# Média metálica

A média metálica, conhecida também como número metálico (ou com menos frequência, média de prata), é a forma mais simples das frações contínuas representadas por:
    $n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]={\frac {1}{2}}\left(n+{\sqrt {n^{2}+4}}\right)\,$
Na qual n é um número natural (em linguagem matemática: $n\in \mathbb {N}$). A proporção áurea (φ = 1,618033989) é a média metálica de 1, bem como a proporção de prata ($\delta _{S}$ = 2,414213562) é a média metálica de 2. Embora não tão comuns, são utilizados também os nomes número de bronze, número de cobre, número de níquel e número de platina para representar as médias metálicas de 3, 4, 5 e 6, respectivamente. O termo "metálico" provém dessa denominação.
Ao lado, podemos ver uma tabela com os valores dos números metálicos de 0 a 10, com uma precisão de 9 algarismos significativos, além de seus valores na forma de radical.

## Definição

Cada número metálico pode ser descrito como a solução positiva da Equação do Segundo Grau a seguir:
$x^{2}-nx=1,\,$
onde n é um número inteiro positivo qualquer. Esta raiz será a média metálica do número n, descrita por $[n;n,n,n,...]$.
Assim, por exemplo, pode-se afirmar com segurança que
${\frac {48+{\sqrt {2308}}}{2}}$
é um número metálico pois é solução da equação $x^{2}-48x=1,\,$, o que pode ser facilmente averiguado fazendo uso da Fórmula de Bháskara. Ademais, podemos concluir que se trata do 48º número metálico, ou da média metálica de 48. Este valor é aproximadamente 48,0208243.

## Características dos números metálicos notáveis

Assim como o número de ouro tem relação com o pentágono (pela razão ${\frac {\text{Diagonal}}{\text{Lado}}}$), o número de prata tem relação com o octógono (também pela razão ${\frac {\text{Diagonal}}{\text{Lado}}}$). A razão áurea está conectada com os Números de Fibonacci, e o número de prata tem uma estreita relação com os Números de Pell. Por propriedades advindas de suas relações com essas sequências, podemos dizer que cada número de Fibonacci é a soma do número anterior multiplicada por 1 adicionado do número antes desse,e cada número de Pell é a soma do número anterior multiplicada por 2 adicionado do número antes desse. A razão entre dois números de Fibonacci consecutivos converge para a razão áurea, bem como a razão entre dois números de Pell consecutivos converge para a razão de prata.

## Propriedades

As propriedades são válidas apenas para números inteiros m, para números não-inteiros as propriedades são similares mas são sutilmente diferentes em alguns quesitos. A propriedade para potências do número de prata são consequências das propriedades das potências dos números metálicos. Para o número metálico S de m, essa propriedade pode ser descrita como uma recorrência linear de segunda ordem, possibilitando ser generalizada como
    $\!\ S_{m}^{n}=K_{n}S_{m}+K_{(n-1)}$
onde
    $\!\ K_{n}=mK_{(n-1)}+K_{(n-2)}.$
Utilizando as condições iniciais K$_0$ = 1 e K$_1$ = m, essa relação de recorrência se transforma em
    $\!\ K_{n}={\frac {1}{\sqrt {m^{2}+4}}}{(S_{m}^{n+1}-{(m-S_{m})}^{n+1})}.$
As potências dos números metálicos também possuem outras propriedades interessantes:
    Se n é um número inteiro positivo:
       $\!\ {S_{m}^{n}-\lfloor S_{m}^{n}\rfloor }=1-S_{m}^{-n}.$
Além disso,
       $\!\ {1 \over {S_{m}^{4}-\lfloor S_{m}^{4}\rfloor }}+\lfloor S_{m}^{4}-1\rfloor =S_{(m^{4}+4m^{2}+1)}$
       $\!\ {1 \over {S_{m}^{6}-\lfloor S_{m}^{6}\rfloor }}+\lfloor S_{m}^{6}-1\rfloor =S_{(m^{6}+6m^{4}+9m^{2}+1)}.$
Tem-se também que:
       $\!\ S_{m}^{3}=S_{(m^{3}+3m)}$
       $\!\ S_{m}^{5}=S_{(m^{5}+5m^{3}+5m)}$
       $\!\ S_{m}^{7}=S_{(m^{7}+7m^{5}+14m^{3}+7m)}$
       $\!\ S_{m}^{9}=S_{(m^{9}+9m^{7}+27m^{5}+30m^{3}+9m)}$
       $\!\ S_{m}^{11}=S_{(m^{11}+11m^{9}+44m^{7}+77m^{5}+55m^{3}+11m)}.$
Generalizando:
       $\!\ S_{m}^{2n+1}=S_{\sum _{k=0}^{n}{{2n+1} \over {2k+1}}{{n+k} \choose {2k}}m^{2k+1}}.$
O número metálicoS de m também tem a propriedade seguinte:
    $\!\ 1/S_{m}=S_{m}-m$
O que significa que o inverso de um número metálico tem a mesma parte decimal de seu correspondente número metálico. Matematicamente, temos:
    $\!\ S_{m}=\lfloor S\rfloor +{S}$
Para facilitar o desenvolvimento do raciocínio, seja $a=\lfloor S\rfloor$ e $b={S}$. Então, a propriedade seguinte pe verdadeira:
    $\!\ S_{m}^{2}=a^{2}+mb+1.$
Isso ocorre porque para todo m maior que 0 ($\forall m>0$), a parte inteira de S$_m$ = m, a = m. Para m > 1, temos então:
    $\!\ S_{m}^{2}=ma+mb+1$
    $\!\ S_{m}^{2}=m(a+b)+1$
    $\!\ S_{m}^{2}=m(S_{m})+1.$
Portanto ($\therefore$), concluímos que a média metálica de m é solução da equação
    $\!\ x^{2}-mx-1=0.$
Também é importante e útil perceber que o número metálico S de −m é o inverso do número metálico S de m. Matematicamente:
    $\!\ 1/S_{m}=S_{(-m)}=S_{m}-m.$
Outro resultado interessante pode ser obtido mudando ligeiramente a fórmula do número metálico. Se considerarmos o número
    $\!\ {\frac {1}{2}}\left(n+{\sqrt {n^{2}+4c}}\right)=R$
segue que as seguintes propriedades também são verdadeiras:
    $\!\ R-\lfloor R\rfloor =c/R$ de c é real ($c\in \mathbb {R}$),
    $\!\ \left({1 \over R}\right)c=R-\lfloor \operatorname {Re} (R)\rfloor$ se c é um número complexo ($c\in \mathbb {C}$) com parte real nula, ou seja na forma c = ki, para todo k inteiro positivo ($\forall k\in \mathbb {Z}$).
O número metálico de m também pode ser obtido a partir da integral
    $S_{m}=\int _{0}^{m}{\left({x \over {2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{{m+2} \over {2m}}\right)}\,dx.$

