# Distribuição de Poisson

Na teoria da probabilidade e na estatística, a distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que expressa a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço se esses eventos ocorrerem com uma taxa média constante conhecida e independentemente do tempo desde o último evento.
A distribuição foi descoberta por Siméon Denis Poisson (1781–1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Pesquisa sobre a probabilidade em julgamentos sobre matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em certas variáveis aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências discretas de um certo fenômeno durante um intervalo de tempo de determinada duração. A probabilidade de que existam exactamente k ocorrências (k sendo um inteiro não negativo, k = 0, 1, 2, ...) é
    $f(k;\lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}},\,\!$
onde
* e é base do logaritmo natural (e = 2.71828...),
* k! é o fatorial de k,
* λ é um número real, igual ao número esperado de ocorrências que ocorrem num dado intervalo de tempo. Por exemplo, se o evento ocorre a uma média de 4 minutos, e estamos interessados no número de eventos que ocorrem num intervalo de 10 minutos, usaríamos como modelo a distribuição de Poisson com λ=10/4= 2.5.
Como função de k, esta é a função de probabilidade. A distribuição de Poisson pode ser derivada como um caso limite da distribuição binomial.

## Processo de Poisson

A distribuição de Poisson aparece em vários problemas físicos, com a seguinte formulação: considerando uma data inicial (t = 0), seja N(t) o número de eventos que ocorrem até uma certa data t. Por exemplo, N(t) pode ser um modelo para o número de impactos de asteroides maiores que um certo tamanho desde uma certa data de referência.
Uma aproximação que pode ser considerada é que a probabilidade de acontecer um evento em qualquer intervalo não depende (no sentido de independência estatística) da probabilidade de acontecer em qualquer outro intervalo disjunto.
Neste caso, a solução para o problema é o processo estocástico chamado de Processo de Poisson, para o qual vale:
$P[N(t)=K]={\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}}{k!}},\,\!$
em que λ é uma constante (de unidade inversa da unidade do tempo)$^[$.
Ou seja, o número de eventos até uma época qualquer t é uma distribuição de Poisson com parâmetro λ t.

## Propriedades
### Média

O valor esperado de uma distribuição de Poisson é igual a λ. Esta propriedade pode ser derivada facilmente:
| Em linguagem matemática | Em Português |
| $E\left[X\right]=\sum _{k=0}^{\infty }k\mathbb {P} \left[X=k\right]$ | Por definição, a esperança de uma variável aleatória X é igual à soma de cada uma das suas possíveis ocorrências ponderadas pela probabilidade de que estas ocorrências aconteçam. |
| $E\left[X\right]=\sum _{k=0}^{\infty }k\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}},\,\!\right]$ | No caso de variáveis com distribuição, a probabilidade de que determinado evento ocorra é calculado por :$f(k;\lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}$. Portanto, este valor foi substituído na fórmula. |
| $E\left[X\right]={\begin{matrix}\underbrace {0\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{0}}{0!}},\,\!\right]} \\k=0\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {1\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{1}}{1!}},\,\!\right]} \\k=1\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {2\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{2}}{2!}},\,\!\right]} \\k=2\end{matrix}}+...$ | Esta expressão equivale à expressão da linha imediatamente superior; apenas se substituiu a expressão de somatório pela soma infinita para melhor compreensão. Note que como o primeiro termo é sempre igual a zero, podemos reescrever $E\left[X\right]=\sum _{k=0}^{\infty }k\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right]=\sum _{k=1}^{\infty }k\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right]$ |
| Como $\sum _{k=1}^{\infty }k\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right]=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda \left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}\right]$ | Fazemos uma substituição para facilitar o cálculo. |
| $E\left[X\right]=\lambda \sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}\right]$ | Tomamos a substituição acima e tiramos a constante $\lambda$ para fora do somatório (pois o primeiro termo da expressão imediatamente superior é igual à $\lambda *1$. |
| $E\left[X\right]=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {\lambda ^{k}}{(k)!}}\right]$ | Nova transformação para facilitar os cálculos... |
| $E\left[X\right]=\lambda e^{-\lambda }$ $\left[{\frac {\lambda ^{0}}{(0)!}}+{\frac {\lambda ^{1}}{(1)!}}+{\frac {\lambda ^{2}}{(2)!}}+{\frac {\lambda ^{3}}{(3)!}}+...\right]$ | Abrindo o somatório, verifica-se que a série converge para $e^{\lambda }$ |
| $E\left[X\right]=\lambda e^{-\lambda }e^{\lambda }$ | Obtemos $e^{-\lambda }e^{\lambda }=e^{0}=1$ |
| $E\left[X\right]=\lambda$ | Como queríamos demonstrar |

