# Torque

O torque ou binário de forças, também conhecido como momento de alavanca ou momento de forças, é uma grandeza vetorial da física associada às forças que produzam rotação em um corpo. Por vezes também é chamado simplesmente de "momento", termo ambíguo que pode se referir a outras grandezas, como momento angular, momento linear e momento de inércia.
Inicialmente, o torque é definido a partir da componente perpendicular ao eixo de rotação da força aplicada sobre um objeto, que é efetivamente utilizada para fazê-lo girar em torno de um eixo ou ponto central, conhecido como ponto pivô ou ponto de rotação. A distância do ponto pivô ao ponto onde atua uma força ‘F’ é chamada braço do momento e é denotada por ‘r’. Note que esta distância ‘r’ é também um vetor.
Em um espaço tridimensional, o vetor torque é definido como o produto vetorial, respectivamente, da posição $\mathbf {r}$ em que é aplicada a força $\mathbf {F}$:
    ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!$

## História

Assim como outros conceitos da mecânica clássica, o torque tem suas origens em problemas cotidianos, especialmente no uso das alavancas. As alavancas são máquinas simples que consistem essencialmente em uma barra com um ponto de apoio que facilita o movimento de objetos. O filósofo grego Arquimedes realizou estudos sobre tais máquinas e criou a teoria das alavancas. Ele percebeu que a força aplicada a uma das extremidades da alavanca, com o intuito de mover um objeto na outra extremidade, é inversamente proporcional à distância do ponto de apoio. Ou seja, quanto mais distante a extremidade estiver do ponto de apoio, menor será a força necessária para mover o objeto. Nesse contexto histórico, Arquimedes ficou famoso ao afirmar que caso lhe dessem "um ponto de apoio e uma alavanca" seria capaz de "mover o mundo”.

## Introdução
### Definição em módulo

A maçaneta de uma porta fica o mais longe possível das dobradiças por uma boa razão. Para abrir uma porta pesada, é tão necessário aplicar uma força de módulo suficientemente grande, quanto é aplicá-la na direção perpendicular à linha que liga a maçaneta às dobradiças. Se a força for aplicada mais perto das dobradiças que a maçaneta, ou com um ângulo diferente de 90º em relação ao plano da porta, será preciso usar uma força maior para abrir a porta que se a força for aplicada à maçaneta, perpendicularmente ao plano da porta.
Para determinar o modo como F provoca uma rotação do corpo em torno do eixo de rotação, podemos separar a força em duas componentes (figura ao lado). Uma dessas componentes, a componente radial F$_{||}$, tem a direção do vetor r. Essa componente não provoca rotações, já que age ao longo de uma reta que passa pelo ponto do qual se origina o vetor posição r. Isto é, se uma porta for puxada ou empurrada paralelamente ao seu plano, ela não vai girar. Já a componente tangencial, F$_⊥$, é perpendicular ao vetor posição. Essa componente, portanto, provoca rotações e tem módulo $F_{\perp }=F\operatorname {sen}(\theta )$. Isso equivale a puxar ou empurrar uma porta perpendicularmente a seu plano, o que provoca sua rotação.
A capacidade de F fazer um corpo girar não depende apenas do módulo da componente tangencial F$_⊥$, mas também da distância entre o ponto de aplicação de F e o ponto em que se origina o vetor r, isto é, do módulo desse vetor, cujo valor é $r$. Em uma interpretação simétrica, pode-se definir a componente de r ortogonal à força F (comumente denominada braço de alavanca), simbolizada por r$_⊥$ e cujo módulo é $r_{\perp }=r\operatorname {sen}(\theta )$. Para levar em conta os dois fatores, em ambas as interpretações, defini-se uma grandeza chamada de torque ($\tau$) como o produto das duas grandezas de cada situação:
:{|cellpadding="5" style="border:2px solid #50C878;background: #ECFCF4; text-align: center;" |Definição de torque (módulo) $\tau =rF_{\perp }=r_{\perp }F=rF\operatorname {sen}(\theta )$ |}

