# Provas de identidades trigonométricas

As principais identidades trigonométricas entre funções trigonométricas são provadas, usando principalmente a geometria do triângulo retângulo. Para ângulos maiores e negativos ver funções trigonométricas.

## Identidades trigonométricas elementares
### Definições

As seis funções trigonométricas são definidas para todo número real, exceto, para algumas delas, para ângulos que diferem de 0 por um múltiplo do ângulo reto (90°). Referindo-se ao diagrama na direita, as seis funções trigonométricas de θ são, para ângulos menores que o ângulo reto:
    $\sin(\theta )={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {hypotenuse} }}={\frac {a}{h}}$
    $\cos(\theta )={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {hypotenuse} }}={\frac {b}{h}}$
    $\tan(\theta )={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {a}{b}}$
    $\cot(\theta )={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {opposite} }}={\frac {b}{a}}$
    $\sec(\theta )={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {h}{b}}$
    $\csc(\theta )={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} }}={\frac {h}{a}}$

### Identidades de proporção

No caso de ângulos menores que um ângulo reto, as seguintes identidades são conseqüências diretas das definições acima através da identidade da divisão
    ${\frac {a}{b}}={\frac {\left({\frac {a}{h}}\right)}{\left({\frac {b}{h}}\right)}}.$
Elas permanecem válidas para ângulos superiores a 90° e para ângulos negativos.
    $\tan(\theta )={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {\left({\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {hypotenuse} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {hypotenuse} }}\right)}}={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$
    $\cot(\theta )={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {opposite} }}={\frac {\left({\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {adjacent} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}\right)}}={\frac {1}{\tan(\theta )}}={\frac {\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}$
    $\sec(\theta )={\frac {1}{\cos(\theta )}}={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {adjacent} }}$
    $\csc(\theta )={\frac {1}{\sin(\theta )}}={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} }}$
    $\tan(\theta )={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {\left({\frac {\mathrm {opposite} \times \mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} \times \mathrm {adjacent} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {adjacent} \times \mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} \times \mathrm {adjacent} }}\right)}}={\frac {\left({\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {adjacent} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} }}\right)}}={\frac {\sec(\theta )}{\csc(\theta )}}$
Ou
    $\tan(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\left({\frac {1}{\csc(\theta )}}\right)}{\left({\frac {1}{\sec(\theta )}}\right)}}={\frac {\left({\frac {\csc(\theta )\sec(\theta )}{\csc(\theta )}}\right)}{\left({\frac {\csc(\theta )\sec(\theta )}{\sec(\theta )}}\right)}}={\frac {\sec(\theta )}{\csc(\theta )}}$
    $\cot(\theta )={\frac {\csc(\theta )}{\sec(\theta )}}$

### Identidades de ângulos complementares

Dois ângulos cuja soma é π/2 radianos (90 graus) são complementares. No diagrama, os ângulos nos vértices A e B são complementares, assim podemos intercambiar a e b, mudando θ para π/2 − θ, obtendo:
    $\sin \left(\pi /2-\theta \right)=\cos(\theta )$
    $\cos \left(\pi /2-\theta \right)=\sin(\theta )$
    $\tan \left(\pi /2-\theta \right)=\cot(\theta )$
    $\cot \left(\pi /2-\theta \right)=\tan(\theta )$
    $\sec \left(\pi /2-\theta \right)=\csc(\theta )$
    $\csc \left(\pi /2-\theta \right)=\sec(\theta )$

### Identidades pitagóricas

Identidade 1:
    $\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1$
Os dois resultados a seguir seguem desta e das identidades de proporção. Para obter o primeiro, dividir ambos os lados de $\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1$ por $\cos ^{2}(x)$; para o segundo, dividir por $\sin ^{2}(x)$.
    $\tan ^{2}(x)+1\ =\sec ^{2}(x)$
    $1\ +\cot ^{2}(x)=\csc ^{2}(x)$
Similarmente
    $1\ +\cot ^{2}(x)=\csc ^{2}(x)$
    $\csc ^{2}(x)-\cot ^{2}(x)=1$
Identidade 2:
A identidade seguinte envolve todas as três funções recíprocas.
    $\csc ^{2}(x)+\sec ^{2}(x)-\cot ^{2}(x)=2\ +\tan ^{2}(x)$
Prova 2:
Considerar o diagrama do triângulo acima. Notar que $a^{2}+b^{2}=h^{2}$ pelo teorema de Pitágoras.
    $\csc ^{2}(x)+\sec ^{2}(x)={\frac {h^{2}}{a^{2}}}+{\frac {h^{2}}{b^{2}}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}{b^{2}}}=2\ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}$
Substituindo com funções apropriadas
    $2\ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2\ +\tan ^{2}(x)+\cot ^{2}(x)$
Rearranjando resulta:
    $\csc ^{2}(x)+\sec ^{2}(x)-\cot ^{2}(x)=2\ +\tan ^{2}(x)$