### Variância ($\operatorname {var} (X)$, $\sigma _{X}^{2}$ ou $\sigma ^{2}$)

A variância de uma distribuição de Poisson é igual a $\lambda$, como podemos demonstrar.
Sabendo que $\operatorname {var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}$ e ${E}(X)=\lambda$
Calculamos o segundo momento ${E}(X^{2})$, para uma variável aleatória discreta:
$E\left[X^{2}\right]=\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\,\!\right]$ Expandindo o somatório
$E\left[X^{2}\right]=1^{2}\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{1}}{1!}}\,\!\right]+2^{2}\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{2}}{2!}}\,\!\right]+3^{2}\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{3}}{3!}}\,\!\right]+...+n^{2}\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n}}{n!}}\,\right]+...\!$ Simplificando os termos ao quadrado com os fatoriais
$E\left[X^{2}\right]=\left[{e^{-\lambda }\lambda ^{1}}\right]+2\left[{e^{-\lambda }\lambda ^{2}}\right]+3\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{3}}{2!}}\,\!\right]+...+n\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n}}{(n-1)!}}\,\right]+...\!$ Colocando $\lambda$ e $e^{-\lambda }$ em evidência
$E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }}{\lambda }{\biggl1+2{\lambda }+3{\frac {\lambda ^{2}}{2!}}+...+n{\frac {\lambda ^{n-1}}{(n-1)!}}+...{\biggr ]}$
$E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\sum _{n=1}^{\infty }n\left[{\frac {\lambda ^{n-1}}{(n-1)!}}\right]$ fazendo $n-1=k$ e $n=k+1$
$E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\left[k+1\right]}\left[{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right]$
$E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\left[{k{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}+{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right]}$
$E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[\sum _{k=0}^{\infty }{{k{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}+{\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}}\right]$ Série de Taylor Função Exponencial $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$ converge para $e^{\lambda }$
$E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[\sum _{k=0}^{\infty }{{k{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}+e^{\lambda }}\right]$ Expandindo o somatório
$E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[{{0{\frac {\lambda ^{0}}{0!}}}+{1{\frac {\lambda ^{1}}{1!}}}+{2{\frac {\lambda ^{2}}{2!}}}+{3{\frac {\lambda ^{3}}{3!}}}+...+{k{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}+e^{\lambda }}\right]$ Simplificando os termos ao quadrado com os fatoriais
$E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[{{\lambda }+{\lambda ^{2}}+{\frac {\lambda ^{3}}{2!}}+...+{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}+e^{\lambda }}\right]$ Colocando $\lambda$ em evidência
$E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[\lambda {\biggl{{1}+{\lambda }+{\frac {\lambda ^{2}}{2!}}+...+{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}{\biggr )}+e^{\lambda }}\right]$
$E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[\lambda {{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}}+e^{\lambda }}\right]$ fazendo $k-1=n$
$E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[\lambda {{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}}+e^{\lambda }}\right]$ Série de Taylor Função Exponencial $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}$ converge para $e^{\lambda }$
$E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }{\biggl\lambda {e^{\lambda }+e^{\lambda }}{\biggr ]}$
$E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }}{\lambda ^{2}}{e^{\lambda }}+{e^{-\lambda }{\lambda }{e^{\lambda }}}$
$E\left[X^{2}\right]={\lambda ^{2}}+{\lambda }$
Substituindo $\operatorname {E} (X^{2})$ e ${E}(X)$ em $\operatorname {var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}$
$\operatorname {var} (X)={\lambda ^{2}}+{\lambda }-{\lambda ^{2}}$
$\operatorname {var} (X)={\lambda }$

### Soma de variáveis

A soma de duas variáveis de Poisson independentes é ainda uma variável de Poisson com parâmetro igual à soma dos respectivos parâmetros. Ou seja, se $X_{i}\sim \mathrm {Poisson} (\lambda _{i})\,$ segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $\lambda _{i}\,$ e as variáveis aleatórias $X_{i}$ são estatisticamente independentes, então
       $Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {Poisson} \left(\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\right)\,$ também segue uma distribuição de Poisson cujo parâmetro é igual à soma dos $\lambda _{i}\,$.
Por exemplo, $X_{1}$ é uma variável aleatória que representa o número de óbitos por mil nascimentos na cidade "A" (distribuição de Poisson com média 1,2, digamos) e $X_{2}$ é uma variável aleatória que representa o número de óbitos por mil nascimentos na cidade "B" (variável de Poisson com média 3). Ao todo, o número de óbitos por mil nascimentos nas cidades "A" e "B" têm distribuição de Poisson com média $\sum _{i=1}^{2}\lambda _{i}=1,2+3=4,2$.

### Intervalo de confiança

Um método rápido e fácil para calcular um intervalo de confiança de aproximada de λ, é proposto na Guerriero (2012). Dado um conjunto de eventos k (pelo menos 15 - 20) ao longo de um período de tempo T, os limites do intervalo confiança para a frequência são dadas por:
    $F_{low}=(1-{\frac {1.96}{\sqrt {k-1}}}){\frac {k}{T}}$
    $F_{upp}=(1+{\frac {1.96}{\sqrt {k-1}}}){\frac {k}{T}}$
em seguida, os limites do parâmetro $\lambda$ são dadas por: $\lambda _{low}=F_{low}T;\lambda _{upp}=F_{upp}T$.

## Exemplos

A distribuição de Poisson representa um modelo probabilístico adequado para o estudo de um grande número de fenômenos observáveis. Eis alguns exemplos:
* Chamadas telefônicas por unidade de tempo;
* Defeitos por unidade de área;
* Acidentes por unidade de tempo;
* Chegada de clientes a um supermercado por unidade de tempo;
* Número de glóbulos visíveis ao microscópio por unidade de área;
* Número de partículas emitidas por uma fonte de material radioativo por unidade de tempo.