# Série de potências

Uma série de potências é uma série que depende de um parâmetro $x$, da seguinte forma:
$S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$
o número $x_{0}$, a sequência $a_{n}$ e o parâmetro $x$ podem ser em geral números complexos.
A convergência da série de potências depende da distância entre $x$ e $x_{0}$ no plano complexo:
$|x-x_{0}|$
Essas séries de potências aparecem primariamente em análise, mas também ocorre em combinatória (sob o nome de funções geradoras) e em engenharia elétrica (sob o nome de Transformada Z).

## História

O primeiro que usou séries e potências para resolver problemas foi Isaac Newton, em 1665.
Newton provou o teorema binomial:
       $(1+x)^{r}=1+rx+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{3}+\ldots \,$
que era conhecido para valores naturais de r, e o generalizou para valores racionais, positivos ou negativos, de r.
Em seguida, Newton desenvolveu as séries de potências para seno, cosseno, tangente, arco seno, arco cosseno, arco tangente e a função $\ln(1+x)\,$.

## Série de Taylor

Uma função analítica num ponto $x_{0}$ é uma função cujas derivadas de qualquer ordem existem nesse ponto. Nesse caso a função pode ser representada por uma série de potências convergente em $x_{0}$:
$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots$
as derivadas de $f$ calculam-se derivando o termo dentro da série, por exemplo, as duas primeiras derivadas são:
${\begin{aligned}&f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(x-x_{0})^{n-1}=a_{1}+2a_{2}(x-x_{0})+3a_{3}(x-x_{0})^{2}+\cdots \\&f''(x)=\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_{n}(x-x_{0})^{n-2}=2a_{2}+6a_{3}(x-x_{0})+12a_{4}(x-x_{0})^{2}+\cdots \end{aligned}}$
Se substituirmos $x=x_{0}$ nas séries para $f$, $f'$ e $f''$ vemos que:
$a_{0}=f(x_{0})\qquad a_{1}=f'(x_{0})\qquad 2a_{2}=f''(x_{0})$
em geral,
$n!a_{n}=f^{(n)}(x_{0})$
e a série de Taylor de $f$ escreve-se:
$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$
No caso particular $x_{0}=0$ obtém-se a chamada série de Maclaurin. Onde o raio de convergência da série é igual à distância entre $x_{0}$ e o ponto singular de $f$ mais próximo.

## Algumas séries de Maclaurin importantes

* Série geométrica
${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots$
* Função exponencial
$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$
* Funções trigonométricas
${\begin{aligned}&\sin \ x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\&\cos \ x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\end{aligned}}$

## Método das séries

Consideremos a equação diferencial linear, homogênea de segunda ordem
$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0$
em que $P$, $Q$ e $R$ são polinômios. Muitos problemas de engenharia conduzem a equações dessa forma.
A partir do teorema de existência e unicidade para equações lineares, vemos que os pontos singulares são as raízes do polinômio $P(x)$. Se o ponto $x=0$ não for raiz de $P(x)$, a solução da equação diferencial será uma função analítica em $x=0$ e, portanto, existirá a série de Maclaurin para a solução $y(x)$:
$y(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$
A obtenção da solução é equivalente à obtenção da sequência $a_{n}$. A equação de diferenças que define a sequência $a_{n}$ é obtida por substituição da série de Maclaurin (e das suas derivadas) na equação diferencial.

