# Livro da Restauração e do Balanceamento

O Livro da Restauração e do Balanceamento de nome completo Livro Compêndio sobre Cálculo por Restauração e Balanceamento (em árabe: الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة; romaniz.: al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala) é um livro histórico de matemáticas escrito em árabe entre 813 e 833 pelo matemático e astrônomo muçulmano al-Khwarizmi, pertencente à Casa da Sabedoria de Bagdade, capital do califado abássida nesse tempo.
Nesta obra, al-Khwarizmi expõe os alicerces da álgebra, sendo o primeiro a estudar sistematicamente a resolução de equações lineares e quadráticas. A palavra álgebra deriva de uma das operações básicas com equações (al-ğabr) descritas neste livro.

## Relevância e análise

Ao não citar nenhum autor anterior, não é claro que trabalhos prévios foram usados por al-Khwarizmi. Os historiadores das matemáticas pronunciam-se baseados na análise textual do livro assim como no corpo de conhecimentos gerais do mundo muçulmano contemporâneo. Mais certeiras são as ligações com a matemática indiana, dado que al-Khwarizmi é autor de outro livro intitulado Kitāb al-Jamʿ wa-l-tafrīq bi-ḥisāb al-Hind , literalmente : "O livro da adição e sustração segundo o cálculo indiano", no que discute o sistema de numeração indo-arábico .
O livro é um compêndio e uma extensão das regras conhecidas de resolução de equações quadráticas e outros problemas. Foi introduzido no Mundo Ocidental graças à tradução para o latim de Roberto de Chester (mediados do s. XII) titulada Liber algebrae almucabola , e deu origem, em diversas línguas, às palavras álgebra (derivado de al-jabr) e algoritmo (derivado de al-Khwarizmi).
O Compêndio teve grande influência durante muitos séculos. Esta influência é devida essencialmente à apresentação e à organização do livro, pois nele se expõem de modo claro e preciso um conjunto de métodos de resolução das equações quadráticas.

## Conteúdo

Seguindo a tradição da época, a Introdução começa com louvores a Deus, ao Profeta e ao califa Almamune. De seguida, al-Khwarizmi apresenta o conjunto da obra, indicando que lhe foi comandado pelo Califa: trata-se de um compêndio ou manual, destinado a "fazer mais claro o que era obscuro e (...) facilitar o que era difícil" com o objeto de resolver problemas concretos de cômputo de heranças, medida da terra ou comércio.
Num primeiro tempo, o autor expõe o sistema de numeração decimal de números, e a seguir define os objetos da álgebra. Considera três tipos de objetos: os números (escritos com palavras, designados com o nome da unidade monetária dirrã), as raízes (o qual atualmente se escreveria como x) e os quadrados (o qual atualmente se escreveria x$^2$).
Alcuarismi classifica as equações quadráticas em seis tipos básicos e proporciona métodos algébricos e geométricos para resolver as mais simples, sem usar notações abstratas: "a álgebra de al-Khwarizmi é apenas retórica, sem qualquer dos recursos que se encontram na Arithmetica grega de Diofanto ou nos trabalhos de Brahmagupta. Até mesmo os números estão escritos com palavras em lugar de símbolos!" Os seis tipos, em notação moderna, são:
* quadrados igual a raízes (ax$^2$=bx)
* quadrados igual a números (ax$^2$=c)
* raízes igual a números (bx =c)
* quadrados e raízes igual a números (ax$^2$ + bx =c)
* quadrados e números igual a raízes (ax$^2$ + c =bx)
* raízes e números igual a quadrados (bx + c =ax$^2$)
Os matemáticos muçulmanos, ao contrário dos hindus, não consideravam números negativos, daqui que as equações do tipo bx + c =0 não apareçam na classificação, pois não possuem soluções positivas se todos os coeficientes forem positivos. Analogamente, os tipos 4, 5 e 6, que numa perspectiva moderna parecem equivalentes, eram diferentes dado que os coeficientes deviam ser todos positivos.
A operação al-jabr (em escrita árabe: 'الجبر'), que significa "restauração", consiste em passar uma quantidade deficitária de um lado da equação para o outro. Num dos exemplos de al-Khwarizmi (em notação moderna), "x$^2$=40x − 4x$^2$" é transformado por al-jabr em "5x$^2$=40x". A aplicação repetida desta regra elimina as quantidades negativas dos cálculos.
Al-Muqabala (em escrita árabe: 'المقابله'), entende-se como "balanceio" ou "comparação"; consiste na subtração da mesma quantidade positiva de ambos os lados: "x$^2$ + 5=40x + 4x$^2$" torna-se "5=40x + 3x$^2$". Aplicações sucessivas desta regra logra que as quantidades de cada tipo ("quadrado"/"raiz"/"número") apareçam na equação no máximo uma vez, o que demonstra que, ao serem restritas a coeficientes e soluções positivas, só existem seis tipos diferentes solúveis do problema.
A última parte do livro discute exemplos práticos de aplicação destas regras, problemas aplicados à medida de áreas e volumes e problemas que envolvem cômputos de direito muçulmano de sucessão. Nenhum destes capítulos requer de conhecimentos sobre resolução de equações quadráticas.

## Tradução e legado

Os sucessores de al-Khwarizmi perpetuaram e amplificaram o tratado em outras obras por vezes com o mesmo título. traduzido por Gerardo de Cremona no século XII.
Apenas fica uma cópia em árabe. Encontra-se na Universidade de Oxford e está datada de 1361. Em 1831, Frederic Rosen publica uma tradução para o inglês baseado neste manuscrito. No prefácio, adverte que a escrita é "simples e legível", mas que os signos diacríticos árabes foram omitidos, pelo qual a compreensão de certas passagens se torna difícil.
O título oferece dificuldade na tradução. Algumas enciclopédias recolhem al-jabr como sinônimo de redução. Dahan-Dalmédico e Pfeiffer, pela sua vez, escrevem "manual de cálculo de al-jabr e al-muqabala".
Notas de R. Rashed e Angela Armstrong:
Notas de J. J. O'Connor e E. F. Robertson: