# Grop (matematicas)

En matematicas, e pus particularament en algèbra, l'estructura de grop es una abstraccion de la nocion d'operacion dins un ensemble quand existís una operacion invèrsa : per exemple l'addicion, pron que la sostraccion i siá definida. Aquesta estructura permet de modelizar de situacions fòrça divèrsas, que se rescòntran non solament en matematicas, mai tanben en fisica e en quimia.

## Estructura de grop
### Definicions

L'estructura algebrica de grop consistís en un monoïde que totei seis elements son simetrizables. Autrament dich, un grop notat $(G,\,*)$ es un ensemble $G$ provesit d'una lèi de composicion intèrna $*$ satisfasent leis axiòmas seguents :
* associativitat : $\forall \,x\in G,\,\forall \,y\in G,\,\forall \,z\in G,x*(y*z)=(x*y)*z$
* existéncia d'un element neutre : $\exists \,e\in G,\,\forall x\in G,x*e=e*x=x$ ; se saup que e es unic
* tot element de $G$ es simetrizable : $\forall \,x\in G,\,\exists \,x'\in G,x*x'=x'*x=e$ ; se saup que per cada element $x$ de $G$ , l'element $x'$ es unic : es sonat simetric de $x$.
Se ditz que $G$ es l'ensemble sosjacent au grop $(G,\,*)$. Lo grop es dich finit se l'ensemble sosjacent es finit e en aqueu cas, l'òrdre dau grop es lo nombre d'elements de l'ensemble sosjacent ; senon lo grop es dich infinit.
Terminologia : en luòga de dire que lo pareu $(G,\,*)$ es un grop, se ditz sovent que «l'ensemble $G$, provesit de la lèi de composicion intèrna $*$, es un grop» ; se i a pas d'ambigüitat, lo grop se poirà notar $G$ en plaça de $(G,\,*)$ (l'operacion intèrna es sosentenduda).

### Commutacion e commutativitat

Siá un grop $(G,\,*)$ .

#### Commutacion d'elements

Se ditz que dos elements a, b de G commutan se $\ a*b=b*a$ .
Per exemple, tot element a commuta :
* amb eu meteis : $\ a*a=a*a$
* amb l'element neutre : $\ a*e=e*a=a$
* amb son simetric : $\ a*a'=a'*a=e$

#### Grop commutatiu

Lo grop es dich commutatiu (o abelian) se, de mai, la lèi dins G es commutativa, çò es :
* $\ \forall \,x\in G,\,\forall \,y\in G,\,x*y=y*x$ (commutativitat)
Un grop es commutatiu se e solament se totei seis elements commutan a cha dos.

### Notacions

La notacion multiplicativa e la notacion additiva son particularament frequentas.

#### Grop multiplicatiu

Quand la lèi dins G es notada multiplicativament, lo grop es dich multiplicatiu :
   * s'escriu : x · y o x y en plaça de : $\ x*y$
   * l'element neutre se nòta "1" o "1$_G$" (element unitat de G)
   * per tot element x, lo simetric es sonat invèrs de x e se nòta $x^{-1}$

#### Grop additiu

Quand la lèi dins G es notada additivament, lo grop es dich additiu :
   * s'escriu : x + y en plaça de : $\ x*y$
   * l'element neutre se nòta "0" o "0$_G$" (element nul, o zèro de G)
   * per tot element x, lo simetric es sonat opausat de x e se nòta $-x$
Es convengut qu'un grop additiu es totjorn commutatiu (s'emplega jamai la notacion additiva per un grop non commutatiu).

