# Quadratura del cercle

La quadratura del cercle es un problèma geometric prepausat per de matematicians de la Grècia antica. Es lo desfís de far la construccion amb règla e compàs d'un carrat amb la meteissa aira qu'un cercle donat utilizant pas qu'un nombre finit d'estapas.
En 1882 foguèt demostrat que lo problèma es irresolvable, en consequéncia del teorèma de Lindemann-Weierstrass que mòstra que Π es un nombre transcendent, al luòc d'esser un nombre algebric. Es a dire, pi (π) es la racina de cap de polinòm de coeficients racionals. Qualques decennias abans 1882 foguèt demostrat que se π es un nombre transcendent, alara la construccion amb règla a compàs seriá impossible. E foguèt aquel an que se demostrèt que π es transcendent. En consequéncia, se pòt pas far de construccions geometricas exactas de la quadratura del cercle. Pasmens, es possible dessenhar una bona aproximacion en un nombre finit d'estapas, qu'existisson de nombres racionals fòrça prèp de π.
D'un biais mai abstrach aquel problèma tanben se pòt comprendre de la mena seguenta. Donats qualques axiòmas precises de la geometria euclidiana se referissent a l'existéncia de linhas e cercles determinan aqueles axiòmas l'existéncia d'aquel carrat?.
Lo terme quadratura del cercle de còps qu'i a s'utiliza coma sinonims per se referir a l'aproximacion del metòdes numerics de l'aira d'un cercle.

## Istòria

Los matematicians babilonians ja coneissián diferents metòdes per l'aproximacion de l'aira d'un cercle amb un carrat. Lo papirus egipcian de Rhind de 1800 AbC dóna l'aira d'un cercle coma (64/81) d$^2$, ont D es lo diametre del cercle, i&pies aproximat per 256/81, un nombre qu'apareis dins los ancians papirus matematics de Moscòu e utilizan d'aproximacions pel volum (es a dire, hekat (unitat de volum)). De matematicians indians tanben trobèron un metòde d'aproximacion, mas mens precisa, mencionat dins la Sulba Sūtra . Arquimèdes mostrèt que la valor de pi se tròba entre 3 + 1/7 (aproximadament 3,1429) e 3 + 10/71 (aproximadament 3,1408)..
Anaxagòras foguèt lo primèr grèc que s'ensajèt a resòlvre lo problèma, qu'i trabalhèt en preson. Foguèt seguit per d'autres coma Ipocrates. Antifonas lo sofista considerava que l'inscripcion de poligòns regulars dins un cercle e duplicar lo nombre de partidas emplirà l'aira del cercle, e alara que un poligòn pòt èsser quadrat, vòl dire que lo cercle pòt èsser quadrat. Pasmens èran de sceptics (Eudemus) que postulavan que las grandors se pòdon pas divisar sens limita, per aquò l'aira del cercle jamai poirá èsser utilizada. E mai se cita lo probèma dins l'òbra teatrala d'Aristofanes Los aucèls.
Se pensa qu'Oenopides foguèt lo primèr grèc qu'exigiguèt una solucion utilizant pas qu'una règla e compàs. James Gregory tentèt de provar l'impossibilitat de Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (la vertadièra quadratura del cercle e de l'iperbòla) en 1667. Pasmens la seuna pròva es incorrècta, foguèt lo primièr document qu'ensajèt de resòlvre lo problèma utilizant las propietats algebricas de π. Sonque foguèt en 1882 que Ferdinand von Lindemann demostrèt rigorosament la seuna impossibilitat.

## Impossibilitat

La solucion del problèma de la quadratura del cercle amb règla e compàs exigís la construccion del nombre ${\sqrt {\pi }}$, e l'impossibilitat d'aquela construccion se dedusís del fach que π es un nombre transcendent (no algebric e, alara, no construsïble). Se lo problema de la quadratura del cercle se resòlv utilizant pas que règla e compàs e, en seguida, se trobariá una valor algebrica de π, çò qu'es absurd. Johann Heinrich Lambert conjecturèt en 1768 que π es transcendent dins lo meteis document que demostrar l'irracionalitat. Sonque en 1882 Ferdinand von Lindemann demostrèt la transcendent.
Es possible construire un carrat amb una aira arbitràriament pròcha a aquela d'un cercle donat. Se s'utiliza un nombre racional coma una aproximacion de π, alara es possible obtenir la quadratura del cercle coma funcion de las valors causidas. Pasmens, aquò es pas qu'una aproximacion e capita pas les limitas de las anticas normas per resòlvre lo problèma..
Amb de normas mai soplas permetent un nombre infinit d'operacions amb règla e compàs o mejans la realizacion de las operacions dins un espaci non euclidian se pòiriá far la quadratura del cercle. Per exemple, alara que lo cercle pòt pas èsser carrat en l'espaci euclidian, lo pòt èsser en l'espaci de Gauss-Bolyai-Lobachevski (espaci de geometria iperbolica).
Prenent en compte que la transcendéncia de π implica tan l'impossibilitat d'"encerlcar" exactament lo carrat, coma de quadrar exactament lo cercle.

