# Duplo fatorial

Em matemática, o produto de todos os inteiros de 1 até algum inteiro não negativo n que tem a mesma paridade de n é chamado de duplo fatorial ou semifatorial de n e é denotado por n!!. Isto é,
    $n!!=\prod _{i=0}^{k}(n-2i)=n(n-2)(n-4)\cdots$
onde $k=\lceil n/2\rceil -1.$
A consequência dessa definição é que (como um produto vazio)
    $0!!=1.$
Por exemplo, 9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945.
Para n par p duplo fatorial é
    $n!!=\prod _{i=1}^{n/2}(2i)=n(n-2)\cdots 2.$
Para n ímpar é
    $n!!=\prod _{i=1}^{(n+1)/2}(2i-1)=n(n-2)\cdots 1.$
A sequência de duplos fatoriais ímpares n = 1, 3, 5, 7, ... é a seguinte
    1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, .... (sequência A001147 na OEIS)
A sequência de duplos fatoriais pares n = 0, 2, 4, 6, 8, ... é a seguinte
    1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120, .... (sequência A000165 na OEIS)
Merserve (1948) (possivelmente a mais antiga publicação com o uso da notação de duplo fatorial) afirmou que o duplo fatorial foi introduzido para simplificar as expressões de certas integrais trigonométricas que aparecem na derivação do produto de Wallis. O duplo fatorial também aparece para expressar o volume da hiperesfera e tem muitas aplicações em combinatória enumerativa.
O termo fatorial ímpar é algumas vezes usado para o duplo fatorial de um número ímpar.

## Relação com o fatorial

Pelo fato de o duplo fatorial envolver somente aproximadamente a metade do fatorial, seu valor não é substancialmente maior que a raiz quadrada de n! e é muito menor que o fatorial iterado (n!)!.
Para um inteiro positivo n = 2k, k ≥ 0, o duplo fatorial pode ser escrito como:
    $n!!=2^{k}k!.$
Para um inteiro ímpar n = 2k − 1, k ≥ 1, a seguinte expressão é válida:
    $n!!={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}={\frac {n!}{(n-1)!!}}.$
Nessa expressão, o primeiro denominador é igual a (2k)!! e cancela com os fatores pares do numerador.
Para um inteiro positivo ímpar n = 2k − 1, k ≥ 1, o duplo fatorial pode ser expresso em termos de k-permutações de 2k como
    $(2k-1)!!={\frac {_{2k}P_{k}}{2^{k}}}={\frac {{(2k)}^{\underline {k}}}{2^{k}}}.$

## Extensões
### Argumentos para números negativos

A fatorial ordinário, quando estendido para a Função Gama, tem um polo em cada inteiro negativo, impedindo de definir o fatorial nesses números. No entanto, o duplo fatorial de números ímpares podem ser estendidos para qualquer inteiro negativo ímpar invertendo a sua relação de recorrência
    $n!!=n\times (n-2)!!$
que pode ser expressa da seguinte forma:
    $n!!={\frac {(n+2)!!}{n+2}}.$
Usando essa relação de recorrência invertida, −1!! = 1, −3!! = −1, e −5!! = 1/3; números ímpares negativos com maiores magnitudes tem duplo fatorial fracionário. Em particular, quando n é um número ímpar,
    $(-n)!!\times n!!=(-1)^{(n-1)/2}\times n.$

