# Streeter-Phelps

O modelo de Streeter-Phelps é um modelo matemático que relaciona um dos principais mecanismos que definem o oxigênio dissolvido em um curso de água superficial que recebe a descarga de águas residuais: decomposicão de matéria orgânica e aeracão de oxigênio. Este modelo tem sido adotado tanto para fontes pontuais como para fontes difusas ou dispersas.

## Autodepuração

Os corpos hídricos são o destino final dos esgotos sanitários e industriais em praticamente todo lugar. Além de oferecerem a capacidade de levar os rejeitos para longe, os corpos receptores têm a capacidade natural de autodepuração. Sendo assim, conseguem recuperar suas condições naturais dependendo de suas características e das características do esgoto recebido. Mas para não comprometer essa capacidade natural, deve-se escolher corretamente que corpo receptor tem as melhores condições de autodepuração, além da quantidade e nível de tratamento do esgoto a ser lançado. Nesse sentido, uma ferramenta muito útil na escolha do corpo receptor e do nível de tratamento que deve ser investido é a modelagem das condições de autodepuração dos cursos d’água segundo Streeter Phelps.
Basicamente, esta ferramenta fornece a visualização do comportamento do corpo d’água em relação à quantidade de oxigênio dissolvido ao longo de seu curso ou do tempo após a recepção do esgoto. Para essa visualização utiliza-se como referência um limite mínimo de oxigênio dissolvido, de acordo com a legislação local, e são oferecidos 3 cenários. Cada cenário considera o lançamento de esgoto com um determinado nível de tratamento. O primeiro cenário considera o lançamento do esgoto bruto, sem tratamento. O segundo cenário considera apenas um tratamento primário. E o terceiro, considera também o tratamento secundário. A partir daí, observa-se quais os cenários são considerados aceitáveis para a legislação local, aqueles que não apresentaram níveis de oxigênio abaixo do limite permitido. Assim, determina-se qual o nível de tratamento é necessário ao esgoto antes deste ser lançado. Caso nenhum atenda as condições legais locais, precisa-se encontrar outro corpo receptor.

## História

A forma inicial do modelo de Streeter-Phelps foi proposta em 1925 por Harold Warner Streeter e Earle Bernard Phelps (1876-1953) a partir de um estudo do processo de oxidação e aeracão no Río Ohio nos Estados Unidos com base em dados obtidos desde maio de 1914 a abril de 1915.
Posteriormente outras versões do modelo mais completas foram desenvovidas depois dos anos 60, graças à possibilidade de realizar soluções computacionais, que introduziram no modelo processos como fotossíntese, respiração e demanda bentônica de oxigênio.

## Descrição

A forma diferencial da forma clássica do modelo de Streeter-Phelps descreve a troca da concentracão de matéria orgânica e de déficit de oxigênio dissolvido que é a diferença entre o oxigênio dissolvido em um lugar e o oxigênio de saturacão nesse mesmo lugar.
${\begin{cases}V{\frac {dL}{dt}}=-k_{d}VL\\V{\frac {dD}{dt}}=-k_{d}VL+k_{a}VD\end{cases}}$
onde:
* $k_{d}$ é a taxa de consumo de oxigênio por degradação de DBO em $[d^{-1}]$.
* $k_{a}$ é a taxa de aeração de oxigênio no corpo d'água $[d^{-1}]$.
* $L$ é a DBO da matéria orgânica na água em $[mg\cdot L^{-1}]$.
* $D$ é o déficit de oxigênio em $[mg\cdot L^{-1}]$.
A solucão deste sistema de equações diferenciais ordinárias para condicões iniciais de $L$ e $D$ de $L_{0}$ e $D_{0}$ respectivamente se tem:
${\begin{cases}L=L_{0}e^{-k_{d}t}\\D={\frac {k_{d}L_{0}}{k_{a}-k_{d}}}\left(e^{-k_{d}t}-e^{-k_{a}t}\right)+D_{0}e^{-k_{a}t}\end{cases}}$

### Fontes Pontuais em Estado Permanente

Em condições de tempo permanente, o escoamento, velocidade e profundidade do curso são permanentes em cada posição, assim como as descargas que neste se realizem, sob estas condições a velocidade, posição e tempo se relacionam mediante a equação:
$U={\frac {x}{t}}$
Adicionalmente se considera exclusivamente a condições de fluxo pistão na qual não há efeitos de dispersão ao longo do curso o modelo de Streeter-Phelps se converte em:
${\begin{cases}0=-U{\frac {dL}{dx}}-k_{d}L\\0=-U{\frac {dD}{dx}}-k_{d}L+k_{a}D\end{cases}}$
onde:
* $U$ é a velocidade do curso $[m\cdot s^{-1}]$.
* $x$ é a distância desde a descarga $[m]$.
* $t$ é o tempo transcorrido desde a descarga $[s]$.
A solução deste sistema de equações diferenciais ordinárias para condições iniciais de $L$ e $D$ de $L_{0}$ e $D_{0}$ respectivamente se tem:
${\begin{cases}L=L_{0}e^{\frac {-k_{d}x}{U}}\\D={\frac {k_{d}L_{0}}{k_{a}-k_{d}}}\left(e^{\frac {-k_{d}x}{U}}-e^{\frac {-k_{a}x}{U}}\right)+D_{0}e^{\frac {-k_{a}x}{U}}\end{cases}}$
A solução do modelo de Streeter-Phelps para valores específicos das condição iniciais de déficit de oxigênio e concentração de DBO e as constantes de degradação da materia orgânica e de aeração de oxigênio no corpo hídrico é como se mostra na figura.
Entre os comportamentos da solução do modelo de Streeter-Phelps se destaca que o efeito combinado do decaimento e a aeração gera um ponto de inflexão, chamado ponto crítico no qual a concentração de oxigênio é mínima.

### Fontes Difusas em Estado Permanente

O modelo de Streeter-Phelps também tem sido adaptado para modelar o efeito de descargas difusas ao longo de uma seção de um curso d'água.

## Ver mais

* Qualidade da água
* Poluição da água