# Relação simétrica

Uma relação simétrica é um tipo de relação binária. Um exemplo é a relação "é igual a", porque se $a=b$ é verdadeiro, então $b=a$ também é verdadeiro. Formalmente, uma relação binária $R$ sobre um conjunto $X$ é simétrica se e somente se:
    $\forall a,b\in X(aRb\Leftrightarrow bRa).$
Se $R^{-1}$ representa o inverso de $R$, então $R$ é simétrica se e somente se $R=R^{-1}$.
A simetria, juntamente com a reflexividade e a transitividade, são as três propriedades definidoras de uma relação de equivalência.

## Representação

Seja $R$ uma relação simétrica ou assimétrica aplicada em um conjunto $A$, então $R$ tem uma representação particular para cada modo de descrever uma relação binária.
| Notação | Relação simétrica | Relação assimétrica |
| Como pares ordenados | $\forall x,y\in A,\ (x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\in R$ | $\forall x,y\in A,\ (x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\not \in R$ |
| Como matriz de adjacência | Matriz $M\,$ cuja transposta $M^{t}\,$ é tal que $M^{t}=M\,.$ | Matriz $M\,$ cuja diagonal tem apenas zeros, isto é, $\forall i=\{1,...,n\},\;(a_{i,i})_{n\times n}=0,$ e também $M+M^{t}\,$ produz uma matriz simétrica. |
| Como grafo | É um grafo que pode ser representado como um grafo não direcionado. | É um grafo direcionado sem laços ou ciclos. |

## Exemplos
### Na matemática

* "é igual a" (igualdade) (enquanto "é menor que" não é simétrico)
* "é comparável a", para elementos de um conjunto parcialmente ordenado.
* "... e ... são ímpares"

### Fora da matemática

* "é casado com" (na maioria dos sistemas legais)
* "é um irmão totalmente biológico de"
* "é um homófono de"
* "é colega de trabalho de"
* "é companheiro de equipe de"

## Relação com relações assimétricas e antissimétricas

Por definição, uma relação não vazia não pode ser simétrica e assimétrica (onde se $a$ está relacionado a $b$, então $b$ não pode estar relacionado a $a$ (da mesma forma)). No entanto, uma relação pode ser nem simétrica nem assimétrica, que é o caso de "é menor ou igual a" e "presa em").
Simétrica e antissimétrica (onde a única maneira que $a$ pode estar relacionado a $b$ e $b$ estar relacionado a $a$ é se $a=b$) são na verdade independentes um do outro, como esses exemplos mostram.
Exemplos matemáticos :
| | Simétrica | Não simétrica |
| Antissimétrica | igualdade | "é menor ou igual a" |
| Não antissimétrica | congruência na aritmética modular | "é divisível por", sobre o conjunto de inteiros |
Exemplos não matemáticos :
| | Simétrica | Não simétrica |
| Antissimétrica | "é a mesma pessoa, e é casada" | "é o plural de" |
| Não antissimétrica | "é um irmão totalmente biológico de" | "presas em" |

### Assimétrica $\neq$ antissimétrica

A relação simétrica não é o oposto da antissimétrica.
Existem relações que são simétricas e antissimétricas ao mesmo tempo (como igualdade), outras que não são simétricas ou antissimétricas (como divisibilidade), outras que são simétricas mas não antissimétricas (como a relação de congruência do módulo de n) e outras que são antissimétricas, mas não simétricas (como a relação "menor que").

## Aspectos adicionais

Uma relação simétrica também transitiva e reflexiva é uma relação de equivalência.
Uma maneira de conceituar uma relação simétrica na teoria dos grafos é que uma relação simétrica é uma aresta, com os dois vértices da aresta sendo as duas entidades assim relacionadas. Assim, relações simétricas e grafos não direcionados são objetos combinativamente equivalentes.