# Função harmônica

Função harmônica, estritamente em Matemática, é qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas. Aplica-se em vários sub-domínios da própria matemática, além de encontrar imensa e rica utilidade na física matemática, na física, em análise de processos estocásticos, entre várias aplicações.

## Definição formal

Função harmônica, em Matemática, em Física, em Física matemática e em Processos estocásticos, é uma função contínua e duplamente diferenciável f : U → R (onde U é um subconjunto aberto de R$^n$) que satisfaz a equação de Laplace, e pode ser assim expressa:
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0$
em todo lugar em U. Isso é também frequentemente escrito como
    $\nabla ^{2}f=0$ ou $\Delta f=0.$
    onde: $\nabla ^{2}$ é o operador laplaciano e $\Delta$ é o operator Laplace-de Rham
Alternativamente, função harmônica pode ser definida de outros modos:
* Função harmônica, em Matemática, também pode ser entendida como qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas.
* Há também uma outra definição aparentemente mais frágil, contudo equivalente. Realmente, uma função é dita harmônica se e somente se é fracamente harmônica — e a aparente fragilidade conceitual decorre apenas da recorrência.
Funções harmônicas podem ser definidas num espaço riemanniano múltiplo, por meio do uso do operator Laplace-de Rham, $\Delta .$
Nesse contexto, uma função é dita harmônica se $\Delta f=0.$
Uma $C^{2}$ função que satisfaz $\Delta f\geq 0$ é dita subarmônica.

## Propriedades
### Fórmula do Valor Médio

Seja $f\in C^{2}(U;\mathbb {R} )$ uma função harmônica, $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ aberto. Então, para cada $x\in U$, temos:
$f(x)={\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}fdS,\quad \forall B(x,r)\subset U$
onde, $\alpha (n)$ é o volume da bola unitária em $\mathbb {R} ^{n}$, $B(x,r)$ é a bola de centro em $x$ e raio $r$ e $\partial B(x,r)$ denota sua fronteira (a esfera de centro $x$ e raio $r$). Isto é, se $f$ é harmônica, então $f(x)$ é igual a sua média sobre qualquer esfera de centro $x$ e raio $r$ contida no seu domínio (veja, por exemplo, Evans (2010)).
Como consequência do resultado acima, podemos demonstrar que:
$f(x)={\frac {1}{\alpha (n)r^{n}}}\int _{B(x,r)}fdy,\quad B(x,r)\subset U$
isto é: se $f$ é harmônica, então $f(x)$ é igual a média de $f$ sobre qualquer bola de centro $x$ e raio $r$ contida em seu domínio.
Esse resultado também tem uma recíproca. Se $f\in C^{2}(U,\mathbb {R} )$ é tal que
$f(x)={\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}fdS,\quad \forall B(x,r)\subset U$
então, $f$ é harmônica. Em outras palavras, uma função $f$ duas vezes continuamente diferenciável cuja média sobre cada esfera contida em seu domínio é igual a função aplicada no centro da mesma é uma função harmônica.

### Princípio do Máximo

Uma função harmônica atinge seu máximo (mínimo) na fronteira. Mais precisamente, se $f:U\to \mathbb {R}$ é uma função harmônica com $f\in C^{2}(U)\cap C({\bar {U}})$, então $\max _{\bar {U}}f=\max _{\partial U}f$, bem como $\min _{\bar {U}}f=\min _{\partial U}f$. Aqui, $U$ é um conjunto aberto, ${\bar {U}}$ é o fecho de $U$.
Esta propriedade é consequência do princípio do máximo forte, o qual estabelece que se, além das hipóteses acima, $U$ for conexo e existir $x_{0}\in U$ tal que $f(x_{0})=\max _{\bar {U}}f$ $\left({\text{ou }}f(x_{0})=\min _{\bar {U}}f\right)$, então $f$ é constante em $U$. Esta propriedade é, por sua vez, consequência direta da fórmula do valor médio (veja acima).