# Ponte de Wien

Uma ponte de Wien é um oscilador eletrônico que gera ondas sinusoidais sem fonte de entrada.

## História

A ponte de Wien foi desenvolvida originalmente por Max Wien em 1891. O circuito moderno é derivado da tese de mestrado de William Hewlett em 1939. Hewlett, com David Packard, co-fundou Hewlett-Packard. O primeiro produto da firma foi o HP 200A, um oscilador baseado na ponte de Wien. O 200A é um instrumento clássico conhecido pela baixa distorção do sinal de saída.

## Modelagem

Considere $v_{i}$ e $v_{o}$ as tensões de entrada e saída do amplificador e $I_{o}$ a corrente de saída do mesmo. Obtêm-se as seguintes equações para os nós do circuito:
* $I_{o}={\frac {v_{i}}{R_{2}}}+C_{2}{\frac {dv_{i}}{dt}}\quad (1)$
* ${\frac {d}{dt}}\left(v_{o}-v_{i}\right)=R_{1}{\frac {dI_{o}}{dt}}+{\frac {I_{o}}{C_{1}}}\quad (2)$
Substituindo $(1)\,$ em $(2)\,$, tem-se:
* ${\frac {d}{dt}}\left(v_{o}-v_{i}\right)=R_{1}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {v_{i}}{R_{2}}}+C_{2}{\frac {dv_{i}}{dt}}\right)+{\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {v_{i}}{R_{2}}}+C_{2}{\frac {dv_{i}}{dt}}\right)$
Que pode ser simplificado em
* $R_{1}C_{2}{\frac {d^{2}v_{i}}{dt^{2}}}+\left(1+{\frac {R_{1}}{R_{2}}}+{\frac {C_{2}}{C_{1}}}\right){\frac {dv_{i}}{dt}}+\left({\frac {1}{C_{1}R_{2}}}\right)v_{i}-{\frac {dv_{o}}{dt}}=0$
ou, equivalentemente:
* ${\frac {d^{2}v_{i}}{dt^{2}}}+\left({\frac {R_{1}C_{1}+R_{2}C_{1}+R_{2}C_{2}}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}\right){\frac {dv_{i}}{dt}}+\left({\frac {1}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}\right)v_{i}-{\frac {1}{R_{1}C_{2}}}{\frac {dv_{o}}{dt}}=0\quad (3)$

## Solução
### Caso linear

Quando a relação entre $v_{i}\,$ e $v_{o}\,$ é linear, ou seja:
    $v_{0}=kv_{i}\,$
para alguma constante $K\,$, $(3)\,$ recai em:
* ${\frac {d^{2}v_{i}}{dt^{2}}}+\left({\frac {R_{1}C_{1}+R_{2}C_{1}+R_{2}C_{2}-kR_{2}C_{1}}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}\right){\frac {dv_{i}}{dt}}+\left({\frac {1}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}\right)v_{i}=0$
Esta é uma Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Define-se o fator de amortecimento, a freqüência natural de oscilação e ganho crítico:
* $\alpha :={\frac {R_{1}C_{1}+R_{2}C_{1}+R_{2}C_{2}-kR_{2}C_{1}}{2\left(R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}\right)^{1/2}}}\quad w_{0}={\frac {1}{\left(R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}\right)^{1/2}}}\quad k_{c}={\frac {R_{1}C_{1}+R_{2}C_{1}+R_{2}C_{2}}{R_{2}C_{1}}}$
Nestes termos, a equação se escreve:
* ${\frac {d^{2}v_{i}}{dt^{2}}}+2\alpha w_{0}{\frac {dv_{i}}{dt}}+w_{0}^{2}v_{i}=0$
A solução geral desta equação é dada por:
* $v_{i}:=C_{1}e^{\lambda _{1}t}+C_{2}e^{\lambda _{2}t}$
onde $\lambda _{1}\,$ e $\lambda _{2}\,$ são as raízes da equação do segundo grau:
* $\lambda ^{2}+2\alpha w_{0}\lambda +w_{0}^{2}=0$
Assim, temos:
* $\lambda _{1,2}=\left(-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-1}}\right)w_{0}$
Os autovalores $\lambda _{1,2}\,$ possuem parte imaginária não nula quando $|\alpha |<1\,$, neste caso a solução geral é dada por:
* $v_{i}:=A_{1}e^{\sigma t}\sin(wt)+A_{2}e^{\sigma t}\cos(wt)\,$
onde: $\sigma =-w_{0}\alpha \quad \quad w=w_{0}{\sqrt {1-\alpha ^{2}}}\,$
Observam-se aqui três casos distintos:
* Fator de amortecimento positivo $\left(k>k_{c}\Rightarrow \alpha >0\Rightarrow \sigma <0\right)\,$: o sistema apresenta oscilações cujas amplitudes crescem exponencialmente com tempo.
* Fator de amortecimento negativo $\left(k<k_{c}\Rightarrow \alpha <0\Rightarrow \sigma >0\right)\,$: o sistema apresenta oscilações cujas amplitudes decaem exponencialmente com tempo.
* Fator de amortecimento nulo $\left(k=k_{c}\Rightarrow \alpha =\sigma =0\right)\,$: o sistema apresenta oscilações com amplitude constante.

