# Função de Bessel

A Função de Bessel, foi definida pela primeira vez por Daniel Bernoulli e generalizada por Friedrich Bessel. Ela é a solução da equação diferencial:
    $x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+(x^{2}-\ p^{2})y=0,$
para um número real $p$ . Ela é denominada equação de Bessel de índice $p$.

## Definição

Como a função de Bessel é obtida a partir da solução de uma equação diferencial de segunda ordem, esta deve possuir duas soluções linearmente independentes. Entretanto, a depender das circunstâncias, múltiplas formulações dessas soluções podem ser convenientes. As diferentes variações com nomenclatura são resumidas na tabela abaixo.
| Type | First kind | Second kind |
| Bessel functions | J$_α$ | Y$_α$ |
| Funções de Bessel modificadas | I$_α$ | K$_α$ |
| Funções de Hankel | H(1) α = J$_α$ + iY$_α$ | H(2) α = J$_α$ − iY$_α$ |
| Funções de Bessel esféricas | j$_n$ | y$_n$ |
| Funções de Hankel esféricas | h(1) n = j$_n$ + iy$_n$ | h(2) n = j$_n$ − iy$_n$ |
As funções de Bessel de segunda espécie e as funções de Bessel esféricas de segunda espécie são por vezes denotadas por N$_n$ e n$_n$, respectivamente, ao invés de Y$_n$ e y$_n$.

### Dedução das funções de Bessel principais

Utilizando o método de resolução de equações diferencias por séries de potências:
O ponto $x_{0}=0$ é um ponto singular regular para a equação de Bessel. Desta forma podemos aplicar o método de Frobenius para este ponto singular regular. O método consiste em procurar a seguinte solução:
$y=(x-x_{0})^{r}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$
Aplicada no ponto singular regular. Como zero é um ponto singular regular da equação de Bessel podemos aplicar a equação acima substituindo $x_{0}$por zero:
$y=x^{r}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n},a_{0}\neq 0$
$y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+r},a_{0}\neq 0$
Substituindo a solução na equação, temos:
$\sum _{n=0}^{\infty }(n+r)(n+r-1)a_{n}x^{n+r}+\sum _{n=0}^{\infty }(n+r)a_{n}x^{n+r}+\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+r+2}-\sum _{n=0}^{\infty }p^{2}a_{n}x^{n+r}=0$
Podemos juntar o 1º, 2º e 4º somatório:
$\sum _{n=0}^{\infty }((n+r)^{2}-p^{2})a_{n}x^{n+r}+\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+r+2}=0$
No segundo somatório substituímos n por um número k qualquer de maneira que $n=k-2$ e fatorando os termos elevados ao quadrados do primeiro somatório:
$\sum _{n=0}^{\infty }(n+r+p)(n+r+p)a_{n}x^{n+r}+\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k+r}=0$
Podemos agora substituir k por n no segundo somatório:
$\sum _{n=0}^{\infty }(n+r+p)(n+r+p)a_{n}x^{n+r}+\sum _{n=2}^{\infty }a_{n-2}x^{n+r}=0$
Separando os dois primeiros termos do primeiro somatório, o primeiro somatório agora começa a partir de n=2 e podemos agrupar os dois somatórios em somente um somatório que começa em n=2:$(n+r)(r-p)a_{0}x^{r}+(r+p+1)(r-p+1)a_{1}x^{r+1}+\sum _{n=2}^{\infty }((n+r+p)(n+r-p)a_{n}+a_{n-2})x^{n+r}=0$Como temos que toda esta equação deve ser zero e como definimos inicialmente que $a_{0}\neq 0$ :
$(r+p)(r-p)=0$
$(r+p+1)(r-p+1)a_{1}=0$
$(n+r+p)(n+r-p)a_{n}+a_{n-2}=0$
Resolvendo a primeira equação das três obtemos duas raízes:
$r_{1}=p$
$r_{2}=-p$
Usando a primeira solução, ou seja $r_{1}=p$, e substituindo na segunda equação:
$(2p+1)a_{1}=0$
Desta forma obtemos:
$a_{1}=0$
Substituindo $r_{1}=p$ na terceira equação:
$(n+2p)na_{n}+a_{n-2}=0$
Esta igualdade é valida para n=2,3,4,...
Isolando o termo $a_{n}$ na equação, obtemos:
$a_{n}=-{\frac {a_{n-2}}{n(n+2p)}}$
Desta forma sabemos que os termos a de índices ímpares são zero enquanto que termos de índice par seguem a regra de recorrência acima indicada. Para descobrirmos $a_{2}$ ,por exemplo, só necessitamos trocar todos os números genéricos n na fórmula de recorrência por 2:
$a_{2}=-{\frac {a_{0}}{2(2+2p)}}$
Para descobrir $a_{4}$ fazemos o mesmo procedimento descrito anteriormente mas para n=4:
$a_{4}=-{\frac {a_{2}}{4(4+2p)}}$
Colocamos o valor de $a_{2}$ já foi determinada substituímos seu valor na fórmula acima:
$a_{4}={\frac {a_{0}}{2.4(2+2p)(4+2p)}}$
Em geral,
$a_{2n}={\frac {(-1)^{n}a_{0}}{n!(1+p)(2+p)...(n+p).2^{2n}}}$
De maneira geral ao valor de $a_{0}$ é atribuído:
$a_{0}={\frac {1}{2^{p}\Gamma (1+p)}}$
Utilizando a identidade:
$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$
Temos que $a_{2n}$ que pode ser escrito da seguimte forma:
$a_{2n}=-{\frac {(-1)^{n}}{n!\Gamma (n+p+1)2^{2n+p}}}$
A primeira solução da equação de Bessel é:
$y_{1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\Gamma (n+p+1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2n+p}$
$J_{p}(x)$
$J_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\Gamma (n+p+1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2n+p}$
A função de Bessel de primeira espécie pode ser representada para p=m=0,1,2,3,...:
    $J_{m}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!(n+m)!}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2n+m}.$
A função de Bessel de segunda espécie pode ser obtida através do método de D’Alembert, e, para $\alpha$ inteiro, tem a forma:
    $Y_{m}(x)={\frac {J_{m}(x)\cos(m\pi )-J_{-m}(x)}{\sin(m\pi )}}.$

