# Sistema contínuo de segunda ordem

Um Sistema contínuo de segunda ordem é o Sistema dinâmico contínuo generalizado para sistemas mais gerais, de segunda ordem. Possibilitando reduzir qualquer sistema de equações diferenciais ordinárias a um sistema de várias equações, autônomas e de primeira ordem.

## Queda livre

No problema da queda livre de um objeto, para calcular a altura em função do tempo, é preciso resolver a equação diferencial
$\color {red}{{\dot {y}}=v}$
onde $v$ é obtida a partir da equação que já resolvemos no capítulo anterior
$\color {red}{{\dot {v}}=a}$
Aplicando o método de Euler, teremos que encontrar duas sequências a partir de dois valores iniciais conhecidos:
$y_{0}=y(t=0)\qquad v_{0}=v(t=0)$
usando as relações de recorrência:
$\color {Blue}{\left\{{\begin{array}{l}v_{n+1}=v_{n}+h\,a_{n}\\y_{n+1}=y_{n}+h\,v_{n}\end{array}}\right.}$
onde $h$ é um pequeno intervalo de tempo e a aceleração $a_{n}$ calcula-se a partir de uma função conhecida, que depende de $v_{n}$
O método do ponto médio consiste em usar a média entre $v_{n}$ e $v_{n+1}$ para calcular $y_{n}$
$\left\{{\begin{array}{l}v_{n+1}=v_{n}+h\,a_{n}\\[6pt]y_{n+1}=y_{n}+h\,\displaystyle {\frac {v_{n}+v_{n+1}}{2}}\end{array}}\right.$
ou, substituindo a expressão para $v_{n+1}$ na segunda equação:
$\left\{{\begin{array}{l}v_{n+1}=v_{n}+h\,a_{n}\\y_{n+1}=y_{n}+h\,v_{n}+\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{n}\,h^{2}\end{array}}\right.$

### Lançamento de projéteis

O movimento de um projétil, sob a ação da gravidade é um movimento plano, no plano definido pela gravidade e pela velocidade inicial. A posição, velocidade e a aceleração instantânea são vetores com duas componentes, por exemplo, $x$ e $y$, que verificam duas equações diferenciais
${\begin{aligned}{\dot {\vec {r}}}&=&{\vec {v}}\\{\dot {\vec {v}}}&=&{\vec {a}}\end{aligned}}$
Essas equações são uma generalização vetorial das equações . Assim, o método de Euler também pode ser generalizado facilmente, introduzindo vetores nas equações
$\left\{{\begin{array}{l}{\vec {v}}_{n+1}={\vec {v}}_{n}+h\,{\vec {a}}_{n}\\{\vec {y}}_{n+1}={\vec {y}}_{n}+h\,{\vec {v}}_{n}\end{array}}\right.$
Essas equações resolvem-se em forma iterativa, começando com um valor conhecido para os vectores posição e velocidade iniciais.

## Sistemas de segunda ordem

Um sistema autônomo de segunda ordem consiste em duas variáveis $x$ e $y$ que dependem do tempo, e duas equações de evolução, independentes do tempo:
$\left\{{\begin{array}{l}{\dot {x}}=f(x,y)\\{\dot {y}}=g(x,y)\end{array}}\right.$
O espaço de fase desse sistema é o plano $xy$, formado pelas duas variáveis de estado.
O vector $f\,{\hat {e}}_{x}+g\,{\hat {y}}$, construído a partir das duas funções nas equações de evolução acima, é a ``velocidade com que o estado se desloca no espaço de fase. A velocidade de fase em cada ponto do espaço de fase representa-se por um múltiplo positivo do vetor $f\,{\hat {e}}_{x}+g\,{\hat {y}}$ nesse ponto. Usa-se um fator de escala para evitar complicar o desenho com vectores muito compridos a cruzarem-se.

## Retrato de fase

O retrato de fase de um sistema autônomo de segunda ordem é uma representação gráfica do campo de direções, no espaço de fase a duas dimensões, mostrando os pontos fixos e algumas soluções que entram ou saem desses pontos.

