# Qui-quadrado

A distribuição χ$^2$ ou qui-quadrado é uma das distribuições mais utilizadas em estatística inferencial, principalmente para realizar testes de χ$^2$. Este teste serve para avaliar quantitativamente a relação entre o resultado de um experimento e a distribuição esperada para o fenômeno. Isto é, ele nos diz com quanta certeza os valores observados podem ser aceitos como regidos pela teoria em questão. Muitos outros testes de hipótese usam, também, a distribuição χ$^2$.

## Teste de χ$^2$

Dado um experimento onde foram realizadas N medidas de uma variável aleatória X. Em cada medida, a variável X assume os valores x$_1$, x$_2$, ...,x$_N$. Gostaríamos de testar se a distribuição experimental dos valores x$_1$, x$_2$, ..., x$_k$, ..., x$_N$ é consistente com a distribuição esperada para o fenômeno, f(X). Em outras palavras, temos que avaliar como esperaríamos que as N medidas estivessem distribuídas e então comparar com a distribuição observada. Primeiramente, em geral x é uma variável contínua, de forma que não podemos nos referir ao valor esperado de medidas com um único valor de x (se x for contínuo, a probabilidade de X assumir um exato valor é zero). Logo, precisamos definir intervalos a ≤ x ≤ b e calcular o número esperado de medidas que devem estar dentro de cada intervalo j, em que j = 1, 2, …, n e n é o número de intervalos definidos. O número de medidas esperadas para o intervalo j, E$_j$, será, então,
    $E_{j}=NPr_{j}$,
onde Pr$_j$ é a probabilidade de X assumir um valor dentro do intervalo j. Essa probabilidade obviamente depende da distribuição f(X) e é normalizada:
    $\sum _{j}Pr_{j}=1.$
É natural analisar a diferença entre o número de amostras observadas dentro de cada intervalo, O$_j$, e o número esperado:
    $O_{j}-E_{j}$,
de forma que quanto menor forem estes valores, melhores serão as chances de nossa hipótese para f(X) ser verdadeira. Porém, não podemos esperar que os dois valores O$_j$ e E$_j$ coincidam perfeitamente para qualquer número finito de medidas que realizarmos. Na verdade, se imaginarmos uma situação onde realizamos o procedimento de contar o número O$_j$ muitas vezes, esperamos que a média de O$_j$ seja E$_j$, com um desvio padrão σ$_j$=E$_j$$^{1/2}$. Logo, esperamos que
    ${\frac {O_{j}-E_{j}}{\sigma _{j}}}$
seja da ordem de unidade, se nossa hipótese for verdadeira. Definimos, portanto, a variável χ$_k$$^2$, com k graus de liberdade estatísticos, como sendo
$\chi _{k}^{2}\equiv \sum _{j=1}^{n}{\frac {(O_{j}-E_{j})^{2}}{E_{j}}},$
indicando o quanto as distribuições experimental e teórica são parecidas. Se χ$^2$ ≤ n, há uma boa concordância entre as distribuições, e se χ$^2$ >> n é bem provável que a hipótese para f(X) seja falsa. Os graus de liberdade k são definidos como a diferença entre o número de medidas realizadas e o número de restrições feitas aos valores das medidas.
É possível estudar as discrepâncias em experimentos que envolvam duas variáveis, em diferentes níveis. Os valores observados podem ser anotados em um quadro da seguinte forma:
Tabela das frequências de eventos com duas variáveis X e Y. :
| Variável X | Variável Y | Variável Y | Variável Y | Variável Y | Total |
| Variável X | Y1 | Y2 | ... | Ym | Total |
| X1 | O11 | O12 | ... | O1m | L1 |
| X2 | O21 | O22 | ... | O2m | L2 |
| Xn | On1 | On2 | ... | Onm | Lm |
| Total | C1 | C2 | ... | Cn | T |
O objetivo é observar o nível de relação existente entre as variáveis estudadas. Nesse caso, a estatística de teste é dado por:
$\chi _{k}^{2}\equiv \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{\frac {(O_{ij}-E_{ij})^{2}}{E_{ij}}},$
onde as frequências esperadas são dadas por:
$E_{ij}={\frac {L_{i}C_{j}}{T}}$

