# Função convexa

Em matemática, uma função f de [a,b] em R é dita convexa se a região sobre o seu gráfico, ou seja, o conjunto:
    $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,y\geq f(x)\}$
For um conjunto convexo. Isto equivale a afirmar que, para quaisquer x e y pertencentes a [a,b] e para todo t ∈ [0,1], tem-se:
    $f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$
Ou seja, uma função é convexa se a imagem pela função de qualquer combinação convexa entre dois pontos do domínio resulte em um valor que é no máximo igual à combinação convexa das imagens desses pontos. Uma função diz-se estritamente convexa se, para quaisquer x e y pertencentes a [a,b] e para todo t ∈ (0,1), se tiver:
    $f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y)$

## Definição formal

Seja $f:A\rightarrow \mathbb {R}$, definida no conjunto convexo $A\subseteq \mathbb {R} ^{N}$. Sejam também dois pontos x e y do domínio e a constante $\alpha \in \left[0,1\right]$. Então:
| A função será... | Se e somente se... | Exemplo visual |
| Convexa | $f(tx+(1-t)y){\color {Red}\leq }tf(x)+(1-t)f(y)$ | Uma função (em preto) é convexa se e apenas se a região acima dela (em verde) é um conjunto convexo |
| Estritamente convexa | $f(tx+(1-t)y){\color {Red}<}tf(x)+(1-t)f(y)$ | |
| Côncava | $f(tx+(1-t)y){\color {Red}\geq }tf(x)+(1-t)f(y)$ | O gráfico de uma função que é, ao mesmo tempo, côncava e quasiconvexa com os números reais não-negativos. |
| Estritamente côncava (e portanto também côncava) | $f(tx+(1-t)y){\color {Red}>}tf(x)+(1-t)f(y)$ | |
| Quasicôncava | $f\left[\alpha x+\left(1-\alpha \right)y\right]{\color {Red}\geq }\min\{f(x),f(y)\}$ | A função densidade de probabilidade da distribuição normal é quasicôncava, mas não côncava |
| Estritamente quasicôncava (e portanto também quasicôncava) | $f\left(x\right)\geq t$, $f\left(y\right)\geq t$ e $x\neq y$ implicarem necessariamente que $f\left[\alpha x+\left(1-\alpha \right)y\right]{\color {Red}>}t$ | |
| Quasiconvexa | $f\left[\alpha x+\left(1-\alpha \right)y\right]{\color {Red}\leq }\max\{f(x),f(y)\}$ | Uma função quasiconvexa que não é convexa Uma função quasilinear é tanto quasiconvexa quanto quasicôncava. |

## Propriedades das funções convexas

* Uma função convexa em [a,b] é sempre contínua em (a,b).
* Uma função contínua num intervalo I é convexa se e somente se:
    $f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\leq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}$ para qualquer x,y ∈ I.
* Uma função diferenciável é convexa num intervalo se e só se a sua derivada é monótona não decrescente nesse intervalo.
* Uma função continuamente diferenciavel de uma variável é convexa num intervalo, se e só se:
    $f(y)\geq f(x)+f'(x)(y-x)$, para todos x e y no intervalo.
* Uma função duas vezes diferenciável de uma variável é convexa num intervalo se e somente se, a sua segunda derivada é maior ou igual a zero em todo o intervalo.
* Se a sua segunda derivada é estritamente positiva então a função é estritamente convexa.
* Se uma função convexa possui um mínimo local, ele também será um mínimo global.
* Uma função estritamente convexa possui no máximo um mínimo.
* O máximo de funções convexas também é uma função convexa.

## Exemplos

* A função $f(x)=x^{2}$ é convexa.
* A função $f(x)=e^{x}$ é convexa.
* O valor absoluto é uma função convexa $\left(f(x)=|x|\right)$

## Extensões

Seja $\mathbb {V}$ um espaço vetorial e $C$ um conjunto convexo contido em $\mathbb {V}$, então um função $f:C\to \mathbb {R}$ é dita convexa se:
    $f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$ para todo $t$ em [0,1].
E estritamente convexa se:
    $f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y)$ para todo $t$ em (0,1) e $x\neq y$.

### Exemplos

* Toda norma ou semi-norma é convexa, pela desigualdade triangular
* Todo funcional linear em $\mathbb {R} .$ é convexo.

## Aplicações

* Funções convexas são amplamente utilizadas para demonstrar desigualdades tais como a desigualdade de Young.
* A convexidade desempenha um papel muito importante na aplicação de métodos variacionais para EDPs não-lineares.