# Autovetor generalizado

Em álgebra linear, um autovetor generalizado (em inglês: generalized eigenvector) de uma matriz quadrada $A$ de ordem n é um vetor de ordem n que satisfaz certos critérios que são mais fracos que aqueles de um autovetor ordinário.
Seja $V$ um espaço vetorial n-dimensional; seja $\phi$ uma transformação linear em L(V), o conjunto de todas as transformações lineares de $V$ sobre si mesmo; e seja $A$ a representação matricial de $\phi$ em relação a alguma base ordenada.
Pode não haver sempre um conjunto completo de n autovetores linearmente independentes de $A$ que formam uma base completa de $V$. Isto é, a matriz $A$ pode não ser diagonalizável. Isto ocorre quando a multiplicidade algébrica de pelo menos um autovalor $\lambda _{i}$ é maior que sua multiplicidade geométrica (a nulidade da matriz $(A-\lambda _{i}I)$, ou a dimensão de seu espaço nulo). Neste caso, $\lambda _{i}$ é denominado um autovalor defectivo e $A$ é denominada uma matriz defectiva.
Um autovetor generalizado $x_{i}$ correspondendo a $\lambda _{i}$, juntamente com a matriz $(A-\lambda _{i}I)$, gera uma cadeia de Jordan de autovetores generalizados linearmente independentes que formam uma base para um subespaço invariante de $V$.
Usando autovetores generalizados, um conjunto de autovetores linearmente independentes de $A$ pode ser estendido para uma base completa para $V$. Esta base pode ser usada para determinar uma matriz quasi-diagonal $J$ em forma canônica de Jordan, semelhante a $A$, que é de uso prático no cálculo de certas funções matriciais de $A$. A matriz $J$ é também útil na solução de sistemas de equações diferenciais ordinárias $\mathbf {x} '=A\mathbf {x} ,$ onde $A$ não precisa ser diagonalizável.

## Visão geral e definição

Existem diversas formas equivalentes de definir um autovetor ordinário. Para nossos propósito aqui, um autovetor$\mathbf {u}$ associado com um autovalor $\lambda$ de uma matriz $A$ de ordem $n$ × $n$ é um vetor não nulo para o qual $(A-\lambda I)\mathbf {u} =\mathbf {0}$, sendo $I$ a matriz identidade $n$ × $n$ e $\mathbf {0}$ o vetor nulo de ordem $n$. Isto é, $\mathbf {u}$ é o núcleo da transformação linear $(A-\lambda I)$. Se $A$ tem $n$ autovetores linearmente independentes, então $A$ é similar a uma matriz diagonal $D$. Isto é, existe uma matriz inversível $M$ tal que $A$ é diagonalizável através da transformação similar $D=M^{-1}AM$. A matriz $D$ é denominada matriz espectral de $A$. A matriz $M$ é denominada matriz modal de $A$. Matrizes diagonalizáveis são de particular interesse, por funções matriciais poderem ser facilmente computadas.
De outro modo, se $A$ não tem $n$ autovetores linearmente independentes associados, então $A$ não é diagonalizável.
Definição: Um vetor $\mathbf {x} _{m}$ é um autovetor generalizado de grau m da matriz $A$ e correspondente ao autovalor $\lambda$ se
    $(A-\lambda I)^{m}\mathbf {x} _{m}=\mathbf {0}$
mas
    $(A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}\neq \mathbf {0} .$
Claramente, um autovetor generalizado de grau 1 é um autovetor ordinário. Toda matriz $A$ $n$ × $n$ tem $n$ autovetores generalizados linearmente independentes associados a ela e pode ser mostrado ser similar a uma matriz "quase diagonal" $J$ na forma normal de Jordan. Isto é, existe uma matriz inversível $M$ tal que $J=M^{-1}AM$. A matriz $M$ neste caso é denominada uma matriz modal generalizada de $A$. Se $\lambda$ é um autovalor de multiplicidade algébrica $\mu$, então $A$ terá $\mu$ autovetores generalizados linearmente independentes correspondendo a $\lambda$. Este resultado, por sua vez, fornece um método direto para o cálculo de funções matriciais de $A$.
Nota: Para uma matriz $A$ de ordem $n\times n$ sobre um corpo $F$ poder ser expressa na forma normal de Jordan, todos os autovalores de $A$ devem estar em $F$. Isto é, o polinômio característico $f(x)$ deve ser fatorado completamente em fatores lineares. Por exemplo, se $A$ tem elementos pertencentes ao conjunto dos números reais, então pode ser necessário que os autovalores e as componentes dos autovetores tenham valores complexos.
O conjunto gerado por todos os autovetores generalizados para um dado $\lambda$ forma o autoespaço generalizado para $\lambda$.