## Distribuição χ$^2$

A probabilidade da distribuição qui quadrado não é simétrica como a da distribuição normal. Dessa forma, para aumentar seu estado de simetria, é necessário aumentar o seu grau de liberdade, portanto a relação entre simetria e grau de liberdade é diretamente proporcional.
A variável $\chi _{k}^{2}$, por si só, apresenta uma função densidade de probabilidade. Esta função apresenta qual a probabilidade de a variável $\chi _{k}^{2}$ assumir um valor entre $\chi _{k}^{2}$ e $\chi _{k}^{2}+d\chi _{k}^{2}$, e é dada por:
    $f(\chi _{k}^{2})={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}(\chi _{k}^{2})^{k/2-1}e^{-\chi _{k}^{2}/2}.$
Exemplos desta função para diversos k estão plotados na figura ao lado.
Em posse desta expressão, pode-se calcular a probabilidade de, num teste de χ$^2$, obter-se um valor igual ou maior ao valor encontrado, $(\chi ^{2})'$, calculando a integral
    $\int _{(\chi ^{2})'}^{\infty }f(\chi ^{2})\,d\chi ^{2}.$
Desta forma, encontramos um modo quantitativo para determinar a concordância entre distribuição experimental e teórica. Em geral, para evitar o cálculo desta integral, se recorre a tabelas que apresentam os valores das probabilidades para cada intervalo de confiança e para cada grau de liberdade.
É interessante analisar que a média da distribuição χ$^2$ é k. Isto é se repetirmos o teste de χ$^2$ muitas vezes (para várias medidas coletadas diferentes), esperamos que a média dos valores de χ$^2$ encontrados tenda para o número de graus de liberdade estatísticos.
A distribuição qui-quadrado pode ser simulada a partir da distribuição normal. Por definição, se $Z_{1},Z_{2},\ldots Z_{k}\,$ forem k distribuições normais padronizadas (ou seja, média 0 e desvio padrão 1) independentes, então a soma de seus quadrados é uma distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade:
    $\chi _{k}^{2}=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+\ldots +Z_{k}^{2}\,$
a definição é que a soma de duas qui-quadrado independentes também é uma qui-quadrado:
    $\chi _{a}^{2}+\chi _{b}^{2}=\chi _{a+b}^{2}.$

## Exemplo$^[$

Podemos aplicar o teste de χ$^2$ para analisar quão boa é a concordância entre um conjunto de medidas $(x_{i},y_{i})$ e a relação esperada $y=y(x)$. Por exemplo, suponhamos que desejamos testar a hipótese de que a trajetória do lançamento de um projétil é uma parábola. O projétil sairá de uma altura de $h=100m$, com uma velocidade inicial horizontal de $v_{i}=100m/s$ e num local onde a gravidade vale $g=9.8m/s^{2}$. Esperamos, portanto, que a altura do projétil em função da sua distância em relação ao ponto de partida seja:
    $y(x)=h-{\frac {g}{2v_{i}^{2}}}x^{2}.$
Para testar a hipótese, fazemos 10 medidas de x e de y em tempos específicos. A tabela abaixo mostra os valores encontrados.
| i | (×$_i$,y$_i$) |
| 1 | (50,98) |
| 2 | (80,95) |
| 3 | (110,92) |
| 4 | (140,90) |
| 5 | (170,85) |
| 6 | (200,80) |
| 7 | (230,72) |
| 8 | (260,62) |
| 9 | (290,53) |
| 10 | (320,40) |
Para os valores encontrados, a incerteza na medida de x é desprezível e a de y é $\sigma =3$. Como não calculamos nenhum parâmetro a partir dos valores medidos, o número de graus de liberdade é o mesmo do número de medidas, 10. Com estes valores, podemos calcular o valor de χ$^2$:
    $\chi _{10}^{2}=\sum _{i=1}^{10}{\frac {(y_{i}-y(x_{i}))^{2}}{\sigma ^{2}}}=20,24,$
ou, ainda:
    ${\frac {\chi _{10}^{2}}{k}}=2,024.$
De posse do valor "normalizado" de $\chi ^{2}$, podemos usar uma tabela para descobrir a probabilidade de se obter este valor ou mais, e assim saber com quanta certeza podemos dizer que os valores encontradas realmente estão distribuídos como esperado. Neste caso, para 10 graus de liberdade:
    $Pr(\chi _{10}^{2}\geq 2,024)=2,9\%.$
O que descobrimos foi que a probabilidade de que as medidas obtidas realmente estejam sendo governadas pela lei prevista é de apenas 2,9%, ou seja, deveríamos rejeitar esta hipótese. Isto é, temos apenas 2,9% de certeza que a trajetória do projétil foi realmente uma parábola e que os grandes desvios observados foram apenas flutuações estatísticas.
Poderíamos ter avaliado a concordância experimental com a teórica fazendo os gráficos e comparando-os "à olho". Teríamos visto que o projétil caiu bem antes do que o previsto, sugerindo que estejamos esquecendo fatores de resistência do ar (no modelo previsto, consideramos apenas a força da gravidade, e ignoramos qualquer atrito que pudesse haver entre ar e projétil, que de fato existe, principalmente para velocidades grandes como 100 m/s).

## Distribuições relacionadas

* Se U for uma distribuição uniforme no intervalo (0,1), então -2 log U é uma distribuição qui-quadrado com 2 graus de liberdade.

## Nomenclatura

O símbolo χ$^2$, a segunda potência de χ (ou $\chi$), envolve a forma minúscula de letra do alfabeto grego chamada qui (também chamada, menos frequentemente, chi em português). Devido a semelhança da letra grega com a letra xis x do alfabeto latino é comum a ocorrência de confusões, motivo pelo qual alguns autores optam por utilizar o nome da letra por extenso, em expressões como qui-quadrado. Essa é a forma recomendada pelo Glossário Inglês-Português de Estatística da Sociedade Portuguesa de Estatística e da Associação Brasileira de Estatística.