# União (matemática)

Em teoria dos conjuntos, a união de dois ou mais conjuntos é o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um destes conjuntos. Em outras palavras, a união de dois conjuntos A e B é formada por todos os elementos pertencentes a A ou B ou a ambos. A união é uma operação binária, na álgebra booleana seria o Operador OR. A união de dois conjuntos sempre resultará em todos os elementos de ambos os conjuntos, sendo apresentados apenas uma única vez. É representada pelo símbolo $\cup$.
Representando por |X| o cardinal de um conjunto X, e por $\cap$ a interseção de conjuntos, tem-se
    $|A\cup B|+|A\cap B|=|A|+|B|$,
que vale para A e B conjuntos finitos ou infinitos. Para conjuntos finitos, a igualdade anterior pode ser escrita na forma
    $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$,
que é um caso particular do princípio da inclusão-exclusão.

## Definição

Pela teoria básica de conjuntos, define-se $A\cup B\,$ por:
    $A\cup B=\{x|x\in A\lor x\in B\}\,$
Por exemplo:
* Se A = {1, 2, 3} e B = {4 ,5}, então $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\,$
* Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 5}, então $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\,$. Note que os elementos do conjunto não são repetidos.
Pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição acima não é válida. A definição de união é um pouco mais complicada que a definição de interseção, porque devemos, primeiro, construir um conjunto maior que A e B, antes de usar o axioma da separação.
Este conjunto existe, combinando o axioma do par com o axioma da união:
    $\forall A\forall B\exists F(A\in F\land B\in F)$ (Axioma do par)
    $\forall F\exists C\forall y\forall x(x\in y\land y\in F\rightarrow x\in C)$ (Axioma da união)
Aplicando a segunda proposição ao conjunto F da primeira, temos que:
    $\forall A\forall B\exists C\forall x((x\in A\lor x\in B)\rightarrow x\in C)$
Finalmente, aplicando o axioma da separação com a fórmula $\Phi =(x\in A\lor x\in B)\,$ para o conjunto C, obtemos uma união de A e B.
    $\forall A\forall B\exists D\forall x(x\in D\iff (x\in A\lor x\in B))$
O axioma da extensão garante que a união é única.
Em outras palavras, provou-se que
    $\forall A\forall B\exists !(A\cup B)\forall x(x\in (A\cup B)\iff (x\in A\lor x\in B))$

### União generalizada

Dado um conjunto $S$ e um conjunto de índices $\Lambda$. Se para todo $\lambda \in \Lambda$ tem-se que $A_{\lambda }\subset S$, diz-se que $\left(A_{\lambda }\right)_{\lambda \in \Lambda }:=\{X\in \wp (S);\,\exists \lambda \in \Lambda ,\,X=A_{\lambda }\}$ é uma família de partes de $S$, onde $\wp (S)$ é o conjunto das partes de $S$.
A união dos elementos da família $\left(A_{\lambda }\right)_{\lambda \in \Lambda }$ é o conjunto:
    ${\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }:=\{x\in S;\,\exists \lambda \in \Lambda ,\,A_{\lambda }\ni x\}}$.
Se existir uma bijeção $\sigma :\mathbb {N} \to \Lambda$, então pode-se denotar tal união por
    ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}}$,
    onde $B_{i}:=A_{\sigma (i)}$ para todo $i\in \mathbb {N}$, e diz-se que tal união é uma união enumerável.
Se $\Lambda$ for finito e $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$ forem seus elementos, então pode-se denotar tal união por
    ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}B_{i}}$,
    onde $B_{i}:=A_{\lambda _{i}}$e diz-se que tal união é uma união finita.
Uma união arbitrária é uma união onde não se sabe, a priori, a cardinalidade do conjunto de índices. Tais definições são importantes na topologia, em que por exemplo, a união finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado e a união arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

## Exemplo

Se A={1,3,4} e B={2,3}, então A U B={1,2,3,4}
Se A={10,30,400} e B={20,30}, então A U B={10,20,30,400}
Se A={1,3,9} e B={1,5,9},então A $\cap$ B = {1,9}
Se A={1,2,3,4,5} e B={3,4,5,6}, então A - B= {1,2}
Se A={1,2,3,4,5} e B={3,4,5,6}, então B - A= {6}

## Propriedade

Uma característica é que somente é possível utilizar este operador caso as tabelas de origem possuam compatibilidade de união, ou seja, as tabelas devem ser equivalentes e gerarem o mesmo tipo de resultado. A união permite realizar a operação entre duas tabelas contendo atributos diferentes, quando esta possuir o número e o tipo de atributos semelhantes, possibilitando a compatibilidade da união.

### Sintaxe

Consequência imediata da definição de que a união é um comutativo, podemos representar em símbolos:
    $A\cup B=B\cup A$
A união é também uma adesão:
    $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$
Quando utilizamos o operador união em dois conjuntos, elimina a duplicidade automaticamente: A = (A,B,C,R) B = (B,D,R,K) AUB=(A,B,C,R,D,K).

### Exemplos

Considerando dois conjuntos finitos, A = {1; 2; 3} e B = {2; 3; 4}. A união é obtida considerando todos os elementos pertencentes a pelo menos um dos dois conjuntos:
    $A\cup B=\{1;2;3;4\}$
No mundo real podemos representar duas tabelas:
Chegada :
| Chegada | Trem | Estação | Hora |
| 1 | ES609 | Firenze S.M.N. | 15.30' |
| 2 | ES609 | Bologna C. | 16.30' |
| 3 | ES609 | Padova | 17.50' |
| 4 | ES609 | Venezia S. Lucia | 18.25' |
Partida :
| Partida | Trem | Estação | Hora |
| 1 | ES609 | Roma Termini | 14.00' |
| 2 | ES609 | Firenze S.M.N. | 15.40' |
| 3 | ES609 | Bologna C. | 16.35' |
| 4 | ES609 | Padova | 17.55' |
Suponhamos que precisamos de uma tabela com os trens que passam em Bolonha (partem e chegam), o comando SQL mais adequado é o seguinte:
Que produzirá o seguinte resultado:
| Hora | Trem |
| 16.30' | ES609 |
| 16.35' | ES609 |