# Tensor de curvatura de Riemann

Em geometria diferencial, tensor de curvatura é uma das noções métricas mais importantes. Um tensor de curvatura é uma generalização da curvatura de Gauss em dimensões mais altas (dois exemplos disto são o tensor de Riemann que se desenvolve neste artigo e o tensor de Ricci).
A geometria infinitesimal das variedades de Riemann com dimensão ≥ 3 é demasiado complicada para ser descrita totalmente por um número em um ponto dado (tal como sucede quando a dimensão é menor ou igual a 2). Assim em 2 dimensões a curvatura pode ser representada por um número escalar (ou tensor de ordem zero), em 3 dimensões a curvatura pode ser representada por um tensor de segunda ordem (como por exemplo o tensor de Ricci). Entretanto para dimensões totalmente gerais se necessita ao menos um tensor de quarta ordem (como o tensor de Riemann). Foi Riemann quem introduziu uma maneira de descrever completamente a curvatura em qualquer número de dimensões mediante um "pequeno monstro" de tensor, chamado tensor de Riemann.

## Descrição
### Definição geral

Seja $M$ uma variedade diferenciável dotada de uma conexão $\nabla$, definida em um ponto $p$ da variedade. O tensor de Riemann é o campo tensorial $R$ de tipo (1,3) que satisfaz a igualdade
$R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z$,
em que $X,Y,Z$ são campos vetoriais em $M_{p}$, sendo $[X,Y]$ o colchete de Lie dos campos vetoriais. $R(X,Y)Z$ é linear em $X,Y,Z$, de modo que o valor de $R(X,Y)Z$ em $p$ só depende dos valores de $X,Y$ e $Z$ em $p$. É importante destacar que o tensor de Riemann é algumas vezes representado pelo sinal oposto.
O teorema de Schwarz afirma que no espaço euclidiano as derivadas parciais comutam: este fato não é verdade em uma variedade com conexão arbitrária, e o tensor de Riemann leva isso em consideração. Então, é possível interpretar o tensor de curvatura de Riemann como o modo de medir o quanto a variedade $M$ difere de um espaço euclidiano, ou de um espaço de Minkowski no contexto da relatividade. Logo, um espaço é dito plano quando o tensor de Riemann é zero.
Considerando um sistema de coordenadas $\{x^{i}\}$, em que $X=\partial /\partial x^{i}$ e $Y=\partial /\partial x^{j}$. Então, $[X,Y]=0$ e portanto a fórmula simplifica como
    $R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{X}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z$,
ou seja, neste caso o tensor de curvatura mede a não-comutatividade da derivada covariante.

### Expressão em coordenadas

Considerando a base coordenada $\{\mathbf {e} _{\mu }\}$ e sua correspondente dual $\{\mathrm {d} x^{\kappa }\}$, o tensor de Riemann pode ser expresso como
    ${R^{\kappa }}_{\lambda \mu \nu }=\left\langle \mathrm {d} x^{\kappa },R\left(\mathbf {e} _{\mu },\mathbf {e} _{v}\right)\mathbf {e} _{\lambda }\right\rangle =\left\langle \mathrm {d} x^{\kappa },\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\mathbf {e} _{\lambda }-\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }\mathbf {e} _{\lambda }\right\rangle$,
em que $\langle .,.\rangle$ representa o produto interno.
Deste modo, a expressão pode ser representada em termos de coordenadas usando os símbolos de Christoffel. Valendo-se da convenção do somatório de Einstein, pode-se representá-lo como
    ${R^{\kappa }}_{\lambda \mu \nu }={\partial _{\mu }{\Gamma ^{\kappa }}_{\nu \lambda }}-{\partial _{\nu }{\Gamma ^{\kappa }}_{\mu \lambda }}+{\Gamma ^{\eta }}_{\nu \lambda }{\Gamma ^{\kappa }}_{\mu \eta }-{\Gamma ^{\eta }}_{\mu \lambda }{\Gamma ^{\kappa }}_{\nu \eta }$,
sendo $\nabla _{v}\mathbf {e} _{\lambda }={\Gamma ^{\eta }}_{\nu \lambda }\mathbf {e} _{\eta }$.

