# Equação do pêndulo

A matemática envolvida em um simples pêndulo pode ser bastante complexa. O estudo da equação do pêndulo envolve sobretudo a teoria das equações diferenciais e das integrais elípticas.

## A equação do movimento

Um pêndulo gravitacional simples ideal envolve as seguintes hipóteses:
* A massa pendular está concentrada apenas no elemento oscilante;
* A haste pendular não possui massa, é inextensível e inflexível;
* O movimento pendular acontece em apenas duas dimensões (num plano);
* O movimento pendular é conservativo (não há força de atrito).
A equação diferencial ordinária que governa o movimento do pêndulo é a chamada "equação de Mathieu":
    ${d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0$
onde $g$ é a aceleração da gravidade e $\ell$ é o comprimento da haste.
Pode-se reescrever esta equação na forma usual de sistemas dinâmicos:
    ${\begin{bmatrix}\theta \\\omega \end{bmatrix}}'={\begin{bmatrix}\omega \\-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta \end{bmatrix}}$

## Conservação de energia

Podemos encontrar uma lei de conservação para o movimento do pêndulo, integrando a equação de Mathieu multiplicada por ${\frac {d\theta }{dt}}\,$ e observando a igualdade ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\cdot {\frac {d\theta }{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\left(\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\right)\,$:
    ${\frac {1}{2}}\left({d\theta \over dt}\right)^{2}-{g \over \ell }\cos \theta =C.$
onde C é a constante de integração que depende das condições iniciais.
Podemos reorganizar esta expressão da seguinte forma:
    ${d\theta \over dt}={\sqrt {{2g \over \ell }\left(\cos \theta +C'\right)}},~~~C'={\frac {C\ell }{2g}}$
Quando $\,C'$ pertence ao intervalo $[-1,+1]\,$, existe um ângulo $\theta _{0}>0\,$ tal que $\cos \theta _{0}=-C'\,$ e mais uma vez podemos reescrever a lei de conservação da seguinte forma:
    ${d\theta \over dt}={\sqrt {{2g \over \ell }\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}}.$
Aqui $\theta _{0}\,$ é o ponto de repouso do pêndulo e, portanto, seu o movimento fica restrito ao intervalo $\theta \in [-\theta _{0},\theta _{0}]\,$

## Aproximação para pequenas amplitudes

A equação do pêndulo apresentada nas secções anteriores é não linear, podemos simplificar o problema através de uma linearização do mesmo em torno de $\theta =0\,$. Esta linearização consiste em restringir-se ao caso em que as amplitudes são muito pequenas. Neste caso, o termo não linear é aproximado como:
    $\sin \theta \approx \theta ,~~|\theta |\ll 1.$
O que resulta em:
    ${d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\theta =0.$
Esta é a equação do oscilador harmônico. Se complementado com as condições iniciais $\theta (0)=\theta _{0}$ e ${d\theta \over dt}(0)=0$, a solução desta equação é dada por:
    $\theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\sqrt {g \over \ell \,}}\,t\right)\quad \quad \quad \quad |\theta _{0}|\ll 1.$
onde $\theta _{0}$ é o ângulo máximo que o pêndulo atinge. O período das oscilações é, então, dado por:
    $T_{0}=2\pi {\sqrt {\ell \over g}}\quad \quad \quad \quad |\theta _{0}|\ll 1.$ Esta expressão é conhecida como "lei de Huygens".