### Premierei proprietats

Estent un grop $(G,\,*)$ onte lo simetric de cada element x se nòta x' :
* e' = e (lo simetric de l'element neutre e es e)
* $\forall \,x\in G,\,\forall \,y\in G,\,(x*y)'=y'*x'$ (simetric dau compausat de dos elements)
* $\forall \,x\in G,\,(x')'=x$ (simetric dau simetric d'un element)

### Exemples

* L'ensemble $\mathbb {Z}$ deis entiers, provesit de l'addicion, es un grop commutatiu. Ansin es de l'ensemble $\mathbb {Q}$ dei racionaus, de l'ensemble $\mathbb {R}$ dei reaus, e de l'ensemble $\mathbb {C}$ dei complèxes.
* L'ensemble $\mathbb {Q} ^{\ast }$ dei racionaus diferents de 0, provesit de la multiplicacion, es un grop commutatiu. Ansin es de l'ensemble $\mathbb {R} ^{\ast }$ dei reaus diferents de 0, e de l'ensemble $\mathbb {C} ^{\ast }$ dei complèxes diferents de 0.
* L'ensemble ${\mathcal {S}}(X)$ dei permutacions d'un ensemble X, provesit de la composicion deis aplicacions, es un grop ; tre que X a aumens tres elements, aquest grop es pas commutatiu.
* L'ensemble dei matritz carradas (d'òrdre n fixat), provesit de l'addicion, es un grop commutatiu.
* L'ensemble dei matritz carradas invertiblas (d'òrdre n fixat), provesit de la multiplicacion, es un grop ; tre que n es diferent de 1, aquest grop es pas commutatiu.
* Siá ${\mathcal {E}}={\mathcal {P}}(\Omega )$ l'ensemble dei partidas d'un ensemble $\ \Omega$ . Estent dos elements A, B de ${\mathcal {E}}$ , se definís sa diferéncia simetrica, notada $\ A\vartriangle B$ :
    $\ A\vartriangle B=(A\,\setminus B)\cup (B\,\setminus A)=(A\cup B)\,\setminus (A\cap B)$ .
    L'ensemble ${\mathcal {E}}$ , provesit de l'operacion de diferéncia simetrica, es un grop commutatiu. L'element neutre es la partida vueja $\varnothing$, e cada element de ${\mathcal {E}}$ es son pròpri simetric : per tota partida A de $\ \Omega$,
       $\ A\vartriangle \varnothing =A$ e $\ A\vartriangle A=\varnothing$

### Còntraexemples

* L'ensemble $\mathbb {N}$ deis entiers naturaus, provesit de l'addicion, es un monoïde que son element neutre es 0 ; mai es pas un grop : lo solet element simetrizable dins $\mathbb {N}$ es 0.
* L'ensemble dei matritz carradas (d'òrdre n fixat), provesit de la multiplicacion, es un monoïde que son element neutre es la matritz unitat ; mai es pas un grop : existisson de matritz carradas non invertiblas.
* L'ensemble dei partidas d'un ensemble non vuege, provesit de l'operacion d'union ensemblista, es un monoïde que son element neutre es la partida vueja ; mai es pas un grop : lo solet element simetrizable es la partida vueja.

## Iterats d'un element per la lèi dau grop

S'es ja vist la nocion d'iterats d'un element per la lèi d'un monoïde. Se limitam aicí au cas d'un grop multiplicatiu e d'un grop additiu (la soleta diferéncia entre lei dos cas es la notacion).

### Poténcias d'un element d'un grop multiplicatiu

Estent un grop multiplicatiu $(G,\,\cdot )$ , un element x de G e un entier naturau m diferent de 0, se pausa :
* $x^{m}=x\cdots x$ (produch de m factors egaus a x)
* $\ x^{-m}=(x')^{m}$ (produch de m factors egaus a l'invèrs x' ) ; en particular, $x^{-1}=x'$, çò que justifica la notacion usuala de l'invèrs
* $\ x^{0}=1_{G}$
Se definís ansin una aplicacion $\ \mathbb {Z} \times G\to G,\,(n,\,x)\mapsto x^{n}$ sonada exponenciacion, qu'es un exemple de lèi de composicion extèrna dins G. Se ditz que l'element $x^{n}$ es la poténcia d'exponent n de x.

