# Lógica doxástica

Lógica doxástica é um tipo de lógica modal preocupada com o raciocínio sobre crenças. O termo doxástico é derivado do grego antigo δόξα (doxa), que significa "crença" ou "opinião". Tipicamente, uma lógica do tipo doxástico utiliza Bx para referir-se a "Acredita-se que x é o caso," e o conjunto $\mathbb {B}$ denota um conjunto de crenças. Na lógica doxástica, a crença é tratada como um operador modal.
       $\mathbb {B}$: {$b_{1},b_{2},...,b_{n}$}
Existe um paralelismo completo entre uma pessoa que acredita em proposições e um sistema formal que deriva proposições. Usando a lógica doxástica, é possível expressar a contrapartida epistêmica do Teorema da Incompletude de Gödel, assim como o Teorema de Löb, e outros resultados metalógicos em termos de crença.

## Tipos de raciocinadores

Para demonstrar as propriedades dos conjuntos de crenças, Raymond Smullyan definiu os seguintes tipos de raciocinadores:
* Raciocinador preciso: Um raciocinador preciso nunca crê em nenhuma proposição falsa. (axioma modal T).
    $\forall p:{\mathcal {B}}p\to p$
* Raciocinador impreciso: Um raciocinador impreciso crê em, pelo menos, uma proposição falsa.
    $\exists p:\neg p\wedge {\mathcal {B}}p$
* Raciocinador vaidoso: Um raciocinador vaidoso crê que seus ou suas crenças nunca são imprecisas.Um raciocinador vaidoso irá necessariamente se transformar em uma imprecisão.
    ${\mathcal {B}}[\neg \exists p(\neg p\wedge {\mathcal {B}}p)]$
    ou
    ${\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}p\to p)]$
* Raciocinador consistente: Um raciocinador consistente nunca acredita simultaneamente em uma proposição e na negação da mesma. (axioma modal D)
    $\neg \exists p:{\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}\neg p$
    ou
    $\forall p:{\mathcal {B}}p\to \neg {\mathcal {B}}\neg p$
* Raciocinador normal: Um raciocinador normal é aquele que, enquanto acreditando em p, também acredita que ele ou ela crê em p (axioma modal 4).
    $\forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {BB}}p$
* Raciocinador peculiar: Um raciocinador peculiar acredita em uma proposição p enquanto acredita também que ele ou ela não acredita em p. Apesar de um raciocinador peculiar parecer um estranho fenômeno psicológico (veja O Paradoxo de Moore), um raciocinador peculiar é necessariamente inexato, porém não necessariamente inconsistente.
    $\exists p:{\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B\neg B}}p$
* Raciocinador regular: Um raciocinador regular é aquele que, enquanto acreditando que $p\to q$, também acredita que ${\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q$.
    $\forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)$
* Raciocinador reflexivo: Um raciocinador reflexivo é aquele para o qual toda proposição p possui alguma proposição q tal que o raciocinador crê em $q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p)$.
    $\forall p:\exists q{\mathcal {B}}(q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p))$
    Se um raciocinador reflexivo do tipo 4 [veja abaixo] crê em ${\mathcal {B}}p\to p$, ele ou ela irá acreditar em p. Esse é um paralelismo do Teorema de Löb para raciocinadores.
* Raciocinador instável: Um raciocinador instável é aquele que acredita que ele ou ela acredita em alguma proposição, sem acreditar de fato nela. Isto está mais para um estranho fenômeno psicológico do que para uma peculariedade; contudo, um raciocinador instável não é necessariamente inconsistente.
    $\exists p:{\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\wedge \neg {\mathcal {B}}p$
* Raciocinador estável: Um raciocinador estável não é instável. Isto é, para todo p, se ele ou ela acredita em Bp, então ele ou ela acredita em p. Note que estabilidade é o inverso da normalidade. Diremos que um argumentador acredita que ele ou ela é estável se para toda proposição p, ele ou ela acredita que BBp→Bp (acreditando: "Se eu deveria acreditar que eu acredito em p, então eu realmente irei acreditar em p").
    $\forall p:{\mathcal {BB}}p\to {\mathcal {B}}p$
* Raciocinador modesto: Um raciocinador modesto é aquele para o qual toda proposição p é acreditável, ${\mathcal {B}}p\to p$ somente se ele ou ela acredita em p. Um raciocinador modesto nunca acredita em Bp→p a menos que ele ou ela acredite em p. Qualquer raciocinador reflexivo do tipo 4 é modesto. (Teorema de Löb)
    $\forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)\to {\mathcal {B}}p$
* Raciocinador estranho: Um raciocinador estranho é de tipo G e acredita que ele ou ela é inconsistente - mas está incorreto quanto a sua crença.
* Raciocinador tímido: Um raciocinador tímido tem medo de acreditar em p [isto é, ele ou ela não acredita em p] se ele ou ela acredita em ${\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}\bot$

