# Lei dos cossenos

A lei dos cossenos é uma parte da generalização do Teorema de Pitágoras, que pode ser utilizada em situações envolvendo qualquer triângulo, isto é, não necessariamente restritas a triângulos retângulos. Em um triângulo ABC qualquer, para lados opostos aos ângulos internos ${\widehat {A}},{\widehat {B}}$ e ${\widehat {C}},$ com medidas respectivamente $a,b$ e $c,$ valem as relações:
    $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!$
    $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot cos{\widehat {B}}\,\!$
    $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot cos{\widehat {C}}\,\!$

## Demonstração

A seguir algumas maneiras de demonstrar a lei dos cossenos:

### Forma Geométrica

Considerando a figura, podemos observar 3 triângulos:
    $ABC,BCD,BAD\,\!$.
Destes, pode-se extrair as seguintes relações:
    $b=n+m\,\!$
e
    $m=c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!$.
Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos para BCD:
    $a^{2}=n^{2}+h^{2}\,\!$
e para BAD:
    $c^{2}=m^{2}+h^{2}\,\!$
Substituindo:
    $n=b-m\,\!$
e
    $h^{2}=c^{2}-m^{2}\,\!$
em
    $a^{2}=n^{2}+h^{2}\,\!$
teremos:
    $a^{2}=(b-m)^{2}+c^{2}-m^{2}\,\!$
    $a^{2}=b^{2}-2b\cdot m+m^{2}+c^{2}-m^{2}\,\!$
    $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot m\,\!$
Entretanto, pode-se substituir a relação $m=c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!$, do triângulo $BAD\,\!$, na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:
    $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!$
Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:
    $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot cos{\widehat {B}}\,\!$
    $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot cos{\widehat {C}}\,\!$

### Forma Vetorial

Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: definimos um vetor ${\vec {a}}$ como sendo igual a ${\vec {b}}-{\vec {c}}$ temos um triângulo formado pela soma ${\vec {a}}+{\vec {c}}$ e o resultante ${\vec {b}}$. Sabendo que $u^{2}=\|{\vec {u}}\|^{2}$ e ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\|{\vec {u}}\|\cdot \|{\vec {v}}\|\cdot cos(\theta )$ sendo $\theta$ o ângulo entre os vetores ${\vec {u}}$ e ${\vec {v}}$ temos o seguinte desenvolvimento:
${\vec {a}}={\vec {b}}-{\vec {c}}$
${\vec {a}}^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}=\|({\vec {b}}-{\vec {c}})\|^{2}$
$\|{\vec {a}}\|^{2}=({\vec {b}}-{\vec {c}})\cdot ({\vec {b}}-{\vec {c}})$
$\|{\vec {a}}\|^{2}=\|{\vec {b}}\|^{2}+\|{\vec {c}}\|^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}$
A lei dos cossenos, formulada nesta notação, pode ser escrita como:
    ${\begin{aligned}\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta \\\Vert {\vec {b}}-{\vec {c}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta \\2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-\Vert {\vec {b}}-{\vec {c}}\Vert ^{2}\\\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &={\frac {\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-(\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2})}{2}}\\\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &={\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\\end{aligned}}$
Que é claramente equivalente à fórmula acima derivada da teoria dos vetores.
Já que $\theta$ é o ângulo formado entre os vetores ${\vec {b}}$ e ${\vec {c}}$ e considerando que o ponto da origem de ${\vec {b}}$ é o mesmo da origem de ${\vec {c}}$, dizemos que esse ponto é A, pois é oposto ao vetor ${\vec {a}}$, logo formando um ângulo ${\widehat {A}}$.

### Forma Matricial

Da figura, podemos deduzir, a partir da definição de cosseno, as seguintes relações:
$\cos \alpha ={\frac {m}{b}}\to m=b\cos \alpha$
$\cos \beta ={\frac {n}{a}}\to n=a\cos \beta$
Somando as duas equações, como $m+n=c$, obtêm-se a relação: $c=b\cos \alpha +a\cos \beta$ . Se fossem traçadas as alturas respectivas a cada lado do triângulo, teríam-se:
$a=b\cos \gamma +c\cos \beta$
$b=a\cos \gamma +c\cos \alpha$
$c=b\cos \alpha +a\cos \beta$
Que consistem em um Sistema Linear, cuja solução pode ser dada pela Regra de Cramer, para tanto, temos:
Matriz dos Coeficientes (M): $M={\begin{bmatrix}0&c&b\\c&0&a\\b&a&0\end{bmatrix}}$
Matriz não Alterada na Coluna da Varíavel $\cos \alpha$ (X): $X={\begin{bmatrix}a&c&b\\b&0&a\\c&a&0\end{bmatrix}}$
Assim, é válida a igualdade $\cos \alpha ={\frac {det[X]}{det[M]}}$ e, portanto:
$\cos \alpha$ = ${a(-a^{2}+b^{2}+c^{2}) \over 2abc}\to a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$
e, analogamente:
$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta$
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma$