# Quatro quatros

O objetivo do problema dos quatro quatros é formar números inteiros usando quatro algarismos 4 e operações aritméticas elementares. Por exemplo, para formar o número 3, podemos fazer 3 = (4 + 4 + 4) / 4.

## Problema

O problema dos quatro quatros foi apresentado na obra O Homem que Calculava, do autor brasileiro Júlio César de Mello e Souza, sob o heterônimo Malba Tahan. O problema consiste em formar expressões aritméticas utilizando apenas quatro algarismos 4, equivalentes, cada um, aos números inteiros.
Segundo o autor, é possível formar todos os números inteiros entre 0 e 100, utilizando, além dos números, quaisquer sinais e operações matemáticas, sem envolver letras ou inventar funções apenas para resolver o problema. Entusiastas têm resolvido o problema para mesmo além dos 10.000 primeiros inteiros.

## Operações utilizadas

Para encontrar as soluções para este problema, foram empregados os seguintes sinais da matemática:
* + (adição)
* - (subtração)
* * (multiplicação)
* ${\frac {x}{y}}$ (divisão)
* n! (fatorial - representa o produto entre todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n — $4!=1*2*3*4=24$)
* n? (termial - representa a soma de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n — $4?=1+2+3+4=10$)
* $x^{n}$ (exponenciação)
* √ (radiciação) - raiz quadrada e raiz quarta
Além dessas operações, pode-se fazer uso da notação decimal, usando-se a concatenação do algarismo 4 para formar os números 44, 444 e 4444.

### Fórmula Geral

Uma solução geral para o problema dos Quatro Quatros, proposta por Rui Chammas e Roger Chammas, é a que todo número natural $n$ pode ser representado através da fórmula abaixo:
$n=-{\frac {log_{\sqrt {4}}\left(log_{\sqrt {4}}\;\left({\begin{matrix}4n+1\;{\mbox{radicais}}\\\overbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} \end{matrix}}\right)\right)}{4}}$
Na fórmula alternativa abaixo, o número de raízes quadradas no termo da direita é igual ao número que se quer representar na esquerda.
$n=log_{\frac {\sqrt {4}}{4}}\left(log_{4}\;\left({\begin{matrix}n\;{\mbox{radicais}}\\\overbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} \end{matrix}}\right)\right)$
A prova desta igualdade se dá pela indução abaixo. Os termos com a mesma cor são equivalentes.
    ${\begin{aligned}1&=\log _{\frac {1}{2}}({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{1}}=\log _{\color {red}{\frac {1}{2}}}({\color {green}{\log _{4}4}}^{({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{1}}})=log_{\color {red}{\frac {\sqrt {4}}{4}}}(\log _{4}{\color {blue}{4^{({\frac {1}{2}})^{1}}}})=log_{\frac {\sqrt {4}}{4}}(\log _{4}{\color {blue}{\sqrt {4}}})\\2&=\log _{\frac {1}{2}}({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{2}}=\log _{\color {red}{\frac {1}{2}}}({\color {green}{\log _{4}4}}^{({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{2}}})=log_{\color {red}{\frac {\sqrt {4}}{4}}}(\log _{4}{\color {blue}{4^{({\frac {1}{2}})^{2}}}})=log_{\frac {\sqrt {4}}{4}}(\log _{4}{\color {blue}{\sqrt {\sqrt {4}}}})\\3&=\log _{\frac {1}{2}}({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{3}}=\log _{\color {red}{\frac {1}{2}}}({\color {green}{\log _{4}4}}^{({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{3}}})=log_{\color {red}{\frac {\sqrt {4}}{4}}}(\log _{4}{\color {blue}{4^{({\frac {1}{2}})^{3}}}})=log_{\frac {\sqrt {4}}{4}}(\log _{4}{\color {blue}{\sqrt {\sqrt {\sqrt {4}}}}})\\&\dots \\n&=\log _{\frac {1}{2}}({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{n}}=\log _{\color {red}{\frac {1}{2}}}({\color {green}{\log _{4}4}}^{({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{n}}})=log_{\color {red}{\frac {\sqrt {4}}{4}}}(\log _{4}{\color {blue}{4^{({\frac {1}{2}})^{n}}}})=log_{\frac {\sqrt {4}}{4}}(\log _{4}{\color {blue}\underbrace {\sqrt {\sqrt {\dots {\sqrt {\sqrt {4}}}}}} _{n{\text{ raízes quadradas}}}})\\\end{aligned}}$

