# Braquistócrona

Denomina-se braquistócrona a trajectória de uma partícula que, sujeita a um campo gravitacional constante, sem atrito e com velocidade inicial nula, se desloca entre dois pontos no menor intervalo de tempo. Note-se que a questão não é qual o percurso mais curto entre os dois pontos, cuja resposta nas condições dadas é a reta que os une, mas sim, qual trajectória é percorrida no menor tempo.

## Etimologia

A palavra braquistócrona vem do grego brakhistós (o mais curto) e khrónos (tempo).

## História

O problema começou por ser publicado na Acta Eruditorum de Leipzig, de Junho de 1696, onde Johann Bernoulli anunciava possuir uma solução e desafiava os cientistas para, num prazo de seis meses, fazerem o mesmo. Em Janeiro de 1697 publica uma nova proclamação anunciando que apenas Leibniz lhe comunicara ter chegado à solução, mas pedia um adiamento do prazo até à Páscoa para uma maior divulgação da questão junto do meio científico, o que foi aceito.
Acabariam por ser apresentadas cinco soluções nas Actas de 1697: a do próprio, a do seu irmão Jacob, a de Leibniz, a de L'Hôpital e uma sob anonimato (que seria a de Isaac Newton, como este veio a reconhecer mais tarde).
Ao contrário do que nossa intuição possa sugerir, o percurso mais rápido de uma esfera (por exemplo) ao longo de uma calha que una dois pontos a diferentes alturas não é uma linha recta. Esse menor tempo é obtido se a bola percorrer uma linha em forma de ciclóide.

## Demonstração por Bernoulli

Pelo Princípio de Fermat o caminho mais rápido entre dois pontos é o que segue um raio de luz. A curva Braquistócrona corresponderá assim ao trajeto seguido pela luz num meio em que a velocidade aumenta segundo uma aceleração constante (a força da gravidade g).
A lei da conservação de energia permite expressar a velocidade de um corpo submetido à atracção terrestre pela fórmula:
    $v={\sqrt {2gh}}$,
onde h representa a perda de altitude em relação ao ponto de partida. De notar que não depende do ponto de partida horizontal.
A lei da refracção indica que um raio luminoso ao longo da sua trajectória obedece à regra:
    ${\frac {sen{\theta }}{v}}=K$,
onde $\theta$ representa o ângulo em relação à vertical e $K$ uma constante.
Inserindo nesta fórmula a expressão da velocidade acima, tiram-se de imediato duas conclusões:
1- No ponto de partida, visto que a velocidade é nula, o ângulo também é nulo. Logo a curva braquistócrona é tangente à vertical na origem.
2- A velocidade é limitada, pois o seno não pode ser superior a 1. Esta velocidade máxima á atingida quando a partícula (ou o raio) passa pela horizontal.
Sem prejudicar a generalidade do problema, supõe-se que a partícula parta do ponto de coordenadas (0,0) e que a velocidade máxima seja atingida à altitude –D. A lei da refracção exprime-se então por:
    ${\frac {sen{\theta }}{\sqrt {-2gy}}}={\frac {1}{\sqrt {2gD}}}$.
Num ponto qualquer da trajectória podemos aplicar a relação:
    $sen{\theta }={\frac {dx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}$.
Inserindo esta expressão na fórmula precedente e arrumando os termos da mesma obtém-se:
    ${\begin{pmatrix}{\frac {dy}{dx}}\end{pmatrix}}^{2}=-{\frac {D+y}{y}}$.
Que corresponde à equação diferencial do oposto de uma cicloide gerado pelo diâmetro D.

## Formalização do problema

Considere uma curva suave $\lambda$ no plano $(x,y)$ unindo dois pontos fixos $P_{0}=(x_{0};y_{0})$ e $P_{1}=(x_{1};y_{1})$. (Suponha que $y_{0}>y_{1}$). O tempo $T$ necessário para que uma partícula localizada na posição $(x,y)$ percorra a curva $\lambda$ de $P_{0}$ até $P_{1}$ é dado por
$T=\int _{0}^{T}dt=\int _{\lambda }{\frac {ds}{v}}$
Assumimos que a força gravitacional terrestre atua no sentido negativo do eixo $y$. Assim, uma partícula localizada na posição $(x,y)$e que desliza ao longo de $\lambda$ sob a força da gravidade terá energia cinética e energia potencial dadas respectivamente como ${\frac {1}{2}}mv^{2}$ e $mgy$, em que $m$ é a massa da partícula. Pela conservação de energia, temos
${\frac {1}{2}}mv^{2}+mgy=mgy_{0},$
onde a partícula começa no repouso em $P_{0}$ com energia cinética inicial zero e energia potencial igual $mgy_{0}$. Consideramos sem perda de generalidade que $\lambda$ é parametrizada por
$\lambda :y=Y(x),\;\;x_{0}\leq x\leq x_{1}$
para alguma função $Y(x)$ adequada temos
$v={\sqrt {2g[y_{0}-Y(z)]}},\;\;\;ds={\sqrt {1+Y'(z)^{2}}}dz.$
Portanto,
$T(\lambda )=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {\frac {1+Y'(z)^{2}}{2g[y_{0}-Y(z)]}}}dz\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$
Para qualquer $Y$ em $D(T)=\{Y\in \;C_{[x_{0};x_{1}]}^{1}\;|\;Y(x_{0})=y_{0}\;\,e\;\,Y(x_{1})=y_{1}\}\subseteq \;C_{[x_{0},x_{1}]}^{1}$.

