# Processo de Wiener

Em matemática, o processo de Wiener é um processo estocástico de tempo contínuo, que recebe este nome em homenagem a Norbert Wiener. É frequentemente chamado de processo de movimento browniano padrão ou movimento browniano devido a sua conexão histórica com o processo físico conhecido como movimento browniano primeiramente observado por Robert Brown. Foi também estudado por Albert Einstein. É um dos mais conhecidos processos de Lévy (processos estocásticos càdlàg com incrementos independentes estacionários) e ocorre frequentemente em matemática pura e aplicada, economia, matemática financeira e física.
O processo de Wiener desempenha um papel importante tanto na matemática pura, quanto na aplicada. Em matemática pura, o processo de Wiener fez surgir o estudo de martingales de tempo contínuo. É um processo-chave em cujos termos processos estocásticos mais complicados podem ser descritos, em especial, por ser um dos únicos processos que é, ao mesmo tempo, martingale e markoviano. Como tal, desempenha um papel vital no cálculo estocástico, nos processos de difusão e, até mesmo, na teoria do potencial. É o processo condutor da evolução de Schramm-Loewner. Em matemática aplicada, o processo de Wiener é usado para representar a integral de um processo gaussiano de ruído branco, que é útil no que se refere a modelos de ruído na engenharia eletrônica (veja ruído browniano), erros de instrumento em teoria da filtragem e forças desconhecidas em teoria de controle.
O processo de Wiener tem aplicações por todas as ciências matemáticas. Em física, é usado para estudar o movimento browniano, a difusão de partículas mínimas suspensas em fluido, e outros tipos de difusão via equações de Langevin e Fokker-Planck. Também constitui a base da formação de integrais de caminho da mecânica quântica (pela fórmula de Feynman-Kac, uma solução à equação de Schrödinger que pode ser representada nos termos do processo de Wiener) e do estudo da inflação eterna na cosmologia física. Também é proeminente na teoria matemática das finanças, em particular no modelo Black-Scholes de precificação de opções.

## Caracterizações do processo de Wiener

O processo de Wiener $W_{t}$ é caracterizado pelas seguintes propriedades:
* $W_{0}=0$ q.c.
* $W$ tem incrementos independentes: para todo $t>0$, os incrementos futuros $W_{t+u}-W_{t}$, $u\geq 0$, são independentes dos valores passados $W_{s}$, $s\leq t$.
* $W$ tem incrementos gaussianos: $W_{t+u}-W_{t}$ é normalmente distribuído com média $0$ e variância $u$, $W_{t+u}-W_{t}\sim {\mathcal {N}}(0,u)$
* $W$ tem caminhos contínuos: com probabilidade $1$, $W_{t}$ é contínuo em $t$.
Por incrementos independentes, diz-se que, se $0\leq s_{1}<t_{1}\leq s_{2}<t_{2}$$_,$ então $W_{t1}-W_{s1}$ e $W_{t2}-W_{s2}$ são variáveis aleatórias independentes e a mesma condição se mantém para $n$ incrementos.
Uma caracterização alternativa do processo de Wiener é a então chamada caracterização de Lévy, que diz que o processo de Wiener é um martingale quase certamente contínuo com $W_{0}=0$ e variação quadrática $[W_{t},W_{t}]=t$ (o que significa que $W_{t}^{2}-t$ é também um martingale).
Uma terceira caracterização diz que o processo de Wiener tem um representação espectral como uma série de senos cujos coeficientes são variáveis aleatórias independentes $N(0,1)$. Esta representação pode ser obtida usando o teorema de Karhunen-Loève.
Outra caracterização de um processo de Wiener é a integral definida (de $0$ ao tempo $t$) de um processo gaussiano ("branco") delta-correlacionado com variância $1$ e média $0$.
O processo de Wiener pode ser construído como o limite escalar de um passeio aleatório ou outros processos estocásticos de tempo discreto com incrementos independentes estacionários. Isto é conhecido como teorema de Donsker. Assim como o passeio aleatório, o processo de Wiener é recorrente em uma ou duas dimensões (o que significa que ele retorna quase certamente a qualquer vizinhança fixada da origem infinitas vezes), mas não é recorrente em três ou mais dimensões. Diferentemente do passeio aleatório, tem como característica a invariância de escala, o que significa que
    $\alpha ^{-1}W_{\alpha ^{2}t}$
é um processo de Wiener para qualquer constante $\alpha$ não nula. A medida de Wiener é a lei probabilística no espaço das funções contínuas $g$, com $g(0)=0$, induzido pelo processo de Wiener. Uma integral baseada na medida de Wiener pode ser chamada de integral de Wiener.

## Processo de Wiener como um limite do passeio aleatório

Considere $\xi _{1},\xi _{2},\ldots$ variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média $0$ e variância $1$. Para cada $n$, defina um processo estocástico de tempo contínuo
    $W_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{1\leq k\leq \lfloor nt\rfloor }\xi _{k}$
Esta é uma função passo aleatório. Incrementos de $W_{n}$ são independentes porque $\xi _{k}$ são independentes. Para $n$ grande, $W_{n}(t)-W_{n}(s)$é próximo de $N(0,t-s)$ pelo teorema central do limite. Conforme $n\to \infty$, $W_{n}$ se aproximará de um processo de Wiener. A prova desta afirmação é oferecida pelo teorema de Donsker. Esta formulação explicou por que o movimento browniano é ubíquo.

## Propriedades de um processo de Wiener unidimensional
### Propriedades básicas

A função densidade de probabilidade incondicional, que segue distribuição normal com média igual a $0$ e variância igual a $t$, em um tempo fixado $t$:
    $f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/(2t)}.$
O valor esperado é zero:
    $E[W_{t}]=0.$
A variância, usando a fórmula algébrica para a variância, é t:
    $\operatorname {Var} (W_{t})=E\left[W_{t}^{2}\right]-E^{2}[W_{t}]=E\left[W_{t}^{2}\right]-0=E\left[W_{t}^{2}\right]=t.$

### Covariância e correlação

A covariância e a correlação:
    $\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})=\min(s,t),$
    $\operatorname {corr} (W_{s},W_{t})={\frac {\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})}{\sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}}={\frac {\min(s,t)}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {\min(s,t)}{\max(s,t)}}}.$
Os resultados para o valor esperado e a variância seguem imediatamente da definição de que os incrementos têm uma distribuição normal, centrada em zero. Assim
    $W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim N(0,t).$
Os resultados para a covariância e a correlação seguem da definição de que incrementos não sobrepostos são independentes, da qual apenas a propriedade de que eles não são correlacionados é usada. Suponha que $t_{1}<t_{2}$.
    $\operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[(W_{t_{1}}-\operatorname {E} [W_{t_{1}}])\cdot (W_{t_{2}}-\operatorname {E} [W_{t_{2}}])\right]=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}\right].$
Substituindo
    $W_{t_{2}}=(W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}}$
Chegamos em:
    ${\begin{aligned}\operatorname {E} [W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}]&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot ((W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}})\right]\\&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]+\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right].\end{aligned}}$
Já que $W(t_{1})=W(t_{1})-W(t_{0})$ e $W(t_{2})-W(t_{1})$ são independentes,
    $\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]=\operatorname {E} [W_{t_{1}}]\cdot \operatorname {E} [W_{t_{2}}-W_{t_{1}}]=0.$
Assim
    $\operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right]=t_{1}.$

### Representação de Wiener

Wiener (1923) também deu uma representação de um caminho browniano em termos de uma série aleatória de Fourier. Se $\xi _{n}$ são variáveis gaussianas independentes com média $0$ e variância $1$, então
    $W_{t}=\xi _{0}t+{\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \pi nt}{\pi n}}$
e
    $W_{t}={\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi t\right)}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}$
representa um movimento browniano em $[0,1]$. O processo escalado
    ${\sqrt {c}}\,W\left({\frac {t}{c}}\right)$
é um movimento browniano em $[0,c]$ (vide teorema de Karhunen-Loève).

