# Modelo linear

Em estatística, o termo modelo linear é usado de diferentes formas de acordo com o contexto. A ocorrência mais comum se dá em conexão com modelos de regressão e o termo é frequentemente assumido como sinônimo de modelo de regressão linear. Entretanto, o termo é também usado em análise de séries temporais com um significado diferente. Em cada caso, a designação "linear" é frequentemente usada para identificar uma subclasse de modelos para os quais uma redução substancial na complexidade da teoria estatística relacionada é possível.

## Modelos de regressão linear

Para o caso da regressão, o modelo estatístico é como segue. Dada uma amostra (aleatória) $(Y_{i},X_{i1},\ldots ,X_{ip}),i=1,\ldots ,n$, a relação entre as observações $Y_{i}$ e as variáveis independentes $X_{ij}$ é formulada como:
   $Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\phi _{1}(X_{i1})+\cdots +\beta _{p}\phi _{p}(X_{ip})+\varepsilon _{i}\qquad i=1,\ldots ,n;$
em que $\phi _{1},\ldots ,\phi _{p}$ podem ser funções não lineares. Acima, as quantidades $\varepsilon _{i}$ são variáveis aleatórias que representam os erros na relação. A parte "linear" da designação se relaciona com o aparecimento dos coeficientes de regressão $\beta _{j}$ em uma forma linear na relação acima. Alternativamente, pode-se dizer que os valores previstos correspondentes ao modelo acima, mais precisamente:
   ${\hat {Y}}_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\phi _{1}(X_{i1})+\cdots +\beta _{p}\phi _{p}(X_{ip})\qquad (i=1,\ldots ,n),$
são funções lineares dos $\beta _{j}$.
Dado que a estimativa é realizada com base em um análise de mínimos quadrados, estimativas dos parâmetros desconhecidos $\beta _{j}$ são determinadas ao minimizar uma função de soma de quadrados:
   $S=\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\beta _{0}-\beta _{1}\phi _{1}(X_{i1})-\cdots -\beta _{p}\phi _{p}(X_{ip})\right)^{2}.$
A partir disto, pode-se ver prontamente que o aspecto "linear" do modelo significa o seguinte:
   * A função a ser minimizada é uma função quadrática dos $\beta _{j}$, para a qual a minimização é um problema relativamente simples;
   * As derivadas da função são funções lineares dos $\beta _{j}$, o que torna mais fácil encontrar os valores minimizantes;
   * Os valores minimizantes $\beta _{j}$ são funções lineares das observações $Y_{i}$;
   * Os valores minimizantes $\beta _{j}$ são funções lineares dos erros aleatórios $\varepsilon _{i}$, o que torna relativamente fácil determinar as propriedades estatísticas dos valores estimados dos $\beta _{j}$.

## Modelos de séries temporais

Um exemplo de um modelo linear de série temporal é um modelo ARMA. Aqui, o modelo para valores $\{X_{t}\}$ em uma série temporal pode ser escrito na forma:
   $X_{t}=c+\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}X_{t-i}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i},$
em que novamente as quantidades $\varepsilon _{t}$ são variáveis aleatórias que representam inovações, que são novos efeitos aleatórios que aparecem em um certo tempo, mas que também afetam valores de $X$ em tempos posteriores. Neste exemplo, o uso do termo "modelo linear" se refere à estrutura da relação acima ao representar $X_{t}$ como uma função linear dos valores passados da mesma série temporal e dos valores presentes e passados das inovações. Este aspecto particular da estrutura significa que é relativamente simples derivar relações para as propriedades de média e covariância da série temporal. Nota-se que aqui a parte "linear" do termo "modelo linear" não está se referindo ao coeficientes $\varphi _{i}$ e $\theta _{i}$, como seria no caso de um modelo de regressão, que parece estruturalmente semelhante.

## Outros usos em estatística

Há algumas outras instâncias em que "modelo não linear" é usado para contrastar com um modelo linearmente estruturado, embora o termo "modelo linear" não seja usualmente aplicado. Um exemplo disto é a redução de dimensionalidade não linear.