# Produto entrelaçado

Na teoria dos grupos, o produto entrelaçado é um produto especializado de dois grupos, baseado em um produto semidireto. Os produtos entrelaçados são usados na classificação de grupos de permutação e também fornecem uma maneira de construir exemplos interessantes de grupos.
Dados dois grupos A e H, existem duas variações do produto entrelaçado: o produto entrelaçado irrestrito $A{\text{Wr}}H$ (também escrito $A\wr H$ com o símbolo de latex \wr) e o produto entrelaçado restrito A wr H. Dado um conjunto Ω com uma ação de H, existe uma generalização do produto entrelaçado que é denotada por A Wr$_Ω$ H ou A wr$_Ω$ H respectivamente.
A noção se generaliza para semigrupos e é uma construção central na teoria da estrutura de Krohn-Rhodes de semigrupos finitos.

## Definição

Sejam A e H grupos e Ω um conjunto sobre o qual H age (pela direita). Seja K o produto direto
    $K=\prod _{\omega \in \Omega }A_{\omega }$
de cópias de A$_ω$ := A indexadas pelo conjunto Ω. Os elementos de K podem ser vistos como sequências arbitrárias (a$_ω$) de elementos de A indexados por Ω com multiplicação componente a componente. Então a ação de H sobre Ω se estende de forma natural a uma ação de H sobre o grupo K por
    $h(a_{\omega }):=(a_{h^{-1}\omega }).$
Então, o produto entrelaçado A Wr$_Ω$ H de A por H é o produto semidireto K ⋊ H. O subgrupo K de A Wr$_Ω$ H é chamado de base do produto entrelaçado.
O produto entrelaçado restrito A wr$_Ω$ H é construído da mesma maneira que o produto entrelaçado irrestrito, exceto pelo uso da soma direta
    $K=\bigoplus _{\omega \in \Omega }A_{\omega }$
como base do produto entrelaçado. Neste caso, os elementos de K são sequências (a$_ω$) de elementos de A indexadas por Ω, em que todos, exceto uma quantidade finita dos a$_ω$, são o elemento neutro de A.
No caso mais comum, considera-se Ω := H, em que H atua de maneira natural sobre si mesmo por multiplicação à esquerda. Neste caso, os produtos entrelaçados irrestrito e restrita podem ser denotados por A Wr H e A wr H respectivamente. Isso é chamado de produto entrelaçado regular.

## Notação e convenções

A estrutura do produto entrelaçado de A por H depende do H- conjunto Ω e, no caso de Ω ser infinito, também depende de ser usado o produto entrelaçado restrito ou irrestrito. No entanto, na literatura, a notação utilizada pode ser deficiente e deve-se atentar para as circunstâncias.
* Na literatura, A≀$_Ω$H pode representar o produto entrelaçado irrestrito A Wr$_Ω$ H ou o produto entrelaçado restrito A wr$_Ω$ H.
* Da mesma forma, A≀H pode representar o produto entrelaçado regular irrestrito A Wr H ou o produto entrelaçado regular restrito A wr H.
* Na literatura, o H-conjunto Ω pode ser omitido da notação mesmo se Ω ≠ H.
* No caso especial em que H = S $_n$ é o grupo simétrico de grau n, é comum na literatura assumir que Ω = {1, ..., n} (com a ação natural de S$_n$) e então omitir Ω da notação. Ou seja, A≀S $_n$ comumente denota A≀$_{{1,...,n}}$S$_n$ em vez do produto regular entrelaçado A≀$_{Sn}$S$_n$. No primeiro caso, o grupo de base é o produto de n cópias de A, no último caso é o produto de n! cópias de A.

## Propriedades
### Coincidência dos produtos entrelaçados irrestrito e restrito quando Ω é finito

Uma vez que o produto direto finito de grupos é o mesmo que a soma direta finita de grupos, segue-se que o A Wr$_Ω$ H irrestrito e o produto entrelaçado restrito A wr$_Ω$ H coincidem se o H-conjunto Ω é finito. Em particular, isso é verdade quando Ω = H é finito.

### Subgrupo

A wr$_Ω$ H é sempre um subgrupo de A Wr$_Ω$ H.

