# Transferência reversa de calor

Em física, transferência, transmissão ou propagação de calor, algumas vezes citada como propagação ou transferência térmica, é a transição de energia térmica de uma massa (corpo) mais quente para uma massa mais fria. Noutras palavras, é a troca de energia calorífica entre dois sistemas de temperaturas diferentes.

## O Problema Direto

Consideremos a transferência de calor transiente em uma parede plana de espessura L. A distribuição de temperatura inicial é dada por F(x). Para um determinado instante t > 0, o fluxo de calor transiente f(t) é aplicado na fronteira em x = 0, enquanto que em x = L é mantida a uma temperatura TL constante. A formulação matemática para esse problema é dado por:
       ${\frac {\partial }{\partial x}}(k{\frac {\partial T}{\partial x}})=\rho .c_{p}.{\frac {\partial T}{\partial t}}$ → em 0<x<L → para t>0 → (1.1)
       $-k{\frac {\partial T}{\partial x}}=F(t)$ → em x = L → para t>0 → (1.2)
       $T=T_{L}$ → em t = 0 → para t > 0 → (1.3)
       $T=F(x)$ → em t = 0 → para 0 < x < L → (1.4)
Para esse caso as condições de contorno F(t) e TL, a condição inicial F(x), e as propriedades termofísicas $rho$, $c_{p}$ e k são todas especificadas, a solução da Eq. (1.1) com as condições de contorno dadas pelas Eqs. (1.2) a (1.4) fornece a distribuição de temperatura T(x,t) no interior da região sólida da parede, em função da posição e do tempo. Essa formulação é denominada de Problema Direto.

## O Problema Reverso

Vamos considerar agora uma situação similar a anterior, mas agora a condição de contorno para x = 0, F(t) é desconhecida, enquanto que as demais quantidades que aparecem na Eq. (1.1), tais como $T_{L}$, F(x), k, $\rho$ e $c_{p}$ são conhecidas. O objetivo é determinar a função F(t). Para compensar a falta de informação referente a condição de contorno em x = 0, medimos a temperatura $T(x_{m},t_{i})=Y_{i}$ para um determinado tempo $x_{m}$ no interior da parede em diferentes tempo $t_{i}$ (i = 1, 2, ...., I), no intervalo $0<t<t_{f}$, onde $t_{f}$ é o tempo final. Este é um problema inverso, pois está preocupado com a estimativa da função F(t) desconhecida na superfície. Aqui, a estimativa é a terminologia usada no lugar de determinação. A razão é que os dados de temperatura medidos utilizados na análise inversa contêm erros de medição. Como resultado, a quantidade determinada pela análise inversa não é exata, mas é apenas uma apenas uma estimativa dentro dos erros de medição. A formulação matemática para o Probeme Inverso é dada por:
       ${\frac {\partial }{\partial x}}(k{\frac {\partial T}{\partial x}})=\rho .c_{p}.{\frac {\partial T}{\partial t}}$ → em 0<x<L → para t>0 → (1.5)
       $-k{\frac {\partial T}{\partial x}}=F(t)$ desconhecida → em x = L → para t>0 → (1.6)
       $T=T_{L}$ → em t = 0 → para t > 0 → (1.7)
       $T=F(x)$ → em t = 0 → para 0 < x < L → (1.8)
A temperatura medida no interior do corpo, localizada em xm para diferentes tempos $t_{i}$ é dada por:
       $T(x_{m},t_{i})=Y_{i}$ → em $x=x_{m}$ → para $t=t_{i}(i=1,2,..,I)$ → (1.9)
O objetivo principal do problema direto é determinar o perfil de temperatura T(x,t) no sólido, quando todas as variáveis são conhecidas, tais como: condições de contorno e seus parâmetros, condições iniciais, propriedades termofísicas, entre outras. Enquanto que no problema inverso, o objetivo é estimar uma ou mais variável desconhecida, através do conhecimento da temperatura em alguma seção no meio do corpo sólido. No problema direto as causas são dadas e o efeito é determinado, enquanto que no problema inverso o efeito é conhecido e a causa estimada.

## Parâmetros de Forma

Problemas inversos podem ser resolvidos com a estimativa de um parâmetro na forma de uma função. Se alguma informação sobre a forma funcional dessa função esta disponível, o problema é reduzido a estimativa de alguns parâmetros. Vamos considerar o problema inverso e as condições de contorno especificadas pelas Eqs. (1.5) a (1.8) e assumir que a função desconhecida F(t) pode ser representada por um polinômio em função do tempo dado por:
       $F(t)=P_{1}+P_{2}*t+P_{3}*t^{2}+.......+P_{N}*t^{N-1}$ → (1.10)
       $F(t)=\sum _{j=1}^{\mathbb {N} }\ P_{j}*C_{j}(t)$
onde $P_{j},j=1,2,....,N$, são constantes desconhecidas e $C_{j}(t)$ é uma função de estudo. Uma vez que, o objetivo do problema inverso é estimar a função F(t), o problema resume-se a estimar um número finito do parâmetro $P_{j}$, onde o número N de parâmetros é previamente definido.

