# Equação diferencial exata

Este artigo trata de equação diferencial ordinária exata no sentido denotativo, para possível sentido conotativo, que pode causar confusão, ver equações diferenciais estocásticas.
Uma Equação diferencial ordinária é dita exata quando é possível colocá-la na seguinte forma:
    $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
e
    ${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$
com $M$ e $N$ funções diferenciáveis e integráveis.

## Teorema

O seguinte teorema fornece um método sistemático de determinar se uma equação diferencial dada é exata.
Suponha que as funções $M,N,M_{y}$ e $N_{x}$, onde os índices denotam derivadas parciais, são contínuas na região conexa $R:\ \ \alpha <x<\beta ,\ \ \lambda <y<\sigma$.
Então, a equação
    $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
é uma equação diferencial exata em $R$ se, e só se,
    ${\frac {\partial M(x,y)}{\partial y}}={\frac {\partial N(x,y)}{\partial x}}$ (1)
em cada ponto de R.
Isto é, existe uma função $F(x,y)$ que satisfaz as equações,
    ${\frac {\partial F(x,y)}{\partial x}}=M(x,y)$
    ${\frac {\partial F(x,y)}{\partial y}}=N(x,y)$
se, e só se, $M$ e $N$ satisfazem (1), pois
${\frac {\partial F(x,y)}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial F(x,y)}{\partial y\partial x}}$

## Método de Solução

Uma equação diferencial ordinária do tipo
$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
é equivalente a
$M(x,y)+N(x,y)y'=0$, pois $y'={\frac {dy}{dx}}$
Se ela for uma equação exata, teremos que ${\frac {M}{\partial y}}={\frac {N}{\partial x}}$.
Então podemos supor que há uma função $F$ de modo que ${\frac {\partial {F}}{\partial {x}}}=M(x,y)$.
Assim, para obter essa função basta integrar $M(x,y)$em relação a $x$.
$F=\int {M(x,y)dx}+g(y)$. Note-se que $g(y)$ é a constante de integração, e como não depende de $x$, ${\frac {d}{dx}}\left(g(y)\right)=0$.
Agora podemos derivar $F$ na direção de $y$ supondo que ${\frac {\partial {F}}{\partial {y}}}=N(x,y)$. Assim, obtemos:
${\frac {\partial {F}}{\partial {y}}}={\frac {\partial }{\partial {y}}}\int {M(x,y)dx+g'(y)}=N(x,y)$.
Isolando $g'(y)$ temos:
$g'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial {y}}}\int {M(x,y)dx}$
Então, por fim, integramos $g'(y)$ na direção de $y$, de modo a obter:
$g(y)=\int \left({N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial {y}}}\int {M(x,y)dx}}\right)dy$
Ou seja
$F=\int {M(x,y)dx}+g(y)=\int {M(x,y)dx}+\int \left({N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial {y}}}\int {M(x,y)dx}}\right)dy$
E, finalmente, a solução da equação diferencial é a função implícita $F(x,y)=c$

## Exemplo

Resolvamos a equação Diferencial Ordinária $y'={\frac {dy}{dx}}={\frac {-(2x+y^{2})}{(2x+1)y}}$.
Temos:
    $(2x+y^{2})dx+(2xy+y)dy=0$,
onde
    $M=(2x+y^{2})$ e $N=(2xy+y)$.
Logo, ${\frac {\partial M}{\partial y}}=2y={\frac {\partial N}{\partial x}}$, donde se conclui que é exata.
Pelo corolário acima, ∃F(x,y), então:
    ${\frac {\partial F}{\partial x}}=M=2x+y^{2}$.
Integrando em relação a x:
    $F(x,y)=x^{2}+xy^{2}+f(y)$, em que f(y) é uma função de y.
Além disso, ${\frac {\partial F}{\partial y}}=N=2xy+f'(y)=2xy+y$. Então $f'(y)=y$.
Integrando em relação a y, temos: $f(y)={\frac {y^{2}}{2}}+c$, c constante.
Logo, pelo corolário, a função F é:
    $F(x,y)=x^{2}+xy^{2}+{\frac {y^{2}}{2}}+c$
A solução da equação diferencial exata é $F(x,y)=0$ ou seja
    $x^{2}+xy^{2}+{\frac {y^{2}}{2}}+c=0$

## Exemplo no plano

Considere uma função diferenciável
    $z=F(x,y);(x,y)\in \Omega \subset {\mathbf {R} }^{2}$ da qual pode-se deduzir a expressão diferencial exata
    $dz={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy$
A expressão que deu origem à equação, $z=F(x,y)$, representa uma superfície de um tipo especial, pois é o gráfico de uma função diferenciável.
Esta superfície, quando cortada pelo plano (de altura) constante $z=C$ equivale a resolver o sistema de equações:
    ${\begin{array}{ll}z=C\\z=F(x,y)\\\end{array}}$
Geometricamente falando, o resultado desta interseção é uma curva no espaço, obtida pela interserção de duas superfícies. Como o plano é paralelo ao plano $XOY$ então há uma projeção desta curva espacial sobre o domínio $\Omega$ de $z=F(x,y)$ que chamamos curva de nível. Observe que se pode representar a interseção escrevendo
    $F(x,y)=C$
Diferenciando esta última equação, obtemos:
    ${\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy=0$
Esta última expressão é a que em geral temos, a equação diferencial exata. Quer dizer, resolver uma equação diferencial exata consiste em recuperar, se for possível, a função cuja diferencial se encontra expressa na equação.
Mas não é nesta forma canônica, das equações diferenciais exatas, uma das razões disso é que ela podem representar formas não exatas. A forma canônica é
    $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$
Esta equação é dita exata se existe uma função $w=F(x,y)$ tal que
${\begin{array}{l}P(x,y)={\frac {\partial F}{\partial x}}\\Q(x,y)={\frac {\partial F}{\partial y}}\\\end{array}}$
Resolver, então, a equação diferencial exata consiste em descobrir $F$ a partir de suas derivadas parciais.