# Equação de Lane-Emden

Em astrofísica, a equação de Lane-Emden é uma equação diferencial ordinária que modeliza a estrutura interna de um sistema termodinâmico descrito pela equação de estado de um fluido politrópico auto-gravitante, ou seja, sujeito somente a influência de sua própria massa. A equação é obtida a partir da hipótese adicional de simetria esférica, que exclui as situações em que os sistemas possuem movimento de rotação.
Essa equação determina o perfil de pressão, densidade e temperatura em alguns casos de interesse físico, como o gás ideal e o gás degenerado de férmions à temperatura nula nas situações não-relativística e ultra-relativística. Esses modelos permitem uma descrição simples de anãs brancas e outros astros compactos, nos quais a pressão de degenerescência tem um papel importante.
A equação de Lane-Emden recebe o seu nome em homenagem aos astrofísicos Jonathan Lane e Robert Emden, sendo Lane quem primeiro propôs esta equação em 1870. Lord Kelvin e A. Ritter fizeram contribuições importantes ao estudo dessa equação no século XIX, assim como Ralph H. Fowler e Subrahmanyan Chandrasekhar nos anos 1930.

## Apresentação

A equação diferencial de Lane-Emden é dada por:
* ${\frac {1}{\zeta ^{2}}}{\frac {d}{d\zeta }}\left({\zeta ^{2}{\frac {d\theta }{d\zeta }}}\right)+\theta ^{n}=0$
onde $\zeta \,$ é o raio reescalonado:
    $\zeta =r\left({\frac {4\pi G\rho _{c}^{2}}{(n+1)P_{c}}}\right)^{\frac {1}{2}}$
e a densidade $\rho \,$ é dada como.
    $\rho =\rho _{c}\theta ^{n}\,$
os subescritos "c" referem-se aos valores de referência da adimensionalização e são normalmente escolhidos os valores encontrados no centro do politropo. A condição de simetria esférica implica necessariamente que a derivada é nula em $r=0\,$:
* ${\frac {d\theta }{dr}}=0\,$
O valor de $\theta \,$ em $r=0\,$, pode ser obtido a partir do valor da densidade:
    $\theta (0)=\left(\rho (0)/\rho _{c}\right)^{1/n}\,$ é dado
No caso mais comum em que escolhe-se $\rho _{c}=\rho (0)\,$, temos:
* $\theta (0)=1\,$

## Contexto físico

Em um fluido politrópico, a pressão P está relacionada com a densidade $\rho \,$ por uma equação de estado da forma:
    $P=C\rho ^{\gamma }\quad (1)\,$,
onde C é uma constante e $\gamma \,$ é um número não inferior a 1 chamado de constante adiabática. A constante adiabática se relaciona com índice do politropo pela relação:
    $\gamma =1+{\frac {1}{n}}\,$.
O fluido está submetido à força gerada pelo seu próprio campo gravitacional. Esta força é radial e aponta para o centro da estrutura. A magnitude da força gravitacional é denotada pela letra g é considerada uma função da distância ao centro r:
    $g=g(r)\,$
do teorema das cascas esféricas a força gravitacional dentro de uma estrutura com simetria esférica é dado pela expressão:
    $g(r)={\frac {G}{r^{2}}}M(r)\quad (2)\,$
onde $M(r)\,$ é massa total contida até a distância r do centro:
    $M(r)=4\pi \int _{o}^{r}s^{2}\rho (s)ds\quad (3)\,$
aqui $\rho (s)\,$ é densidade do fluido à distância s do centro.
Como o fluido está em equilíbrio hidrostático, vale a equação de Poisson:
    $\nabla P=\rho g\quad (4)\,$

