# Elipse

Em geometria, uma elipse é um tipo de seção cônica: se uma superfície cônica é cortada com um plano que não passe pela base e que não intersete as duas folhas do cone, a interseção entre o cone e o plano é uma elipse. Para uma prova elementar disto, veja esferas de Dandelin.
Em alguns contextos, pode-se considerar o círculo e o segmento de reta como casos especiais de elipses; no caso do círculo, o plano que corta o cone é paralelo à sua base.
A elipse tem dois focos, que no caso do círculo são sobrepostos. O segmento de reta que passa pelos dois focos chama-se eixo maior, e o segmento de reta que passa pelo ponto médio do eixo maior e é perpendicular a ele chama-se eixo menor. Fixando o comprimento do eixo maior e diminuindo o comprimento do eixo menor, obtêm-se elipses cada vez mais próximas de um segmento de reta. A elipse é também a intersecção de uma superfície cilíndrica com um plano que a corta numa curva fechada.
As medidas da elipse são dadas pela metade dos eixos maior e menor sendo chamadas, respetivamente, de semieixo maior ($a$) e semieixo menor ($b$).

## Equações
### Coordenadas cartesianas

Algebricamente, uma elipse é a curva no plano cartesiano definida por uma equação da forma
$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$
tal que
$B^{2}<4AC,$ onde todos os coeficientes são reais, e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos ($x,y$) na elipse, existe. O caso $A=C,A\neq 0,B=0$ corresponde ao círculo. Quando os eixos da elipse são paralelos aos eixos coordenados, a equação anterior torna a forma mais simples:
$\left({\frac {x-h}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y-k}{b}}\right)^{2}=1,$
onde ($h,k$) é o centro da elipse, e $a$ e $b$ são os semieixos da elipse.
Outras equações úteis:
1) Centro na origem:
a) Eixo maior paralelo ao eixo $x:$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
b) Eixo maior paralelo ao eixo $y:$ ${\frac {x^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1$
2) Centro como um vértice, geralmente apresentado como $C~(h,k):$
a) Eixo maior paralelo ao eixo $x:$ ${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1$
b) Eixo maior paralelo ao eixo $y:$ ${\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}=1$

### Coordenadas polares

Em coordenadas polares, existem duas formas principais de se descrever a elipse:
a) Com origem no centro da elipse: $r={\frac {ab}{\sqrt {a^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta }}}$
b) Com origem em um dos focos: $r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \theta }},$ sendo e a excentricidade.
Essa forma é muito conveniente para aplicações em mecânica celeste, neste caso o ângulo $\theta$ é chamado de anomalia verdadeira e é representado pela letra grega $\nu$ (nu ou ni)

#### Coordenadas paramétricas

$\left\{{\begin{matrix}x&=&h+a.\cos(t)\\y&=&k+b.\operatorname {sen} (t)\end{matrix}}\right.$

## A elipse como lugar geométrico

A elipse é o conjunto dos pontos $P$ do plano tais que a soma das distâncias de $P$ a dois pontos fixos $F_{1}~e~F_{2}$ (focos) é constante. O teorema de Dandelin mostra que esta caracterização da elipse é equivalente à definição como secção cónica.
Ou seja, se $dist(F_{1},F_{2})=2c,$ então a elipse é o conjunto dos pontos $P$ tais que $dist(P,F_{1})+dist(P,F_{2})=2a$ em que $a>c$ (no caso especial do círculo, os pontos $F_{1}~e~F_{2}$ coincidem então $c=0~e~a=r,$ com $r$ sendo o raio do círculo).
A excentricidade da elipse é definida por $e={\frac {c}{a}}.$ A excentricidade também pode ser calculada pelo ângulo característico ($\alpha$) da elipse.
$e={\sqrt {\tfrac {2\cdot cos(\alpha )}{1+cos(\alpha )}}}$
Tem-se $0\leq e<1$ (de novo, $e=0$ apenas no caso da circunferência, o caso $e=1$ corresponderia ao segmento de reta, mas normalmente $e=1$ corresponde a uma parábola). Se $a$ for o semi-eixo maior e $b$ o semi-eixo menor da elipse, então pelo teorema de Pitágoras vem
$e={\frac {\sqrt {{a^{2}}-{b^{2}}}}{a}}$
Em geodésia e cartografia, é usado o conceito de achatamento (para se referir ao elipsoide de referência), definido por $f={\frac {(a-b)}{a}}.$ Como este valor é sempre muito pequeno, ele costuma ser apresentado por seu inverso. Por exemplo, o achatamento do WGS 1984 é ${\frac {1}{298.257223563}}.$