### Casos particulares

As funções de Bessel para $m=\pm {\frac {1}{2}}$ podem ser escritas em termos de funções elementares:
$J_{\frac {1}{2}}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}sen(x)$ e $J_{-{\frac {1}{2}}}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}cos(x)$

### Transformada de Laplace

Seja a Equação de Bessel $J_{0}(at){=}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\cdot {\frac {{\Bigl{\frac {at}{2}}{\Bigr )}^{2n}}{(n!)^{2}}}$ , então temos que sua transformada de Laplace é dada por:${\mathcal {L}}\left\{J_{0}(at)\right\}{=}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\cdot {\frac {{\Bigl{\frac {a}{2}}{\Bigr )}^{2n}}{(n!)^{2}}}\cdot {\mathcal {L}}\left\{J_{0}(at)\right\}{=}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\cdot {\frac {{\Bigl{\frac {a}{2}}{\Bigr )}^{2n}}{(n!)^{2}}}\cdot {\frac {({2n}!)}{s^{2n+1}}}{=}{\frac {1}{s}}\cdot {\Bigl1-{\frac {1}{2}}\cdot {\Bigl{\frac {a}{s}}{\Bigr )}^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\Bigl{\frac {a}{s}}{\Bigr )}^{4}+...{\Bigr ]}{=}{\frac {1}{s}}\cdot {\Bigl1+{\Bigl{\frac {a}{s}}{\Bigr )}^{2}{\Bigr )}^{\frac {-1}{2}}{=}{\frac {1}{s}}\cdot {\Bigl{\frac {s^{2}+a^{2}}{s^{2}}}{\Bigr )}^{\frac {-1}{2}}{=}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}$

## Propriedades

Algumas relações da função de Bessel da primeira espécie:
* Para $p$ inteiro: $J_{-p}(x)=(-1)^{p}J_{p}(x)$
* Para $p$ não inteiro: $J_{p}(x)eJ_{-p}(x)$ são linearmente independentes
* ${\frac {d}{dz}}\{J_{p}(z)\}=J_{p-1}(z)-{\frac {p}{z}}J_{p}(z)$
* ${\frac {d}{dz}}\{z^{p}J_{p}(z)\}=z^{p}J_{p-1}(z)$

## Aplicações

* Solução das equações de Laplace e Helmholtz, em coordenadas cilíndricas ou esféricas;
** Ondas eletromagnéticas;
** Análise de sinais modulados em frequência (FM);
** Condução de calor;
** Vibração;
** Difusão.
** Processamento de sinais (filtro Bessel).
** Soluções para a equação de Schrödinger radial (em coordenadas esféricas e cilíndricas) de uma partícula livre.
** Solução para os padrões de radiação acústica.
** atrito em função da frequência em condutas circulares.
** A dinâmica de corpos flutuantes.