### Identidades de soma de ângulo
#### Seno

Desenhar uma linha horizontal (o eixo x); marcar uma origem O. Desenhar uma linha de O com um ângulo $\alpha$ acima da linha horizontal e uma segunda linha com um ângulo $\beta$ acima desta; o ângulo entre a segunda linha e o eixo x é $\alpha +\beta$.
Colocar P na linha definida por $\alpha +\beta$ a uma distância unitária da origem.
Seja PQ uma linha perpendicular à linha OQ definida pelo ângulo $\alpha$, desenhado a partir do ponto Q nesta linha até o ponto P. $\therefore$ OQP é um ângulo reto.
Seja QA uma perpendicular do ponto A no eixo x para Q e seja PB uma perpendicular do ponto B no eixo x até P. $\therefore$ OAQ e OBP são ângulos retos.
Desenhar R em PB tal que QR seja paralelo ao eixo x.
Agora o ângulo $RPQ=\alpha$ (porque $OQA={\frac {\pi }{2}}-\alpha$, fazendo $RQO=\alpha ,RQP={\frac {\pi }{2}}-\alpha$, e finalmente $RPQ=\alpha$)
    $RPQ={\tfrac {\pi }{2}}-RQP={\tfrac {\pi }{2}}-({\tfrac {\pi }{2}}-RQO)=RQO=\alpha$
    $OP=1$
    $PQ=\sin(\beta )$
    $OQ=\cos(\beta )$
    ${\frac {AQ}{OQ}}=\sin(\alpha )$, então $AQ=\sin(\alpha )\cos(\beta )$
    ${\frac {PR}{PQ}}=\cos(\alpha )$, então $PR=\cos(\alpha )\sin(\beta )$
    $\sin(\alpha +\beta )=PB=RB+PR=AQ+PR=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )$
Substituindo $-\beta$ em lugar de $\beta$ e usando simetria resulta
    $\sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(-\beta )+\cos(\alpha )\sin(-\beta )$
    $\sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )-\cos(\alpha )\sin(\beta )$
Outra prova rigorosa, e bem mais simples, pode ser obtida usando a fórmula de Euler, conhecida da análise complexa. A fórmula de Euler estabelece que
    $e^{i\varphi }=\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )$
Segue que para ângulos $\alpha$ e $\beta$ resulta:
    $e^{i(\alpha +\beta )}=\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )$
Também, usando as seguintes propriedades de funções exponenciais:
    $e^{i(\alpha +\beta )}=e^{i\alpha }e^{i\beta }=(\cos(\alpha )+i\sin(\alpha ))(\cos(\beta )+i\sin(\beta ))$
Manipulando o produto:
    $e^{i(\alpha +\beta )}=(\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta ))+i(\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha ))$
Igualando as partes real e imaginária:
    $\cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )$
    $\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )$

#### Cosseno

Observando a figura acima,
    $OP=1$
    $PQ=\sin(\beta )$
    $OQ=\cos(\beta )$
    ${\frac {OA}{OQ}}=\cos(\alpha )$, então $OA=\cos(\alpha )\cos(\beta )$
    ${\frac {RQ}{PQ}}=\sin(\alpha )$, então $RQ=\sin(\alpha )\sin(\beta )$
    $\cos(\alpha +\beta )=OB=OA-BA=OA-RQ=\cos(\alpha )\cos(\beta )\ -\sin(\alpha )\sin(\beta )$
Substituindo $-\beta$ por $\beta$ e usando simetria é obtido:
    $\cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(-\beta )-\sin(\alpha )\sin(-\beta ),$
    $\cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )$
Usando as fórmulas para ângulos complementares,
    ${\begin{aligned}\cos(\alpha +\beta )&=\sin \left(\pi /2-(\alpha +\beta )\right)\\&=\sin \left((\pi /2-\alpha )-\beta \right)\\&=\sin \left(\pi /2-\alpha \right)\cos(\beta )-\cos \left(\pi /2-\alpha \right)\sin(\beta )\\&=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\\\end{aligned}}$