### Definição vetorial

Inicialmente, define-se o torque $\tau$ de um corpo rígido capaz de girar em torno de um eixo fixo, com todas as partículas do corpo sendo forçadas a se mover em trajetórias circulares com centro nesse eixo. Isto é, o movimento de cada partícula está contido em um plano específico. Para ampliar a definição de torque e o escopo de sua aplicação, de modo que uma partícula possa se mover em uma trajetória qualquer em relação a um ponto fixo (em vez de um eixo fixo) e que a trajetória não seja necessariamente circular, o torque será considerado não mais como um escalar, mas sim como um vetor. Com isso, define-se o torque como sendo o produto vetorial, respectivamente, entre o vetor posição $\mathbf {r}$ (referido a uma origem $O$) e a força aplicada ao corpo nessa posição $\mathbf {F}$:
:{|cellpadding="5" style="border:2px solid #50C878;background: #ECFCF4; text-align: center;" |Definição de torque (vetorial) ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F}$ |}
Essa definição de torque, assim como qualquer outro produto vetorial, obedece a convenção dextrógira, isto é, a regra da mão direita. O produto vetorial é formalmente calculado de forma análoga a um determinante, cujas linhas são formadas pelos versores cartesianos e pelas componentes do vetor posição e do vetor força. Considerando $\mathbf {r} =(x,y,z)$, $\mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})$, e $\mathbf {i}$, $\mathbf {j}$ e $\mathbf {k}$ como os vetores unitários, respectivamente, nas direções $x$, $y$ e $z$, obtém-se a seguinte expressão:
    $\mathbf {r} \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x&y&z\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}$
Portanto, usando o teorema de Laplace para o cálculo de determinantes, o torque exercido pode ser expresso, em componentes cartesianas, das seguintes formas:
    ${\boldsymbol {\tau }}={\begin{vmatrix}y&z\\F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}x&z\\F_{x}&F_{z}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}x&y\\F_{x}&F_{y}\end{vmatrix}}\mathbf {k}$
    ${\boldsymbol {\tau }}=(yF_{z}-zF_{y})\mathbf {i} -(xF_{z}-zF_{x})\mathbf {j} +(xF_{y}-yF_{x})\mathbf {k} =(yF_{z}-zF_{y},zF_{x}-xF_{z},xF_{y}-yF_{x})$

### Unidades

A unidade de medida para o torque definida pelo Sistema Internacional de Unidades é o newton-metro. Ainda que matematicamente a ordem destes fatores, "newton" e "metros", seja indiferente, o BIPM (Bureau International des Poids et Mesures) especifica que a ordem deve ser N·m e não m·N.

