# Teorema de Mittag-Leffler

Na análise complexa, o teorema de Mittag-Leffler diz respeito à existência de funções meromorfas com polos prescritos. Por outro lado, pode ser usado para expressar qualquer função meromorfa como uma soma de frações parciais. É irmão do teorema de fatoração de Weierstrass, que afirma a existência de funções holomorfas com zeros prescritos. Tem o nome de Gösta Mittag-Leffler.

## O Teorema

Seja $D$ um conjunto aberto em $\mathbb {C}$ e $E\subset D$ um subconjunto discreto fechado. Para cada $a$ em $E$, tem-se que $p_{a}(z)$ é um polinômio em$1/(z-a)$ . Portanto, existe uma função meromorfa $f$ em $D$ tal que para cada $a\in E$, a função $f(z)-p_{a}(z)$ tem apenas uma singularidade removível em $a$. Em especial, a principal parte da função $f$ em $a$ é $p_{a}(z)$.
Pode-se provar o teorema da seguinte forma abaixo:
Se $E$ é finito, basta dizer que $f(z)=\sum _{a\in E}p_{a}(z)$ .
E se $E$ não é finito, considera-se a soma finita $S_{F}(z)=\sum _{a\in F}p_{a}(z)$ em que $F$ é um subconjunto finito de $E$ .
Enquanto que o $S_{F}(z)$ possa não convergir na medida em que F se aproxima de E, pode-se subtrair funções racionais bem escolhidas com polos fora de D (fornecido pelo teorema de Runge), sem que altere as partes principais do $S_{F}(z)$ e de forma que a convergência seja garantida.

## Exemplo

Supondo que deseja-se uma função meromorfa com polos simples de resíduo 1 em todos os números inteiros positivos. Com a notação vista acima, escreve-se:
    $p_{k}={\frac {1}{z-k}}$
e $E=\mathbb {Z} ^{+}$, o teorema de Mittag-Leffler afirma (não construtivamente) a existência de uma função meromorfa $f$ com parte principal $p_{k}(z)$ em $z=k$ para cada número inteiro positivo $k$ . Assim, a $f$ tem as propriedades desejadas. De forma mais construtiva, pode-se escrever:
    $f(z)=z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(z-k)}}$.
Esta série converge normalmente em $\mathbb {C}$ (como pode ser mostrado usando o teste M) para uma função meromorfa com as propriedades desejadas.

## Expansões polares de funções meromorfas

Aqui estão alguns exemplos de expansões de polos de funções meromorfas:
    $\tan(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {8z}{(2n+1)^{2}\pi ^{2}-4z^{2}}}$
    $\csc(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+2z\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}}}$
    $\sec(z)\equiv -\csc \left(z-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n-1}}{z-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)\pi }{(n+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}-z^{2}}}$
    $\cot(z)\equiv {\frac {\cos(z)}{\sin(z)}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+2z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-(k\,\pi )^{2}}}$
    $\csc ^{2}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(z-n\,\pi )^{2}}}$
    $\sec ^{2}(z)={\dfrac {d}{dz}}\tan(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {8((2n+1)^{2}\pi ^{2}+4z^{2})}{((2n+1)^{2}\pi ^{2}-4z^{2})^{2}}}$
    ${\frac {1}{z\sin(z)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\pi n(z-\pi n)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {2}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}}}$

## Transformadas de Laplace

    Existe também, a partir da definição da função de Mittag-Leffler, o laplaciano ${\mathcal {L}}$ tal como o inverso ${\mathcal {L^{-1}}}$do mesmo. Para isso, adicionam-se parâmetros à função conforme proposto pelo matemático Prabhakar, veja as fórmulas abaixo:
   * Função com 3 parâmetros:
    Sendo que $E_{\alpha ,\beta }^{p}(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\dfrac {(p)_{k}z^{k}}{\Gamma (k\alpha +\beta )k!}}$ é a função definida por 3 parâmetros, agora basta integrar na fórmula de Laplace e temos que o laplaciano é igual a ${\mathcal {L}}[s^{\alpha p-\beta }E_{\alpha \beta }^{p}(\pm \lambda t^{\alpha })]={\frac {s^{\alpha p-\beta }}{(s^{\alpha }\mp \lambda )^{p}}}$ e para o seu inverso obtém-se ${\mathcal {L^{-1}}}\left[{\frac {s^{\alpha p-\beta }}{(s^{\alpha }\mp \lambda )^{p}}}\right]=t^{\beta -1}E_{\alpha \beta }^{p}(\pm \lambda t^{\alpha })$.
   * Função com 2 parâmetros: ${\mathcal {L}}[t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }(-\lambda t^{\alpha })]=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\dfrac {(-\lambda )^{k}}{s^{\alpha k+\beta }}}={\frac {s^{\alpha -\beta }}{(s^{\alpha }+\lambda )}}$ e a transformada inversa é igual a ${\mathcal {L^{-1}}}\left[{\frac {s^{\alpha -\beta }}{(s^{\alpha }+\lambda )}}\right]=t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }(-\lambda t^{\alpha })$.
   * Função com 1 parâmetro: ${\mathcal {L}}[E_{\alpha }(-\lambda t^{\alpha })]=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\dfrac {(-\lambda )^{k}}{s^{\alpha k+1}}}={\frac {s^{\alpha -1}}{(s^{\alpha }+\lambda )}}$ e a transformada inversa é igual a ${\mathcal {L^{-1}}}\left[{\frac {s^{\alpha -1}}{(s^{\alpha }+\lambda )}}\right]=E_{\alpha }(-\lambda t^{\alpha })$.