# Função aditiva

Em teoria dos números, uma função aditiva é uma função aritmética f(n) de inteiros positivos n de tal modo que sempre que a e b são coprimos, a imagem de seu produto é a soma de suas imagens:
    f(ab) = f(a) + f(b).

## Aditividade completa

Uma função aditiva f(n) é dita completamente aditiva se f(ab) = f(a) + f(b) vale para quaisquer inteiros positivos a e b, mesmo quando não são coprimos. Uma função completamente aditiva também é denominada totalmente aditiva, em analogia à funções totalmente multiplicativas. Se f é uma função completamente aditiva, então f(1) = 0.
Toda função completamente aditiva é aditiva, mas não vice-versa.

## Exemplos

Exemplo de funções aritméticas completamente aditivas:
* A função logarítmica restrita a $\mathbb {N}$.
* A multiplicidade de um fator primo p em n, é o maior expoente m tal que p$^m$ divide n.
* a$_0$(n) - a soma dos primos que dividem n contando fatores repetidos, algumas vezes é chamada sopfr(n) (em inglês sum of the prime numbers that divide repeated factors), a potência de n ou o logaritmo inteiro de n (sequência A001414 na OEIS). Por exemplo:
    a$_0$(4) = 2 + 2 = 4
    a$_0$(20) = a$_0$(2$^2$ · 5) = 2 + 2+ 5 = 9
    a$_0$(27) = 3 + 3 + 3 = 9
    a$_0$(144) = a$_0$(2$^4$ · 3$^2$) = a$_0$(2$^4$) + a$_0$(3$^2$) = 8 + 6 = 14
    a$_0$(2,000) = a$_0$(2$^4$ · 5$^3$) = a$_0$(2$^4$) + a$_0$(5$^3$) = 8 + 15 = 23
    a$_0$(2,003) = 2003
    a$_0$(54,032,858,972,279) = 1240658
    a$_0$(54,032,858,972,302) = 1780417
    a$_0$(20,802,650,704,327,415) = 1240681
* A função Ω(n), definida como o número total de todos os fatores primos, mesmo repetidos de n, por vezes chamada de "Função Grande Ômega" (sequência A001222 na OEIS) (não confundir com a Ômega ligada à notação de infinitude Grande-O). Por exemplo:
    Ω(1) = 0, pois 1 não possui fatores primos
    Ω(4) = 2
    Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4
    Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3
    Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3
    Ω(144) = Ω(2$^4$ · 3$^2$) = Ω(2$^4$) + Ω(3$^2$) = 4 + 2 = 6
    Ω(2,000) = Ω(2$^4$ · 5$^3$) = Ω(2$^4$) + Ω(5$^3$) = 4 + 3 = 7
    Ω(2,001) = 3
    Ω(2,002) = 4
    Ω(2,003) = 1
    Ω(54,032,858,972,279) = 3
    Ω(54,032,858,972,302) = 6
    Ω(20,802,650,704,327,415) = 7
Exemplo de funções aritméticas que são aditivas mas que não são completamente aditivas:
* ω(n), definida como o número total de diferentes fatores primos de n (sequência A001221 na OEIS). (não confundir com a Ômega ligada à notação de infinitude Pequeno-O) Por exemplo:
    ω(4) = 1
    ω(16) = ω(2$^4$) = 1
    ω(20) = ω(2$^2$ · 5) = 2
    ω(27) = ω(3$^3$) = 1
    ω(144) = ω(2$^4$ · 3$^2$) = ω(2$^4$) + ω(3$^2$) = 1 + 1 = 2
    ω(2,000) = ω(2$^4$ · 5$^3$) = ω(2$^4$) + ω(5$^3$) = 1 + 1 = 2
    ω(2,001) = 3
    ω(2,002) = 4
    ω(2,003) = 1
    ω(54,032,858,972,279) = 3
    ω(54,032,858,972,302) = 5
    ω(20,802,650,704,327,415) = 5
* a$_1$(n) - soma de fatores primos distintos que dividem n, por vezes chamada de sopf(n) (sequência A008472 na OEIS) (em inglês sum of the distinct primes). Por exemplo:
    a$_1$(1) = 0
    a$_1$(4) = 2
    a$_1$(20) = 2 + 5 = 7
    a$_1$(27) = 3
    a$_1$(144) = a$_1$(2$^4$ · 3$^2$) = a$_1$(2$^4$) + a$_1$(3$^2$) = 2 + 3 = 5
    a$_1$(2,000) = a$_1$(2$^4$ · 5$^3$) = a$_1$(2$^4$) + a$_1$(5$^3$) = 2 + 5 = 7
    a$_1$(2,001) = 55
    a$_1$(2,002) = 33
    a$_1$(2,003) = 2003
    a$_1$(54,032,858,972,279) = 1238665
    a$_1$(54,032,858,972,302) = 1780410
    a$_1$(20,802,650,704,327,415) = 1238677

## Funções multiplicativas

Ver artigo principal Função multiplicativa.
A partir de qualquer função aditiva f(n) é fácil criar uma função multiplicativa relacionada g(n) i.e. com a propriedade de que sempre que a e b são co-primos tem-se que:
    g(ab) = g(a) × g(b).
Um exemplo é g(n) = 2$^{f(n)}$.