# Duplo Pêndulo

Em Física e Matemática, na área de sistemas dinâmicos, um duplo pêndulo é um sistema com dois pêndulos sendo um deles anexo no extremo do outro. Este é um sistema físico simples que apresentam um complexo comportamento dinâmico com alta sensibilidade em torno das condições iniciais. O movimento do pêndulo duplo é regido por um conjunto fechado de equações diferenciais ordinárias. Para sistemas com energia específica, seu comportamento é caótico.

## Análise e Interpretação

Diversas variáveis do pêndulo duplo podem ser consideradas; os dois corpos podem ter comprimento e massa iguais ou desiguais. Podem ser pêndulo simples ou composto (também conhecido como pêndulo complexo) e o movimento pode ser em três dimensões ou restrito ao plano vertical. Na análise seguinte, consideramos as partes do pêndulo composto com a mesma massa $m$ e o mesmo comprimento $\ell$, e o movimento é restrito em duas dimensões:
Em um pêndulo duplo, a massa é distribuída ao longo do comprimento do corpo. Se a massa é uniformemente distribuída, então, o centro de massa de cada corpo está localizado no ponto médio do mesmo e o seu momento de inércia é $\textstyle I={\frac {1}{12}}m\ell ^{2}$ em torno do centro de massa.
Convenientemente usamos ângulos entre o corpo e a vertical como coordenadas generalizadas para definição da configuração do sistema. Estes ângulos são chamados θ1 e θ2. A posição do centro de massa de cada barra pode ser escrita em termos dessas duas coordenadas. Se a origem do sistema de coordenadas Cartesianas considerado é o ponto de suspensão do primeiro pêndulo, então, o centro de massa desse pêndulo é:
    $x_{1}={\frac {\ell }{2}}\sin \theta _{1},$
    $y_{1}=-{\frac {\ell }{2}}\cos \theta _{1}$
e o centro de massa do segundo pêndulo é:
    $x_{2}=\ell \left(\sin \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right),$
    $y_{2}=-\ell \left(\cos \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right).$
Com isso, escrevemos o Lagrangiano:

## Lagrangiano

O Lagrangiano é:
    ${\begin{aligned}L&={\hbox{Energia Cinética}}-{\hbox{Energia Potential}}\\&={\frac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}$
O primeiro termo é a energia cinética linear do centro de massa dos corpos e o segundo termo é a energia cinética rotacional em torno do centro de massa de cada braço. O último termo é a energia potencial dos corpos em um campo gravitacional uniforme. A notação de Newton indica a derivada temporal da variável em questão.
Substituindo as coordenadas abaixo e reorganizando os termos:
    $L={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]+{\frac {1}{2}}mg\ell \left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).$
Há somente uma quantidade conservada (energia), e não conservado o momento. Os dois momentos podem ser escritos como:
    $p_{\theta _{1}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]$
e
    $p_{\theta _{2}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right].$
Estas expressões podem ser invertidas para obtermos:
    ${{\dot {\theta }}_{1}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}$
e
    ${{\dot {\theta }}_{2}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.$
As equações restantes de movimento são escritas como:
    ${{\dot {p}}_{\theta _{1}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{1}\right]$
e
    ${{\dot {p}}_{\theta _{2}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{2}\right].$
A última das quatro equações são fórmulas explícitas para a evolução temporal do sistema no seu estado atual. Não é possível ir mais longe e integrar estas equações analiticamente, para obter fórmulas para θ$_1$ e θ$_2$ como função do tempo. No entanto, é possível realizar essa integração numericamente usando o método Runge Kutta ou técnicas similares.

## Movimento caótico

O pêndulo duplo sofre movimento caótico e mostra uma sensível dependência das condições iniciais. A imagem a direita mostra quanto tempo levou para o pêndulo virar, em função das condições iniciais. Aqui, o valor inicial para θ$_1$ varia de −3 a 3 ao longo do eixo x. Já o valor inicial para θ$_2$ varia de −3 a 3 ao longo do eixo y. (Presumidamente, esta exposição está descrevendo uma versão estacionária com termo cinético igual a zero.) A cor de cada pixel indica a variação do pêndulo com $10{\sqrt {\ell /g}}$ (verde), within $100{\sqrt {\ell /g}}$ (vermelho), $1000{\sqrt {\ell /g}}$ (roxo) ou $10000{\sqrt {\ell /g}}$ (azul). Condições iniciais, que não levam a virar, são plotados em branco.
A fronteira da região branca central é definida em parte pela conservação de energia com a seguinte curva:
    $3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.\,$
Dentro da região definida por esta curva, temos:
    $3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,\,$
Logo, do ponto de vista energético, é impossível o pêndulo virar. Fora desta região, o pêndulo pode virar, mas quando ele vai virar torne-se uma questão complexa para determinar. Comportamento semelhante é observado para um pêndulo duplo composto por duas massas pontuais, em vez de duas hastes com massa distribuída.
A falta de uma frequência de excitação natural, levou-se à utilização de sistemas de pêndulo duplo em modelos de resistência sísmica dos edifícios, onde o próprio edifício é o pêndulo primário invertido e uma massa secundária é ligada ao edifício para completar o pêndulo duplo.