# Regra de 72

Em finanças, a regra dos 72, a regra dos 70 e a regra dos 69,3 são métodos para estimar o tempo de duplicação de um investimento . O número da regra (por exemplo, 72) é dividido pela porcentagem de juros por período (geralmente anos) para obter o número aproximado de períodos necessários para duplicação. Embora calculadoras científicas e programas de planilha tenham funções para encontrar o tempo de duplicação preciso, as regras são úteis para cálculos mentais e quando apenas uma calculadora básica estiver disponível.
Estas regras aplicam-se ao crescimento exponencial e, portanto, são utilizadas para juros compostos em oposição aos cálculos de juros simples . Eles também podem ser usados para decaimento para obter um tempo de redução pela metade. A escolha do número é principalmente uma questão de preferência: 69 é mais preciso para composição contínua, enquanto 72 funciona bem em situações de interesse comum e é mais facilmente divisível. Existem várias variações nas regras que melhoram a precisão. Para capitalização periódica, o tempo exato de duplicação para uma taxa de juros de r por cento por período é
    $t={\frac {\ln(2)}{\ln(1+r/100)}}\approx {\frac {72}{r}}$ ,
onde t é o número de períodos necessários. A fórmula acima pode ser usada para mais do que calcular o tempo de duplicação. Se quisermos saber o tempo de triplicação, por exemplo, substitua a constante 2 no numerador por 3. Como outro exemplo, se quisermos saber quantos períodos são necessários para o valor inicial aumentar 50%, substitua a constante 2 por 1,5.

## Usando a regra para estimar períodos compostos

Para estimar o número de períodos necessários para duplicar um investimento original, divida a “quantidade-regra” mais conveniente pela taxa de crescimento esperada, expressa em percentagem.
* Por exemplo, se você investisse $ 100 com juros compostos a uma taxa de 9% ao ano, a regra de 72 dá 72/9 = 8 anos necessários para que o investimento valha $ 200; um cálculo exato dá ln(2) /ln(1+0,09) = 8,0432 anos.
Da mesma forma, para determinar o tempo que leva para o valor do dinheiro cair pela metade a uma determinada taxa, divida a quantidade regra por essa taxa.
* Para determinar o tempo necessário para que o poder de compra do dinheiro caia pela metade, os financiadores dividem a quantidade regra pela taxa de inflação . Assim, com uma inflação de 3,5%, usando a regra dos 70, deveria levar aproximadamente 70/3,5 = 20 anos para que o valor de uma unidade monetária caísse pela metade.
* Para estimar o impacto das taxas adicionais nas políticas financeiras (por exemplo, taxas e despesas de fundos mútuos, encargos de carregamento e despesas em carteiras variáveis de investimento em seguro de vida universal ), divida 72 pela taxa. Por exemplo, se a apólice da Universal Life cobrar uma taxa anual de 3% acima do custo do fundo de investimento subjacente, então o valor total da conta será reduzido para 50% em 72/3 = 24 anos, e depois para 25% de o valor em 48 anos, em comparação com manter exatamente o mesmo investimento fora da apólice.

