# Método de Rayleigh-Ritz

O método de Rayleigh-Ritz é um método de obtenção de resultados aproximados para Equação diferencial parcial. É semelhante ao Método de Galerkin em que são utilizadas funções testes que atendem as condições de contorno do problema em questão. Entretanto, a aplicação destas funções para aproximação é diferente do Método de Galerkin, uma vez que no Método de Galerkin, a função de aproximação é imposta diretamente na integral ponderada, enquanto no método de Rayleigh-Ritz, a função de aproximação é imposta após a obtenção da Forma Fraca do problema.

## O método

Dada uma equação diferencial genérica
${\frac {d}{dx}}\left(a(x){\frac {d}{dx}}u\right)=q$
e as condições de contorno
$u{\big |}_{x=0}=u_{0}$
$\left(a(x){\frac {d}{dx}}u\right){\Bigg |}_{x=L}$
Aplica-se a o método da Integral Ponderada, atribuindo pesos a função. Isso é feito trazendo o termo q(x) para o outro lado da equação, e multiplicando a equação diferencial por uma função peso w(x), de tal forma que o resultado é:
$\left({\frac {d}{dx}}\left(a(x){\frac {d}{dx}}u\right)-q\right)w=0$
Integrando a função obtemos
$\int _{0}^{L}\left({\frac {d}{dx}}\left(a(x){\frac {d}{dx}}u\right)-q\right)w\,dx$
Realizando a integração por partes temos
$\int _{0}^{L}\left({\frac {d}{dx}}\left(a{\frac {d}{dx}}u\right)-q\right)w\,dx=\left(a\,w{\frac {d}{dx}}u\right){\Bigg |}_{0}^{L}-\int _{0}^{L}a(x){\frac {d}{dx}}w{\frac {d}{dx}}u\,dx+\int _{0}^{L}qw\,dx$
Assim, temos
$\left(a\,w{\frac {d}{dx}}u\right){\Bigg |}_{0}^{L}-\int _{0}^{L}a(x){\frac {d}{dx}}w{\frac {d}{dx}}u\,dx+\int _{0}^{L}qw\,dx=0$
Separando o termo dependente de u e w na esquerda, e os demais na direita temos
$\int _{0}^{L}a(x){\frac {d}{dx}}w{\frac {d}{dx}}u\,dx=\left(a\,w{\frac {d}{dx}}u\right){\Bigg |}_{0}^{L}-\int _{0}^{L}qw\,dx$
Note que no termo $\left(a\,w{\frac {d}{dx}}u\right){\Bigg |}_{0}^{L}$ é onde podemos aplicar as condições de contorno do problema.
Assim sendo, a equação restante está na forma fraca genérica
$B(w,u)=l(w)$
O método então busca aproximações para a solução desta equação, estimando a função $u$ por
$u=\sum _{j=1}^{N}c_{j}\phi _{j}+\phi _{0}$
onde $\left\{\phi _{j}\right\}_{j=1}^{N}$ é o conjunto de funções previamente escolhidas satisfazendo as condições de contorno essencial homogênea do problema, e $\phi _{0}$ é a função que satisfaz a condição de contorno essencial do problema.
No método de Rayleigh-Ritz, os coeficientes$c_{j}$ são obtidos substituindo a função peso $w$ por uma das funções de aproximação $\phi _{i}$. Como no método de Rayleigh-Ritz procura-se a solução $u_{N}=\sum _{j=1}^{N}c_{j}\phi _{j}+\phi _{0}$ que a satisfaça, determinaremos os coeficientes $c_{j}$ pela substituição da função peso $w$ e a função $u$, pela função de aproximação $\phi _{i}$ e a aproximação $u_{N}$, respectivamente. Assim, faremos que no termo
$B(w,u)=l(w)$
os termos
$w=\phi _{i}$
e
$u=u_{N}=\sum _{j=1}^{N}c_{j}\phi _{j}+\phi _{0}$
Com isso, obtemos
$B(\phi _{i},\sum _{j=1}^{N}c_{j}\phi _{j}+\phi _{0})=l(\phi _{i}),\,\,\,\,\,\,\,\,\,(i=1,2,3,\dots ,N)$
Supondo a bilinearidade do operador B, simplifica-se para
$\sum _{j=1}^{N}B(\phi _{i},\phi _{j})c_{j}=l(\phi _{i})-B(\phi _{i},\phi _{0}),\,\,\,\,\,\,\,\,\,(i=1,2,3,\dots ,N)$
De maneira mais simplificada, fazendo
$B_{ij}=B(\phi _{i},\phi _{j})$
$F_{i}=l(\phi _{i})-B(\phi _{i},\phi _{0})$
Obtemos a forma simplificada como
$\sum _{j=1}^{N}B_{ij}c_{j}=F_{i},\,\,\,\,\,\,\,\,\,(i=1,2,3,\dots ,N)$
Isso representa um sistema de N equações algébricas a N incógnitas, com os coeficientes $c_{j}$, e o sistema possui solução única desde que a matriz $B_{ij}$ seja inversível.

## Aplicações

O método de Rayleigh-Ritz é um dos métodos utilizados na análise através do Método dos Elementos Finitos. É um método bastante utilizado por oferecer menos restrições nas funções de aproximação $\left\{\phi _{j}\right\}_{j=1}^{N}$ . A grande diferença comparado ao Método dos resíduos ponderados é que o Método de Rayleigh-Ritz utiliza as mesmas funções peso $w(x)$ que foram utilizadas para as funções de aproximação $\left\{\phi _{j}\right\}_{j=1}^{N}$.