#### Proprietats de l'exponenciacion

$\forall \,n\in \mathbb {Z} ,\,\forall \,p\in \mathbb {Z} ,\forall x\in G$ :
* $x^{n+p}=x^{n}\cdot x^{p}$
* $\left(x^{n}\right)^{\,p}=x^{n\,p}$
Avís : estent dos elements x, y de G e un entier n, en generau $(x\cdot y)^{n}\neq x^{n}\cdot y^{n}$. Pasmens, se leis elements x, y commutan, e en particular se lo grop es commutatiu : $(x\cdot y)^{n}=x^{n}\cdot y^{n}$

### Multiples d'un element d'un grop additiu

Estent un grop additiu $(G,\,+)$ , un element x de G e un entier naturau m diferent de 0, se pausa :
* $m\cdot x=x+\cdots +x$ (soma de m tèrmes egaus a x)
* $(-m)\cdot x=m\cdot x'$ (soma de m tèrmes egaus a l'opausat x' ) ; en particular, $(-1)\cdot x=x'$, çò que justifica la notacion usuala de l'opausat
* $0\cdot x=0_{G}$
Se definís ansin una aplicacion $\ \mathbb {Z} \times G\to G,\,(n,\,x)\mapsto n\cdot x$ qu'es un exemple de lèi de composicion extèrna dins G. Se ditz que l'element $\ n\cdot x$ es lo multiple de coefficient n de x.

#### Proprietats

$\forall \,n\in \mathbb {Z} ,\,\forall \,p\in \mathbb {Z} ,\,\forall \,x\in G,\,\forall \,y\in G$ :
* $(n+p)\cdot x=(n\cdot x)+(p\cdot x)$
* $n\cdot (p\cdot x)=(n\,p)\cdot x$
* $n\cdot (x+y)=(n\cdot x)+(n\cdot y)$

## Sosgrop
### Definicion

Un sosgrop d'un grop G es un sosensemble non vuege H de G qu'es estable per la lèi de G, e qu'es un grop per la lèi inducha, autrament dich :
* $\forall \,x\in H,\,\forall \,y\in H,\,x*y\in H$
* $\forall \,x\in H,\,\,x'\in H$
Se pòt caracterizar ansin un sosgrop H de G : es un sosensemble non vuege tau que :
* $\forall \,x\in H,\,\forall \,y\in H,\,x*y'\in H$

### Exemples

Dins un grop G :
* l'ensemble $\{e\}$ que l'element neutre es son solet element es un sosgrop
* l'ensemble $Z(G)$ deis elements que commutan amb totei leis elements de G es un sosgrop sonat centre de G:
    $Z(G)=\{x\in G\mid \forall \,y\in G,\,x*y=y*x\}$

## Morfisme de grops

Un morfisme de grops es una aplicacion compatibla amb l'estructura algebrica.

### Definicions

* Sián dos grops $(G_{1},\,\ast )$ (d'element neutre $e_{1}$) e $(G_{2},\,\star )$ (d'element neutre $e_{2}$) . Un morfisme de $(G_{1},\,\ast )$ vèrs $(G_{2},\,\star )$ es per definicion una aplicacion $f:G_{1}\to G_{2}$ tala que
    $\ \forall \,(x,\,y)\in G_{1}^{2},\;f(x*y)=f(x)\star f(y)$
* En particular, un endomorfisme dau grop $(G,\,\ast )$ es un morfisme de $(G,\,\ast )$ vèrs eu meteis.
* Estent un morfisme $\ f$ de $(G_{1},\,\ast )$ vèrs $(G_{2},\,\star )$ , se definís ansin son nuclèu (sosensemble de $\ G_{1}$ ), notat $\ \ker(f)$ , e son imatge (sosensemble de $\ G_{2}$ ), notat $\ \mathrm {im} (f)$ :
    $\ker(f)=\{x\in G_{1}\mid f(x)=e_{2}\}=f^{-1}(\{e_{2}\})$
    $\ \mathrm {im} (f)=\{y\in G_{2}\mid \exists \,x\in G_{1},\,f(x)=y\}=f(G_{1})$
* Un isomorfisme de grops es un morfisme bijectiu. En particular, un endomorfisme bijectiu d'un grop es sonat automorfisme dau grop (es un isomorfisme dau grop vèrs eu meteis).
* Se ditz que dos grops son isomòrfs s'existís un isomorfisme d'un vèrs l'autre (aiçò significa qu'an exactament lei meteissei proprietats algebricas : per exemple, s'un dei dos es commutatiu, ansin es de l'autre) ; dau ponch de vista de l'algèbra, dos grops isomòrfs son indestriables.

