# Felix Klein

Felix Christian Klein (Düsseldorf, 25 de abril de 1849 — Göttingen, 22 de junho de 1925) foi um matemático alemão.
Seu trabalho incidiu na geometria não-euclidiana e nas interligações entre a teoria dos grupos e a geometria.

## Vida

Filho de Elise Sophie Kayser e de Caspar Klein, oficial do governo, estudou em Düsseldorf até 1865, ano em que foi para a Universidade de Bonn para estudar matemática e física. Nesta universidade tornou-se assistente de Julius Plücker, tendo obtido um doutorado em 1868, sob a supervisão de Plücker e Rudolf Lipschitz, com a tese sobre geometria, Über die Transformation der allgemeinen Gleichung des zweiten Grades zwischen Linien-Koordinaten auf eine kanonische Form. Em 1870 em Paris conheceu Sophus Lie, com quem estudou a então recente teoria dos grupos. Pouco depois regressa à actual Alemanha, devido à Guerra franco-prussiana, tornando-se professor em Göttingen em 1871. No ano seguinte Klein obteve um lugar em Erlangen, em 1872, onde na sua aula inaugural estabeleceu o chamado Programa de Erlangen. Três anos mais tarde casou com Anne Hegel, neta do filósofo Georg Hegel e mudou-se para Munique. Em 1880 aceitou um lugar em Leipzig. A partir de 1886 estabeleceu-se definitivamente em Göttingen, onde tinha começado a carreira, dedicando-se a tornar esta universidade no centro mundial da investigação matemática. Em 1893 recebeu a Medalha De Morgan da Sociedade Matemática de Londres e em 1912 a medalha Copley da Royal Society. Em 1895 admitiu David Hilbert na sua equipe, que continuou o seu trabalho após a sua reforma em 1913, motivada por sua fraca saúde. Em 1908 criou a Comissão Internacional de Instrução Matemática, e trabalhou, de 1908 até os anos 1920, em uma pesquisa cujo objeto era a evolução da educação matemática em diversos países do mundo. Foi editor do periódico matemático Mathematische Annalen, tendo conseguido torná-lo a principal publicação da época.
Foi palestrante plenário do Congresso Internacional de Matemáticos em Zurique (1897: Zur Frage des höheren mathematischen Unterrichts) e palestrante convidado do Congresso Internacional de Matemáticos em Heidelberg (1904: Über die Aufgabe der angewandten Mathematik, besonders über die pädagogische Seite).
Está sepultado no Cemitério municipal de Göttingen.

## Geometria

Embora Klein tenha trabalhado em vários assuntos, como teoria das funções e física matemática, o seu principal contributo foi na geometria. Em 1871 descobriu que a geometria euclidiana e a não euclidiana podiam ser vistas como casos particulares de uma superfície projectiva, o que tornava equivalente a consistência das duas geometrias. No ano seguinte Klein apresenta o seu Erlanger programm, que viria a determinar o desenvolvimento da matemática no século XX. Neste programa, Klein apresenta a geometria como o estudo das propriedades de um espaço invariante pela acção de um grupo. A geometria euclidiana não era mais do que o estudo do grupo das transformações euclidianas, a geometria hiperbólica não era mais do que o estudo do grupo das transformações hiperbólicas, desmitificando assim as novas geometrias. Ainda no campo da geometria, Klein estudou a hoje chamada garrafa de Klein, uma superfície fechada não orientável.

## Obras selecionadas

* Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale (1882) JFM 14.0358.01, Felix Klein no Projeto Gutenberg , also available from Cornell
* Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade (1884); traduzido para o inglês por G. G. Morrice, Lectures on the Icosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree, (2ª edição revisada, Nova York, 1914)
* Über hyperelliptische Sigmafunktionen Erster Aufsatz p. 323-356, Math. Annalen, Bd. 27, (1886)
* Über hyperelliptische Sigmafunktionen Zweiter Aufsatz p. 357-387, Math. Annalen, Bd. 32, (1888)
* Über die hypergeometrische Funktion (1894)
* Über lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung (1894)
* Theorie des Kreisels, com Arnold Sommerfeld (4 volumes: 1897, 1898, 1903, 1910)
* Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, com Robert Fricke (2 volumes: 1890 e1892)
* Fricke, Robert; Klein, Felix (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen, ISBN 978-1-4297-0551-6 (em alemão), Leipzig: B. G. Teubner, JFM 28.0334.01 Zweiter Band. 1901.
* Gauss' wissenschaftliches Tagebuch, 1796—1814. Mit Anwendungen von Felix Klein, 1901
* Fricke, Robert; Klein, Felix (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen, ISBN 978-1-4297-0552-3 (em alemão), Leipzig: B. G. Teubner., JFM 32.0430.01
* Mathematical Theory of the Top (Princeton address, Nova York, 1897)
* Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie (1895; Traduzido para o inglês por W. W. Beman e D. E. Smith, Famous Problems of Elementary Geometry, Boston, 1897)
* Evanston Colloquium (1893) before the Congress of Mathematics, reported and published by Ziwet (Nova York, 1894)
* Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus (Leipzig, 1908)
* „Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert“ (2 Volume), Julius Springer Verlag, Berlim 1926 e 1927. S. Felix Klein Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert