# Quadrilátero

Em geometria plana euclidiana, quadrilátero é um polígono simples de quatro lados. A soma dos seus ângulos internos é igual a $360^{\circ },$ bem como a soma dos seus ângulos externos.

## Definição

Sejam $A$, $B$, $C$ e $D$ quatro pontos de um mesmo plano, todos distintos e três não colineares. Se os segmentos ${\overline {AB}}$, ${\overline {BC}}$, ${\overline {CD}}$ e ${\overline {DA}}$ interceptam-se apenas nas extremidades, a reunião desses quatro segmentos é um quadrilátero.
Logo, podemos definir da seguinte forma:
Quadrilátero $ABCD$ é definido como a união ${\overline {AB}}\cup {\overline {BC}}\cup {\overline {CD}}\cup {\overline {DA}}$

## Elementos

Identificamos os seguintes elementos em um quadrilátero $ABCD:$
* vértices: os pontos $A,$ $B,$ $C$ e $D;$
* lados: os segmentos de reta ${\overline {AB}},$ ${\overline {BC}},$ ${\overline {CD}}$ e ${\overline {DA}};$
* diagonais: A diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos do polígono, portanto os segmentos ${\overline {AC}}$ e ${\overline {BD}}$ são chamados de diagonais do quadrilátero $ABCD$.
* ângulos internos: os ângulos $D{\hat {A}}B({\hat {a}}),$ $A{\hat {B}}C({\hat {b}}),$ $B{\hat {C}}D({\hat {c}}),$ $C{\hat {D}}A({\hat {d}});$
* Os ângulos ${\hat {e}},$ ${\hat {f}},$ ${\hat {g}}$ e ${\hat {h}}$ são os ângulos externos do quadrilátero.
Cada ângulo interno de um quadrilátero tem por suplemento o seu respectivo ângulo externo.
* ${\hat {e}}$ é o suplemento do ângulo ${\hat {a}}$
* ${\hat {f}}$ é o suplemento do ângulo ${\hat {b}}$
* ${\hat {g}}$ é o suplemento do ângulo ${\hat {c}}$
* ${\hat {h}}$ é o suplemento do ângulo ${\hat {d}}$

## Quadriláteros notáveis

Os quadriláteros notáveis são os trapézios, os paralelogramos, os retângulos, os losangos e os quadrados.

### Trapézio

Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos.
$ABCD\quad {\text{é trapézio }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \left({\overline {AB}}//{\overline {CD}}\quad {\text{ou}}\quad {\overline {AD}}//{\overline {BC}}\right)$

### Paralelogramo

Um quadrilátero plano convexo é um paralelogramo se, e somente se, possui os lados opostos paralelos.
$ABCD\quad {\text{é paralelogramo }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \left({\overline {AB}}//{\overline {CD}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AD}}//{\overline {BC}}\right)$

### Retângulo

Um quadrilátero plano convexo é um retângulo se, e somente se, possui os quatro ângulo congruentes.
$ABCD\quad {\text{é retângulo }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad {{\hat {A}}\equiv {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}\equiv {\hat {D}}}$

### Losango

Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui os quatro lados congruentes.
$ABCD\quad {\text{é losango }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {BC}}\equiv {\overline {CD}}\equiv {\overline {DA}}}$

### Quadrado

Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes e os quatro lados congruentes.os quatro lados possuem a mesma medida
$ABCD\quad {\text{é quadrado }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad {{\hat {A}}\equiv {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}\equiv {\hat {D}}}\quad {\text{e}}\quad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {BC}}\equiv {\overline {CD}}\equiv {\overline {DA}}}$

## Soma dos ângulos de um quadrilátero

Em um quadrilátero, tanto a soma das medidas dos ângulos internos quanto a soma dos ângulos externos são iguais a $360^{\circ }$.
Assim, seja $ABCD$ um quadrilátero qualquer, cujos ângulos internos medem $a$, $b$, $c$ e $d$ e seus ângulos externos, respectivamente $e$, $f$, $g$ e $h$, temos:
$a+b+c+d=360^{\circ }$ e $e+f+g+h=360^{\circ }$

