# Coeficiente de correlação tau de Kendall

Em estatística, o coeficiente de correlação de postos de Kendall, comumente chamado de coeficiente tau de Kendall (devido à letra grega τ), é uma estatística usada para medir a correlação de postos entre duas quantidades medidas. Um teste tau é um teste de hipóteses não paramétrico referente à dependência estatística baseada no coeficiente tau.
É uma medida de correlação de postos, ou seja, verifica a semelhança entre as ordens dos dados quando classificados por cada uma das quantidades. Recebe este nome em homenagem ao estatístico britânico Maurice Kendall, que o desenvolveu em 1938. O filósofo alemão Gustav Fechner propôs uma medida semelhante no contexto das séries temporais em 1897.
Intuitivamente, a correlação de Kendall entre duas variáveis será elevada se as observações tiverem uma classificação semelhante (ou idêntica no caso de correlação igual a 1), comparadas as duas variáveis. Por classificação, entende-se a descrição das posições relativas das observações no interior de cada variável. A correlação de Kendall será baixa quando as observações tiverem uma classificação diferente (ou completamente diferente no caso de correlação igual a -1) comparadas as duas variáveis.
Tanto o coeficiente $\tau$, como o coeficiente $\rho$ de Spearman podem ser formulados como casos especiais de um coeficiente de correlação geral.

## Definição

Considere $(x_{1},y_{1})$, $(x_{2},y_{2})$, ..., $(x_{n},y_{n})$ um conjunto de observações das variáveis aleatórias conjuntas $X$ e $Y$ respectivamente, tal que todos os valores de $(x_{i})$ e $(y_{i})$ sejam únicos. Qualquer par de observações $(x_{i},y_{i})$ e $(x_{j},y_{j})$, em que $i\neq j$, é concordante se as classificações de ambos os elementos concordarem uma com a outra, isto é, se $x_{i}>x_{j}$ e $y_{i}>y_{j}$ ou se $x_{i}<x_{j}$ e $y_{i}<y_{j}$. Elas são discordantes se $x_{i}>x_{j}$ e $y_{i}<y_{j}$ ou se $x_{i}<x_{j}$ e $y_{i}>y_{j}$. Se $x_{i}=x_{j}$ ou $y_{i}=y_{j}$, o par não é nem concordante, nem discordante.
O coeficiente $\tau$ de Kendall é definido como:
    $\tau ={\frac {({\text{quantidade de pares concordantes}})-({\text{quantidade de pares discordantes}})}{n(n-1)/2}}.$

### Propriedades

* O denominador é o número total de combinações de pares, então, o coeficiente deve estar no intervalo $-1\leq \tau \leq 1$.
* Se a concordância entre as duas classificações for perfeita (isto é, se as duas classificações forem iguais), o coeficiente tem valor 1.
* Se a discordância entre as duas classificações for perfeita (isto é, se uma classificação for o reverso da outra), o coeficiente tem valor -1.
* Se $X$ e $Y$ forem independentes, espera-se que o coeficiente seja próximo de zero.

## Teste de hipóteses

O coeficiente de postos de Kendall é frequentemente usado como uma estatística de teste em um teste de hipóteses para estabelecer se duas variáveis podem ser consideradas estatisticamente dependentes. O teste é não paramétrico, já que não se apoia em pressupostos sobre as distribuições de $X$ ou $Y$ ou a distribuição de $(X,Y)$.
Sob a hipótese nula da independência de $X$ e $Y$, a distribuição amostral de $\tau$ tem valor esperado igual a zero. Esta distribuição não pode ser caracterizada em termos de distribuições comuns, mas pode ser calculada com exatidão para pequenas amostras. No caso de amostras maiores, é comum usar uma aproximação da distribuição normal com média zero e variância igual a:
    ${\frac {2(2n+5)}{9n(n-1)}}$.

