# Varredura Z

A técnica de varredura Z (em inglês z-scan) é uma técnica simples e sensível, amplamente utilizada para a medida do sinal e da magnitude das propriedades ópticas não lineares de materiais. Foi proposta em 1989 por Mansoor Sheik-bahae, Ali A. Said, e Eric W. Van Stryland no Centro de Pesquisa e Educação em Óptica e Lasers (CREOL), Universidade da Flórida Central.
Em particular, é utilizada para a caracterização do índice de refração não linear $n_{2}$ (efeito kerr óptico) e o coeficiente de absorção não linear $\Delta \alpha$, por meio das configurações fechada e aberta, respectivamente. Os fenômenos típicos de absorção não linear envolvem, por exemplo, a absorção de dois fótons e a saturação de absorção. Uma vez que a absorção não linear pode interferir na medida do índice de refração não linear, a configuração aberta é geralmente usada em conjunto com a configuração fechada, a fim de calcular o valor correto de $n_{2}$.
A técnica consiste em deslocar uma amostra fina ao longo da direção de propagação de um feixe laser, focalizado e com perfil transversal gaussiano, enquanto a radiação transmitida por esta é detectada no regime de campo distante. A amostra é movimentada em torno da região focal, que define a posição $z=0$. À medida que que amostra é aproximada do ponto focal a intensidade da radiação aumenta, pois há redução da área iluminada. Desse modo, fenômenos ópticos não lineares são estimulados e, portanto, o índice de refração e o coeficiente de absorção da amostra são descritos, respectivamente, por:
    $n=n_{0}+n_{2}I\,$
    $\alpha =\alpha _{0}+\Delta \alpha I\,$
em que $n_{0}$ corresponde ao índice de refração linear e $\alpha _{0}$ ao coeficiente de absorção linear. Como a amostra experimenta o valor máximo de intensidade no ponto focal da lente, propriedades ópticas não lineares são estimuladas em torno dessa região.
O nome varreduza Z se deve ao fato da amostra ser deslocada ao longo da direção de propagação do feixe. Essa direção é usualmente definida como eixo ${\hat {z}}$ pela descrição matemática usual.

## Princípios experimentais

Um feixe laser pulsado e com perfil transversal gaussiano é focalizado, definindo no foco a posição $z=0$. Uma amostra é então deslocada ao longo do eixo de propagação, em torno da região focal. À cada posição da amostra, a luz transmitida por esta é direcionada a um detector e um programa de aquisição registra a intensidade luminosa em função da posição $z$ desta. A transmitância em cada posição é então normalizada por um valor de referência. Este pode ser tanto o sinal proveniente de um detector de referência, obtido adicionando um divisor de feixe anterior à lente de colimação, de forma que esse sinal é independente da posição da amostra. Outra possibilidade é utilizar o valor da transmitância em uma posição distante do foco, onde ocorrem apenas efeitos lineares. Em ambos os casos, variações do valor da transmitância normalizada $T_{N}$ com relação à unidade são devidas apenas aos fenômenos não lineares.

