# Explosão (geometria algébrica)

Em matemática, explosão ou expansão (do inglês blowing up ou blowup) é um tipo de transformação geométrica que substitui um subespaço de um espaço por todas as direções apontando para fora daquele subespaço. Por exemplo, a explosão de um ponto em um plano substitui o ponto pelo espaço tangente projetivizado naquele ponto. A metáfora é a de dar zoom em uma fotografia para ampliar uma parte da imagem, e não a de uma explosão.
Explosões são as transformações mais importantes em geometria birracional, porque todo morfismo birracional entre variedades projetivas é uma explosão. O teorema da fatoração fraca diz que a toda aplicação birracional pode ser considerada como uma composição de explosões particularmente simples. O grupo de Cremona, que é o grupo dos automorfismos birracionais do plano, é gerado por explosões.
Além de sua importância na descrição de transformações birracionais, explosões também são uma importante forma de construção de novos espaços. Por exemplo, a maioria dos procedimentos para a resolução de singularidades consiste na aplicação de várias explosões seguidas na singularidade, até que estas se tornem suaves. Uma consequência disso é que blowups podem ser usados para resolver as singularidades de aplicações birracionais.
Classicamente, blowups foram definidos extrinsecamente, primeiro definindo a explosão em espaços como o espaço projetivo usando uma construção explícita em coordenadas e, em seguida, definindo blowups em outros espaços em termos de uma imersão. Isso se reflete em parte da terminologia, como o termo clássico transformação monoidal. A geometria algébrica contemporânea trata a explosão como uma operação intrínseca em uma variedade algébrica. Desta perspectiva, uma explosão é a maneira universal (no sentido da teoria das categorias) de transformar uma subvariedade em um divisor de Cartier.
Um blowup também pode ser chamado de transformação monoidal, transformação localmente quadrática, dilatação, σ-processo ou aplicação de Hopf.

## O blowup de um ponto no plano

O caso mais simples de explosão é o da explosão de um ponto no plano. A maioria das características gerais das explosões pode ser vista neste exemplo.
A explosão tem uma descrição sintética como uma correspondência de incidência. Lembre-se que a Grassmanniana G(1,2) parametriza o conjunto de todas as retas no plano projetivo. A explosão do plano projetivo P$^2$ no ponto P, que será denotada por X, é $X=\{(Q,\ell )\mid P,\,Q\in \ell \}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {G} (1,2).$ X é uma variedade projetiva, porque é uma subvariedade fechada de um produto de variedades projetivas. Ele vem com um morfismo natural π para P$^2$ que leva o par $(Q,\ell )$ para Q. Este morfismo é um isomorfismo no subconjunto aberto de todos os pontos $(Q,\ell )$ com Q ≠ P, pois a reta $\ell$ é determinada por estes dois pontos. Quando Q = P, no entanto, a reta $\ell$ pode ser qualquer reta passando por P. Essas retas correspondem ao espaço das direções por P, que é isomorfo a P$^1$. Este P$^1$ é chamado de divisor excepcional e, por definição, é o espaço normal projetivizado em P. Como P é um ponto, o espaço normal é o mesmo que o espaço tangente, portanto, o divisor excepcional é isomorfo ao espaço tangente projetivizado em P.
Para definir coordenadas na explosão, pode-se escrever as equações abaixo para a correspondência de incidência acima. Considere P$^2$ com coordenadas homogêneas [X$_0$:X$_1$:X$_2$], em que P é o ponto [P$_0$:P$_1$:P$_2$]. Por dualidade projetiva, G(1,2) é isomorfo a P$^2$, então pode-se dar a ele coordenadas homogêneas [L$_0$:L$_1$:L$_2$]. Uma reta $\ell _{0}=[L_{0}:L_{1}:L_{2}]$ é o conjunto de todos os [X$_0$:X$_1$:X$_2$], tais que X$_0$L$_0$ + X$_1$L$_1$ + X$_2$L$_2$ = 0. Portanto, a explosão pode ser descrita como $X=\{([X_{0}:X_{1}:X_{2}],[L_{0}:L_{1}:L_{2}])\mid P_{0}L_{0}+P_{1}L_{1}+P_{2}L_{2}=0,\,X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0\}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {P} ^{2}.$ A explosão é a um isomorfismo a partir de P, e ao trabalhar no plano afim em vez do plano projetivo, pode-se obter equações mais simples para a explosão. Depois de uma transformação projetiva, pode-se assumir que P = [0:0:1]. Escrever x e y em coordenadas no plano afim X$_2$≠0. A condição P ∈ $\ell$ implica que L$_2$ = 0, então pode-se substituir a Grassmanniana por um P$^1$. Assim a explosão é a variedade $\{((x,y),[z:w])\mid xz+yw=0\}\subseteq \mathbf {A} ^{2}\times \mathbf {P} ^{1}.$ É mais comum para alterar as coordenadas de modo a inverter um dos sinais. Assim, a explosão pode ser escrita como $\left\{((x,y),[z:w])\mid \det {\begin{vmatrix}x&y\\w&z\end{vmatrix}}=0\right\}.$ Esta equação é mais fácil de generalizar do que a anterior.
O blowup também pode ser descrito usando diretamente as coordenadas sobre o espaço normal no ponto. Mais uma vez, trabalha-se sobre o plano afim A$^2$. O espaço normal na origem é o espaço vetorial m/m$^2$, onde m = (x, y) é o ideal maximal da origem. Algebricamente, a projetivização deste espaço vetorial é Proj da sua álgebra simétrica, isto é, $X=\operatorname {Proj} \,\bigoplus _{r=0}^{\infty }\operatorname {Sym} _{k[x,y]}^{r}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}.$ Neste exemplo, esta tem a descrição concreta como $X=\operatorname {Proj} \ k[x,y][z,w]/(xz-yw),$ onde x e y têm grau 0 e z e w têm grau 1.
Sobre os números reais ou complexos, o blowup tem a descrição topológica dada pela soma conexa $\mathbf {P} ^{2}\#\mathbf {P} ^{2}.$ Assuma que P é origem em A$^2$ ⊆ P$^2$, e denote a reta no infinito por L. A$^2$ \ {0} tem uma aplicação inversão t que leva (x, y) em (x/(|x|$^2$ + |y|$^2$), y/(|x|$^2$ + |y|$^2$)). t é a inversão do círculo com respeito a esfera unitária S: esta aplicação fixa S, preserva cada reta que passa pela origem, e troca o interior da esfera com o exterior. t estende-se a uma aplicação contínua P$^2$ → A$^2$ enviando a reta no infinito para a origem. Esta extensão, que também denota-se por t, pode ser usada para construir o blowup. Seja C o complemento da esfera unitária. O blowup X é a variedade obtida colando duas cópias de C ao longo de S. X vem com uma aplicação π para P$^2$ a qual é a identidade sobre a primeira cópia de C e t sobre a segunda cópia de C. Esta aplicação é um isomorfismo a partir de P, e a fibra sobre P é a reta no infinito na segunda cópia de C. Cada ponto desta reta corresponde a uma única reta que passa pela origem, assim a fibra sobre π corresponde às possíveis direções normais através da origem.
Para CP$^2$ este processo deveria produzir uma variedade orientada. Para que isso aconteça, as duas cópias de C devem ter orientações opostas. Em símbolos, X é $\mathbf {CP} ^{2}\#{\overline {\mathbf {CP} ^{2}}},$ em que ${\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}$ é CP$^2$ com o oposto da orientação padrão.

