# Teorema da convergência dominada

Em teoria da medida, o teorema da convergência dominada de Lebesgue oferece condições suficientes sob as quais a convergência em quase qualquer lugar de uma sequência de funções implica convergência na norma L¹. Sua potência e sua utilidade são duas das primeiras vantagens teóricas da integração de Lebesgue sobre a integração de Riemann.
É amplamente usada em teoria das probabilidades, já que dá uma condição suficiente para a convergência de valores esperados de variáveis aleatórias.

## Enunciado

Considere $\{f_{n}\}$ uma sequência de funções mensuráveis de valores reais em um espaço de medida $(S,\Sigma ,\mu )$. Suponha que a sequência converge pontualmente a uma função $f$ e é dominada por alguma função integrável $g$ no sentido em que:
   $|f_{n}(x)|\leq g(x)$
para todos os números $n$ no conjunto de índices da sequência e todos os pontos $x\in S$. Então, $f$ é integrável e
   $\lim _{n\to \infty }\int _{S}|f_{n}-f|d\mu =0,$
o que também implica
   $\lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}d\mu =\int _{S}fd\mu .$
A afirmação "$g$ é integrável" é entendida no sentido de Lebesgue, isto é,
   $\int _{S}|g|d\mu <\infty .$
A convergência da sequência e a dominação por $g$ podem ser relaxadas a ponto de manter apenas $\mu$-quase em todo lugar, desde que o espaço de medida $(S,\Sigma ,\mu )$ seja completo ou $f$ seja escolhida como uma função mensurável que concorda com $\mu$-quase em todo lugar com um limite pontual existente em $\mu$-quase em todo lugar. Estas precauções são necessárias, porque, de outra forma, pode existir um subconjunto não-mensurável de um conjunto $\mu$-nulo $N\in \Sigma$, assim, $f$ pode não ser mensurável.
Se $\mu (S)<\infty$, a condição de que haja uma função integrável dominante pode ser relaxada ao ponto da integrabilidade uniforme da sequência $\{f_{n}\}$.

## Prova

O teorema da convergência dominada de Lebesgue é um caso especial do teorema de Fatou–Lebesgue. Abaixo, entretanto, está uma prova direta que usa o lema de Fatou como ferramenta essencial.
Já que $f$ é o limite pontual da sequência $(f_{n})$ das funções mensuráveis que são dominadas por $g$, é também mensurável e dominada por $g$, logo, é integrável. Além disto,
   $|f-f_{n}|\leq |f|+|f_{n}|\leq 2g$
para todo $n$ e
   $\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|=0.$
A segunda afirmação é trivialmente verdadeira (pela própria definição de $f$. Usando a linearidade e monotonicidade da integral de Lebesgue,
   $\left|\int _{S}{fd\mu }-\int _{S}{f_{n}d\mu }\right|=\left|\int _{S}{(f-f_{n})d\mu }\right|\leq \int _{S}{|f-f_{n}|d\mu }.$
Pelo lema de Fatou reverso (é aqui que usamos o fato de que $|f-f_{n}|$ é limitado acima por uma função integrável),
   $\limsup _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|d\mu =0,$
o que implica que o limite existe e se esvai, isto é,
   $\lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|d\mu =0.$
Finalmente, já que
   $\lim _{n\to \infty }\left|\int _{S}fd\mu -\int _{S}f_{n}d\mu \right|\leq \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|d\mu =0.$
temos
   $\lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}d\mu =\int _{S}f\mu .$
Se os pressupostos se mantêm apenas $\mu$-quase em todo lugar, então, existe um conjunto $\mu$-nulo $N\in \Sigma$, tal que as funções $f_{n}1_{n}$ satisfazem os pressupostos em todo lugar em $S$. Então, $f(x)$ é o limite pontual de $f_{n}(x)$ para todo $x\in S\backslash N$ e $f(x)=0$ para $x\in N$, logo, $f$ é mensurável. Os valores das integrais não são influenciados por este conjunto $\mu$-nulo $N$.
O teorema da convergência dominada se mantém mesmo se $f_{n}$ convergir a $f$ em medida (medida finita) e a função dominante for não negativa em quase todo lugar.

