# Método de Brent

O método de Brent, conhecido como Brent-Dekker, é um método misto que tem como intuito combinar abordagens de enquadramento e busca. Criado por Richard Peirce Brent, ele tem como objetivo encontrar raízes de funções a partir da associação de três métodos. O algoritmo hibrido combina o método da bissecção, o método das secantes e a interpolação quadrática inversa.

## Método de Dekker

A ideia de combinar o método de bisseção com o método secante remonta a Dekker (1969).
Suponha que queremos resolver a equação f(x) = 0. Assim como no método de bisseção, precisamos inicializar o método de Dekker com dois pontos, digamos a$_0$ e b$_0$, de tal forma que f(a$_0$) e f(b$_0$) têm sinais opostos. Se f for contínuo em [a$_0$, b$_0$], o teorema do valor intermediário garante a existência de uma solução entre 0 e b$_0$.
Três pontos estão envolvidos em cada iteração:
* b$_k$ é o iterado atual, ou seja, o palpite atual para a raiz de f.
* a$_k$ é o "contraponto", ou seja, um ponto de tal forma que f(a$_k$) e f(b$_k$) têm sinais opostos, de modo que o intervalo [a$_k$, b$_k$] contém a solução. Além disso, | f(b$_k$)| deve ser menor ou igual a | f(a$_k$)|, de modo que b$_k$ é um palpite melhor para a solução desconhecida do que a$_k$.
* b$_k$$_{−1}$ é o iterado anterior (para a primeira iteração, definimos b$_k$$_{−1}$ = a$_0$).
Dois valores provisórios para o próximo iterado são computados. O primeiro é dado pela interpolação linear, também conhecido como método secante:
$s={\begin{cases}bk-{\tfrac {bk-bk-1}{f(bk)-f(bk-1)}}f(bk),&{\text{se }}f(bk){\text{≠ f(bk-1) }}\\m,&{\text{caso contrário }}{\text{ }}\end{cases}}$
e o segundo é dado pelo método de bisseção
$m={\frac {ak+bk}{2}}$
Se o resultado do método secante, s, fica estritamente entre b$_k$ e m, então ele se torna o próximo iterado (b$_k$$_{+1}$ = s), caso contrário o ponto médio é usado (b$_k$$_{+1}$ = m).
Em seguida, o valor do novo contraponto é escolhido de tal forma que f(a$_k$$_{+1}$) e f(b$_k$$_{+1}$) têm sinais opostos. Se f(a$_k$) e f(b$_k$$_{+1}$) têm sinais opostos, então o contraponto permanece o mesmo: a$_k$$_{+1}$ = a$_k$. Caso contrário, f(b$_k$$_{+1}$) e f(b$_k$) têm sinais opostos, de modo que o novo contraponto se torna um$_k$$_{+1}$ = b$_k$.
Finalmente, se | f(a$_k$$_{+1}$)| < | f(b$_k$$_{+1}$)|, então um$_k$$_{+1}$ é provavelmente um palpite melhor para a solução do que b$_k$$_{+1}$, e, portanto, os valores de um$_k$$_{+1}$ e b$_k$$_{+1}$ são trocados.
Isso termina a descrição de uma única iteração do método de Dekker.
O método de Dekker funciona bem se a função f for razoavelmente bem comportada. No entanto, há circunstâncias em que cada iteração emprega o método secante, mas os iterados b$_k$ convergem muito lentamente (em particular, | b$_k$ − b$_k$$_{−1}$| pode ser arbitrariamente pequeno). O método de Dekker requer muito mais iterações do que o método de bisseção neste caso.

## Método de Brent

1. MÉTODO DA BISSEÇÃO
* Garante a convergência desde que no intervalo escolhido [A,B] exista uma raiz.
* Calcula-se o ponto médio do intervalo, analisando o sinal do novo $F(C)$.
$C=(A+B)/2$
* A partir do sinal de $F(C)$, avalia-se o novo intervalo, podendo ser [A,C] ou [C,B].
* Repete-se o processo até que o erro seja menor que a precisão desejada
$Erro=(A-B)/10^{\mathbb {N} }$
2. MÉTODO DA SECANTE
* Uma vez determinado o intervalo inicial, é calculada uma reta secante que passa por esses pontos.
* A partir da equação de recorrência, encontra-se um novo x que será utilizado na próxima iteração
* O erro pode ser calculado pela diferença entre o x encontrado e o anterior.
3. MÉTODO DA INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA INVERSA
* Baseia-se na fórmula de Lagrange, onde é preciso de três valores iniciais:
* Igualando-se a equação encontrada a zero, a raiz pode ser obtida.
O terceiro método foi inserido como um teste adicional que deve ser satisfeito antes que o resultado do método secante seja aceito como próximo. Duas desigualdades devem ser simultaneamente satisfeitas:
* Se na etapa anterior utilizar o método de bisseção, a desigualdade deve permanecer para que seja possível fazer a interpolação, caso contrario o método de bisseção é realizado e seu resultado usado para a próxima iteração
$|\delta |<|B_{k}-B_{k-1}|$
* Se na etapa anterior utilizar o método interpolação, então a desigualdade é utilizado em vez de realizar a próxima ação. Quando a desigualdade é verdadeira utiliza-se o método da interpolação, quando a desigualdade é falsa, utiliza-se o método da bisseção.
$|\delta |<|B_{k-1}-B_{k-2}|$
* Se a etapa anterior utilizar o método de bisseção, a desigualdade deve existir, caso contrário, o método é realizado e seu resultado é utilizado para a próxima iteração.
$|S-B_{k}|<1/2|B_{k}-B_{k-1}|$
* Se a etapa anterior realizou a interpolação, então a desigualdade é utilizada.
$|S-B_{k}|<1/2|B_{k-1}-B_{k-2}|$

## Principais características

O método de Brent se destaca pelas seguintes vantagens:
* Convergir rapidamente se as condições iniciais forem "favoráveis".
* Não é necessário o cálculo da derivada.
* Na maioria dos casos o método converge para a solução.
A sua principal desvantagem é que o algoritmo exige que a raiz procurada esteja no intervalo inicialmente fornecido.