# Operador diferencial

Na matemática, um operador diferencial é definido como uma função do operador de diferenciação. É útil, primeiramente por questão de notação, ao considerar diferenciação como uma operação abstrata que recebe uma função e retorna outra função (no estilo de uma função de ordem maior em ciência da computação).
Este artigo considera principalmente operadores lineares, que são o tipo mais comum. Porém, operadores não-lineares, como a derivada Schwarziana, também existem.

## Definição

Assuma que haja uma transformação $A$ de um espaço funcional ${\mathcal {F}}_{1}$ para outro espaço funcional ${\mathcal {F}}_{2}$ e uma função $f\in {\mathcal {F}}_{2}$ tal que $f$ é a imagem de $u\in {\mathcal {F}}_{1}$, ou seja, $f=A(u)$. Um operador diferencial é representado como uma combinação linear, finitamente gerada por $u$ e suas derivadas de alto grau, tal como
$P(x,D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,$
em que o conjunto de inteiros não-negativos, $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$, é um índice múltiplo, $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$é chamado de comprimento, $a_{\alpha }(x)$ são funções em algum domínio aberto em um espaço n-dimensional e $D^{\alpha }=D^{\alpha _{1}}D^{\alpha _{2}}\cdots D^{\alpha _{n}}\ .$

## Notação

O operador diferencial é denotado por $D$ , que representa a ação de tomar a derivada em si, de modo que, dada uma função $y=f(x)$ , temos que as representações comuns para a primeira derivada em relação à uma variável x incluem:
${d \over dx},D,\,D_{x},\,$ e $\partial _{x}.$
Quando tomando derivadas de maior grau, n, o operador pode também ser escrito como:
${d^{n} \over dx^{n}},Dn,{\displaystyle D^{n}\,,}D^{n}\,$e $D_{x}^{n}.\,$
A derivada de uma função $f$ de argumento $x$ é às vezes dada em uma das seguintes formas:
$[f(x)]'\,\!$, $f'(x).\,\!$
A criação e uso da notação $D$ é creditada à Oliver Heaviside, que considerou operadores diferenciais da forma
$\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}$
em seu estudo sobre equações diferenciais.
Um dos operadores diferenciais mais vistos é o operador Laplaciano, definido como
$\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.$
Na escrita, seguindo a convenção matemática padrão, o argumento do operador diferencial é usualmente colocado do lado direito do próprio operador. Às vezes, porém, uma notação alternativa é usada: o resultado de aplicar o operador na função do lado esquerdo do operador e do lado direito, e a diferença obtida quando aplicando o operador diferencial à funções de ambos os lados, são denotadas por flechas da maneira seguinte:
$f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f$
$f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g$
$f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.$
Tal notação de flecha bidirecional é frequentemente usada para descrever a corrente de probabilidade na mecânica quântica.

## Del

Artigo principal: Del
O operador diferencial del, também chamado de operador nabla, é um importante operador diferencial vetorial. Ele aparece frequentemente na física em locais como a forma diferencial das equações de Maxwell. Nas coordenadas tridimensionais Cartesianas, del é definido como:
$\nabla ={\partial \over \partial x}\mathbf {\hat {x}} +{\partial \over \partial y}\mathbf {\hat {y}} +{\partial \over \partial z}\mathbf {\hat {z}} .$
O del é usado para calcular o gradiente, rotacional, divergente, e o Laplaciano de diversos objetos.

## Adjunto de um operador

Dado um operador diferencial linear $T$
$Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u$,
o adjunto desse operador é definido como o operador $T^{*}$ tal que
$\langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle$
onde a notação $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ é usada para o produto escalar ou produto interno. Esta definição portanto depende da definição de produto escalar.

### Adjunto formal em uma variável

No espaço funcional de funções quadrado-integráveis, o produto escalar é definido como
$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,dx,$
onde ${\overline {g(x)}}$ é o par conjugado complexo de g(x). Se mais do que isso é adicionada a condição de que f ou g desaparece quando $x\to a$ e $x\to b$, pode-se definir o adjunto de T como
$T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}[{\overline {a_{k}(x)}}u].\,$
Essa fórmula não depende explicitamente da definição de produto escalar. Ela é, portanto, às vezes escolhida como a definição de operador adjunto. Quando $T^{*}$ é definido por essa fórmula, é chamado de adjunto formal de T. Um operador autoadjunto (formal) é um operador igual ao seu próprio adjunto (formal).

### Várias variáveis

Se Ω é o domínio em R$^n$, e P um operador diferencial em Ω, então o adjunto de P é definido no Espaço Lp L$^2$(Ω) por dualidade de maneira análoga:
$\langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}$
para todas as funções L$^2$ suaves f, g. Como funções suaves são densas em L$^2$ , isto define o adjunto de um subconjunto L$^2$ denso : P$^*$ é um operador densamente definido.