### Comutadores e índices

Dado um quadrivetor genérico $A$, o tensor de Riemann surge da comutação da derivada covariante segunda desse quadrivetor, ou seja,
    $[\nabla _{\mu },\nabla _{\nu }]A^{\rho }=\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }A^{\rho }-\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }A^{\rho }={R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }A^{\sigma }-{T^{\lambda }}_{\mu \nu }\nabla _{\lambda }A^{\rho }$,
no qual ${T^{\lambda }}_{\mu \nu }$ é o tensor de torção.
Considerando o caso em que não há torção, isto é,
    $[\nabla _{\mu },\nabla _{\nu }]A^{\rho }={R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }A^{\sigma }$,
o tensor de Riemann expressa a diferença medida da curvatura da variedade $M$ quando o vetor $A$ é transportado do ponto $p$ para um ponto $q$, primeiramente ao longo de uma congruência, e depois seguindo outra congruência, ou vice-versa.

### Versão covariante

O tensor métrico covariante $g_{\rho \zeta }$ pode se usado para abaixar um índice do tensor de Riemann, assim como o tensor contravariante $g^{\rho \zeta }$ pode levantar um índice. Assim, a versão completamente covariante do tensor de curvatura do tipo (0,4) é dada por
    $R_{\rho \sigma \mu \nu }=g_{\rho \zeta }{R^{\zeta }}_{\sigma \mu \nu }.$

## Propriedades
### Simetrias algébricas

O tensor de Riemann é antissimétrico nos dois últimos índices, ou seja,
    ${R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=-{R^{\rho }}_{\sigma \nu \mu }$,
    $R_{\rho \sigma \mu \nu }=-R_{\rho \sigma \nu \mu }$.
Na sua forma completamente covariante, o tensor de Riemann é antissimétrico em relação à troca dos dois primeiros índices, isto é,
    $R_{\rho \sigma \mu \nu }=-R_{\sigma \rho \mu \nu }$,
e é simétrico em relação à troca do primeiro par de índices com o segundo:
    $R_{\rho \sigma \mu \nu }=R_{\mu \nu \rho \sigma }$.

### Primeira identidade de Bianchi

Na ausência de torção, temos:
    $R_{\rho \sigma \mu \nu }+R_{\rho \nu \sigma \mu }+R_{\rho \mu \nu \sigma }=0$.
Esta relação também pode ser escrita mais como
    $R_{\rho [\sigma \mu \nu ]}=0$,
em que $[\sigma \mu \nu ]$ indica uma antissimetrização nos índices. Assim, deve-se efetuar uma soma sobre todas as permutações dos três últimos índices, com um sinal correspondente à paridade da permutação. Resultando em 6 termos, mas que podem ser acoplados em virtude das propriedades algébricas descritas acima.

### Componentes independentes

Embora o tensor de Riemann tenha $n^{4}$ componentes, em que $n$ é a dimensão da variedade sobre qual o tensor é definido, as relações descritas anteriormente reduzem este número a ${\frac {1}{12}}n^{2}(n^{2}-1)$ componentes independentes. Para duas, três e quatro dimensões, o número de componentes independentes é respectivamente 1, 6 e 20.

### Segunda identidade de Bianchi

A segunda identidade de Bianchi é parecida com a primeira, mas leva em consideração a derivada covariante do tensor de Riemann. Na ausência de torção, a identidade possui a seguinte forma:
    $\nabla _{\lambda }R_{\rho \sigma \mu \nu }+\nabla _{\rho }R_{\sigma \lambda \mu \nu }+\nabla _{\sigma }R_{\lambda \rho \mu \nu }=0$.
Essa igualdade pode ser escrita de forma mais concisa como
    $\nabla _{[\lambda }R_{\rho \sigma ]\mu \nu }=0$.

## Tensor de curvatura de Ricci

O tensor de curvatura de Ricci é a contração do primeiro e terceiro índice do tensor de Riemann.
    $\underbrace {\operatorname {R} _{ab}} _{\text{Ricci}}\equiv \underbrace {\operatorname {R} ^{c}_{acb}} _{\text{Riemann}}=g^{cd}\underbrace {\operatorname {R} _{cadb}} _{\text{Riemann}}$