### Soluções (até o 120)

Soluções :
| $0=44-44$ | $28=(4+4)*4-4$ | $56=4*4+4?*4$ | $84=4?*4?-4*4$ |
| $1={\frac {44}{44}}$ | $29=4!+4+{\frac {4}{4}}$ | $57=(4?)?+4-4+{\sqrt {4}}$ | $85=(4?)?+4?+4?+4?$ |
| $2={\frac {4}{4}}+{\frac {4}{4}}$ | $30=\left(4-{\frac {4}{4}}\right)*4?$ | $58=(4?)?+4-{\frac {4}{4}}$ | $86=4?*4?-4-4?$ |
| $3={\frac {4*4-4}{4}}$ | $31={\frac {4?*4?+4!}{4}}$ | $59=(4?)?+4-4+4$ | $87=(4?)?+4*(4+4)$ |
| $4={\frac {4-4}{4}}+4$ | $32=4*4+4*4$ | $60=4*4*4-4$ | $88=44+44$ |
| $5={\frac {4*4+4}{4}}$ | $33=4?+4!-{\frac {4}{4}}$ | $61=(4?)?+4+4-{\sqrt {4}}$ | $89=(4?)?+4!+({\sqrt {4}}?)?+4$ |
| $6=4+{\frac {4+4}{4}}$ | $34=4?+4?+4?+4$ | $62={\frac {4?*4?+4!}{\sqrt {4}}}$ | $90=(4?)?+(4?)?-4?-4?$ |
| $7={\frac {44}{4}}-4$ | $35=4?+4!+{\frac {4}{4}}$ | $63={\frac {4^{4}-4}{4}}$ | $91=(4?)?+4?*4-4$ |
| $8={\frac {4+4}{4}}*4$ | $36=44-4-4$ | $64=4^{4-{\frac {4}{4}}}$ | $92=4?*4?-4-4$ |
| $9=4+4+{\frac {4}{4}}$ | $37=(4?)?-4!+4+{\sqrt {4}}$ | $65={\frac {4^{4}+4}{4}}$ | $93=(4?)?+4!+4!-4?$ |
| $10={\frac {44-4}{4}}$ | $38=44-{\frac {4!}{4}}$ | $66=4*4*4+{\sqrt {4}}$ | $94=4?*4?-4-{\sqrt {4}}$ |
| $11=4?+4^{4-4}$ | $39=4?*4-{\frac {4}{4}}$ | $67=(4?)?+4+4+4$ | $95=4!*4-{\frac {4}{4}}$ |
| $12={\frac {44+4}{4}}$ | $40=4!+4!-4-4$ | $68=4*4*4+4$ | $96=4!*4+4-4$ |
| $13=4?+4-{\frac {4}{4}}$ | $41=4?*4+{\frac {4}{4}}$ | $69=(4?)?+4?+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}$ | $97=4!*4+{\frac {4}{4}}$ |
| $14={\frac {4!}{4}}+4+4$ | $42=4!+4!-4-{\sqrt {4}}$ | $70={\frac {4?*(4!+4)}{4}}$ | $98=4?*4?-4+{\sqrt {4}}$ |
| $15=4*4-{\frac {4}{4}}$ | $43=44-{\frac {4}{4}}$ | $71=(4?)?+{\sqrt {4}}*{\sqrt {4}}*4$ | $99=4?*4?-{\frac {4}{4}}$ |
| $16=4^{\frac {4}{4}}*4$ | $44={\frac {44*4}{4}}$ | $72={\sqrt {4}}*(4?+4!+{\sqrt {4}})$ | $100=4?*4?+4-4$ |
| $17=4*4+{\frac {4}{4}}$ | $45=44+{\frac {4}{4}}$ | $73=(4?)?+4*4+{\sqrt {4}}$ | $101=4?*4?+{\frac {4}{4}}$ |
| $18=4?+4+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}},$ | $46=4!+4?+4?+{\sqrt {4}}$ | $74=4*4*4+4?$ | $102=4?*4?+4-{\sqrt {4}}$ |
