# Teorema da convolução

Em matemática, o teorema da convolução estabelece que, sob condições apropriadas, a transformada de Fourier de uma convolução de duas funções absolutamente integráveis é igual ao produto ponto a ponto das transformadas de Fourier de cada função. Em outras palavras, convolução em um domínio (e.g., no domínio do tempo) equivale a multiplicação ponto a ponto no outro domínio (e.g., no domínio da frequência). O teorema é verdadeiro para várias transformadas relacionadas à transformada de Fourier.
Sejam $\ f$ e $\ g$ duas funções e $\ f*g$ sua convolução (note-se que o asterisco aqui denota a operação de convolução, e não de multiplicação; o símbolo de produto tensorial $\otimes$ algumas vezes é usado no seu lugar.). Seja $\ {\mathcal {F}}$ o operador transformada de Fourier, tal que $\ {\mathcal {F}}\{f\}$ e $\ {\mathcal {F}}\{g\}$ são as transformadas de Fourier de $\ f$ e $\ g$, respectivamente. Então
    ${\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}$
onde o símbolo $\cdot$ denota multiplicação ponto a ponto. A recíproca também é verdadeira:
    ${\mathcal {F}}\{f\cdot g\}={\mathcal {F}}\{f\}*{\mathcal {F}}\{g\}$
A respeito da transformada inversa de Fourier ${\mathcal {F}}^{-1}$, podemos escrever:
    $f*g={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}{\big \}}$
Note-se que as fórmulas acima são válidas apenas quando a transformada de Fourier aparece na forma mostrada na seção de Prova abaixo. A transformada pode ser normalizada de outras formas, casos em que fatores de escalamento constantes (tipicamente $\ 2\pi$ ou $\ {\sqrt {2\pi }}$) aparecerão nas fórmulas.
Este teorema também vale para a transformada de Laplace, a transformada de Laplace bilateral e, quando convenientemente modificada, para a transformada de Mellin e para a transformada de Hartley. Ele pode ser estendido para a transformada de Fourier usada em análise de harmônicos, definida sobre grupos abelianos localmente compactos.
Esta formulação é especialmente útil na implementação numérica da operação de convolução em um computador digital. O algoritmo padrão para cálculo da convolução tem complexidade computacional quadrática; lançando mão do teorema da convolução e da transformada rápida de Fourier, a complexidade pode ser reduzida a O(n log n). Ele também pode ser explorado na construção de algoritmos mais rápidos para multiplicação de funções.

## Prova

Esta prova se baseia numa forma normalizada particular da transformada de Fourier. Como mencionado acima, se outra normalização for usada, fatores de escalamento constantes aparecerão no desenvolvimento.
Sejam f e g duas funções pertencentes a L$^1$(R$^n$). Seja $F$ a transformada de Fourier de $f$ e $G$ a transformada de Fourier de $g$:
    $F(\nu )={\mathcal {F}}\{f\}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,\mathrm {d} x$
    $G(\nu )={\mathcal {F}}\{g\}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,\mathrm {d} x,$
onde o ponto entre x e ν indica o produto interno (ou escalar) em R$^n$. Seja $h$ a convolução de $f$ e $g$
    $h(z)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,\mathrm {d} x.$
Agora, note-se que
    $\int \!\!\int |f(z)g(x-z)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\int |g(z-x)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\,\|g\|_{1}\,dz=\|f\|_{1}\|g\|_{1}.$
Daí, pelo teorema de Fubini, temos que $h\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ tal que sua transformada de Fourier $H$ é dada pela fórmula integral
    ${\begin{aligned}H(\nu )={\mathcal {F}}\{h\}&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(z)e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,dx\,e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz.\end{aligned}}$
Observe-se que $|f(x)g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \nu }|=|f(x)g(z-x)|$ e assim, de acordo com o argumento acima, pode-se aplicar o teorema de Fubini novamente:
    $H(\nu )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz\right)\,dx.$
Substituindo-se $y=z-x$; então $dy=dz$, logo
    $H(\nu )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} }g(y)e^{-2\pi i(y+x)\cdot \nu }\,dy\right)\,dx$
          $=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \nu }\,dy\right)\,dx$
          $=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \nu }\,dy.$
Essas duas integrais são as definições de $F(\nu )$ e $G(\nu )$, logo
    $H(\nu )=F(\nu )\cdot G(\nu ),$
QED.