# Teoria acústica

Teoria Acústica é um campo cientifico que relaciona a descrição de ondas sonoras. Ela é derivada da mecânica dos fluidos. Veja acústica para a abordagem da engenharia.
A propagação de ondas sonoras em fluidos (como a água) pode ser modelado por uma equação de continuidade (conservação da massa) e uma equação de movimento (conservação do momento) . Com algumas simplificações, em particular densidade constante, elas podem ser dadas como segue:
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial p}{\partial t}}+\kappa ~\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\qquad {\text{(Equilíbrio da massa)}}\\\rho _{0}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla p&=0\qquad {\text{(Equilíbrio do momento)}}\end{aligned}}$
onde $p(\mathbf {x} ,t)$ é a pressão acústica e $\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)$ é o vetor da velocidade de fluxo, $\mathbf {x}$ é o vetor das coordenadas espaciais $x,y,z$, $t$ é o tempo, $\rho _{0}$ é a densidade de massa estática do meio e $\kappa$ é o Módulo volumétrico do meio. O módulo volumétrico pode ser expressado nos termos da densidade e a velocidade do som no meio ($c_{0}$) como
    $\kappa =\rho _{0}c_{0}^{2}~.$
Se o campo velocidade de fluxo é irrotacional, $\nabla \times \mathbf {u} =\mathbf {0}$, então a equação da onda é a combinação desses dois conjuntos de equações de equilíbrio e pode ser expressado como
    ${\cfrac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}~\nabla ^{2}\mathbf {u} =0\qquad {\text{or}}\qquad {\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}~\nabla ^{2}p=0,$
onde nós usamos o vetor laplaciano, $\nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )$ . A equação da onda (e as equações de equilíbrio da massa e do momento) são frequentemente expressas nos termos de um potencial escalar $\varphi$ onde $\mathbf {u} =\nabla \varphi$. Neste caso a equação da onda é escrita como
    ${\cfrac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}~\nabla ^{2}\varphi =0$
e o momento de equilíbrio e o equilíbrio da massa são expressados como
    $p+\rho _{0}~{\cfrac {\partial \varphi }{\partial t}}=0~;~~\rho +{\cfrac {\rho _{0}}{c_{0}^{2}}}~{\cfrac {\partial \varphi }{\partial t}}=0~.$

## Derivadas de equações governantes

As derivadas das equações acima para ondas em um meio acústico são dadas abaixo.

### Conservação do momento

As equações para a conservação do momento linear para o meio fluido são
    $\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {g}$
onde $\mathbf {g}$ é a força do corpo por unidade de massa, $p$ é a pressão, e ${\boldsymbol {\tau }}$ é a desvio de tensão. Se ${\boldsymbol {\sigma }}$ é o [[Tensor tensão de Cauchy|tensor Cauchy], então
    $p:=-{\tfrac {1}{3}}~{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})~;~~{\boldsymbol {\sigma }}:=-p{\boldsymbol {I}}+{\boldsymbol {\tau }}$
onde ${\boldsymbol {I}}$ é um tensor de segunda ordem.
Nós fazemos diversas suposições para derivar a equação do momento de equilíbrio para um meio acústico. Essas suposições e as formas resultantes da equação de momento são destacadas abaixo.

