# Simulação sequencial

Fazendo parte dos processos de simulação estocástica, simulação sequencial refere-se ao processo de simulação, a partir de uma amostragem referênciada espacialmente, de um dado conjunto de nós de uma malha (grid) utilizando um caminho aleatório sem repetição e acrescentando à amostragem inicial os valores simulados à medida que forem sendo calculados. Os valores de cada nó são, habitualmente, simulados por meio de um processo de escolha aleatória da função de distribuição de probabilidades (fdp) local re-amostrada a partir da fdp dos dados originais usando a média e variância local tipicamente obtida com a resolução de um sistema de krigagem. Dai que este seja um processo comummente utilizado em métodos de geoestatística (embora não sendo exclusivo desta área), nomeadamente na simulação sequencial gaussiana (SGS) e simulação sequencial directa (DSS). Tem como principal objectivo o estudo da incerteza sobre os parâmetros usados na estimação.

## Definição

O procedimento da simulação sequencial pode ser resumida em dois passos essenciais:
* Geração de um caminho aleatório sem repetição
* Escolha aleatória sobre a fdp local no nó a simular (Ripley, 1987)
Uma simulação sequencial, embora dependendo em larga escala da geração de números aleatórios, está condicionada pelos parâmetros impostos no seu processo de estimação. Assim em métodos de geoestatística espera-se que a simulação sequencial tenha outras consequências como o respeitar a fdp e o variograma imposto. Concretamente, se $Z_{c}(x)$ for o conjunto dos valores simulados e $Z(x_{\alpha })$, com $\alpha =\{1,2,3,...,n\}$, para os $n$ valores experimentais, a simulação deve cumprir as seguintes condições (Soares, 2006):
* Para qualquer valor de probabilidade $z$:
    $prob\{Z(x_{\alpha })<z\}=prob\{Z_{c}(x)<z\}\quad$
* Sendo $\gamma (h)$ o variograma ajustado aos valores experimentais, e $\gamma _{c}(h)$ o dos valores simulados então:
    $\gamma (h)=\gamma _{c}(h)\quad$
* Para qualquer local onde exista um valor experimental (uma observação ou amostra), $Z(x_{\alpha })$, o valor simulado, $Z_{c}(x)$, deverá ser igual obrigando não só a coincidência local entre amostras e nós simulados mas também a influência da amostragem no processo de simulação:
    $Z(x_{\alpha })=Z_{c}(x_{\alpha })\quad$
Esta última condição está também intimamente ligada ao teorema de Bayes especialmente na sua versão estendida teorema da probabilidade total (também designada lei das probabilidades totais) pois cada novo nó a ser simulado parte dos que já o foram anteriormente implicando necessariamente pela última condição acima exposta a dependência para com os dados experimentais. Assim sendo a simulação de $F(Z_{2})$ é função de $F(Z_{2})$ sabendo que $F(Z_{1})$ já existe:
    $F(Z_{2})=F(Z_{2}|Z_{1})F(Z_{1})\quad$
Que generalizando para $n$ variáveis temos:
    $F(Z_{1},Z_{2},Z_{3},...,Z_{n})=F(Z_{1})F(Z_{2}|Z_{1})F(Z_{3}|Z_{1},Z_{2})...F(Z_{n}|Z_{1},Z_{2},...,Z_{n-1})\quad$

## Estudo de incerteza

A abordagem mais comum para quantificar a incerteza em recurso a $N$ simulações para $n$ nós é o de calcular a variância para cada um dos nós considerando apenas os $N$ valores simulados para esse mesmo nó. Não é, no entanto, exclusivo desta medida de dispersão estatística. Qualquer indicador estatístico poderá ser útil considerando o objectivo particular por estar a ser usado.

## Discussão

O método mais usado em geoestatística de simulação sequencial é o de simulação sequencial gaussiana, muito embora existem outros como o já citado simulação sequencial directa. Tanto um como outro evitam o enviesamento das soluções podendo dizer que usando os mesmos parâmetros de simulação a cada realização estamos a criar imagens equiprováveis umas das outras.
Estes processos de simulação sequencial não determinam qualquer critério na ordem escolhida para o caminho aleatório sem repetição (random path ou random walk) muito embora nós já simulados poderem ser usados no cálculo de nós ainda a simular implicando, necessariamente, que esta ordem tem influência no modelo simulado final. Esta influência é minimizada pelo facto de já se ter concluído que o caminho aleatório é o processo estocástico com o menor efeito no modelo final conforme maior for o número de simulações (realizações) feitas. Por esse motivo alternativas foram consideradas como caminhos não aleatórios ou caminhos em espiral, de maneira a reduzir a custo computacional das operações de simulação sequencial, no entanto a custo de má reprodução do variograma imposto no processo de simulação.