# Ordenação de tempo

Na teoria quântica de campos a ordenação de tempo é útil para tirar produto de operadores. Esta operação é designada por ${\mathcal {T}}$. Para dois operadores A (x) e B (y), que dependem em locais de espaço-tempo x e y nós definimos:
    ${\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y)&{\text{if }}x_{0}>y_{0},\\\pm B(y)A(x)&{\text{if }}x_{0}<y_{0}.\end{cases}}$
Aqui $x_{0}$ and $y_{0}$ designam as coordenadas-tempo dos pontos x e y.
De forma explícita temos
    ${\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (x_{0}-y_{0})A(x)B(y)\pm \theta (y_{0}-x_{0})B(y)A(x),$
onde $\theta$ representa a função de passo Heaviside e o $\pm$ depende se os operadores em natureza são Bósonicos ou Férmionicos. Se bosônico, então o sinal de $+$ é sempre escolhido, se fermiônico então, o sinal vai depender do número de interligação necessárias para atingir o operador de ordem temporal adequada.
Uma vez que os operadores dependem de sua localização no espaço-tempo (ou seja, não apenas no tempo), esta operação em ordenação de tempo só é coordenada independente se os operadores do tipo espacial em pontos separados comutam. Note que a ordenação tempo é em geral escrita com o argumento de tempo aumentando da direita para a esquerda. Em geral, para o produto de n operadores de campo A$_1$(t$_1$), …, A$_n$(t$_n$) o produto do tempo ordenado dos operadores são definidos da seguinte forma:
    ${\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}=\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>\cdots >t_{p_{n}})\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})$
onde a soma é executada em todo p's e sobre o grupo simétrico n graus de permutações e
    $\varepsilon (p)\equiv {\begin{cases}1&{\text{para os operadores bosônicos,}}\\{\text{sinal da permutação}}&{\text{para os operadores fermiônicos.}}\end{cases}}$

## Matriz de dispersão

A matriz de dispersão(ou matriz de espalhamento) de em teoria quântica de campos é um exemplo de um produto de tempo ordenado. A matriz de dispersão transformando o estado em t =−∞ para um estado em t = +∞, pode também ser considerada como uma espécie de "holonomia", análoga à linha de Wilson. Obtemos uma expressão ordenada no tempo devido ao seguinte motivo:
Começamos com esta fórmula simples para o exponencial
    $\exp h=\lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {h}{N}}\right)^{N}.$
Agora, considere a evolução discretizada do operador
    $S=\cdots (1+h_{+3})(1+h_{+2})(1+h_{+1})(1+h_{0})(1+h_{-1})(1+h_{-2})\cdots$
onde $1+h_{j}$ é o operador de evolução ao longo de um intervalo $[j\varepsilon ,(j+1)\varepsilon ]$ de tempo infinitesimal. Os termos de ordem superiores podem ser negligenciados no limite $\varepsilon \to 0$. O operador $h_{j}$ é definido por
    $h_{j}={\frac {1}{i\hbar }}\int _{j\varepsilon }^{(j+1)\varepsilon }dt\int d^{3}x\,H({\vec {x}},t).$
Note-se que os operadores de evolução ao longo dos intervalos de tempo "passado" é exibido no lado direito do produto. Nós vemos que a fórmula é análoga à identidade acima satisfeita pelo exponencial, e podemos escrever
    $S={\mathcal {T}}\exp \left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }h_{j}\right)={\mathcal {T}}\exp \left(\int dt\,d^{3}x\,{\frac {H({\vec {x}},t)}{i\hbar }}\right).$
A única sutileza que tivemos que incluir foi o operador ${\mathcal {T}}$ de ordenação de tempo porque os fatores no produto que definem S acima foram tempo-ordenados, também (e os operadores não comutam, em geral) e o operador ${\mathcal {T}}$ garante que este ordenação será preservada.