# Introdução à relatividade geral

Série de artigos sobre :
Relatividade geral :
$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$ :
Introdução  · História  · Fórmula matemática  · Testes :
Conceitos fundamentaisPrincípio de relatividade  · Teoria da relatividade  · Referencial  · Referencial inercial  · Princípio da equivalência  · Equivalência massa–energia  · Relatividade restrita  · Relatividade especial dupla  · Relatividade especial invariante de Sitter  · Lnha de universo  · Geometria de Riemannian :
Fenomenologia
Gravitomagnetismo  · Problema de Kepler  · Gravidade  · Campo gravitacional  · Poço gravitacional  · Lente gravitacional  · Onda gravitacional  · Desvio para o vermelho gravitacional  · Desvio para o vermelho  · Desvio para o azul  · Dilação do tempo  · Dilatação do tempo gravitacional  · Atraso de Shapiro  · Potencial gravitacional  · Compressão gravitacional  · Colapso gravitacional  · Arrasto de referenciais  · Efeito geodético  · Singularidade gravitacional  · Horizonte de eventos  · Singularidade nua  · Buraco negro  · Buraco branco
Espaço-tempo
Espaço  · Tempo  · Diagrama do espaço-tempo  · Espaço-tempo de Minkowski  · Curva fechada de tipo tempo  · Buraco de minhoca (Buraco de minhoca de Ellis) :
Equações e teorias
Equações
Aproximação para campos gravitacionais fracos  · Equações de campo de Einstein  · Friedmann  · Geodesics  · Mathisson–Papapetrou–Dixon  · Hamilton–Jacobi–Einstein  · Invariante de curvatura  · Variedade pseudoriemanniana
Teorias avançadas
Teoria de Kaluza–Klein  · Gravitação quântica  · Supergravitação :
SoluçõesSchwarzschild (interior)  · Soluções das equações de campo de Einstein  · Reissner–Nordström  · Gödel  · Kerr  · Kerr–Newman  · Kasner  · Lemaître–Tolman  · Taub–NUT  · Milne  · Robertson–Walker  · onda-pp  · Poeira de van Stockum  · Weyl−Lewis−Papapetrou  · Solução do vácuo (relatividade geral) :
CientistasEinstein  · Lorentz  · Hilbert  · Poincaré  · Schwarzschild  · de Sitter  · Reissner  · Nordström  · Weyl  · Eddington  · Friedman  · Milne  · Zwicky  · Lemaître  · Gödel  · Wheeler  · Robertson  · Bardeen  · Walker  · Kerr  · Chandrasekhar  · Ehlers  · Penrose  · Hawking  · Raychaudhuri  · Taylor  · Hulse  · van Stockum  · Taub  · Newman  · Yau  · Thorne :
vde :
Uma introdução à relatividade geral é importante para separar o mais claramente possível os vários ingredientes que juntos dão forma a essa teoria que é frequentemente usada como um protótipo para outras construções mais intrincadas para descrever forças entre partículas elementares ou outros ramos da física fundamental.
A relatividade geral, um belo esquema para descrever o campo gravitacional e as equações a que ele obedece, é uma teoria da gravitação desenvolvida por Albert Einstein entre 1907 e 1915. Nesses dez anos que passou pensando nisso, o físico alemão se preocupou em resolver o problema que encontrou na teoria de Newton. O matemático inglês dizia que a gravidade era uma força causada pela massa dos objetos e fazia com que eles fossem atraídos um em direção ao outro. O objeto com mais massa atrai mais intensamente. Newton acreditava que, independente da distância entre os corpos, a gravidade era uma força de ação imediata. A teoria da gravidade de Einstein foi resultado dessa objeção a Newton, pois segundo seus cálculos, a luz era a coisa mais rápida do Universo. Nenhum corpo com massa alcançava uma velocidade superior à da luz. Nem a gravidade.
Experimentos e observações mostram que a descrição de gravitação de Einstein é responsável por vários efeitos que não são explicados pela lei de Newton, como anomalias mínimas nas órbitas de Mercúrio e outros planetas. A relatividade geral também prevê novos efeitos da gravidade, como ondas gravitacionais, lentes gravitacionais e um efeito da gravidade no tempo conhecido como dilatação do tempo gravitacional. Muitas dessas previsões foram confirmadas por experimento ou observação, como por exemplo, as ondas gravitacionais.
A relatividade geral se tornou uma ferramenta essencial na astrofísica moderna. Ela fornece a base para a compreensão atual dos buracos negros, regiões do espaço onde o efeito gravitacional é forte o suficiente para que nem mesmo a luz escape. Acredita-se que sua forte gravidade seja responsável pela intensa radiação emitida por certos tipos de objetos astronômicos (como núcleos galácticos ativos ou microquasares). A relatividade geral também faz parte da estrutura do modelo cosmológico padrão do Big Bang.

## Da relatividade especial à geral

Em setembro de 1905, Albert Einstein publicou sua Teoria da Relatividade Especial, que reconcilia as leis do movimento de Newton com a eletrodinâmica (a interação entre objetos com carga elétrica). A relatividade especial introduziu uma nova estrutura para toda a física ao propor novos conceitos de espaço e tempo. Algumas teorias físicas então aceitas eram inconsistentes com essa estrutura; um exemplo chave foi a teoria da gravidade de Newton, que descreve a atração mútua experimentada pelos corpos devido à sua massa.
Vários físicos, incluindo Einstein, procuraram por uma teoria que reconciliasse a lei da gravidade de Newton e a relatividade especial. Apenas a teoria de Einstein provou ser consistente com experimentos e observações. Para entender as idéias básicas da teoria, é instrutivo seguir o pensamento de Einstein entre 1907 e 1915, desde seu simples experimento mental envolvendo um observador em queda livre até sua teoria da gravidade totalmente geométrica.

