# Sistema dinâmico de Liouville

Em mecânica clássica, um sistema dinâmico de Liouville é um sistema dinâmico com solução exata no qual a energia cinética T e a energia potencial V podem ser expressas em termos de s coordenadas generalizadas q como segue:
    $T={\frac {1}{2}}\left\{u_{1}(q_{1})+u_{2}(q_{2})+\cdots +u_{s}(q_{s})\right\}\left\{v_{1}(q_{1}){\dot {q}}_{1}^{2}+v_{2}(q_{2}){\dot {q}}_{2}^{2}+\cdots +v_{s}(q_{s}){\dot {q}}_{s}^{2}\right\}$
    $V={\frac {w_{1}(q_{1})+w_{2}(q_{2})+\cdots +w_{s}(q_{s})}{u_{1}(q_{1})+u_{2}(q_{2})+\cdots +u_{s}(q_{s})}}$
A solução deste sistema consiste em um conjunto de equações separáveis integráveis
    ${\frac {\sqrt {2}}{Y}}\,dt={\frac {d\varphi _{1}}{\sqrt {E\chi _{1}-\omega _{1}+\gamma _{1}}}}={\frac {d\varphi _{2}}{\sqrt {E\chi _{2}-\omega _{2}+\gamma _{2}}}}=\cdots ={\frac {d\varphi _{s}}{\sqrt {E\chi _{s}-\omega _{s}+\gamma _{s}}}}$
onde E = T + V é a energia conservada e os $\gamma _{r}$ são constantes. Como descrito abaixo, as variáveis foram trocadas de q$_r$ para φ$_r$, e as funções u$_r$ e w$_r$ substituídas por seus homólogos χ$_r$ e ω$_r$. Esta solução possiu diversas aplicações tais como a órbita de pequenos planetas em torno duas estrelas fixas sob a influência da gravidade newtoniana. O sistema dinâmico de Liouville é uma das diversas coisas nomeadas em referência a Joseph Liouville, um eminente matemático francês.

## Exemplo de órbitas bicêntricas

Em mecânica clássica, o problema de Euler dos três corpos descreve o movimento de uma partícula no plano sob a influência de dois centros fixos, cada qual atrai a partícula com a força do inverso do quadrado tal como a gravitação ou lei de Coulomb. Exemplos do problema de bicentro incluem um planeta movendo-se ao redor de duas estrelas, ou um elétron movendo-se no campo elétrico de dois núcleos positivamente carregados, tal como o primeiro íon da molécula de hidrogênio H$_2$. A intensidade das duas atrações não podem ser iguais; assim, as duas estrelas devem ter massas diferentes ou os dois núcleos devem ter cargas diferentes.

### Solução

Seja o centro fixo de atração localizado ao longo do eixo x em ±a. A energia potencial da partícula em movimento é dada por
    $V(x,y)={\frac {-\mu _{1}}{\sqrt {\left(x-a\right)^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\mu _{2}}{\sqrt {\left(x+a\right)^{2}+y^{2}}}}.$
Os dois centros de atrações pode ser consideradas como o foco de um conjunto de elípses. Se cada centro for ausente, a partícula moveria-se em uma dessas elipses, como uma solução do problema de Kepler. Entretanto, de acordo com o teorema de Bonnet, as mesmas elipses são soluções para o problema de bicentro.
Introduzindo coordenadas elípticas,
    $x=a\cosh \xi \cos \eta ,$
    $y=a\sinh \xi \sin \eta ,$
a energia potencial pode ser escrita como
    $V(\xi ,\eta )={\frac {-\mu _{1}}{a\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}}-{\frac {\mu _{2}}{a\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)}}={\frac {-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}{a\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)}},$
e a energia cinética como
    $T={\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)\left({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}\right).$
Este é um sistema dinâmico de Liouville se ξ e η são tomados como φ$_1$ e φ$_2$, respectivamente; assim, a função Y é
    $Y=\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta$
e a função W
    $W=-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)$
Utilizando a solução geral para um sistema dinâmico de Liouville, obtemos
    ${\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right){\dot {\xi }}^{2}=E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma$
    ${\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)^{2}{\dot {\eta }}^{2}=-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma$
Introduzindo um parâmetro u pela fórmula
    $du={\frac {d\xi }{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }}}={\frac {d\eta }{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }}},$
resulta numa solução paramétrica
    $u=\int {\frac {d\xi }{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }}}=\int {\frac {d\eta }{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }}}.$
Desde que estas são integrais elípticas, as coordenadas ξ e η podem ser expressas como funções elípticas de u.

### Constante de movimento

O problema bicêntrica possui uma constante de movimento, nomeadamente,
    $r_{1}^{2}r_{2}^{2}\left({\frac {d\theta _{1}}{dt}}\right)\left({\frac {d\theta _{2}}{dt}}\right)-2c\left[\mu _{1}\cos \theta _{1}+\mu _{2}\cos \theta _{2}\right],$
a partir das quais o problema pode ser resolvido usando o método do último multiplicador.