# Transformada de Laplace bilateral

Em matemática, a transformada de Laplace bilateral é uma transformada integral bastante relacionada com a transformada de Fourier, a transformada de Mellin e a transformada de Laplace. Se ƒ(t) é uma função de uma variável real t definida para todos os números reais, a transformada de Laplace bilateral é definida pela integral
    ${\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$
Essa integral é frequentemente uma integral imprópria, que converge se e somente se cada uma das integrais
    $\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt,\quad \int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt$
existir. Alguns autores usam a notação alternativa
    ${\mathcal {T}}\left\{f(t)\right\}=s{\mathcal {B}}\left\{f\right\}=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$
Em aplicações de física e engenharia, a função original geralmente tem como variável independente o tempo (t), e $f(t)$ representa um sinal que varia no tempo. A função transformada tem como variável independente a frequência real (ω) ou a frequência complexa (s), e $F(s)$ ou $F($ω$)$ são os componentes desse sinal em cada frequência.
Em aplicações de estatística, a função original geralmente é a densidade de probabilidade de uma distribuição, e a função transformada, os momentos dessa distribuição.

## Relação com outras transformadas integrais

Sendo u(t) a função degrau de Heaviside, que é igual a zero quando t é menor que zero, $1/2$ quando t é igual a zero, e 1 quando t é maior que zero, a transformada de Laplace ${\mathcal {L}}$ pode ser definida a partir da transformada de Laplace bilateral por
    ${\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {B}}\left\{f(t)u(t)\right\}.$
Por outro lado, também temos que
    $\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(t)\right\}(s)+\left\{{\mathcal {L}}f(-t)\right\}(-s)$
Assim, cada uma das versões da transformada de Laplace pode ser definida a partir da outra.
A transformada de Mellin pode ser definida em termos da transformada de Laplace bilateral por
    $\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)$
e, inversamente, pode-se obter a transformada de Laplace bilateral a partir da transformada de Mellin por meio da expressão
    $\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s).$
A transformada de Fourier também pode ser definida a partir da transformada de Laplace bilateral, por meio da expressão
    ${\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}=F(s=i\omega )=F(\omega ).$
Note-se que existem definições alternativas da transformada de Fourier. Em particular, a forma
    $\left\{{\mathcal {F}}f\right\}=F(s=i\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)$
é frequentemente usada.
Também é possível obter a transformada de Laplace bilateral a partir da transformada de Fourier, através da expressão
    $\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-is).$
Note-se que transformada de Fourier é normalmente definida de forma a existir para valores reais. A definição acima define $F(s)$ em uma faixa $a<\Im (s)<b$ que pode não incluir o eixo real.

## Propriedades

Para quaisquer duas funções f, g{\textstyle f, g} para as quais a transformada bilateral de Laplace T{f}, T{g}{\textstyle {\mathcal {T}}\{f\}, {\mathcal {T}}\{g\}} existam, se T{f}=T{g}{\textstyle {\mathcal {T}}\{f\}={\mathcal {T}}\{g\}} e T{f}(t)=T{g}(t){\textstyle {\mathcal {T}}\{f\}(t)={\mathcal {T}}\{g\}(t)}para todo valor de t∈R, {\textstyle t\in \mathbb {R} , } f=g{\textstyle f=g} quase sempre.
Propriedades da transformada unilateral de Laplace :
| | Dominio de tempo | Domínio unilateral-'s' | Domínio bilateral-'s' |
| Derivada | $f'(t)\$ | $sF(s)-f(0)\$ | $sF(s)\$ |
| Derivada de segunda ordem | $f''(t)\$ | $s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\$ | $s^{2}F(s)\$ |

## Região de convergência

Os requisitos para convergência da transformada bilateral são mais difíceis do que para transformações unilaterais. A região de convergência normalmente será menor.
Se f é uma função localmente integrável (ou mais geralmente uma medida local de Borel de variação limitada), então a transformada de Laplace F(s) de f converge desde que o limite
$\lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}dt$
exista. A transformada de Laplace converge absolutamente se a integral
$\int _{0}^{\infty }|f(t)e^{-st}|dt$
existe (como uma integral de Labesgue adequada). A transformada de Laplace é geralmente entendida como condicionalmente convergente.
O conjunto de valores para os quais F(s) converge absolutamente é da forma Re(s) > a ou Re(s) ≥ a, onde ''a'' é uma constante real estendida, −∞ ≤ a ≤ ∞. (Isso segue do teorema da convergência dominada.) A constante ''a'' é conhecida como a abcissa da convergência absoluta e depende do comportamento de crescimento de f(t). Analogamente, a transformada bilateral converge absolutamente em uma faixa da forma a < Re(s) < b, e possivelmente incluindo as linhas Re(s) = a ou Re(s) = b. O subconjunto de valores de s para os quais a transformada de Laplace converge absolutamente é chamado de região de convergência absoluta ou domínio de convergência absoluta. No caso bilateral, às vezes é chamada de faixa de convergência absoluta. A transformada de Laplace é analítica na região de convergência absoluta.
Da mesma forma, o conjunto de valores para os quais F(s) converge (condicionalmente ou absolutamente) é conhecido como região de convergência condicional, ou simplesmente região de convergência. Se a transformada de Laplace converge (condicionalmente) em $s=s_{0}$, então ela converge automaticamente para todos os s com Re(s) > Re ($s_{0}$). Portanto, a região de convergência é um meio plano da forma Re(s) > a, possivelmente incluindo alguns pontos da linha limite Re(s) = a. Na região de convergência Re(s) > Re($s_{0}$), a transformada de Laplace de f pode ser expressa por integração por partes como a integral
$F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)dt$, $\beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)dt$.
Ou seja, na região de convergência F(s) pode ser efetivamente expressa como a transformada de Laplace absolutamente convergente de alguma outra função. Em particular, é analítica.
Existem vários teoremas de Paley-Wiener relativos à relação entre as propriedades de decaimento de f e as propriedades da transformada de Laplace na região de convergência.
Em aplicações de engenharia, uma função correspondente a um sistema linear invariante no tempo é estável se cada entrada limitada produz uma saída limitada.

## Causalidade

As transformações bilaterais não respeitam a causalidade. Elas fazem sentido quando aplicados sobre funções genéricas, mas quando se trabalha com funções de tempo (sinais), as transformações unilaterais são preferidas.