# Solução de triângulos

Solução de triângulos (em latim: solutio triangulorum) é o principal problema trigonométrico de encontrar as características de um triângulo (ângulos e comprimentos dos lados), quando alguns destes são conhecidos. O triângulo pode ser localizado sobre um plano ou sobre uma esfera. Aplicações requerendo soluções de triângulos incluem geodésia, astronomia, construção e navegação.

## Solução de triângulos planos

Um triângulo de forma geral tem seis características principais (ver figura): três lineares (comprimentos laterais a , b , c) e três angulares ($\alpha ,\beta ,\gamma$). O problema clássico da trigonometria plana é especificar três das seis características e determinar as outras três. Um triângulo pode ser determinado univocamente nesse sentido quando dados um dos seguintes:
* Três lados (SSS) (do inglês side)
* Dois lados e o ângulo incluído (SAS)
* Dois lados e um ângulo não incluído entre eles (SSA), se o comprimento do lado adjacente ao ângulo é menor que o comprimento do outro lado
* Um lado e os ângulos adjacentes a ele (ASA)
* Um lado, o ângulo oposto a ele e um ângulo adjacente a ele (AAS)
* Três ângulos (AAA) sobre a esfera (mas não no plano)
Para todos os casos no plano, pelo menos um comprimento de lado deve ser especificado; se somente os ângulos são dados, os comprimentos dos lados não podem ser determinados, porque qualquer triângulo semelhante é uma solução.

### Relações trigonométricas

O método padrão de resolver o problema é usar relações fundamentais.

#### Lei dos cossenos

    $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )$
    $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )$
    $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )$

#### Lei dos senos

    ${\frac {a}{\operatorname {sen}(\alpha )}}={\frac {b}{\operatorname {sen}(\beta )}}={\frac {c}{\operatorname {sen}(\gamma )}}$

#### Soma dos ângulos

    $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

#### Lei das tangentes

    ${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\tan \left({\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}}.$
Existem outras relações universais (algumas vezes usadas praticamente): a lei das cotangentes e as fórmulas de Mollweide.

#### Notas

* Para encontrar um ângulo desconhecido, a lei dos cossenos é mais segura que a lei dos senos. A razão é que o valor do seno para o ângulo do triângulo não determina univocamente esse ângulo. Por exemplo, se sen β = 0,5, o ângulo β pode ser igual a 30° ou 150°. Usando a lei dos cossenos evita este problema: dentro do intervalo de 0° a 180° o valor do co-seno determina inequivocamente seu ângulo. Por outro lado, se o ângulo é pequeno (ou próximo a 180°), então ele é mais robusto numericamente para determinar seu seno do que seu cosseno, porque a função arco-cosseno tem uma derivada divergente em 1 (ou -1) .
* É assumido que a posição relativa de características especificadas é conhecida. Se não, o reflexo especular do triângulo também será uma solução. Por exemplo, três comprimentos laterais definem um triângulo ou sua reflexão.

### Três lados dados (SSS)

Sejam especificados três lados a, b, c. Para encontrar os ângulos α, β, a lei dos cossenos pode ser usada:
    ${\begin{aligned}\alpha &=\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)\\[4pt]\beta &=\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right).\end{aligned}}$
Então o ângulo γ = 180° − α − β.
Algumas fontes recomendam eterminar o ângulo β pela lei dos senos, mas (como a nota 1 acima estabelece) ocorre o risco de confundir o valor de um ângulo agudo com o de um obtuso.
Outro método para calcular os ângulos a partir dos lados conhecidos é aplicar a lei das cotangentes.

### Dois lados e o ângulo incluído dados (SAS)

Neste caso os comprimentos dos lados a, b e o ângulo γ entre estes lados são conhecidos. O terceiro lado pode ser determinado pela lei dos cossenos:
    $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )}}.$
Então pela lei dos cossenos é determinado o segundo ângulo:
    $\alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right).$
Finalmente, β = 180° − α − γ.

### Dois lados e o ângulo não incluso dados (SSA)

Este caso não pode ser resolvido para qualquer situação; uma solução é garantida ser unívoca somente se o comprimento do lado adjacente ao ângulo é menor que o outro comprimento de lado. Assumindo que dois lados b, c e o ângulo β são conhecidos, a equação para o ângulo γ pode ser determinada pela lei dos senos:
    $\operatorname {sen}(\gamma )={\frac {c}{b}}\operatorname {sen}(\beta ).$
Denotando D = cb sin(β) (o lado direito da equação). Existem quatro casos possíveis:
* Se D > 1, não existe um tal triângulo, porque o lado b não atinge a linha BC. Pela mesma razão uma solução não existe se o ângulo β ≥ 90° e b ≤ c.
* Se D = 1 existe uma solução única: γ = 90°, i.e., o triângulo é um triângulo retângulo.
* Se D < 1 duas soluções alternadas são possíveis:
** Se b ≥ c, então β ≥ γ (o lado maior corresponde a um ângulo maior). Como um triângulo não pode ter dois ângulos obtusos, γ é um ângulo agudo e a solução γ = arcsin( D) é unica.
** Se b < c, ângulo γ pode ser agudo: γ = arcsin (D) ou obtuso: γ′ = 180° - γ. A figura na direita mostra o ponto C, o lado b e o ângulo γ como a primeira solução, e o ponto C′, lado b′ e o ângulo γ′ como a segunda solução.
Sendo γ obtido, o terceiro ângulo α = 180° − β − γ.
O terceiro lado pode então ser determinado pela lei dos senos:
    $a=b\ {\frac {\operatorname {sen}(\alpha )}{\operatorname {sen}(\beta )}}$
ou
    $a=c\cos(\beta )\pm {\sqrt {b^{2}-c^{2}\operatorname {sen} ^{2}(\beta )}}$

### Um lado e dois ângulos adjacentes dados (ASA)

As características conhecidas são o lado c e os ângulos α, β. O terceiro ângulo γ = 180° − α − β. Dois lados incógnitos podem ser calculados pela lei dos senos:
    $a=c\ {\frac {\operatorname {sen}(\alpha )}{\operatorname {sen}(\gamma )}};\quad b=c\ {\frac {\operatorname {sen}(\beta )}{\operatorname {sen}(\gamma )}}.$
ou
    $a=c{\frac {\operatorname {sen}(\alpha )}{\operatorname {sen}(\alpha )\cos(\beta )+\operatorname {sen}(\beta )\cos(\alpha )}}$
    $b=c{\frac {\operatorname {sen}(\beta )}{\operatorname {sen}(\alpha )\cos(\beta )+\operatorname {sen}(\beta )\cos(\alpha )}}$

### Um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto dados (AAS)

O procedimento para resolver um triângulo AAS é o mesmo que para um triângulo ASA: Iniciando, encontrar o terceiro ângulo usando a propriedade de soma de ângulos de um triângulo, depois encontrar os outros dois lados usando a lei dos senos.