# Parábola

Parábola (do grego: παραβολή) é uma seção cônica gerada pela interseção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo à reta geratriz do cone, sendo que o plano não contém esta. Equivalentemente, uma parábola é a curva plana definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada (chamada de diretriz). Aplicações práticas são encontradas em diversas áreas da física e da engenharia como no projeto de antenas parabólicas, radares, faróis de automóveis.

## Definições e visão geral
### Equações da geometria analítica

Uma parábola é o conjunto de pontos no plano que são equidistantes de um ponto dado $F$ (foco) e uma reta dada $r$ (diretriz) que não contém $F$. Assim, em coordenadas cartesianas, uma parábola de foco $F(p,0)$ e reta diretriz $r:x=-p$ tem equação
    $y^{2}=4px.$
Uma parábola é dita estar em uma posição padrão quando seu foco está sobre o eixo das abscissas ou sobre o eixo das ordenadas e sua diretriz é, respectivamente, paralela ao eixo das ordenadas ou ao eixo das abscissas. A equação de uma parábola em uma posição padrão é chamada de equação padrão. Assim, além da equação acima, temos que:
    $x^{2}=4py$
é, também, uma equação padrão. Esta caracteriza uma parábola de foco $F(0,p)$ e diretriz $r:y=-p.$ De fato, por definição, $P(x,y)$ pertence à parábola se, e somente se:
    $d(P,F)=d(P,r)$
onde, $d(\cdot ,\cdot )$ denota a distância euclidiana. Assim, para uma parábola de foco $F(p,0)$ e diretriz $r:x=-p,$ temos:
    ${\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}={\sqrt {(x+p)^{2}}}\Leftrightarrow (x-p)^{2}+y^{2}=(x+p)^{2}$
que é equivalente à equação $y^{2}=4px$. O procedimento é análogo para uma parábola de foco $F(0,p)$ e diretriz $r:y=-p,$ mostrando que, neste caso, $x^{2}=4py$.
O eixo de simetria de uma parábola é definido como a reta que passa por seu foco $F$ e é perpendicular a sua reta diretriz $r.$ O vértice de uma parábola é definido pela intersecção da parábola com seu eixo de simetria. Notemos que nas equações acima $|p|$ corresponde a distância do vértice ao foco, bem como, à diretriz.
Observamos que, por translação, obtemos a equação de uma parábola com vértice V$(h,k),$ foco $F(h+p,k)$ e diretriz $r:x=h-p$ por:
    $(y-k)^{2}=4p(x-h).$
Analogamente, uma parábola com vértice V$(h,k),$ foco $F(h,k+p)$ e diretriz $r:y=k-p$ é descrita pela equação:
    $(x-h)^{2}=4p(y-k).$
De maneira geral, uma parábola é uma curva no plano cartesiano definida por uma equação irredutível de coeficientes reais da forma:
    $ax^{2}+2bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0$
com $b^{2}=ac,$ $a+c\neq 0$. O fato da equação ser irredutível significa que ela não pode ser fatorada como um produto de dois fatores lineares.

### Outras definições geométricas$^[$

Uma parábola também pode ser caracterizada com uma secção cônica com uma excentricidade igual a 1. Como uma consequência disso, todas as parábolas são similares.
Uma parábola também pode ser obtida como o limite de uma sequência de elipses onde um foco é mantido fixo e o outro pode se mover para uma distância cada vez maior do foco em uma direção. Desta forma, uma parábola pode ser considerada a seção do segmento de uma elipse que possui um foco no infinito. A parábola é a transformada inversa de um cardióide.
Se girarmos uma parábola através de seu eixo em um gráfico de três dimensões temos uma forma conhecida como o parabolóide de revolução.