## Repetições

Um par $\{(x_{i},y_{i}),(x_{j},y_{j})\}$ é considerado empatado se $x_{i}=x_{j}$ ou $y_{i}=y_{j}$. Um par empatado não é concordante, nem discordante. Quando pares empatados aparecem nos dados, o coeficiente pode ser modificado de várias maneiras para que se mantenha no intervalo $[-1,1]$.

### Tau-a

A estatística de Tau-a testa a razão de possibilidades de tabelas de contingência. Ambas as variáveis devem ser ordinais. Tau-a não fará ajustes para empates. É definida como:
    $\tau _{A}={\frac {n_{c}-n_{d}}{n_{0}}}$
em que $n_{c}$, $n_{d}$ e $n_{0}$ são definidas na próxima seção.

### Tau-b

A estatística de Tau-b, diferentemente de Tau-a, faz ajustes para empates. Valores de Tau-b variam entre -1 (associação 100% negativa ou inversão perfeita) e +1 (associação 100% positiva ou concordância perfeita). Sendo igual a zero, indica ausência de associação.
O coeficiente Tau-b de Kendall é definido como:
    $\tau _{B}={\frac {n_{c}-n_{d}}{\sqrt {(n_{0}-n_{1})(n_{0}-n_{2})}}}$
em que
* $n_{0}=n(n-1)/2$;
* $n_{1}=\sum _{i}t_{i}(t_{i}-1)/2$;
* $n_{2}=\sum _{j}u_{j}(u_{j}-1)/2$;
* $n_{c}$ é o número de pares concordantes;
* $n_{d}$ é o número de pares discordantes;
* $t_{i}$ é o número de valores empatados no $i$-ésimo grupo de empates para a primeira quantidade;
* $u_{j}$ é o número de valores empatados no $j$-ésimo grupo de empates para a segunda quantidade.

### Tau-c

A estatística de Tau-c (também chamada de Tau-c de Stuart-Kendall) difere de Tau-b na medida em que é mais adequada para tabelas retangulares do que para tabelas quadradas.

## Testes de significância

Quando duas quantidades são estatisticamente independentes, a distribuição de $\tau$ não é facilmente caracterizável em termos de distribuições conhecidas. Entretanto, para $\tau _{A}$, a seguinte estatística, $z_{A}$, é aproximadamente distribuída como uma normal padrão quando as variáveis são estatisticamente independentes:
    $z_{A}={3(n_{c}-n_{d}) \over {\sqrt {n(n-1)(2n+5)/2}}}$
Assim, para testar se as duas variáveis são estatisticamente dependentes, computa-se $z_{A}$ e encontra-se a probabilidade cumulativa para a distribuição normal padrão em $-|z_{A}|$. Para um teste bicaudal, multiplica-se aquele número por dois para obter o valor-p. Se o valor-p, estiver abaixo de um dado nível de significância, rejeita-se a hipótese nula (àquele nível de significância) de que as quantidades são estatisticamente independentes.
Numerosos ajustes devem ser acrescentados a $z_{A}$ quando se levam em conta os empates. A seguinte estatística, $z_{B}$, tem distribuição igual à distribuição $\tau _{B}$ e é mais uma vez aproximadamente igual à distribuição normal padrão quando as quantidades forem estatisticamente independentes:
    $z_{B}={n_{c}-n_{d} \over {\sqrt {v}}}$
em que
* $v=(v_{0}-v_{t}-v_{u})/18+v_{1}+v_{2}$;
* $v_{0}=n(n-1)(2n+5)$;
* $v_{t}=\sum _{i}t_{i}(t_{i}-1)(2t_{i}+5)$;
* $v_{u}=\sum _{j}u_{j}(u_{j}-1)(2u_{j}+5)$;
* $v_{1}=\sum _{i}t_{i}(t_{i}-1)\sum _{j}u_{j}(u_{j}-1)/(2n(n-1))$;
* $v_{2}=\sum _{i}t_{i}(t_{i}-1)(t_{i}-2)\sum _{j}u_{j}(u_{j}-1)(u_{j}-2)/(9n(n-1)(n-2))$.