# Elasticidade de substituição

Elasticidade de substituição é a elasticidade da razão de duas entradas para uma função de produção ou função utilidade em relação à proporção de seus produtos marginais (ou utilidades marginais). Em um mercado competitivo, ela mede a variação percentual na proporção de dois insumos utilizados em resposta a uma variação percentual em seus preços. Ela mede a curvatura de uma isoquanta e, assim, a substituibilidade entre insumos (ou bens), ou seja, como é fácil substituir uma entrada (ou boa) pela outra.

## História do conceito

John Hicks introduziu esse conceito em 1932. Joan Robinson descobriu de forma independente em 1933, usando uma formulação matemática que era equivalente a de Hicks, embora isso não tenha sido divulgado na época.

## Definição matemática

Quando a utilidade sobre o consumo é dada por $U(c_{1},c_{2})$ e quando ${\displaystyle U_{c_{i}}=dU(c_{1},c_{2})/d{c_{i}}}$. Então a elasticidade de substituição é:
    $E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}{U_{c_{1}}/U_{c_{2}}}}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{1}/p_{2})}{p_{1}/p_{2}}}}$
Onde $MRS$ é a taxa marginal de substituição. A última igualdade apresenta $MRS_{12}=p_{1}/p_{2}$ que é uma relação da condição de primeira ordem para um problema de maximização da utilidade do consumidor no equilíbrio interior de Arrow-Debreu. Intuitivamente, estamos analisando como as escolhas relativas de um consumidor em relação aos itens de consumo mudam à medida que os preços relativos mudam.
Note também que $E_{21}=E_{12}$:
    ${\displaystyle E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {d\left(-\ln(c_{2}/c_{1})\right)}{d\left(-\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})\right)}}={\frac {d\ln(c_{1}/c_{2})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=E_{12}}$
Uma caracterização equivalente da elasticidade de substituição é:
    $E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{21})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}{U_{c_{2}}/U_{c_{1}}}}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{2}/p_{1})}{p_{2}/p_{1}}}}$
Em modelos de tempo discreto, a elasticidade de substituição do consumo em períodos $t$ e $t+1$ é conhecida como elasticidade de substituição intertemporal.
Da mesma forma, se a função de produção é $f(x_{1},x_{2})$ então a elasticidade da substituição é:
    $\sigma _{21}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln MRTS_{12}}}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}})}}={\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}})}{{\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}}}}}=-{\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d({\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}})}{{\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}}}}}$
Onde $MRTS$ é a taxa marginal de substituição técnica.
O inverso da elasticidade de substituição é a elasticidade da complementaridade.

## Exemplo

Considere a função de produção Cobb-Douglas $f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}x_{2}^{1-a}$.
A taxa marginal de substituição técnica é:
    $MRTS_{12}={\frac {a}{1-a}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}$
É conveniente alterar as notações. Denotar:
    ${\frac {a}{1-a}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=\theta$
Reescrevendo isso, temos:
    ${\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {1-a}{a}}\theta$
Então a elasticidade de substituição é:
    $\sigma _{21}={\frac {d\ln({\frac {x_{2}}{x_{1}}})}{d\ln MRTS_{12}}}={\frac {d\ln({\frac {x_{2}}{x_{1}}})}{d\ln({\frac {a}{1-a}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}})}}={\frac {d\ln({\frac {1-a}{a}}\theta )}{d\ln(\theta )}}={\frac {d{\frac {1-a}{a}}\theta }{d\theta }}{\frac {\theta }{{\frac {1-a}{a}}\theta }}=1$

## Interpretação econômica

Dada uma alocação / combinação original e uma substituição específica na alocação / combinação para a original, quanto maior a magnitude da elasticidade de substituição (a taxa marginal de elasticidade de substituição da alocação relativa), mais provável a substituição. Há sempre dois lados no mercado; aqui estamos falando do receptor, já que a elasticidade de preferência é a do receptor.
A elasticidade da substituição também rege a forma como o gasto relativo de bens ou insumos de fatores se altera à medida que os preços relativos mudam. Se $S_{21}$ denotar despesas em $c_{2}$ em relação a isso em $c_{1}$. Isso é:
    $S_{21}\equiv {\frac {p_{2}c_{2}}{p_{1}c_{1}}}$
Com os preços relativos $p_{2}/p_{1}$ mudando, as despesas relativas mudam de acordo com:
    ${\frac {dS_{21}}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}+{\frac {p_{2}}{p_{1}}}\cdot {\frac {d\left(c_{2}/c_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left[1+{\frac {d\left(c_{2}/c_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}\cdot {\frac {p_{2}/p_{1}}{c_{2}/c_{1}}}\right]={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left(1-E_{21}\right)$
Assim, se um aumento no preço relativo do $c_{2}$leva a um aumento ou diminuição dos gastos relativos $c_{2}$, depende de se a elasticidade de substituição é menor ou maior que um. Intuitivamente, o efeito direto de um aumento no preço relativo de $c_{2}$ é o aumento das despesas com $c_{2}$, uma vez que uma dada quantidade de $c_{2}$ é mais caro. Por outro lado, supondo que os bens em questão não são bens de Giffen, um aumento no preço relativo de $c_{2}$ leva a uma queda na demanda relativa de $c_{2}$, de modo que a quantidade de $c_{2}$ diminua, o que reduz as despesas com $c_{2}$.
Qual destes efeitos domina depende da magnitude da elasticidade de substituição. Quando a elasticidade de substituição é menor que um, o primeiro efeito domina: a demanda relativa por $c_{2}$ cai, mas proporcionalmente menos do que o aumento do seu preço relativo, de modo que a despesa relativa aumenta. Nesse caso, as mercadorias são bens complementares.
Inversamente, quando a elasticidade de substituição é maior do que um, o segundo efeito domina: a redução na quantidade relativa excede o aumento no preço relativo, de modo que a despesa relativa em $c_{2}$ cai. Nesse caso, as mercadorias são bens substitutos. Note que quando a elasticidade de substituição é exatamente um (como no caso de Cobb-Douglas), a despesa em $c_{2}$ relativo a $c_{1}$ é independente dos preços relativos.