# Fidelidade dos estados quânticos

Fidelidade dos estados quânticos, ou função de fidelidade, ou ainda função quântica de fidelidade, em Teoria de informação quântica, é u’a medida do "fechamento" (em inglês, closeness) de/entre dois estados quânticos. Não é medida no espaço de matrizes densidade. Costuma, quando não há possibilidade de confusão, ou se o assunto é tratado especifica e restritamente no domínio físico-químico quântico, ser reportada apenas por fidelidade, a bem da simplicidade.

## Introdução

Em teoria de probabilidade, dadas duas variáveis aleatórias p = (p$_1$...p$_n$) e q = (q$_1$...q$_n$) no espaço de probabilidades X = {1,2...n}. A fidelidade de p e q é definida pela quantidade
    $F(p,q)=\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}.$
Noutras palavras, a fidelidade F(p,q) é o produto escalar ou interno de $({\sqrt {p_{1}}},\cdots ,{\sqrt {p_{n}}})$ e $({\sqrt {q_{1}}},\cdots ,{\sqrt {q_{n}}})$ vistos como vetores no Espaço euclidiano. Observe que, quando p = q, F(p,q) = 1. Em geral, $0\leq F(p,q)\leq 1.$
Fazendo-se as modificações apropriadas para a noção matricial de raiz quadrada, pode-se dizer que a definição acima fornece a função fidelidade de dois estados quânticos.

## Definição

Dadas duas matrizes densidade ρ e σ, a função fidelidade é definida por:
    $F(\rho ,\sigma )=\operatorname {Tr} ({\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}).$
Por M$^½$ de u’a matriz positiva semidefinida M, quer-se significar a unicidade da raiz quadrada dada pelo teorema espectral. O produto escalar ou interno euclidiano a partir da definição clássica é substituído pelo produto escalar de Hilbert-Schmidt. Quando se trata de estados clássicos, isto é, quando ρ e σ são comutativos, a definição dada coincide com aquela válida para função de densidade de probabilidade.
Observe-se, pela definição, que F é não-negativo, e F(ρ,ρ) = 1. Na seção seguinte será mostrado que ele não pode ser maior que 1.

## Exemplos simples
### Estados puros

Considerem-se estados puros dados por:
$\rho =|\phi \rangle \langle \phi |$ and $\sigma =|\psi \rangle \langle \psi |.$ Sua fidelidade será:
    $F(\rho ,\sigma )=\operatorname {Tr} [\rho \;\sigma \rho ]^{\frac {1}{2}}=\operatorname {Tr} \;[|\phi \rangle \langle \phi |\psi \rangle \langle \psi |\phi \rangle \langle \phi |]^{\frac {1}{2}}=|\langle \phi |\psi \rangle |.$
Isso é, algumas vezes, chamado superposição entre dois estados. Se — diga-se — $|\phi \rangle$ é um eigen-estado de um observável, e o sistema é preparado em $|\psi \rangle ,$ então F(ρ, σ)$^2$ é a probabilidade do sistema estar no estado $|\phi \rangle$ após a medida.

### Estados comutativos

Sejam ρ e σ duas matrizes densidade comutativas. Assim, elas podem ser simultaneamente diagonalizadas por matrizes unitárias, de modo que se pode escrever:
    $\rho =\sum _{i}p_{i}|i\rangle \langle i|$ e $\sigma =\sum _{i}q_{i}|i\rangle \langle i|$
para alguma base ortonormal $\{|i\rangle \}.$
O cálculo direto mostra que a fidelidade é:
    $F(\rho ,\sigma )=\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}.$
Isso mostra que, heuristicamente, fidelidade de estados quânticos é uma extensão genuína da noção advinda da teoria de probabilidades.

## Algumas propriedades
### Invariância unitária

O cálculo direto mostra que a fidelidade é preservada por evolução unitária, isto é:
    $F(\rho ,\sigma )=F(U\rho \;U^{*},U\sigma U^{*})$
para qualquer operador unitário U.

### Teorema de Uhlmann

Viu-se que, para dois estados puros, sua fidelidade coincide com a superposição. O teorema de Uhlmann estende ou generalize essa afirmação para estados mistos, em termos de suas purificações:
Teorema Sejam ρ e σ duas matrizes densidade agindo sobre C$^n$. Seja ρ$^½$ a raiz quadrada positiva única de ρ e
    $|\psi _{\rho }\rangle =\sum _{i=1}^{n}\rho ^{\frac {1}{2}}|e_{i}\rangle \otimes |e_{i}\rangle \in \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}$
uma purificação quântica de ρ (logo ${|e_{i}}$ é uma base ortonormal).
Então, a seguinte igualdade é válida:
    $F(\rho ,\sigma )=\max _{|\psi _{\sigma }\rangle }|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |$
onde $|\psi _{\sigma }\rangle$ é uma purificação de σ. Assim, em geral, a fidelidade é a máxima superposição entre as purificações.
Prova: Uma prova simples pode ser apresentada como segue. Seja |Ω > o vetor
    $|\Omega \rangle =\sum |e_{i}\rangle \otimes |e_{i}\rangle$
e σ$^½$ raiz quadrada positiva única de σ. Viu-se que, devido à liberdade unitária em fatorações de raiz quadrada e escolhidas bases ortonormais, uma purificação arbitrária de σ é da forma
    $|\psi _{\sigma }\rangle =(\sigma ^{\frac {1}{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle$
onde V$_i$'s operadores unitários. Agora se calcula diretamente
    $|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |=\langle \Omega |(\rho ^{\frac {1}{2}}\otimes I)(\sigma ^{\frac {1}{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle =\operatorname {Tr} (\rho ^{\frac {1}{2}}\sigma ^{\frac {1}{2}}V_{1}V_{2}).$
Mas, em geral, para qualquer matriz quadrada A e unitária U, é verdadeiro que |Tr(AU)| ≤ Tr (A$^*$A)$^½$. Ademais, igualdade é assegurada se U$^*$ é o operador unitário na decomposição polar de A. Resta, pois, demonstrado diretamente o teorema de Uhlmann.

#### Consequências

Algumas consequências imediatas do teorema de Uhlmann são:
* Fidelidade é simétrica em seus argumentos, isto é F (ρ,σ) = F (σ,ρ). Observe-se, contudo, que isso não é óbvio a partir da definição.
* F (ρ,σ) falha in [0,1], de acordo com a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
* F (ρ,σ) = 1 se e somente se ρ = σ, desde que Ψ$_ρ$ = Ψ$_σ$ implica ρ = σ.