## Princípio da equivalência

O primeiro passo de Einstein em direção a teoria da relatividade foi a compreensão de que, mesmo em um campo gravitacional, existem referenciais nos quais a gravidade está quase ausente; em conseqüência, a física é governada pelas leis da relatividade especial livre de gravidade - pelo menos até uma certa aproximação, e somente se alguém confinar quaisquer observações a uma região suficientemente pequena de espaço e tempo. Isso decorre do que Einstein formulou como seu princípio de equivalência que, por sua vez, é inspirado pelas consequências da queda livre.
Na definição do princípio de equivalência, existem certas sutilezas. No texto acima, eles são apenas sugeridos (“aproximadamente”, “pequena região”). Vamos ignorá-los um pouco mais e começar com uma versão simplificada do princípio, começando com um conjunto simples de experimentos mentais.
Uma pessoa em um elevador em queda livre experimenta a ausência de peso; os objetos flutuam imóveis ou flutuam em velocidade constante. Uma vez que tudo no elevador está caindo junto, nenhum efeito gravitacional pode ser observado. Este é o tipo de ausência de peso também experimentado, por exemplo, por astronautas na Estação Espacial Internacional (ISS). Afinal, não é como se a estação espacial e a tripulação tivessem escapado do campo gravitacional da Terra - nessa altitude particular, a atração da força gravitacional ainda é 90 por cento tão forte quanto na superfície da Terra A falta de peso dos astronautas se deve ao fato de que, junto com sua estação, eles estão em queda livre. Não no tipo de queda livre que os leva diretamente para a Terra, mas em queda livre que os leva ao redor da Terra - em órbita terrestre. Assim, dentro de um elevador, não podemos decidir se estamos ou não em um campo gravitacional. Se os objetos aceleram ou não em direção ao chão é uma questão de referencial: mesmo em uma região do espaço livre de gravidade, os objetos caem em direção ao chão se a sala em que estamos está sendo acelerada. Por outro lado, mesmo em um campo gravitacional, os objetos vagam sem peso pelo espaço, desde que o elevador esteja em queda livre. Desse modo, as experiências de um observador em queda livre são indistinguíveis das de um observador no espaço profundo, longe de qualquer fonte significativa de gravidade. Esses observadores são os observadores privilegiados ("inerciais") que Einstein descreveu em sua teoria da relatividade especial: observadores para os quais a luz viaja ao longo de linhas retas em velocidade constante.

## Gravidade e aceleração

A maioria dos efeitos da gravidade desaparece na queda livre, mas os efeitos que parecem iguais aos da gravidade podem ser produzidos por um referencial acelerado. Um observador em uma sala fechada não pode dizer qual das seguintes opções é verdadeira:
* Os objetos estão caindo no chão porque a sala está apoiada na superfície da Terra e os objetos estão sendo puxados para baixo pela gravidade.
* Objetos estão caindo no chão porque a sala está a bordo de um foguete, que está acelerando a 9,81 m/s$^2$ e está longe de qualquer fonte de gravidade. Os objetos são puxados em direção ao chão pela mesma "força inercial" que pressiona o motorista de um carro em aceleração contra o encosto do assento.
Por outro lado, qualquer efeito observado em um referencial acelerado também deve ser observado em um campo gravitacional de intensidade correspondente. Esse princípio permitiu a Einstein prever vários novos efeitos da gravidade em 1907. Um observador em um referencial acelerado deve introduzir o que os físicos chamam de forças fictícias para explicar a aceleração experimentada pelo observador e pelos objetos ao seu redor. No exemplo do motorista sendo pressionado contra o assento, a força sentida pelo motorista é um exemplo; outra é a força que podemos sentir ao puxar os braços para cima e para fora, se tentar girar como um pião. A principal introspecção de Einstein foi que a atração familiar e constante do campo gravitacional da Terra é fundamentalmente igual a essas forças fictícias. A magnitude aparente das forças fictícias sempre parece ser proporcional à massa de qualquer objeto sobre o qual atuam - por exemplo, o assento do motorista exerce força suficiente para acelerar o motorista na mesma taxa que o carro. Por analogia, Einstein propôs que um objeto em um campo gravitacional deveria sentir uma força gravitacional proporcional à sua massa, conforme incorporado na lei da gravitação de Newton.

## Consequências físicas

Em 1907, Einstein ainda estava a oito anos de completar a teoria geral da relatividade. No entanto, ele foi capaz de fazer uma série de previsões novas e testáveis que foram baseadas em seu ponto de partida para o desenvolvimento de sua nova teoria: o princípio da equivalência. O primeiro novo efeito é a mudança de frequência gravitacional da luz.
Considere dois observadores a bordo de um foguete em aceleração. A bordo de tal nave, existe um conceito natural de "para cima" e "para baixo": a direção em que a nave acelera é "para cima", e os objetos soltos aceleram na direção oposta, caindo "para baixo". Suponha que um dos observadores esteja "mais alto" do que o outro. Quando o observador abaixo envia um sinal de luz para o observador acima, a aceleração faz com que a luz seja deslocada para o vermelho, como pode ser calculado pela relatividade especial; o segundo observador medirá uma frequência mais baixa para a luz do que o primeiro. Por outro lado, a luz enviada do observador acima para o abaixo é desviada para o azul, ou seja, desviada para frequências mais altas. Einstein argumentou que tais mudanças de frequência também devem ser observadas em um campo gravitacional. Isso é ilustrado na figura à esquerda, que mostra uma onda de luz que é gradualmente deslocada para o vermelho à medida que sobe contra a aceleração gravitacional. Esse efeito foi confirmado experimentalmente.
Esta mudança de frequência gravitacional corresponde a uma dilatação do tempo gravitacional: uma vez que o observador "mais alto" mede a mesma onda de luz para ter uma frequência mais baixa do que o observador "mais baixo", o tempo deve estar passando mais rápido para o observador acima. Assim, o tempo corre mais devagar para os observadores que estão mais abaixo em um campo gravitacional. É importante ressaltar que, para cada observador, não há mudanças observáveis do fluxo do tempo para eventos ou processos que estão em repouso em seu referencial. Arroz na panela de pressão em cinco minutos, cronometrados pelo relógio de cada observador, têm a mesma consistência; à medida que um ano se passa em cada relógio, cada observador envelhece nessa quantidade; cada relógio, em suma, está em perfeito acordo com todos os processos que acontecem em sua vizinhança imediata. É apenas quando os relógios são comparados entre observadores separados que se pode notar que o tempo corre mais devagar para o observador inferior do que para o superior. Este efeito é mínimo, mas também foi confirmado experimentalmente em vários experimentos.
De maneira semelhante, Einstein previu a deflexão gravitacional da luz: em um campo gravitacional, a luz é desviada para baixo. Quantitativamente, seus resultados estavam errados por um fator de dois; a derivação correta requer uma formulação mais completa da teoria da relatividade geral, não apenas o princípio de equivalência.

