# Nombre entièr

En matematicas, un nombre entièr o entièr relatiu se presenta coma un entièr natural amb un signe positiu o negatiu qu'indica sa posicion al respècte de zèro sus un axe orientat. Los entièrs positius (superiors o egals a zèro) s'identifican als entièrs naturals: 0, 1, 2, 3… alara que los entièrs negatius son lor opausats: 0, −1, −2, −3… L'entièr zèro el meteis es doncas lo sol nombre a l'encòp positiu e negatiu.
Un nombre real es entièr s'es sens partida fraccionària, es a dire se son escritura decimala compren pas de chifra (mai que zèro) « aprèp la virgula ».
Los entièrs relatius permeton d'exprimir un bilanç de variacion d'unitat (positiu per un ganh, negatiu per una pèrda) o una posicion sus un axe orientat discrèt, a respècte d'un punt origina. Donan un sens a la diferéncia de dos entièrs naturals quins que sián.
L'ensemble dels entièrs relatius es notat « Z », letra capitala grassa dins los tèxtes dactilografiats, pauc a pauc remplaçada per la grafia manuscrita amb una dobla barra oblica: « $\mathbb {Z}$ ». La preséncia d'un asterisc en exponent (« Z* ») designa en general l'ensemble dels entièrs relatius non nuls, quitament s'aquela notacion es utilizada a l'encòp per l'ensemble dels elements inversibles, es a dire lo parelh d'entièrs {−1; 1}. La notacion « Z$^−$ » designe l'ensemble dels entièrs negatius. Es mai rar de trobar la notacion « Z$^+$ », remplaçada per la notacion « N » dels entièrs naturals per identificacion.
Aquel ensemble es (totalament) ordenat per la relacion de comparason usuala eretada dels entièrs naturals. Es tanben provesit de las operacions d'addicion e de multiplicacion que fondan la nocion d'anèl en algèbra.
Los entièrs relatius son a vegadas nomenats entièrs racionals, (jol nom de rational integer en anglés), e coma cas particulars d'entièrs algebrics sul còrs de nombres dels racionals. Utiliza aquel nom Nicolas Bourbaki e qualques matematicians s'inscrivent dins lo movement de las matematicas modèrnas, d'entre que Georges Papy.

## Motivacion

La principala rason de l'introduccion dels nombres negatius es la possibilitat de resòlvre totas las equacions de forma:
    a + x = b, onte x es l'inconeguda e a e b son de paramètres.
Dins l'ensemble dels entièrs naturals, sonque aquelas equacions an una solucion.
    5 + x = 8 se e solament se x = 3
    9 + x = 4 a pas de solucion dins l'ensemble dels entièrs naturals. Possedís una solucion dins l'ensemble dels entièrs relatius qu'es -5.

## Fragments d'istòria

La primièra mencion a de nombres negatius apareis dins de tèxtes indians coma l'Arybhatiya del matematician indian Âryabhata (476 - 550) onte son definidas las règlas d'addicions e de sostraccions. Los nombres negatius apareisson alara coma representant de deutes e los nombres positius coma de ganhs. Qualques sègles pus tard, dins los escrichs del matematician persan Abu l-Wafa (940 - 998), apareguèron de produchs de nombres negatius per de nombres positius. Pasmens lo nombre demòra encara ligat a de quantitats fisicas e lo nombre negatiu a gaire d'estatut legal. al Khuwarizmi (783 - 850) per exemple, dins son obratge la Transposicion e la reduccion perferís tractar 6 tipes d'equacions del segond gra al luòc d'envisatjar de sostraccions.
En Euròpa los nombres relatius apareguèron tardièrament ; s'atribuís en general a Simon Stevin (1548 - 1620) la celèbra règla dels signes pel produch de dos entièrs relatius. D'Alembert (1717 - 1783) dins l'Encyclopédie evòca lo nombre relatiu coma una idèa dangierosa.
   « Cal avoar qu'es pas aisit de fixar l'idèa de las quantitats negativas, & que qualques abils gents an en mai contribuit a l'embolhar per las nocions pauc exactas que ne donèron. Dire que la quantitat negativa es en dejós de res, es avançar una causa que se pòt pas concebre. Aqueles que pretendon qu'1 es pas comparable a - 1, & que lo repòrt entre 1 & -1 es diferent d'un rapòrt entre - -1 & 1, son dins una dobla error: 1(...) N'i a doncas pas vertadièrament & absoludament de quantitat negativa isolada: - 3 pres abstrachament presenta a l'esperit pas cap d'idèa. » (D'Alembert, diccionari rasonat de las sciéncias, dels arts e dels mestièrs)
Cal esperar encara dos sègles e l'aveniment del formalisme per veire aparéisser una construccion formala de l'ensemble dels entièrs relatius a partir de las classas d'equivaléncia de parelhs d'entièrs naturals
Es a Richard Dedekind (1831 - 1916) que se deu aquela construccion. El meteis utilizava la letra K per designar l'ensemble dels entièrs relatius. Mai s'utilizèt d'autras convencions, fins que Nicolas Bourbaki popularize l'usatge de la letra $\mathbb {Z}$, iniciala de l'alemand Zahlen (nombres)

## Règlas operatòrias

Dins un nombre relatiu, se distinguís son signe (+ o - ) e sa valor absoluda: - 3 a per valor absoluda 3.

