# Função afim

Uma função afim, também conhecida como função polinomial de grau 1 ou função polinomial de primeiro grau é uma função do tipo $f(x)=ax+b,$ cujo gráfico é uma reta não perpendicular ao eixo $Ox.$ Tal função também pode ser entendida como uma transformação linear ($Ax$) seguida por uma translação ($+b$).
    $x\mapsto Ax+b$
no caso finito-dimensional cada função afim é dada por uma matriz A e por um vetor B, que possam ser escritos como a matriz A com uma coluna extra do B. Fisicamente, uma função afim é a que preserva:
* Colinearidade entre pontos, isto é, três pontos que se encontram em uma linha continuam a ser colineares após a transformação;
* relações das distâncias ao longo de uma linha, isto é, para os pontos colineares distintos $p_{1},p_{2},p_{3}$, $||p_{2}-p_{1}||/||p_{3}-p_{2}||$
Uma função afim é composta de um ou de diversos transformadores lineares. Diversas transformações lineares podem ser combinadas em uma única matriz, assim que a fórmula geral dada acima é ainda aplicável.
Em uma dimensão (ou seja, quando x e y são escalares), os termos A e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e coeficiente linear.

## Definição formal

Uma função $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ chama-se função afim quando existe dois números reais $a$ e $b$ tal que $f(x)=ax+b$ e $a\neq 0,$ para todo $x\in \mathbb {R} .$

### Coeficientes

Para facilitar a análise dessas funções, dizemos que o coeficiente "a" da função é o coeficiente angular ou declividade da reta. Esse coeficiente determina a tangente do ângulo da inclinação da reta que representa a função, no sentido anti-horário em relação do eixo das abcissas.
O coeficiente "b" determina o deslocamento da reta em relação à origem, por isso ele é conhecido como coeficiente linear da reta.

## Função linear

Uma função linear é um caso particular da função afim onde $a\neq 0$ e $b=0,$ sendo, portanto, expressa como:
$f(x)=ax.$
Veja na figura ao lado um exemplo de gráfico de função linear.
Um caso específico da função linear é a função identidade, onde $a=1.$ Logo a função identidade é expressa como:
$f(x)=x.$
Observe na figura ao lado um exemplo de gráfico de função identidade.

### Função linear e proporcionalidade

Uma das principais aplicações da função linear é a relação de proporção existente entre os elementos do domínio e da imagem, pois observamos que conforme variam os elementos do domínio, suas respectivas imagens variam na mesma proporção, sendo essa proporção o coeficiente angular da função, nesse caso chamado de taxa de variação.
Assim, seja a função linear $f(x)=ax,$ vemos que o conjunto dos pontos que representa a reta dessa função são os pontos do tipo $(x,ax),$ onde $a$ é a razão entre $y$ e $x.$
Essa relação será diretamente proporcional se a função for crescente e inversamente proporcional se a função for decrescente.

## Crescimento ou decrescimento

Uma função afim pode ser crescente, decrescente, dependendo do valor do coeficiente angular. Uma função pode ainda ser constante, se a=0 e aí ela terá grau 0.

### Crescente

Uma função afim é crescente quando seu coeficiente angular for positivo, ou seja, $a>0.$
Demonstração:
Por definição, dizemos que uma função $f:A\rightarrow {B}$ definida por $y=f(x)$ é crescente no conjunto $A_{1}\subset {A}$ se, para dois valores quaisquer $x_{1}$ e $x_{2}$ pertencentes a $A_{1},$ com $x_{1}<x_{2},$ tivermos $f(x_{1})<f(x_{2}).$
Sintetizando: $f$ é crescente quanto:
$(\forall {x_{1}},x_{2})(x_{1}<x_{2}\Rightarrow {f(x_{1})<f(x_{2})})$
Podemos reescrever isso como:
$(\forall {x_{1}}<x_{2})(x_{1}\neq {x_{2}}\Rightarrow {\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}>0)$
Então, dada a função afim $f(x)=ax+b,$ dizemos que $f(x)$ é crescente se, e somente se:
${\frac {(ax_{1}+b)-(ax_{2}+b)}{x_{1}-x_{2}}}>0,\forall {x_{1}}<{x_{2}}$
Assim, podemos reescrever:
${\frac {a(x_{1}-x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}>0\Leftrightarrow {a>0}.$