### Características

AB$^¯$=2a=Eixo Maior, {\textstyle {\overline {AB}}=2a={\textrm {Eixo}}\ {\textrm {Maior, }}} CD$^¯$=2b=Eixo Menor, {\textstyle {\overline {CD}}=2b={\textrm {Eixo}}\ {\textrm {Menor, }}}
F$_1$F$_2$$^¯$=2c=Distancia Focal.{\textstyle {\overline {F_{1}F_{2}}}=2c={\textrm {Distancia}}\ {\textrm {Focal.}}}
O centro da elipse é ponto $O=(0,0)$. Os focos da elipse encontram-se nos pontos:
$F_{1}=(-c,0)\ {\textrm {e}}\ F_{2}=(c,0).$
Temos, pelo Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo $COF_{2}$ (ou ao $COF_{1},$ ou ainda ao $DOF_{2}$), que:
$a^{2}=b^{2}+c^{2}$
Este resultado decorre da definição da elipse: a soma das distâncias de qualquer ponto $P$ sobre a elipse até os focos é sempre $2a$. Em símbolos:
${\overline {PF_{2}}}+{\overline {PF_{1}}}=2a$
Então, utilizando seguimentos de retas iguais, temos:
${\overline {CF_{1}}}+{\overline {CF_{2}}}=2a\Rightarrow {\overline {CF_{1}}}=a\,\,{\textrm {ou}}\,\,{\overline {DF_{1}}}+{\overline {DF_{2}}}=2a\Rightarrow {\overline {DF_{1}}}=a$
o símbolo matemático "$\Rightarrow$" significa "implica".

## Área

A área de uma elipse com semieixo maior $a$ e semieixo menor $b$ é igual a $\pi ab$ (semieixo significa metade do eixo). Se a excentricidade da elipse é nula, os semieixos são iguais $(a=b=r),$ ficamos então com um círculo de raio $r.$ Neste caso, a fórmula da área resulta na expressão mais conhecida para a área de um círculo: $\pi ab=\pi rr=\pi r^{2}.$

## Propriedade refletora

A elipse tem a propriedade de que a bissectriz do ângulo formado pelos dois focos e por um ponto qualquer da elipse (como vértice) é perpendicular à tangente à elipse nesse ponto.
Como consequência, qualquer raio luminoso ou onda sonora, que parta de um dos focos, será reflectido pela elipse na direcção do outro foco.

### Particularidades

Segundo esta propriedade, numa mesa de bilhar elíptica, qualquer choque entre duas bolas, acontecido num foco, será refletido e fará bater em uma terceira bola estacionada no outro foco.
Num plano de três dimensões, esse é o princípio da sala de sussurro que existe em museus e exposições: duas pessoas estacionadas nos focos de um elipsoide podem conversar entre si em voz baixa e mesmo assim serem ouvidas por uma pessoa estacionada no outro foco. No Capitólio dos Estados Unidos há uma sala elíptica onde a propriedade refletora da elipse teria sido usada pelo presidente John Quincy Adams para escutar conversas que decorriam do outro lado da sala.
Outro fato curioso sobre as elipses é que, trabalhando com sua excentricidade ($e={\frac {c}{a}}$), podemos obter tanto circunferências (casos de excentricidade nula e, portanto, com distância focal igual a zero) quanto segmentos de reta (casos de excentricidade igual a $1,$ ou seja, a distância focal coincide com o tamanho do eixo maior).
O acompanhamento por telescópio do reflexo da intensa luminosidade de uma supernova nos gases e poeira que se encontram sobre o elipsoide, cujos focos são a supernova e a Terra, tem permitido compreender melhor a estrutura do meio interestelar.

## Primeira lei de Kepler

A primeira lei de Kepler afirma que a órbita dos planetas em redor do Sol é elíptica, estando o Sol num dos focos. Dos seis elementos orbitais necessários para descrever completamente a órbita do planeta dois são os parâmetros que definem a elipse.