## Derivação da equação de Lane-Emden

Da simetria esférica e da relação (1), a equação (4) reduz a:
    $C\gamma \rho ^{\gamma -1}{\frac {d\rho }{dr}}=\rho g\quad (5)\,$
Usando o valor de M(R) dado por (3) em (2) e substituindo esta expressão para a densidade em (5)
    $C\gamma \rho ^{\gamma -1}{\frac {d\rho }{dr}}=4\pi \rho {\frac {G}{r^{2}}}\int _{o}^{r}s^{2}\rho (s)ds\,$
ou, equivalentemente:
    $C\gamma r^{2}\rho ^{\gamma -2}{\frac {d\rho }{dr}}=4\pi G\int _{o}^{r}s^{2}\rho (s)ds\quad (6)\,$
Esta é uma equação íntegro-diferencial para a densidade $\rho \,$ em função de $r\,$. Diferenciando ambos os lados da equação por $r\,$, obtemos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:
    ${\frac {d}{dr}}\left[C\gamma r^{2}\rho ^{\gamma -2}{\frac {d\rho }{dr}}\right]=4\pi Gr^{2}\rho \,$
A ideia agora é introduzir a seguinte mudança de variáveis:
    $\rho =\rho _{c}\theta ^{n}\quad \gamma =1+1/n\,$
    ${\frac {d}{dr}}\left[C(n+1)\rho _{c}^{\gamma -1}r^{2}{\frac {d\theta }{dr}}\right]=4\pi Gr^{2}\rho _{c}\theta ^{n}\,$
ou, equivalentemente:
    ${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left[r^{2}{\frac {d\theta }{dr}}\right]={\frac {4\pi G\rho _{c}^{2-\gamma }}{C(n+1)}}\theta ^{n}\,$
A equação de estado (1) sugere definir $P_{c}:=C\rho _{c}^{\gamma }\,$, de forma que:
    ${\frac {P}{P_{c}}}=\left({\frac {\rho }{\rho _{c}}}\right)^{\gamma }\,$
e assim, obtemos:
    ${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left[r^{2}{\frac {d\theta }{dr}}\right]={\frac {4\pi G\rho _{c}^{2}}{(n+1)P_{c}}}\theta ^{n}\,$
E conclui-se o desenvolvimento, introduzindo uma nova mudança de variáveis, rescalonando o raio:
    $\zeta =r\left({\frac {4\pi G\rho _{c}^{2}}{(n+1)P_{c}}}\right)^{\frac {1}{2}}$

## Soluções da equação

A equação pode ser resolvida analiticamente quando n = 0, 1 or 5:
| n = | 0 | 1 | 5 |
| $\theta$ = | $1-{\frac {\zeta ^{2}}{6}}$ | ${\frac {\sin \zeta }{\zeta }}$ | $\left(1+{\frac {\zeta ^{2}}{3}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ |
| ζ$_0$ = | ${\sqrt {6}}$ | $\pi$ | ∞ |
Aqui, ζ$_0$ indica o primeiro zero da solução.

### Caso n = 0

O caso $n=0\,$ descreve um politropo em que a densidade é uniforme (isocórico). O problema neste caso é linear e é dado por:
    $\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{\zeta ^{2}}}{\frac {d}{d\zeta }}\left({\zeta ^{2}{\frac {d\theta }{d\zeta }}}\right)+1=0,~~&\zeta >0\\\theta =1,~~~~{\frac {d\theta }{d\zeta }}=0,~~&\zeta =0\end{array}}\right.$
É fácil ver que a solução geral da equação é dada por:
    $\theta =-{\frac {\zeta ^{2}}{6}}+{\frac {C_{1}}{\zeta }}+C_{2}\,$
a condição de a solução estar definida na origem implica $C_{1}=0\,$ e a condição $\theta (0)\,$ implica $C_{2}=1\,$. A solução é, portanto, dado por:
    $\theta =1-{\frac {\zeta ^{2}}{6}}\,$, cuja derivada vale:
    ${\frac {d\theta }{d\zeta }}=-{\frac {\zeta }{3}}\,$, que, de fato, se anula na origem.

