# Conjunto difuso

Na matemática, conjuntos difusos, conjuntos nebulosos ou conjuntos fuzzy, são conjuntos aos quais os elementos têm graus de pertinência. Conjuntos difusos foram apresentados por Lotfi A. Zadeh e Dieter Klaua em 1965 como uma extensão da noção clássica de conjuntos. Ao mesmo tempo, Salii (1965) definiu mais um tipo de estrutura chamada relação-L, que ele estudou em um contexto de algébra abstrata. Relações difusas, que são usadas atualmente em diferentes áreas, como linguística (De Cock, et al., 2000), tomada de decisão (Kuzmin, 1982) e clustering (Bezdek, 1978), são casos especiais de relações-L quando L é um intervalo unitário [0,1].
Em teoria clássica dos conjuntos, a pertinência de elementos a um conjunto é avaliada em termos de acordo binário a uma condição bivalente — um elemento pertence ou não ao conjunto. No entanto, a teoria de conjuntos difusos permite a avaliação gradual da associação de elementos em um conjunto; isto é descrito como um auxílio a função de pertinência valorada no intervalo unitário real [0, 1]. Conjuntos difusos generalizam conjuntos clássicos, uma vez que a função indicadora dos conjuntos clássicos são casos especiais das funções de pertinência dos conjuntos difusos, somente se o último possui valores 0 ou 1. Na teoria dos conjuntos difusos, conjuntos bivalentes clássicos são frequentemente chamados de conjuntos crisp. A teoria dos conjuntos difusos pode ser usada em uma larga escala de domínios em que a informação é incompleta ou imprecisa, tal como bioinformática.
Tem sido sugerido por Thayer Watkins que a etnia de Zadeh é um exemplo de conjunto difuso pois "seu pai era Turco-Iraniano e sua mãe era Russa. Seu pai foi um jornalista em Baku, Azerbaijão e na União Soviética. Lotfi nasceu em Baku em 1921 e viveu lá até sua família se mudar para Tehran em 1931."

## Definição

Um conjunto difuso é um par $(U,m)$ onde $U$ é um conjunto e $m\colon U\rightarrow [0,1].$
$\forall x\in U,$ o valor de $m(x)$ é chamado de grau de pertinência de $x$ em $(U,m).$ Para um conjunto finito $U=\{x_{1},\dots ,x_{n}\},$ o conjunto difuso $(U,m)$ é frequentemente denotado por $\{m(x_{1})/x_{1},\dots ,m(x_{n})/x_{n}\}.$
Seja $x\in U.$ Então, $x$ é chamado de não incluso no conjunto difuso $(U,m)$ se $m(x)=0$, $x$ é chamado totalmente incluso se $m(x)=1$, e $x$ é chamado membro difuso se $0<m(x)<1$. O conjunto $\{x\in U\mid m(x)>0\}$ é chamado de suporte de $(U,m)$ e o conjunto $\{x\in U\mid m(x)=1\}$ é chamado seu núcleo. A função $m$ é chamada de função de pertinência de um conjunto difuso $(U,m).$
Algumas vezes, as variantes mais gerais da noção de difusão são usadas, com as funções de pertinência tomando valores em uma (fixa ou variável) álgebra ou estrutura $L$ de um dado tipo; normalmente se é exigido que tenha pelo menos um poset ou reticulado. Estes são normalmente chamados de conjuntos L-difusos, para distingui-los de valores sobre o intervalo unitário. As funções de pertinência usuais com valores em [0, 1] são então chamadas funções de pertinência [0, 1]-valoradas. Esses tipos de generalizações foram primeiramente consideradas em 1967 por Joseph Goguen, que foi um aluno de Zadeh.

## Lógica difusa

Como uma extensão do caso da lógica multivalorada, valorações ($\mu :{\mathit {V}}_{o}\to {\mathit {W}}$) de variáves proposicionais (${\mathit {V}}_{o}$) em um conjunto de graus de pertinência (${\mathit {W}}$) podem ser consideradas como funções de pertinência mapeando predicados em conjuntos difusos (ou mais formalmente, em um conjunto ordenado de pares difusos, chamado de uma relação difusa). Com essas valorações, a lógica multivalorada pode ser estendida para permitir premissas a partir das quais conclusões gradativas podem ser extraídas.
Esta extensão é às vezes chamada "lógica difusa no sentido estrito" ao contrário da "lógica de sentido amplo," que originou-se nos campos da engenharia de controle automatizado e engenharia de conhecimento, e que engloba muitos tópicos envolvendo conjuntos difusos e "raciocínio aproximado".
Aplicações industriais de conjuntos difusos no contexto de "lógica difusa em um sentido amplo" podem ser encontradas em lógica difusa.

## Números difusos

Um número difuso é um conjunto difuso convexo e normalizado ${\tilde {\mathit {A}}}\subseteq \mathbb {R}$ em que a função de pertinência é pelo menos segmentalmente contínua e tenha o valor funcional $\mu _{A}(x)=1$ em precisamente um elemento.
Isso pode ser comparado ao jogo chamado "adivinhe seu peso", onde alguém tenta adivinhar o peso do seu oponente com palpites cada vez mais corretos, e o jogador "ganha" se ele ou ela se aproxima o suficiente ao peso do oponente com o peso real completamente correto (mapeando cada um pela função de pertinência).

