# Identidade de Roy

A Identidade de Roy (em homenagem ao economista René Roy), é um importante resultado na microeconomia, por ter aplicações na teoria da escolha do consumidor e na teoria da firma. O lema relaciona a função de demanda Marshaliana ${\displaystyle x_{i}^{m}}$ com as derivadas da função de utilidade indireta ${\displaystyle v(p,w)}$ em relação aos preços e à renda. A demanda Marshaliana pelo bem $i$ é igual à razão negativa entre as derivadas parciais da função utilidade indireta em relação ao preço $p$ e em relação à renda $w$.
Denotando a função de utilidade indireta como ${\displaystyle v(p,w),}$ e a função de demanda Marshalliana para o bem $i$, ${\displaystyle x_{i}^{m}}$, a Identidade de Roy pode ser calculada como:$$$$$$${\displaystyle x_{i}^{m}=-{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}}$, onde $p$ é o preço vetor de bens e $w$ é a renda.$$$$

## Derivadas da identidade de Roy

A Identidade de Roy é uma reformulação do lema de Shephard, a fim de obter uma função de demanda Marshalliana para um indivíduo e um bem ($i$) a partir de alguma função de utilidade indireta.$$O primeiro passo é considerar a identidade trivial obtida substituindo a função gasto para a riqueza ou renda $w$ na função de utilidade indireta ${\displaystyle v(p,w)}$, em uma função utilidade $u$:$$$$$$
    ${\displaystyle v(p,e(p,u))=u}$$$
Isto nos diz que a função de utilidade indireta é avaliada de tal forma que minimizar o custo para alcançar uma certa utilidade dado um conjunto de preços (de um vetor $p$) é igual à utilidade quando avaliada a esses preços.$$Tomando a derivada de ambos os lados da equação com relação ao preço de um único bem $p_{i}$(com o nível de utilidade mantido constante), teremos:$$
    $$${\displaystyle {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}{\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}=0}$.
Reorganizando dá o resultado desejado:
    ${\displaystyle -{\frac {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}}={\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}=h_{i}(p,u)=x_{i}(p,e(p,u))}$$$
Com o segundo termo sendo a última igualdade seguinte a partir do lema de Shephard e a última igualdade a partir de uma propriedade básica da demanda Hicksiana.

## Prova alternativa para o caso diferenciáveis

Há uma prova simples da identidade de Roy, indicada para o caso de uma simplificação de dois bens:
A função de utilidade indireta ${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)}$é maximizada considerando a restrição do problema de otimização, caracterizada pela seguinte função Lagrangiana:$$
    ${\displaystyle {\mathcal {L}}=u(x_{1},x_{2})+\lambda (w-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})}$$$
Pelo teorema do envelope, as derivados da maximização ${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)}$com relação aos parâmetros podem ser calculadas como:$$$$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}=-\lambda x_{1}^{m}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial w}}=\lambda }$
Onde $x_{1}^{m}$ é o maximizador (i.e. a demanda Marshalliana para o bem 1). Com uma aritmética simples, em seguida, obtêm-se a identidade de Roy:$$
    ${\displaystyle -{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}=-{\frac {-\lambda x_{1}^{m}}{\lambda }}=x_{1}^{m}}$$$

## Aplicação

Isso fornece um método de derivar a função de demanda Marshalliana de um bem para o consumidor a partir da função de utilidade indireta do consumidor. É também fundamental na derivação da equação de Slutsky.