### Decrescente

Uma função afim é decrescente quando seu coeficiente angular for negativo,ou seja, $a<0.$
Demonstração:
De forma similar à função crescente, uma função é decrescente se obedecer à seguinte restrição:
$(\forall {x_{1}},x_{2})(x_{1}<x_{2}\Rightarrow {f(x_{1})>f(x_{2})})$
Que é equivalente a dizer:
$(\forall {x_{1}}<x_{2})(x_{1}\neq {x_{2}}\Rightarrow {\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}<0)$
Então, dada a função afim $f(x)=ax+b,$ dizemos que $f(x)$ é decrescente quando:
${\frac {(ax_{1}+b)-(ax_{2}+b)}{x_{1}-x_{2}}}<0,\forall {x_{1}}<{x_{2}}$
Reescrevendo isso, temos:
${\frac {a(x_{1}-x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}<0\Leftrightarrow {a<0}.$

### Constante

Uma função é constante (neste caso dizemos que ela não é afim) quando seu coeficiente angular for nulo, ou seja $a=0.$ Nesse caso a equação que define a função é dada por $f(x)=b$ e seu gráfico é uma reta paralela ao eixo $Ox$.

## Zero

O zero de uma função afim (ou raízes da função) é o valor de $x$ para o qual a função é igual a zero. Geometricamente o zero de uma função afim é o ponto de corte no eixo das abcissas.
Para definir este ponto basta resolver a equação $ax+b=0:$
$ax+b=0\Rightarrow {x=-{\frac {b}{a}}}.$
Logo o ponto de corte no eixo das abcissas é $\left(-{\frac {b}{a}},0\right).$
Toda e qualquer função afim também corta o eixo das ordenadas (eixo $oy$). Para definir este ponto de corte basta calcular $f(0):$
$f(0)=a.0+b=b.$
Logo o ponto de corte no eixo y é $(0,b).$

## Aplicações

As funções afins possuem diversas aplicações, em situações que apresentam crescimento ou decrescimento linear.

### Relação com a progressão aritmética

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante.
Logo, por ter essa característica, vemos que o crescimento de uma P.A é linear e pode, portanto, ser representado por uma função afim.
Para chegar até a função afim de uma P.A. partiremos da fórmula do termo geral, que é: $a_{n}=a_{1}+(n-1).r.$
Como buscamos conhecer um termo em função da sua posição em uma P.A., podemos reescrever a fórmula como:
$a(n)=a_{1}+(n-1).r$
Temos, aplicando a propriedade distributiva e organizando os termos:
$a(n)=r.n+(a_{1}-r),$
onde:
$a(n)$ é a variável dependente; $n$ é a variável independente; $r$ é o coeficiente angular; $(a_{1}-r)$ é o coeficiente linear.
O domínio dessa função é o conjunto dos números naturais não nulos e a imagem é o conjunto dos números inteiros.
Exemplo:
Seja a progressão aritmética infinita $(1,4,7,10,13,16,19,...),$ vamos verificar se seus termos são definidos pela fórmula $a(n)=r.n+(a_{1}-r).$
Temos que $r=3$ e $a_{1}=1.$
Logo, a lei da função $a(n)$ é:
$a(n)=3.n+(1-3)\rightarrow {a(n)=3n-2}$
Observe ao lado o gráfico da função $a(n).$

### Relação com o movimento retilíneo uniforme

Situações que envolvem movimento em linha reta e com velocidade fixa podem ser estudadas utilizando funções afins. Para isso é preciso analisar a posição do objeto que se movimenta em função do tempo.
A física define a velocidade de um objeto como a razão entre a variação da distância pela variação do tempo, como observamos na fórmula abaixo:
$v={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {s_{f}-s_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$,
onde:
$s_{f}$ é a distância final; $s_{i}$ é a distância inicial; $t_{f}$ a distância final e $s_{i}$ a distância inicial.
Podemos simplificar a expressão, pois na maioria dos casos temos como ponto de partida um tempo inicial nulo, $t_{i}=0.$
Logo é possível modificar a expressão utilizando algebrismos para encontrar uma função afim de posição em função do tempo.
$v={\frac {s_{f}-s_{i}}{t_{f}-0}}\longrightarrow {v.{t_{f}}}=s_{f}-s_{i}.$
Podemos reescrever de modo a obter $s_{f}:$
$s_{f}=v.{t_{f}}+s_{i}$
Por fim basta renomear os termos para melhorar a lei da função. Assim dissemos que $s_{f}=s(t),$ $t_{f}=t$ e $s_{i}=s.$
Logo a lei da função posição é:
$s(t)=v.t+s$,
onde:
* $s(t)$ é a posição após o tempo $t;$
* $v$ é a velocidade e o coeficiente angular da função;
* $t$ é o tempo que dura o deslocamento;
* $s$ é a posição inicial e também o coeficiente linear da função.

## Veja também

* Função não expansiva
* Função identidade
* Transformação geométrica
* Mapeamento contrativo