### Máximo corrente

A distribuição conjunta do máximo corrente
    $M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}$
e $W_{t}$ é
    $f_{M_{t},W_{t}}(m,w)={\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,w\leq m.$
Para obter a distribuição incondicional de $f_{M_{t}}$, integra-se ao longo de $-\infty <w\leq m$:
    ${\begin{aligned}f_{M_{t}}(m)&=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw\\[5pt]&={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0.\end{aligned}}$
E o valor esperado
    $\operatorname {E} [M_{t}]=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}$
Se em $t$ o processo de Wiener tem um valor conhecido $W_{t}$, é possível calcular a distribuição de probabilidade condicional do máximo no intervalo $[0,t]$ (vide a distribuição de probabilidade de pontos extremos de um processo estocástico de Wiener).

### Autossemelhança
#### Escalamento browniano

Para todo $c>0$, o processo $V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}$ é outro processo de Wiener.

#### Reversão de tempo

O processo $V_{t}=W_{1}-W_{1-t}$ para $0\leq t\leq 1$ é distribuído como $W_{t}$ para $0\leq t\leq 1$.

#### Inversão de tempo

O processo $V_{t}=tW_{1/t}$ é outro processo de Wiener.

### Uma classe de martingales brownianos

Se uma função polinomial $p(x,t)$ satisfaz a equação diferencial parcial
    $\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t)=0$
então o processo estocástico
    $M_{t}=p(W_{t},t)$
é um martingale.
Exemplo: $W_{t}^{2}-t$ é um martingale, que mostra que a variação quadrática de $W$ em $[0,t]$ é igual a $t$. Segue-se que o tempo de primeira saída esperado de $W$ de $(-c,c)$ é igual a $c^{2}$.
Mais geralmente, para toda função polinomial $p(x,t)$, o seguinte processo estocástico é um martingale:
    $M_{t}=p(W_{t},t)-\int _{0}^{t}a(W_{s},s)\,\mathrm {d} s,$
em que $a$ é a função polinomial
    $a(x,t)=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t).$
Exemplo: $p(x,t)=(x^{2}-t)^{2},$ $a(x,t)=4x^{2};$ o processo
    $(W_{t}^{2}-t)^{2}-4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s$
é um martingale, que mostra que a variação quadrática do martingale $W_{t}^{2}-t$ on [0, t]$[0,t]$ é igual a
    $4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s.$

### Algumas propriedades de caminhos amostrais

O conjunto de todas as funções $w$ com estes propriedades é composto inteiramente por medidas de Wiener. Isto é, um caminho (função amostral) do processo de Wiener tem todas estas propriedades quase certamente.

#### Propriedades qualitativas

* Para todo $\varepsilon >0$, a função $w$ assume tanto valores (estritamente) positivos, como (estritamente) negativos em $(0,\varepsilon )$.
* A função $w$ é contínua em todo lugar, mas diferenciável em lugar nenhum (assim como a função de Weierstrass).
* Pontos do máximo local da função $w$ são um conjunto contável denso; os valores máximos são diferentes por pares; cada máximo local é agudo na seguinte acepção: se $w$ tem um máximo local em $t$, então
       $\lim _{s\to t}{\frac {|w(s)-w(t)|}{|s-t|}}\to \infty .$
    O mesmo se aplica a mínimos locais.
* A função $w$ não tem nenhum ponto de crescimento local, isto é, nenhum $t>0$ satisfaz as seguintes condições para algum $\varepsilon$ em $(0,t)$: em primeiro lugar, $w(s)\leq t$ para todo $s$ em $(t-\varepsilon ,t)$, e em segundo lugar, $w(s)\geq w(t)$ para todo $s$ em $(t,t+\varepsilon )$. O crescimento local é uma condição mais fraca do que aquela referente ao crescimento de $w$ em $(t-\varepsilon ,t+\varepsilon )$. O mesmo se aplica ao decrescimento local.
* A função $w$ é de variação limitada em todo intervalo.
* A variação quadrática de $w$ ao longo de $[0,t]$ é $t$.
* Os zeros da função $w$ são um conjunto perfeito denso em lugar nenhum com medida de Lebesgue 0 e dimensão de Hausdorff $1/2$ (portanto, incontável).