## Dedução das equações
### Em coordenadas cartesianas
#### Eixo vertical de simetria

Estas deduções se baseiam em uma parábola com eixo vertical de simetria, com vértice $V$$(h,k)$ e distância $p$ entre o vértice e o foco. Por convenção, se o vértice estiver abaixo do foco p é positivo, caso contrário p é negativo.
Como, por definição, um ponto $P(x,y)$ na parábola dista do foco $F(h,k+p)$ tanto quanto da reta diretriz $r:y=k-p,$ podemos escrever:
    $d(P,F)=d(P,r)\Rightarrow {\sqrt {(x-h)^{2}+(y-k-p)^{2}}}=|y-k+p|$
onde, $d(\cdot ,\cdot )$ denota a distância euclidiana e $|\cdot |$ denota a função valor absoluto. Lembrando que $|x|={\sqrt {x^{2}}}$ para qualquer $x$ real, temos:
    $(x-h)^{2}+(y-k-p)^{2}=(y-k+p)^{2}$
    $(x-h)^{2}=(y-k+p)^{2}-(y-k-p)^{2}$
    $(x-h)^{2}=4p(y-k)$
a qual é a equação padrão procurada.
Comumente, esta equação aparece reescrita na forma de um trinômio do segundo grau:
    $y=ax^{2}+bx+c$
onde:
    $a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-h}{2p}};\ \ c={\frac {h^{2}}{4p}}+k;$ $h={\frac {-b}{2a}};\ \ k=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.$
Muitas vezes é útil descrever uma parábola via equações paramétricas. Tomando $x=x(t),$ por exemplo $x(t)=2pt+h,$ e substituindo na equação padrão, obtemos $y=y(t).$ Isto nos fornece a seguinte parametrização de uma tal parábola:
    $\left\{{\begin{array}{ll}x(t)=2pt+h\\y(t)=pt^{2}+k\end{array}}\right.,\quad t\in \mathbb {R} .$
Observamos que a parametrização de $x,$ i.e. $x=x(t),$ é arbitrária, sendo que diferentes escolhas levam a um conjunto diferente de equações paramétricas.

#### Eixo horizontal de simetria

Analogamente, uma parábola com eixo horizontal de simetria, vértice $V(h,~k)$ e distância $p$ entre o vértice e o foco tem equação padrão:
    $(y-k)^{2}=4p(x-h)$
Notemos que esta pode ser reescrita no trinômio de segundo grau:
    $x=ay^{2}+by+c$
tomando:
    $a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-k}{2p}};\ \ c={\frac {k^{2}}{4p}}+h;$ $h=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}};\ \ k={\frac {-b}{2a}}.$
Tomando $y=y(t)$, $y(t)=2pt+k$, e substituindo na equação padrão, obtemos as seguintes equações paramétricas para uma tal parábola:
    $\left\{{\begin{array}{ll}x(t)=pt^{2}+h\\y(t)=2pt+k\end{array}}\right.,\quad \forall t\in \mathbb {R}$

### Em coordenadas polares

Em coordenadas polares, uma parábola com o foco na origem e reta diretriz $x=-2a$ é dada pela equação:
    $r={\frac {2a}{1-\cos(\theta )}}$
De fato, tomando $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ e $\cos(\theta )={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ e substituindo na equação polar, obtemos:
    $y^{2}=4a(x+a)$
que é a equação padrão da parábola de vértice $V(-a,0)$ e reta diretriz $x=-2a$.

### Forma em coordenadas gaussianas

A forma em coordenadas gaussianas é dada por:$^[$
    $(\tan ^{2}\phi ,2\tan \phi )$
e possui a normal $(\cos \phi ,\mathrm {sen} \,\phi )$.

## Equação Quadrática

De forma geral, uma parábola é descrita por uma equação quadrática de coeficientes reais da forma:
    $ax^{2}+2bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0$
com $b^{2}=ac$ e $a+c\neq 0$. A presença do termo cruzado $xy$ (i.e., $b\neq 0$) indica que a parábola tem eixo de simetria transversal em relação aos eixos canônicos $x,y$.
Tal equação pode ser escrita na seguinte forma matricial:
    $\mathbf {x} ^{T}A\mathbf {x} +\mathbf {b} \mathbf {x} +f=0$
onde $\mathbf {x} =\left[{\begin{array}{l}x\\y\end{array}}\right]$ é o vetor real bidimensional das incógnitas,
    $A=\left[{\begin{array}{ll}a&b\\b&c\end{array}}\right]$
é uma matriz real simétrica de autovalores reais $\lambda _{1}$ e $\lambda _{2}$, sendo exatamente um deles nulo,
    $\mathbf {b} =\left[d~~e\right]$
é o vetor real bidimensional, e $f$ é um escalar real.

