# Equação diferencial linear

Equações diferenciais lineares são equações diferenciais da seguinte forma :
| $a_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a_{n-1}(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+...+a_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+a_{0}(x)y=g(x).$ | (0.1) |
As soluções de uma equação diferencial linear podem ser somadas a fim de produzir uma nova solução. Diz-se que uma equação diferencial é linear quando satisfaz duas características:
* Cada coeficiente $a_{n}$ e o termo de não-homogeneidade só dependem da variável independente, no caso x;
* A variável dependente, no caso y, e suas derivadas são de primeiro grau.
Um exemplo de equação diferencial não linear :
$\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)^{3}-2xy=1.$

## Introdução

Uma equação diferencial linear também pode ser escrita de forma condensada:
$L_{n}[D]y(x)=g(x)$
Onde $L_{n}[D]$ é dito um operador linear diferencial, atuando sobre y(x) e tendo a forma de:
$L_{n}[D]=a_{n}(x)D^{n}+a_{n-1}(x)D^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +a_{1}(x)D^{1}+a_{0}(x),\ sendo\ D^{j}={\frac {d^{j}}{dx^{j}}}$
Equações diferenciais são classificadas quanto à ordem n, sendo n a ordem mais alta de uma derivada com a qual o termo dependente (y(x)) está envolvido. Para resolver uma equação diferencial são precisos n valores iniciais, no caso de EDO’s, ou n condições de contorno, no caso de EDP’s.
As equações diferenciais lineares podem ser classificadas em:
* Homogêneas se g(x)=0 para todo x ou não-homogêneas, caso essa condição não seja satisfeita;
* Ordinárias (EDO’s) ou parciais (EDP’s);
* Coeficientes constantes se todos os $a_{n}$ forem funções constantes.

## Equação diferencial linear de primeira ordem

A equação diferencial linear (0.1) diz-se de ordem n, supondo $a_{n}(x)\neq 0,$ visto ser $n$ a ordem mais elevada das derivadas de y que figuram na equação.
Para $n=1,$ a equação (0.1) fica
| $a_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+a_{0}(x)y=g(x).$ | (0.2) |
Temos neste caso uma equação diferencial de Primeira Ordem.

### Desenvolvimento

Dividindo ambos os membros por $a_{1}(x),$ obtém-se uma equação da forma
| ${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x).$ | (0.3) |
Na equação (0.3) supõe-se que $P(x)$ e $Q(x)$ são contínuas num certo intervalo $I,$ onde pretendemos encontrar a solução geral da equação.
Para resolver esta equação, usa-se o fator integrante $e^{\int _^P(x)\,dx}.$ Multiplicando ambos os membros da equação por $e^{\int _^P(x)\,dx}$ obtém-se a seguinte equação equivalente:
| $e^{\int _^P(x)\,dx}{\frac {dy}{dx}}+e^{\int _^P(x)\,dx}P(x)y=e^{\int _^P(x)\,dx}Q(x).$ | (0.4) |
Deve-se notar que, como $\int _^P(x)\ dx$ gera uma expressão da forma $P_{1}(x)+C,$ pode-se escolher qualquer constante C para o factor integrante (escolhe-se o que gera a solução mais simples).
Vamos mostrar que a solução geral de (0.3) é dada por
| $e^{\int _^P(x)\,dx}y=\int _^e^{\int _^P(x)\,dx}Q(x)\,dx+C.$ | (0.5) |
Com efeito, (0.4) é equivalente a
| ${\frac {d}{dx}}\left[ye^{\int _^P(x)\,dx}\right]=e^{\int _^P(x)\,dx}Q(x).$ | (0.6) |
(Verifique, derivando o primeiro membro de (0.6).) Integrando, obtém-se (0.5). Conclui-se assim que toda a solução $y$ de (0.3) satisfaz (0.6). Por outro lado é fácil ver que toda a função $y$ nas condições de (0.5), i.e., tal que
| $y=e^{-\int _^P(x)\,dx}\int _^e^{\int _^P(x)\,dx}Q(x)\,dx+Ce^{-\int _^P(x)\,dx},$ | (0.7) |
é solução da equação diferencial (0.3). (Derive $y,$ ou seja, o segundo membro de (0.7), e substitua $y$ e $y'$ em (0.3)).

### Exemplo

Considere a equação diferencial
| $y'+2y=e^{2x}.$ | (0.8) |
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Comparando com (0.3),
$P(x)=2$ e $Q(x)=e^{2x}.$
$\int _^P(x)dx=\int _^2dx=2x+C.$
A solução geral da equação é dada por
$e^{2x}y=\int _^e^{2x}e^{2x}\,dx+C,$
donde se obtém
$e^{2x}y=\int _^e^{4x}\,dx+C,$
i.e.,
$e^{2x}y={\frac {e^{4x}}{4}}+C.$
A solução geral (explícita) da equação (0.8) é então
$y={\frac {e^{2x}}{4}}+Ce^{-2x}.$

## Equação Diferencial Linear Homogênea com Coeficientes Constantes

Diz-se que uma equação diferencial é homogênea de coeficientes constantes quando seu termo fonte, ou forçante, é igual a zero para todo o domínio e seus $a_{n}$ são funções constantes. Por exemplo:
$y''(x)+2*y'(x)+5=0$$4*y'(x)+y(x)=0$
A Equação de Euler-Cauchy é um exemplo muito famoso de equação diferencial homogênea com coeficientes constantes.