### Addicion

La soma de dos entièrs de meteis signe s'obten en addicionant las doas valors absoludas e en conservant lo signe comun
    (-3) + (-5) = -8 escritura que s'abreuja en -3 - 5 = - 8 suppriment lo signe operatòri +
La soma de dos entièrs relatius de signe contrari s'obten en calculant la diferéncia entre las doas valors absoludas e li balhant lo signe de l'entièr qu'a la pus granda valor absoluda
    (+3) + (-5) = - 2 escritura que s'abreuja en 3 - 5 = - 2

### Multiplicacion

Lo resultat d'una multiplicacion se sona un produch. Lo produch de dos nombres relatius de meteis signe es totjorn positiu (+) e s'obten ne fasent lo produch de las valors absoludas:
    (+3) × (+4) = +12 que s'abreuja en 3 × 4 = 12
    (-3) × (-7)= + 21 = 21
(lo + essent pas obligatòri se lo produch es pas negatiu)
Lo produch de dos nombres relatius de signes diferents es totjorn negatiu (-) e s'obten en fasent lo produch de las valors absoludas
    (+7) × (- 4) = - 28
Règla dels signes
    mai multiplicat per mai, dona produch mai.
    mens multiplicat per mens, dona produch mai
    mens multiplicat per mai o mai multiplicat per mens dona produch mens

## Ensemble dels entièrs
### Construccion

L'anèl Z dels entièrs relatius pòt èsser vist coma lo simetrizat del semianèl N dels entièrs naturals.

### Estructura

L'ensemble dels entièrs relatius, amb las seunas leis d'addicion e de multiplicacion, es lo prototipe de la nocion d'anèl. S'agís quitament d'un anèl euclidian, en referéncia a la division euclidiana. Es doncas tanben principal e factorial.
Se pòt provesir de la topologia discrèta associada a la distància usuala definida per la valor absoluda de la diferéncia, que ne fa un espaci metric complet. Las solas autras distàncias compatiblas amb l'estructura d'anèl son las distàncias $p$-adicas, onte $p$ es un nombre primièr.
L'estructura de grop additiu (Z, +) es un grop monogèn sens torsion, es a dire un grop abelian liure de reng 1.
L'ensemble Z es totalament ordenat per la relacion d'òrdre usual.
Los entièrs relatius forman un ensemble denombrable infinit.

### Extensions

L'ensemble Z dels entièrs relatius se cabussa dins l'ensemble dels nombres decimals, notat D, qu'el meteis es una partida de l'ensemble dels nombres racionals notat Q.
La nocion d'entièr es espandida per la definicion dels entièrs algebrics, que son als divèrses còrs de nombres çò que los entièrs relatius son al còrs dels racionals. Los entièrs racionals, es a dire los entièrs algebrics del còrs dels racionals, son doncas exactament los entièrs relatius.
Per cada distància $p$-adica, lo completat de Z es un anèl dels entièrs $p$-adics notat Z$_{p}$, qu'a per còrs de fraccions lo còrs dels nombres $p$-adics, notat Q$_{p}$ e que conten Q.

## Nòtas e referéncias

* ↑ D'aquela posicion relativa a zèro ven l'adjectiu « relatiu » aplicat a aqueles entièrs.
* ↑ Segon qualques convencions diferentas, en vigor subretot dins los païses anglosaxons, l'entièr zéro es ni positiu ni negatiu (cf (en) Zero).
* ↑ De l'allemand Zahlen, « nombres ».
* ↑ La confusion s'evita amb l'usatge de la crotz de multiplicacion en exponent: « Z$^×$ ».
* ↑ paradòxa classica: se -1 < 1 alara los inverses d'aqueles dos nombres serián rengats dins l'òrdre invèrs: l'invèrs de -1 es -1 e l'invèrs de 1 es 1 doncas -1 > 1. paradòxa que ven de la frasa incomplèta «los invèrses d'aqueles dos nombres serián rengats dins l'òrdre invèrs», caldriá precisar «los invèrses de dos nombres de meteis signe son rengats dins l'òrdre invèrs».
* ↑ (en) Earliest Uses of Symbols of Number Theory

## Vejatz tanben
### Articles connèxes

* Construccion dels entièrs relatius
* Nombre
* Nombre negatiu
* Lista dels nombres
* Entièr (informatica)