# Coordenadas parabólicas

As coordenadas parabólicas são um sistema bidimensional de coordenadas ortogonais em que as linhas coordenadas são parábolas confocais. A versão tridimensional das coordenadas parabólicas é obtida através da rotação do sistema bidimensional sobre o eixo de simetria de todas as parábolas.
As coordenadas parabólicas possuem muitas aplicações, por exemplo, no tratamento do efeito Stark e da teoria potencial das arestas.

## Coordenadas parabólicas bidimensionais

AS coordenadas parabólicas bidimensionais $(\sigma ,\tau )$ são definidas pelas equações
    $x=\sigma \tau \,$
    $y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)$
As curvas com $\sigma$ constante formam parábolas confocais
    $2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$
voltadas para cima (ou seja, no sentido $+y$), ao passo que as curvas com $\tau$ constante formam parábolas confocais
    $2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}$
voltadas para baixo (ou seja, no sentido $-y$). Os focos de todas essas parábolas estão localizados na origem.

## Fatores de escala bidimensionais

Os fatores de escala para as coordenadas parabólicas $(\sigma ,\tau )$ são iguais a
    $h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$
Daí, o elemento infinitesimal de área é
    $dA=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau$
E o laplaciano vale
    $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)$
Outros operadores diferenciais tais como $\nabla \cdot \mathbf {F}$ e $\nabla \times \mathbf {F}$ podem ser expressos nas coordenadas (σ, τ) substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais para coordenadas ortogonais.

## Coordenadas parabólicas tridimensionais

As coordenadas parabólicas bidimensionais formam a base para dois conjuntos de coordenadas ortogonais tridimensionais. As coordenadas cilíndricas parabólicas são produzidas por projeção na direção $z$.
A rotação sobre o eixo de simetria das parábolas produz um conjunto de paraboloides confocais, formando um sistema de coordenadas que também é conhecido como "coordenadas parabólicas"
    $x=\sigma \tau \cos \varphi$
    $y=\sigma \tau \sin \varphi$
    $z={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)$
onde as parábolas estão alinhadas com o eixo $z$, sobre o qual a rotação foi realizada. Assim, o ângulo azimutal $\phi$ é definido por
    $\tan \varphi ={\frac {y}{x}}$
As superfícies cujo $\sigma$ é constante formam paraboloides confocais
    $2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$
Com concavidade para cima (ou seja, no sentido $+z$), enquanto que as superfícies com $\tau$ constante formam paraboloides confocais
    $2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}$
de concavidade para baixo (ou seja, na direção $-z$). Os focos de todos estes paraboloides estão localizados na origem.
O tensor métrico de Riemann associado a este sistema de coordenadas é
    $g_{ij}={\begin{bmatrix}\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0&0\\0&\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0\\0&0&\sigma ^{2}\tau ^{2}\end{bmatrix}}$

## Fatores de escala tridimensionais

Os três fatores de escala tridimensionais são:
    $h_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$
    $h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$
    $h_{\varphi }=\sigma \tau \,$
Nota-se que os fatores de escala $h_{\sigma }$ e $h_{\tau }$ são os mesmos do caso bidimensional. O elemento infinitesimal de volume é então
    $dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }=\sigma \tau \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi$
E o laplaciano é dado por
    $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}$
Outros operadores diferenciais tais como $\nabla \cdot \mathbf {F}$ e $\nabla \times \mathbf {F}$ podem ser expresso nas coordenadas $(\sigma ,\tau ,\phi )$ substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais encontradas em coordenadas ortogonais.

