# Teorema de Rolle

Em matemática, nomeadamente em análise, o teorema de Rolle afirma que dada uma função contínua $f$ definida em um intervalo fechado $[a,b]$ e diferenciável em $(a,b),$ se $f(a)=f(b)$ então existe algum ponto $c$ em $(a,b)$ onde a tangente ao gráfico de $f$ é horizontal, isto é, $f'(c)=0.$
Colocando em linguagem comum, o teorema afirma que, em qualquer função contínua de intervalo delimitado por pontos $A$ e $B$ de mesma altura, ou mesma coordenada vertical, há algum ponto C em que a derivada da função, isto é, sua taxa de variação instantânea é nula.
É denominado em memória de Michel Rolle.

## Intuição

O enunciado do teorema é intuitivo considerando a exigência de continuidade da própria derivada (se existente) de uma função $f(x)$: se $a$ e $b$ são as coordenadas horizontais de pontos $A$ e $B$ de mesma altura, extremos de um intervalo, então a função $f(x)$ cresce, decresce ou permanece constante para $x>a$, nas vizinhanças de $A$. Se a função é constante, o resultado é trivial: sua derivada é nula em todo o intervalo. Se cresce, sabe-se que eventualmente tem de decrescer para retornar à mesma coordenada vertical do ponto $A$ para chegar ao ponto $B$. Por $f(x)$ ser contínua e diferenciável nesse intervalo, sua derivada também o é, e como a derivada $f'(x)$ começa positiva nas vizinhanças de $A$ e, conforme o valor de $x$ aumenta, torna-se negativa antes de chegar ao ponto $B$, é necessário que exista um ponto tal que $f'(x)=0$. O mesmo raciocínio é aplicável a uma função de derivada inicialmente negativa e posteriormente positiva.

## Demonstração

Como $f$ é contínua, então, pelo teorema de Weierstrass, admite no intervalo $[a,b]$ um máximo $M$ e um mínimo $m.$
Primeiro, suponha que $M=m$. Então $f$ é constante no intervalo considerado e, consequentemente, a derivada é $0$ em todos os pontos. Portanto, o teorema é verdadeiro neste caso.
Suponha agora que $M\neq m$. Então a função assume no interior do intervalo $[a,b]$ um máximo, um mínimo ou até os dois. Admita-se, sem perda de generalidade, que $f$ assume o valor máximo $M$ no ponto $c$ tal que $a<c<b.$
Então, para valores de $x<c$, temos $x-c<0$ e também $f(x)-f(c)\leq 0$. Portanto,
${\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\geq 0.$
Como $f$ é diferenciável no intervalo $(a,b)$, segue que
$\lim _{x\to c^{-}}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}=f'(c)\geq 0.$
Para valores de $c$ à direita de $x,$ temos $x-c>0$ e $f(x)-f(c)\leq 0$. Portanto,
${\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\leq 0,$
e, também,
$\lim _{x\to c^{+}}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}=f'(c)\leq 0.$
Mas então conclui-se que
$f'(c)\geq 0$ e $f'(c)\leq 0,$
o que só é possível se
$f'(c)=0,$
provando-se assim o teorema.
A demonstração seria análoga se em vez de um ponto de máximo admitíssemos a existência de um ponto de mínimo no intervalo.

## Corolários

* Resulta do teorema de Rolle que, se $I$ for um intervalo de R e se $f$ for uma função derivável de $I$ em R, então entre quaisquer dois zeros de $f$ há pelo menos um zero da derivada. Isto pode ser usado para provar por indução que qualquer polinómio $p(x)$ de grau $n$ com coeficientes reais tem, no máximo, $n$ raízes (excepto, naturalmente, no caso do polinómio nulo).
* Se $I$ for um intervalo de R e se $f$ for uma função derivável de $I$ em R, entre dois zeros consecutivos da derivada não pode haver mais do que um zero de $f$ (podendo não existir nenhum).