# Lista de momentos de inércia

O momento de inércia de massa, chamado aqui de $I$, mede o grau em que um objecto resiste aceleração de rotação em torno de um eixo, e é o análogo à massa para rotação. Momentos de inércia têm unidades de dimensão: massa × comprimento $^2$. Ela não deve ser confundido com o momento de inércia utilizado no cálculo de flexão, que é uma unidade de área. Objectos geometricamente simples têm momentos de inércia que podem ser expressas em uma formula matemática com propriedades geométricas, mas isso pode não ser possível em objetos com geometria mais complexas.
Os momentos de inércia a seguir assumem densidade homogênea e o eixo de rotação passa pelo centro de massa, a menos que especificado de outra forma.

## Momentos de Inércia

| Descrição | Momento(s) de inércia | Comentários |
| Massa pontual m a uma distância r dos eixos de rotação. | $I=mr^{2}$ | Um ponto de massa não tem um momento de inércia em torno de seu próprio eixo, mas usando o teorema dos eixos paralelos um momento de inércia em torno de um eixo de rotação é distante alcançado. |
| Duas massas pontuais, M e m, com a massa reduzida $\mu$ e separadas por uma distância x. | $I={\frac {Mm}{M\!+\!m}}x^{2}=\mu x^{2}$ | — |
| Barra de comprimento L e massa m (Eixo de rotação no fim da barra) | $I_{\mathrm {fim} }={\frac {mL^{2}}{3}}\,\!$ | Esta expressão assume que a haste é um fio infinitamente fino (mas rígida). Este também é um caso especial da placa rectangular fina com o eixo de rotação ao final da placa, com h = L e w = 0. |
| Barra de comprimento L e massa m | $I_{\mathrm {centro} }={\frac {mL^{2}}{12}}\,\!$ | Esta expressão assume que a haste é um fio infinitamente fino (mas rígida). Este é um caso especial da placa rectangular fina com o eixo de rotação no centro do prato, com w = L e h = 0. |
| Aro circular de raio r e massa m | $I_{z}=mr^{2}\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!$ | Este é um caso especial de um toro com b = 0 (ver abaixo) ou de um tubo cilíndrico de paredes espessas, com as extremidades abertas com r$_1$ = r$_2$ e h = 0. |
| Disco fino de raio r e massa m | $I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{4}}\,\!$ | Este é um caso especial do cilíndro sólido com h = 0. Os momentos $I_{x}=I_{y}={\frac {I_{z}}{2}}\,$ são consequência do teorema dos eixos perpendiculares. |
| Casca cilíndrica fina com as extremidades abertas, de raio r e massa m | $I=mr^{2}\,\!$ | Esta expressão assume a espessura da casca é insignificante. É um caso especial do tubo cilíndrico de paredes espessas para r$_1$ = r$_2$. Além disso, um ponto de massa (m) na extremidade de uma barra de comprimento r tem neste mesmo momento de inércia e a quantidade r é chamado o raio de rotação. |
| Cilíndro sólido de raio r, altura h e massa m | $I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left(3r^{2}+h^{2}\right)$ | Este é um caso especial do tubo cilíndrico de paredes espessas, com r$_1$ = 0. (Note: eixo X-Y deve ser trocado por uma referência que segue a regra da mão direita.) |
| Tubo cilíndrico de paredes espessas com extremidades abertas, raio interno r$_1$, raio externo r$_2$, comprimento h e massa m | $I_{z}={\frac {1}{2}}m\left({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2}\right)$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left[3\left({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2}\right)+h^{2}\right]$ ou quando a espessura normal t$_n$ é definida = t/r e deixando r = r$_2$, então $I_{z}=mr^{2}\left(1-t_{n}+{\frac {1}{2}}{t_{n}}^{2}\right)$ | Com a densidade ρ e a mesma geometria $I_{z}={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}\pi \rho h\left(3({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4})+h^{2}({r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2})\right)$ |
