# Álgebra de De Morgan

Na matemática, uma Álgebra de De Morgan (assim chamada em homenagem a Augustus De Morgan, um matemático e lógico britânico) é uma estrutura A = (A, ∨, ∧, 0, 1, ¬) tal que:
* (A, ∨, ∧, 0, 1) é um reticulado distributivo limitado, e
* ¬ é uma involução de De Morgan: ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y e ¬¬x = x. (i.e. uma involução que adicionalmente satisfaz as leis de De Morgan).
Em uma álgebra de De Morgan, as leis
* ¬x ∨ x = 1 (lei do terceiro excluído), e
* ¬x ∧ x = 0 (princípio da não contradição)
nem sempre se verificam. Na presença de leis de De Morgan, uma lei implica na outra, e uma álgebra que as satisfaz é dita álgebra booleana.
Observação: segue-se que ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y, ¬1 = 0 e ¬0 = 1 (por exemplo, ¬1 = ¬1 ∨ 0 = ¬1 ∨ ¬¬0 = ¬(1 ∧ ¬0) = ¬¬0 = 0). É, portanto, um duplo automorfismo.
Se ao invés disso o reticulado é definido em termos da ordem, i.e. (A, ≤) é uma ordem parcial limitada com um menor limitante superior (supremo) e maior limitante inferior (ínfimo) para cada par de elementos, e as operações ∧ e ∨ satisfazem a lei distributiva, então a complementação pode também ser definida como um anti-automorfismo involutivo, isto é, uma estrutura A = (A, ≤, ¬) tal que:
* (A, ≤) é um reticulado distributivo limitado, e
* ¬¬x = x, e
* x ≤ y → ¬y ≤ ¬x.
Álgebras de De Morgan foram introduzidas por Grigore Moisil em cerca de 1935, embora sem a restrição de ter um 0 e um 1. Por isso, elas foram frequentemente chamadas de quase-álgebras booleanas na escola polaca, e.g. por Rasiowa e também i-reticulados distributivos por J. A. Kalman. (i-reticulado sendo uma abreviação para reticulado com involução.) Elas foram estudadas posteriormente na escola lógica algébrica argentina de Antonio Monteiro.
Álgebras de De Morgan são importantes para o estudo dos aspectos matemáticos da lógica difusa. A álgebra difusa canônica F = ([0, 1], max(x, y), min(x, y), 0, 1, 1 − x) é um exemplo de álgebra de De Morgan, onde a lei do terceiro excluído e o princípio da não contradição não valem.
Outro exemplo é a lógica 4-valorada de Dunn, na qual falso < nem verdadeiro, nem falso < verdadeiro e falso < ambos-verdadeiro-e-falso < verdadeiro, embora nem verdadeiro, nem falso e tanto-verdadeiro-quanto-falso não são comparáveis.

## Álgebra de Kleene

Se uma álgebra de De Morgan adicionalmente satisfaz ∧ ¬x ≤ y ∨ ¬y, é dita álgebra de Kleene. (Esse conceito não deve ser confundido com outra álgebra de Kleene generalizando expressões regulares.) Essa ideia também é chamada de i-reticulado normal por Kalman.
Exemplos de álgebras de Kleene no sentido definido acima incluem: grupos ordenados de reticulados, Pós-álgebras e álgebras de Lukasiewicz.Ágebras booleanas também atendem a essa definição da álgebra de Kleene. A mais simples álgebra de Kleene que não é Booleana é a lógica de três valores de Kleene K$_3$. K$_3$ , fez sua primeira aparição no livro On notation for ordinal numbers (1938) de Kleene. A álgebra foi chamada de álgebra de Kleene por Brignole e Monteiro.

## Noções relacionadas

A álgebra de De Morgan não é o único meio plausível de generalizar a álgebra booleana. Outro método é preservando ¬x ∧ x = 0 (i.e. o princípio da não contradição) mas ignorando a lei do terceiro excluído e a lei da dupla negação. Essa abordagem (chamada de semicomplementação) é bem definida mesmo para um [ ∧ ] semirreticulado; se o conjunto de semicomplementos tem um maior elemento, é geralmente chamado de pseudocomplemento. Se o pseudocomplemento nessas condições satisfaz a lei do terceiro excluído, então a álgebra resultante também é Booleana. Contudo, se apenas a lei ¬x ∨ ¬¬x = 1 é satisfeita, isso resulta em uma álgebra de Stone. Geralmente, ambas álgebras de De Morgan e Stone são subclasses próprias de álgebras de Ockham.