#### Propriedades quantitativas
##### Lei do logaritmo iterado

    $\limsup _{t\to +\infty }{\frac {|w(t)|}{\sqrt {2t\log \log t}}}=1,\quad {\text{quase certamente}}.$

##### Módulo de continuidade

Módulo local de continuidade:
    $\limsup _{\varepsilon \to 0+}{\frac {|w(\varepsilon )|}{\sqrt {2\varepsilon \log \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{quase certamente}}.$
Módulo global de continuidade (Lévy):
    $\limsup _{\varepsilon \to 0+}\sup _{0\leq s<t\leq 1,t-s\leq \varepsilon }{\frac {|w(s)-w(t)|}{\sqrt {2\varepsilon \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{quase certamente}}.$

#### Tempo local

A imagem da medida de Lebesgue em $[0,t]$ sob o mapa $w$ (a medida imagem) tem uma densidade $L_{t}(\cdot )$. Assim,
    $\int _{0}^{t}f(w(s))\,\mathrm {d} s=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)L_{t}(x)\,\mathrm {d} x$
para uma ampla classe de funções $f$ (nomeadamente, todas as funções contínuas, todas as funções localmente integráveis, todas as funções não negativas mensuráveis). A densidade $L_{t}$ é (mais exatamente, pode ser e será escolhida como) contínua. O número $L_{t}(x)$é chamado de tempo local em $x$ de $w$ ao longo de $[0,t]$. É estritamente positiva para todo $x$ do intervalo $(a,b)$, em que $a$ e $b$ são o menor e o maior valor de $w$ em $[0,t]$, respectivamente. Para $x$ fora deste intervalo, o tempo local evidentemente desaparece. Tratado como uma função de duas variáveis $x$ e $t$, o tempo local é ainda contínuo. Tratado como uma função de $t$ (em que $x$ está fixado), o tempo local é uma função singular correspondente à medida não atômica sobre o conjunto de zeros de $w$.
Estas propriedades de continuidade são razoavelmente não triviais. Considere que o tempo local também possa ser definido (como a densidade da medida imagem) para uma função suave. Por consequência, entretanto, a densidade é descontínua, a não ser que a função dada seja monótona. Em outras palavras, há um conflito entre o bom comportamento de uma função e o bom comportamento de seu tempo local. Neste sentido, a continuidade do tempo local para o processo de Wiener é outra manifestação da não suavidade da trajetória

## Processos relacionados

O processo estocástico definido por
    $X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}$
é chamado de processo de Wiener com deriva $\mu$ e variância infinitesimal $\sigma ^{2}$. Estes processos representam todos os processos de Lévy contínuos.
Dois processos aleatórios no intervalo de tempo $[0,1]$ aparecem, grosso modo, quando se condiciona o processo de Wiener a desaparecer nos dois extremos de $[0,1]$. Quando não se condiciona mais, o processo assume tanto valores positivos, como negativos em $[0,1]$ e é chamado de ponte browniana. Condicionado a permanecer positivo em $[0,1]$, o processo é chamado de excursão browniana. Em ambos os casos, um tratamento rigoroso envolve um procedimento limitante, já que a fórmula $P(A|B)=P(A\bigcap B)/P(B)$ não se aplica quando $P(B)=0$.
Um movimento browniano geométrico pode ser escrito como
    $e^{\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t}{2}}+\sigma W_{t}}.$
É um processo estocástico usado para modelar processos que nunca podem assumir valores negativos, tais como os valores de ações.
O processo estocástico
    $X_{t}=e^{-t}W_{e^{2t}}$
é distribuído como o processo de Ornstein-Uhlenbeck.
O tempo de chegada a um único ponto $x>0$ pelo processo de Wiener é uma variável aleatória com distribuição de Lévy. A família destas variáveis aleatórias (indexadas por todos os números positivos $x$) é uma modificação contínua à esquerda do processo de Lévy. A modificação contínua à direita deste processo é dada pelos tempos de primeira saída a partir de intervalos fechados $[0,x]$.
O tempo local $L=(L_{t}^{x})_{x\in R,t\geq 0}$ de um movimento browniano descreve o tempo que o processo passa no ponto $x$. Formalmente,
    $L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{t})\,ds$
em que $\delta$ é a função delta de Dirac. O comportamento do tempo local é caracterizado pelos teoremas de Ray-Knight.

