# Fórmulas de Viète

Em matemática, as fórmulas de Viète são fórmulas que relacionam os coeficientes de um polinômio a somas e produtos de suas raízes. Esta denominação deve-se a François Viète, e são usadas especialmente em álgebra.

## Leis
### Fórmulas básicas

Um polinômio geral qualquer de grau n
    $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\,$
(sendo os coeficientes números reais ou complexos e a$_n$ ≠ 0) tem, conforme estabelece o teorema fundamental da álgebra, n raízes complexas (não necessariamente distintas) x$_1$, x$_2$, ..., x$_n$. As fórmulas de Vieta relacionam os coeficientes do polinômio { a$_k$ } com somas e produtos (positivos ou negativos) de suas raízes { x$_i$ } como segue:
    ${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\tfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}$
Estabelecido de forma equivalente, o (n − k)-ésimo coeficiente a$_{n−k}$ é relacionado à soma acrescida de sinal de todos os possíveis subprodutos de raízes, tomando k por exemplo:
    $\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}$
para k = 1, 2, ..., n (onde os índices i$_k$ são expressos em ordem crescente, a fim de garantir que cada subproduto de raízes seja considerado apenas uma vez).

### Generalização para anéis

As fórmulas de Viète são frequentemente usadas com polinômios com coeficientes em um domínio de integridade R. Neste caso os quocientes $a_{i}/a_{n}$ pertencem ao anel de frações de R (ou em R mesmo se $a_{n}$ é inversível em R) e as raízes $x_{i}$ são tomadas em um corpo algebricamente fechado. Tipicamente, R é o anel dos inteiros, o campo das frações é o campo dos números racionais e o campo algebricamente fechado é o campo dos números complexos.
As fórmulas de Viète são fudamentais nestas situações, porque fornecem relações entre as raízes sem a necessidade de as determinar.
Para polinômios sobre um anel comutativo que não é um domínio de integridade, as fórmulas de Viète são válidas somente quando $a_{n}$ é um zero não-divisor e $P(x)$ é fatorado como $a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\dots (x-x_{n})$. Por exemplo, no anel dos inteiros módulo 8, o polinômio $P(x)=x^{2}-1$ tem quatro raízes: 1, 3, 5 e 7. As fórmulas de Viète não são válidas se, por exemplo, $x_{1}=1$ e $x_{2}=3$, porque $P(x)\neq (x-1)(x-3)$. Contudo, $P(x)$ fatora como $(x-1)(x-7)$ e como $(x-3)(x-5)$, e as fórmulas de Viète são válidas se fixamos $x_{1}=1$ e $x_{2}=7$ ou $x_{1}=3$ e $x_{2}=5$.

## Exemplos gerais

Fórmulas de Viète aplicadas a polinômios quadráticos e cúbicos:
Para polinômios de segundo grau $P(x)=ax^{2}+bx+c$, as raízes $x_{1},x_{2}$ da equação $P(x)=0$ satisfazem
    $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.$
A primeira destas equações pode ser usada para encontrar o mínimo (ou máximo) de P.
Para o polinômio cúbico $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$, as raízes $x_{1},x_{2},x_{3}$ da equação $P(x)=0$ satisfazem
    $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}.$

## Prova

As fórmulas de Viète podem ser provadas por expansão da igualdade
    $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})$
que é verificada como válida sendo $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ todas raízes deste polinômio, expandindo esta expressão e identificando os coeficientes de cada potência de $x.$
Formalmente, expandindo $(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n}),$ os termos são exatamente $(-1)^{n-k}x_{1}^{b_{1}}\cdots x_{n}^{b_{n}}x^{k},$ onde $b_{i}$ é 0 ou 1, sendo $x_{i}$ incluído no produto ou não, e k é o número de $x_{i}$ que são excluídos, sendo o número total de fatores no produto n (contando $x^{k}$ com multiplicidade k) – havendo n escolhas binárias (inclusive $x_{i}$ ou x), há $2^{n}$ termos – geometricamente, estes podem ser entendidos como os vértices de um hipercubo. Agrupando estes termos por grau é obtido o polinômio simétrico elementar em $x_{i}$ – para x$^k$, todos os distintos k-ésimos produtos de $x_{i}.$