#### Exemplo

O operador de Sturm-Liouville é um exemplo bem conhecido de um operador autoadjunto formal. Este operador diferencial linear de segunda ordem pode ser escrito na forma
$Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.\;\!$
Essa propriedade pode ser provada usando a definição de adjunto formal acima:
${\begin{aligned}L^{*}u&=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&=-p'u'-pu''+qu\\&=-(pu')'+qu\\&=Lu\end{aligned}}$
Esse operador é importante na Teoria de Sturm-Liouville, onde as funções-eigen (análogas a vetores-eigen) desse operador são consideradas.

## Polinômio de Operadores

Como consequência imediata da definição de operadores, podemos escrever
$D(D(y))=D(y')=y''$.
Ou seja:
$D^{2}(y)=y''$.
Generalizando, definimos
$D^{n}(y)=y^{(n)}$ como a derivada de $y$ de ordem $n$, para qualquer inteiro não negativo.
Podemos agora definir um polinômio de operadores $P(D)=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+...+a_{1}D+a_{0}$, onde
$a_{0},a_{1},...,a_{n-1},a_{n}$ são números reais, como:
$(a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+...+a_{1}D+a_{0})y=a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_{1}y^{(1)}+a_{0}y$.

### Operações com polinômios em D

De certa forma é possível realizar operações com polinômios em D da mesma forma que se realiza com polinômios convencionais, estando bem definidas as operações de Adição, Subtração e Multiplicação, como mostrado a seguir:
Sejam $P(D)$ e $Q(D)$ polinômios em $D$, $\alpha \in \mathbb {R}$ e $f$ uma função infinitamente diferenciável. Definimos:
* $(P(D)+Q(D))f=P(D)f+Q(D)f$
* $(\alpha P(D))f=\alpha P(D)f$
* $P(D)(Q(D)f)=P(D)Q(D)f$
Observação: a operação de Multiplicação é comutativa, ou seja, $P(D)Q(D)=Q(D)P(D)$.

## Resolução de sistemas de equações diferenciais com operadores

Sistemas de equações diferenciais não muito complexos podem ser resolvidos com Operadores Diferenciais, visto a praticidade de se representar equações diferenciais com os mesmos, e pelo fato de se poder operá-los como polinômios convencionais, ou seja, pode-se operar polinômios em $D$ como se fossem coeficientes constantes. No entanto, deve-se lembrar que a operação de Divisão de Operadores não foi definida, logo não se deve dividir operadores diferenciais nos métodos em que estes são úteis para sistemas de equações.

## Anel de operadores diferenciais polinomiais
### Anel de operadores diferenciais polinomiais invariantes

Seja R um anel, e $R\langle D,X\rangle$ um anel polinomial não-comutativo em R nas variáveis D e X, e $I$ o ideal dual gerado por DX-XD-1, então o anel de operadores diferenciais polinomiais invariantes em R é o anel quociente $R\langle D,X\rangle /I$. Esse é um anel não-comutativo simples. Todos os elementos podem ser escritos de uma forma única como uma combinação R-linear de monômios da forma $X^{a}D^{b}\mod {I}$. Ele suporta um análogo da divisão Euclidiana de polinômios. Módulos diferenciais em $R[X]$ (para a derivação padrão) podem ser identificados com módulos em $R\langle D,X\rangle /I$.

### Anel de operadores diferenciais polinomiais multivariantes

Seja R um anel, e $R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle$um anel polinomial não-comutativo em R nas variáveis $D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}$, e $I$ o ideal dual gerado pelos elementos $D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i}-\delta _{i,j},D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i},X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}$para todo $1\leq i,j\leq n$ onde $\delta$ é o delta de Kronecker, então o anel de operadores diferenciais polinomiais multivariantes em R é o anel quociente $R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle /I.$Esse é um anel não-comutativo. Todos os elementos podem ser escritos de uma forma única como uma combinação R-linear de monômios da forma $X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}.$

## Descrição independente de coordenadas

Em geometria diferencial e geometria algébrica, é geralmente conveniente ter uma descrição de operadores diferenciais independente de coordenadas entre dois fibrados vetoriais. Sejam E e F dois fibrados vetoriais em uma superfície diferenciável M. Uma transformação R-linear de seções P: Γ(E) → Γ(F) é dita como sendo um operador diferencial linear de k-ésima ordem se ele é fatorável sobre o fibrado de jet J$^k$(E). Em outras palavras, existe uma transformação linear de fibrados vetoriais
$i_{P}:J^{k}(E)\to F$
tal que
$P=i_{P}\circ j^{k}$
onde j$^k$: Γ(E) →Γ(J$^k$(E)) é a continuação que associa a qualquer parte de E seu k-jet.
Isso significa que para uma dada seção s de E, o valor de P(s) no ponto x ∈ M é inteiramente definido na k-ésima ordem infinitesimal o comportamento de s em x. Em particular isso implica que P(s)(x) é determinado pelo germ de s em x, que se expressa ao dizer que todos os operadores diferenciais são locais.