### Exemplo

Dada a equação diferencial a seguir, com suas respectivas condições iniciais. Observe que são necessárias duas condições iniciais, já que é uma equação diferencial linear de segunda ordem.
$y''(t)+3*y'(t)+2*y(t)=0$
$y(0)=0\ \ \ y'(0)=1$Aplica-se a Transformada de Laplace, de modo que:
$L\{y''(t)\}+3L\{y'(t)\}+2L\{y(t)\}=0$
$s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)+3(sY(s)-y(0))+2Y(s)=0$
$s^{2}Y(s)-1+3sY(s)+2Y(s)=0$
$Y(s)={\frac {1}{(s+2)(s+1)}}$
Agora aplica-se a Transformada Inversa de Laplace para se encontrar a solução no domínio do tempo:
$y(t)=e^{-2t}+e^{-t}$

## Equação Diferencial Linear Homogênea com Coeficientes Variáveis

É aquela equação diferencial com termo fonte igual a zero para todo o domínio e com os coeficientes sendo funções que assumem diferentes valores de acordo com o termo independente. Por exemplo:
$10xy''(x)+5xy'(x)+y(x)=0$$y'(x)+xy(x)=0$
Exemplo:
$ty''(t)+y'(t)+9ty(t)=0$
$y(0)=5\ \ \ \ y'(0)=0$Aplica-se a Transformada de Laplace:
$-{\frac {d}{ds}}(s^{2}Y(s)-5s)+sY(s)-5-9{\frac {d}{ds}}Y(s)=0$
$-s^{2}Y'(s)-2sY(s)+sY(s)-9Y'(s)=0$
${\frac {Y'(s)}{Y(s)}}=-{\frac {s}{s^{2}+9}}$Sendo K uma constante de integração:$ln(Y(s))=-{\frac {1}{2}}ln(s^{2}+9)+K$
$Y(s)={\frac {K}{\sqrt {s^{2}+9}}}$Aplicando a Transformada Inversa e utilizando as condições iniciais:
$y(t)=KJ_{0}(3t)$$y(t)=5J_{0}(3t)$
Onde J$_0${\textstyle J_{0}} é a Função de Bessel de ordem zero.

## Equação Diferencial Linear Não-Homogênea com Coeficientes Constantes

Equação diferencial com funções constantes nos termos $a_{n}$ e termo forçante diferente de zero em pelo menos um ponto do domínio. Há duas formas para se resolver esse tipo de equação, na primeira encontra-se uma solução particular através do método de variação de parâmetros ou de coeficientes a determinar e depois uma solução denominada geral, a qual corresponde à solução para a equação homogênea correspondente. A segunda forma é aplicar a Transformada de Laplace obtendo-se a solução diretamente.

### Exemplo

Dada a seguinte equação diferencial, onde $\delta (t-\pi )$ é a função Delta de Dirac aplicada em $\pi$, aplica-se a Transformada de Laplace.
$y''(t)+y(t)=\delta (t-\pi )$
$y(0)=0\ \ \ y'(0)=1$
$L\{y''(t)\}+L\{y(t)\}=L\{\delta (t-\pi )\}$
$s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)+Y(s)=e^{-\pi s}$
$Y(s)={\frac {e^{-\pi s}}{s^{2}+1}}+{\frac {1}{s^{2}+1}}$Aplicando-se a Transformada Inversa:
$y(t)=u(t-\pi )*sen(t-\pi )+sen(t)$
Onde $u(t-\pi )$ é a Função de Heaviside aplicada em $\pi$.

## Sistemas de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem

Sistemas de equação diferenciais lineares surgem naturalmente em problemas físicos e de engenharia. Os de primeira ordem de dimensão n podem ser descritos da seguinte maneira:
$x'_{1}=p_{11}(t)x_{1}+p_{12}(t)x_{2}+\cdot \cdot \cdot +p_{1n}(t)x_{n}+g_{1}(t)$
$x'_{2}=p_{21}(t)x_{1}+p_{22}(t)x_{2}+\cdot \cdot \cdot +p_{2n}(t)x_{n}+g_{2}(t)$
$\cdot \ \cdot \ \cdot$$x'_{n}=p_{n1}(t)x_{1}+p_{n2}(t)x_{2}+\cdot \cdot \cdot +p_{nn}(t)x_{n}+g_{n}(t)$