### Rotação

Uma parábola cujo eixo de simetria não é paralelo ao eixo das abscissas nem ao eixo das ordenadas pode ser descrita como uma rotação de uma parábola em uma posição padrão. Notemos que a matriz $A$ é ortogonalmente diagonalizável, i.e.:
    $P^{T}AP=\left[{\begin{array}{ll}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{array}}\right]$
onde $P=\left[\mathbf {v} _{1}~~\mathbf {v} _{2}\right]$ é a matriz ortogonal, cujas colunas são autovetores $\mathbf {v} _{1}$, $\mathbf {v} _{2}$ associados aos autovalores $\lambda _{1}$ e $\lambda _{2}$, respectivamente.
Fazendo a mudança de variável:
    $\mathbf {x} =P\mathbf {y} ,\quad \mathbf {y} =\left[{\begin{array}{l}u\\v\end{array}}\right]$,
podemos escrever a equação da parábola nas novas variáveis $u,v$ como:
    $\mathbf {y} ^{T}\left(P^{T}AP\right)\mathbf {y} +\left(\mathbf {b} P\right)\mathbf {y} +f=0$
a qual representa uma parábola cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo $u$, dado pelo autovetor $\mathbf {v_{1}}$, ou ao eixo $v$, dado pelo autovetor $\mathbf {v} _{2}$.

### Translação

Uma parábola de vértice $V(h,k)$ pode ser vista como uma translação de uma parábola de vértice na origem. Ou seja, fazendo a mudança de variável:
    $\mathbf {z} =\left[{\begin{array}{l}u'\\v'\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{l}u\\v\end{array}}\right]-P^{T}\left[{\begin{array}{l}h\\k\end{array}}\right]$
obtemos a equação padrão da parábola escrita nas variáveis $u',v'$.

## Propriedade Refletora

Para uma superfície parabólica que seja construída com material reflexivo, um feixe de partículas paralelas ao eixo de simetria é direcionado para o seu foco.
De fato, consideramos, sem perda de generalidade, a parábola $x^{2}=4py$ ilustrada na figura ao lado. Nela, $F(0,p)$ denota seu foco, $A(0,0)$ seu vértice e $E(x,4py)$ o ponto de incidência de um feixe de partículas paralelo ao eixo de simetria dessa parábola. A reta paralela ao eixo de simetria que contém a trajetória da onda tem interseção com o eixo das abscissas no ponto $D(x,0)$ e com a diretriz da parábola no ponto $C(x,-p)$. Observamos que o segmento $FC$ tem interseção com o eixo das abscissas no ponto $B\left({\frac {x}{2}},0\right)$, i.e. no ponto médio entre os pontos $A$ e $D$. Por essa razão e mais o fato de que $F$ e $C$ são equidistantes do eixo das abscissas, vemos que $BEF$ e $CEB$ são triângulos congruentes. Notamos, agora, que a reta que passa pelos pontos $B$ e $E$ têm inclinação ${\text{arc tg}}\left({\frac {|DE|}{|BD|}}\right)={\text{arc tg }}(8px)$ e, portanto, é a reta tangente à parábola no ponto $E$, pois $y'=8px$ neste ponto. Assim, se $\alpha$ é o ângulo de incidência do feixe com a reta tangente no ponto $E$ (equivalentemente, com um elemento infinitesimal do comprimento do arco da parábola no mesmo ponto) , temos que o feixe é refletido pela parábola com o mesmo ângulo. Pela congruência dos triângulos $BEF$ e $CEB$, vemos que a onda refletida alcança o ponto $F$, i.e. o foco da parábola.

### Aplicações práticas

Algumas aplicações dessa propriedade podem ser vistas no uso de refletores parabólicos, como para captação de som a grandes distâncias com um microfone parabólico, que utiliza o refletor para coletar e focar ondas sonoras em um transdutor, conceito similar ao da antena parabólica. Esses microfones conseguem captar sons muitos distantes na direção em que é apontado e normalmente é utilizado para gravar sons da natureza e para espionagem.