# Translação (geometria)

Na geometria euclidiana, uma translação é uma transformação geométrica que move todos os pontos de uma figura ou espaço, na mesma distância em uma determinada direção.
Na geometria euclidiana, uma transformação é uma correspondência de um para um entre dois conjuntos de pontos ou uma aplicação de um plano para outro. Uma translação pode ser descrita como um movimento rígido: os outros movimentos rígidos são rotações, reflexos e reflexão com deslizamento.
Uma translação também pode ser interpretada como a adição de um vetor constante a cada ponto, ou como o deslocamento da origem do sistema de coordenadas.
Um operador de translação é o operador $T_{\mathbf {\delta } }$ tal que $T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).$
E se $\mathbf {v}$ é um vetor fixo, então a translação $T_{\mathbf {v} }$ vai funcionar como $T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v} .$
E se $T$ é uma translação, então a imagem do subconjunto $A$ sob a função $T$ é a translação de $A$ por $T.$ A translação de $A$ por $T_{\mathbf {v} }$ é frequentemente escrita $A+\mathbf {v} .$
Em um espaço euclidiano, qualquer translação é uma isometria. O conjunto de todas as translações forma o grupo de translação $\mathbb {T} ,$ que é isomórfico ao próprio espaço, e um subgrupo normal do grupo euclidiano $E(n).$ O grupo quociente de $E(n)$ por $\mathbb {T}$ é isomorfo ao grupo ortogonal $O(n):$
$E(n)/\mathbb {T} \cong O(n)$

## Representação matricial

Uma translação é uma transformação afim sem pontos fixos. As multiplicações de matrizes sempre têm a origem como um ponto fixo. No entanto, há uma solução alternativa comum usando coordenadas homogêneas para representar uma translação de um espaço vetorial por meio de uma multiplicação matricial: Escreva o vetor tridimensional $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ usando 4 coordenadas homogêneas como $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1).$
Para transladar um objeto por um vetor $\mathbf {v} ,$ cada vetor homogêneo $\mathbf {p}$ (escrito em coordenadas homogêneas) pode ser multiplicado por esta matriz de translação:
$T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$
Conforme mostrado abaixo, a multiplicação dará o resultado esperado:
$T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v}$
O inverso de uma matriz de translação pode ser obtido invertendo o sentido do vetor:
$T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.$
Da mesma forma, o produto das matrizes de translação é dado pela adição dos vetores:
$T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }.$
Como a adição de vetores é comutativa, a multiplicação de matrizes de translação também é comutativa (ao contrário da multiplicação de matrizes arbitrárias).

## Translações na física

Na física, a translação (movimento translacional) é o movimento que altera a posição de um objeto, se opondo à rotação. Por exemplo, de acordo com Whittaker:
   A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, p. 1 (em inglês)
Uma translação é a operação que altera as posições de todos os pontos $(x,y,z)$ de um objeto de acordo com a fórmula:
$(x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)$
em que $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ é o mesmo vetor para cada ponto do objeto. O vetor de translação $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ comum a todos os pontos do objeto descreve um determinado tipo de deslocamento do objeto, geralmente chamado de deslocamento linear para distingui-lo dos deslocamentos que envolvem rotação, denominados deslocamentos angulares.
Ao considerar o espaço-tempo, uma mudança de coordenada no tempo é considerada uma translação. Por exemplo, o grupo de Galileu e o grupo de Poincaré incluem translações em relação ao tempo.