# Lei dos senos

Em trigonometria, a lei dos senos é uma relação matemática de proporção sobre a medida de triângulos arbitrários em um plano. Em um triângulo $ABC$qualquer, inscrito em uma circunferência de raio $r$, de lados ${\overline {BC}}$, ${\overline {AC}}\,\!$ e ${\overline {AB}}\,\!$, que medem respectivamente $a$, $b$ e $c$, com ângulos internos ${\widehat {A}}$, ${\widehat {B}}$ e ${\widehat {C}}$ vale a seguinte relação:
    ${\frac {a}{\sin {\widehat {A}}}}={\frac {b}{\sin {\widehat {B}}}}={\frac {c}{\sin {\widehat {C}}}}=2r\,\!$

## Demonstração

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo ABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio r. A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C.
Da figura, pelo teorema do ângulo inscrito podemos chegar à conclusão que ${\widehat {A}}={\widehat {D}}\,\!$, porque determinam na circunferência uma mesma corda ${\overline {BC}}\,\!$. Desta forma, podemos relacionar:
    $\sin {\widehat {D}}={\frac {a}{2r}}$
    $\Rightarrow a=2r\cdot \sin {\widehat {A}}$
    $\Rightarrow {\frac {a}{\sin {\widehat {A}}}}=2r$
Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos ${\widehat {B}}\,\!$ e ${\widehat {C}}\,\!$ teremos as relações:
    ${\frac {b}{\sin {\widehat {B}}}}$ e ${\frac {c}{\sin {\widehat {C}}}}=2r$
em que b é a medida do lado AC, oposto a ${\widehat {B}}\,\!$, c é a medida do lado AB, oposto a ${\widehat {C}}\,\!$, e 2r é uma constante.
Logo, podemos concluir que:
    ${\frac {a}{\sin {\widehat {A}}}}={\frac {b}{\sin {\widehat {B}}}}={\frac {c}{\sin {\widehat {C}}}}=2r\,\!$
Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: Definimos um triângulo formado pela soma ${\vec {b}}+{\vec {c}}$ e o resultante ${\vec {a}}$ e os ângulos ${\widehat {C}}$,${\widehat {B}}$ e ${\widehat {A}}$ correspondendo respectivamente aos vetores ${\vec {a}}$ e ${\vec {b}}$, ${\vec {a}}$ e ${\vec {c}}$, ${\vec {b}}$ e ${\vec {c}}$. Sabendo que o dobro da área, representada por $S$, do triângulo formado entre os vetores ${\vec {u}}$ e ${\vec {v}}$ é calculada com o módulo do produto vetorial entre eles e que:
    $\|{\vec {u}}\times {\vec {v}}\|=\|{\vec {u}}\|\cdot \|{\vec {v}}\|\cdot \sin(\theta )$
Sendo $\theta$ o ângulo entre os vetores ${\vec {u}}$ e ${\vec {v}}$, dessa forma temos o seguinte desenvolvimento:
    $\|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|=\|{\vec {a}}\times {\vec {c}}\|=\|{\vec {b}}\times {\vec {c}}\|=2S$
    $\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \sin {\widehat {C}}=\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|\cdot \sin {\widehat {B}}=\|{\vec {b}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|\cdot \sin {\widehat {A}}=2S$
    ${\frac {\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \sin {\widehat {C}}}{\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|}}={\frac {\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|\cdot \sin {\widehat {B}}}{\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|}}={\frac {\|{\vec {b}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|\cdot \sin {\widehat {A}}}{\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|}}={\frac {2S}{\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|}}$
    ${\frac {\sin {\widehat {C}}}{\|{\vec {c}}\|}}={\frac {\sin {\widehat {B}}}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {\sin {\widehat {A}}}{\|{\vec {a}}\|}}={\frac {1}{2r}}$
Que pode ser representado como a lei dos senos que conhecemos:
    ${\frac {a}{\sin {\widehat {A}}}}={\frac {b}{\sin {\widehat {B}}}}={\frac {c}{\sin {\widehat {C}}}}=2r$
Pois é uma relação possível de se inverter.

## Trigonometria esférica

Em um triângulo esférico existe uma lei muito parecida:
    ${\frac {\operatorname {sen} a}{\operatorname {sen} A}}={\frac {\operatorname {sen} b}{\operatorname {sen} B}}={\frac {\operatorname {sen} c}{\operatorname {sen} C}}\,$
A lei dos senos na trigonometria plana é o caso limite desta lei; o triângulo plano é o limite de um triângulo esférico quando os lados tendem a zero, e, no limite, ${\frac {x}{sinx}}\to 1\,$.