# Polinômios de Hermite

Os polinômios de Hermite são um exemplo de polinômios ortogonais cujo principal campo de aplicação encontra-se na mecânica quântica, especialmente no estudo do oscilador harmônico unidimensional. São nomeados assim em homenagem a Charles Hermite.

## Definição

Os polinômios de Hermite ("polinômios de Hermite probabilísticos") são definidos por:
    $H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!$
Ou, às vezes, por ("polinômios de Hermite físicos")
    $H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!$
Essas definições não são exatamente equivalentes: uma é o redimensionamento da outra:
    $H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {prob} }({\sqrt {2}}\,x)\,\!$.
Os polinômios físicos podem ser escritos como:
    $H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(2x)^{n}-{\frac {n(n-1)}{1!}}(2x)^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2!}}(2x)^{n-4}-\dots$

## Propriedades
### Ortogonalidade

H$_n$(x) é um polinômio de grau n, com n = 0, 1, 2, 3 ... . Esses polinômios são ortogonais com relação à função peso
    $e^{-x^{2}/2}\,\!$ (probabilidade)
ou
    Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle e^{-x^2}\,\!} (física)
ou seja,
    $\int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}/2}\,dx$
ou
    $\int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={n!2^{n}}{\sqrt {\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}$ (física)
onde $\delta _{\mathit {nm}}$ é o delta de Kronecker, que é igual à unidade quando $n=m$ e nulo no caso contrário. Os polinômios probabilísticos são ortogonais em relação à função densidade de probabilidade normal.

### Função geradora

    $e^{2tx-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)t^{n}}{n!}}$

### Fórmulas de recorrência

Os polinômios de Hermite (na forma "física") satisfazem as seguintes relações de recorrência:
    $H_{n+1}^{\mathrm {phys} }(x)=2xH_{n}^{\mathrm {phys} }(x)-2nH_{n-1}^{\mathrm {phys} }(x)$
    ${H'}_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2nH_{n-1}^{\mathrm {phys} }(x)$

### Decomposição numa série de funções

Qualquer função f contínua pode ser expressa como uma série infinita em termos dos polinômios de Hermite:
    $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)=A_{0}H_{0}(x)+A_{1}H_{1}(x)+A_{2}H_{2}(x)+\ldots$
Onde as constantes são dadas por:
    $A_{k}={\frac {1}{2^{k}k!{\sqrt {\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)H_{k}(x)\ dx$

### Paridade dos polinômios

Os polinômios de Hermite satisfazem:
$H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x)\,$
Logo $H_{n}(x)$ é uma função par para um $n$ par, $n\ =\ \{0,2,4,...\}$, e é uma função ímpar para um $n$ ímpar, $n\ =\ \{1,3,5,...\}$.

### Outras propriedades

    $H_{2n-1}(0)=0\,$
    $H_{2n}^{\mathrm {phys} }(0)=(-1)^{n}2^{n}(1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n-1))$

## Equação diferencial de Hermite

Os polinômios de Hermite são soluções da equação diferencial de Hermite:
    ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+2ny=0$
Que na forma canônica pode ser escrita como:
    ${\frac {1}{e^{-x^{2}}}}{\frac {d}{dx}}\left(e^{-x^{2}}{\frac {dy}{dx}}\right)+2ny=0$