# Método do domínio fictício

Em matemática, o Método do domínio fictício é um método para encontrar as soluções de uma equação diferencial parcial em um domínio complicado $D$, substituindo um dado problema em um domínio $D$ por um novo problema em um domínio simples $\Omega$ contendo $D$

## Formulação Geral

Considere uma área $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ na qual queiramos encontrar a solução $u(x)$ da equação:
    $Lu=-\phi (x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in D$
com Condições de fronteira:
    $lu=g(x),x\in \partial D\,$
A ideia do método do domínio fictício é basicamente substituir um problema dado em um domínio $D$, por um novo problema em um simples domínio $\Omega$ contendo $D$ ($D\subset \Omega$). Por exemplo, podemos escolher um paralelepípedo n-dimensional como $\Omega$.
Problema no domínio $\Omega$ para a nova solução $u_{\epsilon }(x)$:
    $L_{\epsilon }u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \Omega$
    $l_{\epsilon }u_{\epsilon }=g^{\epsilon }(x),x\in \partial \Omega$
É necessário levar o problema a uma área estendida para que as seguintes condições sejam satisfeitas:
    $u_{\epsilon }(x){\xrightarrow[{\epsilon \rightarrow 0}]}u(x),x\in D\,$

## Exemplo simples, problema unidimensional

    ${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=-2,\quad 0<x<1\quad (1)$
    $u(0)=0,u(1)=0\,$

### Prolongamento pelos coeficientes principais

$u_{\epsilon }(x)$ solução do problema:
    ${\frac {d}{dx}}k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}=-\phi ^{\epsilon }(x),0<x<2\quad (2)$
O coeficiente descontínuo $k^{\epsilon }(x)$ e o lado direito da equação anterior obtemos das expressões:
    $k^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}$
    $(3)$
    $\phi ^{\epsilon }(x)={\begin{cases}2,&0<x<1\\2c_{0},&1<x<2\end{cases}}$
Condições de fronteira:
    $u_{\epsilon }(0)=0,u_{\epsilon }(1)=0$
Condições de conexão no ponto $x=1$:
    $[u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0$
onde $[\cdot ]$ significa:
    $[p(x)]=p(x+0)-p(x-0)\,$
A equação (1) tem solução analítica portanto podemos facilmente obter o erro:
    $u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ^{2}),\quad 0<x<1$

### Prolongamento por coeficientes de ordem mais baixa

$u_{\epsilon }(x)$ solução do problema:
    ${\frac {d^{2}u_{\epsilon }}{dx^{2}}}-c^{\epsilon }(x)u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),\quad 0<x<2\quad (4)$
Onde $\phi ^{\epsilon }(x)$ pegamos como em (3), e a expressão para $c^{\epsilon }(x)$
    $c^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}$
como condições de fronteira para a equação (4) assim como para (2).
Condições de conexão do ponto $x=1$:
    $[u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[{\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0$
Erro:
    $u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ),\quad 0<x<1$

## Literatura

* P.N. Vabishchevich, The Method of Fictitious Domains in Problems of Mathematical Physics, Izdatelstvo Moskovskogo Universiteta, Moskva, 1991.
* Smagulov S. Fictitious Domain Method for Navier–Stokes equation, Preprint CC SA USSR, 68, 1979.
* Bugrov A.N., Smagulov S. Fictitious Domain Method for Navier–Stokes equation, Mathematical model of fluid flow, Novosibirsk, 1978, p. 79–90