#### Suposição 1: Fluídos Newtonianos

Em acústica, o meio do fluído é assumida como sendo Newtoniano. Para um fluido Newtoniano, o tensor de desvio de tensão é relacionado a velocidade de fluxo por
    ${\boldsymbol {\tau }}=\mu ~\left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right]+\lambda ~(\nabla \cdot \mathbf {u} )~{\boldsymbol {I}}$
onde $\mu$ é a viscosidade de cisalhamento e $\lambda$ é a viscosidade do módulo.
Assim sendo, a divergência de ${\boldsymbol {\tau }}$ é dada por
    ${\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}\equiv {\cfrac {\partial s_{ij}}{\partial x_{i}}}&=\mu \left[{\cfrac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\cfrac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\cfrac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]+\lambda ~\left[{\cfrac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}\right)\right]\delta _{ij}\\&=\mu ~{\cfrac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\mu ~{\cfrac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{i}}}+\lambda ~{\cfrac {\partial ^{2}u_{k}}{\partial x_{k}\partial x_{j}}}\\&=(\mu +\lambda )~{\cfrac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\mu ~{\cfrac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{i}^{2}}}\\&\equiv (\mu +\lambda )~\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mu ~\nabla ^{2}\mathbf {u} ~.\end{aligned}}$
Usando a identidade $\nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\nabla \times \nabla \times \mathbf {u}$, nós temos
    $\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=(2\mu +\lambda )~\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu ~\nabla \times \nabla \times \mathbf {u} ~.$
As equações de conservação do momento então podem ser escritas como
    $\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+(2\mu +\lambda )~\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu ~\nabla \times \nabla \times \mathbf {u} +\rho \mathbf {g}$

#### Suposição 2: Fluxo irrotacional

Para a maioria dos problemas de acústica nós assumimos que o fluxo é irrotacional, isso é, a vorticidade é zero. Neste caso
    $\nabla \times \mathbf {u} =0$
e a equação de momento pode ser reduzida para
    $\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+(2\mu +\lambda )~\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\rho \mathbf {g}$

#### Suposição 3: Sem força de corpo

Outro suposição frequentemente feita é de que o efeito das forças do corpo no meio do fluido é negligenciável. A equação de momento então simplifica ainda mais para
    $\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+(2\mu +\lambda )~\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )$

#### Suposição 4: Sem forças viscosas

Adicionalmente, se nós assumimos que não há forças viscosas no meio (as viscosidades de massa e cisalhamento são zero), a equação do momento assume a forma
    $\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p$

#### Suposição 5: Pequenas perturbações

Uma importante suposição de simplificação para equações de onda é que a amplitude de perturbação das grandezas de campo é pequena. Esta suposição nos leva para a equação linear ou equação de pequenos sinais acústicos de onda. Então nós podemos expressar as variáveis como a soma do (média de tempo) campo médio ($\langle \cdot \rangle$) que varia no espaço e um pequeno campo flutuante (${\tilde {\cdot }}$) que varia no espaço e tempo. Que é
    $p=\langle p\rangle +{\tilde {p}}~;~~\rho =\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}~;~~\mathbf {u} =\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}$
e
    ${\cfrac {\partial \langle p\rangle }{\partial t}}=0~;~~{\cfrac {\partial \langle \rho \rangle }{\partial t}}=0~;~~{\cfrac {\partial \langle \mathbf {u} \rangle }{\partial t}}=\mathbf {0} ~.$
Então a equação de momento pode ser expressa como
    $\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\left[{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {u} }}}{\partial t}}+\left[\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}\right]\cdot \nabla \left[\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}\right]\right]=-\nabla \left[\langle p\rangle +{\tilde {p}}\right]$
Como as flutuações são assumidas como pequenas, produtos dos termos flutuantes podem ser negligenciados (para primeira ordem) e nós temos
    ${\begin{aligned}\langle \rho \rangle ~{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {u} }}}{\partial t}}&+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\left[\langle \mathbf {u} \rangle \cdot \nabla \langle \mathbf {u} \rangle \right]+\langle \rho \rangle \left[\langle \mathbf {u} \rangle \cdot \nabla {\tilde {\mathbf {u} }}+{\tilde {\mathbf {u} }}\cdot \nabla \langle \mathbf {u} \rangle \right]\\&=-\nabla \left[\langle p\rangle +{\tilde {p}}\right]\end{aligned}}$