#### Tangente e cotangente

Das fórmulas para seno e cosseno resulta
    $\tan(\alpha +\beta )={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}={\frac {\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )}{\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )}}$
Dividindo numerador e denominador por $\cos(\alpha )\cos(\beta )$, resulta
    $\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan(\alpha )+\tan(\beta )}{1-\tan(\alpha )\tan(\beta )}}$
Subtraindo $\beta$ de $\alpha$, usando $\tan(-\beta )=-\tan(\beta )$,
    $\tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan(\alpha )+\tan(-\beta )}{1-\tan(\alpha )\tan(-\beta )}}={\frac {\tan(\alpha )-\tan(\beta )}{1+\tan(\alpha )\tan(\beta )}}$
Similarmente, das fórmulas para seno e cosseno resulta
    $\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )}}={\frac {\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )}{\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )}}$
Dividindo então numerador e denominador por $\sin(\alpha )\sin(\beta )$, resulta
    $\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot(\alpha )\cot(\beta )-1}{\cot(\alpha )+\cot(\beta )}}$
Ou, usando $\cot(\theta )={\frac {1}{\tan(\theta )}}$,
    $\cot(\alpha +\beta )={\frac {1-\tan(\alpha )\tan(\beta )}{\tan(\alpha )+\tan(\beta )}}={\frac {{\frac {1}{\tan(\alpha )\tan(\beta )}}-1}{{\frac {1}{\tan(\alpha )}}+{\frac {1}{\tan(\beta )}}}}={\frac {\cot(\alpha )\cot(\beta )-1}{\cot(\alpha )+\cot(\beta )}}$
Usando $\cot(-\beta )=-\cot(\beta )$,
    $\cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot(\alpha )\cot(-\beta )-1}{\cot(\alpha )+\cot(-\beta )}}={\frac {\cot(\alpha )\cot(\beta )+1}{\cot(\beta )-\cot(\alpha )}}$

### Identidades de ângulo duplo

Das identidades para soma de ângulos resulta
    $\sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )$
e
    $\cos(2\theta )=\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )$
As identidades pitagóricas dão as duas formas alternativas para a último destes:
    $\cos(2\theta )=2\cos ^{2}(\theta )-1$
    $\cos(2\theta )=1-2\sin ^{2}(\theta )$
As identidades de soma dos ângulos também fornecem
    $\tan(2\theta )={\frac {2\tan(\theta )}{1-\tan ^{2}\theta }}={\frac {2}{\cot(\theta )-\tan(\theta )}}$
    $\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot(\theta )}}={\frac {\cot(\theta )-\tan(\theta )}{2}}$
Também pode ser provado usando a fórmula de Euler
    $e^{i\varphi }=\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )$
Elevando ambos os lados ao quadrado
    $e^{i2\varphi }=(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))^{2}$
Substituindo o ângulo pela sua versão dupla, que fornece o mesmo resultado no lado esquerdo da equação, resulta
    $e^{i2\varphi }=\cos(2\varphi )+i\sin(2\varphi )$
Segue que
    $(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))^{2}=\cos(2\varphi )+i\sin(2\varphi )$.
Expandindo o quadrado e simplificando no lado esquerdo da equação resulta
    $i(2\sin(\varphi )\cos(\varphi ))+\cos ^{2}(\varphi )-\sin ^{2}(\varphi )\ =\cos(2\varphi )+i\sin(2\varphi )$.
Como as partes real e imaginária da equação devem ser iguais, resulta
    $\cos ^{2}(\varphi )-\sin ^{2}(\varphi )\ =\cos(2\varphi )$,
e
    $2\sin(\varphi )\cos(\varphi )=\sin(2\varphi )$.

### Identidades do ângulo metade

As duas identidades que fornecem as formas alternativas para cos(2θ) levam às seguintes equações:
    $\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos(\theta )}{2}}},$
    $\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos(\theta )}{2}}}.$
O sinal da raiz quadrada deve ser escolhido adequadamente—notar que se 2π é adicionado a θ, as quantidades na raiz quadrada não são alteradas, mas os lados esquerdos das equações mudam de sinal. Assim, o sinal correto a usar depende do valor de θ.
Para a função tangente a equação é:
    $\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos(\theta )}{1+\cos(\theta )}}}.$
Multiplicando então o numerador e o denominador dentro da raiz quadrada por (1 + cos(θ)) e usando identidades pitagóricas leva a
    $\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}.$
Além disso, se o numerador e o denominador forem ambos multiplicados por (1 - cos(θ)), o resultado é
    $\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}.$
Isso também fornece
    $\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\csc(\theta )-\cot(\theta ).$
Manipulações similares para a função cot fornecem
    $\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos(\theta )}{1-\cos(\theta )}}}={\frac {1+\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}={\frac {\sin(\theta )}{1-\cos(\theta )}}=\csc(\theta )+\cot(\theta ).$

