de duas ondas de mesma direção

Os resultados da experimentação científica sugerem que o cérebro determina a altura de um som complexo procurando um padrão harmônico entre os seus componentes. O ouvido parece conseguir calcular as razões entre as frequências com grande precisão. Se a diferença entre as séries harmônicas de dois sons é demasiadamente grande, os vários componentes não se fundem e são ouvidos separadamente. Se a separação entre duas notas é reduzida a um tom (por exemplo, um Dó e um Ré), ouve-se uma dissonância - um som áspero.

## Equação do batimento

O número de batimentos por segundo é dado pela diferença entre as frequências das duas ondas componentes:
    $f_{bat}=|f_{1}-f_{2}|\,$

## Dedução da equação do batimento

A equação do batimento pode parecer trivial, porém sua dedução não é tão simples. Suponhamos que as variações de pressão em certo local, produzidas por duas ondas sonoras de mesma amplitude s$_m$, sejam
    $s_{1}=s_{m}\cos w_{1}t$ e
    $s_{2}=s_{m}\cos \omega _{2}t$
Onde ω$_1$ > ω$_2$. De acordo com o princípio da superposição, a variação de pressão total é dada por
    $s=s_{1}+s_{2}=s_{m}\left(\cos \omega _{1}t+\cos \omega _{2}t\right)$
Usando a identidade trigonométrica
    $\cos a+\cos b=2\cos \left[{1 \over {2}}(a-b)\right]\cos \left[{1 \over {2}}(a+b)\right]$
Podemos escrever a variação de pressão total na forma
    $s=2s_{m}\cos \left[{1 \over {2}}(\omega _{1}-\omega _{2})t\right]\cos \left[{1 \over {2}}(\omega _{1}+\omega _{2})t\right]$
Definindo
    $w'={1 \over {2}}(\omega _{1}-\omega _{2})$ e
    $w={1 \over {2}}(\omega _{1}+\omega _{2})$
Podemos reescrever a equação na forma
    $s(t)=[2s_{m}\cos \omega 't]\cos \omega t$
Vamos supor que as frequências angulares ω$_1$ > ω$_2$ das ondas que se combinam são quase iguais. Nesse caso podemos considerar a equação acima como uma função cosseno cuja frequência angular é ω e cuja amplitude é o valor absoluto do fator entre colchetes.
Um máximo de amplitude ocorre sempre que cos ω't é igual a 1 ou -1, o que acontece duas vezes em cada repetição da função cosseno. Como cos ω't tem frequência angular ω', a frequência angular ω$_{bat}$ com qual ocorre o batimento é ω$_{bat}$ = 2ω'. Assim podemos escrever
    $w_{bat}=2w'=(2)({1 \over 2})(w_{1}-w_{2})=w_{1}-w_{2}$
Como $w=2\scriptstyle {\pi }f$ , esta equação também pode ser escrita na forma
    $f_{bat}=|f_{1}-f_{2}|\,$

## Aplicação

Normalmente os músicos prestam atenção nos batimentos enquanto afinam seus instrumentos. Enquanto escutam algum batimento, é porque o instrumento está desafinado, logo alteram a afinação, até que a frequência de batimento diminua e o batimento desapareça, deixando assim o instrumento afinado.
Para afinar seu instrumento, um músico pode recorrer a um diapasão, um aparelho metálico, que emite uma frequência (normalmente Lá - 440Hz). Enquanto o diapasão emite a frequência, o músico toca a corda de seu instrumento simultaneamente, ajustando a tensão da corda ele tenta aproximar as duas frequências, fazendo com que o batimento seja imperceptível.