## Exemplos

Aqui estão alguns exemplos para ilustrar o conceito de autovetores generalizados. Alguns dos detalhes são descritos depois.

### Exemplo 1

Este exemplo é simples mas ilustra claramente o problema. Este tipo de matriz é usado frequentemente em livros-texto.
Seja
    $A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.$
Então existe apenas um autovalor, $\lambda =1$, sendo sua multiplicidade algébrica m = 2.
Note que esta matriz está na forma normal de Jordan, mas não é diagonal. Portanto, esta matriz não é diagonalizável. Como há uma superdiagonal, existe um autovetor generalizado de ordem maior que 1 (ou pode-se notar que o espaço vetorial $V$ é de dimensão 2, devendo assim existir no mínimo um autovetor generalizado de grau maior que 1). Alternativamente, pode ser computada a dimensão do núcleo (espaço nulo) de $A-\lambda I$ como sendo p = 1, e assim existem m – p = 1 autovetores generalizados de grau maior que 1.
O autovetor ordinário $\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ é computado da forma usual. Usando este autovetor é computado o autovetor generalizado $\mathbf {v} _{2}$ resolvendo
    $(A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}.$
Explicitando os valores:
    $\left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.$
Isto se simplifica como
    $v_{22}=1.$
O elemento $v_{21}$ não tem restrições. O autovetor generalizado de grau 2 é então $\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}$, onde a pode assumir qualquer valor escalar. A escolha a = 0 é usualmente a mais simples.
Note que
    $(A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1},$
tal que $\mathbf {v} _{2}$ é um autovetor generalizado,
    $(A-\lambda I)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,$
tal que $\mathbf {v} _{1}$ é um autovetor ordinário, e que $\mathbf {v} _{1}$ e $\mathbf {v} _{2}$ são linearmente independentes e constituem assim uma base para o espaço vetorial $V$.

### Exemplo 2

Este exemplo é mais elaborado que o Exemplo 1. Infelizmente é dificultoso elaborar um exemplo interessante de baixa ordem. A matriz
    $A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{pmatrix}}$
tem autovalores $\lambda _{1}=1$ e $\lambda _{2}=2$ com multiplicidades algébricas $\mu _{1}=2$ e $\mu _{2}=3$, mas multiplicidades geométricas $\gamma _{1}=1$ e $\gamma _{2}=1$.
Os autoespaços generalizados de $A$ são calculados abaixo. $\mathbf {x} _{1}$ é o autovetor ordinário associado com $\lambda _{1}$. $\mathbf {x} _{2}$ é um autovetor generalizado associado com $\lambda _{1}$. $\mathbf {y} _{1}$ é o autovetor ordinário associado com $\lambda _{2}$. $\mathbf {y} _{2}$ e $\mathbf {y} _{3}$ são autovetores generalizados associados com $\lambda _{2}$.
    $(A-1I)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,$
    $(A-1I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}=\mathbf {x} _{1},$
    $(A-2I)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,$
    $(A-2I)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{1},$
    $(A-2I)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{2}.$
Isto resulta em uma base para cada um dos autoespaços generalizados de $A$. Juntamente as duas cadeias de autovetores generalizados cobrem o espaço de todo os vetores colunas 5-dimensionais.
    $\left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\},\left\{\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\right\}.$
Uma matriz "quasi-diagonal" $J$ na forma normal de Jordan, similar a $A$ é obtida como segue:
    $M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}&\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{pmatrix}},$
    $J={\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}},$
onde $M$ é uma matriz modal generalizada para $A$, as colunas de $M$ são uma base canônica para $A$, e $AM=MJ$.

## Cadeias de Jordan

Definição: Seja $\mathbf {x} _{m}$ um autovetor generalizado de grau m correspondente à matriz $A$ e o autovalor $\lambda$. A cadeia gerada por $\mathbf {x} _{m}$ é um conjunto de vetores $\left\{\mathbf {x} _{m},\mathbf {x} _{m-1},\dots ,\mathbf {x} _{1}\right\}$ dado por
    $\mathbf {x} _{m-1}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m},$ $\mathbf {x} _{m-2}=(A-\lambda I)^{2}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m-1},$ $\mathbf {x} _{m-3}=(A-\lambda I)^{3}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m-2},$ $\vdots$ $\mathbf {x} _{1}=(A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{2}.$         (1)
Assim, em geral
    $\mathbf {x} _{j}=(A-\lambda I)^{m-j}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{j+1}\qquad (j=1,2,\dots ,m-1).$         (2)
O vetor $\mathbf {x} _{j}$, dado pela Eq. (2), é um autovetor generalizado de grau j correspondente ao autovalor $\lambda$. Uma cadeia e um conjunto linearmente independente de vetores.

