# Pentação

Em matemática, pentação (ou hiper-5) é a hiperoperação seguinte à tetração e anterior à hexação. É definida como uma tetração iterada ― repetida (assumindo associatividade à direita), assim como a tetração é uma exponenciação associativa à direita iterada. É uma operação binária definida com dois números $a$ e $b$, onde $a$ é tetrato consigo $b-1$ vezes. Por exemplo, utilizando a notação de hiperoperação para pentação e tetração, $2[5]3$ significa tetrar 2 consigo 2 vezes, ou $2[4](2[4]2)$. Que pode ser reduzido a $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65.536$.

## Etimologia

A palavra pentação foi cunhada por Reuben Goodstein em 1947 que deriva das raízes penta- (cinco) e iteração. É parte de um esquema genérico de nomeação para hiperoperações.

## Notação

Há pouco consenso sobre a notação para pentação, por isso, há diferentes maneiras de escrever a operação. Contudo, algumas são mais utilizadas do que outras e têm vantagens claras ou desvantagens comparadas à outras.
* Pentação pode ser escrita como uma hiperoperação como $a[5]b$. Neste formado, $ab$ pode ser interpretado como o resultado da aplicação sucessiva da função $x\mapsto a[2]x$, para $b$ repetições, começando do número 1. Analogamente, $ab$, tetração, representa o valor obtido por aplicar repetidamente a função $x\mapsto ax$, para $b$ repetições, começando do número 1 e a pentação $a[5]b$ representa o valor obtido por aplicar repetidamente a função $x\mapsto ax$ para $b$ repetições começando do número 1.[3][4] Esta será a notação utilizada no restante deste artigo.
* Na notação de Knuth, $a[5]b$ é representado como $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ ou $a\uparrow ^{3}b$. Nessa notação, $a\uparrow b$ representa a função exponenciação $a^{b}$ e $a\uparrow \uparrow b$ representa a tetração. A operação pode ser facilmente adaptada para hexação ao adicionar-se outra seta.
* Na notação de seta encadeada de Conway, $ab=a\rightarrow b\rightarrow 3$.
* Outra notação proposta é $_{b}a$, embora esta não seja extensível para hiperoperações maiores.

## Exemplos

Os valores da função pentação podem também ser obtidos dos valores da quarta linha da tabela de valores da variante da função de Ackermann: se $A(n,m)$ é definido pela recorrência de Ackermann $A(m-1,A(m,n-1))$ com as condições iniciais $A(1,n)=an$ e $A(m,1)=a$, então $a[5]b=A(4,b)$.
Assim como a tetração, sua operação base, não foi estendida às alturas não inteiras, a pentação $a[5]b$ é atualmente definida somente para valores inteiros de $a$ e $b$ onde $a>0$ e $b\geq -2$ e alguns poucos valores inteiros quais podem ser unicamente definidos. Assim como todas as hiperoperações de ordem 3 (exponenciações) e maiores, a pentação tem os seguintes casos triviais (identidades) as quais são verdadeiras para todos os valores de $a$ e $b$ no seu domínio:
* $1[5]b=1$
* $a[5]1=a$
Adicionalmente, podemos também definir:
* $a[5]2=a[4]a$
* $a[5]0=1$
* $a[5](-1)=0$
* $a[5](-2)=-1$
* $a[5](b+1)=a[4](a[5]b)$
Além dos casos triviais acima, a pentação gera número extremamente grande rapidamente tais que há apenas poucos casos não triviais que produzem números que podem ser escritos na notação convencional, como mostrado a seguir:
* $2[5]2=2[4]2=2^{2}=4$
* $2[5]3=2[4](2[5]2)=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65.536$
* $2[5]4=2[4](2[5]3)=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65.536=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}$(uma torre de potência de altura 65.536 $\approx \exp _{10}^{65.533}(4.29508)$ (mostrada aqui na notação de exponencial iterada pois é muito grande para ser escrito em notação convencional. Note que $\exp _{10}(n)=10^{n}$.
* $2[5]5=2[4](2[5]4)=2[4](2[4](2[4](2[4]2)))=2[4](2[4](2[4]4))=2[4](2[4]65.536)=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}$ (uma tore de potência de altura $2[4]65.536$) $\approx \exp _{10}^{2[4]65{.}536-3}(4{,}29508)$
* $3[5]2=3[4]3=3^{3^{3}}=3^{27}=7.625.597.484.987$
* $3[5]3=3[4](3[5]2)=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}$(uma torre de potência de altura 7.625.597.484.987) $\approx \exp _{10}^{7{.}625{.}597{.}484{.}986}(1,09902)$
* $3[5]4=3[4](3[5]3)=3[4](3[4](3[4]3))=3[4](3[4]7,625,597,484,987)=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}$ (uma torre de potência de altura $3[4]7.625{.}597{.}484{.}987$) $\approx \exp _{10}^{3[4]7.625{.}597{.}484{.}987-1}(1{,}09902)$
* $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2,19)$ (um número com mais de $10^{153}$ dígitos)
* $5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3,33928)$ (um número com mais de $10^{10^{2.184}}$ dígitos)

## Veja também

* Função de Ackermann
* Grandes números
* Número de Graham
* História de grandes números