## Intervalo difuso

Um intervalo difuso é um conjunto incerto ${\tilde {\mathit {A}}}\subseteq \mathbb {R}$ com um intervalo médio cujos elementos possuem o valor da função de pertinência $\mu _{A}(x)=1$. Como em números difusos, a função de pertinência deve ser convexa, normalizada, ao menos segmentalmente contínua.

## Equação da relação difusa

A equação de relação difusa é uma equação da forma A · R = B, onde A e B são conjuntos difusos, R é uma relação difusa, e A . R representa a composição de A com R.

## Definição axiomática de credibilidade

Seja A um conjunto não-vazio e P(A) o conjunto das partes de A. A função de conjunto $Cr$ é conhecida como a medida de credibilidade se ela satisfaz as seguintes condições:
* Axioma 1: $Cr\lbrace A\rbrace =1$
* Axioma 2: Se B é um subconjunto de C, então, $Cr\lbrace B\rbrace \leq Cr\lbrace C\rbrace$
* Axioma 3: $Cr\lbrace B\rbrace +Cr\lbrace B^{c}\rbrace =1$
* Axioma 4: $Cr\lbrace \cup A_{i}\rbrace =\sup _{i}(Cr(A_{i}))$, para todo evento $A_{i}$ com $\sup _{i}Cr\lbrace A_{i}\rbrace <0.5$
Cr{B} indica o quão frequentemente o evento B ocorre.

## Teorema de inversão da credibilidade

Seja A uma varíável difusa com a função de pertinência u. Então para todo conjunto B de números reais, temos
    $Cr\lbrace A\in B\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\left(\sup _{t\in B}u(t)+1-\sup _{t\in B^{c}}u(t)\right)$

## Valor esperado

Seja A uma variável difusa. Então o valor esperado é dado como
    $E[A]=\int _{0}^{\infty }Cr\lbrace A\geq t\rbrace \,dt-\int _{-\infty }^{0}Cr\lbrace A\leq t\rbrace \,dt.$

## Entropia

Seja A uma variável difusa com uma função de pertinência contínua. Então sua entropia é
    $H[A]=\int _{-\infty }^{\infty }S(Cr\lbrace A\geq t\rbrace )\,dt.$
onde
    $S(y)=-y\,{\text{ln}}y-(1-y)\,{\text{ln}}(1-y)$

## Generalizações

Existem muitas construções matemáticas semelhantes ou mais gerais que os conjuntos difusos. Desde que os conjuntos difusos foram apresentados em 1965, uma grande quantidade de novas construções matemáticas e teorias de tratamento de imprecisão, inexatidão, ambiguidade e incerteza têm sido desenvolvidas. Algumas dessas construções e teorias são extensões da teoria dos conjuntos difusos, enquanto outras tentam modelar matematicamente a imprecisão e incerteza de diferentes maneiras (Burgin and Chunihin, 1997; Kerre, 2001; Deschrijver and Kerre, 2003).
A diversidade de tais construções e teorias correspondentes incluem:
* conjuntos de intervalo (Moore, 1966),
* conjuntos L-fuzzy (Goguen, 1967),
* conjuntos desfocados (Gentilhomme, 1968),
* conjuntos difusos boolean-valorados (Brown, 1971),
* conjuntos difusos tipo-2 e conjuntos difusos tipo-n (Zadeh, 1975),
* conjuntos com valor de conjunto (Chapin, 1974; 1975),
* conjuntos difusos com valor de intervalo (Grattan-Guinness, 1975; Jahn, 1975; Sambuc, 1975; Zadeh, 1975),
* funções como generalizações de conjuntos e multi-conjuntos difusos (Lake, 1976),
* conjuntos difusos de níveis (Radecki, 1977)
* conjuntos indeterminados (Narinyani, 1980),
* conjuntos aproximativos (Pawlak, 1982),
* conjuntos difusos intuitivos (Atanassov, 1983),
* multi-conjuntos difusos (Yager, 1986),
* conjuntos L-difusos intuitivos (Atanassov, 1986),
* multi-conjuntos aproximativos (Grzymala-Busse, 1987),
* conjuntos difusos aproximativos (Nakamura, 1988),
* conjuntos difusos real-valorados (Blizard, 1989),
* conjuntos vagos (Wen-Lung Gau and Buehrer, 1993),
* conjuntos-Q (Gylys, 1994)
* conjuntos sombreados (Pedrycz, 1998),
* conjuntos nível-'alfa' (Yao, 1997),
* conjuntos genuínos (Demirci, 1999),
* conjuntos suaves (Molodtsov, 1999),
* conjuntos difusos aproximativos e intuitivos (Cornelis, De Cock and Kerre, 2003)
* conjuntos embassados (Smith, 2004)
* conjuntos L-difusos aproximativos (Radzikowska and Kerre, 2004),
* conjuntos difusos aproximativos generalizados (Feng, 2010)
* conjuntos difusos aproximativos intuitivos (Thomas and Nair, 2011),
* conjuntos difusos suavemente aproximativos (Meng, Zhang and Qin, 2011)
* conjuntos aproximativos suavemente difusos (Meng, Zhang and Qin, 2011)
* multiconjuntos suaves (Alkhazaleh, Salleh and Hassan, 2011)
* multiconjuntos suaves fuzzy (Alkhazaleh and Salleh, 2012)