## Segunda lei de Newton para rotações
### Eixo fixo

Um torque pode fazer um corpo rígido girar, como acontece, por exemplo, quando abrimos ou fechamos uma porta. Para relacionar o torque resultante aplicado a um corpo rígido à aceleração angular a produzida por esse torque, faz-se a analogia com a segunda lei de Newton para translações ($F_{res}=ma$). No caso, o torque resultante $\tau _{res}$ é análogo à força resultante $F_{res}$, a aceleração angular $\alpha$ à aceleração $a$, e o momento de inércia $I$ à massa $m$. Desse modo, tem-se a seguinte equação:
:{|cellpadding="5" style="border:2px solid #0073CF;background: #F5FFFA; text-align: center;" |2ª lei de Newton para rotações (eixo fixo) $\tau _{res}=I\alpha$ |}
    Demonstração Consideremos uma situação simples na qual uma partícula de massa $m$ gira em torno de um ponto central em uma órbita de raio $r$. Supondo que, mesmo sob a ação de uma força $\mathbf {F}$, a partícula esteja confinada a girar apenas em torno desse eixo, perpendicular ao plano do movimento e que passa pelo ponto central. A partícula, então, descreve uma trajetória circular acelerada em torno desse ponto. Como apenas a componente $\mathbf {F_{\perp }}$ da força $\mathbf {F}$ produz torque, ele pode ser escrito, em módulo, como: $\tau =rF_{\perp }$ A força $F_{\perp }$ produz uma aceleração $a_{\perp }$ na direção tangente à trajetória circular. Então, pela segunda lei de Newton para translações: $F_{\perp }=ma_{\perp }$ Lembrando que a aceleração tangencial se relaciona à aceleração angular $\alpha$ por $a_{\perp }=\alpha r$, unem-se todas as equações para obter o seguinte resultado: $\tau =rF_{\perp }=r(ma_{\perp })=mr(\alpha r)=(mr^{2})\alpha$ O fator $mr^{2}$ nessa equação é o momento de inércia $I$ associado a uma partícula. Portanto: $\tau =I\alpha$ Para generalizar essa equação para um corpo rígido de $n$ partículas que gira em torno de um eixo fixo, basta somar os torques sofridos por cada partícula. Como a aceleração angular é sofrida igualmente por todas as partículas, resulta que o torque resultante está relacionado ao momento de inércia do corpo rígido. Dessa forma: $\tau _{res}=\sum _{i=1}^{n}\tau _{i}=\sum _{i=1}^{n}I_{i}\alpha =(\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2})\alpha$ Como o momento de inércia $I$ do corpo rígido, como um todo, é tal que $I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}$, temos que: :{|cellpadding="5" style="border:2px solid #000000;background: #f5f5f5; text-align: center;" $\tau _{res}=I\alpha$

### Forma geral

Caso o torque resultante não seja paralelo à aceleração angular, a relação entre as duas grandezas vetoriais não será dada através de um número, o momento de inércia, mas sim por um tensor, conhecido como o tensor de inércia.
:{|cellpadding="5" style="border:2px solid #0073CF;background: #F5FFFA; text-align: center;" |2ª lei de Newton para rotações (forma geral) ${\boldsymbol {\tau }}_{res}=\mathbf {I} {\boldsymbol {\alpha }}\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}\tau _{x}\\\tau _{y}\\\tau _{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha _{x}\\\alpha _{y}\\\alpha _{z}\end{pmatrix}}$ |}
Nesta equação matricial, cada entrada de $\mathbf {I}$ é denominada produto de inércia, dados pelas seguintes expressões sobre uma distribuição de massa de um corpo $C$:
    $I_{xx}=\int _{C}\left(y^{2}+z^{2}\right)dm$
    $I_{yy}=\int _{C}\left(x^{2}+z^{2}\right)dm$
    $I_{zz}=\int _{C}\left(x^{2}+y^{2}\right)dm$
    $I_{xy}=I_{yx}=\int _{C}\left(-xy\right)dm$
    $I_{xz}=I_{zx}=\int _{C}\left(-xz\right)dm$
    $I_{yz}=I_{zy}=\int _{C}\left(-yz\right)dm$

### Relação com o momento angular

O torque resultante (referido a uma particular origem $O$) sofrido por uma partícula também pode ser expresso como sendo a derivada temporal do momento angular (referido à mesma origem). Considerando $\mathbf {L}$ como o vetor momento angular da partícula, escreve-se matematicamente:
:{|cellpadding="5" style="border:2px solid #0073CF;background: #F5FFFA; text-align: center;" |2ª lei de Newton para rotações (momento angular) ${\boldsymbol {\tau }}_{res}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}$ |}
    Demonstração Tomando a definição de momento angular: ${\boldsymbol {L}}=\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!$ Em que $\mathbf {p}$ é o momento linear da partícula. Derivando essa expressão através da regra da cadeia, obtém-se: ${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$ Pela segunda lei de Newton para translações, ${\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=\mathbf {F} _{res}$. Como ${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v}$, a velocidade da partícula e $\mathbf {v}$ é paralelo a $\mathbf {p}$, ${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {p} =\mathbf {v} \times \mathbf {p} =0$. Dessa forma: ${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{res}$ Logo: :{|cellpadding="5" style="border:2px solid #000000;background: #f5f5f5; text-align: center;" ${\boldsymbol {\tau }}_{res}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}$

