# Adjunção (teoria das categorias)

Diagrama comutativo da condição de naturalidade de φ :
* ${\begin{array}{r l c r l}&\hom _{D}(F(c),d)&\cong &\hom _{C}(c,G(d))\\{\scriptstyle k\circ -\circ F(h)}&\downarrow &&\downarrow &{\scriptstyle G(k)\circ -\circ h}\\&\hom _{D}(F(c'),d')&\cong &\hom _{C}(c',G(d'))\\\end{array}}$
Na teoria das categorias, uma adjunção $(F,G,\phi ):C\rightharpoonup D$ é uma tripla consistindo de dois functores $F:C\rightarrow D$, $G:D\rightarrow C$ e uma família de isomorfismos $\phi _{c,d}:\hom _{D}(F(c),d)\cong \hom _{C}(c,G(d))$ natural em $(c,d)$; a condição de naturalidade é expressa por
    $G(k)\circ \phi _{c,d}(f)\circ h=\phi _{c',d'}(k\circ f\circ F(h))$ para cada $f:F(c)\to d$, $k:d\to d'$ e $h:c'\to c$,
ou equivalentemente por
    $k\circ \phi _{c,d}^{-1}(g)\circ F(h)=\phi _{c',d'}^{-1}(G(k)\circ g\circ h)$ para cada $g:c\to G(d)$, $k:d\to d'$ e $h:c'\to c$.
Nesse caso, $F$ é dito adjunto esquerdo a $G$, e $G$ é dito adjunto direito a $F$, e escreve-se $F\dashv G$.
Segundo Saunders Mac Lane, "functores adjuntos são onipresentes". Com efeito, vários conceitos da matemática, como grupos livres, corpo de quocientes e completação de espaços métricos são casos particulares do conceito de adjunção.

## Unidade e counidade

Dada adjunção $(F,G,\phi ):C\rightharpoonup D$, a unidade e a counidade são, respectivamente, transformações naturais $\eta :1{\dot {\rightarrow }}GF$, $\epsilon :FG{\dot {\rightarrow }}1$, com componentes: $\eta _{c}=\phi _{c,F(c)}(1_{F(c)}):c\rightarrow G(F(c))$ $\epsilon _{d}=\phi _{G(d),d}^{-1}(1_{G(d)}):F(G(d))\rightarrow d$ para cada $c\in C,d\in D$. Têm-se as igualdades
    $\phi _{c,d}(f)=G(f)\circ \eta _{c}$ para cada $f:F(c)\to d$,
além de
    $\phi _{c,d}^{-1}(g)=\epsilon _{d}\circ F(g)$ para cada $g:c\to G(d)$.
Isto implica as identidades triangulares, isto é, os dois diagramas abaixo comutam: ${\begin{array}{c c l c r c c}F&{\xrightarrow {F\eta }}&FGF&\,&GFG&{\xleftarrow {\eta G}}&G\\&_{1}\searrow &\downarrow \epsilon F&&G\epsilon \downarrow &\swarrow _{1}\\&&F&&G\end{array}}$

## Caracterizações alternativas
### Por setas universais

Seja functor $G:D\to C$. Supõe-se que, para cada $c\in C$, há objeto $f_{c}\in D$ e seta universal $\eta _{c}:c\to G(f_{c})$ de $c$ ao functor $G$, isto é, representação $G(-)\circ \eta _{c}:\hom _{D}(f_{c},-)\cong \hom _{C}(c,G(-)).$ Então, existe única adjunção $(F,G,\phi ):C\rightharpoonup D$ tal que $F(c)=f_{c}$ para cada $c\in C$ e tal que $\eta _{c}$ são as componentes da unidade.
Dualmente, dado functor $F:C\to D$ tal que, para cada $d\in D$, há objeto $g_{d}\in C$, e seta universal $\epsilon _{d}:F(g_{d})\to d$ do functor $F$ a $d$, existe única adjunção $(F,G,\phi ):C\rightharpoonup D$ tal que $G(d)=g_{d}$ para cada $d\in D$ e tal que $\epsilon _{d}$ são as componentes da counidade.

### Por unidade e counidade

Sejam functores $F:C\to D$, $G:D\to C$, e supõe-se que há transformações naturais $\eta :1{\dot {\to }}GF$, $\epsilon :FG{\dot {\to }}1$ satisfazendo as identidades triangulares acima. Então, existe única adjunção $(F,G,\phi ):C\rightharpoonup D$ que tem $\eta$ como unidade e $\epsilon$ como counidade.

