# Teoria dels nombres

Tradicionalament, la teoria dels nombres es la branca de las matematicas puras que s'ocupa de las propietats dels nombres enters. Atal dins d'aquesta part de las matematicas s'estudian conceptos coma la divisibilitat, los nombres prims, máxim común divisor, mínim común múltiple, relacions d'orden, etc.
La disciplina amanecièt per ocuparse d'una clase mai amplia de problemas que surgiron naturalament de l'estudi dels nombres enters. La teoria dels nombres se pòt subdividir en varis camps, d'aquerde amb los metòdes que s'usan e de las questions que son investigadas, que son:
* Teoria elementària dels nombres: fa servir solament los metòdes elementaris de l'aritmetica per la verificacion e comprobacion de las propietats essencialas de l'ensemb dels nombres enters e en particular las propietats dels nombres prims;
* Teoria analitica dels nombres: utiliza l'análisis reala e análisis compleja, especialament per estudiar las propietats dels nombres prims;
* Teoria algebrica dels nombres: fa servir álgebra abstracta avanzada (álgebra moderna) e estudia los nombres algebrics;
* Teoria geometrica dels nombres: utiliza metòdes geometrics, algebrics e analitics;

## Sus la teoria elementària dels nombres

Lo primièr contacte amb la teoria dels nombres es a través de la teoria elementària dels nombres. A través d'aquesta disciplina se pòdon introducir propietats pro interesantes e notables dels nombres enters, maires, qu'en èsser propostas coma questions per èsser resolvidas, o teoremas per èsser ensalhats, son generalament de difícil solucion o comprobacion. Aquestas questions son ligadas basicament a tres tipes d'investigacions, a saber:
* Estudis especifics sus las propietats dels nombres prims;
* Investigacion d'algoritmes eficientes per l'aritmetica basica;
* Estudis sus la resolucion d'ecuacions diofantinas;
Aquestas questions directament ligadas per l'estudi de l'ensemb dels nombres enters e lo seu subensemb format pels nombres naturals.
La títul d'ilustracion, qualques dels fòrças problemas que si pòdon focalizar dins aquestas tres áreas de la teoria elementària dels nombres son comentats la continuacion:

## Propietats dels nombres prims
### Teorema d'Euclides

    "Existe una cantitat infinita de nombres prims"

### Conjetura de Goldbach

    "Se pòdon expresar los nombres pares, màgeres que 2, coma la suma de doas nombres prims?" aquesta es conjetura de Goldbach
    formulada en 1746 e fins a uèy pas ensajada, a pesar d'èsser verificada per nombres de l'orden de fins a 4*10^14.
¿Cuántos nombres prims terminan amb lo dígit 7? Serían infinitos? Dels 664579 nombres prims menores que 10 milhones, los que terminan en 1, 3, 7 e 9 son, respectivament, 166104, 166230, 166211 e 166032. Aqueste correspond a 24.99%, 25.01%, 25.01% e 24.98% del total de nombres prims. Que sugier esto?
Ay infinitos pares de nombres nomenats prims gemels: nombres prims que diferen un de l'autre solament en doas unitats, coma (3 ; 5), (71 ; 73) o (1000000007; 1000000009)?

## Algoritmos eficientes per l'aritmetica basica

Fum de las modernas aplicacions que del camp de la criptografia (codificacion destinada a generar, almacenar o meteis transmitir - per exemple, per telefonia o mai especificament per l'Internet) - informacions secretas o confidencialas de maneras seguras, dependen d'algunas de las propietats dels nombres enters e dels nombres prims. Çaquelà las aplicacions aritmeticas envolvendo las propietats dels nombres enters son directament relacionadas amb la capacitat de resolver doas problemas fondamentals:
* lo problema del test per verificar si lo nombre es primo;
* lo problema de la descomposicion en fatores prims;
Aparentement son problemas de solucion simple, que se fan complejs quand se pasa a trabalhar amb numerals de decenas o meteis centenas de dígits.