### Diversos - a identidade da tripla tangente

Se $\psi +\theta +\phi =\pi =$ meia circunferência (por exemplo, $\psi$, $\theta$ e $\phi$ são os ângulos de um triângulo),
    $\tan(\psi )+\tan(\theta )+\tan(\phi )=\tan(\psi )\tan(\theta )\tan(\phi ).$
Prova:
    ${\begin{aligned}\psi &=\pi -\theta -\phi \\\tan(\psi )&=\tan(\pi -\theta -\phi )\\&=-\tan(\theta +\phi )\\&={\frac {-\tan(\theta )-\tan(\phi )}{1-\tan(\theta )\tan(\phi )}}\\&={\frac {\tan(\theta )+\tan(\phi )}{\tan(\theta )\tan(\phi )-1}}\\(\tan(\theta )\tan(\phi )-1)\tan(\psi )&=\tan(\theta )+\tan(\phi )\\\tan(\psi )\tan(\theta )\tan(\phi )-\tan(\psi )&=\tan(\theta )+\tan(\phi )\\\tan(\psi )\tan(\theta )\tan(\phi )&=\tan(\psi )+\tan(\theta )+\tan(\phi )\\\end{aligned}}$

### Diversos - a identidade da tripla cotangente

Se $\psi +\theta +\phi ={\tfrac {\pi }{2}}=$ um quarto de circunferência,
    $\cot(\psi )+\cot(\theta )+\cot(\phi )=\cot(\psi )\cot(\theta )\cot(\phi )$.
Prova: Substituir cada um dos $\psi$, $\theta$ e $\phi$ com seus ângulos complementares, então as cotangentes se transformam em tangentes e vice-versa.
Dado
    $\psi +\theta +\phi ={\tfrac {\pi }{2}}$
    $\therefore ({\tfrac {\pi }{2}}-\psi )+({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )+({\tfrac {\pi }{2}}-\phi )={\tfrac {3\pi }{2}}-(\psi +\theta +\phi )={\tfrac {3\pi }{2}}-{\tfrac {\pi }{2}}=\pi$
então o resultado segue da identidade da tripla tangente.

### Identidades soma para produto

* $\sin(\theta )\pm \cos(\phi )=2\sin \left({\frac {\theta \pm \phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \phi }{2}}\right)$
* $\cos(\theta )+\cos(\phi )=2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)$
* $\cos(\theta )-\cos(\phi )=-2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)$

#### Prova de identidades senoidais

Iniciar com as identidades da soma de ângulos
    $\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )$
    $\sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )-\cos(\alpha )\sin(\beta )$
Adicionando ambas resulta
    $\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )+\sin(\alpha )\cos(\beta )-\cos(\alpha )\sin(\beta )=2\sin(\alpha )\cos(\beta )$
Similarmente, subtraindo as duas identidades de soma de ângulos
    $\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )-\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )=2\cos(\alpha )\sin(\beta )$
Sejam $\alpha +\beta =\theta$ e $\alpha -\beta =\phi$,
    $\therefore \alpha ={\frac {\theta +\phi }{2}}$ e $\beta ={\frac {\theta -\phi }{2}}$
Substituindo $\theta$ e $\phi$
    $\sin(\theta )+\cos(\phi )=2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)$
    $\sin(\theta )-\cos(\phi )=2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)=2\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)$
Portanto,
    $\sin(\theta )\pm \cos(\phi )=2\sin \left({\frac {\theta \pm \phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \phi }{2}}\right)$

#### Prova de identidades cossenoidais

Similarmente para cossenos, começando com as identidades de soma de ângulos
    $\cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )\ -\sin(\alpha )\sin(\beta )$
    $\cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )$
Novamente, adicionando e subtraindo
    $\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )\ -\sin(\alpha )\sin(\beta )+\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )=2\cos(\alpha )\cos(\beta )$
    $\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )\ -\sin(\alpha )\sin(\beta )-\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )=-2\sin(\alpha )\sin(\beta )$
Substituindo $\theta$ e $\phi$ como antes
    $\cos(\theta )+\cos(\phi )=2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)$
    $\cos(\theta )-\cos(\phi )=-2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)$