#### Suposição 6: Meio Homogêneo

Em seguida, assumidos que o meio é homogêneo; no sentido de que as variáveis de média do tempo $\langle p\rangle$ e $\langle \rho \rangle$ tem gradientes nulos, que é,
    $\nabla \langle p\rangle =0~;~~\nabla \langle \rho \rangle =0~.$
A equação momento então se torna
    $\langle \rho \rangle ~{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {u} }}}{\partial t}}+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\left[\langle \mathbf {u} \rangle \cdot \nabla \langle \mathbf {u} \rangle \right]+\langle \rho \rangle \left[\langle \mathbf {u} \rangle \cdot \nabla {\tilde {\mathbf {u} }}+{\tilde {\mathbf {u} }}\cdot \nabla \langle \mathbf {u} \rangle \right]=-\nabla {\tilde {p}}$

#### Suposição 7: Meio em repouso

Neste estágio nos assumimos que o meio está em repouso, o que implica, que a velocidade média de fluxo é zero, isto é, $\langle \mathbf {u} \rangle =0$. Então o balanço do momento se reduz para
    $\langle \rho \rangle ~{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {u} }}}{\partial t}}=-\nabla {\tilde {p}}$
Deixando cair os tis e usando $\rho _{0}:=\langle \rho \rangle$, nós obtemos a comumente usada forma da equação de momento
    $\rho _{0}~{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla p=0~.$

### Conservação da massa

A equação para a conservação da massa em um volume de fluido (sem nenhuma fonte de massa ou sumidouro) é dada por
    ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$
onde $\rho (\mathbf {x} ,t)$ é a densidade da massa do fluido e $\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)$ a velocidade de fluxo.
A equação para a conservação de massa para médio acústico pode também ser derivado em uma maneira similar para aquela usada para a conservação do momento.

#### Suposição 1: Pequenas perturbações

Da suposição de pequenas perturbações nós temos
    $p=\langle p\rangle +{\tilde {p}}~;~~\rho =\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}~;~~\mathbf {u} =\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}$
e
    ${\cfrac {\partial \langle p\rangle }{\partial t}}=0~;~~{\cfrac {\partial \langle \rho \rangle }{\partial t}}=0~;~~{\cfrac {\partial \langle \mathbf {u} \rangle }{\partial t}}=\mathbf {0} ~.$
Então a equação da massa pode ser escrita como
    ${\frac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial t}}+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\nabla \cdot \left[\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}\right]+\nabla \left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\cdot \left[\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}\right]=0$
Se nós negligenciarmos esses termos da primeira ordem nas flutuações, a equação da massa se torna
    ${\frac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial t}}+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\nabla \cdot \langle \mathbf {u} \rangle +\langle \rho \rangle \nabla \cdot {\tilde {\mathbf {u} }}+\nabla \left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\cdot \langle \mathbf {u} \rangle +\nabla \langle \rho \rangle \cdot {\tilde {\mathbf {u} }}=0$

#### Suposição 2: Meio homogêneo

Em seguida nós assumimos que o meio é homogêneo, ou seja,
    $\nabla \langle \rho \rangle =0~.$
Então a equação de equilíbrio da massa toma a forma
    ${\frac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial t}}+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\nabla \cdot \langle \mathbf {u} \rangle +\langle \rho \rangle \nabla \cdot {\tilde {\mathbf {u} }}+\nabla {\tilde {\rho }}\cdot \langle \mathbf {u} \rangle =0$

#### Suposição 3: Meio em repouso

Neste estágio nós assumimos que o meio está em repouso, ou seja, $\langle \mathbf {u} \rangle =0$. Então a equação de equilíbrio da massa pode ser expressada como
    ${\frac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial t}}+\langle \rho \rangle \nabla \cdot {\tilde {\mathbf {u} }}=0$

