# Identidades logarítmicas

Em matemática, existem diversas identidades logarítmicas.

## Identidades algébricas ou leis
### Usando operações simples

Logaritmos podem ser usados para realizar-se cálculos mais facilmente. Por exemplo, dois números podem ser multiplicados apenas usando-se uma tábua de logaritmos e adição.

###### Operações simples com logaritmos

| Tipo de operação | identidade | Justificativa | Observação |
| Produto | $\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$ | $b^{c}\cdot b^{d}=b^{c+d}$ | |
| Divisão | $\log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$ | $b^{c-d}={\tfrac {b^{c}}{b^{d}}}$ | $\log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)\neq {\frac {\log _{b}{x}}{\log _{b}{y}}}$. Por exemplo, $\log _{10}\!\left({\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\end{matrix}}\right)\cong -0,17$, o que não é igual a ${\frac {\log _{10}{2}}{\log _{10}{3}}}\cong {\frac {0,3010}{0,4771}}\cong 0,63$ |
| Exponenciação | $\log _{b}(x^{d})=d\log _{b}(x)$ | $(b^{c})^{d}=b^{cd}$ | $\log _{b}(x^{d})\neq \left[\log _{b}(x)\right]^{d}=\log _{b}^{d}(x)$. Por exemplo, $\log _{10}(2^{3})\cong 0,90$, o que não é igual a $\left[\log _{10}(2)\right]^{3}\cong 0,027$ |
| Radiciação | $\log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}$ | ${\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}$ | |
| Exponenciação | $x^{\log _{b}(y)}=y^{\log _{b}(x)}$ | $x^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(y)\log _{b}(x)}=y^{\log _{b}(x)}$ | |
| Produto e exponenciação | $c\log _{b}(x)+d\log _{b}(y)=\log _{b}(x^{c}y^{d})$ | $\log _{b}(x^{c}y^{d})=\log _{b}(x^{c})+\log _{b}(y^{d})$ | |
Onde $b,$ $x,$ e $y$ são números reais positivos e $b\neq 1.$ Tanto $c$ quanto $d$ são números reais.

### Identidades triviais

| $\log _{b}(1)=0$ | porque | $b^{0}=1$ |
| $\log _{b}(b)=1$ | porque | $b^{1}=b$ |
Note-se que $\log _{b}(0)$ é indefinido porque não existe qualquer número $x$ tal que $b^{x}=0.$ De fato, existe uma assímptota vertical no gráfico de $\log _{b}(x)$ quando $x=0.$

### Cancelando exponenciais

Logaritmos e exponenciais (antilogaritmos) com a mesma base cancelam-se um ao outro. Isto é verdadeiro porque logaritmos e exponenciais são operações inversas (assim como multiplicação e divisão).
| $b^{\log _{b}(x)}=x$ | porque | $\mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x$ |
| $\log _{b}(b^{x})=x$ | porque | $\log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x$ |

### Mudança de base

    $\log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}$
Esta identidade é necessária para obter-se logaritmos em calculadoras. Por exemplo, a maioria das calculadoras tem teclas para ln e para log$_{10}$, mas não para log$_2$. Para encontrar-se log$_2$(3), deve-se calcular log$_{10}$(3) / log$_{10}$(2) (ou ln(3)/ln(2), os quais resultam o mesmo resultado).

#### Demonstração

    Considerando-se $y=\log _{a}b.$
    Então $a^{y}=b.$
    Tomando-se $\log _{c}$ em ambos os lados: $\log _{c}a^{y}=\log _{c}b$
    Simplificando e resolvendo para $y:$ $y\log _{c}a=\log _{c}b$
    $y={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$
    Dado que $y=\log _{a}b,$ então $\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$
Esta fórmula tem algumas consequências:
    $\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$
    $\log _{a^{n}}b={{\log _{a}b} \over n}$
    $a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}$
    $-\log _{a}b=\log _{a}\left({1 \over b}\right)=\log _{1 \over a}b$
    $\log _{a_{1}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{n}}b_{n}=\log _{a_{\pi (1)}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{\pi (n)}}b_{n},$
onde $\scriptstyle \pi$ é qualquer permutação dos subscritos 1, …, n. Por exemplo
    $\log _{a}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{c}y\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z.$

### Soma/subtração

A seguinte regra de soma/subtração é especialmente útil em teoria da probabilidade quando se trata de uma soma de log-probabilidades:
    $\log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}(1+b^{\log _{b}c-\log _{b}a})$
    $\log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}(1-b^{\log _{b}c-\log _{b}a})$
a qual resulta nos casos especiais:
    $\log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}(1+{\frac {c}{a}})$
    $\log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}(1-{\frac {c}{a}})$
Note-se que na prática $a$ e $c$ tem que ser ligados no lado direito das equações se $c>a.$ Observe-se também que a identidade de subtração não está definida se $a=c$ uma vez que o logaritmo de zero não é definido.
Mais genericamente:
    $\log _{b}\sum \limits _{i=0}^{N}{a_{i}}=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum \limits _{i=1}^{N}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum \limits _{i=1}^{N}{b^{\left(\log _{b}a_{i}-\log _{b}a_{0}\right)}}\right)$
onde $a_{0},\cdots ,a_{N}>0.$

## Identidades do cálculo
### Limites

    $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}a>1$
    $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{se }}a<1$
    $\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{se }}a>1$
    $\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}a<1$
    $\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0$
    $\lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0$
O último limite é muitas vezes resumido como "logaritmos crescem mais lentamente do que qualquer potência ou raiz de x".