## Construccions aproximativas modèrnas

Pasmens que la quadratura del cercle es un problèma impossible utilizant pas que règla e compàs, se pòt far d'aproximacions de la quadratura del cercle mejans la construccion d'aproximacions de π. Sonque cal un minimum de coneissença en geometria elementala per cambiar quina que siá aproximacion racionala de π dins una construccion amb règla e compàs. Pasmens las construccions fachas d'aquel biais tendon a èsser fòrça longas en comparason amb l'exactitud que se pòt capitar. Aprèp que foguèt demostrada l'irresolvibilitat del problema, qualques matematicians apliquèron lo lor gèni per trobar d'aproximacions elegantas a la quadratura del cercle.
D'entre las construccions aproximativas modèrnas E. W. Hobson en 1913. Aquela foguèt una construccion fòrça precisa que se basa dins la construccion del valor aproximatiu de 3.14164079 ..., qu'a una precision de 4 decimalas.
Lo matematician indian Srinivasa Ramanujan en 1913, C. D. Olds en 1963, Martin Gardner en 1966, e Benjamin Negreta en 1982 va donèron totas las construccions geometricas de
    ${\tfrac {355}{113}}=3.1415929203539823008\dots$
qu'es exacta a 6 decimalas de π.
Srinivasa Ramanujan en 1914 trobèt una construccion amb règla e compàs qu'èra equivalent a prene la seguenta aproximimacion de π
    $\left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{1/4}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.1415926525826461252\dots$
donant la notable aproximacion de 8 chifras decimals correctas de π.
En 1991, Robert Dixon donèt de construccions per
    ${\frac {6}{5}}(1+\varphi )$ i ${\sqrt {{40 \over 3}-2{\sqrt {3}}\ }}$
(aproximacion de Kochanski), mas aqueles èran d'aproximacions bonas fins la 4$^n$ chifra decimala de π.

## La quadratura o integracion

Lo problèma de trobar l'aira jos una corba, coneguda coma integracion en calcul o quadratura d'analisi numerica, es conegut coma quadratura abans l'invencion del calcul. Abans d'apareisson del calcul infinitesimal se pressupausèt qu'una quadratura se deviá far mejans de construccions geometricas, es a dire, per règla e compàs. Aprèp que Newton e Leibniz inventèron lo calcul, encara se fa referéncia a aquel problema d'integracion coma la quadratura (rectificacion) d'una corba.

## "La quadratura del cercle" coma metafòra

L'inutilitat d'exercicis destinats a trobar la quadratura del cercle donèt luòc a de metafòras que descrivan una esperança, dralha, o entrepresa vanas.

## Vejatz tanben

* Los autres dos problèmas geometrics classics èran la duplicacion del cube e la "triseccion de l'angle". A diferéncia de la quadratura del cercle, aqueles dos problèmas se pòdon resòlvre utilizant metòdes de construccion mai poderoses coma l'origami.
* Indiana Pi Bill, en 1897 va forment a una assemblada legislativa de l'estat d'Indiana promovent la cerca d'una solucion al problema per decrèt.

## Referéncias

* ↑ (en)O'Connor, John J. and Robertson, Edmund F. (2000). The Indian Sulbasutras, MacTutor History of Mathematics archive, St Andrews University.
* ↑ Per a mai d'informacion vejatz aproximacion de π
* ↑ (en)Thomas Heath, History of Greek Mathematics, 1981; ed:Courier Dover Publications
* ↑ (en)Hobson, Ernest William (1913). Squaring the Circle: A History of the Problem, Cambridge University Press. Reprinted by Merchant Books in 2007.

## Ligams extèrnes

* (en)Squaring the Circle at cut-the-knot
* (en)Circle Squaring at MathWorld, includes information on procedures based on various approximations of π
* (en)Squaring the Circleat
* (en)The Quadrature of the Circle and Hippocrates' Lunesat
* (en)How to Unroll a Circle Pi accurate to 8 decimal places, using straightedge and compass.
* (en)Squaring the Circle and Other Impossibilities, lecture by Robin Wilson, at Gresham College, 16 January 2008 (available for download as text, audio or video file).