## Solução por meio do cálculo variacional

Para facilitar, vamos considerar , na seção de formalização do problema, $P_{0}=(0;0)$ e $P_{1}=(x_{1},y_{1})$, assim adaptando (1), temos
$T(\lambda )={\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{0}^{x_{1}}{\sqrt {\frac {1+Y'(z)^{2}}{Y(z)}}}dz\;\;\;\;\;\;\;Y(0)=0\;,Y(x_{1})=y_{1}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$
Agora, precisamos encontrar a função $y$que minimize (2) , com as condições de fronteiras dadas.
Considere então a função $F(x;y;y')={\dfrac {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {y}}}$. Assim, $F_{y'}={\dfrac {y'}{\sqrt {y(1+y'^{2})}}}$. A condição necessária para termos um extremo para o funcional é dada pela equação de Euler-Lagrange $(F_{y}-{\dfrac {d}{dx}}F_{y'})$; como neste caso o funcional não depende de $x$, tem-se $(F-y'F_{y'}=K_{1})$, e deste modo, temos
${\frac {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {y}}}-{\frac {y'2}{\sqrt {y(1+y'2)}}}={\frac {1}{\sqrt {y(1+y'^{2})}}}=K_{1}$
Isto é,
$y(1+y'^{2})=K_{2}$
Para resolver esta equação diferencial, insere-se um parâmetro $t$. Então considere $y'(x(t))=\cot(t)$ e assim , tem-se
$y={\frac {K_{2}}{1+\cot ^{2}t}}={\frac {K_{2}}{1+{\dfrac {(1+\cos(2t))/2}{(1-\cos(2t))/2}}}}$
Assim,
$y={\frac {K_{2}}{2}}(1-\cos(2t))$
Derivando $y$em relação a $t$, tem-se $dy=2K_{2}{\textrm {s}}en(t)\cos(t)dt$, e como $dx={\frac {dy}{y'(x)}}$, logo
$dx={\frac {2K_{2}{\textrm {s}}en(t)\cos(t)}{\cot(t)}}dt=K_{2}(1-\cos(2t))dt$
isto é,
$x(t)=K_{2}t-{\frac {K_{2}{\textrm {s}}en(2t)}{2}}+K_{3}={\frac {K_{2}}{2}}(2t-{\textrm {s}}en(2t))+K_{3}$
Desta forma, uma parametrização para$\lambda$ é dada por $(x(t);y(t))$, e fazendo $2t=\theta$, ${\frac {K_{2}}{2}}=R_{1}$ e como $x(0)=0$, então $K_{3}=0$, assim fica-se com $x(\theta )=R_{1}(\theta -{\textrm {s}}en(\theta ))$ e $y(\theta )=R_{1}(1-\cos(\theta ))$.Assim, a curva $\lambda =(x(\theta );y(\theta ))$, que é um arco de cicloide, é candidata a extremo do funcional.
Vamos agora verificar as condições suficientes para mostrar que a curva $\lambda =(x(\theta );y(\theta ))$ minimiza o funcional. Observe que o feixe de cicloide $x=r(\alpha -{\textrm {s}}en(\alpha ))$ e $y=r(1-\cos(\alpha ))$ com o centro $(0;0)$ forma um campo central que inclui o extremal
$x(\theta )=R_{1}(\theta -{\textrm {s}}en(\theta ))$ e $y(\theta )=R_{1}(1-\cos(\theta ))$
onde $R_{1}$ é determinado pela condição de que a cicloide passa pelo ponto de fronteira $P_{1}=(x_{1};y_{1})$, então $x_{1}<2\pi R_{1}$.
Além disso, como $F_{y'}={\dfrac {y'}{\sqrt {y(1+y'^{2})}}}$, então $F_{y'y'}={\dfrac {1}{{\sqrt {y}}{\sqrt {(1+y'^{2})^{3}}}}}>0$
para qualquer $y'$. Assim, verifica-se a condição suficiente para que o funcional assuma o mínimo na cicloide
$x(\theta )=R_{1}(\theta -{\textrm {s}}en(\theta ))$ e $y(\theta )=R_{1}(1-\cos(\theta ))$
Portanto temos a confirmação que a solução do problema da Braquistócrona é a cicloide.