## Efeitos das marés

A equivalência entre os efeitos gravitacionais e inerciais não constitui uma teoria da gravidade completa. Quando se trata de explicar a gravidade perto de nossa própria localização na superfície da Terra, observar que nosso referencial não está em queda livre, de modo que forças fictícias são esperadas, fornece uma explicação adequada. Mas um referencial em queda livre em um lado da Terra não pode explicar por que as pessoas do lado oposto da Terra experimentam uma atração gravitacional na direção oposta.
Uma manifestação mais básica do mesmo efeito envolve dois corpos que estão caindo lado a lado em direção à Terra. Em um referencial que está em queda livre ao lado desses corpos, eles parecem pairar sem peso - mas não exatamente assim. Esses corpos não estão caindo precisamente na mesma direção, mas em direção a um único ponto no espaço: a saber, o centro de gravidade da Terra. Consequentemente, há um componente do movimento de cada corpo em direção ao outro (veja a figura). Em um ambiente pequeno, como um elevador em queda livre, essa aceleração relativa é minúscula, enquanto para pára-quedistas em lados opostos da Terra, o efeito é grande. Essas diferenças de força também são responsáveis pelas marés nos oceanos da Terra, então o termo "efeito de maré" é usado para esse fenômeno.
A equivalência entre inércia e gravidade não pode explicar os efeitos das marés - não pode explicar as variações no campo gravitacional. Para isso, é necessária uma teoria que descreva a maneira como a matéria (como a grande massa da Terra) afeta o ambiente inercial ao seu redor.

## Transição de aceleração para geometria

Ao explorar a equivalência da gravidade e da aceleração, bem como o papel das forças das marés, Einstein descobriu várias analogias com a geometria das superfícies. Um exemplo é a transição de um referencial inercial (no qual as partículas livres navegam ao longo de caminhos retos em velocidades constantes) para um referencial rotativo (no qual termos extras correspondentes a forças fictícias devem ser introduzidos para explicar o movimento das partículas): este é análogo à transição de um sistema de coordenadas cartesiano (no qual as linhas de coordenadas são linhas retas) para um sistema de coordenadas curvas (onde as linhas de coordenadas não precisam ser retas).
Uma analogia mais profunda relaciona as forças de maré com uma propriedade das superfícies chamada curvatura. Para campos gravitacionais, a ausência ou presença de forças de maré determina se a influência da gravidade pode ou não ser eliminada escolhendo um referencial de queda livre. Da mesma forma, a ausência ou presença de curvatura determina se uma superfície é ou não equivalente a um plano. No verão de 1912, inspirado por essas analogias, Einstein buscou uma formulação geométrica da gravidade.
Os objetos elementares da geometria - pontos, linhas, triângulos - são tradicionalmente definidos no espaço tridimensional ou em superfícies bidimensionais. Em 1907, Hermann Minkowski, o ex-professor de matemática de Einstein na Politécnica Federal Suíça, apresentou o espaço de Minkowski, uma formulação geométrica da teoria da relatividade especial de Einstein em que a geometria incluía não apenas o espaço, mas também o tempo. A entidade básica desta nova geometria é o espaço-tempo quadridimensional. As órbitas de corpos em movimento são curvas no espaço-tempo; as órbitas dos corpos que se movem em velocidade constante sem mudar de direção correspondem a linhas retas. A geometria das superfícies curvas gerais foi desenvolvida no início do século XIX por Carl Friedrich Gauss. Essa geometria, por sua vez, foi generalizada para espaços de dimensões superiores na geometria Riemanniana introduzida por Bernhard Riemann na década de 1850. Com a ajuda da geometria Riemanniana, Einstein formulou uma descrição geométrica da gravidade na qual o espaço-tempo de Minkowski é substituído por um espaço-tempo curvo e distorcido, assim como as superfícies curvas são uma generalização das superfícies planas comuns. Diagramas de incorporação são usados para ilustrar o espaço-tempo curvo em contextos educacionais.
Depois de perceber a validade dessa analogia geométrica, Einstein levou mais três anos para encontrar a pedra angular que faltava em sua teoria: as equações que descrevem como a matéria influencia a curvatura do espaço-tempo. Tendo formulado o que agora são conhecidas como equações de Einstein (ou, mais precisamente, suas equações de campo da gravidade), ele apresentou sua nova teoria da gravidade em várias sessões da Academia Prussiana de Ciências no final de 1915, culminando em sua apresentação final em 25 de novembro de 1915.

## Geometria e gravitação

Parafraseando John Wheeler, a teoria geométrica da gravidade de Einstein pode ser resumida assim:
O que isso significa é abordado nas três seções abaixo, que exploram o movimento das chamadas partículas de teste, examinam quais propriedades da matéria servem como fonte para a gravidade e, finalmente, apresentam as equações de Einstein, que relacionam essas propriedades da matéria à curvatura do espaço-tempo.

