# Multiplicadores de Lagrange

Em matemática, em problemas de otimização, o método dos multiplicadores de Lagrange permite encontrar extremos (máximos e mínimos) de uma função de uma ou mais variáveis suscetíveis a uma ou mais restrições.
Por exemplo (veja a figura 1 à direita), considere o problema de otimização
    maximize $f(x,y),$ ou seja, deseja-se encontrar o ponto máximo desta função
    sujeito a $g(x,y)=c.$
O método consiste em introduzir uma variável nova ($\lambda ,$ normalmente), chamada de multiplicador de Lagrange. A partir disso, estuda-se a função de Lagrange, assim definida:
    $\Lambda (x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda \cdot {\Bigg(x,y)-c{\Big )},$
Nesta função, o termo $\lambda$ pode ser adicionado ou subtraído. Se $f(x,y)$ é um ponto de máximo para o problema original, então existe um $\lambda$ tal que $(x,y,\lambda )$ é um ponto estacionário para a função lagrangiana, ou seja, existe um ponto para o qual as derivadas parciais de $\Lambda$ são iguais a zero.
No entanto, nem todos os pontos estacionários permitem uma solução para o problema original. Portanto, o método dos multiplicadores de Lagrange garante uma condição necessária para a otimização em problemas de otimização com restrição.
O nome "multiplicador de Lagrange" é uma homenagem a Joseph Louis Lagrange.

## Definição

Considere uma função de $n$ variáveis $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})\quad$e $m$ funções de restrição $g_{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})\quad ...\quad g_{m}(x_{1},x_{2},...,x_{n})$. Sejam estas funções deriváveis em primeira ordem com derivadas contínuas e que para qualquer ponto do domínio existe algum $i$ para o qual $\nabla g_{i}(x)\neq 0$, se $f$ tiver um extremo relativo dentro de suas restrições, este ponto ocorre em um ponto $P(x_{1}^{*},x_{2}^{*},...,x_{n}^{*}),$ tal que $P$ pertença a uma superfície de restrição de $f$ na qual a seguinte condição seja satisfeita:
    $\nabla f(x_{1}^{*},x_{2}^{*},...,x_{n}^{*})=\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}\nabla g_{i}(x_{1}^{*},x_{2}^{*},...,x_{n}^{*})$
$\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots \,\lambda _{m})$ são os multiplicadores de Lagrange.
A solução recai em resolver um sistema com $n+m$ equações (as $n$ equações obtidas pela diferenciação, e as $m$ restrições $g_{i}$) e $n+m$ incógnitas (a coordenada de $P$ no espaço de $n$ dimensões e os $m$ multiplicadores de Lagrange).

## Utilização

O método de lagrange é empregado na resolução de problemas de Programação, é uma ferramenta importante em restrições de igualdade.

## Exemplo

A função potencial gravitacional em relação a um corpo celeste: $P(x,y,z)={\frac {-GM}{r}}$ , onde $r=[(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}+(z-z_{i})^{2}]^{\frac {1}{2}}$ e $(x_{i},y_{i},z_{i})$ são as coordenadas do centro do corpo celeste.
O problema é: a uma dada distância da Terra e da Lua, ou seja, fixando-se os potenciais gravitacionais relativos a esses 2 corpos, deseja-se saber qual o ponto em que a energia potencial gravitacional gerada pela massa do Sol é máxima (ou mínima).
A figura abaixo mostra a situação, onde os centros dos 3 corpos estão no plano da tela, As superfícies esféricas equipotenciais da Terra e da Lua aparecem como círculos no plano da tela. Sua intercessão é um círculo num plano normal à tela, que a cruza nos pontos $A$ e $B$. Esses pontos são a solução do problema, pois um é o mais próximo e o outro é o mais distante do Sol, entre todo o conjunto de pontos desse círculo de intercessão das superfícies.
Qual a relação com os multiplicadores de Lagrange? Basta lembrar que a aceleração da gravidade é o gradiente do potencial gravitacional, e ela aponta para os centros dos corpos. Em geral, ao longo do círculo normal à tela, de intercessão entre as superfícies potenciais da Terra e Lua, esses vetores dirigidos respectivamente para o centro do Sol, da Terra e da Lua são linearmente independentes. Mas nos pontos $A$ e $B$ eles estão no mesmo plano, e um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Portanto pode-se escrever: $a_{s}=\lambda _{1}a_{t}+\lambda _{2}a_{l}$ ou
onde: $g_{1}=P_{t}(x,y,z)-C_{1}$ e $g_{2}=P_{l}(x,y,z)-C_{2}$
$P_{s}(x,y,z)$ é o potencial gravitacional do Sol, $P_{t}(x,y,z)$ é o da Terra e $P_{l}(z,y,z)$ é o da Lua. Como a restrição são as superfícies equipotenciais, as funções $g_{i}$ são zero para os pontos em que os potenciais são $C_{1}$ e $C_{2}$ respectivamente.