### Demonstração

Para demonstrar essa propriedade vamos traçar a diagonal ${\overline {AC}}$ (sem perda de generalidade), de modo a decompor o quadrilátero em dois triângulos, $\triangle {ABC}$ e $\triangle {ACD}$.
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ }$, temos:
$\triangle {ABC}$: $a'+b+c'=180^{\circ }$
$\triangle {ACD}$: $a''+c''+d=180^{\circ }$
Assim, se somarmos as duas equações acima, obtemos:
$a'+a''+b+d+c'+c''=360^{\circ }\qquad \Longleftrightarrow \qquad {a+b+c+d=360^{\circ }}$
Sabemos que cada ângulo interno é suplementar ao seu interno adjacente. Assim temos:
$a=180^{\circ }-e$
$b=180^{\circ }-f$
$c=180^{\circ }-g$
$d=180^{\circ }-h$
Ou seja:
$180^{\circ }-e+180^{\circ }-f+180^{\circ }-g+180^{\circ }-h=360^{\circ }\qquad \Longleftrightarrow \qquad {e+f+g+h=360^{\circ }-360^{\circ }+360^{\circ }}$
Logo
$e+f+g+h=360^{\circ }$.

## Quadriláteros Côncavos e Convexos

Os quadriláteros são classificados em quadriláteros convexos ou côncavos. Um quadrilátero é convexo quando a região plana limitada por seus lados é convexa, caso contrário ele é côncavo.
Uma outra forma de definir quadriláteros convexos e côncavos é a seguinte:
* Um polígono é convexo se a reta que contém qualquer de seus lados deixa todos os demais lados no mesmo semiplano. De forma contrária, um polígono é côncavo se existe uma reta que contém um de seus lados e deixa parte dos demais lados num semiplano e parte no outro semiplano. (figura 11)
Dentre os quadriláteros convexos existem dois grupos que se destacam: os trapézios e os paralelogramos.

## Área dos Quadriláteros Notáveis
### Área do trapézio

$A={\dfrac {(B+b).h}{2}}$
onde, B é a base maior do trapézio; b é a base menor do trapézio; h é a altura do trapézio.

### Área dos paralelogramos

$A=b.h$
onde, b é a base do paralelogramo; h é a altura do paralelogramo. Como todo retângulo, losango e quadrado é um paralelogramo, o calculo de sua área é feito da mesma forma.
Considere D e d a diagonal maior e a diagonal menor do losango, respectivamente. Note que a área do losango é a metade da área de um retângulo cujos lados são as respectivas diagonais do losango.

## Quadrilátero circunscrito

Um quadrilátero convexo é circunscritível a uma circunferência se, e somente se, seus quatro lados são tangentes a circunferência.

#### Propriedade

Um quadrilátero só é circunscritível a uma circunferência se a soma de quaisquer dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados opostos.
Isso pode ser enunciado através do seguinte teorema:
"Uma condição necessária e suficiente para um quadrilátero convexo ser circunscritível a uma circunferência é a soma de dois lados opostos ser igual à soma dos outros dois."
Por se tratar de uma equivalência, precisamos demonstrar esse teorema em duas partes.

##### Primeira parte

Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois.
Assim, queremos mostrar que:
$ABCD\quad {\text{circunscrito a }}\quad \lambda \qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}}$
Sejam $X$, $Y$, $Z$ e $T$ os pontos de tangência de ${\overline {AB}}$, ${\overline {BC}}$, ${\overline {CD}}$ e ${\overline {DA}}$, respectivamente, e, aplicando as propriedades dos segmentos tangentes, temos:
${\overline {AX}}\equiv {\overline {AT}}$, ${\overline {BX}}\equiv {\overline {BY}}$, ${\overline {CZ}}\equiv {\overline {CY}}$ e ${\overline {DZ}}\equiv {\overline {DT}}$.
Se somarmos as quatro equações, teremos:
${\color {blue}{\overline {AX}}}+{\color {blue}{\overline {BX}}}+{\color {red}{\overline {CZ}}}+{\color {red}{\overline {DZ}}}={\color {green}{\overline {AT}}}+{\color {YellowOrange}{\overline {BY}}}+{\color {YellowOrange}{\overline {CY}}}+{\color {green}{\overline {DT}}}$
Isso é equivalente a dizer:
${\color {blue}{\overline {AB}}}+{\color {red}{\overline {CD}}}={\color {green}{\overline {AD}}}+{\color {YellowOrange}{\overline {BC}}}$.

