# Hipótese de Lindelöf

A Hipótese de Lindelöf é uma conjectura feita pelo matemático finlandês Ernst Leonard Lindelöf (Lindelöf (1908)) sobre a taxa de crescimento da função zeta de Riemann na linha crítica implícita na hipótese de Riemann.
Para qualquer ε > 0,
    $\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{\varepsilon }),$
à medida que t tende para o infinito (Notação Big O). Já que ε pode ser substituído por um valor menor, podemos escrever a conjectura da seguinte forma: para qualquer positivo ε,
    $\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=o(t^{\varepsilon }).$

## A função μ

Se σ é real, então µ(σ) é definido como sendo o ínfimo de todos os números reais 'a' , tais que ζ(σ + iT) = S(T$^a$). Podemos ver que µ(σ) = 0 para s > 1, e a equação funcional da função zeta implica que µ(σ) = μ(1 − σ) − σ + 1/2. O Princípio de Phragmen–Lindelöf implica que µ é uma função convexa. Os estados μ(1/2) = 0, juntamente com as propriedades de μ implicam que µ(σ) é de 0 para σ ≥ 1/2 e 1/2 − σ para σ ≤ 1/2.
O resultado de convexidade de Lindelöf implica junto com μ(1) = 0 e µ(0) = 1/2 em 0 ≤ μ(1/2) ≤ 1/4. O limite superior foi reduzido de 1/4 a 1/6 por Hardy e Littlewood com a aplicação do método de estimativa de somas exponenciais de Weyl para a equação funcional aproximada. Desde então, o limite foi reduzido para pouco menos de 1/6 por diversos outros autores, utilizando longas provas técnicas, como a seguir:
| μ(1/2) ≤ | μ(1/2) ≤ | Autor |
| 1/4 | 0.25 | Lindelöf (1908) |
| 1/6 | 0.1667 | Hardy & Littlewood (?) |
| 163/988 | 0.1650 | Walfisz (1924) |
| 27/164 | 0.1647 | Titchmarsh (1932) |
| 229/1392 | 0.164512 | Phillips (1933) |
| | 0.164511 | Rankin (1955) |
| 19/116 | 0.1638 | Titchmarsh (1942) |
| 15/92 | 0.1631 | Min (1949) |
| 6/37 | 0.16217 | Haneke (1962) |
| 173/1067 | 0.16214 | Kolesnik (1973) |
| 35/216 | 0.16204 | Kolesnik (1982) |
| 139/858 | 0.16201 | Kolesnik (1985) |
| 32/205 | 0.1561 | Huxley (2002, 2005) |
| 53/342 | 0.1550 | Bourgain (2014) |
| 13/84 | 0.1548 | Bourgain (2016) |

## Relação com a hipótese de Riemann

Backlund (1918–1919) , mostrou que a Hipótese de Lindelöf equivale a declaração sobre os zeros da função zeta: para cada ε > 0, o número de zeros com parte real de pelo menos 1/2 + ε e a parte imaginária entre T e T + 1 é O(log(T)) T tende para o infinito. A hipótese de Riemann implica que não existem zeros em todos nessa região, e isso implica na Hipótese de Lindelöf. O número de zeros com parte imaginária entre T e T + 1 é conhecido por ser O(log(T)), de modo que a Hipótese de Lindelöf fica parecendo ser apenas um pouco mais forte do que o provado, mas, apesar disso, ele tem resistido a todas as tentativas para provar isso.

## Meios de poderes (ou momentos) da função zeta

A Hipótese de Lindelöf equivale a:
    ${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=O(T^{\varepsilon })$
Para todos os números inteiros positivos k e todos os números reais positivos ε. Isto tem sido provado para k = 1 ou 2, mas o caso k = 3, parece muito mais difícil e é ainda um problema em aberto.
Acredita-se que exista uma conjectura mais precisa sobre o comportamento assintótico da integral a seguir, para algumas constantes ck,j.
    $\int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=T\sum _{j=0}^{k^{2}}c_{k,j}\log(T)^{k^{2}-j}+o(T)$
Provado para k = 1 e k = 2 por Littlewood e Heath-Brown (1979) respectivamente (a partir de um resultado de Ingham (1926), que encontrou um termo líder).
Conrey & Ghosh (1998) sugeriu que o valor $(42/9!)\prod _{p}\left((1-p^{-1})^{4}(1+4p^{-1}+p^{-2})\right)$ para o coeficiente principal, quando k é 6, e Keating & Snaith (2000) usado matriz aleatória para sugerir algumas conjecturas para os valores dos coeficientes maiores que k. Os coeficientes principais foram conjecturados para serem o produto de um fator elemental, um determinado produto sobre os números primos e o número de n por n Diagrama de Young dada pela sequência:
* 1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, (sequência A039622 na OEIS).

## Outras consequências

O n-ésimo número primo é denotando por p$_n$, e Albert Ingham mostrou um resultado, que mostra a Hipótese de Lindelöf implica para qualquer ε > 0,
    $p_{n+1}-p_{n}\ll p_{n}^{1/2+\varepsilon }\,$
se n é suficientemente grande. Porém, esse resultado é muito pior do que a conjectura primeiro-gap.