#### Suposição 4: Gás ideal, adiabático, reversível

Para fechar o sistema de equações nós precisamos de uma equação de estado para a pressão. Para fazer aquilo nós assumimos que o meio é um gás ideal e todas as ondas acústicas comprimem o meio em um adiabático e reversível maneira. A equação de estado pode então ser expressa na forma de uma equação diferencial:
    ${\cfrac {dp}{d\rho }}={\cfrac {\gamma ~p}{\rho }}~;~~\gamma :={\cfrac {c_{p}}{c_{v}}}~;~~c^{2}={\cfrac {\gamma ~p}{\rho }}~.$
onde $c_{p}$ é o calor específico em pressão constante, $c_{v}$ é o calor específico em volume constante, e $c$ é a velocidade da onda. O valor de $\gamma$ é 1.4 se o meio acústico é ar.
Para pequenas perturbações
    ${\cfrac {dp}{d\rho }}\approx {\cfrac {\tilde {p}}{\tilde {\rho }}}~;~~{\cfrac {p}{\rho }}\approx {\cfrac {\langle p\rangle }{\langle \rho \rangle }}~;~~c^{2}\approx c_{0}^{2}={\cfrac {\gamma ~\langle p\rangle }{\langle \rho \rangle }}~.$
onde $c_{0}$ é a velocidade do som no meio.
Sendo assim,
    ${\cfrac {\tilde {p}}{\tilde {\rho }}}=\gamma ~{\cfrac {\langle p\rangle }{\langle \rho \rangle }}=c_{0}^{2}\qquad \implies \qquad {\cfrac {\partial {\tilde {p}}}{\partial t}}=c_{0}^{2}{\cfrac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial t}}$
O equilíbrio de massa então pode ser escrito como
    ${\cfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial {\tilde {p}}}{\partial t}}+\langle \rho \rangle \nabla \cdot {\tilde {\mathbf {u} }}=0$
Deixando cair os tis e definindo $\rho _{0}:=\langle \rho \rangle$ nos da a comumente utilizada expressão para o equilíbrio de massa em um meio acústico:
    ${\frac {\partial p}{\partial t}}+\rho _{0}~c_{0}^{2}~\nabla \cdot \mathbf {u} =0~.$

## Equações governantes em coordenadas cilíndricas

Se nós usarmos um sistema de coordenadas cilíndricas $(r,\theta ,z)$ com vetores base $\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{z}$, então o gradiente de $p$ e a divergência de $\mathbf {u}$ são dados por
    ${\begin{aligned}\nabla p&={\cfrac {\partial p}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}~{\cfrac {\partial p}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial p}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\\\nabla \cdot \mathbf {u} &={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}$
onde a velocidade de fluxo pode ser expressada como $\mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{z}~\mathbf {e} _{z}$.
A equação para a conservação do momento pode ser escrita como
    $\rho _{0}~\left[{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial t}}~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial t}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial t}}~\mathbf {e} _{z}\right]+{\cfrac {\partial p}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}~{\cfrac {\partial p}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial p}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}=0$
Em termos de componentes, essas três equações para a conservação do momento em coordenadas cilíndricas são
    $\rho _{0}~{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial t}}+{\cfrac {\partial p}{\partial r}}=0~;~~\rho _{0}~{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial t}}+{\cfrac {1}{r}}~{\cfrac {\partial p}{\partial \theta }}=0~;~~\rho _{0}~{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial t}}+{\cfrac {\partial p}{\partial z}}=0~.$
A equação para a conservação da massa pode similarmente ser escrita em coordenadas cilíndricas como
    ${\cfrac {\partial p}{\partial t}}+\kappa \left[{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right]=0~.$