### Propriedades da cardinalidade

Se A, H e Ω são finitos, então
       |A≀$_Ω$H| = |A|$^{|Ω|}$|H|.

### Teorema da inclusão universal

Teorema da inclusão universal: Se G é uma extensão de A por H, então existe um subgrupo do produto entrelaçado irrestrito A≀H que é isomorfo a G. Isso também é conhecido como teorema de inclusão de Krasner-Kaloujnine. O teorema de Krohn-Rhodes diz respeito ao que é basicamente o equivalente disso para semigrupos.

## Ações canônicas de produtos entrelaçados

Se o grupo A age sobre um conjunto Λ, então existem duas maneiras canônicas de usar Ω e Λ para construir conjuntos em que A Wr $_Ω$ H (e, portanto, também A wr$_Ω$ H) possa agir.
* A ação imprimitiva do produto entrelaçado em Λ × Ω.
    If ((a$_ω$), h) ∈ A Wr$_Ω$ H e (λ,ω′) ∈ Λ × Ω, então
       $((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda ,\omega '):=(a_{h(\omega ')}\lambda ,h\omega ').$
* A ação primitiva do produto entrelaçado em Λ$^Ω$.
    Um elemento em Λ$^Ω$ é uma sequência (λ$_ω$) indexada pelo H-conjunto Ω. Dado um elemento (( a$_ω$ ), h) ∈ A Wr$_Ω$ H, sua operação em (λ$_ω$) ∈ Λ$^Ω$ é dada por
       $((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda _{\omega }):=(a_{h^{-1}\omega }\lambda _{h^{-1}\omega }).$

## Exemplos

* O grupo Lamplighter é o produto entrelaçado restrito ℤ$_2$≀ℤ.
* ℤ$_m$≀S$_n$ (grupo simétrico generalizado).
    A base deste produto entrelaçado é o produto direto
       ℤ$_m$$^n$ = ℤ$_m$ × ... × ℤ$_m$
    de n cópias de ℤ$_m$ em que a ação φ : S$_n$ → Aut(ℤ$_m$$^n$) do grupo simétrico S$_n$ de grau n é dada por
       φ(σ)(α$_1$, ..., α$_n$) := (α$_{σ(1)}$, ..., α$_{σ(n)}$).
* S$_2$≀S$_n$ (grupo hiperoctaédrico).
    A ação de S$_n$ em {1, ..., n } é como acima. Como o grupo simétrico S$_2$ de grau 2 é isomórfico a ℤ$_{2,}$ o grupo hiperoctaédrico é um caso especial de um grupo simétrico generalizado.
* O menor produto entrelaçado não trivial é ℤ$_2$≀ℤ$_2$, que é o caso bidimensional do grupo hiperoctaédrico acima. É o grupo de simetrias do quadrado, também denominado Dih$_4$, o grupo diedral de ordem 8.
* Seja p primo e seja n≥1. Seja P um p-subgrupo de Sylow do grupo simétrico S$_{pn}$. Então P é isomorfo ao produto entrelaçado regular iterado W$_n$ = ℤ$_p$≀ℤ$_p$≀...≀ℤ$_p$ de n cópias de ℤ$_p$. Aqui W$_1$ : = ℤ$_p$ e W$_k$ : = W$_{k−1}$≀ℤ $_p$ para todo k ≥ 2. Por exemplo, o 2-subgrupo de Sylow de S$_4$ é o grupo ℤ$_2$≀ℤ$_2$ acima.
* O grupo do cubo de Rubik é um subgrupo de índice 12 no produto de produtos entrelaçados, (ℤ$_3$≀S$_8$) × (ℤ$_2$≀S$_{12}$), cujos fatores correspondem às simetrias dos 8 cantos e das 12 arestas.
* O grupo de transformações que preservam a validade de Sudoku contém o produto entrelaçado (S$_3$≀S$_3$)≀ℤ$_2$, em que os fatores são a permutação de linhas/colunas dentro de uma faixa ou pilha de 3 linhas ou 3 colunas (S$_3$), a permutação das próprias faixas/pilhas (S$_3$) e a transposição, que intercambia as linhas e colunas (ℤ$_2$).