# Relações entre a série e a transformada de Fourier

No campo matemático da análise harmônica, a transformada de Fourier tem relações muito próximas com a série de Fourier. Também está estreitamente relacionada com a transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT) e a transformada discreta de Fourier (DFT).
A transformada de Fourier pode ser aplicada tanto para tempo discreto como para sinais periódicos no tempo usando o formalismo do delta de Dirac. Na verdade, a série de Fourier, a DTFT e a DFT podem ser derivadas em da transformada contínua de Fourier geral. Elas são, do ponto de vista teórico, os casos particulares da transformada de Fourier.
Na teoria de sinais e no processamento digital de sinais (PDS), a DFT (implementada como transformada rápida de Fourier) é amplamente utilizada para calcular as aproximações do espectro de um sinal contínuo, conhecendo-se apenas a sequência dos pontos amostrados. As relações entre a DFT e a transformada de Fourier são essenciais neste caso.

## Definições

Na tabela a seguir são demonstradas as definições para a transformada contínua de Fourier, série de Fourier, DFT e DTFT:
Definições da Transformada de Fourier :
| × | Tempo Contínuo | Tempo Discreto |
| Aperiódico | $x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }X(f)\ e^{i2\pi ft}\,df$ | $x[n]=T\int _{-{\frac {1}{2T}}}^{\frac {1}{2T}}{\bar {X}}(f)\ e^{i2\pi fnT}\ df$ |
| - | $X(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\,dt$ | ${\bar {X}}(f)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x[n]\ e^{-i2\pi fnT}$ |
| Periódico | ${\bar {x}}(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\!X[k]\;e^{i{\frac {2\pi k}{T_{0}}}t}$ | $x_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}\;e^{i{\frac {2\pi }{N}}kn}\qquad n=0,\dots ,N-1.$ |
| - | $X[k]={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-{\frac {T_{0}}{2}}}^{\frac {T_{0}}{2}}{\bar {x}}(t)\;e^{-i{\frac {2\pi k}{T_{0}}}t}\,dt$ | $X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\;e^{-i{\frac {2\pi }{N}}kn}\qquad k=0,\dots ,N-1$ |
A tabela mostra as propriedades do sinal no domínio do tempo:
* Tempo contínuo” X “Tempo discreto” (colunas),
* Aperiódico” X “Periódico” (linhas).

## Equações necessárias para relacionar as várias transformadas

As definições apresentadas na seção anterior podem ser introduzidas axiomaticamente ou podem ser derivadas da transformada contínua de Fourier usando o formalismo estendido do delta de Dirac. O uso desse formalismo da transformada contínua de Fourier pode ser aplicado também aos sinais discretos ou periódicos.
Para calcular a transformada contínua de Fourier de sinais discretos e/ou periódicos precisamos inserir algumas equações e recordar algumas propriedades da transformada de Fourier. Abaixo é apresentada uma lista delas:
1. A primeira fórmula de somatório de Poisson:
       $\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(t-nT_{0})={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }X\!\left({\frac {k}{T_{0}}}\right)\;e^{i{\frac {2\pi k}{T_{0}}}t}$
2. A segunda fórmula de somatório de Poisson:
       $\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(nT)\;e^{-i2\pi nfT}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }X\!\left(f-{\frac {k}{T}}\right)$
3.A transformada do trem de impulsos (deltas de Dirac) é importante para compreender a relação entre o contínuo e o caso discreto ou periódico:
       $\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\!\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta \!\left(f-{\frac {k}{T}}\right)$
4. Os teoremas que definem as propriedades da transformada de Fourier, em particular a propriedade da convolução.
Todas estas equações e propriedades podem ser demonstradas individualmente.
Uma vez calculada, a transformada contínua de Fourier dos sinais discretos e/ou periódicos pode ser relacionada com a DTFT, a série de Fourier e com a DFT das definições dadas acima.

