# Identidade trigonométrica fundamental

A identidade trigonométrica fundamental é uma identidade trigonométrica que expressa o teorema de Pitágoras em termos de funções trigonométricas. Junto com a fórmula da soma dos ângulos é a relação básica entre as funções seno e cosseno a partir das quais todas as outras podem ser derivadas.

## Enunciado da identidade

Matematicamente, a identidade trigonométrica fundamental diz:
    $\operatorname {sen} ^{2}x+\cos ^{2}x=1.\qquad \qquad (1)\!$
(Note que sen$^2$ x significa (sen x)$^2$.)
As identidades
    $1+\tan ^{2}x=\sec ^{2}x\,$
e
    $1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x\,$
são os seus principais corolários e são facilmente obtidos usando álgebra elementar, a saber, dividindo-se ambos os membros da identidade trigonométrica fundamental por cos$^2$ x e por sen$^2$ x, respectivamente. Assim como (1), também possuem interpretações geométricas simples do teorema de Pitágoras.

## Provas e sua relação com o Teorema de Pitágoras
### Usando triângulos-retângulos

Usando a "definição" elementar das funções trigonométricas em termos dos lados de um triângulo retângulo,
    $\cos x={\frac {\mathrm {adjacente} }{\mathrm {hipotenusa} }}$
    $\operatorname {sen} x={\frac {\mathrm {oposto} }{\mathrm {hipotenusa} }}$
o teorema segue elevando-se ambos membros das identidades ao quadrado e depois somando-as; o membro esquerdo então fica
    ${\frac {\mathrm {oposto} ^{2}+\mathrm {adjacente} ^{2}}{\mathrm {hipotenusa} ^{2}}}$
que pelo teorema de Pitágoras é igual a 1. Note, no entanto, que esta definição é apenas válida para ângulos entre 0 e ½π radianos (exclusive) e portanto esse argumento não prova e identidade para um ângulo qualquer. Os valores de 0 e ½π são provados trivialmente através do cálculo de seno e cosseno nesses ângulos.
Para completar a prova, as identidades encontradas em periodicidade, simetria e translações trigonométricas devem ser empregadas. Pelas identidades de periodicidade podemos dizer que se a fórmula é verdadeira para -π < x ≤ π então é verdadeira para todo x real. A seguir provamos o intervalo ½π < x ≤ π e para fazer isso tomamos t = x - ½π, que estará no intervalo 0 < x ≤ ½π. Podemos então fazer uso de versões elevadas ao quadrado de algumas identidades básicas de transformação (elevar ao quadrado convenientemente elimina os sinais de menos).
    $\operatorname {sen} ^{2}x+\cos ^{2}x\equiv \operatorname {sen} ^{2}\left(t+{\frac {1}{2}}\pi \right)-\cos ^{2}\left(t+{\frac {1}{2}}\pi \right)\equiv \cos ^{2}t+\operatorname {sen} ^{2}t\equiv 1.$
Tudo o que falta é provar a identidade para −π < x < 0; isso pode ser feito elevando-se as identidades de simetria para obter
    $\operatorname {sen} ^{2}x\equiv \operatorname {sen} ^{2}(-x){\mbox{ e }}\cos ^{2}x\equiv \cos ^{2}(-x)\,.$

### Usando o círculo unitário

Se as funções trigonométricas são definidas em termos do círculo unitário, a prova é imediata: dado um ângulo θ, há um único ponto P no círculo unitário centrado na origem no plano euclidiano em um ângulo θ do eixo-x, e cos θ, sen θ são respectivamente as coordenadas x e y do ponto P. Pela definição do círculo unitário, a soma dos quadrados dessas coordenadas é igual a 1, daí a identidade.
A relação com o teorema de Pitágoras deve-se ao fato do círculo unitário ser definido pela equação
    $x^{2}+y^{2}=1\,.$
Uma vez que os eixos x e y são perpendiculares entre si, esse fato é ainda equivalente ao teorema de Pitágoras para triângulos de hipotenusa 1.

### Usando séries de potências

As funções trigonométricas também podem ser definidas usando séries de potências, para x em radianos:
    $\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$
    $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}$
Usando a lei formal de multiplicação para séries de potências modificada aqui para servir à forma das séries aqui, obtemos
    $\sin ^{2}x\,$ $=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j+1)!}}x^{(2i+1)+(2j+1)}$ $=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(2i+1)!(2(n-i-1)+1)!}}\right)x^{2n}$ $=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}\right){\frac {(-1)^{n-1}}{(2n)!}}x^{2n}$
    $\cos ^{2}x\,$ $=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j)!}}x^{(2i)+(2j)}$ $=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{n}}{(2i)!(2(n-i))!}}\right)x^{2n}$ $=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}\right){\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}$
Note que na expressão para $\sin ^{2}$, n deve ser pelo menos 1, enquanto que na expressão para $\cos ^{2}$, o termo constante é igual a 1. Os termos remanescentes da soma são (com fatores comuns removidos)
    $\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}-\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}=\sum _{j=0}^{2n}(-1)^{j}{2n \choose j}=(1-1)^{2n}=0$
pelo teorema binomial. O teorema de Pitágoras não está proximamente relacionado à identidade trigonomátrica fundamental quando as funções trigonométricas são definidas desta forma; ao invés disso, em combinação com o teorema, a identidade agora mostra que essa série de potências parametriza o círculo unitário, que usamos na seção anterior. Note que esta definição na verdade constrói as funções seno e cosseno de uma forma bastante rigorosa e prova que elas são diferenciáveis, de forma que ela inclui as duas anteriores.

### Usando a equação diferencial

É possível definir as funções seno e cosseno com duas soluções únicas para a equação diferencial
       $y''+y=0$
satisfazendo respectivamente $y(0)=0,y'(0)=1$ e $y(0)=1,y'(0)=0$. Segue da teoria das equações diferenciais ordinárias que a primeira solução mostrada, o seno, tem a última, cos, como sua derivada, e disso segue que a derivada de cos é −sin. Para provar a identidade trigonométrica fundamental é suficiente mostrar que a função
    $z=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x$
é constante e igual a 1. No entanto, ao diferenciá-la e ao aplicar os dois fatos que acabamos de mencionar vemos que $z'=0$ então z é constante e $z(0)=1$.
Essa forma da identidade também não tem conexão direta com o teorema de Pitágoras.