### Sondando o campo gravitacional

Para mapear a influência gravitacional de um corpo, é útil pensar sobre o que os físicos chamam de partículas de teste: partículas que são influenciadas pela gravidade, mas são tão pequenas e leves que podemos negligenciar seu próprio efeito gravitacional. Na ausência de gravidade e outras forças externas, uma partícula de teste se move ao longo de uma linha reta a uma velocidade constante. Na linguagem do espaço-tempo, isso equivale a dizer que essas partículas de teste se movem ao longo de linhas retas do mundo no espaço-tempo. Na presença da gravidade, o espaço-tempo é não euclidiano, ou curvo, e no espaço-tempo curvo as linhas retas do mundo podem não existir. Em vez disso, as partículas de teste se movem ao longo de linhas chamadas geodésicas, que são "as mais retas possíveis", ou seja, seguem o caminho mais curto entre os pontos inicial e final, levando em consideração a curvatura.
Uma analogia simples é a seguinte: na geodésia, a ciência de medir o tamanho e a forma da Terra, uma geodésica (do grego "geo", Terra e "daiein", para dividir) é a rota mais curta entre dois pontos na superfície da Terra. Aproximadamente, essa rota é um segmento de um grande círculo, como uma linha de longitude ou o equador. Esses caminhos certamente não são retos, simplesmente porque devem seguir a curvatura da superfície da Terra. Mas eles são tão retos quanto possível, sujeitos a esta restrição.
As propriedades das geodésicas diferem daquelas das linhas retas. Por exemplo, em um plano, as linhas paralelas nunca se encontram, mas não é assim para as geodésicas na superfície da Terra: por exemplo, as linhas de longitude são paralelas no equador, mas se cruzam nos pólos. Analogamente, as linhas de mundo das partículas de teste em queda livre são geodésicas do espaço-tempo, as linhas mais retas possíveis no espaço-tempo. Mas ainda existem diferenças cruciais entre eles e as linhas verdadeiramente retas que podem ser traçadas no espaço-tempo livre de gravidade da relatividade especial. Na relatividade especial, as geodésicas paralelas permanecem paralelas. Em um campo gravitacional com efeitos de maré, esse não será, em geral, o caso. Se, por exemplo, dois corpos estão inicialmente em repouso em relação um ao outro, mas depois são lançados no campo gravitacional da Terra, eles se moverão um em direção ao outro conforme caem em direção ao centro da Terra.
Em comparação com planetas e outros corpos astronômicos, os objetos da vida cotidiana (pessoas, carros, casas e até montanhas) têm pouca massa. No que diz respeito a tais objetos, as leis que governam o comportamento das partículas de teste são suficientes para descrever o que acontece. Notavelmente, a fim de desviar uma partícula de teste de seu caminho geodésico, uma força externa deve ser aplicada. Uma cadeira em que alguém está sentado aplica uma força externa para cima impedindo a pessoa de caindo livremente em direção o centro da terra e, portanto, seguindo uma geodésica, que de outra forma estariam fazendo sem matéria entre eles e o centro da Terra. Desta forma, a relatividade geral explica a experiência diária da gravidade na superfície da Terra não como o impulso para baixo de uma força gravitacional, mas como o impulso para cima de forças externas. Essas forças desviam todos os corpos que repousam na superfície da Terra das geodésicas que, de outra forma, seguiriam. Para objetos de matéria cuja própria influência gravitacional não pode ser negligenciada, as leis do movimento são um pouco mais complicadas do que para partículas de teste, embora permaneça verdade que o espaço-tempo diz à matéria como se mover.

### Fontes de gravidade

Na descrição da gravidade de Newton, a força gravitacional é causada pela matéria. Mais precisamente, é causado por uma propriedade específica dos objetos materiais: sua massa. Na teoria de Einstein e nas teorias de gravitação relacionadas, a curvatura em todos os pontos do espaço-tempo também é causada por qualquer matéria que esteja presente. Aqui, também, a massa é uma propriedade chave na determinação da influência gravitacional da matéria. Mas, em uma teoria relativística da gravidade, a massa não pode ser a única fonte de gravidade. A relatividade liga a massa à energia e a energia ao momento. A equivalência entre massa e energia, expressa pela fórmula E = mc$^2$, é a consequência mais famosa da relatividade especial. Na relatividade, massa e energia são duas maneiras diferentes de descrever uma quantidade física. Se um sistema físico tem energia, também tem a massa correspondente e vice-versa. Em particular, todas as propriedades de um corpo associadas à energia, como sua temperatura ou a energia de ligação de sistemas como núcleos ou moléculas, contribuem para a massa desse corpo e, portanto, atuam como fontes de gravidade.
Na relatividade especial, a energia está intimamente ligada ao momento. Assim como o espaço e o tempo são, nessa teoria, diferentes aspectos de uma entidade mais abrangente chamada espaço-tempo, a energia e o momento são meramente diferentes aspectos de uma quantidade quadridimensional unificada que os físicos chamam de quatro momentos. Em conseqüência, se a energia é uma fonte de gravidade, o momento também deve ser uma fonte. O mesmo é verdadeiro para as quantidades que estão diretamente relacionadas com a energia e o momento, ou seja, pressão e tensão internas. Tomados em conjunto, na relatividade geral, é a massa, a energia, o momento, a pressão e a tensão que servem como fontes de gravidade: são como a matéria diz ao espaço-tempo como se curvar. Na formulação matemática da teoria, todas essas quantidades são apenas aspectos de uma quantidade física mais geral chamada tensor de energia-momento.

