# Paradoxo de Banach–Tarski

O teorema de Banach–Tarski estabelece que é possível dividir uma esfera sólida em um número finito de pedaços (em um caso particular Raphael M. Robinson dividiu em exatamente cinco pedaços), e com estes pedaços construir duas esferas, do mesmo tamanho da original. É considerado um paradoxo por ser um resultado contra-intuitivo, mas não por ser contraditório ou por introduzir contradições.
O teorema pode ser generalizado para quaisquer regiões do espaço que sejam limitadas e que tenham um interior, ou, mais especificamente:
    Sejam $X\,$ e $Y\,$ dois subconjuntos de $\mathbb {R} ^{3}\,$ que são limitados e cujo interior não é vazio. Então é possível decompor $X\,$ e $Y\,$ em partições finitas $\{X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\}\,$ e $\{Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n}\}\,$ tal que cada $X_{i}\,$ é congruente a cada $Y_{i}\,$.
Naturalmente não é possível cortar desta forma uma esfera real, como uma laranja, com uma faca real. Trata-se de uma abstração matemática. A demonstração prova a existência teórica de uma forma de repartir a esfera com estas características. Não há uma prova construtivista, isto é, que descreva a maneira pela qual a esfera deve ser repartida. A demonstração faz uso do axioma da escolha.
Banach e Tarski propuseram este paradoxo como uma evidência para se rejeitar o axioma da escolha, mas os matemáticos apenas consideram que o axioma da escolha tem consequências bizarras e contra-intuitivas.

## Esboço da demonstração

A demonstração se baseia na construção de duas matrizes $3\times 3$. Uma destas matrizes, $\psi$ é uma rotação de $120^{\circ }$ em torno do eixo $z$, e a outra matriz, $\varphi$, corresponde à reflexão sobre o plano $xz$ seguida de uma rotação de um ângulo $\theta$ em torno do eixo $y$. A primeira matriz $\psi$ é tal que seu cubo é a matriz identidade, e a segunda é tal que seu quadrado é a identidade. Assim, cada elemento do grupo gerado por estas duas matrizes pode ser escrito como uma sequência finita de produtos da segunda matriz pela primeira matriz ($\psi$) ou pelo quadrado da primeira matriz ($\varphi ^{2}$). Caso o ângulo $\theta$ seja tal que seu cosseno seja um número transcendente, então a representação de cada elemento deste grupo é única.
Este grupo de matrizes $G$ pode ser decomposto em três conjuntos, $G_{1},G_{2}$e $G_{3},$ com a propriedade que $g\,$ é um elemento de $G_{1}$ se, e somente se, $\psi \,g$ é um elemento de $G_{2}\,$e $\psi ^{2}\,g\,$é um elemento de $G_{3}$. Estes conjuntos, que são compostos de rotações e reflexões, portanto transformam um conjunto de pontos em outro conjunto congruente, são usados para decompor uma esfera em uma partição$\{P,S_{1},S_{2},S_{3}\}$, em que $P\,$ é um conjunto enumerável e as outras parcelas se relacionam através da rotação $\varphi$ e da matriz $\varphi$:
    $\varphi (S_{1})=S_{2}\cup S_{3}\,$
    $\psi (S_{1})=S_{2}\,$
    $\psi ^{2}(S_{1})=S_{3}\,$
Esta decomposição faz-se definindo-se classes de equivalência entre os elementos da esfera (excluindo o conjunto enumerável $P$) como $x\sim y\,$ quando existe algum elemento $g\,$ do grupo de matrizes tal que $g(x)=y\,$, e escolhendo-se o conjunto $C\,$com um elemento de cada classe de equivalência. Este passo requer uso do axioma da escolha. Cada conjunto $S_{i}\,$é obtido a partir de $C\,$através de elementos dos conjuntos de matrizes $G_{i}$, ou seja, $S_{i}=G_{i}(C)\,$.