| Tetraedro de lado s e massa m | $I_{solid}={\frac {3ms^{2}}{7}}\,\!$ $I_{hollow}={\frac {4ms^{2}}{7}}\,\!$ | — |
| Octaedro (oco) de lado s e massa m | $I_{z}=I_{x}=I_{y}={\frac {5ms^{2}}{9}}\,\!$ | — |
| Octaedro (sólido) de lado s e massa m | $I_{z}=I_{x}=I_{y}={\frac {ms^{2}}{6}}\,\!$ | — |
| Esfera (oca) de raio r e massa m | $I={\frac {2mr^{2}}{3}}\,\!$ | Uma esfera oca pode ser definida por dois aros circulares infinitamente finos, em que o raio varia de 0 a r (ou por um único aro cujo raio varia de -r a r). |
| Bola (sólida) de raio r e massa m | $I={\frac {2mr^{2}}{5}}\,\!$ | Uma esfera oca pode ser definida por dois aros circulares infinitamente finos, em que o raio varia de 0 a r (ou por um único aro cujo raio varia de -r a r). Ela também pode ser definida por esferas ocas, infinitamente finas, cujo raio varia de 0 a r. |
| Esfera (casca) de raio r$_2$, com cavidade cocentrica de raio r$_1$ e massa m | $I={\frac {2m}{5}}\left[{\frac {{r_{2}}^{5}-{r_{1}}^{5}}{{r_{2}}^{3}-{r_{1}}^{3}}}\right]\,\!$ | Quando a cavidade central tiver raio r$_1$ = 0, o objeto é uma bola sólida (ver acima). Se r$_1$ = r$_2$, $\left[{\frac {{r_{2}}^{5}-{r_{1}}^{5}}{{r_{2}}^{3}-{r_{1}}^{3}}}\right]={\frac {5}{3}}{r_{2}}^{2}$ , o objeto é uma esfera oca. |
| Cone circular de raio r, altura h e massa m | $I_{z}={\frac {3}{10}}mr^{2}\,\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {3}{5}}m\left({\frac {r^{2}}{4}}+h^{2}\right)\,\!$ | — |
| Toro de um tubo de raio a, raio da seção transversal b e massa m. | Sobre um eixo do plano diametral: ${\frac {1}{8}}\left(4a^{2}+5b^{2}\right)m$ Sobre o eixo vertical: $\left(a^{2}+{\frac {3}{4}}b^{2}\right)m$ | — |
| Elipsoide (sólido) de semieixos a, b e c com eixo de rotação em a e massa m | $I_{a}={\frac {m(b^{2}+c^{2})}{5}}\,\!$ $I_{b}={\frac {m(a^{2}+c^{2})}{5}}\,\!$ $I_{c}={\frac {m(a^{2}+b^{2})}{5}}\,\!$ | — |
| Placa retangular fina de altura h, espessura w e massa m (Eixo de rotação no fim da placa) | $I_{e}={\frac {mh^{2}}{3}}+{\frac {mw^{2}}{12}}\,\!$ | — |
| Placa retangular fina de altura h, espessura w e massa m | $I_{c}={\frac {m(h^{2}+w^{2})}{12}}\,\!$ | — |
| Cuboide sólido de altura h, espessura w, profundidade d e massa m | $I_{h}={\frac {1}{12}}m\left(w^{2}+d^{2}\right)$ $I_{w}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+d^{2}\right)$ $I_{d}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+w^{2}\right)$ | Para cubo com mesma orientação e lados de comprimento $s$, $I_{CM}={\frac {ms^{2}}{6}}\,\!$. |
| Cuboide sólido de altura D, espessura W, comprimento L e massa m com sua diagonal mais longa como eixo de rotação. | $I={\frac {m\left(W^{2}D^{2}+L^{2}D^{2}+L^{2}W^{2}\right)}{6\left(L^{2}+W^{2}+D^{2}\right)}}$ | Para um cubo de lados $s$, $I={\frac {ms^{2}}{6}}\,\!$. |
| Polígono plano de vértices ${\vec {P}}_{1}$, ${\vec {P}}_{2}$, ${\vec {P}}_{3}$, ..., ${\vec {P}}_{N}$ e massa $m$, girando em torno de um eixo perpendicular ao plano e passando pela origem. | $I={\frac {m}{6}}{\frac {\sum \limits _{n=1}^{N-1}\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\|(({\vec {P}}_{n+1}\cdot {\vec {P}}_{n+1})+({\vec {P}}_{n+1}\cdot {\vec {P}}_{n})+({\vec {P}}_{n}\cdot {\vec {P}}_{n}))}{\sum \limits _{n=1}^{N-1}\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\|}}$ | Esta expressão assume que o polígono tem forma de estrela. Os vetores ${\vec {P}}_{1}$, ${\vec {P}}_{2}$, ${\vec {P}}_{3}$, ..., ${\vec {P}}_{N}$ são vectores posição dos vértices. |
| Disco infinito de massa normalmente distribuída ao longo do plano perpendicular ao eixo de rotação (i.e. $\rho (x,y)={\tfrac {m}{2\pi ab}}\,e^{-((x/a)^{2}+(y/b)^{2})/2}$ Onde: $\rho (x,y)$ é a função densidade de massa). | $I=m(a^{2}+b^{2})\,\!$ | — |