## Exemplos

* O functor $U:{\mathsf {Grp}}\to {\mathsf {Set}}$, levando cada grupo ao correspondente conjunto de elementos, tem adjunto esquerdo $F:{\mathsf {Set}}\to {\mathsf {Grp}}$, que leva cada conjunto $X$ ao grupo livre em $X$. A unidade $\eta :1{\dot {\to }}UF$ é a "inserção de geradores", e a counidade $\epsilon :FU{\dot {\to }}1$ é a "avaliação de expressões".
* Denote por ${\mathsf {Met}}$ a categoria de espaços métricos e isometrias, e por ${\mathsf {CompMet}}$ a subcategoria plena de espaços métricos completos. Então, a inclusão $U:{\mathsf {CompMet}}\to {\mathsf {Met}}$ tem adjunto esquerdo $C:{\mathsf {Met}}\to {\mathsf {CompMet}}$, levando cada espaço métrico a sua completação. A unidade $\eta :1{\dot {\to }}UC$ é a "inclusão na completação", e a counidade $\epsilon :CU{\dot {\to }}1$ evidencia que cada espaço métrico completo é a sua própria completação.
* Cada pré-ordem pode ser considerada como uma categoria em que $\hom(a,b)$ tem no máximo um elemento, e tem um precisamente quando $a\leq b$. Um functor entre pré-ordens é então uma função crescente. Uma adjunção entre pré-ordens é chamada conexão de Galois:$F(c)\leq d\iff c\leq 'G(d).$A unidade e a counidade correspondem às desigualdades $c\leq G(F(c))$, $F(G(d))\leq d$, respectivamente. Quando a pré-ordem é uma ordem parcial, as identidades triangulares implicam $c=F(G(F(c)))$ e $d=G(F(G(d)))$. Eis exemplos de conexões de Galois:
** Dada função $f:A\to B$, há uma adjunção entre a imagem e a pré-imagem:$f^{\rightarrow }(A')\subseteq B'\iff A'\subseteq f^{\leftarrow }(B')$para cada $A'\subseteq A$, $B'\subseteq B$.
** Seja extensão de corpo $k\subseteq F$. Para cada corpo intermediário $k\subseteq E\subseteq F$, denota-se por $\mathrm {Aut} _{E}{F}$ o conjunto dos automorfismos de $F$ fixando cada elemento de $E$, e, para cada subgrupo $G\subseteq \mathrm {Aut} _{k}{F}$, denota-se por $F^{G}$ o corpo dos elementos de $F$ que são fixados por cada automorfismo em $G$. Então,$\mathrm {Aut} _{E}{F}\supseteq G\iff E\subseteq F^{G}.$Este exemplo, proveniente da teoria de Galois, é o que nomeia o conceito.

## Propriedades
### Adjunção e limites

Dada adjunção $(F,G,\phi ):C\rightharpoonup D$, o adjunto direito $G$ preserva os limites de cada $K:J\to D$. A demonstração se resume na sequência de isomorfismos naturais: $\mathrm {Cone} (-,GK)\cong \mathrm {Cone} (F(-),K)\cong \hom _{D}(F(-),\lim K)\cong \hom _{D}(-,G(\lim K)).$ Dualmente, o adjunto esquerdo $F$ preserva todos os colimites.

### Unicidade do functor adjunto

Dadas adjunções $(F,G,\phi ,\eta ,\epsilon ):C\rightharpoonup D$ e $(F',G,\phi ',\eta ',\epsilon '):C\rightharpoonup D$, existe único isomorfismo natural $\theta :F{\dot {\cong }}F'$ comutando com as unidades e as counidades:
    $\eta '=G\theta \cdot \eta$, $\epsilon =\epsilon '\cdot \theta G$.

### Composição de adjunções

A composição de duas adjunções $(F,G,\eta ,\epsilon ):C\rightharpoonup D$ e $(F',G',\eta ',\epsilon '):D\rightharpoonup E$ é a adjunção:
    $(F'F,GG',G\eta 'F\cdot \eta ,\epsilon '\cdot F'\epsilon G'):C\rightharpoonup E$.