### Equações acústicas harmônicas temporais em coordenadas cilíndricas

As equações acústicas para a conservação do momento e da conservação de massa são frequentemente expressas no tempo na uma forma harmônica (em frequência fixa). Neste caso, as pressões e a velocidade de fluxo são assumidas como funções harmônicas de tempo na forma
    $p(\mathbf {x} ,t)={\hat {p}}(\mathbf {x} )~e^{-i\omega t}~;~~\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)={\hat {\mathbf {u} }}(\mathbf {x} )~e^{-i\omega t}~;~~i:={\sqrt {-1}}$
onde $\omega$ é a frequencia. A substituição dessas expressões em equações governantes em coordenadas cilíndricas nos da a forma de frequencia fixa da conservação de momento
    ${\cfrac {\partial {\hat {p}}}{\partial r}}=i\omega ~\rho _{0}~{\hat {u}}_{r}~;~~{\cfrac {1}{r}}~{\cfrac {\partial {\hat {p}}}{\partial \theta }}=i\omega ~\rho _{0}~{\hat {u}}_{\theta }~;~~{\cfrac {\partial {\hat {p}}}{\partial z}}=i\omega ~\rho _{0}~{\hat {u}}_{z}$
e a forma de frequencia fixa da conservação de massa
    ${\cfrac {i\omega {\hat {p}}}{\kappa }}={\cfrac {\partial {\hat {u}}_{r}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial {\hat {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}+{\hat {u}}_{r}\right)+{\cfrac {\partial {\hat {u}}_{z}}{\partial z}}~.$

#### Caso Especial: Sem dependência no z

Nesse caso especial onde as quantidades de campo são independentes da coordenada z nós podemos eliminar $u_{r},u_{\theta }$ para conseguir
    ${\frac {\partial ^{2}p}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial p}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}~{\frac {\partial ^{2}p}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}\rho _{0}}{\kappa }}~p=0$
Assumindo que a solução para está equação possa ser escrita como
    $p(r,\theta )=R(r)~Q(\theta )$
nós podemos escrever a equação diferencial parcial como
    ${\cfrac {r^{2}}{R}}~{\cfrac {d^{2}R}{dr^{2}}}+{\cfrac {r}{R}}~{\cfrac {dR}{dr}}+{\cfrac {r^{2}\omega ^{2}\rho _{0}}{\kappa }}=-{\cfrac {1}{Q}}~{\cfrac {d^{2}Q}{d\theta ^{2}}}$
O lado esquerdo não é uma função de $\theta$ enquanto que o lado direito não é uma função de $r$. Consequentemente,
    $r^{2}~{\cfrac {d^{2}R}{dr^{2}}}+r~{\cfrac {dR}{dr}}+{\cfrac {r^{2}\omega ^{2}\rho _{0}}{\kappa }}~R=\alpha ^{2}~R~;~~{\cfrac {d^{2}Q}{d\theta ^{2}}}=-\alpha ^{2}~Q$
onde $\alpha ^{2}$ é uma constante. Usando a substituição
    ${\tilde {r}}\leftarrow \left(\omega {\sqrt {\cfrac {\rho _{0}}{\kappa }}}\right)r=k~r$
nós temos
    ${\tilde {r}}^{2}~{\cfrac {d^{2}R}{d{\tilde {r}}^{2}}}+{\tilde {r}}~{\cfrac {dR}{d{\tilde {r}}}}+({\tilde {r}}^{2}-\alpha ^{2})~R=0~;~~{\cfrac {d^{2}Q}{d\theta ^{2}}}=-\alpha ^{2}~Q$
A equação a esquerda é uma Equação de Bessel, que tem a solução geral
    $R(r)=A_{\alpha }~J_{\alpha }(k~r)+B_{\alpha }~J_{-\alpha }(k~r)$
onde $J_{\alpha }$ é a função de Bessel cilíndrica de primeiro tipo e $A_{\alpha },B_{\alpha }$ são constantes indeterminadas. A equação a direita possui a solução geral
    $Q(\theta )=C_{\alpha }~e^{i\alpha \theta }+D_{\alpha }~e^{-i\alpha \theta }$
onde $C_{\alpha },D_{\alpha }$ são constantes indeterminadas. Então a solução para a equação de onda acústica é
    $p(r,\theta )=\left[A_{\alpha }~J_{\alpha }(k~r)+B_{\alpha }~J_{-\alpha }(k~r)\right]\left(C_{\alpha }~e^{i\alpha \theta }+D_{\alpha }~e^{-i\alpha \theta }\right)$
Condições de limite são necessárias neste estágio para determinar $\alpha$ e as outras constantes indeterminadas.