# Conectivo lógico bicondicional

Na Lógica e Matemática, a Lógica bicondicional (também conhecida como bicondicional material) é o Conectivo lógico de duas proposições afirmando "p se e somente se q", onde q é uma Hipótese (ou antecedente) e p é um conclusão (ou consequente). Isso é frequentemente abreviado p sse q. O operador é denotado usando uma seta de dupla implicação (↔), a prefixed E (Epq), um sinal de igualdade (=),um sinal de equivalência (≡), ou EQV. Isso é logicamente equivalente a (p → q) ∧ (q → p), ou o XNOR (nor exclusivo) operador da Álgebra_booleana.Isto é equivalente a "(não p ou q) e (não q ou p)". Também é logicamente equivalente a "(p e q) ou (não p e não q)",significando "os dois ou nenhum". A única diferença paraCondicional_material é o caso no qual a hipótese é falsa mas a conclusão é verdadeira. Neste caso, na condicional, o resultado é verdadeiro, contudo, na bicondicional o resultado é falso. Na interpretação conceitual, a = b significa "Todos os a 's são b 's e todos os b 's são a 's"; Em outras palavras, os conjuntos a e b coincidem: eles são idênticos. Isso não significa que todos os conceitos têm o mesmo significado. Exemplos: "triângulo" e "trilateral", "triângulo equiangular" e "triângulo equilátero". O antecedente é o "sujeito" e o consequente é o e predicado de uma afirmativa/ Proposição universal.
Na interpretação proposicional, a ⇔ b significa que a implica b e b implica a; em outras palavras, que as proposições são equivalentes, o que é dizer, ambas são verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo. Isso não significa que elas tem o mesmo significado. Exemplo: "O triângulo ABC tem dois lados iguais", e "O triângulo ABC tem 2 ângulos iguais". O antecedente é a premissa ou a causa e o consequente é a consequência. Quando uma implicação é traduzida por um julgamento hipotético (ou condicional) O antecedente é chamado de "hipótese (ou de condição) e o consequente é chamado de tese.
Uma forma comum de se demonstrar um bicondicional é usar sua equivalência para a conjunção de duas condicionais ,em que há uma troca entre a hipótese e a conclusão, as demonstrando separadamente.
Quando ambos os membros da bicondicional são proposições, ela pode ser dividida em duas condicionais, na qual uma é chamada de teoremae a outra é sua recíproca.$^[$Assim, sempre que um teorema e sua recíproca são verdadeiros, temos um bicondicional. Um simples teorema dá origem a uma implicação cujo antecedente é a hipótese e cujo consequente é a tese do teorema. condição suficiente da tese, e a tese a condição necessária da hipótese; isto é, é suficiente que a hipótese seja verdadeira para a tese de ser verdadeira também; embora seja necessário que a tese seja verdadeira para a hipótese de ser verdade também. Quando um teorema e sua recíproca são verdadeiros, dizemos que a sua hipótese é a condição necessária e suficiente da tese, ou seja, que é ao mesmo tempo, tanto a causa como consequência. Muitas vezes é dito que a hipótese é a condição suficiente da tese, e a tese a condição necessária da hipótese; isto é, é suficiente que a hipótese seja verdadeira para a tese de ser verdadeira também; embora seja necessário que a tese seja verdadeira para a hipótese de ser verdade também. Quando um teorema e sua recíproca são verdadeiros, dizemos que a sua hipótese é a condição necessária e suficiente da tese, ou seja, que é ao mesmo tempo, tanto a causa como consequência.

## Definição

Igualdade lógica (Também conhecida como bicondicional) é uma operação em dois valores verdade, tipicamente, o valor de duas proposições, que produzem o valor verdadeirose e somente se ambos os operandos são falsos ou ambos os operandos são verdadeiros.

### Tabela verdade

A tabela verdade para $~A\leftrightarrow B$ (também escritos como A ≡ B, A = B, or A EQ B) como a seguir:
| INPUT | INPUT | OUTPUT |
| A | B | A $~\leftrightarrow ~$ B |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Mais de duas proposições combinadas por $~\leftrightarrow ~$ são ambíguas:
$~x_{1}\leftrightarrow x_{2}\leftrightarrow x_{3}\leftrightarrow ...\leftrightarrow x_{n}$ pode estar significando $~(((x_{1}\leftrightarrow x_{2})\leftrightarrow x_{3})\leftrightarrow ...)\leftrightarrow x_{n}$,
Ou pode ser usado para dizer que todos os $~x_{i}~$ são todos verdadeiros ou todos falsos: $(~x_{1}\land ...\land x_{n}~)~\lor ~(\neg x_{1}\land ...\land \neg x_{n})$
Só para o zero ou para dois argumentos isso é o mesmo.
As próximas tabelas verdades mostram o mesmo padrão apenas na linha com nenhum argumento e nas linhas com dois argumentos:
The left Venn diagram below, and the lines (AB ) in these matrices represent the same operation.

