# Equação de Born-Mayer

A equação de Born-Mayer permite calcular de forma teórica a energia reticular ($U_{r}$) de um cristal iônico. Foi deduzida pelo físico alemão Max Born e pelo químico norte-americano Joseph Edward Mayer em 1932, como um aprimoramento da equação de Born-Landé deduzida pelo mesmo Max Born e por Alfred Landé em 1918. A equação da energia reticular é a seguinte:
$U_{r}=-K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r_{0}}}\left(1-{\frac {\rho }{r_{0}}}\right)$
denotando-se por:
* $N_{A}$ o número de Avogadro;
* $M$ a constante de Madelung, relativa à geometria da rede cristalina;
* $z^{+}$ a carga dos cátions numa fórmula mínima em unidades de carga elementar;
* $z^{-}$ a carga dos ânions numa fórmula mínima em unidades de carga elementar;
* $e$ a carga elementar;
* $K_{0}$ a constante eletrostática do vácuo;
* $r_{0}$ a distância entre os núcleos atômicos dos íons mais próximos (m);
* $\rho$ um coeficiente que quantifica a repulsão entre nuvens eletrônicas.

## Dedução
### Termo de atração e repulsão eletrostática (energia de Madelung)

$U_{atr}=-K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r_{0}}}$
Nesse termo, incluem-se todas as atrações e repulsões eletrostáticas entre íons: atrações entre cargas de diferente sinais e repulsões entre cargas de mesmo sinal; contabilizam-se as interações entre todos os íons, não apenas entre os mais próximos. É o mesmo termo utilizado na equação de Born-Landé e foi obtido em 1918 pelo físico alemão Erwin Madelung.

### Termo de repulsão eletrostática

Born e Mayer deduziram essa equação a partir de considerações da mecânica quântica. O termo equivalente ao da equação de Born-Landé havia sido obtido com base no modelo atômico de Bohr, que supunha que as densidade eletrônica ao redor do núcleo atômico eram homogênia. Com o desenvolvimento da mecânica quântica Schrödinger criou um novo modelo atômico, considerando o elétron como uma onda. Esse modelo indica que as densidade eletrônica decai exponencialmente à medida que a distância ao núcleo atômico aumenta. Devido a isso, a contribuição da repulsão à energia reticular também deve decair exponencialmente com a distância, o que não era contemplado na primeira equação de Born. A fórmula dessa nova energia potencial de repulsão para qualquer raio $r$ foi escrita em função do coeficiente ρ como uma função exponencial do número de euler:
$U_{rep}=\mathbf {e}$

### Energia reticular

Energias reticulares de halogênios: valores
experimentais obtidos com o ciclo de Born-Haber
e valores teóricos obtidos com a equação
de Born-Mayer (kcal/mol) :
| Halogênio | Valor experimental do ciclo de Born-Haber | Valor teórico da equação de Born-Mayer |
| Fluoreto de lítio, LiF | 241,2 | 240,1 |
| Cloreto de lítio, LiCl | 198,2 | 199,2 |
| Brometo de lítio, LiBr | 188,5 | 188,3 |
| Iodeto de lítio, LiI | 175,4 | 174,1 |
| Fluoreto de sódio, NaF | 216,0 | 213,4 |
| Cloreto de sódio, NaCl | 184,7 | 183,1 |
| Brometo de sódio, NaBr | 175,9 | 174,6 |
| Iodeto de sódio, NaI | 164,5 | 163,9 |
| Fluoreto de potássio, KF | 191,5 | 189,7 |
| Cloreto de potássio, KCl | 166,8 | 165,4 |
A energia total do cristal é a soma dos dois termos, o de atração e o de repulsão, em função da distância dos íons e para 1 mol do composto:
$U_{r}=U_{e}+U_{rep}=-K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r}}+bN_{A}\mathbf {e}$
em que $b$ é uma constante.
A energia reticular ($U_{r}$) corresponde ao valor mínimo dessa energia. Pode-se obter esse valor igualando a zero a derivada da expressão em função de r:
$\left({\frac {dU_{r}}{dr}}\right)_{r=r_{0}}={K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r_{0}^{2}}}-{\frac {N_{A}b}{\rho }}\mathbf {e} }^{\frac {-r}{\rho }}=0$
de onde se obtém o valor da constante $b$ do termo de repulsão:
$b=K_{0}{\frac {\rho Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r_{0}^{2}{\mathbf {e} }^{\frac {-r_{0}}{\rho }}}}$
Substituindo esse valor na equação da energia total, obtém-se finalmente a fórmula de Born-Mayer:
$U_{r}=-K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r_{0}}}\left(1-{\frac {\rho }{r_{0}}}\right)$