# Subvariedade

Em matemática, a subvariedade de uma variedade M é um subconjunto S que possui ele próprio a estrutura de uma variedade, e para o qual a função inclusão S → M satisfaz certas propriedades. Existem diferentes tipos de subvariedades que dependendo de quais propriedades são exatamente exigidas. Diferentes autores frequentemente tem diferentes definições.

## Definição formal

No que segue nós assumimos que todas as variedades são variedades diferenciáveis de classe $C^{r}$ para um $r\geq 1$ fixado, e que todos os morfismos são diferenciáveis de classe $C^{r}.$

### Subvariedades imersas

Uma subvariedade imersa de uma variedade M é a imagem S de uma função imersão $f:N\to M$; em geral esta imagem não será uma subvariedade como um subconjunto, e uma função imersão não precisa sequer ser injetiva – pode ter auto-interseções.
Mais restritamente, podemos exigir que a função $f:N\to M$ seja uma inclusão (injetora), chamada neste caso de imersão injetora, e definir uma subvariedade imersa como sendo o subconjunto imagem S justamente com uma topologia e uma estrutura diferenciável tal que S é uma variedade e a inclusão f é um difeomorfismo: esta é justamente a topologia sobre N, que em geral não vai coincidir com a topologia de subconjunto: em geral o subconjunto S não é uma subvariedade de M, no topologia de subconjunto.
Dada uma imersão injetiva $f:N\to M$ há uma única forma de dar a imagem de N em M uma estrutura de subvariedade imersa de modo que $f:N\to M$ seja um difeomorfismo. Disto segue que as subvariedades imersas são precisamente as imagens de imersões injetivas.
A topologia de subvariedade em uma subvariedade imersa não precisa ter a topologia relativa herdada de M. Em geral, ela será uma topologia mais fina que a topologia de subespaço, ou seja, com mais conjuntos abertos.
Subvariedades imersas ocorrem na teoria dos grupos de Lie onde os subgrupos de Lie são naturalmente subvariedades imersas.

### Subvariedades mergulhadas

Uma subvariedade mergulhada (também chamada de subvariedade regular), é uma subvariedade imersa cuja função de inclusão é um mergulho topológico. Isto é, a topologia de subvariedade em S é a mesma que a topologia de subespaço.
Dado um mergulho $f:N\to M$ de uma variedade N em M, a imagem $f(N)$ tem naturalmente a estrutura de uma subvariedade mergulhada. Isto é, subvariedade mergulhadas são exatamente as imagens de mergulhos.
Existe uma definição intrínseca de uma subvariedade mergulhada, que muitas vezes é útil. Seja M uma variedade de dimensão n, e seja k um inteiro tal que 0 ≤ k ≤ n. Uma subvariedade mergulhada de M de dimensão k é um subconjunto S ⊂ M tal que para todo ponto p ∈ S existe uma carta (U ⊂ M, φ : U → R$^n$) contendo p tal que φ(S ∩ U) é a interseção de um plano de dimensão k com φ(U). Os pares (S ∩ U, φ|$_{S∩U}$) formam um atlas para a estrutura diferencial em S.
O Teorema de Alexander e o Teorema de Jordan-Schoenflies são bons exemplos de mergulhos suaves.

### Outras variações

Existem algumas outras variações de subvariedades utilizados na literatura. Sharpe (1997) define um tipo de subvariedade que fica em algum lugar entre uma subvariedade mergulhada e uma subvariedade imersa.

## Propriedades

Dada qualquer subvariedade imersa S de M, o espaço tangente a um ponto p em S pode, naturalmente, ser considerado como um subespaço vetorial do espaço tangente a p em M. Isso resulta do fato de que a função de inclusão é uma imersão e fornece uma injeção
    $i_{\ast }:T_{p}S\to T_{p}M.$
Suponha que S é uma subvariedade imersa de M. Se a função de inclusão $i:S\to M$ é uma aplicação fechada então S é na verdade uma subvariedade mergulhada de M. Reciprocamente, se S é uma subvariedade mergulhada que é também um subconjunto fechado então a função de inclusão é fechada. A função de inclusão $i:S\to M$ é fechada se e somente se a função própria (isto é, imagens inversas de conjuntos compactos são compactos). Se i é fechada então S é chamada de subvariedade mergulhada fechada de M. Subvariedades mergulhadas fechadas formam a mais bonita classe de subvariedades.

## Subvariedades do Espaço Euclidiano

Variedades são frequentemente definidas como subvariedades mergulhadas no espaço euclidiano R$^n$, de modo que este constitui um caso especial, muito importante. Pelo Teorema da imersão Whitney qualquer n-variedade suave que seja um espaço segundo-contável pode ser facilmente mergulhado em R$^{2n}$.