# Álgebra multilinear

Em matemática, álgebra multilinear amplia os métodos da álgebra linear. Assim como a álgebra linear é construída sob o conceito de um vetor e desenvolve a teoria de espaços vetoriais, a álgebra multilinear baseia-se no conceito de um tensor e desenvolve a teoria de espaços tensoriais.

## Aplicações Multilineares
### Definição

Sejam $V_{1},\cdots ,V_{k},W$ espaços vetoriais sobre um corpo $\mathbb {K}$. Uma aplicação $f:V_{1}\times \cdots \times V_{k}\to W$ é dita multilinear (ou k-linear) se ela é linear em cada uma de suas componentes, isto é, se para todos $v_{1}\in V_{1},\cdots ,v_{i},v_{i}'\in V_{i},\cdots ,v_{k}\in V_{k}$ e $\alpha \in \mathbb {K}$, valem
$f(v_{1},\cdots ,v_{i}+v_{i}',\cdots ,v_{k})=f(v_{1},\cdots ,v_{i},\cdots ,v_{k})+f(v_{1},\cdots ,v_{i}',\cdots ,v_{k})$
$f(v_{1},\cdots ,\alpha v_{i},\cdots ,v_{k})=\alpha f(v_{1},\cdots ,v_{i},\cdots ,v_{k})$
É comum encontrar a definição trabalhando sobre $R$-módulos, em que $R$ é um anel comutativo com unidade, ao invés de sobre um corpo $\mathbb {K}$. Neste caso a definição é exatamente a mesma.

### Exemplos

* Toda transformação linear é um caso particular de uma aplicação 1-linear. Qualquer aplicação $f:V_{1}\times \cdots \times V_{k}\to W$ nula, para quaisquer espaços $V_{1},\cdots ,V_{k},W$ (sobre um mesmo corpo) é k-linear.
* Seja $\mathbb {K}$ um corpo qualquer e $m$ um inteiro positivo qualquer. $\mathbb {K}$ admite uma estrutura de espaço vetorial sobre ele mesmo. Defina $f:\mathbb {K} \times \cdots \times \mathbb {K} \to \mathbb {K}$ por $f(x_{1},\cdots ,x_{m})=x_{1}\cdots x_{m}$ o produto dos elementos $x_{1},\cdots ,x_{m}$. É fácil verificar que esta aplicação é m-linear.
* Mais geralmente, seja $V$ um espaço vetorial sobre $\mathbb {K}$ (não necessariamente de dimensão finita) e fixe $f_{1},\cdots ,f_{m}\in V^{\ast }$ funcionais lineares quaisquer. Então a aplicação $F:V\times \cdots \times V\to \mathbb {K}$, definida por $F(v_{1},\cdots ,v_{n})=f_{1}(v_{1})\cdots f_{n}(v_{n})$ é n-linear, como pode ser verificado facilmente.
* Sejam $n,m$ inteiros positivos. Os conjuntos $\mathbb {M} _{n}(\mathbb {K} )$ e $\mathbb {M} _{m}(\mathbb {K} )$, de todas as matrizes $n\times n$ e $m\times m$, respectivamente, sobre o corpo $\mathbb {K}$, formam um $\mathbb {K}$-espaço vetorial. Fixe uma matriz $A$, $n\times m$ com coeficientes em $\mathbb {K}$, e defina a aplicação $f:\mathbb {M} _{n}(\mathbb {K} )\times \mathbb {M} _{m}(\mathbb {K} )\to \mathbb {M} _{nm}(\mathbb {K} )$ por $f(X,Y)=XAY$ das propriedades de produto (usual) de matrizes (herdadas da estrutura de $\mathbb {K}$), segue que $f$ é uma aplicação 2-linear (ou bilinear).
* Considere o espaço $\mathbb {K} ^{n}$. Se $\alpha _{1}=(a_{11},\cdots ,a_{1n}),\cdots ,\alpha _{n}=(a_{n1},\cdots ,a_{nn})\in \mathbb {K} ^{n}$ são vetores (representados na base canônica), então a aplicação $f:\mathbb {K} ^{n}\times \cdots \times \mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K}$, definida por $f(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})=\det \left({\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots &a_{nn}\\\vdots &&\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{array}}\right)$ é n-linear, como pode ser verificado das propriedades clássicas de determinante. Este exemplo é importante porque é, em certo sentido, a única aplicação multilinear alternada.
* Este é um importante exemplo. Sejam $V_{1},\cdots ,V_{k},W$ $\mathbb {K}$-espaços vetoriais, $f,g:V_{1}\times \cdots \times V_{k}\to W$ k-lineares e $\alpha \in \mathbb {K}$. É fácil verificar que as aplicações $f+g$ e $\alpha f$, definidas por$(f+g)(v_{1},\cdots ,v_{k})=f(v_{1},\cdots ,v_{k})+g(v_{1},\cdots ,v_{k})$$(\alpha f)(v_{1},\cdots ,v_{k})=\alpha f(v_{1},\cdots ,v_{k})$ são k-lineares. Este exemplo mostra que o espaço de todas as aplicações k-lineares de $V_{1}\times \cdots \times V_{k}$ para $W$ é um subespaço vetorial, do espaço de todas as aplicações nestes domínio e contradomínio. Costuma-se denotar este espaço por ${\mathcal {L}}(V_{1},\cdots ,V_{k};W)$; quando temos um mesmo espaço $V$ repetido k vezes, denota-se simplesmente por ${\mathcal {L}}_{k}(V;W)$; e quando o contradomínio é o corpo de escalares, denota-se simplesmente por ${\mathcal {L}}(V_{1},\cdots ,V_{k})$ ou ${\mathcal {L}}_{k}(V)$.
Obs.: Todos os exemplos acima ainda valem, trocando "$\mathbb {K}$-espaço vetorial" por "$R$-módulo" e "corpo $\mathbb {K}$" por "anel comutativo com unidade $R$", e a verificação da multilinearidade é exatamente a mesma em ambos os casos.

