# Teorema de Bolzano-Weierstrass

O teorema de Bolzano-Weierstrass estabelece que um conjunto do $\mathbb {R} ^{n}\,$ é sequencialmente compacto se e somente se é fechado e limitado.
Por sequencialmente compacto, entende-se que toda sequência extraída do conjunto, possui uma subsequência convergente. Ou seja, se $K\,$ é um conjunto seqüencialmente compacto e $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,$ é uma seqüência de pontos pertencentes a $K\,$, então existe uma subseqüência $(x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }\subset (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,$ tal que:
    $\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=x^{*}\in K\,$
Um conjunto $F\,$ é dito fechado se toda sequência convergente contida em $F\,$ converge em $F\,$, ou seja:
    $x_{n}\in F$ e $x_{n}\to x\,$, então: $x\in F\,$
Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma esfera de raio finito.

## Lema de Bolzano-Weierstrass na reta

Estebeleceremos o seguinte lema que nos permitirá dar seqüência à demonstração do teorema.
Seja $x_{n}\,$, uma sequencia limitada em $\mathbb {R} \,$, então existe uma subsequência $x_{n_{k}}\,$ convergente.
Demonstração: Primeiramente, defina $x_{n_{1}}=x_{1}\,$
Como $x_{n}\,$ é limitada, existe um intervalo $[a_{1},b_{1}]\,$ tal que:
    $x_{n}\in [a_{1},b_{1}],~~\forall n\,$
Seja $M_{1}={\frac {b_{1}+a_{1}}{2}}\,$ o ponto médio entre $a_{1}\,$ e $b_{1}\,$.
Como $[a_{1},b_{1}]=[a_{1},M_{1}]\bigcup [M_{1},b_{1}]\,$, deve haver pelo menos um destes intervalos com a propriedade que $x_{n}\,$ pertence a ele infinitas vezes. Escolha um destes intervalos.
Defina $x_{n_{2}}\,$ como qualquer elemento da sequência que pertence ao intervalo escolhido contando que $n_{2}>n_{1}\,$ .
Se o intervalo escolhido foi aquele que fica à direita, então defina:
    $a_{2}=M_{1}{\hbox{ e }}b_{2}=b_{1}\,$
Caso contrário escolha:
    $a_{2}=a_{1}{\hbox{ e }}b_{2}=M_{1}\,$
Observe que:
    $b_{2}-a_{2}={\frac {b_{1}-a_{1}}{2}}\,$, ou seja, o comprimento do intervalo foi reduzido pela metade.
Repita este processo recursivamente, de forma a obter uma sequência de intervalos $[a_{k},b_{k}]\,$ e de pontos $x_{n_{k}}\,$ com as seguintes propriedades:
* $x_{n_{k}}\in [a_{k},b_{k}]\,$
* $b_{k}-a_{k}={\frac {b_{k-1}-a_{k-1}}{2}}={\frac {b_{1}-a_{1}}{2^{k-1}}}\,$
* $a_{k}\geq a_{k-1}\,$
* $b_{k}\leq b_{k-1}\,$
Assim, $a_{k}\,$ é uma sequência não-decrescente e limitada superiormente por $b_{1}\,$, portanto converge para um limite, digamos, $a\,$. $b_{k}\,$ é uma sequência não-crescente e limitada inferiormente por $a_{1}\,$, portanto também converge para um limite $b\,$.
Mas $b_{k}-a_{k}={\frac {b_{1}-a_{1}}{2^{k-1}}}\to 0\,$, portanto $a=b\,$. Como $a_{k}\leq x_{n_{k}}\leq b_{k}\,$, o teorema do confronto estabelece que $x_{n_{k}}\,$ converge para o mesmo limite.

## Lema de Bolzano-Weierstrass em mais dimensões

A demonstração pode ser feita de duas formas.
Uma delas é generalizar a demonstração acima para $\mathbb {R} ^{m}\,$:
Então seja $x_{n}\,$ limitada em $\mathbb {R} ^{n}\,$, existe uma hipercubo (a rigor, um hiperparalelogramo) que contém a sequência:
    $x_{n}\in [a_{1}^{1},b_{1}^{1}]\times [a_{1}^{2},b_{1}^{2}]\times \ldots \times [a_{1}^{n},b_{1}^{n}]\,$
Dividindo-se, em cada passo, o hipercubo em $2^{m}\,$ sub-hipercubos, constrói-se uma sequência $\{x_{n_{k}}\}\,$ da mesma forma como em $\mathbb {R} \,$.
Agora escreva as componentes do vetor $x_{n_{k}}=(x_{n_{k}}^{1},x_{n_{k}}^{2},\ldots ,x_{n_{k}}^{m})\,$. Como $a_{k}^{i}\leq x_{n_{k}}^{i}\leq b_{k}^{i},i=1,2,\ldots ,n\,$, temos que cada componente está convergindo e, portanto, existe o limite: $x_{n_{k}}\to x^{*}\,$ O resultado segue.
Outra forma é por indução finita na dimensão m:
Para m = 1, temos o resultado em $\mathbb {R} \,$
Se vale para $\mathbb {R} ^{m}\,$, então, dada uma sequência em $\mathbb {R} ^{m+1}\,$, temos que as coordenadas de 1 a m estão no $\mathbb {R} ^{m}\,$, portanto existe uma subsequência convergente para estas coordenadas. A m+1-ésima coordenada desta subsequência está em $\mathbb {R} \,$, portanto existe um sub-sub-sequência que converge para esta última coordenada. Agora é fácil ver que esta sub-sub-sequência converge para todas coordenadas, logo converge em $\mathbb {R} ^{m+1}\,$ - o que prova o resultado.

## Fechado e limitado implica sequencialmente compacto

Considere que um conjunto seja fechado e limitado, queremos mostrar que é sequencialmente compacto.
Seja $\{x_{n}\}\,$ uma sequência extraída do conjunto, como o conjunto é limitado, a sequência também o é. Pelo lema acima, ela admite uma subsequência convergente. Como o conjunto é fechado, o limite pertence ao conjunto.

## Sequencialmente compacto implica limitado

Seja $F\,$ um conjunto não-limitado. Por não ser limitado, deve possuir uma sequência $\{x_{n}\}\,$ tal que: $|x_{n}|\to \infty \,$ que, portanto não converge.
Logo o conjunto não é sequêncialmente compacto.

## Sequencialmente compacto implica fechado

Seja $K\,$ um conjunto seqüencialmente compacto e seja $\{x_{n}\}\,$ um sequência convergente extraída de $K\,$, da compacidade, segue que o limite pertence a $K\,$ e o resultado segue.