# Álgebra booliana

Em álgebra abstrata, álgebras boolianas (ou álgebras de Boole) são estruturas algébricas que "captam as propriedades essenciais" dos operadores lógicos e de conjuntos, ou ainda oferecem uma estrutura para se lidar com "afirmações", são assim denominadas em homenagem ao matemático George Boole.

## História

O termo "álgebra booliana" é uma homenagem a George Boole, um matemático inglês autodidata. Boole introduziu o sistema algébrico, inicialmente, em um pequeno panfleto, o The Mathematical Analysis of Logic, publicado em 1847, em resposta a uma controvérsia em curso entre Augustus De Morgan e William Hamilton, e mais tarde como um livro mais substancial, The Laws of Thought, publicado em 1854. A formulação de Boole difere das descritas acima em alguns aspectos importantes. Por exemplo, a conjunção e a disjunção em Boole não era um duplo par de operações. A álgebra booliana surgiu na década de 1860, em artigos escritos por William Jevons e Charles Sanders Peirce. A primeira apresentação sistemática de álgebra booliana e reticulados distributivos é devido ao 1890 Vorlesungen de Ernst Schröder . O primeiro tratamento extensivo de álgebra booliana em inglês foi em 1898 na Universal Algebra de Whitehead.

## Definição

Uma álgebra booliana é uma 6-upla $(X,\vee ,\wedge ,\neg ,0,1)$ consistindo de um conjunto $X$ munido de duas operações binárias $\vee$ (também denotado por $+$, é geralmente chamado de "ou") e $\wedge$ (também denotado por $\ast$ ou por $\cdot$, é geralmente chamado de "e"), uma operação unária $\neg$ (também denotada por $\sim$ ou por uma barra superior, é geralmente chamado de "não"), e duas constantes $0$ (também denotada por $\bot$ ou por $F$, geralmente chamado de "zero" ou de "falso") e $1$ (também denotada por $\top$ ou por $V$, geralmente chamado de "um" ou de "verdadeiro"), e satisfazendo os seguintes axiomas, para quaisquer $a,b,c\in X$:
| Propriedades Associativas | $(a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)$ | $(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)$ |
| Propriedades Comutativas | $a\vee b=b\vee a$ | $a\wedge b=b\wedge a$ |
| Propriedades Absortivas | $a\wedge (a\vee b)=a$ | $a\vee (a\wedge b)=a$ |
| Propriedades Distributivas | $a\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge (a\vee c)$ | $a\wedge (b\vee c)=(a\wedge b)\vee (a\wedge c)$ |
| Elementos Neutros | $a\vee 0=a$ | $a\wedge 1=a$ |
| Elementos Complementares | $a\vee \neg a=1$ | $a\wedge \neg a=0$ |
Alguns autores também incluem a propriedade $0\neq 1$, para evitar a álgebra booliana com somente um elemento.

## Exemplos

* O exemplo mais simples de álgebra booliana com mais de um elemento é o conjunto $\{0,1\}$ munido das seguintes operações:
| $\vee$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |
| $\wedge$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $\neg$ | $0$ | $1$ |
| | $1$ | $0$ |
* Um outro exemplo de álgebra booliana é o conjunto $\{0,1,?\}$ (o elemento $?$ é geralmente chamado de "desconhecido" ou de "talvez") munido das seguintes operações:
| $\vee$ | $0$ | $1$ | $?$ |
| $0$ | $0$ | $1$ | $?$ |
| $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $?$ | $?$ | $1$ | $?$ |
| $\wedge$ | $0$ | $1$ | $?$ |
| $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $1$ | $?$ |
| $?$ | $0$ | $?$ | $?$ |
| $\neg$ | $0$ | $1$ | $?$ |
| | $1$ | $0$ | $?$ |
* Dado um conjunto $A$, o conjunto ${\mathcal {P}}(A)$ das partes de $A$ munido das operações $a\vee b=a\cup b$, $a\wedge b=a\cap b$, $\neg a=A\setminus a$, e onde $0=\varnothing$ e $1=A$, é uma álgebra booliana.
* O intervalo $[0,1]$ munido das operações $a\vee b=\mathrm {max} \{a,b\}$, $a\wedge b=\mathrm {min} \{a,b\}$, e $\neg a=1-a$, é uma álgebra booliana. Essa álgebra booliana recebe o nome de lógica fuzzy.

## Teoremas

Dado uma álgebra booliana sobre $X$, são válidos para quaisquer $a,b\in X$:
Propriedades Idempotentes
* $a\vee a=a$
* $a\wedge a=a$
Dupla Negação
* $\neg (\neg a)=a$
Leis de De Morgan
* $\neg (a\vee b)=\neg a\wedge \neg b$
* $\neg (a\wedge b)=\neg a\vee \neg b$
Leis de Absorção
* $a\vee (a\wedge b)=a$
* $a\wedge (a\vee b)=a$
Elementos Absorventes
* $a\vee 1=1$
* $a\wedge 0=0$
Negações do Zero e do Um
* $\neg 0=1$
* $\neg 1=0$
Definições alternativas da operação binária $\veebar$ (também denotado por $\oplus$, é geralmente chamado de "xor" ou de "ou exclusivo")
* $a\veebar b=(a\vee b)\wedge (\neg a\vee \neg b)$
* $a\veebar b=(a\wedge \neg b)\vee (\neg a\wedge b)$

## Ordem

Dado uma álgebra booliana sobre $X$, é válido para quaisquer $a,b\in X$:
* $a\vee b=b$ se e somente se $a\wedge b=a$
A relação $\leq$ definida como $a\leq b$ se e somente se uma das duas condições equivalentes acima é satisfeita é uma relação de ordem em $X$. O supremo e o ínfimo do conjunto $\{a,b\}$ são $a\vee b$ e $a\wedge b$, respectivamente.

## Homomorfismos e isomorfismos

Um homomorfismo entre duas álgebras boolianas $A$ e $B$ é uma função $f:A\to B$ que para quaisquer $a,b\in A$:
* $f(a\vee b)=f(a)\vee f(b)$
* $f(a\wedge b)=f(a)\wedge f(b)$
* $f(0)=0$
* $f(1)=1$
Uma consequência é que $f(\neg a)=\neg f(a)$.
Um isomorfismo entre duas álgebras boolianas $A$ e $B$ é um homomorfismo bijetor entre $A$ e $B$. O inverso de um isomorfismo é um isomorfismo. Se existe um isomorfismo entre $A$ e $B$, dizemos que $A$ e $B$ são isomorfos.