### Derivadas de funções logarítmicas

    ${d \over dx}\log _{b}x={1 \over x\ln b},\qquad b>0,b\neq 1$
    ${d \over dx}\ln x={1 \over x\ln e}={1 \over x},\qquad x>0$

### Definição integral

    $\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt$

### Integrais de funções logarítmicas

    $\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C$
Para lembrar integrais mais altas, é conveniente definir:
    $x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})$
    $x^{\left[0\right]}=\log x$
    $x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x$
    $x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}$
    $x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}$
Então,
    ${\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}$
    $\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C$

## Aproximando grandes números

As identidades de logaritmos pode ser usadas para aproximar grandes números. Note-se que log$_b$(a) + log$_b$(c) = log$_b$(a*c), onde a, b, e c são constantes arbitrárias. Supondo-se que quer se aproximat o 44° primo de Mersenne, 2$^{32.582.657}$ - 1. Para obter-se o logaritmo de base 10, nós devemos miultiplicar 32.582.657 por log$_{10}$(2), tomando 9.808.357,09543 = 9.808.357 + 0,09543. Podemos então tomar 10$^{9.808.357}$ * 10$^{0,09543}$ ≈ 1,25 * 10$^{9.808.357}$.
Similarmente, fatoriais podem ser aproximados por somar-se os logaritmos dos termos.

## Identidades logarítmicas complexas

O logaritmo complexo é o análogo em números complexos da função logaritmo. Nenhuma função no plano complexo pode satisfazer as regras normais para logaritmos. Entretanto uma função multivalorada pode ser definida a qual satisfaça a maioria das identidades. É comum considerar-se esta como uma função definida em um superfície de Riemann. A única versão valorada chamada valor principal do logaritmo pode ser definida a qual é descontínua no eixo x negativo e é igual a versão de vários valores em um único ramo de corte

### Definições

A convenção usada aqui será que a primeira letra em maiúscula é usada para o valor principal das funções e a versão minúscula refere-se à função de valor multivalorada. A única versão valorada de definições e identidades é sempre dada primeiro, seguida por uma seção separada para as várias versões valoradas.
    ln(r) é o padrão logaritmo natural do número real r.
    Log(z) é o valor principal da função logaritmo complexo e tem parte imaginária no intervalo (-π, π].
    Arg(z) é o valor principal da função arg, seu valor é restrito a (-π, π]. Pode ser computado usando-se Arg(x+iy)= atan2(y, x).
    $\operatorname {Log} (z)=\ln(|z|)+i\operatorname {Arg} (z)$
    $e^{\operatorname {Log} (z)}=z$
A versão valorada múltipla de log(z) é um conjunto, mas é mais fácil escrevê-lo sem barras e usá-lo em fórmulas seguindo regras óbvias.
    log(z) é o conjunto dos números complexos v os quais satisfazem e$^v$ = z
    arg(z) é o conjunto dos valores possíveis da função arg aplicada a z.
Quando k é qualquer inteiro:
    $\operatorname {Log} (z)=\ln(|z|)+i\operatorname {Arg} (z)$
    $\log(z)=\operatorname {Log} (z)+2\pi ik$
    $e^{\log(z)}=z$

### Constantes

Principais formas de valoração:
    $\operatorname {Log} (1)=0$
    $\operatorname {Log} (e)=1$
Formas de valoração múltipla, para qualquer k inteiro:
    $\log(1)=0+2\pi ik$
    $\log(e)=1+2\pi ik$

### Soma

Principais formas de valoração:
    $\operatorname {Log} (z_{1})+\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}z_{2}){\pmod {2\pi i}}$
    $\operatorname {Log} (z_{1})-\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}/z_{2}){\pmod {2\pi i}}$
Formas de valoração múltipla:
    $\log(z_{1})+\log(z_{2})=\log(z_{1}z_{2})$
    $\log(z_{1})-\log(z_{2})=\log(z_{1}/z_{2})$

### Potências

Um potência complexa de um número complexo pode ter muitos valores possíveis.
Principais formas de valoração:
    ${z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})}$
    $\operatorname {Log} {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1}){\pmod {2\pi i}}$
Formas de valoração múltipla:
    ${z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\log(z_{1})}$
Onde k$_1$, k$_2$ são quaisquer inteiros:
    $\log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\log(z_{1})+2\pi ik_{2}$
    $\log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})+z_{2}2\pi ik_{1}+2\pi ik_{2}$