# Teorema Fundamental dos Homomorfismos

Em álgebra abstrata, o teorema fundamental dos homomorfismos, também conhecido como teorema homomórfico fundamental, relaciona a estrutura de dois objetos, entre os quais existe um homomorfismo, e o núcleo e a imagem do homomorfismo.
O teorema homomórfico é usado para provar os teoremas do isomorfismo.

## Versão teórica de grupo

Dados dois grupos $G$ e $H$ e um homomorfismo de grupo $f:G\to H$, seja $K$ um subgrupo normal de $G$ e $\varphi$ o homomorfismo sobrejetivo canônico $G\twoheadrightarrow G/K$ (onde $G/K$ é um grupo quociente). Se $K$ é um subconjunto de ker$(f)$, então, existe um único homomorfismo $h:G/K\to H$ tal que $f=h\circ \varphi$.
Em outras palavras, a projeção natural $\varphi$ é universal entre homomorfismos em $G$ que mapeiam $K$ para o elemento identidade.
A situação é descrita pelo seguinte diagrama comutativo:
Escolhendo $K=\ker(f)$ imediatamente se consegue o primeiro teorema do isomorfismo.

### O caso dos conjuntos

Seja $X$ um conjunto e $R$ uma relação de equivalência sobre $X$ e $\pi _{R}:X\to X/R$ a correspondente sobrejeção. Se $Y$ é um conjunto, uma função $\sigma :X\to Y$ será dita uma $R$-função quando $\sigma$ for constante nas classes de $R$, isto é, quando $x\sim _{R}y$ implica $\sigma (x)=\sigma (y)$ se $x\in X,y\in X$. Toda $R$-função fatora-se unicamente através do quociente $X/R$, isto é, existe uma única função ${\widetilde {\sigma }}:X/R\to Y$ tal que ${\widetilde {\sigma }}\circ \pi _{R}=\sigma$. A unicidade é imediata, posto que $\pi _{R}$ é sobrejetiva. Defina uma relação $\Sigma$ de $X/R$ em $Y$ consistindo de todos os pares $(c,\sigma x)$ para $c\in X/R$, $x\in c$. Essa relação é funcional: seu domínio é claramente todo o $X/R$; ademais, se $(c,\sigma x)$ e $(c,\sigma y)$ estão em $\Sigma$, $x$ e $y$ estão na mesma $R$-classe, logo $\sigma (x)=\sigma (y)$ por hipótese. Temos então uma candidata à função procurada, que envia uma classe de $X/R$ à imagem por $\sigma$ de qualquer um de seus representantes. Mas agora é imediato que a fatoração se verifica, e estamos terminados.
Nas condições do enunciado do teorema do início desta seção, $K\leq \ker(f)$ é equivalente a $f$ ser uma $\equiv _{K}$-função; a aplicação induzida pelas observações do parágrafo anterior é um homomorfismo uma vez que $\pi$ é epimorfismo e $f$ é homomorfismo.

