# Quantização (física)

Em física, uma quantização é um procedimento matemático que atribui um valor específico a um sistema físico; assim contrariando a ideia de que determinadas unidades, como energia e carga elétrica, eram continuas.

## Definição formal

Concretamente dada a descrição hamiltoniana de um sistema clássico mediante uma variedade simplética $({\mathcal {M}},\omega )$ pode ser definida formalmente o processo de quantização como a construção de um espaço de Hilbert ${\mathcal {H}}$ tal que ao conjunto de magnitudes físicas ou observáveis medíveis no sistema clássico $f_{i}\,$ se assinala um conjunto de observáveis quânticos ou operadores auto-adjuntos ${\hat {f}}_{i}$ tais que:
* $(f_{i}+f_{j}){\hat}={\hat {f}}_{j}+{\hat {f}}_{j}$
* $(\lambda f_{i}){\hat}=\lambda {\hat {f}}_{j}\qquad \lambda \in \mathbb {R}$
* $\{f_{i},f_{j}\}{\hat}=-i[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}]$
* ${\hat {1}}=I_{\mathcal {H}}$
* Os operadores de posição ${\hat {q}}_{i}$ e seus momentos conjugados ${\hat {p}}_{i}$ atuam irreduzivelmente sobre ${\mathcal {H}}$.
Onde $I_{\mathcal {H}}$ é a aplicação identidade sobre o espaço de Hilbert assinado ao sistema, $\{\cdot ,\cdot \}$ é o parênteses de Poisson e $[\cdot ,\cdot ]$ é o comutador de operadores.
Pelo teorema de Stone-von Neumann a condição (5) implica que os graus de libertade de deslocamento nos obrigam a tomar ${\mathcal {H}}\approx L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ e um operador é multiplicativo e outro derivativo. Assim usam-se a representação em forma de função de onda em termos das coordenadas espaciais:
    ${\hat {q}}_{i}\psi (q_{i})=q_{i}\psi (q_{i})\qquad {\hat {p}}_{i}\psi (q_{i})=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\psi (q_{i})$
Usa-se a representação em forma de função de onda em termos das coordenadas de momento conjugado:
    ${\hat {p}}_{i}\psi (p_{i})=p_{i}{\tilde {\psi }}(p_{i})\qquad {\hat {q}}_{i}\psi (p_{i})=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{i}}}{\tilde {\psi }}(p_{i})$

### Sistemas quantizáveis

Um sistema hamiltoniano clássico definido sobre uma variedade simplética $({\mathcal {M}},\omega )$ se chama quantizável se existe um $S^{1}$-fibrado principal $\pi :{\mathcal {Q_{M}}}\to {\mathcal {M}}$ e uma 1-forma $\alpha \;$ sobre ${\mathcal {Q_{M}}}$, chamada variedade de quantização, tal que:
* $\alpha \;$ é invariante sob a ação de $S^{1}[\approx U(1)]$
* $\pi ^{*}\omega =d\alpha \;$
Um resultado recolhido em Steenrod 1951 implica que uma variedade é quantizável se a segunda classe de co-homologia satisfaz certa propriedade:
    $({\mathcal {M}},\omega )$ é quantizável se e somente se $\omega /h\in H^{2}({\mathcal {M}},\mathbb {Z} )$,
ou seja, a integral da forma simplética integrada sobre uma variedade compacta de dimensão 2 é um número inteiro multiplicado pela constante de Planck. É mais naqueles casos em que existe mais de um modo de quantizar um sistema clássico, as diferentes quantizações podem classificar-se de acordo com a forma de $H^{1}({\mathcal {M}},\mathbb {Z} )$

## Primeira quantização

Os procedimentos de primeira quantização são métodos que permitem construir modelos de uma partícula dentro da mecânica quântica a partir da correspondente descrição clássica do espaço de fases de uma partícula.
* A quantização canônica, é um procedimento informal que assinala a magnitude física expressável em termos das coordenadas canônicas do sistema clássico, um operador obtido por substituição direta das variáveis canônicas por operadores hermíticos P$_i$ e Q$_i$ que satisfazem as relações [Q$_i$,P$_i$] = ih/2π, [Q$_i$,Q$_j$] = 0, [P$_i$,P$_j$] = 0 e [Q$_i$,P$_j$] = 0.
* A quantização de Weyl, é um procedimento para construir um operador hermítico sobre o espaço $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ para um sistema cujo espaço de fases clássico tenha uma topologia $\mathbb {R} ^{2n}$. Esta técnica foi descrita pela primeira vez por Hermann Weyl em 1927.

## Segunda quantização

Os procedimentos de segunda quantização são métodos para construir teorias quânticas de campos a partir de uma teoria clássica de campos.
* Quantização canônica, é uma extensão do procedimento de quantização canônica empregado na primeira quantização mas estendido neste caso a mais de uma partícula.
* Quantização canônica covariante.
* Quantização mediante integrais de caminho, proposto por Feynmann e Kac que depende de construir uma medida cotada em um espaço de Hilbert a partir do funcional de ação.
* Quantização geométrica.
* Aproximação variacional de Schwinger.