## Base canônica

Definição: Um conjunto de n autovetores generalizados linearmente independentes é uma base canônica se for composto inteiramente de cadeias de Jordan.
Então, uma vez determinado que um autovetor generalizado de posto m é uma base canônica, segue que os m-1 vetores $\mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}$que estão na cadeia de Jordan, gerados por $\mathbf {x} _{m}$. também estão em base canônica.
Dado $\lambda _{i}$ um autovalor de $A$ de multiplicidade algébrica Primeiro, determine os postos das matrizes $(A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}$. O inteiro $m_{i}$ é definido como o primeiro inteiro para o qual $(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}$ possui posto $n-\mu _{i}$ (n sendo o número de linhas e colunas de $A$, isto é, $A$ é n × n).
Então define-se:
    $\rho _{k}=rank(A-\lambda _{i}I)^{k-1}-rank(A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).$
A variável $\rho _{k}$ designa o número de autovetores generalizados linearmente independentes de posto k correspondendo ao autovalor $\lambda _{i}$ que aparecerá em uma base canônica de $A$. Observa-se que:
    $rank(A-\lambda _{i}I)^{0}=rank(I)=n$.

## Cálculo de autovetores generalizados

Nas seções precedentes vimos técnicas para obter n autovetores generalizados linearmente independentes de uma base canônica para o espaço vetorial $V$ associado com uma matriz n × n $A$. Estas técnicas podem ser combinadas em um procedimento:
    Resolva a equação característica de $A$ para os autovalores $\lambda _{i}$ e suas multiplicidades algébricas $\mu _{i}$;
    Para cada $\lambda _{i}:$
       Determine $n-\mu _{i}$;
       Determine $m_{i}$;
       Determine $\rho _{k}$ para $(k=1,\ldots ,m_{i})$;
       Determine cada cadeia de Jordan para $\lambda _{i}$.

### Exemplo 3

A matriz
    $A={\begin{pmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}$
tem um autovalor $\lambda _{1}=5$ de multiplicidade algébrica $\mu _{1}=3$ e um autovalor $\lambda _{2}=4$ de multiplicidade algébrica $\mu _{2}=1$. Temos n = 4. Para $\lambda _{1}$ temos $n-\mu _{1}=4-3=1$.
    $(A-5I)={\begin{pmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad posto(A-5I)=3.$
    $(A-5I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad posto(A-5I)^{2}=2.$
    $(A-5I)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad posto(A-5I)^{3}=1.$
O primeiro inteiro $m_{1}$ para o qual $(A-5I)^{m_{1}}$ tem posto $n-\mu _{1}=1$ é $m_{1}=3$.
Definimos agora
    $\rho _{3}=posto(A-5I)^{2}-posto(A-5I)^{3}=2-1=1,$
    $\rho _{2}=posto(A-5I)^{1}-posto(A-5I)^{2}=3-2=1,$
    $\rho _{1}=posto(A-5I)^{0}-posto(A-5I)^{1}=4-3=1.$
Consequentemente, existem três autovetores generalizados linearmente independentes; cada qual de postos 3, 2 a 1. Como $\lambda _{1}$ corresponde a uma simples cadeia de três autovetores generalizados linearmente independentes, sabemos que existe um autovetor generalizado $\mathbf {x} _{3}$ de posto 3 correspondente a $\lambda _{1}$ tal que
    $(A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}=\mathbf {0}$         (3)
mas
    $(A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}\neq \mathbf {0} .$         (4)
As equações (3) e (4) representam sistemas lineares que podem ser resolvidos para $\mathbf {x} _{3}$. Seja
    $\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}.$
Então
    $(A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14x_{34}\\-4x_{34}\\3x_{34}\\-x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$
e
    $(A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.$
Assim, a fim de satisfazer as condições (3) e (4), devemos ter $x_{34}=0$ e $x_{33}\neq 0$. Nenhuma restrição é imposta sobre $x_{31}$ e $x_{32}$. Escolhendo $x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1$, obtemos
    $\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}$
como um autovetor generalizado de posto 3 correspondente a $\lambda _{1}=5$. Note que é possível obter infinitos outros autovetores generalizados de posto 3 escolhendo diferentes valores de $x_{31}$, $x_{32}$ e $x_{33}$, com $x_{33}\neq 0$. Nossa primeira escolha, contudo, é a mais simples.
Agora usando as equações (1), obtemos $\mathbf {x} _{2}$ e $\mathbf {x} _{1}$ como autovetores generalizados de postos 2 e 1 respectivamente,onde
    $\mathbf {x} _{2}=(A-5I)\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}},$
e
    $\mathbf {x} _{1}=(A-5I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.$
O autovalor simples $\lambda _{2}=4$ pode ser tratado usando técnicas padrão e tem um autovetor ordinário
    $\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}.$
Uma base canônica para $A$ é
    $\left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}\right\}.$
$\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}$ e $\mathbf {x} _{3}$ são autovetores generalizados associados com $\lambda _{1}$.
$\mathbf {y} _{1}$ é o autovetor ordinário associado com $\lambda _{2}$.
Deve ser notado que este é um exemplo simples. Em geral, os números $\rho _{k}$ de autovetores generalizados linearmente independentes de posto k não serão sempre iguais. Isto é, pode haver diversas cadeias de comprimentos diferentes correspondentes a um particular autovalor.