### Caso n = 1

No caso $n=1\,$, o problema é novamente linear e recai numa equação de Bessel esférica de índice 0:
A solução geral desta equação é dada por:
    $\theta =C_{1}{\frac {\cos \zeta }{\zeta }}+C_{2}{\frac {\sin \zeta }{\zeta }}\,$
Da mesma forma, como foi feito para o caso $n=0\,$, $C_{1}=0\,$ e $C_{2}=0\,$, observando que:
    $\lim _{\zeta \to 0}{\frac {\sin \zeta }{\zeta }}=1\,$ e, portanto, a solução é dada por:
    $\theta ={\frac {\sin \zeta }{\zeta }}\,$ cuja derivada vale:
    ${\frac {d\theta }{d\zeta }}={\frac {\zeta \cos \zeta -\sin \zeta }{\zeta ^{2}}}\,$ cujo limite quando $\zeta \to 0\,$ é nulo.

### Soluções singulares

Quando se desconsideram as condições iniciais, a equação de Lane-Emden possui soluções singulares na origem para todo $n>3\,$, ou seja, $\gamma <4/3\,$ da seguinte forma:
    $\theta ={\frac {X}{\zeta ^{p}}}$,
onde
    $X=\left({\frac {2(n-3)}{(n-1)^{2}}}\right)^{\frac {1}{n-1}}$
    $p={\frac {2}{n-1}}$.

### Transformações da Equação de Lane-Emden

* Substituindo $\theta ={\frac {\chi }{\zeta }}\,$, a equação reduz à
    ${\frac {d^{2}\chi }{d\zeta ^{2}}}=-{\frac {\chi ^{n}}{\zeta ^{n-1}}}\,$
* Substituindo $x={\frac {1}{\zeta }}\,$ (transformação de Kelvin), a equação se transforma em:
    $x^{4}{\frac {d^{2}\theta }{dx^{2}}}=-\theta ^{n}\,$
* As transformações de Emden consistem em fazer a seguinte mudança de variáveis:
    $\theta =Ax^{p}z,\quad p={\frac {2}{n-1}}\,$
que satisfaz a seguinte relação:
    ${\frac {d^{2}\theta }{dx^{2}}}=A\left[x^{p}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+2px^{p-1}{\frac {dz}{dx}}+p(p-1)x^{p-2}z\right]\,$
Esta mudança aplicada à equação na forma dada pela transformação de Kelvin, conduz a:
    $x^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+2px{\frac {dz}{dx}}+p(p-1)z+A^{n-1}z^{n}=0\,$
Este equação pode ser simplificada ainda mais pela introdução de mais uma nova variável:
    $x={\frac {1}{\zeta }}=e^{t}\quad t=\log x=-\log \zeta \,$
que reduz a última equação a:
    ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+(2p-1){\frac {dz}{dt}}+p(p-1)z+A^{n-1}z^{n}=0\,$

### Expansão em séries de Taylor

Pode-se encontrar uma expressão para a solução da Equação de Lane-Emden em torno de $r=0\,$ através do método de Frobenius, que consiste em expandir a solução em série de Taylor:
    $\theta (\zeta )=\sum _{i}^{\infty }a_{i}\zeta ^{i}\,$
As condições iniciais implicam diretamente:
    $a_{0}=1\quad a_{1}=0\,$
os outros coeficientes devem ser obtidos substituindo a série de $\theta \,$ na equação. Este procedimento resulta em:
    $\theta (\zeta )=1-{\frac {1}{6}}\zeta ^{2}+{\frac {n}{120}}\zeta ^{4}+\left({\frac {n}{3024}}-{\frac {n^{2}}{1890}}\right)\zeta ^{6}+\left({\frac {n}{46656}}-{\frac {61n^{2}}{1088640}}+{\frac {61n^{3}}{1632960}}\right)\zeta ^{8}+O(\zeta ^{10})\,$