# Objeto exponencial

Na teoria das categorias, um objeto exponencial é um objeto que representa o conjunto de morfismos entre dois objetos, de modo que generaliza a ideia de espaço funcional.

## Definição

Dados objetos x, y numa categoria C com todos os produtos binários, um objeto exponencial é um objeto x$^y$ junto a uma seta universal ap : x$^y$ × y → x do functor – × y ao objeto x. Noutras palavras, para cada objeto z ∈ C e seta e : z × y → x, existe única seta u : z → x$^y$ tal que e = ap ∘ (u × 1$_y$).
Uma categoria é dita cartesiana fechada quando tem todos os produtos finitos (inclusive o objeto terminal) e cada dupla de objetos tem um correspondente objeto exponencial. Neste caso, há adjunção de duas variáveis $\hom _{C}(a\times b,c)\cong \hom _{C}(a,c^{b})\cong \hom _{C}(b,c^{a});$ em particular, (a, c) ↦ c$^a$ estende-se a um functor C$^{op}$ × C → C.

## Exemplos

* A categoria dos conjuntos é cartesiana fechada: X$^Y$ é o conjunto de funções de Y a X, e ap(f, y) = f(y) ∈ X.
* A categoria dos módulos sobre um anel comutativo fixo não precisa ser cartesiana fechada, mas satisfaz uma condição similar na qual o produto × é substituído pelo produto tensorial. (É então uma categoria monoidal fechada.)
* A categoria dos espaços de Hausdorff compactamente gerados é cartesiana fechada. (Um espaço topológico X é dito compactamente gerado quando, para cada subconjunto A ⊆ X cuja interseção com cada subconjunto compacto de X é fechada, A é fechado.)

## Categoria localmente cartesiana fechada

Uma categoria C é dita ser localmente cartesiana fechada quando, para cada objeto a de C, a categoria C/a é cartesiana fechada. (Aqui C/a denota a categoria vírgula id$_C$ ↓ (• ↦ a), isto é, a categoria cujos objetos são setas de contradomínio a, e cujas setas (f : b → a) → (g : c → a) são setas h : b → c de C tais que g ∘ h = f.)
Seja C categoria localmente cartesiana fechada (em particular, admitindo produtos fibrados). Para cada morfismo k : a → b de C, existe functor k$^*$ : C/b → C/a dado por pullback; isto é, k$^*$ leva um morfismo
    h : (f : c → b) → (g : d → b)
de C/b ao morfismo
    k$^*$ h : k$^*$ f → k$^*$ g
onde no diagrama ${\begin{matrix}k^{*}c&\to &c\\k^{*}h\downarrow &&\downarrow h\\k^{*}d&\to &d\\k^{*}g\downarrow &&\downarrow g\\a&{\underset {k}{\to }}&b\end{matrix}}$ o quadrado inferior e o retângulo exterior são diagramas de produto fibrado.
Neste caso, existem duas adjunções
    Σ$_k$ ⊣ k$^*$ ⊣ Π$_k$
onde o functor Σ$_k$ é chamado de soma dependente e o functor Π$_k$ é chamado de produto dependente. O functor Σ$_k$ : C/a → C/b é definido por composição com k : a → b. No caso particular em que b é objeto terminal 1 de C, caso em que C/1 é isomorfa a C, o functor Π$_k$ : C/a → C é dado por levar f : c → a ao objeto Γ f, onde ${\begin{matrix}\Gamma f&\to &c^{a}\\\downarrow &&\downarrow f^{a}\\1&{\underset {j}{\to }}&a^{a}\end{matrix}}$ é diagrama de produto fibrado, em que j : 1 → a$^a$ é transposta da identidade 1 × a ≅ a → a pela adjunção exponencial.
A origem dos nomes soma dependente e produto dependente pode ser explicada no caso particular C = Set. A categoria Set/a é equivalente à categoria de famílias de conjuntos indexadas por a; com efeito, uma função f : b → a corresponde à família das pré-imagens
    { f$^←${x} }$_{x∈a}$,
enquanto que uma família {A$_x$}$_{x∈a}$ corresponde à projeção
    ∑$_{x∈a}$ A$_x$ → a
do coproduto (união disjunta). Por meio dessa equivalência, k$^*$ torna-se functor de troca de índices,
    k$^*$ {B$_y$}$_{y∈b}$ = {B$_{k(x)}$}$_{x∈a}$;
já Σ$_k$ e Π$_k$ tornam-se os functores
    Σ$_k$ {A$_x$}$_{x∈a}$ = {∑$_{x∈a,k(x)=y}$ A$_x$}$_{y∈b}$,
    Π$_k$ {A$_x$}$_{x∈a}$ = {∏$_{x∈a,k(x)=y}$ A$_x$}$_{y∈b}$;
estes são somas e produtos de membros da família, cujos índices dependem de k.