# Soma telescópica

O nome soma telescópica deriva da função do telescópio, ou seja , assim como este objeto encurta a enorme distancia entre nossos olhos e os corpos celestes , esta propriedade encurta o caminho entre a soma inicial de muitas parcelas e o cálculo do resultado da mesma.
Então o objetivo das somas telescópicas é facilitar o trabalho, de modo que não seja necessário desenvolver uma quantidade infinita de termos ou simplificar por muito tempo uma cadeia de adendo
A totalidade dos termos não será expressa, tornando-se necessária apenas para a demonstração do resultado, mas não para o processo normal de cálculo.
O importante é notar a convergência das séries numéricas. Às vezes, o argumento da soma não será expresso telescopicamente. Nesses casos, a implementação de métodos alternativos de fatoração é muito comum. Veja propriedades auxiliares em somatório.
Em matemática, esta soma segue um dos seguintes padrões:
    $\sum _{k=1}^{N}(F_{k}-F_{k+1})=F_{1}-F_{n+1}\,$
Ou
    $\sum _{k=1}^{N}(F_{k+1}-F_{k})=F_{n+1}-F_{1}\,$
Ainda, de forma similar:
    $(a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+(a_{4}-a_{3})+\ldots +(a_{n}-a_{n-1})\,$
Esta soma pode ser simplificada:
    $(a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+(a_{4}-a_{3})+\ldots +(a_{n}-a_{n-1})=a_{n}-a_{1}\,$
Naturalmente qualquer seqüência de termos $b_{n}\,$ pode ser escrita como uma soma telescópica:
    $b_{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+(b_{3}-b_{2})+\ldots +(b_{n}-b_{n-1})\,$

## Desenvolvimento

Dessa forma:
    ${\begin{aligned}\Delta \ F_{1}&=F_{2}-F_{1}\\\Delta \ F_{2}&=F_{3}-F_{2}\\\Delta \ F_{3}&=F_{4}-F_{3}\\&\ldots \\\Delta \ F_{n-1}&=F_{n}-F_{n-1}\\\Delta \ F_{n}&=F_{n+1}-F_{n}\\\end{aligned}}$
Somando todas as equações membro a membro:
    $\Delta F_{1}+\Delta F_{2}+\ldots +\Delta F_{n}=F_{2}-F_{1}+F_{3}-F_{2}+\ldots +F_{n}-F_{n-1}+F_{n+1}-F_{n}\,$
Efetuando os devidos cancelamentos, temos:
    $\Delta F_{1}+\Delta F_{2}+\ldots +\Delta F_{n}=F_{n+1}-F_{1}\,$
Portanto:
    $\sum _{k=1}^{N}(F_{k+1}-F_{k})=F_{n+1}-F_{1}\,$

## Demonstração

Ao desenvolver a soma, a eliminação de fatores é bem obvia. O primeiro caso será tomado como exemplo, sendo o processo do segundo feito de forma análoga.
Para limite = 3:
    $\sum _{k=1}^{3}(F_{k}-F_{k+1})\,$
·$\ X_{1}(F_{1}-F_{1+1})=F_{1}-F_{2}\,$
·$\ X_{2}(F_{2}-F_{2+1})=F_{2}-F_{3}\,$
·$\ X_{3}(F_{3}-F_{3+1})=F_{3}-F_{4}\,$
Expressando a soma dos elementos descritos:
    $\sum _{k=1}^{3}(F_{k}-F_{k+1})=X_{1}+X_{2}+X_{3}=F_{1}-F_{2}+F_{2}-F_{3}+F_{3}-F_{4};\,$
Observe que os termos $F_{2}\,$ e $F_{3}\,$, são descritos junto com seus opostos, sendo sua simplificação inevitável.Da mesma forma é notado que os termos $F_{1}\,$ e $F_{4}\,$ se mantem.
Significa que $F_{4}\,$ é o termo genérico $F_{k+1}\,$. Demonstrando a igualdade:
    $\sum _{k=1}^{N}(F_{k}-F_{k+1})=F_{1}-F_{n+1}\,$
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
De forma análoga temos como exemplo o segundo caso:
Para limite = 5:
    $\sum _{k=1}^{5}(F_{k+1}-F_{k})\,$
·$\ X_{1}(F_{1+1}-F_{1})=F_{2}-F_{1}\,$
·$\ X_{2}(F_{2+1}-F_{2})=F_{3}-F_{2}\,$
·$\ X_{3}(F_{3+1}-F_{3})=F_{4}-F_{3}\,$
·$\ X_{4}(F_{4+1}-F_{4})=F_{5}-F_{4}\,$
·$\ X_{5}(F_{5+1}-F_{5})=F_{6}-F_{5}\,$
Expressando a soma dos elementos descritos:
    $\sum _{k=1}^{5}(F_{k}-F_{k+1})=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5}=F_{2}-F_{1}+F_{3}-F_{2}+F_{4}-F_{3}+F_{5}-F_{4}+F_{6}-F_{5};\,$
Observe que os termos $F_{2},F_{3},F_{4}\,$ e $F_{5}\,$, são descritos junto com seus opostos, sendo sua simplificação inevitável.Da mesma forma é notado que os termos $F_{1}\,$ e $F_{6}\,$ se mantem.
Significa que $F_{6}\,$ é o termo genérico $F_{k+1}\,$. Demonstrando a igualdade:
    $\sum _{k=1}^{N}(F_{k+1}-F_{k})=F_{n+1}-F_{1}\,$

