# Integral de Lebesgue

A integral de Lebesgue é, na matemática, uma generalização da integral de Riemann. Originalmente definida para funções $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, a integral de Lebesgue apresenta diversas vantagens em relação à integral de Riemann sobretudo em relação a processos de limite. De fato, não existem versões dos teorema da convergência monótona, teorema da convergência dominada e do lema de Fatou usando a integral de Riemann. Além disso, a integral de Lebesgue é uma construção matemática generalizável para funções definidas num espaço de medida assumindo valores reais ou complexos, ou mesmo, em um espaço de Banach geral.

## Construção

Existem diversas possíveis construções para integral de Lebesgue, seguiremos aqui um método baseado na exaustão por funções simples.
Considere, então, $\left(X,{\mathfrak {M}},\mu \right)\,$ um espaço de medida.

### Funções simples

Seja $\phi :E\to [-\infty ,+\infty ]\,$ uma função simples:
    $\phi (x)=\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\mathrm {X} _{E_{k}}(x)\,$
Diz-se que $\phi (x)\,$ é Lebesgue integrável em $E\,$ se:
    $\sum _{k=1}^{n}|\alpha _{k}|\mu (E_{k})<\infty \,$ ficando bem convencionado que $+\infty \cdot 0=-\infty \cdot 0=0\cdot +\infty =0\cdot -\infty =0\,$
neste caso, definimos a integral de Lesbesgue de $\phi (x)\,$ como:
    $\int _{E}\phi (x)d\mu =\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\mu (E_{k})\,$

### Funções positivas

Seja $f:E\to [0,+\infty ]\,$ uma função mensurável, define-se a integral de Lebesgue de $f(x)\,$ em $E\,$ como:
    $\int _{E}f(x)d\mu =\sup _{\phi (x)\leq f(x)}\int _{E}\phi (x)d\mu \,$, onde $\phi (x)\,$ é uma função simples.
A função $f(x)\,$ é dita, então, Lebesgue integrável se sua integral é finita. Observações:
* Quando $f(x)\,$ é uma função simples, esta definição é consistente com a definição anterior.
* A integral de Lebesgue está definida para toda função mensurável não negativa. A integral sendo finita se e somente se a função é Lebesgue integrável.

### Funções reais

Seja $f:E\to [-\infty ,+\infty ]\,$ uma função mensurável, definem-se as partes positivas e negativas, respectivamente como:
    $f^{+}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}f(x),&f(x)\geq 0\\0,&f(x)\leq 0\end{array}}\right.\,$
    $f^{-}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&f(x)\geq 0\\-f(x),&f(x)\leq 0\end{array}}\right.\,$
É fácil ver que se $f(x)\,$ é mensurável, então ambas $f^{+}\,$ e $f^{-}\,$ são mensuráveis não negativas e que $f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x)\,$.
A função $f(x)\,$ é dita Lebesgue integrável em $E\,$ se ambas as integrais $\int _{E}f^{+}(x)dx\,$ e $\int _{E}f^{-}(x)dx\,$ forem finitas e sua integral é definida como:
    $\int _{E}f(x)dx=\int _{E}f^{+}(x)dx-\int _{E}f^{-}(x)dx\,$
* Observe que $f(x)\,$ é integrável e mensuravel se e somente se $|f(x)|\,$ é integrável.

## Propriedades

Se $f(x)\,$ e $g(x)\,$ são funções integráveis em um conjunto mensurável $E\,$, então:
* $\int _{E}\left[\alpha f(x)+\beta g(x)\right]d\mu =\alpha \int _{E}f(x)d\mu +\beta \int _{E}g(x)d\mu \,$
* $f(x)\leq g(x)\,$ quase sempre, então $\int _{E}f(x)d\mu \leq \int _{E}g(x)d\mu \,$
* $\left|\int _{E}f(x)d\mu \right|\leq \int _{E}|f(x)|d\mu \,$
* $F\subseteq E\,$ mensurável, $f(x)\,$ é integrável em $F\,$ e, ainda:
    $\int _{E}f(x)d\mu =\int _{F}f(x)d\mu +\int _{E\backslash F}f(x)d\mu \,$
* Se $\{E_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,$ são subconjuntos mensuráveis e disjuntos dois a dois e $\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}=E\,$ então:
    $\int _{E}f(x)d\mu =\sum _{n=1}^{\infty }\int _{E_{n}}f(x)d\mu \,$
* $\nu (F):=\int _{F}f(x)d\mu \,$ define uma medida $\sigma$aditiva nos subconjuntos mensuráveis de $E\,$.

## Comparação com a integral de Riemann

* A integral de Riemann no sentido próprio só está definida em intervalos finitos ou na união finita destes. Se uma função é integrável a Riemann em um intervalo $[a,b]\,$ então a integral de Lebesgue também está definida e possui o mesmo valor.
* Enquanto toda função integrável a Riemann é limitada, existem funções integráveis a Lebesgue que não são limitadas nem mesmo essencialmente limitadas em nenhum aberto do domínio.
* O domínio de integração da integral de Lebesgue pode ser qualquer conjunto mensurável, inclusive não limitado.