## Representações

Além da forma clássica de apresentação, as médias metálicas podem ser representadas de outros modos. De forma alternativa, pode-se dizer utilizando os radicais contínuos que o número metálico S de m é dado por
$S:p,q={\sqrt {q+p{\sqrt {q+p{\sqrt {q+p{\sqrt {q+\cdots }}}}}}}}\,.$
Podemos representar as médias metálicas da seguinte maneira:

### Número de Platina: $S:2,2={\sqrt {2+2{\sqrt {2+2{\sqrt {2+2{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}\,.$

Os números metálicos também podem ser representados utilizando fração contínua e sua representação na forma reduzida.

## Números metálicos na Geometria
### Poliedros

Os números metálicos têm grande importância em diversas construções geométricas. Na Geometria Espacial, por exemplo, pode-se perceber diversas propriedades relacionadas a esses números. Para ilustrar isso, podemos citar o caso da presença de retângulos de ouro no 5º Poliedro de Platão (Icosaedro - poliedro regular que é composto por 20 faces triangulares idênticas).

### Espiral de ouro

A espiral de ouro é uma espiral logarítmica cujo fator de crescimento b está relacionado a φ, a média metálica de 1. Mais especificamente, a espiral de ouro fica mais larga (cada vez mais a partir de sua origem) para um fator de &phi a cada quarto de volta que ela dá. A equação polar para a espiral de ouro é a mesma d outras espirais logarítmicas, mas como o valor especial de b:
    $r=ae^{b\theta }\,$
ou
    $\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),$
sendo e a base do logaritmo natural (também chamado de logaritmo neperiano em homenagem a John Napier), a uma constante real positiva arbitrária e b tal que θ seja um ângulo reto (perpendicular, formando 90°), o que descreve um quarto de volta em qualquer direção:
    $e^{b\theta _{\mathrm {direita} }}\,=\varphi$
Portanto, b é dado por
    $b={\ln {\varphi } \over \theta _{\mathrm {direita} }}$
O valor numérico de b depende se o ângulo reto está descrito em graus (como 90°) ou em radianos (como π/2). Uma vez que o ângulo pode estar em qualquer direção, é absolutamente fácil deduzir a fórmula para o valor absoluto de b (isto é, b também pode ser o negativo deste valor):
    $|b|={\ln {\varphi } \over 90}=0{,}0053468\,$ para θ em graus;
    $|b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}=0{,}306349\,$ para θ em radianos.
    $r=ac^{\theta }\,$
onde a constante c é dada por:
    $c=e^{b}\,$
Para o qual a espiral de ouro nos dá esses valores para c':
    $c=\varphi ^{\frac {1}{90}}=1{,}0053611$
e
    $c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}=1{,}358456$

### Áreas de figuras planas

Os números metálicos também tem uma curiosa é íntima relação com as áreas de polígonos convexos regulares.

#### Pentágono Regular

A Área de um pentágono regular pode ser representada em função da média metálica de 1 (no caso, o número de ouro). Temos:
$A={\frac {l^{2}{\sqrt {20\varphi +15}}}{4}}$
Sendo A a área do pentágono.

#### Octógono Regular

A Área de um pentágono regular pode ser representada em função da média metálica de 2 (no caso, o número de prata). Temos:
$A=2l^{2}\delta _{S}$
Sendo A a área do octógono.

## Números metálicos na Trigonometria

Os números metálicos também estão presentes em diversos valores utilizados nas principais relações trigonométricas (seno, cosseno e tangente). Podemos citar os seguintes valores trigonométricos:
$\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{8}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2(1+\delta _{S})}}}$
$\cos \left({\frac {\pi }{8}}\right)={\frac {\sqrt {1+\delta _{S}}}{2}}$
$\tan \left({\frac {\pi }{8}}\right)={\frac {\sqrt {2}}{1+\delta _{S}}}$
$\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{5}}\right)={\frac {\sqrt {\varphi (4-\varphi )-{\frac {4}{\varphi }}}}{2}}$
$\tan \left({\frac {\pi }{5}}\right)={\sqrt {\frac {5}{4\varphi +3}}}$