## Uma formulação alternativa

A conversão de coordenadas cartesianas para as parabólicas é efetuada através da seguinte transformação:
    $\xi ={\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}+z}},$
    $\eta ={\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}-z}},$
    $\phi =\arctan {y \over x}.$
O jacobiano da transformação de coordenadas dado em termos infinitesimais como sendo
    ${\begin{bmatrix}d\eta \\d\xi \\d\phi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&-1+{\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&1+{\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}dx\\dy\\dz\end{bmatrix}}$
sob as condições $\eta \geq 0,$ e $\xi \geq 0.$
Se φ = 0, então uma seção transversal é obtida; as coordenadas se limitam ao plano xz:
    $\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}},$
    $\xi =z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}.$
Se η=c (uma constante), então
    $\left.z\right|_{\eta =c}={x^{2} \over 2c}-{c \over 2}.$
Esta é uma parábola com foco na origem, para qualquer valor de c. Seu eixo de simetria da parábola é vertical e sua concavidade é voltada para cima.
Se ξ=c então
    $\left.z\right|_{\xi =c}={c \over 2}-{x^{2} \over 2c}.$
Esta é uma parábola com foco na origem, para qualquer valor de c. Seu eixo de simetria é vertical e sua concavidade é voltada para baixo.
Agora considere qualquer parábola η=c para cima e qualquer parábola ξ= b para baixo. É desejável encontrar sua interseção:
    ${x^{2} \over 2c}-{c \over 2}={b \over 2}-{x^{2} \over 2b},$
rearrumando,
    ${x^{2} \over 2c}+{x^{2} \over 2b}={b \over 2}+{c \over 2},$
evidenciando x²,
    $x^{2}\left({b+c \over 2bc}\right)={b+c \over 2},$
cancelando os fatores comuns de ambos os lados,
    $x^{2}=bc,\,$
tomando a raiz quadrada,
    $x={\sqrt {bc}}.$
x é a média geométrica de b e c. A abscissa da intersecção foi encontrada. Vamos encontrar a ordenada. Substituindo o valor de x na equação da parábola voltada para cima:
    $z_{c}={bc \over 2c}-{c \over 2}={b-c \over 2},$
em seguida, substituindo o valor de x na equação da parábola voltada para baixo:
    $z_{b}={b \over 2}-{bc \over 2b}={b-c \over 2}.$
z$_c$ = z$_b$, com deveria ser. Logo, o ponto de intersecção é
    $P:\left({\sqrt {bc}},{b-c \over 2}\right).$
Desenhe um par de tangentes através do ponto P, cada uma tangente a cada parábola. A reta tangente através do ponto P à parábola superior tem inclinação:
    ${dz_{c} \over dx}={x \over c}={{\sqrt {bc}} \over c}={\sqrt {b \over c}}=s_{c}.$
A reta tangente através do ponto P à parábola inferior tem inclinação:
    ${dz_{b} \over dx}=-{x \over b}={-{\sqrt {bc}} \over b}=-{\sqrt {c \over b}}=s_{b}.$
O produto das duas inclinações é
    $s_{c}s_{b}=-{\sqrt {b \over c}}{\sqrt {c \over b}}=-1.$
O produto das inclinações é “uma inclinação negativa”, pois as retas são perpendiculares. Isto é verdade para qualquer par de parábolas com concavidades em direções opostas.
Assim, um par de parábolas intercepta-se em dois pontos, mas quando φ é zero, ele realmente limita as outras coordenadas ξ e η a se moverem no semiplano com x>0, pois x<0 corresponde a φ = π.
Desta forma, um par de coordenadas ξ e η especificam um único ponto no semiplano. Então, fazendo φ entre 0 e 2π, o semiplano gira com o ponto (em torno do eixo z, que é a dobradiça): as parábolas formam paraboloides. Um par de paraboloides opostos formam um círculo, e um valor de φ especifica um semiplano que corta o círculo de intersecção em um único ponto. As coordenadas cartesianas dos pontos são [Menzel, p. 139]:
    $x={\sqrt {\xi \eta }}\cos \phi ,$
    $y={\sqrt {\xi \eta }}\sin \phi ,$
    $z={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(\xi -\eta ).$
    ${\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\xi }{\eta }}}\cos \phi &{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\eta }{\xi }}}\cos \phi &-{\sqrt {\xi \eta }}\sin \phi \\{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\xi }{\eta }}}\sin \phi &{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\eta }{\xi }}}\sin \phi &{\sqrt {\xi \eta }}\cos \phi \\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\phi \end{vmatrix}}$