### Diagramas de Venn

As áreas vermelhas representam verdadeiro (como em para Disjunção_lógica|e).
* A bicondicional de duas proposições é a Negação da ou exclusivo:
* $~A\leftrightarrow B~~\Leftrightarrow ~~\neg (A\oplus B)$
* $\Leftrightarrow \neg$
* O bicondicional e o ou exclusivo de três proposições dá o mesmo resultado:
* $~A\leftrightarrow B\leftrightarrow C~~\Leftrightarrow$
* $~A\oplus B\oplus C$
* $\leftrightarrow$
* $~~\Leftrightarrow ~~$
* $\oplus$
* $~~\Leftrightarrow ~~$
* Mas $~A\leftrightarrow B\leftrightarrow C$ pode também ser usado como uma abreviação para $(A\leftrightarrow B)\land (B\leftrightarrow C)$
* $\land$
* $~~\Leftrightarrow ~~$

## Propriedades

Comutatividade: sim
| $A\leftrightarrow B$ | $\Leftrightarrow$ | $B\leftrightarrow A$ |
| | $\Leftrightarrow$ | |
Associatividade: sim
| $~A$ | $~~~\leftrightarrow ~~~$ | $(B\leftrightarrow C)$ | $\Leftrightarrow$ | | $(A\leftrightarrow B)$ | $~~~\leftrightarrow ~~~$ | $~C$ |
| | $~~~\leftrightarrow ~~~$ | | $\Leftrightarrow$ | $\Leftrightarrow$ | | $~~~\leftrightarrow ~~~$ | |
Distributividade: Bicondicionais dão distribuem entre nenhuma função binária (nem a si mesmo), Mas a disjunção lógica (veja aqui)se distribui sobre bicondicionais.
Função_monótona: não
| $~A~$ | $~\leftrightarrow ~$ | $~A~$ | $\Leftrightarrow$ | $~1~$ | $\nLeftrightarrow$ | $~A~$ |
| | $~\leftrightarrow ~$ | | $\Leftrightarrow$ | | $\nLeftrightarrow$ | |
monotonicity: no
| $A\rightarrow B$ | $\nRightarrow$ | | $(A\leftrightarrow C)$ | $\rightarrow$ | $(B\leftrightarrow C)$ |
| | $\nRightarrow$ | $\Leftrightarrow$ | | $\rightarrow$ | |
verdade preservada: sim Quando todas as entradas são verdadeiras, a saída é verdadeira.
| $A\land B$ | $\Rightarrow$ | $A\leftrightarrow B$ |
| | $\Rightarrow$ | |
falsidade de preservação: não Quando todos as entradas são falsas, a saída não é falsa.
| $A\leftrightarrow B$ | $\nRightarrow$ | $A\lor B$ |
| | $\nRightarrow$ | |
Walsh spectrum: (2,0,0,2)
Nãolinearidade: 0 (a função é linear)

## Regras de inferência

Como todos os conectivos em lógica de primeira ordem, a bicondicional tem regras de inferência que governam seu uso em provas formais.

### introdução bicondicional

Introdução_Bicondicional permite inferir que, se B se segue a partir de A, e A Decorre B, então A Se_e_somente_se B. Por exemplo, a partir das declarações "se eu estou respirando, então eu estou vivo" e "se eu estou vivo, então eu estou respirando", pode-se inferir que "eu estou respirando, se e somente se eu estiver vivo "ou, igualmente inferível:" Eu estou vivo, se e somente se eu estou respirando. "

### Eliminação da bicondicional

Eliminação Biconditional permite inferir uma a condicional de um bicondicional: if (A ↔ B) é verdadeira, então pode-se inferir um sentido da bicondicional, (A → B) e (B → A).
Por exemplo, se é verdade que eu estou respirando, se e somente se, eu estou vivo, então é verdade que se eu estou respirando, eu estou vivo, do mesmo modo, é verdade que se eu estou vivo, eu estou respirando . formalmente:
também

## Uso coloquial

Uma maneira inequívoca de afirmar uma bicondicional em português é da forma "b se um e se b". Outra é "a se e somente se b". Um pouco mais formal, pode-se dizer "b implica a e a implica b". Em português "se" pode às vezes ser usado como um bicondicional. É preciso pesar contexto fortemente.
Por exemplo, "eu vou te comprar uma nova carteira, se você precisa de uma" pode ser entendida como uma bicondicional, uma vez que o orador não tem a intenção de um resultado válido para estar comprando a carteira ou não a carteira é necessário (como em uma condicional). No entanto, "está nublado, se está chovendo" não é concebida como um bicondicional, uma vez que pode ser nublado, enquanto não chover.