# Teste Q

Em estatística, na análise de delineamentos em blocos aleatorizados em que a variável de resposta pode assumir apenas dois valores possíveis (codificados como 0 e 1), o teste Q de Cochran é um teste estatístico não paramétrico para verificar se $k$ tratamentos têm efeitos idênticos. Recebe este nome em homenagem ao estatístico escocês William Gemmell Cochran. O teste Q de Cochran não deve ser confundido com o teste C de Cochran, que é um teste para valores atípicos de variância. Em termos menos técnicos, o teste Q exige apenas que haja uma resposta binária (sucesso ou fracasso, 1 ou 0) e que haja dois ou mais grupos pareados (grupos do mesmo tamanho). O teste avalia se a proporção de sucessos é a mesma entre os grupos. É frequentemente usado para avaliar se diferentes observadores do mesmo fenômenos têm resultados consistentes quando comparados entre si, ou seja, estudar a variabilidade entre observadores

## Plano de fundo

O teste Q de Cochran assume que há $k$ tratamentos, sendo $k>2$, e que as observações estão dispostas em $b$ blocos, isto é,
| | Tratamento 1 | Tratamento 2 | $\cdots$ | Tratamento k |
| Bloco 1 | X$_{11}$ | X$_{12}$ | $\cdots$ | X$_{1k}$ |
| Bloco 2 | X$_{21}$ | X$_{22}$ | $\cdots$ | X$_{2k}$ |
| Bloco 3 | X$_{31}$ | X$_{32}$ | $\cdots$ | X$_{3k}$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\ddots$ | $\vdots$ |
| Bloco b | X$_{b1}$ | X$_{b2}$ | $\cdots$ | X$_{bk}$ |

## Descrição

O resultado do teste Q de Cochran pode ser:
    $H_{0}$: Os tratamentos são igualmente efetivos;
    $H_{a}$: Há uma diferença de efetividade entre os tratamentos.
A fórmula do teste Q é:
    $T=k\left(k-1\right){\frac {\sum \limits _{j=1}^{k}\left(X_{\bullet j}-{\frac {N}{k}}\right)^{2}}{\sum \limits _{i=1}^{b}X_{i\bullet }\left(k-X_{i\bullet }\right)}}$
    em que
    $k$ é o número de tratamentos;
    $X_{\bullet j}$ é total da coluna para o $j$-ésimo tratamento;
    $b$ é o número de blocos;
    $X_{i\bullet }$ é o total da linha para o $i$-ésimo bloco;
    $N$ é o total da tabela.

## Região crítica

Para um nível de significância $\alpha$, a região crítica é
    $T>\chi _{1-\alpha ,k-1}^{2}$
em que $\chi _{1-\alpha ,k-1}^{2}$ é o $(1-\alpha )$-quantil do qui-quadrado com $k-1$ graus de liberdade. A hipótese nula é rejeitada se a estatística do teste estiver na região crítica. Se o teste Q de Cochran rejeita a hipótese nula para tratamentos igualmente efetivos, podem ser feitas comparações múltiplas par a par pela aplicação de teste Q em dois tratamentos de interesse.

## Pressupostos

O teste Q de Cochran é baseado nos seguintes pressupostos:
* Uma grande aproximação de amostras; em particular, pressupõe-se que $b$ é "grande";
* Os blocos foram aleatoriamente selecionados a partir da população de todos os blocos possíveis;
* Os valores observados dos tratamentos podem ser codificados como respostas binárias (isto é, 0 ou 1) em uma forma que é comum a todos os tratamentos no interior de cada bloco.

## Testes relacionados

* Quando se usa este tipo de delineamento para uma resposta que não é binária, mas ordinal ou contínua, emprega-se o teste de Friedman ou os testes de Durbin.
* O caso em que há exatamente dois tratamentos é equivalente ao teste de McNemar, que é por sua vez equivalente ao teste do sinal bicaudal.