### Transformações de adjunções

Dadas adjunções $(F,G,\phi ,\eta ,\epsilon ):C\rightharpoonup D$ e $(F',G',\phi ',\eta ',\epsilon '):C'\rightharpoonup D'$, um mapeamento da primeira adjunção à segunda é uma dupla de functores $K:D\to D',L:C\to C'$, tal que:
* É diagrama comutativo: ${\begin{array}{r c r c r}D&{\xrightarrow {G}}&C&{\xrightarrow {F}}&D\\K\downarrow &&L\downarrow &&K\downarrow \\D'&{\xrightarrow {G'}}&C'&{\xrightarrow {F'}}&D'\end{array}}$
* Alguma das (logo cada uma das) três condições a seguir vale:
** $L\eta =\eta 'L$.
** $\epsilon 'K=K\epsilon$.
** Para cada $c,d$, é diagrama comutativo: ${\begin{array}{c}\hom _{D}(F(c),d)&{\overset {\phi }{\cong }}&\hom _{C}(c,G(d))\\K\downarrow &&\downarrow L\\\hom _{D'}(K(F(c)),K(d))&&\hom _{C'}(L(c),L(G(d)))\\||&&||\\\hom _{D'}(F'(L(c)),K(d))&{\overset {\phi '}{\cong }}&\hom _{C'}(L(c),G'(K(d)))\end{array}}$
Dadas adjunções $(F,G,\phi ,\eta ,\epsilon )$, $(F',G',\phi ',\eta ',\epsilon '):C\rightharpoonup D$ (entre as mesmas categorias), duas transformações naturais $\sigma :F{\dot {\to }}F'$ e $\tau :G'{\dot {\to }}G$ são ditas conjugadas (para as dadas adjunções), ou formam um morfismo entre as adjunções, quando alguma das (logo cada uma das) condições a seguir vale:
* Para cada $c,d$, é diagrama comutativo:${\begin{array}{r c l}\hom _{C}(F'(c),d)&{\overset {\phi '}{\cong }}&\hom _{D}(c,G'(d))\\-\circ \sigma _{c}\downarrow &&\downarrow \tau _{d}\circ -\\\hom _{C}(F(c),d)&{\overset {\phi }{\cong }}&\hom _{D}(c,G(d))\end{array}}$
* $\tau$ é igual à composta $G'{\xrightarrow {\eta G'}}GFG'{\xrightarrow {G\sigma G'}}GF'G'{\xrightarrow {G\epsilon '}}G$.
* $\sigma$ é igual à composta $F{\xrightarrow {F\eta '}}FG'F'{\xrightarrow {F\tau F'}}FGF'{\xrightarrow {\epsilon F'}}F'$.
* $\epsilon \cdot F\tau =\epsilon '\cdot \sigma G'$.
* $G\sigma \cdot \eta =\tau F'\cdot \eta '$.
Dada transformação natural $\sigma :F{\dot {\to }}F'$, há exatamente uma transformação natural $\tau :G'{\dot {\to }}G$ que é conjugada a $\sigma$. Similarmente, $\tau$ determina unicamente $\sigma$.

### Adjunções de duas variáveis

Dado functor F : A × B → C, tal que, para cada a ∈ A, o functor F(a, –) : B → C tem adjunto direito G$_a$ : C → B, existe único functor G : A$^{op}$ × C → B tal que G(a, –) = G$_a$ para cada a ∈ A e tal que os isomorfismos $\hom _{C}(F(a,b),c)\cong \hom _{B}(b,G(a,c))$ são naturais nas três variáveis a, b, c; a tupla consistindo dos functores F, G e do isomorfismo natural é chamada adjunção com parâmetro a.
Adicionalmente, se, para cada b ∈ B, F(–, b) : A → C também tem adjunto direito, similarmente há isomorfismos naturais $\hom _{C}(F(a,b),c)\cong \hom _{B}(b,G(a,c))\cong \hom _{A}(a,H(b,c));$diz-se, assim, que há uma adjunção de duas variáveis (não "três variáveis").

### Adjuntos fiéis e plenos

Numa adjunção (F, G, φ, η, ε) : C ⇀ D:
* G é fiel se e só se cada ε$_d$ é epimorfismo;
* G é pleno se e só se cada ε$_d$ é seção;
* G é pleno e fiel se e só se cada ε$_d$ é isomorfismo.
Com efeito, denotando-se por ρ$_{d,d'}$ a composta $\hom _{D}(d,d'){\xrightarrow {G}}\hom _{C}(G(d),G(d'))\cong \hom _{D}(F(G(d)),d'),$que é o mapeamento f ↦ f ∘ ε$_d$, G é fiel (respectivamente pleno) se e só se cada ρ$_{d,d'}$ é injetivo (respectivamente sobrejetivo), isto é, cada ε$_d$ é epimorfismo (respectivamente seção).
Dualmente,
* F é fiel se e só se cada η$_c$ é monomorfismo;
* F é pleno se e só se cada η$_c$ é retração;
* F é pleno e fiel se e só se cada η$_c$ é isomorfismo.
Em particular, uma equivalência adjunta é precisamente uma adjunção entre functores plenos e fiéis.

### Subcategoria reflexiva

Uma subcategoria D de uma categoria C é dita reflexiva quando é subcategoria plena e a inclusão D → C admite adjunto esquerdo L : C → D, chamado refletor. (Alguns autores não exigem que a subcategoria seja plena.) Já que a inclusão é functor pleno e fiel, a counidade L(d) → d é isomorfismo (o refletor "fixa" cada objeto de D).
Como exemplo, a categoria dos espaços compactos de Hausdorff é subcategoria reflexiva da categoria dos espaços topológicos; o refletor leva cada espaço a sua compactificação de Stone–Čech.
Dualmente, uma subcategoria plena é correflexiva quando a inclusão tem adjunto direito. Por exemplo, a subcategoria plena dos grupos abelianos de torção (isto é, os grupos abelianos nos quais todo elemento tem ordem finita) é correflexiva na categoria dos grupos abelianos.
Nota de terminologia: Alguns autores trocaram os significados de "reflexiva" e "correflexiva".

### Mônade associada

Cada adjunção (F, G, η, ε) : C ⇀ D associa-se a uma mônade, de endofunctor G ∘ F : C → C, de unidade $\eta :1{\dot {\to }}GF$ e de multiplicação $G\epsilon F:(GF)^{2}{\dot {\to }}GF$.

## Existência de adjuntos

O teorema do functor adjunto de Freyd diz que, dada $D$ categoria pequeno-completa, na qual todos os conjuntos $\hom$ são pequenos, e dada $C$ categoria qualquer, um functor $G:D\to C$ tem adjunto esquerdo se e só se é pequeno-contínuo e satisfaz:
    Para cada $x\in C$, existe conjunto pequeno $I$ e família de setas $\{f_{i}:x\to G(a_{i})\}_{i\in I}$ tal que, para cada seta $h:x\to G(a)$, há $i\in I,t:a_{i}\to a$ tais que $h=G(t)\circ f_{i}$.
O teorema especial do functor adjunto diz que, dada D categoria pequeno-completa e com conjuntos hom pequenos, e dada C categoria com conjuntos hom pequenos, tais que D tem família cosseparadora pequena e toda coleção de monomorfismos de mesmo contradomínio em D tem produto fibrado (isto é, toda coleção de subobjetos tem ínfimo), então cada functor G : D → C pequeno-contínuo e preservando os produtos fibrados de monomorfismos tem adjunto esquerdo.
Uma versão alternativa, de hipóteses mais restritivas, é: Dada D categoria pequeno-completa, com conjuntos hom pequenos, com cosseparador pequeno e tal que, para cada d ∈ D, a coleção de subobjetos de d pode ser indexada por um conjunto pequeno, e dada C categoria com conjuntos hom pequenos, um functor G : D → C tem adjunto esquerdo se e só se é pequeno-contínuo.
Os teoremas são consequências dos teoremas da existência de objeto inicial.
A seguir, exemplos de aplicações desses teoremas.
* Denota-se por $U:{\mathsf {Grp}}\to {\mathsf {Set}}$ o functor "esquecidiço". Pode-se mostrar que U estritamente cria todos os limites pequenos, logo é pequeno-contínuo e ${\mathsf {Grp}}$ é pequeno-completa. É claro que ${\mathsf {Grp}}$ tem conjuntos hom pequenos. Seja X conjunto pequeno. Seja {A$_i$} família de representantes das classes de isomorfismo de grupos que podem ser gerados por no máximo card X elementos. As inclusões dos geradores {f$_i$ : X → U(A$_i$)} satisfazem a condição requerida. Segue que U tem adjunto esquerdo, e a existência de grupos livres.
* Denota-se por $G:{\mathsf {CompHaus}}\to {\mathsf {Top}}$ o functor de inclusão, da categoria dos espaços compactos de Hausdorff à categoria dos espaços topológicos. Pode-se mostrar que a categoria dos espaços compactos de Hausdorff é pequeno-completa (usa-se o teorema de Tychonoff para mostrar a existência de produtos), e claramente ambas têm conjuntos hom pequenos. O lema de Urysohn implica que { é cosseparador para ${\mathsf {CompHaus}}$. As outras hipóteses são facilmente verificadas. Segue que G tem adjunto esquerdo, chamado compactificação de Stone–Čech.