### Equação de Airy

Um exemplo de uma equação linear muito simples que não pode ser resolvida pelos métodos convencionais das equações diferenciais e que pode ser resolvida pelo método das séries, é a equação de Airy:
$y''=xy$
O polinômio $P$ é neste caso igual a 1, de maneira que a solução será analítica em $x=0$ e poderá ser escrita como uma série de Maclaurin:
$y(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$
A segunda derivada é:
$y''(x)=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}$
e substituindo na equação diferencial
$\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}-\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+1}=0$
para agrupar as duas séries numa única série de potências, escrevemos a primeira série numa forma equivalente: podemos incrementar em 3 unidades o índice $n$, dentro da série, se subtrairmos 3 aos limites do somatório; a série resultante será idêntica à série inicial
$\sum _{n=-3}^{\infty }(n+3)(n+2)a_{n+3}x^{n+1}-\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+1}=0$
Na primeira série os dois primeiros termos ($n=-3$ e $n=-2$) são nulos e o terceiro termo ($n=-1$) pode ser escrito explicitamente; a série resultante começa desde $n=0$, podendo ser agrupada à segunda série:
$2a_{2}+\sum _{n=0}^{\infty }[(n+3)(n+2)a_{n+3}-a_{n}]x^{n+1}=0$
no lado esquerdo da equação temos uma série de potências em que o coeficiente de ordem zero é $2a_{2}$ e os coeficientes de ordem superior a zero são o termo dentro dos parêntesis quadrados, com $n=0,1,2,\dots$ Para que a série de potências seja nula em qualquer ponto $x$, é necessário que todos os coeficientes sejam nulos:
$2a_{2}=0$
$\color {Blue}{(n+3)(n+2)a_{n+3}-a_{n}=0\qquad (n=0,1,2,\ldots )}$
Temos transformado o problema num problema de equações de diferenças.
A equação de diferenças obtida é uma equação incompleta, de terceira ordem e a sua solução consiste em três sucessões independentes para os coeficientes de ordem múltiplo de 3, múltiplo de 3 mais 1, e múltiplo de 3 mais 2.
Como $a_{2}=0$, os coeficientes de ordem múltiplo de 3 mais 2 são todos nulos. Para obter as outras duas sequências podemos usar o método estudado no capítulo anterior: para $n=3m$, definindo $u_{m}=a_{3m}$ obtemos:
$\color {Red}{9(m+1)(m+2/3)u_{m+1}-u_{m}=0}$
em termos de fatoriais e funções gama temos:
$(m+1)(m+2/3)={\frac {(m+1)!\Gamma (m+5/3)}{m!\Gamma (m+2/3)}}$
Usando a substituição:
$x_{m}=m!\Gamma (m+2/3)u_{m}$
a Equação transforma-se numa equação de coeficientes constantes:
$9x_{m+1}-x_{m}=0$
A solução pode agora ser obtida facilmente:
${\begin{aligned}&x_{m}&=&{\frac {x_{0}}{(-9)^{m}}}\\&a_{3m}&=&u_{m}={\frac {(-1)^{m}\Gamma (2/3)}{m!\Gamma (m+2/3)9^{m}}}a_{0}\end{aligned}}$
Para calcular a sequência correspondente a $n=3m+1$, procedemos em forma semelhante. Em função de $v_{m}=a_{3m+1}$, a fórmula de recorrência (Equação) é uma equação de primeira ordem:
$9(m+1)(m+4/3)v_{m+1}-v_{m}=0$
e com a substituição
$z_{m}=m!\Gamma (m+4/3)v_{m}$
a equação transforma-se numa equação de coeficientes constantes:
$9z_{m+1}-z_{m}=0$
com solução:
${\begin{aligned}&z_{m}&=&{\frac {z_{0}}{(-9)^{m}}}\\&a_{3m+1}&=&v_{m}={\frac {(-1)^{m}\Gamma (4/3)a_{1}}{m!\Gamma (m+4/3)9^{m}}}\end{aligned}}$
Finalmente, substituimos $a_{n}$ na série de Maclaurin para obter a solução da equação diferencial:
$y(x)=a_{0}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\Gamma (2/3)}{m!\Gamma (m+2/3)9^{m}}}x^{3m}+a_{1}x\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\Gamma (4/3)}{m!\Gamma (m+4/3)9^{m}}}x^{3m}$
onde $a_{0}$ e $a_{1}$ são duas constantes arbitrárias (condições iniciais para $y$ e $y'$ em $x=0$). Em alguns casos as séries obtidas podem ser identificadas como a série de Maclaurin de alguma função conhecida.
Neste exemplo as séries não correspondem a nenhuma função conhecida, e constituem duas funções especiais designadas funções de Airy.

## Raio de convergência

Se a distância for suficientemente aproximada a zero, a série converge ($a_{0}$ é o valor da série quando $x=x_{0}$); quanto maior for a distância mais lenta será a convergência, até que a partir de uma certa distância a série diverge. O valor máximo da distância para o qual a série converge, é o chamado raio de convergência ($R$) e calcula-se a partir de:
$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}R^{n+1}}{a_{n}R^{n}}}=1\quad \Rightarrow \quad R=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}$