### Equações de Einstein

As equações de Einstein são a peça central da relatividade geral. Elas fornecem uma formulação precisa da relação entre a geometria do espaço-tempo e as propriedades da matéria, usando a linguagem da matemática. Mais concretamente, eles são formulados usando os conceitos da geometria Riemanniana, em que as propriedades geométricas de um espaço (ou espaço-tempo) são descritas por uma quantidade chamada métrica. A métrica codifica as informações necessárias para calcular as noções geométricas fundamentais de distância e ângulo em um espaço curvo (ou espaço-tempo).
Uma superfície esférica como a da Terra fornece um exemplo simples. A localização de qualquer ponto da superfície pode ser descrita por duas coordenadas: a latitude geográfica e a longitude. Ao contrário das coordenadas cartesianas do plano, as diferenças de coordenadas não são iguais às distâncias na superfície, como mostrado no diagrama à direita: para alguém no equador, mover 30 graus de longitude oeste (linha magenta) corresponde a uma distância de aproximadamente 3.300 quilômetros (2.100 milhas), enquanto para alguém em uma latitude de 55 graus, mover 30 graus de longitude para o oeste (linha azul) cobre uma distância de apenas 1.900 quilômetros (1.200 milhas). As coordenadas, portanto, não fornecem informações suficientes para descrever a geometria de uma superfície esférica, ou mesmo a geometria de qualquer espaço ou espaço-tempo mais complicado. Essa informação é precisamente o que está codificado na métrica, que é uma função definida em cada ponto da superfície (ou espaço, ou espaço-tempo) e relaciona as diferenças de coordenadas às diferenças de distância. Todas as outras quantidades de interesse na geometria, como o comprimento de qualquer curva ou o ângulo no qual duas curvas se encontram, podem ser calculadas a partir dessa função métrica.
A função métrica e sua taxa de variação de ponto a ponto podem ser usadas para definir uma grandeza geométrica chamada tensor de curvatura de Riemann, que descreve exatamente como a variedade Riemanniana, o espaço-tempo na teoria da relatividade, é curva em cada ponto. Como já foi mencionado, o conteúdo de matéria do espaço-tempo define outra quantidade, o tensor de energia-momento T, e o princípio de que "o espaço-tempo diz à matéria como se mover e a matéria diz ao espaço-tempo como curvar" significa que essas quantidades devem estar relacionadas um para o outro. Einstein formulou essa relação usando o tensor de curvatura de Riemann e a métrica para definir outra grandeza geométrica G, agora chamada de tensor de Einstein, que descreve alguns aspectos da forma como o espaço-tempo é curvo. A equação de Einstein então afirma que
    $\mathbf {G} ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\mathbf {T} ,$
ou seja, até um múltiplo constante, a quantidade G (que mede a curvatura) é igualada à quantidade T (que mede o conteúdo de matéria). Aqui, G é a constante gravitacional da gravidade newtoniana e c é a velocidade da luz da relatividade especial.
Essa equação é freqüentemente referida no plural como equações de Einstein, uma vez que as quantidades G e T são determinadas por várias funções das coordenadas do espaço-tempo, e as equações igualam cada uma dessas funções componentes. Uma solução dessas equações descreve uma geometria particular do espaço-tempo; por exemplo, a solução de Schwarzschild descreve a geometria em torno de uma massa esférica não giratória, como uma estrela ou um buraco negro, enquanto a solução de Kerr descreve um buraco negro giratório. Ainda outras soluções podem descrever uma onda gravitacional ou, no caso da solução de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, um universo em expansão. A solução mais simples é o espaço-tempo não curvo de Minkowski, o espaço-tempo descrito pela relatividade especial.