## Equilíbrio de rotação

Diz-se que um corpo rígido (como uma alavanca, por exemplo) está em equilíbrio quando a soma vetorial de todos os seus momentos de torque forem o vetor nulo.
:{|cellpadding="5" style="border:2px solid #FF0000;background: ; text-align: center;" |Condição de equilíbrio de rotação ${\boldsymbol {\tau }}_{res}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}=\mathbf {0}$ |}

## Exemplos envolvendo torque
### Bloco pendurado por disco

| Bloco pendurado por uma corda enrolada em um disco. | Diagrama de forças referente ao problema. |
Tomemos um disco homogêneo, de massa $M$ e raio $R$, montado em um eixo horizontal fixo; e um bloco de massa $m$ pendurado por uma corda (de massa desprezível) enrolada na borda do disco. Conhecidos os valores desses parâmetros e usando as leis de Newton para translação e para rotação é possível determinar a aceleração do bloco em queda, a aceleração angular do disco e a tensão da corda, contanto que seja considerado que a corda não escorrega e que não há atrito no eixo.
Por um lado, considerando o bloco como um sistema, pode-se relacionar a aceleração às forças que agem sobre o bloco através da segunda lei de Newton para translação ($F_{res}=ma$). Por outro, ao considerar o disco como um sistema, relaciona-se a aceleração angular $\alpha$ ao torque que age sobre o disco através da segunda lei de Newton para rotação ($\tau _{res}=I\alpha$). Por fim, para combinar os movimentos do bloco e do disco, utiliza-se do fato de que a aceleração linear do bloco e a aceleração linear (tangencial) da borda do disco são iguais, sendo representadas por $a$.
As forças atuantes estão representadas no diagrama de corpo livre do sistema. A força de tensão na corda é $T$ e o peso do bloco é $P$, cujo módulo é $P=mg$. Podemos escrever a segunda lei de Newton para as componentes ao longo de um eixo vertical y ($F_{res,y}=ma_{y}$) como:
    $F_{res}=ma\implies T-mg=ma$ $(1)$
Entretanto, não é possível obter o valor de $a$ usando apenas esta equação porque ela também contém a incógnita $T$. Comumente em problemas de mecânica, quando se esgotam as conclusões a serem tiradas acerca das forças em um eixo (no caso, o eixo y), observa-se as forças de outros eixos (como o eixo x) para obter mais equações e formar um sistema. Da mesma forma, pode ser útil usar as condições de rotação do disco para formar tal sistema.