## Segundo Teorema dos Isomorfismos

O Segundo Teorema dos Isomorfismos, também conhecido como Teorema do Isomorfismo do Reticulado (Lattice Isomorphism Theorem), tem o seguinte enunciado
Seja $G$ um grupo e seja $N$ um subgrupo normal de $G$:
(i) O epimorfismo canônico $\pi :G\twoheadrightarrow G/N$ induz um isomorfismo de reticulados entre o conjunto de subgrupos de $G$ contendo $N$ e o conjunto de subgrupos de $G/N$; esse isomorfismo preserva normalidade e podemos escrever $K^{\pi }=K/N\leq G/N$ se $G\geq K\geq N$.
(ii) Se $G\geq H\geq N$, há uma bijeção entre os espaços de classes $G/H\to {\bigG/N{\big )}{\big /}{\bigH/N{\big )}$, i.e., os índices $\left[G:H\right]$ e $\left[G/N\,:\,H/N\right]$ são iguais. Se, além disso, $H\vartriangleleft G$, (note-se que por (i) há uma estrutura natural de grupo no contradomínio) essa bijeção é um isomorfismo.
Prova.
Para (i), o isomorfismo envia um subgrupo à sua imagem por $\pi$ e traz um subgrupo por sua imagem inversa; trata-se de uma bijeção que preserva a ordem parcial de inclusão; também preserva subgrupos gerados e interseções*, portanto é um isomorfismo de reticulados. É imediato que preserva normalidade.
*Que preserva interseções é consequência da igualdade entre espaços de classe $\bigcap _{\alpha \in {\mathcal {A}}}{\bigK_{\alpha }/L{\big )}={\Big\bigcap _{\alpha \in {\mathcal {A}}}K_{\alpha }{\Big )}{\Big /}\!L$, para ${\bigK_{\alpha }{\big )}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ uma família de subgrupos de um mesmo grupo, cada um de seus membros contendo o subgrupo $L$. Uma inclusão é imediata; seja então $\left(k_{\alpha }\right)_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ um elemento do conjunto $\prod K_{\alpha }$ tal que $k_{\alpha }L=k_{\beta }L$ quaisquer que sejam $\alpha ,\beta \in {\mathcal {A}}$. Já que $L\leq \textstyle {\bigcap }\,K_{\alpha }$, vale que para todo $\alpha \in {\mathcal {A}}$, $k_{\alpha }\in \textstyle {\bigcap }\,K_{\alpha }$, implicando a outra.
Para (ii), temos a função de projeção $\pi _{2}:G/N\to G^{\pi }/H^{\pi }$ , portanto temos a sobrejeção $\pi _{2}\circ \pi :G\to {\bigG/N{\big )}{\big /}{\bigH/N{\big )}$. Note que para $a,b\in G$, se $a\equiv _{H}b$, então $a^{-1}b\in H$ e $\pi (a)^{-1}\pi (b)\in H^{\pi }$ ($\pi$ é homomorfismo), donde $\pi (a)\equiv _{H^{\pi }}\pi (b)$ ou seja $\pi _{2}\circ \pi (a)=\pi _{2}\circ \pi (b)$. Portanto $\pi _{2}\circ \pi$ desce, pela propriedade universal de conjuntos-quocientes, para uma função $\varphi$ entre os espaços de classe $G/H\to {\bigG/N{\big )}{\big /}{\bigH/N{\big )}$ tal que $\varphi \circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ \pi$, onde $\pi _{1}$ é a sobrejeção de $G$ sobre o espaço de classes $G/H$. Afirmo que $\varphi$ estabelece a equipotência: a função é sobrejetiva, pois o são $\pi _{2}\circ \pi$ e $\pi _{1}$; é injetiva pois se, digamos, $x=\pi _{1}(s),y=\pi _{1}(t)$, têm a mesma imagem por $\varphi$, então $\pi _{2}\circ \pi (s)=\pi _{2}\circ \pi (t)$, logo $\pi (s)^{-1}\pi (t)\in H^{\pi }$, daí $\pi (s^{-1}t)\in H^{\pi }$, portanto $s^{-1}t\in H$ (pelo isomorfismo de reticulados), logo $x=y$. Se adicionalmente $H\vartriangleleft G$, o argumento se repete mutatis mutandis: em vez de apelarmos à propriedade universal de conjuntos-quocientes, apelamos àquela dos grupos quocientes (isto é, ao teorema que dá nome a esta página), obtendo um homomorfismo que se fatora como antes (uma vez que todas as projeções em questão tornam-se homomorfismos), estabelecendo enfim o isomorfismo $G/H\cong {\bigG/N{\big )}{\big /}{\bigH/N{\big )}$.

### Contando produtos

Ideias análogas às anteriores podem ser usadas para provar a seguinte
Proposição. Sejam $H$ e $K$ subgrupos de um grupo. Então o conjunto de produtos $HK=\{hk:h\in H,k\in K\}$ tem cardinalidade $[H:H\cap K]\cdot \vert K\vert$ (interprete-se à luz da aritmética cardinal).
Se $H$ e $K$ forem finitos, recuperamos a conhecida fórmula $\vert HK\vert ={\frac {\vert H\vert \cdot \vert K\vert }{\vert H\cap K\vert }}$.
Para provarmos, note que temos o seguinte
Fato. Seja $G$ um grupo e sejam $S$ um conjunto de elementos de $G$ e $H\leq G$ com seus elementos em $S$. Suponha que $sh\in S$ sempre que $s\in S$ e $h$ for um elemento do subgrupo $H$. Já que $H\leq G$, a relação $\equiv _{H}$ é uma relação de equivalência sobre $S$ e a hipótese sobre $S$ garante que as classes de equivalência são da forma $sH$ para algum $s\in S$. Logo $\operatorname {Card} (S)={\big\!\operatorname {Card} (S/\!\equiv _{H}){\big )}\vert H\vert$.
O leitor deve ter reconhecido o fato anterior como uma generalização modesta do Teorema de Lagrange. O importante é que, diferentemente deste último, não exigimos que a operação do grupo restrinja-se ao conjunto de elementos. Isso é crucial para provarmos a Proposição: o conjunto $HK$ satisfaz as hipóteses, se tomarmos o subgrupo como sendo $K$. Temos a composição natural $H\,\,{\xrightarrow[]{\iota }}\,\,HK\,\,{\xrightarrow[]{\pi }}\,\,(HK)/\!\equiv _{K}$ que envia um elemento à sua classe. Trata-se de uma $\equiv _{H\cap K}$-função; esta desce, logo, a uma função $\theta$ que vai do espaço de classes $H/H\cap K$ ao conjunto $(HK)/\!\equiv _{K}$. Agora é rotina checar que se trata de uma bijeção. ///
Utilizando o subgrupo $H$ e classes laterais à direita, obtém-se que a cardinalidade de $HK$ também é igual a $[K:H\cap K]\cdot \vert H\vert$, que é igual à cardinalidade de $KH$.
Finalizaremos com a seguinte
Proposição. Se $H$ e $K$ forem subgrupos tais que $H$ normaliza $K$, então o conjunto $HK$ forma um subgrupo, $K\vartriangleleft HK$, $H\cap K\!\vartriangleleft H$ e a função $\theta :H/H\cap K\to (HK)/K$ obtida anteriormente é um isomorfismo.

## Outras versões

Teoremas semelhantes são válidos para monóides, espaços vetoriais, módulos e anéis.

## Veja também

* Homomorfismo
* Isomorfismo
* Grupos