## Experimentos

Nenhuma teoria científica é evidentemente verdadeira; cada uma é um modelo que deve ser verificado por experimento. A lei da gravidade de Newton foi aceita porque esse modelo explicava o movimento dos planetas e luas no Sistema Solar com considerável precisão. Para testar a relatividade geral, os cientistas usam a teoria para prever como a gravidade atuará em uma determinada situação. Então, eles observam o que realmente acontece. Se a previsão corresponder à observação, a relatividade geral passou no teste. À medida que a precisão das medições experimentais melhorava gradualmente, algumas discrepâncias com as previsões de Newton foram observadas, e isso foi explicado na teoria da relatividade geral. Da mesma forma, as previsões da relatividade geral também devem ser verificadas com experimentos, e o próprio Einstein elaborou três testes agora conhecidos como os testes clássicos da teoria:
* A gravidade newtoniana prevê que a órbita que um único planeta traça em torno de uma estrela perfeitamente esférica deve ser uma elipse. A teoria de Einstein prevê uma curva mais complicada: o planeta se comporta como se estivesse viajando em torno de uma elipse, mas, ao mesmo tempo, a elipse como um todo está girando lentamente em torno da estrela. No diagrama à direita, a elipse prevista pela gravidade newtoniana é mostrada em vermelho e parte da órbita prevista por Einstein em azul. Para um planeta orbitando o Sol, esse desvio das órbitas de Newton é conhecido como mudança anômala do periélio. A primeira medição desse efeito, para o planeta Mercúrio, data de 1859. Os resultados mais precisos para Mercúrio e outros planetas até o momento são baseados em medições que foram realizadas entre 1966 e 1990, usando radiotelescópios. A relatividade geral prevê a mudança anômala correta do periélio para todos os planetas onde isso pode ser medido com precisão (Mercúrio, Vênus e a Terra).
* De acordo com a relatividade geral, a luz não viaja em linhas retas quando se propaga em um campo gravitacional. Em vez disso, ele é desviado na presença de corpos maciços. Em particular, a luz das estrelas é desviada à medida que passa perto do Sol, levando a mudanças aparentes de até 1,75 segundos de arco nas posições das estrelas no céu (um segundo de arco é igual a 1/3600 de um grau). Na estrutura da gravidade newtoniana, um argumento heurístico pode ser apresentado que leva à deflexão da luz pela metade desse valor. As diferentes previsões podem ser testadas observando estrelas que estão perto do Sol durante um eclipse solar. Desse modo, uma expedição britânica à África Ocidental em 1919, dirigida por Arthur Eddington, confirmou que a previsão de Einstein estava correta e as previsões newtonianas erradas, por meio da observação do eclipse de maio de 1919. Os resultados de Eddington não foram muito precisos; observações subsequentes da deflexão da luz de quasares distantes pelo Sol, que utilizam técnicas altamente precisas de radioastronomia, confirmaram os resultados de Eddington com uma precisão significativamente melhor (as primeiras medições datam de 1967, a análise abrangente mais recente data de 2004).
* O desvio para o vermelho gravitacional foi medido pela primeira vez em um laboratório em 1959 por Pound e Rebka. Também é visto em medições astrofísicas, notavelmente para a luz que escapa da anã branca Sirius B. O efeito de dilatação do tempo gravitacional relacionado foi medido pelo transporte de relógios atômicos para altitudes entre dezenas e dezenas de milhares de quilômetros (primeiro por Hafele e Keating em 1971; mais precisamente até o momento pela Gravity Probe A, lançada em 1976).
Destes testes, apenas o avanço do periélio de Mercúrio era conhecido antes da publicação final da relatividade geral de Einstein em 1916. A confirmação experimental subsequente de suas outras previsões, especialmente as primeiras medições da deflexão da luz pelo sol em 1919, impulsionou Einstein para o estrelato internacional. Esses três experimentos justificaram a adoção da relatividade geral em vez da teoria de Newton e, incidentalmente, em uma série de alternativas propostas à relatividade geral. Outros testes de relatividade geral incluem medições precisas do efeito de Shapiro ou atraso gravitacional da luz, medido em 2002 pela sonda espacial Cassini. Um conjunto de testes concentra-se nos efeitos previstos pela relatividade geral para o comportamento dos giroscópios viajando pelo espaço.
Um desses efeitos, a precessão geodésica, foi testado com o Lunar Laser Ranging Experiment (medições de alta precisão da órbita da Lua). Outro, que está relacionado às massas em rotação, é chamada de arrasto de referenciais. Os efeitos geodésico e de arrasto de referência foram testados pelo experimento do satélite Gravity Probe B lançado em 2004, com resultados confirmando a relatividade em 0,5% e 15%, respectivamente, em dezembro de 2008.
Pelos padrões cósmicos, a gravidade em todo o sistema solar é fraca. Uma vez que as diferenças entre as previsões das teorias de Einstein e de Newton são mais pronunciadas quando a gravidade é forte, os físicos há muito se interessam em testar vários efeitos relativísticos em um ambiente com campos gravitacionais comparativamente fortes. Isso se tornou possível graças às observações precisas de pulsares binários. Em tal sistema estelar, duas estrelas de nêutrons altamente compactas orbitam uma a outra. Pelo menos um deles é um pulsar - um objeto astronômico que emite um feixe estreito de ondas de rádio. Esses feixes atingem a Terra em intervalos muito regulares, da mesma forma que o feixe giratório de um farol significa que um observador vê o farol piscar e pode ser observado como uma série altamente regular de pulsos. A relatividade geral prevê desvios específicos da regularidade desses pulsos de rádio. Por exemplo, às vezes, quando as ondas de rádio passam perto de outra estrela de nêutrons, elas devem ser desviadas pelo campo gravitacional da estrela. Os padrões de pulso observados são impressionantemente próximos aos previstos pela relatividade geral.
Um conjunto particular de observações está relacionado a aplicações práticas eminentemente úteis, nomeadamente a sistemas de navegação por satélite, como o Sistema de Posicionamento Global, que são usados para posicionamento preciso e cronometragem. Esses sistemas contam com dois conjuntos de relógios atômicos: relógios a bordo de satélites orbitando a Terra e relógios de referência estacionados na superfície da Terra. A relatividade geral prediz que esses dois conjuntos de relógios deveriam funcionar em taxas ligeiramente diferentes, devido a seus movimentos diferentes (um efeito já previsto pela relatividade especial) e suas diferentes posições dentro do campo gravitacional da Terra. Para garantir a precisão do sistema, ou os relógios dos satélites são desacelerados por um fator relativístico ou esse mesmo fator faz parte do algoritmo de avaliação. Por sua vez, os testes de precisão do sistema (especialmente as medições muito completas que fazem parte da definição de tempo coordenado universal) são um testemunho da validade das previsões relativísticas.
Vários outros testes investigaram a validade de várias versões do princípio de equivalência; estritamente falando, todas as medições da dilatação do tempo gravitacional são testes da versão fraca desse princípio, não da própria relatividade geral. Até agora, a relatividade geral passou em todos os testes de observação. Mas nenhum teste é perfeito. Observe como a gravidade do Sol puxa Mercúrio ao longo de sua órbita e você pode medir a relatividade geral em ação. Mas os telescópios não podem medir o movimento de Mercúrio até o nanômetro. E outras forças - o puxão da gravidade de Júpiter, a gravidade da Terra e a força do vento solar, para citar apenas algumas - afetam o movimento de Mercúrio de maneiras que são difíceis de separar dos efeitos da relatividade. Portanto, o resultado de cada teste é uma aproximação e a teoria de Einstein é apenas mais ou menos comprovada.
Quando os cientistas testam a relatividade geral repetidamente, eles estão restringindo a ideia de Einstein. A razão pela qual este trabalho é importante é que, embora a relatividade geral continue passando nos testes, os físicos esperam que ela acabe falhando. A relatividade geral deve ser incompleta, acreditam os físicos, porque contradiz a mecânica quântica. Os físicos acreditam que a discrepância sinaliza a presença em nosso universo de algum mecanismo maior e abrangente que descreve a gravidade e o mundo quântico que eles ainda precisam descobrir. Procurar rachaduras na relatividade, eles esperam, pode trazer pistas para ajudá-los a encontrar essa teoria completa.
Instrumentos como LIGO e Virgo detectaram sinais de ondas gravitacionais de dezenas de buracos negros em fusão, que os pesquisadores têm usado para testar a teoria de Einstein. Até agora, sempre passou. Para levar a teoria ainda mais longe, os físicos agora a estão testando em catálogos de vários eventos de ondas gravitacionais agrupados. As descobertas, publicadas em 16 de junho de 2021, que catálogos com apenas 10 a 30 eventos com uma relação sinal-ruído de fundo de 20 podem fornecer desvios enganosos da relatividade geral, apontando erroneamente para uma nova física onde ela não existe. Por ser próximo ao tamanho dos catálogos atuais usados para avaliar a teoria de Einstein, os autores concluiram que os físicos devem proceder com cautela ao realizar tais experimentos.