## Discussão dos pressupostos

O pressuposto de que a sequência é dominada por alguma integrável $g$ não pode ser ignorado. Isto pode ser visto como se segue: defina $f_{n}(x)=n$ para $x$ no intervalo $(0,1/n]$ e $f_{n}(x)=0$ em outros casos. Qualquer $g$ que domina a sequência deve também dominar o supremo pontual $h=\sup _{n}f_{n}$. Observe que:
   $\int _{0}^{1}h(x)dx\geq \int _{\frac {1}{m}}^{1}{h(x)dx}=\sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{h(x)dx}\geq \sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{ndx}=\sum _{n=1}^{m-1}{\frac {1}{n+1}}\to \infty \qquad {\text{conforme }}m\to \infty ,$
pela divergência da série harmônica. Assim, a monotonicidade da integral de Lebesgue nos diz que não existe nenhuma função integrável que domine a sequência em $[0,1]$. Um cálculo direto mostra que a integração e o limite pontual não comutam para esta sequência:
   $\int _{0}^{1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)dx=0\neq 1=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)dx,$
porque o limite pontual da sequência é a função zero. Note que a sequência $\{f_{n}\}$ não é sequer uniformemente integrável, logo, o teorema da convergência de Vitali também não é aplicável.

## Teorema da convergência limitada

Um corolário do teorema da convergência dominada é o teorema da convergência limitada, que afirma que, se $\{f_{n}\}$ for uma sequência de funções mensuráveis de valores reais uniformemente limitadas que converge pontualmente em um espaço de medida limitado $(S,\Sigma ,\mu )$ (isto é, em que $\mu (S)$ é finito) a uma função $f$, então, o limite $f$ é uma função integrável e
   $\lim _{n\to \infty }\int _{S}{f_{n}d\mu }=\int _{S}{fd\mu }.$
A convergência pontual e a limitação uniforme da sequência podem ser relaxadas a ponto de manter apenas $\mu$-quase em todo lugar, desde que o espaço de medida$(S,\Sigma ,\mu )$ seja completo ou $f$ seja escolhida como uma função mensurável que concorda com $\mu$-quase em todo lugar com o limite pontual existente $\mu$-quase em todo lugar.

### Prova

Já que a sequência é uniformemente limitada, há um número real $M$ tal que $|f_{n}(x)|\leq M$ para todo $x\in S$ e para todo $n$. Defina $g(x)=M$ para todo $x\in S$. Então, a sequência é dominada por $g$. Além disso, $g$ é integrável, já que é uma função constante sobre um conjunto de medida finita. Por isso, o resultado segue a partir do teorema da convergência dominada.
Se os pressupostos se mantêm apenas $\mu$-quase em todo lugar, então, existe um conjunto $\mu$-nulo $N\in \Sigma$ tal que as funções $f_{n}1_{n}$ satisfazem os pressupostos em todo lugar em $S$.

## Convergência dominada em espaços L$^p$ (corolário)

Considere $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ um espaço de medida, $1\leq p<\infty$ um número real e $\{f_{n}\}$ uma sequência de funções ${\mathcal {A}}$-mensuráveis $f_{n}:\Omega \to \mathbb {R} \cup \{\infty \}$.
Assuma que a sequência $\{f_{n}\}$ converge $\mu$-quase em todo lugar a uma função $f$ ${\mathcal {A}}$-mensurável e é dominada por um $g\in L^{p}$, isto é, para todo número natural $n$, temos $|f_{n}|\leq g$ $\mu$-quase em todo lugar.
Então, todas as $f_{n}$ assim como $f$ estão em $L^{p}$ e a sequência $\{f_{n}\}$ converge a $f$ no sentido de $L^{p}$, isto é:
   $\lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{p}=\lim _{n\to \infty }\left(\int _{\Omega }|f_{n}-f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}=0.$

## Extensões

O teorema da convergência dominada se aplica também a funções mensuráveis com valores em um espaço de Banach com a função dominante ainda sendo não negativa e integrável como acima. O pressuposto de convergência quase em todo lugar pode ser enfraquecido a ponto de exigir apenas convergência em medida.