# Lema de Borel-Cantelli

Em teoria das probabilidades, o lema de Borel–Cantelli é um teorema sobre sequências de eventos. Em geral, é um resultado na teoria da medida. É nomeado em referência a Émile Borel e Francesco Paolo Cantelli.

## Estabelecimento do lema para espaços de probabilidade

Fazendo-se (E$_n$) ser uma sequência de eventos em algum espaço de probabilidade.
O lema de Borel–Cantelli estabelece:
    Se a soma das probabilidade de E$_n$ é finita
       $\sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})<\infty ,$
    então a probabilidade que infinitamente muitos deles ocorram é 0, que é,
       $\Pr \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=0.\,$
Aqui, "lim sup" denota limite superior da sequência de eventos, e cada evento é um conjunto de resultados. Isto é, lim sup E$_n$ é o conjunto de resultados que ocorrem infinitamente muitas vezes dentro da sequência de eventos infinita (E$_n$). Explicitamente,
    $\limsup _{n\to \infty }E_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }E_{k}.$
O teorema entretanto afirma que se a soma das probabilidades dos eventos E$_n$ é finita, então o conjunto de todos os resultados que são "repetidos" infinitamente (muitas vezes) devem ocorrer com probabilidade zero. Note-se que nenhuma suposição de independência é requerida.

### Exemplo

Por exemplo, supondo que (X$_n$) seja uma sequência de variáveis aleatórias com Pr(X$_n$ = 0) = 1/n$^2$ para cada n. A probabilidade que X$_n$ = 0 ocorre por infinitamente muitos n é equivalente à probabilidade da intersecção de infinitamente muitos [X$_n$ = 0] eventes. A intersecção de tais infinitamente muitos eventos é um conjunto de resultados comuns a todos eles. Entretanto, a soma ∑Pr(X$_n$ = 0) é uma série convergente (de fato, é uma função zeta de Riemann que tende a π$^2$/6), e então o lema de Borel–Cantelli Lemma estabelece que o conjunto de resultados que são comuns a tais infinitamente muitos eventos ocorrem com probabilidade zero. Por isso, a probabilidade de X$_n$ = 0 ocorrendo para infinitamente muitos n é 0. Quase certamente (i.e., com probabilidade 1), X$_n$ é não nula para todos mas finitamente muitos n.

## Espaços de medida gerais

Para espaços de medida gerais, o lema de Borel–Cantelli toma a seguinte forma:
    Deixa μ ser uma medida sobre um conjunto X, com σ-álgebra F, e fazendo (A$_n$) ser uma sequência em F. Se
       $\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty ,$
    então
       $\mu \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0.\,$

## Resultado de conversão

Um resultado relacionado, algumas vezes chamado o segundo lema de Borel–Cantelli, é um conversão parcial do primeiro lema de Borel–Cantelli. Ele diz:
    Se os eventos E$_n$ são independente e a soma de probabilidades de E$_n$ diverge do infinito, então a probabilidade que infinitamente muitos deles ocorram é 1.
A suposição de independência pode ser enfraquecido a independência paritária, mas neste caso a demonstração é mais difícil.
O teorema do macaco infinito é um caso especial deste lema.
O lema pode ser aplicado para dar cobertura ao teorema em R$^n$. Especificamente (Stein 1993, Lemma X.2.1), se E$_j$ é uma coleção de subconjuntos mensurávei de Lebesgue de um conjunto compacto em R$^n$ tais que
    $\sum _{j}\mu (E_{j})=\infty ,$
então existe uma sequência F$_j$ de transformações
    $F_{j}=E_{j}+x_{j}$
tais que
    $\lim \sup F_{j}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}=\mathbb {R} ^{n}$
à parte de um conjunto de medida zero.

## Contrapartida

Outro resultado relacionado é o assim chamado contrapartida do lema de Borel–Cantelli. É uma contrapartida do Lema no sentido que fornece uma condição necessária e suficiente para o limite superior ser 1 por substituir uma suposição de independência pela suposição completamente diferente que $(A_{n})$ é monótona crescendo para índices suficientemente grandes. Este Lema afirma:
Fazendo-se $(A_{n})$ ser tal que $A_{k}\subseteq A_{k+1}$, e fazendo ${\bar {A}}$ denotar o complemento de $A$. Então a probabilidade de infinitamente muitos $A_{k}$ ocorre (que é, ao menos um $A_{k}$ ocorre) é um se e somente se existe uma sequência estritamente crescente de inteiros positivos $(t_{k})$ tal que
    $\sum _{k}\Pr(A_{t_{k+1}}|{\bar {A}}_{t_{k}})=\infty .$
Este simples resultado pode ser útil em problemas tais como no caso daqueles que envolvem precisar probabilidades para processos estocásticos com a escolha da sequência $(t_{k})$ normalmente sendo a essencial.