## Resolução analítica das equações de segunda ordem

Existem dois tipos de equações de segunda ordem que podem ser resolvidas analiticamente. O primeiro tipo são as equações lineares com coeficientes constantes, com a forma geral
$a\,y''+b\,y'+c\,y=f(x)$
onde $a$, $b$ e $c$ são constantes, e $f(x)$ tem alguma forma simples.
O segundo tipo de equação é a equação de Euler
$ax^{2}\,y''+bx\,y'+c\,y=f(x)$

### Equações autônomas de segunda ordem

As equações diferenciais autônomas de segunda ordem são as que não dependem explicitamente da variável independente. Podem ser reduzidas a duas equações independentes, de primeira ordem. A forma geral de uma equação autônoma de segunda ordem é:
$\color {Blue}{{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f\left(x,{\frac {dx}{dt}}\right)}$
se designarmos de $v(x)$ a função $dx/dt$, a equação passa a ser de primeira ordem
$\color {Red}{{\dot {v}}=f(x,v)}$
mas como há 3 variáveis $(t,xev)$ nesta equação, ela não pode ser resolvida independentemente mas deverá ser resolvida juntamente com a equação $dx/dt=v$. Um método mais simples, que não exige a resolução de duas equações em simultâneo, consiste em obter uma equação diferencial ordinária (unicamente duas variáveis), usando a seguinte substituição:
${\frac {dv}{dt}}={\frac {dv}{dx}}{\frac {dx}{dt}}=v{\frac {dv}{dx}}$
substituindo na equação, obtém-se
$v{\frac {dv}{dx}}=f(x,v)$
que é uma EDO de primeira ordem, com variável independente $x$ e variável dependente $y$. Cada solução dessa EDO será uma função $g(x)$ que representa $v$ em função da variável $x$. Para calcular $x(t)$ resolve-se a seguir
${\frac {dx}{dt}}=g(x)$
que é também uma equação autônoma, mas de primeira ordem.
A dificuldade deste método é que nem sempre é possível escrever as soluções da equação na forma explícita $v=g(x)$.
Na analogia mecânica, $v$ é a velocidade e a função $f$ na equação é a força resultante, por unidade de massa.

## Sistemas não autônomos e derivadas de ordem superior

Se as funções $f$ ou $g$, nos Sistemas de segunda ordem, dependessem do tempo, o sistema deixaria de ser autônomo.
No entanto o sistema pode ser convertido num sistema autônomo, considerando o tempo como mais uma variável de estado, e introduzindo uma equação diferencial trivial para a derivada de $t$ (a derivada de $t$ em função de $t$ é 1).
Outra forma em que um sistema pode diferir da forma padrão será se aparecerem derivadas de ordem superior.
Nesse caso as derivadas de ordem superior podem ser reduzidas a primeira ordem, introduzindo mais variáveis. Vamos ilustrar esses métodos para obter sistemas autônomos por meio de um exemplo.
Transformando o seguinte sistema num sistema autônomo:
$\left\{{\begin{array}{l}{\dot {x}}=3x-y^{2}t\\{\dot {y}}=5x^{2}y\end{array}}\right.$
Resolução: Se $t$ fosse também variável de estado, o sistema seria autônomo; mas deveria haver uma equação de evolução para essa nova variável de estado. Assim, introduzimos mais uma equação (trivial):
${\dot {t}}=1$
Assim, o sistema é equivalente a um sistema autônomo de terceira ordem:
$\left\{{\begin{array}{l}{\dot {t}}=1\\{\dot {x}}=3x-y^{2}t\\{\dot {y}}=5x^{2}y\end{array}}\right.$
O espaço de fase tem três dimensões.

## Eliminação de singularidades

Os métodos para resolver equações diferenciais estudados nas secções anteriores calculam o valor da solução a partir do valor da derivada num ponto inicial. Se a derivada no ponto inicial for infinita, o método falha. Quando o diagrama do campo de direções de um sistema, no plano $xy$, apresentar pontos onde o declive for vertical, os métodos numéricos falham nesses pontos. O problema pode ser resolvido introduzindo um parâmetro adicional, como é feito no exemplo seguinte.
Encontramos a solução do sistema:
$\color {Brown}{{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}\qquad y(3)=0}$
Resolução: O estado inicial, $x=3$, $y=0$, conduz a uma derivada infinita; assim, não vai ser possível calcular a derivada no ponto inicial (3,0). Não será possível representar o campo de direções nesse ponto, e os métodos numéricos não poderão ser usados para calcular a solução.
Introduzindo um parâmetro adicional, $t$, admitimos que as duas variáveis, $x$ e $y$ dependem de $t$. A equação é equivalente ao sistema de equações
${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=&y\\{\frac {dy}{dt}}&=&-x\end{aligned}}$