### Argumentos para números complexos

Desconsiderando a definição acima de n!! para valores de n pares, o duplo fatorial de n ímpares pode ser estendido para a maioria dos números reais e complexos z observando que quando z é um inteiro positivo ímpar então
    $z!!=z(z-2)\cdots (3)=2^{(z-1)/2}\left({\frac {z}{2}}\right)\left({\frac {z-2}{2}}\right)\cdots \left({\frac {3}{2}}\right)$
    $=2^{(z-1)/2}{\frac {\Gamma \left({\frac {z}{2}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}+1\right)}}={\sqrt {\frac {2^{z+1}}{\pi }}}\Gamma \left({\frac {z}{2}}+1\right)=\left({\frac {z}{2}}\right)!{\sqrt {\frac {2^{z+1}}{\pi }}}\,.$
Dessa expressão pode-se derivar um definição alternativa para z!! para valores pares e não negativos de inteiros z:
    $(2k)!!={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\prod _{i=1}^{k}(2i)=2^{k}k!{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,,$
com o valor de 0!!, nesse caso, sendo
    $0!!={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\approx 0.79788456...\,.$
A expressão encontrada para z!! é definida para todos os números complexos, exceto os inteiros pares negativos. Usando essa definição, o volume de uma hiperesfera n-dimensional de raio R pode ser expressa como
    $V_{n}={\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}}{n!!}}R^{n}.$

## Aplicações em combinatória enumerativa

Duplos fatoriais surgem com frequência em combinatória enumerativa. Por exemplo, n!! para valores ímpares de n conta:
* acoplamento perfeito do grafo completo K$_{n+1}$ para n ímpar. Em tal grafo, qualquer vértice v tem n possíveis escolhas de vértices que pode ser correspondido e uma das escolhas feita do problema remanescente é um acoplamento perfeito em um grafo completo com dois vértices a menos. Por exemplo, um grafo completo com 4 vértices, a, b, c, e d tem três acoplamentos perfeitos: ab e cd, ac e bd, e ad e bc. Acoplamentos perfeitos pode ser descritos de vários outras maneiras, incluindo involuções sem pontos fixos em um conjunto de n + 1 itens (permutações em que cada ciclo é um par) ou diagramas de cordas (conjunto de cordas de um conjunto de n + 1 pontos uniformemente espaçados em um círculo tal que cada ponto é extremo de exatamente uma corda, (também chamado de diagrama de Brauer). O número de acoplamentos em um grafo completo, sem restrição do acoplamento ser perfeito, são dados pelo número de telefone, que podem ser expressos como a soma envolvendo duplos fatoriais.
* permutações de Stirling, permutações de multiconjuntos de números 1, 1, 2, 2, ..., k, k em que cada par de números iguais é separado somente por grandes números, onde k = (n + 1)/2. As duas cópias de k devem ser adjacentes; removendo-as das folhas de permutações uma permutação em que o máximo de elementos é k − 1, com n posições em que os valores do par adjacente de k podem ser trocados. Desta construções recursiva, a demonstração que as permutações de Stirling são countados pela duplas permutações seguem por indução. Alternativamente, em vez desta restrição que valores entre um par podem ser maior que isso, pode-se também considerar a permutação destes multiconjuntos em que a primeira cópia de cada par aparece em ordem sorteada; tal permutação define um acoplamento em 2k posições de permutações, então outra vez o número de permutações podem ser contados pela dupla permutação.
* árvores Heap-ordered, árvores com k + 1 nodos numerados 0, 1, 2, ... k, tal que a raiz da árvore tem rótulo 0, cada outro nodo tem um rótulo maior que seu parente, e tal que os filhos de cada nodo tem um ordem fixa. Um Euler tour da árvore (com aresta duplicada) dá uma permutação de Stirling, e cada permutação de Stirling representa uma árvore desta maneira.

## Identidades adicionais

Para valores pares de n,
    $\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\cdot {\begin{cases}1&n{\text{ ímpar}}\\{\frac {\pi }{2}}&n{\text{ par}}\end{cases}}.$
Se a extensão de duplo fatorial de números ímpares para números complexos for considerada, a fórmula é
    $\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\cdot {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}.$
O Duplo fatorial pode ser usando para calcular integrais de polinômios trigonométricos mais complicados.
Alguma identidades adicionais envolvendo duplos fatoriais de números ímpares são:
    $(2n-1)!!=\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!.$
    $(2n-1)!!=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n-k-1}{k-1}}{\frac {(2k-1)(2n-k+1)}{k+1}}(2n-2k-3)!!.$
    $(2n-1)!!=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k(2k-3)!!.$