## Aumentando os níveis de racionalidade

* Raciocinador Tipo 1: Um raciocinador do Tipo 1 possui um conhecimento completo da Lógica proposicional, isto é, ele ou ela mais cedo ou mais tarde acredita em qualquer tautologia (qualquer proposição demonstrável por tabelas-verdade). Também, o conjunto de crenças dele ou dela (passado, presente e futuro) é logicamente fechado sob o modus ponens. Se ele ou ela em algum momento acreditar em p e acreditar em p → q (p implica q), então ele ou ela irá (mais cedo ou mais tarde) acreditar em q.
** $\vdash _{PC}p\Rightarrow \vdash {\mathcal {B}}p$
** $\forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)$
* Raciocinador Tipo 1* : Um raciocinador do Tipo 1* acredita em todas as tautologias; o conjunto de sentenças dele ou dela (passado, presente e futuro) é logicamente fechado sob o modus ponens, e para qualquer proposição p e q, ele ou ela acredita em p→q, então ele ou ela também irá acreditar que, se ele ou ela acredita em p, então ele ou ela acreditará em q. O Tipo 1* possui "um pouquinho mais" de auto-consciência do que o raciocinador do Tipo 1.
** $\forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)$
* Raciocinador do Tipo 2: Um raciocinador é do Tipo 2 se ele ou ela é do tipo 1, e se para todo p e q, ele ou ela (corretamente) acredita que: "Se eu deveria em algum momento acreditar em p e em p→q, então eu vou acreditar em q." Sendo do Tipo 1, ele ou ela também crê na proposição logicamente equivalente: B(p→q)→(Bp→Bq). Um raciocinador do Tipo 2 está ciente de que as crenças dele ou dela estão fechadas sob o modus ponens.
** $\forall p\forall q:{\mathcal {B}}(({\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q)$
* Raciocinador do Tipo 3: Um raciocinador é do Tipo 3 se ele ou ela for um raciocinador normal do Tipo 2.
** $\forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p$
* Raciocinador do Tipo 4: Um raciocinador é do Tipo 4 se ele ou ela é do Tipo 3 e também acredita que ele ou ela é normal.
** ${\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p)]$
* Raciocinador do Tipo G: Um raciocinador do Tipo 4 que acredita que ele ou ela é modesto.
** ${\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)\to {\mathcal {B}}p)]$

## Teorema da incompletude de Gödel e a indecidibilidade doxástica

Digamos que um raciocinador exato enfrenta a tarefa de designar um valor verdade a uma afirmação feita a ele. Existe uma afirmação tal qual o raciocinador deverá ou permancer eternamente indeciso sobre ou perder seu ou sua precisão. Uma solução é a afirmação:
       S: "Eu nunca irei acreditar nesta afirmação"
Se o raciocinador acredite em algum momento na afirmação S, ele se torna falsificado por tal fato, fazendo S uma crença falsa e portanto tornando o raciocinador impreciso em acreditar em S.
Portanto, desde que o argumentador seja preciso, ele ou ela nunca irá crer em S. Logo, a afirmação era verdadeira, pois é exatamente isso que ela reivindicou. Segue-se posteriormente que o raciocinador nunca irá ter a falsa crença de que S é verdade. O raciocinador não pode crer nem que a afirmação é verdadeira nem falsa sem tornar-se inconsistente (isto é, possuir duas crenças contraditórias). Assim, o raciocinador deverá permanecer para sempre indeciso sobre se a afirmação S é verdadeira ou falsa.
O teorema equivalente é que para todo sistema formal F, existe uma afirmação matemática que pode ser interpretada como "Esta afirmação não é demonstrável no sistema formal F." Se o sistema F é consistente, nem a afirmação nem o oposto dela serão demonstráveis nele.

## Inconsistência e peculariedade de raciocinadores vaidosos

Um raciocinador do Tipo 1 enfrenta a seguinte afirmação "Você não acreditará nesta sentença." Agora, uma coisa interessante é que se o raciocinador acredita que ele ou ela é sempre preciso, então ele ou ela se tornará impreciso. Tal como um raciocinador irá pensar: "Se eu creio na afirmação, então ela se tornará falsa por tal fato, o que significa que sou impreciso. Isso é impossível, já que eu sempre sou preciso. Portanto, eu não posso crer nessa afirmação: ela deve ser falsa."
Neste ponto, o raciocinador crê que a afirmação é falsa, o que faz a afirmação verdadeira. Assim, o raciocinador é impreciso em acreditar que a afirmação é falsa. Se o raciocinador não tivesse assumido seu ou sua precisão, ele ou ela nunca iriam ter caído em uma imprecisão.
Também pode ser mostrado que um raciocinador vaidoso é peculiar.

## Crenças auto-realizáveis

Para sistemas, definimos reflexividade como para todo p (na linguagem do sistema) existe um q tal que q≡(Bq→p) é demonstrável no sistema. O Teorema de Löb (numa forma geral) é que para qualquer sistema reflexivo do Tipo 4, se Bp→p é demonstrável no sistema, então p também é.

## Inconsistência da crença na estabilidade de um qualquer

Se um raciocinador consistente reflexivo do Tipo 4 acredita que ele ou ela é estável, então ele ou ela tornar-se-á instável. Indicando o contrário, se um raciocinador estável reflexivo do Tipo 4 acredita que ele ou ela é estável, então ele ou ela se tornará inconsistente. Por que isso? Suponha que um raciocinador estável reflexivo do Tipo 4 acredita que ele ou ela é estável. Mostraremos que ele ou ela (mais cedo ou mais tarde) acreditará em qualquer proposição p. O raciocinador acredita que BBp→Bp, logo segundo o Teorema de Löb ele ou ela irá acreditar em Bp (pois ele ou ela acredita em Br→r, onde r é a proposição Bp, e então ele ou ela irá acreditar em r, que é a proposição Bp). Estando estável, ele ou ela irá, então, acreditar em p.

## Veja também

* Lógica Modal
* Raymond Smullyan
* Jaakko Hintikka
* George Boolos
* Revisão de crenças
* Conhecimento comum