##### Segunda parte

Se num quadrilátero convexo a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois, então o quadrilátero é circunscritível a uma circunferência.
Assim, queremos mostrar que:
${{\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}}\qquad \Longrightarrow \qquad {ABCD}\quad {\text{é circunscritível a uma circunferência}}$
Para demonstrar essa propriedade começaremos por enunciar que $ABCD$ não é circunscritível e, então, encontraremos uma contradição.
Assim, tomaremos uma circunferência $\lambda$ tangente aos lados ${\overline {AB}}$, ${\overline {BC}}$ e ${\overline {CD}}$ do quadrilátero.
Como enunciamos que $ABCD$ não é circunscritível a $\lambda$, existe um quadrilátero $ABCX$, com $X$ na reta ${\overleftrightarrow {CD}}$ que é circunscrito a $\lambda$.
Visto que $ABCX$ é circunscrito a $\lambda$, temos, conforme foi demonstrado acima:
${\overline {AB}}+{\overline {CX}}={\overline {BC}}+{\overline {AX}}$.
Por hipótese, temos: ${\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}$.
Note que $X$ está sob a reta ${\overleftrightarrow {CD}}$, ou seja, precisamos admitir, sem perda de rigor, que $X$ pode estar ou sob o segmento ${\overline {CD}}$ ou fora dele.
Para cada um dos casos temos:
* $X\in {\overline {CD}}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {CX}}+{\overline {XD}}={\overline {CD}}}$
* $X\notin {\overline {CD}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {CX}}-{\overline {XD}}={\overline {CD}}$
No primeiro caso, temos:
${\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AB}}+{\overline {CX}}+{\overline {XD}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AB}}+{\overline {CX}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}-{\overline {XD}}}$
Como, anteriormente vimos que ${\overline {AB}}+{\overline {CX}}={\overline {BC}}+{\overline {AX}}$, obtemos:
${\overline {BC}}+{\overline {AX}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}-{\overline {XD}}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AX}}={\overline {AD}}+{\overline {XD}}}$
Porém, observe que essa última relação é um absurdo, pois contradiz a existência de $\triangle {ADX}$, fazendo com que $X=D$.
Logo, para esse primeiro caso temos que $ABCD$ é circunscritível a uma circunferência.
O segundo caso prova-se de modo análogo, fazendo relações algébricas similares de modo a obter que ${\overline {AX}}={\overline {AD}}-{\overline {XD}}$, o que também obriga ser verdadeiro $X=D$.
Portanto, podemos afirmar que, se num quadrilátero convexo a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois, então o quadrilátero é circunscritível a uma circunferência.

