# Torsten Carleman

Torsten Carleman, nascido Tage Gills Torsten Carleman (Osby, 8 de julho de 1892 — Estocolmo, 11 de janeiro de 1949), era um matemático sueco, conhecido por seus resultados na análise clássica e suas aplicações. Como diretor do Instituto Mittag-Leffler por mais de duas décadas, Carleman foi o matemático mais influente da Suécia.

## Trabalho

A dissertação de Carleman sob Erik Albert Holmgren, bem como seu trabalho no início dos anos 1920, foi dedicada a equações integrais singulares. Ele desenvolveu a teoria espectral de operadores integrais com kernels Carleman, ou seja, kernels K(x, y) tais que K(y, x) = K(x, y) para quase todos (x, y), e
    $\int |K(x,y)|^{2}dy<\infty$
para quase todo x.
Em meados da década de 1920, Carleman desenvolveu a teoria das funções quase analíticas. Ele provou a condição necessária e suficiente para a quase-analiticidade, agora chamada de teorema de Denjoy-Carleman. Como corolário, ele obteve uma condição suficiente para a determinação do problema do momento. Como uma das etapas da prova do teorema de Denjoy-Carleman em Carleman (1926), ele introduziu a desigualdade de Carleman
    $\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\right)^{1/n}\leq e\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},$
válido para qualquer sequência de números reais não negativos a$_k$.
Quase ao mesmo tempo, ele estabeleceu as fórmulas de Carleman na análise complexa, que reconstroem uma função analítica em um domínio a partir de seus valores em um subconjunto da fronteira. Ele também provou uma generalização da fórmula de Jensen, agora chamada de fórmula Jensen-Carleman.
Na década de 1930, independentemente de John von Neumann, ele descobriu o teorema ergódico médio. Mais tarde, ele trabalhou na teoria das equações diferenciais parciais, onde introduziu as estimativas Carleman, e encontrou uma maneira de estudar as asymptotics espectrais de operadores de Schrödinger.
Em 1932, seguindo o trabalho de Henri Poincaré, Erik Ivar Fredholm, e Bernard Koopman, ele desenvolveu a incorporação de Carleman (também chamada de linearização de Carleman), uma maneira de incorporar um sistema de dimensão finita de equações diferenciais não lineares du⁄dt = P(u) para u: R$^k$ → R, onde as componentes de P são polinômios em u, em um sistema infinito-dimensional de equações diferenciais lineares.
Em 1933, Carleman publicou uma pequena prova do que agora é chamado de teorema Denjoy-Carleman-Ahlfors. Este teorema afirma que o número de valores assintóticos obtidos por uma função inteira de ordem ρ ao longo de curvas no plano complexo indo para fora em direção ao valor absoluto infinito é menor ou igual a 2ρ.
Em 1935, Torsten Carleman introduziu uma generalização da transformada de Fourier, que prenunciou o trabalho de Mikio Sato sobre hiperfunções; suas notas foram publicadas em Carleman (1944). Considerou as funções f de no máximo crescimento polinomial, e mostraram que cada uma destas funções pode ser decomposto como f = f+ + f$_−$, onde f+ e f$_−$ são analítico na parte superior e na metade inferior planos, respectivamente, e que esta a representação é essencialmente única. Em seguida, ele definiu a transformada de Fourier de (f+, f$_−$) como outro par (g+, g$_−$). Embora conceitualmente diferente, a definição coincide com a dada mais tarde por Laurent Schwartz para distribuições temperadas. A definição de Carleman deu origem a inúmeras extensões.
Voltando à física matemática na década de 1930, Carleman deu a primeira prova da existência global para a equação de Boltzmann na teoria cinética dos gases (seu resultado se aplica ao caso homogêneo do espaço). Os resultados foram publicados postumamente em Carleman (1957).
Carleman supervisionou o doutorado. teses de Ulf Hellsten, Karl Persson (Dagerholm), Åke Pleijel e (juntamente com Fritz Carlson) de Hans Rådström.

## Publicações selecionadas

* Carleman, T. (1926). Les fonctions quasi analytiques (em francês). Paris: Gauthier-Villars. JFM 52.0255.02
* Carleman, T. (1944). L'Intégrale de Fourier et Questions que s'y Rattachent (em francês). Uppsala: Publications Scientifiques de l'Institut Mittag-Leffler. MR 0014165
* Carleman, T. (1957). Problèmes mathématiques dans la théorie cinétique des gaz (em francês). Uppsala: Publ. Sci. Inst. Mittag-Leffler. MR 0098477
* Carleman, Torsten (1960), Pleijel, Ake; Lithner, Lars; Odhnoff, Jan, eds., Edition Complete Des Articles De Torsten Carleman, Litos reprotryk and l'Institut mathematique Mittag-Leffler