## Exemplos

Observe que o denominador segue o padrão: $k(k+1):k\in \mathbb {N} \,$.Logo, esta soma pode ser escrita como:
    ${\frac {1}{1(2)}}+{\frac {1}{2(3)}}+{\frac {1}{3(4)}}+\ldots +{\frac {1}{999(1000)}}=\sum _{k=1}^{999}{\frac {1}{k(k+1)}}\,$
A ideia é usar a propriedade telescopica para facilitar o calculo , assim , buscamos escrever o termo ${\frac {1}{k(k+1)}}\,$ como a diferença de outros dois. Então, ${\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {k+1-k}{k(k+1)}}={\frac {k+1}{k(k+1)}}-{\frac {k}{k(k+1)}}={\frac {1}{k}}-{\frac {1}{(k+1)}}\,$
Assim:
    ${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{999}{\frac {1}{k(k+1)}}&=\sum _{k=1}^{999}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)\\&=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)\\&=1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}\right)-{\frac {1}{k+1}}\\&=1-{\frac {1}{k+1}}\end{aligned}}$
Portanto:
    $\sum _{k=1}^{999}{\frac {1}{k(k+1)}}=1-{\frac {1}{k+1}}=1-{\frac {1}{999+1}}={\frac {999}{1000}}\,$.
Desenvolvendo a soma temos: $(2^{3}-2^{4})+(2^{4}-2^{5})+(2^{5}-2^{6})+\ldots +(2^{10}-2^{11})\,$
Vemos que os termos de $2^{4}\,$ ate $2^{10}\,$ se cancelam e portanto o calculo pode ser resumido a:
    $\sum _{n=3}^{10}2^{n}-2^{n+1}=2^{3}-2^{11}=-2040\,$
Usando a propriedade telescópica não é necessário o desenvolvimento , apenas perceber que se trata de uma soma telescópica, chegando ao resultado mais rápido.
A princípio, inverte-se a equação que define $\ a_{n+1}\,$ para desmembra-la em duas frações como veremos a seguir:
    ${\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {1+na_{n}}{a_{n}}}\Rightarrow {\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {na_{n}}{a_{n}}}\Rightarrow {\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {1}{a_{n}}}+n\,$
Fazendo $b_{n}={\frac {1}{a_{n}}}\,$
    $b_{n+1}=b_{n}+n$
Desenvolvendo os termos temos:
    ${\begin{aligned}b_{2}&=b_{1}+1\\b_{3}&=b_{2}+2\\&\ldots \\b_{2011}&=b_{2010}+2010\\b_{2012}&=b_{2011}+2011\\\end{aligned}}$
Isolando as variaveis tem-se:
    ${\begin{aligned}b_{2}-b_{1}&=1\\b_{3}-b_{2}&=2\\&\ldots \\b_{2011}-b_{2010}&=2010\\b_{2012}-b_{2011}&=2011\\\end{aligned}}$
Somando todas as equações:
$\ b_{2}-b_{1}+b_{3}-b_{2}+\ldots +b_{2011}-b_{2010}+b_{2012}-b_{2011}=1+2+\ldots +2010+2011\,$
Nota-se que pela propriedade da soma telescópica :
$\ b_{2012}-b_{1}=1+2+\ldots +2010+2011\,$
Por propriedade de Progressão Aritmetica:
$\ b_{2012}-b_{1}={\frac {2012*2011}{2}}\,$
$b_{1}={\frac {1}{a_{1}}}\rightarrow b_{1}=1\,$. Por definição.
Portanto $b_{2012}=1+{\frac {2012*2011}{2}}\,$
Logo, $a_{2012}={\frac {1}{1+1006*2011}}$.