## As Definições de Quadriláteros ao Longo da História
### Os Elementos de Euclides

Os Elementos de Euclides foi um dos mais antigos tratados gregos existentes; a mais renomada obra na história da matemática. Segundo Proclus tal obra está relacionada com o resto da matemática, assim como as letras do alfabeto estão relacionadas com a linguagem$^[$. Euclides em sua obra, “Os Elementos”, livro I, Definições, admite as seguintes definições para as figuras quadriláteros:
* Rombóide é a que tem tanto os lados opostos quanto os ângulos opostos iguais entre si, a qual não é equilátera nem retangular (p. 98). Ser retangular para Euclides é ter cada um dos ângulos opostos reto
* Das áreas paralelogrâmicas ACDB­­­, tanto os lados quanto os ângulos opostos são iguais entre si (p. 124). “... digo que tanto os lados quanto os ângulos opostos do paralelogramo ACDB são iguais entre si...”
* Paralelogramo ABCD paralelogramo retangular ou retângulo é dito ser contido pelas duas retas que contêm o ângulo reto
* paralelogramo equilátero é tido por Euclides como uma figura quadrilátera que tem os quatro lados com a mesma medida
* oblongo é retangular e não é equilátera
* losango é equilátera e não é retangular
* quadrado é aquela que é tanto equilátera quanto retangular
* trapézios são as figuras quadriláteras além dessas
Em resumo Euclides define os quadriláteros da seguinte forma:
No século XVIII, momento da Revolução Francesa (1789) e período do apogeu das ideias iluministas podemos destacar Legendre como um matemático, que como resposta a sua inquietação com relação à necessidade de maior rigor matemático, revive em sua obra intitulada por “Elements de geométrie”, a qualidade intelectual de Euclides, Legendre nesta obra, especificamente no capítulo, Princípios, livro I, afirma que os polígonos de quatro lados são chamados de quadriláteros e entre os quadriláteros, os que mais se distingue são:
* o paralelogramo ou rombo, que tem os lados paralelos (p.25).
* o retângulo, que tem os ângulos retos e não tem os lados iguais (p. 25).
* o losango, que tem os lados iguais, mas os ângulos não (necessariamente) retos (p. 25).
* o quadrado, que tem os lados iguais e os ângulos retos (p. 25).
* o trapézio, que só têm dois lados paralelos (p. 25).
Em resumo Legendre define os quadriláteros da seguinte forma: (figura 3)
Em seu livro: Geometria Elementar, primeira edição em 1971. Edwin M. Hemmerling, define os quadriláteros da seguinte maneira:
* Quadriláteros: um polígono é um quadrilátero quando tem quatro lados (p. 205).
* Trapézio: um quadrilátero é um trapézio se, e somente se ele tiver um, e apenas um par de lados paralelos. Os lados paralelos são as bases do trapézio. Os lados não paralelos são simplesmente lados (p. 207).
* Trapézio isósceles: é aquele em que os lados não adjacentes são congruentes. Um par de ângulos que compartilham uma mesma base são chamados ângulos da base (p. 207).
* Paralelogramo: um quadrilátero é um paralelogramo se, e somente se, os pares de lados opostos são paralelos. Qualquer lado pode ser considerado base (p. 208).
* Losango: é um paralelogramo equilátero (p. 208).
* Retângulo: é um paralelogramo que tem um ângulo reto. Um retângulo é quadrado se, e somente se, tem os quatro lados congruentes. Portanto é um retângulo equilátero (p. 208).
Em resumo Hemmerling define os quadriláteros da seguinte forma: (figura 4)

### Geometria Euclidiana Plana de João Lucas Marques Barbosa

O livro “Geometria Euclidiana Plana” de João Lucas Marques Barbosa é um dos mais vendidos da Sociedade Brasileira de Matemática a cada ano, desde 1985. É tido como o livro que aborda a geometria axiomática de forma mais acessível para um educando iniciante nos estudos da Geometria Plana Euclidiana. Atualmente é o livro adotado pela Universidade Federal de Pernambuco para a formação de professores de Matemática na cadeira de Geometria Plana. Dessa forma, foi escolhido para a análise das definições dos quadriláteros. As definições seguintes foram adotadas por João Lucas neste livro:
* Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos (p. 91).
* Um retângulo é um quadrilátero que tem todos os seus ângulos, retos (p. 98).
* Um losango (também denominado rombo) é um paralelogramo que tem todos os seus lados congruentes (p. 98).
* Um quadrado é um retângulo que também é um losango (p. 98).
* Um trapézio é um quadrilátero em que dois lados opostos são paralelos. Os lados paralelos de um trapézio são chamados bases e os outros dois são denominados de laterais (p. 98).
Em resumo João Lucas M.B. classifica os quadriláteros conforme exposto figura 5.
Note que todos estes matemáticos consideram o conjunto dos quadriláteros como uma bipartição por disjunção, ou seja, não existem paralelogramos que são trapézios e vice – versa. Isto não anula a existência de estudos e literaturas que discutam a possibilidade de o conjunto dos paralelogramos ser um subconjunto do conjunto dos trapézios. É o caso dos estudos dos matemáticos: Guy Laville; Fritz Reinhardt et Heinrich Soeder em seu Atlas des Mathématiques; Vicenzo Bongiovanni na Revista do Professor de Matemática, Nª 72 e José Adelino Serrasqueiro no seu Tratado de Geometria Elementar.