### Martingales brownianos

Considere $A$ um evento relacionado ao processo de Wiener (mais formalmente, um conjunto, mensurável no que se refere à medida de Wiener, no espaço de funções), e $X_{t}$ a probabilidade condicional de $A$ dado o processo de Wiener no intervalo de tempo $[0,t]$ (mais formalmente, a medida de Wiener do conjunto de trajetórias cuja concatenação com a trajetória parcial dada em $[0,t]$ pertence a $A$). Então, o processo $X_{t}$ é um martingale contínuo. Sua propriedade martingale deriva imediatamente das definições, mas sua continuidade é um fato muito especial – um caso especial de um teorema geral que afirma que todos os martingales brownianos são contínuos. Um martingale browniano é, por definição, um martingale adaptado à filtração browniana, sendo esta, por definição, a filtração gerada pelo processo de Wiener.

### Movimento browniano integrado

A integral do tempo do processo de Wiener
    $W^{(-1)}(t):=\int _{0}^{t}W(s)ds$
é chamada de movimento browniano integrado ou processo de Wiener integrado. Aparece em muitas aplicações e pode-se mostrar por cálculo que tem distribuição $N(0,t^{3}/3)$, usando o fato de que a covariância do processo de Wiener é $t\wedge s=\min(t,s)$.

### Mudança de tempo

Todo martingale contínuo (a partir da origem) é um processo de Wiener com tempo mudado.
Exemplo: $2W_{t}=V(4t)$, em que $V$ é outro processo de Wiener (diferente de $W$, mas distribuído como $W$).
Exemplo: $W_{t}^{2}-t=V_{A(t)}$, em que $A(t)=4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s$ e $V$ é outro processo de Wiener.
Geralmente, se $M$ for um martingale contínuo, então $M_{t}-M_{0}=V_{A(t)}$ , em que $A(t)$ é a variação quadrática de $M$ em $[0,t]$ e $V$ é um processo de Wiener.
Corolário: Considere $M_{t}$ um martingale contínuo e
    $M_{\infty }^{-}=\liminf _{t\to \infty }M_{t},$
    $M_{\infty }^{+}=\limsup _{t\to \infty }M_{t}.$
Então, apenas os dois casos seguintes são possíveis:
    $-\infty <M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}<+\infty ,$
    $-\infty =M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}=+\infty ;$
outros casos (tais como $M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}=+\infty ,$ $M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}<+\infty$, etc.) são de probabilidade $0$.
Especialmente, um martingale contínuo não negativo tem um limite finito (como $t\rightarrow \infty$) quase certamente.
Tudo o que foi afirmado nesta subseção sobre martingales também se aplica a martingales locais.

### Mudança de medida

Uma classe ampla de semimartingales contínuos (especialmente, de processos de difusão) está relacionada ao processo de Wiener por meio de uma combinação de mudança de tempo e mudança de medida.
Usando este fato, as propriedades qualitativas afirmadas acima para o processo de Wiener podem ser generalizadas para uma classe ampla de semimartingales contínuos.

### Processo de Wiener de valores complexos

O processo de Wiener de valores complexos pode ser definido como um processo aleatório de valores complexos da forma $Z_{t}=X_{t}+iY_{t}$ em que $X_{t},Y_{t}$ são processos de Wiener independentes (de valores reais).

#### Autossemelhança

O escalamento browniano, a reversão de tempo e a inversão de tempo são iguais aos do caso com valores reais.
Quanto à invariância de rotação, para cada número complexo $c$ tal que $\left\vert c\right\vert =1$, o processo $cZ_{t}$ é outro processo de Wiener de valores complexos

#### Mudança de tempo

Se $f$ for uma função inteira, então, o processo $f(Z_{t})-f(0)$ é um processo de Wiener de valores complexos com mudança de tempo.
Exemplo: $Z_{t}^{2}=(X_{t}^{2}-Y_{t}^{2})+2X_{t}Y_{t}i=U_{A(t)}$ em que
    $A(t)=4\int _{0}^{t}|Z_{s}|^{2}\,\mathrm {d} s$
e $U$ é outro processo de Wiener de valores complexos.
Em contraste com o caso de valores reais, um martingale de valores complexos geralmente não é um processo de Wiener de valores complexos com mudança de tempo. Por exemplo, o martingale 2X$_t$ + iY$_t$$2X_{t}+iY_{t}$ não é (aqui $X_{t},Y_{t}$ são processos de Wiener independentes, assim como antes).