## Somas telescópicas e Progressão aritmética

Desenvolvendo os termos:
    ${\begin{aligned}\ i_{2}&=i_{1}+1\\\ i_{3}&=i_{2}+1\\&\ldots \\\ i_{n}&=i_{n-1}+1\\\ i_{n+1}&=i_{n}+1\\\end{aligned}}$
Se fizermos a subtração de termos consecutivos afirmamos a sentença do enunciado.
    ${\begin{aligned}\ i_{2}-i_{1}&=1\\\ i_{3}-i_{2}&=1\\&\ldots \\\ i_{n}-i_{n-1}&=1\\\ i_{n+1}-i_{n}&=1\\\end{aligned}}$
Somando as equações da segunda sequencia apresentada teremos:
    $\ i_{2}-i_{1}+i_{3}-i_{2}+\ldots +i_{n}-i_{n-1}+i_{n+1}-i_{n}=1+1+\ldots +1+1\,$
A partir da propriedade telescopica ,cancelamos os termos que aparecem acompanhados de seus opostos e obtemos:
    $\ i_{n+1}-i_{1}=1+1+\ldots +1+1\,$
    $\ i_{n+1}-i_{1}=n*1\,$
Como trata-se de uma PA , por este método definimos a formula do termo geral:
    $\ i_{n+1}=n*1+i_{1}\,$
A soma da PA ,entretanto, segue a seguinte forma:
    ${\frac {(i_{1}+i_{n+1})n}{2}}\,$
Pois se analisarmos que :
    ${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n+1}i&=\sum _{i=1}^{n}i+i_{n+1}\\\ i_{n+1}&=n*1+i_{n}\\\sum _{i=1}^{n}i&=\sum _{i=1}^{n-1}i+i_{n}\\\therefore \sum _{i=1}^{n+1}i&=\sum _{i=1}^{n-1}i+i_{n}+n*1+i_{n}\\\end{aligned}}$
Fica evidente a duplicidade dos termos na soma, logo , deve-se dividir por 2.
    $\ a_{n+1}=a_{n}+{\frac {1}{2}}\,$
    $\ a_{n+1}-a_{n}={\frac {1}{2}}=\,$ cte. (Progressão aritmética de razão ${\frac {1}{2}}\,$)
Desenvolvendo os termos, temos:
    ${\begin{aligned}\ a_{n+1}-a_{n}&={\frac {1}{2}}\\\ a_{n}-a_{n-1}&={\frac {1}{2}}\\\ a_{n-1}-a_{n-2}&={\frac {1}{2}}\\&\ldots \\\ a_{2}-a_{1}&={\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}$
Somando-se as equações e utilizando a propriedade da soma telescópica:
    $\ a_{n+1}-a_{1}=n{\frac {1}{2}}\,$
Logo, a formula do termo geral será:
    $\ a_{n+1}=a_{1}+n{\frac {1}{2}}\,$
Desta forma,
    ${\begin{aligned}\ n+1=101;n=100.\\\ \\\ a_{101}&=a_{1}+n{\frac {1}{2}}\\\ a_{101}&=2+100{\frac {1}{2}}\\\ a_{101}&=52\\\end{aligned}}$

## A série telescópica

Define-se série telescópica como o limite da soma telescópica:
    $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n+1}-a_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n+1}-a_{1}=\lim _{n\to \infty }a_{n}-a_{1}$
A série telescópica converge, portanto, se e somente se existe o limite $\lim _{n\to \infty }a_{n}\,$