## Aplicações astrofísicas

Os modelos baseados na relatividade geral desempenham um papel importante na astrofísica; o sucesso desses modelos é mais uma prova da validade da teoria.

### Lente gravitacional

Como a luz é desviada em um campo gravitacional, é possível que a luz de um objeto distante alcance um observador ao longo de dois ou mais caminhos. Por exemplo, a luz de um objeto muito distante, como um quasar, pode passar ao longo de um lado de uma galáxia massiva e ser ligeiramente desviada para alcançar um observador na Terra, enquanto a luz que passa pelo lado oposto dessa mesma galáxia também é desviada , alcançando o mesmo observador de uma direção ligeiramente diferente. Como resultado, esse observador em particular verá um objeto astronômico em dois lugares diferentes no céu noturno. Esse tipo de foco é bem conhecido quando se trata de lentes ópticas e, portanto, o efeito gravitacional correspondente é chamado de lente gravitacional.
A astronomia observacional usa efeitos de lente como uma ferramenta importante para inferir propriedades do objeto de lente. Mesmo nos casos em que esse objeto não é diretamente visível, a forma de uma imagem em lente fornece informações sobre a distribuição de massa responsável pela deflexão da luz. Em particular, as lentes gravitacionais fornecem uma maneira de medir a distribuição da matéria escura, que não emite luz e pode ser observada apenas por seus efeitos gravitacionais. Uma aplicação particularmente interessante são as observações em grande escala, onde as massas de lentes estão espalhadas por uma fração significativa do universo observável e podem ser usadas para obter informações sobre as propriedades em grande escala e a evolução do nosso cosmos.

### Ondas gravitacionais

As ondas Gravitacionais, uma consequência direta da teoria de Einstein, são distorções da geometria que se propagam na velocidade da luz e podem ser consideradas ondulações no espaço-tempo. Elas não devem ser confundidos com as ondas de gravidade da dinâmica dos fluidos, que são um conceito diferente. Em fevereiro de 2016, a equipe Advanced LIGO anunciou que havia observado diretamente as ondas gravitacionais de uma fusão de buraco negro.
Indiretamente, o efeito das ondas gravitacionais foi detectado em observações de estrelas binárias específicas. Esses pares de estrelas orbitam uma à outra e, à medida que o fazem, perdem energia gradualmente, emitindo ondas gravitacionais. Para estrelas comuns como o Sol, essa perda de energia seria muito pequena para ser detectada, mas essa perda de energia foi observada em 1974 em um pulsar binário chamado PSR1913 + 16. Nesse sistema, uma das estrelas em órbita é um pulsar. Isso tem duas consequências: um pulsar é um objeto extremamente denso conhecido como estrela de nêutrons, para a qual a emissão da onda gravitacional é muito mais forte do que para es>>trelas comuns. Além disso, um pulsar emite um feixe estreito de radiação eletromagnética de seus pólos magnéticos. Conforme o pulsar gira, seu feixe percorre a Terra, onde é visto como uma série regular de pulsos de rádio, assim como um navio no mar observa brilhos regulares da luz giratória de um farol. Este padrão regular de pulsos de rádio funciona como um "relógio" de alta precisão. Ele pode ser usado para cronometrar o período orbital da estrela dupla e reage com sensibilidade às distorções do espaço-tempo em sua vizinhança imediata. Desde então, os descobridores do PSR1913 + 16, que receberam o Prêmio Nobel de Física em 1993, vários outros pulsares binários foram encontrados. Os mais úteis são aqueles em que ambas as estrelas são pulsares, uma vez que fornecem testes precisos da relatividade geral.

### Buracos negros

Quando a massa é concentrada em uma região suficientemente compacta do espaço, a relatividade geral prevê a formação de um buraco negro - uma região do espaço com um efeito gravitacional tão forte que nem mesmo a luz pode escapar. Acredita-se que certos tipos de buracos negros sejam o estado final na evolução de estrelas massivas. Os buracos negros foram previstos pela teoria da relatividade geral de Einstein, que mostrou que quando uma estrela massiva morre, ela deixa para trás um pequeno núcleo denso remanescente. Se a massa do núcleo for mais do que cerca de três vezes a massa do Sol, as equações mostraram, a força da gravidade supera todas as outras forças e produz um buraco negro. Por outro lado, presume-se que buracos negros supermassivos com massa de milhões ou bilhões de sóis residam nos núcleos da maioria das galáxias e desempenham um papel fundamental nos modelos atuais de como as galáxias se formaram nos últimos bilhões de anos.
Matéria caindo em um objeto compacto é um dos mecanismos mais eficientes para liberar energia na forma de radiação, e a matéria caindo em buracos negros é considerada responsável por alguns dos fenômenos astronômicos mais brilhantes imagináveis. Exemplos notáveis de grande interesse para os astrônomos são quasares e outros tipos de núcleos galácticos ativos. Sob as condições certas, a queda de matéria que se acumula ao redor de um buraco negro pode levar à formação de jatos, nos quais feixes de matéria focalizados são lançados no espaço a velocidades próximas à da luz.
Existem várias propriedades que tornam os buracos negros as fontes mais promissoras de ondas gravitacionais. Uma razão é que os buracos negros são os objetos mais compactos que podem orbitar uns aos outros como parte de um sistema binário; como resultado, as ondas gravitacionais emitidas por tal sistema são especialmente fortes. Outra razão segue dos chamados teoremas de unicidade de buracos negros: com o tempo, os buracos negros retêm apenas um conjunto mínimo de características distintivas (esses teoremas tornaram-se conhecidos como teoremas "sem cabelo"), independentemente da forma geométrica inicial. Por exemplo, a longo prazo, o colapso de um hipotético cubo de matéria não resultará em um buraco negro em forma de cubo. Em vez disso, o buraco negro resultante será indistinguível de um buraco negro formado pelo colapso de uma massa esférica. Em sua transição para uma forma esférica, o buraco negro formado pelo colapso de uma forma mais complicada emitirá ondas gravitacionais.

