# Problema de valor inicial

Em matemática, um problema de valor inicial ou problema de condições iniciais ou problema de Cauchy é uma equação diferencial que é acompanhada do valor da função objetivo em um determinado ponto, chamado de valor inicial ou condição inicial. Em física, biologia e outras áreas, a modelagem de um sistema frequentemente resulta em um problema de valor inicial (também chamado de P.V.I.) a ser solucionado; nesse contexto, a equação diferencial é uma equação evolutiva especificando como o sistema evoluirá ao longo do tempo dadas condições iniciais.

## Definição

Um problema de valor inicial (P.V.I.) é uma equação diferencial da forma
    ${\begin{cases}y'(t)=f(t,y(t))\\y(t_{0})=y_{0}\end{cases}}$
Uma solução para um P.V.I. é uma função $y$ que é solução da equação diferencial e satisfaz $y(t_{0})=y_{0}$.
Em dimensões superiores, a equação diferencial é substituída por uma família de equações $y_{i}'(t)=f_{i}(t,y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc ,y_{n}(t))$, e $y(t)$ é um vetor n-dimensional da forma $(y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc ,y_{n}(t))$. Mais geralmente, $y$ pode assumir valores em espaços de dimensão infinita, como o Espaço de Banach ou o espaço de distribuições.
P.V.I.s podem ser analisados em ordens superiores tratando as derivadas como uma função independente, e.g. $y''(t)=f(t,y(t),y'(t))$.

## Existência e unicidade de soluções

Para uma grande classe de P.V.I.s, a existência e unicidade de uma solução pode ser ilustrada através do uso de uma calculadora.
O teorema de Picard-Lindelöf garante a unicidade da solução em um intervalo que contém t$_0$ se f é continua em uma região contendo t$_0$ e y$_0$ e satisfaz a condição de Lipschitz na variável y.
A prova desse teorema provem de uma reformulação do problema como uma equação integral equivalente. A integral pode ser considerada como um operador que transforma uma função em outra, de modo que a solução é um ponto fixo do operador. O teorema do ponto fixo de Banach é evocado para mostrar que existe um único ponto fixo que é solução do P.V.I..
Uma prova antiga do teorema de Picard–Lindelöf constrói uma sequência de funções que convergem para a solução da equação integral, e assim, para a solução do P.V.I.. Essa construção é chamada às vezes de "método de Picard" ou "método de aproximações sucessivas".
Hiroshi Okamura obteve uma condição necessária e suficiente para a solução do P.V.I. ser única. Essa condição tem a ver com a existência de uma função de Lyapunov para o sistema de EDOs.
Em algumas situações, a função f não é de classe C$^1$, ou mesmo Lipschitz continua, então o resultado usual garantindo a existência local de uma solução única não se aplica. No entanto, o teorema de existência de Peano prova que mesmo para f meramente contínua, existem soluções locais; porém não há garantia de unicidade.

## Exemplos

O problema de condição inicial
    ${\begin{cases}{\frac {dy}{dx}}=y\\y(0)=2\end{cases}}$

### Resolução

    ${\frac {dy}{dx}}=y$
    ${\frac {dy}{dx}}-y=0$
Pelo método do fator integrante, multiplica-se esta equação por $e^{-x}$:
    $e^{-x}{\frac {dy}{dx}}-e^{-x}y=e^{-x}0$
O primeiro lado da equação pode ser simplificado usando a regra da cadeia ${\frac {d(f\times g)}{dx}}={\frac {df}{dx}}\times g+f\times {\frac {dg}{dx}}$
    ${\frac {d(ye^{-x})}{dx}}=0$
Integrando os dois lados da equação, obtém-se:
    $ye^{-x}=c_{1}$
com $c_{1}$ constante.
Isolando y, obtém-se então infinitas soluções para a equação diferencial, por causa da arbitrariedade de $c_{1}$:
    $y(x)=c_{1}e^{x}$
Porém, só existe uma única solução que satisfaz as condições iniciais:
    $y(0)=c_{1}e^{0}$
    $2=c_{1}$
Portanto, a solução (única) do P.V.I. é:
    $y(x)=2e^{x}$