Para calcular os torques e o momento de inércia, usamos o fato de que o eixo de rotação é perpendicular ao disco e passa pelo seu centro. Nesse caso, os torques são dados pela equação $\tau =rF_{\perp }$. A força peso do disco e a força do eixo agem sobre o centro do disco e, portanto, a uma distância $r=0$, de modo que o torque produzido por essas forças seja nulo. A força $T$ exercida pela corda sobre o disco age a uma distância $r=R$ do eixo e é tangente à borda do disco. Assim, a força produz um torque $\tau =-RT$, negativo pois o torque tende a fazer o disco girar no sentido horário (lembrando que a regra da mão direita estabelece o sentido anti-horário de rotação como positivo). O momento de inércia do disco é $I=MR^{2}/2$.
Assim, escreve-se a equação $\tau _{res}=I\alpha$ da seguinte forma:
$\tau _{res}=I\alpha \implies -RT={\frac {MR^{2}}{2}}\alpha \implies T=-{\frac {1}{2}}M\alpha R$
Como a aceleração linear do bloco e a aceleração tangencial do disco são iguais, é válida a equação $a=\alpha R$. Substituindo este valor na equação anterior, obtém-se:
$T=-{\frac {1}{2}}Ma$
$(2)$
Substituindo a equação (2) na equação (1), encontra-se a aceleração obtida pelo corpo:
$-{\frac {1}{2}}Ma-mg=ma\implies \left(m+{\frac {1}{2}}M\right)a=-mg$
:{|cellpadding="5" style="border:2px solid #000000;background: #f5f5f5; text-align: center;" | $a=-{\frac {mg}{m+{\frac {1}{2}}M}}=-{\frac {g}{1+{\frac {M}{2m}}}}$ |}
Com esse resultado também é possível obter o valor da tração na corda, substituindo esta equação na equação (2):
$T=-{\frac {1}{2}}M\left(-{\frac {mg}{m+{\frac {1}{2}}M}}\right)$
:{|cellpadding="5" style="border:2px solid #000000;background: #f5f5f5; text-align: center;" | $T={\frac {Mmg}{2m+M}}={\frac {g}{{\frac {2}{M}}+{\frac {1}{m}}}}$ |}
Por fim, pela definição de aceleração angular ($\alpha =a/R$) e pela definição de torque ($\tau =-RT$), utilizadas no problema, tem-se os valores dessas duas grandezas:
$\alpha ={\frac {1}{R}}\left(-{\frac {mg}{m+{\frac {1}{2}}M}}\right)$
:{|cellpadding="5" style="border:2px solid #000000;background: #f5f5f5; text-align: center;" | $\alpha =-{\frac {mg}{R(m+{\frac {1}{2}}M)}}=-{\frac {g}{R(1+{\frac {M}{2m}})}}$ |}
$\tau =-R\left({\frac {Mmg}{2m+M}}\right)$
:{|cellpadding="5" style="border:2px solid #000000;background: #f5f5f5; text-align: center;" | $\tau =-\left({\frac {MmgR}{2m+M}}\right)=-{\frac {gR}{{\frac {2}{M}}+{\frac {1}{m}}}}$ |}

