# Sedenião

Os sedeniões ou sedênios formam uma álgebra de dezesseis dimensões sobre os números reais. O conjunto dos sedeniões é denotado como $\mathbb {S} .$ Dois tipos são atualmente conhecidos:
* Sedeniões obtidos pela aplicação da construção de Cayley-Dickson;
* Sedeniões cônicos (álgebra-M de dezesseis dimensões), depois de Charles Musès - parte do seu conceito de hipernúmero.

## Sedeniões de Cayley-Dickson
### Aritmética

Como os octoniões (de Cayley-Dickson), a multiplicação de sedeniões de Cayley-Dickson não é nem comutativa nem associativa. Mas, em contraste com os octoniões, os sedeniões não têm nem mesmo a propriedade de serem alternativos. Eles têm, entretanto, a propriedade de serem associativos em relação à potenciação.
Todo sedenião é uma combinação linear real dos sedeniões unitários 1, e$_1$, e$_2$, e$_3$, e$_4$, e$_5$, e$_6$, e$_7$, e$_8$, e$_9$, e$_{10}$, e$_{11}$, e$_{12}$, e$_{13}$, e$_{14}$ e e$_{15}$, que formam uma base do espaço vetorial dos sedeniões.
Os sedeniões têm um elemento neutro da multiplicação (1) e inversos multiplicativos, mas eles não são uma álgebra da divisão. Isso porque eles têm divisores de zero; isso significa que dois números diferentes de zero podem ser multiplicados e ter um resultado igual a zero: um exemplo trivial é (e$_3$ + e$_{10}$) (e$_6$ - e$_{15}$). Todos os sistemas númericos hipercomplexos baseados na construção de Cayley-Dickson dos sedeniões contém divisores de zero.
A tabela de multiplicação desses sedeniões unitários é a seguinte:
| × | 1 | e$_1$ | e$_2$ | e$_3$ | e$_4$ | e$_5$ | e$_6$ | e$_7$ | e$_8$ | e$_9$ | e$_{10}$ | e$_{11}$ | e$_{12}$ | e$_{13}$ | e$_{14}$ | e$_{15}$ |
| 1 | 1 | e$_1$ | e$_2$ | e$_3$ | e$_4$ | e$_5$ | e$_6$ | e$_7$ | e$_8$ | e$_9$ | e$_{10}$ | e$_{11}$ | e$_{12}$ | e$_{13}$ | e$_{14}$ | e$_{15}$ |
| e$_1$ | e$_1$ | -1 | e$_3$ | -e$_2$ | e$_5$ | -e$_4$ | -e$_7$ | e$_6$ | e$_9$ | -e$_8$ | -e$_{11}$ | e$_{10}$ | -e$_{13}$ | e$_{12}$ | e$_{15}$ | -e$_{14}$ |
| e$_2$ | e$_2$ | -e$_3$ | -1 | e$_1$ | e$_6$ | e$_7$ | -e$_4$ | -e$_5$ | e$_{10}$ | e$_{11}$ | -e$_8$ | -e$_9$ | -e$_{14}$ | -e$_{15}$ | e$_{12}$ | e$_{13}$ |
| e$_3$ | e$_3$ | e$_2$ | -e$_1$ | -1 | e$_7$ | -e$_6$ | e$_5$ | -e$_4$ | e$_{11}$ | -e$_{10}$ | e$_9$ | -e$_8$ | -e$_{15}$ | e$_{14}$ | -e$_{13}$ | e$_{12}$ |
| e$_4$ | e$_4$ | -e$_5$ | -e$_6$ | -e$_7$ | -1 | e$_1$ | e$_2$ | e$_3$ | e$_{12}$ | e$_{13}$ | e$_{14}$ | e$_{15}$ | -e$_8$ | -e$_9$ | -e$_{10}$ | -e$_{11}$ |
