# Operador pseudodiferencial

Um operador pseudo-diferencial é uma generalização do conceito de operador diferencial. É uma parte fundamental da teoria das equações diferenciais parciais. Os fundamentos da teoria foram desenvolvidos por Lars Hörmander.

## Motivação
### Operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes

Seja o operador diferencial linear com coeficientes constantes
    $P(D):=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,D^{\alpha }$
operando sobre o espaço das funções infinitamente contínuas com suporte compacto em $\mathbb {R} ^{n}$. Pode ser expresso como a composição de uma Transformada de Fourier, uma multiplicação com o polinômio
    $P(\xi )=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,\xi ^{\alpha }$
e a transformada de Fourier inversa
    $(1)\quad P(D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(\xi )u(y)dyd\xi$,
sendo
$\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} _{0}^{n}$ um índice múltiplo, $D^{\alpha }=(-i\partial _{1})^{\alpha _{1}}\dots (-i\partial _{n})^{\alpha _{n}}$ um operador diferencial, sendo $\partial _{j}$ a derivada parcial em relação à j-ésima variável e $a_{\alpha }\,$ são números complexos.
De forma análoga um operador pseudo-diferencial $P(x,D)$ sobre $\mathbb {R} ^{n}$ é um operador da forma
    $(2)\quad P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(x,\xi )u(y)dyd\xi$,
com uma função generalizada $P$ no integrando, como a seguir discutido.

#### Dedução da fórmula (1)

A transformada de Fourier de uma função infinitamente diferenciável $u$, com suporte compacto em $\mathbb {R} ^{n}$, é
    ${\hat {u}}(\xi ):=\int e^{-iy\xi }u(y)dy$
e a transformada de Fourier inversa fornece
    $u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\hat {u}}(\xi )d\xi ={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \int e^{i(x-y)\xi }u(y)dyd\xi$ .
Aplicando $P(D)$ sobre esta representação de $u$ e utilizando
    $P(D_{x})\,e^{i(x-y)\xi }=e^{i(x-y)\xi }\,P(\xi )$
resulta em (1).

### Representação de soluções de equações diferenciais parciais

A fim de resolver uma equação diferencial
    $P(D)\,u=f$
é aplicada nos dois lados uma transformada de Fourier, resultando uma equação algébrica
    $P(\xi )\,{\hat {u}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )$ .
Caso o símbolo $P(\xi )$ não seja nulo para $\xi \in \mathbb {R} ^{n}$, podemos dividir por $P(\xi )$
    ${\hat {u}}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )$ .
Aplicando a transformada inversa obtemos a solução
    $u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )d\xi$.
Na obten deste resultado as seguintes condições foram observadas:
* $P(D)$ é um operador diferencial linear com coeficientes constantes,
* seu símbolo $P(\xi )$ não é nulo,
* a transformada de Fourier de u e f é definida.
A última condição pode ser enfraquecida utilizando a Teoria das distribuições. As duas primeiras condições podem ser enfraquecidas como segue. Na última fórmula substitui-se a transformada de Fourier de f:
    $u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \int e^{i(x-y)\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}f(y)dyd\xi$.
Isto é semelhante à formula (1), só que aqui ${\frac {1}{P(\xi )}}$ não é um polinômio, e sim uma função generalizada.

## Definição formal
### Classe de símbolos

Se $P(x,\xi )$ é uma função infinitamente diferenciável sobre $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ com
    $|\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\,(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}$
para todo $x,\xi$, todo multi-índice $\alpha ,\beta$, uma constante $C_{\alpha ,\beta }$ e números reais m, então P pertence à classe de símbolos $S_{1,0}^{m}$.

### Operadores pseudo-diferenciais

Seja P uma função infinitamente diferenciável da classe de símbolos $S_{1,0}^{m}$. Um operador pseudo-diferencial de ordem m é definido por
    $P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(x,\xi )u(y)dyd\xi .$
O conjunto dos operadores pseudo-diferenciais de ordem m é denotado por $\Psi _{1,0}^{m}$.