## Matriz modal generalizada

Seja $A$ uma matriz n × n. Uma matriz modal generalizada $M$ para $A$ é uma matriz n × n cujas colunas, consideradas como vetores, forma uma base canônica para $A$ e aparece em $M$ de acordo com as seguintes regras:
* Todas as cadeias de Jordan consistindo de um vetor (isto, um vetor no comprimento) aparece nas primeiras colunas de $M$.
* Todos os vetores de uma cadeia aparecem juntos em colunas adjacentes de $M$.
* Cada cadeia aparece em $M$ na ordem de posto crescente (isto é, o autovetor generalizado de posto 1 aparece antes do autovetor generalizado de posto 2 da mesma cadeia, que aparece antes do autovetor generalizado de posto 3 da mesma cadeia, etc.).

## Forma canônica de Jordan

Seja $V$ um espaço vetorial n-dimensional; seja $\phi$ um mapeamento linear em L(V), o conjunto de todos os mapeamentos lineares de $V$ nele mesmo; e seja $A$ a representação matricial de $\phi$ em relação a alguma base ordenada. Pode ser mostrado que se o polinômio característico $f(\lambda )$ de $A$ é fatorado em fatores lineares, tal que $f(\lambda )$ tem a forma
    $f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}},$
onde $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}$ são os distintos autovalores de $A$, então cada $\mu _{i}$ é a multiplicidade algébrica de seu correspondente autovalor $\lambda _{i}$ e $A$ é similar a uma matriz $J$ na forma canônica de Jordan, onde cada $\lambda _{i}$ aparece $\mu _{i}$ vezes consecutivas na diagonal principal, e cada componente acima de cada $\lambda _{i}$ (isto é, na superdiagonal) tem valor 0 ou 1; o elemento acima da primeira ocorrência de cada $\lambda _{i}$ é sempre 0. Todos os outros elementos são zero. Se $A$ é diagonalizável, então todos os elementos acima da diagonal são zero. Note que alguns livros-texto tem os uns na subdiagonal, isto é, imediatamente abaixo da diagonal principal ao invés de na superdiagonal. Os autovalores estão ainda na diagonal principal.
Toda matriz n × n $A$ é similar a uma matriz $J$ na forma canônica de Jordan, obtida através da transformação similar $J=M^{-1}AM$, onde $M$ é uma matriz modal generalizada para $A$. (ver Nota acima.)

### Exemplo 4

Determinar a matriz na forma canônica de Jordan que é similar a
    $A={\begin{pmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{pmatrix}}.$
Solução: A equação característica de $A$ é $(\lambda -2)^{3}=0$, e então $\lambda =2$ é um autovalor de multiplicidade algébrica três. Seguindo o procedimento das seções precedentes temos
    $posto(A-2I)=1$
e
    $posto(A-2I)^{2}=0=n-\mu .$
Assim, $\rho _{2}=1$ e $\rho _{1}=2$, que implica que a base canônica para $A$ contém um autovetor generalizado linearmente independente de posto 2 e dois autovetores generalizados linearmente independentes de posto 1, ou equivalentemente, uma cadeia de dois vetores $\left\{\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}$ e uma cadeia de um vetor $\left\{\mathbf {y} _{1}\right\}$. Designando $M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{pmatrix}}$, temos
    $M={\begin{pmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{pmatrix}},$
e
    $J={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}},$
onde $M$ é uma matriz modal generalizada para $A$, as colunas de $M$ são uma base canônica para $A$, e $AM=MJ$. Note que desde que autovetores generalizados não são únicos, e desde que algumas das colunas de ambos $M$ e $J$ podem ser intercambiadas, segue que ambos $M$ e $J$ não são únicos.