### Oscilador harmônico

No caso de um sistema massa-mola sem atrito e sem força externa atuando, ao aplicar-se a segunda lei de Newton, obtém-se a seguinte relação:
    $ma(t)=-kx(t)$
Ou seja:
    $m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=-kx(t)$
Onde $\textstyle m$ é a massa do oscilador, $\textstyle x$ é o deslocamento dessa massa em relação ao ponto de equilíbrio e $\textstyle k$ é a constante da mola.
Um dos métodos de se achar a solução dessa equação diferencial é usar transformada de Laplace. Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtém-se o seguinte:
    $m{\mathcal {L}}\left\{{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}\right\}=-k{\mathcal {L}}\{x(t)\}$
Usando as propriedades da transformada de Laplace, a equação segue escrita como:
    $m\left(s^{2}{\mathcal {L}}\{x(t)\}-sx(0)-{\frac {dx}{dt}}(0)\right)=-k{\mathcal {L}}\{x(t)\}$
De onde pode-se isolar o termo ${\mathcal {L}}\{x(t)\}$:
    $ms^{2}{\mathcal {L}}\{x(t)\}-msx(0)-m{\frac {dx}{dt}}(0)=-k{\mathcal {L}}\{x(t)\}$
    $ms^{2}{\mathcal {L}}\{x(t)\}+k{\mathcal {L}}\{x(t)\}=msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)$
    $(ms^{2}+k){\mathcal {L}}\{x(t)\}=msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)$
    ${\mathcal {L}}\{x(t)\}={\frac {msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)}{ms^{2}+k}}$
    ${\mathcal {L}}\{x(t)\}(ms^{2}+k)=msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)$
    ${\mathcal {L}}\{x(t)\}={\frac {msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)}{ms^{2}+k}}$
Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtém-se:
    ${\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\mathcal {L}}\{x(t)\}\right\}={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)}{ms^{2}+k}}\right\}$
    $x(t)=x(0){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {ms}{ms^{2}+k}}\right\}+{\frac {dx}{dt}}(0){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {m}{ms^{2}+k}}\right\}$
    $x(t)=x(0){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+{\frac {k}{m}}}}\right\}+{\frac {dx}{dt}}(0){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s^{2}+{\frac {k}{m}}}}\right\}$
Utilizando uma tabela de transformadas, a equação se escreve:
    $x(t)=x(0)cos\left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+{\sqrt {\frac {m}{k}}}{\frac {dx}{dt}}(0)sin\left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)$
Logo, é necessário definir as condições iniciais $x(0)$ e ${\frac {dx}{dt}}(0)$.

### Circuito RLC com pulso de amplitude $\textstyle V_{0}$

A equação que descreve tal circuito é dada por:
    $V(t)=V_{0}(u(t-a)-u(t-b))$
Onde $\textstyle u(t)$ é a função de heaviside
    $\textstyle V(t)$ é dada pela Lei das malhas Kirchhoff como:
    $V(t)=L{\frac {di(t)}{dt}}+Ri(t)+{\frac {1}{C}}q(t)$
Dados $\textstyle L=1H$, $\textstyle R=2\Omega$ e $\textstyle C=1F$ temos:
    ${\frac {di(t)}{dt}}+2i(t)+q(t)=V_{0}(u(t-a)-u(t-b))$
Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo, obtemos:
    ${\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+2{\frac {di(t)}{dt}}+i(t)=V_{0}(\delta (t-a)-\delta (t-b))$
No passo anterior utilizamos o fato de que a derivada da função de heaviside $\textstyle u(t)$ é a função delta de Dirac $\textstyle \delta (t)$, ou seja:
    ${\frac {du(t)}{dt}}=\delta (t)$
Também lançamos mão dos seguintes conceitos de eletromagnetismo:
    $q(t)=\int _{0}^{t}i(t)dt$
    ${\frac {dq(t)}{dt}}=i(t)-i(0)=i(t)$
Onde utilizamos nossa primeira condição inicial: $\textstyle i(0)=0$.
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
    ${\mathcal {L}}\left\{{\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}\right\}+2{\mathcal {L}}\left\{{\frac {di(t)}{dt}}\right\}+{\mathcal {L}}\{i(t)\}=V_{0}({\mathcal {L}}\{\delta (t-a)\}-{\mathcal {L}}\{\delta (t-b)\})$
    $s^{2}{\mathcal {L}}\{i(t)\}-si(0)-{\frac {di}{dt}}(0)+2s{\mathcal {L}}\{i(t)\}-2i(0)+{\mathcal {L}}\{i(t)\}=V_{0}(e^{-as}-e^{-bs})$
Devido as condições iniciais, $\textstyle i(0)=0$ e $\textstyle {\frac {di}{dt}}(0)=0$ a equação se reduz a:
    $s^{2}{\mathcal {L}}\{i(t)\}+2s{\mathcal {L}}\{i(t)\}+{\mathcal {L}}\{i(t)\}=V_{0}(e^{-as}-e^{-bs})$
Isolando $\textstyle {\mathcal {L}}\{i(t)\}$:
    ${\mathcal {L}}\{i(t)\}(s^{2}+2s+1)=V_{0}(e^{-as}-e^{-bs})$
    ${\mathcal {L}}\{i(t)\}={\frac {V_{0}(e^{-as}-e^{-bs})}{(s^{2}+2s+1)}}$
Manipulamos a equação de modo a chegar no formato de uma expressão tabelada:
${\mathcal {L}}\{i(t)\}=V_{0}e^{-as}{\frac {1}{(s+1)^{2}}}-V_{0}e^{-bs}{\frac {1}{(s+1)^{2}}}$
Aplicando a transformada inversa:
    $i(t)=V_{0}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}{\frac {1}{(s+1)^{2}}}\right\}-V_{0}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-bs}{\frac {1}{(s+1)^{2}}}\right\}$
Consultando uma tabela de transformadas de Laplace, obtemos o resultado:
    $i(t)=V_{0}u(t-a)(t-a)e^{-(t-a)}-V_{0}u(t-b)(t-b)e^{-(t-b)}$
Onde utilizamos a propriedade do deslocamento no eixo t e deslocamento no eixo s