### Caso não linear

Na prática, torna-se impossível construir um oscilador com fator de amortecimento exatamente igual a zero. Daí a necessidade de construir circuitos não lineares que controlem a amplitude de saída. As duas técnicas de controle mais utilizadas na prática são:
* Controlar o ganho $k\,$ do amplificador, de forma que $k\,$ aumente quando as amplitudes forem inferiores à desejada e diminua quando as amplitudes ultrapassarem o valor desejado. Este técnica é chamada de controle automático de ganho.
* Construir um amplificador não-linear (conformador) de forma que a relação entre $v_{i}\,$ e $v_{o}\,$ seja dada por uma relação da forma:
** $v_{o}=f(v_{i})\,$
    Onde $f\,$ é tipicamente uma função ímpar tal que:
   * ${\frac {df(v_{i})}{dv_{i}}}>k_{c},~~v_{i}=0\,$
   * ${\frac {d^{2}f(v_{i})}{d^{2}v_{i}}}<0,~~{\hbox{em torno de }}v_{i}=0\,$

## Conformador como estabilizador de amplitude

Quando o circuito é construído usando um amplificador não-linear, tal que:
   * $v_{o}=f(v_{i})\,$
a equação diferencial que rege as oscilições é dada por:
* ${\frac {d^{2}v_{i}}{dt^{2}}}-\beta \left(k(v_{i})-k_{c}\right){\frac {dv_{i}}{dt}}+w_{0}^{2}v_{i}=0$
onde $\beta ={\frac {1}{R_{1}C_{2}}}$ e
* $k(v_{i})={\frac {df(v_{i})}{dv_{i}}}\,$
Uma aproximação consiste em supor a existência de uma solução períodica de período $T\,$ e analisar apenas a sua primeira harmônica $v_{i}\,$, :
* $v_{i}=A\sin(2\pi t/T)\,$
O ganho ponderado do amplificador linear para esta componente do sinal será dado por:
* ${\tilde {k}}(A)={\frac {1}{AT{\sqrt {2}}}}\int _{0}^{T}f\left(A\sin(2\pi t/T)\right)\sin(2\pi t/T)dt\,$
Temos que ${\tilde {k}}(A)\,$ é uma função da amplitude $A\,$, mas não depende do período $T\,$. Para pequenas oscilações, o ganho é dado por:
* $\lim _{A\to 0}{\tilde {k}}(A)=\left.{\frac {df(v_{i})}{dv_{i}}}\right|_{v_{i}=0}>k_{c}\,$
Se a função $f\,$ tiver derivada segunda negativa, então ${\tilde {k}}(A)\,$ é uma função decrescente em $A\,$. Vamos supor que existe uma amplitude crítica $A_{c}\,$ tal que:
* ${\tilde {k}}{A_{c}}\left\{{\begin{array}{ll}>k_{c},&A<A_{c}\\=k_{c},&A=A_{c}\\<k_{c},&A>A_{c}\end{array}}\right.$
então a solução $A_{c}\sin(w_{o}t)\,$ aproxima um ciclo limite estável da equação.