### Desigualdades

A figura na direita mostra um setor de um círculo com raio 1. O setor é θ/(2π) de todo o círculo, portanto sua área é θ/2. É assumido que θ < π/2.
    $OA=OD=1$
    $AB=\sin(\theta )$
    $CD=\tan(\theta )$
A área do triângulo OAD é AB/2, ou sin(θ)/2. A área do triângulo OCD é CD/2, oo tan(θ)/2.
Como o triângulo OAD está completamente dentro do setor, que por sua vez fica completamente dentro do triângulo OCD, temos
    $\sin(\theta )<\theta <\tan(\theta ).$
Este argumento geométrico baseia-se nas definições de comprimento do arco e área, que atuam como premissas, portanto é mais uma condição imposta na construção de funções trigonométricas do que uma propriedade comprovável. Para a função seno podemos lidar com outros valores. Se θ > π/2, então θ > 1. Mas sin θ ≤ 1 (por causa da identidade pitagórica), então sin θ < θ. Temos então
    ${\frac {\sin(\theta )}{\theta }}<1\ \ \ \mathrm {if} \ \ \ 0<\theta .$
Para valores negativos de θ temos, pela simetria da função seno
    ${\frac {\sin(\theta )}{\theta }}={\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}<1.$
Então
    ${\frac {\sin(\theta )}{\theta }}<1\quad {\text{se }}\quad \theta \neq 0,$
e
    ${\frac {\tan(\theta )}{\theta }}>1\quad {\text{se }}\quad 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}.$

## Identidades envolvendo cálculo
### Preliminares

    $\lim _{\theta \to 0}{\sin(\theta )}=0$
    $\lim _{\theta \to 0}{\cos(\theta )}=1$

### Identidade da razão seno e ângulo

    $\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1.$
Em outras palavras, a função seno é diferenciável em 0, e sua derivada é 1.
Prova: Das desigualdades prévias temos, para ângulos pequenos,
    $\sin(\theta )<\theta <\tan(\theta )$,
e portanto
    ${\frac {\sin(\theta )}{\theta }}<1<{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}$,
e consideremos a desigualdade do lado direito. Como
    $\tan(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$
    $\therefore 1<{\frac {\sin(\theta )}{\theta \cos(\theta )}}.$
Multiplicando por $\cos(\theta )$
    $\cos(\theta )<{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}.$
Combinando com a desigualdade do lado esquerdo:
    $\cos(\theta )<{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}<1.$
Tomando $\cos(\theta )$ no limite $\theta \to 0$
    $\lim _{\theta \to 0}{\cos(\theta )}=1.$
Portanto,
    $\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1$

### Identidade da razão cosseno e ângulo

    $\lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos(\theta )}{\theta }}=0$
Prova:
    ${\begin{aligned}{\frac {1-\cos(\theta )}{\theta }}&={\frac {1-\cos ^{2}(\theta )}{\theta (1+\cos(\theta ))}}\\&={\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta (1+\cos(\theta ))}}\\&=\left({\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\right)\times \sin(\theta )\times \left({\frac {1}{1+\cos(\theta )}}\right)\\\end{aligned}}$
Os limites destas três quantidades são 1, 0 e 1/2, então o limite resultante é zero.

### Identidade da razão cosseno e quadrado do ângulo

    $\lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos(\theta )}{\theta ^{2}}}={\frac {1}{2}}$
Prova:
Como na prova precedente,
    ${\frac {1-\cos(\theta )}{\theta ^{2}}}={\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\times {\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\times {\frac {1}{1+\cos(\theta )}}.$
Os limites destas três quantidades são 1, 1 e 1/2, então o limite resultante é 1/2.

### Prova de composições de funções trigonométricas e trigonométricas inversas

Todas estas funções seguem da identidade trigonométrica pitagórica. Podemos provar por exemplo a função
$\sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$
Prova:
Partindo de
    $\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$
dividimos esta equação por $\cos ^{2}(\theta )$
    $\cos ^{2}(\theta )={\frac {1}{\tan ^{2}(\theta )+1}}.$
Então usando a substituição $\theta =\arctan(x)$, e também usando a identidade trigonométrica pitagórica:
    $1-\sin ^{2}[\arctan(x)]={\frac {1}{\tan ^{2}[\arctan(x)]+1}}.$
Então usando a identidade $\tan[\arctan(x)]\equiv x$
    $\sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}.$