## Relações entre as várias transformadas

A figura a seguir representa as relações entre as várias transformadas.
Explicação dos símbolos:
* O sinal e sua transformada são ligados por seta dupla ($\leftrightarrow$)
* $x[n]\,$ e $X[k]\,$ são sequências infinitas
* ${\bar {x}}(t)$ e ${\bar {X}}(f)$ são sequências periódicas
* $x_{n}\,$, $X_{k}\,$ e ${\tilde {X}}_{k}$ são sequências finitas
* ${\mathcal {F}}\{\dots \}$ indica exclusivamente a transformada de Fourier.
As fórmulas de somatório de Poisson permitem ligar a série de Fourier e a DTFT com a transformada de Fourier (fórmulas “1” e “2” respectivamente).
A propriedade de convolução (4.) e a transformada do trem de impulsos (3.) permitem calcular a transformada de Fourier para sinais como função de tempo periódico ou tempo discretos de X(f)\,</math>. Na Figura 2 é mostrado que as operações correspondem, no domínio espectral, à amostragem de um sinal contínuo ou à periodização de um sinal aperiódico.
Da Figura 2 podemos ver que a amostragem no domínio do tempo tem o mesmo efeito sobre o espectro, tanto para um sinal aperiódico ($x(t)$) como para um sinal periódico (${\bar {x}}(t)$) . Reciprocamente, a periodização no domínio do tempo tem o mesmo efeito espectral em um sinal contínuo ($x(t)$) e em um sinal discreto ($x[n]$).

## FFT e a Transformada Contínua de Fourier

A transformada discreta de Fourier (DFT) é a transformada de uma sequência finita. Uma sequência finita pode ser imaginada como um sinal de periódico no tempo e tempo-discreto apenas em um período. Por este motivo o espectro precisa ser tanto periódico quanto discreto.
Seguindo as fórmulas de Poisson obteríamos ${\tilde {X}}_{k}\,$ como a definição da DFT. No entanto, a DFT é geralmente definida como $X_{k}\,$ (ver Figura 2 ou as definições anteriores). Por esta razão, a ligação entre a DFT e a transformada periódica ${\bar {X}}(f)\,$é diferente por um fator de escala a partir da relação obtida pela aplicação das fórmulas de Poisson (que nos leva para ${\tilde {X}}_{k}\,$ e não para ${\tilde {X}}_{k}\,$).
A amostra de pontos no espectro de um sinal contínuo pode ser calculada com precisão se o sinal for limitado em banda e a amostragem é feita com uma frequência acima da frequência de Nyquist. Neste caso, se o sinal é limitado em tempo podemos começar a amostragem antes que o sinal inicie e parar a amostragem depois que o sinal termine. Calculando a DFT desta sequência finita obtida a partir de tais amostras obtemos os valores amostrados do espectro do sinal original, além de um fator de escala $1/T$ (onde T é o intervalo de amostragem):
       $\underbrace {X_{k}} _{DFT}=\underbrace {{\bar {X}}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{i=-\infty }^{+\infty }\underbrace {X\left({\frac {k-iN}{NT}}\right)} _{\text{FT}}\simeq {\frac {1}{T}}\underbrace {X\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{\text{FT}}\qquad k=0,\dots ,N-1$
       $\underbrace {X_{k}} _{DFT}=\underbrace {{\bar {X}}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{i=-\infty }^{+\infty }\underbrace {X\left({\frac {k-iN}{NT}}\right)} _{\text{FT}}\simeq {\frac {1}{T}}\underbrace {X\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{\text{FT}}\qquad k=0,\dots ,N-1$
A última igualdade $\simeq$ está entre o espectro periódico ${\bar {X}}(f)$ avaliado em um período e do espectro do sinal contínuo $X(f)$. O símbolo $\simeq$ é também usado para salientar isso, se o sinal não é perfeitamente limitado em banda, temos sempre um pouco de aliasing que faz a igualdade não ser exata.
Normalmente em processamento digital de sinais (PDS) o sinal é demasiadamente longo para ser analisado por inteiro. Neste caso, o janelamento é usado para calcular amostras do espectro aproximadas por uma pequena parte de todo o sinal. Este processo adiciona inevitavelmente novos erros como fuga e scalloping losses.