## Escolha da regra

O valor 72 é uma escolha conveniente de numerador, pois possui muitos divisores pequenos: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 e 12. Fornece uma boa aproximação para capitalização anual e para capitalização a taxas típicas (de 6% a 10%); as aproximações são menos precisas a taxas de juro mais elevadas.
Para composição contínua, 69 fornece resultados precisos para qualquer taxa, uma vez que ln (2) é cerca de 69,3%; veja derivação abaixo. Como a composição diária é próxima o suficiente da composição contínua, para a maioria das finalidades 69, 69,3 ou 70 são melhores do que 72 para a composição diária. Para taxas anuais mais baixas do que as acima, 69,3 também seria mais preciso do que 72. Para taxas anuais mais elevadas, 78 é mais preciso.
| Rate | Actual Years | Rate × Actual Years | Rule of 72 | Rule of 70 | Rule of 69.3 | 72 adjusted | E-M rule |
| 0.25% | 277.605 | 69.401 | 288.000 | 280.000 | 277.200 | 277.667 | 277.547 |
| 0.5% | 138.976 | 69.488 | 144.000 | 140.000 | 138.600 | 139.000 | 138.947 |
| 1% | 69.661 | 69.661 | 72.000 | 70.000 | 69.300 | 69.667 | 69.648 |
| 2% | 35.003 | 70.006 | 36.000 | 35.000 | 34.650 | 35.000 | 35.000 |
| 3% | 23.450 | 70.349 | 24.000 | 23.333 | 23.100 | 23.444 | 23.452 |
| 4% | 17.673 | 70.692 | 18.000 | 17.500 | 17.325 | 17.667 | 17.679 |
| 5% | 14.207 | 71.033 | 14.400 | 14.000 | 13.860 | 14.200 | 14.215 |
| 6% | 11.896 | 71.374 | 12.000 | 11.667 | 11.550 | 11.889 | 11.907 |
| 7% | 10.245 | 71.713 | 10.286 | 10.000 | 9.900 | 10.238 | 10.259 |
| 8% | 9.006 | 72.052 | 9.000 | 8.750 | 8.663 | 9.000 | 9.023 |
| 9% | 8.043 | 72.389 | 8.000 | 7.778 | 7.700 | 8.037 | 8.062 |
| 10% | 7.273 | 72.725 | 7.200 | 7.000 | 6.930 | 7.267 | 7.295 |
| 11% | 6.642 | 73.061 | 6.545 | 6.364 | 6.300 | 6.636 | 6.667 |
| 12% | 6.116 | 73.395 | 6.000 | 5.833 | 5.775 | 6.111 | 6.144 |
| 15% | 4.959 | 74.392 | 4.800 | 4.667 | 4.620 | 4.956 | 4.995 |
| 18% | 4.188 | 75.381 | 4.000 | 3.889 | 3.850 | 4.185 | 4.231 |
| 20% | 3.802 | 76.036 | 3.600 | 3.500 | 3.465 | 3.800 | 3.850 |
| 25% | 3.106 | 77.657 | 2.880 | 2.800 | 2.772 | 3.107 | 3.168 |
| 30% | 2.642 | 79.258 | 2.400 | 2.333 | 2.310 | 2.644 | 2.718 |
| 40% | 2.060 | 82.402 | 1.800 | 1.750 | 1.733 | 2.067 | 2.166 |
| 50% | 1.710 | 85.476 | 1.440 | 1.400 | 1.386 | 1.720 | 1.848 |
| 60% | 1.475 | 88.486 | 1.200 | 1.167 | 1.155 | 1.489 | 1.650 |
| 70% | 1.306 | 91.439 | 1.029 | 1.000 | 0.990 | 1.324 | 1.523 |
Nota: O valor mais preciso em cada linha está em itálico e o mais preciso das regras mais simples está em negrito.
Uma referência antiga à regra está na Summa de arithmetica (Veneza, 1494. Fol. 181, n. 44) de Luca Pacioli (1445–1514). Ele apresenta a regra em uma discussão sobre a estimativa do tempo de duplicação de um investimento, mas não deriva ou explica a regra, e portanto assume-se que a regra antecede Pacioli em algum tempo.
Traduzido aproximadamente:

## Ajustes para maior precisão

Para taxas mais elevadas, um numerador maior seria melhor (por exemplo, para 20%, usar 76 para obter 3,8 anos seria apenas cerca de 0,002 de desconto, enquanto usar 72 para obter 3,6 seria cerca de 0,2 de desconto). Isto porque, como acima, a regra dos 72 é apenas uma aproximação precisa para taxas de juros de 6% a 10%.
Por cada três pontos percentuais acima dos 8%, o valor de 72 poderia ser ajustado em 1:
    $t\approx {\frac {72+(r-8)/3}{r}}$
ou, para o mesmo resultado:
    $t\approx {\frac {70+(r-2)/3}{r}}$
Ambas as equações simplificam para:
    $t\approx {\frac {208}{3r}}+{\frac {1}{3}}$
Observe que ${\frac {208}{3}}$ está bem próximo de 69,3.

### Regra E-M

A regra de segunda ordem de Eckart-McHale (a regra E-M) fornece uma correção multiplicativa para a regra de 69,3 que é muito precisa para taxas de 0% a 20%, enquanto a regra normalmente só é precisa na extremidade mais baixa das taxas de juros, de 0% a cerca de 5%.
Para calcular a aproximação E-M, multiplique o resultado da regra de 69,3 por 200/(200− r ) da seguinte forma:
    $t\approx {\frac {69.3}{r}}\times {\frac {200}{200-r}}$ .
Por exemplo, se a taxa de juro for de 18%, a regra de 69,3 dá t = 3,85 anos, que a regra E-M multiplica por ${\frac {200}{182}}$ (ou seja, 200/(200−18)) para dar um tempo de duplicação de 4,23 anos. Como o tempo real de duplicação a esta taxa é de 4,19 anos, a regra E-M dá assim uma aproximação mais próxima do que a regra dos 72.
Para obter uma correção semelhante para a regra de 70 ou 72, um dos numeradores pode ser definido e o outro ajustado para manter o produto aproximadamente o mesmo. A regra E-M poderia, portanto, ser escrita também como
    $t\approx {\frac {70}{r}}\times {\frac {198}{200-r}}$ ou $t\approx {\frac {72}{r}}\times {\frac {192}{200-r}}$
Nestas variantes, a correção multiplicativa torna-se 1 respectivamente para r=2 e r=8, valores para os quais as regras de 70 e 72 são mais precisas.

