# Cancelamento indevido

${\begin{array}{l}\;\;\;{\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\={\dfrac {d\!\!\!\backslash }{d\!\!\!\backslash }}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\=-{\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}$
Um cancelamento indevido ou cancelamento acidental é um tipo particular de erro processual aritmético que fornece uma resposta numericamente correta. É feita uma tentativa de reduzir uma fração cancelando algarismos individuais no numerador e no denominador. Esta não é uma operação legítima e, em geral, não fornece uma resposta correta, mas em alguns casos raros o resultado é numericamente o mesmo como se um procedimento correto tivesse sido aplicado. Os casos triviais de cancelamento de zeros à direita ou onde todos os algarismos são iguais são ignorados.
Exemplos de cancelamentos indevidos que ainda produzem o resultado correto incluem (esses e seus inversos são todos os casos na base 10 com a fração diferente de 1 e com dois algarismos):
* ${\frac {19}{95}}={\frac {1\!\!{\not 9}}{\not 95}}={\frac {1}{5}}$
* ${\frac {16}{64}}={\frac {1\!\!{\not 6}}{\not 64}}={\frac {1}{4}}$
* ${\frac {26}{65}}={\frac {2\!\!{\not 6}}{\not 65}}={\frac {2}{5}}$
* ${\frac {49}{98}}={\frac {4\!\!{\not 9}}{\not 98}}={\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}.$
O artigo por Boas analisa casos em bases diferentes da base 10, por exemplo, 3213 = 21 e seu inverso são as únicas soluções na base quatro com dois algarismos.
O cancelamento indevido pode ocorrer com mais algarismos, como, por exemplo, 165462 = 1542, e até mesmo com diferentes quantidades de algarismos (98392 = 832).

## Propriedades elementares

Quando a base é um número primo, não há nenhuma solução com dois algarismos. Isso pode ser provado por absurdo: suponha que haja uma solução. Sem perda de generalidade, podemos dizer que essa solução é
${\frac {a||b}{c||a}}={\frac {b}{c}},\ {\rm {base}}\ p,$
em que a dupla barra vertical indica concatenação dos algarismos. Deste modo temos
${\frac {ap+b}{cp+a}}={\frac {b}{c}}\implies (a-b)cp=b(a-c).$
Mas $p>a,b,a-c$, como eles são algarismos na base $p$; além disso, $p$ divide $b(a-c)$, como $p$ é primo e $p>b$, então $p|(a-c)$, logo $a=c$. Portanto $b(a-c)=0$, o que implica que $(a-b)cp=0$, ou seja, $a=b$, o que é um absurdo pelas definições do problema. (se $a=b$, então o cálculo se torna ${\frac {a||a}{c||a}}={\frac {a}{c}}\implies {\frac {a||a}{a||a}}={\frac {a}{a}}=1$, que é um dos casos triviais excluídos.)
Outra propriedade é que o número de soluções na base $n$ é ímpar se e somente se $n$ é o quadrado de um número par. Isso pode ser provado de forma similar à anterior: suponha que tenhamos a solução
${\frac {a||b}{c||a}}={\frac {b}{c}}.$
Então, fazendo a mesma manipulação, nós temos
${\frac {an+b}{cn+a}}={\frac {b}{c}}\implies (a-b)cn=b(a-c)$
Suponha que $a>b,c$. Note que $a,b,c\to a,a-c,a-b$ também é solução para a equação. Isso quase configura uma involução do conjunto de soluções para si mesmo. Mas podemos também substituir para obter $(a-b)(a-b)n=b(a-(a-b))\implies (a-b)^{2}n=b^{2}$, que só tem soluções se $n$ é quadrado. Seja $n=k^{2}$. Tirando a raiz quadrado temos $(a-b)k=b\implies ak=(k+1)b$. Já que o máximo divisor comum de $k,(k+1)$ é um, sabemos que $a=(k+1)x,b=kx$. Sabendo que $a,b<k^{2}$, então as soluções são $x=1,2,3,\ldots ,k-1$, isto é, tem um número impar de soluções quando $n=k^{2}$ é um quadrado par. A recíproca da afirmação pode ser provada notando que todas essas soluções satisfazem a requisição inicial.