# Monogamia do emaranhamento

Na física quântica, a "monogamia" do emaranhamento quântico refere-se à propriedade fundamental de que não pode ser livremente compartilhada entre arbitrariamente muitas partes.
Para que dois qubits A e B sejam maximamente emaranhados, eles não devem estar emaranhados com nenhum terceiro qubit C de forma alguma. Mesmo que A e B não estejam maximamente emaranhados, o grau de emaranhamento entre eles limita o grau em que cada um pode estar emaranhado com C. Em plena generalidade, para $n\geq 3$ qubits $A_{1},\ldots ,A_{n}$, a monogamia é caracterizada pela desigualdade de Coffman–Kundu–Wootters (CKW), que afirma que
    $\sum _{k=2}^{n}\tau (\rho _{A_{1}A_{k}})\leq \tau (\rho _{A_{1}(A_{2}{\ldots }A_{n})})$
onde $\rho _{A_{1}A_{k}}$ é a matriz de densidade do subestado consistindo dos qubits $A_{1}$ e $A_{k}$ e $\tau$ é o "emaranhamento", uma quantificação do emaranhamento bipartido igual ao quadrado da concorrência.
Monogamia, que está intimamente relacionada à propriedade de não clonagem, é puramente uma característica das correlações quânticas e não tem análogo clássico. Supondo que duas variáveis aleatórias clássicas X e Y estejam correlacionadas, podemos copiar, ou "clonar", X para criar arbitrariamente muitas variáveis aleatórias que compartilham precisamente a mesma correlação com Y. Se deixarmos X e Y serem estados quânticos emaranhados, então X não pode ser clonado, e esse tipo de resultado "poligâmico" é impossível.
A monogamia do emaranhamento tem amplas implicações para aplicações da mecânica quântica que vão desde a física de buracos negros até a criptografia quântica, onde desempenha um papel crucial na segurança da distribuição de chaves quânticas.

## Prova

A monogamia do emaranhamento bipartido foi estabelecida para sistemas tripartidos em termos de concorrência por Coffman, Kundu e Wootters em 2000. Em 2006, Osborne e Verstraete estenderam esse resultado para o caso multipartido, provando a desigualdade CKW.

## Exemplo

Para ilustrar, considere o estado de três qubits $|\psi \rangle \in (\mathbb {C} ^{2})^{\otimes 3}$ composto pelos qubits A, B e C. Suponha que A e B formem um par EPR (maximamente emaranhado). Vamos mostrar que:
    $|\psi \rangle =|{\text{EPR}}\rangle _{AB}\otimes |\phi \rangle _{C}$
para algum estado quântico válido $|\phi \rangle _{C}$. Pela definição de emaranhamento, isso implica que C deve estar completamente desemaranhado de A e B.
Quando medidos na base padrão, A e B colapsam nos estados $|00\rangle$ e $|11\rangle$ com probabilidade ${\frac {1}{2}}$ cada. Segue-se que:
    $|\psi \rangle =|00\rangle \otimes (\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle )+|11\rangle \otimes (\beta _{0}|0\rangle +\beta _{1}|1\rangle )$
para alguns $\alpha _{0},\alpha _{1},\beta _{0},\beta _{1}\in \mathbb {C}$ tal que $|\alpha _{0}|^{2}+|\alpha _{1}|^{2}=|\beta _{0}|^{2}+|\beta _{1}|^{2}={\frac {1}{2}}$. Podemos reescrever os estados de A e B em termos de vetores de base diagonal $|+\rangle$ e $|-\rangle$:
    $|\psi \rangle ={\frac {1}{2}}(|++\rangle +|+-\rangle +|-+\rangle +|--\rangle )\otimes (\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle )+{\frac {1}{2}}(|++\rangle -|+-\rangle -|-+\rangle +|--\rangle )\otimes (\beta _{0}|0\rangle +\beta _{1}|1\rangle )$
    $={\frac {1}{2}}(|++\rangle +|--\rangle )\otimes ((\alpha _{0}+\beta _{0})|0\rangle +(\alpha _{1}+\beta _{1})|1\rangle )+{\frac {1}{2}}(|+-\rangle +|-+\rangle )\otimes ((\alpha _{0}-\beta _{0})|0\rangle +(\alpha _{1}-\beta _{1})|1\rangle )$
Por serem maximamente emaranhados, A e B colapsam para um dos dois estados $|++\rangle$ ou $|--\rangle$ quando medidos na base diagonal. A probabilidade de observar resultados $|+-\rangle$ ou $|-+\rangle$ é zero. Portanto, de acordo com a equação acima, deve ser o caso de que $\alpha _{0}-\beta _{0}=0$ e $\alpha _{1}-\beta _{1}=0$. Segue imediatamente que $\alpha _{0}=\beta _{0}$ e $\alpha _{1}=\beta _{1}$. Podemos reescrever nossa expressão para $|\psi \rangle$ conforme:
    $|\psi \rangle =(|++\rangle +|--\rangle )\otimes (\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle )$
    $=|{\text{EPR}}\rangle _{AB}\otimes ({\sqrt {2}}\alpha _{0}|0\rangle +{\sqrt {2}}\alpha _{1}|1\rangle )$
    $=|{\text{EPR}}\rangle _{AB}\otimes |\phi \rangle _{C}$
Isso mostra que o estado original pode ser escrito como um produto de um estado puro em AB e um estado puro em C, o que significa que o estado EPR nos qubits A e B não está emaranhado com o qubit C.