### Aproximante de Padé

O aproximante de Padé de terceira ordem fornece uma resposta mais precisa em um intervalo ainda maior de r, mas tem uma fórmula um pouco mais complicada:
    $t\approx {\frac {69.3}{r}}\times {\frac {4r+600}{r+600}}$
o que simplifica para:
    $t\approx {\frac {1386r+207900}{5r^{2}+3000r}}$

## Derivação
### Capitalização periódica

Para capitalização periódica, o valor futuro é dado por:
    $FV=PV\cdot (1+r)^{t}$
onde $PV$ é o valor presente, $t$ é o número de períodos de tempo e $r$ representa a taxa de juros por período de tempo.
O valor futuro é o dobro do valor presente quando:
    $FV=PV\cdot 2$
que é a seguinte condição:
    $(1+r)^{t}=2\,$
Esta equação é facilmente resolvida para $t$ :
    ${\begin{array}{ccc}\ln((1+r)^{t})&=&\ln 2\\t\ln(1+r)&=&\ln 2\\t&=&{\frac {\ln 2}{\ln(1+r)}}\end{array}}$
Um rearranjo simples mostra:
    ${\frac {\ln {2}}{\ln {(1+r)}}}={\bigg{\frac {\ln 2}{r}}{\bigg )}{\bigg{\frac {r}{\ln(1+r)}}{\bigg )}$
Se r for pequeno, então ln(1 + r ) é aproximadamente igual a r (este é o primeiro termo da série de Taylor ). Ou seja, este último fator cresce lentamente quando $r$ está próximo de zero.
Chame este último fator $f(r)={\frac {r}{\ln(1+r)}}$ . A função $f(r)$ mostra-se preciso na aproximação de $t$ para uma taxa de juros pequena e positiva quando $r=.08$ (veja derivação abaixo). $f(.08)\approx 1.03949$ , e portanto aproximamos o tempo $t$ como:
    $t={\bigg{\frac {\ln 2}{r}}{\bigg )}f(.08)\approx {\frac {.72}{r}}$
Escrito como uma porcentagem:
    ${\frac {.72}{r}}={\frac {72}{100r}}$
Esta aproximação aumenta em precisão à medida que a composição dos juros se torna contínua (ver derivação abaixo). $100r$ é $r$ escrito como uma porcentagem .
Para derivar os ajustes mais precisos apresentados acima, note-se que $\ln(1+r)\,$ é mais aproximado por $r-{\frac {r^{2}}{2}}$ (usando o segundo termo da série de Taylor). ${\frac {0.693}{r-r^{2}/2}}$ pode então ser ainda mais simplificado por aproximações de Taylor:
    ${\begin{array}{ccc}{\frac {0.693}{r-r^{2}/2}}&=&{\frac {69.3}{R-R^{2}/200}}\\&&\\&=&{\frac {69.3}{R}}{\frac {1}{1-R/200}}\\&&\\&\approx &{\frac {69.3(1+R/200)}{R}}\\&&\\&=&{\frac {69.3}{R}}+{\frac {69.3}{200}}\\&&\\&=&{\frac {69.3}{R}}+0.3465\end{array}}$
Substituir o “ R ” em R /200 na terceira linha por 7,79 dá 72 no numerador. Isto mostra que a regra dos 72 é mais precisa para juros compostos periodicamente em torno de 8%. Da mesma forma, substituir o “ R ” em R /200 na terceira linha por 2,02 resulta em 70 no numerador, mostrando que a regra de 70 é mais precisa para juros compostos periodicamente em torno de 2%.
Alternativamente, a regra E-M é obtida se a aproximação de Taylor de segunda ordem for usada diretamente.

### Capitalização contínua

Para capitalização contínua, a derivação é mais simples e produz uma regra mais precisa:
    ${\begin{array}{ccc}(e^{r})^{p}&=&2\\e^{rp}&=&2\\\ln e^{rp}&=&\ln 2\\rp&=&\ln 2\\p&=&{\frac {\ln 2}{r}}\\&&\\p&\approx &{\frac {0.693147}{r}}\end{array}}$