# Distribuição de Wigner

Em matemática, a distribuição de Wigner é uma transformação bilinear usada na análise de sinais cujo espectro de frequência varia com o tempo (espectros chamados não-estacionários ou dinâmicos). A exemplo da transformada de Fourier de curto termo e da transformada de Wavelet, ela mapeia funções do domínio do tempo para o espaço misto tempo-frequência
A distribuição de Wigner possui a grande desvantagem de não ser linear: considerando f(t) como a soma de duas componentes f$_1$ e f$_2$(t), com distribuições associadas W$_1$ e W$_2$(ω,τ), em geral W(ω,τ) ≠ W$_1$(ω,τ) + W$_2$(ω,τ). Essa não-linearidadee traz muitos inconvenientes na análise, por isso prefere-se empregar a transformada de Wavelet em seu lugar.

## Definições

A distribuição de Wigner de uma função f(t) é uma função complexa W(ω,τ) dada pela expressão
    ${\mathcal {W}}\{f(t)\}\;=\;W(\omega ,\tau )\;=\;\int _{-\infty }^{\infty }f\left(\tau +{\frac {t}{2}}\right)\cdot f^{*}\left(\tau -{\frac {t}{2}}\right)\cdot e^{-i\omega t}\;dt\qquad (1a)$
onde o asterisco ($^*$) denota o conjugado complexo. A transformação inversa é dada pela expressão
    $f(t)\;=\;{\mathcal {W}}^{-1}\{W(\omega ,\tau )\}\;=\;{\frac {1}{2\pi \cdot f^{*}(0)}}\int _{-\infty }^{\infty }W\left(\omega ,{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot e^{i\omega \tau }\;d\omega \qquad (1b)$

## Propriedades
### Relação com a transformada de Fourier

Por inspeção, ver que as equações (1a) e (1b) podem ser escritas como
    $W(\omega ,\tau )\;=\;{\mathcal {F}}\left\{f\left(\tau +{\frac {t}{2}}\right)\cdot f^{*}\left(\tau -{\frac {t}{2}}\right)\right\}\qquad (2a)$
e
    $f(t)\;=\;{\frac {1}{f^{*}(0)}}\cdot {\mathcal {F}}\left\{W\left(\omega ,{\frac {t}{2}}\right)\right\}\qquad (2b)$
onde ${\mathcal {F}}\left\{W\left(\omega ,{\frac {t}{2}}\right)\right\}$ é a transformada de Fourier da distribuição W(ω,τ) com $\tau \;=\;{\frac {t}{2}}$.
Além disso, Se denotarmos a transformada de Fourier de uma função f(t) por F(ω) e sua distribuição de Wigner por W(ω,τ), então teremos
    ${\mathcal {W}}\{F(\omega )\}\;=\;W(\tau ,-\omega )\qquad (2c)$

### Espectro de potência

    $\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac}f(t)\right|^{2}\;dt\;=\;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W(\omega ,\tau )\;d\omega \;d\tau \;=\;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac}F(\omega )\right|^{2}\;d\omega \qquad (2a)$

## Tabela de distribuições de Wigner

Tabela 1 - Distribuições de Wigner correspondentes a algumas funções f(t) :
| $f(t)$ | $W(\omega ,\tau )$ |
| $\delta (t-a)$ | $\delta (\tau -a)$ |
| $e^{i(at^{2}+bt+c)}$ | $\delta \left({\frac {a}{\pi }}\tau +{\frac {b-\omega }{2\pi }}\right)$ |
| $\cos(at)$ | ${\frac {1}{4}}\left[\delta \left({\frac {\omega +a}{2\pi }}\right)+\delta \left({\frac {\omega -a}{2\pi }}\right)+2\cos(2a\tau )\cdot \delta \left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)\right]$ |
| onde: $\delta (t)\,$ é a função impulso unitário ||

## Distribuição cruzada de Wigner

Para um par de funções f e g(t) define-se a distribuição cruzada de Wigner através da equação
    ${\mathcal {W}}_{c}\{f(t),g(t)\}\;=\;W_{c}(\omega ,\tau )\;=\;\int _{-\infty }^{\infty }f\left(\tau +{\frac {t}{2}}\right)\cdot g^{*}\left(\tau -{\frac {t}{2}}\right)\cdot e^{i\omega t}\;dt\qquad (3a)$
onde o asterisco ($^*$) denota o conjugado complexo. Em aplicações práticas, f(t é o sinal que se deseja analisar e g(t) representa uma janela deslizante que seleciona segmentos temporais desse sinal, a exemplo do que se faz com as transformadas de Fourier de tempo curto e de Wavelet.