### Proprietats

* Siá un morfisme $\ f$ de $(G_{1},\,\cdot )$ vèrs $(G_{2},\,\cdot )$ (lei dos grops son notats multiplicativament). Alora :
** $\ f(e_{1})=e_{2}$ : l'imatge per $\ f$ de l'element neutre dau premier grop es l'element neutre dau segond grop.
** Per tot element x de $\ G_{1}$, $\ f(x^{-1})=f(x)^{-1}$ : l'imatge per $\ f$ de l'invèrs d'un element es l'invèrs de l'imatge d'aquest element.
** Pus generalament, per tot pareu (x, n) onte x es dins $\ G_{1}$ e n es un entier : $f\left(x^{n}\right)=(f(x))^{\,n}$.
* L'aplicacion identica de $\ G_{1}$ es un automorfisme de $(G_{1},\,\cdot )$ .
* La compausada de dos morfismes de grops es un morfisme de grops : sián tres grops multiplicatius $(G_{1},\,\cdot )$ , $(G_{2},\,\cdot )$ , $(G_{3},\,\cdot )$ e dos morfismes $\ f$ de $(G_{1},\,\cdot )$ vèrs $(G_{2},\,\cdot )$ , $\ g$ de $(G_{2},\,\cdot )$ vèrs $(G_{3},\,\cdot )$ . Alora, l'aplicacion compausada $\ g\circ f$ es un morfisme de $(G_{1},\,\cdot )$ vèrs $(G_{3},\,\cdot )$. En particular, la compausada de dos isomorfismes de grops es un isomorfisme de grops.
* L'imatge d'un morfisme de grops es un sosgrop. Pus generalament, l'imatge d'un sosgrop per un morfisme de grops es un sosgrop.
* L'imatge invèrs d'un sosgrop per un morfisme de grops es un sosgrop. En particular, lo nuclèu es un sosgrop.
* La bijeccion recipròca d'un isomorfisme de $(G_{1},\,\cdot )$ vèrs $(G_{2},\,\cdot )$ es un isomorfisme de $(G_{2},\,\cdot )$ vèrs $(G_{1},\,\cdot )$ dich isomorfisme recipròc.

### Exemples

* Estent un reau a, l'aplicacion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto a\,x$ es un endomorfisme dau grop additiu $\mathbb {R}$ ; se $\ a\neq 0$ , $f$ es un automorfisme e l'automorfisme recipròc es l'aplicacion $f^{-1}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto a^{-1}\,x$
* L'aplicacion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}^{\ast },\,x\mapsto \exp {x}$ es un isomorfisme dau grop additiu $\mathbb {R}$ vèrs lo grop multiplicatiu $\mathbb {R} _{+}^{\ast }$ (çò que pròva qu'aquestei grops son isomòrfs):
** es bijectiva
** $\ \forall \,(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{2},\;\exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)$
    L'isomorfisme recipròc es l'aplicacion $f^{-1}:\mathbb {R} _{+}^{\ast }\to \mathbb {R} ,\,y\mapsto \ln {y}$

## Annèxas
### Liames intèrnes

* Algèbra.
* Matematicas.

### Bibliografia

* (fr) Jean Fresnel, Groupes, Hermann, 2001.
* (fr) Roger Godement, Introduction à la théorie des groupes de Lie, Springer, 2004.
* (fr) Felix Ulmer, Théorie des groupes - Cours et exercices, Ellipses, 2012.