### Configuração fechada

Na configuração fechada, uma íris é posicionada em frente ao detector de modo que apenas uma fração da luz transmitida é captada por esse. Essa configuração experimental é sensível a mudanças na refração da amostra, permitindo a determinação do índice de refração não linear $n_{2}$.
A técnica de varredura-Z na configuração fechada é baseada no fenômeno de autofocalização, isso é, quando um feixe com perfil gaussiano incide sobre uma amostra com $n_{2}\neq 0$ há a formação de um gradiente transversal de índice de refração. Assim, a amostra se comporta como uma lente convergente se $n_{2}>0$ ou divergente caso $n_{2}<0$.
Supondo que um material com $n_{2}>0$ seja posicionado em $z<0$, longe da região focal, não ocorrem fenômenos não lineares, uma vez que a intensidade luminosa é baixa. Desse modo, a transmitância normalizada é unitária. Quando a amostra se aproxima do foco ainda em $z<0$, o aumento da intensidade resulta no efeito de autofocalização. Como a amostra se comporta como uma lente convergente, o feixe é focalizado em uma posição anterior a que estava quando existiam apenas fenômenos lineares, resultando em um feixe com maior área na região do detector e em uma diminuição na intensidade transmitida. Por outro lado, para a amostra na região $z>0$, o feixe é focalizado em uma posição posterior, diminuindo sua área sobre a íris e, consequentemente, aumentando a transmitância. Em $z=0$, há um efeito análogo ao de posicionar uma lente delgada na região de foco de outra lente. Para $z>0$, distante do foco, os fenômenos não lineares deixam de ocorrer e, novamente, $T_{N}=1$.
Caso a amostra utilizada possua não linearidade negativa, os fenômenos descritos terão efeitos contrários, aumentando a transmitância para $z$ negativo e diminuindo para $z$ positivo.
A transmitância medida pelo detector em função da posição da amostra depende, portanto, da magnitude e do sinal de $n_{2}$.
Para uma amostra puramente refrativa, ou seja, que não apresenta absorção não linear, a relação entre a transmitância normalizada $T_{N}$ e a posição $z$ da amostra é dada pelo modelo de Sheik-bahae:
    $T_{N}(z)=1+{\frac {8\pi }{\lambda }}{\frac {n_{2}I_{0}l_{ef}(z/z_{0})}{\left[1+(z/z_{0})^{2}\right]\left[9+(z/z_{0})^{2}\right]}},$
em que $\lambda$ é o comprimento de onda da radiação incidente, $I_{0}$ corresponde à intensidade do laser no foco e no eixo, $l_{ef}=\left[1-\exp {(\alpha _{0}l)}\right]/\alpha _{0}$ é a espessura efetiva da amostra e $z_{0}$ é o comprimento de Rayleigh.

### Configuração aberta

O arranjo experimental referente à configuração aberta é semelhante àquele descrito para a configuração fechada. Contudo, nesse caso a íris é removida e uma segunda lente convergente é posicionada entre a amostra e o detector. Essa configuração é sensível a alterações na absorção da radiação, de forma que o coeficiente de absorção de não linear $\Delta \alpha$ pode ser determinado.
Apenas quando a amostra está próxima do foco há densidade de fótons suficientemente grande para estimular efeitos não lineares. Quando o fenômeno de absorção de dois fótons é o mecanismo responsável pela alteração na absorção, o resultado típico de experimentos de varredura-Z na configuração aberta corresponde a um vale em torno da posição $z=0$. Por outro lado, caso o mecanismo seja a saturação de absorção, a curva corresponde a um pico em torno da posição focal.
Na configuração aberta, a relação entre a transmitância normalizada $T_{N}$ e a posição $z$ da amostra dada pelo modelo de Sheik-bahae é:
    $T_{N}(z)={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}q_{0}(z,0)}}\int _{-\infty }^{\infty }\ln \left[1+q_{0}(z,0)\exp \left(-\tau ^{2}\right)\right]\,d\tau ,$
em que $q_{0}(z,0)={\frac {\Delta \alpha I_{0}l_{ef}}{1+\left(z/z_{0}\right)^{2}}}$, $I_{0}$ corresponde à intensidade no foco e no eixo, $l_{ef}=\left[1-\exp {(\alpha _{0}l)}\right]/\alpha _{0}$ é a espessura efetiva da amostra e $z_{0}$ é o comprimento de Rayleigh.

## Fundamentos teóricos

A dependência espacial da intensidade $I$ de um feixe com perfil transversal gaussiano é dada por:
    $I(r,z)=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \!\left({\frac {-2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\,$
em que $r$ é a distância radial ao eixo central do feixe, $I_{0}$ corresponde à intensidade no foco e no eixo, $w(z)$ ao raio do feixe na posição $z$ e $w_{0}=w(z=0)$ é a cintura do feixe. O raio do feixe em função da posição $z$ é:
    $w(z)=w_{0}{\sqrt {1+\left({\frac {z}{z_{0}}}\right)^{2}}}\,$
em que $z_{0}$ é o comprimento de Rayleigh.