### Exemplo 5

No Exemplo 3 encontramos uma base canônica de autovetores generalizados linearmente independentes para uma matriz $A$. Uma matriz modal generalizada para $A$ é
    $M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.$
Uma matriz na forma canônica de Jordan, similar a $A$ é
    $J={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}},$
tal que $AM=MJ$.

## Aplicações
### Funções matriciais

Três das mais fundamentais operações que podem ser aplicadas sobre matrizes quadradas são adição, multiplicação por um escalar e multiplicação de matrizes. Estas são exatamente as operações necessárias para definir uma função polinomial de uma matriz n × n $A$. Relembrando do cálculo básico que muitas funções podem ser expressas em uma série de Taylor, podemos definir de forma mais geral funções matriciais de forma mais simples. Se $A$ é diagonalizável, isto é
    $D=M^{-1}AM,$
com
    $D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}},$
então
    $D^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}$
e a determinação da série de Taylor para funções de $A$ é significativamente simplificada. Por exemplo, para obter qualquer potência k de $A$, basta calcular $D^{k}$, premultiplicar $D^{k}$ por $M$, e posmultiplicar o resultado por $M^{-1}$.
Usandoautovetores generalizados podemos obter a forma canônica de Jordan para $A$ e estes resultados podem ser generalizados para um método direto para determinação de funções de matrizes não diagonalisáveis.

### Equações diferenciais

Considere o problema de resolver o sistema linear de equações diferencias ordinárias
    $\mathbf {x} '=A\mathbf {x} ,$         (5)
onde
    $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{pmatrix}},\quad \mathbf {x} '={\begin{pmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\end{pmatrix}},$ e $A=(a_{ij}).$
Se a matriz $A$ é uma matriz diagonal tal que $a_{ij}=0$ para $i\neq j$, então o sistema (5) reduz-se a um sistema de n equações na forma
    $x_{1}'=a_{11}x_{1}$ $x_{2}'=a_{22}x_{2}$ $\vdots$ $x_{n}'=a_{nn}x_{n}.$         (6)
Neste caso, a solução geral é dada por
    $x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t}$
    $x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t}$
       $\vdots$
    $x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}.$
No caso geral, tenta-se diagonalizar $A$ e reduzir (5) para um sistema (6) como a seguir. Se $A$ é diagonalizável, então tem-se que $D=M^{-1}AM$, onde $M$ é a matriz modal de $A$. Substituindo a equação $A=MDM^{-1}$, (5) toma a forma $M^{-1}\mathbf {x} '=D(M^{-1}\mathbf {x} )$, ou
    $\mathbf {y} '=D\mathbf {y} ,$         (7)
onde
    $\mathbf {x} =M\mathbf {y} .$         (8)
A solução de (7) é dada por
    $y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t}$
    $y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t}$
       $\vdots$
    $y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}.$
A solução $\mathbf {x}$ de (5) é obtida usando a relação (8).
Por outro lado, se $A$ não é diagonalizável, escolhe-se para $M$ uma matriz modal generalizada de $A$, tal que $J=M^{-1}AM$ é a forma canônica de Jordan normal of $A$. O sistema $\mathbf {y} '=J\mathbf {y}$ possui a forma
    ${\begin{aligned}y_{1}'&=\lambda _{1}y_{1}+\epsilon _{1}y_{2}\\&\vdots \\y_{n-1}'&=\lambda _{n-1}y_{n-1}+\epsilon _{n-1}y_{n}\\y_{n}'&=\lambda _{n}y_{n},\end{aligned}}$         (9)
onde $\lambda _{i}$ são os autovalores da diagonal principal de $J$ e $\epsilon _{i}$ são os uns e zeros da superdiagonal de $J$. O sistema (9) normalmente é de resolução mais fácil que (5). Podemos então solucionar (9) para $y_{n}$, obtendo $y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}$. Substituímos então essa solução por $y_{n}$ na penúltima equação em (9) e resolvemos para $y_{n-1}$. Continuando dessa forma resolvemos (9) da última para a primeira equação, resolvendo o sistema inteiro para $\mathbf {y}$. A solução $\mathbf {x}$ é obtida então usando (8).