| e$_5$ | e$_5$ | e$_4$ | -e$_7$ | e$_6$ | -e$_1$ | -1 | -e$_3$ | e$_2$ | e$_{13}$ | -e$_{12}$ | e$_{15}$ | -e$_{14}$ | e$_9$ | -e$_8$ | e$_{11}$ | -e$_{10}$ |
| e$_6$ | e$_6$ | e$_7$ | e$_4$ | -e$_5$ | -e$_2$ | e$_3$ | -1 | -e$_1$ | e$_{14}$ | -e$_{15}$ | -e$_{12}$ | e$_{13}$ | e$_{10}$ | -e$_{11}$ | -e$_8$ | e$_9$ |
| e$_7$ | e$_7$ | -e$_6$ | e$_5$ | e$_4$ | -e$_3$ | -e$_2$ | e$_1$ | -1 | e$_{15}$ | e$_{14}$ | -e$_{13}$ | -e$_{12}$ | e$_{11}$ | e$_{10}$ | -e$_9$ | -e$_8$ |
| e$_8$ | e$_8$ | -e$_9$ | -e$_{10}$ | -e$_{11}$ | -e$_{12}$ | -e$_{13}$ | -e$_{14}$ | -e$_{15}$ | -1 | e$_1$ | e$_2$ | e$_3$ | e$_4$ | e$_5$ | e$_6$ | e$_7$ |
| e$_9$ | e$_9$ | e$_8$ | -e$_{11}$ | e$_{10}$ | -e$_{13}$ | e$_{12}$ | e$_{15}$ | -e$_{14}$ | -e$_1$ | -1 | -e$_3$ | e$_2$ | -e$_5$ | e$_4$ | e$_7$ | -e$_6$ |
| e$_{10}$ | e$_{10}$ | e$_{11}$ | e$_8$ | -e$_9$ | -e$_{14}$ | -e$_{15}$ | e$_{12}$ | e$_{13}$ | -e$_2$ | e$_3$ | -1 | -e$_1$ | -e$_6$ | -e$_7$ | e$_4$ | e$_5$ |
| e$_{11}$ | e$_{11}$ | -e$_{10}$ | e$_9$ | e$_8$ | -e$_{15}$ | e$_{14}$ | -e$_{13}$ | e$_{12}$ | -e$_3$ | -e$_2$ | e$_1$ | -1 | -e$_7$ | e$_6$ | -e$_5$ | e$_4$ |
| e$_{12}$ | e$_{12}$ | e$_{13}$ | e$_{14}$ | e$_{15}$ | e$_8$ | -e$_9$ | -e$_{10}$ | -e$_{11}$ | -e$_4$ | e$_5$ | e$_6$ | e$_7$ | -1 | -e$_1$ | -e$_2$ | -e$_3$ |
| e$_{13}$ | e$_{13}$ | -e$_{12}$ | e$_{15}$ | -e$_{14}$ | e$_9$ | e$_8$ | e$_{11}$ | -e$_{10}$ | -e$_5$ | -e$_4$ | e$_7$ | -e$_6$ | e$_1$ | -1 | e$_3$ | -e$_2$ |
| e$_{14}$ | e$_{14}$ | -e$_{15}$ | -e$_{12}$ | e$_{13}$ | e$_{10}$ | -e$_{11}$ | e$_8$ | e$_9$ | -e$_6$ | -e$_7$ | -e$_4$ | e$_5$ | e$_2$ | -e$_3$ | -1 | e$_1$ |
| e$_{15}$ | e$_{15}$ | e$_{14}$ | -e$_{13}$ | -e$_{12}$ | e$_{11}$ | e$_{10}$ | -e$_9$ | e$_8$ | -e$_7$ | e$_6$ | -e$_5$ | -e$_4$ | e$_3$ | e$_2$ | -e$_1$ | -1 |

## Sedeniões cônicos
### Aritmética

Em contraste com os sedeniões de Cayley-Dickson, que são contituídos de uma unidade (1) e 15 raízes da unidade negativa (-1), sedeniões cônicos são constituídos de 8 raízes quadradas da unidade positiva e negativa cada. Eles compartilham a não-associatividade e a não-comutatividade com a aritmética dos sedeniões de Cayley-Dickson ("sedeniões circulares"). Entretanto, sedeniões cônicos são modulares, alternativos e flexíveis. Com a exceção de seus nilpotentes, divisores de zero e do próprio zero, a aritmética é fechada em relação à potenciação e às operações com logaritmos. Sedeniões cônicos não são associativos em relação à potenciação.