## DTFT e a Transformada Contínua de Fourier

A transformada de Fourier de tempo discreto é a transformada de uma sequência discreta. Como o domínio é o do tempo discreto, o espectro é periódico. Um sinal discreto $x[n]$ pode ser considerado como a amostragem de um sinal contínuo $x(t)$ em intervalos step $T$. O sinal amostrado pode ser analisado como um sinal contínuo usando o formalismo do delta de Dirac. Em particular a operação de amostragem é equivalente a multiplicação de um trem de impulsos de Dirac:
       ${\begin{aligned}x_{\rm {amostrado}}(t)&=x(t)\cdot \left(\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\!\delta (t-nT)\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\!x(t)\;\delta (t-nT)=\\&=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\!x(nT)\;\delta (t-nT)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\!x[n]\;\delta (t-nT)\end{aligned}}$
Calculando a Transformada de Fourier do sinal amostrado usando a propriedade da convolução ('3.) e a transformada de um trem de impulsos (2.), e aplicando a segunda soma de Poisson, obtemos:
       ${\mathcal {F}}\{x_{\rm {amostrado}}(t)\}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }X\!\left(f-{\frac {k}{T}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(nT)\;e^{-i2\pi nfT}={\bar {X}}(f)$
Onde $X(f)$ é a transformada do sinal contínuo $x(t)$. Nota-se que a transformada de Fourier $x_{\rm {amostrado}}(t)$ é igual à DTFT de $x[n]$. A definição da DTFT pode ser considerada como uma forma de se calcular a transformada de Fourier do sinal amostrado usando somente os valores das amostras $x[n]$ (sem o formalismo do delta de Dirac). A última equação está no canto inferior esquerdo da Figura 2.
Outro aspecto importante é que a amostragem no domínio do tempo com passo $T$ corresponde à “periodização” do espectro com período $1/T$ e à multiplicação do espectro por um fator $1/T$. Esta relação pode ser vista na Figura 2 pela seta vertical que vai de $x(t)$ para $x[n]$ e de $X(f)$ para ${\bar {X}}(f)$.

## Série de Fourier e a Transformada Contínua de Fourier

A série de Fourier é a expansão de um sinal periódico em uma combinação linear de componentes harmônicas discretas. Como o sinal é periódico o espectro não é continuamente distribuído pela frequência, mas sim concentrado em discretos, igualmente espaçados, valores de frequência. Essas frequências são múltiplas de uma frequência base, chamada de harmônica fundamental. A harmônica fundamental é o inverso do período do sinal.
Um sinal periódico ${\bar {x}}(t)$ pode ser considerado uma “periodização” com período $T_{0}$ de um sinal aperiódico $x(t)$. Em particular, a periodização é equivalente à convolução (símbolo $*\,$) de $x(t)$ por um trem de impulsos de Dirac.
       $x_{\rm {periodico}}(t)={\bar {x}}(t)=x(t)\;*\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\!\delta (t-nT_{0})=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(t-nT_{0})$
Calculando a transformada de Fourier do sinal periódico usando a propriedade da convolução (4.) e a transformada do trem de impulsos (3.), e depois aplicando a primeira soma de Poisson (1.), obtemos:
       ${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{x_{\rm {periodico}}\}\;\;&{\stackrel {3,4}{=}}\;\;X(f)\cdot {\frac {1}{T_{0}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta \!\left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right)={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }X\!\left({\frac {k}{T_{0}}}\right)\;\delta \!\left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right)=\\&{\stackrel {1}{=}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\!X[k]\;\delta \!\left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right)\end{aligned}}$
Onde $X(f)$ é a transformada de Fourier do sinal aperiódico $x(t)$, e $X[k]$ são os coeficientes da série de Fourier para o sinal periódico ${\bar {x}}(t)$. Essa equação mostra que os coeficientes da série de Fourier de um sinal periódico são iguais as amplitudes dos deltas de Dirac da transformada de Fourier. A última equação é mostrada no canto superior direito da Figura 2.
Outro aspecto importante é que a “periodização” no domínio do tempo com período $T_{0}$ corresponde, na frequência, a uma discretização (amostragem) do espectro com passo $1/T_{0}$ e à multiplicação por um fator de $1/T_{0}$. Esta relação pode ser vista na Figura 2 seguindo as setas horizontais que vão de $x(t)$ a ${\bar {x}}(t)$ e de $X(f)$ a $X[k]$.