# Transformada inversa de Laplace

Em matemática, a transformada inversa de Laplace de uma função F(s) é a função f(t) que tem a propriedade: ${\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)=F(s)$, ou também ${\mathcal {L}}_{t}\left\{f(t)\right\}(s)=F(s)$, onde ${\mathcal {L}}$ denota a Transformada de Laplace. Pode ser provado que se uma função $F(s)$ tem a transformada inversa de Laplace $f(t)$, i.e. $f$ é uma função seccionalmente contínua e exponencialmente restrita, $f$ satisfaz a condição:
    ${\mathcal {L}}_{t}\{f(t)\}(s)=F(s),\ \forall s\in \mathbb {R}$
Então $f(t)$ é somente determinada (considerando funções que diferem da outras somente no ponto zero). Esse resultado foi provado primeiro por Mathias Lerch em 1903 e é conhecido como teorema de Lerch.
A Transformada de Laplace e a transformada inversa de Laplace têm algumas propriedades que as fazem útil para analisar sistemas dinâmicos lineares.

## Fórmula da Inversa de Mellin

Uma formula da integral da transformada inversa de Laplace, chamada de integral de Bromwich, a integral de Fourier-Mellin , e fórmula da inversa de Mellin, é dada pela integral de linha:
    $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)={\mathcal {L}}_{s}^{-1}\{F(s)\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds,$
Onde a integração é feito ao longo da linha vertical $Re(s)=\gamma$ no plano complexo em que $\gamma$ é maior do que a parte real de todas as singularidades de $F(s)$. Isto garante que o caminho de contorno esta na região de convergência. Se todas as singularidades estão à esquerda do meio do plano, ou $F(s)$ é uma função de smooth em - ∞ < Re(s) < ∞ (i.e. no singularidades), então $\gamma$ pode ser definido para zero e acima da formula da integral inversa tornando-se idêntica à Transformada Inversa de Fourier.
Na prática, contando que a integral complexa pode ser realizada usando o teorema dos resíduos de Cauchy. Foram intitulados depois Hjalmar Mellin, Joseph Fourier e Thomaas John I' Anson Bromwich.
Se $F(s)$ é a transformada de laplace da função $f(t)$, então $f(t)$ é chamada de transformada inversa de Laplace of $F(s)$.

## Deslocamento na Frequência

Conhecida como deslocamento ou translação do eixo S, é possível conhecer a transformada de múltiplos exponenciais de uma função desde que conheçamos a sua transformada, isto é:
${\mathcal {L}}\left\{e^{at}f(t)\right\}=F(s-a),$ $a\in \mathbb {R}$,
ou
${\mathcal {L}}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{at}f(t)$
Demonstração: Faz-se a aplicação direta da definição de transformada de Laplace de $F(s-a)$:
$F(s-a)=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-(s-a)t}dt$$=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{at}e^{-st}dt={\mathcal {L}}\{e^{at}f(t)\}$
Afim de entender melhor essa notação, podemos dizer que $G(s)=F(s)$, ou seja, a função não deslocada no domínio da frequência, logo:
${\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}=g(t)$
Portanto:
${\mathcal {L}}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{at}g(t)$
A Transformada Inversa quando há um Deslocamento do Eixo S costuma recair em alguns problemas os quais exigem métodos algébricos recorrentes, tais como método de completamento de quadrados, cálculo do valor do deslocamento a e Transformada Inversa da função sem deslocamento G(s).
Exemplo 1:
$F(s-a)={\frac {s}{{s}^{2}+6s+10}}$
Transformamos o denominador usando completamento de quadrados:
$F(s-a)={\frac {s}{{(s+3)}^{2}+1}}$
Observando que $s+3=s-a$ ,
$a=-3$ valor do deslocamento
$F(s-a)={\frac {x}{{(x+3)}^{2}+1}}$
Queremos remover o deslocamento, então:
$x+3=s$
$x=s-3$
$G(s)={\frac {s-3}{{(s-3+3)}^{2}+1}}$
$G(s)={\frac {s-3}{{s}^{2}+1}}={\frac {s}{{s}^{2}+1}}-{\frac {3}{{s}^{2}+1}}$
${\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}=g(t)=cos(t)-3sen(t)$
Temos que:
${\mathcal {L}}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{at}g(t)$
Substituindo $g(t)$:
${\mathcal {L}}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{at}[cos(t)-3sen(t)]$
Substituindo a:
${\mathcal {L}}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{-3t}[cos(t)-3sen(t)]$