## Blowing up de pontos no espaço complexo

Seja Z a origem em um espaço complexo n-dimensional, C$^n$. Isto é, Z é o ponto onde as n funções coordenadas $x_{1},\ldots ,x_{n}$ se anulam simultaneamente. Seja P$^{n-1}$ o espaço projetivo complexo (n - 1)-dimensional com coordenadas homogêneas $y_{1},\ldots ,y_{n}.$ Seja ${\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}$ um subconjunto de C$^n$ × P$^{n-1}$ que satisfaz simultaneamente as equações $x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}$ para i, j = 1, ..., n. A projeção
$\pi :\mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}\to \mathbf {C} ^{n}$
induz naturalmente uma aplicação holomórfica.
$\pi :{\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {C} ^{n}.$
Esta aplicação π (ou, analogamente, o espaço ${\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}$) é chamado de blow-up (ou blow up ou blowup) de C$^n$.
O divisor excepcional E é definido como a imagem inversa do blow-up do lugar geométrico Z sob π. É fácil ver que
$E=Z\times \mathbf {P} ^{n-1}\subseteq \mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}$
é uma cópia do espaço projetivo. É um divisor efetivo. Longe de E, π é um isomorfismo entre ${\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\setminus E$ e C$^n$ \ Z; isto é uma aplicação birracional entre ${\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}$ e C$^n$.

## Blowing up de subvariedades em variedades complexas

Mais geralmente, um blow up pode ser aplicado a qualquer subvariedade complexa k-codimensional Z de C$^n$. Suponha que Z é o lugar geométricos da equação $x_{1}=\cdots =x_{k}=0,$ e sejam $y_{1},\ldots ,y_{k}$ as coordenadas homogêneas sobre P$^{k-1}$. Então o blow-up ${\tilde {\mathbf {C} }}^{n}$ é o ligar geométrico das equações $x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}$ para todo i e j, no espaço C$^n$ × P$^{k-1}$.
Mais geralmente ainda, pode-se aplicar um blow up em qualquer subvariedade de qualquer variedade complexa X aplicando esta construção localmente. O efeito é, como antes, o de substituir o lugar geométrico Z do blow up pelo divisor excepcional E. Em outras palavras, a aplicação blow up
$\pi :{\tilde {X}}\to X$
é uma aplicação birracional que, partindo de E, induz um isomorfismo, e, sobre E, é localmente uma fibração trivial com fibra P$^{k-1}$. De fato, a restrição $\pi |_{E}:E\to Z$ é naturalmente vista como a projetivização de um feixe normal de Z em X.
Como E é um divisor suave, seu feixe normal é um feixe reto. Não é difícil mostrar que E se intercepta negativamente. Isto significa que seu feixe normal não possui seções holomórficas; E é o único representante complexo suave de sua classe de homologia em ${\tilde {X}}.$ (Suponha que E poderia ser perturbado fora de si para outra subvariedade complexa na mesma classe. Então as duas subvariedades se cruzariam positivamente — como subvariedades complexas sempre fazem — contradizendo a auto-intersecção negativa de E.). É por isso que o divisor é chamado excepcional.
Seja V uma subvariedade de X outra que não seja Z. Se V é disjunta de Z, então ela é essencialmente afetada blowing up aplicado em Z. Contudo, se interceptar Z, então há dois análogos distintos de V no blow-up ${\tilde {X}}.$ Um é uma transformação própria (ou estrita), que é o fecho de $\pi ^{-1}(V\setminus Z);$ seu feixe normal em ${\tilde {X}}$ é tipicamente diferente do feixe de V em X. O outro é a transformação total, que incorpora alguns ou todos os E; isto é essencialmente um pullback de V em cohomologia.

## Blowing up esquemas

Para obter um blow-up em sua maior generalidade, seja X um esquema, e seja ${\mathcal {I}}$ um feixe coerente de ideais sobre X. O blow-up de X com respeito a ${\mathcal {I}}$ é um esquema ${\tilde {X}}$ junto com um morfismo
$\pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X$
tal que $\pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\tilde {X}}$ é um feixe invertível, caracterizado por esta propriedade universal: para qualquer morfismo f: Y → X tal que $f^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}$ é um feixe invertível, f se fatora exclusivamente através de π.
Note que
${\tilde {X}}=\mathbf {Proj} \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}$
tem esta propriedade; é assim que o blow-up é construído. Onde Proj é a Proj construção sobre feixes graduados de anéis comutativos.

### Divisor excepcional

O divisor excepcional de um blow-up $\pi :\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X\to X$ é um subesquema definido pela imagem inversa do feixe ideal ${\mathcal {I}},$ que é por vezes denotado $\pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}.$ Segue-se da definição de blow-up em termos de Proj que este subesquema E é definido pelo feixe ideal $\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n+1}.$ Este feixe ideal é também relativo a ${\mathcal {O}}(1)$ por π.
π é um isomorfismo partindo do divisor excepcional, mas o divisor excepcional não precisa estar no lugar geométrico excepcional de π. Isto é, π pode ser um isomorfismo em E. Isto acontece, por exemplo, na situação trivial onde ${\mathcal {I}}$ já é um feixe invertível. Em particular, em tal caso o morfismo π não determina um divisor excepcional. Outra situação onde o lugar geométrico excepcional pode ser estritamente menor do que o divisor excepcional é quando X tem singularidades. Por exemplo, seja X um cone afim sobre P$^1$ × P$^1$. X pode ser dado como o lugar geométrico vazio de xw − yz em A$^4$. Os ideais (x, y) e (x, z) definem dois plano, cada um dos quais passa por um vértice de X. Longe do vértice, esses planos são hipersuperfícies em X, então o blow-up é um isomorfismo lá. O lugar geométrico excepcional da explosão de qualquer um destes planos é, portanto, centrada sobre o vértice do cone, e, consequentemente, é estritamente menor do que o divisor excepcional.

## Construções relacionadas

No blow-up de C$^n$ descrito acima, não havia nada de essencial no uso de números complexos; blow-ups podem ser aplicados sobre qualquer corpo. Por exemplo, o blow-up de R$^2$ resulta na Faixa de Mobius; correspondentemente, o blow-up de uma 2-esfera S$^2$ resulta no plano projetivo real.
A deformação para o cone normal é um blow-up técnico usado para provar muitos resultados em Geometria Algébrica. Dado um esquema X e um subesquema fechado V, um blows up
$V\times \{0\}\ {\text{in}}\ Y=X\times \mathbf {C} \ {\text{or}}\ X\times \mathbf {P} ^{1}$
Então
${\tilde {Y}}\to \mathbf {C}$
é uma fibração. A fibra geral é naturalmente isomorfa a X, enquanto a fibra central é uma união de dois esquemas: um é um blow-up de X ao longo de V, e o outro é um cone normal de V com suas fibras completadas em espaços projetivos.
Blow-ups também podem ser realizadas na categoria simplética, ao dotar um variedade simplética de uma estrutura quase complexa e compatível com um blow-up complexo. Isso faz sentido em um nível puramente topológico; entretanto, dotar o blow-up de uma forma simplética requer algum cuidado, porque não se pode arbitrariamente estender a forma simplética através do divisor excepcional E. É preciso alterar a forma simplética em uma vizinhança de E, ou realizar a explosão cortando uma vizinhança de Z e colando a fronteira de uma maneira bem definida. Isto é melhor compreendido usando o formalismo do corte simplético, do qual o blow-up simplético é um caso especial. O corte simplético, juntamente com a operação inversa da soma simplética, é o análogo simplético da deformação ao cone normal ao longo de um divisor suave.