## Dificuldades na Solução de Problemas de Transferência de Calor Reversa

Para ilustrar as dificuldades presentes na solução de problemas de transferência de calor reversa, vamos considerar um sólido semi-infinito (0 < x < ∞) inicialmente a uma temperatura de zero gruas Celsius. Para um t > 0, a superfície em x = 0 esta sujeita a um fluxo de calor representado pela equação:
       $q(t)=q_{0}cos\omega t$ → (2.1)
onde $q_{0}$ e ω representam a amplitude e a frequência de oscilação do fluxo de calor, respectivamente, e t é a variável tempo. Após o término da fase transiente, a distribuição de temperatura no sólido é dado por:,
       $T(x,t)={\frac {q_{0}}{k}}{\sqrt {\frac {\alpha }{\omega }}}e^{-\omega {\sqrt {\frac {\omega }{2\alpha }}}}\cos \left({\omega t-x{\sqrt {\frac {\omega }{2\alpha }}}-{\frac {\Pi }{4}}}\right)$ → (2.2)
onde $\alpha$ é a difusividade térmica e k a condutibilidade térmica do sólido. A Eq. (2.2) mostra que a resposta da temperatura é defasada em relação à excitação do fluxo de calor na superfície do corpo, ficando mais pronunciada para pontos localizados mais no interior do corpo. O registro a temperatura indica a necessidade de medidas tomadas depois do momento em que o fluxo de calor é aplicado, se for para ser estimado.
A amplitude para oscilação da temperatura em alguma localização, |∆T(x)|, é obtido fazendo o termo $\cos \left({\omega t-x{\sqrt {\frac {\omega }{2\alpha }}}-{\frac {\Pi }{4}}}\right)=1$
             $|\Delta (x)|={\frac {q_{0}}{k}}{\sqrt {\frac {\alpha }{\omega }}}e^{-\omega {\sqrt {\frac {\omega }{2\alpha }}}}$ → (2.3)
A Eq. (2.3) mostra que |∆T(x)| diminui exponencialmente com o aumento da profundidade abaixo da superfície e com o aumento da frequência ω. A amplitude do fluxo de calor,$q_{0}$, pode ser estimado usando diretamente a temperatura medida em um ponto no interior do corpo sólido, algum erro na medida de |∆T(x)| será aumentado exponencialmente com a profundidade x e a frequência ω, como mostra a equação.
       $|\Delta (x)|k\left({\sqrt {\frac {\alpha }{\omega }}}\right)^{-1}$ → (2.4)
É fácil perceber que, a fim de ser capaz de estimar o fluxo de calor de fronteira, um sensor deve estar localizado dentro de uma profundidade abaixo da superfície onde a amplitude da oscilação da temperatura é muito maior do que a medição dos erros. Caso contrário, é impossível distinguir se a oscilação da temperatura medida é devido a mudanças no fluxo de calor na fronteira ou devido aos erros de medição, resultando dessa maneira na não solução do problema inverso. A discussão acime revela que, dependendo da localização do sensor e da frequência das oscilações, a solução do problema inverso pode tornar-se muito sensível a erros de medição nos dados de entrada. Uma vez que a precisão da solução obtida pelo problema inverso é afetada por erros envolvido na medição da temperatura, apresentamos a seguir oito hipóteses padrão proposta por Beck,, em relação a descrição estatística dos erros.
1. Erros aditivos $Y_{i}=T_{i}+\epsilon _{i}$
onde $Y_{i}$ é a temperatura medida, $T_{i}$, é a temperatura atual e $\epsilon _{i}$ o erro aleatório.
2. O erro da temperatura $\epsilon _{i}$ tem uma média zero, isto é $E\left(\epsilon _{i}\right)=0$, onde E é o valor esperado do operador. O erro pode ser dito estabilizado.
3. A variância do erro é dada por $\sigma ^{2}=E{[Y_{i}-E(Y_{i})]^{2}}=\sigma ^{2}=constante$ no qual a média da variância de $Y_{i}$ é independente das medições.
4. Os erros associados a medições diferentes não são correlacionados. Dois erros de medição $\epsilon _{i}$ e $\epsilon _{j}$, onde i≠j, estão correlacionados, se a covariância de $\epsilon _{i}$ e $\epsilon _{j}$ for zero.
       $cov(\epsilon _{i},\epsilon _{j})={E[\epsilon _{i}-E(\epsilon _{i})][\epsilon _{j}-E(\epsilon _{j})]}=0$ para i≠j.
5. Os erros medidos tem uma distribuição normal (Gaussiana), a distribuição de probabilidade é dada por:
       $f(\epsilon _{i})={\frac {1}{\sqrt {2\Pi }}}e^{\frac {-\epsilon _{i}^{2}}{2\sigma ^{2}}}$
6. O parâmetro estatístico $\epsilon _{i}$, bem como $\sigma$, são desconhecidos.
7. As únicas variáveis que contém erros aleatórios são as temperaturas medidas. Os tempos de medição, posições de medição, as dimensões do corpo e todas os demais parâmetros que aparecem na formulação do problema inverso são todos conhecidos com precisão.
8. Não há nenhuma informação prévia sobre as quantidades a serem estimadas, que podem ser parâmetros ou funções. Se a informação existe, ela pode ser utilizada para obter estimativas melhoradas.