## Cálculos de Forças

Uma forma mais geral e simples de somar qualquer tipo de forças consiste em deslocá-las todas para um mesmo ponto, mas por cada força ${\vec {F}}$ deslocada, deverá ser adicionado um torque, igual ao produto do módulo da força e o braço em relação ao ponto onde foi deslocada. A figura ao lado mostra uma força ${\vec {F}}$ aplicada num ponto P, que queremos deslocar para a origem O.
O vetor posição ${\vec {r}}$ do ponto P tem módulo r e faz um ângulo $\theta$ com a força ${\vec {F}}$ O braço da força em relação a O, que é a distância entre O e a linha de ação da força, é igual a r sin $\theta$ e, portanto, o torque da força em relação a O é:
* $\tau =F\;r\;sin\theta$
Repare que $(F\;sin\theta )$ é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição ${\vec {r}}$ e, assim, podemos dizer que o torque é produzido unicamente pela componente da força perpendicular ao deslocamento, e o valor do torque é igual ao valor absoluto da componente perpendicular da força, vezes a distância r que foi deslocada. O produto denomina-se produto vetorial entre os vetores ${\vec {r}}$ e ${\vec {F}}$. No caso da soma das forças paralelas, o deslocamento das forças para o ponto S introduz dois torques, $(\tau _{1}=F_{1}d_{1})$ e $(\tau _{2}=F_{2}d_{2})$ os dois torques anulam-se e a resultante das duas forças, do ponto S, é a força F, sem nenhum torque. É importante também ter em conta o sentido de cada torque. A rotação produzida por ${\vec {F}}$ quando for deslocada para a origem será sempre no plano definido por ${\vec {r}}$ e ${\vec {F}}$. Se designarmos esse plano por xy, uma forma conveniente de representar os dois sentidos possíveis do torque é por meio dos versores ${\vec {e}}_{z}$ e $-{\vec {e}}_{z}$ Assim, podemos definir o vetor torque ${\vec {\tau }}$ usando a expressão vetorial:
* ${\vec {\tau }}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$
em que ${\vec {r}}\times {\vec {F}}$ é, por definição, um vetor com módulo dado pela equação $\tau =F\;r\;sin\theta$ , direção perpendicular ao plano definido por ${\vec {r}}$ e ${\vec {F}}$ e sentido dado pela regra da mão direita: afastando os dedos polegar, indicador e médio da mão direita, se o indicador aponta no sentido de ${\vec {r}}$ e o dedo médio no sentido de ${\vec {F}}$, o sentido de ${\vec {\tau }}$ é dado pelo dedo polegar. É de salientar que com essa definição, o produto vetorial não é comutativo; $({\vec {a}}\times {\vec {b}})$ e $({\vec {b}}\times {\vec {a}})$ são vetores com o mesmo módulo e direção, mas com sentidos opostos. Como o ângulo de um vetor consigo próprio é zero, o produto ${\vec {a}}\times {\vec {a}}$ é sempre nulo. Em particular:
${\vec {e}}_{x}\times {\vec {e}}_{x}={\vec {e}}_{y}\times {\vec {e}}_{y}=0$
O produto de dois versores perpendiculares é outro versor perpendicular a eles. Assim, temos que:
$({\vec {e}}_{x}\times {\vec {e}}_{y}={\vec {e}}_{z})$ e $(-{\vec {e}}_{y}\times {\vec {e}}_{x}={\vec {e}}_{z})$ .
Consequentemente, escolhendo eixos em que os vetores r e F só tenham componentes x e y, obtemos o seguinte resultado útil para calcular produtos vetoriais:
* ${\vec {\tau }}={\begin{vmatrix}x&y\\F_{x}&F_{y}\end{vmatrix}}{\vec {e}}_{z}=(xF_{y}-yF_{x}){\vec {e}}_{z}$
Concluiremos para o fato de que, em contraste com as forças, os torques sim são vetores livres. O mesmo torque aplicado em qualquer ponto de um objeto produz o mesmo efeito. Uma força e um torque perpendicular a ela são sempre equivalentes à força, sem torque, atuando em outro ponto diferente. Isto é, deslocando a força na direção e distância apropriada, podemos introduzir um torque igual e oposto ao que queremos anular; como os dois torques são vetores livres, somam-se dando um torque nulo. O ponto de aplicação da resultante de várias forças é o ponto onde podemos somá-las produzindo um torque resultante nulo.