### Sombra de buraco negro

Psaltis e seus colegas usaram um computador para gerar imagens artificiais do buraco negro em M87 com base em uma versão modificada da gravidade, onde a força da gravidade é mais fraca ou mais forte no horizonte de eventos. Eles verificaram quantas dessas modificações possíveis produziram horizontes de eventos com tamanhos que correspondiam aos da imagem que o EHT realmente capturou do M87. Esta observação ofereceu um teste gravitacional limpo da métrica do buraco negro no regime de campo forte. O teste mostrou que o tamanho medido da sombra do buraco negro em M87 restringe o espaço de manobra para modificações na teoria da relatividade geral de Einstein por quase um fator de 500, em comparação com testes anteriores no sistema solar.

### Cosmologia

Um dos aspectos mais importantes da relatividade geral é que ela pode ser aplicada ao universo como um todo. Um ponto chave é que, em grandes escalas, nosso universo parece ser construído ao longo de linhas muito simples: todas as observações atuais sugerem que, em média, a estrutura do cosmos deve ser aproximadamente a mesma, independentemente da localização do observador ou direção de observação : o universo é aproximadamente homogêneo e isotrópico. Esses universos comparativamente simples podem ser descritos por soluções simples das equações de Einstein. Os modelos cosmológicos atuais do universo são obtidos pela combinação dessas soluções simples para a relatividade geral com teorias que descrevem as propriedades do conteúdo de matéria do universo, ou seja, termodinâmica, física nuclear e de partículas. De acordo com esses modelos, nosso universo atual emergiu de um estado de alta temperatura extremamente denso - o Big Bang - há cerca de 14 bilhões de anos e vem se expandindo desde então.
As equações de Einstein podem ser generalizadas adicionando-se um termo denominado constante cosmológica. Quando este termo está presente, o próprio espaço vazio atua como uma fonte de gravidade atrativa (ou, menos comumente, repulsiva). Einstein originalmente introduziu esse termo em seu artigo pioneiro de 1917 sobre cosmologia, com uma motivação muito específica: o pensamento cosmológico contemporâneo considerava o universo estático, e o termo adicional era necessário para construir modelos de universos estáticos dentro da estrutura da relatividade geral. Quando ficou claro que o universo não é estático, mas em expansão, Einstein foi rápido em descartar esse termo adicional. Desde o final da década de 1990, entretanto, evidências astronômicas indicando uma expansão acelerada consistente com uma constante cosmológica - ou, de forma equivalente, com um tipo particular e onipresente de energia escura - têm se acumulado de forma constante.
Um estudo de 16 anos de um par em órbita de estrelas de nêutrons em rotação rendeu os testes mais abrangentes já feitos da teoria da gravidade. A equipe usou o sistema astronômico incomum para colocar a relatividade geral em sete testes, incluindo as medições mais precisas da energia transportada por ondulações no espaço-tempo chamadas ondas gravitacionais e como essas ondas reduziram as massas das estrelas e fizeram suas órbitas encolherem. Vários efeitos foram medidos, incluindo como os fótons de uma das estrelas diminuem a velocidade e se dobram conforme passam pelo intenso campo gravitacional da outra. Sem surpresa, a teoria geral da relatividade passou em todos os testes - um sinal de sua solidez, mas também um resultado nulo que deixa os físicos em busca de pistas para desenvolver uma teoria unificadora de tudo.

## Pesquisa moderna

A relatividade geral tem muito sucesso em fornecer uma estrutura para modelos precisos que descrevem um conjunto impressionante de fenômenos físicos. Por outro lado, existem muitas questões em aberto interessantes e, em particular, a teoria como um todo é quase, certamente, incompleta. Em contraste com todas as outras teorias modernas de interações fundamentais, a relatividade geral é uma teoria clássica: ela não inclui os efeitos da física quântica. A busca por uma versão quântica da relatividade geral aborda uma das questões abertas mais fundamentais da física. Embora existam candidatos promissores para essa teoria da gravidade quântica, notadamente a teoria das cordas e a gravidade quântica em loop, não existe atualmente uma teoria consistente e completa. Há muito se esperava que uma teoria da gravidade quântica também eliminasse outra característica problemática da relatividade geral: a presença de singularidades do espaço-tempo. Essas singularidades são limites ("arestas agudas") do espaço-tempo em que a geometria se torna mal definida, com a consequência de que a própria relatividade geral perde seu poder preditivo. Além disso, existem os chamados teoremas da singularidade que predizem que tais singularidades devem existir dentro do universo se as leis da relatividade geral forem válidas sem quaisquer modificações quânticas. Os exemplos mais conhecidos são as singularidades associadas aos modelos de universos que descrevem os buracos negros e o início do universo.
Outras tentativas de modificar a relatividade geral foram feitas no contexto da cosmologia. Nos modelos cosmológicos modernos, a maior parte da energia no universo está em formas que nunca foram detectadas diretamente, ou seja, energia escura e matéria escura. Tem havido várias propostas controversas para remover a necessidade dessas formas enigmáticas de matéria e energia, modificando as leis que regem a gravidade e a dinâmica da expansão cósmica, por exemplo, a dinâmica newtoniana modificada.
Além dos desafios dos efeitos quânticos e da cosmologia, a pesquisa sobre a relatividade geral é rica em possibilidades para uma exploração posterior: os relativistas matemáticos exploram a natureza das singularidades e as propriedades fundamentais das equações de Einstein, e simulações de computador cada vez mais abrangentes de espaços-tempos específicos (como as que descrevem buracos negros em fusão) são executadas. Houve também muitos desenvolvimentos significativos no campo da Relatividade Geral e muitos têm muitas implicações matemáticas, como o problema de Cauchy na teoria PDE. Mais de cem anos depois que a teoria foi publicada pela primeira vez, a pesquisa está mais ativa do que nunca.