### Construção Universal

Obs.: Tudo o que será feito adiante ainda valerá trocando os nomes "$\mathbb {K}$-espaço vetorial" por "$R$-módulo" e "corpo $\mathbb {K}$" por "anel comutativo com unidade $R$". Isto se deve ao fato de todas as propriedades utilizadas dos espaços vetoriais serem exigidos nos R-módulos (os espaços vetoriais são um caso particular de módulo - módulos sobre corpos). Uma propriedade que um espaço vetorial carrega e um R-módulo geral não é a divisão por escalar não nulo, isto é, num corpo qualquer sempre podemos dividir por qualquer elemento não nulo, mas num anel comutativo com unidade geral não. Por exemplo em $\mathbb {Z}$, nem sempre podemos dividir por $2$.
Considere o seguinte enunciado universal: "dados $V_{1},\cdots ,V_{k}$ espaços vetoriais sobre $\mathbb {K}$, existe um par $(\phi ,M)$, em que $M$ é um $\mathbb {K}$-espaço vetorial e $\phi :V_{1}\times \cdots \times V_{k}\to M$ é k-linear, tal que, dada qualquer $f:V_{1}\times \cdots \times V_{k}\to N$ k-linear, existe única $h:M\to N$ linear satisfazendo $f=h\circ \phi$." O par $(\phi ,M)$ "transforma" qualquer aplicação k-linear em uma aplicação linear. A construção do par $(\phi ,M)$ pode ser feita da seguinte maneira:
Chame de $V$ ao espaço vetorial formal gerado pelos elementos $V_{1}\times \cdots \times V_{k}$ sobre o corpo $\mathbb {K}$, isto é, os elementos de $V$ são somas finitas de elementos da forma $\alpha \cdot (v_{1},\cdots ,v_{k})$, em que $\alpha \in \mathbb {K}$ e $(v_{1},\cdots ,v_{k})\in V_{1}\times \cdots \times V_{k}$, ou seja, o produto de um elemento do corpo com um elemento de $V_{1}\times \cdots \times V_{k}$. Por exemplo, em $V$, $1\cdot (v_{1},0,\cdots ,0)+1\cdot (v_{1}',0,\cdots ,0),1\cdot (v_{1}+v_{1}',0,\cdots ,0)$ e $1\cdot (2v_{1},0,\cdots ,0),2\cdot (v_{1},0,\cdots ,0)$ são elementos distintos em $V$. No primeiro par, o primeiro elemento é a soma formal de dois elementos do produto $V_{1}\times \cdots \times V_{k}$ e o segundo elemento é um único elemento em $V_{1}\times \cdots \times V_{k}$, e são totalmente diferentes. No segundo par, o primeiro elemento é 1 multiplicado por um elemento, e o segundo, é 2 multiplicado por um outro elemento, e são totalmente diferentes. Considere o subespaço $W<V$ gerado pelos seguintes elementos:
$(v_{1},\cdots ,v_{i},\cdots ,v_{k})+(v_{1},\cdots ,v_{i}',\cdots ,v_{k})-(v_{1},\cdots ,v_{i}+v_{i}',\cdots ,v_{k})$ $(v_{1},\cdots ,\alpha v_{i},\cdots ,v_{k})-\alpha (v_{1},\cdots ,v_{i},\cdots ,v_{k})$
em que variam $\alpha \in \mathbb {K}$ e $v_{1}\in V_{1},\cdots ,v_{i},v_{i}'\in V_{i},\cdots ,v_{k}\in V_{k}$. Defina o espaço quociente $M=V/W$ e a aplicação $\phi :V_{1}\times \cdots \times V_{k}\to M$ de forma canônica. Por construção teremos $\phi$ k-linear, e afirmamos que o par $(\phi ,M)$ é o par que resolve o enunciado universal.
De fato, seja $f:V_{1}\times \cdots \times V_{k}\to N$ k-linear qualquer. Defina a aplicação $h:M\to N$, em que se $(v_{1},\cdots ,v_{k})\in V_{1}\times \cdots \times V_{k}$, então $h{\overline {(v_{1},\cdots ,v_{k})}}=f(v_{1},\cdots ,v_{k})$. Assim sendo, $h$ pode ser estendida por linearidade sobre $U$, e então, definida unicamente em $M$. Note que por $f$ ser k-linear, $h$ está bem definida. Por construção temos $f=h\circ \phi$. Além disso, suponha $h'$ também satisfazendo $f=h'\circ \phi$. Então, em particular, $h,h'$ coincidem em todos os elementos ${\overline {(v_{1},\cdots ,v_{k})}}\in M$, e então, $h=h'$. Isso conclui a construção.
Desta construção, temos que o par $(\phi ,M)$ é único. De fato, se $(\phi ',M')$ é outro par que satisfaz o enunciado universal, então, por $\phi ':V_{1}\times \cdots \times V_{k}\to M'$ ser k-linear, existe $h:M\to M'$ linear tal que $\phi '=h\circ \phi$. Do mesmo modo, existe $h':M'\to M$ linear tal que $\phi =h'\circ \phi '$. Destas relações, segue que $h\circ h'\circ \phi '=\phi '=1_{M'}\circ \phi '$, em que $1_{M'}$ é a identidade em $M'$. Pela unicidade de $1_{M'}$ (pois deve existir uma única aplicação linear $1_{M'}:M'\to M'$ tal que $\phi '=1_{M'}\circ \phi '$), teremos necessariamente $1_{M'}=h\circ h'$. Da mesma forma teremos $1_{M}=h'\circ h$, de onde se conclui que $h$ é um isomorfimos com inversa $h'$. Daí $M$ e $M'$ são isomorfos, e tem-se a unicidade.