## Momento e Binários

A regra das alavancas pode ser explicada introduzindo o conceito de momento. Define-se o valor do momento de uma força em relação a um ponto O, como o produto do módulo da força pela distância desde o ponto O até a linha de ação da força (braço $b$),
$M_{\mathrm {O} }=F\,b$
O momento $M_{\mathrm {O} }$ representa o efeito de rotação produzido pela força, se o ponto O do corpo rígido estivesse fixo, podendo o corpo rodar à volta desse ponto.
Quanto mais afastada estiver a linha de ação da força em relação ao ponto fixo O, maior será o efeito rotativo produzido pela força. Isso explica porquê é mais fácil fechar a porta quanto mais longe das dobradiças for aplicada a força; a distância entre a linha de ação da força e a linha das dobradiças é o braço e quanto maior for, maior será o momento da força aplicada.
Sendo ${\vec {r}}$ o vetor posição do ponto P em que a força ${\vec {F}}$ é aplicada, em relação à origem O, o braço da força em relação à origem O é igual a $r\,\sin \theta$, em que o ângulo $\theta$ é o ângulo entre os vetores ${\vec {r}}$ e ${\vec {F}}$ (figura ao lado).
Conclui-se que valor do momento da força em relação ao ponto O é igual a,
$M_{\mathrm {O} }=F\,r\,\sin \theta$
Repare-se que ($F\,\sin \theta$) é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição ${\vec {r}}$, ou seja, o valor do momento da força é também igual ao produto da distância desde o ponto de aplicação até a origem, $r$, pela componente perpendicular da força. O momento produzido pela força é devido unicamente à componente perpendicular da força.
A equação acima mostra que o momento da força é igual ao módulo do produto vetorial entre o vetor posição e a força e mostra a conveniência de definir o momento em forma vetorial:
${\vec {M}}_{\mathrm {O} }={\vec {r}}\times {\vec {F}}$
O vetor ${\vec {M}}_{\mathrm {O} }$ representa um efeito de rotação num plano perpendicular a ele.
Na figura anterior o momento é um vetor que aponta para fora da figura e costuma ser representado por uma seta circular, no sentido da rotação que segue a regra da mão direita em relação ao sentido do vetor ${\vec {M}}_{\mathrm {O} }$.
Um binário é um conjunto de duas forças ${\vec {F}}$ e $-{\vec {F}}$, iguais e opostas, com linhas de ação paralelas, como mostra a figura ao lado.
O binário não produz nenhuma translação em nenhum sentido, mas apenas rotação. O momento total, em relação à origem O, é a soma dos momentos das duas forças,
${\vec {r}}_{\mathrm {Q} }\times {\vec {F}}-{\vec {r}}_{\mathrm {P} }\times {\vec {F}}=({\vec {r}}_{\mathrm {Q} }-{\vec {r}}_{\mathrm {P} })\times {\vec {F}}$
Os dois vetores de posição dos pontos Q e P dependem da escolha da origem, mas a sua diferença é o vetor ${\vec {r}}_{\mathrm {PQ} }$ na figura, que não depende do ponto onde estiver a origem.
Isso quer dizer que o binário produz um momento que não depende de nenhum ponto de referência,
${\vec {M}}={\vec {r}}_{\mathrm {PQ} }\times {\vec {F}}$
Na figura abaixo o momento do binário é um vetor para fora da figura, representado pela seta circular no sentido anti-horário.
Uma força ${\vec {F}}$ aplicada num ponto P pode ser deslocada para outro ponto Q, fora da sua linha de ação, usando o procedimento ilustrado na figura acima.
Adicionam-se duas forças $-{\vec {F}}$ e ${\vec {F}}$ nos pontos P e Q e, para não alterar nada, adiciona-se também um binário ${\vec {M}}$ com o mesmo módulo do binário das forças introduzidas, mas no sentido oposto.
No caso da figura anterior, $M$ deve ser no sentido horário e com módulo igual ao produto de $F$ pela distância desde Q até a linha de ação da força original; ou, em forma vetorial, ${\vec {M}}={\vec {r}}_{\mathrm {QP} }\times {\vec {F}}$.
No ponto P há duas forças iguais e opostas que se anulam, ficando no fim a força ${\vec {F}}$ no ponto Q e o binário ${\vec {M}}={\vec {r}}_{\mathrm {QP} }\times {\vec {F}}$ que é igual ao momento ${\vec {M}}_{Q}$ que a força original, em P, produz em relação ao ponto Q.
Conclui-se que para somar um conjunto de forças num ponto Q, somam-se os momentos das forças em relação a esse ponto, dando um binário resultante, e somam-se as forças como vetores livres. O resultado é a força resultante no ponto Q e o binário resultante.
Quando as direções de todas as forças estiverem num mesmo plano, será conveniente definir dois dos eixos coordenados nesse plano, por exemplo $x$ e $y$ e a origem no ponto onde vão ser somadas as forças. Assim sendo, o momento de cada força ${\vec {F}}$ em relação à origem introduz um binário que tem unicamente componente segundo $z$, dada pelo determinante,
$M_{z}=\left|{\begin{array}{cc}x&y\\F_{x}&F_{y}\end{array}}\right|$
em que $x$ e $y$ são as coordenadas do ponto onde está a ser aplicada a força ${\vec {F}}$.
Para obter o binário resultante bastará somar os valores de $M_{z}$ obtidos para cada força.