# Momento polar de inércia

O momento polar de inércia (em inglês: polar moment of inertia), também conhecido como segundo momento polar de área, é uma quantidade usada para descrever resistência à deformação torcional em objetos cilíndricos (ou segmentos de objetos cilíndricos) com uma seção transversal invariante e sem empenamento (deformação fora do plano) significativo. É um constituinte do momento de inércia de área, relacionados através do Teorema dos eixos perpendiculares. Onde o segundo momento de área planar descreve a resistência de um objeto à deflexão quando submetido a uma força aplicada a um plano paralelo ao eixo central, o segundo momento de área polar descreve a resistência de um objeto à rotação quando submetido a um momento aplicado em um plano perpendicular ao eixo central de um objeto. Similar ao segundo momento de área planar ($I_{x}$,$I_{y}$ e $I_{xy}$), o segundo momento de área polar é frequentemente denotado como $I_{z}$. Enquanto diversos livros-texto de engenharia e publicações acadêmicas também o denotem como $J$ ou $J_{z}$, deve-se prestar atenção cuidadosa tal que ela não seja confundida com o módulo de torção $J_{t}$, usado para objetos não-cilíndricos.
De forma simples, o momento polar de inércia é a resistência de um eixo ou viga de ser distorcido por torção, em função de sua forma. A rigidez vem apenas da área transversal do objeto e não depende da composição do material ou módulo de cisalhamento. Quanto maior a magnitude do momento polar de inércia, maior a resistência à torção do objeto.

## Definição

    Nota: Embora tenha se tornado comum encontrar o termo momentos de inércia usado para descrever os segundos momentos de área polar e planar , isso é principalmente uma construção de campos de engenharia. O termo momento de inércia, dentro dos campos da física e da matemática, é estritamente o momento de inércia de massa, ou segundo momento de massa, usado para descrever a resistência de um objeto maciço ao movimento rotacional, não sua resistência à deformação torcional. Enquanto os segundos momentos de inércia polar e planar são integrados sobre todos os elementos infinitesimais de uma determinada área em alguma seção transversal bidimensional, o momento de inércia de massa é integrado sobre todos os elementos infinitesimais de massa em um espaço tridimensional ocupado por um objeto. Simplificando, os segundos momentos de inércia polar e planar são uma indicação de rigidez, e o momento de inércia de massa é a resistência ao movimento rotacional de um objeto massivo.
A equação que descreve o momento polar de inércia é uma integral múltipla sobre a área da seção transversal, $A$, do objeto.
    $J=\iint \limits _{A}\rho ^{2}dA$
onde $\rho$ é a distância ao elemento $dA$.
Substituindo as componentes $x$ e $y$, usando o teorema de Pitágoras
    $J=\iint \limits _{A}(x^{2}+y^{2})dxdy$
    $J=\iint \limits _{A}x^{2}dxdy+\iint \limits _{A}y^{2}dxdy$
Dadas as equações do segundo momento de inércia planar
    $I_{x}=\iint \limits _{A}y^{2}dxdy$
    $I_{y}=\iint \limits _{A}x^{2}dxdy$
o momento de inércia polar pode ser descrito como a soma dos momentos de inércia planar $x$ e $y$, $I_{x}$ e $I_{y}$
    $\therefore J=I_{z}=I_{x}+I_{y}$
Isto é mostrado no teorema dos eixos perpendiculares. Para objetos que tem simetria rotacional, tal como um cilindro ou tubo vazado, a equação pode ser simplificada na forma
    $J=2I_{x}$ ou $J=2I_{y}$
Para uma seção circular de raio r:
    $J=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\phi ={\frac {\pi r^{4}}{2}}$

## Unidade

A unidade SI para momento polar de inércia, como para o momento de inércia de área, é metro na potência quatro (m$^4$).