| $19=4!-4-{\frac {4}{4}}$ | $47=4!+4!-{\frac {4}{4}}$ | $75=(4?)?+4*4+4$ | $103=(4?)?+44+4$ |
| $20=4?*{\frac {4+4}{4}}$ | $48=4!+4!+4-4$ | $76=4?*(4+4)-4$ | $104=4?*4?+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}$ |
| $21=4!-4+{\frac {4}{4}}$ | $49=4!+4!+{\frac {4}{4}}$ | $77=(4?)?+4?+4?+{\sqrt {4}}$ | $105=({\frac {4!}{4}}+4+4)?$ |
| $22=4!-{\frac {4+4}{4}}$ | $50={\frac {4!}{4}}+44$ | $78=4?*(4+4)-{\sqrt {4}}$ | $106=4^{4}-{\frac {(4!)?}{\sqrt {4}}}$ |
| $23=4!-4^{4-4}$ | $51=(4?)?-4!+4!-4$ | $79=(4?)?+4?+4?+4$ | $107={\frac {(4!-4)?}{\sqrt {4}}}+{\sqrt {4}}$ |
| $24=4*4+4+4$ | $52=44+4+4$ | $80=4*4?+4*4?$ | $108=4?*4?+4+4$ |
| $25=4!+4^{4-4}$ | $53=(4?)?-{\sqrt {4}}-4+4$ | $81=(4-{\frac {4}{4}})^{4}$ | $109=(4*4-{\sqrt {4}})?+4$ |
| $26=4!+{\frac {4+4}{4}}$ | $54=4!+4!+{\sqrt {4}}+4$ | $82=4?*(4+4)+{\sqrt {4}}$ | $110=(4?)?+(4?)?+4-4$ |
| $27=4!+4-{\frac {4}{4}}$ | $55=(4?)?+4-{\sqrt {4}}-{\sqrt {4}}$ | $83=(4?)?+4!+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}$ | $111={\frac {444}{4}}$ |
| $112=(4?)?+(4?)?+4-{\sqrt {4}}$ | $113=4!+4!+4?+({\sqrt {4}}?)$ | $114=(4?)?+(4?)?+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}$ | $115=(4?)?+(4?)?+{\frac {4?}{\sqrt {4}}}$ |
| $116=4?*4?+4*4$ | $117=(4?)?*({\sqrt {4}}?)-4!-4!$ | $118=(4?)?+(4?)?+4+4$ | $119=(4?)?+(4?)?+{\sqrt {4}}?*{\sqrt {4}}?$ |
| $120=4?*4?+4!-4$ | | | |

## π, i, e

A função gama generaliza o fatorial para números que não são inteiros, ou, mais precisamente, $\Gamma (n+1)=n!.$ Em particular, como $\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},$ pode-se dizer que $\left(-{\frac {1}{2}}\right)!={\sqrt {\pi }}.$ Portanto, o número transcendente π pode ser escrito com quatro quatros:
$\pi ={\Bigg{\bigg{\frac {{\sqrt {4}}-4}{4}}{\bigg )}!{\Bigg )}^{\sqrt {4}}$
A unidade imaginária i também pode ser escrita como:
$i={\sqrt {-{\frac {4\times 4}{4\times 4}}}}$
Não é possível escrever o número de Euler e, porém é possível se aproximar o quanto se queira:
$e\approx {\Bigg{\frac {4!!!!+{\sqrt {4!!!!}}}{4!!!!}}{\Bigg )}^{\sqrt {4!!!!}}$