# Subconjunto

Em teoria dos conjuntos, quando todo elemento de um conjunto $A$ é também elemento de um conjunto $B$, dizemos que $A$ é um subconjunto de $B$, denotado $A\subseteq B$ (também dito "$A$ é uma parte de $B$" ou "$A$ está contido em $B$"). De forma complementar, $B$ é chamado um superconjunto de $A$, simbolizado como $B\supseteq A$ (também dito "$B$ contém $A$" ou "$B$ tem $A$ como parte"). Esta relação é conhecida por inclusão de conjuntos. Em linguagem simbólica, utilizando a noção de quantificação universal (∀), temos: $A\subseteq B{\stackrel {\mathbf {def} }{=\!=}}\forall x(x\in A\rightarrow x\in B).$

## Propriedades

* A inclusão de conjuntos é uma relação reflexiva, ou seja, $A\subseteq A$ qualquer que seja o conjunto $A.$
    Realmente, a condicional $p\rightarrow p$ é uma tautologia. Assim, $x\in A\rightarrow x\in A$ tanto se $x\in A$ como também se $x\not \in A.$ E, por definição, $\forall x(x\in A\rightarrow x\in A)\Rightarrow A\subseteq A.$
* A inclusão de conjuntos é uma relação transitiva, ou seja, se $A\subseteq B$ e $B\subseteq C,$ então $A\subseteq C.$
    Se $A=\varnothing ,$ $A\subseteq C$ (e assumir que $B\subseteq C$ é irrelevante). Então, assuma que $A\neq \varnothing$ e seja $x\in A.$ Por hipótese, $A\subseteq B$ e, pela definição de inclusão, $x\in B.$ Assim, $B\neq \varnothing .$ Também por hipótese $B\subseteq C,$ isto é, se $y\in B$ também $y\in C.$ Em particular, para $y=x$ temos $x\in C.$ Como $x\in A$ era arbitrário, todo elemento de $A$ é também elemento de $C,$ ou seja, $A\subseteq C.$
* A inclusão de conjuntos é uma relação antissimétrica, ou seja, se $A\subseteq B$ e $B\subseteq A,$ então $A=B.$
    De fato, isto é o que diz o axioma da extensão.
* Pelas três propriedades acima, dado um conjunto não-vazio $A$ e uma coleção ${\mathcal {C}}$ de subconjuntos de $A,$ a relação de inclusão $\subseteq$ é uma relação de ordem parcial em ${\mathcal {C}}.$
    A inclusão de conjuntos é a relação de ordem parcial canônica — no sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado (X, $\preceq$) é isomorfo a alguma coleção de conjuntos ordenada pela inclusão. Os números ordinais constituem um exemplo simples — se cada ordinal $n$ é identificado com o conjunto $[n]$ de todos os ordinais menores ou igual a $n,$ então $a\leq b$ se e somente se $[a]\subseteq [b].$

## Subconjunto próprio

Dizemos que um conjunto $B$ é um subconjunto próprio de um conjunto $A$ se $B\subseteq A$ ($B$ é subconjunto de $A$) e $B\neq A$ ($B$ é diferente de $A$). Explicitamos este fato com a notação especial $B\subsetneq A;$ ou ainda $A\supsetneq B$ (lê-se: A é um superconjunto próprio de B). Isto quer dizer que $B$ está estritamente contido em $A,$ ou seja, existe pelo menos um $x\in A$ tal que $x\not \in B.$ Em particular, o conjunto vazio é um subconjunto próprio de todo conjunto não-vazio. E, evidentemente, $A$ é o único subconjunto de um conjunto $A\neq \varnothing$ que não é próprio. Assim, dizemos que $A$ é um subconjunto impróprio (superconjunto impróprio) de $A.$

## Exemplos

* O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto dado.
* O conjunto {1, 2} é um subconjunto próprio de {1, 2, 3}.
* O conjunto {x : x é um número primo maior do que 10} é um subconjunto próprio de {x : x é um número ímpar maior do que 10}.
* O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números inteiros, com a mesma cardinalidade.
* O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números reais, com cardinalidade inferior.