# Identidade de polarização

Em álgebra linear, a identidade de polarização expressa um produto interno de um espaço normado em função de sua norma. Se uma norma surge de um produto interno, então a identidade de polarização pode ser usada para expressar esse produto interno inteiramente em termos da norma.
A norma gerada por um produto interno, satisfaz a lei do paralelogramo: $\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}$. De fato, como observado por John von Neumann, a lei do paralelogramo caracteriza as normas que surgem de produtos internos. Explicitamente, se $(H,\|\cdot \|)$ é um espaço normado, então:
    A lei do paralelogramo vale para norma $\|\cdot \|$ se e somente se existe um produto interno $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ em $H$ tal que $\|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle$ para todo $x\in H.$

## Identidades de polarização

Um produto interno, em um espaço vetorial, gera uma norma por meio da seguinte relação: $\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.$ Com a identidade de polarização a relação é invertida: é possível obter um produto interno de uma norma. Todo produto interno satisfaz: $\|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \qquad {\text{ para todos os vetores }}x,y.$

### Espaços vetoriais reais

Se o espaço vetorial é sobre os números reais, então as identidades de polarização são definidas por:
    ${\begin{alignedat}{4}\langle x,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}$
Essas formas são todas equivalentes por conta da lei do paralelogramo: $2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.$

### Espaços vetoriais complexos

Para o espaço vetorial complexo, as identidades de polarização devem considerar a parte imaginária do produto interno. A parte complexa do produto interno depende se é antilinear no primeiro ou no segundo argumento. A notação $\langle x|y\rangle ,$ que é comumente usada em física será assumida como antilinear no primeiro argumento enquanto $\langle x,\,y\rangle ,$ que é comumente usado em matemática, será considerada antilinear no segundo argumento. Elas estão relacionados pela fórmula: $\langle x,\,y\rangle =\langle y\,|\,x\rangle \quad {\text{ para todos }}x,y\in H.$
A parte real de qualquer produto interno (independente de qual argumento é antilinear ou se é real ou complexo) é uma função bilinear simétrica que para qualquer $x,y\in H$ é sempre igual a:
    ${\begin{alignedat}{4}R(x,y):&=\operatorname {Re} \langle x\mid y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \\&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\;\;&(1)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)&(2)\\[3pt]&={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)&(3)\\\end{alignedat}}$
É sempre uma função simétrica, ou seja: $R(x,y)=R(y,x)\quad {\text{ para todos }}x,y\in H,$ e também satisfaz: $R(y,ix)=-R(x,iy)\quad {\text{ para todos }}x,y\in H.$
Portanto $R(ix,y)=-R(x,iy)$, em outras palavras, mover um fator de $i={\sqrt {-1}}$ para o outro argumento adiciona um sinal negativo.
Diferente da sua parte real, a parte imaginária de um produto interno complexo depende de qual argumento é antilinear.

#### Antilinear no primeiro argumento

Para o produto interno $\langle x\,|\,y\rangle ,$ antilinear no primeiro argumento, para todo $x,y\in H,$
    ${\begin{alignedat}{4}\langle x\,|\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)-iR(x,iy)\\&=R(x,y)+iR(ix,y).\\\end{alignedat}}$
A penúltima igualdade é semelhante a fórmula que expressa o funcional linear $\varphi$ em termos de sua parte real: $\varphi (y)=\operatorname {Re} \varphi (y)-i(\operatorname {Re} \varphi )(iy).$

#### Antilinear no segundo argumento

Para o produto interno $\langle x,\ y\rangle$ que é antilinear no segundo argumento, segue de$\langle x\,|\,y\rangle$ pela relação: $\langle x,\ y\rangle :=\langle y\,|\,x\rangle ={\overline {\langle x\,|\,y\rangle }}.$ Então para quaisquer $x,y\in H,$
    ${\begin{alignedat}{4}\langle x,\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)+iR(x,iy)\\&=R(x,y)-iR(ix,y).\\\end{alignedat}}$
Essa expressão pode reescrita como: $\langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\left\|x+i^{k}y\right\|^{2}.$
Portanto se $R(x,y)+iI(x,y)$ denota as partes real e imaginária de um produto interno no ponto $(x,y)\in H\times H$ do seu domínio, então sua parte imaginária será: $I(x,y)~=~{\begin{cases}R(ix,y)=-R(x,iy)&\quad {\text{ Se é antilinear no primeiro argumento}}\\R(x,iy)=-R(ix,y)&\quad {\text{ Se é antilinear no segundo argumento}}\\\end{cases}}$ em que o escalar $i$ está sempre localizado no mesmo argumento que o produto interno é antilinear.

## Reconstruindo o produto interno

Seja $(H,\|\cdot \|)$ um espaço normado que satisfaz a lei do paralelogramo: $\|x+y\|^{2}~+~\|x-y\|^{2}~=~2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}$ então existe um único produto interno $\langle \cdot ,\ \cdot \rangle$ em $H$ tal que $\|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle$ para todo $x\in H.$
Outra condição necessária e suficiente para existir um produto interno que induz uma norma dada é que a norma satisfaça a desigualdade de Ptolomeu: $\|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ para todos vetores }}x,y,z.$

## Aplicações e consequências

Se $H$é um espaço de Hilbert complexo, então $\langle x\mid y\rangle$ é real se, e somente se, sua parte complexa é $0=R(x,iy)={\frac {1}{4}}\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right),$ o que acontece se, e somente se, $\|x+iy\|=\|x-iy\|.$ Similarmente, $\langle x\mid y\rangle$ é imaginário puro se, e somente se, $\|x+y\|=\|x-y\|.$ Por exemplo, de $\|x+ix\|=|1+i|\|x\|={\sqrt {2}}\|x\|=|1-i|\|x\|=\|x-ix\|$ conclui-se que $\langle x|x\rangle$ é real e que $\langle x|ix\rangle$ é imaginário puro.

### Isometrias

Se $A:H\to Z$ é uma isometria linear entre dois espaços de Hilbert (logo $\|Ah\|=\|h\|$ para todo $h\in H$), então$\langle Ah,Ak\rangle _{Z}=\langle h,k\rangle _{H}\quad {\text{ para todos }}h,k\in H;$ou seja, isometrias linear preservam o produto interno.
Se $A:H\to Z$ é uma isometria antilinear, então$\langle Ah,Ak\rangle _{Z}={\overline {\langle h,k\rangle _{H}}}=\langle k,h\rangle _{H}\quad {\text{ para todos }}h,k\in H.$

### Relação com a lei dos cossenos

A segunda forma da identidade de polarização pode ser escrita como:$\|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).$Essencialmente, essa é uma forma vetorial da lei dos cossenos para o triângulo formado pelos vetores ${\textbf {u}},{\textbf {v}}$, e ${\textbf {u}}-{\textbf {v}}$. Em particular,${\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}=\|{\textbf {u}}\|\,\|{\textbf {v}}\|\cos \theta ,$em que $\theta$ é o ângulo entre os vetores ${\textbf {u}}$ e ${\textbf {v}}$.

### Dedução

A relação básica entre a norma e o produto escalar é dada pela equação:$\|{\textbf {v}}\|^{2}={\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}},$então,${\begin{aligned}\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}&=({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\cdot ({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\\[3pt]&=({\textbf {u}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}})\\[3pt]&=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}+2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}),\end{aligned}}$similarmente,$\|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).$As formas (1) e (2) da identidade de polarização são obtidas resolvendo essas equações para u · v, enquanto a forma (3) é obtida subtraindo essas duas equações (somando-as obtém-se a lei do paralelogramo).