## Período em função da amplitude

Quanto as amplitudes não podem mais ser consideradas pequenas e a aproximação do oscilador harmônico não é mais válida, podemos calcular o valor exato do período invertendo a equação da lei de conservação
    ${dt \over d\theta }={1 \over {\sqrt {2}}}{\sqrt {\ell \over g}}{1 \over {\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}$ e integrando ao longo de um quarto de período:
    $T=4{1 \over {\sqrt {2}}}{\sqrt {\ell \over g}}\int _{0}^{\theta _{0}}{1 \over {\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}\,d\theta .$
Esta integral não pode ser expressa em termos de funções elementares mas pode ser reescrita como uma integral elíptica do primeiro tipo:
    $T=4{\sqrt {\ell \over g}}F\left(\sin {\theta _{0} \over 2},{\pi \over 2}\right)$
onde $F(k,\phi )$ é a função elíptica de Legendre do primeiro tipo definida como: $F(k,\phi )=\int _{0}^{\phi }{1 \over {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}{\theta }}}}\,d\theta .$ Podemos expandir a função elíptica e obter a seguinte série para o periodo T do pêndulo:
    ${\begin{alignedat}{2}T&=2\pi {\sqrt {\ell \over g}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\cdots \right)\\&=2\pi {\sqrt {\ell \over g}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left[\left({\frac {(2n)!}{(2^{n}\cdot n!)^{2}}}\right)^{2}\cdot \sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]\end{alignedat}}$
Se desenvolvermos esta série para T temos:
    $T=2\pi {\sqrt {l \over g}}(1+{\theta _{0}^{2} \over 16}+{11\theta _{0}^{4} \over 3072}+...)$.
A tabela seguinte compara as aproximações de segunda e quarta ordem com os valores exatos do período para vários valores diferentes de amplitude.
Comparação dos aproximações para o período T :
| $\theta \,$ (graus) | $\theta \,$ (radianos) | $1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}$ | $1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}+{11\theta _{0}^{4} \over 3072}$ | $Exato$ |
| 10 | 0,175 | 1,00 | 1,00 | 1,00 |
| 20 | 0,349 | 1,01 | 1,01 | 1,01 |
| 30 | 0,524 | 1,02 | 1,02 | 1,02 |
| 40 | 0,698 | 1,03 | 1,03 | 1,03 |
| 50 | 0,873 | 1,05 | 1,05 | 1,05 |
| 60 | 1,047 | 1,07 | 1,07 | 1,07 |
| 70 | 1,222 | 1,09 | 1,10 | 1,10 |
| 80 | 1,396 | 1,12 | 1,14 | 1,14 |
| 90 | 1,571 | 1,15 | 1,18 | 1,18 |
| 100 | 1,745 | 1,19 | 1,22 | 1,23 |
| 110 | 1,920 | 1,23 | 1,28 | 1,30 |
| 120 | 2,094 | 1,27 | 1,34 | 1,37 |
| 130 | 2,269 | 1,32 | 1,42 | 1,47 |
| 140 | 2,443 | 1,37 | 1,50 | 1,60 |
| 150 | 2,618 | 1,43 | 1,60 | 1,76 |
| 160 | 2,793 | 1,49 | 1,71 | 2,01 |
| 170 | 2,967 | 1,55 | 1,83 | 2,44 |
| 180 | 3,142 | 1,62 | 1,96 | $\infty$ |
Quando o pêndulo parte do repouso com um ângulo inicial de $180^{\circ }$, $T=\infty \,$, pois o pêndulo permanece no repouso.

## Retrato de fase

Denomina-se órbita de fase a representação parametrizada no tempo do par ($\theta (t)$,${\dot {\theta }}(t)$). No gráfico abaixo, $\theta$ é a absissa e ${\dot {\theta }}$ é a ordenada. O gráfico fica dividido em:
* A região de oscilação (em preto). Cada órbita é percorrida no sentido horário e gira em torno de pontos de equilíbrio estável S, que correspondem a $\theta _{0}$ igual a $0$, $2\pi$, $4\pi$, etc. Nesta região o pêndulo atinge uma altura máxima com velocidade angular zero quando seu movimento troca de sentido.
* As duas regiões de revolução (em vermelho), onde o pêndulo tem energia suficiente para fazer revoluções completas sem nunca atingir o repouso.
* Os pontos de equilíbrio estável S.
* Os pontos de equilíbrio instável I correspondentes aos valores de $\pi$, $3\pi$, $5\pi$, etc.
* A separatriz (em azul), correspondente às orbitas limites convergindo aos (ou dos) pontos I em tempo infinito.
Pêndulos com amplitudes diferentes.

## Aproximação de terceira ordem

Podemos proceder com uma aproximação melhor para o seno na equação do pêndulo:
    $\sin(\theta )\simeq \theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}\quad \quad \quad \quad |\theta _{0}|\ll 1\,$
Esta aproximação de terceira ordem, leva a um caso particular da equação de Duffing:
    ${d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}\right)=0.$
O Oscilador de Duffing (nestas condições), em contraste com o pêndulo, apresenta comportamento oscilatório para todas as amplitudes.