## Produto tensorial

Existem muitas maneiras (equivalentes) de definir "produto tensorial". Apresentaremos alguns. Como de costume, tudo o que for feito poderá ser repetido trocando os termos "$\mathbb {K}$-espaço vetorial" por "$R$-módulo" e "corpo $\mathbb {K}$" por "anel comutativo com unidade $R$". A única exceção é quando fizermos referência à base de espaço vetorial, pois devemos exigir "anel comutativo com unidade livre".

### Construção universal

Sejam $V_{1},\cdots ,V_{k}$ espaços vetoriais sobre um corpo $\mathbb {K}$. Considere o (único) par $(\phi ,M)$ que resolve o enunciado universal acima. O produto tensorial de $V_{1},\cdots ,V_{k}$ é definido como o espaço vetorial $M$, e é denotado por $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{k}$. Se $v_{1}\in V_{1},\cdots ,v_{k}\in V_{k}$, então denota-se $\phi (v_{1},\cdots ,v_{k})$ por $v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{k}$
Proposição: Seguindo a notação acima, os elementos $\phi (v_{1},\cdots ,v_{k})=v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{k}$ geram o espaço $M=V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{k}$, variando os elementos $v_{1}\in V_{1},\cdots ,v_{k}\in V_{k}$ Demonstração: Chame de $N$ o subespaço de $M$ gerado pelos elementos $v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{k}$, como no enunciado, e considere o espaço quociente $W=M/N$. Isto induz uma aplicação multilinear $\pi :V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{k}\to W$ (a projeção natural), e considere a aplicação nula $g:V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{k}\to W$. Note que $\pi \circ \phi =g\circ \phi$, e por construção de $M$, necessariamente $\pi =g$, donde se conclui a afirmação.
Corolário: Se $u_{1}^{i},\cdots ,u_{m_{i}}^{i}$ formam uma base para $V_{i}$, $i=1,\cdots ,k$, então os elementos $u_{i_{1}}^{1}\otimes \cdots \otimes u_{i_{k}}^{k}$ geram $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{k}$, para $i_{1}=1,\cdots ,m_{k},\cdots ,i_{k}=1,\cdots ,m_{k}$.

### Construção Concreta

Sejam $V_{1},\cdots ,V_{k}$ $\mathbb {K}$-espaços vetoriais e considere $V_{1}^{\ast },\cdots ,V_{k}^{\ast }$ os seus duais algébricos. O produto tensorial de $V_{1}^{\ast },\cdots ,V_{k}^{\ast }$, denotado por $V_{1}^{\ast }\otimes \cdots \otimes V_{k}^{\ast }$, é o $\mathbb {K}$-espaço vetorial gerado pelos elementos $f_{1}\cdots f_{k}$ (produto de funções), em que se variam $f_{1}\in V_{1}^{\ast },\cdots ,f_{k}\in V_{k}^{\ast }$.