# Função holomorfa

Funções holomorfas são o objeto central do estudo da análise complexa. Estas funções são definidas sobre um subconjunto aberto do plano complexo $\mathbb {C}$ com valores em $\mathbb {C}$ que são diferenciáveis em cada ponto.
Esta condição é muito mais forte que a diferenciabilidade em caso real e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua série de Taylor. O termo função analítica é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa", entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz função inteira. A frase "holomorfa em um ponto $a\in \mathbb {C}$" significa não só diferenciável em $a$, mas diferenciável em algum disco aberto centrado em $a$, no plano complexo.

## Definição

Se $U$ é um subconjunto aberto de $\mathbb {C}$ e $f:U\to \mathbb {C}$ é uma função, dizemos que $f$ é diferenciável complexa ou $\mathbb {C}$-diferenciável no ponto $z_{0}\in U$ se o limite
    $f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}$
existir.
Este limite se toma aqui sobre todas as sucessões de números complexos que se aproximam de $z_{0}$, e para todas essa sucessões o quociente de diferenciais tem que resultar no mesmo número $f'(z_{0})$. Intuitivamente, se $f$ é diferenciável complexa em $z_{0}$ e nas proximidades ao ponto $z_{0}$ da direção $r$, então as imagens se aproximarão ao ponto $f(z_{0})$ a partir da direção $f'(z_{0})r$, onde o último produto é a multiplicação de números complexos. Este conceito de diferenciabilidade compartilha várias propriedades com a diferenciabilidade em caso real: é linear e obedece as regras da derivação do produto, do quociente, da cadeia e da função inversa.
Se $f$ é complexa diferenciável em cada ponto $z_{0}\in U$, dizemos que $f$ é holomorfa em $U$.

## Propriedades

A derivada de uma função complexa tem várias propriedades análogas à derivada de uma função real, como, por exemplo:
* $(f+g)'=f'+g'$
* $(fg)'=f'g+fg'$
etc.
Algumas propriedades de funções holomorfas, porém, não tem equivalentes nas funções reais. Por exemplo:
* Se a parte real, ou a parte imaginária, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.
* Se o módulo, ou o argumento, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante. O argumento, aqui, é o ângulo $\theta$ obtido pela transformação $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\,$
Pelas propriedades acima, a função $f:\mathbb {C} \to \mathbb {R} _{0}^{+}$, dada por $f(z)=|z|\,$ não é holomorfa em nenhum aberto (pode-se provar diretamente que esta função não é diferenciável em nenhum ponto).
Além disso, se uma função $f:U\to \mathbb {C}$ é holomorfa no aberto $U\subset \mathbb {C}$ e é dada por$f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$, então satisfaz as equações de Cauchy-Riemann ${\big{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$ e ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}{\big )}$ para todo o $z_{0}\in U$. O recíproco não é, em geral, verdade. A condição torna-se necessária e suficiente se for exigido que $u$ e $v$ sejam funções de classe $C^{1}$no ponto $(x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{2}$ tal que $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$.