# Anel artiniano

Em álgebra abstrata, um anel artiniano é um anel que satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais. Eles também são chamados de anéis de Artin e são assim chamados em homenagem a Emil Artin, que foi o primeiro a descobrir que a condição de cadeia descendente para ideias generaliza simultaneamente os anéis finitos e anéis que são espaços vetoriais de dimensão finita sobre um corpo. A definição de anéis artinianos pode ser reformulada trocando-se a condição de cadeia descendente por uma noção equivalente: a condição minimal.
Um anel é artiniano a esquerda se ele satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais à esquerda, artiniano à direita se satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais à direita e artiniano se ele é artiniano à direita e à esquerda. Para anéis comutativos as definições à esquerda e à direita coincidem, mas em geral elas são distintas uma da outra.
O Teorema de Artin–Wedderburn caracteriza todos os anéis simples artinianos como anéis matriciais sobre um anel com divisão. Isso implica que um anel simples é artiniano à esquerda se e somente se ele é artiniano à direita.
Embora a condição de cadeia descendente pareça ser dual à condição de cadeia ascendente, em anéis ela é de fato a condição mais forte. Especificamente, uma consequência do teorema de Akizuki–Hopkins–Levitzki é que um anel artiniano à esquerda (à direita) é automaticamente um anel noetheriano à esquerda (à direita). Isso não é verdade para módulos em geral, ou seja, um módulo artiniano não precisa ser um módulo noetheriano.

## Exemplos

* Um domínio de integridade artiniano é um corpo.
* Um anel com uma quantidade finita de ideais, digamos à esquerda, é artiniano à esquerda. Em particular, um anel finito (tal como $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$) é artiniano à esquerda e à direita.
* Seja $k$ um corpo. Então $k[t]/(t^{n})$ é artiniano para todo inteiro positivo Artinian $n$.
* Se $I$ é um ideal não nulo de um domínio de Dedekind $A,$ então $A/I$ é um anel artiniano principal.
* Para cada $n\geq 1$, o anel completo de matrizes $M_{n}(R)$ sobre um anel artiniano à esquerda (respectivamente noetheriano à esquerda) $R$ é artiniano à esqueda (respectivamente noetheriano à esquerda).
O anel dos inteiros $\mathbb {Z}$ é um anel noetheriano que não é artiniano.

## Módulos sobre anéis artinianos

Seja $M$ um módulo à esquerda sobre um anel artiniano. Então as seguintes condições são equivalentes:
* $M$ é finitamente gerado
* $M$ tem comprimento finito
* $M$ é noetheriano
* $M$ é artiniano.

## Anéis comutativos artinianos

Seja A um anel comutativo noetheriano com unidade. Então as seguintes condições são equivalentes.
* A é artiniano.
* A é um produto finito de aneis locais artinianos comutativos.
* A / nil(A) é um anel semisimples, onde nil(A) é o nilradical de A$^[$.
* Todo módulo finitamente gerado sobre A tem comprimento finito. (ver acima)
* A tem dimensão zero. (Em particular, o nilradical é o radical de Jacobson pois os ideias primos são maximais.)
* $\operatorname {Spec} A$ é finito e discreto.
* $\operatorname {Spec} A$ é discreto.
Seja k um corpo e A uma k-álgebra finitamente gerada. Então A é artiniana se e somente se A é finitamente gerada como k-módulo.
Um anel local artiniano é completo. Um quociente e uma localização de um anel artiniano é artiniano.